Contents
1 Intégrales de Riemann
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quelques rappels . . . . . . . . . .
1.3 Subdivision d’un intervalle . . . . .
1.4 Fonctions en escalier . . . . . . . .
1.5 Intégrale d’une fonction en escalier
1.6 Intégrale au sens de Riemann . . .
1.7 Formule de la moyenne . . . . . . .
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2 intégrales et primitives
2.1 Intégrales simples ou de Riemann . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Primitive d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Existence de primitive . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Techniques d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Rappels d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Intégrales des fonctions rationnelles . . . . . . . .
2.2.5 Intégrales se ramenant à des fonctions rationnelles
3 Intégrales Généralisées
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Intégrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Changement de variable et intégration par partie . . . .
3.3 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Intégrales des fonctions réelles de signe constant
3.3.2 Critère de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Critère d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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4 Équations Différentielles
4.1 Equations différentielles du 1er Ordre . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Equations à variables séparées . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Equations homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Equations différentielles linéaires de 1er ordre . . . . . . . .
4.2.1 Résolution de l’équation homogène associée . . . . .
4.2.2 Solution particulière par variation de la constante .
4.3 Equations se ramenant à une équation linéaire: . . . . . . .
4.3.1 Equations de Bernouilli: . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Equations de Riccati: . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Equa-Diff. linéaires du second ordre à coefficients constants:
4.4.1 Définitions: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Intégration de l’équation homogène: . . . . . . . . .
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Chapter 1
Intégrales de Riemann
1.1
Introduction
Dans tout ce chapitre, on considère une fonction f : [a, b] → R. On introduit, dans ce chapitre, la
théorie d’intégration au sens se Riemann, par les sommes de Darboux inférieure et supérieure, ou
de façon équivalente, les fonctions en escalier. Les intégrales de Riemann sont définies pour une
fonction bornée sur un intervalle fermé borné, lorsque l’une des hypothèses n’est pas vérifiée,
il s’agit d’une intégrale de Riemann généralisée qui peut converger ou non. On commence
par définir l’intégrale d’une fonction en escalier comme étant la somme de surfaces de rectangle.
Après, on encadre une fonction bornée par deux fonctions en escalier, dont la différence des
intégrales est négligeable, ce qui servira après par définir l’intégrabilité d’une fonction bornée.
On montre ainsi, que la fonction de Dirichlet n’est pas intégrable sur tout intervalle fermé
borné, que toute fonction monotone est intégrable, que toute fonction uniformément continue
est intégrable et donc, en particulier par le théorème de Heine, toute fonction continue est
intégrable. On montre aussi les principales propriétés des intégrales de Riemann, à savoir, la
linéarité, la positivité, la croissance, la relation de Chasles et la formule de la moyenne. On
montre aussi, que l’intégrale d’une fonction, intégrable au sens de Riemann, est invariant si la
fonction change de valeurs en un nombre fini de points.
1.2
Quelques rappels
1. On appelle intervalle de R tout ensemble I vérifiant la propriété suivante ∀x, y ∈ I, x <
z<y⇒z∈I
2. R admet la propriété de la borne supérieure, c’est à dire, toute partie A ⊂ R majorée
(resp. minorée) admet une borne supérieure (resp. borne inférieure).
3. Caractérisation de la borne supérieure.
M = sup A ⇔ ∀ε > 0, ∃xA ∈ A, M − ε < xA ≤ M
4. Toute partie bornée (majorée et minorée) admet à la fois une borne inférieure et une borne
supérieure et on a A ⊂ [inf A, sup A]
5. Soient A et B deux parties bornées de R, si A ⊂ B ⊂ alors sup A ≤ sup B et inf A ≥ inf B.
6. En particulier sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B} et inf(A ∪ B) = min{inf A, inf B}
1
1.3
Subdivision d’un intervalle
Définition 1.3.1 Soit [a, b] un intervalle fermé borné de R, on appelle subdivision, S, de [a, b]
toute suite finie, (ti )0≤i≤n , strictement croissante de [a, b] telle que a = t0 < t1 < . . . < tn = b.
On appelle pas de la subdivision le nombre strictement positif ρ(S) donné par :
ρ(S) = max (ti − ti−1 )
1≤i≤n
On dit que S est une subdivision uniforme, ou à pas constant si tk − tk−1 =
b−a
tout 1 ≤ k ≤ n. Dans ce cas la subdivision est donnée par tk = a + k
n
b−a
pour
n
Définition 1.3.2 Soient S1 et S2 deux subdivisions de [a, b], on dit que S2 est plus fine que S1
(ou S1 est moins fine que S2 ) si S1 ⊂ S2 .
Remarques 1.3.1 S2 contient les points de S1 et d’autres points en plus. Par suite le pas de
S2 devient plus petit que celui de S1 . On a alors le résultat suivant
S1 ⊂ S2 ⇒ ρ(S2 ) ≤ ρ(S1 )
S3 = S1 ∪ S2 raffine à la fois S1 et S2 .
1.4
Fonctions en escalier
Définition
( 1.4.1 Soit A ⊂ R, on appelle fonction indicatrice de A, la fonction définie par
1 si x ∈ A,
1A (x) =
0 si x 6∈ A
Proposition 1.4.1 Soit A, B ⊂ R, la fonction indicatrice vérifie les propriétés suivantes,
1. 1A∩B = 1A × 1B
2. 1A∪B = 1A + 1B − 1A∩B
3. Si A ∩ B = ∅ alors 1A∪B = 1A + 1B
4. Si ∀1 ≤ i, j ≤ n, Ai ∩ Aj = ∅, alors 1
∪k=n
k=1 Ak
=
n
X
1Ak
k=1
Définition 1.4.2 (Fonction en escalier) Soit f : [a, b] → R une fonction réelle, on dit que
f est une fonction en escalier s’il existe une subdivision,S, de l’intervalle [a, b] telle que f
soit constante sur chaque intervalle [ti−1 , ti [, 1 ≤ i ≤ n. i.e f (x) = ci sur l’intervalle [ti−1 , ti [,
1 ≤ i ≤ n. En utilisant la notation de la fonction indicatrice, on peut écrire alors f sous la
forme:
n
X
f (x) =
ci 1[ti−1 ,ti [ (x)
i=1
Proposition 1.4.2 L’ensemble E([a, b]) des fonctions en escalier sur [a, b] est un sous espace
vectoriel de l’ensemble des fonctions de [a, b] dans R.
2
1.5
Intégrale d’une fonction en escalier
Définition 1.5.1 Soit f une fonction en escalier sur [a, b], donnée par f (x) =
n
X
ci 1[ti−1 ,ti [ (x).
i=1
On appelle intégrale de f le nombre réel défini par
Z b
n
X
f (x) dx =
ci (ti − ti−1 )
a
i=1
Remarques 1.5.1 Soit f une fonction en escalier sur [a, b], donnée par f (x) =
n
X
ci 1[ti−1 ,ti [ (x).
i=1
Notons par S la subdivision donnée par la suite (ti )0≤i≤n . Alors pour toute subdivision S 0 donnée
m
X
0
0
par la suite (ti )0≤i≤m , m > n, plus fine que S, la fonction f est égale à f (x) =
ci 1[t0 ,t0 [ (x)
i=1
et on a
Z
b
f (x) dx =
a
n
X
m
X
ci (ti − ti−1 ) =
i=1
0
0
i−1 i
0
ci (ti − ti−1 )
i=1
Proposition 1.5.1 (Propriété de l’intégrale d’une fonction en escalier) On montre que
les propriétés suivantes sont vraies
1. La fonction constante, f (x) = C, pour tout x ∈ [a, b] est une fonction en escalier et on a
Z b
f (x) dx = C(b − a)
a
2. Si f est une fonction en escalier positive, i.e. ci ≥ 0, pour tout 1 ≤ i ≤ n alors
Z b
f (x) dx ≥ 0
a
Proposition 1.5.2 (Propriété de l’intégrale d’une fonction en escalier)
1. L’application
Z b
f→
f (x) dx est une application linéaire de l’espace vectoriel E([a, b]) dans R. C’est à
a
dire, si f, g ∈ E([a, b]) alors pour tout α, β ∈ R on a :
Z b
Z b
Z b
(αf + βg)(x) dx = α
f (x) dx + β
g(x) dx
a
a
a
b
Z
2. Si f, g ∈ E([a, b]) telles que f ≤ g alors
Z
f (x) dx ≤
a
b
g(x) dx
a
Proposition 1.5.3 (Propriété de l’intégrale d’une fonction en escalier)
E([a, b]), alors |f | ∈ E([a, b]) et on a
Z b
Z b
f (x) dx ≤
|f (x)| dx
a
1. Soit f ∈
a
2. (relation de Chasles) Soit f ∈ E([a, b]) et a < c < b alors f ∈ E([a, c]) ∩ E([c, b])
(restriction de f à [a, c] et [c, b] respectivement ) et on a la relation de Chasles suivante :
Z b
Z c
Z b
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx
a
a
Z
a
c
Z
f (x) dx = −
3. si a < b on pose par convention
b
f (x) dx
a
3
b
1.6
Intégrale au sens de Riemann
Soit f une fonction de [a, b] dans R bornée. Pour définir son intégrale, on va l’approcher par des
fonctions en escalier. Soit S une subdivision on définit les fonctions en escalier qui minorent et
majorent f :
−
E(f,S)
(x) =
n
X
+
E(f,S)
(x) =
mi 1[ti−1 ,ti [ (x),
i=1
n
X
Mi 1[ti−1 ,ti [ (x)
i=1
où mi = inf [ti−1 ,ti [ f (x) et Mi = sup[ti−1 ,ti [ f (x)
Plus généralement, on peut approcher f par les fonctions en escalier
α
(x) =
E(f,S)
n−1
X
f (αi )1[ti−1 ,ti [ (x)
i=0
où αi ∈ [ti , ti+1 [. Souvent, on prend αi = ti i ou αi = ti+1 , ∀i.
Et quand la subdivision est uniforme, on considère fréquemment les fonctions en escalier
suivantes
n−1
X b−a
1[a+i b−a ,a+(i+1) b−a [ (x)
Ẽ(f,Sunif ) (x) =
f a+i
n
n
n
i=0
Proposition 1.6.1 Les fonctions en escalier, qui approchent f , vérifient les propriétés élémentaires
suivantes, pour tout x
−
+
1. E(f,S)
(x) ≤ f (x) ≤ E(f,S)
(x),
−
+
α
2. E(f,S)
(x) ≤ E(f,S)
(x) ≤ E(f,S)
(x),
−
−
+
+
3. Si S ⊂ S 0 alors E(f,S)
(x) ≤ E(f,S
0 ) (x) ≤ f (x) ≤ E(f,S 0 ) (x) ≤ E(f,S) (x)
Définition 1.6.1 Étant donnée une subdivision S,
−
(x)
on appelle somme de Darboux inférieure l’intégrale de la fonction en escalier E(f,S)
c’est à dire la quantité,
n−1
X
−
I (f, S) =
mi (ti+1 − ti )
i=0
+
on appelle somme de Darboux supérieure l’intégrale de la fonction en escalier E(f,S)
(x)
c’est à dire la quantité,
n−1
X
I + (f, S) =
Mi (ti+1 − ti )
i=0
Définition 1.6.2 on appelle somme de Riemann l’intégrale de la fonction en escalier Ẽ(f,S) (x)
c’est à dire la quantité,
R(f, S) =
n−1
X
f (αi )(ti+1 − ti ),
αi ∈ [ti , ti+1 [
i=0
Pour la subdivision uniforme, elle devient simplement
n−1
b−aX
Rn (f ) =
f
n
i=0
4
b−a
a+i
n
Pour a = 0 et b = 1, la somme de Riemann n’est autre donc que la moyenne arithmétique des
valeurs f ( nk ) c’est à dire
n−1 1X
k
f
Rn (f ) =
n
n
k=0
Proposition 1.6.2 Les sommes de Darboux d’une fonctions f , relativement à une subdivision
S, vérifient les propriétés élémentaires suivantes,
1. I − (f, S) ≤ R(f, S)) ≤ I + (f, S),
2. Si S ⊂ S 0 alors I − (f, S) ≤ I − (f, S 0 ) ≤ I + (f, S 0 ) ≤ I + (f, S)
Définition 1.6.3 Une fonction f : [a, b] → R est Riemann-intégrable (sur [a, b]) si pour tout
ε > 0, il existe une subdivision S telle que les sommes de Darboux de f , relativement à la
subdivision S, vérifient
I + (f, S) − I − (f, S) < ε
Où d’une façon équivalente, pour tout ε > 0, il existe deux fonctions en escalier, Φε et Ψε telles
que Φε ≤ f ≤ Ψε et
Z b
(Ψε − Φε )(x) dx < ε
a
Proposition 1.6.3 Soit f : [a, b] → R une fonction bornée, alors f est Riemann-intégrable (sur
[a, b]) si, et seulement si,
sup I − (f, S) = inf I + (f, S)
S[a,b]
S[a,b]
où S[a,b] désigne l’ensemble de toutes les subdivisions de l’intervalle [a, b]
Définition 1.6.4 Soit f : [a, b] → R une fonction bornée Riemann-intégrable, on appelle
l’intégrale de f , la valeurs limite des sommes de Darboux inférieures et supérieurs et on
note,
Z b
f (x) dx = sup I − (f, S) = inf I + (f, S)
a
S[a,b]
S[a,b]
5
De façon équivalente,
Z
b
f (x) dx = lim I − (f, S) = lim I + (f, S) = lim R(f, S)
ρ(S)→0
a
ρ(S)→0
ρ(S)→0
Proposition 1.6.4 Soit f : [a, b] → R une fonction bornée, f est Riemann-intégrable si, et
seulement si, il existe deux suites de fonctions en escalier Φn et Ψn telles que Φn ≤ f ≤ Ψn et
b
Z
(Ψn − Φn )(x) dx → 0
a
Et on a,
b
Z
lim
n→+∞ a
b
Z
Ψn (x) dx = lim
n→+∞ a
b
Z
f (x) dx
Φn (x) dx =
a
Proposition 1.6.5 Soit f : [a, b] → R une fonction bornée Riemann-intégrable, alors les
sommes de Riemann sont convergentes et convergent vers l’intégrale de f , en particulier pour
la subdivision uniforme on obtient,
n−1
b−aX
lim Rn (f ) = lim
f
n→+∞
n→+∞ n
i=0
Z b
b−a
=
f (x) dx.
a+i
n
a
n
1X
f
La réciproque est vraie. Pour a = 0 et b = 1, on a lim
n→+∞ n
k=1
Z 1
k
=
f (x) dx.
n
0
Proposition 1.6.6 (Exemples de fonctions intégrables)
1. Toute fonction uniformément continue est Riemann-intégrable,
2. Toute fonction continue est Riemann-intégrable.
3. Toute fonction monotone est Riemann-intégrable.
Proposition 1.6.7 (Propriétés des intégrales de Riemann)
Z b
1. L’application f →
f (x) dx est linéaire et positive de l’espace vectoriel R([a, b]) (Ensema
ble de fonctions Riemann-intégrable) dans R. C’est à dire, si f, g ∈ R([a, b]) alors pour
tout α, β ∈ R on a :
Z
b
Z
(αf + βg)(x) dx = α
a
b
Z
f (x) dx + β
a
Z
2. Si f ∈ R([a, b]) telle que f ≥ 0 alors
b
g(x) dx
a
b
f (x) dx ≥ 0
a
Z
3. Si f, g ∈ R([a, b]) telles que f ≤ g alors
b
Z
f (x) dx ≤
a
Proposition 1.6.8
alors on a
b
g(x) dx
a
1. Soit f ∈ R([a, b]), alors |f | ∈ R([a, b]) et comme f ≤ |f | et −f ≤ |f |
Z
b
Z
f (x) dx ≤
a
|f (x)| dx
a
6
b
2. (relation de Chasles) Soit f ∈ R([a, b]) et a < c < b alors f ∈ R([a, c]) ∩ R([c, b])
(restriction de f à [a, c] et [c, b] respectivement ) et on a la relation de Chasles suivante :
Z b
Z c
Z b
f (x) dx
f (x) dx +
f (x) dx =
c
a
a
Z
b
f (x) dx = 0.
Proposition 1.6.9 Soit f Riemann-intégrable sur [a, b] positive et telle que
a
Alors f prend la valeur 0 en tout point où elle est continue.
Z b
f (x) dx = 0 ⇒ f ≡ 0 sur [a, b]
En particulier, si f est continue sur [a, b], alors
a
Proposition 1.6.10 Soit f Riemann-intégrable sur [a, b] alors toute fonction g égale à f sur
[a, b] sauf en un nombre fini de points où elle prend des valeurs réels différentes. Alors g est
Z b
Z b
f (x) dx
g(x) dx =
Riemann-intégrable et
a
a
1.7
Formule de la moyenne
Proposition 1.7.1 Soient f et g deux fonctions Riemann-intégrables sur [a, b], g étant une
fonction positive. On désigne par m (resp. M ) la borne inférieure (resp. supérieure) de f sur
[a, b]. Alors il existe m ≤ k ≤ M tel que
Z b
Z b
f (x)g(x) dx = k
g(x) dx
a
a
De plus, si f est continue sur [a, b], alors il existe c ∈ [a, b] tel que
Z b
Z b
f (x)g(x) dx = f (c)
g(x) dx
a
a
1
Définition 1.7.1 Le réel
b−a
mann intégrable f sur [a, b].
b
Z
f (x) dx est appelé valeur moyenne de la fonction Riea
Proposition 1.7.2 Soit f une fonction continue sur [a, b], alors il existe c ∈ [a, b] qui réalise
la valeur moyenne de f sur [a, b] i.e
Z b
1
f (x) dx
∃c ∈ [a, b], f (c) =
b−a a
Proposition 1.7.3 Soit f une fonction bornée, continue par morceau sur [a, b], c’est à dire
qu’elle admet un nombre fini de points de discontinuité, c1 < c2 < . . . < ck où elle admet des
limites à gauche et à droite alors f est intégrable sur [a, b] et on a, en notant c0 = a et ck+1 = b
Z
b
f (x) dx =
a
k+1 Z
X
i=0
ci+1
f (x) dx
ci
.
Il suffit de montrer le résultat pour une fonction continue sauf en un point c où elle admet une
limite à droite et une limite à gauche. Sur l’intervalle [a, c] la fonction est alors continue sauf en
c (à gauche) considérons la fonction g égale à f sur [a, c[ et g(c) = limx→c− f (x) alors g devient
7
continue sur [a, c] car g(c) = limx→c− f (x) = limx→c− g(x). Par suite
sur [a, c]
Z c
Z c g est intégrable
g(x) dx. De
f (x) dx =
et puisque f = g sauf au point c elle est aussi intégrable et on a
a
a
même sur l’intervalle [c, b], f est continue sur ]c, b] et admet une limite à droite de c, en posant
h = f sur ]c, b] et h(c) = limx→c+ f (x) alors h est continue sur [c, b] car h(c) = limx→c+ h(x).
Par suite h est intégrable sur [c, b] et puisque f = h sauf au point c elle est aussi intégrable et
Z b
Z b
g(x) dx. Par la relation de Chasles f est alors intégrable sur [a, b] et
f (x) dx =
on a
c
c
Z
b
Z
a
c
Z
b
f (x) dx.
f (x) dx +
f (x) dx =
c
a
Proposition 1.7.4 Si f : [a, b] → R est une fonction bornée sur [a, b] et continue sur l’intervalle
ouvert ]a, b[, alors f est intégrable sur [a, b].
8
Chapter 2
intégrales et primitives
2.1
Intégrales simples ou de Riemann
On rappelle que l’intégrale de Riemann est une façon simple de définir l’intégrale d’une fonction
sur un intervalle. En termes géométriques, cette intégrale s’interprète comme l’aire du domaine
sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement.
Dans ce chapitre , on établit le lien entre cette intégrale et les primitives, pour enfin se
dédier à la pratique du calcul intégral avec quelques recettes. Une grande partie du cours est
consacrée aux méthodes de la décomposition en éléments simples, pour l’intégration des fractions
rationelles.
2.1.1
Définition et propriétés
Soit f une fonction numérique continue sur un intervalle [a, b] (a < b).
On considère la surface limitée par la courbe de f notée C(f ) , l’axe (Ox), et les droites
d’équation x = a et x = b et qu’on va noté I.
b−a
.
On partage l’intérvalle [a, b] en n intervalles de même longueure h =
n
k=n
On réalise ainsi une ”subdivision” (xk )k=0 de [a, b] qui vérifie x0 = a , xk+1 − xk = h .
b−a
Alors on vérifie facilement que xk = a + k
; ∀k = 0, 1, ..., n et xn = b.
n
La somme, notée In , des surfaces des rectangles en bas de C(f ) est exprimée par :
In = f (a)(x1 − a) + f (x1 )(x2 − x1 ) + ...... + f (xk )(xk+1 − xk ) + ... + f (xn−1 )(b − xn−1 )
n−1
b−a
b−aX
=
(f (a) + f (x1 ) + ... + f (xn−1 )) =
f (xk )
n
n
k=0
De même, la somme Jn des surfaces des rectangles en haut de C(f ) est donnée par :
Jn = f (x1 )(x1 − a) + f (x2 )(x2 − x1 ) + ...... + f (xk )(xk − xk−1 ) + ... + f (b)(b − xn−1 )
n
b−a
b−aX
=
(+f (x1 ) + ... + f (xn−1 ) + f (b)) =
f (xk )
n
n
k=1
Proposition 2.1.1 : Pour une fonction f continue sur [a, b], Les deux suites (In )n≥0 et
(Jn )n≥0 convergent vers la même limite.
Définition 2.1.2 On appelle intégrale définie de la fonction f sur l’intervale [a, b]
le nombre I = lim In = lim Jn
n→+∞
n→+∞
9
Remarques : 1. I ne dépend que de la fonction f et des bornes a et b.
2. I est l’aire algébrique ( peut être positif ou négatif) de la surface limitée
par la courbe C(f ), l’axe (OX) et les droites d’équations x = a et x = b.
Z b
f (x)dx et on lit::
On note I =
a
I = somme de a à b de f (x)dx ou bien ”l’intégrale de f sur [a, b]”.
n
1 X k
√
.
Exemple : Calculons lim 2
n k
n→+∞ n
e
k=1
n
1 1
1 X 1
2
i
n
√
= 2( √
+ √
+ ... + √
+ ... + )
n k
n i
n 2
n
2
n
n
e
e
e
e
e
k=1
i
1
1 1
2
+ ... + √
+ ... + ]
= [ √
+ √
n i
n 2
n
n n e n e
e
n e
On peut regarder cette somme comme une somme de Riemann avec b − a = 1
(par exemple a = 0 et b = 1). De plus
f (a + i
( ni )
i
i
b−a
) = f( ) = √
=
.
n
i
n
n
(n)
n ei
e
On en déduit alors que f (x) = xe−x .
Cette fonction est continue sur [0, 1] et par suite elle est intégrable. D’où :
Z 1
Z 1
n
1 X k
−x
−x 1
√
lim
=
xe dx = −xe
+
e−x dx
n k
0
n→+∞ n2
e
0
0
k=1
1
2
1
1
1
= − + [−e−x ]0 = − + (− + 1) = 1 − .
e
e
e
e
Signalons au passage que si la fonction f n’est pas continue, le nombre I n’existe pas
toujours.
Définition 2.1.3 Soit f une fonction bornée sur un intervalle [a, b].
f est dite intégrable sur [a, b] si le nombre I existe.
Z b
Dans ce cas, on note : I =
f (x)dx.
a
Les principaux fonctions intégrables (au sens de Riemann) sont :
• Les fonctions continues sur un intervalle fermé borné.
• Les fonctions bornées continues par morceaux.
• Les fonctions bornées et monotones ou monotone par morceaux.
2.1.2
Primitive d’une fonction
Définition 2.1.4 Soit f une fonction définie sur [a, b] .
On dit que f admet une primitive sur [a, b] s’il existe une fonction F : [a, b] → R dérivable
telle que F 0 = f.
Remarque : Si F est une primitive de f , alors F + c (avec c ∈ IR) est aussi une primitive
de f . c.à.d les primitives d’une fonction ne différent que d’une constante.
10
2.1.3
Existence de primitive
Proposition 2.1.5 Soit f une fonction définie et continue sur [a, b]. Alors la fonction :
F : [a, b] → Z
x
7→
x
R
f (x)dx
a
est la primitive de f sur [a, b] qui vérifie : F (a) = 0.(La primitive qui s’annule en a).
Preuve : Comme f est continue sur [a, b], alors elle est continue et parsuite intégrable sur
[a, x], pour tout x ∈ [a, b]. D’où F est bien définie sur [a, b].
Soit x0 ∈ [a, b] :
Z x0 +h
Z x0
Z
1 x0 +h
1
F (x0 + h) − F (x0 )
f (x)dx =
f (x)dx −
f (x)dx.
=
∀h > 0 :
h
h a
h x0
a
La formule de la moyenne appliquée à f sur l’intervalle [x0 , x0 + h] assure l’existence d’un
Z
1 x0 +h
élément cx0 ∈ [x0 , x0 + h] tel que f (cx0 ) =
f (x)dx.
h x0
De plus, lorsque h tend vers 0, cx0 tend vers x0 et lim f (cx0 ) = f (x0 ) car f est continue en
h→0
x0 . D’où :
Z
F (x0 + h) − F (x0 )
1 x0 +h
lim
= lim
f (x)dx = lim f (cx0 ) = f (x0 )
h→0
h→0 h x0
h→0
h
Il en résulte alors que F est dérivable en x0 et F 0 (x0 ) = f (x0 )
0
x0 étant arbitraire
Z dans [a, b], F est alors dérivable sur [a, b] et F = f.
a
De plus F (a) =
f (x)dx = 0
Z a
Notation :
f (x)dx désigne une primitive quelconque de f.
Il est façile de vérifier que :
Z
Z
Z
•
(f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx.
Z
•
Z
αf (x)dx = α
f (x)dx; ∀α ∈ R.
Théorème 2.1.6 (Calcul des intégrales)
Si G est une primitive de f sur [a, b], alors :
Z b
Z b
f (x)dx = G(b) − G(a) et on note
f (x)dx = [G(x)]ba .
a
Preuve :Z
Soit F : x 7→
a
x
f (x)dx la primitive de f qui s’annule en a définie dans la proposition 3.
a
(G − F )0 = G0 − F 0 = f − f = 0 ⇒ G = F + c où c ∈ R.
Alors G(a) = F (a) + c = c et par conséquent
F (x) = G(x) − G(a); ∀x ∈ [a, b].
Pour x = b on obtient :
Z
b
f (x)dx = F (b) = G(b) − G(a).
a
11
Par lecture inverse du tableau des dérivées, on peut dresser le tableau des primitives des fonctions
usuelles :
Fonction f
xn ; n
∈ Q \ {−1}
1
x
eαx ; α ∈ R∗
sin x
cos x
sin x. cosnx
cos x. sinn x
1
= 1 + tg 2 x
cos2 x
1
= 1 + cot g 2 x
sin2 x
1
√
1 − x2
−1
√
1 − x2
1
1 + x2
sh x
ch x
1
√
1 + x2
1
√
x2 − 1
Primitive F
xn+1
+c
n+1
log(| x |) + c
1 αx
e
α
− cos x + c
sin x + c
− cosn+1 x
+c
n+1
n+1
sin
x
+c
n+1
tg x + c
− cot g x + c
Intevalle
(
R si n > −1
R∗ si n < −1
R∗
R
R
R
R
R
]−
π
π
+ kπ, + kπ[
2
2
]kπ, (k + 1)π[
arcsin x + c
] − 1, 1[
arccos x + c
] − 1, 1[
arctg x + c
R
ch x + c
sh x + c
R
R
arg sh x + c
R
arg ch (x) + c
R \ [−1, 1]
Il est trivial de vérifier si on ne s’est pas trompé en déterminant la primitive d’une fonction
f , il suffit de dériver la primitive de f pour voir si le résultat est bien f ...
12
2.2
Techniques d’intégration
2.2.1
Changement de variable
Une fonction dérivable et de dérivée continue est dite de classe C 1 .
Proposition 2.2.1 Soit f une fonction continue sur [a, b] et soit g : [α, β] → [a, b] de classe C 1
avec g(α) = a et g(β) = b. Alors :
b
Z
Z
β
f (x)dx =
f (g(t))g 0 (t)dt.
α
a
C’est à dire on fait le changement de variable x = g(t) qui donne dx = g 0 (t)dt.
Preuve :
Si F est une primitive de f, alors :
(F (g(t)))0 = F 0 (g(t))g 0 (t) = f (g(t))g 0 (t)
Donc F (g(t)) est une primitive de f (g(t))g 0 (t). Et alors :
Z
β
0
f (g(t))g (t)dt =
α
Z
[F (g(t))]βα
Z
= F (g(β)) − F (g(α)) = F (b) − F (a) =
b
f (x)dx.
a
1
x
dx. On pose x2 + 1 = t.
+1
0
√
x2 + 1 = t =⇒ x = t − 1 =⇒ dt = 2xdx
√
Exemple : Calculer I =
x2
0 ≤ x ≤ 1 =⇒ 1 ≤ t ≤ 2. Et en fin :
Z
I=
1
2.2.2
2
h√ i2 √
dt
√ =
t = 2 − 1.
1
2 t
Intégration par parties
L’intégration par parties est une propriété couramment utilisée dans le calcul d’intégrales car elle
simplifie radicalement des expressions complexes. Elle consiste à ”jouer” avec les applications
mises en jeu.
Proposition 2.2.2 Soient f et g deux fonctions de classe C 1 .Alors on a :
b
Z
0
f (x)g (x)dx =
a
[f (x)g(x)]ba
b
Z
−
f 0 (x)g(x)dx.
a
Preuve : On sait que (f g)0 = f 0 g + f g 0 . donc f g est une primitive de (f 0 g + f g 0 ) .
Z b
Z b
0
Donc
f (x)g(x)dx +
f (x)g 0 (x) = [f (x)g(x)]ba et par conséquent :
a
a
Z
b
0
f (x)g (x)dx =
a
[f (x)g(x)]ba
13
Z
−
a
b
f 0 (x)g(x)dx.
Z
e
Exemple : Calculons I =
log x dx. On fait une intégration par partie :
1

