FIABILITE DES CANALISATIONS
SOUS PRESSION DE GAZ
CAS DU TRONCON BEN SAHLOUN--AINTURKIA
Résumé : Le présent article expose une mise en pratique de concepts théoriques pour l’évaluation de la
fiabilité d’un tronçon de pipeline soumis à une pression interne et dont la paroi est le siège de corrosion.
Le modèle de calcul s’appuie sur l’ASME B31G Modifiée [1], norme utilisée pour vérifier la résistance
des éléments tubulaires comportant des pertes de métal par corrosion. Mais au lieu d’adopter une
démarche déterministe, le modèle suppose que les variables de calcul sont aléatoires et qu’en
conséquence, la sollicitation (S) et la résistance (R) qui en découlent le sont. Le comportement de la
fonction d’état limite, formulant la marge de sécurité (M) entre la pression de rupture et la pression de
service, permettra alors d’estimer la probabilité d’échec associée à chaque perte de métal puis, d’en
déduire la probabilité de défaillance de la totalité du tronçon considéré comme un système série. Un état
limite est défini en tant qu’état au-delà duquel le pipeline ne satisfait plus une exigence de conception
particulière. Cette exigence est dans notre cas la résistance à la pression interne exercée sur la paroi
défectueuse.
La méthode FORM "𝐹𝑖𝑟𝑠𝑡 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑟 𝑅𝑒𝑙𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑦 𝑀𝑒𝑡ℎ𝑜𝑑" est implémentée pour l’évaluation de la
probabilité (Pf) de défaillance des défauts pris distinctement et supposés sans corrélation. Moyennant
des transformations de variables, la méthode recherche le point du domaine de défaillance le plus proche
de l’origine de l’espace équivalent des variables normales centrées réduites. Ce point de la surface d’état
limite est appelé point de conception. La distance euclidienne qui le sépare de l’origine ainsi obtenue
est l’indice de fiabilité de Hasofer-Lind (βHL). La probabilité de défaillance est ensuite calculée par la
fonction exprimant la densité cumulative de la distribution normale centrée réduite Φ(− 𝛽 ).
La démarche FORM permet d’estimer rapidement les faibles probabilités qui auraient demandé un grand
nombre de simulations Monte Carlo. Mais elle apporte des imprécisions en rapport avec la linéarisation
et selon la courbure de la fonction d’état au voisinage du point de conception. Ainsi, pour entériner les
calculs, certains résultats sont vérifiés par la méthode MC. L’outil informatique utilisé est le tableur
Microsoft® Excel® 2016 pour le calcul et son complément Solver pour l’optimisation de la convergence
vers l’indice de fiabilité [7][8].
Mots clés : Fiabilité – Probabilité de rupture (de défaillance, d’échec) – Fonction d’état limite (de
performance) – Point de conception – Corrosion – Perte de métal (d’épaisseur) – FORM – Monte Carlo
– Variable aléatoire – Contrainte (pression) de rupture
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Introduction
Les ouvrages de transport gaz sont conçus selon plusieurs normes (NT, ASME, ISO/BS/EN, CSA,
…etc.) pour supporter notamment les pressions internes maximales de service. Les épaisseurs minimales
sont calculées exactement de façon à satisfaire les exigences des normes utilisées. Pour ce qui nous
concerne, la norme NT 109.01 [2] utilise la formule de Barlow afin de déterminer la pression maximale
de service (𝑃) en fonction de l’épaisseur (𝑒), du diamètre (𝐷) et de la limite élastique tenant compte de
la catégorie d’emplacement (𝑡) ; 𝑃 = 2 ⋅ 𝑡 ⋅ 𝑒/𝐷.
Durant la phase d’exploitation, différents codes (API, ASME, SHELL, DNV, RSTRENG…etc.)
permettent de vérifier l’intégrité des sections de canalisations comportant des pertes de métal sur les
éléments tubulaires, les coudes et les cintrages. D’autres paramètres qui concernent la taille des défauts
entrent en jeu, mais là encore, une approche purement déterministe est adoptée.
Or les paramètres de calcul sont des grandeurs générées et mesurées tout au long de procédés complexes.
Il en est de même pour les dimensions des pertes de métal détectées par les racleurs instrumentés. Toutes
ces grandeurs physiques sont alors incertaines et sujettes à des variations supposées rester dans des
plages d’acceptabilité.
Pour une prise en compte de l’incertain, une autre approche probabiliste est adoptée depuis plusieurs
décennies en mécanique des structures. Concernant les réseaux gaz, la démarche fiabiliste est
relativement récente. En 2006, la norme BS/EN/ISO 16708 [3] est publiée. Elle apporte un complément
probabiliste aux normes classiques de calcul déterministe, notamment l’ISO 13623 [4], et propose des
méthodes aux états limites basées sur la fiabilité des systèmes de transport par conduites.
La fiabilité peut être définie comme étant l’étude des défaillances d’un point de vue statistique en
particulier. La fiabilité d’un système évalue la probabilité qu’il accomplisse régulièrement une fonction
souhaitée, dans certaines conditions et pendant une certaine période de temps afin de satisfaire un
objectif. Théoriquement, la fiabilité (R) et la probabilité de défaillance (Pf) sont complémentaires ;
R + Pf = 1.
Dans l’approche déterministe, les entrées et les sorties sont fixes, le système passe ou casse, une réponse
binaire, du type 0 ou 1, est attendue. Mais, même si le système passe, des risques si infinitésimaux qu’ils
soient, subsistent. Une des versions de la loi de MURPHY, ou selon d’autres sources la loi de FINAGLE,
dit que s’il y a la moindre possibilité que ça rate, ça ratera. Avec l’approche fiabiliste, il s’agit de traquer
ces événements rares dès la phase d’étude, mais aussi tout au long de la vie de l’ouvrage. Les données
ne sont plus restreintes aux valeurs nominales, elles couvriront désormais tout leur domaine possible
pour prendre en considération les erreurs et les incertitudes. On parle dans ce cas d’étude par couplage
mécano-fiabiliste, basée à la fois sur les modèles de calcul et sur les lois statistiques afin d’attribuer une
note à la structure non plus de 0 ou 1, mais entre 0 et 1. Qu’il soit question de fiabilité ou de déficience,
cette note se rapporte à une probabilité que Laplace qualifie comme étant relative d’une part à notre
ignorance, et d’autre part à notre savoir.
Les normes fiabilistes préconisent des seuils limites pour les conduites de transport gaz selon leur
catégorie d’emplacement. D’après l’estimation de la probabilité de défaillance, l’opérateur des réseaux
a la possibilité de mettre en place un plan de maintenance conçu sur une priorisation des défauts à traiter
de manière à respecter ces seuils minimums de fiabilité.
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Plusieurs modes de défaillance sont évoqués dans l’ISO 16708, mais dans la présente analyse, seules les
probabilités de défaillances dues aux pertes d’épaisseur sont estimées. Ce type de défaut est l’une des
causes principales responsables de l’interruption du transport de fluides par pipeline.
Ouvrage étudié
Le tronçon BenSahloun - AinTurkia fait partie du gazoduc Msaken - Gabès reliant le centre au sud de la
Tunisie depuis début 1995. Il est délimité par deux postes de coupure et comprend deux postes de
sectionnement, tous situés dans la banlieue de la ville de Sfax. Cette conduite bidirectionnelle revêt une
importance capitale pour l’acheminement des gaz achetés vers les centres de production d’électricité
ainsi que vers les divers pôles urbains et industriels du pays. Ses caractéristiques sont :
-
Diamètre : 508 mm
Nuance : API 5L X60
Procédé : SAWH
Epaisseur
A : 6,39 mm B : 7,77 mm
C : 11,66 mm
Longueur : 27.5 km
A : 9.6 km
B : 14.1 km
C : 3.8 km
Revêtement Tube : Polyéthylène extrudé tri-couche, Soudure : Manchon thermo-rétractable
Protection cathodique : Par courant imposé
Le pipeline a été contrôlé par racleur instrumenté à deux reprises en 2002 et en 2018. Le recoupement
des deux rapports n’est pas d’une grande utilité tellement les résultats sont différents. En effet, la
première inspection a été réalisée près de sept ans après la mise en gaz de l’ouvrage mais, ne peut pas
être considérée comme inspection de référence. Elle avait révélé la présence de faibles pertes de métal
qui étaient situées majoritairement dans la paroi interne et qui n’ont pas semblé avoir évolué depuis, au
vu de la seconde inspection. Outre les anomalies de fabrication et de construction, la reconnaissance des
défauts signalés par le deuxième contrôle a permis de constater que des corrosions localisées ont
effectivement eu lieu à proximité des soudures circonférentielles sous les manchons thermo-rétractables
trouvés décollés par endroits. Il est vraisemblablement question de corrosion par piqûre apparaissant
généralement suite à la rupture de la couche passive qui, pour une raison ou une autre, peut rester dans
un état inactif ou continuer à évoluer sous l’effet des produits de la réaction.
Loin de prétendre expliquer les causes du phénomène, le présent document se veut plutôt une estimation
de ses conséquences. Toutefois, ce n’est pas par hasard que ce type de corrosion ait lieu dans des sections
revêtues sur site par des bandes thermo-rétractables. La proximité des soudures, la nuance de l’acier, les
conditions d’application du système de revêtement, l’environnement des sections touchées, le niveau de
protection cathodique ou toute combinaison de ce qui précède, sont des causes potentielles.
A part la corrosion, l’inspection a rapporté d’autres familles de défauts qui sont les anomalies de
fabrication et de pose affectant la tôle et les cordons hélicoïdaux. Pour ces derniers, le rapport indique
s’il s’agit de défectuosités locales, axiales, circonférentielles ou généralisées, ces informations ont aidé
à définir l’étendue des CND de vérification réalisés sur les sites. Les imperfections de la tôle telles que
griffures, arrachement et délaminations sont autant renseignées selon leurs orientations dans le tube.
Contrairement aux corrosions, ces défauts ne sont pas supposés évoluer dans le temps et seront traités
comme pertes de métal stables tout au long de la vie de l’ouvrage.
Les pertes de métal reconnues comme étant dues à des agressions subies en cours d’exploitation,
accompagnées systématiquement de détérioration du revêtement, seront assimilées à des corrosions
appelées à se développer dans le temps selon le même modèle et avec les mêmes taux de croissance.
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Pour ce qui concerne les soudures circonférentielles, une seule anomalie a été décelée sur un joint de
raccordement dans un poste de sectionnement. Des CND ont été également effectués et confrontés aux
contrôles primitifs de la pose pour s’assurer de la conformité du joint à l’API 1104.
Modèle et fonction d’état limite
L’ASME B31G Modifiée constitue un guide d’évaluation des pertes de métal dans les canalisations et
les systèmes de tuyauterie et de détermination de la résistance résiduelle. Elle s’applique aux éléments
tubulaires, aux cintrages et aux coudes comportant des pertes de métal dues à la corrosion interne et
externe, ou produites par les meulages effectués pour éliminer les griffures, les arrachements de métal
et les morsures d’arc de la surface des tubes. Les soudures de fabrication longitudinales et hélicoïdales
sont aussi couvertes par les dispositions de la norme si une ductilité analogue au matériau de base est
garantie. Par contre, toute forme de corrosion sélective affectant ces soudures ainsi que toute anomalie
des joints circonférentiels sont à traiter en dehors du cadre de cette norme.
Généralement pour les conduites enterrées,
la contrainte circonférentielle due à la
pression interne est la plus importante
contrainte et elle régira le mode de
défaillance. Les méthodes et critères
fournis par l’ASME B31G ne concernent
pas les défaillances dues aux contraintes
longitudinales. Pour de telles situations, il
faudrait se référer à d’autres documents
d'orientation tels que l’API 579-1/ASME
FFS-1[21].
Fig.1 caractéristiques d’un défaut typique [1]
Les pertes d’épaisseur sont ainsi caractérisées par leur longueur axiale (L) et leur profondeur (d). Leur
vérification est ensuite effectuée à l’aide de la contrainte de rupture estimée (SF) :
𝑺𝑭 = 𝑺𝒇𝒍𝒐𝒘
𝒅
𝒕
𝟏 𝟎,𝟖𝟓( )
𝒅
𝒕
𝟏 𝟎,𝟖𝟓( )/𝑴
Où, en accord avec la nomenclature de l’ASME B31G Modifiée :
-
𝑺𝒇𝒍𝒐𝒘 : Contrainte d’écoulement plastique
La contrainte d’écoulement est un concept utilisé en mécanique de la rupture pour tenir compte
de l’écrouissage dans le domaine élastoplastique du matériau. Dans une courbe
contrainte/déformation, la contrainte d’écoulement est située entre la limite élastique SMYS et
la limite de rupture SMTS. Pour les matériaux usuels des tubes, il a été constaté que cette
contrainte était en moyenne d’environ 10 ksi supérieure à la limite d’élasticité. Elle est définie
de différentes manières selon les sources, mais nous retenons la formule donnée dans le système
SI par l’ASME B31G Modifiée :
𝑺𝒇𝒍𝒐𝒘 = 𝑺𝑴𝒀𝑺 + 𝟔𝟗(𝑴𝑷𝒂)
𝑆𝑀𝑌𝑆 < 𝑆𝑓𝑙𝑜𝑤 < 𝑆𝑀𝑇𝑆
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-
SMYS : Limite élastique
C’est la limite d’élasticité minimale spécifiée pour les aciers destinés à la fabrication des tubes
utilisés dans l’industrie gazière et pétrolière. Le terme (SMYS) de l’API 5L [6] correspond au
terme (Rt0,5) de la BS/EN/ISO 3183 [5]. Toutefois les données des certificats matière peuvent être
utilisées dans les calculs si elles sont connues avec suffisamment de traçabilité. L’ASME B31G
Modifiée fait d’ores et déjà allusion à une représentation statistique des propriétés mécaniques.
-
SMTS : Limite de rupture
Il s’agit de la résistance à la traction qui correspond à (Rm) dans la norme [5] BS/EN/ISO 3183.
Toujours est-il qu’il convient également de choisir les données des certificats si fiables.
-
M : Facteur de Folias
Le facteur de Folias est un terme qui tient compte de l’amincissement de la tôle à l’endroit du
défaut. Il est exprimé en fonction de la longueur du défaut (L), du diamètre (D) et de l’épaisseur
du tube (t).
𝑀=
1 + 0.6275
𝑀 = 0.032
+ 3.3
− 0.003375
Si
≤ 50
Si
> 50
C’est la première écriture de (M) qui est le plus souvent utilisée pour les faibles à moyennes
étendues de défauts, dans notre cas, tant que 𝐿 < 400 𝑚𝑚.
-
𝒅 : Profondeur de la perte de métal (Fig.1)
C’est la profondeur maximale mesurée qu’il s’agisse d’une corrosion locale, d’une corrosion
généralisée ou d’un cluster de corrosions interférentes. Elle ne doit pas dépasser 80% de
l’épaisseur.
-
L : Longueur axiale de la perte de métal (Fig.1)
C’est la projection sur l’axe longitudinal de l’étendue du défaut. Elle doit tenir compte des
interactions entre les défauts selon la règle [1] des 3𝑡.
-
𝒕 : Epaisseur de la canalisation (Fig.1)
Il est préférable de mesurer directement l’épaisseur sur la partie saine de la paroi pour des calculs
déterministes, sinon la valeur nominale est utilisée comme espérance pour les calculs
probabilistes.
-
D : Diamètre de la canalisation
C’est le diamètre extérieur spécifié, à ne pas confondre avec le diamètre nominal DN ou NPS.
Une anomalie est considérée acceptable lorsque le produit de la contrainte de rupture (SF) par le
coefficient de sécurité (FS) est supérieur à la contrainte circonférentielle (SO) calculée à la pression de
service (PO), maximale (MOP) ou maximale admissible (MAOP).
L’ASME B31G modifiée [1] recommande un facteur de sécurité minimal de 80%, elle comprend par
ailleurs des tables qui déterminent, par plage de diamètre, la valeur admissible de L en fonction de d
pour différentes épaisseurs standards avec un coefficient de sécurité de 72%. Cependant, pour rester
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conforme à la norme NT 109-01[2], les facteurs de sécurité visés dans le présent modèle de calcul sont
définis d’après la catégorie d’emplacement des canalisations :
-
-
𝐸𝑚𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝐴 → 𝐹𝑆 = 72%
𝐸𝑚𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝐵 → 𝐹𝑆 = 60%
𝐸𝑚𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝐶 → 𝐹𝑆 = 40%
Au final, la résistance du défaut (R) exprimée en MPa est :
𝑑
1 − 0,85( )
𝑡
𝑅 = 𝐹𝑆 ∙ (𝑆𝑀𝑌𝑆 + 69)
𝑑
1 − 0,85( )/𝑀
𝑡
D’un autre côté, la contrainte circonférentielle, sous l’effet de la pression de service (PO), ou la
sollicitation (S) comme dénommée auparavant, est :
𝑆=𝑃 ∙
𝐷
2𝑡
Dans la méthode contrainte-résistance, la fonction d’état limite (R-S) s’écrit alors :
𝐹𝑆 ∙ (𝑆𝑀𝑌𝑆 + 69)
1 − 0,85
𝑑
𝑡
𝑑
1 − 0,85( )/𝑀
𝑡
−𝑃 ∙
𝐷
2𝑡
Or, si on multiplie les deux termes de l’expression (R-S) par (2t/D), on arrive à une autre forme de la
fonction de performance appelée désormais (𝐺) et déduite cette fois-ci de la différence entre la pression
de rupture (PF) et la pression de service (PO).
𝐺 = 2 ∙ 𝐹𝑆 ∙ (𝑆𝑀𝑌𝑆 + 69)
1 − 0,85
1 − 0,85
𝑑
𝑡
𝑑
/𝑀
𝑡
𝑡
−𝑃 =𝑃 −𝑃
𝐷
⟶ (1 −
𝑃
)
𝑃
On retrouve le facteur de réparation estimé « Estimated Repair Factor » (ERF=PO/PF) et implicitement
le critère de défaillance (𝐺 < 0 ⟹ 𝐸𝑅𝐹 > 1) de l’ASME B31G. Plusieurs expressions peuvent servir
de fonction décrivant le modèle d’une section de canalisation affectée par une perte de métal et soumise
à une pression interne. Cela dit, nous retenons l’écriture résultant de la marge (PF - PO) comme fonction
d’état limite.
Pour compléter le modèle, connaissant les vitesses de corrosion radiale (CRd) et longitudinale (CRL) et
en supposant une croissance linéaire [11][12], on peut prévoir l’évolution de l’anomalie à un temps futur
(T) et les dimensions prédites s’écrivent :
𝑑(𝑇) = 𝑑 + 𝐶𝑅 ∙ (𝑇 − 𝑇 )
𝐿(𝑇) = 𝐿 + 𝐶𝑅 ∙ (𝑇 − 𝑇 )
𝑇 est une circonstance donnée de référence où les dimensions 𝑑 et 𝐿 sont rapportées, telle la dernière
inspection en date. Pour simplifier, on pourra supposer 𝑇 = 0
Les données stochastiques (𝑆𝑀𝑌𝑆, 𝑡, 𝐷, 𝑑, 𝐶𝑅 , 𝐿, 𝐶𝑅 , 𝑒𝑡 𝑃 ) sont les composantes d’une variable
multidimensionnelle ou d’un vecteur aléatoire appelé (𝑍). (𝐹𝑆) et (𝑇) sont des constantes déterministes
qui définissent respectivement le niveau de sécurité et le temps passé depuis le repérage du défaut.
