Algebra .................................. 1
Analisi dei dati...................... 9
Probabilità .........................15
Geometria...........................20
Matematica economica..... 30
Formulario di
Matematica
per la maturità
professionale
(PQ MP)
Estratto dal libro "Matematica per la maturità professionale" © www.promath.ch
Jean-Pierre Favre
π
Promath
Editions
Edizione 2018
Algebra
Introduzione
Alfabeto greco
Minuscola
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
µ
Maiuscola
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
I
K
Λ
M
Nome
alpha
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
iota
kappa
lambda
mu
Minuscola
ν
ξ
o
Π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
Insiemi e intervalli
x ∈ A significa che x appartiene all’insieme A
A ⊂ B significa che A è incluso in B
Insiemi numerici
Numeri naturali
Numeri interi relativi
Numeri razionali
Numeri reali
N = {0; 1; 2; 3; . . .}
Z = {.
¦ .p.©; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; · · · }
Q = q con p ∈ Z, q ∈ Z e q 6= 0
R
1
Maiuscola
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
Nome
nu
xi
omicron
pi
rho
sigma
tau
upsilon
phi
chi
psi
omega
2
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Diagrammi di Venn
Intersezione
A
A∩B
B
AeB
Unione
A
A∪B
B
AoB
Differenza
A
A \B
B
A non B
Complementare
A
A
non A
Intervalli
Intervallo chiuso
Intervallo aperto
Intervallo semi-aperto
Intervallo semi-aperto
[a ; b ]
]a ; b [
[ a ; +∞ [
] − ∞; b ]
a≤x≤b
a<x<b
x ≥a
x≤b
Calcolo letterale
Potenze e radici
0n = 0
x0 = 1
00 è indeterminato!
x m · x n = x m+n
xm
= x m−n
xn
x n · y n = (x · y)n
(x m )n = x m·n
x m = x (m
x −n =
p
n
1
xn
x = x 1/n
p
x 2 = |x |
n
p
n
x·
p
n
y=
n)
p
n
1n = 1
n
xn
x
=
yn
y
p
n
x m = x m/n
p
n
x·y
x
=
p
n y
s
n
x
y
Formulario di Matematica per la maturità professionale
3
Notazione scientifica
Rappresentazione di un numero nella forma:
±a × 10n
con a ∈ [1 ; 10 [ e n ∈ Z
Esempio: 1234 = 1, 23 × 103
Prodotti notevoli
(a + b )2 = a 2 + 2a b + b 2
(a − b )2 = a 2 − 2a b + b 2
a 2 − b 2 = (a + b )(a − b )
a 2 + b 2 non fattorizzabile in R (irriducibile)
(a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3a b 2 + b 3
(a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3a b 2 − b 3
a 3 − b 3 = (a − b )(a 2 + a b + b 2 )
a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 − a b + b 2 )
Fattorizzazione
Messa in evidenza: 6a − 3a b = 3a(2 − b )
Raccoglimenti: x 3 + x 2 + x + 1 = x 2 (x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x 2 + 1)
Prodotti notevoli: (x + a)2 − 1 = (x + a − 1)(x + a + 1)
Trinomio di secondo grado: x 2 + S x + P = x 2 + (m + n)x + m · n = (x + m) · (x + n)
Valore assoluto
|x | =
x,
−x ,
se x ≥ 0
se x < 0
a<0
a≥0
|x | = a → x = a
o
x = −a
|x | = a → x = ∅
|x | ≤ a → x ≤ a
e
x ≥ −a
|x | ≤ a → x = ∅
|x | ≥ a → x ≥ a
o
x ≤ −a
|x | ≥ a → x = R
 Distanza, tempo d’attesa tra due valori, etc..
→
d (a; b ) = |a − b |
4
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Equazioni e funzioni di primo grado
Equazioni di primo grado
ax + b = 0
con a 6= 0
x =−
→
b
a
Funzioni di primo grado
f (x ) = a x + b
con a 6= 0
Intercetta (o ordinata all’origine): f (0) = b
H (0 ; b )
→
Punto di intersezione con l’asse delle ascisse: f (x ) = 0
a=
Coefficiente angolare (o pendenza della retta) f :
→
∆y
∆x
=
b
K − ;0
a
y2 − y1
x2 − x1
y = f (x)
y2
y1
P2(x2 ; y2)
∆y
P1(x1 ; y1)
∆x
H (0; b)
K


b
− ;0
a
x1
x2
Equazione di una retta passante per due punti
Dati due punti P1 (x1 ; y1 ) e P2 (x2 ; y2 ), risolvere il seguente sistema:

a · x1 + b = y1
a · x2 + b = y2
Rette particolari
Date due rette: y1 = a1 x + b1 e y2 = a2 x + b2
y1 // y2 ⇒ a1 = a2
y1 ⊥ y2 ⇒ a1 · a2 = −1
x
Formulario di Matematica per la maturità professionale
5
Equazioni e funzioni di secondo grado
Equazioni di secondo grado
f (x ) = a x 2 + b x + c = 0 con a 6= 0
Calcolo del discriminante (Delta): ∆ = b 2 − 4ac
∆>0
∆=0
p
−b ± ∆
x1 ; x2 =
2a
∆<0
x1 = x2 = −
b
2a
Nessuna soluzione in R
Funzioni di secondo grado
Forma generale: f (x ) = a x 2 + b x + c
con a 6= 0
Forma del vertice: f (x ) = a · (x − h)2 + k
con a 6= 0 e vertice V (h ; k)
Forma fattorizzata : f (x ) = a·(x −x1 )·(x −x2 )
asse di simmetria
y = f (x)
H (0 ; c)
con a 6= 0 e x1 ; x2 soluzioni di f (x ) = 0

b
∆
V (h; k) = − ; −
2a 4a
x
K2(x2 ; 0)
K1(x1 ; 0)

In immagini:
a
∆
∆<0
∆=0
∆>0
a>0
x
a<0
x
x
x
x
x
6
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Equazioni / funzioni esponenziali e logaritmiche
Equazioni esponenziali e logaritmiche
ax = a y
x = ay
⇔
y = loga (x)
⇔
(x > 0 , a > 0 , a = 1)
x= y
loga (x) = loga ( y)
log(x ) = log10 (x )
→
calcolatrice tasto LOG
ln(x ) = loge (x )
→
calcolatrice tasto LN
loga (x · y) = loga (x ) + loga (y)
 ‹
1
loga
= − loga (x )
x
loga (a x ) = x
loga
⇔
x= y
(e ' 2, 718)
x
= loga (x ) − loga (y)
y
loga (x n ) = n · loga (x )
loga (1) = 0
a loga (x ) = x
loga (a) = 1
Regola del cambiamento di base (per la calcolatrice):
loga (x) =
ln(x)
log(x)
=
log(a)
ln(a)
Funzioni esponenziali e logaritmiche
f (x ) = a x
e
g (x ) = loga (x )
se 0 < a < 1
y = ax
con a ∈]0 ; 1[∪]1 ; ∞[
y
se a > 1
y = ax
y = loga (x)
a>1
H (0; 1)
K (1; 0)
x
Formulario di Matematica per la maturità professionale
7
Modelli esponenziali
f (t ) = a · (1 + b ) t
f (t ) = α · e βt
con ±b il tasso effettivo di crescita/decrescita e a il valore iniziale
con ±β beta il tasso nominale di crescita/decrescita e α il valore iniziale
Grafico di qualche altra funzione elementare
Funzione radice quadrata
Funzione radice cubica
y=
y=

3

x
Funzione cubica
y = x3
m>1 m=1
Funzione potenza
x
y = a · xm
0<m<1
m=0
a
m<0
1
Funzione omografica
Funzione parte intera
y = E (x)
a
y=
x
1
1
Funzione valore assoluto
Funzione definita a tratti
y = |x|
f2
f1
a
b
c
f3

 f1, se a ≤ x < b
y=
f , se b ≤ x < c
 2
f3, se x ≥ c
8
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Insieme di definizione
Si faccia attenzione ai seguenti casi in cui , rappresenta un’espressione algebrica qualsiasi:

1


 , ⇒ , 6= 0
p
n
, ⇒ ,≥0
solamente se n è pari


log (,) ⇒ , > 0 per qualsiasi base logaritmica
a
Esempio:
f (x ) =
p
x
+ x + 5 − log(10 − x )
2−x
• 2 − x 6= 0 → x 6= 2 condizione per il denominatore
• x + 5 ≥ 0 → x ≥ −5 condizione per la radice quadrata
• 10 − x > 0 → x < 10 condizione per il logaritmo
Conclusione:
x ∈ [ −5 ; 2 [ ∪ ] 2 ; 10 [
Caratteristiche di una funzione
Zeri di una funzione:
valori di x tali che : f (x) = 0
simmetria
assiale Oy
Funzione pari:
f (−x) = f (x)
per ogni x nell’insieme di definizione
Funzione dispari:
f (−x) = − f (x)
simmetria centrale
all’origine O
per ogni x nell’insieme di definizione
Funzione inversa : f −1(x)

�
f −1 ( f (x)) = f f −1(x) = x
per ogni x nell’insieme di definizione
Funzione periodica se:
f (x + k · p) = f (x)
per ogni x nell’insieme di definizione
e per k ∈ 
p
Analisi dei dati
Variabile statistica
Modalità
Sposato
Divorziato
Celibe/Nubile
Qualitativa
Frequenza assoluta (ni )
3
5
2
Quantitativa discreta
Modalità (xi )
ni
3
3
4
5
5
2
Quantitativa continua
Classe xi
ni
[2; 4[ 3
4
[4; 6[ 5
12
[6; 8[ 7
4
Definizioni e formule di base
X = carattere o variabile statistica
k = numero di modalità o di classi (qui sopra k = 3)
i = classe o modalità numero i , con i = 1, 2, 3, . . . , k
bi −1 = estremo inferiore della classe i
bi = estremo superiore della classe i
Li = lunghezza o ampiezza della classe i
Li = bi − bi −1
xi = centro della classe i
xi =
bi −1 + bi
2
ni = frequenza assoluta corrispondente alla modalità o alla classe i
N = popolazione totale
N = n1 + n2 + · · · + nk
oppure
fi = frequenza relativa della modalità o della classe i
f1 + f2 + · · · + fk = 1
oppure
Fi = frequenza cumulata della modalità o della classe i
9
N=
X
ni
fi = ni /N
X
fi = 1
Fi = f1 + f2 + · · · + fi
10
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Rappresentazione grafica
Variabile qualitativa + quantitativa discreta: diagramma
ni o fi
A barre
Circolare
Ideogramma
Sposati :
Spo
Div
Div
Divorziati :
Cel
Spo
Cel
xi
Angolo i = fi × 360◦
Celibi/Nubili :
Variabile quantitativa continua: istogramma
Istogramma
Frequenze cumulate
Fi
ni o fi
12
Poligono delle
frequenze
8
4
Meno di...
1
0,8
0,2
2
4
6
8
xi
2
4
6
8
Utilizzo delle frequenze cumulate
Variabile discreta
Proporzione P d’individui con un valore
inferiore o uguale a xi associato al carattere X
Fi = P (X ≤xi )
P (a < X ≤ b ) = F b − Fa
Variabile continua
Proporzione P d’individui con un valore
inferiore a xi associato al carattere X
Fi = P (X <xi )
P (a ≤ X < b ) = F b − Fa
Esempio (variabile continua): Proporzione d’individui tra [ 4 ; 7 [= F7 − F4
• F7 =
0,8+1
2
= 0, 9 [per interpolazione]
Quindi: F7 − F4 = 0, 9 − 0, 2 = 0, 7
• F4 = 0, 2
Ovvero 70% degli individui
xi
Formulario di Matematica per la maturità professionale
11
Misure di tendenza centrale e indici di posizione
Misura
Notazione
Variabile discreta
Variabile continua
ni o fi
ni o fi
Moda
∆1 = fi − fi−1
Mo
4 5 6 7 8 9
xi
Primo xi per cui Fi > 0, 5
Me
Se Fi = 0, 5 → Me =
Quartile 1
Q1
bi−1 Mo
Me = bi−1 +
Q3
xi
∆1
·L
∆1 + ∆2 i
0, 5 − Fi−1
· Li
fi
xi + xi+1
Per la 1a classe i per cui Fi ≥ 0, 5
2
Primo xi per cui Fi ≥ 0, 25
Q 1 = bi−1 +
Primo xi per cui Fi ≥ 0, 75
0, 25 − Fi−1
· Li
fi
Per la 1a classe i per cui Fi ≥ 0, 25
Q 3 = bi−1 +
Quartile 3
∆2 = fi − fi+1
Mo = bi−1 +
Mo = 6
Mediana
Li
0, 75 − Fi−1
· Li
fi
Per la 1a classe i per cui Fi ≥ 0, 75
Calcolo della mediana nel caso di N valori singoli ordinati in maniera crescente:
Me =

 x(N +1)/2

se N è dispari
xN /2 +xN /2+1
2
se N è pari
Media aritmetica (x )
x=
x1 + x2 + · · · + xN n1 · x1 + n2 · x2 + · · · + nk · xk
=
= f1 · x1 + f2 · x2 + · · · + fk · xk
N
N
o in maniera algebrica:
x=
P
xi
=
N
P
ni · xi X
=
fi · xi
N
12
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Indici di dispersione
Campo di variazione =
differenza tra il più grande e il più piccolo xi
ampiezza totale bk − b0
(discreta)
(continua)
Scarto interquartile o semi-interquartile (Q )
Q = Q3 − Q1
o
Q=
Q3 − Q1
2
Varianza (σ 2 ) o deviazione standard (σ) di una serie raggruppata (xi e fi )
σ 2 = f1 (x1 − x )2 + f2 (x2 − x )2 + · · · + fk (xk − x )2
Æ
σ = σ2
Formula di König: x 2 = f1 · x12 + f2 · x22 + · · · + fk · xk2
σ 2 = x 2 − (x )2
Coefficiente di variazione (CV)
CV =
σ
× 100
x
(CV ≥ 25% → disperso)
Indici di asimmetria
Stiramento a sinistra
Mo
Me
x
Simmetrico
Mo = Me = x
Stiramento a destra
Mo
Me
x
I momenti
Momento centrale d’ordine 3: µ3 = f1 (x1 − x )3 + f2 (x2 − x )3 + · · · + fk (xk − x )3
Momento centrale d’ordine 4: µ4 = f1 (x1 − x )4 + f2 (x2 − x )4 + · · · + fk (xk − x )4
Formulario di Matematica per la maturità professionale
13
Principali misure
Coefficiente di Yule (CY )
CY =

 CY > 0
C =0
 CY < 0
Y
Q3 + Q1 − 2 M e
Q3 − Q1
Stiramento a destra
Simmetria
Stiramento a sinistra
Coefficiente di Pearson (β1 )
β1 → 1
β1 → 0
 β →
−1
1


(x − M e )
β1 = 3
σ
Stiramento a destra
Simmetria
Stiramento a sinistra
Coefficiente di Fisher (γ1 )

 γ1 > 0
γ =0
 γ1 < 0
1
µ
γ1 = 33
σ
Stiramento a destra
Simmetria
Stiramento a sinistra
Misure d’appiattimento
Leptocurtica
Normale
Platicurtica
Coefficiente di Pearson (β2 )
β2
=
µ4
σ4

 β2 > 3 ⇒ Leptocurtica
β = 3 ⇒ normale
 β2 < 3 ⇒ Platicurtica
2
14
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Box-plot
Baffi
b0
Q1
Q1
Me
Uniforme
Q 1 Me
Q3
Asimmetria a destra
Me
Q3
Q3
bk
Q 1 Me
Q3
A forma di campana
Q1
Me Q 3
Asimmetria a sinistra
Probabilità e inferenza statistica
Probabilità
Nozioni di eventi e di probabilità
U : universo (evento certo)
∅: evento impossibile
A: evento complementare a A
A ∪ B : A unione B (A o B )
A ∩ B : A intersezione B (A e B )
P (A): probabilità dell’evento A
P (A) =
numero di casi favorevoli
numero di casi possibili
Proprietà
P (U) = 1
0 ≤ P (A ) ≤ 1
P (∅) = 0
P (A ∪ B) = P (A ) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∪ B) = 1 − P (A ∩ B)
P (A ∩ B) = 1 − P (A ∪ B)
P (A ∩ B) = P (A ) − P (A ∩ B)
B
B
A
A∪B
P (A ) = 1 − P (A )
A
A∩B
A
A∩B
A∩B
15
B
A∩B
A∩B =∅
16
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Eventi incompatibili e indipendenti
A e B sono incompatibili se : A ∩ B = ∅ → P (A ∪ B ) = P (A) + P (B )
A e B sono indipendenti se : P (A ∩ B ) = P (A) × P (B )
Probabilità geometrica
Oggetto a due dimensioni
Oggetto a una dimensione
P (A ) =
Lunghezza di A
Lunghezza di S
A

S


P (A ) =
S
Area di A
Area di S
A
Probabilità condizionata
P (B /A) =
verificato.
P (A ∩ B )
= Probabilità che si verifichi B, sapendo che A si è
P (A)
Schema classico del calcolo delle probabilità
Albero delle probabilità
0,2
0,6
0,4
B
A
0,8
B
0,5
B
0,5
B
A
Diagramma di Venn
Tabella di contingenza
B
U
0,2
A
0,48
0,12
0,2
A
A
Totale
B
0,12
0,2
0,32
B
0,48
0,2
0,68
0,4
1
Totale 0,6
Probabilità associate:
Probabilità a priori : P (A) = 0, 6
Probabilità composta : P (A ∩ B ) = 0, 6 × 0, 2 = 0, 12
Probabilità totale : P (B ) = 0, 6 × 0, 2 + 0, 4 × 0, 5 = 0, 32
P (B ∩ A) 0, 12
Probabilità condizionata : P (B /A) =
=
= 0, 2
P (A)
0, 6
P (A ∩ B ) 0, 12
Probabilità a posteriori : P (A/B ) =
=
= 0, 375
P (B )
0, 32
Formulario di Matematica per la maturità professionale
17
Variabile aleatoria discreta
X assume differenti valori x1 ; x2 ; · · · xn con probabilità p1 ; p2 ; · · · pn tale che
X
p1 + p2 + p3 + · · · + pn = 1
oppure
pi = 1
Indicatore
Notazione
Formula
Valore atteso
E (X )
Valore atteso del quadrato
E (X 2)
E (X ) = p1 · x1 + p2 · x2 + · · · + pn · xn
Varianza
V (X )
Deviazione standard
σ(X )
E (X 2) = p1 · x12 + p2 · x22 + · · · + pn · xn2
V (X ) = E (X 2) − E (X )2

σ(X ) = V (X )
König
Funzione di ripartizione
F (X ) = P (X ≤ xi )
P (a < X ≤ b ) = F (b ) − F (a)
Inferenza statistica
 I calcoli di questo capitolo si basano sull’ipotesi che il campione abbia dimensione n ≥ 30
Intervalli di confidenza
Intervalli di confidenza per la media di una popolazione
1. La media della popolazione µ può essere stimata per mezzo della media del campione x
2. La deviazione standard stimata a partire dalla popolazione S può essere calcolata a partire
dalla deviazione standard σ del campione, ma dev’essere corretta come segue:
r
n
S =σ×
n −1
In questo caso, la media stimata µ appartiene al seguente intervallo:
S
µ∈ x −z × p
n
;
S
x +z × p
n
Il valore z si calcola come segue:
Livello di confidenza (1 − α)
z
90%
1,64
95%
1,96
98%
2,33
99%
2,58
18
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Intervallo di confidenza per una proporzione di una popolazione
Si scelga con reimmissione un campione aleatorio e, in questo campione, si osservi una popolazione qualsiasi: p = ni /n.
Si può allora inferire che la proporzione π dell’intera popolazione appartiene al seguente intervallo
di confidenza:
–
s
π∈ p−z ·
p(1 − p)
n
s
;
p+z ·
p(1 − p)
n
™
Il valore z si calcola come segue:
Livello di confidenza (1 − α)
z
90%
1,64
95%
1,96
98%
2,33
99%
2,58
Test statistici
Test di confronto di una media con un valore noto
In questo test, il problema consiste nel determinare se la media di una popolazione, indicata con
µ x , è uguale, superiore o inferiore a una media standard, indicata con µ0 .
Parametri noti: la media del campione x , il valore noto µ0 , lo stimatore della deviazione standard
della popolazione S e la dimensione del campione n. La procedura da seguire per effettuare il test
è la seguente:
1. Formulazione dell’ipotesi nulla H0 e di quella alternativa H1 .
Test unilaterale sinistro
H0 : µ x = µ0
H1 : µ x < µ0
Test unilaterale destro
H0 : µ x = µ0
H1 : µ x > µ0
Test bilaterale
H0 : µ x = µ0
H1 : µ x 6= µ0
2. Scelta del rischio d’errore α o del livello di confidenza (1 − α) e determinazione di z :
Rischio d’errore α
Valore di z per un test unilaterale sinistro
Valore di z per un test unilaterale destro
Valore di z per un test bilaterale
3. 3. Calcolo di Z (Z maiuscolo)
Z=
10%
−1, 28
1,28
1,64
5%
−1, 64
1,64
1,96
1%
−2, 33
2,33
2,58
x − µ0
p
S/ n
4. 4. Rifiuto dell’ipotesi nulla a seconda del tipo di test:
Rifiuto di H0
Se
Test unilaterale sinistro
Z <z
Test unilaterale destro
Z >z
Test bilaterale
|Z | > z
Formulario di Matematica per la maturità professionale
19
Test di confronto di una proporzione con un valore noto
In questo test di confronto di una proporzione con un valore noto, il problema è quello di determinare se una proporzione, indicata con π x , è uguale, superiore o inferiore a uno standard fissato
indicato con π0 (valore noto).
Parametri noti: la proporzione del campione p, il valore noto π0 e la dimensione del campione
n. La procedura da seguire per effettuare il test è la seguente:
1. Formulazione dell’ipotesi nulla H0 e di quella alternativa H1 :
Test unilaterale sinistro
H0 : π x = π 0
H1 : π x < π 0
Test unilaterale destro
H0 : π x = π 0
H1 : π x > π 0
Test bilaterale
H0 : π x = π0
H1 : π x 6= π0
2. Scelta del rischio d’errore α o del livello di confidenza (1 − α) e determinazione di z :
Rischio d’errore α
Valore di z per un test unilaterale sinistro
Valore di z per un test unilaterale destro
Valore di z per un test bilaterale
3. 3. Calcolo di Z (Z maiuscolo)
10%
−1, 28
1,28
1,64
5%
−1, 64
1,64
1,96
1%
−2, 33
2,33
2,58
p − π0
Z=q
π0 (1−π0 )
n
4. 4. Rifiuto dell’ipotesi nulla a seconda del tipo di test:
Rifiuto di H0
Se
Test unilaterale sinistro
Z <z
Test unilaterale destro
Z >z
Test bilaterale
|Z | > z
Geometria
Trigonometria
Conversione gradi-radianti
Gradi Radianti
=
180
π
Cerchio trigonometrico
1
P (x; y)
T (1; t)
sin(α) = y
cos(α) = x
α
1
O
tan(α) = t
Relazioni trigonometriche
cos2 (α) + sin2 (α) = 1
tan(α) =
sin(α)
cos(α)
20
1
= 1 + tan2 (α)
cos2 (α)
Formulario di Matematica per la maturità professionale
21
Valori esatti di angoli particolari
0°
α
0
cos(α)
1
sin(α)
0
tan(α)
0
45°
π
4

2
2

2
2
30°
π
6

3
2
1
2

3
3
90°
π
2
60°
π
3
1
2

3
2

3
1
0
1
-
Relazioni tra alcuni angoli
cos(−α) = cos(α)
sin(−α) = − sin(α)
tan(−α) = − tan(α)
cos(π − α) = − cos(α)
sin(π − α) = sin(α)
tan(π − α) = − tan(α)
cos(π + α) = − cos(α)
π
cos
− α = sin(α)
π2 cos
+ α = − sin(α)
2
sin(π + α) = − sin(α)
π
sin
− α = cos(α)
2
π
sin
+ α = cos(α)
2
tan(π + α) = tan(α)
Trigonometria nel triangolo rettangolo
sin(α) =
a
c
cos(α) =
b
c
tan(α) =
a
b
sin(β) =
b
c
cos(β) =
a
c
tan(β) =
b
a
β
c
a
α
b
Per ricordarsi facilmente queste tre formule, si possono utilizzare le seguenti espressioni mnemoniche: sin-op-ip cos-ad-ip e tan-op-ad.
lato
opposto
ipo
ten
usa
angolo
lato adiacente
22
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Trigonometria in un triangolo qualsiasi
Teorema del seno
b
c
a
=
=
sin(α)
sin(β)
sin(γ)
γ
b
Teorema del coseno
a
a 2 = b 2 + c 2 − 2b c · cos(α)
b 2 = a 2 + c 2 − 2a c · cos(β)
2
2
C
A
α
2
c = a + b − 2ab · cos(γ)
β
c
B
Equazioni trigonometriche elementari
cos(x ) = a
→
sin(x ) = a
→
tan(x ) = a
→
x = cos−1 (a) + k · 2π
x = − cos−1 (a) + k · 2π
x = sin−1 (a) + k · 2π
x = π − sin−1 (a) + k · 2π
x = tan−1 (a) + k · π
con k ∈ Z
con k ∈ Z
con k ∈ Z
Funzioni trigonometriche elementari
Funzioni seno e coseno
Funzione tangente
y = tan(x)
y
y
1
0
-1
p=π
y = sin(x)
3π
2
y = cos(x)
π
2
π
3π
2
2π
x
0
π
2
π
x
Formulario di Matematica per la maturità professionale
23
Funzioni trigonometriche inverse
Funzione
trigonometrica
Dominio di definizione
Valori per x
Insieme immagine
Valori per y
sin−1 (x )
[−1; 1]
[− π2 ; π2 ]
cos−1 (x )
[−1; 1]
[0; π]
tan−1 (x )
R
] − π2 ; π2 [
y
π
2
−
y
cos−1(x)
tan(x)
x
1
sin(x)
y
π
sin−1(x)
π
2
x
1
cos(x)
tan−1(x)
π
2
−
Funzioni sinusoidali
Forma generale: y = a · cos(b (x − h)) + k o y = a · sin(b (x − h)) + k
Con:
a = ampiezza della funzione (stiramento verticale)
p = periodo della funzione
2π
b = stiramento orizzontale b =
p
h = sfasamento (traslazione orizzontale)
k = altezza dell’asse d’oscillazione (o traslazione verticale)
y
a
k
p
x
0
Coordinate polari
Siano r e ϕ le coordinate polari di un punto P (x ; y) nel piano
Dalle polari alle cartesiane
x = r · cos(ϕ)
y = r · sin(ϕ)
Dalle cartesiane
Æ alle polari
r = x2 + y2
ϕ = tan−1 (y/x ) ± 2π
π
2
x
24
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Geometria del piano
Relazioni metriche
Teorema di Pitagora
a2 + b2 = c2
Teorema dell’altezza
HC 2 = BH · HA
Teorema di Euclide
Teorema di Talete
A
c
b
H
2
BC = BH · BA
B
AC 2 = AH · AB
AB
BC
AC
=
=
AE
AD DE
a
A
B
C
E
C
D
A
E B
D
C
Rette particolari di un triangolo
Bisettrice
Asse di un segmento
Mediana
Altezza
2
AG = AI
3
B
K
A
I
G
J
C
Somma di angoli e diagonali
La somma degli angoli interni di un triangolo vale 180◦ .
La somma degli angoli interni di un poligono convesso a n lati vale (n − 2) · 180◦ .
Il numero di diagonali di un poligono convesso a n lati è
n(n − 3)
.
2
Formulario di Matematica per la maturità professionale
25
Sezione aurea e rettangolo aureo
Sezione aurea

a

b
Rettangolo aureo

a+b
a
a+b
=
a
b
A
B
F
D
C
E
BC
AF
=
 1, 618
FE
CE
Area di qualche figura elementare
Triangolo
b×h
2
 =
h
b
Rettangolo
b
 =a·b
a
c
Trapezio
 =
a+c
·h
2
h
a
Rombo
Parallelogramma
Poligono regolare
a n lati
 =
d1 · d2
2
 =b·h
 =
c·h
·n
2
d2
d1
h
b
h
c
26
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Area di qualche figura elementare [seguito. . . ]
a
b
p = semi-perimetro
Quadrilatero
inscritto
 =

( p − a)( p − b)( p − c)( p − d)
d
c
p = semi-perimetro
Quadrilatero
circoscritto
r
 =r·p
α
360
α
 = πr 2 ·
360
l = 2πr ·
Settore circolare
r
α
l
Geometria dello spazio
Volume di qualche solido elementare
Cilindro
Parallelepipedo
Prisma
r
c
h
a
 = πr 2 h
Sfera
 =a·b·c
h
b
 = Area di base · h
Cono
Piramide
h
h
r
r
4
 = πr 3
3
 =
πr 2 h
3
 =
Area di base · h
3
Formulario di Matematica per la maturità professionale
27
Solidi platonici o poliedri convessi regolari
S : numero di spigoli
V : numero di vertici
 : area delle facce
 : volume
F : numero di facce
c : lunghezza degli spigoli
Formula di Eulero V − S + F = 2
V =4
Tetraedro
 =
 =

S =6
F =4
3 · c2

2 3
·c
12
V =8
S = 12
F =6
Esaedro
(cubo)
 = 6c 2
F =8
Ottaedro
V = 6 S = 12

 = 2 3 · c2

2 3
 =
·c
3
Dodecaedro
Icosaedro
 = c3
V = 20 S = 30 F = 12


 = 3 25 + 10 5 · c 2

15 + 7 5 3
 =
·c
4
V = 12 S = 30

 = 5 3 · c2

15 + 5 5 3
 =
·c
12
F = 20
28
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Geometria vettoriale nel piano
−→ −→ −→
−→ −→ −→
Teorema di Chasles: AC = AB + B C ; AB = OB − O A
a
b
Vettori collineari: 1 collineare a 1
⇔ a1 · b2 = a2 · b1
a2
b2
−→
a
Coordinate del punto A: A(a1 ; a2 ) ⇔ O A = 1
a2
a1 + b1 a2 + b2
Punto medio del segmento AB: M
;
2
2
a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2
Baricentro del triangolo ABC : G
;
3
3
Æ
2
2
Norma di un vettore: ||~
a || = a1 + a2
a
b
~
Prodotto scalare: a~ · b = 1 · 1 = a1 b1 + a2 b2 = ||~
a || · || b~ || · cos α
a2
b2
Angolo tra due vettori: cos α =
Vettori perpendicolari: a~ ⊥ b~
a~ · b~
||~
a || · || b~ ||
⇔
a~ · b~ = 0
Rette
Coefficiente angolare di una retta con vettore direttore
 
d1
d2
d2
d1
b2 − a2
m=
b1 − a1
m=
Coefficiente angolare di una retta
passante per A (a 1 ; a 2) e B(b1 ; b2)
Equazione di una retta con coefficiente angolare m passante per (0,h)
Equazione parametrica di una retta passante
 
d
per A (a 1 ; a 2) e con vettore direttore 1
d2
y = mx + h
   
 
a
x
d
= 1 +k· 1
y
a2
d2
m1 · m2 = −1
Due rette con coefficienti angolari m1 e m2 sono perpendicolari se


 m − m1 

tan(α) =  2
1 + m1 · m2 
Angolo acuto tra due rette con coefficienti angolari m1 e m2
Distanze
Distanza da A (a1 ; a2) a B(b1 ; b2)
Distanza di P ( p1 ; p2)
dalla retta d di equazione a x + b y + c = 0

(a1 − b1)2 + (a2 − b2)2
|a p1 + b p2 + c|
δ(P ; d) =

a2 + b2
δ(A ; B) =
Formulario di Matematica per la maturità professionale
29
Geometria vettoriale nello spazio
Coordinate del punto A:
A(a1 ; a2 ; a3 )
⇔
 
−→ a1 
O A = a2
a3
a + b1 a2 + b2 a3 + b3
M 1
;
;
2
2
2
a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2 a3 + b3 + c3
Baricentro del triangolo ABC : G
;
;
3
3
3
Æ
Norma di un vettore: ||~
a || = a12 + a22 + a32
   
a1
b1
Prodotto scalare: a~ · b~ = a2  ·  b2  = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = ||~
a || · || b~ || · cos α
a3
b3
Punto medio del segmento AB:
Angolo tra due vettori: cos α =
a~ · b~
||~
a || · || b~ ||
Vettori perpendicolari : a~ ⊥ b~
⇔
a~ · b~ = 0
Retta e distanza
 
d1
Si indica con d una retta passante per il punto A(a1 ; a2 ; a3 ) e con vettore direttore d~ = d2 
d3
Un punto P (x ; y; z ) appartiene alla retta d se una delle seguenti condizioni è verificata:
Equazione vettoriale
Equazione parametrica
Equazione cartesiana
→
−
→ −
OP = OA + λ · d
   
 
x
a1
d
   
 1
 y  = a2 + λ · d2
z
a3
d3
y − a2
z − a3
x − a1
=
=
d1
d2
d3
Posizione relativa di due rette
Complanari: esiste un piano che contiene le due rette
A
d2
d2
d1
d1
d1
d1 ∩ d2 = {A }
d1 ∩ d2 = ∅
Non complanari
d2
d1 ∩ d2 = d1 = d2
d1
d1 ∩ d2 = ∅
d2
Matematica economica
Programmazione lineare
Obiettivo: Massimizzare o minimizzare una funzione Z = a1 x + b1 y (funzione obiettivo)
sotto diversi vincoli lineari della forma
ax + b y ≷ c
o
x ≷0
o
y ≷0
y
Procedura da seguire:
etc
Funzione obiettivo
1) Rappresentare graficamente l’insieme dei
vincoli => regione
2) Determinare tutti i vertici di tale regione
(risoluzione di un sistema d’equazioni).
3) Calcolare il valore di Z per ogni vertice.
4) Scelere il o i vertici per cui il problema
assume un valore di Z massimo o minimo.
Tasso di crescita
Tasso di crescita globale i tra un valore iniziale V0 e un valore finale V t :
i=
V t − V0 V t
=
−1
V0
V0
Tasso di crescita annuale t m su n anni:
v
uV
t
n
tm = t
−1
V0
30
Ottimo
x
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31
Matematica finanziaria
Notazioni
C0
Capitale iniziale
r
Fattore di montante (r = 1 + i )
Cn
Capitale finale
v
i
Tasso d’interesse annuo
n
Durata in anni
Fattore di sconto (v = 1/r )
‹

i
Sconto di i
d=
1+i
d
Formule di capitalizzazione
Interesse semplice
Cn = C0 · (1 + ni)
Interesse composto
Cn = C0 · r n
→
C0 = Cn · v n
Formule di conversione temporale
Per default l’unità dei tempi è l’anno. Se si desidera lavorare su una base mensile, l’unità dei tempi
diventa il mese e l’interesse annuo i viene convertito in interesse mensile i12 .
... a interesse semplice
... a interesse composto
i12 = (1 + i)1/12 − 1
i12 = i/12
Il tasso semestrale i2 o quello trimestrale i4 si ottengolo in modo analogo.
Formule di rendita unitarie a interesse composto
Praenumerando
Postnumerando
Valore attuale
Valore finale
1−
d
1 − vn
an =
i
rn − 1
d
rn − 1
sn =
i
ä n =
vn
s̈n =
Valore finale Vn di una serie di pagamenti annuali praenumerando
P per una durata di n anni al tasso annuo i.
Mensilità M di un credito di valore V0 rimborsabile in 60 mensilità
pagabili postnumerando al tasso annuo i.
Mensilità M di un leasing di valore V0 rimborsabile in 48 mensilità
pagabili in anticipo al tasso annuale i con un valore residuo previsto
pari a Vn
Vn = P · s̈n
con :
V0 = M · a 60
i12 = (1 + i)1/12 − 1
V0 = M · ä 48 + Vn · v 48
con :
i12 = (1 + i)1/12 − 1
32
Formulario di Matematica per la maturità professionale
Formazione dei prezzi
Concorrenza perfetta
Monopolio
Il prezzo d’equilibrio corrisponde al
punto d’intersezione tra la domanda e
l’offerta sul mercato.
Il prezzo, invece di essere
imposto, è una variabile che il
monopolio deve determinare.
p
Il prezzo è legato alla domanda
secondo una delle due seguenti
relazioni:
offerta
q = ap + b
pe
q
Al prezzo d’equilibrio pe,
definito dal mercato, la domanda che ci si pone è: Quale
quantità q bisogna produrre per
massimizzare il profitto B(q) ?
p = aq + b
La domanda che ci si pone è:
Quale quantità q bisogna
produrre per massimizzare il
profitto B(q) ?
domanda
qe
o
R/C/B
C (q)
R(q) = p · q
R(q)
R/C/B
C (q)
B(q)
q
R(q)
R (q
)=
pe·
B(q) = R(q) − C (q)
q
B(q)
q
B(q) = R(q) − C (q)
Una volta che la quantità q è
stata determinata, si cerca il
prezzo p che permette di vendere
questa quantità (prezzo ottimo).