2.Vize tarihi: 23 Mayıs 2022 Pazartesi 18:00-20:00 Bölüm: 30 MANYETİK ALAN KAYNAKLARI • • • • • • • Biot-Savart Yasası İki Paralel İletken Arasındaki Manyetik Kuvvet Ampere Yasası Solenoidin Manyetik Alanı Manyetik Akı Manyetizmada Gauss Yasası Yer Değiştirme (Deplasman) Akımları BIOT-SAVART YASASI • Elektromanyetizmada Biot-Savart yasası bir elektrik alan tarafından üretilen manyetik alanı tanımlayan bir denklemdir. • Bu yasa manyetik alanın elektrik akımının büyüklüğüne, yönüne, uzunluğuna ve ona yakınlığına bağlı olduğunu söyler. Biot-Savart yasası adını 1820 yılında elektrik akımı ile manyetik alan arasındaki ilişkiyi keşfeden Jean-Baptiste Biot ve Felix Savart'tan almaktadır. BIOT-SAVART YASASI Bu yasa, i akımı taşıyan ds uzunluğundaki bir iletkenin, kendisinden r kadar uzaktaki bir noktada oluşturduğu dB manyetik alanını verir. Solda akımı taşıyan bir tel verilmiştir. Tel üzerinde akımla aynı yönde, sonsuz küçük uzunlukta bir ds vektörü seçilir. i akımı taşıyan bu parçanın, kendisinden r kadar uzaktaki P noktasında oluşturduğu manyetik alan: ifadesi ile verilir. Burada r vektörü, iletken üzerinde seçilen vektör elemanından P noktasına çizilen vektördür. 𝑟Ԧ : birim vektörü r: manyetik alanın hesaplanacağı noktaya ⅆ𝑠Ԧ nin uzaklığı (m) 𝜃 = ⅆ𝑠Ԧ ile 𝑟 arasındaki açı 𝐼 ⅆ𝑠Ԧ ∶ diferansiyel akım elemanı ⅆ𝑠: Ԧ I akımı yönünde ve büyüklüğü tel üzerinde bir diferansiyel yay elemanına eşit vektörü gösterir µ0 :Hava ya da boşluğun manyetik geçirgenliği B nin birimi Tesla dır. Bir tesla, metrekare başına bir weber'e eşittir ve 1960 yılında Ağırlıklar ve Ölçüler Genel Konferansı sırasında Sloven elektrik mühendisi France Avčin'in önerisi üzerine Nikola Tesla'nın onuruna Manyetik alan birimi olarak kabul edilmiştir. Sonlu büyüklükteki ve I akımı taşıyan bir iletkenden kaynaklanan toplam manyetik alanın bir noktadaki değerini bulmak için iletkeni oluşturan tüm akım elemanlarından doğan katkıları toplamamız gerekir. Bu nedenle tüm iletken üzerinden integral alınır. Biot-Savart Kanunu: Manyetik alan için vektörel ifade 𝑟Ƹ = 1 Birim vektörün büyüklüğü 1(bir) dir. Örnek: İnce doğrusal bir teli çevreleyen manyetik alan Şekilde x ekseni boyunca yerleştirilen ve sabit bir I akımı taşıyan ince doğrusal bir tel veriliyor. Bu akımın P noktasında oluşturduğu manyetik alanın büyüklüğünü ve yönünü bulunuz. (2) ve (3) ü denklem (1) de yerine koyalım; 𝜇𝑜𝐼 𝐵= (𝐶𝑜𝑠𝜃1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃2) 4𝜋𝑎 İkinci yol? r= 𝑟𝑥 𝒊 + 𝑟𝑦 j r= 𝑟Ƹ cos 𝜃 𝒊 + 𝑟Ƹ ⋅ si𝑛 𝜃j ⅆ𝐬 = 𝑑𝑥 𝒊 ⅆ𝑠Ԧ × 𝑟Ԧ =? ⅆ𝑠Ԧ × 𝑟Ԧ = 𝑑𝑥 𝒊 x( cos 𝜃 𝒊+ si𝑛 𝜃j) k 0 Sonrası aynı…….. ⅆ𝑠Ԧ × 𝑟=dx. Ԧ si𝑛 𝜃 𝒌 I akımı taşıyan telden a uzaklıktaki manyetik alan 𝐵= 𝜇𝑜𝐼 (𝐶𝑜𝑠𝜃1 − 𝐶𝑜𝑠𝜃2) 4𝜋𝑎 Örnek :Yarı Sonsuz Telin Manyetik Alanı 𝑆𝑖𝑛 𝜃 = 𝑆𝑖𝑛(180 − 𝜃) Bu integral daha önce çözüldü ! Örnek: Şekilde gösterilen akım taşıyan tel parçası için O noktasındaki manyetik alanı hesaplayınız. AA’ ve CC’ parçaları için 𝑑𝑠// 𝑟Ԧ 𝑜𝑙𝑑𝑢ğ𝑢 𝑖ç𝑖𝑛 I𝑑𝑠x 𝑟I Ԧ = 𝑑𝑠. 1. 