DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS
L'ESPACE
par
Benoît Kloeckner
L'objectif de ce cours est d'introduire le déterminant d'une famille
de vecteurs dans R2 et R3 , ainsi que le produit vectoriel. Les prérequis
sont limités au programme de la lière scientique du lycée (vecteur et
produit scalaire essentiellement). Plutôt que de donner directement le
déterminant par une formule, on a essayé de motiver géométriquement
chaque nouveau concept, de façon à faire apparaître dès son introduction
le déterminant comme un volume signé.
On note ~u · ~v le produit scalaire de deux vecteurs et k~uk la norme.
1. Dans le plan
1.1. Volume des parallélogrammes. Considérons deux vecteurs
~u = (x1 , y1 ) et ~v = (x2 , y2 ) de R2 . On appelle parallélogramme engendré
par ~u et ~v l'ensemble suivant, représenté sur la gure 1 :
{α~u + β~v | α, β ∈ [0, 1]}
~u + ~v
~v
~u
Fig. 1. Parallélogramme engendré par deux vecteurs.
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BENOÎT KLOECKNER
Calculons l'aire A de ce parallélogramme. On sait qu'elle est égale à la
longueur d'un côté, multipliée par la hauteur correspondante : avec les
notations de la gure 2, on a A = b × h.
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h
h
b
b
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Fig. 2. Calcul de l'aire d'un parallélogramme (1).
Pour obtenir A en fonction des coordonnées de ~u et ~v , il sut alors
d'introduire le vecteur ~u0 = (−y1 , x1 ). Ce vecteur est en eet orthogonal
à ~u et de même norme, de sorte que
|~v · ~u0 | = h × k~uk = hb = A
comme illustré sur la gure 3.
~u0
b
h
~v
~u
Fig. 3. Calcul de l'aire d'un parallélogramme (2).
On obtient donc :
A = |x1 y2 − y1 x2 |
1.2. Le déterminant. quatre nombres a, b, c, d,
On introduit d'abord une notation : pour
a c
:= ad − bc
b d
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE
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Ce qui précède motive la dénition suivante.
Dénition 1.1. Soit B = (~ı, ~) la base canonique et ~u = x1~ı + y1~,
~v = x2~ı + y2~ deux vecteurs quelconques de R2 . On appelle déterminant
de (~u, ~v ) dans la base B le nombre
DetB (~u, ~v ) :=
x 1 x2
= x1 y2 − y1 x2
y1 y2
Par construction, on sait déjà que la valeur absolue du déterminant
donne l'aire du parallélogramme engendré. Ceci se révèle crucial dans
diérents domaines des mathématiques, par exemple en analyse pour obtenir une formule de changement de variable pour les intégrales doubles.
La raison pour laquelle on a introduit les coordonnées des vecteurs
par ~u = x1~ı + y1~ plutôt que ~u = (x1 , y1 ) est qu'ainsi, la dénition
pourra s'appliquer dans n'importe quelle base. Toutefois, le rapport entre
déterminant et aire ne persiste tel quel que dans les bases orthonormées.
Exemple 1.2. On a, on notant toujours B la base canonique,
DetB (~ı,~ı + ~) =
1 1
=1×1−0×1=1
0 1
DetB (~ı + 2~, 3~ı + 4~) =
1 3
= 1 × 4 − 2 × 3 = −2
2 4
Tournons-nous maintenant vers quelques propriétés importantes du
déterminant.
Proposition 1.3. Pour tous vecteurs ~u, ~v, ~s de R2 et tout λ ∈ R, on
a:
1. (antisymétrie) DetB (~v , ~u) = − DetB (~u, ~v ) ;
2. DetB (~u, ~u) = 0 ;
3. (linéarité à gauche) DetB (λ~u, ~v ) = λ DetB (~u, ~v ) et DetB (~u +~s, ~v ) =
DetB (~u, ~v ) + DetB (~s, ~v ) ;
4. (linéarité à droite) DetB (~u, λ~v ) = λ DetB (~u, ~v ) et DetB (~u, ~v + ~s) =
DetB (~u, ~v ) + DetB (~u, ~s).
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BENOÎT KLOECKNER
~v
~u
~v + ~s
~v
~s
λ~u
Fig. 4. Illustration géométrique de la bilinéarité (linéarité à
gauche et à droite).
