ATSITIKTINIAI PROCESAI
(paskaitų konspektas 2014[1] )
Alfredas Račkauskas
Vilniaus universitetas
Matematikos ir Informatikos fakultetas
Ekonometrinės analizės katedra
Vilnius, 2014
Iš dalies rėmė Projektas VP1-2.2-ŠMM-07-K-02-008
Turinys
1
2
3
4
5
Mato teorijos elementai
1.1 Aibės ir funkcijos . . . . . . . . . .
1.2 Mačios erdvės ir erdvės su matu . .
1.3 Mačios funkcijos . . . . . . . . . .
1.4 Mačių realiųjų funkcijų integravimas
1.5 Pratimai . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7
10
20
26
32
Atsitiktiniai dydžiai
2.1 Apibrėžimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Pasiskirstymo funkcija ir kitos charakteristikos .
2.3 Atsitiktiniai vektoriai . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Nepriklausomumas . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Sąlyginis vidurkis . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Naudingi tikimybių teorijos faktai . . . . . . .
2.7 Pratimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
37
38
44
47
49
51
53
Atsitiktiniai procesai
3.1 Apibrėžimai . . . . . . . . . . .
3.2 Atsitiktinių procesų skirstiniai .
3.3 Klasifikavimas pagal skirstinius
3.4 Klasifikavimas pagal trajektorijas
3.5 Pratimai . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
57
57
61
66
73
82
Martingalai
4.1 Diskretaus laiko martingalo apibrėžimas, pavyzdžiai
4.2 Paprasčiausios savybės . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Martingalų konvergavimas . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Tolydaus laiko martingalai . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Kai kurie taikymai ekonomikoje . . . . . . . . . . .
4.6 Pratimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
85
85
88
91
92
93
95
Puasono procesas
5.1 Apibrėžimas ir modeliavimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Puasono procesų suma ir išskaidymas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Sudėtinis Puasono procesas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
97
101
102
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5.4
5.5
6
Nehomogeniškas Puasono procesas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Pratimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Brauno judesio procesas
6.1 Apibrėžimas ir paprasčiausios savybės . . . .
6.2 Atsitiktiniai procesai susiję su Brauno judesiu
6.3 Vynerio proceso modeliavimas . . . . . . . .
6.4 Trajektorijų savybės . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Stochastinis integralas . . . . . . . . . . . . .
6.6 Pratimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Literatūros sąrašas . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
107
107
108
111
114
118
118
121
Įvadas
Teorija be praktikos - sausa
Praktika be teorijos - akla. (E. Kantas)
Su neapibrėžtumais susiduriame nuolatos. Koks bus rytoj oras? Kaip keisis JAV dolerio kursas Euro atžvilgiu? Kiek kitą mėnesį išleisime maistui? Didės ar mažės kitais metais Lietuvos
bendrasis vidaus produktas (BVP)? Tokie ir panašūs klausimai domina kiekvieną. Aišku, tikslaus
atsakymo į juos negali pasakyti niekas. Todėl dažnai į pagalbą pasitelkiame tikimybių teoriją, kuri
tiria neapibrėžtumus, jų pobūdį, dėsningumus ir gali pasiūlyti įvairių priemonių jiems nustatyti
bei modeliuoti. Sistemos būsenai vienu kuriuo nors laiko momentu aprašyti paprastai naudojami
atsitiktiniai dydžiai. Norėdami suprasti sistemos kitimą (evoliuciją) laike, atsitiktinį dydį turime
priskirti kiekvienam laiko momentui. Gautas atsitiktinių dydžių rinkinys yra atsitiktinis procesas
(terminas „stochastinis procesas” yra lygiavertis). Jų pagalba sukonstruoti matematiniai modeliai
sutinkami įvairiose srityse: economikoje, finansuose, fizikoje, klimatologijoje, telekomunikacijoje,
biologijoje ir t.t.
Atsitiktinių procesų teorija yra labai turininga ir gerai išvystyta, o jos užuomazgos siekia net
1827 metus, kai Anglų botanikas R. Brown’as stebėjo žiedadulkės chaotišką judėjimą skystyje
(vėliau pavadint1 Brauno judesiu).
1 pav. Chaotiškas dalelės judėjimas skystyje
Šį nereguliarų tolydų judėjimą Einstein’as 1905 metais paaiškino šilumine molekulių osciliacija
ir pirmasis jį aprašė matematiškai. Pagal jo modelį dalelės pozicija kiekvienu laiko momentu yra
atsitiktinis dydis, o jos trajektorija turi būti nagrinėjama kaip atsitiktinės laiko funkcijos grafikas.
Dabar tai plačiai žinomas ir daug pritaikymų sulaukęs Brauno judesio procesas. Vėliau Einstein’o
5
modelį apibendrino Wiener’is. Todėl dažnai Brauno judesio procesas dar vadinamas Wiener’io
vardu. Šis procesas yra bene plačiausiai taikomas modeliuojant įvairias reiškinius.
Modeliavimas yra neatsiejama bet kurio mokslo dalis - tiek socialinio, tiek gamtos. Realaus
pasaulio sistemos paprastai yra labai sudėtingos. Norėdami šias sistemas suprasti, prognozuoti
jų elgesį ar kontroliuoti, turime jas supaprastinti, t.y. sukurti modelį. Modelis – originalo atvaizdas, tapatus pasirinktu struktūros lygmeniu arba pasirinktomis funkcijomis (TŽŽ). Egzistuoja daug
modelio formų: pavyzdžiui, verbaliniai/logistiniai (sistemų veiklos aiškinimas paradigmomis, kaip
antai, nematomos rankos paradigma), fikiniai (sumažinto mastelio ir supaprastintos veiklos modeliai), geometriniai (lentelės, diagramos), algebriniai (algebrinės lygtys) ir pan. Sukurti matematinį
modelį reiškia nagrinėjamai sistemai suteikti matematinę išraišką. Čia gali pasireikšti du kraštutinumai: realistinis ir idealistinis. Realistinis modelis paprastai gana tiksliai aprašo tiriamą sistemą,
bet būna toks sudėtingas, kad neįmanoma jo nei ištirti, nei įvertinti. Idealistinis modelis, su kuriuo
lengva dirbti, gali būti gerokai nutolęs nuo realaus tiriamo fenomeno. Todėl geras modelis yra tam
tikras kompromisas tarp realaus ir idealaus. Rasti tinkamą kompromisą yra menas, kurio rezultatus
nulemia žinios, įgūdžiai ir, be abejo, talentas.
Matematiniai modeliai būna arba deterministiniai, arba stochastiniai. Pirmieji postuluoja tikslią nagrinėjamų sistemų funkcinę priklausomybę ir neatsižvelgia į galimus neapibrėžtumus. Taigi
deterministiniai matematiniai modeliai nėra pats geriausias įrankis, pavyzdžiui, ekonominėms ar
socialinėms sistemoms tirti. Modeliai aprašomi lygtimis, į kurias įeina atsitiktiniai procesai, vadinami stochastiniais. Ekonometristams jie yra pagrindinis įrankis tiriant ekonomines sistemas,
finansų makleriams padeda spręsti atsargų problemas ar sekti finansinių biržų būseną, komunikacijų specialistams – atskirti informatyvius signalus nuo natūralių ar dirbtinų triukšmų, atpažinti
vaizdus, o biologams – suprasti genų mutacijos principus, augmenijos ir gyvūnijos populiacijų
pasiskirstymus, epidemijų plitimą ir t.t.
Šios paskaitos apima įvadinį atsitiktinių procesų teorijos kursą. Jų tikslas yra ugdyti stochastinio modeliavimo, taikant atsitiktinius procesus, kompetencijas bei vystyti stochastinį mąstymą.
Šiame kurse supažindinama su pagrindinėmis atsitiktinių procesų sąvokomis bei savybėmis. Tarp
jų yra stacionarumas, ergodiškumas, reguliarumas. Pristatomos svarbiausios atsitiktinių procesų klasės: diskretaus ir tolydaus laiko Markovo procesai, diskretaus ir tolydaus laiko martingalai,
Puasono, atstatymo bei Brauno judesio procesai. Pateikti įvairių pritaikymų pavyzdžiai padės
pasinaudoti atsitiktinių procesų teorija identifikuojant, formuluojant ir sprendžiant įvairius taikomuosius uždavinius.
6
1 skyrius
Mato teorijos elementai
Intervalo I ⊂ R (atviro, uždaro ar pusiau atviro), kurio kraštiniai taškai yra a < b ∈ R ilgis
lygus `(I) = b − a. O koks yra bet kurios kitos (ne intervalo) aibės A ⊂ R ilgis `(A)? Kaip
jį apskaičiuoti? Bandymai atsakyti į šiuos klausimus matematikams padovanojo Lebego matą
(pavadintą Henri Lebesgue (1875–1941) garbei). O poreikis pamatuoti dar sudėtingesnius objektus
(ir ne tik plotą, tūrį ar pan.) išsivystė į turiningą mato teoriją. Šiame skyriuje jos pristatyta tiek,
kiek reikės geresniam atsitiktinių procesų teorijos supratimui. Jei kam pasirodys, kad pateiktas
žinių bagažas yra skurdokas, papildomam skaitymui rekomenduojame [5] vadovėlio bei [6], [2]
knygų skyrius, skirtus mato teorijai.
1.1
Aibės ir funkcijos
Veiksmai su aibėmis
Aibe vadiname tam tikrų matematinių objektų rinkinį, visumą ir dažniausiai aprašome kokiu nors
būdu nusakydami jos elementus. Raide R įprasta žymėti realiųjų skaičių aibę, C – kompleksinių,
N – natūraliųjų, Z – sveikųjų, Q – racionaliųjų skaičių aibes, o N0 = {0, 1, 2, . . . }.
Jei A – kažkokia aibė, tai x ∈ A reiškia, kad x yra tos aibės elementas, o x 6∈ A – elementas x
nepriklauso aibei A. Norėdami išskirti aibės A elementus, turinčius savybę P, rašysime {x ∈ A :
P } arba, jei aišku apie kokios aibės elementus kalbame, trumpiau {x : P }.
Tuščia aibe vadiname aibę neturinčią nei vieno elemento. Ją žymėsime simboliu ∅. Aibė,
susidedanti iš vieno elemento x, žymima {x} (atkreipkite dėmesį, kad x ir {x} skiriasi, pvz.,
{∅} 6= ∅). Jei kiekvienas x ∈ A yra kartu ir aibės B elementas, tai sakome, kad A yra B poaibis
(arba B yra aibės A viršaibis) ir rašome A ⊆ B (arba B ⊇ A). Jei A ⊆ B ir B ⊆ A, tai aibės A ir
B sutampa: A = B. Aibė A yra tikrinis aibės B poaibis (arba B yra A tikrinis viršaibis) (žymime
A ⊂ B arba B ⊃ A), jei A ⊆ B ir A 6= B. Aibė 2A yra sudaryta iš visų aibės A poaibių:
2A = {B :
B ⊆ A}.
Atlikdami veiksmus su aibėmis neakivaizdžiai tariame,
T kad jos yra vienos kurios nors (universalios)
S aibės poaibiai. Dviejų aibių A ir B sankirta A B yra aibė {x : x ∈ A ir x ∈ B}, o sąjunga
A B = {x : x ∈ A arba x ∈ B}. Analogiškai bet kokiai indeksų aibei I ir aibių sistemai
7
{Aα , α ∈ I} apibrėžiame sąjungą
[
Aα = {x : x ∈ Aα kuriam nors α ∈ I}
α∈I
ir sankirtą
\
Aα = {x : x ∈ Aα su visais α ∈ I}.
α∈I
S
Jei aibės Ai , i ∈ I poromis
nesikerta, t.y.
P
P
S Ai ∩ Aj = ∅, kai i 6= j, tai vietoj sąjungos ženklo
naudosime sumos – , t.y. i∈I Ai = i∈I Ai , kai (Ai ) yra poromis nesikertančių aibių šeima.
Kiti svarbesni veiksmai su aibėmis yra aibių skirtumas
A\B = {x : x ∈ A, x 6∈ B}
bei simetrinis skirtumas
A∆B = (A\B) ∪ (B\A).
Jei B ⊂ A tai skirtumas A\B dar vadinamas aibės B papildiniu (iki aibės A) ir, tuo atveju, kai
aibė A aiški iš konteksto, žymimas B c .
Aibių sąjungai ir sankirtai galioja De Morgan’o dėsniai:
\ c [
[ c \
c
Aci
Ai ;
Ai =
(1.1)
Ai =
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
Aibių A1 , A2 , . . . , Ad Dekarto sandauga yra sudaryta iš sutvarkytų rinkinių (x1 , x2 , . . . , xd ),
x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 , . . . , xd ∈ Ad ir žymima
Ad = A
· · × A} .
| × ·{z
A1 × A2 × · · · × Ad ;
d kartų
Svarbus pavyzdys yra Rd = {(x1 , . . . , xd ) : xi ∈ R, i = 1, . . . , d}. Aibę Rd dar vadiname d-mate
vektorine erdve, o jos elementus tuomet reiškiame vektoriais stulpeliais.
Binariniai sąryšiai
Aibės S elementų binariniu sąryšiu ∼ vadinamas bet kuris aibės S × S poaibis E ⊂ S × S. Jei
(x, y) ∈ E tai sakome, kad elementas x ∈ S susijęs su elementu y ∈ S sąryšiu ∼ . Norėdami
tai pažymėti, rašome x ∼ y arba x ∼E y, jei reikia pabrėžti aibę E. Aibės S elementų binarinis
sąryšis ∼ yra refleksyvusis, jei x ∼ x su kiekvienu x ∈ S, asimetrinis, jei kartu x ∼ y ir y ∼ x gali
būti tik tuomet, kai x = y, tranzityvusis, jei iš x ∼ y, y ∼ z gauname x ∼ z. Sąryšis E vadinamas
simetriniu,jei y ∼ x, kai tik x ∼ y.
Refleksyvus simetrinis tranzityvus sąryšis vadinamas ekvivalentumo sąryšiu. Štai porą paprasčiausių pavyzdžių.
1.1 pavyzdys. S = Z, n - duotas sveikasis skaičius. Sąryšis x ∼ y reiškia x = y(mod n).
1.2 pavyzdys. S = R. Sąryšis x ∼ y reiškia, kad x − y yra sveikasis skaičius.
8
Jei ∼ – aibės S ekvivalentumo sąryšis ir x ∈ S, tai aibė {y ∈ S : y ∼ x} vadinama elementą
x atitinkančia ekvivalentumo klase ir dažnai žymima [x].
1.1 teiginys. Dvi ekvivalentumo klasės yra arba lygios, arba nesikerta.
Įrodymas. Tarkime, [x] ir [y] - dvi aibės S ekvivalentumo klasės, atitinkančios sąryšį ∼. Jei
[x] ∩ [y] 6= ∅, tai [x] = [y]. Tikrai, tegu u ∈ [x] ir v ∈ [x] ∩ [y]. Tuomet u ∼ v ir v ∼ y.
Remiantis tranzityvumo savybe, u ∼ y, taigi u ∈ [y]. Vadinasi, [x] ⊂ [y]. Taip pat samprotaudami
įsitikiname, kad [y] ⊂ [x].
Šis teiginys leidžia aibę suskaidyti į ekvivalentumo klases, kurių šeima vadinama faktor-aibe
atžvilgiu nagrinėjamo ekvivalentumo sąryšio ∼ arba tiesiog faktor-aibe ir žymima S/ ∼ :
S/ ∼ = {[x] : x ∈ S}.
Galima įsitikinti, kad 1.1 pavyzdyje R/ ∼= {[0], [1], . . . , [n − 1]}.
Funkcijos
Visur toliau terminai atvaizdis ir funkcija vartojami kaip sinonimai ir užrašas
f :U →V
žymi vienareikšmę funkciją, apibrėžtą aibėje U su reikšmių sritimi aibėje V : kiekvienam elementui
u ∈ U funkcija f priskiria vienintelį elementą f (u) = v ∈ V .
Funkcija su reikšmėmis realiųjų skaičių aibėje R vadinama realiaja, o su reikšmėmis išplėstinėje skaičių tiesėje R = [−∞, +∞] – skaitine.
Įprasta V U žymėti aibę visų funkcijų f : U → V,
V U := {f : U → V }.
Svarbūs pavyzdžiai yra aibė RT = {f : T → R}, kai T bet kuri aibė ir atskiras jos atvejis, intervale
[a, b] apibrėžtų realiųjų funkcijų aibė R[a,b] = {f : [a, b] → R}.
Aibė
Gf = {(u, f (u)) : u ∈ U } ⊂ U × V
vadinama funkcijos f grafiku. Jei A ⊂ U , tai f (A) := {f (u) ∈ V : u ∈ A} yra aibės A
vaizdas, o f −1 (B) = {u ∈ U : f (u) ∈ B}, vadinama aibės B ⊂ V pirmavaizdžiu. Atvaizdis
f : U → V vadinamas siurjekcija arba aibės U atvaizdžiu į aibę V , jei f (U ) = V ir injekcija, jei
f (x1 ) 6= f (x2 ), kai x1 6= x2 . Atvaizdis f : U → V vadinamas bijekcija, jei f yra ir injekcija, ir
siurjekcija.
Jei f : U → V yra bijekcija, tai su kiekvienu v ∈ V egzistuoja tik vienas toks elementas
u ∈ U , kad v = f (u). Šiuo atveju sakome, kad egzistuoja funkcijos f atvirkštinė funkcija, kuri
žymima f −1 ir kuri aibę V atvaizduoja į aibę U pagal šią taisyklę:
f −1 (v) = u, jei f (u) = v.
9
Atvaizdžio f apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį įprasta žymėti atitinkamai D(f ) ir R(f ). Funkcija f
vadinama funkcijos g tęsiniu, o g – f siauriniu, jei D(g) ⊂ D(f ) ir f (x) = g(x), kai x ∈ D(g).
Dvi funkcijos yra lygios, jei sutampa jų apibrėžimo sritys ir reikšmės:
f = g, jei D(f ) = D(g) ir f (x) = g(x) su visais x ∈ D(f ).
Jeigu f : U → V, g : V → Z, tai funkcija
g ◦ f : U → Z, g ◦ f (u) = g(f (u)), kai u ∈ U,
vadinama funkcijų f ir g kompozicija, arba sudėtine funkcija.
Jei A ⊂ U , tai aibės A indikatorinė funkcija 1A : U → R yra apibrėžta šia formule:
(
1,
kai x ∈ A;
1A (x) =
0,
kai x 6∈ A.
Funkciją f : N → V , kurios apibrėžimo sritis yra natūralieji skaičiai, vadiname aibės V
elementų seka ir vietoj f (n) rašome fn . Sekas įprasta žymėti (fn , n ∈ N), (fn )n∈N , (f1 , f2 , . . . )
arba trumpiau – (fn ).
Aibių A1 , A2 , . . . Dekarto sandaugą A1 × A2 × · · · sudaro sekos (xi , i ∈ N), kai xi ∈ Ai :
A1 × A2 × · · · = {(x1 , x2 , . . . ) : x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 , . . . }.
Kai visos aibės Ai yra lygios, tarkime, Ai = A su visais i = 1, 2, . . . , begalinę sandaugą A1 ×
A2 × · · · žymėsime AN arba A∞ . Visų realiųjų skaičių sekų aibė yra RN :
RN = {(xn , n ∈ N) : xn ∈ R
su visais n ∈ N}.
Aibė yra baigtinė, jei ji turi n elementų su kuriuo nors baigtiniu n ∈ N. Priešingu atveju aibė
yra begalinė. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibė N yra begalinė. Aibė B vadinama skaičia, jei
egzistuoja funkcija f , atvaizduojanti B į N abipus vienareikšmiškai. Jei aibė nėra nei baigtinė nei
skaiti, tai ji vadinama neskaičia. Pavyzdžiui, norint įsitikinti, kad N × N yra skaiti aibė, užtenka
pastebėti, kad f (n, m) = 2m (2n+1)−1 atvaizduoja N×N į N abipus vienareikšmiškai. Atvaizdis
n → 2n + 1, kai n ≥ 0 ir n → 2|n|, kai n < 0, nustato abipus vienareikšmę atitinkamybę
tarp aibių Z ir N.
Racionaliųjų skaičių aibė yra skaiti, o bet kuris netuščias atviras realiųjų skaičių intervalas –
neskaiti. Be to, galima įsitiktinti, kad skaiti skaičių aibių sąjunga yra skaiti aibė (žr. 1.6 pratimą).
1.2
Mačios erdvės ir erdvės su matu
Mačios erdvės
Tarkime, turime netuščią aibę S. Nagrinėsime jos poaibių šeimas, t.y. aibės 2S poaibius.
1.1 apibrėžimas. Aibės S poaibių šeima S ⊆ 2S vadinama algebra, jeigu ji pasižymi šiomis savybėmis:
10
(i) S ∈ S;
(ii) jei A ∈ S, tai ir Ac ∈ S;
(iii) jei A1 , . . . , An ∈ S tai ir
Sn
i=1
Ai ∈ S.
Algebra
S∞S vadinama σ algebra, jei ji yra uždara skaičios sąjungos atžvilgiu, t.y., jei A1 , A2 , · · · ∈ S
tai ir i=1 Ai ∈ S.
Algebrai visada priklauso tuščia aibė ∅ = Sc . Iš De Morgan’o (1.1) tapatybių gauname, kad
σ algebra (atitinkamai algebra) yra uždara skaičios (atitinkamai baigtinės) sankirtos atžvilgiu. Bet
kuri σ algebra yra ir algebra, bet ne atvirkščiai (žr. 1.7 pratimą).
1.1 pavyzdžiai.
(a) Trivialioji σ algebra yra S = {S, ∅}.
(b) Diskrečioji σ algebra yra S = 2S .
(c) Jei A ⊂ S, tai S = {A, Ac , S, ∅} yra algebra.
1.2 teiginys. Bet kuriam aibės S poaibių rinkiniui A egzistuoja mažiausia σ algebra σ(A), kuriai
priklauso A (ją vadinsime šeimos A generuota σ algebra).
Įrodymas. Tegu I yra rinkinys visų σ algebrų, kurioms priklauso
T A. Kadangi diskrečioji σ algebra
S
2 ∈ I, tai rinkinys I yra netuščias. Apibrėžkime σ(A) = F ∈I F. Kadangi A ∈ F kiekvienai
σ algebrai F ∈ I, tai A ⊂ σ(A). Lieka patikrinti, kad σ(A) yra σ algebra. Kadangi S ∈ F
kiekvienai F ∈ I, tai S ∈ σ(A). Jei A ∈ σ(A), tai A ∈ F kiekvienai F ∈ I. Kadangi
S F yra σ
c
c
algebra, tai A ∈ F. Taigi
SA ∈ σ(A). Jei (Ai , i ≥ 1) ⊂ σ(A), tai (Ai , i ≥ 1) ⊂ F, ir i Ai ∈ F
kiekvienai F ∈ I. Taigi i Ai ∈ σ(A).
1.2 apibrėžimas. Realiųjų skaičių aibės R Borelio σ algebra BR yra aibių šeimos
A := {[a, b), (−∞, b), [a, ∞), (−∞, ∞),
a, b ∈ R}
generuota σ algebra: BR = σ(A).
1.3 apibrėžimas. Aibių rinkinys A ⊂ 2S yra
• π sistema, jei A1 ∩ A2 ∈ A, kai A1 , A2 ∈ A;
• λ sistema, jei
(i) S ∈ A;
(ii) B \ A ∈ A, kai A, B ∈ A ir A ⊂ B;
(iii) skaiti poromis nesikertančių aibių
S∞iš A sąjunga priklauso A, t.y., jei A1 , A2 , · · · ∈ A ir
Ai ∩ Aj = ∅, kai i 6= j, tuomet i=1 Ai ∈ A.
Ekvivalenti (iii) savybei yra ši:
(iii’) jei (Ai ) ⊂ A, A1 ⊂ A2 ⊂ · · · tai
S∞
i=1
Ai ∈ A.
11
Įsitikinti ekvivalentumu paliekame vietoj pratimo.
Akivaizdu, kad σ algebra yra tiek π sistema, tiek λ sistema. Teisingas ir atvirkščias teiginys.
1.3 teiginys. Aibės S poaibių šeima yra σ algebra, jei ji yra kartu ir π sistema, ir λ sistema.
Įrodymas. Tarkime, E ⊂ 2S yra ir π sistema ir λ sistema. Pirmiausia pastebime, kad E yra
uždara papildinio atžvilgiu: jei A ∈ E tai ir S \ A ∈ E, nes S ∈ E ir A ⊂ E, o E yra λ sistema.
Įsitikinkime, kad A ∪ B ∈ E, kai A, B ∈ cE. Taip yra, nes A ∪ B = (Ac ∩ B c )c , o E yra uždara
atžvilgiu papildinio (λ sistema) ir sankirtos (π sistema) operacijų. Tegu (An ) ⊂ E. Įsitikinkime,
kad ∪k≥1 Ak ∈ E. Tegu B1 = AS
Ac1 , . . . Bk = Ak ∩ Ack−1 ∩ · · · ∩ Ac1 , . . . . Aibės (Bk )
1 , B2 = A2 ∩
S∞
∞
nesikerta ir priklauso E. Be to, k=1 Ak = k=1 Bk . Teiginys pilnai įrodytas.
1.1 teorema. Tegu E ⊂ 2S yra λ sistema, o B ⊂ 2S yra π sistema. Jei E ⊃ B tai E ⊃ σ(B).
Įrodymas. Tegu B 0 yra mažiausia λ sistema, kuriai priklauso B. Įsitikinsime, kad B 0 ⊃ σ(B). Tam
pakanka patikrinti, kad B 0 yra σ algebra. O tam, savo ruožtu, pakanka patikrinti, kad λ sistema B 0
yra kartu ir π sistema. Pasinaudosime šiuo teiginiu, kurio įrodymui pakanka žingsnis po žingsnio
patikrinti λ sistemos apibrėžimą.
1.4 teiginys. Jei A yra λ sistema ir A ∈ A, tuomet ir A0 = {B ∈ A : B ∩ A ∈ A} yra λ sistema.
Tęsdami teoremos įrodymą, fiksuokime B ∈ B ir nagrinėkime
D1 := {A ∈ B 0 : A ∩ B ∈ B 0 }.
Kadangi B ⊂ B 0 tai, remiantis 1.4 teiginiu, D1 yra λ sistema. Be to, jai priklauso B : jei A ∈ B tai
A ∩ B ∈ B. Taigi D1 ⊃ B 0 .
Gauname, kad fiksuotai aibei A ∈ B 0 , rinkinys
D2 := {B ∈ B 0 : A ∩ B ∈ B 0 }
apima ir B. Remiantis 1.4 teiginiu D2 yra λ sistema, taigi turi apimti B 0 . Tai reiškia, kad A∩B ∈ B 0 ,
kai A, B ∈ B 0 .
1.4 apibrėžimas. Pora (S, S), kai S yra netuščia aibė, o S – jos poaibių σ algebra, vadinama
mačiąja erdve. Aibės A ∈ S vadinamos mačiosiomis.
Matai
Matai yra kaip tik ta matematinė priemonė, kuri padeda „pamatuoti” aibes (prisiminkime skyriaus
pradžioje iškeltą klausimą), o mačios aibės yra tos, kurias galima „pamatuoti”.
1.5 apibrėžimas. Tarkime, A yra aibės S poaibių algebra. Funkcija µ : A → [0, ∞] vadinama
matu, jei teisingos šios aksiomos:
(1) µ(∅) = 0;
12
(2) jei An ∈ A, n = 1, 2, . . . , An ∩ Am = ∅, kai n 6= m, ir A =
µ(A) =
∞
X
P
n
An ∈ A, tai
µ(Ak ).
k=1
Matas µ, apibrėžtas algebroje A, vadinamas:
• baigtiniu, jei µ(S) < ∞;
• tikimybiniu, jei µ(S) = 1;
• σ-baigtiniu, jei egzistuoja tokia aibių seka (An ) ⊂ A, kad S =
kiekvienu n ∈ N.
S
n
An ir µ(An ) < ∞ su
1.3 pavyzdys. (1) Tarkime, (S, S) - mati erdvė, x ∈ S - duotas aibės S elementas. Aibei A ∈ S
apibrėžkime
(
1, jei x ∈ A,
µ(A) = δx (A) =
0, jei x 6∈ A.
Galima įsitikinti, kad δx yra erdvės (S, S) matas. Jis vadinamas Dirako matu taške x.
(2) Tarkime, (S, S) - mati erdvė, D ⊂ S skaiti mati aibė. Aibei A ∈ S apibrėžkime
X
µD (A) =
δx (A).
x∈D
Galima įsitikinti, kad taip apibrėžta aibių funkcija µD yra erdvės (S, S) matas, kuris „suskaičiuoja” aibės A ∩ D elementus (jų gali būti ir begalo daug).
(3) Tarkime, (S, S) - mati erdvė, D ⊂ S skaiti mati aibė, m : D → R kokia nors neneigiama
funkcija. Aibei A ∈ S apibrėžkime
X
µD (A) =
m(x)δx (A).
x∈D
Galima įsitikinti, P
kad taip apibrėžta aibių funkcija µD yra erdvės (S,
PS) matas. Jis vadinamas
diskrečiuoju. Jei x∈D m(x) < ∞, tai matas µ yra baigtinis. Jei x∈D m(x) = 1, tai matas
µ yra tikimybinis.
Svarbios mato savybės surinktos šiame teiginyje.
1.5 teiginys. Matas µ apibrėžtas algebroje A yra:
(1) monotoniškas, t.y., jei A, B ∈ A, A ⊂ B, tai µ(A) ≤ µ(B);
(2) tolydus, t.y., jei seka (An ) ⊂ A yra monotoniškai didėjanti (t.y., A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ), tai
(1.2)
µ lim An = lim µ(An );
n
n→∞
13
(3) monotoniškai mažėjančiai sekai (An ) (t.y., A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ) (1.2) galioja, jei µ(An0 ) < ∞
kažkuriam n0 ≥ 1.
S
(4) skaičiai subadityvus, t.y., jei (An ) ⊂ A ir n An ∈ A, tai
[
X
µ
An ) ≤
µ(An ).
n
n
Įrodymas. (1) Kadangi A ⊂ B, tai B = A + B ∩ Ac . Aibės A ir A ∩ B c nesikerta, todėl
µ(B) = µ(A) + µ(B ∩ Ac ) ≥ µ(A).
