1 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות א.מ .ספרי מתמטיקה מבחן מס' 1 פתרון שאלה מס' 1 א. מהירות מרחק זמן (מטר/דקה) (דקות) (מטר) 5 v1 4 הילה v1 15 15v1 רונית v2 12 12v 2 דקלה v3 10 10v3 = 15v1 = 12v 2 = 10v3 v3 = 1.5v1 , v 2 דקלה חלפה על פניה של הילה בפעם השנייה כאשר המרחק ביניהן היה סיבוב שלם: מהירות מרחק זמן (מטר) (מטר/דקה) (דקות) הילה v1 7200 v1 9900 − 2700 = 7200 דקלה 1.5v1 9900 6600 = 1.5v1 v1 9900 מקבלים: 7200 6600 600 5 = +5 = 5 v1 = 120 v 2 = 120 = 150, v3 = 1.5 120 = 180 v1 v1 v1 4 מהירויות הריצה הן : הילה 120 :מ'/דקה ,רונית 150 :מ'/דקה ,דקלה 180 :מ'/דקה ב. מהירות מרחק זמן (מטר/דקה) (דקות) (מטר) רונית 150 x - 2700 150 x - 2700 דקלה 180 x 180 x © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 2 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות א.מ .ספרי מתמטיקה x x - 2700 =+2 מקבלים 5x + 1800 = 6(x - 2700) x = 18000 : 180 150 דקלה עברה מרחק של 18000מ' = 18ק"מ עד שחלפה על פניה של רונית בפעם השנייה ג .הילה ודקלה הגיעו יחד לנקודה Aכאשר כל אחת השלימה מספר שלם של סיבובים .נסמן ב n -את מספר הסיבובים שרצה הילה ונסמן ב k -את מספר הסיבובים שרצה דקלה .מקבלים : 2700n 2700k n k = = 3n = 2k 120 180 120 180 הילה משלימה שני סיבובים שלמים בזמן שדקלה משלימה שלושה סיבובים שלמים לכן: הילה עוברת מרחק של , 2700∙2 = 5400 mדקלה עוברת מרחק של 2700∙3 = 8100 m פתרון שאלה מס' 2 א. a1 , a 2 , a 3 ,....., a n −1 , a n , a n +1 ,.......a 2n −1 . סכום n - 1האיברים הראשונים של הסדרה הוא הסכום: )a (q n -1 − 1 a1 + a 2 + a 3 + ..... + a n −1 = 1 q −1 )a n+1 (q n -1 − 1 = . a n+1 + a n+2 + a 2n −1 וסכום n – 1האיברים האחרונים של הסדרה הוא הסכום: q −1 )a n+1 (q n -1 − 1) a1 (q n -1 − 1) a n+1 (q n -1 − 1 q −1 : = היחס שמתקבל= : q −1 q −1 q −1 )a1 (q n -1 − 1 a n+1 a1q n = = qn a1 a1 ב )1 .נתון . q n = 64 :האיבר האמצעי של הסדרה הוא . a nסכום nהאיברים האחרונים בסדרה הוא )a n (q n − 1 הסכום . a n + a n +1 + a n + 2 + ..... + a 2n −1 :מקבלים= 63 a n : q-1 )a (64 − 1 n = 63a n 63a n = 63 a n (q - 1) q - 1 = 1 q = 2 q-1 q n = 64 2n = 26 n = 2 2n − 1 = 11 )2 ג .הסדרת האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים בסדרה a1 , a 3 , a 5 ...a11 :האיבר הראשון הוא , a 1 המנה היא q 2 = 4ומספר האיברים הוא . 6 )a1 (46 − 1 5 4095 1 = = 170 4095a1 מקבלים a1 = : 4 −1 8 8 8 © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 3 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות n −1 1 2 4 . b n = −ידוע: ד )1 .נתון: = = 2n −1 8 8 an א.מ .ספרי מתמטיקה a n = a1 q n - 1 b 4 4 4 an b n+1 = − n+1 = − − an a n+1 bn a n+1 4 b n+1 a n 1 1 1 הסדרה הנדסית ומנתה = = = 2 bn a n+1 q 2 4 1 1 . b1 = − = −4 : = −32 , q = , N =11 )2מקבלים: a1 8 2 bn = − )−32(0.511 − 1 31 = S11 = -63 0.5 − 1 32 2 1 1 ה .בסדרה b1 , −b3 , b5 , −b 7 ,.....מתקיים A1 = b1 = −32 , Q = - = - : 4 2 −32 לכן ,סכום הסדרה האינסופית הוא = - 25.6 1 ) 1 − (− 4 =S פתרון שאלה מס' 3 א )1 .