Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum
Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG LỰC HỌC
CHAPTER
Engineering Mechanics: KINETICS
Động lực học cơ hệ:
Xung lực – động lượng
Nguyễn Quang Hoàng
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -2-
Nội dung
I. Xung lực – động lượng – định lý biến thiên động lượng
1.
2.
3.
4.
Định nghĩa: Xung lực, động lượng
Định lý biến thiên động lượng
Định lý bảo toàn động lượng
Ví dụ áp dụng
II. Mô men xung lực – mô men động lượng – định lý biến thiên mô men
động lượng
1.
2.
3.
4.
Định nghĩa: Mô men xung lực, mô men động lượng
Định lý biến thiên mô men động lượng
Định lý bảo toàn mô men động lượng
Ví dụ áp dụng
Bộ môn Cơ học ứng dụng
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -3-
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -4-
1. Định nghĩa: Xung lực, động lượng
I. XUNG LỰC – ĐỘNG LƯỢNG – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN
ĐỘNG LƯỢNG
1.
2.
3.
4.
Định nghĩa: Xung lực, động lượng
Định lý biến thiên động lượng
Định lý bảo toàn động lượng
Ví dụ áp dụng
Xung lượng (Xung lực, Xung lượng của lực): là đại lượng véc tơ đặc trưng tác dụng của
lực theo thời gian.
Xung lượng của lực F(t) trong khoảng thời gian dt, kí hiệu dS
 
dS  F (t )dt
Xung lượng của lực F(t) trong khoảng thời gian hữu hạn từ t1 đến t2:

S 

t2
t1

F (t )dt
F(t)
Đơn vị của xung lực là Newton-giây [N.s]
S
t1
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
t2
t
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -5-
1. Định nghĩa: Xung lực, động lượng
Động lượng được hiểu đơn giản là khối lượng trong chuyển động hoặc là
lượng chuyển động của một vật động. Động lượng càng lớn thì vật thể chuyển
động càng khó dừng lại.

r (t )
O
[kg.m/s]

v p
m
Động lượng là đại lượng véc tơ bằng tích của khối lượng với véc
tơ vận tốc của nó


p  mv
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -6-
1. Định nghĩa: Xung lực, động lượng
Động lượng của vật rắn
O
z
mi
m1
zk
mk
xk
yk
O
y
Ci
Động lượng của hệ n chất điểm bằng tổng hình học động
lượng của các chất điểm
n
n




p   mk vk  ( mk )vC  mvC ,
k 1
x
n
m   mk
k 1
k 1

rC i
O
x

uCi

rC
C
x
y

rk
y
n
p
k 1
i 1
n
m   mk   mi
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -7-
1. Định nghĩa: Xung lực, động lượng
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -8-
2. Định lý biến thiên động lượng
Động lượng của cơ hệ
z
p
p
n
 n





p   mk vk   mivCi    mk   mi  vC  mvC
k 1
i 1
i 1
 k 1

Xuất phát từ định luật 2 Newton
mi
Ci

rCi
trong hệ tọa độ Đề -các

uCi

rC
O
x
p
 n

py   mk yk   miyCi    mk   mi  yC  myC
k 1
i 1
i 1
 k 1

n
z
p






p   mk vk   mivCi    mk   mi  vC  mvC
mk
k 1
i 1
i 1
 k 1

p
n
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
p
p
n
 n

px   mk xk   mi xCi    mk   mi  xC  mxC
k 1
i 1
i 1
 k 1


r

vdm
y
x

uk

u
C

rC
Động lượng của cơ hệ (các vật rắn và các chất điểm)
z

m k vk
b) z





p   vdm   rdm
 mrC  mvC
p
p
p
 n

pz   mk zk   mi zCi    mk   mi  zC  mzC
k 1
i 1
i 1
 k 1

n
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
C




d


(mv )  F   Fk  d(mv )  Fdt  dS 
dt

uk
Định lý 1
mk

rk



mv (t2 )  mv (t1 )  S 

t2
t1

Fdt
Định lý 2
a) Đối với chất điểm
Định lý 1. Vi phân động lượng của chất điểm bằng xung lực nguyên tố của hợp lực của các lực tác dụng
lên chất điểm đó.
y
Định lý 2. Biến thiên động lượng của chất điểm trong một khoảng thời gian nào đó bằng tổng hình học
xung lượng của các lực tác dụng lên chất điểm trong thời gian ấy.

