1/Fourier
Furiejovi redovi i Furiejova transformacija
1. Ortogonalnost trigonometrijskih funkcija
Pokazaćemo da je niz trigonometrijskih funkcija
2π
ϕk (t) = e jkω0t , ω0 =
T
ortogonalan na intervalu T.
Uočimo, pre svega, da je svaka funkcija niza periodična sa periodom T.
(1)
ϕk (t + T) = e jkω0 (t + T) = e jkω0t e jkω0T = e jkω0t e j2 πk = e jkω0t = ϕk (t)
(2)
Zapazimo, takoñe i da je svaka funkcija niza ϕk periodična sa periodom Tk=T/k,
odnosno da je njen period podmultipl perioda T.
Nadalje, podsećajući se da je uslov ortogonalnosti funkcija definisan izrazom
b
Ck k = n
∗
(3)
∫ ϕk (t)ϕn (t)dt =  0 k ≠ n

a
usvajajući da je b-a = T dobija se
t0 + T


k =n
∫ dt
T

t0 + T

t0

jkω0 t − jnω0t
=
1
j(k −n)ω0 t
∫ e e dt = t0 + T

 j(k − n)ω e
t0
j(k −n)ω0t
0
dt k ≠ n 
 ∫ e
 t 0
T
k =n

T k = n

=
=
1
j(k −n)ω0t 0
j(k −n)ω0 (t0 + T)
k ≠ n 0 k ≠ n
−e
 j(k − n)ω e
0

(
k =n
t0 + T
t0
k≠n
=
(4)
)
Iz dobijenog rezultata vidi se da je niz trigonometrijskih funkcija ortogonalan i da je pri
tome koeficijent ortogonalnosti Ck konstantan i jednak periodu funkcija T.
Sled
eći ideju o predstavljanju neke funkcije preko baze ortogonalnih funkcija, funkcija x(t)
može se predstaviti kao
x(t) =
∞
∑
ak e jkω0t
(5)
k =−∞
pri čemu se koeficijenti ak odreñuju iz uslova ortogonalnosti funkcija. Primenjujući već
izloženi postupak, odnosno množeći obe strane jednačine (1) funkcijom ϕn* (t) i
integraleći na intervalu T, dobija se
t0 + T
∫
x(t)e
− jnω0 t
t0 + T
dt =
t0 + T
x(t)e
− jnω0 t
t0 + T
t0
dt =
∑
x(t)e
− jnω0 t
ak e j(k −n)ω0t dt ⇒
t0 + T
∞
k =−∞
t0
∫
∫ ∑
t0 k =−∞
t0
∫
∞
ak
∫
e j(k −n)ω0t dt ⇒
t0
1
dt = Tan ⇒ an =
T
t0 + T
∫
t0
x(t)e− jnω0t dt
(6)
2/Fourier
Prema očekivanju dobijeni rezultat u potpunosti odgovara opštem izrazu koji se
dobija pri predstavljanju funkcije preko baze ortogonalnih funkcija.
b
∗
∫ x(t)ϕi (t)dt
ai =
a
b
2
∫ ϕi (t) dt
a
2. Razvoj periodičnih signala u Furiejov red
U opštem slučaju koeficijenti razvoja funkcije x(t) odreñeni izrazom (6) zavise od
izbora t0. Iz izraza se takoñe vidi da bi ova zavisnost mogla da bude izbegnuta ako bi i
funkcija x(t) bila periodična sa istim periodom T. Ta činjenica dovela je do ideje, koju je
prvi izneo Furije (Fourier), da se svaka periodična funkcija može razviti u red oblika (5),
gde je ω0 odreñena periodom funkcije x(t) (ω0=2π/T). Po njemu je red dobio naziv
Furieov red. Tako formiran red naziva se harmonijski ili trigonometrijski niz.
Komponente ovog niza za k = ±1 nazivaju se fundamentalne komponente niza, dok se
preostale komponente za |k| ≥ 2 označavaju kao harmonici (ili viši harmonici).
Realni signali
Ukoliko je signal x(t) realan, odnosno ukoliko važi da je x*(t) = x (t), tada se
Furijeov red može prikazati i u nešto drugačijem obliku. Naime, polazeći od definicije
reda vidi se da za realni signal važi
∗
∞
∞
∞
 ∞

x (t) =  ∑ ak e jkω0 t  = ∑ ak∗ e− jkω0t = ∑ a∗−me jmω0t = x(t) = ∑ ame jmω0t


m =−∞
m =−∞
 k =−∞
 k =−∞
∗
(7)
⇒ ak = a∗−k ⇒ a−k = ak∗
pri čemu je a0 realna konstanta. Otuda se, za a k = A k e jθk jednačina reda može
prikazati u obliku
∞
∑
x(t) =
k =−∞
∞
(
= a0 + ∑ ak e
k =1
∞
∞
(
)
ak e jkω0t = a0 + ∑ ak e jkω0t + a −k e− jkω0t =
k =1
jkω0t
+ a∗k e − jkω0t
)=a
∞
0
(
)
+ ∑ A k e j(kω0t +θk ) + e− j(kω0t +θk ) =
k =1
(8)
= a0 + 2 ∑ A k cos(kω0 t + θk )
k =1
Ukoliko se, meñutim, kompleksni koeficijenat prikaže u drugačijem obliku kao
ak=ack+jask tada se dobija
x(t) =
∞
∑
k =−∞
∞
∞
(
)
ak e jkω0 t = a0 + ∑ ak e jkω0 t + a∗k e− jkω0t =
k =1
(9)
= a0 + 2 ∑ ( ack cos(kω0 t) − ask sin(kω0 t))
k =1
Iz dobijene relacije sledi da se svaki realni periodični signal može formirati
sabiranjem konstantnog signala i sinusoidalnih signala čija je učestanost multipl
osnovne učestanosti (Sl. 1).
3/Fourier
Koeficijenti Furijeovog reda
Već je pokazano da iz osobine ortogonalnosti periodičnih funkcija sledi da se
koeficijenti Furijeovog reda mogu dobiti prema relaciji
1
ak =
T
t0 + T
∫ x(t)e
− jkω0t
dt
t0
Realni i imaginarni deo ovih koeficijanata odreñuje se prema sledećoj relaciji
t +T
ack = Re(ak ) =
1 0
∫ x(t)cos(kω0 t)dt
T t
0
t +T
ask
(10)
1 0
= Im(ak ) = −
∫ x(t) sin(kω0 t)dt
T t
0
Sl. 1 Ilustracija koncepta prikazivanja funkcije kao linearne kombinacije sinusoida
Uobičajeno je da se definiše jedan Furiejov par kao
∞
x(t) =
∑
ak e jkω0t
k =−∞
t0 + T
ak =
1
T
∫
x(t)e− jkω0 t dt
(11)
(12)
t0
Jednačina (11) se označava kao jednačina sinteze Furijeovog reda, dok se
jednačina (12) označava kao jednačina analize Furijeovog reda.
Slobodni član reda
1
a0 =
T
t0 + T
∫
x(t)dt
(13)
t0
jednak je srednjoj vrednosti funkcije x(t), odnosno jednosmernoj komponenti signala.
Da bi se koristio izraz (12) za odreñivanje koeficijenata reda neophodno je da se
usvoji vrednost za t0. Kao što je već rečeno budući da je funkcija x(t) periodična sa
4/Fourier
periodom T, rezultat ne zavisi od usvojene vrednosti za t0. Otuda je uobičajeno je da se
ona usvaja tako da se integracija obavi na što elegantniji način.
Parne i neparne funkcije
Neka je x(t) realna parna funkcija, periodična sa periodom T. Tada je njen
Furijeov red odreñen izrazom
ack
1
=
T
t0 + T
∫
T/2
t0
0
=
1
1
x(t)cos(kω0 t)dt +
∫
T −T/ 2
T
ask =
1
T
1
T
∫
∑
k =−∞
T/2
∫
x(t)cos(kω0 t)dt
0
1
x(t)sin(kω0 t)dt =
T −T∫/ 2
(14)
T/2
∫
x(t)sin(kω0 t)dt = 0
0
T/ 2
x(t)dt =
t0
2
T
T/2
t0 + T
∫
x(t)cos(kω0 t)dt =
0
t0
∞
x(t) =
∫
x(t)sin(kω0 t)dt =
1
1
x(t)sin(kω0 t)dt +
∫
T
T −T / 2
a0 =
T/2
t0 + T
0
=
1
x(t)cos(kω0 t)dt =
T −T∫/ 2
x(t)cos(kω0 t)dt =
0
1
1
1
x(t)dt =
x(t)dt +
∫
∫
T −T / 2
T −T / 2
T
T/2
∫
0
x(t)dt =
2
T
T/2
∫
x(t)dt = ac 0
0
∞
ak e jkω0t = a0 + 2 ∑ ack cos(kω0 t)
k =1
Na isti način, ukoliko je x(t) realna neparna funkcija, periodična sa periodom T,
njen Furijeov red je odreñen izrazom
a0 =
1 T/2
1 0
1 T/2
x(t)dt
=
x(t)dt
+
∫
∫
∫ x(t)dt = 0
T −T / 2
T −T / 2
T 0
ack =
1 T/2
1 0
1 T/2
x(t)cos(k
t)dt
x(t)cos(k
t)dt
ω
=
ω
+
∫
∫
∫ x(t)cos(kω0 t)dt = 0
0
0
T −T / 2
T −T / 2
T 0
ask = −
=−
1 T/2
1 0
1 T/2
x(t) sin(kω0 t)dt = −
x(t) sin(kω0 t)dt −
∫
∫
∫ x(t) sin(kω0 t)dt =
T −T / 2
T −T / 2
T 0
(15)
2 T/2
∫ x(t) sin(kω0 t)dt
T 0
∞
∞
k =−∞
k =1
x(t) = ∑ ak e jkω0t = −2 ∑ ask sin(kω0 t)
Očigledno je da je svaka parna realna funkcija odreñena koeficijentima ack, dok
su koeficijenti ask jednaki nuli. Isti tako, svaka neparna realna funkcija odreñena je
koeficijentima ask, dok su koeficijenti ack jednaki nuli.
Pr. 1
U cilju ilustracije formiranja Furijeovog reda odrediće se furijeov red povorke pravougaonih
impulsa čiji je period T=1 (Sl. 2).
S obzirom da je funkcija realna i parna koeficijenti Furijeovg reda odreñeni su izrazom (14).
5/Fourier
2
T
ak = ack =
=2
0.5
∫
x(t)cos(
0
0.25
sin( 2kπt)
2kπ 0
=
2kπt
)dt = 2
T
0.25
∫
cos( 2kπt)dt
0
1 sin(kπ / 2) 1
= sinc(kπ / 2) =
2 kπ / 2
2
 ( −1)(k −1)/ 2
k neparno

