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2-3 Introducción a la modelización de sistemas
térm
icos y de fluidos47
2-3 INTRODUCCIÓN A LA MODELIZACIÓN DE SISTEMAS TÉRMICOS Y DE FLUIDOS
En esta sección, revisamos los sistemas térmicos y de fluidos. El conocimiento de estos
sistemas es importante en muchas aplicaciones de los sistemas de control de la ingeniería
mecánica y química, como en las centrales eléctricas, los sistemas de control de potencia
de fluidos o el sistema de control de temperatura. Debido a la complejidad de las
matemáticas asociadas a estos sistemas no lineales, sólo nos centraremos en modelos básicos
y simplificados.
2-3-1 Propiedades elementales de la transferencia de calor3
En un sistema térmico, nos fijamos en la transferencia de calor entre diferentes componentes.
Las dos variables clave en un proceso térmico son la temperatura T y el
almacenamiento térmico o calor almacenado Q, que tiene las mismas unidades que la
energía (por ejemplo, J o julios en unidades del SI). También los sistemas de transferencia de
calor incluyen propiedades de capacitancia y resistencia térmica, que son análogas a las
mismas propiedades mencionadas en los sitemaseléctricos. La transferencia de calor está
relacionada con la tasa de flujo de calor q, que tiene las unidades de potencia. Es decir,
q=Q
La capacitancia en un
problema de transferencia de
calor está relacionada con el
almacenamiento (o descarga) de
calor en un cuerpo.
(2-94)
Al igual que en los sistemas eléctricos, el concepto de capacitancia en un
problema de transferencia de calor está relacionado con el almacenamiento (o
descarga) de calor en un cuerpo. La capacitancia C está relacionada con el
cambio de la temperatura del cuerpo T con respecto al tiempo y la tasa de
flujo de calor q:
q=CT
( 2-95)
donde la capacitancia térmica C puede expresarse como un producto de p densidad del material,
c calor específico del material y volumen V:
(2-96)
En un sistema térmico, hay tres formas diferentes de transferir el calor. Es decir, por
conducción, convección o radiación.
Conducción
La conducción térmica describe cómo un objeto conduce el calor. En general, este tipo
de transferencia de calor se produce en materiales sólidos debido a una diferencia de
temperatura entre dos superficies. En este caso, el calor tiende a viajar de la región
caliente a la fría. La transferencia de energía en este caso tiene lugar por difusión de las
moléculas y en una dirección perpendicular a la superficie del objeto. Considerando una
conducción de calor unidireccional en estado estacionario a lo largo de x, como se
muestra en la Fig. 2-26, la tasa de transferencia de calor viene dada por
t.T
qf_= kA t.T=D
1- 2
(2-97)
donde q es la tasa de transferencia de calor (flujo), k es la conductividad térmica relacionada
con el mate
rial utilizado, A es el área normal a la dirección del flujo de calor x , y t.T = I; - T2 es la
diferencia entre las temperaturas en x = 0 y x= f. ,o T y T - Nótese
en este caso, suponiendo
12
un aislamiento perfecto, la conducción de calor en otras direcciones es nula.
También hay que tener en cuenta que
(2-98)
D=_ !_=.!_
fx R
-i 2
' Para un estudio más profundo de este tema, consulte las Refs. l a 7.
48Capítulo
2. Modelización de sistemas dinámicos
1/,
;
;
q
A. t, k
r-+
;
;
1/,
Fgi ura 2- 26 Flujo de conducción de calor unidireccional.
x- - -
la
resistencia del talón
de transferencia de calor q
1s también conocido comoerm
se puede representar en términos de R como
donde
La resistencia térmica es una
propiedad de los materiales para
resistir el flujo de calor.
.
RIllay
. Por lo tanto, la tasa
lT
q=
(2-99)
R
Convección
.
..
Este tipo de transferencia de calor se produce entre una superficie sólida d un flwd expuesto
a ella, como se muestra en la Fig. 2-27. En el límite donde se encuentran el fluido y la
superficie sohd, la transferencia de calor
proceso es por conducción. Pero una vez que el fluido está expuesto al calor, puede ser
sustituido por un nuevo fluido. En la convección térmica, el flujo de calor viene dado por
(2-100)
donde q es la tasa de transferencia de calor o flujo de calor, h es el coeficiente de
transferencia de calor por convección, A es el área de transferencia de calor, y llT = Tb - T1
es la diferencia entre las temperaturas del límite y del fluido. El término hA puede ser
denotado por D,0 donde
D1
0
=hA = -
(2-101)
R
De nuevo, la tasa de transferencia de calor q puede representarse en términos de
resistencia térmica R.
Así,
EN
q= R(2-102)
Radiación
La tasa de transferencia de calor por radiación entre dos objetos separados está
determinada por
la ley de Stephan-Boltzmann,
(2-103)
donde q es la tasa de transferencia de calor, a es la constante de Stephan-Boltzmann y
es igual a
5,667 x l O-a W /m2 - K4. A es la normal al flujo de calor, y T
y T 2 son los abso
1
lute las temperaturas de los dos cuerpos. Nótese que la Ec. (2-103) se aplica a los
cuerpos directamente opuestos
El flujo de fluidos...
qFigura
2-27 Convección térmica fluido-límite.
2-3 Introducción a la modelización de sistemas
térmic
os y de fluidos49
A
q
----.
Figura 2-28 Un sistema simple de radiación de calor con radiadores ideales
directamente opuestos.
Tabla 2-3 Propiedades básicas del sistema térmico y sus unidades
Parámetro
Símbol
o
Unidades
ResistenciaR°C/W
Capacitancia
C
unidades
usadasSI
Otras
J/(kg-0C) J/(kg-K)
°F/(Btu/h)
Btu/°F Btu/0 R
K/W
Temperatura: T(t) °C (Celsius); K (Kelvin); °F (Fahrenheit)
°C=(°F- 32)X5/9, °C= °K +273
Energía (calor almacenado): Q J
(joule); Btu; caloría
1 J=l N-m
1 cal= 4,184 J
1 Btu =1055 J
Caudal térmico:q(t) Jl s; W; Btu/s
radiadores ideales de igual superficie A que absorben perfectamente todo el calor sin
reflexión
(Fig. 2-28).
Las unidades de medida del SI y otras para las variables de los sistemas térmicos se
muestran en la Tabla 2-3.
EJEMPLO 2-3-1 Un objeto rectangular está compuesto por un material que está en contacto con el fluido en su lado
superior mientras está perfectamente aislado en otros tres lados, como se muestra en la Fig. 2-29.
Encuentre las ecuaciones del proceso de transferencia de calor para lo siguiente:
T 1= temperatura del objeto sólido; se supone que la distribución de la temperatura es uniforme
T = temperatura del fluido superior
1
e= longitud del objeto
A = área de la sección transversal del objeto
£
l
Figura 2-29 Problema de transferencia de calor
entre un fluido y un objeto sólido aislado.
SOCapítulo
2. Modelización de sistemas dinámicos
p= densidad del material
c= calor específico del material
k = conductividad térmica del material
h= coeficiente de transferencia de calor por
convección
5
( -2 9
) es
SOLUCIÓN La tasa de almacenamiento de calor en el
sólido deE. q
q=pcM
( dfti)
(2
Además, la tasa de convección del calor transferido del fluido es
(2
La ecuación de balance de energía para el sistema dicta que q es la misma en las Ecs. ( 2 104)y (2Por lo tanto, a partir de la capac-itancia térmica -mtroducm-g de la Ec- (2-95) y la r anza
térmica c onvectiva R de la Ec. (2-99) y sustituyendo los lados derechos de la Ec. (2-10)4
mtoE. q ( 2- 105), tenemos
(2-
donde la RC=-r se conoce también como la constante de tiempo del sistema. Obsérvese que la
Ec. (2-106) es una
gos al sistema eléctrico modelado por la Ecuación (2-84).
2-3-2 Propiedades elementales del sistema de fluidos4
En esta sección, derivamos las ecuaciones del sistema de fluidos. sLa aplicación
clave en los sistemas de con asociados a los sistemas de fluidos es en el área de control
de potencia de fluidos. Entender el comportamiento de los sistemas de fluidos ayudará a
apreciar los modelos de los actuadores hidráulicos. En los sistemas de fluidos, hay cinco
parámetros de importancia: la presión, la masa de flujo (y el fl
de la tasa de crecimiento), la temperatura, la densidad y el volumen de flujo
Para un fluido
incompresible,
(y la tasa de volumen). Nuestro enfoque
principalmente en sistemas de fluidos incompresibles debido a su
densidad p es constante, y el fluido
aplicación
de los sistemas de control industrial más populares, como
La capacitancia C es la relación de los elementos
los actuadores hidráulicos a
caudal volumétrico del fluido q a los amortiguadores
. En el caso de los fluidos incompresibles, el volumen del
fluido permanece consat
índice de presión
y al igual que los sistemas eléctricos, pueden ser modelados por compone
P.
incluyendo la resistencia, la capacitancia y la inductancia.
Para entender mejor estos conceptos, debemos ver la ecuación de continuidad del
fluido o t lawofconservation ofmass. Para el volumen de control mostrado en la Fig. 230 y la tasa de flujo de masa neta qm = pq, tenemos
m=f pqdt
c.
v.
(2-10
Figura BO Controlvolumen y el caudal másico neto.
Para un estudio más profundo de este tema, véanse las referencias 1 a 7.
2-3 Introducción a la modelización de sistemas
tér
micos y de fluidos51
donde m es el flujo másico neto, p es la densidad del fluido,
=q=q
-iq
0
es el fluido volumétrico
neto
caudal (caudal volumétrico del fluido entrante qi menos el caudal volumétrico del fluido
saliente
La conservación de la masa establece
qJ
dmdd
dt=pq=a / Mcv )= a/PV)
dm
.
dt= pV +Vp
(2-108)
(2-109)
donde m es el caudal másico neto, M es
la masa del volumen de control (o para simplificar
CV
"el contenedor" fluido), y Vis el volumen del contenedor. Nota
dV
dt = qi - q. q =
(2-110)
que también se conoce como la conservación del volumen del fluido. Para un fluido
incompresible, pis es constante. Por lo tanto, estableciendo p = O en la Ec. (2-109), la
conservación de la masa para un fluido incompresible es
m=pV=pq
(2-111)
Capacitancia-Fluidos Incompresibles
Al igual que la capacitancia eléctrica, la capacitancia de los fluidos se refiere a cómo se
puede almacenar la energía en un sistema de fluidos. La capacitancia del fluido C es el
cambio en el volumen del fluido que se almacena sobre el cambio de presión.
Alternativamente, la capacitancia se define como la relación entre la tasa de flujo
volumétrico del fluido q y la tasa de presión P como sigue:
C= =
p p
(2-112)
q=CP
(2-113)
o
EJEMPLO 2-3-2 En un sistema de nivel de líquido de un tanque, la presión del fluido en el tanque que está lleno hasta
la altura h (también conocida como cabeza), mostrada en la Fig. 2-31, es el peso del fluido sobre el
área de la sección transversal, o
(2-114)
Como resultado, a partir de las ecuaciones (2-112) y
observando que V=Ah, obtenemos
C=
=Ah_=
ppghpg
(2-115)
Figura 2-31 Flujo de fluido incompresible en una tapa
abierta
Recipiente cilíndrico.
52Capítulo
2. Modelización de sistemas dinámicos
n1en ar y puede depender de la
temperatura
En general, la densidad del fluido P es noT) wn como la ecuación de estado,
puede ser
0
presión. Esta dependencia no lineal (P, '. topy T: se ha
calculado utilizando las senes de Taylor de primer orden que
relacionan P
+(ap)
P-P, .. aPar
(P-P,.,)+(ap)
P"'.r"'
( T- T, ,. )
( 2-
Pm.Tm
donde p Pand T
rtf> rtf'
ref
,
valores de densidad, presióny temperha,
son constantes re,erencia
'1
respectivo.ly
E
n
este caso,
(2-1
(2-11
son el módulo de masa y el coeficiente de dilatación térmica, respectivamente. Sin
embargo, en la mayoría de los casos interesa que las temperaturas del fluido que entra y
sale del contenedor sean casi las m
ism
,as
la conservación de ma
Ecuación (2-108) refleja tanto los cambios de volumen como de densidad como
dm= dpV+ dV
(2-1
dtdtpdt
Si el contenedor de volumen Vis un objeto rígido,V = 0.
Por lo tanto,
(2-12
dm= dpV
dtdt
Sustituyendo la derivada temporal de la Ecuación (2-116), asumiendo que no hay
dependencia de la temperatura, en la Ecuación (2-120) y utilizando la Ecuación (2-117),
la relación de capacitancia puede obtenerse como
V.
.
q=-P=CP
(2-12
/3
En general, la densidad puede
depender de
temperatura y presión. En este
último caso, el fluido se
considera
para ser comprimible.
Obsérvese que
dm
t=mq
= P.. ,q se utilizó para llegar a la Ec. (2-121). Como
resultado i
el caso de un fluido compresible dentro de un objeto rígido, la capacitancia
es
C=-V
(2-122)
/3
EJEMPLO 2-3-3 En la práctica, los acumuladores son fluidos. capacito, rs que pueden ser modelados como un spn-ngJoaded p-iston
- sy'sdtems-ass'dhow1n-dm-Fig. 2-32. En este caso, suponiendo un pistón p con resorte de área Aratve Jign
ms-1de a ngt1 cy m nca1contenedor, utilizando la conservación de la masa Ec- (2- 119)f,o
comprim'1ble flu1 s, ge
dpdV
Prcrq=-d V+p- 1
(2-123)
t
" dt
Suponiendo un fluido compresible sin tern
Ecuación ( 2- 11 6 ) y utilizandoE. (2tenemos una depresión de la temperatura, tomando una derivada
11?,)
q
temporal de
(2-124)
2-3 Introducción a la modelización de sistemas
térm
icos y de fluidos53
A
---------------------------
►X
q--- -p
2-32 Un sistema de pistón con muelle.
Pa,mFigura
Combinando las ecuaciones (2-123) y (2-124) y utilizando la ecuación (2-122), la tasa de
aumento de presión dentro del volumen de control variable de la Fig. 2-42 se muestra como
. /3
.
1
.
P= - (q- V )= - (q- V )
VC
(2-125)
donde V =Ax. Esta ecuación refleja que la tasa de cambio de la presión dentro de un volumen
de control variable está relacionada con la tasa de flujo volumétrico del fluido entrante y la
tasa de cambio del propio volumen de la cámara.
Inductancia-Fluidos Incompresibles
La inductancia del fluido también se denomina inercia del fluido en relación con la inercia
de un fluido en movimiento dentro de un pasaje (línea o tubería). La inercia
se produce principalmente en los
pero también puede ocurrir cuando una fuerza externa (por ejemplo,
La inducción (o inercia) se
causada por una bomba) provoca un cambio significativo en el caudal. En
produce principalmente en las
tuberías largas o cuando una
el caso mostrado en la Fig. 2-33, suponiendo una tubería sin fricción con un
fuerza externa provoca un cambio
flujo de fluido uniforme que se mueve a la velocidad v, para acelerar el fluido
significativo en el caudal.
se aplica una fuerza externa F. De la segunda ley de Newton,
F= A P= Mv = pAlv
M =(P.- P2 )
(2-126)
Pero
V=Av=q
(2-127)
(P.- P2 )= Lq
(2-128)
L= p f.
A
(2-129)
Así que
donde
---+F
Figura 2-33 Un flujo de fluido incompresible uniforme
forzado a través de un tubo sin fricción.
54Capítulo
dinámicos
2. Modelización de sistemas
-
-
►-Pq
F ig ur_e2 34 Flujo de un fluido incompresible a través de unPpie
y una resistencia de fluido R.
R
se conoce como inductancia del fluido. Obsérvese que el concepto de inductancia rara
vez se discute en el caso de los fluidos y gases compresibles.
.
Resistencia-Fluidos
th
incompresibles
Al igual que en los sistemas eléctricos, las resistencias de fluido disipan energía. Sin
embargo, no hay una única
definición para este término. En este libro de texto, adoptamos la más coma te m, que
relaciona la resistencia del fluido con el cambio de presión. Para el sistema s
omFig. -2 3, 4 la fuerza
En este libro de texto, la
resistir el paso del fluido a través de un pasaje como una
resistencia a los fluidos
tubería es
relaciona la caída de presión
(2-130)
con el caudal volumétrico q.
donde M' = P. - p es la pérdida de carga y A es el área de la sección transversal de la tubería.
Dependiendo del tipo de flotación (es decir, laminar o turbulenta) la relación de
resistencia del fluido puede ser Unear o no lineal y relaciona la caída de presión con el
caudal volumétrico q. Para un flujo laminar, definimos
M' =
Rq
(2-131)
(2-132)
R= M'
q
donde q es el caudal volumétrico. La tabla 2-4 muestra la resistencia R para varias secciones de
paso, suponiendo un flujo laminar.
Cuando el flujo se vuelve turbulento, la relación de la caída de presión Ecuación (2-131) se
reescribe como
(2-133)
donde es la resistencia turbulenta y n es una potencia que varía en función de la frontera
utilizada - por ejemplo, n = 7 I 4 para una tubería larga y, más útil, n = 2 para un flujo a través de
un
orificio o una válvula.
Para hacerse una idea de los flujos laminares y turbulentos y sus correspondientes
términos de resistencia, puede realizar un sencillo experimento aplicando una fuerza sobre la
jeringa de émbolo llena de agua. Si empuja el émbolo con una fuerza suave, el agua es
expulsada fácilmente por el otro extremo a través del orificio de la jeringa. Sin embargo, la
aplicación de una fuerza fuerte provocaría una gran resistencia. En el primer caso, se
encuentra una resistencia leve debido al flujo laminar, mientras que en el segundo la
resistencia es alta debido al flujo turbulento.
EJEMPLO 2-3-4 Para el sistema de nivel de líquido mostrado en la Fig. 2-35, el agua o cualquier fluido incompresible
(es decir, la densidad del fluido P Un-Tanque es constante) entra al tanque por la parte superior y sale por la válvula
con resistencia R en el fondo. Nivel de líquido La altura del fluido (también conocida como cabeza) en el tanque es
h y es variable. La resistencia de la válvula de fondo es R. Hallar
Sistema la ecuación del sistema para la entrada, q,, y la salida, h.
SOLUCIÓN La conservación de la masa sugiere
dmd(pV)
dt ==
pq,- poq
(2-134)
2-3 Introducción a la modelización de sistemas
térm
icos y de fluidos55
TABLA 2-4 Ecuaciones de resistencia R para flujos laminares
Resistencia del fluido
Símbolos utilizadosCaudal de volumen del fluido
:q
Pérdida de carga: M' = P.2 = P. - P2
Resistencia laminar: R
µ: Viscosidad del fluido
w = anchura; h = altura; e=
longitud; d= diámetro
Caso general
4A
dh = diámetro hidráulico= - -. penmeter
Sección
transversal circular128µ£
R=n-d4
Sección
transversal cuadrada32µ£
R=-w-
Sección
transversal rectangularBµi
R
(l+ h! w )2
Sección transversal rectangular:
aproximación
R= 12µ£
wh3
wlh=
pequeño
Sección transversal anular
R -------- B-µ'i
-y
d (1-5.)
3
0 /d
0
d0 = diámetro exterior; d, = diámetro
interior
Sección transversal anular:
aproximación
R= 1µ2 £
1er0d1 3
d ) d, =pequeño
T
h
l
A,p
RL
.X
._,,_
L_ ______
.
Figura 2-35 Un sistema de nivel de líquido de un solo
tanque.
56Capítulo 2. Modelización de sistemas dinámicos
.
fuera de la válvula, respectivamente.Bleycauseel fluido dens
donde pq y pq son la tasa de flujo de masa y Ii
que sugiere la tasa de cambio de
tiempo de
10
p es una constante, la conservación del volumen así que app e;f:caudal de entrada y
salida. s volumen de fluido dentro del tanque es igual a la diferencia
( 2-1
Recordemos que a partir de la Ecuación (2-112) la capacitancia del fluido del tanque es
\N - ÇiAhA
C=-r= pgl=i pg
(2-13
donde Pis es la tasa de cambio de la presión del fluido en la válvula de salida. A partir de la Ec.( 2 13 2res
, ) i S tanecRat th
suponiendo un flujo laminar, se define como
R=
Af'
(2-13
q.
dondeM = P- Pis la caída de presión a través de la válvula. Relacionando la presión con la
altura del fluido, el
que
oatm
es variable, obtenemos
(2-138
dondeP es la presión en la válvula y P.,,,, es la presiónatmosférica. Por lo tanto, a partir de la Ec.
0
(2-137
obtenemos
(2-139
Después de combinar las ecuaciones (2-134) y (2-139), y utilizando la relación para la capacitancia
de la ecuación (2-136)
obtenemos la ecuación del sistema
dhR
(2-140)
RC-+h=-q
dtpg
'
O utilizando la Ecuación (2-139) también podemos encontrar la ecuación del sistema en términos
del caudal volumétrico
(2-141)
donde la constante de tiempo del sistema es r =RC. Este sistema es análogo al sistema eléctrico
representado por la Ecuación (2-85).
EJEMPLO 2-3-5 El sistema de nivel de líquido mostrado en la Fig. 2-36 es el mismo que el de la Fig. 2-35, excepto
que el tubo de drenaje es largo con la longitud de e.
l
T
h
A,p
1.....-
Rqo
...... P:....i.:.
+-- l -----.
solo tanque.
'----.
Figura 2-36 Un sistema de nivel de líquido de un
2-3 Introducción a la modelización de sistemas
térm
icos y de fluidos57
En este caso la tubería tendrá la siguiente inductancia
(2-142)
Como en el ejemplo anterior, en la válvula la resistencia es
RPi-P.1m
(2-143)
qo
Y la capacitancia del fluido del tanque es la misma que la del ejemplo 23-4:
(2-144)
C=
pg
Sustituyendo la Ec. (2-143) en la Ec. (2-142) y utilizando Pi=
pgh, obtenemos
P. 1m +
(2-145)
Pero a partir de la conservación del volumen también tenemos
d(V)
(2-146)
.
dt= Ah=q,- qo
Diferenciando la Ec. (2-145) podemos modificar la Ec. (2-146) en términos de entrada, q, y salida, q0
Eso es,
(2-147)
Utilizando la fórmula de la capacitancia en la Ecuación (2-144), la
Ecuación (2-147) se modifica a
LCijo + RCiJo + qo =q,
(2-148)
EJEMPLO 2-3-6 Considere un sistema de doble tanque, como se muestra en la Fig. 2-37, con h1 y h2 representando las dos
alturas del tanque
A Dos tanques y R y R representan las dos resistencias de las válvulas, respectivamente. Etiquetamos la presión en el
fondo
12
Nivel de líquido de los tanques I y 2 como P y P , respectivamente. Además, la presión a la salida del tanque 2 Encuen
es=
12
P1.-m
tre
Sistema de ecuaciones diferenciales.
SOLUCIÓN Utilizando el mismo enfoque que en el ejemplo 2-3-4, no es difícil ver para el tanque 1:
(2-149)
i
h2
A,, P
R,
Figura 2-37 Sistema de nivel
Xde líquidoq de
dos depósitos.
.
,
I
A2, p
R2
X
58Capítulo
2. Modelización de sistemas dinámicos
TA BLE2- 5
SistemFa lu id básicoPrpoert ei's.: y T:the :ri U::,it:s_::_
:-- -
=-- - -
R Otras
Resistencia (hidráulica)
Capacitancia
(hidráulica) Constante
de tiempo
--;
=-
-
;: --=
I Unidades
N- s/m5
unidades
m5 /Nin
sb0
Pa r amtee:r'. :_ _ _ _ _ _ _ _: '!y.. :.m
::::.
-
C
=
----
usadasSI
lb, s
/lb
5
s
r=RC
Variables
Presión: P N/m2; Pa, psi (lb/in2)
Caudal: q ml/s; ft'/s inl/s
Caudal másico: qmkg/s; Ibis
y para el tanque 2:
(2-150)
Así, las ecuaciones del sistema son
Ah +pgl!i _pghz =q
I
IRRI
(2-151)
II
(2-152)
Las unidades de medida del SI y otras para las variables de los sistemas de fluidos están
tabuladas en
Tabla 2-5.
2-4 LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS NO LINEALES
A partir de las discusiones dadas en las secciones anteriores sobre el modelado básico
del sistema, deberíamos darnos cuenta de que la mayoría de los componentes que se
encuentran en los sistemas físicos tienen características no lineales. En la práctica,
podemos encontrar que algunos dispositivos tienen características no lineales moderadas, o
propiedades no lineales que se producirían si fueran conducidos a ciertas regiones de
funcionamiento. Para estos dispositivos, la modelización mediante modelos de sistemas
lineales puede dar resultados analíticos bastante precisos en un rango relativamente
amplio de condiciones de funcionamiento. Sin embargo, hay numerosos dispositivos
físicos que poseen fuertes características no lineales. Para estos dispositivos, un
modelo linealizado sólo es válido para un rango limitado de funcionamiento y, a
menudo, sólo en el punto de funcionamiento en el que se lleva a cabo la linealización.
Y lo que es más importante, cuando un
sistema no lineal se linealiza en un punto de funcionamiento, el modelo lineal puede
contener m
e-ti elementos variables.
2-4-1 Linealización mediante series de Taylor: Representación clásica
En general, las s_eries de Taylor pueden utilizarse para expandir una función no
linealf(x(t)) en torno a_un valor de referencia o de funcionamiento x 0 (t ). Un valor de
funcionamiento puede ser la posición de equilibrio en un amortiguador de muellemasa, una tensión fija en un sistema eléctrico, un estado estacionario, etc.
2-5 Ogías anales6 3
TABLA 2-6 Sistemas mecánicos, térmicos y de fluidos y sus equivalentes eléctricos
SistemaEléctrico
Parámetro Relación con
R, L, CV Variable Analógica
Mecánica (traslación)
Ri(t)= Bv(t)
M dv(t)+ Bv(t)+ K f v( t )dt = j(t)
dt
R=Bi(t) análogo v(t)
análogo a
di(t)
.
L-+ Ri(t )+ -i
-bf i(t)dt = K fv(t)dte
e(t) análoga J(t)
donde
f
1
(t)dt=e(t)
dtCC=-
I
(t) =tensión
i(t)=corrien
K
L di(t)=Mdv(t)
te f (t) =
fuerza
dtdtv
(t)= velocidad lineal
L=M
Mecánica (rotación)
/ <. 0(t ) +B <. O(t )+ K I <. O( t )dt = T(t)
dtC=
análogo a
d1'(t )
1
L- - + Ri(t)+-J i(t)dt =e(t)
dtC
-
I
R=Be(t) análoga T(t)
i(t) análogo ro(t)
Kdonde
L=Je(t) =tensión
i(t)=corriente
T(t)= par de torsión
<.0( t) = velocidad angular
Fluido (incompresible)
M=Rq(t)
e(t) análogo M
i(t) análogo
(flujo
laminar)
q(t)
R es la resistencia del fluido, que depende del
régimen de flujoe
(t)= tensión
q(t)=CPi(t) =corriente
Ces la capacitancia del fluido, que
M = diferencia de presión
depende del régimen de flujo
q(t) =caudal volumétrico
L =.f!.. (flujo en una tubería)
A
Donde L es la inductancia del
fluido (inercia alca)
A = área de la sección transversal
l =longitud
p = densidad del fluido
TérmicaR=
.1T
qi
e(t) análogo T(t)
(t) análogo q(t)
R es la resistencia térmicadonde
T=-b f qdte
(t) = tensión
i(t)=actualidad
C es la capacidad térmica
T(t)= temperatura
q(t)= flujo de calor