mv (t1 )


t2
t1

Fdt


mv (t2 )
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -9-
2. Định lý biến thiên động lượng
b) Đối với cơ hệ
Định lý 3. Đạo hàm theo thời gian động lượng của
cơ hệ bằng véctơ chính của các ngoại lực tác dụng
lên cơ hệ.


dp
  Fke
dt
k
Định lý 5. Biến thiên động lượng của cơ hệ
trong một khoảng thời gian nào đó bằng tổng
hình học xung lượng của các ngoại lực tác dụng
lên cơ hệ trong khoảng thời gian ấy.


maC   Fke


t2 


p(t2 )  p(t1 )   Ske    Fkedt
k
k
Định lý 4. Vi phân động lượng của cơ hệ bằng tổng
hình học xung lượng nguyên tố của các ngoại lực tác
dụng lên cơ hệ.
k


k
t2
t1

Fkedt 
Lưu ý: không thấy sự có mặt của nội lực trong định lý động
lượng. Nội lực không làm biến đổi động lượng của hệ.
Định lý 6: Nếu vectơ chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn luôn bằng không thì động lượng của
cơ hệ được bảo toàn.
If
e
F
k
k
If
F
k
e
kx
0 
d (mvx )  Fxdt  mvx (t )  mvx (0) 
t
mvx (t )  mvx (0)   Fxdt
t
 F dt,
0
m
P
x
Lực phụ thuộc thời gian P(t)
t
 P (1  e
0
t
0
 mvx (0)   P0 (1  e at )dt
0
at
)dt  P0 (t  e at / a )

1
P (t  e at / a )  P0 / a
m 0
t
0
 P0 (t  e at / a )  P0 / a
0
vx (t )  vx (0) 
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -12-
4. Ví dụ áp dụng
v(0)  0
x
mxC  const
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
y
Lời giải.
Lực phụ thuộc thời gian, nên áp dụng định lý động lượng.
Ở đây chỉ quan tâm phương ngang x.
px  const,

mvC (t2 )
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -11-
Ví dụ 1. Xe ô tô khối lượng m khởi động trên đường thẳng
ngang từ trạng thái đứng yên do lực đẩy P = P0(1-exp(-a.t)),
với P0, a là const. Bỏ qua lực cản. Tìm biểu thức vận tốc của
xe là hàm theo thời gian.

mvC  const
Định lý 7: Nếu hình chiếu của vectơ chính của các ngoại lực lên một trục nào đó luôn luôn bằng không thì
hình chiếu động lượng của cơ hệ lên trục ấy được bảo toàn.
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
4. Ví dụ áp dụng

p  const,
0 
t1

mvC (t1 )



dp   dSke   Fkedt
k
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -10-
3. Định lý bảo toàn động lượng

Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Ví dụ 2. Bảo toàn động lượng. Cho cơ hệ gồm vật A có khối lượng m1
đặt trên mặt nghiêng của một lăng trụ có khối lượng m2. Góc nghiêng
của mặt lăng trụ với mặt phẳng ngang là . Lăng trụ được đặt trên một
mặt ngang nhẵn như hình vẽ. Ban đầu vật nặng nằm yên tương đối
trên mặt lăng trụ, còn chính lăng trụ thì trượt ngang sang phải với vận
tốc v0. Sau đó cho vật A trượt xuống theo mặt phẳng nghiêng của lăng
trụ với vận tốc tương đối u = at. Tìm vận tốc của lăng trụ.
A
m1
u
P1
y
v 0 N1
m2
HD
Các ngoại lực tác dụng lên hệ: P1, P2, N1, N2
å Fke,x = 0  px = const = px (0)
(1)
px (0)  m1v1x (0)  m2v2x (0)
 (m1  m2 )v 0
(2)
px (t ) = m1v1x (t ) + m2v2x (t )
= m1(v(t ) + u cos a) + m2v(t )
N2