S
P∞
(2) Tegu A0 = ∅. Tuomet ∞
n=1 An =
n=1 An \ An−1 . Taigi
µ
∞
[
An
∞
∞
X
X
µ(An \ An−1 )
=µ
An \ An−1 =
n=1
n=1
n
X
= lim
n→∞
n=1
µ(Ak \ Ak−1 ) = lim µ
n
X
n→∞
k=1
Ak \ Ak−1
k=1
= lim µ(An ).
n→∞
(3) Nagrinėkime monotoniškai mažėjančią seką (An ). Nemažindami bendrumo tarkime, kad n0 =
1, t.y., µ(A1 ) < ∞. Tegu Bn = A1 \ An , n > 1. Seka (Bn ) yra monotoniškai didėjanti. Taigi
lim µ(Bn ) = µ(lim Bn ) = µ
n
n
∞
[
∞
[
(A1 ∩ Acn ) = µ A1 ∩
Acn
n=1
= µ A1 ∩
∞
\
An
c n=1
= µ(A1 ) − µ
n=1
∞
\
An
n=1
= µ(A1 ) − µ(lim An ).
n
Iš kitos pusės
lim(Bn ) = lim(µ(A1 ) − µ(An )) = µ(A1 ) − lim µ(An ).
µ
n
n
Kadangi µ(A1 ) < ∞ šios lygybės reiškia, kad limn µ(An ) = µ(limn An ).
c
c
c
Tegu BP
1 = A1 , B2 = A2 ∩ A1 , . . . , Bk = Ak ∩ Ak−1 ∩ · · · ∩ A1 . Aibės B1 , . . . , Bn nesikerta
S(4)
n
n
ir k=1 Ak = k=1 Bk . Taigi
µ
n
[
n
n
X
X
Ak = µ
Bk =
µ(Bk )
k=1
k=1
≤
n
X
µ(Ak ) ≤
k=1
k=1
∞
X
µ(Ak ).
k=1
Lieka pereiti prie ribos, kai n → ∞ ir pritaikyti mato tolydumo savybę.
14
1.6 apibrėžimas. Trejetą (S, S, µ), kai S yra aibės S poaibių σ algebra ir µ yra σ baigtinis matas,
apibrėžtas σ algebroje S, vadinsime erdve su matu.
Jei µ yra tikimybinis matas, tai trejetas (S, S, µ) vadinamas tikimybine erdve. Abstrakti tikimybinė
erdvė dažniausiai žymima (Ω, F, P ).
1.7 apibrėžimas. Aibė A ⊂ S vadinama µ-nuline, jei egzistuoja tokia aibė E ∈ S, kad µ(E) = 0
ir A ⊂ E. Erdvė su matu (S, S, µ) vadinama pilna, jei kiekviena µ-nulinė aibė A ⊂ S yra mati.
Dažnai pasitaikantis būdas sukonstruoti erdves su matu yra toks. Pirmiausia matas aprašomas
kuriai nors patogiai duotos aibės poaibių klasei. Toliau patikrinama ar, išlaikant norimas savybes,
galima jį apibrėžti tos aibių klasės generuotoje algebroje. Generuotas algebras, priešingai nei σ
algebras galima aprašyti konstruktyviai (žr. 1.8 pratimą). Galiausiai paskutiniame žingsnyje remiamės mato pratęsimo teorema. Šį būdą kitame skyrelyje pritaikysime konstruodami realiųjų
skaičių aibės Lebego bei Lebego-Stiltjeso matus (žr. 1.3 teoremą), o čia aptarsime labai svarbią
mato pratęsimo teoremą.
1.2 teorema. ( Carathéodory teorema ) Tarkime, µ yra σ baitinis matas apibrėžtas aibės S poaibių algebroje A. Egzistuoja tokia σ algebra A∗ ⊃ A ir toks vienintelis mačios erdvės (S, A∗ ) σ
baigtinis matas µ∗ , kad µ∗ (A) = µ(A), kai A ∈ A. Be to, erdvė su matu (S, A∗ , µ∗ ) yra pilna.
Įrodymas. Bet kuriai aibei A ⊂ S apibrėžiame vadinamą jos išorinį matą:
∞
∞
o
nX
[
An , An ∈ A, n ∈ N .
(1.3)
µ∗ (A) := inf
µ(An ) : A ⊂
n=1
n=1
Apibrėžkime
A∗ := {A ∈ 2S : µ∗ (C) = µ∗ (C ∩ A) + µ∗ (C ∩ Ac ),
su visais C ∈ 2S }.
Taip sukonstruoti µ∗ ir A∗ ir yra ieškomieji matas bei σ algebra. Pilną teoremos įrodymą galima
rasti [5] knygoje.
1.1 pastaba. Išorinio mato µ∗ apibrėžime galima nagrinėti tik poromis nesikertančias aibes Ai ,
mato µ∗ (A) reikšmė nuo to nepasikeis, t. y.:
∞
∞
nX
o
X
(1.4)
µ∗ (A) = inf
µ(An ) : A ⊂
An , An ∈ A, n ∈ N .
n=1
n=1
Tikrai, tegu Ai ∈ A, i = 1, 2, . . . tokios aibės, kad
B1 = A1 ,
S∞
i=1
Bi = Ai \
Ai ⊃ A. Apibrėžkime
i
[
Ai , i > 1.
k=1
P
S∞
Aibės B1 , B2 , . . . nesikerta ir ∞
i=1 Bi =
i=1 Ai ⊃ A. Kadangi A yra algebra, tai jai priklauso
visos aibės Bi . Be to, Bi ⊂ Ai . Todėl
∞
X
µ(Bi ) ≤
i=1
∞
X
i=1
15
µ(Ai ).
Toliau lieka pasinaudoti tiksliojo apatinio rėžio apibrėžimu.
1.2 pastaba. Kadangi σ(A) ⊂ A∗ , matą µ∗ galime nagrinėti ir aibėms A ∈ σ(A). Mato µ∗
siaurinys σ-algebroje σ(A) vadinamas mato µ tęsiniu į σ(A) ir dažnai žymimas tuo pačiu simboliu
µ. Taigi µ(A) = µ∗ (A), kai A ∈ σ(A).
Erdvių su matu sandaugos
Skyrelį baigsime apibrėždami erdvių
matu sandaugą. Nagrinėkime erdves su matu (Si , Si , µi ),
Qsu
n
i = 1, 2, . . . , n. Dekarto sandaugos i=1 Si σ algebra yra
n
O
Si = σ{A1 × · · · × An :
Ai ∈ Si , i = 1, . . . , n}.
i=1
N
Q
Pora ( ni=1 Si , ni=1 Si ) vadinama mačių erdvių (Si , Si ), i = 1, . . . , n sandauga. Imdami aibes
Ai ∈ Si , i = 1, . . . , n, apibrėžkime
µ(A1 × · · · × An ) =
(1.5)
m
Y
µi (Ai ).
i=1
Galime įsitikinti (žr. 1.24 pratimą), kad µ yra matas algebroje
(1.6)
A = {A1 × · · · × An :
Ai ∈ Si , i = 1, . . . , n}.
Remdamiesi Carathéodory teorema, pratęskime matą µ į σ algebrą σ(A) =
žymime µ1 ⊗ · · · ⊗ µn ir vadiname sandaugos matu. Trejetas
(
n
Y
i=1
Si ,
n
O
Si ,
i=1
n
O
Nn
i=1
Si . Gautą matą
µi )
i=1
vadinamas erdvių su matu (Si , Si , µi ), i = 1, 2, . . . , n tiesiogine sandauga. Kai (Si , Si , µi ) =
(S, S, µ) su kiekvienu i = 1, . . . , n, tai atitinkamą tiesioginę sandaugą žymėsime (Sn , S ⊗n , µ⊗n ).
Lebego-Stiltjeso matai
1.3 teorema. Tegu F : R → R yra monotoninė nemažėjanti tolydi iš dešinės funkcija. Egzistuoja
toks Borelio σ algebroje BR apibrėžtas matas µ, kad
(1.7)
µ((a, b]) = F (b) − F (a).
Matas µ vadinamas Lebego–Stiltjeso matu (atitinkančiu funkciją F ).
Įrodymas. Tegu AI yra aibė visų realiųjų skaičių tiesės R intervalų, pavidalo
(a, b], (−∞, b], (a, +∞), (−∞, +∞),
16
a, b ∈ R.
Nagrinėkime rinkinį A, sudarytą iš visų baigtinių nesikertančių intervalų iš AI sąjungų: A ∈ A,
jei A = ∪m
i=1 Ii , I1 , . . . , Im ∈ AI ir Ii ∩ Ij = ∅, kai i 6= j. Galime įsitikinti, kad šeima A yra
algebra. Be to, jos generuota σ algebra sutampa su Borelio, σ(A) = BR (žr. 1.12 pratimą).
Pirmiausia matą µ apibrėžiame algebroje A. Tuo tikslu bet kuriam intervalui (a, b], kai a ≤
b ∈ R, tegu µ((a, b]) = F (b) − F (a). Be to, tegu
µ((a, ∞)) = lim [F (x) − F (a)],
x→∞
µ((−∞, a]) = lim [F (a) − F (x)],
x→−∞
kai a ∈ R ir. tegu
µ((−∞, ∞)) = lim [F (x) − F (−x)].
x→+∞
Jei A ∈ A ir A =
Pm
k=1 Ik ,
I1 , . . . , Im ∈ AI , apibrėžkime
m
X
µ(A) =
µ(Ik ).
k=1
Įsitikinkime, kad toks apibrėžimas yra korektiškas, tai
Pdyra µ(A) nepriklauso nuo aibės A reiškimo
baigtine nesikertančių intervalų sąjunga. Tegu A = k=1 Jk . Pastebėkime, kad
Ik = Ik ∩ A =
d
X
(Ik ∩ Jj ),
Ji = Ji ∩ A =
j=1
m
X
(Ji ∩ Il ),
k = 1, . . . , m; j = 1, . . . , d.
l=1
Kadangi funkcija µ yra adityvi algebroje A, tai
µ(Ik ) =
d
X
µ(Ik ∩ Jj ),
µ(Ji ) =
j=1
n
X
µ(Ji ∩ Il ).
l=1
Iš šių lygybių matome, kad
m
X
µ(Ik ) =
k=1
d
X
µ(Jl ).
l=1
Tai ir įrodo funkcijos µ apibrėžimo vienareikšmiškumą. Taigi µ(A) ≥ 0 apibrėžėme kiekvienai
aibei A ∈ A. Įrodykime, kad taip apibrėžta aibių funkcija µ yra algebros A matas. Tam pakanka
patikrintiP
funkcijos µ skaitų adityvumą, nes µ(∅) = µ((a, a]) = F (a) − F (a) = 0. Tarkime,
(a, b] = ∞
n=1 (an , bn ] - skaiti nesikertnčių intervalų sąjunga. Tegu skaičiai ε > 0 ir δ > 0 yra
laisvai pasirenkami. Kadangi funkcija F tolydi iš dešinės, egzistuoja tokie εk > 0, kad
(1.8)
F (bk + εk ) − F (bk ) < ε/2k ,
k ≥ 1.
Uždarą intervalą [a+δ, b] dengia atvirieji intervalai (ak , bk +εk ), k ≥ 1. Remiantis Heinės–Borelio
teorema (žr. [4]), egzistuoja toks svaikasis skaičius N , kad
(a + δ, b] ⊂ [a + δ, b] ⊂
N
[
(ak , bk + εk ) ⊂
k=1
N
[
(ak , bk + εk ].
k=1
17
Taigi
F (b) − F (a + δ) ≤
≤
≤
N
X
[F (bk + εk ) − F (ak )]
k=1
N
X
[F (bk ) − F (ak )] +
N
X
k=1
N
X
ε2−k
k=1
[F (bk ) − F (ak )] + ε.
k=1
Perėję prie ribos, kai δ → 0 ir ε → 0 bei pritaikę funkcijos F tolydumą iš dešinės, gauname
∞
X
[F (bk ) − F (ak )].
F (b) − F (a) ≤
(1.9)
k=1
Kadangi (a, b] ⊃
Pn
k=1 (ak , bk ]
su kiekvienu n, tai
∞
X
[F (bk ) − F (ak )].
F (b) − F (a) ≥
(1.10)
k=1
Taigi skaitų adityvumą kai baigtinis intervalas yra nesikertančių intervalų sąjunga įrodo (1.9) ir
(1.10) nelygybės. Galima įsitikinti, kad bet kuriam intervalui I,
µ(I) =
+∞
X
µ(I ∩ (n, n + 1]).
n=−∞
Jei dabar I =
P∞
j=1 Ij
yra nesikertančių baigtinių intervalų sąjunga, tai pagal jau įrodytą dalį
X
µ(Ij ) =
XX
j
=
X
µ(Ij ∩ (n, n + 1])
n
µ(I ∩ (n, n + 1]) = µ(I).
n
Dabar jau nesudėtinga užbaigti teoremos įrodymą.
Nemažėjanti tolydi iš dešinės funkcijs F : R → R, tenkinanti sąlygas
lim F (x) = 1,
lim F (x) = 0,
x→+∞
x→−∞
vadinama pasiskirstymo funkcija. Lebego–Stiltjeso matas µ = PF , kurį apibrėžia pasiskirstymo
funkcija F , yra tikimybinis, t.y., PF (R) = 1. Be to, jei P yra tikimybinis matas, apibrėžtas realiųjų
skaičių aibėje R, tuomet funkcija F (x) = P ((−∞, x]), x ∈ R yra pasiskirstymo funkcja.
18
Lebego matas
Nagrinėkime funkciją F (x) = x, x ∈ R. Ją atitinkantis Lebego–Stiltjeso matas µ vadinamas
Lebego matu ir toliau žymimas m. Dėl Lebego mato svarbos atskirai pateiksime jo apibrėžimą.
Tuo tikslu, intervalo I ⊂ R ilgį žymėkime `(I).
1.8 apibrėžimas. Aibės A ⊂ R išoriniu Lebego matu m∗ (A) vadinamas skaičius
∗
m (A) = inf
∞
nX
∞
o
[
`(Ik ) : {Ik } yra toks atvirų intervalų rinkinys, kad E ⊂
Ii .
i=1
k=1
Akivaizdu, kad 0 ≤ m∗ (A) ≤ ∞.
1.4 teorema. Išorinis Lebego matas m∗ apibendrina ilgį, yra monotoninis ir invariantinis postūmiams. Be to,
• m∗ (A) = 0, jei A yra skaiti aibė;
• bet kuriai aibių sekai Ai ⊂ R, i ≥ 1,
m∗
∞
[
∞
X
Ai ≤
m∗ (Ai ).
i=1
i=1
1.9 apibrėžimas. Aibė A ⊂ R vadinama Lebego prasme mačia, jei su bet kuria aibe B ⊂ R
m∗ (A) = m∗ (A ∪ B) + m∗ (A ∪ B c ).
1.10 apibrėžimas. Lebego prasme mačios aibės A Lebego matas m(A) yra apibrėžiams kaip išorinis matas m∗ (A), t.y.
m(A) = m∗ (A).
Aibę visų Lebego prasme mačių R poaibių žymime A∗ . Žemiau išrašytos savybės parodo,
kad m yra matas σ-algebroje A∗ . Be to, trejetas (R, A∗ , m) yra pilna erdvė su matu. Bet dažniau
nagrinėjame lebego mato siaurinį Borelio σ algebroje BR , kurį bėl gi žymime m ir vadiname
Lebego matu.
1.5 teorema. Aibė A∗ pasižymi šiomis savybėmis:
1. ∅ ∈ A∗ ir R ∈ A∗ ;
2. jei A ∈ A∗ tai ir Ac ∈ A∗ ;
3. jei m∗ (A) = 0, tai A ∈ A∗ ;
4. jei A1 , A2 ∈ A∗ , tai A1 ∪ A2 ∈ A∗ ir A1 ∩ A2 ∈ A∗ ;
5. jei A ∈ A∗ ir b ∈ R, tai A + b ∈ A∗ ;
6. Bet kuris intervalas I ∈ A∗ ir, be to, m(I) = m∗ (I) = `(I);
19
7. jei A1 , . . . , An ∈ A∗ ir nesikerta, tai su bet kuria aibe B ⊂ R
∗
m(
n
[
∗
B ∩ Ai ) = m (B ∩
i=1
n
[
Ai ) =
i=1
n
X
m∗ (B ∩ Ai );
i=1
Atskiru atveju, imdami B = R, gauname
m(
n
[
Ai ) =
i=1
n
X
m(Ai ).
i=1
8. Jei Ai ∈ A∗ , i = 1, 2, . . . , tai
∞
\
∗
Ai ∈ A
i=1
ir
∞
[
Ai ∈ A∗ ;
i=1
9. Jei (Ai , i = 1, 2, . . . ) ⊂ A∗ ir nesikerta, tai
∞
∞
[
X
m
m(Ai );
Ai =
i=1
i=1
10. Bet kuri atvira aibė ir bet kuri uždara aibė yra mačios Lebego prasme.
1.3
Mačios funkcijos
Mačios funkcijos sąvoka
Tarkime, (S, S) ir (V, V) yra dvi mačios erdvės.
1.11 apibrėžimas. Atvaizdis f : S → V, vadinamas (S, V)-mačiuoju (mačiu σ algebrų S, V atžvilgiu arba tiesiog mačiuoju, kai atitinkamos σ algebros yra žinomos iš konteksto), jei
f −1 (V) := {f −1 (A) : A ∈ S} ⊆ S.
Norėdami pabrėžti f reikšmių aibę, sakysime, kad f yra V-reikšmis matus atvaizdis (arba, matus
atvaizdis su reikšmėmis aibėje V).
Svarbi yra sudėtinės funkcijos matumo teorema.
1.6 teorema. Tarkime, (S, S), (V, V) ir (E, E) – mačios erdvės, f : S → V, g : V → E – matūs
atvaizdžiai. Tuomet kompozicija g ◦ f : S → E (g ◦ f (s) = g(f (s)), s ∈ S) yra matus atvaizdis.
Įrodymas. Paliekamas vietoj pratimo.
1.6 teiginys. Tegu f : S → V. Su bet kokia aibės T poaibių klase A galioja lygybė
σ f −1 (A) = f −1 (σ(A)).
20
Iš šio teiginio gauname, kad bet kuriai funkcijai f : S → V, aibių šeima f −1 (V) yra σ algebra.
Ji vadinama atvaizdžio f generuota σ algebra ir dažnai žymima σf arba σ(f ). Tai mažiausia σ
algebra, kurios atžvilgiu yra mati funkcija f .
1.6 teiginio įrodyme pasiremsime funkcijos pirmavaizdžio savybėmis. Jos surinkos šioje lemoje, kurios įrodymą paliekame vietoj pratimo.
1.1 lema. Bet kuriai funkcijai f : S → T, teisingos šios savybės:
(a) f −1 (∅) = ∅;
(b) f −1 (T) = S;
c
(c) f −1 (Ac ) = f −1 (A) ;
S
A
= i∈I f −1 (Ai );
i
i∈I
(d) f −1
S
−1
T
(e) f
i∈I
Ai =
T
i∈I
f −1 (Ai );
1.6 teiginio įrodymas. Pirmiausia, pritaikę 1.1 lemą įsitikinkime, kad f −1 (σ(A)) yra σ algebra.
Be to, f −1 (A) ⊂ f −1 (σ(A)). Taigi
σ f −1 (A) ⊂ f −1 (σ(A)).
Nagrinėkime
A0 := {A0 ⊂ T : f −1 (A0 ) ∈ σ f −1 (A) }.
Pastebėkime, kad A0 yra σ algebra ir, be to, A0 ⊂ A. Todėl ir A0 ⊂ σ(A). Taigi
f −1 (σ(A)) ⊂ f −1 (A0 ) ⊂ σ(f −1 (A)).
Tai užbaigia įrodymą.
Šis teiginys palengvina funkcijos matumo tikrinimą.
1.7 teiginys. Jei A yra tokia aibės T poaibių klasė, kad T = σ(A) ir
f −1 (A) ⊂ S,
tai funkcija f : S → T yra (S, T )-mati.
Įrodymas. Kadangi
f −1 (T ) = f −1 (σ(A)) = σ(f −1 (A)) ⊂ S,
nes f −1 (A) ⊂ S ir S yra σ algebra.
21
Realios ir skaitinės mačios funkcijos
Plačiau aptarsime realias mačias funkcijas. Tegu (S, S) yra bet kuri mati erdvė. Jei nepasakyta
kitaip, realiųjų skaičių aibėje R nagrinėsime Borelio σ algebrą BR .
Funkcija f : S → R yra mati, jei f −1 (B) ∈ S su kiekviena Borelio aibe B ⊂ R. Kadangi
Borelio σ algebrą generuoja aibės pavidalo (a, +∞), a ∈ R (žr. 1.12 pratimą), tai teisingas šis
teiginys.
1.8 teiginys. Funkcija f : S → R yra (S, BR )-mati tada ir tik tada, kai
f −1 ((a, ∞)) ∈ S,
su visais a ∈ R.
Be to, aibę (a, ∞) galime pakeisti bet kuria iš aibių (−∞, a), (−∞, a], [a, ∞).
1.4 pavyzdys. Nagrinėkime indikatorinę funkciją 1A

S,
jei



∅,
jei
1−1
A (B) =

A,
jei


 c
A,
jei
: S → R, A ⊂ S. Tegu B ∈ BR . Tuomet
0, 1 ∈ B
0, 1 ∈ B c
1 ∈ B, 0 ∈ B c
0 ∈ B, 1 ∈ B c .
Taigi 1−1
A (B) ∈ S su bet kuria B ∈ BR , jei tik A ∈ S. Vadinasi, 1A yra mati funkcija tada ir tik
tada, kai A ∈ S.
1.12 apibrėžimas. Poromis
P nesikertančių mačių aibių rinkinys {A1 , . . . , An } ⊂ S vadinamas aibės S skaidiniu, jei S = nk=1 Ak . Funkcija f : S → R vadinama laiptine, jei
f=
n
X
xk 1Ak ;
k=1
čia x1 , . . . , xn ∈ R, o {A1 , . . . , An } yra aibės S skaidinys. Jei x1 , . . . , xn ≥ 0, tuomet f vadinama
neneigiama laiptine funkcija.
1.9 teiginys. Laiptinės funkcijos yra mačios.
Įrodymas. Tegu f =
Tuomet
f
−1
Pn
k=1
xk 1Ak ; čia x1 , . . . , xn ∈ R, {A1 , . . . , An } ⊂ S yra aibės S skaidinys.
((a, ∞]) = {x ∈ S : f (x) > a} =
n
[
{x ∈ Ak : f (x) > a}
k=1
=
n
[
{x ∈ Ak : xk > a}.
k=1
Kadangi
(
Ak ,
{x ∈ Ak : xk > a} =
∅
jeigu xk > a
priešingu atveju,
tai f −1 ((a, ∞]) yra mačių aibių sąjunga, todėl yra mati aibė.
22
1.10 teiginys. Tarkime, f, g : S → R yra mačios funkcijos, a, b ∈ R. Tuomet yra teisingi šie
teiginiai:
(a) funkcijos f + c ir cf yra mačios su bet kuriuo c ∈ R;
(b) su bet kuriais a, b ∈ R funkcija af + bg yra mati;
(b) funkcija f g yra mati;
(d) savo apibrėžimo srityje funkcija f /g yra mati;
(e) funkcijos max{f, g} ir min{f, g} yra mačios;
(f) funkcija |f | yra mati.
Įrodymas. (a) Kadangi {x : f (x) + c > a} = {x : f (x) > a − c} = f −1 (a − c, ∞) ∈ S, nes f
yra mati. Jei c = 0, tuomet
(
∅,
kai a ≥ 0
{x : cf (x) > a} =
S,
kai a < 0.
Taigi {x : cf (x) > a} ∈ S, kai c = 0. Jei c > 0, tuomet {x : cf (x) > a} = f −1 ((a/c, ∞)) ∈ S.
Galiausiai, jei c < 0, tuomet {x : cf (x) > a} = f −1 ((−∞, a/c)) ∈ S, nes f yra mati.
(b) Pakanka įrodyti, kad funkcija f + g yra mati. Turime
{x ∈ S : f (x) + g(x) > a} = Ac ∩ {x ∈ S : f (x) > a − g(x)}.
Pasinaudosime tuom, kad realiesiems skaičiams c, d nelygybė c > d teisinga tada ir tik tada, kai
egzistuoja toks racionalus skaičius r, kad c > r > d. Todėl
[h
{x ∈ S : f (x) > a − g(x)} =
{x ∈ S : f (x) > r} ∩ {x ∈ S : r > a − g(x)}.
r∈Q
Iš čia matyti, kad aibė {x ∈ S : f (x) > a − g(x)} ∈ S, taigi ir {x ∈ S \ A : f (x) + g(x) > a} ∈ S.
(c) Pirmiausia pastebėkime, kad bet kurios mačios funkcijos f kvadratas f 2 yra mati funk2 −1
cija. √
Tikrai, jei a ≤ 0, tuomet
(f 2 )−1 ((a, ∞)) =
√ (f ) ((a, ∞)) = S. Jei a > 0, tuomet
−1
−1
−1
f (( a, ∞)) ∪ f ((−∞, − a)) ∈ S. Toliau pastebėkime, kad f g = 2 ((f + g)2 − f 2 − g 2 ).
Taigi f g yra mati.
(d) Pakanka įrodyti, kad funkcija 1/g yra mati. Ji apibrėžta aibėje B c , kai B = {x ∈ S :
g(x) = 0}. Tegu a > 0. Tuomet
{x ∈ B c : 1/g(x) > a} = {x ∈ B c : 0 ≤ g(x) < 1/c} = {x ∈ S : 0 < g(x) < 1/c} ∈ S.
Jei a ≤ 0, tuomet
{x ∈ B c : 1/g(x) > a} = {x ∈ B c : 0 ≤ g(x)} ∪ {x ∈ B c : g(x) < 1/a}
= {x ∈ S : 0 < g(x)} ∪ {x ∈ S : g(x) < 1/a} ∈ S.
23
(e) Pakanka pastebėti, kad
{x : max{f (x), g(x)} > a} = {x : f (x) > a} ∪ {x : g(x) > a}
{x : min{f (x), g(x)} > a} = {x : f (x) > a} ∩ {x : g(x) > a}.
(f) Funkcijos f ∗ = max{f, 0} ir f − = − min{f, 0} yra mačios, kaip ką tik įsitikinome. Taigi
ir funkcija |f | = f + + f − yra mati.
Mačių funkcijų sekų ribos
Tegu fn : S → R yra mačių funkcijų seka. Pataškiui apibrėžta funkcija supn→∞ fn reiškia, kad
(supn→∞ fn )(x) = supn→∞ fn (x), x ∈ S. Analogiškai pataškiui apibrėžiamos ir kitos sekos (fn )
funkcijos.
1.11 teiginys. Tarkime, f, fn : S → R, n ≥ 1 yra mačios funkcijos. Tuomet
(a) funkcijos inf fn , sup fn yra mačios;
(b) funkcijos lim inf fn , lim sup fn yra mačios;
(c) aibė {x : lim fn (x)
egzistuoja} yra mati;
(d) aibėje {x : lim fn (x) egzistuoja} apibrėžta funkcija x → limn→∞ fn (x) = f (x) yra mati.
Įrodymas. (a) Tegu g(x) = supn fn (x), x ∈ S. Tuomet
\
{x : g(x) ≤ a} = {x : fn (x) ≤ a},
{x : g(x) = +∞} =
{x : g(x) = −∞} =
n
∞
\
[
N =1 n
∞ [
\
a ∈ R,
{x : fn (x) > N }
{x : fn (x) < −N }.
N =1 n
Kadangi kiekviena aibė dešinėje lygybių pusėje priklauso S, tai kairėje pusėje esančios aibės tai
pat priklauso σ algebrai S. Taigi g yra mati funkcija. Kadangi inf n fn (x) = − supn (−fn (x)), tai
funkcija inf n fn taip pat mati.
(b) Pastebėję, kad
lim inf fn = sup(inf fk )
n→∞
n≥1 k≥n
ir lim sup fn = inf (sup fk ),
n→∞
n≥1 k≥n
rezultatą išvedame iš (a).
(c) Turime
{x : lim fn (x)
n→∞
egzistuoja} = {x : lim inf fn (x) = lim sup fn (x)}.
n→∞
24
n→∞
(d) Pažymėkime A = {x : limn→∞ fn (x) egzistuoja}. Kadangi aibėje A teisinga lygybė
lim inf n→∞ fn (x) = limn→∞ fn (x), tai
{x ∈ A : lim fn (x) > a} = {x ∈ A : lim inf fn (x) > a}
n→∞
n→∞
= A ∩ {x ∈ X : lim inf fn (x) > a} ∈ S,
n→∞
nes funkcija limn→∞ fn yra apibrėžta visoje aibėje S ir yra mati. Teiginys pilnai įrodytas.
Taigi mačiųjų funkcijų pataškė riba, kai ji egzistuoja, yra mati funkcija. Čia verta pastebėti, kad
tolydžiųjų funkcijų sekos riba nebūtinai tolydi funkcija. Pavyzdžiu gali būti seka fn (t) = tn , t ∈
[0, 1]. Jos pataškė riba yra
(
0,
kai t 6= 1
lim fn (t) =
n→∞
1,
kai t = 1.
1.13 apibrėžimas. Mačių funkcijų seka (fn ) konverguoja prie mačios funkcijos f tolygiai, jei
lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.
n→∞ x∈S
1.14 apibrėžimas. Mačių funkcijų seka (fn ) konverguoja prie mačios funkcijos f beveik tikrai
mato µ atžvilgiu (µ-b. t.) jei egzistuoja tokia mati aibė N , kad µ(N ) = 0 ir
lim fn (x) = f (x)
n→∞
su visais x ∈ N c .
1.15 apibrėžimas. Mačių funkcijų seka (fn ) konverguoja prie mačios funkcijos f pagal matą µ,
jei su kiekvienu ε > 0
lim µ(x : |fn (x) − f (x)| > ε) = 0.
n→∞
Taigi turime keturis mačių funkcijų sekos konvergavimo tipus: pataškis, pataškis tolygus, pagal
matą ir beveik tikrai mato atžvilgiu. Panagrinėkime 6iuos konvergavimus indikatorinių funkcijų
pavyzdžiu. Tegu (S, S, µ) yra erdvė su matu, (An ) ⊂ S - mačių aibių seka, A ∈ cS. Apibrėžkime
fn (x) = 1An (x),
x ∈ S,
n≥1
ir f (x) = 1A (x), x ∈ S. Kadangi supx∈S |1A (x)−1B (x)| = 1, jei A 6= B, tai seka (fn ) konverguos
tolygiai vieninteliu atveju, kai An = A su visais n ≥ 1. Pataškiui seka konverguos prie funkcijos
f = 1A tada ir tik tada, kai
\ [
[ \
lim sup An =
Am = lim inf =
Am = A
n→∞
n→∞
n m≥n
n m≥n
(žr. 1.22 pratimą). Seka fn → f pagal matą tada ir tik tada, kai
lim µ(An ∆A) = 0.
n→∞
Taigi fn → 0 pagal matą tada ir tik tada, kai µ(An ) → 0, nes 0 =∅ .
25
1.12 teiginys. Funkcija f : S → R yra neneigiama mati funkcija. Tuomet egzistuoja tokia neneigiamų laiptinių funkcijų seka (fn ), kad fn ≤ f su visais n ir
su visais x ∈ S.
lim fn (x) = f (x)
n→∞
Įrodymas. Kiekvienam n apibrėžkime An,k = f −1 ((k/n, (k + 1)/n]), kai k = 1, . . . , n2 − 1 ir
An,0 = f −1 ([0, 1/n] ∪ (n, ∞)). Be to, tegu A∞ = f −1 ({∞}). Apibrėžkime
2
n −1
1 X
fn (x) =
k1An,k (x) + n1A∞ (x),
n k=0
x ∈ S.
Užbaigti teiginio įrodymą paliekame vietoj pratimo.
1.4
Mačių realiųjų funkcijų integravimas
Apibrėžimai ir paprasčiausios savybės
Tegu (S, S, µ) yra erdvė su matu. Nagrinėsime mačias funkcijas f, g, · · · : (S, S) → (R, BR ).
Joms apibrėšime ingeralą atžvilgiu mato µ. Tai daroma trimis žingsniais. Pirmuoju apibrėžiamas
laiptinės funkcijos integralas, antruoju - neneigiamos mačios funkcijos ir, galiausiai – bet kurios
mačios funkcijos integralas. Mato ir integralo teorijoje sutariama, kad 0 · ∞ = 0.
1.16 apibrėžimas. Neneigiamos laiptinės funkcijos f =
(Lebego) integralas aibėje E ∈ S yra
Z
f dµ :=
E
n
X
Pn
k=1
xk 1Ak (xk ∈ [0, ∞], k = 1, . . . , n)
xk µ(Ak ∩ E).
k=1
Pirmiausia reikėtųP
įsitikinti, kad integralo reikšmė nepriklauso nuo laiptinės funkcijos reprezentacijos, t.y., jei f = m
k=1 yk 1Bk , tai
n
X
xk µ(Ak ∩ E) =
k=1
m
X
yk µ(Bk ∩ E).
k=1
Tai paliekame vietoj pratimo. Iš integralo apibrėžimo iškart matyti, kad funkcija E →
S → [0, ∞] yra neneigiama ir skaičiai adityvi.
R
1.17 apibrėžimas. Jei mati funkcija f ≥ 0, tai jos (Lebego) integralas aibėje E ∈ S yra
Z
nZ
o
f dµ := sup
g dµ :
g ≥ 0, g yra laiptinė funkcija ir g ≤ f aibėje E .
E
E
26
E
f dµ :
Norėdami apibrėžti integralą bet kuriai mačiai funkcijai f , pažymėkime
f + = max{f, 0},
f − = max{−f, 0}.
Funkcijos f + , f − , kurios vadinamos atitinkamai teigiama ir neigiama funkcijos f dalimi, yra mačios (žr. 1.10 teiginį ) ir
f = f + − f − , |f | = f + + f − .
R
1.18 apibrėžimas. Funkcija f vadinama integruojama aibėje E ∈ S, jei integralas E |f | dµ yra
baigtinis. Šiuo atveju, funkcijos f integralas aibėje E yra
Z
Z
Z
+
f dµ =
f dµ −
f − dµ.
E
E
E
1.13 teiginys. Jei mačios funkcijos f, g aibėje E yra lygios beveik visur mato µ atžvilgiu, t.y.
µ(s ∈ E : f (s) 6= g(s)) = 0, tai
Z
Z
f dµ =
g dµ.
E
E
Įrodymas. Paliekamas vietoj pratimo.
R
R
Integralą
f
dµ
toliau
žymėsime
trumpiau
–
f dµ. Jei µ yra tikimybinis matas, dažnai
S
R
f dµ žymimas Ef ir vadinamas funkcijos f vidurkiu.
1.14 teiginys. Jei f yra neneigiama mati funkcija, tai atvaizdis
Z
f dµ, E ∈ S,
(1.11)
E→
E
yra neneigiama monotoninė nemažėjanti ir skaičiai adityvi funkcija.
Įrodymas. Kad (1.11) formule apibrėžta S
funkcija yra nemažėjanti, gauname tiesiog iš apibrėžimo.
Tegu (En ) yra mačių aibių seka ir E = n En . Bet kuriai neneigiamai laiptinei funkcijai g ≤ f ,
remiantis integralo apibrėžimu,
Z
XZ
XZ
g dµ ≤
g dµ ≤
f dµ.
E
n
En
n
En
Nagrinėdami kairiosios pusės tikslųjį viršutinį rėžį atžvilgių visų neneigiamų laiptinių funkcijų
g ≤ f , gauname
Z
XZ
f dµ ≤
f dµ.
E
n
En
Norėdami įrodyti skaitų adytivumą, pakanka įsitikinti, kad
Z
XZ
(1.12)
f dµ ≥
f dµ,
E
n
27
En
kai Ei ∩ Ej = ∅, i 6= j. Nagrinėkime dvi nesikertančias aibes E1 , E2 ∈ S. Kiekvieną ε > 0
atitinka tokios dvi laiptinės funkcijas g1 , g2 , kad gi ≤ f aibėje Ei , i = 1, 2 ir
Z
Z
f dµ ≤
gi dµ + ε/2.
(1.13)
Ei
Ei
Apibrėžkime


g1 (s), kai
g(s) = g2 (s), kai


0,
kai
s ∈ E1 ,
s ∈ E2 ,
s ∈ (E1 ∪ E2 )c .
Funkcja g yra neneigiama ir g ≤ f aibėje E1 ∪ E2 . Sudėję (1.13) nelygybes kai i = 1, 2, gauname
Z
Z
Z
Z
f dµ +
f dµ ≤ ε +
g dµ +
g dµ
E1
E2
E1
E2
Z
=ε+
g dµ
E1 ∪E2
Z
≤ε+
f dµ.
E1 ∪E2
R
Kadangi ε > 0 laisvai pasirenkamas skaičius ir funkcija E → E f dµ pusiauadityvi, tai
Z
Z
Z
f dµ =
f dµ +
f dµ.
E1 ∪E2
E1
E2
Remiantis šia lygybe ir integralo, kaip aibės funkcijos monotoniškumu, gauname
Z
Z
n Z
X
f dµ
f dµ ≥
d dµ =
E
A1 ∪···∪En
k=1
Ek
. Perėję prie ribis, kai n → ∞, įsitikiname, kad (1.12) nelygybė yra teisinga. Teiginys pilnai
įrodytas.
Lebego teoremos
1.7 teorema. ( Lebego teorema apie monotoninį konvergavimą ) Tegu 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ · · · ≤
fn ≤ · · · yra mačių funkcijų seka ir limn fn (t) = f (t) su visais t ∈ S. Tuomet
Z
Z
(1.14)
lim
fn dµ =
f dµ
n→∞
E
E
bet kuriai E ∈ S.
Įrodymas. Kairę (1.14) lygybės pusę pažymėkime v. Kadangi fn ≤ f su visais n ≥ 1, tai
Z
(1.15)
v≤
f dµ.
E
28
Tegu laiptinė funkcija g ≤ f aibėje E. Imdami skaičių c ∈ (0, 1), apibrėžkime aibes
En = {x : x ∈ E, 0 ≤ cg(x) ≤ fn (x)}.
Seka (En ) yra nemažėjanti ir konverguoja į E. Todėl
Z
Z
Z
fn dµ ≥
fn dµ ≥ c
E
En
g dµ.
En
R
Perėję prie ribos, kai n → ∞ ir, pritaikę ką tik įrodytą 1.4 teiginį, gauname v ≥ c E g dµ. Imdami
tikslųjį viršutinį
R rėžį pagal neneigiamas laiptines funkcijas g ≤ f ir perėję prie ribos, kai c → 1,
gauname v ≥ E f dµ. Ši nelygybė, kartu su (1.15), įrodo (1.14).
Integralo savybės
Įrodysime, kad integravimas yra tiesinė operacija.
1.15 teiginys. Jei mačios funkcijos f1 , f2 yra integruojamos aibėje E ∈ S, tai su bet kuriais
a, b ∈ R, funkcija af1 + bf2 yra integruojama aibėje E ir
Z
Z
Z
(af1 + bf2 ) dµ = a fi dµ + b f2 dµ.
E
E
E
Įrodymas. Paliekame vietoj pratimo įrodyti, kad teiginys yra teisingas laiptinėms funkcijoms.
Tarkime, f1 , f2 yra neneigiamos mačios funkcijos. Egzistuoja tokios dvi laiptinių funkcijų sekos
(g1n ) ir (g2n ) kurios monotoniškai didėja ir konverguoja į atitinkamai f1 ir f2 . Suma (g1n +g2n ) yra
nemažėjanti laiptinių funkcijų seka ir konverguoja į sumą f1 + f2 . Pritaikę 1.7 teoremą, gauname
Z
Z
(f1 + f2 ) dµ = lim
(g1n + g2n ) dµ
n→∞ E
E
Z
Z
= lim
g1n dµ + lim
g1n dµ
n→∞ E
n→∞ E
Z
Z
=
f1 dµ +
f2 dµ.
E
E
1.16 teiginys. Neneigiamos mačios funkcijos f integralas
E : f (x) 6= 0) = 0.
R
E
f dµ = 0 tada ir tik tada, kai µ(x ∈
R
Įrodymas. Tarkime, kad E f dµ = 0, bet µ(x ∈ E : f (x) 6= 0) = α > 0. Tuomet egzistuoja tokia
konstanta c > 0 ir tokia aibė A ⊂ E, kad µ(A) > 0 ir f (s) ≥ c su visais s ∈ A. Tokiu atveju,
Z
Z
Z
f dµ ≥
f dµ ≥ c 1 dµ = cµ(A) > 0.
E
A
A
Taigi būtinumas įrodytas. Pakankamumą paliekame skaitytojui vietoj pratimo.
Kai kurios kitos integralo savybės surinktos šiame pratime.
29
1.17 teiginys. Integralo pasižymi šiomis savybėmis:
(a) Jei µ(t : f (t) > g(t)) = 0, tai
Z
Z
f (t)µ( dt) ≥
g(t)µ( dt);
S
S
(b) Jei yra integruojama funkcija f tai integruojama ir funkcija |f | ir, be to,
Z
Z
f (t)µ( dt) ≤
S
|f (t)|µ( dt);
S
(c) Jei f yra integruojama funkcija, a, b ∈ R ir E – tokia mati aibė, kad a ≤ f (t) ≤ b su visais
t ∈ E, tai
Z
f (t)1E µ( dt) ≤ bµ(E);
aµ(E) ≤
S
(d) Atvaizdis
Z
f dµ : F → R
E→
E
yra σ-adityvus.
Įrodymas. Paliekamas vietoj pratimo.
Integralų ribos
Perėjimą prie ribos po integralo ženklu nustato trys žemiau suformuluoti rezultatai: Lebego teorema apie mažoruojamą konvergavimą, B. Levy teorema apie monotoninį konvergavimą ir Fatu
lema. Sakysime, kad seka (fn ) konverguoja prie f pagal matą µ, jei su kiekvienu ε > 0
lim µ(t : |fn (t) − f (t)| > ε) = 0.
n→∞
Seka (fn ) konverguoja į funkciją f µ beveik visur, jei
µ(t : fn (t) 6→ f (t)) = 0.
1.8 teorema. Tarkime, integruojamų funkcijų seka (fn ) konverguoja pagal matą µ į funkciją f ir
egzistuoja tokia integruojama funkcija g, su kuria |fn (t)| ≤ g beveik visiems t ∈ S (n ∈ N.)
Tuomet
Z
Z
(1.16)
lim
fn (t)µ( dt) = f (t)µ( dt).
n→∞
S
S
30
Įrodymas. Pereidami, jei reikia, prie posekių, galime tarti, kad seka (fn ) konverguoja prie f
pataškiui. Be to, galime tarti, kad |fn (t)| ≤ g(t) kiekvienai argumento reikšmei t. Tuomet su
visais t
g(t) − fn (t) ≥ 0, g(t) + fn (t) ≥ 0.
Remiantis Fatu lema
Z
lim inf
n→∞
Z
(g − fn ) dµ ≥
Z
lim inf (g − fn ) dµ =
n→∞
(g − f ) dµ.
R
R
Kairėje šios lygybės pusįėje esantys dydis yra lygus g dµ−lim inf n→∞ fn dµ. Kadangi funkcija
g yra integruojama ir |f | ≤ g, |fn | ≤ g, tai fn ir f taip pat integruojamos, todėl
Z
Z
lim inf fn dµ ≤ f dµ.
n→∞
Atlikę analogiškus veiksmus su seka (g + fn ), gauname
Z
Z
lim inf fn dµ ≥ f dµ.
n→∞
Iš pastarųjų dviejų nelygybių gauname (1.16).
1.9 teorema. Tarkime (fn ) yra tokia mačių funkcijų seka, kad fn (t) > 0 beveik visiems t ∈ S,
fn (t) 6 fm (t) su visais t ∈ S, kai n 6 m ir limn fn (t) = f (t) visiems t ∈ S. Tuomet galioja (1.16)
sąryšis.
1.2 lema. Tarkime, (fn ) yra neneigiamų integruojamų funkcijų seka. Jei
Z
lim
fn (t)µ( dt) < ∞,
n→∞
S
tai funkcija f (t) = lim inf n→∞ fn (t), t ∈ S, yra integruojama ir
Z
Z
f (t)µ( dt) ≤ lim inf fn (t)µ( dt).
n→∞
S
S
Įrodymas. Apibrėžkime gn (s) = inf{fi (s), i ≥ n}, s ∈ S. Tuomet seka (gn ) monotoniškai
nemažėja ir konverguoja į lim inf n fn . Remiantis teorema apie monotoninį konvergavimą
Z
Z
lim inf
gn dµ = (lim inf fn ) dµ.
n
Kadangi gn ≤ fn su visais n, tai
R
E
E
gn dµ ≤
E
R
E
n
fn dµ su visais n.
31
Integravimo kintamųjų keitimas
Kintamųjų keitimo integrale taisyklę nustato ši teorema.
1.10 teorema. Tarkime, (S1 , S1 , µ1 ) yra kita erdvė su matu, T : S1 → S – matus atvaizdis. Be to,
tarkime µ1 yra toks σ baigtinis matas, kad matas µ1 ◦ T −1 taip pat σ baigtinis. Tuomet su bet kuria
mačia funkcija f ir bet kuria mačia aibe F
Z
Z
f ◦ T dµ1 = f dµ1 ◦ T −1 .
T −1 (F )
F
Matas µ1 ◦ T −1 (A) = µ1 (T −1 (A)), A ∈ T .
Įrodymas. Pirmausia imkime funkciją f = 1A . Tuomet
Z
1A dµ ◦ T −1 = µ ◦ T −1 (B ∩ F ) = µ(T −1 (B) ∩ T −1 (F ))
F
Z
Z
1B ◦ T dµ.
1T −1 (B) dµ =
=
T −1 (F )
T −1 (F )
Taigi formulė teisinga, kai f indikatorinė funkcija. Kadangi laiptinės funkcijos yra tiesinė kompinacija indikatorinių, tai formulė išlieka teisinga ir bet kuriai laiptinei funkcijai. Toliau tarkime,
f yra neneigiama mati funkcija. Tuomet egzistuoja tokia laiptinių funkcijų seka (gn ), kuri monotoniškai didėja ir konverguoja į f . Be to, (gn ◦ T ) taip pat yra monotoniškai didėjanti laiptinių
funkcijų seka, kuri konverguoja į f ◦ T . Lieka pritaikyti teoremą apie monotoninį konvergavimą.
Bendras mačios funkcijos atvejis susiveda į išnagrinėtą pritaikius lygybę |f ◦ T | = |f | ◦ T.
1.18 teiginys. Tegu (fn ) yraRneneigiamųR mačių funkcijų seka, kuri konverguoja prie f pagal matą.
Jei fn ir f integruojamos ir fn dµ → f dµ, tai
Z
lim
|fn − f | dµ = 0.
n→∞
1.5
Pratimai
1.1 pratimas. Raskite
S
x∈[0,1] [x, 2]
ir
T
x∈[0,1] [x, 2].
1.2 pratimas. Tarkime, {Ai , i ∈ I} yra kurios nors aibės poaibių šeima. Įrodykite De Morgano
(1.1) tapatybes.
1.3 pratimas. Nustatykite, kurie iš pateiktų binarinių sąryšių ∼ yra ekvivalentumo ir jiems aprašykite ekvivalentumo klases:
(a) Aibėje R sąryšis x ∼ y reiškia, kad |x − y| < 1.;
(b) Aibėje R2 sąryšis x ∼ y reiškia, kad taškai x ir y yra vienoje tiesėje, einančioje per koordinačių pradžią;
32
(c) Aibėje R2 sąryšis x ∼ y reiškia, kad taškai x = (x1 , x2 ) ir y = (y1 , y2 ) tenkina x21 + x22 =
y12 + y22 ;
(d) Aibėje 2R sąryšis A ∼ B aibėms A, B ⊆ R reiškia, kad A ∩ B = ∅;
(e) Funkcijų aibėje RR sąryšis f ∼ g reiškia, kad egzistuoja tokia konstanta c, kad f (x) =
g(x) + c, x ∈ R.
1.4 pratimas. Apibrėžkime funkciją f : N ∪ {0} → Z:
(
x/2,
jei x yra lyginis
f (x) =
−(x + 1)/2, jei x yra nelyginis.
Įrodykite, kad funkcija f yra bijekcija.
1.5 pratimas. Patikrinkite šias lygybes:
(a) 1A4B = |1A − 1B |.
o S T
n P
(b) x : n 1An (x) < ∞ = n k≥n Ack .
1.6 pratimas. Įrodykite šiuos teiginius.
(1) Racionaliųjų skaičių aibė Q yra skaiti.
(2) Skaiti skaičių aibių sąjunga yra skaiti aibė.
(3) Bet kuris netuščias atviras realiųjų skaičių intervalas yra neskaiti aibė.
1.7 pratimas. Įsitikinkite, kad visų galimų intervalo [0, 1] pointervalių baigtinių sąjungų rinkinys
yra algebra, bet nėra σ algebra.
1.8 pratimas. Imkime A ⊂ 2S . Nagrinėkime aibių
B=
n \
m
[
Bki ,
k=1 i=1
c
rinkinį, kai arba Bki ∈ A, arba Bki
∈ A. Pažymėkime jį A0 . Įsitikinkite, kad šeima A0 ir yra
mažiausia algebra, kuriai priklauso A.
1.9 pratimas. Tegu A, A0 ⊂ 2S . Įrodykite šiuos sąryšius:
(a) Jei A ⊂ A0 , tai σ(A) ⊂ σ(A0 );
(b) Jei A ⊂ σ(A0 ) tai σ(A) ⊂ σ(A0 );
(c) Jei A ⊂ A0 ⊂ σ(A), tai σ(A) = σ(A0 ).
33
1.10 pratimas. Įsitikinkite, kad BR = σ(A), kai A yra bet kuri iš šių šeimų:
{(a, b) : a, b ∈ R}, {(a, b) : a, b ∈ Q},
{(−∞, a) : a ∈ R}. {(−∞, a) : a ∈ Q}.
1.11 pratimas. Įrodykite, kad realiųjų skaičių aibės R bet kuri taškinė aibė {x} yra Borelio.
1.12 pratimas. Įsitikinkite, kad BR = σ(A), kai
(a) A = {(a, b) : a, b ∈ R};
(b) A = {(−∞, a] : a ∈ R};
(c) A = {(a, ∞) : a ∈ R}.
1.13 pratimas. Įsitikinkite, kad
BR = σ(BR , {−∞}, {+∞})
1.14 pratimas. Įsitikinkite, kad topologinės erdvės Borelio σ algebra yra taip pat generuojama
uždarųjų aibių šeima. Taigi tiek atviros tolologinės erdvės S aibės, tiek uždaros yra Borelio.
1.15 pratimas. Įrodykite, kad atvirasis metrinės erdvės rutulys yra atvira aibė, o uždarasis - uždara.
1.16 pratimas. Įsitikinkite, kad atvirųjų metrinės erdvės (S, d) aibių šeima τd sudaro topologiją.
Ji vadinama natūraliaja metrinės erdvės topologija.
1.17 pratimas. Patikrinkite metrikos aksiomas funkcijai
d(x, y) =
|x − y|
,
1 + |x − y|
x, y ∈ R.
Ar metrinės erdvės (R, d) topologija yra ekvivalenti Euklidinei?
1.18 pratimas. Patikrinkite metrikos aksiomas funkcijoms d1 , d2 , d∞ , apibrėžtoms ?? pavyzdyje.
Įsitikinkite, kad jos aprašo ekvivalenčias erdvės Rm topologijas.
1.19 pratimas. Tegu F yra aibės Ω poaibių σ algebra, B ⊂ Ω. Įsitikinkite, kad rinkinys G =
{A ∩ B : A ∈ F} yra aibės B poaibių σ algebra.
Tegu (S, S) yra mati erdvė. Seka (An ) ⊂ S yra
• monotoniškai didėjanti, jei An ⊆ An+1 su visais n ≥ 1;
• monotoniškai mažėjanti, jei An ⊇ An+1 su visais n ≥ 1.
Aibei
lim sup An =
n→∞
∞ [
∞
\
i=1 n=i
34
An
priklauso tik tie s ∈ S, kurie priklauso begalo daugeliui An . Aibei
lim inf An =
n→∞
∞ \
∞
[
An
i=1 n=i
priklauso tik tie s ∈ S, kurie priklauso visoms aibėms An išskyrus galbūt baigtinį jų skaičių. Jei
lim inf n→∞ An = lim supn→∞ An tai tą aibę žymime limn→∞ An ir vadiname aibių sekos (An )
riba.
1.20 pratimas. Koks ryšys tarp lim sup ir lim inf apibrėžimų skaičių sekai (xn ) ir aibių sekai
(An )?
1.21 pratimas. Apibrėžkime
(
(−1/n, 1],
An =
(−1, 1/n],
kai n nelyginis
kai n lyginis.
Raskite lim inf n→∞ An ir lim supn→∞ An .
1.22 pratimas. Tegu (An , n ∈ N) yra aibių seka. Įrodykite šiuos teiginius:
(a) lim inf n→∞ An = lim supn→∞ An tada ir tik tada, kai su kiekvienu ω ∈ Ω egzistuoja riba
limn→∞ 1An (ω).
S
(b) Jei seka (An ) monotoniškai didėjanti, tai limn→∞ An = ∞
n=1 An .
T
(c) Jei seka (An ) monotoniškai mažėjanti, tai limn→∞ An = ∞
n=1 An .
1.23 pratimas. Įrodykite 1.1 lemą.
1.24 pratimas. Įrodykite, kad (1.5 formule aprašoma aibių sistema yra algebra, o (1.5 formule
aprašoma funkcija - matas toje algebroje.
1.25 pratimas. Įrodykite, kad funkcija f : S → R yra mati tada ir tik tada, kai f −1 ((r, ∞]) ∈ S
su visais r ∈ Q.
1.26 pratimas. Įrodykite, kad atitinkamai parinkus matą µ
Z
∞
X
f (xn ) = f (x)µ(dx).
n=1
1.27 pratimas. Tegu metrinės erdvės (S, d) σ algebra σ(C) yra generuota atvirų rutulių šeima
CS = {Sr (x) : r ≥ 0.x ∈ S}. Pateikite pavyzdį, kuris įrodytų, kad bendru atveju σ(CS ) 6= BS .
Pagalba. Nagrinė metrinę erdvę (R, d), kai d yra diskrečioji metrika:
(
1,
kai x 6= y,
d(x, y) =
.
0,
kai x = y.
Tuomet bet kuris R poaibis yra atvira aibė, taigi BR = 2R .. Atviri diskrečiosios metrinės erdvės rutuliai yra
arba vieno taško aibės arba visa R.
35
1.28 pratimas. Tegu (S, S) yra mati erdvė, A ⊂ R yra tiršta aibė. T.y., kokį beimtume skaičių ε > 0,
kiekvienam x ∈ R rasime tokį xε ∈ A, kad |x − xε | < ε. Pavyzdžiui, racionaliųjų skaičių aibė Q yra tiršta.
Įrodykite, kad funkcija f : S → R yra mati tada ir tik tada, kai išpildoma viena iš šių sąlygų:
(a) f −1 ((a, ∞]) ∈ S su kiekvienu a ∈ A;
(a) f −1 ([a, ∞]) ∈ S su kiekvienu a ∈ A;
(a) f −1 ([−∞, a)) ∈ S su kiekvienu a ∈ A;
(a) f −1 ([−∞, a]) ∈ S su kiekvienu a ∈ A.
1.29 pratimas. Tarkime, funkcija f : R → R yra tolydi visur išskyrus baigtinį arba skaitų taškų skaičių.
Įrodykite, kad funkcija f yra Borelio.
1.30 pratimas. Įrodykite, kad bet kuri monotoninė funkcija f : R → R yra Borelio.
36
2 skyrius
Atsitiktiniai dydžiai
2.1
Apibrėžimai
Fiksuokime tikimybinę erdvė (Ω, F, P ). Tuo atveju, kai tikimybinę erdvę siejame su kokiu nors statistiniu
eksperimentu, aibę Ω interpretuojame kaip elementariųjų įvykių visumą, F – eksperimento metu stebimų
įvykių σ-algebrą, o P (A) reiškia įvykio A pasirodymo galimybė išreikšta skaičiumi iš intervalo [0, 1]. Visiškai bendru atveju, Ω galima interpretuoti kaip vsiumą Gamtos scenarijų, o A ∈ F yra scenarijų rinkinys,
kurį Gamta parenka su tikimybe P (A).
Matematine-tikimybine kalba, atsitiktinis dydis, apibrėžtas tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ), yra (F, BR ) matus (trumpiau – F-matus) atvaizdis X : Ω → R, t.y., tokia funkcija
X : Ω → R,
kad
(2.1)
{ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A} ∈ F
su kiekviena Borelio aibe A ⊂ R (A ∈ BR ).
Kadangi Borelio σ algebrą generuoja intervalai, pakanka, kad (2.1) savybė būtų teisinga šio pavidalo
(2.2)
[a, b), (−∞, b), [a, ∞), (−∞, ∞), a, b ∈ R
aibėms A ⊂ R. Taigi tie scenarijai ω ∈ Ω, dėl kurių atsitiktinio dydžio X reikšmės yra, tarkime, intervale
[a, b), visados yra pamatuojami, t.y.
{ω ∈ Ω : X(ω) ∈ [a, b)} ∈ F
ir galime kalbėti apie tikimybę P ({ω : X(ω) ∈ [a, b)}). Trumpindami, vietoj P ({ω : X(ω) ∈ A}) dažnai
rašysime P (X ∈ A).
2.1 teiginys. Jei X yra atsitiktinis dydis, o g : R → R yra Borelio funkcija, t.y., tokia funkcija, kuriai
g −1 (A) := {x ∈ R : g(x) ∈ A} ∈ BR ,
su kiekviena aibe A ∈ BR , tai g(X) yra atsitiktinis dydis.
37
Įrodymas. Išvedame iš 1.6 teoremos.
Tolydžios funkcijos ir funkcijos turinčios ne daugiau nei skaičią trūkio taškų aibę yra Borelio (žr. 1.29
pratimą). Taigi pavyzdžiui, jei X yra atsitiktinis dydis, tai X 2 , cos(X), 1/X, yra atsitiktiniai dydžiai.
Visų atistiktinių dydžių, apibrėžtų tikimybinėje erdvėjs (Ω, F, P ) aibė žymima L0 = L0 (Ω, F, P ). Du
atsitiktiniai dydžiai X1 ir X2 , apibrėžti toje pačioje tikimybinėje erdvėje, vadinami ekvivalenčiais (žymėsib.t.
me X1 = X2 arba X1 = X2 b.t., arba tiesiog X1 = X2 ), jei
P (ω : X1 (ω) 6= X2 (ω)) = 0.
Galima įsitikinti, kad ∼ yra aibės L0 ekvivalentumo sąryšis (žr. 2.3 pratimą). Atitinkama faktor aibė žymima
L0 = L0 (Ω, F, P ):
L0 (Ω, F, P ) = L(Ω, F, P )/ ∼ .
Atsitiktinis dydis X apibrėžia σ algebrą FX := {X −1 (B) : B ∈ BR } ⊂ F, kuri vadinama atsitiktinio
dydžio X generuota σ algebra (žr. 2.1 pratimą), bei tikimybinį matą PX :
PX (B) = P ({ω : X(ω) ∈ B}),
B ∈ BR .
Tikimybinis matas PX vadinamas atsitiktinio dydžio X skirstiniu. Taigi atsitiktinis dydis tikimybinę erdvę (Ω, F.P ) pakeičia kita tikimybine erdve (R, BR , PX ) arba (R, FX , PX ). Jei µ yra tikimybinis matas,
apibrėžtas aibės R Borelio σ algebroje, tai egzistuoja tikimybinė ervdvė (Ω, F, P ) ir toks atsitiktinis dydis
X : Ω → R, kad PX = µ. Pakanka paimti Ω = R, F = BR ir apibrėžti X : Ω → R, X(ω) = ω.
