Corso di Laurea in Informatica, A.A. 2021-22
Calcolo delle Probabilità (G. Posta)
II appello
Nome, Cognome, matricola e firma
Esercizio 1. Un’urna contiene tutte (e sole) le stringhe alfanumeriche ordinate di lunghezza
pari a 6, dove ciascun simbolo della stringa o è una cifra decimale, cioè uno dei 10 elementi di
{0, 1, . . . , 9}, oppure è una lettera dell’alfabeto italiano, cioè uno dei 21 elementi di {a, b, . . . , z}.
Viene estratta a caso una delle stringhe.
1) Calcolare la probabilità che la stringa estratta sia “ciccio”.
2) Sapendo che la stringa estratta non contiene cifre calcolare la probabilità che la stringa estratta
sia “ciccio”.
Siano X e Y rispettivamente il numero di cifre e il numero di lettere della stringa estratta.
3) Calcolare E(X) e Var(X).
4) Sia pX,Y la densità congiunta di X, Y . Calcolare pX,Y (6, 0), pX,Y (5, 2) e pX,Y (x, y) per ogni
x, y ∈ R.
5) Calcolare Cov(X, Y ). X e Y sono variabili aleatorie indipendenti? Perché?
Esercizio 2. Sia X = (Xt )t≥0 la catena di Markov su {0, 1} con matrice di transizione
1/4 3/4
P =
5/6 1/6
e distribuzione iniziale π 0 = (4/49, 45/49), cioè si ha che P(X0 = 0) = 4/49 e P(X0 = 1) = 45/49.
1)
2)
3)
4)
5)
Calcolare
Calcolare
Calcolare
Calcolare
Calcolare
P(X0 = 0, X1 = 1)
P(X1 = 0)
P(X0 = 1, X1 = 1, X2 = 0, X3 = 0).
P(X2 = 1).
limt→+∞ P(Xt = 0).
Esercizio 3. Si consideri il vettore aleatorio (X, Y )
mediante la tabella:
X \Y
0
1
−1
2/12 1/12
0
1/12 2/12
2
1/12 1/12
1)
2)
3)
4)
5)
con densità discreta congiunta assegnata
2
2/12
1/12
1/12
Calcolare la densità discreta marginale di X.
Calcolare E(X) e Var(X).
Calcolare Cov(X, Y ).
Le variabili aleatorie X ed Y sono indipendenti? Giustificare adeguatamente la risposta.
Calcolare Var(X − 3Y ).