1
Exercice VII.3
On considère le mélangeur de l’exemple V.3, pour lequel on souhaite réaliser un
régulateur LQ avec bouclage intégral.
Q-1 Ecrire le système augmenté associé à ce problème.
Q-2 De quelles dimensions sont les matrices R et Q ? Identifier clairement les variables
du système affectées par le choix des différents coefficients de ces matrices.
Q-3 Une fois ces matrices fixées, quelle est la dimension de la matrice de commande
Ka obtenue ?
Q-4 On souhaite faire suivre à la concentration, à partir de t = 100 s, un échelon
de consigne de 0, 25 mole/l, et à la hauteur un échelon de consigne de 0, 2 m à
partir de t = 200 s (pour obtenir un produit plus concentré qui coule plus vite),
mais l’utilisation de ce processus impose la contrainte suivante : les débits d1 et
d2 doivent être compris entre −15 et +15 l/s. On désire alors obtenir les meilleurs
temps de réponse possibles en suivis de consigne pour la hauteur et la concentration en produit 3, et minimiser les effets des variations de la hauteur sur la concentration (et vice versa). A l’aide du schéma Simulink ’simulation rebi lq.mdl ’ et
du programme Matlab ’lq.m’, trouver un régulateur LQ avec bouclage intégral
satisfaisant ce cahier des charges.
Q-5 Quelles sont alors les marges de module obtenues ?
Correction
Q-1 On considérera ici les erreurs d’asservissement
e1 (t) = h(t) − hc (t)
sur la hauteur et
e2 (t) = c(t) − cc (t)
sur la concentration, où les signaux de consigne hc (t) et cc (t) sont des échelons d’amplitudes respectives quelconques hc et cc . On posera par conséquent
e1 (t)
.
e(t) =
e2 (t)
Sachant que la représentation d’état du mélangeur est donnée par
1
1
−0, 01
0
u(t),
x(t) +
ẋ(t) =
−0, 25 0, 75
0
−0, 02
1 0
x(t),
y(t) =
0 1
le système augmenté associé à ce problème a pour équation
ẋa (t) = Aa xa (t) + Ba ua (t)
2
avec
ua (t) = u̇(t) et xa (t) =
et
Aa =
A 0n×p
C 0p×p

−0, 01
0

0
−0, 02
=

1
0
0
1
0
0
0
0
ẋ(t)
e(t)

ḣ(t)


ċ(t)

=
 h(t) − hc (t) 
c(t) − cc (t)



1
1
0


B
−0, 25 0, 75
0 
,B =
=

0  a
0p×m
0
0
0
0
0


.

Q-2 Sachant que la commande ua (t) = u̇(t) est de dimension 2, la matrice R qui
pondère les commandes sera de dimension 2 × 2. De même, l’état augmenté étant de
dimension 4, la matrice Q qui pondère celui-ci sera de dimension 4 × 4. On aura donc


q1 0 0 0
 0 q2 0 0 
r1 0

et Q = 
R=
 0 0 q3 0  .
0 r2
0 0 0 q4
Les coefficients r1 et r2 pondèrent les dérivées des débits d’entrée d1 et d2 , q1 pondère
la dérivée de la hauteur h de liquide, q1 la dérivée de la concentration c, q3 l’erreur
d’asservissement sur la hauteur, et q4 l’erreur d’asservissement sur la concentration.
Q-3 La matrice Ka , qui permet de définir la commande du système augmenté
ua (t) = −Ka xa (t), est de ce fait de dimension 2 × 4.
Q-4 et Q-5 Le programme ’lq.m’ sert alors à chercher par essai-erreur un régulateur
LQ à même de satisfaire le cahier des charges. On démarre avec des matrices R et Q
égales à l’identité puis on affine peu à peu leurs coefficients respectifs en observant
l’effet de tels changements sur les réponses indicielles qui en résultent. Le schéma
Simulink ’simulation rebi lq.mdl’ permet de réaliser les simulations.
C’est essentiellement l’expérience du concepteur qui prime dans un tel exercice, et
il faut concevoir un certain nombre de commandes LQ avant de s’y sentir à l’aise. Il
est donc conseillé au lecteur de chercher lui-même une solution au problème, puis de
la comparer à celle proposée ici, qui utilise les matrices de pondération


32 0
0 0
 0 190 0 0 
300 0


et R =
Q=
0 135
0
0 2, 5 0 
0
0
0 1
avec αc = 0. Ces dernières permettent en effet d’obtenir un régulateur LQ qui satisfait
le cahier des charges proposé. La commande du système augmenté est alors donnée
par ua (t) = −Ka xa (t) avec
0, 4182 −0, 5019 0, 0751 −0, 0328
Ka = Kp Ki =
0, 3489 1, 0245 0, 0774 0, 0708
3
et celle du système initial par
ê(s)
dˆ1 (s)
= −Kp x̂(s) − Ki
û(s) = ˆ
s
d2 (s)
0, 4182 −0, 5019
ĥ(s)
= −
0, 3489 1, 0245
ĉ(s)
" ĥ(s)−hˆc (s) #
0, 0751 −0, 0328
s
−
.
ĉ(s)−cˆc (s)
0, 0774 0, 0708
s
Chaque débit de commande à appliquer est ainsi calculé par
ĉ(s) − cˆc (s)
ĥ(s) − hˆc (s)
+ 0, 0328
,
dˆ1 (s) = −0, 4182 ĥ(s) + 0, 5019 ĉ(s) − 0, 0751
s
s
ĉ(s) − cˆc (s) .
ĥ(s) − hˆc (s)
− 0, 0708
dˆ2 (s) = −0, 3489 ĥ(s) − 1, 0245 ĉ(s) − 0, 0774
s
s
La figure 1 propose le tracé des résultats obtenus. On constate sur celui-ci que les
contraintes sur les débits sont bien respectées, que les temps de réponse sont très bons,
et qu’à chaque fois l’asservissement d’une des deux variables h(t) ou c(t) affecte très
peu l’autre.
Q-5 Enfin, le sous-programme ’calcul marges 1.m’ utilisé par le programme ’lq.m’
permet de tracer les diagrammes de Bode multivariables des matrices de sensibilité
Si (s), So (s), Ti (s) et To (s). On trouve leur tracé aux figures 2 et 3. Le système étant
à deux entrées et deux sorties, chacune de ces matrices de transfert possèdent deux
valeurs singulières. La norme H∞ d’une quelconque de ces matrices est alors égale à
la valeur maximale atteinte par sa plus grande valeurs singulières. On note que les
marges de module obtenues sont excellentes (Mmi = 1, Mmo = 0, 8688, Mci = 0, 8773
et Mco = 1).
4
0.02
0.02
0.01
0.01
débit d (t)
1
0
0
débit d (t)
2
−0.01
−0.02
−0.01
0
100
200
300
0.3
−0.02
0
100
300
200
300
0.35
0.25
0.3
hauteur h(t)
0.2
0.25
0.15
0.2
TR
0.1
concentration c(t)
0.15
95%
TR
95%
=12,4 s
0.05
0.1
0
0.05
−0.05
200
0
100
200
300
0
=42,6 s
0
100
Figure 1 – Réponses des entrées et sorties du mélangeur aux différentes sollicitations
décrites dans le cahier des charges.
5
Bode multivariable de Si (trait plein) et de So (trait pointillé)
0
−5
Singular Values (dB)
−10
−15
−20
maximum = 1,222 dB
−25
−30
−35
−1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
Figure 2 – Bodes multivariables de Si (s) et So (s).
Bode multivariable de Ti (trait plein) et de To (trait pointillé)
5
0
−5
Singular Values (dB)
−10
−15
−20
−25
maximum =
1,1374 dB
−30
−35
−40
−1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
Figure 3 – Bodes multivariables de Ti (s) et To (s).