Curso de Nivelación en Matemáticas
Ejercicios
Unidad 4: Geometría
Punto, Recta y Plano. Distancias.
1. Halla la distancia entre A y B en cada caso:
a) A(-7, 4) , B(6, 4)
b) A(3, 4) , B(3, 9)
c) A(-5, 11) , B(0, -1)
2. Calcula los valores de k para que la distancia de A(−1, 4) a B(k, 1) sea igual
a 5.
3. Elige la opción correcta:
(a) Un segmento es:
a) La parte de una recta comprendida entre dos puntos.
b) Dos puntos unidos por una línea.
c) Una recta pequeña.
(b) Por un punto solo pueden pasar:
i) Dos rectas
ii) Infinitas rectas.
iii) Una única recta.
(c) Dos rectas en el plano son paralelas si:
i) Se cortan en un punto.
ii) Solo tienen un punto en común.
iii) No tienen ningún punto en común.
(d) Una semirrecta es:
i) Un punto en el medio de una recta.
ii) Cada una de las partes en las que está dividida una recta por uno
de sus puntos.
iii) La mitad de una recta.
4. Responde:
(a) ¿Cuántos puntos tiene una recta?
(b) ¿Cuántas rectas contiene un plano?
(c) ¿Cuántas rectas pasan por un punto? ¿Y por dos puntos? ¿Y por tres?
Dibujen cada situación.
(d) ¿Cuántos planos pueden intersectar a una recta en un punto?
(e) ¿Es posible que dos planos se intersecten en un punto solamente?
1
Curso de Nivelación en Matemáticas
(f) ¿Pueden dos planos contener a la misma recta?
(g) ¿Pueden tres planos coincidir en un punto solamente?
(h) ¿Cuántos planos se pueden trazar por dos puntos distintos?
5. Confecciona un gráfico que cumpla simultáneamente con las siguientes
condiciones:
• Un plano y llámalo π.
• Una recta r que pertenezca a π y una recta t que no pertenezca a π.
• Un punto P que pertenezca a la recta t y no pertenezca al plano π.
6. Dada la figura:
Los ángulos cóncavos del polígono son:
a) A, B, D, E y G
b) C y F
2
c) A, B, C, F y G
Curso de Nivelación en Matemáticas
Ángulos
7. Realiza las las siguientes operaciones.
(a) 68◦ 35′ 42′′ + 56◦ 46′ 39′′
(b) 5◦ 48′ 50′′ + 6◦ 45′ 30′′ + 7◦ 58′ 13′′
(c) 6◦ 13′ 45′′ + 7◦ 12′ 43′′ + 6◦ 33′ 50′′
(d) 4◦ 11′ 17′′ − 1◦ 16′ 3′′
(e) 11◦ 44′ 11′′ − 5◦ 16′ 39′′
(f) 50′ 43′′ − 3′ 50′′
(g) (23◦ 21′ 19′′ ) · 4
(h) (14◦ 21′ 7′′ ) · 5
(i) (85◦ 35′ 9′′ ) ÷ 3
(j) (44◦ 21′ 35′′ ) ÷ 5
8. Convierte la medida del ángulo a radianes. Redondea a tres cifras decimales:
a) 45◦
d) 532◦
b) 87, 4◦
e) − 0, 83◦
c)
f)
− 216, 35◦
− 48, 27◦
9. Convierte la medida del ángulo a grados, minutos y segundos sin usar calculadora.
a)
d)
240, 6◦
0, 45◦
b) − 145, 8◦
e) 2, 5◦
10. Dados los ángulos α =
11. Dados los ángulos α=
c)
f)
− 345, 12◦
− 3, 58◦
π
π
9
π
,β=3
y γ = , calcula: α − 2 β − γ
3
8
6
2
π
π
π
β
,β=
y γ = , calcula: −4γ + 3α +
2
14
7
2
12. Calcula los ángulos complementarios y suplementarios de 38◦ 36′ 43′′ .
13. Calcula los ángulos complementarios y suplementarios de 25◦ 38′ 40′′ .
14. Encuentra (si es posible) el complemento y el suplemento de los ángulos:
a)
d)
π
3
11
π
12
π
4
c)
π
12
e) 3
f)
1
b)
3
Curso de Nivelación en Matemáticas
15. Las dos terceras partes del complemento de β es un ángulo de 20◦ .
(a) Indica cuál o cuales de las siguientes ecuaciones permitirán obtener
el valor de β̂.
2 ◦
90 − β̂ = 20◦
3
3
II. 90◦ − β̂ = 20◦ ·
2
I.
2 ◦
(90 − β̂) = 20◦
3
2
IV. 90◦ − β̂ = 20◦ ·
3
III.
(b) Halla la medida de β̂ y de su complemento.
16. Utilizando la información dada en cada figura, calcula los ángulos señalados como 1 y 2:
17. En cada uno de los siguientes casos y a partir de la información dada en la
figura, decide si hay rectas paralelas. Justifica tu respuesta.
4
Curso de Nivelación en Matemáticas
18. Halla la medida de α y β.
19. Ana y Laura han decidido dar vueltas en la calesita del parque Avellaneda.
Ana ha montado en un caballito de madera que está a 3.5m del centro de
la plataforma giratoria y Laura se ha subido en un león que está a 2m del
centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la calesita ha
dado 50 vueltas.
20. Los brazos de un columpio miden 1, 8m de largo y pueden describir como
máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del
columpio cuando éste llega al ángulo máximo en su balanceo.
21. En la provincia de Tierra del Fuego se encuentra el faro más antiguo de
Argentina, llamado Faro de San Juan de Salvamento, pero más conocido
como Faro del fin del mundo. Barre con su luz un ángulo plano de 128◦ y
tiene un alcance máximo de 10km. ¿Cuál es la longitud máxima del arco
correspondiente?
22. Teniendo en cuenta la siguiente figura:
5
Curso de Nivelación en Matemáticas
Calcula el área de la parte sombreada, si el radio del círculo mayor mide 6
cm y el radio de los círculos pequeños miden 2 cm.
23. La longitud de una circunferencia es 43,96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?
24. Si en una circunferencia, cuyo radio mide 4 cm, el ángulo central subtiende
un arco de 12 cm, ¿cuánto mide dicho ángulo en radianes? ¿Y en grados?
25. Considerando la siguiente figura, encuentra el valor de los ángulos  y B̂.
26. Calcula los ángulos  y B̂ indicados en la siguiente figura:
27. Demuestra que, sin importar la posición sobre la semicircunferencia del
punto P que se muestra en la figura, el ángulo θ siempre medirá 90◦ . Ten
en cuenta que AB es el diámetro de la semicircunferencia.
6
Curso de Nivelación en Matemáticas
28. Analiza la siguiente figura y dí a qué conclusión general puedes llegar.
Polígonos
29. Divide los siguientes polígonos regulares en triángulos y deduce el valor
de la suma de los ángulos interiores de un:
a) PENTÁGONO
b) HEXÁGONO
30. ¿Cuánto mide el lado de un polígono regular inscripto en una circunferencia de 6cm de radio cuya apotema mide 4,5 cm?
31. Usa la longitud de arco y radio dados, para hallar el ángulo θ (en radianes).
7
Curso de Nivelación en Matemáticas
32. Se usa una grúa eléctrica para levantar una viga como muestra la figura. El
diámetro del tambor de la grúa mide 25 cm y la viga debe ser levantada 75
cm. Encuentra el ángulo, en radianes, que debe girar el tambor.
33. Las ruedas de un auto miden 71 centímetros de diámetro ¿Qué distancia (en
kilómetros) recorrerá el auto si sus ruedas giran 10.000 veces sin patinar?
34. El matemático griego Eratóstenes (hacia 276-195 a.C.) midió la circunferencia de la Tierra utilizando la siguiente información. Observó que, en cierto
día, los rayos del Sol caían directamente en un pozo profundo en Syene
(actual Aswan). Al mismo tiempo, en Alejandría, a 800 kilómetros al norte,
en el mismo meridiano, los rayos del Sol brillaban a un ángulo de 7.2◦ con
respecto al cenit. Usa esta información y la figura para hallar el radio y
circunferencia de la Tierra.
35. Un aspersor en un campo de golf riega agua a una distancia de 21 metros y
gira un ángulo de 120°(ver figura). Encuentra el área regada por el aspersor.
8
Curso de Nivelación en Matemáticas
Triángulos
36. Dados los siguientes puntos, traza triángulos de vértices A, B y C; clasifícalos según la longitud de sus lados y calcula su perímetro:
a) A(-2, 2), B(1, 6) y C(6, -6)
b) A(-5, -2), B(0, 6) y C(5,-2)
37. De un triángulo rectángulo ABC, se conoce la hipotenusa, un cateto y uno
de los ángulos, cuyos valores son a = 45m, c = 41, 72m y B = 22◦ respectivamente. Hallar los lados y ángulos faltantes del triángulo.
38. Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados
miden 80 m y 130 m. El segmento HC representa un 30% de la base del
triángulo.
39. Calcular el valor del ángulo x.
9
Curso de Nivelación en Matemáticas
40. Dado el triángulo ABC de la figura, dibuja:
• La mediatriz de BC.
• La mediana que pasa por A.
• La altura que pasa por C.
41. Dibuja un triángulo isósceles y traza las medianas, alturas y mediatrices
del mismo. Localiza el baricentro, ortocentro y circuncentro del triángulo.
42. Considera el triángulo ABC.
(a) Escribe la condición que determina que la recta que pasa por los puntos A y D es la bisectriz del ángulo A.
10
Curso de Nivelación en Matemáticas
(b) Dibuja la altura correspondiente al lado BC.
(c) Dibuja el círculo inscripto en el triángulo.
43. Considera el triángulo ABD, rectángulo en B, donde el segmento AB =
◦
’
3cm, BD
√ = 4cm y el ángulo DAB = 53.13 .Sabiendo que el segmento
3 5
’
AC =
es la bisectriz de DAB.
2
’
(a) Calcula el ángulo ACB.
(b) Calcula el segmento DC.
Teorema de Pitágoras
44. El tercer piso de un edificio de 5 pisos, está a 25 m de la azotea. Un auto se
encuentra a 11 m de la base del edificio. Si desde la azotea hasta el auto
hay una distancia de 61 m, ¿a qué altura del suelo se encuentra el tercer
piso?
45. La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la diagonal
de la pantalla en unidades de pulgadas. Una pulgada equivale a 2,54 centímetros. Si tu papá desea comprar un televisor para colocarlo en un hueco
de 96 cm por 72 cm, ¿de cuántas pulgadas debe ser, como máximo, el televisor?
√
46. Una parcela de terreno cuadrado dispone de un camino de longitud 2 2
kilómetros (segmento discontinuo) que la atraviesa según se muestra en
la siguiente imagen:
11
Curso de Nivelación en Matemáticas
Calcula el área total de la parcela.
Triángulo inscripto y circunscripto
47. Halla el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del triángulo
equilátero inscrito, siendo 2 cm el radio de la circunferencia.
48. Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, halla el área de uno de los
sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios
que pasan por los vértices. Ten en cuenta que las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas de un triángulo equilátero coinciden en el mismo
punto.
12
Curso de Nivelación en Matemáticas
49. Los catetos de un triángulo rectángulo inscripto en una circunferencia miden 22,2 cm y 29,6 cm respectivamente. Calcula el área de la circunferencia,
sabiendo que la hipotenusa es un diámetro de la misma..
50. En la siguiente figura:
13
Curso de Nivelación en Matemáticas
(a) Halla el valor del lado del cuadrado inscripto en la circunferencia de
radio r = 3.
(b) Halla el área comprendida entre el cuadrado y la circunferencia.
51. En un triángulo ABC de lados AB = 8, BC = 10 y AC = 12. Calcula el
segmento AM .
Semejanza de triángulos
52. Considera la siguiente figura y calcula la altura de la columna de color rojo.
53. Cuenta la historia que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales de Mileto
cuánto puede medir la altura de la pirámide del rey Khufu (la pirámide de
Keops). Tales reflexionó y a continuación contestó que no se conformaba
con calcularla a ojo, sino que la mediría sin ayuda de ningún instrumento.
Se acostó sobre la arena y determinó la longitud de su propio cuerpo.
Cuando el sacerdote le pregunta qué está haciendo, Tales le explica: Me
14
Curso de Nivelación en Matemáticas
pondré simplemente en un extremo de esta línea, que mide la longitud
de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese
instante, la sombra de la pirámide de vuestro Khufu también ha de medir
tantos pasos como la altura de la pirámide. El sacerdote, desorientado
por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún
error, algún sofisma, Tales añade: Pero si queréis que os mida esa altura,
a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón. Haz como Tales y halla la
altura de la pirámide usando una vara de 2 m.
54. En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces
su altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente.
Calcula las dimensiones del rectángulo.
55. Para calcular la distancia desde la playa a un barco se han tomado las
medidas indicadas en la figura. Con estos datos, calcula la distancia al
barco.
15
Curso de Nivelación en Matemáticas
Cuadriláteros. Perímetro. Área.
56. En relación con los terrenos y las construcciones de edificios y casas, a veces los terrenos no son ni rectángulos ni cuadrados. En la figura se puede
observar un terreno. En la parte sombreada, con forma de triángulo, se
sembrará maíz y el resto del terreno se utilizará para levantar un departamento de dos pisos. ¿Cuál es el total de área que se usará para sembrar
maíz? ¿Cuál es el perímetro del terreno para construir el departamento?
57. La figura que se muestra, está formada por dos cuadrados congruentes y
un triángulo equilátero. Halla el perímetro de la figura si AB = CD = 6cm.
58. Halla el perímetro y el área del pentágono regular:
16
Curso de Nivelación en Matemáticas
59. Encuentra el área de la región sombreada.
17