𝑠𝑖𝑛0 = 0 O halde bu parçalar manyetik alana bir katkıda bulunmaz. AC için 𝑑𝑠 ⊥ 𝑟Ԧ olduğu için I𝑑𝑠𝑥 𝑟𝐼 Ԧ =ds නⅆs = S S=R.ϴ Örnek: Çembersel Bir Akım İlmeğinin Ekseni Üzerindeki Manyetik Alan Şekilde görüldüğü gibi, kararlı I akımı taşıyan ve yz düzleminde bulunan R yarıçaplı çembersel bir tel ilmek veriliyor. Bu ilmeğin, ekseni üzerinde merkezinden bir x uzaklıkta bulunan P noktasındaki manyetik alanı bulunuz. Ids x rI=ds.1.sin90= ds 0 𝐵 = න𝑑𝐵𝑥 + න𝑑𝐵 𝑦 İlmeğin merkezindeki manyetik alan nedir? 15 İki Paralel İletken Arasındaki Manyetik Kuvvet • Manyetik alan içinde bulunan akım taşıyan bir tel üzerine 𝑭 = 𝐼 𝒍Ԧ x 𝑩 ifadesi ile tanımlanan manyetik bir kuvvet etkir. • Aralarında a mesafesi bulunan, aynı yönlerde I1 ve I2 akımları taşıyan sonsuz uzunlukta iki paralel tel verilmiştir. • Her bir tel diğer telin bulunduğu yerde bir manyetik alan oluşturur. Bu nedenle birbirleri üzerine manyetik kuvvet uygularlar. I2 akımı taşıyan telin, I1 akımı taşıyan telin bulunduğu yerde oluşturduğu manyetik alan: B2 𝐹21 = 𝐼1 𝑙Ԧ × 𝐵2 Bu alan (B2) nedeniyle I1 akımı taşıyan telin birim uzunluğuna etkiyen manyetik kuvvet, Paralel iletkenler arasındaki manyetik kuvvet Aynı yönde akım taşıyan paralel iletkenler birbirini çeker. Zıt yönde akım taşıyan paralel iletkenler birbirini iter. AMPÈRE YASASI Hans Christian Oersted (1777-1851)’in 1819’da akım taşıyan bir iletkenin yakınına getirilen pusulanın iğnesini saptığını gözlemlemiştir. I=0 pusulada sapma yok I > 0 pusula sapar Telde akım olmadığında, tüm pusula iğneleri aynı yönü gösterir (Dünya'nın kuzey kutbuna doğru) Tel güçlü bir akım taşıdığında, pusula iğneleri, akımın yarattığı manyetik alanın yönü olan daireye teğet bir yönde sapar. Klasik elektromanyetizmada Amper yasası (1826'da AndréMarie Ampere tarafından bulunmuştur) kapalı bir eğri üzerinden integrali alınmış manyetik alanla o eğri üzerindeki elektrik akımı arasındaki ilişkiyi açıklayan yasadır. James Clerk Maxwell yasayı hidrodinamik olarak 1861 tarihli Fizikte kuvvet çizgileri üzerine makalesinde tekrar kanıtlar. Yasanın matematiksel ifadesi şu anda klasik elektromanyetizmayı oluşturan dört temel Maxwell denkleminden biridir. Akım dağılımındaki simetri yüksek ise, Biot-Savart yasasının yerine işlemlerin kolaylığı nedeniyle Amper yasasını kullanılabilir. AMPÈRE YASASI Amper Kanunu, kararlı bir akımı çevreleyen keyfi bir kapalı yol için uygulanabilir. Örnek: Uzun bir telin manyetik alanı Kesitinin her tarafında düzgün dağılmış karalı I akımı taşıyan R yarıçaplı uzun ve doğrusal bir telin merkezinden r uzaklıktaki r≥R ve r <R noktalarında manyetik alanları bulunuz. Halka 1 den r≥R için Halka 2 den r<R için Örnek: Toroidin manyetik alanı Bir toroid şekilde görüldüğü gibi yuvarlak içi boş bir halkanın etrafına düzgünce sarılmış I akımı taşıyan N sarımdan oluşur. Sarımların yan yana sıkıştıkça yerleştirildiklerini varsayarak, merkezden r uzaklıkta halkanın içindeki manyetik alanı bulunuz. Sarımlar sıkışık olduğu için toroidin içindeki mavi kesikli çizgi ile gösterilen çembere teğet ve süreklidir. B//ds Örnek: tel 1 y ekseni boyunca uzanan uzun doğrusal tel (tel 1), şekildeki gibi I1 kararlı akımını taşımaktadır. Telin sağ tarafına yerleştirilen dikdörtgen bir devreden I2 akımı geçtiği zaman devrenin üst yatay (tel 2) elemanına 1.telin uyguladığı manyetik kuvveti bulunuz. tel 2 x=a dan x=a+b ye integral alınırsa SOLENOİDİN MANYETİK ALANI Bir solenoid (bobin) helis biçiminde sıkıca sarılmış akım taşıyan uzun bir teldir. Solenoidden I akımı geçtiğinde, solenoidin içinde oluşan manyetik alan solenoid eksenine paraleldir ve yönü sağ-el kuralıyla bulunur. Sağ elin parmak uçları akım yönünü gösterecek şekilde solenoidi sağ avuç içine aldığımızda, başparmağımız solenoidin içinde oluşan manyetik alanın yönünü gösterir. Solenodin uzunluğu arttırıldıkça içindeki alan daha düzgün hale gelir. Solenoidin dışındaki manyetik alan ise çok zayıftır ve ideal solenoid için yaklaşık sıfır alınabilir. Representation of the magnetic field around a solenoid. https://www.youtube.com/watch?v=n63DAWvaHlk&list=RDCMUC9TEVzOCAb3ddbJ80zc P-Hw&start_radio=1&rv=n63DAWvaHlk&t=12 İdeal bir solenoid kesitini göz önüne alalım. Solenoidin iç bölgesindeki manyetik alanın büyüklüğünü hesaplayalım. Dış bölge İç bölge N L uzunluklu N sarımlı I akımı taşıyan solenoidin içindeki manyetik alan Örnek: Bir solenoidin uzunluğu 1 m , iç yarıçapı ise 3 cm dir. Solenoid her birinde 850 sarım bulunan iç içe geçmiş 5 tabakadan oluşmaktadır. İçinden 5 A lik akım geçtiğinde merkezdeki manyetik alanın şiddeti nedir? 𝐵 = 4𝜋 ⋅ 10−7 . 5. 850 . 5 = 2,7.10-2 T = 27 mT Manyetik Akı Keyfi şekilli bir yüzey üzerinde alanı dA olan bir yüzey elemanı ele alalım. Bu elemandan geçen manyetik alanı B ise, tüm yüzey elemanından geçen manyetik akı; Düzlemsel bir yüzey ve sabit B için; 𝜃 = 𝐵 𝑣e 𝐴 𝑎𝑟𝑎𝑠𝚤𝑛𝑑𝑎𝑘𝑖 𝑎ç𝚤 Örnek: Dikdörtgen bir ilmekten geçen akı Genişliği a, uzunluğu b olan dikdörtgen bir ilmek I akımı taşıyan uzun bir telden c uzaklığa yerleştirilmiştir. Tel ilmeğin uzun kenarına paraleldir. Teldeki akımın ilmekten geçirdiği toplam manyetik akıyı bulunuz. Uzun bir telin kendisinden r uzaklıkta oluşturduğu manyetik alan; Burada B alanı r’ye bağlı yani sabit değil, ancak B her noktada dA ya paralel yani B.dA.cos 0=B.dA Manyetizmada Gauss Yasası Bir çubuk mıknatısın manyetik alan çizgileri kapalı döngüler şeklindedir. Kutuplardan birini çevreleyen yüzey (veya başka herhangi bir kapalı yüzey) için net manyetik akı sıfırdır (Kesik çizgi yüzey) Bir elektrik dipolünü çevreleyen elektrik alan çizgileri pozitif yükten çıkar negatif yükte sonlanır. Yükü çevreleyen kapalı bir yüzey için elektrik akısı asla sıfır olmaz. Manyetik alan çizgileri sürekli olup kapalı ilmekler oluştururlar. Çizilen herhangi bir kapalı yüzey içine giren manyetik alan çizgi sayısı, çıkan manyetik alan çizgi sayısına eşittir. Bu nedenle net manyetik akı sıfırdır. Manyetizmadaki Gauss yasası ; Herhangi kapalı yüzeyden geçen net manyetik akının her zaman sıfır olduğunu belirtir. Yerdeğiştirme Akımı Ve Ampère Yasasının Genel Biçimi Akım zamanla değiştiğinde Amper kanunu yetersiz kalır. Maxwell 1885’de Amper Kanununu değişen akımları da dikkate alacak şekilde yeniden düzenleyerek elektrik ve manyetizmayı birleştirmiştir. S1 bölgesi için: I akımı S1 boyunca geçtiği için, S2 bölgesi için : Akımın süreksizliğinden dolayı çelişkili bir durum var S2 boyunca akım geçmediği için, James Clerk Maxwell bu problemi çözdü. Gauss Yasasını uygulayarak S2 yüzeyinden geçen elektrik akısı, S2'den geçen elektrik akısı , q = 𝜙𝐸 ⋅ 𝜀0 Kablodaki akım sadece S1'den geçer. S2 boyunca yer değiştirme akımı, Bir kapasitörün plakasının yakınındaki iki yüzey S1 ve S2 aynı P yolu ile sınırlandırılmıştır. ⅆ𝑞 ⅆ𝛷𝐸 = 𝜀0 ⋅ ⅆ𝑡 ⅆ𝑡 36 Kondansatör şarj edilirken (veya deşarj olurken), plakalar arasındaki değişen elektrik alanı E S2 boyunca yer değiştirme akımı, S2'deki problemi çözmek için bir yer değiştirme akımı tanımlarız (displacement current) Id ; Yer değiştirme akımı: S2 deki Id akımına eşittir. S1 deki I Ampère–Maxwell yasası Manyetik alanlar, hem iletim akımları hem de zamanla değişen elektrik alanları ile üretilir. 37 Örnek: Örnek: Plaka alanı 300 cm2, sığası 2.10-7 F olan kondansatör üzerine t=0 da 5,0 μA lik bir akım boşalıyor. a) t=0 da plakalar arası voltaj hangi hızla değişir. b) a şıkkında elde edilen sonucu kullanarak dφE/dt ve t=o da anında deplasman akım şiddetini hesaplayınız. Maxwell Denklemleri Gauss Yasası Manyetizmada Gauss Yasası Faraday Yasası Ampere-Maxwell Yasası 40 Örnek: