MATEMATIKA II
Funtzioen jarraitutasuna eta eten motak
1
Jarraitutasuna
f (x) funtzioa jarraia izango da a puntuan, baldin eta soilik baldin lim f (x) eta f (a) existitzen badira,
x→a
eta berdinak direnean, hau da:
lim f (x) = f (a) .
x→a
Jakinda limitea existitu behar dela, eta limitea existitu dadin albo limiteak berdinak izan behar direla,
hurrengo eran idatz genezake jarraitutasunaren definizioa:
lim f (x) = lim f (x) = f (a) .
x→a−
x→a+
Adibidea
Determina ezazu hurrengo funtzioaren jarraitasuna x = 2 puntuan:


x2 − 1 x < 2
f (x) =

3x − 3 x ≥ 2.
Ebazpena
Funtzioaren bi definizioak polinomikoak direnez gero, funtzioa jarraitua izango da haien eremu
osoan. Ordea, x = 2 puntua aztertu beharra dago, definizio aldaketa dagoenez gero.
Funtzio bat jarraia izan dadin puntu batean, bi albo limiteen balioak eta funtzioaren balioa
berdinak izan behar dira, hain zuzen ere:
lim f (x) = lim f (x) = f (2) .
x→2−
lim
x→2−
x→2+
x2 − 1 = 4 − 1 = 3.
lim (3x − 3) = 6 − 3 = 3.
x→2+
f (2) = 3.
Hortaz, f (x) funtzioa jarraia da x = 2 puntuan, eta bi tarteetako funtzioak polinomikoak
direnez gero, funtzioa jarraia da R osoan.
1
2
Eten motak
Baldin eta funtzioa jarraitua ez bada puntu batean, funtzioak puntu horretan etenune bat duela
esango dugu. Etenune motaren arabera hurrengoak desberdintzen dira:
2.1
Etenune gaindigarriak
Izan bedi x = a edozein puntu. Baldin eta limitea existitzen bada (hau da, ∃ lim f (x)) baina ez bada
x→a
f (a)-ren berdina, orduan etenune gaindigarri bat dagoela esango dugu, hurrengo bi kasuak bereiziz:
2.1.1
f (a) 6= lim f (x) kasua
x→a
Limitea eta funtzioak puntu horretan duen balioa
A
desberdinak dira:
lim f (x) 6= f (a) .
x→a
Adibidea
Jarraitua al da hurrengo funtzioa x = 1 puntuan? Ezezkoa bada zehaztu eten mota.


x2 + 1 x 6= 1
f (x) =

0
x=1
Ebazpena
Funtzioa jarraitua izan dadin x = 1 puntuan, hurrengoa bete behar da:
lim f (x) = lim f (x) = f (1) .
x→1−
x→1+
lim x2 + 1 = 12 + 1 = 2.
x→1
f (1) = 0.
Hortaz, lim f (x) = 2 6= f (1) = 0 ⇒ f (x) ez da jarraitua x = 1 puntuan.
x→1
Limitea existitzen denez etenune gaindigarria da, f (a) 6= lim f (x) motakoa.
x→a
2
2.1.2
f (a) definitu gabeko kasua
Funtzioak ez dauka puntu hori definiturik.
A
Adibidea
Jarraitua al da hurrengo funtzioa x = 0 puntuan? Ezezkoa bada zehaztu eten mota.


e2x + 2
x<0
f (x) =

e−x + x + 2 x > 0
Ebazpena
Funtzioa jarraitua izan dadin x = 0 puntuan, hurrengoa bete behar da:
lim f (x) = lim f (x) = f (0) .
x→0−
lim
e2x + 2 = 0 + 2 = 2.
lim
e−x + x + 2 = 0 + 0 + 2 = 2.
x→0−
x→0+
x→0+
Ordea, f (0) ez dago funtzioan definituta.
Hortaz, funtzioa ez da jarraitua izango x = 0 puntuan.
Limitea existitzen denez etenune gaindigarria da, f (a) definitu gabekoa.
3
2.2
Jauzi finituko etenuneak
Bi albo limiteen balioa desberdina denean jauzi
finituko etenunea dugula esango dugu, hain zuzen ere:
lim f (x) 6= lim f (x) .
x→a−
x→a+
Adibidea
Aztertu hurrengo funtzioaren jarraitutasuna x = 2 puntuan, eten mota adieraziz.


