UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Ingeniería Mecánica
ENUNCIADOS DE PROBLEMAS
SEGUNDA UNIDAD
Autor: Fernando José Fernández Murga
Profesor: Guillermo Quevedo Novoa
Curso: Mecánica Racional 1
Trujillo - Perú
2021
PRACTICA DE PROBLEMAS
1. Tenemos un sistema de referencia fijo (𝑋𝑋; 𝑌𝑌; 𝑍𝑍) generado por un cuerpo, y en las coordenadas
Ω(20; 30; 40)𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧 , el origen de un espacio móvil (𝑥𝑥′; 𝑦𝑦′; 𝑧𝑧′), que no coincide con las coordenadas del espacio
fijo, que es generado por un cubo del 20 m de lado; se sabe que en una esquina del cubo, en el eje ���⃗
𝑥𝑥′, se
�⃗
����⃗
ubica el punto 𝐵𝐵 el cual tiene una 𝑉𝑉
⃗ 𝐵𝐵 = 2 𝑘𝑘�⃗; además sobre una de las aristas pasa el eje
𝐵𝐵 = 4 𝑘𝑘 y una 𝑎𝑎
̇
instantáneo de rotación con 𝜔𝜔
�⃗ = 5 𝑘𝑘�⃗ y 𝜔𝜔
�⃗ = 1.2 𝑘𝑘�⃗; también perpendicular al centro de la cara del cubo a
���⃗′ ; 𝑧𝑧���⃗′ ) se ubica un punto 𝑄𝑄; y en el centro de una de sus aristas se ubica otro punto 𝑃𝑃,
10𝑚𝑚 en el plano (𝑦𝑦
���⃗
����⃗
como se ve en gráfico. Determine 𝑉𝑉
⃗ 𝑃𝑃 , 𝑉𝑉
⃗ 𝑄𝑄 en un tiempo 𝑡𝑡.
𝑝𝑝 , 𝑎𝑎
𝑄𝑄 , 𝑎𝑎
2. Tenemos un sistema de referencia fijo (𝑋𝑋; 𝑌𝑌; 𝑍𝑍) generado por un cuerpo, y en la coordenada
Ω0,0,0 (10; 20; 30)𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧 , un espacio móvil (𝑥𝑥′; 𝑦𝑦′; 𝑧𝑧′), que es generado por un cubo del 20 m de lado; en el
2
3
����⃗
punto medio de una de sus aristas se ubica el punto 𝐴𝐴 el cual tiene una ecuación de cota 𝑉𝑉
𝐴𝐴 = 𝑡𝑡 𝚤𝚤⃗ + 2𝑡𝑡 𝚥𝚥⃗ +
���⃗1 , 𝑃𝑃
����⃗2 , 𝑃𝑃
����⃗3 , ubicados como se muestra en la gráfica, ���⃗
(𝑡𝑡 2 + 5)𝑘𝑘�⃗, además los puntos 𝑃𝑃
𝑃𝑃1 ubicado a 10𝑚𝑚. El eje
3
2
2
�⃗
instantáneo de rotación con una ecuación de cota 𝜔𝜔
�⃗ = 3𝑡𝑡 𝚤𝚤⃗ + 𝑡𝑡 𝚥𝚥⃗ + (𝑡𝑡 + 5)𝑘𝑘 , que se da en el tiempo 𝑡𝑡 =
�⃗𝑃𝑃 , 𝑉𝑉
�⃗𝑃𝑃 , 𝑉𝑉
�⃗𝑃𝑃 y 𝑎𝑎⃗𝑃𝑃 , 𝑎𝑎⃗𝑃𝑃 , 𝑎𝑎⃗𝑃𝑃 en un tiempo 𝑡𝑡.
3𝑠𝑠. Determine 𝑉𝑉
1
2
3
1
2
3
3. En un sistema de referencia fijo (𝑋𝑋; 𝑌𝑌; 𝑍𝑍) generado por un cuerpo, y en la coordenada Ω0,0,0 (5; 10; 20)𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧 ,
un espacio móvil (𝜀𝜀; 𝓏𝓏; 𝛿𝛿) generado por un cuerpo móvil, hay un eje instantáneo de rotación con una
ecuación de cota 𝜔𝜔
�⃗ = 3𝑡𝑡 3 𝚤𝚤⃗ + 𝑡𝑡 2 𝚥𝚥⃗ + (𝑡𝑡 2 + 5)𝑘𝑘�⃗; y en el espacio móvil Ω, están los puntos 𝑃𝑃, 𝑄𝑄, ocupando las
coordenadas del espacio fijo 𝑃𝑃(10; 20; 15)𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧 y 𝑄𝑄(5; 25; 35)𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧 , este ultimo ubicado en el eje 𝓏𝓏⃗ del
2
3
2
�⃗
����⃗
espacio móvil y que tiene una velocidad representado por 𝑉𝑉
𝑄𝑄 = 𝑡𝑡 𝚤𝚤⃗ + 2𝑡𝑡 𝚥𝚥⃗ + (𝑡𝑡 + 5)𝑘𝑘 , considerando
sistema en un tiempo 𝑡𝑡 = 1𝑠𝑠. Hallar:
a) El versór de 𝜔𝜔
�⃗(1)
b) El 𝓏𝓏⃗ (1)
c) Si en el plano que contiene a 𝑃𝑃 y es perpendicular a 𝜔𝜔
�⃗, 𝐴𝐴 tiene 𝑛𝑛�⃗𝐴𝐴 = 0, hallar el punto 𝐴𝐴
�⃗𝑃𝑃 , 𝑎𝑎⃗𝑃𝑃 y 𝑉𝑉
�⃗Ω , 𝑎𝑎⃗Ω
d) Determine 𝑉𝑉
e) Halle el 𝑒𝑒⃗𝓏𝓏
4. Tenemos un sistema de referencia fijo (𝑋𝑋; 𝑌𝑌; 𝑍𝑍) generado por un cuerpo, y en la coordenada
Ω0,0,0 (10; 30; 30)𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧 , un espacio móvil (𝑥𝑥′; 𝑦𝑦′; 𝑧𝑧′), que es generado por un cubo del 5 m de lado, no
coincidente con el sistema de referencia fijo; el eje instantáneo de rotación dado en función del tiempo es
𝜔𝜔
�⃗ = (𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡)𝚤𝚤⃗ + (𝑡𝑡 3 − 𝑡𝑡 2 )𝚥𝚥⃗ + (𝑡𝑡 2 + 1)𝑘𝑘�⃗; además un punto 𝑄𝑄 del espacio móvil ubicado en la esquena del
2
2
2
�⃗
����⃗
cubo, en el eje 𝑥𝑥′ tiene una velocidad 𝑉𝑉
𝑄𝑄 = 𝑡𝑡 𝚤𝚤⃗ + 2𝑡𝑡 𝚥𝚥⃗ + (𝑡𝑡 + 1)𝑘𝑘 ; existen dos partículas, 𝑚𝑚1 ubicada en el
punto 𝐴𝐴 del espacio móvil que describe una circunferencia, con una aceleración 𝛼𝛼 = 0.3𝑡𝑡 2 en la cara del
cubo y 𝑚𝑚2 en 𝐵𝐵 y en una esquina del cubo en 𝑡𝑡 = 0 que va en la trayectoria de 𝑆𝑆(𝑡𝑡) = 1.768𝑡𝑡 2 tal como se
muestra en la gráfica representada en el tiempo 𝑡𝑡 = 1.
�⃗𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
�⃗𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
a) Hallar 𝑉𝑉
y 𝑉𝑉
𝑚𝑚1
𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋
b) Hallar 𝑎𝑎⃗𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑚𝑚1
𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋
𝑚𝑚2
𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋
y 𝑎𝑎⃗𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑚𝑚2
𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋
�⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
�⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
c) Hallar 𝑉𝑉
, 𝑉𝑉
y 𝑎𝑎⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 , 𝑎𝑎⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝐴𝐴
d) Hallar 𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚1 y 𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚2
𝐵𝐵
𝐴𝐴
�⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 , 𝑉𝑉
�⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 y 𝑎𝑎⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 y 𝑎𝑎⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
e) Hallar 𝑉𝑉
𝑚𝑚1
𝑚𝑚2
𝑚𝑚1
𝑚𝑚2
𝐵𝐵
5. En una referencia fija y asociado a esta referencia una coordenada 𝑂𝑂(𝑋𝑋, 𝑌𝑌, 𝑍𝑍), hay una coordenada móvil
Ω(𝜀𝜀; 𝓏𝓏; 𝛿𝛿), de los cuales 𝜀𝜀 opuesto a la coordenada 𝑌𝑌; ubicados en el origen del espacio móvil, observamos
�����⃗ del movimiento de la partícula
una partícula 𝑚𝑚 que está ocupando un punto 𝑃𝑃 del espacio móvil, donde Ω𝑃𝑃
������⃗ =
𝑚𝑚 la cual descubren con 𝜃𝜃(𝑡𝑡) = 0.03𝑡𝑡 2 , 𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 2 + 2 y 𝑧𝑧(𝑡𝑡) = 0.2𝑡𝑡 2 + 5𝑡𝑡; además se sabe que 𝑂𝑂Ω
𝑅𝑅�⃗Ω (𝑡𝑡) = 𝑡𝑡 2 𝚤𝚤⃗ + 2𝑡𝑡 3 𝚥𝚥⃗ + 3𝑡𝑡 2 𝑘𝑘�⃗ y el eje instantáneo de rotación 𝜔𝜔
�⃗ = (𝑡𝑡 2 + 2𝑡𝑡)𝚤𝚤⃗ − (10 − 𝑡𝑡)𝚥𝚥⃗ + (10 + 𝑡𝑡 2 )𝑘𝑘�⃗,
dados en el tiempo 𝑡𝑡 = 1𝑠𝑠
Determinar:
a) Las coordenadas del punto 𝑃𝑃 en la referencia (𝜀𝜀; 𝓏𝓏; 𝛿𝛿) y en (𝑋𝑋, 𝑌𝑌, 𝑍𝑍)
b) La velocidad relativa y la aceleración relativa en (𝑒𝑒⃗𝑟𝑟 , 𝑒𝑒⃗𝜃𝜃 , 𝑒𝑒⃗𝑧𝑧 ), (𝑒𝑒⃗1 , 𝑒𝑒⃗2 , 𝑒𝑒⃗3 ) 𝑦𝑦 (𝚤𝚤⃗, 𝚥𝚥⃗, 𝑘𝑘�⃗)
6. Tenemos un sistema de referencia fijo 𝑂𝑂(𝑋𝑋; 𝑌𝑌; 𝑍𝑍) generado por un cuerpo, un espacio móvil Ω(𝑥𝑥′; 𝑦𝑦′; 𝑧𝑧′),
que es generado por un cuerpo, 𝑍𝑍 coincidente con 𝑦𝑦′, 𝑌𝑌 coincidente con 𝑧𝑧′ y 𝑋𝑋 puesto a 𝑥𝑥′, se conoce la
������⃗ = 2𝚤𝚤⃗ + 2𝑡𝑡 2 𝚥𝚥⃗ + 2𝑡𝑡𝑘𝑘�⃗ y la posición de
posición de un punto Ω en cualquier tiempo con la ecuación de cota 𝑂𝑂Ω
�����⃗𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
un punto 𝑃𝑃 con la ecuación 𝑅𝑅�⃗𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑥𝑥′𝑦𝑦′𝑧𝑧′ = Ω𝑃𝑃
= (2𝑡𝑡 + 1)𝚤𝚤⃗ + (𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 + 1)𝚥𝚥⃗ + 5𝑘𝑘�⃗, y un eje instantáneo
𝑥𝑥′𝑦𝑦′𝑧𝑧′
de rotación 𝜔𝜔
�⃗ = (𝑡𝑡 2 )𝚤𝚤⃗ + (2𝑡𝑡 2 + 3𝑡𝑡 + 2)𝚥𝚥⃗ − (2𝑡𝑡)𝑘𝑘�⃗. Halla para un 𝑡𝑡 = 2𝑠𝑠:
��⃗𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋
a) 𝑃𝑃�⃗𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 y Ω
�⃗𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
�⃗𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟
b) 𝑉𝑉
y 𝑉𝑉
𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋
𝑥𝑥′𝑦𝑦′𝑧𝑧′
c) 𝑎𝑎⃗𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 y 𝑎𝑎⃗𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑥𝑥′𝑦𝑦′𝑧𝑧′
�⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 , 𝑎𝑎⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 y 𝑎𝑎⃗𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
d) 𝑉𝑉
𝑃𝑃
𝑃𝑃
�⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 y 𝑎𝑎⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
e) 𝑉𝑉
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
7. Dos barcos, A y B, están en un instante, en las posiciones que se indican. El barco A se desplaza con una
����⃗
velocidad de 𝑉𝑉
𝐴𝐴 = 10.294 𝑚𝑚/𝑠𝑠 recorriendo un arco de circunferencia de 4000 𝑚𝑚 de radio. El barco B llega a
la posición indicada con una celeridad de ����⃗
𝑉𝑉𝐵𝐵 = 5.147 𝑚𝑚/𝑠𝑠 siguiendo una trayectoria rectilínea, pero
disminuye su velocidad a razón de 𝑎𝑎
����⃗
=
−0.0272
𝑚𝑚/𝑠𝑠2 para evitar que choque con A.
𝐵𝐵
a) Determinar la velocidad y aceleración del barco 𝐴𝐴 visto como punto, desde el espacio de referencia
generado por el barco 𝐵𝐵 visto como cuerpo
b) Hallar 𝑟𝑟̇ y 𝜃𝜃̇ hacia 𝐴𝐴. Desde el espacio generado por el barco 𝐵𝐵
c) Determinar la velocidad y aceleración del barco 𝐵𝐵 visto como punto, desde el espacio de referencia
generado por el barco 𝐴𝐴 visto como cuerpo
8. El punto A recorre la guía circular de 30 cm de diámetro al mismo tiempo que la placa en la que se ha
practicado dicha guía gira alrededor de su vértice O con la celeridad angular 𝑤𝑤 = 𝜃𝜃̇. Determinar la velocidad
absoluta de 𝐴𝐴 en la posición para la que 𝜃𝜃 = 45° y 𝛽𝛽 = 45°, si en ese instante 𝜃𝜃̇ = 2 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠 y 𝛽𝛽̇ = 4 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠,
además determinar la aceleración absoluta del mismo punto si se sabe que 𝜃𝜃̈ = 5 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠 2 y 𝛽𝛽̈ = 15 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠2 ,
para la posición mencionada.
9. El disco semicircular ranurado gira con velocidad angular constante 𝜔𝜔
�⃗ = 5 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠 en sentido opuesto al de
las agujas del reloj. Simultáneamente el brazo, también ranurado, oscila en torno a la línea 𝑂𝑂𝑂𝑂 (ligada al
disco) de forma que 𝜃𝜃 varia a razón de 3 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟/𝑠𝑠 excepto en los extremos de la oscilación durante la inversión
del sentido. Determinar la velocidad absoluta y aceleración absoluta del pasador 𝐴𝐴 cuando 𝜃𝜃 = 45° y 𝜃𝜃̇ es
positiva (sentido de las agujas del reloj).
10. El disco mayor de la figura gira entorno a su eje vertical con velocidad angular constante 𝜔𝜔 en el sentido
indicado. Los discos pequeños a su vez giran en torno a sus respectivos ejes horizontales con celeridad
angular constante 𝑝𝑝 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 relativa al disco grande y en sus sentidos indicados. Hallar las aceleraciones
absolutas 𝑎𝑎⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝐴𝐴 y 𝑎𝑎⃗𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝐷𝐷 , vistos como partículas.