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⎡
⎢
⎢
𝒅 + 𝑪𝑹𝒅 ∙ 𝑇
⎢
1 − 0,85 ∙
𝒕
𝐺(𝒁) = 𝐹𝑆 ∙ (𝑺𝑴𝒀𝑺 + 69) ∙ ⎢
𝒅 + 𝑪𝑹𝒅 ∙ 𝑇
⎢
𝒕
⎢1 − 0,85 ∙
⎢
(𝑳 + 𝑪𝑹𝑳 ∙ 𝑇)
(𝑳 + 𝑪𝑹𝑳 ∙ 𝑇)
⎢
1 + 0.6275 ∙
− 0.003375 ∙
𝑫∙𝒕
𝑫∙𝒕
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
2∙𝒕
⎥∙
− 𝑷𝑶
𝑫
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
𝒁𝑻 (𝑧 : 𝑫 , 𝑧 : 𝒕 , 𝑧 : 𝒅 , 𝑧 : 𝑳 , 𝑧 : 𝑷𝑶 , 𝑧 : 𝑆𝑴𝒀𝑺 , 𝑧 : 𝑪𝑹𝒅 , 𝑧 : 𝑪𝑹𝑳 )
Fig.2 Fonction d’état limite et vecteur variable
𝐺(𝑍) est une fonction d’état limite ultime ELU (en anglais, Ultimate Limit State, ULS) et évoque
contextuellement une cause de défaillance unique sous l’effet de la pression interne. Elle est négative
dans le domaine de défaillance 𝒟 , positive dans le domaine sûr 𝒟 et nulle sur la surface d’état limite
𝐺(𝑍) = 0. Dans un système à deux variables, la limite entre les domaines 𝒟 et 𝒟 est une courbe, avec
trois variables cette limite est une surface, mais au-delà de trois dimensions, la concrétisation de
l’hyperespace devient complexe.
𝓍
𝓍
𝓓𝒇
𝑮(𝑿) < 𝟎
𝓓𝒇
𝑮(𝑿) = 𝟎
𝑮(𝑿) < 𝟎
𝑮(𝑿) = 𝟎
𝑂
𝓓𝒔
𝓓𝒔
𝑮(𝑿) > 𝟎
𝓍
𝑮(𝑿) > 𝟎
O
𝓍
𝓍
Fig.3 Illustration de surface d’état limite 2D et 3D
En théorie des probabilités, si (X) est un vecteur aléatoire de dimension (n) composé de variables réelles
à densité (xi=1…n), il existe alors une fonction de densité à plusieurs variables aléatoires ou loi conjointe
f(x) telle que la probabilité que (X) appartienne à un domaine 𝛺 est égale à l’intégrale de cette fonction
dans le même domaine ;
Si Ω(X) = {𝑋 ∈ ℝ , 𝐺(𝑋) ≤ 0} alors, 𝑃𝑟𝑜𝑏(𝑋 ∈ Ω) = ∫ ( ) 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑥 étant une réalisation de 𝑋, sachant
que par définition, ∫ℝ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
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De ce fait, la probabilité de rupture de la section de pipeline comprenant un défaut, ou la probabilité que
la fonction d’état 𝐺(𝑍) prenne une valeur négative, correspond à la probabilité pour que les éléments
(z1, …, z8) soient les coordonnées d’un vecteur (𝑍) octa-dimensionnel appartenant au domaine 𝒟 .
𝑃 = 𝑃𝑟𝑜𝑏[𝐺(𝑍) ≤ 0] = 𝑃𝑟𝑜𝑏 𝑍 ∈ 𝐷
= ∫ 𝑓(𝑧)𝑑𝑧 , 𝑧 étant une réalisation de 𝑍.
Variables aléatoires de calcul
La fonction d’état limite fait appel aux huit cordonnées du vecteur variable (𝑍). Chaque composant (𝑧 ),
est décrit par l’intermédiaire d’une densité de probabilité qui lui affecte des valeurs aléatoires tenant
compte des erreurs intrinsèques et des incertitudes de mesures. Parmi les lois de probabilité, la loi
normale ou loi de Laplace-Gauss est particulièrement importante [15] dans la modélisation des
phénomènes en sciences et en engineering. La loi normale avec sa courbe symétrique en cloche dépend
de deux paramètres ; son espérance (µ) et son écart-type (𝜎). Dans certains cas, notamment pour
représenter les caractéristiques mécaniques des matériaux, la loi log-normale ou loi de Galton est
utilisée. Une variable qui suit une loi log-normale est une variable dont le logarithme suit une loi normale
de même espérance et de même écart-type.
Cette dernière distribution statistique est couramment choisie [9][10][12][13][14] pour décrire la limite
élastique des aciers de pipelines. L’API 5L spécifie les valeurs minimales des limites élastiques
(SMYSAPI5L) qui sont utilisées nominalement pour chaque grade dans la conception des canalisations avec
la formule de Barlow. Mais en réalité, leurs espérances effectives [12] employées dans les calculs
fiabilistes sont de 8 à 12% supérieures et leurs écarts-types relatifs sont de 3 à 4%. Il n’empêche que les
résultats des essais en usines offrent des données exploitables pour déterminer les moyennes et les
écarts-types des caractéristiques mécaniques surtout avec une production de niveau PSL2. Toutefois,
retenons l’écriture de la limite élastique :
𝑺𝑴𝒀𝑺 ∽ 𝓛𝓸𝓰𝓝(𝝁 = 𝟏, 𝟏 ∙ 𝑺𝑴𝒀𝑺𝑨𝑷𝑰𝟓𝑳 ; 𝝈 = 𝟑% ∙ 𝝁)
Pour la pression de service, la loi normale fait le plus souvent l’objet d’un choix pertinent. Cependant,
certains auteurs préfèrent une des lois d’extrémum [14] Gumbel ou Weibull qui reproduisent les
éventuelles pressions extrêmes à l’aval des stations de compression. Il serait également justifiable
d’opter pour une valeur prédéterminée correspondant à la pression maximale de service.
De par son emplacement et étant donné l’historique disponible, le tronçon analysé n’enregistre pas
d’augmentations de pression et subit constamment des charges en deçà de la (MAOP). Partant de ce fait,
le choix s’est porté sur la distribution à la fois raisonnable et conservatrice :
𝑷𝑶 ∽ 𝓝(𝝁 = 𝟕, 𝟑 𝑴𝑷𝒂 ; 𝝈 = 𝟏, 𝟓% ∙ 𝝁)
Suivant la règle empirique et avec cette caractérisation de la pression, 99.73% des valeurs aléatoires
appartiennent à l’intervalle approximatif [7.0 ; 7.6] 𝑀𝑃𝑎. Aussi, à peine 1.3‰ dépassent 7.6 𝑀𝑃𝑎 et
seulement 0.32‱ sont supérieures à 7.7 𝑀𝑃𝑎. Les pressions extrêmes sont donc très rares, ces
considérations s’accordent bien avec les conditions réelles d’exploitation et justifient les paramètres de
la distribution normale sélectionnée.
Quant aux dimensions géométriques du tube (t) et (D), les valeurs nominales sont d’ordinaire supposées
correspondre aux espérances mathématiques d’une loi normale. Les écarts-types sont calculés |12] d’après
8
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les tolérances de l’API 5L et suivant la règle des 3σ, appelée aussi règle 68-95-99.7 ou encore règle
empirique.
En effet, pour une loi normale, les
valeurs sont réparties comme
suit (voir Fig. 4 ci-contre) :
- 68.3% entre (µ − 𝜎) et (µ + 𝜎)
- 95.4% entre (µ − 2𝜎) et (µ + 2𝜎)
- 99.7% entre (µ − 3𝜎) et (µ + 3𝜎)
Donc, si une variable aléatoire suit
une loi de Gauss 𝒳 ∽ 𝒩(𝜇 ; 𝜎 ), ses
valeurs tirées au hasard sont dans
l’intervalle [µ-3σ ; µ+3σ] avec un
niveau de confiance de pratiquement
100% et il peut être admis que :
Fig.4 Interprétation schématique de la règle empirique
[
]
{𝒳
= 𝜇 − 3𝜎 ; 𝒳
= 𝜇 + 3𝜎} ⟺ {𝜇 =
𝒳
+𝒳
2
−𝒳
6
≤𝒳≤𝒳
𝐷
= 𝐷 − 𝑚𝑖𝑛{0,005𝐷 ; 1,6}
𝑒𝑡 [
]
𝐷
= 𝐷 + 𝑚𝑖𝑛{0,005𝐷 ; 1,6} ⟹
𝜇 = 𝐷 𝑒𝑡
𝜎 ≈ 0,1% ∙ 𝐷
𝑡
= 𝑡 − 0,1𝑡
𝑒𝑡 [
]
𝑡
= 𝑡 + 0,1𝑡
𝜇=𝑡
𝜎 ≈ 3,3% ∙ 𝑡
⟹
;𝜎=
𝒳
𝒳
𝑒𝑡
}
Il est à remarquer qu’étant donné l’insignifiance de son écart-type, certains auteurs [12] assignent au
diamètre une valeur déterministe. Tout bien considéré, le diamètre et l’épaisseur seront donnés par :
𝑫 ∽ 𝓝(𝝁 = 𝑫 ; 𝝈 = 𝟎, 𝟐𝟓% ∙ 𝝁)
𝒕 ∽ 𝓝(𝝁 = 𝒕 ; 𝝈 = 𝟑. 𝟓𝟎% ∙ 𝝁)
Toujours selon les sources citées, la profondeur et la longueur de la perte de métal sont supposées suivre
une loi normale d’écarts-types relatifs 10% et 5% :
𝒅 ∽ 𝓝(𝝁 = 𝒅 ; 𝝈 = 𝟏𝟎% ∙ 𝝁)
𝑳 ∽ 𝓝(𝝁 = 𝑳 ; 𝝈 = 𝟓% ∙ 𝝁)
Concernant l’évolution des défauts de corrosion, une croissance linéaire de la profondeur et de la
longueur est l’approximation [11] envisagées. Autrement dit, les vitesses de corrosion radiale et
longitudinale sont définies respectivement par les moyennes préservatrices (𝛥𝑑/𝛥𝑇 ≈ 1.4/23) et
(𝛥𝐿/𝛥𝑇 ≈ 20/23) et elles sont modélisées par des distributions normales de coefficient de variation
10% :
𝑪𝑹𝒅 ∽ 𝓝(𝝁 = 𝟎, 𝟎𝟔 𝒎𝒎/𝒂𝒏 ; 𝝈 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔 𝒎𝒎/𝒂𝒏)
𝑪𝑹𝑳 ∽ 𝓝(𝝁 = 𝟎, 𝟗𝟎 𝒎𝒎/𝒂𝒏 ; 𝝈 = 𝟎. 𝟎𝟗𝟎 𝒎𝒎/𝒂𝒏)
9
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Paramètre aléatoire
SMYS Limite élastique
t
épaisseur
DO
Diamètre extérieur
d
Profondeur défaut
CRd
L
CRL
PO
Taux radial
Longueur défaut
Taux longitudinal
Pression gaz
Distribution
Log-Normale
Normale
Normale
Normale
Normale
Normale
Normale
Normale
Unité
MPa
mm
mm
mm
mm/an
mm
mm/an
MPa
Espérance (µ)
415x1,1
6,39-7,77-11,66
508
>10%t
0,06
20
0,09
7,3
CV (𝜎/µ)
3%
3,5%
0,25%
10%
10%
5%
10%
1.5%
Fig.5 Caractéristiques des variables de calcul
Méthode d’évaluation
Les méthodes de simulation statistique de Monte-Carlo brutes ou accélérées, et les méthodes fondées
sur une approximation du premier et du second ordre (FORM/SORM) sont les deux grandes familles de
méthode de calcul de la probabilité de défaillance.
La méthode de Monte-Carlo, dont le nom provient du célèbre casino et qui fait allusion aux jeux de
hasard, est le plus simple des algorithmes de simulation employés dans les problèmes de fiabilité. Les
simulations sont basées sur la randomisation d’un grand nombre de variables aléatoires afin de quantifier
un phénomène pré-modélisé jusqu’à atteindre une précision voulue. Pour les besoins de notre analyse,
la technique consiste à :






Initialiser les nombres (𝑁 ) de simulations et (𝑛 ) d’échecs
Produire des vecteurs variables aléatoires (𝑧 … 𝑧 )
Incrémenter systématiquement (𝑁 )
Calculer les fonctions d’état 𝐺(𝑧 … 𝑧 ) et vérifier leur signe
Incrémenter (𝑛 ) si et seulement si 𝐺(𝑧 … 𝑧 ) ≤ 0
Calculer la probabilité de défaillance : 𝑷𝒇 = 𝒏𝒇 /𝑵𝒔
Déduire l’erreur relative (𝜀) à un niveau de confiance de 95% : 𝜺 = 𝟏, 𝟗𝟔 (𝟏 − 𝑷𝒇 )/(𝑷𝒇 ∙ 𝑵𝒔 )
 Répéter les séquences jusqu’à atteindre la précision voulue pour borner 𝑃 :
(𝟏 − 𝜺) ∙ 𝒏𝒇 /𝑵𝒔 ≤ 𝑷𝒇 ≤ (𝟏 + 𝜺) ∙ 𝒏𝒇 /𝑵𝒔 . Il est à noter que l'augmentation du degré de
confiance entraîne une diminution de la précision (voir Fig.4).

La fonction Alea( ) de Microsoft Excel est un outil de randomisation dans [0 ;1[ basé sur le célèbre
algorithme Mersenne Twister MT19937. Cet outil est utilisé pour la génération des variables de la
fonction d’état limite, par exemple on peut attribuer à une variable 𝑧 ~ 𝒩(𝜇 ; 𝜎 ) une valeur aléatoire
suivant une loi normale par la formule : 𝐿𝑂𝐼. 𝑁𝑂𝑅𝑀𝐴𝐿𝐸. 𝐼𝑁𝑉𝐸𝑅𝑆𝐸. 𝑁(𝐴𝐿𝐸𝐴(); 𝝁𝒊 ; 𝝈𝒊 ).
L’estimateur de la méthode MC brute est efficace puisqu’il est sans biais et sa variance est connue. Le
problème avec les méthodes brutes de Monte Carlo est le temps nécessaire à l’évaluation des faibles
probabilités avec une erreur minimale. En effet, partant de l’expression de l’erreur relative (𝜀), il est
clair que le nombre de simulation (𝑁 ) croît de manière quadratique avec l’inverse de celle-ci.
Théoriquement, une erreur (𝜀) nulle demande un nombre de simulations infini (𝜀 → 0 si 𝑁𝑠 → +∞), et
afin d’estimer une faible probabilité à 5% d’erreur et avec un niveau de confiance de 95%, le nombre
de simulations (𝑁 ) et le nombre de défaillances (𝑛𝑓 ) peuvent être approchés de la façon suivante :
𝜺 = 𝟏, 𝟗𝟔 (𝟏 − 𝑷𝒇 )/(𝑷𝒇 ∙ 𝑵𝒔 )
𝑷𝒇≪𝟏
𝜺 ≈ 𝟏, 𝟗𝟔/ 𝑷𝒇 ∙ 𝑵𝒔
10
𝑵𝒔 ≈ 𝟑, 𝟖𝟒/(𝜺𝟐 ∙ 𝑷𝒇 )
𝒏𝒇 𝑵𝒔 ∙𝑷𝒇
𝒏𝒇 ≈ (𝟏, 𝟗𝟔/𝜺)𝟐
za2021
A titre d’exemple, estimer une probabilité de l’ordre de 1E-5 à ±5% demanderait environ 1,6E+8
itérations, avec nos 8 variables près de 1,3E+9 randomisations et le calcul prendrait plus de 15 minutes
au moyen d’un processor Intel® Core™ i3-7020U CPU @ 2.30GHz et 8Go de RAM. Pour pallier cette
limitation due à la lenteur du calcul de simulation, il existe des méthodes accélérées permettant de
réduire la variance de l’estimateur de Monte Carlo. Sans entrer dans les détails, nous citons entre autres
les techniques de variable antithétique, de variable de contrôle et d’échantillonnage préférentiel.
Toutefois, les vérifications effectuées dans la présente analyse sont faites par des simulations brutes
« Crude Monte Carlo - CMC ».
L’avantage de la méthode MC est
qu’elle permet non seulement de
calculer toute intégrale sans
aucune hypothèse sur la fonction
d’état limite, mais aussi de
contrôler l’erreur de l’estimation
et son intervalle de confiance.
Outre la lenteur évoquée cidessus, l’autre inconvénient de la
méthode est qu’elle ne dévoile
pas le point de conception et ne
permet pas d’analyser la
sensibilité de la fonction 𝐺(𝑍)
par rapport aux variables.
Fig.6 Application concrète des principes fondamentaux de la méthode MC
Contrairement aux techniques de simulations de Monte Carlo, la méthode FORM qui nous intéresse le
plus dans ce qui suit, est une approximation du 1er ordre permettant d’approcher un point singulier de la
surface d’état limite par un hyperplan. Comme interprétation géométrique, c’est le point le plus proche
de l’origine de l’hyperespace standard des variables, et statistiquement parlant, c’est le point avec la
densité de probabilité la plus élevée. Ce point particulier est nommé point de conception “𝐷𝑒𝑠𝑖𝑔𝑛 𝑃𝑜𝑖𝑛𝑡”,
et la méthode y est fondamentalement associée car la distance qui le sépare de l’origine dans l’espace
standard est l’indice de fiabilité (𝛽). Plus cet indice est élevé, plus la structure est sure et vice versa.
Plusieurs indices ont été introduits depuis la fin des années soixante pour rendre compte de la fiabilité
de différentes structures. Cornell propose en l’occurrence un indice qui porte son nom et qui est adaptée
aux surfaces de défaillance planes. Il est basé sur l’aspect statistique et est défini en fonction de la
moyenne (𝜇 ) et de l’écart-type (𝜎 ) de la marge de sécurité 𝑀 = 𝐺(𝑍). Même si ces deux
caractéristiques ne peuvent pas être calculées analytiquement, Cornell suggère un développement de
Taylor [18] au 1er ordre pour approcher la moyenne de la marge. On peut également estimer ces
paramètres de dispersion avec un nombre plus ou moins restreint de simulations MC quelle que soit la
fonction d’état limite, puis en déduire l’indice de Cornell comme étant 𝛽 = 𝜇 /𝜎 exprimant
l’abscisse de la marge moyenne en nombre d’écarts-types de celle-ci.
11
za2021
Fig.7 Distribution de la marge de sécurité (M) et indice de Cornell
Les Figures 6 & 7 illustrent un cas réel d’estimation de la probabilité de défaillance par la méthode MC
et par l’indice de Cornell pour les mêmes variables de la fonction d’état limite. La première approche
donne une probabilité d’environ 3.92E-2 ±5%. Avec les mêmes 5E+4 simulations, la seconde révèle une
marge moyenne 𝜇 ≈ 0.880, son écart-type 𝜎 ≈ 0.497 et donc un indice 𝛽 ≈ 1.77 équivalent à une
probabilité d’environ 3.84𝐸-2, à -2% d’écart par rapport à la première.
En 1974, Hasofer et Lind, inspirés des travaux de Cornell, introduisent un nouvel indice βHL dérivé de
l’interprétation géométrique de βC. En effet, l’indice de Hasofer-Lind est considéré comme étant la
distance minimale entre la surface d’état limite et l’origine de l’espace des variables normales
indépendantes centrées réduites. Pour déterminer cette grandeur, il est tout d’abord nécessaire de
normaliser les variables quelconques puis de les transformer de l’espace physique dans l’espace
standard. Les coordonnées du point de conception (𝑍 ∗ ) sont ensuite déterminées de façon que la distance
recherchée soit minimale et que la fonction de défaillance s’annule.
