CUESTIONARIO 1
1. ¿Cuántos sistemas de Referencia se pueden establecer en un espacio de Referencia?
En cierto espacio de referencia, los sistemas de referencia son muchos, ya sea en
sistema de coordenadas, como normalmente se hace, también lo podemos hacer con
la forma, geometría o color del cuerpo, ya que un cuerpo genera un espacio
2. Por qué decimos que terna cartesiana "local" es intrincica; en cuanto originada por la
misma curva. En qué se diferencia a las ternas no locales.
Es intrínseca porque en cada punto de la trayectoria hay una terna cartesiana local
3. Como el triedro genera la terna cartesiana local.
Tenemos una trayectoria(curva) cuyo sentido lo elegimos ya sea positivo a la derecha o
izquierda, y como en cada punto de la curva hay una tangente la cual como ya
elegimos la orientación de la curva, esta tangente será la recta orientada, la cual tiene
un versor (T) que tiene orientación y dirección, y perpendicularmente a esta pasa la
normal principal que pasa por el centro de circulo osculador, la cual tiene su versor
(N), entonces (T) y (N) generan al versor (B) que son perpendiculares entre sí.
4. Explique cómo es que una trayectoria queda definida en el espacio de referencia
independiente del hecho que se haya o no estableciendo un sistema de referencia,
que entendemos al indicar que cada punto del espacio de referencia se puede
individualizar por medio del cuerpo rígido que lo genera.
Partiendo de que el cuerpo genera un espacio, podemos saber dónde está el cuerpo
en un sistema de referencia gracias a la forma de dicho cuerpo, geometría o color.
La referencia es para indicar en que punto está el cuerpo en el espacio creado por el
cuerpo referencial
5. Porque contemporáneamente puede darse dos, pero no tres de las sig. Igualdades
explique:
No pueden las tres derivadas nulas porque al momento de parametrizar una
trayectoria deben darnos información relevante que usaremos en el movimiento
6. Para fijar el sentido de la abscisa curvilínea optamos concordancia o no con lo que
llamamos sentido Natural de la curva Paramétrica explique esto.
Para dar orientación a dicha abscisa curvilínea 𝑆𝑆, escogemos dos 𝑍𝑍1 y 𝑍𝑍2 y elegimos si
va de mayor a menor o viceversa y esa sería el sentido positivo de la curva
7. Tenemos
(𝒅𝒅𝒅𝒅)𝟐𝟐
(𝒅𝒅𝒅𝒅)𝟐𝟐
(𝒅𝒅𝒅𝒅)𝟐𝟐
+ (𝒅𝒅𝒅𝒅)𝟐𝟐 + (𝒅𝒅𝒅𝒅)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, donde por ejemplo
(𝒅𝒅𝒅𝒅)𝟐𝟐
simplificarlo como
𝒅𝒅𝒅𝒅(𝒔𝒔)
𝒅𝒅𝒅𝒅
Verificación:
y así con es como llega a.
𝒅𝒅𝒅𝒅(𝝉𝝉)
𝒅𝒅𝒅𝒅(𝝉𝝉)
, pero llega a
[𝒙𝒙′(𝒔𝒔)]𝟐𝟐 + [𝒚𝒚′(𝒔𝒔)]𝟐𝟐 + [𝒛𝒛′(𝒔𝒔)]𝟐𝟐
(𝑑𝑑𝑑𝑑)2 (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 (𝑑𝑑𝑑𝑑)2
+
+
=1
(𝑑𝑑𝑑𝑑)2 (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 (𝑑𝑑𝑑𝑑)2
(𝑑𝑑𝑑𝑑)2 + (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 + (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 = (𝑑𝑑𝑑𝑑)2
[𝑥𝑥′(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑]2 + [𝑦𝑦′(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑]2 + [𝑧𝑧′(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑]2 = [𝑠𝑠′(𝜏𝜏)𝑑𝑑𝑑𝑑]2
[𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠)]2 + [𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠)]2 + [𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑠𝑠)]2 = [𝑠𝑠]2
[𝑥𝑥′(𝑠𝑠)]2 + [𝑦𝑦′(𝑠𝑠)]2 + [𝑧𝑧′(𝑠𝑠)]2 = [𝑠𝑠]2
8. Cuales condiciones debe cumplir las ecuaciones paramétricas en función del
parámetro abscisa curvilínea de la trayectoria regular, S.
