Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ
Ñ. Â. Ðåâèíà
Ë. È. Ñàçîíîâ
Îãëàâëåíèå
I Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà
4
1 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
5
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Àêñèîìû ìåòðèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðèìåðû çàäàíèÿ ìåòðèê íà ïðÿìîé . . . . . . . . . . .
Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî . . . . . . . . . .
Ìåòðèêè â Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Øàðû â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ . . . . . . . . . . .
Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé . . . . . . . . . . . . . .
Ýêâèâàëåíòíûå ìåòðèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ
Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Ïðîñòðàíñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Îïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé . . .
Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâàõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Ñâÿçü ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè `p è S . . . . . . . . . . .
Ñåïàðàáåëüíîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè . . . . . . . . . . . . . .
5
6
8
13
16
18
18
19
20
23
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
25
27
28
30
3 Ïðîñòðàíñòâà
íåïðåðûâíûõ è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé
36
m
3.1 Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà C[a, b], C [a, b]
36
3.2 Ïðèìåðû ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ . . . . . . . 39
4 Ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà
4.1
4.2
4.3
4.4
Ïðîñòðàíñòâà Lp (a, b), 1 6 p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâàõ Lp (0, 1)
Ïðîñòðàíñòâî L∞ (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðîñòðàíñòâà Lp, loc (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
47
51
54
Îãëàâëåíèå
3
5 Íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé
56
6 Ïîëíîòà ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ
60
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Îïðåäåëåíèå ïîëíîòû . . . . . . . . . . . . . . . . .
Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðèìåð íåïîëíîãî ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . .
Òåîðåìà î ïîïîëíåíèè . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ è òåîðåìà Áýðà
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé
7.1
7.2
7.3
Îáùèå ñâåäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì
Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèÿì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà
8.1
8.2
8.3
8.4
Áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà . . .
Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà .
Ýêâèâàëåíòíûå íîðìû . . . .
Ïîäïðîñòðàíñòâî . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Îòíîñèòåëüíàÿ êîìïàêòíîñòü è îãðàíè÷åííîñòü
Êðèòåðèé Õàóñäîðôà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ãèëüáåðòîâ êèðïè÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ . . . . .
Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà
70
70
72
77
85
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9 Êîìïàêòíîñòü â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
60
61
64
65
67
.
.
.
.
85
86
90
91
93
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 93
. 95
. 96
. 98
. 102
106
×àñòü I
Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà
Ãëàâà 1
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
 ýòîé ãëàâå îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ òåîðèè ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ èëëþñòðèðóþòñÿ ïðîñòûìè ïðèìåðàìè, â îñíîâíîì îòíîñÿùèìèñÿ ê êîíå÷íîìåðíîìó ñëó÷àþ.
Äëÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî îçíàêîìëåíèÿ ñ ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè
õîðîøî ïîäõîäèò êíèãà [11, ãëàâà 1], â íåé ðàçîáðàíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî
ïðèìåðîâ. Ìîæíî òàêæå ðåêîìåíäîâàòü êíèãè [9, 12, 13, 15, 7].
1.1 Àêñèîìû ìåòðèêè
Àáñòðàêòíîå ïîíÿòèå ìåòðèêè ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ "ðàññòîÿíèå".
Ïðè ýòîì ñâîéñòâà ðàññòîÿíèÿ (íåîòðèöàòåëüíîñòü; ðàâåíñòâî íóëþ òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà òî÷êè ïðîñòðàíñòâà ñîâïàäàþò; ñèììåòðè÷íîñòü; íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà) ïîëîæåíû â îñíîâó îïðåäåëåíèÿ ìåòðèêè.
Îïðåäåëåíèå 1.1. Ìåòðèêîé íà ìíîæåñòâå X íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ρ :
X × X 7−→ R, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì òðåì àêñèîìàì:
1. ρ(x, y) > 0,
ïðè÷åì ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2. ρ(x, y) = ρ(y, x);
3. ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y) ∀x, y, z ∈ X.
Çàìåòèì, ÷òî ïåðå÷èñëåííûå àêñèîìû íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Òàê,
åñëè â àêñèîìå òðåóãîëüíèêà 3 ïîëîæèòü x = y , òî, ñ ó÷åòîì àêñèîìû
ñèììåòðè÷íîñòè 2, ïîëó÷èì óñëîâèå íåîòðèöàòåëüíîñòè ìåòðèêè èç ïåðâîé
1.2. Ïðèìåðû çàäàíèÿ ìåòðèê íà ïðÿìîé
6
àêñèîìû
ρ(y, z) > 0.
Çàäà÷à 1.1. Äîêàæèòå, ÷òî àêñèîìû ìåòðèêè ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèì äâóì àêñèîìàì:
1. ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;
2. ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X.
Îïðåäåëåíèå 1.2. Ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ñ çàäàííîé íà íåì ìåòðèêîé, ò.å. ïàðà (X, ρ).
Ýëåìåíòû ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè (ýòî ìîãóò
áûòü ôóíêöèè, ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, îïåðàòîðû è ò.ä.).  îáùåì
ñëó÷àå îäíî è òî æå ìíîæåñòâî X ìîæíî ïðåâðàòèòü â ðàçëè÷íûå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, çàäàâàÿ ïî-ðàçíîìó ìåòðèêè. Ïðèâåäåì ïðèìåðû
ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ.
1.2 Ïðèìåðû çàäàíèÿ ìåòðèê íà ïðÿìîé
Ïðèìåð 1.1. Ïóñòü ñíà÷àëà X = R. Ñòàíäàðòíîé ìåòðèêîé íà ïðÿìîé
íàçûâàåòñÿ ìåòðèêà, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ ïî ïðàâèëó
ρ(x, y) = |x − y|.
Î÷åâèäíî, ÷òî ïåðâûå äâå àêñèîìû âûïîëíÿþòñÿ ïî ñâîéñòâàì ìîäóëÿ,
à òðåòüÿ ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà
|a + b| 6 |a| + |b|,
(1.1)
åñëè â íåì ïîëîæèòü a = x − z , b = z − y .
Ïîìèìî ñòàíäàðòíîé, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ìåòðèêè íà ïðÿìîé.
Ïðèìåð 1.2. Òåïåðü çàäàäèì íà X = R òàê íàçûâàåìóþ äèñêðåòíóþ
(èëè òðèâèàëüíóþ) ìåòðèêó:
ρ(x, y) =
(
0 ïðè x = y
1 ïðè x 6= y
(1.2)
1.2. Ïðèìåðû çàäàíèÿ ìåòðèê íà ïðÿìîé
7
Âûïîëíåíèå ïåðâûõ äâóõ àêñèîì ìåòðèêè î÷åâèäíî. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ìîãëî áû íå âûïîëíÿòüñÿ òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå: åñëè â ëåâîé
÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà íàõîäèòñÿ åäèíèöà:
ρ(x, y) = 1,
à â ïðàâîé ÷àñòè íîëü:
ρ(x, z) = 0,
ρ(z, y) = 0.
Íî òîãäà x = z = y . Ñëåäîâàòåëüíî, ρ(x, y) = 0 ïðîòèâîðå÷èå.
Çàäà÷à 1.2. Ïóñòü X ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Äîêàæèòå, ÷òî (1.2)
îïðåäåëÿåò ìåòðèêó íà X .
Ïðèìåð 1.3. Ïóñòü X = R. Çàäàäèì ìåòðèêó ïî ïðàâèëó
ρ(x, y) =
|x − y|
.
1 + |x − y|
Ïåðâûå äâå àêñèîìû ìåòðèêè, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òðåòüåãî ñâîéñòâà äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà
|a + b|
|a|
|b|
6
+
.
1 + |a + b|
1 + |a| 1 + |b|
(1.3)
 ñâîþ î÷åðåäü (1.3) ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà
|a + b|
|a| + |b|
6
.
1 + |a + b| 1 + |a| + |b|
(1.4)
t
íà ìíîæåñòâå íåîòðèöàòåëüíûõ
1+t
÷èñåë, òî (1.4) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ñâîéñòâî íåóáûâàíèÿ ôóíêöèè f (t).
Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî f (t), äåéñòâèòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé ôóíêÅñëè ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ f (t) =
öèåé.
Çàäà÷à 1.3. Ïóñòü X - ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, ρ(x, y) - ìåòðèêà íà
íåì. Ïîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèè
ρ1 (x, y) =
ìåòðèêè íà X .
ρ(x, y)
,
1 + ρ(x, y)
ρ2 (x, y) = min(ρ(x, y), 1)
1.3. Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî
8
Çàäà÷à 1.4. Äîêàæèòå, ÷òî
ρ(x, y) = |arctg(x) − arctg(y)|
ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé íà R.
Çàäà÷à 1.5. Êàêèì óñëîâèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííàÿ íà R
íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ u = f (v), ÷òîáû íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé ìîæíî
áûëî çàäàòü ìåòðèêó ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà
ρ(x, y) = |f (x) − f (y)|?
1.3 Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî
×òîáû ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà äëÿ îñíîâíûõ ïðèìåðîâ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, íàì ïîíàäîáèòñÿ íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî.  ñëåäóþùåé ñåðèè óïðàæíåíèé óñòàíàâëèâàåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî äëÿ êîíå÷íûõ ñóìì, à çàòåì îíî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà
ðÿäû.
Îïðåäåëåíèå 1.3. ×èñëà p è q íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè ïîêàçàòåëÿìè, åñëè îíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
1 < p, q < ∞,
1 1
+ = 1.
p q
Çàäà÷à 1.6. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a è b è
ñîïðÿæåííûõ ïîêàçàòåëåé p è q ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Þíãà
ab 6
a p bq
+ .
p
q
(1.5)
Óêàçàíèå. Ñ÷èòàÿ b > a > 0, ðàçäåëèòå îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1.5)
íà bq è ðàññìîòðèòå ôóíêöèþ
f (x) =
ïðè x > 1.
xp 1
+ −x
p
q
1.3. Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî
9
Çàäà÷à 1.7. Äîêàæèòå, ÷òî â íåðàâåíñòâå Þíãà äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî
ap bq
+
ab =
p
q
p
q
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = b .
Ïðèìåð 1.4. Ïóñòü
α > 0,
β > 0,
α + β = 1.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0, äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ a è b âûïîëíÿåòñÿ
èíòåðïîëÿöèîííîå íåðàâåíñòâî Þíãà
α
1
1
ab 6 εa α + ε− β b β .
(1.6)
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåíèì â (1.5)
1
a → ε p a,
1
b → ε− p b.
Òîãäà, ïî íåðàâåíñòâó Þíãà, ñ ó÷åòîì óñëîâèé p > 1, q > 1:
q
q
εap ε− p bq
ab 6
+
6 εap + ε− p bq .
p
q
1
1
Ïîëàãàÿ α = , β = , ïðèõîäèì ê (1.6).
p
q
Çàäà÷à 1.8. Âîñïîëüçîâàâøèñü íåðàâåíñòâîì Þíãà (1.5), óñòàíîâèòå
íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà äëÿ êîíå÷íûõ ÷èñëîâûõ íàáîðîâ
¯
¯ (
)1/p ( n
)1/q
n
n
¯X
¯
X
X
¯
¯
a k bk ¯ 6
,
(1.7)
|ak |p
|bk |q
¯
¯
¯
k=1
k=1
k=1
ãäå p è q ñîïðÿæåííûå ïîêàçàòåëè.
Óêàçàíèå. Ðàçäåëèòå îáå ÷àñòè (1.7) íà ïðàâóþ ÷àñòü è ïðèìåíèòå
ïî÷ëåííî íåðàâåíñòâî Þíãà (1.5).
Çàäà÷à 1.9. Âûâåäèòå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ â íåðàâåíñòâå Ãåëüäåðà (1.7)
äîñòèãàåòñÿ çíàê ðàâåíñòâà:
|ai |p
|bi |q
=
,
n
n
P
P
|ai |p
|bi |q
i=1
i=1
sgn ai bi = const,
i = 1, . . . , n.
(1.8)
1.3. Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî
10
Ïðè p = q = 2 íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà (1.7) íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî:
¯ ( n
¯ n
)1/2 ( n
)1/2
¯
¯X
X
X
¯
¯
|ak |2
|bk |2
.
ak bk ¯ 6
¯
¯
¯
k=1
k=1
(1.9)
k=1
Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ
a = (a1 , a2 , . . . , an ),
b = (b1 , b2 , . . . , bn ),
÷åðåç kak, kbk îáîçíà÷èòü åâêëèäîâó íîðìó (äëèíó) âåêòîðîâ a è b ñîîòâåòñòâåííî,
(
kak =
n
X
)1/2
|ak |2
,
kbk =
( n
X
k=1
)1/2
|bk |2
,
k=1
à ÷åðåç (a, b) èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
(a, b) =
n
X
ak bk ,
k=1
òî íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ïðèìåò âèä
|(a, b)| 6 kak · kbk.
(1.10)
Òàê êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ â Rn ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ
äëèí ýòèõ âåêòîðîâ íà êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè
(a, b) = kak · kbk cos(a,ˆb),
òî íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî äîïóñêàåò ïðîñòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ
òðàêòîâêó êîñèíóñ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè a è b ïî ìîäóëþ íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöó!
Çíàê ðàâåíñòâà â íåðàâåíñòâå (1.10) èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà âåêòîðû a è b êîëëèíåàðíû:
a = Cb.
 ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî âèä íåðàâåíñòâà (1.10) è åãî
ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ñîõðàíÿåòñÿ äëÿ àáñòðàêòíûõ ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ.
1.3. Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî
11
Ïðèìåð 1.5. Âûâåäåì íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî
Ã
n
X
!1/p
|ai + bi |p
6
à n
X
i=1
!1/p
|ai |p
+
à n
X
i=1
!1/p
|bi |p
(1.11)
,
i=1
1 6 p < ∞ èç íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà (1.7).
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ñëó÷àÿ p = 1 íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî ñëåäóåò èç
ýëåìåíòàðíîãî íåðàâåíñòâà äëÿ ìîäóëåé
(1.12)
|ak + bk | 6 |ak | + |bk |.
Ïóñòü òåïåðü p > 1. Ïðèìåíèâ (1.12), ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó
n
X
p
|ak + bk | =
k=1
6
n
X
n
X
|ak + bk ||ak + bk |p−1 6
k=1
p−1
|ak ||ak + bk |
+
k=1
n
X
|bk ||ak + bk |p−1 .
k=1
Îöåíèì êàæäîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ïî íåðàâåíñòâó Ãåëüäåðà:
n
X
Ã
|ak + bk |p 6
k=1
n
X
|ak |p
! p1 Ã n
X
k=1
+
! 1q
|ak + bk |(p−1)q
+
k=1
à n
X
! p1 Ã
|bk |p
k=1
n
X
! 1q
|ak + bk |(p−1)q
k=1
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî (p − 1)q = p, ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïðåîáðàçóåòñÿ ê
âèäó
n
X
Ã
!1/p à n
!1/p  Ã n
! 1q
n
X
X
X

|ak + bk |p 6 
|ai |p
+
|bi |p
|ak + bk |p
i=1
k=1
èëè
à n
X
i=1
!1− 1q
|ak + bk |p
k=1
îòêóäà ñëåäóåò (1.11).
Ã
6
n
X
i=1
k=1
!1/p
|ai |p
Ã
+
n
X
i=1
!1/p
|bi |p
,
1.3. Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî
12
Çàäà÷à 1.10. Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ â íåðàâåíñòâå Ìèíêîâñêîãî (1.11) äîñòèãàåòñÿ çíàê ðàâåíñòâà.
Àíàëîãè÷íî âûâîäÿòñÿ íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî äëÿ ðÿäîâ.
Çàäà÷à 1.11. Âûâåäèòå íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà äëÿ ðÿäîâ
¯∞
¯ (∞
)1/p ( ∞
)1/q
¯X
¯
X
X
¯
¯
a k bk ¯ 6
|ak |p
|bk |q
,
¯
¯
¯
k=1
k=1
(1.13)
k=1
â ïðåäïîëîæåíèÿõ, ÷òî p è q ñîïðÿæåííûå ïîêàçàòåëè, è ðÿäû â ïðàâîé
÷àñòè íåðàâåíñòâà ñõîäÿòñÿ.
Çàäà÷à 1.12. Âûâåäèòå íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî äëÿ ðÿäîâ
̰
X
!1/p
|ai + bi |p
i=1
Ã
6
∞
X
!1/p
|ai |p
Ã
+
i=1
∞
X
!1/p
|bi |p
,
1 6 p < ∞. (1.14)
i=1
â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ðÿäû â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà ñõîäÿòñÿ.
Ïóñòü, ïî-ïðåæíåìó, p è q ïîä÷èíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèþ
1 1
+ = 1,
p q
íî p ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ìåíüøåå 1: 0 < p < 1. Òîãäà q áóäåò îòðèöàòåëüíûì:
1
1 p−1
=1− =
< 0,
q
p
p
q < 0.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå çíàê â íåðàâåíñòâå Þíãà ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé.
Çàäà÷à 1.13. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a è b è
ïîêàçàòåëåé p è q , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì
0 < p < 1,
1 1
+ = 1,
p q
ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå íåðàâåíñòâî Þíãà
a p bq
+ .
ab >
p
q
(1.15)
1.4. Ìåòðèêè â RN
13
Óêàçàíèå. Äëÿ ôóíêöèè y = xp−1 ïðè x > 0 ðàññìîòðèòå òðè ñèòóàöèè: 1)b > ap−1 ; 2)b = ap−1 ; 3)b < ap−1 .
Åñëè 0 < p < 1, òî â íåðàâåíñòâàõ Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî, òàê æå,
êàê â íåðàâåíñòâå Þíãà, çíàê ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé.
Çàäà÷à 1.14. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ai > 0, bi > 0,
1 6 i 6 n è ïîêàçàòåëåé p è q , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì
0 < p < 1,
1 1
+ = 1,
p q
âûïîëíÿåòñÿ îáðàòíîå íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà
( n
)1/p ( n
)1/q
n
X
X p
X q
ak bk >
,
ak
bk
k=1
k=1
(1.16)
k=1
Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà,
òîëüêî âìåñòî îáû÷íîãî íåðàâåíñòâà Þíãà ïðèìåíÿåòñÿ îáðàòíîå.
Èç îáðàòíîãî íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà (1.16) ìîæíî ïîëó÷èòü îáðàòíîå
íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî.
Çàäà÷à 1.15. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ai > 0, bi >
0, 1 6 i 6 n è ïîêàçàòåëÿ p, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ 0 < p < 1,
ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî
à n
!1/p à n
!1/p à n !1/p
X
X p
X p
p
>
(ai + bi )
ai
+
bi
,
i=1
i=1
(1.17)
i=1
Àíàëîãè÷íî ôîðìóëèðóþòñÿ è äîêàçûâàþòñÿ îáðàòíûå íåðàâåíñòâà
Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî äëÿ ðÿäîâ.
1.4 Ìåòðèêè â Rn
Âñå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, ðàññìàòðèâàåìûå â äàííîì ðàçäåëå, îáëàäàþò âàæíûì ñâîéñòâîì îíè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè íîðìèðîâàííûìè.
Äàäèì îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà.
1.4. Ìåòðèêè â RN
14
Îïðåäåëåíèå 1.4. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàä ïîëåì R èëè C íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì, åñëè îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ k·k : X 7−→ R, íàçûâàåìàÿ
íîðìîé è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì àêñèîìàì:
ïðè÷åì
1. kxk > 0,
kxk = 0 ⇔ x = 0;
2. kαxk = |α|kxk ∀x ∈ X, ∀α ∈ R(èëè C);
3. kx + yk 6 kxk + kyk ∀x, y ∈ X.
Êàæäîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì
ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè
ρ(x, y) = kx − yk.
Çàäà÷à 1.16. Êàêèå èç ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ íà R, ðàññìîòðåííûå
â ïðèìåðàõ ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè íîðìèðîâàííûìè?
Ïðèìåð 1.6. Ïóñòü X = Rn , n > 1. Àíàëîãîì ñòàíäàðòíîé ìåòðèêè íà
ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ
ρ1 (x, y) =
n
X
|xi − yi |
i=1
Ïåðâûå äâå àêñèîìû ìåòðèêè, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Íåðàâåíñòâî
òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò èç (1.1).
Ìåòðèêà ρ1 èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè êîäèðîâàíèÿ. Ïóñòü
M = {x ∈ Rn |xi = 0 ∨ xi = 1}
ìíîæåñòâî âåðøèí åäèíè÷íîãî êóáà â Rn . Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè ÷èñëî ïåðåìåí íóëåé è åäèíèö, íåîáõîäèìîå, ÷òîáû ïîëó÷èòü
èç êîîðäèíàò îäíîé âåðøèíû êîîðäèíàòû äðóãîé. Êàæäàÿ òàêàÿ ïåðåìåíà
åñòü ïåðåõîä âäîëü îäíîãî èç ðåáåð êóáà. Òàêèì îáðàçîì, ρ1 åñòü êðàò÷àéøèé ïóòü ïî ðåáðàì êóáà ìåæäó ðàññìàòðèâàåìûìè åãî âåðøèíàìè.
Ïðîñòðàíñòâî (Rn , ρ1 ) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì. Íîðìà
kxk1 îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàññòîÿíèå îò x äî 0:
kxk1 = ρ(x, 0) =
n
X
i=1
|xi |.
1.4. Ìåòðèêè â RN
15
Ïðèìåð 1.7. Îïðåäåëèì íà Rn åâêëèäîâó ìåòðèêó
ρ2 (x, y) =
à n
X
!1/2
|xi − yi |2
i=1
Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè â ýòîé ìåòðèêå ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå
óêëîíåíèå.
 åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå (Rn , ρ2 ) ïîìèìî íîðìû
Ã
kxk2 =
n
X
!1/2
|xi |2
i=1
ìîæíî ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
(x, y) =
n
X
x i yi .
i=1
Ïðèìåð 1.8. Íà R ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü ìåòðèêó ρp ïî ïðàâèëó:
n
Ã
ρp (x, y) =
n
X
!1/p
|xi − yi |p
,
1 6 p < ∞,
i=1
p ôèêñèðîâàíî.
Ïåðâàÿ è âòîðàÿ àêñèîìû ìåòðèêè î÷åâèäíû, àêñèîìà òðåóãîëüíèêà
ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî (1.11).
Ïðèìåð 1.9. Ïóñòü îïÿòü X = Rn . Óñòðåìèâ p → ∞ â âûðàæåíèè äëÿ
ìåòðèêè ρp (x, y) ïðè ôèêñèðîâàííûõ x è y , ïîëó÷èì ôóíêöèþ
ρ∞ (x, y) = max |xi − yi |,
16i6n
êîòîðàÿ òàêæå îïðåäåëÿåò ìåòðèêó â Rn .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî
(1.18)
lim ρp (x, y) = max |xi − yi |.
p→∞
16i6n
Ïðåäñòàâèì âûðàæåíèå ρp (x, y) â âèäå

