•;K
宇数学教育系列丛卄
启師敬昌同噩
•
O
主编张宇
【高 等 数 学 分
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
◎
北京理工大学出肱社
张宇数学教育系列丛书
卜启航教角同憩
一
•
陈静静
方春贤
高昆轮
笔名 曾凡奉名
)
李志龙
刘硕
张乐张青云张婷婷
王慧珍王燕星
贾建厂
按姓氏拼音排序
(
胡金德
张宇数学教育系列丛书编委
蔡燧林
吴金金徐兵严守权亦
郑利娜朱杰
)
柳叶子吕倩秦艳鱼沈利英史明洁石臻东
张宇
(
)
O主编张宇《【高 等 数 学 分 册 】」
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
-
妙北京理工大学出施私
版权专有侵权必究
图书在版编目(CIP)数据
张宇考研数学基础30讲.高等数学分册/张宇主编.
北京：北京理工大学出版社,2021. 8
ISBN 978 - 7 - 5763 - 0122 -9
I.①张…
U.①张…01•①高等数学-研究生-入
学考试-自学参考资料IV.①013
中国版本图书馆CIP数据核字(2021)第166519号
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
出版发行/北京理工大学出版社有限责任公司
社
址/北京市海淀区中关村南大街5号
邮
编 / 100081
电
话 / (010)68914775(总编室)
(010)82562903(教材售后服务热线)
(010)68944723(其他图书服务热线)
网
址 / http：//www. bitpress, com. cn
经
销/全国各地新华书店
印
刷/天津市蓟县宏图印务有限公司
开
本/ 787毫米X1092毫米
印
张/ 19
责任编辑/多海鹏
字
数/ 474千字
文案编辑/多海鹏
版
次/ 2021年8月第1版2021年8月第1次印刷
责任校对/周瑞红
定
价/ 99. 80元
责任印制/李志强
1/16
图书出现印装质量问题，请拨打售后服务热线，本社负责调换
彳做了竹久第牧爼傅顷、
-、更沒糾旻72込幺曲，祝衣参紛"
H八矢陕怨胃电;
二、 灯空收C淵辨曲亍了的次、沁/k润乜;
三、 乡汉彳务眦好為彳数孚知、残悴以乡
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
彖蓉荐砂多耳旳歼踐迄钊了一盗/刃掀叩心
略滋次屜*目吃坯心衣％力佬t卑
理黑存不詡承.很哲"4■汛用
久飲滦T!
曲,
K二-申八冷孑均臣
* 2022版前言
这本书是专门供学生考研数学基础复习之用的。之所以叫《张宇考研数学基础30讲》,是因为将考研
数学中的全部基础知识系统化和科学化地分成了 30个部分，希望考生一讲一讲地学，一关一关地过，最终
建立起考研数学的基础知识结构，实现真正意义上的夯实基础。
一、 这是真正意义上的考研数学基础教材
考研数学命题并没有指定教材，学生可以自行选择市面上的各种教材进行复习，但有一个专业问题：
市面上的数学教材大多是为大学数学教学而编写的，依据的是《本科教学基本要求》,鲜见真正意义上按照
《全国硕士研究生招生考试数学考试大纲 》（简称《考试大纲》）编写的数学教材，尤其是基础教材，本书就是
在多年一线考研辅导基础上做出的最新成果。
二、 这是真正意义上的全程视频讲解
我全程讲解了这本书，并且将讲解视频做了两种系统。一种是整讲观看系统：扫描书中每一讲开篇的
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
二维码，可以观看这一讲全部的视频讲解，使得知识具有完整性和连贯性，适合第一遍起步复习。另一种
是逐点观看系统:扫描书中知识点旁的二维码，可以有针对性地观看对应这一知识点的视频讲解，适合第
二遍查漏补缺，巩固知识。
三、 这是基础课笔记
这是我在基础课上讲出来的笔记，学生可以听着课跟我一页一页地学，我把笔记写好了，你可以集中
精力认真听，不需再记大量笔记，我几乎把要说的话一句一句都写出来了，请务必搞懂吃透。
四、 这是课后作业
每讲后面的习题与附录《基础300题》作为课后作业，所有题目均有详细解答,课后务必及时落实。
五、 这是答疑解惑
起步阶段的复习，很多学生会遇到各种问题和疑惑：知识理解上的问题，思路方法上的疑惑。本书集
中回答并希望能够切实解决学生的各种问题和疑惑。
六、 这是减负不是增负
不论你在读哪本数学教材，本书都可以作为思考总结的笔记，放在手边随时翻阅，基础阶段的知识、思
路、题型和方法，皆会以清晰的结构呈现在你面前，把握在你手中。你若能再添砖加瓦，画龙点睛，将其内
化为你自己的，那将是极妙的。
七、 看到什么程度
一遍当然不够。反复修炼直至字字搞懂、句句通透并熟稔于心。
考研数学基础30讲•高等数学分册
感谢命题专家们给予的支持、帮助与指导，感谢编辑老师们的辛勤工作和无私奉献，感谢学生们的努
力和信任。
本书是我多年基础阶段教学经验的总结，愿助潜心研读者打好地基、夯实基础，勇攀考研数学高峰。
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
2
I I
目录
第 1讲
高等数学预备知识..................................................................... 1
第2讲数列极限 .............................................................................. 25
第3讲
函数极限与连续性
第4 讲
一元函数微分学的概念与计算 ........................................................ 54
第 5讲
一元函数微分学的几何应用
................................................................... 33
.......................................................... 75
第6讲中值定理 .............................................................................. 90
第7讲
零点问题与微分不等式 ............................................................... 100
第8 讲
一元函数积分学的概念与计算 ........................................................ 109
第9讲
一元函数积分学的几何应用 .......................................................... 148
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
第10讲积分等式与积分不等式............................................................ 156
第11讲
多元函数微分学...................................................................... 164
第12讲
二重积分............................................................................ 184
第13讲
常微分方程.......................................................................... 194
第14讲无穷级数（仅数学一、数学三要求）................................................... 207
第15讲
数学一、数学二专题内容 ............................................................. 229
第16讲
数学三专题内容......................................................................250
第17讲
多元函数积分学的基础知识（仅数学一要求）......................................... 259
第18讲三重积分、曲线曲面积分（仅数学一要求）.......................................... 271
第7讲
高等数学预备知识
、基础知识结构
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
考研数学基础30讲•高等数学分册
基础内容精讲
一、函数的概念与特性
1. 函数
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
设夂与y是两个变量,D是一个给定的数集，若对于每一个xED,按照一定的法则/,有一个确定的
值y与之对应，则称y为工的函数，记作y-f(x).称工为自变量，y为因变量.称数集D为此函数的定义
域，定义域一般由实际背景中变量的具体意义或者函数对应法则的要求确定.
2. 反函数
设函数y=f(x)的定义域为D,值域为R.如果对于每一个y^R,必存在唯一的工€ D使得y=f(x)
成立，则由此定义了一个新的函数工=心.这个函数就称为函数y =于(工)的反函数，一般记作工=
/^(y),它的定义域为R,值域为D.相对于反函数来说，原来的函数也称为直接函数.以下两点需要说明.
第一，严格单调函数必有反函数，比如函数丿=工2(工€[0,+00))是严格单调函数，故它有反函数
工=a/S^.
第二，若把x-r'Cy)与y =
数x-=f~l(y)写成y =
的图形画在同一坐标系中，则它们完全重合•只有把y=fa)的反函
后，它们的图形才关于，=乂对称，事实上这也是字母工与，互换的结果.
3.复合函数
设函数y-fCu)的定义域为D，函数“ = g(_r)在D上有定义，且g(D)uD，则由
2
第7讲高等数学预备知识
确定的函数，称为由函数“=g&）和函数y = f（u）构成的复合函数，它的定义域为D,“称为中间变量，要
掌握复合的方法，具体见例1.4.
4.函数的四种特性及重要结论
（1）有界性.*
设/'（工）的定义域为D,数集KZD.如果存在某个正数M,使对任一夂有y（_z）|£M,则称/（工）
在/上有界；如果这样的M不存在，则称于（工）在/上无界.
【注】（1）从几何上看，如果在给定的区间，函数y=f^的图形能够被直线y=— M和y = M i
I “完全包起来”，则为有界；从解析上说，找到某个正数M,使得『（_z）|WM,则为有界.
⑵有界还是无界的讨论首先需指明区间不知区间，无法谈论有界性•比如严g在（2,+Q
内有界，但在（0,2）内无界.
（3）事实上，只要在区间Z上或其端点处存在点说，使得lim/（^）的值为无穷大，则没有任何两条直
》线y=-M和可以把/上的fS “包起来”,这就叫无界•考研中常出这样的题目，比如例3.
（2）单调性.
设fQ）的定义域为D,区间/CD.如果对于区间/上任意两点□，工2,当^<x2时，恒有fM<
）在区间/上单调增加•如果对于区间 Z上任意两点心，工2,当4<业时，恒有fM>
工
*
★（工2），则称
心）,则称/Q）在区间I上单调减少.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
i
【注】后面会看到，在考研试题中常常用求导的方法来讨论函数在某个区间上的单调性，但是i
?定义法不可以忘记•试题中也常用到如下定义法的判别形式，请读者留意.
对任意工 1
, X 2 E D,Z1 T2- JT 2
，有
/■（工）是单调增函数<=^（xi—^2）［/（^!）—/（x2）］>0；
/■（工）是单调减函数—工2）［/'（工1）—/（X2）］<O ；
/Xz）是单调不减函数口（工1—卫2）［/'（4）—/（工2）］$0；
/■（•Z）是单调不增函数u>a—工2）［/a）—*/ （工2）］wo.
（3）奇偶性.
设_/■&）的定义域D关于原点对称（即若z€D,则一z€D）.如果对于任一 z€D,恒有f（—Q =
于（工），则称/'（工）为偶函数.如果对于任一 z€D,恒有/'（—’）= —于（工），则称/（工）为奇函数.我们熟知的
是，偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称.
【注】设/'（刃是定义在］一/,门上的任意函数，则
F1（^）=/（^）-/（-J：）必为奇函数；F2（^）=/（^）+/（-^）必为偶函数.
显然 W（J?） =-^-［/（J?） + _/（—工）］是偶函数,T»（X）=-^-［/（J?） —/（ — J?）］是奇函数，而
=
/Xz） *
［_/（工）+_/"（—工）］+ 寺［/'（工）一_/"（—刃］=“（2）+ u（z）.
（1）奇函数y = f^｝的图形关于坐标原点对称，当/■&）在工=0处有定义时，必有/（0）=
3
0^考研数学基础30讲•高等数学分册
（2）偶函数 KE的图形关于丁轴对称，且当y'（o）存在时，必有/（o）=o.
i
*
=
（3） 函数y = f（Q与y=_g的图形关于工轴对称；函数》工
:
）与y = /（-x）的图形关于y §
I轴对称；函数y-f^与y=W的图形关于原点对称.
i
I
（4） 函数y = f（x）的图形关于直线x^T对称的充分必要条件是
JW=f〈2T—Q 或/'（工+T）=/（T-^）.
I
（4） 周期性.
设/（工）的定义域为D,如果存在一个正数T,使得对于任一工WD,有工士TWD,且/'（工+T） =/Xz）,
则称/'&）为周期函数，T称为/'（工）的周期.从几何图形上看，在周期函数的定义域内，相邻两个长度为T
的区间上，函数的图形完全一样.
（5） 重要结论.
事实上，关于f'S 和j7（Odz的性质才是这部分知识的重点，先提前总结在这里：
① 若 g 是可导的偶函数，则/'（工）是奇函数，见例4.4（1）；
② 若 2）是可导的奇函数，则/'（工）是偶函数，见例4.4（2）；
③ 若
工
*
）是可导的周期为T的周期函数，则/（工）也是以T为周期的周期函数，见例4.5；
④ 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数，见例& 3；
⑤ 连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数，见例& 3；
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
⑥ 若连续函数 g 以T为周期且「/■（工）吐=0,则f（x）的一切原函数也以T为周期，见例& 6；
J 0
⑦ 若/（JC）在（a,b）内可导且f（JC）有界9则fO 在（a,b）内有界.
【注】 证明 因为/■（•!）在（a,6）内可导，所以m在（a,6）内连续，因此对任意工心a,b）,］
1 /（^0）存在.对任意xC （a,6）,不妨设JC<.XO，对于（工）在［“工訂上应用拉格朗日中值定理，有
/■（工）一/'（•To） =/''（£）（攵一工0）,g€ （工,工0），
［则1/（^-） | < | /（JTO）丨+丨/"'（£）H工一工。丨，由于尸（広）有界，故存在&>0,使得对任意工€ （a,6）,有I
即
|*
工)在
| /(^) |
(a,6)内有界.
| /(^o)I +k\x~x^ |<|/(x0) |
—a)====M,
二、函数的图像
（一）直角坐标系下的图像（/■&,，）=0）
1.常见图像
（1）基本初等函数与初等函数.
基本初等函数：常数函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.
①数函数.
常
y=A,A为常数，其图形为平行于工轴的水平直线（见图1-2）.
4
图1・2
第7讲高等数学预备知识
幕函数.
②
y = h(fi是实数).
【注】(l)y =工"的定义域和值域取决于〃的值.当工> 0时，，二才都有定义.
(2)常用的無函数(见图l-3(a)-(c)).
y",
y=^,
y = X\
严+
3
I
(3)当x>Q时，由y = x与y=^,y^4x,y=\n広(见图1-5( b))具有相同的单调性且与y =—
3C
具有相反的单调性，故
见到
①
&T,运■时，可用“来研究最值
② 见到丨“|时，由丨u \ =v/zZ,可用u2来研究最值；
③ 见到W1U2U3时，可用ln(“i “2“3)=ln "1 +ln u2 + ln u3来研究最值
见到+时
④
s
，可用“来研究最值(结论相反，即+与“的最大值点、最小值点相反).
以上①〜④，可使得计算简单方便.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
图1-3
指
③数函数.
y = a"(a>O,aHl)(见图 l-4(a)).
图1-4
【注】(1)定义域：(-00,4-00).值域.(0,4-00).
(2) 单调性：当a>l时，》= /单调增加；当0<aVl时，》= /单调减少.
(3) 常用的指数函数：y = e」(见图l-4(b)).
(4) 极限:lim e" = 0, lim eT = +oo.
*
J-- — oo
-*
X-
+8
(5)特殊函数值：a° = l,e° = l.
5
考研数学基础30讲•高等数学分册
对
④数函数.
3>=logaj;(a>0,a^l)(见图 l-5(a))< y=ax 的反函数.
【注】(1)定义域:(0, +oo).值域：(—oo, +oo).
(2)单调性：当a>l时,y^logax单调增加；当OVaVl时,j/ = logax单调减少.
(3)常用的对数函数-y = lnxC 自然对数：lnz = logR,e=2. 718 28-)(见图 l-5(b)).
(4)特殊函数值 JogJ = 0,log°a = l,ln 1 = 0,In e=l.
(5)极限：limln x=—o°, lim In x— +°o.
J—o+
Zf + oo
(6)常用公式：工=e"(工>0),/ = /""=6心"(“>0).
三
⑤角函数.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
(i )正弦函数与余弦函数.
正弦函数y = sinz(见图l-6(a)),余弦函数y = cos工(见图l-6(b)).
图1-6
6
第7讲高等数学预备知识
(ii)正切函数与余切函数.
见图l-7(b))・
见图l-7(a)),余切函数y = cot
正切函数y = tan
tan
t
sin x
cos x
cos x
1
cot x =-：----- =-------- .
sin x tan x
=----------- ,
.j=tanx,
,
一
37I
T
兀
o
371
2
(a)
(b)
图1-7
【注】
⑴定义域：y = tan_z的定义域为工工尿+孝底Z)的一切实数工;
3/ = cot工的定义域为工工虹(bWZ)的一切实数工・
值域：(—oo,+oo).
(2)奇偶性：j/ = tan X和y = cot工均为奇函数(在其定义域内).
(3)周期性：y = tan工和y = cot_z均以兀为最小正周期(在其定义域内).
tan計普
于=1, tanf=V3,
tan【考研666】免费分享
更多笔记资料关注公众号
(4)特殊函数值：tan 0 = 0,
limtan 7 = 00,
tan 兀=0,
limtan 2 = 009
tan 2兀=0,
3k
X^T
limcot g = oo,
L0
cot 今=0,
cot —=a/3~,
o
limcot «z = oo,
cot 手=1 ,
4
cot”,
7t 4^
cot 了 = 丁，
limcot
n = oo.
X—2jt
(iii)正割函数与余割函数.
正割函数y = secH(见图-8(a)),余割函数》= csch(见图l-8(b)).
1
1
7
考研数学基础30讲•高等数学分册
【注】⑴定义域：y = secz的定义域为攵工& +兮（底Z）的一切实数工；
y=csc広的定义域为工工虹（&CZ）的一切实数工.
值域；（—oo, — i] ULi»+°°）.
（2） 奇偶性：y = sec工为偶函数,y = csc x为奇函数（在其定义域内）.
（3） 周期性：y = secz和y = cscz均以2兀为最小正周期（在其定义域内）.
反
⑥三角函数.
（i）反正弦函数与反余弦函数.
反正弦函数y = arcsinH（见图l-9（a））,反余弦函数j/ = arccos
jt（见图l-9（b））.
(b)
(a)
图-9
j/ = arcsin
是y = cos工（0£^£兀）的反函数.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
【注】（i）定义域:E-bu.
i
值域：y = arcsin x的值域为
i
兀 7C ~|
2_，1~」
x 的值域为［0,7t］.
q = arccos
（2）单调性：j/ = arcsin x单调增加，夕=arccos x单调减少.
（3）奇偶性：j/ = arcsin x为奇函数（在其定义域内）.
⑷有界性：两个函数在其定义域内有界，一专Warcsin工£专•，0=arccos工£九
(5)性质:arcsin jr+arccos 无=三(一1=工£1)・
证明
令/'($) = arcsin r + arccos
—1
1,贝！］ f (jc)=
】”
—
a/1—乂2
】........... ..
=0,于是
』 1 —*
/（^）=C（常数），又/（0）=号，故/'（工）=号，证毕•（由/（^）=0,即变化率为0JQ）不变化，即为常
数，这就易于理解了）
（6）特殊函数值：
8
arcsin 0 = 0,
7t
1
arcsin —=—
Z
b
arccos 1 = 0,
73 _ k
arccos —=
~2
6
arcsin^=f
y/2 _ 7C
arccos 1"—T'
arcsin y = y
1 _ 7T
arccos T—■3~
arcsin 】违
arccos 0 =—.
第7讲高等数学预备知识
（ii ）反正切函数与反余切函数.
反正切函数y = arctanz（见图l-10（a））,反余切函数y = arccot攵（见图l-10（b））.
3，= arctan x是y = tan 乂（一号VzV号）的反函数，y = arccot x是y = cot工（0＜工＜兀）的反函数.
i
【注】（1）定义域：（—00,4-00）.
i
值域：夕=arctan x的值域为（_号，号） ,3/= arccot x的值域为(0,兀)・
（2） 单调性：y = arctan x单调增加,y = arccot x单调减少.
（3） 奇偶性：y = arctan x为奇函数（在其定义域内）.
⑷有界性:两个函数在其定义域内有界 ，一工＜号,0Varccot工＜兀・
(5)，性质:arctan
+arccot 龙=冷-(一ooVzV + oo).
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
证明
令/'(力)=arctan r + arccot x,
贝f O =亍±7 一 ] J异=0,于是
—oo<j；< + oo,
/（^）=C（常数），又/（0） = y,故/（工）=号，证毕.（由”3=0,即变化率为不变化，
即为常数，这就易于理解了）
（6）特殊函数值:
兀
/g
arctan ^ = — ,
arctan 0 = 0,
arccot 0 = -^-,
Z
?
(7)极限：lim arctan 乂=―昔,
J—* — 8
\
Z
arccot 箱=芈 9
0
lim arctan
J—► 4-00
arctan 1 =忑,
arctan a/3~= —,
arccot l = -y-,
4
arccot
lira arccot 乂 =兀,
=
Z
*X- — OO
3
3
-・
lim arccot x = 0.
*X- + 8
初等函数.
⑦
由基本初等函数经有限次的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成的并且可以由一个式子所表示
的函数称为初等函数.
【注】（1）初等函数的定义域可以是一个区间，也可以是几个区间的并集 ，甚至
可以是一些孤立的点.例如，y= J cos兀工一1的定义域是工=0,±2, 土 4,….
（2）無指函数“Q）心=岀恥心也是初等函数，如工〉0时J（工）=才=
初等函数，其图形如图1-11所示.
图 1-11
9
考研数学基础30讲•高等数学分册
（2）分段函数.
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.需要强调一句，
分段函数是用几个式子来表示的一个（不是几个）函数，一般说来它不是初等函数.分段函数的典型
形式如下：
（（pX （j?） 9
Q,
无＞无0，
[0（无），X'=^LJCq 9
2 = 乂0 9 或 /（J7）=
\a9
l 卩2（工），
x = Xq ・
分段函数很重要，原因在于其形式的复杂性所带来的命题的丰富性•后面会看到，不论是求极限、求导
数，还是求积分，出现最多的研究对象之一便是分段函数.
下面列出三个重要的分段函数.
①y=|z|=
[x,
工$0,
称为绝对值函数，如图1-12所示.
[—09
zVO
广
②y = sgn 攵=[0,
工＞0,
无=0,称为符号函数9如图1-13所示•对于任何实数力，有x= \x\sgn
jc.
•zVO
y=sgn x
1 q------------------O
x
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
--------------- -1
图 1-13
夕=三]称为取整函数•先给出定义:设工为任一实数,不超过工的
③
最大整数称为工的整数部分，记作[刃•如
W = 3,[—叮=—1,
[0. 99] = 0,
[-1. 99] = —2.
因此，取整函数的定义域为R,值域为Z.它的图形如图1-14所示,
在工为整数值处图形发生跳跃.
从定义出发，以下两点需要读者注意.
（I ）工一
（II ）lim[z] = 0； lim[z] =— 1・
*
x0
*
x0
+
2.图像变换
图像变换方式一般有如下三种.
（1）平移变换.
将
①函数
y=g 的图像沿工轴向左平移乂。（如＞0）个单位长度，得到函数y = f（x+x0）的图像（见
图1-15）；将函数y =
（见图 1-16）.
10
的图像沿乂轴向右平移如（工。＞0）个单位长度，得到函数y =
—血）的图像
第7讲高竽数学预备知识
②将函数y=f（^的图像沿y轴向上平移％（%>0）个单位长度，得到函数y=f（z）+y0的图像（见
图1-17）；将》= /■&）的图像沿y轴向下平移％（必>0）个单位长度，得到函数y = fc^-yo的图像（见
图 1-18）.
图 1-18
（2）对称变换.
① 将函数y=f（T）的图像关于工轴对称，得到函数y=—/（工）的图像（见图1-19）.
② 将函数『=于（工）的图像关于y轴对称，得到函数工）的图像（见图1-20）.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
③ 将函数y =
的图像关于原点对称，得到函数y=-fC-x）的图像（见图1-21）.
④ 将函数y=f（x）的图像关于直线对称，得到函数y = f~1a）的图像（见图1-22）.
⑤ 保留函数y=f（x）在乂轴及工轴上方的部分，把工轴下方的部分关于工轴对称到工轴上方并去掉
原来下方的部分，得到函数丨的图像 （见图1-23）.
⑥ 保留函数y-fa）在y轴及）轴右侧的部分，去掉y轴左侧的部分，再将y轴右侧图像对称到y轴
左侧，得到函数y=f（\x\）的图像（见图1-24）.
11
考研数学基础30讲•高等数学分册
（3）伸缩变换.
① 水平伸缩:y=f（kxXk>l）的图像，可由S的图像上每点的横坐标缩短到原来的g倍且纵
k
坐标不变得到（见图l-25）；y = /■（滋•）（0<怡<1）的图像，可由y = f{x}的图像上每点的横坐标伸长到原来
1
的万倍且纵坐标不变得到.
② 垂直伸缩：y=kf<ixXk>V的图像，可由的图像上每点的纵坐标伸长到原来的沧倍且横坐
标不变得到（见图l-26）；y = MQ）（0VXa）的图像，可由y = g的图像上每点的纵坐标缩短到原来的
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（二）极坐标系下的图像（g（r,0）=O）
1.用描点法画常见图像
（1）心形线.
下面画出心形线r=a （1 —cos 0） （a〉0 ）的图形.
其表达式的右端是以2兀为周期的周期函数，作图时只要考虑OM0W2兀就可
以了•并且，对于方程的右端，0换作（2兀一0）时，其值不变，也就是说，若（r,0）是
曲线上的一个点，则（厂,2兀一0）也是曲线上的一个点，因此图形以极轴为对称轴，
从而只需先考虑OWOWtt.
当0由0增大到7T,COS0的值由1逐渐减小到一1,从而，r由0逐渐增大到2a.计算出曲线上的若干个
点，列表如下：
9
0
r
0
7T
"6"
T
T
T
2 —丽
2 一a/2~
1
pa
a
7T
7T
7T
2tc
3兀
5tt
T
T
"6~
3
2 +a/2~
2+a/^~
2
7t
a
2a
描出这些点，连接成一条光滑曲线，然后利用它对极轴的对称性画出全部图形•这条封闭曲线叫作心
形线（见图1-27）.
12
第7讲高竽数学预备知识
(2)玫瑰线.
下面画出三叶玫瑰线r=asin 30(a>O)的图形.
其表达式的右端是以警为周期的周期函数，作图时应先考虑OWOW
警，然后仿照在这一范围内曲线上的点的变化规律，画出
0£2兀等范围内的曲线.对于在警范围内的作图方法 ，仍是采用描点
法•计算出曲线上若干个点，列表如下：
9
0
r
0
7T
7t
12
7T
7T
5k
7T
7tc
2tc
T
T
12
T
12
T
—a
—------ CL
0
a
0
2
描出这些点，连接成一条光滑曲线•这段曲线由弧段 1,2,3,4构成(见图1-28).在的范围
内，可以按照同样的规律画出由弧段5,6,1,2所构成的曲线，在警W0W2兀的范围内，同样可画出由弧段
3,4,5,6所构成的曲线.这样就得到了曲线的全部•这条曲线叫作三叶玫瑰线.
(3)阿基米德螺线.
下面画出r=a0(a>O)的图形.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
当0(0$0)由0增大时，r亦逐渐增大，这条曲线称为阿基米德螺线(见
图 1-29).
(4)伯努利双纽线.
在极坐标系中，伯努利双纽线的极坐标方程常写成r2 = «2cos 20(a>O)
图 1-29
（见图 1-30）,或 r2=a2sin 20（a>O）（见图 1-31）.
宀尿05 20
图 1-30
图 1-31
下面画出r2=a2sin 20(a〉O)的图像，由 尸面知，0的取值范围是。，号 U
当0从0增加到手时，广从0增加到a,故在图-32(a)中画出相应的部分；当0从于增加到号时，『从a
减少到0,在图l-32(b)中画出相应的部分；当0从兀增加到牛时』从0增加到a,在图l-32(c)中画出相应
的部分；当0从¥增加到夢时，厂从a减少到0,在图l-32(d)中画出相应的部分.最后形成一个“oo”形图
像，这条曲线称为伯努利双纽线.
13
考研数学基础30讲•高等数学分册
2.用直角系观点画极坐标系下图像
直角坐标方程）=夂表示平面上的一条直线，而极坐标方程r = d表示螺线.以方程的角度看问题，两
个方程的形式相同，只是表示变量的字母不同而已，但是由于坐标系不同，它们表示的曲线完全不同（见图
1-33,图1-34）.这里启发我们，若较易画出直角坐标系观点下r = f（0）的图像，可转化为极坐标系下的曲
线图像.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
比如厂=2（1 + cos 0）,较易画出其在直角坐标系观点下r=f⑹ 的图像，如图1-35所示，可转化为极坐
标系下的图像，如图1-36所示，若读者掌握此种方法，不失为一个妙招.
前面的（一）与（二）介绍了如何在直角坐标系或极坐标系内用动点坐标（工,y）或0,0）来表示平面内一
些曲线的方程•但在实际问题中，有些曲线用以上的方法来表示比较困难 ，也就是说很难找到曲线所满足
的f（x,y） = 0或gG,0）=O的式子.这一节我们将引入一个新变量（叫作参数）来表示曲线方程，即参数
方程.
14
第7讲高等数学预备知识
（1）摆线.
设自行车外胎上粘了一点红色的油漆，当你骑车向前直行时，这个油漆红
点就在平面上形成一条轨迹，这条轨迹就是摆线•用数学语言描述如下：
当一个圆沿一条定直线作纯滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫作摆
线（见图1-37）.
现取已给的这条定直线为轴，其正方向就是圆滚动的方向，当圆与直线在圆上的定点A处相切时,
就取该点为原点0•取半径丨CO|旋转的角度t为参数.对于所求运动轨迹上的任意一定点A（z,y）,由图
1-38容易看出
^=|0P|= |OQ| - |PQ| ,
|OQ| =圆弧云的长度=
| PQ \ = | AC' | sin t = rsin t,
故得
x~rt — rsin t.
由图1-38也容易看出
y = | PA | = | QCr | — | DC' | —r— rcos t.
因此，所求定点A的运动轨迹的参数方程为
x — rQt — sin t),
(* )
_y = r (1 — cos t ).
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
【注】上面的推导过程只适用于0
今的情况，当t取其他任意值时，推导的方法是相仿I
的，所得结果与（* ）式完全一样.因此（*）式中没有写出t的变化范围，这就意味着t可取任意实
数值.
摆线的图形具有周期性，当/增加2兀时，也就是说，圆滚动一周时，摆线上的点的横坐标增加了
2灯,纵坐标不变.圆继续滚动，圆上的定点A就描绘出一拱接一拱的图形.容易看出，从原点开始的
第一拱以直线x = itr为对称轴，拱顶的坐标是（7tr,2r）.
要从（* ）式消去参数t并不困难，但所得 D 间的函数表达式较复杂.因此我们常通过（* ）式
$
5来直接研究摆线.
（2）星形线.
如图l-39（a）所示，一个小圆在一个固定的大圆内部作纯滚动，如果大圆半径是小圆半径的4倍，那么
小圆圆周上任一点M的轨迹称为星形线，如图「39（b）所示.
15
考研数学基础30讲•高等数学分册
图 1-39
此轨迹方程的推导过程要用到繁杂的几何知识与三角公式 ，不作要求，读者记住它的参数方程表达式
即可，其表达式为
\y = rsm t,
若消去可得 ^+^=4,此为直角坐标方程.
三、常用基础知识
1.数列
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（1） 等差数列.
首项为Q1 9公差为〃（/工0）的数列Qi ,Q1
+2〃9…，Q1 + （宛—1）/,….
① 通项公式an = ax + （n— 1）6?.
② 前”项的和S” = ^[2©十S —1）刃=今（卬+0”）.
（2） 等比数列.
首项为Qi ,公比为r（r#0）的数列©山1厂,©厂$,©厂"T ,
① 通项公式© = ©厂・
厂=1，
（Tld\ 9
② 前"项的和S”=<ja （1 —r"）
I
1-r
>
1— rn
③ 常用 l +『+F ------
1 一r
（3） —些常见数列前72项的和.
① £〃 = 1 + 2十3十…+” ="（叮1）.
怡=1
②
立2
佔
/
纟&第+ 1）
16
-------------- “2
3
= ]2 *
+2
=
"（"+1）（2"+1）.
6
1 X2
2X3
3X4
n（n + l）
n+V
第7讲高等数学预备知识
2.三角函数
(1)三角函数基本关系.
csc a
1
sec a =------ 9
cos a
1
sin a
sin2 ad-cos2 a — 1 ?
1
cot a =-------,
tan a
1tan2a = sec2 a 9
_ sin a
tan a---------cos a
cos a
cot a = -----sin a
1 + cot2a = csc2a.
(2)诱导公式.
7T
T_a
兀
十Q
2-k
n~a
tt + q
3
~2n~a
tk+q
2兀一a
90° — a
90° + a
180° — a
180° 十 a
270° —a
270+
360° —a
sin 9
cos a
cos a
sin a
—sin a
—cos a
—cos a
— sin a
cos d
sin a
—sin a
—cos a
—cos a
— sin a
sin a
cos a
tan d
cot a
— cot a
~tan a
tan a
cot a
— cot a
— tan a
cot 9
tan a
—tan a
— cot a
cot a
tan a
— tan a
— cot a
角9
函数\\
【注】如上表所示，奇变偶不变，符号看象限(因任一角度均可表示为y + a^eZ, |«K^,故；
:;&为奇数时得角a的异名函数值M为偶数时得角a的同名函数值，然后在前面加上一个把角a看作：§
I锐角时原来函数值的符号).
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
三角函数在四个象限中的符号如下表所示.
0所在象限
7~-
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sin 0
+
+
—
—
cos 9
+
-
-
十
tan d
+
-
+
—
cot 9
+
一
+
—
函
(3)特殊的三角函数值如下表所示.
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
0
7T
6
7T
4
7T
3
7T
2
2tc
3兀
4
5tt
3
sin a
0
1
T
72
T
V3
2
1
V3
T
V2
~2~
1
T
cos a
1
73
2
72
T
1
~2"
0
tan a
0
#
T
1
V3
oo
cot a
oo
V3
1
73
3
0
a
1
6
180°
7T
270°
360°
3jt
2兀
T
0
-1
0
72
73
2
-1
0
1
—a/3~
-1
V3
3
0
oo
0
V3
3
-1
—a/3~
oo
0
oo
17
考研数学基础30讲•高等数学分册
I【注】（l）seca和csca的函数值可由土和池得出.
（2）表格中的“Q‘均是指极限结果，如tan 90°为“oo”，是指limtanz = oo.
I
》
J
》
x-90°
（4）重要公式.
①倍角公式.
cos 2a = cos2a —sin2a = 1 — 2sin2a = 2cos2a — 1,
sin 2a = 2sin acos a,
sin 3a= —4sir?a + 3sin a,
tan 2a = 2Mn § ,
1 —tan a
cos 3q = 4cos3q —3cos a.
Cot o _cot2a—1
Za-----z-------2cot a
②半角公式.
sin2 号= *
(1
.
a
i
/l —cos a
+ cos a)，(降幕公式)
cos2 号= (
*l
—cos a),
a
I /l + cos a
cos 2= 土
a _ 1 —cos a = sin a = , /l~cos ~a
1 + cos a — v 1 + cos a
sin a
311 2
cot -y
Z
③和差公式.
sin a _ 1 + cos a _ , /I -pcos g
—
sin a
1 — cos a
—V 1—cos a
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
sin(a±0) = sin acos 0士 cos asin /?,
cos (a ±/?) = cos acos 0 干 sin asin 0,
“na±"）=星宇黑，cot（a 土 0）=空竺21也
IT tan atan
cot 0士 cot a '
④积化和差与和差化积公式.
（i ）积化和差公式.
sin acos [*
sin(a+/?)+
0=
sin(a—0)],
cos acos /?=-^-[cos(a+0)+cos(a—0)],
cos asin 0=-^-[sin(a+0)— sin(a—0)],
sin asin 0=-|~[cos(a—0) — cos(a+0)]・
（ii）和差化积公式.
sin a + sin 0=2sin ^-^cos。
sin « —sin 0=2 sin a
J，
cos a + cos 0=2cos ^-^cos。
^cos。丁耳
cos « —cos B= — 2sin a^^sin g
万
⑤能公式.
若 u = tan 号~( — 7t<^<7r) 9贝！] sin x
2况
1 — u2
丙7，cosz =「F7・
3.指数运算法则
aa •刃=严卩
其中a, 6是正实数,a,0是任意实数.
18
=0,（妙=松,
务=严，（小
*
a"
f^a
笫7讲高等数学预备知识
4.对数运算法则
① loga（MN） = loguM + loguN（积的对数=对数的和）.
② log。鈴= logJW —log«N（商的对数=对数的差）.
③ log“M" = ”log«M （幕的对数=对数的倍数）.
④ log阿
i
5
【注】常考：
Q)ln
=
x；
②In —= —In x；
x
1 =111(工+1) - In
巴+ 】
③ ln(l + g)=ln x~\~
乂・
X
5. 一元二次方程基础
①一元二次方程 ax2 +6jc + c = 0（a#0）.
②根的公式如2 = _"士丿圧—4竺
2a
c
a
（韦达定理）心+乂2 =——,龙口2 =—，
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
a
a
③与系数的关系
根
④
判别式
A = b2 — ^ac.
△〉0,方程有两个不等的实根;△ =（）,方程有两个相等的实根;△＜（）,方程有两个共觇的复根.
抛物线
⑤
y = ax2+bx+c的顶点
冷Li
6.因式分解公式
①(a+6)2 ~a2 ~\~2ab~\~b2,
②(a — h)2 ~a2 — 2ab~}~b2.
③(a + 6)3 =a3 +3a26+3a62 +63.
④(a — b)3 =a3 —3a26+3a62 —b3.
⑤ a? —62 = (a4~6)(a — 6).
⑥
a3 —b3 = (a — 6) (a2 +a6+62).
©a3 +戾=(a+b) (a? —a&+62).
⑧an-6n = (a-6)(an_1+an_26------ abn~2+bn~^(.n 是正整数).
*
®n 是正偶数时，a” 一b” = （a + b）（严一严b------ a
—.
⑩宛是正奇数时,an+bn = (a + 6)(aw_1 ~an~2b------- abn~2+bn~l).
⑪二项式定理
肘=a” + mi6 + "5；l)ai62 ------- F
(a+ 6)"=
/!
k=o
匹"二 i）“；y—e+i）广即 +...+渤-+ b”.
7.阶乘与双阶乘
①？？! = 1 • 2 • 3......... 兀9规定 0! =1.
(2)(2t?)!! =2 • 4 • 6............(2x) = 2” - n\.
19
考研数学基础30讲•高等数学分册
③⑵一1)! ! =1 • 3 • 5............ (2n-l).
8.常用不等式
(1)设 a,b 为实数，则① |a±6|£|a| + |6| ；@ | \a\-\b\ |<|a-6|.
【注】
可以将上述不等式①推广为
;
离散情况：设山卫2,…，a”为实数，则
|«! ±a2 + ••-±a„ K !«! | + |a2 I ------
|a”|.
连续情况：设/(工)在］a,刃(aVR上可积，则
|”)d*
|
(2)①
f
【注】
彎
I
/(j?) | dx.
(a，b>0)；
2
2
2 ，在考研中考过：若况”〉0，则半=血• _~^
+ b"
还有I ab I W。；
m2+J_
・
；
②亦冬^±|±£冬店土各(°』,c〉0).
(当 n>0 时,a">b",
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
I 当 n<0 时,a"<b".
(3)设 a>b>0,则
【注】
考研中考过：当 /?7r<^<(w+l)7r,2«<S(x)<2 (M+l)时
》
(5) sin 无VzVtan
？ <^^2<迴土1).
X
/27T
(22十 1 7 7T
|
》
jc(0VhV号
(6) sin 工<乞(乂〉0).
【注】
$；
考研中考过：当丄”>0时，工”+1 =sin 乂”<工”，故｛工”｝单调减少.
(7) arctan ^^^^arcsin
《
jc(0WjcW 1).
(8) e”Mz+l( V h)・
【注】
；
可考：当_r”+i =e『” 一1时，由e*” 一 1^如，得工”+i$z”，即｛工”〉单调不减.
(9)工一l^ln无(工>0)・
【注】
(10)
20
可考：当z”>0时，若工卄1 =ln工” + 1,由In工” + 1冬乂”，得工”+1 £工”，即&”｝单调不增.
1
-<Cln (1 ~\~ —1— ) V 丄(工
〉0)・
X
X
:;
第7讲高等数学预备知识
【注】
i
证明
《
令/（^）= ln^,并在区间［工,工+1］上对其应用拉格朗日中值定理，有
ln(l + £)=ln(14~z) — In
1
|其中0＜工＜£＜工+1.因此，对任意的工〉0,有出：
Vln(l +亍
X
基础例题精解
当无〉0时,于（于）=1+乂，兀£（工）］=1+工+ 111工，则gO） = （
例
(A)寺工于
(B)xeJ
(C)2ze"
(D)
*
z
).
它
解应选(B).
『)与f[g(x)]的表达式解出g(Q.由于/(eO = l+^,因此
*
将g(z)用 严⑺代换，再由已知的
/Eg(-r)] = /[elng(J?)] = l + ln g(Q.
又由于_/lg(Q] = l+z+lnz,从而有
1 + ln g(j：) = 1+jc + ln Xy
In g(x) ~ln x = \n
X =x^
x
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
可得 g（x）=xex.故选（B）.
例1. 2
解
设/（jc） =jr2,/= — jr2 + 2jc + 3,且卩（a：）NO,求申（无）及其定义域与值域.
由题设条件知，/［申（刃］=b（h） = —j?+2z+3,于是（p（x） = J_亡+2无+ 3・
由一工2 + 2$ + 3$0 9 即（jr —3）（jc+1）^0,知申（乂）的定义域为［一 1,3］・
又\/一/ +2工+3= a/—（乂一1严+4,当工=1时，申（乂）= 2为最大值，显然申（一1）=伞（3）=0为最小
值，故卩Q）的值域为［0,2］.
例1.3
解
求函数y=yo）=in（工十/z' + i）的反函数y1（J：）的表达式及其定义域.
直接由y=ln（z + ^/产亍）解出x = r\y｝会很麻烦，现采用下述方法.
—y — — ln（_r十丿攵？ +1） = In-------】
JC~\~ 丿乂2 + ］
=ln
________ *
J
+ ] 一 无_______
(J卅 + ] +工)(\/x2 + 1 — X)
所以
再由y=f（Q的表达式有
eP=心 + i—力,
①
ey=』j? + 1+«z,
②
②一①9得
交换上式中的位置后就是y = f^）的反函数，即
y = f~l（J；）
（eJ —e~J）, —ooVzV + oo.
21
丫勿彳考研数学基础30讲•高竽数学分册
【注】（1）函数y = lnQ+ y/齐亍）叫作反双曲正弦函数，其图像如图1-40所示•函数』=I
于-叫作双曲正弦函数，其图像如图1-41所示•考生应记住这两个函数的图像.
图 1-41
图 1-40
它们都是奇函数，于是
工2必=
[ln(«z ++ 1) + x2~\Ax =
-1
⑵考生还应知道，g+KD"祚苛于是
2
2
—
dx = ln( j?+ a/jc2 + 1) +C ・
J卅+ ]
（3）y=苇・叫作双曲余弦函数，其图像如图1-42所示，它是偶函数，是一
种特殊的悬链线.达•芬奇在画《抱银貂的女人》时，曾仔细思索过女人的脖子上戴
的项链的形状是什么函数，可惜他一生都未能明白，在他去世后近200年，约翰•
伯努利解决了这个问题.那不是抛物线y=Jc2，而是悬链线》=笔（eT+e_T ）,取
a = l,就是双曲余弦函数.
图 1-42
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
例1.」
解
In Jx, x^\ ,
设 /&)={
求 fL/^n
[2x— 1 , J7<1.
第1步,广义化
/(j?),
y(心 1,
2f(x) — 1,
/(^)<i.
In
第2步，画图（见图1-43）并分析：①当于（工）鼻1时，工y 此时fS =
In丘；
②当/（^）＜1时，或者lWzVeS此时/（^） = ln后，或者zVl,此时
/（jr） =2x— 1.
第3步，写答案：
,
In v In \[jc ,
兀/■&)]=< 21n/T—l,
、2(2z— 1) — 1,
例1.5
^>e2,
lWzVe?,
v In 工—1,
l^j：<e2,
工 <1
〔4工一3,
工<1・
证明函数于（工）=］二2在（一OO,+°O ）内有界.
证明当工工0时,
22
wln(lnJT),
X
第7讲高竽数学预备知识
>/ab(.a,b^>0')，有Ix I 22
由不等式
-j-^T | x\— 2,即 | /(j?) | W
*
当z = 0时，/'（0） = 0.综上，函数/"（工）在（一oo,+oo）内有界.
）=壬,验证/｛/■［/■（/&））］｝=工，并求f［f^\这里工工0，工工1・
设
工
1.1*
1. 2
求函数y = 2_r+| 2 —工| ,工€ （ — co,+oo）的反函数.
1.3画出r=aeM（a>0^>0）的图形.（这里e是以后常要用到的一个常数，以e为底的对数称为自
然对数，e~2. 718 28.）
【解答
〕
1.1解令九（工）=于（工），九（工）=代九（工）］,…，兀（工）=/［人_1（工）］.现只需验证人（工）=工
即可.
由于
工
*
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
）=右=厂丁
1 ——
X
fz（工）==----- 厂=--- :---- r—
—而—（T）
又 y3（Z）=/V2（Z）］=_/■（£），贝！!『4（Z）=/V3（Z）］ = /V（Z）］=Z.
下面求flfb｝由忐=1—则
1.2解去掉绝对值,将方程改写为
工+2,
工三2,
3工一2,
龙>2・
当工=2 时,)=工+2=>z = y —2,yW4；当 x>2 时，3/ = 3工一2=>工=^^，3<>4.
‘)— 2,
综上所述，得
•r=p+2
、3
yW4,
y>4
工,）互换
—2,工三4,
jc
夕=卩+2
,h〉4・
、3
x — 29
j：W4,
于是，若记f(x) = 2x+ |2 —工|,工&( —oo,+oo),则有厂' (工)=y工+2
—-—,2〉4・
23
丫9彳考研数学基础30讲•高等数学分册
1.3解
当0由0逐渐增大时，r由a逐渐增大，当0无限制地增大，『也随之无限制地增大.当0由0
逐渐减小,r由a逐渐减小，但r却永远保持正值，当0由0无限制地减小,r也随之无限制地接近于0.如图
1-44所示，是取a = 2M = 0.2时画岀来的.该曲线叫作对数螺线 （见图1-44）.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
24
第 2讲
数列极限
基础知识结构
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
-
基础内容精讲
- - --------------- ------------ —— --- ------ ------------ --- ------ - ------ 一—
1.引言
极限，从通俗、直观的意义上讲，是一个“无限趋近的过程”.
给一个简单的数列｛命卜若从第1项开始一直写下去,那就是不难发现，随
着”无限增大，"与"+ 1的比值无限趋近于1,这就写成了
lim —:~~- = 1.
“f 8 72 十 1
但若从专业角度讲，可没这么简单，不妨通过下面这段两个学生之间的对话来琢磨.
学生甲：给出一个数列血，“2,…，“”，…，其通项“”=壬，当"无限增大时，这个数列趋向于一个值1,
n+1
这叫作极限值，可写成
lim ———— — 1.
”f 8 "十 J.
学生乙：嗯，当"充分大时，我可以理解壬与1会非常非常接近，此数列应该会趋向于常数 1,但数学
"十1
是讲究精确的学科,你能给我指出一个数N> 0,使得这个数列中下标大于N的项与你说的极限值1之间
的距离始终保持在(0,e)之内吗？
25
考研数学基础30讲•高等数学分册
学生甲：好，我来尝试一下,这个数列的第n项与数1之间的距离是I 召 一 1 I = 占,让此距离最终
|n+1
n+ 1
|
保持在（0止）之内，也就是一刍<£，反解出”来，即n> —-1,这样一来,随便你给我什么正数e,只要我从数列
n+1
e
的第N项开始，其中N> + _1,在此之后的所有项都会有|命 -11
成立，即保持与1之间的距离小于e.
学生乙：我明白了，数列｛命｝一定会出现这样的局面一一不论我指定多么小的正数你总可以找
到某项，从此项开始往后，所有项都与1“亲密无间”地保持着距离始终小于那个要多小有多小的尺度£.于
是，我们可以理直气壮地认为数列在某项之后的所有项会更接近数“1”，而不是除了 1之外的任何
其他数•因此必须承认，此数列趋向于极限值1.
这段对话虽然略显冗长，但在极限定义上给出了精确、本质的思维方式，能给在此定义上偶尔陷入思
维混乱的读者正确的引导，帮其厘清思路.
我想在这部分最后再说几句，微积分起源于17世纪，那个时候的数学家是不可能讲出上面这段对话
的，直到19世纪才有了极限的精确定义作为微积分的基石,这是一个十分有趣的事实:历史上微积分知识的
出现与我们今天学习的次序是恰恰相反的•学生甲、学生乙可以是今天的你、我、他，但不是牛顿、莱布尼茨.
2.数列极限定义
设&”｝为一数列，若存在常数a,对于任意的e >0 （不论它多么小），总存在正整数N,使得当” >N时,
&”一a|Ve恒成立，则称数a是数列&”｝的极限，或者称数列&”｝收敛于a,记为
= a 或 gf a【考研666】免费分享
（”f oo）.
更多笔记资料关注公众号
如果不存在这样的常数a,就说数列&”｝是发散的.
常用的语言：！四z” = a㈡Ve >0, 3NEN+,当">“时，恒有|x„-a|<£.
【注1】 这是用“E — N语言”来描述数列极限.符号“W”是英文Arbitrary（任意的）的首字母上«
\下方向倒着写出来的；符号“m”是英文Existc存在）的首字母左右方向倒着写出来的.
【注2】数列收敛与其子列收敛的关系.
i
§
定义从数列仏”｝：山山2,…，a”，…中选取无穷多项，并按原来的先后顺序组成新的数列，称新
数列为原数列的子列，记为
a”, } : a”,叫，…，a”.
其中下标® ,兀2，…，S ,・・・为正整数.
例如，若7“（&=1,2,…）分别取为2k和2k~l,则得到数列｛a”｝的两个子列
{a2k} :a2 ,a4，•…,a2k，…；{a2k-i} :^i 5，・••，色上―i，
这两个子列的项在原数列中交错出现.
定理若数列｛a”>收敛，则其任何子列｛%｝也收敛，且lima”,=lima”.
jfc—»oo
«—► oo
此定理为我们提供了 一个判断数列发散的方法：对于一个数列｛a”｝,如果能找到一个发散的子
列，则原数列一定发散；如果能找到两个收敛的子列｛a”, ｝和｛a”： ｝,但它们收敛到不同极限，则原数列
i也一定发散.
26
i
第2讲数列极限
i
例如，对于数列｛（—1）"｝：—i,i,—i,i, •••,（—】）"，…，我们找到其收敛的子列
»
｛ （一1）"｝： 1,1,…」，…；｛（ — 1）心｝： 一1,一1,
它们的极限分别为1和一1,所以原数列发散.
d
*
由定理可得一个重要推论:\\ma,=a^\\ma2k =a,且lim©
】=a.
<to
*o
n-o
*o
bf8
«n
3.收敛数列的性质
定理1（唯一性）
给出数列｛工”｝，若linrr” = a（存在），则a是唯一的.
定理2（有界性）
若数列&”｝极限存在，则数列&”｝有界.
定理3（保号性）
设数列｛a”｝存在极限a,且a>0（或aVO）,则存在正整数N,当n>N时，有«„>0
（或 a”VO）.
推论
如果数列｛a”｝从某项起有a„>0,且lima” = a,则a>0.
4.极限运算规则
设limz” = a ,limy” = b,则
«* OO
”一► OO
① lim（j: ”土y”）= a土6；
② \imx„yn = ah；
若仔
③
O,y”HO,则lim^ =芳.
n
b
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
运算规则可以推广至有限个数列情形.
5. 夹逼准则
如果数列&”｝,｛%｝及"”｝满足下列条件
（Dy”Wz”W2：”（" = l ,2,3,…）；（2）limj/„ =a,\\mzn — a.
n*oo
* oo
”一
则数列&”｝的极限存在，且!巴乙=么
6. 单调有界准则
单调有界数列必有极限，即若数列&”｝单调增加（减少）且有上界（下界），则limx„存在.
K基础例题精解
例2. 1
用定义证明lim9" = 0（<7为常数且|g|<l）.
证明对任意正数e,不妨设£<1,欲使|g"-O|<e成立，只要
nln|g| Vln e,
in e
“> 耐
即
•
取N=[^] + l,则当">"时，就有”〉罷,则
I qn Ke.
故limq" = O（g 为常数且 |g|<l）.
27
丫勿（考研数学基础30讲•高等数学分册
【注】（1）当｛©｝是首项为Qi ,公比为q（q工1）的等比数列时，其前咒项和为
/
i
g巳
当 | g | VI 时，S = limS” = -：_-—.
”一 8
1一q
（2）要强调g为常数且|q|<1,若没有g为常数这个条件，如g=l—丄,"=2,3,…，则|g|<l,但
n
limg” = lim（l-丄）=e ”吧"“（ —）=e”吧（专）=e~V0.
"f 8
■awi
证明
8
”*
2? /
\
证明：若 lima”=A，贝!］lim|a” I = IA I.
因lima„=A,对任意正数£,存在正整数N,当">“时，有
|a„ —A|<e.
又由不等式| \a\ — \b\ |^|a —6| ,有
I I
I — IA | | ^ | aa—A | <e.
故色 |a”| = |A|.
《
【注】在本题中若A = 0,则丨|a” | 一• | A| | =丨|a” | —0| = |a”一0| ,即有
lima” = OOlim | a„ | = 0,
n—► co
” f oo
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
这结论常用，即若要证lima„ = 0,可转化为证lim|a„|=0,由于|a”|$0,若使用夹逼准则，便省了一半
”-*8
n-*oo
:的气力，只需证|aJ<0即可.
例2. 3
§
证明数列｛”—>"｝极限不存在.
证明从数列
,*
“"｝： +，2,寺,4,
6,…，缶,2”,…
中选取一个子列｛2”｝：2,4,・・・，2",…，该数列不是有界数列，由定理2的逆否命题知该子列发散，因此，由
“收敛数列的任何子列也收敛”的逆否命题知，原数列极限不存在.
【注】
该数列存在收敛的子列
*
：1 ,
…辽丄］，…，但原数列发散.这说明一个数［
5列的某个子列收敛并不能保证原数列收敛.
例2. 4
■翊DI
n2 -\~^/n
n
n为正奇数，
丄
n
"为正偶数，
S
则当nfg时，变量工”为（
）.
（A）无穷大量
（B）无穷小量
（C）有界变量但不是无穷小量
（D）无界变量但不是无穷大量
解应选（D）.
本题给出｛化”｝，&2卄J的表达式，欲考查&”｝的极限，自然要考查两个子列的极限，且需要区分选项中
28
第2讲数列极限
无界变量与无穷大量的概念•由题设可知
lintz?” = lim — = 0,
o
oo
^2?
*n-o
*n-
!呼如+尸驭⑵+1[+浑壬1= 4-00,
2??+1
可知lim^n^lim^„+1 ,因此!巴攵”不存在，且&”｝既不是无穷大量，也不是无穷小量，故选(D).
例2. 5
设lim(a”+®) = l,lim(a”一®) = 3,证明｛%｝和血｝的极限存在，并求出它们的极限值.
”*一 8
8
证明令 “” = a”+b”，u”=a”一6”，则lim“” = l ,lim“ = 3.由极限运算规则①知和｛“”一“｝均
n-o
*o
”f 8
存在极限，且有
lim (况” + “)= lim 九 + limu” = 1 + 3 = 4,
lim(un — vn) = lim 况” —limu” = 1 — 3= —2.
= *(%” — S)9所以｛a”｝和｛»｝的极限存在9且有
另一方面,Q” = (*% ” + ")
lima” =
”->8
厶
X 4 = 2,
limb” =
”f OO
极限lim(丿” + 3 后一%/n~\[n )=(
例2. 6
).
吨
(A)2
X (— 2) — — 1.
Lt
(C)l
9
(D)#
解应选(A).
所求极限中1血丿"+ 3扬与lirnj”一庙都不存在，不能利用极限运算规则，这时通常应考虑代数恒等
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
►oo
*H- 8
变形，化为可以利用极限运算规则的情形.
所给极限为“x —OO”型，不能直接利用极限运算规则，需先变形.
求极限!巴(占
例2. 7
解
lim
n
1
n ~r
l
冷十…+舄
n ~v n
)=陛耳趕，对和式耳 占作适当的放缩有
n
— p n
n
—
n ■ n 2 十| ~t? W fry
・丿
| 1，
n 2 ~r| i• W n ■ zz 2 十丄
2
2
由=l,lim^—= 1,因此根据夹逼准则，原式=1.
n-c«n 十].
”-8九 ~rn
例2. 8
设数列｛a”｝满足a, =a(a>0)心+i
夕仏+f),证明极限!曾存在，并求其值.
证明由题设可知a”>0,由不等式岁孑念(a,b>0),有
29
考研数学基础30讲•高等数学分册
即数列｛©｝有下界•又
2_q2
故数列S”｝单调减少.
存在
由单调有界准则，昨話A,由保号性，有AM
在等式a„+1=y(a„ + ^-)两端取极限，得
解得 A =a/2 ,即 lima” =施.
例2. 9
设数列&”｝满足0＜心＜兀,工”+严sin工”5=1,2,…).证明limz”存在,并求该极限.
”一＞8
由于当OOVtt时，0＜sin
证明
所以当0＜工”＜兀时,0＜j?„+1=sin工”＜工”＜兀已知0＜心＜兀,故
x＜jc,
由数学归纳法知对一切"=1,2,…，有
0O”+i = sin 工”0”,
即&”｝单调减少且九＞0.
由单调有界准则知!竺九存在，记为a,则a^0.令"—co,将工”+】=sin九两边取极限，得a = sin a,易
见a = 0是它的解.故limz” = 0.
例 2. 10
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
设数列｛a”｝满足 a。= 0,如=1,2a„+1 —a„ +a”-i,” = 1,2,
⑴证明 a”+i_a”=( —*
)
,"=1,2,…
(2)求 lima”.
(1)证明由©+1=如乎二则
_a”+a”_i
_—
Q卄］—a“------- q
— a”----------5------
(2)解
1一
故 lima” Rim---” f oo
30
”f oo
a” = (a” —a”_i ) + (a”_i —a„_2)^------ (ar —a0)-\~a0
~T)
3
2
2
第2讲数列极限
：i
「习题
2.1用定义证明旦[1 +守「1・
◊求极限叭+?^+…十7^）・
2.3求极限柬（昇芮+
卫+ •“+沁百）•
2.4设a” = * + * + ・・・+ +（"=l,2,“・）.证明数列仏｝收敛.
2. 5
设工1=2,九 + （九一4）九_]=3 5 = 2,3,・・・），求limz”.
L......
2.1证明
按照本讲“基础内容精讲”中T.引言”的思路
，不难写岀证明过程.因| l+匕空一11 =丄
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
n
n
|
则对任意正数£,欲使
即
丄<e,
n
只要
"> 丄.
取N为+的整数部分加1,即N=[+] + l,则当” >“时，就有”〉+，从而有
1+
故 lim「l +
n*oo
L
(―1)"
-1 <e.
n
=
Tl
2.2解由题设得，
右述J丄
又亞KF冇"根据夹逼准则'原式
2.3解
分子不动，将分母改成相同的，则
1
n (乳+1 ) v
十汪p+…+彳怎雅需n
2(n2+n + z?)^'z22+n+l
31
考研数学基础30讲•高等数学分册
n 5+1) =]•
T7 172 (刃 +1 ) =
*
又映乔卄卄1) ”迂2 (n2 -\~n~\~n )
2.4
，所以根据夹逼准则，原式=寺.
证明因
如 1 —a”一(“+])2>0,
故数列仏”｝单调增加.
当n>\时，因为
a”
=寻 + 寺------
<1 + 1V2 + …+
1
(n— 1) • 7?
=1 +
=2-丄 V2,
n
故数列｛a”｝有上界.由单调有界准则，数列｛a”｝收敛.
2.5解
先证单调性.由工” +(2”一4)工”_1 =3,得工”=辛占九t，又m = 2,所以工2 =斗半竿=¥>
丄十工”―1
3
1十L
工1>0,假设工》>工
_
*
1>0成立，则
不+1
_
忑
、
= 3 + 4*工 _ 3 + 匕_ 1 =
乙一工》-1
(1+ g)(l+_r*_i)
1+工》_1
1+乙
'
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
故z屮>4,即数列｛九｝单调增加.
再证明其有界.又九=普栄〒=3 +击二<3十1 = 4,所以数列｛九｝有上界.
由单调有界准则知limz”存在.设lim_z”=A,令兀―印，由乂” =红丝二，得A=誌竿，解得人=吐仔,
«-*°°
1 十工“_]
L
1 十A
”f°°
由题设,匕>0,根据极限保号性可知A>0,故1呼” =3 +汽
32
第3 讲
函数极限与连续性
基础知识结构
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
33
丫5(考研数学基础30讲•高等数学分册
□侈基础内容精讲
一、函数极限
1.邻域
(D-维的情形.
邻域
数轴上以点工。为中心的任何开区间称为点竝的邻域，记作U(工。).
&邻域
设心是数轴上一个点，&是某一正数，则称开区间(心一“工。+5)为点如的5邻域，记作
U(x0,3),即
U(x0,8) = {x|
*
rV>r
一5V
” f 5} = {z| |工一工(>| <&},
其中点如称为邻域的中心，§称为邻域的半径.
去心&邻域
定义点工0的去心邻域»(工0 ,5) ：17(工0 ,5) = & I 0V I工一工0 I <5}.
左、右&邻域{工|0<2~工。<刖称为点血的右6邻域，记作U+Cr°,5)；{_z|0<z。一工<"称为点如的左8
邻域.记作IT (竝，5).
(2)二维的情形.
d邻域
设卩。(如,必)是辺^平面上的一个点,5是某一正数.与点卩。(工。,，。)的距离小于5的点PSy)
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
的全体，称为点P。的6邻域，记为U(P。，",即
U(P0,S) = {P\ \PP0\<§}或 U(Pn,S) = {(x,y)\ ^^-x0y + (y-y0y<8}.
去心5邻域点P。的去心5邻域，记作即lJ(P()^) = {P|O<|PPo|<^}.特别指出，如果不
需要强调邻域的半径5,则用U(Po)表示点P。的某个邻域，点E的去心邻域记作UCP0).
&邻域的几何意义
U(P°,d)表示zOy平面上以点P°(m，y。)为中心，5>0为半径的圆的内部的点
P(x,y)的全体.
邻域与区间(区域)邻域当然属于区间(区域)的范畴，但事实上，邻域通常表示“一个局部位置”，比
如“点工。的&邻域”，就可以称为“点工。的附近”.于是，函数/■(")在点血的某5邻域内有定义也就是函数
于(工)在点如的附近有定义，这个“附近”到底有多近多远，既难以说明也没有必要说明.有例为证,2007年有
一道考研数学题如下:设函数y=y(_z)由方程jdn y~x + y = 0确定，试判断曲线y = y(z)在点(1,1)附近的
凹凸性.
【注】关于邻域的一组概念非常重要，因为这涉及我们将要“在一个局部位置”细致地研究问题.5
2.函数极限的定义
设函数/\工)在点血的某一去心邻域内有定义.若存在常数A,对于任意给定的e>0(不论它多么
小)，总存在正数&，使得当0 V"—口丨<5时，对应的函数值/(工)都满足不等式|/(^)-A|<e,则A就叫
作函数/"(z)当工—菇时的极限，记为
lim/(x) =A 或/'(z)fA (工亠工0).
L七
写成ue~S 语言99: Iim/(x) =AU V £>0, 3 5〉0,当 0V | x~xQ \ V5 时，有 I 乂
* ) — A | Ve・
L%
34
第3讲
i
函数极限与连续性
【注1】这里z的趋向方式要比数列问题多得多，对于工—如，既要考虑工从乩的左侧（小于纟
•To ）无限接近工0，即gf工0~，也要考虑Z从Zo的右侧（大于工0）无限接近工0，即Zf工扌；对于_zf OO ,既
— 00,也包括_r—+ oo,不再--- 列出.读者应学会写出函数极限的精确定义 ，提示一下：对
*
包括乂-
于 lx时的极限，其—X语言”为
lim/(j：)=AoVe>0, 3 X>0,
i
《
|^|>X 时，有 |/(^)-A|<e.
【注2】（i）函数的单侧极限.
s
若当x-^xq时，y* （z）无限接近于某常数A9则常数a叫作函数/（J?）当工->乂0时的左极限9记为
lim/(j?) =A 或 f(xo ) =A.
L%
若当工->讨时，/（刃无限接近于某常数A,则常数A叫作函数/（工）当工—兀。时的右极限，记为
lim/(jr) =A 或 f(xt )=A・
（2）函数极限存在的充要条件.
lim/(x) =A<=>lim/(^) = A，且 lim/(jr) =A,
工f%
*2- 斗
*彳工lim/(jc) =AO/(j：) =A+a(j：) JimaCj') =0.
*兀工z—叫，
2
》
3.函数极限的性质
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
唯一性如果极限lim/Xw）存在，那么极限唯一.
L%
工）=A，则存在正常数M和儿使得当0V& —工。|<5时，有|/（x）|<M.
局部有界性 如果lim
*
L%
局部保号性
如果/■&）-* 人（工一血），且A>0（或A<0），那么存在常数d>0,使得当0V |工一工。| V5
时，有 /（^）>0（或 f（x）<0）.
》
【注】
推论
如果在乂。的某去心邻域内
工
*
）$0（或=0）且limyQ）=A,则A$0（或£0）.
L%
》
4.极限运算规则
若 lim/(jr) =A,limg(x) = B,那么
①lim[^/(x)±Zg(j;)] = ^lim/(x)±Zlimg(j;) =kA + lB9其中 kd 为常数
② lim[/(^) • g(jc)] = lim/(jc) • limg(兀)=A • B,特别地，若Vimf(x)存在皿为正整数，贝!]
lim[/(a-)]n = [lim/(jr)]n ；
③臥爲=_limf(jc)_ A
「limgCz) B(B^0)-
5・夹逼准则
如果函数fCgQ）及bCr）满足下列条件:
① g（z） WjfQ） £人（乂）；
② limg（jr） =A ,limA（jc） =A.
则 lim/（jc）存在，且 lim/（jc） =A.
35
考研数学基础30讲•高寻数学分册
【注】 常见的一个问题：设任意的E,总有卩（乞）W/Xe） W g（无），且lim［g（z）—爭（工）］=0,则
［lim/（jr）是否一定存在？答案是否定的・lim［g（x）—卩（刃］存在并不能说明limg（jr）, lim^）（ j?）都存:
》在，从而也不能保证lim/（j：）存在.
$
1
9
Q
例如，当无〉0时，取爭（无）=工+无+］ 9 /（力）=z + x-\-\ 9 g （ h ） = 乂 + 乂十］，则爭（无）</（工）<
g(w)，且lim [g(z) —申(无)]=0,但lim于(力)不存在.
*X- + 8
*X- + 8
6.洛必达法则
法则一
设①当工—办或工—oo）时，函数/■&）及FQ）都趋于零；
② y'Q）及F'（z）在点a的某去心邻域内（或当| x | >X，此时X为充分大的正数）存
在，且 F'（z）H0；
③ "m
’；：］（或limf：：：）存在或无穷大,
*
洛必达
(1661-1704)
法则二
函数
工
设①当工―。（或工—oo）时，*
）及FQ）都趋于无穷大；
② #Cz）及FCz）在点a的某去心邻域内（或当I X I >X，此时X为充分大的正数）存在，且Fa）H0；
③ lipi说吕■（或lijn召号）存在或无穷大，
心）
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
!）•
1|=
費
住陀
【注】⑴一般说来，洛必达法则是用来计算“#”型或者“三”型未定式极限的，不是“#”型或I
者“兰”型，就不能用洛必达法则.
OO
⑵如果极限［i号化|仍属于“#”型或者“梟”型，且/''（_r）,F'（z）继续满足洛必达法则的条
件，则可以继续使用洛必达法则，即lim£y[ —
•rf a V \JC )
・
—
jc-* u
V \OC )
zf a
Jl \OC)
（3）如果lim£z寻不存在也不为oo,不能推出lim豊吕不存在也不为oo,简单一点说就是:
对于丘严葺¥ = limply,"右存在，则左存在;但左存在，并不意味着右一定存在”.比如说，极限
. 一
1
1
x 2 • sin
y
lim---------------= limjr • sin— = 0
x-*o
3C
JC
x-*o
存在，而如果使用洛必达法则，会有
1
• —
x 2 • sin
x =lim ( 2工• sin — — cos —
lim--------------JC
*O
■r-0 \
X
X
〔.
jc
》这个极限显然不存在•这是一个很细致、很隐蔽的问题，稍不注意就可能出错.
36
第3讲
函数极限与连续性
7.泰勒公式
泰勒公式是极限计算的重要工具(其来源见第6讲“基础内容精讲”的定
理9).
要将以下几个重要函数的泰勒公式熟稔于心(乂- 0)：
第一，*
*
r4
COS 2=1 — —+ —+ o(jc4),
sin x = x — —+ o(j：3),
arcsin x = x~\~ —
无3
tan 工=z + -^- + o(«z3) 9
,
工3
arctan x = x — —+ o( j:3 ),
r2
jr3
2
泰勒
(1685-1731)
3
ln( 1 + j?) = x — —+ —+ o(j:3 ),
o
eJ = l+ jr + —+ —+ o(jc3).
(l+«r)a = l +血 + 幺(：! 1)/ +o(jc2 ).
【注】从数学命题的角度，对以上公式进行处理，可得到一组“差函数”的等价无穷小代换式：如§
i
x—sin x—-^~x +o(j:3)，贝！］ x— sin jr~-7-j;3 (乂―0) 9 同理有 arcsin x —无〜4-无‘(j?f 0) , tan
6
6
6
—无〜
jc
r3
1
丁工3 (j?~>0) , j?—arctan工~ 丁 (e—0)等.并可将这些公式广义化，如第一个公式广义化为狗一sin狗〜
]吕(狗尸(狗-0),其余类似.
第二，要掌握高阶无穷小的计算规则，详见下面的“9・无穷小比阶”.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
第三，也是最关键的一点，用泰勒公式求极限时，函数应展开到乂的几次幕？
⑴寻型，适用“上下同阶”原则.
具体说来，如果分母(或分子)是工的怡次幕，则应把分子(或分母)展开到広的沧次幕，可称为“上下同
阶”原则.
例如，为了计算lim匸浮,把sin工泰勒展开，一般可写成如下三种形式：
X
L0
①sin *z = «z + o(«r) ； (2)sin x = x — -yrx2, +o(j:3 ) ; ®sin x = x — -ttx2, +
0
5!
0
+ o( j:5 )・
根据“上下同阶”原则，①式展开得“不够”,③式展开得“过多”，②式正符合要求•于是，
JC— P 0C — -^-JC3 +o(jf3 ) I
-^-J73+o(H3)
[
1
x— sin x ..
b
b
lim------ 3--------- = lim------ ---------- n-------------------------- ~ = hm--------- ；--------------- =—.
0
x-»o
x
X-O
x
X-*O
X
2)
(A-B
型，适用“幕次最低”原则.
具体说来，即将A3分别展开到它们的系数不相等的工的最低次幕为止.
例如，已知当工〜0时，cos x~e~^与为等价无穷小，求a,b.
2
异
了？
’
1 4
用泰勒公式，cos x= 1 — —+ —+ o(j:4 ) ,e-^ = 1 — —+ ——+ o(j;4).
显然，将cos,e霍展开到分时，其系数就不一样了，使用“幕次最低”原则，展开到此项后，进行运
算，得
o( )]=—寺+o(w4 ),
cos 2 —L 至=[1 一訂 + 右+ o(无 4)]一 [1 一分 +右才+ *
37
0 J考研数学基础30讲•高等数学分册
于是可知 cos 工一e「丁 --- 12-2'4（'亠°），故 a=—令‘" = 4.
8.海涅定理（归结原则）
设心在U（D内有定义，则
lim/（x）=A存在少对任何U（D 内以工。为极限的数列&”｝（工”工说），极限lim/（x„）=A存在.
x- Xo
*
”f oo
【注】众所周知，数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是海涅定理是联系数列极限与函i
数极限的桥梁.它指出：在极限存在的条件下，函数极限和数列极限可以相互转化.虽然有些读者可
能没有听说过这个定理，但是我们都在不知不觉地使用它，比如，证明lim丄sin丄不存在.证明
如下：
设/（J?） = ±sin±,若取© =比~0，"~°°，则有/（九）=0；若取乳
n -*oo,
2" +寿
I则有/（x：）=（2n + y）irex,,根据海涅定理，极limy sin g不存在.证毕.
事实上，+sing是当…）时的无界量，但不是无穷大量.
9.无穷小比阶
（1）无穷小定义.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
如果当工一工。（或工一 OO）时，函数y（工）的极限为零，那么称函数/\工）为当工〜如（或工f 8 ）时的无穷
小，记为
lim/(a:) =0(或 lim/Xz) =0).
特别地，以零为极限的数列称为ns时的无穷小.
【注】（i）无穷大定义.
i
oo
*
如果当X-^Xq （或Jf-
i
）时，函数I f（x） |无限增大，那么称函数/（X）为当JC-^Xq （或X）时的
无穷大，记为
lim/(jr) =oo (或
=oo).
（2）无穷小与无穷大的关系.
在自变量的同一变化过程中，如果/\工）为无穷大，则为无穷小；反之，如果/（工）为无穷小，
I且/Q）H0,则走y为无穷大.
（2）无穷小的比阶.
设在自变量的同一变化过程中，lima（z） = O,lim0（工）=0,且0（工）工0,则
38
①
若
lim船=0,则称a（工）是比P&）高阶的无穷小，记为a（z）=o（0Q））
若
②
"m 船=8,则称a（z）是比0（工）低阶的无穷小
第3讲
函数极限与连续性
③ 若lim^fy = c^0?则称a（x）与0（工）是同阶无穷小；
④ 若lim
= 1，则称a（z）与8（工）是等价无穷小，记为a（z）〜p（z）;
⑤ 若lim 贰）.=cHO M>0,则称aQ）是/?（工）的"阶无穷小.
