Equazioni parametriche
Algebra
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
v 3.0
determina i valori di 𝑘𝑘 per cui le equazioni ammettono radici reali e coincidenti
1
4
𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 = 0
𝑘𝑘 =
(𝑘𝑘 + 6)𝑥𝑥 2 + (𝑘𝑘 − 2)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 + 3 = 0
𝑘𝑘1 = −2, 𝑘𝑘2 = −
𝑥𝑥 2 − 2(𝑘𝑘 + 2)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 2 − 3𝑘𝑘 + 32 = 0
𝑘𝑘 = 4
4𝑥𝑥 2 − 2(𝑘𝑘 + 8)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 2 + 2𝑘𝑘 + 1 = 0
𝑘𝑘1 = 6, 𝑘𝑘2 = −
𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 − 5 = 0
𝑘𝑘 = 9
34
3
10
3
determina i valori di 𝑘𝑘 per cui le equazioni hanno una radice data e trova l’altra radice
𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 𝑘𝑘 − 1 = 0
𝑥𝑥1 = 2
𝑘𝑘 = 1, 𝑥𝑥2 = −1
(𝑘𝑘 + 2)𝑥𝑥 2 − 2(𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 + 3 = 0
𝑥𝑥1 = 0
𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑘𝑘
(𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 2 + (𝑘𝑘 − 2)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 2 = 0
𝑥𝑥1 = 0
𝑥𝑥 2 − 3𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 + 1 = 0
𝑘𝑘 = 0, 𝑥𝑥2 = −2
1
𝑥𝑥1 = − 2
𝑥𝑥 2 − (𝑘𝑘 + 3)𝑥𝑥 − 3(1 − 𝑘𝑘) = 0
(𝑘𝑘 + 2)𝑥𝑥 2 − 2(𝑘𝑘 − 3)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 2 − 1 = 0
(𝑘𝑘 − 2)𝑥𝑥 2 + (𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 + 3 = 0
𝑥𝑥1 = 6
𝑥𝑥1 = 0
𝑥𝑥1 = −2
1
𝑘𝑘 = − , 𝑥𝑥2 = −1
2
𝑘𝑘 = 5, 𝑥𝑥2 = 2
𝑘𝑘1 = −1, 𝑥𝑥2 = −8
4
𝑘𝑘2 = 1 𝑥𝑥2 = −
3
𝑘𝑘 = 1, 𝑥𝑥2 = −2
determina il valore di 𝑘𝑘 per cui le equazioni hanno radici reciproche
(𝑘𝑘 + 1)𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 2𝑘𝑘 = 0
𝑘𝑘 = 1
3𝑥𝑥 2 − 2(𝑘𝑘 + 1)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 + 1 = 0
𝑘𝑘 = 2
(𝑘𝑘 + 3)𝑥𝑥 2 − (4𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 + 3(𝑘𝑘 − 1) = 0
𝑘𝑘 = 3
determina il valore di 𝑘𝑘 per cui le equazioni hanno radici opposte
2𝑥𝑥 2 − (𝑘𝑘 + 1)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 = 0
𝑘𝑘 = −1
2𝑥𝑥 2 − (𝑘𝑘 + 1)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 = 0
𝑘𝑘 = −1
(𝑘𝑘 − 2)𝑥𝑥 2 + 2(𝑘𝑘 − 6)𝑥𝑥 − 4𝑘𝑘 − 1 = 0
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𝑘𝑘 = 6
1 di 8
Equazioni parametriche
Algebra
19
20
𝑥𝑥 2 + (𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 − (𝑘𝑘 + 3) = 0
𝑘𝑘 = 1
𝑥𝑥 2 + (𝑘𝑘 + 3)𝑥𝑥 + 2𝑘𝑘 − 3 = 0
𝑘𝑘 = −3
determina i valori di 𝑘𝑘 che soddisfano le equazioni con condizioni assegnate
21
22
23
24
25
v 3.0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
𝑘𝑘𝑥𝑥 2 − (2𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 = 0
le radici siano reali ed uguali
una radice sia 0
una radice sia 3
la somma delle radici sia −3
• 𝑘𝑘 = 1/4
• ∄ 𝑘𝑘
• 𝑘𝑘 = −3/4
• 𝑘𝑘 = 1/5
(𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 2 − 2(𝑘𝑘 − 2)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 = 0
una radice sia 0
le radici siano coincidenti
le radici siano opposte
una radice sia reciproca dell’altra
il prodotto delle radici sia 1/2
la somma dei reciproci delle radici sia 5
𝑥𝑥 2 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 4 = 0
l’equazione sia pura
l’equazione sia spuria
le radici siano concordi
le radici siano discordi
la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia 17/16
3𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 = 0
le radici siano non reali
le radici siano concordi
le radici siano antireciproche
una radice sia tripla dell’altra
• 𝑘𝑘 = 0
• 𝑘𝑘 = 4/3
• 𝑘𝑘 = 2
• ∄ 𝑘𝑘
• 𝑘𝑘 = −1
• 𝑘𝑘 = −4/3
• 𝑘𝑘 = 0
• ∄𝑘𝑘
• ∄𝑘𝑘
• ∀𝑘𝑘
• 𝑘𝑘 = ±3
• 𝑘𝑘 > 25/3
• 0 < 𝑘𝑘 < 25/3
• 𝑘𝑘 = −3
• 𝑘𝑘 = 25/4
𝑥𝑥 2 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 1 = 0
le radici siano reali ed uguali
le radici siano opposte
il prodotto delle radici sia 1
la somma dei quadrati delle radici sia 7
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• 𝑘𝑘 = ±2
• 𝑘𝑘 = 0
• ∀𝑘𝑘
• 𝑘𝑘 = ±3
2 di 8
Algebra
26
27
28
29
30
31
32
33
v 3.0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Equazioni parametriche
𝑥𝑥 2 + (3 − 𝑘𝑘)𝑥𝑥 + 2𝑘𝑘 − 1 = 0
una radice sia −7
le radici siano uguali
la media delle radici sia −3/2
il prodotto delle radici uguale alla somma delle stesse
la somma dei reciproci delle radici sia 4/3
𝑥𝑥 2 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 − 1 = 0
una radice sia 1
la somma dei reciproci delle radici sia −1/2
la somma dei reciproci dei quadrati delle radici sia 2
la somma dei cubi delle radici sia 1
la somma dei cubi dei reciproci delle radici sia 9/8
𝑥𝑥 2 − 2(𝑘𝑘 − 2)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 − 2 = 0
una radice sia tripla dell’altra
la somma dei quadrati delle radici sia 12
la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia 20/9
𝑘𝑘𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 2 − 𝑘𝑘 = 0
il prodotto delle radici sia 5
la somma dei reciproci delle radici sia 4
la somma dei quadrati delle radici sia 5
la somma delle radici sia uguale al prodotto delle stesse
2𝑥𝑥 2 − 2(𝑘𝑘 − 2)𝑥𝑥 − 𝑘𝑘 + 2 = 0
le radici siano uguali
una radice sia 1/2
una radice sia −1/2
una radice sia doppia dell’opposto dell’altra
(5𝑘𝑘 + 4)𝑥𝑥 2 + (2𝑘𝑘 − 8)𝑥𝑥 + 10𝑘𝑘 − 9 = 0
• la somma delle radici sia positiva
• l’equazione si riduce ad una di primo grado
• il prodotto delle radici sia negativo
•
•
•
•
•
•
(3𝑘𝑘 − 10)𝑥𝑥 − (𝑘𝑘 + 10)𝑥𝑥 2 + 𝑘𝑘 + 2 = 0
le radici siano discordi
le radici siano una l’inverso dell’altra
il prodotto dei reciproci delle radici sia maggiore di 1
(4𝑘𝑘 − 3)𝑥𝑥 2 + (4 − 8𝑘𝑘)𝑥𝑥 − 6𝑘𝑘 + 3 = 0
la somma dei quadrati delle radici sia 10
almeno una delle radici sia nulla
non vi siano radici reali
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•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