ρp (x, y) = max |xi − yi | 
16i6n
n
X
1/p
p
|xi − yi |

max |xi − yi |p
i=1 16i6n
1.5. Øàðû â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ
16
Äëÿ âòîðîãî ñîìíîæèòåëÿ ñïðàâåäëèâî äâîéíîå íåðàâåíñòâî

n
X
1
1p 6 
1/p
p
|xi − yi |

max |xi − yi |p
1
6 np .
i=1 16i6n
Óñòðåìèâ p ê áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷èì, ÷òî âûðàæåíèå â öåíòðàëüíîé ÷àñòè
íåðàâåíñòâà ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå. Òàêèì îáðàçîì, (1.18) äîêàçàíî.
Àêñèîìû ìåòðèêè äëÿ
ρ∞ (x, y) = max |xi − yi |,
16i6n
î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ.
1.5 Øàðû â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ
Îïðåäåëåíèå 1.5. Îòêðûòûì øàðîì ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå x â
ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (X, ρ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
Sr (x) = {y ∈ X : ρ(y, x) < r}.
Çàìêíóòûì øàðîì ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå x íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
S r (x) = {y ∈ X : ρ(y, x) 6 r}.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî øàð íåïóñòîå ìíîæåñòâî, öåíòð øàðà
âñåãäà åìó ïðèíàäëåæèò.
Çàäà÷à 1.17. Íàðèñóéòå øàð S1 (0) íà ïëîñêîñòè X = R2 , âûáðàâ â êà÷åñòâå ìåòðèê
ρ1 (x, y) =
2
X
Ã
|xi − yi |,
ρ2 (x, y) =
i=1
2
X
!1/2
|xi − yi |2
,
i=1
ρ∞ (x, y) = max |xi − yi |.
16i62
À ìîæåò ëè øàð áûòü êâàäðàòîì äëÿ åâêëèäîâîé ìåòðèêè? Ïðèâåäèòå
ïðèìåð ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîñòðàíñòâà.
1.5. Øàðû â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ
17
Òàê êàê ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íå îáÿçàíî áûòü ëèíåéíûì, â íåì
ìîãóò ïðîèñõîäèòü íåîáû÷íûå ÿâëåíèÿ.
Çàäà÷à 1.18. Ìîæåò ëè â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå øàð áîëüøåãî ðàäèóñà ëåæàòü ñòðîãî âíóòðè øàðà ìåíüøåãî ðàäèóñà [15, c. 36]?
Ïðèìåð 1.10. Äîêàæåì, ÷òî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå íåâîçìîæíî
ñòðîãîå âêëþ÷åíèå S2 (x) ⊂ S1 (y).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå òî÷êè øàðà S2 (x) ïðèíàäëåæàò
øàðó S1 (y), è ýòî âêëþ÷åíèå ñòðîãîå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè
t ∈ S2 (x) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå t ∈ S1 (y), íî íàéäåòñÿ òî÷êà z ∈ S1 (y),
êîòîðàÿ íå ïðèíàäëåæèò "ìåíüøåìó"øàðó: z ∈
/ S2 (x).
Âçÿâ â êà÷åñòâå òî÷êè t öåíòð øàðà ðàäèóñà 2, èç óñëîâèÿ t ∈ S1 (y)
âûâîäèì, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ðàññìàòðèâàåìûõ øàðîâ ìåíüøå
åäèíèöû:
ρ(x, y) < 1.
 òî æå âðåìÿ
ρ(y, z) < 1;
ρ(z, x) > 2.
Îöåíèâ ðàññòîÿíèå ìåæäó z è x ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà, ïðèõîäèì ê
ïðîòèâîðå÷èþ:
ρ(z, x) 6 ρ(z, y) + ρ(y, z) < 1 + 1 = 2.
Çàäà÷à 1.19. Ñôîðìóëèðóéòå îáîáùåíèå óòâåðæäåíèÿ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà.
Ïðèìåð 1.11.  òåîðèè ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ ïðèìåíÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî Õåììèíãà (Ωn , ρσ ). ×åðåç Ωn îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî âåêòîðîâ
ω = (ω1 , ..., ωn )
ñ äâîè÷íûìè êîîðäèíàòàìè ωi = 0 èëè ωi = 1, i = 1, . . . n,
n
X
σ
ρ (ω, ω̃) =
σi |ωi − ω̃i |,
i=1
σi > 0 çàäàíû.
1.6. Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
18
Çàäà÷à 1.20. Äîêàæèòå, ÷òî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå Õåììèíãà
ñóùåñòâóþò øàðû, èìåþùèå íåñêîëüêî öåíòðîâ. Ïðèâåäèòå ïðèìåð øàðà â (Ωn , ρσ ), ñîâïàäàþùåãî ñî ìíîæåñòâîì ñâîèõ öåíòðîâ.
1.6 Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Îïðåäåëåíèå 1.6. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ X ñõîäèòñÿ ê òî÷êå x ∈ X ,
åñëè
ρ(xn , x) → 0 ïðè n → ∞.
Îïðåäåëåíèå 1.7. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé, åñëè îíà ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì øàðå.
Èç îïðåäåëåíèÿ ìåòðèêè ñëåäóþò îáùèå ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Çàäà÷à 1.21. Äîêàæèòå, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â
ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ëþáîé åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè; ïðåäåë ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åäèíñòâåíåí; èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäóåò åå îãðàíè÷åííîñòü [11, c. 16].
1.7 Ýêâèâàëåíòíûå ìåòðèêè
Îïðåäåëåíèå 1.8. Äâå ìåòðèêè ρ1 è ρ2 íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè,
åñëè ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû C1 ,C2 >0 òàêèå, ÷òî ∀x, y ∈ X
C1 ρ1 (x, y) 6 ρ2 (x, y) 6 C2 ρ1 (x, y)
Çàäà÷à 1.22. Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäíîâðåìåííî ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ â ýêâèâàëåíòíûõ ìåòðèêàõ.
Çàäà÷à 1.23. Ïóñòü X - ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, ρ(x, y) - ìåòðèêà íà
íåì, à ìåòðèêà ρ1 (x, y) çàäàíà ïî ïðàâèëó
ρ1 (x, y) =
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y)
Íàéäèòå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ìåòðèêè ρ è ρ1 ýêâèâàëåíòíû.
1.8. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ
19
Çàäà÷à 1.24. Ïóñòü ôóíêöèÿ f : R → R íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà.
Íàéäèòå óñëîâèå ýêâèâàëåíòíîñòè ñëåäóþùèõ ìåòðèê íà R
ρ1 (x, y) = |x − y|,
ρ2 (x, y) = |f (x) − f (y)|.
Çàäà÷à 1.25. ßâëÿþòñÿ ëè ìåòðèêè
ρ1 (x, y) = |x − y|,
ρ2 (x, y) = |arctg(x) − arctg(y)|.
ýêâèâàëåíòíûìè íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè, íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå?
Çàäà÷à 1.26. Äîêàæèòå, ÷òî
ρ1 (x, y) =
n
X
|xi − yi |,
ρ∞ (x, y) = max |xi − yi |
16i6n
i=1
ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè ìåòðèêàìè íà Rn .
Çàäà÷à 1.27. Ïóñòü ìåòðèêà ρp çàäàåòñÿ ïî ïðàâèëó
Ã
ρp (x, y) =
n
X
!1/p
|xi − yi |p
,
1 6 p < ∞,
i=1
Ïðîâåðüòå, ÷òî ìåòðèêè ρp (x, y), ρq (x, y), 1 6 p, q 6 ∞ ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè ìåòðèêàìè íà Rn .
1.8 Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ
Åñëè (X1 , ρ1 ), (X2 , ρ2 ) äâà ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâà, òî â ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè X1 × X2 ìîæíî ââåñòè ìåòðèêè
d1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =
¡
¢1/2
ρ21 (x1 , y1 ) + ρ22 (x2 , y2 )
,
d2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ρ1 (x1 , y1 ) + ρ2 (x2 , y2 ),
d3 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max(ρ1 (x1 , y1 ), ρ2 (x2 , y2 ))
∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ X1 × X2 .
Çàäà÷à 1.28. Ïîêàæèòå, ÷òî ìåòðèêè d1 , d2 , d3 ýêâèâàëåíòíû.
1.9. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà
20
 ñèëó ýêâèâàëåíòíîñòè ýòèõ ìåòðèê, íà äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíòâ ìîæíî îïðåäåëèòü ìåòðèêó ëþáûì èç óêàçàííûõ ñïîñîáîâ. Òàêèì îáðàçîì, ïàðà (X1 × X2 , d), ãäå â êà÷åñòâå ìåòðèêè d áåðåòñÿ
ëþáàÿ èç óêàçàííûõ ìåòðèê, ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.
Çàìåòèì, ÷òî ñõîäèìîñòü â X1 × X2 "ïîêîîðäèíàòíàÿ":
(x1 , x2 ) 7−→ (y1 , y2 ) ⇔ ρ1 (x1 , y1 ) → 0, ρ2 (x2 , y2 ) → 0.
Çàäà÷à 1.29. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ÷åòûðåõ òî÷åê x, y, z, t ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:
1. |ρ(x, z) − ρ(y, z)| 6 ρ(x, y);
2. |ρ(x, z) − ρ(y, t)| 6 ρ(x, y) + ρ(z, t)
(íåðàâåíñòâî ÷åòûðåõóãîëüíèêà).
Çàäà÷à 1.30. Äîêàæèòå, ÷òî ìåòðèêà ρ : X × X 7−→ R íåïðåðûâíàÿ
ôóíêöèÿ [15, c. 32].
1.9 Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà
Îïðåäåëåíèå 1.9. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì â X , åñëè âìåñòå
ñ êàæäîé ñâîåé òî÷êîé x îíî ñîäåðæèò è íåêîòîðûé øàð Sr (x).
Îïðåäåëåíèå 1.10. Òî÷êà x ∈ X íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà M ⊂ X , åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ M , xn 6= x,
ñõîäÿùàÿñÿ ê x.
Îïðåäåëåíèå 1.11. Çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà A (îáîçíà÷åíèå A) íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèå ýòîãî ìíîæåñòâà è ìíîæåñòâà âñåõ åãî ïðåäåëüíûõ
òî÷åê.
Îïðåäåëåíèå 1.12. Míîæåñòâî çàìêíóòî, åñëè îíî ñîâïàäàåò ñî ñâîèì
çàìûêàíèåì.
Ïðèìåð 1.12. Çàäàäèì íà ïðÿìîé X = R ñòàíäàðòíóþ ìåòðèêó
ρ(x, y) = |x − y|.
1.9. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà
21
Òîãäà èíòåðâàë (a, b) ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì, îòðåçîê [a, b] çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì, à ïîëóèíòåðâàë [a, b) íå ÿâëÿåòñÿ íè îòêðûòûì, íè çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì.
Ïðèìåð 1.13. Îäíàêî, åñëè ìåòðèêó îñòàâèòü ïðåæíåé
ρ(x, y) = |x − y|,
à â êà÷åñòâå âñåãî ïðîñòðàíñòâà ðàññìàòðèâàòü èíòåðâàë X = (a, b), òî
îí áóäåò êàê îòêðûòûì, òàê è çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì. Òî æå ñàìîå
ñïðàâåäëèâî äëÿ îòðåçêà è ïîëóèíòåðâàëà.
Çàìûêàíèå îòêðûòîãî øàðà Sr (x) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Sr (x), â îòëè÷èå îò çàìêíóòîãî øàðà S r (x).  ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ Sr (x) è
S r (x) íå îáÿçàíû ñîâïàäàòü.
Çàäà÷à 1.31. Äîêàæèòå, ÷òî îòêðûòûé øàð â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå åñòü îòêðûòîå ìíîæåñòâî, çàìêíóòûé øàð çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.
Ïðèìåð 1.14. Ïóñòü X ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî.Îïðåäåëèì íà X äèñêðåòíóþ ìåòðèêó:
(
ρ(x, y) =
0 ïðè x = y
1 ïðè x 6= y
Äîêàæåì, ÷òî ëþáîå ïîäìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è îòêðûòûì, è çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà X îòêðûòî, òàê êàê
âìåñòå ñ ëþáîé òî÷êîé x â íåì ñîäåðæèòñÿ øàð S1/2 (x) (ýòîò øàð ñîñòîèò
èç îäíîé òî÷êè!).
Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà X çàìêíóòî. Åñëè îíî ñîñòîèò èç
îäíîé òî÷êè, òî ó íåãî íåò ïðåäåëüíûõ òî÷åê. Åñëè îíî ñîñòîèò áîëåå ÷åì
èç îäíîé òî÷êè òî òîæå íåò, â ñèëó ñïåöèôèêè çàäàíèÿ ìåòðèêè.
Çàäà÷à 1.32. Äîêàæèòå, ÷òî çàìûêàíèå îòêðûòîãî øàðà â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ñîäåðæèòñÿ â çàìêíóòîì øàðå, íî ìîæåò ñ íèì íå
ñîâïàäàòü [15, c. 37].
1.9. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà
22
Çàäà÷à 1.33. Ïóñòü F1 è F2 çàìêíóòûå ìíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêîì
ïðîñòðàíñòâå è F1
T
F2 = ∅. Ïîñòðîéòå îòêðûòûå ìíîæåñòâà U1 è U2
òàêèå, ÷òî
F1 ⊂ U1 ,
F 2 ⊂ U2
è
U1
\
U2 = ∅.
Çàäà÷à 1.34. Ïóñòü {Uα }α∈A ñèñòåìà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X . Ïîêàæèòå, ÷òî
[
Uα ,
α∈A
n
\
Uαi
i=1
îòêðûòûå ìíîæåñòâà.
Çàäà÷à 1.35. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå ñîîòâåòñòâóþùèå óòâåðæäåíèÿ äëÿ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ.
Çàäà÷à 1.36. Äîêàæèòå, ÷òî îòêðûòîå ìíîæåñòâî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ øàðîâ.
Çàäà÷à 1.37. Äîêàæèòå, ÷òî çàìêíóòîå ìíîæåñòâî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïåðåñå÷åíèÿ äîïîëíåíèé ê øàðàì.
Çàäà÷à 1.38. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî M â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå îòêðûòî (çàìêíóòî) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî äîïîëíåíèå
X/M çàìêíóòî (îòêðûòî).
Ãëàâà 2
Ïðîñòðàíñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Íåïîñðåäñòâåííûì îáîáùåíèåì íà áåñêîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâ
(Rn , ρp ) ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé `p , 1 6 p < ∞ è `∞ .
Âàæíóþ ðîëü â ïðèëîæåíèÿõ èãðàåò òàêæå ïðîñòðàíñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé S .
2.1 Îïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
x = (x1 , x2 , ...).
Îíî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì. Äëÿ òîãî ÷òîáû íà ýòîì ìíîæåñòâå
îïðåäåëèòü íîðìó ïî ïðàâèëó
kxk1 =
∞
X
|xi |
i=1
íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
∞
X
|xi | < ∞.
i=1
Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê îïðåäåëåíèþ ïðîñòðàíñòâà `1 :
¯
∞
¯X
¯
x = (x1 , x2 , ...) ¯
|xi | < ∞,
¯
(
`1 =
ρ1 (x, y) =
i=1
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ `2
¯
¯X
¯∞
x = (x1 , x2 , ...) ¯¯
|xi |2 < ∞,
¯ i=1
(
`2 =
)
|xi − yi |
i=1
Ã
ρ2 (x, y) =
∞
X
∞
X
i=1
!1/2 )
|xi − yi |2
2.1. Îïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Ïîìèìî íîðìû,
Ã
kxk2 =
∞
X
24
!1/2
|xi |2
i=1
â `2 ìîæíî çàäàòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
(x, y) =
∞
X
x i yi .
i=1
Çàáåãàÿ âïåðåä, îòìåòèì, ÷òî `2 íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòíûì ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì, òàê êàê ëþáîå ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî èçîìîðôíî `2 .
Äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî p, 1 6 p < ∞, ïðîñòðàíñòâà `p îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
(
`p =
¯
¯∞
¯X
|xi |p < ∞,
x = (x1 , x2 , ...) ¯¯
¯ i=1
ρp (x, y) =
̰
X
!1/p )
|xi − yi |p
i=1
Âûïîëíåíèå àêñèîìû òðåóãîëüíèêà â `p ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî äëÿ ðÿäîâ (1.14).
`p ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì ñ íîðìîé
̰
!1/p
X
.
kxkp =
|xi |p
i=1
Áåñêîíå÷íîìåðíûì àíàëîãîì ïðîñòðàíñòâà (Rn , ρ∞ ) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî îãðàíè÷åííûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
(
`∞ =
¯
¯
x = (x1 , x2 , ...) ¯¯ sup |xi | < ∞,
16i<∞
)
ρ∞ (x, y) = sup |xi − yi |
16i<∞
Ïðèìåð 2.1. Ïîêàæåì, ÷òî
∞
X
1 |xk − yk |
ρ(x, y) =
.
2k 1 + |xk − yk |
(2.1)
k=1
ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé â ïðîñòðàíñòâå S âñåõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
2.2. Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâàõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
25
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê
1 |xk − yk |
1
6
,
2k 1 + |xk − yk |
2k
òî ðÿä (2.1) ñõîäèòñÿ.
Ïåðâàÿ è âòîðàÿ àêñèîìû ìåòðèêè, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà (1.3)
|a + b|
|a|
|b|
6
+
.
1 + |a + b|
1 + |a| 1 + |b|
êîòîðîå áûëî äîêàçàíî â ïåðâîé ãëàâå.
Çàäà÷à 2.1. Ìîæíî ëè â ïðîñòðàíñòâå S çàäàòü íîðìó, ñîãëàñîâàííóþ
ñ ìåòðèêîé äàííîãî ïðîñòðàíñòâà (2.1)?
2.2 Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâàõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Ïðèìåð 2.2. Äîêàæåì, ÷òî ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå S ñîâïàäàåò ñ
ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòüþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x(n) ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó
ýëåìåíòó x â ïðîñòðàíñòâå S . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð ýëåìåíòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè N òàêîé, ÷òî
∞
(n)
X
1 |xk − xk |
< ε ∀n > N.
2k 1 + |x(n) − xk |
k=1
k
Çàôèêñèðóåì íîìåð êîîðäèíàòû k . Òîãäà
(n)
1 |xk − xk |
< ε ∀n > N.
2k 1 + |x(n) − xk |
k
Òàê êàê ε ïðîèçâîëüíî, à k ôèêñèðîâàíî, òî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî
(n)
|xk − xk | → 0 ïðè n → ∞,
(2.2)
òî åñòü èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â S ñëåäóåò ïîêîîðäèíàòíàÿ ñõîäèìîñòü.
2.2. Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâàõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
26
Îáðàòíî, ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ (2.2). Äîêàæåì ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x(n) â S .
Òàê êàê ðÿä
∞
X
1
2k
k=1
ñõîäèòñÿ, òî îñòàòîê ðÿäà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ:
∞
X
1
ε
∀ε > 0 ∃m :
<
.
2k
2
k=m+1
Òîãäà
m
∞
(n)
(n)
X
X
1 |xk − xk |
1 |xk − xk |
ε ε
ρ(x , x) =
+ =ε
+
<
2k 1 + |x(n) − xk |
2k 1 + |x(n) − xk | 2 2
k=1
k=m+1
k
k
(n)
(ïåðâîå ñëàãàåìîå ìàëî çà ñ÷åò ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòè, òàê êàê ÷èñëî
ñëàãàåìûõ êîíå÷íî.)
Çàäà÷à 2.2. Äîêàæèòå, ÷òî ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâàõ `p , 1 6 p 6 ∞
âêëþ÷àåò ïîêîîðäèíàòíóþ ñõîäèìîñòü. Âåðíî ëè îáðàòíîå?
Ïðèìåð 2.3. Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü ñëåäóþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé â
ïðîñòðàíñòâàõ `p , `∞ , S :
a) x(n) =
(1,
2,
...,
n,
0, . . .);
á) y (n) = (1/n, 1/n, . . . , 1/n, 0, . . .);
Ñíà÷àëà íàéäåì ïîêîîðäèíàòíûé ïðåäåë. Äëÿ ïåðâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îí èìååò âèä
x = (1, 2, . . . , n, . . .).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x(n) ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå S .
Îíà íå ñõîäèòñÿ íè â îäíîì èç ïðîñòðàíñòâ `p , 1 6 p < ∞. Äåéñòâèòåëüíî, ïîêîîðäèíàòíûé ïðåäåë íå ïðèíàäëåæèò ýòèì ïðîñòðàíñòâàì: x ∈
/ `p ,
òàê êàê íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà: xi 6→ 0 ïðè
i → ∞.
2.3. Ñâÿçü ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè `P è S
27
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x(n) íå ñõîäèòñÿ òàêæå â ïðîñòðàíñòâå `∞ . Ïîêîîðäèíàòíûé ïðåäåë íå ïðèíàäëåæèò ýòîìó ïðîñòðàíñòâó, òàê êàê
sup |xi | = ∞.
16i<∞
Ïîêîîðäèíàòíûé ïðåäåë âòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç íóëåé:
y = (0, 0, . . .).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y (n) ñõîäèòñÿ â S .
Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå `p , 1 6 p < ∞ îçíà÷àåò, ÷òî
ρ(y (n) , y) =
( n µ ¶ ) p1
X 1 p
i=1
n
=
1
n
p−1
p
→ 0 ïðè n → ∞.
Ïîýòîìó y (n) ñõîäèòñÿ â `p ïðè 1 < p < ∞.
Íàêîíåö, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ â `∞ , òàê êàê
1
→ 0 ïðè n → ∞.
16i<∞ n
ρ∞ (y (n) , y) = sup
Çàäà÷à 2.3.  êàêèõ èç ïðîñòðàíñòâ `p , `∞ , S ñõîäÿòñÿ ñëåäóþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (α > 0):
à) x(n) =
(1,
1,
. . . , |{z}
1 , 0, . . .);
n
á) x
(n)
α
α
= (1/n , 1/n , . . . , 1/nα , 0, . . .)?
2.3 Ñâÿçü ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè `p è S
Ïðèìåð 2.4. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ïðîñòðàíñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âûïîëíÿþòñÿ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå âêëþ÷åíèÿ
`1 ⊂ `p ⊂ `q ⊂ `∞ ⊂ S,
1 < p < q < ∞.
Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé S
îõâàòûâàåò âñå ïðîñòðàíñòâà `p .
2.4. Ñåïàðàáåëüíîñòü
28
Ïî îïðåäåëåíèþ, ïðîñòðàíñòâó `p ïðèíàäëåæàò òå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,
äëÿ êîòîðûõ ðÿä
∞
X
|xi |p
i=1
ñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îáùèé ÷ëåí ðÿäà äîëæåí ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ.
Åñëè xi → 0 ïðè i → ∞, è p < q , òî
|xi |q < |xi |p .
Ïîýòîìó
∞
X
q
|xi | <
i=1
∞
X
|xi |p .
i=1
Ñëåäîâàòåëüíî, `p ⊂ `q ïðè p < q .
Êðîìå òîãî, èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ñëåäóåò åå îãðàíè÷åííîñòü. Ïîýòîìó `q ⊂ `∞ .
Çàäà÷à 2.4. Èç ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà ñëåäóåò, ÷òî íà `1
îïðåäåëåíû âñå ìåòðèêè ïðîñòðàíñòâ `p , 1 6 p 6 ∞ è S . Äîêàæèòå,
÷òî îíè ïîïàðíî íåýêâèâàëåíòíû.
2.4 Ñåïàðàáåëüíîñòü
Îïðåäåëåíèå 2.1. Ìíîæåñòâî M ïëîòíî â ìíîæåñòâå N , åñëè M ⊃ N .
Îïðåäåëåíèå 2.2. Åñëè M ïëîòíî âî âñåì ïðîñòðàíñòâå X , òî ãîâîðÿò,
÷òî M âñþäó ïëîòíî â X .
