龍翔官立中學
Lung Cheung Government
Secondary School
中三數學科
Secondary Three Mathematics
第八課
中______
學生姓名：____________
學號：_____
8
直線的坐標幾何
CONTENT 目錄
No.
次數
Date
日期
Assignment
家課名稱
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
Mark/Grade
分數/等第
Remark
備註
8
直線的坐標幾何
平面上任意兩點之間的距離
姓名：_________________________
班別：___________
要點提示
距離公式
在直角坐標平面上，任意兩點 A(x1, y1) 與 B(x2, y2) 之間的距離 d 可用以下公式計算：
d  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y 1 ) 2
1.
參看附圖，判斷下列何者正確。若正確的話，在空格內填上「」，否則填上「」。
(a) B 的坐標是 (0, –2)。
□
(b) AB 的長度是 6 單位。
□
(c) BC 的長度是 8 單位。
□
(d) AC 的長度是
62  82 單位。
□
求下列各題中兩點之間的距離。(如有需要，答案以根式表示。) (2 – 5)
2.
P(8, 3) 和 Q(11, 7)
解
PQ  [11  (
 (
3.
)]2  [7  (
)2  (
A(1, 2) 和 B(7, 5)
解
)]2 單位
) 2 單位

4.
R(1, 4) 和 Q(11, 9)
解
5.
3
E(3, 2) 和 F(4, 5)
解
8
求下列各圖中 AB 的長度。(6 – 7)
6.
解
A 的坐標 = (
,
)

B 的坐標 (
,
)

AB



8.
7.
解
考慮直角坐標平面上的四點 A(6, 4)、B(0, 1)、C(–3, 2) 和 D(–5, –2)。
(a) 求 AB 和 CD 的長度。(如有需要，答案以根式表示。)
(b) (a) 中的哪條線段較長？
解
(a)

(b)
9.
在圖中，P(–6, 0) 和 Q(0, –8) 分別是 x 軸和 y 軸上的點。
(a) 求 PQ 的長度。
(b) 求 △OPQ 的周界。
解
(a)
(b)
4
直線的坐標幾何
8
直線的坐標幾何
10. 圖中的 P(–8, 5)、Q(–2, –3)、R(10, 2) 和 S(4, 10) 是一
個長方形的頂點。
(a) 求 PQ 和 QR 的長度。
(b) 求長方形 PQRS 的面積。
解
(a)
(b)
11. 圖中的 A(2, 0)、B(7, 0) 和 C(5, 4) 是一個三角形的頂點。
問 △ABC 是否一個等腰三角形？試解釋你的答案。
解
檢驗 △ABC 的其中
兩條邊的長度是否相
等。
5
8
直線的坐標幾何
直線的斜率
姓名：_________________________
班別：___________
要點提示
1.
斜率公式
通過 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) 的直線 L 的斜率 m 可用以下公式求得：
m
y 2  y1
x2  x1

y y2
或 m  1

x1  x 2





注意： (i)
當 m > 0 時，L 由左至右向上傾斜。
(ii)
當 m < 0 時，L 由左至右向下傾斜。
(iii) 當 m = 0 時，L 是一條水平線。
(iv) 當 L 是一條鉛垂線時，m 是未下定義的。
2.
傾角
直線 L 與正 x 軸所成的角 (即從 x 軸按逆時針方向量度至 L 的角) 稱為 L 的
傾角，且
L 的斜率 = tan 
1.
在下列各圖中，透過找出 A 至 B 的水平變化和鉛垂變化，求直線的斜率。
(a)
(b)
水平變化 = (
垂直變化 = (
L1 的斜率 
2.
(
(
)
)
水平變化 = (
垂直變化 = (
)
)
L2 的斜率 
判斷附圖中哪條線段滿足下列各條件。
(a) 斜率是零。
_________________
(b) 斜率是正數。
_________________
(c) 斜率是負數。
_________________
(d) 斜率是未下定義的。
_________________
6
(
(
)
)
)
)
8
在下列各題中，求通過兩個已知點的直線的斜率。(3 – 4)
3.
(a)
(b)
解
解
AB 的斜率 
3(
4(
)
)

4.
(a) G(–5, 2) 和 H(3, 4)
解
(b) P(–2, –4) 和 Q(–6, –8)
解
5.
在圖中，通過 E(–2, –3) 和 F(5, k) 的直線的斜率是
求 k 的值。
解
6
7
) 6

) 7
∵ EF 的斜率 
∴
k (
5(
7
6
。
7
直線的坐標幾何
8
6.
判斷下列各圖中給定的三點是否共線 (即是否位於同一條直線上)。
(a)
(b)
解


解
AB 的斜率 =
(
(
)(
)(
)

)
BC 的斜率 =
(
(
)(
)(
)

)
∵AB 的斜率 ( = /  ) BC 的斜率
∴ A、B 和 C 三點 ( 是 / 不是 ) 共線。
在下列各題中，求直線 L 的斜率，準確至三位有效數字。(7 – 8)
7.
(a)
(b)
解
L 的斜率 = tan (
解
)
=
8.
(a) L 的傾角 = 78
解
(b) L 的傾角 = 13.5°
解
在下列各題中，求直線 L 的傾角 ，準確至三位有效數字。(9 – 10)
9. (a) L 的斜率 = 1.2
(b) L 的斜率 = 0.65
解
解
∵
∴
L 的斜率 = tan 
(
) = tan 
=
8
直線的坐標幾何
8
10. (a)
直線的坐標幾何
(b)
解
解
先求 L 的
斜率。
11. 若通過 P(–3, k) 和 Q(1, 8) 兩點的直線的傾角是 45°，求 k 的值。
解
∵ PQ 的斜率  tan (
)
12. 在圖中，傾角為 45° 的直線 L 通過 B(5, 3)，且與 y 軸相交於 A。
(a) 求 L 的斜率。
(b) 求 A 的坐標。
解
(a)
(b) 設 A 的坐標為 (
, a)。
由於 A 位於 y 軸上，
A 的 x 坐標是 0。
9
8
平行線
姓名：_________________________
班別：___________
要點提示
設直線 L1 和 L2 的斜率分別為 m1 和 m2。
(i)
若 L1 // L2，則 m1 = m2。
(ii)
若 m1 = m2，則 L1 // L2。
1.
L1 是在直角坐標平面上通過 P(–4, –1) 和 Q(5, 2) 的直線。
(a) 求 L1 的斜率。
(b) 若直線 L2 平行於 L1，求 L2 的斜率。
解
(a)
2.
(b)
在下列各圖中，直線 L 平行於 AB。求 L 的斜率。
(a)
(b)
解
∵
∴
解
L // AB
L 的斜率 = AB 的斜率
=
(
(
)(
)(
)
)
=
3.
在圖中，直線 L1 通過 A(0, –2) 和 B(1, b)，且平行於另一條斜率
為 4 的直線 L。求 b 的值。
解
∵ L1 // L
∴ L1 的斜率 = L 的斜率

10
直線的坐標幾何
8
4.
在圖中，直線 L1 與 L2 互相平行。已知 L1 通過 P(–3, 2)
Q(2, –3)，而 L2 通過 R(4, 0) 且與 y 軸相交於 S。
和
(a) 求 L1 的斜率。
(b) 求 S 的坐標。
解
(a)
(b) 設 S 的坐標為 (
5.
)。
下表所示為五條直線的斜率。
直線
L1
L2
L3
斜率
–1
0.5
1
2
哪對直線互相平行？
6.
,
L4
L5
1
2
–1
–
_____________________________________
在下列各題中，判斷直線 AB 與 CD 是否互相平行。
(a)
(b)
解
解
AB 的斜率 =
CD 的斜率 =
∵
∴
AB 的斜率 (  /  ) CD 的斜率
AB 與 CD ( 是 / 不是 ) 互相平行。
11
直線的坐標幾何
8
7.
直線的坐標幾何
在圖中，A(–1, 2)、B(–3, –1)、C(3, –3) 和 D(2, 1) 是一個
四邊形的頂點。
(a) 求 AB、BC、CD 和 AD 的斜率。
(b) 問 ABCD 是否一個梯形？試解釋你的答案。
解
(a)
(b)
梯形是有一組對邊平行
的四邊形。
8.
在圖中，P(m, 2)、Q(1, –3)、R(6, –1) 和 S(2, 4) 是一個
四邊形的頂點，且 PS // QR。
(a) 求 m 的值。
(b) 問 PQ 與 SR 是否互相平行？試解釋你的答案。
解
(a)
(b)
12
8
直線的坐標幾何
垂直線
姓名：_________________________
班別：___________
要點提示
設直線 L1 和 L2 的斜率分別為 m1 和 m2。
(i)
若 L1  L2，則 m1  m2 = –1。
(ii)
若 m1  m2 = –1，則 L1  L2。
在下列各圖中，兩條直線 L1 和 L2 的斜率分別為 m1 和 m2。若 L1  L2，求 m2 的值。
(1 – 2)
1.
(a)
(b)
解
∵
解
L1  L2
m1  m2 = –1
∴
(
)  m2 = –1
m2 =
2.
(a)
(b)
解
解
先求 m1。
13
8
3.
在圖中，直線 L1 通過 A(a, –1) 和 B(4, 1)，且垂直於另一
條斜率為 –3 的直線 L2。
(a) 求 L1 的斜率。
(b) 由此，求 a 的值。
解
(a) ∵
∴
4.
L1  L2
(b)
在圖中，直線 L1 通過 A(–2, 2) 和 B(3, 1)。直線 L2
垂直於
(a) 求
(b) 若
求
解
L1。
L2 的斜率。
L2 通過 C(–1, –10)，且與 x 軸相交於 D，
D 的坐標。
(a)
(b)
5.
下表所示為五條直線的斜率。
直線
L1
L2
L3
斜率
–1
2
1
2
哪對直線互相垂直？
L4
L5
1
2
1
–
_____________________________________
14
直線的坐標幾何
8
6.
在下列各題中，判斷直線 PQ 與 RS 是否互相垂直。
(a)
(b)
解
解
PQ 的斜率 =
RS 的斜率 =
∵
PQ 的斜率  RS 的斜率
=(
)(
=(
)
)
( /  ) –1
∴
7.
在圖中，A(3, 3)、B(–2, –2) 和 C(4, 0) 是 △ABC 的頂點。
(a) 求 AB、BC 和 AC 的斜率。
(b) 問 △ABC 是否一個直角三角形？試解釋你的答案。
解
(a)
(b)
15
直線的坐標幾何
8
8.
在圖中，A(–3, 0)、B(0, 5)、C(5, n) 和 D(3, 0) 是一個四邊形的
頂點，且 AB  BC。
(a) 求 n 的值。
(b) 問 BC 與 CD 是否互相垂直？試解釋你的答案。
解
(a)
(b)
16
直線的坐標幾何
8
中點公式
姓名：_________________________
班別：___________
要點提示
中點公式
若 M(x, y) 是連接 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) 的線段的中點，則
x  x2
y  y2
x 1
, y 1
2
2
在下列各題中，M 是 AB 的中點。求 M 的坐標。(1 – 2)
1. (a)
(b)
解
M 的坐標
( )(

2

解
) (
,
)(
2
) 



2.
(a) A(2, 7) 和 B(4, 11)
解
(b) A(5, 6) 和 B(9, 4)
解
在下列各題中，M 是 PQ 的中點。求 Q 的坐標。(3 – 4)
3.
(a)
(b)
解
解
17
直線的坐標幾何
8
4.
(a) P(0, 0) 和 M(2.5, 1.5)
解
直線的坐標幾何
(b) P(1, 3) 和 M(2, 7)
解
設 Q 的坐標為 (x, y)。
5.
在圖中，M(–1, 1) 是線段 AB 的中點。A 和 B 的坐標分別是
(–6, k) 和 (h, 5)。求 h 和 k 的值。
解
分開考慮中點 M 的
x 坐標和 y 坐標。
6.
如圖所示，線段 CD 的端點為 C(x, –2) 和 D(–4, 5)。
M 是 CD 的中點，且位於 y 軸上。
(a) 求 x 的值。
(b) 求 M 的坐標。
解
(a)
0
(
)(
( )
)
中點 M 的 x 坐標
是 0。
(b)
18
8
直線的坐標幾何
內分點的截點公式
姓名：_________________________
班別：___________
要點提示
內分點的截點公式
若 P(x, y) 是連接 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) 的線段的內分點，且 AP : PB = r : s，則
sx  rx 2
sy  ry 2
x 1
, y 1
rs
rs
在下列各題中，P 位於線段 AB 上，且按所給的比把 AB 分成兩部分。求 P 的坐標。
(1 – 2)
1. (a) AP : PB = 1 : 2
(b) AP : PB = 3 : 1
解
解
x
2(
)  1(
1 2
y
2(
(
)  1( )

)( )
)

∴ P 的坐標 =
2.
(a) A(–3, 0), B(2, 5), AP : PB  2 : 3
解
設 P 的坐標為 (x, y)。
(b) A(–2, –1), B(5, 6), AP : PB  4 : 3
解
19
8
直線的坐標幾何
在下列各題中，P 位於線段 AB 上，且按所給的比把 AB 分成兩部分。求 A 的坐標。
(3 – 4)
3.
(a) AP : PB = 1 : 2
(b) AP : PB = 7 : 3
解
4.
解
2
2(
)  1(
1 2
及
5
2(
(
)
)  1( )
)( )
(a) B(7, 4), P(6, 2), AP : PB  5 : 1
解
(b) B(5, –1), P(1, 3), AP : PB  3 : 4
解
20
8
5.
直線的坐標幾何
在下列各圖中，P 位於線段 AB 上。求 AP : PB。
(a)
(b)
求 AP : PB 時，
我們只需考慮 P
的 x 坐標或 P 的
y 坐標。
解
設 AP : PB = r : s。
3
r (

s (
∴
6.
)  r(
rs
s(
解
)
)
)
AP : PB  (
):(
)
已知 Y(h, 3) 是連接 X(–7, 6) 和 Z(8, –3) 的線段上的一點。
(a) 求 XY : YZ。
(b) 由此，求 h 的值。
解
(a)
(b)
21
8
直線的坐標幾何
以解析法證明直線圖形的性質
姓名：_________________________
班別：___________
在下列各幾何圖形中引入一個直角坐標系統，使 A 位於原點上，而 B 位於正 x 軸上。
(1 – 2)
1. 試以 a 和 b 表示 C 的坐標。
(a)
(b)
ABCD 是一個長方形。
解
C 的坐標 = (
2.
,
ABC 是一個直角三角形。
解
∵
及
∴
)
AB  (
) 單位
BC = (
) 單位
C 的坐標 = (
,
)
試以 a、b 和 h 表示 D 和 C 的坐標。
(a)
(b)
ABCD 是一個梯形。
解
ABCD 是一個平行四邊形。
解
22
8
3.
圖中所示為 △ABC，其底為 2a 單位，高為 a 單位。CM 是 AB 的
垂直平分線。在圖中引入一個直角坐標系統，使 A 位於原點上，而
B 位於正 x 軸上。
(a) 試以 a 表示 B 和 C 的坐標。
(b) 以解析法證明 △ABC 是一個等腰三角形。
解
(a)
(b)
4.
在圖中，ABCD 是一個邊長 2a 單位的正方形。M 和 N 分別是
AB 和 AD 的中點。在圖中引入一個直角坐標系統，使 A 位於
原點上，而 B 位於正 x 軸上。
(a) 試以 a 表示 B、D、M 和 N 的坐標。
(b) 以解析法證明 NM // DB。
解
(a)
(b) NM 的斜率 =
DB 的斜率 =
23
直線的坐標幾何
8
5.
直線的坐標幾何
圖中所示為平行四邊形 ABCD，其底為 a 單位，高為 b 單位。
M 是 AC 的中點。在圖中引入一個直角坐標系統，使 A 位於
原點上，而 B 位於正 x 軸上。設 D 的 x 坐標為 h。
(a) 試以 a、b 和 h 表示 B、D、C 和 M 的坐標。
(b) 以解析法證明 D、M 和 B 三點共線。
解
(a)
(b)
6.
圖中所示為直角三角形 ABC，其中 B = 90。該直角三角
形的底為 2a 單位，高為 a 單位。P 是 AC 上的一點，使
AP : PC = 1 : 4。以解析法證明 BP⊥AC。
解
1. 在圖中引入一個直角坐標系統，
使 B 位於原點上，而 C 位於
正 x 軸上。
2. 以 a 表示 P 的坐標。
24
8
7.
直線的坐標幾何
圖中所示為一個邊長 2a 單位的正方形。P、Q、R 和 S
分別是 AB、BC、CD 和 DA 的中點。以解析法證明
ABCD 的面積 = 2 × PQRS 的面積。
解
PQRS 的面積
= ABCD 的面積 – APS 的面積
– PBQ 的面積 – QCR 的面積
– SDR 的面積
8.
圖中所示為 △ABC，其底為 2a 單位，高為 2h 單位。
P、Q 和 N 分別是 AB、AC 和 BC 的中點。M 是 PQ 的
中點。以解析法證明 A、M 和 N 三點共線。
解
25