SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
DISEÑO DE CONTROLADORES EN EL ESPACIO DE ESTADOS
Problema Se da un sistema de control de posición vertical de una varilla (tipo péndulo invertido) de diámetro
muy delgado cuya masa MV se encuentra distribuida equitativamente a lo largo de la longitud L. La barra se
encuentra girando respecto del punto P de un bloque móvil (carrito) de masa MC. El conjunto está sujeto a una
cuerda inextensible y desplazado por la acción de un motor DC de imán permanente mediante una polea. El
sistema completo se muestra en la presente figura 1:
z
 (t)
x(t)
MV
L
BV
Parámetros del motor:
Rm, Lm
Polea
Km, Kω
P(t)
Jm, Bm
P(t)
f(t)
P
MC
BC
JP
O
RP
MP
Motor DC
n
M P RP
2
M V L2
JV =
3
2
JP =
m(t)
m(t)
im(t)
vm(t)
KC
eC(t)
Figura 1 Sistema de control posicional de un péndulo invertido accionado por un motor DC
donde:
eC(t) = voltaje de control del sistema.
vm(t) = voltaje de armadura del motor.
m (t) = desplazamiento angular desarrollado en el eje del motor.
m(t) = velocidad angular desarrollado en el eje del motor.
P (t) = desplazamiento angular desarrollado en el eje de la polea.
P(t) = velocidad angular desarrollado en el eje de la polea.
f(t) = fuerza aplicada al sistema péndulo invertido.
x(t) = desplazamiento lineal del sistema péndulo invertido respecto del punto O.
 (t) = desplazamiento angular de la varilla respecto del punto P.
KC = ganancia del amplificador de potencia = 10
Rm = resistencia del motor = 6 
Lm = inductancia del motor que se puede despreciar.
Kω = constante contraelectromotriz = 0.025 V/(rad/seg)
Km =constante de torque del motor.= 0.06 N-m/A.
Jm = inercia del rotor respecto del eje del motor = 1E-05 Kg-m2.
Bm = fricción viscosa respecto del eje del motor = 0.005 N-m/(rad/seg)
n = factor de reducción de velocidad = 1/10
MP = masa de la polea = 0.25 Kgm
RP = radio de la Polea =12 cm.
JP = momento de inercia de la polea respecto de su eje de giro.
JV = momento de inercia de la varilla respecto del punto P.
BC = fricción viscosa del carro opuesta a su movimiento = 0.008 N/(m/seg)
BV = fricción viscosa de la varilla respecto del punto P = 0.0012 N-m/(rad/seg)
L = longitud de la varilla = 1 mt
MV = masa de la varilla = 0.5 Kg
MC = masa del bloque móvil = 3 Kg
Ing. José A. Machuca Mines1
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
Usando el diagrama de la figura 1 se pide:
a) Determinar las ecuaciones diferenciales en tiempo continuo usando los parámetros literales del sistema y
linealizadas considerando  muy pequeño y representar la dinámica del sistema mediante variables de
estado en tiempo continuo literal y numéricamente empleando como variables de estado:
T
x = ( x1 x2 x3 x4 )T = x x  
con eC(t) como la entrada u(t) y (x(t), (t)) como variables de salida y(t).
b) Dibuje un diagrama de bloques desarrollado de estado del sistema completo.
c) Determinar la Matriz de Transferencia del sistema.
d) Diseñar un sistema de regulación con realimentación de estado de ganancia K usando la técnica de la
ubicación de polos mediante el método algorítmico según la figura 2, para que la varilla permanezca
todo el tiempo en forma vertical con las siguientes especificaciones de tiempo transitorio:
• Tiempo de establecimiento ≤ 2 seg.
• La variable de control u(t) = eC(t) debe estar dentro de un rango [-5 5] Volts para no saturar al motor.
(
u(t)
Sistema Péndulo
Invertido
)
y(t)
x(t)
-K
Controlador
Figura 2 Sistema de control de regulación con realimentación de estados.
e)
Graficar las variables de estado x(t), de salida y(t) y de control u(t) usando como vectores de tiempo
inicial t = 0 seg a
x( 0 ) = − 0.5 0 0 0T , x( 0 ) = − 0.4 0 0.1 0.3T ,
x( 0 ) = − 0.4 0 − 0.1 − 0.3T
f)
Asumiendo que el desplazamiento x(t) es la variable de salida y(t), se pide diseñar un sistema de control
de seguimiento a una entrada escalón con realimentación de estado de ganancia K y corrección del error
en estado estacionario con ganancia de prealimentación directa K0 usando la técnica de la ubicación de
polos mediante el método algorítmico según la figura 3, para que ante entradas de referencia r(t) tipo
escalón considerando condiciones iniciales nulas se satisfagan las siguientes especificaciones:
• Sobrepaso máximo Mp%  10%
• Tiempo de establecimiento ts(2%) < 2.5 seg.
• Error en estado estacionario ess = 0
r(t)
u(t)
Sistema Péndulo
Invertido
k1
K
y(t)
x(t)
Controlador
Figura 3 Sistema de control de seguimiento con realimentación de estados y prealimentación directa.
g) Graficar las variables de estado x(t), de salida y(t) y de control u(t) usando como vectores de tiempo
inicial t = 0 seg a:
x( 0 ) = 0 0 0 0 T , x( 0 ) = − 0.4 0 0.1 0.3T ,
x( 0 ) = − 0.4 0 − 0.1 − 0.3T
h) Asumiendo que el desplazamiento x(t) es la variable de salida y(t), se pide diseñar un sistema de control
de seguimiento a una entrada escalón con realimentación de estado de ganancia K y un integrador de
ganancia kI usando la técnica de la ubicación de mediante el método algorítmico según la figura 4, para
ante entradas en la referencia r(t) tipo escalón considerando condiciones iniciales nulas se satisfagan las
siguientes especificaciones:
• Sobrepaso máximo Mp%  10%
Ing. José A. Machuca Mines2
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
•
•
Tiempo de establecimiento ts(2%) < 2.5 seg.
Error en estado estacionario ess = 0.
r(t)
e(t)

z(t)
u(t)
KI
Sistema Péndulo
Invertido
y(t)
x(t)
K
Controlador
Figura 4 Sistema de control de seguimiento con realimentación de estados y control integral.
i)
Graficar las variables de estado x(t), z(t), de error e(t), la de salida y(t) y la variable de control u(t) usando
un vector de tiempo inicial t = 0 seg. a:
x( 0 ) = 0 0 0 0 T , x( 0 ) = − 0.4 0 0.1 0.3T ,
x( 0 ) = − 0.4 0 − 0.1 − 0.3T con z( 0 ) = 0 en todos los casos.
SOLUCION
Solución a
Las ecuaciones diferenciales simplificadas y linealizadas del sistema físico motor - péndulo invertido son:
M1 x(t ) + B1 x(t ) + J1(t ) = K1eC (t )
M1 =
(1)
Jm
+ n RP ( M C + M V + 0.5 M P )
n RP
K m K
B
+ m + n RP BC
n RP Rm n RP
L
J1 = n M V R P
2
K m KC
K1 =
Rm
B1 =
M 2 x(t ) + B2(t ) + J 2(t ) + K 2 (t ) = 0
L
L2
L
, J 2 = MV
, B2 = BV , K 2 = − M V g
2
3
2


Despejando  (t ) y x(t ) de las ecuaciones (1) y (2) se obtiene
J ( B x( t ) − K1eC ( t )) J 1( B2( t ) + K 2( t ))
x( t ) = − 2 1
+
M 1J 2 − M 2 J1
M 1J 2 − M 2 J1
M ( B x( t ) − K1eC ( t )) M 1( B2( t ) + K 2( t ))
( t ) = 2 1
−
M 1J 2 − M 2 J1
M 1J 2 − M 2 J1
(2)
M 2 = MV
(3)
(4)
 = M1 J 2 − M 2 J1
Las ecuaciones (2) y (4) se pueden escribir como:
J 2 B1
x( t ) +
J1 K2
( t ) +
J 1 B2 
J K
( t ) + 2 1 eC ( t )
(5)
M 2 B1
x( t ) −
M1 K2
( t ) −
M 1 B2 
M K
( t ) − 2 1 eC ( t )
(6)
x( t ) = −
( t ) =




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



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Escribiendo los términos involucrados en las ecuaciones (5) y (6) de forma explicita en función de los
parámetros del sistema se obtiene:
Usando el vector de estado x(t), el de salida y(t) y la variables de control u(t); es decir
T
x = ( x1 x2 x3 x4 )T = x x   , u(t) = eC(t) y y(t) = (x(t) (t))T entonces las ecuaciones
físicas del sistema (5) y (6) se pueden escribir literalmente como:
(
x2 (t ) = −
x4 (t ) =
J 2 B1

M 2 B1

)
x2 (t ) +
x2 (t ) −
J1 K 2

M1 K 2

x3 (t ) +
x3 (t ) −
J1 B2
x4 (t ) +

M1 B2

J 2 K1
u (t )

M K
x4 (t ) − 2 1 u (t )

(7)
(8)
De las ecuaciones (7) y (8) se obtiene las ecuaciones matriciales de estado y de salida como:
0
1
 x1 ( t ) 
J 2 B1
 x ( t ) 0 −

 2 =
0
 x3 ( t ) 0
M 2 B1


 x4 ( t ) 0
0
0



J 1 B2   x1 ( t )  J 2 K 1 



   x2 ( t ) +   u( t )
  x ( t ) 

0
1
0
3


M1 K2
M 1 B2  
M
K
  x4 ( t ) − 2 1 
−
−



 
 
 x1 (t ) 


 y1 (t )  1 0 0 0  x2 (t ) 0
 y (t ) = 0 0 1 0  x (t )  + 0u (t )
 3
 
 2  


x
(
t
)
 4 
0
J1 K2
(9)
(10)
Las ecuaciones (9) y (10) se escriben numéricamente mediante las ecuaciones matriciales vectoriales como:
 x1 (t )  0
1
0
0   x1 (t )   0 

 
 


 x2 (t )  0 −10.9857 −1.1082 0.0005   x2 (t )   2.5105 
=
+
u (t )
 x (t )  0
0
0
1   x3 (t )   0 
3

 
 


 x (t )  0 16.4785 16.3774 −0.0080   x (t )  -3.7657 
 4 
 4 
 x1 (t ) 


 y1 (t )  1 0 0 0  x2 (t ) 0
 y (t ) = 0 0 1 0  x (t )  + 0u (t )
 3
 
 2  


x
(
t
)
 4 
(11)
(12)
Sintetizando las ecuaciones (11) y (12) se obtiene las siguientes ecuaciones:
x = Ax + Bu
y = Cx + Du
(13)
(14)
Solución b
Diagrama de bloques desarrollado de estado del sistema completo.
(se deja como tarea)
Solución c
La Matriz de Transferencia del sistema expresado por las ecuaciones (11) y (12) se expresa por:
 2.5105s 2 + 0.0181s − 36.9414 


−3.7657 s 2


G (s) = 4
3
2
s + 10.9937 s − 16.2983s − 161.6542 s
 2.5105s 2 + 0.0181s − 36.9414


−3.7657 s 2


G (s) =
s ( s + 3.8885)( s − 3.7265)(s − 11.1557)
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(15)
(16)
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
Solución d
La ley de control de regulación según la figura 2 se expresa como:
u (t ) = −Kx(t )
(17)
Para realizar el diseño primero se determina si el sistema es controlable en estado completo. De la ecuación
(11) se deduce la matriz de controlabilidad M como:
M = B AB A 2 B A3B 
Usando los valores de la ecuación (13) se obtiene numéricamente la matriz M como:
2.5105
-27.5811
307.1931 
 0
 2.5105 -27.5811 307.1931 -3420.8836 

M=
 0
-3.7657
41.3988
-516.4999 


-3.7657 41.3988 −516.2999 5744.2278 
El rango de la matriz M es 4 por lo tanto el sistema es controlable en estado completo
De la ecuación (15) se deduce que el polinomio característico de lazo cerrado es:
P( s) = s 4 + 10.9937 s3 − 16.2983s 2 − 161.6542s + 0
Entonces se obtienen los coeficientes de lazo abierto como a0 = 1, a1 = 10.9937 ,
a2 = −16.2983, a3 = −161.6542, a4 = 0 , entonces la matriz W se expresa como:
 a3

a
W =  2
a
 1
 ¨1
a2
a1
1
0
a1 1   −161.6542 −16.2983 10.9937 1 

1 0   −16.2983 10.9937
1
0


=
1
0
0
0 0   10.9937
 

1
0
0
0
0 0  
La matriz de cambio de base que transforma a la forma canónica controlable T es:
2.5105
0 
 −36.9414 0.0181

0
−36.9414 0.0181 2.5105 

T = MW = 

0
0
−3.7657
0 


0
0
0
−3.7657 

Para que el vector de salida y(t) presente un ts(2%) ≤ 2 seg. el espectro de los polos se puede ubicar en el
plano S del siguiente modo:
s1 = −2 + j, s2 = −2 − j, s3 = −4, s4 = −6
Por tanto, el polinomio característico de lazo cerrado deseado será:
P( s) = s 4 + 14s3 + 69s 2 + 146s + 120
Por lo se obtienen los coeficientes  0 = 1, 1 = 14,  2 = 69, 3 = 146,  4 = 120
La matriz de ganancia de realimentación de estados se obtiene usando la expresión siguiente:
K =  4 − a4 3 − a3  2 − a2 1 − a1  Τ−1
(18)
Obteniéndose como resultado
K =  −3.2484 −8.3298 −24.8570 −6.3515
Solución e
Reemplazando la ecuación (17) en las ecuaciones (13) y (14) se obtienen la ecuación de estado del sistema de
lazo cerrado y la ecuación de salida como:
𝒙̇ = (𝑨 − 𝑩𝑲)𝒙
(19.a)
𝒚 = (𝑪 − 𝑫𝑲)𝒙
(19.b)
Las ecuaciones matriciales de lazo cerrado (19) tanto de estados como de salida numéricamente se expresan
de la siguiente forma:
𝑥̇1 (𝑡)
𝑥1 (𝑡)
0
1
0
0
0
𝑥̇ 2 (𝑡)
𝑥
8.1549
9.9265
61.2973
15.9464
0
2 (𝑡)
[
]=[
][
] + [ ] 𝑟(𝑡)
𝑥̇ 3 (𝑡)
𝑥3 (𝑡)
0
0
0
1
0
−12.2322 −14.8894 −77.2295 −23.9265 𝑥4 (𝑡)
0
𝑥̇ 4 (𝑡)
Ing. José A. Machuca Mines5
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
[
𝑦1 (𝑡)
1
]=[
𝑦2 (𝑡)
0
0
0
0
1
𝑥1 (𝑡)
𝑥2 (𝑡)
0
0
] 𝑥3 (𝑡) + [ ] 𝑟(𝑡)
0
0
𝑥4 (𝑡)
[ 𝑧(𝑡) ]
Las variables del vector de estado x(t), con x(0) =  −0.5 0
0 0 como vector de tiempo inicial, se
T
muestra en la siguiente gráfica:
Las variables del vector de salida y(t), con x(0) =  −0.5 0
muestra en la siguiente gráfica:
Ing. José A. Machuca Mines6
0 0 como vector de tiempo inicial, se
T
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
La variable de control u(t), con x(0) =  −0.5 0
0 0 como vector de tiempo inicial, se muestra en la
T
siguiente gráfica:
Las variables del vector de estado x(t), con x(0) =  −0.4
muestra en la siguiente gráfica:
Ing. José A. Machuca Mines7
0 0.1 0.3 como vector de tiempo inicial, se
T
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
Las variables del vector de salida y(t), con x(0) =  −0.4
0 0.1 0.3 como vector de tiempo inicial, se
T
muestra en la siguiente gráfica:
La variable de control u(t), con x(0) =  −0.4
0 0.1 0.3 como vector de tiempo inicial, se muestra en
la siguiente gráfica:
Ing. José A. Machuca Mines8
T
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
Las variables del vector de estado x(t), con x(0) =  −0.4
0 −0.1 −0.3 como vector de tiempo inicial,
T
se muestra en la siguiente gráfica:
Las variables del vector de salida y(t), con x(0) =  −0.4
se muestra en la siguiente gráfica:
Ing. José A. Machuca Mines9
0 −0.1 −0.3 como vector de tiempo inicial,
T
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
La variable de control u(t), con x(0) =  −0.4
0 −0.1 −0.3 como vector de tiempo inicial, se muestra
T
en la siguiente gráfica:
Solución f
La ley de control de seguimiento a una referencia tipo escalón según la figura 3 se expresa como:
u (t ) = −Kx(t ) + k1r (t )
Ing. José A. Machuca Mines10
(20)
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
Para realizar el diseño primero se determina si el sistema es controlable en estado completo. De la ecuación
(11) se deduce la matriz de controlabilidad M como:
M = B AB A 2 B A3B 
Usando los valores de la ecuación (13) se obtiene numéricamente la matriz M como:
2.5105
-27.5811
307.1931 
 0
 2.5105 -27.5811 307.1931 -3420.8836 

M=
 0
-3.7657
41.3988
-516.4999 


-3.7657 41.3988 −516.2999 5744.2278 
El rango de la matriz M es 4 por lo tanto el sistema es controlable en estado completo
Si y(t)=x(t), entonces la ecuación de salida del sistema se expresa como:
y (t ) = 1 0 0 0 x(t )
(22)
La función de transferencia del sistema de lazo abierto se obtiene y expresa como:
G (s) =
2.5105s 2 + 0.0181s − 36.9414
s 4 + 10.9937 s3 − 16.2983s 2 − 161.6542s
(23)
De la ecuación (23) se deduce que el polinomio característico de lazo cerrado es:
P( s) = s 4 + 10.9937 s3 − 16.2983s 2 − 161.6542s + 0
Entonces se obtienen los coeficientes de lazo abierto como a0 = 1, a1 = 10.9937 ,
a2 = −16.2983, a3 = −161.6542, a4 = 0 , entonces la matriz W se expresa como:
 a3

a
W =  2
a
 1
 ¨1
a2
a1
1
0
a1 1   −161.6542 −16.2983 10.9937 1 

1 0   −16.2983 10.9937
1
0


=
1
0
0
0 0   10.9937
 

1
0
0
0
0 0  
La matriz de cambio de base que transforma a la forma canónica controlable T es:
2.5105
0 
 −36.9414 0.0181

0
−36.9414 0.0181 2.5105 


T = MW =

0
0
−3.7657
0 


0
0
0
−3.7657 

Para que el vector de salida y(t) presente un ts(2%) ≤ 2.5 seg. y un sobrepaso máximo Mp%  10% el
espectro de los polos se puede ubicar en el plano S del siguiente modo:
s1 = −1.75 + j 2.047, s2 = −1.75 − j 2.047, s3 = −7, s4 = −10
Por tanto el polinomio característico de lazo cerrado deseado será:
P( s) = s 4 + 20.5s3 + 136.752709s 2 + 368.296053s + 507.68963
Por lo se obtienen los siguientes coeficientes:
 0 = 1, 1 = 20.5,  2 = 136.752709, 3 = 368.296053,  4 = 507.68963
Para diseñar un controlador en realimentación de estados de seguimiento a una señal de referencia tipo
escalón, se diseña como si fuera un sistema de regulación alrededor del valor de establecimiento o de
equilibrio, esto es alrededor de x(∞). La matriz de ganancia de realimentación de estados se obtiene de forma
similar a un sistema de regulación usando la expresión siguiente:
K =  4 − a4 3 − a3  2 − a2 1 − a1  Τ−1
(24)
Obteniéndose como resultado
K =  −13.7431 −14.3524 −49.8745 −12.0927 
Reemplazando la ecuación (20) en la ecuación (13) se obtiene la ecuación de estado del sistema de lazo cerrado
como:
x = ( A − BK )x + Bk1r
(25)
Ing. José A. Machuca Mines11
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
Para determinar la ganancia de prealimenticio k1 se establece para cuando t→∞ de tal manera que y(∞) = r(t)
= constante haciendo que el error en estado estacionario sea ess = 0 y esto se consigue mediante el uso de la
siguiente ecuación:
(
−1
k1 = −(C − DK )  A − BK  B + D
)
−1
Pero como D=0 entonces la ecuación (26) se convierte en:
(
−1
k1 = CBK − A  B
(26)
)
−1
Evaluando la ecuación (27) se obtiene el valor de k1 numéricamente como:
k1 = −13.7432
El resultado anterior es igual al primer valor de K debido que y=x1 y el sistema es de tipo uno.
Solución g
Las ecuaciones del sistema de lazo cerrado tanto de estado y de salida se expresan como:
𝒙̇ = (𝑨 − 𝑩𝑲)𝒙 + 𝑩𝑘1 𝑟(𝑡)
𝒚 = (𝑪 − 𝑫𝑲)𝒙 + 𝑫𝑘1 𝑟(𝑡)
Las ecuaciones matriciales de lazo cerrado numéricamente se expresan de la siguiente forma:
𝑥̇1 (𝑡)
𝑥1 (𝑡)
0
1
0
0
0
𝑥̇ 2 (𝑡)
34.5012
25.0468
124.1055
30.3601 𝑥2 (𝑡)
−34.5012
[
]=[
][
]+[
] 𝑟(𝑡)
𝑥̇ 3 (𝑡)
𝑥3 (𝑡)
0
0
0
1
0
−51.7511 −37.5696 −171.4406 −45.5468 𝑥4 (𝑡)
51.7511
𝑥̇ 4 (𝑡)
𝑥1 (𝑡)
𝑥 (𝑡)
𝑦(𝑡) = [1 0 0 0] 2
+ [0]𝑟(𝑡)
𝑥3 (𝑡)
[𝑥4 (𝑡)]
Las variables del vector de estado x(t), con
muestra en la siguiente gráfica:
La variable del vector de salida y(t), con
muestra en la siguiente gráfica:
x( 0 ) = 0 0 0 0 T como vector de tiempo inicial, se
x( 0 ) = 0 0 0 0 T como vector de tiempo inicial, se
Ing. José A. Machuca Mines12
(27)
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
La variable de control u(t), con
siguiente gráfica:
x( 0 ) = 0 0 0 0 T como vector de tiempo inicial, se muestra en la
Las variables del vector de estado x(t), con x(0) =  −0.4
muestra en la siguiente gráfica:
Ing. José A. Machuca Mines13
0 0.1 0.3 como vector de tiempo inicial, se
T
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
La variable del vector de salida y(t), con x(0) =  −0.4
0 0.1 0.3 como vector de tiempo inicial, se
T
muestra en la siguiente gráfica:
La variable de control u(t), con x(0) =  −0.4
0 0.1 0.3 como vector de tiempo inicial, se muestra en
la siguiente gráfica:
Ing. José A. Machuca Mines14
T
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
Las variables del vector de estado x(t), con x(0) =  −0.4
0 −0.1 −0.3 como vector de tiempo inicial,
T
se muestra en la siguiente gráfica:
La variable del vector de salida y(t), con x(0) =  −0.4
muestra en la siguiente gráfica:
Ing. José A. Machuca Mines15
0 −0.1 −0.3 como vector de tiempo inicial, se
T
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
La variable de control u(t), con x(0) =  −0.4
0 −0.1 −0.3 como vector de tiempo inicial, se muestra
en la siguiente gráfica:
Solución h
La expresión del integrador está dada por:
Ing. José A. Machuca Mines16
T
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
z (t ) =  e(t )dt
Derivando la ecuación () se obtiene:
z (t ) = e(t ) = r (t ) − y (t ) = r (t ) − Cx(t )
(28)
La ley de control de seguimiento a una referencia tipo escalón incluyendo integrador según la figura 4 se
expresa como:
u (t ) = −Kx(t ) + kI z (t )
(29)
Usando las ecuaciones (13) y (28) se obtiene la ecuación de estado ampliado de orden 5 como:
 x(t )   A 0   x(t )  B 
0
 z (t )  =  −C 0   z (t )  +  0  u (t ) + 1  r (t )

 

  
 
(30)
La ecuación de salida también se puede escribir como:
 x(t ) 
y (t ) = C 0 
 +  0 u (t )
 z (t ) 
La ley de control de la ecuación (29) se puede escribir de la siguiente forma:
𝒙(𝑡)
𝑢(𝑡) = −[𝑲 𝑘𝐼 ] [
]
𝑧(𝑡)
Las ecuaciones (30), (31) y (32) se pueden escribir también mediante una forma compacta como:
ˆ ˆ (t ) + B
ˆ u (t ) + Br (t )
xˆ (t ) = Ax
̂𝒙
̂ 𝑢(𝑡)
̂(𝑡) + 𝑫
𝑦(𝑡) = 𝑪
̂
̂(𝑡)
𝑢(𝑡) = −𝑲𝒙
(31)
(32)
(33.a)
(33.b)
(33.c)
Donde:
 x(t )  ˆ  A 0 
xˆ (t ) = 
 , A =  −C 0 

 z (t ) 

B 
0 ˆ
Bˆ =   , B =   , C
= C 0 , D =  0
1 
0
Las ecuaciones (33.a) y (33.b) numéricamente se expresan como:
𝑥̇1 (𝑡)
0
1
0
0
0 𝑥1 (𝑡)
0
0
𝑥̇ 2 (𝑡)
0 -10.9857 -1.1082 0.0005 0 𝑥2 (𝑡)
2.5105
0
𝑥̇ 3 (𝑡) = 0
𝑢(𝑡) + 0 𝑟(𝑡)
(34)
0
0
1
0 𝑥3 (𝑡) +
0
𝑥̇ 4 (𝑡)
0 16.4785 16.3774 -0.0080 0 𝑥4 (𝑡)
-3.7657
0
[1]
̇ ] [-1
0
0
0
0] [ 𝑧(𝑡) ] [ 0 ]
[ 𝑧(𝑡)
𝑥1 (𝑡)
𝑥2 (𝑡)
𝑦(𝑡) = [1 0 0 0 0] 𝑥3 (𝑡) + [0]𝑢(𝑡)
(35)
𝑥4 (𝑡)
[ 𝑧(𝑡) ]
Para realizar el diseño primero se determina si el sistema es controlable en estado completo mediante la
matriz de controlabilidad. De la ecuación (33.a) se deduce la matriz de controlabilidad M̂ como:
ˆˆ A
ˆ 2B
ˆ 3B
ˆ 4B
ˆ = B
ˆ AB
ˆ A
ˆ A
ˆ
M


Usando los valores de la ecuación (34) se obtiene numéricamente la matriz M̂ como:
2.5105
-27.5811
307.1193
-3420.8836 
 0
 2.5105 -27.5811 307.1931 -3420.8836 38156.2328 


ˆ = 0
M
-3.7657
41.3988
-516.4999
5744.2278 


-3.7657 41.3988 -516.4999 5744.2278 -64876.0039 
 0
0
-2.5105
27.5811
-307.1931 
El rango de la matriz M es 5 por lo tanto el sistema es controlable en estado completo
La función de transferencia del sistema se obtiene y expresa como:
G( s) =
2.5105s3 + 0.0181s 2 − 36.9414s
s5 + 10.9937 s 4 − 16.2983s3 − 161.6542s 2
De la ecuación (36) se deduce que el polinomio característico de lazo cerrado es:
Ing. José A. Machuca Mines17
(36)
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
P( s) = s5 + 10.9937s 4 − 16.2983s3 − 161.6542s 2 + 0s + 0
Entonces se obtienen los coeficientes de lazo abierto como a0 = 1, a1 = 10.9937 ,
(37)
a2 = −16.2983, a3 = −161.6542, a4 = 0, a5 = 0 , entonces la matriz W se expresa como:
 a4

 a3
ˆ = 1a
W
 2
 a
 1
 1
a3
a2
a2
a1
a1
1
0
0
0
0
a1 1  
0
−161.6542 −16.2983 10.9937 1
 
1 0  −161.6542 −16.2983 10.9937
1
0


10.9937
1
0
0
0 0  =  −16.2983
 

1
0
0
0
0 0   10.9937
 
1
0
0
0
0 
0 0  
La matriz de cambio de base que transforma a la forma canónica controlable T es:
−36.9414 0.0181
2.5105
0 
 0
 0
0
−36.9414 0.0181 2.5105 


ˆ = MW
ˆ ˆ = 0
T
0
0
−3.7657
0 


0
0
0
−3.7657 
 0
36.9414 -0.0181
-2.5105
0
0 
Para que el vector de salida y(t) presente un ts(2%) ≤ 2.5 seg. y un sobrepaso máximo Mp%  10% el
espectro de los polos se puede ubicar en el plano S del siguiente modo:
s1 = −2 + j 2.395, s2 = −2 − j 2.395, s3 = −6, s4 = −8, s4 = −9
Por tanto, el polinomio característico de lazo cerrado deseado será:
P( s) = s5 + 27 s 4 + 275.736025s3 + 1315.928575s 2 + 3422.06835s + 4205.9628
(38)
Por lo se obtienen los siguientes coeficientes:
 0 = 1, 1 = 27,  2 = 275.736025, 3 = 1315.928575,  4 = 507.68963, 5 = 4205.9628
Para diseñar un controlador en realimentación de estados de seguimiento a una señal de referencia tipo
escalón, se diseña como si fuera un sistema de regulación alrededor del valor de establecimiento o de
equilibrio, esto es alrededor de x(∞). La matriz de ganancia de realimentación de estados se obtiene de forma
similar a un sistema de regulación usando la expresión siguiente:
ˆ =  − a  − a  − a  − a  − a  Τ
ˆ −1
K
 5 5
4
4
3
3
2
2
1
1
(39)
Obteniéndose como resultado
ˆ = -92.6907 -48.7552 -139.5792 -36.7540 113.8549
K
K =  -92.6907 -48.7552 -139.5792 -36.7540 , kI = −113.8549
Solución i
̂ en la ecuación (33.c) y luego en la ecuación (33.a) se obtiene la ecuación
Reemplazando el valor de la matriz 𝐊
de estado del sistema de lazo cerrado como:
̂−𝑩
̂𝑲
̂ )𝒙
̂̇ = (𝑨
̂(𝑡) + 𝑩̑𝑟(𝑡)
𝒙
(40)
Reemplazando la ecuación (33.c) y luego en la ecuación (33.b) se obtiene la ecuación de salida del sistema de
lazo cerrado como:
̂𝐊
̂ )𝒙
̂(𝑡)
𝑦(𝑡) = (𝐂̂ − 𝐃
(41)
Reemplazando valores en las ecuaciones (40) y (41) se obtiene las ecuaciones de estado y de salida de lazo
cerrado como:
𝑥̇1 (𝑡)
𝑥1 (𝑡)
0
1
0
0
0
0
𝑥̇ 2 (𝑡)
𝑥
232.6954
111.4160
349.3179
92.2737
−285.8259 2 (𝑡)
0
𝑥̇ 3 (𝑡) =
𝑥3 (𝑡) + 0 𝑟(𝑡)
0
0
0
1
0
𝑥̇ 4 (𝑡)
−349.0384 −167.1217 −509.2547 −138.4160 428.7331 𝑥4 (𝑡)
0
] [ 𝑧(𝑡) ] [1]
1
0
0
0
0
[ 𝑧̇(𝑡) ] [
Ing. José A. Machuca Mines18
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
𝑥1 (𝑡)
𝑥2 (𝑡)
𝑦(𝑡) = [1 0 0 0 0] 𝑥3 (𝑡) + [0]𝑟(𝑡)
𝑥4 (𝑡)
[ 𝑧(𝑡) ]
La variable de respuesta y(t) usando un vector de estado inicial 𝒙(0) = [−0.4
se muestra en la siguiente gráfica:
0
Las variables del vector de estado x(t), con vector de estados inicial x(0) =  −0.4
z( 0 ) = 0 , se muestra en la siguiente gráfica:
Ing. José A. Machuca Mines19
0.1
0.3]𝑇 , z( 0 ) = 0 ,
0 0.1 0.3 ,
T
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMATICO
La variable de de control u(t) usando un vector de estado inicial 𝒙(0) = [−0.4
se muestra en la siguiente gráfica:
Ing. José A. Machuca Mines20
0
0.1
0.3]𝑇 , z( 0 ) = 0 ,