Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Ejercicios Resueltos de algunos Temas Certamen 3
1. Muestre que x0 = i es solución de la ecuación
x7 + 2x5 − x4 + x3 − 2x2 − 1 = 0.
Use lo anterior para encontrar las otras soluciones.
Solución:
Sea p(x) = x7 + 2x5 − x4 + x3 − 2x2 − 1. Reemplazando obtenemos que p(i) = 0. Como
p(x) ∈ R[x] tenemos que p(−i) = 0. Esto último nos dice que x2 +1 divide a p(x). Dividiendo
p(x) entre x2 + 1 obtenemos que p(x) = (x2 + 1)(x5 + x3 − x2 − 1) y además se puede concluir
directamente que
p(x) = (x2 + 1)(x5 + x3 − x2 − 1)
= (x2 + 1)2 (x3 − 1)
= (x2 + 1)2 (x − 1)(x2 + x + 1)
2
2
= (x + 1) (x − 1) x −
√ !!
−1 + 3i
x−
2
−1 −
2
√ !!
3i
.
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación x7 + 2x5 − x4 + x3 − 2x2 − 1 = 0 son
(
√
√ )
−1 + 3i −1 − 3i
i, −i, 1,
,
.
2
2
2. Encuentre la factorización del polinomio p(x) = 2x5 + 5x4 − 8x3 − 14x2 + 6x + 9.
Solución:
Notar que las posibles raı́ces racionales de p(x) son
1
3
9
± , ±1, ± , ±3, ± , ±9 .
2
2
2
1
1
Note que p
6= 0, p −
6= 0 y p(1) = 0. Usando división sintética tenemos que
2
2
p(x) = (x − 1)(2x4 + 7x3 − x2 − 15x − 9).
Los posibles ceros de q(x) = 2x4 + 7x3 − x2 − 15x − 9 son
1
3
9
± , ±1, ± , ±3, ± , ±9
2
2
2
3
y note que p
= 0. Usando división sintética tenemos que
2
3
q(x) = x −
(2x3 + 10x2 + 14x + 6)
2
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y por lo tanto
3
p(x) = (x − 1) x −
(2x3 + 10x2 + 14x + 6).
2
Como h(x) = 2x3 + 10x2 + 14x + 6 no tiene variaciones de signo entonces, por la regla de
Descartes, h(x) no tiene raı́ces positivas. Por inspección se tiene que h(−1) = h(−3) = 0 y
por lo tanto
3
p(x) = 2(x − 1) x −
(x + 1)2 (x + 3).
2
3. Considere la ecuación x5 − 2x4 + 6x3 − 12x2 + 4x − 8 = 0.
(a) Verifique que existe un número real que es raı́z de la ecuación, determinela.
Solución:
Las posibles raı́ces racionales de la ecuación x5 − 2x4 + 6x3 − 12x2 + 4x − 8 = 0 son:
{±1, ±2, ±4, ±8}.
Por tanteo podemos determinar que una raı́z real es 2, ya que p(2) = 0.
(b) Demuestre que las restantes raı́ces de la ecuación son raı́ces complejas, sin calcularlas.
Solución:
Al dividir p(x) entre x − 2 obtenemos el cuociente m(x) = x4 + 6x2 + 4 y usando el
teorema de Descartes, deducimos que la ecuación m(x) = 0 tiene 4 raı́ces complejas.
4. Determine el menor grado de un polinomio en Q [x] que tenga por raı́ces a 1 + i, 2 −
1
. Justificar su respuesta.
2
√
3 y
Solución: De los teoremas y propiedades de raı́ces de polinomios vistos en clases, sabemos
que si p ∈ R
√[x] tiene una raı́z compleja entonces su conjugado también es raı́z. Por otro
lado, si a + b es raı́z de
√ un polinomio en Q [x] donde a, b ∈ Q y b no es el cuadrado de un
racional, entonces √
a − b también es raı́z. Entonces, √
un polinomio en Q [x] que tenga por
1
raı́ces a 1 + i, 2 − 3 y 2 tiene además a 1 − i y 2 + 3 como raı́ces. Luego, el polinomio
sera divisible por
√ √ 1
(x − (1 + i)) (x − (1 − i)) x − 2 − 3
x− 2+ 3
x−
2
se sigue que su grado es mayor o igual a 5.
Ası́, el polinomio de menor grado que cumple lo pedido es de grado 5. Un posible tal
polinomio es:
√ √ 1
p(x) = (x − (1 + i)) (x − (1 − i)) x − 2 − 3
x− 2+ 3
x−
2
1
1
2
2
2
2
= (x − 1) + 1 (x − 2) − 3 x −
= x − 2x + 2 x − 4x + 1
x−
2
2
13
31
= x5 − x4 + 14x3 − x2 + 7x − 1
2
2
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5. Encuentre todas las raı́ces, con sus respectivas multiplicidades, del polinomio
p(x) = x5 − 5x4 + 28x3 − 12x2 − 133x − 87
sabiendo que 2 − 5i es una de éstas, y que por lo menos hay una raı́z entera.
Solución: Como 2 − 5i es raı́z de p(x), entonces 2 + 5i también. Por ende, el polinomio
formado por (x − (2 − 5i))(x − (2 + 5i)) = x2 − 4x + 29 es factor de p(x). Dividimos ambos
polinomios para obtener el otro factor. De esta forma resulta que
p(x) = (x2 − 4x + 29)(x3 − x2 − 5x − 3), y como p(x) tiene una raı́z entera, entonces los
candidatos a solución son ±1 ó ±3. Inspeccionando, podemos obtener que x = −1 es raı́z. Al
dividir x3 −x2 −5x−3 : x+1 obtenemos x2 −2x−3, que se factoriza como (x−3)(x+1).
Por lo tanto, p(x) = (x2 − 4x + 29)(x − 3)(x + 1)2 , luego las raı́ces son x = 2 ± 5i, x = 3
(de multiplicidad 1), y x = −1 (de multiplicidad 2).
6. Sea n ≥ 2 un entero. Calcular la suma
Solución:
2n−1
X
k
.
(k + 1)!
k=n+1
Comenzamos reescribiendo la suma propuesta
2n−1
X
2n−1
n
X
X
k
k
k
=
−
,
(k + 1)!
(k + 1)! k=1 (k + 1)!
k=n+1
k=1
k+1−1
1
1
k
=
= −
, se observa que cada suma que aparace
(k + 1)!
(k + 1)!
k! (k + 1)!
1
1
arriba resulta ser telescópica, dando como resultado final
−
.
(n + 1)! (2n)!
Ahora, como
7. Calcular
n
X
k=1
1
k(k + 1)(k + 2)
Solución: Separemos las fracciones, notando que
1
1
1
= −
.
k(k + 1)
k k+1
Luego,
1
1
1
1
1
1
=
−
=
−
.
k(k + 1)(k + 2)
k k+1 k+2
k(k + 2) (k + 1)(k + 2)
Separando nuevamente las fracciones se obtiene:
1
1
1
1 1
1
1
−
=
−
−
−
.
k(k + 2) (k + 1)(k + 2)
2 k k+2
k k+1
Sumando y restando el término
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en la primera sumatoria, se obtiene:
k+1
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n
X
k=1
n
X
1
1 1
1
1
1
1
1
=
−
+
−
−
−
k(k + 1)(k + 2)
2
k
k
+
1
k
+
1
k
+
2
k
k+1
k=1
1
1
1
1
1
=
1−
+ −
−1+
.
2
n+1 2 n+2
n+1
m
X
8. Si, para todo m ∈ N :
2
ai = 2m + 3, calcule el valor de
i=1
Solución:
2n
X
2n
X
ai .
i=n+1
Notemos que:
ai = an+1 + an+2 + · · · + a2n−1 + a2n
i=n+1
= a1 + a2 + · · · an + an+1 + an+2 + · · · + a2n−1 + a2n − (a1 + a2 + · · · an )
2n
n
X
X
=
ai −
ai
i=1
i=1
2
= 2(2n) + 3 − (2n2 + 3) = 6n2
m
X
donde usamos que para todo m ∈ N :
ai = 2m2 + 3, para m = 2n y m = n.
i=1
9. Determinar 3 números reales en progresión aritmética tal que la suma de ellos se 27 y la
suma de los cuadrados de los mismos sea igual 293.
Solución: Designemos como a, b, c a los números buscados, luego directamente de la información del enunciado se tiene que
a + b + c = 27
a + b2 + c2 = 293.
2
Si d es la diferencia en la progresión , en tal caso reescribimos el sistema anterior como
a + a + d + a + 2d = 27
a + (a + d)2 + (a + 2d)2 = 293.
2
Luego de la primera relación se tiene que a + d = 9 y por lo tanto a + 2d = 9 + d. Ası́
podemos calcular d, en efecto reemplazando las últimas relaciones en la relación de la suma
de cuadrados se llega a
(9 − d)2 + 92 + (9 + d)2 = 293
⇒ 3 · 92 + 2d2 = 293
⇒ d2 = 25.
Se concluye que d = ±5. Para d = 5 se obtiene que {a, b, c} = {4, 9, 14} y para d = −5 el
mismo conjunto pero en orden decreciente, es decir {14, 9, 5}.
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10. Una pelota cae desde 8 metros de altura y, al rebotar, su centro alcanza
de la altura
3
anterior. Calcule la distancia recorrida por el centro de la pelota desde que se solto la pelota
hasta el rebote numero 100.
Desarrollo:
De acuerdo a la gráfica, se pide calcular:
100 
2
1 −
100 n

X
2
2
3


= 8 + 32 ·
8+2
· 8 = 8 + 16 ·
·
2 
3
3


k=1
1−
3

Luego la distancia recorrida por la pelota es de 8 + 32 ·
100 !
2
1−
3
100 !
2
1−
mts.
3
11. ¿Para qué valor de k ∈ R los siguientes tres términos:
2k − 1, 5k + 1, 20k + 16
forman una P.G. de términos positivos?
Solución:
Para que estos tres términos formen una P.G., deben tener la misma razón, esto es:
5k + 1
20k + 16
=
2k − 1
5k + 1
25k 2 + 10k + 1 = 40k 2 + 12k − 16
⇔
⇔
(5k + 1)2 = (2k − 1)(20k + 16) ⇔
15k 2 + 2k − 17 = 0
⇔
k=1 ∨ k=−
17
15
Ahora, como se piden términos positivos, si k = 1, éstos son: 1, 6, 36.
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12. Si en una progresión aritmética, el producto del segundo término con el quinto término es
-36, y además la diferencia entre estos mismos términos es 15, determine, si es posible, el
primer término y la diferencia de la progresión aritmética.
Solución
Sean a, d ∈ R el primer término y diferencia (respectivamente) de una progresión aritmética.
Como el producto del segundo término con el quinto término es −36, sentonces
(a + d)(a + 4d) = −36
(1)
Como la diferencia entre estos mismos términos es 15, entonces:
(a + d) − (a + 4d) = 15
(2)
De (2) se obtiene d = −5 , se reemplaza en (1) quedando: (a + 5)(a + 20) = −36 ⇔
a = 8 ∨ a = 17. Por lo tanto las alternativas son: a = 8 y d = −5 o bien a = 17 y d = −5.
13. Sea x 6= 0 un número real, calcular en función de n natural y x la suma
2
n X
1
1+ k .
S=
x
k=1
Solución: En el caso x = 1 la suma pedida es simplemente S = 4n. Por otro lado si x = −1,
se tiene que en el término interior de la suma es igual a 0 si k es impar y 4 si k es par, por
lo tanto dependiedo de la paridad de n se obiene que
si n es par.
4 · n2
S=
4 · n−1
si
n es impar.
2
Sea ahora x 6= ±1, se tiene que
2
1
2
1
= 1 + k + 2k ,
1+ k
x
x
x
sumando esto último de k = 1 hasta n se obtiene
k
n k
n X
X
1
1
n+2
+
.
x
x2
k=1
k=1
Estamos enfrentando sumas de términos en progresión geométrica, al respecto sabemos que
n
P
n)
ak = a · (1−a
, para a 6= 1. En nuestro caso tenemos a = 1/x en la primera y a = 1/x2
1−a
k=1
en la segunda, entonces nuestra suma es
1 − x1n
1 − 12n
+ 2 x
x−1
x −1
n
x −1
x2n − 1
=n+2 n
+ 2n 2
x (x − 1) x (x − 1)
2x2n+1 + 3x2n − 2xn+1 − 2xn − 1
. x 6= ±1.
=n+
xn (x2 − 1)
S =n+2
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