kπ

Sl. 2 Povorka pravougaonih impulsa sa

1
=
k=0
periodom 1 i srednjom vrednošću 1/2
2


k parno
0


Grafička ilustracija odreñivanja nekoliko prvih koeficijenata reda data je na (3, Sl. 4, Sl. 5).
t
t
∫ x(t ) cos(2πt)dt
∫ x( t ) sin( 2 πt )dt
− 0.5
− 0 .5
3 Odreñivanje koeficijentata uz prvi harmonik
t
∫ x( t ) cos( 2 ∗ 2πt )dt
− 0 .5
t
∫ x( t ) sin( 2 ∗ 2 πt )dt
− 0 .5
Sl. 4 Odreñivanje koeficijenata uz drugi harmonik
6/Fourier
x(t) i cos(3*2 t)
t
-0.5
0
0.5
x(t)cos(3*2 t)
t
-0.5
0.5
0
t
t
∫ x(t) cos(3 ∗ 2πt)dt
t
−0.5
-0.5
0
∫ x(t ) sin(3 ∗ 2πt )dt
− 0 .5
0.5
ac3=-0.1061
Sl. 5 Odreñivanje koeficijenata uz treći harmonik
Furijeov red povorke pravougaonih impulsa je
1 ∞
x(t) = + ∑ sinc(kπ / 2)cos( 2kπt)
2 k =1
(16)
3. Spektar funkcije
Iz izraza za Furijeov red vidi se da je je on zapravo odreñen vrednošću
koeficijenata. Otuda se došlo na ideju da se
0.5
koeficijenti posebno posmatraju i prikazuju u
funkciji rednog broja člana reda, ili u funkciji
0.4
učestanosti (kf0 odnosno kω0). Ova
reprezentacija koeficijenata naziva se
spektar funkcije. Na Sl. 6 prikazan je spektar
0.3
posmatrane povorke pravougaonih impulsa.
(Ako bi se on predstavljao u funkciji od kω0,
0.2
tada bi za pojedine komponente spektra
vrednosti na apcisi bile k/ω0=2πk.)
0.1
Potrebno je istaći da se, ukoliko su
koeficijenti kompleksni, oni mogu predstaviti
0
pomoću dva grafika na kojima se prikazuju
apsolutne
vrednosti
i
argumenti
koeficijenata. (Samo se po sebi razume, da
-0.1
se ta reprezentacija može primeniti i u
posmatranom primeru, i to tako što bi se na
-0.2
jednom
dijagramu nacrtale apsolutne
-15
-10
-5
0
5
10
15
vrednosti, dok bi se na drugom argument
alternativno menjao uzimajući vrednosti nula i
Sl. 6 Spektar funkcije - koeficijenti furijeovog
π).
reda povorke pravougaonih impulsa
Iz spektra povorke pravougaonih
impulsa vidi se da su svi parni harmonici jednaki nuli, dok neparni opadaju sa porastom
indeksa k (srazmerno sa 1/k).
7/Fourier
Iz ovog sprektra vidi se zapravo još nešto, a to je da on u potpunosti opisuje
samu funkciju. Naime, budući da se sve periodične funkcije mogu razviti u Furijeov red,
sledi da se one zapravo razlikuju samo po koeficijentima. To nadalje znači da spektar
neke periodične funkcije nosi kompletnu informaciju o toj funkciji.
4. Konvergencija Furijeovog reda
Budući da u opštem slučaju Furijeov red ima neograničen broj članova sume,
prirodno se postavlja pitanje da li ovaj red konvergira, odnosno da li se baš svaka
periodična funkcija x(t) može predstaviti tim redom. Naime, ako se predpostavi da je xK
konačan red oblika
xK (t) =
K
ak e jkω0t
∑
(17)
k =−K
onda je pitanje pod kojim uslovima će fukcija x(t) biti aproksimirana sa xK(t) tako da
neka odgovarajuća mera greške aproksimacije teži ka nuli kad K→∞.
Ako se greška aproksimacije definiše kao
eK (t) = x(t) − xK (t)
(18)
tada se kao mera greške može usvojiti srednjekvadratna greška (srednja snaga
periodičnog signala)
1
Pe = EK =
T
t0 + T
∫
2
ek (t) dt
(19)
t0
Ukoliko EK→0, kad K→∞ tada Furijeov red kovergira ka x(t). (Zapaziti da uslov
konvergencije ne zahteva da greška teži ka nuli za svako t (kad K→∞) već samo da
srednja snaga teži ka nuli.)
U skladu sa rezultatom izvedenim za opšti skup ortogonalnih funkcija, očigledno
je da je dovoljan uslov konvergencije greške da srednja snaga signala na periodu T
bude konačna, odnosno da važi
1
Px =
T
t0 + T
∫
2
x(t) dt < ∞
(20)
t0
Potrebne i dovoljne uslove koje periodična funkcija treba da zadovolji da bi red
konvergirao, odnosno da bi se mogla razviti u Furijeov red postavio je Dirihle (Dirichlet).
Ako funkcija x(t) ispunjava bilo koji od sledećih dovoljnih uslova tada će
srednjekvadratna greška konvergirati ka nuli.
Uslov 1
Periodični signal x(t) je neprekidna funkcija
Uslov 2
Periodični signal x(t) ima ograničenu srednju snagu
1
Px =
T
t0 + T
∫
2
x(t) dt < ∞
(21)
t0
Napomenimo da svi signali koji se primenjuju u inžinjerskoj praksi ispunjavaju
ovaj uslov.
Uslov 3 (Dirihleov uslov)
Sa izuzetkom izvesnih patoloških slučajeva, dovoljan uslov konvergencije je da je
funkcija x(t) apsolutno integrabilana na intervalu t0 < t < t0 + T, odnosno da važi
8/Fourier
t0 + T
∫
| x(t) | dt < ∞
(22)
t0
Patološki slučajevi se isključuju sa dva dodatna uslova
• x(t) ima konačan broj maksimuma i minimuma unutar jednog perioda T
• x(t) ima konačan broj, konačnih prekida
Za funkcije koje ispunjavaju Dirihleov uslov pokazuje se da greška eK(t) teži ka
nuli kad K teži beskonačnosti za svaku vrednost t osim u tačkama prekida. U svakoj
tačci prekida, Furijeov red teži ka srednjoj vrednosti koju daju levi i desni prekid u toj
tačci.
Pr. 2
Povorka trougaonih funkcija prikazana je na
Furijeovog reda mogu se odrediti na sledeći način:
ack
Sl. 7. Budući da je funkcija parna koeficijenti


 0
T/ 2
T/ 2
2
2
4 

 2kπt 

 2kπt 
=
x(t)cos 
 dt = T ∫ 1 − T t  cos  T  dt =  0
T ∫0
 T 





0
2
 2 
 kπ 
ack =
sin2 (kπ / 2)
(kπ / 2)2
k=0
k − parno ⇒
(23)
k − neparno
, k = 1, 2,...
pa je Furijeov red
K
sin2 (kπ / 2)
xK (t) = 2∑
cos( 2kπt)
2
k =1 (kπ / 2)
(24)
Pošto je x(t) neprekidna funkcija, prema
uslovu 1, Furijeov red (24) konvergira. (Samo se po
sebi razume da za ispitivanje konvergencije nije
neophodno da se odrede koeficijenti Furijeovog reda.)
Sl. 7 Povorka trougaonih funkcija
Pr. 3
Posmatra se testerasta funkcija prikazana na Sl. 8.
Ova funkcija nije neprekidna, ali ima konačnu snagu.
T/ 2
Px =
Sl. 8 Testerasta funkcija
T/ 2
2
1
1
1
2
2 
x(t) dt =
t  dt =

∫
∫
T −T/ 2
T −T/ 2  T 
3
U skladu sa uslovom 2 odgovarajući Furijeov red
je konvergentan.
Pr. 4
Povorka alternativnih jediničnih impulsnih
funkcija (Sl. 9) nije neprekidna i nema konačnu
1/ 4T
snagu, ali je pošto je
∫
x(t) dt = 2 , ona je
−3/ 4T
apsolutno integrabilna na periodu T. Pored toga, ova
Sl. 9 Povorka alternativnih jediničnih funkcija funkcija zadovoljava i preostale Dirihleove uslove. To
znači da se u skladu sa uslovom 3 ova funkcija može
9/Fourier
predstaviti pomoću konvergentnog Furijeovog reda.
Pr. 5
Periodični signal
1
x(t) = , 0 < t < T
t
x(t + T) = x(t)
ne ispunjava nijedan od 3 navedena uslova, što znači da se ne može razviti u Furijeov red.
Pr. 6 – Gibsov fenomen
Budući da povorka pravougaonih impulsa (16)
ispunjava uslove konvergencije (ima konačnu snagu, a i
apsolutno je integrabilna) izvesno je da će njena aproksimacija
xK(t) konvergirati ka x(t) sa porastom broja članova reda K (Sl.
10). Ukoliko se pretpostavi da je vrednost signala u tački
prekida jednaka nuli, Furijeov red je
1 K
xK (t) = + ∑ sinc(kπ / 2)cos( 2kπt)
2 k =1
Interesantno je zapaziti da sa porastom vrednosti K,
oscilacije na gornjem i donjem nivou signala postaju sve uže,
ali je preskok uvek isti i iznosi oko 9% od nivoa signala. Ovaj
efekat je poznat kao Gibsov (Gibbs) fenomen i može se
primetiti uvek kada se Furiejov red skraćuje na konačna broj
članova. Nesumnjivo je da ovaj fenomen deluje, u izvesnom
smislu, zbunjujuće. Naime, prirodno se postavlja pitanje kako
je moguće da srednjekvadratna greška teži ka nuli, kad je
preskok uvek konstantan? Odgovor leži u činjenici da se sa
povećanjem broja članova reda (K), preskok pomera ka tački
prekida i postaje toliko uzak da je ukupna greška sve manja i
manja.
Sl. 10 Aproksimacije pravougaone
povorke impulsa za K = 0, 1, 3, 5, 7
5. Srednja snaga periodičnog signala
Već je ranije istaknuto da periodični signali
imaju beskonačnu energiju, pa se za ove signale
izračunava srednja snaga
1
2
Px = ∫ x(t) dt
TT
(25)
U cilju izračunavanja srednje snage signala, podsetićemo se da za razvoj
funkcije preko baze ortogonalnih funkcija važi
∞
∞
 ∞
 ∞ * − jmω t 
2
* j(k − m)ω0t
0
x(t) = x(t)x * (t) =  ∑ ak e jkω0t  ∑ am
e
= ∑ ∑ ak am
e
⇒




 k =−∞
 m =−∞
 k =−∞ m =−∞
(26)
T/2
T/2
∞
∞
∞
 ∞



2
* j(k −m)ω0t
*
 dt = ∫  ∑ ak ak  dt =T ∑ ak
∫  ∑ ∑ ak ame
k =−∞


− T / 2  k =−∞ m =−∞
− T / 2  k =−∞
U skladu sa time, srednja snaga periodičnog signala se može odrediti kao
∞
1
2
2
Px = ∫ x(t) dt = ∑ ak
TT
k −∞
(27)
10/Fourier
gde su ak koeficijenti Furijeovog reda. U tom smislu veličina a k
2
može se interpretirati
kao srednja snaga k-tog harmonika.
6. Odziv linearnog stacionarnog sistema na periodičnu pobudu
Podsetimo se da se odziv linearnog stacionarnog sistema, čiji je jedinični
impulsni odziv g(t), na pobudu u(t) odreñuje konvolucionim integralom
∞
y(t) =
∫ u(t − λ)g(λ)dλ
(28)
−∞
Ako je pobudna funkcija periodična, u( t ) = e jω0t , tada je odziv sistema
∞
y(t) =
∫e
jω0 (t −λ )
g(λ )dλ = e
−∞
jω0t
∞
∫e
− jω0λ
g(λ )dλ = G( jω0 )e jω0t
(29)
−∞
(Ovaj rezultat sledi i iz činjenice da su periodične funkcije sopstvene funkcije linearnih
stacionarnih sistema.)
Pola
zeći od rezultata (29), uzimajući u obzir osobinu linearnosti, vidi se da je odziv linearnog
stacionarnog sistema na periodični signal predstavljen Furijeovim redom
u(t) =
∞
∑
ak e jkω0t
(30)
k =−∞
odreñen sa
y(t) =
∞
∑
k =−∞
ak G( jkω0 )e jkω0t =
∞
∑
k =−∞
bk e jkω0t ; bk = ak G( jkω0 ), G(jkω0 ) =
∞
∫ g(t)e
− jkω0 t
dt (31)
−∞
To zapravo znači da je i odziv periodični signal koji se može predstaviti
Furijeovim redom. Pri tome su koeficijenti Furijeovog reda odziva (bk) jednaki
skaliranim koeficijentima Furiejovog reda pobude. Za svaki harmonik k skala faktor
jednak je funkciji G(jkω0). Funkcija G(jkω0) naziva se frekvencijska funkciji prenosa.
7. Furijeova transformacija
Već je rečeno da se svaka funkcija x(t) može prikazati preko baze ortogonalnih
funkcija. To naravno važi i za bazu periodičnih funkcija ortogonalnih na intervalu širine
2π/ω0, gde je ω0 proizvoljna učestanost (1). Posmatrano, dakle iz ugla mogućnosti
prikazivanja neke funkcije x(t) čini se da je nebitno da li je ona periodična ili ne. U tom
smislu prirodno se postavlja pitanje šta je to što Furijeov red čini specifičnim u odnosu
na sve druge redove koji bi se dobili predstavljanjem neperiodičnih funkcija.
Odgovor na postavljeno pitanje leži u već istaknutoj činjenici da koeficijenti
razvoja funkcije
t +T
ak =
1 0
x(t)e − jkω0 t dt
∫
T t
0
zavise od izbora intervala ortogonalnosti, odnosno od izbora parametra t0. U opštem
slučaju svaki izbor ovog parametra dovešće do drugačijeg skupa koeficijenata ak, što
znači da veza izmeñu njih i funkcije x(t) nije jednoznačna. Za razliku od toga, ukoliko je
funkcija x(t) periodična na intervalu T, onda vrednost koeficijenata ne zavisi od izbora
parametra t0, te jednoj funkciji x(t) odgovara samo jedan skup koeficijenata ak. Taj skup
predstavlja spektar funkcije i on nosi kompletnu informaciju o samoj funkciji.
11/Fourier
U skladu sa izvršenom analizom vidi se da se suština Furijeovog reda ogleda
zapravo u tome što se učestanost funkcija baze ω0 bira na specifičan način i to tako da
bude jednaka učestanosti periodične funkcije koja se predstavlja. Upravo ova činjenica
omogućuje da se odredi spektar funkcije, koji se može potpuno ravnopravno koristiti za
njeno predstavljanje.
Imajući u vidu da predstavljanje periodičnog signala pomoću spektra pruža jedan
potpuno drugačiji uvid u karakteristike signala i omogućava da se na veoma
jednostavan način odredi odziv linearnog stacionarnog sistema, prirodno se postavlja
pitanje da li se opisani postupak može na neki način proširiti i na neperiodične funkcije.
Budući da se neperiodični signal može shvatiti kao periodični signal čija je perioda
beskonačno velika, čini se da bi
odgovor na postavljeno pitanje
mogao da se potraži upravo iz tog
ugla.
U cilju boljeg razumevanja ove
ideje, posmatraće se spektar jedne
povorke pravougaonih impulsa xT(t)
periode T i širine impulsa Tp (Sl. 11).
Ukoliko perioda ove povorke teži ka
Sl. 11 Povorka impulsa širine Tp
beskonačnosti signal xT(t) teži ka
jednom pravougaonom impulsu centriranom u koordinatnom početku
 1
t < Tp / 2

(32)
lim x T (t) = x(t) = 1/ 2
t = Tp
= rect(t / Tp )
T →∞
 0
t > Tp / 2

(Pravougaoni signal x(t) u tačkama prekida definisan je kao aritmetička sredina leve i
desne granice, da bi se u tim tačkama obezbedila jednakost signala sa odgovarajućim
Furiejovim redom).
Koeficijenti Furijeovog reda signala xT(t) mogu se odrediti iz izraza (32)
T /2
ak =
1 T/2
1 p
− jkω0t
x
(t)e
dt
=
e− jkω0 t dt =
∫
∫
T
T −T / 2
T −T / 2
p
=
=
(
)
Tp / 2
sin(kω0Tp / 2)
1
1
− jkω0Tp / 2
jkω T / 2
e− jkω0t
=
e
−e 0 p
=
=
− jkω0T
− Tp / 2
− jk 2π
kπ
sin(kπTp / T)
a0 =
kπ
=
Tp
T
(33)
sinc(kπTp / T); k = ±1, ±2,...
Tp
T
U cilju analize dobijenog rezultata, definišimo diskretnu funkciju
X(jkω0 ) = ak T
(34)
koja predstavlja skaliranu vrednost spektra (koeficijenata razvoja reda). Ova funkcija
ima diskretne vrednosti na učestanostima
2πk
(35)
ω = kω0 =
T
Posmatranjem spektra funkcije X(jkω0) za različite vrednosti periode T ( Sl. 12), vidi se
da spektar stalno zadržava isti oblik, s tim što se sa povećanjem perioda T smanjuje
rastojanje izmeñu harmonika (ω0). Otuda je osnovano pretpostaviti da će kada T→∞ ,
12/Fourier
rastojanje izmeñu harmonika postati beskonačno
malo, tako da diskretna funkcija spektra teži ka
kontinualnoj funkciji nezavisne promenljive ω
(kω0→ ω, X(jkω0) → X(jω).
Uočeni fenomen se može izraziti i
analitički. Pošto je povorka pravougaonih
impulsa xT(t) periodična funkcija, sa periodom
T=2π/ω0, ona se može predstaviti Furijeovim
redom oblika
0.2
0
0.2
∞
0
∑
x T (t) =
k =−∞
0.2
=
0
-100
ak e jkω0t =
-50
0
50
100
Sl. 12 Spektar povorke pravougaonih
impulsa za različite vrednosti periode T
∞
1
X(jkω0 )e jkω0t =
k =−∞ T
∑
(36)
1 ∞
X(jkω0 )e jkω0t ω0
∑
2π k =−∞
Već je rečeno da signal xT(t) teži ka impulsu x(t)
kad T→∞. Meñutim tada i
ω0=2π/T→dω, kω0→ ω,
=
tako da se dobija
1 ∞
1
lim x T (t) = lim
X(jkω0 )e jkω0t ω0 =
∑
2π
T→∞
T→∞ 2π k =−∞
T/2
lim X(jkω0 ) = lim Tak = lim
T→∞
T→∞
T→∞
∫
x(t)e
− T/2
− jkω0 t
∞
∫ X(jω)e
jωt
dω = x(t)
−∞
∞
dt =
∫ x(t)e
(37)
− jωt
dt = X(jω)
−∞
Poopštavajući izloženi postupak na proizvoljnu neperiodičnu funkciju dolazi se do
Furijeove transformacije koja se definiše parom
x(t) =
1 ∞
jωt
−1
∫ X( jω)e dω = F {X( jω)}
2π −∞
(38)
∞
X( jω) = ∫ x(t)e − jωt dt = F {x(t)}
(39)
−∞
Jednačina (38) se zove jednačina sinteze Furijeove transformacije, a jednačina
(39) je jednačina analize Furijeove transformacije.
Primetimo da obe ove relacije definišu jednoznačno istu funkciju x(t). Razlika je
zapravo u tome što se funkcija izražena preko
jednačine sinteze posmatra u vremenskom
domenu, odnosno ima vreme kao nezavisnu
promenljivu, dok jednačina analize omogućava
da se funkcija posmatra u frekvencijskom
domenu, odnosno pomoću učestanosti ω rad/s
ili f(Hz) (ω=2πf). U tom smislu signal se
zapravo
definiše
svojim
frekvencijskim
sadržajem, odnosno amplitudom i fazom
Sl. 13 Spektar pravougaonog impulsa
pojedinih frekvencijskih komponenti od kojih je
on sastavljen.
13/Fourier
Potrebno je da se istakne da se za razliku od periodičnog signala koji se
predstavlja zbirom sinusoidalnih funkcija perioda koje su podmultipl periode T (diskretni
spektar), neperiodični signal predstavlja zbirom sinusoidalnih signala čije se periode
nalaze na kontinuumu realnih brojeva, te je njegov spektar kontinualna funkcija..
Primenjujući definiciju Furijeovog para na pravougaoni impuls dobija se spektar
funkcije x(t) (Sl. 13)
∞
X(jω) =
∫ x(t)e
−∞
=
(
− jωt
Tp /2
dt =
∫
e− jωtdt =
− Tp /2
(40)
)
 sin(ωTp / 2) 
2sin(ωTp / 2)
 ωTp 
1
− jωTp /2
jωT /2
e
−e p =
= Tp 
= Tp sinc 


 ωTp / 2 
− jω
ω
 2 


Potrebno je zapaziti da je prva nula
Tp
spektra ove funkcije na
2 Tp
učestanosti ω=2π/Tp. To
4 Tp
6 Tp
nadalje znači da će, se
nula pomerati ka koordinatnom početku ukoliko
se širina impulsa povećava i da će se spektar
"sabijati" oko ordinatne
ose (Sl. 14). Teorijski
gledano kada impuls
postane
beskonačno
dugačak, spektar će se
pretvoriti u jedinični impuls intenziteta Tp.
Izloženi fenomen
zapravo ilustruje Hajzenbergov (Heisenberg)
Sl. 14 Spektri pravougaonog impulsa za različite širine impulsa Tp
princip
neodreñenosti
koji se, izmeñu ostalog, može iskazati i tvrdnjom da je trajanje funkcije u vremenskom
domenu obrnuto proporcionalno širini spektra (širini propusnog opsega) u frekvencijskom domenu.
PROPUSNI OPSEG SIGNALA
Predstavljanje funkcije pomoću spektra omogućava da se vidi da sve
frekvencijske komponente ne učestvuju podjednako u kompoziciji funkcije. U analizi
signala se pokazalo da se može smatrati da su za formiranje signala neobično važne
one komponente spektra čija amplituda nije manja od 1/ 2 od vrednosti amplitude pri
učestanosti ω=0. Otuda se došlo na ideju da se definiše učestanost ω0 pri kojoj
amplituda signala opadne na 1/ 2 od vrednosti amplitude pri učestanosti ω=0,
odnosno na kojoj je
1
X(jω0 ) =
X(0)
(41)
2
Ova učestanost se označava kao učestanost propusnog opsega.
14/Fourier
Praksa takoñe pokazuje da je pogodno da se slabljenje amplituda frekvencijskih
komponenti izražava u decibelima, gde se decibel definiše kao logaritamski odnos
amplituda pomnožen sa 20. Slabljenje pri učestanosti propusnog opsega iznosi prema
tome 3dB
 X(jω0 
(42)
20log 
= 20log 2 = 3dB
 X(0 


( )
USLOVI KONVERGENCIJE FURIJEOVE TRANSFORMACIJE
Imajući u vidu da je Furijeova transformacija izvedena kao svojevrsno poopštenje
Furijevog reda, prirodno je očekivati da će i uslovi konvergencije biti tesno povezani.
Neka je za signal x(t), primenom jednačine analize (39) odreñena Furijeova
transformacija.X(jω) i neka je x̂( t ) signal koji je izračunat na osnovu jednačine sinteze
(38). Neka je nadalje greška aproksimacije definisana kao
ˆ
(43)
e(t) = x(t) − x(t)
tako da je ukupna energija signala greške
∞
E=
∫
2
(44)
e(t) dt
−∞
tada Furijeova transformacija funkcije x(t) konvergira ukoliko je ukupna energija signala
greške jednaka nuli. (Slično kao i kod Furijeovih redova i ovde se ne traži da bude
x̂( t ) = x( t ) za svako t, već samo da je energija razlike ova dva signala bude jednaka
nuli.)
Može se pokazati da bilo koji od dva sledeća uslova daju dovoljne uslove za
konvergenciju Furijeove transformacije.
a. Funkcija x(t) ima ograničenu energiju
∞
∫ x( t )
2
dt < ∞
(45)
−∞
b. (Dirihlet)
• Funkcija x(t) je apsolutno integrabilna
∞
∫ x(t ) dt < ∞
(46)
−∞
• Na bilo kom ograničenom intervalu funkcija x(t) ima ograničen broj maksimuma i
minimuma
• Na bilo kom ograničenom intervalu funkcija x(t) ima ograničen broj konačnih
prekida
DUALNOST FURIJEOVE TRANSFORMACIJE
Ako se Furijeova transformacija označi sa F{} i pogledaju izrazi kojima je
definisan Furijeov par
∞
1
x(t) =
X( jω)e jωt dω
2π
∫
−∞
F{x(t)} = X( jω) =
∞
∫ x(t)e
−∞
− jωt
dt
15/Fourier
vidi se da su izrazi neobično slični, odnosno da se razlikuju samo po predznaku
eksponencijalne funkcije i faktoru skaliranja.
Drugim rečima, za Furijeovu
transformaciju važi osobina dualnosti,
za F{x(t)} = X( jω)
F{X( jt)} = 2πx(−ω)
F- 1 {x(ω)} =
(47)
1
X( j(−t))
2π
To zapravo znači da se Furijeova transformacija neke funkcije vremena koja ima isti
analitički izraz kao Furijeova transformacija signala x(t) može dobiti tako što se taj signal
posmatra kao funkcija od učestanosti ω.
Naglasimo pri tome da se, ukoliko funkcija x(t) ima prekid u tački a, njena
inverzna Furijeova transformcaija može dobiti samo ako je funkcija u tački prekida
definisana kao srednja vrednost leve i desne granice, odnosno ako je
x(a) =
x(a − ) + x(a + )
2
(48)
U cilju ilustracije osobine dualnosti, podsetimo se da smo pokazali da je
Furijeova transformacija pravougaonog impulsa širine Tp (40)
{
}
x( t ) = rect( t / Tp ) ⇒ X( jω) = F rect( t / Tp ) = Tp
sin( ωTp / 2)
ωTp / 2
 ωTp
= Tp sin c 
 2




