דף נוסחאות כלכלה הנדסית ערך עתידי/נוכחי היוון )הון( -תרגום של ערך כספי מתקופה אחת לאחרת בהתאם לשער הריבית והשינויים הצפויים בו. ריבית -סכום הכסף הנוסף המשולם על ידי לווה למלווה תמורת הזכות שנותן המלווה ללווה להשתמש בסכום כסף מסוים )במילים פשוטות ניתן לומר ,כי הריבית היא "מחיר הזמן של הכסף" ,או למעשה "המחיר" של העברת כסף מהעתיד להווה(. ריבית נקובה ) 𝑟( -ריבית נומינלית ,הריבית הנקובה במסמכי מתן ההלוואה ללא התחשבות במועדי חיוב הריבית ובהיטלים הנלווים )עמלות( ריבית אפקטיבית ) 𝑟( -היא הריבית המשולמת בפועל על ההלוואה תוך שקלול מועדי חיוב הריבית וההיטלים הנלווים )עמלות ותשלומים אחרים(. ריבית דריבית -משקפת את הריבית המצטברת .כלומר ,לא מדובר רק בריבית על הקרן )כלומר סכום ההלוואה( אלא גם על הריבית שהצטרפה לאורך תקופת ההלוואה. ערך עתידי לסכום חד פעמי עם ריבית קבועה - 𝑃𝑀𝑇 ) 𝑭𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ∙ (𝟏 + 𝒓)𝒏 -סכום ההפקדה – 𝑟 ,הריבית השנתית– 𝑛 , מספר החזרות )בדרך כלל בשנים(( ערך עתידי לסכום חד פעמי עם ריבית משתנה 𝑭𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ∙ (𝟏 + 𝒓𝟏 )𝒏𝟏 ∙ (𝟏 + 𝒓𝟐 )𝒏𝟐 … (𝟏 + 𝒓𝒏 )𝒏𝒏 - ) 𝑟 -הריבית השנתית של תקופה ספציפית – 𝑛 , ,מספר החזרות של אותה תקופה( ערך עתידי למספר הפקדות עם ריבית משתנה – 𝒏𝒊𝒏) 𝒏𝒊𝒓 𝑭𝑽 = 𝚺𝒊𝒏 𝑷𝑴𝑻𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒓𝒊𝟏 )𝒏𝒊𝟏 ∙ … (𝟏 + ערך עתידי להפקדה תקופתית קבועה עם ריבית קבועה )בסוף תקופה( – 𝟏 𝒏)𝒓 𝟏( 𝒓 𝑻𝑴𝑷 = 𝒅𝒏𝒆𝑽𝑭 ערך עתידי להפקדה תקופתית קבועה עם ריבית קבועה )בתחילת תקופה( (𝟏 + 𝒓) - ערך נוכחי - 𝟏 𝒏)𝒓 𝟏( 𝒓 𝑻𝑴𝑷 = 𝒏𝒊𝒈𝒆𝒃𝑽𝑭 𝑽𝑭 𝒏)𝒓 𝟏( = 𝑽𝑷 ) 𝑉𝐹 – התשלום שיתקבל בסוף התקופה – 𝑟 ,ערך הריבית/ההיוון( ערך נוכחי עם ריבית משתנה - 𝑽𝑭 𝟐𝒏) 𝟐𝒓 𝟏(∙ 𝟏𝒏) 𝟏𝒓 𝟏( = 𝑽𝑷 𝟏 ערך נוכחי של סדרת הפקדות קבועה עם ריבית קבועה )בסוף תקופה( - 𝒏)𝒓 𝟏( 𝟏 𝒓 𝑻𝑴𝑷 = 𝒅𝒏𝒆𝑽𝑷 )𝑡𝑚𝑃 – התשלום התקופתי – 𝑟 ,הריבית התקופתית – 𝑛 ,מספר התקופות( 𝟏 ערך נוכחי של סדרת הפקדות קבועה עם ריבית קבועה )בתחילת תקופה( (𝟏 + 𝒓) - ערך נוכחי לסדרה אין סופית )בסוף תקופה( - 𝑻𝑴𝑷 𝒓 𝒏)𝒓 𝟏( 𝟏 𝒓 𝑻𝑴𝑷 = 𝒏𝒊𝒈𝒆𝒃𝑽𝑷 = 𝒅𝒏𝒆𝑽𝑷 ערך נוכחי לסדרה אין סופית )בתחילת תקופה( ∙ (𝟏 + 𝒓) - 𝑻𝑴𝑷 𝒓 = 𝒏𝒊𝒈𝒆𝒃𝑽𝑷 ***במידה ומבקשים את הערך הנוכחי של סדרת תשלומים לאחר תקופה מסוימת ,עדיף לחשב את ה 𝑽𝑷 מסוף התקופה עד לתקופה המבוקשת! )לדוגמא :נתבקשת למצוא את יתרת הקרן בסוף השנה השישית ) (6של קרן המסתיימת בעוד 10שנים. תעדיף לחשב את ה 4 𝑷𝑽-שנים אחורה בכדי להגיע לערך הנוכחי של הקרן בסוף השנה השישית .בצורה הבאה: 𝟏 𝒏 𝑲)𝒓 𝟏( 𝒓 6שנים(. 𝟏 𝑻𝑴𝑷 = 𝒅𝒏𝒆𝑽𝑷 כך ש 𝑲 – אורך חיי הקרן )בדוגמא 10שנים( ו – 𝒏 -התקופה שנרצה לדעת את הערך )בדוגמא מעבר בין תקופות 𝒏 מקצרה לארוכה – 𝑖 ) 𝑹𝑬𝒊→𝒏 = (𝟏 + 𝒓) 𝒊 − 𝟏 -תקופת הריבית הקצרה– 𝑛 ,תקופת הריבית הארוכה אליה נרצה לעבור – 𝑟 ,ערך הריבית בתקופה הקצרה( 𝒊 מארוכה לקצרה ) 𝑹𝑬𝒏→𝒊 = (𝟏 + 𝒓)𝒏 − 𝟏 -יש לשים לב שהחזקה התהפכה שימו לב! – אין לעבור בין תקופות ללא מעבר יחידות!! )שנה = 12חודשים וכד'( לרוב נחשב ריבית אפקטיבית )חזקות ושורשים( אלא אם כן נאמר אחרת )ריבית פשוטה/מוצהרת – כפל וחילוק( – 𝑟 ,ערך הריבית בתקופה הארוכה( ריביות ריבית מראש )ריבית אפקטיבית( − 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟎 - 𝟏 𝒎 𝒅 𝒎 = 𝒆𝑹 ) 𝑑 – ריבית מראש .ריבית נקובה לתחילת התקופה - 𝑚 ,מספר 𝟏 הפעמים ש 𝑑 מחושבת במהלך התקופה( 𝒕 𝒓 ריבית מראש עם ריבית נקובה רגילה )ריבית אפקטיבית( − 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟎 - 𝒕 𝟏 𝒎 𝒅 𝒎 = 𝒆𝑹 )𝑟 – ריבית נקובה .סוף תקופה– 𝑡 , 𝟏 מספר הפעמים ש 𝑟 מחושבת במהלך התקופה( ריבית ראלית ונומינלית ריבית ריאלית − 𝟏 - 𝒏𝒓 𝟏 𝝅 𝟏 = 𝒓𝒓 ) 𝑟 – ריבית נומינלית – 𝜋 ,שיעור האינפלציה( משוואת פישר ) 𝒓𝒏 + 𝟏 = (𝟏 + 𝒓𝒓 )(𝟏 + 𝝅) -בהינתן ריבית ריאלית יש להעבירה לריבית נומינלית ולחשב ,ריביות ריאליות ) 𝑟( ונומינליות ) 𝑟( הן ריביות נקובות!( לוחות סילוקין לוח סילוקין שפיצר )הלוואה הנפרעת בתשלומים שווים וקבועים ,סך התשלום )קבוע( = ע"ח קרן +ע"ח ריבית( יתרת פתיחת קרן מס תשלום 𝑉𝑃 𝑉𝑃 𝟏=𝒊 𝟏𝒊+ סה"כ החזר )קבוע לכל תשלום( 𝑻𝑴𝑷 𝑻𝑴𝑷 החזר ע"ח ריבית החזר ע"ח קרן יתרת סגירת קרן 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 𝑉𝑃 𝑟∙ 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 𝑃𝑀𝑇 − 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 𝑃𝑀𝑇 − 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 𝑃𝑉 = 𝑃𝑉 − 𝑃𝑀𝑇 + 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 𝑃𝑉 = 𝑃𝑉 − 𝑃𝑀𝑇 + …. סה"כ החזר - 𝟏𝑽𝑷 𝟏 𝒏)𝒓 𝟏( 𝒓 𝟏 = 𝑻𝑴𝑷 ) 𝑉𝑃 -יתרת פתיחת קרן הראשונית – 𝑟 ,ריבית לתקופה – 𝑛 ,מספר תקופות( לוח סילוקין רגיל )הלוואה הנפרעת בתשלומי קרן שווים ,סך התשלום = ע"ח קרן )קבוע( +ע"ח ריבית( מס תשלום 𝟏=𝒊 יתרת פתיחת קרן 𝑉𝑃 𝑉𝑃 𝟏𝒊+ סה"כ החזר 𝑉𝑃 𝑠𝑡𝑛𝑒𝑚𝑦𝑎𝑝 𝑓𝑜 𝑟𝑒𝑏𝑚𝑢𝑛 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 + 𝑉𝑃 𝑠𝑡𝑛𝑒𝑚𝑦𝑎𝑝 𝑓𝑜 𝑟𝑒𝑏𝑚𝑢𝑛 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 + החזר ע"ח ריבית 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 החזר ע"ח קרן )קבוע לכל תשלום( 𝒊𝑽𝑷 𝒔𝒕𝒏𝒆𝒎𝒚𝒂𝒑 𝒇𝒐 𝒓𝒆𝒃𝒎𝒖𝒏 𝑉𝑃 𝒊𝑽𝑷 𝒔𝒕𝒏𝒆𝒎𝒚𝒂𝒑 𝒇𝒐 𝒓𝒆𝒃𝒎𝒖𝒏 𝑟∙ יתרת סגירת קרן 𝑉𝑃 𝑉𝑃 = 𝑃𝑉 − 𝑠𝑡𝑛𝑒𝑚𝑦𝑎𝑝 𝑓𝑜 𝑟𝑒𝑏𝑚𝑢𝑛 𝑉𝑃 𝑉𝑃 = 𝑃𝑉 − 𝑠𝑡𝑛𝑒𝑚𝑦𝑎𝑝 𝑓𝑜 𝑟𝑒𝑏𝑚𝑢𝑛 …. סה"כ החזר + 𝑷𝑽𝒊 ∙ 𝒓- 𝒊𝑽𝑷 𝒔𝒕𝒏𝒆𝒎𝒚𝒂𝒑 𝒇𝒐 𝒓𝒆𝒃𝒎𝒖𝒏 = 𝑻𝑴𝑷 ) 𝑉𝑃 -יתרת פתיחת קרן כל תקופה – 𝑟 ,ריבית לתקופה( גרייס על הקרן )הלוואה הנפרעת בתשלומי ריבית בלבד ,והקרן מוחזרת בסוף התקופה( מס תשלום 𝟏=𝒊 𝟏𝒊+ …. יתרת פתיחת קרן 𝑉𝑃 𝑉𝑃 סה"כ החזר 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 בסוף התקופה )𝑃𝑉 ∙ (𝑟 + 1 החזר ע"ח ריבית 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 𝑟 ∙ 𝑉𝑃 החזר ע"ח קרן 0 0 בסוף התקופה מחזירים הכל 𝑉𝑃 יתרת סגירת קרן 𝑉𝑃 𝑉𝑃 בסוף התקופה מתאפס בלון )הלוואה שתשלומי הקרן והריבית ,מוחזרים בתשלום אחד בסוף התקופה( סה"כ החזר )ערך עתידי( - 𝑃𝑉 ) 𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 ∙ (𝒓 + 𝟏)𝒏 -יתרת פתיחת קרן – 𝑟 ,ריבית לתקופה – 𝑛 ,מספר תקופות( איגרות חוב-אג"ח איגרת חוב רגילה – איגרת חוב המשלמת קופון בכל תקופה ,ובתום חייה משלמת את הערך הנקוב. איגרת חוב צמיתה )"קונסול"( – איגרת חוב המשלמת קופון לנצח אך איננה משלמת את הערך הנקוב בה. איגרת חוב לשיעורין – איגרת חובר המשלמת את הערך הנקוב בה לאורך חיי האיגרת באופן יחסי ובמידות שונות. מלווה קצר מועד )מק"מ( – איגרת חוב שאיננה משלמת קופון אלא רק את הערך הנקוב בה .איגרת זו נקראת עם Zero .Coupon Bond ערך נקוב )𝑩( – מציין את גובה ההלוואה על הנייר )ערך הקרן( ריבית נקובה על האג"ח ) 𝑩𝒓( – זו הריבית שמנפיק האג"ח )הפרימה( מתחייב לשלם לרוכש האג"ח )אם לא נאמר אחרת תחושב שנתית ומתייחסים אליה כריבית פשוטה )נקובה((. אורך חיים של האג"ח )𝒏( – בדרך כלל בשנים )אם לא נאמר אחרת האג"ח משלמת ריבית פעם בשנה בסוף שנה( ריבית להיוון )𝒓( – יש צורך להוון את האיגרת עם הריבית להיוון. אג"ח הונפקה בפרמיה 𝑟> 𝑟 𝐵 > 𝑉𝑃 ערך נוכחי של אג"ח רגילה – ערך נוכחי של אג"ח רגילה – ערך נוכחי של אג"ח קונסול– אג"ח הונפקה בניכיון 𝑟< 𝑟 𝐵 < 𝑉𝑃 אג"ח הונפקה בפארי 𝑟= 𝑟 𝐵 = 𝑉𝑃 𝟏 𝑩 𝒏)𝒓 𝟏( 𝟏 𝒃𝒓 𝒓 𝟏( + 𝒏)𝒓 𝑩 ∙ 𝑩 = 𝑽𝑷 )עם ריבית נקובה( 𝟏( = 𝑽𝑷 )ללא ריבית נקובה( 𝒏)𝒓 𝒃𝒓∙𝑩 𝒓 = 𝑽𝑷 )∞ = 𝑛( 𝒊 ערך נוכחי של אג"ח קונסול– 𝒏)𝒓 ∙ (𝟏 + 𝒃𝒓∙𝑩 𝒓 = 𝑽𝑷 )כאשר הונפקה לפני זמן – 𝑖 ,0תקופת ההנפקה לפני זמן -𝑛 ,0תקופות התשלום .אם קבלת הקופון כל שנתיים שיעור התשואה )𝑟( היא כל שנה והאג"ח הונפקה חצי שנה לפני זמן 0יש להעביר את התשואה לתקופה של שנתיים ולחלק את 𝑖 )חצי שנה( ב) 𝑛-שנתיים(( ערך נוכחי של 'מלווה קצר מועד' - 𝑽𝑭 𝒏)𝒓 𝟏( = 𝑽𝑷 ) 𝑉𝐹 -הערך שיתקבל בסוף התקופה( כדאיות השקעה קריטריון הערך הנוכחי הנקי )ענ"נ( − 𝑪𝟎 - 𝒊𝑨 𝒊)𝒓 𝟏( 𝟏 𝒊𝒏∑ = 𝑽𝑷𝑵 ) – 𝑁𝑃𝑉 > 0השקעה כדאית – 𝐴 ,תזרים הכנסות– 𝐶 , השקעה ראשונית)מופיע גם כ((𝐼 - 𝟏 קריטריון הערך הנוכחי הנקי )ענ"נ( − 𝑪𝟎 - 𝒏)𝒓𝟏+ 𝒓 (𝟏− 𝑻𝑴𝑷 = 𝒅𝒏𝒆𝑽𝑷𝑵 )במידה ויש סדרה עם תשלום קבוע ניתן להשתמש גם ב 𝑉𝑃( קריטריון שיעור תשואה פנימי )שת"פ( − 𝑪𝟎 - 𝒊𝑨 𝒊)𝑹𝑹𝑰 𝟏( 𝟏 𝒊𝒏∑ = 𝟎 ) מציין את הריבית כאשר ,𝑁𝑃𝑉 = 0ככל שהשת"פ גבוה יותר כך שיעור התשואה הפנימי טובה יותר – 𝐼𝑅𝑅 ,ריבית לאדישות ,אם 𝑅𝑅𝐼 < 𝑟 הפרויקט כדאי( קריטריון מדד הרווחיות - 𝟎𝑰 𝑽𝑷𝑵 𝟎𝑰 = 𝑰𝑷 )היחס בין הערך הנוכחי של כל תזרימי המזומנים לבין גובה ההשקעה בזמן - 𝐼 ,0 השקעה בזמן אפס )מופיע עם כ- 𝑃𝐼 > 1 ,(𝐶 -השקעה כדאית( קריטריון ענ"נ לאינסוף )לאופק( - 𝑽𝑷𝑵 𝟏 𝒏 𝟏( 𝟏 )𝒓 = 𝑽𝑷𝑵 )𝑛 – אורך התקופה ,נבצע כאשר התקופה נמשכת לאינסוף ,במידה והפרויקט חד פעמי לא נשווה לאופק( ***אם נדרש לחשב כדאיות בין שני פרויקטים שאינם באותו האורך חובה לחשבם לאינסוף!!! תזרים מזומנים שיטה א' )ללא מס( שווי שוק ) 𝒎𝑰( – מצוין את שווי השוק האמיתי של המכונה) .אם לא נתון יש להניח ש ,𝐼𝑀 = 0 -הנתון הקובע למכירה( ערך גרט ) 𝑩𝑰= 𝑰𝟎 − 𝒏 ∙ 𝑫 – (𝑰𝑮 / לפירמה ,אם לא נתון אז (𝐼𝐺 = 0 𝑩𝑰 מצוין את השווי בספרים של ההשקעה בשנה האחרונה של הפחת והלאה ) .ערך גרט זהו נתון חיצוני הון חוזר )𝒄𝑾( – סכום כסף שהפירמה מוציאה היום )זמן (0והוא מוחזר במלואו בשנה האחרונה של הפרויקט כערך חיובי) .אם לא נתון יש להניח ש(𝐼𝑀 = 0 - הוצאות קבועות – אינן נובעות ישירות מהפרויקט ולכן לא נלקחות בחשבון בבניית תזרים מזומנים) .במידה והפרויקט מגדיל את ההוצאות הקבועות של הפרימה יש לחייבו רק בתוספת של ההוצאות הנובעות מהפרויקט( הכנסות )/(Rהוצאות ) – (Cיש לקחת כל הכנסה/הוצאה שנובעת ישירות מהפרויקט) .יש לשים לב לסימנים ,-/+אם לא נאמר אחרת נניח סוף תקופה( הוצאות מימון – מציינת כיצד הפרימה מימנה את הפרויקט בבניית תזרים מזומנים) .אינה נלקחת בחשבון אלא אם נאמר "הלוואה בתנאים מיוחדים""/הלוואה מסובסדת" ומכאן נובע שהתקבלה הטבה ויש לגלם אותה בתזרים הפרויקט( במהלך התקופה )𝟏 ← 𝒏( תחילת תקופה )𝟎( ) 𝟎𝑰 (−השקעה ראשונית )𝒘 (−הון חוזר )𝒔 (+מענק/סובסידיה בסוף התקופה )𝒏( ) 𝑤 (+הון חוזר ) 𝑅 (+הכנסות ) 𝐶 (−הוצאות )𝐿 (−הפסדים ) 𝑅 (+הכנסות ) 𝐶 (−הוצאות )𝐿 (−הפסדים ) 𝐼 (+תמורה למכירה * יש להוון כל תקופה כך שאת זמן 0סוכמים בלבד! שיטה ב' )מיסים( מס הכנסה )𝒕( – על הכנסה גובים מס )𝑡 (−ועל עלויות מחזירים מס )𝑡.(+ 𝒔 𝒈𝑰 𝟎𝑰 פחת קו ישר )𝑫( – התבלות הציוד/המכונה. ∗𝒏 = 𝑫 ) 𝐼 – השקעה ראשונית – 𝐼 = 𝐼 ,תשואה/רווח סופי – s,מענק/סבסוד - 𝑛∗ ,מספר שנות ההפחתה )אם לא נאמר אחרת ∗𝒏 = 𝒏( ,על פחת מקבלים החזר מס = 𝑡 ∙ 𝐷(+ מגן מס על הפחת)𝑻𝑫( – 𝒕 ∙ 𝑫 )אם ∗𝑛 = 𝑛 אז המגן ירשם בכל שנה על הפרויקט ,אם ∗𝑛 > 𝑛 אז המגן יחושב לפי ∗𝑛 וירשם רק במשך ∗𝑛 )קטן מאורך חיי הפרויקט( ,אם ∗𝑛 < 𝑛 אז המגן יחושב לפי ∗𝑛 וירשם רק במשך חיי הפרויקט – 𝑛( תמורה למכירה בניכוי מס הון – ) 𝑩𝑰 – 𝒕𝒄 ) 𝑰𝒎 − 𝒕𝒄 (𝑰𝒎 −מס רווחי הון )אם לא נתון 𝑡 = 𝑡( ,אם 𝐼 − 𝐼 > 0אז יש רווח הון והפרימה תשלם מס על המכירה ,אם 𝐼 − 𝐼 < 0אז יש הפסד הון והפרימה תקבל החזר מס( הכנסות )/(Rהוצאות )) −𝑪 ∙ (𝟏 − 𝒕) / 𝑹 ∙ (𝟏 − 𝒕) – (Cכל הכנסה והוצאה תרשם בתזרים לאחר חישוב מס( ריבית חסרת סיכון )𝑭𝑹( – במידה ולא נמצאת בזמן 0נהוון אותה עם 𝑇𝐷 ואת ההשקעה) .את שאר ערכי התזרים נהוון עם מחיר ההון הרגיל של הפרימה( תחילת תקופה )𝟎( במהלך התקופה )𝟏 ← 𝒏( ) 𝟎𝑰 (−השקעה ראשונית )𝒘 (−הון חוזר )𝒔 (+מענק/סובסידיה בסוף התקופה )𝒏( ) 𝑤 (+הון חוזר ))𝑡 (+𝑅 ∙ (1 −הכנסות ))𝑡 (−𝐶 ∙ (1 −הוצאות )𝑡 ∙ 𝐷 (+החזר מס על פחת )𝐿 (−הפסדים ))𝑡 (+𝑅 ∙ (1 −הכנסות ))𝑡 (−𝐶 ∙ (1 −הוצאות )𝑡 ∙ 𝐷 (+החזר מס על פחת )𝐿 (−הפסדים )) 𝐼 (+𝐼 − 𝑡 (𝐼 −תמורה למכירה בניכוי מס הון ** עם מיסים חובה לחשב פחת להשקעה*** .מחיר הון לאחר מס זו הריבית להיוון**** .עם ריבית חסרת סיכון נהוון רק את 𝑇𝐷 ואת ההשקעה. ***** יש לחשב את הפחת 𝐷 לפי קו ישר. ****** במידה ומחפשים כדאיות השקעה יש להשוואת את ה 𝑵𝑷𝑽-ל 0-בכדי לחפש ערך אדישות )הערך המתבקש בשאלה(!!