ln (x − 1) + 2x x ≤ −2
f (x) = √

 x3 + 1 − 1
x>2
Ebazpena
Funtzioa jarraitua izan dadin x = 2 puntuan, hurrengoa bete behar da:
lim f (x) = lim f (x) = f (2) .
x→2−
x→2+
lim (ln (x − 1) + 2x) = ln (1) + 2 · 2 = 0 + 4 = 4.
x→2−
lim
x→2+
p
p
x3 + 1 − 1 = x3 + 1 − 1 = 3 − 1 = 2.
f (2) = 4.
Horrenbestez, lim f (x) = 4 6= lim f (x) = 2 ⇒ f (x) ez da jarraitua izango x = 2 puntuan.
x→2−
x→2+
Albo-limiteak existitzen badira ere, limitea ez denez existitzen jauzi finituko etenunea da.
4
2.3
Jauzi infinituko etenuneak
Baldin eta x = a puntuan definitutako alboko
limite baten edo bien balioa infinitu bada, orduan
jauzi infinituko etenunea dugula esango dugu. Hain
zuzen ere, asintota bertikala dago puntu horretan.
Horrenbestez, hurrengoa baieztatzen da:
lim f (x) = ±∞ edo lim f (x) = ±∞.
x→a−
x→a+
Adibidea
Zehaztu hurrengo funtzioaren definizio-eremua eta aztertu jarraitutasuna.
Etenunerik
egotekotan adierazi mota.
f (x) =
2x
x+6
Ebazpena
Definizio-eremua:
x + 6 = 0 → x = −6. Hortaz, Domf (x) = R − {−6} .
Funtzioa arrazionala denez gero, eremu osoan jarraitua izango da, eta, horrenbestez, eremutik
kanpo dagoen puntua aztertu behar dugu, x = −6 puntua, hain zuzen ere.
2x
−12
lim
= − = +∞.
−
2x
−12
k
0
x→−6 x + 6
lim
=
=
(ind.) →
−12
2x
x→−6 x + 6
0
0
lim
= + = −∞.
0
x→−6+ x + 6
Hortaz, funtzioa ez da jarraitua izango x = −6 puntuan, eta asintota bertikala dauka puntu
horretan. Beraz, jauzi infinituko etenune bat da, ezkerretik +∞-ra eta eskumatik −∞-ra
doana.
5
3
Eskema
• Funtzio bat jarraia da x = a puntuan hurrengo betetzen bada:
lim f (x) = lim f (x) = f (a) .
x→a−
x→a+
• Etenune gaindigarria:
• lim f (x) 6= f (a)
x→a
• @f (a)
• Jauzi finituko etenunea: lim f (x) 6= lim f (x).
x→a−
x→a+
• Jauzi infinituko etenunea: lim f (x) = ±∞ edo lim f (x) = ±∞.
x→a−
4
x→a+
Ariketak
1. Zehaztu ea hurrengo funtzioa jarraia baden eremu osoan. Ezezkoa izatekotan sailkatu etenak:


 2x
x<2
f (x) = x − 1

ln (3 − x) + 3 x ≥ 2.
2. Zein izan behar da a parametroaren balioa hurrengo funtzioa jarraia izan dadin R osoan?


x2 + ax − 1 x ≤ 1
f (x) =

x + 4
x > 1.
3. Aztertu ondoko funtzioen eten motak eta sailkatu itzazu:
a) f (x) =
4
.
(x + 2) (x − 3)
√
b) g (x) =
2x − 4 − 1
.
3x
4. Zehaztu hurrengo funtzioaren jarraitutasuna kasu bakoitzean (etenak sailkatuz):


 3
x<1
f (x) = x − m

mx2
x ≥ 1.
a) m = 1 kasuan.
b) m = 2 kasuan.
6