P2
x
(3)
 v = v0 -
m1
m1 + m2
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
u cos a
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -13-
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -14-
1. Định nghĩa: Mô men xung lực, mô men động lượng
Mô men xung lượng (mô men xung lượng của lực): là đại
lượng véc tơ đặc trưng tác dụng của ngẫu lực / mô men của
lực theo thời gian.
Mô men xung lượng của lực F(t) đối với điểm O (trục z)
trong khoảng thời gian dt, kí hiệu dK
II. MÔ MEN XUNG LỰC – MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG – ĐỊNH LÝ
BIẾN THIÊN MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG
1.
2.
3.
4.
Định nghĩa: Mô men xung lực, mô men động lượng
Định lý biến thiên mô men động lượng
Định lý bảo toàn mô men động lượng
Ví dụ áp dụng

 
 
dK  mO (F )dt  r  Fdt

  
dK z  mz (F )dt  uz  (r  F )dt
 
mO (F )
A
r
x
K
t1
Đơn vị của mô men xung lực là Newton-mét-giây [N.m.s]
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -15-
  
Tính toán trong hệ Oxyz với cơ sở {ex , ey , ez }








r  xex  yey  zez ,
v  vxex  vyey  vzez




lO  lOxex  lOyey  lOzez
t
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -16-
1. Định nghĩa: Mô men xung lực, mô men động lượng
z
- mômen động lượng của chất điểm đối với một tâm O
[kg.m2/s]
t2
t1
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
1. Định nghĩa: Mô men xung lực, mô men động lượng





lO  mO (mv )  r  mv
y
  
{ex , ey , ez }
O
mO(t)

t2 
 
t1 mO (F )dt  t1 r  Fdt

t2
t2 
 
K z   mz (F )dt   uz  (r  F )dt
t2
t1

F
mOz
Mô men xung lượng của lực F(t) trong khoảng thời gian hữu hạn từ t1 đến t2:

K 
z

lO

mv
lOz
A
r
x
O



ex
ey
ez



lO  r  (mv )  x
y
z
mvx mvy mvz



 m(yvz  zvy )ex  m(zvx  xvz )ey  m(xvy  yvx )ez
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
z
- mômen động lượng của chất điểm đối với một trục z qua O
  
{ex , ey , ez }
y


   
lOz  mOz (mv )  ez  lO  ez  (r  mv )

lO

mv
lOz



lO  r  (mv )
A


 m(yvz  zvy )ex  m(zvx  xvz )ey

m(xvy  yvx )ez
 

lOx  mx (mv )  lO  ex  m(yvz  zvy )
 

lOy  my (mv )  lO  ey  m(zvx  xvz )
 

lOz  mz (mv )  lO  ez  m(xvy  yvx )
r
x
O
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
  
{ex , ey , ez }
y
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -17-
1. Định nghĩa: Mô men xung lực, mô men động lượng
- mômen động lượng của hệ chất điểm đối với một tâm O/
đối với trục Oz

lO
k 1
lOz
k 1
A
n
n


  mz (pk )   mz (mk vk )
lOz
k 1

mk vk
rk
k 1
n

 

lOz   mz (pk )  hcz (lO )  lO  ez





 
v = vC + w ´ u

ò m (vdm ) = ò u ´ vdm


 
= ò u ´ (v + w ´ u )dm
 

 
= ò u ´ v dm + ò u ´ (w ´ u )dm
C
C
C
  
{ex , ey , ez }
O
x

lC =
P

w
Mômen động lượng của vật rắn đối với khối tâm C của nó
z
n
n
n


 
 

lO   mO (pk )   rk  pk   rk  mk vk
k 1
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -18-
1. Định nghĩa: Mô men xung lực, mô men động lượng
C

rC

u

vdm

r
O
y


ò u ´v
C
dm =


ò udm ´ v
C
= 0, 

ò udm = 0
k 1

lC =
ò

 
u ´ (w ´ u )dm
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -19-
1. Định nghĩa: Mô men xung lực, mô men động lượng

