CALCULO III
Trabajo Practico
Ejercicios.
a) Resuelva
𝟏.
𝑑3 𝑦 𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
− 2 − 12
=0
3
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑹. 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 4𝑥 + 𝐶3 𝑒 −3𝑥
(𝐷 3 − 𝐷 2 − 12𝐷)𝑦 = 0
[𝐷(𝐷 2 − 𝐷 − 12)]𝑦 = 0
[𝐷(𝐷 − 4)(𝐷 + 3)]𝑦 = 0
𝑚1 = 0 ; 𝑚2 = 4 ; 𝑚3 = −3
𝒚 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝟒𝒙 + 𝑪𝟑 𝒆−𝟑𝒙
𝟐. (𝐷 2 + 2𝐷 − 15)𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 3𝑥 + 𝐶2 𝑒 −5𝑥
(𝐷 2 + 2𝐷 − 15)𝑦 = 0
[(𝐷 − 3)(𝐷 + 5)]𝑦 = 0
𝑚1 = 3 ; 𝑚2 = −5
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝟑𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝟓𝒙
𝟑. (𝐷 3 + 𝐷 2 − 2𝐷)𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 𝑥 + 𝐶3 𝑒 −2𝑥
(𝐷 3 + 𝐷 2 − 2𝐷)𝑦 = 0
[𝐷(𝐷 2 + 𝐷 − 2)]𝑦 = 0
[𝐷(𝐷 − 1)(𝐷 + 2)]𝑦 = 0
𝑚1 = 0 ; 𝑚2 = 1 ; 𝑚3 = −2
𝒚 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒙 + 𝑪𝟑 𝒆−𝟐𝒙
𝟒.
𝑑3 𝑦
𝑑2 𝑦
𝑑𝑦
+
2
−5
− 6𝑦 = 0
3
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑹. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥 + 𝐶3 𝑒 −𝑥
(𝐷 3 + 2𝐷 2 − 5𝐷 − 6)𝑦 = 0
(𝐷 3 + 𝐷 2 + 𝐷 2 − 𝐷 − 6𝐷 − 6)𝑦 = 0
[𝐷 2 (𝐷 + 1) + 𝐷(𝐷 + 1) − 6(𝐷 + 1)]𝑦 = 0
[(𝐷 2 + 𝐷 − 6)(𝐷 + 1)]𝑦 = 0
[(𝐷 − 2)(𝐷 + 3)(𝐷 + 1)]𝑦 = 0
𝑚1 = 2 ; 𝑚2 = −3 ; 𝑚3 = −1
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝟐𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝟑𝒙 + 𝑪𝟑 𝒆−𝒙
𝟓. 𝑦 (4) − 𝑦 ′′′ − 7𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 6𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 + 𝐶3 𝑒 −2𝑥 + 𝐶4 𝑒 3𝑥
(𝐷 4 − 𝐷 3 − 7𝐷2 + 𝐷 + 6)𝑦 = 0
(𝐷 4 − 𝐷 3 − 7𝐷 2 + 7𝐷 − 6𝐷 + 6)𝑦 = 0
[𝐷 3 (𝐷 − 1) − 7𝐷(𝐷 − 1) − 6(𝐷 − 1)]𝑦 = 0
[(𝐷 3 − 7𝐷 − 6)(𝐷 − 1)]𝑦 = 0
[(𝐷 3 − 𝐷 − 6𝐷 − 6 + 𝐷 2 − 𝐷 2 )(𝐷 − 1)]𝑦 = 0
[(𝐷 2 (𝐷 + 1) − 𝐷(𝐷 + 1) − 6(𝐷 + 1))(𝐷 − 1)]𝑦 = 0
[(𝐷 2 − 𝐷 − 6)(𝐷 + 1))(𝐷 − 1)]𝑦 = 0
[(𝐷 + 2)(𝐷 − 3)(𝐷 + 1))(𝐷 − 1)]𝑦 = 0
𝑚1 = 1 ; 𝑚2 = −1 ; 𝑚3 = −2 ; 𝑚3 = 3
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝒙 + 𝑪𝟑 𝒆−𝟐𝒙 + 𝑪𝟒 𝒆𝟑𝒙
Pedro Cibils - Ing. Informática 2022
𝟔. (𝐷 2 + 6𝐷 + 9)𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −3𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −3𝑥
(𝐷 2 + 6𝐷 + 9)𝑦 = 0
[(𝐷 + 3)(𝐷 + 3)]𝑦 = 0
𝑚1 = 3 ; 𝑚2 = 3
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆−𝟑𝒙 + 𝑪𝟐 𝒙𝒆−𝟑𝒙
𝟕. (𝐷 4 − 6𝐷 3 + 12𝐷 2 − 8𝐷)𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 + 𝐶3 𝑥𝑒 2𝑥 + 𝐶4 𝑥 2 𝑒 2𝑥
(𝐷(𝐷 3 − 8) + 6𝐷 2 (𝐷 − 2))𝑦 = 0
(𝐷(𝐷 − 2)(𝐷 2 + 2𝐷 + 4) − 6𝐷2 (𝐷 − 2))𝑦 = 0
(𝐷(𝐷 − 2)(𝐷 2 + 2𝐷 + 4 − 6𝐷))𝑦 = 0
(𝐷(𝐷 − 2)(𝐷 2 − 4𝐷 + 4))𝑦 = 0
(𝐷(𝐷 − 2)(𝐷 − 2)(𝐷 − 2))𝑦 = 0
𝑚1 = 0 ; 𝑚2 = 2 ; 𝑚3 = 2 ; 𝑚4 = 2
𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒆𝟐𝒙 + 𝑪𝟑 𝒙𝒆𝟐𝒙 + 𝑪𝟒 𝒙𝟐 𝒆𝟐𝒙
𝟖. (𝐷 4 + 6𝐷 3 + 5𝐷 2 − 24𝐷 − 36)𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 + 𝐶3 𝑒 −3𝑥 + 𝐶4 𝑥𝑒 −3𝑥
(𝐷 4 − 2𝐷3 + 8𝐷 3 − 16𝐷2 + 21𝐷 2 − 42𝐷 + 18𝐷 − 36)𝑦 = 0
(𝐷 3 (𝐷 − 2) + 8𝐷 2 (𝐷 − 2) + 21𝐷(𝐷 − 2) + 18(𝐷 − 2))𝑦 = 0
((𝐷 − 2)(𝐷 3 + 8𝐷 2 + 21𝐷 + 18))𝑦 = 0
(𝐷 − 2)(𝐷 3 (𝐷 + 2) + 6𝐷(𝐷 + 2) + 9(𝐷 + 2))𝑦 = 0
(𝐷 − 2)(𝐷 + 2)(𝐷 2 + 6𝐷 + 9)𝑦 = 0
(𝐷 − 2)(𝐷 + 2)(𝐷 + 3)(𝐷 + 3)𝑦 = 0
𝑚1 = 2 ; 𝑚2 = −2 ; 𝑚3 = −3 ; 𝑚3 = −3
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝟐𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝟐𝒙 + 𝑪𝟑 𝒆−𝟑𝒙 + 𝑪𝟒 𝒙𝒆−𝟑𝒙
𝟗. (𝐷 4 − 𝐷 3 − 9𝐷 2 − 11𝐷 − 4)𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 4𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 + 𝐶3 𝑥𝑒 −𝑥 + 𝐶4 𝑥 2 𝑒 −𝑥
(𝐷 4 + 𝐷 3 − 2𝐷 3 − 2𝐷 2 − 7𝐷 2 − 7𝐷 − 4𝐷 − 4)𝑦 = 0
(𝐷 3 (𝐷 + 1) − 2𝐷 2 (𝐷 + 1) − 7𝐷(𝐷 + 1) − 4(𝐷 + 1))𝑦 = 0
((𝐷 + 1)(𝐷 3 − 2𝐷 2 − 7𝐷 − 4))𝑦 = 0
(𝐷 + 1)(𝐷 2 (𝐷 + 1) − 3𝐷(𝐷 + 1) − 4(𝐷 + 1))𝑦 = 0
(𝐷 + 1)(𝐷 + 1)(𝐷 2 − 3𝐷 − 4)𝑦 = 0
(𝐷 + 1)(𝐷 + 1)(𝐷 + 1)(𝐷 − 4)𝑦 = 0
𝑚1 = −1 ; 𝑚2 = −1 ; 𝑚3 = −1 ; 𝑚3 = 4
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝟒𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆−𝒙 + 𝑪𝟑 𝒙𝒆−𝒙 + 𝑪𝟒 𝒙𝟐 𝒆−𝒙
𝟏𝟎. (𝐷 4 − 6𝐷 3 + 13𝐷 2 − 12𝐷 + 4)𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = (𝐶1 + 𝐶2 𝑥)𝑒 𝑥 + (𝐶3 + 𝐶4 𝑥)𝑒 2𝑥
(𝐷 4 − 𝐷 3 − 5𝐷 3 + 5𝐷 2 + 8𝐷 2 − 8𝐷 − 4𝐷 + 4)𝑦 = 0
(𝐷 3 (𝐷 − 1) − 5𝐷 2 (𝐷 − 1) + 8𝐷(𝐷 − 1) − 4(𝐷 − 1))𝑦 = 0
((𝐷 − 1)(𝐷 3 − 5𝐷 2 + 8𝐷 − 4))𝑦 = 0
(𝐷 − 1)(𝐷 2 (𝐷 − 1) − 4𝐷(𝐷 − 1) + 4(𝐷 − 1))𝑦 = 0
(𝐷 − 1)(𝐷 − 1)(𝐷 2 − 4𝐷 + 4)𝑦 = 0
(𝐷 + 1)(𝐷 + 1)(𝐷 − 2)(𝐷 − 2)𝑦 = 0
𝑚1 = −1 ; 𝑚2 = −1 ; 𝑚3 = 2 ; 𝑚3 = 2
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒙 + 𝑪𝟐 𝒙𝒆𝒙 + 𝑪𝟑 𝒆𝟐𝒙 + 𝑪𝟒 𝒙𝒆𝟐𝒙
𝒚 = (𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒙)𝒆𝒙 + (𝑪𝟑 + 𝑪𝟒 𝒙)𝒆𝟐𝒙
Pedro Cibils - Ing. Informática 2022
𝟏𝟏. (𝐷 2 + 25)𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠5𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛5𝑥
(𝐷 2 + 25) = 0
𝐷 2 = −25
𝐷 = ±5𝑖
𝑎 ± 𝑏𝑖 = ±5𝑖
𝑚1 = 0 ; 𝑚2 = 5
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟓𝒙
𝟏𝟐. (𝐷 2 − 4𝐷 + 13)𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = 𝑒 2𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛3𝑥)
(𝐷 2 − 4𝐷 + 13)𝑦 = 0
𝐷=
𝐷=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−(−4) ± √(−4)2 − 4(13)
2
𝐷=
𝐷=
4 ± √−36
2
4 ± 6𝑖 2(2 ± 3𝑖)
=
= 2 ± 3𝑖
2
2
𝐷 = 2 ± 3𝑖
𝑎 ± 𝑏𝑖 = 2 ± 3𝑖
𝑚1 = 2 ; 𝑚2 = 3
𝒚 = 𝒆𝟐𝒙 (𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙)
𝟏𝟑. (𝐷 3 − 𝐷 2 + 9𝐷 − 9)𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶3 𝑠𝑒𝑛3𝑥
(𝐷 2 (𝐷 − 1) + 9(𝐷 − 1))𝑦 = 0
(𝐷 − 1)(𝐷 2 + 9)𝑦 = 0
𝑚1 = 1 ; 𝑚2 = ±3
𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒙 + 𝑪𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 + 𝑪𝟑 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙
1
𝑹. 𝑦 = 𝑒 −2𝑥 (𝐶1 cos
𝟏𝟒. 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 0
(𝐷 3 + 𝐷 2 + 𝐷)𝑦 = 0
𝐷=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝐷=
−1 ± √1 − 4
2
𝐷=
−1 ± √−3
2
1 √3
1 √3
𝐷=− ±
; =− ±
𝑖
2
2
2
2
1 √3
𝑎 ± 𝑏𝑖 = − ±
𝑖
2
2
𝑚1 = −
𝟏
1
√3
; 𝑚2 =
𝑖
2
2
𝒚 = 𝒆−𝟐𝒙 (𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔
Pedro Cibils - Ing. Informática 2022
√𝟑
√𝟑
𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏
𝒙)
𝟐
𝟐
√3
√3
𝑥 + 𝐶2 sen
𝑥)
2
2
𝟏𝟓. 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 17𝑦 = 0
𝑹. 𝑦 = 𝑒 −𝑥 (𝐶1 cos 4 𝑥 + 𝐶2 sen 4 𝑥)
(𝐷 2 + 4𝐷 + 17)𝑦 = 0
𝐷=
𝐷=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−4 ± √(4)2 − 4(17)
2
𝐷=
𝐷=
−4 ± √−52
2
−4 ± 2√13 𝑖
= −2 ± 2√13 𝑖
2
𝐷 = −2 ± 2√13 𝑖
𝑎 ± 𝑏𝑖 = −2 ± 2√13 𝑖
𝑚1 = −2 ; 𝑚2 = 2√13 𝑖
𝒚 = 𝒆−𝟐𝒙 (𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔2√𝟏𝟑 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟐√𝟏𝟑 𝒙)
Pedro Cibils - Ing. Informática 2022