SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS POR EL MÉTODO DE CHOLESKY
MÉTODOS NUMÉRICOS
TAREA S07
Trabajo que como parte del curso de Métodos Numéricos presenta el alumno
Vilchez Quispe, Antonio Virgilio U17204123
Sección: 13558
SISTEMAS DE ECUACIONES
SIMULTANEAS POR EL MÉTODO DE
CHOLESKY
Lima, 12 de octubre del 2020
1
SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS POR EL MÉTODO DE CHOLESKY
1- Tres camiones de 3, 4 y 7 toneladas transportan 25 t de mercancías para un almacén, dándose para
ello 6 viajes. El camión de 4 t dio dos viajes más que el de 7 t. ¿Cuántos viajes realizó cada uno?
2- En un instituto preuniversitario fue seleccionado un grupo de 50 estudiantes para presentar
trabajos en el evento de Sociedades Científicas Estudiantiles a nivel municipal. Se verificó que las
asignaturas escogidas por los estudiantes para realizar sus trabajos fueron Matemática, Química y
Biología. La razón entre las cantidades de estudiantes que realizaron trabajos en las asignaturas de
Química y Biología es dos tercios. Se conoce, además, que el duplo de la cantidad de estudiantes
que realizaron trabajos en Química disminuido en 5, representa el 60% de la cantidad de
estudiantes que realizaron trabajos en Matemática.
Determina cuántos estudiantes de los seleccionados realizaron trabajos en la asignatura
Matemática
3-
Una Dirección Municipal de Educación quiso estimular a estudiantes destacados de tres institutos
preuniversitarios A, B y C, con la entrega de 340 ejemplares del libro “Diario del Che en Bolivia”. Se
conoce que el doble de la cantidad de ejemplares entregados al preuniversitario C, excede en 50 al
número de los que se entregaron al B; mientras que el 45% de la cantidad de ejemplares
correspondientes al preuniversitario C, es igual a la mitad de la cantidad de ejemplares entregadas
al A.
a) ¿Cuántos ejemplares del libro se entregaron a cada uno de los preuniversitarios?
b) Si la Dirección Municipal de Educación disponía de un total de 500 ejemplares, ¿qué tanto por
ciento de este total, representó el número de ejemplares que fueron entregados al preuniversitario
B?
4- En una tienda se prepararon cestas de tres tipos con diferentes productos para vender con el
motivo del Día de las Madres. El precio de las cestas del tipo 1, 2 y 3 es de $102.50; $115.00 y
$147.50, respectivamente. La composición de las cestas es la que se muestra en la tabla:
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SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS POR EL MÉTODO DE CHOLESKY
a) ¿Cuál es el precio de cada producto?
b) ¿Cuántas botellas de vino se necesitan para llenar 100 cestas del tipo 1, 80 del tipo 2 y 60 del
tipo 3?
5- Tres trabajadores sociales María, Luis y José visitaron cierto número de viviendas durante dos
jornadas de trabajo con la finalidad de actualizar el cobro de los efectos electrodomésticos
entregados como parte de los proyectos de la Revolución. Del trabajo realizado en la primera
jornada se sabe que fueron visitadas por los tres un total de 100 viviendas, y que María visitó 5
casas menos que las que visitó Luis, sin embargo, en la segunda jornada con respecto a la primera,
la cantidad de viviendas visitadas por Luis disminuyó en un 10%, mientras que José aumentó en 5 la
cantidad de viviendas visitadas. Si en esta última jornada se visitaron por ellos dos el 77% del total
de viviendas visitadas durante la primera jornada. ¿Cuántas viviendas visitó Luis y cuántas José en
esta última jornada?
6- En un triángulo la amplitud del ángulo mayor es igual al duplo de la suma de las amplitudes de los
otros dos ángulos. Las amplitudes de los ángulos mediano y mayor están en la razón 1:3. Halla la
amplitud de cada ángulo y clasifica el triángulo según las amplitudes obtenidas.
Halla la amplitud de cada ángulo y clasifica el triángulo según las amplitudes obtenidas
7- La suma de los dígitos de un número de tres cifras es 15. La suma de las cifras de las centenas y de
las decenas es igual al cuádruplo de la cifra de las unidades, y si al número se le resta 18 se
intercambian las cifras de las unidades y de las decenas. ¿Cuál es el número?
8- En una fábrica se envasa la harina en bolsas de 20 kg, 25 kg y 50 kg. En el mes de marzo, se
utilizaron 310 bolsas y se envasaron 9 500 kg de harina. En el mes de abril por problemas con las
bolsas de 50 kg, se utilizaron 50 bolsas más de 20 kg y de 25 kg, por lo que se envasaron solo 7 250
kg de harina.
a) ¿Cuántas bolsas de cada tipo se utilizaron en marzo?
b) ¿Qué tanto por ciento del total de harina envasada entre marzo y abril, se realizó en bolsas de 20
kg?
9-
Regla preparó para ella un vaso de 200 ml de jugo mezclando agua de coco, jugo de zanahoria y
zumo de limón. La tercera parte del agua de coco que utilizó excedió en 5 ml a los mililitros que
utilizó de zumo de limón. La cantidad de jugo de zumo de limón y zanahoria estaban en la razón
3:25.
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SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS POR EL MÉTODO DE CHOLESKY
a) ¿Cuántos mililitros de cada ingrediente empleó Regla para preparar su jugo?
b) ¿Qué cantidad de mililitros utilizarías para preparar un litro de dicho jugo?
SOLUCIONES
3𝑥 + 4𝑦 + 7𝑧 = 25
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 , podemos ver que el sistema no corresponde a una matriz
𝑦−𝑧 =2
simétrica, por esa razón se hará con el método de la matriz inversa.
1- El sistema sería
3 4
Donde A = 1 1
0 1
7
−0.4 2.2 −0.6
2
25
−1
−1
;
𝐴
=
;
𝐵
=
;
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝐴
∗
𝐵
=
𝑋
→
1
0.2 −0.6 0.8
3
6
−1
0.2 −0.6 −0.2
1
2
Por lo que X = 2; Y = 3; Z = 1
2- El sistema de ecuaciones sería
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50
−2𝑦 + 3𝑧 = 0 , podemos ver que no corresponde a una matriz
3
𝑥
5
− 2𝑧 = −5
simétrica, por esta razón se hará con el método de la matriz inversa.
1
1
1
−0.4 2.2 −0.6
50
25
−2 3 ; 𝐴−1 = 0.2 −0.6 0.8 ; 𝐵 = 0 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴−1 ∗ 𝐵 = 𝑋 → 15
Donde A = 0
3/5 0 −2
0.2 −0.6 −0.2
−5
10
Por lo que X = 25; Y = 15; Z = 10
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 340
−𝑦 + 2𝑧 = 50 , podemos ver que el sistema no corresponde a una matriz
20𝑥 − 18𝑧 = 0
simétrica, por lo que se hará con el teorema de la matriz inversa.
3- El sistema sería
1
1
1
−0.4 2.2 −0.6
340
90
−1
−1
Donde A= 0 −1
2 ; 𝐴 = 0.2 −0.6 0.8 ; 𝐵 = 50 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝑋 → 150
20 0 −18
0.2 −0.6 −0.2
0
100
Por lo que X = 90; Y = 150; Z = 100
4
SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS POR EL MÉTODO DE CHOLESKY
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 102.5
4- El sistema sería 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 115.0 , podemos ver que el sistema sí corresponde a una matriz
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 147.5
simétrica, ya que la matriz es igual a su transpuesta.
1 2 1
1 2 1
𝐴 = 2 2 1 = 𝐴𝑇 = 2 2 1 , sin embargo, el determinante de esta matriz no es positiva, es -3
1 1 2
1 1 2
así que no podremos utilizar el método de Cholesky. Entonces utilizaremos el método de la matriz
inversa.
1 2
Donde A= 2 2
1 1
1
−1
1
0
102.5
12.5
1 ; 𝐴−1 = 1 −0.3 −0.3 ; 𝐵 = 115.0 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴−1 ∗ 𝐵 = 𝑋 → 15
2
0 −0.3 0.6
147.5
60
Por lo que X = 12.5; Y = 15; Z = 60
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 100
𝑥 − 𝑦 = −5 , podemos ver que el sistema no corresponde a una matriz
9𝑦 + 10𝑧 = 720
simétrica por ello realizaremos la solución por matriz inversa.
5- El sistema sería
1 1
1
0.9
0.1 −0.1
100
25
Donde A= 1 −1 0 ; 𝐴−1 = 0.9 −0.9 −0.1 ; 𝐵 = −5 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴−1 ∗ 𝐵 = 𝑋 → 30
0 9 10
−0.8 0.8
0.2
720
45
Entonces X=25, Y= 30, Z=45
𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0
𝑥 − 3𝑦 = 0
, podemos ver que el sistema no corresponde a una matriz
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 180
simétrica por ello realizaremos la solución por matriz inversa.
6- El sistema sería
1 −2 −2
0.3
0
0.6
0
120
Donde A= 1 −3 0 ; 𝐴−1 = 0.1 −0.3 0.2 ; 𝐵 = 0 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴−1 ∗ 𝐵 = 𝑋 → 40
1 1
1
−0.4 0.3 0.1
180
20
Entonces X=120, Y= 40, Z=20
5
SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS POR EL MÉTODO DE CHOLESKY
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 15
7- El sistema sería 𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 0 , podemos ver que el sistema no corresponde a una matriz
𝑦−𝑧 =2
simétrica por ello realizaremos la solución por matriz inversa.
1 −2 −2
0
−0.6 0.3
7
15
Donde A= 1 −3 0 ; 𝐴−1 = 0.4 0.3 −0.2 ; 𝐵 = 0 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴−1 ∗ 𝐵 = 𝑋 → 5
3
1 1
1
0.3
0.9
0.2
2
Entonces X=7, Y= 5, Z=3
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 310
8- El sistema sería 4𝑥 + 5𝑦 + 10𝑧 = 1900 , podemos ver que el sistema no corresponde a una matriz
4𝑥 + 5𝑦 = 1000
simétrica por ello realizaremos la solución por matriz inversa.
1 1
Donde A= 4 5
4 5
1
0
−0.6 0.3
310
100
10 ; 𝐴−1 = 0.4 0.3 −0.2 ; 𝐵 = 1900 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴−1 ∗ 𝐵 = 𝑋 → 120
0
0.3
0.9
0.2
1000
90
Entonces X=100, Y= 120, Z=90
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 200
𝑥 − 3𝑧 = 15 , podemos ver que el sistema no corresponde a una matriz
−3𝑦 + 25𝑧 = 0
simétrica por ello realizaremos la solución por matriz inversa.
9- El sistema sería
1 1
1
0.2
0.7
0.1
200
60
Donde A= 1 0 −3 ; 𝐴−1 = 0.6 −0.6 −0.1 ; 𝐵 = 15 ; 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴−1 ∗ 𝐵 = 𝑋 → 125
0 −3 25
0.1 −0.1 0.1
0
15
Entonces X=60, Y= 12, Z=15
6