Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ Ñ. Â. Ðåâèíà Ë. È. Ñàçîíîâ Îãëàâëåíèå I Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà 4 1 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ 5 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 Àêñèîìû ìåòðèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðèìåðû çàäàíèÿ ìåòðèê íà ïðÿìîé . . . . . . . . . . . Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî . . . . . . . . . . Ìåòðèêè â Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Øàðû â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ . . . . . . . . . . . Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . Ýêâèâàëåíòíûå ìåòðèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ïðîñòðàíñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Îïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé . . . Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâàõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé Ñâÿçü ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè `p è S . . . . . . . . . . . Ñåïàðàáåëüíîñòü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè . . . . . . . . . . . . . . 5 6 8 13 16 18 18 19 20 23 . . . . . . . . . . . . . . . 23 25 27 28 30 3 Ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé 36 m 3.1 Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà C[a, b], C [a, b] 36 3.2 Ïðèìåðû ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ . . . . . . . 39 4 Ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà 4.1 4.2 4.3 4.4 Ïðîñòðàíñòâà Lp (a, b), 1 6 p < ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâàõ Lp (0, 1) Ïðîñòðàíñòâî L∞ (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðîñòðàíñòâà Lp, loc (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 47 51 54 Îãëàâëåíèå 3 5 Íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé 56 6 Ïîëíîòà ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ 60 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 Îïðåäåëåíèå ïîëíîòû . . . . . . . . . . . . . . . . . Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû . . . . . . . . . . . . . . . Ïðèìåð íåïîëíîãî ïðîñòðàíñòâà . . . . . . . . . Òåîðåìà î ïîïîëíåíèè . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ è òåîðåìà Áýðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé 7.1 7.2 7.3 Îáùèå ñâåäåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà 8.1 8.2 8.3 8.4 Áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà . . . Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà . Ýêâèâàëåíòíûå íîðìû . . . . Ïîäïðîñòðàíñòâî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îòíîñèòåëüíàÿ êîìïàêòíîñòü è îãðàíè÷åííîñòü Êðèòåðèé Õàóñäîðôà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ãèëüáåðòîâ êèðïè÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ . . . . . Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà 70 70 72 77 85 . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Êîìïàêòíîñòü â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 60 61 64 65 67 . . . . 85 86 90 91 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 . 95 . 96 . 98 . 102 106 ×àñòü I Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà Ãëàâà 1 Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ  ýòîé ãëàâå îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ òåîðèè ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ èëëþñòðèðóþòñÿ ïðîñòûìè ïðèìåðàìè, â îñíîâíîì îòíîñÿùèìèñÿ ê êîíå÷íîìåðíîìó ñëó÷àþ. Äëÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî îçíàêîìëåíèÿ ñ ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè õîðîøî ïîäõîäèò êíèãà [11, ãëàâà 1], â íåé ðàçîáðàíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïðèìåðîâ. Ìîæíî òàêæå ðåêîìåíäîâàòü êíèãè [9, 12, 13, 15, 7]. 1.1 Àêñèîìû ìåòðèêè Àáñòðàêòíîå ïîíÿòèå ìåòðèêè ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ïîíÿòèÿ "ðàññòîÿíèå". Ïðè ýòîì ñâîéñòâà ðàññòîÿíèÿ (íåîòðèöàòåëüíîñòü; ðàâåíñòâî íóëþ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òî÷êè ïðîñòðàíñòâà ñîâïàäàþò; ñèììåòðè÷íîñòü; íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà) ïîëîæåíû â îñíîâó îïðåäåëåíèÿ ìåòðèêè. Îïðåäåëåíèå 1.1. Ìåòðèêîé íà ìíîæåñòâå X íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ ρ : X × X 7−→ R, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì òðåì àêñèîìàì: 1. ρ(x, y) > 0, ïðè÷åì ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y; 2. ρ(x, y) = ρ(y, x); 3. ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y) ∀x, y, z ∈ X. Çàìåòèì, ÷òî ïåðå÷èñëåííûå àêñèîìû íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Òàê, åñëè â àêñèîìå òðåóãîëüíèêà 3 ïîëîæèòü x = y , òî, ñ ó÷åòîì àêñèîìû ñèììåòðè÷íîñòè 2, ïîëó÷èì óñëîâèå íåîòðèöàòåëüíîñòè ìåòðèêè èç ïåðâîé 1.2. Ïðèìåðû çàäàíèÿ ìåòðèê íà ïðÿìîé 6 àêñèîìû ρ(y, z) > 0. Çàäà÷à 1.1. Äîêàæèòå, ÷òî àêñèîìû ìåòðèêè ýêâèâàëåíòíû ñëåäóþùèì äâóì àêñèîìàì: 1. ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y; 2. ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X. Îïðåäåëåíèå 1.2. Ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ñ çàäàííîé íà íåì ìåòðèêîé, ò.å. ïàðà (X, ρ). Ýëåìåíòû ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè (ýòî ìîãóò áûòü ôóíêöèè, ÷èñëîâûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, îïåðàòîðû è ò.ä.).  îáùåì ñëó÷àå îäíî è òî æå ìíîæåñòâî X ìîæíî ïðåâðàòèòü â ðàçëè÷íûå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, çàäàâàÿ ïî-ðàçíîìó ìåòðèêè. Ïðèâåäåì ïðèìåðû ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ. 1.2 Ïðèìåðû çàäàíèÿ ìåòðèê íà ïðÿìîé Ïðèìåð 1.1. Ïóñòü ñíà÷àëà X = R. Ñòàíäàðòíîé ìåòðèêîé íà ïðÿìîé íàçûâàåòñÿ ìåòðèêà, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ ïî ïðàâèëó ρ(x, y) = |x − y|. Î÷åâèäíî, ÷òî ïåðâûå äâå àêñèîìû âûïîëíÿþòñÿ ïî ñâîéñòâàì ìîäóëÿ, à òðåòüÿ ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà |a + b| 6 |a| + |b|, (1.1) åñëè â íåì ïîëîæèòü a = x − z , b = z − y . Ïîìèìî ñòàíäàðòíîé, ñóùåñòâóþò è äðóãèå ìåòðèêè íà ïðÿìîé. Ïðèìåð 1.2. Òåïåðü çàäàäèì íà X = R òàê íàçûâàåìóþ äèñêðåòíóþ (èëè òðèâèàëüíóþ) ìåòðèêó: ρ(x, y) = ( 0 ïðè x = y 1 ïðè x 6= y (1.2) 1.2. Ïðèìåðû çàäàíèÿ ìåòðèê íà ïðÿìîé 7 Âûïîëíåíèå ïåðâûõ äâóõ àêñèîì ìåòðèêè î÷åâèäíî. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ìîãëî áû íå âûïîëíÿòüñÿ òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå: åñëè â ëåâîé ÷àñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà íàõîäèòñÿ åäèíèöà: ρ(x, y) = 1, à â ïðàâîé ÷àñòè íîëü: ρ(x, z) = 0, ρ(z, y) = 0. Íî òîãäà x = z = y . Ñëåäîâàòåëüíî, ρ(x, y) = 0 ïðîòèâîðå÷èå. Çàäà÷à 1.2. Ïóñòü X ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî. Äîêàæèòå, ÷òî (1.2) îïðåäåëÿåò ìåòðèêó íà X . Ïðèìåð 1.3. Ïóñòü X = R. Çàäàäèì ìåòðèêó ïî ïðàâèëó ρ(x, y) = |x − y| . 1 + |x − y| Ïåðâûå äâå àêñèîìû ìåòðèêè, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òðåòüåãî ñâîéñòâà äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà |a + b| |a| |b| 6 + . 1 + |a + b| 1 + |a| 1 + |b| (1.3)  ñâîþ î÷åðåäü (1.3) ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà |a + b| |a| + |b| 6 . 1 + |a + b| 1 + |a| + |b| (1.4) t íà ìíîæåñòâå íåîòðèöàòåëüíûõ 1+t ÷èñåë, òî (1.4) ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ñâîéñòâî íåóáûâàíèÿ ôóíêöèè f (t). Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî f (t), äåéñòâèòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé ôóíêÅñëè ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ f (t) = öèåé. Çàäà÷à 1.3. Ïóñòü X - ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, ρ(x, y) - ìåòðèêà íà íåì. Ïîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèè ρ1 (x, y) = ìåòðèêè íà X . ρ(x, y) , 1 + ρ(x, y) ρ2 (x, y) = min(ρ(x, y), 1) 1.3. Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî 8 Çàäà÷à 1.4. Äîêàæèòå, ÷òî ρ(x, y) = |arctg(x) − arctg(y)| ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé íà R. Çàäà÷à 1.5. Êàêèì óñëîâèÿì äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííàÿ íà R íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ u = f (v), ÷òîáû íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé ìîæíî áûëî çàäàòü ìåòðèêó ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà ρ(x, y) = |f (x) − f (y)|? 1.3 Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî ×òîáû ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà äëÿ îñíîâíûõ ïðèìåðîâ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, íàì ïîíàäîáèòñÿ íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî.  ñëåäóþùåé ñåðèè óïðàæíåíèé óñòàíàâëèâàåòñÿ ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî äëÿ êîíå÷íûõ ñóìì, à çàòåì îíî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ðÿäû. Îïðåäåëåíèå 1.3. ×èñëà p è q íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè ïîêàçàòåëÿìè, åñëè îíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1 < p, q < ∞, 1 1 + = 1. p q Çàäà÷à 1.6. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a è b è ñîïðÿæåííûõ ïîêàçàòåëåé p è q ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî Þíãà ab 6 a p bq + . p q (1.5) Óêàçàíèå. Ñ÷èòàÿ b > a > 0, ðàçäåëèòå îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà (1.5) íà bq è ðàññìîòðèòå ôóíêöèþ f (x) = ïðè x > 1. xp 1 + −x p q 1.3. Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî 9 Çàäà÷à 1.7. Äîêàæèòå, ÷òî â íåðàâåíñòâå Þíãà äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâî ap bq + ab = p q p q òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = b . Ïðèìåð 1.4. Ïóñòü α > 0, β > 0, α + β = 1. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0, äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ a è b âûïîëíÿåòñÿ èíòåðïîëÿöèîííîå íåðàâåíñòâî Þíãà α 1 1 ab 6 εa α + ε− β b β . (1.6) Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåíèì â (1.5) 1 a → ε p a, 1 b → ε− p b. Òîãäà, ïî íåðàâåíñòâó Þíãà, ñ ó÷åòîì óñëîâèé p > 1, q > 1: q q εap ε− p bq ab 6 + 6 εap + ε− p bq . p q 1 1 Ïîëàãàÿ α = , β = , ïðèõîäèì ê (1.6). p q Çàäà÷à 1.8. Âîñïîëüçîâàâøèñü íåðàâåíñòâîì Þíãà (1.5), óñòàíîâèòå íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà äëÿ êîíå÷íûõ ÷èñëîâûõ íàáîðîâ ¯ ¯ ( )1/p ( n )1/q n n ¯X ¯ X X ¯ ¯ a k bk ¯ 6 , (1.7) |ak |p |bk |q ¯ ¯ ¯ k=1 k=1 k=1 ãäå p è q ñîïðÿæåííûå ïîêàçàòåëè. Óêàçàíèå. Ðàçäåëèòå îáå ÷àñòè (1.7) íà ïðàâóþ ÷àñòü è ïðèìåíèòå ïî÷ëåííî íåðàâåíñòâî Þíãà (1.5). Çàäà÷à 1.9. Âûâåäèòå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ â íåðàâåíñòâå Ãåëüäåðà (1.7) äîñòèãàåòñÿ çíàê ðàâåíñòâà: |ai |p |bi |q = , n n P P |ai |p |bi |q i=1 i=1 sgn ai bi = const, i = 1, . . . , n. (1.8) 1.3. Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî 10 Ïðè p = q = 2 íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà (1.7) íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî: ¯ ( n ¯ n )1/2 ( n )1/2 ¯ ¯X X X ¯ ¯ |ak |2 |bk |2 . ak bk ¯ 6 ¯ ¯ ¯ k=1 k=1 (1.9) k=1 Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ a = (a1 , a2 , . . . , an ), b = (b1 , b2 , . . . , bn ), ÷åðåç kak, kbk îáîçíà÷èòü åâêëèäîâó íîðìó (äëèíó) âåêòîðîâ a è b ñîîòâåòñòâåííî, ( kak = n X )1/2 |ak |2 , kbk = ( n X k=1 )1/2 |bk |2 , k=1 à ÷åðåç (a, b) èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (a, b) = n X ak bk , k=1 òî íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ïðèìåò âèä |(a, b)| 6 kak · kbk. (1.10) Òàê êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ â Rn ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ äëèí ýòèõ âåêòîðîâ íà êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè (a, b) = kak · kbk cos(a,ˆb), òî íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî äîïóñêàåò ïðîñòóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ òðàêòîâêó êîñèíóñ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè a è b ïî ìîäóëþ íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöó! Çíàê ðàâåíñòâà â íåðàâåíñòâå (1.10) èìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû a è b êîëëèíåàðíû: a = Cb.  ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî âèä íåðàâåíñòâà (1.10) è åãî ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ñîõðàíÿåòñÿ äëÿ àáñòðàêòíûõ ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ. 1.3. Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî 11 Ïðèìåð 1.5. Âûâåäåì íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî à n X !1/p |ai + bi |p 6 à n X i=1 !1/p |ai |p + à n X i=1 !1/p |bi |p (1.11) , i=1 1 6 p < ∞ èç íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà (1.7). Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ñëó÷àÿ p = 1 íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî ñëåäóåò èç ýëåìåíòàðíîãî íåðàâåíñòâà äëÿ ìîäóëåé (1.12) |ak + bk | 6 |ak | + |bk |. Ïóñòü òåïåðü p > 1. Ïðèìåíèâ (1.12), ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó n X p |ak + bk | = k=1 6 n X n X |ak + bk ||ak + bk |p−1 6 k=1 p−1 |ak ||ak + bk | + k=1 n X |bk ||ak + bk |p−1 . k=1 Îöåíèì êàæäîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ïî íåðàâåíñòâó Ãåëüäåðà: n X à |ak + bk |p 6 k=1 n X |ak |p ! p1 à n X k=1 + ! 1q |ak + bk |(p−1)q + k=1 à n X ! p1 à |bk |p k=1 n X ! 1q |ak + bk |(p−1)q k=1 Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî (p − 1)q = p, ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó n X à !1/p à n !1/p à n ! 1q n X X X |ak + bk |p 6 |ai |p + |bi |p |ak + bk |p i=1 k=1 èëè à n X i=1 !1− 1q |ak + bk |p k=1 îòêóäà ñëåäóåò (1.11). à 6 n X i=1 k=1 !1/p |ai |p à + n X i=1 !1/p |bi |p , 1.3. Íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî 12 Çàäà÷à 1.10. Ñôîðìóëèðóéòå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ â íåðàâåíñòâå Ìèíêîâñêîãî (1.11) äîñòèãàåòñÿ çíàê ðàâåíñòâà. Àíàëîãè÷íî âûâîäÿòñÿ íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî äëÿ ðÿäîâ. Çàäà÷à 1.11. Âûâåäèòå íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà äëÿ ðÿäîâ ¯∞ ¯ (∞ )1/p ( ∞ )1/q ¯X ¯ X X ¯ ¯ a k bk ¯ 6 |ak |p |bk |q , ¯ ¯ ¯ k=1 k=1 (1.13) k=1 â ïðåäïîëîæåíèÿõ, ÷òî p è q ñîïðÿæåííûå ïîêàçàòåëè, è ðÿäû â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà ñõîäÿòñÿ. Çàäà÷à 1.12. Âûâåäèòå íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî äëÿ ðÿäîâ Ã∞ X !1/p |ai + bi |p i=1 à 6 ∞ X !1/p |ai |p à + i=1 ∞ X !1/p |bi |p , 1 6 p < ∞. (1.14) i=1 â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ðÿäû â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà ñõîäÿòñÿ. Ïóñòü, ïî-ïðåæíåìó, p è q ïîä÷èíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèþ 1 1 + = 1, p q íî p ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ìåíüøåå 1: 0 < p < 1. Òîãäà q áóäåò îòðèöàòåëüíûì: 1 1 p−1 =1− = < 0, q p p q < 0. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå çíàê â íåðàâåíñòâå Þíãà ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Çàäà÷à 1.13. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a è b è ïîêàçàòåëåé p è q , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì 0 < p < 1, 1 1 + = 1, p q ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå íåðàâåíñòâî Þíãà a p bq + . ab > p q (1.15) 1.4. Ìåòðèêè â RN 13 Óêàçàíèå. Äëÿ ôóíêöèè y = xp−1 ïðè x > 0 ðàññìîòðèòå òðè ñèòóàöèè: 1)b > ap−1 ; 2)b = ap−1 ; 3)b < ap−1 . Åñëè 0 < p < 1, òî â íåðàâåíñòâàõ Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî, òàê æå, êàê â íåðàâåíñòâå Þíãà, çíàê ìåíÿåòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûé. Çàäà÷à 1.14. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ai > 0, bi > 0, 1 6 i 6 n è ïîêàçàòåëåé p è q , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì 0 < p < 1, 1 1 + = 1, p q âûïîëíÿåòñÿ îáðàòíîå íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà ( n )1/p ( n )1/q n X X p X q ak bk > , ak bk k=1 k=1 (1.16) k=1 Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà, òîëüêî âìåñòî îáû÷íîãî íåðàâåíñòâà Þíãà ïðèìåíÿåòñÿ îáðàòíîå. Èç îáðàòíîãî íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà (1.16) ìîæíî ïîëó÷èòü îáðàòíîå íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî. Çàäà÷à 1.15. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ïîëîæèòåëüíûõ ai > 0, bi > 0, 1 6 i 6 n è ïîêàçàòåëÿ p, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ 0 < p < 1, ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî à n !1/p à n !1/p à n !1/p X X p X p p > (ai + bi ) ai + bi , i=1 i=1 (1.17) i=1 Àíàëîãè÷íî ôîðìóëèðóþòñÿ è äîêàçûâàþòñÿ îáðàòíûå íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà è Ìèíêîâñêîãî äëÿ ðÿäîâ. 1.4 Ìåòðèêè â Rn Âñå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, ðàññìàòðèâàåìûå â äàííîì ðàçäåëå, îáëàäàþò âàæíûì ñâîéñòâîì îíè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè íîðìèðîâàííûìè. Äàäèì îïðåäåëåíèå ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà. 1.4. Ìåòðèêè â RN 14 Îïðåäåëåíèå 1.4. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàä ïîëåì R èëè C íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì, åñëè îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ k·k : X 7−→ R, íàçûâàåìàÿ íîðìîé è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì àêñèîìàì: ïðè÷åì 1. kxk > 0, kxk = 0 ⇔ x = 0; 2. kαxk = |α|kxk ∀x ∈ X, ∀α ∈ R(èëè C); 3. kx + yk 6 kxk + kyk ∀x, y ∈ X. Êàæäîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ρ(x, y) = kx − yk. Çàäà÷à 1.16. Êàêèå èç ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ íà R, ðàññìîòðåííûå â ïðèìåðàõ ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè íîðìèðîâàííûìè? Ïðèìåð 1.6. Ïóñòü X = Rn , n > 1. Àíàëîãîì ñòàíäàðòíîé ìåòðèêè íà ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ ρ1 (x, y) = n X |xi − yi | i=1 Ïåðâûå äâå àêñèîìû ìåòðèêè, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò èç (1.1). Ìåòðèêà ρ1 èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè êîäèðîâàíèÿ. Ïóñòü M = {x ∈ Rn |xi = 0 ∨ xi = 1} ìíîæåñòâî âåðøèí åäèíè÷íîãî êóáà â Rn . Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè ÷èñëî ïåðåìåí íóëåé è åäèíèö, íåîáõîäèìîå, ÷òîáû ïîëó÷èòü èç êîîðäèíàò îäíîé âåðøèíû êîîðäèíàòû äðóãîé. Êàæäàÿ òàêàÿ ïåðåìåíà åñòü ïåðåõîä âäîëü îäíîãî èç ðåáåð êóáà. Òàêèì îáðàçîì, ρ1 åñòü êðàò÷àéøèé ïóòü ïî ðåáðàì êóáà ìåæäó ðàññìàòðèâàåìûìè åãî âåðøèíàìè. Ïðîñòðàíñòâî (Rn , ρ1 ) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì. Íîðìà kxk1 îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàññòîÿíèå îò x äî 0: kxk1 = ρ(x, 0) = n X i=1 |xi |. 1.4. Ìåòðèêè â RN 15 Ïðèìåð 1.7. Îïðåäåëèì íà Rn åâêëèäîâó ìåòðèêó ρ2 (x, y) = à n X !1/2 |xi − yi |2 i=1 Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè â ýòîé ìåòðèêå ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå óêëîíåíèå.  åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå (Rn , ρ2 ) ïîìèìî íîðìû à kxk2 = n X !1/2 |xi |2 i=1 ìîæíî ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (x, y) = n X x i yi . i=1 Ïðèìåð 1.8. Íà R ìîæíî òàêæå îïðåäåëèòü ìåòðèêó ρp ïî ïðàâèëó: n à ρp (x, y) = n X !1/p |xi − yi |p , 1 6 p < ∞, i=1 p ôèêñèðîâàíî. Ïåðâàÿ è âòîðàÿ àêñèîìû ìåòðèêè î÷åâèäíû, àêñèîìà òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî (1.11). Ïðèìåð 1.9. Ïóñòü îïÿòü X = Rn . Óñòðåìèâ p → ∞ â âûðàæåíèè äëÿ ìåòðèêè ρp (x, y) ïðè ôèêñèðîâàííûõ x è y , ïîëó÷èì ôóíêöèþ ρ∞ (x, y) = max |xi − yi |, 16i6n êîòîðàÿ òàêæå îïðåäåëÿåò ìåòðèêó â Rn . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî (1.18) lim ρp (x, y) = max |xi − yi |. p→∞ 16i6n Ïðåäñòàâèì âûðàæåíèå ρp (x, y) â âèäå ρp (x, y) = max |xi − yi | 16i6n n X 1/p p |xi − yi | max |xi − yi |p i=1 16i6n 1.5. Øàðû â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ 16 Äëÿ âòîðîãî ñîìíîæèòåëÿ ñïðàâåäëèâî äâîéíîå íåðàâåíñòâî n X 1 1p 6 1/p p |xi − yi | max |xi − yi |p 1 6 np . i=1 16i6n Óñòðåìèâ p ê áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷èì, ÷òî âûðàæåíèå â öåíòðàëüíîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå. Òàêèì îáðàçîì, (1.18) äîêàçàíî. Àêñèîìû ìåòðèêè äëÿ ρ∞ (x, y) = max |xi − yi |, 16i6n î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. 1.5 Øàðû â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ Îïðåäåëåíèå 1.5. Îòêðûòûì øàðîì ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå x â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (X, ρ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Sr (x) = {y ∈ X : ρ(y, x) < r}. Çàìêíóòûì øàðîì ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå x íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî S r (x) = {y ∈ X : ρ(y, x) 6 r}. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî øàð íåïóñòîå ìíîæåñòâî, öåíòð øàðà âñåãäà åìó ïðèíàäëåæèò. Çàäà÷à 1.17. Íàðèñóéòå øàð S1 (0) íà ïëîñêîñòè X = R2 , âûáðàâ â êà÷åñòâå ìåòðèê ρ1 (x, y) = 2 X à |xi − yi |, ρ2 (x, y) = i=1 2 X !1/2 |xi − yi |2 , i=1 ρ∞ (x, y) = max |xi − yi |. 16i62 À ìîæåò ëè øàð áûòü êâàäðàòîì äëÿ åâêëèäîâîé ìåòðèêè? Ïðèâåäèòå ïðèìåð ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîñòðàíñòâà. 1.5. Øàðû â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ 17 Òàê êàê ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íå îáÿçàíî áûòü ëèíåéíûì, â íåì ìîãóò ïðîèñõîäèòü íåîáû÷íûå ÿâëåíèÿ. Çàäà÷à 1.18. Ìîæåò ëè â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå øàð áîëüøåãî ðàäèóñà ëåæàòü ñòðîãî âíóòðè øàðà ìåíüøåãî ðàäèóñà [15, c. 36]? Ïðèìåð 1.10. Äîêàæåì, ÷òî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå íåâîçìîæíî ñòðîãîå âêëþ÷åíèå S2 (x) ⊂ S1 (y). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå òî÷êè øàðà S2 (x) ïðèíàäëåæàò øàðó S1 (y), è ýòî âêëþ÷åíèå ñòðîãîå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè t ∈ S2 (x) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå t ∈ S1 (y), íî íàéäåòñÿ òî÷êà z ∈ S1 (y), êîòîðàÿ íå ïðèíàäëåæèò "ìåíüøåìó"øàðó: z ∈ / S2 (x). Âçÿâ â êà÷åñòâå òî÷êè t öåíòð øàðà ðàäèóñà 2, èç óñëîâèÿ t ∈ S1 (y) âûâîäèì, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè ðàññìàòðèâàåìûõ øàðîâ ìåíüøå åäèíèöû: ρ(x, y) < 1.  òî æå âðåìÿ ρ(y, z) < 1; ρ(z, x) > 2. Îöåíèâ ðàññòîÿíèå ìåæäó z è x ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà, ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ: ρ(z, x) 6 ρ(z, y) + ρ(y, z) < 1 + 1 = 2. Çàäà÷à 1.19. Ñôîðìóëèðóéòå îáîáùåíèå óòâåðæäåíèÿ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà. Ïðèìåð 1.11.  òåîðèè ðàñïîçíàâàíèÿ îáðàçîâ ïðèìåíÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî Õåììèíãà (Ωn , ρσ ). ×åðåç Ωn îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî âåêòîðîâ ω = (ω1 , ..., ωn ) ñ äâîè÷íûìè êîîðäèíàòàìè ωi = 0 èëè ωi = 1, i = 1, . . . n, n X σ ρ (ω, ω̃) = σi |ωi − ω̃i |, i=1 σi > 0 çàäàíû. 1.6. Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 18 Çàäà÷à 1.20. Äîêàæèòå, ÷òî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå Õåììèíãà ñóùåñòâóþò øàðû, èìåþùèå íåñêîëüêî öåíòðîâ. Ïðèâåäèòå ïðèìåð øàðà â (Ωn , ρσ ), ñîâïàäàþùåãî ñî ìíîæåñòâîì ñâîèõ öåíòðîâ. 1.6 Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé Îïðåäåëåíèå 1.6. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ X ñõîäèòñÿ ê òî÷êå x ∈ X , åñëè ρ(xn , x) → 0 ïðè n → ∞. Îïðåäåëåíèå 1.7. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé, åñëè îíà ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì øàðå. Èç îïðåäåëåíèÿ ìåòðèêè ñëåäóþò îáùèå ñâîéñòâà ñõîäÿùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Çàäà÷à 1.21. Äîêàæèòå, ÷òî èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ëþáîé åå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè; ïðåäåë ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åäèíñòâåíåí; èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäóåò åå îãðàíè÷åííîñòü [11, c. 16]. 1.7 Ýêâèâàëåíòíûå ìåòðèêè Îïðåäåëåíèå 1.8. Äâå ìåòðèêè ρ1 è ρ2 íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóþò êîíñòàíòû C1 ,C2 >0 òàêèå, ÷òî ∀x, y ∈ X C1 ρ1 (x, y) 6 ρ2 (x, y) 6 C2 ρ1 (x, y) Çàäà÷à 1.22. Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îäíîâðåìåííî ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ â ýêâèâàëåíòíûõ ìåòðèêàõ. Çàäà÷à 1.23. Ïóñòü X - ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, ρ(x, y) - ìåòðèêà íà íåì, à ìåòðèêà ρ1 (x, y) çàäàíà ïî ïðàâèëó ρ1 (x, y) = ρ(x, y) 1 + ρ(x, y) Íàéäèòå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ìåòðèêè ρ è ρ1 ýêâèâàëåíòíû. 1.8. Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ 19 Çàäà÷à 1.24. Ïóñòü ôóíêöèÿ f : R → R íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà. Íàéäèòå óñëîâèå ýêâèâàëåíòíîñòè ñëåäóþùèõ ìåòðèê íà R ρ1 (x, y) = |x − y|, ρ2 (x, y) = |f (x) − f (y)|. Çàäà÷à 1.25. ßâëÿþòñÿ ëè ìåòðèêè ρ1 (x, y) = |x − y|, ρ2 (x, y) = |arctg(x) − arctg(y)|. ýêâèâàëåíòíûìè íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè, íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå? Çàäà÷à 1.26. Äîêàæèòå, ÷òî ρ1 (x, y) = n X |xi − yi |, ρ∞ (x, y) = max |xi − yi | 16i6n i=1 ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè ìåòðèêàìè íà Rn . Çàäà÷à 1.27. Ïóñòü ìåòðèêà ρp çàäàåòñÿ ïî ïðàâèëó à ρp (x, y) = n X !1/p |xi − yi |p , 1 6 p < ∞, i=1 Ïðîâåðüòå, ÷òî ìåòðèêè ρp (x, y), ρq (x, y), 1 6 p, q 6 ∞ ÿâëÿþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè ìåòðèêàìè íà Rn . 1.8 Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ Åñëè (X1 , ρ1 ), (X2 , ρ2 ) äâà ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâà, òî â ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè X1 × X2 ìîæíî ââåñòè ìåòðèêè d1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ¡ ¢1/2 ρ21 (x1 , y1 ) + ρ22 (x2 , y2 ) , d2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ρ1 (x1 , y1 ) + ρ2 (x2 , y2 ), d3 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max(ρ1 (x1 , y1 ), ρ2 (x2 , y2 )) ∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ X1 × X2 . Çàäà÷à 1.28. Ïîêàæèòå, ÷òî ìåòðèêè d1 , d2 , d3 ýêâèâàëåíòíû. 1.9. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà 20  ñèëó ýêâèâàëåíòíîñòè ýòèõ ìåòðèê, íà äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíòâ ìîæíî îïðåäåëèòü ìåòðèêó ëþáûì èç óêàçàííûõ ñïîñîáîâ. Òàêèì îáðàçîì, ïàðà (X1 × X2 , d), ãäå â êà÷åñòâå ìåòðèêè d áåðåòñÿ ëþáàÿ èç óêàçàííûõ ìåòðèê, ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Çàìåòèì, ÷òî ñõîäèìîñòü â X1 × X2 "ïîêîîðäèíàòíàÿ": (x1 , x2 ) 7−→ (y1 , y2 ) ⇔ ρ1 (x1 , y1 ) → 0, ρ2 (x2 , y2 ) → 0. Çàäà÷à 1.29. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ÷åòûðåõ òî÷åê x, y, z, t ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà: 1. |ρ(x, z) − ρ(y, z)| 6 ρ(x, y); 2. |ρ(x, z) − ρ(y, t)| 6 ρ(x, y) + ρ(z, t) (íåðàâåíñòâî ÷åòûðåõóãîëüíèêà). Çàäà÷à 1.30. Äîêàæèòå, ÷òî ìåòðèêà ρ : X × X 7−→ R íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ [15, c. 32]. 1.9 Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà Îïðåäåëåíèå 1.9. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì â X , åñëè âìåñòå ñ êàæäîé ñâîåé òî÷êîé x îíî ñîäåðæèò è íåêîòîðûé øàð Sr (x). Îïðåäåëåíèå 1.10. Òî÷êà x ∈ X íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà M ⊂ X , åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ M , xn 6= x, ñõîäÿùàÿñÿ ê x. Îïðåäåëåíèå 1.11. Çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà A (îáîçíà÷åíèå A) íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèå ýòîãî ìíîæåñòâà è ìíîæåñòâà âñåõ åãî ïðåäåëüíûõ òî÷åê. Îïðåäåëåíèå 1.12. Míîæåñòâî çàìêíóòî, åñëè îíî ñîâïàäàåò ñî ñâîèì çàìûêàíèåì. Ïðèìåð 1.12. Çàäàäèì íà ïðÿìîé X = R ñòàíäàðòíóþ ìåòðèêó ρ(x, y) = |x − y|. 1.9. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà 21 Òîãäà èíòåðâàë (a, b) ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì, îòðåçîê [a, b] çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì, à ïîëóèíòåðâàë [a, b) íå ÿâëÿåòñÿ íè îòêðûòûì, íè çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì. Ïðèìåð 1.13. Îäíàêî, åñëè ìåòðèêó îñòàâèòü ïðåæíåé ρ(x, y) = |x − y|, à â êà÷åñòâå âñåãî ïðîñòðàíñòâà ðàññìàòðèâàòü èíòåðâàë X = (a, b), òî îí áóäåò êàê îòêðûòûì, òàê è çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì. Òî æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî äëÿ îòðåçêà è ïîëóèíòåðâàëà. Çàìûêàíèå îòêðûòîãî øàðà Sr (x) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Sr (x), â îòëè÷èå îò çàìêíóòîãî øàðà S r (x).  ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ Sr (x) è S r (x) íå îáÿçàíû ñîâïàäàòü. Çàäà÷à 1.31. Äîêàæèòå, ÷òî îòêðûòûé øàð â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå åñòü îòêðûòîå ìíîæåñòâî, çàìêíóòûé øàð çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Ïðèìåð 1.14. Ïóñòü X ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî.Îïðåäåëèì íà X äèñêðåòíóþ ìåòðèêó: ( ρ(x, y) = 0 ïðè x = y 1 ïðè x 6= y Äîêàæåì, ÷òî ëþáîå ïîäìíîæåñòâî X ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è îòêðûòûì, è çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà X îòêðûòî, òàê êàê âìåñòå ñ ëþáîé òî÷êîé x â íåì ñîäåðæèòñÿ øàð S1/2 (x) (ýòîò øàð ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè!). Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà X çàìêíóòî. Åñëè îíî ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè, òî ó íåãî íåò ïðåäåëüíûõ òî÷åê. Åñëè îíî ñîñòîèò áîëåå ÷åì èç îäíîé òî÷êè òî òîæå íåò, â ñèëó ñïåöèôèêè çàäàíèÿ ìåòðèêè. Çàäà÷à 1.32. Äîêàæèòå, ÷òî çàìûêàíèå îòêðûòîãî øàðà â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ñîäåðæèòñÿ â çàìêíóòîì øàðå, íî ìîæåò ñ íèì íå ñîâïàäàòü [15, c. 37]. 1.9. Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâà 22 Çàäà÷à 1.33. Ïóñòü F1 è F2 çàìêíóòûå ìíîæåñòâà â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå è F1 T F2 = ∅. Ïîñòðîéòå îòêðûòûå ìíîæåñòâà U1 è U2 òàêèå, ÷òî F1 ⊂ U1 , F 2 ⊂ U2 è U1 \ U2 = ∅. Çàäà÷à 1.34. Ïóñòü {Uα }α∈A ñèñòåìà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X . Ïîêàæèòå, ÷òî [ Uα , α∈A n \ Uαi i=1 îòêðûòûå ìíîæåñòâà. Çàäà÷à 1.35. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå ñîîòâåòñòâóþùèå óòâåðæäåíèÿ äëÿ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ. Çàäà÷à 1.36. Äîêàæèòå, ÷òî îòêðûòîå ìíîæåñòâî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îáúåäèíåíèÿ øàðîâ. Çàäà÷à 1.37. Äîêàæèòå, ÷òî çàìêíóòîå ìíîæåñòâî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïåðåñå÷åíèÿ äîïîëíåíèé ê øàðàì. Çàäà÷à 1.38. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî M â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå îòêðûòî (çàìêíóòî) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî äîïîëíåíèå X/M çàìêíóòî (îòêðûòî). Ãëàâà 2 Ïðîñòðàíñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé Íåïîñðåäñòâåííûì îáîáùåíèåì íà áåñêîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâ (Rn , ρp ) ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé `p , 1 6 p < ∞ è `∞ . Âàæíóþ ðîëü â ïðèëîæåíèÿõ èãðàåò òàêæå ïðîñòðàíñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé S . 2.1 Îïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x = (x1 , x2 , ...). Îíî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì. Äëÿ òîãî ÷òîáû íà ýòîì ìíîæåñòâå îïðåäåëèòü íîðìó ïî ïðàâèëó kxk1 = ∞ X |xi | i=1 íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå ∞ X |xi | < ∞. i=1 Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê îïðåäåëåíèþ ïðîñòðàíñòâà `1 : ¯ ∞ ¯X ¯ x = (x1 , x2 , ...) ¯ |xi | < ∞, ¯ ( `1 = ρ1 (x, y) = i=1 Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ `2 ¯ ¯X ¯∞ x = (x1 , x2 , ...) ¯¯ |xi |2 < ∞, ¯ i=1 ( `2 = ) |xi − yi | i=1 à ρ2 (x, y) = ∞ X ∞ X i=1 !1/2 ) |xi − yi |2 2.1. Îïðåäåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé Ïîìèìî íîðìû, à kxk2 = ∞ X 24 !1/2 |xi |2 i=1 â `2 ìîæíî çàäàòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (x, y) = ∞ X x i yi . i=1 Çàáåãàÿ âïåðåä, îòìåòèì, ÷òî `2 íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòíûì ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì, òàê êàê ëþáîå ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî èçîìîðôíî `2 . Äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî p, 1 6 p < ∞, ïðîñòðàíñòâà `p îïðåäåëÿþòñÿ òàê: ( `p = ¯ ¯∞ ¯X |xi |p < ∞, x = (x1 , x2 , ...) ¯¯ ¯ i=1 ρp (x, y) = Ã∞ X !1/p ) |xi − yi |p i=1 Âûïîëíåíèå àêñèîìû òðåóãîëüíèêà â `p ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî äëÿ ðÿäîâ (1.14). `p ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì ñ íîðìîé Ã∞ !1/p X . kxkp = |xi |p i=1 Áåñêîíå÷íîìåðíûì àíàëîãîì ïðîñòðàíñòâà (Rn , ρ∞ ) ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî îãðàíè÷åííûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ( `∞ = ¯ ¯ x = (x1 , x2 , ...) ¯¯ sup |xi | < ∞, 16i<∞ ) ρ∞ (x, y) = sup |xi − yi | 16i<∞ Ïðèìåð 2.1. Ïîêàæåì, ÷òî ∞ X 1 |xk − yk | ρ(x, y) = . 2k 1 + |xk − yk | (2.1) k=1 ÿâëÿåòñÿ ìåòðèêîé â ïðîñòðàíñòâå S âñåõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. 2.2. Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâàõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 25 Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê 1 |xk − yk | 1 6 , 2k 1 + |xk − yk | 2k òî ðÿä (2.1) ñõîäèòñÿ. Ïåðâàÿ è âòîðàÿ àêñèîìû ìåòðèêè, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà (1.3) |a + b| |a| |b| 6 + . 1 + |a + b| 1 + |a| 1 + |b| êîòîðîå áûëî äîêàçàíî â ïåðâîé ãëàâå. Çàäà÷à 2.1. Ìîæíî ëè â ïðîñòðàíñòâå S çàäàòü íîðìó, ñîãëàñîâàííóþ ñ ìåòðèêîé äàííîãî ïðîñòðàíñòâà (2.1)? 2.2 Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâàõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé Ïðèìåð 2.2. Äîêàæåì, ÷òî ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå S ñîâïàäàåò ñ ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòüþ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x(n) ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó x â ïðîñòðàíñòâå S . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð ýëåìåíòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè N òàêîé, ÷òî ∞ (n) X 1 |xk − xk | < ε ∀n > N. 2k 1 + |x(n) − xk | k=1 k Çàôèêñèðóåì íîìåð êîîðäèíàòû k . Òîãäà (n) 1 |xk − xk | < ε ∀n > N. 2k 1 + |x(n) − xk | k Òàê êàê ε ïðîèçâîëüíî, à k ôèêñèðîâàíî, òî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî (n) |xk − xk | → 0 ïðè n → ∞, (2.2) òî åñòü èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â S ñëåäóåò ïîêîîðäèíàòíàÿ ñõîäèìîñòü. 2.2. Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâàõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 26 Îáðàòíî, ïóñòü âûïîëíÿåòñÿ (2.2). Äîêàæåì ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x(n) â S . Òàê êàê ðÿä ∞ X 1 2k k=1 ñõîäèòñÿ, òî îñòàòîê ðÿäà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ: ∞ X 1 ε ∀ε > 0 ∃m : < . 2k 2 k=m+1 Òîãäà m ∞ (n) (n) X X 1 |xk − xk | 1 |xk − xk | ε ε ρ(x , x) = + =ε + < 2k 1 + |x(n) − xk | 2k 1 + |x(n) − xk | 2 2 k=1 k=m+1 k k (n) (ïåðâîå ñëàãàåìîå ìàëî çà ñ÷åò ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòè, òàê êàê ÷èñëî ñëàãàåìûõ êîíå÷íî.) Çàäà÷à 2.2. Äîêàæèòå, ÷òî ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâàõ `p , 1 6 p 6 ∞ âêëþ÷àåò ïîêîîðäèíàòíóþ ñõîäèìîñòü. Âåðíî ëè îáðàòíîå? Ïðèìåð 2.3. Èññëåäóåì ñõîäèìîñòü ñëåäóþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé â ïðîñòðàíñòâàõ `p , `∞ , S : a) x(n) = (1, 2, ..., n, 0, . . .); á) y (n) = (1/n, 1/n, . . . , 1/n, 0, . . .); Ñíà÷àëà íàéäåì ïîêîîðäèíàòíûé ïðåäåë. Äëÿ ïåðâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îí èìååò âèä x = (1, 2, . . . , n, . . .). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x(n) ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå S . Îíà íå ñõîäèòñÿ íè â îäíîì èç ïðîñòðàíñòâ `p , 1 6 p < ∞. Äåéñòâèòåëüíî, ïîêîîðäèíàòíûé ïðåäåë íå ïðèíàäëåæèò ýòèì ïðîñòðàíñòâàì: x ∈ / `p , òàê êàê íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà: xi 6→ 0 ïðè i → ∞. 2.3. Ñâÿçü ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè `P è S 27 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x(n) íå ñõîäèòñÿ òàêæå â ïðîñòðàíñòâå `∞ . Ïîêîîðäèíàòíûé ïðåäåë íå ïðèíàäëåæèò ýòîìó ïðîñòðàíñòâó, òàê êàê sup |xi | = ∞. 16i<∞ Ïîêîîðäèíàòíûé ïðåäåë âòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç íóëåé: y = (0, 0, . . .). Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü y (n) ñõîäèòñÿ â S . Ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå `p , 1 6 p < ∞ îçíà÷àåò, ÷òî ρ(y (n) , y) = ( n µ ¶ ) p1 X 1 p i=1 n = 1 n p−1 p → 0 ïðè n → ∞. Ïîýòîìó y (n) ñõîäèòñÿ â `p ïðè 1 < p < ∞. Íàêîíåö, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ â `∞ , òàê êàê 1 → 0 ïðè n → ∞. 16i<∞ n ρ∞ (y (n) , y) = sup Çàäà÷à 2.3.  êàêèõ èç ïðîñòðàíñòâ `p , `∞ , S ñõîäÿòñÿ ñëåäóþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (α > 0): à) x(n) = (1, 1, . . . , |{z} 1 , 0, . . .); n á) x (n) α α = (1/n , 1/n , . . . , 1/nα , 0, . . .)? 2.3 Ñâÿçü ìåæäó ïðîñòðàíñòâàìè `p è S Ïðèìåð 2.4. Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ïðîñòðàíñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âûïîëíÿþòñÿ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå âêëþ÷åíèÿ `1 ⊂ `p ⊂ `q ⊂ `∞ ⊂ S, 1 < p < q < ∞. Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðîñòðàíñòâî âñåõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé S îõâàòûâàåò âñå ïðîñòðàíñòâà `p . 2.4. Ñåïàðàáåëüíîñòü 28 Ïî îïðåäåëåíèþ, ïðîñòðàíñòâó `p ïðèíàäëåæàò òå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, äëÿ êîòîðûõ ðÿä ∞ X |xi |p i=1 ñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îáùèé ÷ëåí ðÿäà äîëæåí ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ. Åñëè xi → 0 ïðè i → ∞, è p < q , òî |xi |q < |xi |p . Ïîýòîìó ∞ X q |xi | < i=1 ∞ X |xi |p . i=1 Ñëåäîâàòåëüíî, `p ⊂ `q ïðè p < q . Êðîìå òîãî, èç ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ñëåäóåò åå îãðàíè÷åííîñòü. Ïîýòîìó `q ⊂ `∞ . Çàäà÷à 2.4. Èç ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà ñëåäóåò, ÷òî íà `1 îïðåäåëåíû âñå ìåòðèêè ïðîñòðàíñòâ `p , 1 6 p 6 ∞ è S . Äîêàæèòå, ÷òî îíè ïîïàðíî íåýêâèâàëåíòíû. 2.4 Ñåïàðàáåëüíîñòü Îïðåäåëåíèå 2.1. Ìíîæåñòâî M ïëîòíî â ìíîæåñòâå N , åñëè M ⊃ N . Îïðåäåëåíèå 2.2. Åñëè M ïëîòíî âî âñåì ïðîñòðàíñòâå X , òî ãîâîðÿò, ÷òî M âñþäó ïëîòíî â X . Îïðåäåëåíèå 2.3. Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) íàçûâàåòñÿ ñåïàðàáåëüíûì, åñëè â íåì ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî. Çàäà÷à 2.5. Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q âñþäó ïëîòíî â R, ïðèâåäèòå ïðèìåð ñ÷åòíîãî âñþäó ïëîòíîãî ìíîæåñòâà â Rn , óñòàíîâèâ òåì ñàìûì ñåïàðàáåëüíîñòü ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðèìåð 2.5. Äîêàæåì, ÷òî `p , 1 6 p < ∞ ñåïàðàáåëüíûå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. 2.4. Ñåïàðàáåëüíîñòü 29 Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî â `p ïðè 1 6 p < ∞ ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî. Ïóñòü M = {x0 | x0 = (r1 , r2 , . . . , rn , 0, . . . )} , ãäå ri ∈ Q ïðîèçâîëüíûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà , n ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òîãäà M ñ÷åòíî. Äîêàæåì, ÷òî M âñþäó ïëîòíî â `p . Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîé ýëåìåíò x ∈ `p ìîæíî ïðèáëèçèòü ýëåìåíòàìè èç M , ò. å. ∀ ε > 0 ∀ x ∈ lp ∃ x0 ∈ M : kx − x0 k`p < ε. Ò. ê. x ∈ lp , òî ðÿä ∞ X |xi |p i=1 ñõîäèòñÿ. Òîãäà îñòàòîê ýòîãî ðÿäà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ò. å. ∞ X εp ∀ε>0 ∃n: |xi | < . 2 i=n+1 p Ïî äàííîìó íîìåðó n ïîäáåðåì ýëåìåíò x0 ∈ M âèäà x0 = (r1 , r2 , . . . , rn , 0, . . . ) òàêîé, ÷òî n X i=1 εp |xi − ri | < . 2 p Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà: kx − xn kp`p < εp εp + = εp 2 2 è ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî ïîñòðîåíî. Ïðèìåð 2.6. Äîêàæåì, ÷òî `∞ íå ñåïàðàáåëüíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M = {x ∈ l∞ |xi = 0 èëè xi = 1}. 2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè 30 Òàê êàê ìíîæåñòâó M ìîæíî ïîñòàâèòü âî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ íàòóðàëüíîãî ðÿäà, òî M èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà. Åñëè äâà ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòà x è y ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó M , òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ðàâíî åäèíèöå: kx − yk`∞ = 1. Òàêèì îáðàçîì, â ïðîñòðàíñòâå `∞ ñóùåñòâóåò êîíòèíóóì ýëåìåíòîâ, îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åäèíèöå. Äîêàçàòåëüñòâî íåñåïàðàáåëüíîñòè ïðîñòðàíñòâà ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ñåïàðàáåëüíî. Òîãäà ñóùåñòâóåò âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî K â `∞ . Ðàññìîòðèì øàð ñ öåíòðîì â ïðîèç- 1 . 3 Åñëè K âñþäó ïëîòíî, âíå ýòèõ øàðîâ íåò ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà âîëüíîé òî÷êå ìíîæåñòâà K ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì êàæäûé èç ýëåìåíòîâ `∞ ïîïàë õîòÿ áû â îäèí òàêîé øàð. Øàðîâ ñ÷åòíîå ÷èñëî, à â ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ìîùíîñòè êîíòèíóóìà. Ñëåäîâàòåëüíî, õîòÿ áû â îäèí øàð ïîïàëè äâå ðàçëè÷íûå òî÷êè èç ìíîæåñòâà M . Îáîçíà÷èì èõ m1 è m2 . Òîãäà km1 − m2 k`∞ < 1 1 2 + = . 3 3 3 Íî òàê êàê km1 − m2 k`∞ = 1, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ. Çàäà÷à 2.6. Äîêàæèòå ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà S [11, c. 24, 55]. 2.5 Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè Ïðèìåð 2.7.  ìíîæåñòâå âñåâîçìîæíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äëÿ ýëåìåíòîâ x = (n1 , n2 , . . . , nk , . . .), y = (m1 , m2 , . . . , mk , . . .) îáîçíà÷èì ÷åðåç k0 (x, y) íàèìåíüøèé èíäåêñ, ïðè êîòîðîì nk 6= mk . Äîêàæåì, ÷òî: 2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè à) ( ρ(x, y) = 0 1 k0 (x,y) 31 x = y, x 6= y åñòü ìåòðèêà íà X ; á) àêñèîìà òðåóãîëüíèêà âûïîëíÿåòñÿ â X â óñèëåííîé ôîðìå: ρ(x, z) 6 max(ρ(x, y), ρ(y, z)); (2.3) â) åñëè ρ(x, y) 6= ρ(y, z), òî ρ(x, z) = max(ρ(x, y), ρ(y, z)); ã) ëþáîé îòêðûòûé øàð Sr (x) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì è Sr (y) = Sr (x) äëÿ ëþáîãî y ∈ Sr (x); ä) ëþáîé çàìêíóòûé øàð S r (x) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî îòêðûòûì ìíîæåñòâîì è S r (y) = S r (x) äëÿ ëþáîãî y ∈ S r (x); å) åñëè äâà øàðà â X èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî îäèí èç íèõ ñîäåðæèòñÿ â äðóãîì; æ) ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ðàçëè÷íûìè îòêðûòûìè øàðàìè ðàäèóñà r, ñîäåðæàùèìèñÿ â çàìêíóòîì øàðå ðàäèóñà r, ðàâíî r; ç) ïðîñòðàíñòâî X ñåïàðàáåëüíî; è) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ X ôóíäàìåíòàëüíà, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ρ(xn , xn+1 ) → 0 ïðè n → ∞. ê) ïðîñòðàíñòâî X ïîëíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ïóíêòû à)ä) ñôîðìóëèðîâàííûõ óòâåðæäåíèé. Ïåðâàÿ è âòîðàÿ àêñèîìû ìåòðèêè, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (2.3). Äîêàæåì (2.3). Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ: 1) ρ(x, y) > ρ(y, z); 2) ρ(x, y) < ρ(y, z); 3) ρ(x, y) = ρ(y, z).  ïåðâîì ñëó÷àå, åñëè x = z , òî (2.3) âûïîëíÿåòñÿ. Åñëè x 6= z , òî èç íåðàâåíñòâà ρ(x, y) > ρ(y, z) 2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè 32 ñëåäóåò, ÷òî k0 (x, y) < k0 (y, z). Òî åñòü äî êîîðäèíàòû k0 (x, y) âêëþ÷èòåëüíî ýëåìåíòû y è z íåðàçëè÷èìû. Íà÷èíàÿ ñ k0 (x, y) ýëåìåíò x îòëè÷àåòñÿ îò y , ñëåäîâàòåëüíî, x îòëè÷àåòñÿ îò z . Òîãäà k0 (x, z) = k0 (x, y), òî åñòü ρ(x, z) = ρ(x, y). Èòàê, äîêàçàíà èìïëèêàöèÿ: ρ(x, y) > ρ(y, z) =⇒ ρ(x, z) = ρ(x, y). Àíàëîãè÷íî, ïîìåíÿâ ìåñòàìè â ïîñëåäíåì ðàññóæäåíèè x è z , âî âòîðîì ñëó÷àå ïîëó÷èì: ρ(x, y) < ρ(y, z) =⇒ ρ(x, z) = ρ(y, z). Íàêîíåö, â òðåòüåì ñëó÷àå, èç ðàâåíñòâà ρ(x, y) = ρ(y, z) ñëåäóåò, ÷òî k0 (x, y) = k0 (y, z). Íî òîãäà äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî k0 (x, z) > k0 (x, y). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî k0 (x, z) < k0 (x, y), òî, ïîâòîðÿÿ òå æå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è â ïåðâîì ñëó÷àå, ïðèäåì ê ðàâåíñòâó k0 (y, z) = k0 (x, z), èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî k0 (y, z) = k0 (x, z) < k0 (x, y), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ. Òîãäà ρ(x, y) = ρ(y, z) =⇒ ρ(x, z) 6 ρ(y, z). Âûïîëíåíèå àêñèîìû òðåóãîëüíèêà â óñèëåííîé ôîðìå (2.3) äîêàçàíî. Ïîïóòíî äîêàçàíî è óòâåðæäåíèå ïóíêòà â): åñëè ρ(x, y) 6= ρ(y, z), òî ρ(x, z) = max(ρ(x, y), ρ(y, z)). 2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè 33 Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî ëþáîé îòêðûòûé øàð Sr (x) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì, ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî: Sr (x) = Sr (x). (2.4)  ðàññìàòðèâàåìîì ïðîñòðàíñòâå îòêðûòûé øàð ðàäèóñà r îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ½ ¾ 1 [ Sr (x) = z : k0 (x, z) > {z = x} r Äîêàæåì, ÷òî øàð Sr (x) ñîäåðæèò âñå ñâîè ïðåäåëüíûå òî÷êè. Òî÷êà x∗ íàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé òî÷êîé øàðà Sr (x), åñëè ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü zn ∈ Sr (x), zn 6= x òàêàÿ, ÷òî ρ(zn , x∗ ) → 0 ïðè n → ∞. Äëÿ äàííîé ìåòðèêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî 1 k0 (x, zn ) > , k0 (zn , x∗ ) → ∞ ïðè n → ∞. r Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ïðåäåëüíîé òî÷êè øàðà x∗ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ρ(x, x∗ ) < r, òî åñòü k0 (x, x∗ ) > 1 r èëè x = x∗ . 1 r Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: k0 (x, x∗ ) 6 . Òàê êàê äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî k0 (zn , x∗ ) > k0 (x, zn ), 1 , à ëår 1 âàÿ, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, íå ïðåâîñõîäèò ïðîòèâîðå÷èå. Ðàâåíñòâî (2.4) r äîêàçàíî. Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî y ∈ Sr (x) øàð ñ öåíòðîì â òî÷êå y ðàäèóñà r ñîâïàäàåò ñ øàðîì ñ öåíòðîì â òî÷êå x ðàäèóñà r: òî k0 (x, x∗ ) = k0 (x, zn ). Íî ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà áîëüøå Sr (x) = Sr (y). 2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè 34 Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî Sr (y) ⊂ Sr (x). Ïóñòü z ∈ Sr (y), òî åñòü 1 k0 (y, z) > . r 1 Òàê êàê y ∈ Sr (x), òî k0 (x, y) > . Äîêàæåì, ÷òî z ∈ Sr (x), òî åñòü r 1 k0 (x, z) > . r Äåéñòâèòåëüíî, åñëè y 6= z 6= x, òî 1 k0 (x, z) = min(k0 (y, z), k0 (x, y)) > . r Åñëè æå z = y , òî 1 k0 (x, z) > k0 (x, y) > . r Àíàëîãè÷íî äëÿ z = x. Âêëþ÷åíèå Sr (x) ⊂ Sr (y) äîêàçûâàåòñÿ çàìåíîé â ïðåäûäóùåì ðàññóæäåíèè x íà y . Äîêàæåì, ÷òî ëþáîé çàìêíóòûé øàð S r (x) ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî îòêðûòûì ìíîæåñòâîì. Ïî îïðåäåëåíèþ, ½ S r (x) = 1 z : k0 (x, z) > r ¾[ {z = x} Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè z ∈ S r (x) íàéäåòñÿ ε > 0 òàêîå, ÷òî Sε (z) ⊂ S r (x). Áîëåå ïîäðîáíî: äëÿ ëþáîãî z : k0 (x, z) > ε > 0: ∀y k0 (z, y) > 1 1 =⇒ k0 (x, y) > . ε r Òàê êàê k0 (x, y) > min(k0 (x, z), k0 (z, y)), òî äîñòàòî÷íî âûáðàòü ε < r. 1 íàéäåòñÿ r 2.5. Ïðèìåð íåàðõèìåäîâîé ìåòðèêè 35 Äîêàæåì, ÷òî S r (y) = S r (x) äëÿ ëþáîãî y ∈ S r (x). Ïóñòü z ∈ Sr (y), 1 r 1 y ∈ S r (x), òî k0 (y, x) > . Ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà r 1 r òî åñòü k0 (y, z) > . Ïîêàæåì, ÷òî z ∈ Sr (x), òî åñòü k0 (x, z) > . Òàê êàê 1 k0 (x, z) > min(k0 (y, z), k0 (y, x)) > . r Çàäà÷à 2.7. Äîêàæèòå óòâåðæäåíèÿ å), æ), ç) ïðèìåðà. Ïðîñòðàíñòâî, ðàññìîòðåííîå â ïîñëåäíåì ïðèìåðå, îáëàäàåò äîâîëüíî ýêçîòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà â ôîðìå (2.3) ñîîòâåòñòâóåò ãåîìåòðèè, â êîòîðîé íå âûïîëíÿåòñÿ àêñèîìà Àðõèìåäà (ïî-äðóãîìó íàçûâàåìàÿ àêñèîìîé èçìåðèìîñòè). Àêñèîìà Àðõèìåäà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ðàññìîòðèì ïðÿìóþ è âûáåðåì íà íåé äâà îòðåçêà a è b ñ íà÷àëîì â îäíîé òî÷êå, ïðè÷åì äëèíà îòðåçêà a ìåíüøå äëèíû îòðåçêà b. Òîãäà, ïðèêëàäûâàÿ ìåíüøèé îòðåçîê a äîëü ïðÿìîé äîñòàòî÷íîå ÷èñëî ðàç, ìû â êîíöå êîíöîâ ïðåâçîéäåì áîëüøèé îòðåçîê b. Êàê ñëåäóåò èç ñâîéñòâà â), âñå òðåóãîëüíèêè â íåàðõèìåäîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ ìåòðèêîé (2.3) ðàâíîáåäðåííûå. Äâà ðàçíûõ øàðà íå ìîãóò ÷àñòè÷íî ïåðåñåêàòüñÿ: ëèáî îíè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, ëèáî îäèí èç íèõ ñîäåðæèòñÿ âíóòðè äðóãîãî. Ìåòðèêè, ïîäîáíûå ðàññìîòðåííîé âûøå, ïðèìåíÿþòñÿ â òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå. Òàê, â ìîíîãðàôèè [4] äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ìèêðîìèðà ïðåäëàãàåòñÿ ââåñòè òàê íàçûâàåìóþ p-àäè÷åñêóþ íîðìó íà ìíîæåñòâå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Íåàðõèìåäîâîñòü ýòîé íîðìû ñîãëàñóåòñÿ ñ ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåëåííîñòè Ïëàíêà. Ãëàâà 3 Ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ è íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé 3.1 Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà C[a, b], C m[a, b] C[a, b] ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé ñ ìàêñèìóì-ìåòðèêîé ρ(f, g) = max |f (t) − g(t)|. t∈[a,b] Àêñèîìû ìåòðèêè, î÷åâèäíî, âûïîëíÿþòñÿ. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà äëÿ ìîäóëåé (1.3). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fn ñõîäèòñÿ ê f â ìåòðèêå C[a, b], åñëè max |fn (t) − f (t)| → 0 ïðè n → ∞. t∈[a,b] Ïîýòîìó ñõîäèìîñòü â C[a, b] ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ fn ê f åñòü ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé fn (t) ê ôóíêöèè f (t) íà îòðåçêå [a, b]. Çàäà÷à 3.1. Ïðîñòðàíñòâî C[a, b] ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì îòíîñèòåëüíî íîðìû kf k = max |f (t)|. t∈[a,b] Çàäà÷à 3.2. ×òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿåò øàð S1 (0) â C[a, b]? 3.1. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà C[A, B], C M [A, B] 37 C[a, b] ñåïàðàáåëüíîå ïðîñòðàíñòâî. Ñ÷åòíîå âñþäó ïëîòíîå ìíîæåñòâî â íåì îáðàçóþò ìíîãî÷ëåíû ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè PQ [a, b]. Äåéñòâèòåëüíî, ëþáîé ìíîãî÷ëåí ìîæíî ñêîëü óãîäíî òî÷íî ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïîýòîìó PQ [a, b] âñþäó ïëîòíî âî ìíîæåñòâå âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ P [a, b]: PQ [a, b] ⊂ → P [a, b] Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ëþáóþ íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè, ïîýòîìó P [a, b] ⊂ → C[a, b].  ñëåäóþùèõ ãëàâàõ áóäåò äîêàçàíà ïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà C[a, b]. Òàêèì îáðàçîì, C[a, b] ñåïàðàáåëüíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî. Íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé çàäàäèì ìåòðèêó ïî ïðàâèëó ρ(f, g) = max |f (t) − g(t)| + max |f 0 (t) − g 0 (t)|. t∈[a,b] t∈[a,b] (3.1) Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè fn ê f ïî ýòîé ìåòðèêå îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé fn (t) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè f (t) íà îòðåçêå [a, b], è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîèçâîäíûõ fn0 (t) òàêæå ñõîäèòñÿ ê f 0 (t) ðàâíîìåðíî. Çàäà÷à 3.3. Ïðîñòðàíñòâî C 1 [a, b] ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì îòíîñèòåëüíî íîðìû kf k = max |f (t)| + max |f 0 (t)|. t∈[a,b] t∈[a,b] Çàäà÷à 3.4. ×òî ñîáîé ïðåäñòàâëÿåò øàð S1 (0) â C 1 [a, b]? Çàäà÷à 3.5. Äîêàæèòå ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà C 1 [a, b].  C 1 [a, b] ìîæíî çàäàòü ýêâèâàëåíòíóþ ìåòðèêó ïî ïðàâèëó: ρ1 (f, g) = max(max |f (t) − g(t)|, max |f 0 (t) − g 0 (t)|) t∈[a,b] t∈[a,b] 3.1. Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà C[A, B], C M [A, B] 38 Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ìåòðèê ρ (3.1) è ρ1 âûïîëíÿåòñÿ äâîéíîå íåðàâåíñòâî: ρ1 (f, g) 6 ρ(f, g) 6 2ρ1 (f, g). Çàäà÷à 3.6. Ïðèâåäèòå äðóãèå ïðèìåðû ìåòðèê â C 1 [a, b], ýêâèâàëåíòíûõ ρ (3.1). Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî m ðàç íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå [a, b]. Çàäà÷à 3.7. Ïóñòü C m [a, b] ìíîæåñòâî âñåõ m ðàç íåïðåðûâíîäèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà êîíå÷íîì îòðåçêå [a, b]. Äîêàæèòå, ÷òî ρ(f, g) = sup max |f (n) (t) − g (n) (t)|. 06n6m t∈[a,b] (3.2) ìåòðèêà íà C m [a, b]. Çàäà÷à 3.8. ×òî îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü â ïðîñòðàíñòâå C m [a, b]? Çàäà÷à 3.9. Ïðîñòðàíñòâî C m [a, b] ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì îòíîñèòåëüíî íîðìû kf k = sup max |f (n) (t)|. 06n6m t∈[a,b] Çàäà÷à 3.10. Äîêàæèòå ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà C m [a, b]. Çàäà÷à 3.11. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìåòðèêè íà ìíîæåñòâå m ðàç íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûõ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé, ýêâèâàëåíòíîé (3.2). Ïîçæå ìû äîêàæåì ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà C m [a, b]. Åñëè Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn , òî ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ â çàìûêàíèè Ω ôóíêöèé C(Ω) è m ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ â çàìûêàíèè Ω ôóíêöèé C m (Ω) îïðåäåëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî. 3.2. Ïðèìåðû ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ 39 3.2 Ïðèìåðû ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ Íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ íà èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèé òàêæå ìîæíî çàäàòü ìåòðèêó. Ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ òà æå êîíñòðóêöèÿ, ÷òî è äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìåòðèêè â ïðîñòðàíñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé S . Ïîëó÷åííîå ïðîñòðàíñòâî íîðìèðîâàííûì íå áóäåò, îíî ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûì. Îïðåäåëåíèå 3.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn â ëèíåéíîì íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå X íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, åñëè kxn − xm k → 0 ïðè n, m → ∞. Îïðåäåëåíèå 3.2. Äâå íîðìû â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå X íàçûâàþòñÿ ñîãëàñîâàííûìè, åñëè ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn ∈ X , ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïî êàæäîé èç ýòèõ íîðì è ñõîäÿùàÿñÿ ê íåêîòîðîìó ïðåäåëó x ∈ X ïî îäíîé èç ýòèõ íîðì, ñõîäèòñÿ ê òîìó æå ïðåäåëó è ïî âòîðîé íîðìå. Îïðåäåëåíèå 3.3. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàçûâàåòñÿ ñ÷åòíîíîðìèðîâàííûì, åñëè â íåì çàäàíà ñ÷åòíàÿ ñèñòåìà ñîãëàñîâàííûõ äðóã ñ äðóãîì íîðì kxkn , n = 1, 2, . . ..  êàæäîì ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââåñòè ìåòðèêó ïî ïðàâèëó: ∞ X 1 kf − gkn ρ(f, g) = . n 1 + kf − gk 2 n n=1 (3.3) Âìåñòî íîðì â (3.3) ìîãóò çàäàâàòüñÿ ïîëóíîðìû. Ïîëóíîðìà îòëè÷àåòñÿ îò íîðìû òåì, ÷òî èç ðàâåíñòâà íóëþ kf k = 0 íå ñëåäóåò, ÷òî f = 0. Ïðèìåð 3.1. Ïðîñòðàíñòâî C(a, b) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ íà èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèé f (t) ñî ñ÷åòíîé ñèñòåìîé ïîëóíîðì: kf kn = max |f (t)|, t∈Kn (a, b) = ∞ [ Kn , n=1 Kn êîìïàêòíûå ìíîæåñòâà (â äàííîì ñëó÷àå îòðåçêè), òàêèå, ÷òî Kn ⊂ Kn+1 . 3.2. Ïðèìåðû ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ 40 Ìåòðèêà â C(a, b) çàäàåòñÿ ïî ïðàâèëó ∞ max |f (t) − g(t)| X 1 t∈Kn ρ(f, g) = . n 1 + max |f (t) − g(t)| 2 n=1 (3.4) t∈Kn Ñõîäèìîñòü ïî ìåòðèêå ρ (3.4) ýòî ðàâíîìåðíàÿ íà ëþáîì êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå Kn ñõîäèìîñòü ôóíêöèé. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå íà ïðÿìîé. Çàäà÷à 3.12. Äîêàæèòå, ÷òî íà ìíîæåñòâå C(R) âñåõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà R ìîæíî ââåñòè ìåòðèêó ∞ max |f (t) − g(t)| X 1 −n6t6n ρ(f, g) = 2n 1 + max |f (t) − g(t)| n=1 −n6t6n Çàäà÷à 3.13. ×òî îçíà÷àåò ñõîäèìîñòü â C(R)? Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâî C(Ω) äëÿ ëþáîé îáëàñòè Ω ∈ Rn . Òåïåðü ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå. Çàäà÷à 3.14. Ïóñòü C ∞ [a, b] ìíîæåñòâî âñåõ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà êîíå÷íîì îòðåçêå [a, b]. Äîêàæèòå, ÷òî max |f (n) (t) − g (n) (t)| ∞ X 1 t∈[a,b] ρ(f, g) = 2n 1 + max |f (n) (t) − g (n) (t)| n=1 t∈[a,b] ìåòðèêà íà C ∞ [a, b]. Çàäà÷à 3.15. Êàêîâ ñìûñë ñõîäèìîñòè â C ∞ [a, b]? Çàäà÷à 3.16. Äîêàæèòå ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà C ∞ [a, b]. Ñòðóêòóðó ñ÷åòíî-íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà ìîæíî òàêæå ââåñòè íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé, áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà ïðÿìîé. Çàäà÷à 3.17. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùèì óïðàæíåíèÿì îïðåäåëèòå ìåòðèêó íà C ∞ (R). Ãëàâà 4 Ïðîñòðàíñòâà Ëåáåãà 4.1 Ïðîñòðàíñòâà Lp(a, b), 1 6 p < ∞ Ïðîñòðàíñòâî Lp (a, b), 1 6 p < ∞ (ñðàâíèòå ñ îïðåäåëåíèåì `p ) ñîñòîèò èç ôóíêöèé f (x), èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó, òàêèõ, ÷òî ñóùåñòâóåò èíòåãðàë Ëåáåãà îò p-îé ñòåïåíè f (x) Zb |f (x)|p dx < ∞, a è ðàññòîÿíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: b Z ρp (f, g) = |f (x) − g(x)|p dx 1/p . a Äâå ôóíêöèè, îòëè÷àþùèåñÿ íà ìíîæåñòâå ìåðû íîëü, îòîæäåñòâëÿþòñÿ êàê ýëåìåíòû Lp (a, b). Ñòðîãî ãîâîðÿ, ýëåìåíòàìè ïðîñòðàíñòâà Lp (a, b) ÿâëÿþòñÿ êëàññû ýêâèâàëåíòíûõ (ò.å. îòëè÷àþùèõñÿ íà ìíîæåñòâå ìåðû íîëü) ôóíêöèé, à ðàññòîÿíèå ìåæäó êëàññàìè îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè èõ ïðåäñòàâèòåëÿìè. Âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà â Lp (a, b) ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Ìèíêîâñêîãî äëÿ èíòåãðàëîâ: b Z a |f (x) + g(x)|p dx 1/p b Z 6 a |f (x)|p dx 1/p b Z + a |g(x)|p dx 1/p , (4.1) 4.1. Ïðîñòðàíñòâà LP (A, B), 1 6 P < ∞ 42 1 6 p < ∞, êîòîðîå (ïðè p 6= 1) âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà: ¯ b ¯ b 1/p b 1/q ¯Z ¯ Z Z ¯ ¯ 1 1 p q ¯ f (x)g(x)dx¯ 6 |f (x)| dx |g(x)| dx , + = 1, ¯ ¯ p q ¯ ¯ a a a (4.2) 1 < p, q < ∞. Çàäà÷à 4.1. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà (4.2) äëÿ èçìåðèìûõ ïî Ëåáåãó ôóíêöèé. Óêàçàíèå. Ïðèìåíèòå íåðàâåíñòâî Þíãà (1.5). Çàäà÷à 4.2. Äîêàæèòå, ÷òî íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî, åñëè |g(x)|q |f (x)|p = b , R Rb |f (x)|p dx |g(x)|q dx a a ïî÷òè sgn f (x)g(x) = const. âñþäó Çàäà÷à 4.3. Âûâåäèòå íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî (4.1) èç íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà. Çàäà÷à 4.4. Ïðîâåðüòå âûïîëíåíèå àêñèîì ìåòðèêè äëÿ ρp (f, g). Çàäà÷à 4.5. Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [0, 1] ôóíêöèé C[0, 1] âñþäó ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå Lp (0, 1) , óñòàíîâèòå ñåïàðàáåëüíîñòü Lp (0, 1) ïðè 1 6 p < ∞. Äàëåå â ýòîé ãëàâå ÷åðåç kf kLp (a,b) îáîçíà÷àåòñÿ íîðìà ôóíêöèè f â ïðîñòðàíñòâå Lp (a, b): b Z kf kLp (a,b) = a |f (x)|p dx 1/p . 4.1. Ïðîñòðàíñòâà LP (A, B), 1 6 P < ∞ 43 Ïðè p = q = 2 èç íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà (4.2) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî: ¯ b ¯ b 1/2 b 1/2 ¯Z ¯ Z Z ¯ ¯ 2 2 ¯ f (x)g(x) dx¯ 6 ¯ ¯ |f (x)| dx |g(x)| dx . ¯ ¯ a a (4.3) a Ïðîñòðàíñòâî L2 (a, b) îòëè÷àåòñÿ îò ïðî÷èõ Lp (a, b) òåì, ÷òî â íåì ìîæíî çàäàòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 4.1. Ïóñòü X ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàä ïîëåì C. Ôóíêöèÿ (, ) : X × X 7−→ C íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì àêñèîìàì: 1. (x, x) > 0, ïðè÷åì (x, x) = 0 ⇔ x = 0; 2. (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z); 3. (x, y) = (y, x); ∀x, y, z ∈ X , ∀α, β ∈ C, ÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå.  ñëó÷àå âåùåñòâåííîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñèììåòðè÷íî. Çàäà÷à 4.6. Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà Zb (f, g) = f (x)g(x) dx a çàäàåò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â âåùåñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå L2 (a, b). Íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî (4.3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå |(f, g)| 6 kf kL2 (a,b) kgkL2 (a,b) . Îïðåäåëèì êîñèíóñ óãëà ìåæäó ýëåìåíòàìè ïðîñòðàíñòâà L2 (a, b) ïî ôîðìóëå dg) = cos(f, dg) (f, . kf kL2 (a,b) kgkL2 (a,b) 4.1. Ïðîñòðàíñòâà LP (A, B), 1 6 P < ∞ 44 Òîãäà íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî äîïóñêàåò ñëåäóþùóþ òðàêòîâêó: êîñèíóñ ïî ìîäóëþ íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöó. Çàäà÷à 4.7. Ðàâåíñòâî â íåðàâåíñòâå Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî âûïîëíÿåòñÿ dg)| = 1). òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f (x) = c g(x) (òî åñòü | cos(f, Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì óòâåðæäåíèÿ î ïðîñòðàíñòâàõ Lp (a, b), 1 6 p < ∞, êîòîðûå äîêàçûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà (4.2). Ïðèìåð 4.1. Ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå: Lp (a, b) ⊂ Lq (a, b) ïðè p > q. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f ∈ Lp (a, b). Òîãäà q -þ ñòåïåíü íîðìû f â ïðîñòðàíñòâå Lq (a, b) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå Zb kf kqLq (a,b) = Zb |f (x)|q dx = a 1 · |f (x)|q dx. a Ê ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà ñ ñîïðÿ- 1 1 + = 1. r s 1s b 1r b Z Zb Z 1 · |f (x)|q dx 6 1 dx · |f (x)|qs dx . æåííûìè ïîêàçàòåëÿìè r è s: a a a p p è ó÷èòûâàÿ, ÷òî òîãäà r = , ïåðåïèøåì ïðàâóþ ÷àñòü q p−q ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà â âèäå b 1r b 1s Z Z p−q 1 dx · |f (x)|qs dx = (b − a) p kf kqL . p Ïîëîæèâ s = a a Îêîí÷àòåëüíî, kf kqLq (a,b) 6 (b − a) p−q p kf kqLp (a,b) . Èçâëåêàÿ ñòåïåíü q , ïðèõîäèì ê îöåíêå: p−q kf kLq (a,b) 6 (b − a) p q kf kLp (a,b) , p > q. (4.4) 4.1. Ïðîñòðàíñòâà LP (A, B), 1 6 P < ∞ 45 Çàäà÷à 4.8. Ïóñòü 1 6 p < r < q < ∞. Òîãäà ëþáàÿ ôóíêöèÿ f ∈ Lp (a, b) ∩ Lq (a, b) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó Lr (a, b), è âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: kf kLr (a,b) 6 kf kαLp (a,b) kf kβLq (a,b) , ãäå α = 1/p − 1/r 1/r − 1/q ,β= . 1/p − 1/q 1/p − 1/q Íîðìó ôóíêöèè â Lr ìîæíî îöåíèòü òàêæå ÷åðåç ñóììó äâóõ ñëàãàåìûõ, îäíî èç êîòîðûõ âåëèêî, à äðóãîå ìàëî. Çàäà÷à 4.9. Ïóñòü f ∈ Lp (a, b), f ∈ Lq (a, b), p < q . Òîãäà f ∈ Lr (a, b) äëÿ âñåõ r òàêèõ, ÷òî p < r < q , è äëÿ ëþáîãî ε > 0 âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà kf kLq (a,b) 6 εkf kLp (a,b) + ε−µ kf kLq (a,b) , ãäå µ= 1 r 1 p − − 1 q 1, r (4.5) 1 6 p < r < q < ∞. Óêàçàíèå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóéòåñü èíòåðïîëÿöèîííûì íåðàâåíñòâîì Þíãà 1 α 1 ab 6 εa α + ε− β b β , (4.6) êîòîðîå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ε > 0, äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ a è b, α > 0, β > 0, α + β = 1. Ïðèìåð 4.2. Ïóñòü f ∈ Lp (a, b), g ∈ Lq (a, b). Òîãäà f g ïðèíàäëåæèò Ls (a, b), ãäå ïîêàçàòåëü s îïðåäåëÿåòñÿ èç ðàâåíñòâà: 1 1 1 = + s p q è âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà: kf gkLs (a,b) 6 kf kLp (a,b) kgkLq (a,b) . q p Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì p0 = , q 0 = . Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî s s 1 1 + = 1. Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà ñ ñîïðÿæåííûìè ïîêàçàòåëÿìè p0 q 0 4.1. Ïðîñòðàíñòâà LP (A, B), 1 6 P < ∞ 46 p0 , q 0 : Zb ps Zb Zb |f (x)|p dx = a 0 |g(x)|q s dx = a a q10 Zb 0 |f (x)|p s dx |f (x)g(x)|s dx 6 a p10 Zb qs |g(x)|q dx = kf ksLp (a,b) kgksLq (a,b) . a Òàêèì îáðàçîì, kf gkLs (a,b) 6 kf kLp (a,b) kgkLq (a,b) . Çàäà÷à 4.10. Ïóñòü f ∈ Lp (a, b), g ∈ Lq (a, b), h ∈ Lr (a, b), ïðè÷åì 1 1 1 + + =1 r p q Òîãäà f gh ñóììèðóåìà è âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: kf ghkL1 (a,b) 6 kf kLp (a,b) kgkLq (a,b) khkLr (a,b) . Âåðíåìñÿ ê íåðàâåíñòâó Ìèíêîâñêîãî. Åñëè õîòÿ áû îäíà èç ôóíêöèé f (x) èëè g(x) ðàâíà íóëþ ïî÷òè âñþäó, òî íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî. Åñëè æå íè îäíà èç ôóíêöèé íå îáðàùàåòñÿ â íîëü ïî÷òè âñþäó, òî óñëîâèÿ îáðàùåíèÿ íåðàâåíñòâà â ðàâåíñòâî ôîðìóëèðóþòñÿ ïî-ðàçíîìó äëÿ ñëó÷àåâ p = 1 è p > 1. Çàäà÷à 4.11. Ïðîâåðüòå, ÷òî ïðè p = 1 íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî, åñëè sgn f (x) = sgn g(x), (4.7) f (x) = c g(x), c > 0. (4.8) à ïðè p > 1, åñëè  ñëåäóþùåì ðàçäåëå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ðàçëè÷èå óñëîâèé (4.7) è (4.8) ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ìíîæåñòâà ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê øàðîâ â Lp (a, b) ïðè p = 1 è p > 1 ðàçëè÷íû. 4.2. Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâàõ LP (0, 1) 47 4.2 Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1(0) â ïðîñòðàíñòâàõ Lp(0, 1) Îïðåäåëåíèå 4.2. Ïóñòü X ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä ïîëåì R. Çàìêíóòûì îòðåçêîì, ñîåäèíÿþùèì òî÷êè a è b, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê {f ∈ X | f = t a + (1 − t) b, t ∈ [0, 1]}. Îïðåäåëåíèå 4.3. Ìíîæåñòâî M ⊂ X íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì, åñëè ∀ m1 , m2 ∈ M îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé òî÷êè m1 è m2 , ïðèíàäëåæèò X . Äàëåå â ýòîì ïàðàãðàôå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî M âûïóêëîå ìíîæåñòâî. Îïðåäåëåíèå 4.4. Òî÷êà x∗ ∈ M íàçûâàåòñÿ ýêñòðåìàëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà M , åñëè x∗ íå ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé íèêàêîãî îòðåçêà, öåëèêîì ïðèíàäëåæàùåãî M . Òî, ÷òî x∗ ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé, îçíà÷àåò 1 x∗ = (a + b), a, b ∈ M, a 6= b, b 6= x∗ . 2 (4.9) Åñëè M - îòêðûòîå ìíîæåñòâî, òî äëÿ íåãî ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê íåò ïî îïðåäåëåíèþ îòêðûòîãî ìíîæåñòâà. Ïðèìåð 4.3. Ïóñòü â R3 çàäàíà åâêëèäîâà íîðìà q kxk = x21 + x22 + x23 . Ðàññìîòðèì çàìêíóòûé åäèíè÷íûé øàð S 1 (0) = {x ∈ R3 | kxk 6 1}. Òîãäà ìíîæåñòâî ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê ýòî ñôåðà {x ∈ R3 | kxk = 1}. p '$ @ @p p O &% 4.2. Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâàõ LP (0, 1) 48 Ïðèìåð 4.4. Ðàññìîòðèì â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå R3 çàìêíóòûé ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä Π = {x ∈ R3 | |xi | 6 1; 1 6 i 6 n}. Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè åãî âåðøèíû. p p¡ p p p p¡ p p¡ Ïðèìåð 4.5. Àíàëîãè÷íî, åñëè íà ïëîñêîñòè çàäàíà åâêëèäîâà ìåòðèêà, òî ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè çàìêíóòîãî åäèíè÷íîãî êðóãà S̄1 (0) çàïîëíÿþò îêðóæíîñòü. Åñëè æå íà ïëîñêîñòè çàäàòü ìåòðèêó ïî-äðóãîìó: ρ1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |, òàê, ÷òî kxk = |x1 | + |x2 |, òî çàìêíóòûé åäèíè÷íûé øàð â ýòîé ìåòðèêå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì. Ñëåäîâàòåëüíî, ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè åãî âåðøèíû. x2 6 ¡¡@@ ¡ @ @@O ¡¡ @¡ x1 Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íå÷òî ïîäîáíîå íàáëþäàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâàõ ôóíêöèé Lp . Åñëè p > 1, òî ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè çàìêíóòîãî åäèíè÷íîãî øàðà çàïîëíÿþò ñôåðó. À åñëè p = 1, òî ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê íåò (ýëåìåíòû, îòëè÷àþùèåñÿ íà ìíîæåñòâå ìåðû íîëü, îòîæäåñòâëÿþòñÿ)! Ïðèìåð 4.6.  ïðîñòðàíñòâàõ Lp (0, 1), 1 < p < ∞ ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè çàìêíóòîãî øàðà çàïîëíÿþò ñôåðó {f | kf kLp = 1}. Äðóãèõ ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê íåò. 4.2. Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâàõ LP (0, 1) 49 Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ïåðâîì ýòàïå äîêàçàòåëüñòâà ðàññìîòðèì îòêðûòûé øàð. Äîêàæåì, ÷òî íèêàêàÿ òî÷êà îòêðûòîãî øàðà S1 (0) íå ÿâëÿåòñÿ ýêñòðåìàëüíîé òî÷êîé çàìêíóòîãî øàðà S 1 (0). Ïóñòü ñíà÷àëà f ïðèíàäëåæèò çàìêíóòîìó øàðó ðàäèóñà 21 : 1 kf kLp 6 . 2 Äîêàæåì, ÷òî íàéäóòñÿ ýëåìåíòû g, h ∈ S 1 (0) òàêèå, ÷òî f ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî g è h: f = 21 (g + h). 1 2 Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïîëîæèòü g = 2f, h = 0, òî f = (g + h) è kgkLp = 2kf kLp 6 1; khk = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, g, h ∈ S 1 (0) è íèêàêàÿ òî÷êà f ∈ S 1 (0) íå ÿâëÿåòñÿ ýêñ2 òðåìàëüíîé òî÷êîé øàðà S 1 (0). Òåïåðü ðàññìîòðèì ñôåðè÷åñêèé ñëîé 1 < kf kLp < 1. 2 Ïóñòü kf kLp = 1 M, ãäå 1 < M < 2, òîãäà f (x) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå f (x) = tf (x) + (1 − t)f (x), M 1 , t ∈ ( , 1), òî åñòü 2 2 1 f (x) = [M f (x) + (2 − M )f (x)] . 2 Ïîëîæèì g(x) = M f, h(x) = (2 − M )f (x). ãäå t = Òîãäà 1 2−M = 1, khkLp = (2 − M )kf kLp = . M M Òàê êàê M > 1,òî 2 − M < M . Ñëåäîâàòåëüíî, kgkLp = M kf kLp = M 2−M M < = 1. M M Ïîýòîìó khkLp < 1 è g, h ∈ S 1 (0). Òàêèì îáðàçîì, íèêàêàÿ òî÷êà îòêðûòîãî øàðà íå ìîæåò áûòü ýêñòðåìàëüíîé òî÷êîé çàìêíóòîãî øàðà. 4.2. Ýêñòðåìàëüíûå òî÷êè øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâàõ LP (0, 1) 50 Çàìå÷àíèå 4.1. Åñëè ðàññìîòðåòü ft = tg + (1 − t)h, g , h ∈ S 1 (0), t ∈ [0, 1], òî ïî ñâîéñòâó íîðìû ft ∈ S 1 (0), t ∈ [0, 1], ò. å. kft kLp 6 t kgkLp + (1 − t)khkLp 6 t · 1 + (1 − t) · 1 = 1. Çàìå÷àíèå 4.2.  ïðîâåäåííîì äîêàçàòåëüñòâå âàæíî, ÷òî f 6= g , f 6= h, ò. å. îòðåçîê íå âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó. Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî òî÷êè ñôåðû {f | kf kLp = 1} ÿâëÿþòñÿ ýêñòðåìàëüíûìè òî÷êàìè çàìêíóòîãî øàðà S 1 (0). Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè f åäèíè÷íîé ñôåðû íàéäóòñÿ ýëåìåíòû g, h, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò çàìêíóòîìó øàðó S 1 (0) è f ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî g è h: 1 f = (g + h). 2 Ïðè ýòîì f 6= g, f 6= h. Òîãäà, ïî íåðàâåíñòâó Ìèíêîâñêîãî 1 1 = kf kLp = kg + hkLp 6 2 1 6 (kgkLp + khkLp ). 2 Òàê êàê kgkLp 6 1 è khkLp 6 1, òî çíàê ñòðîãîãî íåðàâåíñòâà â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå íåâîçìîæåí, ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìî, ÷òîáû êàæäàÿ èç íîðì ðàâíÿëàñü åäèíèöå: kgkLp = 1, khkLp = 1. Òîãäà kg + hkLp = kgkLp + khkLp . (4.10) Ïîñêîëüêó 1 < p < ∞ (ýòî âàæíî!), òî g = c h, c > 0. Ïîýòîìó 1 c+1 f = (c h + h) = h. 2 2 c+1 = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, c = 1. Òîãäà Òàê êàê kf kLp = 1, khkLp = 1, òî 2 g = h, f = h, ò. å. îòðåçîê ïðåâðàùàåòñÿ â òî÷êó ïðîòèâîðå÷èå. Çàäà÷à 4.12. Ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê çàìêíóòîãî øàðà S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâå L1 (0, 1) íå ñóùåñòâóåò. 4.3. Ïðîñòðàíñòâî L∞ (A, B) 51 4.3 Ïðîñòðàíñòâî L∞(a, b) Ïóñòü y = g(x) îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó ôóíêöèÿ íà èíòåðâàëå (a, b), òî åñòü ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà M , ÷òî g(x) 6 M ∀x ∈ (a, b). Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü ôóíêöèè g(x). Îïðåäåëåíèå 4.5. M∗ íàçûâàåòñÿ òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ (ñóïðåìóìîì) ôóíêöèè g(x) M∗ = sup g(x), x∈ (a,b) åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà 1) g(x) 6 M∗ , ò. å. M∗ îäíà èç âåðõíèõ ãðàíåé ôóíêöèè g(x); 2) ∀ ε > 0 ∃ xε 6= ∅, xε ∈ (a, b) : g(xε ) > M∗ − ε. Ïóñòü òåïåðü g(x) îãðàíè÷åíà ñâåðõó ïî÷òè âñþäó íà èíòåðâàëå (a, b): g(x) 6 M ï.â. x ∈ (a, b). Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü ñóùåñòâåííûé ñóïðåìóì ôóíêöèè g(x). Îïðåäåëåíèå 4.6. ×èñëî α∗ íàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííûì ñóïðåìóìîì ôóíêöèè g(x) α∗ = ess sup g(x), x∈(a,b) åñëè 1) g(x) 6 α∗ ïî÷òè âñþäó â (a, b). 2) ∀ ε > 0 ∃ (aε , bε ) ⊂ (a, b): mes(aε , bε ) 6= 0, ∀ x ∈ (aε , bε ) g(x) > α∗ − ε. Ñóùåñòâåííûé ñóïðåìóì ìîæíî îïðåäåëèòü è ïî-äðóãîìó. Îïðåäåëåíèå 4.7. ess sup g(x) = inf {α| mes(x ∈ (a, b) : g(x) > α) = 0} . x∈(a,b) 4.3. Ïðîñòðàíñòâî L∞ (A, B) 52 Çàäà÷à 4.13. Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ îïðåäåëåíèé ñóùåñòâåííîãî ñóïðåìóìà. Ïðîñòðàíñòâî L∞ (a, b) îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìíîæåñòâî èçìåðèìûõ íà (a, b) ôóíêöèé f (x), äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà αf , çàâèñÿùàÿ îò f òàêàÿ, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ (a, b) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: |f (x)| 6 αf , è íîðìà f îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóùåñòâåííûé ñóïðåìóì ìîäóëÿ ôóíêöèè f (x): kf kL∞ = ess sup |f (x)|, x∈(a,b) ãäå ess sup |f (x)| = inf {α| mes(x ∈ (a, b) : |f (x)| > α) = 0}. α∈R x∈(a,b) Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ î ïðîñòðàíñòâå L∞ (a, b): Çàäà÷à 4.14. L∞ (a, b) íå ñåïàðàáåëüíîå ïðîñòðàíñòâî. Çàäà÷à 4.15. Ïðîñòðàíñòâî L∞ (a, b) âëîæåíî â êàæäîå èç ïðîñòðàíñòâ Lp (a, b) ïðè 1 6 p < ∞: L∞ (a, b) ⊂ ∞ \ Lp (a, b), p=1 ïðè÷åì âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: kf kLp (a,b) 6 (b − a)1/p kf kL∞ (a,b) ∀p : 1 6 p < ∞. Çàäà÷à 4.16. Ïóñòü f ∈ L1 (a, b), g ∈ L∞ (a, b). Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà: ¯ b ¯ ¯Z ¯ Zb ¯ ¯ ¯ f (t)g(t)dt¯ 6 |f (t)|dt ess sup |g(t)|. ¯ ¯ t∈(a,b) ¯ ¯ a a Ïðåæäå, ÷åì ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå î ïðîñòðàíñòâå L∞ (a, b), íàïîìíèì åãî êîíå÷íîìåðíûé àíàëîã. 4.3. Ïðîñòðàíñòâî L∞ (A, B) 53 Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå Rn ïðè 1 6 p < ∞ çàäàíû íîðìû kxkp = " n X # p1 |xi |p , i=1 à òàêæå ìàêñèìóì-íîðìà kxk∞ = max |xi |. 16i6n Òîãäà äëÿ ëþáîãî x ∈ Rn ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå kxk∞ = lim kxkp p→∞ Àíàëîãè÷íàÿ ñâÿçü ñóùåñòâóåò ìåæäó íîðìàìè â ïðîñòðàíñòâàõ Lp (a, b) ïðè 1 < p < ∞ è íîðìîé â ïðîñòðàíñòâå L∞ (a, b). Ïðèìåð 4.7. Ñïðàâåäëèâî ïðåäåëüíîå ñîîòíîøåíèå kf kL∞ (a,b) = lim kf kLp (a,b) . p→∞ Äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû ïåðåéòè ê ïðåäåëó, îöåíèì kf kLp (a,b) ñâåðõó è ñíèçó. Ñ îäíîé ñòîðîíû: p1 Zb kf kLp (a,b) = 1 |f (x)|p dx 6 ess sup |f (x)| (b − a) p , 1 6 p < ∞. x∈(a,b) a Òàêèì îáðàçîì, 1 kf kLp (a,b) 6 (mes Ω) p kf kL∞ (a,b) . (4.11) Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïî îïðåäåëåíèþ ñóùåñòâåííîãî ñóïðåìóìà, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ èíòåðâàë íåíóëåâîé äëèíû (aε , bε ), êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì (a, b) òàêîé, ÷òî äëÿ âñåõ x èç ýòîãî èíòåðâàëà ñïðàâåäëèâà îöåíêà ∀ x ∈ (aε , bε ) |f (x)| > kf kL∞ (a,b) − ε. Âîçâåäåì ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî â ñòåïåíü p è ïðîèíòåãðèðóåì ïî èíòåðâàëó (aε , bε ). Ïîëó÷èì Zbε aε ¡ ¢p |f (x)|p dx > kf kL∞ (a,b) − ε (bε − aε ). 4.4. Ïðîñòðàíñòâà LP, 54 LOC (Ω) Òîãäà 1 kf kLp (a,b) > kf kLp (aε ,bε ) > (kf kL∞ (a,b) − ε)(bε − aε ) p . (4.12) Èç (4.11) (4.12) ñëåäóåò äâîéíîå íåðàâåíñòâî 1 1 (kf kL∞ (a,b) − ε)(bε − aε ) p 6 kf kLp (a,b) 6 (bε − aε ) p kf kL∞ (a,b) . (4.13) Óñòðåìèâ p → +∞, ïîëó÷èì òðåáóåìîå ðàâåíñòâî. Äîêàçàííûå óòâåðæäåíèÿ ïîçâîëÿþò ðàññìàòðèâàòü øêàëó ïðîñòðàíñòâ Lp (a, b) ïðè 1 6 p 6 ∞. Çàäà÷à 4.17. Óñòàíîâèòå äëÿ êîíå÷íîãî èíòåðâàëà (a, b) òåîðåòèêîìíîæåñòâåííûå âêëþ÷åíèÿ L∞ (a, b) ⊂ Lp (a, b) ⊂ Lq (a, b) ⊂ L1 (a, b), 1 < q < p < ∞. Ñîõðàíÿþòñÿ ëè óêàçàííûå âêëþ÷åíèÿ äëÿ íåîãðàíè÷åííîãî èíòåðâàëà? Çàäà÷à 4.18. Èç ðåçóëüòàòîâ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî íà L∞ (a, b) îïðåäåëåíû âñå ìåòðèêè ρp (f, g), 1 6 p < ∞. ßâëÿþòñÿ ëè îíè ýêâèâàëåíòíûìè? Çàäà÷à 4.19. Íàéäèòå íîðìó ôóíêöèè f (t) = tα â òåõ ïðîñòðàíñòâàõ Lp (0, 1), 1 6 p 6 ∞, êîòîðûì ýòà ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæèò. 4.4 Ïðîñòðàíñòâà Lp, loc(Ω) Ïóñòü Ω îáëàñòü â Rn , íå îáÿçàòåëüíî îãðàíè÷åííàÿ. Ìíîæåñòâî èçìåðèìûõ â Ω ôóíêöèé, p-àÿ ñòåïåíü ìîäóëÿ êîòîðûõ èíòåãðèðóåìà ïî ëþáîé îãðàíè÷åííîé ñòðîãî âíóòðåííåé ïîäîáëàñòè Ω0 îáëàñòè Ω, Ω0 b Ω, îáîçíà÷èì ÷åðåç Lp, loc (Ω). Î÷åâèäíî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå Lp (Ω) ⊂ Lp, loc (Ω).  ïðîñòðàíñòâå Lp, loc (Ω) ìîæíî ââåñòè ñ÷åòíóþ ñèñòåìó ïîëóíîðì. Ïóñòü Kn ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âëîæåííûõ äðóã â äðóãà îãðàíè÷åííûõ è çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ : Kn ⊂ Kn+1 òàêèõ, ÷òî ∞ Ω = ∪ Kn . n=1 4.4. Ïðîñòðàíñòâà LP, 55 LOC (Ω) Çàäàäèì ñåìåéñòâî ïîëóíîðì kf kn = kf kLp (Kn ) . Òîãäà ðàññòîÿíèå â Lp, loc (Ω) ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå: ∞ X 1 kf − gkn . ρ(f, g) = n 1 + kf − gk 2 n n=1 Ïðèìåð 4.8. Ïóñòü x ∈ R. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = 1 , (1 − |x|)α α > 0. Îíà ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâàì L1, loc (|x| < 1), L2, loc (|x| < 1) äëÿ ëþáîãî α.  òî æå âðåìÿ ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæèò L1 (|x| < 1) òîëüêî ïðè 1 α < 1, è f ∈ L2 (|x| < 1) ïðè α < . 