❄ Lycée pilote Médenine ❄
4ème Maths 1
❄ 2017-2018 ❄
❄ Devoir de synthèse n° 2 ❄
Durée : 4 H ✌
Profs :✍ Farah Guetat ✍ Habib Haj Salem ✍
Croyez en vos rêves et ils se réaliseront peut-être. Croyez en vous
et ils se réaliseront sûrement.
Martin Luther King
Exercice 1 : ( 3,5 points)
Le tableau suivant donne la proportion de bacheliers de lycée pilote Médenine ayant obtenu la
mention Très bien au baccalauréat, section maths, entre 2010 et 2017.
Année
Rang de l’année xi
Proportion yi en %
2010
0
19,6
2011
1
21,5
2012
2
23,8
2013
3
25,8
2014
4
27,9
2015
5
30,6
2016
6
29,4
2017
7
30,4
1. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire r entre x et y.
2. Donner une équation de la droite d’ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des
moindres carrés. (les coefficients seront arrondis à 0,01 près).
3. En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes :
(a) Estimer la proportion de bacheliers susceptibles d’obtenir une mention au baccalauréat ,section maths, en 2019.
(b) Estimer l’année à partir de laquelle la proportion de bacheliers susceptibles d’obtenir
une mention au baccalauréat, section maths, dépassera 50%.
4. Dans cette question, on envisage un ajustement exponentiel et on pose z = ln y.
(a) Recopier et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à 10−3 près.
xi
zi = ln yi
0
1
2
3
4
5
6
7
(b) À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de z en
x, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à 0,01
près.
(c) En déduire que y = A × eBx où A et B sont deux réels à déterminer. On arrondira à
0,01 près.
(d) En supposant que ce modèle reste valable pour les années suivantes, calculer la proportion, arrondie à 0,1%, de bacheliers susceptibles d’obtenir une mention au baccalauréat, section maths, en 2019.
Devoir de synthèse 2
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Lycée pilote M édenine
Exercice 2 : (3 points)
Pour tout entier naturel , on prend an = 2
2n+2
+ 1.
1. (a) Vérifier que pour tout n ∈ N ; an+1 = 1 + (an − 1)2
(b) Montrer que pour tout n ∈ N ; an ≡ 7 (mod10)
2. (a) Vérifier que 366 ≡ 36 (mod100).
(b) En déduire que 3616 ≡ 36 (mod100).
3. (a) Vérifier que pour tout n ∈ N ; an+4 = 1 + (an − 1)16
(b) Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N ; a4n+2 ≡ 37 (mod100).
8
9
(c) Déterminer les deux derniers chiffres du nombre N = 22 + 22 .
Exercice 3 : (3,5 points)
Une société de distribution d’électricité ayant une production insuffisante en électricité pour
assurer une alimentation continue dans tout le pays, procède à des délestages.
Ainsi à partir d’un certain jour les délestages ont débuté dans une ville à un rythme décrit comme
suit :
Le premier jour la ville est délestée.
2
— Si la ville est délestée un jour, la probabilité qu’elle soit délestée le jour suivant est .
9
5
— Si elle n’est pas délestée un jour, la probabilité qu’elle soit délestée le jour suivant est
6
On désigne par Dn l’événement : ”la ville est délestée le jour n” et pn la probabilité de Dn .
Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de fois où la ville est délestée au cours
des trois premiers jours.
133
1. (a) Montrer que p(X = 2) =
.
162
(b) Déterminer la loi de probabilité de X.
5
11
2. Montrer que pour tout entier naturel n > 1 on a pn+1 = − pn +
18
6
90
3. Soit la suite (vn ) définie sur N∗ par Vn = 6pn −
29
(a) Montrer que (vn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier
terme .
(b) Exprimer vn puis pn en fonction de n.
(c) Un match de football doit se jouer le vingtième jour. Quelle est la probabilité pour que
les habitants de la ville le suivent sans délestage.
4. La durée de vie T, exprimée en mois, des lampes utilisées par les habitants de la ville suit
une loi exponentielle de paramètre λ = 0, 02
(a) Quelle est la probabilité que la durée de vie d’une lampe dépasse une année ?
(b) Une lampe a fonctionné pendant six mois, quelle est la probabilité que sa durée de vie
dépasse deux ans ?
(c) Dans une maison de cette ville il y a dix lampes qui fonctionnent de manières
indépendantes Quelle est la probabilité qu’au moins deux d’entre elles fonctionnent
plus qu’une année ?
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Lycée pilote M édenine
Exercice 4 : (5 points)
A)-

1−x


si 0 < x < 1
 f(x) =
ln x
1. f est la fonction définie sur l’intervalle [0, 1] par :
 f(0) = 0

 f(1) = −1
Montrer que f est continue sur [0, 1].
1
2. Pour tout réel x > 0, on pose : g(x) = 1 − − ln x
x
(a) Étudier les variations de g.
(b) Montrer que 1 est l’unique solution dans ]0, +∞[ de l’équation 1 −
1
= ln x.
x
(c) Donner selon les valeurs des réels x, le signe de g(x).
B) a est un réel de l’intervalle ]0, 1[,
1. On considère les fonctions u, v et h définie sur l’intervalle ]0, 1] par :
u(x) = x − 1 − ln x,
v(x) = (1 − x) ln x et h(x) = u(x)v(a) − v(x)u(a).
(a) Montrer qu’il existe un réel c de l’intervalle ]a, 1[ tel que h ′ (c) = 0
u(a)
1−c
(b) Déduire
=
.
v(a) c ln c − 1 + c
1
u(a)
=− .
(c) Déduire que lim
2
a→1− v(a)
2. On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé
→ −
−
→
O, i , j (unité graphique est 5 cm)
f(x) + 1 u(x)
=
.
x−1
v(x)
Etudier alors la dérivabilité de f à gauche en 1.
(a) Montrer que pour tout réel x ∈]0, 1[,
(b) Étudier la dérivabilité de f à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat.
1
(c) Montrer que pour tout réel x ∈]0, 1[, f ′ (x) = 2 × g(x) puis dresser le tableau de
ln x
variations de f.
(d) Tracer C .
1
et pour tout n de N, an+1 = −f(an )
2
(a) Montrer que pour tout n de N, 0 < an < 1,
an
(b) Montrer que pour tout n de N, an+1 − an =
× g(an ).
ln an
(c) Montrer que (an ) est convergente puis calculer sa limite.
3. On considère la suite (an ) définie par : a0 =
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Exercice 5 : (5 points)
1. La courbe C à côté est celle d’une fonction f définie Sur R par :
C
f(x) = (ax + b) ex−1 + c où a , b et c sont des réels.
3
La droite D : y = 1 est une asymptote à C.
2
C admet au point d’abscisse 0 une tangente horizontale.
1
(a) Dresser le tableau de variation de f.
(b) Calculer f ′ (x).
-2
0
-1
1
2
(c) Justifier que a = 1 , b = −1 et c = 1.
-1
Dans la suite, f(x) = (x − 1) ex−1 + 1.
2. Soit D la région du plan délimité par la courbe C et les droites
d’équations y = 0 , x = 0 et x = 1 et on note A son aire.
Soit I(1, 0). On se propose de montrer qu’il existe un seul point
M ∈ C tel que [IM] partage D en 2 régions de même aire.
Pour tout x ∈ [0, 1] , on note M(x, f(x)) et ∆x la région du plan
délimité par C , [IM] et les droites d’équations x = 0 et y = 0.
1
C
Pour toutZx ∈ [0, 1] on désigne par g(x) l’aire de ∆x
M x, f(x)
x
et F(x) =
b
f(t)dt.
0
(a) Calculer A.
1
0
(b) Montrer que g(x) = F(x) + (1 − x)f(x).
2
1 1
(c) Montrer que g ′ (x) = − (x−1)2 ex−1 et étudier les variations
2 2
de g.
1
(d) Déduire qu’il existe un seul réel α ∈ [0, 1] tel que g(α) = A.
2
Z 1−2 ln x
Z2
(t − 1)n et−1 dt, x > 0.
3. Soit pour tout n ∈ N∗ , un = (x − 1)n ex−1 dx et Gn (x) =
I(1, 0)
1
1
1
(a) Calculer u1 .
(b) Montrer que un+1 = e − (n + 1)un et déduire u2 ,u3 et u4 .
(c) Montrer que Gn est dérivable sur ]0, +∞[ et que Gn′ (x) = (−2)n+1
(d) Montrer que Gn (x) = (−2)
n+1
Zx
1
(ln t)n
dt et déduire l’intégrale
t3
(ln x)n
.
x3
Z √1
1
e (ln t)4 dt
t3
BON TRAVAIL
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