Na osnovu osobine dualnosti, Furijeova transformacija sinc funkcije biće
 1
ω < Tp
2π
2π 
 sin(tTp / 2  2π
F {sinc(tTp / 2} = F 
rect( −ω / Tp ) =
rect(ω / Tp ) =
=
1/ 2 ω = Tp (49)
Tp
Tp 
 tTp / 2  Tp
ω > Tp
 0
odnosno,
T
T
T sin(tTp / 2)
(50)
F -1 {rect(ω / Tp )} = p sinc( − tTp / 2) = p sinc(tTp / 2) = p
2π
2π
2π tTp / 2
Tačnost dobijenog izraza proverićemo preko definicije inverzne Furijeove
transformacije
Tp / 2
∞
1
1
F {rect(ω / Tp )} =
rect(ω / Tp )e jωt dω =
e jωt dω =
∫
∫
2π −∞
2π − Tp / 2
-1
(
)
=
1 1 jω t
e
2π jt
=
T sin(tTp / 2) Tp
1 2
sin(tTp / 2) = p
=
sinc(tTp / 2)
2π t
2π tTp / 2
2π
Tp / 2
=
− Tp / 2
1 1 jtTp / 2
− jtT / 2
e
−e p
=
2π jt
Pre nego što se razmotre osobine Furijeove transformacije, potrebno je da se
istakne da se ona može definisati i kao funkcija učestanosti f. U tom slučaju se
posmatra par
F {x(t)} = X(f) =
∞
∫ x(t)e
−∞
∞
x(t) = F-1 {X(f)} =
− j2πft
∫ X(f)e
−∞
dt
(51)
j2πft
df
16/Fourier
Samo se po sebi razume da izmeñu ova dva oblika definicije Furijeove
transformacije nema nikakve razlike. Radi se zapravo o tome da neki autori smatraju da
je forma u kojoj se dobija X(f) u izvesnoj meri elegantnija (jer se izbegava množenje ili
deljenje sa 2π). Ukoliko se koristi ova definicija, osobina dualnosti je još izraženija.
za F{x(t)} = X(f )
F{X(t)} = x(−f )
F- 1 {x(f )} = X(−f )
8. Furijeova transformacija karakterističnih signala
• Jedinična impulsna funkcija x(t) = δ(t)
Budući da je jedinična impulsna funkcija apsolutno integrabilna, Furijeova
transformacija konvergira tako da se direktnom primenom jednačine (39) dobija
F {δ(t)} = ∆(jω) =
σ= 0.6
σ= 0.06
2
0.5
2
4
6
− jωt
dt = 1
(52)
−∞
1
0
∫ δ(t)e
Iz dobijenog izraza sledi da je spektar
jedinične impulsne funkcije konstanta za
sve vrednosti učestanosti, što znači da sve
frekvencijske komponente koje komponuju
ovaj signal podjednako zastupljene.
Primetimo,
takoñe,
da
je
spektar
neograničenog trajanja što odgovara
Hajzenbergovom principu, jer je impulsna
funkcija ograničenog trajanja.
1.5
0
-10 -8 -6 -4 -2
∞
8 10
•
Konstanta x(t)=A
Striktno gledano ova funkcija ne
ispunjava uslove za konvergenciju Furijeove transformacije. Meñutim može se pokazati
da se do izraza za Furijeovu transformaciju ipak može doći ako se posmatra funkcija
-σ
σ|t|
Sl. 15 Grafik funkcije 2e
x σ ( t ) = Ae
−σ t
(53)
koja teži ka konstanti A kada σ→0. Naime, budući da ova funkcija ispunjava uslove
konvergencije, za nju se može odrediti Furijeova transformacija. Za dobijenu
transformaciju se onda potraži granična vrednost kada σ→0.
∞
Xσ (jω) =
∫ Ae
−σ t − jωt
e
0
dt =
−∞
0
(σ− jω)t
∫ Ae
−∞
∫ Ae
σt − jωt
e
−∞
∞
dt + ∫ Ae(−σ− jω)tdt = A
0
∞
dt + ∫ Ae−σte− jωtdt =
0
(54)
2σ
2
σ + ω2
Ako sada pustimo da σ→0 dobiće se
2σ
lim X σ (jω) = lim A 2
= 0 za ω ≠ 0
σ→0
σ→0 σ + ω2
Konačno ako se potraži površina funkicje Xσ(jω) dobiće se
∞
∞
∫
∫
2σ
(55)
∞
2Aσ −1  ω 
 π π
X σ ( jω)dω = A
dω =
tg  
= 2A  +  = 2Aπ
2
2
σ
 σ  −∞
2 2
−∞
−∞ σ + ω
(56)
Budući da funkcija Xσ(jω) kad σ→0 ima vrednost nula za sve vrednosti nezavisne
promenljive osim za ω = 0, i da je površina koju ona zaklapa sa osom nezavisno
17/Fourier
promenljive konstantna ona po definiciji predstavlja impulsnu funkciju. To nadalje znači
da je
lim X σ ( jω) = X( jω) = F{A} = 2πAδ(ω)
(57)
σ →0
Potrebno je zapaziti da se i ovde još jedanput potvrñuje princip dualnosti. Naime,
pokazali smo da je
F{δ( t )} = 1 i
F{1} = 2πδ( ω)
Izloženi postupak u kome se funkcija koja ne ispunjava uslove za egzistenciju
Furijeove transformacije, zamenjuje funkcijom koja ispunjava uslove, a teži ka datoj
funkciji, označava se kao generalizovana Furijeova transformacija.
• Eksponencijalni signal x(t)=e-ath(t)
1/ a 2
Sl. 16 Moduo i argument Furijeove transformacije eksponencijalne funkcije
Za a<0 signal nije apsolutno integrabilan, što znači da njegova Furijeova
transformacija ne postoji. Za a>0 signal je integrabilan te se njegova Furijeova
transformacija može naći. (Zapaziti da za a=0 signal zapravo predstavlja jediničnu
odskočnu funkciju, čija će Furijeova transformacija kasnije biti odreñena).
∞
∞
1
X( jω) = ∫ e −ath(t)e− jωt dt = ∫ e−at e− jωt dt =
⇒
a + jω
−∞
0
(58)
1
ω
X( jω) =
; arg X( jω) = −arctg   ;a > 0
2
2
a
a +ω
Iz dobijenih rezultata se vidi da je propusni opseg ovog signala ω0 = a (Sl. 16).
pored toga vidi se i da su vremenska konstanta signala (1/a) i njegov propusni opseg
obrnuto proporcionalni.
• Periodični signal
Evidentno je da periodični signali ne ispunjavaju uslove za egzistenciju Furijeove
transformacije. Meñutim, ovaj problem se može prevazići ako se podsetimo da smo
uvoñenjem generalizovane Furijeove transformacije pokazali da, Furijeova
transformacija može da bude impulsna funkcija. Ako se u skladu sa time posmatra
funkcija
X( jω) = 2πδ( ω − ω 0 )
tada se signal kome odgovara ova transformacija može odrediti kao
x( t ) = F −1{X( jω)} =
1
2π
∞
∫
X( jω)e jωt dω =
−∞
1
2π
∞
∫ 2πδ(ω − ω0 )e
jω t
dω = e jω0t
−∞
Očigledno je da je rezultujući signal periodičan sa periodom T=2π/ω0.
(59)
18/Fourier
Nadalje, imajući u vidu da je signal y(t) kome odgovara Furijeova transformacija
Y( jω) = 2πδ( ω + ω 0 )
odreñen sa
y( t ) =
1
2π
∞
∫
Y( jω)e jωt dω =
−∞
1
2π
∞
∫ 2πδ(ω + ω0 )e
jω t
dω = e − jω0t
(60)
−∞
Furijeova transformacija sinusne i kosinusne funkcije jednostavno se odreñuje
korišćenjem Ojlerovih formula
e jω0t + e− jω0t
u(t) = cos(ω0 t) =
⇒ U(jω) = π ( δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 ) )
2
(61)
e jω0t − e− jω0t
π
v(t) = sin(ω0 t) =
⇒ V(jω) = ( δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 ) )
2j
j
Sledeći isti koncept, ako je X(jω) povorka impulsa oblika
∞
∑
X(jω) =
2πak δ(ω − kω0 )
(62)
k =−∞
tada jednačina sinteze (38) daje
∞
x(t) =
∑
ak e jkω0 t
(63)
k =−∞
Budući
Sl. 17 Amplituda spektra
sinusne i kosinusne funkcije
da
x(t)
zapravo
predstavlja
Furiejov
red
proizvoljne periodične funkcije sa periodom T0 =
2π
,
ω0
očigledno je da je Furijeova transformacija svake periodične funkcije povorka impulsa
težine 2πak , udaljenih meñusobno za ω0. Težina impulsa odreñena je koeficijentima
Furijeovog reda (ak).
Iz ovog zaključka sledi i da se Furijeova transformacija povorke jediničnih
impulsa može dobiti, razvojem ove Funkcije u Furijeov red. Naime, pošto je
∞
p( t ) =
∑
∞
δ( t − kT0 ) =
k = −∞
∑
a k e jkω0t
; ak =
k = −∞
1
T0
T0 / 2
∫
δ( t )e − jkω0t dt =
− T0 / 2
1
T0
(64)
Furijeova transformacija povorke impulsa je
∞
2π ∞
P(jω) =
∑ δ(ω − ω0 ) = ω0 ∑ δ(ω − kω0 )
T0 k =−∞
k =−∞
(65)
9. Osobine Furijeove transformacije
LINEARNOST
Furijeova transformacija je linearna operacija.
Dokaz
Pokazaćemo da za Furijeovu transformaciju važe principi superpozicije i
homogenosti
∞
N
N
 N
 ∞ N
F  α k x k (t) =
α k x k (t)e − jωt dt =
α k x k (t)e − jωt dt =
α k X k ( jω)
k + 1
 − ∞ k + 1
k +1
k +1
−∞
∑
∫∑
∑
∫
∑
(66)
POMERANJE U VREMENSKOM DOMENU
F{x( t − t 0 )} = e − jωt0 F{x( t} = e − jωt0 X( jω)
Dokaz
(67)
19/Fourier
∞
F{x(t - t 0 )} =
∫
∞
x( t − t 0 )e − jωt dt =
−∞
∫
x(λ )e − jω( λ + t0 ) dλ = e − jωt0
−∞
∞
∫ x(λ )e
− jωλ
dλ = e − jωt0 X( jω)
−∞
Iz dobijenog rezultata sledi da se celokupni efekat pomeranja funkcije u
vremenskom domenu svodi na promenu faze (argumenta) Furijeove transformacije
F {x(t − t0 } = e− jωt0 X(jω) e jθ(ω) = X(jω) e j(θ(ω)−ωt0 )
(68)
Potrebno je zapaziti da je promena faze linearna.
POMERANJE U KOMPLEKSNOM DOMENU (MODULACIJA)
{
}
F e jω0tx(t) = X(j(ω − ω0 ))
(69)
Dokaz
{
}
F e jω0 t x(t) =
∞
∫
e jω0t x(t)e − jωt dt =
−∞
∞
∫ x(t )e
− j( ω − ω0 )t
dt = X( j(ω − ω0 ))
−∞
Potrebno je zapaziti da je pomeranje u kompleksnom domenu dualna operacija
sa pomeranjem u vremenskom domenu.
Amplitudska modulacija signala
Amplitudska modulacija (AM) signala se koristi pri prenosu signala x(t) kroz neki
komunikacioni kanal. Prenos se obavlja tako što se signal x(t) množi sa realnim
sinusoidalnim signalom – nosećim signalom - tako da se formira signal y(t) koji je
pogodniji za prenos kroz dati medijum. Na mestu prijema vrši se demodulacija signala
da bi se dobio originalni signal x(t) (Sl. 18).
Sl. 18 Idealni sistem za modulaciju i demodulaciju
Neka je noceći signal definisan kao
v ( t ) = cos( ω c t + ϕ)
(70)
tada se modulisani signal može formirati kao
y( t ) = (x( t ) + B ) cos( ω c t + ϕ)
(71)
gde je B proizvoljna konstanta.
Ako se, radi jednostavnosti, usvoji da je faza nosećeg signala ϕ = 0, dobija se
(
)
1
(x(t ) + B) e jωc t + e − jωc t ⇒
2
1
F{y(t)} = (X[j(ω − ωc )] + X[j(ω + ωc )]) + πB(δ(ω − ωc ) + δ(ω + ωc ))
2
y( t ) =
(72)
Pri izvoñenju relacije (72) korišćene su osobina linearnosti i pomeranja u kompleksnom
domenu, kao i izraz za Furijeovu transformaciju kosinusa.
Potrebno je zapaziti da je spektar modulisanog signala centriran oko učetsnosti
nosećeg signala. Pored toga, u spektru se nalaze i dva impulsna signala amplitude πB
koja potiču od pomeraja B. Ukoliko je B=0 ovi impulsi neće biti prisutni u spektru. U tom
slučlaju radi se o modulaciji sa potiskivanjem nosioca. U svakom slučaju, budući da je
spektar signala očuvan, izvesno je da će se odgovorajućim postupkom demodulacije, iz
primljenog signala moći da odredi originalni signal.
20/Fourier
Pr. 7
U cilju ilustracije postupka modulacije posmatraće se signal
ω sin(ω0 t)
1
1
π
1
π
x(t) = u(t) + u(t + ) + u(t − ) ; u(t) = 0
2
4
ω0 4
ω0
π ω0 t
(73)
Furijeova transformacija ovog signala je.
1 1
 πω 

 + cos
X( jω) =  2 2
 ω0 

0

ω ≤ ω0
(74)
ω > ω0
Za slučaj kada je ω0= 4π signal i njegov spektar prikazani su na Sl. 19
Sl. 19 Osnovni signal i njegov spektar
Posmatrani signal je modulisan signalom čija je noseća učestanost ωc = π, i B+1, tako da je
formiran signal
y( t ) = (x( t ) + 1) cos( πt )
(75)
Izgled modulisanog signala i rezultujući spektar dati su na Sl. 20. Kao što se vidi, oblik spektra je u
potpunosti očuvan samo je on pomeren za učestanost ωc
Sl. 20 Modulisani signal i njegov spektar
SKALIRANJE PO VREMENU I PO UČESTANOSTI
F{x(at )} =
1  jω 
X 
a a
(76)
gde je a realna konstanta
Dokaz
 1 ∞

x(λ )e − jωλ / a dλ a > 0
∞
∞
 a
1
1  jω 
F{x(at)} = x(at)e − jωt dt =  − ∞∞
=
x(λ )e − jωλ / a dλ = X 
a
a
a
 1
− jωλ / a
−∞
−∞
−
x
(
λ
)
e
d
λ
a
<
0
 a

−∞
∫
∫
∫
∫
21/Fourier
Na isti način se pokazuje da važi i dualna relacija
 1  t  
(77)
X(jaω) = F  x   
 a  a  
Iz dobijenog rezultata se vidi da skaliranje nezavisno promenljive faktorom a
dovodi do inverznog skaliranja učestanosti i amplitude faktorom 1/a. Drugim rečima ako
se signal komprimuje, njegov spektar se širi i obratno. Napomenimo da je ova osobina
saglasna Hajzenbergovom principu neodreñenosti.
U posebnom slučaju za a=-1, sledi
F{x( − t )} = X(− jω)
DIFERENCIRANJE
 dx(t) 
(78)
F
 = jωX( jω)
 dt 
Dokaz
Diferenciranjem obe strane jednačine sinteze Furijeove transformacije (38) dobija
se
∞

 1 ∞

dx(t) d  1
jω t
= 
X(
j
ω
)e
d
ω
=
j
ω
X(jω)e jωt dω  = jωx(t) ⇒


∫
∫
dt
dt  2π −∞

 2π −∞

 dx(t) 
F
 = jωF {x(t)} = jωX( jω)
 dt 
Na isti način se može izvesti i dualna relacije, tako da važi
dX( jω)
= F{− jtx( t )}
dω
(79)
KONVOLUCIJA
F{x( t ) ∗ y( t )} = X( jω)Y( jω)
(80)
Dokaz
∞



F{x( t ) ∗ y( t )} = F  x(λ )y( t − λ )dλ  =
− ∞

∞  ∞
∞

∞

- jω t


=
x(λ )y( t − λ )dλ e
dt =
x(λ ) y( t − λ )e - jωt dt  dλ




−∞  −∞
−∞

− ∞

∫
∫ ∫
∫
∫
Primetimo da izraz u srednjoj zagradi predstavlja Furijeovu transformaciju signala y(t)
pomerenog u vremenu za iznos λ, tako da je on, zapravo, jednak e-jωλY(jω). Otuda se
dobija
∞

x(λ ) y( t − λ )e - jωt dt  dλ =


−∞
− ∞

∞
∞

= x(λ )e − jωλ Y( jω)dλ = x(λ )e − jωλ dλ  Y( jω) = X( jω)Y( jω)