lO =
 
mO (vdm ) =
 
r ´ vdm
ò
ò



 
= ò (r + u ) ´ (v + w ´ u )dm




 
= ò r ´ (v + w ´ u )dm + ò u ´ (v



 
= r ´ mv + ò u ´ (w ´ u )dm
C
C
C
C
C

rC
 
+ w ´ u )dm
O
ò udm = 0 
òr
C
 
´ (w ´ u )dm = 0
ò
 
u ´ vC dm = 0
z
Mômen động lượng của vật rắn quay quanh trục z cố định

u

r

vdm
lz =
ò
B

m z (vdm ),
lz =
ò
B
h ⋅ h w dm = ( ò h 2dm )w = I z w
Iz =
ò
B
w
v = hw
h
h 2dm

w




lO = lC + rC ´ mvC
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
C

u

v
B
dm
Mômen động lượng của tấm phẳng chuyển động song phẳng
C





r = rC + u
C
C
P

w
Mômen động lượng của vật rắn đối với điểm O tùy ý
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -20-
1. Định nghĩa: Mô men xung lực, mô men động lượng
 
w ´ udm



 

w ^ u  u ´ (w ´ u ) = u 2 w

lC =


ò u ´ (w ´ u )dm = ( ò u dm ) w = I

2
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME

C

w
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -21-
2. Định lý biến thiên mômen động lượng
Định lý 1. Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của chất
điểm đối với một tâm (với một trục) cố định bằng tổng mômen các
lực tác dụng lên chất điểm đối với cùng tâm (trục) đó.
d 
 
lO = å mO (Fk ),
dt
k
d
l 
dt Oz

F
z

lO

 mOz (Fk )
d
dt
Định lý 2. Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của cơ hệ đối
với một tâm (với một trục) cố định bằng tổng mômen của các ngoại lực
tác dụng lên cơ hệ đối với cùng tâm (trục) đó.

mv
lOz
k
A
r
Chứng minh


 d

r ´ (mv ) = r ´ å Fk
dt
k



d
(mv ) = F = å Fk
dt
k






(r ´ mv ) = r ´ dtd (mv ) + ( dtd r ) ´ mv ,

d 


(r  mv )  r   Fk 
dt
k
d 
l 
dt O
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -22-
2. Định lý biến thiên mômen động lượng
x
O
y
  
{ex , ey , ez }

k
d
l 
dt Oz
d
l 
dt Oz


d 


(rk  mk vk )  rk  (Fke  Fki )
dt
d 
 dt (r
k 1

 mOz (Fk )
k

 m k vk ) 
n

r
k 1
k

lA 
n

m
k 1
d 
l 
dt A
d
dt
A

(pk ) 
n

u
k 1
k

 m k vk 
n

 
[ (rk  rA )  mk vk ] 
k 1



d 
rA  vA,
r  vk ,
dt k


vk  mk vk  0,


 
uk  Fke  mA (Fke ),
d
dt
d 
l 
dt A

 

 mA(Fke )  vA  p
k
n

 (r
k 1
k

rk
n





 (vk  vA )  mk vk   uk  mkvk
k 1
k 1

uk
O

rA






mk vk  Fke  Fki ,
p   pk  ( mk )vC







(vk  vA )  mk vk  vA  mk vk  vA  p


uk  Fki  0


 
vC  p  vC  mvC  0 
d 
l 
dt C
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME


 (Fke  Fki )
 i
r
 Fk  0
k k

d 
l 
dt O

d
l 
dt Oz
n

r
k
k 1

 Fke
m
k
y
  
{ex , ey , ez }
Oz

(Fke )
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -24-
A
A di động
d
dt
Khi A trùng khối tâm C của hệ
O
2. Định lý biến thiên mômen động lượng
O cố định
n
A
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME



Fk  Fke  Fki


pk  mk vk


 rA )  mk vk

k
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -23-
mômen động lượng của cơ hệ đối với tâm A di động
k
x
Lấy tổng hai vế và chú ý đến tính chất của hệ nội lực
n

mk vk
lOz
rk
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
2. Định lý biến thiên mômen động lượng / đối với điểm A di động

 mOz (Fke )

lO
Chứng minh
 


( dtd r ) ´ mv = v ´ mv = 0
 
 mO (Fk )
d 
 
lO = å mO (Fke ),
dt
k



Fk = Fke + Fki
z
C khối tâm
 
 mC (Fke )
k
Oz cố định
Dạng đạo hàm
Dạng tích phân
d 
 
lO = å mO (Fke ),
dt
k



t2 
lO (t2 ) - lO (t1 ) = å ò mO (Fke )dt =
d 
l 
dt A
m



(Fke )  vA  p


lA (t2 )  lA (t1 ) 

d 
l 
dt C
m

(Fke )


lC (t2 )  lC (t1 ) 

d
l 
dt Oz
m

(Fke )
Oz
lOz (t2 )  lOz (t1 ) 

k
A

k
k
C
t1
k
t2
t1
k
t2

k
t2
t1

mOe dt
t2 
 

mA (Fke )dt   vA  pdt
t1
t1
k
ò
 
mC (Fke )dt 
t2
t1


mOz (Fke )dt 
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
t2
t1

mCe dt

t2
t1
e
mOz
dt
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -25-
3. Định lý bảo toàn mômen động lượng
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -26-
Áp dụng vào vật rắn
z
Định lý bảo toàn mômen động lượng
Định lý biến thiên mômen động lượng
d 
 
lO = å mO (Fke ),
dt
k
d 
l 
dt A
m
d 
l 
dt C
 
 mC (Fke )
d
l 
dt Oz

 mOz (Fke )

k
A
Định lý 4. Nếu mômen chính của các ngoại lực tác
dụng lên cơ hệ đối với một tâm (một trục) cố định luôn
luôn bằng không thì mômen động lượng của cơ hệ đối
với tâm (trục) đó bảo toàn.
O cố định
d
l 
dt Oz
m
Oz
k

(Fke ),



(Fke )  vA  p
A di động
If
If
C khối tâm

If


(Fke ) = 0  lC = const,
C
C

å mOz (Fke ) = 0  lOz = const,

v
dm





u
d
l 
dt Cz
m
k
Cz

(Fke ),
lCz  IC   IC  
m
Cz
k

(Fke )
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -28-
4. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Con lắc vật lý
Thanh mảnh nhẹ OAB dài 2L quay được quanh trục ngang qua O.
Trên thanh có gắn hai quả cầu nhỏ mỗi quả khối lượng m. Bỏ qua ma
sát, lực cản không khí. Viết PT VPCĐ cho hệ.
Áp dụng định lý biến thiên mô men động lượng.
M
OA=AB = L
O
O
C
A
q
vA = Lq,
v = 2Lq
B

vA
lOz


= mO (mvA ) + mO (mvB ),
m



å mOz (Fk ) = mO (PA ) + mO (PB )
= mgL sin q + 2Lmg sin q = 3mgL sin q
d
l 
dt Oz

3g
k mOz (Fke )  (5mL2 )  3mgL sin     5L sin 
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
YO
O
HD
Các ngoại lực tác dụng lên hệ: P, P1, P2, M, XO, YO
m
lOz = LmLq + 2Lm 2Lq = 5mL2q = I z q

vB
w
M
Ví dụ 2. Hai vật nặng A và B có khối lượng tương ứng m1 và m2.
Trục hai tầng C (m, r, R, bán kính quán tính ) chịu mô men M. Dây
không trọng lượng, không giãn. Tìm gia tốc góc của tời C.
B
P

(Fk )  I z  M z
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -27-
P

d 
k
4. Ví dụ áp dụng
B
k
Oz
p   Fk , p  mvC  maC   Fk
 
k
k
w ´ udm dt
åm
k
Oz cố định

w
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
q
m
PTVP CĐ của vật rắn chuyển động song phẳng
k
k
A
lOz  J z   I z  
h