Démonstration. Notons (x1 , y1 ) les coordonnées de ~u dans la base B ,
(x2 , y2 ) celles de ~v et (a, b) celles de ~s. On a
DetB (~u, ~v ) =
x1 x2
= x1 y2 − y1 x2
y1 y2
DetB (~v , ~u) =
x2 x1
= x2 y1 − y2 x1 = −(x1 y2 − y1 x2 )
y2 y1
ce qui montre 1. On peut montrer 2 par un calcul ou en utilisant 1 :
DetB (~u, ~u) = − DetB (~u, ~u)
La linéarité est également facilement obtenue par le calcul, à gauche
par exemple :
DetB (λ~u, ~v ) = (λx1 )y2 − (λy1 )x2
= λ(x1 y2 − y1 x2 )
= λ DetB (~u, ~v )
et
DetB (~u + ~s, ~v ) = (x1 + a)y2 − (y1 + b)x2
= (x1 y2 − y1 x2 ) + (ay2 − bx2 )
= DetB (~u, ~v ) + DetB (~s, ~v )
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE
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La linéarité à droite s'obtient de la même manière, ou en exploitant
l'antisymétrie :
DetB (~u, λ~v ) = − DetB (λ~v , ~u)
= −λ DetB (~v , ~u)
= λ DetB (~u, ~v )
et
DetB (~u, ~v + ~s) = − DetB (~v + ~s, ~u)
= − DetB (~v , ~u) − DetB (~s, ~u)
= DetB (~u, ~v ) + DetB (~u, ~s)
Corollaire 1.4. Pour tous vecteurs ~u, ~v de R2 et tout λ ∈ R, on a :
DetB (~u, ~v + λ~u) = DetB (~u, ~v )
Démonstration. En eet d'après la proposition précédente,
DetB (~u, ~v + λ~u) = DetB (~u, ~v ) + λ DetB (~u, ~u)
= DetB (~u, ~v ) + 0
~v + λ~u
~v
h
~u
b
Fig. 5. Illustration géométrique du corollaire 1.4 : ni
h
ni
b
ne changent.
Avant de passer à la dimension 3, signalons que le déterminant permet
de caractériser par une équation les paires de vecteurs colinéaires.
Proposition 1.5. Avec les notations précédentes, on a : les vecteurs
~u et ~v sont colinéaires si et seulement si DetB (~u, ~v ) = 0.
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Démonstration. En notant ~u = (x1 , y1 ), ~v = (x2 , y2 ) et en introduisant
le vecteur ~u0 = (−y1 , x1 ), orthogonal à ~u, on obtient :
DetB (~u, ~v ) = 0 ⇔ ~u0 · ~v = 0
⇔ ~v ⊥ ~u0
ce qui est équivalent à : ~u et ~v sont colinéaires.
2. Dans l'espace
2.1. Volume des parallélépipèdes. Essayons de reproduire la
construction précédente dans le cas de l'espace R3 . On considère donc
trois vecteurs ~u = (x1 , y1 , z1 ), ~v = (x2 , y2 , z2 ) et w
~ = (x3 , y3 , z3 ). On appelle parallélépipède engendré par ~u, ~v et w
~ l'ensemble suivant, représenté
sur la gure 6 :
{α~u + β~v + γ w
~ | α, β, γ ∈ [0, 1]}
w
~
~v
~u
Fig. 6. Parallélépipède engendré par trois vecteurs.
Les vecteurs ~u et ~v engendrent à eux deux un parallélogramme dans
l'espace, déni comme avant comme l'ensemble {α~u + β~v | α, β ∈ [0, 1]}.
C'est une face du parallélépipède qu'on considère. Le volume V de ce
parallélépipède est le produit de l'aire de cette face et de la hauteur
correspondante : avec les notations de la gure 7 on a V = B × h. Ce
volume est en eet l'intégrale de l'aire des tranches horizontales dont
un exemple a été représenté sur la gure, toutes de même aire B .
Pour exprimer V en fonction des coordonnées des vecteurs ~u, ~v et
w
~ , on peut essayer d'utiliser la même méthode qu'en dimension 2, et
donc chercher un vecteur ~u0 qui soit orthogonal à ~u et ~v , et de norme
B . On aura alors V = |w
~ · ~u0 | comme illustré par la gure 8. Ceci peut
paraître choquant d'un point de vue physique : on est en train de parler
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DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE
B
h
B
est l'aire
de cette face
h
Fig. 7. Calcul du volume d'un parallélépipède (1).
d'un vecteur dont la norme est une aire, et pas une longueur ! Il faut
interpréter ce vecteur comme une sorte de produit des vecteurs ~u et ~v .
On l'appelle d'ailleurs, comme on va le voir, le produit vectoriel.
~u0
B
w
~
h
B
Fig. 8. Calcul du volume d'un parallélépipède (2).
2.2. Produit vectoriel. Un cas simple dans la recherche de ce vec-
teur ~u0 est celui où z1 = z2 = 0. En eet, on cherche alors ~u0 sous la forme
(0, 0, z), avec |z| = B . Mais notre travail dans le plan nous permet d'exprimer B facilement en fonction de x1 , y1 , x2 , y2 , par un déterminant : le
vecteur
~u0 =
0, 0,
x1 x2
y1 y2
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BENOÎT KLOECKNER
convient. On trouve de la même façon un vecteur ~u0 convenable dans les
cas y1 = y2 = 0 et x1 = x2 = 0, et il est alors naturel d'introduire la
dénition suivante.
Dénition 2.1. Soient ~u = (x1 , y1 , z1 ) et ~v
= (x2 , y2 , z2 ) deux vecteurs quelconques de R . On appelle produit vectoriel de ~u avec ~v le
vecteur
y1 y2 z1 z2 x1 x2
~u ∧ ~v :=
,
,
z1 z2 x1 x2 y1 y2
3
Pour calculer le produit vectoriel, le plus pratique est d'écrire ~u et ~v
en colonne, et de recopier les deux premières coordonnées de chacun des
vecteurs en-dessous. Dans la gure 9 on a encadré les trois déterminants
à calculer.
x1
y1
z1
x1
y1
x2
y2
z2
x2
y2
première coordonnée
deuxième coordonnée
troisième coordonnée
Fig. 9. Calcul d'un produit vectoriel.
On admet la proposition suivante, qu'on a vériée dans des cas particuliers.
Proposition 2.2. Quels que soient les vecteurs ~u et ~v, l'aire du parallélogramme engendré {α~u + β~v | α, β ∈ [0, 1]} est égale à k~u ∧ ~v k.
Avant de revenir au calcul de l'aire de notre parallélépipède, signalons
quelques propriétés du produit vectoriel.
Proposition 2.3. Pour tous vecteurs ~u, ~v et ~s de R3 et tout λ ∈ R,
on a :
1. (antiymétrie) ~v ∧ ~u = −~u ∧ ~v et donc ~u ∧ ~u = ~0 ;
2. (linéarité à gauche) (λ~u) ∧~v = λ(~u ∧~v ) et (~u +~s) ∧~v = ~u ∧~v +~s ∧~v ;
3. (linéarité à droite)~u ∧ (λ~v ) = λ(~u ∧ ~v ) et ~u ∧ (~v + ~s) = ~u ∧ ~v + ~v ∧ ~s ;
4. ~u ∧ (~v + λ~u) = ~u ∧ ~v .
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE
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Démonstration. Dans l'expression du produit vectoriel, chacune des
coordonnées est un déterminant en deux des trois coordonnées de ~u et
~v . Le résultat découle donc directement de la proposition 1.3. Les détails
sont laissés en exercice.
Proposition 2.4. Avec les notations précédentes, on a : les vecteurs
~u et ~v sont colinéaires si et seulement si ~u ∧ ~v = ~0.
Démonstration. Donnons une démonstration géométrique : on a
~u ∧ ~v = ~0 ⇔ l'aire du parallélogramme engendré par ~u et ~v est nulle
⇔ ~u et ~v sont colinéaires
On peut justier plus précisément la dernière équivalence en considérant
le déterminant de (~u, ~v ) dans une base quelconque d'un plan vectoriel qui
les contient. On peut donner une autre démonstration par le calcul, ce
qui est laissé en exercice.
2.3. Déterminant. Revenons au calcul du volume V du parallélé-
pipède engendré par trois vecteurs ~u, ~v , w
~ de R3 . D'après ce qui précède,
on a V = |(~u ∧ ~v ) · w|
~ . La dénition suivante est donc la continuation
directe de celle du déterminant dans le plan.
Dénition 2.5. Notons
considérons trois vecteurs
B = (~ı, ~, ~k) la base canonique de R3 et
~u = x1~ı + y1~ + z1~k
~v = x2~ı + y2~ + z2~k
w
~ = x3~ı + y3~ + z3~k
On appelle déterminant de (~u, ~v , w)
~ dans la base B le nombre
(1)
DetB (~u, ~v , w)
~ = (~u ∧ ~v ) · w
~
On introduit la notation (on parle encore de déterminant)
x1 x2 x3
y y
x x
x x
y1 y2 y3 := x3 1 2 − y3 1 2 + z3 1 2
z1 z2
z1 z2
y1 y2
z1 z2 z3
ce qui permet d'écrire
(2)
x1 x2 x3
DetB (~u, ~v , w)
~ = y1 y2 y3
z1 z2 z3
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BENOÎT KLOECKNER
ou encore
(3) DetB (~u, ~v , w)
~ = x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y2 z2 − z1 y2 x3 − z2 y3 x1 − z3 y1 x2
Par construction, la valeur absolue de DetB (~u, ~v , w)
~ est le volume du
parallélépipède engendré par ~u, ~v et w
~.
Remarquons que la dénition (équation (1)) n'est valable que pour
une base orthonormée B , puisqu'un produit vectoriel intervient. Dans
une base quelconque on peut dénir le déterminant par l'équation (2).
Pour calculer un déterminant, on utilise en général la règle de Sarrus
illustrée par la gure 10, qui permet de mémoriser la formule (3) : pour
chaque èche on fait le produit des coecients par lesquels elle passe
et on l'aecte du signe indiqué. Le déterminant est la somme des six
nombres obtenus.
x1
x2
x3
y1
y2
y3
z1
z2
z3
x1
y1
x2
y2
x3
y3
−
−
−
+
+
+
Fig. 10. Règle de Sarrus.
Il est également intéressant de remarquer que dans la formule (2), les
déterminants de taille 2 qui apparaissent sont obtenus à partir du déterminant à calculer, en omettant la ligne et la colonne du coecient x3 ,
y3 et z3 successivement. On peut généraliser cette formule, cas particulier de développement par rapport à une ligne ou à une colonne (ici, on
développe par rapport à la troisième colonne).
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE
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Exemple 2.6. On a :
1 4 7
2 5 8
3 6 9
= 7
=
=
=
=
2 5
1 4
1 4
−8
+9
3 6
3 6
2 5
7(2 × 6 − 3 × 5) − 8(1 × 6 − 3 × 4) + 9(1 × 5 − 2 × 4)
7 × (−3) − 8 × (−6) + 9 × (−3)
−21 + 48 − 27
0
Pour terminer, voyons que le déterminant a le même type de propriétés
en dimension 3 qu'en dimension 2.
Proposition 2.7. Soit B une base quelconque de R3 , disons la base
canonique. Pour tous vecteurs ~u, ~v , w,
~ ~s de R3 et tout λ ∈ R, on a :
1. (antisymétrie)
DetB (~v , ~u, w)
~ = DetB (~u, w,
~ ~v ) = DetB (w,
~ ~v , ~u) = − DetB (~u, ~v , w)
~
2. DetB (~u, ~u, w)
~ = DetB (~u, ~v , ~u) = DetB (~u, ~v , ~v ) = 0 ;
3. DetB (~v , w,
~ ~u) = DetB (w,
~ ~u, ~v ) = DetB (~u, ~v , w)
~ ;
4. (trilinéarité)
DetB (λ~u + ~s, ~v , w)
~ = λ DetB (~u, ~v , w)
~ + DetB (~s, ~v , w)
~
et de même pour les deux autres arguments ;
5. DetB (~0, ~v , w)
~ = DetB (~v , ~0, w)
~ = DetB (~u, ~v , ~0) = 0 ;
6. enn, le déterminant ne change pas si on ajoute à un argument un
multiple d'un autre : par exemple
DetB (~u, ~v + λ~u, w)
~ = DetB (~u, ~v , w)
~
On ne démontre pas ces propriétés ici, elles découlent de calculs élémentaires. Commentons les un peu. Le point 1 dit que si l'on échange
deux arguments, on change le signe du déterminant mais pas sa valeur
absolue. Cette invariance n'est pas surprenante, car le parallélépipède
engendré par trois vecteur ne dépend pas de l'ordre dans lequel ils sont
donnés. Le point 2 est directement impliqué par l'antisymétrie : si deux
arguments sont égaux, le déterminant est nul. Le point 3 dit que si l'on
permute circulairement les trois arguments, on ne change pas du tout
le déterminant. C'est une conséquence du point 1, car une permutation
circulaire s'obtient en échangeant deux paires d'arguments.
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BENOÎT KLOECKNER
Le point 4 dit que le déterminant est linéaire en chacun de ses arguments, c'est-à-dire qu'il se comporte naturellement par rapport aux
combinaisons linéaires. Le point 5 s'ensuit (prendre λ = −1 et ~s = ~u).
Le point 6 est une conséquence de la linéarité et de l'antisymétrie.
Corollaire 2.8. Soit B la base canonique de R3 . Des vecteurs ~u, ~v, w~
sont coplanaires si et seulement si DetB (~u, ~v , w)
~ = 0.
Calculer le déterminant permet donc de déterminer si une famille de
vecteurs est libre ou non. Ce résultat reste vrai dans n'importe quelle
base, mais le démontrer sera plus simple lorsque l'on saura relier les
déterminants dans deux bases distinctes.
Démonstration. On pourrait utiliser le volume du parallélépipède engendré par les trois vecteurs, mais on peut aussi procéder comme suit.
Si deux des vecteurs sont nuls, alors le résultat est clair. Sinon, si
~u ∧ ~v = ~0, alors le déterminant est nul et les vecteurs sont tous les trois
dans le plan engendré par w
~ et l'un quelconque non nul de ~u et ~v , car ces
deux vecteurs sont colinéaires. Il reste à vérier le cas où ~u ∧ ~v 6= ~0. Mais
alors le déterminant est nul si et seulement si w
~ est orthogonal à ~u ∧ ~v ,
ce qui revient à dire qu'il est dans le plan engendré par ~u et ~v .
Benoît Kloeckner