DECOM
CEFET-MG
Otimização II
Lista 3
Cadeias de Markov
Elizabeth Wanner
Disciplina OTIM II
2022/1
Dentre os sete (07) exercı́cios a seguir, resolva cinco (5).
1) Suponha que a probabilidade de chover amanhã seja 0,5 caso esteja chovendo hoje, e que a probabilidade de amanhã ser um dia ensolarado seja 0,9 caso hoje esteja ensolarado. Suponha ainda que
estas probabilidades não mudem, caso sejam fornecidas informações sobre o tempo anteontem.
a) Explique por que as hipóteses que foram elaboradas implicam que a propriedade markoviana é
valida para a evolução do clima.
b) Formule a evolução do clima como uma cadeia de Markov definindo seus estados e fornecendo
sua matriz de transição em uma etapa.
2) Suponha que uma rede de comunicações transmita dı́gitos binários, 0 ou 1, e que cada dı́gito é
transmitido dez vezes em seguida. Durante cada transmissão, a probabilidade é 0,995 de que o
dı́gito incluı́do será transmitido de forma acurada. Em outras palavras, a probabilidade é 0,005 de
que o dı́gito que está sendo transmitido será registrado com o valor oposto no final da transmissão.
Para cada transmissão após a primeira, o dı́gito incluı́do para transmissão é aquele que foi registrado
no final da transmissão anterior. Caso X0 represente o dı́gito binário que entra no sistema, X1 o
dı́gito binário gravado após a primeira transmissão, X2 o dı́gito gravado após a segunda transmissão,
. . . , então {Xn } é uma cadeia de Markov.
a) Construa a matriz de transição P.
b) Encontre a matriz de transição em dez etapas P(10) .
c) Suponha que a rede seja redesenhada para aumentar a probabilidade de que uma única transmissão teria precisão de 0,998. Repita o item (b) para a encontrar a nova probabilidade de que
um dı́gito que entra na rede será gravado de forma acurada após a última transmissão.
3) Dada cada uma das seguintes matrizes de transição, determine as classes da cadeia de Markov,
se elas são recorrentes ou transientes, e para cada classe determine o perı́odo. Encontre a(s)
distribuições invariantes. Decida se as cadeias possuem distribuição assintótica ou não.
a)
P=
Estado
0

0
1
 0
1

 0
2
3
0,5
1
2
0
0
0,5 0,5
0,5 0,5
0
0
3

0
0 

0 
0,5
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b)
P=
Estado
0

0
0
 1/3
1

 1/3
2
3
1/3
1
2
3

1/3 1/3 1/3
0
1/3 1/3 

1/3
0
1/3 
1/3 1/3
0
c)
P=
Estado 0

0
0
0
1

1
2

0
3

0
4
5
0
1
2
0
0
0
1
0
0
1/4 0
0
1
1/2 0
3
2/3
0
0
0
0
0
4
5

0
1/3
0
0 

0
0 

3/4
0 

0
0 
1/2
0
4) Considere o problema de estoque de sangue que um hospital enfrenta. Não há necessidade de um
tipo especial de sangue raro, a saber, sangue tipo AB, Rh negativo. A demanda D em litros ao
longo de qualquer perı́odo de três dias é dada por:
P (D = 0) = 0,4
P (D = 2) = 0,2
P (D = 1) = 0,3
P (D = 3) = 0,1
Observe que a demanda esperada é de 1 litro, já que E(D) = 0,3(1) + 0,2(2) + 0,1(3) = 1. Suponha
que haja três dias entre as entregas. O hospital propõe uma polı́tica de receber um litro a cada
entrega e usar os estoques de sangue mais antigos primeiro. Se for necessário mais sangue que o
disponı́vel, é feita uma entrega de emergência. O sangue é descartado caso ele ainda se encontre
nas prateleiras após 21 dias. Represente o estado do sistema como o número de litros disponı́veis
logo após uma entrega. Portanto, em virtude de essa polı́tica de descartar sangue, o maior estado
possı́vel é 7.
a) Construa a matriz de transição para essa cadeira de Markov.
b) Encontre as probabilidades de estado estável.
c) Use os resultados do item (b) para encontrar a probabilidade de estado estável de que um litro
de sangue será descartado durante um perı́odo de três dias. Dica: pelo fato de o sangue mais
antigo ser usado primeiro, um litro chega aos 21 dias somente se o estado fosse 7 e depois D = 0.
d) Utilize os resultados do item (b) para encontrar a probabilidade de estado estável de que uma
entrega de emergência será necessária durante o perı́odo de três dias entre entregas regulares.
5) Considere a seguinte polı́tica de estoques para certo produto. Se a demanda durante um perı́odo
exceder o número de itens disponı́veis, essa demanda não atendida é colocada em reserva para
pedidos a ser executados; isto é, ela será atendida quando for recebido o próximo pedido. Façamos
que Zn , n = 0, 1, . . ., represente a quantidade disponı́vel em estoques menos o número de unidades
colocadas em reserva antes de fazer novo pedido no final do perı́odo n (Z0 = 0). Se Zn for zero ou
positivo, nenhum pedido é colocado em reserva para atendimento futuro. Caso Zn seja negativo,
então −Zn representa o número de unidades colocadas em reserva e não haverá nenhum estoque
disponı́vel. No final do perı́odo n, se Zn < 1, é feita uma encomenda de 2m unidades, em que m é
o menor inteiro tal que Zn + 2m ≥ 1. Os pedidos são atendidos imediatamente.
Façamos que D1 , D2 , . . . seja a demanda para o produto dos perı́odos 1, 2, . . ., respectivamente.
Suponha que os Dn sejam variáveis aleatórias independentes de distribuı́das de forma idêntica
assumindo os valores 0, 1, 2, 3 e 4, cada um com probabilidade 1/5. Façamos que Xn estoque após
ter sido eito o pedido no final do perı́odo n, em que X0 = 2, de modo que:
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Xn =
Xn−1 − Dn + 2m
Xn−1 − Dn
3
se Xn−1 − Dn < 1
se Xn−1 − Dn ≥ 1
(n = 1, 2, . . .)
quando {Xn }(n = 1, 2, . . .) for uma cadeia de Markov. Ela possui apenas dois estados, 1 e 2, pois
o único momento em que os pedidos ocorrerão será quando Zn = 0, −1, −2 ou −3, em cujo caso
são encomendadas, respectivamente 2, 2, 4 e 4 unidades, deixando Xn = 2, 1, 2, 1, respectivamente.
a) Construa a matriz de transição.
b) Use as equações de estado estável para encontrar manualmente as probabilidades de estado
estável.
c) Suponha que o custo de encomenda seja dado por 2 + 2m, caso um pedido seja feito, e zero,
caso contrário. O custo de armazenagem por perı́odo é Zn se Zn ≥ 0 e zero, caso contrário. O
custo de escassez de produto por perı́odo é −4Zn se Zn < 0 e zero, caso contrário. Encontre o
custo médio esperado (duradouro) por unidade de tempo.
6) Um computador é inspecionado no final de cada hora. Constata-se que está funcionando ou com
defeito. Se for constatado que o computador está funcionando, a probabilidade de ele assim permanecer na próxima hora é de 0,95. Se estiver com problemas, o computador será consertado, o que
pode levar mais de uma hora. Toda vez que o computador estiver com problemas, a probabilidade
de ele ainda estar com problemas uma hora depois é 0,5.
a) Construa a matriz de transição para essa cadeia de Markov.
b) Encontre os µij ’s para todo i e j.
7) Um fabricante tem uma máquina que, quando operacional no inı́cio de um dia, tem uma probabilidade igual a 0,1 de quebrar em algum momento durante o dia. Quando isso acontece, o reparo é
feito no dia seguinte e concluı́do no final daquele dia.
a) Formule a evolução do estado da máquina como uma cadeia de Markov identificando três estados
possı́veis no final de cada dia e depois construindo a matriz de transição.
b) Encontre os µij ’s para todo i e j. Use esses resultados para identificar o número esperado de dias
completos que a máquina permanecerá operacional antes da próxima quebra após um reparo
ter sido feito.
c) Suponha agora que a máquina já tenha completado 20 dias inteiros sem uma quebra desde o
último reparo. Como o número de dias completos esperado daqui em diante de que a máquina
permanecerá operacional antes da próxima quebra se compara com o resultado correspondente
do item (b) quando o reparo acaba de ser concluı́do? Explique.
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