Îïðåäåëåíèå 2.3. Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) íàçûâàåòñÿ ñåïàðàáåëüíûì, åñëè â íåì ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî.
Çàäà÷à 2.5. Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q âñþäó ïëîòíî â R, ïðèâåäèòå ïðèìåð ñ÷åòíîãî âñþäó ïëîòíîãî ìíîæåñòâà
â Rn , óñòàíîâèâ òåì ñàìûì ñåïàðàáåëüíîñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.
Ïðèìåð 2.5. Äîêàæåì, ÷òî `p , 1 6 p < ∞ ñåïàðàáåëüíûå ìåòðè÷åñêèå
ïðîñòðàíñòâà.
2.4. Ñåïàðàáåëüíîñòü
29
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî â `p ïðè 1 6 p < ∞ ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå
âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî. Ïóñòü
M = {x0 | x0 = (r1 , r2 , . . . , rn , 0, . . . )} ,
ãäå ri ∈ Q ïðîèçâîëüíûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà , n ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òîãäà M ñ÷åòíî.
Äîêàæåì, ÷òî M âñþäó ïëîòíî â `p . Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò
x ∈ `p ìîæíî ïðèáëèçèòü ýëåìåíòàìè èç M , ò. å.
∀ ε > 0 ∀ x ∈ lp ∃ x0 ∈ M : kx − x0 k`p < ε.
Ò. ê. x ∈ lp , òî ðÿä
∞
X
|xi |p
i=1
ñõîäèòñÿ. Òîãäà îñòàòîê ýòîãî ðÿäà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ò. å.
∞
X
εp
∀ε>0 ∃n:
|xi | < .
2
i=n+1
p
Ïî äàííîìó íîìåðó n ïîäáåðåì ýëåìåíò x0 ∈ M âèäà
x0 = (r1 , r2 , . . . , rn , 0, . . . )
òàêîé, ÷òî
n
X
i=1
εp
|xi − ri | < .
2
p
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà:
kx − xn kp`p <
εp εp
+
= εp
2
2
è ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî ïîñòðîåíî.
Ïðèìåð 2.6. Äîêàæåì, ÷òî `∞ íå ñåïàðàáåëüíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî
M = {x ∈ l∞ |xi = 0 èëè xi = 1}.
2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè
30
Òàê êàê ìíîæåñòâó M ìîæíî ïîñòàâèòü âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ íàòóðàëüíîãî ðÿäà, òî M èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà.
Åñëè äâà ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà x è y ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó M , òî
ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ðàâíî åäèíèöå:
kx − yk`∞ = 1.
Òàêèì îáðàçîì, â ïðîñòðàíñòâå `∞ ñóùåñòâóåò êîíòèíóóì ýëåìåíòîâ, îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åäèíèöå.
Äîêàçàòåëüñòâî íåñåïàðàáåëüíîñòè ïðîñòðàíñòâà ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ñåïàðàáåëüíî. Òîãäà ñóùåñòâóåò
âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî K â `∞ . Ðàññìîòðèì øàð ñ öåíòðîì â ïðîèç-
1
.
3
Åñëè K âñþäó ïëîòíî, âíå ýòèõ øàðîâ íåò ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà âîëüíîé òî÷êå ìíîæåñòâà K ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì
êàæäûé èç ýëåìåíòîâ `∞ ïîïàë õîòÿ áû â îäèí òàêîé øàð. Øàðîâ ñ÷åòíîå
÷èñëî, à â ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Ñëåäîâàòåëüíî, õîòÿ áû â îäèí øàð ïîïàëè äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè èç ìíîæåñòâà
M . Îáîçíà÷èì èõ m1 è m2 . Òîãäà
km1 − m2 k`∞ <
1 1 2
+ = .
3 3 3
Íî òàê êàê
km1 − m2 k`∞ = 1,
ñëåäîâàòåëüíî, ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.
Çàäà÷à 2.6. Äîêàæèòå ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà S [11, c. 24, 55].
2.5 Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè
Ïðèìåð 2.7.  ìíîæåñòâå âñåâîçìîæíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äëÿ ýëåìåíòîâ
x = (n1 , n2 , . . . , nk , . . .),
y = (m1 , m2 , . . . , mk , . . .)
îáîçíà÷èì ÷åðåç k0 (x, y) íàèìåíüøèé èíäåêñ, ïðè êîòîðîì nk 6= mk . Äîêàæåì, ÷òî:
2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè
à)
(
ρ(x, y) =
0
1
k0 (x,y)
31
x = y,
x 6= y
åñòü ìåòðèêà íà X ;
á) àêñèîìà òðåóãîëüíèêà âûïîëíÿåòñÿ â X â óñèëåííîé ôîðìå:
ρ(x, z) 6 max(ρ(x, y), ρ(y, z));
(2.3)
â) åñëè ρ(x, y) 6= ρ(y, z), òî ρ(x, z) = max(ρ(x, y), ρ(y, z));
ã) ëþáîé îòêðûòûé øàð Sr (x) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì è Sr (y) = Sr (x) äëÿ ëþáîãî y ∈ Sr (x);
ä) ëþáîé çàìêíóòûé øàð S r (x) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî îòêðûòûì ìíîæåñòâîì è S r (y) = S r (x) äëÿ ëþáîãî y ∈ S r (x);
å) åñëè äâà øàðà â X èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî îäèí èç íèõ ñîäåðæèòñÿ
â äðóãîì;
æ) ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ðàçëè÷íûìè îòêðûòûìè øàðàìè ðàäèóñà
r, ñîäåðæàùèìèñÿ â çàìêíóòîì øàðå ðàäèóñà r, ðàâíî r;
ç) ïðîñòðàíñòâî X ñåïàðàáåëüíî;
è) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ X ôóíäàìåíòàëüíà, òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà
ρ(xn , xn+1 ) → 0 ïðè n → ∞.
ê) ïðîñòðàíñòâî X ïîëíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ïóíêòû à)ä) ñôîðìóëèðîâàííûõ óòâåðæäåíèé.
Ïåðâàÿ è âòîðàÿ àêñèîìû ìåòðèêè, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (2.3).
Äîêàæåì (2.3). Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ: 1) ρ(x, y) > ρ(y, z); 2) ρ(x, y) <
ρ(y, z); 3) ρ(x, y) = ρ(y, z).
 ïåðâîì ñëó÷àå, åñëè x = z , òî (2.3) âûïîëíÿåòñÿ. Åñëè x 6= z , òî èç
íåðàâåíñòâà
ρ(x, y) > ρ(y, z)
2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè
32
ñëåäóåò, ÷òî
k0 (x, y) < k0 (y, z).
Òî åñòü äî êîîðäèíàòû k0 (x, y) âêëþ÷èòåëüíî ýëåìåíòû y è z íåðàçëè÷èìû.
Íà÷èíàÿ ñ k0 (x, y) ýëåìåíò x îòëè÷àåòñÿ îò y , ñëåäîâàòåëüíî, x îòëè÷àåòñÿ
îò z . Òîãäà k0 (x, z) = k0 (x, y), òî åñòü
ρ(x, z) = ρ(x, y).
Èòàê, äîêàçàíà èìïëèêàöèÿ:
ρ(x, y) > ρ(y, z) =⇒ ρ(x, z) = ρ(x, y).
Àíàëîãè÷íî, ïîìåíÿâ ìåñòàìè â ïîñëåäíåì ðàññóæäåíèè x è z , âî âòîðîì ñëó÷àå ïîëó÷èì:
ρ(x, y) < ρ(y, z) =⇒ ρ(x, z) = ρ(y, z).
Íàêîíåö, â òðåòüåì ñëó÷àå, èç ðàâåíñòâà ρ(x, y) = ρ(y, z) ñëåäóåò, ÷òî
k0 (x, y) = k0 (y, z). Íî òîãäà äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî
k0 (x, z) > k0 (x, y).
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî k0 (x, z) < k0 (x, y), òî, ïîâòîðÿÿ òå
æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è â ïåðâîì ñëó÷àå, ïðèäåì ê ðàâåíñòâó
k0 (y, z) = k0 (x, z),
èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî
k0 (y, z) = k0 (x, z) < k0 (x, y),
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Òîãäà
ρ(x, y) = ρ(y, z) =⇒ ρ(x, z) 6 ρ(y, z).
Âûïîëíåíèå àêñèîìû òðåóãîëüíèêà â óñèëåííîé ôîðìå (2.3) äîêàçàíî.
Ïîïóòíî äîêàçàíî è óòâåðæäåíèå ïóíêòà â): åñëè ρ(x, y) 6= ρ(y, z), òî
ρ(x, z) = max(ρ(x, y), ρ(y, z)).
2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè
33
Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî ëþáîé îòêðûòûé øàð Sr (x) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì, ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî:
Sr (x) = Sr (x).
(2.4)
 ðàññìàòðèâàåìîì ïðîñòðàíñòâå îòêðûòûé øàð ðàäèóñà r îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
½
¾
1 [
Sr (x) = z : k0 (x, z) >
{z = x}
r
Äîêàæåì, ÷òî øàð Sr (x) ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè.
Òî÷êà x∗ íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé øàðà Sr (x), åñëè ñóùåñòâóåò
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
zn ∈ Sr (x),
zn 6= x
òàêàÿ, ÷òî
ρ(zn , x∗ ) → 0 ïðè n → ∞.
Äëÿ äàííîé ìåòðèêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
1
k0 (x, zn ) > , k0 (zn , x∗ ) → ∞ ïðè n → ∞.
r
Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ïðåäåëüíîé òî÷êè øàðà x∗ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ρ(x, x∗ ) < r, òî åñòü
k0 (x, x∗ ) >
1
r
èëè
x = x∗ .
1
r
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: k0 (x, x∗ ) 6 . Òàê êàê äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
k0 (zn , x∗ ) > k0 (x, zn ),
1
, à ëår
1
âàÿ, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, íå ïðåâîñõîäèò ïðîòèâîðå÷èå. Ðàâåíñòâî (2.4)
r
äîêàçàíî.
Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî y ∈ Sr (x) øàð ñ öåíòðîì â òî÷êå y
ðàäèóñà r ñîâïàäàåò ñ øàðîì ñ öåíòðîì â òî÷êå x ðàäèóñà r:
òî k0 (x, x∗ ) = k0 (x, zn ). Íî ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà áîëüøå
Sr (x) = Sr (y).
2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè
34
Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî
Sr (y) ⊂ Sr (x).
Ïóñòü z ∈ Sr (y), òî åñòü
1
k0 (y, z) > .
r
1
Òàê êàê y ∈ Sr (x), òî k0 (x, y) > . Äîêàæåì, ÷òî z ∈ Sr (x), òî åñòü
r
1
k0 (x, z) > .
r
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè y 6= z 6= x, òî
1
k0 (x, z) = min(k0 (y, z), k0 (x, y)) > .
r
Åñëè æå z = y , òî
1
k0 (x, z) > k0 (x, y) > .
r
Àíàëîãè÷íî äëÿ z = x.
Âêëþ÷åíèå Sr (x) ⊂ Sr (y) äîêàçûâàåòñÿ çàìåíîé â ïðåäûäóùåì ðàññóæäåíèè x íà y .
Äîêàæåì, ÷òî ëþáîé çàìêíóòûé øàð S r (x) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî îòêðûòûì ìíîæåñòâîì. Ïî îïðåäåëåíèþ,
½
S r (x) =
1
z : k0 (x, z) >
r
¾[
{z = x}
Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè z ∈ S r (x) íàéäåòñÿ ε > 0 òàêîå,
÷òî Sε (z) ⊂ S r (x). Áîëåå ïîäðîáíî: äëÿ ëþáîãî z : k0 (x, z) >
ε > 0:
∀y k0 (z, y) >
1
1
=⇒ k0 (x, y) > .
ε
r
Òàê êàê
k0 (x, y) > min(k0 (x, z), k0 (z, y)),
òî äîñòàòî÷íî âûáðàòü ε < r.
1
íàéäåòñÿ
r
2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè
35
Äîêàæåì, ÷òî S r (y) = S r (x) äëÿ ëþáîãî y ∈ S r (x). Ïóñòü z ∈ Sr (y),
1
r
1
y ∈ S r (x), òî k0 (y, x) > . Ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà
r
1
r
òî åñòü k0 (y, z) > . Ïîêàæåì, ÷òî z ∈ Sr (x), òî åñòü k0 (x, z) > . Òàê êàê
1
k0 (x, z) > min(k0 (y, z), k0 (y, x)) > .
r
Çàäà÷à 2.7. Äîêàæèòå óòâåðæäåíèÿ å), æ), ç) ïðèìåðà.
Ïðîñòðàíñòâî, ðàññìîòðåííîå â ïîñëåäíåì ïðèìåðå, îáëàäàåò äîâîëüíî
ýêçîòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà â ôîðìå (2.3) ñîîòâåòñòâóåò ãåîìåòðèè, â êîòîðîé íå âûïîëíÿåòñÿ
àêñèîìà Àðõèìåäà (ïî-äðóãîìó íàçûâàåìàÿ àêñèîìîé èçìåðèìîñòè).
Àêñèîìà Àðõèìåäà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ è âûáåðåì íà íåé äâà îòðåçêà a è b ñ íà÷àëîì â îäíîé òî÷êå, ïðè÷åì äëèíà îòðåçêà
a ìåíüøå äëèíû îòðåçêà b. Òîãäà, ïðèêëàäûâàÿ ìåíüøèé îòðåçîê a äîëü
ïðÿìîé äîñòàòî÷íîå ÷èñëî ðàç, ìû â êîíöå êîíöîâ ïðåâçîéäåì áîëüøèé
îòðåçîê b.
Êàê ñëåäóåò èç ñâîéñòâà â), âñå òðåóãîëüíèêè â íåàðõèìåäîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ ìåòðèêîé (2.3) ðàâíîáåäðåííûå.
Äâà ðàçíûõ øàðà íå ìîãóò ÷àñòè÷íî ïåðåñåêàòüñÿ: ëèáî îíè íå èìåþò
îáùèõ òî÷åê, ëèáî îäèí èç íèõ ñîäåðæèòñÿ âíóòðè äðóãîãî.
Ìåòðèêè, ïîäîáíûå ðàññìîòðåííîé âûøå, ïðèìåíÿþòñÿ â òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå. Òàê, â ìîíîãðàôèè [4] äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ìèêðîìèðà ïðåäëàãàåòñÿ ââåñòè òàê íàçûâàåìóþ p-àäè÷åñêóþ íîðìó íà ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Íåàðõèìåäîâîñòü ýòîé íîðìû ñîãëàñóåòñÿ ñ ñîîòíîøåíèåì
íåîïðåäåëåííîñòè Ïëàíêà.
Ãëàâà 3
Ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ
ôóíêöèé
3.1 Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà C[a, b], C m[a, b]
C[a, b] ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå
[a, b] ôóíêöèé ñ ìàêñèìóì-ìåòðèêîé
ρ(f, g) = max |f (t) − g(t)|.
t∈[a,b]
Àêñèîìû ìåòðèêè, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà äëÿ ìîäóëåé (1.3).
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn ñõîäèòñÿ ê f â ìåòðèêå C[a, b], åñëè
max |fn (t) − f (t)| → 0 ïðè n → ∞.
t∈[a,b]
Ïîýòîìó ñõîäèìîñòü â C[a, b] ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ fn ê f åñòü ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé fn (t) ê ôóíêöèè f (t) íà
îòðåçêå [a, b].
Çàäà÷à 3.1. Ïðîñòðàíñòâî C[a, b] ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì
îòíîñèòåëüíî íîðìû
kf k = max |f (t)|.
t∈[a,b]
Çàäà÷à 3.2. ×òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿåò øàð S1 (0) â C[a, b]?
3.1. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà C[A, B], C M [A, B] 37
C[a, b] ñåïàðàáåëüíîå ïðîñòðàíñòâî. Ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî â íåì îáðàçóþò ìíîãî÷ëåíû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè PQ [a, b]. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîé ìíîãî÷ëåí ìîæíî ñêîëü óãîäíî òî÷íî
ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïîýòîìó
PQ [a, b] âñþäó ïëîòíî âî ìíîæåñòâå âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P [a, b]:
PQ [a, b] ⊂
→ P [a, b]
Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè, ïîýòîìó
P [a, b] ⊂
→ C[a, b].
 ñëåäóþùèõ ãëàâàõ áóäåò äîêàçàíà ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà C[a, b]. Òàêèì îáðàçîì, C[a, b] ñåïàðàáåëüíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî.
Íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå
[a, b] ôóíêöèé çàäàäèì ìåòðèêó ïî ïðàâèëó
ρ(f, g) = max |f (t) − g(t)| + max |f 0 (t) − g 0 (t)|.
t∈[a,b]
t∈[a,b]
(3.1)
Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn ê f ïî ýòîé ìåòðèêå îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé fn (t) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (t) íà
îòðåçêå [a, b], è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîäíûõ fn0 (t) òàêæå ñõîäèòñÿ ê
f 0 (t) ðàâíîìåðíî.
Çàäà÷à 3.3. Ïðîñòðàíñòâî C 1 [a, b] ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì
îòíîñèòåëüíî íîðìû
kf k = max |f (t)| + max |f 0 (t)|.
t∈[a,b]
t∈[a,b]
Çàäà÷à 3.4. ×òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿåò øàð S1 (0) â C 1 [a, b]?
Çàäà÷à 3.5. Äîêàæèòå ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà C 1 [a, b].
 C 1 [a, b] ìîæíî çàäàòü ýêâèâàëåíòíóþ ìåòðèêó ïî ïðàâèëó:
ρ1 (f, g) = max(max |f (t) − g(t)|, max |f 0 (t) − g 0 (t)|)
t∈[a,b]
t∈[a,b]
3.1. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà C[A, B], C M [A, B] 38
Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ìåòðèê ρ (3.1) è ρ1 âûïîëíÿåòñÿ äâîéíîå íåðàâåíñòâî:
ρ1 (f, g) 6 ρ(f, g) 6 2ρ1 (f, g).
Çàäà÷à 3.6. Ïðèâåäèòå äðóãèå ïðèìåðû ìåòðèê â C 1 [a, b], ýêâèâàëåíòíûõ ρ (3.1).
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî m ðàç íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [a, b].
Çàäà÷à 3.7. Ïóñòü C m [a, b] ìíîæåñòâî âñåõ m ðàç íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà êîíå÷íîì îòðåçêå [a, b]. Äîêàæèòå, ÷òî
ρ(f, g) = sup max |f (n) (t) − g (n) (t)|.
06n6m t∈[a,b]
(3.2)
ìåòðèêà íà C m [a, b].
Çàäà÷à 3.8. ×òî îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå C m [a, b]?
Çàäà÷à 3.9. Ïðîñòðàíñòâî C m [a, b] ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì
îòíîñèòåëüíî íîðìû
kf k = sup max |f (n) (t)|.
06n6m t∈[a,b]
Çàäà÷à 3.10. Äîêàæèòå ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà C m [a, b].
Çàäà÷à 3.11. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìåòðèêè íà ìíîæåñòâå m ðàç
íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûõ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé, ýêâèâàëåíòíîé
(3.2).
Ïîçæå ìû äîêàæåì ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà C m [a, b].
Åñëè Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn , òî ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ
â çàìûêàíèè Ω ôóíêöèé C(Ω) è m ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ â
çàìûêàíèè Ω ôóíêöèé C m (Ω) îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî.
3.2. Ïðèìåðû ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ
39
3.2 Ïðèìåðû ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ
Íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ íà èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèé òàêæå ìîæíî çàäàòü ìåòðèêó. Ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ òà æå êîíñòðóêöèÿ, ÷òî è äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìåòðèêè â ïðîñòðàíñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé S . Ïîëó÷åííîå ïðîñòðàíñòâî íîðìèðîâàííûì íå áóäåò, îíî ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûì.
Îïðåäåëåíèå 3.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn â ëèíåéíîì íîðìèðîâàííîì
ïðîñòðàíñòâå X íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, åñëè kxn − xm k → 0 ïðè
n, m → ∞.
Îïðåäåëåíèå 3.2. Äâå íîðìû â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå X íàçûâàþòñÿ
ñîãëàñîâàííûìè, åñëè ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ X , ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïî êàæäîé èç ýòèõ íîðì è ñõîäÿùàÿñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó x ∈ X
ïî îäíîé èç ýòèõ íîðì, ñõîäèòñÿ ê òîìó æå ïðåäåëó è ïî âòîðîé íîðìå.
Îïðåäåëåíèå 3.3. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíîíîðìèðîâàííûì, åñëè â íåì çàäàíà ñ÷åòíàÿ ñèñòåìà ñîãëàñîâàííûõ äðóã
ñ äðóãîì íîðì kxkn ,
n = 1, 2, . . ..
 êàæäîì ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââåñòè ìåòðèêó
ïî ïðàâèëó:
∞
X
1 kf − gkn
ρ(f, g) =
.
n 1 + kf − gk
2
n
n=1
(3.3)
Âìåñòî íîðì â (3.3) ìîãóò çàäàâàòüñÿ ïîëóíîðìû. Ïîëóíîðìà îòëè÷àåòñÿ
îò íîðìû òåì, ÷òî èç ðàâåíñòâà íóëþ kf k = 0 íå ñëåäóåò, ÷òî f = 0.
Ïðèìåð 3.1. Ïðîñòðàíñòâî C(a, b) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ íà èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèé f (t) ñî ñ÷åòíîé ñèñòåìîé ïîëóíîðì:
kf kn = max |f (t)|,
t∈Kn
(a, b) =
∞
[
Kn ,
n=1
Kn êîìïàêòíûå ìíîæåñòâà (â äàííîì ñëó÷àå îòðåçêè), òàêèå, ÷òî
Kn ⊂ Kn+1 .
3.2. Ïðèìåðû ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ
40
Ìåòðèêà â C(a, b) çàäàåòñÿ ïî ïðàâèëó
∞
max |f (t) − g(t)|
X
1 t∈Kn
ρ(f, g) =
.
n 1 + max |f (t) − g(t)|
2
n=1
(3.4)
t∈Kn
Ñõîäèìîñòü ïî ìåòðèêå ρ (3.4) ýòî ðàâíîìåðíàÿ íà ëþáîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå Kn ñõîäèìîñòü ôóíêöèé.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå íà ïðÿìîé.
Çàäà÷à 3.12. Äîêàæèòå, ÷òî íà ìíîæåñòâå C(R) âñåõ íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé íà R ìîæíî ââåñòè ìåòðèêó
∞
max |f (t) − g(t)|
X
1 −n6t6n
ρ(f, g) =
2n 1 + max |f (t) − g(t)|
n=1
−n6t6n
Çàäà÷à 3.13. ×òî îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü â C(R)?
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî C(Ω) äëÿ ëþáîé îáëàñòè Ω ∈
Rn .
Òåïåðü ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ
ôóíêöèé íà îòðåçêå.
Çàäà÷à 3.14. Ïóñòü C ∞ [a, b] ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà êîíå÷íîì îòðåçêå [a, b]. Äîêàæèòå, ÷òî
max |f (n) (t) − g (n) (t)|
∞
X
1 t∈[a,b]
ρ(f, g) =
2n 1 + max |f (n) (t) − g (n) (t)|
n=1
t∈[a,b]
ìåòðèêà íà C ∞ [a, b].
Çàäà÷à 3.15. Êàêîâ ñìûñë ñõîäèìîñòè â C ∞ [a, b]?
Çàäà÷à 3.16. Äîêàæèòå ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà C ∞ [a, b].
Ñòðóêòóðó ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæíî òàêæå ââåñòè
íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé, áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà ïðÿìîé.
Çàäà÷à 3.17. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì óïðàæíåíèÿì îïðåäåëèòå ìåòðèêó íà C ∞ (R).
Ãëàâà 4
Ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà
4.1 Ïðîñòðàíñòâà Lp(a, b), 1 6 p < ∞
Ïðîñòðàíñòâî Lp (a, b), 1 6 p < ∞ (ñðàâíèòå ñ îïðåäåëåíèåì `p ) ñîñòîèò
èç ôóíêöèé f (x), èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó, òàêèõ, ÷òî ñóùåñòâóåò èíòåãðàë
Ëåáåãà îò p-îé ñòåïåíè f (x)
Zb
|f (x)|p dx < ∞,
a
è ðàññòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
 b
Z
ρp (f, g) =