【注】
与
并不是任意两个无穷小都可进行比阶的•例如，当Z—O时“sing虽
* 然都是无穷
?
zsin —
<
11》
= lim—sin—不§
§小，但是却不可以比阶，也就是说既无高低阶之分，也无同阶可言，因为lim—
x-*o X
X
X
X
x-*o X
j
I存在.
（3）无穷小运算规则.
① 有限个无穷小的和是无穷小.
② 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
③ 有限个无穷小的乘积是无穷小.
④ 无穷小的运算.
设肌，"为正整数，则
a. o（h）±o（_r"） =o&） ,/ = min{m,n}（加减法时低阶"吸收"高阶）;
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
b. 。（丹）• o（z”）=o（H+"）,丹•o3）=o（h+"）（乘法时阶数“累加”）；
0。（丹）=。仏工”）=怡•。（工”）MH0且为常数（非零常数相乘不影响阶数）.
:
【注】在后面泰勒公式的应用中，会对上述高阶无穷小的运算提出要求，请读者学会正确书写.i
（4）常用的等价无穷小.
当工-0时，常用的等价无穷小有：
sin jr〜乂,
tan 2〜无9
arcsin 工〜《z,
arctan
ax — l~^ln a ,
:
【注】
ln（ 1 +jc）,
eJ — 1 〜e.
(1 +«z)a — 1 〜ar.
纟
使用时一般都要做广义化：可将工替换为趋向于0的函数，请灵活使用.
二、函数的连续与间断
1.连续点的定义
设函数/'（工）在点工0的某一邻域内有定义，且有Iim/（J7）=/（j；o），则称函数/（広）在点几处连续.
* 叫，
Z-
2.间断点的定义与分类
以下设函数/Q）在点如的某去心邻域内有定义.
（1）可去间断点.
若lim/（^）=A^f（^o）（/（^o）甚至可以无定义），则这类间断点称为可去间断点.
L%
39
考研数学基础30讲•高等数学分册
【注】只要修改或者补充于（如），使得limf（_r）=A = _y（_z。），就会使得函数在点血处连续，于i
§是，这个点叫作可去间断点，也叫作可补间断点.
i
（2） 跳跃间断点.
lim 工）都存在,{Hlim/（^）^lim/（^）,则这类间断点称为跳跃间断点.
若limy（工）与*
z*
%
Zf%
z
h
*
z—z；
。
可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.
（3） 无穷间断点.
若limy（z） = oo,则这类间断点称为无穷间断点，如点工=0为函数y =丄的无穷间断点.
工―％
X
（4） 振荡间断点.
若lim/（^）振荡不存在，则这类间断点称为振荡间断点，如函数3； = sin—在点工=0处没有定义，且当
X
L叫
夂一0时，函数值在一1与1这两个数之间交替振荡取值，极限不存在，故点工=0为函数3/= sin丄的振荡
X
间断点.
无穷间断点和振荡间断点都属于第二类间断点，除此之外，还有不属于上述定义的第二类间断点，比
如图3-2的情形.
【注】（i）大学教材（如同济大学《高等数学》第七版）中一般均写明“在点竝的某去心邻域有定$
i
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
§义”的前提下，才讨论间断点.如图3-1所示，显然，/（工）在点工=工。处只有右侧邻域有定义，故不讨
I论点広=血是否为间断点•（但直线
是/'&）的铅垂渐近线）
图3-1
（2）进一步地，“在点工。的某去心邻域有定义”的函数/（工），如图3-2所示.
如图3-2所示的情形从未考过，因为一般的数学教材中没有单侧间断的定义，这种定义可参见
国际上的一些教材，如菲氏《微积分学教程》有如下定义.
函数/（工）在点工。处是右（或左）连续的，只需满足极限关系式
fCxt ） = lim/（^）=/（x0）（或 g ） = lim/（x） = /（x0））.
工一时
LZ：
若这关系式不成立，则称函数_/■&）在点如处有右间断（或左间断），如此说来，对于图3-2（a）,
lim f（x） = f（0），故攵=0处左连续，但lim f（x） = +©©,故工=0处右侧无穷间断，读者可类似分析图
x*
0
£ 3-2（b）的情形.
40
x-»0 +
》
第3讲函数极限与连续性
基础例题精解
1.函数极限的性质
本部分主要考查函数极限的唯一性、局部有界性和局部保号性.
（1） 对于唯一性，
① 对于Zf OO,意味着,且— OO;
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
② 对于X-^X0 ,意味着広一讨，且X-^Xq
.
我们称这个细节的问题为自变量取值的“双向性（有正有负）”，基于此，我们看几个重要的函数极
限问题.
lime^不存在，因为lim于=+<^, lim b = 0,根据“极限若存在，必唯一”，得原极限不存在；
z~
+ oo
*
xo
* o..
*
x- — oo
sin
卄亠 m o v sin x
sin x = v sin x v sin x
lim —p-不存在 9 因为 lim —j—= lim------ = 19 lim —p-= hm------- = — 1 ；
*■r0
I JC J
力
JC
x-»-0H
x-»0 _ I X I
I 2 I
x-»0
lim arctan x 不存在 9 因为 lim arctan 无=芳,lim arctan ^==—
limEzr］不存在，因为
= 0, limR］ = — 1.
*
x0
-
lO
0
x*
+
（2） 对于局部有界性，
① 设lim/（j：）存在，则当工*
有界.其中"工•时,/"（工）*
•"是指x-^x0 ,x~^Xo , x-^~Xo，工f oo,
工-_00,工〜+ oo六种情形.值得注意的是，极限存在只是函数局部有界的充分条件，并非必要条件；
② 设_/（工）在匕,刃上连续，则_/（工）在［a,刃上有界；
③ 有界函数与有界函数的和、差、积仍为有界函数；
④ 若”（刃在有限区间（a』）内有界，则/'（Q在该区间内有界.
（3） 对于局部保号性，主要和导数的几何应用结合来命题,参见第5讲的例题.
例3. 1
已知 lim/Xz)存在，且函数 /(jc) =x2 -\-x~2 lim/Xz)，则 lim/Xz)=(
*X- 1
3
(A)T
*X- 1
（b）-4
（o-多
).
*
-x- 1
(D)#
41
命f考研数学基础30讲•高等数学分册
解应选（D）.
本题考查极限的概念，如果极限存在，则它表示一个确定的数值，这是求解本题的关键.
设 lim/（j；）=A,于是
lx*
fQx） =x2
2A,
jc—
两端同时取时的极限，有
lim/（j：） = lim（j：2+x —2A） = 2 —2A,
x-*1
x-*1
2
于是A=2_2A,解得A = y.故选（D）.
T2 — 1 1_
»
当工~
1时，函数互一^円的极限
（
X— 1
例3. 2
）.
（A）等于1
（B）等于0
（C）为8
（D）不存在且不为*
解应选（D）.
］
了？ — 1
T
函数〜在工=1处没有定义，在工=1的两侧表达式虽然相同，但是注意到当工亠1时，一左、
E —丄
X— 1
右极限不相等，因此应该考虑单侧极限.
rr2 — I
1
1
lim------ 呼一1 = lim（jr+l）e777T =0,
力―丄
rr2 — 1
L1
_1_
1
lim------ e7^ = lim（^：+l）e~ = +oo,
x-l +
x-l+ X~ 1
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
T2 —］ ］
可知当工时，函数丰才的极限不存在且不为oo,故选（D）.
【注】
}
对于上述limex_1的情形9由于lim 一］〔与lim ［不相等，因此不能忽视左极限与右极j
工
li
-1 $ —1
x-r
—丄
I限，否则会导致错误，这是这类问题经常出现错误的原因.
例3. 3
在下列区间内，函数fS =
(A)(-2,l)
•zsin(z— 3)
(B)(-l,0)
有界的是（
(0(1,2)
).
(D)(2,3)
解应选(B).
所给选项皆为开区间，因此不能直接利用连续函数在闭区间上的有界性定理•可以考虑在开区间两个
端点处函数的极限是否存在.
由于/•&）在心=1,工2 = 3处没有定义，因此当工工1,工工3时，/（工）为初等函数且为连续函数.又由
lirn/(.) = lim
lim/(jr) = lim
*
x- 3
* 3
x-
jrsin(j7一3)
j;sin(a: — 3)
Q—1)Q —3严
可知在区间端点为1或3的开区间内，*
工 ）均为无界函数，故选（B）.
【注】（1）若y = f（x）在闭区间［a,刃上为连续函数，则/（乂）在［a,刃上必定有界.
（2）若/Xh）在（a,b）内为连续函数，且lim f（x）与lim/Xj：）都存在，则/（工）在（a,b）内必定有界.2
*ax»
-x-*b
》
42
第3讲函数极限与连续性
2.七种未定式的计算
本节内容极其重要，它是高等数学计算的基础，读者要高度重视，充分训练.
对于lim/Co'),才
自变量工的变化趋势共有六种情形:丄~
*
(2>呂),広—工『(工<工0),0
* 说，工->+00,
L —OO及―8.在没必要对其进行区别时，统一记成工〜•.
(1) 化简是第一步，切记.
化简的方法：①提出极限不为0的因式；②等价无穷小代换；③恒等变形(基本的恒等变形法如提
公因式、拆项、合并、分子分母同除变量的最高次幕等，高级的恒等变形法如变量代换，也叫换元法
等)•需要强调的是,很多问题如果不化简就计算，可能计算会很复杂，甚至可能计算不出结果.
(2) 判断类型，七种.“卫_”“兰”“0 . oo,,<<oo-ooM<<ooOWM0OMMl°oW.
oo
0
(3) 选择相应的方法进行计算(包括运算规则、夹逼准则、洛必达法则、泰勒公式、归结原则等).
(1)“¥” “22” “0 •
OO
0
例3. 4
oq”.
极限lim
i—*
0 *
工一厂+1
(A)oo
).
(B)2
(DL*
(C)l
解应选(D).
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
这是“# ”型未定式，注意到函数表达式中含有根式，若直接利用洛必达法则，求导比较复杂，考虑到分
子与分母中均含有石，可先设t=丘.
代—
lim
*
0
•r-
+J7 —
1
e2 用+1
故选(D).
例3. 5
求极限lirrr
0
*
x-
yl + tan x— ^/l + sin x
无 In ( 1 -\~oc ) —x2
解这是“#”型未定式,分子是根号差“扬一0”的形式，请记住一句话，一般说来，“见根号差，用有理化”,
这是一种重要的化简手段，则
tan z —sin 工
.___________ 1___________ 1
百十=].I
、耳-氏& [ln(l+z)-幻 』l + tan 工+ 丿 1 + sin z )
sin x _ _ 1
_ 1 ]. tan 无•( 1 一cos rr) _ 1 r
2 2^_ x
2 x^o x[_\n ( 1 -\~jc )—幻
2 *
1
例3. 6
解
x
求极限lim必工十T+也
l_8
Jz? + sin 工
这是"三"型未定式，注意到広―一oo,也就意味着zVO,并且工2+丄一1 +
1是根号差
“庙一丽”的形式，于是先用有理化做化简，再用上=—工代换化为我们熟悉的式子，然后进行计算.
43
命彳考研数学基础30讲•高等数学分册
原式=lim
lim
J乂2 + sin 无(J4/ + 无—1— x — 1 )
求极限 lim
例3. 7
解
3工2 —工一2___________
x2
3产 +£ — 2__________
Jt2 — sin t( J4产一£— 1 +t — 1)
IOO+j;).
这是“oo・0”型未定式，理由同上，则有
lim 无(/1? + 100十工)=lim
令£ = 一工
100工
^/x2 + 100 — x
【注】顺便指出，本题和上题都有一个要注意的细节，就是当工＜0时，要使用代换t=~x化为纟
:常见的情况，或用一工同时除分子、分母，这样才不会出现正负上的错误.
例3. 8
i
求极限limln j?ln(l—jc).
x—r
解
这是“8 • 0”型未定式，注意一个事实：当工―0时，ln（l + z）〜工,将其广义化，得
ln(l + u)〜％ (况f 0),
于是在考研中常考的一个式子是In >z = ln(l+>z—1)〜工一l(j：f 1)，则
limln jrln(l一x) = limlnd+j：一l)ln( 1 一x)
1
*
X- 1
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
1) ln( 1 —工)
=lim (j：—
*
r
x-
\ —x=t
■■'' ■'" ■'
.
=~ limzln t = 0.
【注】在实考中，很多考生对于这种问题处理得不理想，事实上，读者一定要明白一个道理：不f
i能只是简单地记住那几个基本的等价无穷小代换公式，而应该把它们广义化，并通过好的题目载体］
I灵活应用，像本题一样•这再一次说明：数学解题能力必须在做题实践中才能提高.
例3. 9
解
当
jc*
-0
求lim
x*
0
arcsin 乂一arctan 无
sin jc —tan x
时，由于 arcsin x — arctan x =
+ o ( j?)
g-jr3 +o (j? ) 9 故 arcsin x —
arctan力~寺工3;同理，当h—O时，由于sin x — tan x = （ — + —寺）匚3 + o （工3 ）= —寺无'+ ° （无3），故
sin工— tan工—
—扣 ，所以原式=lim 2 —=-1.
一。_ 丄乂3
2
【注】
:
例 3. 1()
如果用洛必达法则，计算起来会相当麻烦.
求 /=limjr
纟
，其中［•］为取整符号.
X—0
解当L0时丰V，对于E，此时想到极限计算的利器一夹逼准则（当常规求极限的方法，比
44
第3讲函数极限与连续性
如等价无穷小代换、泰勒公式、洛必达法则无法使用时，一定要能够想得起这个“两边夹击”的重要方法).
根据攵一1＜［工］=工,有
于是
h>0=>10 —hVe
•
j：<C0=>10 — x^>x •
可见，无论2＞0,还是工＜0,不等式两边均可趋于同一极限 ，故I=limx
= 10.
X—0
(2)"oo — oo".
对于“OO_8”型未定式，一般有两种思路.
(1) 如果函数中有分母，则通分，将加减法变形为乘除法，以便于使用其他计算工具(比如洛必达
法则)，见例3.11.
(2) 如果函数中没有分母，则可以通过提取公因式，或者作倒代换，出现分母后，再利用通分等恒
等变形的方法，将加减法变形为乘除法，见例3. 12.
例 3. 11
极限lim
).
■If 0
(A)2
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
3
(D)*
(C)l
(B)y
解应选(D).
所给极限为—印”型，先变形，化为“# ”型.
1 •「
]
― 1
|_ln( 1 + j:)
*
x」
x0
• 力一]n(]+«r)
j?ln( 1 +«r)
*
x0
1_
1. x — ln(l+j:)
1+h
=lim--------- n------- = lim-----------LX
X—0
x
x->0
.
_ 1
1
X
[映2^(1+工)[映 2(l+z)
2
故选(D)・
例 3. 12
求极限 lim [jc2*1(e^ — 1) — x~\.
令况=—
原式
解
x
=恤于 =*・
lim
“f o'
u2
M-*o+
ZW
u
心” “00” “严”
例 3. 13
丄
求极限Um (工+ /1+P-)".
解这是“a。”型未定式，是幕指函数的极限，对于和“0。”型这两种未定式，一般说来，我们都用
恒等变形
limwv = e^inu
exp{limz;ln u},
45
考研数学基础30讲•高等数学分册
将其化成"普""石""0 •
U
这三种类型，然后计算.故原式=6乂卩（lim丄ln（_z+ /十/ ） I
I
（ J—*4-00 JC
因为 lim —ln(jr+ a/I+j;1
2 ) = lim------- \
l+°° z
l+ooe+ yi+x2
1+
____ _ . 二町7!冷",所以
)
a/1
_1_
lim (x+』1+広2 ) J =e°-=l.
例 3. 14
求极限 lim(H + 0 + e"
x—0 \
3
解这是“1°°”型未定式，是幕指函数的极限，如果lim/属于“严”型，则有一个重要且简单的计算方
=e，得
1
lim“" = lim{[ 1 + (“一])]E
故
原式=exp
(li心乂土J
I Lo X \
3
= eiims-»
exp
lim 口 + lim4 + lim—
JC
JC
0C
j—*o
工-* o
x-*o
= exp
x
3 \
t x->o
x
x
eT(l + 2 + 3) =e2e
2
例 3. 15
求limfwtan丄)("为正整数).
Tl /
°n~
*o
\
这是“1°°”型未定式，解法同上，于是
解
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
i
lim
0
*
x-
tan x
+
[.1 / tan
= exp hm+ —pv“
--1
X
x-0
4
*
11. tan jc一x
= exp 卩im―p—
exp
1.
x—0
\ i.
1 / tan x — x
x
\
&
sec2j:— 1
1
=ey
0
x*
1
1
根据归结原则，取工=丄,则原式=*
n
3.已知某一极限，求另一极限
此类问题是考研的常考题，关键要抓住已知极限与未知极限的联系，实现问题的转化.
例 3. 16
已知极限limtan 2^+y(^)
Lo
sin x
(A厝
(C)罟
(B)4
（d）-4
解应选（D）.
由所给极限可知当x-^0时,tan
+
是比sin工3高阶的无穷小•求恤彳+弓"）可考虑将已知极
x-o
x
限的函数转化为含2+£&）的形式.
x2
由于
応tan 2卄严)=Hmtan 2乂亍心
工-0
sin x 3
x-o
x
=H^tan 2z — 2工+无[2 + /(乂)]
x0
*
X3
46
第3讲函数极限与连续性
「tan 2工一2工丨 Z + yXrr)
= lim L
e3
j：2
0
x*
其中
lim
tan 2x~2x
= lim-^X—0 O
cos^rr______
= lim3无$
x—0
1 _cos22jr
2 r
sin22rc
8
则所求极限=0 — #= — £•，故选（D）.
4.已知极限反求参数
此类问题也是考研的常考题，事实上就是带着参数求极限，只是由于表达式中含着未知参数，要
注意慎用洛必达法则（详见“基础内容精讲”“一”中的“6”）.
例 3. 17
设lim
ln（l+«z） —（处 + 力？）
=2,求常数a,b・
l0
(1 — a —
x— —jc2 +o ( j:2 ) —ax—bx2
= lim---------------解原极限=lim―
工f 0
x0
*
”2 +o （工？）
=2 9从而
x2
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
5.无穷小比阶
例 3. 18
设当jc-^0时,ex — （.ax2 +6jc+ 1）是比x2高阶的无穷小，则（
(A)q = *』=1
(C)a=—*
,b=
(E)q=1』=1
—]
).
(D)a= — 1 ,b— 1
解应选（A）.
丁2
= 1+ 0 + 777 + 0(22).
方法一由泰勒公式可知
由题设可知
lim
e，— (a/ +处+1)
=0,
X—0
(寺 一 0)无2 + (1-b)j： + o(j?)
即
吨-------------P-------------------- =°'
47
考研数学基础30讲•高等数学分册
则 a = y ,6=1.
方法二由洛必达法则可知
lime^W+^+D = ]ime’ — 2处—6
J—0
0
*
xX2
2x
若上式右端趋于无穷 ，从而左端也趋于无穷，与原题设矛盾，所以6=1.因此
〔.e —2ax — b
e —1
小
1
lim------ --------- = lim—---- — a = — — a = O
Z
LT
L3C
x—0
X—o
2x
故a = ,
* 所以应选（A）.
例 3. 19
设工->0时，出2 —兰与丹是同阶无穷小，则n为（
(A)l
(B)2
）.
(03
(D)4
解应选（C）.
当 zf 0 时，
eg“一/ = /(£-”一1)〜e’(tan 工一工)〜tan 工—z,
而
tan x =
工3
—
,
所以
工3
tan x — x = — -\~o(x3),
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
因此选（C）.
{
【注】可以仿照本方法来验证如下结论：
i
\
当 zf© 时，若 /Xz)—0,g(H)f 0,则 e/(x) — eg(T)〜*
2 )—g(2)・
§
IB即・JW・设ai =x（cos后一1） ,a2 =/zln（l +亦）心=V^+T—1.当工―0十时，以上3个无穷小量
按照从低阶到高阶的排序是（
(A)8, a2心
).
(B)q2, «3，8
(C)a2，m 心
(D)Q3
解应选（B）.
当工―0+时,
a2 =M^ln( 1 +丿尸)〜石
a3
丿力 + ] - 1 ---- X 9
则从低阶到高阶的排序是«2心心，故选（E）.
6.函数的连续与间断
________
例 3.21
设 f(x) =
[ 2x~\~a,
«zW0 9
在(—OO,H-OO)内连续，则Q
ex(sin j? + cos j?) , z>0
解应填1.
由于
/(0~ ) = lim(2jr + a) = a,
0
x*
48
/(0+ ) = lim(sin 无 + cos x)
0
x*
+
1,
，&1
第3讲函数极限与连续性
因此要使/'（工）在（一oo,+oo）上连续，只需a = l = /（O）,g|J a=l.
例 3. 22
设函数/•&）= $气扁工,则_/'（小有（
I X— 1 I
）.
（A）l个可去间断点，1个跳跃间断点
（B）l个可去间断点，1个无穷间断点
（02个跳跃间断点
（D）2个无穷间断点
解应选（A）.
由表达式可知，工=0,工=1是间断点.因为
丄
.. ln| x I ，ln| x | .
—sinG 小
x
lim-j------ sin z = lim------- = lim---------------------- = lim---------- = 0 9
X-o I X — 1 I
*
Zf o CSC X
0
x一 CSC X • cot X 工〜o X COS X
所以工=0是可去间断点；而
lim
ln| 工 |
sin x
匕一11
sin 1 • lim
sin 1
1 —x
lim------ = — sin 1,
「I Y—x
. 1
. 1
ln[l + (jc—1)1
x—l
.1
ln| x | .
1.
岬LH sm jc = sin 1 • lim------------ -------- = sin 1 • lim------ =sin 1,
x^\' x— 1
x— 1
故工=1是跳跃间断点.
【注】
・
例 3. 23
在工=0时，也可以这样做Jim ]吐斗「sin jc = \\mx\n \ x \ =0.
「0
L0 | JJ—1 |
函数.心）=£f J1 +去的无穷间断点的个数为 （
》
).
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
(A)0
(02
(B)l
(D)3
解应选(B).
于(工)为非分段函数，只需讨论函数的无定义点：乂 = 0,1, —1.又
lim/(jr) = lim (—丿工：+ 1 ) = — 1 ,
\
X\1 /
X—0
*
0
x-
lim/Q) = 1曲必封丄=哼,
X—1
1*X-
无十
Z
1
工
*
故z=0是/■（/＞的跳跃间断点，工=1是
例 3. 24
解
lim/(^) = lim 塔早=1,
*
o
x-'
X\ 1
J—o'
lim f(jc)= lim ( —
~hl \ =oo.
xi 1 /
z— _i
z— -]\
）的可去间断点，工=—1是/■&）的无穷间断点，故选择（B）.
，记此极限为/（工），求函数/\工）的间断点并指出其类型.
此极限是“广”型未定式，用公式=
山，有
f(x) = exp (lim-~—(学丄-1
(t-^x sin t— sm x \ sin x
亠
sin t — sin x \
x
仁.
— • ------ :--------- =es,nx.
= exp lim--------- :—
）
sin jc
[―工 sin t 一 sin x
函数为非分段函数，只讨论无定义点即可：
① z = 0是函数的无定义点，由于lim/XERime航=e,因此乂 = 0是于（工）的第一类间断点；
0
x*
x-»0
② 工=抵（&=±1, 士 2,…）也是函数的无定义点，由于/'（•r）在x = kn时的左极限和右极限中总有一个
为+ «=,因此工=虹以=±1,±2,…）是第二类间断点（详见“基础内容精讲”“二”中的“2”）.
49
彳勿(考研数学基础30讲•高等数学分册
【习题
〕
_ i
3. 1
求极限limC I。。.
Zf o X
3. 2
已知Z = lim 空1 +「)+乩幻)存在让•］为取整函数，求/ ,a.
■rf 0
ln( 1 + e )
)
3.3
已知 a>0">0,则 lim x{a x ~bx )=
3.4
求极限
3.5
设计算limln
2_
丄
3. 6
丄
n — 2na-\~l T
n(1—2a)」
求极限阳垢需•
宀卄…+盗)1其中心>0, = 1,2,・・"
3.7
n
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
Az)
3.8
设lim
L0
3.9
ln| 1+仝》
sin x =2,求 lim=^.
LO
x
2^-1
zHO,
设于(乂)在(一°°，+°°)内有定义，且lim/(jr) = a，, g(«z)=
则(
).
工=0,
0,
(A)x = O必是g(_z)的第一类间断点
(B)工=0必是g(Q的第二类间断点
(C)工=0必是g(z)的连续点
(D)g(z)在点x = 0处的连续性与a的取值有关
3- 10设函数=
*
°°
n-
(A)不存在间断点
1 -I- T
廿务,讨论函数的间断点，其结论为(
1 十X
(E)存在间断点工=1
).
(C)存在间断点工=0
(D)存在间断点工=—1
1
【解答
3.1分析这是“鲁”型未定式，看起来好像很简单，很多读者拿到这样一个问题，就直接用洛必达法
则求导了，试试看？
*
e
昨刊
*
洛必达法则..e
• 2工7
1
e~7洛必达法则
F6尹=制吋
忸
••••
我们看到,越求导反而越复杂了，为什么？问题出在“占”这个形式上，注意，我们可以将“占=手”称为“头轻
50
第3讲函数极限与连续性
脚重”的“正三角形状△”，常识告诉我们，“正三角形状△”是稳定的•生活和工程中我们喜欢这种稳定吗 ？
— 稳定就意味着不能动，不能动就做不下
当然，金字塔就是很好的例子•可在数学上，这种稳定就不妙了—
去了！比如 1 + 2』+工+ 1山，你怎么积分？而十加;+ '十1也，积分多么简单！这个例子很极
端，但很能说明问题•所以此题的正确做法是先作 “倒代换”，将“正三角形状△”改成“倒三角形状▽”，头重
脚轻根底浅，垮了……搞定！
e_+ 令歹
映产
解
e_‘
z50
洛必达法则
50严
lim
现产=』巴孑
*Z- + '
洛必达法则 50 • 49 •严 洛必达法则
501
====== lim-------- ；------…= lim —= 0.
/-•+oo
e
—+00 e
i
【注】本题给我们的启示：①有些极限问题看起来很简单，但事实上如果不化简就计算，可i
|能根本算不出结果；②可以通过变量倒代换将“正三角形状△”改成“倒三角形状▽”进行化简，|
{这是一个经典思路，在后面的积分学和微分方程各章中，我们都会再次提到，请读者留心总结.{
2
3.2
ln(l + eT)
Yln(l + e：)
解
2
lim
*■TfO
lima ［工］=—a,
x-0
*
2e2'
ii —
ln(l + e=)
2尹
” =丄
1 + e"
z ..
lim —
=0,
“一8_^
1 + e"
丄
斗=怙罕期=応卑—=
2,
lima「H］ = 0,
*
•Tf 0
ln(l + e")
l + eu
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
所以当且仅当a= — 2时，原极限存在，此时1 = 2.
3.3
In芳解利用变量代换.令g = t,则
n -- h
lim x(a~ ~b~ ) = lim-------- = lim(aqn a — blln b) = ln $(a〉O,b〉O)・
x4*-oo
tf()+ t
b
lo*
3.4解方法一这是“oo —x”型未定式极限，首先通分变成“# ”或“三”型未定式，然后使用洛必
达法则求极限.
lim
Z* 0
/ex+xex _ 1 \
37^+72 e 工
•re" （1+工）+1 —于
= lim
= lim
0
x*
x*
\ eJ 一1
jc /
0
工心一1）
ex -}-j： ex — 1
3
3ex+ 5jceJ + jc2 ex
n----------------------- =—
2 2 b+用
•o
方法二
利用等价无穷小量代换，e" —1〜工（当工—0时），则
*
..*
/e +ze
1 \
= lim
x-»0
= lim
0
*
x-
ze" (1 +乂)+ 1 — e"
«ze"(l+H)+ l —于
= lim
*
x0
无(e" — 1)
3xex ~\~x2 ex
3e
* 十工于
= lim
X—0
2x
3
51
考研数学基础30讲•高等数学分册
3.5
分析
n — 2na~\~ 1 ]"
"(1 —2a) J 是“严”型未定式极限，可以使用洛必达法则，也可以凑成第二个重要
lim
极限，还可以利用等价无穷小量代换.
解方法一
一2血 + 1
?1
limln
n(l—2a)
x—2ax+1
z(l —2a)
=lim In
=lim jcln 1 +
I"
亍二茲丿洛必达法则v
1
11 m----；---------1
t
*0
z1 + 1 —2a
o
Z
*'-
方法二
n — 2/ia + l
“(1 —2a)
limln
因为山［1+址坛
limln
3.6解
原式=一 lim—
*
0
x-
1
1 — 2a
=悝n[ 1 + „(i-2a)] R』ig「i+荷4丽
=5险[1 十 “a —2a)
方法三
1
1 — 2a
4]
w(1_2a)T^2；
_i
~lne
_
_
1
应士y(”foo),所以
n一2wa +1 T _ P*
1
1
J = ”巴“ • ”(l_2a)_]_2/
n(l—2a)
sin x
丁
—(1)
=—lim-~—
+
x*
0
+
H
x-»0 +
,sin x
ln(l + --n
In------\
工
=—lim----- —= 一 lim
0
*
H
x- +
x-»0 +
x2
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
.
+o(JC3 )—X
1
1. sin x — t
v
3
=—lim------ ----- = 一 lim--------------- o------------- = V・
0
lo+
x-o+
x
X
3・ 7 解
因为limaf = l,所以原极限为“严”型未定式.
i—O
方法一
使用洛必达法则求极限.
lim
exp < lim—In
*
\ 0
xX
n
0
x*
a：
+…
n
(v
af In ax
In a2 + …+a：ln an
exp < lim72 •-------------------------af + a； + ・•• ~\~a„
方法二
= a1a2
凑成第二个重要极限(“r°”型未定式极限都可以凑成第二个重要极限)，在计算过程中使用洛
必达法则.
lim
盛+ a扌--- 盗
手=lim (1 + 石+〃 + •••十盗—"
n
n
■rf 0
其中
聲竝土二土g = l畑严”)，lim(l +
X
x-^0
扌 + ・•• +
+a
— zz
n
所以原式=0山2…Q”・
3.8
解
lim(2工一 l) = 0=4imln「l+
L0
sm
1
jc
=0Fimg=0Fn「l 十空
lo sm x
sin x
色2〜淫(当lo时).
sin jc
x
又2^ —l = Jn2 —1〜工In 2(当乂―0时)，所以原式变为1曲年刍=2,故lim俾 =ln 4.
lojc In Z
xx
o
*
3.9
(D)解因为 limg(^) = lim.
0
x*
52
*
x0
_1_
X
而 g(0) = 0,所以，当 a = 0 时，函数 g(z)在
第3讲函数极限与连续性
点工=0处连续；当＜2工0时，函数g（z）在点工=0处不连续，故选（D）.
3. 10
（B）分析函数是以攵为自变量的函数，但是，在"一8求极限时，工则被看
1 十 JC
成一个常数（参数），根据乂的不同取值求出极限，求极限完成后工又恢复变量的本来身份.
因为分式中有分"，所以应该把工=—1和工=1作为分段点将函数写成分段函数，然后讨论函数的间
断点.
解
1 -J一 丁
当 |工|<1 时,limjr2" = 0,所以 /'(工)=1+工；当 |工|> 1 时 Jim--—
=0.
”*8"f 8 1 JC
又 /(1) = 1,/(-1)=0,所以
0,
1+'=< 1+小 —1 VzVl,
1,
x= 1,
0,
•T>1・
由此可知工=1为间断点，故选（E）・
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
53
第4讲
一元函数微分学的
概念与计算
口\、基础知识结构
P
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
54
第
4讲
一元函数微分学的概念与计算
基础内容精讲
一、概念
1.引例
让我们进入一个普通教室，注意，“普通”二字意味着这不是一个特殊的（比如恒温）教室.假设t = 9：00
时教室里的温度« = 20 °C,7 = 9：05时教室里的温度匸=25 °C,问教室里的温度在这5 min里的平均变化
率是多少？
这是一个极其简单的问题，其平均变化率为
不过，若只研究“平均”变化率，有时会出现意外.再次回到刚才的教室，假设现在这个时刻/,教室里的
温度u = 20 °C,一年之前的这个时刻2,教室里的温度匸=20 °C,则其平均变化率为
显然，这是一个令人失望的结果•一般来说，普通教室里的温度随时间变化而不断变化，试图研究教室
温度变化的这个目的落空了.究其原因，是因为平均变化率这个概念是“粗糙”的—
—只研究起点和终点的
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
信息，完全没有考虑其过程，当然达不到精确研究温度变化率的目的，如何补救？这时，我们让4-0,也就
是让时间差成为无穷小的数，写成
这里的t被抽象为某一时刻，/（/）这个符号所表达的极限lim羊称为教室温度“在/时刻的瞬时变化率.
由于/为泛指的时刻点，则u（t）即可表达“时时刻刻”教室温度的（瞬时）变化率.这就达到了精确研究温度
在不同时刻的变化率的目的.
按照上面这个思路，我们还可以研究质点在直线运动中的速度问题 ，给出质点的运动方程s=s（n,
我们要求出质点位移在任意时刻t的瞬时变化率（这就是读者熟知的速度），也即
历史上，以牛顿为代表的数学家们饶有兴趣地研究了上面的速度问题 ，虽然他们的表述方式与符号记
法与今天已大相径庭，但是对数学的发展做出了巨大贡献.不过，相对于牛顿，莱布尼茨对几何问题更感
兴趣.
接下来我们就进入莱布尼茨的领域—
— -作曲线的切线一一给定曲线I及其上
,
一点P（见图4-1）,建立曲线/上点P处的切线的概念.
在曲线/上另取一个异于点P的点Q,作割线PQ,如图4-1所示.当点Q沿着
曲线/移动时，割线PQ将绕点P旋转，现让点Q沿曲线/趋向于点P,则割线PQ
绕点P旋转而趋向于极限位置PT.直线PT称为曲线Z在点P处的切线，此处的
极限位置的含义为只要弦长IPQR0,则ZQPT—0.
图4-1
考研数学基础
30讲•高等数学分册
进一步地,记曲线2为y = yQ）,设P（x°，m）,Q（d）,割线PQ的斜率为
y —『0
tan 9=
_/~（攵）—/~（工0）
X — Xq
X~OCq
其中0为割线PQ的倾角.
当点Q沿曲线》= /（工）趋向于点P时，自然有広 No，于是
[./X 无）一/（工0）
记
lim----------- :------------- 啜，
X — Xq
L%
即为割线斜率的极限，即切线的斜率•如图4-2所示M = tan a,其中«
倾角.
【注】lin/S）—*”）并不一定存在，图「2当然是为方便读者理解而画出的.
r
T—x0
》
I
》
2.导数的概念
数学工作者们总希望透过形形色色的具体问题看到数学本质，这在技术上通常的做法是撇开问题中
各种变量的具体意义，归纳出抽象化、统一化的数学表述，从而建立相应的数学概念.
事实上，上面的引例本质上是做了一件事：计算“-的极限，这就会得出导数的概念.
设》=/■&）定义在区间/上，让自变量在工=说处加一个增量 心（可正可负），其中竝€1,竝+ △zC!,
*
则可得函数的增量△y=/'Q° +△工）一血
）.若函数增量△》与自变量增量△工的比值在△工—0时的极限
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
存在，即lim护存在，则称函数y = f^）在点竝处可导，并称这个极限为y = f（x）在点工。处的导数，记作
、工
△lO
心），即
ZU）= lim 学=lim/U + A^Z./^o<
^r*
0
当然’兽I
^,JC
（4-1）
Aj—0
*
，d£" I小'（血）或/［这些符号记法与r（^0）等价•顺便交代一下，“导数”这
个名词被认为是拉格朗日最先使用的，记号/（^0）,y I多次岀现在拉格朗日的文章中，而莱布尼茨则
I工=工。
喜欢写作半I
d«r I
工=弋
•
，晋"I
I x=x0
ckr
【注】这里有几点需要说明.
i
$
（1）在考题中，增量X 一般会被命题人广义化为“狗”:
△尤
狗—*0
狗
（4-2）
（2）若在（4-1）式中，令血+^z =工，则可将导数定义式写成
*） =lim 色口^
L%
x —工。
\ （4-1）,（4-3）两式等价，读者将会在各种场合见到这两种等价写法.
56
（4-3）
》
4讲一元函数微分学的概念与计算
第
i
（3）下面这三种提法是等价的.
§
①y=f（^）在点处可导
② y = y（z）在点x0处导数存在
） = A（A为有限数）.
③ ff
（4）让我们回顾引例中的例子.定义“=“（/）为教室的温度函数，则
/（£）= lim 学
△*
t- 0
表示“在t时刻的瞬时变化率•再仔细一些，当t取为9：00时，读者是否想到这样一个问题：对于9
点整温度的瞬时变化率，这个“瞬时"到底是9点整之前的瞬时，还是9点整之后的瞬时呢？请读者
放心，这在数学上，是有概念上的完美对应的：
若Ai<0,则汁△/在A^0~时，表达了 t时刻之前的瞬时
若3>0,则/+△/在△/—（）+时，表达了 t时刻之后的瞬时.
于是便有了单侧导数的概念,
km 心+ △［）—心）丄］（工。）,
*
Ax0
'
这里，/i（血），屛（工。）分别是yQ）在点xQ处的左导数、右导数，统称为单侧导数.
我们要说，函数_/（工）在点如处可导的充分必要条件是其左导数与右导数f+（^o）均存
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
在且相等，这一点当然是与极限存在的充分必要条件（左、右极限均存在且相等）对应.因为从本质
上来说，导数的定义就是一个极限问题•有了上面这些说法，读者就会回答刚才提出的关于引例的
更为细致的问题了.
表示t时刻之前的温度瞬时变化率
u- （z）=
△tf 0
“'+（/）= lim铝表示t时刻之后的温度瞬时变化率.
△*
/- （）+
而温度“在时刻t的瞬时变化率存在的充要条件为“-Ct）=u+（t）=A（A为有限数）.
下面的例子将从几何上进一步加深我们对导数的理解.
注例I
解
研究^ = f（x）= |jc|在攵=0处的切线问题.
从工=0出发，取增量△工，有△y = /'（0 + zlr）—*。）=〔△工|.
记
.
当△工>0 时，△丿= △：£•,则 f+（o） = lim -^ = 1 =k+ ；
o
*
Ax-
+
.
记
当△h<0 时 3 0 = _ \工、则 /1（0） = lim —— 1 ==k-
0
图4-3
如图4-3所示，曲线y = f（^ = \x\在原点O处出现了两条单侧切线，这两条单侧切线形成了一
|个角，数学上称这里的原点0为一个角点•不过，虽然此曲线在角点O处有两条单侧切线，但按照前
［面讲到的/（乂）在点竝处可导的充要条件，这里的屛（O）=e+HQ=/i（O）,显然/''（0）不存在，所以
I我们说y = f（x）=\x\在原点0处不可导，也就没有切线.
57
30讲•高等数学分册
考研数学基础
■胡―
研究y = y（_r）=攵丁在£ = 0处的切线问题.
解显然，在口处咅竺十^窖=金.
△工
△工
当△工＞0 时，岸（0）= lim,—
=+oo
（△工）丁
当△工＜0 时，/'〔（0） = lim
= +oo.
这样的结果称为无穷导数.*
又士
被
叫作广义的数
，所以无穷导数在有
些数学场合也可被视为导数存在的特殊情形.不过要强调的是，学习“高等数
学”这门课程的读者，还是将无穷导数视为导数不存在为好，因为这是“高等
数学”里的“规矩
,
1
,
还要指出，如图4-4所示,y = fCx）=xT在工=0处是有垂直于攵轴的切
线工=0的•我们说，若曲线y = f（E在点P（x0,y0）处有垂直于鼻轴的切线，
图4-4
则等价于
/（j：o）= +00或一°°（为无穷导数），
土视为不存在的情形下
被
在“高等数学”中，*
，读者就不要把“可导”与“光滑”完全对等起来了.因
1
为这个例子中，显然曲线y=工丁在点工=0处有切线，且为“光滑”的，但在这一点处却不可导.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（5）导数的几何意义.
y = f（jc）在点工。处的导数值于'（攵0）就是曲线y = fCx）在点（Ho，%）处切线的斜率4即k =
/"'（如），于是曲线y = f（jc）在点（工。，:yo）处的切线方程为y —=/"'（工o）（工一 ©）
法线方程为
丁 —丿0 = —Z •—如)(/■'( Zo)工 0 ).
（6）高阶导数的概念.
严 U) = lin/iJ + B)—广7®)
Ax0
*
其中"莎2,为整数，且 KQ在工。的某邻域内有定义，血+厶攵也在该邻域内.
3.微分的概念
先说个引例•如图4-5所示，设正方形边长为工，当其边长增加△工时，它的
面积S增加了
AS —（工+ △•!：）' —x2 = 2zzYz+ （ AJ?）2.
上述面积的增量AS由两部分组成，一部分是2乂△工（图4-5中两个小长方
形面积），它是△工的一次项；另一部分是（△工严（图4-5中右上角小正方形的面
f ArV
积），它满足lim-- ----- = 0,即（△■Z）' =o（/kz）.故△S = 2_zAh + o（4z） , 2x^x 为增
Ax—o l\x
量的主要部分,。（厶工）为△工—O时△工的高阶无穷小，是误差，当X足够小时，有△S~2工△工.下面给出微
分的定义.
设函数y=f（x）在点工。的某邻域内有定义，且工。+△工在该邻域内，对于函数增量
58
4讲
第
一元函数微分学的概念与计算
Aj> = /（j；o + Aj：） —/（工0），
若存在与△夂无关的常数A,使得
△y = A/kz+o（g）,
（4-4）
其中o（Ax）是在△工—0时比br更高阶的无穷小，则称/"&）在点工。处可微，并称Abe为/XQ在点工。处的
微分，记作dy|
=AAj:或者=AAz .又由于Aj:=1 • Az + O,于是一元函数微分学中规定
A^ = d>r,故
（4-5）
=Ad_z.
dj
【注】（1）可微的判别.
= +&
去
》*
①增量△
写
I
）—_/'（工。）；
②写线性增量Ag = ”（zo）△工；
③作极限lim氓也虫
4—0
、工
若该极限等于0,则y =
在点如处可微，否则不可微.
（2） 从上述判别步骤可以看出，用形式简单的“线性增量 W去代替形式复杂的“增量△）”，且
其误差“ Aj^-AAx "是。（2）,这就是说，用“简单的量”代替了 “复杂的量”，且产生的误差又可以忽
略不计，这就是可微的含义.
工
*
（3） 由于“_/&）在点如处可微”与“2）在点工。处可导"互为充要条件，因此判别
）在点氐处
是否可微可以转化为判别其在点工。处是否可导，这样的话考生会比较熟悉.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（4）可微的几何意义.
若/（工）在点工。处可微，则在点（工。,必）附近可以用切线段近似代替曲线段 ，这是可微的几何意义.
（5）图4-6可以较好地帮助读者理解以上论述.
儿
O1
；＜—Ax—*
兀0
兀“+
图4-6
二、导数与微分的计算
1.四则运算
若以下函数均可导，则
和、差的导数（微分）［况（无）士卩（兀）丁 = /（乂）士』（工），dlzzQ） ±u（H）］ = d［%（H）］±d［u（H）］・
积的导数（微分）［%（工）77（2）了 = /（允）77（乂）+%（工）』（无），d［u（J7）77（J7）］ = W（J：）d［77（J7）］+77（J；）d［u（Jt：）］.
【注】［z/Q）u（h）b（2）］' = z/（j;）u（h）w（«z） + 况（无）』（无）3（乂）+zz（z）u（h）tc/（乂），如果遇到因：
:式超过三个的式子，一般不要直接求导，而要另谋他法，见例4.9.
59
彳考研数学基础30讲•高等数学分册
/（力）77（乂）一况（jOt/Q）
［u（2）了
商的导数（微分）
— (PHO,
[u(e)了
,卩（无）工0・
2.分段函数的导数
设其中£&）/&）可导，则①在分段点氏处用导数定义求导 ：岸&。）=
\ f2（2）, JC＜Z.Xq ,
lim力"?_ ［工"f（如）=）.根据岸（^0）==X（工。）来判定/（^o）；②在非分段点用导
& 兀0
工-叫* ，
*x 0
工 无0
x-
数公式求导,即2＞工0时,f'S=f'\（X）；工＜工0时,f〈X）= f；（工）.
3.复合函数的导数与微分形式不变性
设"=g（Q在点Z（没有下标是泛指的点，下同）处可导,》=
*
“）在点“=g（工）处可导，则
｛/Tg（z）］ ｝'=/' Hg（z）Ilg'（z）,
d｛/Tg（z）］ ｝ =/''［g（z）］g'（z）dz = y'［g（z）］d［g（z）］.
（4-6）
（4-6）式就是微分形式的不变性—
—无论“是中间变量还是自变量，dy = ”（“）d“都成立.
【注】｛产理（広门｝'=。｛兀丫严门｝,而/‘匚以工门二承詁貞;）］｝,要看清楚求导符号的位i
dz
4. 反函数的导数
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
设y =
可导，且/''（工）工0,则存在反函数x =（p（y'），且詈=，即爭'（y） = f ：工）.
djr
5. 参数方程所确定的函数的导数
（工=0（上），
设函数y=yQ）由参数方程］_血）确定，其中t是参数，且曲），曲）均对/可导，卩'⑺工0,则
d） _曲/（1£_0：（£）
dx dr/At cp （0 *
6. 隐函数求导法
设函数y = yQ）是由方程FQ,y）= 0确定的可导函数，则
① 方程FQ,y） =0两边对自变量工求导，注意y=yCz）,即将y看作中间变量，得到一个关于“的方程；
② 解该方程便可求岀y.
7. 对数求导法
对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导.设y =
（于（工）〉0）,则
① 等式两边取对数，得lnj/ = ln产（工）；
② 两边对自变量z求导（同样注意y = f（Q ,即将y看作中间变量），得
丄）'=［In *
工 ）丁=＞3/ = ¥
8. 幕指函数求导法
对于“（工）心＞（“（工）＞0,且“（工）不恒为1）,除了用上面的对数求导法外，还可以先化成指数函数
“（_Z）m＞=e"3n“3 ,
60
第
4讲、一元函数微分学的概念与计算
然后求导，得
Lw(x)v<x)
了=二5“3 丁 = “(工)心』(z)ln “(£)+ ◎(工)
9.高阶导数
求高阶导数主要有三种方法.
(1)用归纳法.
逐次求导，探索规律，得出通式.
比如，设y=2",则
j/' = 2H(ln 2尸，•
j/ = 2
ln2,
*
得出通式
yn,=2'(ln 2)"," = 0,1,2,….
(2)用高阶求导公式.
设"=“(工)，q=u(z)，均n阶可导，则
(“±U)5>=“S 士 d”> ,
(“◎)5>=“5G + CM"7t/ + C^5-%〃---- O⑷----------------------
=他"％巴
(4-7)
k =0
(4-7)式就是求函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式 ，其中uw=u,vw=v.
见到两个函数乘积的高阶导数，一般用莱布尼茨公式即可.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
(3)用泰勒公式.
先写出y = f(x)的泰勒公式或者麦克劳林公式，再通过比较系数来获得具体说来，一般步骤
如下.
任
①何一个无穷阶可导的函数(在收敛的条件下)都可写成
『= /&)= S 巴客(工一工。)"，
y = fs = s斗
或者
题目给出一个具体的无穷阶可导函数
②
』= /(工)，可以通过已知公式展开成幕级数•这些已知公式为
(i ) ex = £ 斗=1 + 工 + 密---- 斗 + …，一 oo V 工 <4- * .
n\
仁兀！
2!
-=刀(一1)"" = 1 —无 + /一工'+ ・・・ + (— 1)"工" + •••, —1<无< 1.
(ii)
(iii)
—=工刃=1 + 力 + / + …+ 刃 + …—1 v 2 V 1 ・
1 —工
旨
(iv) ln(l+jc) = £(— 1)1 兰=工—专 + 斗—斗---- (―1)1 匸 +…—1 <工 £ 1.
2
3
4
n
n
±7
二
(V ) sin
jc
“2 卄 1
»(2“ + l)!
-V
-x
丘 ------- (
+
3!
5!
7!
-1-----,
1)"
oo<><+oo.
(2/? + 1)!
=丸―1)”八
(Vi ) cos x - 2
⑵)！
61
考研数学基础30讲•高等数学分册
4
6
2
x2n
=+…+(-1)"^7+・“，一°° vx+oo
口 €(T,1), 当 a£ —1,
（vii）（1+沙=1+血+吩陀/+…+迤土学二也2刃+＜ 工€ ( — 1,1], 当一l<a<0,
上！
n\
N+ ,
工€[—1,1], 当 a>0 且
攵€R,
③
根据函数展开式的唯一性
当 a€N+.
，比较①，②中（工一血）”或工"的系数，就可以获得严＞（工。）或者/（n＞（0）.
需要指出，数学二的考生虽然不考无穷级数，但是却必须要掌握这个内容，因为数学二对于高阶导数
的考查频率较高.
【注】除上述情形，下面两个内容也是很重要的.
（1）由参数方程确定的函数的二阶导数.
设函数y = y（x）由参数方程
x = a）（z） 9
_°a）确定，其中£是参数，且 WZ均二阶可导，＜/&）=
0,则
dy^dy/dt =
dx dx/ dr
业=9
Id"
dx2
dx
叫工丿/
dx/ dz
$ （t）d（£）—$（£）f（£）
[卩'(t)]3
（2）反函数的二阶导数.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
在单调，且二阶可导的情况下，若_/■'（工）工0,则存在反函数工=卩（了），记
&（y）=J,则有
d2j/_
/_ dj/_ 1 _ 1
dy
反过来，则有
10.变限积分求导公式
f 卩2&）
*
其中
/（Odz,乂
设F（Q =
）在［a,刃上连续，可导函数対（刃和％ （工）的值域在［a,b］上，则在函数
J 卩］（X）
01 （広）和％（工）的公共定义域上，有
J「fv?2（x）
"j
i（ ＞/U）d/」= fL（pi（工）］卩；（工）一f\L（pi（攵）］卩;（広）.
11.基本求导公式
(工")'=迓7 (a 为常数)，(a")'=a*ln a(a>0,aHl),
(In | «z | )z =— •
X
(arccos xY = 一
62
(sin t)Z — cos t・
(cos
了)'=—win
t.
（e「） ―，（1。3 =盒《〉0心1）,
(a rcsi n t )'=----- ------
y/1—x2
丿1 一/
1+x
4讲
第
（arccot 力）'=—th—? >
1+h
（sec 力）'=sec j：tan x，
[ln（z+ 丿工? + i ） ]z =』； + ] '
一元函数微分学的概念与计算
（csc xY = ~ csc xcot r,
[ln（z + v7/-] ） 了 =
基础例题精解
一、概念
设函数*工)在z = 0处可导，且*0) = 0,则1血'2*小；*攵3)=(
JC
X-*O
例4. 1
(A)-2/(0)
(0/(0)
(B)-/(0)
).
(D)0
解应选(D).
由选项可以得到启示，只需将所给极限转化为导数定义的形式.
由于于(工)在工=0处可导，且y(o)=o,则
lim 立斗g =
X
X-0
L0
L
工
」
*
=昨［色宁型一色苓型］=尸(0)—门0)=0.
故选(D).
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
设函数y=y(z)在工=0处可导,产(0)=0,1咚寸(2工；3)= 1，则/(0)==(
例4. 2
(A)2
(B)3
)•
(D)5
(04
解应选(A).
函数为抽象函数，已知y=fCx)在工=0处可导，可考虑将极限转化为于(工)在点夂= 0极限形式的导
数定义.
1
设' = *
3'
则当
1
9/
时，—0,且可解得寸=1^牙，因此
= lirrr
—0
/•⑺
2t
1 — 3t
-lim/(°~/(0)• 1^ = ±/(0) = 1,
lj
*
0
it
Lt
从而/(0)==2.故选(A).
例4. 3
设函数/(工)在工=0处连续，则下列命题错误的是(
).
(A) 若lim=^存在，则 /(0) = 0
*
0
JC
x-
(B) 若lin/©-)土％二兰?存在，则 0
*)=0
*
x0
JC
(C) 若lim©^存在，则/■'(())存在
X
X-0
63
30讲•高等数学分册
考研数学基础
（D）若lim/（-r）~/（~-r）存在，则 /"（O）存在
X
L0
解应选（D）.
对于选项（A）,（C）,事实上有如下命题:设/Xz）在工=0处连续，且lim^^ = A存在，则
X
—0
门0） = 1曲心_ 厂 °）=lim 公竝=A,
X —0
X
-0
0
*
x-
/（O） = lim/（j：） = O,
LO
x
故（A）,（C）均正确.
对于选项（B）,由 lim/（-r）+/（~J7）存在，则 limy（z）+/（—刃]=0,即 2*0） =0,故/X0）=0, （B）正确.
x-*o
3C
J-* o
对于选项（D）,可取反例于（工）=| x |，则/Xz）在无=0处连续，且
1・
/（—J7） ]. | JC | — | — X I c
lim---------- ---------- = hm―1----- 1------ L = 0
X
L0
X
X—0
*
存在，工
但是
例J. 4
）在z=o处不可导，故选择（D）.
证明：（1）若产（工）是可导的偶函数，则/（工）是奇函数
（2）若于（刃是可导的奇函数，则尸（工）是偶函数.
证明（1）设工是定义域中任意指定的一点（也叫泛指的点），由导数定义，得
于（一J：+△工）一 f （―工）
△•T-* 0
9*0
（—1 ） lim
—Ajc
—Aj-O
*
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
故（Z）是奇函数.
（2）同理可证，若/XQ是可导的奇函数，则_/'&）是偶函数.
例4. 5
证明：若/Q）是可导的周期为T的周期函数，则/•'&）也是以T为周期的周期函数.
证明由导数定义，得
/~（工+丁）=/（乂）山“/（工十△工）一于（工）
△zfO
△工
=f S.
故/■'（工）也是以T为周期的周期函数.
例■>. 6
设/'（工）是二阶可导的以2为周期的奇函数，且于（寺）>0，” （寺）>0,记皿=
（A）MVNVK
（B）M>N〉K
（C）M<K<N
（D）M>K>N
解应选（C）.
由/'（工）为奇函数，则/（-y） = -/（y）<0.根据例4. 4（2）,知f S 为偶函数，再用一次例
4.4（1）的结论，则/"（工）为奇函数（事实上，若于（工）无穷阶可导，则求导一次，奇偶性即互换一次），由
#'（工）存在，故/（0）=0.
又f'G）〉。'由例4-5的结论，知f ⑺也是以2为周期的周期函数，则/'（"!）=/■'得一2）=
64
4讲
第
)<尸( 0))
故/'( —*
*
</(
/'(—)
*=#(
>0,
例4. 7
一元函数微分学的概念与计算
，即 M<K<N,选(C).
设函数y = f(^在点Ho处可导，且/(^0)^0.当自变量有增量Zlr时，函数=
增量为△，,则极限lim^j—^为(
(A)-l
的
).
(B)0
(D)2
(C)l
解应选(B).
题目给出于(工)在工。处可导，考查lim笃辿，注意，如果/'(工)在如处可导，则必定可微分.因此可以
aj/
由微分的性质入手.
=f (工烏卜工.
由微分的定义可知△》一dy = o(&r),而dy = j/d_z,dy
由题设知”(血)龙0,可得
o( Ajt) n
〔• △夕—djy
o(Zkz)
i.
1
~~ =lim ~
----- = 0,
=lim ~r •
hm
d3/
O
J (JCo / Ajr
J \Xq)
AJ*
Ax—0
故选(B).
例4. 8
设函数/X")可导，且y = f(x2~),当自变量z在j? = —1处取得增量△工=一0. 1时，相应的
函数增量的线性主部为0. 1，则”(1)=(
).
(O0. 5
(B)0. 1
(A)-l
(D)l
解应选(C)・
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
本题依然是考查微分的定义.函数的微分是函数增量的线性主部 ，且旳="山= 3/△工，而
dy = /■'(/) d(〃)=
(X ) dz =
(X )△•?•,
因此.由 0. 1 = -2/(1) - (-0. 1),可得 /(1) = 0. 5,故选(C).
二、计算
例4. 9
工)
*
设
=II「an 牛一")，则 /(I) = _______ .
本题考查一元函数微分学的基本计算，是一道比较新颖的试题.
本题的研究对象/Q)是多因式相乘，如果直接对其使用导数定义或者先求导再代值，都比较麻烦•本
题希望考生发现，当把工=1代入每个因式后，只有第一项tan予一1 = 0,而其余所有项都不等于0,抓住第
里
n
一项这个“特立独行”的主要条件，记gQ) = IT (tan竽一")，于是
y(_r) = (tan 竽 一 1 ) • g(工)，
故
兀2
/ 1、 -__.
7T • 99 !
、、 _
兀 sec2_l^
/(1)=
/g(1)==
Be
2
65
30讲•高等数学分册
考研数学基础
例 4. 1()
设 y = In | j?| ,x H 0,求 y'.
(In 工，
^ln'"l=hn(-.)
解
工＞ 0,
V 0・
当工> 0时,
_1_
x
y = (In xY =
当工V 0时,
y = [ln(—乂)了 = -^― • (一= -^― • (― 1)=丄.
— X
—X
X
因此
j/ = (In | E | )' = —(J?丰 0).
x
例4. 1
设函数
工=0,
空，
心）=
在_r = 0处可导，则a与6的值分别为（
（A）a = 0,6 = 0
（6（ 1 — x2）,工>0
）.
（B）a = 1 ,b = 0
（C）a = 0,6=l
（D）a = l,b=l
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
解应选（C）.
所给函数/Xz）为分段函数，工=0为其分段点，题设条件为/■&）在工=0处可导，可以考虑由左导数与
右导数定义求解，但是如果利用函数在某点可导则必定连续的性质 ，可以简化运算.
由/'（工）在x = 0处可导，可知_/（工）在0 = 0处必定连续，
lim/（j?） = lime" = 1,
x-»0
0
*
x-
lim/（jc） = lim6（ 1 —x2） =b.
*
x0
*
0
x*^
/'（z）在工=0处连续，必定存在极限，从而有6=1.因此
hWO,
11 —X2
,
工 〉 0・
於(0) = lim空二竺=lim兰二1=恤竺=。,
x
x~^o
*
zf
-o
0
力
xx- o
*
由于
X(0) = lin/S)—*
° )=血―T =0,
JC
x—0'
x
o
又只（0）=屛（0）,因此a = 0.故选（C）.
例 4. 12
解
求函数/（工）=2〔i 的导数.
因为
工V a.
心）=< 1,
2厂
所以9当JC
66
时，
<Za
工=a.
工〉a,
4讲
一元函数微分学的概念与计算
第
当工＞ a时,
f'S = (2^)' = 2rn 2,
当x = a时，由于
1
A(a) = lim£S_ 3 =lim
x一a
Zf a
y；(a) = lim 2S
x—a
x-^a
i・ (jc 一 a)ln 2
lim---------------JC — a
+
x一a
lim
2口 一 1
x一a
In 2,
*
xa
故f (a)不存在.
因此化(a)
因此
/■'(工)=
例 4. 13
—2a_Jln 2,
•Z V Q 9
2rn 2,
•Z > Q・
x2 ~\~a2 )(aH0)9 求 y
设 j/ = ln(j;+
I x=0
解因为
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
」^卩+茗鳥心+”
所以
■j--- (<2工0).
例 4. 14
设函数才(乂)=
I In y/~jc,
L二
二：且『=代心)］，贝燈
乂— 1,
解应填占
貂
因为
WL/XWCr) |
Q无 I x=e
其中 /(e) = lnV7|
*
m = ”(
)
史|
dr I
所以
例 4. 15
解
=r：/(e)ir(e),
I j= e
z=e
= (2z—1)'|
丄=2,
/(e) = (lnV/7)/|
=舟,
=2 .丄=丄.
2e
e *
dy及学.
设『=esin(lnj),求
Ax
由一阶微分形式的不变性，得
67
0^
考研数学基础
30讲•高等数学分册
d[esin(lnri] = e8iD<lnx)d[sin(ln j;)]
=esin(lnx) cos(ln Qd(ln x)
=esin(lni)cos(ln x) —Ax,
X
所以
学=esin(In x) cos (In x)—.
x
Ajc
dy = esin(ln x) cos (In z) —dx,
j:
求下列函数的导数.
例 4. 16
(1 )j/ = arcsin x, — 1<工<1；
(2)y = arctan x.
7t
解(1)由 y = arcsin_z,得反函数 j： = sin y,yE
7T
•根据反函数求导公式，得
1
(arcsin ")/=(^
=^=7t=^=7tW("1<j:<1)(2)由 y = arctan 工，得反函数 x = tan y,yE
7T
1
(肛临11 ")〜(tan yY =
【注】
}
；
7T
•根据反函数求导公式，得
1
l + tan纽-
类似地，可以求得（arccos工）'=——
1
,（arccot工）'=—?・
i+工
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
例 4. 17
设 y = f(x)的反函数是 H =(p(y),且 _/(工)=j
e"d/+l,则"'(1)=
解应填一占・
由题设可得
0‘O)= yrg,
申
由 f(x) = J
〃/、一 d「1
=
e'dt+1 知，工*
~|
1 _
dx _ _ f (jc)
f"jx)
.石=—.耐=_：7W
时 y=l,且
/z(x) = 2e4x2 ,
f (x) = 16jce4x2 ,
则
例 4. 18
解应填施.
因为
dy_ dy/dz
Ax
dz/ dt
d2y_ d /d3^\ _ d zdj/\ . dt _ 1
dx2 Ax \ dr ) d八 dr / dr cos t
68
\
第
所以
4讲一元函数微分学的概念与计算
dpl,=f=施
COST
例 4. 19
解
是由方程sin（巧）= ln 出+ 1确定的隐函数，求/（0）的值.
设y =
在方程中令工=0可得O = ln肃y + 1，故夕（0） = 4将方程两边对工求导，得
C0S（J7J/）
+
将 j? = O,j/（O） = e2 代入，有誉=丄一》f 9即 y（O） = e—e4.
e
e
例 4. 2（）
设，=
a/z+2（3—工）“
（乂+1）3
m| z
'则『
）.
2
13
7
（C）36
（ A ）H
（D）-al
解应选（D）.
所给函数为连乘除形式，应先利用对数性质将函数变形，即利用对数求导法.
由于要求的是工=2时函数y
広黑专a的导数值，故只在工=2的邻域内展开讨论，方程两端
取对数，得
In y
*ln（«r + 2） +41n（3 — 乂） — 31n（«z+l）,
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
方程两端对工求导，得
知=応治•
S+2）'+圭• °F-异I • 5+1）'，
4
3
夕=y 2（工 + 2）"~3 —工一工+1」‘
从而
$
=y
2
2
1
|_2（工+2）
4
3—x
3
x~\~ 1
13
36'
故选（D）.
例 4. 21
求函数y = h（z>0）的导数.
解两边取对数得
In y = j：ln 工・
两边关于变量工求导，将，看作是中间变量，得
所以j/ = Q（ln工+1）（工〉0）・
例 4. 22
1
求函数y=x~ （j：>0）的导数.
解两边取对数得
In x
1
lny = =,
两边关于变量工求导，将，看作是中间变量，得
1 / 1 — In x
—y =
2—
x
y
69
丫勺彳考研数学基础
30讲•高等数学分册
1
,
所以y=工” 2（1—工
* ）（工＞0）.
例 4. 23
求丁 =丄的n阶导数.
X
y= (g)=(工-1)，=(-1)工~1=(一1)工7,
解
j/'= [( — 1)工-2]'= ( — 1 ) • (—2)
*,
7
)" = [( —1) • ( — 2)工7了 = ( — 1) • ( — 2) • (一3)工7,
于是
》（”）=（一1）• （一2）............ （ — n）x~
=(—1)F!广”t = ( —1)
即
【注】
= 1,2,-.
由此可得lnz的"阶导数公式•因为（lnz）' = g,所以
(In _z)s=[(ln 工)'丁"7
例 4. 24
n!
（T） 5
1> = (-1)"-1^Z1111?„ = 2,3,-.
X
求j/ = sin攵的zz阶导数.
解
y = (sin
h)'
= cos z,
y = (cos
jcY
=
— sin z,
f = ( — sin j：y = 一 cos x,
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
但这样算下去，很难找到规律•想到cos 2 = sin
y = (sin x}f
=[sin(«z + 2 •
于是
y(n) =sin(w + ?2 •
即
70
t)
第
4讲一元函数微分学的概念与计算
［（広 + 工0 严 丁"> =n?（肌一1 ）（观—2 ）…（加―'" + 1 ）（工+工。）心"；（；£a ）
=£”?+'.
读者若能记住这些式子，那是最好；若记不住，学会推导的方式，在考试中快速计算出来，也是I
:可以的.
例 4. 25
{
已知函数/■&）具有任意阶导数，且/（^） = ［/（^）］2,求广>（工），其中”为正整数.
工 ）丁两边同时对工求导，得
£（工）=［*
解
尸（工） = 2/（z）y'（Q = 2［yCr）］3,
严（工）=2 • 3［y（z）了.尸（工）=2 • 3［/（^）］4,
_/⑷（工）=2 • 3 • 4：/（^）］3 - ”（工）=2 • 3 • 4［产（工）丁,
/<n,(^) = n! ：/(^)]n+1.
于是得到
【注】可用数学归纳法严格证明，但考试中不必给出.
设n = k时，有严>（刃=小［y（z）］w,则n = b + 1时，将上式两边再对工求导，有
严+“&）=（&+i）• u E/a）Tr（^） =（^+D!E/（x）?+2,
i 故对正整数"，有 f "&）=“! :/（^）?+1.
例 4. 26
设 y = 2pf，则 b">（o）=（
）.
（D） —2"
（02" • （n-l）!
（B） —2" •”！
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
（A）（ —1）”2 •”！
• （”一1）!
解应选（A）.
本题考核的知识点是高阶导数运算•求高阶导数的关键在于将y,y',y恒等变形，简化运算以寻找
规律.
—1 +启= 2（1+z）t —1,
由于
y' = 2 • （ — 1） • （1+工）-2,
y=2 • （-1） • （―2）（l+z）T,
$<”> =（ —1）”2 . ”！（1+工）一<”+1>,
因此
yn,（0） = （-l）"2 • «!.
故选（A）.
例 4. 27
设 j/ = j：3sin 工，求 y⑹（0）.
解严格按照“基础内容精讲”中所述的三个步骤来解题.
① 由于y = ^sinz无穷阶可导，则可以先将其抽象展开为 y= £型単工"；
気刃！
② 又由于 y = x3 sin x = x3 （无_
+ …）=j? —£~无6 + …；
③ 根据函数展开式的唯一性，比较①，②中公式的系数，则0樓=—g,于是
6!
6
y⑹（0） = —¥■= —120.
0
71
彳勿彳考研数学基础
30讲•高等数学分册
一基础习题精练
【习题〕
设函数
工
4.1*
）在工=0处连续，且lim 牟°=1,则（
X
x->0
）.
（a）/（o）=o 且 X（o）存在
（B）y（o）= 1 且尤（o）存在
（c）/（o）=o且 岸（0）存在
（D）y（o）= i且岸（0）存在
4.2
*
设函数yQ）=|/ —1|卩（工）,其中申（工）在工=1处连续，则爭（i）= o工
是
（A）充分必要条件
（B）充分但非必要条件
（C）必要但非充分条件
（D）既非充分又非必要条件
）在z=l处可导的（
）.
4.3设8>0,f（x）在［—5,刃上有定义,/（0）-1,且满足
［迪 ln（l — 2«z） + 2工/（工）_ °
X2
L0
'
证明于（刃在工=0处可导，并求/（0）.
4.4设严/XlnFe心，其中/•可微，计算兽.
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
=2的某邻域内具有任意阶导数，且/（j;） = e/u）,/（2） = l,计算严⑵,其中
刃在工
*
4.5设函数
n为正整数.
4.6设函数y = y（x）由方程y=x\n y所确定，求驚
4. 7设函数y = y（x）由方程xef<-y） =eyln 29确定，其中f具有二阶导数，且f'Hl,则鸭=
.
dx
-------------
4.8已知厂Q）=AM（A为正常数），求/Xz）的反函数的二阶导数.
(9
.
7t
x sm — 9
x
4.9
乂<（）9
工=0,求常数Agb的值，使/Q）在无=0处可导，并求/（0）.
设
<ax2 +69
h>09
2 = 111(1 + 产)+ 1,
4. 10
确定，求
设函数夕=?（乂）由
<y = 2arctan t—(z+ l)2
4. 11
设/（乂）满足/（0）=0,且/（0）存在，求lim
0
x*
72
dy
dx' djr2 *
/( ] — J COS 工)
ln( 1 一xsin 工)'
4讲一元函数微分学的概念与计算
第
【解答〕
4.1
(C)
*)=0. 从而有
因为*
2 )在工=0处连续，且lim=^^ = l,所以lim/(^2)-0,即0
x
X—0
x->0
解
L0
X
土 Iim色仁伴=屛(0),
£ 0
<—o+
X —0
*
x0
x-0
应选(C).
4.2
(A)
由华(1)= 0可知
解
屛(l) = lm/(Q—彳⑴=1曲圧
X—1
人(1)=応小
—f⑴= lim 山3 —呷&)= —limX+z + l)心)=0,
*
X— I1
x—i
r-r
—i
□
x
即屛(1)=尤(1) = 0,所以 /(l)=0.
*)=0, 所以
设/'(工)在工=1处可导，因为1
岸(1) = lim*刃二矜◊= 1曲匕3_]$小=lim (分+工+1)申(工)=3甲(1)
* 1+
X力
攵
!―*■ 1 +
丄
*■ 1 +
X— [1
/I (1) = lim^(无)_£(])= lim—---- 卫軒血=—lim(jc2 +h+ 1)申Q) = — 3申⑴,
工X—丄1
Z 丄
*
-X- 1
X- 1
*X- 1
*
由y；(l)=/i(l)可得,3卩(1) = 一3卩(1),故卩⑴=0,应选(A).
4.3证明使用泰勒公式，有
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
=2聞亠
上
巴
心)十丄士
応 —*
X2
X2
a—*0
L0
X
_2 + 0 = 0，
于是极限lim /&)—厂0)=],即为/(0),于是函数y(Q在工=0处可导，且/(0) = 1.
X—0
X—0
4.4
解
学= [
*
ln
*
纭)了 • e"+
ln
纭)•[八丁
= //(ln2j：) • 21n 工•丄•
= 2ey <J：)
4.5解
+/'(ln纭)• ef <x) • 2/(x) • f'O
(ln2x)+ /(ln2a:) • /(z) •尸(工)].
J
对f'SW 两边关于工求导，得
f'3 = efs •心)=严,
严(工)=尹3 • 2/(^) = 2!e3/(ri,
两边再对工求导，得
/■⑷(z) = 2e%> • 3_/'(z) = 3!eg.
两边再对工求导，得
>,
f”〉(z) = (”一 l)!e”*
由以上导数规律可得
所以
f">(2) = G —l)!e".
4. 6解
方程两边同时对工求导，得3^ = ln y~\~x •丄•字,解得字=必7.
y
aoc
djr
ax y — x
4. 7
两端关于工求导，得g+/'‘(y)• “
解
方程工占”二卍山29两端取对数，得In 乂 +于。)=y + ln(ln 29).
,两端继续关于工求导，得一卡+门了)•("护+八》)•『 =『，由
73
考研数学基础30讲•高等数学分册
此可得y =
[1—/'（））]'—■/'（》）
4.8解设y = f(^,则
djr _ 1 _
dy
dj/
dx
1
]
d«z_ _ 严(工).
[/Z(^)T fJ)
dy
f Q)
UF7W
AeJ _
1
CAexy~~A^-
4.9解由可导与连续的关系有
lim j?2sin —= lim(aj：2+6) =A,
x-»0 +
OC
* 0
工-
所以A —6—0.
2
•兀
(\
x sin — — 0
fL (0) = lim----------- -----= 0,
X —U
z—0
又
2
岸(0) = 1曲。"
*
zfO
工—0
=0,
所以a可以为任意常数，且X（0）=0.
4. 10
解
莅一
2（汁 1）_
17------------ 云-------------（宀+1），
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
dx d2j/_ d2jr dy
d2y__~dt 9 dF~ d7 * di
dx2
3
(l + 2i)(l + i2)
2t
°2+卄1)]
或
dx
4.11
解
dj?
d?
原式=limAi-v^o7^-£(o). lim
L。
oln(l
(1— 7cos ^) — 0
x*
(l + 2z)(l +严)
'
2t
—xsin x)
= f(O)lim占仏冇、
lo in(l—J7sin X)
等价无穷小替换厂(0)]；ml一cos x
i—zsinz
74
1
1+ yZoTT
JMi
第5讲
v
一元函数微分学的
几何应用
、基础知识结构
P
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
75
考研数学基础
30讲•高竽数学分册
基础内容精讲
―、极值与最值的概念
定义1若存在竝的某个邻域，使得在该邻域内任意一点工，均有
/■（工）M /（a-0）（或
2 /（J?o））
成立，则称工。为 D 的广义的极大值点（或极小值点）,7（^0）为 g 的广义的极大值（或极小值）.
定义2若存在工。的某个去心邻域.使得对于该邻域内任一异于工。的点工，均有
/（•X）＜ /（^0）（或 /（-r） ＞ /（J；O））
成立，则称竝为fS的真正的极大值点（或极小值点）,/（^0）为/（^）的真正的极大值（或极小值）.
