แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 2 คานา แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่มนี้ จัดทาขึ้นตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์ ใช้ประกอบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ ควบคู่กับแผนการจัดการเรียนรู้แบบกลุ่มร่วมมือ เทคนิ ค TAI เป็ น การเรี ย นที่ ผ สมผสานระหว่ า งการจั ด การเรี ย นรู้ แ บบร่ ว มมื อ (Cooperative Learning) และการสอนรายบุคคล (Individualization Instruction) เข้าด้วยกัน โดยให้ผู้เรียนได้ลง มือทากิจกรรมในการเรียนได้ด้วยตนเอง ตามความสามารถของตน และส่งเสริมความร่วมมือภายในกลุ่ม มีการแลกเปลี่ยน ประสบการณ์การเรียนรู้และปฏิสัมพันธ์ทางสังคม สมาชิกในกลุ่มประกอบด้วยนักเรียนเก่ง ปานกลาง และอ่อน ให้นักเรียนศึกษาแบบฝึกทักษะทีละเล่ม ตามลาดับของสาระที่กาหนดไว้ ซึ่งมีทั้งหมด 8 เล่ม ประกอบด้วย เล่มที่ 1 ความหมายของลาดับ เล่มที่ 2 รูปแบบการกาหนดลาดับ เล่มที่ 3 ลาดับเลขคณิต เล่มที่ 4 ลาดับเรขาคณิต เล่มที่ 5 ลิมิตของลาดับ เล่มที่ 6 อนุกรมอนันต์ เล่มที่ 7 ผลบวกของอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 8 สัญลักษณ์แทนการบวก ผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ จะช่วยให้ผู้เรียนมี ผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนที่สูงขึ้น มีเจตคติที่ดีต่อการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ และจะเป็นเครื่องมือที่ใช้ พัฒนาผู้เรียนให้มีผลการเรียนที่ก้าวหน้ายิ่ง ๆ ขึ้นไป ตลอดจนเป็นแนวทางในการจัดทาสื่อ /นวัตกรรม แก่ครูผู้สอนวิชาคณิตศาสตร์และผู้สนใจทั่วไปที่จะนาไปประยุกต์ใช้ได้ตามสมควร อุบล ชูรัตน์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 3 สารบัญ เรื่อง หน้า คานา…………………………………………….…………………………...………..…………………………………………….. ก สารบัญ……………………………………………………………………………………………………………………………….. ข คาชี้แจงการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์……………….………….…………..……………………………….……… ค คาแนะนาสาหรับครู............................................................................................................................ ง คาแนะนาสาหรับนักเรียน…….…………..………….……………………………………………………………………….. จ สาระ มาตรฐานและตัวชี้วัดช่วงชั้น..........................................................................................................ฉ จุดประสงค์การเรียนรู้....................................................................................................................... . 1 แบบทดสอบก่อนเรียน………………………………………………….…………….….…………………………………... 2 ใบความรู้ที่ 1…..……………………………………..………………...…………….…………………………………………. 5 ใบความรู้ที่ 2…..………………………………..………….………...…………….…………………………………………... 10 แบบสรุปเนื้อหา……………………………………………………………….………………........................................ 18 แบบฝึกทักษะที่ 1.1………………………………………………………………….…………………………………………. 20 แบบฝึกทักษะที่ 1.2……………………………………………………………….……………………………………………. 23 แบบทดสอบหลังเรียนฉบับ A……………………………………….……..………..……………………………………… 25 แบบทดสอบหลังเรียนฉบับ B ……………………………………….……..………..…………………………………….. 28 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน...........………………………………………………………………………………………... 31 เฉลยแบบสรุปเนื้อหา………………………………………..…………………………………………………………………. 31 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1.1……………………………………………………………………………………………………… 33 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 1.2…………………………………………………………………………………………………….. 36 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนฉบับ A……………………………………….……..………..……………………………… 38 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนฉบับ B……………………………………….……..………..……………………………… 38 ตารางบันทึกคะแนน........................................................................................................................... 39 บรรณานุกรม……….…….………..…………..………………………….….…..……………………………………………… 40 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 4 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่มที่ 5 ลิมิตของลาดับ ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้แบบกลุ่มร่วมมือเทคนิค TAI (Team Assisted Individualization) ในรายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหัสวิชา ค33202 ได้จัดสร้าง ขึ้นโดยกาหนดสาระการเรียนรู้ตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ซึ่ง นักเรียน สามารถศึกษาเนื้อหาและประเมินผลการเรียนได้ด้วยตนเองตามขั้นตอนที่กาหนดไว้ มีการเสริมแรงแก่ นักเรียนเป็นระยะโดยใช้คะแนนของกลุ่มและความสาเร็จของกลุ่ม ซึ่งแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ มี ทั้งหมด 8 เล่ม แต่ละเล่มจะเสนอเนื้อหาและตัวอย่างทีละเล็กทีละน้อย ทีละแบบฝึกทักษะ มีคาถาม ให้ นั ก เรี ย นได้ คิ ด และท ากิ จ กรรมหรื อ ตอบค าถาม นั ก เรี ย นสามารถรั บ รู้ ไ ด้ ด้ ว ย ตนเองตาม ความสามารถของแต่ละบุคคล โดยมีลาดับดังนี้ 1. จุดประสงค์การเรียนรู้ 2. คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ 3. แบบทดสอบก่อนเรียน 4. ใบความรู้/เนื้อหาสาระ 5. แบบสรุปเนื้อหา 6. แบบฝึกทักษะ 7. แบบทดสอบหลังเรียน ผู้จัดกิจกรรมควรใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ควบคู่กับแผนการจัดการเรียนรู้ แบบกลุ่มร่วมมือเทคนิค TAI (Team Assisted Individualization) โดยให้นักเรียนได้ศึกษา ทาความเข้าใจเนื้อหา สรุปเนื้อหา และทาแบบทดสอบทั้งก่อนเรียนและหลังเรียนเพื่อประเมินและพัฒนา การจัดกิจกรรมให้บรรลุวัตถุประสงค์ของหลักสูตรต่อไป แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 5 เมื่อครูผู้สอนได้นาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดนี้ไปใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ควรปฏิบัติดังนี้ 1. ศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ให้เข้าใจก่อนนาไปจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 2. ควรใช้คู่กับแผนการจัดการเรียนรู้แบบกลุ่มร่วมมือเทคนิค TAI 3. ชี้แจงขั้นตอนการทากิจกรรมโดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์นี้ให้นักเรียนเข้าใจ 4. ทดสอบความรู้ก่อนเรียนของนักเรียนโดยใช้แบบทดสอบก่อนเรียน เพื่อวัดความรู้พื้นฐาน ของนักเรียนแต่ละคน 5. ให้นักเรี ยนศึกษาใบความรู้และตั วอย่างแล้วสรุปเนื้อหาพร้อมทาแบบฝึกทัก ษะ ขณะ ปฏิบัติกิจกรรมควรดูแลนักเรียนอย่างใกล้ชิด 6. ให้นักเรียนช่วยเหลือกันภายในกลุ่ม และซักถามเนื้อหาที่ยังไม่เข้าใจ ครูอธิบายเพิ่มเติม 7. เมื่อนักเรียนสรุปเนื้อหาและทาแบบฝึกทักษะเสร็จเรียบร้อยแล้ว ให้หัวหน้ากลุ่มรวบรวม ส่งครูผู้สอน เพื่อตรวจสอบความรู้และกระบวนการทางคณิตศาสตร์ แจ้งผลให้นักเรียนทราบในชั่วโมง ต่อไป 8. ทดสอบความรู้หลังเรียนของนักเรียน โดยใช้แบบทดสอบหลังเรียน เพื่อนามาประเมินผล ความก้าวหน้าและนามาเฉลี่ยเป็นคะแนนกลุ่ม 9. คะแนนกลุ่มและความสาเร็จของกลุ่มในขั้นสุดท้าย ครูผู้สอนรวบรวมคะแนนกลุ่มซึ่งได้ จากคะแนนที่สมาชิกแต่ละคนได้รับจากการทาแบบทดสอบแต่ละเล่มมาหาค่าเฉลี่ยของกลุ่มโดยกลุ่มที่ ได้คะแนนสูงสุด 3 กลุ่มแรกจะได้รับใบประกาศเกียรติคุณและถุงผ้าใส่ของคนละ 1 ถุง ดังนี้ กลุ่มที่ได้คะแนนสูงเป็นอันดับที่ 1 จะเป็น “Super team” คือ กลุ่มยอดเยี่ยม กลุ่มที่ได้คะแนนสูงเป็นอันดับที่ 2 จะเป็น “Great team” คือ กลุ่มเก่งมาก กลุ่มที่ได้คะแนนสูงเป็นอันดับที่ 3 จะเป็น “Good team” คือ กลุ่มเก่ง 10. การศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้จะไม่บรรลุผลสาเร็จ ถ้านักเรียนขาดความมี วินัยในการเรียนและความซื่อสัตย์ในการทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 6 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่มที่ 5 ลิมิตของลาดับ ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้ แบบกลุ่มร่วมมือ เทคนิค TAI (Team Assisted Individualization) นักเรียนควรปฏิบัติ ดังนี้ 1. นักเรียนแบ่งกลุ่ม ๆ ละ 4 - 5 คน ประกอบด้วย นักเรียนเก่ง ปานกลาง และอ่อน สมาชิกแต่ ละกลุ่มทาการจับคู่กันเพื่อตรวจสอบซึ่งกันและกัน 2. ศึกษาจุดประสงค์การเรียนรู้ สาระสาคัญของการเรียนให้เข้าใจ 3. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน เป็นข้อสอบปรนัยชนิดเลือกตอบ จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 15 นาที คะแนน 10 คะแนน เสร็จแล้วตรวจคาตอบจากเฉลยท้ายเล่มด้วยตนเอง โดยครูคอยกากับ แนะนา การตรวจ ให้ชัดเจน ถูกต้องตรงตามเฉลย นักเรียนต้องมีความซื่อสัตย์ต่อตนเอง ห้ามเปิดดูเฉลยก่อน ทาแบบทดสอบก่อนเรียน นักเรียนบันทึก คะแนนลงในตารางบันทึกคะแนน หากมีข้อสงสัยให้ขอ คาแนะนาจากครูผู้สอน 4. ศึกษาใบความรู้ ตัวอย่าง แล้วสรุปเนื้อหาและทาแบบฝึกทักษะตามลาดับขั้นตอนที่ครูชี้แจง 5. เมื่อสรุ ปเนื้อ หาและทาแบบฝึก ทักษะในแต่ ละหัวข้ อที่กาหนดเสร็จแล้ว ให้หัวหน้ากลุ่ ม รวบรวมส่งครู เพื่อตรวจให้คะแนนตามเกณฑ์การประเมิน บันทึกและแจ้งผลให้นักเรียนทราบในชั่วโมง ต่อไป ถ้า พบว่า นัก เรี ยนไม่ ผ่า นเรื่อ งใด กลุ่ มจะต้ องช่ว ยกั นอธิบ ายให้ เข้ าใจ ถ้า ยัง ไม่ เข้ าใจให้ข อ คาอธิบายเพิ่มเติมจากครู 6. เมื่อนักเรียนทั้งกลุ่มทากิจกรรมตามข้อ 4 และข้อ 5 ครบถ้วนและถูกต้องแล้วให้นักเรียน ทาแบบทดสอบหลังเรียนฉบับ A เสร็จแล้วให้หัวหน้ากลุ่มเป็นผู้ตรวจคาตอบตามเฉลยท้ายเล่ม โดยครู คอยกากับการตรวจให้ถูกต้องตรงตามเฉลย ถ้าไม่ผ่านร้อยละ 70 ให้สมาชิกในกลุ่มช่วยกันอธิบาย แก้ไขข้อบกพร่องแล้วจึงทาแบบทดสอบหลังเรียนฉบับ B จนผ่านร้อยละ 70 7. เมื่อนักเรียนทาแบบทดสอบหลัง เรียนเสร็จ แล้ว ให้หัวหน้ากลุ่ม บันทึกคะแนนลงในแผ่น สรุปผลประจากลุ่มและนาคะแนนไปเปรียบเทียบกับคะแนนฐานของแต่ละบุคคลและของแต่ละกลุ่ม ต่อไป 8. คะแนนกลุ่มและความสาเร็จของกลุ่มในขั้นสุดท้าย ครูผู้สอนจะรวบรวมคะแนนกลุ่มซึ่งได้ จากคะแนนที่สมาชิกแต่ละคนได้รับจากการทาแบบทดสอบแต่ละเล่มมาหาค่าเฉลี่ยของกลุ่ม โดยกลุ่ม ที่ได้คะแนนสูงสุด 3 กลุ่มแรกจะได้รับใบประกาศเกียรติคุณและถุงผ้าใส่ของคนละ 1 ถุง ดังนี้ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 7 กลุ่มที่ได้คะแนนสูงเป็นอันดับที่ 1 จะเป็น “Super team” คือ กลุ่มยอดเยี่ยม กลุ่มที่ได้คะแนนสูงเป็นอันดับที่ 2 จะเป็น “Great team” คือ กลุ่มเก่งมาก กลุ่มที่ได้คะแนนสูงเป็นอันดับที่ 3 จะเป็น “Good team” คือ กลุ่มเก่ง 9. การศึกษาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้จะไม่บรรลุผลสาเร็จ ถ้านักเรียนขาดความมีวินัย ในการเรียนและความซื่อสัตย์ในการทาแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 8 สาระ มาตรฐานการเรียนรู้ และตัวชี้วัดช่วงชั้น สาระที่ 4 พีชคณิต มาตรฐานการเรียนรู้ ค 4.1 : เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป (pattern) ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน ตัวชี้วัดช่วงชั้น ค 4.1ม.4-6/3 มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกับ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน เขียนแสดง ความสัมพันธ์และฟังก์ชันในรูปต่าง ๆ เช่น ตาราง กราฟ และสมการ สาระที่ 6 : ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ มาตรฐานการเรียนรู้ ค 6.1 : มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และการนาเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์ กับศาสตร์อื่น ๆ และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ตัวชี้วัดช่วงชั้น ค 6.1 ม.4-6/1 ใช้วิธีการที่หลากหลายแก้ปัญหา ค 6.1 ม.4-6/2 ใช้ความรู้ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่าง ๆ ได้อย่างเหมาะสม ค 6.1 ม.4-6/3 ให้เหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลได้อย่างเหมาะสม ค 6.1 ม.4-6/4 ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนาเสนอได้อย่างถูกต้องและชัดเจน ค 6.1 ม.4-6/5 เชื่อมโยงความรู้ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์ และนาความรู้ หลักการ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ไปเชื่อมโยงกับศาสตร์อื่น ๆ ค 6.1 ม.4-6/6 มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 9 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 5 เรื่อง ลิมิตของลาดับ สาระสาคัญ ลาดับอนันต์ เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด และพจน์ที่ n มีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับ จานวนจริง L เพียงจานวนเดียวเท่านั้น เรียก L ว่า ลิมิตของลาดับ (limit of a sequence) และ กล่าวว่า ลาดับนั้นมีลิมิตเท่ากับ L เขียนแทนด้วย lim an = L x จุดประสงค์การเรียนรู้ นักเรียนสามารถ 1. หาลิมิตของลาดับอนันต์ โดยการพิจารณาจากกราฟได้ 2. หาลิมิตอนันต์ โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได้ 3. บอกลาดับอนันต์ที่เป็นลาดับลู่เข้าหรือลู่ออกได้ คาแนะนาในการใช้แบบฝึกทักษะ ให้นักเรียนปฏิบัติตามขั้นตอน ดังนี้ 1. ทาแบบทดสอบก่อนเรียน เสร็จแล้วตรวจคาตอบจากเฉลยท้ายเล่มด้วยตนเอง 2. ศึกษาบทนิยาม ทฤษฎี หลักการที่เกี่ยวข้อง พร้อมศึกษาตัวอย่างจากใบความรู้ แล้วอภิปรายภายในกลุ่มเพื่อสร้างความเข้าใจ หากมีข้อสงสัยให้สอบถามเพื่อนสมาชิกในกลุ่ม 3. สรุปเนื้อหาและทาแบบฝึกทักษะด้วยตนเองอย่างตั้งใจ หากมีข้อสงสัยให้ปรึกษาเพื่อน ในกลุ่ม ห้ามเปิดดูเฉลยท้ายเล่ม นักเรียนต้องมีความซื่อสัตย์ต่อตนเอง เมื่อทาเสร็จแล้วหัวหน้ากลุ่ม รวบรวมส่งครูเพื่อตรวจสอบ บันทึกผลและแจ้งผลต่อไป 4. เมื่อทาแบบฝึกทักษะเสร็จเรียบร้อยแล้ว ให้ทาแบบทดสอบหลังเรียนฉบับ A ด้วยตนเอง เสร็จแล้วให้หัวหน้ากลุ่มตรวจคาตอบตามเฉลยท้ายเล่ม แล้วบันทึกคะแนนลงในแบบบันทึกคะแนน เพื่อเก็บคะแนนสะสมเป็นคะแนนกลุ่ม ถ้าสมาชิกในกลุ่มคนใดไม่ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 70 ต้องกลับไป ศึกษาเนื้อหาอีกครั้งและทาแบบทดสอบคู่ขนานฉบับ B จนกว่าจะผ่าน 5. สมาชิกในกลุ่มร่วมกันสรุปเนื้อหา โดยครูเป็นผู้คอยแนะนาและเพิ่มเติมความรู้ในเนื้อหา ให้สมบูรณ์ยิ่งขึ้น แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 10 แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ลิมิตของลาดับ คาชี้แจง 1. ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียวจากตัวเลือก ก, ข, ค หรือ ง แล้วเขียนเครื่องหมาย X ลงใน ( ) ของกระดาษคาตอบ 2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยชนิดเลือกตอบจานวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลา 15 นาที ข้อ 1. ลาดับในข้อใดเป็นลาดับลู่เข้า 3 n 1 ก. an ข. an 10 2 n 5 n n ค. an 3 ง. an 3 ข้อ 2. ลาดับในข้อใดเป็นลาดับลู่ออก 3n5 7 ก. an ข. an 5 n 1 n 1 1 9 ค. an ง. an 3 n n ข้อ3. กราฟของลาดับในข้อใดเป็นลาดับลู่ออก ก. an ค. an n ง. an n 2 5 n3 ข. 5 ง. 0 ข้อ4. จงหาลิมิตของลาดับ an n ก. 7 ค. 2 ข้อ 5.จงหาลิมิตของลาดับ ข. 9 3n 5n2 bn 3n2 4 5 5 ก. ข. 3 3 ค. 3 ง. 0 an n แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 3 27n3 3n ข้อ 6. จงหาลิมิตของลาดับ Cn 4n2 2 3 ก. 0 ข. 4 2 ค. ง. หาค่าไม่ได้ 3 ข้อ 7. จงหาลิมิตของลาดับ 5n1 3n 1 an n1 n1 3 5 ก. 3 ข. 5 ค. 15 ง. 25 เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 11 4n5 2n 1 ข้อ 8. จงหาลิมิตของลาดับ bn 6 5n4 4 4 ก. ข. 5 5 ค. 0 ง. หาค่าไม่ได้ 2 64n 3n ข้อ 9. จงหาลิมิตของลาดับ bn 4 4n2 ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 ข้อ 10. จงหาลิมิตของลาดับ 25n 9 an 4n 25n 8 ก. 0 ข. 7 5 5 ค. ง. 7 2 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 12 กระดาษคาตอบ ทดสอบก่อนเรียน เล่มที่ 5 เรื่อง ลิมิตของลาดับ ชื่อ-สกุล ชั้น ม.6/ ข้อ 1 2 3 4 5 6 ก ข ค เลขที่ . ง 8 9 10 ทาแบบทดสอบก่อนเรียน แล้วศึกษาเนื้อหากัน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 13 ใบความรู้ที่ 1 เรื่อง ลิมิตของลาดับ โดยการพิจารณาจากกราฟ จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. นักเรียนสามารถหาลิมิตของลาดับอนันต์ โดยการพิจารณาจากกราฟได้ 2. นักเรียนสามารถหาลิมิตของลาดับอนันต์ โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได้ 3. นักเรียนสามารถบอกลาดับอนันต์ที่เป็นลาดับลู่เข้าและลาดับลู่ออกได้ สาระสาคัญ ลาดับอนันต์ เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด และพจน์ที่ n มีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับ จานวนจริง L เพียงจานวนเดียวเท่านั้น เรียก L ว่า ลิมิตของลาดับ (limit of a sequence) และ กล่าวว่า ลาดับนั้นมีลิมิตเท่ากับ L เขียนแทนด้วย lim an = L x ลิมิตของลาดับ พิจารณาลาดับอนันต์ an เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด และพจน์ที่ n มีค่าเข้าใกล้ หรือเท่ากับจานวนจริง L เพียงจานวนเดียวเท่านั้น เรียก L ว่า ลิมิตของลาดับ (limit of a sequence) และกล่าวว่า ลาดับนั้นมีลิมิตเท่ากับ L เขียนแทนด้วย lim an = L x ลาดับอนันต์ที่มีลิมิต เรียกว่า ลาดับลู่เข้า (Convergent Sequence) ส่วนลาดับอนันต์ที่ ไม่มีลิมิต เรียกว่า (Divergent Sequence) แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ พิจารณาลาดับ an = n an 1 1 2 2 1 เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 14 1 2n 3 1 4 1 1 5 1 2 6 1 7 1 12 …. …. an n รูปที่ 1 จากกราฟรูปที่ 1 จะเห็นว่า เมื่อ n มีค่ามากขี้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว an มีค่าลดลงเข้าใกล้ 1 0 แต่ไม่เท่ากับ 0 จึงกล่าวว่าลาดับ an = n มีลิมิตเท่ากับ 0 หรือ lim an 0 และ an เป็น x 2 ลาดับลู่เข้า พิจารณาลาดับ bn = 2n -1 n 1 2 3 4 5 6 7 …. bn 1 5 7 9 11 13 …. 3 an n รูปที่ 2 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 15 จากกราฟรูปที่ 2 จะเห็นว่า เมื่อ n มีคา่ มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว bn ไม่เข้าใกล้หรือเท่ากับ จานวนใดจานวนหนึ่งเลย จึงกล่าวได้ว่าลาดับ bn = 2n -1 ไม่มีลิมิต หรือ lim bn หาค่าไม่ได้ x และ bn เป็นลาดับลู่ออก พิจารณาลาดับ Cn = 1n1 1 2 3 4 1 -1 1 -1 n cn 5 1 6 -1 7 1 …. …. an n รูปที่ 3 จากกราฟรูปที่ 3 จะเห็นว่า เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว Cn ไม่เข้าใกล้หรือเท่ากับจานวน ใดจานวนหนึ่งเลย จึงกล่าวได้ว่าลาดับ Cn = 1n1 ไม่มีลิมิต หรือ lim Cn หาค่าไม่ได้ และ x Cn เป็นลาดับลู่ออก จากตัวอย่างที่ 3 เราจะเรียกลาดับลู่ออกที่มีลักษณะของกราฟขึ้นและลงสลับกันโดยไม่เข้า ใกล้หรือเท่ากับจานวนใดจานวนหนึ่งเช่นนีว้ ่า ลาดับแกว่งกวัด (Oscillating sequence ) 1n พิจารณาลาดับ an = 1 n n 1 2 3 4 5 6 7 …. 3 2 5 4 7 6 an 0 …. 2 3 4 5 6 7 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 16 an n รูปที่ 4 จากกราฟรูปที่ 4 จะเห็นว่า เมื่อ an มีค่ากวัดแกว่งแต่ลดลงเข้าใกล้ 1 เมื่อ n มีค่ามากที่สุดโดยไม่มีที่ ( 1) n สิ้นสุดแล้ว จึงกล่าวได้ว่าลาดับ an = 1 มีลิมิต หรือ lim an = 1 และ an เป็นลาดับลู่ x n เข้า สรุป 1. 2. 3. 4. พิจารณาลิมิตของลาดับ (Limit of sequence ) ได้ดังนี้ ลาดับที่จะนามาพิจารณาลิมิตนั้นต้องเป็นลาดับอนันต์ ถ้ากล่าวว่า L เป็นลิมิตของลาดับที่มีพจน์ที่ n เป็น an หมายถึง เมื่อ n มากกขึ้นโดยไม่มีที่ สิ้นสุด พจน์ที่ n ของลาดับจาเข้าใกล้หรือเท่ากับจานวนจริง L ( อ่านว่า ลิมิตของลาดับ an เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด เท่ากับ L ) ลาดับอนันต์ที่มีลิมิตเรียนว่า ลาดับลู่เข้าส่วนลาดับอนันต์ที่ไม่มีลิมิตเรียกว่า ลาดับลู่ออก การพิจารณาว่าลาดับใดจะมีลิมิตหรือไม่นั้น อาจทาได้โดยการพิจารณาจากกราฟของลาดับ เมื่อ n มากขึ้น โดยไม่มีที่สิ้นสุดเป็นลาดับอนันต์ เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่ สิ้นสุด แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 17 ใบความรู้ที่ 2 เรื่อง ลิมิตของลาดับ โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต จุดประสงค์การเรียนรู้ 1. นักเรียนสามารถหาลิมิตของลาดับอนันต์ โดยการพิจารณาจากกราฟได้ 2. นักเรียนสามารถหาลิมิตของลาดับอนันต์ โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตได้ 3. นักเรียนสามารถบอกลาดับอนันต์ที่เป็นลาดับลู่เข้าและลาดับลู่ออกได้ สาระสาคัญ ลาดับอนันต์ เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด และพจน์ที่ n มีค่าเข้าใกล้หรือเท่ากับ จานวนจริง L เพียงจานวนเดียวเท่านั้น เรียก L ว่า ลิมิตของลาดับ (limit of a sequence) และ กล่าวว่า ลาดับนั้นมีลิมิตเท่ากับ L เขียนแทนด้วย lim an L x ลิมิตของลาดับ พิจารณาลาดับอนันต์ an เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด และพจน์ที่ n มีค่าเข้าใกล้ หรือเท่ากับจานวนจริง L เพียงจานวนเดียวเท่านั้น เรียก L ว่า ลิมิตของลาดับ (limit of a sequence) และกล่าวว่า ลาดับนั้นมีลิมิตเท่ากับ L เขียนแทนด้วย lim an L x ลาดับอนันต์ที่มีลิมิต เรียกว่า ลาดับลู่เข้า (convergent Sequence) ส่วนลาดับอนันต์ที่ ไม่มีลิมิต เรียกว่า (divergent Sequence) แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 18 เรื่อง ลิมิตของลาดับ โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต จากการหาลิมิตของลาดับโดยพิจารณาจากกราฟ นักเรียนจะเห็นว่าค่อนข้างยุ่งยากเพราะ ต้องแทนค่าและนาไปลงกราฟ ซึ่งอาจจะต้องแทนค่าหลายพจน์เพื่อดูแนวโน้มของกราฟหาค่าลิ มิต แต่ ต่อไปนี้จะเป็นการหารลิมิตของลาดับโดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตดังนี้ 1 ให้ r เป็นจานวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า lim r 0 และ nr หาค่าไม่ได้ x n 1 1 จากทฤษฎี บ ทที ่ 1 จะได้ lim 0 x n7 n7 จงหาค่าลิมิตของลาดับ an n10 จากทฤษฎีบทที่ 1 จะได้ lim n10 หาค่าไม่ได้ จงหาค่าลิมิตของลาดับ an x 1 จงหาค่าลิมิตของลาดับ an 3 0 จากทฤษฎีบทที่ 1 n 2n 1 1 จะได้ lim 3 0 x n 2n 1 ให้ r เป็นจานวนจริง - ถ้า r < 1 แล้ว lim r n 0 x - ถ้า r > 1 แล้ว lim r n หาค่าไม่ได้ x จงหาลิมิตของลาดับ an = 5n เนื่องจาก 5 = 5 >1 จากทฤษฎีบทที่ 2 จะได้ว่า lim 5n หาค่าไม่ได้ x 3 n 3 3 จงหาลิมิตของลาดับ an = เนื่องจาก = < 1 จากทฤษฎีบทที่ 2 5 5 5 3 จะได้ว่า lim ( )n = 0 x 5 5 n 5 5 จงหาลิมิตของลาดับ an = เนื่องจาก = > 1 จากทฤษฎีบทที่ 2 4 4 4 n 5 จะได้ว่า lim หาค่าไม่ได้ x 4 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 8 n 7 n เนื่องจาก = และ 7 8 8 7 7 7 = < 1 จากทฤษฎีบทที่ 2 จะได้ว่า lim ( ) n = 0 x 7 8 8 8 8 จงหาลิมิตของลาดับ an = 7 n 19 ให้ an ,bn เป็นลาดับของจานวนจริง A,B เป็นจานวนจริง และ c เป็นค่าคงตัวใดๆ โดยที่ lim an A และ lim bn B จะได้ว่า x x ( 1 ) lim c c n ( 2 ) lim can c lim an cA n n ( 3 ) lim (an bn ) lim an lim bn A B n (4) (5) n n lim (an bn ) lim an lim bn A B n n n lim (an bn ) lim an lim bn AB n n n an A an nlim ( 6 ) ถ้า bn 0 ทุกจานวนเต็มบวก n และ B 0 vแล้ว lim ( ) n b lim b B n n n (7) ถ้า an เป็นลาดับของจานวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0 และให้ m เป็นจานวนเต็มที่ มากกว่าหรือเท่ากับ 2 แล้ว lim m an m lim an m A โดยที่ m A หาค่าได้ n x จงหาลิมิตของลาดับ an = 10 จากทฤษฎีบทที่ 3 ข้อ 1 จะได้ว่า lim 10 10 x 5 5 5 จากทฤษฎีบทที่ 3 จะได้ว่า lim ( ) x 7 7 7 5 จงหาลิมิตของลาดับ an = 6 n จงหาลิมิตของลาดับ an = วิธีทา 5 1 5lim = 6 x n6 x n = 5(0) = 0 lim แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 20 5 =0 x n6 ดังนั้น lim 4n3 3n จงหาลิมิตของลาดับ an = 2n3 4n3 3n 4n3 3n lim วิธีทา = lim 3 3 x x 2n 2n3 3n 3 = lim 2 2 x 2n 3 1 = lim 2 lim 2 x 2 x n 3 = 2 + (0) 2 = 2 4n3 3n ดังนั้น lim =2 x 2n3 วิธีทา 5n2 3n จงหาลิมิตของลาดับ an = 3 2n 1 5 3 n3 2 2 5n 3n n n lim 3 = lim 1 x 3 x 2n 1 n 2 3 n 5 3 2 = lim n n1 x 2 n3 5 3 lim lim 2 = x n x n1 lim 2 lim 3 x x n 00 = 20 =0 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 21 5n2 3n ดังนั้น lim 3 =0 x 2n 1 3 2n 6n2 จงหาลิมิตของลาดับ an = 2 2n n 7 3 2n 6n lim 2 = x 2n n 7 2 วิธีทา 3 2 6 n n lim 1 7 n 2 n n n2 2 x 2 2 3 2 6 2 n n = lim 1 7 x 2 2 n n 3 2 lim 2 lim lim 6 x n x n x = 1 7 lim 2 lim lim 2 x x n x n 006 = 200 = -3 3 2n 6n2 ดังนั้น lim 2 = -3 x 2n n 7 วิธีทา 7n3 3n2 n 4 จงหาลิมิตของลาดับ an = n2 2n 3 1 4 n3 7 2 3 3 2 7n 3n n 4 n n n lim = lim 2 1 2 x x n 2n n3 2 n n 3 1 4 lim 7 lim lim 2 lim 3 x x n x n x n = 1 2 lim lim 2 x n x n 7000 = 00 7 = 0 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 22 7n3 3n2 n 4 ดังนั้น lim = หาค่าไม่ได้ x n2 2n n2 n3 2 จงหาลิมิตของลาดับ an = n 1 n 3 2 3 n n n2 (n2 3) n3 (n 1) lim วิธีทา = lim 2 x n 1 n2 3 x (n 1)(n 3) n4 3n2 n4 n3 = lim 3 2 x n 3n n 3 3n2 n3 = lim 3 2 x n n 3n 3 3 n3 1 n = lim 1 3 3 x 3 n 1 2 3 n n n 3 lim ( ) lim 1 x n x = 1 3 3 lim 1 lim lim 2 lim 3 ) x x n x n x n 0 1 1 0 0 0 = -1 = n3 n2 ดังนั้น lim = -1 x n 1 n2 3 จงหาลิมิตของลาดับ an = 243n 4n lim x 32n2 3n 2 วิธีทา 5 243n2 4n 32n2 3n 4 n = lim 3 x 2 n 32 n n2 243 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 23 4 n lim 3 x 32 n 243 = 4 x x n = 3 lim 32 lim x x n 243 0 = 32 0 243 = 32 243 3 = 32 2 lim 243 lim ดังนั้น lim x วิธีทา 5 243n2 4n = 2 32n 3n 5 5n1 5n 3 จงหาลิมิตของลาดับ an = 5n1 1 5n1 5n 3 5 5n 5n 3 lim n1 = lim x x 5n 5 1 1 5 3 5n 5 1 n 5 = lim 1 1 x 5n ( n ) 5 5 1 lim 4 3 lim n x x 5 = 1 1 lim lim n x 5 x 5 40 = 1 0 5 = 20 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 24 5n1 5n 3 ดังนั้น lim = 20 x 5n1 1 วิธีทา 2n2 3n1 1 จงหาลิมิตของลาดับ an = n1 n2 2 3 n 2 n1 2 3 1 4 2n 3 3n 1 lim = lim x 2n1 3n2 x 2 2n 9 3 n n = = = = = 2n2 3n1 1 1 ดังนั้น lim n1 n2 = x 2 3 3 2 n 1 3 4 3 n 3 3 lim x 2 n n 3 2 9 3 n 2 1 4 lim lim 3 lim n x 3 x x 3 n 2 2 lim lim 9 x 3 x 40 3 0 20 9 3 9 1 3 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 25 สรุป การหาลิมิตของลาดับ มีขั้นตอนดังนี้ พิจารณาลิมิตของลาดับ (Limit of sequence ) ได้ดังนี้ 1. ลาดับที่จะนามาพิจารณาลิมิตนั้นต้องเป็นลาดับอนันต์ 2. ถ้ากล่าวว่า L เป็นลิมิตของลาดับที่มีพจน์ที่ n เป็น an หมายถึง เมื่อ n มากกขึ้นโดยไม่มีที่ สิ้นสุด พจน์ที่ n ของลาดับจาเข้าใกล้หรือเท่ากับจานวนจริง L ( อ่านว่า ลิมิตของลาดับ an เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด เท่ากับ L ) 3. ลาดับอนันต์ที่มีลิมิตเรียนว่า ลาดับลู่เข้า ส่วนลาดับอนันต์ที่ไม่มีลิมิตเรียกว่า ลาดับลู่ ออก 4. การพิจารณาว่าลาดับใดจะมีลิมิตหรือไม่นั้น อาจทาได้โดยใช้ทฤษฎีบทดังนี้ 1 ทฤษฎีบทที่ 1 ให้ r เป็นจานวนจริงบวกใดๆ จะได้ว่า lim r 0 และ nr หาค่าไม่ได้ x n ทฤษฎีบทที่ 2 ให้ r เป็นจานวนจริง - ถ้า r < 1 แล้ว lim r n 0 x - ถ้า r > 1 แล้ว lim r n หาค่าไม่ได้ x ทฤษฎีบทที่ 3 ให้ an ,bn เป็นลาดับของจานวนจริง A,B เป็นจานวนจริง และ c เป็นค่าคงตัวใดๆ โดยที่ lim an A และ lim bn B จะได้ว่า x (1) lim c c x n (2) (3) (4) (5) lim can c lim an cA n n lim (an bn ) lim an lim bn A B n n n n n n lim (an bn ) lim an lim bn A B lim (an bn ) lim an lim bn AB n n n an A an nlim (6) ถ้า bn 0 ทุกจานวนเต็มบวก n และ B 0 แล้ว lim ( ) n b lim b B n n n (7) ถ้า an