ההסתברות שליאת וליהי קיבלו לפחות חטיף שוקולד אחד היא המשלים של המקרה ששתיהן קיבלו חטיף אגוזים :בקופסא nחטיפים בסה"כ 5 ,מהם חטיפי שוקולד ו n – 5 -חטיפי אגוזים. ההסתברות שגם ליאת וגם ליהי הוציאו חטיף אגוזים היא : n - 5 n - 6 n 2 − 11n + 30 = n n-1 n2 − n .מקבלים: n 2 − 11n + 30 15 n 2 − 11n + 30 7 = = 22n 2 − 242n + 660 = 7n 2 − 7n 2 2 n −n 22 n −n 22 2 15n 2 − 235n + 660 = 0 n = 12, n = 3 n = 12 3 5 4 3 1 5 = )2 12 11 10 22 12 5 4 3 5 4 7 5 7 4 7 5 4 + + + = )3 12 11 10 12 11 10 12 11 10 12 11 10 480 4 שוקולד = 4 1320 11 7 11 )4הסתברות מותנית: 11 התנאי :לפחות שני ילדים קיבלו חטיף שוקולד אגוזים שוקולד הדרישה :ילד מסוים לא קיבל 3 4 7 7 5 4 10 10 10 חישוב12 11 10 = 7 : 4 24 שוקולד אגוזים שוקולד 11 © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 1− 7 12 אגוזים 5 11 שוקולד 4 10 שוקולד 4 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות א.מ .ספרי מתמטיקה ב .במקרה הקודם ,עבור 5חטיפי שוקולד מבין 12החטיפים ,ההסתברות ששלושת הזוכים 5 4 3 1 = . קיבלו חטיף שוקולד היא 12 11 10 22 6 5 4 1 כעת ,כאשר 6מבין החטיפים בקופסא הם חטיפי שוקולד ,מתקבלת ההסתברות: = 12 11 10 11 1 1 ההסתברות גדלה פי = 2 2 11 22 פתרון שאלה מס' 4 א. )1 טענה AF BD EBD נימוק נתון = AFE ABF = EDB BFA DBE BF FA BA = = DB BE DE AF DB = BF BE )2נסמן FE = xונקבל FB = 2.5x , EB = 1.5x FAE = EDB EDB = ABF FAE = ABF AFE = AFB AFE BFA AF AE FE = = BF BA FA ישרים מקבילים יוצרים זוויות מתחלפות שוות זווית בין משיק למיתר משפט דמיון ז.ז. יחס צלעות מתאימות במשולשים דומים מ.ש.ל. סימון ישרים מקבילים יוצרים זוויות מתחלפות שוות הוכח כלל המעבר זווית משותפת משפט דמיון ז.ז. יחס צלעות מתאימות במשולשים דומים AF2 = BF FE AF2 = 2.5x x = 2.5x 2 AF = x 2.5 AF x 2.5 = = 2.5 FE x ב. 2 2 SAEF AF x 2.5 1 2 = = = = SAFB BF 2.5x 2.5 5 2 SΔAFB = 2.5S 5 = חישוב S SAFB יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הצלעות המתאימות משפט דמיון ז.ז. © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 5 ספרי מתמטיקה.מ.א חישוב )1-הוכח בסעיף א 35581 שאלון פתרונות- 2022 קיץ .ג 10 AF = 10 x 2.5= 10 x = =2 2.5 FA BA = BE DE יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון שני משיקים היוצאים מאותה נקודה למעגל שווים זה לזה 10 AB 6.4 10 = AB = 6.75 1.5 2 6.4 3 AC = AB 6.75 5 'פתרון שאלה מס : BMC שוקיים- במשולש שווה, לכן, אלכסוני המלבן שווים זה לזה וחוצים זה את זה.א BMC = 2α BCM = CBM = 90 − α ACD = α AD = BC = k sinα = k k k : CAD במשולש ישר הזווית AC= MC= AC sinα 2sinα :MCP במשולש cosα= MC MC k k k CP= = = CP = CP cosα 2sinαcosα sin2α sin2α 1 1 k k k2 SΔCMP = CM CP sinα = sinα = 2 2 2sinα sin2α 4sin2α )1 .ב 1 1 k k 2 2sinα cosα k 2cosα SΔBMC = CM 2 sin2α = sin2α = = 2 2 2sinα 8sin 2α 4sinα 2 SΔCMP k2 4sinα sinα 1 = 2 = = 2 SΔBMC 4sin2α k cosα 2sinα cos α 2cos 2α SΔBMP = 2SΔCMP 1 1 = cos 2 α = 1 cos α = 1 α = 360 k ) אם2 2 2 cos α 2 .0 < α < 90 לא יתכן עבור sin(180 - α) = sinα SBMC = SΔBMA SABCD = 4 SΔBMC = SΔCMP = 0.213 SABCD k 2cosα sinα SΔCMP S = 0.213 ΔCMP = 0.852 ץ 4 SΔBMA SΔBMA 1 = 0.852 cos 2α = 0.5868 cosα = 0.766 α = 40o 2 2cos α © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד )3 6 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות ג .