Guía Práctica de Ingeniería Sísmica con
El Método Estático Equivalente
Norma COVENIN 1756-2001
Autor: Ing. Luis M. Diamon V.
Profesor de UNEFA, Núcleo Tinaquillo
Correo: ingluisdiamon@gmail.com
Fecha: 23 de abril de 2020.
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Temas tratados en la guía
En esta guía se describe el proceso de aplicación del Método Estático
Equivalente (MEE) para el análisis sísmico de estructuras. El proceso se
describe desde la zonificación sísmica hasta la determinación y distribución de
las cargas.
El método se explicará basándose en la aplicación de la norma COVENIN
1756-2001, a la cual se hará referencia en esta guía sencillamente como “la
norma” por razones de brevedad.
1. Zonificación sísmica
El primer paso en el análisis sísmico de estructura consiste en asignar a
nuestra estructura una de las ocho zonas sísmicas descritas en el artículo 4.1
de la norma, de acuerdo a la ubicación geográfica de la edificación. Luego que
la estructura ha sido zonificada se debe seleccionar un valor de aceleración
inicial de la Tabla 4.1 en el artículo 4.2 de la norma. Esta aceleración
corresponde, teóricamente, al primer valor de aceleración que experimenta la
estructura en el inicio del movimiento telúrico.
2. Forma del espectro en función del terreno de fundación.
De acuerdo a la norma, los espectros de aceleración sísmica pueden
tener cuatro formas diferentes, dependiendo de las características del suelo
de fundación. Estas cuatro formas son la S1, S2, S3 y S4. Esta información se
obtiene de la Tabla 5.1 en el artículo homólogo de la norma. La inspección de
dicha tabla no solo nos permite clasificar las formas espectrales, sino que
además nos da el valor de ϕ, conocido como “factor de corrección para el
coeficiente de aceleración horizontal”.
3. Clasificación de la edificación
Para continuar con el análisis, la estructura debe estar clasificada de
acuerdo a diferentes aspectos, en función de sus características funcionales,
de diseño seguro, estructurales y configuración geométrica.
3.1. Clasificación funcional
De acuerdo al uso para el que vaya a estar destinado la edificación, esta
debe estar clasificada en un grupo específico tal y como se define en el artículo
6.1.1 de la norma. Una vez que la estructura ha quedado clasificada en un
grupo, se obtiene el factor de importancia α, de acuerdo a dicha clasificación.
Este factor se obtiene de la Tabla 6.1 de la norma.
3.2. Clasificación según el nivel de diseño
Toda edificación debe quedar incluida en alguno de los tres niveles de
diseño que se describen en el artículo 6.2 de la norma. El nivel de diseño está
directamente relacionado con el nivel de seguridad y la importancia de la
edificación, y se hace efectivo en la aplicación de las normas de diseño (por
ejemplo, la COVENIN 1753 y COVENIN 1618) y durante la construcción de la
edificación.
El nivel de diseño adecuado para la edificación, se obtiene de la Tabla
6.2 de la norma. Dicho nivel de diseño depende del grupo estructural
mencionado en la sección 3.1 de esta guía y de la zonificación sísmica descrita
en la sección 1. Es importante instar al lector que le las notas que se colocan
al pie de la Tabla 6.1 durante la selección del nivel de diseño, así como también
las notas en cualquier otra tabla de la norma.
3.3. Clasificación según las características estructurales
La edificación debe estar clasificada de cuerdo su configuración
estructural según la clasificación dada en el artículo 6.3 de la norma. Está
clasificación ubica en una categoría específica la estructura de la edificación,
como por ejemplo Tipo I, Tipo II, etc.
3.4. Clasificación geométrica de la estructura
Esta clasificación toma en cuenta la regularidad de la estructura, tal
como se indica en el artículo 6.5 y de acuerdo a las definiciones que se dan en
el artículo 6.5.2 de la norma.
Una vez que la estructura ha sido completamente clasificada según
todas las categorías descritas, se debe seleccionar el valor del factor de
reducción de respuesta sísmica “R” que se obtiene de las Tablas 6.4 de la
norma. Este es un factor que permite reducir las acciones sísmicas durante el
análisis de la estructura, de acuerdo a la ductilidad del sistema estructural.
4. Determinación del espectro de diseño
El espectro de diseño consiste en una serie de aceleraciones máximas
para varios sistemas con diferentes periodos de vibración natural, que están
afectados por varios parámetros normativos que toman en cuenta la
ductilidad de las estructuras, las características del suelo, etc. Además, los
valores del espectro de diseño toman en cuenta teóricamente la acción de
varios movimientos del terreno. Estos valores son representados en una
gráfica.
El espectro de diseño para una edificación dada y para una dirección de
análisis particular, se determina a partir de las ecuaciones que se dan en el
artículo 7.2 de la norma. Como se puede verificar, la gráfica del espectro viene
dada por una función dada a trozos, esto se debe a que el comportamiento de
esta curva se adapta muy bien a este ajuste gráfico, pues en general no está
representado por una gráfica con una tendencia suave y continua. Estas
ecuaciones se muestran a continuación respetando la numeración de la
norma.
𝑇 < 𝑇+
𝐴𝑑 =
𝑇+ ≤ 𝑇 ≤ 𝑇∗
𝐴𝑑 =
𝑇>𝑇
∗
𝐴𝑑 =
𝑇
𝑇
𝑇 𝑐
1+( ∗ ) (𝑅−1)
𝑇
𝛼𝜑𝐴𝑜 [1+ ∗ (𝛽−1)]
𝛼𝜑𝛽𝐴𝑜
(7.2)
𝑅
𝛼𝜑𝛽𝐴𝑜 𝑇 ∗ 𝑝
𝑅
(7.1)
(𝑇)
(7.3)
La ecuación (7.1) define la rama ascendente del espectro de diseño y
tiene un comportamiento hiperbólico, la ecuación (7.2) corresponde al tramo
constante del espectro y es un intervalo donde los valores de aceleraciones
casi no dependen del periodo porque las variaciones son relativamente
pequeñas. Por último, la ecuación (7.3) define la rama descendente del
espectro cuyo comportamiento también es del estilo hiperbólico.
Los parámetros que intervienen en la determinación del espectro se
definen a continuación tal y como están descritos en la norma.
- Ad = Ordenada del espectro de diseño, expresada como una fracción de
la aceleración de gravedad (aceleración real/g). Se determina con las
ecuaciones de la (7.1) a la (7.3)
- α = Factor de importancia que depende de la clasificación funcional de
la edificación. Se obtiene de la Tabla 6.1 de la norma.
- 𝑨𝒐 = Coeficiente de aceleración horizontal. Representa el valor de
aceleración inicial, se obtiene de la Tabla 4.1 de la norma y depende de
la zonificación sísmica.
- φ = Factor de corrección del coeficiente de aceleración horizontal. Este
depende de las características espectrales y por tanto de las condiciones
del terreno de fundación. Se obtiene de la Tabla 5.1 de la norma.
- β = Factor de magnificación promedio. Depende de la forma espectral y
se obtiene a partir de la Tabla 7.1 de la norma.
- 𝑇 + ≥ 𝑇0 Período característico de variación de respuesta dúctil. A partir
de este valor el espectro de diseño tiene un valor constante, se obtiene
de la Tabla 7.2. Si sobrepasa el límite impuesto, se debe tomar a 𝑇0 .
- 𝑇𝑜 = Se obtiene resolviendo 0.25𝑇 ∗ , es el periodo a partir del cual los
espectros normalizados tienen un valor constante
- 𝑇 ∗ = Máximo período en el intervalo donde los espectros normalizados
tienen un valor constante, este se obtiene de la Tabla 7.1.
4
- 𝑐 = √𝑅⁄𝛽
- R = Factor de reducación de respuesta, se obtiene de las Tablas 6.4, este
depende intrínsecamente de la ductilidad de la edificación.
- P = Exponente que define la rama descendente del espectro.
El espectro de diseño se obtiene desde el valor inicial para un periodo T
igual a cero hasta un valor determinado, digamos, hasta los 8s o 10s de periodo
los cual abarca la con seguridad la mayoría de las estructuras. El pasa entre
cada punto de la gráfica, se toma en función de la precisión que se quiera
lograr en la curva, un valor de 0.02s de paso entre cada punto es suficiente en
la mayoría de los casos para definir una curva suave.
4.1. Periodo fundamental de la edificación
Para los cálculos que siguen a continuación es importante conocer el
periodo natural del modo fundamental de vibración. La determinación de su
valor teórico real se obtiene de aplicar la ecuación (9.4) de la norma, sin
embargo, la utilización de esta fórmula requiere el conocimiento de las derivas
de piso y, por tanto, de los desplazamientos, los cueles aún no se saben porque
no se conocen las fuerzas sísmicas, que a su vez dependen del periodo. De aquí
se deduce que se debe iniciar un proceso iterativo.
Para poder resolver la restricción descrita en el párrafo anterior, la
norma permite para un análisis inicial o incluso como una alternativa
definitiva, la determinación de un periodo aproximado, denominado 𝑇𝑎 , tal
como se define en el artículo 9.3.2.2 de la norma y cuyas fórmulas se dan a
continuación en función del tipo de estructura.
a) Para edificaciones Tipo I
𝑇𝑎 = 𝐶𝑡 ℎ𝑛 0.75
(9.6)
b) Para edificaciones Tipo II, III y IV
𝑇𝑎 = 0.05ℎ𝑛 0.75
(9.7)
Donde:
𝐶𝑡 = 0.07 para edificios de concreto armado o mixtos de acero-concreto.
𝐶𝑡 = 0.08 para edificios de acero.
ℎ𝑛 = Altura de la edificación medida desde el último nivel hasta el primer nivel
cuyos desplazamientos estén restringidos total o parcialmente.
El valor de ℎ𝑛 corresponde típicamente a la altura total de la edificación
desde la planta baja hasta la azotea, sin embargo puede que no sea el caso,
como por ejemplo cuando haya sótanos para estacionamientos donde las
fundaciones están un nivel más abajo que en la planta baja y el valor de ℎ𝑛
sería mayor.
De ahora en adelante trataremos el valor del periodo aproximado 𝑇𝑎
simplemente como el periodo fundamental que se utilizará para los cálculos
siguientes, salvo que se indique lo contrario.
5. Masa sísmica de la edificación y otras propiedades de cálculo
Uno de los parámetros más importantes y significativos que intervienen
en la magnitud de los efectos sísmicos sobre una edificación es la cantidad de
masa que se ve excitada por el movimiento, a esta se le conoce como masa
sísmica.
Como sabemos, en una edificación existen varios tipos de carga, por
ejemplo, cargas variables y cargas permanentes, etc., y es posible que la
magnitud total de alguna de ellas no esté presente durante el movimiento
sísmico, especialmente cuando se trata de cargas variables. En este sentido, la
norma permite aplicar algunos factores a los diferentes tipos de cargas en la
estructura para determinar la masa sísmica total de la edificación. Para saber
los detalles de este análisis vea el artículo 7.1 de la norma.
5.1. Determinación de la masa sísmica
Una vez que se han aplicado los factores del artículo 7.1 a los diferentes
tipos de carga en la edificación, es conveniente determinar las masas sísmicas
por cada nivel de la edificación, pues estos valores se utilizarán más adelante
para determinar las fuerzas sísmicas laterales.
Cuando se efectúa el análisis para determinar las masas de cada piso,
los cálculos se pueden organizar de manera que nos arrojen otros valores que
también se requieren en el estudio de las acciones sísmicas, como por ejemplo
los centros de masa de cada nivel.
Para determinar las masas de piso se recomienda utilizar una tabla como
la siguiente:
Region
Ai
(m2)
qi
(Kgf/m2)
Ai*qi
Xi (m)
Yi (m)
AiXiqi
AiYiqi
AB12
Tabla 1. Formato para el cálculo de las masas de piso y los centros de masa de cada nivel.
En la Tabla 1 se colocan cada uno de los segmentos de losa del nivel que
se esté estudiando. La descripción de cada segmento se da en función de los
ejes que lo delimitan y se colocan en el campo “Región”, en el ejemplo se ve
que se está colocando un segmento delimitado por los ejes A y B en un sentido
y los ejes 1 y 2 en otro sentido.
Los siguientes parámetros que se colocan en la tabla son el valor del
área, en el campo Ai, luego la carga unitaria (ya con los valores del artículo 7.1
aplicados). En la tabla también se colocan las coordenadas de los centróides
de cada región de la losa en los campos X y Y, para este fin es necesario
establecer un origen de coordenadas en el nivel que se puede colocar en
cualquier parte, pero que una vez establecido, este debe respetarse para cada
región dentro de la losa.
Por último, se deben llenar los campos sombreados resolviendo la
operación descrita en cada uno de ellos. Así, solamente los campos que NO
están sombreados son los valores que se introducen como datos, y los campos
sombreados son aquellos que se obtienen resolviendo las operaciones
descritas en cada encabezado de la tabla en dichos campos.
Una vez se finaliza la tabla, el valor de la masa sísmica para el nivel de
análisis se obtiene de aplicar la siguiente fórmula:
𝑊𝑖 = ∑ 𝐴𝑖 𝑞𝑖
(ec. g-1)
Nota: cuando en la numeración de una ecuación aparezca el prefijo “ec.g-“
esto indica que esta enumeración es propia de la guía, en caso contrario, se
está utilizando la numeración que aparece en la norma.
En la ecuación (ec. g-1) se coloca el subíndice “i” a la “W” porque está
masa sísmica aplica únicamente para el nivel “i” de la edificación, para obtener
el valor total de la masa sísmica se deben sumar los valores de las masas
sísmicas de todos los niveles como sigue:
𝑊 = ∑ 𝑊𝑖
(ec. g-2)
5.2. Centros de masa
El centro de masa de cada nivel es un parámetro importante dentro del
análisis sísmico, este se obtiene fácilmente de la Tabla 1 aplicando las
siguientes ecuaciones:
Para la dirección X:
𝑋𝑚 =
∑ 𝐴𝑖 𝑋𝑖 𝑞𝑖
∑ 𝐴 𝑖 𝑞𝑖
(ec. g-3)
Para la dirección Y:
𝑌𝑚 =
∑ 𝐴𝑖 𝑌𝑖 𝑞𝑖
∑ 𝐴 𝑖 𝑞𝑖
(ec. g-4)
5.2.1. Centro de masa cuando hay elementos de dimensiones variadas
La determinación del centro de masa aplicando la Tabla 1 puede ser
deficiente en algunos casos. Primero, si se tienen vigas y columnas de
dimensiones regulares en todo el nivel, está bien determinar el peso de estas
y dividirlo entre el área total del piso para obtener la carga unitaria de las vigas
y columnas y sumárselas a cada región en el piso.
Pero, por otra parte, si se tienen vigas o columnas con dimensiones muy
variadas en alguna zona particular de la edificación no se puede seguir el
procedimiento descrito en el párrafo anterior y se pueden tomar las siguientes
opciones:
La primera opción consiste en calcular el peso de las vigas de una zona
particular del piso y dividirlo entre el área de la región que se considere que
sea afectada por dicho peso para obtener la carga unitaria de vigas y columnas
que se sumará únicamente a la región dada. Con este análisis se puede seguir
utilizando la Tabla 1.
La segunda opción, que es la más exacta, consiste en tomar en cuenta
directamente el peso y la ubicación de las vigas y las columnas en el análisis.
En este caso se puede utilizar un formato como el que se muestra en la Tabla
2 para tomar en cuenta el efecto de las vigas y las columnas de manera
independiente.
Elemento
AB-1
A-1
b
h
L
ɣ
(m) (m) (m) (Kgf/m3)
2500
2500
Pi
(Kgf)
Xi
(m)
Yi
(m)
PiXi
PiYi
Tabla 2. Formato para determinar masa sísmica y centro de masa en pisos debidos a las
vigas y las columnas únicamente.
En la Tabla 2 se tiene como ejemplo una viga “AB-1” y una columna “A1”, las dos de concreto armado cuyo peso específico es de 2500 Kgf/m3. Pi
represente el peso total del elemento en Kgf y se obtiene multiplicando las tres
dimensiones del mismo por el peso específico del material. Por último, el
centro de masa de piso, considerando únicamente el efecto de las vigas y las
columnas, se obtiene aplicando las siguientes expresiones:
En la dirección X:
𝑋𝑚 =
∑ 𝑃𝑖 𝑋𝑖
∑ 𝑃𝑖
(ec. g-5)
En la dirección Y:
𝑌𝑚 =
∑ 𝑃𝑖 𝑌𝑖
∑ 𝑃𝑖
(ec. g-6)
5.2.2. Masa sísmica debida solo a las vigas y las columnas
La masa sísmica de piso aportada únicamente por las vigas y las
columnas, se obtiene de la Tabla 2 aplicando la siguiente ecuación:
𝑊𝑖 = ∑ 𝑃𝑖
(ec. g-7)
5.2.3. Masa sísmica y centro de masa total
Cuando se aplica la Tabla 2 para considerar la acción independiente de
las vigas y las columnas, la Tabla 1 aún debe ser utilizada para determinar el
efecto de las cargas aplicadas sobre las losas. De esta manera, para obtener el
valor de la masa sísmica de piso total y el centro de masa definitivo se deben
aplicar las siguientes ecuaciones.
Para la masa sísmica de piso total:
𝑊𝑖 = ∑ 𝐴𝑖 𝑞𝑖 + ∑ 𝑃𝑖
(ec. g-8)
Para obtener la masa sísmica de toda la edificación, se sigue utilizando
la ecuación (ec. g-2) pero con los 𝑊𝑖 calculados con la ecuación (ec. g-8).
5.2.4. Centro de masa de piso definitivo
En la dirección X:
𝑋𝑚 =
∑ 𝐴𝑖 𝑋𝑖 𝑞𝑖 +∑ 𝑃𝑖 𝑋𝑖
∑ 𝐴 𝑖 𝑞 𝑖 + ∑ 𝑃𝑖
(ec. g-9)
En la dirección Y:
𝑌𝑚 =
∑ 𝐴𝑖 𝑌𝑖 𝑞𝑖 +∑ 𝑃𝑖 𝑌𝑖
∑ 𝐴𝑖 𝑞𝑖 +∑ 𝑃𝑖
(ec. g-10)
Note como en las ecuaciones (ec. g-8) y (ec. g-9) se toman en cuenta los
valores de las Tablas 1 y 2 respectivamente.
Se recomienda enormemente el uso de las ecuaciones (ec. g-8), (ec. g9) y (ec. g-10) para determinar la masa sísmica y los centros de masa, ya que
estas producen resultados más precisos y estos parámetros son de vital
importancia en el análisis sísmico.
Otra opción que tiene el calculista, es diseñar una tabla más amplia que
tome en cuenta tanto el efecto de las cargas sobre las losas, las vigas y las
columnas de manera compacta y unificada en una misma tabla.
6. El Método Estático Equivalente
Este método es el más sencillos de todos y se puede utilizar solamente
cuando se cumplen los requisitos descritos en la Tabla 9.1 de la norma.
Consiste en encontrar cargas estáticas equivalente a las cargas dinámicas
máximas que produce el sismo en cada nivel de la edificación, estas cargas se
producen típicamente en el modo fundamental de vibración.
6.1. Coeficiente sísmico
El coeficiente sísmico se define como la relación que existe entre la
fuerza de cortante basal (vea las definiciones en el capítulo 2 de la norma) y la
masa sísmica. Se puede interpretar como el porcentaje del peso de la
edificación que actúa de manera lateral durante la máxima excitación sísmica.
Por razones de seguridad, la norma establece en el artículo 7.1 el
siguiente límite al coeficiente sísmico:
𝑉𝑜 ⁄𝑊 ≥ (𝛼𝐴𝑜 )⁄𝑅
(ec. g-11)
6.2. Parámetros de cálculo
La fuerza cortante basa se obtiene por medio de la siguiente ecuación,
la cual se da en el artículo 9.3.1 de la norma:
𝑉𝑜 = 𝜇𝐴𝑑 𝑊
(9.1)
Donde:
𝐴𝑑 = corresponde al valor de la ordenada del espectro de diseño que se
obtiene de sustituir el periodo fundamental de la edificación, calculado de
acuerdo a la sección 4.1. de esta guía, en el espectro de diseño (ecuaciones 7.1
a 7.3).
𝜇 = Es el mayor de los siguientes valores:
𝜇 = 1.4 [
𝑁+9
2𝑁+12
𝜇 = 0.8 +
1
[
]
𝑇
20 𝑇 ∗
(9.2)
− 1]
(9.3)
Donde:
N = número de niveles de la edificación.
T = Periodo natural de vibración del modo fundamental. Se puede utilizar 𝑇𝑎 ,
de acuerdo a las dificultades descritas en la sección 4.1 de esta guía en relación
al cálculo de T.
6.3. Distribución de las fuerzas de piso
Las cargas estáticas equivalente debidas a los efectos del sismo se
asignan a la estructura por medio de cargas laterales en cada uno de los niveles
de la edificación. Estas cargas se aplican en los centros de masa de cada piso.
Las cargas laterales de piso están relacionadas con el cortante basal a
través de la siguiente expresión, dad en el artículo 9.3.3 de la norma:
(9.8)
𝑁
𝑉𝑜 = 𝐹𝑡 + ∑ 𝐹𝑖
𝑖=1
Donde:
𝐹𝑡 = se conoce como fuerza lateral de tope y está aplicada en el nivel N de la
edificación, esta se calcula a partir de:
𝐹𝑡 = (0.06
𝑇
𝑇∗
− 0.02) 𝑉0
(9.9)
El valor de 𝐹𝑡 debe estar acotado dentro de los límites siguientes:
0.04𝑉𝑜 ≤ 𝐹𝑡 ≤ 0.10𝑉𝑜
(9.10)
𝐹𝑖 = es la fuerza lateral del piso i, esta se calcula con la siguiente expresión:
𝑊𝑖 ℎ𝑖
𝐹𝑖 = (𝑉𝑜 − 𝐹𝑡 ) ∑𝑁
(9.11)
𝑗=1 𝑊𝑗 ℎ𝑗
Donde:
𝑊𝑖 = masa del nivel i de la edificación, calculado de acuerdo a la sección 5 de
esta guía.
ℎ𝑖 = altura hasta el nivel i de la edificación medido desde el nivel de base.
En la ecuación (9.11) se utiliza también el índice “j” en el denominador
a fin de resolver la sumatoria que se plantea dejando claro que dicha sumatoria
no se ve afectada por el valor de la 𝐹𝑖 que se esté calculando. Resulta cómodo
arreglar los cálculos de las fuerzas laterales de piso en una tabla como la
siguiente:
Nivel_i
𝑊𝑖
ℎ𝑖
𝑊𝑖 ℎ𝑖
N
…
1
Tabla 3. Formato para el cálculo de las fuerzas laterales de piso.
𝐹𝑖
𝑉𝑖
Note como la Tabla 3 se llena comenzando desde el nivel N (último nivel)
hasta el primer nivel de la edificación. Es importante aclarar que a la fuerza de
piso para el nivel N se le debe sumar la fuerza de tope calculada según la
ecuación (9.9) para obtener la fuerza de piso total para dicho nivel.
La 𝑉𝑖 que aparece en el último campo es la fuerza cortante de piso, y se
obtiene para cada nivel “i” restando la sumas de todas las fuerzas de piso 𝐹𝑖
hasta el nivel “i” al cortante basal. Otra forma de obtener 𝑉𝑖 es aplicar la
siguiente fórmula:
𝑉𝑖 = 𝑉𝑖−1 − 𝐹𝑖−1
(ec. g-12)
La aplicación de la (ec. g-12) comienza desde el nivel 1 con el valor de 𝑉𝑜
para el primer 𝑉𝑖 .
Por el momento, el estudio se deja hasta este punto. Se espera que
próximamente se extienda esta guía para abarcar los temas faltantes en el
análisis por el Método Estático Equivalente.
Referencias
1] MG. Fratelli. Estructuras Sismo - Resistentes. Caracas, Venezuela, 1999.
2] COVENIN 1756-2001. Edificaciones Sismoresistentes, Articulado. Ministerio
de Infraestructura. Caracas, Venezuela, 2001.
3] COVENIN 1756-2001. Edificaciones Sismoresistentes, Comentarios.
Ministerio de Infraestructura. Caracas, Venezuela, 2001.