−∞
 −∞

F{x( t ) ∗ y( t )} =
∞
∫
∫
∫
∫
MNOŽENJE SIGNALA (KONVOLUCIJA U KOMPLEKSNOM DOMENU)
F{x( t )y( t )} =
1
X( jω) ∗ Y( jω)
2π
Dokaz
Polazeći od jednačine konvolucije i zamenjujući izraz za X(jω) dobija se
(81)
22/Fourier
∞

 x( t )e − jϕt dt  Y( jω − jϕ)dϕ


−∞
− ∞ − ∞

∞
∞
∞

∞

1
1
=
x( t ) e − jϕt Y( jω − jϕ)dϕdt =
x( t )e − jωt  e j( ω − ϕ)t Y( jω − jϕ)d(ω − ϕ)dt
2π
2π




−∞
−∞
− ∞

− ∞

1
1
X( jω) ∗ Y( jω) =
2π
2π
∫
∞
∫
X( jϕ)Y( jω − jϕ)dϕ =
∫
1
2π
∞
∫ ∫
∫
∫
Budući da je izraz u srednjoj zagradi predstavlja jednačinu sinteze Furijeove
transformacije za signal 2πy(t), to je
1
1
X( jω) ∗ Y( jω) =
2π
2π
∞
∫
x( t )e − jωt 2πy( t )dt =
−∞
∞
∫ x( t )y( t )e
− jωt
dt = F(x(t)y(t)
−∞
SIMETRIJA
{ }
F x∗ (t) = X∗ ( − jω)
(82)
Dokaz
∗
∞

∗
∗
− jωt
F x (t) = ∫ x (t)e
dt =  ∫ x(t)e jωtdt  = X∗ ( − jω)
 −∞

−∞
{ }
∞
(83)
REALNA FUNKCIJA
Ukoliko je funkcija x(t) realna funkcija tada je
x ∗ ( t ) = x( t ) ⇒ F{x * ( t )} = F{x( t )} ⇒ X * ( − jω) = X( jω) ⇒ X( − jω) = X ∗ ( jω)
Iz ove relacije se vidi da je Furijeova transformacija realnih signala kompleksno
konjugovana simetrična funkcija učestanosti. To nadalje znači da važe sledeće relacije
∗
X∗ (jω) = X(− jω) ⇒ Re{X(jω)} + jIm{X(jω)} = Re{X(− jω)} + jIm{X(− jω)} ⇒
Re{X(jω)} − jIm{X(jω)} = Re{X(− jω)} + jIm{X(− jω)}
⇒
(84)
Re{X(jω)} = Re{X(− jω)}
Im{X(jω)} = − Im{X(− jω)}
Drugim rečima realni deo Furijeove transformacije je parna funkcija po ω, dok je
imaginarni deo neparna funkcija po ω. Otuda, hodograf funkcije X(jω) u ravni
(Re{ X(jω)},Im{ X(jω)})
mora biti simetričan u odnosu na osu Re{ X(jω).
Na isti način, ako se posmatraju moduo i argument Furijeove transformacije
dobija se
X(jω) = X(jω) e jθ(ω)
∗
X∗ (jω) = X(− jω) ⇒  X(jω) e jθ(ω)  =  X(− jω) e jθ(−ω)  ⇒ X(jω) e− jθ(ω) = X(− jω) e jθ(−ω) (85)

 

X(jω) = X(− jω)
⇒
θ(ω) = −θ(−ω)
Ako se sada proizvoljna realna funkcija x(t) rastavi na svoj parni i neparni deo
(xp(t) i xn(t) respektivno), tako da se dobije
x( t ) = x p ( t ) + x n ( t )
tada je
; x p (−t ) = x p ( t )
;
x n (−t ) = − x n (t )
23/Fourier
{
}
F{x n ( t )} = X n ( jω)
F x p ( t ) = X p ( jω) ;
{
} {
{
}
Im{X p ( jω)} = 0
Re X p ( jω) = X p ( jω)
}
F x p ( − t ) = F x p ( t ) ⇒ X p ( − jω) = X ∗p ( jω) = X p ( jω) ⇒
F{x n ( − t )} = − F{x n ( t )} ⇒ X n ( − jω) = X ∗n ( jω) = − X n ( jω) ⇒
(86)
Re{X n ( jω)} = 0
Im{X n ( jω)} = X n ( jω)
PARSEVALOVA RELACIJA
Parsevalova relacija (ili kako je neki autori zovu teorema) definiše relaciju za
odreñivanje energije signala preko njegove Furijeove transformacije.
∞
Ex =
∫
−∞
1
x(t) dt =
2π
2
∞
2
∫
X(jω) dω
(87)
−∞
Dokaz
Ako se definiše funkcija
g( t ) = x( t )
F{g( t )} = G( jω)
2
vidi se da važi
∞
G( jω) =
∫ g( t )e
− jωt
∞
dt ⇒ G(0) =
−∞
∫ g( t )dt = E x
−∞
Nadalje, budući da je
{ }= F{x(t)x (t)}= 21π X( jω) ∗ X (− jω) = G( jω) ⇒
F{g( t )} = F x( t )
1
G( jω) =
2π
∞
∫
∗
2
∗
1
X( jϕ)X [− ( jω − jϕ)]dϕ ⇒ G(0) =
2π
∗
−∞
∞
∫
1
X( jϕ)X ( jϕ)dϕ =
2π
∗
−∞
∞
∫ X( jω)
2
dω
−∞
Parsevalova relacija pokazuje da se energija signala može odrediti integracijom
2
komponenti spektra duž svih učestanosti. Otuda se izraz X( jω) često označava kao
spektralna gustina energije signala.
IZRAČUNAVANJE UKUPNE POVRŠINE
Za F {x(t)} = X ( jω ) ⇒
∞
∫ x(t)dt = X(0)
(88)
−∞
Ova osobina sledi direktno iz same definicije Furijeove transformacije
∞
∞

X(0) = [F{x( t )}]ω = 0 =  x( t )e − jωt dt 
= x( t )dt


− ∞
 ω=0 − ∞
∫
∫
Dualna relacija je
∞
 1 ∞

1
jωt


x(0) = F {X( jω)} t = 0 =
X( jω)e dω
=
X( jω)dω
2π
 2π

−∞
 −∞
 t =0
[
-1
]
∫
∫
(89)
FURIJEOVA TRANSFORMACIJA JEDINIČNE ODSKOČNE FUNKCIJE
F {h(t)} = πδ(ω) +
1
jω
(90)
Dokaz
Uslov egzistencije inverzne Furijeove transformacije zahteva da se jedinična
odskočna funkcija definiše kao
24/Fourier
t<0
0

h(t) = 1 / 2 t = 0
1
t>0

(91)
U skladu sa time ona se može izraziti i kao zbir parne i
neparne funkcije
Sl. 21 Parni i neparni deo
jedinične odskočne funkcije
hp ( t ) =
1
2
h( t ) =
1 1
+ sgn( t ) = hp ( t ) + hn ( t ) , gde su
2 2
 1
− 2 t < 0
1

hn ( t ) = sgn( t ) =  0 t = 0
2
 1 t>0
 2

i
(92)
Očigledno je da je za odreñivanje Furijeove transformacije jedinične odskočne
funkcije neophodno da se kao prvo odredi Furijeova transformacija signum funkcije. U
tom cilju posmatraćemo Furijeovu transformaciju funkcije
1
x(t) =
⇒ F {x(t)} =
jπt
∞
∞
∞
1 − jω t
1
cos(ωt)
1
sin(ωt)
∫ jπt e dt = jπ ∫ t dt − jπ ∫ j t dt =
−∞
−∞ −∞ neparna
=−
1
π
∞
∫
−∞
parna
(93)
sin(ωt)
dt
t
gde je korišćena činjenica da je integral neparne funkcije na simetričnom intervalu
jednak nuli.
Potražićemo vrednost izraza (93) za različite vrednosti učestanosti ω .
1
lim F{x(t)} = lim −
ω→0
ω→ 0 π
∞
∫
−∞
sin( ωt )
1
dt = −
t
π
∞
∫
−∞
sin( ωt )
dt = 0
t
ω→0
lim
(94)
Za ω>0, relacija (93) se svodi na
1
F{x(t)} = −
π
1
=−
π
∞
∫
∞
∫
−∞
sin( ωt )
1
dt = −
t
π
∞
∫
−∞
sin(ωt )
1
d(ωt ) = −
ωt
π
∞
∫
−∞
sin( λ )
dλ =
λ
(95)
1
sin c(λ )dλ = − [F{sin c(λ )}]ω = 0
π
−∞
Na isti način za ω<0 sledi
F {x(t)} = −
1
=
π
∞
∫
−∞
1
π
∞
∫
−∞
sin(ωt)
1
dt =
t
π
∞
∫
−∞
sin(ωt)
1
d(ωt) =
ωt
π
∞
∫
−∞
sin(λ)
dλ =
λ
(96)
1
sinc(λ)dλ =  F {sinc(λ)}
ω=0
π
To znači da nam je za odreñivanje vrednosti izraza (95) i (96) neophodno da nañemo
Furijeovu transformaciju sinc funkcije. Budući da je pokazano da je (49)
{
}
F sin c( tTp / 2) = 2πrect(ω / Tp ) ,
25/Fourier
za Tp=2, biće
F{sin c( t )} = 2πrect(ω / 2) ⇒ [F{sin c( t )}]ω = 0 = π
Napomenimo da se isti rezultat može dobiti i primenom osobine skaliranja za
Tp=1.
F{sin c( t )} = F{sin c(2( t / 2))} =
1
2πrect( ω / 2) ⇒ [F{sin c( t / 2)}]ω = 0 = π
2
(97)
tako da je konačno
− 1 ω > 0
 1 
F   =  0 ω = 0 = − sgn( ω) = sgn( −ω)
 jπt   1 ω < 0

(98)
Sada na osnovu osobine dualnosti, sledi
F{sgn( t )} = −2π
1
2
=
jπ( −ω) jω
(99)
Nadalje, s obzirom na osobinu linearnosti direktno se pokazuje da je
1
1 2
1
1 1

 1
1

F{h( t )} = F  + sgn( t ) = F   + F  sgn( t ) = 2π δ(ω) +
= πδ(ω) +
2
2 jω
jω
2 2

2
2

(100)
Ako se dobijeni rezultat pogleda sa aspekta osobina Furijeove transformacije
parnih i neparnih funkcija vidi se da je Furijeova transformacija neparnog dela
Hn ( jω) =
1
, dok impuls potiče od parnog dela koji je konstanta Hp( jω) = πδ(ω) .
jω
INTEGRACIJA
 t
 1
F  x(λ )dλ  =
X( jω) + πX(0)δ(ω)
j
ω
− ∞

∫
(101)
Dokaz
Pokazaćemo kao prvo da se funkcija čija se Furijeova transformacija traži,
uzimajući u obzir osobinu kauzalnosti, može dobiti konvolucijom funkcije x(t) sa
jediničnom odskočnom funkcijom
∞
x(t) ∗ h(t) =
t
∫ x(λ)h(t − λ)dλ = ∫ x(λ)dλ
−∞
(102)
−∞
Iz ove relacije, korišćenjem osobine konvolucije, kao i izraza za Furijeovu transformaciju
jedinične odskočne funkcije, sledi da je
 t

1
F  x(λ )dλ  = F{x( t ) ∗ h( t )} = X( jω)H( jω) =
X( jω) + πX(0)δ(ω)
jω
− ∞

∫
(103)
Dualna relacija se izvodi na isti način, tako da se dobija da je
ω
1

∫ X( jλ)dλ = F  jt x( t ) + πx(0)δ( t )
(104)
−∞
10. Odabiranje
Kao što je već ranije istaknuto ključna operacija pri pretvaranju kontinualnih
signala u diskretne je operacija odabiranja kojom se iz kontinualnog signala x(t) uzimaju
26/Fourier
odbirci x(nT), ravnomerno rasporeñeni sa rastojanjem T. Vremenski interval T se
označava kao perioda odabiranja. Nadalje, pri analizi osobina jedinične impulsne
funkcije istaknuta je njena osobina odabiranja. Polazeći od ove osobine vidi se da se
proces odabiranja kontinualnog signala x(t) može modelirati množenjem tog signala
povorkom jediničnih impulsa
∞
p(t) =
∑
δ(t − kT)
(105)
k =−∞
tako da se dobije
∞
t ≠ nT
0
x(t)δ(t − kT) ⇒ y(t) = 
x(nT)δ(t − nT) t = nT
k =−∞
Na primer, ako je signal x(t) opisan relacijom
y(t) = x(t)p(t) =
x( t ) =
tada je
∑
1
1
π
1
π
u( t ) + u( t +
) + u( t −
);
2
4
ω0
4
ω0
u( t ) =
ω0 sin( ω0 t )
π
ω0 t
(106)
(107)
y(t) = y(nT)δ(t − nT); gde je
1
1
π
1
π 
y(nT) =  u(nT) + u(nT + ) + u(nT − )
4
ω0 4
ω0 
2
ω sin(ω0nT)
u(nT) = 0
π ω0nT
(108)
Ključno pitanje koje se ovde
postavlja je da li se nakon odabiranja iz
x(t)
dobijenih odbiraka može rekonstruisati
originalni signal. Intuitivno je jasno da
0
0
odgovor na ovo pitanje treba da zavisi od
t
prirode signala i od periode odabiranja.
δ
Naime, što se signal brže menja čini se da
su šanse za uspešnu rekonstrukciju veće
0
t
ukoliko je perioda odabiranja manja. Da bi
y(t)
se dobio egzaktan odgovor na ovo pitanje
potražićemo
Furijeovu
transformaciju
0
signala
y(t).
0
t
Polazeći od osobine množenja
Sl. 22 Odabiranje signala postupkom množenja Furijeove transformacije vidi se da je
sa povorkom impulsa
F {y(t)} = Y(jω) = F {x(t)p(t)} =
1
X(jω) ∗ P(jω)
2π
(109)
Nadalje, obzirom da je (65)
P(jω) = Ω
∞
∑
δ(ω − kΩ) ; Ω =
k =−∞
2π
T
(110)
dobićemo
∞
1
1
1 ∞
Y( jω) =
X( jω) ∗ P( jω) =
X( jω) ∗ Ω
δ(ω − kΩ) =
X( jω) ∗ δ(ω − kΩ) =
2π
2π
T k = −∞
k = −∞
∑
1 ∞
X[j(ω − kΩ)]
T k = −∞
∑
∑
(111)
27/Fourier
Iz rezultata se vidi da je Furijeova transformacija signala dobijenog procesom
odabiranja jednaka periodičnom nizu čiji su svi članovi isti kao i Furijeova transformacija
(spektar) originalnog signala. Drugim rečima spektar signala nakon odabiranja se
replicira sa periodom koja je jednaka periodu odabiranja T. Sve replike originalnog
sprektra centirarne su oko učestanosti kΩ. To nadalje znači da oblik rezultujuće krive
zavisi od odnosa učestanosti odabiranja (Ω) i učestanost propusnog opsega signala
(ω0). Naime, prva leva i desna replika spektra centrirane su na učestanostima ±Ω tako
da se one respektivno prostiru na intervalima [(-Ω -ω0), (-Ω +ω0)] i [(Ω -ω0), (Ω +ω0)]. U
skladu sa time ako je
ω0 ≤ Ω − ω0 ⇒ Ω ≥ 2ω0
(112)
osnovni spektar i njegove replike biće razdvojeni (Sl. 23). Meñutim ukoliko ovaj uslov
nije ispunjen, doći će do prekrivanja osnovnog spektra i replika, pa se u rezultujućem
signalu osnovni spektar više neće jasno prepoznavati (Sl. 24).
Sl. 23 Spektri osnovnog signala i signala koji nastaje odabiranjem kada je Ω ≥ 2ω
ω0
Izložena osobina signala koji nastaje odabiranjem predstavlja fundamentalni
rezultat teorije odabiranja signala. Naime, ona govori o tome pod kojim uslovima je
moguće da se iz spektra signala koji je nastao odabiranjem izdvoji spektar originalnog
signala. Otuda se uslov
Ω ≥ 2ω0
naziva Teorema odabiranja. Ovu teoremu je prvi formulisao Šenon (Shannon), pa se
ona često naziva i Šenonova teorema odabiranja.
Teorema odabiranja, zapravo, kaže da učestanost odabiranja mora da bude bar
dva puta veća od učestanosti propusnog opsega signala ukoliko želimo da iz spektra
signala koji je nastao odabiranjem originalnog signala izdvojimo originalni signal.
Ukoliko ovaj uslov nije ispunjen replike ("alias") spektra se preklapaju ("aliasing") i
originalni signal je definitivno izgubljen (Sl. 24).
Granična učestanost ΩN = 2ω0 se naziva Nikvistova (Nyquist) učestanost
odabiranja.
28/Fourier
Sl. 24 Spektri osnovnog signala i signala koji nastaje odabiranjem kada je Ω ≤ 2ω
ω0
Zapazimo na kraju, da se uslovi očuvanja spektra pri odabiranju direktno vide iz
frekvencijske reprezentacije signala, a samo intuitivno naziru iz vremenske
reprezentacije, što svedoči o prednostima koje može da pruži posmatranje signala
preko njegovog spektra.
11. Frekvencijski odziv linearnih stacionarnih kontinualnih sistema
Već je pokazano da se ponašanje linearnih stacionarnih sistema može u
potpunosti opisati pomoću jediničnog impulsnog odziva sistema g(t). Pokazano je
takoñe i da se odziv na proizvoljni signal dobija konvolucijom signala pobude i
jediničnog impulsnog odziva
y( t ) = g( t ) ∗ u( t )
(113)
U skladu sa osobinom konvolucije Furijeove transformacije odavde se dobija da
je
(114)
Y(jω) = G(jω)U(jω)
Funkcija
Y(jω)
G(jω) =
(115)
U(jω)
naziva se frekvencijski odziv linearnog stacionarnog kontinualnog sistema ili
frekvencijska funkcija prenosa linearnog stacionarnog kontinualnog sistema. Zapazimo
da je linearan stacionaran sistem u potpunosti opisan svojom funkcijom prenosa.
Budući da je
Y(jω) = G(jω)U(jω) ⇒
Y(jω) = G(jω) U(jω) ⇒ G(jω) =
Y(jω)
U(jω)
(116)
arg Y(jω) = argG(jω) + argU(jω) ⇒ argG(jω) = arg Y(jω) − argU(jω)
sistem se može posmatrati i preko amplitude funkcije prenosa |G(jω)| i faze funkcije
29/Fourier
prenosa argG(jω). Pri tome ukoliko je jedinični impulsni odziv realna funkcija, važiće i
sledeće relacije
G(jω) = G(− jω)
(117)
argG(jω) = − argG(− jω)
ODZIV LINERANOG STACIONARNOG SISTEMA NA PERIODIČNI POBUDNI SIGNAL
Pri definisanju koncepta sopstvenih funkcija pokazano je da periodični signal
predstavlja sopstvenu funkciju za linearne stacionarne sisteme, što znači da je i odziv
sistema takoñe periodična funkcija. Ova činjenica može se potvrditi i primenom
frekevncijskog odziva i osobina Furijeove transformacije. Naime, ako je pobudni signal
kompleksna sinusoida
u(t) = e jω0t ⇒ U(jω) = 2πδ(ω − ω0 )
(118)
tada je odziv sistema
Y(jω) = G(jω)U(jω) = G(jω)2πδ(ω − ω0 ) = 2πG(jω0 )δ(ω − ω0 ) ⇒
1
y(t) =
2π
∞
∫
2πG(jω0 )δ(ω − ω0 )e jωtdω =G(jω0 )e jω0t
(119)
−∞
Ako je, meñutim, pobudni signal proizvoljna periodična funkcija čiji je Furijeov red
u(t) =
∞
∑
∞
ak e jkω0 t ⇒ U(jω) =
k =−∞
∑
ak 2πδ(ω − kω0 )
(120)
k =−∞
tada je prema relaciji (114) odziv sistema
Y(jω) = G(jω)U(jω) = 2π
∞
∑
ak G(jkω0 )δ(ω − kω0 )
(121)
k =−∞
ODZIV LINEARNOG STACIONARNOG SISTEMA NA PROIZVOLJAN SIGNAL
Ako pobudni signal nije periodičan, tada se on može predstaviti preko jednačine
sinteze Furijeove transformacije
1
u( t ) =
2π
∞
∫ U( jω)e
jωt
dω
−∞
tako da se odziv sistema na proizvoljnu pobudu dobija preko izraza
1
y( t ) =
2π
∞
∫ G( jω)U( jω)e
jωt
dω
−∞
koji i nadalje ukazuje na činjenicu da se svaka komponenta spektra ulaznog signala
skalira sa odgovarajućom komponentom spektra frekevncijske funkcije prenosa.
Na kraju zapazimo da je, u skladu sa osobinom konvolucije, funkcija prenosa
serijske veze sistema jednaka proizvodu funkcija prenosa pojedinačnih sistema, a da je
funkcija prenosa paralelne veze sistema jednaka zbiru funkcija prenosa pojedinačnih
sistema.
Operacije koje se mogu realizovati pomoću linearnih stacionarnih sistema
• Kašnjenje u vremenskom domenu
Imajući u vidu da je jedinični impulsni odziv
sistema koji realizuje čisto vremensko kašnjenje od
t0 jednak
30/Fourier
G(jω) = F{g(t)} = F{δ(t − t0 )} = e− jωt0 ⇒
(122)
G(jω) = 1 , argG(jω) = −ωt0
Potrebno je zapaziti da je ovaj rezultat u saglasnosti sa izvedenom osobinom
Furijeove transformacije o pomeranju signala u vremenskom domenu (67). To nadalje
znači da će sistem koji realizuje čisto vremensko kašnjenje zapravo samo pomerati fazu
pobudnog signala, pri čemu će pomeraj faze zavisti od učestanosti. U skladu sa time
komponente spektra ulaznog signala koje imaju veću učestanost biće pomerene za veći
iznos.
Y(jω) = e− jωt0 U(jω) ⇒
(123)
Y(jω) = U(jω) , arg Y(jω) = argU(jω) − ωt0
• Diferencijator
Jedinični impulsni odziv diferencijatora u
vremenskom domenu nije moguće definisati iz
jednostavnog razloga što izvod jediničnog impulsa
nije definisan. Uprkos tome, ako se pretpostavi da se
sistem pobuñuje proizvoljnim ulaznim signalom tada se, polazeći od osobina Furijeove
transformacije (78), direktno dobija da je odziv idealnog diferencijatora signala
Y( jω) = jωU( jω)
budući da je, u opštem slučaju, odziv sistema jednak proizvodu frekvencijske funkcije
prenosa i Furiejove transformacije pobude sledi
(124)
Y(jω) = G(jω)U(jω) = jωU(jω) ⇒ G(jω) = jω
funkcija prenosa diferencijatora
Kako je
(125)
G( jω) = ω
amplituda diferencijatora neograničeno raste sa porastom učestanosti. To nadalje znači
da će diferencijator daleko više pojačavati signale visoke učestanosti od signala niske
učestanosti. Primetimo, takoñe, da idealan diferencijator nije stabilan sistem u BIBO
smislu.
Faza diferencijatora je
 π/2 ω> 0
argG(jω) = 
(126)
−π / 2 ω < 0
što znači da idealni diferencijator pomera fazu ulaznog signala ravnomerno za sve
učestanosti za iznos od ±π/2 (unapred za pozitivne učestanosti i unazad za negativne
učestanosti).
• Integrator
Polazeći od činjenice da je
jedinični impulsni odziv integratora
g( t ) = ∫ δ( τ)dτ = h( t )
jednak jediničnom odskočnom signalu
0
1
h(t) sledi da je frekvencijska funkcija
G( jω) = πδ(ω) +
prenosa integratora (90)
jω
1
G(jω) = F{g(t)} = F{h(t)} = πδ(ω) +
(127)
jω
U skladu sa time odziv integratora na proizvoljni pobudni signal u(t) biće
1
1

Y(jω) = G(jω)U(jω) =  πδ(ω) +  U(jω) = U(jω) + U(0)πδ(ω)
(128)
jω 
jω

t
31/Fourier
Iz dobijenog izraza se vidi da će, ukoliko je U(0)=0, biti
1
Y(jω) =
U(jω)
ω
argU(jω) − π / 2 ω > 0
arg Y(jω) = 
argU(jω) + π / 2 ω < 0
(129)
To zapravo znači da integrator slabi amplitudu pobudnog signala pri čemu su
komponente spektra pobude koje pripadaju domenu visokih učestanosti daleko više
oslabljene. Istovremeno integrator pomera i fazu pobudnog signala za isti iznos kao i
idelani diferencijator, ali u suprotnom smeru.
12. Modeliranje sistema pomoću realnih racionalnih funkcija
Kao što je već ranije pokazano linearni stacionarni kontinualni sistemi se
modeliraju pomoću diferencijalnih jednačina
N
dk y(t)
k =0
dtk
N
k
∑ ak
∑
ak
dt k
dku(t)
k =0
dtk
= ∑ bk
d y( t )
k =0
M
M
=
∑
bk
k =0
(130)
dk u( t )
dt k
Odreñivanjem Furijeove transformacije leve i desne strane jednačine, uz primenu
osobine diferenciranja, dobija se (78)
N
M
k =0
N
k =0
∑ ak (jω)k Y(jω) = ∑ bk (jω)k U(jω) ⇒
M
k
k
a
(j
ω
)
Y(j
ω
)
=
∑ k

 ∑ bk (jω)  U(jω) ⇒
k =0

k =0

(131)
M
∑ bk (jω)k
G(jω) =
Y(jω) k =0
=
U(jω) N
∑ ak (jω)k
=
PM (jω)
Q N (jω)
k =0
Iz relacije (131) sledi da je frekvencijska funkcija prenosa linearnog stacionarnog
kontinualnog sistema racionalna funkcija po (jω). Pri tome, ukoliko su koeficijenti aki bk
realni, frekvencijska funkcija prenosa je realna, racionalna funkcija.
Činjenica da se linearan stacionaran sistem može opisati preko realne racionalne
funkcije je neobično važna pri odreñivanju odziva sistema. Naime, umesto da se odziv
sistema odreñuje rešavanjem diferencijalne jednačine odziv se može odrediti preko
frekvencijske funkcije prenosa.
Pr. 8
U cilju ilustracije navedenog postupka posmatraćemo linerani sistem prvog reda čiji je impulsni
odziv
g(t) = e −ath(t)
tako da je frekvencijska funkcija prenosa (58)
32/Fourier
G(jω) =
1
a + jω
(132)
Pretpostavimo da na sistem deluje jedinična odskočna funkcija h(t), čija je Furijeova
transformacija (90)
1
jω
U tom slučaju odziv sistema je

1  1
1
1
(133)
Y( jω) = G( jω)  πδ( ω) +  =
G( jω) + πG( 0)δ(ω) =
+ π δ( ω)
j
ω
j
ω
j
ω
(a
+
j
ω
)
a


Odziv sistema u vremenskom domenu y(t) može se odrediti pomoću inverzne Furijeove transformacije
(jednačina sinteze). Da bi se olakšalo odreñivanje odziva pogodno je da se izraz (133) transformiše tako
da se za sve članove inverzna Furijeova transformacija može dobiti preko tablica. U tom cilju, racionalni
deo odziva se rastavlja na parcijalne razlomke
1
A
B
Aa + jω(A + B)
1
1
= +
=
⇒ A = , B = −A = −
(134)
jω(a + jω) jω (a + jω)
ω(a + jω)
a
a
tako da odziv postaje
1
1
1 1 1
1
1
Y( jω) =
+ π δ(ω) =
−
+ π δ(ω) ⇒
jω(a + jω)
a
a jω a (a + jω)
a
H(jω) = πδ(ω) +
 1
1 1
1
1
1
1
y(t) =  + πδ(ω)  −
= h(t) − e − at h(t) = 1 − e − at h(t)
a  jω
a
a
 a (a + jω) a
(
)
(135)
ODNOS STEPENA POLINOMA U BROJIOCU I IMENIOCU
Već ranije je istaknuto da je kod svih realnih sistema koji se modeliraju pomoću
linearnih diferencijalnih jednačina N≥M. To zapravo znači da je stepen polinoma u
imeniocu veći ili jednak od stepena polinoma u brojiocu. Sada se ova tvrdnja može i
direktno pokazati. Naime, najjednostavniji sistem kod koga je N < M je sistem kod koga
je N = 0, M = 1, odnosno sistem čija je funkcija prenosa
(136)
G(jω) = jω
Ova funkcija predstavlja idealni diferencijator (124), za koji je već rečeno da se ne može
napraviti jer pretpostavlja sposobnost sistema da vrši predikciju. Na isti način, se vidi da
bi svi sistemi kod kojih bi bilo M > N morali da sadrže idelane diferencijatore.
Napomenimo, da se u izvesnom smislu može postaviti i pitanje postojanja
sistema kod koga je N = M. Jedan od takvih sistema i "čist" pojačavač kod koga je
(137)
G( jω) = K
Kao što je već ranije istaknuto sistem koji ima ovu funkciju prenosa bio bi sistem kod
koga se reakcija na izlazu pojavljuje u istom trenutku u kome pobuda deluje. Činjenica
je da nijedan realni fizički sistem nema tu osobinu, ali kao što je već rečeno, jedan broj
sistema ima dovoljno brzu reakciju tako da se može smatrati da je ona trenutna.
13. Bodeovi dijagrami
Činjenica da je frekvencijska funkcija prenosa realna racionalna funkcija
omogućava da se dobije jednostavna grafička reprezentacija amplitude i faze
frekevencijskog prenosa. Pri tome se grafici prikazuju u log/log obliku, odnosno
20log|G(jω) prema logω, za ω > 0. Ovi dijagrami se zovu Bode-ovi dijagrami.|
Budući da su polinomi u brojiocu i imeniocu funkcije prenosa realni, oni se mogu
prikazati u faktorisanom obliku.
33/Fourier
QN ( jω) =
PM ( jω) =
NR
N
∑ ak ( jω)k = aN ( jω)ν ∏ ( αk + jω)
k =0
k =1
MR
M
λk
Nc
∏ ( ςk2 + σk2 + 2σk ( jω) + ( jω)2 )
∑ bk ( jω)k = bm ∏ (βk + jω) ∏ ( γk2 + ρk2 + 2γk ( jω) + ( jω)2 )
MR
k =0
MC
k =1
k =1
∑ µk + ∑ ηk = M ;
k =1
NR
NC
k =1
k =1
,
k =1
Mc
µk
ξk
ηk
,
(138)
k =1
ν + ∑ λk + ∑ ξk = N
pri čemu je pretpostavljeno da polinomi u imeniocu i brojiocu respektivno imaju realne
nule -αk i -βk multipliciteta λk i µk, kao i kompleksne nule –(σk+jζk) i –(γk+jρk), koje se,
pošto su polinomi realni, javljaju u konjugovano kompleksnim parovima, sa
multiplicitetom ξk i ηk. Istovremeno je korišćena i činjenica da za konjugovano
kompleksne nule važi da je
[jω + (σ + jς )] [jω + (σ − jς )] = ( jω) 2 + 2σjω + σ 2 + ς 2
(139)
Konačno, pretpostavljeno je i da je b0≠0, dok je dozvoljena mogućnost da polinom u
imeniocu ima nulu reda ν za ω=0.
U skladu sa time, funkcija frekvencijskog prenosa može se predstaviti kao
MR
G(jω) =
PM (jω)
=
Q N (jω)
bm ∏ ( βk + jω)
k =1
NR
ν
aN (jω)
MR
=K
Mc
∏ ( γk2 + ρk2 + 2γk (jω) + (jω)2 )
νk
k =1
Nc
λk
∏ ( αk + jω) ∏ ( ςk2 + σk2 + 2σk (jω) + (jω)2 )
k =1
Mc
µk
k =1
NR
ν
ξk
ηk
k =1
Nc
∏ (1 + jω / αk ) ∏ (1 + 2σk (jω) / (ςk2 + σk2 ) + (jω)2 / (ςk2 + σk2 ))
λk
k =1
MR
ξk
(140)
,
k =1
µ
Mc
(
k =1
bm ∏ βk k ∏ γk2 + ρk2
k =1
NR
ν
aN (jω)
=
k =1
∏ (1 + jω / βk ) ∏ (1 + 2γk (jω) / (γk2 + ρk2 ) + (jω)2 / (γk2 + ρk2 ))
(jω)
K=
µk
∏
k =1
λ
αk k
Nc
∏(
k =1
)
ηk
ςk2 + σk2
)
ξk
U cilju grafičke reprezentacije amplitude i faze funkcije prenosa pogodno je da se
amplituda prikazuje u decibelima,
20log G(jω) = G(jω) dB =
M
MR

ηk
µk c

(1 + jω / βk ) ∏ 1 + 2γk (jω) / (γk2 + ρk2 ) + (jω)2 / (γk2 + ρk2 )
∏

k =1
= 20log  K k =1N
Nc
R
 (jω)ν ( 1 + jω / α )λk
∏
∏ 1 + 2σk (jω) / (ςk2 + σk2 ) + (jω)2 / (ςk2 + σk2 )
k

k =1
k =1

što omogućava da se iskoristi osobina logaritma proizvoda tako da se dobije
(
)
(
)
ξk







(141)
34/Fourier
G(jω) dB =
MR
MC
k =1
NR
k =1
NC
= 20logK + ∑ µk 20log 1 + jω / βk + ∑ ηk 20log 1 + 2γk (jω) / (γk2 + ρk2 ) + (jω)2 / (γk2 + ρk2 ) − (142)
−ν20log ω − ∑ λk 20log 1 + jω / αk − ∑ ξk 20log 1 + 2σk (jω) / (ςk2 + σk2 ) + (jω)2 / (ςk2 + σk2 )
k =1
k =1
Istovremeno argument frekvencijske funkcije prenosa može se dobiti iz izraza
arg G(jω) =
MR
MC
k =1
k =1
(
)
∑ µk arg(1 + jω / βk ) + ∑ ηk arg 1 + 2γk (jω) / (γk2 + ρk2 ) + (jω)2 / (γk2 + ρk2 ) −
NR
NC
(
)
−ν arg(jω) − ∑ λk (1 + jω / αk ) − ∑ ξk 1 + 2σk (jω) / (ςk2 + σk2 ) + (jω)2 / (ςk2 + σk2 ) =
k =1
k =1
(143)
 2γk (jω) / (γk2 + ρk2 ) 
ω
µ
arctg
+
η
arctg
∑ k  β  ∑ k  1 − ω2 / (γ2 + ρ2 )  −
 k  k =1
k =1

k
k 
MR
MC
 2σk (jω) / (ςk2 + σk2 ) 
 NC
−
ξ
arctg


 ∑ k
 1 − ω2 / (ς2 + σ2 ) 
 k =1

k
k 
Iz izraza (142) i (143) se vidi da se grafici amplitude i faze mogu dobiti
sabiranjem, odnosno oduzimanjem amplitude i faze četiri osnovna grafika
G1 (jω) = 20logK
(144)
G2 (jω) = −ν20log(jω)
(145)
G3 (jω) = p20log(1 + jω / a)
(146)
NR
 ω
π
−ν sgn(ω) − ∑ λk arctg 
2
 αk
k =1
2

 jω  
G4 (jω) = q20log  1 + j2bcω +   

 c  

(147)
Kao što je već rečeno, da bi
se jasnije sagledao spektar signala,
po pravilu se grafik prikazuje u
logaritamskoj razmeri, tako da se na
apscisnoj osi nanosi logω. U tom
smislu jedinica na apsisnoj osi je
jedna dekada.
7.5
7
6.5
6
5.5
5
1
0.5
0
-0.5
-1
10
-1
10
0
1
10
(rad/sec)
Sl. 25 Bodeov dijagram pojačanja (K = 2)
G1( jω) = 20 log K = (K )dB ;
arg G1( jω) = 0
• Grafik G2(jω)
Budući da je
10
2
• Grafik G1(jω)
Najednostavniji grafik je svakako
grafik konstante čija amplituda je
prava linija sa nagibom od 0 dB/dec,
a argument je jednak nuli (Sl. 25),
(148)
35/Fourier
π
(149)
G2 (jω) = −ν20log jω = −υ20log ω ; argG(jω) = −ν sgn(ω)
2
grafik amplitude je prava linija sa nagibom od -ν20 dB/dec, dok je argument takoñe
prava linija sa nagibom nula (Sl. 26).
40
G2 ( jω) dB
20
0
-20
-40
-60
-80
0
-45
-90
-135
-180
-1
0
10
1
10
10
2
10
(rad/sec)
Sl. 26 Bodeov dijagram funkcije G1 (jω)
• Grafik G3(jω)
Za razliku od prethodne dve funkcije, grafik ovog izraza nije tako jednostavno
nacrtati. Naime,
G3 (jω) = p20log(1 + jω / a) ⇒
G3 (jω) = p20log 1 +
argG3 (jω) = parctg
ω2
a2
(150)
ω
a
Analizirajući asimptotske osobine izraza za moduo i argument funkcije oblika G3(jω),
 p20log 1 ω << a 
0
ω << a
2

ω

G3 (jω) = p20log 1 + 2 ≈ 
≈
ω
ω2
a
p20log 2 ω >> a p20log a ω >> a
a

(151)
 0 ω << a
ω 
argG3 (jω) = parctg ≈  π
a p
ω >> a
 2
Bode je predložio da se umesto stvarnog grafika crtaju asimptotski grafici i to tako što bi
se izraz za moduo aproksimirao kao
36/Fourier
0
ω<a


(152)
G3 (jω) ≈ 
ω
p20log
ω
>
a

a
tako da je grafik sastavljen od dve prave linije od kojih prva (za ω < a) ima nagib od
0dB/dec, dok druga (za ω > a) ima nagib od 20p dB/dec. Uporeñivanjem stvarnog i
asimptotoskog izraza vidi se da usvojena aproksimacija ima najveće odstupanje od
stvarne vrednosti pri prelomnoj učestanosti ω = a, gde je odstupanje jednako 3p dB.
0
G 3 ( jω) dB
-10
-20
-30
-40
0
-45
-90
-1
10
0
1
10
10
2
10
(rad/sec)
Sl. 27 Bodeova (asimptotska) i stvarna frekvencijska karakteristika funkcije oblika G3(jω) za
p=-1 i a = 2 ,
G3 (jω) = 1 (1 + jω / 2 )
U pogledu fazne karakteristike Bode je predložio da se funkcija argumenta
aproksimira pravom linijom koja počinje na 00pri učestanosti 0,1a a završava se na
p900 pri učestanosti 10a . Ova linija seče stvarnu funkciju argumenta u prelomnoj
učestanosti (ω = a), gde je argument p450.
Još grublja aproksimacija se dobija ako se pretpostavi da je fazna karakteristika
0 do prelomne učestanosti (a), a zatim postaje p900.
• Grafik G4(jω)
Za funkciju oblika G4 koristi se isti princip asimptotske aproksimacije, s tim što se
prethodno izraz G4(jω) aproksimira kao
  jω 2 
G4 (jω) ≈ 1 +   
(153)
  c  
0
ω<c
  jω 2  
G4 (jω) ≈ q20log 1 +    ≈ 
ω
c
    q40log c ω > c
(154)
2
2
  jω  
ω
argG4 (jω) ≈ qarg 1 +    ≈ q2arctg
c
  c  
37/Fourier
Treba zapaziti da je ova aproksimacija značajno grublja, i da tačnost zavisi od
parametra b. Izvesno je da je greška koja se čini veća, ali i ovde Bodeov dijagram
omogućava da se dobije makar okvirni uvid u izgled frekvencisjkih karakteristika.
20
G 4 ( jω) dB
b=0.05
b=0.1
b=0.25
b=1
0
-20
-40
-60
0
-45
-90
-135
-180
-1
0
10
1
10
2
10
10
Sl. 28 Bodeova (asimptotska) i stvarna frekvencijska karakteristika funkcije oblika G4(jω
ω) za
q=-1, i c=2 , i različite vrednosti b G 4 ( jω) =
1
1 + j4bω + ( jω / 2) 2
• Grafik proizvoljne funkcije
Kombinovanjem navedenih asimptotskih izraza može se dobiti Bodeov dijagram
proizvoljne funkcije prenosa. Dijagram se crta jednostavnim sabiranjem asimptotoskih
From: Input Point To: Output Point
30
G( jω) dB
1 + jω
20
10
1 /(1 + jω / 10)
0
-10
1 / jω
-20
-30
-30
-60
-90
-1
10
0
1
10
10
Sl. 29 Bodeova (asimptotska) i stvarna frekvencijska karakteristika funkcije
G( jω) =
1 + jω
jω(1 + jω / 10)
2
10
38/Fourier
karakteristika svih članova u funkciji prenosa. Pri tome je potrebno zapaziti da
karakteristika modula pretstavlja niz pravih linija koje se u prelomnim učestanostima
direktno nastavljaju jedna na drugu zato što je član koji se dodaje pri datoj prelomnoj
učestanosti pre toga imao vrednost nula.
Prva asimptota
Crtanje karakteristike započinje prvom asimptotom, odnosno jedinim članom koji
nema vrednost 0 u opsegu učestanosti koje su manje od najmanje prelomne
učestanosti. Otuda je prva asimptota definisana relacijom
π
(155)
A s (jω) = 20logK − υ20log ω ; argG(jω) = −ν sgn(ω)
dB
2
Njen moduo je, prema tome, prava linija čiji je nagib -νdb/dec. Ako je ν=0, onda je to
prava linija paralelna apscisnoj osi na rastojanju od K decibela. Ako je meñutim ν≠0
tada se jedna tačka potrebna za crtanje modula može najlakše dobiti ili kao tačka
preseka sa apscisnom osom
K
(156)
A s (jω) = 0 ⇒ ω =
dB
ν
ili kao vrednost asimptote za ω=1
As (j1) = 20logK
(157)
dB
Argumenat prve asimptote je uvek prava linija paralelna sa apscisnom osom.
Ostale asimptote
Doprinosi svih ostalih članova karakteristici modula zavise od njihovih prelomnih
učestanosti. Sa svakom prelomnom učestanošću po jedan član prestaje da bude nula
nagib prave linije koji njemu odgovara se jednostavno dodaje nagibu koji je
karakteristika pre toga imala.
Crtanje argumenta nije tako jednostavno. Dosta gruba aproksimacija argumenta
se može dobiti ako se pretpostavi da svaki član ima argumenat 0 do prelomne
učestanosti a zatim p900.
Pr. 9
Bodeova karakteristika funkcije prenosa
1 + jω
G(jω) =
jω(1 + jω / 10)
prikazana je na Sl. 29.
Obzirom da je ν=-1 prva asimptota ima nagib od -20dB/dekadi. Pored toga pošto je i K=1 ona
seče log ω ose pri učestanosti ω=1. Prva asimptota je jedini deo Bodeoovog dijagrama sve do prve
prelomne učestanosti ω=1. Pri toj učestanosti prestaje da bude nula aproksimacija člana 1+j ω. Kako ovaj
član donosi nagib od +20dB/dekadi ukupni nagib postaje 0dB/dekadi. Prava linija sa tim nagibom
nastavlja se sve do sledeće prelomne učestanosti ω=10. Pri toj učestanosti prestaje da bude nula i
aproksimacija člana 1/(1+jω/10). Pošto ovaj član nosi nagib od -20dB/dekadi taj nagib se sabira sa
prethodnim nagibom tako da ukupni nagib postaje -20dB/dekadi. Budući da više nema prelomnih
učestanosti dijagram dalje ne menja nagib.
.
14. Filtracija
U opštem slučaju filter se može posmatrati kao ureñaj koji razdvaja neki željeni
entitet od neželjenog entiteta. Sa gledišta teorije signala i sistema kriterijum za
razdvajanje je najčešće učestanost. To zapravo znači da se u postupku filtracije izdvaja
39/Fourier
deo signala koji odgovara jednom delu spektra signala. Izdvajanje se vrši jednostavno
propuštanjem signala kroz filtar. U osnovi
ideja filtracije zasniva se na činjenici da se
spektar
signala
odziva
filtra
dobija
množenjem spektra ulaznog signala i funkcije
prenosa filtra. Otuda, ako se filtar definiše
Sl. 30 Filtracija signala
tako da je njegova amplitudna karakteristika
različita od nule samo u odreñenom opsegu učestanosti, signal na izlazu filtra imaće
nenulti spektar samo u tom opsegu učestanosti.
Filter se definiše preko funkcije prenosa G(jω), odnosno preko amplitudske
(|G(jω)|) i fazne karakjteristike arg G(jω).
G(jω) = G(jω) e jargG(jω)
(158)
Pri tome, se za sve filtre podrazumeva da je njihova funkcija jediničnog
impulsnog odziva g(t) realna, što znači da je |G(-jω)|=|G(jω)|.
IDEALNI FILTRI
Sledeći izloženu ideju o izdvajanju dela spektra signala uveden je pojam
idealnog filtra. U skladu sa izloženim, jasno je da se filtri specificiraju pomoću
amplitudske karakteristike. Uobičajeno je da se fazna karakteristika ili definiše kao
linearna arg G(jω) = -ωτ (čisto transportno kašnjenje) ili da se uopšte ne specificira.
Postoje četiri osnovna tipa idealnih filtara.
a. Niskopropusni idealni filtar
1
G(jω) = 
0
ω < ωb
ω > ωb
(159)
0
G(jω) = 
1
ω < ωb
ω > ωb
(160)
b. Visoko propusni idealni filtar
c. Filter propusnik opsega učestanosti
1
G(jω) = 
0
d. Filter neporpusnik opsega učestanosti
ωa < ω < ωb
ω < ωa i ω > ωb
(161)
40/Fourier
0
G(jω) = 
1
ωa < ω < ωb
ω < ωa i ω > ωb
(162)
Pr. 10
Da bi se ilustrovao rad filtra posmatraće se spektar signala y(t) koji se dobija odabiranjem
signala (108)
ω sin(ω0 t)
1
1
π
1
π
x(t) = u(t) + u(t + ) + u(t − ) ; u(t) = 0
(163)
ω0 4
ω0
π ω0 t
2
4
y(t) =
∞
∑
x(kT)δ(t − kT)
(164)
k =−∞
pri čemu je učestanost odabiranja Ω =
2π
≥ 2ω0 .
T
Pretpostavimo da se ovaj signal propušta kroz nisko propusni filtar čija je frekvencijska
karakteristika
T ω < ωb
(165)
G(jω) = 
 0 ω > ωb
Podsetimo se da je prema relaciji (49)
 1
ω < Tp
 sin(tTp / 2  2π
2π
2π 
rect( −ω / Tp ) =
rect(ω / Tp ) =
F sinc(tTp / 2 = F 
=
1/ 2 ω = Tp
Tp
Tp 
 tTp / 2  Tp
ω > Tp
 0
Budući da je Tp širina pravougaonog impulsa amplitude 1, a da je širina impulsa amplitude T koji opisuje
frekvencijsku karakteristiku filtra 2ωb= Tp, očigledno je da je
sin( ωb t)
ω
(166)
F -1 {G( jω)} = g(t) = T
= T b sinc( ωb t)
πt
π
U skladu sa izloženim odziv filtra na signal y(t) biće
{
}
v(t) = g(t) ∗ y(t) = g(t) ∗
∞
∑
x(kT)δ(t − kT) =
k =−∞
∞
∑
x(kT)g(t − kT) =
k =−∞
∞
ω
∑ x(kT)T πb sinc [ωb (t − kT)]
k =−∞
Ako se pri tome propusni opseg filtra usvoji tako da je Ω=2 ωb dobija se
∞
∞
Ω
π(t − kT)
Ω

v(t) = ∑ x(kT)T sinc  (t − kT) = ∑ x(kT)sinc
2π
T
2
 k =−∞
k =−∞
(167)
(168)
Imajući u vidu da se filtracijom dobija spektar V(j ω) (Sl. 31) koji je identičan spektru signala x(t)
očigledno je da dobijeni izraz (168) predstavlja izraz za rekonstrukciju signala na osnovu odbiraka.
Drugim rečima, ako se signal x(t), čiji je spektar ograničen na učestanost ω0, odabira sa učestanošću
Ω≥2ω0, tada se poznavanjem odbiraka signala, može izvršiti njegova rekonstrukcija prema relaciji
∞
π(t − kT)
x(t) = ∑ x(kT)sinc
(169)
T
k =−∞
41/Fourier
Sl. 31 Ilustracija filtracije sa idealnim niskopropusnim filtrom
Primetimo da izvedena relacija za rekonstrukciju signala (169) ima veoma malu
upotrebnu vrednost. Naime, relacija podrazumeva da je za odreñivanje vrednosti
signala u bilo kom trenutku vremena t neophodno da se poznaju svi odbirci signala. Sa
praktične tačke gledišta to znači da je formula neprimenljiva. U nekoj hipotetičnoj
situaciji u kojoj se vrši odabiranje signala i zatim se odbirci, preko nekog
komunikacionog kanala, šalju do prijemnika, izvesno je da se na mestu prijema
rekonstrukcija signala neće moći izvršiti prema datoj relaciji. Zapravo, rekonstrukcija će
moći da otpočne tek u nekoj dalekoj budućnosti kada se prikupe svi odbirci signala, a
tada verovatno više niko neće biti zainteresovan da ustanovi kako je originalni signal
izgledao.
Pored navedenih problema sa rekonstrukcijom signala, postoji još jedan ozbiljan
problem. Naime, nijedna od navedenih amplitudskih karakteristika zapravo se ne može
fizički ostvariti. Tako, na primer, ako se posmatra niskopropusni idealni filter sa
linearnom faznom karakteristikom, primenom inverzne Furijeove transformacije
(jednačina sinteze) dobija se jedinični impulsni odziv
1 ω < ωb
ω
(170)
G(jω) = 
; argG(jω) = −τω ⇒ g(t) = b sinc [ ωb (t − τ)]
π
0 ω > ωb
Budući da je jedinični impulsni odziv nekauzalna funkcija (koja se prostire na intervalu
-∞ < t < ∞) očigledno je da on nije fizički ostvarljiv. U tom smislu ovi filtri su i dobili naziv
"idealni". Otuda se postupak projektovanja filtara zapravo svodi na formiranje sistema
čije funkcije prenosa u što je moguće većoj meri odgovaraju željenim karakteristikama
idealnog filtra.
Tokom poslednjih decenija razvijen je čitav niz izuzetno sofisticiranih metoda za
projekotvanje filtara. Bez želje da se upuštamo u samu teoriju, pogledaćemo samo
elementarne aproksimacije filtara pomoću sistema prvog i drugog reda.
42/Fourier
NISKOPRPUSNI FILTAR PRVOG REDA G( jω) =
1
1 + jω / ωb
Sl. 32 Amplitudska i fazna karakteristika niskopropusnog filtra prvog reda
Iz frekevencijskih karakteristika se vidi da ovaj filter ima prilično dobru
karakteristiku za učestanosti do ωb. Amplitudska karakteristika za male učestanosti ne
unosi nikakvo pojačanje ili slabljenje (iznosi 0dB). Ona je ravna za male učestanosti i
ukupni pad do učestanosti ωb iznosi 3dB. Meñutim, posle učestanosti ωb, karakteristika
počinje da pada sa nagibom od –20db/dec. to znači da je na učestanosti 2ωb slabljenje
oko 6dB, na 10ωb 20dB, na 100ωb 40dB i tako redom. Sa gledišta kvaliteta filtra ključni
problem predstavlja ovaj relativno mali nagib karakteristike, odnosno propuštanje
relativno širokog opsega oslabljenih učestanosti. Dva puta strmija karakteristika može
se dobiti ako se dva niskopropusna filtra vežu na red. Meñutim u tom slučaju, je i
slabljenje na niskim učestanostima veće, jer karakteristika pada za 6dB do učestanosti
ωb.
VISOKOPROPUSNI FILTER PRVOG REDA G( jω) =
jω
ωb + j ω
Sl. 33 Amplitudska i fazna karakteristika visokopropusnog filtra prvog reda
Ovaj filter ima iste osobine kao i niskopropusni filter. Osnovni problem je u
opsegu u kome bi trebalo da postoji značajno slabljenje signala, no karakteristika nije
dovoljno strma (raste sa nagibom od 20dB/dec). Na učestanostima većim od ωb
karakteristika je ravna i ima slabljenje koje je manje od 3dB.
FILTAR PROPUSNIK OPSEGA UČESTANOSTI G( jω) =
jω / ω1
(1 + jω / ω1 )(1 + jω / ω2 )
Ovaj filter je zapravo kombinacija niskopropusnog i visokopropusnog filtra.
Očigledno je da on mora imati iste nedostatke. Drugim rečima, filter je zadovoljavajući
unutar propusnog opsega, ali ima suviše sporo opadajuće slabljenje na granicama
propusnog opsega (nedovoljno strma karakteristika).
43/Fourier
Sl. 34 Amplitudska i fazna karakteristika filtra propusnika opsega učestanosti