2.2
Pasiskirstymo funkcija ir kitos charakteristikos
Atsitiktinio dydžio aprašymui naudojamos įvairios neatsitiktinės charakteristikos. Bene svarbiausia yra pasiskirstymo funkcija. Atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija yra realioji realaus argumento funkcija
FX : R → R,
FX (x) = P (ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x), x ∈ R.
Pagrindines jos savybes aprašo šis teiginys.
2.2 teiginys. Atsitiktinio dydžio pasiskirstymo funkcija F pasižymi šiomis savybėmis:
(i) limx→+∞ F (x) = 1,
limx→−∞ F (x) = 0,
(ii) F yra nemažėjanti: jei x < y tai F (x) ≤ F (y),
(iii) F yra tolydi iš dešinės: F (x + h) → F (x), jei h ↓ 0.
Be to, kiekviena nemažėjanti tolydi iš dešinės ir tenkinanti (i) sąlygą funkcija F : R → R yra kurio nors
atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija, t.y. egzistuoja tokia tikimybinė erdvė (Ω, F, P ) ir toks joje
apibrėžtas atsitiktinis dydis X, kad F = FX .
D
Atsitiktiniai dydžiai X1 , X2 yra vienodai pasiskirstę (žymėsime X1 = X2 ), jei jų pasiskirstymo funkcijos sutampa, t.y.
FX1 (x) = P (ω : X1 (ω) ≤ x) = P (ω : X2 (ω) ≤ x) = FX2 (x)
su visais x ∈ R. Čia atkreipiame dėmesį, kad vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai nebūtinai turi būti
apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje.
Ekonometrija bei finansų matematika paprastai nagrinėja tik diskrečiuosius ir tolydžiuosius atsitiktinius
dydžius.
38
2.1 apibrėžimas. Atsitiktinis dydis X vadinamas diskrečiuoju, jeigu jo įgyjamų reikšmių aibė {xi } yra
baigtinė arba skaiti.
Diskretūs atsitiktiniai dydžiai pilnai aprašomi įgyjamomis reikšmėmis x1 , x2 , . . . , ir atitinkamomis tų
reikšmių įgyjimo tikimybėmis p1 , p2 , · · · :
pk = pX (xk ) = P (ω : X(ω) = xk ), k = 1, 2, . . .
Skaičių rinkinys (pX (xk )) (arba trumpiau (pk )) vadinamas diskrečiojo atsitiktinio dydžio X reikšmių tikimybių funkcija. Ji pasižymi šiomis savybėmis:
(i) 0 ≤ pX (xk ) ≤ 1 su visais k
(ii) pX (x) = 0, jei x 6= xk ;
P
(iii)
k pX (xk ) = 1.
Jei X yra diskretus atsitiktinis dydis su reikšmėmis x1 , x2 , . . . ir
P (X = xk ) = pk , k = 1, 2, . . .
tai jo pasiskirstymo funkcija yra
F (x) =
X
pk ,
x ∈ R.
k: xk ≤x
Jei aibė A ⊂ Ω yra mati (A ∈ F), tuomet (ir tik tuomet) indikatorinė funkcija
(
1,
kai ω ∈ A,
1A (ω) =
0,
kai ω 6∈ A
yra atsitiktinis dydis. Tai bene paprasčiausias diskretusis atsitiktinis dydis.
2.2 apibrėžimas. Atsitiktinį dydį X su pasiskirstymo funkcija FX vadiname tolydžiuoju, jei egzistuoja tokia
neneigiama Borelio funkcija fX : R → R, kad
Z x
FX (x) =
fX (t) dt, x ∈ R.
−∞
Jei nepasakyta kitaip, realaus argumento funkcijų integralai suprantami Lebego prasme. Funkcija fX vadinama atsitiktinio dydžio X tankio funkcija (tankiu). Ji pasižymi šiomis savybėmis:
(i) fX (x) ≥ 0 su visais x ∈ R;
R∞
(ii) −∞ fX (x) dx = 1;
(iii) fX yra atkarpomis tolydi funkcija;
Rb
(iv) P (ω : a < X(ω) ≤ b) = a fX (x) dx su visais a < b;
(v) Borelio aibei B ⊂ R,
Z
f (x) dx = P (X ∈ B).
B
39
Atsitiktinio dydžio X vidurkis (tikėtina reikšmė arba tipinė reikšmė) yra X integralas atžvilgiu tikimybinio
mato P :
Z
Z
E(X) =
X(ω) dP (ω) = X dP.
Ω
Priminsime šio integralo apibrėžimą. Atskiru atveju, kai X yra diskretusis atsitiktinis dydis, tarkime, su
reikšmėmis a1 , a2 , . . . ir Aj = {ω : X(ω) = aj }, j = 1, 2, . . . , apibrėžiame
Z
X(ω) dP (ω) := a1 P (A1 ) + a2 P (A2 ) + · · · .
Ω
Taigi E(1A ) = P (A). Todėl vidurkis yra tam tikra prasme bendresnė sąvoka už tikimybę.
Toliau remiamės šiuo faktu: jei X yra neneigiamas a.d. tai egzistuoja tokia neneigiamų diskrečiųjų a.d.
seka X1 , X2 , . . . , kad
X1 (ω) ≤ X2 (ω) ≤ · · ·
ir, be to,
lim Xn (ω) = X(ω)
n→∞
su visais ω ∈ Ω. Remdamiesi šiuo faktu, apibrėžiame
Z
Z
X(ω) dP (ω) := lim
Xn (ω) dP ≤ ∞.
n→∞ Ω
Ω
R
Čia reikia pažymėti, kad riba visada egzistuoja (baigtinė arba begalinė), nes seka ( Ω Xn dP, n ≥ 1) yra
nemažėjanti.
Galiausiai, jei X yra bet kuris atsitiktinis dydis, tuomet
E(X) := E(X + ) − E(X − ),
čia X + = max{X, 0}, X − = − min{X, 0}, jei tik bent vienas iš vidurkių E(X + ) arba E(X − ) yra baigtinis. Jei abu vidurkiai EX + ir EX − yra baigtiniai, tuomet E|X| < ∞. Šiuo atveju sakome, kad a.d. X yra
integruojamas.
2.3 teiginys. Neneigiamo tolydžiojo atsitiktinio dydžio vidurkis yra
Z ∞
(2.3)
E(X) =
P (ω : X(ω) > x) dx.
0
Įrodymas. Šią formulę nesunkiai išvedame sukeitę integravimo tvarką:
Z
Z Z ∞
E(X) =
X(ω) dP (ω) =
1{X(ω)>t} dt dP (ω)
Ω
0
ZΩ∞
=
P (X > t) dt.
0
Iš (2.3) gauname kitą svarbią formulę, kuri susieja atsitiktinio dydžio momentus su galimų didelių reikšmių
tikimybėmis: jei p ≥ 1, tada
Z ∞
(2.4)
E|X|p = p
xp−1 P (ω : |X(ω)| > x) dx.
0
Diskretaus neneigiamo sveikareikšmio a.d. vidurkiui skaičiuoti galima naudotis tokia formule.
40
2.4 teiginys. Jei X yra neneigiamas sveikareikšmis atsitiktinis dydis, tai
EX =
(2.5)
∞
X
P (X > k).
k=0
Įrodymas. Įrodymui reikia sukeisti sumavimo tvarką:
∞
X
P (X > k) =
k=0
=
∞ X
∞
X
j−1 ∞ X
X
pj =
j=1
k=0 j=k+1
∞
X
pj
k=0
jpj = EX.
j=1
Atsitiktinio dydžio vidurkį galime išreikšti Rymano-Stiltjeso integralu atžvilgiu jo pasiskirstymo funkcijos:
Z
∞
E(X) =
xdFX (x).
0
Jei g : R → R yra Borelio funkcija ir E|g(X)| < ∞, tuomet
Z
Z
E(g(X)) =
g(X(ω)) dP (ω) =
∞
g(x) dFX (x).
−∞
Ω
Atskiru atveju, jei X yra tolydusis a.d. su tankio funkcija fX , tai
Z ∞
Z ∞
Eg(X) =
g(x) dPX (x) =
g(x)fX (x) dx.
−∞
−∞
Jei X yra diskretusis a.d. su reikšmių tikimybių funkcija (pk ) tuomet
Z ∞
X
Eg(X) =
g(x) dFX (x) =
g(xk )pk .
−∞
k
Priminsime kitas svarbesnes diskrečiųjų bei tolydžiųjų atsitiktinių dydžių charakteristikas.
• n-tosios eilės momentas:
E(X n ) =
(R ∞
k
−∞ x fX (x)dx,
P
n
k xk pX (xk ),
kai X tolydus a.d.
kai X diskretus a.d.
• dispersija
2
σX
(R ∞
= var(X) =
2
−∞ (x − µX ) fX (x)dx,
P
2
k (xk − µX ) pX (xk ),
kai X tolydus a.d.
kai X diskretus a.d.
• standartinis nuokrypis yra σX - kvadratinė šaknis iš dispersijos.
• charakteristinė funkcija yra argumento t ∈ R, bendru atveju, kompleksinė funkcija
cX (t) = EeıtX = E cos(tX) + ıE sin(tX).
Čia ı =
√
−1.
41
• generuojanti funkcija yra argumento s > 0 funkcija
gX (s) = EsX ,
s > 0.
Funkcija gX yra apibrėžta tiems s > 0 su kuriais EsX < ∞.
2.1 pavyzdys. Bernulio atsitiktinis dydis.
Atsitiktinis dydis X turintis tik dvi galimas reikšmes 0 ir 1, vadinamas Bernulio atsitiktiniu dydžiu.
Tikimybė, kad tas dydis įgis reikšmę 1 lygi p, o P (X = 0) = 1 − p. Bernuli atsitiktinis dydis aprašo vieno
kurio nors įvykio „sėkmę” – „nesekmę”. Tai gali būti, tarkime, vartotojo sprendimas pirkti kurią nors prekę;
banko sprendimas apie kredito išdavimą; darbdavio sprendimas apie priėmimą į darbą ir t.t. Jo vidurkis ir
dispersija yra atitinkamai
2
µX = p ir σX
= p(1 − p).
2.2 pavyzdys. Binominis atsitiktinis dydis.
Jei atliekame n bandymų, kiekviename iš kurių įvykis pasirodo su tikimybe p ir nepasirodo su tikimybe
1 − p, tuomet įvykio pasirodymų skaičius X yra Binominis atsitiktinis dydis (žymime X ∼ b(k; n, p)). Jo
galimos reikšmės yra 0, 1, . . . , n ir atitinkamos tikimybės
n k
P (X = k) = b(k; n, p) :=
p (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n.
k
2 = var(X) = np(1 − p), o generuojanti funkcija yra
Be to, µX = E(X) = np, σX
gX (s) = (1 − p + ps)n ,
s > 0.
2.3 pavyzdys. Puasono atsitiktinis dydis.
Puasono atsitiktinis dydis X yra diskretusis atsitiktinis dydis, kurio reikšmės yra 0, 1, 2, 3, . . . , o atitinkamos tikimybės
λk −λ
P (X = k) = p(k; λ) :=
e
k!
su kiekvienu k = 0, 1, . . . (žymėsime X ∼ p(k; λ)). Čia λ > 0 yra Puasono parametras, dar vadinamas
intensyvumu.
Tai labai plačiai naudojamas atsitiktinis dydis, dažniausiai aprašantis kokių nors įvykių pasirodymo
skaičių vienetinio ilgio laiko intervale, kai vidutinis tų įvykių pasirodymas per tą patį laiką yra λ. Pavyzdžiui,
skambučių skaičius per tam tikrą laiką (valandą, dieną ir t.t.); fiksuotame laiko intervale kreditinių kortelių
panaudojimo bankomate skaičius; per tam tikrą laiko intervalą (per dieną, valandą ar pan.) užeinančių
į parduotuvę pirkėjų skaičius. Puasono atsitiktinis dydis labai paplitęs modeliuojant skaičiuojančiuosius
procesus.
Tegu X yra Puasono atsitiktinis dydis su parametru λ > 0. Tuomet
∞
∞
X
λk −λ X λk −λ
k e
EX =
k e =
k!
k!
k=0
∞
X
=λ
k=1
k=1
λk−1
(k − 1)!
e−λ = λ.
Norėdami suskaičiuoti Puasono atsitiktinio dydžio dispersiją, pirmiausia suskaičiuojame
EX(X − 1) =
∞
X
k(k − 1)
k=2
42
λk −λ
e = λ2 .
k!
Kadangi EX 2 = EX(X − 1) + EX = λ2 + λ, tai dispersija yra
var(X) = EX 2 − (EX)2 = λ.
Puasono atsitiktinio dydžio generuojanti funkcija yra
gX (s) = eλ(s−1) ,
s > 0.
2.4 pavyzdys. Geometrinis atsitiktinis dydis.
Bandymą, kuriame įvykis pasirodo su tikimybe p tol kartojame, kol įvykis pasirodo. Reikalingų tam
bandymų skaičius X ir turi geometrinį skirstinį (žymėsime X ∼ g(n; p). Atitinkamos tikimybės yra
P (X = n) = (1 − p)n p, n = 0, 1, 2, . . .
Pažymėję q = 1 − p, suskaičiuojame
EX =
∞
X
kq k p = p
k=0
∞ X
∞
X
=p
=
j=1 k=j
∞
X
j
q =
j=1
∞
X
kq k = p
k=0
∞
X
qj = p
∞ X
k
X
1 qk
k=0
j=1
q j (1 − q)−1
j=1
q
.
p
Geometrinio atsitiktinio dydžio generuojanti funkcija yra
gX (s) =
p
,
1 − qs
0 < s < q −1 .
2.5 pavyzdys. Tolygusis a.d. Atsitiktinis dydis X vadinamas tolygiuoju intervale (a, b), jei jo tankio funkcija yra

 1 , kai a < x < b
fX (x) = b − a
0
kitur.
Tolygiojo a.d. pasiskirstymo funkcija yra


0,

x − a
,
FX (x) =

b−a


1
kai x ≤ a
kai a < x < b;
kai x ≥ b.
Kitos jo skaitinės charakteristikos: vidurkis µX = E(X) =
a+b
2 ,
2 = var(X) =
dispersija σX
(b−a)2
12 .
2.6 pavyzdys. Eksponentinis a.d. Atsitiktinis dydis X vadinamas eksponentiniu su parametru λ > 0 (žymėsime X ∼ exp{λ}), jei jo tankio funkcija yra
(
λe−λx , kai x > 0
fX (x) =
0
kitur.
43
Eksponentinio a.d. pasiskirstymo funkcija yra
(
1 − e−λx ,
FX (x) =
0
kai x ≥ 0;
kai x < 0.
2 = var(X) =
Kitos jo charakteristikos yra: vidurkis µX = E(X) = λ1 , dispersija σX
atsitiktiniai dydžiai taikomi modeliuojant draudiminius įvykius.
1
.
λ2
Eksponentiniai
2.7 pavyzdys. Normalusis a.d. Atsitiktinis dydis X vadinamas normaliuoju su parametrais (µ, σ 2 ) (žymėsime X ∼ N (µ, σ 2 )), jei jo tankio funkcija yra
fX (x) = √
n (x − µ)2 o
1
exp −
, x ∈ R.
2σ 2
2πσ
Parametrai µ ir σ 2 yra atitinkamai vidurkis ir dispersija. Atsitiktinis dydis X ∼ N (0, 1) vadinamas standartiniu normaliuoju. Jo pasiskirstymo funkcija žymima Φ:
Z x
1
2
Φ(x) = √
e−s /2 ds, x ∈ R.
2π −∞
A.d. X ∼ N (0, σ 2 ) charakteristinę bei generuojančią funkcijas galime rasti pasinaudoję šia formule: su
visais u ∈ R
Z ∞
Z ∞
1
1
2 2
2
ux −x2 /2σ 2
σ 2 u2 /2
E exp{uX} = √
eux e−(x−σ u) /2σ dx
e e
dx = √ e
σ 2π −∞
σ 2π
−∞
2 2
= exp{σ u /2}.
Normalusis atsitiktinis dydis, kurio vidurkis yra µ, o dispersija σ 2 reikšmes iš intervalo [µ−1.96σ, µ+1.96σ]
įgyja su tikimybe 0.95:
P (µ − 1.96σ ≤ X ≤ µ + 1.96σ) = Φ(1.96) − Φ(−1.96) = 0.95.
Šis sąryšis plačiai taikomas statistikoje.
2.3
Atsitiktiniai vektoriai
Jei X1 , . . . , Xd yra atsitiktiniai dydžiai, apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ), tai jų sutvarkytas
rinkinys X = (X1 , . . . , Xd ) vadinamas atsitiktiniu vektoriumi. Norėdami jį interpretuoti kaip atsitiktinį
erdvės Rd elementą, turime apibrėžti atitinkamą tos erdvės σ algebrą.
2.3 apibrėžimas. Erdvės Rd Borelio σ algebra BRd yra mažiausia σ algebra, kuriai priklauso aibės
A1 × · · · × Ad ,
A1 , . . . , Ad ∈ BR .
Galima įsitiktinti (žr, 2.21 pratimą), kad atsitiktinis vektorius X = (X1 , . . . , Xd ) yra F/BRd -matus atvaizdis:
X −1 (B) ∈ F, B ∈ BRd .
Taigi, atsitiktinis vektorius yra atsitiktinis erdvės Rd elementas. Ir atvirkščiai, jei X : Ω → Rd yra F/BRd matus atvaizdis, tuomet X = (X1 , . . . , Xd ) ir Xi , i = 1, . . . , d yra atsitiktiniai dyžiai.
44
Atsitiktinio vektoriaus X = (X1 , . . . , Xd ) pasiskirstymo funkcija vadiname d kintamųjų funkciją
FX (x) = FX (x1 , . . . , xd ) = P (ω : X1 (ω) ≤ x1 , . . . , Xd ≤ xd ), x = (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd .
Atsitiktinio vektoriaus X = (X1 , . . . , Xd ), kurio pasiskirstymo funkcija yra FX (x1 , . . . , xd ) komponentės
Xk marginalinė pasiskirstymo funkcija yra
Fk (xk ) = FX (+∞, · · · , +∞, xk , +∞, . . . , +∞) :
lim
x1 ,...,xk−1 ,xk+1 ,...,xd →∞
FX (x1 , . . . , xd ), xk ∈ R.
Analogiškai apibrėžiame ir bet kurio vektoriaus X = (X1 , . . . , Xd ) kooedinačių rinkinio (Xk1 , . . . , Xkq )
marginalinę pasiskirstymo funkciją
Fk1 ,...,kq (xk1 , . . . , xkq ) =
lim
xj →∞,j∈{1,...,d}\{k1 ,...,kq }
FX (x1 , . . . , xd ).
Bet kuri d-mačio atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo funkcija F pasižymi šiomis savybėmis:
(i) kiekvienam k, 1 ≤ k ≤ d, F (x1 , . . . , xd ) → 0, kai xk → −∞;
(ii) F (x1 , . . . , xd ) → 1, kai x1 → ∞, . . . , xd → ∞;
(iii) F yra tolydi iš dešinės kiekvieno argumento atžvilgiu;
(iv) su bet kuriais ai < bi , i = 1, . . . , d,
X
(−1)ε1 +···+εd F (ε1 a1 + (1 − ε1 )b1 , . . . , εd ad + (1 − εd )bd ) ≥ 0.
ε1 ,...εd =±1
Ir atvirkščiai, jei d kintamųjų funkcija F (x1 , . . . , xd ) pasižymi (i)–(iv) savybėmis, tai ji yra kurio nors
atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo funkcija.
Atsitiktiniai vektoriai X1 = (X11 , . . . , X1d ), X2 = (X21 , . . . , X2d ) yra
• ekvivaletūs X1 ∼ X2 arba lygūs beveik tikrai X1 = X2 b.t., jei P ({ω : X1 (ω) 6= X2 (ω)}) = 0;
D
• vienodai pasiskirstę (žymėsime X1 = X2 ), jei jų pasiskirstymo funkcijos sutampa, t.y.
P (ω : X11 (ω) ≤ x1 , . . . , X1d (ω) ≤ xd ) = P (ω : X21 (ω) ≤ x1 , . . . , X2d ≤ xd )
su visais (x1 , . . . , xd ) ∈ Rd .
Sakysime, kad atsitiktinis vektorius X ∈ Rd turi tankio funkciją fX jei fX : Rd → R yra tokia neneigiama
Borelio funkcija, kad
Z
b1
P (ai < Xi ≤ bi , i = 1, . . . , d) =
Z
bd
···
a1
fX (x1 , . . . , xd )dx1 · · · dxd ,
ad
su bet kuriais realiaisiais skaičiais ai < bi , i = 1, . . . , d.
2.5 teiginys. Jei funkcija g : Rd → Rm yra Borelio, t.y.
g −1 (A) ∈ BRd
su kiekviena aibe A ∈ BRm , tai g(X1 , . . . , Xd ) yra m-matis atsitiktinis vektorius.
45
Atskiru šio teiginio atveju gauname, kad su kiekviena Borelio funkcija g : Rd → R, g(X) yra atsitiktinis
dydis, jei X yra atsitiktinis vektorius. Taigi galime kalbėti apie to atsitiktinio dydžio įvairias skaitines
charakteristikas.
Tolydi funkcija arba funkcija turinti ne daugiau nei skaičią trūkio taškų aibę yra Borelio. Taigi pavyzdžiui, jei X1 , X2 yra atsitiktiniai dydžiai, tai X1 + X2 , X1 X2 , X1 /X2 yra atsitiktiniai dydžiai.
Atsitiktinio vektoriaus X = (X1 , . . . , Xd ) vidurkis yra vektorius
E(X) = (E(X1 ), . . . , E(Xd )).
Atsitiktinio vektoriaus X = (X1 , . . . , Xd ) kovariacinė matrica yra matrica
ΓX = (ΓX (i, j))1≤i,j≤d = (cov(Xi , Xj ))1≤i,j≤d ;
čia
ΓX (i, j) = cov(Xi , Xj ) = E(Xi Xj ) − E(Xi )E(Xj ),
yra atsitiktinių dydžių Xi ir Xj kovariacija, i, j = 1, . . . , d. Matrica ΓX yra simetrinė ir neneigiamai apibrėžta, t.y., ΓX (i, j) = ΓX (j, i) ir
d
X
ΓX (i, j)ai aj ≥ 0
i,j=1
su visais realiaisais skaičiais a1 , . . . , ad . Kovariacinės matricos simetriškumas yra matomas tiesiog apibrėžime, o jos neneigiamą apibrėžtumą gauname iš šių lygybių:
d
X
ΓX (i, j)ai aj =
i,j=1
d
X
cov(Xi , Xj )ai aj = var
i,j=1
d
X
ai Xi ≥ 0.
i=1
2.8 pavyzdys. Atsitiktinis vektorius X = (X1 , . . . , Xd ) turi normalųjį skirstinį su parametrais m ir Γ (trumai žymėasime X ∼ N (m, Γ)), jei jo tankio funkcija yra
fX (x1 , . . . , xd ) = (2π det(Γ))−d/2 exp
n
−
d
o
1 X
(xi − mi )(xj − mj )Γ−1 (i, j) .
2
i,j=1
Čia m = (m1 , . . . , md ) ∈ Rd yra atsitiktinio vektoriaus X vidurkio vektorius, Γ = (Γ(i, j)) - kovariacinė
matrica, o Γ−1 = (Γ−1 (i, j)) - jos atvirkštinė matrica. Atsitiktinis vektorius X ∼ N (0, I); čia I yra
vienetinė matrica, vadinamas standartiniu normaliuoju.
Jei Γ yra diagonalinė matrica, Γ = diag(σ12 , . . . , σd2 ), tuomet atsitiktinio vektoriaus X tankio funkcija
yra normaliųjų tankio funkcijų sandauga:
fX (x1 , . . . , xd ) =
d Y
1
q
i=1
2πσi2
exp{−(xi − mi )2 /2σi2 } .
Jei X ∼ N (m, Γ) ir A yra bet kuri d × d matrica, tai atsitiktinis vektorius AX turi normalinį skirstinį su
parametrais Am ir AΓA0 (A0 žymi transponuotą matricą).
46
2.4
Nepriklausomumas
Nepriklausomumo sąvoka yra bene svarbiausia tikimybių teorijoje. Tegu (Ω, F, P ) yra tikimybinė erdvė.
2.4 apibrėžimas. Įvykiai A, B ∈ F yra vadinami tarpusavyje P -nepriklausomais, jei
P (A ∩ B) = P (A)P (B).
Nagrinėkime tikimybinę erdvę, atitinkančią taisyklingo lošimo kauliukų metimą. Įvykiai
A = {dviejų mestų kauliukų iškritusių taškų suma yra 6}
ir
B = {pirmame kauliuke iškrito 4}
nėra nepriklausomi.Tačiau įvykiai B ir
C = {dviejų mestų kauliukų iškritusių taškų suma yra 7}
yra nepriklausomi.
Pažymėsime, kad įvykiai gali būti tarpusavyje nepriklausomi vieno tikimybinio mato atžvilgiu, bet priklausomi atžvilgiu kito (žr. 2.25 pratimą).
2.5 apibrėžimas.
• Įvykiai A1 , . . . , An vadinami:
– poromis tarpusavyje P -nepriklausomais, jei
P (Aj ∩ Ak ) = P (Aj )P (Ak ), kai k 6= j;
– tarpusavyje P -nepriklausomais, jei su bet kuriais 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ n,
P (Ai1 ∩ · · · ∩ Aik ) = P (Ai1 ) · · · P (Aik ),
• Begalinis rinkinys įvykių yra tarpusavyje P -nepriklausomi, jei bet kuris baigtinis jų porinkinis yra
tarpusavyje P -nepriklausomi.
• Dvi aibės Ω poaibių σ algebros F1 ir F2 vadinamos P -nepriklausomomis, jei
P (A ∩ B) = P (A)P (B),
kai A ∈ F1 , B ∈ F2 .
Galima įsitikinti, kad poromis tarpusavio P -nepriklausomumas negarantuoja tarpusavio P -nepriklausomumo
(žr. 2.26 pratimą).
Šiuose apibrėžimuose, tikimybinį matą P praleisime, kai jis yra žinomas iš konteksto, t.y., vietoj P nepriklausomi sakysime tiesiog nepriklausomi.
2.6 apibrėžimas. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y , apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje vadinami nepriklausomais, jei σ algebros FX ir FY yra nepriklausomos. Analogiškai, atsitiktiniai vektoriai X = (X1 , . . . Xm )
ir Y = (Y1 , . . . , Yd ), apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje vadinami nepriklausomais, jei jų generuotos σ
algebros FX ir FY yra nepriklausomos.
47
Galima įrodyti (žr. 2.28 pratimą), kad atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai
P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x)P (Y ≤ y),
x, y ∈ R.
Ši nepriklausomumo savybė sugeneruoja įvairius atsitiktinių dydžių priklausomumo modelius. Pavyzdžiui,
atsitiktiniai dydžiai X ir Y yra vadinami neigiamai priklausomais, jei
P (X ≤ x, Y ≤ y) ≤ P (X ≤ x)P (Y ≤ y)
ir
P (X ≥ x, Y ≥ y) ≤ P (X ≥ x)P (Y ≥ y)
su visais x, y ∈ R.
Jei vektoriai X = (X1 , . . . Xm ) ir Y = (Y1 , . . . , Yd ) yra nepriklausomi, tai nepriklausomi yra ir atsitiktiniai dydžiai h(X), g(Y ), kokios bebūtų Borelio funkcijos h : Rm → R ir g : Rd → R (žr. 2.27
pratimą).
2.7 apibrėžimas. Atsitiktiniai dydžiai X ir Y , kuriems EX 2 < ∞ ir EY 2 < ∞ vadinami nekoreliuotais,
jei
E(XY ) = E(X)E(Y ).
Atsitiktinių dydžių koreliacija rodo tam tikrą tų dydžių tarpusavio priklausomybę. Jei jie yra nepriklausomi tai ir nekoreliuoti. Bet atvirkščiai nebūtinai. Pavyzdžiui, jei X ∼ N (0, 1), tai atsitiktiniai dydžiai
X1 = X ir X2 = X 2 yra akivaizdžiai priklausomi, bet nekoreliuoti : E(X1 X2 ) = E(X 3 ) = 0 =
E(X1 )E(X2 ).
Šis teiginys paaiškina nepriklausomumo sąryšį su koreliacija.
2.6 teiginys. Su bet kuriais m ≥ 1, d ≥ 1 atsitiktiniai vektoriai X = (X1 , . . . Xm ) ir Y = (Y1 , . . . , Yd ),
apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai
E(h(X1 , . . . , Xm )g(Y1 , . . . , Yd )) = Eh(X1 , . . . , Xm )Eg(Y1 , . . . , Yd ),
bet kurioms aprėžtoms Borelio funkcijoms h : Rm → R ir g : Rd → R.
Pritaikę teiginį dviems atsitiktiniams dydžiams matome, kad atsitiktiniai dydžiai X1 ir X2 yra nepriklausomi
tada ir tik tada, kai atsitiktiniai dydžiai h(X1 ) ir g(X2 ) yra nekoreliuoti su bet kuriomis aprėžtomis Borelio
funkcijomis g, h : R → R.
Tikimybių teorija negrinėja įvairius atsitiktinių dydžių priklausomumo modelius.
2.8 apibrėžimas. Tegu sveikasis skaičius m ≥ 1. Atsitiktiniai dydžiai X1 , X2 , . . . vadinami m-priklausomais,
jei atsitiktiniai dydžiai Xi ir Xj yra nepriklausomi, kai tik |i − j| ≥ m.
2.9 pavyzdys. Tarkime, Y0 , Y1 , Y2 , . . . yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Apibrėžkime
Xj = Yj−1 + Yj , j = 1, 2, . . .
Tuomet atsitiktiniai dydžiai X1 , X2 , . . . yra 2-priklausomi.
Kitokius atsitiktinių dydžių priklausomumo modelius (pavyzdžiui, martingalinis, markoviškas priklausomumai) sutiksime studijuodami atsitiktinius procesus.
48
2.5
Sąlyginis vidurkis
Įvykio A ∈ F sąlyginė tikimybė su sąlyga, kad įvyko įvykis B ∈ F, apskaičiuojama pagal formulę
P (A|B) =
P (A ∩ B)
.
P (B)
Sąlyginės tikimybės interpretacija paprasta. Tarkime, kad įvykis B įvyko. Ši, papildoma informacija, leidžia
pakeisti tikimybinę erdvę. Priskirkime nulinę tikimybę įvykiui B c , o vienetą – įvykiui B. Taip įvykis B
pasidaro nauja elementariųjų įvykių erdve, tarkime, Ω0 , o įvykiais dabar yra jos matūs jos poaibiai A ∩ B ⊂
Ω0 (žr. 3.2 pratimą). Naujoje erdvėje apibrėžiame tikimybinį matą normalizuodami senąsias tikimybes
P (A ∩ B) skaičiumi P (B).
Jei P (B) > 0 ir X – atsitiktinis dydis, tai jo sąlyginė pasiskirstymo funkcija atžvilgiu B yra funkcija
FX (x|B) =
P (X ≤ x, B)
, x ∈ R,
P (B)
o sąlyginis vidurkis:
E(X|B) =
1
EX1B .
P (B)
2.10 pavyzdys. Imkime Ω = (0, 1], F = B(0,1] - jos Borelio σ algebrą, o tikimybę P apibrėžkime taip, kad
P ((a, b]) = b − a. Apibrėžkime atsitiktinį dydį X(ω) = ω, ω ∈ Ω. Nesunku įsitikinti, kad X turi tolygųjį
pasiskirstymą ir EX = 0.5. Jei B = (0, 1/4], tai
Z 1/4
1
1
1
E(X|B) =
EX1B =
x dx = .
P (B)
P (B) 0
8
Dabar tarkime, kad Y yra diskretusis atsitiktinis dydis, apibrėžtas aibėje Ω ir įgyjantis reikšmes yi , i =
1, 2, . . . . Nemažindami bendrumo galime tarti kad tos reikšmės yra skirtingos ir
Bi = {ω : Y (ω) = yi }, i = 1, 2, . . .
Tuomet aibių rinkinys (Bi ) yra aibės Ω skaidinys:
Bi ∩ Bj = ∅, kai i 6= j ir
∞
[
Bi = Ω.
i=1
Be to, tarsime, kad P (Bi ) > 0, su visais i = 1, 2, . . . .
2.9 apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio X, apibrėžto aibėje Ω ir turinčio baigtinį vidurkį (E|X| < ∞) sąlyginiu vidurkiu atžvilgiu atsitiktinio dydžio Y vadinamas toks diskretusis atsitiktinis dydis E(X|Y ), kad
E(X|Y )(ω) = E(X|Bi ) = E(X|Y = yi ), kai ω ∈ Bi , i = 1, 2, . . .
Jei žinome, kad įvyko įvykis Bi , tuomet apsiribojame tik tais ω, kurie priklauso aibei Bi . Tiems ω,
E(X|Y )(ω) sutampa su sąlyginiu vidurkiu E(X|Bi ).
2.11 pavyzdys. Tęskime 2.10 pavyzdį. Tegu a.d. Y yra apibrėžtas toje pačioje tikimybinėje erdvėje kaip ir
X, tokiu būdu:
(
ω/2,
kai ω ∈ [0, 1/4)
Y (ω) =
2ω,
kai ω ∈ [1/4, 1].
49
Tuomet
(
1/8,
E(X|Y )(ω) =
5/8,
kai
kai
ω ∈ [0, 1/4)
ω ∈ [1/4, 1].
Išvardinsime kelias sąlyginio vidurkio savybes:
• Sąlyginis vidurkis yra tiesinė funkcija:
E([aX + bZ]|Y ) = aE[X|Y ] + bE[Z|Y ].
• Atsitiktinių dydžių X ir E[X|Y ] vidurkiai sutampa:
EX = E(E[X|Y ]).
Šių savybių įrodymą paliekame vietoj pratimo.
Sąlyginis vidurkis E[X|Y ], kai Y diskretusis a.d. yra diskretus a.d. Tam tikra prasme, tai yra šiurkštesnė
(grubesnė) a.d. X versija. Kuo mažiau reikšmių įgyja Y , tuo grubesnis yra a.d. E[X|Y ]. Taip, jei Y =
const, tai E[X|Y ] = EX; jei Y įgyja dvi skirtingas reikšmes, tai toks yra ir sąlyginis vidurkis E[X|Y ].
Sąlyginis vidurkis E[X|Y ] yra Y funkcija:
E[X|Y ] = g(Y ), čia g(y) =
∞
X
E[X|Y = yi ]1{yi } (y).
i=1
Iš sąlyginio vidurkio E[X|Y ] apibrėžimo, kai Y yra diskretus atsitiktinis dydis, aišku, kad a.d. Y reikšmės čia visai nesvarbios, bet svarbūs įvykiai lemiantys tas reikšmes. Todėl sąlyginį vidurkį galime suprasti
kaip atsitiktinį dydį sukonstruotą pagal su dydžiu Y susijusią įvykių aibę, tarkime σ(Y ) ir simboliškai, vietoj
E[X|Y ] rašyti E[X|σ(Y )]. Aišku, kad σ(Y ) suteikia visą informaciją apie a.d. Y , kaip ω ∈ Ω funkciją.
Priminsime, kad atsitiktinius dydžius nagrinėjame apibrėžtus tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ). Tarkime,
G yra kita aibės Ω poaibių σ algebra ir G ⊂ F.
2.10 apibrėžimas. Atsitiktinio dydžio X sąlyginis vidurkis atžvilgiu σ algebros G yra toks G-matus atsitiktinis dydis E(X|G), kuriam
E(E(X|G)1F ) = E(X1F ),
su kiekviena aibe F ∈ G.
Sąlyginis vidurkis E(X|Y ) = E(X|FY ), kai FY yra mažiausia σ algebra atžvilgiu kurios yra matus atsitiktinis dydis Y . Įvykio A ∈ F sąlyginė tikimybė atžvilgiu G yra
P (A|G) = E(1A |G).
Svarbu įsidėmėti, kad sąlyginis vidurkis ir sąlyginė tikimybė atžvilgiu kurios nors σ algebros yra atsitiktinis
dydis.
Jei σ algebra G yra generuota baigtiniu skaidiniu {B1 , . . . , Bn }, tuomet
E(X|G) =
n
X
k=1
1
E(X1Bk )1Bk .
P (Bk )
Jei atsitiktinis vektorius (X, Y ) yra aprašomas tankio funkcija f (x, y), tai atsitiktinio dydžio X sąlyginė
tankio funkcija, kai fiksuota dydžio Y reikšmė y, yra
f (x|y) =
f (x, y)
,
fY (y)
50
kai fY (y) yra atsitiktinio dydžio Y marginalioji tankio funkcija. Tuomet
Z b
f (x|y)dx,
P (a < X ≤ b|Y = y) =
a
Z ∞
E(X|Y = y) =
xf (x|y)dx.
−∞
Išvardinsime paprasčiausias sąlyginio vidurkio savybes. Lygybės tarp atistiktinių dyžių yra lygybės
beveik tikrai.
1) Jei X = c b.t., tai E(X|G) = c b.t.
2) E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G);
3) Jei σ algebros FX ir G yra nepriklausomos, tai E(X|G) = EX;
4) Jei X yra G-matus, tai E(X|G) = X;
5) Jei X ≤ Y b.t., tai E(X|G) ≤ E(Y |G) b.t.
6) |E(X|G)| ≤ E(|X|| G);
7) Dvigubo vidurkinimo taisyklė: jei σ-algebros G1 ir G2 tenkina G1 , ⊂ G2 ⊂ F, tai
E(E(X|G2 )|G1 ) = E(X|G1 ).
8) Jei Y yra G-matus, tai
E(XY |G) = Y E(X|G).
9) Jenseno nelygybė: jei h : R → R yra iškiloji funkcija (t.y., h(λx + (1 − λ)y) ≤ λh(x) + (1 − λ)h(y)
su visais λ ∈ [0, 1] ir x, y ∈ R), tuomet
h(E(X|G)) ≤ E(h(X)|G).
2.6
Naudingi tikimybių teorijos faktai
Šiame skirelyje surinkti naudingi tikimybių teorijos faktai, kuriais ateityje naudosimės.
• Čebyševo nelygybė: jei λ > 0, tai
P (|X| > λ) ≤ λ−p E|X|p .
1/2
• Švarco nelygybė: E(XY ) ≤ EX 2 EY 2
.
• Hiolderio nelygybė: jei skaičiai p, q > 1 tenkina sąryšį 1/p + 1/q = 1, tai
E(XY ) ≤ E|X|p
1/p
E|Y |q
• Jenseno nelygybė: jei funkcija φ : R → R yra iškila, tai
φ(E(X)) ≤ E(φ(X)).
51
1/q
.
Atsitiktinių dydžių sekoms apibrėžiami kelių tipų konvergavimai. Tarkime, atsitiktinių dydžių seka (Xn )
ir a.d. X yra apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ).
b.t.
• Konvergavimas beveik tikrai: Seka (Xn ) konverguoja beveik tikrai prie X (Xn −→ X), jei egzistuoja
tokia mati aibė N ∈ F, kad P (N ) = 0 ir
lim Xn (ω) = X(ω),
n→∞
su visais ω 6∈ N.
P
• Konvergavimas pagal tikimybę: Seka (Xn ) konverguoja pagal tikimybę prie X (Xn −→ X), jei
lim P (|Xn − X| > ε) = 0,
n→∞
su visais ε > 0.
• Konvergavimas p-ojo momento prasme: tegu p ≥ 1. Seka (Xn ) konverguoja p-ojo momento praseme
Lp
(Lp -prasme) prie X (Xn −→ X), jei
lim E|Xn − X|p = 0.
n→∞
Sekos (Xn ) konvergavimo pagal skirstinį apibrėžimui jau nėra būtina, kad tie dydžiai būtų apibrėžti
vienoje tikimybinėje erdvėje.
D
• Konvergavimas pagal skirstinį: Seka (Xn ) konverguoja pagal skirstinį prie X (Xn −→ X), jei
lim Ef (Xn ) = Ef (X)
n→∞
su bet kuria aprėžta tolydžia funkcija f : R → R.
Pasiskirstymo funkcijų terminais konvergavimas pagal skirstinį yra ekvivalentus
lim FXn (x) → FX (x)
n→∞
kiekvienam funkcijos F tolydumo taškui x ∈ R.
Sąryšius tarp konvergavimo tipų nusako šis teiginys.
2.7 teiginys. Tegu (Xn ) yra a.d. seka, a.d. X ∈ R. Teisingi šie teiginiai:
b.t.
1. Xn −→ X
Lp
2. Xn −→ X
P
3. Xn −→ X
P
⇒
Xn −→ X;
⇒
Xn −→ X;
⇒
Xn −→ X;
D
P
D
4. Xn −→ C(konstanta)
P
3. Xn −→ X
⇒
⇒
P
Xn −→ X;
egzistuoja posekis
b.t.
Xnk −→ X.
Tikimybių teorijai labai svarbūs yra didžiųjų skaičių dėsnis bei centrinė ribinė teorema. Silpnasis didžiųjų skaičių dėsnis yra šis teiginys.
52
2.8 teiginys. (Silpnasis didžiųjų skaičių dėsnis) Tegu (Xn ) yra nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių atsitiktinių dydžių seka. Tuomet
P
n−1 (X1 + · · · + Xn ) −→ 0
tada ir tik tada, kai
• limt→∞ tP (|X1 | > t) = 0;
• limn→∞ EX1{|X| > n} = 0.
Stiprusis didžiųjų skaičių dėsnis ir centrinė ribinė teorema suformuluoti šiuose teiginiuose.
2.9 teiginys. (Stiprusis didžiųjų skaičių dėsnis) Tegu (Xn ) yra seka nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių a.d. Tuomet
b.t.
n−1 (X1 + · · · + Xn ) −→ EX1 .
tada ir tik tada, kai E|X1 | < ∞.
2.10 teiginys. (Centrinė ribinė teorema) Tegu (Xn ) yra seka nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių a.d.
su vidurkiu µ = EX1 ir baigtine dispersija σ 2 = EX12 < ∞. Tuomet
D
Zn = n−1/2 (X1 + · · · + Xn − nµ) −→ N (0, 1).
2.7
Pratimai
2.1 pratimas. Įsitikinkite, kad FX yra σ algebra.
2.2 pratimas. Įrodykite 2.1 teiginį.
2.3 pratimas. Įrodykite kad atsitiktinių dydžių lygybė beveik tikrai yra ekvivalentumo sąryšis.
2.4 pratimas. Įrodykite, kad atsitiktinių dydžių X ir X skirstiniai sutampa, jei sutampa jų pasiskirstymo
funkcijos.
2.5 pratimas. Įrodykite, kad λF + (1 − λ)G yra pasiskirstymo funkcija, kai F ir G yra pasiskirstymo
funkcijos, o λ ∈ [0, 1]. Ar sandauga F G yra pasiskirstymo funkcija?
2.6 pratimas. Įrodykite, kad tolydžiam atsitiktiniam dydžiui X,
P (ω : X(ω) = x) = 0.
2.7 pratimas. Tegu (Xn ) yra atsitiktinių dydžių seka. Įsitikinkite, kad
(a) lim supn→∞ Xn , yra atsitiktinis dydis;
(b) lim inf n→∞ Xn yra atsitiktinis dydis;
(c) aibė {ω : limn→∞ Xn (ω) egzistuoja} yra mati;
(
limn→∞ Xn (ω), jei riba egzistuopja
(d) X(ω) =
.
0,
kitur.
Įsitikinkite, kad X yra atsitiktinis dydis.
53
2.8 pratimas. Įrodykite, kad λf + (1 − λ)g yra tankio funkcija, kai f ir g yra tankio funkcijos, o λ ∈ [0, 1].
Ar sandauga f g yra tankio funkcija?
2.9 pratimas. Tarkime, X yra atsitiktinis dydis su tankio funkcija
fX (x) =
λ −λ|x|
e
,
2
kai x ∈ R. Raskite var(X).
2.10 pratimas. Atsitiktinių dydžių
X + = max{0, X},
X − = − min{0, X},
|X| = X + + X − ,
−X
pasiskirstymo funkcijas išreiškite atsitiktinio dydžio X pasiskirstymo funkcija FX .
2.11 pratimas. Atvaizdis d : S × S → R vadinamas aibės S metrika, jei yra teisingos šios savybės:
(i) d(s, t) = d(t, s) ≥ 0 su visais s, t ∈ S,
(ii) d(s, t) = 0 tada ir tik tada, kai s = t,
(iii) d(s, t) ≤ d(s, u) + d(u, t) su visais s, t, u ∈ S.
(a) Levi metrika. Pasiskirstymo funkcijoms F ir G, Levi metrika yra
dL (F, G) = inf{ε > 0 : G(x − ε) ≤ F (x) ≤ G(x + ε), visiems x}.
Įrodykite, kad dL yra pasiskirstymo funkcijų aibės metrika.
(b) Pilnosios variacijos metrika. Tegu X ir Y yra sveikareikšmiai atsitiktiniai dydžiai ir
X
dT V (X, Y ) =
|P (X = k) − P (Y = k)|.
k
Įrodykite, kad funkcija dT V tenkina pirmą ir trečią metrikos savybes ir dT V (X, Y ) = 0 tada ir tik
tada, kai P (X = Y ) = 1.
(c) Įrodykite, kad
dT V (X, Y ) = 2 sup |P (X ∈ A) − P (Y ∈ A)|.
A⊂Z
2.12 pratimas. Įrodykite, kad
argmina∈R E(X − a)2 = EX.
2.13 pratimas. Tarkime, X yra Puasono atsitiktinis dydis su parametru λ. Raskite E(1/(X + 1)).
2.14 pratimas. Tegu X, Y yra nepriklausomi eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai su parametru λ. Raskite
E|X − Y |.
2.15 pratimas. Tegu X ∼ N (0, σ 2 ). Žinodami, kad
EeλX = exp
su visais λ ∈ R, išveskite:
54
n1
2
λ2 σ 2
o
(a) EX 2k =
(2k)! 2k
σ , k = 1, 2, . . . ;
2k k!
(b) EX 2k−1 = 0, k = 1, 2, . . . .
2.16 pratimas. Įrodykite, kad Puasono atsitiktinio dydžio X su paramatru λ charakteristinė funkcija yra
lygi
cX (t) = exp{λ(eit − 1)},
t ∈ R. Remdamiesi šia formule suskaičiuokite EX 2 , var(X), EX 3 .
2.17 pratimas. Tegu X yra Bernulio atsitiktinis dydis, P (X = 0) = 1 − p, P (X = 1) = p. Tegu Y =
1 − X, o Z = XY . Raskite P (X = x, Y = y) ir P (X = x, Z = z), kai x, y, z ∈ [0, 1].
2.18 pratimas. Įrodykite, kad a.d. X ∼ p(k; λ), generuojanti funkcija yra
gX (s) = eλ(s−1) ,
s > 0.
2.19 pratimas. Tarkime g(s) yra atsitiktinio dydžio generuojanti funkcija, kurios konvergavimo spindulys
nemažesnis už 1. Įrodykite, kad funkcija g(s) yra be galo daug kartų diferencijuojama.
2.20 pratimas. Įrodykite šią generuojančių funkcijų savybę:
Jei X1 , X2 yra nepriklausomi neneigiami sveikareikšmiai a.d., kurių generuojančios funkcijos yra
gXi (s), 0 ≤ s ≤ 1, i = 1, 2, tai
gX1 +X2 (s) = PX1 (s)PX2 (s).
2.21 pratimas. Įsitikinkite, kad jei X1 , · · · , Xd yra vienoje tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ) apibrėžti atsitiktiniai dydžiai, tai vektorius (X1 , . . . , Xd ) yra F/BRd -matus.
2.22 pratimas. Įrodykite 2.5 teiginį.
2.23 pratimas. Tarkime, vektoriaus (X, Y ) pasiskirstymo funkcija yra F . Įrodykite, kad
P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = F (b, d) − F (a, d) − F (b, c) + F (a, c),
kai a < b, c < d.
2.24 pratimas. Ar funkcija F (x, y) = 1 − exp{−xy}, 0 ≤ x, y < ∞ yra kokio nors atsitiktinio vektoriaus
pasiskirstymo funkcija?
2.25 pratimas. Sukonstruokite dviejų įvykių pavyzdį,kurie būtų tarpusavyje nepriklausomi vieno tikimybinio mato atžvilgiu, bet priklausomi atžvilgiu kito.
2.26 pratimas. Įsitikinkite, kad poromis tarpusavio P -nepriklausomumas negarantuoja tarpusavio P -nepriklausomumo.
2.27 pratimas. Įsitikinkite, kad jei vektoriai X = (X1 , . . . Xm ) ir Y = (Y1 , . . . , Yd ) yra nepriklausomi,
tai nepriklausomi yra ir atsitiktiniai dydžiai h(X), g(Y ), kokios bebūtų Borelio funkcijos h : Rm → R ir
g : Rd → R.
55
2.28 pratimas. Įrodykite, kad atsitiktiniai dydžiai X1 , . . . , Xd yra tarpusavyje nepriklausomi tada ir tik
tada, kai
P (X1 ≤ x1 , . . . , Xd ≤ xd ) = P (X1 ≤ x1 ) · · · P (Xd ≤ xd ), x1 , . . . , xd ∈ R.
2.29 pratimas. Tegu Xi ∼ N (mi , σi2 ), i = 1, 2 yra nekoreliuoti atsitiktiniai dydžiai. Įrodykite, kad jie yra
nepriklausomi. Apibendrinkite atsitiktiniams Gausiniams vektoriams.
2.30 pratimas. Jei X ∼ N (0, Im ) (Im = diag(1, . . . , 1) yra m × m vienetinė matrica) ir A, B yra m × m
matricos, tai vektoriai AX ir BX yra nepriklausomi tada ir tik tada, kai AB 0 = 0.
2.31 pratimas. Tegu τ yra eksponentinis atsitiktinis dydis su parametru λ. Raskite sąlyginį vidurkį E(τ |τ <
c).
2.32 pratimas. Raskite atsitiktinio dydžio Y sąlyginę tankio funkciją ir sąlyginį vidurkį atžvilgiu X, jei
poros (X, Y ) tankio funkcija yra:
(a) f (x, y) = λ2 e−λy , 0 ≤ x ≤ y < ∞,
(b) f (x, y) = xe−x(y+1) , x, y ≥ 0.
2.33 pratimas. Įrodykite, kad beveik visur konvergavimas yra invariantinis tolydinių transformacių atžvilb.t.
b.t.
giu: jei Xn −→ X ir f : R → R yra tolydi funkcija, tuomet f (Xn ) −→ f (X).
2.34 pratimas. Tegu (Xn ) yra nepriklausomų bernuli a.d. seka, P (Xn = 1) = pm ,
1 − pm . Įrodykite šiuos teiginius:
P
(a) Xn −→ 0 tada ir tik tada, kai pn → 0;
Lp
(b) Xn −→ 0 tada ir tik tada, kai pn → 0;
b.t.
(c) Xn −→ 0 tada ir tik tada, kai
P
n pn
< ∞.
56
P (Xm = 0) =
3 skyrius
Atsitiktiniai procesai
Atsitiktinius procesus galime apibrėžti dviem būdais. Pirmuoju - kaip atsitiktinių dydžių rinkinį indeksuotą
kokia nors realiųjų skaičių aibe. Antruoju - kaip atsitiktinį kokios nors mačios realiojo argumento funkcijų
erdvės elementą. Šiam apibrėžimui reikalingos tam tikros funkcinės analizės žinios. Pirmajam gi tokių žinių
nereikia, tačiau tuomet galime kalbėti tik apie atsitiktinio proceso baigtiniamačius skirstinius, bet ne apie jų
trajektorijų savybes, tokias kaip tolydumas ar diferencijuojamumas. Šiame skyriuje pateikti abu atsitiktinių
procesų apibrėžimai, aprašytos jų skaitinės charakteristikos bei reguliarumo (matumo, diferencijuojamumo,
integruojamumo) savybės.
3.1
Apibrėžimai
Tegu T ⊂ R yra duota aibė.
3.1 apibrėžimas. Tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ) apibrėžtų atsitiktinių dydžių rinkinys
(Xt , t ∈ T )
vadinamas atsitiktiniu procesu.
Atsitiktinio proceso (Xt , t ∈ T ) indeksų aibė T dažnai vadinama laiko sritimi, o t ∈ T interpretuojamas
kaip laiko momentas. Jei aibė T bus aiški iš konteksto, vietoj (Xt , t ∈ T ) dažnai rašysime tiesiog (Xt ).
Atsitiktinis procesas (Xt , t ∈ T ), kai T ⊂ Z = {0, ±1, ±2, . . . } vadinamas diskretaus laiko procesu
arba laikine seka. Jei T yra baigtinė aibė, tuomet (Xt , t ∈ T ) yra tiesiog atsitiktinis vektorius. Jei aibė T
yra tolydi, pavyzdžiui, T = [0, 1], tai procesas (Xt , t ∈ T ) vadinamas tolydaus laiko.
Atsitiktinis procesas (Xt , t ∈ T ) yra dviejų argumentų t ∈ T ir ω ∈ Ω funkcija. Kai t ∈ T fiksuotas,
Xt = {Xt (ω), ω ∈ Ω}
yra atsitiktinis dydis ir interpretuojamas kaip proceso būsena laiko momentu t. Kai fiksuotas „elementarusis
įvykis” ω ∈ Ω, turime argumento t ∈ T funkciją:
{Xt (ω), t ∈ T }
arba t → Xt (ω) : T → R.
Ši funkcija vadinama proceso trajektorija arba realizacija.
3.1 pavyzdys. Bene paprasčiausias diskretaus laiko atsitiktinio proceso pavyzdys - atsitiktinis klaidžiojimas
metant monetą. Dalelė startuoja nulinio laiko momentu koordinačių pradžioje (žr. 2.1 pav.). Kiekvienu laiko
57
momentu n = 1, 2, . . . metama moneta ir dalelė juda per vienetą į dešinę iškritus „pinigui”, į kaire - iškritus
„herbui”. Xn yra dalelės padėtis po n-ojo monetos metimo, n = 1, 2, . . . .
2.1 pav. Diskretaus laiko proceso trajektorija
3.2 pavyzdys. Tegu X ir Y yra du nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Apibrėžkime tolydaus laiko atsitiktinį
procesą (Xt , t ≥ 0):
Xt = tX + Y, t ≥ 0.
Šio proceso trajektorijos yra tiesės su atsitiktiniais koeficientais (atsitiktinės tiesės).
3.3 pavyzdys. (Atvykimų procesas) Nagrinėkime klientų atvykimą į parduotuvę, matuodami laikus nuo
vieno kliento atvykimo iki kito. Tegu tie laikai yra teigiami atsitiktiniai dydžiai X1 , X2 , . . . . Imdami
t ∈ [0, ∞), apibrėžkime Nt = k, jei sveikasis skaičius k yra toks, kad
X1 + · · · + Xk ≤ t < X1 + · · · + Xk+1 .
Tegu Nt = 0, jei t < X1 . Tuomet Nt yra iki laiko momento t (laiko intervale [0, t]) į parduotuvę atvykusių
klientų skaičius. Pastebėkime, kad su kiekvienu t ≥ 0, Nt yra atsitiktinis dydis įgyjantis reikšmes aibėje
N := {0, 1, 2, . . . }. Taigi {Nt , t ≥ 0) yra tolydaus laiko diskretus procesas. Jo trajektorijos yra nemažėjančios, tolydžios iš dešinės funkcijos ir didėjančios
vienetiniais šuoliukais taškuose X1 + · · · + Xk . Be to,
P∞
Nt < ∞ su visais t ≥ 0 tada ir tik tada, kai k=1 Xk = ∞.
3.4 pavyzdys. Nagrinėkime diskretaus laiko atsitiktinį procesą (Xt ), kurio būsenų aibė yra S = {1, 2, 3}.
Proceso dinamika (kitimas laike) aprašoma taip: iš būsenos 1 į būseną 2 procesas pereina su tikimybe 1. Iš
būsenos 3 gali pereiti arba į 1, arba 2 su vienoda tikimybe 1/2, o iš 2 peršoka į 3 su tikimybe 1/3 arba lieka
būsenoje 2. Tai yra Markovo grandinės pavyzdys. Jas detaliai nagrinėsime vėliau.
58
Kaip jau minėjome, kitaip atsitiktinį procesą galime apibrėžti panaudoję atsitiktinės funkcijos sampratą.
Priminsime, kad RT žymi visų funkcijų f : T → R aibę:
RT := {f : T → R}.
Jei T = {1, . . . , d}, tuomet RT = Rd yra tiesiog d-mačių vektorių aibė. Jei T = Z arba T = N, tuomet RT
yra visų galimų skaitinių sekų aibė, atitinkamai
RZ := {(xj , j = 0, ±1, ±2, . . . )},
RN := {(xj , j = 0, 1, 2, . . . )}.
Taigi atsitiktinį procesą (Xt , t ∈ T ) atitinka atvaizdis
ω → {Xt (ω), t ∈ T } : Ω → RT ,
apibrėžtas aibėje Ω ir reikšmes įgyjantis funkcijų erdvėje RT . Norėdami atsitiktinį procesą interpretuoti ar
apibrėžti kaip atsitiktinį aibės RT elementą (kaip atsitiktinę funkciją), aibėje RT turime apibrėžti σ algebrą
kurios atžvilgiu atvaizdis ω → X(ω) = (Xt (ω), t ∈ T ) būtų matus.
Aibės RT d-mate cilindrine aibe vadinsime aibę
A = {x ∈ ST : x(t1 ) ∈ E1 , . . . , x(td ) ∈ Ed },
kai t1 , . . . , td ∈ T, Ei ∈ BR , i = 1, . . . , d. Cilindrinė aibės RT σ algebra yra CRT :
CRT = σ{1 − mačiai stačiakampiai).
Pagal σ algebros apibrėžimą bet kuri baigtiniamatė cilindrinė aibė priklauso CRT .
3.2 apibrėžimas. Atsitiktine realiąja funkcija, apibrėžta aibėje T , vadinsime atvaizdį X : Ω → RT , kuris
yra F/CRT -matus, t.y.
{ω : X(ω) ∈ C} ∈ F, jei C ∈ BRT .
3.1 teiginys. Atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ T ), kaip atvaizdis X : Ω → RT , yra F/BRT -matus.
Įrodymas. Jei E ∈ BR ir C = {x ∈ R : x(t) ∈ E} yra bet kuri vienmatė cilindrinė aibė, tai
X −1 (C) = {omega : Xt (ω) ∈ E} = Xt−1 (E) ∈ F,
nes Xt yra atsitiktinis dydis.
3.3 apibrėžimas. Atsitiktinė (realioji) funkcija apibrėžta aibėje T yra (F, CRT )-matus atvaizdis X : Ω →
RT .
Taigi atsitiktinis procesas yra kartu ir atsitiktinė funkcija. Atvirkščiai yra taip pat. Apibrėžkime projektorius πt : RT → R:
πt x = x(t), x ∈ RT .
3.2 teiginys. Funkcija X : Ω → RT yra (F, CRT )-matu tada ir tik tada, kai πt X : Ω → R yra (F, BR -matus
su kiekvienu t ∈ T .
59
Įrodymas. Pakanka prisiminti, kad cilindrinę σ-algebrą generuoja vienmačtės cilindrinės aibės.
Taigi atsitiktiniu procesu galime vadinti bet kurį BRT /F-matų atvaizdį X : Ω → RT . Ši atsitiktinio
proceso interpretacija leidžia kalbėti apie įvairias procesų trajektorijų savybes, pavyzdžiui, trajektorijų tolydumą, diferencijuojamumą ir pan. Tarkime, mus domina atsitiktinio proceso X = (Xt , t ∈ T ) trajektorijų
savybė, kurią aprašo aibė U ⊂ RT . Pati U gali nepriklausyti (o dažniausiai ir nepriklauso) σ algebrai BRT .
Todėl nagrinėkime susiaurintą σ algebrą U ∩ BRT := {U ∩ A : A ∈ BRT }. Tuomet pora (U, U ∩ BRT ) yra mati
erdvė (žr. 3.2 pratimą).
3.4 apibrėžimas. Atsitiktiniu procesu su trajektorijomis aibėje U vadinsime atvaizdį X : Ω → U, kuris yra
F/U ∩ BRT -matus.
3.3 teiginys. Funkcija X = (Xt , t ∈ T ) : Ω → U yra F/U ∩ B T – mati tada ir tik tada, kai su kiekvienu
t ∈ T , Xt : Ω → R yra F/BR -matus atvaizis.
Įrodymas. Kadangi X(ω) ∈ U, tai {ω : X(ω) ∈ U ∩ A} = {ω : X(ω) ∈ A} su kiekviena A ∈ B T . Kitaip
tariant, jei X : Ω → U tai X yra F/U ∩ B T -matus atvaizdis tada ir tik tada, kai jis yra F/B T -matus.
Keletas pavyzdžių paaiškins, kaip aibės U parinkimas atspindi proceso trajektorijų savybes. Tegu T =
[a, b] ir U := C(T ) = C[a, b] – visų tolydžių funkcijų f : [a, b] → R aibė. Taigi atsitiktinio proceso
X = (Xt , t ∈ [a, b]) trajektorijos yra tolydžios, jei tas procesas yra atsitiktinis erdvės C[a, b] elementas.
Kartais tai matyti tiesiog iš proceso apibrėžimo. Taip, pavyzdžiui, atsitiktinis procesas X = (Xt , t ≥ 0):
Xt = ηt + ξ,
t ≥ 0,
kai η, ξ yra atsitiktiniai dydžiai yra akivaizdžiai procesas su tolydžiomis trajektorijomis (su kiekvienu t ≥ 0,
Xt = ηt + ξ yra atsitiktinis dydis ir X : Ω → C[0, ∞), nes {ω : X(ω) ∈ C[0, ∞)} = Ω).
Kiti analogiški pavyzdžiai: U = B[a, b] – aprėžtų funkcijų f : [a, b] → R aibė; T = (0, ∞) ir U =
L1 (T ) – Lebego prasme integruojamų funkcijų f : (0, ∞) → R aibė; T = N ir U = c0 – konverguojančių į
nulį skaitinių sekų aibė arba U = `2 – kvadratu sumuojamų skaitinių sekų aibė.
Norėdami įsitikinti, kad atsitiktinio proceso X = (Xt , t ∈ T ) beveik visos trajektorijos turi savybę,
kurią aprašo aibė U ⊂ RT , pakanka įrodyti, kad X ∈ U su tikimybe vienas. Pavyzdžiui, atsitiktinio
proceso X = (Xn , n ∈ N) beveik visos trajektorijos konverguoja prie nulio, jei P (X ∈ c0 ) = 1. Kadangi
P (ω : X(ω) ∈ c0 ) = P (ω : limn→∞ Xn (ω) = 0), tai X ∈ c0 beveik tikrai reiškia, kad Xn → 0 beveik
tikrai.
Tačiau patikrinti, kad X ∈ U su tikimybe vienas, ne visada yra paprasta tolydaus laiko procesams, nes
gali iškilti matumo problemos. Įvykis {ω : X(ω) ∈ U} nebūtinai yra matus. Pavyzdžiui, atsitiktiniam
procesui X = (Xt , t ∈ [0, 1]), aibė
{ω : X(ω) ∈ C[0, 1]} =
∞ [
∞
\
\
{ω : |Xt (ω) − Xs (ω)| ≤ 1/n}
n=1 k=1 |t−s|<1/k
nebūtinai priklauso F. Šią matumo problemą detaliau aptarsime kiek vėliau.
60
2.2 pav. Tolydaus laiko proceso trajektorijos
Taigi turime atsitiktinio proceso apibrėžimą ir atsitiktinio proceso su aprašytomis trajektorijų savybėmis
apibrėžimą.
3.2
Atsitiktinių procesų skirstiniai
Nagrinėkime atsitiktinį procesą (Xt , t ∈ T ), T ⊂ R. Fiksuotu laiko momentu t1 ∈ T , Xt1 yra atsitiktinis
dydis. Jo pasiskirstymo funkcija yra
Ft1 (x1 ) = P (ω : Xt1 (ω) ≤ x1 ),
x1 ∈ R.
Pasiskirstymo funkcijų rinkinys {Ft1 , t1 ∈ T } vadinamas atsitiktinio proxceso (Xt , t ∈ T ) pirmosios eilės
pasiskirstimu. Analogiškai, jei t1 < t2 ∈ T , tai Xt1 , Xt2 yra du atsitiktiniai dydžiai. Jų bendra pasiskirstymo funkcija yra
Ft1 ,t2 (x1 , x2 ) = P (ω : Xt1 (ω) ≤ x1 , Xt2 (ω) ≤ x2 ).
Rinkinys {Ft1 ,t2 , t1 < t2 ∈ T } sudaro proceso antrosios eilės pasiskirstimą.
Jei t1 < · · · < tn yra baigtinis parametro t skirtingų reikšmių rinkinys, tai atsitiktinio vektoriaus
(Xt1 , . . . , Xtn ) pasiskirstymo funkcija Ft1 ,...,tn yra
Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) = P (ω : Xt1 (ω) ≤ x1 , . . . , Xtn (ω) ≤ xn )
ir jų šeima, kai t1 < · · · < tn ∈ T vadinama n-tosios eilės pasiskirstimu. Visų eilių pasiskirstimų rinkinys,
(3.1)
{Ft1 ,...,tn : t1 < t2 · · · < tn ∈ T, n ≥ 1}
vadinama proceso (Xt , t ∈ T ) baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima. Ji pilnai aprašo atsitiktinį
procesą.
Funkcijų šeima {Ft1 ,...,tn : t1 < t2 · · · < tn ∈ T, n ≥ 1}, vadinama suderinta pasiskirstymo funkcijų
šeima, jei
61
(i) Ft1 ,...,tn yra n-mačio atsitiktinio vektoriaus pasiskirstymo funkcija;
(ii) jei {tk1 < · · · < tkm } ⊂ {t1 < · · · < tn }, tuomet Ftk1 ,...,tkm yra pasiskirstymo funkcijos Ft1 ,...,tn
marginalinė funkcija atitinkanti indeksus tk1 , . . . , tkm , t.y.
xi →∞,
lim
i∈{1,...,n}\{i1 ,...,km }
Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) = Ftk1 ,...,tkm (xk1 , . . . , xkm ).
3.1 teorema. (Kolmogorovo) Jei {Ft1 ,...,tn : t1 < t2 · · · < tn ∈ T, n ≥ 1}, yra suderinta pasiskirstymo
funkcijų šeima, tai egzistuoja tikimybinė erdvė (Ω, F, P ) ir toks joje apibrėžtas atsitiktinis procesas (Xt , t ∈
T ), kurio baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima sutampa su {Ft1 ,...,tn : t1 < t2 · · · < tn ∈ T, n ≥
1}.
3.5 pavyzdys. (Chaoso procesas) Tegu F yra bet kuri pasiskirstymo funkcija, apibrėžta realiųjų skaičių
aibėje R. Imdami skirtingus t1 < · · · < tm ∈ T ir bet kuriuos x1 , . . . , xm ∈ R, apibrėžkime
Ft1 ,t2 ,...,tm (x1 , x2 , . . . , xm ) =
m
Y
F (xk ),
k=1
Atitinkama baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima apibrėžia atsitiktinį procesą (Xt , t ∈ T ), kurį galime interpretuoti kaip chaosą, nes visi procesą sudarantys atsitiktiniai dydžiai yra tarpusavyje nepriklausomi.
Jei atsitiktinį procesą apibrėžiame kaip atsitiktinę funkciją, galime kalbėti apie jos skirstinį. Tegu U ⊂
RT ir X = (Xt , t ∈ T ) : Ω → U yra F/U ∩ BRT -matus atvaizdis. Jo skirstiniu vadiname tikimybinį matą
PX , apibrėžtą aibėms A ∈ U ∩ BRT :
PX (A) = P (ω : X(ω) ∈ A).
Jei A yra cilindrinė aibė, tarkime, A = (−∞, x] × RT \{t} , tai
PX (A) = P (Xt ≤ x).
3.2 teorema.∗ Tarkime X = (Xt , t ∈ T ) ir Y = (Yt , t ∈ T ) yra du atsitiktiniai procesai su trajektorijomis
aibėje U ⊂ RT . Tuomet PX = PY tada ir tik tada, kai procesų (Xt , t ∈ T ) ir (Yt , t ∈ T ) baigtiniamačiai
skirstiniai sutampa.
Įrodymas. Jei PX = PY , tuomet PX (C) = PY (C) su kiekviena cilindrine aibe C ∈ RT . Imdami C =
{f ∈ RT : f (t1 ) ≤ x1 , . . . , f (td ) ≤ xd } gauname
P (Xt1 ≤ x1 , . . . , Xtd ≤ xd ) = P (Yt1 ≤ x1 , . . . , Ytd ≤ xd ).
Taigi procesų baigtiniamačiai skirstiniai sutampa.
Pakankamumo įrodymui pasinaudosime aibių π − λ-sistemų savybėmis. Nagrinėkime cilindrinių aibių
šeimą
C = {f ∈ RT : (f (t1 ), . . . , f (td )) ∈ B}, d ∈ N, B ∈ BRd , t1 , . . . , td ∈ T.
Ji yra uždara sankirtų atžvilgiu. Taigi yra π-sistema.
Toliau nagrinėkime tokių aibių U ⊂ RT sistemą U, kad PX (U ) = PY (U ). Įsitikinkime, kad ji yra
λ-sistema: (i) jai priklauso RT ; (ii) uždara atžvilgiu papildymo; (iii) uždara atžvilgiu monotoniniškai didėjančių ribų.
Kadangi PX (RT ) = 1 = PY (RT ), tai RT ∈ U. Jei U ∈ U, tai PX (U c ) = 1 − PX (U ) = 1 − PY (U ) =
PY (U c ), taigi U c ∈ U. Galiausiai, jei turime monotoniškai didėjančią aibių seką (Un ) ⊂ U ir Un ↑ U ,
62
tuomet PX (Un ) ↑ PX (U ) ir PY (Un ) ↑ PY (U ). Bet PX (Un ) = PY (Un ), todėl PX (U ) = PY (U ). Taigi U
yra λ-sistema.
Kadangi C ⊂ U ir C yra π − λ-sistema, tai ir σ(C) ⊂ U. Kita vertus σ(C) = BRT . Taigi BRT ⊂ U.
Vadinasi, BRT = U ir PX (U ) = PY (U ) su visais U ∈ BRT . Taigi PX = PY .
Atsitiktinio proceso baigtiniamačiai skirstiniai aprašo įvairius jo skaitinius parametrus bei įvairias trajektorijų savybes.
Atsitiktinio proceso X = (Xt , t ∈ T ) vidurkio funkcija (arba tiesiog vidurkis) yra funkcija µX : T → R,
µX (t) = EXt , t ∈ T.
Vidurkio funkciją, kuri charakterizuoja
vidutinę ar tipinę proceso trajektoriją, aprašo proceso pirmos eilės
R∞
pasiskirstymas, nes µX (t) = −∞ x dFt (x).
Atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ T ) vadinamas antrosios eilės procesu, jei EXt2 < ∞ su visais
t ∈ T . Antrosios eilės procesui X = (Xt , t ∈ T ) apibrėžiami šie parametrai:
• autokoreliacinė funkcija QX : T 2 → R,
QX (t, s) = EXt Xs , t, s ∈ T,
Funkcija (QX (t, t), t ∈ T ) dažnai vadinama proceso (Xt , t ∈ T ) vidutine galia.
• autokovariacinė funkcija ΓX : T 2 → R,
ΓX (t, s) = cov X (t, s) = E[(Xt − µX (t))(Xs − µX (s))], t, s ∈ T,
2 : T → R,
• variacijos funkcija σX
2
σX
(t) = cov X (t, t) = varXt , t ∈ T.
• autokoreliacijos keoficientas ρX : T 2 → R,
ρX (t, s) =
ΓX (t, s)
,
[ΓX (t, t)ΓX (s, s)]1/2
s, t ∈ T.
Tiek autokoreliacinę funkciją, tiek autokovariacinę funkciją aprašo proceso antrosios eilės pasiskirstymas.
Autokovariacinės funkcijos savybės surinktos šiame teiginyje.
3.4 teiginys. Tarkime, X = (Xt , t ∈ T ) yra atsitiktinis procesas su nuliniu vidurkiu ir autokovariacine
funkcija Γ = ΓX . Tada teisingos šios savybės:
(1) Γ(s, t) = Γ(t, s) ir Γ(t, t) ≥ 0.
(2) Funkcija Γ yra neneigiamai apibrėžta, t.y.,
n
X
Γ(tj , tk )aj ak ≥ 0
j,k=1
su visais ti ∈ T, ai ∈ R, i = 1, . . . , n ir visais n ∈ N;
(3) |Γ(s, t)| ≤ Γ1/2 (s, s)Γ1/2 (t, t);
63
(4) dviejų autokovariacinių funkcijų suma yra autokovariacinė funkcija;
(5) dviejų autokovariacinių funkcijų sandauga yra autokovariacinė funkcija;
(6) su bet kuria realiąja funkcija σ : T → R, funkcija (s, t) → σ(s)σ(t) yra autokovariacinė funkcija.
Įrodymas. Pimoji savybė gaunama tiesiog
P iš autokoreliacijos funkcijos apibrėžimo. Norėdami įrodyti (2)
savybę, apibrėžkime atsitiktinį dydį Y = nk=1 ak Xtk . Galime suskaičiuoti
2
EY =
n
X
aj ak Γ(tj , tk ) ≥ 0.
j,k=1
Trečioji savybė yra tiesiog perrašyta Cauchy-Schwarz’o nelygybė. Norėdami įrodyti (4), nagrinėkime du
tokius procesus X ir Y , kuriems atsitiktiniai dydžiai X1 (t) ir X2 (t) yra nepriklausomi su bet kuriuo t ∈ T
ir kurių autokovariacinės funkcijos yra atitinkamai Γ1 ir Γ2 . Tuomet sumos X + Y autokovariacinė funkcija
yra Γ1 + Γ2 . (Įsitikinkite!) Kita savybė įrodoma analogiškai, suskaičiuojant sandaugos XY autokoreliacinę
funkciją. Galiausiai (6) savybės įrodymui nagrinėjamre procesą Xt = σ(t)Z, t ∈ T . Čia a.d. Z ∼ N (0, 1).
Kaip jau minėjome, baigtiniamačiai atsitiktinio proceso skirstiniai aprašo ir tam tikras trajektorijų savybes. Paprasčiausia apibrėžti atsitiktinio proceso tolydumą pagal tikimybę.
3.5 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xt , t ∈ T ) vadinamas tolydžiu pagal tikimybę taške t0 ∈ T , jei su
kiekvienu ε > 0
lim P (|Xt0 +h − Xt0 | > ε) = 0.
h→0
Jei procesas tolydus pagal tikimybę kiekviename taške, tai jis vadinamas tiesiog tolydžiu pagal tikimybę.
3.6 apibrėžimas. Tegu p > 0. Atsitiktinis procesas (Xt , t ∈ T ) vadinamas tolydžiu p-ojo momento prasme
taške t0 ∈ T , jei su kiekvienu ε > 0
lim E|Xt0 +h − Xt0 |p = 0.
h→0
Jei procesas tolydus p-ojo momento prasme kiekviename taške, tai jis vadinamas tiesiog tolydžiu p-ojo
momento prasme (kvadratinio vidurkio prasme, kai p = 2).
Pritaikę Čebyševo nelygybę matome, kad tolydumas p-ojo momento prasme yra stipresnis už tolydumą
pagal tikimybę:
P (|Xt0 +h − Xt0 | > ε) = P (|Xt0 +h − Xt0 |p > εp ) ≤ ε−p E(|Xt0 +h − Xt0 |p ),
jei ε > 0 ir p > 0. Panašiai galime apibrėžti diferencijuojamumą pagal tikimybę: procesas (Xt ) yra
diferencijuojamas pagal tikimybę taške t0 jei egzistuoja riba
Xt0 +h − Xt0
:= Xt00
h→0
h
lim
pagal tikimybę. Riba Xt00 vadinama proceso išvestine pagal tikimybę taške t0 .
64
2.3 pav. Tolydaus pagal tikimybę proceso realizacija
Kad ne visas atsitiktinio proceso trajektorijų savybes galima aprašyti baigtiniamačiais skirstiniais paaiškinsime pavyzdžiu.
3.6 pavyzdys. Tegu Ω = [0, 1] ir P yra tolygusis intervalo [0, 1] skirstinys. Apibrėžkime atsitiktinius procesus (Xt , t ∈ [0, 1]) ir (Yt , t ∈ [0, 1]):
Xt (ω) = 0 su visais t, ω ∈ [0, 1]
(
1,
kai t = ω
Yt (ω) =
0,
kai t 6= ω
Galima įsitikinti, kad abu procesai turi vienodus baigtiniamačius skirstinius:
(
1,
kai visi xj ≥ 0
Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) =
0,
kitur
Tačiau
P (ω : Xt (ω) < 1
su visais t ∈ [0, 1]) = P (Ω) = 1
P (ω : Yt (ω) < 1
su visais t ∈ [0, 1]) = P (∅) = 0
tuo tarpu
Taip pat matome, kad
P ((Xt ) tolydus intervale
[0, 1]) = 1
P ((Yt )
[0, 1]) = 0.
tolydus intervale
Šiame paprastame pavyzdyje nagrinėjamų įvykių tikimybės nėra aprašomos baigtiniamačiais skirstiniais.
Taigi vien Kolmogorovo teoremos nepakanka norint analizuoti atsitiktinius procesus. Mat tokios geometrinės trajektorijų savybės kaip tolydumas, diferencijuojamumas, integruojamumas ir pan., susijusios su visa
proceso trajektorija, t.y. su reikšmėmis Xt kiekvienam laiko momentui t ∈ T . Tuo atveju, kai T yra neskaiti
65
aibė kyla matumo problemų. Nagrinėjami įvykiai gali būti nematūs. Pavyzdžiui, jei T = [a, b], A ∈ BR bet kuri Borelio aibė, tai įvykis
\
{ω ∈ Ω : Xt (ω) ∈ A su visais t ∈ T } =
{ω ∈ Ω : Xt ∈ A}
t∈T
yra neskaitaus skaičiaus mačių įvykių sankirta. Nors kiekvienas iš įvykių {ω ∈ Ω : Xt ∈ A} yra matus
(priklauso F) σ algebros apibrėžimas negarantuoja, kad jų neskaiti sankirta bus mati. Taigi norėdami analizuoti tas atsitiktinio proceso trajektorijų savybes, kurių aprašymui rekia kontroliuoti reikšmes kiekvienu
laiko momentu t ∈ T , turime ieškoti papildomų priemonių, nei suteikia baigtiniamačiai skirstiniai. Laimei,
tam yra galimybė modifikuoti procesus, nekeičiant jų baigtiniamačių skirstinių.
3.3
Klasifikavimas pagal skirstinius
Šiame skyrelyje klasifikuojami atsitiktiniai procesai pagal savybes, aprašomas baigtiniamačiais skirstiniais.
Gauso procesai
3.7 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ T ) yra Gauso (arba normalusis), jei visi jo baigtiniamačiai skirstiniai yra Gauso (normaliniai).
3.7 pavyzdys. Tegu X, Y yra normaliniai atsitiktiniai dydžiai. Tuomet procesas Xt = tX + Y, t ≥ 0 yra
Gauso.
3.5 teiginys. Gauso procesą pilnai aprašo jo vidurkio funkcija ir autokovariacinė funkcija šia prasme: jei
m : T → R yra bet kuri funkcija, o simetrinė funkcija Γ : T × T → R yra neneigiamai apibrėžta, tai
egzistuoja Gauso procesas su vidurkio funkcija m ir autokovariacine funkcija Γ.
Įrodymas. Įrodoma remiantis Kolmogorovo teorema, nes daugiamačius Gauso vektorius vienareikšmiškai
aprašo vidurkio vektorius ir kovariacijų matrica.
3.6 teiginys. Atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ T ) yra Gauso
P tada ir tik tada, kai su bet kuriuo n ≥ 1 ir
bet kuriais rinkiniais t1 , . . . , tn , λ1 , . . . , λn atsitiktinis dydis nk=1 λk Xtk yra Gauso.
Įrodymas. Paliekame vietoj pratimo.
3.8 pavyzdys. (Gauso baltasis triukšmas) Nagrinėkime procesą X = (Xt , t ∈ Z), kai Xt , t ∈ Z yra nepriklausomi normaliniai atsitiktiniai dydžiai su vienodu pasiskirstymu N (0, σ 2 ). Tada procesas X yra Gauso
procesas su vidurkio funkcija
mX (t) = 0, t ∈ Z,
ir kovariacine funkcija
(
σ2,
ΓX (s, t) =
0,
kai s = t
kai s =
6 t,
Šitaip apibrėžtas procesas vadinamas Gauso baltuoju triukšmu.
66
s, t ∈ Z.
3.9 pavyzdys. (Vynerio procesas) Tarkime, T yra arba uždaras intervalas [0.a], arba aibė [0, ∞). Imdami
0 = t0 < t1 < · · · < tn ir x0 = 0, x1 , . . . , xn ∈ R apibrėžkime
Z xn
Z x1
ft1 ,...,tn (u1 , . . . , un ) du1 · · · dun ,
···
Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) =
−∞
o
ft1 ,...,tn (u1 , . . . , un ) =
n
Y
−∞
(2π(tk − tk−1 ))−1/2 exp
k=1
n
−
(uk − uk−1 )2 o
;
2(tk − tk−1 )
čia t0 = u0 = 0. Galime patikrinti, kad pasiskirstymo funkcijų šeima {Ft1 ,...,tn , 0 ≤ t1 < · · · < tn ∈
T, n ≥ 1} tenkina Kolmogorovo 3.1 teoremos sąlygas. Taigi egzistuoja atsitiktinis procesas, pažymėkime
jį (Wt , t ∈ T ), kurio baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima sutampa su {Ft1 ,...,tn , t1 < · · · < tn ∈
T, n ≥ 1}. Gautasis procesas vadinamas Vynerio arba Brauno judesio procesu.
Stacionarūs procesai
Daugelio svarbių atsitiktinių procesų baigtiniamačiai skirstiniai nepriklauso nuo laiko postūmio. Todėl natūralu juos apjungti į vieną klasę. Primename, kad nagrinėjame atsitiktinius procesus, kurių indeksų aibė T
yra realiųjų skaičių intervalas arba sveikųjų skaičių aibė.
3.8 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ T ) vadinamas stipriai stacionariu (stacionariu siaurąja prasme), jei atsitiktinių vektorių
(Xt1 , Xt2 , . . . , Xtm )
ir
(Xt1 +h , Xt2 +h , . . . , Xtm +h )
skirstiniai sutampa kokie bebūtų t1 < t2 < · · · < tm ∈ T ir toks h > 0, kad t1 + h, . . . , tm + h ∈ T .
Stipriai stacionaraus atsitiktinio proceso (Xt , t ∈ T ), atsitiktiniai dydžiai Xt , t ≥ 0, yra vienodai pasiskirstę. Tikrai, imdami t < s, turime
Ft (x) = P (Xt ≤ x) = P (Xt+(s−t) ≤ x) = Fs (x),
x ∈ R.
Taigi a.d. Xt ir Xs pasiskirstymo funkcijos sutampa. Kadangi proceso vidurkį aprašo pirmos eilės skirstinys,
tai stacionaraus proceso vidurkio funkcija yra konstanta.
3.7 teiginys. Stacionaraus proceso (Xt , t ∈ T ) kovariacinė funkcija Γ(s, t), s > t, priklasuso tik nuo
skirtumo s − t.
Įrodymas. Tarkime, EXt = 0 su kiekvienu t ∈ T . Jei s > t, tai
Z
Z
Γ(s, t) = E(Xs Xt ) = xy dFs,t (x, y) = xy dFs−t,0 (x, y) = Γ(s − t, 0).
Taigi Γ(s, t) = Γ(s − t, 0) su visais s > t.
Stacionaraus atsitiktinio proceso autokovariacinį funkcija yra vieno argumento funkcija. Dėl šios priežasties, vietoj Γ(h, 0) rašysime tiesiog γ(h).
67
3.10 pavyzdys. (Stiprus baltasis triukšmas) Atsitiktinių dydžių seka Xt , t ∈ Z sudaryta iš centruotų ir nepriklausomų vienodai pasiskirs2iusių atsitiktinių dydžių: EXt = 0, vadinama stipriu baltuoju triukšmu. Jo
autokoreliacinė funkcija yra
(
σ2,
jei s = t
(3.2)
QX (s, t) = EXt Xs =
0,
jei s 6= t.
2.3 pav. Stiprus baltasis triukšmas
Bendru atveju, atsitiktinis procesas su nuliniu vidurkiu ir (3.4) autokoreliacine funkcija nėra stacionarus.
Tokia autokoreliacinė funkcija tik reiškia, kad atsitiktiniai dydžiai Xt ir Xs yra nekoreliuoti.
3.11 pavyzdys. Tegu (Yt , t ∈ Z) yra stacionarus procesas, sveikasis skaičius d ≥ 1 ir a1 , . . . , ad – realieji
skaičiai. Apibrėžkime
d
X
Xt =
ak Yt−k , t ∈ Z.
k=0
Atsitiktinis procesas (Xt , t ∈ Z) yra stacionarus (įsitikinkite!). Jis vadinamas d-eilės slenkančio vidurkio
procesu (MA(d) procesu). Jo autokoreliacinė funkcija yra
(3.3)
QX (s, t) =
d X
d
X
ak am E(Yt−k Ys−m ) =
k=0 m=0
d
X
am at−s+m ,
m=0
kai t ≥ s.
2.4 pav. Slenkančio vidurkio procesas MA(1)
Stipraus stacionarumo sąlyga dažniausiai yra per stiprus reikalavimas praktiniuose atsitiktinių procesų
teorijos taikymuose. Todėl dažnai pakanka vadinamojo silpnojo stacionarumo.
3.9 apibrėžimas. Antrosios eilės atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ T ) vadinamas silpnai stacionariu
(stacionariu plačiąja prasme) , jei su visais t1 , t2 ∈ T ir tokiais h > 0, kad t1 + h, t2 + h ∈ T,
68
(i) E(Xt1 ) = E(Xt2 );
(ii) cov(Xt1 , Xt2 ) = cov(Xt1 +h , Xt2 +h ).
Silpnai stacionaraus atsititktinio proceso X kovariacinė funkcija Γ(t, t + h) = Γ(0, h). Taigi Γ(t, s) priklauso tik nuo skirtumo t − s. Ir šiuo atveju vietoj Γ(0, h) rašysime γ(h).
3.12 pavyzdys. Atsitiktinis procesas (Xt , t ∈ T ), kurio vidurkis yra nulis, o autokoreliacinė funkcija
(
σ2,
jei s = t
(3.4)
QX (s, t) =
0,
jei s 6= t.
vdinamas silpnu baltuoju triukšmu. Akivaidu, kad toks procesas yra silpnai stacionarus.
3.13 pavyzdys. Apibrėžkime procesą
Xt = A cos(φ + λt),
t ≥ 0,
čia A ir φ yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, E(A) = 0, E(A2 ) < ∞, o φ yra tolygiai pasiskirstęs intervale [0, 2π]. Taip apibrėžtas procesas (Xt , t ≥ 0) yra antrosios eilės, jo vidurkio ir kovariacinės funkcijos
yra (žr. 3.4 pratimą):
mX (t) = 0 t ≥ 0,
(3.5)
ir
(3.6)
1
ΓX (t, s) = E(A2 ) cos(λ(t − s)),
2
t, s ≥ 0.
Taigi procesas (Xt ) yra silpnai stacionarus.
3.14 pavyzdys. Tarkime, α ir β yra nekoreliuoti atsitiktiniai dydžiai su nuliniais vidurkiais ir vienetinėmis
dispersijomis. Imdami λ ∈ [0, π] apibrėžkime
Xn = α cos(λn) + β sin(λn),
n ≥ 0.
Akivaizdu, kad EXn = 0 su visais n ≥ 1. Suskaičiuokime kovariacinę funkciją:
ΓX (m, m + n) = E(Xn Xn+m )
= E(α cos(λm) + β sin(λm))(α cos(λ(m + n)) + β sin(λ(m + n))
= E(α2 cos(λm) cos(λ(m + n))) + E(β 2 sin(λm) sin(λ(m + n)))
= cos(λn),
nes E(αβ) = 0. Tagi ΓX (m, m + n) priklauso tik nuo n, todėl procesas X yra silpnai stacionarus. Bendru
atveju jis nėra stipriai stacionarus. Norėdami tai pastebėti, paimkime λ = π/2. Tuomet
(X0 , X1 , X2 , X3 , . . . ) = (α, β, −α, −β, . . . ).
Šis procesas bus stipriai stacionarus, tada ir tik tada, kai poros (α, β), (β, −α), (−α, −β) bus vienodai
pasiskirsčiusios. Kita vertus, jei α ir β yra standartiniai normaliniai atsitiktiniai dydžiai, tai procesas X bus
ir stipriai stacionarus (įsitikinkite).
69
3.8 teiginys. Stacionaraus proceso kovariacinę funkciją γ(h) galime išreikšti Furjė integralu
Z ∞
eiλh dF (λ).
γ(h) =
−∞
Funkcija F yra vadinama spektrine pasiskirstymo funkcija. Ji charakterizuojama šiomis savybėmis:
(i) dF (−λ) = dF (λ);
(ii) F (λ) ≤ F (λ0 ), jei λ ≤ λ0 ;
(iii) F (+∞) − F (−∞) = γ(0) < ∞.
Spektrinės pasiskirstymo funkcijos vienareikšmiškumą užtikrina papildomas apribijimas
viename taške.
Rλ
Dažniausiai tariama, kad F (−∞) = 0. Jei F yra absoliučiai tolydi ir F (λ) = −∞ f (s) ds, tai funkcija
f yra vadinama spektrine tankio funkcija. Spektriniai momentai yra
Z ∞
λk dF (λ).
λk =
−∞
Kadangi F yra simetrinė, tai visi nelyginiai momentai yra nuliai. Kaip matysime vėliau spektriniai momentai yra susiję su proceso trajektorijų savybėmis.
Levy procesai
3.10 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xt , t ∈ T ) vadinamas procesu su stacionariais prieaugiais, jei
atsitiktiniai dydžiai Xt+h − Xs+h ir Xt − Xs yra vienodai pasiskirstę su visais s < t ∈ T ir tokiais h > 0,
kad t + h, s + h ∈ T .