เป็นลาดับของจานวนจริงที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0 และให้ m เป็นจานวน เต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2 แล้ว lim m an m lim an m A โดยที่ m A หาค่า n x ได้ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 26 แบบสรุปเนื้อหา เรื่อง ลิมิตของลาดับ คาชี้แจง ให้นักเรียนสรุปเนื้อหาเรื่องลิมิตของลาดับตามหัวข้อต่อไปนี้ 3 โดยการเขียนกราฟ 2 n 1 2 3 4 5 1. จงหาลิมิตของลาดับ an = n an 1 6 7 …. an n ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 27 3 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลาดับ n 1 ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาลิมิตของลาดับ an = 2 3. การหาลิมิตของลาดับ มีขั้นตอนดังนี้ ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… สรุปผลการเรียน …………………………………….คะแนน ลงชื่อ..............................ผู้ประเมิน วันที่............../................./................ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 28 แบบฝึกทักษะที่ 5.1 เรื่อง ลิมิตของลาดับโดยการพิจารณาจากกราฟ คาชี้แจง จงเขียนกราฟเพื่อตรวจสอบดูว่าลาดับต่อไปนี้เป็นลาดับลู่เข้าหรือลู่ออกพร้อมทั้งหารลิมิต ของลาดับ 1 1. an n 1 n an 1 2 3 4 5 6 7 …. an n ตอบ……………………………………………………………………………………………………………………………… 2. an n 1 1n n an 1 2 3 4 5 6 7 …. an n ตอบ……………………………………………………………………………………………………………………………… แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 3 3. an 2 n an เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 29 n 1 2 3 4 5 6 7 …. an n ตอบ……………………………………………………………………………………………………………………………… 2 n 4. an 3 n an 1 2 3 4 5 6 7 …. an n ตอบ……………………………………………………………………………………………………………………………… แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 5. an 3 n an เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 30 21 n 1 2 3 4 5 6 7 …. an n ตอบ……………………………………………………………………………………………………………………………… สรุปผลการเรียน …………………………………….คะแนน ลงชื่อ..............................ผู้ประเมิน วันที่............../................./................ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 31 แบบฝึกทักษะที่ 5.2 เรื่อง ลิมิตของลาดับ โดยอาศัยทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต คาชี้แจง จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลาดับเพื่อตรวจสอบว่าลาดับต่อไปนี้ เป็นลาดับลู่เข้าหรือลู่ ออก พร้อมทั้งหาลิมิตของลาดับ 7 9 10 2. an 3n 7 x 9 10 เป็นลาดับ................................ lim x 3n 1. an เป็นลาดับ............................... lim = …………………… = ………………… 3. an 1 1n เป็นลาดับ................................ lim an 1 1n = ……………… x 1n 4. an n 1n เป็นลาดับ................................. lim x n = ………………. 5. 7 n an 5 7 n เป็นลาดับ................................ lim x 5 = …………………… n 6. 2 an 2 2 เป็นลาดับ................................. lim x 2 7. 3n1 an n2 5 1 n3 6n 2 9. an 3n n2 10. an 3 8. an 5 n 3n1 เป็นลาดับ.................................. lim n2 x 5 1 x n3 6n 2 เป็นลาดับ.................................. lim x 3n n2 เป็นลาดับ.................................. lim x 3 เป็นลาดับ.................................. lim 5 6 7n5 6 7n5 11. an 6 เป็นลาดับ................................ lim 6 5 x 4n 3n5 4n 3n = ………………… = ………………… = ………………… = ……………… = ………………… = ………………… 8n3 2n2 5 8n3 2n2 5 12. an 3 เป็นลาดับ..................... lim 3 = …………………… x 6n 5n 3 6n 5n 3 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 32 7 4n3 13. an 5 2n n3 7 4n3 เป็นลาดับ............................ lim x 5 2n n3 = ……………… 3 n 2 3 14. an n 3 2 3 n 2 3 เป็นลาดับ........................... lim n x 3 2 = ………………… 5n1 2n1 1 15. an เป็นลาดับ..................... 5n1 3 5n1 2n1 1 lim = ……………… x 5n1 3 6n2 2n1 4 6n2 2n1 4 16. an n n1 เป็นลาดับ...................... lim n n1 = ……………… x 2 3 2 3 2 2 8n 1 1 2n 17. an 72n2 3n 18. an 9n2 1 3 19. an 4n 1 n 1 8n 1 1 2n เป็นลาดับ........................ lim x เป็นลาดับ.......................... lim 3 x เป็นลาดับ........................... lim x = …………… 72n2 3n = ……………… 9n2 1 4n 1 n 1 = ………………… n2 n2 n2 n2 20. an เป็นลาดับ........................... lim = …………… x 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 สรุปผลการเรียน …………………………………….คะแนน ลงชื่อ..............................ผู้ประเมิน วันที่............../................./................ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 33 แบบทดสอบหลังเรียน ฉบับ A เรื่อง ลิมิตของลาดับ คาชี้แจง 1. ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียวจากตัวเลือก ก, ข, ค หรือ ง แล้วเขียนเครื่องหมาย X ลงใน ( ) ของกระดาษคาตอบ 2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยชนิดเลือกตอบจานวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลา 15 นาที ข้อ 1. ลาดับในข้อใดเป็นลาดับลู่ออก ค. 3n 7 ข. an 5 n 1 n 1 1 9 ค. an ง. an 3 n n ข้อ 2. ลาดับในข้อใดเป็นลาดับลู่เข้า 3 n 1 ก. an ข. an 10 2 n 5 n n ค. an 3 ง. an 3 ข้อ3. กราฟของลาดับในข้อใดเป็นลาดับลู่ออก ก. an ก. an n ง. an n ข. an 5 an n ข้อ4. จงหาลิมิตของลาดับ 9 3n 5n2 bn 3n2 4 5 5 ก. ข. 3 3 ค. 3 ง. 0 2 ข้อ 5. จงหาลิมิตของลาดับ an 3 5 n ก. 7 ข. 5 ค. 2 ง. 0 n ข้อ 6. จงหาลิมิตของลาดับ ข้อ 8. จงหาลิมิตของลาดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 5n1 3n 1 an n1 n1 3 5 ก. 3 ข. 5 ค. 15 ง. 25 ข้อ 7. จงหาลิมิตของลาดับ 3 27n3 3n Cn 4n2 2 ก. 0 ค. 2 3 ข. 3 4 ง. หาค่าไม่ได้ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ an 25n 9 4n 25n 8 7 5 ง. 2 ก. 0 ค. 34 ข. 5 7 ข้อ 9. จงหาลิมิตของลาดับ 4n5 2n 1 bn 6 5n4 4 4 ก. ข. 5 5 ค. 0 ง. หาค่าไม่ได้ ข้อ 10. จงหาลิมิตของลาดับ 64n2 3n bn 4n2 ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 4 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 35 กระดาษคาตอบ ทดสอบหลังเรียนฉบับ A เล่มที่ 5 เรื่อง ลิมิตของลาดับ ชั้น ม.6/ เลขที่ ชื่อ-สกุล ข้อ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ก ข ค . ง ไม่ยากอย่างที่คิด เลยใช่ไหม แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 36 แบบทดสอบหลังเรียน ฉบับ B เรื่อง ลิมิตของลาดับ คาชี้แจง 1. ให้นักเรียนเลือกคาตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงข้อเดียวจากตัวเลือก ก, ข, ค หรือ ง แล้วเขียนเครื่องหมาย X ลงใน ( ) ของกระดาษคาตอบ 2. แบบทดสอบเป็นแบบปรนัยชนิดเลือกตอบจานวน 10 ข้อ คะแนนเต็ม 10 คะแนน ใช้เวลา 15 นาที ข้อ 1. ลาดับในข้อใดเป็นลาดับลู่เข้า 3 n 1 ก. an ข. an 10 2 n 5 n n ค. an 3 ง. an 3 ข้อ 2. ลาดับในข้อใดเป็นลาดับลู่ออก 1 ก. an ข. an n5 2n 1 1 9 ค. an ง. an 3 n n ข้อ3. กราฟของลาดับในข้อใดเป็นลาดับลู่ออก ก. an ค. an n n ง. an n 2 n3 ข. 5 ง. 0 ข้อ4. จงหาลิมิตของลาดับ an ก. 7 ค. 2 ข้อ 5.จงหาลิมิตของลาดับ ข. an n 9 3n 5n3 bn 3n4 4 5 5 ก. ข. 3 3 ค. 3 ง. 0 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ ข้อ 6. จงหาลิมิตของลาดับ 3 8n3 3n Cn 2n 1 ข. 1 ก. 0 2 ค. ง. หาค่าไม่ได้ 3 ข้อ 7. จงหาลิมิตของลาดับ 5n1 3n1 an n1 n1 3 5 ก. 1 ข. 5 ค. 15 ง. 25 เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 37 4n5 2n 1 ข้อ 8. จงหาลิมิตของลาดับ bn 6 5n4 4 4 ก. ข. 5 5 ค. 0 ง. หาค่าไม่ได้ 4n2 3n ข้อ 9. จงหาลิมิตของลาดับ bn 4n2 ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4 ข้อ 10. จงหาลิมิตของลาดับ 25n 9 an 4n 25n 8 ก. 0 ข. 7 5 5 ค. ง. 7 2 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 4 เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 38 กระดาษคาตอบ ทดสอบหลังเรียนฉบับ B เล่มที่ 5 เรื่อง ลิมิตของลาดับ ชั้น ม.6/ เลขที่ ชื่อ-สกุล ข้อ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ก ข ค . ง ตั้งใจ มีสมาธิ มุ่งมั่น เราทุกคนทาได้ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 39 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ลิมิตของลาดับ 1) ง 6) ก เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 2) ข 3) ค 4) ข 7) ง 8) ง 9) ข 5) ก 10) ค เฉลยแบบสรุปเนื้อหา เรื่อง ลิมิตของลาดับ ให้นักเรียนสรุปเนื้อหาเรื่องลิมิตของลาดับตามหัวข้อต่อไปนี้ 3 1. จงหาลิมิตของลาดับ an = 2 โดยการเขียนกราฟ n 1 n 1 2 3 4 5 6 3 3 3 3 3 3 an 2 5 10 17 26 37 7 3 50 …. an n จากกราฟ จะเห็นว่า เมื่อ n มีค่ามากขี้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว an มีค่าลดลงเข้าใกล้ 0 แต่ไม่เท่ากับ 0 3 จึงกล่าวว่าลาดับ an = 2 มีลิมิตเท่ากับ 0 หรือ lim an 0 และ an เป็นลาดับลู่เข้า x n 1 3 2. จงหาลิมิตของลาดับ an = 2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลาดับ n 1 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ 3 x n2 1 lim วิธีทา n2 = lim 40 3 n2 n2 1 n 2 2 n n x 2 3 lim = x 1 n2 1 x x n2 3(0) = 1 0 lim 1 lim 0 1 = 0 = 3 =0 x n2 1 ดังนั้น lim 3. การหาลิมิตของลาดับ มีขั้นตอนดังนี้ สรุป การหาลิมิตของลาดับ มีขั้นตอนดังนี้ 1. ลาดับที่จะนามาพิจารณาลิมิตนั้นต้องเป็นลาดับอนันต์ 2. ถ้ากล่าวว่า L เป็นลิมิตของลาดับที่มีพจน์ที่ n เป็น an หมายถึง เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่ สิ้นสุด พจน์ที่ n ของลาดับจาเข้าใกล้หรือเท่ากับจานวนจริง L ( อ่านว่า ลิมิตของลาดับ an เมื่อ n มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด เท่ากับ L ) 3. ลาดับอนันต์ที่มีลิมิตเรียนว่า ลาดับลู่เข้าส่วนลาดับอนันต์ที่ไม่มีลิมิตเรียกว่า ลาดับลู่ออก 4. การพิจารณาว่าลาดับใดจะมีลิมิตหรือไม่นั้น อาจทาได้โดยใช้ทฤษฎีบท แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 41 เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 5.1 เรื่อง ลิมิตของลาดับโดยการพิจารณา จากกราฟ คาชี้แจง จงเขียนกราฟเพื่อตรวจสอบดูว่าลาดับต่อไปนี้เป็นลาดับลู่เข้าหรือลู่ออก พร้อมทั้งหาลิมิต ของลาดับ 1 1. an n 1 n an 1 1 2 2 1 3 3 1 4 4 1 5 5 1 6 6 1 7 7 1 8 …. … an n ตอบ……………ลาดับลู่เข้าและลิมิต an = 0 ………………………………………………………………………… แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 42 2. an n 1 1n n an 1 0 2 3 3 2 4 5 5 4 6 6 7 5 …. an n 1 2 3 4 5 6 7 ตอบ……………………ลาดับลู่ออก………………………………………………………………………………………… 3 n 3. an 2 n an 1 3 2 2 9 4 3 27 8 4 81 16 5 243 32 6 729 64 7 2187 128 …. …. an n 1 2 3 4 5 6 7 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 43 ตอบ……………………ลาดับลู่ออก…………………………………………………………………………………… 2 n 4. an 3 n an 1 2 3 2 4 9 3 8 27 4 16 81 5 32 243 6 64 279 7 128 2187 …. …. an n ตอบ………………………ลาดับลู่เข้าและลิมิต an = 0……………………………………………………………… 1 5. an 3 n 2 n an 1 5 2 2 11 4 3 23 8 4 47 16 5 95 32 6 191 64 7 383 128 …. …. an n ตอบ………………… ลาดับลู่เข้าและลิมิต an = 3 …………………………………………………………………… แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 44 แบบฝึกทักษะที่ 5.2 เรื่อง ลิมิตของลาดับ คาชี้แจง จงใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลาดับเพื่อตรวจสอบว่าลาดับต่อไปนี้ เป็นลาดับลู่เข้าหรือลู่ ออก พร้อมทั้งหาลิมิตของลาดับ 7 9 10 2. an 3n 7 = 9 7 x 9 10 เป็นลาดับ.....