במשולש :CMP א.מ .ספרי מתמטיקה k MP = = 0.778k tan40 MP = 0.653k 2sin40 0.778k = MC במשולש : BMP BMP = 90 + 80 = 170 MB = MC = 0.778k , MP = 0.653k , BP 2 = ( 0.778k ) + ( 0.653k ) - 2 0.778k 0.653k cos170 = 2.032k 2 2 2 BP = 1.426k = 14.26 k = 10 פתרון שאלה מס' 6 א x = 1 )1 .אסימפטוטה מאונכת לציר ה x -לכן מתקיים. 1 - b 1 = 0 b = 1 : y = 2אסימפטוטה מאונכת לציר ה y -וגם x ≥ 0לכן: ax →x → y =aa=2 x 2x = ) . f(xתחום ההגדרה x ≥ 0 :וגם x - x 0 )2מקבלים: x- x x x x 2 x x(x − 1) 0 x 0,x 1 מתקבל התחום. 0 < x < 1 , x > 1 : )3נבדוק האם x = 0אסימפטוטה מאונכת לציר ה: x - כאשר , x → 0 +גם המונה של הפונקציה שואף לאפס ,לכן: = ) ( x ) = 2( x = )→ f(x )( x ) - x x ( x − 1 2 2 x x −1 2 2 2 x → 0+ 0 )" (0;0נקודה ריקה" = 0 −1 מסקנה :אין אסימפטוטות נוספות המאונכות לצירים → ). x → 0+ f(x 2x 2 x = ב )1 .על פי סעיף א )3-מתקיים : x- x x -1 תחום ההגדרה של הפונקציה ) h(xהוא x ≥ 0וגם , x ≠ 1כלומר: .0 ≤ x < 1 , x > 1תחומי ההגדרה אינם שווים ,לכן ).h(x) ≠ f(x לכל . x ≠ 0 2x 2 x )2בתחום ההגדרה של ) f(xמתקיים = x- x x -1 1 1 1 2 ( x - 1) − 2 x 1− −1 −1 2 x 2 x x = )f '(x = = ) f '( x 2 2 2 x -1 x -1 x x -1 לכן: ) ( ) ( ) ( © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 7 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות −1 0 2 x x -1 א.מ .ספרי מתמטיקה לכל xבתחום ההגדרה של הפונקציה ,לכן ,הפונקציה )f(x ( ) יורדת בכל תחום הגדרתה. ג )1 .על פי הנתונים: )f '(x <x< 1 <x 1 9 max 0 + פיתול 1 9 = −1 1 −1 9 2 <0 <x + x )f '(x )f ''(x )f(x x 1 1 )2תחום הקעירות כלפי מעלה; 0 < x < , x > 1 : 9 1 תחום הקעירות כלפי מטה< x < 1 : 9 ד )1 .נסרטט תחילה את גרף הפונקציה ): g(x ) ; - 6.75 )3 x ונקבל ,על פי תחומי העלייה והירידה של ): g(x )g '(x )y g(x x y x y )g '(x 9 S = ( 0 − g'(x) )dx = −g(x)4 )2 9 4 בתחום x > 1הפונקציה )f(x חיובית ,לכן ) , g(x) = f(xלכן: = ) −g(x)4 = −f(x)4 = −f (9) + f (4 2 9 2 4 + =1 9 −1 4 −1 9 x ( 9 1 1 = ) ( fלכן :הנקודה ;-1 היא נקודת פיתול של הפונקציה ). f(x 9 9 9 y 9 4 =− © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד )y f(x 8 35581 שאלון פתרונות- 2022 קיץ ספרי מתמטיקה.מ.א 7 'פתרון שאלה מס f(x) = sin 2 x - 2.5sinx + 1 : f(x) ) הפונקציה1 .א sinx = 0.5 , sinx = 2 0 = sin x - 2.5sinx + 1 , f(0) = 1 (0;1) 1 π 5π sinx 1 sinx = x = + 2πk , x = + 2πk 2 6 6 π 5π π 5π x= ,x= ;0 , ;0 : 0 x π הפתרונות בתחום 6 6 6 6 g(x) = sinx + cosx : g(x) הפונקציה cosx 0, 0 = tanx + 1 0 = sinx + cosx , g(0) = 1 (0;1) 2 π 3π 3π + πk x = ;0 4 4 4 : f(x) ) הפונקציה2 f '(x) = 2sinxcosx - 2.5cosx = 0 cosx(2sinx − 2.5) = 0 π π cosx = 0 x = + 2πk x = y = −0.5 2 2 2sinx − 2.5 = 0 sinx = 1.25 1 אין פתרון f '(x) = 2sinxcosx - 2.5cosx = sin2x - 2.5cosx f ''(x) = 2cos2x + 2.5sinx π π 1 f ''( ) = 0.5 ( ;- ) נקודת מינימום 2 2 2 ( מקסימוםπ;1) , ( מקסימום0;1) :נקודות הקצה :g(x) הפונקציה π g'(x) = cosx - sinx = 0 cosx = sinx tanx = 1 x = + πk 4 π x= y= 2 4 π π g''(x) = - sinx - cosx = 0 g''( ) = - 2 < 0 ; 2 נקודת מקסימום 4 4 f(x) ( מינימוםπ;-1) , ( מינימום0;1) :נקודות הקצה : הואf(x) הגרף של,) על פי הממצאים3 π 5π 0<x< , < x < π :תחומי החיוביות x π 6 6 5π π π π 5π 6 6 <x< :תחום השליליות 6 6 : g(x) גרף הפונקציה g(x) 3π ,0 < x < :תחום החיוביות 4 3π x π π 3π < x < π :תחום השליליות π 4 4 4 sin 2 x - 2.5sinx + 1 . h(x) = .ב sinx + cosx tanx = - 1 x = − © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 9 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות א.מ .ספרי מתמטיקה 3π )1אסימפטוטה מאונכת לציר ה x -מתקבלת בנקודה בה : g(x) = 0 4 1 π 5π π 5π = ,x ;0 , ;0 ; h(0) = = 1 (0;1) )2 1 6 6 6 6 = .x = h(x) = 0 f(x) = 0 x )3על פי תחומי החיוביות והשליליות של ) f(xו: g(x) - π <<x 1 -1 + - 5π 6 0 - -1 - 0 <<x 3π 4 <<x - - + + − π 3π 5π תחומי החיוביות: , <<x 6 4 6 π 6 0 + 0 <0 <x + + + x f(x) 1 g(x) 1 h(x) 1 <, 0<x π 3π 5π <<x , תחומי השליליות< x < π : 6 4 6 ג )1 .נתון h'(x) < 0 :לכל xבתחום ההגדרה של הפונקציה ) , h(xלכן ,הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה .אם כן ,נקודות הקיצון היחידות מתקבלות בנקודות הקצה של הפונקציה : ) (0;1נקודת מקסימום (π;-1) ,מינימום )3 )2 )h(x )h'(x 3π ד .לא - x h'(x) ≠ 0 π π 4 x π π 3π 4 לכל xבתחום ההגדרה של הפונקציה ) , h'(xלכן ,אין לפונקציה ) k(xאסימפטוטה מאונכת לציר ה. x - © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 10 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות א.מ .ספרי מתמטיקה פתרון שאלה מס' 8 א .קוטר חצי המעגל הוא . 2xרוחב המלבן גדול ב20%- 2.4x מקוטר חצי העיגול ,לכן ,רוחב המלבן הוא . 1.2∙2x = 2.4x: נסמן ב y -את גובה המלבן .מקבלים: y היקף המלבן הוא ) , 2(2.4x + yהיקף חצי המעגל הוא πx וקוטר המעגל הוא .2xלכן: π x+x =a 2 2(2.4x + y) + πx + 2x = 2a 2.4x + y + π y = a - (3.4 + )x y = a - 4.97x , y 0 2 2x a > 4.97x x 0.2a 0 < x < 0.2a ב .הפונקציה המתארת את סכום שטחי המלבן וחצי העיגול: πx 2 πx 2 = )+ 2.4x(a - 4.97x + 2.4ax - 11.928x 2 =1.571x 2 + 2.4ax - 11.928x 2 2 2 = )f(x f(x) = 2.4ax - 10.357x 2 f '(x) = 2.4a - 20.714x = 0 x = 0.116a עבור x = 0.116aסכום השטחים מקסימלי f ''(x) = - 20.714 < 0 ג .גובה התמונה הוא h = x + y = x + a – 4.97x h = a - 3.97x 2.4x אם h = 0.6aמקבלים . x = 0.1a 0.6a = a - 3.97x : השטח המקסימלי מתקבל עבור , x = 0.116aלכן ,בתחום בו 0 < x < 0.2aערכי הפונקציה ) f(xקטנים מן הערך המקסימלי. y y x 2x © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 11 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות א.מ .ספרי מתמטיקה מבחן מס' 2 פתרון שאלה מס' 1 חיפה א. עד הפגישה ארז דקל כל הדרך ארז דקל 5y 5x רחובות דקל ארז מהירות (קמ"ש) זמן (שעות) דרך (ק"מ) 5x 5 x 5y 5 y 5x + 5y x 5x + 5y x 5x + 5y y 5x + 5y y 5x + 5y 175 5x + 5y 5y 35 5x + = = 5+ + מקבלים+ 5 : x 60 y x 12 y 35 5 y 7 1 ונקבל = t + = 12t 2 + 7t − 12 = 0 : נסמן= t : 12 t 12 t x 5t + 3 4 y 3 = t1 = , t 2 = - 4 3 x 4 ב .נסמן y = 0.75x :ונקבל: מהירות (קמ"ש) זמן (שעות) x כל הדרך ארז 8.75x 3 =8 x 4 0.75x דקל 8.75x 2 = 11 0.75x 3 3 2 קיבלנו :ארז 8 :שעות ,דקל 11 :שעות 4 3 דרך (ק"מ) = 5∙0.75x + 5x 8.75x 8.75x ג)1 . מהירות (קמ"ש) זמן (שעות) 0 אחרי הפגישה ארז 1 x-1 3.75x x-1 1 0 דקל 0.75x 5x 2 =6 0.75x 3 דרך (ק"מ) 0 5y = 3.75x 0 5x © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 12 שאלון 35581 א.מ .ספרי מתמטיקה קיץ - 2022פתרונות 3.75x 2 3.75x 2 x = 16 3.75x = 4x − 4 = = 4 6 +1 מקבלים+ 1 + 2 : x-1 3 x-1 3 y = 0.75 16 = 12 מהירות הרכיבה של ארז 16 :קמ"ש ,מהירות הרכיבה של דקל 12 :קמ"ש )2ארז ודקל נפגשו בשעה . 1200זמן הרכיבה של ארז אחרי הפגישה : 3.75 16 1 +לכן ,ארז הגיע לרחובות בשעה . 17 00 =5 15 ד .המרחק מנקודת המפגש הראשונה עד רחובות הוא : היא ק"מ 5∙12 = 60 60ק"מ 00 00 נקודת ארז ודקל נפגשו בשעה 12והמשיכו בדרכם בשעה . 13 המפגש 60 - a ארז עבר מרחק של 60ק"מ במהירות של 15קמ"ש הפגישה 60 ,כלומר ,הוא הגיע לרחובות בשעה . 17 00 במשך שעות = 4 15 ארז התעכב ברחובות במשך 25דקות ואז החל לרכב במהירות 16קמ"ש לכיוון חיפה : מהירות (קמ"ש) זמן (שעות) דרך (ק"מ) a 16 ארז מרחובות a למפגש השני 16 60 – a 12 מהמפגש הראשון דקל 60 - a עד המפגש השני 12 a 53 60 - a a 25 60 - a מקבלים: = + = +4 16 12 12 16 60 12 המפגש השני עם דקל היה במרחק 4ק"מ מרחובות 7a = 28 a = 4 3a + 212 = 4(60-a) פתרון שאלה מס' 2 א. An + 1 N 81b1 q n q n+1 b1 q 2n q n+1 q2 A1 הסדרה a1 = 81b1 an b1 bn נתוןqn = 243 q 2n = 243q n b1 q 2n = 3 81b1 q n b n+1 = 3a n+1 : ב)1 . S q N A1 הסדרה )81b1 (q n − 1 q −1 q n a1 = 81b1 an b1 bn )b1 (q 2n − 1 q2 −1 n q2 © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד רחובות a 13 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות א.מ .ספרי מתמטיקה q 2n = ( q n ) = 2432 = 59049 q n = 243 2 81b1 (q n − 1) 81b1 (243 − 1) 81 242 b1 = = q −1 q −1 q −1 = , Sn b1 (q 2n − 1) b1 (59049 − 1) 59048b1 = = 2 q2 −1 q2 −1 q −1 81 59048 b1 61 81 242 b1 59048 61 242 = = 2 q −1 q −1 ( q + 1)( q − 1) q − 1 = 81 Tn = 61 Sn , Tn 59048 = 14762(q + 1) 4 = q + 1 q = 3 q n = 243 3n = 35 n = 5 )2 an a c a b a b ג cn+1 = - n+1 n+1 = − n+1 n = − n+1 n = )1 . bn bn+1 cn bn+1 a n a n b n+1 3a n b n c 1 הסדרה c nהיא סדרה הנדסית 2 n+1 = − an 3 b cn 3 = cn =− 1 1 מנת סדרה היא 1 . − 3 3 a 81b1 = . c1 = 1מקבלים: = 81 )2 b1 b1 , 0 −לכן הסדרה מתכנסת 2 1 1 1 1 c1 + c2 + c3 = 81 + 81 − + 81 − = 81 (1 − + ) = 63 3 9 3 3 סכום הסדרה האינסופית c1 + c 2 + c3 + c 4 + .....הוא: 81 60.75 27 = 60.75 = 1 63 28 1 3 = c1 1 3 1+ פתרון שאלה מס' 3 נסמן – A :קבוצת הנבחנים שבחרו בגיאומטריה - A ,קבוצת הנבחנים שבחרו בטריגונומטריה – Bהנבחנים שהצליחו יפה בפרק השני - B ,הנבחנים שלא הצליחו יפה בפרק השני . 1 1 1 נתוןP(A) = 2 P(A) 1- P(A)= 2 P(A) 3 P(A) =1 P(A) = 0.3 : 3 3 3 9 P(A B) 9 = . P(A B) = 0.45 , P(A/B) = 13 )P(B 13 0.45 9 = מקבלים: P(B) 13 65% P(B) = 0.65 הצליחו יפה בפרק השני . © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 14 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות ב. A A 0.65 0.2 0.45 B 0.35 0.1 0.25 B 1 0.3 0.7 א.מ .ספרי מתמטיקה p = 0.7 , n = 6 , k = 0,1,2,3,4,5 )1 מקבלים: P =1 - P6 (6) = 1 − 0.76 = 0.882351 )2הסתברות מותנית :התנאי -לא כל 6הנבחרים בחרו בגיאומטריה ,כלומר ,לכל היותר 5מהם בחרו בגיאומטריה .הדרישה :לפחות 4מהם בחרו בגיאומטריה ,כלומר 4 ,או : 5 6 4 2 6 5 P6 (4) + P6 (5) ( 4 ) 0.7 0.3 + ( 5 ) 0.7 0.3 0.626661 =P = = = 0.71 0.882351 0.882351 0.882351 ג .בדיוק 3מבין 6הנבחנים בחר בגיאומטריה והנבחר הראשון בחר בטריגונומטריה ,לכן 2הנבחנים הנוספים מבין ה 5 -בחרו בטריגונומטריה .מקבלים: P = 0.3 P5 (2) = 0.3 ( 52 ) 0.32 0.73 = 0.09261 פתרון שאלה מס' 4 α 7x E 2x C א ABDE .בר חסימה BDE =180 α D B נתון סכום זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל BAE + הוא 180 נסמןBDE =180 - α BAE = α : EDC = α C זווית משותפת =C CAB זוויות צמודות סכומן 180 CDE CD DE CE = = CA AB CB משפט דמיון ז.ז. יחס צלעות מתאימות במשולשים דומים © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד A 15 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות AE 7 = EC 2 א.מ .ספרי מתמטיקה נתון נסמןEC = 2x , AE = 7x : CD 2x = 9x CB סימון הצבה נתון AD :תיכון לצלע BC BD = DC CB = 2CD CD 2x CD x = = 9x 2CD 9x CD הצבה וחישוב CD 2 = 9x 2 CD = 3x BC 6x 2 2 = = BC = AC AC 9x 3 3 ב. BC = 6x SBEC = 16 נתון SBED = SCED = 8 EDתיכון במשולש BECולכן הוא מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הצלעות המתאימות 2 2 SΔCDE CD 3x 1 = = = SCAB CA 9x 9 1 SCAB = 72 9 = 8 SCAB ג .נסמןDAE = β : EBD = β סימון אם BED = 90 BED = 90 חישוב DAE + זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו הצבה A α 7x EBD + BDE = 90 EDC = 90 EC DC 2x 3x 2 3 סכום זוויות במשולש BED זוויות צמודות סכומן 180 היתר במשולש ישר זווית גדול מן הניצב מתקבלת סתירה β 2x E γ C α 3x D לא יתכן © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד β B 16 35581 שאלון פתרונות- 2022 קיץ ספרי מתמטיקה.מ.א 5 'פתרון שאלה מס A (זוויות מרכזיות α BOD = COD BD = DC )1 .א (זוויתBOC = 2α .)הנשענות על קשתות שוות מן הזווית ההיקפית הנשענת על2 מרכזית גדולה פי O α α BOD = COD = α )אותה קשת R . S ΔODC = B C D R 2sinα 2 ABC = 60 , O חסום במעגלABC משולש ACB = 120 − α BC AB = = 2R sin ( α ) sin (120 − α ) BC = 2R sin ( α ) , AB = 2R sin (120 − α ) SΔABC = 2R sin ( α ) 2R sin (120 − α ) sin 60 2 S ΔABC = 3R 2sin ( α ) sin (120o - α ) 3R 2sin ( α ) sin(120o -α) SABC = 5.31sin α = 5.31sin α )2 R 2sin ( α ) SODC 2 2 3R 2sin ( α ) sin(120o -α) = 5.31R 2 sin 2 α 2 3sin(120o - α) = 5.31sin α sin(120o - α) = 1.532sin α sin(120o ) cos α − cos(120o )sinα = 1.532sin α 3 1 3 cos α + sinα = 1.532sin α cos α = 1.032sin α 2 2 2 tan α = 0.839 α = 40o AC = 2Rsin60o = 3R A o 40 60 : ABC ) במשולש1 .ב (זווית ביןEAC = o ABC = 60o ACB = 80o ).משיק למיתר ) (סכום זוויות במשולש O o 40 40 60 o E o R BCD = 80 B o C 1 BOD = 20o 2 ACD = 80o + 20o = 100o D © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 17 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות o ACE = 80 AEC = 40o א.מ .ספרי מתמטיקה 3R במשולש = 2 6.736 R = 5 : AEC sin 40 A )2במשולש AB = 2Rsin80o = 9.848 : ABE o o 40 60 במשולש AE = 2 6.736 sin80o = 13.267 : ACE מקבלים :במשולש : ABE = BE 2 = AB2 + AE 2 − 2 AB AC cos100o O E = 9.8482 + 13.267 2 − 2 9.848 13.267 cos100o C BE 2 = 318.37 BE = 17.84 א )1 .אין – נקודות הפיתול של ) f(xהן נקודות קיצון של ). f '(x לפונקציה המתוארת בציור אין נקודות קיצון. )2 x -π < x < a < x < b < x < π )f '(x . )f ''(x + )f(x תחומי הקעירות כלפי מעלה , a < x < b : תחומי הקעירות כלפי מטה-π < x < a , b < x < π : )3כן – הנקודות ) (c;0ו , c < d , (d;0) -הן נקודות פיתול של הפונקציה ) , f '(xלכן ,על פי גרף הפונקציה ):f '(x π x < -π < x < a < x < c < x < b < x d <<x )f '(x . 0 0 )f ''(x min Max )4 π x < -π < x < a < x < c < x < b < x d <<x + + )f '(x 0 0 )f (x min Max תחומי העלייה, x < b , b < x < d > c : תחומי הירידהx < a , a < x < c , d < x < π > π : 1 0.293 )5 2 B D פתרון שאלה מס' 6 0 . S = f '(x)dx = f(x)c = f (0) − f(c) =10 c © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 9.84 8 18 שאלון 35581 א.מ .ספרי מתמטיקה קיץ - 2022פתרונות k = ) . f(xתחום ההגדרה של הפונקציה: ב+ p )1 . cosx - sinx π cosx - sinx 0 cosx sinx tanx 1, (cosx 0) x + πk 4 3π π 3π π בתחום – π ≤ x ≤ πמקבלים: a = - ,b = x - , x 4 4 4 4 k )- k(- sinx − cosx) k(sinx + cosx = )f(x = )+ p f '(x = =0 2 2 cosx - sinx ) ( cosx - sinx ) ( cosx - sinx π sinx + cosx = 0 sinx = - cosx tanx = -1 x = − + πk 4 π 3π π 3π הפתרונות בתחום ההגדרה של הפונקציה: = c = - ,d =x=− ,x 4 4 4 4 k 1 π 1 1 = +p = ) f(- = ) f(c )2נתון 4 2 2 2 2 1 1 1 k = +1= 1 f(0) =1 + p = 1 p = 1 − k 1 2 2 2 מקבלים: k 1 k 1 1 1 = +1− k = −k (− 1 k = )− 1 −1 k = 1 p = 0 2 2 2 2 2 2 f(0) = f(c) +1- 1 π 2 3π 2 = ) f(- = ) (, fג )1 . cosx - sinx 4 2 4 2 = ). f(x π 2 ; -נקודת מינימום של הפונקציה, 4 2 3π 2 ; נקודת מקסימום 4 2 )2בתחום – 0.5π < x ≤ – 0.25π הפונקציה ) f(xחיובית וככל ש t -גדל ,ערך האינטגרל גדל (מצטברים יותר ערכים חיוביים) לכן ,הפונקציה ) g(tעולה בתחום – 0.5π < x ≤ – 0.25π x )f(x x )f(x y – 0.5π – 0.25π © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד y 19 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות א.מ .ספרי מתמטיקה פתרון שאלה מס' 7 א )1 .תחום ההגדרה x > 1 x 2 - 1 > 0 :או x < - 1 )2אסימפטוטות מאונכות לציר ה : x -אסימפטוטה x → 1+ y → x = 1 x → −1− y → − x = -1 אסימפטוטות מאונכות לציר הx → y → 2 + 4 = 6 y = 6 : y - x → − y → 2 − 4 = −2 y = -2 )3נתון f '(x) :שלילית בכל תחום הגדרתה ,לכן f(x) ,יורדת בכל תחום הגדרתה. מתקבל הגרף: ב )1 .תחום ההגדרה x ≥ 1 x 2 - 1 0 :או x ≤ - 1 y )f(x 6 )2הפונקציה לא מוגדרת עבור x = 0לכן אין חיתוך עם ציר . y חיתוך עם ציר : x 0 = 2x + 4 x 2 - 1 4 x 2 - 1 = −2x 1 x 2 x 2 - 1 = − x 4(x 2 - 1) = x 2 2 . 