-
Debe ser de clase 𝐶𝐶 1 (Primera derivada existente)
-
Las derivadas con respecto a tau(τ) al menos una de ella debe ser mayor que cero
-
Biunivocidad del tau (τ) y el punto. (Para distintos valores de τ le correspondes
diferentes puntos)
9. Como se obtiene T a partir de las ecuaciones paramétricas en S.
Se obtiene al sumar las derivaras de x, y, z respecto a la trayectoria o curva(s) o
también llamados cosenos directores de cada componente i, i, k
�⃗
𝑥𝑥 ′ (𝑠𝑠)𝚤𝚤⃗ + 𝑦𝑦 ′(𝑠𝑠)𝚥𝚥⃗ + 𝑧𝑧′(𝑠𝑠)𝑘𝑘
10. Como se calcularía el radio del círculo osculador dado un S* y las ecuaciones
paramétricas en S.
A partir de la pregunta anterior si nos dan una ecuación de S, hallamos el versor T,
para que luego la inversa de la magnitud de la derivada de 𝑇𝑇�(𝑠𝑠), esto es igual al circulo
osculador
11. Explique cómo es que 𝑽𝑽(𝒕𝒕) es una magnitud intrínseca, independiente de lo que
nosotros fijamos o escogemos.
Se describe en si mismo, no depende de que orientación le demos a la trayectoria ya
sea a la izquierda o derecha, nos debe dar la orientación y sentido del móvil y su
magnitud
12. En qué tipo de movimiento una componente de la Aceleración esta fuera del plano
osculador, explique con rigor
En la dirección Normal(N) una componente de la aceleración, no se da en la velocidad
tanto el (N) y el versor (B)
13. Porque un instante de parada no puede pertenecer a un intervalo de parada.
Un intervalo contiene dos instantes, entonces si en un intervalo hay un instade de
parada indica que después de eso el móvil siguió moviendo y el instante pasaría a ser
intervalo
14. Cuando un movimiento sería regresivo desacelerado.
Donde la aceleración es positiva
�⃗ corresponde a seguir
15. Haga notar que 𝑽𝑽(𝒕𝒕) se iguala 𝒙𝒙̇ (𝒕𝒕)𝒊𝒊⃗ + 𝒚𝒚̇ (𝒕𝒕)𝒋𝒋⃗ + 𝒛𝒛̇ (𝒕𝒕)𝒌𝒌
plenamente la definición intrínseca del movimiento.
Al nosotros separar y escribir las ecuaciones:
𝑽𝑽(𝒕𝒕) = 𝒙𝒙̇ (𝒕𝒕)𝒊𝒊⃗
𝑽𝑽(𝒕𝒕) = 𝒚𝒚̇ (𝒕𝒕)𝒋𝒋⃗
�⃗
𝑽𝑽(𝒕𝒕) = 𝒛𝒛̇ (𝒕𝒕)𝒌𝒌
Observamos que cada coordenada se describe en si mismo según la geometría que
dibuja
16. Como es que se puede interpretar 𝒙𝒙(𝒕𝒕), 𝒚𝒚(𝒕𝒕), 𝒛𝒛(𝒕𝒕) como las ecuaciones horarias de
tres elementos que se mueven respectivamente sobre los ejes X, Y y Z.
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡)
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡)
𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝑡𝑡)
Puede representar una trayectoria de tres cuerpos diferentes ya que cada expresión es
independientemente de la otra
17. Otra interpretación de la velocidad, es que esta es la derivada de que. ¿Cómo se
llega ello?
Si tengo la ecuación horaria, de un cuerpo a partir de esta ecuación podemos halla la
velocidad, la cual se encontraría derivando la ecuación horaria con respecto al tiempo,
por ejemplo:
𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 2𝑡𝑡 3 + 4𝑡𝑡, que representa un movimiento en el eje 𝑥𝑥 y si derivamos tendríamos
𝑥𝑥 ′(𝑡𝑡) = 6𝑡𝑡 2 + 4 = 𝑣𝑣(𝑡𝑡), que representaría la velocidad del cuerpo
18. Porque el movimiento uniformemente acelerado tendría un diagrama horario que va
a ser un arco de circunferencia.
En todo el intervalo el móvil tiene una aceleración constante, por lo que su grafico
sería una curva simétrica con respecto al eje y, o una parábola
Cuestionario 2
1. Explique como un cuerpo asociado a un espacio, SI permite identificar los puntos de
tal espacio y así permite su existencia.
Podemos identificar un punto respecto del cuerpo, la distancia q esta respecto a él, se
usa la geometría, forma o color del cuerpo, por eso sin un cuerpo no es identificable
los puntos de un espacio, y así sabemos que un cuerpo genera un espacio,
2. Explique cómo es que la trayectoria de un punto móvil puede ser distinta para
diferentes espacios de referencia.
La trayectoria depende del sistema de referencia en el que describe el movimiento; es
decir desde el punto de vista del observador
3. Explique la noción de Geometría básica que permite definir el círculo osculador como
el identificado por un punto en la trayectoria y una recta tangente en ese punto y
otro punto que tiende al primero.
Para definir el circulo osculador necesitamos una tangente en 𝑃𝑃0 , 𝑃𝑃0 en una
trayectoria; y un punto 𝑃𝑃 que se acerca a 𝑃𝑃0 , entonces cuando 𝑃𝑃 está muy cerca de 𝑃𝑃0 ,
se forma el circulo osculador, y dependiendo de la curvatura de la trayectoria el circulo
osculador es muy grande cuando la trayectoria es casi recta o más pequeño cuando la
trayectoria es cerrada
4. Explique cómo hicimos la demostración no formal, si rigurosa de que;
𝝉𝝉
A partir de:
𝒔𝒔(𝝉𝝉) = � �[𝒙𝒙′(𝝉𝝉)]𝟐𝟐 + [𝒚𝒚′(𝝉𝝉)]𝟐𝟐 + [𝒛𝒛′(𝝉𝝉)]𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝝉𝝉𝟎𝟎
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
�
= � � +� � +� �
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
�
= � � +� � +� �
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
� � = � � +� � +� �
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑑𝑑𝜏𝜏
Multiplicamos a toda la expresión por (𝑑𝑑𝑑𝑑)2, entonces:
(𝑑𝑑𝑑𝑑)2 = (𝑑𝑑𝑑𝑑 )2 + (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 + (𝑑𝑑𝑑𝑑)2
Luego dividimos a toda la expresión por (𝑑𝑑𝑑𝑑)2 , entonces:
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 2
1=� � +� � +� �
𝑑𝑑𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑠𝑠
𝑑𝑑𝑠𝑠
1 = [𝑥𝑥′(𝑠𝑠)]2 + [𝑦𝑦′(𝑠𝑠)]2 + [𝑧𝑧′(𝑠𝑠)]2
5. Como y porque correspondencia biunívoca, podemos llegar a las ecuaciones
paramétricas en función de la abscisa curvilínea.
Con la matematización de las curvas podemos llegar a la función de la abscisa
curvilínea porque sabemos que para cada tau hay un punto y para cada punto hay un
valor de S(curva)
6. Explique, a la luz de la definición fundamental y a la de Mecánica Analítica de
velocidad, la elaboración de la definición de Mecánica Racional de velocidad.
�⃗
�⃗ = 𝒔𝒔̇ (𝒕𝒕)𝑻𝑻
𝒗𝒗
Nosotros teniendo las componentes 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝜏𝜏), 𝑦𝑦 = (𝜏𝜏), 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧(𝜏𝜏) en función del tau,
derivaremos y conociendo la definición dicha derivaras elevaremos al cuadrado,
sacamos la raíz cuadrada y así sacamos una relación de 𝑠𝑠 en función de tau (𝜏𝜏),
entonces, siendo 𝑠𝑠 la trayectoria orientada el versor 𝑇𝑇� es la orientación del camino,
ósea dicho versor apunta hacia el sentido positivo de la trayectoria
7. Teniendo ya
�⃗
�⃗ = 𝒙𝒙̇ (𝒕𝒕)𝒊𝒊⃗ + 𝒚𝒚̇ (𝒕𝒕)𝒋𝒋⃗ + 𝒛𝒛̇ (𝒕𝒕)𝒌𝒌
𝒗𝒗
y
�⃗
�𝒂𝒂⃗ = 𝒙𝒙̈ (𝒕𝒕)𝒊𝒊⃗ + 𝒚𝒚̈ (𝒕𝒕)𝒋𝒋⃗ + 𝒛𝒛̈ (𝒕𝒕)𝒌𝒌
Explique cómo podemos (en velocidad y aceleración} demostrar que el movimiento
curvilíneo es la suma de tres momentos rectilíneos formulados por 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙(𝒕𝒕),
𝒚𝒚 = 𝒚𝒚(𝒕𝒕) y 𝒛𝒛 = 𝒛𝒛(𝒕𝒕)
�⃗ y sabiendo que 𝑇𝑇
�⃗ = 𝑥𝑥′(𝑠𝑠)𝚤𝚤⃗ + 𝑦𝑦′(𝑡𝑡)𝚥𝚥⃗ + 𝑧𝑧′(𝑡𝑡)𝑘𝑘�⃗,
Con lo anterior 𝑣𝑣⃗ = 𝑠𝑠̇ (𝑡𝑡)𝑇𝑇
reemplazamos en 𝑣𝑣⃗ y tenemos que:
�⃗
𝑣𝑣⃗ = 𝑠𝑠̇ 𝑥𝑥′(𝑠𝑠)𝚤𝚤⃗ + 𝑠𝑠̇ 𝑦𝑦′(𝑡𝑡)𝚥𝚥⃗ + 𝑠𝑠̇ 𝑧𝑧′(𝑡𝑡)𝑘𝑘
𝑣𝑣⃗ =
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)
�⃗
𝚤𝚤⃗ +
𝚥𝚥⃗ +
𝑘𝑘
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑎𝑎⃗ = 𝑥𝑥̈ (𝑡𝑡)𝚤𝚤⃗ + 𝑦𝑦̈ (𝑡𝑡)𝚥𝚥⃗ + 𝑥𝑥̈ (𝑡𝑡)𝑘𝑘�⃗
��⃗
8. Como a partir de 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙(𝒕𝒕), 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚(𝒕𝒕) y 𝒛𝒛 = 𝒛𝒛(𝒕𝒕) podemos llegar a 𝑵𝑵
9. Habiendo llegado a entender que las ecuaciones de cota de los movimientos
rectilíneos tienen la forma: 𝐱𝐱(𝐭𝐭) = 𝐀𝐀 + 𝐁𝐁𝒕𝒕 + 𝐂𝐂𝐭𝐭 𝟐𝟐 + 𝐃𝐃𝐭𝐭 𝟑𝟑 + ⋯, explique como se
𝒅𝒅𝒅𝒅(𝒕𝒕)
llega a 𝑽𝑽(𝒕𝒕) =
𝒅𝒅𝒅𝒅
Como la ecuación de cota que nos dan, depende del tiempo, entonces para halla la
velocidad simplemente se aplica su derivada con respecto del tiempo
10. Como puede ser que la velocidad en un intervalo de tiempo, puede ser diferente a la
velocidad en otro intervalo de tiempo, siendo este último intervalo parte del primer
intervalo mayor.
Cuando la velocidad en diferente en dos intervalos de tiempo, un intervalo que
contiene a otro, por ejemplo, la velocidad 𝑉𝑉0→3 y 𝑉𝑉1→3 , si el movimiento es unifome