3.15 pavyzdys. Vynerio procesas (Wt , t ≥ 0) nėra stacionarus, tačiau turi stacionarius prieaugius. Tikrai,
atsitiktiniai dydžiai Wt ∼ N (0, t), t > 0 nėra vienodai pasiskirstę. Tegu s < t ∈ T ir t + h, s + h ∈ T .
Suskaičiuokime prieaugio Wt − Ws pasiskirstymo funkciją:
Z
P (Wt − Ws ≤ x) =
ps,t (y, z) dy dz;
z−y≤x
čia ps,t (y, z) yra vektoriaus (Ws , Wt ) pasiskirstymo tankio funkcija,
ps,t (y, z) = √
1
1
exp{−y 2 /2s} p
exp{−(z − y)2 /2(t − s)}.
2πs
2π(t − s)
Suintegravę šią tankio funkciją, gauname
Z
1
1
√
P (Wt − Ws ≤ x) =
exp{−y 2 /2s} p
exp{−(z − y)2 /2(t − s)} dy dz
2πs
2π(t − s)
z−y≤x
Z x
1
p
=
exp{−u2 /2(t − s)} du.
2π(t
−
s)
−∞
Taigi Wt − Ws ∼ N (0, t − s). Todėl prieaugiai Wt+h − Ws+h ir Wt − Ws yra vienodai pasiskirstę.
3.11 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xt , t ∈ T ) vadinamas nepriklausomų (atitinkamai nekoreliuotų)
prieaugių, jei prieaugiai Xt4 − Xt3 ir Xt2 − Xt1 yra nepriklausomi (nekoreliuoti) atsitiktiniai dydžiai su
visais t1 < t2 ≤ t3 < t4 .
70
3.16 pavyzdys. Tegu Yt , t = 1, 2, . . . yra nepriklausomi (nekoreliuoti) atsitiktiniai dydžiai. Apibrėžkime
Xt =
t
X
Yt ,
t = 1, 2, . . .
k=1
Atsitiktinis procesas (Xt , t = 1, 2, . . . ) yra nepriklausomų (nekoreliuotų) prieaugių procesas.
3.12 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xt , t ≥ 0) vadinamas Levy procesu, jei
(i) X0 = 0;
(ii) procesas turi stacionarius ir nepriklausomus prieaugius;
(iii) procesas yra tolydus pagal tikimybę.
Du svarbiausi (bet ne vieninteliai) Levy proceso pavyzdžiai yra Brauno judesio procesas ir Puasono
procesas. Pastarąjį galime apibrėžti nusakydami jo baigtiniamačius skirstinius:
3.17 pavyzdys. (Puasono procesas) Galima patikrinti, kad pasiskirstymo funkcijų šeima
{Ft1 ,...,tn : 0 ≤ t1 < · · · < tk , k ∈ N},
X
Ft1 ,...,tk (x1 , . . . , xk ) =
Pt1 ,...,tk (n1 , . . . , nk );
n1 ≤x1 ,...,nk−1 ≤nk ≤xk
čia
−λtk
Pt1 ,...,tk (n1 , . . . , nk ) = e
k
Y
(λtj − λtj−1 )nj −nj−1
,
(nj − nj−1 )!
j=1
0 = t0 ≤ t1 < · · · < tk ir 0 = n0 ≤ n1 ≤ · · · ≤ nk tenkina Kolmogorovo 3.1 teoremos sąlygas. Vadinasi,
egzistuoja procesas (Nt , t ≥ 0), kurio baigtiniamačių pasiskirstymo funkcijų šeima sutaps su duotaja. Tas
procesas vadinamas Puasono.
Dar viena svarbi Levy procesų klasė yra stabilūs Levy procesai. priminsime šį stabilaus skirstinio apibrėžimą.
3.13 apibrėžimas. Atsitiktinis dydis ξ vadinamas stabiliu, jei jo charakteristinei funkcijai c(t), t ∈ R teisinga ši savybė: kiekvieną a > 0 atitinka tokie b > 0 ir c ∈ R, kad
a
c(t) = c(bt)eict , t ∈ R.
Atsitiktinis dydis ξ yra griežtai stabilus, jei kiekvieną a > 0 atitinka toks b > 0, kad
a
c(t) = c(bt), t ∈ R.
Yra žinoma, kad konstanta b = a1/α su α ∈ (0, 2]. Skaičius α vadinamas stabilumo indeksu.
3.14 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas X = (Xt , t ≥ 0) vadinamas stabiliu (α-stabiliu) Levy procesu, jei
X yra Levy procesas ir X1 yra stabilus (su stabilumo indeksu α) atsitiktinis dydis.
Čia dar pastebėsime, kad Levy procesui X = (Xt , t ≥ 0), su kiekvienu s > 0, teisinga ši charakteristinių
funkcijų savybė:
s
EeitXs = EeitX1 .
71
Markovo procesai
Atsitiktinio proceso markoviškumas aprašo proceso „ateities” priklausomybę nuo jo „praeities”.
Nagrinėkime tolydaus laiko procesą (Xt , t ≥ 0).
3.15 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xt , t ≥ 0) vadinamas Markovo procesu, jei su bet kuriais tokiais
t1 , t2 , . . . , tn ∈ T , kad t1 < t2 < · · · < tn ir bet kuria Borelio aibe A ⊂ R teisinga ši sąlyginės tikimybės
savybė:
P (Xtn ∈ A Xtn−1 , . . . , Xt1 ) = P (Xtn ∈ A Xtn−1 ).
(3.7)
Jei, be to, dešinė (3.7) lygybės dešinė pusė priklauso tik nuo skirtumo tn − tn−1 , tai Markovo procesas
vadinamas homogeniniu.
Homogeniniam diskrečiam Markovo procesui, funkcija p : [0, ∞) × R × R → [0, ∞) :
p(t, x, y) := P (Xt = y X0 = x)
vadinama stochatine perėjimo funkcija.
Interpretuodami laiko momentą tn−1 dabartimi, matome, kad Markovo proceso elgesys ateityje (laiko
momentu tn ) nepriklauso nuo praeities (laiko momentais tk , k < n − 1, jei fiksuota dabartis.
Markovo procesus pilnai aprašo jo dvimačiai skirstiniai. Tačiau tam dvimačiai skirstiniai turi tenkinti
tam tikras savybes. Tiksliau, šias dvi savybės
R∞
(i) P (Xt ≤ x) = −∞ P (Xt ≤ x Xs = y)dP (Xs ≤ y);
(ii) su bet kuriais t0 < s < t,
Z
∞
P (Xt ≤ x Xs = y)dP (Xs ≤ y Xt0 = x0 ).
P (Xt < x Xt0 = x0 ) =
−∞
Pirmoji savybė yra teisinga bet kuriems dvimačiams skirstiniams. Antroji yra tam tikras apribojimas. Koks
tai apribojimas galime pamatyti iš šio klasikinio pavyzdžio.
3.18 pavyzdys. Nagrinėkime procesą (Xt , t ∈ T ), kurio reikšmių sritis yra {−1, 1} ir
(1) P (Xt = 1) = P (Xt = −1) = 1/2 su visais t ∈ T ;
(2) su visais t > s
P (Xt = Xs ) = p(t − s),
P (Xt = −Xs ) = 1 − p(t − s).
Čia funkcija t → p(t) yra tolydi ir p(0) − 1.
Panagrinėkime, kokia gali būti funkcija p, kad procesas būtų Markovo. Tegu T = [0, ∞). Antroji savybė
reiškia, kad
p(t − t0 ) = p(t − s)p(s − t0 ) = (1 − p(t − s))(1 − p(s − t0 ))
su visais t0 < s < t. Pakeitę kintamuosius t − s = τ ir paėmę t0 = 0 gauname lygtį
p(s + τ ) = p(τ )p(s) + (1 − p(τ ))(1 − p(s))
arba
p(s + τ ) = 2p(τ )p(s) − (p(τ ) + p(s)).
Jei pažymėsime f (t) = 2p(t) − 1, tai funkcijai f gausime šią lygtį:
f (s + τ ) = f (s)f (τ )
kuri turi vienintelį netrivialų sprendinį f (t) = e−λt , λ > 0. Taigi p(t) = (1 + e−λt )/2, t ≥ 0.
72
3.4
Klasifikavimas pagal trajektorijas
Stochastinis ekvivalentumas
Tikimybių teorijoje atsitiktinius dydžius priimta apibrėžti nulinės tikimybės tikslumu: atsitiktiniai dydžiai
yra ekvivalentūs, jei jie sutampa beveik visur. Jei atsitiktiniam procesui (Xt , t ∈ T ) skirtingiems t tokios
nulinės tikimybės aibės nebus suderintos tarpusavyje, tuomet trajektorijos samprata apskritai neteks prasmės. Todėl natūralu tarti, kad visi a.d. Xt yra apibrėžti vienoje bendroje pilnosios tikimybės aibėje Ω0 ⊂ Ω.
Kiekvieną a.d. Xt „pataisę” nulinės tikimybės aibėje Ω \ Ω0 , galime gauti įvairias proceso (Xt ) modifikacijas. Tarp jų gali pasitaikyti ir tokių, kurių realizacijos pasižymės reikalingomis savybėmis, pavyzdžiui,
tolydumu, matumu ar diferencijuojamumu.
3.16 apibrėžimas. Vienoje tikimybinėje erdvėje apibrėžti atsitiktiniai procesai X = (Xt , t ∈ T ) ir Y =
(Yt , t ∈ T ) yra vadinami stochastiškai ekvivalenčiais, jei su kiekvienu t ∈ T ,
P (ω : Xt (ω) 6= Yt (ω)) = 0.
Atsitiktinio proceso X = (Xt , t ∈ T ) modifikacija vadinsime bet kurį jam stochastiškai ekvivalentų
procesą.
3.9 teiginys. Jei procesai X = (Xt , t ∈ T ) ir Y = (Yt , t ∈ T ) yra stochastiškai ekvivalentūs, tai jų
baiginiamačiai skirstiniai sutampa.
Įrodymas. Pakanka įsitikinti, kad P ((Xt , t ∈ J) = (Yt , t ∈ J)) = 1 su bet kuria baigtine aibe J ⊂ T .
Tegu J = {t1 , . . . , td } ⊂ T. Tuomet
[
P ((Xt , t ∈ J) = (Yt , t ∈ J)) = P (Xt1 = Yt1 , . . . , Xtd = Ytd ) = 1 − P
{Xti 6= Yti }
ti ∈J
≥1−
X
P (Xti 6= Yti ) = 1.
ti ∈J
Taigi tikimybė kairėje pusėje būtinai lygi 1.
Stochastiškai ekvivalentūs procesai gali turėti visiškai skirtingas trajektorijų savybes. Tikrai, 3.6 pavyzdyje, atsitiktiniai procesai X = (Xt , t ∈ [0, 1]) ir (Y = (Yt , t ∈ [0, 1]) yra stochastiškai ekvivalentūs, nes
P (ω : Xt (ω) = Yt (ω)) = P (ω : ω = t) = 0, nes P yra tolygusis skirstinys. Tačiau vienas iš šių procesų
turi tolydžias trajektorijas, o kitas - ne.
3.17 apibrėžimas. Atsitiktiniai procesai X = (Xt , t ∈ T ) ir Y = (Yt , t ∈ T ) apibrėžti vienoje tikimybinėje
erdvėje vadinami neatskiriamais, jei egzistuoja tokia mati aibė N ⊂ Ω, kad P (N ) = 0 ir X(ω) = Y (ω) su
visais ω ∈
/ N.
Separabilūs procesai
Svarbi proceso trajektorijų savybė yra separabilumas. Separabili funkcija yra tokia, kurią tam tikra prasme
galime atstatyti pagal jos reikšmes tam tikroje skaičioje aibėje. Atsitiktinis procesas yra separabilus, jei su
tikimybe vienas visos jo trajektorijos yra separabilios funkcijos. Taigi separabiliam atsitiktiniam procesui
neskaičią indeksų aibę galima pakeisti skaičia, kai norime ištirti kokias nors proceso trajektorijų savybes.
Tai padeda išspręsti kai kurias matumo problemas, apie kurias buvo jau užsiminta anksčiau.
73
Tarkime, T yra neskaiti aibe (T = [0, 1] arba T = [0, ∞)). Tegu D ⊂ T yra skaitus poaibis. Funkcija
f : T → R vadiname D-separabilia, jei kiekvieną t ∈ T atitinka tokia seka (tn ) ⊂ D, kad
lim tn = t ir
n→∞
lim f (tn ) = f (t).
n→∞
Atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ T ) yra D-separabilus, jei egzistuoja tokia aibė N ∈ F, kad P (N ) = 0
ir trajektorija t → Xt (ω) yra D-separabili su kiekvienu ω ∈ N .
Atsitiktinis procesas yra separabilus, jei jis yra D-separabilus su kuria nors aibe D ⊂ T .
3.10 teiginys. Jei X = (Xt , t ∈ T ) yra separabilus procesas, tai inft∈T Xt ir supt∈T Xt yra atsitiktiniai
dydžiai.
Dar pastebėsime, kad separabiliam procesui X = (XS
t , t ∈ [0, 1]) aibė {ω : X ∈ C[0, 1]) yra mati.
Pavyzdžiui, aibė {ω : supt Xt (ω) ∈ (−∞, a]} = t∈T {ω : Xt (ω) ∈ (−∞, a]} gali nebūti mačia,
nes σ algebros savybės negarantuoja, kad neskaiti mačių aibių sankirta yra mati. Separabiliam procesui ta
sankirta gali būti paimta atžvilgiu skaičios aibės S.
Priminsime, kad tikimybinė erdvė (Ω, F, P ) yra pilna, jei A ∈ F , kai egzistuoja tokia nulinio mato aibė
B ∈ F ir A ⊂ B. Kitaip tariant, bet kurios nulinės tikimybės aibės poaibis yra matus.
3.3 teorema. Tegu T = [a, b] arbe T = [0, ∞). Tarkime, kad atsitiktinis procesas (Xt , t ∈ T ) yra apibrėžtas pilnoje tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ).
(a) Jei atsitiktinis procesas (Xt , t ∈ T ) reikšmes įgyja kokiame nors baigtiniame uždarame intervale tai
egzistuoja separabili jo versija.
(b) Egzistuoja atsitiktinio proceso (Xt , t ∈ T ) separabili versija su reikšmėmis praplėstoje skaičių tiesėje
[−∞, ∞].
Nagrinėdami atsitiktinių procesų trajektorijų savybes dažniausiai tarsime, kad tie procesai yra separabilūs.
Tolydūs procesai
3.18 apibrėžimas. Separabilus atsitiktinis procesas (Xt , t ∈ T ) yra tolydus su tikimybe vienas, jei
[
P (ω :
lim |Xt+h − Xt | =
6 0) = 0.
t∈T
h→0
Jau minėjome, jei procesas yra tolydus p-ojo laipsnio vidurkio prasme, tai jis tolydus ir pagal tikimybę.
Tačiau tolydumas pagal tikimybę negarantuoja, kad bus tolydžios proceso trajektorijos. Kokio tolydumo vidurkio prasme pakanka, kad egzistuojtų proceso versija su tolydžiomis trajektorijomis, aprašo Kolmogorovo
teorema.
3.4 teorema. (Kolmogorovo kriterijus) Tegu X = (Xt , t ∈ [0, 1]) yra atsitiktinis procesas.Tarkime, egzistuoja tokios lyginės nedidėjančios funkcijos g ir q, kad
X
X
g(2−n ) < ∞,
2n q(2−n ) < ∞
n
n
ir
(3.8)
P (|Xt+h − Xt | ≥ g(h)) ≤ q(h);
su visais t ∈ [0, 1] ir tokiais h ∈ (0, 1), kad t + h ∈ [0, 1]. Tuomet egzistuoja proceso (Xt , t ∈ T ) versija,
kurios trajektorijos su tikimybe 1 yra tolydžios.
74
Įrodymas. Įrodymui naudojama labai paprasta idėja, funkcijos aproksimavimas laužtėmis. Nagrinėkime
diadinius skaičius
tn,j = 2−n j, j = 0, 1, . . . , 2n ; n ≥ 1.
Imdami n-ojo lygmens skaičius tn,j , j = 0, 1, . . . , 2n , apibrėžkime
(n)
Xt
= Xtn,j + 2n (t − tn,j )[Xtn,j+1 − Xtn,j ],
kai
t ∈ [tn,j , tn,j+1 ].
(n)
Taip gauname atsitiktinių laužčių seką X (n) = {Xt , t ∈ [0, 1]}. Akivaidu, kad funkcijos X (n) yra tolydžios. Įrodysime, kad su tikimybe vienas taip sukonstruota laužčių seka tolygiai konverguoja. Imdami
t ∈ [tn,j , tn,j+1 ] ir pastebeję, kad tn,j = tn+1,2j , tn,j+1 = tn+1,2j+2 , įvertiname
(n+1)
|Xt
(n)
− Xt | ≤ 2−1 |Xtn+1,2j+1 − Xtn+1,2j | + 2−1 |Xtn+1,2j+1 − Xtn+1,2j+2 |
ir, pritaikę teoremos sąlygą, gauname
P(
(n+1)
max
t∈[tn,j ,tn,j+1 ]
|Xt
(n)
− Xt | ≥ g(2−n−1 )) ≤ 2q(2−n−1 ).
Diadiniai bet kurio lygmens skaičiai sudaro intervalo [0, 1] skaidinį, todėl
(n+1)
P ( max |Xt
t∈[0,1]
(n)
− Xt | ≥ g(2−n−1 )) ≤ 2n+1 q(2−n−1 ).
P
Kadangi eilutė n 2n q(2−n ) konverguoja, galime įsitikinti, kad X (n) konverguoja tolygiai su tikimybe
vienas. Ribinę funkciją pažymėkime Y = (Yt , t ∈ [0, 1]). Būdama tolygi tolydinių funkcijų riba, Y yra
(n+p)
tolydinė su tikimybe vienas. Kai t = tn,j ir p = 1, 2, . . . tuomet Xt
= Xt todėl P (Yt = Xt ) = 1. Tegu
t 6= tn,r . Tuomet egzistuoja tokia seka rn , kad t = limn→∞ tn,rn . Be to, 0 < t − tn,rn < 2−n . Remiantis
teoremos sąlyga
P (|Xtn,rn − Xt | ≥ g(t − tn,rn )) ≤ q(t − tn,rn ) ≤ q(2−n ).
Taigi
P (|Xtn,rn − Xt | ≥ g(2−n )) ≤ q(2−n )
b.t.
b.t.
ir, remiantis Borelio-Cantelli lema, Xtn,rn −→ Xt . Kita vertus, kadangi (Yt ) tolydi funkcija, tai Ytn,rn −→
Yt . Bet, kaip matėme anksčiau, P (Xtn,rn = Ytn,rn ) = 1. Taigi ir P (Xt = Yt ) = 1.
3.1 išvada. Jeigu
E|Xt+h − Xt |p ≤
C|h|
| log |h||1+r
su 0 < p < r ir bet kuria konstanta C > 0, tuomet egzistuoja proceso (Xt ) tolydi versija.
Jei procesas (Xt ) yra separabilus ir jam yra teisingos teoremos sąlygos, tuomet
P (procesas (Xt ) yra tolydus) = 1.
Tai yra, separabilus procesas, kuriam egzistuoja tolydi versija yra pats tolydus. Tikrai, remiantis Kolmogorovo teorema, egzistuoja proceso (Xt , t ∈ [0, 1]) versija (Yt , t ∈ [0, 1]) kurio trajektorijos su tikimybe vienas
yra tolydžios. Tegu S ⊂ [0, 1] yra skaiti aibė, kuri egzistuoja pagal separabilumo apibrėžimą. Tuomet su
tikimybe 1,
Xt = Yt su visais t ∈ S.
75
Nagrinėkime tolydžią trajektoriją t → Yt (ω), t ∈ [0, 1]. Kiekvieną ε > 0 ir t0 ∈ [0, 1] atitinka toks δ > 0,
kad
|Yt − Yt0 | < ε, kai |t − t0 | < δ.
Imdami intervalą I = (t0 − δ, t0 + δ) gauname
Xt0 ≥ inf Xt = inf Xt = inf Yt ≥ Yt0 − ε.
t∈I
t∈IS
t∈IS
Kadangi ε > 0 laisvai pasirenkamas skaičius, tai Xt0 ≥ Yt0 . Analogiškai įsitikiname, kad Xt0 ≤ Yt0 . Taigi
Xt0 = Yt0 . Kadangi proceso (Yt ) trajektorijos tolydžios su tikimybe vienas, tai
P (Xt = Yt , t ∈ [0, 1]) = 1.
Tai ir įrodo rezultatą.
Priminsime, kad realioji funkcija t → f (t) taške t0 turi pirmosios rūšies trūkį, jei egzistuoja ribos iš
dešinės ir kairės:
f (t0 + 0) := lim f (t), f (t0 − 0) := lim f (t),
t↓t0
t↑t0
bet ne visi skaičiai f (t0 + 0), f (t0 − 0) ir f (t0 ) yra tarpusavyje lygūs.
3.5 teorema. Tegu X = (Xt , t ∈ [0, 1]) yra atsitiktinis procesas. Tarkime, egzistuoja tokios lyginės nedidėjančios funkcijos g ir q, kad
X
X
g(2−n ) < ∞,
2n q(2−n ) < ∞
n
n
ir su visais 0 ≤ t1 < t2 < t3 ≤ 1, t3 − t1 = h,
(3.9)
P (|[Xt3 − Xt2 ][Xt2 − Xt1 ]| ≥ g 2 (h)) ≤ q(h).
Tuomet egzistuoja proceso (Xt , t ∈ T ) versija, kurios trajektorijos su tikimybe 1 turi ne daugiau nei pirmos
rūšies trūkius.
Matūs ir integruojami procesai
Tarkime, atsitiktinio proceso (Xt , t ∈ T ) indeksų aibėje T apibrėžta σ algebra T ir σ baigtinis matas µ, t.y.
turime erdvę su matu (T, T , µ).
R
Norėdami kalbėti apie integralą T Xt dµ(t) turime žinoti, ar proceso trajektorijos yra mačios funkcijos.
3.19 apibrėžimas. Tegu (Ω, F, P ) yra tikimybinė erdvė. Atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ T ) vadinamas
mačiu, jei su kiekvienu ω ∈ Ω funkcija t → Xt (ω) : T → R yra mati.
Taigi, jei atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ T ) yra matus, tai į jį galime žiūrėti, kaip į dviejų argumentų
(t, ω) mačią funkciją, X : T × Ω → R, X(t, ω) = Xt (ω). Ji yra mati atžvilgiu σ algebrų T ⊗ F/BR . Čia
sandaugos σ algebra T ⊗ F = σ(A × B : A ∈ T , B ∈ F) yra papildyta iki pilnos.
3.6 teorema. Jei atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ T ) yra matus ir funkcija t → E(Xt ) : T → R yra
µ-integruojama, tuomet su bet kuria aibe I ⊂ T ,
Z
Z
E(Xt )µ( dt) = E
Xt µ( dt) .
I
I
3.7 teorema. Tegu T = [0, a] ⊂ R. Jei procesas (Xt , t ∈ T ) yra stochastiškai tolydus, tai jis turi mačią
versiją.
76
Ergodiniai procesai
Stacionariųjų procesų teorijai labai svarbūs yra du rezultatai, tai „spektrinė teorema” ir „ergodinė teorema”.
Su spektrine teorija susipažinsime vėliau. Čia trumpai aptarkime ergodiškumą. Panagrinėkime du kraštutinumus. Tegu X = (Xn : n ≥ 0) yra nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių atsitiktinių dydžių seka su
nuliniu vidurkiu ir vienetine dispersija. Akivaizdu, kad procesas X yra stacionarus ir jo autokovariacinė
funkcija yra
(
1,
kai n = 0,
ΓX (m, m + n) = E(Xm Xm+n ) =
0,
kai n 6= 0.
P
b.t.
Remiantis stipriuoju didžiųjų skaičių dėsniu n−1 nk=1 Xk −→ 0, kai n → ∞.
Nagrinėkime kitą pavyzdį. Tegu Y yra atsitiktinis dydis su nuliniu vidurkiu ir vienetine dispersija.
Procesą X = (Xn , n ≥ 0) apibrėžkime imdami Xn = Y su visais n ≥ 0. Jo kovariacinė funkcija yra
P
b.t.
ΓX (m, m + n) = EXm Xm+n = EY 2 = 1 su visais n, m. Be to, n−1 nk=1 Xk −→ Y.
P
Abiejuose pavyzdžiuose matėme, kad egzistuoja sumos n−1 nk=1 Xk riba beveik tikrai, kai n → ∞.
Pirmuoju atveju riba yra konstanta, antruoju – atsitiktinis dydis.
Ergodinės teoremos
(stiprus ar silpnas didžiųjų skaičių dėsnis) nagrinėja sąlygas, prie kurių agreguotos
RT
−1
konverguoja prie proceso vidurkio. Proceso ergodiškumas yra dar stipresnis, nes
trajektorijos T
0 Xs ds
RT
−1
leidžia tvirtinti, kad T
0 f (Xs ) ds konverguoja plačiai funkcijų f klasei.
3.11 teiginys. (Ergodinė teorema vidurkiams ) Tarkime, (Xk , k ≥ 0) yra stacionari laikin4 seka, m =
EX0 , (r(h), h ≥ 0) - jos autokovariacinė seka: γ(h) = EX0 Xh − m2 , h ≥ 0. Tuomet
n
1 X
Xk ,
n+1
k=0
kvadratinio vidurkio prasme konverguoja prie vidurkio m tada ir tik tada, kai
n
1 X
γ(h) = 0.
n→∞ n + 1
lim
(3.10)
h=0
Įrodymas. Įrodysime tik (a). Antrosios dalies įrodymas
yra analogiškas ir paliekamas vietoj pratimo.
Pn−1
Pradėkime pakankamumo įrodymu. Pažymėkime Sn = k=0
(Xk − m). Tuomet
E(n−1 Sn )2 = n−2
n−1
X n−1
X
γ(k − m)
k=0 m=0
X
= n−1
(1 − |k|/n)γ(k).
|k|≤n−1
Iš sąlygos
lim n−1
n→∞
X
(1 − |k|/n)γ(k) = 0.
|k|≤n−1
77
Tai ir įrodo pakankamumą. Sąlygos būtinumą gauname pastebėję, kad
n−1
n−1
X
n−1
h
i
X
γ(k) = E n−1
(Xk − m)(X0 − m))
k=0
k=0
n−1
h
i2 1/2
X
−1
≤ E n
(Xk − m)
(E[(X0 − m)]2 )1/2 → 0,
k=0
kai n → ∞.
Analogiškai įrodomas analogas tolydauus laiko procesui.
3.12 teiginys. Jei (Xt , ∈ [0, T ] yra stacionarus plačiąja prasme procesas, su vidurkiu EXt = m ir kovariacine funkcija ΓX (t), tuomet
Z T
T −1
Xt dt
0
konverguoja prie m kvadratinio vidurkio prasme tada ir tik tada, kai
Z T
−1
lim T
ΓX (t) dt = 0.
T →∞
0
Priminsime, kad iš konvergavimo kvadratinio vidurkio prasme gauname taip pat konvergavimą pagal
tikimybę.
3.13 teiginys. (Ergodinė teorema kovariacijoms) Tarkime, (Xk , k ≥ 0) yra stacionari laiko eilutė, (v(h), h ≥
0) - atitinkama antros eilės autokovariacinė seka:
v(h) = E[Xh+h0 Xh − EXh+h0 Xh ][Xh0 X0 − EXh0 X0 ], h ≥ 0.
Jei
n
(3.11)
1 X
v(h) = 0,
n→∞ n + 1
lim
h=0
tuomet
n
1 X
EX0 Xh = lim
Xk Xk+h ,
n→∞ n + 1
k=0
kvadratinio vidurkio prasme.
Pateiktieji rezultatai yra taip vadinamos individualios ergodinės teoremos. Kokios bendros proceso savybės
užtikrina analogiškus rezultatus?
Pirmiausia apibrėžkime ergodiškumą sekoms. Nagrinėkime diskretaus laiko procesą (Xt , t ∈ Z). Tegu
jis yra apibrėžtas tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ). Nagrinėkime mačią erdvę (RZ , B Z ). Atsitiktinis procesas
(Xt , t ∈ Z) yra atsitiktinis erdvės RZ elementas. Jo skirstinys yra tikimybinis matas PX apibrėžtas aibėms
C ∈ BRZ :
PX (C) = P (ω : (Xt (ω)) ∈ C).
Erdvėje RZ apibrėžkime operatorių τ : RZ → RZ :
τ ((xt )) = (xt+1 ).
Atvaizdis τ yra matus. (Įsitikinkite!) Be to, PX (τ −1 (C)) = PX (C) tada ir tik tada, kai procesas (Xt ) yra
stacionarus. (Įrodykite!) Aibę C ∈ B Z vadinsime τ -invariantine, jei τ −1 (C) = C.
78
3.20 apibrėžimas. Sakysime, kad stacionarus procesas (Xt ) yra ergodinis, jei kiekvienai τ -invariantinei
aibei C ∈ B Z arba PX (C) = 0 arba PX (C) = 1.
Paprasčiausias ergodinio proceso pavyzdys - chaoso procesas, t.y. (Xt , t ∈ Z), kai a.d. Xt , t ∈ Z yra
nepriklausomi.
3.14 teiginys. Jei (Xt ) yra stacionarus ergodinis procesas ir f : RN → R yra matus atvaizdis, tuomet
et = f (Xt , Xt−1 , . . . ),
X
t∈Z
yra stacionarus ergodinis procesas.
et ) baigtiniamačiai skirstiniai sutampa su
Įrodymas. Stacionarumo įrodymui reikia patikrinti, kad a.p. (X
et+k ) baigtiniamačiais skirstiniais kokį beimtume k ∈ Z. Nagrinėkime operatorių
atitinkamais proceso (X
N
Z
F :R →R ,
F ((xj , j ∈ N)) = (f (xt , xt+1 , · · · )) = (e
xt , t ∈ Z).
et+k , t ∈ Z) = τ k ((X
et , t ∈ Z)). Tegu τb : RN → RN yra postūmio operatorius. Galime įsitikinti,
Turime (X
kad
(3.12)
τ k ◦ F = F ◦ τbk .