Contrairement à Cornell qui a porté toute l’attention sur l’aspect statistique du problème au travers du
point de valeur moyenne, Hasofer et Lind s’intéressent plutôt à la position géométrique du point de
défaillance le plus probable et à la distance entre la surface de rupture et l’origine standard. Dans le cas
basique, l’écart-type de la marge exprime simplement l’unité de mesure de cette distance. Pour obtenir
une échelle similaire dans le cas de plusieurs variables, Hasofer et Lind [8] ont proposé une application
linéaire de l’ensemble des variables de base 𝑍[𝑧 ~𝒩(𝜇 , 𝜎 )] dans un ensemble image de variables
normalisées et indépendantes 𝑈[𝑢 = (𝑧 − 𝜇 )/𝜎 ~ 𝒩(0,1)],
Si on considère le cas élémentaire de la dualité résistance/sollicitation 𝑧 (𝜇 , 𝜎 )/𝑧 (𝜇 , 𝜎 ) qui sont
toutes deux normalement distribuées, l’application de Hasofer et Lind donne les variables normales
centrées réduites indépendantes 𝑢 et 𝑢 .
𝑢 = (𝑧 − 𝜇 )/𝜎 ⟹ 𝑧 = 𝑢 ∙ 𝜎 + 𝜇
𝑢 = (𝑧 − 𝜇 )/𝜎
⟹𝑧 =𝑢 ∙𝜎 +𝜇
𝐺(𝑍) = 𝑧 − 𝑧 = 0
𝑢 ∙ 𝜎 − 𝑢 ∙ 𝜎 + (𝜇 − 𝜇 ) = 0
Dans le repère (𝑂 , 𝑧 , 𝑧 ), la limite de défaillance est la droite :
( ) ∶ 𝑧 − 𝑧 = 0.
12
za2021
L’équation de ( ) dans le nouveau repère (𝑂 , 𝑢 , 𝑢 ) est :
( ): 𝜎 𝑢 − 𝜎 𝑢 + (𝜇 − 𝜇 ) = 0.
Les coordonnées de l’origine de l’espace standard dans le repère original sont :
𝜇 ∶ Espérance de la Résistance,
𝜇 ∶ Espérance de la Sollicilation,
𝑂
𝒛𝑺
𝒖𝑺
𝜎 : Ecart − type
𝜎 ∶ Ecart − type
𝒟𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝐺 > 0
(𝓵): 𝑮 = 𝟎
𝒖𝑹
𝝁𝑺
𝝈𝑺
𝑶𝑼
𝜷𝑯𝑳
𝑼∗
𝒁∗
𝒟𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑓𝑎𝑖𝑙𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒 𝐺 < 0
𝒛𝑹
𝑶𝒁
𝝁𝑹
𝝈𝑹
Fig.8 Illustration géométrique de l’indice de Hasofer-Lind [18]
L’indice de Hasofer-Lind est par définition la distance minimale entre l’origine de l’espace standard 𝑂
et la droite ( ). Or, on sait mathématiquement que la distance (𝒹) qui sépare un point 𝑀(𝑥 , 𝑦 ) d’une
droite de forme générale {𝒂𝑥 + 𝒃𝑦 + 𝒄 = 0} est :
𝒹=
𝛽
|𝒂𝑥 + 𝒃𝑦 + 𝒄|
√𝒂 + 𝑏
=
(𝜇 − 𝜇 )
𝜎
+𝜎
=
𝜇
𝜎
(𝑀 = 𝑂 (0,0), 𝒂 = 𝜎 , 𝒃 = −𝜎 , 𝒄 = 𝜇 − 𝜇 ) ⟹
avec
𝒫 = Φ(−𝛽 )
13
za2021
On retrouve la formulation statistique de l’indice de Cornell (𝜇 /𝜎 ) pour ce cas basique. Bien que la
résolution par une analyse géométrique de ce problème bidimensionnel linéaire paraisse simple, il n’en
est pas de même pour les fonctions d’état limite de l’espace de dimension "𝑛" rencontrées dans la
pratique. N’empêche que grâce à l’approximation de Hasofer-Lind supposant la normalité et la noncorrélation des variables, ainsi qu’à la transformation du Z-espace dans le U-espace, l’indice de fiabilité
est exprimé par la valeur minimale de :
𝛽(𝑈) = ‖𝑈‖ =
𝑈 𝑈=
𝑢
𝑢
avec 𝑈 … ∈ {𝑈, 𝐺(𝑈) = 0}
𝑢
Il est à rappeler que la distance géométrique 𝒹(𝑂 , 𝑈) de l'origine de l'espace standard à la courbe
𝐺(𝑈) = 0 est tout simplement le nombre d'écarts-types (𝜎 ) entre le point de valeur moyenne (𝒁) et la
surface d’état limite 𝐺(𝑍) = 0.
Fig.9 Schématisation de la Transformation et de l’Indice de fiabilité dans l’espace standard [18]
Low et Tang [7] présentent une procédure pratique d’estimation de la fiabilité d’une structure régie par
une fonction à 3 variables du genre 𝑧 ∙ 𝑧 − 𝑧 . Pour ce faire, les auteurs ont employé un classeur Excel
« form methods 1 & 2_low & tang_7dec2007.xls » et le complément Solver. Le solveur Excel permet de
rechercher des “cellules variables” afin d’optimiser une “cellule objectif” unique en répondant à des
“contraintes”. La résolution est effectuée par la méthode du gradient réduit généralisé “GRG” présente
dans la liste de choix du solveur et recommandée pour les modèles non linéaires. Mais au préalable, la
conversion des variables en lois normales équivalentes est accomplie au moyen de fonctions
14
za2021
développées en vba sur la base de l’algorithme proposé par Rackwitz et Fiessler [17]. Cela étant, la
transformation de Rosenblatt est effectuée pour permettre le passage de l’espace physique des variables
converties vers l’espace standard des variables normales centrées réduites. La formule de l’indice de
fiabilité tenant compte de la corrélation éventuelle (matrice carrée [R]) des variables devient :
𝜷𝑯𝑳 =
[𝑈 ∗ ] . [𝑅] . [𝑈 ∗ ]
La notation ( T ) signifie Transposée
Ces mêmes séquences sont appliquées au calcul de l’indice de fiabilité d’une section de pipeline
endommagée par une perte de métal et caractérisée par le modèle défini en Figure 2.
Espace Physique
Espace Standard
« Z-espace »
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑧 (𝜇 , 𝜎 )
……………
𝑧 (𝜇 , 𝜎 )
𝑍
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝑈
∗
𝑢∗ = (𝑧 ∗ − 𝜇 )/𝜎
………………………
𝑢∗ = (𝑧 ∗ − 𝜇 )/𝜎
β Minimum
𝑧 (𝜇 , 𝜎 )
𝑍 ……………
𝑧 (𝜇 , 𝜎 )
« U-espace »
1
…
𝑅
𝜌
𝑧∗
𝑍 …
𝑧∗
… 𝜌
1 …
… 1
∗
( ∗)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
𝜷𝑯𝑳 =
[𝑼∗ ]𝑻 . [𝑹]−𝟏 . [𝑼∗ ]
SOLVER : « VARIABLES Z* » ; « CONTRAINTE G(Z*) =0 » ; « OBJECTIF β MINIMAL »
MATRICE DE CORRELATION
Fig.10 Principe de l’optimisation employée par Low & Tang [7]
𝑍 Variable vectorielle dans l’espace d’origine
𝑅 Matrice de corrélation des variables de base 𝑧 , de composants 𝜌
𝑍 Variable normale équivalente convertie par l’algorithme Rackwitz-Fiessler
𝑍 ∗ Point de conception recherché qui annule G(Z) et minimalise βHL « Variables du solveur »
𝑈 ∗ Variable normale centrée réduite obtenue par la transformation de Z*
𝛽
Indice de Hasofer-Lind « Objectif du solveur »
𝐺(𝑍) Fonction d’état limite « Contrainte du solveur »
Discussion des résultats
D’abord, les calculs concernent une section de pipeline comportant une perte de métal unique. Les
indices de fiabilité sont estimés sur la base du modèle de la Figure 2 et du processus schématisé dans la
Figure 10. Les pertes de métal sont supposées être la conséquence d’une corrosion de longueur axiale
et de profondeur (≥ 10%𝑡) telles que définies dans le rapport de l’inspection (2018). Leurs taux de
croissance, radial et longitudinal, sont considérés constants dans le temps. Les variables sont présumées
15
za2021
indépendantes, mais l’application permet la prise en compte de toute éventuelle corrélation par ladite
matrice [𝑅].
Les défauts de fabrication et de pose associés à des diminutions d’épaisseur sont évalués comme étant
des pertes de métal de dimensions constantes dans le temps.
Pour pouvoir être comparés aux seuils limites, les taux de défaillance sont estimés séparément pour
chaque catégorie.
PIPELINE RELIABILITY ASSESSMENT USING FORM
Pipeline description :
Parameter
μi
Normal
Do (mm)
508,000
Normal
t (mm)
Normal
Normal
Normal
MAOP (MPa)
Lognormal
SMYS (MPa)
Normal
CRd (mm/yr)
0,060
0,006
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Normal
CRL (mm/yr)
0,900
0,090
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Class A
1,389
Age (yr)
32,0
Distribution
- Normal
- Lognormal
- Gumbel
- Exponential
- Gamma
- Weibull
Section :
…................................................................................................................................................................
σi
Correlation Matrix
1,270
1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
6,390
0,224 ###
0,0
df (mm)
1,406
0,141
0,0 0,0
Lf (mm)
20,000
1,000
0,0 0,0 0,0
7,300
0,110
0,0 0,0 0,0 0,0
456,500
13,695
22% % t
1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1 0,0 0,0 0,0 0,0
1 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
1 0,0 0,0
FORM
1 0,0
1
Zi*
μiN
508,094
508,000
1,270
0,074
5,990
6,390
0,224
-1,788
PROBALISTIC*
df
Lf
52,05% x t
48,80 mm
58,34%
50,22
df*
Lf*
σi N
Ui*
1,465
1,406
0,141
0,419
20,153
20,000
1,000
0,153
G(X*)
β*
4,1E-10
2,2213
Pf
R
1,32E-02 98,68%
Successful Assessment
αi
αi²
0,033
0,1%
-0,805
64,8%
0,189
3,6%
0,069
0,5%
7,355
7,300
0,110
0,500
0,225
5,1%
444,505
456,141
13,332
-0,873
-0,393
15,4%
0,063
0,060
0,006
0,572
Pf MC
1,32E-02 +/- 5,4%
0,258
6,6%
0,940
0,900
0,090
0,441
(PfFORM - P fMC)/P fMC
0,0%
0,199
3,9%
∑αi ² =
100,0%
ASME B31G DETERMI
PARAMETERS NISTIC
DETERMINISTIC
Mod. ASME-B31G
…........................................................................................................................................................................................................
Date : ....................................
z
M
PF
PO
ERF
3
xt
mm
PROBA
LISTIC*
0,1232
1,2077
0,1334
1,2320
6,2744
7,3000
1,1635
7,3548
7,3548
1,0000
Sensitivity
Analysis
Fig. 11 Evaluation FORM de la fiabilité d’une section de pipeline avec Excel (Modèle Low & Tang [7])
La méthode FORM est adaptée au fichier Excel de Low & Tang [7] et l’optimisation est réalisée à l’aide de
la macro complémentaire Solver. Les lois de probabilité que peuvent suivre les variables sont choisies
parmi une liste qui comprend principalement les distributions normales, log-normales et les lois
d’extrémum généralisées de Gumbel et de Weibull. Les variables sont les 8 composants du vecteur (𝑍 ∗⃗)
recherché et l’objectif est de minimaliser 𝛽 sous la contrainte 𝐺(𝑍 ∗ ) = 0. Le système est solutionné
à un nombre d’années à compter de 2018 (𝐴𝑔𝑒 = 𝐴𝑛𝑛é𝑒 − 2018). Etant donné la forme de la fonction
d’état limite, la résolution par la méthode GRG non linéaire est choisie. La convergence du solveur est
accélérée par l’assignation des valeurs moyennes aux valeurs initiales des variables. Dans certains cas,
la surface de défaillance peut contenir différents points correspondant à des minimums locaux qui
doivent être explorés par d’autres valeurs de départ. Pour ce qui nous concerne, ces cas de figure ne sont
véritablement pas rencontrés.
Quoique la méthode FORM ne permette pas de cerner l’erreur de l’estimation, elle offre la possibilité
d’analyser l’influence des différentes variables sur la fonction d’état aux environs du point de conception
par les facteurs de sensibilité et d’importance.
Les facteurs de sensibilité (𝛼 ) reflètent la contribution relative des variables stochastiques à la
probabilité de défaillance ou à la fiabilité. Ils sont définis par les angles (𝜑 ) que fait le vecteur de
conception 𝑈 ∗⃗ de module 𝛽 avec les axes de l’espace standard (voir Fig. 9).
𝑢∗ = 𝛽
cos 𝜑
≝
𝛼 =
∗
et ∑ 𝛼 𝑢∗ = 𝛽 , les variables (𝑢 ) étant indépendantes.
Au vu de ces égalités, il est évident qu’avec les mêmes hypothèses de non-corrélation, la somme des
carrés des facteurs de sensibilité est égale à l’unité ou à 100%, ces carrés sont appelés facteurs
16
za2021
d’importance 𝛼 et représentent la contribution de la variable (𝑢 ) 𝑜𝑢 (𝑧 ) dans la variance totale de la
fonction d’état limite linéarisée au point de défaillance le plus probable (𝑍 ∗ ).
L’exemple montré ci-contre se rapporte au cas
réel exposé plus haut dans la Figure 6.
L’importance de l’épaisseur (62.9%) et de la
limite élastique (14.3%) dans la probabilité de
défaillance y sont indéniables. Contrairement à
la sensibilité qui traduit la dérivée partielle de
𝐺(𝑍) par rapport à une variable, et pour laquelle
le signe de 𝑍 ∗⃗ compte, le facteur d’importance
de cette variable n’indique pas dans quel sens
elle agit sur la fiabilité, mais plus le facteur
croît, plus la contribution de la variable est
élevée.
12 Analyse de l’importance des variables
Le modèle et la fonction d’état limite à huit variables statistiques de la section de pipeline étudiée
paraissent relativement complexes. Pourtant, le système d’équations et de relations développées à l’aide
d’objets Excel [7] offre une alternative prompte et efficace à la méthode Monte Carlo très lente pour les
faibles probabilités en particulier. La figure 11 est une capture d’écran concrétisant les entrées-sorties
de la méthode FORM mise en œuvre. La section de pipeline dont il s’agit peut appartenir à l’une des
trois catégories d’emplacement de la norme et, par conséquent, à l’une des classes de sécurité spécifiées
précédemment.
Pour une perte de métal de
(22% 𝑡 × 20 𝑚𝑚) qui correspond
à un défaut plus ou moins sévère
rencontré sur les sections de
catégorie 𝐴(0.72), la probabilité de
rupture passe de 8,23 × 10
en
2018, année de l’inspection, à
1,31 × 10 en 2050, en d’autres
termes la fiabilité se dégrade de
quasiment 100% à 98.7%.
Fig.13 Evolution d’une perte de métal dans le temps
Jusque là, la défaillance et la fiabilité ont concerné un défaut unique, or un gazoduc tel le notre peut en
contenir plusieurs centaines voire plusieurs milliers. La canalisation vérifiée est un système série
puisqu’une seule défaillance suffit à la rendre totalement inexploitable. Donc, en supposant que la
conduite comprenne (𝑘) défauts mutuellement indépendants, de différentes tailles et de probabilité de
défaillance distinctive 𝑃 à 𝑃 , la fiabilité 𝑅 et la probabilité de rupture équivalente 𝑃 de la totalité
de la conduite sont :
𝑅
=∏
𝑅
𝑃
=1−∏
17
(1 − 𝑃 )
za2021
Etant donné que la fiabilité du système est le produit de termes inférieurs à l’unité, elle ne peut qu’être
inférieure à la plus petite valeur des éléments du système. Théoriquement avec une augmentation
significative du nombre de défauts dans un système série, la probabilité de défaillance croît de manière
alarmante et le niveau de fiabilité devient insoutenable.
Par exemple, si à un temps donné, un tronçon comporte 500 défauts de corrosion semblables qui sont
les résultats d’événements statistiquement indépendants et dont la probabilité de rupture typique est de
10 (fiabilité 99.99%, 𝛽 = 3.72), alors la probabilité de rupture équivalente de la totalité du tronçon
est 𝒫 = 1 − (0.9999)
≈ 5 × 10 , et sa fiabilité est ℛ ≈ 95% qui est considérablement inférieure
à la fiabilité unitaire. Le tronçon est ainsi évalué comme structure entière à un certain moment de sa vie.
Mais les normes fiabilistes donnent des seuils admissibles par kilomètre de réseau et par an qui
dépendent du risque et des conséquences et donc de la catégorie d’emplacement. La norme BS/EN/ISO
16708 recommande spécifiquement des taux de défaillance maximums admissibles (/𝑘𝑚-𝑎𝑛)
interprétés selon la classe en fonction de la pression (en 𝑏𝑎𝑟) et du diamètre (en 𝑚) :
𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑠é𝑐𝑢𝑟𝑖𝑡é 1 (72%) ∶ 𝑃 =
×
𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑠é𝑐𝑢𝑟𝑖𝑡é 3 (50%) ∶ 𝑃 =
×
∙
∙
𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑠é𝑐𝑢𝑟𝑖𝑡é 2 (60%) ∶ 𝑃 =
×
𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑠é𝑐𝑢𝑟𝑖𝑡é 4 (40%) ∶ 𝑃 =
×
∙
∙
Hormis les faibles fuites, ces taux prennent en considération toutes les causes de rupture telles les
agressions des tiers et la corrosion. Si on adapte ces recommandations aux dispositions de la norme NT
109-01 qui classifie les réseaux en seulement trois catégories d’emplacement, et connaissant les
paramètres du tronçon étudié, les taux de rupture cibles sont :
−4
𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑒/𝑘𝑚-𝑎𝑛
−5
𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑒/𝑘𝑚-𝑎𝑛
−7
𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑒/𝑘𝑚-𝑎𝑛
𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝑑′𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝐴 ∶ 𝑃𝑓 ≈ 5,1 × 10
𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝑑′𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝐵 ∶ 𝑃𝑓 ≈ 5,1 × 10
𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝑑′𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝐶 ∶ 𝑃𝑓 ≈ 5,1 × 10
Il est à signaler que le terme probabilité peut signifier, selon le contexte, un taux exprimé par unité de
longueur et/ou de temps.
Pour déterminer les probabilités de rupture par kilomètre et par an du tronçon étudié, les anomalies qui
peuvent être assimilées à des pertes de métal sont traitées une à une suivant leur emplacement et leurs
dimensions. L’examen du rapport détaillé d’inspection démontre l’existence de 559 défauts de
profondeur supérieure à 10%·t répartis comme suit :
Type de défaut
Corrosion
Défaut Tôle
Soudure hélicoïdale
Soudure circonférentielle
Longueur en Km ……….
A
280
24
4
0
308
9.6
Catégorie
B
C
226
0
13
3
1
7
0
1
240
11
14.1
3.8
Total
506
40
12
1
559
27.5
Observations
Défauts évoluant dans le temps.
Anomalies assimilées à des pertes de métal
et considérées stables dans le temps.
Idem, dénivellation de 19% de l’épaisseur.
Fig. 14 Récapitulatif des pertes d’épaisseur déclarées
18
za2021
Toutes catégories d’emplacement confondues, le tronçon comporte en moyenne près de 20 pertes
d’épaisseur de plus de 10% par kilomètre. Les sections de catégorie 𝐶 sont exemptes de corrosion
avancée et sont donc les plus saines, sauf que les interruptions récurrentes du cordon de soudure
hélicoïdal intérieur représentent des faiblesses à surveiller.
Fig.15 Distribution angulaire des anomalies le long du tronçon
Avec environ 30 défauts/km, les portions posées dans des emplacements de catégorie 𝐴 sont les plus
touchées par des corrosions actives de différentes proportions, mais les dimensions qui nous intéressent
pour évaluer les sections abîmées restent la profondeur et la longueur axiale de l’anomalie.
Comme annoncé ci-dessus, les défauts occasionnés à la fabrication et à la pose sont stables, toutefois
dès le démarrage, la fiabilité de l’ouvrage se trouvait déjà amoindrie par ces manques d’épaisseur.
D’autre part, en application du modèle et des distributions établis, la probabilité globale de défaillance
du tronçon neuf sans anomalies était d’environ 8.65E-8 et la fiabilité était supérieure à 99.99999%,
(𝑠𝑒𝑝𝑡 "neuf").
− 𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝐴 : 5,85 × 10
− 𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝐵 : 1,43 × 10
− 𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝐶 : 1,37 × 10
19
za2021
log dist. [m] Feature identification dim_o o'clock t [mm] length [mm] wl [%] surf. loc.
13535,218 Pipe Mill Anomaly
22341,184 Pipe Mill Anomaly
18191,240 Spiral Weld Anomaly
14925,971 Pipe Mill Anomaly
22341,596 Pipe Mill Anomaly
14952,895 Pipe Mill Anomaly
14927,690 Pipe Mill Anomaly
15256,979 Pipe Mill Anomaly
20687,407 Pipe Mill Anomaly
14915,913 Pipe Mill Anomaly
13746,948 Pipe Mill Anomaly
19121,080 Pipe Mill Anomaly
20687,373 Pipe Mill Anomaly
22341,264 Pipe Mill Anomaly
13623,287 Pipe Mill Anomaly
17491,994 Pipe Mill Anomaly
15848,554 Pipe Mill Anomaly
19122,557 Pipe Mill Anomaly
13454,761 Pipe Mill Anomaly
22258,755 Pipe Mill Anomaly
20760,745 Pipe Mill Anomaly
14278,001 Spiral Weld Anomaly
12999,564 Pipe Mill Anomaly
19308,069 Pipe Mill Anomaly
21920,777 Spiral Weld Anomaly
12844,731 Pipe Mill Anomaly
19372,318 Spiral Weld Anomaly
13738,474 Pipe Mill Anomaly
26009,675 Pipe Mill Anomaly
1562,284 Pipe Mill Anomaly
6375,274 Pipe Mill Anomaly
6375,845 Pipe Mill Anomaly
2395,400 Pipe Mill Anomaly
7102,830 Pipe Mill Anomaly
8179,630 Pipe Mill Anomaly
400,627 Pipe Mill Anomaly
26300,500 Pipe Mill Anomaly
7655,402 Pipe Mill Anomaly
8724,534 Pipe Mill Anomaly
22495,126 Spiral Weld Anomaly
24414,180 Pipe Mill Anomaly
26346,903 Pipe Mill Anomaly
10672,093 Spiral Weld Anomaly
10999,252 Spiral Weld Anomaly
10516,603 Pipe Mill Anomaly
9560,359 Pipe Mill Anomaly
10173,351 Spiral Weld Anomaly
10173,646 Spiral Weld Anomaly
1801,749 Spiral Weld Anomaly
11566,900 Spiral Weld Anomaly
12621,845 Pipe Mill Anomaly
12754,171 Girth Weld Anomaly
10172,645 Spiral Weld Anomaly
PITT
PITT
GENE
GENE
PITT
PITT
GENE
GENE
GENE
GENE
CIGR
PITT
PITT
GENE
GENE
CIGR
PITT
PITT
PITT
GENE
PITT
PITT
PITT
PITT
PITT
PITT
PITT
CIGR
PITT
PITT
PITT
PITT
PITT
PITT
PITT
PITT
PITT
PITT
GENE
PITT
PITT
PITT
PITT
CIGR
PITT
GENE
PITT
PITT
PITT
PITT
PITT
CIGR
GENE
8:43
5:20
2:38
2:14
3:19
11:32
12:22
10:26
5:46
7:04
6:11
3:20
8:07
6:05
7:31
8:24
3:59
3:21
9:59
3:59
4:35
6:23
7:12
8:57
8:07
3:43
10:01
6:07
10:15
4:17
10:26
2:57
6:10
8:23
9:19
9:59
6:13
2:22
8:29
7:29
2:28
8:03
2:46
6:11
12:55
2:51
11:33
2:04
6:11
7:11
11:07
10:03
3:22
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
6,39
7,77
7,77
7,77
7,77
7,77
7,77
7,77
7,77
7,77
7,77
7,77
7,77
7,77
7,77
11,66
11,66
11,66
11,66
11,66
11,66
11,66
11,66
11,66
11,66
11,66
14
26
30
36
36
37
42
43
45
50
12
12
24
35
36
14
19
32
16
50
15
19
26
19
21
20
21
15
15
16
16
15
16
19
20
31
12
28
34
23
14
16
15
20
24
47
19
17
25
32
24
24
41
10 INT
10 INT
10 INT
10 INT
10 INT
10 INT
10 INT
10 INT
10 INT
10 INT
11 INT
11 INT
11 INT
11 INT
11 INT
12 INT
12 INT
12 INT
13 INT
13 INT
14 INT
14 INT
14 INT
16 INT
21 INT
26 INT
31 INT
37 EXT
10 INT
10 INT
10 INT
11 INT
11 INT
11 INT
11 INT
11 INT
12 INT
13 EXT
14 INT
16 INT
18 INT
21 INT
10 INT
10 INT
10 INT
10 INT
11 INT
13 INT
14 INT
15 INT
16 INT
19 N/A
39 INT
De plus, les anomalies d’usine, listées ci-contre
et assimilées à des manques de métal,
entrainent des probabilités de défaillance
estimées à :
− 𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝐴 : 2.89 × 10
(9.6 𝑘𝑚)
− 𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝐵 : 1.48 × 10
(14.1 𝑘𝑚)
− 𝐶𝑎𝑡é𝑔𝑜𝑟𝑖𝑒 𝐶 : 2.21 × 10
(3.8 𝑘𝑚)
La probabilité de défaillance du tronçon ainsi
entamé, serait de 5.33E-6, donc plus de soixante
fois supérieure à celle d’un tronçon intact, ce
qui entraine une fiabilité à peine au-dessus de
𝑐𝑖𝑛𝑞 "neuf" 99.9995%.
Au vu de ces estimations, les sections de
catégorie 𝐶, qui occupent 14% de la longueur
totale, présentent au démarrage un taux de
défaillance donnée par :
𝑃 = 2.21 × 10
⎯⎯⎯
𝟓. 𝟕𝟖 × 𝟏𝟎 𝟕 /𝑘𝑚
Favorablement, ces portions ne contiennent
actuellement aucune corrosion active avérée
qui tend à aggraver la situation.
Il est à noter que le fait d’éliminer un seul défaut
𝐶1(39% ∙ 𝑡 × 41𝑚𝑚), le dernier de la liste cicontre, suffit à rehausser significativement le
niveau de fiabilité des compartiments placés en
catégorie 𝐶 et leur probabilité de défaillance,
théoriquement indépendante du temps,
deviendrait :
𝑃 = 9.54 × 10
⎯⎯⎯
𝟐. 𝟒𝟗 × 𝟏𝟎 𝟖 /𝑘𝑚
Fig. 16 Extrait du rapport d’inspection : Défauts tôle et soudure
Pour atteindre ce nouvel état plus sûr, il faudrait compenser le manque d’épaisseur causé par la
discontinuité de la soudure intérieure. L’ASME PPC-2[20], entre autres codes, recommande des solutions
de renforcement métallique ou composite sans avoir à interrompre le service.
Concernant les catégories 𝐴 et 𝐵, en plus des anomalies matières, les défauts de corrosion dépendant du
temps sont à inclure dans la fiabilité globale. Pour ce faire, les 506 défauts (280 en catégorie 𝐴 et 226
en catégorie 𝐵) doivent être évalués et consolidés an par an.
D’une manière générale, Il est possible de calculer la probabilité de défaillance (𝑃
intervalle de temps [𝑇 ; 𝑇 ] par : 𝑃
→
→
) pendant un
, où 𝑃 et 𝑃 sont les probabilités de défaillance
=
20
za2021
respectives au début et à la fin de l’intervalle de temps. Si l’intervalle de temps [𝑇 ; 𝑇 ] correspond à
une année, la probabilité de rupture exprime un taux annuel.
En vue de mettre en pratique ce concept et au lieu de les évaluer un à un, les défauts de différentes tailles
sont regroupés par plage de dimensions (𝑑, 𝐿)
d
L
L
A 20 25 30 35 50 60 85
10%
11%
12%
13%
14%
15%
16%
17%
18%
19%
20%
21%
22%
23%
25%
30%
86 22
48 14
23 8
16 6
13 5
9 5
8
3
1
2
1
1
2
212 61
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
110
63
32
23
19
14
8
1 4
1
2
1
1
2
1 280
B 20 25 30 40 45 50 60 70 95
46 31
20 14
12 11
17 5
3 1
5 5
4 4
3 3
3
2
2
2
1
2 1
1
1
8
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
118 81 13
2
5
4
1
1
87
36
25
24
9
11
10
6
4
3
1 3
2
1
3
1
1
1 226
Le fait de regrouper les défauts de
corrosion par profondeur et par plage de
longueur
permet
de
réduire
considérablement le nombre et le temps
des simulations FORM.
Plus de 93% des défauts sont des
piqures de corrosion (𝐿 < 25𝑚𝑚) qui
ne représentent pas une menace à court
et à moyen terme, mais deux clusters,
repérés dans le tableau ci-contre, sont
responsables directement d’une chute
décisive de la fiabilité.
Fig.17 Regroupement des défauts par plage
Option de
calcul
Longueur
Catégorie
−5
Le premier cluster 𝐴1(17% ⋅ 𝑡 × 85𝑚𝑚, 𝑃𝐴1
𝑓 2018 = 3.00𝐸 ) est localisé dans la catégorie 𝐴, et le second
−5
𝐵1(20% ⋅ 𝑡 × 95𝑚𝑚, 𝑃𝐵1
𝑓 2018 = 4.17𝐸 ) dans la catégorie 𝐵. A l’instar du défaut 𝐶1 , l’effet de ces deux
anomalies influence la période de conservation dans les limites recommandées pour les sections
auxquelles elles appartiennent. Rappelons que les limites admissibles pour les catégories 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont
respectivement 5.1𝐸 , 5.1𝐸 et 5.1𝐸 𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑘𝑚-𝑎𝑛.
Probabilité de défaillance
2018
A
B
C
A1
Corrosion
2023
2026
2030
Tronçon Anomalies Défauts
Neuf
Usine Corrosion
(Km)
Tout défaut
Sans A1-2021
Tout défaut
Sans B1-2021
Tout défaut
Sans C1-2021
2020
9,6 5,85E-08
2,89E-06
1,48E-07
3,8 1,37E-08
2,21E-06
9,54E-08
2034
2036
2038
2040
2045
2050
1,67E-03
2,21E-04
5,50E-04
5,07E-05
2,83E-03
4,95E-04
8,83E-04
1,05E-04
9,86E-03
3,61E-03
2,56E-03
5,99E-04
3,00E-02
2,57E-02
6,73E-03
2,93E-03
Taux total de défaillance
(par catégorie)
14,1 1,43E-08
17%t x 85 mm
2032
(/ km-an)
2,82E-06
4,44E-05
2,82E-06
1,98E-06
4,61E-05
1,98E-06
0,00E+00
9,43E-06
7,75E-07
5,74E-06
2,35E-07
3,08E-05
2,08E-06
1,61E-05
6,44E-07
1,36E-04
8,99E-06
5,90E-05
2,67E-06
2,23E-06
B1 Corrosion
20%t x 95 mm
2,72E-04
1,96E-05
1,08E-04
5,55E-06
5,20E-04 9,51E-04
4,36E-05 9,79E-05
1,93E-04 3,31E-04
1,16E-05 2,43E-05
2,23E-06
1,09E-07
C1 Soudure hélicoîdale
39%t x 41 mm
Fig.18 Tableau de variation des taux de défaillance par catégorie
Comme première approche, l’impact du défaut le plus sévère sur la fiabilité totale de la catégorie est
estimé pour définir si un renforcement de la paroi était nécessaire, à partir de quand et jusqu’à quand il
aurait suffi. Dans le cas présent, la réparation des défauts notés 𝐴1 et 𝐵1 avant fin 2021, prolongerait la
21
za2021
durée de conformité des deux catégories de 6 et 8 ans. Pour étendre davantage ces durées, des
simulations sont à effectuer avec d’autres anomalies par ordre de sévérité. En général, le plan de
maintenance est ainsi affiné selon les objectifs souhaités. Ceci étant, l’anomalie majeure 𝐶1 est
totalement responsable du passage de l’état de sûreté à l’état de danger au vu de la norme susmentionnée.
Le graphique ci-contre met en
évidence les années à partir
desquelles les anomalies situées
dans les catégories 𝐴 et B placent
les réseaux en non conformité par
rapport à la norme. En effet, les
imperfections détectées sans plus,
n’assurerions plus la classe de
sécurité requise à partir de 2034
pour la catégorie 𝐴, à partir de
2030 pour la catégorie 𝐵 et dès à
présent pour la catégorie 𝐶.
Fig.19 Taux de défaillance et seuils limites pour les catégories A et B
Généralement, il est préconisé de prévoir la prochaine inspection pour l’année durant laquelle la
probabilité de défaillance se trouve au-dessous de la valeur cible recommandée pour l’une des
catégories. En l’occurrence, l’année 2030 est la première échéance, mais elle peut être plus ou moins
différée suivant les actes de maintenance exécutés, d’ici là, sur les réseaux de catégorie 𝐵.
Les actes de maintenance ne consistent
pas forcément à consolider la paroi
dégradée, l’éliminations des produits de
réaction, le nettoyage des zones rongées
par les produits appropriés et la
reconstitution du revêtement ont pour
effet de stopper le processus de corrosion,
donc de la perte d’épaisseur, et de
maintenir la structure dans son domaine
d’immunité sur le long terme.
Fig.20 Taux de rupture selon 2 options de réparation
Par exemple, comme alternative au renforcement du tube à l’endroit du défaut 𝐵1, on peut envisager de
traiter de la sorte les cinq défauts les plus sévères et de renouveler le revêtement, ainsi la conformité du
tronçon de catégorie 𝐵 se prolongerait jusqu’en 2040.
Il est à signaler que la norme NT 109.01 ne prévoit pas de dispositions relatives à la fiabilité, mais exige
une surveillance des actions corrosives internes et externes. La corrosion interne est contrôlée par
22
za2021
l’analyse mensuelle du gaz transporté et la corrosion externe par les potentiels de protection cathodique
et la résistance d’isolement de la canalisation par rapport au sol. Ainsi, en l’absence de critères
d’acceptabilité chiffrés, les seuils recommandés par la BS/EN/ISO 16708 sont adaptés aux besoins de
la présente analyse.
Vérification par la méthode CMC
PIPELINE RELIABILITY ASSESSMENT USING CMC
Pipeline description :
…...............................................................................
Distribution
Parameter
Normal
Normal
Normal
Normal
Lognormal
Lognormal
Normal
Normal
Do (mm)
t (mm)
df (mm)
Lf (mm)
MAOP (MPa)
SMYS (MPa)
CRd (mm/yr)
CRL (mm/yr)
μi
508,000
6,390
1,406
20,000
7,300
456,500
0,060
0,900
Target Estimate Error within 95% CI
Total Simulation Size
Ns
Failures Number
Nf
Failure Probability
Pf
Run Duration
h:mn:s
Run Speed
It/s
Effective Simulation Error
ε%
Section :
σi
Do
1,270
0,224
0,141
1,000
0,110
13,695
0,006
0,090
Mod.ASME B31G
….........................................................................................................................
Date : ....................................
t
df
Lf
MAOP SMYS
CRd
CRL LSF
0
0
0,957 0
0,919 0
0,719 0
0,847 0
0,858 0
0,717 0
0,833 0
0,867 0
0,899 0
0,946 0
0,995 0
0,844 0
0,802 0
0,798 0
508,432
507,945
6,149 1,602 20,009
6,803 1,366 20,324
7,366 446,583 0,068 0,939
7,435 440,764 0,058 0,961
508,998
6,423 1,373 19,971
7,115 446,232 0,057
509,096
6,217 1,429 19,968
7,263 446,162 0,064
508,158
509,319
6,502 1,548 20,677
6,291 1,344 19,830
7,357 461,500 0,063
7,231 441,991 0,065
508,112
6,873 1,471 19,923
7,485 496,809 0,070
506,559
6,230 1,274 21,053
7,443 448,364 0,065
503,631
6,454 1,564 20,819
7,384 444,469 0,057
510,289
508,836
5,959 1,507 17,806
6,683 1,337 21,091
7,277 445,820 0,063
7,414 466,389 0,053
509,760
6,751 1,587 18,931
7,294 435,587 0,060
510,965
6,195 1,394 20,050
7,429 447,111 0,057
150 676
509,537
508,634
6,339 1,654 19,617
6,401 1,450 19,534
7,101 476,339 0,057
7,393 458,863 0,061
0,5%
507,232
6,357 1,477 18,705
7,537 464,117 0,057
0,5%
11 150 000
151 856
1,362E-02
0:01:14
Yr 32
0 72%
MC
Pour vérifier dans quelle mesure
la méthode FORM ainsi
implémentée reflète la réalité,
une évaluation de certaines
probabilités de défaillance est
faite avec la méthode de Monte
Carlo Brute. L’estimateur de
cette méthode est sans biais et
permet en outre de construire un
intervalle de confiance.
Fig.21 Utilisation de Microsoft Excel pour des simulations de Monte Carlo
En dépit du fait que l’espérance recherchée demande théoriquement un nombre infini de simulations, la
loi des grands nombres permet de l’approcher par une moyenne empirique avec une erreur quantifiée.
Mais, plus l’intervalle de confiance est étalé, plus la précision est difficile à atteindre, et plus les
probabilités à estimer sont faibles, plus les simulations prennent de temps, la vitesse d’exécution étant
d’environ 150 000 itérations/seconde avec le matériel et l’application spécifiés précédemment.
Fig.22 Convergence et réduction d’erreur de l’estimateur de Monte Carlo
La figure ci-dessus illustre la réduction de l’erreur de l’estimateur de Monte Carlo en fonction du nombre
de simulations. La probabilité de rupture estimée par la méthode FORM est de 8.23E-8 et la méthode
CMC converge vers une valeur de 1.12E-7 à ± 5% dans un intervalle de confiance de 95%. L’éloignement
de la démarche FORM par rapport à la méthode CMC de base est d’environ -27% dans ce cas précis.
23
za2021
La comparaison des évaluations par les
deux méthodes est faite avec le défaut
de corrosion (A) 22%t x 20mm
évoluant sur 30 ans, ce choix permet de
couvrir une plage de 1E-7 à 1E-2. Les
écarts de la méthode FORM, par
rapport à la méthode CMC5% (Crude
Monte Carlo) prise comme référence,
atteignent -27%. La méthode FORM
s’avère être légèrement moins
conservative surtout pour les faibles
valeurs de probabilités.
(Données de la Fig. 13)
Fig. 23 Comparaison des méthodes FORM et Monte Carlo
En revanche, les probabilités calculées par les deux méthodes s’écartent nettement moins l’une de l’autre
au fur et à mesure qu’elles croissent. Globalement, la méthode FORM cadre l’estimation de la fiabilité
d’une manière proche de la réalité selon le modèle développé dans ce document et peut servir à anticiper
les actes de maintenance et prévenir les risques.
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