ลู่เข้า................ lim x 3n 1. an เป็นลาดับ.....ลู่เข้า.............. 3. an 1 1n เป็นลาดับ....ลู่ออก............... lim =0 lim an 1 1n = หาค่าไม่ได้ x 1n 4. an n 1n เป็นลาดับ......ลู่เข้า................. lim x n 7 n 5. an 5 ไม่ได้ 7 n เป็นลาดับ.......ลู่ออก.............. lim x 5 6. 2 an 2 7. 3n1 an n2 5 1 n3 6n 2 9. an 3n n2 10. an 3 8. an 5 n 2 เป็นลาดับ.......ลู่เข้า.............. lim x 2 =0 = หาค่า n 3n1 เป็นลาดับ........ลู่เข้า................. lim n2 x 5 1 เป็นลาดับ.......ลู่เข้า................. lim 5 3 x n 6n 2 เป็นลาดับ.......ลู่เข้า................. lim x 3n n2 เป็นลาดับ........ลู่ออก................ lim x 3 6 7n5 6 7n5 11. an 6 เป็นลาดับ.......ลู่เข้า.............. lim 6 5 x 4n 3n5 4n 3n แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ =0 =0 =5 =2 = หาค่าไม่ได้ = 7 3 เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 8n3 2n2 5 8n3 2n2 5 12. an 3 เป็นลาดับ...ลู่เข้า.......... lim 3 x 6n 5n 3 6n 5n 3 45 = 43 7 4n3 13. an 5 2n n3 7 4n3 เป็นลาดับ......ลู่เข้า........... lim x 5 2n n3 =4 3 n 2 3 14. an n 3 2 3 n 2 3 เป็นลาดับ....ลู่เข้า........... lim n x 3 2 =9 5n1 2n1 1 15. an เป็นลาดับ...ลู่เข้า......... 5n1 3 5n1 2n1 1 lim x 5n1 3 = 1 25 6n2 2n1 4 6n2 2n1 4 16. an n n1 เป็นลาดับ...ลู่เข้า......... lim n n1 = 12 x 2 3 2 3 2 2 8n 1 8n 1 17. an เป็นลาดับ..ลู่ออก........... lim = หาค่าไม่ได้ x 1 2n 1 2n 2 72n 3n 18. an 3 9n2 1 72n2 3n 3 lim x 9n2 1 19. an 4n 1 n 1 เป็นลาดับ...ลู่เข้า.............. =2 เป็นลาดับ...ลู่เข้า................ lim x 4n 1 n 1 =2 n2 n2 n2 n2 1 20. an เป็นลาดับ......ลู่เข้า.......... lim = x 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 46 เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนฉบับ A เรื่อง ลิมิตของลาดับ เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน 1) ข 6) ง 2) ง 7) ก 3) ค 8) ค 4) ก 9) ง 5) ข 10) ข เฉลยแบบทดสอบหลังเรียนฉบับ B เรื่อง ลิมิตของลาดับ เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน 1) ข 6) ข 2) ข 7) ก 3) ค 8) ง 4) ง 9) ก 5) ง 10) ค ร่วมมือช่วยเหลือกัน เป็นความสาเร็จ ของกลุ่มนะคะ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 47 ตารางบันทึกคะแนน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เล่มที่ 5 เรื่อง ลิมิตของลาดับ ************* ชื่อ–สกุล …………………………………………………………………………..ชั้น…………..….……เลขที่……………………. รายการ แบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ ก่อนเรียน เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ แบบทดสอบก่อนเรียนแบบฝึกทักษะ เล่มที่ 5 เรื่อง ลิมิตของลาดับ แบบสรุปเนื้อหา แบบฝึกทักษะที่ 1.1 แบบฝึกทักษะที่ 1.2 แบบทดสอบหลังเรียนแบบฝึกทักษะ เล่มที่ 5 เรื่อง ลิมิตของลาดับ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ ผู้บันทึกคะแนน ลงชื่อ (นางสาวอุบล ชูรัตน์) ครูผู้สอน แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ 48 บรรณานุกรม กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ชุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย. กระทรวงศึกษาธิการ. (2555). หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ เล่ม 6. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพร้าว. จักรินทร์ วรรณโพธิ์กลาง. (2551). คัมภีร์คณิตศาสตร์ ม 4-5-6. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์เพิ่มทรัพย์ การพิมพ์. จีระ เจริญสุขวิมลและวินิจ วงศ์รัตนะ. (ม.ป.ป). สรุปสูตรคณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 5-6. กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. เทพฤทธิ์ ยอดใส และคณะ. (2556). กุญแจคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4-6 เล่ม 6. กรุงเทพฯ: พ.ศ.พัฒนา. ธนกาญจน์ ภัทรากาญน์. (2552). คณิตสาระ ม.ปลาย : แคลคูลัส. กรุงเทพฯ: สานักพิมพ์แห่ง จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย. สมัย เหล่าวานิชย์. (ม.ป.ป.). คู่มือเตรียมสอบคณิตศาสตร์ ม 4-5-6 สาระการเรียนรู้เพิ่มเติม. กรุงเทพ: ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. สมัย เหล่าวานิชย์และพัวพรรณ เหล่าวานิชย์. (ม.ป.ป.). คณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 5 ค 015. กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง. ท่าบ่อ. โรงเรียน. (2559). หลักสูตรสถานศึกษา โรงเรียนท่าบ่อ ปรับปรุง ปีการศึกษา 2559. หนองคาย: งานบริหารวิชาการ. แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับอนันต์และอนุกรมอนันต์ เล่มที่ 5 ลิมิตของลำดับ