𝑘𝑘 = −3
𝑘𝑘1 = 13, 𝑘𝑘2 = 1
𝑘𝑘 = 0
𝑘𝑘 = −2
𝑘𝑘 = −1
∀ 𝑘𝑘
𝑘𝑘 = 1/3
𝑘𝑘1 = 0, 𝑘𝑘2 = 2
𝑘𝑘 = 1
𝑘𝑘 = 3
𝑘𝑘1 = 2, 𝑘𝑘2 = 10/3
𝑘𝑘1 = 4, 𝑘𝑘2 = 1/2
𝑘𝑘1 =
2 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑘𝑘2 = 25/8
𝑘𝑘 = −1/3
𝑘𝑘 = −5/2
𝑘𝑘1 = 2, 𝑘𝑘2 = −2/3
𝑘𝑘 = −4
𝑘𝑘1 = 0, 𝑘𝑘2 = 2
𝑘𝑘 = 9/4
∄𝑘𝑘
𝑘𝑘1 = 2, 𝑘𝑘2 = 9/4
4
• − < 𝑘𝑘 < 1
5
• 𝑘𝑘 = −
4
4
5
• − < 𝑘𝑘 <
5
•
•
•
•
•
•
9
10
𝑘𝑘 < −10 ∨ 𝑘𝑘 > −2
𝑘𝑘 = −6
𝑘𝑘 < −10 ∨ 𝑘𝑘 > −6
7
𝑘𝑘1 = , 𝑘𝑘2 =
𝑘𝑘 =
1
2
1
2
4
< 𝑘𝑘 <
2
3
13
20
3 di 8
Equazioni parametriche
Algebra
34
35
36
37
38
39
40
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(2𝑘𝑘 + 6)𝑥𝑥 2 + (3𝑘𝑘 + 9)𝑥𝑥 + 10𝑘𝑘 − 9 = 0
la somma dei reciproci delle radici sia 6
la somma dei quadrati delle radici sia 0
non vi siano radici reali
(2𝑘𝑘 + 4)𝑥𝑥 2 + 9𝑥𝑥 + 6𝑘𝑘 + 3 = 0
le radici siano reali e distinte
le radici siano entrambe positive
la differenza delle radici sia 3
(3𝑘𝑘 + 6)𝑥𝑥 2 − (6𝑘𝑘 + 9)𝑥𝑥 + 2 = 0
una delle radici sia −5
il rapporto delle radici sia −1
la somma dei cubi delle radici sia 8
5𝑥𝑥 2 + (10𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 + 10𝑘𝑘 + 3 = 0
una delle radici sia nulla
le radici siano reali e coincidenti
la somma delle radici sia negativa
• una delle radici sia il doppio dell’altra
• le radici siano reali e coincidenti
• la somma degli inversi dei quadrati delle radici siano 1
•
•
•
•
•
•
•
v 3.0
le radici siano reali e coincidenti
le radici siano una l’opposto dell’altra
le radici siano concordi.
(9 − 9𝑘𝑘)𝑥𝑥 2 + (2𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 − 9𝑘𝑘 + 8 = 0
•
41
(8 − 7𝑘𝑘)𝑥𝑥 2 + (7 − 3𝑘𝑘)𝑥𝑥 + 5𝑘𝑘 − 2 = 0
2(𝑘𝑘 − 4)𝑥𝑥 2 + (10 − 2𝑘𝑘)𝑥𝑥 + 2𝑘𝑘 − 9 = 0
le radici siano reali e distinte
le radici siano entrambe negative
la somma dei cubi delle radici sia −2
1
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 − 3 𝑥𝑥1 ∙ 𝑥𝑥2 = − 2
1
𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥
𝑘𝑘𝑘𝑘 2 + 𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 = 0
1
1
2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
𝑘𝑘 =
7
𝑘𝑘 =
5
2
5
3
8
< 𝑘𝑘 <
7
7
∄𝑘𝑘 ∈ ℝ
𝑘𝑘 < −3 ∨ 𝑘𝑘 >
−
11
4
< 𝑘𝑘 <
∄𝑘𝑘 ∈ ℝ
37
𝑘𝑘1 = −
𝑘𝑘 = −
𝑘𝑘 = −
𝑘𝑘 = −
𝑘𝑘 = −
14
1
4
2
7
4
3
10
𝑘𝑘 >
11+6√5
𝑘𝑘 =
1369 ±9√137
2
10
10
𝑘𝑘1 =
√3
9
2
105
3
11±6√5
4−
1
197
𝑘𝑘 =
𝑘𝑘 =
99
71
, 𝑘𝑘2 = −
41
40
207
239
1
√3
1442
, 𝑘𝑘2 =
∧ 𝑘𝑘 ≠ 4
< 𝑘𝑘 < 4 +
7
√33
𝑘𝑘 = +
•
𝑘𝑘 = −2/5
∀𝑘𝑘 ≠ 0
∄𝑘𝑘
𝑘𝑘 = −1/2
𝑘𝑘 = −4/17
2
7
8
< 𝑘𝑘 < 4 +
•
•
17
∄𝑘𝑘 ∈ ℝ
1
•
2
+ 𝑥𝑥 =
•
•
𝑥𝑥2 = 3 𝑥𝑥1 − 2
𝑥𝑥 1
•
•
2
5
𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥
•
6
1
√3
4
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4 di 8
Equazioni parametriche
Algebra
42
•
•
•
43
•
•
•
•
•
44
•
•
•
•
•
45
•
•
•
47
48
v 3.0
1
1
+ 𝑥𝑥 3 = −
𝑥𝑥 3
1
2
37
•
•
•
8
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 8 𝑥𝑥1 ∙ 𝑥𝑥2
𝑥𝑥1 = −2
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −2
𝑥𝑥1 ∙ 𝑥𝑥2 = 3
1
𝑥𝑥 12
𝑥𝑥 2 − 2(𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 + 3(𝑘𝑘 − 1) = 0
•
•
•
•
1
+ 𝑥𝑥 2 = 1
•
2
La media delle radici sia 3
𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = −9
5𝑥𝑥 2 − 3𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 = 0
𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1 ∙ 𝑥𝑥2 =
𝑥𝑥1 = −2𝑥𝑥2
1
𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥
3
𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥
1
𝑥𝑥 12
2
1
2
•
•
5
𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2𝑘𝑘 − 1 = 0
•
•
•
5
+ 𝑥𝑥 2 = 4
2
•
•
16
𝑥𝑥13 + 𝑥𝑥23 = 63
•
(𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 2 − 3𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 + 1 = 0
soluzioni siano reali
• l’equazione sia spuria
• l’equazione sia pura
• la somma dei reciproci delle radici sia −1
•
46
1
𝑥𝑥1 = − 4 𝑥𝑥2
6𝑥𝑥 2 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 2 = 0
𝑥𝑥 2 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑘𝑘 − 1 = 0
• soluzioni siano coincidenti
• il quadrato della somma delle radici sia quattro volte il quadrato del
prodotto
• la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia 2
2𝑥𝑥 2 + 2(2 − 𝑘𝑘)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 − 2 = 0
• soluzioni siano coincidenti
• il quadrato del prodotto delle radici sia 9
• la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia 8
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•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
𝑘𝑘 = 3√3
𝑘𝑘 = 1
𝑘𝑘 = −16
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
= 3/7
=0
=2
= −1/5
=4
𝑘𝑘1 = 0, 𝑘𝑘2 = 20/9
𝑘𝑘 = −15
𝑘𝑘 = 4
𝑘𝑘 = 0
𝑘𝑘 = 1
𝑘𝑘 = 2
𝑘𝑘1 = 3⁄2 , 𝑘𝑘2 =
− 13⁄10
𝑘𝑘 = −3/2
∀𝑘𝑘 ≠ 1
𝑘𝑘 = −1
𝑘𝑘 = 0
𝑘𝑘 = −1/4
∄𝑘𝑘
𝑘𝑘 = 1/2
𝑘𝑘1 = 0 𝑘𝑘2 = −1
𝑘𝑘1 = 2, 𝑘𝑘2 = 4
𝑘𝑘1 = −4, 𝑘𝑘2 = 8
𝑘𝑘 = 7⁄4
5 di 8
Algebra
49
50
51
52
53
54
55
56
v 3.0
•
•
•
•
Equazioni parametriche
𝑘𝑘𝑘𝑘 2 + 6𝑥𝑥 + 1 = 0
soluzioni siano reali
una radice sia −1/4
la somma dei reciproci delle radici sia −7
la somma dei cubi dei reciproci delle radici sia 180
(1 − 𝑘𝑘)𝑥𝑥 2 − (3 − 4𝑘𝑘)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 + 4 = 0
• il prodotto delle radici sia uguale a −2
• la somma dei cubi delle radici sia uguale a −52
• la somma dei cubi dei reciproci delle radici sia uguale a −4
(𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0
• le radici siano reali e distinte
• una soluzione abbia valore uguale a −1
𝑥𝑥 2 + (𝑘𝑘 + 1)𝑥𝑥 − 𝑘𝑘 + 2 = 0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
𝑘𝑘 ≤ 9 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑘𝑘 ≠ 0
𝑘𝑘 = 8
∄𝑘𝑘
𝑘𝑘 = 22
𝑘𝑘 = 6
11
𝑘𝑘1 = − ,
5
𝑘𝑘2 = 1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
17
𝑘𝑘 <
8
𝑘𝑘 = −4
• le radici siano reali e coincidenti
• una radice sia uguale a −3
• la somma delle radici sia uguale a 10
•
•
•
𝑘𝑘1 = −7, 𝑘𝑘2 = 1;
𝑘𝑘 = 2;
𝑘𝑘 = 9.