 f (x) = log x ⇒ f 0 (x) = 1
x
 g 0 (x) = 1
⇒ g(x) = x
Z e
Z e
Z e
e
0
lg (x) dx =
f (x)g (x)dx = [f (x)g(x)]1 −
f 0 (x)g(x)dx
1
1
1
Z e
1dx
= [x log x]e1 −
1
= (e − 0) − [x]e1
= e − (e − 1) = 1
2.2.3
Rappels d’algèbre
Décomposition en éléments simples dans C
P (x)
est une fraction rationnelle si et seulement si P et Q sont deux
Q(x)
polynômes de l’anneau K[x] tels que Q 6= 0 avec K = C ou R
Définition 2.2.1 F (x) =
Théorème 2.1 (fondamental d’algèbre)
Tout polynôme complexe de degré n strictement positif, admet n racines distinctes ou confondues
P (x)
est une fraction rationnelle avec pgcd(P, Q) = 1, et s’il existe xi ∈ K tel que:
Q(x)
Q(x) = (x − xi )αi Qi (x) avec Qi (xi ) 6= 0 et P (xi ) 6= 0 alors xi est appelé pôle d’ordre αi
de la fraction rationnelle F
Si F (x) =
Conséquence 2.1
tout polynôme Q de C[x] de degré l ≥ 1 peut s’écrire de façon unique sous la forme:
Q(x) = k
l
Y
(x − xj ) = k
j=1
n
Y
(x − ai )αi = k(x − a1 )α1 . . . (x − an )αn
avec
l=
n
X
αi
i=1
i=1
Théorème 2.2
m
Y
P
avec P, Q ∈ C[x], pgcd(P, Q) = 1 et Q(x) =
(x − ai )αi
Q
i=1
alors F peut être décomposée en éléments simples d’une manière unique comme suit:
toute fraction rationnelle F =
α
α
1
m
X
X
Amj
A1j
P (x)
P1 (x)
= E(x) +
= E(x) +
+
·
·
·
+
j
Q(x)
Q(x)
(x − a1 )
(x − am )j
j=1
j=1
◦
◦
où les Aij ∈ C et E(x) un polynôme qui représente la partie entière de F et d P1 < d Q
Les termes
Aij
pour i = 1, . . . , m et j = 1, . . . , αi sont les éléments simples de C
(x − ai )j
Conséquence 2.2 dans les mêmes conditions du théorème précédent, si toutes les racines de
Q sont des d’ordre 1, c’est à dire αi = 1∀i = 1, . . . , n on a l = n et
n
A1
A2
An
P1 (x) Y Ai
=
=
+
+ ··· +
Q(x)
x − ai
x − a1 x − a2
x − an
i=1
14
Détermination des coefficient Ai pour i = 1, . . . , n
n
Y
on a Q(x) =
(x − ak ) et la décomposition en éléments simples s’écrit:
k=1
n
X Ak
A2
An
A1
P1 (x)
+
+ ··· +
=
=
x − ak
x − a1 x − a2
x − an
k=1 (x − ak )
Qn
(1)
k=1
- Pour trouver Ai , on multiplie l’équation ( 1) par (x − ai ) et on obtient:


n
X
P1 (x)
A
k 
Qn
= Ai + (x − ai ) 
(x
−
a
)
x
−
ak
k
k=1,k6=i
k=1,k6=i
on prend x = ai
P1 (ai )
P1 (ai )
= 0
Q (ai )
k=1,k6=i (ai − ak )
alors
Ai = Q n
Exemple: Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
F (x) =
P (x)
2+x
−(x + 2)
=
=
Q(x)
(1 − x)(1 + x2 )
(x − 1)(x + i)(x − i)
en notant que d◦ P < d◦ Q et pgcd(P, Q)=1, alors d’après le théorème précédent E(x) = 0 et
F (x) =
−(x + 2)
A
B
C
=
+
+
(x − 1)(x + i)(x − i)
x−1 x+i x−i
(2)
Détermination des coefficient A, B et C
- Pour trouver A, on multiplie l’équation ( 2) par (x − 1) et on obtient:
C
−(x + 2)
B
= A + (x − 1)
+
(x + i)(x − i)
x+i x−i
−(1 + 2)
−3
d’où A =
.
(1 + i)(1 − i)
2
- Pour trouver B, on multiplie l’équation ( 2) par (x + i) et on obtient:
−(x + 2)
A
C
= B + (x + i)
+
(x − 1)(x − i)
x−1 x−i
on prend x = 1 alors A =
−(2 − i)
3+i
2i + 1
1−i
3+i
=
×
=
d’où B =
.
(−i − 1)(−2i)
2(1 + i) 1 − i
4
4
- Pour trouver C, on multiplie l’équation ( 2) par (x − i) et on obtient:
−(x + 2)
A
B
= C + (x − i)
+
(x − 1)(x + i)
x−1 x+i
on prend x = −i alors B =
on prend x = i alors C =
−(2 + i)
2i − 1
1+i
−3 + i
3−i
=
×
=
d’où C =
. On en
(i − 1)(2i)
2(i − 1)
1+i
4
4
déduit donc que:
F (x) =
−(x + 2)
−3
3+i
3−i
=
+
+
(x − 1)(x + i)(x − i)
2(x − 1) 4(x + i) 4(x − i)
15
(3)
Par ailleurs, en notant que :
P (x) = −(x + 2) et
0
Q(x) = (x − 1)(x2 + 1) = x3 − x2 + x − 1 alors Q (x) = 3x2 − 2x + 1 et par conséquent:
• A=
−(1 + 2)
3
P (1)
=
=−
0
3−2+1
2
Q (1)
• B=
P (−i)
−(2 − i)
2−i
1+i
3+i
=
=
×
=
0
−3 + 2i + 1
2(1 − i) 1 + i
4
Q (−i)
• C=
P (i)
−(2 + i)
2+i
1−i
3−i
=
=
×
=
0
−3 − 2i + 1
2(1 + i) 1 − i
4
Q (i)
Conséquence 2.3 (du théorème 2.1)
tout polynôme Q de R[x] de degré l ≥ 1 peut s’écrire de façon unique sous la forme:
Q(x) = k
m
n
Y
Y
(x − ai )αi
(x2 + pi x + qi )βi
i=1
avec
l=
i=1
m
X
αi +
i=1
n
X
βi
i=1
En effet d’après le théorème 2.1, Si Q est un polynôme complexe à coefficients réels c’est à
l
l
X
Y
dire Q(z) =
ak z k avec z ∈ C et ak ∈ R pour k = 1, ..., l, alors : Q(z) = an
(z − zk )
k=1
k=1
si zk ∈ C \ R est racine de Q(x) = 0 alors z̄k l’est aussi. car Q(zk ) = 0 = Q(z¯k ) et
(x − zk )(x − z̄k ) = x2 − 2Re(zk )x + |zk |2 = x2 + pk x + qk
avec
pk = −2Re(zk ) et qk = |zk |2
Décomposition d’une fraction en éléments simples dans R
Théorème 2.3
toute fraction rationnelle F = P/Q à coefficients réels, peut être décomposée en éléments simples
d’une manière unique comme suit:


βn
α1
αm
n
X
X
X
X
A1j
Amj
Bij x + Cij 
P (x)

= E(x) +
+ ··· +
+
j
j
2
Q(x)
(x − a1 )
(x − am )
(x + pi x + qi )j
j=1
j=1
i=1
j=1
où les Aij , Bij etCij ∈ R et E(x) un polynôme qui représente la partie entière de F
• les termes
Aik
sont les éléments simples de 1ère espèce de R
(x − ai )k
• les termes
Bik x + Cik
sont les éléments simples de 2ème espèce de R (avec p2i −4qi2 < 0)
(x2 + pi x + qi )k
16
notons tout d’abord que l’écriture précédente peut s’écrire:
P (x)
Q(x)
= E(x) +
α1
X
j=1
A1j
+ ··· +
(x − a1 )j
αm
X
j=1
Amj
(x − am )j

βn
n
X
X

+
i=1
j=1

Bij x + Cij 
+ p i x + qi ) j
(x2
A11
A12
A1α1
+
+ ··· +
2
(x − a1 ) (x − a1 )
(x − a1 )α1
A21
A22
A2α2
+
+
+ ··· +
2
(x − a2 ) (x − a2 )
(x − a2 )α2
+......··· +
Am2
Amαm
Am1
+
+ ··· +
+
2
(x − am ) (x − am )
(x − am )αm
B1β x + C1β1
B11 x + C11
B12 x + C12
+ 2
+ 2
+ ··· + 2 1
2
(x + p1 x + q1 ) (x + p1 x + q1 )
(x + p1 x + q1 )β1
+......··· +
Bnβ x + Cnβn
Bn1 x + Cn1
Bn2 x + Cn2
+ 2
+ 2
+ ··· + 2 n
2
(x + pn x + qn ) (x + pn x + qn )
(x + pn x + qn )βn
= E(x) +
Exemple:
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
F (x) =
x2 + 3x + 2
(x + 2)(x + 1)
(x + 2)
P (x)
= 4
= 4
=
4
4
2
2
x (1 − x )
x (1 − x)(1 + x)(1 + x )
x (1 − x)(1 + x )
Q(x)
en notant que d◦ P < d◦ Q et pgcd(P, Q)=1, alors d’après le théorème précédent E(x) = 0 et
F (x) =
x4 (1
(x + 2)
A1 A2 A3 A4
B
Cx + D
=
+ 2 + 3 + 4 +
+
2
− x)(1 + x )
x
x
x
x
1−x
1 + x2
(4)
i) Calcul des coefficients Ai relatifs au pôle d’ordre 4 a1 = 0
P (x)
on a F (x) = 4
avec P (x) = x + 2 et Q1 (x) = (1 − x)(1 + x2 ) = 1 − x + x2 − x3 On effectue
x Q1 (x)
alors la division euclidienne suivant les puissance croissantes de P (x) par Q1 (x) jusqu’à l’ordre
3 puis on divise par x4
2 +
−(2 −
x
2x +
3x −
−(3x −
2x2
2x2
3x2
x2
−(x2
− 2x3 )
+ 2x3
+ 3x3 − 3x4 )
−
x3 + 3x4
−
x3 +
x4 − x5 )
2x4 + x5
1 − x + x2 − x3
2 + 3x + x2
On trouve :
h
i
(2 + x) = (2 + 3x + x2 ) (1 − x)(1 + x2 ) + 2x4 + x5
d’où
F (x) =
P (x)
4
x Q1 (x)
=
(2 + 3x + x2 )[(1 − x)(1 + x2 )] + 2x4 + x5
h
i
x4 (1 − x)(1 + x2 )
=
2
3
1
0
R4 (x)
+ 3+ 2+ + 4
4
x
x
x
x x Q1 (x)
17
donc
F (x) =
3
1
x+2
2
+ 3+ 2+
4
x
x
x
(1 − x)(1 + x2 )
et par conséquent A4 = 2, A3 = 3, A2 = 1, et A1 = 0
on notera cependant que la méthode ”multiplicative” utilisée précédemment ne permet pas de
déterminer tous les Ai pour i = 1, . . . , 4 mais elle permet cependant de trouver A4 correspondant
à la multiplicité de la racine a1 = 0, en effet:
- Pour trouver A4 , on multiplie l’équation ( 4) par x4 et on obtient:
−(x + 2)
B
A2 A3
Cx + D
4 A1
= A4 + x
+ 2 + 3 +
+
(x − 1)(1 + x2 )
x
x
x
x−1
1 + x2
on prend x = 0 alors A4 =
−(0 + 2)
= 2 d’où A4 = 2 .
(0 − 1)(1 + 02 )
- pour trouver B, on multiplie l’équation ( 4) par (x − 1) et on obtient:
−(x + 2)
A1 A2 A3 A4 Cx + D
=
B
+
(x
−
1)
+
+
+
+
x4 (1 + x2 )
x
x2
x3
x4
1 + x2
−(1 + 2)
3
3
= − d’où B = − .
1 × (1 + 1)
2
2
On notera ici que l’on retrouve le même coefficient B déterminé précédemment à partir de la
décomposition dans C
on prend x = 1 alors B =
- de même pour trouver C et D relatifs au l’élément simple de 2ème espèce d’ordre 1, on procède
comme si on avait un pôle simple , on multiplie l’équation ( 4) par (1 + x2 ) et on obtient:
−(x + 2)
A1 A2 A3 A4
B
2
= Cx + D + (1 + x )
+ 2 + 3 + 4 +
x4 (x − 1)
x
x
x
x
x−1
on prend x = i alors Ci + D =
−(2 + i)
2+i 1+i
1 + 3i
3
1
=
×
=
d’où C =
et D = .
i4 × (i − 1)
1−i 1+i
2
2
2
on en déduit donc que
F (x) =
0
1
3
2
−3
3x + 1
−(x + 2)
= + 2+ 3+ 4+
+
2
− x)(1 + x )
x x
x
x
2(x − 1) 2(1 + x2 )
x4 (1
Ce qui entraine également à titre de vérification que
R4 (x)
−(2 + x)
=
4
x Q1 (x)
(x − 1)(1 + x2 )
−3
3+i
3−i
+
+
2(x − 1) 4(x + i) 4(x − i)
−3
3x + 1
= +
+
2(x − 1) 2(1 + x2 )
=
dans C
dans R
en effet :
3+i
3−i
(3 + i)(x − i) + (3 − i)(x + i)
6x + 2
3x + 1
+
=
=
=
2
2
4(x + i) 4(x − i)
4(x + 1)
4(x + 1)
2(x2 + 1)
18
(5)
2.2.4
Intégrales des fonctions rationnelles
D’après les rappels sur le cours d’algèbre sur la décomposition en éléments simples, l’intégrale
d’une fraction rationnelle se ramène à intégrer:
- le polynôme E(x) qui représente la partie entière de F (x) =
- Les éléments simples de 1ére espèce de la forme
- Les éléments simples de 2éme espèce de la forme
P (x)
Q(x)
A
(x − a)k
Bx + C
(x2
+ px + q)k
avec p2 − 4q < 0.
On procède de la manière suivante :
Z
•
E(x)dx = G(x). (La primitive d’un polynôme est un polynôme).


A
(x − a)−n+1
A
−n
+
1
dx
=
 A log(|x − a|)
(x − a)n
Z
Bx + C
• Pour l’intégrale
dx avec
2
(x + px + q)n
Z
•
si n 6= 1
si n = 1
p2 − 4q < 0 :
On commence par décomposer le dénominateur sous forme canonique:
n
p 2
p2
2
n
(x + px + q) = x +
+ q−
2
4
p2
2
car p2 − 4q < 0
on pose K = q −
4
p
et on fait le changement de variables X = x +
de sorte que :
2
n
(x2 + px + q)n = X 2 + K 2
ce qui donne :
Bx + C
BX + D
=
(x2 + px + q)n
(X 2 + K 2 )n
où
D =C −B
p
2
On décompose maintenant l’intégrale comme suit
Z
Z
Z
(Bx + C) dx
XdX
dX
=B
+D
2
n
2
2
n
2
(x + px + q)
(X + K )
(X + K 2 )n
en posant X = Kt, alors dX = Kdt et on obtient:
Z
Z
Z
(Bx + C) dx
BK 2
tdt
DK
dt
=
+
= Bn .Jn + Dn .In
(x2 + px + q)n
(K 2 )n
(1 + t2 )n K 2n
(1 + t2 )n
B
D
avec Bn = 2n−2 , Dn = 2n.1
K
ZK
dt
In =
(1 + t2 )n
Z
tdt
Jn =
(1 + t2 )n
et les intégrales In et Jn définies par:
19
1. Calculons d’abord ces deux intégrales dans le cas n = 1
Z
Z
1
2tdt
1
tdt
=
= log 1 + t2 + cte
J1 =
2
2
(1 + t )
2
(1 + t )
2
Z
dt
et I1 =
= arctan(t) + cte
(1 + t2 )
ce qui donne pour n=1
Z
D1
(BX + D)dX
B1
= B1 J1 + D1 I1 =
log 1 + t2 +
arctan(t) + cte
2
2
X +K
2
K
2. dans le cas où n 6= 1 on a:
Z
Z
tdt
1
1
2tdt
1
Jn =
=
=
+ cte
×
2
n
2
n
(1 + t )
2
(1 + t )
2(1 − n) (1 + t2 )n−1
Z
u−n+1
on notera que l’on a utilisé
u0 u−n =
avec u = 1 + t2 et du = 2tdt
−n + 1
quant à la seconde intégrale, on la calcule en cherchant une relation de récurrence:
Z
In =
on utilise une intégration par partie :

1
 f (t) =
(1 + t2 )n
 0
g (t) = 1
Z
In =
dt
(1 + t2 )n
=
=
=
dt
(1 + t2 )n
⇒
f 0 (t) =
⇒
g(t) = t
−2nt
(1 + t2 )n+1
Z
t
2nt2
+
dt
(1 + t2 )n
(1 + t2 )n+1
Z
Z
t
1 + t2
1
+
2n
dt
−
dt
(1 + t2 )n
(1 + t2 )n+1
(1 + t2 )n+1
t
+ 2n (In − In+1 )
(1 + t2 )n
Il en résulte que :
In =
t
+ 2n(In − In+1 ).
(1 + t2 )n
Et on obtient la relation de récurrence définissant In :
Z


 I1 =

 In+1
1
dt = arctan(t) + k.
1 + t2
t
2n − 1
=
In
n +
2
2n (1 + t )
2n
20
si n > 1
x2 + 3x + 2
dx.
x4 (1 − x4 )
Z
Exemple 1: Calculons I =
on rappelle que
F (x) =
3
2
3
(x + 2)
1
3x + 1
= 2+ 3+ 4−
+
2
− x)(1 + x )
x
x
x
2(x − 1) 2(1 + x2 )
x4 (1
on en déduit que
Z
Z
Z
Z
1
3
2
−3
3x + 1
I =
dx +
dx +
dx +
dx +
dx
2
3
4
x
x
x
2(x − 1)
2(1 + x2 )
Z
Z
−2
3
−3
3
2x
1
dx
−1
+ 2 + 3 − log(|x − 1|) +
dx
+
=
x
2x
3x
2
4
(1 + x2 )
2
(1 + x2 )
−(6x2 + 3x + 4) 3
3
1
=
− log(|x − 1|) + log(1 + x2 ) + arctan(x) + cte
3
6x
2
4
2
Z
dx
.
Exemple 2: Calculons I =
2
(x + x + 1)3
2
Notons que x2 + x + 1 = x + 12 + 34 et par conséquent
Z
Z
dx
I=
on pose u =
√2
3
x+
1
2
3
4
+ x+
d’où
4 3 Z
=
2 3
3
1
2
du =
√2 dx
3
dx
2 3
4
1
1+ 3 x+ 2
et par conséquent
√ Z
√
64 3
du
32 3
I= .
=
I3
27 2
(1 + u2 )3
27
Z
avec
du
(1 + u2 )n
In =
on rappelle que
In+1 =
i
t
1 h
n + (2n − 1)In
2n 1 + t2
d’où
I3 =
1h
4
I2 =
t
1 + t2
2 + 3I2
∀n > 1
i
i
1h
t
+ I1
2 1 + t2
I1 = arctan(u)
et Finalement
√ Z
√
i
32 3
du
32 3 h
u
3u
3
I=
=
+
+
arctan(u)
+ cte
27
(1 + u2 )3
27 4(1 + u2 )2 8(1 + u2 ) 8
Z
x3
Exemple 3: Calculons I =
dx.
2
x −4
x3
2
2
=x+
+
.
2
x −4
x−2 x+2
On sait que
Z
x3
dx =
x2 − 4
=
Donc:
x2
+ 2 log(|x − 2|) + 2 log(|x + 2|) + c
2
x2
+ log(x2 − 4)2 + c
2
21
2.2.5
Intégrales se ramenant à des fonctions rationnelles
Z
I) fonctions polynomiales en cos x et sin x de la forme
cosm x sinn x dx
– si m (respectivement n) est impair, on fait le changement de variable u = sin x
(respectivement u = cos x)
alors on a :
Z
Z
cos2p+1 x sinn x dx = (1 − u2 )p um du
avec u = sin x
Z
Z
et
cosm x sin2p+1 x dx = um (1 − u2 )p du
avec u = cos x
Exemples :
Z π
2
.
nα sinn x cos x dx
Z0
.
cos5 x sin4 x dx
Z
.
cos2 x sin3 x dx
voir Ex4 Série n◦ 1 où u = sin x
voir Ex8 Série n◦ 1 où u = sin x
voir Ex8 Série n◦ 1 où u = cos x
– si m et n sont pair, on linéarise l’expression
Exemples :
Z
cos x sin x dx
voir Ex8 Série n◦ 1
.
Z
.
cos2 x sin2 x dx
voir Ex8 Série n◦ 1
II) Intégrales du type I =
R
R (sin x, cos x) dx où R est une fraction rationnelle :
1 cas évidents
ou intuitifs
Z
(a)
f (sin x) cos xdx : on pose t = sin x, alors dt = cos xdx et
Z
Z
f (sin x) cos xdx = f (t)dt.
Z
Z
Z
1
cos x
1
Exemple :
dx =
dx =
cos xdx.
tg x
sin x
sin x
On pose t = sin x et on obtient dt = cos xdx.
Z
Z
1
dt
dx =
= log(| t |) + c = log(| sin x |) + c.
tg x
t
Z
(b)
f (cos x) sin xdx : on pose t = cos x, ce qui donne dt = − sin xdx et alors
Z
Z
f (cos x) sin xdx = − f (t)dt.
Z
Z
Z
1
sin x
1
Exemple :
dx =
dx =
sin x dx.
cotg x
cos x
cos x
On pose t = cos x et on obtient dt = − sin xdx.
Z
Z
1 1
dt
1
dx = −
= − log(| t |) + c = log
+ c = log
+ c.
cotg x
t
|t|
| cos x |
Z
(c)
f (tg x)dx : on pose t = tg x, pour avoir dt = (1 + t2 )dx et ainsi :
Z
Z
f (t)
f (tg x)dx =
dt.
1 + t2
22
2 cas général I =
R
R (sin x, cos x) dx
Il y a un changement de variable qui marche toujours, c’est pour x ∈]−π, π[ t = tan x2
alors:

2t

 sin x =
2dt
1 + t2
et
x = 2 arctan t ⇒ dx =
2
2

1+t
 cos x = 1 − t
1 + t2
Z
2
2t 1 − t
2
d’où I = f (
,
)
dt et on se ramène au cas des fractions rationnelles.
1 + t2 1 + t2 1 + t2
i
h
sin x2 cos x2 / cos2 x2
2t
i
=
car sin x = 2 sin x2 cos x2 = 2 h
x
x
x
2
1
+
t2
cos2 + sin
/ cos2
2
h
et
cos x =
cos2 x2
−
sin2 x2
=h
cos2
cos2
2
x
2
x
2
2
i
− sin2 x2 / cos2
i
+ sin2 x2 / cos2
x
2
x
2
=
1 − t2
1 + t2
Z
1
dx.
cos
x
2

 cos x = 1 − t
x
1 + t2
On pose t = tg
alors
1

2
 dt =
1 + t2 dx
2
Z
Z
Z
Z
1
1 + t2 2dt
dt
1
1
dx =
=2
= (
+
)dt
2
2
2
cos x
1−t 1+t
1−t
1 + t 1 −t
1+t
+ c.
= log( 1 + t ) − log(| 1 − t |) + c = log
1−t
Exemple : Calculons
D’où :
1 + tg x2
x π + c = log tg( + ) + c.
1 − tg x2
2
4
Z
1
x Vérifier, de manière analogue, que
dx = log tg( ) + c.
sin x
2
Cependant dans la pratique, on peut trouver des fractions rationnelles qui ne sont
pas toujours très agréable, ce qui nous incite à trouver des changements de variables
plus appropriés connus sous le nom de Règles de Bioche
Z
1
dx = log
cos x
Règles de Bioche
On pose f (x) = R (sin x, cos x)
et
ω(x) = f (x)dx
alors:
1 si f (−x) = −f (x)
ou
ω(−x) = ω(x)
on pose u = cos x
2 si f (π − x) = −f (x)
ou
ω(π − x) = ω(x)
on pose u = sin x
3 si f (π + x) = f (x)
ou
ω(π + x) = ω(x)
on pose u = tg x
4 si deux des invariances ci-dessus sont vérifiées, alors la troisième l’est aussi et un meilleur
changement de variables est u = cos 2x
23
Notons par ailleurs que pour le dernier exemple, on :
d(π − x)
−dx
dx
et que ω(π − x) =
=
= ω(x)
ω(x) =
cos x
cos(π − x)
− cos x
on pose donc u = sin x ⇒ du = cos x dx et on a:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
dx
1h
cos x dx
cos x dx
du
du
du i
=
=
=
=
+
cos x
cos2 x
1 − u2
2
1−u
1+u
1 − sin2 x
1
1
1+t
1 + sin x
+ c = log
+c
=
log
2
1−t
2
1 − sin x
Autres exemples :
Z
cos x
.
dx
1 + sin2 x
Z
tan x
.
dx
1 + cos x
Z
dx
.
2 + cos x
ω(π − x) = ω(x) d’où u = sin x
ω(−x) = ω(x) d’où u = cos x
on pose u = tan
Z
III) Intégrales du type I =
x
2
R(ex , ch x, sh x) dx
On pose t = ex , donc dt = ex dx = tdx et alors :
Z
f (t)
I=
dt qui est une fraction rationnelle.
t
Z
1
dx.
Exemple 1 : Calculer
sh x
dt
ex − e−x
On pose t = ex alors dx =
et comme sh(x) =
on a: .
t
2
Z
Z
Z
Z
2
2 dt
2
1
dx =
dx =
dt.
1 t =
2
sh x
ex − e−x
t
−1
t− t
or
t2
Z
⇒
t2
2
1
1
=
−
−1
t−1 t+1
t−1
2
dt = log(| t − 1 |) − log(| t + 1 |) + c = log(|
|) + c.
−1
t+1
et par conséquent
x
x
Z
1
ex − 1
e 2 − e− 2
x
dx = log(| x
|) + c = log(| x
|) + c.
x |) + c = log(| th
−
sh x
e +1
2
e2 + e 2
Z
1
Exemple 2 : Calculer
dx.
ch x
dt
ex + e−x
On pose t = ex alors dx =
et comme ch(x) =
on a: .
t
2
Z
Z
Z
Z
1
2
2 dt
2
dx =
dx =
=
dt = 2 arctan(t) + c
1
x
−x
2
ch x
e +e
t +1
t+ t t
= 2 arctan(ex ) + c.
Z
On notera cependant que dans le cas ou I =
R(ch x, sh x) dx, on pourra utiliser de
façon analogue à la trigonométrie classique les règles de Bioche, ainsi que le changement
de variables u = th x2
24
en effet si l’on fait le changement de variable pour t = th x2 pour x ∈ R alors:

2t

 shx =
2dt
1
−
t2
x = 2 argth t ⇒ dx =
et
2
1
+
t

1 − t2
 chx =
1 − t2
Z 2
2t 1 + t
2
,
dt et on se ramène au cas des fractions rationnelles.
d’où I = R
2
2
1 − t 1 − t 1 − t2
h
i
x
x
sh 2 ch 2 / ch2 x2
2t
x
x
i
car sh x = 2 sh 2 ch 2 = 2 h
=
x
x
x
1
−
t2
2
2
2
ch − sh
/ ch
2
h
et
ch x =
ch2 x2
+
sh2 x2
=h
2
ch2
ch2
x
2
x
2
+ sh2
− sh2
2
x
2
i
x
2
i
/ ch2
/ ch2
x
2
x
2
=
1 + t2
1 − t2
Z
1
dx.
1+
 ch x
2

 ch x = 1 + t
x
1 − t2
On pose t = th
alors
1

2
 dt =
1 − t2 dx
2
Z
Z
Z
Z
1
1 − t2 2dt
x
2dt
1
dt = t + C = th + C
dx =
=
=
2
1+t2 1 − t2
ch x
2
1
−
t
2
1 + 1−t2
Exemple : Calculons
Autres exemples d’utilisation de la règle de Bioche:
Z
sh x
.
dx
ω(−x) = ω(x) d’où u = ch x
ch4 x
Z
th x
dx
ω(−x) = ω(x) d’où u = ch x
.
1 + ch x
Z
IV) Intégrales du type I =
r
On pose u =
m
ax + b
cx + d
R x,
⇒
r
m
ax + b dx :
cx + d
um (cx + d) = ax + b
mum−1 d(a − um c) + mum−1 c(um d − b)
du
(a − um c)2
Z
et par conséquent : I = R1 (u)du
dx =
⇒
x=
um d − b
a − um c
alors:
est une fraction rationnelle en u fois du
Z √
x+4
Exemple 1 : Calculer
dx.
x
√
On pose t = x + 4 alors x = t2 − 4
Z √
D’où
et dx = 2tdt.
Z
Z h
t
t2
1
1 i
2tdt
=
2
dt
=
2
1
+
−
dt.
t2 − 4
t2 − 4
t+2 t−2
t+2
+ cte
= 2 t + log
t−2
√
Z √
√
x+4
x+4+2
dx = 2
x + 4 + log √
+ cte
x
x+4−2
x+4
dx =
x
Z
25
Z r
Exemple 2 : Calculer
r
x−1
⇒
On pose u =
x+1
dx =
Z r
x − 1 dx
.
x+1 x
u2 (x + 1) = x − 1
⇒
u2 + 1
1 − u2
x=
alors:
2u(1 − u2 ) + 2u(1 + u2 )
4u
du =
du
(1 − u2 )2
(1 − u2 )2
x − 1 dx
x+1 x
Z
Z
Z
4u2
2du
4u
2du
1 − u2
du
=
−
du
=
1 + u2 (1 − u2 )2
(1 − u2 )((1 + u2 )
1 − u2
1 + u2
1+u
− 2 arctan u + cte
= log
1−u
Z
=
u
donc
Z r
1+
q
x−1
x+1
x − 1 dx
q
= log
− 2 arctan
x+1 x
1 − x−1
x+1
Z
V) Intégrales du type I =
– 1ére méthode :
forme canonique.
r
x−1
+ cte
x+1
p
R x, ax2 + bx + c dx :
il faut tout d’abord décomposer le trinôme, ax2 + bx + c sous sa
b2 b 2 ∆ b 2 c
−
=a x+
+
−
ax + bx + c = a x +
2a
a 4a2
2a
4a2
h
i
= K X2 ± 1
2
On se ramène ainsi à des intégrales connues ou des intégrales qu’on peut résoudre par
le changement de variable : X = sh t ou X = ch t ou X = sin t suivant le cas
Z
dx
√
. Exemple : Calculer I =
−x2 + 6x + 7
On a −x2 + 6x + 7 = 16 − (x − 3)2 , on pose alors (x − 3) = 4X d’où dx = 4dX
et l’intégrale devient
Z
Z
x − 3
4dX
dX
√
√
I=
=
= arcsin X + cte = arcsin
+ cte
4
4 1 − X2
1 − X2
– 2ème méthode : si a > 0 on pose
En élevant au carré, on obtient
Ainsi on a :
et
√
ax2 + bx + c =
√
ax + t
√
ax2 +bx+c = ax2 +2 axt+t2
⇒
x=
t2 − c
√
b − 2 at
√
√
2t(b − 2 at) + 2 a(t2 − c)
√
dx =
dt
(b − at)2
p
√
t2 − c
√ +t
ax2 + bx + c = a
b − 2 at
On se ramène donc au calcul de l’intégrale d’une fraction rationnelle.
Remarque : on obtient un résultat similaire avec le changement de variable
√
√
ax2 + bx + c = − ax + t
26
Z
Exemple : Calculer I =
On pose
d’où
1p 2
x + x + 1dx
x
√
x2 + x + 1 = x + t,
x2 + x + 1 = x2 + 2xt + t2
ce qui donne
On obtient alors :
et
x=
t2 − 1
1 − 2t
−2(t2 − t + 1)
−(t2 − t + 1)
dt
et
x+t
=
(1 − 2t)2
(1 − 2t)
Z
(t2 − t + 1)2
I= 2
dt
(1 − 2t)2 (t2 − 1)
dx =
qui est l’intégrale d’une fraction rationnelle
– 3ème méthode : si c > 0 on pose
√
ax2 + bx + c = xt ±
√
c
Un calcul analogue à celui de la seconde méthode fait ramener le calcul de l’intégrale
I à celle d’une fraction rationnelle en t
– 4ème méthode : Soient α et β les deux racines (si elles existent) du trinôme
ax2 + bx + c, c’est à dire que ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β)
√
on effectue alors le changement de variable :
ax2 + bx + c = (x − α)t
a(x − α)(x − β) = (x − α)2 t2
aβ − αt2
ce qui donne après simplificatins
x =
a − t2
Alors
On écrit dx en fonction de t; et le calcul de I se ramène donc au calcul de l’intégrale
d’une fraction rationnelle.
Z
dx
√
Exemple : Calculer I =
2
2
x x + 3x − 1
√
2
x2 + 3x − 4 = (x − 4)t
comme x + 3x − 4 = (x + 4)(x + 1) on pose
on aura alors: (x + 4)(x − 1) = (x + 4)2 t2
ce qui donne
x=
4t2 + 1
1 − t2
Z
On obtient alors :
I=
et
dx =
10tdt
(1 − t2 )2
(1 − t2 )2 .(1 − t2 ).10t
dt =
(4t2 + 1)2 .5t.(1 − t2 )2
qui est l’intégrale d’une fraction rationnelle
27
Z
2(1 − t)
dt
(4t2 + 1)2
Chapter 3
Intégrales Généralisées
3.1
Généralités
Dans le premier chapitre nous avons définie et étudiée la notion d’intégrale de Riemann pour
des fonctions définies sur un intervalle fermé borné [a, b] dites intégrables au sens de Riemann.
Soit f une fonction numérique continue sur un intervalle de bornes a et b, non nécessairement
fermé et non nécessairement borné. On se propose d’étudier quand on peut donner un sens à
Z b
l’intégrale
f (x) dx. Lorsque cela sera possible on parlera alors d’intégrale généralisée où
a
d’intégrale impropre.
3.1.1
Position du problème
Z
Nous n’avons envisagé jusqu’ici que des intégrales du type
b
f (x) dx où f est définie sur [a, b]
a
avec a et b finies. Nous aborderons ici les cas suivants :
Z b
•
f (x) dx, où f est définie sur [a, b[ et lim f (x) = ±∞ (a ∈ R et b ∈ R ∪ { + ∞}).
x→b−
a
Z
b
f (x) dx, où f est définie sur ]a, b] et lim f (x) = ±∞ (b ∈ R et a ∈ R ∪ { − ∞}).
•
x→a+
a
Z
+∞
•
f (x) dx, où f est définie sur R.
−∞
3.1.2
Préliminaires
Définition 3.1.1
• Soit f une application [a, b] → R
on dit que f est continue par morceaux si et seulement si il existe un subdivision τ (a0 , a1 , . . . , an )
telle que ∀i ∈ {0, . . . , n − 1}, ∃ gi : [ai , ai+1 ] → R continue, qui coı̈ncide avec f sur ]ai , ai+1 [.
• Soit f une application I → R ou I est une réunion d’intervalles réels
on dit que f est continue par morceaux sur I si et seulement si ∀a, b ∈ I tels que [a, b] ⊂ I, f
est continue par morceaux sur [a, b].
Par conséquent f est Riemann intégrable sur tout intervalle [a, b] ⊂ I
28
Définition 3.1.2 • Soit f une application I → R ou I est une réunion d’intervalles réels
on dit que f est localement intégrable sur I si et seulement si f est intégrable sur tout
intervalle [a, b] inclus dans I.
Dans toute la suite de ce chapitre, on pourra remplacer ” f localement intégrable ” par ”f
continue par morceaux ”
Définition 3.1.3
Soit f : [a, b[→
Z R une application localement intégrable
x
Si F : x →
f (t)dt admet une limite quand x → b, alors on l’appelle intégrale généralisée
Z b
(ou impropre) de f sur [a, b[ et on la note
f (t)dt.
a
a
Z
b
on peut dire que
f (t)dt converge (resp. diverge) pour signifier que F admet (resp. n’admet
a
pas) une limite en b
Cette définition s’étend aux cas b = +∞ ou (f :]a, b] → R avec a ∈ R ou a = −∞) Exemples
:
Z
+∞
1.
| sin x|
3
−∞
Z
2.
0
1
√
|x| 2
est elle convergente ?
1
dx :
1 − x2
1
f
est continue, donc intégrable, sur [0, x]; ∀x ∈ [0, 1[.
La fonction x 7−→ √
1 − x2
Z x
1
√
De plus
dt = [arcsin t]x0 = arcsin x;∀x ∈ [0, 1[.
2
1−t
0
Z x
Z 1
1
1
π
π
√
√
lim
dt = arcsin 1 = ⇒
dt = est convergente.
2
2
2
2
x→1− 0
1−t
1−t
0
Z 1
1
3.
dx :
0 1−x
Z x
1
∀x ∈ [0, 1[ :
dt = [− log (1 − t)]x0 = − log (1 − x).
1
−
t
0
Z 1
dx
est divergente.
lim (− log (1 − x)) = +∞ et par suite
x→1−
0 1−x
Z +∞
1
4.
dx :
1 + x2
0
Z x
1
π
dt = [arctan t]x0 = arctan x ⇒ lim (arctan (x)) =
∀x ∈ [0, +∞[ :
2
x→+∞
2
0 1+t
Z +∞
1
π
D’où
dx = est convergente.
2
1+x
2
0
29
+∞
Z
5.
0
1
dx
x
1
Z
i1
dx h
.
= log x = − log() −−→ +∞
→0
x
Z A
iA
dx h
= log x = log(A) −−−−−→ +∞
.
A→+∞
x
1
1
+∞
Z
6.
1
A
Z
•
1
log x
dx
x
log x
dx =
x
Z
1
1
dx diverge
x
Z0 +∞
1
dx diverge
x
1
donc
donc
est divergente car :
Z
log A
u du =
0
h u2 ilog A
2
0
=
log2 A
dx
−−−−−→ +∞ avec u = log x, du =
A→+∞
2
x
Définition 3.1.4
Soit f : ]a, b[ → R une application localement intégrable avec (a, b ∈ R ou a = −∞ ou b = +∞).
Z b
Z c
On dit que
f (t)dt est dite convergente si et seulement si ∃ c ∈ ]a, b[ tel que
f (t) dt et
a
a
Z b
f (t) dt sont convergentes. On pose alors :
c
Z
b
Z
f (t) dt =
a
c
Z
f (t) dt+
a
b
f (t) dt.
c
Exemples:
Z +∞
1
1.
dx est convergente car :
2
−∞ 1 + x
Z x
Z x
Z +∞
1
1
π
1
dt
=
arctan
x
⇒
lim
dt
=
=
dt
2
2
x→+∞
2
1 + t2
0 1+t
0 1+t
0
Z 0
Z 0
Z 0
1
π
1
1
dt
=
−
arctan
y
⇒
lim
dt
=
=
dt.
De même
2
2
2
y→−∞
2
y 1+t
−∞ 1 + t
y 1+t
Z +∞
Z +∞
Z 0
1
1
1
Donc
dx =
dt +
dt = π
2
2
2
1+t
−∞ 1 + x
0
−∞ 1 + t
Z +∞
2.
x3 dx est divergente car :
−∞
x
Z +∞
x4
x4
t dt =
et lim
= +∞ donc
x3 dx diverge,
x→+∞ 4
4
0
−∞
Z +a
Z +a
a4 (−a)4
Attention :
x3 dx =
−
= 0 ⇒ lim
x3 dx = 0
a→+∞
4
4
−a
−a
Z +∞
Mais cela n’entraı̂ne pas la convergence de
x3 dx.
Z
3
−∞
3.1.3
Z
1
.
Z0 1
.
Z0 1
.
0
Intégrales de Riemann
Z +∞
1
1
√ dx converge et
√ dx diverge
x
x
1
Z +∞
1
1
dx diverge et
dx converge
2
x2
Z 1+∞ x
1
1
dx diverge et
dx diverge
x
x
1
Z
b
car
Z ab
car
a
h √ ib
1
√ dx = 2 x
x
a
h 1 ib
1
dx = −
x2
x a
vus précédemment
30
Proposition 3.1.5 (Intégrale de Riemann) Soit α ∈ R,
1
Z
1
dx
xα
Z0 +∞
1
dx
xα
1
I
I
converge si et seulement si α < 1.
converge si et seulement si α > 1.
Preuve : il suffit de noter que pour α 6= 1, on a:
b
Z
a
b
1
1
dx =
xα
(−α + 1)xα−1 a
En effet on en déduit aisément que :

Z 1

− log ε
1
a
dx
=
−1
1
α

+
ε x
α − 1 (α − 1)εα−1
si α = 1
si α 6= 1
Et alors
Z
c
b
1
+∞
1
1
dx =
α
(1 − α)

x


+∞
lim
ε→0+


log c
1
−1
+
(α − 1)cα−1 α − 1
1
dx =

xα
ε
D’où
si α = 1
si α < 1
si α > 1
si α = 1
si α 6= 1


+∞


1
+∞
dx =

xα
 1

α−1
c
Z
3.1.4




1
Z
lim
c→+∞ 1
si α = 1
si α < 1
si α > 1
Propriétés
Z
•
b
Z
b
λf (x) dx sont de même nature pour tout λ 6= 0. Et en cas de convergence:
f (x) dx et
a
a
b
Z
b
Z
λf (x) dx = λ
f (x) dx.
a
Z
b
• Si
Z
f (x) dx et
a
a
b
g (x) dx convergent, alors
(f (x) + g (x)) dx converge et
a
a
Z
b
b
Z
(f (x) + g (x)) dx =
• Si
b
Z
f (x) dx +
a
Z
b
Z
a
g (x) dx.
a
b
Z
f (x) dx converge et
a
b
g (x) dx diverge, alors
a
b
Z
(f (x) + g (x)) dx diverge.
a
Z
• Si f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ ]a, b[ et
b
Z
f (x) dx et
a
b
g (x) dx convergent alors
a
Z
b
Z
f (x) dx ≤
a
g (x) dx.
a
31
b
3.2
Changement de variable et intégration par partie
Proposition 3.2.1 Soient f une fonction continue sur ]a, b[ et g :]α, β[→]a, b[ une bijection
1
strictement croissante
Z de classe C Z.
β
b
Alors les intégrales
on a :
f (x) dx et
Z b
a
f (g (t)) g 0 (t) dt ont la même nature et si elles convergent
α
Z β
f (g (t)) g 0 (t) dt.
f (x) dx =
α
a
Exemples :
Z 1
1
√
(1)
dx :
1 − x2
−1
g
L’application t 7−→ x = sin t est de classe C 1 et strictement croissante de l’intervalle
π π
] − , [ sur ] − 1, 1[.
2 2
Z π
Z π
2
2
1
π π
p
(cos t)dt =
dt = π (car cos ≥ 0 sur ] − , [).
π
π
2 2
−2
−2
1 − sin2 t
Z 1
1
√
dx converge vers π.
Donc
1 − x2
−1
Ceci montre qu’après un changement de variable, une intégrale généralisée peut se transformer en une simple intégrale de Riemann.
Z 1
1
(2) I =
sin( )dx :
x
0
1
− sin (t)
on pose x = g (t) = donc f (g (t)) g 0 (t) =
.
t
t2
g est bijective de classe ζ 1 de [1, +∞[ sur ]0, 1] avec g(1) = 1 et lim g(t) = 0.
t→+∞
Z +∞
Z 1
Z 1
sin x
1
1
dx sont de même nature. Ainsi
sin( )dx CV puisque
Donc
sin( )dx et
2
x
x
x
1
0
Z +∞ 0
sin x
dx CV (voir convergence absolue : exemple).
x2
1
Proposition 3.2.2 Soient f et g deux fonctions de classe C 1 sur ]a, b[ telles que lim (f (x) g (x))
x→a+
et lim (f (x) g (x)) existent.
x→b−
Z b
Z b
0
Alors
f (x) g (x) dx et
f 0 (x) g (x) dx ont la même nature, et si elles sont convergentes,
a
a
on a :
Z b
Z b
f (x) g 0 (x) dx = lim (f (x) g (x)) − lim (f (x) g (x)) −
f 0 (x) g (x) dx.
x→b−
a
+∞
Z
Exemple : I =
0
x2
(1 +
dx
x2 )2
=−
x→a+
1
2
Z
+∞
x.(
0
a
1
)0 dx
1 + x2
1
Posons f (x) = x et g (x) =
.
1 + x2
Z
lim (f (x) g (x)) = lim (f (x) g (x)) = 0 ⇒ I est de même nature que
x→+∞
x→0
Z
Or
Z
D’où
0
+∞
0
c
+∞
1
dx.
1 + x2
1
π
dx = [arctg(x)]c0 = arctg(c) −−−−→ .
2
c→+∞
1
+
x
2
0
Z +∞
x2
x2
π
dx
est
convergente
et
2
2 dx = − 4 .
2
2
(1 + x )
(1 + x )
0
32
3.3
3.3.1
Critères de convergence
Intégrales des fonctions réelles de signe constant
Quitte à considérer −f, on peut toujours supposer f positive ou nulle.
Proposition 3.3.1
Soit f une fonction Localement intégrable et positive sur [a, b[.
Z b
Z x
Alors
f (t) dt est convergente si et seulement si F (x) =
f (t) dt est majorée
a
a
Z x
f (t) dt ≤ M, ∀x ∈ [a, b[) (M est indépendant de x).
(i.e ∃M ≥ 0 /
a
Preuve :
Z
Notons d’abord que la fonction définie sur [a, b[ par F (x) =
x
f (t) dt a pour dérivée f qui est
a
positive, et par conséquent F est croissante sur [a, b[.
Z b
Z b
⇒) Supposons que
f (t) dt converge alors, on pose M =
f (t) dt ≥ 0 et
a
a
∀x ∈ [a, b[ : F (x) ≤ F (b) = M.
⇐) S’il existe M ≥ 0 tel que F (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b[ , alors F ([a, b[) est une partie non vide et
majorée de R, elle admet donc une borne supérieure l dans R
soit ε > 0 ∃x1 ∈ [a, b[ tq l − ε < F (x1 ) 6 l (par définition de la borne supérieure)
puisque F % alors ∀x, x1 < x < b on a l − ε < F (x1 ) 6 F (x) 6 l on pose η = b − x1
ainsi ∀x ∈ [a, b[ tq |x − b| < η ⇒ F (x) − l < ε
donc
lim F (x) existe et finie
x→b−
Z b
et par conséquent
f (x)dx est convergente
a
Proposition 3.3.2 Soient f et g deux fonctions localement intégrables et positives sur [a, b[
telles que f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b[. Alors :
Z b
Z b
g(x)dx CV =⇒
f (x) dx CV.
a
Preuve :
b
Z
Si
a
Z
d’où
a
Z
b
g(x)dx CV vers M =
g(x)dx, alors ∀x ∈ [a, b[:
a
Z x
Z x
Z b
F (x) =
f (t)dt ≤
g(t)dt ≤
g(t)dt = M.
a
b
a
a
f (x)dx CV (d’après la proposition 3.3.1)
a
Par contraposé de cette implication, on obtient :
Z
b
Z
f (x)dx DV =⇒
a
Z
Exemple :
1
b
g (x) dx DV.
a
e−x
dx :
x2
Z +∞
e−x
1
1
≤ 2 ; ∀x ∈ [1, +∞[ et
dx CV (car α = 2 > 1).
2
x
x
x2
1
+∞
on sait que
Z +∞ −x
e
Donc
dx CV.
x2
1
33
Définitions : Soient f et g deux fonctions définies au voisinage d’un point x0 .
1. On dit que f est négligeable devant g au voisinage de x0 , lorsque f = εg au voisinage de
x0 avec lim ε(x) = 0. Et on note dans ce cas f = o(g) au voisinage de x0 .
x→x0
Si g est non nulle au voisinage de x0 , alors :
f = o(g) au voisinage de x0 ⇔ lim
x→x0
f (x)
= 0.
g(x)
Par exemple x = o(x3 ) au voisinage de +∞.
2. On dit que f est dominée par g au voisinage de x0 lorsqu’il existe λ ∈ R+ tel que | f |≤
λ | g | au voisinage de x0 . Et on note f = O(g) au voisinage de x0 .
Si g est non nulle au voisinage de x0 , alors :
f
f = O(g) au voisinage de x0 ⇔ est bornée au voisinage de x0 .
g
Par exemple x2 sin x = O(x2 ) au voisinage de +∞.
Corollaire 3.3.3 Soient f et g deux fonctions continues et positives sur [a, b[ tel que
f = O(g) ou bien f = o(g) au voisinage de b. Alors :
Z b
Z b
Z b
Z b
g(x)dx CV=⇒
f (x)dx CV (et bien entendu
f (x)dx DV=⇒
g(x)dx DV).
a
a
a
a
b
Z
g(x)dx CV.
Preuve : Supposons que
a
I f = O(g) ⇒ ∃λ > 0, ∃c ∈ [a, b[ / ∀x ∈ [c, b[ : f (x) ≤ λ.g(x) avec (f, g ≥ 0)
Z b
Alors
f (x)dx CV d’après la proposition 3.3.2.
c
Z c
Z b
or
f (x)dx CV (car f est localement intégrable sur [a, c]) =⇒
f (x)dx CV.
a
a
I f = o(g) la preuve est similaire à la précédente, Il suffit de prendre λ = 1 car
∀ 0 < < 1 ∃c ∈ [a, b[ ∀x ∈ [c, b[ : f (x) ≤ g(x) ≤ g(x)
Proposition 3.3.4
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a, b[.
S’il existe deux réels M et N strictement positifs tels que M g(x) ≤ f (x) ≤ N g(x) Alors :
Z b
Z b
f (t)dt et
g(t)dt sont de même nature.
a
a
Preuve :
Z
b
- f (x) ≤ N g(x) entraine que
Z
g(t)dt CV ⇒
Za
f (t)dt CV et,
Za
b
b
b
- M g(x) ≤ f (x) entraine que
f (t)dt CV ⇒
g(t)dt CV d’après la proposition 3.3.2
a
a
Z b
Z b
on en déduit donc que
f (t)dt et
g(t)dt sont de même nature.
a
a
34
Proposition 3.3.5 Soient f et g deux fonctions continues et positives sur [a, b[ .
Z b
Z b
Si f ∼ g , alors
f (x)dx et
g(x)dx sont de même nature.
b
a
a
Preuve :
Si f ∼ g signifie (b ∈ R) que pour tout > 0 il existe un η > 0 tel que : ∀t ∈]b − η, b] :
b
f (x)
− l < et pour = 21 ∃c = b − η ∈]a, b[ ∀t ∈]c, b[ 12 g(x) < f (x) < 23 g(x).
g(x)
Le résultat découle de l’application de la proposition 3.3.2.
Remarque : On peut également noter que
f ∼ g =⇒ f = O(g) et g = O(f ) au voisinage de b et on applique le corolaire 3.3.3
b
Exemples:
Z +∞
1.
1
dx
log (sh (xα ))
1
1
on a f (x) =
est continue et positive sur [1, +∞[ . De plus:
log (sh (xα ))
α
ex
ex
sh(x) ∼
=⇒ sh(xα ) ∼
=⇒ log (sh (xα )) ∼ xα − log 2 ∼ xα
+∞ 2
+∞ 2
+∞
+∞
Z +∞
1
1
1
⇒
∼ α or
dx CV ssi α > 1 et alors
α
log (sh (x )) +∞ x
xα
1
Z +∞
1
dx CV si et seulement si α > 1.
log (sh (xα ))
1
Z 1
1 − tg x
2.
dx
xα
0
1 − tg x
f (x) =
est continue et positive sur ]0, 1]
xα
Z 1
1 − tg x
1
1 − tg x
(1 − tg x) ∼ 1 =⇒
∼
=⇒
dx CV si et seulement si α < 1.
0
0 xα
xα
xα
0
Proposition 3.3.6
Soit f une fonction continue sur ]a, b] tel que lim (x − a)α f (x) = k ∈ R. Alors :
x→a+
Z b
1. α < 1 =⇒
f (t)dt est convergente
a
Z b
2. α ≥ 1 (et k 6= 0)=⇒
f (t)dt DV.
a
Preuve :
lim (x − a)α f (x) = k ⇒ f (x) ∼
a+
x→a+
b−a
k
A l’aide du changement de variable t = x − a, on a
dt.
tα
a
0
Z b
Z b
k
f (x)dx est convergente. pour α < 1
donc
dx
CV
pour
α
<
1,
d’où
α
a (x − a)
a
Z
35
b
k
.
(x − a)α
k
dx =
(x − a)α
Z
Z
+∞
√
1+t
dt.
1 + t3
Exemple : Etudier la nature de I =
−1
Z
I au voisinage de −1
1
f (t)dt :
On s’intéresse à
−1
√
1+x
est une fonction continue sur ]−1, +∞[ .
1 + x3
√
1+t
1
∀t ∈ ]−1, +∞[ : f (t) =
=√
(1 + t) (t2 − t + 1)
1 + t (t2 − t + 1)
1
1
1
1
1
or 2
⇒
lim (1 + t) 2 f (t) =
∼
⇒ f (t) ∼
1
−1 3 (1 + t) 2
t − t + 1 −1 3
3
t→(−1)+
Z 1
1
⇒
f (t)dt CV car α = < 1.
2
−1
Z +∞
I au voisinage de +∞, On étudie
f (t)dt :
1

√
1
1
Z +∞ √
1 + t ∼ t2 
1
1+t
t2
+∞
dt CV car α = 25 > 1.
⇒ f (t) ∼ 3 = 5 ⇒ I =
3
3
+∞ t
1 + t3
1+t ∼ t 
2
−1
t
+∞
Z +∞ √
1+t
dt est convergente.
Conclusion :
1 + t3
−1
x 7−→ f (x) =
Proposition 3.3.7
Soit f et g deux fonctions définies, localement intégrables et positives sur [a, b[ (a < b < +∞)
f (x)
telles que lim
= A. Alors :
−
x→b g(x)
Z b
Z b
∗
f (t)dt
g(t)dt sont de même nature
i. si A ∈ R+ , les deux intégrales
a
a
ii. si A = 0. (f ≤ g) on a:

Z b
Z b


g(t)dt converge alors
f (t)dt converge
 si
Z ab
Z ba


 si
f (t)dt diverge alors
g(t)dt diverge
a
a
iii. si A = +∞. (f ≥ kg) on a:

Z b
Z b


f (t)dt converge alors
g(t)dt converge
 si
Z ab
Z ba


 si
g(t)dt diverge alors
f (t)dt diverge
a
a
Preuve :
i. découle de la proposition 3.3.5 puisque f ∼ Ag
b
ii. et iii. découlent de la proposition 3.3.2 puisque (f ≤ g) ou (f ≥ kg)
Exemples
: Z
Z +∞
Z +∞ √
Z +∞
Z 1
Z 1
+∞
dx
arctan t
dx
dx
−t
− lnt
√
√ ;
;
ln
te
dt;
e
dt;
dt;
;
x
α
e −1 0
t
1−x 0 1− x
0
0
0
0
36
3.3.2
Critère de Cauchy
Proposition 3.3.8 (Critère de Cauchy) Soit f une fonction continue ou continue par morceaux
Z b
f (t)dt est convergente si et seulement si
sur [a, b[.
a
Z v
∀ε > 0, ∃δ > 0; ∀u, v ∈]b − δ, b[ :
f (t)dt < ε.
u
Si b = +∞, on remplacera u, v ∈]b − δ, b[ par u, v > δ.
Preuve :
Z
x
Z
0
x
0
f (t)dt.
f (t)dt, on a par définition F (x ) − F (x) =
Soit F (x) =
x
a
Z x
f (t)dt est convergente si et seulement si lim existe et est finie, c’est à dire si et
Alors
x→b−
a
seulement si F vérifie le critère de Cauchy pour les fonctions.
3.3.3
Convergence absolue
L’idée est de se ramener à l’étude des intégrales de fonctions positives.
Définition 3.3.9 (Convergence absolue)
Soit f une fonction continue sur ]a, b[.
Z b
Z b
On dit que
f (x) dx est absolument convergente si
|f (x)| dx est convergente.
a
a
Proposition 3.3.10 La convergence absolue entraı̂ne la convergence :
Z b
Z b
|f (x)| dx converge=⇒
f (x) dx converge.
a
a
Preuve :
La convergence de l’intégrale en a ou en b résulte du critère de Cauchy.
Z v
Z v
f (t)dt ≤
| f (t) | dt; ∀u, v ∈ ]a, b[
u
u
Par suite, puisque le critère de Cauchy est vérifié par | f |, il en sera de même pour f et
donc l’intégrale est convergente.
Ce théorème reste bien sûr vrai pour une intégrale généralisée quelconque. On retiendra
donc que :
” la convergence absolue d’une intégrale entraı̂ne sa convergence ”.
Z +∞
sin x
Exemple :
dx est absolument convergente, donc convergente car :
x2
1
∀x ∈ [1, +∞[:|
Z
Et
1
+∞
sin x
1
|≤ 2
x2
x
1
dx converge (intégrale de Riemann avec α = 2 > 1).
x2
37
Remarques :
(i) La réciproque est fausse.
(ii) Il existe des intégrales convergentes et non absolument convergentes, de telles intégrales
sont dites semi convergentes.
Exemple :
Z +∞
sin (t)
dt est semi convergente :
•
t
0
sin (t)
On notera tout d’abord que lim
→ 1, elle est donc convergente en 0. On se place
x→o
t
donc sur un intervalle de la forme [1, a], avec a > 1, et on fait une intégration par parties :
Z a
Z a
cos t
sin (t)
cos a
cos t
− cos t a
−
dt
=
cos
1
−
dt.
dt =
−
2
t
t
t
a
t2
1
1
1
1
cos a
cos a
1
or
lim cos 1 −
= cos 1 (car |
|≤ ; ∀a).
a→+∞
a
a
a
Z +∞
Z +∞
sin (t)
cos t
On en déduit alors que
dt et
dt sont de même nature.
t
t2
0
0
a
Z a
Z a
1
−1
1
cos t
dt ≤
dt =
=1−
−→ 1.
par ailleurs
2
2
t
t 1
a a→+∞
1 t
1
Z a
cos t
Donc
dt est absolument convergente, donc convergente et par conséquent,
t2
1
Z +∞
sin (t)
dt est convergente
t
0
Z
a
D’autre part:
Z
(n+1)π
∀n ∈ N
Z
π
| sin t | dt =
nπ
0
∀t ∈ In = [nπ, (n + 1)π], avec n ∈ N
et
Z
(n+1)π
⇒
nπ
sin (t)
1
|
| dt ≥
t
(n + 1)π
Z
sin tdt = [− cos t]π0 = 2.
. |
sin (t)
1
|≥
| sin t |
t
(n + 1)π
(n+1)π
| sin t | dt ≥
nπ
2
; ∀n ∈ N
(n + 1)π
enfin, en utilisant la relation de Chasles, on obtient :
n−1
n
X
sin (t)
2
2X1
|
| dt ≥
=
t
(k + 1)π
π
k
π
k=1
k=2
!
n
n
n
X
1 X 1 n X 1 − 0
1
=
=
−→
k
n k
n
0 + k(1−0) n→+∞
Z
et
k=1
nπ
k=1
k=1
n
Z
0
1
dx
x
1
puisque c’est une somme de Riemann de f (x) = sur l’intervalle [0, 1].
x
Z 1
dx
or
qui est divergente ( intégrale de Riemann α = 1). Ainsi
0 x
Z +∞
Z +∞
sin (t)
sin (t)
|
| dt DV et alors
|
| dt DV.
t
t
π
0
38
3.3.4
Critère d’Abel
Pour montrer qu’une intégrale converge, quand elle n’est pas absolument convergente, on dispose
du théorème suivant
Proposition 3.3.11 (Critére d’Abel)
Soit f une fonction C 1 sur [a, +∞[ , positive, décroissante, ayant une limite
Z x nulle en +∞.
Soit g une fonction continue sur [a, +∞[, telle que la primitive G(x) =
g(t)dt soit bornée.
a
Z +∞
f (t)g(t)dt
Alors l’intégrale
G(x) =
a
1
Avec f (t) = et g(t) = sin t , on retrouve que l’intégrale
t
Z
+∞
1
sin t
dt converge.
t
Démonstration
Par hypothèse G est bornée, donc il existe M tel que, pour tout x > a, |G(x)| ≤ M . Effectuons
maintenant une intégration par parties :
Z
x
h
f (t)g(t)dt = f (t)G(t)
a
ix
a
Z
−
x
0
f (t)G(t)dt
a
Comme G est bornée et f tend vers 0, le terme entre crochets converge. Montrons maintenant
que le second terme converge aussi, en vérifiant que
Z x
0
f (t)G(t)dt est absolument convergente.
a
en effet :
0
0
0
f (t)G(t) = f (t) |G(t)| ≤ − f (t) M
0
carZf est décroissante f (t) ≤ 0 et G est bornée par M
x
0
−f (t)dt = f (a) − f (x)
or
a
et
lim
x→+∞
f (a) − f (x) = f (a)
théorème de comparaison.
39
d’ou le résultat par le
Chapter 4
Équations Différentielles
Une équation différentielle (ED) d’ordre n est une équation faisant intervenir une fonction y
ainsi que ses dérivées y (k) jusqu’à l’ordre n.
Dans ce chapitre, on donnera des méthodes pour trouver l’ensemble de toutes les solutions
à une certaine classe d’équations différentielles.
4.1
Equations différentielles du 1er Ordre
On appelle équation différentielle du premier ordre toute relation de la forme :
y 0 = f (x, y)
(E)
dy
Où y est une fonction inconnue de la variable x, y 0 =
sa dérivée par rapport à x et f (x, y)
dx
une fonction donnée des deux variables x et y.
Résoudre ou intégrer l’équation (E), c’est trouver toutes les fonctions y = ϕ (x) qui vérifient
la relation :
ϕ0 (x) = f (x, ϕ (x))
Une telle fonction s’appelle solution de l’équation (E).
Nous allons étudier quelques types d’équations différentielles du premier ordre très simples
en indiquant, pour chacune d’elles, des méthodes permettant de ramener la détermination des
solutions à un calcul de primitive.
4.1.1
Equations à variables séparées
On appelle équation à variables séparées toute équation différentielle du 1er ordre de la
forme:
f (x)
y0 =
ou
y 0 g(y) = f (x)
(E)
g(y)
où f et g sont supposées continues respectivement sur les intervalles I et J. Elles admettent
0
0
0
donc les primitives F et G . avec G(y)) = y G (y)
En intégrant (E) on obtient :
G(y(x)) = F (x) + C
si g ne s’annule pas sur J, elle y garde un signe constant. Sa primitive sera strictement monotone
sur J et donc bijective, on en déduit
y(x) = G−1 F (x) + C
40
Remarque :
dy
0
g(y)y = g(y)
= g(x) peut s’écrire sous forme différentielle : g (y) dy = f (x) dx
dx
On a séparé les variables y et x. Ce qui nous donne :
Z
Z
g (y) dy = f (x) dx c’est à dire G[y(x)] = F (x) + C, avec C ∈ R
Exemple 1 Résoudre l’équation différentielle
0
y (x)
=λ
y(x)
,λ ∈ R
(1)
∀x ∈ I y(x) 6= 0, et x 7→ y(x) est supposée continue, y admet donc un signe constant.
dy
= λdx,
y
(1) s’écrit
log |y| = λx + C
soit
y = Keλx ,
ainsi on a :
⇒
|y| = eλ x+C
k∈R
Exemple 2 Résoudre l’équation différentielle
xy 0 + y 2 = 0
(2)
y = 0 est une solution évidente de (E). Si y 6= 0 :
(2)
Z
donc
Ainsi on a
−y 2
dy
dx
⇐⇒ − 2 =
x
y
x
Z
dy
dx
1
− 2 =
+ C =⇒
= log |x| + C
y
x
y
s’écrit
y(x) =
y0 =
1
log |x| + C
avec
C ∈ R.
Exemple 3 Résoudre sur I =] − 1, 1[ l’équation différentielle
s
1 − y2
0
y =
avec
y(0) = 1
1 − x2
(3)
dy
dx
p
=√
1 − x2
1 − y2
y prend ses valeurs dans J =] − 1, 1[ et on a :
D’où
arcsin y = arcsin x + K
En appliquant le sinus, on obtient la solution générale :
y = x cos K +
p
1 − x2 sin K
or y(0) = 1 ⇒ sin K = 1 ⇒ cos K = 0
car
cos (arcsin x) =
d’où
41
y(x) =
p
1 − x2
√
1 − x2 .
si x ∈] − 1, 1[
4.1.2
Equations homogènes
On appelle équation différentielle homogène du premier ordre une équation de la forme:
y
y0 = f ( )
x
(E)
0
y ne change 
pas lorsque l’on substitue à (x, y) le couple (λx, λy)

y = tx
on pose
 dy = t + x dt
dx
dx
dt
(E) devient : t + x
= f (t) qui est une équation à variables séparables
dx
En effet :
dx
dt
=
x
f (t) − t
(a) Si f (t) 6= t et si g(t) est une primitive de
Z
log |x| =
(E1 )
1
on a:
f (t) − t
dt
+ C = g(t) + C
f (t) − t
=⇒
x = Keg(t)
Les solutions de (E) sont donc données sous forme paramétrique
(
x = Ceg(t)
y = Cteg(t) ,
C∈R
(b) Le cas f (t) = t est trivial. En effet dans ce cas (E) s’écrit :
y0 =
dy
dx
y
⇔
=
⇔ log(| y |) = log(| x |) + C ⇔| y |= ec | x | ⇔ y = Kx
x
y
x
Ou de manière simple :
(E1 ) ⇔
Exemple 4 Résoudre y 0 =
y
dt
= 0 ⇔ = t = K ⇔ y = Kx.
dx
x
x2 + y 2
. (E)
x2 + xy
y0
y 2
1+ x
y
1+ x
L’équation différentielle (E) ⇔ =
est une équation homogène du 1er ordre.

 y = tx
on pose
 dy = t + x dt
dx
dx
dt
1 + t2
0
(E) devient (E ) : t + x
=
qui est une équation à variables séparables
dx
1+t
En effet :
dt
1 + t2
1−t
dx
1+t
2
x
=
−t=
⇒
=
dt = −1 −
dt
dx
1+t
1+t
x
1−t
t−1
e−t
⇒ log |x| = −t − 2 log |t − 1| + K
⇒
x=C
(t − 1)2
Les solutions de (E) sont donc données sous forme paramétrique

e−t

 x=C

(t − 1)2
te−t


,
C∈R
 y=C
(t − 1)2
42
Exemple 5 Résoudre xy 0 (2y − x) − y 2 = 0. (E)
y0
on a :
on pose
y = tx
y2
=
x(2y − x)
0
d’où
y =
d’où
y0
=
y 2
x
2y
x
−1
dy
dt
=t+x
dx
dx
(E) s’écrit :
dt
t2
+t=
dx
2t − 1
dx
2t − 1
=− 2
dt
x
t −t
C
⇒
x= 2
⇒ log |x| = − log t2 − 1 + K
t −t
On emlève la valeur absolue puisque t est supposé appartenir à un intervalle I tel que
t2 − t 6= 0 ∀t ∈ I. t2 − t garde un signe constant sur I
Finalement

C

 x(t) =
2
t −t
C

 y(t) =
,
C∈R
t−1
x
4.2
d’où
Equations différentielles linéaires de 1er ordre
Une équation différentielle linéaire (ou affine) du premier ordre est une équation différentielle
qui s’écrit sous la forme :
a (x) y 0 + b (x) y = c (x)
(E)
où a, b, c sont des fonctions continues sur un même intervalle I ⊂ R, et on demandera que
a(x) 6= 0; ∀x ∈ I.
A cette équation différentielle on peut associer la même équation avec c = 0 :
a (x) y 0 + b (x) y = 0
(E0 )
C’est l’équation homogène associée à (E), ou équation sans second membre.
On vérifie que si on a deux solutions y1 et y2 de (E), alors leur différence y2 − y1 est solution
de (E0 ).
On obtient donc toutes les solutions y2 de (E) en ajoutant à une solution quelconque y1 de
(E) ,dite particulière, toutes les solutions de (E0 ).
4.2.1
Résolution de l’équation homogène associée
b(x)
y0
=−
. En l’intégrant on obtient
y
a(x)
Z
b(x)
log |y| = −
dx + C
a(x)
(E0 ) est une équation à variables séparées, en l’écrivant
Z
dy
=
y
Z
−
b(x)
dx
a(x)
⇒
En notant F est une primitive de la fonction
y = KeF (x) ;
43
−b(x)
et K ∈ {±ec , 0} on a :
a(x)
K∈R
4.2.2
Solution particulière par variation de la constante
On cherche la solution particulière sous la forme y = KeF , avec K une fonction à déterminer
d’où le nom de variation de la constante donnée à cette méthode.
y 0 = K 0 eF + KF 0 eF
F 0 (x) =
avec
−b(x)
a(x)
on reporte dans l’équation (E), on obtient :
h
−b(x) i
a(x) K 0 eF (x) + K
eF (x) + b(x) KeF (x) = c(x)
a(x)
Z
c −F
c(x) −F (x)
0
d’où K = e
⇒ K(x) =
e
dx
a
a(x)
Une solution particulière de (E) est donc
Z
c(x) −F (x)
y = eF (x)
e
dx
a(x)
Z
avec
F (x) =
−
b(x)
dx
a(x)
et la solution générale est donc
y=
eF (x)
Z
c(x) −F (x)
K+
e
dx ; K ∈ R
a(x)
Exemple 6 Résoudre l’équation différentielle, xy 0 − 2y = x3
(E).
1ère étape : On résout l’équation sans second membre (E0 )
y0
2
l’équation homgène associée xy 0 − 2y = 0 donne
= , en intégrant on a:
y
x
Z
Z
dy
2dx
=
⇒
log |y| = log x2 + K
y
x
et les solutions sont sous la forme
y = Cx2 ,
C ∈ R.
2ème étape : Recherche d’une solution particulière de (E), par la méthode de la variation de la
constante
on pose alors y = Cx2 , avec u fonction de x. alors y 0 = C 0 x2 + 2xC, on reporte dans (E)
x C 0 x2 + 2xC − 2 Cx2 = x3
⇒
C 0 x3 + 2x2 C − 2Cx2 = x3
Donc C 0 x3 = x3
⇒
C 0 = 1 ⇒ C = x + k; k ∈ R
Une solution particulière est donc
yp = x3
Donc les solutions de (E) sont sous la forme : y = x3 + Kx2 ;
Exemple 7 Résoudre l’équation différentielle, y 0 −
K ∈ R.
xy
1
=
2
1−x
1 − x2
(E).
1ère étape : Equation sans second membre (E0 )
y0 −
xy
=0
1 − x2
⇔
et les solutions sont sous la forme
x
dy
=
dx
y
1 − x2
⇔
C
y=p
,
|x2 − 1|
44
1
log |y| = log p
+K
2
|x − 1|
C ∈ R.
2ème étape : Equation complète
1. Résolution sur I =] − 1, 1[ y = √
C
1 − x2
on dérive et on reporte dans (E)
Cx
C0
√
+
3
2
1−x
(1 − x2 ) 2
1
Donc C 0 = √
⇒
1 − x2
!
−
C
C0
1
x
√
√
=
=
2
2
1 − x2
1
−
x2
1−x
1−x
C = Arcsin x + k; k ∈ R
Donc les solutions de (E) sont sous la forme :
Arcsin x + K
√
;
1 − x2
et
Arcsin x
yp = √
1 − x2
K ∈ R.
2. Résolution sur I =] − ∞, −1[ ou I =]1, +∞[
La solution de l’équation homogène est y = √
C0
−Cx
√
+
3
2
x − 1 (x2 − 1) 2
1
⇒
Donc C 0 = − √
x2 − 1
!
x
C
C0
1
√
√
+
=
=
2
2
2
1−x
1 − x2
x −1
x −1
C = − Argch x + k; k ∈ R
Donc les solutions de (E) sont sous la forme :
4.3
4.3.1
C
, en faisant varier C, on a :
x2 − 1
− Argch x + K
√
;
x2 − 1
et
− Argch x
yp = √
x2 − 1
K ∈ R.
Equations se ramenant à une équation linéaire:
Equations de Bernouilli:
On appelle équation différentielle de Bernouilli, une équation de la forme
a (x) y 0 + b(x)y = f (x)y α , (α ∈ R \ {1}) .
Le cas α = 1 est trivial et pour α 6= 1 on se ramène à une équation différentielle du 1er ordre en
divisant par y α et on obtient:
1
y0
+ b(x) α−1 = f (x).
α
y
y
0
1
−(α − 1)y
0
Z = α−1
Z =
.
L’équation devient :
α
y
−1 0 y
a(x)
Z + b(x)Z = f (x)
α−1
a(x)
On pose
Exemple 8 Intégrer y 0 − 2xy + 2xy 2 = 0
C’est une équation de Bernouilli avec α = 2. On la divise par y 2 et on pose alors Z =
y0
2x
−
+ 2x = 0
2
y
y
⇐⇒
qui est une équation linéaire du 1er ordre
45
Z 0 + 2xZ = 2x
1
.
y
1ère étape : Equation sans second membre
Z 0 + 2xZ = 0
⇔
dZ
= −2xdx
Z
Z = Ce−x
⇒
2
2ème étape : Equation complète
0
2
2
2
Z 0 + 2xZ = C e−x −2xCe−x + 2x Ce−x = 2x
0
2
2
K
2
2
et on trouve Z = ex + K e−x = 1 + x2
e
Exemple 9 Résoudre y 0 − y = xy 2
⇒
y=
1
ex
K∈R.
=
Z
K + ex2
C’est une équation de Bernouilli avec α = 2. On la divise par y 2 et on pose alors Z =
y0
1
− =x
2
y
y
2
C = 2xex d’où C = ex + K
⇒
1
.
y
Z 0 + Z = −x
⇐⇒
1ère étape : Equation sans second membre
Z0 + Z = 0
⇔
dZ
= −dx
Z
⇒
Z = Ce−x
2ème étape : Equation complète
0
Z 0 + Z = C e−x −Ce−x + Ce−x = −x
⇒
0
C = −xex d’où C = −xex + ex + K
et on trouve Z = −xex +ex +K e−x = −x+1+Ke−x
4.3.2
⇒
y=
1
1
=
K∈R.
Z
−x + 1 + Ke−x
Equations de Riccati:
Une équation différentielle est dite de Riccati si elle peut s’écrire sous la forme
y 0 = a (x) y 2 + b (x) y + c (x) .
où a, b et c sont des fonctions continues de x.
L’intégration d’une équation différentielle de Riccati nécessite la connaissance d’une solution
particulière yp de cette équation, on pose
Z = y − yp . on a :
yp0 = a (x) yp2 + b (x) yp + c (x)
en faisant la différence des deux équations on obtient:
0
Z = a(x) Z (Z + 2yp ) + b(x) Z
= b(x) + 2yp a(x) Z + a(x)Z 2 = g(x)Z + a(x)Z 2
car y 2 − yp2 = (y − yp )(y + yp ) = Z(Z + 2yp ).
On obtient donc une équation de Bernouilli en Z (avec α = 2).
Et on se ramène par la suite à une équation linéaire en posant u =
46
1
Z
Exemple 10 Intégrer (x2 + 1)y 0 = y 2 − 1
On remarque que yp = 1 est une solution particulière, et on pose Z = y − yp = y − 1
(x2 + 1)Z 0 = (x2 + 1)y 0 = y 2 − 1
= (y − 1)(y + 1) = Z(Z + 2) = 2Z + Z 2
0
c’est à dire (x2 + 1)Z = 2Z + Z 2 qui est une équation de Bernouilli en Z.
On la divise par Z 2 et on pose alors z =
(x2 + 1)
1
.
Z
2
Z0
− =1
2
Z
Z
⇐⇒
(x2 + 1)z 0 + 2z = −1
1ère étape : Equation sans second membre
(x2 + 1)z 0 + 2z = 0
⇔
dz
2
=− 2
dx
z
x +1
⇒
z = Ce−2 arctan x
2ème étape : Equation complète
h 0
i
e−2 arctan x i h
−2 arctan x = −1
(x2 + 1) C e−2 arctan x − 2C
+
2Ce
(x2 + 1)
e2 arctan x
e2 arctan x
0
d’où
C=−
+K
⇒ C =− 2
x +1
2
1
e2 arctan x
+ K e−2 Arctan x = − + Ke−2 arctan x
et on trouve z = −
2
2
⇒
y =Z +1=
1
+ Ke−2 arctan x
1
+ 1 = 21
K∈R.
z
− 2 + Ke−2 arctan x
Exemple 11 Intégrer x3 y 0 + y 2 + yx2 + 2x4 = 0
On remarque que yp = −x2 est une solution particulière, et on pose Z = y − yp = y + x2
On trouve
⇔
x3 Z 0 + Z(Z + 2yp ) + x2 Z = 0
x3 Z 0 − x2 Z + Z 2 = 0
qui est une équation de Bernouilli en Z. On la divise par Z 2 et on pose alors z =
x3
x2
Z0
−
+1=0
Z2
Z
⇐⇒
1
.
Z
x3 z 0 + x2 z = 1
1ère étape : Equation sans second membre
x3 z 0 + x2 z = 0
⇔
dz
dx
=−
z
x
⇒
z=
C
x
2ème étape : Equation complète
h C0
hC i
Ci
1
1
0
3
0
2
3
x z +x z =x
− 2 + x2
= 1 ⇒ C = 2 d’où C = − + K
x
x
x
x
x
1
1
−1 + Kx
1
x2
et on trouve z = − + K
=
⇒
Z
=
=
K∈R
x
x
x2
z
Kx − 1
. ⇒
y = Z − x2 =
2x2 − Kx3
K∈R.
Kx − 1
47
4.4
4.4.1
Equa-Diff. linéaires du second ordre à coefficients constants:
Définitions:
On appelle équation différentielle du second ordre une relation de la forme:
y” = f x, y, y 0
Nous allons étudier un type d’équation différentielle important par ses applications en Mécanique
et en Physique: les équations différentielles linéaires en y”, y 0 et y avec des coefficients constants
a, b, c. Une telle équation est de la forme:
(1) ay” + by 0 + cy = f (x) , a 6= 0
Si f (x) = 0, l’équation est dite linéaire et homogéne ou bien sans second membre:
(2) ay” + by 0 + cy = 0
Théorème:
La solution générale de l’équation linéaire (1) s’obtient en ajoutant à une solution particulère
y1 de cette équation la solution générale de l’équation linéaire et homogène associée (2).
Soit y = y1 + z avec y1 une solution particuliére de (1)
donc y 0 = y10 + z 0 et y” = y1 ” + z”
⇒ az” + bz 0 + cz + ay1 ” + by10 + cy1 = f (x)
or ay1 ” + by10 + cy1 = f (x)
donc az” + bz 0 + cz = 0
c’est à dire que z est solution de l’équation homogéne (2).
Réciproquement, si z est solution de l’équation homogéne (2), y = z + y1 est solution de
l’équation (1).
Remarque:
Le probléme se raméne donc à résoudre l’équation homogéne (2)
ay” + by 0 + cy = 0 et de chercher une solution particulière de (1).
4.4.2
Intégration de l’équation homogène:
Théorème:
L’ensemble des solutions de l’équation linéaire homogéne (2) est un
espace vectoriel de dimension 2.
à admettre.
Soit y = erx (cherchons les solutions particulières)
⇒ y 0 = rerx et y” = r2 erx
donc (2) ⇒ ar2 + br + c = 0
cette éqution est appellée l’équation caractéristique
soit ∆ = b2 − 4ac
- 1er cas: Si ∆ 0 alors l’équation caractéristique à deux racines réelles r1 et r2 . Donc
on obtient deux solutions particulières indépendantes de (2) y1 = er1 x et y2 = er2 x . Donc la
48
solution générale de (2) est
y = c1 er1 x + c2 er2 x avec c1, c2 ∈ R
- 2éme cas: Si ∆ ≺ 0 on a deux racines complexes r1 = α + iw et r2 = r1 = α − iw
Les solutions réelles sont données par:
y = eαx [c1 cos (wx) + c2 sin (wx)] avec c1 , c2 ∈ R
ou, si l’on préfère: y = Aeαx cos (wx − θ)
b
- 3éme cas: Si ∆ = 0 alors l’équation caractéristique a une racine double r1 = r2 = − 2a
=α
La solution est
y = eαx (c1 x + c2 ) avec c1 , c2 ∈ R
Recherche d’une solution particulière pour des seconds membres spécifiques
On donne deux cas particuliers importants et une méthode générale.
0
1. Equation du type ay ” + by + cy = eαx P (x)
avec α ∈ R et P ∈ R[x]
m
αx
on cherche une solution sous la forme y0 = x e Q(x) où Q est un polynôme de même
degré que P avec
- y0 = eαx Q(x) où m = 0 si α n’est pas solution de l’équation caractéristique.
- y0 = xeαx Q(x) où m = 1 si α est racine simple de l’équation caractéristique.
- y0 = x2 eαx Q(x) où m = 2 si α est racine double de l’équation caractéristique.
0
2. Equation du type ay ” +by +cy = eαx [P1 (x) cos(βx)+P2 (x) sin(βx)] = f1 (x)+f2 (x)
avec α ∈ R et P1 , P2 ∈ R[x]
• 1ére méthode
on cherche une solution particulière sous la forme
– y0 = eαx [Q1 (x) cos(x) + Q2 (x) sin(x)] si α + iβ n’est pas solution ar2 + br + c = 0
– y0 = xeαx [Q1 (x) cos(x) + Q2 (x) sin(x)] si α + iβ est racine ar2 + br + c = 0.
dans les deux cas Q1 et Q2 sont des polynômes de degré n = max degré (P1 , P2 )
• 2éme méthode
On notera que l’équation précédente peut s’écrire sous la forme
0
ay ” + by + cy = f1 (x) + f2 (x)
avec
f1 (x) = eαx [P1 (x) cos(βx)]
f2 (x) = eαx [P2 (x) sin(βx)]
de solution particulière yp1
de solution particulière yp2
On cherche à trouver des solutions particulières yi pour chacun des systèmes suivants
0
ay ” + by + cy = Pk (x)e(α+iβ)x
pour k = 1; 2
et on a
yp1 (x) = Re (y1 )
yp2 (x) = Im (y2 )
ou les solutions y1 et y2 sont de type 1
49