【注】
若在上述定义2中把去心邻域改为邻域，则当然有fSWfS，但这个等号指的是?
|仅在工=工。处取到，这一点是与定义i（广义的极值）的一个主要区别，请注意区分.
i
定义3设如为 g 定义域内一点，若对于y（Q的定义域内任意一点工，均有
/（^） M _/'（工0）（或/'（工）＞ /（JCO））
成立，则称 2烏为 D 的广义的最大值（或最小值）.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
定义4*
设血为
丄
）定义域内一点，若对于/■&）的定义域内任一异于血的点乂，均有
/（•r） ＜ _/■（©）（或 f （工）＞ /"（如））
成立，则称fCx0）为JW 的真正的最大值（或最小值）.
i
【注1】
通俗来讲，带着等号的，如jwAfs,称点工。*
为
工
* ＞/'
|不带等号的，如
刃
）的广义的极值点或最值点；I
（工。），称点©为/■&）的真正的极值点或最值点.一般教材中用 “广义”的|
j
》较多，读者在读书中应注意鉴别.
【注2】极值和最值是什么关系？我们通过两个例子来看.
［0,+ oo）J（0） = e° = l 为 /（工）在［0,十 oo）内的最小值:f（x）^/（0）.但 /■（■!■）在 1
,
设 /'（工）*
=工&
I ［0,+
*
）内没有极值.细致说来，首先,乂=0不存在哪种邻域u（o）,使工€17（0）时，/（工）$y（o）,因为］
［工=0*
的左半邻域已超出
工
）的定义域.其次，对于（0,+x）内的任意如，不论U5）取得多么小，对I
I于zwua）,并不总有y（o-）＞/（^0）,所以此y（工）在［o,+oo）内无极小值，易见也无极大值.所以，［
］
fr /"（工）在［0,+oo）内无极值.
设 /（工）= 3z —j?,有
j
/■'（工）= 3（1—工2）,
I
f
（工）=一6工，/■'（土 1）=0,厂（±1）=干6,
I
I所以*1） = 2为极大值，/X —1） = — 2为极小值.但该于（工）在（一^，十® ）内无最大值，也无最I
I 由此可见，极值点并不一定是最值点，最值点也不一定是极值点.
》
76
^
§
5讲一元函数微分学的几何应用
第
但是，下面这个结论是正确的：
.;
如果/'（工）在区间z上有最值点血，并且此最值点说不是区间/的端点而是I内部的点，那么此］
工0
刃
* 的一个极值点.
必是
事实上，设f（^o）为ya）在r上的最大值，则对一切乂&!,有/（^x/（^o）,又因为血为I内部的；
点，故存在一个邻域U5）uz,当z€U（竝）时，工
* ）«（说）.按极大值的定义,/（^0）为水工）的一个I
》
y极大值.
【注3】结合第3讲的知识，一个常见的问题是：间断点可以是极值点吗？答案是肯定的•举四£
I个例子供考生分析.
（i）/（^）=
1,
| 乂 | ,
1 = 0是/（工）的可去间断点，但它是
兀
*
工工0 9
乂＞0，
—X 9
乂冬0,
T，
2 = 0,
1
X
无工0 9
~2
(4)/(jc)
■=. Q
1,
(2)/(^) =
(3)/(^)
jq
工
*
乂=0是/Q）的跳跃间断点，但它是
）的极大值点.
）的极小值点.
尢=0是于（工）的无穷间断点，但它是于（乂）的极小值点.
2,
力=0,
.1
sin 一,
x
工工0,
工=0是/（X）的振荡间断点，但它是/（刃的极大值点.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
二、单调性与极值的判别
1.单调性的判别
用导数工具•若y=f（^）在区间Z上有/■'（工）＞0,则y = f（x）在I上严格单调增加；相应地，若y =
刃在
/'（工）在区间/上有/（^）＜0,则）=
*
！上严格单调减少.
2. 一阶可导点是极值点的必要条件
设/'（工）在x = x0处可导，且在点工。处取得极值，则必有/（J?O）= O.
3. 判别极值的第一充分条件
设/（工）在乂 =工。处连续，且在如的某去心邻域U5，"（d＞0）内可导.
① 若xE（J?o ~S,X0'）时,f\x）＜Z0,而JcE （go，工o+&）时，厂（工）＞0,则/Xh）在x = x0处取得极小值;
② 若（xo—8,Xo）时，厂（工）＞0,而xE Qo，血十d）时，_/"'（工）＜0,则/"（工）在x—x0处取得极大值;
③ 若/'（工）在（工。一d,Zo）和（乂0，工0+&）内不变号，则点如不是极值点.
4. 判别极值的第二充分条件
设
工
*
若厂
①
）在工=工。处二阶可导，且尸（工。）=0,厂（竝）工0.
工
*
（如）＜0,则
）在工。处取得极大值；②若/〃（工。）＞0,则/（工）在竝处取得极小值.
上述第二充分条件可以推广为第三充分条件.
5. 判别极值的第三充分条件
设ycz）在氐处"阶可导，且/■"（工。）=0（观=1,2,・・・，"一1）,广＞（氐）工0（”》2）,则
77
30讲•高等数学分册
考研数学基础
① 当”为偶数且/＜n,（^xo时JQ）在血处取得极大值;
② 当"为偶数且广》（竝）＞0时』（刃在竝处取得极小值.
【注】上述第三充分条件的证明如下：由于”为偶数，令n = 2k,构造极限
,.f（x）-fCx0）洛必达法则,.
f'（工）
!懵2肛工一竝严T
（龙一工0 yk
洛必达法则
也—二工。严
（2怡）！
Qx~xq
5）
）
洛必达法则
…
f ”（工）
（2上）!（工一工。）
⑵）!广
上述洛必达法则成立的依据是，最后的结果（^0）是存在的.
n!
当/（w （^o）＜ o时，由函数极限的局部保号性知，存在血的某去心邻域，对于该邻域内的
任意工，有~
（•Z — Xq ）
＜0，Z（J：）＜/（J7O ），故工0为极大值点
当（^O）＞o时，由函数极限的局部保号性知，存在工。的某去心邻域，对于该邻域内的
意攵，有* J—C； ＞＞0 ,/（工）＞/~（工0 ），故工0为极小值点.
三、凹凸性与拐点的概念
1.凹凸性的定义
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
设函数于（工）在区间7上连续.如果对/上任意不同两点心 ，工2,恒有
f （工1+工2 ） v _/~（工1）+/~（乂2）
则称『工
*
=
）在/上的图形是凹的（或凹弧），如图5-l（a）所示；如果恒有
f （工1+工2 ） ＞ /~（攵1）+/~（工2）
则称y=f（^）在I上的图形是凸的（或凸弧），如图5-l（b）所示.
图形上任意弧段位于弦的下方
图形上任意弧段位于弦的上方
/~（叫）4/（巧） ＜产（叫+玉）
/（xJVg）〉f（叫+H）
（b）
图5-1
2.拐点的定义
连续曲线的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点.
78
5讲一元函数微分学的几何应用
第
四、凹凸性与拐点的判别
1. 判别凹凸性
）在7上二阶可导.
工
*
设函数
① 若在J上厂'（刃＞0,则产（工）在［上的图形是凹的；
② 若在I上厂（8）＜0,则于（工）在！上的图形是凸的.
2. 二阶可导点是拐点的必要条件
设严（工。）存在，且点（工0 ,/&0））为曲线上的拐点，则严0。）=0.
3. 判别拐点的第一充分条件
设/'（工）在点乞=血处连续，在点工=工。的某去心邻域UCx0,8）内二阶导数存在，且在该点的左、右邻域
内f'e变号（无论是由正变负，还是由负变正），则点（如，/'（攵。））为曲线上的拐点.
*
并不要求
【注】（^o,/U））为曲线y=g上的拐点时，乂
I的情形.
）在点工。的导数存在，如y=妊在乂=0 I
I
4. 判别拐点的第二充分条件
设心在工=血的某邻域内三阶可导，且厂（竝）= 0,厂（工。）工0,则（工。JQ。））为拐点.
5. 判别拐点的第三充分条件
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
设于（工）在心处"阶可导，且/（m）（^o）=O（m = 2,-,n-l）,/＜"）（^o）#O（n＞3）,则当n为奇数时,
（J?o ,y（X0））为拐点.
i
【注1】
；
上述第三充分条件的证明如下：由于"为奇数，令n = 2k + l,构造极限
..
严（刃
工曜（攵一工。
洛必达法则
洛必达法则”
）"t
严QQ)
工懵（2〃一
1） ! （z—血）
=!密怎需£^=站方严i 5）工°・
上述洛必达法则成立的依据是，最后的结果（2©f ］）!严"+”（血）是存在的.
不妨设/＜2^+1）（工。）〉0,由函数极限的局部保号性知，存在说的某去心邻域，对于该邻域内的任
意工,有
严a)
Qx~Xq )
讨
*
§当工-
*2_]
>°，
时，/'"（工）＞0；当工~工「时，严0）＜0,故（如，/"（如））为拐点.
【注2】
,
由上述证明过程可知，第三充分条件不需要/（x0）= 0这个条件，有些教材和辅导书 打
i写出这个条件是不必要的.
i
79
30讲•高等数学分册
考研数学基础
五、渐近线
1.铅垂渐近线
若lim/（j：） = oo（或lim/Xz） = oo）,则工=工（）为一条铅垂渐近线.
【注】此处的如或是函数的无定义点 ，或是函数定义区间的端点，或是分段函数的分段点.
:
2. 水平渐近线
若lim f（j：）=卩，贝I」y = yi为一条水平渐近线；若lim f（x）=力，贝D y = y?为一条水平渐近线
X—* — OO
X—* + oo
若hm/（j：）= lim _/（工）=_y°,则y=y0为一条水平渐近线.
3. 斜渐近线
若lim 2、=© , lim ［/'（工）一山工］=杠，贝l| y = axx+bx是曲线y = f（jc）的一条斜渐近线；
zf 4- oo
*x~ 4-oo JC
若 lim /"刃=a?, lim if(x')—a2jc']=b2,则 y = a2x + 仏是曲线 y = f(x)的一条斜渐近线;
*X- — 8 工
Zf — 8
若 lim d= lim ^^- = a, lim [/(z) —az] = lim [/(工)一az] =b,则 y = ax + b 是曲线 j/= /(jr)的
x- + oo
* — OO
X-> + OO
X*
X- — 8
*
JC
JC
一条斜渐近线.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
六、最值或取值范围
1.求闭区间［a,切上连续函数/' （工）的最大值M和最小值加
— 驻点与不可导点，并求出这些可疑点处的函数值；
① 求出于（工）在（a,6）内的可疑点—
② 求出端点的函数值/Xa）和f（b）；
③ 比较以上所求得的所有函数值，其中最大者为/'（工）在［a,妇上的最大值M,最小者为/（工）在
［a,幻上的最小值加.
【注】
有时这类问题也可命制为“求连续函数/■&）在闭区间la,b^上的值域\见I
；例 5. 9.
内连续函数
2.求开区间（a,b）工
*
\
）的最值或者取值范围
① 求出/'（工）在（a,6）内的可疑点一一驻点与不可导点，并求出这些可疑点处的函数值.
② 求（a,b）两端的单侧极限：若a,b为有限常数9则求lim/（jc）与lim/Q）;若a为一°°,则求lim /（j?）；
x-*af
Lb「
L-8
若b为+ s,则求也n y（_z）.记以上所求左端极限为A,右端极限为B.
③ 比较①，②所得结果，确定最值或取值范围.
■
、80
【注1】这类问题有时没有最大值、最小值.
$
5讲一元函数微分学的几何应用
第
【注2】求区间（a,刃或［a,6）内连续函数/（工）的最值或者取值范围，只需在开区间（a,6）内得\
:到的结果基础上加上/"）或/（a）的值即可.
1
七、作函数图形
给出函数/（工），作图的一般步骤：
① 确定函数/'（工）的定义域，并考查它是否有奇偶对称性；
② 求出f\x）,f（x）,用于（工）的无定义点，心）=0的点，”（工）不存在的点,严（工）=0的点，/〃 （工）不
存在的点，将定义域划分为若干子区间，确定函数图形在各个子区间上的单调性与凹凸性，进而确定函数
的极值点和拐点；
③ 确定渐近线（如果有的话）；
④ 作出函数图形.
这是基本功，一定要重视.
基础例题精解
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
导数的几何应用主要指：“三点、两性、一线”.“三点”是指：极值点、最值点、拐点•“两性”是指：单
调性、凹凸性.“一线”是指：渐近线.这部分内容知识点众多，各知识点之间又联系紧密，故很容易命制
综合题.
例5. 1
函数 y = /"(z) = ln(l )
+
*
在( — 1,0)内(
).
（A）单调减少，曲线为凹
（B）单调减少，曲线为凸
（C）单调增加，曲线为凹
（D）单调增加，曲线为凸
解应选（A）.
本题考核的知识点为函数的单调性与曲线的凹凸性.判定函数单调性需考查"的符号，判定曲线凹凸
性需依/符号.
^ = /（^） = ln（l +広2）定义域为（一oo, +oo）,在（一1,0）内连续.
/_
2攵
〃_2（1—x2）
令” =0,得唯一驻点丄=0；令/ = 0,得心=一1,工2 = 1.
故在（一 1,0）内，“<0,/〉0,因此函数y = f（x）在（一1,0）内单调减少，曲线为凹.故选（A）.
例5. 2
设函数『=|工「|,则（
）.
（A） 乂 = 0不是y的极值点，点（0,0）不是曲线y的拐点
（B） z = 0不是j的极值点，点（0,0）是曲线y的拐点
（C） 工=0是y的极大值点，点（0,0）是曲线y的拐点
（D） z = 0是y的极小值点，点（0,0）是曲线y的拐点
81
考研数学基础
30讲•高等数学分册
解应选(D).
y的表达式含有绝对值符号，可知其为分段函数口 = 0为其分段点，研究函数在分段点处是否为极值
及相应曲线上的点是否为拐点，仍需依y,y符号判定，或依极值定义判定.
j/= |
(—9
_
| =
eVO
9
\xe~x,
由于
l\my= lim(—jce_J;)=O,
x-^0
x-»0
limy= limze—工=0 9
x-*0
可知limy = 0 = y(0)
x-*0
在x = 0处连续.
0
*
x-
(e_x(jc— 1),
r
)=_
' e X(1 —工)，工〉0・
上(0) = lim，3p(°)= limd^= -1,
而
*
x-0
j?-*0
必(O) = limyS)P(°)= limW二=1,
L0‘
X
lo" X
可知y在工=0处不可导.
令y' = 0,可得y的唯一驻点工=1.
当工V0时1X0；当0＜工＜1时,y = e-"(l-^)＞0,可知z = 0为y的极小值点.
又
/=
令『=0,得z = 2.
(e_J_(2 — x),工＜0,
_
丨 e * (工一2),工＞0,
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
当工＜0时,3/'=厂工(2 —工)＞0；当0＜工＜2时,j/'=ePQ —2)＜0,可知『在工=0邻近符号不同.
当工=0时,y = 0,因此点(0,0)为曲线y的拐点.
故选(D).
【注】注意到y
I
例5. 3
=0,当工工0时，y= |広厂"| ＞0,由极值定义可知夂=0为y的极小值点.
设函数于(工)悟(工)是大于零的可导函数，且
/'(•z)g(z) —/XQg'Q)〉。,
则当a＜x＜b时，有(
).
(A) /(j?)g(6)>
(B) /'(z)g(a)>/(a)g(j?)
(C)
/
(工)g(z)>/(6)g(b)
*)g(a)
(D)/Q)g(_r)>
a
解应选(B).
选项较复杂，可以先将条件变形.
由于fS ,g(z)是大于零的可导函数，因此
「/~(工)]'=/~'(z)g(z)—f(H)g'(H)二 0
|_g(z)」
gj)
可知供为单调增加函数，对于任意工W(a,b)都有
g(«z)
/(6)
g(b)
82
/(^) /(a)
g(H)g(Q)'
]
5讲一元函数微分学的几何应用
第
即 f(b)g(H)>/"(z)g(b) J(z)g(a)>f(a')gCx').故选(B).
设函数于（夂）可导，且/■&）/■'（工）>0,则（
）.
(A)/(l)>/(-l)
(B)/(l)</(-l)
(C)|/(l)|>|/(-l)|
(D)|/(l)|<|/(-l)|
解应选(C).
由 /(x)7(x»0 知
则宁尸（工）单调增加，从而严（工）单调增加，由此可知
/2(1)>/2(-1),
两端开方得
例5. 5
于（无）在（0,+s）内的单调性.
X
解令g&）=g,则
X
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
/ / 、—
g 3=
p
p
=
（* ）处是对
工
*
—/（O）］（ *）工 f （工）一工 f ® _ f〈工）一f
=
p
—
'
）用了拉格朗日中值定理-工，其中OVg<x.因为尸（工）为（O,+x）
内的单调增加函数，于是
/g'(x)>0,
所以g）=竽在（。，+◎内单调增加.
例5. 6
（A） 不是y的驻点，也不是y的极值点
（B） 是y的唯一驻点，但不是y的极值点
（C） 是y的唯一驻点，且为y的极小值点
（D） 是y的唯一驻点，且为y的极大值点
解应选（C）.
本题考查隐函数的极值问题，其解法与显函数形式相仿.
将方程两端关于乂求导，可得
e5, • y — Xx(.x2
y' =
一y ,
+ ] • 4z • (j? + 1).
令/ = O可得y的唯一驻点工=0,因此排除选项（A）.
当x<0时，/<0；当工>0时,/>0.由极值的第一充分条件可知工=0为y的极小值点.故选（C）.
83
考研数学基础
例5. 7
为（
30讲•高等数学分册
设函数y = y（z）由方程yin y — _z + y = 0确定，则曲线y = y（z）在点（1,1）附近的凹凸性
）•
（A）先凹后凸
（C）凹的
（B）先凸后凹
（D）凸的
解应选（D）.
本题考核的知识点是隐函数表示的曲线的凹凸性问题，其判定方法与显函数相仿，仍是求出/ = 0的
点及二阶导数不存在的点，再判定这些点左、右邻域内二阶导数的符号.
将方程yin y~x + y = 0两端对x求导，有
j/ln y~\~2yf —1 — 0.
将
（ * ）
l,y=l 代入，得 y（l）=y.
将（*）两端再次对工求导，可得
j/'ln _y +丄• （j/）' +2y" = 0,
y
* 可代入上式得/（l） = -y<0,可知曲线y=yCr）在点（1,1）附近是凸的.故选（D）.
由y（l） = l,"（l） = ,
例5. 8
求曲线y = ~~ + ln(l + e")的渐近线.
解因为
lim「丄+ ln（ 1 十e* ）］=兀，
工〜” |_ X
_］
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
所以宜线工=0是曲线丄+ ln（l + eO的一条铅垂渐近线.
X
因为
lim「丄 + ln（l + ex） "1 = 0,
L OC
X- — oo
*
所以直线）=0是曲线》=丄+ 111（1 +于）在丄―一co时的一条水平渐近线.
X
因为
—+ ln(l + ex)
r 1
lim -- ------------------ = lim
*x-- + oc \_x2
gf 4-00
JC
jc + ln(l + e~")
X
且
lim「丄+ ln(l + e")-无］=lim「丄+ ln( 1+「) ~| = 0,
*X- + 8 L
」 X* + 8 L JC.
图5-2
所以直线》=工是曲线3^ = —+ ln（l + ej在工―+兀时的一条斜渐近线.其大致图形如图5-2所示.
X
例5. 9
求/（j:）= |j?|eJ在区间［ — 2,1］上的值域（即求最大值和最小值）.
—xex ,
当zHO时,
当攵=0时，
84
—2冬2<0,
因此
：
+ l)e】x心
,
OVzWl
((jc&+
八小二―
—2QV0.
5讲
第
fl
一元函数微分学的几何应用
（0）=恤竺:弟®= lim二年二。一 1,
X— 0
X—0
几（0） = lim色匕伴=limWn= 1.
x*
工一
X
*
0
—0
x—0Q
X—0 +
因为化（0）工几（0）,所以于（工）在工=0处不可导.
令#（工）=0,解得X=-1.所以/'（小在个一2,1）内的驻点和不可导点分别为T=-l和工=0.比较它
们及端点的函数值：
9
1
7(-2) = -^-,于(一1)=三，f(0)=0,
/(l) = e.
知/（l） = e为最大值,/（0）=0为最小值，即y（z）在区间［一2,1］上的值域为［0,e］.
例5. 1（）噱矍陽
1
解设 /(J?) =JC~(J7>O),则
令 /（^）=0,得唯一驻点 z = e.当工€（0,e）时,/（^）＞0,当工€（e,+oo）时，/（^）＜0,所以 *
広 ）在 _z = e
处取得极大值，即最大值为/@）=朮，又因为施v綺（（施）y （扬严），故肋是数列｛扬｝的最大项.
【注】如果遇到最小值和最大值的实际问题 ，则首先应建立目标函数（即欲求其最值的那j
I个函数），并确定其定义区间，将它转化为函数的最值问题.特别地 ，如果所考虑的实际问题存在I
I
工
并且所建立的目标函数
最小值或最大值，*
）有唯一的极值点血，则/（珀）即为所求的最小值或］
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
j
§最大值.
例 5. 11
1
作函数y=y（z）=（2+工）审的图像.
解函数/（工）的定义域为（ — oo,0） IJ （0,H-oo）.
令f （工）=
~~
e占=0,得驻点心=一1,工2 = 2,及/'（攵）不存在的点竝=0.
因此可知，函数/'（工）的单调增区间为（ — oo, — l）和（2,+oo）,单调减区间为（一1.0）和（0,2）；极大值
T
为*
）= +，极小值为*
2 ）=4辰.
令/7工）=5?~2吐=0,得工4 = 一壬及厂（工）不存在的点工3=0.
所以曲线y = f（x）的凸区间为（一8,—壬），凹区间为（一壬,0）和（0,+oo）；曲线y = yQ）的拐点为
由
lim/(^) = lim(2 + jr)eT = 0,
工一» 0
x*
0
1
lim/( j?) = lim(2 + jr)e~ = +oo,
x-»0+
0
*
x-
+
故直线z = 0是曲线y=f{x}的铅垂渐近线.
V，
乂
丄
i. fO [. (2+j?)eT i
lim------- = lim-------------- = 1,
JC
•Zf 8 JC
X-»OO
85
30讲•高等数学分册
考研数学基础
1
-
「
lim[/(jr) —jr] = lim[(2+j;)eT —x}
A_
匚 v (l + 2z)ez~l
=lim-----------------t
z— 0
= lim2e- + (l + 2Z)e*
i0
1
=3,
图5-3
故直线y = z + 3是曲线3/ = /(j-)在zfoo时的斜渐近线.
作图，如图5-3所示.
—X基础习题精练
【习题
〕
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
5. 1已知户>)在工=0的某个邻域内连续，且lim〔 Z =2,则在点工=0处/(^)(
x-o 1 — COS X
(A)不可导
(B)可导，且/(0)#0
(C)取得极大值
(D)取得极小值
5. 2
).
求函数/'(刃二工一齐寻的单调区间和极值.
5. 3
设函数y = y&)由方程b+zb十工纽+6 = 0确定，求》(工)的极值.
5.4
已知曲线y = x3 ~3a2134x + b与文轴相切9则b2可通过Q表示为b2 =
5.5
求曲线y = f(x)=re7的渐近线.
5.6
设心=起,求严 Q)的极值点和极值.
5.7
、几
云+ 4 +
2 ，求
设y—
JC
・
(1) 函数的单调区间及极值；
(2) 函数图像的凹凸区间及拐点；
(3) 渐近线；
(4) 作出其图形.
5.8
设/a)= 3x2+Ar-\问正数A至少为何值时，可使对任意的夂€(0,+^),都有/'(工)孑20成立.
5. 9曲线》=(工一5)工丁的拐点坐标为________ •
5. 10设a>l,f(t)=a'-at在(一cxd,+b )内的驻点为t(a),问a为何值时，t(a)最小，并求出最
小值.
86
5讲
第
一元函数微分学的几何应用
【解答】
5. 1
(D)
解
— = 2,且lim(l —cos j:) = 0,故lim/Xz) =0 = /(0)・
x-o
X-o
X
由于lim
Lo
1 — COS
又= lim妝雲=2,故lim単=1>0,由极限的局部保号性可知在工=0的某去心邻域内
工f 0 X
xX
*
*
0
1 — COS X 0x有=^>0,即于（工）>0,故*工）在工=0处取极小值,从而选（D）.
X
【注】
* )• ~~-— = 2.由于 lim_~-— = oo,则[
=lin/a)_°
易知 /'(0) = 0,lim 3
x-o
1—COS
X
x->o
X
1 — cos
COS
X
l0
11
小
— COS
"c X
一
w
（ ）,（b）.
:
\ 必有卿即"）5•排除 a
5. 2解定义域为（ — oo,4-oo）,因为
令f （工）=0,得驻点心=1,于'（工）不存在的点为工2=0.列表如下:
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
(—00,0)
0
(0,1)
1
X
+
f (x)
不存在
0
+
极小值
/
—
极大值
/(x)
(1,4-00)
由此可知函数/"（工）在（一OO, 0）,（1,+oo）内单调增加，在（0,1）内单调减少；在工=0处取得极大值
*0)=0,在工=1处取得极小值/(l) = -y.
5. 3解
在y3 +j?y -\-x2y + 6 = 0两边关于工求导，得
3)2 j/ + y2 -]- 2xyy' + 2xy+j：2 yz = 0,
令7 = 0,得y=-2工或y = 0(不适合方程冶去).
将y=—2工代入方程得一6分+ 6 = 0,解得工=1,》(1) = 一2,且"(1) = 0.
在 3bj/ + y2 + 2xyy'-\~2xy-\-x2y =Q 两边关于 x 求导，得
求得/（l） = -|->0.所以x=l是函数y（z）的极小值点，极小值为j/（l） = —2.
5.4
4a6解
因为曲线y = x2 — 3a2x + 6与工轴相切，所以在切点处有
由此可解出切点横坐标x = a或x = —a,且在切点处有
y（a） =a3— 3a3+6 = 0 或 y（~a） = — a3 + 3a3 +6=0,
所以 b=2a3 或 6=-2a3,即 62=4a6.
5. 5分析
当极限lim y存在或极限lim y存在时，曲线y = f（x）存在水平渐近线
•If + 8
*
X- — OO
87
丫勿彳考研数学基础30讲•高等数学分册
当lim y = oo或lim j/ = oo时，曲线y = f(x)存在铅垂渐近线；
当极限lim八竝=佥工0, lim
* 4-00
X-
= b或极限lim "刃=❻工0, lim [_f{x^—kx~] = b存在时,
JC
zf — oo
J—* — OO
+8
JC
曲线y = f<ix)存在斜渐近线，斜渐近线方程为y=kx+6.
所以，求曲线的渐近线要讨论三种极限.
解因为1映工#=兀，所以曲线了 =十(工)无水平渐近线.
1
X= -------
2
Z
1
pz
2
>
*
因为lim j;e?===lim— = lim 2卅=
X~
0
*
—00
_8 t
有铅垂渐近线工=0.
,所以曲线y =
1
f
/
p _L2 -- ] X =--\
2
$ 2 -- 1
1
lim--------- = lim2te‘ =0,
lim( jre? — x 1 =lim—
t
1
/-*0
0
x-*oo
tf
/
x-*oo \
X
1
y p 丄2
lim----- = lime尹=19
x-*oo
■r-*8
OC，
又
所以曲线y = f(x)有斜渐近线y = x.
5. 6解由=jce"求得
,
/■'(•z) = (l+Qe
*
(x) — (2+z)e",
f" ( jc) — (3 + z)e",
从而可得
ys (工)=(tz + z)*e ,
/<n+1) (x) = (n + 1 + :c)e",
f(x) = (" + 2+z)e".
令广+d (z) = (”+l+z)eH = O,得函数(工)=("+工疋 的驻点工=一(”+1).又
严+2〉[—(” + i)] = e-”7>0,
所以工=—5 + 1)是函数严>©) = (“+乂疋 的极小值点，极小值为
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
严[―(” +1)] = —
5.7解定义域为(-oo,0)U(0,+oo).当工=—松时,y = 0.
O
(i)y=i-4,故驻点为工=2.又
X
X
y
f
(—oo,0)
(0,2)
2
(2,+oo)
+
—
0
+
3
y
所以，（一oo,0）及（2,+oo）为单调增区间，（0,2）为单调减区间，乂 = 2为极
小值点，极小值为y=3.
9A
（2）由『=亍＞°，故（一°°，0），（0,+°°）均为凹区间，无拐点.
⑶因
1曲无 丁 4 = + oo ,
X
T—O
lim— = lim^
X
J—*
°°
X
= l = k,
Z—OO
卞 _乂） =0 = b,
lim（y-kx） = lim（z *
/
J-»oo \
JC
O
*X-O
所以,x = 0为铅垂渐近线= z为斜渐近线.
（4）函数的图形如图5-4所示.
5.8解
f〈工）=6工一3肛7 , f\x）的零点为
显然，当0＜工＜、伶时，/■'（工）＜0 JQ）单调减少；当 Q 胚＞0时j'（x）＞oj（z）单调增加.
88
5讲
第
故工=“/
¥为
*
工)在区间
一元函数微分学的几何应用
(0,+oo)内的最小值点，所以当
$20,
即当A$64时，有
2W
20,工€ (0, +°°)
成立，因此A至少为64.
【注】
此题的初等解法：当A>0时，由3x2 + Ax~3 =x2 ~\~x2 + x2 +令工7 +令工7$5
20,解得 A$64.
r n
5. 9
/ •.八 G
(―1, —6) 解
| r i
丁 =工3 —5工彳，
/
5 4 10 _±
y =—xz ~-^-jc 彳，
3
3
10 一» 10 _£ 10(工+1)
〃
.
y =—x 3 十-工 3 =---9好
9
9
,/- + oo.由于在x=~l的左、右邻域内/变号，在工=0的左、右邻
令/ = 0,得x=-l,又x-^0时*
域内『不变号，故拐点为(一1,一6).
5. 10解
本题是求驻点函数/(a)的最小值点和最小值，所以，首先由原函数 g=d_at求出驻点
函数t(a),然后对t(a)进行运算.
X (0 =af\n a — a,
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
]]
—一—In In a
令/■'⑺=ab a —a = 0,得唯一驻点函数心=1_姑")=_。(爲严
令 t'(a) = —
———ln(ln a)
/0 一、2------ = 0,得函数 t(a)的唯一驻点 a = e.
(In aY
当 W 时,«)<0；当6。时儿)>0,所以，2) = 1-+为极小值，也是最小值.
89
］第6讲中值定理
基础知识结构
..P
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
fx基础内容精讲____________________________________ r
以下列出需要考生掌握的9个基本定理.其中，定理1至定理4是涉及函数的中值定理；定理5至定
理9是涉及导数（微分）的中值定理;涉及积分的中值定理见例6. 2.
1. 涉及函数的中值定理
*
设
工
）在［a,6］上连续，则
定理1（有界与最值定理）其中分别为/（工）在［a, 6］上的最小值与最大值.
定理2（介值定理）当mg応M时，存在£€［a,6］,使得
定理3（平均值定理）当a<xl<x2<-<xn<b时，在［劝,九］内至少存在一点&使
上/八 _•/（◎） +/"（工2）---- /（工”）
7
/◎=
定理4 （零点定理）当f（a） - /（6）<0时，存在ee（a,b）,使得f（^）= 0.
2. 涉及导数（微分）的中值定理
定理5（费马定理）工
设
*
90
）满足在点工。处
，
则/ （^o）=O.
〔②取极值，
（①可导，
第
i
6讲中值定理
【注】(1)要求考生掌握费马定理的证明.
不妨假设/'(工)在点m处取得极大值，则存在工。的邻域U5),对任意的_zWU(m),都有△于=I
I /(^)-/(^0)^0,于是根据导数的定义与极限的保号性，有
人5)=血*
刃丁
*X
X-
H
O
5\0,
力0
岸(如)=1口空二3=0.
?
》
j—*
x
0
7
：
工0
又心在点如处可导，于是fdy 故y'Q°)=o.
(2)当一个人跑到最远处时，他的速度为零；当一个人跑得最快时，他的加速度为零.这些都是|
j费马定理在生活中的通俗应用.
定理6(罗尔定理)
［①在［a，6］上连续，
设/■&)满足｛②在(a,6)内可导，则存在址(a,b),使得/''(£) = 0.
〔③/(a)=/(6),
罗尔
(1652-1719)
【注】推广的罗尔定理.
(1) 设/Xz)在(a』)内可导Jim f Joe) = lim y( j;) =A»则在(a，b)内至少存在一点&使f铤)=0・］
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
x-*-a
x-^b
(2) 设/'(工)在(a,6)内可导，limy(z) = limy(z) = ±oo,则在(a,6)内至少存在一点&使/(£) = 0.《
i
(3) 设/"(工)在(a, +oo)内可导，j
lim f(T)= lim fjx) =A,则在(a, +oo)内至少存在一点g,使i$
^
5
I f⑧ f
(4)设/\工)在(一oo,+oo)内可导，lim/XQn limy(z) = ±oo,则在(一oo,+oo )内至少存在一《
,
x-^ — oo
Z,
*x- + oo
《点 &使 _/ ($)=0.
:
定理7(拉格朗日中值定理)
*
工)满足
设
① 在［a,刃上连续,
② 在(a,6)内可导,
则存在 決(a,6),使得
/(6)-/(a)-/(e)(6-a),
或者写成
拉格朗日
定理8(柯西中值定理)
2 =弘叮2
b~a
(1736-1813)
［①在［a,6］上连续，
设fGc),gQ)满足｛②在(a,6)内可导，则存在gW (a,6),使得
〔③ g，(z)H0,
/(6)-/(a)_/(e)
g(6) —g(a) g'(W)・
柯西
(1789-1857)
91
考研数学基础30讲•高等数学分册
定理9（泰勒公式）
（1）带拉格朗日余项的n阶泰勒公式.
设/'Or）在点氐的某个邻域内”+1阶导数存在，则对该邻域内的任意点工，有
严+“（£） （工-如）宀
/（工）=心）+"。）（工-G+...+讦严（工。）（工-血）”+^^
其中£介于工,工0之间.
（2）带佩亚诺余项的n阶泰勒公式.
设产（工）在点工。处n阶可导，则存在血的一个邻域，对于该邻域内的任意点工，有
【注1】当乂。=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式.
i
*
（1）/'（工）=
d
0）+尸（0）工+与吕/ + ...+弓
”+1,其中$介于o和工之间.
”+
, 倚舒工
o）
r+i）
/＜n）（24
(2)/(x)=/(0)+/(0)^ + 弓晋+ ••• + /；『》" +。(工”).
【注2】几个重要函数的麦克劳林展开式.
i
I
（i）—i+卄討+ ...+討+心）.
丫
卄
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
3
2
1
(2)sm. = .-- + ••• + (-ir?^TIyT + ^1)x2n
⑶ cz=l —寻 + 养— ••• + (—1)"命+
。(宀
(4) T—~- = 1 + 无 + 力2
1—X
+ ••• + 无"+
0(乂”)・
(5) T—7— = 1一工 + 工2 —・・・ + (— 1)"工"+ O(z")・
丄十H
(6)ln( 1+工)=x~4- + 4-------- (一1)1 —+ o(x").
3
n
Z
；⑺—+T+.+±12—).
/基础例题精解
「
1.介值定理的使用
K^K3B
"＜工
（平均值定理）设/Xz）在［a,6］上连续，＜2＜工1 ＜工2＜
*
”＜6,证明存在£€ ［m，工”］,
使得
£（~）_于（工1）+才（工2）------------ /"（工”）
n
证明
92
由题意可知，/"（2）在【4 ,九1上连续，所以m^f（x）^M （m,M分别为/Xz）在［口，工”］上的最
第
6讲中值定理
小值和最大值)，于是
①
②
m£f Qx2 XM,
m^f Cx„) WM.
由① + ② + ••• + ©,有 nm^f Cxy )+/(jc2 )+•••+/(^„
故
于(心)+/(乂2)-----m W----------------------------------------- W M.
n
由介值定理可知，存在［工i，工”］，使得
n
例6. 2
积分中值定理)设/■&)在［a』］上连续，证明存在使得
(定理10
［/(^)djr = /(^) (6 —a).
证明
因为/'(力)在［a,b］上连续9所以于(工)在［a,b］上存在最大值M与最小值加，使得
rb
m (6一q)£
f(x)dx
M(6 — a ) ?
故
b
fCx)dx g M9
m
b
得证.
更多笔记资料关注公众号 /(jr)dx,
【考研666】免费分享
£)
由介值定理可知，存在EC卜,幻，使得*
【注】
如何证明ee(a,6)?
\
设 /(jc)在［_a,b］上连续，证明存在 g € (a,b),使得］/(J7)djr = /(^) (6 — a).
证明
/(Z)dG在［a,b］上用拉格朗日中值定理 今F(b)—F(a) = F(g)(b —a),
令FQ) =
即
'b
/'(•r)dz — 0 =于(£) (b — a)疋 C (a』)，
得证.
\
考研真题中已经考过，可直接在大题中使用，不必证明再用.
例6. 3
》
设/&)在［0,1］上具有一阶连续导数,/(0)= 0,证明：存在WC「0,1］,使得
”(£) = 2 ［ f(x)dx・
J0
证明
#(工)在［0,1］上连续，故其中肌,M分别是/7工)在［0,1］上的最小值和最大值.
工)=z# (少)，因为
由 /(^)-/(0)=/(^) (^-0) (0<V<^),有
*
/(7)WM,所以
mx M /"'(% = /"(工)W Mr ,
ri
因此
故
ri
mxAx
f(x)dj：
ri
ri
ri
Mxdx9
ri
于(z)dz W
2mzcLzW2
2Mzdz,
m = 2m • £ W 2 ［ /(jc)djc W 2M • £ = M9
/
Jo
2
93
30讲•高等数学分册
考研数学基础
由介值定理可知，存在［0,1］,使得/■'(£)= 2「/XQclz.
J0
2.罗尔定理的使用
(1)常用乘积求导公式(“©)' = UV 4- uv'的逆用来构造辅助函数.
① ［/■(Q/'Q)］' =
= 2/(J?) • f(x).
见到 /(x)/U),作 F(x) = f2(x).
② ［/(£)•
= y)了+f s.
见到］/z(a：)］2 +
f (x),作 F(z) = f(x) frCx).
•卩'(工)=+/'(工)?/(工)］尹＞.
③ ］= fSeZ +
+ /'(•z)/(z)，作 FQ) = /(jc)e?,(x).
见到
【注】常考以下情形.
(Qh —见到
⑴爭*
^(jc) + f(x),作
F(x) —/(x)ex.
(2) 卩(工)=一工=> 见到 fS—fS,作 F(x) = /U)e-\
(3) 卩(工)=屁今见到/'(刃+吋&儿作FQ)=y(z)et
例6. 4
设函数产(工)在闭区间［a,6］上连续，在开区间(a,6)内可导，且/(a)=/(6)=0.证明：对
任意实数a,都存在ee Ca,b)，使得/(e)+a/(e)=o.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
证明令F(_z) = y(Q£,则FQ)在闭区间［a,刃上连续，在开区间(a,b)内可导，且
F(a) =F(b) = 0.
根据罗尔定理可知，存在£W(a,6),使得F'(g)=0,即
= 0.
_/'(£) e冷十 a/XQe
*
所以 /■'(£)£
+a
*)
例6. 5
= 0.
设函数产(工)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=/(l)=0,/(y) = l,证明:
⑴存在qW (寺J )，使得/5)=可；
(2)对于任意实数入，必存在ee(o,7),使得#(£)一入［/■(£)—q=i.
证明
F(_r)=
z
)
⑴令*
—工，则函数FCz) =/•&)—工在［寺，1］上连续，且有
*
)=/(
~4
F 传)
= +〉0，F(l)=/(l)-l = -l<0,
* ，1)，使得F(q) = 0,即/(7) = 7，
由于F(t) • F(l)V0,根据零点定理可知，存在ve (
(2)令G(_r) = eF［y(_r)—幻，则函数G(z)在［0,刃上连续，在(0,少)内可导，G(0) =G(q) = 0,即函数
GS)在［o,勿上满足罗尔定理的条件，于是存在ec(o,7),使得
G'0) = &%/■'(£) —1］—入「江于⑷一目=0,
作)一入［:g—目=1.
即
94
6讲中值定理
第
(2)上面是证明一阶导数为0,也就是使用一次罗尔定理的问题，但有些题目涉及二阶导数为0,
即要多次使用罗尔定理，这种问题难点一般不在辅助函数的构造，而是要找到函数值相等的三个不同
点,BP/U)=/(6)=/(C)(不妨设a<b<c),分别在［a,b］,0c］上使用罗尔定理，有=
0,& E (a,6) ,& E (6,c),进而在［& ,&］上再对/(x)使用罗尔定理，得你)=0底(&，&)U(a,c).
例6. 6
设函数/Xz)在［0,3］上连续，在(0,3)内有二阶导数，且
2f(0) = J f(j：)dj： — /(2) + /(3),
证明：(1)存在 ^6(0,2),使得 y(v) = /(0)；(2)存在 (
*0,3), 使得 /(e) =0.
⑴设 FQ) = p/(t)dt(0 K 2),则［2 f(x)dx = F(2) — F(0).
J0
J0
证明
根据拉格朗日中值定理可知，存在少€(0,2),使F(2) —F(0) = 2F'5)= 2y5),即
f f(jc)dx = 2/(n),
Jo
由题设［f(x)dx = 2/(0) 9从而 f(v) = f(0).
J0
工
)在
由于
(2)*
［2,3］上连续，则其在［2,3］上必有最大值M和最小值加，于是
故
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
根据连续函数的介值定理可知，存在tC［2,3］,使〃)=竺評®.由题设y(2)+/(3)=/(0),故
(l)
*
/(r)=/(0),
的结果可知/(0)=/(7)= /(r),且0<s<rW3.根据罗尔定理可知，存在& €(0,",&€
切,丁)，使/(^1)=/(^)= 0,从而存在 庆(&,&)U(0,3),使得 /(e) =0.
3.费马定理的使用
证明某点导数为0除了构造辅助函数使用罗尔定理外，切记不可忘记还有定理5(费马定理)，使
用费马定理只需说明可导函数的最值在区间内部取到，这类问题的题目往往带有不等式关系的条件
(因为最值就是通过不等式关系体现的).
例6. 7
(导数零点定理)设yCr)在也,门上可导,证明当屛(a) • / (6)< 0时，存在g€(a,6),使得
心)=0.
证明
不妨设f+ (a)>0,/L (6X0,于是
f+ (a) = lin/S)_“a)〉03存在 &>0,在(a,a + & )内，产(工)>y(a),
La+
X —a
工)>/'( 6).
f- (6) = lim/(~r)~{(6)<0=> 存在&>0,在(6 —&#)内，*
故/"(a)与/'(6)均不是y(Q在［a,刃上的最大值，则于(工)在(a,6)内取得最大值，根据费马定理可
知，存在 ee (a,6)，使得 /(e)=o.
95
命（考研数学基础
30讲•高等数学分册
4.拉格朗日中值定理的使用
例6. 8
证明
设 a>6>0 ,九>1，证明:nb"-' (a — b)<Za" — b"<Zna"7 (a —6).
设*工）=工"，显然
工
*
）在区间［b,刃上连续，在（久a）内可导，工
*
即
）在区间［6,a］上满足拉格
朗日中值定理的条件，于是得
/'(a)—于(6) =/'(£) (a —6)
(6,a),
由于f\x}=nxn-x,因此上式即为
a" — b" = nL(a — b),
又由 0V6<gVa,??>l,有
nb"_' (a_b)<a"_b" = n&7 {a-b)<nan~x (a~b).
例6. 9
设/XQ在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，证明：至少存在一点^6（0,1）,使得/（1）=
3 皿)+£/()•
证明
注意到3x2 f（x）+x3 ff （x）是Jc3f（x）的导函数，故令=x3 f{jc},易知F（_r）在［0,1］上连
续，在（0,1）内可导，即FQ）在［0,1］上满足拉格朗日中值定理的条件，于是得
F(l)—F(0) = F'(£),g€(0,l),
y（D=3^/（e）+^/（e）.
即
例 6. 1()
设函数/■&）在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，且/（0）-0,/（1） = 1,证明存在不同的
厂&€（0,1）,使得击+77^=2.
证明
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
取ee（o,i）,/（^）^o,i,用w将口，门划分为：o,f］,：^,n在这两个区间上分别对/'（工）使用
拉格朗日中值定理，得
_/（£）—于（0）=于'（&）（£—&€（0花），
心 1 ）—/（£）=+（&）（1—］［；£）,&G（g,l）,
=
与欲证等式比较，只需证忐■十［忑）=2即可，于是可取心£）*
，则
e）=2,
命题得证.
J
【注】这种反推思想值得借鉴.
:
5.柯西中值定理的使用
例 6. 11
设/'（工）在［a,刃上连续，在（a,6）内可导,0<a<6,证明：至少存在一点g€（a,6）,使得
/（6）-/（a）=ein^//（e）.
证明因为@）与g3=lnz在［"上连续，在（"内可导，且g'（»gHO（0<aOO）,即
/■Q）与g（z） = lnz在［a,刃上满足柯西中值定理的条件，则至少存在一点£€（a,b）,使得
/（6）-/（a）_/（e）
In b一 In a
1 '
7
96
6讲中值定理
第
即
/(«-/(«)=ein-^/(e).
6.泰勒公式的使用
例 6. 12
设/'(工)在区间[—a,a](a>0)上具有二阶连续导数,/(0)=0.
(1)写出于(工)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
⑵证明：存在
6 L— a,a],使得 a3 f (77) = 3 f f (x)dx.
J —a
(1)解
对任意的
[ —a,a],/'(z)=/'(O)+/'‘(0)e + * 厂(£)工2 =/' (0 )>!： + #
$ 疋介于
e
与0之间.
(2)证明
/(j7)djr =
—a
/〃(£)工2血=+
ff ( 0 ) xdx + -y
厶
y/z(^)j?2djt：.
因为(z)在[—a ,a]上连续，由最值定理:(工)[ — a,a],其中m,M分别是f"G)在
[ — a,a]上的最小值和最大值，有
X2
dr W f /z/ (^)j：2djc £ M ［ x2dx = -^-Ma3,
J —a
J ~a
a3
一 1
O
ff\^x2dr = J /(jr)djr £ 号• M,
W M，
f f (j：)dx
m
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
a J -a
由介值定理知，存在少€「一 a,a],使得/' ( ) = p- j /(j：)djr,得证.
6.1
设在［0,1］上严(z)>0,7(0),/(1),/(1)-/(0)的大小顺序为(
(A)/(i)>/(o)>y(i)-y(o)
(B)/(i)>/(i)-y(o)>/(o)
(C)/(l)-/(0)>/(l)>/(0)
(D)/(l)-f(0)>/(0)>/(l)
)•
6.2设/'(工)在［0,3］上连续，在(0,3)内可导，且/(0)+/(1) +y(2) = 3 J(3) = l.证明必存在汇
(0,3),使得 ”(£)=0.
6.3 设于Q)在[0,叮上连续，在(0,1)内可导，且/(I)=寸;丁(_z)dz(& > 1).证明至少存在一
£).
*
点 £€(0,1),使得十(£) = (1一厂)
6.4设函数/■&)在[0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点A(0,/(0))与B(l,/(1))的直线与曲线
S相交于点C(c J(c)),其中OVcVl,证明存在£€(0,1),使得#'0)=0.
97
30讲•高等数学分册
考研数学基础
6.5 (导数介值定理)设/(工)在［a,刃上可导，若f£aWb),证明对于任意的介于屛(a)与尤(6)
之间的〃，存在庆(a,b),使得/■'(£)=〃.
6. 6已知于(広)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0 ) =0,/(1 ) = 1.证明：
(1) 存在£€ (0,1 ),使得/(g)= l—&
(0,1) ,“Hr,使得 /，(iy)/，(r)=l.
(2) 存在
6.7设函数/■&)在闭区间［一 1,叮上具有三阶连续导数，且/(-1) = 0,/(1) = 1,/(0) = 0,证明：在
开区间(-i,i)内至少存在一点&使r(e)=3.
【解答〕
6.1
(B)解
由0可知/■'(>)在［0,1］上单调增加.又根据拉格朗日中值定理可知,/(1)-
/(o)=/(e)(o<e<i),从而有 /(ox/(ex/(i),即 /(i)>/(i)-y(o)>/(o).故选⑴).
6.2分析
根据题设条件，只需再补充一个条件:存在一点 ce［0,3),使得/(c) = 1.则函数/■&)就在
［c,3］上满足罗尔定理的条件.
证明
因为/'(工)在［0,3］上连续，所以yQ)在［0,2］上连续，且在［0,2］上必有最大值M和最小值肌，
于是
m</(2)CM,
m</(o)+/a)+/(2)_lsCM
、
故
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
由介值定理可知，至少存在一点cG ［0,2］,使得=
所以函数于(工)在［c,3］上满足罗尔定理的条件，于是存在g€(c,3)U(0,3), 使得
6.3分析
注意到被积函数工e—VQ)的导数
［ze-丁(工)］' = zeip［y'(_z) —(1—hJ/Xz)］
中含有这正是欲证结论中的一部分.
证明令FQ)=_ze—了(工).由积分中值定理，可知
丄
/(I) =
［ ze—丁(広)山=农~V(?p = 1 •旷丁⑴，少 €(O，+)U (0,1),
又FQ)=ze「丁(工)在［小叮上连续，在(小1)内可导，且F(Q=F(1),则F(z)=ze「丁(工)在［可,1］上满足
罗尔定理的条件，于是存在切,l)U(0,l),使得F'(g) = 0,即#0) = (1 —「J产(Q.
6.4证明
按题意，点A与B的连线的方程为％ =
y(0)k + /(0).
令 F(j7)=/(^)-j/1=/(x)-［/(1)-/(0)>-/(0),则 F&)在［0,c］与［c,l］上均满足罗尔定理的
条件，于是可得 F'(&) = F'(&)=0,&C(0,c),&€ (c,l).
再由罗尔定理可得F(g)=
6.5
证明
=0($i，&)U(0,1),命题得证.
因幷(°)工幷(6),不妨设/；(«)</： (6).并设F(z) = f(z)—p_z,则函数FQ)在［a,6］
上可导，且F； (a)=岸(a) —pVO ,F【(b)=fL (6) 一〃>0,于是，
F；(a) = limF3—F(a)<o,
x—a
FL (6) = lim
98
F(z)—F(6)
>0,
x—b
第
6讲中值定理
根据极限的保号性，知:
在点x = a 的某个右邻域内，
F(无)一F(a)
<0,即 FQ)<F(q)；
jc — a
在点x = b的某个左邻域内，
FQ)—F(6)
>0,即 F(x)<F(&).
jc_b
故F(a)和FG)均不是函数F&)在［a,刃上的最小值，又因FQ)在［a,刃上一定可以取得最小值 ，则
其最小值必在(a")内取到，设函数FQ)在(a,6)内的最小值点是&根据费马定理，得F'(g) = 0,即
F(z)=
6.6证明⑴令*
z
)
(0,1),使得
f(q=o,
— l+z,可得
(F(0)=/(0) —1 + 0= — 1V0,
由零点定理可知，存在£€
lF(l)=/(l)-l + l = l>0,
gp/(e)=i-$
(2)用$将［0,叮划分为［0,目，匕,1］,再用拉格朗日中值定理有
/(f)-/(o)=/(v)(e-o),7e(o，e),
/( 1 )-/($)=/(r) (1-^)
卡,乍严
则
故 /(7?)/(r) = l.
6.7证明
由带拉格朗日余项的二阶麦克劳林公式得
其中少介于o与工之间，工W［ —1,1］.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
分别令■!= —1和工=1,并结合已知条件，得
o=/(-i)=/(o)+yr(o)—^r(71),-i<V1<o,
严(％)，0<卩<1,
*
* ( 0)+
1 = /(1)=/'(0) + 厂
两式相减，可得厂5)+厂5)= 6.
由严(工)的连续性知，厂(工)在闭区间［/,/］上有最大值和最小值，设它们分别为M和加，则有
勿£ ［厂5)十严
*
再由连续函数的介值定理知，至少存在一点?e［7>，殖］U(—1 ,1),使
r)=4】ns)］=3.
99
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
基砂 内密精讲
「
—、零点问题
方程f（^）=o的根就是函数/■©）的零点.从几何上讲，方程的根作为两条曲线的交点，
代数语言“于Q）=gQ）的根”与几何语言“曲线/\工）与g（z）的交点”，两者概念不同，但描述的是同一件
事.基于此，为讨论方程的根，有时可改为讨论曲线的交点•讨论方程根的问题（也称为函数的零点问题）通
常可以考虑下面这些方法.
1.零点定理（主要用于证明根的存在性）
若
工
*
）在［a,刃上连续，且y（a）/（6）＜0,则/（x）= 0在（a,6）内至少有一个根.
【注】
推广的零点定理：若_/&）在（a,6）内连续，limy（z）=a,lim于&）=/?,且a・pVO,则j
zf a
（f
*
-xb
f?
j /（^） = 0在（a,6）内至少有一个根，这里a,b,a，B可以是有限数，也可以是无穷大.
2. 单调性（主要用于证明根的唯一性）
若/■（乂）在《,6）内单调，则/（^） = 0在（a,6）内至多有一个根，这里a,b可以是有限数，也可以是无穷大.
3. 罗尔原话（罗尔定理的推论 ）
若f "＞（工）=0至多有k个根，则/（^） = 0至多有k + n个根.
100
7讲零点问题与微分不等式
第
【注】（1）读者可能有所不知，罗尔是研究方程的权威，可是他并不研究微积分.由于牛顿在表》
|达无穷小量时，出现过很多错误，罗尔还公开指责牛顿的微积分是谬论，故在微积分教材中罗尔定理?
［并非是罗尔所创造，而是后人为了纪念罗尔，以罗尔的名字命名的•那为什么微积分的研究者会用一 |
s位反对微积分的人的名字来命名这么著名的定理呢？原来，罗尔曾经讲过一段话：若/（^）=0有两个§
；根，则fs= 0至少有一个根（当然，这个符号和概念是我们写的，罗尔当年只是用具体函数来表达|
:#（工））.于是可得其逆否命题：
“若/（^） = o无实根，则7（^）=0至多有一个根”.
读者可根据现在的罗尔定理，利用归纳法得出：“若工）=o至多有一个根，则/（"-2）（^）=o |
I至多有2个根."依次类推，严~（工）=0至多有3个根= 0至多有"个根•读者可以看出，|
5方程阶数（即/（工）的导数阶数）降几阶，至多有根的个数就会多几个，于是便可得到上述结论•此结］
I论可在考试时直接使用.
以上所述与现在的罗尔定理有着极为密切的关系，故后人以昔日反对者的名字命名了著名的I
罗尔定理，读者应将这段描述熟记于心，并学会灵活应用.且让作者多一句嘴：真正的科学，一定是纟
对事不对人的，你说呢？
）是"次多项式，则厂“（工）工0,即= 0无实根（至多有0个根），于是/（x） = 0 :
（2）若
工
*
更多笔记资料关注公众号
4.实系数奇次方程至少有一个实根
【考研666】免费分享
］至少有一个实根.
|
证明设
| 则
］
=
------------ 色”工+。2”+1 ,
f （工）=攵"+1
，故 VMj>0, 3X^0,当工 >X| 时,/（^r）>M1>0,故
又丄 mja）= —OO，故 VM2>0, 3X2>0,当乂 < —X2 时，/&）< —M<0,故
使/'（q ）>0.:
—X2,使］
I f 5）<o.
由_/（乂）的连续性及零点定理，知3ee（化，心）u（—s,+s）,使/（^）=o,即/q）= o至少
*
二、微分不等式
1.用函数性态（包括单调性、凹凸性和最值等）证明不等式
一般地，使用如下依据.
（1）若有 f\x}^,a<x<b,则有 /■（a）Wy（_r）W/'（6）.
101
僻考研数学基础30讲•高等数学分册
(2) 若有 f(x)^0,a<x<b,则有
① 当/(«)>0时J'(_z)>0=>/(h)单调增加；
② 当/(6)<0时,/(^)<0=>/(^)单调减少.
，
(当工。*
为极大值点时,
如
工
)$
)
(3) 设yCr)在I内连续，且有唯一的极值点工。，则
〔当x0为极小值点时»
VxWL
(4) 若有★'(•r)>0,aVz<6J(a) = *
6)=0, 则有 /(^)<0.
2. 用常数变量化证明不等式
如果欲证的不等式中都是常数，则可以将其中一个或者几个常数变量化 ，再利用上面所述的导数工具
去证明.
3. 用中值定理证明不等式
主要用拉格朗日中值定理或者泰勒公式.
具体请看后面的例题.
基础例题精解
一、方程根的问题(函数的零点问题)
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
证明方程工 + p + qcos工=0恰有一个实根，其中p,q为常数，且OVgVl.
例7.
证明
令 f (工)=工 + p + geos x,由 lim /(□；) = H-oo,知存在一点 6,使得 /(6)>0.
由lim /(^) = -c3o,知存在一点a,使/(a)<0.故由零点定理可知，在(a ,6)内至少存在一点c,使得
/(c)=0,即方程/■(工)=0在(a,6)内至少有一个实根.
又因为/(jc) = 1 —gsin夂>0,故/Xz)在(―oo,+oo)内单调增加，所以产(工)=0在(―oo,+oo)内至
多有一个实根.
综上所述，方程z + p + gcos工=0恰有一个实根.
例7. 2
若函数/"(工)=(z—1)(工一2)(工一3)(工一4),则/"'(工)的零点的个数为(
(A)l
(B)2
).
(D)4
(03
解应选(C).
/(工)=(_7—1)(工一2)0—3)(工一4),
由于
可知/(1) = /(2)=/(3) = /(4)=0,在[1,2], [2,3], [3,4]上于(工)满足罗尔定理，因此至少存在& €
(1,2),&€(2,3),&€(3,4),使得
/''(&)=o,
*
因为
工)为四次多项式
例7. 3
_f'(&)=o,
/'(魚)=0.
，所以”(工)为三次多项式，而三次方程/■'(工)=0至多有三个根，故选(C).
若 3a2 — 56V0，则方程工5 + 2ax3 + 36工+4c = 0(
(A)无实根
(B)有唯一实根
).
(C)有三个不同实根
(D)有五个不同实根
解应选(B).
由于/(j：)=a-5 + 2^3+3^ + 4c是奇次多项式，*
故方程
工)=
0至少有一个实根，又/•'(工)=0,即双
*
二次方程5分+ 6a
+ 36 = 0对应于云的判别式zl=12(3a2-56)<0,则方程尸(工)=0无实根，所以方程
102
第
7讲
零点问题与微分不等式
于(工)=0有唯一实根.故答案选(B).
例7. 4
设常数k>0,函数/(j?) = ln jc ——+
e
(A)3
在(0,+°°)内的零点个数为(
(C)l
(B)2
).
(D)0
解应选(B).
易知 fQ)=丄一丄•当 H〉e 时 9
e
x
(工)<0;当 OVrcVe 时,/z ( ) > 0,故在(0,e)和(e, +oo)内 f(x)
= —oo,所以于0)在(0, +oo)内有两个零
分别至多有一个零点，又/(e) =^>0, lim/(x) = —oo, lim
X—0+
J—+ oo
点.故答案选(B).
_1_
例7. 5
_1_
在区间(一oo,+oo)内，方程 |工| « + |>r| 2 — cos 工=0 (
).
(A)无实根
(B)有且仅有一个实根
(C)有且仅有两个实根
(D)有无穷多个实根
解应选(C).
记/(x)= |
4 +|
2 —cos工,易知/Xz)为偶函数，又因为当x>l时,_f(工)>0,故只需判断f(x) =0
3
1
在(0,1)内有无实根即可.因为/(0) = -l<0,f(l) = 2-cos 1>0,且当疋(0,1)时，厂(工)=土工-丁 +
1
丄
2 +sin工>0,所以f(x)=0在(0,+oo)内有且仅有一个实根.故在(―oo,+oo)内有且仅有两个实根.
故答案选(C).
例7. 6
解
讨论曲线y=zln工与直线y = —A的交点个数.
令/(j?) =j-ln工+ A,讨论曲线_y = zln X与直线y = —A的交点个数等价于讨论方程/(工)=0的
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
不同实根的个数.因/'(x) = ln x +1,令/z(x) = 0,得z =丄.
e
3C
#(无)
(。'+)
丄
e
—
(v,+°°)
0
+
极小值于(丄)=A_丄
e
\ e /
/(■Z)
lim/(jr) =A ,
lo+
lim /(jc) = +oo.
l+8
若A<0,极小值/( + )<0,则方程在(o’)
* 内无实根，在(+，+°° )内有一个实根
若0 *
,VAV
* ，+«=)内各有一个实根;
极小值7(-^)<0,则方程在(0，右)，(
若人=丄
e
,+oo)内，/'(工)>0,即方程在(0,+oo)
内有且仅有一个实根;
若A>+，则极小值/(右)>0,从而在(0,+«=)内，/(工)>0,方程没有实根.
例7. 7
求方程barctan工一工=0的不同实根的个数，其中k为参数.
分析本题主要考査利用函数单调性、函数极值及函数的零点定理与渐近性态，讨论方程实根的存在
性问题，由于方程中含有参数故要根据其不同取值范围进行讨论，是一道综合题.
解
令 /(a:) =^arctan
则/'(工)是(一oo,+oo )内的奇函数，且 /(0) = 0(.r) = — -
x~jc,
f .
当^-1<0,即怡£1时，/'Q)V0(zH0),/(z)在区间(一oo,+c»)内单调减少，方程/(工)=0只有一
103
彳考研数学基础
30讲•高等数学分册
个实根工=0;
当怡一1＞0,即&＞1时，在区间（0, /LT）内，/'（工）＞0,/■（＞）单调增加，在区间（+
内，
f'S＜o,fS单调减少，所以/（TF^T）是产（工）在（o,+s）内的最大值，从而/（ /LT）＞/（o）=o.
又因为lim f（x） = —oo,所以由函数的零点定理知，存在庆（皿一1 ,+oo）,使得/（^） =0.
■Tf+ 8
由/（工）是奇函数及其单调性可知：当上＞1时，方程 g=o有且仅有3个不同的实根
jc =
— E9
工=0,
乂 = £・
【注】 上面的例7.6与例7.7都是含参数的零点问题，一种是导数中不含参数，其特点是在结；［
:果中讨论参数（曲线与工轴的位置关系）；一种是导数中含有参数，其特点是在求导过程中讨论参数:
i （确定函数性态）.
j
二、微分不等式
例7. 8
证明当工＞0时,ln（l + — <
1
\/X ( J：+ 1 )
证明令尸+，则乂＞0时，
ln(l + g)< —
Oln ( 1 + z) V―
0t— \/A.-\-t\n (1 + z)〉0 (E〉0 ).
/1+7
厶(z+l)
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
令F（t）=t— /FHln（1+0,则F'（t） = 2/^47—竺弓工?二.？，无法直接判断正负.
2/1+7
再令G(t)=2ETn(l+t)-2,则 G'("^^>03G(t)>G(0)=0, 故F(―斧>0,
因此 F(t)>F(0) =0,得证.
例7. 9
证明
证明当0GV号时，有sin工＞字
设于（工）= sin工一乎,:?:^（0,专~）,则
所以曲线/（□:） = sin x~~在（0
7t
7t
内是凸的，又
= sin
jc ——>0,
B卩
7t
、2x
.
sin 工>—.
7T
例 7. 1()
证明
证明 l+zln(«z+丿 1+乂2 9—ooVhV + oo・
设 f (工)=l+^ln(j：+ a/I+h? ) — a/T-RP",则
= ln（jr+ a/1+j:2 ） ~\~x----- + " ——
=ln（w+ a/1 + j;2 ）.
x+^T+^ /TTZ
令/（j：）=o得驻点为工=0,由于f's = —；」_：：亏〉0,知工=0为唯一极小值点，即最小值点./Xz）的
丿1 +工？
最小值为*
0 ）=0,于是，对一切工€（ — 8,+8）,有即有
104
7讲零点问题与微分不等式
第
l+rrln(jc+ 丿I+jc? )$ 丿1+； , _oo<jc< + °°.
设 OVaVb?证明:In —>2 "丄:
a
a -rb
例 7. 11
分析我们可以想到三种思路:
① b—工今In —>2
-(无>q>0 )；
a
a ~i~x
-—^>2
| 耳(0V«zVb )；
x~Yb
x
②
A_!
_
③ 先化成“齐次式"：ln —>2 ———, —~~ x=>\n九>2 (丄】9其中乞〉1・
丄十h
a
]+ b a
a
当然第三种思路最为简单9In力〉2
证明
T—y
(l+jc)ln x~2 Cx~l )>0 (e>1 ).
令 F(j;) = (l+j;)ln x — 2 Cx— 1 )(尢>1) 9则
Fz(j;) = —+ ln x— 1,
x
F‘(z) = — g +丄=丄(1 —丄)>0.
oc
x
x )
x \
因此，FQ)〉F(1)=O,故 FS)〉F(1)=O・再令
设 OVaVXl,证明不等式 arctan Iarctan X孟.
例 7. 12
证明
= —(0<a<6),即得证.
只需证明arctan £二徑t匹£<展，在匕,刃上对/(^) = arctan z应用拉格朗日中值定理,
Lab
b—a
更多笔记资料关注公众号
1
arctan 6 —arctan a
“1/八— "一―、
1 一 1
/ 【考研666】免费分享
一1 +孑 <1十/巳卄护 <2〃(°<aW<l)・
b_a
■诩WIMi设于(工)在闭区间［o,c］上连续，其导数/(工)在开区间(O,c)内存在且单调减少，又
*0)=0,应用拉格朗日中值定理证明不等式 /(a + 6)</(a) +/(b),其中常数a,b满足条件
a + b£c ・
证明
当 a = 0 时 ，由 *
0)=0
知 fda+b) =/(6) =/(a) +/(6)；
当a>0时，在［0,a］和［6山+刃上分别应用拉格朗日中值定理，有
尸(&)= /«)—叮(0)=空，&€(0<),
a—0
a
/'(&) =
fCa+b)-f(b)
~(a + 6)—6
/(a + 6)—y(6)
a
9&
G (b,a + b)・
显然0<&<aW6<&Va+6£c,因f'S在(0,c)内单调减少，故/'(&)=/'(&),从而有色土⑪二®£
字，因为a>0,所以有于(a + 6)</(a)+/(6).
例 7. 14
设/(工)在(a』)内二阶可导，且 厂(工)〉0,证明对于任意的心山2&(0』)，且心工化及
入(0V入VI)，恒有 /EA^i + (1—A)^2]<A/(j：i ) + (1—A)/(jc2).
证明
方法一
记 乂=心1+ (1—入)乜，由 aV^iVb,aVj：2Vb,OV入VI 可知 a<Zx<Zb.
由泰勒公式
心―八
*
r+讐(心―*
=/(^) +/Z(JC)(1—A) (^71 —JCz )+(-；')(无1 — «z)2 ,& 介于 E 与无1 之间，
105
考研数学基础
30讲・高等数学分册
f（.JC2 ） =/（J?） +/Z（J7）（J：2 -工）+' j丰）（工2 —工）2
= /＜J7）+//（J7）A（J：2 ~ ^1）+~^y^（^2 — ^）2，& 介于工与无2 之间，
入于（心）+ （1—入）f（X2）=fCx） +A 了 $）（工1 — J；）? + （1 —入）（工£ —工）2＞于（工）今
于是
其中入＞0,1—入＞0,厂（&）〉0,严（&）＞0・
入于（无1 ） + （1—入）于（无2）＞
所以有
方法二
入+ （1—入）工2〕・
记工=入无1 + （1—入）工2，不妨设工1 V^2，则有工1 ＜工＜工2・
由拉格朗日中值定理，有
/（工）一于（工1 ）=厂（& ）（无一4 ）=厂（& ） （1—入）（工2 —无1 ） Ml V& Vh ,
①
/（JC2） —/（JC）二于勺&”乜―H）=厂（&）入（工2一 4）"＜&＜工2，
②
由入X①一（1 —入）X②9得
/（J7）— A/（JC1）— （1—A）于（工2）=入（1—入）（工2—匚1）［«/'（&）—«/'（&）］
=入（1—入）（无2—工1）/〃（£）（& — &），
其中&VWV&,又f （£）＞0以（1—入）＞0,工2—心＞0,&—&V0,所以上式有
fO —入/（^i）— （1 —入）于（力2）vo,
/［A^i +（1—入）72］＜入/（JC1 ） + （1—A ）/（^2）.
即
5厂久基础习题精练
「
八’’’f
"" ""........... .... ，-■… ’…
更多笔记资料关注公众号.....
【考研666】免费分享
【习题：
.... ’
i
7. 1设当工＞0时，方程好+ 土 = 1有且仅有一个根，求k的取值范围.
7.2设/'（工）在［a,4-oo）上连续，且当_r＞a时，/（^）＞^＞0,其中k为常数.若/（a）＜0,证明方程
/（J7）=0 在
内有且仅有一个实根.
7・ 3
证明对任意常数a,b,且aVb,都有sin 6—sin a^b — a.
7.4
证明对任意_z€（ — oo,+oo）,都有x-x2＜丄.
e
7.5
设 b＞a＞e,证明 ab＞ba・
7.6
I
/ 1+T
* _亡
证明：（丁
\2
1
）＜工（］+工）2（工〉0）.
【解答
〕
1，则宀―一令，厂⑺专＞0.
71解设心“+弓―
当b£0时J'（工）VOJQ）为单调减函数•又
106
第
lim/Xz) =+00 9
zF
lim
l+b
7讲零点问题与微分不等式
(―oo,
9
=(
I —1 , k = 0.
所以，当k^O时，于(乂)=处+g—1 = 0在(0, +oo)内仅有一个根.
x
当怡>0时，令/■'(工)=0,得唯一驻点工=昭.又严(工)>0,所以工=］壬为极小值点，且y=/(Q的
图形在(0,4-oo)内是凹的，所以，当极小值为零，即
9 L
时，原方程有且仅有一个根.由上式解得尽
9
综上，当^<0或怡=彳箱时，方程有且仅有一个根.
7.2证明
记6=a— 今显然b>a.根据拉格朗日中值定理，存在g€(a,b),使得
• k=-f(a),
=
所以/(6)>0.又f(a)<0,根据零点定理，/■(工)=0在(a,6)内至少有一个实根.而f\x)>k>0,故
在［a,刃内单调增加，所以/(^) = 0在区间］a,a —樂［内有且仅有一个实根.
7. 3
证明
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
sin 6 — sin aW6—aU>
£1.令f(.x) = sin x,则/"(工)在［a,b］上满足拉格朗日中
~
b —a
值定理,所以存在一点 担(a,b),使0巴辛二$史纟= /'(£) = cos e<l,得证.
b~a
7.4
证明
令FQ) =丄一工+；,由F '(工)=—1 + 2工=0,得唯一驻点工=£,且F'Q) = 2>0,所以
e
L
) = + — * + + = » —扌>0,故对任意的疋(一《D,+oo),都有
) 为函数FQ)的最小值，又F(*
F(*
*>0,
F(心 F()
故丄一工+工2>0,即X —工2<丄.
e
e
7.5分析ah>ba^b\n a>a\n
证明
a
b
，可用函数的单调性证明.
设 /'(•r) = h',HC［a,b］,其中 b>a>e,则
x
门(x _ 1 —In x
j (2)
，
9
x
工
)单调减少.所以
即函数
其中In x>ln e=l,所以/U)<0,*
，当b〉a>e时，血>哄，即61n a>aln 6,则
b
a
In a">ln ha,即 ab^>ba・
7.6
证明
—
—V0即可.
只要证明当工>0时，|山士一丄-|—
1十工丨后(1+工)
2
I
107
30讲•高等数学分册
丫勿彳考研数学基础
令
f O = In
1
1+丁
——门 工=111(1+无)—In x —
1
—
厂(工)=——丄+—
—
— -—
1+工 x
(1+jc)2
则
_(]+乂)工一(]+无)2+工
jt(1+j:)2
—1
<0,
工(1+"
又Jim/(^)=0,所以 /(^)>0.
—
3=
则
• (1+j;) -\~4jc
2+?r"+
討丁
—2
—
1 +2+27 _ 1 + 3工一2
2x~ (1+h)$
2x~ (1+工)$
i
1 令
再令/i(z) = l + 3z—2后，则Az(j：) = 3 ———0,得工=百，为唯一极小值点，也即最小值点，且
2
人。1皿=可>0,故 A(J7)>O,于是 g'(z)>0,即 g(z)在(0, +oo)上单调增加，且 lim g(z)=0,所以 g(z)<0,
证毕.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
108
］ 第8 讲
一元函数积分学的
概念与计算
基础知识结构
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
109
30讲•高等数学分册
考研数学基础
基础内容精讲
—、概念
(一)不定积分
1.原函数与不定积分
7上，若存在可导函数FQ),对于谬厚回占住事：帛都有F'a)=g成
* )定义在某区间
设函数
工
立，则称FQ)是产(工)在区间I上的一个原函数.称j/(z)dz = F(z)+C为/'(工)在区间/上的不定积分.
【注】谈到函数/'(工)的原函数与不定积分，必须指明/■&)所定义的区间.
:
§
2.原函数(不定积分)存在定理
(1)连续函数fQ)必有原函数FQ).
【注】
/(Odf在［a,6］上可导，且［
证明：如果函数/■&)在［a,6］上连续，则函数FQ)
F'(z) = /(x).
