第13章 柱函数及其应用
13.1 Bessel 和 Neumann 函数
13.2 Hankel 函数及其应用
13.3 虚宗量 Bessel 函数
13.4 球 Bessel 函数和球 Hankel
13.5 总结
1
13.1 Bessel 和 Neumann 函数
柱坐标中 Laplace 和Helmhotz 方程分离变量后
Bessel 方程
2
d
R
dR
2
2
2
x

x

(
x

m
) R  0, ( x    )
2
dx
dx
虚宗量 Bessel 方程
2
d
R
dR
2
2
2
x
x


(
x

m
) R  0,
2
dx
dx
( x  |  | )
2
球坐标中 Helmhotz 方程分离变量后
球Bessel 方程


d  2 dR( r ) 
2 2

k
r  l (l  1) R( r )  0
r


dr 
dr 
2
d
y
dy  2
2
2
x
x
 x  l  1 / 2   y  0
2

dx
dx 

2 kr
 y( x) 
R(r)



x  kr
半奇数阶Bessel
方程
3
一般形式的 Bessel 方程
2
d
y
dy
2
2
2

x

(
x

v
)y  0
x
2
dx
dx
通解
其中
y ( x)  C1 J ( x)  C2 N ( x)
N ( x ) 
J  ( x ) cos   J  ( x )
sin 
Bessel 的级数表示为

 2k
1
 x
J ( x)   (1)
 
k!  ( k  1   )  2 
k 0
k
4
Bessel 和 Neumann 函数的基本性质
x0 特性
J 0 (0)  1, J v (0)  0 ( v  0),
J  v ( 0)   , ( v  0 )
N 0 (0)  , N v (0)  , ( v  0)
因此：在研究圆柱内部问题时 (包含 =0),
存在自然边界条件，只能取零阶和正整数
阶 Bessel 函数。
x 特性
J v ( x) ~
N v ( x) ~
2
x
2
x
cos( x  v / 2   / 4)
sin( x  v / 2   / 4)
5
可见
（1）Bessel 函数：振荡特性，讨论封闭空间的
驻波问题，类似于 coskx
（2）Neumann 函数：在 x=0 有奇异性，讨论不
包括原点的问题, 振荡特性: 类似于 sinkx
（3）注意：当x 时：都趋向于零
Neumann 函数趋向零的奇性
N 0 ( x) 
2

n
ln
x
(n  1)!  x 
; N n ( x)  
  , ( n  1)
 2
2
6
0.9
J0(x)
0.7
J1(x)
J2(x)
J3(x)
J4(x)
B essel Fuction
0.5
0.3
0.1
-0.1
-0.3
-0.5
0
2
4
6
8
10
x
7
1
N 0 (x)
0 .5
Neumann Fuction
N 1 (x)
0
-0 .5
-1
-1 .5
0
2
4
6
8
10
x
8
分数阶Bessel函数
9
大参数、大阶数（x~v）Bessel函数
11
 Airy 方程
d 2 Z ( )
  Z ( )  0
2
d
d 2 Z ( ) 1 dZ ( ) 
1

   2
2
 d
d
4


 Z ( )  0

  (2 / 3)( )3/ 2
d 2 Z 1 dZ  (1/ 3) 2  

 1 
Z  0
2
2
 d 
d
 
Z ( )  AI1/ 3 ( )  BI 1/ 3 ( )
12
2

2

Z ( )  A  I1/ 3  ( )3 / 2   B  I 1/ 3  ( )3 / 2  , (  0)
3

3

d 2 Z ( ) 1 dZ ( ) 
1





 d
d 2
4 2


 Z ( )  0

  (2 / 3)( )3 / 2
d 2 Z 1 dZ  (1/ 3) 2  

 1 
Z  0
2
2
 d 
d
 
Z ( )  AJ1/ 3 ( )  BJ 1/ 3 ( )
2

2

Z ( )  A  J1/ 3   3 / 2   B  J 1/ 3   3 / 2  , (  0)
3

3

13
 定义第一和第二类Airy函数



Ai( )  






Bi( )  




 2 3/ 2 
 2 3 / 2 


J
J
1/
3
1/
3



   ,

3 
3

3

 0
| | 
2
2
3/ 2 
3 / 2 


|
|
|
|

I
I
1/
3
1/
3




  ,  <0

3 
3

3


 2 3/ 2 
 2 3 / 2 


J
J
1/ 3 
 1/ 3     ,
3 
3


3

 0
| | 
2
2
3/ 2 
3 / 2 

I
|
|


I
|
|
1/ 3 
 1/ 3 
 ,   0
3
3 
3




 Airy 方程的解
Z ( )  C1Ai( )  C2 Bi( )
14
 Airy函数的渐近表达式
 1
 2 3/ 2  
sin
 
   ,

1/ 4
3
4


 
Ai( )  
1
 2
3/ 2 



exp
|
|

 ,   
 2  |  |1/ 4
3


 1
 2 3/ 2  
cos
   ,   

1/ 4
4
3
 
Bi( )  
1
2
3/ 2 


exp
|
|

 ,   
  |  |1/ 4
3

注：
d 2 Z ( )
2
( m  2) / 2
m

Z
(

)
0
Z

y
(

);







m2
d 2
 1/(m  2) 2 
y ( )  y ( )  1 
 y ( )  0
2



——1/(m+2)阶
Bessel方程
15
如果m=2, Euler方程。
d 2 Z ( )
2
( m  2) / 2
m

Z
(

)
0
Z

y
(

);







m2
d 2
 1/(m  2) 2 
y ( )  y ( )  1 
 y ( )  0
2



—1/(m+2)阶虚宗量
Bessel方程
16
柱函数的递推公式
d
 x v Z v ( x )   x v Z v 1 ( x );
dx
d
 x  v Z v ( x )    x  v Z v 1 ( x )
dx
2v
Z v 1 ( x )  Z v 1 ( x ) 
Z v ( x );
x
Z v 1 ( x )  Z v 1 ( x )  2 Z v ( x )
式中 Zv 为 Jv(x) 或 Nv(x). 最常用的有 J 0 ( x)   J1 ( x)
定义：满足上述递推关系的函数称为柱函数！
注意：柱函数一定满足Bessel方程，但Bessel方程的解
不一定是柱函数！如Jv(x)+Nv(x)满足Bessel方程，但不
是柱函数！
17
Bessel 函数的母函数

1

exp  x( z  z 1 )    J m ( x) z m , (0 | z | )
2
 m 
取 z  ei 得到
exp(ix sin  ) 

J
m 
m
( x )e
im
取 z  ei (  / 2) 得到
exp(ix cos  ) 


m 
平面波按
柱面波展
开，散射
问题中有
重要应用
i m J m ( x)eim
18
exp(ix sin  ) 


m 
J m ( x)eim
的周期函数
Fourier级数
周期为2
形式
Bessel函数的积分形式
1  ix sin  im
J m ( x) 
e
d



2
1 
  cos  x sin   im  d

0
1  i 0sin  i 0
J 0 (0) 
e
d  1

2 
1   im
J m (0) 
e d  0, (m  0)

2 
19
注意：m不是整数，而为任意复数时
1



0
cos( x sin   )d  J ( x)  J ( x)
Anger函数
~
~
dJ
x 
2 d J
2
2 ~
x
x
 ( x  ) J 
sin
2
dx
dx

2
Weber函数
E ( x) 
1


0
sin( x sin   )d
~
~
dJ
x   x 
2 d J
2
2 ~
x
x
 ( x  ) J  

cos
2
dx
dx


2
20
 Bessel 方程的本征值问题
本征函数和本征值
考虑一般的第三类边界条件
 d 2 R (  ) 1 dR (  ) 
m2 

    2  R (  )  0, (   a )

2
 d
 
 d

 R (  )  HR(  )
0
 a

方程的通解
R (  )  AJ m (   )  BN m (   )
=0 处的 自然边界条件
R (  ) | 0  有限
21
因此
R (  )  AJ m (   )
z
由边界条件得到本征值  的方程
J m (  a )  H  J m ( x) | x 
a
0
a
第一类边界条件
J m (  a)  0
设
是Jm(x)的第 n 个零点，则
本征值 为
(m) 2
 xn 
(m)
n  

 a 
xn(m )
y
x
22
可见
Bessel 函数零点的分布是非常重要的，从Bessel函
数的曲线上可清楚地看出 Bessel 的零点分布特性
（1）Jm(x) 有无限多个零点
（2）Jm(x) 的两个零点之间必有Jm+1(x) 的零点
（3）x=0 是 Jm(x) （m1）的零点
第二类边界条件
J m ( x) |x 
设 x 是 J m ( x) 的第 n

0
a
个零点，则本征值为
(m )
n
23

(m)
n
 x  当 m=0, J 0 ( x)   J1 ( x) ，所


( 0)
a
x

 以： n 就是 J1(x) 的零点。
(m)
n
2
第三类边界条件
J m (  a )  H  J m ( x) |x 
a
0
Bessel 函数的正交关系和模

a
0

J m ( n  ) J m ( l  ) d  N

(m) 2
n
nl
其中 N n(m ) 为 Bessel 函数的模
24
a
2
N    Jm( l ) d

0
(m)
n2
2
2
2
1  2 m2  
1 2
(m) 
(m) 
  a  (m)  Jm( n a)  a Jm ( n a)
 2 

2
n  
(一)第一类边界条件
J m (  n( m ) a )  0
2
1 2
( m)
  a J m ( n a)

2 
( m) 2
n
 N
（二）第二类边界条件
J m (  n( m ) a )  0
2
2


1
m
( m)
2
(m)
 N n    a  ( m )  J m ( n a) 

2
n  
2
25
（三）第三类边界条件
J m (  n( m ) a )   J m (  n( m ) a ) / H  n( m )
2
2
2


1
m
a
(m)
2
(m)

 N n    a  ( m ) 
J
(
a
)


m
n

2
H n( m )  
n
2
 Fourier-Bessel 展开
函数系
J
m
( 
(m)
n

 ), n  1,2,3,....
是完备系。对 [0, a] 上的平方可积函数 f() 有
Fourier-Bessel 展开
26
注意：
带权正交


(m)

f
(

)
f
J
(


n m
n )


n 1

a
(m)
f  1
(
)
(
f

J

n
m
n  ) d 
( m ) 2 0

[ Nn ]
Bessel 和Neumann 函数的应用
例一、圆柱体的冷却：无限长圆柱体半径为 a，
初始温度为 u0, 表面温度维持为零，求圆柱体
内温度的变化。
解：定解问题
 cv ut   2u  0

u |t 0  u0 , u |  a  0
27
第一步：时间的分离变量
u  v (  ,  , z )T (t )
代人输运方程
v
T
 2  k 2 , (  2   /  cv )
T
v
2
z
a
因此有
 v  k v  0;
2
2
2 2

T k  T 0
时间部分解为
T (t )  C exp( k  t )
2
2
28
第二步：边界条件分离变量
u |  a  vT (t ) |  a  0  v |  a  0
因此，必须求 Helmholtz 方程 第一类边值问题的
解
 2 v  k 2 v  0

 v | a  0
第三步：空间变量的分离变量
v( , , z)  R(  )( )Z ( z)
29
代入 Helmhotz 方程，引进二个常数 m2 和 
2

  m   0;
Z    Z  0
d 2 R 1 dR  2
m2 

k   2 R  0
2
 d 
 
d
第四步：分析引进常数
（1）由周期条件
 ( )   (  2 )
 ( )  Aeim , ( m  0,  1,  2,......)
——现在，因为 u0=常数，与 无关，问题与
无关，因此必须选择 m=0.
30
（2）分三种情况： <0, =0, >0讨论
Z ( z )  Ae 
| |z
 Be
| |z
, (   0)
Z ( z )  A cos  z  B sin  z, (   0)
Z ( z )  Az  B, (   0)
——现在，因为 u0=常数，与 z 无关，问题与 z
无关，因此必须选择  =0, 并且 Z(z)=常数。
第五步：径向方程
(k2>0,否则时间
部分 T(t)  无限)
d 2 R 1 dR
2


k
R  0, (0    a )
2
d
 d
31
一般解
R (  )  AJ 0 (k  )  BN 0 (k  )
由 r=0 自然边界条件 B=0, 所以径向解为
R(  )  AJ 0 (k  )
第六步：边界条件
R ( a )  AJ 0 ( ka )  0
设 i是 J0(x) 的零点(i=1,2,3…., ),本征值 k
k  i / a, (0  1   2  .....)
32
问题的通解为

u (  , t )   Ai e

 2 i2
a
 i 
J0   
a 
t
i 0
第七步：初始条件决定 Ai
 i 
u (r ,  ) |t 0   Ai J 0     u0
a 
i 0

由 Bessel 函数的正交关系
Ai  2u0  aJ 0 ( i ) 
2
 2u0  ki aJ 0 ( i ) 

a
0
2
J 0 ( ki  )  d 

ki a
0
J 0 ( x) xdx
33
利用递推关系
d
0 J 0 ( x) xdx  0 dx [ xJ1 ( x)]dx
 xJ1 ( x) |0ki a  i J1 ( i )
ki a
ki a
2u0
Ai 
i J 1 ( i )
因此问题的解为
J 0  i  / a  
u (  , t )  2u0 
e
i J1 ( 1 )
i 0

 2 i2
a
t
问题：（1）如果u0 与 有关，结果如何？（2）如果u0
与 有关，结果如何？（3）如果u0 与  和  都有关，
结果又如何？
34
当问题与z有关，如何处理？

cv ut   2 u  0

u |t  0  u 0 (  ,  , z ), u |   a  0
角度部分
 ( )  Aeim , ( m  0,  1,  2,......)
z方向部分
d2 Z ( z)
2
2



Z
(
z
)
0



dz 2
不存在边界：连续谱     
本征函数
Z ( z )  Ae iz
35
径向部分
d 2 R 1 dR  2 m 2 

  k  2  R  0
2
 d 
 
d

k 2  k 2   2
R(  )  AJ m (k  )
J m (k a )  0
设 im是 Jm(x) 的零点(i=1,2,3…., ),本征值 k
k   im / a
2
2
2
2

k  k    ( im / a )  
2
36
uim (  ,  , z , t )  Aim ( )e

u (  ,  , z, t )  


i 1 m 


  2 ( im / a )2  2  t


Aim ( )e
 im  i ( m  z )
Jm 
 e
 a 
  2 ( im / a )2  2  t


 im  i ( m  z )
Jm 
 e
d
 a 
径向：离散谱——广义Fourier级数
周向：离散谱——Fourier级数
轴向：连续谱——Fourier积分



i 1 m 


 im  i ( m  z )
 u0 (  ,  , z )
Aim ( ) J m 
 e
 a 
37
1
Aim ( ) 
(2 ) 2 ( N im ) 2
a
2

0
0

 
u0 (  ,  , z )e i ( m  z )
 im 
   d  d dz
J m 
 a 
1 2
[ N ]  a [ J|m| (nn )]2
2
m 2
n
有限长圆柱体(上下底面也为0)，如何处理？

cv ut   u  0
u |  u (  ,  , z )
 t 0 0
u |  a  0; u | z 0  u | z l  0

2
38
Z ( z )  Ae z  Bez , (  0)
Z ( z )  A cos z  B sin z , (  0)
Z ( z )  Az  B, (  0)
Z ( z )  A cos z  B sin z , (  0)
Z ( 0)  0  A  0
Z (l )  0  l  n
uimn (  ,  , z , t )  Aimn e
n
 n
l
  2 ( im / a )2  ( n / l )2  t


n z im
 im 
  sin
Jm 
e
l
 a 
39

u (  ,  , z, t )  


 A
i 1 m  n 1
imn
e
  2 ( im / a )2  ( n / l )2  t


n z im
 im 
J m 
  sin
e
l
 a 
n
 im 
u (  ,  , z , 0)     Aimn J m 
  sin eim  u0 (  ,  , z )
l
 a 
i 1 m  n 1



径向：离散谱——广义Fourier级数
周向：离散谱——Fourier级数
轴向：离散谱——Fourier级数
40
有限长圆柱体(下低面为0，上底面绝热)，
如何处理？

cv ut   u  0
u |  u (  ,  , z )
 t 0 0

u |  0; u |  u  0
 a
z 0

z z l
2

u (  ,  , z, t )  


 A
i 1 m  n 1
imn
e
1 

n   n  
2 l

  2 ( im / a )2  n2  t


1   z im
 im  
J m 
  sin  n   e
2 l
 a  
41
有限长圆柱体(上低面为0，下底面绝热)，
如何处理？

cv ut   2u  0
u |  u (  ,  , z )
 t 0 0

u |  0; u |  u
0
z l
 a

z z 0

u (  ,  , z, t )  


 A
i 1 m  n 1
imn
e
1 

n   n  
2 l

  2 ( im / a )2  n2  t


1   z im
 im 

J m 
  cos  n   e
2 l

 a 
42
半无限长圆柱体——下底面为0，如何处理？

u (  ,  , z, t )  


i 1 m 

0
Aim ( )e
  2 ( im / a )2  2  t


 im  im
J m 
  e sin  zd
 a 
半无限长圆柱体——下底面绝热，如何处理？

u (  ,  , z, t )  


i 1 m 

0
Aim ( )e
  2 ( im / a )2  2  t


 im  im
J m 
  e cos  zd
 a 
43
半无限长圆柱体——下底面第三类边界条件，
如何处理？

cv ut   2u  0

u |  u (  ,  , z ); u |  0;  u  H u   0


 a
 t 0 0
z  z 0


Z ( z )  A cos  z  B sin  z , (  0)
u 

u
H

 0  A  HB  0


z  z  0

1


sin z 
Z ( z )  A cos z 
H


44

u (  ,  , z, t )  


i 1 m 

0
Aim ( )e
  2 ( im / a )2  2  t


 im  im
  e   ( z )d
J m 
 a 


  ( z )   cos  z 
1

sin  z 
H

——见第11.3：连续谱的归一
化问题
45
有限长圆柱体——非齐次边界条件，如何
处理？

cv ut   2u  0
u |  u (  ,  , z ); u |  u ( , z );
1
 a
 t 0 0
u |  u (  ,  ); u |  u (  ,  )
z l
3
 z 0 2
——无法分离变量——Green
函数方法！
46
例二、圆柱体：半径为 a, 高为 L,侧面绝热，上下
面温度保持为 f1(,) 和 f2(, ), 求稳定的温度场
分布。
解：定解问题
z
 1   u  1  2u  2u
 2 0


 2
2
z
       
 u
 0, u | 0  

    a
 u |  f (  ,  ), u |  f (  ,  )
zL
2
 z 0 1

L
y
x
47
（一）角度方向
     0

 ( )   (2   )
（二）轴向
d 2Z ( z)
 Z ( z )  0
2
dz
(A)、 =0： Z ( z )  C  Dz
(B)、 >0： Z ( z )  Ce
z
 z
 De
(C)、 <0： Z ( z )  C cos |  |z  D sin |  |z
48
(三）径向
d 2 R(  ) 1 dR(  ) 
m 2 

    2  R(  )  0
2
 d
d
 

C m  D m, m  0
(A)、 =0： R  
E  F ln , m  0
2
d
(B)、 >0： x2 R  x dR  ( x2  m2 )R  0, x   
dx2
dx
2
d
(C)、 <0： x2 R  x dR  ( x2  m2 )R  0, x  |  |
dx2
dx
49
分析
(1）圆柱体侧面要满足齐次边界条件，而以后将
看到虚宗量 Bessel 函数在x 轴上无零点，必
须排除<0 ；
(2）当 =0，为了满足边界，只能保留m=0 时，
R= 常数项;
(3）排除在=0 发散的解.
由边界条件
u (  ,  , z )
0 

 a
J m ( n( m ) a )  0
50
第二类边界条件
往往存在直流项
因此问题的通解为
u (  ,  , z )  A0  B0 z




n 1 m 
Jm ( 
(m)
n

) A e
m
n
n( m ) z
(m)
m  n z
n
B e

eim
代入上下面边界条件

A0  

m
m im
(m)

J
(


)
A

B
 f1 (  ,  )
 m n
n
n e
n 1 m  

A0  B0 L  

 Jm( 
n 1 m  
(m)
n
 ) Anm e

 n( m ) L
(m)
m  n L
n
B e
 f 2 (  , )
51
eim

把右边展开成二维广义 Fourier 级数，比较级数两
边即可得到系数 { Anm } , {Bnm }
1 2
A0 
2 a 2

a
0
f1 (  ,  )dd  f10 ,
1 2
A0  B0 L 
2 a 2

a
0
f 2 (  ,  )dd  f 20
直流平均项：因为当 m=0 时：J 0 ( x)   J1 ( x)
J1(x)以x=0为零点 ： J1(0)=0——存在零本征值，
因而存在直流项.
交流项：系数 { Anm } , {Bnm } 从方程即可解出
52
1
A B 
2 ( N nm )2
m
n
m
n
m
n
n( m ) L
A e
0
(m)
m  n L
n
B e
1
2 ( N nm )2


a
0
a
e im f1 (  , )J m ( n( m )  ) dd  f1n

eim f 2 (  , ) J m ( n( m )  ) dd  f 2 n
2
1  2 m2  
N   a  (m)  Jm( n(m) )

n  
2
m 2
n
m
m
A
,
B
 n n
53
例三、鼓的振动：圆膜半径 a, 圆周固定。初始分
布为
u |t 0  0, ut |t 0  f (  )  e
  2 / b2
解：定解问题
2
  2u






1
u
1
u
2
 0,   a
 
  2
 2  
2
        
 t
 u | a  0, u | 0  
 u |  0, u |  f (  , t )
t t 0
 t 0

第一步：时间的分离变量
u  v (  ,  )T (t )
54
代入波动方程
因此有
 2 v T 
 2  k 2
T
v
 2 v  k 2 v  0;
T   k 2 2T  0
时间部分解为
T (t )  A sin kt  B cos kt
y
第二步：边界条件分离变量
u |r a  vT (t ) |r a  0  v |r a  0
O
x
55
因此, 必须求 Helmholtz 方程 第一类边值问题的
解
 v  k v  0,
2
2
v |r a  0
第三步：空间变量的分离变量
v (  ,  )  R (  ) ( )
代入 Helmhotz 方程，引进常数 m2
  m 2   0;
2

d R 1 dR
m 
2

k  2 R  0
2
 d 
 
d
2
56
显然有
 m ( )  Ceim , ( m  0,1,2,....)
R (  )  EJ m ( k )  FN m ( k )
（1）问题的对称性质要求取 m=0
（2）=0，u 有限要求取 F=0
（3） v |r a  0
J 0 (ka)  0
设 xn 是J0(x) 的第 n 个零点，则 kn= xn /a, 于是问
题的通解为
57

xn
xn   xn 

u(, t)   An sin t  Bn cos t J0   
a
a  a 
n1 
第四步：初始条件决定 Ai 和 Bi

 xn 
u (  , t ) |t  0   Bn J 0     0
 a 
n 1

 xn
  xn 
ut |t  0     An J 0     f (  )
  a 
n 1  a
因此，Bn=0
 xn 
0 f (  ) J 0  a   d 
kn= xn /a 称为本征振动频率。
2
An 
a xn [ J 0 ( xn )]2
a
58
例四、Neumann 函数的应用：空心圆柱体的本征
频率。内表面固定，外表面自由，求圆柱体作径
向振动的本征频率。
解：径向振动方程及边界条件
z

u 
2 1  
utt  c

0
    


u
 u |  0,
0
 a

  b

设
a
b
y
O
u (  , t )  R (  )e
it
x
59
代入方程
1 d  dR  2

  k R  0, (k   / c, a    b)
 d  d 
零阶 Bessel 方程的解
R(  )  AJ 0 (k  )  BN 0 (k  )
代入边界条件
 AJ 0 (ka )  BN 0 (ka )  0

 AkJ 0 (kb)  BkN 0 (kb)  0
60
系数行列式为零，得到
J 0 (ka )
J 0 (kb)
N 0 (ka )
 J 0 (ka ) N 0 (kb)  N 0 (ka ) J 0 (kb)  0
N 0 (kb)
利用柱函数的递推公式 Z 0 ( x)   Z1 ( x)
本征方程为
f (k )  J 0 (ka ) N1 (kb)  N 0 (ka ) J1 (kb)  0
上述方程的根的平方就是问题的本征值，本征
频率为
i  cki
61
f(k)
0.3
a=1;b=3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
62
例五、刚性且二端开口圆柱波导的传播模式
波动方程
 p 2 2
c  p  0
2
t
刚性边界，二端开口
z
2
p

 0; p | z 0  p | z l  0
z=0
 a
时间-空间关系
 
 p  p  0
c
2
p (  ,  , z , t )  p (  ,  , z )e
it
2
63
p (  ,  , z )  R (  ) ( ) Z ( z )
  m 2   0;
Z   Z  0
k

c
m2 
d 2 R 1 dR  2

  k    2  R  0
2
d
 d 
 
( )  (  2 )
( )  Aeim , (m  0,  1,  2,......)
Z ( z )  A cos  z  B sin  z
n
 n 
z;   
Z ( z )  A sin

l
 l 
2
64
径向
n 

k  k  

l


2
d 2 R 1 dR  2 m 2 

  k   2  R  0
2
 d 
 
d
2
2
R(  )  AJ m (k  )  BN m (k  )
R(0)    B  0

R (  )  AJ m (k  )
dJ m (k  )
0
d
 a
65
i

J
(
x
)

0

记方程 m
的根为 m

n    

 k 
k 

 
a
 l   a 
n
m
2
i
m
2
2
2
 n    
振动模式
kmmi  


 
（本征模式）
 l   a 
n
  ) sin
p (  ,  , z )  Amni J m (kmni
z exp(im )
l
2
mni
2
i
m
    n 
 

 
c
 a   l 
i
m
2
——本征频率
66
 刚性柱形波导
z=0 存在源振动
v z | z 0  v0 (  ,  )eit
z
z=0
求波导中声传播。
1、时-空分离
p (  ,  , z , t )  p (  ,  , z )e
it

 p  p  0
c
2
2
2、空间分离变量
p (  ,  , z )  R(  ) ( ) Z ( z )
67
   m 2   0;
Z    Z  0

k
c
d 2R
1 dR  2
m2 

k   2 R  0
2
d
 d 
 
( )  (  2 )
( )  Aeim , (m  0,  1,  2,......)



Z ( z )  A exp  i  z  B exp i  z
z方向传播

-z方向传播
68
3、径向
k 2  k 2  
d 2 R 1 dR  2 m 2 

  k   2  R  0
2
d
 d 
 
R (  )  AJ m (k  )  BN m (k  )
dJ m (k r )
0
dr
R (0)    B  0  R(  )  AJ m (k  )
r a
i

J
(
x
)

0

记方程 m
的根为 m
 mi
i



2
m

k 
 k    
a
 a 
2
  
      
c  a 
2
i
m
69
2
因此，z 方向
   2   i 2  
Z ( z )  A exp i     m   z 
  c   a   
 A exp ik zmi z
  mi  im
p (  ,  , z , t )   Ami J 
 e exp i (t  k zmi z )
m ,i
 a 


  
   

c  a 
2
k
mi
z
i
m

2
70
4、边界条件
v
1 p
0  p  vz  
i 0 z
t
1
0
i

 im

mi
m
k z Ami J 
  e  v0 (  ,  )

m ,i
 a 

 0
Ami 
2N mi2 k zmi
2 a
i



im
m
0 0 v0 (  ,  )e J m  a  dd
71
 问题1
 
k     
c  a
高阶波不能在波导中传播！
2
i
m
mi
z
2

  0

2
01
  
      2 f max  c
a
c  a 
2
1
1
低频截止频率
f max
 ——波导中只能传
c
播平面波
2 a
1
0
72
 问题2
当边界条件是 v z | z 0  v0 (  ,  , t ) ，如何解？
 
  mi  im
p (  ,  , z , t )    Ami ()J m 
 e exp i (t  k zmi z ) d
 a 
  m ,i


vz
v
1 p
0
  p 
 
t
t
 0 z
 
i

 im
v0 (  ,  , t )

mi
m
ik z Ami ()J m 
 e expit d 


t
 0   m ,i
 a 
1
73
 
i

 im
v0 (  ,  , t )

mi
m
ik z Ami ()J m 
 e expit d 


t
 0   m ,i
 a 
1
Amn   
4 N ik
2
2
mi
v0  ,  , t 
 t 

0
mi
z
  mi  im
  J m 
 e dd exp it dt
 a 
74
例六 屏对平面波的衍射——分数Bessel函数
区域(I)：仅为入射场
pI (  ,  ,  )  pi (  ,  )  A exp(ik0 x)
 A exp(ik0  cos  )
区域(II)：由入射场和反射
场(刚性半无限屏的反射)
pII (  ,  ,  )  pi (  ,  ,  )  pr (  ,  ,  )
 A exp(ik0  cos  )
 A exp ik0  cos(  2 ) 
区域(III)：没有声场
pIII (  ,  ,  )  0
75
空间声场满足
 1     1 2 
2
(
,
,
)
p
k









0 p(  ,  ,  )  0
2
2 
        
p(  ,  ,  )
p(  ,  ,  )
 0;
0


  ( / 2  )
  (3 / 2  )
——刚性半无限屏的存在，没有周期
边界条件！
本征值问题
d 2  ( )
2


 ( )  0
2
d
d ( )
d ( )
 0;
0
d   ( / 2  )
d  (3 / 2  )
 ( )  S sin   C cos 
 
 


      C sin        0


 2
 2
 S cos  
  3
  3


     C sin   
    0


  2
  2
 S cos  
sin(2 )  0   
m
, ( m  0,1, 2,...,...)
2
m 
m

 m / 2 ( )  cos     cos   3    2  
2 
2

径向方程
1 d
 d
 dR (  )   2 (m / 2) 2 
  d    k0   2  R(  )  0

 

Bessel方程的解
J  (k0  )  J m / 2 (k0  ) ——包含半奇数阶
Bessel函数
空间声场

p (  ,  ,  )   Am ( ) m / 2 ( )J m / 2 ( k0  )
m 0
展开系数决定：当时，区域(I)仅为入射场；
区域(II)由入射场和反射场组成
||  n / 2 ( ) ||2 An ( ) lim J n / 2 ( k0  )
 
 lim 
2
   ( / 2  )
 lim 

  2
pII (  ,  ,  ) n / 2 ( )d
pI (  ,  ,  ) n / 2 ( )d
空间声场
p(  ,  ,  )  AU (  ,  ,  )  U (  ,3    2 ,  )
1 
m 
m/2
U (  ,  ,  )   (2   m0 )(i) cos    J m / 2 (k0  )
2 m0
2 
例七 有限厚度的无限大圆盘
 cv ut   2u  0, (t  0,0    ,0  z  l )

u |t 0  u0 (  ,  , z ); u | z 0  0; u | z l  0

角度部分
 ( )  Ae
im
, ( m  0,  1,  2,......)
z方向部分
n
Z ( z )  A sin
z
l
n
n 
l
径向部分
d 2 R 1 dR  2 m 2 

  k  2  R  0
2
d
 d 
 
k 2  k 2   n2
R (  )  AJ m (k  )  BN m (k  )
为
什
么？
B0
——不存在边界条件：k＇为连续谱0<k＇<
u (  ,  , z, t ) 


 
m  n 1

0
Amn (k )e
  2  k 2  ( n / l )2  t


n z im
e
 sin
l
J m  k   k dk 
初始条件


 
m  n 1

0
Amn (k )J m  k   k dk  sin
n z im
e  u0 (  ,  , z )
l
1 2 l
n z  im
unm (  ) 
u0 (  ,  , z ) sin
e


4 l 0 0
l



0
Amn (k )J m  k   k dk   unm (  )
——能否求出系数？


0
Amn (k )J m  k   k dk   unm (  )
两边×  J m  k   并且积分


0


Amn (k )  J m  k   J m  k    d   k dk 
 0


  unm (  ) J m  k    d 
0


0
J m  k   J m  k    d  
——证明？
 (k   k )
k


0
 (k   k ) 

Amn (k ) 
k dk   Amn (k )

k



Amn (k )   unm (  ) J m  k    d 
0

f m (  )   g m (k ) J m (k )kdk ;
0

g m (k )   f m (  ) J m (k ) d
0
——m阶Hankel变换对
13.2 Hankel 函数及其应用
 定义：Bessel 函数 与 Neumann 函数的线性组
合也是 Bessel 方程的解
 H v(1) ( x )  J v ( x )  iN v ( x )
 (2)
 H v ( x )  J v ( x )  iN v ( x )
Bessel 方程的通解也可表示为
y ( x)  C1 H v(1) ( x)  C2 H v( 2 ) ( x)
柱函数：Bessel 函数、Neumann 函数、Hankel
函数。
85
无限远的特性
H
(1)
v
2 i ( x v / 2 / 4) (2)
2  i ( x v / 2 / 4)
~
; H v ( x) ~
e
e
x
x
不同用途：
（1）Bessel 函数：振荡特性，讨论封闭空间的
驻波问题，类似于 coskx
（2）Neumann 函数：在 =0 有奇异性，讨论不
包括原点的问题, 振荡特性: 类似于 sinkx
（3）Hankel 函数：行波特性，讨论开空间波的
传播和散射问题，类似于 eikx 和 e-ikx
86
递推公式
d v
 x Z v ( x)   x v Z v 1 ( x)
dx
d v
 x Z v ( x)    x  v Z v 1 ( x)
dx
2v
Z v 1 ( x)  Z v 1 ( x) 
Z v ( x)
x
Z v 1 ( x)  Z v 1 ( x)  2 Z v ( x)
式中 Zv 为 Jv(x) 、 Nv(x) 或 Hv(x)
Hankel 函数的应用
讨论波的发射、散射：行波特征
87
例一、半径为 a 的无限长圆柱面，其径向速度为
求向外辐射的声场。
v  v0e
 it
z
解：问题与 z 和  无关

u 
2 1  
utt  c

0
    


u

 v0 e  it

   a

设 振动为
O
y
x
u(  , t )  R(  )e  it
88
则
 1 d  dR  2

  k R  0, (k  ,   a )
 

c
  d  d 

 R (  )
 v0
    a
零阶 Bessel 方程的解
R (  )  C1 H 0(1) (k )  C2 H 0( 2 ) (k )
 Hankel 函数的取舍：决定于时间部分的形式。
在无限远处
exp[i ( k   t )] —向外辐射的柱面波
exp[i ( k   t )] —向原点会聚的柱面波
89
因此 （1）如果时间部分为 e  it
H v(1)——向外辐射的柱面波
H v( 2 )——向原点会聚的柱面波
（2）如果时间部分为 eit
H v( 2 )——向外辐射的柱面波
H v(1)——向原点会聚的柱面波
本问题取
R (  )  C1 H 0(1) (k )
利用边界条件
 H 0(1) ( k ) 
C
 v0



  a
如果ka<<1（球的半径远小于波长）, 利用
2 x
(1)
H 0 ( x )  J 0 ( x )  iN 0 ( x )  1  i ln
 2
即
  
2 k  
2
C  1  i ln
 v0  iC
 v0

2   a

a
  
于是，声场的分布为
u  i
 v0 a
2
H
(1)
0
    it
  e
c 
在远场区，即  / c  1 的区域
c i (   t  / 4 )
u ~ iv0a
e
2
c
91
例二、刚性圆柱体对平面声波的散射。
解：声波方程
z
ptt  c 2 2 p  0
a
考虑单频平面波的入射
pi  p0e
 p0e
i( 
c
x t )
i ( c  cos t )
整个声场由入射场和
散射场组成
p  pi  ps e
 it
y
入
射
平
面
波
O
x
散射的柱面波
92
代入波动方程
 
 ps    ps  0
c
2
2
由对称性，问题与 z 无关
1 
ps
1  2 ps
2
(
) 2

k
ps  0, ( k   / c )
2
 

 
分离变量
ps  R(  ) ( )
dR  2 m 2 
1 d
(
)   k  2  R  0,
 d d 
 
d 2
2

m
0
2
d
93
考虑到散射波是向外辐射的波，因此通解取为
ps ( , ) 

im
(1)
A
H
(
k

)
e
m m
m
系数{Am}由圆柱面上的条件决定：因为圆柱体是
刚性的，总声压的法向导数为零

ik  cos 
p
e
 ps 
0

0
 a

ps

 a

ik  cos 
   p0 e


 a
94
利用
exp(ix cos ) 

m
im
i
J
(
x
)
e
 m
m  
因此

dH m(1) ( k )
im
m dJ m ( k )
im
A
e
p
i


e

0 
m
d
d  a

m  
m  
 a

(1)
dJ
k

dH
(
)
m
m
m ( k )
Am   p0i
/
d   a
d
 a
95
散射场的计算问题
 dJm (k)




d  a  (1)
m
im
ps (,)   p0  i  (1)
H
(
k

)
e
m

dHm (k)
m


 d
 a 

远场近似
2

 
exp i  k     s ( ,  )
 k
4 


J m (ka)
J1 (ka)
 s ( ,  )  (1)
 2 (1)
cos(m )
 (ka)
H1 (ka)
m 1 H m
ps (  ,  ,  )   p0i ( )
低频散射 ka  1
小参数展开

1
x2
 x
, (  1, 2, 3,...)
J 0 ( x)  1  ; J ( x)   
2
 2  (  1)
2i x
(1)
H 0 ( x)  iN 0 ( x)  ln
 2

i( )  2 
H(1) ( x)  iN ( x)  
  , (  0)
  x

 s ( ,  )  i (ka) 2 (1  2 cos  )
4
高频散射 ka  1
能否用大参数展开？
J ( x ) 
2
   
cos  x 
 
2 4
x

2
     
H ( x) 
exp i  x 
 
2 4 
x
 
(1)
条件是
x>>

J m (ka)
J1 (ka)
 s ( ,  )  (1)
 2 (1)
cos(m )
 (ka)
H1 (ka)
m 1 H m
——当求和项足够多，可能ka~m——Bessel函
数的大参数、大阶数展开！
——数值计算中出现/,解决方法：
1、理论推导 J m (ka) / H m(1) (ka)
2、衍射几何理论。
98
13.3 虚宗量 Bessel 函数
虚宗量 Bessel 函数：Laplace 方程分离变量时
出现，当<0 时：径向方程为虚宗量 Bessel 方
程
2
dR
d
R
2
2
2


(
x

v
) R  0,
x
x
2
dx
dx
令 =ix
( x  |  | )
2
d
R
dR
2 2 
 ( 2  v 2 ) R  0
d
d
因此，R 有一个特解
R1 ( x )  J v ( ix ) 


k 0
 iv


k 0
(  1) k
 ix 
 
k !  ( v  k  1)  2 
1
x
 
k !  ( v  k  1)  2 
v2k
v2k
99
定义 虚宗量 Bessel 函数

v 2k
( 1) k
 ix 
R2 ( x )  J v (ix )  
 
k 0 k! (  v  k  1)  2 
 v 2k
1
x
v
I v ( x )  i J v (ix )  
 
k 0 k! ( v  k  1)  2 
同样，另一个特解为


1
x
 
k 0 k! (  v  k  1)  2 
 i v 
或者

v  2 k
1
x
v
I v ( x )  i J v (ix )  
 
k 0 k! (  v  k  1)  2 
 v 2 k
100
当 =m=0 或整数
I m ( x )  i m J m (ix )  i m ( 1) m J m (ix )
 i m ( 1) m i m I m ( x )  I m ( x )
Neumann 函数
J v (ix) cos v  J  v (ix)
N m  lim
vm
sin v
i v I v ( x) cos v  i  v I  v ( x)
 lim
vm
sin v
101
可见 当=2k+1, 极限不存在，因此，这时
Neumann 函数不能作为第二个解。但是
J v (ix ) cos v  J v (ix )
H (ix )  J v (ix )  iN v (ix )  J v (ix )  i
sin v
e iv J v (ix )  J v (ix )
iv / 2 I v ( x )  I  v ( x )

 ie
 i sin v
sin v
(1)
v
极限存在，定义
 Iv (x)  Iv (x)
Kv (x) 
2 sinv
K ( x) 

2
i 1 H v(1) (ix )
称为 虚宗量 Hankel 函数。
102
因此，虚宗量 Bessel 方程的一般解为
R ( x )  AI v ( x )  BK v ( x )
——无论  是何值。
虚宗量 Bessel 和 Hankel 函数的特性
当 x0 时
I 0 (0)  1, I m (0)  0 ( m  0)
x
( m  1)!  x 
K 0 ( x ) ~  ln ; K m (0) ~
 
2 2
2
m
可见：Km 在原点发散！当研究的区域包括原
点时，只能取 Im(x).
103
当 x时
I m ( x) 
1
2 x
x
e ;
Km ( x) 
1
2 x
e x
可见：Im 在无限远发散！当研究的区域是开区
域时，只能取 Km(x).
5
20
4.5
4
16
3.5
K0(x), K1(x), K 2(x)
I0, I1, I2, I3, I4
Im(x)
3
2.5
2
K2(x)
12
K1(x)
8
1.5
1
K0(x)
4
0.5
0
0
0
0.5
1
1.5
2
x
2.5
3
3.5
4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
104
虚宗量 Bessel 的应用
圆柱体：半径为 a, 高为 L， 柱侧面法向有均匀
分布的恒定热流 q0, 圆柱上下面温度分布保持
为 f1() 和 f2().求圆柱体中温度场的分布。
解：定解问题
z
2u  0, (0  z  L,   a )

u

 q0 , u | 0  
 
  a

 u |z 0  f1 (  ), u |z  L  f 2 (  )
边界条件全是非齐次的
L
O
y
x
105
于是一个复杂的定解问题化为二个简单的定解问
题常用方法是
令：u=v+w ，其中
v ：上下面是齐次的
w：径向是齐次的
( I)
2v  0, (0  z  L,   a )

v

 q0 , v | 0  
 
  a

 v |z 0  0, v |z  L  0
——上下底面齐次
106
2 w  0, (0  z  L,   a )

w

 0, u | 0  
 
  a

 w |z 0  f1 (  ), w |z  L  f 2 (  )
(II)
——柱面齐次
 Laplace 方程的一般解
u(,, z)  (C0  D0 z)(E0  F0 ln  ) 

  ( Ae
m  0
z
 Be
z

m im
(
C

D
z
)

 m m e
m
)  LJm (  )  MNm (  z) eim

  (H sin |  |z  G cos |  |z) OIm ( |  | )  PKm ( |  | ) eim
m  0
107
根据具体的物理问题，选择不同的函数。本题
(1)要求 原点有限，因此
F0=0, C-|m|=D-|m|=0, M=0, P=0
(2) 关于极角对称：m=0。
因此
u (  , z )  (C0  D0 z )   ( Ae 
 0
z
 Be
z
)J0 (   )
  ( H sin |  | z  G cos |  | z ) I 0 ( |  | )
 0
108
（一）、 v 的解：要求上下面边界齐次，因此取
v(  , z )  (C0  D0 z )   ( H sin |  | z  G cos |  | z ) I 0 ( |  | )

由
v |z 0  C0   GI m ( |  | )  0
 0
v |z  L  (C0  D0 L)   ( H sin |  |L  G cos |  |L) I m ( |  | )  0
 0
109
C0=0, D0=0, G=0 和
H sin |  |L  0
sin |  |L  0
如果 取 H=0, 那么 v0, 所以
因此
n
| | 
, ( n  1,2,...)
L
n
n
)
v (  , z )   H n sin
zI 0 (
L
L
n 1

——z方向构成本征值问题
110
由径向边界条件

q0
n
n dI 0 ( x)
v(  , z )
sin
z
  Hn

L
L
dx x  n a 
   a n 1
L
于是
1
2 L q0
L
n
sin
Hn 
zdz

0
n I 0 (n a / L) L 
L
2 Lq0
1
1  (1) n 
 2 2
n   I 0 (n a / L)
最后
v(  , z ) 
4 Lq0

1
1

 2 l 0 (2l  1) 2   (2l  1)
I0 
L

(2l  1)
 (2l  1) 
  sin
I0 
z
L
L


a 

111
（二）、 w 的解：要求侧面边界齐次，因此取
w(  , z )  (C0  D0 z )   ( Ae 
z

 Be
z
)J0(   )
由边界条件得到
w(  , z )
  ( Ae 

 0
 a
z
 Be
z
)  J 0 (  a )  0
设 xn 是 J 0 ( x)  0 的第 n 个根，则   xn / a
w(  , z )  (C0  D0 z )

  ( An e  xn z / a  Bn e xn z / a ) J 0 ( xn  / a )
n 1
112
上式系数由上下面的边界条件决定。

w(  , z ) |z 0  C0   ( An  Bn ) J 0 ( xn  / a )  f1 (  )
n 1
w(  , z ) |z  L  (C0  D0 L)

  ( An e  xn L / a  Bn e xn L / a ) J 0 ( xn  / a )  f 2 (  )
n 1
注意：当问题是第二类边界条件时，(C0  D0 z )
项一般要考虑。
113
13.4 球 Bessel 和球 Hankel 函数
基本形式：球坐标中 Helmhotz 方程分离变量后

令

2
d
R
dR
2
2 2

2
r

k
r  l l  1 R  0,
r
2
dr
dr
y( x) 
2kr


R ( r ), x  kr

2
d
y
dy
2
2
2
x
 x  x  l  1 / 2  y  0,
2
dx
dx
114
如果 k=0
2
d
R
dR
2
 2r
 l l  1R  0,
r
2
dr
dr
——Euler 方程
R( r )  Ar l  Br  ( l 1)
k0情况：四种形式的解
{J l 1 / 2 ( x ), N l 1 / 2 ( x )}, { H l(11) / 2 ( x ), H l(21)/ 2 ( x )}
两组成独立解。
115
因此球 Bessel 方程的独立解为
（1）球 Bessel 和Neumann函数
jl ( x ) 
π
2x
J l 1 / 2 ( x ), nl ( x ) 
π
2x
N l 1 / 2 ( x )
（2）球 Hankel函数
h ( x) 
(1)
l
π
2x
H
(1)
l 1 / 2
( x),
h ( x) 
(2)
l
π
2x
H l(21)/ 2 ( x )
二种形式的解：前者有驻波形式，在封闭空间
使用；后者有行波形式，波在无限空间中的传
播和散射使用。
116
通解


2
d
R
dR
2
2 2
r
r

2

k
r  l l  1 R  0,
2
dr
dr
驻波形式解
R(r )  Ajl (kr )  Bnl (kr )
π

 AJ l 1/ 2 (kr )  BNl 1/ 2 (kr )
2kr
1
jl ( x) ~ cos  x  (l  1/ 2) / 2   / 4
x
1
nl ( x) ~ sin  x  (l  1/ 2) / 2   / 4
x
117
行波形式解
R(r )  Ahl(1) (kr )  Bhl(2) (kr )
π
(2)
 AH l(1)

kr
BH
(
)


l 1/ 2 ( kr ) 
1/ 2
2kr
1
h ( x) ~ exp i  x  (l  1/ 2) / 2   / 4
x
1
(2)
hl ( x) ~ exp i  x  (l  1/ 2) / 2   / 4
x
(1)
l
118
递推公式：球函数统一写作
zl 