 
å mO (Fke ) = 0  lO = const,
k
O
w
PTVP CĐ của vật rắn quay quanh trục cố định
A
B
P
Khi tời C quay vận tốc góc , mô men động lượng của hệ đối
với trục Oz (hướng vào)
lOz = m r 2 w + r (m1r w) + R(m2Rw)
= (m r 2 + m1r 2 + m2R 2 )w,

mO (Fke )  M  m1gr  m2gR

d
(3)
lOz = SmO (Fke )
dt
 (m r 2 + m1r 2 + m2R 2 )w = M + m1gr - m2gR.
C
XO
v2
A
B
(1)
v1
P1
P2
(2)
a = w =
M + m1gr - m2gR
m r 2 + m1r 2 + m2R 2
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
.
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -29-
4. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 3. Đĩa đồng chất bán kính R, khối lượng m, chất điểm M có khối lượng m0.
Ban đầu đĩa quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc 0 và chất điểm đứng
yên trên vành đĩa. Tìm vận tốc góc  của đĩa khi chất điểm chuyển động theo vành
đĩa với vận tốc tương đối u.
HD
Các ngoại lực tác dụng lên hệ: P, P0, XA, YA, ZA, XB, YB

mz (Fke )  0  lz  const  lz (0)  lz (t )
z
B
P
u
R
p
O
M

u
A
A
1
mR 2 w,
2

l2z = mz (m 0v ) = Rm 0v = Rm 0 (u + Rw).
l1z = I z w =
lz = ( 21 m + mo )R 2 w + mo Ru.
A
w
R
lz (0)  lz (t ) 
Ví dụ 4. Trục máy (m, r, R, bán kính quán tính ) chịu mô men
M(t). Hai vật nặng A có khối lượng m1. Dây không trọng lượng,
không giãn. Ban đầu hệ đứng yên. Tìm vận tốc góc của trục máy
là hàm của thời gian (t) khi M(t) = m1gR + at.
HD
Các ngoại lực tác dụng lên hệ: P, P1, M, XO, YO
Khi trục máy quay vận tốc góc , mô men động lượng của hệ
đối với trục Oz (hướng vào)
M
B
lz (0) = I z w0 + R(mRw0 ) = ( 21 m + m 0 )R 2 w0 .

Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -30-
4. Ví dụ áp dụng
2m 0u
w = w0 .
(m + 2m 0 )R
lOz = m r 2 w + R(m1Rw) = (m r 2 + m1R 2 )w,

mO (Fke )  M  m1gR  at
lOz (t ) - lOz (0) =
ò
t
0
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -31-
I. Xung lực – động lượng – định lý biến thiên động lượng
1.
2.
3.
4.
Định nghĩa: Xung lực, động lượng
Định lý biến thiên động lượng
Định lý bảo toàn động lượng
Ví dụ áp dụng
II. Mô men xung lực – mô men động lượng – định lý biến thiên mô men
động lượng
1.
2.
3.
4.
ò
O
XO
P
v
(1)
A
(2)
(3)
t
0
 w(t ) =
atdt = 21 at 2
at 2
2
2(m r + m1R 2 )
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
Chương 3. Động lực học cơ hệ: Xung lực – động lượng. Kinetics of a mechanical systems: Impulse - momentum -32-
Một số bài toán sử dụng phương pháp động lượng
1. Khi lực / mô men là hàm của thời gian. Xác định được vận tốc theo thời gian
2. Khi hệ có khối lượng thay đổi (tên lửa – rocket)
3. Bài toán va chạm
Lưu ý rằng, phương pháp lực-gia tốc cũng được suy ra từ phương pháp động
lượng khi khối lượng không đổi.
Định nghĩa: Mô men xung lực, mô men động lượng
Định lý biến thiên mô men động lượng
Định lý bảo toàn mô men động lượng
Ví dụ áp dụng
Trước va chạm
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
YO
P1

SmO (Fke )dt
 (m r 2 + m1R 2 )w(t ) - 0 =
w
M
va chạm (tương
tác phức tạp)
Sau va chạm
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME