IX PRATYBOS
Atsitiktinių dydžių funkcijos
Andrius Grigutis
2021
• Tegu X = X(w) - elementariųjų įvykių erdvėje Ω apibrėžtas atsitiktinis
dydis, o f (x) - realioji funkcija (f (x) : R → R). Funkcijų f ir X
superpoziciją Y = f (X(w)) vadiname atsitiktinio dydžio funkcija.
• Nesunku suprasti, kad Y = f (X(w)) taip pat yra atsitiktinis dydis.
• Tegu X - tolydus (absoliučiai) a. d. su tankiu pX (x), o Y = f (X).
Tada
Z
FY (y) = P(f (X) < y) =
pX (x) dx, D = {x : f (x) < y}.
D
Be to, jei funkcija f yra tolydi ir griežtai monotoninė (didėjanti arba
mažėjanti), tai dydžio Y pasiskirstymo funkciją FY (y) = P(Y < y)
galima išreikšti žinoma funkcija FX (x) = P(X < x):
◦ Jei funkcija f yra didėjanti, tai Y pasiskirstymo funkcija yra
FY (y) = P(f (X) < y) = P(X < f −1 (y)) = FX (f −1 (y)),
o tankis
pY (y) = pX (f −1 (y)) · (f −1 (y))0y .
◦ Jei f yra mažėjanti, tai pasiskirstymo funkcija yra
FY (y) = P(f (X) < y) = P(X > f −1 (y)) = 1 − FX (f −1 (y)),
tankis
pY (y) = −pX (f −1 (y)) · (f −1 (y))0y .
1
Uždavinių pavyzdžiai.
1. Sudarykite a. d. Y = 2X −1 ir Z = X 2 skirstinius, kai X skirstinys yra
−1
0.2
X
P
0
0.5
1
0.3
Sprendimas. Dydžių Y = 2X − 1 ir Z = X 2 skirstiniai yra
Y
P
−3
0.2
−1
0.5
1
0.3
Z
P
0
0.5
1
0.5
2. A. d. X tolygiai pasiskirstęs intervale (0, 1) (X ∼ U (0, 1)). Raskite
dydžio Y = 1/X pasiskirstymo funkciją.
Sprendimas. Kadangi X ∼ U (0, 1), tai

 0, x 6 0,
x, 0 < x 6 1,
FX (x) =

1, x > 1.
Todėl
1
1
=P X>
=1−P X 6
FY (y) = P(Y < y) = P
y
y
1
1
1
= 1 − FX
= 1 − , kai 0 < 6 1 arba y > 1.
y
y
y
1
<y
X
Iš to,
FY (y) =
0, y < 1,
1 − y1 , y > 1.
Galima spręsti ir kitu būdu. A. d. X tankis yra
1, 0 < x 6 1,
pX (x) =
0, kitur.
Tada
FY (y) = P(Y < y) = P
1
<y
X
Z 1
1
1
=P X>
=
1 dx = 1 − , y > 1.
y
y
1/y
2
3. Tegu X ∼ U (−π/2, π/2). Raskite dydžio Y = a sin X, a > 0 tankio ir
pasiskirstymo funkcijas.
Sprendimas. A. d. X tankis yra
pX (x) =
1
, −π/2
π
< x < π/2,
0, kitur.
Funkcija a sin(x) yra didėjanti nuo −π/2 iki π/2. Jos atvirkštinė yra
y , |y| < a.
f −1 (y) = arcsin
a
Atvirkštinės išvestinė
1
(f −1 (y))0 = p
, |y| < a.
a2 − y 2
Todėl dydžio Y tankis yra
(
pY (y) =
1
π
√
1
, |y|
a2 −y 2
< a,
0, kitur.
Pasiskirstymo funkcija
Z
1
t
dt
1 y
√
FY (y) =
= arcsin
π −a a2 − t2
π
a
y
=
−a
y 1 1
+ arcsin
, |y| < a.
2 π
a
Pasiskirstymo funkcijos galėjome ieškoti ir kitu būdu. A. d. pasiskirstymo
funkcija yra

 0, x 6 −π/2,
x
+ 1 , −π/2 < x 6 π/2,
FX (x) =
 π 2
1, x > π/2.
Todėl

 0, y 6 −a, −1
1
arcsin ay + 12 , −a < y 6 a,
FY (y) = FX (f (y)) =
π

1, y > a.
4. A. d. X ∼ N (0, 1). Raskite dydžio Y = X 2 tankio ir pasiskirstymo
funkcijas.
3
Sprendimas. A. d. X tankio ir pasiskirstymo funkcijos yra
Z x
1 −x2 /2
1
2
pX (x) = √ e
e−t /2 dt, x ∈ R.
, FX (x) = √
2π
2π −∞
A. d. Y pasiskirstymo funkcija yra
√
√
√
FY (y) = P(X 2 < y) = P(|X| < y) = P(− y < X < y)
√
√
= FX ( y) − FX (− y), y > 0.
Todėl
(
FY (y) =
√1
2π
R √
y −t2 /2
e
−∞
dt −
R − √y
−∞
−t2 /2
e
dt , y > 0,
0, kitur.
Tankio funkcija
√
√
FY0 (y) = FX0 ( y) − FX0 (− y)
1
1
1
√
√
= √ pX ( y) + √ pX (− y) = √
e−y/2 , y > 0.
2 y
2 y
2πy
Todėl
pY (y) =
√ 1 e−y/2 , y
2πy
> 0,
0, kitur.
Uždaviniai savarankiškam darbui.
1. A. d. X - monetos metimų skaičius kol atsivers herbas. Raskite a. d.
Y = sin (πX/2) pasiskirstymo funkciją.
2. Eksponentinio a. d. X pasiskirstymo funkcija yra
1 − e−λx , x > 0, λ > 0,
FX (x) =
0, kitur.
Raskite tankius
ir pasiskirstymo funkcijas atsitiktinių dydžių:
√
2.1 Y = X,
2.2 Y = X 2 ,
2.3 Y = λ1 ln X,
2.4 Y = 1 − e−λX ,
2.5 Y = {X}, čia funkcija {x} - trupmeninė skaičiaus x dalis.
4
3. A. d. X ∼ U (0, 1). Raskite tankius ir pasiskirstymo funkcijas atsitiktinių dydžių:
3.1 Y = 2X + 1,
3.2 Y = − ln(1 − X),
3.3 Y = tan (π (X − 1/2)),

 ln 2 + ln X, kai 0 < X 6 1/2,
− ln 2 − ln(1 − X), kai 1/2 < X < 1,
3.4 Y =

0, kitur.
4. A. d. X ∼ U (0, 2π). Raskite dydžio Y = sin X tankio ir pasiskirstymo
funkcijas.
5. Pažymėkime a+ = max{0, a}, a ∈ R. Sudarykite a. d. Y = (X −
j)+ , j = 0, 1, . . . skirstinį, kai X binominis a. d.
P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n.
Atsakymai ir sprendimų nurodymai.
1.

0, y 6 −1,



2/15, −1 < y 6 0,
FY (y) =
 7/15, 0 < y 6 1,


1, y > 1.
2
2
2.1 FY (y) = 1 − e−λy√ , pY (y) = 2λye−λy√, y > 0.
2.2 FY (y) = 1 − e−λ y , pY (y) = 2√λ y e−λ y , y > 0.
λy
λy
2.3 FY (y) = 1 − e(−λe ) , pY (y) = λ2 e(−λ(e −y)) , −∞ < y < ∞.
2.4 FY (y) = y, pY (y) = 1, 0 6 y 6 1.
−λy
λe−λy
, pY (y) = 1−e
2.5 FY (y) = 1−e
−λ , 0 6 y 6 1.
1−e−λ
3.1 FY (y) = (y − 1)/2, pY (y) = 1/2, 1 6 y 6 3.
3.2 FY (y) = 1 − e−y , pY (y) = e−y , y > 0.
1
3.3 FY (y) = 21 + π1 arctan(y), pY (y) = π(1+y
2 ) , −∞ < y < ∞.
3.4
y
e /2, y 6 0,
FY (y) =
p (y) = e−|y| /2, −∞ < y < ∞.
1 − e−y /2, y > 0, Y
5
4.
(
pY (y) =

 0, y 6 −1,
, y ∈ (−1, 1),
π 1−y 2
FY (y) =
1/2 + arcsin(y)
, −1 < y < 1,
π

0, kitur.
1, y > 1.
√1
5. Jei j > n, tai P(Y = 0) = 1.P
Jei 0 6 j < n, tai P(Y = 0) = ji=0 Cni pi (1 − p)n−i ir
P(Y = k) = Cnk+j pk+j (1 − p)n−k−j , k = 1, . . . , n − j.
6