|f (x) − g(x)|p dx
1/p

.

a
Äâå ôóíêöèè, îòëè÷àþùèåñÿ íà ìíîæåñòâå ìåðû íîëü, îòîæäåñòâëÿþòñÿ
êàê ýëåìåíòû Lp (a, b).
Ñòðîãî ãîâîðÿ, ýëåìåíòàìè ïðîñòðàíñòâà Lp (a, b) ÿâëÿþòñÿ êëàññû ýêâèâàëåíòíûõ (ò.å. îòëè÷àþùèõñÿ íà ìíîæåñòâå ìåðû íîëü) ôóíêöèé, à ðàññòîÿíèå ìåæäó êëàññàìè îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè èõ
ïðåäñòàâèòåëÿìè.
Âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà â Lp (a, b) ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî äëÿ èíòåãðàëîâ:
 b
Z

a
|f (x) + g(x)|p dx
1/p


 b
Z
6

a
|f (x)|p dx
1/p


 b
Z
+

a
|g(x)|p dx
1/p


,
(4.1)
4.1. Ïðîñòðàíñòâà LP (A, B), 1 6 P < ∞
42
1 6 p < ∞, êîòîðîå (ïðè p 6= 1) âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà:
¯ b
¯  b
1/p  b
1/q
¯Z
¯ Z
Z



¯
¯
1 1
p
q
¯ f (x)g(x)dx¯ 6
|f
(x)|
dx
|g(x)|
dx
,
+ = 1,
¯
¯ 



p
q
¯
¯
a
a
a
(4.2)
1 < p, q < ∞.
Çàäà÷à 4.1. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà (4.2) äëÿ èçìåðèìûõ ïî
Ëåáåãó ôóíêöèé.
Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòå íåðàâåíñòâî Þíãà (1.5).
Çàäà÷à 4.2. Äîêàæèòå, ÷òî íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî, åñëè

|g(x)|q
|f (x)|p


= b
,



R
 Rb
|f (x)|p dx
|g(x)|q dx
a
a




ïî÷òè

 sgn f (x)g(x) = const.
âñþäó
Çàäà÷à 4.3. Âûâåäèòå íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî (4.1) èç íåðàâåíñòâà
Ãåëüäåðà.
Çàäà÷à 4.4. Ïðîâåðüòå âûïîëíåíèå àêñèîì ìåòðèêè äëÿ ρp (f, g).
Çàäà÷à 4.5. Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå
[0, 1] ôóíêöèé C[0, 1] âñþäó ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå Lp (0, 1) , óñòàíîâèòå
ñåïàðàáåëüíîñòü Lp (0, 1) ïðè 1 6 p < ∞.
Äàëåå â ýòîé ãëàâå ÷åðåç kf kLp (a,b) îáîçíà÷àåòñÿ íîðìà ôóíêöèè f â
ïðîñòðàíñòâå Lp (a, b):
 b
Z
kf kLp (a,b) =

a
|f (x)|p dx
1/p


.
4.1. Ïðîñòðàíñòâà LP (A, B), 1 6 P < ∞
43
Ïðè p = q = 2 èç íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà (4.2) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî:
¯ b
¯  b
1/2  b
1/2
¯Z
¯ Z
Z



¯
¯
2
2
¯ f (x)g(x) dx¯ 6
¯
¯  |f (x)| dx  |g(x)| dx .
¯
¯
a
a
(4.3)
a
Ïðîñòðàíñòâî L2 (a, b) îòëè÷àåòñÿ îò ïðî÷èõ Lp (a, b) òåì, ÷òî â íåì
ìîæíî çàäàòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî
ïðîèçâåäåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 4.1. Ïóñòü X ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàä ïîëåì C.
Ôóíêöèÿ (, ) : X × X 7−→ C íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì, åñëè
îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì:
1. (x, x) > 0,
ïðè÷åì (x, x) = 0 ⇔ x = 0;
2. (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z);
3. (x, y) = (y, x);
∀x, y, z ∈ X , ∀α, β ∈ C, ÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.
 ñëó÷àå âåùåñòâåííîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñèììåòðè÷íî.
Çàäà÷à 4.6. Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà
Zb
(f, g) =
f (x)g(x) dx
a
çàäàåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â âåùåñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå L2 (a, b).
Íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî (4.3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
|(f, g)| 6 kf kL2 (a,b) kgkL2 (a,b) .
Îïðåäåëèì êîñèíóñ óãëà ìåæäó ýëåìåíòàìè ïðîñòðàíñòâà L2 (a, b) ïî
ôîðìóëå
dg) =
cos(f,
dg)
(f,
.
kf kL2 (a,b) kgkL2 (a,b)
4.1. Ïðîñòðàíñòâà LP (A, B), 1 6 P < ∞
44
Òîãäà íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî äîïóñêàåò ñëåäóþùóþ òðàêòîâêó: êîñèíóñ ïî ìîäóëþ íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöó.
Çàäà÷à 4.7. Ðàâåíñòâî â íåðàâåíñòâå Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî âûïîëíÿåòñÿ
dg)| = 1).
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f (x) = c g(x) (òî åñòü | cos(f,
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèÿ î ïðîñòðàíñòâàõ Lp (a, b), 1 6 p <
∞, êîòîðûå äîêàçûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà (4.2).
Ïðèìåð 4.1. Ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå:
Lp (a, b) ⊂ Lq (a, b) ïðè p > q.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f ∈ Lp (a, b). Òîãäà q -þ ñòåïåíü íîðìû f â ïðîñòðàíñòâå Lq (a, b) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
Zb
kf kqLq (a,b) =
Zb
|f (x)|q dx =
a
1 · |f (x)|q dx.
a
Ê ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà ñ ñîïðÿ-
1 1
+ = 1.
r s
 1s
 b
 1r  b
Z
Zb
Z
1 · |f (x)|q dx 6  1 dx ·  |f (x)|qs dx .
æåííûìè ïîêàçàòåëÿìè r è s:
a
a
a
p
p
è ó÷èòûâàÿ, ÷òî òîãäà r =
, ïåðåïèøåì ïðàâóþ ÷àñòü
q
p−q
ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà â âèäå
 b
 1r  b
 1s
Z
Z
p−q
 1 dx ·  |f (x)|qs dx = (b − a) p kf kqL .
p
Ïîëîæèâ s =
a
a
Îêîí÷àòåëüíî,
kf kqLq (a,b) 6 (b − a)
p−q
p
kf kqLp (a,b) .
Èçâëåêàÿ ñòåïåíü q , ïðèõîäèì ê îöåíêå:
p−q
kf kLq (a,b) 6 (b − a) p q kf kLp (a,b) ,
p > q.
(4.4)
4.1. Ïðîñòðàíñòâà LP (A, B), 1 6 P < ∞
45
Çàäà÷à 4.8. Ïóñòü 1 6 p < r < q < ∞. Òîãäà ëþáàÿ ôóíêöèÿ
f ∈ Lp (a, b) ∩ Lq (a, b) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Lr (a, b), è âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
kf kLr (a,b) 6 kf kαLp (a,b) kf kβLq (a,b) ,
ãäå α =
1/p − 1/r
1/r − 1/q
,β=
.
1/p − 1/q
1/p − 1/q
Íîðìó ôóíêöèè â Lr ìîæíî îöåíèòü òàêæå ÷åðåç ñóììó äâóõ ñëàãàåìûõ, îäíî èç êîòîðûõ âåëèêî, à äðóãîå ìàëî.
Çàäà÷à 4.9. Ïóñòü f ∈ Lp (a, b), f ∈ Lq (a, b), p < q . Òîãäà f ∈ Lr (a, b) äëÿ
âñåõ r òàêèõ, ÷òî p < r < q , è äëÿ ëþáîãî ε > 0 âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà
kf kLq (a,b) 6 εkf kLp (a,b) + ε−µ kf kLq (a,b) ,
ãäå
µ=
1
r
1
p
−
−
1
q
1,
r
(4.5)
1 6 p < r < q < ∞.
Óêàçàíèå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóéòåñü èíòåðïîëÿöèîííûì
íåðàâåíñòâîì Þíãà
1
α
1
ab 6 εa α + ε− β b β ,
(4.6)
êîòîðîå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ε > 0, äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ a è b,
α > 0, β > 0, α + β = 1.
Ïðèìåð 4.2. Ïóñòü f ∈ Lp (a, b), g ∈ Lq (a, b). Òîãäà f g ïðèíàäëåæèò
Ls (a, b), ãäå ïîêàçàòåëü s îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàâåíñòâà:
1 1 1
= +
s p q
è âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà:
kf gkLs (a,b) 6 kf kLp (a,b) kgkLq (a,b) .
q
p
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì p0 = , q 0 = . Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
s
s
1 1
+ = 1. Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà ñ ñîïðÿæåííûìè ïîêàçàòåëÿìè
p0 q 0
4.1. Ïðîñòðàíñòâà LP (A, B), 1 6 P < ∞
46
p0 , q 0 :

Zb
 ps 
Zb
Zb
|f (x)|p dx 
=
a
0
|g(x)|q s dx =
a
a

 q10
Zb
0
|f (x)|p s dx  
|f (x)g(x)|s dx 6 
a
 p10 
Zb
 qs
|g(x)|q dx = kf ksLp (a,b) kgksLq (a,b) .
a
Òàêèì îáðàçîì, kf gkLs (a,b) 6 kf kLp (a,b) kgkLq (a,b) .
Çàäà÷à 4.10. Ïóñòü f ∈ Lp (a, b), g ∈ Lq (a, b), h ∈ Lr (a, b), ïðè÷åì
1 1 1
+ + =1
r p q
Òîãäà f gh ñóììèðóåìà è âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
kf ghkL1 (a,b) 6 kf kLp (a,b) kgkLq (a,b) khkLr (a,b) .
Âåðíåìñÿ ê íåðàâåíñòâó Ìèíêîâñêîãî. Åñëè õîòÿ áû îäíà èç ôóíêöèé
f (x) èëè g(x) ðàâíà íóëþ ïî÷òè âñþäó, òî íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Åñëè æå íè îäíà èç ôóíêöèé íå îáðàùàåòñÿ â íîëü
ïî÷òè âñþäó, òî óñëîâèÿ îáðàùåíèÿ íåðàâåíñòâà â ðàâåíñòâî ôîðìóëèðóþòñÿ ïî-ðàçíîìó äëÿ ñëó÷àåâ p = 1 è p > 1.
Çàäà÷à 4.11. Ïðîâåðüòå, ÷òî ïðè p = 1 íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî, åñëè
sgn f (x) = sgn g(x),
(4.7)
f (x) = c g(x), c > 0.
(4.8)
à ïðè p > 1, åñëè
 ñëåäóþùåì ðàçäåëå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ðàçëè÷èå óñëîâèé (4.7) è
(4.8) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ìíîæåñòâà ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê øàðîâ â Lp (a, b)
ïðè p = 1 è p > 1 ðàçëè÷íû.
4.2. Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâàõ LP (0, 1) 47
4.2 Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1(0) â ïðîñòðàíñòâàõ Lp(0, 1)
Îïðåäåëåíèå 4.2. Ïóñòü X ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì R. Çàìêíóòûì îòðåçêîì, ñîåäèíÿþùèì òî÷êè a è b, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
òî÷åê
{f ∈ X | f = t a + (1 − t) b, t ∈ [0, 1]}.
Îïðåäåëåíèå 4.3. Ìíîæåñòâî M ⊂ X íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè
∀ m1 , m2 ∈ M îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé òî÷êè m1 è m2 , ïðèíàäëåæèò X .
Äàëåå â ýòîì ïàðàãðàôå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî M âûïóêëîå ìíîæåñòâî.
Îïðåäåëåíèå 4.4. Òî÷êà x∗ ∈ M íàçûâàåòñÿ ýêñòðåìàëüíîé òî÷êîé
ìíîæåñòâà M , åñëè x∗ íå ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé íèêàêîãî îòðåçêà, öåëèêîì ïðèíàäëåæàùåãî M .
Òî, ÷òî x∗ ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé, îçíà÷àåò
1
x∗ = (a + b), a, b ∈ M, a 6= b, b 6= x∗ .
2
(4.9)
Åñëè M - îòêðûòîå ìíîæåñòâî, òî äëÿ íåãî ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê íåò
ïî îïðåäåëåíèþ îòêðûòîãî ìíîæåñòâà.
Ïðèìåð 4.3. Ïóñòü â R3 çàäàíà åâêëèäîâà íîðìà
q
kxk =
x21 + x22 + x23 .
Ðàññìîòðèì çàìêíóòûé åäèíè÷íûé øàð
S 1 (0) = {x ∈ R3 | kxk 6 1}.
Òîãäà ìíîæåñòâî ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê ýòî ñôåðà
{x ∈ R3 | kxk = 1}.
p
'$
@
@p
p
O
&%
4.2. Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâàõ LP (0, 1) 48
Ïðèìåð 4.4. Ðàññìîòðèì â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R3 çàìêíóòûé
ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä
Π = {x ∈ R3 | |xi | 6 1;
1 6 i 6 n}.
Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè åãî âåðøèíû.
p
p¡
p
p
p
p¡
p
p¡
Ïðèìåð 4.5. Àíàëîãè÷íî, åñëè íà ïëîñêîñòè çàäàíà åâêëèäîâà ìåòðèêà,
òî ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè çàìêíóòîãî åäèíè÷íîãî êðóãà S̄1 (0) çàïîëíÿþò
îêðóæíîñòü. Åñëè æå íà ïëîñêîñòè çàäàòü ìåòðèêó ïî-äðóãîìó:
ρ1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |,
òàê, ÷òî
kxk = |x1 | + |x2 |,
òî çàìêíóòûé åäèíè÷íûé øàð â ýòîé ìåòðèêå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì.
Ñëåäîâàòåëüíî, ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè åãî âåðøèíû.
x2 6
¡¡@@
¡
@
@@O ¡¡
@¡
x1
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íå÷òî ïîäîáíîå íàáëþäàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé Lp . Åñëè p > 1, òî ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè çàìêíóòîãî åäèíè÷íîãî øàðà
çàïîëíÿþò ñôåðó. À åñëè p = 1, òî ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê íåò (ýëåìåíòû,
îòëè÷àþùèåñÿ íà ìíîæåñòâå ìåðû íîëü, îòîæäåñòâëÿþòñÿ)!
Ïðèìåð 4.6.  ïðîñòðàíñòâàõ Lp (0, 1), 1 < p < ∞ ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè çàìêíóòîãî øàðà çàïîëíÿþò ñôåðó {f | kf kLp = 1}. Äðóãèõ ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê íåò.
4.2. Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâàõ LP (0, 1) 49
Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ïåðâîì ýòàïå äîêàçàòåëüñòâà ðàññìîòðèì îòêðûòûé
øàð. Äîêàæåì, ÷òî íèêàêàÿ òî÷êà îòêðûòîãî øàðà S1 (0) íå ÿâëÿåòñÿ ýêñòðåìàëüíîé òî÷êîé çàìêíóòîãî øàðà S 1 (0).
Ïóñòü ñíà÷àëà f ïðèíàäëåæèò çàìêíóòîìó øàðó ðàäèóñà 21 :
1
kf kLp 6 .
2
Äîêàæåì, ÷òî íàéäóòñÿ ýëåìåíòû g, h ∈ S 1 (0) òàêèå, ÷òî f ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî g è h: f = 21 (g + h).
1
2
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïîëîæèòü g = 2f, h = 0, òî f = (g + h) è
kgkLp = 2kf kLp 6 1;
khk = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, g, h ∈ S 1 (0) è íèêàêàÿ òî÷êà f ∈ S 1 (0) íå ÿâëÿåòñÿ ýêñ2
òðåìàëüíîé òî÷êîé øàðà S 1 (0).
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñôåðè÷åñêèé ñëîé
1
< kf kLp < 1.
2
Ïóñòü kf kLp =
1
M,
ãäå 1 < M < 2, òîãäà f (x) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
f (x) = tf (x) + (1 − t)f (x),
M
1
, t ∈ ( , 1), òî åñòü
2
2
1
f (x) = [M f (x) + (2 − M )f (x)] .
2
Ïîëîæèì
g(x) = M f, h(x) = (2 − M )f (x).
ãäå t =
Òîãäà
1
2−M
= 1, khkLp = (2 − M )kf kLp =
.
M
M
Òàê êàê M > 1,òî 2 − M < M . Ñëåäîâàòåëüíî,
kgkLp = M kf kLp = M
2−M
M
<
= 1.
M
M
Ïîýòîìó khkLp < 1 è g, h ∈ S 1 (0). Òàêèì îáðàçîì, íèêàêàÿ òî÷êà îòêðûòîãî øàðà íå ìîæåò áûòü ýêñòðåìàëüíîé òî÷êîé çàìêíóòîãî øàðà.
4.2. Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâàõ LP (0, 1) 50
Çàìå÷àíèå 4.1. Åñëè ðàññìîòðåòü ft = tg + (1 − t)h, g , h ∈ S 1 (0), t ∈
[0, 1], òî ïî ñâîéñòâó íîðìû ft ∈ S 1 (0), t ∈ [0, 1], ò. å.
kft kLp 6 t kgkLp + (1 − t)khkLp 6 t · 1 + (1 − t) · 1 = 1.
Çàìå÷àíèå 4.2.  ïðîâåäåííîì äîêàçàòåëüñòâå âàæíî, ÷òî f 6= g , f 6=
h, ò. å. îòðåçîê íå âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó.
Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî òî÷êè ñôåðû
{f | kf kLp = 1}
ÿâëÿþòñÿ ýêñòðåìàëüíûìè òî÷êàìè çàìêíóòîãî øàðà S 1 (0).
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîé
òî÷êè f åäèíè÷íîé ñôåðû íàéäóòñÿ ýëåìåíòû g, h, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò
çàìêíóòîìó øàðó S 1 (0) è f ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî g
è h:
1
f = (g + h).
2
Ïðè ýòîì f 6= g, f 6= h. Òîãäà, ïî íåðàâåíñòâó Ìèíêîâñêîãî
1
1 = kf kLp = kg + hkLp 6
2
1
6 (kgkLp + khkLp ).
2
Òàê êàê kgkLp 6 1 è khkLp 6 1, òî çíàê ñòðîãîãî íåðàâåíñòâà â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå íåâîçìîæåí, ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìî, ÷òîáû êàæäàÿ
èç íîðì ðàâíÿëàñü åäèíèöå: kgkLp = 1, khkLp = 1.
Òîãäà
kg + hkLp = kgkLp + khkLp .
(4.10)
Ïîñêîëüêó 1 < p < ∞ (ýòî âàæíî!), òî g = c h, c > 0. Ïîýòîìó
1
c+1
f = (c h + h) =
h.
2
2
c+1
= 1. Ñëåäîâàòåëüíî, c = 1. Òîãäà
Òàê êàê kf kLp = 1, khkLp = 1, òî
2
g = h, f = h, ò. å. îòðåçîê ïðåâðàùàåòñÿ â òî÷êó ïðîòèâîðå÷èå.
Çàäà÷à 4.12. Ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê çàìêíóòîãî øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâå L1 (0, 1) íå ñóùåñòâóåò.
4.3. Ïðîñòðàíñòâî L∞ (A, B)
51
4.3 Ïðîñòðàíñòâî L∞(a, b)
Ïóñòü y = g(x) îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó ôóíêöèÿ íà èíòåðâàëå (a, b), òî
åñòü ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà M , ÷òî
g(x) 6 M
∀x ∈ (a, b).
Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü ôóíêöèè g(x).
Îïðåäåëåíèå 4.5. M∗ íàçûâàåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ (ñóïðåìóìîì)
ôóíêöèè g(x)
M∗ = sup g(x),
x∈ (a,b)
åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà
1) g(x) 6 M∗ , ò. å. M∗ îäíà èç âåðõíèõ ãðàíåé ôóíêöèè g(x);
2) ∀ ε > 0 ∃ xε 6= ∅, xε ∈ (a, b) : g(xε ) > M∗ − ε.
Ïóñòü òåïåðü g(x) îãðàíè÷åíà ñâåðõó ïî÷òè âñþäó íà èíòåðâàëå (a, b):
g(x) 6 M
ï.â.
x ∈ (a, b).
Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü ñóùåñòâåííûé ñóïðåìóì ôóíêöèè g(x).
Îïðåäåëåíèå 4.6. ×èñëî α∗ íàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííûì ñóïðåìóìîì
ôóíêöèè g(x)
α∗ = ess sup g(x),
x∈(a,b)
åñëè
1) g(x) 6 α∗ ïî÷òè âñþäó â (a, b).
2) ∀ ε > 0 ∃ (aε , bε ) ⊂ (a, b): mes(aε , bε ) 6= 0, ∀ x ∈ (aε , bε )
g(x) > α∗ − ε.
Ñóùåñòâåííûé ñóïðåìóì ìîæíî îïðåäåëèòü è ïî-äðóãîìó.
Îïðåäåëåíèå 4.7.
ess sup g(x) = inf {α| mes(x ∈ (a, b) : g(x) > α) = 0} .
x∈(a,b)
4.3. Ïðîñòðàíñòâî L∞ (A, B)
52
Çàäà÷à 4.13. Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ îïðåäåëåíèé ñóùåñòâåííîãî ñóïðåìóìà.
Ïðîñòðàíñòâî L∞ (a, b) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî èçìåðèìûõ íà
(a, b) ôóíêöèé f (x), äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà αf , çàâèñÿùàÿ îò f òàêàÿ, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ (a, b) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
|f (x)| 6 αf ,
è íîðìà f îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóùåñòâåííûé ñóïðåìóì ìîäóëÿ ôóíêöèè f (x):
kf kL∞ = ess sup |f (x)|,
x∈(a,b)
ãäå
ess sup |f (x)| = inf {α| mes(x ∈ (a, b) : |f (x)| > α) = 0}.
α∈R
x∈(a,b)
Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ î ïðîñòðàíñòâå L∞ (a, b):
Çàäà÷à 4.14. L∞ (a, b) íå ñåïàðàáåëüíîå ïðîñòðàíñòâî.
Çàäà÷à 4.15. Ïðîñòðàíñòâî L∞ (a, b) âëîæåíî â êàæäîå èç ïðîñòðàíñòâ
Lp (a, b) ïðè 1 6 p < ∞:
L∞ (a, b) ⊂
∞
\
Lp (a, b),
p=1
ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
kf kLp (a,b) 6 (b − a)1/p kf kL∞ (a,b)
∀p : 1 6 p < ∞.
Çàäà÷à 4.16. Ïóñòü f ∈ L1 (a, b), g ∈ L∞ (a, b). Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî
Ãåëüäåðà:
¯ b
¯
¯Z
¯ Zb
¯
¯
¯ f (t)g(t)dt¯ 6 |f (t)|dt ess sup |g(t)|.
¯
¯
t∈(a,b)
¯
¯
a
a
Ïðåæäå, ÷åì ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå î ïðîñòðàíñòâå
L∞ (a, b), íàïîìíèì åãî êîíå÷íîìåðíûé àíàëîã.
4.3. Ïðîñòðàíñòâî L∞ (A, B)
53
Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå Rn ïðè 1 6 p < ∞ çàäàíû íîðìû
kxkp =
" n
X
# p1
|xi |p
,
i=1
à òàêæå ìàêñèìóì-íîðìà
kxk∞ = max |xi |.
16i6n
Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ Rn ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå
kxk∞ = lim kxkp
p→∞
Àíàëîãè÷íàÿ ñâÿçü ñóùåñòâóåò ìåæäó íîðìàìè â ïðîñòðàíñòâàõ
Lp (a, b) ïðè 1 < p < ∞ è íîðìîé â ïðîñòðàíñòâå L∞ (a, b).
Ïðèìåð 4.7. Ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå
kf kL∞ (a,b) = lim kf kLp (a,b) .
p→∞
Äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû ïåðåéòè ê ïðåäåëó, îöåíèì kf kLp (a,b) ñâåðõó è ñíèçó. Ñ îäíîé ñòîðîíû:

 p1
Zb
kf kLp (a,b) = 
1
|f (x)|p dx  6 ess sup |f (x)| (b − a) p ,
1 6 p < ∞.
x∈(a,b)
a
Òàêèì îáðàçîì,
1
kf kLp (a,b) 6 (mes Ω) p kf kL∞ (a,b) .
(4.11)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ ñóùåñòâåííîãî ñóïðåìóìà, äëÿ ëþáîãî
ε > 0 íàéäåòñÿ èíòåðâàë íåíóëåâîé äëèíû (aε , bε ), êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì (a, b) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ x èç ýòîãî èíòåðâàëà ñïðàâåäëèâà
îöåíêà
∀ x ∈ (aε , bε ) |f (x)| > kf kL∞ (a,b) − ε.
Âîçâåäåì ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî â ñòåïåíü p è ïðîèíòåãðèðóåì ïî èíòåðâàëó (aε , bε ). Ïîëó÷èì
Zbε
aε
¡
¢p
|f (x)|p dx > kf kL∞ (a,b) − ε (bε − aε ).
4.4. Ïðîñòðàíñòâà LP,
54
LOC (Ω)
Òîãäà
1
kf kLp (a,b) > kf kLp (aε ,bε ) > (kf kL∞ (a,b) − ε)(bε − aε ) p .
(4.12)
Èç (4.11) (4.12) ñëåäóåò äâîéíîå íåðàâåíñòâî
1
1
(kf kL∞ (a,b) − ε)(bε − aε ) p 6 kf kLp (a,b) 6 (bε − aε ) p kf kL∞ (a,b) .
(4.13)
Óñòðåìèâ p → +∞, ïîëó÷èì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî.
Äîêàçàííûå óòâåðæäåíèÿ ïîçâîëÿþò ðàññìàòðèâàòü øêàëó ïðîñòðàíñòâ Lp (a, b) ïðè 1 6 p 6 ∞.
Çàäà÷à 4.17. Óñòàíîâèòå äëÿ êîíå÷íîãî èíòåðâàëà (a, b) òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûå âêëþ÷åíèÿ
L∞ (a, b) ⊂ Lp (a, b) ⊂ Lq (a, b) ⊂ L1 (a, b),
1 < q < p < ∞.
Ñîõðàíÿþòñÿ ëè óêàçàííûå âêëþ÷åíèÿ äëÿ íåîãðàíè÷åííîãî èíòåðâàëà?
Çàäà÷à 4.18. Èç ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî íà
L∞ (a, b) îïðåäåëåíû âñå ìåòðèêè ρp (f, g), 1 6 p < ∞. ßâëÿþòñÿ ëè îíè
ýêâèâàëåíòíûìè?
Çàäà÷à 4.19. Íàéäèòå íîðìó ôóíêöèè f (t) = tα â òåõ ïðîñòðàíñòâàõ
Lp (0, 1), 1 6 p 6 ∞, êîòîðûì ýòà ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæèò.
4.4 Ïðîñòðàíñòâà Lp, loc(Ω)
Ïóñòü Ω îáëàñòü â Rn , íå îáÿçàòåëüíî îãðàíè÷åííàÿ. Ìíîæåñòâî èçìåðèìûõ â Ω ôóíêöèé, p-àÿ ñòåïåíü ìîäóëÿ êîòîðûõ èíòåãðèðóåìà ïî ëþáîé
îãðàíè÷åííîé ñòðîãî âíóòðåííåé ïîäîáëàñòè Ω0 îáëàñòè Ω, Ω0 b Ω, îáîçíà÷èì ÷åðåç Lp, loc (Ω).
Î÷åâèäíî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå Lp (Ω) ⊂ Lp, loc (Ω).
 ïðîñòðàíñòâå Lp, loc (Ω) ìîæíî ââåñòè ñ÷åòíóþ ñèñòåìó ïîëóíîðì.
Ïóñòü Kn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ äðóã â äðóãà îãðàíè÷åííûõ
è çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ : Kn ⊂ Kn+1 òàêèõ, ÷òî
∞
Ω = ∪ Kn .
n=1
4.4. Ïðîñòðàíñòâà LP,
55
LOC (Ω)
Çàäàäèì ñåìåéñòâî ïîëóíîðì
kf kn = kf kLp (Kn ) .
Òîãäà ðàññòîÿíèå â Lp, loc (Ω) ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå:
∞
X
1 kf − gkn
.
ρ(f, g) =
n 1 + kf − gk
2
n
n=1
Ïðèìåð 4.8. Ïóñòü x ∈ R. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
f (x) =
1
,
(1 − |x|)α
α > 0.
Îíà ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâàì L1, loc (|x| < 1), L2, loc (|x| < 1) äëÿ
ëþáîãî α. Â òî æå âðåìÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæèò L1 (|x| < 1) òîëüêî ïðè
1
α < 1, è f ∈ L2 (|x| < 1) ïðè α < .
2
Ãëàâà 5
Íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé
Àíàëîãè÷íî ïîíÿòèþ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé ôîðìóëèðóåòñÿ ïîíÿòèå
íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèé ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ. Ñíà÷àëà ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïóñòü (X, ρ), (Y, d) ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà.
Îòîáðàæåíèå f : X → Y íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì â òî÷êå x0 , åñëè
äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ∈ X èç òîãî, ÷òî xn → x0 ïî ìåòðèêå
ρ, ñëåäóåò, ÷òî f (xn ) → f (x0 ) ïî ìåòðèêå d ïðè n → ∞.
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèé íà
ÿçûêå ε δ .
Îïðåäåëåíèå 5.2. Îòîáðàæåíèå f : X → Y íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì â
òî÷êå x0 , åñëè
∀ε > 0∃δ > 0∀x : ρ(x, x0 ) < δ =⇒ d(f (x), f (x0 )) < ε.
Çàäà÷à 5.1. Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ ñôîðìóëèðîâàííûõ îïðåäåëåíèé.
Îïðåäåëåíèå 5.3. Îòîáðàæåíèå f : X → Y íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì,
åñëè îíî íåïðåðûâíî â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà X .
Çàäà÷à 5.2. Ïîêàæèòå íåïðåðûâíîñòü ìåòðèêè ρ : X × X → R â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (X, ρ).
57
Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòå â äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè ïðîèçâåäåíèè X×
X îäíó èç ýêâèâàëåíòíûõ ìåòðèê
d1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) =
¡
¢1/2
ρ2 (x1 , y1 ) + ρ2 (x2 , y2 )
,
d2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ρ(x1 , y1 ) + ρ(x2 , y2 ),
d3 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max(ρ(x1 , y1 ), ρ(x2 , y2 ))
∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ X × X è âîñïîëüçóéòåñü íåðàâåíñòâîì ÷åòûðåõóãîëüíèêà
|ρ(x, z) − ρ(y, t)| 6 ρ(x, y) + ρ(z, t).
Çàäà÷à 5.3. Äîêàæèòå ñëåäóþùèå êðèòåðèè íåïðåðûâíîñòè: îòîáðàæåíèå f : X → Y íåïðåðûâíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà U ⊂ Y (çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà F ⊂ Y ) ìíîæåñòâî f −1 (U ) îòêðûòî â X (f −1 (F ) çàìêíóòî â X ).
Çàäà÷à 5.4. ßâëÿåòñÿ ëè íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèå f : C[0, 1] →
C[0, 1], îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé f (x(t)) = x3 (t)?
Ïðèìåð 5.1. Íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [0, 1] ôóíêöèé ââåäåì èíòåãðàëüíóþ ìåòðèêó
Z1
ρ1 (f, g) =
|f (t) − g(t)|dt.
0
Ïîëó÷èâøååñÿ ôóíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî îáîçíà÷èì R1 [0, 1]. Ïîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå
f : R1 [0, 1] → R1 [0, 1],
îïðåäåëÿåìîå ñîîòíîøåíèåì
f (x(t)) = x2 (t).
íå áóäåò íåïðåðûâíûì â ýòîé ìåòðèêå.
58
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî äàííîå îòîáðàæåíèå íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì â íóëå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé xn (t), äëÿ êîòîðûõ
Z1
ρ1 (xn , 0) =
|xn (t)|dt → 0,
0
à
Z1
ρ1 (x2n , 0) =
|xn (t)|2 dt 6→ 0,
0
ïðè n → ∞.
 êà÷åñòâå xn (t) âûáåðåì êóñî÷íî-ëèíåéíóþ ôóíêöèþ
(
xn (t) =
Òîãäà
bn (1 − t/an )
ïðè
0 6 t 6 an ;
0
ïðè
an 6 t 6 1.
an b2n
=
.
3
√
1
Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî âûáðàòü, íàïðèìåð, an = , bn = n.
n
an bn
ρ(xn , 0) =
,
2
ρ(x2n , 0)
Çàäà÷à 5.5. Ïóñòü X ìíîæåñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ
ôóíêöèé íà [0, 1], äëÿ êîòîðûõ x(0) = 0, ñ ìåòðèêîé
ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)|.
06t61
ßâëÿåòñÿ ëè íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèå f : (X, ρ) → C[0, 1], îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé
f (x)(t) =
x(t)
?
t
Çàäà÷à 5.6. ßâëÿþòñÿ ëè íåïðåðûâíûìè ñëåäóþùèå îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà C[0, 1] â ñåáÿ:
59
Zt
à)f (x)(t) =
x(s)ds,
0
á)f (x)(t) = x(tα ), α > 0
Zt
x2 (s)ds?
â)f (x)(t) =
0
Çàäà÷à 5.7. Òîò æå âîïðîñ äëÿ ïðîñòðàíñòâà L2 (0, 1).
Ãëàâà 6
Ïîëíîòà ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ
6.1 Îïðåäåëåíèå ïîëíîòû
Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, åñëè ρ(xn , xm ) → 0 ïðè n, m → ∞.
Èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé. Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.
Ïðèìåð 6.1. Ïóñòü X = [0, 1), ρ(x, y) = |x − y|. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
1
ôóíäàìåíòàëüíà, íî íå ñõîäèòñÿ â äàííîì ïðîñòðàíñòâå.
n
Ïðèìåð 6.2. Ïóñòü X = Q (ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë),
xn =
ρ(x, y) = |x − y|.
Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
µ
xn =
1
1+
n
¶n
ôóíäàìåíòàëüíà, íî íå ñõîäèòñÿ â äàííîì ïðîñòðàíñòâå.
Îïðåäåëåíèå 6.2. Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè êàæäàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â íåì ñõîäèòñÿ.
Ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q ñ îáû÷íîé ìåòðèêîé ÿâëÿåòñÿ
íåïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè, Rn ñ
6.2. Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû
61
ëþáîé èç ìåòðèê
"
ρp (x, y) =
n
X
# p1
|xi − yi |p
,
16p6∞
i=1
ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.
Íà ïðèìåðå ìíîæåñòâà íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå ôóíêöèé ïîêàæåì,
êàê îäíî è òî æå ìíîæåñòâî ìîæíî ïðåâðàòèòü â ïîëíîå èëè íåïîëíîå
ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, çàäàâàÿ ïî-ðàçíîìó ìåòðèêó.
6.2 Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû
Íàïîìíèì, ÷òî C[a, b] ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé ñ ìàêñèìóì-ìåòðèêîé:
ρ(f, g) = max |f (t) − g(t)|.
t∈[a,b]
Ñõîäèìîñòü â C[a, b] ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ fn åñòü ðàâíîìåðíàÿ
ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé fn (t) íà îòðåçêå [a, b].
Ïðèìåð 6.3. Äîêàæåì, ÷òî C[a, b] ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíàÿ â C[a, b] ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Íàäî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ýëåìåíò f ∈ C[a, b] òàêîé, ÷òî
ρ(fn , f ) → 0.
Ïî îïðåäåëåíèþ ôóíäàìåíòàëüíîñòè {fn } â C[a, b]:
max |fn (t) − fm (t)| → 0
t∈[a,b]
n, m → ∞.
(6.1)
Íàøà ïåðâàÿ çàäà÷à âûäåëèòü ýëåìåíò, "ïîäîçðåâàåìûé"â òîì, ÷òî
îí ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äëÿ ýòîãî ïðèìåíÿåòñÿ
óæå äîêàçàííûé ôàêò ïîëíîòà R ñ îáû÷íîé ìåòðèêîé.
Èç (6.1) ñëåäóåò áîëåå ñëàáîå óòâåðæäåíèå: äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî t
|fn (t) − fm (t)| → 0
n, m → ∞.
6.2. Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû
62
Òî åñòü ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t fn (t) ôóíäàìåíòàëüíàÿ ÷èñëîâàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òàê êàê âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ ñ îáû÷íîé ìåòðèêîé ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî t ñóùåñòâóåò (ïîòî÷å÷íûé!) ïðåäåë, îáîçíà÷èì åãî f (t):
lim fn (t) = f (t).
n→∞
Îñòàëîñü äîêàçàòü äâà óòâåðæäåíèÿ: 1) fn ñõîäèòñÿ ê f â ìåòðèêå
C[a, b], òî åñòü ðàâíîìåðíî ïî t ∈ [a, b]; 2) f ýëåìåíò C[a, b].
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè â îïðåäåëåíèè ôóíäàìåíòàëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (6.1) ôèêñèðóåì n > N , à m óñòðåìèì ê
áåñêîíå÷íîñòè. Òîãäà ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó:
∀ε > 0∃N : ∀n > N max |fn (t) − f (t)| 6 ε,
t∈[a,b]
êîòîðîå ïîêàçûâàåò, ÷òî ñõîäèìîñòü ðàâíîìåðíàÿ.
Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî f ∈ C[a, b], òî åñòü ðàâíîìåðíûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Äëÿ ëþáîãî t0 ∈ [a, b] îöåíèì ìîäóëü ðàçíîñòè f (t) è f (t0 ), âîñïîëüçîâàâøèñü
ε/3-ïðèåìîì. Âûáåðåì n òàêèì, ÷òîáû
ε
max |fn (t) − f (t)| < .
3
t∈[a,b]
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè fn (t), ïîäáåðåì δ òàê, ÷òîáû èç |t−t0 | < δ ñëåäîâàëî
|fn (t) − fn (t0 )| < ε/3.
Òîãäà, åñëè |t − t0 | < δ , òî
|f (t) − f (t0 )| 6 |f (t) − fn (t)| + |fn (t) − fn (t0 )| + |fn (t0 ) − f (t0 ))| < ε.
Ïî ñóùåñòâó â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ïðèâåäåíî ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî äâóõ ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì àíàëèçà êðèòåðèÿ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé è òåîðåìû Âåéåðøòðàññà
î íåïðåðûâíîñòè ðàâíîìåðíîãî ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé.
6.2. Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû
63
Çàäà÷à 6.1. Ñôîðìóëèðóéòå êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà C[a, b], èñïîëüçóþùåå óêàçàííûå òåîðåìû.
Çàäà÷à 6.2. Äîêàæèòå ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà C 1 [a, b] íåïðåðûâíî
äèôôåðåíöèðóåìûõ íà [a, b] ôóíêöèé ñ ìåòðèêîé:
ρ(f, g) = max |f (t) − g(t)| + max |f 0 (t) − g 0 (t)|.
t∈[a,b]
t∈[a,b]
Çàäà÷à 6.3. Äîêàæèòå ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà C ∞ [0, 1] ñ ìåòðèêîé
max |f (n) (t) − g (n) (t)|
∞
X
1 t∈[a,b]
ρ(f, g) =
2n 1 + max |f (n) (t) − g (n) (t)|
n=1
t∈[a,b]
[14, c. 44]
Ïðèìåð 6.4. Äîêàæåì ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà `2 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x(n) ôóíäàìåíòàëüíàÿ â `2 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
2
(n)
ρ (x , x
(m)
)=
∞
X
(n)
(m)
(xk − xk )2 → 0 ïðè n, m → ∞.
(6.2)
n=1
Íàäî äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x(n) ñõîäèòñÿ â `2 , òî åñòü íàéäåòñÿ
òàêîé ýëåìåíò x ∈ `2 , ÷òî
2
(n)
ρ (x , x) =
∞
X
(n)
(xk − xk )2 → 0 ïðè n → ∞.
(6.3)
n=1
Òàê êàê èç (6.2) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî íîìåðà k
(n)
(m)
|xk − xk | → 0 ïðè n, m → ∞,
è ïðîñòðàíñòâî R ïîëíî, òî äëÿ ëþáîãî k ñóùåñòâóåò ïîêîîðäèíàòíûé ïðåäåë
(n)
lim xk = xk .
n→∞
Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ýëåìåíò x = (x1 , x2 , . . . , xk , . . .) ïðèíàäëåæèò
ïðîñòðàíñòâó `2 :
∞
X
n=1
x2k < ∞,
6.3. Ïðèìåð íåïîëíîãî ïðîñòðàíñòâà
64
è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x(n) ñõîäèòñÿ ê x ïî ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà `2 , òî åñòü
âûïîëíÿåòñÿ (6.3).
Èç (6.2) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîé íîìåð N , ÷òî
äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî M âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
M
X
(m)
(n)
(xk − xk )2 < ε ïðè n, m > N.
n=1
Çàôèêñèðîâàâ n, ïåðåéäåì â êîíå÷íîé ñóììå ê ïðåäåëó ïðè m → ∞:
M
X
(n)
(xk − xk )2 6 ε ∀M.
n=1
Òåïåðü ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè M → ∞:
∞
X
(n)
(xk − xk )2 6 ε.
(6.4)
n=1
Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî:
Ã
∞
X
k=1
!1/2
x2k
6
̰
X
!1/2
(n)
(xk − xk )2
+
̰
X
!1/2
(n)
|xk |2
.
i=1
k=1
Òàê êàê ðÿäû â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà ñõîäÿòñÿ, òî ñõîäèòñÿ ðÿä è â
ëåâîé ÷àñòè, òî åñòü x ∈ `2 . À èç (7.1) ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ (6.3).
Çàäà÷à 6.4. Äîêàæèòå ïîëíîòó ñëåäóþùèõ ïðîñòðàíñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: à) `∞ [11, ñ. 31]; á)S .
6.3 Ïðèìåð íåïîëíîãî ïðîñòðàíñòâà
Ïðèìåð 6.5. Íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ìîæíî ââåñòè òàêæå èíòåãðàëüíóþ ìåòðèêó, íàïðèìåð, ïî ïðàâèëó:
Z1
ρ1 (f, g) =
|f (t) − g(t)|dt.
−1
Ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå, â îòëè÷èå îò ïðèìåðà 6.3, ïîëó÷èòñÿ
íåïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.
6.4. Òåîðåìà î ïîïîëíåíèè
65
Äîñòàòî÷íî ïðèâåñòè ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, ôóíäàìåíòàëüíîé ïî èíòåãðàëüíîé ìåòðèêå ρ1 , êîòîðàÿ íå ñõîäèòñÿ
ïî ýòîé ìåòðèêå ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Òàê êàê ëþáîå íåïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ìîæíî ïîïîëíèòü, òî â áîëåå øèðîêîì ïðîñòðàíñòâå
ýòà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåò ñõîäèòüñÿ. Ê ÷åìó? Ê ðàçðûâíîé ôóíêöèè!  êà÷åñòâå òàêîé ôóíêöèè ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, çíàê
÷èñëà sgn. Èíòóèòèâíî ÿñíî, ÷òî ïðèáëèçèòü sgn(t) ìîæíî ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êóñî÷íî-ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé:


 −1
ϕn (t) =
nt


1
ïðè
−1 ≤ t ≤ −1/n;
ïðè
−1/n ≤ t ≤ 1/n;
1/n ≤ t ≤ 1.
ïðè
Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî
¯
¯
¯1
¯
1
¯
ρ1 (ϕn , ϕm ) = ¯ − ¯¯ → 0
m n
è
m, n → ∞,
Z1
lim
|ϕn (t) − sgn(t)|dt = 0.
n→∞
−1
Äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f èç íåðàâåíñòâ
0 < ρ1 (f, sgn) 6 ρ1 (f, ϕn ) + ρ1 (ϕn , sgn)
ñëåäóåò, ÷òî ρ1 (f, ϕn ) 6→ 0 ïðè n → ∞.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè ïîïîëíåíèè ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñ èíòåãðàëüíîé ìåòðèêîé ρ1 âîçíèêàþò ôóíêöèè, íåèíòåãðèðóåìûå
ïî Ðèìàíó, è ðåçóëüòàòîì ïîïîëíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ëåáåãîâñêîå ïðîñòðàíñòâî
L1 (−1, 1).
6.4 Òåîðåìà î ïîïîëíåíèè
Îïðåäåëåíèå 6.3. Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) èçîìåòðè÷åñêè
èçîìîðôíî (Y, d) (îáîçíà÷åíèå (X, ρ) ∼ (Y, d)), åñëè ñóùåñòâóåò îòîá-
6.4. Òåîðåìà î ïîïîëíåíèè
66
ðàæåíèå f : X → Y òàêîå, ÷òî:
1) f − áèåêòèâíî;
2) ρ(x1 , x2 ) = d(f (x1 ), f (x2 )) ∀x1 , x2 ∈ X.
Èçîìåòðè÷åñêèé èçîìîðôèçì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Âñå èçîìåòðè÷åñêè èçîìîðôíûå ïðîñòðàíñòâà ñ òî÷êè çðåíèÿ ñõîäèìîñòè è ïîëíîòû ìîæíî íå ðàçëè÷àòü.
Çàäà÷à 6.5. Êàêîå èç ñâîéñòâ èíúåêòèâíîñòü èëè ñþðúåêòèâíîñòü ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îòîáðàæåíèå f îñóùåñòâëÿåò èçîìåòðèþ?
Òåîðåìà 1 (O ïîïîëíåíèè). Ëþáîå íåïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
(X, ρ) ìîæíî ïîïîëíèòü, òî åñòü ñóùåñòâóþò ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (Y, d) è îòîáðàæåíèå f : X → Y òàêèå, ÷òî:
1) f (X) = Y ;
2) ρ(x1 , x2 ) = d(f (x1 ), f (x2 )) ∀x1 , x2 ∈ X.
Ïðèìåð 6.6. Äîêàæåì, ÷òî âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ ñ ìåòðèêîé
ρ(x1 , x2 ) = |arctg(x1 ) − arctg(x2 )|
(6.5)
ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ôóíêöèÿ f (x) = arctg(x) ìîíîòîííà, òî äëÿ
ρ(x1 , x2 ) (6.5) âûïîëíÿþòñÿ àêñèîìû ìåòðèêè.
Àðêòàíãåíñ îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå âåùå³ π π´
ñòâåííîé ïðÿìîé R íà èíòåðâàë − ,
. Ïóñòü
X = R,
2 2
³ π π´
Y = − ,
.
2 2
Ðàññìîòðèì ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) è (Y, d), ãäå d ñòàíäàðòíàÿ
ìåòðèêà íà ïðÿìîé:
d(u, v) = |u − v|.
6.5. Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ è òåîðåìà Áýðà
67
Òàê êàê f : X → Y áèåêòèâíî, è ðàâåíñòâî (6.5) ìîæíî çàïèñàòü â
âèäå
ρ(x1 , x2 ) = d(f (x1 ), f (x2 )),
òî âåùåñòâåííàÿ
ïðÿìàÿ ñ ìåòðèêîé ρ èçîìåòðè÷åñêè èçîìîðôíà èíòåðâàëó
³
π π´
ñ ìåòðèêîé d:
− ,
2 2
³³ π π ´ ´
(R, ρ) ∼ − ,
,d .
2 2
Íî èíòåðâàë ñî ñòàíäàòðíîé ìåòðèêîé ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì ìåòðè÷åñêèì
ïðîñòðàíñòâîì. Ñëåäîâàòåëüíî, âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ ñ ìåòðèêîé ρ òàêæå
ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.
π
×òîáû ïîïîëíèòü ïðîñòðàíñòâî (Y, d), äîñòàòî÷íî âêëþ÷èòü òî÷êè
2
π
è − . Â èñõîäíîì ïðîñòðàíñòâå (X, ρ) ýòîìó ñîîòâåòñòâóåò äîáàâëåíèå ê
2
âåùåñòâåííîé ïðÿìîé áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê +∞ è −∞.
Çàäà÷à 6.6. Áóäåò ëè ïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ ñ ìåòðèêîé:
à)
ρ(x1 , x2 ) = |ex1 − ex2 |,
á) ρ(x1 , x2 ) = |x31 − x32 |?
Åñëè íåò, òî ïîñòðîéòå ïîïîëíåíèå ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ìåòðèêå.
Çàäà÷à 6.7. Ïîñòðîéòå ïîïîëíåíèå ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë ñ ìåòðèêîé:
ρ(n, m) = |ein − eim |.
Çàäà÷à 6.8. Óêàæèòå ìåòðèêè, â êîòîðûõ ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà âåùåñòâåííîé îñè ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè: à)
(0, 1); á) (0, ∞); â) R \ {0}; ã) R \ {0, 1, 2, . . .}; ä) ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q.
6.5 Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ è òåîðåìà Áýðà
Äëÿ ïîëíûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ ñïðàâåäëèâû ôóíäàìåíòàëüíûå òåîðåìû: ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ (îáîáùåíèå ïðèíöèïà âëîæåííûõ ñåãìåí-
6.5. Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ è òåîðåìà Áýðà
68
òîâ), òåîðåìà Áýðà è ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé (òåîðåìà Áàíàõà î
íåïîäâèæíîé òî÷êå). Ïåðâûå äâå òåîðåìû ôîðìóëèðóþòñÿ â ýòîì ðàçäåëå.
Òåîðåìà 2 (Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ). Äëÿ ïîëíîòû ìåòðè÷åñêîãî
ïðîñòðàíñòâà íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàìêíóòûõ âëîæåííûõ äðóã â äðóãà øàðîâ, ðàäèóñû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, èìåëà íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.
Çàäà÷à 6.9. Äîêàæèòå ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ.
Çàäà÷à 6.10. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì
ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàìêíóòûõ âëîæåííûõ äðóã â äðóãà, íå
èìåþùèõ îáùåé òî÷êè øàðîâ, ðàäèóñû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ.
Çàäà÷à 6.11. Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî N íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ ìåòðèêîé
(
ρ(n, m) =
1+
1
n+m
ïðè
n 6= m
0 ïðè n = m
(6.6)
ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, à øàðû [n, 1 + 1/(2n)] íå èìåþò
îáùåé òî÷êè.
Îïðåäåëåíèå 6.4. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ íèãäå íå ïëîòíûì, åñëè îíî
íå ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì íè â îäíîì øàðå.
Çàäà÷à 6.12. Ïîêàæèòå, ÷òî M ⊂ X íèãäå íå ïëîòíî, åñëè M íå ñîäåðæèò âíóòðåííèõ òî÷åê.
Çàäà÷à 6.13. Äîêàæèòå, ÷òî ãðàôèê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íèãäå íå ïëîòåí â R2 . Âåðíî ëè ýòî äëÿ îáðàçà íåïðåðûâíîé êðèâîé?
Òåîðåìà 3 (Òåîðåìà Áýðà). Ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íåëüçÿ
ïðåäñòàâèòü â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ íèãäå íå ïëîòíûõ ìíîæåñòâ.
Îáû÷íî òåîðåìà Áýðà ôîðìóëèðóåòñÿ êàê òåîðåìà î êàòåãîðèè.
Îïðåäåëåíèå 6.5. Ìíîæåñòâî N ⊂ X ìíîæåñòâî ïåðâîé êàòåãîðèè,
åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì îáúåäèíåíèåì íèãäå íå ïëîòíûõ ìíîæåñòâ.
6.5. Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ è òåîðåìà Áýðà
69
Îïðåäåëåíèå 6.6. Ìíîæåñòâî M ⊂ X ìíîæåñòâî âòîðîé êàòåãîðèè, åñëè îíî íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ïåðâîé êàòåãîðèè.
Òåîðåìà 4 (Âòîðàÿ ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Áýðà). Ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî X âëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âòîðîé êàòåãîðèè.
Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Áýðà, äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
Çàäà÷à 6.14. Ïóñòü X ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è X =
∞
S
i=1
Fi , ãäå Fi çàìêíóòûå ìíîæåñòâà. Äîêàæèòå, ÷òî õîòÿ áû îäíî
èç íèõ ñîäåðæèò øàð.
Çàäà÷à 6.15. Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåñ÷åòíî.
Çàäà÷à 6.16.  ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ïåðåñå÷åíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà îòêðûòûõ âñþäó ïëîòíûõ ìíîæåñòâ âñþäó ïëîòíî.
Ãëàâà 7
Ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé
7.1 Îáùèå ñâåäåíèÿ
Îïðåäåëåíèå 7.1. Îòîáðàæåíèå f : X → X íàçûâàåòñÿ ñæèìàþùèì,
åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî α: 0 < α < 1, ÷òî äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ X
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
ρ(f (x1 ), f (x2 )) 6 αρ(x1 , x2 ).
Îïðåäåëåíèå 7.2. Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f , åñëè f (a) = a.
Òåîðåìà 5 (Ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé). Ïóñòü (X, ρ) ïîëíîå
ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, f : X → X ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà X â ñåáÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x∗ îòîáðàæåíèÿ f : f (x∗ ) = x∗ ; äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x0 ∈ X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = f (xn−1 ), n ∈ N , ñõîäèòñÿ ê íåïîäâèæíîé òî÷êå, ïðè÷åì
ðàññòîÿíèå ìåæäó n-ûì ïðèáëèæåíèåì è íåïîäâèæíîé òî÷êîé ïîä÷èíÿåòñÿ îöåíêå:
αn
ρ(xn , x∗ ) 6
ρ(x0 , x1 ).
(7.1)
1−α
Çàäà÷à 7.1. Äîêàæèòå: åñëè îòîáðàæåíèå f ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) â ñåáÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîì, ÷òî
ρ(f (x1 ), f (x2 )) < ρ(x1 , x2 )
äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ X , x1 6= x2 , òî íåïîäâèæíîé òî÷êè ìîæåò íå áûòü
[15, c. 45].
7.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ
71
 ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå ñëåäóþùåãî ïðèìåðà.
Ïðèìåð 7.1. Ïóñòü A îòîáðàæåíèå ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) â ñåáÿ òàêîå, ÷òî åãî íåêîòîðàÿ ñòåïåíü An ñæèìàþùåå
îòîáðàæåíèå.Òîãäà îòîáðàæåíèå A èìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ
òî÷êó.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå íåïîäâèæíîé òî÷êè ó
îïåðàòîðà A. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé, îïåðàòîð An
èìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó: An x = x. Ïîäåéñòâîâàâ íà îáå
÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà îïåðàòîðîì A, ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ:
A(An x) = Ax,
êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:
An (Ax) = Ax.
Ñëåäîâàòåëüíî, Ax ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îïåðàòîðà An , è â ñèëó
åäèíñòâåííîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè ó îïåðàòîðà An , âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî: Ax = x, òî åñòü ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îïåðàòîðà A.
Òåïåðü äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü íåïîäâèæíîé òî÷êè îïåðàòîðà A.
Ïóñòü ñóùåñòâóåò x1 6= x: Ax1 = x1 . Òàê êàê ëþáàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà
îïåðàòîðà A ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îïåðàòîðà An , òî, â ñèëó åäèíñòâåííîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè ó îïåðàòîðà An : x1 = x. Åäèíñòâåííîñòü
äîêàçàíà.
Çàäà÷à 7.2. Ïóñòü B è C îòîáðàæåíèÿ ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) â ñåáÿ. Äîêàæèòå: åñëè îòîáðàæåíèå B ñæèìàþùåå, è îòîáðàæåíèÿ B è C êîììóòèðóþò, òî óðàâíåíèå Cx = x èìååò
ðåøåíèå [15, c. 46].
Çàäà÷à 7.3. Ïóñòü (X, ρ) ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, f îòîáðàæåíèå çàìêíóòîãî øàðà S r (x0 ) â X , äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò
êîíñòàíòà α, α < 1 òàêàÿ, ÷òî äëÿ x, y ∈ S r (x0 ) âûïîëíÿåòñÿ:
1) ρ(f (x), f (y)) 6 αρ(x, y);
2) ρ(f (x0 ), x0 ) 6 (1 − α)r.
7.2. Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì
72
Äîêàæèòå, ÷òî îòîáðàæåíèå f èìååò â øàðå S r (x0 ) åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó.
Çàäà÷à 7.4. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îòðåçêà â
ñåáÿ èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó.
7.2 Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì
Ïðèìåð 7.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (t) îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà íà
âñåé âåùåñòâåííîé îñè, è äëÿ ëþáîãî t ∈ R âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
|f 0 (t)| 6 λ < 1.
Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ f (t) = t.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ R ñî ñòàíäàðòíîé ìåòðèêîé
ρ(x, y) = |x − y| ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Äîêàæåì,
÷òî â óñëîâèÿõ ïðèìåðà f : R → R ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì îòîáðàæåíèåì.
Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà
ρ(f (t1 ), f (t2 )) = |f (t1 ) − f (t2 )| = |f 0 (ξ)||t1 − t2 |,
ãäå ξ ∈ (t1 , t2 ). Òîãäà, ïî óñëîâèþ,
|f (t1 ) − f (t2 )| 6 λ|t1 − t2 |
Òàê êàê λ < 1, òî f ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå. Ïî ïðèíöèïó ñæèìàþùèõ
îòîáðàæåíèé, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ f (t) = t.
Çàäà÷à 7.5. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (t) îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà íà
âñåé âåùåñòâåííîé îñè, è äëÿ ëþáîãî t ∈ R âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
|f 0 (t)| > λ > 1.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ f (t) = t.
Ïðè èññëåäîâàíèè êîíêðåòíûõ óðàâíåíèé, êàê ïðàâèëî, íå çàäàíà îïåðàòîðíàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ x = Ax è íå çàäàíî ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì
7.2. Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì
73
ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå. Ïðèâåäåíèå ê óêàçàííîé îïåðàòîðíîé ôîðìå
ìîæíî îñóùåñòâèòü ìíîãèìè ñïîñîáàìè, è îò ýòîãî âûáîðà çàâèñèò óäà÷íîå ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. Îò âûáîðà îïåðàòîðà
A çàâèñèò, âîçìîæíî, ïåðâîíà÷àëüíûé âûáîð ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà,
êîòîðîå îïåðàòîð A ïåðåâîäèò â ñåáÿ.
Òðóäíî îæèäàòü, ÷òî îïåðàòîð A ñðàçó îêàæåòñÿ ñæèìàþùèì â ýòîì
ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà ïðèõîäèòñÿ âûáèðàòü åãî ïîäïðîñòðàíñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà A, íà êîòîðîì ýòîò îïåðàòîð ñæèìàþùèé.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå íà ïðîñòîì ïðèìåðå.
Ïðèìåð 7.3. Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ íà [0, 1] ôóíêöèÿ
x(t), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ: x(t) − e−x(t) = sin(t).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â âèäå
x(t) = e−x(t) + sin(t).
(7.2)
Ââåäåì îïåðàòîð (Ax)(t) = e−x(t) + sin(t) è áóäåì ðàññìàòðèâàòü åãî â
ïðîñòðàíñòâå C[0, 1].
Îöåíèì
ρ(Ax1 , Ax2 ) = max |Ax1 (t) − Ax2 (t)|.
t∈[0,1]
Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ èìååì
|Ax1 (t) − Ax2 (t)| = e−ξ(t) |x1 (t) − x2 (t)|,
ãäå ξ(t) íåêîòîðàÿ ïðîìåæóòî÷íàÿ òî÷êà ìåæäó x1 (t) è x2 (t). Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð A íå ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì íà âñåì ïðîñòðàíñòâå
C[0, 1].
Òàê êàê
ρ(Ax1 , Ax2 ) 6 max e−ξ(t) ρ(x1 , x2 ),
t∈[0,1]
òî ïðè ëþáîì δ > 0 íà ìíîæåñòâå
Xδ = {x(t) ∈ [0, 1], x(t) > δ}
7.2. Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì
74
äëÿ îïåðàòîðà A âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ñæèìàåìîñòè. Îäíàêî, âèäíî, ÷òî
Xδ íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà A ìíîæåñòâîì.
Ïîïðîáóåì óêàçàòü çàìêíóòîå ìíîæåñòâî èç ïðîñòðàíñòâà C[0, 1], êîòîðîå A ïåðåâîäèò â ñåáÿ. Çàìåòèì, ÷òî ïðè t ∈ [0, 1] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî sin(t) > 0. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (7.2) ñëåäóåò, ÷òî x(t) > 0. Èç ýòîãî
íåðàâåíñòâà, à òàêæå èç òîãî, ÷òî sin(t) 6 1 âûòåêàåò
(Ax)(t) = e−x(t) + sin(t) 6 2.
(7.3)
Ñíîâà îáðàùàÿñü ê (7.2), ïîëó÷àåì x(t) 6 2. Ñëåäîâàòåëüíî,
(Ax)(t) = e−x(t) + sin(t) > e−x(t) > e−2 .
Îáîçíà÷èì
(7.4)
©
ª
X = x(t) ∈ [0, 1], e−2 6 x(t) 6 2 .
Èç (7.2-7.3) ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð A ïåðåâîäèò ïðîñòðàíñòâî X â ñåáÿ. Òàê
êàê C[0, 1] ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, X çàìêíóòî, òî X ÿâëÿåòñÿ
ïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.
Îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì â X :
−2
ρ(Ax1 , Ax2 ) 6 e−e ρ(x1 , x2 ).
Ïî ïðèíöèïó ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå â X ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Èç ïîñòðîåíèÿ ïðîñòðàíñòâà X ñëåäóåò, ÷òî
äðóãèõ ðåøåíèé â C[0, 1] íåò.
Çàäà÷à 7.6. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå 2tet = 1 (t ∈ R) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ýòî ðåøåíèå ëåæèò íà èíòåðâàëå (0, 1).
Çàäà÷à 7.7. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ íà [0, 1] ôóíêöèÿ
x(t), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ:
x(t) − 0.5 sin(x(t)) + a(t) = 0,
ãäå a(t) çàäàííàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.
 ñëåäóþùåì ïðèìåðå è çàäà÷àõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé ê ñèñòåìàì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
7.2. Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì
75
Ïðèìåð 7.4. Ïóñòü A : Rn → Rn ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ñ ìàòðèöåé
{aij } â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (Rn , ρ), ïðè÷åì
1) ρ = ρ∞ ,
2) ρ = ρ1 ,
ρ∞ (x, y) = max |xk − yk |,
ρ1 (x, y) =
|xk − yk |,
i
max
ρ2 (x, y) =
( n
X
|aij | < 1,
i=1
)1/2
|xk − yk |2
|aij | < 1,
j=1
n
X
j
k=1
3) ρ = ρ2 ,
max
16k6n
n
X
n
X
,
n
X
|aij |2 < 1.
i,j=1
k=1
Äîêàæåì: A ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ñëó÷àåâ i-àÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà Ax âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
(Ax)i =
n
X
aij xj .
j=1
 ïåðâîì ñëó÷àå
¯
¯
n
¯X
¯
¯
¯
ρ∞ (Ax, Ay) = max |(Ax)i − (Ay)i | = max ¯
aij (xj − yj )¯ .
16i6n
16i6n ¯
¯
j=1
Òàê êàê ìîäóëü ñóììû íå ïðåâîñõîäèò ñóììû ìîäóëåé, òî
ρ∞ (Ax, Ay) 6 max
16i6n
n
X
|aij ||(xj − yj )|.
j=1
Âûíåñåì èç-ïîä çíàêà ñóììû max |xj − yj |:
16j6n
ρ∞ (Ax, Ay) 6 max
16i6n
n
X
|aij | max |xj − yj | = αρ∞ (x, y),
16j6n
j=1
ãäå
α = max
i
n
X
|aij | < 1.
j=1
Ñëåäîâàòåëüíî, A ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå â ìåòðèêå ρ∞ .
7.2. Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì
76
Àíàëîãè÷íî îöåíèì ðàññòîÿíèå ìåæäó Ax, Ay â ìåòðèêå ρ1 :
¯ n
¯
n ¯X
n X
n
¯ X
X
¯
¯
ρ1 (Ax, Ay) =
aij (xj − yj )¯ 6
|aij ||xj − yj |.
¯
¯
¯
i=1
j=1
i=1 j=1
Ïîìåíÿåì ìåñòàìè ñóììèðîâàíèå:
ρ1 (Ax, Ay) 6
à n
n
X
X
j=1
Òîãäà
ρ1 (Ax, Ay) 6 max
n
X
j
!
|aij | |xj − yj |.
i=1
|aij |
i=1
n
X
|xj − yj | = αρ1 (x, y).
j=1
Òàê êàê α < 1, òî îòîáðàæåíèå A ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì â ìåòðèêå ρ1 .
Òåïåðü îöåíèì ðàññòîÿíèå ìåæäó Ax, Ay â åâêëèäîâîé ìåòðèêå.
ρ22 (Ax, Ay) =
à n
n
X
X
i=1
!2
aij (xj − yj )
.
j=1
Ê âíóòðåííåé ñóììå ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî:
ρ22 (Ax, Ay)
6
n X
n
X
a2ij
i=1 j=1
n
X
(xj − yj )2 = α2 ρ22 (x, y).
j=1
Òàê êàê ïî óñëîâèþ α < 1, òî îòîáðàæåíèå A ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì â
ìåòðèêå ρ2 .
Çàäà÷à 7.8. Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: äëÿ áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
xi =
∞
X
aij xj + bi ,
i = 1, 2, . . .
j=1
à) åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå sup
j
∞
P
i=1
|aij | < 1, òî äàííàÿ ñèñòåìà èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `1 äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè b = (b1 , b2 , . . .) ∈ `1 ;
7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèÿì
á) åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå sup
i
∞
P
j=1
77
|aij | < 1, òî äàííàÿ ñèñòåìà èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `∞ äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè b = (b1 , b2 , . . .) ∈ `∞ ;
â) åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå
∞
P
i,j=1
|aij | < 1, òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåí-
íîå ðåøåíèå x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `2 äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè b =
(b1 , b2 , . . .) ∈ `2 .
Çàäà÷à 7.9. Ïóñòü λk ,
k = 1, 2, . . . m - ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû
A è λk 6= 1. Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ
xn = Axn−1 + y
ñõîäÿòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
x − Ax = y
ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |λk | < 1,
k = 1, 2, . . . m.
7.3 Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì
Óðàâíåíèå âèäà
Zb
x(t) =
K(t, s)x(s)ds + f (t)
(7.5)
a
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà. Ôóíêöèè f (t) è K(t, s) ïðåäïîëàãàþòñÿ èçâåñòíûìè, x(t) íåèçâåñòíîé,
K(t, s) íàçûâàåòñÿ ÿäðîì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà K(t, s) = 0 ïðè s > t, ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðàëüíîå
óðàâíåíèå Âîëüòåððà âòîðîãî ðîäà:
Zt
x(t) =
K(t, s)x(s)ds + f (t).
a
(7.6)
7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèÿì
78
Åñëè f = 0, òî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì, åñëè f 6= 0 íåîäíîðîäíûì.
ßäðî âèäà
n
X
K(t, s) =
Pj (t)Qj (s)
j=1
íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííûì. Ëèíåéíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ñ âûðîæäåííûì ÿäðîì ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ â ïðîñòðàíñòâàõ C[a, b]
è Lp (a, b).
Ïðèìåð 7.5. Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà
âòîðîãî ðîäà:
Z1
t2 sx(s)ds + t
x(t) = λ
(7.7)
0
ñ ïàðàìåòðîì λ. Ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ x(t) áóäåì òðàêòîâàòü êàê íåïîäâèæíóþ òî÷êó îïåðàòîðà A, äåéñòâóþùåãî ïî ïðàâèëó:
Z1
t2 sx(s)ds + t.
Ax(t) = λ
(7.8)
0
Ïóñòü ñíà÷àëà îïåðàòîð A äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1]. Îí ïåðåâîäèò ïðîñòðàíñòâî â ñåáÿ. Âûÿñíèì, ïðè êàêèõ λ ïðèìåíèì ïðèíöèï
ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. Ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà "ìîäóëü èíòåãðàëà íå
ïðåâîñõîäèò èíòåãðàëà ìîäóëÿ"è òåîðåìû ñðàâíåíèÿ äëÿ èíòåãðàëîâ îöåíèì ðàññòîÿíèå ìåæäó Ax è Ay â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1].
Z1
t2 s(x(s) − y(s))ds| 6
ρ(Ax, Ay) = max |λ
t∈[0,1]
0
Z1
t2 s|x(s) − y(s)|ds 6
6 max |λ|
t∈[0,1]
0
Z1
t2 sds max |x(s) − y(s)| =
6 |λ| max
t∈[0,1]
t∈[0,1]
0
|λ|
ρ(x, y)
2
7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèÿì
79
Èòàê, êîíñòàíòà ñæèìàåìîñòè α = |λ|/2, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè |λ| < 2 ïðèìåíèì ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1].
Ïóñòü òåïåðü îïåðàòîð A äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå L2 (0, 1). Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó Ax è Ay â L2 (0, 1):

Z1
|λ|2 
ρ2 (Ax, Ay) =
0

Z1
0
t2 s(x(s) − y(s))ds dt =
0

2
Z1
t4 dt 
=|λ|2
2
Z1
s(x(s) − y(s))ds dt =
0
2
|λ| 
5
2
Z1
s(x(s) − y(s))ds
0
Òåïåðü ê èíòåãðàëó ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî:
|λ|2
ρ2 (Ax, Ay) 6
5
Z1
s2 dsρ2 (x, y)
0
Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà è èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ ïðèõîäèì ê
ñëåäóþùåé îöåíêå:
|λ|
ρ(Ax, Ay) 6 √ ρ(x, y),
15
√
èç êîòîðîé âûòåêàåò, ÷òî ïðè |λ| < 15 ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ (7.7)
ïðèìåíèì ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé â ïðîñòðàíñòâå L2 (0, 1).
Íàéäåì òî÷íîå ðåøåíèå èñõîäíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ âûðîæäåííûì ÿäðîì. Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (7.7) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:
x(t) = λt2 a + t,
(7.9)
ãäå ÷åðåç a îáîçíà÷åíî âûðàæåíèå:
Z1
a=
sx(s)ds.
0
×òîáû ïîëó÷èòü a â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7.9), óìíîæèì åãî íà t è ïðîèíòåãðèðóåì:
Z1
Z1
t3 dt +
a = λa
0
t2 dt.
0
7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèÿì
80
Âû÷èñëèâ èíòåãðàëû, íàõîäèì a:
1
1
a = λa + ,
4
3
a=
4
.
3(4 − λ)
Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â (7.9), íàõîäèì ðåøåíèå:
x(t) =
4λ
t2 + t.
3(4 − λ)
Èòàê, äëÿ ëþáîãî λ 6= 4 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.7).
Äëÿ λ = 0, 5 ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé íàéäåì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1] ñ òî÷íîñòüþ 0, 01. Èòåðàöèè íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå:
1
xn =
2
Z1
t2 sxn−1 (s)ds + t
0
Ïîãðåøíîñòü îöåíèì ïî ôîðìóëå (7.1):
4
ρ(xn , x∗ ) 6
3
µ ¶n
1
ρ(x0 , x1 ) 6 0, 01.
4
Âûáåðåì â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ x0 = 0. Òîãäà x1 = t,
ρ(x0 , x1 ) = 1, è äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ äîñòàòî÷íî n = 4 èòåðàöèé.
9 2
73 2
t + t è x4 =
t + t.
48
384
4
4
73
Òî÷íîå ðåøåíèå èìååò âèä: x∗ = t2 + t è ρ(x4 , x∗ ) =
−
≈ 0, 0004.
21
21 384
Äàëåå íàõîäèì ïîñëåäîâàòåëüíî x2 = t, x3 =
Çàäà÷à 7.10. Ïðè êàêèõ λ ïðèìåíèì ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé
ê ñëåäóþùèì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì âòîðîãî ðîäà:
R1
1) x(t) = λ ts2 x(s)ds + 1;
Z1
0
R1
3) x(t) = λ t2 s2 x(s)ds + t3 ;
0
e(t−s) x(s)ds + 1;
2) x(t) = λ
0
Z1
4) x(t) = λ
cos(π(t − s))x(s)ds + 1.
0
7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèÿì
81
à) â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1], á) â ïðîñòðàíñòâå L2 [0, 1]? Ïðè λ = 0, 5 íàéòè
ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ðåøåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî 0, 01 è
ñðàâíèòü åãî ñ òî÷íûì ðåøåíèåì.
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì óòâåðæäåíèÿ î ñóùåñòâîâàíèè è
åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà â îáùåì âèäå.
Ïðèìåð 7.6. Äîêàæåì: åñëè ÿäðî K(t, s) íåïðåðûâíî è
Zb
|K(t, s)|ds 6 d < 1,
a
òî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà
Zb
x(t) =
K(t, s)x(s)ds + f (t)
a
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (t).
Äîêàçàòåëüñòâî. ×åðåç A îáîçíà÷èì îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó
Zb
Ax(t) =
K(t, s)x(s)ds + f (t).
a
Òîãäà èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà ïðèíèìàåò âèä
x = Ax,
è åãî ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ A.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îïåðàòîð A â ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå
C[a, b]. Òàê êàê ôóíêöèè K(t, s) è f (t) íåïðåðûâíû, òî îïåðàòîð A îòîáðàæàåò ïðîñòðàíñòâî C[a, b] â ñåáÿ:
A : C[a, b] → C[a, b].
Äîêàæåì, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì â ýòîì ïðîñòðàíñòâå. Îöåíèì
ðàññòîÿíèå ìåæäó Ax, Ay :
¯ b
¯
¯Z
¯
Zb
¯
¯
ρ(Ax, Ay) = max ¯¯ K(t, s)(x(s) − y(s))ds¯¯ 6 max |K(t, s)||x(s)−y(s)|ds.
t∈[a,b] ¯
¯ t∈[a,b]
a
a
7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèÿì
82
Âûíåñåì èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà ìàêñèìóì âòîðîãî ñîìíîæèòåëÿ
Zb
ρ(Ax, Ay) 6 max |x(s) − y(s)| max
s∈[a,b]
|K(t, s)|ds.
t∈[a,b]
a
Îêîí÷àòåëüíî,
Zb
ρ(Ax, Ay) 6 max
|K(t, s)|dsρ(x, y).
t∈[a,b]
a
Òàê êàê ïî óñëîâèþ
Zb
max
|K(t, s)|ds 6 d < 1,
t∈[a,b]
a
òî A ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå. Ïî ïðèíöèïó ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé,
ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ äîêàçàíû.
Çàäà÷à 7.11. Ïóñòü K(x, t, s) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ òðåõ ïåðåìåííûõ,
óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïî x óñëîâèþ Ëèïøèöà:
|K(x1 , t, s) − K(x2 , t, s)| 6 L|x1 − x2 |.
Ïðè êàêèõ λ íåëèíåéíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå
Zb
x(t) = λ
K(x(s), t, s)ds + f (t)
a
èìååò íåïðåðûâíîå ðåøåíèå íà îòðåçêå [a, b] [9, c. 95]?
Çàäà÷à 7.12. Äîêàæèòå: åñëè ÿäðî èçìåðèìî è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ:
Zb Zb
|K(t, s)|2 dtds < 1,
a
a
òî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà (7.5) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x ∈ L2 (a, b) äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (t) ∈ L2 (a, b).
7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèÿì
83
Çàäà÷à 7.13. Ïóñòü A èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð Âîëüòåððà
Zt
Ax(t) =
(7.10)
K(t, s)x(s)ds,
a
K(t, s) íåïðåðûâíî. Äîêàçàòü: ñóùåñòâóåò ÷èñëî m òàêîå, ÷òî Am ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì îòîáðàæåíèåì â C[a, b], è, çíà÷èò, äëÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Âîëüòåððà âòîðîãî ðîäà (7.6) ñïðàâåäëèâà òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ [9, ñ. 96].
Çàäà÷à 7.14.  ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé ââåäåì ìåòðèêó ïî ïðàâèëó:
ρβ (x, y) = max |x(t) − y(t)|e−βt .
t∈[a,b]
Äîêàæèòå: ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ β èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð Âîëüòåððà (7.10) ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ρβ .
 ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè.
Çàäà÷à 7.15. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà â íåêîòîðîé
îáëàñòè G ⊂ R2 , ñîäåðæàùåé òî÷êó (x0 , y0 ), è óäîâëåòâîðÿåò â ýòîé
îáëàñòè óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî y :
|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| 6 M |y1 − y2 |.
Äîêàçàòü, ÷òî íà íåêîòîðîì ñåãìåíòå |x − x0 | 6 d ñóùåñòâóåò, è ïðèòîì òîëüêî îäíî, ðåøåíèå y = ϕ(x) çàäà÷è Êîøè:
y 0 (x) = f (x, y),
y(x0 ) = y0 .
[9, c. 92].
Çàäà÷à 7.16. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
yi0 (x) = fi (x, y1 (x), y2 (x), . . . yn (x)),
i = 1 . . . n.
7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì
óðàâíåíèÿì
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè yi (x0 ) = y0i ,
84
i = 1 . . . n, ïðè÷åì ôóíêöèè fi
îïðåäåëåíû è íåïðåðûâíû â íåêîòîðîé îáëàñòè G ⊂ Rn+1 , ñîäåðæàùåé
òî÷êó (x0 , y01 , . . . y0n ), è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèïøèöà
(1)
(1)
(2)
(2)
|fi (x, y1 , . . . , yn(1) ) − fi (x, y1 , . . . , yn(2) )| 6 M max |yi − yi |.
16i6n
Äîêàçàòü, ÷òî íà íåêîòîðîì ñåãìåíòå |x − x0 | 6 d ñóùåñòâóåò, è ïðèòîì òîëüêî îäíî, ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè [9, c. 93].
Ãëàâà 8
Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà
8.1 Áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà
Îïðåäåëåíèå 8.1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàä ïîëåì R èëè C íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì, åñëè îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ k·k : X 7−→ R, íàçûâàåìàÿ
íîðìîé è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì àêñèîìàì:
1. kxk > 0,
ïðè÷åì
kxk = 0 ⇔ x = 0;
2. kαxk = |α|kxk ∀x ∈ X, ∀α ∈ R(èëè C);
3. kx + yk 6 kxk + kyk ∀x, y ∈ X.
Êàæäîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì
ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ρ(x, y) = kx − yk.
Çàäà÷à 8.1. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå
à) íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì;
á) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì, íî íå ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûì.
Îïðåäåëåíèå 8.2. Ïîëíîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ áàíàõîâûì.
Ïðèìåð 8.1. C[a, b] ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé ñ
ìàêñèìóì-íîðìîé:
kf k = max |f (t)|
t∈[a,b]
ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì.
(8.1)
8.2. Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà
86
Åãî ìîæíî ïðåâðàòèòü â íåïîëíîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ëèáî óäàëèâ äîñòàòî÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ è îñòàâèâ ïðåæíþþ íîðìó, ëèáî îïðåäåëèâ íà âñåì ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íîðìó ïîäðóãîìó.
Íàïðèìåð, ÷åðåç P [a, b] îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñ íîðìîé
(8.1). Ñîãëàñíî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ëþáóþ íåïðåðûâíóþ íà îòðåçêå
ôóíêöèþ ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè. Ñëåäîâàòåëüíî,
P [a, b] íåïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé ñ èíòåãðàëüíîé íîðìîé
Zb
kf k1 =
|f (t)|dt
a
ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì ïðîñòðàíñòâîì. Îáîçíà÷èì åãî R1 [a, b] (ýòî îáîçíà÷åíèå, â îòëè÷èå îò C[a, b], íå ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì).
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà R2 [a, b] ìíîæåñòâà
íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé ñ èíòåãðàëüíîé íîðìîé
 b
Z
kf k2 =

|f (t)|2 dt
1/2


.
a
8.2 Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà
Îïðåäåëåíèå 8.3. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàä ïîëåì C íàçûâàåòñÿ
ïðåäãèëüáåðòîâûì, åñëè îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ (, ) : X × X 7−→ C, íàçûâàåìàÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì àêñèîìàì:
1. (x, x) > 0,
ïðè÷åì (x, x) = 0 ⇔ x = 0;
2. (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z);
3. (x, y) = (y, x);
∀x, y, z ∈ X , ∀α, β ∈ C, ÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.
8.2. Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà
87
Êàæäîå ïðåäãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî íîðìû
kxk =
p
(x, x).
Çàäà÷à 8.2. Äîêàæèòå, ÷òî âî âñÿêîì ïðåäãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî [11, c. 85], [9, c. 167]:
|(x, y)|2 6 (x, x)(y, y).
(8.2)
Çàäà÷à 8.3. Êàæäîå ïðåäãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì
íîðìèðîâàííûì îòíîñèòåëüíî íîðìû:
p
kxk = (x, x).
(8.3)
Èç (8.2), (8.3) ñëåäóåò, ÷òî íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:
(8.4)
|(x, y)| 6 kxkkyk.
Âî âñÿêîì ïðåäãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî îïðåäåëèòü íå òîëüêî íîðìó (òî åñòü äëèíó) âåêòîðà, íî è óãîë ìåæäó âåêòîðàìè. Óãîë ϕ
ìåæäó âåêòîðàìè x è y íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå:
cos ϕ =
(x, y)
.
kxkkyk
(8.5)
Èç (8.5) ñëåäóåò, ÷òî îðòîãîíàëüíîñòü âåêòîðîâ åñòåñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ
÷åðåç ðàâåíñòâî íóëþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 8.4. Ïîëíîå ïðåäãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ
ãèëüáåðòîâûì.
Ïðèìåð 8.2. Ïðèìåðàìè ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé `2 :
¯∞
(
¯X
¯
`2 = x = (x1 , x2 , ...) ¯
|xi |2 < ∞,
¯
i=1
(x, y) =
∞
X
)
xi y i
,
i=1
ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé L2 (a, b):


¯ b
¯Z
Zb


¯
2
¯
L2 (a, b) = f (t) −
èçìåðèìà ¯ |f (t)| dt < ∞, (f, g) = f (t)g(t)dt .


¯
a
a
8.2. Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà
88
À ïðîñòðàíñòâî R2 [a, b] ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b]
ôóíêöèé ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
Zb
(f, g) =
f (t)g(t)dt
a
ïðåäãèëüáåðòîâî, íî íå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî.
 ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèÿõ H ïðåäãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ïîëíîòà ðîëè íå èãðàåò.
Çàäà÷à 8.4. 1) Ñëîæåíèå â H íåïðåðûâíî. 2) Óìíîæåíèå íà êîìïëåêñíûå
÷èñëà íåïðåðûâíî.
Çàäà÷à 8.5. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íåïðåðûâíî îòíîñèòåëüíî ñõîäèìîñòè ïî íîðìå [11, c. 86].
Çàäà÷à 8.6.  âåùåñòâåííîì ïðåäãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòû
x è y îðòîãîíàëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .
n
X
xk .
Çàäà÷à 8.7. Ïóñòü x1 , x2 , . . . xn - îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà â H , x =
Äîêàçàòü, ÷òî kxk2 =
n
X
k=1
kxk k2 .
k=1
Çàäà÷à 8.8. Ïóñòü xn , yn ïðèíàäëåæàò çàìêíóòîìó åäèíè÷íîìó øàðó
S 1 (0) â H è (xn , yn ) → 1 ïðè n → ∞. Äîêàçàòü, ÷òî kxn − yn k → 0 ïðè
n → ∞.
Çàäà÷à 8.9. Äîêàæèòå, ÷òî âî âñÿêîì ïðåäãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå
âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî ïàðàëëåëîãðàììà:
kx − yk2 + kx + yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ).
Çàäà÷à 8.10. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì âåøåñòâåííîì íîðìèðîâàííîì
ïðîñòðàíñòâå, â êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ ýòî òîæäåñòâî, ìîæíî ââåñòè
òàêîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ÷òî áóäåò ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
kxk2 = (x, x)
[9, c. 188].
8.2. Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà
89
Ïðèìåð 8.3. Äîêàæåì: â C[a, b] íåëüçÿ ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå,
ñîãëàñóþùååñÿ ñ íîðìîé ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.
h πi
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ C 0, . Óêàæåì òàêèå
2
h πi
ýëåìåíòû x, y ∈ C 0, , äëÿ êîòîðûõ íå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî ïàðàë2
ëåëîãðàììà.
Ïóñòü x(t) = cos t, y(t) = sin t. Òîãäà
kxk = max | cos(t)| = 1;
π
t∈[0, ]
2
kyk = max | sin(t)| = 1,
π
t∈[0, ]
2
íî
kx−yk = max | cos(t)−sin(t)| = 1;
π
t∈[0, ]
2
kx+yk = max | cos(t)+sin(t)| =
π
t∈[0, ]
2
√
2.
Ñëåäîâàòåëüíî,
kx − yk2 + kx + yk2 6= 2(kxk2 + kyk2 ).
h πi
Òîæäåñòâî ïàðàëëåëîãðàììà íå âûïîëíÿåòñÿ â C 0, , ïîýòîìó ñêàëÿð2
íîå ïðîèçâåäåíèå, ñîãëàñîâàííîå ñ íîðìîé äàííîãî ïðîñòðàíñòâà, ââåñòè
íåëüçÿ.
Çàäà÷à 8.11. Äîêàæèòå: â `p ïðè p 6= 2 íåëüçÿ ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ñîãëàñóþùååñÿ ñ íîðìîé ýòèõ ïðîñòðàíñòâ [9, c. 190].
Ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâà ïàðàëëåëîãðàììà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâà Lp (a, b) ïðè p 6= 2 íå ÿâëÿþòñÿ ãèëüáåðòîâûìè.
Çàäà÷à 8.12. Ïðèâåäèòå ïðèìåð íåïîëíîãî ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî
ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå
à) íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäãèëüáåðòîâûì;
á) ÿâëÿåòñÿ ïðåäãèëüáåðòîâûì.
Çàäà÷à 8.13. Ïðèâåäèòå ïðèìåð áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå
à) íå ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì;
á) ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì.
8.3. Ýêâèâàëåíòíûå íîðìû
90
Ðèñ. 8.1: Måòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà
Ñâÿçü ìåæäó ìåòðè÷åñêèì, ëèíåéíûìè íîðìèðîâàííûìè, áàíàõîâûìè, ïðåäãèëüáåðòîâûìè è ãèëüáåðòîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè èëëþñòðèðóåò
Ðèñ.1.
8.3 Ýêâèâàëåíòíûå íîðìû
Îïðåäåëåíèå 8.5. Äâå íîðìû k · k1 , k · k2 íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè,
åñëè ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå C1 , C2 > 0 òàêèå, ÷òî
C1 kxk1 6 kxk2 6 C2 kxk1
∀x ∈ X.
Çàäà÷à 8.14. Íà Rn âñå íîðìû ýêâèâàëåíòíû.
Çàäà÷à 8.15. Ïóñòü X ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî. Äîêàæèòå, ÷òî íîðìû
sup(kx1 k, kx2 k),
kx1 k + kx2 k,
¡
¢1/2
kx1 k2 + kx2 k2
ýêâèâàëåíòíû íà X × X .
Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê áåñêîíå÷íîìåðíîìó
ñëó÷àþ:
Çàäà÷à 8.16. Ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé íå ïîëíî ïî
íîðìå
Zb
kxk1 =
|x(t)|dt.
a
8.4. Ïîäïðîñòðàíñòâî
91
Çàäà÷à 8.17. Íîðìû
Zb
kxk = max |x(t)| è kxk1 =
|x(t)|dt
t∈[a,b]
a
íå ýêâèâàëåíòíû íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé.
8.4 Ïîäïðîñòðàíñòâî
Îïðåäåëåíèå 8.6. Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ L ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà X
íàä ïîëåì R (èëè C) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì, åñëè
∀α, β ∈ R (èëè C) ∀x, y ∈ X : x, y ∈ L ⇒ αx + βy ∈ L.
Îïðåäåëåíèå 8.7. Ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì
ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì.
Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ î êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ:
Çàäà÷à 8.18. Rn ïîëíî.
Çàäà÷à 8.19. Êîíå÷íîìåðíîå ïîäìíîæåñòâî ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî
ïðîñòðàíñòâà, ÿâëÿþùååñÿ ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì, çàìêíóòî (ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì).
Ïðèìåð 8.4. Ïîêàæåì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà [a, b] ôóíêöèé C 1 [a, b] íå çàìêíóòî â C[a, b] è, ñëåäîâàòåëüíî,
C 1 [a, b] íå ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì C[a, b].
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðèâåñòè ïðèìåð ïðåäåëüíîé òî÷êè ìíîæåñòâà C 1 [a, b], êîòîðàÿ ïðèíàäëåæèò C[a, b], íî íå ïðèíàäëåæèò C 1 [a, b]. Òî åñòü äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà C 1 [a, b], êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ â C[a, b], íî ïðåäåë íå ïðèíàäëåæèò C 1 [a, b].
¯
¯
¯
¯
a
+
b
¯ ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà C[a, b], êîòîðûé
Âîçüìåì x∗ (t) = ¯¯t −
2 ¯
íå ïðèíàäëåæèò C 1 [a, b]. Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ëþáóþ íåïðåðûâíóþ
8.4. Ïîäïðîñòðàíñòâî
92
íà îòðåçêå ôóíêöèþ ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà C 1 [a, b], ñõîäÿùàÿñÿ ê x∗ . Íî x∗ íå ïðèíàäëåæèò C 1 [a, b].
Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Çàäà÷à 8.20. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ïîëèíîìîâ ñ ìàêñèìóìíîðìîé íå ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì C[a, b], à ìíîæåñòâî ïîëèíîìîâ
îãðàíè÷åííîé ñòåïåíè ñ ìàêñèìóì-íîðìîé ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì
C[a, b].
Ãëàâà 9
Êîìïàêòíîñòü â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ
9.1 Îòíîñèòåëüíàÿ êîìïàêòíîñòü è îãðàíè÷åííîñòü
Ïóñòü (X, ρ) ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.
Îïðåäåëåíèå 9.1. Ìíîæåñòâî M ⊂ X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè
îíî ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì øàðå.
Îïðåäåëåíèå 9.2. Ìíîæåñòâî M ⊂ X íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì, åñëè èç ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ýëåìåíòîâ ìîæíî èçâëå÷ü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Åñëè ïðåäåë ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðèíàäëåæèò M , òî M íàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â ìåòðè÷åñêîì
ïðîñòðàíñòâå ýòî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîå è çàìêíóòîå ìíîæåñòâî.
Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì êîìïàêòíîñòè, äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
Çàäà÷à 9.1. Çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî êîìïàêòíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà êîìïàêòíî.
Çàäà÷à 9.2. Êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ïîëíî.
Òàêèì îáðàçîì, êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ýòî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîå è ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.
Ïðè èññëåäîâàíèè êîìïàêòíîñòè êîíå÷íîìåðíûé è áåñêîíå÷íîìåðíûé
ñëó÷àè ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà.
9.1. Îòíîñèòåëüíàÿ êîìïàêòíîñòü è îãðàíè÷åííîñòü
94
Ïðèìåð 9.1. Ïóñòü X = Rn ñ ëþáîé èç ìåòðèê ρp
Ã
ρp (x, y) =
n
X
!1/p
|xi − yi |p
,
1 6 p < ∞.
i=1
Èç òåîðåìû Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà ñëåäóåò, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ êîìïàêòíîñòü ìíîæåñòâà â êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå ðàâíîñèëüíà îãðàíè÷åííîñòè. Ñîîòâåòñòâåííî, êîìïàêòíîñòü ýòî îãðàíè÷åííîñòü è çàìêíóòîñòü.
 áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå ýòî íå òàê. Èç îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü, îáðàòíîå íåâåðíî.
Çàäà÷à 9.3. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì.
Çàäà÷à 9.4. Ïîñòðîéòå îòðèöàíèå îïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè.
Ïðèâåäåì ïðèìåð îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì.
Ïðèìåð 9.2. Äîêàæåì, ÷òî çàìêíóòûé åäèíè÷íûé øàð S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâå `2 íå ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ,
¯
(
̰
!1/2
)
¯
X
¯
S 1 (0) = x ∈ `2 ¯¯ρ2 (x, 0) =
|xi |2
61
¯
i=1
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áàçèñíûõ âåêòîðîâ {en }∞
n=1 :
e1 = (1, 0, 0,
e2
..
.
=
..
.
en =
..
.
..
.
(0,
..
.
0,
1, 0,
0,
..
..
..
.
.
.
(0, 0, . . . , |{z}
1 ,
n
.. ..
..
..
. .
.
.
0, . . .);
0, . . .);
..
..
.
.
0, . . .);
..
.
..
.
9.2. Êðèòåðèé Õàóñäîðôà
95
Î÷åâèäíî, ÷òî {en } ∈ S 1 (0). Òàê êàê ïðè n 6= m, n, m → ∞
ρ(en , em ) =
√
2 6→ 0,
òî èç äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåëüçÿ âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
9.2 Êðèòåðèé Õàóñäîðôà
Îïðåäåëåíèå 9.3. Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ ε-ñåòüþ äëÿ ìíîæåñòâà
N , åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà n ∈ N íàéäåòñÿ ýëåìåíò m ∈ M òàêîé,
÷òî
ρ(m, n) < ε.
1
ïîñòðîéòå
2
ε-ñåòü, ñîñòîÿùóþ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, äëÿ êâàäðàòà
Çàäà÷à 9.5. Ïóñòü X = R2 ñ åâêëèäîâîé ìåòðèêîé.Ïðè ε =
K=
©
x ∈ R2 |0 6 xi 6 1,
i = 1, 2
ª
Òåîðåìà 6 (Êðèòåðèé Õàóñäîðôà). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìíîæåñòâî M èç
X áûëî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì, íåîáõîäèìî, à â ñëó÷àå ïîëíîòû X
è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 ó ìíîæåñòâà M ñóùåñòâîâàëà
ε-ñåòü, ñîñòîÿùàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ.
Çàäà÷à 9.6. Ïóñòü M êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì
ïðîñòðàíñòâå (X, ρ). Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìíîæåñòâî M
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
M=
n
[
Fi ,
i=1
ãäå Fi çàìêíóòûå ìíîæåñòâà è äëÿ i = 1, 2, . . . n diamFi < ε
(diamFi = sup ρ(x, y)).
x,y∈Fi
9.3. Ãèëüáåðòîâ êèðïè÷
96
9.3 Ãèëüáåðòîâ êèðïè÷
Íàøà öåëü ïðèâåñòè ïðèìåð îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå. Ïðåäâàðèòåëüíî äîêàæåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ïðèìåð 9.3. Ïóñòü (X, ρ) ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ó ìíîæåñòâà M ⊂ X ñóùåñòâóåò îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíàÿ ε-ñåòü. Òîãäà M îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü N îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíàÿ ε-ñåòü ìíîæåñòâà
M . Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ ε-ñåòè, äëÿ ëþáîãî m ∈ M íàéäåòñÿ n ∈ N
òàêîé, ÷òî
ρ(m, n) < ε.
Òàê êàê, ïî óñëîâèþ, N îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, òî,
ñîãëàñíî êðèòåðèþ Õàóñäîðôà, ó ìíîæåñòâà N ñóùåñòâóåò ε-ñåòü L, ñîñòîÿùàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Òî åñòü äëÿ ëþáîãî n ∈ N íàéäåòñÿ
` ∈ L òàêîé, ÷òî
ρ(n, `) < ε.
Ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà, äëÿ ëþáîãî ε > 0 ó ìíîæåñòâà M ñóùåñòâóåò 2ε-ñåòü L, ñîñòîÿùàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ:
ρ(m, `) 6 ρ(m, n) + ρ(n, `) < 2ε.
Òàê êàê, ïî óñëîâèþ, ïðîñòðàíñòâî X ïîëíî, òî èç ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîé
ε-ñåòè ñëåäóåò îòíîñèòåëüíàÿ êîìïàêòíîñòü ìíîæåñòâà M .
Ìíîæåñòâî K â ïðîñòðàíñòâå `2
(
K=
¯
¯
1
x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `2 ¯¯|xn | 6
n
)
n∈N
(9.1)
áóäåì íàçûâàòü "ãèëüáåðòîâûì êèðïè÷îì".
Ïðèìåð 9.4. Äîêàæåì, ÷òî ãèëüáåðòîâ êèðïè÷ ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî
êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì â ïðîñòðàíñòâå `2 .
9.3. Ãèëüáåðòîâ êèðïè÷
97
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü îòíîñèòåëüíî
êîìïàêòíóþ ε-ñåòü.
Çàìåòèì, ÷òî K ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì ìíîæåñòâîì: K ⊂ S R (0), ãäå
v
u∞
uX 1
R=t
.
2
n
i=1
Ïóñòü ìíîæåñòâî KN ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ ýëåìåíòîâ: N ïåðâûõ êîîðäèíàò êàæäîãî ýëåìåíòà èç K îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, îñòàëüíûå ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè íóëþ
(
KN =
¯
y N ∈ K ¯y N = (x1 , x2 , . . . , xN , 0, . . . , 0, . . .), x ∈ K
)
Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð N òàêîé, ÷òî KN
ÿâëÿåòñÿ ε-ñåòüþ äëÿ ìíîæåñòâà K . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0
íàéäåòñÿ íîìåð N òàêîé, ÷òî äëÿ êàæäîãî x ∈ K ìîæíî âûáðàòü y ∈ KN
òàêîé, ÷òî
ρ(x, y) < ε.
 êà÷åñòâå òàêîãî ýëåìåíòà y âîçüìåì ýëåìåíò y N , ó êîòîðîãî N ïåðâûõ
êîîðäèíàò ñîâïàäàþò ñ êîîðäèíàòàìè ýëåìåíòà x. Òîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó
x è y N âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé:
v
u X
u ∞
N
ρ(x, y ) = t
|xk |2 .
k=N +1
Ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè ìîæíî ðàâíîìåðíî îöåíèòü ÷èñëîâûì ðÿäîì, êîòîðûé
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îñòàòîê ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà. Ñëåäîâàòåëüíî,
v
v
u X
u X
∞
u ∞ 1
u
2
t
|xk | 6 t
< ε.
k2
k=N +1
k=N +1
Ìíîæåñòâî KN îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî â `2 êàê îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â RN . Òàêèì îáðàçîì, îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíàÿ ε-ñåòü ìíîæåñòâà K
ïîñòðîåíà è óòâåðæäåíèå ïðèìåðà äîêàçàíî.
9.4. Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ
98
1
? Ìîæn
íî ëè åãî íå ó÷èòûâàòü? ×òî ìîæíî ïîòðåáîâàòü âìåñòî íåãî?
Çàäà÷à 9.7. Ãäå â äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçîâàíî óñëîâèå |xn | 6
Çàäà÷à 9.8. Ïðåäëîæèòå äðóãîé ñïîñîá çàäàíèÿ ãèëüáåðòîâà êèðïè÷à
(9.1) â ïðîñòðàíñòâå `2 .
Çàäà÷à 9.9. Ïðèâåäèòå ïðèìåð îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà
â ïðîñòðàíñòâå `p ïðè p 6= 2 è äîêàæèòå åãî îòíîñèòåëüíóþ êîìïàêòíîñòü.
Îáîáùåíèå äîêàçàòåëüñòâà îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè ãèëüáåðòîâà
êèðïè÷à ïðèâîäèò ê êðèòåðèþ îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà â
ïðîñòðàíñòâå `p .
Çàäà÷à 9.10. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî M ýëåìåíòîâ x
=
(x1 , x2 , . . .) ∈ `p (p > 1) îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî îãðàíè÷åíî è ïî ëþáîìó ε > 0 íàéäåòñÿ n ∈ N òàêîé, ÷òî
äëÿ ëþáîãî x ∈ M âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
∞
X
|xk |p < ε
k=n
[11, c. 248].
9.4 Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ
Ïðèìåð 9.5. Äîêàæåì, ÷òî ïðè íåïðåðûâíîì îòîáðàæåíèè îáðàç êîìïàêòíîãî ïðîñòðàíñòâà êîìïàêòåí.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (X, ρ) êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî.
Îòîáðàæåíèå f : X → X íåïðåðûâíî. Äîêàæåì, ÷òî f (X) êîìïàêòíîå
ìíîæåñòâî.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn ∈ f (X). Òîãäà ∀yn
íàéäåòñÿ xn ∈ X òàêîé, ÷òî f (xn ) = yn . Â ñèëó êîìïàêòíîñòè ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) íàéäåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü xnk , ñõîäÿùàÿñÿ ê íåêîòîðîìó
9.4. Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ
99
ýëåìåíòó x ∈ X :
∃xnk : ρ(xnk , x) → 0 ïðè k → ∞.
(9.2)
Ïóñòü ynk = f (xnk ). Â ñèëó íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ f èç (9.2) ñëåäóåò,
÷òî
ρ(f (xnk ), f (x)) → 0 ïðè k → ∞.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè yn íàéäåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ynk òàêàÿ, ÷òî
ρ(ynk , y) → 0 ïðè k → ∞,
ïðè÷åì y = f (x) ∈ f (X).
Çàäà÷à 9.11. ßâëÿåòñÿ ëè îáðàç îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà ïðè íåïðåðûâíîì îòîáðàæåíèè îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì?
Òåîðåìû Âåéåðøòðàññà î íåïðåðûâíûõ ôóíêöèÿõ íà îòðåçêå îáîáùàþòñÿ íà ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ â ìåòðè÷åñêèõ
ïðîñòðàíñòâàõ.
Çàäà÷à 9.12. Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f : X → R, îïðåäåëåííàÿ íà êîìïàêòíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X , îãðàíè÷åíà è äîñòèãàåò ñâîåãî
ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà [11, c. 224].
Çàäà÷à 9.13. Ïóñòü X, Y ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, X êîìïàêòíî
è f : X → Y íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî f ðàâíîìåðíî
íåïðåðûâíî.
Íà îñíîâàíèè òåîðåì Âåéåðøòðàññà äîêàçûâàþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
Çàäà÷à 9.14. Ïóñòü M êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (X, ρ). Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ X íàéäåòñÿ
òàêîé y ∈ M , ÷òî ρ(x, M ) = ρ(x, y).
Çàäà÷à 9.15. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) áûëî
êîìïàêòíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íà X áûëà îãðàíè÷åíà.
9.4. Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ
100
Òåïåðü ðàññìîòðèì íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå C[0, 1].
Èç ðåçóëüòàòà ñëåäóþùåé çàäà÷è âûòåêàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî çàìêíóòûé
åäèíè÷íûé øàð â ýòîì ïðîñòðàíñòâå íå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì.
Çàäà÷à 9.16. Ïðîâåðüòå, ÷òî îòîáðàæåíèå f : C[0, 1] → R, çàäàííîå
ôîðìóëîé
Z1/2
Z1
f (x) = x(t)dt − x(t)dt,
0
1/2
íåïðåðûâíî. Ïîêàæèòå, ÷òî òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü åãî çíà÷åíèé íà çàìêíóòîì åäèíè÷íîì øàðå S 1 (0) ðàâíà 1, íî ýòà ãðàíü íå äîñòèãàåòñÿ íè
íà êàêîì ýëåìåíòå øàðà.
Ïðèìåð 9.6. Ïóñòü (X, ρ) êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è
îòîáðàæåíèå f : X → X óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
ρ(f (x1 , x2 )) = ρ(x1 , x2 ).
Äîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå f (x) = y ðàçðåøèìî ïðè ëþáîì y ∈ X .
Êîðîòêî óòâåðæäåíèå ïðèìåðà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íåëüçÿ èçîìåòðè÷åñêè îòîáðàçèòü íà åãî ÷àñòü.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äâà ñïîñîáà äîêàçàòåëüñòâà.
Ïåðâûé ñïîñîá. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f îñóùåñòâëÿåò îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà X íà åãî ÷àñòü M :
íà
f : X −→ M,
M ⊂ X.
Òîãäà îáðàç f ñîâïàäàåò ñ M
f (X) = M
è íàéäåòñÿ òî÷êà x0 ∈ X , x0 ∈
/ M.
Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê {xn } ∈ f (X) ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó:
xn = f (xn−1 ),
n ∈ N.
9.4. Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ
101
Òîãäà xn ∈ f (X) ïðè n > 1.
Òàê êàê x1 = f (x0 ), x0 ∈
/ f (X) è îòîáðàæåíèå f îñóùåñòâëÿåò èçîìåòðèþ, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ.
Òàê êàê, ïî óñëîâèþ, ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) êîìïàêòíî, à îòîáðàæåíèå f
íåïðåðûâíî, òî f (X) çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî
X\f (X) îòêðûòî. Ïîýòîìó èç òîãî, ÷òî x0 ∈
/ M âûòåêàåò, ÷òî
∃ε > 0 : Sε (x) ∈
/ f (X).
×òîáû ïðèéòè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ äàííûì óòâåðæäåíèåì, ïîêàæåì, ÷òî
â ëþáîé ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 íàéäåòñÿ ýëåìåíò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn , ïðèíàäëåæàùèé f (X).
Äåéñòâèòåëüíî, ñ îäíîé ñòîðîíû, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñîñòîèò èç
áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê ïðîñòðàíñòâî
(X, ρ) êîìïàêòíî, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ó X ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ε-ñåòü.
Âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì ÿùèêîâ Äèðèõëå: åñëè â m ÿùèêàõ ëåæèò
m + 1 ïðåäìåò, òî íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäèí ÿùèê, â êîòîðîì ëåæèò áîëåå
îäíîãî ïðåäìåòà.
Òîãäà, ïî ïðèíöèïó ÿùèêîâ Äèðèõëå, íàéäóòñÿ äâà ýëåìåíòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, êîòîðûå ïîïàäóò â îäíó ÿ÷åéêó ε-ñåòè:
∃k, ` : ρ(xk , x` ) < ε.
Ïî ïîñòðîåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, ýòî íåðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
∃k, ` : ρ(f (xk−1 ), f (x`−1 ) < ε.
 ñâîþ î÷åðåäü, ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó
∃k, ` : ρ(xk−1 , x`−1 ) < ε.
Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïîñëå êîíå÷íîãî ÷èñëà øàãîâ íàéäåì ýëåìåíò
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, êîòîðûé ëåæèò â ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè x0
ρ(x0 , xk−` ) < ε ïðè k > `.
Ïðîòèâîðå÷èå ïîëó÷åíî è óòâåðæäåíèå ïðèìåðà äîêàçàíî.
9.5. Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1]
102
Âòîðîé ñïîñîá. Ïóñòü x ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç X . Ðàññìîòðèì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f n (x)}∞
n=1 .
Ïóñòü {f nk (x)}∞
k=1 (nk < nk+1 ) ñõîäÿùàÿñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Íî òîãäà
ρ(f nk (x), f nk+1 (x)) = ρ(x, f nk+1 −nk (x)) → 0 ïðè k → ∞.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x ∈ f (X) ââèäó çàìêíóòîñòè f (X).
Çàäà÷à 9.17. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè (X, ρ) êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è îòîáðàæåíèå f : X → X óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
ρ(f (x1 ), f (x2 )) < ρ(x1 , x2 ) ïðè x1 6= x2 ,
òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ f . Áóäåò ëè îòîáðàæåíèå f ñæèìàþùèì?
9.5 Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1]
Îïðåäåëåíèå 9.4. Ìíîæåñòâî Φ íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [0, 1] ôóíêöèé
íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà R > 0, ÷òî
∀ϕ ∈ Φ∀t ∈ [0, 1] |ϕ(t)| 6 R.
Îïðåäåëåíèå 9.5. Ìíîæåñòâî Φ ⊂ C[0, 1] íàçûâàåòñÿ ðàâíîñòåïåííî
íåïðåðûâíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ
ëþáîé ôóíêöèè ϕ ∈ Φ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
|ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| < ε
êàê òîëüêî
|t1 − t2 | < δ.
Òåîðåìà 7 (Êðèòåðèé Àðöåëà). Ìíîæåñòâî Φ ∈ C[0, 1] îòíîñèòåëüíî
êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Φ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííî è ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíî.
9.5. Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1]
103
Ïðèìåð 9.7. Äîêàæåì äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè â C[0, 1]. Ìíîæåñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé òàêèõ, ÷òî ñàìè îíè ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû è èõ ïåðâûå ïðîèçâîäíûå ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû, îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî â C[0, 1].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M
(
M=
)
x ∈ C 1 [0, 1] | |x(t)| 6 B, |x0 (t)| 6 B1
ðàññìàòðèâàåìîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé. Î÷åâèäíî, ÷òî M ðàâíîìåðíî
îãðàíè÷åíî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâíîñòåïåííîé íåïðåðûâíîñòè ðàññìîòðèì ðàçíîñòü |x(t1 ) − x(t2 )|. Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà
|x(t1 ) − x(t2 )| = |x0 (ξ)||t1 − t2 |,
ãäå ξ ∈ [t1 , t2 ]. Òîãäà, ïî óñëîâèþ
|x(t1 ) − x(t2 )| 6 B1 |t1 − t2 |.
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ =
ε
òàêîå, ÷òî èç
B1
|t1 − t2 | < δ
ñëåäóåò, ÷òî
|x(t1 ) − x(t2 )| < ε.
Çàäà÷à 9.18. Êàêèå èç ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíû
â C[0, 1]?
(
1) M1 =
)
x ∈ C[0, 1] | |x(t)| 6 B ,
(
2) M2 =
x ∈ C[0, 1] | |x(t)| 6 B, |x(t1 ) − x(t2 )| 6 L|t1 − t2 |
)
9.5. Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1]
104
Çàäà÷à 9.19. Ïóñòü M ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé
â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1]. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî N ôóíêöèé âèäà
Zt
y(t) =
x(τ )dτ,
t ∈ [0, 1],
0
ãäå x(t) ∈ M , îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî.
Çàäà÷à 9.20. Äîêàæèòå, ÷òî øàð ïðîñòðàíñòâà C 1 [0, 1] ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1]. ßâëÿåòñÿ
ëè îí êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì â C[0, 1]?
Çàäà÷à 9.21. Ïîñòðîéòå îòðèöàíèå îïðåäåëåíèÿ ðàâíîñòåïåííîé íåïðåðûâíîñòè.
Ïðèìåð 9.8. Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî tn , n = 1, 2, . . . íå ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì â C[0, 1].
Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî äàííîå ìíîæåñòâî ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî. Äîêàæåì, ÷òî îíî íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíûì. Ïóñòü
1
ε = , δ ëþáîå ÷èñëî, ìåíüøåå åäèíèöû. Âîçüìåì
2
t1 = 1,
t2 = 1 − δ.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî δ íàéäåòñÿ íîìåð N òàêîé, ÷òî
µ
δ
x(t1 ) − x(t2 ) = 1 − 1 −
2
Äåéñòâèòåëüíî, äîñòàòî÷íî âûáðàòü
"
N>
1
2
¶N
>
1
2
#
ln
+ 1,
ln(1 − δ)
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Çàäà÷à 9.22. ßâëÿþòñÿ ëè îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûìè ñëåäóþùèå
9.5. Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1]
105
ìíîæåñòâà â C[0, 1]?
1)
(at)n
n = 1, 2, . . . ;
2)
sin(nt)
n = 1, 2, . . . ;
3)
sin(t + n) n = 1, 2, . . . ;
4)
et+α
α∈R
5)
et−α
α ∈ R,
α>0
Çàäà÷à 9.23. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Àðöåëà, ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå
êðèòåðèé îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè â ïðîñòðàíñòâå C 1 [0, 1].
Ãëàâà 10
Òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà
Áîëåå øèðîêèé êëàññ ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè îáðàçóþò òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà.
Îïðåäåëåíèå 10.1. Òîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ ïàðà
(X, τ ) ìíîæåñòâî X ñ ââåäåííîé íà íåì òîïîëîãèåé τ . Òîïîëîãèÿ τ
åñòü ñèñòåìà ïîäìíîæåñòâ, îáëàäàþùèõ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
1) ïóñòîå ìíîæåñòâî è âñå ïðîñòðàíñòâî X ïðèíàäëåæàò τ ;
2) îáúåäèíåíèå ëþáîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ èç τ ïðèíàäëåæèò τ ;
3) ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ èç τ ïðèíàäëåæàò τ .
Îïðåäåëåíèå 10.2. Ïîäìíîæåñòâà, óäîâëåòâîðÿþùèå óêàçàííûì òðåì
ñâîéñòâàì, íàçûâàþòñÿ îòêðûòûìè.
Îïðåäåëåíèå 10.3. Ëþáîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òî÷êó
x ∈ X , íàçûâàåòñÿ îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x.
Êàæäîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì
ïðîñòðàíñòâîì. Îòêðûòûå ìíîæåñòâà, îïðåäåëÿåìûå îáû÷íûì îáðàçîì ÷åðåç ðàññòîÿíèå ρ, çàäàþò òîïîëîãèþ.
Ïðîèçâîëüíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìå
îòäåëèìîñòè Õàóñäîðôà: äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ òî÷åê x, y ∈ X ñóùåñòâóþò ìíîæåñòâî τx , ñîäåðæàùåå x è ìíîæåñòâî τy , ñîäåðæàùåå y , êîòîðûå
ïðèíàäëåæàò ñèñòåìå τ è íå ïåðåñåêàþòñÿ: τx
T
τy = ∅.
Îïðåäåëåíèå 10.4. Ñèñòåìà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ Σ òîïîëîãè÷åñêîãî
ïðîñòðàíñòâà (X, τ ) íàçûâàåòñÿ áàçîé òîïîëîãèè ýòîãî ïðîñòðàíñòâà,
107
åñëè ëþáîå íåïóñòîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà X ìîæåò
áûòü ïîëó÷åíî êàê îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ èç Σ.
Îïðåäåëåíèå 10.5. Òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ñî ñ÷åòíîé áàçîé, åñëè â íåì ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà áàçà, ñîñòîÿùàÿ íå áîëåå ÷åì èç ñ÷åòíîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ.
Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ñî ñ÷åòíîé áàçîé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ñåïàðàáåëüíî.
Îïðåäåëåíèå 10.6. Òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, τ ) íàçûâàåòñÿ
ìåòðèçóåìûì, åñëè òîïîëîãèÿ τ â íåì ìîæåò áûòü çàäàíà ñ ïîìîùüþ
êàêîé-íèáóäü ìåòðèêè.
Íå âñÿêîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ìåòðèçóåìî.
Ïðèìåð 10.1.  òåîðèè îáîáùåííûõ ôóíêöèé âàæíóþ ðîëü èãðàåò ïðîñòðàíñòâî C0∞ (R). Îíî ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ôèíèòíà îáðàùàåòñÿ â íîëü âíå íåêîòîðîãî îòðåçêà.
Ìíîæåñòâî
supp ϕ = {x : ϕ(x) 6= 0}
(÷åðòà îçíà÷àåò çàìûêàíèå) íàçûâàåòñÿ íîñèòåëåì ôóíêöèè ϕ.
C0∞ (R) ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé ñ
êîìïàêòíûì íîñèòåëåì. Ñõîäèìîñòü â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Îïðåäåëåíèå 10.7. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕn → ϕ â C0∞ , åñëè
1. íîñèòåëè ôóíêöèé ϕn (x) "íå óáåãàþò"íà áåñêîíå÷íîñòü:
∃a, b : supp ϕn ⊂ [a, b] ∀n;
2. ϕn (x) ñõîäèòñÿ ê ϕ(x) è âñå ïðîèçâîäíûå ϕn (x) ñõîäÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïðîèçâîäíûì ϕ(x) ðàâíîìåðíî ïî x ∈ [a, b]:
(j)
ϕ(j)
n (x) → ϕ (x)
n → ∞, j = 0, 1, . . . ∀x ∈ [a, b].
108
Çàäà÷à 10.1. Ïóñòü ϕ ∈ C0∞ (R). Ñõîäÿòñÿ ëè â C0∞ (R) ñëåäóþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
1
1) ϕ(x);
n
1
2) ϕ(nx);
n
1 ³x´
3) ϕ
?
n
n
Çàäà÷à 10.2. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîñòðàíñòâî C0∞ (R) íå ìåòðèçóåìî [14,
c. 161].
Ëèòåðàòóðà
[1] Àíòîíåâè÷ À. Á., Êíÿçåâ Ï. Í., Ðàäûíî ß.Â. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî
ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. Ìèíñê: Âûø. øêîëà, 1978. - 208 ñ.
[2] Àõèåçåð Í. È., Ãëàçìàí È. Ì. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ì.: Íàóêà, 1966. - 544 ñ.
[3] Âàéíáåðã Ì. Ì. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1979. - 128
ñ.
[4] Âëàäèìèðîâ Â. Ñ., Âîëîâè÷ È. Â., Çåëåíîâ Å. È. p-àäè÷åñêèé àíàëèç è
ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà.-Ì.: Ôèçìàòëèò, 1994.-352 ñ.
[5] Çîðè÷ Â. À. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×. 2. Ì.: Íàóêà, 1984. - 640 ñ.
[6] Èëüèí Â. À., Ïîçíÿê Ý. Ã. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×. 2. Ì.:
Íàóêà, 1980.
[7] Êàíòîðîâè÷ Ë. Â., Àêèëîâ Ã. Ï. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì.: Íàóêà,
1984. - 752 ñ.
[8] Êèðèëëîâ À. À., Ãâèøèàíè À. Ä. Òåîðåìû è çàäà÷è ôóíêöèîíàëüíîãî
àíàëèçà. Ì.: Íàóêà, 1988. - 400 ñ.
[9] Êîëìîãîðîâ À. Í., Ôîìèí Ñ. Â. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà, 1989. - 624 ñ.
[10] Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç Ïîä ðåä. Êðåéíà C. Ã. Ì.: Íàóêà, 1972. - 544
ñ.
[11] Ëþñòåðíèê Ë. À., Cîáîëåâ Â. È. Ýëåìåíòû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà.
Ì.: Íàóêà, 1965. - 520 ñ.
Ëèòåðàòóðà
110
[12] Ëþñòåðíèê Ë. À., Cîáîëåâ Â. È. Êðàòêèé êóðñ ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì.: Âûñø. øêîëà, 1982. - 271 ñ.
[13] Ðèä Ì., Ñàéìîí Á. Ìåòîäû ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ò.1.
Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì.: Ìèð, 1977. - 460 ñ.
[14] Póäèí Ó. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì.: Ìèð, 1975. - 448 ñ.
[15] Ñàäîâíè÷èé Â. À. Òåîðèÿ îïåðàòîðîâ. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1986. - 368 ñ.
[16] Cîáîëåâ Ñ. Ë. Íåêîòîðûå ïðèìåíåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Ì.: Íàóêà, 1988. - 334 ñ.
[17] Òðåíîãèí Â. À. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì.: Íàóêà, 1980. - 496 ñ.
[18] Òðåíîãèí Â. À., Ïèñàðåâñêèé Á. Ì., Ñîáîëåâà Ò. Ñ. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. Ì.: Íàóêà, 1984. - 256 ñ.
[19] Õàëìîø Ï. Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî â çàäà÷àõ. Ì.: Ìèð, 1970. - 352
ñ.
[20] Õàðäè Ã., Ëèòòëâóä Ä., Ïîëèà Ã. Íåðàâåíñòâà. Ì.: Èí. ëèò-ðà, 1948.
- 456 ñ.