证明
(a,b),取△■!使 z + zlz€(a,6),则
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
若
h€
△F = F(z + △•!•) — FO) = J•jH-A - f(t)dt —
j
使用积分中值定理，有
f(t)dt —
f(t)di
•卄Ax
fx
•H-Ax
/(z)dz +
fx
f(t)di =
f(t)dt,
/(Odt = /'(£)△%,其中£介于工与j： + Aj;之间，当0时，L h,于是
F'Q) = £巳芝=1^/u)=卩叩0)= s・
若z = a,取△工＞0,则同理可证F；(a)=/Xa)；若x = b,取△工＜0,则同理可证F： (6) = /(6).
(2)含有第一类间断点和无穷间断点的函数产(工)在包含该间断点的区间内必没有原函数F(x).
【注1】
证明
设F&)为/Xz)在/内的一个原函数，则F&)在/内可导，且F'Q)=y(z),并1
工=工。€ I为F\x)的间断点，我们讨论如下三种情况：
①工=工。为可去间断点，即limF'Q)存在且为A,但AMF'(工。)，而
FJ)=恤化3竺空生limF J) = A,
LZ。
乂
JCq
z—%
j矛盾；
②工=如为跳跃间断点，即limF'Q)存在且为A+，limF'Q)存在且为A 一，但A + HA_，而
》
L%
工一工：
码5) = xmF(»F5).洛必达法则恤FJ)=九,
j
》
工—叫
110
工
00
%
*
工-
2
第
'：
8讲一元函数积分学的概念与计算
L , 、一: FQ） — FQ。）洛必达送则—，，/-、_ 人
F— （jcq ） lim
limF （jc） A — »
Z—%
工 Xq
L%
2
:
/
］又F'（Z。）是存在的，则码（如）=£（工。），即A+=A_，矛盾；
③工=工0为无穷间断点，即limF'（z）=oo,而
；
尸心）=1詁（七.弘如洛必达法则"3=00,
LZ°
X
Xq
X^Xo
又F'（如）是存在的，矛盾.
综上所述，①，②和③均不存在原函数，即导函数F'Q）在I内必定没有第一类间断点和无穷间
断点，也即含有第一类间断点和无穷间断点的函数/'（工）在包含该间断点的区间内没有原函数
i
【注2】含有振荡间断点的函数是否有原函数呢 ？举例说来，对于
fg=<
2jrsin — _ cos—,
x
x
、0,
，
工工0,
工=0,
其在（一oo,+oo）上不连续，它有一个振荡间断点工=0,但是它在（-00,4-00）上存在原函数
F(z)=<
分sin丄,
X
工工0,
•Z = O,
0,
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
即对于（-oo,+oo）上任一点都有F'（z）=y（z）成立.
当然，对于
1 . 1
—sin —,
x
y（Z）=v x
lo,
•r 工0,
x = 0,
其在（—oo,+oo）上也有一个振荡间断点攵=0,且其在（―oo,+oo）上没有原函数.
:
【注3】综合以上几点，可以得出重要结论：可导函数FQ）求导后的函数F'Q）=y（z）不一定\
\ 是连续函数，但是如果有间断点，一定是第二类间断点（在考研的范畴内，只能是振荡间断点）.
:
（二）定积分
1.定积分的概念
若函数于（工）在区间［a,6］上有界，在（a,6）上任取n — 1个分点’（=1,2,3,…，"一1）,定义工。=a
* = xk — xk-x ,k = 1,2,3,…，九.并任取
和 xn — b,且 a =工0 V 工1 V 工2 V 工3 V …V Xi < x„ = 6,记△•r
*
一点& G E-i皿］,记入=max{&
}
，若当入~
* 0时，极限lim £/"（&） △乙存在且与分点工：及点&的取法
*0 点=］
A-
无关，则称函数于（工）在区间［a,6］上可积，即
f /（j?）dj： = lim^］/（^）*Ax .
111
考研数学基础
30讲・高等数学分册
【注】（1）若/（^）<0,曲边梯形就在攵轴下方，定积分的绝对值仍等于曲边梯形的面积，但定$
1积分的值是负的.
（2） 当我们说到“a到b上的定积分"时，不要总认为a<b,事实上，a〉b
:的情形是完全可以的，不过注意,a<h时,dx>0；a>b时,d^<0.
（3） 定积分的定义是由德国数学家波恩哈德•黎曼（Bernhard Riemann）
?给出的，故这种积分又被称为黎曼积分.
（4） 定积分的精确定义（重点）.
一 a.
］f（x）djr — lim£y（a+ b---i \h — a
黎曼
n
使用定积分的精确定义，主要是为了计算一些特殊形式的数列极限 ，其
(1826-1866)
详细步骤和例题参见“基础例题精解”的“三、定积分的精确定义”部分.
2.定积分存在定理
定积分的存在性，也称之为一元函数的（常义）可积性•这里的“常义”是指“区间有限，函数有界”，也有
人称为“黎曼”可积性，与后面要谈到的“区间无穷，函数无界”的“反常”积分有所区别.在本讲中所谈到的
可积性都是指常义可积性.
按照《考试大纲》，定积分存在定理包括下面两个方面.
（1）定积分存在的充分条件.
若/
①
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（工）在［a,6］上连续，贝!］ ［ f（x）dx存在.
②若于（工）在［a,刃上单调，则［/（jc）dj?存在.
③
若_/
（工）在［a,刃上有界，且只有有限个间断点，则| /（jr）dj?存在.
（2）定积分存在的必要条件.
可积函数必有界，即若定积分「/Q）d工存在，则 g 在［a,6］上必有界.
【注1】
关于定积分存在的必要条件，不妨这样理解：当我们任意分割图形底边为若干小段I
1时，若/（工）在区间［a,刃上无界，则至少存在一个小段△“在△工上，于（工）可以任意大，于是一个:
的面积
1 “小竖条”工
*
）&便可以无穷大，这样整个曲边梯形的面积就是无穷大，于是极限就不存［
?在了，所以可积函数必有界.
【注2】函数不定积分存在定理与定积分存在定理的区别与联系见例&i.
i
3.定积分的性质（以下假设所写积分均存在）
性质1（求区间长度）
假设aV6,则| d_r = b —a = L,其中L为区间［a ,6］的长度.
性质2（积分的线性性质）设b 9爲为常数，则］［^i/（jc） ±«2g（z）］dj; = b ［ /（jr）dr+ ^2 ［ g（N）dz・
性质3（积分的可加（拆）性）
112
'b
无论a,b,c的大小如何，总有| /（J7）dj? = I f （jr）djr + | /（jr）djr.
第
8讲一元函数积分学的概念与计算
性质4(积分的保号性)若在区间［a,刃上/(^)<g(x),则有(工)山 <『g(_z)±r.
I[
特殊地，有
I
|<
I fCx) | dx.
【注】事实上，设/'(工)是匕,刃上非负的连续函数，刃
不恒等于零
*
只要
，则必有
/(jc)djr > 0.
在有些积分不等式的证明与定积分值的估计中，要求获得严格的不等式结果，便需要用到这个
*
工)在也,刃上的最大值和最小值丄为区间也
性质5(估值定理)设M,加分别是
，小的长度，则有
mL W f /(jr)djr 冬 ML.
J a
性质6(中值定理)设/■(刃在闭区间匕,刃上连续，则在匕，刃上至少存在一点W，使得
f /(jr)djr = /(^) (6 — a)・
(三)变限积分
1. 变限积分的概念
当工在［a,□上变动时，对应于每一个/值，积分［7(0dz就有一个确定的值，因此|" fZt是一个关于
J a
J a
工的函数，记作①(乂)=「/■⑺山，称函数①(工)为变上限的定积分.同理可以定义变下限的定积
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
分和上、下限都变化的定积分，这些都称为变限积分.事实上，变限积分就是定积分的推广.
2. 变限积分的性质
⑴函数/■&)在［a,刃上可积，则函数FCz) = ［7(0di在［a,刃上连续.
J
a
(2)函数_/(夂)在［a,6］上连续,则函数F(z) = ［ f(t)dt在［a,6］上可导.
J
a
【注】(1)第一个性质的证明如下.
证明
任意夂,工 + △•!■ G ［a"］(当 x — a 时，0< Ar <6 — a；当 x = b 时，a —b< M < 0),则《
•jH-Aj-
F(«z + 4t)—F(h)=
由可积的必要条件可知，存在M〉0,使得在匕,刃上有丨f(x) KM,所以有
0 W | F(jr +
一 F(jc) | W M | △& | ,
则 lim | F(x + △z) — F(e) |=0,即 lim［F(j; + Zkr) —FQ)］ = 0 或 limF(jc + Aj?) = F(j?),得证.
△_r->0
*
Ax0
*0
Ax-
第二个性质的证明已经在“(一)不定积分”的“2.原函数(不定积分)存在定理”的(1)中给
出了.
(2)考研中常用到函数/'(工)的原函数的一个具体形式 ：如果函数/'(工)在区间［a,刃上连续，则
FQ) =
匚
是fQ)在区间匕,刃上的一个原函数.
由上述性质可以得出一个重要结论：对于变限积分F(z) =
Ju
》续的.记住这一点，在有些考研题中可以起到重要作用，见例&2.
只要它存在，就必然是连§
$
》
113
30讲•高等数学分册
命（考研数学基础
3.变限积分的求导公式
设F（乂）=
厲 （刃
J（px（X）
・
f（t）dt9其中fS 在［_a,b］ ±连续，可导函数申1（力）和爭2（力）的值域在［a,刃上，贝I」在函
数Q （工）和甲2（工）的公共定义域上，有
y* （£）dt］=
F\x）=
【注】
f［_（p2（<x}~\（p 2
（工）］卩I （工）・
（-^） —
我们称上面公式中的工为“求导变量”昇为“积分变量"•“求导变量％只出现在积分的:
］上、下限时才能使用变限积分求导公式，若“求导变量”工出现在被积函数中，必须通过恒等变形（比］
j
':）如变量代换等）将其移出被积函数，才能使用变限积分求导公式.
注例
*
工
设函数
）具有连续导数，求£［『&—“门加订.
解首先，将“求导变量”z移出被积函数，
［（无 一 /）/'（》）ck = f xf\t}At 一 ［ tf\t）dt
Ja
J a
J a
= x［ f\t）dt —
［ ^/Z（z）dz,
J a
J a
然后，使用变限积分求导公式，于是
£[[ （J? — t）y/（f）d? J = J
y（工）一/（a）.
+ 好'（工）一好'（攵）=
（四）反常积分
1.反常积分的概念的通俗理解
反常积分的概念很容易从定积分的概念中引出•前面已经指出，定积分存在有两个必要条件：一是积
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
分区间有限，二是被积函数有界•如果破坏了积分区间的有限性，就引出无穷区间上的反常积分 ；如果破坏
了被积函数的有界性，就引出无界函数的反常积分.我们以无穷区间上的反常积分为例，来通俗地解释一
下到底什么是反常积分.
现在我们假设曲边梯形的底边长/冈
*
定积分的几何背景是一个曲边梯形的面积，+
，高为h = y
则面积S = l -爪问题是，什么情况下此面积才会存在呢？我们自然想到极限理论中的未定式“oo • o”型，
当X—+ oo,也就是底边长/* + ®时，只有*工）fO,S才可能存在，故一般来说，
f
/'（•z）（lz 收敛=> lim□工）=0.
- 十
时
*
反过来说，若a>0,高人=土,当工*
Q工
，土一 °,虽然高力〜°,但面积S=「°世ch—+ ®,发散.
J a VJC
X
很好理解，这是因为高力“无穷小的程度”小于底边长广无穷大的程度”，结果还是会发散.
所以，高h = f（x）的“无穷小的程度”就成为反常积分敛散性判别中的关键.一般来说，
越小”.则「】（工）山“越容易收敛”.
这个结论对于理解后面的敛散性判别法有着重要的意义，即便我在下面会给出一个令人遗憾的特例,
它也不会影响上述结论的重要地位.
114
第
•4-00
则
17
•S'
*2
ri
心冷严+
3 Odjr +
o
8讲一元函数积分学的概念与计算
吕1
2dx + …=52 —收敛，但 lim /(乂)丰 0.
U2
2
工十
这是一个“特例”，为什么会出现这种情形？你看/（工）的正值区间是「”,”+丄审
，其区间长
n • l
度为一气，而其“高”为"，故此面积为舟T，依然可以收敛是因为正值区间上底边长“无穷小的程度”超过
7? • Z
Z
》
》了高“无穷大的程度"•
2.无穷区间上反常积分的概念与敛散性
(1)
lim f
f(x)dj：
f(r)dx 的定义为 |
若上述极限存在，则称反常积分「g/xpdz收敛，否则称为发散.
(2)
fCx^dx 的定义为 |
*6
・
lim [
f(x)dx
工 ）山收敛，否则称为发散.
若上述极限存在，则称反常积分「*
*-|-oo
(3)
f（jc）dx的定义为
■+°°
/(x)djc =
f(x)dj：.
r+oo
若右边两个反常积分都收敛，则称反常积分
f^dx收敛，否则称为发散.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
:
【注】在反常积分中，一般把“X”和使得函数极限为无穷的点（瑕点）统称为奇点.
3.无界函数的反常积分的概念与敛散性
（1）若6是/'（工）的唯一瑕点，则无界函数/'（工）的反常积分|V（z）d_z定义为
f
a
(jc)dj? = lim I /(jc)djr ・
*g- *0 J a
若上述极限存在，则称反常积分］7（工）山收敛.否则称为发散.
【注】当工
b为 g 的无穷间断点时，/（工）便是一个无界函数了，积分『产（工）山也可能存I
在.细心的考生可能会联想到，前面我们不是说“『/（工）山存在的必要条件是g 有界”吗？这不是
*6
矛盾了吗？事实上，前面所说的I /'（工）山是定积分（黎曼积分），而这里的|7（工）ch是反常积分，它们
j并不是一个概念，所以没有任何矛盾•只是当考生读完这一段后，最好今后在提到积分存在时，特别?
I强调一下，是定积分存在（黎曼可积，常义可积），还是反常积分存在（广义可积）.
（2）若a是于（乂）的唯一瑕点，则无界函数/&）的反常积分「/（Adz定义为
、b
f
a
( j?)djr = lim | /(
*0e- 4 a+e
.
115
考研数学基础
30讲•高等数学分册
收敛，否则称为发散.
若上述极限存在，则称反常积分J
工
是
*
（ 3） 若
）的唯一瑕点，则无界函数 g 的反常积分「y（z）d工定义为
J a
[f
（jc）djr = f
+
J a
J a
[ f（x）dx・
J c
若上述右边两个反常积分都收敛，则称反常积分「/Q）d工收敛.否则称为发散.
J
a
关于敛散性的判别，具体参看“基础例题精解”的“六、反常积分的计算与敛散性判别”部分.
二、计算
（一）不定积分的积分法
1.基本积分公式
① \j：kAx =
J
}
怡十1
xk+x + CM 工一1
-i-djc =— — + C,
x
jc
= 2 vCz + C.
②J 丄dr = In | jc | + C.
+ C；j axAx =盏：+ C,a> 0 且 °工 1.
③J exdx =
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
④ sin xAx =一 cos x + C ； cos xAx = sin h + C ；
tan
jcAx
=一 In | cos x I + C； cot xAx = In | sin 攵 | + C；
xAx = In | sec
jc
+ tan
jc
|+ C
sc xAx = In | csc x — cot x\-\- C
sec2 jrdjr
tan 工 + C； cscGdz =— cot z + C；
sec jrtan x^x = sec
⑤•
+ C； csc jrcot x^x
一 csc 无 + C.
；—r~~ dj? = arctan 乂 + C,
1+x
1
jr
1
—
— dx = —arctan----- p C(a〉0).
a + jc
a
a
arcsin z + C,
⑥Y
—
J& 一
dx = arcsin — + C(a〉0).
a
1 n(+ a/x2 -) + C(常见 a
1),
⑦
In | 无 +
116
x2 — a2 |+C(|z|〉| a | ).
第
乂一a
—7------ dr =丄］n
x2 — a2
2a
•Z + Q
+c(/^?dj:==^ln
2
7 + Q
x一a
_____________
J& —j? x = ^-arcsin — + 专 y/a2
⑩ JsinOclz =专
8讲一元函数积分学的概念与计算
sin 2x + C(sin2x
4
~x^~ + C(a > |
乂 | $
0).
1 一 cos 2无
2
JcEh山=f + 警 + C(cos2^ = 1 + ,
2工
)；
Jtan2j;djr = tan x 一 x + C(tan2j; = sec2jc — 1)；
Jcot'jcdz =— cot x — x -]- C(cot2jc = csc2一 1).
2.凑微分法
(1) 基本思想 J
/[g(j
*
：)]g，(j：)dj7 = J= J/(zz)du・
当被积函数比较复杂时，拿出一部分放到d后面去，若能凑成j/(W)du的形式，则凑微分成功.比如,
J 也"d«z = Jin5j: • —Ax = Jin5j?d(ln 无) =
+ C・
(2) 熟练掌握基本积分公式及常用的凑微分公式.比如，能熟练计算下面这种题目：
V 4 一 x3
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
3.换元法
")J/tg(")]d[g(")] = ]/[g(“)]g'(")ck.
(1)基本思想 jy(攵)ck
当被积函数不容易积分(比如含有根式，含有反三角函数)时，可以通过换元的方法从d后面拿出一部
分放到前面来，就成为Jy[g(")]g'(“)d“的形式，若/Eg(u)]gz(w)容易积分，贝U换元成功.
【注】z = g(“)须是单调可导函数，且不要忘记计算结束后用反函数u = g-l(x)回代.
(2)归纳总结换元法的思维结构.
①角函数代换
三
—
—当被积函数含有如下根式时，可作三角代换，这里«＞0,
a/a2
—= asin t, 111 ＜亍~,
______
J& +尹-
jr = atan t, | f | <—,
-<
_________ 令
若工〉0,则OVtV号,
V x2—a2---- j： — asec t,<
若工＜0,则手＜3＜兀.
117
考研数学基础
30讲•高等数学分册
②
恒等变形后作三角函数代换
— 当被积函数含有根式处+ c时，可先化为以下三种形式
—
,丿护一b(z)，再作三角函数代换•
心(工)+宀
好讦7等时，一般令根式"=氏因为事实
③根式代换-一当被积函数含有根式v^+b,
上，很难通过根号内换元的办法凑成平方,所以根号无法去掉).对既含有％7干万，也含有；^不的函数 ，
一般取m,n的最小公倍数I，令^/ax+b = t.
④ 倒代换—
令工=
— 当被积函数分母的幕次比分子高两次及两次以上时，作倒代换，*
.
⑤ 复杂函数的直接代换
*ln
当被积函数中含有,a
e
函数等于/，值得指出的是，当In z,arcsin x,arctan
z,arcsin攵,arctan工等时，可考虑直接令复杂
与P”(z)或e"作乘法时(其中P”(_r)为x的"次多项
式)，优先考虑分部积分法.
比如，能熟练计算这种题目：计算JeEdr
解
/2 —I- 1
_____
令t=丿2工一 1,则x= —,Ax = t<\t,于是
Je/2.r-i dz = je'td/ = j'zd(e,)
=te' — Je;dz = te' — e，+ C
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
=(t— l)e‘+C
=(怂一1 — De^^ + C.
4.分部积分法
(1) 基本思想 |udt> = uu — -vdu.
一目了然，这个方法主要适用于求J“ch比较困难，而]决“比较容易的情形.
什么函数积分后会“简单”些？宜取作"什么函数微分后会“简单”些？宜取作"•选取的一般原则：设
p”(h)为Z的〃次多项式，
① 被积函数为P„(^)eir ,P”O)sin aj7,Pn(jr)cos ax等形式时，一般来说选取u = Pn(x);
② 被积函数为屮sin处，屮cos br等形式时，况可以取其中两因子中的任意一个；
③ 被积函数为P”Q)ln H,_P”(jr)arcsin
u= In x,
arctan x等形式时，一般分别选取
zz = arcsin
(2) 分部积分法的推广公式与]p”(z)e“(lz,]E(H)sin
设函数u
=
zz = arctan x・
otcLz,]_P”(h)cos
与u =讥刃具有直到第5+ 1)阶的连续导数，并根据分部积分公式
u(t)
Judv = uv 一 JvAu,
则有
118
&zdr・
第
l【注】证明
8讲一元函数积分学的概念与计算
在公式| uAv = uv — vdu中以x/"＞代替v,则
= uv (”)
uv^ dr =
同理，可得
u'p"" djr.
■u(n,du = wu(n)
uv(n) dz = u'f'L"
UV^dT,
umv^2)dx,
"Sp'dz = w<n) v — u(n+1> vdj?.
联立以上式子，并保留第一个和最后一个积分，便可得到分部积分法的推广公式：
-------- H (- 1)"“("G+ (— 1)丹 u<n+1) T/cLr.
uvMvdx = uv® —
事实上，可写成如下表格
“的各阶导数
u 1
的各阶原函数
*+1）
p(”+l)
爲(T
VM
-ir
A(*
O
-
V
计算方法：以“作起点左上、右下错位相乘，各项符号“ + ”“一”相间，最后一项为
（―1）卄 1
vAx.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
对于 P„(j')eirdj?, P”(z)sin ax dr, P„（x）cos bx^x三种积分，其中P”（z）是工的"次多项式，
令“ =P„（x）,则= 0,于是积分便可顺利算出.
比如，求不定积分（/ +2工+ 6）e"cLr.
•z' + 2e + 6
3^ + 2
e2x
1 e 2.
—
2
则
6jc
6
0
利用上述表格，可得
+ 0 •
1 X3 ~ 3
~2
7 X +, T
„
2 +I ~4
17 )\ ° 2;r +. C
5.有理函数的积分
（1） 定义
形如［的积分称为有理函数的积分，其中P”（x）,Q”Q）分别是工的”次
多项式和m次多项式.
（2） 方法
先将QJz）因式分解，再把器二拆成若干项最简有理分式之和.
（3） 分解的基本原则.
①Q/z）的一次单因式ajc + b产生一项一；
ax ~rb
119
30讲•高等数学分册
考研数学基础
a
4
②Q”（Q的k重一次因式｛ax + bY产生怡项石二+莅占★十“• +
③Q“（z）的二次单因式px2+qx +厂产生一项
A
(az + b)"
A«z + B
pjc2 -\~qx~\~r
④Q,（z）的k重二次因式｛px2 +qx + rY产生怡项
Alx~\~Bi
px2 -\-qx~\~r
i
A2^+B2
i
(px2 -\-qjc~\-rY
i
Akx~]-Bk
(px^ -{-qx~\~r}k
【注】具体见例8. 20,例8・21.
i
j
（二）定积分的计算
定积分的计算，主要依赖于牛顿-莱布尼茨公式.
若
工
*
）在［a』］上连续,则
『/•(■z)cLz F 3 = “)F(z)「= F(6)—F(a).
【注】前面已经指出，含有间断点的函数也可能存在原函数 ，例如，
1
2jrsin — —cos —,
x
x
fS=v
Io,
攵工0,
牛顿
乂=0
(1642-1726)
x2 sin —,
zHO,
0,
乂=0
X
工【考研666】免费分享
*
是
）的一个原函数，因
更多笔记资料关注公众号
i在工=0处不连续,但显然FQ） =
*
为
工
）是在［0,1］上只有一个间断点（工=0）的有界函数，所以可积，从而
J f（x）dx = F（工）
=sin 1.
］
这里用到了牛顿-莱布尼茨公式的推广：在积分区间［a,刃上只有有限I
|个间断点的被积函数f3,只要其在［a,刃上存在原函数，牛顿-莱布尼茨*
j公式依然成立.
j
莱布尼茨
(1646-1716)
由牛顿-莱布尼茨公式结合不定积分的计算方法，有定积分的换元积分法和分部积分法，分别如下.
1.定积分的换元积分法
设于（工）在［a,刃上连续，函数工= <p〈f）满足①甲（a） =a,卩（0）=6;②工= °（t）在［a,0］（或［0,a］）上有连续
的导数，且其值域为& = ［a,6］,则有
]/(jr)djr= j /T 申（£）］/（£）d£ ・
【注】
当卩&）的值域&超出［a,门，但卩⑺满足其余条件时，只要/（乂）在&上连续，则上述结i
i论仍成立.
$
2.定积分的分部积分法
r
“(_z) t/(工)clz = zz (工)◎ (_r)
这里要求u（x）,v\x）在］a,刃上连续.
120
第
8讲一元函数积分学的概念与计算
用牛顿-莱布尼茨公式或用分部积分法计算定积分，方法与求不定积分一致(只是要代入上、下限而
已)，而用换元法计算定积分时，有一些需特别注意的地方，这些注意的地方，在定理条件中已写明白，但要
真正掌握，还需通过后面的例& 26,例& 27来练习.
【注】在计算定积分时，下面这些结论是很有用的.
(1)设/■&)为连续的偶函数，则
f(x)dx = 2
J0
f(x)dx.
(2)设/Cz)为连续的奇函数，则
f(x)dx = O.
工)是以
*
(3)设
T为周期的连续函数，则对任意的实数a,都有
•a+T
(j7)djr= f
f
J
o
；即在长度为一个周期的区间上的定积分，与该区间的起点位置无关，其证明见例& 5.
(4)设/Cr)为连续函数，则
'b
这叫“区间再现公式”，其证明见例& 2&
n— 1
n
n —3
rz —2
4*E
0
n
n—3
n_2
*2 * T
n为大于1的奇数，
cosnx Ax =y
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
n— 1
sin" dr =
(5)
0
]
7t
"为正偶数,
j这个式子的证明见例8. 32.
$
基础例题精解
一、一元函数积分学的概念与性质
1.不定积分、定积分、变限积分和反常积分的概念与存在性
这是考生比较容易混淆、不好把握的考试内容.
•r>0,
①/(j;)=
1,
工=0,有原函数，但其定积分不存在
-1,
工<0
,
2如寺一手cos
*
详0,
② yo)=<
有原函数，其定积分也存在;
lo,
力=0
121
考研数学基础
30讲•高等数学分册
［丄，工工0,
/' （工）=［'
③
没有原函数,其定积分也不存在;
〔0,工=0
工工0,
2ZCOS-----sin —
④/"（工）=<
工
x
有原函数，其定积分也存在.
工=0
、0,
正确结论的个数为（
）.
(A)l
(B)2
(03
(D)4
解应选（B）.
本题通过具体的例子考査考生是否能够明确区分不定积分与定积分的存在性.逐个分析即可.
•X > 0,
对于/（x）
工=0,由于工=0是其跳跃间断点，根据不定积分存在定理，在任意一个包含
•Z < 0,
工=0在其内部的区间［a,刃上,/'（工）一定不存在原函数，但由于/'（工）满足定积分存在定理，故定积分
£
f（x）dx存在，所以①错误.
对于/(x)=<
2為启―Zcosg,
XXX
•rHO,
0,
jc — O,
工=0是其振荡间断点，但是容易验证:
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
若 F(jc) =y
丄
2 •
x sin —,
hHO,
则F'（_z） = *
_r ）（ —g<zV + oo）,所以y（z）存在原函数，但在任意一
x
无=0,
、0,
个包含工=0在其内部的区间［a,刃上，定积分J7（^）d^不存在，因为在工=0的邻域fdx）无界，所以②
错误.
,1
对于/（X）=彳工'
工H 0,
由于工=0是其无穷间断点，所以 2）在包含乂 = 0在内的区间［a,刃
、0,
•z = 0,
上总不存在原函数，定积分］7（工）（1工也不存在，所以③正确.
2j?cos----- sin —,
对于心=$
〔0,
工
工
1
(
x2cos —,
它在(一8,+«=)内存在原函数F(z) = v
x
lo,
x = 0,
工工 0,
并且在任意一个包含工=0在其内部的区间匕,刃上，定积分J
x # 0,
= 0.
也存在，因为/'（工）有界且只有一个
振荡间断点，所以④正确.
综上所述，故答案选择（B）.
例& 2
为（
122
）.
设函数y =
在区间［— 1,3］上的图形如图8-1所示，则函数FQ） =
的图形
J 0
第
8讲
一元函数积分学的概念与计算
F(x)，
F(x)> 1
X
k
____ i___ .......ii
3
x
-1 0 VL./2
-1%
<1
L「
1
、/
/ 2
3
x
-
应选（D）.
解
本题有三个要点：第一，变限积分只要存在就必连续，故排除（B）；第二，由 g 有两个第一类间断点
可知，FQ）应有两个不可导点，排除（A）；第三,F（0） =
故答案选择（D）.
■⑺dt = 0,所以FQ）的图像过原点，排除（C）.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
【注】本题是考研真题，如果考生能够熟练掌握一元函数积分学的有关概念和性质，便可轻松
j
$解决这个问题，而无须进行烦琐的计算，从这个角度说，本题是概念题.
5
2.积分函数的奇偶性、有界性、单调性、周期性
考生需要能够判别以积分形式定义的函数的奇偶性 、有界性、单调性、周期性等，这是重点.
例8. 3
证明连续的奇函数的一切原函数都是偶函数；连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数
是奇函数.
证明
设 g 是连续函数，则其一个原函数可以表示为FQ）=『于（/）血
若/'（・）是连续的奇函数，即有/'（工）=—*—工），且『fMdt = 0,则
c~x
仔
t =— u
—
f (t)dt 一—
F(— x) =
=—
rx
p
f (— u)du =
J —a
J a
f (u)du +
J —a
J
f(u)du = 0 + FQ) = F(z),
a
所以连续的奇函数的一切原函数都是偶函数.
若/\工)是连续的偶函数，即有/(— J?) = f(x),且[f(t)dt = 2 f f(t)dt,则
J —a
C~x
F(— «z)=
Ja
t =— U
f (z)dz-----
—
p
J
—a
f (— u)du =—
P
J —a
f (w)du 一
J
0
[a
J
f (u)du =— 2
a
J
0
f(u)du — F(j：),
只有当£/(u)dw = 0时，F(—工)=—FQ),即连续的偶函数/(工)的原函数中仅有一个原函数为奇函数.
123
考研数学基础
30讲•高等数学分册
设函数/Cz）连续，则在下列函数中，必为偶函数的是（
例& 4
（A）心）dt
J0
(C)| ^[/(O -/(-O]d^
(B)jo/2(Odz
）.
(D)
0
J0
+/(-z)]dz
应选（D）.
解
直接推导，令 F（X）= JoZ：/（0+/（-z）］dz,则
t = — ll
*~x
F(_z)=
=
^/(O+/(-O]dz
0
J0
0
(—w)[/(— u) + /(u)](— du)
u［_f（u） + /（— u）］du = F（j：）.
也可以根据例8. 3的结论，直接看哪个被积函数是奇函数,显然答案选择 （D）.
例& 5
证明：若函数/Q）是以丁为周期的连续函数，则对任意的实数s都有
CT
Pa+T
・
\ f （jc）djr =
Ja
J0
•0
*a+T
证明
= I /(jc)djc + I /(j：)dx 4~
J0
Ja
f
•a+T
f(x)dx.
T
设t = x—T,则
•a+T
= J f(t + T)dz = I /* (£)&= I /(x)djr,
0
T
0
所以
•0
•a+T
•T
0
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
/(jr)dz = 0.
0
必要性.已知连续函数/'Q）及其任一原函数FQ）都以T为周期，则有
证明
/（^+T） - /（x）,
F（z+T）=FO）.
由牛顿-莱布尼茨公式得
T
= F(z)
0
=F(T) -F(0) = 0.
0
充分性.由例& 5的结论，对任意的实数a,有
ra+T
丨
Ja
CT
f (jc)dj： =
J0
/(jr)djr ・
由于]fCx)dj： = 0,因此
J0
•a+T
fCx)dx = F(jc)
a+T
F(a + T) — F(a) = 0.
故FQ）是周期为T的函数，又/（^）dx = FQ）+C,故fS 的一切原函数均以T为周期.
例& 7
证明
工
*
设
）是［a，刃上非负的连续函数，且于（工）不恒等于零，证明必有「/（工）吐＞ 0.
因函数/'（工）在刃上不恒等于零，且非负，故至少存在一点工心a,b）,使得/（血）H0,即
于（工0）＞0・
因函数于（工）连续，故有lim/（^）=/（^0）＞0,由极限的保号性知，存在5〉0与7＞0,使得当
L%
124
8讲
第
一元函数积分学的概念与计算
hW [血一&,Ho+5]U[q,5]时，恒有于（丁）$4>0・
根据定积分的不等式性质，便有「/（刃山$ H+d
f(x)dx $ rj
- 叫f
x.~8
【注】
dr = 2可 5 > 0.
!
作为该命题的推论，若连续函数/■&）,£&）满足f（X）^g（X）,且卡（工）不恒等于gQ）,;
又a<6,则必有严格不等式
f (x)dx > I g (jc)djr.
二、不定积分的基本计算
考研数学基本都是考常规计算,不涉及太强的技巧性，也就是说题目的门槛不高，考生都容易上
手，所以，一定要加强基本计算的训练，如果基础的都算不对,就太可惜了.
设(1 — j;2)/(x2)dx = arcsin z + C,则 fO =(
例& 8
(A) (1 —j；)t
).
—"
(C)
(l
(B) (1 —j：)_y
(D)(l —工2 厂丁
解应选（E）.
本题为求积分的反问题，只须依原函数FQ）的定义F（h）=
*
h）来求解.
将所给表达式的等式两端分别关于工求导，得
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
(1 —j72)/(j72)djr J
arcsin x + C)，
（1F2）=
即
2)= (1 —"寻
故
/（JC）=
（1一
故选（B）.
例& 9
求
- -------- d.z.
/z(] — 无)
•
解
1
]----------- dr =
a/jc( 1
— 无)
(J(a/x) = 2arcsin 4x + C・
2f—
J /_(后)2
例 & 1()
解
」
1
「d(ln 兀)
血=J T+i^
j：(l + In x)
例& 11
解
求 工(l + lnz)d=
求
^^ = ln| 1 + ln^| + C.
1 + In jc
a2 — x2dx{a〉0).
设工=asin t，则 dx = acos tdt, t = arcsin 王，一aWjcWa：—善
a
L
書~・
L
所以
125
考研数学基础
J&
一 /
30讲•高等数学分册
+ C =笥t +
气14-牛sin
a2 — x2
^-arcsin — +
a
/
L
例 8. 12
求
号sin
tcos t + C
C.
v^+^(a>0)'
设力=atan / ,则dx = asec2tdt,当一子" < 匸 < 专时，乞
解
J(1 + cos 2t)dt
a2 — a2sin2Z • acos tdt = a2 cos2zdz =
dx =
atan t存在反函数.
所以
\Zz2 + a2
= Jsec tAt = ln 1 sec ^+tanz l+C1-
=
a
由 tan £ = 皀得 sec f
a小
a
-9^f 以
?TO=lnlsecz+tanzl+cl = ln
ln(-\/j72
例& 13
解设工
求
a/工2
+亍 1 g
a
a
+G
a2 + h) + C.
v^^(a>0)'
asec t,有 dz = asec ttan tAt.当 0
</<今时，z
= asec t > 0,且存在反函数.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
J芒—/
_ f asec /tan t
dt =
atan t
J
sec tdt = ln(sec t + tan t) + G = ln(jr + ^/x2 — a2) + C.
当号V £ V兀时口 = asec t < 0,且存在反函数.
Ax
sec tAt
=一
Jx1 _&
x2 — a2 ) + C3
=—ln(一 x +
—ln(一 x —
综上，
例& 14
解
ln(— sec t — tan t) + C2
x2 — a2 ) + C・
dx
_ = ln I 2 + y/x2 — a2 I + C・
—a2
求
dx
sin 2无 + 2sin x
本题主要考查三角函数的恒等变形、凑微分法、换元法等.
方法一原式=
dx
2sin
h(cos
工 + 1)
4J
ItL
、
.X
3
X
sinTcosT
d(吨)
X
2 7
tanTcos-
1 r 1 + tan?子
=丄
----L
x d(tanT)= T
4J
8 tan2
2 +1 T
4 ln tanf
z f
2 +ctanT
方法二原式=
126
dx
2sin 乂(cos z + 1)
sin jcdx
2( 1 — cos2j:)(1 + cos 工)
COS
X = u
] *[
du
2 J (1 — u) (1
u)2
第
1
(* )
==_~8
8讲一元函数积分学的概念与计算
3 + % ]d% =£-(ln|l — %| — ln| l + u| + j
«+(l + u)~2
+C
]I 1~~ cos «z | _____ i1_____ _j_ 厂
8 n 1 + cos
*
X 4(l + cos x)
COS jc
【注】(1)( * )处的处理方法叫有理函数积分法，可参考例8. 20,例& 21.
(2)由于使用方法不同，因此得到的不定积分的答案形式可能不同.类似地，还有下面的例& 15.》
例& 15
解
求
1 + sin x
本题主要考查三角函数的恒等变形、凑微分法.
|厂
亠
1
1 — sin 2」
------- 2---- dr = tan x 一
十 C.
cos x----------------------- cos x
方法一原式=
rd(1 + tany)
2 E
dz
X i . X
cos — + sin —
方法二原式=
secT
2
2
1 + tan 号
clz = 2
~2
1 + tan 号
例& 16遷覆
解本题主要考查换元法、分部积分法.
(arcsin j：)2dx = j?(arcsin x)2
方法一
2j?arcsin x 】
ax
—
\/1 — X2
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
X (arcsin jr)2 + 2 arcsin xd(^/l — x2)
=jr(arcsin xY + 2 y 1
方法二
令 u = arcsin
贝jc = sin u,dj; = cos
一
x2 arcsin
工一
2w + C・
于是
(arcsin xYAx = Ju2cos udu = Jwzd(sin u) = u2sin u 一〔2况sin udu
w2sin u + 2况cos u 一 2sin u~\~ C
j：(arcsin x)2 +2vl'-^^arcsin
例 8. 17
jc—2x~\~C・
求
解本题主要考査换元法、分部积分法.
令％ = J € 一 厂，则 x= ln( 1 -I- zz2) 9 djc = ^—p— du ?从而
dr
— 1
例 8. 18
求
(1 + “2) ln( 1 -p u2)
u
缶 d“ = 2jln(l + Q血
=2uln(l + / ) —
4/
du = 2wln( 1 + u2) — 4u + 4arctan u~\~C
1 -\- u2
=2h J€ — 1_4
— 1 + 4arctan J € — 1 + C.
无 garctan x
------------ pdx.
(1+X) 丁
解本题涉及换元法、凑微分法和分部积分法.
127
30讲•高等数学分册
考研数学基础
方法一
设z = tant,则
〜arctan x 1
xe
------------ ax
(l + ^2)y
又
2 i
ertan t
sec
(l + tan2O7
e'sin tdt =— e'd(cos t)=—
f / i
I e sin rdt 9
J
e'cos t — e'cos tdt
=—e'cos t + e'sin t — | e‘sin tdt,
故原式=
1
( 一 1 \ ^arctan x
—F C.
e'sin tdt = —ez(sin l — cos £)+ C =------ ；—
— ’“ —
J
2
2/TT^
「
xe arctan x 」
------------ dr
(1 + ”
方法二
=J TT
x
t arctan x )
__
在*
---- ------- dz
(1 + "
\/l + 工？
_ 丄
jcearctanx
arctan x
^earctan"
d(e"s)=
y/1 ~b J：2
^arctan jc
arctanj
jre
_________
a/1
arctan x
___
+ J?
J\
+ 无2
------------ dx^
(1+^2)7
无 earctan x 冷=冲竺二+ c.
移项整理，得
(1+/) 丁
例 8. 19
2/1 "
dz
求
x2 \/2x — 4
解本题是一道综合题，涉及换元法、凑微分法、分部积分法以及有理函数的积分.
1
X X /
dx
方法一
1
,_
u=：dx,
J xj(2«z — 4)3
•z丿2乂 一 4
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
x2 J2工—4
J 2工—4
扌2 A
_____
对上式右边的第二项，令』2工_4 = /,则jc = -^,dx = tdt,于是
l2
----
dx
（厂+4）产曲
— 4)3
1
y______
--Iarctan
4
2』2工一4
=j/2ZEJ+i rctan
dz
4乂
x2\/2x — 4
方法二
令
4 = t，则 2 =
*
2
2
+ C.
4
____________
J2h —
1
dz
z2 +4
L+itan4
-C
t
2
2
I
因此
_丄
_ ~2
I
A
—-—, Ajc =
tdt,于是
Ax
x2 a/2jc — 4
4dt
+4)2'
再令 t=2tan "，则 dz = 2sec2izdu,于是
原式=4
Zsec'zzd 况
42 • sec4w
制cos%d“
= |pl + cos 2u)du
=扌“ +
= \rctan£ + * •
• -；^=+C=^arctan
4
2
4
4
/4+F 74+F
因此
128
+ iarctan
— 主—
+ C.
4-sin 2“ + C
血戸十塀壬十。
°2
4亠
工
第
例& 20
8讲一元函数积分学的概念与计算
4工？ 一 6工一1 j
(工十1)(2工一1严
解本题主要考査有理函数的积分.
先将被积函数分解为简单分式之和•这时应有分解式
一 6工 一 1
(z+l)(2 工一1)2
,
A
B
工+ 1「2工一1
.
C
(2工一1)八
问题是如何定出A,B,C这三个数.右边通分后等号左、右的分子应恒等，即
4/ —6z—1 三 A(2z —l)2+B(_r + l)(2z —1) +CQ+1).
（* ）
由这恒等式不难定出A,B,C来，常用的方法有两种.
一种方法是将等式右端展开，得到
4工2 — 6乂 一 1 三(4A + 2B)工2 十(一4A + B + C)工 + (A — B + C),
因为这是恒等式，等号左、右工的同次幕的系数应该相等,故应有
，4A 十 2B = 4,
< -4A + B + C =-6,
、A — B
C —— 1,
解得 A = 1 ,B — 0,C=—2.
这种方法比较死板,且解系数满足的方程组有时较烦琐•我们希望能求得A,B,C应满足的较简单的
条件.
另一种方法是根据在恒等式中以变量工的任意值代入等号两边应该得到相同的值•利用这一性质，赋
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
予工适当的值，可以得到A,B,C应满足的简单条件.例如，在(* )式中
令 x =— 1,有 9 = 9A,A = 1 ；
,有
令攵=
*
一3 = -|-C,C =— 2；
令工=0,有一1 = A — B + C,可求出B = 0.
两种方法求得的结果一致：
_
虹？ 一 6工一1
1_________ 2
（工 + 1）（2工一1尸=7+T _ （2工一1）"
因此可求得
4J? — Qx — 1
, _ f dr
（工 + 1）（2工一 IF = J 工 + 1
2
Ax
(2工一 1严
=In | x + 1 1+ 2工[]+ C.
或令工= ，则被积函数;
【注】(1)在上述“另一种方法"中，有读者会问，令z = —1,*
A
2
1
古花令吕不是无定义了吗？首先，我们给出的恒等式是没有分母的，不涉及工=一 1或专时
分母为0的问题；其次，请观察第一种方法，当我们令工的同次幕系数相等时"的取值不就是任意
的吗？记住，我们的最终目的是求出A,£,C.
$
(2)自然，以上两种定系数的方法可以联合起来应用•见下例.
129
考研数学基础
例& 21
J
30讲•高等数学分册
X —
— X + X—
— 1
解本题主要考查有理函数的积分.
因为 JC3 — X2
X — \ —（JC — 1）（JC2
+
1 ）,设
______ x______ = A
X3 一 X2
X— 1
X—
| Bz + C
JC2 + 1 9
1
这时应有
X = A（j?2 + 1） + （B.r + C）（JC — 1 ）,
（* ）
在（* ）式中，令工=1,得1 = 2A,A = *；令工=0,得0 = A —C,C =寺.
比较（*）式两端X的系数，有
0 =
A + B,
已求得A = *
, 故有B =— .
* 于是可得
x
1
J ^3-jc2+^-i
_ 1 C dx
= Tj 厂刁
41
X一 1
dx
X2 + 1
*ln | x 一 1 | — -^ln（x2 + 1） + -^-arctan x
=Tln °2~1V
x2 + 1
4
+ 寺arctan
C
x + C.
2
三、定积分的精确定义
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
一般说来，考生主要掌握下面这个式子：
J /'(■z)cLr = lim”.f(a + ---- °) ---- ,
并且将式子中的a,6特殊化为0,1这两个数，得出的形式最为简单,也最利于解决问题：
于是，“凑定积分定义”的步骤如下：
先提出丄; ②再凑出土;③由于—= 0 + —/,故土可以读作“0到1上的工”，且丄=口，读
①
n
n
n
n
n
n
n
作“0到1上的ch”，于是，“凑定义”完毕.见例& 23.
例 8. 22
计算疤(讣I + 土十…+
解
lim
治 + 是+…+击
如果对和式g 计万作放缩
n •
则由于！迂命=
*
130
v
1
1
1
W 乙—T'. W 并• ■ I -I，
I
T^i n i 1
n+1
n~\~ n
，!型治=1，夹逼准则失效•此时，我们改用定积分的精确定义，即
8讲一元函数积分学的概念与计算
第
原式=!-S
4
=
-―:—
— dr = In 2.
0 1十乂
n
n~\~ 1 _|_ n~\~2 I zz + 3 ,
+1 ??2 +4 n2 + 9
n~\~n
n2 ~\~n2
.
t?2
命+ 占 +步 +…+ n~\~ n )=恤£ -r^Z
lim “2 + 1
9
ni + 4 + "2 + r.
/ l 00 ~7 n 十 i •2
解
丄旦lim£
n 十2
1尸
i i=l ] +
n
=手 +
o
1+x2
4
4~In 2.
2
n
其中①，②，③分别对应“凑定积分定义”的三步.
四、定积分的计算
定积分的计算，除了要用到不定积分的基本积分法，还有自己的特色，这部分内容极其丰富，需要
考生狠下功夫.
例& 24
设
a>0,则J
(A) — +兀/
(x — a)\/a2 — jr2dj：=(
(B) *兀/
).
(C) *兀<2‘
(D) — -^~7ta3
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
解应选（D）.
对于积分区间为对称区间的情形，可考虑将被积函数恒等变形以利用积分对称性简化运算.
由于
(无 一
~2
a)\/a2 — x2 dx =
a^/a2 — jc2 dx 9
上式右端两个积分的积分区间都为对称区间 “血一/为奇函数gjf
0,
因此
(n 一
a) J&
为偶函数，故
a y/a2 — x2 dx = 2
一 乂2
x
=一
2a I
0
y/a2 — x2dx.
注意歹=是以原点为圆心卫为半径的上半圆周，由定积分几何意义可知
0
丿/— 宀工为
圆面积的+，因此
(工 —
—a
a) J&
一
x =一
2a • -^-7ra2 =一
4
手a3・
Lj
故选（D）.
【注】
M
本题考查了定积分的对称性、几何意义及定积分关于被积函数的可加性.
sin x
•2sin3j; 一 cos4无)dr,
131
30讲•高等数学分册
考研数学基础
).
则(
(A)N<P<M
(B)M<P<N
(D)P<M<N
(C)N<M<P
解应选(D).
由于题目只考査三个积分值大小的比较，因此并不需要求出它们的值.积分区间为对称区间，可先考
虑被积函数的奇偶性，并考虑定积分的不等式性质：
如果在上 JQ) $0,且 y(z)芒 0,则 Pf(^)dx> 0.
注意到IT7 cosb为奇函数，因此
M=
sin jr
r . ycos4jrdj? = 0.
-f 1 + 力
由于sin」工为奇函数，cos«z为偶函数，且cos' $ 0,因此
N = /-f
sin3
+ cos"z)dz =
cos4无dr〉0.
” cos4jcdjr = 2 |
n sin3xdj? +
0
由于ysinW为奇函数 ,cosS为偶函数，因此
r~2
P = J ” (rr2i sin3 jr — cos4j?)djr
=一
ry
2 | cos4 jrdjr < 0.
0
因此有P<M<N,故选(D).
例& 26
求
j:2
J\ —J? x.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
解因被积函数为偶函数，故
•i
ri
___________
工2
J\— 卅
___________
无2一无2
2=2
-1
dz.
J 0
再作三角变换，令z = sint,当工=0时，可取尸0；当x=l时，可取t = ~-,且当疋 0
不超出原上、下限的区间［0,1］,在［o,号」上,, = ,(/)
原式=2
x2
\/1 —
7T
时，工=sin t
cos t连续•于是
x2 dx = 2
sin2^cos2zdz
. 0
0
2 (J sir?td£ — J sin4tck)
1 ,兀 一 3 , ] y 兀
TXT TXTXT
7t
【注】(1)( * )处来自例&32的结果.
i
(2)从原则上讲，作变换x = sin t后，当工=0时，可取t = 0, 士兀，土 2兀，…；当工=1时，可取t =
今，芳*±2兀，…，上、下限有多种组合可满足定理条件.但被积函数中丿1•—工2 = a/1 —sin2Z= | cos t
£在不同组合中，此绝对值的处理有简有繁，应引起注意，不要自找麻烦.
例& 27
解
132
I
求
点山.
令19有乂 =厂，clz = 2/d/・当h= 1时"=1;当z = 4时9 £ = 2.于是
$
第
8讲一元函数积分学的概念与计算
dz
t rrtdt = 2
2
=2(1 一 In 3 + In 2).
2(Z — In |l+t|)
i
【注】
若一开始作的变换为工=严，则当工=1时，可取t=l或一 1;当/ = 4时，可取t = 2或§
-2.于是对于£的积分区间有4种取法:
J
4 亠 d_r
1 1 + \[x
其中第1种已经用过，第4种为
侖山=[ ：^ =
2(1 -10 3 + 10 2).
而第2种、第3种都超出了原上、下限范围•例如第2种，当/在1与一2之间变化时，工=产的变［
；化范围超出原上、下限的范围［1,4］,但计算结果仍然正确.不过第2,3,4种方法，都要处理“丨，会比I
$
$
》
:较麻烦.
、b
例 8. 28
证明
设于(刃为连续函数，证明| /(x)djc = I f(a + 6 — x}Ax.
作变量代换，令x = a + b~t,则
Pa
*b
f(x)dx = J f(a + b一£)(—dt)
b
*b
f(a + h-t)dt = f7(a + 6-jr)dx,
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
证毕.
【注】此结论一般被叫作“区间再现公式”，其证明过程比较简单，但其用处很大，可见例?
》
.；8. 29〜例 & 31.
例 8. 29
解
求 j jrsin9 jrdjr.
设法消除工使用“区间再现公式”，令工=兀一几则
•o
o
jrsin9 jrdjr =
(7r一Z)sin9Z(一dz)=
7tsin9zdz— I tsinhdt.
0
从而
1 =亂sin阪=f
=f [£sin^dz +
sin9 tdt + J k sin9Mz )
•o
sin9(7T — £)(— dr)
7T 0 sin9 皿= xXf XTXf Xf = w
例 & 3()
求
J0
ln( 1 + tan x}dx・
解使用“区间再现公式”，令"于-"2 =帛穿，则
't
o
ln( 1 + tan J7)djr =
p
Jt
2
lnT+^n(_dz)
133
考研数学基础30讲•高等数学分册
"于
0
从而
ln( 1 + tan t)dt +
In 2dt,
fln 2-
ln( 1 + tan
sin工
sin x + cos x
例& 31
解
fz
J0
此题是三角有理式的积分，可按该类型积分的标准步骤去做，但比较烦琐•现令x = ^—t,得
•o
sin x
0 sin x 十 cos x
i 、
/
cos t
—；—:—(— dz)
f cos t 十 sin t
cos t
,.At,
cos t 十 sin t
所以
sin x
.
dx +
.
sin x 十 cos x
'~2
o
CT
cos x
.
Ax =
*
Ido
.
sin x 十 cos x
Jo
7t
1
从而1=于.
例& 32
证明
'~2
解先证
0
sin°jt: dx =
0
cosnxdxCn = 0,19…)，并求之.
0
fT
.
sirTzdz =
J0
cosnx dx(n = 0,1 <••).
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
作变量代换.令z=今一t,有
0
sirTjr dx
o
7t
sin'
i
cosnxdj：(n = 0,1, •••)・
cos"£ At
(-dz)
~2
现用分部积分法计算「sinNdz,将它记为于是
J0
sin xAx
1,
当71^2时,
.-5-
sinwx Ax =
o
一
• n
sin
1
hcos
Cn — 1)
5 — 1)
于是
0
0
x
x • sin xAx
0
0
+
0
cos jrcKsin"-1 jr)
cos2
LwcKcos x)
0
0
cos x • (n
一
l)sin"—a • cos
jcAjc
(1 — sin2^)sinzr~2jrdjr
= ( w一1)
o
sinn_2jrdjt' 一 (n
一
1)
0
sirfj: dx = (n 一 1) 1„-2 — 5 — 1)/”，
7]-- 1
It=~~~ *-1
n
nln =Cn—1) I„-2，
2(7?=2,3
按此公式递推下去有
:n— 1
n
•
n— 3 .
n—2
.2 .
r n— 1 n — 3
• n — Z9 * …• 1" •
-----n------
1,
n为大于1的奇数,
7t
2'
"为正偶数.
1
n— 1 . n — 3 .
n— 2
1 n
134
I
n— 1
n
n—3
n—Z
1
…• T •
第
8讲
一元函数积分学的概念与计算
上式叫华里士公式.
【注】利用华里士公式可快速计算某些特殊的定积分，如
i
1
2 . 8」
7
3
5
o sm .d. = - . - . T . y
？
35兀
_ 256?
7T
-
》
Io sinUdz = 4，T，f，f，1_315128
•2k
例& 33
sintr d«z・
设"为正整数，求
0
解
sin”工是以2兀为周期的周期函数，于是
•27T
sin"j7(lz ・
sin"zdr =
0
若 n 为正奇数，则sin”工为奇函数；若”为正偶数，则sin”工为偶函数•从而
"为正奇数,
0,
•2k
sinMjc dx =
2
0
J 0
sin"zclr,力为正偶数.
当 n 为正偶数时，有
2J sin"«r dr = 2 (] sin"«zdr + J ” sin”H(lz )(第二个积分令
X = n — t)
(7t — t) (— dt)]
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
=sin^djr + ” sin"
(J sin"jrdz +
=2
'T
sin"zd/ ) = 4 J sirf'zdr
0
4•口
n
sintcdr = <
4 .
0
例& 34
解
兀
1
z?为正奇数，
0,
•2n
即
丄
n一3
n—2
设〃为正整数，求
f
J0
丄
7T
¥
n一2
n
"为正偶数.
cosnxdx.
cos”工是以2兀为周期的周期函数，于是
•2k
cos"jc(1z
=
0
=2
costr dr = 2 J 0 costcdz
COSnJ7 dx +
n cos"z（lr ）（第二个积分令工=兀一£）
T
•o
=2
os/dz +
=2 [J cosnj： djr +
cos"(tc
— t) (— d£)
.-5-
_
(一
cos Ondz J.
当 n 为正奇数时,（―cos t）" = — cos"t，于是原积分=0；
当n为正偶数时，原积分=4
cosNdz,由例& 32及例& 33,有
135
0^
考研数学基础
30讲•高等数学分册
n为正奇数,
0,
•2k
0
C2n
cos"«zd«z =
J0
sinSrdz =
]
兀
T・~2
4 . ?LZ1I .
n—2
n
"为正偶数.
【注】上面三个例子的结论，读者应牢记，这对考研很有帮助，请看下面这个例子.
:
例& 35
求
•6
0
:
x2 VOJ： — jc2 dr.
解先配方，即
J6工一— (z? — 6>r+9) =
—(工一3)2,
再令工一3 = 3sin t,有
dz = 3cos tdt,
J3一
=』9(1
— sin红)=3 | cos t \ ,
则
I/2 辰—皿訂；(3 + 3sm " • 3|cos
=81
• 3cos tdt
x (] + 2sin t + sin2Ocos2zdz
.Z.
=81
cos2zdz +162
”(1 — cos
cos"2/)cos2zdz
n sin £cosldt + 81
~~2
'
~~2
=162 [ cos红ck + 0 + 162 ( cos2tdt — 162 [ cos4zdz
0
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
0
qq a
_ -1 zj q
1
3
7c
1
405
=324 * T • T _ 162 • T * T * T
例 8. 36
如图8-2所示，曲线段的方程为y = g,函数
y =2)在区间［0,a］上有连续导数，贝！J定积分xf\x)dx等于(
y
C
A(a, /⑷)
).
0
(A)曲边梯形ABOD的面积
D
(B)梯形ABOD的面积
(C)曲边三角形ACD的面积
(D)三角形ACD的面积
B
解应选(C).
图8-2
本题考査的知识点为定积分的几何意义与分部积分公式 ，只须依
对应图形的面积关系式判定.
J
由于
jc)dx = xf(jc)
0
/(= a/(a)
一
0
/(jc)djr,
且"(a)表示矩形ABOC的面积表示曲边梯形 ABOD的面积，因此\ xf\x)dx表示曲边三角
0
形ACD的面积，故选(C).
■HI设 /"(工)=J e~'2 dt,则J
(A)* + l)
解
136
应选(B).
x/^x^Ajc
⑻*- 1)
=(
).
(++1)
(D)#(e-1)
8讲
第
一元函数积分学的概念与计算
由于_/(工)不能积出来，因此这类题目只能利用定积分的性质或其他运算避开求/(X).
由分部积分公式有［” Q)dz =訂(工)*
|-£y
. y'(_z)dx,可见，如果能得出/(1),/(^),即可求
解本题.
令工=1,由 f(x)表达式可得 /(I) = J e~'2 dt = 0,又 f〈X)— e_j4 )
(
*'
J xf (Qdz =_ J 牙• 2xeTxi dx =_ J x3 e_jr4 d_z =
=丄
4
I
|o
= 2xe~^，因此
* d(_ j?4 )
e
= — (e_1 — 1)
4
；-
故选(B).
五、变限积分
由于变限积分就是一种函数，因此其考题也很丰富、精彩.需要注意的已经在“基础内容精讲”
“一”中的“(三)3.变限积分的求导公式”处讲述过.
*jH-2k
例& 38越师
esin,sin tdt,则 F(z)(
).
(A)为正常数
(D)不为常数
(C)恒为零
(B)为负常数
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
解应选(A).
因esinjsinx是以2兀为周期的可积函数，所以
*jH-2jr
C2n
esin(sin tdt =
x
J0
严'sin tdt = j2nesinM(- cos t)
e'
2k
(—cos Z)es,nzcos tdt
=—es,n cos t
0
=J e"n'cos红d£,
又严cosGNO,故选(A).
:
【注】若/•(»是以T为周期的可积函数，则
j
"Rd工=
•a+T
》
；a为任意常数•这个结论十分重要，请读者牢记.
例& 39
设函数/■&)连续，则名
(A)工心)
(B) —xf(^x2)
).
(C)2^/(^2)
(D) — 2xf(x2)
解应选(A).
“求导变量％出现在了被积函数中，必须通过变量代换r2~t2=u,将其移出被积函数，才能使用变限
积分求导公式.
令 x2 — t2 = u则一2tdt = du，当 t = 0 时 9况=jt?2 ；当 t = jc 时,u=0.
137
丫勺（考研数学基础
30讲•高等数学分册
£[门心—m]=寺£[£ y（“）血卜寸（宀
故答案选择（A）.
例 & 4()
f sin x
曲线y=
J0
(A)y = yX
?
以dt在点（0,0）处的法线方程为（
）.
(C)y =工
(B)y =---- x
(D)j/ =一 x
应选（D）.
解
欲求曲线在给定点处的法线方程,应先检查此点是否在曲线上 ，如果此点在曲线上，再求该点处切线
的斜率.
f sin I
2
易知点（0,0）在曲线夕=J
e‘ dt上.
由于"=JnG.COSX," |
= 1,可知切线斜率怡=1,法线斜率为一 g=—1,因此所求法线方程为
R.
I x=o
y =— x.故选（D）.
六、反常积分的计算与敛散性判别
计算
1.
关于反常积分的计算有两点要讲.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
第一，反常积分是变限积分的极限，也就是在一道积分题目的求解过程中，出现无穷区间或者瑕
点，直接代入（做极限计算），这里仅注意计算规则即可，不必考虑其敛散性.
第二，如何识别反常积分？只要一看积分限有a,便知这是无穷区间上的反常积分，所以此类反
常积分是容易识别的.
无界函数的反常积分就较难识别了.一般是看被积函数是否有使其分母为零的点 ，但这既不是必
要条件，也不是充分条件.例如[In工d_z,被积函数没有“分母”，而工=0是它的瑕点，所以该积分是反
常积分•又如
fl 1
__1_
J 0 0C
的下限工=0使分母为0,但却不是反常积分.这是因为
]
1
_1
ri i
1
了
了彳
lim—e T = lim—= lim
oc.
r 。* e， 工0~* '
*
r—-= lim—= lim
xo
丄 e：
^~x
*'
x2
—-= lim2e_T =0,
丄
x2&
~
*ox- +
_i
所以Jo去厂吐不是反常积分.
话虽如此，但被积函数的分母为零仍是重要的识别标志.不但要看积分的上、下限，还要看区间内
部是否有使2—8的点•不少考题故意将瑕点埋伏在区间内部，致使考生注意不到.
例 8.41
解
计算积分匸m
dx
注意到被积函数含有绝对值符号且工=1是其无穷间断点，故
■1
原式=
138
寺
a/jC
— X1
\/x2 —X
第
•1
而
1
~2
一元函数积分学的概念与计算
i
dx
JH
8讲
arcsin(2x — 1)
= arcsin
— ”2
~2
4
=ln(2 + \/3~) 9
3
因此
号 +
J + \/ \ x — x2
ln(2 +a/3~).
•+oo
例& 42
计算！=
严+严
1
jr-3
解
畀；2丄〉=e"2 • arctan b
6 +Td" = e"
I =
1
1
1
7T _ 7t
T_T
例 8. 43
dx
求
x—
解原式=
f
例& 44
(1 — sin2(9) cos 0d9 =
d
sec 0 C~2 sec 0tan 0胡
J f sec40tan 0
1
S
"心它叫工，求常数Q的值.
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
x—a
已知lim
.x a
解右边=一2
jc2d(e_2j) =—20论亠
=2a2 e_2a — ( 2xe~2x + e_2x )
左边=疤(1—爸
+8 ,
+4
•4-oo
xe~2jc dr
= 2a2e~2a + 2ae~2a + e~2a.
=严
于是，有 e_2a = 2a2e_2a + 2ae~2a + e_2a,得 a = 0 或 a= —1.
2.敛散性的判别
这是难点.在《考试大纲》中，对反常积分敛散性判别的要求并不高，但是近几年却经常出现考题,
且题目难度还比较大，从这个角度说，我们还是要仔细深入地来研究一下这个问题.
针对此类问题，我们需要掌握两个重要结论，并能够熟练地进行无穷小、无穷大比阶.
(1) 无穷区间的反常积分當:在p>l时收敛，在pMl时发散.
(2) 无界函数的反常积分「> 0,奇点工=0)：在0 < p < 1时收敛，在p $ 1时发散.
Jo X
例& 45
解
判别反常积分
dz (a,0>O)的敛散性.
2- 十00时，有
积分存在唯一奇点z=+oo,当*
1
1
arctan —〜一
x
X
139
30讲•高等数学分册
考研数学基础
1
arctan —
x
故
环〜+°°），
叫1+十
于是根据前面所说的重要结论（1）,当时，积分收敛；当a —20 = 1时，积分发散.
例& 46
已知«>0,则对于反常积分
）.
1哼dz的敛散性情况判别，正确的是（
X
o
（A）当时，积分收敛
（B）当aVl时，积分收敛
（C）敛散性与a的取值无关,必收敛
（D）敛散性与a的取值无关,必发散
解应选（B）.
首先，考生需要掌握的已知结论是对于无界函数的反常积分
（p>o,奇点工= 0）：在OVpVl时
收敛，在P$1时发散.
根据上述结论，作如下讨论：
当aVl时,取正数e充分小，使得a+eVl,由于
1
limz"+eK字=lim才In x— lim
*
*
0
0
xx- +
OC
+
匹吕=lim
-37
x-»0 +
----- = lim ( —
—+ \
—ex
e
)=0,
/
故当工~0+时，爲是比哼高阶的无穷大量，于是「昨dz收敛，选项（B）正确；
X
X
Jo
X
当a$l时，由于lim才哼 = oo,故当工-0+时是比昨低阶的无穷大量，于是
OC
X
x-o+
X
1哼dz发散.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享X
例& 47
讨论
0
-rVd^的敛散性，其中p为任意实数.
xm x
2
本题考查反常积分的敛散性的计算判别法 （通过计算结果来判别是否收敛），同样是历届考生
分析
复习比较薄弱的知识点，考生可回顾例8.46,那里使用的是理论判别法（无法通过计算结果来判别是否收
敛，只能用已有结论作比较判别）.
•+oo
解①当P=1时,
2
]
=+°°,发散
—；--------- dr = In | In x |
jcln x
2
*00
②当力工1时,
J2
—(In
j:
Lnpj：
1 — p
jcY~p
I
\
+8
2
p > 1 时，lim (In xY~p = 0,故收敛;p V 1 时，lim (In xY~p =+ oo,故发散.
•Tf+8
综上,
r+8
2
•
]
X—4*~OO
收敛，/> > 1时,
发散，p W 1时.
&1设函数于（工）与g&）在［0,1］上连续，且/（x）<g（^）,则对任何ce（O,l）,有（
(A) :g）d恃 丄 g（£）dt
140
(B) J丄/'(£)dtW J±g(z)dz
）.
第
(D) |7(z)df < JgCOdz
(C) J /(r)dr $ j" g(t)dt
设 /z(ln
&2
(A)
jc)
= l + _z,则 J" /''(2_z)dz =(
e2 + l
2
& 3下列反常积分中收敛的是（
In x ]
----- Ax
).
e2-l
(c)4_
1-e2
2
(B)
dx
a:(In x)2
8. 5
设/Xz）的一个原函数为In。,则］好'（无）山=
&6
/(j:) = -―~2 + j:3 f /(jc)djr,则 f /(x)dx =
J 0
X
(D)-
e2 + l
2
）.
jrln x
1
8讲一元函数积分学的概念与计算
J
d»z
jr (In h)豆
0
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
8. 11计算\ 2 . 2遅召~~ dx(a,b不同时为零).
J a sin x~\~ b cos x
& 12
求 Jmax{ 1, | jc | }dx.
& 13
求极限lim〉2 ------ V
求极限* 4
n
n
1
3
计算『 (1—j?)arcsin( 1一 jc),
-----------,..........
ax.
J ~2
丿2兀一 j?
& 16
cos x 一 sm x 1
------ ,....... —ax.
V cos X
计算
~T
xsm x
TT
i
忑沙
8. 17
计算/ =
8,18
求L rr>d'-
8. 19
设工 M—】9求](1—| t | )dz.
& 20
设/Xh) =
0
£ | t 一x | dt,求 f C
141
僻
8.21
考研数学基础
设
o*x-°
8. 22
\
/
JC
设于（工）=Y
30讲•高等数学分册
= P te'dt,求常数 a，
J —oo
］
1 + sin x
1
11+ b
H $ 09
求］
„
力V 0,
：
【解答 i
61
(D)解
设FQ)=gQ)—fQ),由已知条件知F(z)$0,因此有『F(t)dt$O,即
J f(t)dt £ J g(t)dt.
故选(D).
62
(A)
解
,
从而
令 In x = t,*
则工=
/(Z)= l + e,,/(2^)-l + e2",故
f /，(2j?)dj： = ［ (1 + e2j ) dj? = 1 +
J0
Lt
J0
| =三扌
Lt
|o
故选(A).
&3
(C)解
选项(A),广匠山=£(111工)2「3,发散.
JC
L
Ie
Je
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
=「d(ln •r) = ln(lnz)「，发散.
选项(B),「8
Ie
In X
Je
J e ^ln X
djr
=f+°° d(ln e)
J e (In x)2
h(In xY
选项（C）,
选项(D),
=—(0 — 1) = 1,收敛.
1
A丁
i I +°°
f+°°
，发散.
—空=
(ln^)-^d(ln^) = 2(5无尸
Ie
Je J；(ln
Je
f+°°
故选（C）・
&4
2石arcsinV7+2/F£+C
解
去掉根号将会使计算变得简单.令后=/,工=严，则
arcsin t 1
f arcsin 丘、
o
°f
J —吐=中.= 2 arcsin tdt =2(^arcsin t+一厂)+ C
=2 V^arcsina/z4-2+ C・
8.5
2\nx~\^x + C
解
被积函数中有f ⑺,用分部积分法.
Jjr/，(jr)djc =
= jc/XQ
— J/Xz)(lz =jc/(jc) — ln2jr + C,
其中
/■(工)=(111・)'=纽丿，
T
于是
Ja:/，(jc)dj： = 21n x 一 \n2x + C・
8・ 6
寺
解
定积分J,Q)d工是一个常数，所以等式两端同时在［0,1］上对工进行积分得
J f(z)clz = J
142
p—dj： + J D'J /(jc)dj：Jdjr,
第
即
J 0
/(jr)dj; = arctan x
I o
8讲一元函数积分学的概念与计算
+ Jo
J 0
x2,Ax
解得[f(jc)dx =号.
J 0
&7
o
G/2«z+1 —
])亡丿加+1 +c
解
方法一
JeEclz上竺尢二=卜灿=”d(e‘)
分部积分法卅—* + C=(石干T—De^ + c.
方法二
JeEd工凑微分法J/^TTe^dC/^ + T)
=j/^TTd(eE)分部积分法
- Je^dC V^TT)
= 72^ + le/I；Tr-ey^r + C =(727TT- De7^ + C.
&8解当被积函数为幕函数与三角函数的乘积，且不能用凑微分法积分时，一定要用分部积分法
积分.
因为分子与分母中三角函数的角度分别为号和工，所以首先要用三角恒等式变成同角度的三角函数形式.
X
4
JCCOS —
方法一
X
x
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
--- ------- dr
sin x
4
J7COS —
--------------- doc
8sin3^-cos3^-
JCCOS —
---------- djr =
8sin3 号
一+ 1 f d«z
8」_： 2 2
8sin2y
—
—无
—Tcot T + c,
slnT
方法二
X
4 X
「geos —
「
J7cos —
；)一+bd(cot专)
—
—r-^---- drc = ---------- dj： =一 — jccot 务d ( cot 手
J gsin?三
Z
sin\z
2 \
4J
zcot 勞 + J
_*
*cot 等血=—卜'cot 专 + yj (CSCT — 1)也
2
8
8
—x
1 右尤丄厂
---------- —Vcot v + c4
2
8sin专
8.9
解令
Jarcsin
于是
dz =J/d(atan2^)= attani — a tan2zdz
tzZtan2^ + a (1 — sec2Z)dz = oZtan红at — atari £ + C
(a + j：)arcsin
8. 10解
—Jax + C.
因为不满足凑微分法的条件，所以要用分部积分法.
143
30讲•高等数学分册
考研数学基础
arctan e y
e
方法一
------- ------- Ax =—
arctan e^d(e_J) =—e_-r arctan ex
=一
Ax
l + e2x
arctan ex
=一 e_xarctan *e + z — -^-ln( 1 + e") + C.
方法二令e = t,则
「arctan e"」
「arctan t」，
dt
1
, f
/ 1 \
f
J山=J
dz =-Jarctan zd(T)=-Tarctanz + J ^(T+75
=--^-arctan Z + J
+ x — £ln(l + 尹)+ C.
2
=—-^-arctan
e
&11解
b
*
当a
亠=4
当a = 0,6H0时，原式=
*
= 0时,
— J「竿严=- -^-arctan t + In t - -^-ln( 1 + 产)+ C
+C
原式=+ j sintos ‘尸务J击快dz
= -X-ln| csc 2x — cot 2x I +C；
a
_______tan h______
—[tan j?d(tan z)
dr
cos2 j: (a2 tan2 + 62)
J a2tan2jc + b2
当aby^O时,
+ F ) —^ylnCa^an2 j： + 62) + C・
]f (Ka'tanG 【考研666】免费分享
更多笔记资料关注公众号
a2tan2j? + b2
2a2 J
8. 12
解
La
设 /(x)=max{l,|^|},则
力＜ —1,
jc＞1・
）上连续，因此必存在原函数FQ）,即
,+oo
由于于（乂）在（一*
工＜一
F(h) =y x+C2 ,
1
9
—1
9
jr2
怜+G,
•Z＞1 9
*+G = -l+G,
令G=C,则可得C2
1
[1+C2=y + C3,
又FQ)在(一oo,+x)上处处连续，可得』
C.故
无2
违+ C,
工＜ —1,
原式=Y力+ * +。
r2
y + 1 + C,
144
无＞1・
= £ +
L
C，G = 1 +
第
【注】
8讲一元函数积分学的概念与计算
本题事实上是一个分段函数的不定积分，这类问题的关键是分段求出每段上的原函数!
后，要适当调整每一段上的常数使其原函数在分段函数的分段点处连续.
&13解
当各项分母相同且均为"时,
•
ITZ
sin —
----- -- =lim
I
Sin —7T
n
”f 8
Tl
=J sin
tzocAjc^
” sin —
于是,先对工一 进行放缩，有
-n + ~T
.Z7T
sin —
n
"+i £ s
1=1
n
¥
1=1
• Z7t
sin —
.
1 p . i
n
i.
-------- = lim — > . sin —7t
n
n---------m n fry
由于
•
limS
"—8 ：=]
ITX.
sin —
n
„
11
72 十丄
• in
sin —
n
n
• Z7T
sin —
1.
n
n°
°
*
Tl -f- 1
T .
sin
tzxAx
—
0
2
7T
1 ”
T .
2
1 p .
in —7T = 1 • sin jczdz =—
n
it - = j
7T
0
—lim7TT * V^sln
• Z7t
sin —
丘吃T~
”
因此，由夹逼准则得
2
7T
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
丄丄
"f°° i=\
& 14
令1
解
1
n
2
n
ln 九=+( In — + In — + ••• + In —)=》
n
n /
n
f—f
丄In盘,
n
n
于是
limln xr
i
=亞着Vln
jrln x
In xAx
0
o
x • —djr
x
0 — 1 =一 1 9
丄
e
故 lim«z” = e_1
解令1 一北=$1111£,则
3
n
i
(1 — jc)arcsin(l—x)〔
'T Zsin t
—------- dr =
-----------:........—
------- cos tat =
-f cos t
a/
— x2
=-(zcos t - sin Z)|
解
'T
.
Zsin tdt
'~6
兀 td(cos t)
= 1-
当被积函数为指数函数与三角函数的乘积时，不能使用凑微分法求岀原函数，只能使用分
部积分法.
4 cos x — sin
e2 ------ /..........
ycos x
无」
Ax =
•f
X
---------------
e2 v cos xAx —
=
_于
sin JL
x [
专 ^111
e2 ―
ax
a/cos x
145
30讲•高等数学分册
考研数学基础
.---------
(4
/
x_
” ey d(v cos x)
J 一于
V cos
xAjc
+2
cos
ocAjc
+ 2e牙 a/c OS 7
eT
积分过程中，「ef 7cos x^x被相互抵消，这是分部积分法的一种特殊类型，与循环积分类似.
8. 17
解令 X = 7T-Z,则
I =「=「YJ)罗("一?(_ &) =「
J 0 1 + COS X
J n 1 + COS(7t — t)
Jo
=兀
n
于是
0
sin t 」
r sin t 」
r /sin t
T
rn------ & —
—------ dt = 7T —------ & — I,
J o 1 十 COS t
J o 1 + COS t
J o 1 + COS”/
x
sin t i
l + cos2ZdZ
0
8.18解
1 + COS Z
1
--- ------ d(cos t)
1 + cos t
—• arctan(cos t)
K _ 7t2
o
— *
T
如果作变换^=t,则工=土丿产.在工的区间［一1,1］上的积分，应分两段［-1,0］与
［0,叮来处理（即相应地，在前一段上取工=一育;在后一段上取工=育）.如果作变换负=t,则工=現虽
然不必将区间［—1,叮分两段处理，但也不是最好的办法.经仔细审题发现
X
dw +
------1 +好
■1
]
]+
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
其中前一项因为被积函数是奇函数，故在对称区间上的积分应为0；后一项是因为被积函数在对称区间上
是偶函数的缘故.
再作积分变量代换，令有乂 = W，dz = ~|ydt.当工=0时，t = 0；当工=1时,t=l.于是
原式T名
6「 丫 2 d" = 6 — 6arctan 1 = 6- —it.
Jo 1 -hu
2
dt
【注】可见仔细审题，利用积分性质，会给解题带来方便.
:
8・19
解
当一1 =
时 9 原式=J
当
(1
t)dt = (
* 1 + z)2 |
一 1=无＜0,
[1 - -^-( 1 - X)2 9
解
* $ 0・
当工 W 0 时 9 /(rr) = f t{t — jc} At = 4-~4~;
J o
3
Z
当0 V 乂《1时9
/(^•) = J t^x — z)dz + J t(t — a:)dt
_ _J_ _ X I J?
=!" —1"十 I-；
146
( 1 + J：)?；
= *
(1+ t)ck + J (1 — t)dt = 1 — * (1 — JC)2.
f +( 1+«Z)2，
|\1-| t \ )dt = J
故
& 20
0 时 9原式=J
i
第
8讲一元函数积分学的概念与计算
当无〉1时，
E=j;
t{x — t)dt
=今—+
•z V 0，
八工）
则
< X2
丄
0<x< 1,
1
2
工> 1,
又
1 _ X _ 1
化(0) = lim-—
— J-卫
可知
丄
几（0）=醺
1 _ X . T3 _ 1
1"十 丁 — 了
丄
x一0
i
丁 —
1
/L（o）= y；（o）,故 /（o）
又
1
化⑴=lim 3
xr
*
可知
yt ⑴=故 /（1）
X . X3
2
3
x—1
丄
X _ 1
1
，
丄
2
苏几（1） =呻
X— 1
]
T1
工V
0,
I
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
丄
综上,f （工）=Y x2
i
2
、刁
0W
2 $
& 21解由于
V 1,
1・
l~\~x
lim
= lim( 1 + —
X
工f8 \
T-
(a — l)ea — lim(£ — l)e' = (a — l)eQ,
te'ck = (L 1)&
因此 a —1 = 1，即 a = 2.
& 22
■°
-i
解
dz
4 /(j：)djtr = J f(x)dx + [ /(jc)djc = •°
0
-i 1 +
e = t
dx
1 + e"
1丄曲
l 1+7* t
._x
o
Ax
1 + sin x
rh
•
•-2L -i
4 1 — sin x ,
--------------- 2--------- Ax =
0
COS JC
tan x
T
0
从而
X
1
d^ = lnT+7
sec2jcdj?—
0
1
COS
1 + sin x
o
-i
=—In 2 + ln(l + e),
T sin x」
---- Ax
COS X
0
==1
一
*(^2 _ 1) — 2
一
^/2 ,
0
/(jr)dj? =— In 2 + ln(l + e) + 2 — a/2~.
147
］第9讲
一元函数积分学的几何应用
基础知识结构
P
基础內容精讲
「
假设以下曲线都是连续的.
更多笔记资料关注公众号
1. 用定积分表达和计算平面图形的面积
【考研666】免费分享
(1) 曲线与y = y2M及T = a,x = bCa<b)所围成的平面图形的面积
S = J | M(z) —)2(広)丨 clz.
(2) 曲线r=n⑹与r=r2(0)与两射线d=a与0=0(0<0—&三2兀)所围成的曲边扇形的面积
1個
S = —J | r\ (0) — r；⑹ | d0.
2. 用定积分表达和计算旋转体的体积
(1) 曲线y = y(T)与x = a,jc = b(a<b)及工轴围成的曲边梯形绕乂轴旋转一周所得到的旋转体的体积
V=J
ny2 (x)dx.
(2) 曲线)=必(工)$0与)=%(工)$0及J： = a,x = b(a<b)所围成的平面图形绕工轴旋转一周所得
到的旋转体的体积
V = 7tJ |
y\ Cx) — yl (x)
| dr.
(3) 曲线y = y(工)与H = a,H = bWWa〈b)及工轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得到的旋转体的
体积
Vy =
148
2』x | y(z) | clr.
(9-1)
9讲一元函数积分学的几何应用
第
【注】公式（9-1）有时用起来很方便，现简单推导如下：
取[工,工+△幻（△"＞（））,得到一个小竖条，如图9-1的阴影区域
所示，此小竖条绕着y轴旋转一周，成为一个“圆柱壳”，将其沿任何
一条竖线“切开”，可展开为一个“长方体”，其体积为
dVv = 2tcz I y（x） | dr.
故
x | y{x) | cLz.
⑷曲线y=yY （工）与y=y2 Cr）及x=a,x=b^^a^b）所围成的图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积
yx (z) — y2 (jc) | dr
3.用定积分表达和计算函数的平均值
设hC[q,门，函数夕（刃在匕,门上的平均值为；=
基础例题精解
本部分内容大题、小题都常考，考生应熟记基本公式，并加强训练即可，没有什么难点.考数学一、
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
数学二的考生要注意弧长的计算问题，这是考试的热点.弧长问题放在第15讲进行讲解.
例9. 1
求由曲线）= sin z,y=cos x及直线x=O,x = ^-所围平面图形的面积.
解如图 9-2所示，由
v = sin
小
知两曲线的交点为
cos X 9
，故
S = j*
rf
= I
| sin x 一 cos x \ Ax
^
(cos x—sin_r)(lr +
(sin x + cos <z)
0
:(sin x 一 cos x)dj：
T
+ (— cos x 一 sin x)
T
2(72-1).
例9. 2
求由摆线
jc = a{t — sin £)9
y = a(l — cos £)
(a〉0)的一拱(见图
9-3）与工轴所围平面图形的面积.
解
当/ = 0,2兀时,y = 0.故当t由0变到2兀时，曲线正好成一
拱.所以
图9-3
149
丫
9
30讲•高等数学分册
彳考研数学基础
f2n
S
=
J0
a(l
一
cos
一
sin t)丁dt
C2n
J0
求心形线r = a(l +cos0)(a>O)所围平面图形的面积,
例9. 3
解
a2 (1 — cos t)2dt = 3tz27t.
心形线所围平面图形如图9-4所示，此图形关于极轴对称，因此所求图形面积S是位于极轴上半
部分图形面积5的2倍.
Si =
I"
r=a(l +cos 0) (a >0)
-^-a2 (1 + cos OF d0
(1 + 2cos 0 + cos'0)d0
+ 2cos 0+ *cos
2sin 0+ s
*in
=令(今0+
20)|
=孕a%
所以 S = 2Si = -|-a27c.
例9. 4
求伯努利双纽线r2 = a2cos 20围成的图形面积.
解如图9-5所示，利用对称性，所求图形面积是阴影部分
面积的4倍.
阴影部分的图形由射线0 = 0,0 =予与伯努利双纽线
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
r2 = a2cos 2d围成，于是所求的平面图形面积为
|
n
S =
J0
例9. 5
= a2.
-^-a2cos 29Ad = a2sin 20
I0
Z
设平面图形由曲线y = *与直线工=1及工轴围成,求此平面图形绕工轴旋转一周所得
的旋转体体积.
解
如图9-6,图9-7所不・
图9 7
曲线夕=*与直线兀=1及工轴所围成的平面图形绕2轴旋转所得旋转体的体积微元为
dV = 7T(JT2 )2dj?= 兀无4(］工,
故所求的旋转体体积为
V = f 7t<r4dj?=召工5 I
o
Io
Jo
2
例9. 6
体)体积.
150
2
=乎・
o
已知平面图形D由椭圆务+荒=1围成，求D绕工轴旋转一周所得的旋转体(旋转椭球
9讲一元函数积分学的几何应用
第
解
该旋转椭球体也可以看作是由上半椭圆y = —
a
与工轴围成的平面图形绕工轴旋转一
周而成的旋转体,其体积微元为
2
dV = K
—a2 — x2
a
dr,
故所求的旋转体体积为
V=
b_
a
7t
Ttb2
a2
(a2
一
x2)dx
)L=評
1 jr 3
a2 x 一 —
曲线1)(工一2)和攵轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋
转体的体积.
解在［1,2］上取积分微元，由“基础内容精讲”“2”中的“(3)”,得
dV= 2kx | y | dr,
所以旋转体的体积为
V = J 2兀乂 \y\ dx
例9. 8
计算由摆线
一
I j： = a(t — sin t),
3 = a(l — cos £)
27tJ
x{x
一
1) (j; 一 2)dr
兀 ・
= *
(a>0)的一拱与工轴所围平面图形分别绕工轴及夕轴旋转
一周所得旋转体的体积.
解
平面图形绕工轴旋转一周所得旋转体体积为
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
C2na
Vx = it\ y2 (jr)dx
J0
*2n
a2 (1 — cos tYaCl — cos t)dt
7T
o
•2k
(1 — 3cos t + 3cos2Z 一 cos3Z)dz
7TQ3
0
=57t2a3.
作平面图形如图9-8所示•平面图形绕夕轴旋转一周所得旋转体体积为
Vy =冗［J。xl(y)dy —
#(y)d訂
a2 (t — sin Z)2(isin tdt —
7T
a2(Z — sin tVasin tdt]
2k
*n
(2
=—7T<23
(£ 一
sin t)2sin tdt
J 0
=67r3a3 9
或者
f 2na
匕=2兀
J0
xy (j：)djc
•2k
2兀
a(£ — sin f)a( 1 — cos t)a(l — cos t)dt
0
=67t3a3.
■MM
过坐标原点作曲线y = *
e 的切线，该切线与曲线y =
以及工轴围成的向工轴负向无限
伸展的平面图形记为D.求
151
丫勺彳考研数学基础
30讲•高等数学分册
（1）0的面积A；
（2）D绕直线工=1旋转一周所成的旋转体的体积V.
解
设切点坐标为PQ。，％）,于是曲线在点P的切线斜率为
3＜（工0）=已，
切线方程为
y — yo = eT°（j： — Xo'）.
它经过点（0,0）,所以一％ =—工。小.又因％ = e®，代入求得© = 1,从而
y0 = ex° =e，切线方程为y=ex,如图9-9所示.
（1）取水平条面积微元，则D的面积
p
P
=刁-+ limjdn，=刁-.
厶
y—0+
0
乙
（积分「In ydy为反常积分，limj4ny = 0可由洛必达法则得到）
y0* ^
J0
（2）D绕直线工=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为
dV= 7t( 1 — In y)2 — 7T
从而
V =7t J (in?》一21n
夕 + 学—言)d)
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
例 9. 1()
函数严V!寺在
[o,*]上的平均值为（
（02-#
（B）2+#
（A）2+73
).
（D）2-V3
解应选（D）.
[a,刃上的平均值为J—17（工）山.
b 一 aj a
刃
在
由连续函数在闭区间上的平均值的概念，*
知连续函数
因此
]
]
dr =— f （1—x2 ）_Td（l
—f —
J°
±_OJo J\_ 总
一
x2）
丄| *
=一
2（1一 j；2）2
= 2
一肥.
故选（D）.
「习题
1
9. 1已知曲线y = a后（a＞0）与曲线y = ln后在点（x0 ,yj处有公共切线，求:
（1）常数a及切点（工。,y＞）;
152
9讲一元函数积分学的几何应用
第
(2)两曲线与工轴围成的平面图形的面积S.
9. 2
设曲线— 2広(1=工=3),丿=0,工=1 ,工=3围成一平面图形A,求：
(1) A的面积S；
(2) 该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V.
9.3已知一抛物线经过工轴上两点A(l,0),B(3,0).
(1) 证明两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于工轴与该抛物线所围图形的面积；
(2) 计算(1)中两个平面图形绕工轴旋转一周所得的两个旋转体的体积之比.
9. 4求圆域x2 + ( y — bY ^k2 (0<Zk<Zb)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.
9.5设D是由抛物线y =
和直线x = a,x = 2及y = 0所围成的平面区域；D?是由抛物线y=2工?
和直线y = O,x = a所围成的平面区域，其中0Va<2.
(1) 求D绕工轴旋转一周而成的旋转体体积匕,D2绕y轴旋转一周而成的旋转体体积V2;
(2) 问当a为何值时，匕+匕取得最大值？并求此最大值.
9.6设直线y =
与抛物线y = *所围成图形的面积为S|,它们与直线工=1所围成图形的面积
为S2,并且a<l.
⑴求a的值，使Sj +S2达到最小，并求出最小值；
(2)求该最小值所对应的平面图形绕工轴旋转一周所得旋转体的体积.
【解答
I
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
9.1分析利用两条曲线都经过点(工。，必)及两条曲线在点(血，％)处有公共切线可列出三个方程,
从而可解出常数然后可求出平面图形的面积.
解(1)由题设条件可得
j/o = a
9
y «Vo = In Jg 9
a
2丘
1
2血，
153
考研数学基础
30讲•高等数学分册
9.2解（1）画岀图形（见图9-11）,可见S = S】+S2,其中
Si = f (2力
)dz = £
一
3
J1
S2 = [ Cx2 — 2jr)dz = £
J2
3
所以S=2.
（2）方法一
其中
•o
Vl =
7T
__________
(1 + \/l + 夕)2dy _ 7t
V2 = 27兀一兀
llx
~6~
图 9-11
43tt
o(l + a/1 -yYdy =帑
所以V=9tt.
方法二
V,
=2』无[0 — (jc2 一 2«z)]dz =
J1
6
J
V2 = 2tc x(x2
2_r)(lz =
6
所以V=9k.
9.3
（1）证明方法一设过A（1,O）,_B（3,O）两点的抛物线方程为
y = a{x— 1） （j： — 3） 9
则两坐标轴与该抛物线所围图形的面积为
Si=J I
1)(j? — 3) I dx = \ a I
(工? —
o
4 | a |.
4jc + 3)djf = £
3
•Z轴与该抛物线所围图形的面积为
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
S2 = J I
(x2 — 4e + 3)(1z = £ I a I ,
1)(J7 — 3) I djc=—I a \
3
1
所以S|=Sz.
3
*3
方法二因为
（2）解
0
a{x — 1) (jc — 3)djr = a
-~-jr3 — 2jc2 +
0
—0,所以 Sj =s2.
两个平面图形绕工轴旋转一周所得的两个旋转体的体积分别为
Vl = 7T
0
a2[_(x — 1)(无一 3)了dz = 7p7ra2 9
ib
a2\_{x — 1) (h — 3)了djr
V2 = TC
=票兀/ ,
15
1
所以匕 =19
9. 4解
如图9-12所示，上半圆周为y2=b+ ^k2~x2，下半圆周为“
其体积微元为
dv =（兀疋一兀炭）dr
=兀[(方+
— \/k2 —jc2 )2]dr
\/k2 —jc2 )2 —
—(6—
=4兀6 y/k2 —x2djr,
则所求旋转体体积为
V = 4jc6
87c 6J
y/k2 — x2dx
k2 —
8加•牛=2*.
154
第
9讲一元函数积分学的几何应用
【注】采用对y积分，即取微元［“y + dy］亦可算出V.
i
9.5
解
⑴由题意得，
:
匕=押（2/）沿=告兀（32 —/）,
0
J a
斗dy = 7ta°・
V2 = Tta2 • 2a2 — 7r f
J o
Z
（2）由⑴得，
— /）+”/.
V = Vj + V2 = *
£2
3
0
令
V' = 4Ka3（l_a） = 0,
得区间（0,2）内唯一的驻点a = l,且V〃（l） = —4兀<0,因此a = l是极大值点，即最大值点，此时
v _129
5 兀.
V max
9.6解
因为a<l,所以可分成0< a<l,a=0两种情况，分别画出两种情况下的图形（见图9-13）,
求出Si+S?的最小值后，即可确定a的值.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
(1)当 0Va<l 时，
S = Si + S? = [ (az — ■zJcLr + [
J 0
(j:2
— ar)dj： =
J a
------ +£，
OLD
令S'(a)=a2 —* = 0,求得a=言.又S"(厉=施>0,知S (厉='■才忍是极小值，即最小值;
当a£0时，
(JC2 — ar )djc =—
(az — J：2 )djr +
J a
-I
3
pi
ro
S = Si + S2 =
J 0
0
,
Z
3
因为
S，(a) = — -^-a2 —~2~ —*(a? +1)<0，
所以S单调减少，故a = 0时，S取得最小值,S(0) = y.
比较可知，当a=专时，S（言）=土詳是最小值.
⑵由⑴可知旋转体体积为Vx =寸丫弓■工？ —* ）山+ 7tJ± （疋
-r2 ）dz =盘才打.
155
第70讲
积分等式与积分不等式
基础知识结构
_____ P
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
基础内容精讲
F
积分等式问题主要涉及积分形式的中值定理（见例10. 1,例10.2）,用夹逼准则求一类积分的极限（见
例10.3,例10.4）与证明某些特殊的积分等式（见例10.5）；积分不等式问题主要涉及积分形式的不等式证
明，可用函数的单调性（见例10.6,例10.7）、拉格朗日中值定理（见例10.8）、泰勒公式（见例10.9）与积分
法（见例10. 10）来解决.
基础例题精解
一、积分等式
1.用中值定理
例 10. 1
设fCr）,gCz）在［a,小上连续且gQ）不变号，证明：至少存在一点［a,刃,使得
rb
*b
/'(•z)g(z)cLr =
证明当gQ）三0时，有
156
g(工)dr .
70讲积分等式与积分不等式
第
•b
/(x)g(= I f (j:)・ Odjr = 0,
g(H)dz = 0,
此时€可以是［a,b］上任何一点，都会有J f(x)g(x)dj： = /(^)J g(_z)dj"成立.
当g(x)^0时，必存在j：0E［ci,b］,g(j：0)或者大于零或者小于零.不妨设g(J?0)>0,此时由g(z)在
［a,刃上不变号且连续，必有j g(z)d_r > 0.又_/"(工)在［a,b］上连续，必能取到最小值m与最大值M,于是
对于一切都有
*b
*b
m g (jf)djr =
W I Mg (= Ml g(H)cLz.
g(x)dx W I
由于 g (&)dr > 0,得加 W 丄〒--------- W M.
J g (jr)djr
f yXjc)g(jr)Ax
根据连续函数的介值定理知，至少存在一点ee匕,刃，使得 知--------- =/(?),即
g (j?)dx
[/(jc)g(j：)dx = /(£) [ g(jr)dx・
【注 】
本题是推广的积分中值定理.怎么证ee(«,6)?见下例.
j
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
设/Xx) ,g(_r)在［a,刃上连续，且g(x)在［a,6］上不变号，证明：存在WG(a,6),使得
2
/(jr)g(jr)dj? = /(£) | g(H)dz・
证明
若g(jr) = 0,结论显然成立；
若g(«z)差0,由于不变号，不妨设g(z) > 0•令
G(_r) = J g&)ck,
F(:r) = J
在上应用柯西中值定理，有鴛=^| =舞，即
'h
fdx)g(x)dx — 0
/'(g)g(g)
g⑷
g (j?)djr 一 0
'
、b
/(jr)g(x)dj? = /(f) I g(«z)cLz，g G (a,b),
> 其中 j g(x)djr > 0.得证.
例 10. 2
设函数 2)在［a,刃上不恒为0且二阶可导/(a)〉0/(b) >0,「y(z)dz= 0,
证明：
(1) 存在不同的 &,&€(a,b),使得 /(^)=/(^2)=0；
(2) 存在 ee (a,6)，使得 /(e)>o.
证明(1)依题设,f(a)>0,/(6)>0.
157
30讲•高等数学分册
考研数学基础
由［亢血 =0知，存在工。E (a』),使得心)< 0,否则 g 非负，且/Xz)羊0,则「*h f(x)dx >0,
矛盾.
由零点定理，存在&G(a，m,),&C(_z°,6),使得 /'(&) = 0,/(&) = 0.
(2)于(工)在［a,上分别应用拉格朗日中值定理，则存在/C(a,&),使得
d—g<0,
存在伞W ( & ,6)，使得
门殖)丿听少) >0.
b—^2
在［处，疵上应用拉格朗日中值定理，则存在疋(/ ,/)U(a,6),使得
f® =
S_fF〉o.
卩一 /
2.用夹逼准则
求 lim「
* oJ
n-o
o
—dr.
丄十
解因为0W十 W_Z”( V工 6 [0,1]),所以 0 = :总dY 击，故由夹逼准则知
lim
7^7-d«z = 0.
o 1 十
| In Z| [ln(l +t)]"dt 与
I In t|dt(" = l,2,…)的大小，说明理由.
t" 【考研666】免费分享
更多笔记资料关注公众号
0
0
例10.4 ■朴］册討
(2)记“”=
0
I In Z| [ln(l + t)]"dt(z2=l,2,…)，求lim如.
”f 8
解(1)当 OWtWl 时,0<ln(l + O<i,所以
0= I In Z | [ln(l + t)]Wt" | In Z | ,
根据积分的保号性，得
0
I In Z | [ln(l + t)]”d/W
| In Z | dt.
0£“”= f | In Z | [ln(l+z)]ndz^ | '1 tn\\n t \ dt.
(2)由(1)知,
0
J(
严+1 ln] +治
</“=詁尹
*1
又因为
0
0
tn\\n t\ dt=—
所以lim] t" | In t|dt = O,于是由夹逼准则得limw„ = 0.
”f 8
"~
*8 J (J
3.用积分法
翻■阿■
设心 是连续的偶函数,且是以T为周期的周期函数.
*nT
(1)证明
、
n2I TCT
f(x)dx(n = 1,2,3,…)；
2
xf{x)djc
0
(2)利用(1)的结论计算I =
(1)证明
于是有
158
'nT
0
xf
0
x | sin x | dr.
x = nT — t
—“
“■—
i ”
CnT
rnT
z?Tj f(t)dt — I
0
第
70讲积分等式与积分不等式
'nT
/( j?)djr.
0
又 floc +
T) =
0
f(x),则
ST
f(x)dx = n
0
. '0
故
•nT
M(无)山
n
0
2
f(x)dx(n
)*.
= 1,2,3<-
丨sin工|是连续的以兀为周期的偶函数，故
(2)解
'nix
x | sin x
I d_r
=乎J。丨
si
sin x | dx
0
n兀
sin xdx = n
n2 兀・
T.
二、积分不等式
1.用函数的单调性
通常的做法：首先将某一积分限(通常取上限)变量化，然后移项构造辅助函数，由辅助函数的单
调性来证明不等式，此方法多用于所给条件为“*
工)在 ［a,刃上连续”的情形.
例 10.6
证明
于(：)dz A (b — a)2.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
關
'b
令 F(z) =
于*
) dt 一 Q — a)2 (a £ z £ b),则
•
dt
FJ)=2[希
“7777 + 7^5. f (z)dz — 2(j; 一 a)
T〔需+鬆—引山鬥(2 —2)曲=0.
从而,FQ)单调增加.故F(6)$F(a)=0,得证.
例 1(). 7
(l)0£
(2)
设函数/■Q),gQ)在区间［a,刃上连续，且_/•&)单调增加，0WgQ) = l.证明:
g(t)dt
x一a^x
C
*a+| g(.t~)dt
证明(1)因为 0 = g(z) W 1，所以当 x G
(2)令 FQ) =
fa+
J
fx
g(.u)du
u
a
—
时 ，有
Odt W
g(t)dr W
ldz,即 0 M
g(t)dz ^.x — a.
/(^)g(^)dz,x C [a,b]・
J a
因为/■&),g&)在区间[a,6]上连续，所以FQ)在区间[a,刃上可导，且
F‘(z) = {/[a + J g(“)d”]—/(乞)}g(z).
由(1)知，a +『g(“)d“W_z,z 6*
匕,刃.又因为
乂
)单调增加
，且g(x) $0,所以F'O) =0,从而
159
30讲•高等数学分册
考研数学基础
FQ）在区间［a,刃上单调减少.
又 F（a） = 0,故 F（6）£0,即 J
/（jr）dj?
I /'（•z）g（_z）d_r.
2.用拉格朗日中值定理
此方法多用于所给条件为“/■©）—阶可导”且某一端点值较简单（甚至为0）的题目.
例 1（）. 8
设/'（工）在［0,1］上具有一阶连续导数，且y（o）=y（i）=o.证明：
［/（jr）dj7 I w£max { | f （工）| }.
IJ0
I
4心0,1］
证明
将大区间［0,1］分成两个小区间［0,幻和［工，1］.
在［0,幻上对y（z）使用拉格朗日中值定理，得y（z）—y（o）=/（工）=”（&）工,其中& G （0,工），于是
丨心丨f（&）&•
在［工,叮上对y（P使用拉格朗日中值定理，得/'（1）—*工）= —/■&） =#（&）（1—工），其中&€（工，1）,
于是
I（1—夂）.
ly/z） | =
当
jcE
［0,1］时，记 M=max{ | f （工）I },则
1/（^） |<M^,
八）|WM（1—工），
于是
：
I!更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
/（ j：）djr =P/（Odz+ [7（z）dr
WMj/dt + Mpl —Cdt = MPy +（1~X）2
其中，根据基本不等式‘min］2!" + Q 2広）} =
*
，故得证.
3.用泰勒公式
此方法多用于所给条件为“工
* ）二阶可导”且某一端点值较简单（甚至为0）的题目.
例 1（）. 9
证明
设心在［0,2］上二阶导数连续，且*
1 ）=0.当圧［0,2］时，记M=max{ |/〃（工）| }，证
根据题设，选取基点竝=1展开成泰勒公式，
/■（工）=y（i）+”（i）o—i）+£^（_z—i）2,其中 £介于広，1 之间
=> f /（jf）djr = ^（l） f （工一— 1 ） 2 djr = 4" f 厂（W）（无一l）2（lz
Z J0
Jo
J0
Jo/
=> | [/'（z）dz I W
*
I &—l）2dzW
M
[（工一1）2 d^ = yM,
故得证.
4.用积分法
例 1（）. 1（）
设 2）的二阶导数厂（工）在［0,1］上连续，且于（0） = /（I） =0,证明：
x^x —
（1） f /（j：）djr =
Z Jo
J0
160
第
70讲积分等式与积分不等式
(2) I [ f(x)dx I £ 点 max{ | 严(无)| }.
|
| J o
证明
1
0£
1Z *
久0 —
(1)
= £ [ x{x — l)d[/'(z)]
Z J o
/Jo
=— 1) ff {jc}
I
/
=一
一
/ Jo
o
ff(x)(2x — 1 )dj?
Jo (2z— I)d[/(J?)]
*
=—-^-(2jc — 1)/(jc) |
+ [ /(jr)djr.
J0
由条件/(o)= /(l) = 0知结论成立.
(2)记M = max{ |严(无)| },则由(1)有
/(jr)djr
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
Q),gQ)
设/*
在[a』]上连续，证明至少存在一点ee(a,6),使得
/(£)[ gQ)cLz = g(g) [ /(j?)djr・
10.2
10.3
i )=o,证明：
设卩(工)是可微函数ya)的反函数，且*
f(.x)
1
0
o
设/\工)在［a,闵上连续且严格单调增加，证明
Cb
(a + 6)J f(x)dx <C 2j
10.4
设/(工)在［0,1］上连续且单调减少，证明：当o<qvi时，
10.5
证明:
2 cos jr」、
TT?"
o
-
o
^111 JL
0
1
尹
IT
【解答］
10. 1
分析
若令GQ) =/Q)『g(t)d/ —g(z)『m)d/,无法验证其满足零点定理•所以应求G3
的原函数,使用罗尔定理证明.
证明
求G&)的原函数FQ)(对GQ)求不定积分，用分部积分法)，有
F(z) = p/(t)dt「g(t)dt,
161
考研数学基础
30讲•高等数学分册
因为f (工),&(刃在［0,6］上连续,所以尸(工)在［＜2,6］上连续，在(a,b)内可导,F(a)=F(6)=0,即F(_z)在［a,b］
上满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点使得F'(g)=0,即
/'(£) jg(x)cLr
10.2
g(g) f /Udz.
分析左端定积分的被积函数含有变限积分，考虑分部积分法.
•/(x)
证明
0
0
o
1
(p(t)dt
0
平[/(乂)] • /'(乂)cLz
•
Jtr2 • /z (jc)djr =—
0
1
+2|
—jc2/(x) |
2 [ j：f (x)dx.
J0
)djr
0
*b
10.3
分析
*b
(a + 6)| /(j')djr < 2 I
*b
jc/(
) dj?4=>( a + b)| /'O)d_r — 2 | xf^x^dx < 0,可构造辅助函
数，用单调性证明.
证明
F(t) = (a + t)
令
F‘(f) =
则
f (jr)djtr — 2 ocf (jr)dj?
/(jr)djr +(6Z + ^)/(^) — 2^/(0 =J /(jc)djc —(Z — a)/(z)
f(Z)dj?=
f (j?)dx一
因为/(工)在上严格单调增加，所以＜ 0,于是有
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
< 0,
F‘(r) = J [/(jc) — /(z)]djr
即F(O严格单调减少，又F(a) = 0,所以F(6) ＜0,即
*b
(a + 6) I f (jr)djr 一 2 I xf(x)dx < 0,
<； 2 I *h xf
(a + b) [
即
10.4证明
/(
$ f /(jr)djr.
要证原不等式成立，只需证 _0_______
J o
A
/(jc)dj?
令
「——，由于FQ)
F(t)=
0
/( j：)djr
,F(1) =f /(jr)dj?,故只需证当A € (0,1)时，有
J0
F(A) N F(l).
(* )
由F(t)在(0,1］内连续，在(0,1)内可导，且
fCt)t —
Fz(z)
其中0
J0
t2
/(jr)djr
__ /(Z) -/(c) ,
fCt)t-fCc)t —
t2
知/Xc)上产⑺，有F'(t) W0,知F(t)在(0,1］内单调减少.又0 VAC 1,有FQ) $F(1),
即(* )式成立，故原不等式成立.
10.5证明
方法一
162
要证原不等式成立，只需证
，y cos j? — sin
” —s
jc
i
山=
cos x — sin x 1 、八
2----- dx $ 0.
-----0------- 1十乂
.2L
.
2
4 cos x 一 sin x ,
o
1 + JC
ckr i
，T cos x — sin x i
f …r—
4
第
70讲积分等式与积分不等式
在上式右边第二项积分中，令工=号一£,得
T
cos x 一 sin x
1
(cos x 一 sin
无)
cos x — sin x
Ax + ■
1+/
J 0
sin t — cos t
ck
-1
1 +H
故原式得证.
方法二
cos x 一 sin x
dx
1+x2
cos x 一 sin x
1+jc2
1
(cos
T+? 0
jc
djr +
cos x 一 sm x
Ax
1+rr2
1
— sin x)dx + -~~:—
—
1十4
” (cos
jc
— sin
=（施一1）
其中o WX手，手W少W于,从而有
cos j? — sin x
dz $ 0,
1 +/
故原式得证.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
163
第77讲多元函数微分学
S基础知识结构
匚、—
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
基础尖容卷讲
—、基本概念
1.平面点集的基本概念
在平面上建立直角坐标系zQy,则平面上的点就可以用两个实数组成的有序数组（広宀）来表示，而二
元函数fd,y）的定义域恰是以两个实数组成的有序数组为元素的集合 ，于是/（工力）的定义域就是
平面上的点集.下面给出平面点集的一些基本概念.
164
77讲刍元函数微分学
第
(1)平面上任意两点心，y)与”2(孔，力)之间的距离定义为
p(Mt,M,) = /(工厂心)2 + (力一『A ,
其中记号^(M, ,M2)表示点Mi与M的距离，它满足三个要素：
① 非负性^(M, ,M2)>0；
② 对称性
pCMj ,M2) — p(M, ,Mj)；
③ 三角不等式
^(M,
(2)设M,为平面上的一个点,8>0,则平面上以点M(1为圆心，以6为半径的圆的内部叫
作点的5邻域，记作U (MM(见图11-1),也即
U(M„ ,5) ^{M\p(Mu ,M)<S.M 在平面上}.
若在上述邻域中去掉圆心则叫作点M()的6去心邻域，记作见图11-2),图11-1
也即
U(M> ,5)= {M10 Vq( Mi , M)<6,M 在平面上}.
(3)给定平面上的一个点集E,可用上述邻域的概念将平面上的点分类为内点、外点和边
界点，下面分别给出定义.
设M为平面上的一个点，若存在§>0,使得U(M,d)UE,则M为点集E的内点，如图
11-3所示.
若存在5>0,使得U(M,d)DE=0,则M为点集E的外点，如图11-4所示.
若对任意的5>0,U(M,d)中既有E中的点，也有E外的点，则M为点集E的边界点，如图11-5所
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
示.E的所有边界点的集合称为E的边界•记作0E.显然，任意一个点集E与它的余集有公共边界，
即 dE=OEl
图 11-3
图 11-5
(4)有了匕述概念后，我们可以对点集作不同分类.
设E为一个平面点集，若存在常数5〉0,使得EUU(O,6)(这里O是指坐标原
点)，则E为有界集.如图11-6所示.否则，E就是无界集.
若E中的每个点都是E的内点，则E为开集；若E的边界点都是E的点，则E为
闭集•显然，若一个点集是开集，其余集必是闭集；若一个点集是闭集，其余集必是开集.
图 11 - 6
设E为一个平面点集，若对于E中的任意两点，都可用一条完全属于E的折线(说
成曲线亦可)将这两点连接起来，则这样的E为(道路)连通集(见图11-7).连通的开集
叫开区域.一个开区域和它的边界点集的并集叫闭区域.开区域、闭区域统称为区域.
若E是一个平面区域，且E内的任一条简单闭曲线的内部还在E内，则这样的E
图 11-7
称为单连通区域•否则就叫多连通区域.
(5)在这部分的最后，讲两个重要概念.
设E是一个平面点集，为平面上的一个点，若对任意的5>0,总有即M()的任
意邻域中都含有异于的E中的点，则称为E的聚点.显然，非空开集的内点与边界点都是这个点集
的聚点•闭区域的任何一点都是它的聚点.
165
考研数学基础
30讲•高等数学分册
},即如果Mo的某一邻域与点集E的交集是一个孤立的点Mo,
若存在5>0,使得U(M° ,S)门E=
则称点M)为E的孤立点，如图11-8所示.显然，边界点要么是聚点，要么是孤立点.
以上这些概念细致入微，需要读者潜心品味，反复琢磨，方可掌握牢固.
2.极限
关于二元函数的极限，有两种定义.下面第一种定义是大部分数学分析教材从点集角度出发的；第二
种定义是大部分高等数学教材从邻域角度出发的.
第一种定义:
定义1设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚点.如果存在常数A,对于任
意给定的正数€,总存在正数5,使得当点P(x,y)eDC\UCP0,8)时，都有
\ fCx,y)—A\<e
成立，那么就称常数A为函数f(x,y)当(如，必)时的极限，记作
—A 或 /"(工,》)—A((x,y)^(x0 ,y0)).
lim
*x
(x,j)(
0 ,y0)
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
以上是按集合论知识(以点集趋向方式)定义多元函数的极限，通俗说来，只要fCx,y)是“有定义的”,
且满足\f^,y)-A\<e,则lim
(x,j) — (x0 ,y0)
z,y)=A, 这里自然“排除”了(血，％)邻域内的无定义点，所以
*
"IT—=
lim
lim
xy
(•r,y)f(0,0)
<"_<0,0>巧(』
lim
zy+] + ])
,
1
1
厶y+1
+1
第二种定义：
定义1'若二元函数在(如，％)的去心邻域内有定义，且(工,$)以任意方式趋向于(JCO ,y0)时,
f(x,y)均趋向于 A,则lim/(j?，3/) —A.
L%
根据定义I',由于函数心沪厶也二!在原点的邻域内的坐标轴上处处无定义，如图11-9所
示，于是lim%/^+1~1不存在.
jcy
x—o
y—0
按照两种定义，你会得出
lim( J；2 + b )sin
I
~
0,
第一种定义，
不存在，第二种定义.
所以，为避免这种教材定义不同导致的“矛盾”，命题人目前处理得比较恰当，只考那
些无论在哪种定义下极限都存在或都不存在的函数，比如lim(_z2+y)sinp\ = 0.
3.连续
如果lim/(jc，3>)=/(j；o，)o)，则称
D。
166
在点(工。，y>)处连续.
第
77讲孩元函数微分学
【注】验证二元函数f\x,y｝在某一点（如，必）处是否连续是考研的重点，但是如果不连续，对［
I
:于多元函数是不讨论间断点类型的.
4.偏导数
定义2设函数z = f（x,y）在点（氏，％）的某邻域内有定义.若极限
山討（工o + X，yo）— /~（Zo，》o）
△l0
）在点（工。，必）处对工的偏导数，记作
*,y
z=
存在，则称此极限为函数z
空
I
3x |冠
于是
△h
If |
z； | 咛° 或 f；（工。，%）•
/(工0 ,y°) = lim /~（工0十厶/，，0）—/Xho，%） —□"/（広，》。）一■/（工。，％）
&f 0
fy (^0 ,『0)
△j?
血/（工0，弘+厶y）—/（工0，Ao）
△』
Aj-0
•rf%
X — Xq
1山1/（丄0，》）—/（如，％）
y~yo
r
如果函数z = g,y）在区域D内的偏导数人Q,y）,£（z,y）仍具有偏导数，则它们的偏导数称为函
数z=f（x,y）的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同，有如下四个二阶偏导数:
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
其中称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶以及n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数
统称为高阶偏导数.
5.可微
先看一个引例•如图11 10所示，设矩形的长和宽分别为工和y,则此矩形的面积S = _zy
若工，丁分别增长则该矩形面积的增量为
△S= （乂 +△攵）（y + z\y） —xy = y^x~\~x^y~\-・
上式右端由两部分组成：一部分是，△工+工/0,它是关于△厂△歹的线性函数；另
一部分是△^△夕，因为
(△w)2 + (Z\y)2
■zz\y
△
2
4
亠 —
_=］站(3 + (也
—< lim ,
lim ,
=0,
2
算叮 y(Aa-)2 + (Aj/)2 乙二 /(Aj:)2 + (A^)2 *0AxAy—0
所以当△z_0, △y~
0
*
时，△•zz\y是比q = J(△•r)? + (△『)？高阶的无穷小量，即
△S = j/Z\j： + HZ\y + oS）（卩―0）.
夕△文 + e△歹是5S的主要部分,o（Q）是AS与主要部分y^x+x^y之间的误差，
△S~yZ\jr +乂 △，.
称+
为函数S=xy在点（兀歹）处的全微分.
定义3如果函数 Sy）在点（乂,夕）的全增量2 = 工
* +△工 ,？ + △，）一/&,』）可表示为
△n = Ay + J3z\y + o（Q）,
其中p= \/（Aj?）2 + （Aj/）2 ,A,B不依赖于△&,△）而仅与乂，歹有关9贝I］称函数N = y（jr,j/）在点（无,夕）可微,
而称AAjt + BAj^为函数z = f（x,y）在点（z,夕）的全微分，记作dz,即d^ = AAjr + BAj/・
167
9彳考研数学基础30讲•高等数学分册
丫
在第4讲中，已经详细阐述了一元函数可微的深刻含义 ，二元函数可微的概念也是如此（请注意对比，
加深理解）•判断函数在点（工。，弘）是否可微，步骤如下：
① 写出全增量△z = /'（_Zo + &r,yo + z\y）—/'（_ro，yo）；
② 写出线性增量A&c + BS，其中A = £5，m）,B = £（h。，％）；
③ 作极限limAz~（AA-r + BAj，）,若该极限等于0,则z = y（z）在点（工。，％）可微，否则，就不可微.
霁 y（A^）2+（A^）2
用形式简单的“线性增量A5r + B3”去代替形式复杂的“全增量2”,且其误差“△z—（A4r + BS）”
是。（/TKRFZ疗）.这就是说，用简单的代替了复杂的，且产生的误差可以忽略不计，这就是可微的
真正含义.在实际问题中，有时直接计算有时算出AAz + BAy来近似2.
6.偏导数的连续性
对于z = y（D）,讨论其在某特殊点（工。，，。）（比如二元分段函数的分段点）处偏导数是否连续，是考
研的重点，其步骤为
① 用定义法求Z（血，y＞）,£（血，y＞）;
② 用公式法求£ （工,丿），£ （工,『）；
③ 计算lim£ （工,丿），lim£ （工,『）.
* 耳
y
看lim力'（工,》）=/ （工。，％） ,lim£ （_z,y） = £ （工。，y＞）是否成立.若成立，则z = f（x,y）在点（工。，y°）处
* %
X-
x0
*y
y~
Do
0
的偏导数是连续的.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
二、多元函数微分法则
1.链式求导规则
（1）复合函数的中间变量均为一元函数的情形.复合结构图如图11-11所示.
设 z=f（u^v）、u=（pit）9^=0（£）9贝ij 之=于［卩（£），e（r）］9且篇=才 #+孑
（2） 复合函数的中间变量均为多元函数的情形•复合结构图如图11-12所示.
图11・11
设 z = f（u,p）9U =（p（a:,y） ,7?=/（工，夕）9 则 z = f\_（p{x,y} ,0（工,』）］,且
dz_dz c）u I 3z 3v
doc du dx 3v djc'
, dz dv
dz_3z
3y du dy dv dy'
（3） 复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形.复合结构图如
图11・12
图11-13所示.
设 z=f(u,v)，u =(p(my) ,77=0(?) 9则 N = f[卩(H,y) 90(》)]9且
dz_3z 3u
dx du dx
空=空屯+
dy
du dy
dz dv
dv *dy
图 11-13
【注】无论Z对哪个变量求导，也无论z已经求了几阶导，求导后的新函数仍然具有与原函数$
:完全相同的复合结构.
：
. 函数存在定理 （公式法）
2隐
在本书第1讲提出的函数定义中，对每个z€D,对应的函数值y总是唯一的，这样定义的函数称为
168
77讲娄元函数微分学
第
单值函数•如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个xED，总有确定的y值与之对应，但这个y不是
唯一的，于是，这样的对应法则就不符合函数的定义了，我们称这种法则确定了一个多值函数.在考研中
所提到的函数是指单值函数，也就是当自变量工取一个值时，这个对应法则/■要保证因变量y有唯一的实
数值与之对应，否则就必须分成若干个单值函数去研究，比如下述的“隐函数存在问题”.
一般说来，只要在满足定义域的条件下，形如y = f（Q的函数称为显函数，例如= sin攵；由方程
F（^,y） = 0所确定的函数称为隐函数，例如由方程工+ b —1 = 0确定的隐函数（其显式表示为丿=
兀三）.但“隐函数存在”是有前提的，大多数教材都是这样的提法：“如果工与y满足方程FQ,y）=0,那
么在一定条件下，当工取某区间内的任一值时，相应地总有满足这个方程的唯一的，值存在，那么就说方
程F（x,y）=0在该区间内确定了一个隐函数.”读者是否注意到“在一定条件下”和“唯一的y值”这样的
语句？请看下面的两个定理.
隐函数存在定理1设函数FQ,y）在点P（m，y。）的某一邻域内具有连续偏导数，FQ°,%） = 0,
尺（心，必）工0,则方程FQ,y）= 0在点（如，％）的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
）=/"（工），它满足条件y0 = fCx0）,并有兽=—寻.
这里的ECz°,y）H0（也就是兽存在）是定理的关键.由此看来，所谓的“隐函数存在”,是要求在一个“指定
的位置”，方程FCz,y）= 0能确定一个“不仅有意义，而且要有可导这种良好性质的函数”.而在一个指定位置
处可导的函数必然首先得是单值的.
举个例子供读者理解，给出方程7-1 = 0,设F（x,y） = x2 +b—1,则E=2，E=2y,F（0,l） = 0,
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
尺（0,1） = 2工0,由上述隐函数存在定理1可知，方程/ +『一1 = 0在点（0,1）的某一邻域内能确定一个
有连续导数的隐函数）= /&）;而在点（-1,0）和点（1,0）的邻域内就不存在这样一个有连续导数的隐函
数，因为在点（一1,0）和点（1,0）处的切线都是竖直方向的，显然导数不存在，在这两个点的任何去心邻域
* —b）= o,在点
再看个典型的例子，对于伯努利双纽线（见图11J5）,设F（_z,y） = （； +b）2—a气
（0,0）,（a,0）,（—a,0）处，隐函数不存在;而在其他位置，隐函数都存在.
这里还要指出的是，定理最后给出的兽=—春，这个公式就是隐函数求导公式，证明如下：
将代入FCz,y）=0,得恒等式FQJQ））三0,在这个恒等式两边对乂求导，得学+学•字=
dx dy dr
0,由于尺连续且尺（竝，必）工0,因此存在（业，％）的一个邻域，在这个邻域内Eho,于是得兽=—善.
169
考研数学基础
30讲•高等数学分册
于是，很自然地，可以把二元函数的隐函数存在定理推广到多元函数.既然一个二元方程F（工,y）=0
有可能确定一个一元隐函数，那么一个三元方程F（x,y,z）=0也就有可能确定一个二元隐函数.
隐函数存在定理2设函数Fa,y,z）在点PQ°，m，z。）的某一邻域内具有连续偏导数，且玖必,必,勺）=0,
尺'（工。，必，勺）弄0,则方程F（x,y,z）= 0在点（工。，％,勺）的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏
导数的函数z^=f（x,y）,它满足条件勺=于（工0,%）,并有
dz__F；
dz__F'y
石=—可，石=_可.
上式的证明同样简单，将z—f（jc,y'）代入F（^,j/,z）=0,得FCx,y,/（x,j/））=0,式子两端分别对z和y
求偏导数，得E +E •參=o，E +E •寫=o.
因为E连续且E （工。，》0 ,Zo）工0,所以存在点（工0 ,y0 ,勺）的一"邻域，使F； H0,于是得
dz__E
3z_
尺
齐=—可，石；=_可.
同理,尺（竝，必，勺）工0（也就是寻,驴都存在且连续）是定理的关键，见例11.6.
三、多元函数的极值与最值
1.概念
定义4若存在（©,%）的某个邻域，使得在该邻域内任意一点（工,丁），均有
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
f（J：^y）＜
，%）（或 fCx,y） A fCx0，了0））
成立，则称（工。{。）为f（x,y）的广义的极大值点（或极小值点），/（工。，必）为f（x,y）的广义的极大值（或极
小值）.
定义5若存在（工。,必）的某个去心邻域,使得对于该邻域内任意一点Cz,y）,均有
＜ /（^0 ,》o）（或 fgy） ＞ fg ,）o））
成立，则称（工0 ,%）为/'（工,））的真正的极大值点（或极小值点）,f（jco,yo）为fCx,y）的真正的极大值（或极
小值）.
【注】与一元函数极值的定义类似，若在上述定义5（真正的极值）中把去心邻域改为邻域，则；
i
1当然有（工‘jOW/Xho,y＞）,但这个等号仅在（夂0,）（＞）处取到，这一点是与定义4（广义的极值）的一；
|个主要区别，请注意区分.
{
定义6设（如，必）为f（x,y）定义域内一点，若对于f（T,y）的定义域内任意一点（z,y）,均有
/（•r,y） w f（.x0 ,》0）（或
2 /（-To ,y。））
成立，则称f（.x0 ,y＞）为的广义的最大值 （或最小值）.
定义7设（工。，％）为定义域内一点，若对于f（x,y）的定义域内任意一个异于（如，y＞）的点
（工,『）,均有
fgy） ＜ fc^o，了0）（或 fCxty） ＞ f（x0,%））
成立，则称f^0,y0）为f（x,y）的真正的最大值（或最小值）.
170
第
77讲孩元函数微分学
【注】若题目只问极值（或最值），未指明是广义的极值（或最值）还是真正的极值（或最值），读I
I者按广义的极值（或最值）来解答.
2. 无条件极值
（1） 二元函数取极值的必要条件（类比一元函数）.
“
（一阶偏导数存在，，
、”
亠则力■（工。，y））= 0，九（工o，y））= 0.
设 z—f（x ,y）在点（工0，，0）｛
〔取极值，
;
【注】该必要条件同样适用于三元及三元以上函数.
$
（2） 二元函数取极值的充分条件.
（/X （工0，丁0）= A，
记｛允（工。，％）=3,则厶=人（3—
>0—极值
U>0=>极小值，
V03非极值，
l£y （j?0,y0）—C,
■
（A<0=>极大值，
=03方法失效，另谋他法.（方法失效怎么办？见例11. 12）
【注】该充分条件不适用于三元及三元以上函数.
I
综合（1）,（2）,可用必要条件求出可疑点，用充分条件判别可疑点是否是极值点.
3. 条件极值与拉格朗日乘数法
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
（0（2*?9 夕9之）0 ,
求目标函数u = f^,y,z）在条件
下的最值，则
\（/j（.t , y ,z）
—0
① 构造辅助函数 F（x,y,z,X,/ji）=fCT,y,z'） + 入卩（工,y,z） +〃°（工,y,z）；
②令
E = f'x + 入也 +〃 必=o,
Fy = f； +入就 +〃 必=0,
v F'z =f'z +X（fl +泌=0,
F；=卩（工,）,z） = 0,
、F； =°（z,y ,z） =0；
③ 解上述方程组得备选点Pt,z = l,2,3,-,n,并求fCPt）,取其最大值为知“，最小值为心"；
④ 根据实际问题，必存在最值，所得即为所求.
基础例题精解
—、基本概念
例 11.1
已知 /(^，3/) = ey7T7，!j!lJ(
(A)/(0,0),/(0,0)都存在
£'(0,0)
(C)
不存在，£(0,0)存在
).
(B)£(0,0)存在,£(0,0)不存在
(D)
£'(0,0),
无'(0,0)都不存在
171
30讲•高等数学分册
彳考研数学基础
解应选（B）.
根据偏导数定义，有
/；'( 0,0) = lim/(~r，0)~7r(Q，0)= lim"_ 1 =
x-o
x-»0
X
X
工〜o
= lim— = 0,
o JC
X
1.m/(o^)-/(Q，Q)=lim££zd=iimH=hmM
而
夕
*0y
*0y-
jy
jy
*0_y~
?
不存在，可知£(o,o)不存在.
故选(B).
例 11.2
已知函数 f(x,y) =x\n{x + ln _y),求 /：( 1 ,e),咒(1 ,e).
解把y看成常数，利用乘积函数的求导法则，对工求导，得
将（l,e）代入，得
/：（l,e） = ln（l + ln e）+”赢= ln2 + .*
把工看成常数，对y求导，得
]
jc + ln y
x
1 _
y 巧+ylny
将（l,e）代入，得
/；(l,e) = 1 . Jelne = ^-
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
例 11.3
设 z=f(x,y') =<
Cr2 + v2)sin
v?+y
k
x27^0,
则下列四个结论中，
JC2 +；/ = 0 ,
①f（r,y）在（0,0）处连续；
②斤（0,0）,£（0,0）存在；
③f； （•?,》），£ （工,『）在（0,0）处连续;
④在（0,0）处可微.
正确结论的个数为（
）.
（B）2
（A）l
(03
(D)4
解应选（C）.
对于结论①，根据连续定义，
lirn/Q,?) =/(0,0),
jr-»0
yf 0
①
正确
；
r（ A
对于结论②，用定义法，斤（0,0） =
nx _ rzn nx
△lO
GfO
£（o,o）= o,②正确；
对于结论③，当S,y）H（O,O）时，用公式法，
f'x Cx,y) =2zsin
- + (云 +j/2)cos
J亡十j/
1
1
1
x
2j?sin -”
cos —.
—―
.
y/jc2Jry2
^/x2Jry2
^x2+y2
172
（△jr）2sin
~ —0
= lim----------- 严口一 = 0,同理可得
77讲多元函数微分学
第
因为当（工,））~
* （0,0）时，2zsin
/
0,—----- cos
；--------- 不存在，故（工,『）不存在，所
以力‘（夂‘丿）在（0,0）处不连续.同理,£ （•!■,））在（0,0）处也不连续，所以③不正确；
对于结论④，
力'（0,0） = 0,
£（o,o）=o,
Az = /（0 + Ajt,0 + Ay） — f（0,0） = [（△•Z）2+ （△））'] • sin —
=1o2sin 丄，
P
丿（△» 卄（△，¥ "
其中丿（△/）'+ （△））?.故fCx,y）在（0,0）处可微，所以④正确，答案选择（C）.
二、多元函数微分法则
1.复合函数求偏导问题
例 11. 4
设函数z = _f （十，亍）具有连续偏导数，贝I」工f|p 鷺=（
（C）-2（汀 +討）
).
（D）-2（詁-討）
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
解应选（D）.
这是偏导数运算的基本题目，只需依复合函数求偏导数的链式求导规则求解.
已知z=f（y~,^\,可采用三种方法求字，字.一是引入中间变量，令王,则z=/（“,©）；二
x
y
\x y ）
dx dy
是利用表示于对第，个位置变量的偏导数来求字，拿"=1,2；三是直接求微分,然后将didy的系数分
别取为字，字.由于选项为斤的形式，因此采用第二种方法求解.
dx dy
这里引入形表示/■对第2个位置变量的偏导数，0=1,2.
dz
因此
dz _
故选（D）.
例 11.5
解
设z = f（,esm j/,jc2+y ）,其中于具有二阶连续偏导数，求亦石.
dz
e’sin yf[ +2"',
盏=冷叫in w°s y + 2e Jsin y+zcos 皿+4皿 +gos y.
173
0^
考研数学基础
30讲•高竽数学分册
2.隐函数求偏导问题
例 11.6
设有三元方程工丁一wlny + e" = l,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在
此邻域内该方程(
).
(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z = z(工,y)
(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y = y(x,z)和z = zCx,y')
(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数z = z(y,z)和z = z(x,y')
(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x = z(y,2：)和y = y(jr,z')
解应选(D).
令
F(x,j/,z) —jcy — zln jy + e" — 1,
贝U F： = y+e"z , Fy — j： — —,
J
于是，
= — In y +
£(0,1,1) = —1 工0,
尺(0,1,1) = 2工0,
F' (0,1,1)=0.
因此，在点(0,1,1)的某一个邻域3内，存在一个连续且具有连续偏导数的隐函数工= z(y,z)；在点
(0,1,1)的某一个邻域S内，也存在一个连续且具有连续偏导数的隐函数yhyQ
*
).
于是，在邻域
U = U1门6内，就存在两个连续且具有连续偏导数的隐函数z = _z(y,z)和y = y(_z,z),故应选(D).
例 II. 7
设函数y = y(z)由方程sin巧一 2. =1确定，求字I
c1h J j—o
y 2
解设 F(")=sin»土-1,则
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
Fx = ycos jcy —
]
{y — jcY
Fy = xcos xy~\~
]
{y — xY*
将 z = 0 代入方程 sin xy — ―-—=1,得 y=~l.
又因为
F[(0, — 1) = ( — 1) • cos 0一 (_]_0)2 = _2,
F；(0,-l)=0 • cos 0 +(―]]。)? = 1,
所以兽
x=0
例 11.8
F；(0,_l)
F；(0 9 — 1)
设y = y(x') ,2 = 2：(工)是由方程z = z/(z + y)和FQ ,y ,z) =0所确定的函数，其中于和F
分别具有-阶连续导数和-阶连续偏导数，求荡
解
分别在z = xf(x-\-y)和F(«z,，9N)=0的两边对z求导，得
尹+(】+勁
［码 + F您+ F普=0
由此解得茫=竿伴黑空(f；+"F$o).
174
第门讲孩元函数微分学
■惋设z = f（jc,y）是由方程z—y — z + ze—= 0所确定的二元函数，求dz.
解方法一偏导数法（视二元函数为一元函数）.
这是由隐函数确定的二元函数,对方程两边求偏导数（磴时“是自变量，涯因变量｛是常数；求
寫时,y是自变量，z是因变量,工是常数）得
*
P
字_] + e
「'+ze「y-
dJC
瞪T）~
0z_l + Q —l)e‘pr
1+ze‘pr
dx
解得
所以
l+zef
Q 2"
严一1+xe—
3y
dz
.
矿1'
dj? + djz.
全微分法.
方法二
等式两边求微分得dz —旳一山+尹…山+工尹旷珥血一dy —山）=0,
,1 + （工一1）尹「,,
血=1 +工尹芦—吐+収
整理得
公式法.
方法三
设
*厂
F(工，y,z) = z—『-一工十広
F[ = _] + e°pp_zeLyr ,
则
*
F； = _l —乂云一片
’，
,
F； = ]十工
于是有
F； _ 1 + Q—1疋一
9Z
Fy
i
dz
'矿—可i
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
1+
dx
可
工严"
,1 + （工一l）ef ,,
血=]+工尹…山+如
所以
3.逆问题
例 11.1()
解将希
dxdy
求方程¥手=工+》满足条件z^,0)=x,z(0,y)=y2的解z = z(z,y).
dJCdy
=乂+）两边对y积分，得
券=巧+*_/+卩1（乞）
式两边对工积分
①
①
，得
z^-~x2y+-^-xy2
+卩(工)+0($).
②
现在来确定卩（工）和
由已知 z（x,0） —x,z（0,y） =y''2，代入②式有広=申(工)+/(0)，b =卩(0) + /(y),于是
z=z+b +
y +-^-巧?—[爭(0) + /(())].
又因z(0,0) = 0,故卩(0)+血0) = 0,则
z=z(jc,y')=x+b+
*
工2, + *工丁
2.
175
考研数学基础
30讲•高等数学分册
三、多元函数的极值与最值
1.无条件极值
例 11. 11
,dz2 = （3jf2 + 6z）cLz— （3j/ — 6y）dy,贝I］点（0,0）（
设 Z1 = |
）.
（A） 不是勺的极值点，也不是匕的极值点
（B） 是勺的极大值点，也是勺的极大值点
（C） 是Zi的极大值点，是z2的极小值点
（D） 是务的极小值点，也是2的极小值点
解应选（D）.
勺的解析式为绝对值形式 ，其在点（0,0）处偏导数不存在，只能利用极值的定义来考虑.勺是微分的形
式，由微分与偏导数的关系可知可判定（0,0）是否为驻点，再依极值的充分条件判定.
由于勺=& +
，可知2/0,0）=0,当（工（0,0）时，总有21（x,j/）＞0,可知点（0,0）为勺的极小
值点.
由于 dz2 = (3j:2 + 6j?)dj? — (3/ — 63/)dy,可知金=3工2+ 6z,等=一(3j/ —6y).易知点(0,0)为 z2 的
驻点.又
6无 + 6，
仝=0
djC2
dxdy
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
则
(0,0)
=6,
(0,0)
AC-B2 = 36>0,
=0,
A>0,
可知点（0,0）为勺的极小值点.
故选（D）.
例 11. 12
设
Z = JCi
+刃一工2—2攵）一3/ ,则（
）.
（A）2的极小值点为（-1,-1）,（1,1）
（B） z的极大值点为（-1,-1）,（0,0）；极小值点为（1,1）
（C） z 的极小值点为（0,0）,（1,1）,（ — 1, — 1）
（D）z的极小值点为（0,0）；极大值点为（1,1）
解应选（A）.
由于 2： —x4 +j/4 — oc2 —
解方程组
dz
djC
— b 9 因此
得(0,0),(1, 1),( — 1, — 1)为N的三个驻点.
1^=0,
又
d2z
176
12^-2,咅-=—2,券= 12^ — 2.
dxdy
第
77讲多元函数微分学
在点（1,1）处,
a2z
A令
_2,
B = 3xdy
(i,i)= 10,
（i,i）
C=|^
3y
= 10,
(i,i)
AC-B2>0,A>0,可知点（1,1）为n的极小值点
在点（一 1, —1）处，
= 10,
-1,-1)
3 =舍
=—2,
(3^3y |(_!,_!)
r
= 10,
(-1,-1)
AC—B2>0,A>0,可知点（一1, —1）为z的极小值点
在点（0,0）处,
4
AZ
(0,0)
厂32z
=—2：
(0,0)
c=^7
(0,0)
=—2,
AC~B2 = 0,极值的二阶充分条件失效.
在点（D）沿夕=—工趋近于点（0,0）时，有
北=无° + ( —rr)4
—jc2 — 2工(一x) — (—xY = 2乂°>0
在点（D）沿夕=0趋近于点（0,0）时，有
z = x^ +0 — x2 —0 — 0 = JT4 —X2 9
当0<|工|<1时，总有N<0・从而知点（0,0）不是N的极值点•故选（A）.
【注】
二元函数极值的充分条件中，在驻点处AC-BVO时，可以直接判定驻点是否为极值j
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
；
S点，当AC~B2= 0时，可考虑用极值的定义来考查.
例 11. 13
设 z—z(x,y')是由 x2 — Qxy + lOy? — 2yz—J+ 18 = 0 确定的函数，则 z=z(x,y)(
).
（A）极大值点为（一9,—3）,极大值为一3；没有极小值
（B）极小值点为（-9,-3）,极小值为一3；没有极大值
（C） 极大值点为（9,3）,极大值为3；极小值点为（-9,-3）,极小值为一3
（D） 极小值点为（9,3）,极小值为3；极大值点为（-9,-3）,极大值为一3
解应选（D）.
所给问题为隐函数求极值问题，其求解方法与显函数相应问题的求解方法相同，只需先求出驻点，再
利用极值的充分条件判定.
因为z=z（x,y'）由方程
x2 一 6巧十 lOb — 2yz—z2 + 18 = 0
确定，将方程两端分别关于工和y求偏导数，可得
①
②
令竽=0,字=0,可得
dy
ox
x~3y = Q,
—3«z+10；y —n = 0.
177
考研数学基础
30讲•高等数学分册
工= 3》，
解得
将上式代入原方程可解得
工=9,
< y = 3,或 v
、z=3
将①式两端分别关于 D 求偏导数，将②式两端关于y求偏导数，可得
2
2一2》器—2
<
_2z
a2z
③
左=0,
— 6 — 2 — — 2y ° z —2 — . — — 2z Fz =o
y 9x3y
dy dx Z 3xdy U，
dx
20 —2
慕-2 鬻_2y 器_2
—2z
④
券=0.
⑤
当 z = 9,y = 3,z = 3时，訐=0,云=0,代入③，④，⑤式可得
4
4
3 =猛
(9,3)
(9,3)
7
§
(9,3)
可知AC-B2=^>0,A = y>0,从而知点(9,3)为z的极小值点，z=3为极小值.
类似地，将工=一9,》=—3,z=—3代入③，④，⑤式可得
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
=*
B=九
,
.32 z
(-9,-3)
T …\ c=l?l(
匕
-9,-3)
3
AC-B2 = ^>0,A=-y<0,故点(-9,-3)为z的极大值点，z=—3为极大值.
故选(D).
2.闭区域边界上的最值
例11. 14耳鼻働E垂型3
+，'下的最大值与最小值.
•z + j/ + n = 4
解记
F(xy zfi) = x2 -y2
z2
y2 —^)+^(j7 + j/ + z_4).
令
F； =2无 + 2 入工+“ = 0 9
F； =2夕+2 入 j/+“ = 09
< F： =2之一入+〃 = 0,
=x2-\~y2 ~z = 0,
E=z + j/ + n — 4 = 0,
解该方程组得P](1,1,2)，B( —2,—2,8)・
根据实际问题，函数“在所给约束条件下必存在最值，所得即所求，故“max = 72,%m = 6.
3.闭区域上的最值
例 11. 15
解
178
求函数f(j：,y)=x2 +2j/—J?)?在区域D={(jc,y) \工'£4,)20}上的最大值与最小值.
对于区域D的内部，这是无条件极值，求出可疑点并计算可疑点处的函数值.
77讲多元函数微分学
第
[只（施,1）,
[f^2x-2xy2=0,
»
f （PJ=/■（凡）=2.
令，
\fy =4y~2j：2y^0
Ip2（-V2,1）
对于区域D的边界，这是条件极值，考虑用拉格朗日乘数法或者直接代入法，这个题目把边界方程代
入会比较简单.
设 Li 为
jc2
y____
J 0 — 亡）=无° — 5jc2 +8
~\~y2 = 4（夕＞0）,于是有
g'O） = 4工3 — 1 Oz = 0=＞工 1 = 0,业,3 = ±
记
g（无），则
M = 2 , M ,3 =
巴（0,2）宀（腭,為）宀（—佰，腭）
即
设 L?为 y = 0（ —2Wz£2），于是 f（x,y）=f（x,O）—x2.故得
P6（0,0）,P7（-2,0）,P8（2,0）^/（P6） = 0,/（P7） = /（P8） = 4.
比较/（PJ至"）的大小，得九严8,几皿=0.
【注】求函数f（j：,y）在某区域D上的最值的步骤：
j
① 求出f{x,y}在D内所有可疑点处的函数值；
② 求出f（x,y）在D的边界上的最值；
③ 比较得到的所有函数值，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.
在实际问题中，如果可以判断出的最大值（最小值）一定在D的内部取得，且f（"在I
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
，则可以断定该驻点处的函数值就是
F, D内只有一个驻点
f^,y）在D上的最大值（最小值）.
2
j
基础习题精练
_______________________ P
【习题〕
11. 1
设 f{x,y}=<
(•r+y) sin --.-,
V^+y
(jr,j>)#(0,0),
则 f(x,y)在点(0,0)处(
(工，$) = (0,0),
10,
（A）连续，且偏导数存在
（B）连续，但偏导数不存在
（C）不连续，但偏导数存在
（D）不连续，偏导数也不存在
11. 2
函数 y（z,y）= /巧 I 在点（0,0）处（
）.
（A）偏导数不存在
（B）偏导数存在，但不可微
（C）可微，但偏导数不连续
（D）偏导数连续
11.3设函数/■&）可微，且/（0）=4^'J ^=/（4^2-y）在点（1,2）处的全微分dz|
/
11. 4
).
=_________ .
I （1,2）
设 z=f(x2 y2 ,e'y),其中 /X“,q)有二阶连续偏导数，求 z^,Zyy, zxy.
179
考研数学基础
11-5用变换
30讲•高等数学分册
(U = X—2y,
= h+
-32
^2
32
32
可把方程6共+窑一凭=0化简为行 =0,其中z有二阶连续偏导
OX
djcdy dy
duov
数，求a的值.
11. 6设函数" = /■(/ ,j：y,xz)具有一阶连续偏导数，又函数y = y(_z) ,z = z(z)分别由
sin ocy = y
ez =
sin tdt
J0
确定'求兽•
—严2在椭圆域D= {(心)|宀手W1}上的最大值和最小值.
11. 7*
心
求)"
11
*
8
求函数u = xyz在约束条件丄+丄+丄=丄(无＞0,夕＞0,之〉0卫＞0)下的最小值.
z
y
x
a
11.9
已知函数 z=fCx9y)的全微分 dN=2«zdz + si n yd》，且 /(1,0) = 2,求
1
【解答
11. 1
(B)解
=
lim
故*
")
lim
(jr + j/)sin —==0=7(0,o),
(z,y)*0,0)
(
(0,0)
在(0,0)处连续•又
更多笔记资料关注公众号△wsin
【考研666】免费分享
—
v
.
J (△Jr)?
[./(0 +Ax,0) —/(0,0) ].
1
lim-------------- ----------------- = lim---------- ------------- =limsin -r-―r
ZYr
2-0
I A»r I
0
A.r-0
不存在，则/：(0,0)不存在，同理£(0,0)不存在，故f(x,y)在点(0,0)处的偏导数不存在.
11. 2
(B)解
f； (0,0) = lim /(0十4?)_/(0,0)=]曲
°。丨 _。= 0 =人,
△工
△工一O
Zlr-0
* '°) =0 = B,
斤(0,0) = 1血厶°'-° + ¥)—°
故/■&,))在(o,o)处偏导数存在.又
Az = /(O + △jt,O +—/(0,0) = J | X •
故有lim
O
*A-r~
△_y*0
11.3
+ (Aj/)z
4djr — 2 Ay
,
汀爲
△n~~ AAr — BzXy
v/(A^)2
| —0= J|
不存在•从而心⑷在点°°)处不可
嘤
解
令
u
= ^jc2—甘，则
z = f(u),于是
f^ = /，(u)(4j?2—j/2=8jc/，(u),
抵
^ = f，(uH4x2-y2X = -2yf\u),
学
血I
=8八0) = 4,
(1.2)
I
= _4尸(0) = _2,
I(i,2)
所以 dz
=4dr —2dy.
I (1,2)
11.4
解
/=£ • 2砂2+咒• ye®,必= />2_zS + 兀・工占，
zII=fn •(,2xy2Y + fiz • yexy • 2xy2 + f\ • 2y2 +
=幷• 2y
*
+
180
少+总 • Cye^Y + f'2 • y2exy
• 2xy2 • *
必• y2^iy+fn • 4jry3e^+/i • 2b+y； • y2exy.
77讲多元函数微分学
第
同理可得
必=幷• ^y2+fz2 • x2 e2jcy +X2 • 4工纽凸 + /1 • 2.x2 + f[ • x2 exy,
£y= f：\ • 2x2 y • 2xy2+fi2 • xe'v • 2夂#+齐• 4_ry+/■彳•
2j;2 y
• ye®+总•压①• 丁申+£ • (e® + 巧申)
=总• 4工纽3十£；.巧宀+£； . 4工纽2申+歼.4巧+咒• (l+p)e~.
11.5解这类题有两种思路构造复合关系.
由于题中给出的是z关于工小的偏导数的方程 ，采用后一种复合关系，求出子，竽，…，代入所给方程
化简，较为方便.
dz _ 3z
C)JC du
du
3x
dz
dp
I
------- ---------------
djc
du
dv
OL_ d (dz 卜 0Z、. du 1 3 fdz.dz \ . dv_32^,
3x2 3u \ c)u Ou 丿 dx C)V \ du 3v / dx 3u2
c)2 Z +护 N
3u^V dv2
出 =_g_f空+空).西+ 2(空+空、.西=_2 亡+(a —2)空三+a 立
dxdy 3u\du dv) dy dv\3u dv) dy
^u3v
dv2
5u2
(j2 Z _ d .(―2空+ a空)西+ 2(—2空+a空)西=4主—仏虽+/ 亡
Sy2
du
du2
dv / dy 3v \
dv / dy
dudv
()U
dy2 du 1
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
代入所给方程，化简得
g2z
/
(10 + 5(2)-―—+ (6 + a — a2)77^ = 0.
dv
duov
由题设卫应满足
10 + 5aH0，
6 + q — <22 — 0,
所以a = 3.
【注】本题最后形式歳=0为已知，所以也可采用如下复合关系，
z
2
2
》
V
＞求出盘，…9血：匸表示为墓，幕'…的关系，再利用原方程求得a = 3.
11.6
解
J
复合函数u = f^2,xy,xz｝两边对x求导数得
兽2小;•（宀劉+乳（+•£）•
①
由隐函数sin xy = y求兽.等式sin xy = y两边对x求导数得
（COSQ）•（卄乂 兽）=篇
解得
②
字=严心•
dr 1—xcos xy
181
0^
考研数学基础
30讲•高等数学分册
由隐函数e* = [ sin tdt求半.等式e:
Jo
sin tdt两边对x求导数得
e* 半=(sin
Az \
jcz)
£丿
dz_ zsin jcn
dr ez — j;sin xz
解得
③
将②,③式代入①式，得
鲁"• 2十°
11.7分析
J/COS 巧
)+/!
1 —jtcos jcy
NSin EN
• (z + z e2 — jrsin xz
因为只求函数f(x,y)=x2~y2 + 2在椭圆域D上的最大值和最小值，而不求极值，所
以，只需求出D的内部及D的边界上的驻点和导数不存在的点(不用判断它们是否为极值点)，并求出这
些点的函数值，然后比较它们的大小，即可求出最大值和最小值.
解先求D内部的驻点和导数不存在的点.
/=2工=0,
得唯一驻点(0,0),/(x,jz)在D的内部没有导数不存在的点.
令乂，
l£ —
— 2y = 0,
再求f(x,y)在D的边界上的驻点和导数不存在的点.
+手=
*
这是条件极值问题，边界方程
1为约束条件•构造拉格朗日函数
尸(工，3/,入)=工2—歹2+2+入(无2+才—1),
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
E = 2h + 2 入乂 = ()9
<E=—2y +务=0,
令
£"+手-1=0,
解上述方程组得四个驻点(0,2),(0,-2),(1,0),(-1,0),计算得
/(0,0)-2,
/(0,2)=/(0,-2) = -2,
y(l,0)=y( —1,0) = 3,
故函数f(x,y) = x2-y2 + 2在椭圆域D= {(巾)卜+石© }上的最大值和最小值分别为九严3,
令★())= —三》=0得)=0,于是得驻点(1,0)及(一1,0),并把这两点处的函数值和两个端点(0,-2),
》
5 (0,2)处的函数值作比较亦可.
11.8解构造辅助函数
F(",E)=q+G +十+ ”十
182
第
77讲多元函数微分学
|^ = g-A = o,
OX
X
学F—与=0,
<
令
3y
y
a _c
3F_
亍巧—尹=0,
尊亠丄亠丄 =0,
a
x
y
d\
z
解得
oc = y = z = 3a 9
从而根据2>0,»>0,之>0,可知u = jcyz有最小值为况min = 3a • 3a • 3a = 27tz3.
11.9解由全微分定义知
夢=2工，S",
dx
dy
于是
=
,且 |^="(y) = sin _y,从而得卩(y) = — cos y + C,于是 /(工,丿)*
cos j/ + C・
再由/(l,0) = l —1 + C=2,得 C=2,所以 f(x,y)=x2 — cos y + 2.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
183
第72讲
二重积分
基础知识结构
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
基础内容精讲
―、概念、性质与对称性
1.几何背景
二重积分的几何背景就是曲顶柱体的体积.
简要说来，第8讲按照“分割、近似、求和、取极限”的步骤求出了二维平面上“曲边梯形的面积”，现在
我们可以用同样的办法求出“曲顶柱体的体积”，这就是二重积分JpXijOdc.
D
具体说来，设/（工,丿）》0,如图12-1所示，被积函数/（工,丁）可作为曲顶柱体在
z八
点（工,了）处柱体微元的竖坐标（高），用底面积de乘以高yQ,y）,得到一个“小竖
条”的体积，再在区域D上把所有的“小竖条”累加起来，就得到了整个曲顶柱体的
体积.若*
z,y ）V0,柱体就在工0,面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体人
积，但二重积分的值是负的•不过，无论高/（工,》）是正还是负，底面积曲不能是负
184
图 12-1
第
72讲二重积分
的，即曲＞0,否则就不符合二重积分的定义了，这一点要注意.
在考研数学中，一般假设在D上可积，即二重积分总是存在的.
2.性质
性质1（求区域面积）JJl • do =阴 =A,其中A为D的面积.
I）
性质2（可积函数必有界）
D
当在有界闭区域D上可积时在D上必有界.
性质3（积分的线性性质）设kx，嚴为常数，则
JJ Lkxf（x,y） 士 爲g（z,_y）］dcr
居』/'（ijOdcr 土 上2』g （工,））（16
D
性质4（积分的可加性）
D
D
设在有界闭区域D上可积，且D. UD严D,DfD2 = 0,则
/(t,^)dcr + JJ
D
性质5（积分的保号性）
D,
q
当在有界闭区域D上可积时，若在D上,
jp"（z,y）d（T W JJg（z,y）d6
则有
D
D
特殊地，有
I /■（"，））丨 da.
D
D
性质6（二重积分的估值定理）设Mm分别是在有界闭区域 D上的最大值和最小值,A为
D 的面积，则有
mA
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
D
性质7（二重积分的中值定理）设函数/•（乂7）在有界闭区域D上连续，A为D的面积，则在D上至
少存在一点（&”，使得
jp'（^,j/）d（7 - /（e，v）A.
D
3.普通对称性与轮换对称性
前面已经叙述过，二重积分的几何背景是曲顶柱体的体积.请理解并牢记
下面这句话：“用底面积血乘以高/■&,））,得到一个'小竖条'的体积，再在区
域D上把所有的'小竖条'累加起来，就得到了整个曲顶柱体的体积 •”基于这
个思路，就可以谈普通对称性和轮换对称性了.
第一，普通对称性•设区域D关于y轴对称，如图12-2所示，取对称的两块小
面积（±r,对称点分别为（乂, y）与（一工,y）,则对称点处的高分别为与
）心
*
/（—工｛）.依据定义,对称位置的两个“小竖条”的体积分别为fCx,y）c\o与于（一工
因为cb —样，所以，当时,f（x,y）da=f（.—J：,y）do,体积相同，此时只需计算对称区域的一半,
然后乘以2,即可得到整个积分值;而当/（j：，3＞） = —/（—时,f（T,y）du=—f（—j：,y'）da^对称区域的体积正
好相反，这样累加起来的总体积自然就是0.于是,我们有
2jJ/Q,y）cLrd_y,
fCx,y） =
,
D,
D
0,
=— f（— j：,y）,
其中D是D在，轴右边的部分.
你看，这种基于概念的分析方法，不用死记硬背，而且真正理解了本质.区域D关于工轴对称、关于原
185
30讲•高等数学分册
彳考研数学基础
点对称的问题，都与此类似.
第二.轮换对称性.这是考研的重点，也是很多考生始终弄不明白的地方•先看下面的一个问题：请问
(2分+30也旳是否等于JJ
JJ
(2j/2 + 3/)dych?答案显然是肯定的.因为上述两个积分只是
<1
将攵与y这两个字母对调了，而积分值与用什么字母表示是无关的，这里并无任何对称性可言•抽象来说,
便有
jj
fC^,y)dj：dy
f(y,x)dydx.
D”
*
(2 + 3b)dzdy是否等于
再看一个问题：请问
D 烽+才 Vi
J
(2b + 3攵2 )dydr?答案当然也是肯定
D：亍
的•理由如上，不再重复•不过，你是否注意到，这个问题中的区域D有个特点，就是当你把z与，对调后，
区域D不变(事实上，区域D关于丿=工对称).于是抽象化写出的式子为
//■(•r’jOdzdy =』/'(y,Ir)dydH，
D
D
令 dcr = dzdy = d^d^?,J /(J：»y)da = jj/,jr)dcr.
D
D
整理一下，我们可以这样来描述：
若把工与y对调后，区域D不变(或区域D关于y =工对称)，则
更多笔记资料关注公众号
D
D 【考研666】免费分享
这就是轮换对称性.
轮换对称性在解决某些“棘手”问题时往往很巧妙•看个例子.
■5剧!■
求I =
解
设区域D= {(z,y) E+yWl,工为D上的正值连续函数,a,6为常数,
a 〃(工)
b 77^7+ vTGT
①
被积函数是抽象的，无法直接计算，不过我们发现，若把工与丿对调后，区域D不变，也就是说
区域D关于)=乂对称，根据轮换对称性，有
a 〃(工)+6v7~(y)山= rra 〃(y) +6v7~O)d,r
b v7(IT+ v7(3o g vWT+ TJw a，
do = jj(a + 6)dc = (a + 6)
21 = 『a Jf ⑺ +b"(y)d17 +
y 77^7+ vWT g /7GT+
D
I =
壬兀•
故
r
于是
l2,
a+b
I = -8~n-
二、计算
1.直角坐标系下的计算法
在直角坐标系下，按照积分次序的不同，一般将二重积分的计算分为两种情况，如图12-3所示.
186
第
■>
x
~o
(a)
72讲二重积分
(b)
图 12-3
jJ/'(jr，3/)dtr = j djr
03
其中D为X型区域呼申2（攵），a冬工冬b
卩3
D
*( <J)2 (y)
、d
（2） JJf（T,j/）df7 = J dy
/(jr,j/)djr,其中 D 为 Y 型区域讷(？)M 乂 W 0(，)，c < y W d・
D
有一点需要指出，这里的下限都必须小于等于上限.
2.极坐标系下的计算法
在极坐标系下，按照积分区域与极点位置关系的不同，一般将二重积分的计算分为三种情况，如图
12-4所示.
(a)
(b)
(c)
图 12-4
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
jjf (j-,j/)dcr =
/（rcos（9,rsin（9）rdr（极点0在区域D夕卜部）;
D
(2)
JJf(T,J/)d(T =
/（rcos 0,rsin （9）rdr（极点0在区域D边界上）；
D
/(rcos (9,rsin(9)rdr(极点 O 在区域 D 内部).
需要指出的是，有很多同学在复习的过程中提问，为什么在极坐标系下不讨论积分次序的交换问题
呢？问得好•事实上,在极坐标系下，几乎所有的计算都是先积广,后积0,所以一般不讨论.
3.极坐标系与直角坐标系选择的一般原则
一般来说，给出一个二重积分.
① 看被积函数是否为/（^2+y）,/（^-）,/（—）等形式；
② 看积分区域是否为圆或者圆的一部分.
如果两者兼是，那么优先选用极坐标系.否则，就优先考虑直角坐标系.（这只是一般原则，是大方向，
请大家一定不要教条化）
4.极坐标系与直角坐标系的互相转化
把握两个桥梁就可以，一是用好
（jr = rcos 09
这个公式；二是画出区域D的图形，做好上、下限的转化.
[?=厂sin 9
请看后面例题中对具体问题的分析.
187
30讲•高等数学分册
考研数学基础
基础例题精解
P
1.直角坐标系下的计算
例 12. 1
设人=
sin
% —夕
2
b
无―）
2
D
3
2
dxdy,IA =
F
dzdy，其中D
2
).
{(z,y)|(z—l)2 + (y—1)2 = 2},则(
(A)；! <I2< I3
sin
drdy,I
(C) I3 <【1 < I2
(B)Z2 < Is < /
(D)h <12<1}
应选(D).
解
G D,且（工,夕）丰（0,2）,（无,歹）丰
当 Q,«y）€ D 时，一2£乂一歹冬2, — 1三"2 » W 1 ‘则当
(2,0)时，0 <
< 1,从而
2
宁「|宁「<|宁|
0<
2
所以
0 < JJSm
D
2
dxdy V
F
ln
D
y
2
< 1,
drdy.
3
又由轮换对称性知」3
=
sin
2
dxdy = 0.于是人V D V人・
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
D
而』ydzdy
=J 2 J
y
D
例 12.3
J
歹山=
F(1
J］
_歹心=_ -|■，故
2
』
D
计算『I y — jc2 | max {z, y } drdy,其中
D
D = {（w,》）I OWzWl'OWpWl}.
解
用曲线y = y和直线夕=工将区域D分为三块:DmD2,D3,如图12-6
所示.
在D上,
y^x2=> I y — x2 I =y — jc2
{jc,y}=y.
在D2和D上可做类似分析，故
188
图 12-6
第12讲二重积分
y — j：2 \ max {x^y} Ax Ay =
= ［（*—专—专十专
(y
jj/dzdjy +
刁一左+工'
dj? +
(x2 — y}jc(\xAy
+
(y 一 x2
11
40
ax +
2.极坐标系下的计算
例 12.4
设区域 D={（D）|«z2+y<R2},计算
+自
解
drdy
D
D
、R (/ r2 cos2 0 _|_ r2 sin2 0
=『"胡「
b2
a2
r4 I R
.
、
/ cos2(9 | sin%
C2n ( cos2(9 丄 sir?0 d0『尸卄
Jo (丁十矿
rdr
」c
tcR4
t|o,4Jo (丁+矿) 岀i
i
(a2 +62)
4他
【注】本题还可以用轮换对称性来求解.
2n
I
dO J
§
(r2 cos2^ + r2 sin29) rdr =
兀尺
")・
0
3.直角坐标系与极坐标系互相转化后的计算
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
二重积分的考研题有个基本特点，就是命题人所给的坐标系往往是不容易甚至是不能做出积分
的•这就出现了两个出题角度：一是给出极坐标系，你需要转化成直角坐标系去计算；二是反过来，给
出直角坐标系，你需要转化成极坐标系去计算•如此“伎俩”，命题人用心良苦，不过我们早已看透，见
怪不怪，请看两个典型的例子.
题目直接告诉我们，请计算I
=
— * + b山旳,其中D是由y=z,z=l,y=
图12-7
D
0所围成的平面区域（见图12-7）,恐怕没有人一上来就用极坐标去计算，因为显然，被积函数中不含
的形式.且积分区域不是圆的一部分,所以优先考虑的应该是直角坐标系•而当命题人“故意选择错误的路
子”去做题，做到某一步做不下去的时候，他停下来，请你帮他继续做下去，就出现了如上的考题.最后不得
不指出的是，此题的得分率极低.
解我们先画出积分区域D,然后将积分化为直角坐标系下的二重积分，再去计算，即
I = JJr2sin 9
\/1 — r2 cos2（9 + r2 sin2（9drd0 = j|jy a/1 — / + b d_zdy
D
D
=4-
［
dz
［
/JoJo
/ _ 工2
+ y2
d（ 1
一工2 +『2 ） = £ ［（］ 一工2
O
Jo
+）2
）
2
I
Io
189
考研数学基础
30讲•高等数学分册
丄
(1 —
设工=sin
例 12. 6
解
t,则/
=寺 ---- f2 cos
*
3 Jo
x2) 2 ]dj;.
tdt =
x — X — X —=—--------- —
4
2
2
16'
3
3
3
”心
z+y ,
「
计算/ =「' 血「
F?如
…
J 0“
J 1—x
产
本题乍一看，也许我们会先考虑题目是否在积分次序上设置了障碍，是否需要
交换积分次序再做积分，但是，细致做来，我们会发现不管是先对工积分，还是先对丿积
分,都不容易计算•看来这不是积分次序上的问题,这时想想看是不是选择何种坐标系
的问题呢？被积函数中含有分+b的形式，且积分区域是圆的一部分，如图12-8所示,
显然应该优先考虑极坐标系，题目给出的却是直角坐标系，我们需要改变一下•于是，有
「（cos 与
|
」cos 外 sin 0
J。
「cos
0+sin 0)
o
cos
=cos 0d0 +
Jo
图 12-8
sin 0）站
r2
&十 sin
&
9d9 —
sin
0
0
1+1-f = 2-f
4.积分次序
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
例 12. 7
计算fdz
+亞 '2
sin
•兀工]
解由于咽囂作为 y的函数，其原函数不能用初等函数表示, 因此交
换积分次序.
区域D由直线y=x,y = 2及抛物线丁 =后所围成，如图12-9的阴影部
分所示，因此区域D可以写成D = {^,y）\^y^2,y^x^y2},故
图 12-9
•2
d无
sin
77
sin
*2
COS f- cos
1
7T
5.用二重积分处理一元积分的问题
例 12. 8
设/（无）=f
sin（7rw2 ）du,求［/（jr）djr.
0
解方法一
o
/(jr)dj? =
xf (h)
1
0
0p
=
J 0
J jrd |^J sin(7ru2 )du J
1
xsin(7t^2 )dj? = —.
7t
方法二化为二重积分，交换积分次序.
/(jr)djr =
o
190
dx J
1
sin（7rw2
）du = jj sin（7r«2 ）dud:r
D
—(2 + 7T)・
7C'
第瓦讲二重积分
=[du
J0
r
J0
•
1
p .
sin(7t/)dz= 况sin(7cz/)d” 一
Jo
7T
这里，£)={(工9况)I o£«zWi，无}.
设/Xz)为恒大于零的连续函数，证明「/(^)dT •
例 12. 9
dr $ 1.
J 0
证明
设 D={(工小)| OCrWl ,0£j<1},则
/(jc)dj?
=J f(j：)dx •
dx
0
f(x)dx •
d«z = 『忽d迪,
/(y^dy •
0
0
因此
cLzdy 9
dy
D
dxdy +
Q
.怎需隔
訝2隔=1.
D
例 12. 1()
计算
解设/ =
0
r+oo
J0
_ 2
=
e" dx
y djc •
e
* dy
e
djr •
0
0
0
e"+⑺ clrdy
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
0
0^x<4-oo
0€y<+°°
用极坐标变换
•+oo
0
»
e_ r • rdr
d0
0
7T
J
4-00
e»d(— r2)
0
+ oo
7T
z
0
e_，drc
由积分保号性知1>0,故1 =
=乎.
0
【注】这一结果经常用到，最好记住.
2
门
基础习题精练_________________ ___ ___
_____
,
I习题I
12.1
按两种不同积分次序化二重积分JJ・f(D)cLrdy为累次积分，其中D为:
D
(1) 直线v = ^,抛物线b = 4夂所围闭区域；
(2) 直线y = 0,曲线y = sin x(0
j:
7t)所围闭区域；
(3) 0 — IF + 0+1)2 < 1所确定的闭区域.
191
考研数学基础30讲•高等数学分册
「cos e
ry
累次积分
12. 2
J 0
r
fl
(A)
dy
1 0
dO
J 0
/Xros 0，厂sin 0)nJ厂可以写成(
(B)
・1 0
f{x,y}Ay
0
0
12.3
f(x9y)dx
J
Cdd * Vx-T
(D)
f(x,y)dy
d)
J 0
T
(C)]
r
1r
y-y
).
+ e-sinx）dj'dj/ $ 2t?，其中D = ｛（工，歹）I 0三工£兀，0 =夕冬兀｝・
证明：
D
_1_
12.4
12. 5
12. 6
1
1
交换积分次序:J dy |V7/(乂,夕)山+ | '~2j dj/ | ■T
y
y
T
计算二重积分 e®/，向 dzdy,其中 D = {(") |0<
b
1}.
计算＜ = 『?e 2 + ¥ dzdj/9 其中 D = {(ip) | OWzWl’OWpMl}.
D px -\- py
JJ
12.7
计算二重积分*
/=]]
#
设区域D= ｛（工力）I分+ y
D
12.8
设 F(t)=
JJ
f(X,y)dxdy,其中 fCx,y)=
1,
1,
0,其他，
求F（t）的表达式.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
12.1解
（1）如图12-10所示，则此二重积分可化为累次积分
f2/7
ckj f(jr,y)dy 或
f(x 9y)dx.
I'
1
J 0
（2）如图12-11所示，则两种不同累次积分为
1
f(T,y)dy 或
f
・
0
（3）如图12-12所示，则累次积分为
f-l+ ^2x-x
*2
d”
0
12.2
（D）
解积分区域0 =
(■z,y)
192
ro
___ f(x,y)dy 或 |
J -1- V2.r-T
J -2
fl + V-2y-y
dy|
____ f
J \-y/-2y-y
，化为直角坐标，可表示为
第12讲二重积分
积分区域D如图12-13所示，且关于丿=工对称.
证明
12.3
I
严山曲+
+ e~s,n')djd
D
jJe_sinjdjrd3/,
D
D
.rr .,,轮换对称性
由于-es,n『dxdy----------- ---- 卜心山旳,故
D
D
2dxdy = 2 十，
+ eFjclzdy
drdy +
D
D
b
其中严+ ef > 2
• e_s,n
1
•T
2.
积分区域为D =
解
dj'J 2f(x,y)dy
D
，故应填
0
1
'~2
12.5
解
设 D] = {(无,夕)| 0£乂£1 HWyWz} 9D2 = {(j：9y) | 0£工£1 mWaWI }，则
jpW 小 clrdy
fl
解
d:r +
0
0
0
dzdjy + II ey dzdy
d,
D2
D,
djr [ *e dy +『dy [ e『dz =
0
严肘,小dzdy =
e"1”/向 clzdy +
D
12.6
「r
dr I _22f(x,y)dy.
J
“ J
J0
O2
yey dy = e — 1.
积分区域D如图12-14所示，D关于直线)=2对称.
由轮换对称性，得
1 rr/2e? +3』,2e7 + 3e‘ \ ,,
=TJ.I (
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
5
5
irdy = y X 1 = y.
D
12. 7
解
2 d0 :占皿二別(]+/)[
因为I,
A
—d迪=
0
D
所以
4
fln2.
今s 彎 0卄=「cos Osin O
J-f
\+r2
.
I = Ii + h = yin 2.
12. 8
解
由被积函数fgy)的表达式，可知F(t)在数值上等于区域x + y^t与正方形
OWyWl的公共部分的面积.
当
时,F(t)=O；当 0VtMl 时,F(Z)=yi2;当 1
时,F(t) = 1 — *
(2 —M ；当 t>2 时,F(t) = l.
综上所述,
'0,
+尸，
Wo,
0</£1,
F(t) =v
—g■厂+ 2t —■1, lVt£2,
.1,
t>2.
193
第73讲
常微分方程
基础知识结构
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
194
73讲常微分方程
第
I基础内容精讲
HiF^------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------
一、微分方程的概念
1.微分方程
表示未知函数及其导数（或者微分）与自变量之间关系的方程称为微分方程•一般写成
FLx,y,y'，…= 0 或=于女,),“，…
2.常微分方程
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程•如：_y〃一y" + 6y = o,ydz—（工+
）d^ = 0.
3. 微分方程的阶
方程中未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶•如：/ —『+6）= 0就是三阶微分方程.
4. 微分方程的解
若将函数代入微分方程，使方程成为恒等式，则该函数称为微分方程的解•设丿=丿（工）在区间J上连续且有
直到n阶的导数，使FCz,y（_z）（jc） ,••• ,#"> （工）]三0,则称y=yCx）为该微分方程在区间I上的一个解.
5. 微分方程的通解
若微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数，则该解称为微分方程的通解.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
也就是说，若y = y（z，G，G，・・・，C”）是n阶微分方程FO,，,"，•••，3/叮=0在区间/上的解，其中
G，G ,…，C”为n个独立的常数，则称它为该微分方程的通解.
6. 初始条件与特解
确定通解中常数的条件就是初始条件.如：y（z（）） = a。，_/ （工。）=5 ,（去）=an-x '其中a0,
5,…，a” t为”个给定的数.确定了通解中的常数后，解就成了特解.
二、一阶微分方程的求解
1.变量可分离型
能写成<=/（z）gO）形式的方程称为变量可分离型方程.其解法为
例如：
Q = e"+C（隐式解），
dv
r
r
F = e'P = e‘ ■「>'=> £ dy = e『（izn
[y=ln（e「+C）（显式解）.
山
丿
J
见例13. 1.
【注】有时将g（y）放到分母中，即要求g（y）H0,但g（y）本身并没有非零的要求，可能会丢解，J
i丢的什么解？该如何处理？见例13.2的“解"与“注”.
5
2.可化为变量可分离型
（1）形如兽=/'（处+於+（7）的方程9其中常数a,b全都不为零.其解法为令u = aj：-\-by-\-c 则兽=口 +
195
考研数学基础
30讲•高等数学分册
煜，代入原方程得^ = a+bf(u\见例13. 2.
(2)齐次型微分方程.
如，对于微分方程
J? + j/COS —
1
1 + —cos —
乂
工 _
aj/______________ 2 _
将其变形为
dx
J7COS
y
JL
x
cos
y
—
x
申
y_
X
形如矣=卩(于)的方程叫作齐次型微分方程•其解法为令 "=丄,则
X
dw
|
dy
y = ux^-7— = u~rx -7—,
ax
ax
于是原方程变为工半+ “ =申(“)，即/呼 =主.见例13.3.
(p\u) — u x
djc
'
3. 一阶线性微分方程
形如j/ + p(_r)y = g(_r)的方程，其中p(z),g(z)为已知的连续函数，其通解公式为
)=討乂皿
(皿
• g(_z)d„r + c］
具体见例13. 4.
请大家一定要掌握该公式的推导过程，这是一个很好的锻炼机会，不要错过.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
推导计算公式在方程两边同时乘以血，得
/>(x)dr
• y =』心皿.*
e卜皿• y' + eJgdrpQ)
刃 ,
e"皿• q(_r),
于是
epQ)飪•)=
两边积分，得
加皿• q(z)d_r +C,
)=e-kl,>dj
则
【注】
在一阶线性微分方程的通解公式y = eT心也
p(x)dj： = In |
』心皿• g(z)d工十C］中，若
爭(乂)| ,
』小皿=| 卩Q)丨=±0(夂)，e->,,dr =±—^-,
则
(plQ
代入上述公式中，有
y
=土
令士c
) dJT + C
卩(刃•
g(jr)djr + D ,
］其中D依然为任意常数，故皿=|肛工)|可不加绝对值.
在其他计算过程中，若出现In “，且"不知正负，一律加绝对值.
\
196
第
73讲常微分方程
4.伯努利方程（仅数学一要求）
形如y' + p （j-）j/ = 9（j-）3>"（n#0,l）的方程，其中卫（工），耶工）为已知的连续函数.其解法具体步骤为
（1） 先变形为 J-" • y' + 〃（工）_/_" = g（z）；
（2） 令 z=,得侍=（1 _“）丁"窖'则］2■” •牛 + P（z）z=g（z）;
（3） 解此一阶线性微分方程即可.
见例13. 5.
三、二阶可降阶微分方程的求解（仅数学一、数学二要求）
1. yz=/（x,y）型（方程中不显含未知函数夕）
（1）令j=po ,『=//,则原方程变为一阶方程学 =y（_z,卫）；
（2）若求得其通解为力=卩（工,&），即j/ = 9（z,Ci）,则原方程的通解为y= J卩（z，G）dz + C2.
见例13. 6.
2. yf=f（y,y）型（方程中不显含自变量工 ）
⑴令^/=p,yz=^=^ •髡° "，则原方程变为一阶方程p鲁；
（2） 若求得其通解为p =（p（y,Cl）,则由”=窖可得兽= O（y，G），分离变量得以;£）=山;
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（3） 两边积分得［.d3L . =z+G,即可求得原方程的通解.
J （p I y 9 Oj）
见例13. 7.
四、高阶线性微分方程的求解
1.概念
（1）方程p（x'）y，+ q（jc） y = f（x）称为二阶变系数线性微分方程，其中〃（_z）,q（_z）叫系数函数,
/（工）叫自由项，均为已知的连续函数.
当/'（工）三0时,y，+ p（x）y+qC^y^0为齐次方程；
当/■&）不恒等于0时（工）3/ + gQ）y = y（_z）为非齐次方程.
（2）方程y/+py+qy=f^称为二阶常系数线性微分方程 ，其中p,q为常数JQ）叫自由项，为连续
函数.
当f（j?）=0时，3/'+py' + gy=0为齐次方程；
当/•&）不恒等于0时,y+py+qy = f^为非齐次方程.
2.解的结构（以二阶为例）
（1） 若y （工），曲乂）是/+pQ）“+g（z）y=0的两个解，且常数），则称y （工），力（工）是该方程
的两个线性无关的解.且》（工）=6卩（工）+02力（云> 是方程y"+p（^y+q（^y=0的通解.
（2） 若 y（jr）=Cij/i（jr）+C2；y2（无）是『+戶（刃3/ + <7（力）夕=0 的通解，？* （无）是
3/' + p（«z）j/ + g（H）;y = /（ 乂）
197
30讲•高等数学分册
丫勺彳考研数学基础
y(z)+y
的一个特解，则*
(工)是『+p(jc)y'十水小丁二/'©)的通解.
(3)若 y；(工)是『+ 〃(工)3/ + g(z)y =九(広)的解，外(z)是 _/ + p(z) _/ + g(z)y =九(z)的解，
则 y：(工)+》2* (工)是『+p(z)：/ + g(z)y = /'i(z)+/'2(工)的解.
3. 二阶常系数齐次线性微分方程的通解
对于y^py+qy = Q,其对应的特征方程为F+p『+g = 0,求其特征根，有以下三种情况请大家牢记
(其中GC为任意常数).
(1) 若b — 4q>0,设r,,r2是特征方程的两个不等实根，即r,#r2,可得其通解为
y — C{ e.r<x -VC2e.r,JC.
(2) 若p? —4g = 0,设r,,仪是特征方程的两个相等的实根，即二重根，令n=r2=r,可得其通解为
3^ = (Cj + C2j：)err.
(3) 若p2—4gV0,设a士0i是特征方程的一对共辄复根，可得其通解为
j/ = e<u (C] cos 0z + C2sin 卩工).
4. 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
对于y+py'+qy-f^A考试大纲》规定我们需要会解以下两种情况.
设P”(工),P,”(z)分别为z的"次、血次多项式.
⑴当自由项/•(z) = P”(z)e“时，特解要设为y" =e"Q”(曲,
凸照抄，
Q”(z)为x的"次多项式,
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
，
a不是特征根
其中
1,
L,
怡={
a是单特征根9
a是二重特征根
(2)当自由项 *
_r) = eE[P,”(QcosEr + P”(_z)sin&r]时，特解要设为
y =e""
*
(z)cos &r + Q? (z)sin
,
照抄，
彳
其中
l = max{m,n} ,Q号(工)，Q<? (z)分别为工的两个不同的l次多项式，
JO,
a±/3i不是特征根，
\ 1,
a±/?i是特征根.
见例13. &
5. ”阶常系数齐次线性微分方程的解
方程H------ P”'*
+ "”y = 0称为n阶常系数齐次线性微分方程，其中pl , />2，…，P”为常
数，其对应的特征方程为r" + pw"T+ ••• + />,,一/ + p” = 0,求出其特征根.有如下情况需要大家牢记(其中
大写的英文字母均为任意常数).
(1) 特征根为单实根厂时，微分方程通解中对应一项 Ce";
(2) 特征根为怡重实根r时，微分方程通解中对应k项(Ci +C2
------ )e"；
(3) 特征根为单复根a±0i(0>O)时，微分方程通解中对应两项e“(Gcos&r + Gsin/Jz)；
(4) 特征根为k重复根a士血(/3>0)时，微分方程通解中对应2k项
+C
j?
e"[(Ci +C2x+ ••• *
见例13. 9.
198
t_1 )cos 0_z +(D + D2Z ~ • + Dkxk~l )sin 血].
73讲常微分方程
第
例题精解
___P
一、一阶微分方程的求解
1.变量可分离型
例 13. 1
微分方程 < =型二竝的通解是
.
----------------------------
-r
分析本题为变量可分离的微分方程，也是一阶齐次线性微分方程，任选一种方法解之即可.由于题
中工在分母上，故zHO.以下不再指出.
应填y=Cxe~^C为任意常数).
解
分离变量，并两边积分，设『工0,有
In | y | = In | 工 | — x + G ,
去掉对数符号，得
丨 y | = er' |
x
| e_r.
令C2 = e(;>0,再去掉等式左、右两边的绝对值符号，得
y^Cjre^'" (C= +C27^0).
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
另一方面7 = 0也是原方程的一个解，此解可以认为是上式中令C=0而得到，故得通解
y = Cze"(C为任意常数).
i
【注】
本题为2006年数学一的实际考试题•题虽简单，但答题错误不少.下面4种答案都是I
错的：
①In y=ln
x-x + C-,②y=e<NeP；③)=0卍_ ；④y =』zr+c.
其中①限制了 x > 0,)〉0；②限制了広与y同号；③限制了工〉0；④限制了 z > 0,)> 0.这
些错误大都源于将积分J
= In |
x
| + C做成了
= lnz + C,
竽=
ln® + C做成了皆=I
In y + C.
$
2.可化为变量可分离型
例 13. 2
求微分方程d^= sin(jc + j/+ 100)dx的通解.
解①方程可写成£ = sin(x + y+100),令“=工+》+100,则兽=1 +竽，于是原方程化为兽=1 +
sin “，就得到了变量可分离型方程.
分离变量
②
，得
-- = dz,恒等变形，有
1 十 sin u
一
1 —sin
m
=dz,即(sec'" —tan usee “)d“ = d_r.
两边积分，得tan w —sec “ = z + C.将" = z + y+100代入，得原方程的通解为
tan(z + y+100) 一 sec(z+y+100) =x + C,
其中C为任意常数.
199
30讲•高等数学分册
丫勺彳考研数学基础
【注】
事实上，在本题解析过程中的②处，分离变量得］+?n厂吐时，默认了一件事情，那就；
是sin “H —1,回避了 1 + sin
u=0的情况，从而丢掉了全部解中的部分解(可称为“奇解”).当sin u
—1时，得
卄 y+100 = 2kn~^-
j其中^ = 0, + 1,+2,-.在《考试大纲》中，只要求求通解，并不要求求出全部解.
例 13.3
$
设L是一条平面曲线，其上任意一点P(z,y)Q〉0)到坐标原点的距离恒等于该点处的
切线在)轴上的截距，且L经过点(y,0).求曲线L的方程.
解
设曲线L过点P(_z,y)的切线方程为Y —y = y'(X —工).令X = 0,得该切线在y轴上的截距为
丿一巧'・
由题设知V^+7=y-xy\令“=丄，则此方程可化为」==—主,解之得
a
/T+I7
工
_y+ ^x2 +y2 =C.
于是L的方程为y十x/P+y=y,BP严壬一工心＞0).
.*
* ，0)，知C=
由L经过点(
3. 一阶线性微分方程
例 13.4
设F(_z)=yO)g(_z),其中函数/Xz)与g(_r)在( — oo,4-oo)内满足以下条件:
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
*
/''(z) = g(H),g'(H)=/'(_z),且 /(0)=0,/(jc) +g(_r) = .2e
(1) 求F(_z)所满足的微分方程；
(2) 求出FQ)的表达式.
解
(1)
F'(z) =/''(z)g(z)+/'(_z)g'(z) =g2 (z)+尸(工)
=[g(工)+ _/(工)了 — 2/'(_r)g(工)
— 4e2x — 2F(.x),
FQ)满足 F'(z) + 2F(工)= 40及初始条件 F(0)=y(0)g(0)=0.
(2)解关于F(z)的一阶线性微分方程F'Q)+ 2F(z)=40,得
F(z) = e~ (pe2, - e2jdjr +C)= e "(e“ + C),
再由F(0) = 0,得C=-l,所以F(z)=e“一厂巴
4.伯努利方程(仅数学一要求)
例 13. 5
解
求 ydx= (1 -\~x\n j/)jrdj/(3；＞0)的通解.
方程变形为半一丄工=也川，这是以y为自变量,工为未知函数的伯努利方程(如果以工为自变
y
y
dy
— 工与y,谁作为
量,y为未知函数来解方程，是极其困难的.所以当我们遇到困难时，要学会“换位思考”—
自变量，谁作为未知函数是可以互换的).
① 两边同时除以/，并令乂=才，有半=一2半，于是方程化为半+丄
*
= —心；
x dy
d;y
ay y
y
② 应用一阶线性微分方程的通解公式，得
200
73讲常微分方程
第
丄
Z = — = e_ln
JC
故通解为PlTny+R>0,C为任意常数）.
二、二阶可降阶微分方程的求解（仅数学一、数学二要求）
1. yr，=f（.x,y｝型
例 13. 6
解
求『=台令的通解•
,则『 = 〃'，将其代入方程后可得p，= ] j?.
设J
此方程为变量可分离型方程，分离变量得乎=总Jdz,两边积分并化简，得p = G（*
l+
）,从而有
y=c,（i+^2）.再两边积分可得原方程的通解为y=G （工+寺川 ）+G，其中G，G为任意常数.
2. /=/（，，"）型
例 13. 7
解
求微分方程2yy"+（j/）2=0的通解，其中夕>0・
①令y' = P，则『=P驚'于是原方程可化为一阶方程2必帛十疔=o,即p（2y囂+/）
dy
=0,故
2y览+ p = 0（p = 0暂不考虑），分离变量得¥=—詈，两边积分后有
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
In | P | =—yin y + ln Co,
从而 p=+C0^=C1 *（G = ±C。）.
②由將则兽=片分离变量，积分得+C2,令C=^G，D=^G®
2_
y=（Cz+D）丁，其中C,D为任意常数，且C#0.
③由P = 0可得y三常数，对应②中C=0的情况.
2
综上，原方程的通解为y=（Cr + D戸，其中C,D为任意常数.
三、高阶线性微分方程的求解
设A,B,C为待定常数，微分方程『一2j/ + 5y = 2e"sin險的特解形式为(
(A)AeJ+jreJ(Bcos 2j? + Csin 2«r)
(B)Ae^sin2
(C)Aex_heJ(Bcos Sjr + Csin 2jc)
(D) AeJcos2jr
).
解应选（A）.
题中微分方程的自由项可改写为
2eTsin2jr = 2eJ
*os
十―c
2攵)=巳7—e"cos 2攵,
用解的叠加原理考虑两个方程
201
30讲•高等数学分册
丫勿彳考研数学基础
①
『―2< + 5y = y
y 一2j/ + 5y=—e^cos 2x.
及
②
由于题中微分方程对应齐次方程的特征方程为r2-2r+5 = 0,特征根为l±2i.按上述分析，①的特解
应设为yi =Ae'r.②中自由项相应的a土念=1 士2i,故应设特解
y2 =x（Bercos 2_z + Ce"sin 2工）.
由解的叠加原理，应设特解
*
y = yi +刃 ^Ae^ + jre^CBcos 2z + Csin 2x）.
例 13. 9
已知某"阶常系数齐次线性微分方程有特解力（工）=六。$ 2工,力（工）=工，且方程中yn,
前的系数为1,则最小的”=________ ，该方程为________ •
解
应填4；y⑷—2》⑶+5『=0.
该方程有解yQ） = eSos 2z,必有另一解M（z）= e<in 2工，可知对应的特征根为1 士2i；该方程有解
力©）=1必有另一解M（_r）=C（C为常数），可知r=0至少为二重根.由以上分析可知，原微分方程的特
征方程至少有4个特征根：l + 2i,0（二重），故次数最小的特征方程为
[r—（l + 2i）][r—（1 —2i）]d = o,
即
r4-2r3+5r2 = 0,
所以满足条件的阶数最小的微分方程为
y⑷一 2）⑶ +5/=0.
更多笔记资料关注公众号
四、根据微分方程的概念解题
【考研666】免费分享
并非所有方程都要求解后才能解决问题,这里给出用微分方程的概念而不用求解的例子.
1.已知微分方程的解，反求系数
例 13. 1()
设y，力是一阶非齐次线性微分方程y+p（x）y = q（T）的两个特解，若常数右〃使入小+
是该方程的解，入卩一“刃是该方程对应的齐次方程的解，则（
（A）入=
）•
*
（B）A =— * ,p=
（CM = #,p = -^-
（D）A = -^-,p = #
解应选（A）.
将解心1
代入方程）'+ pSy=q（H），得入[必+卫（工）卩]+“[）； +卫（工））2] = <7（工）.
又必+ p（z）_yi =g（z）,必 +”（刃》2 =g（z），故
入+〃= 1・
①
将解Aj^i —fiy2代入方程3/ + />（无）夕=0,得
入+"（工）夕1]—+力（无）夕2]=0・
又 y\ +〃（％）y =心）,j4+p（z）;y2=q（H），故
A _p = 0・
*
p=
联立①9②两式，得入= ,
202
所以选择（A）.
②
第
73讲常微分方程
2.不解微分方程，而利用方程所隐含的信息解题
F[y,＜= 0反映了未知函数y及其各阶导数之间的关系，故可以充分利用此关系来
解决问题.
例 13. 11
在点工0（
设y=f（x）是方程『一2“ + 4丿=0的一个解，若/（^0）＞0,且尸（工。）=0,则函数fdx）
）.
（A）取得极大值
（B）取得极小值
（C）某个邻域内单调增加
（D）某个邻域内单调减少
分析
乍一看题目，/—2j/ + 4》=0是《考试大纲》要求的一个很简单的微分方程，于是很多同学便先
去写它的解，再去讨论问题.姑且不论这样做能否解决问题 （事实上，由于初始条件不够，是解不出特解
的），考场上时间有限,需要的是效率，是最好的解题方法.希望大家在平时的复习中，努力研究最“恰当”的
方法，这种“恰当”也正是命题人想考查你的地方.
解应选（A）.
由题设，有尸（工。）一2尸（如）+4_/（竝）=0,结合 /（z°）＞O,y'（_ro）=O,可得 /（^0） =-4/（^0）＜0,又
（血）=0,由极值判别的第二充分条件知，点工=工。*
是
工
）的极大值点•答案选择（A）.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
1习题〕
13.1求微分方程（工兽一y ）arctan于=工的通解.
13.2微分方程ych'+Q —3b）dy = 0满足条件=1的解为丿=________ .
I X= 1
13. 3
求微分方程j/ + l = ePsin x的通解.
13.4
设函数 M）在]0,+Q 上连续，且满足方程
=
+
JJ
/（y y^+y）d^dj/,
求/（"•
i3.5（仅数学一）求（^+2）yz+x（y）2=y的通解.
13. 6
求 j/' —3j/ + 2y = 2e—*
cos 工 + 誉
* （4工+ 5）的通解.
+旳=冷"的一个特解为
13.7设二阶常系数线性微分方程y^+ay' *
=尹+
（1+刃/确定常数a,
0M，并求该方程的通解.
13. 8设y = y（工）是二阶常系数线性微分方程y"+py' + gy = e3"满足初始条件y （0） =y'（0） = 0的特
解，则当z-0时，函数十：丿的极限（
A（工）
（A）不存在
（B）等于1
13. 9设函数）（工）是微分方程y
）.
（C）等于2
（D）等于3
1
si
= — e 2满足条件y（l）=V?的特解.
Z v jc
203
考研数学基础30讲•高等数学分册
(1) 求 jz(x);
(2) 设平面区域D= {1,0<j/,求D绕工轴旋转所得旋转体的体积.
【解答】
13.1分析
所求微分方程为齐次型微分方程，只要作代换“=于解之即可.
解方程变形为字=―-—+丄,令“=丄,则有
arctan u(\u — — ,两边积分9得
x
x
Ax
y
jc
arctan —
—
x
uarctan u—
所以有 uarctan u —-g-ln( 1 +
-―；一~ du
J 1 + w2
) = In| h | +ln C9 即 uarctan % = ln(C • \x \ a/1 + / )・
代回“=丄,得工arctan丄= ln(C 好〒)，即得原方程的通解为
X
X
X
____________
Z arctan Z
C v<r2+y =ej
乂，其中C为任意正常数.
13.2后解将微分方程变形为半+三=3〃这是一阶线性微分方程，其通解为
dy y
x =e I ' ("yeh^djy + C)(
*
=J
^y2dy~\~C^ =y2
•
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
=1,故将)=—石舍去，得
=1代入上式，得C=0,于是x = y2,即y=+y/x.注意到y I
将》I
I x=1
I x= 1
y = \/~x.
13. 3解
将方程y + l = e-^sin工变形为(◎)'+ e，= sin小这是关于兰的一阶线性微分方程.
利用一阶非齐次线性微分方程的通解公式，得
ey =
(C + Jsin x • eWcLz ) = e_J(C + Je'sin xAx )
= e~x |c + -^-eJ(sin x 一 cos 乂)].
【注】变量代换是求解微分方程问题的重要方法.
:
纟
13.4解显然/(0) = 1,由于
Z(T心+小迪=「皿[/(討皿=2小巩卩)"，
f
/+/詔
可见
t*)
= e佔+2兀「〃待r)dr,
”⑺=8奴”+8"t).
解上述关于/'(t)的一阶非齐次线性微分方程，得
/(«)=(隔卅“阳a + C)eW皿=(8ttJ tck+c)e曲=(4兀厂+C)冷,
将 /(0) = 1 代入，得 C=l.因此 f(t) = (4nt2 + l)e曲.
13.5解
204
令y' = pi有"'=薯,原式成为(工+2)薯+zp2 = p,即薯_匚专^ = 一工幸㊁J两边同除以
73讲常微分方程
第
—P',化为备+£巨=圣,得
〃T=e「"(J+r曲认+ 6=丰(]込+ c)=圭(召+可.
解出
〃=
2(工+ 2)改写为2工+4十
”、
，丄「(G=2C),
云
JC2 +C1
(* )
①当G>o时，得E(…)+島w龙+G
G=0 时，得 y=21n|z|-夕 + G;
当
②
J—c、
③当G<。时，得円右+0|+古n乂一
卄厂^
+ C2
9
其中C2为任意常数.
【注】
若题中给出初始条件，例如y(0) = l,y'(0) = 4,则应由式(*)先定出G = 1,再积分.由打
]于此时G>0,所以不必再讨论G的各种情况.可见，应尽早代入初始条件定出任意常数.
13.6解
1
特征方程为厂彳一3厂+2 = 0.其解为小=2,厂2 = 1・因此对应的齐次微分方程的通解是
y = Cx eJ + C2 e2x.
为求非齐次微分方程的一个特解,将原方程分解为两个方程：
y —3y ~\~2y — 2e~
xcos 工，
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
①
yf~3y+2y = e2x^x + 5)・
②
方程①的一个特解可设为匕=e=(Acos jr + Bsin工)，求得
Yi = e_^[(B — A)cos x— (A + B)sin x~\ ,
Y^ = e~J (•— 2Bcos «z+2Asin 乂).
i
P~x
i
代入方程①解得 A = — ,B=— — ^卩 Yi = —(cos
jt —sin
z).
方程②的一个特解设为Y2 = e2x • z(Q«z + b)，求得
Y2 = e2x\^2ax2 + 2(a + 6)jr + 6],
Y^ = e2x^ax2 + (8a + 4b)«z + 2a + 4b]・
代入方程②解得a = 2,b=l,即匕=臼(2工2+无).
°
e~x
Y = Y{ +Y2 = —z—(cos x — sin jr) +e2^(2jc2 +jc)
□
因此
是原方程的一个特解，从而原方程的通解为
1
—
j/ —j/+Y — C! eJ + (C2 + jt + 2jc:2 )e2r+—e_-r(cos x—sin
0
jc),
其中C19C2为任意常数.
13.7
解
由题设特解知原方程的特征根为1和2,所以特征方程为(厂一1)(厂一2)=0,即
厂2 —3 厂+2 = 0,
于是a=_3,p=2・为确定"只需将特解加=工己代入方程，得
(工 + 2)于一3( j? +1)ex + 2= yex 9
y= —1・
205
考研数学基础
30讲•高等数学分册
从而原方程的通解为y=Cle+C2e^+xe,其中G C为任意常数.
13.8
（C）解不用去求解微分方程，而是利用方程所反映岀来的函数与各阶导数之间的关系来
解题.
由『+py ~^~Qy = ^T得夕〃(力)连续，且夕〃(0) = —p“(0) —qy(0) +e° = 1,而
2x _[.
[.ln( 1 +jc2 )_[.
x2 _[.
2 _ 2
= lirn-t_- = lim
■r = lim __r = 〃/八、,
7~~c
Iim
o
*
x-o y
y\jc) x^oy
y (U)
y\X)
x故所求极限等于2,应选(C).
13.9解（1）由一阶线性微分方程的通解公式，得
2
=e 2 （a/z + C）.
z
因为夕（1）=虫,所以C = 0•从而》（工）=吕巳2・
（2）由（1）可知，D绕工轴旋转所得旋转体的体积为
V = [
tcj/2
（jOdz = [ 7cze‘ dj?= 芳 J I
=
（e4 — e）・
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
206
第74讲
5基础知识结构
F— ------------ ---------------- ——... .
无穷级数（仅数学一、
数学三要求）
...................... ............... .....
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
207
考研数学基础
30讲•高等数学分册
基础内容精讲
■Jr
一、常数项级数的概念与性质
1.引言
，然后走完剩
古希腊数学家芝诺曾经讲了一个有趣的悖论:一个人从A点走到B点，先走完路程的
*
*
下路程的
,
*
，再走完剩下路程的
……依此类推，一直走下去，永远走不到终点.
我们不妨将芝诺的文字描述写成如下的数学表达式.
，则按照芝诺的描述，从A点到£点所用总时间T可
假设此人匀速前进走完路程的
要
用半个小时
*
以写成:
t=T+T+T+A+
这便出现了无穷多项相加的式子，且越往后的项就越小，这“无穷多个越来越小的项加起来”的表达式
合理吗？芝诺认为不对，其核心问题就在于以前人们所接触的都是有限项相加，项数再多，也加得完；现在
出现了无穷多项相加，用所谓的加法是永远加不到尽头的•接下来，我们就要开始研究这个总时间丁的表
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
达式到底是什么，该如何处理它.
2.概念及其敛散性
给定一个无穷数列冷，血，…，“”，…，将其各项用加号连起来得到的记号工；“”，即
A
=
Mi + Mz H---------- + Un + …
n= 1
叫作无穷级数，简称级数.其中U„叫作该级数的通项.若“”是常数而不是函数，则工“”就被更为细致地称
n— 1
为常数项无穷级数•简称常数项级数•正如在引言中所写出的总时间 T =
这里的通项“”
+吉+•“= S
之所以称工“”为一个记号，是说这种相加只是形式上的，因为无穷多项是不可能逐
=g.
/
”=1
一相加求和的，那么该如何处理“无穷多项相加”呢？
现将级数中的各项逐一相加，得到下面这些和：
S]=况1 9
+ 况2
9
+ 况2 + 况3
S?
=
Sn
= Wj + u2 + …+ Un 9 …,
U]
S3
=
9
,
这称为级数的部分和，｛&｝就是级数的部分和数列•显然，我们愿意去研究当n-oo时所发生的事情，因为
limS” = S（ —个存在的有限数），
HmS„ =》]；“”，这便道出了无穷多项相加的方法：用极限工具来处理.若n-*oo
则工“”收敛，并称S为该收敛级数工“”的和；若limS”不存在或为土 8,则称工“”发散.雅各布•伯努利
n=l
n=l
n_*°°
”=1
曾在自己的文章中这样写道：“末项消逝的无穷级数之和有时有限而有时无限或不定”.这里的“有限”与
208
第必讲
无穷级数（仅数学一、数学三要求）
“无限或不定”就分别对应着“收敛”与“发散”.
研究一个级数是收敛还是发散，也可以简单说成研究级数的敛散性.
n=1
n=1
3性
. 质
性质1若级数»”，》>”均收敛，且其和分别为S,T,则任给常数a,久有工;伽” +如,）也收敛，且
”=1”=1
n=1
其和为aS + 6T,即
2^ ｛aun + bvj =
,
n= 1
Q》况“ + b > “・
n= 1
n= 1
这个性质称为收敛级数的线性性质.
在讲下一个重要性质前，先给出一个概念.
在级数工"”中去掉前加项，得
n= 1
Y
u„ =
"，”+1 +
u,„+2 + …+ um+k + …,
这叫作级数的加项后余项.
n=l
性质2
若级数工“”收敛，则其任意观项后余项 工“”也收敛；反之，若存在观项后余项 工“”收敛,
n= 1
n= »i+l
"=m+l
则也收敛.
n= 1
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
5
【注】一个级数去掉或加上任意有限项，不会改变该级数的敛散性•事实上，也可说成改变级
§
:数任意有限项，不会改变该级数的敛散性.
性质3
证明
若斗"”收敛，则lim“” = 0.
由于
u” = S” 一 S”_i，故limw„
= lim(S„ — S”_i) = limS„ — limS,— = S — S = 0.证毕.
证明虽简单，但有几句话要说，此性质是级数收敛的必要条件•其逆否命题:若limM„^0,则工“,，必发
散.且即使lim“” = 0,也不能保证工“”收敛，见例14. 2.
二、级数敛散性的判别方法
1.正项级数及其敛散性判别
若通项“”$0“= 1,2,…，则称工；“,,为正项级数.这种级数在形式上的简单性最容易让读者接受，下
"=1
面就来讲这种级数的各种经典的敛散性判別方法.
（1）收敛原则.
正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列｛S,,｝有界.
n= 1
证明
必要性.由于W„ > 0,故S” = "1 + “2 ------- M„ > 0,且Si M S2 W…w S” W…，｛S”｝天生便
是一个单调不减且下界为0的数列.当工;如收敛时，limS”存在，则｛S”｝必然有上界.上界、下界都有，则
209
考研数学基础
30讲•高等数学分册
｛S”｝有界.
充分性•若｛S,,｝有界，不要忘记｛S”｝天生单调不减，则根据单调有界准则，可得｛S”｝收敛，也即limS”存
”f 8
在，于是工“”收敛•证毕.
n= 1
【注】
读者不难发现，由于｛S”｝天生单调不减,limS„只有两种可能的结果：若｛S”｝有界，则I
”“
j
《
《limS” = S（有限数）；若｛S”｝无界，则limS”=+oo.除此之外，再无其他结果.
”f 8
i）
n-^oo
i
I
直接使用收敛原则来判别正项级数敛散性的情形并不多见（见习题14.2）,因为正项级数部分和数列
有界性的证明往往并不容易.下面我们将利用收敛原则来给出更为实用的正项级数敛散性判别法.
（2）比较判别法.
给岀两个正项级数斗"”和斗◎”，如果从某项起有u„ < v„成立，贝g
若斗
①
u”收敛，则也收敛;
，则工°也发散.
②发散
若
有人通俗地念成：两个正项级数，若大的收敛.则小的必收敛；若小的发散，则大的必发散.对于记忆来
讲,这种念法未尝不可.
（3）比较判别法的极限形式.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
作为比较判别法的推论，这个标题下的方法将更为实用•给出两个正项级数些“”和召# 0,且
lim 妝=A.
”fOO 1) n
若
①
A = 0,则当刁°收敛时，斗un也收敛
若
②
A =+©o,则当斗发散时，刀u”也发散;
若
③
0 < A V +8,则2>”与刀匸”有相同的敛散性.
（4）比值判别法（也叫达朗贝尔判别法）.
给出一正项级数工％” 9如果lim如乜=p, 那么
”=1
”〜00 Un
1,则»”收釦
①
若
n= 1
Q > 1 ,则〉发散.
若
②
”=1
【注 】
需要指出，若0=1，无法用此法判定丫冷的敛散性.比如对丄，％“ =丄9则lim经1
”=1
（.
]
lim "寸 1 = lim
”f8
1
”f8 72
:彳=]；对工 g,见=g,贝U lim
”= ] 72
oo
*
n十 1
Tl
n
前者发散，后者收敛，但都有（0 = 1.
210
n=\
]
= lim ""中"
Ufi
“foo
n
lim
"f°°
n
n
72 + 1
=
un
2
=1.你看,
2
X
74讲
第
无穷级数（仅数学一、数学三要求）
（5）根值判别法（也叫柯西判别法）.
给出一正项级数"”，如果lim扬？ = p，那么
若
①
p< 1,则»,，收敛；
若
②
p > 1 ,则丫 "”发散.
【注】
同样要指出，若°=1,根值判别法也会失效•如工；丄发散，有lira
n=l
71
i
《收敛，也有lim
2.交错级数及其敛散性判别
若级数各项正负相间出现，称这样的级数为交错级数，一般写为
，（—1 ）" 1 U”
=
"1 —
U2 + U3
— “4
+ ••• +（ — 1 ），l_1 u„ + …，
”=1
其中“”>05 = 1,2,…），以使各项的正负号明显地呈现出来，从而表达出各项依次正负相间的独特规律.
显然，交错级数在形式上比正项级数复杂，那么它的敛散性判别是否也同样复杂了呢？莱布尼茨回
答了这个问题.1714年，在写给约翰•伯努利的信件中，莱布尼茨给出了下面这个定理，后被称为莱布尼
茨判别法：
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
给出一交错级数工;（一1）1“”,“” > 0,n = 1,2,-,若｛“”｝单调不增且lim“” = 0,则该级数收敛.
”=1
L8
3.任意项级数及其敛散性判别
若级数各项可正、可负、亦可为零，称这样的级数为任意项级数，写为工U”,这里u„符号不作限制.对
n=l
于这种级数敛散性的判别方法,一般认为超出了本科高等数学的教学要求，本书也不予讨论•在高等数学
中，是按下述方式进行研究的.
给任意项级数的每一项加上绝对值，写成工这样，就使得1«„1>0,成了正项级数，它叫作原级数
n=l
的绝对值级数.
n= 1
绝对值级数就自然站到了正项级数的队伍中，前面讲过的五种正项级数的敛散性判别法均可派上用
场了•不过，绝对值级数召\un\与原级数召“”的敛散性有何关系呢?看下面的定义与定理.
定义1
设工“”为任意项级数，若工\un\收敛，则称绝对收敛.
n= 1
定义2
设工“”为任意项级数，若工“,，收敛，但工；发散，则称工“”条件收敛.
”=1
oo
定理
”= 1
n— 1
n= 1
n— 1
n= 1
oo
oo
若工\un\收敛（即任意项级数工“”绝对收敛），则必收敛.
n= 1
n= 1
n— 1
4.收敛级数的性质
在初等数学中，人们都知道，有限多个数相加，满足结合律及交换律•对于无穷级数工“”，显然这里所
211
30讲•高等数学分册
考研数学基础
有的项绝非简单的相加•它所含有的极限运算过程导致我们必须相当警觉加法运算律是否还能天然地成
立.如果不能天然地成立，我们还要添加什么前提条件•下面就来研究这个问题.
收敛级数的项任意加括号后所得的新级数仍收敛 ，且其和不变.
性质1
证明
且凹S” = S（存在）.将此级
给出一收敛级数工“”，其部分和数列记为｛S”｝
数的项任意加括号，得新级数
（«1 H— +“”］） + （“”「］ — + 如）------- F------- “”*）-----，
这个级数的部分和数列记为
｛S”》｝ ：S”］ ,S%，…，S”*，…，怡=1,2,…，
显然它是｛S”｝的某一个子列，故｛S”J亦收敛于S.证毕.
根据性质1,如下两个结论也需注意.
（1）若加括号后得到的新级数发散，则原级数必然发散（逆否命题）.
（2）若加括号后得到的新级数收敛，不能断言原级数一定收敛.如级数工（一1）1-其中常数a工0,
n= 1
若从第一项起，两项两项地加括号，可得（a —a） + （a —a） +…=0收敛,但原级数是发散的.
性质2
若原级数绝对收敛，不论将其各项如何重新排列，所得的新级数也绝对收敛，且其和不变.
（这个性质就是在说:绝对收敛的级数具有可交换性，此性质是德国数学家狄利克雷给出的•）
三、幕级数及其收敛域
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
1.概念
（1） 函数项级数.
设函数列｛“”&）｝定义在区间/上，称
况1（乂） + U2 （j?） + 况3（乂）+ ••• + 妬（尢）+ •••
为定义在区间I上的函数项级数，记为 丫“”（工），当工取确定的值乂。时，工如（工）成为常数项级数
n=1
n=1
Y "”（如）.
n=l
（2） 幕级数.
若工如Q）的一般项“”Q）是乂的"次幕函数，则称工“”（工）为幕级数，它是一种特殊且常用的函
”=0
n=0
数项级数，其一般形式为
工 a”（JC 一 乂0）" = Qo + Q1 （乂 —无0）+ 02（工—乂0 ）2 + ••• +
一
乂0）" + ・••；
”=0
其标准形式为
2_ja^n
= Qo + Qi% + a2x2
+ ・・・ + anxn + ••• 9
n= 0
其中a” 5 = 0,1,2,…）为幕级数的系数.
（3）收敛点与发散点.
若给定工°
212
w I,
有 工“”（几）收敛，则称点益为函数项级数 工（乂）的收敛点；若给定血w /,有
第
74讲
无穷级数（仅数学一、数学三要求）
》＞”（竝）发散，则称点血为函数项级数工“”（工）的发散点.
n=1
"=1
（4）收敛域.
函数项级数工“”（工）的所有收敛点的集合称为它的收敛域.
要研究幕级数首要任务是判别敛散性，因为只有收敛了才有继续讨论的意义.具体来说，将
”=0
某个如代入级数可得 ，判别此数项级数是否收敛，我们的目标当然是找到所有收敛点的集合，即
n=0
收敛域.但问题来了，有多少个收敛点呢？如果有无穷多个收敛点，难道要一个一个地去验证么？显然，那
样做是不可能的•当人们正为此犯难时 ，一位年轻人提出了一个重要定理，请看下文.
. 贝尔定理
2阿
当幕级数刀a”z"在点z
= Xi
（jci工0）处收敛时，对于满足|工|
V |
|的
n=0
一切z,幕级数绝对收敛；当幕级数＞a”z"在点x =工2（工2 H 0）处发散时，对于
n= 0
满足|工|＞ |心|的一切I幕级数发散.
阿贝尔
多么伟大的阿贝尔，多么给力的办法！只是，不得不告诉大家，这样一个天
(1802-1829)
才数学家生于1802年，一生的工作不为世人所重视，穷困潦倒，卒于1829年，仅
仅活了 27年，太遗憾!
3.收敛域的求法
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
若则
①
"f 8 | Q”
I
2 ©工"的收敛半径尺的表达式为
”=o
qHO,
p=0,
p= +°o.
开区间
②
（—R,R）为幕级数工。”工”的收敛区间；单独考查幕级数在工=土R处的敛散性就可以确定
n=0
其收敛域为（一R,R）或［―R,R）或（一或［—
【注】以上讨论的研究对象都是标准幕级数＞a”《r ”，对于一般幕级数〉2 Q”（攵一无0
•
”=0
）"
，有完?
”
$
y全一致的说法，不再赘述.
四、幕级数求和函数
1.概念
在收敛域上，记SQ）=》＞”&），并称SQ）为»,,（工）的和函数.
213
考研数学基础
30讲•高等数学分册
2.运算法则
若幕级数 »应”与 »”工”的收敛半径分别为&和,则有
n= 0
” =0
①怡工a”z"=》\ka”工",\jc\<ZRa,k为常数;
”=0
n=0
②工a”_r" 士》6”工"=刀（a” 士
” =0
n=0
6”）x", | 工 | < R = min{Ra ,Rh}.
n= 0
【注】在实际运算中，可能出现需要改变通项、下标的问题，现总结求和运算中恒等变形方式i
i
:如下•
I
（1）通项、下标一起变.
I
j
=工0“_口1
n=k
n=k+l
其中2为整数，可正可负可为0.
（2）只变下标，不变通项.
工 <2”工"=akxk
+ ak+1^>+1
+ …十
+ 工 a”_z".
n= k
n=k+l
（3）只变通项，不变下标.
斗a”z" = xl 斗a”z n-l
举例:
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
bnx 2" = Qo + 工（Q" + b„）x2n.
aQxQ + 刁 a,才"+
a
》 才”+工严
”=0
n= 1
n=0
n= 1
n= 1
. 质
3性
（1）幕级数
»”工"的和函数SQ）在其收敛区间（—R,R）内连续，且如果幕级数在收敛区间的端点
” =0
或工=—R）处收敛，贝I］和函数3（力）在（一或］—R,R））上连续.
h=R（
（2）幕级数》a”工"的和函数SQ）在其收敛域/上可积，且有逐项积分公式
”=0
广.
『
oo
Jo
OO
”=o
J 0
n=Q
OO
n
）dt =工。“
（
S（t）dt =
tndt =刀
n=0
J 0
:z卄| （hC
并十丄
/） 9
逐项积分后所得到的幕级数与原级数有相同的收敛半径，但收敛域可能扩大.
（3）幕级数
»以”的和函数S&）在其收敛区间（一R.R）内可导，且有逐项求导公式
” =0
OO
'
/
OO
OO
n= 0
n= 1
S'（工）=（丫©无"）=艺（<2”乂"）'=工皿”工
n= 0
1
（ | J； | <R） 9
逐项求导后所得到的幕级数与原级数有相同的收敛半径，但收敛域可能缩小.
4.重要展开式
® e"
*工
1+ 工 +疔------ 斗+ •••,—<
= £斗=
仁"！
2!
V+ «□.
n!
OO
> （一 1）"乂"
② -—:—
—=
1 +z
佔
=
1 — x -\- x2
一 云 + …+
oo
③ ------ =另无"=1 +无+ 乂
无
1 —
214
仁
2 +…+
乂” +…，一
（— 1）"乂" + ・・• 9
1 V无V 1・
一
1 V z V 1・
74讲
第
④ ln(l
⑤ sin
r2
r3
X
Tn
S（_1），'（2n + l）!
z —盯
⑥ cos
r4
T3
•T —可 + 可一〒+ ••• + (— 1)'I------ …，—1 V»zW 1.
Z
n
o
4
+无)=
x
无穷级数（仅数学一、数学三要求）
x1
-r5
+珂—7l
宀
1
+…i)"^TTT[ +…<+°°・
gi(2“)!
2
1 —药+
4
6
+ …+(T)"祜+ s—oov»<+o°
\rC（ —1,1），当 a£ —19
⑦（1+" = 1+败+空卩■^ + ... + 恥—1）“・丫—卄1）才+ ..., 工€ (― 1,1],当一1<(2<0,
n\
/!
疋[一 1,1],当 a>0,a$ N+ ,
这里，①〜⑥右端工的取值范围是指收敛域，而对于⑦，问题比较复杂，其收敛区间的端点是否收敛与
a的取值有关，可以证明（这里不证）：
当a <- 1时，收敛域为（一1,1）;
当一1 <a< 0时，收敛域为（一1,叮；
当a>0,a $ N+时，收敛域为[—1,1];
当a€N+时，收敛域为R.
比如，当a =— 1时得到
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
•3_:--- = 1—工+乂2 —
1十Z
+ …+ (— l)"x" + …，一1 <工< 1 ；
当a =— +时得到
治"-★好
1X3X5
a3
2X4X6
+ … ，一1
V z M 1.
五、函数展开成幕级数
1. 概念
如果函数fS 在点工=工。处存在任意阶导数，则称
于（竝）+ f g）q —血）+上紹（工一竝尸+…+厂"丫°）（工一竝）” +…
n\
2!
为函数/■&）在工。处的泰勒级数，若收敛，则 g = y;亡华厶工一竝）”.
特别地9当工。=0时，则称
/（0） + /（0）工 +
----
f"丫）才+ •••
Z!
広
*
为函数
）的麦克劳林级数，若收敛，*
工
则
n\
）=y 亡字工”.
絃
"！
它们都被称为函数展开成幕级数.
2. 求法
方法一（直接法）逐个计算a” =厂"严）（” = 0,1,…），并代入
n\
215
30讲•高等数学分册
考研数学基础
/（J：O）+
f'（兀0）（尤一工
0）+
f 严）（攵一无 0）2
/!
（壬一工0）"
+ …+ -―
n!
+ …・
但是直接法太麻烦了，我们一般都不用.
方法二（间接法）利用已知的幕级数展开式，通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项积分和待定系
数法等方法得到函数的展开式.
基础例题精解
________ ______________________________________ ____ _
—、正项级数（2 Un
^Un
2 0）的敛散性判别法
n=\
例 14. 1
判别几何级数（也叫等比级数）
工 aqi
= a+aq+aq2
--------------- H
aq'^1 + …
”=1
的敛散性，其中aHO.
解
在公比g满足IqKI的情形下，初等数学知识告诉我们，部分和
c
a （1 — q"）
S“ = ―;~ ,
1— q
且limg" = 0,这样一来91imS“ = [t 9这个极限是存在的9故 >购心】收敛.
” j
”f 8
”f 8
1 q
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
反之，当|9|>1时，工是发散的，这是因为:
”=1
若 q〉l，则limg” = +oo,limS” 不存在；
8
n-*oo
若<7=1，则 工购"T =a + a + ・・・ + a卜…（无穷个a相加）,limS„亦不存在；
（读者可轻易看出，当g>l时，limS”为士00,到底是+ 00还是一00,由a的正负来决定.）
若g= —1,=« + （-«） +a + （—a） +…，这是一个十分著名且有趣的级数，欧拉、莱布尼茨
n= 1
都在这个级数的敛散性判别上犯了错误 ，今天的我们当然可以清晰地给出正确答案，你看，部分和S|=a,
S2=O,S3=a,S4=O,-,它们交错着等于a和0,显然[ijnS,,不存在（不唯一自然不存在）.
若gV —不存在，则limS”不存在.
"—►8
"f 8
综上所述，当\q\>l时JimS„均不存在，则
几何级数
【注】
发散•于是有
发散，
I
收釦其和为亡
QV其中耳
,
*
显然，在引言中提出的芝诺的问题是本题的特例，丁 =工 £ =工
”=1
d
\ 项a = ,
* 公比<? = *，是|g|<l的情况，则limS” = fG = —丄
—刁
216
匕
n= 1
J
• （*）"'，其首；
纟
：
= 1.事实上，此人将恰好用一个小？
第
74讲
丄
例 14.2
的敛散性.
判断级数S
”=i Jn
显然,limgi=O,但其部分和S„ = 1+
解
无穷级数(仅数学一、数学三要求)
V2
V3
…+厶＞兀• ^-=\[n ,由于lim&T= +oo,自然有
Jn
Vw
宀
limS” = +oo(不存在)，则工纟发散.
”=i Jn
判断级数的敛散性.
例 14.3
解U P】+ + +寺+ ••• + + + •••，这个级数从第二项起，每项都是其左右两个相邻项的调和
平均数.所谓数c是数a与数b的调和平均数是指它们之间满足下面这个式子：
于是珞+叫作调和级数・
下面来研究它的敛散性.
易知当工>0时，有工>ln(l+工)>0,所以对于任意正整数"，显然也有—>ln(l +丄).读者可看出我
\
n
n /
们应该先研究Eln(1+v)的敛散性，然后用比较判别法得出结论.
郭(】++)=郭宇,
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
其部分和
S” = In £ + ln £ + •• • + ln
1
(]n 2 — In 1) + (In 3 — In 2) +…+[ln("+l) — In n] = ln(r?+ 1),
n
Z
由于limS,=limln(W + l) = +«=,则
”一8
8
【注 1 】
厶穿 \
+丄)发散，根据正项级数的比较判别法，有 工 丄发散.
n /
^77 n
在18世纪初，莱布尼茨与雅各布•伯努利分别独立地证明了“调和级数的和是无限J
的”这个结论.
【注2】
工 2叫作p级数，调和级数工丄是p级数中/> = 1时的特殊情况.
"=1
”=1
X
;
X
7
这里不加证明地给出重要结论：
P级数Y \
”=1
n
《
发散，PM1,
收敛，p> 1.
这个结论十分重要，在以后的多种场合都会派上用场，读者需牢记.
例 14. 4
解
判断级数苔昭的敛散性，其中。为非零常数.
lim^^ = lim |a|"+1 - (n+l)!
"f OO
Un
*
8
"-
(m+i)"+1
217
考研数学基础
30讲•高等数学分册
这里尸斗显然当0V⑷ve时,原级数收敛；当⑷〉e时，原级数发散；当sue时，由于当LO时,
如+1 =
1 +料单调增加且趋向于e,所以学
e
;>1 ,"=1,2,…，从而知lim“”工0,由级数收敛的必要
£
” foo
n
条件，知原级数发散.
综上所述，当0 VlalVe时,原级数收敛；当|a |$e时，原级数发散.
例14.5 ■硼旌卿!1
解
的敛散性.
此为正项级数，由通项形式，用根值判别法.
此极限为“广”型.
=limn (cos ―― 1
limnl
2
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
所以
由根值判别法知所给级数收敛.
例 14. 6
已知级数工;“”绝对收敛，判断2 占^的敛散性 ，其中"”H0.
n=1
n=1
丄'%”
2
2
I
I
8
%”
解由不等式八煜沁可知 ］+心2吻，于是為€血=嘤
，由题设知耳；嗒收敛，又
些応是正项级数，根据正项级数的比较判别法知，原级数收敛.
二、莱布尼茨判别法
例 14. 7
解级数
判断级数£（-旷・g的敛散也
1尺• + = —+ + * —+ + …+ (—I)”" + + •••，其中
显然有丄〉土，即“”>"+，则｛“”｝单调不增，且有=
丄=0,由莱布尼茨判别法知，该级数
8
”-»8 7?
72 I 1
72
收敛.
【注】
218
级数些（一1）1 • V叫作交错调和级数，这是一个经典且常用的例子，请读者知悉.
第
例 14. 8
74讲
无穷级数（仅数学一、数学三要求）
判断级数 YsinG/T耳7）的敛散性，其中a为非零常数.
”=1
解
由三角公式sin（a + M）= （-l）”sina,可知
sin(7T\/n2 ~ha2) = sin(7r >/n2 ~\~a2 — r?7r + htt) = ( — 1)nsin[n2 ~\~a2 — )7t] = ( — 1 )"sin —, 兀° --- ,
\/n2 ~}~a2 + n
2
故原级数是交错级数，当心8时，
'
/
2
\
一是正的无穷小量，且单调减少，所以
Vn2+a2+n
I Vn2+a2+n]
\
2
呦/弔林单调减少回计 译話尸'满足莱布尼茨判别法的条件'故原级数收敛・
例 14. 9
再次考查级数工（一 l）i
丄，它是条件收敛还是绝对收敛？
n
解由于|（-”・胡讣刀+是发散的;而由例】4.7的答案可知，乡-旷-是收敛
的•故此级数条件收敛.
例 14. 1()
解
判断耳i”*的敛散性.
“竺”
OO
显然，lim啤#也=lim 忙刃
"f oo
1
十
？？
J-—4-00
“”=叫也兰鯉红/
3
1 + 7?
1
十
洛必达法则
ln(l +z)
1 + jr
—=0 ；
lim -―:—
_rf+8 1 -J- X
当広> e- 1时,彳⑺
1 — ln( 1 + «z)— “
(1+"
故当n>2时，有u,. > “小，且！im“” = 0,满足莱布尼茨判别法条件，原级数收敛.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
三、任意项级数的判敛问题
例 14. 11
如果数项级数工;“”收敛，则以下级数中必收敛的是（
）.
工("2,1 — "2”)
(C)
解应选（D）.
分析详见“注”中的 “（5）”“（7）”“（10）”“（11）”.
【注】很多同学在复习数项级数的判敛问题时感觉摸不着头脑，尤其是对于这种抽象的问题，;
1
I可是为什么做新的练习题时还是不会呢 ？答：很可能是你做题的质量不高，为了做题而做题，做完j
1 一题扔一题，只追求数量，这肯定不行•做完一题，就要停下来总结一下这道题你能学到什么技巧，容*
I易错在哪里，有什么值得借鉴的；做完同一知识点下的几道题，就要停下来好好琢磨这几道题之间有I
—有些同学说，我已经做了很多题，
I更是害怕•我想，做题时的“总结不足”可能是一个重要的原因—
1
I没有什么联系，考虑能从哪些角度去解决这类问题.这种总结做多了 ，你的做题质量和效率就会越来
［越高.
下面给大家做一个示范，做了很多题目以后，对于抽象的数项级数的判敛问题，有如下总结.
S的上标都是8,而下标并非总是1）.
设〉>”，»”，》W”是任意项级数（
）"=1”=1”=1
\a
219
（5?
30讲•高等数学分册
考研数学基础
（1）设a,b,c为非零常数，且a“” +勿” + cw„ = 0,则在》,另“和丫®”中只要有两个级数§
n= 1
（（
”= 1
n= 1
是收敛的，另一个必收敛.
(2)设 工丨“”丨收敛，则工“”收敛；设工“”发散，则工丨“”丨发散.
n= 1
”=1
n— 1
n= 1
£
*
(3)设 工谄收敛，则S —绝对收敛（提示:
n=1
“=1
OO
OO
ti= 1
”= 1
OO
OO
OO
n= 1
n= 1
n= 1
（*
"'+ ） ）•
n
"
OO
OO
(4)设 工“”收敛，则工丨“”丨不定（反例：工（一1）"丄收敛，但工2发散）.
n= 1
”= 1
"
"
OO
(5) 设»”收敛，则Y谄不定（反例：»—1）"卡收敛，但工 丄发散）.
8
OO
OO
«□
（ ）"2收敛，但工—发散）.
(6) 设»”收敛，则工（一i）”“”不定（反例：Y t
”=1
”=1
”=1
OO
"
n= 1
\J Tl
OO
”=1
“
"
OO
OO
(7) 设»”收敛，则工（一1）” —不定（反例：工（一1）"亠 收敛，但Y -p—发散）.
mn
”=i
”=i
”=2 〃ln n
n
»=2
(8) 设工"”收敛，则工“2”（偶数项），工“ 2_（奇数项）不定（反例：l-y + y-y + 4_
n= 1
n= 1
n= 1
°
*+…=£（—1）1 +收敛，但是其奇数项和偶数项都发散）.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（9）设些如收敛，则召（―+如）收敛（收敛级数任意加括号所得的新级数仍收敛，且和£
不变）.
]
°°
8
))
(10)设U”收敛9则工(况2l1 — %2”)不定(反例1 +况2 +况3 +况4 +况5 +比6 +…=1 —
n=1
*+
n=1
j
---- + …收敛，但]+* + * + * + * + * +…发散).
另(如+如1)收敛，况” +工如1收敛，
―.
”= 1
-
OO
(11)设工“”收敛，则彳
I
*
n= 1
OO
n= 1
I
OO
( %” —如1)收敛9工妬一况”+1收敛.
》
n= 1
n= 1
n= 1
= (—1)”* (―1)讯丿==I
收敛，则工以+ 不定(反例：”” =(一1)”
(12)设
n= 1
寸
a/Tl
n= 1
Tl
I ——___ ,级数发散).
:
Jn(n +1)
例 14. 12
).
（A）当2>”收敛时,牙a0”收敛
（B）当斗6”发散时,刁a,0”发散
（C）当^\b„\收敛时，宓收敛
（D）当g \b„ \发散时，ga⑹发散
220
1
f
§
设有两个数列{a„},{bn},若lima” = 0,则(
解应选（C）.
-y Tl ~H
74讲
第
无穷级数(仅数学一、数学三要求)
我们都知道，如果丫 "”收敛，则lim“” = 0.根据极限定义,Ve > 0,存在N>0,当n > N时，必有
”=1
"~8
|«„-0| <€,取€ = 1 ,则| "” I < 1.你是否会问，为什么要取£为1呢?请你通过下面题目的解答思考一下.
于是，我们可以将一个级数的收敛或者一般项趋向于 0这样的条件，转化为当“充分大时，一般项I “” I <
1,这是一个非常典型的技巧，于是有
由S卩”|收敛=> lim I
心
I = 0=>存在N| >0,当"〉N1时,一定有|人|<1;
8
1
由 lima” = 0 => 存在 N2 > 0,当 n > N2 时，一定有 | a” | < 1.
故当/2>max{N1,N2}时，有0£处圧<1•代=| 6„ | • | 6„ | < | 6” | • 1 = \bn\,由正项级数的比较判别
法易知，当工\b„\收敛时，丫圧b\收敛，正确答案是(C).当然，本题举反例也可以排除错误选项，对于选项
n= 1
”=1
(A),取 a” = b„ = (—1)"厶，对于选项(B)和(D),取 a” = b„ =丄.
庙
n
四、幕级数的收敛域
我们把它分成两种出题角度，第一种给出的研究对象是具体型的，第二种给出的研究对象是抽象
型的，两种类型在考研中均是考查重点.
1.具体型问题
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
(1)对于 工；“”(工)，加绝对值3工|“”(工)|，成为正项级数.
/比值
⑵用正项级数的］根值判别法，令
lim丨严S)丨< !,
i 5”(工)「
'=>工的取值范围，即得收敛区间.
lim
| un(x) | V 1
(3)单独讨论收敛区间的两个端点处级数的敛散性.
综合(2),(3)即可求得幕级数的收敛域为(a,6)或(s刃或［a,6)或
例 14. 13
解
求幕级数s f的收敛域.
因为lim专斗= lim |辛| = |工|，所以由比值判别法可知:
”f 8 I JC I
8 | ?7 汁 1 |
n
当|工|<1时，幕级数 工 竺绝对收敛；当|^|>1时，幕级数 工 兰发散.
又因为当工=i时，幕级数Y丄发散；当工=—1时，幕级数S-= s uu条件收敛,
n=l
71
n=l
71
”=1
72
n=l
71
所以收敛域为［—1,1)・
221
彳勿彳考研数学基础
30讲•高等数学分册
2.抽象型问题
有如下几个结论请大家记住.
结论1根据阿贝尔定理，已知 刀a”（z — zo）"在某点工1（4工工（））的敛散性，确定该幕级数的收
n—O
敛半径可分为以下三种情况.
（1） 若在心处收敛，则收敛半径K $ |工1一工（）|.
（2） 若在①处发散，则收敛半径RW丨心一工。|.
（3） 若在①处条件收敛，则R= l^-xol.【重要考点】
结论2已知另a”（z —工1）"的敛散性信息，要求讨论刀〃”（広一乜）"1的敛散性.
（1） Q —Q）”与Q —工2严的转化一般通过初等变形来完成,包括①“平移”收敛区间；②提出或者
乘以因式（工一如）*等.
（2） a”与6”的转化一般通过微积分变形来完成，包括①对级数逐项求导；②对级数逐项积分等.
（3） 以下三种情况，级数的收敛半径不变，收敛域要具体问题具体分析.
① 对级数提出或者乘以因式（工一如）"，或者•作平移等，收敛半径不变.
② 对级数逐项求导，收敛半径不变，收敛域可能缩小.
③ 对级数逐项积分，收敛半径不变，收敛域可能扩大.
这样说可能有些抽象，我们来看下面一个具体的例题，请大家结合这个例题来理解和掌握上述
理论.
例 14. 14
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
设 ＞a”（z+ 1）"在点工=1处条件收敛，贝!］幕级数刀叫（工一1）"在点工=2处（
n= 1
).
n= 1
（A）绝对收敛
（B）条件收敛
（C）发散
（D）敛散性不确定
解应选（A）.
根据结论1的（3）,由丁 a”（z+ 1）"在＞r = l处条件收敛，贝IJR = |工1—工（）| = | 1 — （― 1） | = 2,且收
”=1
敛区间为（一3,1）；
根据结论2的（1）和（3）,将（工十1）〃转化为（工一1）",也就是把级数的中心点由一1转移到1,即将收敛
区间平移到（一1,3）,得工＞”（夂一1）",收敛半径不变；
n= 1
根据结论2的（1）,（2）和（3）,对 ga”（z— 1）”逐项求导，得斗”a”（z— l）i,再逐项乘以1）得
丫皿”（工一1）”，收敛半径不变.
"=1
故 »a”Cz —1）"的收敛区间为（一1,3）“ = 2在收敛区间内部，在该点处级数绝对收敛，答案选择（A）.
222
74讲
第
无穷级数（仅数学一、数学三要求）
五、求和函数
例 14. 15
解
求级数2 丈的和函数.
设SO)=工 匚,逐项求导，得S'(_r)=刀(壬~) = y才'一1
”=1"
n=1
，丨工丨V 1，然后两边积分,
= F—
丄攵
n=1
=— ln(l—攵儿又因SCO) = 0,当jr =— 1时，级数另-——收敛，故和函数
得S(jr) — S(0) = f
〃
Jo 1 — 2
”=1
S(jt) =— ln(l —j?) + S(0) =— ln( 1 — jc) ,G [— 191)・
例 14. 16
解
求级数工心”的和函数.
njcn~x，设 S(z) = Rtlz’li，则原级数工 nr" = xS (jr).
A nr" = x
n= 1
n= 1
n= 1
”=1
—|f
lr•
再两边求导，得J s(i)dr J = ( ] t g )
i
n= 1
两边积分，得 \ S(t)df =工[rit^dt =〉2工"= 二,| ^ | < 1.
n=l J。
n=l
丄— X
J。
对 S(j?) =
/
8
1
= (j二匚尹‘所以 斗池"=zS(z)=(]兰:尹,I a- I < 1.
【注】（i）無级数求和函数的突破口：
：
当
①
（初+6），在分母上时，先导后积，见例14. 15.
当
②
（初+6），在分子上时，先积后导，见例14. 16.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（2）对于先导后积的处理办法:
这里有个细致的问题需要大家做扎实、做准确，请问S'Q）dz是否等于S（z）呢？
事实上，由于「S'（t）dt = S（i）
S(工)一S(a),故 SQ)=
厂
2 = 0
2_j y ----------
Qo
，
n=0
又由于当a为中心点时，
S'(t)dt + S(a)
都收敛，故下限通常取中心点.
（3）始终不要忘记在解题过程中标注收敛域.
（4）建议大家记住由这两个例题所得到的结果:
> —=—ln( 1— z)9— 1=2<1；工 nr""4
n=l
X
”=1
利用这两个公式可直接得到如下常数项级数的和:
二
1
二 1
=—ln(l — £) = In 2,
----- ---------=2.
1*
)
223
30讲•高等数学分册
考研数学基础
（— 1 \zr~l
求需级数爼右尹的收敛域及和函数•
例 14. 17
解先求收敛域.
记
^2"，由于lim
.■..U
W„（J?）=
LTl
| "卄1 （工）
“”（工）
lim
"f 8 |
1
辺二―
2n+l
=x2,故
当| 乂 | < 1时，工“”（攵）收敛;
当|
| > 1时，Y "”（工）发散；
n= 1
当工=士 1时，Y "”（士 1） = £打］］，根据莱布尼茨判别法知此级数收敛.
”=i
”=i z咒一丄
所以，幕级数 刀"的收敛域为［—1,1］.
铝 2»- 1
再求和函数.
°°
/_ 1 \n-l
1
8
由于 S'Q）=工（一1）1工沪2 =
且 s（o）= 0,所
1+工2
住
设 SQ）=工
缶2"—1
以 S（x） = ［ 1 " 2 +S（0） = arctan 工,从而
J0 1 +产
2
jc2n = xS
X —-----Ln 一 1
（—1）1
（j:）
= jrarctan
jc（—
] £ 乂 £ ]）.
n=l
六、函数展开成幕级数
更多笔记资料关注公众号
例 14. 18
*
工
将
【考研666】免费分享
）=展开成（工一3）的幕级数，写出成立范围，并求/u）（3）,n = l,2,-.
x ~r x 一 L
解拆项:
于（工）=
2工+ 1
+ 工一2
2工十1
（x 一 1）（工 + 2）
x— 1 +夂+2
=—1— + 一1—=丄.—+ 丄.—
] - X一3
5 + （jc — 3）
2
2 + Q — 3）
5
〔 . x一3
十 2
十盲-
*
二”“（宁）”+
=2（一 1）"
从而
224
十
—
（乂 一 3）", 1 V 工 V 5,
第
例 14. 19
求函数/(a-) = arctan
x
74讲
无穷级数(仅数学一、数学三要求)
在工=0处的幕级数展开.
解因为(arctan工)'=詁尹，且
--- 2 ~ ] 一 工？ +乂° 一乂6 + ・・・今 | X | <1 ,
1十2
所以
3 = ^ctan工=[占山=[(1 —厂十―厂+…血
X7 |
•Z3 丄工5
工―§+丁—亍+…
严
n=0
2/7 + 1
R W1.
【注】取代入上式，得到一个兀的级数展开，即
(#)3 .(V3)5___
33 . 3十35 . 5 …
7T
1
1_羔+啓
\、(_ ] ) ” ____ 1____
(2/7+ 1)3"
丁2
取工=1,则有予=1 —* + * — * + •••.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
【习题〕
9n
14. 1求极限lim—p
14.2判别级数工+的敛散性.
14.3设 召“”和斗"都是正项级数，证明：
⑴若 斗"”收敛，则 耳//”"卄1收敛；
(2)若”卄1收敛，且u„单调减少，贝U斗“”收敛;
⑶若和工"”都收敛，则工"4”收敛；
n= 1
n= 1
n= 1
⑷若工X收敛，则S红收敛•
”=1
n=1
"
14.4判别级数些ln『+ 巳上］的敛散性.
225
30讲•高等数学分册
考研数学基础
14 5判别级数繆詁七的敛散性・
14. 6
求极限lijn("|- +多 + 贵---- 2；” 1 ).
14.7求幕级数工詈Q—1)"的收敛半径和收敛域.
n=l
&
14.8求级数工 U1芈;=21±11的和.
n=0
14.9
/
f'（x） — f
— 2/（ jc） = 0 9
设g=工卡工”，且满足 /（o）=o,r（o）=i.
求 ：⑴
紘n
!
将幕级数召的和函数展开成Q—1)的幕级数.
14.10
［「一解答】
14. 1
解记"务>0,则所求极限旦务可视为正项级数孚 ，的-般项的极限•如果该级数收
敛，则由级数收敛的必要条件就可求其极限•因
2”+】
1 • «“+1 1 •（力 +1） ! 1 c
2
hm〒 = hm-— = lim—^ = 0<1,
匕
o
o
*n-o
7/ | 丄
n”f8
*o
n!
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
由正项级数的比值判别法知£ 斗收敛，于是1血牛=0.
”=i 兀！
°*° ri!
«-
【注】
:
14.2解
I
该题与习题14. 6是关于级数理论的极限问题.
首先，我们要确认一般项“” = +>0,也就是要确认所研究的级数工当■为正项级数.接
下来可去掉级数 £ 1的第一项，也就是当"=0时的那一项，即黑=1，由常数项级数的性质2,这不会改
怎 n\
0!
变该级数的敛散性，于是我们来研究s A的敛散性•其部分和s”满足
0<S” =1+ 吉+ 寺 +…+ ~r
n!
2! 3!
—
<1 + -^—+ -^—H----- 1-------- -—
7
1X2
2X3
(n-l)M
"£<2,
即⑸｝有界，由收敛原则，有s占收敛，也即s占收敛•
”=1 " •
【注】
226
” = 0 11 •
这个级数的和是著名的欧拉数e.可在卍=工斗中，令乂 =1,则有£片
e.
n=0 力•
n= 0 X •
74讲
无穷级数（仅数学一、数学三要求）
第
14.3证明（1）工“”收敛，且有二TW
(2)
-（如 +况卄1）*〉2 J况”况卄1 收敛.
乙
n=l
”=1
单调减少3/^1 £血W ""况卄1亠况卄1 W
卄
Un
收敛.
”=1
(3) 工“”和工“收敛=> 工尤和〉2就收敛，且 u„v„ W *（谄+就收敛.
n— 1
”=1
n=1
n=1
n=1
护弟收敛・
(4) 工况”收敛今U加收敛，且也"冬+
”=1
14.4分析
/
7?
”=1
这是交错级数，但不易判别｛ | u„ | ｝的单调性，因此不能使用莱布尼茨判别法.为了能掌
(一1)”
握一般项m„ = In 1 +
的级别，需使用泰勒公式.
(―1)"
解由泰勒公式,
1
,
石+ °
1
斗,而级数Y
由比较判别法,lim
14.5解
厶
厂是（条件）收敛的•故原级数发散.
”=2
事实上，其一般项为
(―1)"[亦一(一1)"] _ (_ 1)”庙_ 1 = (―
1)"____ 1_
(―1)"
n一 1
1
n一1
/—
n一1
^―—
(-1)
店+ (― 1)"
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
=0,满足莱布尼茨判别法的条件，因此交错级数Y
易”応\单调减少，且叵
(-1)"
是收
2
y/n
敛的,而级数为占发散，故原级数发散.
14.6
解
lim
2i — 1 _
7 +寻+导十…+莓工
2" ）=!亶£
2’
2n
n— 1
一
1
2”
令SQ）=另 ^―—2,7-2 （— 72 V x < V2~） 9用先积分后求导的方法，贝I」
”=i
S（E）=
/
n
一
2"
1
1
f
4
x2
T
2 — x2
n=l
2 + jc2
(2 — "
2
故原极限=S (1) = 3.
14.7解用比值判别法，因为
(疋 + 1)(无一l)"+i
3卄1
lim
— 1)"
3”
= lim^r^|rr—1 | =寺|工一11 ,
”f8 072
o
所以，当+ U-1 |< 1,即丨H -1 |< 3时，幕级数工；詈（工一1）”绝对收敛；当寺I工一1 |> 1，即
d
”=1
'
工一1 |>3时，幕级数工 卷（乂一1）"发散.
"=1
U
根据收敛半径的定义可知收敛半径R = 3,收敛区间为（一2,4）.
227
0^
30讲•高等数学分册
考研数学基础
又因为当夂=4时，幕级数为工"，发散；当工=-2时，幕级数为工(一1)"“，发散，所以收敛域
n=1
n—1
为(一2,4).
14.8
解
n= 0
设 S(_r)=
4
27
所以
14.9
解
2 = 0,得厂1 = — 1,r2 = 2,故通解为
(1)特征方程为r2 — 1
/(□:) =C1e_J + C2e2j.
由 /(0) = 0,/(0) = 1,得
G+G=o,
故 G = — g~，G = g~，所以
/"(■r) = -
*"
e
'+
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
-ye- + |e-
= S *方
Z7 n !
(2)
(2工)
n!
+
n!
-定十+寺IT
n!
X
n!
2"
3
n=0
[(*
故乙=
1)小+2叮・
解令
1410
(-IL
SQ)=N(2二；；!2 心严
2sin —, — oo <；
(-1严 k X2
=2召(2«-lT!
2n-l
<+ oo 9
利用三角函数公式展开，得
SQ) = 2sin 专=2sin 】土；---- -
o •
1 p
(一
1 )n /JC — 1
2
= 2slnT^72^)T
”=0
【注】
228
*os
2 (sin c
2"
E £ 】+ cos ~^-sin " ?】
2
(___ 1 \ n
.8、
1
+ 2cOST§ (2^+1)! X 一 1
2
2卄1
,一 °° V % <+ 8.
(—IL2”才
2I
1来包装函数2sin手，这种包装要能识别出来.
本题用幕级数苔Q二;:!
第75讲数学一、 数学二专题内容
,)v.
\
I
器
\基础知识结构
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
『
X基础内容精讲
一、一元函数微分学应用
1.物理应用
已知质点运动的位移S关于时间t的函数为s = s(t),称它为质点的运动方程(位移方程)，则其速度为
■u=lim¥ = s'(t),
(15-1)
229
30讲•高等数学分册
考研数学基础
其加速度为
aXt) = \im^ = v (t) =/(t)・
(15-2)
AZ—0
这就是导数的物理意义.
2.相关变化率
若函数严念），:'均可导，则亨=第竽“⑺算上式中捋与笼由厂3联系在一起，称
这种相互关联的变化率为相关变化率.
3.几何应用
设丿（工）二阶可导，贝IJ曲线y = y（z）在其上点（工,yO））处的曲率公式为
aL£J_
(15-3)
：i+(/)2r
曲率半径的计算公式
尺=+=口 +%沖(『工0).
k
(15-4)
1^ I
二、一元函数积分学应用
1.物理应用
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（1）变力沿直线做功.
设方向沿夂轴正向的力函数为F（_r）（aW_rW6），则物体沿広轴从点a
动到点6时（见图15-1）,变力F&）所做的功为
W =『FO)dz,
功的微元dW = F(z)clr.
【注】力关于位移的定积分就是功.
:
i
（2）抽水做功.
°
如图15-2所示，将容器中的水全部抽出所做的功为
°
W =隔J _zA （EcLc,
x+d：
其中p为水的密度，g为重力加速度.
功的微元dWhQgzAaidz为位于工处厚度为山,水平截面面积为A&）的一
层水被抽出（路程为工）所做的功.
b
V
x
图 15-2
【注】抽水做功的特点：力（重力）不变，路程在变•求解这类问题的关键是确定工处的水平截5
|
：面面积A&）,其余的量都是固定的.
230
75讲
数学一、数学二专题内容
第
(3)水压力.
水面
■>y
垂直浸没在水中的平板ABCDC见图15-3)的一侧受到的水
压力为
P
pg
其中°为水的密度，g为重力加速度.
压力微元dP = iogjc［/(jr) — A(j-)2djr,即图中矩形条所受到
的压力.工表示水深,fCx) —A (j?)是矩形条的宽度，dr是矩形条
的高度.
图 15-3
【注】水压力问题的特点：压强随水的深度的改变而改变•求解这类问题的关键是确定水深z f
|处的平板的宽度fm
:
2.几何应用
(1)“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式.
设平面区域 D= {(工,))| O^y^f(x) ,aW«rW6}, f(x)在［a ,6］上
连续，如图15-4所示.现推导D的形心坐标的计算公式.
•/(t)
xf (jr)dj?
_0__________
D____
更多笔记资料关注公众号
f f (jr)djr 【考研666】免费分享
"dr f/(.r)
dy
F
0
F
J 0
D
D____
D
:
【注 】
"dx
•/(.r)
yj
_2_____
f/(.r)~
dy
严(Pclr
图 15-4
/(
J 0
在考研题中出现过此类考题，见例15.6.
\
(2)平面曲线的弧长.
②若平面光滑曲线由参数方程
\/] + [/(小了山.
给出，则
①若平面光滑曲线由直角坐标方程y =
•z = _r(t),
(aWtWp)给出，则
\/［工，(上)了 + ［『⑺丁
t.
y=yCt)
若平面光滑曲线由极坐标方程
③
r=r(0)(aW0W0)给出，则s =
p
丿"(0)了 + [r'(0)Td0.
(3)旋转曲面的表面积.
曲线
①
y=y(Q在区间［a,刃上的曲线弧段绕Z轴旋转一周所得到的旋转曲面的表面积
__________________________
Cb
S = 2k
I y(z) |
丿]+ [办工廿
*
②曲线z = x(t),y = y^(a^t^,xM^在区间［a,刃上的曲线弧段绕轴旋转一周所得到的旋
转曲面的表面积
S = 2tv
I y{t~) |
了 + [_/(/)了d/.
231
考研数学基础
30讲•高等数学分册
（4）平行截面面积为已知的立体体积.
在区间［a,门上，垂直于工轴的平面截立体0所得到的截面面积为工的连续函数AQ）,则。的体积为
V =\ A （jr）djr.
设一个底面半径为3的圆柱体，被一个与圆柱的底面相交、夹角为于且过底面直径AB
注例1
的平面所截，求截下的楔形体的体积.
建立如图15-5所示的坐标系，垂直于工轴的截面是直角三
解
角形EFG,由题设条件，这个直角三角形的底边EG长为丿萨二7,
对边 FG 长为 \/32 —x21an 手=\/32 —x2.
->
y
故截面面积 S = y(32-^2),则 V =
*(3'—/)dr= 1&
X
图 15-5
三、微分方程的物理应用
主要涉及以下两个方面的问题.
（1）牛顿第二定律.
相关物理量有①物体质量m ②力/（包括重力、阻力、浮力）；③加速度
例 15. 11.
d2 J； _ dv _ dz; ckr
d厂
dt dj- dz
du
•见
dr
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（2）变化率问题.
提法多为“t时刻某量y对/的变化率与r时刻某量成正比”，如
①考题1（事实上此题叫冷却定律）.
时刻物体温度T（t）对时间的变化率与t时刻物体和介质的温差T-To成正比（T＞T。）”,应写成
^y=-HT-T0）,负号代表器＜0（温度随着时间的增加而降低）.见例15. 12.
考题
②
2.
设总人数为N,“/时刻已掌握新技术的人数広的变化率和已掌握新技术与未掌握新技术的人数之积
成正比”，应写成竽=+ kx（N-x）,正号代表守＞0（人数随着时间增加而增多）.见习题15. 3.
四、欧拉方程（仅数学一要求）
，其中"与g为常数JQ）为已知连续函数•它有
刃的方程称为欧拉方程
*
形如川謡+甘篇+妙=
固定的解法.
（1）当工＞0时，令工= e‘,则t = ln z,半=丄，于是
ax
dx
方程化为
232
dt
dx
x dt 9
dx2
djr \
x
jc
dt )
x2 At
x d.r \ dz /
书+ (p-1)竽+ gy=y(e，),
x2 dt
x1 At2
75讲
第
数学一、数学二专题内容
即可求解（别忘了用t = ln _r回代成z的函数）.
（2）当无V0时9令x=—^，同理可得.
五、傅里叶级数（仅数学一要求）
1-引言
在中学数学中我们就认识了周期函数：设常数T>0,若对于定义域内的任意
攵，広+丁,申（工+丁）=卩（広）均成立，贝U称卩（工）是以T为周期的周期函数.这个概念的
提出是为了什么呢？事实上，人们在生活中确实常常见到周期现象，即每经过一段
时间T（称为周期），事物又重新呈现其原先状态的现象•如汽车发动机中的活塞运
动、交流电的电流和电压等，都是科学技术中常见的周期现象，每位读者都可根据
自己的专业背景与生活感受提出不同的周期现象•在周期现象中的各种数量，不论
工是从什么时刻开始，经历时间T后又重新回到其原先的取值，可用卩（z + T）=
傅里叶
卩（工）来表示，这就是周期函数的实际意义.读者若将此处的工当作时间甚至直接
(1768-1830)
写成那是更好的.
除去常数函数这种特殊的略显无趣的周期函数，最简单的周期函数是正弦型函数:Asin（w/ +卩），其中
w叫角频率,A叫振幅，卩叫初相角，且w=竽.我们给岀这种函数的如下序列：
A。,
A]sin（s/ + p）,
A2sin（2wz + ^2）,
・・•,
A„sin（??wz + ^„）,
••-,
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
一个著名的问题出现了：给出一个周期为T的函数卩U）,它是否可由上面的序列的和表示出来？即
?
申（t） = A。+ A] sin（w^ + 华i） + A2sin（2wZ + 爭2）+ ••• + A„sin（nwZ + 申”） + •••
Awsin（nwZ + %）・
=Ao +
n= 1
一批杰出的数学家（你至少应该记住傅里叶、欧拉、达朗贝尔和狄利克雷这几个名字 ，我说的是“至少
应该”）为此做了一项艰辛且极具价值的工作，他们最终得出的结论是在极为广泛的条件（这条件要留在后
面详细讲出来）下，答案是肯定的
周期函数可由一个序列的正弦型函数叠加得到
从几何上讲，周
期函数的图像可由一个序列的正弦型曲线合成，这是一个多么美妙的结论.后面我们就称+
YA”sin（nwt+卩”）为三角级数.
n= 1
1744年，欧拉写信给他的好朋友哥德巴赫，信中提到了一些重要信息，下面我将尽量用容易被你所理
解的语言来描述这些重要信息.
设卩（工）是以2兀为周期的周期函数，且其在一ttVzVtt上
的函数表达式为申（工）=工，在z = 土兀时，爭（工）=0.现在你可
与我一同画出其图像（见图15-6）.
图 15-6
这样的一个周期函数是否像前面所言，可由一个序列的正
弦型函数叠加得到呢?答案是肯定且精彩的.
事实上,
2
sin 2x + sin 3工
2
3
sin 4工 i
sin心
n
233
考研数学基础
30讲•高等数学分册
的图像竟然和图15-6中cpS 的图像重合了 ！
如图15-7所示，"仅仅取到5时，也就是％ 3 = 2 （sin工一违空+聖导—空严十汽空）的图像:
你看这卩5（工）的图像在（一兀，兀）内不是已经有了“趋向”于直线y =工的势头了吗？
看来，此问题的研究是相当有价值的.接下来，我们就让欧拉和傅里叶这两位大师一起登场.
2.欧拉-傅里叶方法与傅里叶级数的产生
如前面所述，若能写出（PM=A0+^A„sm（mvt +卩”）（仍然需要再强调一下，可以写出这种式子的条
”=1
件在后面会讲到，读者先假设可以这样写，这样，思路就不会混乱），用三角公式
sin（a + 0） = sin acos【考研666】免费分享
/?+ cos asin 0
更多笔记资料关注公众号
对此式进行处理，得
cp⑴ = A。+ 工(A„sin mvtcos(p„ + A”cos nw/sin(p„),
i己 A„sin(pn = an ,A”cos(pn = bn^ 贝lj 申(t) = A。+ 工(q”cos rrwt + 仇sin rrwt}.
n= 1
若再记x = wt =罕，则有卩(£)=卩(佥_)=^=/3，且
/（j?） = A。+ 工（a”cos rue + ®sin nr）.
（15-5）
n= 1
显然这个函数的周期为2兀.下面的问题是，系数A0,an,b„是多少？欧拉和傅里叶给出了求这些系数的方法，
称为欧拉傅里叶方法.
为了更好地讲清楚欧拉-傅里叶方法，首先需要给读者温习一段基础知识，叫三角函数族的正交性.称
{1,cos
,sin j：,cos 2jr,sin 2工，…,cos nr ,sin nz , •••}为三角函数族.显然有
「1 • cos nzcLr =
= o,
cos rue
n
J cos nx
sin mjcAjc =
cos rue ・ cos mxdx =
J sin nx • sin True Ax =
234
0,
[sin(m + n)x + sin( m —n)x^]dx = 0,
m) jc + cos(z? —m)
0 ,/ZZ H 7?,
■J Ccos(n — m)x — cos(加 + zz)h]cLz = 0
H n.
第
75讲
数学一、数学二专题内容
我们发现,这个函数族中任意两个不同函数的乘积在［―兀,兀］上的积分值为0.这性质被称为三角函数
族在［—7T,兀］上的正交性.
顺便，还有
1 + cos 2ruc
dx
T~
1 — cos 2nx ,
djr =
2
冗,
7t.
好了，有了上面这些准备知识，我们可以着手来求A0,an,b„ T.
假设(15-5)式成立，即fO = A。+ A (a”cos rue + 6„sin nz)，将此式在［一
上逐项积分9有
”=i
/(jr)djr
由三角函数族的正交性,
os 心山+ 订］siwek)
= 2,7tA0
COS Zirdjr =
sin
= 0,从而有
tucAjc
/(
A°=
(15-6)
再将(15-5)式两边同时乘以cos True ,在［―兀,兀］上逐项积分，有
/(jc)cos rrucAx
由三角函数族的正交性,
= Aq
cos mx Ax
0,
但当血=n时，有
故
os rue cos mjc dx +
cos mxAx 十
sin rue cos mjc dx ) 9
COS ALT COS mjeAx = 0(其中加
sin nzcos mjcAx = 0,
cos'mz dr = 7t ?
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
/(jt)cos True Ax = at
cos'mzdz = am •兀,于是 a,n =—
/(jc)cos mzdz,即
7t
1
a” =—
/(jr)cos nrdx・
(15-7)
7T
同理，将(15-5)式两边同时乘以sin mz,在［―兀,兀］上逐项积分，便可得出
/(jc)sin
b„
tucAjc・
(15-8)
现在把(15-6),(15-7),(15-8) 式放在一起来看.
A。=舟J
1
an =—
/(j?)cos nocAx,
7C
bn = -
/(j;)sin nocAjc・
7T
你会发现，若在(15-7)式中取n = 0,则a。=丄「f(x)dx = 2A0，今后为了写法上的统一，我们干脆
7C J —k
记Ao =守，于是便有/(h)=守+刁(a”cos nx + b”sin nr)，其中
1
an =—
/(jc)cos
tucAx
= 0,1,2 , •••,
7T
bn = 7T
/(jr)sin nzdrr
= 1,2 , •••,
这里的an,bn称为函数f3 的傅里叶系数，以傅里叶系数构成的三角级数
235
考研数学基础
30讲•高等数学分册
譽+》（a” cos rue + 6„sin nx）
”=i
L
称为 2）在［―兀，兀］上的傅里叶级数.
至此，我给你交代了两件事情•第一，周期函数可由一个序列的正弦型函数叠加得到；第二，如何求出
这样一个序列的正弦型函数（事实上，只要确定了傅里叶系数a„,b„,这个序列自然就唯一确定下来了）•可
是这两件事情的成立是要有“前提”的.这前提到底是什么？下面来告诉你.
— 狄利克雷收敛定理
3.傅里叶级数的收敛性—
在历史事实中，关于这个“前提”，傅里叶本人虽在多个场合表达过他的观点,可始终未给出明确的定论,
这个工作最终由他的学生、著名的抽象派数学大师一一狄利克雷在1829年完成，被称为狄利克雷收敛定理.
工
*
设以2兀为周期的函数
）在［―兀,兀］上连续或只有有限个第一类间断点，且至多只有有限个（真正
的）极值点，则 2）的傅里叶级数
在［―兀,兀］上处处收敛,记其和函数为SQ）,则
広为连续点，
了（工），
）
日
Kr —0）严+ 0）,工为间断点，
/（—兀 + 0）+ /（7t 一 0）
2
, H — 土 7T ,
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
+ 0）,一 0）分别表示lim/（j7）, lim/（jc）.
*xx- 0
工一”
注意
这个定理（也就是前提）的证明超出了高等数学的要求，我们就不证了 •不过这里有两句重要的话需要
说明.
第一，你还记得一个函数能在某点展开为收敛于本身的泰勒级数需要什么条件吗？是的，比较苛刻.此
函数要在该点无穷阶可导且在工趋于该点时，其泰勒余项要趋向于0.而这里，一个函数要展开为收敛于本
身的傅里叶级数，条件很“轻松”地就能满足 —
狄利克雷说的“/（工）在［—兀,兀］上连续或只有有限个第
—
一类间断点，且至多只有有限个（真正的）极值点”,这个条件把极为广泛的函数都囊括在内了 —
—你可以
随手画出一个“违背”狄利克雷条件的函数的图像吗？那很困难•正因如此，将一个函数展开成傅里叶级数，
在各个领域都有着极为广泛的应用.
第二，这个定理明确指出，只有当工为连续点时，才可理直气壮地写SQ） = fS,其他情形下并不能
使这个等式成立，故今后你要注意下面这个科学的写法：
心）〜=
厶Seos心
其中“〜”读作“展开为”.记住JQ）与s（_r）并非处处相等，注例2后面的“注意”中会让你更清楚地看到
这一点.
注例2
设/'（工）=（0，
11,
解
—在［—兀，兀］上将其展开为傅里叶级数.
0M
工 V 兀，
显然题中所给fg 在［―兀,兀］上是满足狄利克雷收敛定理的条件的•下面需求出傅里叶系数.
丄
7T
236
/(jc)djr =丄f ldjr
7T丨 0
1,
75讲
数学一、数学二专题内容
第
1 2…，
/(jr)cos njcAx =
I
bn
1
/(j?)sin nxdx
7T
7T
1
sin nxdx
—COS
nn
0
TlX
=——cos H7T + — = [(一 l)"+i + 1] •—,
htc
mz
nn
其中cos mt = (-l)\n = 1,2,…，于是当/z为偶数时，(一1)申+ 1 = 0,即
仇=仇=仇=…=0.
floc)〜S(z) = # + 工(a”cos nx + ® sin rue )
故
n=l
/
1
2 / sin x | sin 3jc . sin 5x ,
,
\
=牙+匚(丁+—J—+f+…)
1 I 2 & sin(2b + l)«r
=T十定占―2k + i—•
注意
第一，读者与我一起再仔细研究一下这个结果•根据狄利克雷收敛定理 ，可知
一兀＜0＜09。＜工＜兀9
心，
S(jr) = V
/(0 + 0)+/(0-0) _
2
*—兀 + 0) 兀
*
+ 一
2
1
2 '
•Z = 0,
0) _ 1
_ ~2
X =± 7T.
下面分别画岀SQ)，/Q)在［—兀,兀］上的图像(见图15-8)，供读者直观对比一下.
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
AS(x)
i/(x)
10————O
(•
•
1 4
—A----------- ＞O
一兀
兀
0
71
(b)
(a)
图 15-8
显然，在一兀＜工＜ 0与0 ＜工＜兀这样的区间上，有S(z) = /'(工)；但在JC =— 7V,0,7t这三个点
处，S(z) H/Xz).
第二，由于乎+斗(a”cos nr+b”sin
mt)是以2兀为周期的，故这样的展开结果不仅在［一兀,兀］上正确，
在整个数轴上也是确定无疑的•所以，虽然题目要求的区间仅限于［一…利，但这结果可直接推广至整个实
设
* )是以
数轴上•稍作修改，就可写出下例：工
2兀为周期的函数，且其在(一兀,兀)上的表达式为
(0,—兀 V 夂 V 0,
心)=
|1,
0 W X V 7T.
请将/(^)在实数轴上展开为傅里叶级数.
其实，我们的展开工作仍然是在［―兀,兀］上进行，与注例2无异，只需在写出结果后“顺便”延拓至整个
数轴即可.写成
237
考研数学基础
30讲•高等数学分册
(/(无),
, sin 5jc ,
\
+ =- +…丿=S 1
I —,
/
°
〜、
1 , 2 / sin x | sin
fs 〜y+ —(―+
兀' 丄
/
°
X丰加兀,
JC
=加 7t,
其中m为任意整数，分别画出/(^)与S(工)的图像(见图15-9),供读者对比.
严)
•
lo
Q
—O
O
--------- k
u ■ ■■-
- 3兀
—2k
0
_兀
兀
2n
3 71
•
•
•
i
71
2兀
3 71
X
(a)
严）
L（
1
2(
•
•
•
-3ti
-O
- 2兀
-71
0
X
(b)
图 15-9
4.推广至任意区间上的傅里叶展开式
上面我们的讨论仅限于［―兀,兀］这个区间，区间端点定了，区间长度也定了，这未免有些死板，导致使
用有一定的局限性一区间端点不是一兀，兀时，区间长度不是2兀时，还能讨论傅里叶展开式吗？回答是肯
定的.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
）是以T为周期的可积函数，则
工
第一个问题，区间端点的移动，相当容易•你还记得这个定理么？*
设
对于任意实数a,有
fT
J0
fa+T
/（jr）djr =
Ja
/（jr）djr.
这定理用通俗的话讲就是，周期函数/Q）在一个周期上的积分值与起点无关•于是，当/'（乂）以2兀为
周期时，［—兀,兀］可随意换成匕卫+ 2兀］,其中a为任意实数，这个问题迎刃而解.
第二个问题，区间长度的改变，作变量代换可解决.若 2）的周期是2/,而不是2兀，即研究区间
则可令£ =子立，当一I冬JC
W I时，有一兀£丫£兀・记/（J：）=于（右匸）=g（0 ,
是有
g(t) ~ 守 + ” (a„cos nt + bnsm nt),
1
an =—
其中
g(t)cos ntdt^n
0,1,2 ,
7t
3
7T
g(£)sin ?iidt j/i
9
1,2,….
将变量t换回到工，有
Qo
/(j?)〜守
+ 耳(©cos 竽r + 6„sin 竽r
其中
7t
a” =
238
1
一
7T
=—x
g(f)cos nt At
I
1
/(j?)cos 竽zdz,72 = 0 91,2 9 …9
一兀W
W兀・于
75讲
第
数学一、数学二专题内容
7T
=亍
g(£)sin nt At
这里，对定义在［-/,/］上的函数，狄利克雷收敛定理同样成立.读者只需回到前面，把“兀”改成“2”,并
注意自变量的改变即可.如下所述.
设以22为周期的函数/（工）在［—/,/］上连续或只有有限个第一类间断点，且至多只有有限个（真正的）
极值点，则 g 的傅里叶级数处处收敛，记其和函数为SS）,有
SQ) =乎+工（a”c°s耸工+ b”sin号工）‘
了（工），
乂为连续点，
心-°）严+ 0）,工为间断点，
且
S(g) = Y
f（—l + 0）+_/（2-0）
工__| j
5.正弦级数与余弦级数
若 2）是［—上可积的奇函数，则= 0；若 g 是［-/,/］上可积的偶函数，则
］f（x）dx = 2^ /（j7）djr.
如此一来，便可得到下面两种特殊情形下的傅里叶展开式.
先看 g 是id上的奇函数的情形.有
更多笔记资料关注公众号
= 0," = 0,1,2,…，
a” = +J /'（z）cos 学rdr 【考研666】免费分享
=-y-j" /(a;)sin 号工d:c,n
b„
1
,….
于是,fS 〜》＞”sin争.由于展开式中只含正弦函数，故称其为正弦级数.
'
”=1
再来看 g 是［-ZJ］上的偶函数的情形•有
a” =
2
/(jt)cos 节hcLzm
bn = +] /(jr)sin 号scdsc = 0
0 91,2,…，
= 1,2 , •••.
于是，/'&）〜#+工；a”cos竽r.同样地，展开式中只含余弦函数，故称其为余弦级数.
厶
n=l
'
我们知道，任何一个定义在E-z,z］上的函数均可表示为一个奇函数与一个偶函数之和：
“小 _/■（&）—/（—工）,/（工）+ /（—乂）
2
g
2
十
'
其中£（乂）=
为奇函数，九（工）=色2_护二C为偶函数.自然可以联系到上面刚刚讲
过的知识而得出这样的结论：2）的傅里叶级数是由九Q）展开的正弦级数和由九（工）展开的余弦级数
的叠加.
再谈一个要紧的问题:若
这一部分的最后，*
工
）只在［0,/］上给出，要将其展开为以2/为周期的傅里
叶级数，该怎么办？
读者只需再翻回狄利克雷收敛定理，看看便知，我们在：-z,o］这个区间上补充/■&）的定义使其满足
239
考研数学基础30讲•高等数学分册
狄利克雷收敛定理的条件，即可将补充定义后的八工）在：-/,/］上展开成傅里叶级数了，我们将这种补充
定义的手段叫作延拓•显然，在［―几0］上给出不同的延拓形式，就会展开成不同的傅里叶级数.为方便起
见，我们常做以下两种延拓.
（1）奇延拓，也就是令
F(z) = <
了(工)，
0 V 工 W /,
— f(— x),
—Z W 工 V 0,
0,
工=0.
这个F&）是延拓之后的奇函数•如图15-10所示.
这里应特别注意工=0的情形•若原先/（0）工0,只能修改此处定义，强行令F（0） = 0,以保证FQ）
为的奇函数.
（2）偶延拓，也就是令
FQ）=
（,
0 £ z £ 2,
（/（—工），
一I £ 工 < 0.
这个FQ）是延拓后的偶函数.如图15-11所示.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
两种延拓后的奇、偶函数便可用前面所讲的方法分别展开成正弦、余弦级数了.
至此,基本理论全部讲完了.下面通过一个例题来欣赏引言中所提到的欧拉写给哥德巴赫的信中的精
彩内容.
注例3
*
将函数
工
）=y-y在区间（0,2x）内展开成傅里叶级数.
解此函数显然满足狄利克雷收敛定理的条件•轻车熟路，我们来求傅里叶系数.
丄「*工）山=
7T
J0
a”
「宁 cosmdz =
丄
7T J 0
L
0,
1 \ Tl — X .
1
/
j
bn = — —-—sin nxAx =—,
Z
7T J o
n
其中 n = 1,2,••-.
则g的傅里叶级数展开式为
2)=手一手=S&) = 2 ^^,0 V 工 V 2九
2
2
240
75讲
第
数学一、数学二专题内容
刃的傅里叶系数公式均为
*
【注1】（*）处的意思是想再次提醒读者，周期为2兀的函数
i
［―兀,兀］$
上的积分，但由于对任意实数a,均有
•a+T
f（x）dxj
/（j?）djr =
0
学故可直接“平移”积分区间至题中所给的0到2兀.
2
*
°十 °）±
【注2】（1）在端点0,2兀处，有S（0） = S（2k） = *
2
兀—0） =
0.
并如前所述，将SCr）的周期为2兀的特性“充分”展示出来，就得到了下面的图像（见图15-12）.
竺竺（0
（2）对
乙
"=1
n
Vz <2兀）
（* ）
做一些有趣的工作.比如令2t = x,则有手一 t= S 竺2空（0 <2/<2兀），等式两边同时除以2,即
n
”=1
厶
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
sin 2nt
召2”
7T _ t
刁—1"
sin 2kt / 八， 一、
S 〒
（o W,
（** ）
怡=1
显然，这里2怡是偶数项的标志.
在（关关）式中令t = x,用（关） 式减去（** ）式，当然也就得到了级数中奇数项的和：
7T
T
p sin（2怡—1）jc
,0 V h V兀・
2—1
召
将（*）式与（**）式写得清楚些:
7T _ X
~2~~2
sin x ] sin 2x - sin 3jc . sin 4jc .
+ p■ +
2
3
丁+
7T _ X
T~T
/n
— c 、
.
•••（（）<°<2兀），
、
sin 2工 | sin 4：x ,
小—
，
+ —r~ +…（°<'<兀）・
2
若用（*）式减去2倍的（** ）式，有
X
7t
X
2"__2~ -2 T~~2
7t
sin x | sin 2工.sin Zx . sin \x .
\
\
sin 2x | sin \x （
n- + ^- + -r- + -?- + “・）一2
十十…丿，
2
2
3
sin x—----------sin 2x k, -------sin 3x—--------sin \x十…
,
x =-----—
9
—
1
2
2
3
4
即
也就是
竺竺（0
n
VzVtt）.
由于上式两边均为奇函数，此时定义域可写为一兀<工<九这便回到了引言中的例子一一读者：
?现在可以重新感受到那个例子的精彩—
—在赞叹欧拉天赋的同时，你掌握傅里叶级数了吗？
241
30讲•高等数学分册
考研数学基础
基础例题精解
一、一元函数微分学应用
例 15. 1
已知动点P在曲线上运动 ，记坐标原点与点P间的距离为2.若点P的横坐标对
时间的变化率为常数5,则当点P运动到点（1,1）时,/对时间的变化率是________ .
解应填2屁。.
由题设知1=
干?
r= yG7冇，则
dZ _ d/ . dz_ 2j: + 6jc5
曲 dJ dt 2yp+p- *
專L厂分产=2屈。.
曲线
例 15.2
（h = cos3£,
帀
在上=乎对应点处的曲率为
4
[j/ = sin3£
9
解应填彳.
用参数求导法，有
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
dy=yft = 3sin红cos £
dx £ 一3cos2Zsin t
cFy _( _tan
dj?2
以曲 _ _
dx
1
cos21
—tan
. _____ 1_____ _
1
—3cos2Zsin t 3cos4Zsin
d纽
t
dj?2
按曲率公式，尸手对应点处的曲率为
二、一元函数积分学应用
例 15. 3
设地球的质量为M,半径为R将地面上的质量为肌的物体举高H米，求克服重力所做
的功.
解
如图15-13所示，考虑将物体从距地心工米处举高到距地心工+ clz米的情况.
在此过程中，假设物体所受的重力大小近似为
dxT x
G 畔(RWzCR +H),
x
其中G是引力常量.
将物体从距地心工米处举高到距地心工+ dz米时，克服重力所做功的微元为
图 15-13
242
75讲
数学一、数学二专题内容
第
dW=G学必
于是所求的功为
厂G啤山一沁
W =
X
x
Jr
R+H
GMm
（十_詁韵•
R
有一倒圆锥形容器，高10 m,上底半径4 m,水面高8 m.求将容器
例 15.4
中的水全部从容器顶部抽出所做的功（水的密度为1 000 kg/m3,重力加速度g为
9. 8 m/s2）.
解
10 —工
如图15-14所示，建立坐标系•在工处的水平截面的半径r满足
4
0即
截面面积
9
r= —(10一乂)・
b
[■|-(10 — 工)]=碁兀(10 —J：)?.
AQ） = / =兀
图15・14
所以将水全部抽出所做的功
40
•10
W = 1 000g
xA (j:)djr
1 000g
2
X • ¥兀(10 — xYdx
Zb
•10
160g7tI rr(10 — xYAx = 160 • 9. 8k •
J2
例 15. 5
3
~ 3 361(kJ).
洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，椭圆的尺寸如图15-15所示.当水箱装满水时,
计算水箱的一个端面所受的压力（水的密度为1 000 kg/m3,重力加速度g为9.8 m/s2）.
解
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
如图15-16所示，建立坐标系.在x（ —O.75Wx=O. 75）处椭圆的宽度为2y = 2 J1 —处
的深度为工+ 0.75,所以椭圆面所受到的压力
ro. 75
P = 1 000 X 9. 8
/
—yAx
0.75
一 -
—着山+
1 000 X 2 X 9. 8
(* )
Z2—
/
(x + 0. 75) • 2 A/1
V
J -0.75
1
1
ro. 75
J0. 752 — J?
)
J -o. 75
\
—19 600(0 十专兀・ 0.752)~ 1. 73 X 104 (N).
图 15-16
J
【注】其中（*）处利用对称性，前一个定积分的值为零；利用定积分的几何意义，后一个定积
分的值为半圆的面积.
243
考研数学基础
例 15. 6
30讲•高等数学分册
是由曲线L,直线工=l,_z = e及/轴围
设曲线L的方程为y =
成的平面图形，求D的形心的横坐标.
所以D的形心的横坐标为
3) 3(e2 + l)(e2-3)
+ l)(ee 2 —“
]6‘(ee z 十丄八
_ —
T=------------------------- =-----------------------7
1 3
4(e3-7)
—
—e
12
12
例 15. 7
解
计算曲线y = ln(l —X)上相应于OWzW*的一段弧的长度.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
$ = J： yi + (y')2dx
—丄
+X
例 15. 8
1 —X
1+
T
一
1
一
—])dz = In 3
一
x2
,1
~2
dx =
*
1+
0
求心形线y=a(l + cos 0)的全长，其中Q〉0是常数.
解
/(&) = —asin 0,
ds= ^/r2 + ( rz)2d9=a J J1 + cos 0)' + ( — sin 0)' d0= 2a
9
COST dO.
疋
=4
例 15. 1()
244
0
3 | sin tcos t | ck = 12
, 0
sin Zcos tdt = 6.
设有曲线y= v<L「过原点作其切线，求由此曲线、切线及X轴围成的平面图形绕z轴
第
75讲
数学一、数学二专题内容
旋转一周所得到的旋转体的表面积.
设切点的横坐标为说，则切点为（如，点二了），曲线丿尸T在此点的切线斜率为一厂1
解
,
于是切线方程为
y~丿如一1 =---- 丿
2丿如一1
（无一攵。），
又因它经过原点，将点（0,0）代入，得一2（竝一1） = 一如，解得工。=2,于是切线方程为丿一1 = *（工一2）,即
工
*
》=
，切点为（2,1）.
由曲线段》=好刁_（1=工£2）绕工轴旋转一周所得到的旋转面的表面积为
Si=J 2, ity
（yr ）2dj? —7r J J 虹—3 dz =寺（5 乓—1）.
1
由直线段『=守工（0=工£2）绕工轴旋转一周所得到的旋转面的表面积为
因此，所求旋转体的表面积为S = S,+S2 = y（1175-l）.
三、微分方程的物理应用
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
例 15. 11
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增
大阻力，使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9 000 kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的
总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为怡= 6.0X106）.问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？
（kg表示千克,km/h表示千米/时）
分析本题是标准的牛顿第二定律的应用题 ，列出关系式后再解微分方程即可.
由题设，飞机的质量切=9 000 kg,着陆时的水平速度vo = 700 km/h.从飞机接触跑道开始计时，
解
设t时刻飞机的滑行距离为工（/）,速度为
根据牛顿第二定律，得m^=-kv,又寄=£ •竽=匸將由此可得d_z=—fds积分得
■z（t） = —-^-v + C.
由于v（0）=vo，工（0）=0,故得C=^-v0，从而
R.
当讥t）-0时，工（t）f 护=罟骼帶=1.05（km）,所以飞机滑行的最长距离为1.05 km.
【注】
本题求飞机滑行的最长距离，可理解为/＞
+
*
或讥0的极限值，这种条件应引起 打
\注意.
\
245
30讲•高等数学分册
考研数学基础
例 15. 12
已知高温物体置于低温介质中 ，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介
质的温差成正比•现将一初始温度为120 °C的物体在20 £恒温介质中冷却，30 min后该物体温度降至
30 °C,若要将该物体的温度继续降至21 °C,还需冷却多长时间？
设该物体在t时刻的温度为T（t） °C,由题意得
解
1丁
矿"—20)
其中怡为比例系数,k>0,解得
T=Ce~kt + 20.
将初始条件T（0） = 120代入上式，解得C=100,故
丁=100严 + 20.
，所以
将t = 30, T= 30代入上式得k =
T— 100e 30 (20.
令 T=21,得 z = 60.因此要降至 21 °C，还需 60 —30 = 30(min).
四、欧拉方程（仅数学一要求）
例 15. 13
欧拉方程；存+ 4工兽+ 2y = 0&>0）的通解为
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
解应填为任意常数 •
/ 则
由题设，工>0,令J? = e
dy = dy , d£ =丄上
Ax dt dj? 工 dt '
d2y_
1 dy . 1 d2y
di _ 1 / d2 y
dy \
器+ 3 黑+ 2y = 0,
代入原方程，得
解此方程得通解为y = Ger + C2e7 = q + $，G ,C2为任意常数.
X X
五、傅里叶级数（仅数学一要求）
例 15. 1J
设
无，
=J
S(_z)
cz„cos
2 —2工,
a”
2
解
246
I'
J0
/(J7)cos
mtxAx^n
= 0,1,2,•••) ?求
工
*
由余弦级数s（z）为函数
S
(-1
）作偶延拓的傅里叶级数，知
muc,
— oo < z V+
其中
75讲
第
2
例 15.15
解
数学一、数学二专题内容
2
2
1
_ 1、”+1
将函数/Xz) = 1—；(0£工£ ”)展开成余弦级数，并求级数 Y —-F-...
将于(工)延拓成［―兀,兀］上的偶函数，则
n
n
re
仇= 0,72=1,2?…9
故 1
一 工？= 譽 + 另 q”cos
取=
nr = 1
一
n=\
/
—cos nz(0 £ 无 W 兀).
— P—
寻 + 艺——
3
1
Tl
得1 = 1 —寻+另 4(— 1)宀 ，于是S (-1)"+1 _ K2
r— _ 12 •
n— 1
”=i
“
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
【习题】
15. 1甲车以24 km/h的速度向北行驶，同时正东10 km处有乙车以20 km/h的速度向东行驶.从这
一时刻起经过1小时后，求两车间的距离对时间的变化率.
15. 2设p=p(z)是抛物线y =
上任一点处的曲率半径,s = s(工)是该抛物线上介于
点A(l,l)与M之间的弧长，计算3。兽一(黑,的值.
15.3在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N,在
t = 0时刻已掌握新技术的人数为如，在任意时刻t已掌握新技术的人数为工&)(将工(t)视为连续可微变
量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数k>0,求工(t).
15.4有一半径为4 m的半球形水池蓄满了水，现在要将水全部抽到距水池原水面6 m高的水箱中，
求需做多少功(水的密度为1 000 kg/m3，重力加速度g = 9. 8 m/s2,7r = 3. 14).
15.5求摆线
(jc = ci(t — sin Z),
(a>0)的一拱(0<^2tt)的弧长.
(j/ = a(l —cos t)
15. 6求阿基米德螺线厂=q0(q〉O)上相应于0从0到2兀一段的弧长.
247
30讲•高等数学分册
丫勺彳考研数学基础
：i
【解答
15.1解
设甲车最初在原点O处，乙车在C处,(X?=10 km,在t小时后，甲在
A 点，乙在 B 点，如图 15-18 所示.设 AB=s,OA = x,CB = y,则 s= /z' + O+lO)?,
其中s = s(t)
=
,y = jy(t)都是关于t的函数.写成
S? =/ + ()+10严，
两边对t求导，得2s •気=2工竽+ 2(丿+10)笋艮卩
x 不+(y+10)
ds
&
dy
d7
/x2 + (j/+10)2
上式表达了三个变化率專，守，亨之间的关系.已知竽=24,竽=20 ； t = 1时，工=24, y = 20,代入上
式，得叟="7^ ^30. 6(km/h).
15.2解
，代入曲率半径公式，得抛物线在点M(jc,y)处的曲率半径
由题知y' = -^—,y^~―
4 /z
2 y/X
＜、口+(y)2y
i …,’鳥
Q=p(z)=
= —(4j? + 1) 2 .
2
1^ I
r r
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
又抛物线上AM的弧长
a/1
s = s(x)
虫
故
2d5
一
山
屯 业
d5
=djr
d.s
d
= £
+ {y'ydt = j Jl +
—(4j;+ 1)2 • 4
----------------------- =6 石,
1
ds
djr
3境-(船2 = 3・*
( 虹+1)寺
因此
【注】
:
15.3解
1
6
2
6
J4无+1
y/~x
―
—3 6乂 = 9.
J 4无+ ]
本题不仅要求记住曲率公式、弧长公式，而且运算量比较大，容易算错.
由题设可得计= ;Lz(N —工)，分离变量积分得
由初始条件工=工0得特解
I r=0
【注】
丄
Q
2
NC严
1 + Ce叫
Ng严
N — x0 ~\~jcq ekNt °
此题十分容易，但实考得分率不高•题中文字多，考生容易迷糊，甚至不知道这是可分离
J
i变量的微分方程，即使知道，有的也不知道如何去积分.这类简单题的分数 ，考生一定要拿到手.：
248
第
15.4解
75讲
数学一、数学二专题内容
如图15-19所示，建立坐标系.在，处的水面面积为
7t（42 — 3>2 ） =7t（ 16 — b）,
在区间［y,y+dy］上的体积微元为
兀（16 — b）dy,
提升此体积微元的水所需要的力的微元为
pg 兀（16 —b）dy,
其中°=1 000 kg/m3,g = 9. 8 m/s2,7t = 3. 14.提升到距原水面6 m高处等于提升距离为（6 —y）,从而提升
（6 —y）Qg7r（ 16 —b ）dy,
此微兀的水需做功的微兀为
所以将水全部提升至原水面上方6 m处需做功为
W = J (6 — y)pg7t(16 — y2)dy = 320npg ~ 9 847(kJ).
15.5解
曲线图形如图15-20所示.
由题意，所求弧长为
了 + ［，⑺了曲
0
•2k
a
____________________
\/2( 1 — cos t)dt
0
•2n
=2a
15.6解
in 寺dt = 2a (— 2cos 寺
sin
2
0
2n
0
=8a.
曲线图形如图15 - 21所示.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
由题意，所求弧长为
心(0) + [r'(0) 了 d0
r
^a292 + a2 d9
=a『』1+护d&
J 0
T
J \ + & +*ln(0+ J\ + 护)
=a |~托 a/1 + 4k2 + -^-ln(2k + y/l + 4k2 )
249
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
基础内容精讲
一、复利与连续复利
复利计算公式
Am — A( 1 + r)m .
其中A表示一开始的本金，厂表示每一期的利率，〃表示复利的总期数，A,”表示m期后的余额.
① 如果年利率为r•的利息一年支付1次，那么当初始存款为A元时"年后余额A,则为
A, = A(l + r)r .
② 如果年利率为r的利息一年支付”次，那么当初始存款为A元时，r年后余额A,则为
A=A(l + f)
③
对于②
，当ZZ f OO时，limAf = limA (1 + — )
”f 8
n*o
o
\
Tl /
= Aert，这称为连续复利.
【注】考试时要弄清楚①，②，③三种情况，题目会明确告知.
:
250
i
第
76讲数学三专题内容
二、导数的经济应用
1.经济学中常见的函数
（1） 需求函数.
设某产品的需求量为広,价格为p. 一般地，需求量攵作为价格p的函数工=曲），称为需求函数.并且
价格P上升（下降），需求量広下降（上升）.需求函数的反函数P = <'（T）称为价格函数，也常称为反需求
函数.
（2） 供给函数.
设某产品的供给量为工，价格为亿一般地，供给量工作为价格卫的函数z = 0（p）,称为供给函数.并且
价格〃上升（下降），供给量z上升（下降）.
（3） 成本函数.
成本c=ca）—
—生产产品的总投入•它由固定成本g（常量）和可变成本C2&）两部分组成，其中工
表示产量.成本函数为
C=C（z） = G +C? （z）.
称£为平均成本，记为C或AC：
X
AC=C= —=
X
X
+
X
【考研666】免费分享
（4） 收益（入）更多笔记资料关注公众号
函数.
收益R=R（_z）——产品售出后所得的收入，是销售量工与销售单价p之积.收益函数为
R = R（h） = p工.
（5） 利润函数.
利润L = L（x）—
—收益扣除成本后的余额，由总收益减去总成本得到.利润函数为
L = L（z） =R（z） — C（z）（工：销售量）.
2.边际函数与边际分析
在经济学中，导函数称为边际函数.若函数yQ）可导，则称f ⑺为士（工）的边际函数./■'（□）称为
/\工）在m点的边际值•用边际函数来分析经济量的变化叫边际分析.
由,即 /'（竝 +△■!•） —Z"'（工0 ）△•!■,取 X= 1 得
于是，边际值/（^0）被解释为：在血点，当工改变一个单位时，函数/（工）近似（实际问题中，经常略去
“近似”二字）改变1/（^0）I个单位的符号反映自变量的改变与因变量的改变是同向还是反向.
（1）边际成本.
设总成本函数为
C=C（q）（q：产量）,
则边际成本函数（记为MC）为
MC=C'（q）.
产量为q0时的边际成本C （qn）表示：当产量为时，产量q改变一个单位，总成本C（g）将改变
\C，（qn）\个单位.C'（q。）的符号反映产量g的改变与总成本C（g）的改变是同向还是反向.
251
考研数学基础
30讲•高等数学分册
（2） 边际收益.
设总收益函数为
R = R（q）（q：销售量），
则边际收益函数（记为MR）为
MR = R'（q）.
销售量为g。时的边际收益R' 3 表示：当销售量为90时，销售量g改变一个单位，总收益将改变
|R'（g°）|个单位.RS的符号反映销售量g的改变与总收益R的改变是同向还是反向.
（3） 边际利润.
设利润函数为
L = L（g）（g：销售量），
则边际利润函数（记为ML）为
ML = L'（q）.
销售量为q。时的边际利润L'（g。）表示：当销售量为q0时，销售量q改变一个单位，利润将改变
\L，（q0） |个单位.L'（qQ的符号反映销售量q的改变与利润L的改变是同向还是反向.
3.弹性函数与弹性分析
在经济学中，把因变量对自变量变化的反应的灵敏度，称为弹性或弹性系数.设函数y = fCx）可导，称
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
为函数的弹性函数，称
为函数/（工）在如处的（点）弹性.
彳
表示在工。处，当自变量z改变1%时，因变量y将改变| %.其符号表示自变量工的改变
与因变量y的改变是同向还是反向.
用弹性函数来分析经济量的变化叫弹性分析.
（1）需求的价格弹性.
设需求函数为Q=°（p）（p：价格,Q：需求量），则需求弹性为
由于需求函数单调递减，故/（PX0,从而％V0.
其经济意义：当价格为P时，若提价（降价）1%,则需求量将减少（增加）丨％丨％.
【注】
若题设要求％＞0,则取％=—寿 • /（〃）•
（2）供给的价格弹性.
设供给函数为Q=NpNp：价格,Q供给量），则供给弹性为
由于供给函数单调增加，故％（P）＞0,从而7＞0-
252
第
76讲数学三专题内容
其经济意义：当价格为/时，若提价（降价）1%,则供给量将增加（减少）/%•
三、一阶常系数线性差分方程
（一）差分方程的基本概念
1.函数差分的定义
定义1函数=
函数在t时刻的一阶差分定义为
△y,=y+i—y=/(t+l)—/⑴；
函数于（t）在t时刻的二阶差分定义为
y = △（ 3）=
+1 —
=卩+2 一 2y+1 + y ；
其余类推，函数在t时刻的”阶差分定义为
= △（△—「） = △"「b+i —
= £（- 1）* &!（二厂 &+”—*•
2.差分方程及其基本概念
（1）差分方程.
定义2含有自变量/,未知函数y,以及y的差分△
…的函数方程，称为（常）差分方程.
"阶差分方程的一般形式为
(16-1)
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
这里F为已知函数，且必定要出现.
定义2'含有自变量t和两个或两个以上函数值”,》+，•••的函数方程，称为（常）差分方程.
n阶差分方程的另一种一般形式为
F(t,y,,yt+i，…,y+”)= 0,
(16-2)
这里F是已知函数，且y与3-;+„（«>1）必定要出现.
（2） 差分方程的阶.
定义3出现在差分方程（16-1）中差分的最高阶数，称为差分方程的阶.
定义3'出现在差分方程（16-2）中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶.
由于经济学中经常遇到的是按形如（16-2）给出的差分方程，因此下述将只研究形如（16-2）的差分方
程•差分方程的阶也依照定义3'给定.
（3） 差分方程的解.
定义4若函数y =
代入方程（16-2）,使得对一切的t均成为恒等式，则称卩=卩&）为差分方程
（16-2）的解.
含有"个任意独立常数G，G，・・・，C”的解
称为n阶差分方程（16-2）的通解.
在通解中给任意常数G，G，・“，C”以确定值而得出的解，称为”阶差分方程（16-2）的特解.
（二）一阶常系数线性差分方程的求解
一阶常系数线性差分方程的一般形式为
y<+\ + ayt = f(t),
(16-3)
253
考研数学基础30讲•高等数学分册
其中/(/)为已知函数,Q为非零常数.
当/(O=0时，方程(16-3)变为
M+i+ ay = 0,
(16-4)
当fg 0时，我们称(16-3)为一阶常系数非齐次线性差分方程,(16-4)为其对应的一阶常系数齐次线性
差分方程.
1. 齐次差分方程的通解
通过迭代,并由数学归纳法可得(16-4)的通解为
yc(£)=C • (—a)1，
这里C为任意常数.
2. 非齐次差分方程的解
定理1若y"是非齐次差分方程(16-3)的一个特解,yc(t)是齐次差分方程(16-4)的通解，则非齐次
*
差分方程(16-3)的通解为y = $c(t)+y
.
定理2若以与分别是差分方程
M+i+ay = /\(t)
和
yt+i+ayt = f2(t)
的解，则
y=y+y
是差分方程
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
M+1 + ayt = fi (t) + fl (i)
的解.
非齐次差分方程(16-3)的特解加形式的设定见下表.
(16-3)中/Xt)的形式
取待定特解的条件
试取特解的形式
=Q“(t) = Eo£------ Bmtm
a丰—1
f〈t) = P£t)=b°+b\t------ bmtm
Eo,b,・・・，5〃为待定常数
a=~l
y =tQ” (t)
*
fCt) = d' • P”(t)
*
y = dlQm (/)
d为非零常数
W =tdQ,”(t)
a-\~d = 0
/(O =b\ cos wt-\~b2 sin -wt
w# 0且bx , b2为不同时为零的
#0
—sin w
a + cos w
D=Q
常数
*
y =acos wz+/?sin wt
sin w
a + cos w
D=
a,0为待定常数
y* =i(acos wz+^8sin wO
基础例题精解
例 16. 1
设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定t = 0)就售出，总收入为Ro元，如果窖藏起来
待来日按陈酒价格出售，t年末总收入为R=rN 假定银行的年利率为厂，并以连续复利计息，求窖藏多
254
76讲数学三专题内容
第
少年售出可使总收入的现值最大，并求6%时的t值.
解
根据连续复利公式，这批酒在窖藏/年末售出总收入R的现值为AM=Re~r',而尺=尺代紡，故
A(0 = Roe^~rt.令兽=R°e紹"(寺一厂)=0,得驻点 t0 =箱j.
又器卡打“［(壽-希］,则有器L=R』(-12曲)<0.
于是，'° = 未是极大值点亦是最大值点，故窖藏上=赤年售出可使总收入的现值最大•当『=6%
时，/ =于"11 (年).
例 16. 2
设商品的需求函数为Q= 100-5/)，其中Q,p分别表示需求量和价格，如果商品需求弹
性的绝对值大于1,求商品价格的取值范围.
解
理讣
需求量Q对价格〃的弹性耳=护=总爲由于需求弹性的绝对值大于1，即|io
>1，
结合 Q=100 —5p>0,解得"€(10,20).
例 16. 3
设生产某商品的固定成本为60 000元，可变成本为20元/件，价格函数为〃 = 60 —F需
(p是单价，单位:元;Q是销量，单位:件).已知产销平衡，求：
(1) 该商品的边际利润；
(2) 当p = 50时的边际利润，并解释其经济意义；
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
(3) 使得利润最大的定价仏
解
⑴成本函数C(Q) = 60 000 + 20Q,收益函数R(Q) = pQ=60Q—書丽，利润函数
L(Q)=R(Q)—C(Q) = —+ 40Q—60 000,
故该商品的边际利润
L3)
—島+ 46
(2) 当 p = 50 时，销量 Q=10 000,7/(10 000)=20.
其经济意义：销售第10 001件商品所得的利润为20元.
(3) 令 L'(Q) = —¥ + 40 = 0,得 Q=20 000,且 L〃(20 000X0,故当 Q=20 000 件时利润最大，此时
/> = 40 元.
例 16. 4
设某商品从时刻0到时刻t的销售量为工(t)
［0,T］仏>0).欲在T时将数量为
A的该商品销售完，求：
(D?时的商品剩余量，并确定怡的值;
(2)商品在时间段［0,T］上的平均剩余量.
分析
在时刻t的剩余量y(t)可用总量A减去销量工(t)得到；由于y(t)随时间连续变化，因此在时间
段［0,门上的平均剩余量，即函数平均值可用积分y j\(z)di表示.
解(1)在时刻r商品的剩余量为y(t) = A — x(t) = A — kt ,t
[0,T].
255
考研数学基础
30讲•高等数学分册
A
A
由A — kT=0得b =〒9因此夕(t) — A — —t昇€ [0 9 T]・
（2）依题意有，》（/）在［0,T］上的平均值为
y =
A
.
令 dz==
T
刽》皿=
因此商品在时间段［0,T］上的平均剩余量为y.
例 16. 5
某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告 ，根据统计资料，销售收入
R（万元）与电台广告费心（万元）及报纸广告费用乜（万元）之间的关系有如下经验公式:
R = 15 + 14无1 + 32工2 — 8工1龙2 — 2云一10工［・
（1） 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
（2） 若提供的广告费用为1. 5万元，求相应的最优广告策略.
解
（1）利润函数为之=于（心9乂2）=尺—（工1+力2）= 15 + 13m +31jc2 — 8心工2 — 2# — 10圧・
-—=13 — 8乂2 —4心=0 9
o JC ]
解得
^— = 31 — 8心一20乂2 =。9
①=0. 75,
工2 = 1・25.
dx2
故利润函数z = f（x1 口2）在（0・75,1. 25）处达到极大值，也是最大值.
（2）若广告费用为1. 5万元，则需要求利润函数z = g，工2）在心+工2 = 1・5时的条件极值点.
构造拉格朗日函数F（无1山2 9入）=15 + 13心+31攵2 — 8工口2 — 2云一10云+入（4 +工2 —1・5）.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
-—=—8jc2 —4无 1 + 13+入=0,
o 3C\
sF
,、
由方程组v屯7= — 8心一20工2+31 +入=0,解得乂1=0,乂2 = 1・5.
故将1. 5万元广告费全部用于报纸广告，可使利润最大.
例 16. 6
已知某商品的需求量広对价格P的弹性V=-3p3,而市场对该商品的最大需求量为
1（万件），求需求函数.
尸乎炸=-3忙,¥=—3问亿
解根据弹性定义，有
由此得= Ce~fi3 , C为待定常数，由条件知卩=0时，工=1,从而C=l,于是所求的需求函数为
例 16. 7
求下列一阶差分方程的通解:
(l)2y+i + 10y — 5t = 0；
(2)y+i --y = 4cos 号匚
解
亠
⑴方程可化简为
5
5
e+ 5卩=号/,即a = 5,/（Z）= yZ,则对应的齐次方程的通解为
%（t）=A（ —5几
非齐次方程的特解应具有的形式为
y' =Bo + B|/,
256
76讲
第
数学三专题内容
代入原方程后可求得5 =—爲,5=售.于是原方程的通解为
（A为任意常数）.
y=A( —5)' +
（2）设非齐次方程的特解具有形式
y* = Bo cos 号上十sin
,
代入原方程后可求得B0 = -2,B1=2a/3.于是原方程的通解为
y = A —2cos寺+ 2屈血yKA为任意常数）.
础习题精练
【习题〕
16.1设某商品的最大需求量为1 200件，该商品的需求函数Q=Q（p）,需求弹性少=諾予5>°），
p为单价（单位：万元）.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（1） 求需求函数的表达式；
（2） 求p=100万元时的边际收益，并说明其经济意义.
16.2假设某企业在两个相互分割的市场上岀售同一种产品 ，两个市场的需求函数分别是
p\ = 18 —2Q| ,
p2 = 12 —Q?，
其中內和P2分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/吨），Q和Q表示该产品在两个市场的销售量
（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q +5,其中Q表示该产品在两个市
场的销售总量，即Q=Q +Q.
（1） 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大
利润；
（2） 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格 ，使该企业
的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润大小.
16.3
求方程 y+i — 3y = 2，— 1 ,）<）= 1 的特解.
=1,求y的表达式.
16.4设y满足+ 3Z\y + 2y = 2t— 1及初始条件y |
I t=0
【解答：i
16. 1
解（1）由题设
P
120 —
1
dp,可得 In Q= ln( 120 — /?) + In C9 即 Q=C(120 — p).
120- p
257
考研数学基础
30讲•高等数学分册
又最大需求量为1 200件，故C=10,所以需求函数Q=1 200—10亿
(2)由(1)知，收益函数R = 120Q~^Q2,边际收益R'(Q) = 120 —*
Q
当p=100时,Q=200,故当p = 100万元时的边际收益^(200) = 80.其经济意义：销售第201件商品
所得的收益为80万元.
16.2解(1)根据题意，总利润函数为
L=R — C—piQi + P2Q2 — (2Q+5) = — 2Qi —Q： + I6Q1 +10Q2 — 5.
=— 4Qi + 16 = 0,
<
〔L$ =— 2Q + 10 = 0,
令
解得Q = 4,Q = 5,则pi = 10万元/吨，仇=7万元/吨.
因驻点(4,5)唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到，最大利润为
L=-2X42 -52 + 16X4 +10X 5 — 5 = 52(万元).
(2)若实行价格无差别策略，则內=加，于是有约束条件2Q—Q = 6.
构造拉格朗日函数 F(Q ,Q2,A) = -2Q?-QH16Q1 + 10Q2-5 +入(2Q—Q? —6).
=—4Q + 16 + 2A = 0,
令
> F，
q»
= — 2Q2 + 10 — A = 0,
If： = 2Q — Q2 — 6 = 0,
解得Q = 5,Q2 = 4,A = 2,则pi =為=8万元/吨.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
最大利润 L =- 2 X 52 - 42 + 16 X 5 + 10 X 4 — 5 = 49 (万元).
由上述结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润.
16.3解
.由叠加原理可得
*
由于yt+i-3j/I = 2,的特解为一2爲而y+i—3y = 1的特解为一
，原方
y=A・3「一2，+ *
,
程的通解为
代入定解条件％ = 1,可求得A =号，故原方程的特解为
y=
16.4解
将=“+2—2y+i+y
2, + *
•
=y+]—y代入题设方程，得
y+2+y+i =2t—1,
令zt = yt+l，上式化成
z(+i +zt = 2t~ 1.
①
按一阶差分方程的规范解法，对应的齐次方程的通解为z( = C(-l)(,C为任意常数.
关于®的非齐次差分方程的特解应具有的形式为岸=加+ 3,代入式①可得A = 1,B=-1,Z(* =
£—1・
从而式①的通解为 N/ = C( — l)' + t—1,即 yt+1 = C( — 1)' + /—1心=<3( — 1)'一】+£ — 2・
由初始条件y
I
=C( —IL】一2 = 1,故C=—3.所以
t=0
y = —3( — 1)'7十/ —2 = 3( — 1)' + t —2.
258
7
］釦 讲
乡元函数积分学的基础知识
基础知识结构
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
259
考研数学基础
30讲•高等数学分册
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
]/基础内容精讲
—、向量代数
1.向量及其表达形式
既有大小又有方向的量称为向量.
【注】两个向量，只要它们的大小相等、方向相同，它们就是相等的向量，与它们在空间中的位I
•.置无关(这也称为向量的自由性).
《
向量的表达形式为
a= (ax 9ay 9az) —axi + a J ~\~azk.
2.向量的运算及其应用
以a
(a工 9CLy,clz) ,b
(b工 >by bz)，c== (cx cy ?c2),a,B9c 均是非零向量:.
(1)数量积(内积、点积)及其应用.
①a • b=(乙，色 gz) • ^bx
= aabx-\~ayby+ azbz.
②a •& = I a I I b I cos 0,则 cos 0=
a • b
|a| \b\
Q血 +a血 +a0z
，其中0为a"的夹角.
y4l].+a；+Q： • J出 + 代 + 处
③a丄如0=兮少a • b= I a I | & | cos 9=0^aJb:c-lrayby-\-azbz = 0.
260
77讲
第
多元函数积分学的基础知识（仅数学一要求）
a • b 喘誅券称为a在&上的投影.
=
師
④
（2）向量积（外积、叉积）及其应用.
j
k
①aXb= ax
ay
az，其中\ aXb\ = \a \ |
b,
by
bz
i
| sin 0,用右手规则确定方向（转向角不超过兀），0为a,b
的夹角.
②a〃旅=>0=0或 兀少答=务 =$.
ox by bz
（3）混合积及其应用.
ax
ay
az
① [abc] = （aXb） • c= br
by
bz .
工
Cy
Cz
C
② br
by
hz =0㈡三向量共面.
cx
cy
cz
3.向量的方向角和方向余弦
（1）非零向量a与工轴｛轴和z轴正向的夹角称为a的方向角.
ax
,cos 尸疋p cos
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（2）cos a,cos /?,cos y称为a的方向余弦，且 cos a=
C_
Sy
(3) a° = T^T=(cos a,cos 0,cos刃称为向量a的单位向量(表示方向的向量).
(4) 任意向量 r = xi+yj +zk = Gcos a 9 rcos 仔9 rcos y) = r( cos a, cos
「的方向余弦，「为「的模，COS"天右寺 cos
cos y) 9 其中 cos a 9 cos
cos y 为
y
/^2+y+z2
r= yp-Fy-FP-.
二、空间平面与直线
i.平面方程
以下假设平面的法向量n=(A,B,C).
① 一般式:Aj?+Bj/ + Cz+D = 0.
② 点法式:AQ—心)+_B(y —j/。)+ C(Z—ZO)= O.
工―小
y—yi
z—Zi
③ 三点式：x — xz
y~y2
z~z2 =0(平面过不共线的三点 Pi{jci,yi,zl') ,z = l,2,3).
■z—比
y~y3
z—z3
截距式:
④
-- b-T-H
b
a
c
= 1 (平面过(a,0,0) ,(0,6,0) ,(0,0,c)三点).
2.直线方程
以下假设直线的方向向量T=（l,m,Q.
261
考研数学基础
①一般式：
30讲•高等数学分册
(人1力+_61夕+6之+_0]=0 9/11 = (A】，_Bi，G),
[A2^4-B23/+C2^+D2 =0,n2 — (A2 ,民 9C2),
其中础不平行于燃.
【注】其几何背景很直观，是两个平面的交线，且该直线的方向向量T=niXn2.
②点向式(标准式、对称式)：宁=迁—宁
，力=力0 +力，
③
参数式:Y y = yo+mt,Podx()
,y), 6)
为直线上的已知点我为参数.
、N=N()+尬 9
④ 两点式：兰二孔=上二1 =二^(直线过不同的两点pi(xi,y.,zl),i=l,2).
氐―心 yz~yi z2—zx
3・位置关系
(1) 距离.
点P。(工。，％,勺)到平面Ar + By + Cz+D = 0的距离d= 皿竺。+6。+ D|
7A2+B2+C2
(2) 直线间的关系.
设 Ti = Cl1,ml ,«1),t2 = (/2,m2,/?2)分别为直线 Lj ,L2 的方向向量.
丄L2QT1丄比少也 +加1勿2
① Li
+"1“2 =0.
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
l2
m2 n2
L2^Ti //T2^~7~ = — = ~-
② Li //
(3) 平面间的关系.
设平面兀1，兀2的法向量分别为«1 =(A1 ,Bj ,Cj) ,n2 = (A2 ,B2 ,C2).
① 兀 1 丄7t2^ni _\_n2^>A1A2 + 5民 + CiC2 =0.
② 兀i〃兀2口"1〃"2莒务=善=咅.
(4) 平面与直线的关系.
设直线L的方向向量为T = (/,m,zz),平面7T的法向量为"= (A,_B,C).
①
L丄 7tUt〃 MO-y- = —-=—.
I
m
n
② L〃 zr<=^T 丄"少 A/ + Bm-\~Cn = 0.
三、空间曲线与曲面
1.空间曲线
(1)一般式r：
[F(z,y ,z) =0,
其几何背景为两个曲面的交线.
[G(x,y ,z) =0,
(x =(p{t},
(2)参数方程 r：sy = <p(t),tE:[ia,(3].
lz = 3(t),
262
:
77讲
第
多元函数积分学的基础知识(仅数学一要求)
(3)空间曲线在坐标面上的投影(重点).
以求曲线厂在zOy平面上的投影曲线为例.将八
[F(x,y,z)=O,
中的z消去，得到(工,了)=0,则曲
=0
(9 jy)
线厂在zoy面上的投影曲线包含于曲线「
09
U=o.
曲线厂在其他平面上的投影曲线可类似求得.
2.空间曲面
(1) 曲面方程:F(z,y,z) = 0.
(2) 二次曲面.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
263
考研数学基础
30讲•高等数学分册
续表
方程
曲面名称
图形
牛Z
7二
兰+比=兰
/ 十 b2
c2
椭圆锥面
—話+器=z(p，q>0)
1
:(
双曲抛物面(马鞍面)
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
z = Jcy
1 / 7d
4
兀
(3)柱面：动直线沿定曲线平行移动所形成的曲面.
椭圆柱面
~2 +召■ = 】(当a — b时为圆柱面).
a
b
双曲柱面4-4=1.
a
b
抛物柱面y^ax2.
5
【注】在空间解析几何中，一般认为缺少变量的方程为柱面.
i
(4)旋转曲面(重点)：曲线厂绕一条定直线旋转一周所形成的曲面.
曲线门
((«37 , "V 9 N)
qr T"
a; a I
7 7
绕直线L：壬亠=£』=宁旋转形成一个旋转
n
〔G(z,y,z) = 0
m
p
09
曲面，旋转曲面方程的求法如下.
如图17-1所示，已知点Mo©。,y)，勺)，方向向量s=S,”，p).在母线jT上
任取一点M3，卩，勺)，则过M1的纬圆上任意一点P(x,y,z)满足条件
M^±s,
264
|M^| = |MX| ,
图 17-1
77讲
娄元函数积分学的基础知识(仅数学一要求)
第
(加(工一工1)+/2(3/ —歹1)+ p(N—Ni ) = 0 ,
即
丨 O— 无0)2 +(丿―夕0 )2 +(N—N())2 =(无1 —无0)2 + (y — y))2 +(N1 — No)2 ,
与方程Fa，卩皿)=0和G(m皿，引)=0联立消去心，卩，勺，便可得到旋转曲面的方程.
四、多元函数微分学的几何应用
1.空间曲线的切线与法平面
'工=甲(/),
(1)设空间曲线厂由参数方程芥=曲)，(圧5，闵)给出，其中卩(t),0(t),3(t)均可导,Po(xo,yo,Zo)
、z = o)(t)
是厂上对应的点，且当t = t。时都不为0,则
①曲线厂在点Po(j：o,yo,zo)处的切向量为T=(卩'(to),/(t°),3'(t。)).
② 曲线厂在点P0(x0,y0,z0)处的切线方程为3肩=于兴=务耳.
(P \ to) (p K to) Cd Uo>
③ 曲线厂在点P。(竝，M，Z。)处的法平面(过点P。(如，M，Z。)且与切线垂直的平面)方程为
/(to)(_r —工0)+$ (to )(》一％) +o/(to)(Z—Zo )=0.
(2)设空间曲线厂由交面式方程
/F(a:,y,z)=0,
给出，则在以下表达式有意义的条件下，有
|GO,y ,z) =0
①曲线厂在点P0(x0,y0,z0)处的切向量为
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
F；
F：
G；
G；
匕
F：
F：
F：
F；
G：
G：
G：
G；
②曲线厂在点P„(^0,y0,z0)处的切线方程为
工―工。
F； F：
G；
③线厂在点
曲
_
ypo
G： P。
F；
F：
G：
G：
z—勺
_
P。
F：
F；
G：
G； P。
Poao,y(),Zo)处的法平面方程为
F；
G；
F：
G；
（工—工0 ） +
P.
F：
F：
G'
G： p”
（yp<>）+
F：
F；
G：
G；
（z—z0 ）=0.
p”
2.空间曲面的切平面与法线
(1)设空间曲面X由方程F(x,y,z') = 0给出,F(d，z)可微，Po(j?o ,y0 ,z0)是工上的点，则
*
。)处的法向量(垂直于该点切平面的向量)为
①曲面丫在点卩。©。，％,
"=(E (工0，》0，Zo)，E(工0，M，勺)，F (工0 ,》0，勺))，
且法线方程为
_
n—%
y~y（）
工―工0
_
E （工o，yo，Zo） E （工0,勺）（J7O ,y0 ,zoy
②曲面工在点P0(x0,y0,z0)处的切平面方程为
F^(x0,y0,z0)(j：—a?(!) + Fy(j：0,y0,z0)(y — y0)+F^(j：0,y0 ,zo)(z — zo)=O.
(2)设空间曲面X由方程z — f(j：,y)给出可微，令F(x,y,z) = f(x,y) — z,P0 (工。，勺)是工
上的点，则
①曲面工在点P0(x0,y0,z0)处的法向量为
265
30讲•高等数学分册
考研数学基础
"=（£ （如，》o）,£ （工。，％）, — 1）,
y~yo z~zQ
f：（乂0 ,y＞）f； 5，%）
_1 '
且法线方程为
②曲面工在点PoQ。，》。，？。）处的切平面方程为
f；（工0 ,》0）（工一工0）+£ （工0 ,yo）（ypo）—（z—Zo）=O.
【注】若用a,p,y表示曲面Z = f{x,y}在点（血，必，勺）处的法向量的方向角，并假定法向量的i
|方向是向上的，即它与2轴正向所成的角7是锐角，则法向量的方向余弦为
2
-Z_______
,
cos a= —
/+（£）卄（£）
4
j
…
cos B=
~fy
yi+（/）2+（^）2
,
cos y—
：
yi+（/）2+（x）2
?
其中，力'=£（心，必），£=£（如，必）.
I
（?
i
回
五、场论初步
1.方向导数
在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），还要设法求得函数在某点沿着
其他特定方向上的变化率•这就是本部分所要讨论的方向导数.
定义1设三元函数“ = “（z,y,z）在点巴（血，必，勺）的某空间邻域UU疋内有定义异为从点P。出发
的射线，P（z,y,z）为/上且在U内的任一点，则
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
x — J70 = A<r = Zcos a 9
y—y0 = ^y^tcos 0,
z—z0 = Az=^cos y.
以t=丿（&）2 + （心）2 + （"）2表示P与巴之间的距离，如图17-2所
示，若极限
lim"P)~~M(Po)— lim«(乂o+tcos a^Po+tcos 0,No+fcos y) — M(j；o 5，勺)
t
r-*0 *
t
o/-*'
存在，则称此极限为函数“=“Q,y,Z）在点P。沿方向I的方向导数，记作芳
P°
定理（方向导数的计算公式）设三元函数u=u（^,y,z）在点P。（如，％,勺）处可微分，则“=“（工,丿，幻
在点P。处沿任一方向I的方向导数都存在，且
du
~dl
=u x (Po)cos a + %； ( P°)cos 0+ uA Po) cos y,
p0
其中cos a,cos仔,cos y为方向l的方向余弦.
【注】对于二元函数f（x,y）的情况与三元函数类似.
:
:
2.梯度
在一个数量场中，函数在给定点处沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是
沿哪一个方向其方向导数最大？最大值是多少？函数在点P沿哪一方向增加的速度最快？为此引进一个
很重要的概念一一梯度.
266
第77讲
多元函数积分学的基础知识(仅数学一要求)
定义2设三兀函数u = u(x,y,z')在点P0(j:0 ,y0 ,勺)处具有一阶偏导数，贝0定义
= (“：(Po),“；(Po))
grad u |
为函数u=u(x,y,z)在点P “处的梯度.
3.方向导数与梯度的关系
由方向导数的计算公式芳|
="：(P«)cos a + “：(Po)cos 0+ uC(P0)cos y与梯度的定义
=(讥(P()),%；( P()) 9 况：(P())),
grad u
P°
可得到
az
p“
(%： (Po), uy () 9 况：(P()) ) • ( cos a, cos 0, cos y ) = grad u
grad u
其中0为grad u
结论
11° | cos 0= | grad u |
与『的夹角，当COS 0=1时，警
dI
p
p„
| cos 9,
有最大值.
匕
函数在某点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导
数的最大值.
4.散度与旋度
设向量场 A(«z9j/,N)= (P(h,j/9N),Q(H,；y9N),R(uy,n)),则
散度
div
A=
ap , aQ
djc
3y
dz
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
例 17. 1
设(aXfe)・
c = 29则[(a + b)X(b+c)]
• (c+a) =
解应填4.
[(ti 4 b)X(b + c)] • (c + a) = [aX (b+c)十 bX (b+c)]・(c + a)
=(aXb ^ aXc+bXc) • (c + a)
= (aXb) • c+(bXc) • a = 2(aXb) • c = 4・
例 17.2
设直线L：
(x~\-y~\-h=Q^
在平面tt上，而平面兀与曲面z =
相切于点(1,—2,5),求
I x~\~ay—n—3 = 0
a.b的值.
分析
首先求出与曲面^ = ^2+y相切于点(1,—2,5)的切平面tt的方程，进一步可将L代入切平面
兀的方程，求出a.b的值.
解
在点(1,—2,5)处曲面的法向量为兀=(2,—4, —1),故切平面兀的方程为
2( jc— 1) — 4(/+2) — (z— 5)=0,
267
考研数学基础
30讲•高等数学分册
( *)
即
由直线方程L：
jr + jz + ft —0,
解得 y=~x — bJz = j： — 3 — a(j2-\-by).将其代入(* )式'得
x~\~ay — z— 3 = 0 9
(5 + a)工+ 46+〃一2 = 0,
因而有 5+a = 0,46+a&—2 = 0,解得 a= —5,6=—2.
_________
例 17.3
[ （jc + 2）2 — z2 = 4： 9
* ―
求曲线
解
在平面上的投影曲线方程.
y2 =4
（—2）2
两方程消去乂即得投影柱面，再与工=0联立便得投影于yOz平面的投影曲线方程.
两式相减，便得工=比詳,代入第一式（或第二式）便得
64
化简后得（y+z2）2+32（y-z2）=o,因而在yOz平面上的投影曲线为双纽线:
（（y+z2）2=32（z2-y）,
•r = 0・
x — y~\~2z—1 = 0,
「歼2卄】=。绕皿旋转一周所形成的曲
例 17.4
面方程.
解
如图17-3所示,在直线L上任取一点勺），则过的纬
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
圆上任一点PCx,y,z）满足条件\O^\ = \OP\ ,且
图 17-3
+ Z1 ・
于是由 J?+b+2 =#+H+易，得 JC2 +
由L的方程解出工1 = 2卩灼=—*（“一 1）,艮卩工1=2%勺= —*（y—1）.于是旋转曲面方程为
2
j：2 +z2 = (2j/)2 + r— (y—1) I，即
X
一17b+42：2
+ 2;y—1 = 0.
eMcos udu9
0
例17.5 ■理r卿趨 y = 2sin t + c°s "在'=°处的切线方程和法平面方程•
z = 1 + e3r
解
当 t=0 时，兀=0,夕=19之=2；由 x=^cos t,j/ = 2cos r—sin £,$ = 3申，得 j/(0) = 1,j/(0) = 2,n'(0)=3・
于是，切线方程为=
解
1 = ^3 S法平面方程为工+ 2（夕一1） + 3（之一2）=0,即z + 2j/+3n—8 = 0.
由题意可知方向/即为戸玄=（1,一1）,故工轴到方向z的转角卩=—于.由于
一]
(1,0)
故所求方向导数需
= cos
(1,0)
_7t_
（i,o）
+ 2sin
2xe2y
(1,0)
7T
1
=2 9
(1,0)
_V2
—亍
M
268
第
77讲
孚元函数积分学的基础知识(仅数学一要求)
2
解应填 y(l,2,-2).
由已知，得
IM
2
9
,|
|m
4
/ |
Y
I
4
，则 grad
9
m
U
u
M
，况
M
M
M
2
= y(l,2,-2).
向量场 u(x,y,z) = xy2i+yezj +jrln(l + z2)fc 在点 P(1,1,0)处的散度 div u
解应填2.
3P . 3Q t 9R
,
div u = -—~ t—十〒■,
dx dy dz
由散度计算公式
其中“=Pi+Q+咫，得
2xz
div u
= 1 + 1 = 2.
p
(1,1,0)
■幼设 F{x,y ,z} — xyi — yzj -}~zxk，则 rot F(1,1,0)=
解应填i—匕
三元向量函数F(z,y,z) = (P,Q,R),则
k
rot F(x9y^z)
d_
dx
a_
3y
d
dz
P
Q
R
这里 P = xy ,Q= — yz,R = zx,于是
J
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
d
d
a_
rot F(l,l,0) =
(yi — zj — xk )
dx
3y
dz
—W zx
(1,1,0)
(1,1,0)
17. 1与两直线
'x=l,
i I
j y= —] +
口工 + 1
=
v+2
=
z—1
—
、z= 2 + t
都平行，且过原点的平面方程为_______ •
17.2求旋转抛物面z=^2+y-l在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.
17.3
求曲面z-e2 + 2^ = 3在点(1,2,0)处的切平面及法线方程.
17. 4求直线/：¥ = * = 寻在平面兀:乂一y + 2z—1 = 0上的投影直线Zo的方程，并求人绕y轴
旋转一周所成曲面的方程.
17.5函数“ = ln(z+ 存干孑)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,—2,2)方向的方向导数
为________ ・
269
考研数学基础
30讲•高等数学分册
【解答〕
17.
1工一y + z = 0解所求平面法向量可取为
i
k
j
”=Oil = —i+j ~~k.
1
2
1
由题设可知所求平面过原点，则所求平面方程为
—1 •
+ 1 • (y — 0)一1 • (z一0) = 0,
* 一0)
(
即
j/ + z = O.
17. 2
解
令 F Cx, y, z) = x2
y2 — z— 1,法向量= (2x ,2y, — 1)
I (2.1,4)
I (2,1,4)
=(4,2, —1).
切平面方程为 4(z—2)+2(y—l) — (z—4) = 0,即 4z+2y-z—6 = 0.
x — 2 _ y— 1 _ z — 4
4 = 2 = _1*
法线方程为
17.3
解令 F(x,y,z) = z~ez + 2yy —3,则
F' \
=2y I
I (1,2,0)
=4,
F' I
=2x I
I (1,2,0)
I (1,2,0)
=2,
F'z I
=0.
=(1 一)
*|
| (1,2,0)
I (1,2,0)
I (1,2,0)
则切平面方程为 4(工一1) + 2(y —2)+0 • (z—0)=0,即 2工 + 丁一4 = 0.
x— 1 _ y — 2 _ z — 0
2 = 1 = 0
法线方程为
17.4解
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
设过直线/,2。的平面为心，点(1,0,1)在/上，所以该点也在平面心上，于是心的方程可
设为
Tn :A(^-l)+B(j/-O)+C(z-l) = O,
心的法向量应与I的方向向量垂直，且与平面兀的法向量垂直，故有
A + B-C=O,
A-B + 2C=0.
由此解得A : B : C=-l ： 3 ： 2.于是th的方程为
x — 3y — 2z+l = 0,
x — y~h2z— 1 = 0,
从而Zo的方程为
x — Zy — 2z+1 = 0,
将人写成
v
z = 2_y,
]
z=—牙()一1).
设10绕y轴旋转一周所成的曲面为》，任取一点卩(心,有 ％ =
皤 + 好=/+云=(2丁)2+[ —
1)] = )*
(2
2
+ ]—
于是
—1) ] =¥祈一寺％ + +•
去掉下角标P,即得丫的方程为
4^2-17y+4z2+2j/-l = 0.
17.5
土
解
由公式得黔| =|^| cos « + |^ | cos；3+||| cos y,方向 / = A^= (2,—2,1 ),故
_ 2
cos a = —
du I
石I
所以第广 1
T'
270
2
cos P=—亍
1
du
=0,
3y A
1
cos y= —
du I _ 1
3z I A
2
第78讲
三重积分、曲线曲面积分
（仅数学一要求）
基础知识结构
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
271
30讲•高等数学分册
考研数学基础
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
272
73讲
第
三重积分、曲线曲面积分（仅数学一要求）
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
基础内容精讲
一、三重积分的概念、性质与对称性
1. 三重积分的概念
由于被积函数/Cz,y,z）定义在三维空间区域0上,因此三重积分从几何上来说很抽象.三重积分表示的是
四维空间图形的体积，无法画出图形，但是其物理背景仍然可以被我们所理解，就是以f（x,y,z）为点密度的
空间物体的质量.
简要说来，前面我们用“分割、近似、求和、取极限”的方法与步骤求出了二维平面上“曲边梯形的面积”
（定积分）和三维空间中“曲顶柱体的体积”（二重积分），现在问题上升到了四维空间，我们可以用同样的办
法求出“四维空间图形的体积”，这就是三重积分]]]/&,y,z）d©.在考研数学中，一般总假设fCx,y,z）在
n
0上可积，即三重积分总是存在的.
2. 三重积分的性质（以下总假设0为空间有界闭区域）
性质1（求空间区域的体积）=
= V,其中V为。的体积.
性质2（可积函数必有界）
设在Q上可积，则其在C上必有界.
性质3（积分的线性性质）
设k,,k2为常数，贝U
273
30讲•高等数学分册
考研数学基础
(工,y Qdu 士 吋』g(z,y ,z)c!q.
jjj V.k1f{x,y,z') 士展g(z,jy
Q
Q,
设fdx,y,z)在C上可积，且@ U仏=门仏=0，则
Q
性质4(积分的可加性)
/"Q
f (x,y tz^dz)
Q
,z)dQ +』f(x,y,z)dv.
n,
q2
性质5(积分的保号性)设,g(x,y,z)在C上可积，且在Q上,z)Wg(z,y,z),则有
,z)d©.
M
n
特殊地，有
n
f(jc,y,z) | du.
Q
设分别是f{x,y,z}在。上的最大值和最小值,V为Q的体积,
n
性质6(三重积分的估值定理)
则有
mV
n
设f(x,y,z)在0上连续，V为。的体积，则在n上至少存在一点
性质7(三重积分的中值定理)
(&2,使得
f (x,y,z)dv =
rj, pV.
a
3.普通对称性与轮换对称性
分析方法与二重积分完全一样.
(1)普通对称性.
假设。关于yOz面对称，则
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
f(x,y,z) = /(— x,y,z},
^f(x,y,z)dv =
Q
fCx,y,z) =— /(— T,y,z),
其中Q是O在yOz面前面的部分.
关于其他坐标面对称的情况与此类似.
(2)轮换对称性.
若把乂与y对调后不变，则0/■(工,y,z)ck =
这就是轮换对称性.
Q
Q
关于其他情况与此类似.
如 Q = {(_z,y,z)丨 / +b + 誉 ^R2},则 j[|/(z)dQ =
n
= ]J/(z)dz;可以化简计算.
n
n
具体应用见后面的例子.
二、三重积分的计算
(一)基础方法
1.直角坐标系
(1)先一后二法(先Z后乂丁法，也叫投影穿线法).
①适用场合.
C有下曲面z = 6(z,y)、上曲面z = N2(d),无侧面或侧面为柱面，如图18-1所示.
274
78讲
第
三重积分、曲线曲面积分(仅数学一要求)
(a)
(b)
图 18 -1
②计算方法.
如图18-2所示，有
f(j：,y,z)dz.
,z)dv =
n
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
(a)
图 18-2
(2)先二后一法(先工y后z法，也叫定限截面法).
①适用场合.
0是旋转体，其旋转曲面方程为X：
②计算方法.
如图18-4所示，有
n
Dz
z=b
图 18-4
275
考研数学基础30讲•高等数学分册
2. 柱面坐标系
（x = rcos 比
cr
在直角坐标系的先一后二法中，若do适用于极坐标系，则令
便有
ory
I） = rsin 6,
= JJ/（rcos 0,厂sin（9,z）rdrd^dz,
n
n
此种计算方法称为柱面坐标系下三重积分的计算.
3. 球面坐标系
（1） 适用场合.
何时用球面坐标法？
① 被积函数中含
（f（.x2 -{-y2 +z2）,
\fCx2+y2）.
（球或球的部分，
② 积分区域为
I锥或锥的部分.
（2） 计算方法.
（x = rsin 爭cos 伏
令
彳』=厂sin psin 0,
rcos p
用三族面将空间0切分成一个一个的微元体，如图18-5所示，其中
（常数），为球心在原点的球面，其半径为心，这里0Wr°V + 8；
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
② 卩=卩。（常数），为以z轴正向为中心轴的圆锥面.其顶点为原点，半顶角为
③ 0=仇（常数），为过z轴的半平面，其与工Oz面正向夹角为0。，0£仇£2兀.
276
第78讲
三重积分、曲线曲面积分（仅数学一要求）
此微元体近似为长方体，其三组边界面分别为：以原点为圆心，半径为厂与r + dr的球面；以z轴为中
心轴，半顶角为卩与卩+ d卩的圆锥面;过z轴且与zOz面正向夹角为0与0 +
的半平面.它的体积微元即
为三个边长 dr,rd<p 与 rsin <pd6 的乘积，即 dv=r2sin cpdOdcpdr.
于是球面坐标系下三重积分的计算公式就写成
/(rsin 卩cos 9,rsin 卩sin(9,rcos 卩)尸sin(pd6d<pdr.
n
【注】怎样定限？
①从原点出发画一条半射线（取值范围［0,+«=））
先碰到。，记广1（爭,0）,
后离开d,记广2（卩，0）.
②顶点在原点，以z轴为中心轴的圆锥面半顶角（取值范围［0,兀］）
③过z轴的半平面（取值范围［0,2兀］）
先碰到。，记卩（0）,
后离开C,记卩2⑹.
先碰到Q,记01，
后离开0,记仇.
则
也/(工，y ,z)ch;
n
/(rsin 卩cos 0,rsin 卩sin 0,rcos <p)r2sin(pdrd<pd0
Q
2
『2（卩⑹
C02
（卩2（°）
"卩 cos 0,Tn卩sin g ” sin妙.
=b叫心）如匕_（网）*
《
《
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（二）技术方法
①对称性（包括普通对称性和轮换对称性）;
x • V,其中V为。的体积）.
②形心公式的逆用（由工=
Q
三、第一型曲线积分的概念、性质与对称性
为表述方便，除特殊说明外，以下仅讨论空间情况，平面情况比较简单.
1.第一型曲线积分的概念
第一型曲线积分的被积函数/■&,））（或fCx,y,z））定义在平面曲线L（或空间曲线厂）上，其物理背景
是以/'&,，）（或/'（工小,刃）为线密度的平面（或空间）物质曲线的质量.与前面类似，我们仍然可以用“分
割、近似、求和、取极限”的方法与步骤写出第一型曲线积分
J /'（•r,y）ds（或J
/"（工,y,z）ds）.
但事实上，如果仅理解到此，还是不够的，不妨把定积分和第一型曲线积分放在一起做个对比，以加深
我们对概念的理解.
定积分定义在“直线段”上，而第一型曲线积分定义在“曲线段”上.
在考研数学中，一般总假设f（x,y,z）在厂上可积，即第一型曲线积分总是存在的.
277
考研数学基础
30讲•高等数学分册
2.第一型曲线积分的性质(以下总假设 『为空间有限长分段光滑曲线)
性质1(求空间曲线的长度(弧长))J；ld.s = “，其中存为厂的长度.
性质2(可积函数必有界)设f(x,y,z)在厂上可积，则其在厂上必有界.
性质3(积分的线性性质)设k{,k2为常数，则
J [b/Xz
,z)]ds = & J f(T,y,z)ds 土爲J g(z,y ,z)ds.
,z) ±
性质4(积分的可加性)设fCT,y,z)在厂上可积，且厂山几=厂,口门几=0,则
Jr
=
•
Jr,
/(jr ,j/,z)d5 +
J r,
/(jr,j/,z)d.s'.
性质5(积分的保号性)设f(x,y,z) ,g(x,y,z)在厂上可积，且在厂上f(x,y,z')^:g(x,y,z')，则有
,z)ds W J g(_z,y,z)ds.
J
特殊地，有
f (x,j/,z)d.s-
I
J |
f(x,y,z)
| ds.
性质6(第一型曲线积分的估值定理)设分别是fCx,y,z)在厂上的最大值和最小值,“为厂的
长度，贝9有
诙rMj f(a:,y,z)ds^-Mlr.
性质7(第一型曲线积分的中值定理)设在厂上连续 ，存为厂的长度，则在厂上至少存在一
点(£,少，丫)，使得
J
f(j：,y,z)ds —
更多笔记资料关注公众号
3.普通对称性与轮换对称性
【考研666】免费分享
分析方法与二、三重积分完全一样.
(1)普通对称性.
假设厂关于yOz面对称，则
2
J r,
/'(•z,》，z)ds,
0,
f(T,y,z) =
f{x,y,z~) —— f (— i ,y
,
其中只是厂在yOz面前面的部分.
关于其他坐标面对称的情况与此类似.
(2)轮换对称性.
若把工与》对调后，厂不变，则j
/■(■!■,y,z) ds = J
f{y,x,z)ds,这就是轮换对称性.
关于其他情况与此类似.
具体应用见后面的例子.
四、第一型曲线积分的计算
(—)基础方法--- 化为定积分
由于第一型曲线积分就是由定积分推广而来的，因此计算第一型曲线积分的基本方法就是将其化为
定积分.
278
78讲
三重积分、曲线曲面积分（仅数学一要求）
第
1.对于空间情形
(JC = x(t)，
若空间曲线r由参数式｛ y = y(t), (a
[z
w t w P)给出，则
= z(r)
ds =+ 财⑷了仏
| /[jr(Z)vT，(t)了 +
|
且
了 +
[z'(7)了dt・
2.对于平面情形
(1) 若平面曲线 L
给出,则
由 y = y(x)
ds=
[f(j：,y)(ls = [ /[jc/
JL
+ [3/(2) 了dz・
Ja
.・
(无=无(力9
(2) 若平面曲线L由参数式
f
了dr 9且
a/1+
给出9则ds=
\y=y(t)
f (jt,j/)d5
vT，(t)了+ [j/(£)]2d/,且
= [ /T攵(/)，?(/)] /[/a) 了
+ [“(》)丁df・
（3）若平面曲线L由极坐标形式厂=厂⑹（aWWp）给出，则&=厂⑹丁+，（0门2皿,且
f
f Cx,y）ds
= ［ */ ［厂（0）cos 0,厂（0）sin
9］丿［厂（0）丁 + ［厂'（0）
Yd0・
（二）技术方法
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
① 边界方程代入被积函数（由于被积函数就定义在边界方程上，因此可以把边界方程的表达式代入到
被积函数中，从而达到简化计算的目的）；
② 对称性（包括普通对称性和轮换对称性）；
③ 形心公式的逆用（由z
「
x ds
+--- => J jrd.s- =
V5
X •存，其中lr为厂的长度）.
五、第一型曲面积分的概念、性质与对称性
1.第一型曲面积分的概念
由于被积函数fCx,y,z）定义在空间曲面X上，故第一型曲面积分的物理背景是以f（x,y,z）为面密
度的空间物质曲面的质量.与前面类似，我们可以用“分割、近似、求和、取极限”的方法与步骤写出第一型
曲面积分
11/（ j：，3>,z）dS.
如前面所述，仅理解到此是不够的，不妨把二重积分和第一型曲面积分放在一起做个对比，以加深我
们对概念的理解.
二重积分定义在“二维平面”上，而第一型曲面积分定义在“空间曲面”上.
在考研数学中，一般总假设f（T,y,z）在工上可积，即第一型曲面积分总是存在的.
2.第一型曲面积分的性质（以下总假设工为空间有限分片光滑曲面）
性质1（求空间曲面的面积）JJldS = S,其中S为Y的面积.
279
30讲•高等数学分册
考研数学基础
性质2(可积函数必有界)当在》上可积时，则其在工上必有界.
性质3(积分的线性性质)设k,,k2为常数，则
(夂，y，z)土
,z)]dS = &Jp"(z,y,z)dS 士 嚴,z)dS.
性质4(积分的可加性)设 2，y,G在Y上可积，且2 UX2=X，£ D》2 = 0，则
JJ/ (工，丁，z)dS = JJ/Xz,》，z)dS + jjf(x,y,z)dS.
性质5(积分的保号性)当f{x,y,z) ,g(jc,y,z)在工上可积，且在5上f(x,y,z')^zg(x,y,z'),则有
,z)dS.
jj/(j?,j/,z)dS M
特殊地，有
| jpXzmEdS
JJ | f(jc,y,z) | dS.
性质6(第一型曲面积分的估值定理)设M,/n分别是f(x,y,z)在Y上的最大值和最小值，S为丫的
面积，则有
mS ^^f(x,y,z)dS^MS.
s
性质7(第一型曲面积分的中值定理)设fCx,y,z)在Y上连续，S为工的面积，则在工上至少存在一
JJ/(j?,j/,z)dS = f(E，rj,?S.
点(&少,匚)，使得
3.普通对称性与轮换对称性
分析方法与二、三重积分和第一型曲线积分完全一样.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
(1) 普通对称性.
假设》关于丸怡面对称，则
2jJ7a,g)dS,
,2’
Jjy（D，z）dS = <
2
0,
f{jc,y,z) =— f(— x,y,z),
其中塔是丫在yOz面前面的部分.
关于其他坐标面对称的情况与此类似.
(2) 轮换对称性.
若把工与y对调后,》不变，则jjy(z,_y,z)dS = JJ/Xy,工,z)dS,这就是轮换对称性.
关于其他情况与此类似.
具体应用见后面的例子.
六、第一型曲面积分的计算
1.基础方法--- 化为二重积分
由于第一型曲面积分就是由二重积分推广而来的，所以计算第一型曲面积分的基本方法就是将其化
为二重积分.
无论空间曲面丫是由显式z = z(D)还是隐式F(工,y,z) = 0给出的，我们都需要做三件事(无逻辑上
的先后顺序，哪件事情最利于解题就先做哪件)：
280
第
78讲
三重积分、曲线曲面积分（仅数学一要求）
① 将5投影到某一平面（比如xOy面）上3投影区域为D（比如几）；
② 将 z = 2：（_z,y）或 F（z,z） = 0 代入 f｛x,y,z｝；
③
计算
z； ,z；=>dS=+ （g； ）' + （£），.rdj;.
这就把第一型曲面积分化成二重积分 （如化成关于工,）的二重积分），得到
= jjf[_x,y,z（x,y）] J\ + （z；）? + （/FcLrdy
E
Dry
化成关于其他变量的二重积分与此类似.
i
【注】这里有一点需要特别强调，将》投影到哪个平面上应该是由你自己决定的，但是丫上的任何5
两点的投影点不能重合，换而言之,假如你要将》投向血y面，则Z=N（_z,y）必须是单值函数.忘记了这
一点，就可能算错结果.
如果将工投向某一平面，但是曲面投影后有重合点，则
①要么将工转投向另一个平面，使得曲面投影后无重合点
》
②要么将工分成若干曲面工|,工2,…，使得这些曲面各自投影后无重合点.
£
2.技术方法
① 边界方程代入被积函数（由于被积函数就定义在边界方程上，因此可以把边界方程的表达式代入到
被积函数中，从而达到简化计算的目的）；
② 对称性（包括普通对称性和轮换对称性）；
JJzdS
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
③ 形心公式的逆用（由了=
—寸适二了，S,其中S为工的面积）.
dS
s
七、重积分与第一型线面积分的应用
1.几何量
（1）对于平面区域，有两种情况：
①若D是由y=f（T）,^a,^b与工轴所围成的曲边梯形，则其面积为A = P 1/（^-） I
其中a <b；
②平面区域D的面积为A =JJd6
D
（2）对于空间区域，有两种情况：
①以区域D为底，曲面z = zQ,y）为顶的曲顶柱体的体积为V= J
丨d“；
D
【注】这种情况是考试重点，常有z（x,y） = f（a:,y'）—g（x,y）,也就是这个空间区域是由两个｛
*,y
；不同的曲面5：勺=
z
）和£：Z2=g（工，》）（有时也需要添加一些坐标面）所围成的.
\
du・
②若。是物体所占的空间区域，则其体积为V
Q
281
考研数学基础
30讲•高等数学分册
工=攵⑺，
⑶对于空间光滑曲线八若其由参数式乜= y（£），（a《W0）给出，则计算空间曲线的长度（弧长）的公
In = n（/）
式为
了 + [/⑺了 +
[J ⑺ 了
t.
（4）对于光滑曲面薄片X,若丫由单值函数z = N（工,歹）给出，Dp为曲面丫在工0夕面上的投影区域，则
其面积
Dry
【注】
同理，在同样保证单值函数的情况下，可向另外两个坐标面投影，得
AJ
J1十（工；）？ + （工；严 yds
D
［其中X-.x = x（y,z） ,E）w是曲面在yOz面上的投影区域
人J J\ + (MF + (A：)?dzdj",
D
:其中l：y =
, D_.是曲面在zOx面上的投影区域.
事实上，曲面面积就是第一型曲面积分的被积函数是 1时，用投影法所得出的积分，请大家注意这个
1联系.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
2.重心（质心）与形心
以下如无特殊说明，均假设Q（ZQ）与Q（Z,y,Z）在所定义的区域上连续.
（1）对于平面薄片，面密度为q（d）,D是薄片所占的平面区域，则计算重心（F匚）的公式为
』％(工，y)d(7
p________
jjo(z,y)dcr
D
^yp(x,y)d(j
— D
y = Tr--------------«
（攵,》）d（T
D
（2）对于空间物体，体密度为q（d，n）4是物体所占的空间区域，则计算重心J J）的公式为
h
_
X =
—
Q
y = ~r(T----------Q(«Z,y 9之)氏
Q
-----------------』”（乂9夕，z）du
Q
（3）对于光滑曲线L,线密度为则计算重心
7
I fl（x9y9z）ds
9）,N）du
Q
）的公式为
NQ（D，N）ds
J/qQ,? ,N)ds
%（＜r ,jy 9之）山
X
』Jnq(£ 9』,N)du
_N — n
，
y =〒
J p（x 9y ^z）ds
，n
= 5^
J p（x 9y 9z）ds
（4）对于光滑曲面薄片X,面密度为Q（HQ,N）,则计算重心（7®,?）的公式为
』％(工,丿,N)dS
2_________
jjo(0 9；y QdS
加,z)dS
『=Tr------------------
，N)dS
2
282
(乂
z
9? QdS
JJo(«z,;y,N)dS
2
78讲
三重积分、曲线曲面积分（仅数学一要求）
第
【注】（1）在考研的范畴内，重心就是质心.
（2）当密度以厂夕）或者pCr,〃z）为常数时，重心就成了形心.
3.转动惯量
（1）对于平面薄片，面密度为p^x,y）,D是薄片所占的平面区域，则计算该薄片对夂轴、，轴和原点O的
转动惯量I,
Jv和几公式分别为
|T（j：'2 +
[Tr^Cjr
y2 ）p（）d（i.
Io =
D
D
（2）对于空间物体，体密度为Q（D，N）q是物体所占的空间区域，则计算该物体对"轴｛轴、N轴和原
Iy =
jjj/2Jo（j：，3/）dcT,
D
点0的转动惯量匚，匚丄和Io公式分别为
Ir
= jjl Cy2 + 亡）q（e ,y,N）clu,
r2 + 3/）q（无，夕，z）du,
y
（x2 + y2 + J ）p（D，N）du.
Io =
（3）对于光滑曲线L,线密度为p（z,y,z）,则计算该曲线对工轴、y轴二轴和原点O的转动惯量
匚J”，匚和公式分别为
（3/ + / ）p（«z,;y,N）ds9
（<z2 + 3/）p（文，j/9Z）ds,
（z2 + 乂2
Iy
,N）ds,
（jr2 + j/2 + z2）Q（jr,y,z）ds・
I（）=
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
（4）对于光滑曲面薄片J面密度为Q（工Q,N）,则计算该薄片对工轴｛轴、N轴和原点（）的转动惯量
和/。公式分别为
jj （y2
2
+ jr2）^（j?，3；9^）clS,
2
（）= jjg + b + J ）p（N,y ,z）dS・
2
+ 云）p（工，夕，z）dS9,Iy
jj（JC2 + y ）~（&9歹 9N）dS9
==
I
4.引力
（1）对于xOy面上一平面薄片，面密度为p（T,y）,D是薄片所占的平面区域，则计算该薄片对点
M0（x0,y0,z0）处的质量为m的质点的引力（Fr,Fv,R）公式为
F, =
Gm
Fv = Gm
rr_____ p（z,y）（z — zo）_____ 曲
d [（工一m ）2 + （y — y> ）2 +云IP
d°,
—
『------ Q（"）（yP）—
¥ [（z —工0）2 + （y —
Fz =— z0Gm
+zo]7
p（D）
瓦ck・
D ［（工一Ho）2 + Cy — y0）2 + 必］2
其中G为引力常量，下同.
（2）对于空间物体，体密度为是物体所占的空间区域，则计算该物体对点M）（工°,%,No）
处的质量为m的质点的引力（F「，Fy，E）公式为
F「= Gm
rrr_____ 。（工,？ *（无一工。）______________ 氏
Q
[O —工））2 +（夕一夕0）2 +（N — No）2] 2
283
考研数学基础
30讲•高等数学分册
F. = Gm
肝
p(x,y,z)(y — y0)
n
[(z —I + (y —y) + ( N — No ) 2 ] 2
ds
^(j：9y9z)(z --No)
IJJ「（片
—工。)'+
(y — yj' +(N —
z0)2y
pCx,y, z）,则计算该曲线对点Mo （工0
勺）处的质量为m的质点的引
,y）
力（F,,F,，E）公式为
Fz = Gm
p(uy ,z) (x --竝）
I'
3
[(工
Fy = Gm
Fz = Gm
°(无9?,n) (y --Ao)
人[（工
ds,
—x())2 + (y — y) + (z — 一勺）幻丁
ds 9
—+ （，一刖 + (z-
r
Q&Q’n)(N --No)
—SF + O —
+(N —
（4）对于光滑曲面薄片Y,面密度为p（T,y,z）,则计算该薄片对点勺）处的质量为肌的质点
的引力（F”，F『，E）公式为
F’ = Gm^\------------- QCr，y，z)Cz —工。)----------- dS,
2
—^o)2 + ^y — yoy + (z —Zo)2]2
F, = G/4----------- p(z，w)(yp。)------------ dS,
S
[(工一工0)2
+ (y — y>)2 + (z — Zo)2] 2
2 — 2。)------------ dS.
£ = Gm『-------- 卩(工，〃2)(
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
2
[(工一工0)2
+(丿一丿0)2 + (z — Zo)2] 2
八、第二型曲线积分的概念与性质
1.场的概念
什么叫“场”？从数学上说，场就是空间区域0上的一种对应法则.
（1） 如果C上的每一点M（工,y,z）都对应着一个数量"，则在。上就确定了一^数量函数u=u（x,y,z'）,
它表示一个数量场•数量场的例子很多，比如温度场，数量场不讲究方向.
（2） 如果0上的每一点M（z,y,z）都对应着一个向量F,则在0上就确定了一个向量函数
尸（工9》9北）=卩（无9』9北）「+（2（无，』，北）/+}?（无，』，2）丘，
它表示一个向量场.向量场的例子也很多 ，比如引力场，向量场讲究方向.
2.变力沿曲线做功
在一个向量场-变力场中，设某质点在变力F（工,y,z）作用下，沿着有向曲线厂从起点A移动到终
点B,总共做了多少功？（这个物理背景请大家熟记，考研中出过基于这种背景的考题.）
设沿着有向曲线厂在M（j：,y,z）点移动了一个微位移dr = dxi + dyj + dzk，将变力F（x,y,z）近似看作
常力，则力在此微位移上的微功dW = F（x,y,z） - dr,于是变力F（_r,y,z）沿着有向曲线厂从起点A移动
到终点B所做的总功为
W = [ dW = [ F（j?,y,z） • dr = |
284
（P（j：,y,z）,Q（J：,y,z）,R（j：,y,z）） • （dj：,dy,dz）
78讲
第
三重积分、曲线曲面积分(仅数学一要求)
=J P(_z,y,2r)cLr + Q(z,y,z)dy + R(z,y,z)dz,
于是我们就引出了第二型曲线积分的概念.
3. 第二型曲线积分的概念
第二型曲线积分的被积函数 F(z,y) = _P(_z,y)i + Q(j?,y)j(或 F(z,y,2：) = P(工,+ Q(z,y,z)j +
R(x,y,z)k)定义在平面有向曲线L(或空间有向曲线厂)上，其物理背景是变力FQ,y)(或F(z,y,z))在
平面曲线L(或空间曲线厂)上从起点移动到终点所做的总功：
| P(_z,y)<lz + Q(z,y)djy (或 J PO,y,z)dr+Q(工,y,z)dy+R(_z,y ,z)dz).
由此可以看出，前面所学的定积分、二重积分、三重积分和第一型曲线积分有着完全一致的背景，都是
一个数量函数在定义区域上计算几何量(面积、体积等)，但是第二型曲线积分与之不同，它是一个向量函
数沿有向曲线的积分(无几何量可言).于是，有些性质和计算方法都不一样了，一定要加以对比，理解它们
的区别和联系，不要用错或者用混了.
4. 第二型曲线积分的性质(以下总假设厂为空间有限长分段光滑曲线)
性质1(积分的线性性质)设久虹为常数，则£(^iFi +^F2). dr =居］严• dr 士假［几• dr.
性质2(积分的有向性)\• dr =— \• dr.
J AB
J BA
性质3(积分的可加性)当AB + BC-AC时，Lf • dr =
J AC
Lf
J AB
• dr+
Lf
J BC
• dr.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
九、平面第二型曲线积分的计算
先做个说明，由于空间第二型曲线积分的经典计算方法与第二型曲面积分有着密切的联系，故放在后
面去讨论，本部分只讨论平面第二型曲线积分的计算问题.
1.基本方法----化为定积分
如果平面有向曲线L由参数方程
Jr —9
y=y(t>)
taf 给出，其中t = a对应着起点
A,t=0对应着终点B,则可以将平面第二型曲线积分化为定积分：
J P(z,y)(iz + Q(_r,y)dy = J { P［z(7)
} d/,
这里的a,0谁大谁小无关紧要，关键是分别和起点与终点对应.
2.格林公式
格林公式
设平面有界闭区域D由分段光滑曲线L围成，P(_r,y),QQ,y)在D上具有一阶连续偏导
数丄取正向，则
扌 P(z,y)d_z + Q(_r,y)dy = JJ(薯—等)dcr.
Q
如图18-6所示，所谓L取正向，是指当一个人沿着L的这个方向前进时.左手始终在L所围成的区域D
内•试想一下假如你在学校的环形操场上跑步，你的左手始终在草坪中，这就是逆时针，说明你跑的方向是
正向.
285
考研数学基础
30讲•高等数学分册
针对(1),我们可以采取“补线法”，补上一条或者若干条线，围出一个平面有界闭区域D,就可以用格
林公式了.
针对(2),我们可以采取“挖去法”，把不连续点(称为“奇点”)挖去，使条件得以满足，从而使用格林
公式.
十、第二型曲面积分的概念与性质
1. 向量场的通量
简单回顾一下向量场的概念.如果Q上的每一点M(x,y,z)都对应着一个向量F,则在Q上就确定了
一个向量函数 F(z
,z) = P(z,y ,z)i + Q(x ,y ,z)j
,y ,z)k,它表示一个向量场.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
在一个向量场(比如电场、磁场或者某种不可压缩流体的速度场)中Q为该场中的某一有向分片光滑
曲面，并指定了曲面的外侧，则向量函数F(x,y,z)通过曲面工的通量(比如电场中的电通量，磁场中的磁
通量，或者某流体的流量)为JJf • ds =J|f • n°ds •其中n°= (cos a,cos 0,cos y)是有向曲面5在指定侧的
单位法向量，且由dS= (dydz,dzcLr ,dzdy)，得
JJf • dS = IJp(z,z)dydz + Q(z‘zOdzcLz + RQ,》，z)ckzdy.
于是就引出了第二型曲面积分的概念.
2. 第二型曲面积分的概念
第二型曲面积分的被积函数F^,y,z) = P^,y,z)i+Q(j：,y,z)j + R^,y,z)k定义在光滑的空间有
向曲面X上，其物理背景是向量函数F(x,y,z)通过曲面丫的通量：
*y
JJpCz，W)g + g,g)Z + R(“d
由此可以看出，第二型曲面积分是一个向量函数通过某有向曲面的通量(无几何量可言)•要加强和前
面所学积分的横向对比，理解它们的区别和联系，不要用错或者用混了.
3. 第二型曲面积分的性质(以下总假设工是有向分片光滑曲面)
性质1(积分的线性性质)设Q ,爲为常数，则土 k2F2)- dS = ^JJf, - ds + ^|Jr2 • ds.
性质2(积分的方向性)
Jf • dS =—JJf • dS,其中工一为Y+的另一侧.
性质3(积分的可加性)当丫山瓦=》，习门2 = 0时，JJf • dS = JJf - dS + JJf • dS.
2
286
2,
迓
第
78讲
三重积分、曲线曲面积分（仅数学一要求）
十一、第二型曲面积分的计算
1.基本方法----化为二重积分
对于第二型曲面积分JJp（工,$,z）dych + Q（jc,j/,z）dzdj? +
,z）dzdy,分别投影到相应的坐标面上，化为二重积分计算，
jjf （攵,丿,z）dydz , jjQ（z,y ,z）dzck,jjR
2
,z）dzdy,可以将其拆成三个积分：
2
2
再相加•直观上，我们习惯投影到工0,面上，所以以 AS'Jdxdy为例.
无论空间曲面工是由显式z =
还是隐式FQ,y,z）= 0给出的，我们都需要做三件事（无逻辑上
的先后顺序，哪件事情最利于解题就先做哪件）：
（1） 将工投影到某一平面（比如工O）面）上弓投影区域为D（比如DQ；
（2） 将 z = z（x,y）或者 F（x,y,z）=O 代入 _R（_r,y,2：）;
（3） 将drdy写成“士d_zdy”,其中》方向向上（即法向量与z轴夹角为锐角）时取“ + ”,否则取
这就把第二型曲面积分化为了二重积分，得到
［p? （x,y,z）dj：dy =+ JJr［工，y,z（z,y）］（lzdy .
D”
2
同样需要指出的是,投影时Y上的任何两点的投影点不能重合.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
2.高斯公式
设空间有界闭区域。由有向分片光滑封闭曲面X围成，PQ,y,z）,
高斯公式
Q（j：,y,z） ,R（x,y,z）在。上具有一阶连续偏导数"贝U有公式
#Pdydz + Qdzdjr + Rdrdy = jjj"（零 + 鴛 + 券）du,
高斯
n
s
(1777-1855)
其中◎是。的整个边界曲面的外侧.
考试要点一般来说，考试题目不可能直接满足能够使用高斯公式的条件，命题人可以“破坏”两种
条件：
（1）5不是封闭曲面，也就是没有围成一个空间有界闭区域C；
（2）即使丫围成了一个空间有界闭区域但是P,Q,R晋，学晋在。上不连续.
dx dy dz
这两种情况下，不可以直接使用高斯公式.
针对（1）,我们可以采取“补面法”，补上一片或者若干片曲面，围出一个空间有界闭区域。，就可以用
高斯公式了.
针对（2）,我们可以采取“挖去法”，把不连续点（称为“奇点”）挖去，使条件得以满足，从而可以使用高
斯公式.
十二、空间第二型曲线积分的计算
斯托克斯公式
设C为空间某区域◎为0内的分片光滑有向曲面片，厂为逐段光滑的丫的边界，它
287
丫勿彳考研数学基础
30讲•高等数学分册
的方向与5的法向量成右手系，函数P（_z,y,z）,Q（z,y,z）与R（x,y,z）在0内具有连续的一阶偏导数，则
有斯托克斯公式：
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
—、三重积分
1.直角坐标系与柱面坐标系下的计算
z）3，其中0是由平面工=0,3/ = 0,z = 0及工+ y +
计算三重积分【=0（］ +
例 18. I
z = 1所围成的四面体.
解
如图18-8所示,Q有下曲面（平面）z = 0与上曲面（平面）z = 1 —
•r—y，其侧面为柱面，故可用先一后二法.
（1+/》十》
”苻+工支+》=加「刚「口
/ =
■1
~2 0
例 18. 2
jc
| x—3
1
+1
4
dj?
图 18-8
计算$占血,其中。心+ y2~bzz < 1.
Q
解
被积函数仅为z的函数，截面dz为圆域川+y<i-z2,故采用先二后一法.这里。'表示上半
球面.
a
288
D*
78讲
三重积分、曲线曲面积分(仅数学一要求)
第
2
0
7t( 1
一
z2)ezdz = 2兀・
【注】一般来说，如果被积函数只依赖于一个变量，如f(x,y,Z)
= g(z),并假设当z等于常数\
|的平面与。相截时，其截面面积易求，则可采用将三重积分化为先二重积分后定积分的计算方法.§
设在0中n的最小值为"，最大值为C2,用z = k的平面与0相截，截得曲面在My面上的投影；
为其面积为则
g(z)dv =
+")(!◎,
(
*
例 1&3
g(z)Azdz.
g(z)dz dxdy =
其中。为平面曲线
n
'—"'绕z轴旋转一周形
工=0
成的曲面与平面z=8所围成的区域.
解
旋转曲面的方程为2=苇疋，如图18-9所示，有
*2；
d0 [ rdr
J0
0
或
I = \ dz
J0
r2 r2dz = 2兀
~2
CP
f8
图 18-9
-宀=
*8
JJ
<+/<2z
(x2 + y2)dxdy =
C8
Jo
ck
2
C2n
Jo
r
1 024
3i
dO '0伍 rdr=
~3-^
J(
2.利用球面坐标系计算三重积分
例 1&4
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
x2 y2 z2 = a2 (j/^O ,a>0)与 xOz 面
y2)dv,其中 0 是右半球面
所围成的区域.
解在球面坐标系下，积分区域可以表示为
0= {0=厂£(2,0=0冬兀90£卩£兀} 9
所以
|(^ + y)d. = jr
'sin冷•
r2sin
cpdrdOdcp =
J
dO | d(p
n
兀
5
|
0
0
r4 sin3 cpdr
=
0
d0
0
sin冷
0
d(p
"sin3沏=善曲
0
15
3.利用技术性工具计算三重积分
例1& 5
设0 = {(j7,j/,z) I j:2 + y2
dj：dydz
解由轮换对称性可知
+誉£1},求
y2dxdydz,所以
x2 dxdydz
n
Jjpdzd込=y
0
+ 3/ + / ) dxdydz
Q
=丄「'2n d° [ d(p
3 J0(
0
2兀
r4 sin
cpdr
4tt
*
15
289
丫勺彳考研数学基础
30讲•高等数学分册
二、第一型曲线积分
例1&6
解
计算打)I ds,其中厂为球面+誉=2与平面乂 =丿的交线.
因为球面x2-by2+z2=2与平面_z = y的交线是一个大圆，由对称性可知,
£
| y 丨 ds,
I y I ds = 4 [
Jr,
其中n是厂在第一卦限的部分.
又由于厂的参数方程为x = y = cos t,z = ©sin t,0 = t £ 2兀，则
ds = 丿[工'(/)]2 + [)'(t) 了 + [^'(CFdt = Qdt.
故$ | y | ds = 4 [ | y | ds = 4『a/^cos tdt = 4 -/2.
Jo
Jr
J r,
例 18. 7
分析
解
「
z2 = a2,
(x2 + y2
设空间曲线厂的方程为彳
(a>0),求工用5.
Jr
[_r + y + z = 0
由于厂有轮换对称性，利用此性质考虑之，计算更简便.
由于厂有轮换对称性，故
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
所以
=X + J；2 + N? )ds
= *扌 a2dS =专扌 &・
而fds为『的弧长,厂是圆心在点O,半径为a的圆周，所以》ds = 2“,从而
討
三、第一型曲面积分
例1& 8
设丫为曲面N =+夕2介于北=1与之=4之间的部分，则第一型曲面积分
JJ ( j： + 3； + z)dS = ________.
分析按公式计算便可•计算时，随时注意图形的对称性和被积函数的奇偶性，以简化计算.
解应填42届.
"在夂0了面上的投影域D = {(z,y) | 1
dz _
dx _
290
X
£ 16}.由z = 心+几有
dz _
y
+ y2 5
第78讲
jJ(j? + + z)dS
所以
三重积分、曲线曲面积分（仅数学一要求）
=『(乂 +，+ J工'+ b)吃do.
2
D
由于D关于工轴对称，又关于y轴对称，因此
JJ
灿二 0,
jjz dcr = 0,
D
D
再转化为极坐标，可得
(jc
+ y + z)dS =牡卅弋厂 d0 = Qj
D
£
2n
0
r2 Ar = 42 抱貫.
四、重积分与第一型线面积分的应用
求平面—+ ^ + —= 1被三坐标面所截部分"的面积，其中a,b,c>0.
a
b
c
例1& 9
解
平面方程可以改写为z = c —于乂一亍丿，为单值函数，记Dp为工在_zOy面上的投影域，则所截部
分的面积
A = JJ
J\
+ (z：)2 +
(易)2
CT = jj J1 +
Dy
=^a2b2 +b2c2 +a2c2
do = * yW +
D
例 1& 10
解
气 + 计de
Dy
代+◎•
xy
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
干歹被柱面y =2乂所截部分的面积.
求锥面z=
联立」b 冷+几消去z,得到工卄^ = 2工，将其投影到攻乃面上，得
& = 2$,
区域Dp= {Qm）|/+bW2H},其图形如图18-10所示，则所截部分的面积
A = jj J\ + （J）? + （nA （J 9
D
其中Z = ^x2 +y2 ,z'=
■ry
+歹故屈"届.
^x2 + y2
设空间物体C= {（z,y,z） W+bWzMl}，求。的形心的竖坐标？.
例 1& 11
分析在重心（质心）公式中，当密度Q（D）或者P（z,y,z）为常数时（在公式中分子分母均可以提出
常数，然后约分），重心就成为了形心，本题考查空间物体。的形心公式及其计算.
解
+
* ywi},
空间物体a在工O）面上的投影域为D={&,y）i
=|T(1 — x2 — y2) ckrdy =
n
d
则
(1 — r2)rdr
D
=4JJ[1 —(* + y)2]d^dj>
D
Ad\
Z Jo
Jo
兀
7
(1 — r4 ) rdr =手.
3
故
291
30讲•高等数学分册
考研数学基础
例 1& 12
由平面图形1£工£2,0=丁£石绕z轴旋转所生成的旋转体0,其密度°Q,y,z） = l,求
该旋转体n对工轴的转动惯量.
解如图18-11所示，有
~h z2 ) • ldydz
{y2 + z2 )p(x,y,z)d-u
Q
*2
f2
'2kk
C2
⑴
d9
ir2
=cLz
J1
J0
J0
f2
1
—(v^)4djr
• rdr = 2tc
Ji
4
7tc
~6~'
图18・11
五、平面第二型曲线积分
例 18. 13
已知曲线L的方程为y = l— |工|（工&[—1,1]）,起点是
( — 1,0),终点为(1,0),则曲线积分 J xyAx + X1 Ay =________
解应填0.
如图18-12所示，记兀：y = 0a€[—1,叮），起点是（1,0）,终点为（-1,0）,
D是由L与厂围成的平面闭区域，利用格林公式及区域D关于y轴的对称
性，得
Jl
xy dx + x2 dy = (b xydx + x2 Ay — _xy Ax + x2 Ay =— (2乂 —
JJ
J L+L
jl
I
D
例 18. 14
计算曲线积分
，其中l是以点（1,0）为圆心,R（R>1）为半径的圆周，取逆时
更多笔记资料关注公众号
【考研666】免费分享
针方向.
解令P = 4屛b，Q=*
2
b
，当（巾）工（0,0）时，计算可得,
3P卅亠
JQ
乔=石成仏
记曲线L围成的区域为D,如图18-13所示，D中包含点（0,0）,
所以Pa,y）,QQ,y）,|^,||在点（0,0）处都不连续，这种情况下，不
可以直接使用格林公式.
作足够小的椭圆CAx2+y2=S2（使其在D内部,&〉0）,取逆时针
方向.
记C与L围成的区域为D, ,C围成的区域为D2，由格林公式，
Pdx + Qdy 一£ Pdx + Qdjy
I = $ Pdz + Qdjy =
J L+C
JC
JL
'（等—鴛）血旳―如Pd^ + Qdy
D,
—0 —扌 Pdj： + Qdj; = # P d_r + Qdy
=右• 2兀务•
292
— 0 = 0.
d = 7t.
78讲
第
三重积分、曲线曲面积分(仅数学一要求)
六、第二型曲面积分
计算曲面积分/=』(力3
例 1& 15
az2) (XyAz + (;/+心2)血牡+3)山曲,其中2为上半球
面Z=丿工2一)2的上侧,Q〉0・
解
如图18-14所示，记S为平面^ = 0(jr2+y<a2)的下侧,0为工与S所围
成的空间区域•则
/ = © (jr3 + az2) Ay Az +
cue2} Az Ax + (z3 + ay2)Ajc(\y
(了3 +
r+s
+ az2)dydz +
cue2 )dzdx + (z‘ + ay2 )djrdj/
(歹3 +
s
3(jt2 + y2 + z? )du +
=3
•2x
•■f
de
ay2 dxdy
p
( (
sin pd p |
•2k
r'1 dr +
0
0
0
in2O
r3dr
asirf
J 0
=¥兀刃+务q5 =弟肘.
4
5
20
刘皿+曲山+今^，其中》是曲面2
*
(见图 18-15).
+ 2/+孑=4的外侧
(jr24-y+^2)T
2
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
解先计算学+驴+竽
dx oy oz
x
d_
_3_
djC
L(^2+y+z2)T
T-
(^2+y+^2)T
•z+Ty
y
(2? +夕2 +/ ) 2
z
a
c)Z
3
Ld+b+J)豆
_ jc2 ~\~y2 ~2z2
A，
(无2 +b +之2 ) 2
空+卫+坐=0.
故
dx
3y
3z
被积函数及其偏导数在点(0,0,0)处不连续，取5为封闭曲面T2+y2 + z2=82的外侧,5>0,0。为工与
sr围成的有界闭区域，其中d足够小以保证巴在曲面2^+2/+22=4的内部，于是
§
jrdj/dz +
+ zdxdy
2
4兀53
A
飞 一f •
293
考研数学基础
30讲•高等数学分册
七、空间第二型曲线积分
JT2
例 1& 17 稼痔懸建迸:
y2 +/ =q2 ,
若从工轴正向往负向看去，圆
•z + j/ + z = 0,
r
周是依逆时针的方向进行的(见图18-16).
解利用斯托克斯公式,
cos a
)jydr +
zdy + xdz
d
dx
= Jj
COS
P
cos y
a
d_
3y
dz
z
X
dS
cos a + cos 0 + cos y ) dS,
图 18-16
2
其中Q为平面工+j/+n=0上以圆周厂为边界的圆域，并且》的法线与工轴成锐角，因此
cos a = cos B= cos y=^—
73
dS =一a/3jJ dS =_ 丽“2.
故原式=一
2"
s
基础习题精练
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
【习题
〕
1& 1
计算三重积分+b)ds其中0是由椭圆抛物面z=4(x2+y)和平面2=4所围成的区域.
1& 2
在直角坐标系下计算下列三重积分：
(1) JJ (re2 + b + J)d&dj/dN,其中 0：0£无=1,0 =夕=l,0Wz£ 1 ；
Q
(2) 』NdrdydN，其中Q为三个坐标面及平面jc + y + z = 1所围成的闭区域.
Q
18. 3
计算 J(/ + y2 + < )ds,其中 r：x = cos t,y = sin t ,z = t ^0
18.4
设平面薄片所占的区域D由抛物线夕=工彳及直线夕=工所围成，它在(工力)处的面密度
t
2?r.
p(z,y) =x2y,求此薄片的重心.
18. 5
设L为取正向的圆x2
18.6
设L为取正向的圆
的值.
294
y2 = 9 9则曲线积分$
2
I
2
—2j/)djr+ (jt2 — 4jr)dj/的值是_________ ・
= a2,a〉0,求曲线积分I =
(e" —x2y) Ax(jcy2 — sin y2 )dj/
78讲
三重枳分、曲线曲面积分（仅数学一要求）
第
1&7设》为曲面〃+b+y = l的外侧，计算曲面积分
jr'Mj/dz+j/Mzdj' + zMjfdj/.
I—
1& 8
求第二型曲面积分#
2
\
2 (jt3dj/d^+y3dzdx +
dxdy) 9其中丫为 x2
y2 ~\~z2 =a2 的外
侧，Q〉0・
\z=』2_工2一
2
''起点为A（O,Q,O）,终点为E（0,—血,0）,计算曲线积分
18.9已知曲线L的方程为｛
〔之=工，
I— J
（夕+之）血+（2—x2
+3/）dj/+jr2ydz・
ST解蓉」
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
+ y2 + / ) dxdydz =
(2)
z Ax Ay Az
訂:山「（1—zp）⑷=—*［（1—H—〃
1
*24
*
+[(1-
18. 3
解
h? +y = cos't + sin21-\- t2 = 1 + 产，ds =
J (/ ++云记‘ =J (1 +厂)施出=施(2兀+ ^~)・
故
18. 4
(— sin Z)2 + cos2Z + ldz = Qck.
解
设此薄片的重心为G®),则
1
D__________
48
1
一
jjrp (无‘jOdcx
jjo(jr ,>)d(r
35
-48
35
D
D
D
d^J
x2 y2 Ay
r~
35
1
54
T
35
35
*
54
故此薄片的重心为
295
考研数学基础
18. 5
30讲•高等数学分册
由格林公式可知
— 18k解
原式=11 [2工一4—(2工一2)]dzcb/=—2』ckdy= —2X9tt= —18兀,
D
D
其中 D={(x,y) | j：2+j/2^9}・
1& 6
解先代 L ：re2 + j/2 = a2 9 得
)(eJ —
一sinj/)d;y
‘2兀
1
（jr2 + y2}AjcAy = g
a 0
~
+y
i
x2y)dx + Cxy2
dd[ r2 •
rdr =
Jo
-^~M2・
/
【注】请体会本题与例i& 14的区别.
I
18.7解由高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，得
（；+b+y）d讥。是由》所围成的区域）
I =3
n
r2n
=3
I 0
0
( (
sin pd p
1宀知尸%
b
0
记。是Y所围的空间区域.
18.8解
| 〃 拿=+卜旳血+问血+汐迪=卡
间
cpdr 齐.
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
dyd
+ z2 + j-2) drdy dz
乂2
+ )2 + £
d0j
【注】
i
d
0
r4sin
D
i
请体会本题与例i& 16的区别.
设L】是从点B到点A的直线段Q为平面n = h上由L与L] 围成的半圆面下侧，其法向
18.9解
量的单位向量为
•由斯托克斯公式
,0,—
丄
42
)
l+l,
(«y + z)(lz+3—jc1
~\~ y} Ay ~\~ x2 y2 Az =
y+z
a
d_
3y
3
3z
JJ
丄
0
Z
2~x2+y
(2 乂 2»+i)dS・
由于曲面工关于hOn平面对称，所以』2工2WS = 0,故
2
(j； + z)dji-+ (z2 -x2 ~\~y} Ay~\rx2y2dz
>
=吉『dS =
又Li的参数方程为x = 0,y = y,z=0（y从一施至I」施），所以
j
因此1 =
296
'_V2
(j/ + N)dr+(N? —x2
兀・
y} Ayx2y2 Az =
-72- ydy = 0.
兀・
dS
博士，全国著名考研数学辅导专家，教育部“国家精品课程建设骨干
教师”，全国畅销书《张宇考研数学基础3（）讲》《张宇高等数学18
讲》《张宇线性代数9讲》《张宇概率论与数理统计9讲》《张宇考研
数学题源探析经典10（）0题》《张宇考研数学真题大全解》《考研数学
命题人终极预测8套卷》《张宇考研数学最后4套卷》《张宇经济类联
考综合能力数学通关优题库》作者，高等教育出版社原《全国硕士研
究生入学统一考试数学考试大纲解析》及新编《全国硕士研究生招生
考试经济类专业学位联考综合能力考试大纲解析》编者之一.北京、
上海、广州、西安等全国著名考研数学辅导班首席主讲。
•
宇数学教育系刘丛
/
"
。教材类
张宇考研数学基础
30讲•高等数学分册
张宇考研数学基础so讲•线性代数分册
张宇考研数学基础3（）讲•概率论与数理统计分册
张宇高等数学18讲＜^3
张宇线性代数9讲
张宇概率论与数理统计9讲
更多笔记资料关注公众号 【考研666】免费分享
。题集类
张宇考研数学题源探析经典1000题（分数学一、数学二、数学三）御扇載
弓长宇考研数学真题大全角军（上册）（分数学一、数学二、数学三）
张宇考研数学真题大全解（下册）（分数学一、数学二、数学三）d血
考研数学命题人终■极予页测8套卷（分过关版、高分版）（分数学一、数学二、数学三）
张宇考研数学最后4套卷（分过关版、高分版）（分数学一、数学二、数学三）
北京理工大学出版社网址：http://www. bitpress, com.cn
ISBN 978-7-5763-0122-9
宇哥考研
新浪微博二维码
张宇考研数学
微信公众号
启航教育
微信公众号