2 Ãëàâà 5 Íåïðåðûâíîñòü îòîáðàæåíèé Àíàëîãè÷íî ïîíÿòèþ íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé ôîðìóëèðóåòñÿ ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèé ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ. Ñíà÷àëà ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå íà ÿçûêå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïóñòü (X, ρ), (Y, d) ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Îòîáðàæåíèå f : X → Y íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì â òî÷êå x0 , åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ∈ X èç òîãî, ÷òî xn → x0 ïî ìåòðèêå ρ, ñëåäóåò, ÷òî f (xn ) → f (x0 ) ïî ìåòðèêå d ïðè n → ∞. Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèé íà ÿçûêå ε δ . Îïðåäåëåíèå 5.2. Îòîáðàæåíèå f : X → Y íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì â òî÷êå x0 , åñëè ∀ε > 0∃δ > 0∀x : ρ(x, x0 ) < δ =⇒ d(f (x), f (x0 )) < ε. Çàäà÷à 5.1. Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ ñôîðìóëèðîâàííûõ îïðåäåëåíèé. Îïðåäåëåíèå 5.3. Îòîáðàæåíèå f : X → Y íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì, åñëè îíî íåïðåðûâíî â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà X . Çàäà÷à 5.2. Ïîêàæèòå íåïðåðûâíîñòü ìåòðèêè ρ : X × X → R â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (X, ρ). 57 Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòå â äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè ïðîèçâåäåíèè X× X îäíó èç ýêâèâàëåíòíûõ ìåòðèê d1 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ¡ ¢1/2 ρ2 (x1 , y1 ) + ρ2 (x2 , y2 ) , d2 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ρ(x1 , y1 ) + ρ(x2 , y2 ), d3 ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = max(ρ(x1 , y1 ), ρ(x2 , y2 )) ∀(x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ X × X è âîñïîëüçóéòåñü íåðàâåíñòâîì ÷åòûðåõóãîëüíèêà |ρ(x, z) − ρ(y, t)| 6 ρ(x, y) + ρ(z, t). Çàäà÷à 5.3. Äîêàæèòå ñëåäóþùèå êðèòåðèè íåïðåðûâíîñòè: îòîáðàæåíèå f : X → Y íåïðåðûâíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî îòêðûòîãî ìíîæåñòâà U ⊂ Y (çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà F ⊂ Y ) ìíîæåñòâî f −1 (U ) îòêðûòî â X (f −1 (F ) çàìêíóòî â X ). Çàäà÷à 5.4. ßâëÿåòñÿ ëè íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèå f : C[0, 1] → C[0, 1], îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé f (x(t)) = x3 (t)? Ïðèìåð 5.1. Íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [0, 1] ôóíêöèé ââåäåì èíòåãðàëüíóþ ìåòðèêó Z1 ρ1 (f, g) = |f (t) − g(t)|dt. 0 Ïîëó÷èâøååñÿ ôóíêöèîíàëüíîå ïðîñòðàíñòâî îáîçíà÷èì R1 [0, 1]. Ïîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèå f : R1 [0, 1] → R1 [0, 1], îïðåäåëÿåìîå ñîîòíîøåíèåì f (x(t)) = x2 (t). íå áóäåò íåïðåðûâíûì â ýòîé ìåòðèêå. 58 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîêàæåì, ÷òî äàííîå îòîáðàæåíèå íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì â íóëå. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé xn (t), äëÿ êîòîðûõ Z1 ρ1 (xn , 0) = |xn (t)|dt → 0, 0 à Z1 ρ1 (x2n , 0) = |xn (t)|2 dt 6→ 0, 0 ïðè n → ∞.  êà÷åñòâå xn (t) âûáåðåì êóñî÷íî-ëèíåéíóþ ôóíêöèþ ( xn (t) = Òîãäà bn (1 − t/an ) ïðè 0 6 t 6 an ; 0 ïðè an 6 t 6 1. an b2n = . 3 √ 1 Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî âûáðàòü, íàïðèìåð, an = , bn = n. n an bn ρ(xn , 0) = , 2 ρ(x2n , 0) Çàäà÷à 5.5. Ïóñòü X ìíîæåñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé íà [0, 1], äëÿ êîòîðûõ x(0) = 0, ñ ìåòðèêîé ρ(x, y) = max |x(t) − y(t)|. 06t61 ßâëÿåòñÿ ëè íåïðåðûâíûì îòîáðàæåíèå f : (X, ρ) → C[0, 1], îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé f (x)(t) = x(t) ? t Çàäà÷à 5.6. ßâëÿþòñÿ ëè íåïðåðûâíûìè ñëåäóþùèå îòîáðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà C[0, 1] â ñåáÿ: 59 Zt à)f (x)(t) = x(s)ds, 0 á)f (x)(t) = x(tα ), α > 0 Zt x2 (s)ds? â)f (x)(t) = 0 Çàäà÷à 5.7. Òîò æå âîïðîñ äëÿ ïðîñòðàíñòâà L2 (0, 1). Ãëàâà 6 Ïîëíîòà ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ 6.1 Îïðåäåëåíèå ïîëíîòû Îïðåäåëåíèå 6.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé, åñëè ρ(xn , xm ) → 0 ïðè n, m → ∞. Èç íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ñëåäóåò, ÷òî ëþáàÿ ñõîäÿùàÿñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé. Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî. Ïðèìåð 6.1. Ïóñòü X = [0, 1), ρ(x, y) = |x − y|. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1 ôóíäàìåíòàëüíà, íî íå ñõîäèòñÿ â äàííîì ïðîñòðàíñòâå. n Ïðèìåð 6.2. Ïóñòü X = Q (ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë), xn = ρ(x, y) = |x − y|. Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü µ xn = 1 1+ n ¶n ôóíäàìåíòàëüíà, íî íå ñõîäèòñÿ â äàííîì ïðîñòðàíñòâå. Îïðåäåëåíèå 6.2. Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè êàæäàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü â íåì ñõîäèòñÿ. Ìíîæåñòâî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q ñ îáû÷íîé ìåòðèêîé ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Ñîãëàñíî êðèòåðèþ Êîøè, Rn ñ 6.2. Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû 61 ëþáîé èç ìåòðèê " ρp (x, y) = n X # p1 |xi − yi |p , 16p6∞ i=1 ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Íà ïðèìåðå ìíîæåñòâà íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå ôóíêöèé ïîêàæåì, êàê îäíî è òî æå ìíîæåñòâî ìîæíî ïðåâðàòèòü â ïîëíîå èëè íåïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, çàäàâàÿ ïî-ðàçíîìó ìåòðèêó. 6.2 Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû Íàïîìíèì, ÷òî C[a, b] ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé ñ ìàêñèìóì-ìåòðèêîé: ρ(f, g) = max |f (t) − g(t)|. t∈[a,b] Ñõîäèìîñòü â C[a, b] ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ fn åñòü ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé fn (t) íà îòðåçêå [a, b]. Ïðèìåð 6.3. Äîêàæåì, ÷òî C[a, b] ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü {fn } ôóíäàìåíòàëüíàÿ â C[a, b] ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Íàäî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ýëåìåíò f ∈ C[a, b] òàêîé, ÷òî ρ(fn , f ) → 0. Ïî îïðåäåëåíèþ ôóíäàìåíòàëüíîñòè {fn } â C[a, b]: max |fn (t) − fm (t)| → 0 t∈[a,b] n, m → ∞. (6.1) Íàøà ïåðâàÿ çàäà÷à âûäåëèòü ýëåìåíò, "ïîäîçðåâàåìûé"â òîì, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äëÿ ýòîãî ïðèìåíÿåòñÿ óæå äîêàçàííûé ôàêò ïîëíîòà R ñ îáû÷íîé ìåòðèêîé. Èç (6.1) ñëåäóåò áîëåå ñëàáîå óòâåðæäåíèå: äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî t |fn (t) − fm (t)| → 0 n, m → ∞. 6.2. Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû 62 Òî åñòü ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì t fn (t) ôóíäàìåíòàëüíàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òàê êàê âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ ñ îáû÷íîé ìåòðèêîé ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî t ñóùåñòâóåò (ïîòî÷å÷íûé!) ïðåäåë, îáîçíà÷èì åãî f (t): lim fn (t) = f (t). n→∞ Îñòàëîñü äîêàçàòü äâà óòâåðæäåíèÿ: 1) fn ñõîäèòñÿ ê f â ìåòðèêå C[a, b], òî åñòü ðàâíîìåðíî ïî t ∈ [a, b]; 2) f ýëåìåíò C[a, b]. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè â îïðåäåëåíèè ôóíäàìåíòàëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (6.1) ôèêñèðóåì n > N , à m óñòðåìèì ê áåñêîíå÷íîñòè. Òîãäà ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó: ∀ε > 0∃N : ∀n > N max |fn (t) − f (t)| 6 ε, t∈[a,b] êîòîðîå ïîêàçûâàåò, ÷òî ñõîäèìîñòü ðàâíîìåðíàÿ. Òåïåðü äîêàæåì, ÷òî f ∈ C[a, b], òî åñòü ðàâíîìåðíûé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Äëÿ ëþáîãî t0 ∈ [a, b] îöåíèì ìîäóëü ðàçíîñòè f (t) è f (t0 ), âîñïîëüçîâàâøèñü ε/3-ïðèåìîì. Âûáåðåì n òàêèì, ÷òîáû ε max |fn (t) − f (t)| < . 3 t∈[a,b]  ñèëó íåïðåðûâíîñòè fn (t), ïîäáåðåì δ òàê, ÷òîáû èç |t−t0 | < δ ñëåäîâàëî |fn (t) − fn (t0 )| < ε/3. Òîãäà, åñëè |t − t0 | < δ , òî |f (t) − f (t0 )| 6 |f (t) − fn (t)| + |fn (t) − fn (t0 )| + |fn (t0 ) − f (t0 ))| < ε. Ïî ñóùåñòâó â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå ïðèâåäåíî ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî äâóõ ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðåì àíàëèçà êðèòåðèÿ Êîøè ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ôóíêöèé è òåîðåìû Âåéåðøòðàññà î íåïðåðûâíîñòè ðàâíîìåðíîãî ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. 6.2. Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû 63 Çàäà÷à 6.1. Ñôîðìóëèðóéòå êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîòû ïðîñòðàíñòâà C[a, b], èñïîëüçóþùåå óêàçàííûå òåîðåìû. Çàäà÷à 6.2. Äîêàæèòå ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà C 1 [a, b] íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà [a, b] ôóíêöèé ñ ìåòðèêîé: ρ(f, g) = max |f (t) − g(t)| + max |f 0 (t) − g 0 (t)|. t∈[a,b] t∈[a,b] Çàäà÷à 6.3. Äîêàæèòå ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà C ∞ [0, 1] ñ ìåòðèêîé max |f (n) (t) − g (n) (t)| ∞ X 1 t∈[a,b] ρ(f, g) = 2n 1 + max |f (n) (t) − g (n) (t)| n=1 t∈[a,b] [14, c. 44] Ïðèìåð 6.4. Äîêàæåì ïîëíîòó ïðîñòðàíñòâà `2 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x(n) ôóíäàìåíòàëüíàÿ â `2 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî 2 (n) ρ (x , x (m) )= ∞ X (n) (m) (xk − xk )2 → 0 ïðè n, m → ∞. (6.2) n=1 Íàäî äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x(n) ñõîäèòñÿ â `2 , òî åñòü íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò x ∈ `2 , ÷òî 2 (n) ρ (x , x) = ∞ X (n) (xk − xk )2 → 0 ïðè n → ∞. (6.3) n=1 Òàê êàê èç (6.2) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî íîìåðà k (n) (m) |xk − xk | → 0 ïðè n, m → ∞, è ïðîñòðàíñòâî R ïîëíî, òî äëÿ ëþáîãî k ñóùåñòâóåò ïîêîîðäèíàòíûé ïðåäåë (n) lim xk = xk . n→∞ Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ýëåìåíò x = (x1 , x2 , . . . , xk , . . .) ïðèíàäëåæèò ïðîñòðàíñòâó `2 : ∞ X n=1 x2k < ∞, 6.3. Ïðèìåð íåïîëíîãî ïðîñòðàíñòâà 64 è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x(n) ñõîäèòñÿ ê x ïî ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà `2 , òî åñòü âûïîëíÿåòñÿ (6.3). Èç (6.2) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîé íîìåð N , ÷òî äëÿ ëþáîãî ôèêñèðîâàííîãî M âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî M X (m) (n) (xk − xk )2 < ε ïðè n, m > N. n=1 Çàôèêñèðîâàâ n, ïåðåéäåì â êîíå÷íîé ñóììå ê ïðåäåëó ïðè m → ∞: M X (n) (xk − xk )2 6 ε ∀M. n=1 Òåïåðü ïåðåéäåì ê ïðåäåëó ïðè M → ∞: ∞ X (n) (xk − xk )2 6 ε. (6.4) n=1 Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Ìèíêîâñêîãî: à ∞ X k=1 !1/2 x2k 6 Ã∞ X !1/2 (n) (xk − xk )2 + Ã∞ X !1/2 (n) |xk |2 . i=1 k=1 Òàê êàê ðÿäû â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà ñõîäÿòñÿ, òî ñõîäèòñÿ ðÿä è â ëåâîé ÷àñòè, òî åñòü x ∈ `2 . À èç (7.1) ñëåäóåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ (6.3). Çàäà÷à 6.4. Äîêàæèòå ïîëíîòó ñëåäóþùèõ ïðîñòðàíñòâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: à) `∞ [11, ñ. 31]; á)S . 6.3 Ïðèìåð íåïîëíîãî ïðîñòðàíñòâà Ïðèìåð 6.5. Íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ìîæíî ââåñòè òàêæå èíòåãðàëüíóþ ìåòðèêó, íàïðèìåð, ïî ïðàâèëó: Z1 ρ1 (f, g) = |f (t) − g(t)|dt. −1 Ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå, â îòëè÷èå îò ïðèìåðà 6.3, ïîëó÷èòñÿ íåïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. 6.4. Òåîðåìà î ïîïîëíåíèè 65 Äîñòàòî÷íî ïðèâåñòè ïðèìåð ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, ôóíäàìåíòàëüíîé ïî èíòåãðàëüíîé ìåòðèêå ρ1 , êîòîðàÿ íå ñõîäèòñÿ ïî ýòîé ìåòðèêå ê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè. Òàê êàê ëþáîå íåïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ìîæíî ïîïîëíèòü, òî â áîëåå øèðîêîì ïðîñòðàíñòâå ýòà ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áóäåò ñõîäèòüñÿ. Ê ÷åìó? Ê ðàçðûâíîé ôóíêöèè!  êà÷åñòâå òàêîé ôóíêöèè ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, çíàê ÷èñëà sgn. Èíòóèòèâíî ÿñíî, ÷òî ïðèáëèçèòü sgn(t) ìîæíî ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ êóñî÷íî-ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé: −1 ϕn (t) = nt 1 ïðè −1 ≤ t ≤ −1/n; ïðè −1/n ≤ t ≤ 1/n; 1/n ≤ t ≤ 1. ïðè Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ¯ ¯ ¯1 ¯ 1 ¯ ρ1 (ϕn , ϕm ) = ¯ − ¯¯ → 0 m n è m, n → ∞, Z1 lim |ϕn (t) − sgn(t)|dt = 0. n→∞ −1 Äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f èç íåðàâåíñòâ 0 < ρ1 (f, sgn) 6 ρ1 (f, ϕn ) + ρ1 (ϕn , sgn) ñëåäóåò, ÷òî ρ1 (f, ϕn ) 6→ 0 ïðè n → ∞. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè ïîïîëíåíèè ïðîñòðàíñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñ èíòåãðàëüíîé ìåòðèêîé ρ1 âîçíèêàþò ôóíêöèè, íåèíòåãðèðóåìûå ïî Ðèìàíó, è ðåçóëüòàòîì ïîïîëíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ëåáåãîâñêîå ïðîñòðàíñòâî L1 (−1, 1). 6.4 Òåîðåìà î ïîïîëíåíèè Îïðåäåëåíèå 6.3. Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) èçîìåòðè÷åñêè èçîìîðôíî (Y, d) (îáîçíà÷åíèå (X, ρ) ∼ (Y, d)), åñëè ñóùåñòâóåò îòîá- 6.4. Òåîðåìà î ïîïîëíåíèè 66 ðàæåíèå f : X → Y òàêîå, ÷òî: 1) f − áèåêòèâíî; 2) ρ(x1 , x2 ) = d(f (x1 ), f (x2 )) ∀x1 , x2 ∈ X. Èçîìåòðè÷åñêèé èçîìîðôèçì îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè. Âñå èçîìåòðè÷åñêè èçîìîðôíûå ïðîñòðàíñòâà ñ òî÷êè çðåíèÿ ñõîäèìîñòè è ïîëíîòû ìîæíî íå ðàçëè÷àòü. Çàäà÷à 6.5. Êàêîå èç ñâîéñòâ èíúåêòèâíîñòü èëè ñþðúåêòèâíîñòü ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îòîáðàæåíèå f îñóùåñòâëÿåò èçîìåòðèþ? Òåîðåìà 1 (O ïîïîëíåíèè). Ëþáîå íåïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) ìîæíî ïîïîëíèòü, òî åñòü ñóùåñòâóþò ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (Y, d) è îòîáðàæåíèå f : X → Y òàêèå, ÷òî: 1) f (X) = Y ; 2) ρ(x1 , x2 ) = d(f (x1 ), f (x2 )) ∀x1 , x2 ∈ X. Ïðèìåð 6.6. Äîêàæåì, ÷òî âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ ñ ìåòðèêîé ρ(x1 , x2 ) = |arctg(x1 ) − arctg(x2 )| (6.5) ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ôóíêöèÿ f (x) = arctg(x) ìîíîòîííà, òî äëÿ ρ(x1 , x2 ) (6.5) âûïîëíÿþòñÿ àêñèîìû ìåòðèêè. Àðêòàíãåíñ îñóùåñòâëÿåò âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå âåùå³ π π´ ñòâåííîé ïðÿìîé R íà èíòåðâàë − , . Ïóñòü X = R, 2 2 ³ π π´ Y = − , . 2 2 Ðàññìîòðèì ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) è (Y, d), ãäå d ñòàíäàðòíàÿ ìåòðèêà íà ïðÿìîé: d(u, v) = |u − v|. 6.5. Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ è òåîðåìà Áýðà 67 Òàê êàê f : X → Y áèåêòèâíî, è ðàâåíñòâî (6.5) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ρ(x1 , x2 ) = d(f (x1 ), f (x2 )), òî âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ ñ ìåòðèêîé ρ èçîìåòðè÷åñêè èçîìîðôíà èíòåðâàëó ³ π π´ ñ ìåòðèêîé d: − , 2 2 ³³ π π ´ ´ (R, ρ) ∼ − , ,d . 2 2 Íî èíòåðâàë ñî ñòàíäàòðíîé ìåòðèêîé ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Ñëåäîâàòåëüíî, âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ ñ ìåòðèêîé ρ òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. π ×òîáû ïîïîëíèòü ïðîñòðàíñòâî (Y, d), äîñòàòî÷íî âêëþ÷èòü òî÷êè 2 π è − .  èñõîäíîì ïðîñòðàíñòâå (X, ρ) ýòîìó ñîîòâåòñòâóåò äîáàâëåíèå ê 2 âåùåñòâåííîé ïðÿìîé áåñêîíå÷íî óäàëåííûõ òî÷åê +∞ è −∞. Çàäà÷à 6.6. Áóäåò ëè ïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ ñ ìåòðèêîé: à) ρ(x1 , x2 ) = |ex1 − ex2 |, á) ρ(x1 , x2 ) = |x31 − x32 |? Åñëè íåò, òî ïîñòðîéòå ïîïîëíåíèå ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ìåòðèêå. Çàäà÷à 6.7. Ïîñòðîéòå ïîïîëíåíèå ìíîæåñòâà öåëûõ ÷èñåë ñ ìåòðèêîé: ρ(n, m) = |ein − eim |. Çàäà÷à 6.8. Óêàæèòå ìåòðèêè, â êîòîðûõ ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà âåùåñòâåííîé îñè ÿâëÿþòñÿ ïîëíûìè ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè: à) (0, 1); á) (0, ∞); â) R \ {0}; ã) R \ {0, 1, 2, . . .}; ä) ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë Q. 6.5 Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ è òåîðåìà Áýðà Äëÿ ïîëíûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ ñïðàâåäëèâû ôóíäàìåíòàëüíûå òåîðåìû: ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ (îáîáùåíèå ïðèíöèïà âëîæåííûõ ñåãìåí- 6.5. Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ è òåîðåìà Áýðà 68 òîâ), òåîðåìà Áýðà è ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé (òåîðåìà Áàíàõà î íåïîäâèæíîé òî÷êå). Ïåðâûå äâå òåîðåìû ôîðìóëèðóþòñÿ â ýòîì ðàçäåëå. Òåîðåìà 2 (Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ). Äëÿ ïîëíîòû ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ëþáàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàìêíóòûõ âëîæåííûõ äðóã â äðóãà øàðîâ, ðàäèóñû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, èìåëà íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå. Çàäà÷à 6.9. Äîêàæèòå ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ. Çàäà÷à 6.10. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîì ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çàìêíóòûõ âëîæåííûõ äðóã â äðóãà, íå èìåþùèõ îáùåé òî÷êè øàðîâ, ðàäèóñû êîòîðûõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Çàäà÷à 6.11. Ïîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî N íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ ìåòðèêîé ( ρ(n, m) = 1+ 1 n+m ïðè n 6= m 0 ïðè n = m (6.6) ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, à øàðû [n, 1 + 1/(2n)] íå èìåþò îáùåé òî÷êè. Îïðåäåëåíèå 6.4. Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ íèãäå íå ïëîòíûì, åñëè îíî íå ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì íè â îäíîì øàðå. Çàäà÷à 6.12. Ïîêàæèòå, ÷òî M ⊂ X íèãäå íå ïëîòíî, åñëè M íå ñîäåðæèò âíóòðåííèõ òî÷åê. Çàäà÷à 6.13. Äîêàæèòå, ÷òî ãðàôèê íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íèãäå íå ïëîòåí â R2 . Âåðíî ëè ýòî äëÿ îáðàçà íåïðåðûâíîé êðèâîé? Òåîðåìà 3 (Òåîðåìà Áýðà). Ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ íèãäå íå ïëîòíûõ ìíîæåñòâ. Îáû÷íî òåîðåìà Áýðà ôîðìóëèðóåòñÿ êàê òåîðåìà î êàòåãîðèè. Îïðåäåëåíèå 6.5. Ìíîæåñòâî N ⊂ X ìíîæåñòâî ïåðâîé êàòåãîðèè, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì îáúåäèíåíèåì íèãäå íå ïëîòíûõ ìíîæåñòâ. 6.5. Ïðèíöèï âëîæåííûõ øàðîâ è òåîðåìà Áýðà 69 Îïðåäåëåíèå 6.6. Ìíîæåñòâî M ⊂ X ìíîæåñòâî âòîðîé êàòåãîðèè, åñëè îíî íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ïåðâîé êàòåãîðèè. Òåîðåìà 4 (Âòîðàÿ ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû Áýðà). Ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî X âëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âòîðîé êàòåãîðèè. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Áýðà, äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. Çàäà÷à 6.14. Ïóñòü X ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è X = ∞ S i=1 Fi , ãäå Fi çàìêíóòûå ìíîæåñòâà. Äîêàæèòå, ÷òî õîòÿ áû îäíî èç íèõ ñîäåðæèò øàð. Çàäà÷à 6.15. Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë íåñ÷åòíî. Çàäà÷à 6.16.  ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ïåðåñå÷åíèå ñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà îòêðûòûõ âñþäó ïëîòíûõ ìíîæåñòâ âñþäó ïëîòíî. Ãëàâà 7 Ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé 7.1 Îáùèå ñâåäåíèÿ Îïðåäåëåíèå 7.1. Îòîáðàæåíèå f : X → X íàçûâàåòñÿ ñæèìàþùèì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî α: 0 < α < 1, ÷òî äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ X âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: ρ(f (x1 ), f (x2 )) 6 αρ(x1 , x2 ). Îïðåäåëåíèå 7.2. Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ f , åñëè f (a) = a. Òåîðåìà 5 (Ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé). Ïóñòü (X, ρ) ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, f : X → X ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà X â ñåáÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà x∗ îòîáðàæåíèÿ f : f (x∗ ) = x∗ ; äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà x0 ∈ X ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xn = f (xn−1 ), n ∈ N , ñõîäèòñÿ ê íåïîäâèæíîé òî÷êå, ïðè÷åì ðàññòîÿíèå ìåæäó n-ûì ïðèáëèæåíèåì è íåïîäâèæíîé òî÷êîé ïîä÷èíÿåòñÿ îöåíêå: αn ρ(xn , x∗ ) 6 ρ(x0 , x1 ). (7.1) 1−α Çàäà÷à 7.1. Äîêàæèòå: åñëè îòîáðàæåíèå f ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) â ñåáÿ îáëàäàåò ñâîéñòâîì, ÷òî ρ(f (x1 ), f (x2 )) < ρ(x1 , x2 ) äëÿ ëþáûõ x1 , x2 ∈ X , x1 6= x2 , òî íåïîäâèæíîé òî÷êè ìîæåò íå áûòü [15, c. 45]. 7.1. Îáùèå ñâåäåíèÿ 71  ïðèëîæåíèÿõ ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ óòâåðæäåíèå ñëåäóþùåãî ïðèìåðà. Ïðèìåð 7.1. Ïóñòü A îòîáðàæåíèå ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) â ñåáÿ òàêîå, ÷òî åãî íåêîòîðàÿ ñòåïåíü An ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå.Òîãäà îòîáðàæåíèå A èìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå íåïîäâèæíîé òî÷êè ó îïåðàòîðà A. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé, îïåðàòîð An èìååò åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó: An x = x. Ïîäåéñòâîâàâ íà îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà îïåðàòîðîì A, ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ: A(An x) = Ax, êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: An (Ax) = Ax. Ñëåäîâàòåëüíî, Ax ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îïåðàòîðà An , è â ñèëó åäèíñòâåííîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè ó îïåðàòîðà An , âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî: Ax = x, òî åñòü ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îïåðàòîðà A. Òåïåðü äîêàæåì åäèíñòâåííîñòü íåïîäâèæíîé òî÷êè îïåðàòîðà A. Ïóñòü ñóùåñòâóåò x1 6= x: Ax1 = x1 . Òàê êàê ëþáàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îïåðàòîðà A ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îïåðàòîðà An , òî, â ñèëó åäèíñòâåííîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè ó îïåðàòîðà An : x1 = x. Åäèíñòâåííîñòü äîêàçàíà. Çàäà÷à 7.2. Ïóñòü B è C îòîáðàæåíèÿ ïîëíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) â ñåáÿ. Äîêàæèòå: åñëè îòîáðàæåíèå B ñæèìàþùåå, è îòîáðàæåíèÿ B è C êîììóòèðóþò, òî óðàâíåíèå Cx = x èìååò ðåøåíèå [15, c. 46]. Çàäà÷à 7.3. Ïóñòü (X, ρ) ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, f îòîáðàæåíèå çàìêíóòîãî øàðà S r (x0 ) â X , äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà α, α < 1 òàêàÿ, ÷òî äëÿ x, y ∈ S r (x0 ) âûïîëíÿåòñÿ: 1) ρ(f (x), f (y)) 6 αρ(x, y); 2) ρ(f (x0 ), x0 ) 6 (1 − α)r. 7.2. Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì 72 Äîêàæèòå, ÷òî îòîáðàæåíèå f èìååò â øàðå S r (x0 ) åäèíñòâåííóþ íåïîäâèæíóþ òî÷êó. Çàäà÷à 7.4. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå îòðåçêà â ñåáÿ èìååò íåïîäâèæíóþ òî÷êó. 7.2 Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì Ïðèìåð 7.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (t) îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè, è äëÿ ëþáîãî t ∈ R âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: |f 0 (t)| 6 λ < 1. Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ f (t) = t. Äîêàçàòåëüñòâî. Âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿ R ñî ñòàíäàðòíîé ìåòðèêîé ρ(x, y) = |x − y| ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Äîêàæåì, ÷òî â óñëîâèÿõ ïðèìåðà f : R → R ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì îòîáðàæåíèåì. Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà ρ(f (t1 ), f (t2 )) = |f (t1 ) − f (t2 )| = |f 0 (ξ)||t1 − t2 |, ãäå ξ ∈ (t1 , t2 ). Òîãäà, ïî óñëîâèþ, |f (t1 ) − f (t2 )| 6 λ|t1 − t2 | Òàê êàê λ < 1, òî f ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå. Ïî ïðèíöèïó ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ f (t) = t. Çàäà÷à 7.5. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (t) îïðåäåëåíà è äèôôåðåíöèðóåìà íà âñåé âåùåñòâåííîé îñè, è äëÿ ëþáîãî t ∈ R âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî: |f 0 (t)| > λ > 1. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ f (t) = t. Ïðè èññëåäîâàíèè êîíêðåòíûõ óðàâíåíèé, êàê ïðàâèëî, íå çàäàíà îïåðàòîðíàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ x = Ax è íå çàäàíî ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì 7.2. Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì 73 ðàññìàòðèâàåòñÿ óðàâíåíèå. Ïðèâåäåíèå ê óêàçàííîé îïåðàòîðíîé ôîðìå ìîæíî îñóùåñòâèòü ìíîãèìè ñïîñîáàìè, è îò ýòîãî âûáîðà çàâèñèò óäà÷íîå ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. Îò âûáîðà îïåðàòîðà A çàâèñèò, âîçìîæíî, ïåðâîíà÷àëüíûé âûáîð ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå îïåðàòîð A ïåðåâîäèò â ñåáÿ. Òðóäíî îæèäàòü, ÷òî îïåðàòîð A ñðàçó îêàæåòñÿ ñæèìàþùèì â ýòîì ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà ïðèõîäèòñÿ âûáèðàòü åãî ïîäïðîñòðàíñòâî, èíâàðèàíòíîå îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà A, íà êîòîðîì ýòîò îïåðàòîð ñæèìàþùèé. Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå íà ïðîñòîì ïðèìåðå. Ïðèìåð 7.3. Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ íà [0, 1] ôóíêöèÿ x(t), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ: x(t) − e−x(t) = sin(t). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â âèäå x(t) = e−x(t) + sin(t). (7.2) Ââåäåì îïåðàòîð (Ax)(t) = e−x(t) + sin(t) è áóäåì ðàññìàòðèâàòü åãî â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1]. Îöåíèì ρ(Ax1 , Ax2 ) = max |Ax1 (t) − Ax2 (t)|. t∈[0,1] Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà î êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèÿõ èìååì |Ax1 (t) − Ax2 (t)| = e−ξ(t) |x1 (t) − x2 (t)|, ãäå ξ(t) íåêîòîðàÿ ïðîìåæóòî÷íàÿ òî÷êà ìåæäó x1 (t) è x2 (t). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð A íå ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì íà âñåì ïðîñòðàíñòâå C[0, 1]. Òàê êàê ρ(Ax1 , Ax2 ) 6 max e−ξ(t) ρ(x1 , x2 ), t∈[0,1] òî ïðè ëþáîì δ > 0 íà ìíîæåñòâå Xδ = {x(t) ∈ [0, 1], x(t) > δ} 7.2. Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì 74 äëÿ îïåðàòîðà A âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ñæèìàåìîñòè. Îäíàêî, âèäíî, ÷òî Xδ íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðà A ìíîæåñòâîì. Ïîïðîáóåì óêàçàòü çàìêíóòîå ìíîæåñòâî èç ïðîñòðàíñòâà C[0, 1], êîòîðîå A ïåðåâîäèò â ñåáÿ. Çàìåòèì, ÷òî ïðè t ∈ [0, 1] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî sin(t) > 0. Òîãäà èç óðàâíåíèÿ (7.2) ñëåäóåò, ÷òî x(t) > 0. Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà, à òàêæå èç òîãî, ÷òî sin(t) 6 1 âûòåêàåò (Ax)(t) = e−x(t) + sin(t) 6 2. (7.3) Ñíîâà îáðàùàÿñü ê (7.2), ïîëó÷àåì x(t) 6 2. Ñëåäîâàòåëüíî, (Ax)(t) = e−x(t) + sin(t) > e−x(t) > e−2 . Îáîçíà÷èì (7.4) © ª X = x(t) ∈ [0, 1], e−2 6 x(t) 6 2 . Èç (7.2-7.3) ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð A ïåðåâîäèò ïðîñòðàíñòâî X â ñåáÿ. Òàê êàê C[0, 1] ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, X çàìêíóòî, òî X ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì â X : −2 ρ(Ax1 , Ax2 ) 6 e−e ρ(x1 , x2 ). Ïî ïðèíöèïó ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå â X ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Èç ïîñòðîåíèÿ ïðîñòðàíñòâà X ñëåäóåò, ÷òî äðóãèõ ðåøåíèé â C[0, 1] íåò. Çàäà÷à 7.6. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå 2tet = 1 (t ∈ R) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ýòî ðåøåíèå ëåæèò íà èíòåðâàëå (0, 1). Çàäà÷à 7.7. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ íà [0, 1] ôóíêöèÿ x(t), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ: x(t) − 0.5 sin(x(t)) + a(t) = 0, ãäå a(t) çàäàííàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.  ñëåäóþùåì ïðèìåðå è çàäà÷àõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé ê ñèñòåìàì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. 7.2. Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì 75 Ïðèìåð 7.4. Ïóñòü A : Rn → Rn ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå ñ ìàòðèöåé {aij } â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (Rn , ρ), ïðè÷åì 1) ρ = ρ∞ , 2) ρ = ρ1 , ρ∞ (x, y) = max |xk − yk |, ρ1 (x, y) = |xk − yk |, i max ρ2 (x, y) = ( n X |aij | < 1, i=1 )1/2 |xk − yk |2 |aij | < 1, j=1 n X j k=1 3) ρ = ρ2 , max 16k6n n X n X , n X |aij |2 < 1. i,j=1 k=1 Äîêàæåì: A ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ñëó÷àåâ i-àÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà Ax âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: (Ax)i = n X aij xj . j=1  ïåðâîì ñëó÷àå ¯ ¯ n ¯X ¯ ¯ ¯ ρ∞ (Ax, Ay) = max |(Ax)i − (Ay)i | = max ¯ aij (xj − yj )¯ . 16i6n 16i6n ¯ ¯ j=1 Òàê êàê ìîäóëü ñóììû íå ïðåâîñõîäèò ñóììû ìîäóëåé, òî ρ∞ (Ax, Ay) 6 max 16i6n n X |aij ||(xj − yj )|. j=1 Âûíåñåì èç-ïîä çíàêà ñóììû max |xj − yj |: 16j6n ρ∞ (Ax, Ay) 6 max 16i6n n X |aij | max |xj − yj | = αρ∞ (x, y), 16j6n j=1 ãäå α = max i n X |aij | < 1. j=1 Ñëåäîâàòåëüíî, A ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå â ìåòðèêå ρ∞ . 7.2. Ïðèìåíåíèå ê àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèÿì è ñèñòåìàì 76 Àíàëîãè÷íî îöåíèì ðàññòîÿíèå ìåæäó Ax, Ay â ìåòðèêå ρ1 : ¯ n ¯ n ¯X n X n ¯ X X ¯ ¯ ρ1 (Ax, Ay) = aij (xj − yj )¯ 6 |aij ||xj − yj |. ¯ ¯ ¯ i=1 j=1 i=1 j=1 Ïîìåíÿåì ìåñòàìè ñóììèðîâàíèå: ρ1 (Ax, Ay) 6 à n n X X j=1 Òîãäà ρ1 (Ax, Ay) 6 max n X j ! |aij | |xj − yj |. i=1 |aij | i=1 n X |xj − yj | = αρ1 (x, y). j=1 Òàê êàê α < 1, òî îòîáðàæåíèå A ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì â ìåòðèêå ρ1 . Òåïåðü îöåíèì ðàññòîÿíèå ìåæäó Ax, Ay â åâêëèäîâîé ìåòðèêå. ρ22 (Ax, Ay) = à n n X X i=1 !2 aij (xj − yj ) . j=1 Ê âíóòðåííåé ñóììå ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî: ρ22 (Ax, Ay) 6 n X n X a2ij i=1 j=1 n X (xj − yj )2 = α2 ρ22 (x, y). j=1 Òàê êàê ïî óñëîâèþ α < 1, òî îòîáðàæåíèå A ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì â ìåòðèêå ρ2 . Çàäà÷à 7.8. Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: äëÿ áåñêîíå÷íîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé xi = ∞ X aij xj + bi , i = 1, 2, . . . j=1 à) åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå sup j ∞ P i=1 |aij | < 1, òî äàííàÿ ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `1 äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè b = (b1 , b2 , . . .) ∈ `1 ; 7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì á) åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå sup i ∞ P j=1 77 |aij | < 1, òî äàííàÿ ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `∞ äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè b = (b1 , b2 , . . .) ∈ `∞ ; â) åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå ∞ P i,j=1 |aij | < 1, òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåí- íîå ðåøåíèå x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `2 äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè b = (b1 , b2 , . . .) ∈ `2 . Çàäà÷à 7.9. Ïóñòü λk , k = 1, 2, . . . m - ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû A è λk 6= 1. Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ xn = Axn−1 + y ñõîäÿòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé x − Ax = y ïðè ëþáîì íà÷àëüíîì ïðèáëèæåíèè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |λk | < 1, k = 1, 2, . . . m. 7.3 Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì Óðàâíåíèå âèäà Zb x(t) = K(t, s)x(s)ds + f (t) (7.5) a íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà. Ôóíêöèè f (t) è K(t, s) ïðåäïîëàãàþòñÿ èçâåñòíûìè, x(t) íåèçâåñòíîé, K(t, s) íàçûâàåòñÿ ÿäðîì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà K(t, s) = 0 ïðè s > t, ïîëó÷àåòñÿ èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Âîëüòåððà âòîðîãî ðîäà: Zt x(t) = K(t, s)x(s)ds + f (t). a (7.6) 7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì 78 Åñëè f = 0, òî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì, åñëè f 6= 0 íåîäíîðîäíûì. ßäðî âèäà n X K(t, s) = Pj (t)Qj (s) j=1 íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííûì. Ëèíåéíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ñ âûðîæäåííûì ÿäðîì ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ â ïðîñòðàíñòâàõ C[a, b] è Lp (a, b). Ïðèìåð 7.5. Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà: Z1 t2 sx(s)ds + t x(t) = λ (7.7) 0 ñ ïàðàìåòðîì λ. Ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ x(t) áóäåì òðàêòîâàòü êàê íåïîäâèæíóþ òî÷êó îïåðàòîðà A, äåéñòâóþùåãî ïî ïðàâèëó: Z1 t2 sx(s)ds + t. Ax(t) = λ (7.8) 0 Ïóñòü ñíà÷àëà îïåðàòîð A äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1]. Îí ïåðåâîäèò ïðîñòðàíñòâî â ñåáÿ. Âûÿñíèì, ïðè êàêèõ λ ïðèìåíèì ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé. Ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà "ìîäóëü èíòåãðàëà íå ïðåâîñõîäèò èíòåãðàëà ìîäóëÿ"è òåîðåìû ñðàâíåíèÿ äëÿ èíòåãðàëîâ îöåíèì ðàññòîÿíèå ìåæäó Ax è Ay â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1]. Z1 t2 s(x(s) − y(s))ds| 6 ρ(Ax, Ay) = max |λ t∈[0,1] 0 Z1 t2 s|x(s) − y(s)|ds 6 6 max |λ| t∈[0,1] 0 Z1 t2 sds max |x(s) − y(s)| = 6 |λ| max t∈[0,1] t∈[0,1] 0 |λ| ρ(x, y) 2 7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì 79 Èòàê, êîíñòàíòà ñæèìàåìîñòè α = |λ|/2, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè |λ| < 2 ïðèìåíèì ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1]. Ïóñòü òåïåðü îïåðàòîð A äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå L2 (0, 1). Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå êâàäðàòà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó Ax è Ay â L2 (0, 1): Z1 |λ|2 ρ2 (Ax, Ay) = 0 Z1 0 t2 s(x(s) − y(s))ds dt = 0 2 Z1 t4 dt =|λ|2 2 Z1 s(x(s) − y(s))ds dt = 0 2 |λ| 5 2 Z1 s(x(s) − y(s))ds 0 Òåïåðü ê èíòåãðàëó ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî: |λ|2 ρ2 (Ax, Ay) 6 5 Z1 s2 dsρ2 (x, y) 0 Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà è èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿ ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé îöåíêå: |λ| ρ(Ax, Ay) 6 √ ρ(x, y), 15 √ èç êîòîðîé âûòåêàåò, ÷òî ïðè |λ| < 15 ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ (7.7) ïðèìåíèì ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé â ïðîñòðàíñòâå L2 (0, 1). Íàéäåì òî÷íîå ðåøåíèå èñõîäíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ âûðîæäåííûì ÿäðîì. Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (7.7) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: x(t) = λt2 a + t, (7.9) ãäå ÷åðåç a îáîçíà÷åíî âûðàæåíèå: Z1 a= sx(s)ds. 0 ×òîáû ïîëó÷èòü a â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7.9), óìíîæèì åãî íà t è ïðîèíòåãðèðóåì: Z1 Z1 t3 dt + a = λa 0 t2 dt. 0 7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì 80 Âû÷èñëèâ èíòåãðàëû, íàõîäèì a: 1 1 a = λa + , 4 3 a= 4 . 3(4 − λ) Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â (7.9), íàõîäèì ðåøåíèå: x(t) = 4λ t2 + t. 3(4 − λ) Èòàê, äëÿ ëþáîãî λ 6= 4 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.7). Äëÿ λ = 0, 5 ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé íàéäåì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1] ñ òî÷íîñòüþ 0, 01. Èòåðàöèè íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå: 1 xn = 2 Z1 t2 sxn−1 (s)ds + t 0 Ïîãðåøíîñòü îöåíèì ïî ôîðìóëå (7.1): 4 ρ(xn , x∗ ) 6 3 µ ¶n 1 ρ(x0 , x1 ) 6 0, 01. 4 Âûáåðåì â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ x0 = 0. Òîãäà x1 = t, ρ(x0 , x1 ) = 1, è äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ äîñòàòî÷íî n = 4 èòåðàöèé. 9 2 73 2 t + t è x4 = t + t. 48 384 4 4 73 Òî÷íîå ðåøåíèå èìååò âèä: x∗ = t2 + t è ρ(x4 , x∗ ) = − ≈ 0, 0004. 21 21 384 Äàëåå íàõîäèì ïîñëåäîâàòåëüíî x2 = t, x3 = Çàäà÷à 7.10. Ïðè êàêèõ λ ïðèìåíèì ïðèíöèï ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé ê ñëåäóþùèì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì âòîðîãî ðîäà: R1 1) x(t) = λ ts2 x(s)ds + 1; Z1 0 R1 3) x(t) = λ t2 s2 x(s)ds + t3 ; 0 e(t−s) x(s)ds + 1; 2) x(t) = λ 0 Z1 4) x(t) = λ cos(π(t − s))x(s)ds + 1. 0 7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì 81 à) â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1], á) â ïðîñòðàíñòâå L2 [0, 1]? Ïðè λ = 0, 5 íàéòè ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ðåøåíèå ñ òî÷íîñòüþ äî 0, 01 è ñðàâíèòü åãî ñ òî÷íûì ðåøåíèåì. Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì óòâåðæäåíèÿ î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà â îáùåì âèäå. Ïðèìåð 7.6. Äîêàæåì: åñëè ÿäðî K(t, s) íåïðåðûâíî è Zb |K(t, s)|ds 6 d < 1, a òî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà Zb x(t) = K(t, s)x(s)ds + f (t) a èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f (t). Äîêàçàòåëüñòâî. ×åðåç A îáîçíà÷èì îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé ïî ïðàâèëó Zb Ax(t) = K(t, s)x(s)ds + f (t). a Òîãäà èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà ïðèíèìàåò âèä x = Ax, è åãî ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ A. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îïåðàòîð A â ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå C[a, b]. Òàê êàê ôóíêöèè K(t, s) è f (t) íåïðåðûâíû, òî îïåðàòîð A îòîáðàæàåò ïðîñòðàíñòâî C[a, b] â ñåáÿ: A : C[a, b] → C[a, b]. Äîêàæåì, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì â ýòîì ïðîñòðàíñòâå. Îöåíèì ðàññòîÿíèå ìåæäó Ax, Ay : ¯ b ¯ ¯Z ¯ Zb ¯ ¯ ρ(Ax, Ay) = max ¯¯ K(t, s)(x(s) − y(s))ds¯¯ 6 max |K(t, s)||x(s)−y(s)|ds. t∈[a,b] ¯ ¯ t∈[a,b] a a 7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì 82 Âûíåñåì èç-ïîä çíàêà èíòåãðàëà ìàêñèìóì âòîðîãî ñîìíîæèòåëÿ Zb ρ(Ax, Ay) 6 max |x(s) − y(s)| max s∈[a,b] |K(t, s)|ds. t∈[a,b] a Îêîí÷àòåëüíî, Zb ρ(Ax, Ay) 6 max |K(t, s)|dsρ(x, y). t∈[a,b] a Òàê êàê ïî óñëîâèþ Zb max |K(t, s)|ds 6 d < 1, t∈[a,b] a òî A ñæèìàþùåå îòîáðàæåíèå. Ïî ïðèíöèïó ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé, ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ äîêàçàíû. Çàäà÷à 7.11. Ïóñòü K(x, t, s) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ òðåõ ïåðåìåííûõ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïî x óñëîâèþ Ëèïøèöà: |K(x1 , t, s) − K(x2 , t, s)| 6 L|x1 − x2 |. Ïðè êàêèõ λ íåëèíåéíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Zb x(t) = λ K(x(s), t, s)ds + f (t) a èìååò íåïðåðûâíîå ðåøåíèå íà îòðåçêå [a, b] [9, c. 95]? Çàäà÷à 7.12. Äîêàæèòå: åñëè ÿäðî èçìåðèìî è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ: Zb Zb |K(t, s)|2 dtds < 1, a a òî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà (7.5) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x ∈ L2 (a, b) äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f (t) ∈ L2 (a, b). 