Analytische Mechanik
mathematischer Einschub: Chaos (KAM-Theorem)
WS 2020-21
Inhaltsverzeichnis
1 Chaos: KAM-Theorem
1.1 Allgemeines . . . . . . . .
1.2 Definition . . . . . . . . .
1.3 Beispiel . . . . . . . . . .
1.4 Gegenbeispiel . . . . . . .
1.5 weiterführende Definition
1.6 Fazit . . . . . . . . . . . .
1.7 weiterführendes Fazit . . .
1.8 Beispiele in der Natur . .
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3
5
5
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1
Chaos: KAM-Theorem
1.1
Allgemeines
Viele Beispiele für deterministisches, chaotisches Verhalten haben wir kennengelernt. Für mechanisches
Systeme gibt es eine sehr allgemeine Aussage zu Chaos:
Chaos tritt bei und in der Nähe resonanter Tori auf.
Das ist die vereinfachte Aussage des KAM-Theorem nach K steht für A. N. Kolmogrov A steht für W. I.
Arnold M steht für J. Moser
1.2
Definition
Auf einem resonanten Torus eines integrablen Systems gilt
∃m1 , m2 , . . . , mf ∈ Z
m 6= 0
mit
m1 ω1 + m2 ω2 + · · · + mf ωf = 0
wobei die {ωk } die Kreisfrequenz des integrablen Systems sind.
1.3
Beispiel
0 = ω1 − 10ω2 ist resonant
1.4
Gegenbeispiel
√
ω1 =
5−1
2 ω2
ist nicht resonant, schematisch
2
1.5
weiterführende Definition
Ein nicht resonanter Torus leigt vor, wenn aus
0=
f
X
m i ωi
i=1
folgt, dass mi = 0 ∀i gilt.
Daraus ergibt sich das KAM-Theorem.
KAM-Theorem
• Fast alle invarianten Tori integrabler Systeme werden durch
kleine Störung nur verformt, nicht zerstört. Die Bewegung
bleibt regulär, wird nicht chaotisch.
• Invariante Tori bei und in der Nähe von Resonanzen werden
instabil.
• Das Maß der Menge instabiler Tori wird beliebig klein durch
Vermindern der Störung.
Zur Begründung starten wir vom integrablen System H0 (I), in dem die Winkelvariablen ϕ zyklsich sind, so
dass die Wirkungsvariablen I erhalten sind. Die Bewegungen sind ,,Rotationenäuf Tori
ϕ̇k =
∂H0
= ωk (I).
∂Ik
Nun komme eine Störung hinzu
H(ϕ, I) = H0 (I) + εH1 (ϕ, I),
wobei |ε| 1 ein kleiner Entwicklungsparameter ist.
Wir entwicklen bis in linearer Ordnung ∝ ε.
Benötigt: Kanonische Transformation (ϕ, I) → (ϕ0 , I 0 ), so dass
K(ϕ0 , I 0 ) = H(ϕ(ϕ0 , I 0 ), I(ϕ0 , I 0 ))
!
= K(I 0 ) + O(ε2 ),
(∗)
die die neue Winkelvariablen ϕ0 zyklsich lässt.
Gesucht ist F2 (ϕ, I 0 ) mit
Ik =
∂F2
,
∂ϕk
ϕ0k =
∂F2
.
∂Ik0
Damit wird unser Wunsch (*) zur Bedingung
H(ϕ, ∇ϕ F2 (ϕ, I 0 )) = K(I 0 ) + O(ε2 ).
(∗∗)
Für ε = 0 ist die Transformation die Identität.
Wir nehmen an, dass die F2 in ε entwickelbar ist
F2 (ϕ, I 0 ) = F (0) (ϕ, I 0 ) + εF ( 1)(ϕ, I 0 ) + O(ε2 )
3
mit der Identität
F 0 (ϕ, I 0 ) =
f
X
ϕk Ik0 .
k=1
F
(1)
ist bekannt a priori.
Einsetzen der Entwicklung von F2 in (∗∗) liefert
K(I 0 ) = H0 (∇ϕ F2 ) + εH1 (ϕ, ∇ϕ F2 ) + O(ε2 )
= H0 (I 0 + ε∇ϕ F (1) ) + εH1 (ϕ, I 0 ) + O(ε2 )
= H0 (I)0 + ε
f
X
∂H0 ∂F (1)
k=1
f
X
= H0 (I 0 ) + ε
ωk (I 0 )
k=1
∂Ik ∂ϕk
+ εH1 (ϕ, I 0 ) + O(ε2 )
∂F (1)
+ εH1 (ϕ, I 0 ) + O(ε2 ).
∂ϕk
(∗ ∗ ∗)
Beachte, dass der Unterschied zwischen I unf I 0 nur O(ε) ist.
Die Abhängigkeit von Winkelvariablen ist 2π−periodisch, da sie Rotation
um die Tori beschreiben
H(ϕ + 2πn, I) = H(ϕ, I)
mit einem Vektor ganzer Zahlen
n = (n1 , n2 , n3 , . . . , nf )T ,
ni ∈ Z.
Also ist eine Darstellung als Fourierreihe möglich
0
H1 (ϕ, I ) =
X
0
H1 (m, I ) exp i
{m∈Zf }
!
mk ϕk
k=1
X
F (1) (ϕ, I 0 ) =
f
X
F (m, I 0 ) exp i
{m∈Zf ,m6=0}
f
X
!
m k ϕk
k=1
Der Winkelabhängige Anteil bei m = 0 ist weg gelassen, da er die I nicht ändert.
Einsetzen in (∗ ∗ ∗) ergibt
K(I 0 ) = H0 (I 0 ) + εH1 (0, I 0 ) + O(ε2 )
(
+ε
X
0
0
H1 (m, I ) + iF (m, I )
{m∈Zf ,m6=0}
f
X
)
m k ωk
k=1
exp i
f
X
!
m k ϕk .
k=1
Damit die rechte Seite wirklich von ϕ unabhängig ist, muss jede geschweifte Klammer verschwinden, aslo gilt
H1 (m, I 0 )
F (m, I 0 ) = i Pf
.
k=1 mk ωk
Klarerweise scheitert diese Konstruktion von F (1) für ein m mit
0=
f
X
k=1
4
mk ωk .
1.6
Fazit
Resnonante Tori verformen sich nicht, sie gehen kaputt!
Für nicht-resonanote Tori gilt
(
inf
{m6=0}
f
X
)
mk ωk
= 0,
k=1
was sich für |m| → ∞ ergibt.
1.7
weiterführendes Fazit
Alles muss der Betrag von H1 (m, I 0 ) genügend schnell abnehmen für |m| → ∞, damit der Ansatz funktioniert.
Genauere mathematische Analyse → Fachliteratur.
Wir verstehen aber, warum kommensurable Frequenzen anfälliger für Chaos sind als inkommensurable.
Anschaulich schaukeln sich solche Bewegungen gegenseitig hoch, weil sie in Resonanz sind, vergleiche
Resonanzkatastrophe.
1.8
Beispiele in der Natur
Im Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter gibt es keine Umlaufbahnen, deren Umlauf mit dem von
Jupiter kommensurabel ist.
Häufig einer Umlauffrequenz ωAsteroid besonders gering, wenn ωAsteroid /ωJupiter eine einfach rationale Zahl
ist.
Teilung der Saturnringe bei einfach rationaler Verhältnissen zu Umlauffrequenzen der Monde Mimas und
Enceladus, z.B. größte Teilung (Cassini) ist bei ω = 2ωM imas
5