1
Espacio afín
1.1
De…nición de Espacio afín
Un espacio afín real es una terna (A; V; ) formada por un conjunto A, un
espacio vectorial real V y una aplicación : A A ! V que cumple:
1. 8P 2 A y 8~u 2 V existe un único Q 2 A tal que
(P; Q) = ~u:
2.
(P; Q) + (Q; R) = (P; R) para todo P; Q; R 2 A.
!
Notación. Escribiremos (P; Q) = P Q. A los elementos del conjunto A
los llamamos puntos de A y diremos que V es el espacio vectorial asociado al
espacio afín (A; V; ). De…nimos la dimensión del espacio afín (A; V; ) como
dim A = dim V:
Ejemplo 1 Todo espacio vectorial V es un espacio afín con espacio vectorial
asociado V . En efecto, la terna (A; V; ) donde A =V y la aplicación dada
por:
: A A ! V; (~u; ~v ) = ~v ~u;
veri…ca las condiciones de la de…nición de espacio afín.
Ejemplo 2 Por el ejemplo anterior tenemos que (R2 ; R2 ; ) es un espacio
afín de dimensión 2, (R3 ; R3 ; ) es un espacio afín de dimensión 3. En general
(Rn ; Rn ; ) es un espacio afín de dimensión n.
1.1.1
Propiedades de los espacios a…nes
Sea (A; V; ) un espacio afín real. Se veri…ca:
1.
(P; Q) = ~0 si y sólo si P = Q.
2.
(P; Q) =
3.
(P; Q) = (R; S) si y sólo si (P; R) = (Q; S).
1.2
(Q; P ), 8P; Q 2 A.
Referencia afín
Sea A un espacio afín de dimension n con espacio vectorial asociado V .
De…nición de referencia afín Un conjunto de n + 1 puntos fP0 ; P1 ; : : : ; Pn g
de un espacio
(A; V; ) eso un sistema de referencia afín de A si el conjunto
n afín
!
!
de vectores P0 P1 ; : : : ; P0 Pn es una base del espacio vectorial V .
1
n !
!o
De…nición El punto P0 2 A tal que P0 P1 ; : : : ; P0 Pn es una base de V , se
denomina origen del sistema de referencia fP0 ; P1 ; : : : ; Pn g.
Proposición Dado un punto P0 2 A existe un sistema de referencia afín de
A con origen el punto P0 .
Demostración Por el teorema de la base sabemos que todo espacio vectorial
…nitamente generado admite al menos una base. Sea B = f~u1 ; : : : ; ~un g una base
!
de V . Sean Pi los puntos de A tales que P0 Pi = ~ui , i = 1; : : : ; n. El conjunto
de puntos fP0 ; P1 ; : : : ; Pn g de A es un sistema de referencia afín de A.
Corolario Dado un punto O 2 A y una base B de V , tenemos una referencia
afín de A, que también se denomina referencia cartesiana y se denota R =
fO; Bg.
De…nición de coordenadas
Se llaman coordenadas de un punto P 2 A
respecto a una referencia afín R = fO; Bg del espacio afín A a las coordenadas
!
del vector OP respecto de la base B del espacio vectorial V ; esto es, a la n-upla
( 1 ; : : : ; n ) tal que
!
OP = 1 ~u1 +
+ n ~un
donde ~u1 ; : : : ; ~un son los vectores de la base B. Escribiremos: P (
1; : : : ;
n )R .
Ejemplo Sea R = fO; Bg un sistema de referencia afín de un espacio afín
(A; V; ) de dimensión 3. Consideramos el sistema de referencia R0 = fO0 ; B 0 g
con O0 (1; 2; 1)R y B 0 = (~u1 ; ~u2 ; ~u3 ), donde
~u1 = (1; 0; 0)B ;
~u2 = (1; 1; 0)B ;
~u3 = (1; 1; 1)B
Los vectores ~u1 ; ~u2 ; ~u3 forman una base de V pues al ser
1
0
0
1
1
0
1
1
1
6= 0
el sistema de vectores f~u1 ; ~u2 ; ~u3 g es linealmente independiente (y como sabemos
un sistema linealmente independiente formado por 3 vectores en un espacio
vectorial V de dimensión 3 es una base).
Sea el punto P cuyas coordenadas respecto a la referencia R son (5; 5; 0),
esto es,
!
P (5; 5; 0)R () OP = 5~u1 + 5~u2 + 0~u3 :
Vamos a calcular las coordenadas de P respecto de R0 :
!
O0 P = (5 1; 5 2; 0 + 1) = (4; 3; 1);
!
O0 P = x1 ~u1 + x2 ~u2 + x3 ~u3 = x1 (1; 0; 0) + x2 (1; 1; 0) + x3 (1; 1; 1)
= (x1 + x2 + x3 ; x2 + x3 ; x3 );
2
por tanto,
8
8
< 4 = x1 + x2 + x3
< x1 = 1
3 = x2 + x3
x2 = 2
=)
:
:
1 = x3
x3 = 1
y por tanto, (1; 2; 1) son las coordenadas de P respecto de R0 : P (1; 2; 1)R0 .
1.2.1
Ecuaciones del cambio de referencia afín
Sea A un espacio afín de dimension n con espacio vectorial asociado V y sean
R = fO; B = (~u1 ; : : : ; ~un )g, R0 = fO0 ; B 0 = (~u01 ; : : : ; ~u0n )g dos sistemas de
referencia a…nes de A.
Se considera P 2 A tal que P (x1 ; : : : ; xn )R y P (y1 ; : : : ; yn )R0 ; esto es,
!
OP = x1 ~u1 +
!
y O0 P = y1 ~u01 +
+ xn ~un
+ yn ~u0n :
¿Qué relación hay entre (x1 ; : : : ; xn ) y (y1 ; : : : ; yn )?
Sabemos que
!
!
!
OP = OO0 + O0 P :
Sean (a1 ; : : : ; an ) las coordenadas de O0 respecto de R; esto es,
!
OO0 = a1 ~u1 +
+ an ~un ;
y sean (a1i ; : : : ; ani ) las coordenadas del vector ~u0i respecto de la base B; esto
es,
u0i = a1i ~u1 +
+ ani ~un :
!
!
!
Sustituyendo lo anterior en OP = OO0 + O0 P obtenemos:
!
OP
!
!
= OO0 + O0 P
= a1 ~u1 +
+ an ~un + (y1 ~u01 +
+ yn ~u0n )
= a1 ~u1 +
+ an ~un + y1 (a11 ~u1 +
+ an1 ~un )
+
+ yn (a1n ~u1 +
+ ann ~un )
= (a1 + y1 a11 +
+ yn a1n ) ~u1
+
+ (an + y1 an1 +
+ yn ann ) ~un
!
y como OP = x1 ~u1 +
+ xn ~un , igualando coe…cientes, obtenemos:
8
+ yn a1n
>
< x1 = a1 + y1 a11 +
..
.
>
:
xn = an + y1 an1 +
+ yn ann
3
Matricialmente, el sistema de ecuaciones anterior se escribe:
1
10
0
1 0
1
1
0
0
1
B
C
B x1 C B a1 a11
a1n C
C B y1 C
B
C B
:
B
C
B .. C = B ..
.
..
.
.
..
.. A @ .. C
A
@ . A @ .
.
yn
an an1
ann
xn
También se puede escibir como sigue:
0
1
0
1 0
a1
x1
B
B .. C B .. C
@ . A = @ . A + MB 0 B @
an
xn
1
y1
.. C
. A
yn
donde la matriz MB 0 B es la matriz del cambio de base de B 0 a B:
1
0
a11
a1n
B
.. C
..
MB 0 B = @ ...
.
. A
an1
ann
La matriz
MR 0 R =
~0t
1
~a MB 0 B
0
B
B
=B
@
1
a1
..
.
0
a11
..
.
an
an1
..
.
0
a1n
..
.
ann
es la matriz de cambio de referencia de R0 a R.
1
C
C
C
A
Ejemplo En el espacio afín (A2 ; V2 ; ) se consideran las referencias R =
fO; B = (~u1 ; ~u2 )g, R0 = fO0 ; B 0 = (~u01 ; ~u02 )g siendo
!
OO0 = 3~u1 + 3~u2 ;
~u01 = 2~u1 ~u2 ;
~u02 =
~u1 + 2~u2 :
Se pide:
1. Determinar la matriz del cambio de referencia de R0 a R.
Tenemos
!
!
!
OP = OO0 + O0 P = 3~u1 + 3~u2 + y1 (2~u1 ~u2 ) + y2 ( ~u1 + 2~u2 )
= (3 + 2y1 y2 ) ~u1 + (3 y1 + 2y2 ) ~u2
Luego
x1 = 3 + 2y1 y2
x2 = 3 y1 + 2y2
4
esto es,
MR 0 R
0
1
=@ 3
3
0
2
1
1
0
1 A
2
2. Determinar la matriz del cambio de referencia de R
0
1 1 0
1 0
0
1 A =@
MR R 0 = MR 01R = @ 3 2
3
1 2
a R0 .
1
3
3
0
0
2
3
1
3
1
3
2
3
1
A
3. Si (3; 5) son las coordenadas de un punto P en la referencia R, determinar
los coordenadas de P en R0 .
0 1 0
10 1 0
1
1 0 0
1
1
1
MR R 0 @ 3 A = @ 3 32 13 A @ 3 A = @ 23 A
4
5
5
3 13 23
3
4. Si (2; 3) son las cooordenadas de un punto Q en la referencia R0 , determinar los coordenadas de Q en R.
10 1 0 1
0 1 0
1
1
1 0
0
1
1 A@ 2 A = @ 4 A
MR 0 R @ 2 A = @ 3 2
7
3
3
1 2
3
MAPLE
>restart: >with(linalg):
>M[RpR]:=concat([1,3,3],[0,2,-1],[0,-1,2]);
>M[RRp]:=inverse(M[RpR]);
>evalm(M[RRp]&*[1,3,5]);
>evalm(M[RpR]&*[1,2,3]);
5
1.3
Subespacio afín
De…nición de subespacio afín Sea (A; V; ) un espacio afín real. Un subconjunto L A es un subespacio afín de A si …jado un punto P 2 L el conjunto
W (L) = fP Q j Q 2 Lg
es un subespacio vectorial de V .
Si L A es un subespacio afín, el subespacio vectorial W (L) que cumple lo
~
anterior se denomina subespacio vectorial asociado a L y se denota L.
Proposición La de…nición anterior no depende del punto P …jado.
Proposición Sea (A; V; ) un espacio afín real y L un subespacio afín de A.
~ ) es un espacio afín.
La terna (L; L;
Proposición Sea (A; V; ) un espacio afín real y L un subespacio afín de A.
Para cada punto P 2 A y cada subespacio vectorial W V el conjunto
!
S(P; W ) = fX 2 A j P X 2 W g
es un subespacio afín de A que denotaremos P + W .
De…nición de dimensión de un subespacio afín Sea (A; V; ) un espacio
afín real y L un subespacio afín de A. Se de…ne la dimensión de L a la dimensión
~
de su subespacio vectorial asociado: dim L = dim L.
Notación Sea (A; V; ) un espacio afín real de dimensión n. Los subespacios
de dimensión 0 son los puntos de A. Los subespacios de dimensión 1; 2 y n 1
se llaman las rectas, planos e hiperplanos, respectivamente.
1.3.1
Intersección y suma de subespacios a…nes
Sea (A; V; ) un espacio afín real y L1 ; L2 dos subespacios a…nes de A.
El conjunto intersección de L1 y L2 :
L1 \ L2 = fP j P 2 L1 y P 2 L2 g
es un subespacio afín de A. Si la intersección es no vacía; esto es, L1 \ L2 6= ;,
entonces
! ! !
L1 \ L2 = L1 \ L2 :
Se de…ne la suma de L1 y L2 como el menor subespacio afín que contiene a
!
!
L1 y a L2 y se denota L1 + L2 . Si L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 entonces
! !
!
L1 + L2 = P1 + L1 + L2 + L(P1 P2 ):
6
Observación Si L1 \ L2 6= ; entonces
! ! !
L1 + L2 = L1 + L2 ;
y si L1 \ L2 = ; entonces
! ! !
!
L1 + L2 = L1 + L2 + L(P1 P2 ); P1 2 L1 ; P2 2 L2 :
!
!
Dos subespacios a…nes L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 se cortan si y sólo si
! ! !
P1 P2 2 L1 + L2 :
1.3.2
Paralelismo
!
!
Decimos que dos subespacios a…nes L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 de un espacio
! ! ! !
afín (A; V; ) son paralelos si L1 L2 ó L2 L1 .
!
!
Se dice que dos subespacios a…nes L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 se cruzan
si ni son paralelos ni se cortan.
1.3.3
Fórmulas de la dimensión
!
!
Sean L1 = P1 + L1 y L2 = P2 + L2 dos subespacios a…nes de un espacio afín
(A; V; ). Se cumple lo siguiente:
1. Si L1 \ L2 6= ;, entonces
dim(L1 + L2 ) = dim L1 + dim L2
2. Si L1 \ L2 = ;, entonces
dim(L1 + L2 ) = dim L1 + dim L2
dim(L1 \ L2 ):
! !
dim(L1 \ L2 ) + 1:
Demostración Claramente,
!
! !
!
dim(L1 + L2 ) = dim(L1 + L2 ) = dim(L1 + L2 + L(P1 P2 )):
! ! !
Si L1 \ L2 6= ; entonces L1 + L2 = L1 + L2 y entonces
! !
dim(L1 + L2 ) = dim(L1 + L2 )
!
!
! !
= dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 )
!
!
!
= dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 )
= dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 ):
! ! !
! !
!
Si L1 \ L2 = ; entonces P1 P2 2
= L1 + L2 (por tanto, (L1 + L2 ) \ L(P1 P2 ) = f~0g)
! !
!
dim(L1 + L2 ) = dim(L1 + L2 + L(P1 P2 ))
! !
!
! !
!
= dim(L1 + L2 ) + dim(L(P1 P2 )) dim((L1 + L2 ) \ L(P1 P2 ))
! !
= dim(L1 + L2 ) + 1
!
!
! !
= dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 ) + 1
! !
= dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 ) + 1:
7
!
Ejemplo: Posiciones relativas de dos rectas a…nes. Sean L1 = P1 + L1
!
y L2 = P2 + L2 dos rectas a…nes en un espacio afín (A; V; ) de dimensión n.
Las posibles posiciones relativas de L1 y L2 son:
Si L1 \ L2 6= ; entonces o L1 \ L2 es una recta y entonces dim(L1 \ L2 ) = 1
ó L1 \ L2 es un punto y entonces dim(L1 \ L2 ) = 0. Se tiene:
dim(L1 + L2 ) =
L1 y L2 son coincidentes
=)
L1 y L2 son secantes
dim L1 + dim L2
1=1+1 1
2=1+1 0
dim(L1 \ L2 )
! !
Si L1 \ L2 = ; entonces L1 \ L2 puede o ser una recta vectorial o ser el vector
nulo ~0. Se tiene:
dim(L1 + L2 ) =
L1 y L2 son paralelas
=)
L1 y L2 se cruzan
! !
dim L1 + dim L2 dim(L1 \ L2 ) + 1
2=1+1 1+1
3=1+1 0+1
De…nición Sean L1 = P1 + L(~u1 ) y L2 = P2 + L(~u2 ) dos rectas a…nes en un
espacio afín (A; V; ) de dimensión n. Se dice que:
1. Las rectas L1 y L2 se cruzan si no hay un plano que contenga a ambas; esto
!
es, si el sistema de vectores f~u1 ; ~u2 ; P1 P2 g es linealmente independiente.
2. Las rectas L1 y L2 son coplanarias si no se cruzan; esto es, si el sistema
!
de vectores f~u1 ; ~u2 ; P1 P2 g es linealmente dependiente.
3. Las rectas L1 y L2 se cortan si L1 \ L2 6= ;.
! !
4. Las rectas L1 y L2 son paralelas si L1 = L2 ; esto es, si ~u1 y ~u2 son proporcionales. Si además L1 \ L2 6= ; entonces las dos rectas son coincidentes.
1.3.4
Ecuaciones de un subespacio afín
Sea (A; V; ) un espacio afín con sistema de referencia afín R = fO; Bg, B =
(~e1 ; : : : ; ~en ). Y sea L
A un subespacio afín de A de dimensión k; esto es,
!
!
L = P + L con L = L(f~u1 ; ~u2 ; : : : ; ~uk g) y P (a1 ; : : : ; an )R y
8
8
~u1 = (a11 ; : : : ; an1 )
~u1 = a11~e1 +
+ an1~en
>
>
>
>
>
>
< ~u2 = (a12 ; : : : ; an2 )
< ~u2 = a12~e1 +
+ an2~en
()
..
..
>
>
.
.
>
>
>
>
:
:
~uk = (a1k ; : : : ; ank )
~uk = a1k~e1 +
+ ank~en
Ecuaciones paramétricas Un punto X(x1 ; : : : ; xn )R 2 L si y sólo si el vector
!
P X = (x1
a1 ; : : : ; xn
an ) 2 L(f~u1 ; : : : ; ~uk g):
8
Por tanto, X(x1 ; : : : ; xn )R 2 L si y sólo existen
!
PX =
u1
1~
+
1; : : : ;
+
k
2 R tales que
uk ;
k~
esto es,
(x1
a1 ; : : : ; xn
an ) =
1 (a11 ; : : : ; an1 )
+
+
k (a1k ; : : : ; ank )
o, equivalentemente
8
>
< x1 = a1 +
>
:
xn = an +
1 a11
+
+
k a1k
+
+
k ank
..
.
1 an1
que son las ecuaciones paramétricas del subespacio L.
Ecuaciones cartesianas Como estamos suponiendo que los vectores ~u1 ; : : : ; ~uk
son linealmente independientes (si no lo fueran, quitariamos los vectores que se
pueden escribir como combinación lineal del resto) tenemos que
0
1
a11
a1k
B
.. C = k:
..
rg (~u1 ; : : : ; ~uk ) = rg @ ...
.
. A
an1
!
Por tanto, P X = (x1
a1 ; : : : ; xn
0
x1 a1
B
..
rg @
.
xn
an
ank
an ) 2 L(f~u1 ; : : : ; ~uk g) si y sólo si
1
a11
a1k
..
.. C = k:
..
.
.
. A
an1
ank
Al imponer que dicho rango sea k obtenemos n k menores de orden k + 1 que
deben anularse. Esto es, obtenemos las n k ecuaciones cartesianas de L.
Observación Sean
L
8
>
< a11 x1 +
>
:
+ an1 xn = b1
..
.
a1r x1 +
+ anr xn = br
las ecuaciones cartesianas de un subespacio afín L de dimensión n r. Nótese
que las ecuaciones cartesianas de un subespacio afín L de dimensión n r es un
sistema de r ecuaciones lineales no homogéneas. Si P; Q 2 L entonces el vector
!
~u = P Q satisface las ecuaciones del sistema lineal homogéneo asociado a L.
9
Demostración Sean P (p1 ; : : : ; pn )R , Q(q1 ; : : : ; qn )R 2 L veamos que entonces
!
~u = P Q = (q1 p1 ; : : : ; qn pn )
es solución del sistema homogéneo
8
>
< a11 x1 +
>
:
a1r x1 +
+ an1 xn = 0
..
.
+ anr xn = 0
Para i = 1 : : : r cualquiera, se tiene
a1i (p1
q1 ) +
+ ani (pn qn ) = (a1i p1 +
= bi bi = 0:
+ ani pn ) (a1i q1 +
+ ani qn )
P;Q2L
Por tanto, las ecuaciones del sistema vectorial asociado a L son:
8
+ an1 xn = 0
>
< a11 x1 +
..
~
L
.
>
:
a1r x1 +
+ anr xn = 0
Ecuaciones de una recta Una recta afín r
dimensión 1; esto es, r = P + L(~u) con
P (a1 ; : : : ; an )R
Un punto X 2 r si y sólo
A es un subespacio afín de
y ~u = u1~e1 +
+ un~en :
!
P X = ~u;
esto es, si (x1 ; : : : ; xn ) son las coordenadas de X en la referencia R entonces,
(x1
o, equivalentemente
a1 ; : : : ; xn
an ) = (u1 ; : : : ; un )
8
>
< x1 = a1 +
..
.
>
:
xn = an +
1 u1
1 un
que son las ecuaciones paramétricas de la recta r.
Si suponemos u1 6= 0 (algún ui no se anula pues el vector ~u no es nulo), el
sistema anterior se escribe:
x1
a1
u1
=
=
xn
an
un
que son la ecuación en forma continua de la recta r.
10
!
!
Por último, X(x1 ; : : : ; xn )R 2 r si y sólo si XP 2 L(~u) () XP y ~u son
!
proporcionales. Por tanto, XP 2 L(~u) si y sólo si
0
1
x1 a1 u1
B
..
.. C = 1:
rg @
.
. A
xn an un
Al imponer que dicho rango sea 1 obtenemos n 1 menores de orden 2 que
deben anularse. Esto es, obtenemos n 1 ecuaciones cartesianas de r.
Ecuación cartesiana Un hiperplano afín H
A es un subespacio afín de
dimensión n 1; por tanto viene dado por una única ecuación cartesiana
a1 x1 +
+ an xn = b:
Un subespacio afín L de dimensión k es la intersección de n k hiperplanos
independientes cada hiperplano viene dado por una ecuación lineal y L viene
dado por un sistema de n k ecauciones lineales).
Posición relativa de subespacios El estudio de los sistemas de ecuaciones
de dos subespacios permite estudiar de manera sencilla la posición relativa de
dichos subespacios. Vamos a estudiar dos casos particularmente sencillos:
I. Posición relativa de dos hiperplanos Sean H1 ; H2
planos de ecuaciones cartesianas:
H1
H2
a1 x1 +
a01 x1 +
A dos hiper-
+ an xn = b;
+ a0n xn = b0 :
Las ecuaciones de sus respectivos espacios vectoriales asociados son
~1
H
~2
H
a1 x1 +
a01 x1 +
+ an xn = 0;
+ a0n xn = 0:
~1 = H
~2 y
Por tanto, si existe tal que (a01 ; : : : ; a0n ) = (a1 ; : : : ; an ) entonces H
los hiperplanos H1 , H2 son paralelos.
Si además, b0 = b entonces los hiperplanos H1 , H2 son coincidentes.
Si b0 6= b entonces los hiperplanos H1 , H2 no se cortan (H1 \ H2 = ;).
II. Posición relativa de recta e hiperplano Sea r = P + L(~u) una
recta afín en A con P (a1 ; : : : ; an )R y ~u = (u1 ; : : : ; un ). Y sea H un hiperplano
afín con ecuación cartesiana
a1 x1 +
+ an xn = b:
~ esto es, si
La recta r y el hiperplano H son paralelos si el vector ~u 2 H;
~
(u1 ; : : : ; un ) satisface la ecuación lineal homogénea del subespacio vectorial H;
es decir, si
a1 u1 +
+ an un = 0:
11
Ejemplo 1 Obtener ecuaciones paramétricas del subespacio afín L de A que
tiene respecto de cierta referencia R = fO; Bg las siguientes ecuaciones cartesianas:
x1 + x2 + 2x3 = 1
L
2x2 x3 = 1
Primer camino Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales no homogéneo
que de…ne L. Tomando x3 = pues
rg
obtenemos:
1
0
8
< x1 =
x2 =
:
x3 =
1
2
= 2;
1
2
1
2
5
2
1
2
+
que son unas ecuaciones paramétricas de L.
Segundo camino Como dim L = 3 rg(A) = 3 2 = 1, L es una recta.
Para determinarla basta dar un punto P 2 L y un vector que genere el sube~ Un punto P 2 L debe satisfacer las ecuaciones del sistema
spacio vectorial L.
que de…ne L; por ejemplo, P (3; 0; 1)R .
~ es una solución no trivial del
Un vector que genere el subespacio vectorial L
sistema lineal homogéneo:
x1 + x2 + 2x3 = 0
2x2 x3 = 0
Por ejemplo, el vector ~u = ( 5; 1; 2)B .
Luego, X(x1 ; x2 ; x3 )R 2 L si y sólo si (x1 ; x2 ; x3 ) = (3; 0; 1) + ( 5; 1; 2);
esto es, si
8
< x1 = 3 5
x2 =
:
x3 = 1 + 2
que también son ecuaciones paramétricas de L.
Ejemplo 2 Sea (A; V; ) un espacio afín con sistema de referencia afín R =
fO; Bg, B = (~e1 ; ~e2 ; ~e3 ). Obtener ecuaciones cartesianas del subespacio afín
~ donde P (1; 2; 1)R y L
~ = L(f~u1 ; ~u2 g) con ~u1 = (1; 2; 1) y ~u2 =
L = P + L,
(2; 1; 1).
~ son linealmente independiSolución Los vectores ~u1 ; ~u2 que generan L
entes. Por tanto, dim L = 2.
Un punto X(x1 ; x2 ; x3 )R 2 L si y sólo si el vector
!
P X = (x1
1; x2
2; x3 + 1) 2 L(f~u1 ; ~u2 g);
12
esto es, si y sólo si
0
x1 1 1
rg @ x2 2 2
x3 + 1
1
Por tanto x1
1
2
1 A = 2 () 0 =
1
x2
x1 1
x2 2
x3 + 1
1
2
1
2
1
1
= 3x1
3x2
3x3 :
x3 = 0 es la ecuación cartesiana de L.
MAPLE
>restart; >with(linalg);
>X:=[x[1],x[2],x[3]];
>P:=[1,2,-1]; u[1]:=[1,2,-1]; u[2]:=[2,1,1];
>A:=concat(evalm(X-P),u[1],u[2]);
>0=det(A);
Ejemplo 3 Se consideran las rectas r y s que tienen respecto de cierta referencia R = fO; Bg las siguientes ecuaciones cartesianas respectivamente:
x = 2z + p
y = z+3
r
s
x= z+1
y = 2z + q
Hallar la condición que deben cumplir los parámetros p y q para que las rectas r
y s sean coplanarias. Determinar p y q para que dicho plano contenga al punto
P (1; 1; 1)R .
Solución Unas ecuaciones paramétricas de las rectas r y s son
8
8
+1
< x=
< x=2 +p
y=
+3
y =2 +q
s
r
:
:
z=
z=
luego un vector director de la recta r es ~u = (2; 1; 1)B y un punto de r es
R(p; 3; 0)R y un vector director de la recta s es w
~n
= ( 1; 2; 1)B y un punto de os
!
es S(1; q; 0)R . Las rectas r y s son coplanarias si ~u; w;
~ RS = (1 p; q 3; 0)
es linealmente dependiente; esto es, si
0=
2
1
1
1
2
1
1
q
p
3
= 3p
3q + 6
0
Por tanto, r y s son coplanarias si p q + 2 = 0. El plano que las contiene es:
!
R+L (f~u; wg).
~
Luego un punto X(x; y; z)R 2 si y sólo si RX 2 L (f~u; wg);
~
esto es, si
x p 2
1
1 2 = 3p 3x 3y + 3z + 9:
0= y 3
z
1
1
Imponemos ahora que P (1; 1; 1)R 2 :
0 = 3p
luego p =
3 1
3 1 + 3 1 + 9 = 3p + 6;
2 y q = p + 2 = 0.
13
Cuestiones teóricas Demostrar las siguientes cuestiones teóricas:
1. Sean L, S dos subespacios a…nes de un espacio afín A y tales que son
paralelos y P 2 S \ L. Demostrar:
(a) Si dim L < dim S, entonces L
S.
(b) Si dim L = dim S, entonces L = S.
2. Sean L, S dos subespacios a…nes de un espacio afín (A; V; ) y tales que
~ yS
~ son subespacios vectoriales complementarios (esto es, L
~ S
~ = V)
L
entonces L \ S consiste en un punto (esto es, dim(L \ S) = 0).
Solución.
1. Como L y S son paralelos y estamos suponiendo dim L
~
~ Por tanto, L = P + L
~
~ Luego L
L
S.
P + S.
dim L = dim S, entonces L = S.
dim S entonces
S. Si además
~
2. Calculamos la dimensión de la intersección L \ S. Como L
entonces
~ = V
S
! ~ ~
!
!
S+L=L
+ S + L(P Q) = V + L(P Q) = V , con P 2 L y Q 2 S.
dim(L + S)
=
!
dim L + S = n
~ + dim S
~
= dim L
= dim L + dim S
por tanto, dim(L \ S) = dim(L + S)
14
dim L
~ \ S)
~
dim(L
dim S = 0.
2
Aplicaciones a…nes
2.1
De…nición y primeras propiedades
De…nición Sean (A; V; ) y (A0 ; V 0 ; 0 ) dos espacios a…nes reales. Diremos
que una aplicación
f : A ! A0
es una aplicación afín si existe una aplicación lineal f : V
!
!
f (P Q) = f (P )f (Q);
! V 0 tal que:
8P; Q 2 A:
Lo anterior equivale a decir que para todo P 2 A y todo vector u 2 V se
tiene
f (P + ~u) = f (P ) + f (~u):
A la aplicación lineal f que cumple lo anterior la llamamos aplicación lineal
asociada a f .
Proposición Sean (A; V; ) y (A0 ; V 0 ; 0 ) dos espacios a…nes y sea f : A ! A0
una aplicación afín con aplicación lineal asociada f : V ! V 0 se cumple lo
siguiente:
1. f es inyectiva si y sólo si f es inyectiva.
2. f es sobreyectiva si y sólo si f es sobreyectiva.
3. f es biyectiva si y sólo si f es biyectiva.
Demostración
1. Supongamos que f es inyectiva. Veamos que f es inyectiva (equivalente!
mente ker f = f~0g). Sea ~u = AB 2 ker f , entonces
!
!
~0 = f (AB)
= f (A)f (B) luego f (A) = f (B)
y como estamos suponiendo que f es inyectiva A = B. Luego ~u = ~0 y f
es inyectiva.
Supongamos ahora que f es inyectiva. Entonces,
!
!
!
f (A) = f (B) =) ~0 = f (A)f (B) = f (AB) =) AB 2 ker f = f~0g =) A = B:
!
2. Supongamos que f es sobreyectiva. Sea ~u = CD 2 V 0 . Como f es
sobreyectiva existen A; B 2 A tales que f (A) = C y f (B) = D. Entonces,
!
!
!
~u = CD = f (A)f (B) = f (AB) luego f es sobreyectiva pues existe el
!
!
vector AB 2 V con f (AB) = ~u.
15
Supongamos ahora que f es sobreyectiva. Sea C 2 A0 , consideremos un
!
vector ~u = f (A)C donde A es un punto arbitrario de A. Como f es
!
!
sobreyectiva existe un vector ~v = AB 2 V con f (AB) = ~u entonces
!
!
!
f (A)f (B) = f (AB) = ~u = f (A)C
luego f (B) = C. Por tanto, f es sobreyectiva.
Proposición Sean g : A ! A0 y f : A0 ! A00 dos aplicaciones a…nes la
composición f g : A ! A00 es también una aplicación afín y su aplicación
lineal asociada es f g = f g.
Demostración Dados P; Q 2 A, se tiene
(f
g)(P )(f
!
g)(Q)
!
= f (g(P ))f (g(Q))
=
!
f g(P )g(Q)
f es afín
=
g es afín
!
f g(P Q)
=
f
!
g (P Q):
Proposición Sean f; g : A ! A0 dos aplicaciones a…nes que coinciden sobre
un punto P , f (P ) = g(P ), y que tienen la misma aplicación lineal asociada
f = g. Entonces f = g.
Demostración Para todo X 2 A, se cumple:
!
!
!
!
!
f (P )f (X) = f (P X) = g(P X) = g(P )g(X) = f (P )g(X);
por tanto, f (X) = g(X).
2.2
Matriz asociada a una aplicación afín
Sean (A; V; ) y (A0 ; V 0 ; 0 ) dos espacios a…nes y sea f : A ! A0 una aplicación
afín con aplicación lineal asociada f : V ! V 0 . Se consideran referencias a…nes
R = fO; Bg, B = (~e1 ; : : : ; ~en ) y R0 = fO0 ; B 0 g, B 0 = (~e01 ; : : : ; ~e0m ) de los espacios
A, A0 respectivamente. Se sabe:
!
O0 f (O) = b1~e01 +
8
0
>
< f (~e1 ) = a11~e1 +
..
.
>
:
f (~en ) = a1n~e01 +
16
+ bm~e0m ;
+ am1~e0m
+ amn~e0m
Sea P (x1 ; : : : ; xn )R y sea f (P ) 2 A0 con f (P )(y1 ; : : : ; ym )R0 entonces se tiene:
1
0
1 0
10
1
0
0
1
1
B
C
B y1 C B b1 a11
a1n C
B
C B
C B x1 C
B
B .. C = B ..
C
..
.
.
..
.. A @ .. C
A
@ . A @ .
.
.
xn
ym
bm am1
amn
Escribiremos
MRR0 (f ) =
1
~b
~0t
MBB 0 (f )
0
B
B
=B
@
1
b1
..
.
0
a11
..
.
bm
am1
..
.
0
a1n
..
.
amn
1
C
C
C
A
donde ~b son las coordenadas de f (O) en la referencia R0 y MBB 0 (f ) es la matriz
asociada a la aplicación lineal f tomando en V la base B y en V 0 la base B 0 .
Ejemplo 1 Sea (A; V; ) un espacio afín con sistema de referencia afín R =
fO; B = (~e1 ; ~e2 ; ~e3 )g, y sea (A0 ; V 0 ; 0 ) un espacio afín con sistema de referencia
afín R0 = fO0 ; B 0 = (~e01 ; ~e02 )g. ¿Es la aplicación f : A ! A0 , f (x; y; z) =
(x 2y + 5; x z + 1) una aplicación afín? Dar su aplicación lineal asociada y
obtener la matriz asociada a f en las referencias R; R0 .
Solución.
Para ver si f es una aplicación afín tenemos que ver si existe una apli!
!
cación lineal f : V ! V 0 tal que f (P )f (Q) = f (P Q) para todo par de puntos
!
P; Q 2 A. Tomamos P (x1 ; y1 ; z1 ) y Q(x2 ; y2 ; z2 ) entonces P Q = Q P =
(x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ) y
!
f (P )f (Q)
=
=
=
=
f (Q) f (P ) = f (x2 ; y2 ; z2 ) f (x1 ; y1 ; z1 )
(x2 2y2 + 5; x2 z2 + 1) (x1 2y1 + 5; x1 z1 + 1)
((x2 x1 ) 2 (y2 y1 ) ; (x2 x1 ) (z2 z1 ))
f (x2 x1 ; y2 y1 ; z2 z1 ) ;
por tanto, f sí es una aplicación afín y su aplicación lineal asociada es f (x; y; z) =
(x 2y; x z).
Las coordenadas del origen O en la referencia R son las coordenadas del
!
vector OO = (0; 0; 0) en la base B y ~e1 = (1; 0; 0)B , ~e2 = (0; 1; 0)B y ~e3 =
(0; 0; 1)B se tiene:
f (O)
f (~e1 )
f (~e2 )
f (~e3 )
=
=
=
=
f (0; 0; 0) = (5; 1);
f (1; 0; 0) = (1; 1);
f (0; 1; 0) = ( 2; 0);
f (0; 0; 1) = (0; 1):
17
Por tanto,
0
1
MRR0 (f ) = @ 5
1
MAPLE
0
1
1
1
0
0 A:
1
0
2
0
>restart: >with(linalg):
>f:=(x,y,z)->[x-2*y+5,x-z+1];
>f_lineal:=(x,y,z)->[x-2*y,x-z];
>f(0,0,0);
>f_lineal(1,0,0);
>f_lineal(0,1,0);
>f_lineal(0,0,1);
>Mf[RRp]:=stackmatrix(<1,0,0,0>,
concat(f(0,0,0), f_lineal(1,0,0),f_lineal(0,1,0), f_lineal(0,0,1));
Ejemplo 2 Sea (A; V; ) un espacio afín con sistema de referencia afín R =
fO; B = (~e1 ; ~e2 )g, y sea (A0 ; V 0 ; 0 ) un espacio afín con sistema de referencia
afín R0 = fO0 ; B 0 = (~e01 ; ~e02 ; ~e03 )g. Determinar la aplicación afín f : A ! A0 , tal
que
f (1; 2) = (1; 2; 3);
f (~e1 ) = ~e01 + 4~e02 ;
f (~e2 ) = ~e01 ~e02 + ~e03 :
Hallar la matriz asociada a f en las referencias R; R0 .
Solución Como sabemos el valor de f sobre el punto P (1; 2) y conocemos
la aplicación lineal asociada a f , tenemos determinada f . Sabemos que
f (1; 0) = (1; 4; 0)B 0 ;
f (0; 1) = (1; 1; 1)B 0 ;
Para calcular la matriz asociada a f necesitamos saber f (O). Se tiene:
!
f (O)f (P )
=
f es afín
!
f (OP )
= f (1~e1 + 2~e2 )
=
luego
f (O) = f (P )
Por tanto,
=
f es lineal
f (~e1 ) + 2f (~e2 )
(1; 4; 0) + 2(1; 1; 1) = (3; 2; 2)
!
f (OP ) = (1; 2; 3)
0
1
B 2
MRR0 (f ) = B
@ 0
1
18
(3; 2; 2) = ( 2; 0; 1) :
0
1
4
0
1
0
1 C
C:
1 A
1
Como
0
se tiene:
1
B 2
B
@ 0
1
0
1
4
0
1
0
0
1
0
1
1
B
1 C
C @ x1 A = B x1 + x2 2
@ 4x1 x2
1 A
x2
1
x2 + 1
f (x1 ; x2 ) = (x1 + x2
2; 4x1
1
C
C
A
x2 ; x2 + 1) :
MAPLE
>restart: >with(linalg):
>OP:=[1,2];
>M_f_lineal:=concat([1,4,0],[1,-1,1]);
>evalm(M_f_lineal&*[1,2]);
>evalm([1,2,3]-[3, 2, 2]);
>M_f:=stackmatrix(<1,0,0>, concat([-2, 0, 1],[1,4,0],[1,-1,1]));
> evalm(M_f&*[1,x1,x2]);
Ejemplo 3 Sea (R2 ; R2 ; ) un espacio afín con sistema de referencia afín R =
fO; Bg, B = (~e1 ; ~e2 ). Determinar la aplicación afín f : R2 ! R2 tal que
f (1; 1) = (7; 5); f (1; 2) = (11; 4); f (2; 1) = (8; 8):
Para dar una aplicación afín f : R2
referencia afín y sus transformados.
! R2 necesitamos tres puntos que sean
!
Primer camino Llamo P0 (1; 1), P1 (1; 2) y P2 (2; 1). Tenemos P0 P1 =
!
(0; 1) y P0 P2 = (1; 0), entonces sabemos que
!
= f (1; 0) = f (P0 P2 ) = f (P2 )
!
f (~e2 ) = f (0; 1) = f (P0 P1 ) = f (P1 )
f (~e1 )
f (P0 ) = (1; 3);
f (P0 ) = (4; 1):
!
Y como OP0 = (1; 1) = ~e1 + ~e2 tenemos:
!
f (OP0 ) = f (~e1 + ~e2 ) = f (~e1 ) + f (~e2 ) = (1; 3) + (4; 1) = (5; 2)
luego
f (O) = f (P0 )
!
f (OP0 ) = (7; 5)
Por tanto,
0
1
MRR (f ) = @ 2
3
y f (x1 ; x2 ) = (2 + x1 + 4x2 ; 3 + 3x1
x2 ).
19
0
1
3
(5; 2) = (2; 3):
1
0
4 A
1
Segundo camino El conjunto de puntos R0 = fP0 (1; 1); P1 (1; 2); P2 (2; 1)g
!
!
es una referencia afín pues P0 P1 = (0; 1) y P0 P2 = (1; 0) es una base de R2 . Y
tenemos:
f (P0 ) = f (1; 1) = (7; 5);
!
!
f (P0 P1 ) = f (P0 )f (P1 ) = f (P1 )
!
!
f (P0 P2 ) = f (P0 )f (P2 ) = f (P2 )
Por tanto,
f (P0 ) = (11; 4)
f (P0 ) = (8; 8)
0
1
MR0 R (f ) = @ 7
5
0
4
1
(7; 5) = (4; 1);
(7; 5) = (1; 3):
1
0
1 A
3
Como nosotros queremos calcular MRR (f ), vamos a hacer un cambio de referencia de R0 a R:
MRR (f )
= MR0 R (f )MRR0 = MR0 R (f )(MR0 R ) 1
1 1 0
10
0
1
1 0 0
1 0 0
= @ 7 4 1 A@ 1 0 1 A = @ 2
3
1 1 0
5
1 3
Por tanto, f (x1 ; x2 ) = (2 + x1 + 4x2 ; 3 + 3x1
x2 ).
0
1
3
1
0
4 A
1
MAPLE
>restart: >with(linalg):
>P0:=[1,1]; P1:=[1,2]; P2:=[2,1];
>Q0:=[7,5]; Q1:=[11,4]; Q2:=[8,8];
>M[RpR]:=stackmatrix(<1,0,0>, concat(P0,P1-P0,P2-P0));
>det(M[RpR]);
>M[RRp]:=inverse(M[RpR]);
>Mf[RpR]:=stackmatrix(<1,0,0>, concat(Q0,Q1-Q0,Q2-Q0));
>Mf[RR]:=evalm(Mf[RpR]&*M[RRp]);
>X:=matrix(3,1,[1,x,y]);
>evalm(Mf[RR]&*X);
Comprobar que el resultado obtenido es correcto (Pista: evaluar la expresión
de f obtenida en los puntos dados en el enunciado).
Ejemplo 4 Determinar la aplicación afín f : A3 ! A3 que tansforma los
puntos P0 (0; 0; 0), P1 (0; 1; 0), P2 (1; 1; 1) y P3 (1; 1; 4) en los puntos Q0 (2; 0; 2),
Q1 (2; 1; 1), Q2 (2; 1; 3) y Q3 (5; 7; 6) respectivamente.
Solución Para dar una aplicación afín f : A3 ! A3 necesitamos cuatro
puntos que sean referencia afín y sus transformados.
20
El conjunto de puntos R0 = fP0 (0; 0; 0); P1 (0; 1; 0); P2 (1; 1; 1); P3 (1; 1; 4)g es
!
!
!
una referencia afín pues P0 P1 = (0; 1; 0), P0 P2 = (1; 1; 1) y P0 P3 = (1; 1; 4) es
!
!
!
una base de R3 pues rg(P0 P1 ; P0 P2 ; P0 P3 ) = 3. Tenemos:
f (P0 ) = Q0 = (2; 0; 2);
!
!
f (P0 P1 ) = f (P0 )f (P1 ) = f (P1 )
!
!
f (P0 P2 ) = f (P0 )f (P2 ) = f (P2 )
!
!
f (P0 P3 ) = f (P0 )f (P3 ) = f (P3 )
Por tanto,
0
1
B 2
MR0 R (f ) = B
@ 0
2
f (P0 ) = Q1
Q0 = (0; 1; 1);
f (P0 ) = Q2
Q0 = (0; 1; 1);
f (P0 ) = Q3
Q0 = (3; 7; 4):
0
0
1
1
1
0 0
0 3 C
C
1 7 A
1 4
Como nosotros queremos calcular MRR (f ), vamos a hacer un cambio de referencia de R0 a R:
MRR (f )
= MR0 R (f )MRR0 = MR0 R (f )(MR0 R ) 1
1
10
0
1 0 0 0
1 0 0 0
B 2 0 0 3 CB 0 0 1 1 C
C
CB
= B
@ 0
1 1 7 A@ 0 1 1 1 A
0 0 1 4
2
1 1 4
1
0
1 0
0 0
B 2
1
0
1 C
C
= B
@ 0 0
1 2 A
2 1
1 1
Por tanto, f (x1 ; x2 ; x3 ) = (2
x1 + x3 ;
x2 + 2x3 ; 2 + x1
1
x2 + x3 ).
MAPLE
> restart: with(linalg):
> P0:=[0,0,0]; P1:=[0,1,0]; P2:=[1,1,1]; P3:=[1,1,4];
> Q0:=[2,0,2]; Q1:=[2,-1,1]; Q2:=[2,1,3]; Q3:=[5,7,6];
> M[RpR]:=stackmatrix(<1,0,0,0>, concat(P0,P1-P0,P2-P0,P3-P0));
> det(M[RpR]);
> M[RRp]:=inverse(M[RpR]);
> Mf[RpR]:=stackmatrix(<1,0,0,0>, concat(Q0,Q1-Q0,Q2-Q0,Q3-Q0));
> Mf[RR]:=evalm(Mf[RpR]&*M[RRp]);
> evalm(Mf[RR]&*[1,x,y,z]);
Comprobar que el resultado obtenido es correcto.
21
2.3
Subespacios a…nes invariantes
Proposición Sean (A; V; ) y (A0 ; V 0 ; 0 ) dos espacios a…nes y sea f : A ! A0
una aplicación afín con aplicación lineal asociada f : V ! V 0 . Se cumple lo
siguiente:
1. Si L
A es un subespacio afín de A entonces
f (L) = fP 0 2 A0 j existe P 2 L tal que f (P ) = P 0 g
es un subespacio afín de A0 .
2. Si L0
A0 es un subespacio afín de A0 entonces el conjunto
L = fP 2 A j f (P ) 2 L0 g
es un subespacio afín de A.
De…nición Sea (A; V; ) un espacio afín y f una transformación afín de A.
Diremos que un punto P 2 A es un punto …jo de f si f (P ) = P .
Proposición Sea (A; V; ) un espacio afín y f una transformación afín de A.
El conjunto de puntos …jos de f ; esto es,
F = fX 2 A j f (X) = Xg
es un subespacio afín de A con subespacio vectorial asociado el subespacio de
V de autovectores de f asociados al autovalor = 1.
Demostración. Sea f la aplicación lineal asociada a f . Sabemos que el conjunto V ( ) de autovectores de f asociados a un autovalor es un subespacio
vectorial de V .
Veamos que, …jado P 2 F , el conjunto
!
W(F ) = fP Q j Q 2 F g
coincide con V (1); esto es, W(F ) = V (1), y, por tanto, es un subespacio vectorial
de V .
!
!
1. Veamos que W(F ) V (1): Tomamos P Q 2 W(F ) y veamos que P Q 2
V (1). Se tiene:
!
!
!
f (P Q) = f (P )f (Q)
=
P Q:
P; Q 2 F
!
Por tanto, P Q es autovector asociado al autovalor
= 1..
2. Veamos que V (1) W(F ): Tomamos ~u 2 V (1) y veamos que ~u 2 W(F ).
!
Dado ~u 2 V (1) y …jado P 2 F , sabemos que existe R 2 A tal que ~u = P R.
Se tiene:
!
!
!
!
P R = ~u = f (~u) = f (P R) = f (P )f (R) = P f (R)
por tanto f (R) = R. Luego R es un punto …jo y ~u 2 W(F ).
22
Estrategia para buscar los puntos …jos Sea (A; V; ) un espacio afín,
f una transformación afín de A y R = fO; Bg un sistema de referencia de A.
Sea
1 ~0t
MR (f ) = ~
b A
la matriz asociada a f donde A es la matriz asociada a la aplicación lineal f en
la base B.
Si P es un punto …jo se cumple:
!
!
!
!
!
f (OP ) = f (O)f (P ) = f (O)P = OP Of (O);
!
!
f (OP ) = A OP ;
luego,
!
!
!
= Of (O) + f (OP ) = ~b + A OP ;
!
= Of (O),
!
OP
donde ~b
o equivalentemente,
!
I) OP + ~b
~0 = (A
que es la ecuación que deben satisfacer los puntos …jos de f .
Ejemplo Hallar los puntos …jos de la transformación afín
f (x; y) = ( 2y + 1; x + 3y
1):
Solución Se tiene:
f (0; 0)
=
(1; 1);
f (x; y)
=
( 2y; x + 3y) =)
f (1; 0) = (0; 1)
f (0; 1) = ( 2; 3)
La matriz asociada a f es
0
1
MRR (f ) = @ 1
1
1
0
2 A
3
0
0
1
y la matriz asociada a la aplicación lineal f es
A=
0
1
2
3
:
El subespacio de puntos …jos de f es F = fX 2 A j f (X) = Xg y las ecuación
que debe satisfacer un punto X que es punto …jo es:
!
!
(A I) OX + ~b = ~0; con ~b = Of (O) = (1; 1)
23
esto es, como
0
0
=
1
1
2
2
x
y
se tiene: F = f(x; y) 2 A j x + 2y
1
1
+
() x + 2y
1 = 0;
1 = 0g.
De…nición Sea (A; V; ) un espacio afín, f una transformación afín de A y S
un subespacio afín de A. Diremos que S es un subespacio afín invariante de f
si f (S) S.
Observación Seaf una transformación afín de A con aplicación lineal asociada f : V ! V y S un subespacio afín de A que contiene al punto P y cuyo
espacio vectorial asociado está generado por los vectores ~u1 ; : : : ; ~ur ; esto es,
S
P + L (f~u1 ; : : : ; ~ur g). Entonces el subespacio afín f (S) contiene al punto
f (P ) y está generado por los vectores f (~u1 ); : : : ; f (~ur ); esto es,
f (S) = f (P ) + L
f (~u1 ); : : : ; f (~ur )
:
Entonces S es invariante por f si y sólo si
1. L
f (~u1 ); : : : ; f (~ur )
!
2. P f (P ) 2 L (f~u1 ; : : : ; ~ur g)
L (f~u1 ; : : : ; ~ur g)
Caso particular: Una recta r
P + L (~u) es invariante por f si y sólo si
1. L(f (~u))
L (~u) () f (~u) = ~u; esto es, ~u es un autovector de la aplicación lineal f
!
2. P f (P ) 2 L (~u)
Ejemplo Hallar los subespacios invariantes de la aplicación f del ejemplo
anterior.
Solución Para buscar los subespacios invariantes de f calculo primero los
autovalores de f . El polinomio característico de A es
det(A
I) =
2
1
3
y, por tanto, los autovalores de A son
=
2
3 +2=(
= 1; 2.
24
1) (
2)
Los correspondientes subespacios de autovectores de f son
n
o
V (1) =
~v j (A I)~v = ~0
=
1
1
(x; y) tales que
2
2
x
y
=
= f(x; y) tales que x + 2y = 0g = L(f(2; 1)g)
n
o
V (2) =
~v j (A 2I)~v = ~0
=
2
1
(x; y) tales que
2
1
x
y
=
0
0
0
0
= f(x; y) tales que x + y = 0g = L(f(1; 1)g)
Por otro lado
!
P f (P ) = f (P ) P = ( 2y + 1; x + 3y 1)
= ( x 2y + 1; x + 2y 1) 2 V (2)
(x; y)
!
pues las componentes del vector P f (P ) satisfacen la ecuación de V (2).
Por tanto, las rectas cuyo espacio vectorial asociado es V (2) = L(f(1; 1)g)
son rectas invariantes de f pues
f (1; 1) = 2(1; 1)
!
P f (P ) 2 V (2)
!
Si x + 2y 1 = 0 (es la recta de puntos …jos de f ) entonces P f (P ) = ~0 2 V (1).
La recta de puntos …jos, es en particular, una recta invariante de f .
Ejercicio Sea un espacio afín (A3 ; V; ) y R = fO; ~e1 ; ~e2 ; ~e3 g un sistema de
referencia en A3 . Determinar la transformación afín f de A3 tal que el plano
x+2y z = 1 es un plano de puntos …jos de f y el vector ~e1 es un autovector
de f asociado al autovalor 3.
Solución Para determinar f necesitamos la imagen por f de una referencia
afín de A. Como el plano es un plano de puntos …jos, cualquier punto del
plano es un punto …jo de f . Por ejemplo, el punto P (1; 0; 0) 2 es un punto
…jo de f ; esto es, f (P ) = P . También sabemos que los vectores del subespacio
vectorial asociado a , esto es, los vectores del plano ~
x + 2y z = 0, son
autovectores asociados al autovalor 1. Por ejemplo para
~u = (1; 0; 1) 2 ~
~v = (0; 1; 2) 2 ~
f (~u) = ~u = (1; 0; 1) 2 ~
f (~v ) = ~v = (0; 1; 2) 2 ~
=)
y, también sabemos que f (~e1 ) = 3~e1 ; esto es, f (1; 0; 0) = 3(1; 0; 0).
25
Como B 0 = (~e1 ; ~u; ~v ) es una base de
fP ; B 0 g. Se tiene:
0
1
B 1
MR0 R (f ) = B
@ 0
0
Se tiene:
MRR (f )
V , consideramos la referencia R =
0
3
0
0
0
1
0
1
1
0
0 C
C:
1 A
2
= MR0 R (f )MRR0 = MR0 R (f )(MR0 R )
1
0
10
1 0 0 0
1 0 0 0
B 1 3 1 0 CB 1 1 1 0 C
C
CB
= B
@ 0 0 0 1 A@ 0 0 0 1 A
0 0 1 2
0 0 1 2
1
1
0
1
B 2
=B
@ 0
0
0 0
3 4
0 1
0 0
1
0
2 C
C:
0 A
1
Comprobación. Obviamente f (~e1 ) = 3~e1 y también se cumple:
10 1 0 1
0
1
1
1 0 0 0
CB 1 C B 1 C
B 2 3 4
2
CB C B C
f (P ) = f (1; 0; 0) = B
@ 0 0 1 0 A@ 0 A = @ 0 A = P
0
0
0 0 0 1
0
10 1 0 1
3 4
2
1
1
f (~u) = f (1; 0; 1) = @ 0 1 0 A @ 0 A = @ 0 A = ~u
0 0 1
1
1
0
10 1 0 1
3 4
2
0
0
f (~v ) = f (1; 0; 1) = @ 0 1 0 A @ 1 A = @ 1 A = ~v :
0 0 1
2
2
2.4
Algunos ejemplos de transformaciones
Sea (A; V; ) un espacio afín y sea f una transformación afín de A con aplicación
lineal asociada f y sea MR (f ) la matriz asociada a f respecto de cierta referencia
R.
2.4.1
Traslaciones
Dado un vector ~v 2 V , se de…ne la traslación de vector ~v como la transformación
!
afín T~v de A tal que P f (P ) = ~v , para todo P 2 A.
Proposición Toda traslación T~v es una aplicación afín cuya aplicación lineal
asociada es la identidad.
Demostración Para cualesquiera P; Q 2 A se cumple lo siguiente:
!
!
!
!
!
T~~v P Q
= T~v (P )T~v (Q) = T~v (P )P + P Q + QT~v (Q)
!
!
=
~v + P Q + ~v = P Q:
26
Luego T~~v = Id.
2.4.2
Proyecciones
Una transformación afín f de A se dice que es una proyección si f 2 = f . Por
tanto, si f es una proyección MR (f ) es idempotente (MR (f )2 = MR (f )).
La aplicación lineal asociada a una proyección es idempotente: f 2 = f .
Observación El conjunto de puntos …jos de una proyección f es el subespacio
afín Im f .
2.4.3
Homotecias
Una transformación afín f de A se dice que es una homotecia de razón r si
f = rIV .
Observación Una homotecia de razón r tiene un único punto …jo C llamado
centro de la homotecia. Se tiene:
!
!
!
!
f (CP ) = f (C)f (P ) = Cf (P ) = rCP
luego
!
f (P ) = C + rCP .
Cálculo del centro de una homotecia Sea C 2 A el centro de una homotecia f . Se tiene:
!
!
!
!
!
P C = P f (P ) + f (P )C = P f (P ) + rP C =) (1
!
!
r)P C = P f (P ):
Por tanto, el punto …jo C cumple
C=P +
1
1
r
!
P f (P ):
Ejemplo 1 Estudiar si la aplicación afín f (x; y; z) = (1 + 23 x; 1 + 32 y; 2 + 23 z)
tiene algún punto …jo o algún subespacio invariante.
Solución La matriz asociada a f es
0
1 0
2
B 1
3
MR (f ) = B
@ 1 0
2 0
0
0
2
3
0
y la matriz asociada a la aplicación lineal f es
MB (f ) =
27
2
Id:
3
1
0
0 C
C
0 A
2
3
Por tanto, f es una homotecia de razón r = 23 . El centro de la homotecia es:
C=P +
1
1
2
3
!
P f (P )
para cualquier P 2 A. Tomo P (0; 0; 0) entonces f (P ) = f (0; 0; 0) = (1; 1; 2) y
!
P f (P ) = f (P ) P = (1; 1; 2), por tanto
C=
3
3
2
(1; 1; 2) = (3; 3; 6):
Los subespacios invariantes de f son:
- El centro C(3; 3; 6) pues es un punto …jo
- Las rectas que contienen al centro
- Los planos que contienen al centro
Ejemplo 2 Estudiar si la aplicación afín f (x; y; z) = (x + 1; y + 2; z + 3) tiene
algún punto …jo o algún subespacio invariante.
Solución La matriz asociada a f es
0
1
B 1
MR (f ) = B
@ 2
3
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0 C
C
0 A
1
y la matriz asociada a la aplicación lineal f es la identidad. Por tanto, f es una
!
traslación de vector ~v = Of (O) = (1; 2; 3) (0; 0; 0) = (1; 2; 3). Las traslaciones
no tienen puntos …jos.
Los subespacios invariantes de f son:
- Las rectas que tienen dirección la del vector de traslación; esto es, rectas de
la forma r P + L(f~v g).
- Los planos que tienen la dirección del vector de traslación; esto es, planos de
la forma
P + L(f~v ; wg).
~
Ejemplo 3 Estudiar si la aplicación afín f (x; y; z) = ( 2+2x y; 4+2x y; z)
tiene algún punto …jo o algún subespacio invariante.
28
Solución La matriz asociada a f es
0
1
B 2
B
MR (f ) = @
4
0
0
2
2
0
0
1
1
0
1
0
0 C
C
0 A
1
y la matriz asociada a la aplicación lineal f es
0
1
2
1 0
1 0 A:
A = MB (f ) = @ 2
0 0 1
Los autovalores de A son
= 0 y 1 pues:
2
det(A
I) =
1
2
0
0
0
1
0
=
(
2
1) :
1
Quizás la matriz A sea idempotente pues sus autovalores son = 0 y 1. Se comprueba que A2 = A y por tanto, A es idempotente. Luego f es una proyección.
El subespacio de puntos …jos de f es
o
n
!
F = X 2 A j (A I) OX + ~b = ~0 ;
esto es,
0
1 0
0
1
@ 0 A=@ 2
0
0
equivalentemente
10
1 0
1
2
1 0
x
2 0 A@ y A + @ 4 A
0 0
z
0
8
< 0=x y 2
0 = 2x 2y 4
:
0=0
Por tanto el plano
x y 2 = 0 es un plano de puntos …jos (cuyo espacio
vectorial asociado es el autovectores asociados al autovalor = 1).
Veamos cuál es el subespacio de autovectores asociado al autovalor = 0:
8
0
10
1 0 19
2
1 0
x
0 =
<
1 0 A@ y A = @ 0 A
V (0) =
(x; y; z) tales que @ 2
:
;
0 0 1
z
0
= f(x; y; z) tales que 2x
y = 0, z = 0g
Por otro lado
!
P f (P ) = f (P ) P = ( 2 + 2x y; 4 + 2x y; z)
= ( 2 x y; 4 + 2x 2y; 0) 2 V (0)
29
(x; y; z)
!
pues las componentes del vector P f (P ) cumplen la ecuación de V (0). Por
tanto, las rectas cuyo espacio vectorial asociado es V (0) = L(f(1; 2; 0)g) son
rectas invariantes de f .
Los subespacios invariantes de f son:
- Las rectas con espacio vectorial asociado V (0) = L(f(1; 2; 0)g).
- Los planos que contienen a rectas invariantes.
- El plano de puntos …jos
x
y
2 = 0.
- Las rectas contenidas en el plano de puntos …jos pues son rectas de puntos
…jos.
Ejercicio Obtener la expresión analítica de una aplicación afín f : A3 ! A3
sabiendo que transforma el origen en el punto de coordenadas (3; 1; 1) y el plano
de ecuación cartesiana x1 + 2x2 x3 + 1 = 0 es un plano de puntos …jos.
Solución Como el plano es un plano de puntos …jos, el plano vectorial
asociado a es un plano de autovectores asociados al autovalor = 1 de la
aplicación lineal asociada f . Como
P + L (f~u1 ; ~u2 g) con P (0; 0; 1), ~u1 =
(1; 0; 1), ~u2 = (0; 1; 2) pues P 2 (esto es, las coordenadas de P son solución
de la ecuación de ) y los vectores ~u1 ,~u2 2 ~ (sus respectivas coordenadas son
solución de la ecuación homogenénea asociada: x1 + 2x2 x3 = 0).
Por tanto, sabemos:
f (O) = f (0; 0; 0) = (3; 1; 1)
f (P ) = P =) f (0; 0; 1) = (0; 0; 1)
f (~u1 ) = ~u1 =) f (1; 0; 1) = (1; 0; 1)
f (~u2 ) = ~u2 =) f (0; 1; 2) = (0; 1; 2)
De las dos primeras condiciones obtenemos
!
!
f (OP ) = f (O)f (P ) = (0; 0; 1)
!
OP = (0; 0; 1) = ~e3 :
(3; 1; 1) = ( 3; 1; 0);
Por tanto,
f (~e3 ) = ( 3; 1; 0) = 3~e1 ~e2 ;
f (~e1 + ~e3 ) = f (~e1 ) + f (~e3 ) = ~e1 + ~e3 ;
f (~e2 + 2~e3 ) = f (~e2 ) + 2f (~e3 ) = ~e2 + 2~e3 ;
de donde obtenemos:
f (~e3 ) =
3~e1 ~e2 ;
f (~e1 ) = ~e1 + ~e3 f (~e3 ) = 4~e1 + ~e2 + ~e3 ;
f (~e2 ) = ~e2 + 2~e3 2f (~e3 ) = 6~e1 + 3~e2 + 2~e3 ;
30
luego,
0
1
B 3
MRR (f ) = B
@ 1
1
0
4
1
1
0
6
3
2
1
0
3 C
C
1 A
0
Otro camino.
n
o
!
!
Considerando la referencia R0 = P ; OP ; ~u1 ; ~u2 (nótese que OP , ~u1 , ~u2
son linealmente independientes), obtenemos:
0
1
1 0 0 0
B 0
3 1 0 C
C:
MR0 R (f ) = B
@ 0
1 0 1 A
1 0 1 2
Y como
MR0 R
obtenemos
0
1
B 0
=B
@ 0
1
0
1
B 0
1
MRR (f ) = MR0 R (f ) MR0 R = B
@ 0
1
1
0
1 0 0 0
B 3 4 6
3 C
C:
= B
@ 1 1 3
1 A
1 1 2 0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0 C
C;
1 A
2
0
3
1
0
10
1
0 0
B 0
1 0 C
CB
0 1 A@ 0
1
1 2
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0 C
C
1 A
2
Luego la expresión analítica de f es:
f (x1 ; x2 ; x3 ) = (3 + 4x1 + 6x2
3x3 ; 1 + x1 + 3x2
31
x3 ; 1 + x1 + 2x2 ):
1
3
Espacio afín euclídeo
De…nición Se dice que un espacio afín (A; V; ) es un espacio afín euclídeo si
el espacio vectorial V es un espacio vectorial euclídeo.
Recordamos que un espacio vectorial real V es un espacio vectorial euclídeo
si está dotado de un producto escalar; esto es, de una aplicación
h ; i:V
V
! R;
bilineal, simétrica y de…nida positiva. Usaremos la notación h~u; ~v i, ~u ~v indistintamente.
Notación Denotaremos E a los espacios vectoriales euclídeos y (E; E; ) a los
espacios a…nes euclídeos.
De…nición Una distancia d en un espacio afín A es una aplicación
d: A
A ! R, (P; Q) 7 ! d(P; Q)
que cumple:
1. d es de…nida positiva; esto es, d(P; Q)
0 y d(P; Q) = 0 si y sólo si P = Q.
2. d es simétrica; esto es, d(P; Q) = d(Q; P ).
3. d cumple la desigualdad triangular; esto es,d(P; Q)
d(P; R) + d(R; Q).
Observación El producto escalar de…nido en un espacio vectorial V permite
de…nir una distancia d en el espacio afín (A; V; ) de la siguiente manera:
q
! !
d : A A ! R, d(P; Q) = P Q P Q:
3.1
Referencias ortogonales
Un sistema de referencia afín R = fO; ~e1 ; : : : ; ~en g en un espacio afín euclídeo
(E; E; ) se dice ortogonal (resp. ortonormal ), si la base B = f~e1 ; : : : ; ~en g del
espacio vectorial V es ortogonal (resp. ortonormal).
Cambio de sistema de referencia ortonormal Sea (E; E; ) un espacio
afín euclídeo de dimensión n. Sean R = fO; Bg y R0 = fO0 ; B 0 g dos sistemas
de referencia ortonormales de E.
Si O0 (a1 ; : : : ; an ) y MB 0 B es la matriz de cambio de base entonces la matriz
del cambio de sistema de referencia de R0 a R es:
0
1
1 0
0
B a1
C
B
C
M R0 R = B .
C
@ ..
A
M 0
B B
an
Se veri…ca que:
32
1. La matriz MB 0 B es una matriz ortogonal; esto es, MB 01B = MBT 0 B .
2. det MB 0 B = 1. Si det MB 0 B = 1 se dice que B 0 y B tienen la misma
orientación y si det MB 0 B = 1 se dice que B 0 y B tienen distinta orientación.
3.2
Subespacios a…nes ortogonales
Sea (E; E; ) un espacio afín euclídeo de dimensión n.
Recordamos que, dado un subespacio vectorial W E, el conjunto de…nido
como sigue:
f~v 2 E j ~v w
~ = 0 para todo w
~ 2 Wg
es un subespacio vectorial de E que denotamos W ? y llamamos subespacio
ortogonal a W y cumple
E = W W ?:
Por tanto,
dim E = dim W + dim W ? :
!
!
De…nición Dos subespacios a…nes L1 y L2 de E tales que dim L1 +dim L2 n
se dicen que son ortogonales si sus respectivos subespacios vectoriales asociados
! !
!
L1 y L2 son ortogonales; esto es, cualquier vector ~u 2 L1 es ortogonal a cualquier
!
vector ~v 2 L2 .
!
!
!
!
Si dim L1 + dim L2 > n, diremos que L1 , L2 son ortogonales si L1 ? y L2 ?
son ortogonales.
Notación. Si L1 y L2 son ortogonales, usaremos la notación L1 ? L2 .
!
De…nición Sea L un subespacio afín con subespacio vectorial asociado L .
!
Se dice que el subespacio afín L0 con subespacio vectorial asociado L0 es el
!
!
complemento ortogonal de L si L y L0 son ortogonales y además V = L L0 .
Casos particulares
1. Dos rectas r = P + L(f~v g), r0 = P 0 + L(f~v 0 g) son ortogonales si y sólo si
~v ~v 0 = 0.
2. En dimensión 3, una recta r = P + L(~v ) es el subespacio ortogonal a un
plano de subespacio vectorial asociado W si ~v es ortogonal a cualquier
vector de W (en este caso, V = W L(~v )).
3. Sea
= P + L(f~u1 ; ~u2 g) un plano afín. La recta r = P + L(f~v g) es
ortogonal a si el vector ~v es ortogonal a los vectores ~u1 y ~u2 .
4. En dimensión 3, una recta r = P + L(f~v g) es ortogonal a un plano =
P + L(f~u1 ; ~u2 g) si el vector ~v es paralelo al vector normal al plano; esto
es, ~v y ~n son paralelos, donde ~n = ~u1 ^ ~u2 y ^ denota el producto vectorial
en E3 .
33
5. En dimensión 3, dos planos 1 y
vectores normales son ortogonales.
3.2.1
2
son ortogonales si sus respectivos
Proyección ortogonal de un punto sobre un subespacio afín
Sea L un subespacio afín de un espacio afín euclídeo E y sea P un punto de E
que no pertenece a L (esto es, P 2 E L). La proyección ortogonal de P sobre L
es el punto P0 intersección de L con el complemento ortogonal a L que contiene
al punto P ; esto es,
prL (P ) = L \ S donde S
3.3
~?
P +L
Distancia entre dos subespacios a…nes
Sea (E; E; ) un espacio afín euclídeo de dimensión n. Sean L1 y L2 dos subespacios a…nes de E. Se de…ne la distancia entre L1 y L2 como el mínimo de las
distancias entre sus puntos; esto es,
d(L1 ; L2 ) = min fd(P1 ; P2 ) j P1 2 L1 y P2 2 L2 g :
Nótese que si L1 \ L2 6= ; entonces d(L1 ; L2 ) = 0.
~1
Si L1 y L2 son subespacios paralelos, supongamos L
~ 2 entonces
L
d(L1 ; L2 ) = d(P; L2 ) = min fd(P; P2 ) j P2 2 L2 g
siendo P un punto arbitrario de L1 .
~ 1 y L2 = P2 + L
~ 2 no son paralelos entonces construimos un
Si L1 = P1 + L
subespacio H que sea paralelo a uno de ellos y que contenga al otro. Por
~1 + L
~ 2 . El subespacio H contiene a
ejemplo, podemos tomar H = P1 + L
L1 y es paralelo a L2 ; por tanto,
d(L1 ; L2 ) = d(H; L2 )
y estamos en el caso anterior.
Por tanto, el problema se reduce a calcular la distancia de un punto P a un
subespacio L.
3.3.1
Distancia de un punto P a un subespacio afín L
~
Sea (E; E; ) un espacio afín euclídeo de dimensión n. Sea P 2 E y sea L = Q+ L
un subespacio afín de E, con P 2
= L. Entonces, si llamamos P0 a la proyección
ortogonal de P sobre L, se tiene:
!
d(P; L) = d(P; P0 ) = P P0 :
A continuación estudiaremos varios casos particulares de distancia entre subespacios a…nes.
34
Distancia de un punto P a un hiperplano H Sea P un punto de coordenadas (p1 ; : : : ; pn ) y sea el hiperplano H de ecuación cartesiana a1 x1 +
+
an xn + b = 0.
Si denotamos P0 a la proyección ortogonal de P sobre H, se tiene:
d(P; H) = d(P; P0 ):
Sea ~u el vector unitario normal al hiperplano; esto es,
(a1 ; : : : ; an )
~u = p 2
a1 +
+ a2n
Se cumple:
d(P; P0 )
!
= jP P0 ~uj = (x1
=
=
ja1 x1 +
ja1 p1 +
p
a21 +
p1 ; : : : ; xn
+ an xn (a1 p1 +
p
a21 +
+ a2n
+ an pn + bj
(a1 ; : : : ; an )
pn ) p 2
a1 +
+ a2n
+ an pn )j
+ a2n
Distancia de un punto P a una recta r Sea P 2 E y sea r Q + L(f~ug)
una recta en E. Denotamos P0 a la proyección ortogonal de P sobre r, se tiene:
d(P; r) = d(P; P0 );
!
donde P0 es un punto de la recta r que cumple P P0 ~u = 0.
Distancia entre dos rectas que se cruzan en E3 Sean r1 P1 + L(f~u1 g)
y r2 P2 + L(f~u2 g) dos rectas en E3 . Construimos un plano paralelo a una de
ellas y que contenga a la otra; por ejemplo, el plano
P2 + L(f~u1 ; ~u2 g) es
paralelo a la recta r1 y contiene a la recta r2 . Y consideramos el vector unitario
normal al plano ; esto es, el vector
~u =
1
~u1 ^ ~u2
k~u1 ^ ~u2 k
donde ^ denota el producto vectorial en E3 . Se tiene:
d(r1 ; r2 ) = d(r1 ; )
!
Consideramos el paralelepípedo cuyas aristas son los vectores P2 P1 , ~u1 y ~u2 . El
volumen de dicho paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto de ~u1 ,
!
~u2 y P2 P1 ; esto es,
h
!i
!
!
V = ~u1 ; ~u2 ; P2 P1 = P2 P1 (~u1 ^ ~u2 ) = P2 P1 k~u1 ^ ~u2 k jcos j
35
!
donde es el ángulo que forman los vectores P2 P1 y ~u1 ^ ~u2 .
El área de la base del paralelepípedo es:
A = k~u1 ^ ~u2 k
La distancia entre r1 y
es la altura de dicho paralelepípedo. Por tanto,
h
!i
~u1 ; ~u2 ; P2 P1
!
d(r1 ; r2 ) = d(r1 ; ) =
= P2 P1 jcos j :
k~u1 ^ ~u2 k
3.4
Ángulos
El ángulo formado por dos vectores no nulos ~u y ~v de un espacio vectorial
euclídeo, es el número real que denotaremos (~u; ~v ) ó ~ud
; ~v tal que
cos(~ud
; ~v ) =
36
~u1 ~u2
k~u1 k k~u2 k
4
Isometrías
De…nición Sean (E; E; ) y (E0 ; E 0 ; 0 ) dos espacios a…nes euclídeos. Diremos
que una aplicación afín f : E ! E0 es una isometría si
d0 (f (P ); f (Q)) = d(P; Q);
8P; Q 2 E;
donde d es la distancia de…nida en E y d0 es la distancia de…nida en E0 .
Observación Las isometrías son siempre inyectivas ya que si f (P ) = f (Q)
entonces
0 = d0 (f (P ); f (Q)) = d(P; Q)
implica P = Q.
Proposición Una aplicación afín f : E ! E0 es una isometría si y sólo si su
aplicación lineal asociada f : E ! E 0 conserva el producto escalar (esto es, f
es una isometría vectorial).
Demostración Veamos primero que si f es una isometría entonces f conserva
el producto escalar. Sean ~u; ~v 2 E y sea P 2 E, entonces se tiene por la de…nición
!
!
de espacio afín que existen A; B 2 E tales que ~u = P A y ~v = P B. Entonces,
d0 (f (A); f (B))2
!
!
= f (A)f (B) f (A)f (B)
!
!
!
!
f (A)f (P ) + f (P )f (B)
f (A)f (P ) + f (P )f (B)
=
!
!
!
!
= f (A)f (P ) f (A)f (P ) + 2f (A)f (P ) f (P )f (B)
!
!
+f (P )f (B) f (P )f (B)
!
!
= d0 (f (A); f (P ))2 + 2f (A)f (P ) f (P )f (B) + d0 (f (P ); f (B))2
!
!
=
d(A; P )2 + 2f (AP ) f (P B) + d(P; B)2 ;
f es isom etría
y, por otro lado,
d(A; B)2
! !
!
!
!
!
= AB AB = AP + P B
AP + P B
! !
! !
! !
= AP AP + 2AP P B + P B P B
! !
= d(A; P )2 + 2AP P B + d(P; B)2 :
Por tanto, como estamos suponiendo que f es una isometría tenemos
d(A; B) = d0 (f (A); f (B));
y, por tanto,
! !
!
!
d(A; P )2 + 2AP P B + d(P; B)2 = d(A; P )2 + 2f (AP ) f (P B) + d(P; B)2 ;
37
! !
!
!
de donde, AP P B = f (AP ) f (P B); esto es,
!
u !
v = f (!
u ) f (!
v ):
Luego f es una isometría vectorial.
Recíprocamente, si f es una isometría vectorial, entonces
d(A; B)2
!
!
! !
!
!
= AB AB = f (AB) f (AB) = f (A)f (B) f (A)f (B)
= d0 (f (A); f (B))2 :
Proposición La composición de isometrías es una isometría.
Observación Las isometrías a…nes conservan los ángulos entre subespacios
a…nes ya que
!
f (!
u ) f (!
v)
u !
v
\
= cos(f (!
u\
); f (!
v )):
cos(!
u;!
v)= ! ! =
!
kukk v k
f ( u ) f (!
v)
De…nición Un desplazamiento ó movimiento es una isometría f de un espacio
afín euclídeo E en sí mismo.
4.1
Clasi…cación de isometrías
La aplicación lineal asociada a un movimiento f : E ! E, es ortogonal, por
tanto, en un sistema de referencia R = fO; Bg ortonormal, la matriz asociada
a f en esa referencia es de la forma:
!
~0t
1
MRR (f ) =
!
Of (O) A
donde A = MB (f ) es una matriz ortogonal; esto es, A 1 = At . Por tanto,
det A = 1.
Si det A = 1 se dice que la isometría es propia ó directa.
Si det A = 1 se dice que la isometría es impropia ó indirecta.
4.1.1
Isometrías en el plano afín euclídeo
Sea f una isometría de un espacio afín euclídeo E de dimensión 2 en sí mismo. Y
sea R = fO; B = (~e1 ; ~e2 )g una referencia ortonormal en E. La matriz asociada
a f respecto de la referencia R es
MRR (f ) =
1 ~0t
~b A
con A =
El polinomio característico de A es det(A
38
a11
a21
a12
a22
I) =
y ~b =
2
b1
b2
:
tr(A) + det(A).
Subespacio de puntos …jos La ecuación del subespacio de puntos …jos de
f es
(A I)X + ~b = ~0:
Por tanto, f tiene puntos …jos si la ecuación anterior tiene solución.
Si rg(A I) = 2 (por tanto también rg(A Ij~b) = 2) entonces f tiene un
único punto …jo.
Si rg(A I) = rg(A Ij~b) = 1 entonces f tiene una recta de puntos …jos.
Si rg(A I) = rg(A Ij~b) = 0 entonces f es la aplicación identidad.
1. Si det A = 1, la isometría f es propia y A 2 SO(2) (matrices de orden 2
ortogonales y con determinante 1). Existe un ángulo tal que
cos
sin
A=
Nótese que, en este caso, det(A
sin
cos
2
I) =
:
tr(A) + 1 y tr(A) = 2 cos .
(a) Si cos = 21 tr(A) 6= 1, entonces = 1 no es autovalor de la matriz A
y, por tanto, rg(A I) = 2 y f tiene un único punto …jo que llamamos
P . En este caso, f es un giro de ángulo y centro el punto …jo P .
En el sistema de referencia R0 = fP; B = (~e1 ; ~e2 )g la matriz asociada
a f es
0
1
1
0
0
sin A :
MR0 R0 (f ) = @ 0 cos
0 sin
cos
Si cos = 21 tr(A) = 1 entonces
de centro el punto …jo P .
(b) Si cos =
1
2
= 180o y f es una simetría central
tr(A) = 1, entonces
1
0
A=
0
1
:
y f es una traslación de vector ~b.
i. rg(A I) = rg(A Ij~b) = 0 entonces f es la aplicación identidad.
ii. rg(A I) 6= rg(A Ij~b) entonces f es la traslación de vector ~b.
2. Si det(A) = 1 la isometría f es impropia y A 2 O(2) (matrices de
orden 2 ortogonales). Los autovalores de A son 1; 1. Si tomamos ~u1
autovector asociado a 1 y ~u2 autovector asociado a 1, tenemos que en la
base B 0 = (~u1 ; ~u2 ) la matriz asociada a f (y que con un abuso de notación
seguimos llamando A) es
1
0
A=
Se tiene rg(A
I) = 1.
39
0
1
:
(a) Si rg(A Ij~b) = 1 entonces hay una recta de puntos …jos de f . Sea P
un punto de dichanrecta (esto es, un punto
o …jo de f ), en la referencia
1
1
0
ortonormal R = P; k~u1 k ~u1 ; k~u2 k ~u2
la matriz asociada a f es:
0
1
MR0 R0 (f ) = @ 0
0
0
1
0
1
0
0 A
1
y f es una simetría axial. La recta de puntos …jos r P + L(f~u1 g)
se llama eje de la simetría.
(b) Si rg(A Ij~b) = 2nentonces f no tiene o
puntos …jos. En la referencia
1
1
0
la matriz asociada a f es:
ortonormal R = O; k~u1 k ~u1 ; k~u2 k ~u2
0
1
MR0 R0 (f ) = @ c1
c2
0
1
0
1
0
0 A:
1
Estudiemos si en este caso hay alguna recta invariante. Sabemos
!
que V (1) = L(f~u1 g) y V ( 1) = L(f~u2 g). Calculamos Xf (X). Sean
(x01 ; x02 ) las coordenadas en la referencia R0 de un punto X arbitrario,
se tiene:
!
Xf (X) = f (X) X = (x01 + c1 ; x02 + c2 ) (x01 ; x02 )
= (c1 ; 2x02 + c2 ):
!
Si 2x02 + c2 = 0 entonces Xf (X) 2 L(f~u1 g). Entonces, la recta de
ecuación 2x02 + c2 = 0 es una recta invariante de f . Si tomamos
como origen de la referencia un punto P en dicha recta (luego las coc2
ordenadas
de P son de la forma
n
o (p; 2 )), tenemos que en la referencia
R0 = P;
1
u1 ; k~u12 k ~u2
k~
u1 k ~
la matriz de f es:
0
1
MR0 R0 (f ) = @ p
0
0
1
0
1
0
0 A:
1
Se trata de la composición de una simetría axial de eje la recta invariante P + L(f~u1 g) y una traslación paralela al eje (de vector (p; 0)).
Observación. Toda simetría compuesta con traslación se puede
descomponer de manera única como una simetría compuesta con una
traslación de vector el vector director del eje.
40
Cuadro de clasi…cación
det A = 1 (entonces cos
rg(A
I)
rg(A
=
1
tr A)
2
I j b)
Clasi…cación
cos
=1
0
0 (b = 0)
Isometría identidad
cos
=1
0
1 (b 6= 0)
Traslación
cos
6= 1
2
2
Giro de centro el único punto …jo
det A =
1
rg(A
I)
rg(A
I j b)
Clasi…cación
1
1
Simetría respecto la única
recta de puntos …jos
1
2
Simetría deslizante
Ejemplo Clasi…car la isometría f (x1 ; x2 ) = (1
Solución
La matriz asociada a esta isometría es
0
1
1 0
0
1 A ; denoto A =
MRR (f ) = @ 1 0
3
1 0
x2 ; 3
0
1
x1 ).
1
0
y ~b =
1
3
:
Como det(A) = 1 la isometría es impropia, tiene autovalores =
en este caso, ~e1 = p12 ; p12 es una autovector asociado al autovalor
1; 1 y,
= 1
y unitario y ~e2 = p12 ; p12 es una autovector asociado al autovalor
unitario. Veamos si f tiene puntos …jos. Como
= 1 y
rg(A
I) = 1 y rg(A
Ij~b) = 2
la isometría f no tiene puntos …jos. Se trata de una simetría compuesta con
una traslación. Veamos si tiene alguna recta invariante. Vamos a calcularla:
!
Xf (X) = f (X) X = (1 x2 ; 3 x1 ) (x1 ; x2 )
= (1 x1 x2 ; 3 x1 x2 ) 2 V ( 1) ó V (1)
!
!
Luego, Xf (X) 2 V ( 1) si y sólo si Xf (X) y ~e1 son proporcionales; esto es, si
1
3
x1
x1
x2
x2
41
= t
= t
Restando las dos ecuaciones obtenemos 2 = 0 que es imposible.
!
!
Y Xf (X) 2 V (1) si y sólo si Xf (X) y ~e2 son proporcionales; esto es, si
1
3
x1
x1
x2
x2
=
t
= t
!
Restando las dos ecuaciones obtenemos t = 1 y por tanto, Xf (X) 2 V (1) si y
sólo si
x1 + x2 = 2
que es la ecuación de la recta invariante.
Por tanto, f es una simetría deslizante; esto es, una simetría s de eje la recta
invariante compuesta con una traslación de vector proporcional al autovector
asociado al autovalor = 1 (vector director de la recta invariante). La matriz
de la simetría es
1
0
1 0
0
1 A
MRR (s) = @ a 0
b
1 0
donde a; b son tales que s deja …jo cualquier punto de la recta x1 + x2 = 2. Por
ejemplo, imponemos que deja …jo el punto (1; 1):
0
10 1 0 1
1 0
0
1
1
a=2
@ a 0
1 A @ 1 A = @ 1 A =)
b=2
b
1 0
1
1
Calculemos cúal es el vector de
0
1 0
MRR (f ) = @ 1 0
3
1
0
1
= @ v1 + 2
v2 + 2
luego v1 =
1 y v2 = 1.
traslación:
1 0
1
0
1 A = @ v1
v2
0
1
0
0
0
1 A
1 0
10
1
0 0
1 0 A@ 2
2
0 1
0
0
1
1
0
1 A
0
Ejemplo Obtener la expresión analítica de la isometría del plano que es composición de la simetría de eje la recta de ecuación x1 + x2 = 1 con la traslación
de vector ~v = (1; 2). Descomponer la isometría obtenida como composición de
una simetría y una traslación de vector paralelo al eje de simetría.
Solución
La recta vectorial asociada al eje de simetría tiene ecuación cartesiana x1 +
x2 = 0.
Considero el sistema de referencia R0 = fP; (~u1 ; ~u2 )g donde P es un punto
del eje de simetría, por ejemplo, P (1; 0), el vector ~u1 es un vector unitario en
la recta x1 + x2 = 0; por ejemplo ~u1 = p12 ; p12 y el vector ~u2 es un vector
42
unitario y ortogonal a ~u1 ; esto es, ~u2 = p12 ; p12
asociada a la simetría S de eje x1 + x2 = 1 es
0
1 0
MR0 R0 (S) = @ 0 1
0 0
Por tanto,
MRR (S)
= MR0 R MR0 R0 (S)MRR0
= MR0 R MR0 R0 (S)(MR0 R )
0
10
1
0
0
1
1
1
p
p A@ 0
= @ 1
2
2
p1
p1
0
0
2
2
1
0
1 0
0
1 A:
= @ 1 0
1
1 0
. En dicha referencia la matriz
1
0
0 A:
1
1
0
1
0
10
1
0
A
@
1
0
1
0
0
0
p1
2
p1
2
p1
2
p1
2
1
1
A
La traslación T de vector ~v = (1; 2) tiene matriz asociada:
0
1
1 0 0
MRR (T ) = @ 1 1 0 A :
2 0 1
Por tanto, la matriz asociada a la isometría pedida
0
1 0
MRR (T S) = MRR (T )MRR (S) = @ 1 1
2 0
0
1
1 0
0
1 A:
= @ 2 0
3
1 0
es
10
1
0
0 A@ 1
1
1
0
0
1
1
0
1 A
0
Y
(T
S)(x1 ; x2 ) = (2
x2 ; 3
x1 ):
Vamos a descomponer la isometría obtenida como composición de una simetría
y una traslación t2 de vector paralelo al eje de simetría. Descomponemos el vector ~v = (1; 2) como suma de un vector de dirección paralela al eje de simetría s
y un vector ortogonal a dicho vector:
~v = (1; 2) = a(1; 1) + b(1; 1);
de donde a =
1
2
y b =
3
2.
Por tanto, tomamos la traslación t2 de vector
43
~v2 = (
1 1
2 ; 2 ).
Hallamos la simetría s2 :
0
10
1
0
1 0 0
1 0
0
1 0
@ 2 0
1 A = @ 21 1 0 A @ c 0
1
3
1 0
d
1
0 1
1
0 2
1
0
0
0
1 A
= @ c 12
1
d+ 2
1 0
de donde, c =
5
2
1
0
1 A
0
y d = 52 . Luego,
0
MRR (s2 ) = @
1
1
0
1 A:
0
0
0
1
5
2
5
2
Vamos a calcular la recta de puntos …jos de la simetria s2 . Se tiene:
!
Xs2 (X)
=
=
=
5
2
5
2
5
2
5
2
y;
x
(x; y)
5
2
x
y;
x
x
y (1; 1) :
y
Por tanto, la recta 5 = 2x + 2y es la recta de puntos …jos de la simetría s2 (es
el eje de simetría).
4.1.2
Isometrías en el espacio afín euclídeo tridimensional
Sea f una isometría de un espacio afín euclídeo E de dimensión 3 en sí mismo.
Y sea R = fO; B = (~e1 ; ~e2 ; ~e3 )g una referencia ortonormal en E. La matriz
asociada a f respecto de la referencia R es
0
1
0
1
a11 a12 a13
b1
1 ~0t
MRR (f ) = ~
con A = @ a21 a22 a23 A y ~b = @ b2 A :
b A
a
a
a
b
31
El polinomio característico de A es det(A
det(A), donde
tr2 (A) =
a11
a21
a12
a22
+
a11
a31
32
33
I) =
a13
a33
+
3
3
+ tr(A)
a22
a32
a23
a33
2
tr2 (A) +
:
Subespacio de puntos …jos La ecuación del subespacio de puntos …jos de
f es
(A I)X + ~b = ~0:
44
Por tanto, f tiene puntos …jos si la ecuación anterior tiene solución.
Si rg(A I) = 3 (por tanto también rg(A Ij~b) = 3) entonces f tiene un
único punto …jo.
Si rg(A I) = rg(A Ij~b) = 2 entonces f tiene una recta de puntos …jos.
Si rg(A I) = rg(A Ij~b) = 1 entonces f tiene un plano de puntos …jos.
Si rg(A I) = rg(A Ij~b) = 0 entonces f es la aplicación identidad.
1. Si det A = 1, la isometría f es propia y A 2 SO(3) (matrices de orden 3
ortogonales y con determinante 1) y, en una base ortonormal conveniente
B 0 la matriz asociada a f se escribe:
0
1
1
0
0
sin A :
MB 0 B 0 (f ) = @ 0 cos
0 sin
cos
Nótese que, en este caso, tr(A) = 1 + 2 cos .
(a) Si cos = 1, entonces rg(A I) = 0, entonces pueden pasar dos cosas:
i. rg(A Ij~b) = 0 y, en este caso,
1
0
1 0 0 0
B 0 1 0 0 C
C
MR0 R0 (f ) = B
@ 0 0 1 0 A
0 0 0 1
y f es la aplicación identidad.
ii. rg(A Ij~b) = 1 y, en este caso, no hay puntos …jos y f es una
traslación de vector ~b. La matriz asociada a f en este caso es:
1
0
1 0 0 0
B b1 1 0 0 C
C
MR0 R0 (f ) = B
@ b2 0 1 0 A :
b3 0 0 1
(b) Si jcos j 6= 1, entonces rg(A I) = 2 y pueden pasar dos cosas:
i. rg(A Ij~b) = 2 y, en este caso, hay toda una recta de puntos …jos
r
Q + L(f~u1 g), donde ~u1 es nautovalor asociado al
o autovalor
1
0
la matriz
= 1. En la referencia R = Q; k~u1 k ~u1 ; ~u2 ; ~u3
asociada a f es
0
1
1 0
0
0
B 0 1
C
0
0
C:
MR0 R0 (f ) = B
@ 0 0 cos
sin A
0 0 sin
cos
Y f es un giro ó rotación de angulo y eje la recta r de puntos
…jos.
En el caso particular de que cos = 1, tendríamos una simetría
axial de eje la recta r de puntos …jos.
45
ii. rg(A Ij~b) = 3 y, en este caso, no hay puntos …jos. La matriz
asociada a f se puede escribir como sigue:
MR0 R0 (f )
=
0
1 ~0t
~b A
10
1
0 0 0
B 0
1 0 0 C
CB
0 1 0 A@ 0
0
0 0 1
1
B b1
= B
@ b2
b3
0
1
0
0
0
0
cos
sin
0
0
sin
cos
1
C
C
A
y f es un movimiento helicoidal, esto es, un giro de ángulo y eje
la recta invariante de f con subespacio vectorial asociado V (1),
compuesto con una traslación paralela a dicha recta (de vector
!
~u = Xf (X), con X 2 r).
2. Si det A = 1, la isometría f es impropia ó indirecta y A 2 O(3) (matrices de orden 3 ortogonales) y, en una base ortonormal conveniente
B 0 = (~e01 ; ~e02 ; ~e03 ) (el vector ~e01 es autovector asociado a = 1 y unitario)
la matriz asociada a f se escribe:
1
0
1
0
0
sin A :
MB 0 B 0 (f ) = @ 0 cos
0 sin
cos
Nótese que, en este caso, tr(A) =
(a) Si cos = 1 entonces rg(A
1 + 2 cos .
I) = 1.
i. Si rg(A Ij~b) = 1 entonces hay un plano
n
P + L(f~v1 ; ~v2 g). En la referencia R0 = Q;
la matriz asociada a f se escribe
0
1 0 0
B 0
1 0
MR0 R0 (f ) = B
@ 0 0 1
0 0 0
de puntos …jos
o
~e1 ; k~v11 k ~v1 ; k~v12 k ~v2
1
0
0 C
C
0 A
1
y f es una simetría especular respecto del plano de puntos …jos.
ii. Si rg(A Ij~b) = 2 entonces no hay puntos …jos. La matriz
asociada a f se puede escribir como sigue:
MR0 R0 (f )
=
0
1 ~0t
~b A
1
B b1
= B
@ b2
b3
46
10
0 0 0
1
B 0
1 0 0 C
CB
0 1 0 A@ 0
0 0 1
0
0
1
0
0
1
0 0
0 0 C
C
1 0 A
0 1
y f es una simetría compuesta con una traslación de vector
paralelo al plano invariante (~v = (0; c2 ; c3 )).
(b) Si cos 6= 1 entonces f no tiene el autovalor = 1 y hay un único
punto …jo Q. En la referencia ortonormal R0 = fQ; (~u1 ; ~u2 ; ~u3 )g la
matriz asociada a f se escribe:
1
0
10
1 0
0
0
1 0 0 0
B
C
B 0
0
0
1 0 0 C
C
CB 0 1
MR0 R0 (f ) = B
@ 0 0 1 0 A @ 0 0 cos
sin A
0 0 sin
cos
0 0 0 1
y f es una simetría (respecto del plano Q + L(f(~u2 ; ~u3 )g)) compuesta
con una rotación de ángulo y eje Q + L(f(~u1 )g.
En el caso particular en que cos = 1, entonces f es una simetría
central de centro el único punto …jo Q.
Cuadro de clasi…cación
det A = 1
cos ( ) = 21 ( tr A
rg(A
I)
rg(b j A
I)
1)
Clasi…cación
0
0 (b = 0)
Identidad
0
1 (b 6= 0)
Traslación
2
2
Giro de ángulo
y eje la única recta de puntos …jos
2
3
Movimiento helicoidal
(composición de giro y traslación).
det A = 1
cos ( ) = 21 ( tr A + 1)
rg(A
I)
rg(b j A
I)
Clasi…cación
1
1
1
2
Simetría deslizante (composición de simetría y
traslación de vector paralelo al plano de simetría)
3
3
Composición de giro y simetría (el eje de giro
y el plano de simetría son ortogonales). El único
punto …jo es la intersección del eje y el plano.
Simetría respecto del único plano de puntos …jos
47
Ejercicio 1 En el espacio afín euclídeo E3 …jamos una referencia ortonormal
R y se considera una isometría afín h, cuyas ecuaciones respecto a la referencia
dada son:
8 0
< x1 = 4 + 94 x1 + 89 x2 19 x3
x0 = 4 94 x1 + 19 x2 89 x3
h
: 20
x3 = 2 97 x1 + 49 x2 + 49 x3
Se pide:
1. Escribir su expresión matricial, clasi…carla y obtener los elementos notables.
2. Sea f la simetría respecto del plano de ecuación
Determinar una transformación g, tal que h = f g.
2x2 + x3 = 1.
3. Clasi…car la isometría g.
Solución
1. La matriz asociada a la isometría h en la referencia
0
1
0
0
0
8
1
4
B 4
9
9
9
MRR (h) = B
4
1
8
@ 4
9
9
9
7
4
4
2
9
9
9
Llamamos:
1
0
4
~b = @ 4 A ; A = @
2
0
4
9
4
9
7
9
8
9
1
9
4
9
R es:
1
C
C
A
1
9
8
9
4
9
1
A
Como det A = 1, h es una isometría directa. Los autovalores de A son
= 1, = i. Como
0 4
1
8
1
1
9
9
9
4
1
8
A = 2;
1
rg(A I) = rg @
9
9
9
7
4
4
1
9
9
1
0 4 9
8
1
1
4
9
9
9
4
1
8
1
4 A=2
rg(A Ij~b) = rg @
9
9
9
4
4
7
1
2
9
9
9
el espacio de puntos …jos de h es una recta y h es un giro de ángulo
(pues cos = 21 (trA 1) = 0) y eje la recta de puntos …jos.
Se tiene:
F
n
o
X j (A I)X + ~b = ~0
80 4
8
1
< 9 1
9
9
4
1
8
@
1
=
9
9
9
:
7
4
4
=
9
=
x1 =
9
9
x3 ; x2 =
2
9
1 0
1 0 19
x1
4
0 =
A @ x2 A + @ 4 A = @ 0 A
;
x3
2
0
1
1
x3
2
48
10
2
2. Tomamos una referencia R0 = fP; (w
~ 1; w
~ 2; w
~ 3 )g donde P 2 , w
~ 1; w
~2 2 ~
yw
~ 3 2 ~ ? y ortogonales entre sí; por ejemplo,2x2 + x3 = 1
P
w
~1
w
~2
w
~2
= (0; 0; 1);
= (1; 0; 0) ;
1
2
=
0; p ; p
;
5
5
2
1
=
0; p ; p
:
5
5
La referencia R0 es una referencia ortonormal
0
1 0 0
B 0 1 0
MR0 R0 (f ) = B
@ 0 0 1
0 0 0
Se tiene:
MRR (f )
= MR0 R MR0 R0 (f )MR01R
0
1
1 0
0
0
B 0 1
0
0 C
1
C
= B
p1
p2 A MR0 R0 (f )MR0 R
@ 0 0
5
5
p2
p1
1 0
5
5
1
0
1 0 0
0
B 0 1 0
0 C
C
= B
3
4 A:
@ 4 0
5
5
5
2
4
3
0
5
5
5
Una transformación g, tal que h = f
MRR (g)
de E3 y
1
0
0 C
C:
0 A
1
g es tal que:
= MRR (f ) 1 MRR (h)
0
1 10
1 0 0
0
B
B 0 1 0
0 C
C B
= B
3
4 A
@ 4 0
@
5
5
5
2
4
3
0
5
5
0 5
1
1
0
0
0
4
8
1 C
B 4
9
9
9 C:
= B
8
19
8
@ 0
A
9
45
45
1
8
44
4
9
45
45
1
4
4
2
0
0
0
4
9
4
9
7
9
8
9
1
9
4
9
1
9
8
9
4
9
1
C
C
A
3. Hallamos con MAPLE los autovectores de A (>eigenvectors(A); ) siendo:
0 4
1
1
8
A=@
9
8
9
1
9
49
9
19
45
8
45
9
8
45
44
45
A
obtenemos
V (1) = L(f( 1; 0; 5); (8; 5; 0)g);
V ( 1) = L(f((5; 8; 1)g):
Por tanto, det A =
rg(A
rg(A
1 y g es una isometría indirecta. Como
I)
=
Ij~b)
=
1; (pues
0 4
rg @
9
= 1 es una autovalor doble)
1
8
1
1
4
9
9
19
8
8
1
0 A = 2;
9
45
45
1
8
44
1
4
9
45
45
entonces g no tiene puntos …jos y es una simetría respecto del plano invariante compuesta con un giro de ángulo 180o . De hecho sabíamos que
g = f 1 h.
Ejercicio 2 En el espacio afín euclídeo tridimensional E3 …jamos una referencia ortonormal R. Se pide:
1. Obtener la expresión matricial del giro g de ángulo 4 ; y eje la recta r de
ecuaciones x3 x1 = 1 y x1 + x2 = 2. Describir los subespacios invariantes
de g.
2. Obtener la expresión matricial de la simetría s respecto al plano
x1 x2 + x3 = 2. Describir los subespacios invariantes de s.
3. Obtener la expresión matricial de la composición de g con s: f1 = s g.
Calcular el subespacio de puntos …jos de f1 . Describir los subespacios
invariantes de f1 .
4. Obtener la expresión matricial de la homotecia h de centro C = (1; 1; 2) y
razón r = 57. Describir los subespacios invariantes de h.
5. Obtener la expresión matricial de la composición de g con s y con h:
f2 = h f1 . ¿Es f2 una isometría? Razona tu respuesta. Describir los
subespacios invariantes de f2 .
Solución.
1. Tomamos una referencia fP; (~u1 ; ~u2 ; ~u3 )g donde P 2 r, ~u1 2 ~r y ~u2 ; ~u3 2
~r? y ortogonales entre sí; por ejemplo,
P
~u1
~u2
~u3
= (1; 1; 2);
= (1; 1; 1);
= (1; 1; 0) ;
= (1; 1; 2) :
50
La referencia R0 =
de E3 y
n
P;
~
u2
~
u3
~
u1
k~
u1 k ; k~
u2 k ; k~
u3 k
0
o
es una referencia ortonormal
1
0
C
0
C:
sin 4 A
cos 4
1 0
0
B 0 1
0
MR0 R0 (g) = B
@ 0 0 cos
4
0 0 sin 4
Por tanto, haciendo un cambio de referencia obtenemos:
MRR (g)
= MR0 R MR0 R0 (g)MRR0
0
1
0
0
0
B 1
p1
p1
p1
B
3
2
2
= B
p1
p1
p1
@ 1
3
2
2
p1
p2
2
0
3
2
0
1
0
p
p
B
2 + 3 p22 + 1
B
= @ p
2
1
2 p2 1
2
3 2+4
1
1
C
C
C MR0 R0 (g)MR01R
A
p
0
2
2p
2
p2
1
+1
2 1
1
0
C
1
C:
p
A
2
+
1
p
2 1
Los subespacios invariantes de g son: la recta de puntos …jos (el eje del
giro) y los planos ortogonales a la recta de puntos …jos.
2. Tomamos una referencia fQ; (w
~ 1; w
~ 2; w
~ 3 )g donde Q 2 , w
~ 2; w
~3 2 ~ y
w
~ 1 2 ~ ? y ortogonales entre sí. Nótese que el plano
x1 x2 + x3 = 2
es ortogonal a la recta r del apartado anterior. Por comodidad, vamos a
tomar entonces
Q = P = (1; 1; 2);
~u1
w
~1 =
;
k~u1 k
~u2
w
~2 =
;
k~u2 k
~u3
:
w
~2 =
k~u3 k
La referencia R0 = fQ; (w
~ 1; w
~ 2; w
~ 3 )g es
0
1
B 0
MR0 R0 (s) = B
@ 0
0
51
una referencia ortonormal de E3 y
1
0 0 0
1 0 0 C
C:
0 1 0 A
0 0 1
Por tanto, haciendo un cambio de referencia obtenemos:
MRR (s)
= MR0 R MR0 R0 (s)MRR0
0
1
1
0
0
0
B 1
C
p1
p1
p1
B
3
2
2 C
1
MR0 R0 (s)MRR
= B
0
1
1
1
p
p
p C
@ 1
3
2
2 A
1
2
p
p
2
0
3
2
0
1
1
0
0
0
B 4
1 2
2 C
C:
= B
@ 4
2
1
2 A
4
2 2
3
Los subespacios invariantes de s son: el plano de puntos …jos de s (es el
plano de simetría) y las rectas ortogonales al plano .
3. La expresión matricial de la composición de g con s: f1 = s g es:
MRR (f1 )
= MRR (s)MRR (g)
0
1
0
p
p
2
B
2 1 p2
1
= B
2
@ 2p2 + 3
+
1
2
p
3 2
1
0
2
2p + 1
2
1
p2
2+1
p
1
0
C
1
C:
p
A
2
1
p
2+1
El subespacio de puntos …jos de f1 es F = fP g.
Los subespacios invariantes de f1 son: la recta r (eje del giro), el plano
(plano de simetría) y el punto P .
4. Para hallar la expresión matricial de la homotecia h de centro C = (1; 1; 2)
y razón r = 57 calculamos h(O). Se veri…ca:
f (O)
Por tanto,
!
= C + rCO = (1; 1; 2)
= ( 56; 56; 112) :
0
B
MRR (h) = B
@
1
56
56
112
0
57
0
0
0
0
57
0
57(1; 1; 2)
1
0
0 C
C:
0 A
57
Los subespacios invariantes de h son: El centro de la homotecia, las rectas
que contienen al centro y planos que contienen al centro.
5. La expresión matricial de la composición de g con s y con h: f2 = h f1
52
es:
MRR (f2 )
= MRR (h)MRR (f1 )
0
p1
B
57
p2 + 1
= B
@ 114 2 227
p
171 2 112
p0
57
2 p2 + 57
57
2 57
2
57
p0
57
57
2p 2
57
2
+
57
2 p
57 2 57
1
0
C
C:
p 57
57 p2 + 57 A
57 2 57
La transformación afín f2 no es una isometría pues h no es una isometría.
Como el centro de la homotecia en el punto …jo de la isometría f1 los
subespacios invariantes de f2 son: el centro de la homotecia, la recta r y
el plano .
5
Bibliografía
M. Castellet, I. Llerena, Álgebra lineal y Geometría, Ed. Reverté, 1994.
J. de Burgos, Curso de Álgebra y Geometría, Ed. Alhambra, 1980.
A. de la Villa, Problemas de Álgebra con esquemas teóricos, Ed. CLAGSA,
1994.
53