7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì 83 Çàäà÷à 7.13. Ïóñòü A èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð Âîëüòåððà Zt Ax(t) = (7.10) K(t, s)x(s)ds, a K(t, s) íåïðåðûâíî. Äîêàçàòü: ñóùåñòâóåò ÷èñëî m òàêîå, ÷òî Am ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì îòîáðàæåíèåì â C[a, b], è, çíà÷èò, äëÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Âîëüòåððà âòîðîãî ðîäà (7.6) ñïðàâåäëèâà òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ [9, ñ. 96]. Çàäà÷à 7.14.  ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé ââåäåì ìåòðèêó ïî ïðàâèëó: ρβ (x, y) = max |x(t) − y(t)|e−βt . t∈[a,b] Äîêàæèòå: ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ β èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð Âîëüòåððà (7.10) ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ρβ .  ñëåäóþùèõ çàäà÷àõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà ñæèìàþùèõ îòîáðàæåíèé äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè. Çàäà÷à 7.15. Ïóñòü ôóíêöèÿ f îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà â íåêîòîðîé îáëàñòè G ⊂ R2 , ñîäåðæàùåé òî÷êó (x0 , y0 ), è óäîâëåòâîðÿåò â ýòîé îáëàñòè óñëîâèþ Ëèïøèöà ïî y : |f (x, y1 ) − f (x, y2 )| 6 M |y1 − y2 |. Äîêàçàòü, ÷òî íà íåêîòîðîì ñåãìåíòå |x − x0 | 6 d ñóùåñòâóåò, è ïðèòîì òîëüêî îäíî, ðåøåíèå y = ϕ(x) çàäà÷è Êîøè: y 0 (x) = f (x, y), y(x0 ) = y0 . [9, c. 92]. Çàäà÷à 7.16. Ïóñòü äàíà ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé yi0 (x) = fi (x, y1 (x), y2 (x), . . . yn (x)), i = 1 . . . n. 7.3. Ïðèìåíåíèå ê èíòåãðàëüíûì è äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè yi (x0 ) = y0i , 84 i = 1 . . . n, ïðè÷åì ôóíêöèè fi îïðåäåëåíû è íåïðåðûâíû â íåêîòîðîé îáëàñòè G ⊂ Rn+1 , ñîäåðæàùåé òî÷êó (x0 , y01 , . . . y0n ), è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ëèïøèöà (1) (1) (2) (2) |fi (x, y1 , . . . , yn(1) ) − fi (x, y1 , . . . , yn(2) )| 6 M max |yi − yi |. 16i6n Äîêàçàòü, ÷òî íà íåêîòîðîì ñåãìåíòå |x − x0 | 6 d ñóùåñòâóåò, è ïðèòîì òîëüêî îäíî, ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè [9, c. 93]. Ãëàâà 8 Ëèíåéíûå íîðìèðîâàííûå ïðîñòðàíñòâà 8.1 Áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà Îïðåäåëåíèå 8.1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàä ïîëåì R èëè C íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì, åñëè îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ k·k : X 7−→ R, íàçûâàåìàÿ íîðìîé è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì àêñèîìàì: 1. kxk > 0, ïðè÷åì kxk = 0 ⇔ x = 0; 2. kαxk = |α|kxk ∀x ∈ X, ∀α ∈ R(èëè C); 3. kx + yk 6 kxk + kyk ∀x, y ∈ X. Êàæäîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî ìåòðèêè ρ(x, y) = kx − yk. Çàäà÷à 8.1. Ïðèâåäèòå ïðèìåð ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå à) íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì; á) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì, íî íå ÿâëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûì. Îïðåäåëåíèå 8.2. Ïîëíîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ áàíàõîâûì. Ïðèìåð 8.1. C[a, b] ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé ñ ìàêñèìóì-íîðìîé: kf k = max |f (t)| t∈[a,b] ÿâëÿåòñÿ áàíàõîâûì ïðîñòðàíñòâîì. (8.1) 8.2. Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà 86 Åãî ìîæíî ïðåâðàòèòü â íåïîëíîå ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ëèáî óäàëèâ äîñòàòî÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ è îñòàâèâ ïðåæíþþ íîðìó, ëèáî îïðåäåëèâ íà âñåì ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íîðìó ïîäðóãîìó. Íàïðèìåð, ÷åðåç P [a, b] îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñ íîðìîé (8.1). Ñîãëàñíî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ëþáóþ íåïðåðûâíóþ íà îòðåçêå ôóíêöèþ ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü ìíîãî÷ëåíàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, P [a, b] íåïîëíîå ïðîñòðàíñòâî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ñ èíòåãðàëüíîé íîðìîé Zb kf k1 = |f (t)|dt a ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì ïðîñòðàíñòâîì. Îáîçíà÷èì åãî R1 [a, b] (ýòî îáîçíà÷åíèå, â îòëè÷èå îò C[a, b], íå ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì). Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåïîëíîòà ïðîñòðàíñòâà R2 [a, b] ìíîæåñòâà íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé ñ èíòåãðàëüíîé íîðìîé b Z kf k2 = |f (t)|2 dt 1/2 . a 8.2 Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà Îïðåäåëåíèå 8.3. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X íàä ïîëåì C íàçûâàåòñÿ ïðåäãèëüáåðòîâûì, åñëè îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ (, ) : X × X 7−→ C, íàçûâàåìàÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì è óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñëåäóþùèì àêñèîìàì: 1. (x, x) > 0, ïðè÷åì (x, x) = 0 ⇔ x = 0; 2. (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z); 3. (x, y) = (y, x); ∀x, y, z ∈ X , ∀α, β ∈ C, ÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå. 8.2. Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà 87 Êàæäîå ïðåäãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì îòíîñèòåëüíî íîðìû kxk = p (x, x). Çàäà÷à 8.2. Äîêàæèòå, ÷òî âî âñÿêîì ïðåäãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî [11, c. 85], [9, c. 167]: |(x, y)|2 6 (x, x)(y, y). (8.2) Çàäà÷à 8.3. Êàæäîå ïðåäãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íîðìèðîâàííûì îòíîñèòåëüíî íîðìû: p kxk = (x, x). (8.3) Èç (8.2), (8.3) ñëåäóåò, ÷òî íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: (8.4) |(x, y)| 6 kxkkyk. Âî âñÿêîì ïðåäãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî îïðåäåëèòü íå òîëüêî íîðìó (òî åñòü äëèíó) âåêòîðà, íî è óãîë ìåæäó âåêòîðàìè. Óãîë ϕ ìåæäó âåêòîðàìè x è y íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå: cos ϕ = (x, y) . kxkkyk (8.5) Èç (8.5) ñëåäóåò, ÷òî îðòîãîíàëüíîñòü âåêòîðîâ åñòåñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ðàâåíñòâî íóëþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 8.4. Ïîëíîå ïðåäãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ãèëüáåðòîâûì. Ïðèìåð 8.2. Ïðèìåðàìè ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé `2 : ¯∞ ( ¯X ¯ `2 = x = (x1 , x2 , ...) ¯ |xi |2 < ∞, ¯ i=1 (x, y) = ∞ X ) xi y i , i=1 ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé L2 (a, b): ¯ b ¯Z Zb ¯ 2 ¯ L2 (a, b) = f (t) − èçìåðèìà ¯ |f (t)| dt < ∞, (f, g) = f (t)g(t)dt . ¯ a a 8.2. Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà 88 À ïðîñòðàíñòâî R2 [a, b] ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì Zb (f, g) = f (t)g(t)dt a ïðåäãèëüáåðòîâî, íî íå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî.  ñëåäóþùèõ óòâåðæäåíèÿõ H ïðåäãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, ïîëíîòà ðîëè íå èãðàåò. Çàäà÷à 8.4. 1) Ñëîæåíèå â H íåïðåðûâíî. 2) Óìíîæåíèå íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà íåïðåðûâíî. Çàäà÷à 8.5. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íåïðåðûâíî îòíîñèòåëüíî ñõîäèìîñòè ïî íîðìå [11, c. 86]. Çàäà÷à 8.6.  âåùåñòâåííîì ïðåäãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòû x è y îðòîãîíàëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà kx + yk2 = kxk2 + kyk2 . n X xk . Çàäà÷à 8.7. Ïóñòü x1 , x2 , . . . xn - îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà â H , x = Äîêàçàòü, ÷òî kxk2 = n X k=1 kxk k2 . k=1 Çàäà÷à 8.8. Ïóñòü xn , yn ïðèíàäëåæàò çàìêíóòîìó åäèíè÷íîìó øàðó S 1 (0) â H è (xn , yn ) → 1 ïðè n → ∞. Äîêàçàòü, ÷òî kxn − yn k → 0 ïðè n → ∞. Çàäà÷à 8.9. Äîêàæèòå, ÷òî âî âñÿêîì ïðåäãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî ïàðàëëåëîãðàììà: kx − yk2 + kx + yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ). Çàäà÷à 8.10. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîì âåøåñòâåííîì íîðìèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå, â êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ ýòî òîæäåñòâî, ìîæíî ââåñòè òàêîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ÷òî áóäåò ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: kxk2 = (x, x) [9, c. 188]. 8.2. Ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà 89 Ïðèìåð 8.3. Äîêàæåì: â C[a, b] íåëüçÿ ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ñîãëàñóþùååñÿ ñ íîðìîé ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. h πi Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ C 0, . Óêàæåì òàêèå 2 h πi ýëåìåíòû x, y ∈ C 0, , äëÿ êîòîðûõ íå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî ïàðàë2 ëåëîãðàììà. Ïóñòü x(t) = cos t, y(t) = sin t. Òîãäà kxk = max | cos(t)| = 1; π t∈[0, ] 2 kyk = max | sin(t)| = 1, π t∈[0, ] 2 íî kx−yk = max | cos(t)−sin(t)| = 1; π t∈[0, ] 2 kx+yk = max | cos(t)+sin(t)| = π t∈[0, ] 2 √ 2. Ñëåäîâàòåëüíî, kx − yk2 + kx + yk2 6= 2(kxk2 + kyk2 ). h πi Òîæäåñòâî ïàðàëëåëîãðàììà íå âûïîëíÿåòñÿ â C 0, , ïîýòîìó ñêàëÿð2 íîå ïðîèçâåäåíèå, ñîãëàñîâàííîå ñ íîðìîé äàííîãî ïðîñòðàíñòâà, ââåñòè íåëüçÿ. Çàäà÷à 8.11. Äîêàæèòå: â `p ïðè p 6= 2 íåëüçÿ ââåñòè ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, ñîãëàñóþùååñÿ ñ íîðìîé ýòèõ ïðîñòðàíñòâ [9, c. 190]. Ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâà ïàðàëëåëîãðàììà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâà Lp (a, b) ïðè p 6= 2 íå ÿâëÿþòñÿ ãèëüáåðòîâûìè. Çàäà÷à 8.12. Ïðèâåäèòå ïðèìåð íåïîëíîãî ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå à) íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäãèëüáåðòîâûì; á) ÿâëÿåòñÿ ïðåäãèëüáåðòîâûì. Çàäà÷à 8.13. Ïðèâåäèòå ïðèìåð áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå à) íå ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì; á) ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì. 8.3. Ýêâèâàëåíòíûå íîðìû 90 Ðèñ. 8.1: Måòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà Ñâÿçü ìåæäó ìåòðè÷åñêèì, ëèíåéíûìè íîðìèðîâàííûìè, áàíàõîâûìè, ïðåäãèëüáåðòîâûìè è ãèëüáåðòîâûìè ïðîñòðàíñòâàìè èëëþñòðèðóåò Ðèñ.1. 8.3 Ýêâèâàëåíòíûå íîðìû Îïðåäåëåíèå 8.5. Äâå íîðìû k · k1 , k · k2 íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå C1 , C2 > 0 òàêèå, ÷òî C1 kxk1 6 kxk2 6 C2 kxk1 ∀x ∈ X. Çàäà÷à 8.14. Íà Rn âñå íîðìû ýêâèâàëåíòíû. Çàäà÷à 8.15. Ïóñòü X ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî. Äîêàæèòå, ÷òî íîðìû sup(kx1 k, kx2 k), kx1 k + kx2 k, ¡ ¢1/2 kx1 k2 + kx2 k2 ýêâèâàëåíòíû íà X × X . Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê áåñêîíå÷íîìåðíîìó ñëó÷àþ: Çàäà÷à 8.16. Ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé íå ïîëíî ïî íîðìå Zb kxk1 = |x(t)|dt. a 8.4. Ïîäïðîñòðàíñòâî 91 Çàäà÷à 8.17. Íîðìû Zb kxk = max |x(t)| è kxk1 = |x(t)|dt t∈[a,b] a íå ýêâèâàëåíòíû íà ìíîæåñòâå íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. 8.4 Ïîäïðîñòðàíñòâî Îïðåäåëåíèå 8.6. Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ L ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà X íàä ïîëåì R (èëè C) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì, åñëè ∀α, β ∈ R (èëè C) ∀x, y ∈ X : x, y ∈ L ⇒ αx + βy ∈ L. Îïðåäåëåíèå 8.7. Ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà X íàçûâàåòñÿ ïîäìíîæåñòâî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì. Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ î êîíå÷íîìåðíûõ ïðîñòðàíñòâàõ: Çàäà÷à 8.18. Rn ïîëíî. Çàäà÷à 8.19. Êîíå÷íîìåðíîå ïîäìíîæåñòâî ëèíåéíîãî íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà, ÿâëÿþùååñÿ ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì, çàìêíóòî (ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì). Ïðèìåð 8.4. Ïîêàæåì, ÷òî ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà [a, b] ôóíêöèé C 1 [a, b] íå çàìêíóòî â C[a, b] è, ñëåäîâàòåëüíî, C 1 [a, b] íå ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì C[a, b]. Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïðèâåñòè ïðèìåð ïðåäåëüíîé òî÷êè ìíîæåñòâà C 1 [a, b], êîòîðàÿ ïðèíàäëåæèò C[a, b], íî íå ïðèíàäëåæèò C 1 [a, b]. Òî åñòü äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà C 1 [a, b], êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ â C[a, b], íî ïðåäåë íå ïðèíàäëåæèò C 1 [a, b]. ¯ ¯ ¯ ¯ a + b ¯ ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà C[a, b], êîòîðûé Âîçüìåì x∗ (t) = ¯¯t − 2 ¯ íå ïðèíàäëåæèò C 1 [a, b]. Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà, ëþáóþ íåïðåðûâíóþ 8.4. Ïîäïðîñòðàíñòâî 92 íà îòðåçêå ôóíêöèþ ìîæíî ðàâíîìåðíî ïðèáëèçèòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà C 1 [a, b], ñõîäÿùàÿñÿ ê x∗ . Íî x∗ íå ïðèíàäëåæèò C 1 [a, b]. Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Çàäà÷à 8.20. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ïîëèíîìîâ ñ ìàêñèìóìíîðìîé íå ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì C[a, b], à ìíîæåñòâî ïîëèíîìîâ îãðàíè÷åííîé ñòåïåíè ñ ìàêñèìóì-íîðìîé ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì C[a, b]. Ãëàâà 9 Êîìïàêòíîñòü â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ 9.1 Îòíîñèòåëüíàÿ êîìïàêòíîñòü è îãðàíè÷åííîñòü Ïóñòü (X, ρ) ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Îïðåäåëåíèå 9.1. Ìíîæåñòâî M ⊂ X íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì, åñëè îíî ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì øàðå. Îïðåäåëåíèå 9.2. Ìíîæåñòâî M ⊂ X íàçûâàåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì, åñëè èç ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åãî ýëåìåíòîâ ìîæíî èçâëå÷ü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Åñëè ïðåäåë ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðèíàäëåæèò M , òî M íàçûâàåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ýòî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîå è çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì êîìïàêòíîñòè, äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. Çàäà÷à 9.1. Çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî êîìïàêòíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà êîìïàêòíî. Çàäà÷à 9.2. Êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ïîëíî. Òàêèì îáðàçîì, êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ýòî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîå è ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïðè èññëåäîâàíèè êîìïàêòíîñòè êîíå÷íîìåðíûé è áåñêîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àè ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà. 9.1. Îòíîñèòåëüíàÿ êîìïàêòíîñòü è îãðàíè÷åííîñòü 94 Ïðèìåð 9.1. Ïóñòü X = Rn ñ ëþáîé èç ìåòðèê ρp à ρp (x, y) = n X !1/p |xi − yi |p , 1 6 p < ∞. i=1 Èç òåîðåìû Áîëüöàíî-Âåéåðøòðàññà ñëåäóåò, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ êîìïàêòíîñòü ìíîæåñòâà â êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå ðàâíîñèëüíà îãðàíè÷åííîñòè. Ñîîòâåòñòâåííî, êîìïàêòíîñòü ýòî îãðàíè÷åííîñòü è çàìêíóòîñòü.  áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå ýòî íå òàê. Èç îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü, îáðàòíîå íåâåðíî. Çàäà÷à 9.3. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì. Çàäà÷à 9.4. Ïîñòðîéòå îòðèöàíèå îïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè. Ïðèâåäåì ïðèìåð îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà â áåñêîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì. Ïðèìåð 9.2. Äîêàæåì, ÷òî çàìêíóòûé åäèíè÷íûé øàð S 1 (0) â ïðîñòðàíñòâå `2 íå ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ, ¯ ( Ã∞ !1/2 ) ¯ X ¯ S 1 (0) = x ∈ `2 ¯¯ρ2 (x, 0) = |xi |2 61 ¯ i=1 Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áàçèñíûõ âåêòîðîâ {en }∞ n=1 : e1 = (1, 0, 0, e2 .. . = .. . en = .. . .. . (0, .. . 0, 1, 0, 0, .. .. .. . . . (0, 0, . . . , |{z} 1 , n .. .. .. .. . . . . 0, . . .); 0, . . .); .. .. . . 0, . . .); .. . .. . 9.2. Êðèòåðèé Õàóñäîðôà 95 Î÷åâèäíî, ÷òî {en } ∈ S 1 (0). Òàê êàê ïðè n 6= m, n, m → ∞ ρ(en , em ) = √ 2 6→ 0, òî èç äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåëüçÿ âûäåëèòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. 9.2 Êðèòåðèé Õàóñäîðôà Îïðåäåëåíèå 9.3. Ìíîæåñòâî M íàçûâàåòñÿ ε-ñåòüþ äëÿ ìíîæåñòâà N , åñëè äëÿ ëþáîãî ýëåìåíòà n ∈ N íàéäåòñÿ ýëåìåíò m ∈ M òàêîé, ÷òî ρ(m, n) < ε. 1 ïîñòðîéòå 2 ε-ñåòü, ñîñòîÿùóþ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, äëÿ êâàäðàòà Çàäà÷à 9.5. Ïóñòü X = R2 ñ åâêëèäîâîé ìåòðèêîé.Ïðè ε = K= © x ∈ R2 |0 6 xi 6 1, i = 1, 2 ª Òåîðåìà 6 (Êðèòåðèé Õàóñäîðôà). Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìíîæåñòâî M èç X áûëî îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì, íåîáõîäèìî, à â ñëó÷àå ïîëíîòû X è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîãî ε > 0 ó ìíîæåñòâà M ñóùåñòâîâàëà ε-ñåòü, ñîñòîÿùàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Çàäà÷à 9.6. Ïóñòü M êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (X, ρ). Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ìíîæåñòâî M ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå M= n [ Fi , i=1 ãäå Fi çàìêíóòûå ìíîæåñòâà è äëÿ i = 1, 2, . . . n diamFi < ε (diamFi = sup ρ(x, y)). x,y∈Fi 9.3. Ãèëüáåðòîâ êèðïè÷ 96 9.3 Ãèëüáåðòîâ êèðïè÷ Íàøà öåëü ïðèâåñòè ïðèìåð îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå. Ïðåäâàðèòåëüíî äîêàæåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ïðèìåð 9.3. Ïóñòü (X, ρ) ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ó ìíîæåñòâà M ⊂ X ñóùåñòâóåò îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíàÿ ε-ñåòü. Òîãäà M îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü N îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíàÿ ε-ñåòü ìíîæåñòâà M . Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ ε-ñåòè, äëÿ ëþáîãî m ∈ M íàéäåòñÿ n ∈ N òàêîé, ÷òî ρ(m, n) < ε. Òàê êàê, ïî óñëîâèþ, N îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, òî, ñîãëàñíî êðèòåðèþ Õàóñäîðôà, ó ìíîæåñòâà N ñóùåñòâóåò ε-ñåòü L, ñîñòîÿùàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Òî åñòü äëÿ ëþáîãî n ∈ N íàéäåòñÿ ` ∈ L òàêîé, ÷òî ρ(n, `) < ε. Ïî íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà, äëÿ ëþáîãî ε > 0 ó ìíîæåñòâà M ñóùåñòâóåò 2ε-ñåòü L, ñîñòîÿùàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ: ρ(m, `) 6 ρ(m, n) + ρ(n, `) < 2ε. Òàê êàê, ïî óñëîâèþ, ïðîñòðàíñòâî X ïîëíî, òî èç ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîé ε-ñåòè ñëåäóåò îòíîñèòåëüíàÿ êîìïàêòíîñòü ìíîæåñòâà M . Ìíîæåñòâî K â ïðîñòðàíñòâå `2 ( K= ¯ ¯ 1 x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `2 ¯¯|xn | 6 n ) n∈N (9.1) áóäåì íàçûâàòü "ãèëüáåðòîâûì êèðïè÷îì". Ïðèìåð 9.4. Äîêàæåì, ÷òî ãèëüáåðòîâ êèðïè÷ ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì â ïðîñòðàíñòâå `2 . 9.3. Ãèëüáåðòîâ êèðïè÷ 97 Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíóþ ε-ñåòü. Çàìåòèì, ÷òî K ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì ìíîæåñòâîì: K ⊂ S R (0), ãäå v u∞ uX 1 R=t . 2 n i=1 Ïóñòü ìíîæåñòâî KN ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ ýëåìåíòîâ: N ïåðâûõ êîîðäèíàò êàæäîãî ýëåìåíòà èç K îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè, îñòàëüíûå ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè íóëþ ( KN = ¯ y N ∈ K ¯y N = (x1 , x2 , . . . , xN , 0, . . . , 0, . . .), x ∈ K ) Äîêàæåì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð N òàêîé, ÷òî KN ÿâëÿåòñÿ ε-ñåòüþ äëÿ ìíîæåñòâà K . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ íîìåð N òàêîé, ÷òî äëÿ êàæäîãî x ∈ K ìîæíî âûáðàòü y ∈ KN òàêîé, ÷òî ρ(x, y) < ε.  êà÷åñòâå òàêîãî ýëåìåíòà y âîçüìåì ýëåìåíò y N , ó êîòîðîãî N ïåðâûõ êîîðäèíàò ñîâïàäàþò ñ êîîðäèíàòàìè ýëåìåíòà x. Òîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó x è y N âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé: v u X u ∞ N ρ(x, y ) = t |xk |2 . k=N +1 Ðÿä â ïðàâîé ÷àñòè ìîæíî ðàâíîìåðíî îöåíèòü ÷èñëîâûì ðÿäîì, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îñòàòîê ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà. Ñëåäîâàòåëüíî, v v u X u X ∞ u ∞ 1 u 2 t |xk | 6 t < ε. k2 k=N +1 k=N +1 Ìíîæåñòâî KN îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî â `2 êàê îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â RN . Òàêèì îáðàçîì, îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíàÿ ε-ñåòü ìíîæåñòâà K ïîñòðîåíà è óòâåðæäåíèå ïðèìåðà äîêàçàíî. 9.4. Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ 98 1 ? Ìîæn íî ëè åãî íå ó÷èòûâàòü? ×òî ìîæíî ïîòðåáîâàòü âìåñòî íåãî? Çàäà÷à 9.7. Ãäå â äîêàçàòåëüñòâå èñïîëüçîâàíî óñëîâèå |xn | 6 Çàäà÷à 9.8. Ïðåäëîæèòå äðóãîé ñïîñîá çàäàíèÿ ãèëüáåðòîâà êèðïè÷à (9.1) â ïðîñòðàíñòâå `2 . Çàäà÷à 9.9. Ïðèâåäèòå ïðèìåð îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà â ïðîñòðàíñòâå `p ïðè p 6= 2 è äîêàæèòå åãî îòíîñèòåëüíóþ êîìïàêòíîñòü. Îáîáùåíèå äîêàçàòåëüñòâà îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè ãèëüáåðòîâà êèðïè÷à ïðèâîäèò ê êðèòåðèþ îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà â ïðîñòðàíñòâå `p . Çàäà÷à 9.10. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî M ýëåìåíòîâ x = (x1 , x2 , . . .) ∈ `p (p > 1) îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî îãðàíè÷åíî è ïî ëþáîìó ε > 0 íàéäåòñÿ n ∈ N òàêîé, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ M âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ∞ X |xk |p < ε k=n [11, c. 248]. 9.4 Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ Ïðèìåð 9.5. Äîêàæåì, ÷òî ïðè íåïðåðûâíîì îòîáðàæåíèè îáðàç êîìïàêòíîãî ïðîñòðàíñòâà êîìïàêòåí. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü (X, ρ) êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Îòîáðàæåíèå f : X → X íåïðåðûâíî. Äîêàæåì, ÷òî f (X) êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü yn ∈ f (X). Òîãäà ∀yn íàéäåòñÿ xn ∈ X òàêîé, ÷òî f (xn ) = yn .  ñèëó êîìïàêòíîñòè ïðîñòðàíñòâà (X, ρ) íàéäåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü xnk , ñõîäÿùàÿñÿ ê íåêîòîðîìó 9.4. Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ 99 ýëåìåíòó x ∈ X : ∃xnk : ρ(xnk , x) → 0 ïðè k → ∞. (9.2) Ïóñòü ynk = f (xnk ).  ñèëó íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ f èç (9.2) ñëåäóåò, ÷òî ρ(f (xnk ), f (x)) → 0 ïðè k → ∞. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè yn íàéäåòñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ynk òàêàÿ, ÷òî ρ(ynk , y) → 0 ïðè k → ∞, ïðè÷åì y = f (x) ∈ f (X). Çàäà÷à 9.11. ßâëÿåòñÿ ëè îáðàç îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíîãî ìíîæåñòâà ïðè íåïðåðûâíîì îòîáðàæåíèè îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì? Òåîðåìû Âåéåðøòðàññà î íåïðåðûâíûõ ôóíêöèÿõ íà îòðåçêå îáîáùàþòñÿ íà ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ â ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ. Çàäà÷à 9.12. Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f : X → R, îïðåäåëåííàÿ íà êîìïàêòíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X , îãðàíè÷åíà è äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà [11, c. 224]. Çàäà÷à 9.13. Ïóñòü X, Y ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà, X êîìïàêòíî è f : X → Y íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå. Äîêàæèòå, ÷òî f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíî. Íà îñíîâàíèè òåîðåì Âåéåðøòðàññà äîêàçûâàþòñÿ ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. Çàäà÷à 9.14. Ïóñòü M êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå (X, ρ). Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî x ∈ X íàéäåòñÿ òàêîé y ∈ M , ÷òî ρ(x, M ) = ρ(x, y). Çàäà÷à 9.15. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) áûëî êîìïàêòíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íà X áûëà îãðàíè÷åíà. 9.4. Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ 100 Òåïåðü ðàññìîòðèì íåïðåðûâíûé ôóíêöèîíàë íà ïðîñòðàíñòâå C[0, 1]. Èç ðåçóëüòàòà ñëåäóþùåé çàäà÷è âûòåêàåò, â ÷àñòíîñòè, ÷òî çàìêíóòûé åäèíè÷íûé øàð â ýòîì ïðîñòðàíñòâå íå ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì. Çàäà÷à 9.16. Ïðîâåðüòå, ÷òî îòîáðàæåíèå f : C[0, 1] → R, çàäàííîå ôîðìóëîé Z1/2 Z1 f (x) = x(t)dt − x(t)dt, 0 1/2 íåïðåðûâíî. Ïîêàæèòå, ÷òî òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü åãî çíà÷åíèé íà çàìêíóòîì åäèíè÷íîì øàðå S 1 (0) ðàâíà 1, íî ýòà ãðàíü íå äîñòèãàåòñÿ íè íà êàêîì ýëåìåíòå øàðà. Ïðèìåð 9.6. Ïóñòü (X, ρ) êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è îòîáðàæåíèå f : X → X óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ρ(f (x1 , x2 )) = ρ(x1 , x2 ). Äîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå f (x) = y ðàçðåøèìî ïðè ëþáîì y ∈ X . Êîðîòêî óòâåðæäåíèå ïðèìåðà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íåëüçÿ èçîìåòðè÷åñêè îòîáðàçèòü íà åãî ÷àñòü. Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì äâà ñïîñîáà äîêàçàòåëüñòâà. Ïåðâûé ñïîñîá. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f îñóùåñòâëÿåò îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà X íà åãî ÷àñòü M : íà f : X −→ M, M ⊂ X. Òîãäà îáðàç f ñîâïàäàåò ñ M f (X) = M è íàéäåòñÿ òî÷êà x0 ∈ X , x0 ∈ / M. Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê {xn } ∈ f (X) ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: xn = f (xn−1 ), n ∈ N. 9.4. Îòîáðàæåíèÿ íà êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâàõ 101 Òîãäà xn ∈ f (X) ïðè n > 1. Òàê êàê x1 = f (x0 ), x0 ∈ / f (X) è îòîáðàæåíèå f îñóùåñòâëÿåò èçîìåòðèþ, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Òàê êàê, ïî óñëîâèþ, ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) êîìïàêòíî, à îòîáðàæåíèå f íåïðåðûâíî, òî f (X) çàìêíóòîå ìíîæåñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî X\f (X) îòêðûòî. Ïîýòîìó èç òîãî, ÷òî x0 ∈ / M âûòåêàåò, ÷òî ∃ε > 0 : Sε (x) ∈ / f (X). ×òîáû ïðèéòè ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ äàííûì óòâåðæäåíèåì, ïîêàæåì, ÷òî â ëþáîé ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 íàéäåòñÿ ýëåìåíò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn , ïðèíàäëåæàùèé f (X). Äåéñòâèòåëüíî, ñ îäíîé ñòîðîíû, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn } ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) êîìïàêòíî, òî äëÿ ëþáîãî ε > 0 ó X ñóùåñòâóåò êîíå÷íàÿ ε-ñåòü. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðèíöèïîì ÿùèêîâ Äèðèõëå: åñëè â m ÿùèêàõ ëåæèò m + 1 ïðåäìåò, òî íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäèí ÿùèê, â êîòîðîì ëåæèò áîëåå îäíîãî ïðåäìåòà. Òîãäà, ïî ïðèíöèïó ÿùèêîâ Äèðèõëå, íàéäóòñÿ äâà ýëåìåíòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, êîòîðûå ïîïàäóò â îäíó ÿ÷åéêó ε-ñåòè: ∃k, ` : ρ(xk , x` ) < ε. Ïî ïîñòðîåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, ýòî íåðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå ∃k, ` : ρ(f (xk−1 ), f (x`−1 ) < ε.  ñâîþ î÷åðåäü, ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó ∃k, ` : ρ(xk−1 , x`−1 ) < ε. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïîñëå êîíå÷íîãî ÷èñëà øàãîâ íàéäåì ýëåìåíò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }, êîòîðûé ëåæèò â ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ρ(x0 , xk−` ) < ε ïðè k > `. Ïðîòèâîðå÷èå ïîëó÷åíî è óòâåðæäåíèå ïðèìåðà äîêàçàíî. 9.5. Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1] 102 Âòîðîé ñïîñîá. Ïóñòü x ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç X . Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {f n (x)}∞ n=1 . Ïóñòü {f nk (x)}∞ k=1 (nk < nk+1 ) ñõîäÿùàÿñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Íî òîãäà ρ(f nk (x), f nk+1 (x)) = ρ(x, f nk+1 −nk (x)) → 0 ïðè k → ∞. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî x ∈ f (X) ââèäó çàìêíóòîñòè f (X). Çàäà÷à 9.17. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè (X, ρ) êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è îòîáðàæåíèå f : X → X óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ρ(f (x1 ), f (x2 )) < ρ(x1 , x2 ) ïðè x1 6= x2 , òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà îòîáðàæåíèÿ f . Áóäåò ëè îòîáðàæåíèå f ñæèìàþùèì? 9.5 Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1] Îïðåäåëåíèå 9.4. Ìíîæåñòâî Φ íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [0, 1] ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííûì, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà R > 0, ÷òî ∀ϕ ∈ Φ∀t ∈ [0, 1] |ϕ(t)| 6 R. Îïðåäåëåíèå 9.5. Ìíîæåñòâî Φ ⊂ C[0, 1] íàçûâàåòñÿ ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíûì, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ϕ ∈ Φ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî |ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| < ε êàê òîëüêî |t1 − t2 | < δ. Òåîðåìà 7 (Êðèòåðèé Àðöåëà). Ìíîæåñòâî Φ ∈ C[0, 1] îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Φ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííî è ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíî. 9.5. Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1] 103 Ïðèìåð 9.7. Äîêàæåì äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè â C[0, 1]. Ìíîæåñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé òàêèõ, ÷òî ñàìè îíè ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû è èõ ïåðâûå ïðîèçâîäíûå ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû, îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî â C[0, 1]. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü M ( M= ) x ∈ C 1 [0, 1] | |x(t)| 6 B, |x0 (t)| 6 B1 ðàññìàòðèâàåìîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé. Î÷åâèäíî, ÷òî M ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâíîñòåïåííîé íåïðåðûâíîñòè ðàññìîòðèì ðàçíîñòü |x(t1 ) − x(t2 )|. Ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà |x(t1 ) − x(t2 )| = |x0 (ξ)||t1 − t2 |, ãäå ξ ∈ [t1 , t2 ]. Òîãäà, ïî óñëîâèþ |x(t1 ) − x(t2 )| 6 B1 |t1 − t2 |. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ = ε òàêîå, ÷òî èç B1 |t1 − t2 | < δ ñëåäóåò, ÷òî |x(t1 ) − x(t2 )| < ε. Çàäà÷à 9.18. Êàêèå èç ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíû â C[0, 1]? ( 1) M1 = ) x ∈ C[0, 1] | |x(t)| 6 B , ( 2) M2 = x ∈ C[0, 1] | |x(t)| 6 B, |x(t1 ) − x(t2 )| 6 L|t1 − t2 | ) 9.5. Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1] 104 Çàäà÷à 9.19. Ïóñòü M ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî ôóíêöèé â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1]. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî N ôóíêöèé âèäà Zt y(t) = x(τ )dτ, t ∈ [0, 1], 0 ãäå x(t) ∈ M , îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíî. Çàäà÷à 9.20. Äîêàæèòå, ÷òî øàð ïðîñòðàíñòâà C 1 [0, 1] ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì â ïðîñòðàíñòâå C[0, 1]. ßâëÿåòñÿ ëè îí êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì â C[0, 1]? Çàäà÷à 9.21. Ïîñòðîéòå îòðèöàíèå îïðåäåëåíèÿ ðàâíîñòåïåííîé íåïðåðûâíîñòè. Ïðèìåð 9.8. Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî tn , n = 1, 2, . . . íå ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûì â C[0, 1]. Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî äàííîå ìíîæåñòâî ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíî. Äîêàæåì, ÷òî îíî íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñòåïåííî íåïðåðûâíûì. Ïóñòü 1 ε = , δ ëþáîå ÷èñëî, ìåíüøåå åäèíèöû. Âîçüìåì 2 t1 = 1, t2 = 1 − δ. Òîãäà äëÿ ëþáîãî δ íàéäåòñÿ íîìåð N òàêîé, ÷òî µ δ x(t1 ) − x(t2 ) = 1 − 1 − 2 Äåéñòâèòåëüíî, äîñòàòî÷íî âûáðàòü " N> 1 2 ¶N > 1 2 # ln + 1, ln(1 − δ) ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàäà÷à 9.22. ßâëÿþòñÿ ëè îòíîñèòåëüíî êîìïàêòíûìè ñëåäóþùèå 9.5. Êîìïàêòíîñòü â C[0, 1] 105 ìíîæåñòâà â C[0, 1]? 1) (at)n n = 1, 2, . . . ; 2) sin(nt) n = 1, 2, . . . ; 3) sin(t + n) n = 1, 2, . . . ; 4) et+α α∈R 5) et−α α ∈ R, α>0 Çàäà÷à 9.23. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó Àðöåëà, ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå êðèòåðèé îòíîñèòåëüíîé êîìïàêòíîñòè â ïðîñòðàíñòâå C 1 [0, 1]. Ãëàâà 10 Òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà Áîëåå øèðîêèé êëàññ ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòðè÷åñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè îáðàçóþò òîïîëîãè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Îïðåäåëåíèå 10.1. Òîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ ïàðà (X, τ ) ìíîæåñòâî X ñ ââåäåííîé íà íåì òîïîëîãèåé τ . Òîïîëîãèÿ τ åñòü ñèñòåìà ïîäìíîæåñòâ, îáëàäàþùèõ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) ïóñòîå ìíîæåñòâî è âñå ïðîñòðàíñòâî X ïðèíàäëåæàò τ ; 2) îáúåäèíåíèå ëþáîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ èç τ ïðèíàäëåæèò τ ; 3) ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ìíîæåñòâ èç τ ïðèíàäëåæàò τ . Îïðåäåëåíèå 10.2. Ïîäìíîæåñòâà, óäîâëåòâîðÿþùèå óêàçàííûì òðåì ñâîéñòâàì, íàçûâàþòñÿ îòêðûòûìè. Îïðåäåëåíèå 10.3. Ëþáîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå òî÷êó x ∈ X , íàçûâàåòñÿ îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x. Êàæäîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) ÿâëÿåòñÿ òîïîëîãè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì. Îòêðûòûå ìíîæåñòâà, îïðåäåëÿåìûå îáû÷íûì îáðàçîì ÷åðåç ðàññòîÿíèå ρ, çàäàþò òîïîëîãèþ. Ïðîèçâîëüíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, ρ) óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìå îòäåëèìîñòè Õàóñäîðôà: äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ òî÷åê x, y ∈ X ñóùåñòâóþò ìíîæåñòâî τx , ñîäåðæàùåå x è ìíîæåñòâî τy , ñîäåðæàùåå y , êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ñèñòåìå τ è íå ïåðåñåêàþòñÿ: τx T τy = ∅. Îïðåäåëåíèå 10.4. Ñèñòåìà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ Σ òîïîëîãè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, τ ) íàçûâàåòñÿ áàçîé òîïîëîãèè ýòîãî ïðîñòðàíñòâà, 107 åñëè ëþáîå íåïóñòîå îòêðûòîå ìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà X ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî êàê îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ èç Σ. Îïðåäåëåíèå 10.5. Òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ñî ñ÷åòíîé áàçîé, åñëè â íåì ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíà áàçà, ñîñòîÿùàÿ íå áîëåå ÷åì èç ñ÷åòíîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì ñî ñ÷åòíîé áàçîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ñåïàðàáåëüíî. Îïðåäåëåíèå 10.6. Òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (X, τ ) íàçûâàåòñÿ ìåòðèçóåìûì, åñëè òîïîëîãèÿ τ â íåì ìîæåò áûòü çàäàíà ñ ïîìîùüþ êàêîé-íèáóäü ìåòðèêè. Íå âñÿêîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ìåòðèçóåìî. Ïðèìåð 10.1.  òåîðèè îáîáùåííûõ ôóíêöèé âàæíóþ ðîëü èãðàåò ïðîñòðàíñòâî C0∞ (R). Îíî ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà âåùåñòâåííîé ïðÿìîé ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ôèíèòíà îáðàùàåòñÿ â íîëü âíå íåêîòîðîãî îòðåçêà. Ìíîæåñòâî supp ϕ = {x : ϕ(x) 6= 0} (÷åðòà îçíà÷àåò çàìûêàíèå) íàçûâàåòñÿ íîñèòåëåì ôóíêöèè ϕ. C0∞ (R) ïðîñòðàíñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì. Ñõîäèìîñòü â ýòîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îïðåäåëåíèå 10.7. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ϕn → ϕ â C0∞ , åñëè 1. íîñèòåëè ôóíêöèé ϕn (x) "íå óáåãàþò"íà áåñêîíå÷íîñòü: ∃a, b : supp ϕn ⊂ [a, b] ∀n; 2. ϕn (x) ñõîäèòñÿ ê ϕ(x) è âñå ïðîèçâîäíûå ϕn (x) ñõîäÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ïðîèçâîäíûì ϕ(x) ðàâíîìåðíî ïî x ∈ [a, b]: (j) ϕ(j) n (x) → ϕ (x) n → ∞, j = 0, 1, . . . ∀x ∈ [a, b]. 108 Çàäà÷à 10.1. Ïóñòü ϕ ∈ C0∞ (R). Ñõîäÿòñÿ ëè â C0∞ (R) ñëåäóþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: 1 1) ϕ(x); n 1 2) ϕ(nx); n 1 ³x´ 3) ϕ ? n n Çàäà÷à 10.2. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîñòðàíñòâî C0∞ (R) íå ìåòðèçóåìî [14, c. 161]. Ëèòåðàòóðà [1] Àíòîíåâè÷ À. Á., Êíÿçåâ Ï. Í., Ðàäûíî ß.Â. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. Ìèíñê: Âûø. øêîëà, 1978. - 208 ñ. [2] Àõèåçåð Í. È., Ãëàçìàí È. Ì. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ì.: Íàóêà, 1966. - 544 ñ. [3] Âàéíáåðã Ì. Ì. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1979. - 128 ñ. [4] Âëàäèìèðîâ Â. Ñ., Âîëîâè÷ È. Â., Çåëåíîâ Å. È. p-àäè÷åñêèé àíàëèç è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà.-Ì.: Ôèçìàòëèò, 1994.-352 ñ. [5] Çîðè÷ Â. À. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×. 2. Ì.: Íàóêà, 1984. - 640 ñ. [6] Èëüèí Â. À., Ïîçíÿê Ý. Ã. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×. 2. Ì.: Íàóêà, 1980. [7] Êàíòîðîâè÷ Ë. Â., Àêèëîâ Ã. Ï. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì.: Íàóêà, 1984. - 752 ñ. [8] Êèðèëëîâ À. À., Ãâèøèàíè À. Ä. Òåîðåìû è çàäà÷è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà, 1988. - 400 ñ. [9] Êîëìîãîðîâ À. Í., Ôîìèí Ñ. Â. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà, 1989. - 624 ñ. [10] Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç Ïîä ðåä. Êðåéíà C. Ã. Ì.: Íàóêà, 1972. - 544 ñ. [11] Ëþñòåðíèê Ë. À., Cîáîëåâ Â. È. Ýëåìåíòû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì.: Íàóêà, 1965. - 520 ñ. Ëèòåðàòóðà 110 [12] Ëþñòåðíèê Ë. À., Cîáîëåâ Â. È. Êðàòêèé êóðñ ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. Ì.: Âûñø. øêîëà, 1982. - 271 ñ. [13] Ðèä Ì., Ñàéìîí Á. Ìåòîäû ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ò.1. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì.: Ìèð, 1977. - 460 ñ. [14] Póäèí Ó. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì.: Ìèð, 1975. - 448 ñ. [15] Ñàäîâíè÷èé Â. À. Òåîðèÿ îïåðàòîðîâ. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1986. - 368 ñ. [16] Cîáîëåâ Ñ. Ë. Íåêîòîðûå ïðèìåíåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Ì.: Íàóêà, 1988. - 334 ñ. [17] Òðåíîãèí Â. À. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì.: Íàóêà, 1980. - 496 ñ. [18] Òðåíîãèí Â. À., Ïèñàðåâñêèé Á. Ì., Ñîáîëåâà Ò. Ñ. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ïî ôóíêöèîíàëüíîìó àíàëèçó. Ì.: Íàóêà, 1984. - 256 ñ. [19] Õàëìîø Ï. Ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî â çàäà÷àõ. Ì.: Ìèð, 1970. - 352 ñ. [20] Õàðäè Ã., Ëèòòëâóä Ä., Ïîëèà Ã. Íåðàâåíñòâà. Ì.: Èí. ëèò-ðà, 1948. - 456 ñ.