Z l 1 / 2 ( x )
2x
从柱函数的递推公式，可得到
2l  1
zl 1  zl 1 
zl
x
lzl 1  (l  1) zl 1  (2l  1) zl
119
初等函数形式：当 l 是整数，可用初等函数来
表达球函数
sin x
cos x
, n0 ( x )  
j0 ( x ) 
x
x
sin x  x cos x
(cos x  x sin x )
, n1 ( x )  
j1 ( x ) 
2
x
x2
球 Hankel 函数的初等函数形式为
h
(1)
0
h1(1)
i ix
i ix
(2)
  e , h0  e
x
x
 i 1  ix
 i 1  ix
(1)
  2  e , h1   2  e
x
x
x
x
120
渐近形式
(1) x0
j0 (0)  1, jl (0)  0, (l  0)
lim nl ( x)  
x 0
因此在原点存在自然边界条件！！
(2) x
1  l 1 
1  l 1 
jl ( x) ~ cos x 
 , nl ( x) ~ sin x 

x 
2 
x 
2 
1
h ~ (i)l 1eix ,
x
(1)
l
1 l 1 ix
h ~ (i) e
x
( 2)
l
121
平面波展为球面波
e
ikr cos


2kr
exp(ik  cos  ) 


m 
i m J m (k  )eim

l
(2
l

1)
i
J l 1/ 2 (kr ) Pl (cos  )

l 0

  (2l  1)i l jl (kr ) Pl (cos  )
l 0
——该公式在球散射有重要应用。
球 Bessel 方程的本征值问题
 d 2 dR
2 2




(
r
)
l
(
l
1
)
R
k
r R
 dr
dr

dR
 0,
R |r 0  
R H

dr r a
注意：本征值：k2; 权函数：r2
122
1、一般解
R( r )  Ajl ( kr )  Bnl ( kr )
2、由原点自然边界条件：B=0
R( r )  Ajl ( km r )
3、由 r=a 处边界条件
djl ( kr )
jl ( ka )  H
0
dr r a
——决定本征值 k2 的方程
123
作为Sturm-Liouville本征值问题，应有
正交性

a
0
jl ( km r ) j ( kn r ) r 2dr  [ N m ]2  mn
其中：模的平方为
a
[ N m ]   [ jl ( km r )]2 r 2dr
2
0
完备性：对 [0, a] 上的平方可积函数 f(r) 存
在广义Fourier 展开


 f (r )   f n jl (k n r )
n 1
注意：

a
1
2
2正交
带权
r
 fn 
f
(
r
)
j
(
k
r
)
r
dr
l
n
2 0

[Nn ]
124
球 Bessel 函数的应用
例一、半径为 a 的球，初始温度为 u0. 放入温
度为 U0 的烘箱，求球内温度分布。
解：定解问题
ut   22u  0, ( 2   /( cv )

u |r a  U 0 , u |r 0  


u |t 0  u0

z
O
化成齐次边界：u=U0+w

wt   2 2 w  0

 w |r  a  0, w |r 0  , w |t 0  u0  U 0
y
a
x
125
（1）显然问题仅与 径向有关：m=0, l=0, 因此特
解为
w( r )  Aj0 ( kr )e
 k 2 2t
sin kr k 2 2t
A
e
kr
（2）由径向边界条件
因此
sin ka k 2 2t
w( r ) |r a  A
e
0
ka
n
k  kn 
( n  1,2,3,...)
a
故一般解为

sin kn r kn2 2t
w   An
e
kn r
n 1
126
（3）由初始条件

sin kn r
w |t 0   A
 u0  U 0
kn r
n 1
右边按 球Bessel 函数展开
1
An  2
Nn
N 
2
n
a
0

a
0
(u0  U 0 )
sin kn r 2
r dr  ( 1) n 2(U 0  u0 )
kn r
2
 sin kn r  2
 k r  r dr
 n 
最后得到
2(U 0  u0 )  (1) n  kn2 2t
n
u (r )  U 0 
e
sin
r

n
a
r
n 1
127
例二、半径为 a 的球，球面径向速度分布为
 it
v  v0e
求辐射的声场分布。
解：显然问题与 和  无关：m=0, l=0
1   2 u 
u
utt  c 2  r
  0;
r r  r 
r
设振动为
 it
 v0 e  it
2
则
r a
u ( r , t )  R ( r )e
 1 d  2 dR  2

 r 2 dr  r dr   k R  0, (k  c , r  a )




 R (r )
 v0
 r r  a
128
零阶球Bessel 方程的解为
R(r )  C1h0(1) (kr )  C2 h0(2) (kr )
球Hankel 函数的取舍：决定于时间部分的形式。
在无限远处
e i ( kr  t ) —— 向外辐射的球面波
e
i ( kr   t )
——向原点会聚的球面波
因此：（1）如果时间部分为
hl(1)
hl(2)
e
 it
——向外辐射的球面波
——向原点会聚的球面波
129
（2）如果时间部分为
h
(2)
l
hl(1)
e
it
——向外辐射的球面波
——向原点会聚的球面波
本问题取: R(r )  Ch0(1) (kr )
, 利用边界条件
ika
 h0(1) ( kr ) 
i
e





C
v
C
1
 v0


0

 ka  a
 r  r a
因此辐射的声场为
v0 ae  ika  i  i ( kr  ka t )
 e
u (r , t ) 

 i
  kr 
  1
 ka 
130
例三、半径为 a 的刚性球，对平面波的散射。
解：声波方程
ptt  c  p  0
2
2
考虑单频平面波的入射
x
pi  p0 expi(z / c t)
 p0 expi(r cos / c t)
整个声场由入射场和
散射场组成
p  pi  ps e
z
y
 it
131
代入波动方程
 ps  k ps  0, ( k   / c)
2
2
因为球是刚性的，球面总声压的法向导数为零

ps

p0eikr cos  ps   0 
r a
r
r

r a


p0eikr cos 
r
r a
显然，问题与极角 无关，因此 Helmholtz 方程
的解为

ps ( r, )   Al hl(1) ( kr ) Pl (cos )
l 0
132
利用平面波展开公式

eikr cos   (2l  1)i l jl (kr ) Pl (cos  )
有
l 0

dhl(1) (kr )
Al
Pl (cos  )

dr
l 0
r a

djl (kr )
Pl (cos  )
  p0  i (2l  1)
dr r  a
l 0
l
因此
p0i l (2l  1) djl (kr )
Al   (1)

dr r  a
dhl (kr )
dr
r a
133
最后得到散射声场为
i l (2l  1) djl (kr )
ps (r ,  )   p0  (1)

 hl(1) (kr ) Pl (cos  )
dr r  a
l  0 dhl ( kr )
dr
r a

远场散射声场为
p0i ( )
ps ( r ,  ,  )  i
exp(ik0 r ) s ( ,  )
k0 r

jl(k0 a )
 s ( ,  )   (2l +1) (1)
Pl (cos  )
hl (k0 a )
l 0
低频散射 k0 a  1
小参数展开
134
xl
(2l  1)!!
jl ( x) 
; nl ( x)  
; ( x  0)
(2l  1)!!
x l 1
j0 (k0 a)
j1(k0 a)
( k0 a )3
cos   
 3 (1)
 s ( ,  )  (1)
3i
h0 (k0 a)
h1 (k0 a)
( k0 a ) 3
( k0 a )3  3

cos   
1
cos





2i
3i  2

远场散射声强的分布
I 0i
I 0i  a  3

2
I s (r , ,  ) 
|
(
,
)
|
1
cos






s


r 2 9c04  2
( k0 r ) 2

4
6
2
——球的散射功率与频率的4次方成正比，这
是低频散射的基本特征，称为Rayleigh散射。
高频散射 k0 a  1 ——讨论与柱体散射类似！
比较和类比
1、一维情况
d y
y  0
2
dx
2
驻波形式解   0
y ( x)  A sin  x  B cos  x
行波形式解   0
y ( x)  A exp(i  x)  B exp(i  x)
当   0
y ( x)  A exp( |  | x)  B exp( |  | x)
2、柱坐标——径向部分——Bessel方程
d 2 R(  ) 1 dR(  ) 
m 2 