•
•
•
•
abbia le radici reali e coincidenti
abbia radici opposte
abbia una radice nulla
la somma dei quadrati delle radici sia uguale a 3/2
•
•
•
•
𝑘𝑘1 = 9, 𝑘𝑘2 = 25
𝑘𝑘 = 1
𝑘𝑘 = 7
𝑘𝑘 = 1
una radice sia uguale a −1
la somma dei quadrati delle radice sia uguale a 4
la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia uguale a 1/6
una radice sia reciproca ed opposta dell’altra
•
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
8𝑥𝑥 2 − (𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 − 7 = 0
(2𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 2 + 2(1 − 𝑘𝑘)𝑥𝑥 + 3𝑘𝑘 = 0
(𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 2 − 2𝑘𝑘𝑘𝑘 − (𝑘𝑘 − 1) = 0
la differenza tra le radici sia uguale al loro prodotto
𝑥𝑥1 2 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2 2 𝑥𝑥1 = 2
𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 = 0
una radice sia nulla
𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 = 0
radici siano reciproche
radici siano coincidenti
la somma dei quadrati delle radici sia uguale a 40
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 = 2
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•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
3
=
7
=0
= −2
1
=
5
𝑘𝑘 =
𝑘𝑘 =
𝑘𝑘 =
1
3
1
2
−1±2√2
7
𝑘𝑘 = 1 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑘𝑘
=1
= 16
= 12
= 15
6 di 8
Equazioni parametriche
Algebra
57
58
59
60
61
62
•
•
•
•
𝑥𝑥 2 − 2(𝑘𝑘 − 3)𝑥𝑥 + 5 = 0
le radici siano coincidenti
la somma dei quadrati delle radici sia uguale a 26
una delle radici uguale ad 1
una radice sia il tripla dell’altra
8𝑥𝑥 2 − (𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 + 𝑘𝑘 − 7 = 0
• le radici siano opposte
• una soluzione sia nulla
4𝑥𝑥 2 − 4(5𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 + 10𝑘𝑘 − 3 = 0
• le radici siano reciproche
• le radici siano opposte
• le radici siano coincidenti
•
•
•
•
𝑘𝑘 = 3 ± √5
𝑘𝑘1 = 0, 𝑘𝑘2 = 6
𝑘𝑘 = 6
𝑘𝑘 = 1
•
•
𝑘𝑘 = 1
𝑘𝑘 = 7
•
𝑘𝑘 =
•
•
(𝑘𝑘 − 1)𝑥𝑥 2 + 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 𝑘𝑘 2 = 0
•
• le radici siano reciproche
• abbiano la somma dei reciproci uguale a 3
• le radici siano tali che 2(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) − 3𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 = 0
•
•
𝑥𝑥 2 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 − 36 = 0
• le radici siano opposte
• la somma dei quadrati delle radici sia 97
• le radici siano uguali
• la somma delle radici sia uguale a
•
9
• la media geometrica delle radici (√𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ) sia 6
63
(3 + 𝑘𝑘)𝑥𝑥 2 − 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 1 + 𝑘𝑘 = 0
• la somma delle radici sia uguale al loro prodotto
• il prodotto delle radici sia uguale all’inverso della loro somma
• la somma dei quadrati delle radici sia uguale a 10
3
• la somma dei reciproci delle soluzioni sia uguale a 4
𝑘𝑘 =
−1±√5
1
3
2
2
3
𝑘𝑘 =
•
10
𝑘𝑘 =
5
•
•
• il prodotto delle radici sia uguale a 5
𝑘𝑘 =
5
2
𝑘𝑘 = 0
𝑘𝑘 = ±5
𝑘𝑘 = 9
1
6
𝑘𝑘 =
•
•
•
• la somma degli inversi delle radici sia uguale a − 4
𝑘𝑘𝑘𝑘 2 − 10𝑥𝑥 + 3 = 0
𝑘𝑘 =
7
10
1
•
•
•
•
25
3
5
𝑘𝑘 =
2
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
1
𝑘𝑘 =
12
𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖
9
𝑘𝑘 = −
5
24
𝑘𝑘1 = −4, 𝑘𝑘2 = −
11
𝑘𝑘 = 3
problemi vari
64
v 3.0
Determina il valore del parametro 𝑎𝑎 in modo che le equazioni
𝑥𝑥 2 + 7𝑥𝑥 + 12 = 0 e 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 = 0 abbiano una radice in comune.
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𝑎𝑎1 = 0, 𝑎𝑎2 = −4
7 di 8
Algebra
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
v 3.0
Equazioni parametriche
Scrivere un’equazione di secondo grado le cui radici soddisfano le due
seguenti relazioni: 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎 = 0
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑎𝑎(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) + 1 = 0
2𝑎𝑎𝑥𝑥 2 − (2 + 𝑘𝑘)𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 2 = 0
Determinare il valore del parametro m in modo che le equazioni
𝑥𝑥 2 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 + 1 = 0 e 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 = 0 abbiano una radice in comune.
𝑚𝑚1 = 1, 𝑚𝑚2 = −2
Scrivere un’equazione di secondo grado le cui radici soddisfano le due
seguenti relazioni: 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚 = 0 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 − 𝑚𝑚(𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ) + 1 = 0
2𝑚𝑚𝑥𝑥 2 − (2 + 𝑘𝑘)𝑥𝑥 + 𝑚𝑚2 = 0
Quali valori occorre attribuire al parametro 𝑚𝑚 affinché l’equazione
𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 = 0 ammetta due radici tali che l’una sia il quadrato 𝑚𝑚1 = 1, 𝑚𝑚2 = −8
dell’altra?
Un’equazione di secondo grado ha sia la somma che il prodotto delle
radici uguali a 𝑚𝑚. Determina i quali valori di 𝑚𝑚 per i quali l’equazione 𝑚𝑚 ≤ 0 ∨ 𝑚𝑚 ≥ 4
ammette soluzioni reali .
Determinare il valore del parametro 𝑚𝑚 affinché le radici dell’equazione
(15 + 𝑚𝑚)𝑥𝑥 2 − 5𝑚𝑚𝑚𝑚 + 21 = 0 soddisfano la relazione 7𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 = 0
Determinare il valore del parametro 𝑚𝑚 in modo che l’equazione
𝑥𝑥 2 + 6𝑚𝑚𝑚𝑚 + 8 = 0 abbia le radici una doppia dell’altra
Determinare il valore del parametro 𝑚𝑚 in modo che l’equazione
𝑥𝑥 2 + 3𝑚𝑚𝑚𝑚 + 2𝑚𝑚 + 4 = 0 abbia le radici una doppia dell’altra
Determinare il valore del parametro 𝑚𝑚 in modo che l’equazione
𝑥𝑥 2 − 2(𝑚𝑚 − 10)𝑥𝑥 + 75 = 0 abbia le radici una tripla dell’altra.
𝑚𝑚1 = −6; 𝑚𝑚2 = 10
𝑚𝑚1 = −1, 𝑚𝑚2 = 1
𝑚𝑚1 = −1, 𝑚𝑚2 = 2
𝑚𝑚1 = 0, 𝑚𝑚2 = 20
Per quali valori del parametro 𝑚𝑚 l’equazione 7𝑥𝑥 2 − 7(𝑚𝑚 − 2)𝑥𝑥 + 6𝑚𝑚 = 0
4
3
𝑚𝑚1 = , 𝑚𝑚2 = 7
ha una radice uguale ai 2 dell’altra?
7
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