DECOM CEFET-MG Otimização II Lista 3 Cadeias de Markov Elizabeth Wanner Disciplina OTIM II 2022/1 Dentre os sete (07) exercı́cios a seguir, resolva cinco (5). 1) Suponha que a probabilidade de chover amanhã seja 0,5 caso esteja chovendo hoje, e que a probabilidade de amanhã ser um dia ensolarado seja 0,9 caso hoje esteja ensolarado. Suponha ainda que estas probabilidades não mudem, caso sejam fornecidas informações sobre o tempo anteontem. a) Explique por que as hipóteses que foram elaboradas implicam que a propriedade markoviana é valida para a evolução do clima. b) Formule a evolução do clima como uma cadeia de Markov definindo seus estados e fornecendo sua matriz de transição em uma etapa. 2) Suponha que uma rede de comunicações transmita dı́gitos binários, 0 ou 1, e que cada dı́gito é transmitido dez vezes em seguida. Durante cada transmissão, a probabilidade é 0,995 de que o dı́gito incluı́do será transmitido de forma acurada. Em outras palavras, a probabilidade é 0,005 de que o dı́gito que está sendo transmitido será registrado com o valor oposto no final da transmissão. Para cada transmissão após a primeira, o dı́gito incluı́do para transmissão é aquele que foi registrado no final da transmissão anterior. Caso X0 represente o dı́gito binário que entra no sistema, X1 o dı́gito binário gravado após a primeira transmissão, X2 o dı́gito gravado após a segunda transmissão, . . . , então {Xn } é uma cadeia de Markov. a) Construa a matriz de transição P. b) Encontre a matriz de transição em dez etapas P(10) . c) Suponha que a rede seja redesenhada para aumentar a probabilidade de que uma única transmissão teria precisão de 0,998. Repita o item (b) para a encontrar a nova probabilidade de que um dı́gito que entra na rede será gravado de forma acurada após a última transmissão. 3) Dada cada uma das seguintes matrizes de transição, determine as classes da cadeia de Markov, se elas são recorrentes ou transientes, e para cada classe determine o perı́odo. Encontre a(s) distribuições invariantes. Decida se as cadeias possuem distribuição assintótica ou não. a) P= Estado 0 0 1 0 1 0 2 3 0,5 1 2 0 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0 0 3 0 0 0 0,5 Copyright (c) Elizabeth Wanner 2022 2 OTIM II Otimização II Lista 3 Cadeias de Markov b) P= Estado 0 0 0 1/3 1 1/3 2 3 1/3 1 2 3 1/3 1/3 1/3 0 1/3 1/3 1/3 0 1/3 1/3 1/3 0 c) P= Estado 0 0 0 0 1 1 2 0 3 0 4 5 0 1 2 0 0 0 1 0 0 1/4 0 0 1 1/2 0 3 2/3 0 0 0 0 0 4 5 0 1/3 0 0 0 0 3/4 0 0 0 1/2 0 4) Considere o problema de estoque de sangue que um hospital enfrenta. Não há necessidade de um tipo especial de sangue raro, a saber, sangue tipo AB, Rh negativo. A demanda D em litros ao longo de qualquer perı́odo de três dias é dada por: P (D = 0) = 0,4 P (D = 2) = 0,2 P (D = 1) = 0,3 P (D = 3) = 0,1 Observe que a demanda esperada é de 1 litro, já que E(D) = 0,3(1) + 0,2(2) + 0,1(3) = 1. Suponha que haja três dias entre as entregas. O hospital propõe uma polı́tica de receber um litro a cada entrega e usar os estoques de sangue mais antigos primeiro. Se for necessário mais sangue que o disponı́vel, é feita uma entrega de emergência. O sangue é descartado caso ele ainda se encontre nas prateleiras após 21 dias. Represente o estado do sistema como o número de litros disponı́veis logo após uma entrega. Portanto, em virtude de essa polı́tica de descartar sangue, o maior estado possı́vel é 7. a) Construa a matriz de transição para essa cadeira de Markov. b) Encontre as probabilidades de estado estável. c) Use os resultados do item (b) para encontrar a probabilidade de estado estável de que um litro de sangue será descartado durante um perı́odo de três dias. Dica: pelo fato de o sangue mais antigo ser usado primeiro, um litro chega aos 21 dias somente se o estado fosse 7 e depois D = 0. d) Utilize os resultados do item (b) para encontrar a probabilidade de estado estável de que uma entrega de emergência será necessária durante o perı́odo de três dias entre entregas regulares. 5) Considere a seguinte polı́tica de estoques para certo produto. Se a demanda durante um perı́odo exceder o número de itens disponı́veis, essa demanda não atendida é colocada em reserva para pedidos a ser executados; isto é, ela será atendida quando for recebido o próximo pedido. Façamos que Zn , n = 0, 1, . . ., represente a quantidade disponı́vel em estoques menos o número de unidades colocadas em reserva antes de fazer novo pedido no final do perı́odo n (Z0 = 0). Se Zn for zero ou positivo, nenhum pedido é colocado em reserva para atendimento futuro. Caso Zn seja negativo, então −Zn representa o número de unidades colocadas em reserva e não haverá nenhum estoque disponı́vel. No final do perı́odo n, se Zn < 1, é feita uma encomenda de 2m unidades, em que m é o menor inteiro tal que Zn + 2m ≥ 1. Os pedidos são atendidos imediatamente. Façamos que D1 , D2 , . . . seja a demanda para o produto dos perı́odos 1, 2, . . ., respectivamente. Suponha que os Dn sejam variáveis aleatórias independentes de distribuı́das de forma idêntica assumindo os valores 0, 1, 2, 3 e 4, cada um com probabilidade 1/5. Façamos que Xn estoque após ter sido eito o pedido no final do perı́odo n, em que X0 = 2, de modo que: Copyright (c) Elizabeth Wanner 2022 OTIM II Otimização II Lista 3 Cadeias de Markov Xn = Xn−1 − Dn + 2m Xn−1 − Dn 3 se Xn−1 − Dn < 1 se Xn−1 − Dn ≥ 1 (n = 1, 2, . . .) quando {Xn }(n = 1, 2, . . .) for uma cadeia de Markov. Ela possui apenas dois estados, 1 e 2, pois o único momento em que os pedidos ocorrerão será quando Zn = 0, −1, −2 ou −3, em cujo caso são encomendadas, respectivamente 2, 2, 4 e 4 unidades, deixando Xn = 2, 1, 2, 1, respectivamente. a) Construa a matriz de transição. b) Use as equações de estado estável para encontrar manualmente as probabilidades de estado estável. c) Suponha que o custo de encomenda seja dado por 2 + 2m, caso um pedido seja feito, e zero, caso contrário. O custo de armazenagem por perı́odo é Zn se Zn ≥ 0 e zero, caso contrário. O custo de escassez de produto por perı́odo é −4Zn se Zn < 0 e zero, caso contrário. Encontre o custo médio esperado (duradouro) por unidade de tempo. 6) Um computador é inspecionado no final de cada hora. Constata-se que está funcionando ou com defeito. Se for constatado que o computador está funcionando, a probabilidade de ele assim permanecer na próxima hora é de 0,95. Se estiver com problemas, o computador será consertado, o que pode levar mais de uma hora. Toda vez que o computador estiver com problemas, a probabilidade de ele ainda estar com problemas uma hora depois é 0,5. a) Construa a matriz de transição para essa cadeia de Markov. b) Encontre os µij ’s para todo i e j. 7) Um fabricante tem uma máquina que, quando operacional no inı́cio de um dia, tem uma probabilidade igual a 0,1 de quebrar em algum momento durante o dia. Quando isso acontece, o reparo é feito no dia seguinte e concluı́do no final daquele dia. a) Formule a evolução do estado da máquina como uma cadeia de Markov identificando três estados possı́veis no final de cada dia e depois construindo a matriz de transição. b) Encontre os µij ’s para todo i e j. Use esses resultados para identificar o número esperado de dias completos que a máquina permanecerá operacional antes da próxima quebra após um reparo ter sido feito. c) Suponha agora que a máquina já tenha completado 20 dias inteiros sem uma quebra desde o último reparo. Como o número de dias completos esperado daqui em diante de que a máquina permanecerá operacional antes da próxima quebra se compara com o resultado correspondente do item (b) quando o reparo acaba de ser concluı́do? Explique. Copyright (c) Elizabeth Wanner 2022