3x 2 = 4 x = בדיקת הפתרונות: 3 2 2 4 8 3 עבור +4 =-1 = 0 :x 3 3 3 3 -1 -2 2 לא פתרון 2 2 2 4 עבור −2 +4 = - 1=0 :x3 3 3 3 2 . מתקבלת הנקודה ;0 3 2x 4x g(x) = 2x + 4 x 2 - 1 g'(x) = 2 + 4 =2+ = f(x) )3 2 x2 - 1 x2 - 1 x = -פתרון. )4על פי הגרף של ) : g'(xנקודות הקצהg(-1) = - 2 , g(1) = 2 : x < x < -1 < x < 1 < x + )g '(x )g (x -2 2 תחום העלייה , x > 1 :תחום הירידה x < - 1 : נקודות הקיצון מתקבלות רק בקצות תחום ההגדרה (-1;-2) :מינימום (1;2) ,מינימום )5נתון f '(x) < 0 :בכל תחום ההגדרה ,לכן g''(x) < 0 ,בכל תחום ההגדרה ולכן הפונקציה y ) g(xקעורה כלפי מטה בכל תחום הגדרתה ג . 4x x2 - 1 )6 h(x) = ax + 4 x 2 - 1 h'(x) = a + )g(x )(1;2 x )(-1;-2 © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 20 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות עבור x → מתקבלת האסימפטוטה y = a + 4 א.מ .ספרי מתמטיקה עבור x → −מתקבלת האסימפטוטה y = a - 4 לכן a + 4 = 1 a = - 3 :או.a = 5 a – 4 = 1 : פתרון שאלה מס' 8 א )1 .אסימפטוטה מאונכת לציר ה: x - x = 0אסימפטוטה x → 0− y → , x → 0+ y → − אסימפטוטה מאונכת לציר ה: y - אין אסימפטוטה מאונכת לציר הx → y → , x → − y → − y - 20 60 + x x 4 + 20x 2 − 60 = 0 x 2 = 2.649, x 2 = −22.649 )2 x x3 )x = 1.63 (1.63;0),(-1.63;0 20 60 20 180x 2 20 180 - 3 + x f '(x) = - 2 + + 1 = - 2 + 4 + 1 )3 6 x x x x x x =0 = )f(x x 4 − 20x 2 + 180 אין פתרון ממשי ,לכן ,אין לפונקציה נקודות קיצון = 0 x4 x <<x< 0 <x + + )f '(x )f (x = )f '(x הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה . x 4 − 20x 2 + 180 ב. x4 )1אסימפטוטה מאונכת לציר ה: x - − + x = 0אסימפטוטה x → 0 g(x) → −, x → 0 g(x) → = )g(x אסימפטוטה מאונכת לציר ה: y - y = 1אסימפטוטה x → g(x) → 1 (-x)4 − 20(-x)2 + 180 x 4 − 20x 2 + 180 = )g(-x = )2הפונקציה זוגית = g(x) (-x)4 x4 g(x) )3פונקציה זוגית ,לכן ,אם הנקודה ) (4.24;0.44היא נקודת מינימום של הפונקציה )g(x אז גם הנקודה ) (-4.24;0.44היא נקודת מינימום של הפונקציה ).g(x מקבלים: x < - 4.24 < x < 0 < x < 4.24 < x min min + + 0 0 פיתול פיתול )f '(x )f ''(x )f (x © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד 21 שאלון 35581 קיץ - 2022פתרונות א.מ .ספרי מתמטיקה תחומי הקעירות כלפי מעלה,– 4.24 < x < 0 , x > 4.24 : )f(x )4 תחומי הקעירות כלפי מטהx < - 4.24 , 0 < x < 4.24 : 20 60 20 60 ג- 3 + x = x - 3 = 0 20x 2 − 60 = 0 )1 . x x x x x )x 2 = 3 ( 3; 3) , (- 3;- 3 20 60 )2נסמן + x) : x x3 )f(x ; A(xו.B(t;t) - שתי הנקודות נמצאות על הישר y = tלכן 20 60 +x x x3 B = . tאורך הקטע ABהוא: 20 60 20 60 - 3 +x-x= - 3 x x x x A y=t x = .t - x נסמן ב h(x) -את הפונקציה המתארת את אורך הקטע ABהמתקבל באופן זה ונקבל: 20 60 x x3 = ) . h(xהמטרה :למצוא נקודת מקסימום של הפונקציה: 20 180x 2 20 180 −20x 2 + 180 h'(x) = − 2 + = =− 2 + 4 = 0 x2 = 9 6 4 x x x x x )x = 3 , (x > 0 3 x <0 <x <x + )h '(x 0 )h (x Max 20 60 עבור x = 3אורך הקטע ABמקסימלי .עבור x = 3מקבלים+ 3 >2 : 3 27 =t מתקיים.t > 2 : 34 − 20 32 + 180 = 1 )3 = ) f '(3שיפוע המשיק לגרף הפונקציה ) f(xבנקודה Aשווה 34 לשיפוע הישר y = xולכן ,המשיק מקביל לישר. © כל הזכויות שמורות לאדית כהן ומריאן רוזנפלד