    2  R(  )  0
2
 d
d
 

驻波形式解   0
R (  )  AJ v (   )  BN v (   )
J v ( x) ~
N v ( x) ~
2
x
2
x
cos( x  v / 2   / 4)
sin( x  v / 2   / 4)
137
行波形式解   0
R (  )  AH(1) (   )  BH(2) (   )
2 i ( x v / 2 / 4) (2)
2 i ( x v / 2 / 4)
H ( x) ~
e
e
; H v ( x) ~
x
x
(1)
v
当   0
R(  )  AI ( |  | )  BK ( |  | )
I m ( x) 
1
2 x
x
e ;
Km ( x) 
1
2 x
e x
138
2 i ( k  v / 2 / 4)
p(  ) ~ H (k  ) ~
e
 k
(1)
v
通过单位长柱面的能量
E   pp*dS
S

2
0

p(  ) p* (  ) d
 常数
——与柱面半径无关，辐射
场！——注意：近场比较复杂！
139
 距离增加一倍，幅度下降多少dB?
| p ( 1 ) |
2
20 log
 20 log
 10 log 2 ~ 3dB
| p( 2 ) |
1
柱面波传得更远——声柱
柱面波形式的噪声传播更远——降噪困难—
—高速公路噪声
3、球坐标——径向部分——球Bessel方程


2
dR
d
R
2
2 2

2

k
r  l l  1 R  0,
r
r
2
dr
dr
140
驻波形式解
R (r )  Ajl (kr )  Bnl (kr )
1
jl ( x) ~ cos  x  (l  1/ 2) / 2   / 4
x
1
nl ( x) ~ sin  x  (l  1/ 2) / 2   / 4
x
行波形式解
R (r )  Ahl(1) (kr )  Bhl(2) (kr )
π
(2)
 AH l(1)

kr
BH


(
)
1/ 2
l 1/ 2 ( kr ) 
2kr
1
h ( x) ~ exp i  x  (l  1/ 2) / 2   / 4
x
1
(2)
hl ( x) ~ exp i  x  (l  1/ 2) / 2   / 4
x
(1)
l
 为什么随径向距离1/x衰减? ——球面波的特征
球面波
1 ikr (l 1/ 2) / 2 / 4
p(r ) ~ h (kr ) ~ e
kr
(1)
l
通过球面的能量
E   pp dS
*
r
S

2
0
0
  d 
p (r ) p (r )r sin  d
*
2
 常数
——与球面半径无关，辐射
场！ ——注意：近场比较复杂！
 距离增加一倍，幅度下降多少dB?
| p (r1 ) |
r1
20 log
 20 log  20 log 2 ~ 6dB
| p (r2 ) |
r2
13.5 总
结
2u  0
一. Laplace 方程
球坐标

u (r , ,  )  
l

l  0 m  l
 Alm r l  Blm r  ( l 1) Ylm ( ,  )
球内部

l
u (r ,  ,  )    Alm r l Ylm ( ,  )
l  0 m  l
球外部

l
u (r ,  ,  )    Blm r  (l 1)Ylm ( ,  )
l  0 m  l
柱坐标
u(,, z)  (C0  D0 z)(E0  F0 ln  ) 

  ( Ame
m  0
z
 Bme
z

m im
(
C

D
z
)

 m m e
m
)  Lm Jm (  )  Mm Nm (  z) eim

  (Hm sin |  |z  Gm cos |  |z) Om Im ( |  | )  Pm Km ( |  | ) eim
m  0
柱内部

u(,, z)  (C0  D0 z)   (Cm  Dm z) meim
m0

  ( Ame
m  0
z
 Bme
z
) Jm (  )eim

  (Hm sin |  |z  Gm cos |  |z)Im ( |  | )eim
m  0
145
二. Helmholtz 方程
2u +k 2u  0
球坐标
球内驻波解

l
u (r ,  ,  )     Alm jl (kr )  Blm nl (kr ) Ylm ( ,  )
l  0 m  l
球外部行波解

l
u (r ,  ,  )     Alm hl(1) (kr )  Blm hl(2) (kr ) Ylm ( ,  )
l  0 m  l
146
柱坐标
柱腔内驻波解(有限柱内的本征值问题)

u(  ,  , z ) 

im


(
H
sin
k
z
G
cos
k
z
)
O
J
(
k

)
P
N
(
k

)
e


 m z m z  mm 
m m 

m kz ,k
k  k  k
2
2
z
2
柱外行波解(无限长圆柱体辐射）
u(  ,  , z ) 


(1)
(2)
im


[
H
exp(
ik
z
)
G
exp(
ik
z
)]
O
H
(
k

)
P
H
(
k

)
e



 m
z
m
z
m m

 m m 

m kz ,k
k  k  k
2
2
z
2
柱内行波解(轴向波导）
u(  ,  , z ) 


im





(
H
exp(
ik
z
)
G
exp(
ik
z
)
O
J
(
k

)
P
N
(
k

)
e
 m
z
m
z
m m 
 m m 

m kz , k
k  k  k
2
2
z
2
平面波导
u(  ,  , z ) 


(1)
(2)
im


(
H
sin
k
z
+
G
cos
k
z
)
O
H
(
k

)
P
H
(
k

)
e

 m z m z  m m 

m m

m kz ,k
k  k  k
2
2
z
2
148
例1
2u +k 2u  0,   a
u| =a  f ( , z )

+
u(,, z)=   Hm exp(ikz z)H ( k  k  )dkz e
m


m
Hm 
+

(1)
m

2
2
z
im
Hm exp(ikz z)Hm(1) ( k 2  kz2 a)dkz eim  f (, z)
1
(2 ) H ( k
2
(1)
m
2
+
2

0


 k a)
2
z
f (, z)exp(ikz z)eim ddz
u(,, z)=u1 (,, z)+u2 (,, z)

u1 (,, z)=   Hm exp(ikz z)Hm(1) ( k 2  kz2  )eim dkz
k
k
m
u2 (,, z) 


k

m


Hm exp(ikz z)Hm(1) ( k 2  kz2  )eim dkz
   Hm exp(ikz z)H ( k  k  )e dkz
k
m
u2 (  ,  , z ) 

k

m 


m 



k
(1)
m
2
2
z
im
H m exp(ik z z )H m(1) (i k z2  k 2  )eim dk z
H m exp(ik z z )H m(1) (i k z2  k 2  )eim dk z
150
一个简单的逆问题：测量的场数据反演 f ( , z )
测量远场数据
u1 (,, z) 
f (, z) 


k
m


m
k
+k
k
H m exp(ikz z)Hm(1) ( k 2  kz2  )eim dkz
(1)
2
2
im

Hm exp(ikz z)Hm ( k  kz a)dkz e
测量近场数据
u(,, z)=u1 (,, z)+u2 (,, z)

+
f (, z)=   Hm exp(ikz z)H ( k  k a)dkz e
m

(1)
m
2
2
z
im
151
例2
 u +k u  0,   a, 0  z  L
u| =a  f ( , z ); u |z 0  u |z  L  0
2
2
2 

n
(1)
2  n 

u(,, z)    Hm sin z  Hm
k0      eim

L
L 

m n1




2 

n
(1)
2  n 
im


H
sin
z
H
k
a
e


 f (, z)


0
m
m



L
L 

m n1




152
2 


1  (1)
2  n 
Hm =
Hm  k0    a 

L  
L 




1
L
2
0
0

n
f (, z)sin z  eim ddz
L
2 

n
(1)
2  n 
im


u(,, z)    Hm sin z  Hm
k0     e

L
L 

m n1



nc
2


n
n

 
(1)

   Hm sin z  Hm i    k02  eim
  L

L
m nnc 1




153
例3
2u +k 2u  0, 0    ; z  0
u |z  0  f (  ,  )
u(  ,  , z ) 
  Z（k）ex  i

m k
u(  ,  , z ) 


m

0
m


k  k z Jm (k  )e
2
2
im

2
2
im
Z（
k
）
exp
i
k

k
z
J
(
k

)
k
dk
e



m 
m 
154


m

0
Z（
m k）J m (k  )k dk e
im
 f (,)
1 2 
=   f (,)Jm (k  )d d
Z（
m k）
2 0 0


   Z（k ）
exp   k  k z  J (k  )k dk e
u(  ,  , z ) 


m

m
k
0
im
2
2
Z（
k
）
exp
i
k

k
z
J
(
k

)
k
dk
e
m 
m 




k
m

2

2
m



155
im