Taigi
et+k , t ∈ Z) ∈ C} = {τ k ((X
et , t ∈ Z) ∈ C} = {(X
et , t ∈ Z) ∈ τ −k (C)}
{(X
= P ((Xt ) ∈ F −1 (τ −k (C))).
Pastaroji tikimybė yra lygi P (τ k (Xt ) ∈ F −1 (C)), kuri, savo ruožtu, yra P ((Xt ) ∈ F −1 (C)), nes procesas
et ) stacionarumas įrodytas. Norėdami įrodyti proceso (X
et ) ergodiš(Xt ) yra stacionarus. Taigi proceso (X
Z
−1
kumą, tarkime, kad C ∈ R yra invariantinė aibė. Įsitikinsime, kad aibė F (C) yra invariantinė. Iš (3.12)
gauname
F −1 (C) = F −1 (τ −1 (C)) =)τ ◦ F )−1 (C) = (F ◦ τ )−1 (C) = τ −1 (F −1 (C)).
Kadangi F −1 (C) yra invariantinė procesui (Xt ) tai arba P ((Xt ) ∈ F −1 (C)) lygi nuliui arba vienam. Lieka
et ) ∈ C) = P ((Xt ) ∈ F −1 (C).
pastebėti, kad P ((X
3.15 teiginys. Tarkime, (Xt , t ∈ Z) yra stipriai stacionarus procesas ir f yra tokia mati funkcija, kad
E(|f (Xt )|) < ∞. Tuomet riba
n
1X
f (Xt )
lim
n→∞ n
t=1
egzistuoja beveik tikrai ir yra atsitiktinis dydis, kurio vidurkis lygus Ef (X0 ). Jei procesas (Xt , t ∈ Z) yra
ergodinis, tuomet
n
1X
b.t.
f (Xt ) −→ Ef (X0 ).
n
t=1
Tarkime procesas (Xt , t ∈ R) yra apibrėžtas tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ). Nagrinėkime mačią erdvę
Atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ R) yra matus atvaizdis Ω → RR arba, kitais žodžiais tariant,
yra atsitiktinis erdvės RR elementas (atsitiktinė funkcija). Tegu PX ,
(RT , BRT ).
PX (A) := P (ω : X(ω) ∈ A)
aibei A ∈ BRR yra atsitikinio proceso skirstinys trajektorijų erdvėje.
79
3.21 apibrėžimas. Aibė A ⊂ RR vadinama invariantine procesui (Xt , t ∈ R), jei su kiekvienu h ∈ R
{(Xt , t ∈ T ) ∈ A} ⊂ {(Xh+t , t ∈ T ) ∈ A}.
Kitaip tariant, invariantinė aibė yra ta, kurioje pasilieka ir pastumtas laike procesas. Pavyzdžiui, aibė
Z T
R
−1
f (xt+s ) dt = 0}
A = {x ∈ R : lim T
T →∞
0
yra invariantinė procesui (Xt ). O aibė {x : x(s) ∈ (a, b), kažkuriam s ∈ R} nėra invariantinė.
3.22 apibrėžimas. Procesas (Xt ) vadinamas ergodiniu, jei kiekvienai jo realizacijų invariantinei aibei A
arba PX (A) = 0, arba PX (A) = 1.
3.16 teiginys. Tarkime, (Xt ) yra stipriai stacionarus procesas ir f yra tokia mati funkcija, kad E(|f (Xt )|) <
∞. Tuomet riba
Z
1 T
lim
f (Xs ) ds
T →∞ T 0
egzistuoja beveik tikrai ir yra atsitiktinis dydis, kurio vidurkis lygus Ef (X0 ).
Jei procesas (Xt , t ∈ [0, T ]) yra ergodinis, tuomet
1
T
T
Z
b.t.
f (Xs ) ds −→ Ef (X0 ).
0
Savipanašūs procesai
3.23 apibrėžimas. Tegu H > 0 yra fiksuotas skaičius. Atsitiktinis procesas (Xt , t ≥ 0) vadinamas Hsavipanašiu, jei jei jo baigtiniamačiai skirstiniai tenkina:
D
(Xat1 , . . . , Xatd ) = (aH Xt1 , . . . , aH Xtd )
su visais a > 0 ir bet kuriuo rinkiniu ti ≥ 0, i = 1, . . . , d ir d ≥ 1.
Jei tarsime, kad
D
(Xat , t ≥ 0) = (bXt , t ≥ 0)
su kažkuriuo b = b(a), tai imdami a1 , a2 > 0, gausime
D
D
b(a1 a2 )Xt = Xa1 a2 t = b(a1 )b(a2 )Xt .
Jei dydis Xt nėra išsigimęs, tai
b(a1 a2 ) = b(a1 )b(a2 ).
Jei, be to, X yra stochastišai aprėžtas, tai b(a) < 1, kai a < 1. Taigi b(a) = aH su kokiu nors H ≥ 0. Be
to, jei H = 0, iš proceso X stochastinio tolydumo nulyje gauname
P (|Xt − X0 | > ε) = P (|Xt/a − X0 | > ε) = lim P (|Xt/a − X0 | > ε) = 0.
a→∞
Vadinasi, X yra trivialus procesas. Taigi H > 0.
Jei procesas X yra kvadratu integruojamas ir savipanašus, tai
var(Xt ) = var(tH Xt ) = t2H var(X1 ).
80
Tarkime, X turi stacionarius prieaugius, nulinį vidurkį ir var(X1 ) = 1. Tuomet jo autokovariacinė funkcija
yra
1
RH (s, t) = (t2H + s2H − |t − s|2H ).
2
Jei H > 1, tai
lim cov(X1 , Xn − Xn−1 ) = ∞.
n→∞
Taigi H ≤ 1.
3.17 teiginys. Funkcija RH yra neneigiamai apibrėžta, jei H ∈ (0, 1].
Jei H = 1, tuomet
X(Xt − tX1 )2 = 0,
taigi Xt − tX1 b.t. Todėl H = 1 dažniausiai nenagrinėjamas.
Trupmeninis Brauno judesio procesas: vienintelis Gauso savipanašus su nuliniu vidurkiu ir stacionariais
prieaugiais: jo kovariacinė funkcija RH (s, t).
Trajektorijų savybės.
3.24 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas X = (Xt , t ∈ [0, 1]) yra β-Hiolderio, jei egzistuoja toks baigtinis
a.d. K, kad
|Xt − Xs |
sup
≤ K.
β
s,t∈[0,1],s6=t |t − s|
3.18 teiginys. Trupmeninis Brauno judesio procesas yra β-Hiolderio su β < H.
P (lim sup
t↓0
tH
Xt
p
) = 1.
log log(1/t)
Taigi, X negali būti β-Hiolderio, jei β ≥ H.
3.19 teiginys. Levy atsitiktinis procesas X = (Xt , t ≥ 0) yra savipanašus tada ir tik tada, kai jis yra
α-stabilus. Šiuo atveju savipanašumo indeksas H = 1/α.
D
Įrodymas. Tegu ct (λ) = EeiλXt ir X yra savipanašus su indeksu 1/α. Tuomet Xt = t1/α X1 su kiekvienu
t > 0. Kita vertus,
ct (λ) = (c1 (λ))t ,
t > 0,
taigi (c1 (λ)t = c1 (t1/α λ), t.y., atsitiktinis dydis X1 yra α-stabilus.
Dabar tarkime, kad X1 yra α-stabilus. Kadangi procesas X turi nepriklausomus ir stacionarius prieauD
gius, tai pakanka įsitiktinti, kad Xat = a1/α Xt su visais t > 0 ir a > 0. Taip yra, nes
cat (λ) = (c1 (λ)at = (c1 (a1/α λ))t = ct (a1/α λ),
su visais λ ∈ R.
81
3.5
Pratimai
3.1 pratimas. Įrodykite , kad cilindrinė σ algebra B T sutampa su vienmačių cilindrinių aibių generuota σ
algebra σ{A × RT \{s} : A ∈ BR , s ∈ T }.
3.2 pratimas. Tegu U ⊂ RT . Įrodykite kad U
T
B T yra σ algebra.
3.3 pratimas. Įsitikinkite, kad 3.5-3.17 pavyzdžiuose pateiktos baigtiniamačių skirstinių šeimos tenkina
Kolmogorovo suderinamumo sąlygas.
3.4 pratimas. 3.13 pavyzdžiui išveskite (3.5) ir (3.6) formules.
3.5 pratimas. Tegu X ir U yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, U yra tolygiai pasiskirstęs intervale
[0, 2π], o a.d. X tankis yra
fX (x) = 2x3 exp{−1/(2x4 )}, x > 0.
įsitikinkite, kad procesas
Xt = X 2 cos(2πt + U ),
t ≥ 0,
yra Gauso ir suraskite jo vidurkio bei kovariacinę funkcijas.
3.6 pratimas. Tegu εn , n ≥ 0 yra seka nekoreliuotų atsitiktinių dydžių su nuliniu vidurkiu ir vienetine
dispersija. Apibrėžkime procesą
r
X
Yn =
ai εn−i , n ≥ 0.
i=0
Čia a, a2 , . . . , ar yra realūs skaičiai, o sveikasis skaičius r ≥ 1.. Įrodykite, kad procesas (Yn , n ≥ 1) yra
stacionarus ir raskite jo autokovariacinę funkciją.
3.7 pratimas. Tarkime, (Zn , n = 0, ±1, ±2 . . . ) yra nekoreliuoti atsitiktiniai dydžiai su nuliniu vidurkiu ir
vienetine dispersija. Tegu atsitiktinis procesas Y = (Yn ) tenkina autoregresinę lygtį:
Yn = ρYn−1 + Zn ,
n = 0, ±1, . . . .
Čia |ρ| < 1. Raskite proceso Y autokovariacinę funkciją.
3.8
Tegu U yra tolygusis intervale [0, 1] atsitiktinis dydis. Jo dvejetainis išdėstymas yra U =
P∞pratimas.
−i . Apibrėžkime
X
2
i=1 i
∞
X
Vn =
Xi+n 2−i , n ≥ 0.
i=1
Įrodykite, kad procesas V = (Vn , n ≥ 0) yra stipriai stacionarus ir raskite jo autokovariacinę funkciją.
3.9 pratimas. Tegu (Xn , n = . . . , −1, 0, 1, . . . ) yra stacionarus procesas su nuliniu vidurkiu ir kovariacine
funkcija cX (m). Įrodykite šiuos teiginius:
P
P
a) Jei skaitinė eilutė k ak konverguoja absoliučiai, tai eilutė ∞
k=0 ak Xk konverguoja beveik tikrai ir
kvadratinio vidurkio prasme.
b) Tegu
Yn =
∞
X
ak Xn−k ,
k=0
82
n ∈ Z.
Čia
kad
P
k
|ak | < ∞. Raskite proceso Y autokovariacinę funkciją cY (m), m = 0, ±1, · · · ir įrodykite,
∞
X
|cY (m)| < ∞.
m=−∞
83
4 skyrius
Martingalai
4.1
Diskretaus laiko martingalo apibrėžimas, pavyzdžiai
Tikimybinės erdvės (Ω, F, P ) filtarcija vadinasime bet kuria nemažėjančių σ algebrų seką
F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ F.
σ algebra Fn yra interpretuojama kaip informacija iki laiko momento n, tai yra tokių įvykių F ⊂ Ω σ
algebra apie kuriuos iki laiko momento n žinoma ar jie įvyko ar ne. Ketvertas (Ω, F, (Fn ), P ) vadinamas
tikimybine erdve su filtracija arba „stochastine baze”. Tipinis filtarcijos pavyzdys yra natūralioji diskretaus
laiko atsitiktinio proceso (Xn , n ≥ 0) filtracija (Fn ), kai
Fn = σ(X0 , X1 , · · · , Xn )
yra σ algebra generuota proceso iki laiko momento n. Tuomet F ∈ Fn reiškia, kad
F = {ω : (X0 (ω), X1 (ω), . . . , Xn (ω)) ∈ A}
kuriai nors Borelio aibei A ∈ BRn . Taigi kai tik sužinome atsitiktinių dydžių X0 , X1 , . . . , Xn realizaciją
X0 (ω), X1 (ω), . . . , Xn (ω)), žinome ar įvykis F įvyko ar ne.
Atsitiktinis procesas (Xn ) vadinamas adaptuotu prie filtarcijos (Fn ) (trumpai (Fn )-adaptuotu), jei su
visais n ≥ 0, atsitiktinis dydis Xn yra Fn -matus. Natūralioji proceso filtarcija yra mažiausia, prie kurios
procesas yra adaptuotas.
4.1 apibrėžimas. Tegu (Ω, F, (Fn ), P ) yra stochastinė bazė. Atsitiktinis procesas (Xn , n ≥ 0), apibrėžtas
tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ) vadinamas martingalu atžvilgiu filtracijos (Fn , n = 0, 1, 2, . . . ), jei
(a) (Xn ) yra (Fn )-adaptuotas;
(b) E|Xn | < ∞, su visais n = 0, 1, . . . ;
(c) E(Xn+1 |Fn ) = Xn b.t. su visais n = 0, 1, . . .
Norėdami pažymėti σ algebrų filtraciją, atžvilgiu kurios diskretaus laiko procesas (Xn , n ≥ 0) yra martingalas, sakysime, kad ((Xn , Fn ), n ≥ 0) yra martingalas. Jei nepasakyta kokios filtracijos atžvilgiu atsitiktinis
procesas (Xn , n ≥ 0) yra martingalas, suprasime, kad tai yra Fn = σ(X0 , . . . , Xn ), n ≥ 0.
Analogiškai apibrėžiame martingalus (Xn , n ∈ Z). Pavadinimas „martingalas” kilęs iš vadinamosios
dvigubinamo lošimo strategijos, kuri ir vadinasi martingalo strategija. Esmė yra tokia. Statomas vienas
85
litas. Jei išlošiama, tai vėl statomas litas. Jei pralošiama, tai statomi du litai. Kiekvieną kartą pralošus,
statymas dvigubinamas. Pavyzdžiui, galimas toks variantas
Rezultatas P
P
P
P
L
Lošimas
1
2
4
8
16
Pelnas
−1 −3 −7 −15 +1
Pažymėkime Xn lošėjo pelną po n-ojo lošimo. Aišku, kad X0 = 0, |Xn | ≤ 1 + 2 + · · · + 2n−1 = 2n − 1.
be to, Xn+1 = Xn , jei lošimas sustoja n + 1-uoju momentu. Kitu atveju
(
Xn − 2n su tikimybe 1/2;
Xn+1 =
Xn + 2n su tikimybe 1/2.
Taigi E(Xn+1 |X0 , X1 , . . . , Xn ) = Xn , todėl (Xn , n ≥ 0) yra martingalas.
4.2 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas (Xn , n ≥ 0) vadinamas submartingalu (supermartingalu) atžvilgiu
(Fn , n = 0, 1, 2, . . . ), jei su visais n = 0, 1, . . . yra teisingos 4.1 apibrėžimo (a)–(b) savybės ir
c’) E[Xn+1 |Fn ] ≥ (≤)Xn b.t.,
4.1 pavyzdys. Tegu Y yra bet kuris integruojamas atsitiktinis dydis apibrėžtas tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P )
ir (Fn , n = 0, 1, 2, . . . ) – bet kuri jos filtracija. Apibrėžkime
Xn = E[Y |Fn ],
n = 0, 1, 2, . . . .
Atsitiktinis procesas ((Xn , Fn ), n = 0, 1, 2, . . . ) yra martingalas. Tuom įsitikiname pritaikę dvigubo vidurkinimo taisyklę.
4.2 pavyzdys. Tegu X0 , Y1 , Y2 , . . . yra nepriklausomi a.d., apibrėžti vienoje tikimybinėje erdvėje. Apibrėžkime
Xn = X0 + Y1 + · · · + Yn , n = 0, 1, 2, . . . .
Procesas (Xn , n ≥ 0) vadinamas atsitiktiniu klaidžiojimu, startuojančiu atsitiktiniame taške X0 . Nagrinkime σ algebrų srautą
F0 = σ(X0 ), Fn = σ(X0 , Y1 , . . . , Yn ), n ∈ N.
Tuomet
• jei EYn = 0 su visais n ∈ N, tai ((Xn , Fn ), n ≥ 0) yra martingalas;
• jei EYn ≤ 0 su visais n ∈ N, tai ((Xn , Fn ), n ≥ 0) yra supermartingalas;
• jei EYn ≥ 0 su visais n ∈ N, tai ((Xn , Fn ), n ≥ 0) yra submartingalas.
Galima įsitikinti, kad šiame pavyzdyje σ(X0 , X1 , . . . , Xn ) = σ(X0 , Y1 , . . . , Yn ), n ≥ 0 (įsitikinkite!).
4.3 pavyzdys. Paprasčiausias besišakojantis procesas. Populiacija startuoja nuo pradininko, kuris sudaro
nulinę kartą. Tas pradininkas skyla (išsiskaido į, palieka) k palikuonių su tikimybe pk , k = 0, 1, . . . , kurie
sudaro pirmąją populiacijos kartą. Kiekvienas iš pirmosios kartos palikuonių savo ruožtu, nepriklausomai
skyla į atsitiktinį skaičių palikuonių su ta pačia tikimybių funkcija (pk ). Procesas tęsiasi iki išnykimo, kai
nei vienas kartos narys nebeturi palikuonių.
86
Šis modelis yra plačiai taikomas ir vadinamas besišakojančiu arba Galtono-Watsono-Bienimė procesu. Iš pradžių jis buvo taikomas modeliuojant neutronų skilimą. Juo galime modeliuoti giminės pavardės
išlikimo procesą (kiek vaikų turi būti šeimoje, kad šeimos pavardė niekada ateityje neišnyktų?)
Formaliai procesas apibrėžiamas taip. Tegu {Zn,j , n ≥ 1, j ≥ 1} yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę
neneigiami sveikareikšmiai atsitiktiniai dydžiai, su vienoda tikimybių funkcija (pk ). Prilygindami sumą
nuliui, kai joje nėra dėmenų, apibrėžkime procesą {Zn , n ≥ 0} taip:
Z0 = 1
Z1 = Z1,1
Z2 = Z2,1 + · · · + Z2,Z1
..
.
Zn = Zn,1 + · · · + Zn,Zn−1 .
Taigi Zn,j galime interpretuoti kaip n-tosios kartos narių, kurie yra n − 1-osios kartos j-ojo nario
palikuonys, skaičių.
Pastebėkime, kad Zn+1 = 0, jei Zn = 0. Be to, Zn−1 nepriklauso nuo {Zn,j , j ≥ 1}. Taigi nagrinėkime
paprasčiausią besišakojantį procesą (Zn , n = 0, 1, 2, . . . ). Tegu vidutinis kiekvieno individo palikuonių
skaičius yra
X
µ=
kpk .
k
Akivaizdu, kad jei n-toje kartoje yra zn individų, tai vidutinis n + 1-os kartos individų skaičius yra µzn ,
taigi


< Zn , jei µ < 1
E(Zn+1 |Zn , Zn−1 , . . . , Z0 ) = µZn = Zn , jei µ = 1


> Zn
jei µ > 1.
Dar galime pastebėti, kad su visais n = 0, 1, . . .
Z
Z
n+1
n
E n+1 |Zn , . . . , Z0 = n .
µ
µ
Taigi atsitiktinis procesas (Zn /µn , n ≥ 0) yra martingalas.
4.4 pavyzdys. Akcijų kaina. Tegu ζ1 , ζ2 , . . . nepriklausomi teigiami atsitiktiniai dydžiai, Eζi < ∞ su visais
i = 1, 2, . . . . Tegu X0 = c,
Xn = X0 ζ1 · · · ζn , n ∈ N.
Atsitiktinis procesas (Xn , n ≥ 0) yra martingalas. Atsitiktiniai dydžiai ζi aprašo kainos pasikeitimą. Atskiri
atvejai yra šie gerai žinomi kainų modeliai.
• Diskretus Black–Scholes modelis. Čia ζi = exp{ηi }, ir ηi ∼ N orm(µ, σ 2 ), i = 1, 2, . . . .
• Binominis (CRR) modelis. Čia ζi = (1 + a)e−r su tikimybe p ir ζi = (1 + a)−1 e−r su tikimybe 1 − p.
Dydis r aprašo palūkanų normą.
Iš apibrėžimo matome, kad
E(Xn+1 |Xn , . . . , X0 ) = Xn Eζn+1
su visais n = 0, 1, 2, . . . .
87
4.2
Paprasčiausios savybės
4.1 teiginys. Tarkime, (Xn , n ≥ 0) yra martingalas atžvilgiu filtracijos (Gn ). Tegu su kiekvienu n, Fn =
σ(X0 , . . . , Xn ) ⊂ Gn . Tuomet (Xn , n ≥ 0) yra martingalas ir atžvilgiu filtracijos (Fn ).
Įrodymas. Remiantis dvigubo vidurkinimo taisykle
E(Xn+1 |Fn ) = E(E(Xn+1 |Gn ))|Fn ) = E(Xn |Fn ) = Xn .
4.2 teiginys. Jei (Xn , Fn ) yra martingalas, tai (|Xn |, Fn ) – submartingalas.
Įrodymas. Gauname iš sąlyginio vidurkio savybės: E|(Xn+1 | |Fn ) ≥ |E(Xn+1 |Fn )| = |Xn |.
4.3 teiginys. Jei (Xn , Fn ) yra supermartingalas, ir 0 ≤ m < n, tai
EXm ≥ EXn .
Įrodymas. Kadangi E(Xn+1 |Fn ) ≤ Xn , tai ir E(E(Xn+1 |Fn )) ≤ E(Xn ). Bet E(E(Xn+1 |Fn )) =
E(Xn+1 ). Taigi EXn+1 ≤ EXn . Iš šios lygybės gauname E(Xn ) ≤ E(Xn−1 ) ≤ · · · ≤ E(Xm ).
4.4 teiginys. Jei (Xn , Fn ) yra submartingalas, ir 0 ≤ m < n, tai
EXm ≤ EXn .
Įrodymas. Analogiškas 4.2 teiginio įrodymui.
4.5 teiginys. Jei (Xn , Fn ) yra martingalas, ir 0 ≤ m < n, tai
EXm = EXn .
Įrodymas. Išvedame iš 4.2 ir 4.4 teiginių.
4.6 teiginys. Jei (Xn ) yra martingalas ir φ yra tokia iškila (žemyn) funkcija, kad E|φ(Xn )| < ∞ su visais
n ≥ 0. Tuomet (φ(Xn )) yra submartingalas.
Įrodymas. Remiantis Jenseno nelygybe
E(φ(Xn+1 )|Fn ) ≥ φ(E(Xn+1 |Fn )) = φ(Xn ).
Atskiru atveju, imdami φ(t) = |t|p , p ≥ 1 matome, kad (|Xn |p ) yra submartingalas, jei (Xn ) yra
martingalas ir E|Xn |p < ∞ su visais n ≥ 0.
88
4.3 apibrėžimas. Tarkime, duota filtracija (Fn , n ≥ 0). Sakysime, kad atsitiktinių dydžių seka (Hn , n ≥ 0)
yra numatoma atžvilgiu (Fn , n ≥ 0), jei su kiekvienu n ≥ 1, atsitiktinis dydis Hn yra Fn−1 matus.
4.1 teorema. (Dubo išskaidymas) Submaringalą (Yn , Fn ) galima išskaidyti
Yn = Mn + Sn ,
su visais n ≥ 0. Be to, (Mn , Fn ) yra martingalas, o (Sn , Fn ) – didėjantis numatomas procesas prasidedantis nulyje (S0 = 0 ir išskaidymas yra vienintelis.
Atsitiktinis procesas (S, F) yra vadinamas submartingalo (Y, F) kompensatoriumi.
Įrodymas. Procesai M ir S apibrėžiami išreikštiniu būdu. Imkime M0 = Y0 , S0 = 0,
Mn+1 − Mn = Yn+1 − Yn − E(Yn+1 − Yn |Fn ),
Sn+1 − Sn = E(Yn+1 − Yn |Fn ),
kai n > 0. Galime įsitikinti, kad (M, F) ir (S, F) tenkina teoremos tvirtinimus. Lieka įrodyti išskaidymo
vienatį. Tarkime, yra dar vienas išskaidymas: Yn = Mn0 + Sn0 . Tuomet
0
0
Yn+1 − Yn = (Mn+1
− Mn0 ) + (Sn+1
− Sn0 )
= (Mn+1 − Mn ) + (Sn+1 − Sn ).
0
Suskaičiavę sąlyginį vidurkį atžvilgiu Fn gauname, kad Sn+1
− Sn0 = Sn+1 − Sn su visais n ≥ 0. Tačiau
0
0
0
S0 = S0 = 0, taigi Sn = Sn ir, kartu, Mn = Mn .
Martingalo (Mn , n ≥ 0) transformacija su numatoma seka (Hn , n ≥ 1) vadinsime seką
(H ◦ M )n = M0 +
∞
X
Hj ∆Mj ,
n ≥ 1.
j=1
4.7 teiginys. Jei (Mn , n ≥ 0) yra (sub)martingalas, o (Hn , n ≥ 1) yra aprėžta (neneigiama) numatoma
seka, tuomet transformuota seka ((H ◦ M )n ) yra (sub)martingalas.
Jei martingalą interpretuosime kaip lošėjo pelną, tuomet natūralus klausimas yra toks: ar galime maksimizuoti pelną sustabdydami lošimą kuriuo nors laiku. Jei (Xn , n = 0, 1, 2, . . . ) yra martingalas ir EX0 = 0,
tuomet ir EXn = 0 su kiekvienu n = 1, 2, . . . Taigi, lošimo sustabdymas bet kuriuo fiksuotu laiko momentu nepadeda padidinti vidutinio pelno. Tačiau, tai neįrodo, kad negalima lošimo sustabdyti atsitiktiniu laiko
momentu. Pavyzdžiui, prieš gręsiančius didelius nuostolius (jei žinotume, kad jie artėja). Tokį scenarijų
galime nagrinėti panaudoję sustabdymo momentus.
4.4 apibrėžimas. Neneigiamas sveikareikšmis atsitiktinis dydis T : Ω → {0, 1, . . . , ∞}, apibrėžtas tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ) vadinamas sustabdymo momentu atžvilgiu σ algebrų srauto (Fn , n = 0, 1, 2, . . . ),
jei
{T ≤ n} ∈ Fn
su visais n = 0, 1, 2, . . . .
Atkreipiame dėmesį, kad T gali įgyti ir reikšmę ∞.
89
4.5 pavyzdys. Tegu (Xn , n = 0, 1, 2, . . . ) yra adaptuotas σ algebrų srauto (Fn , n = 0, 1, 2, . . . ) atžvilgiu.
Jei B ⊂ R yra bet kuri Borelio aibė, tuomet
T = inf{n : Xn ∈ B}
(inf ∅ = ∞)
yra sustabdymo momentas.
4.6 pavyzdys. Jei T yra sustabdymo momentas, tuomet procesas
Hn = 1T ≥n ,
n≥0
yra numatomas. Tikrai, {T ≥ n}c = {T ≤ n − 1} ∈ Fn−1 . Atitinkama martingalo (Xn ) transformacija
yra
(H ◦ X)n =
n
X
1T ≥j (Xj − Xj−1 )
j=1
= X0 +
T
∧n
X
(Xj − Xj−1 ) = XT ∧n .
j=1
Taigi, jei (Xn ) yra (sub)martingalas tai ir sustabdytas procesas yra (sub)martingalas.
4.8 teiginys. T yra sustabdymo momentas tada ir tik tada, kai {T = n} ∈ Fn su visais n = 0, 1, 2, . . .
Tai kad apsiribojama sustabdymo momentu yra visai natūralu. Jei pasirinkome laiką T tai su kiekvienu
n = 0, 1, 2, . . . turime žinoti ar T = n laiko momentu n. Jei srautas (filtracija) yra generuotas pačio
proceso, tai įvykis {T = n} turi priklausyti nuo informacijios apie X0 , X1 , . . . , Xn , jei T yra sustabdymo
momentas. Taigi sprendimas turi būti priimtas atsižvelgiant į proceso istoriją, bet ne į ateitį.
Tarkime, EX0 = 0. Klausimas ar galime rasti tokį sustabdymo momentą T , kad EXT > 0 dar neatsakytas. Čia atsitiktinis dydis XT yra apibržtas taip:
(XT )(ω) = XT (ω) (ω),
ω ∈ Ω.
Jei T gali įgyti begalinę reikšmę, tai reikia apibrėžti X∞ .
Norėdami atsakyti į iškeltą klausimą, pirmiausia apibrėšime procesą (XnT , n = 0, 1, 2, . . . ):
XnT (ω) = XT (ω)∧n (ω).
4.9 teiginys. Jei (Xn ) yra martingalas, tai ir (XnT ) yra martingalas.
Įrodymas. Galime užrašyti
XnT
= X0 +
n
X
1k≤T (Xk − Xk−1 ).
k=1
T
Taigi Xn+1
− XnT = 1n+1≤T (Xn+1 − Xn ). Atsitiktinis dydis 1n+1≤T = 1 − 1T ≤n yra Fn –matus. Todėl
T
E(Xn+1
− XnT |Fn ) = 1n+1≤T E(Xn+1 − Xn |Fn ) = 0
nes (Xn ) yra martingalas. Taip pat reikia pastebėti, kad
|XnT | ≤ max1≤i≤n |Xi |.
90
4.3
Martingalų konvergavimas
4.2 teorema. Jei (Xn ) yra martingalas ir supn EXn2 < ∞ tuomet egzistuoja toks a.d. X∞ , kad Xn → X∞
b.t. ir kvadratinio vidurkio prasme.
Šios teoremos įrodymui labai svarbi yra Doob-Kolmogorov nelygybė.
4.3 teorema. (Doob-Kolmogorov nelygybė) Jei (Xn ) yra martingalas, tuomet su kiekvienu λ > 0
P ( max |Xk | ≥ λ) ≤ λ−2 EXn2 .
1≤k≤n
Įrodymas. Pažymėkime A0 = Ω,
Ak = {|Xi | < λ su visais i ≤ k},
Bk = Ak−1 ∩ {|Xk | ≥ λ}.
Taigi k yra toks pirmasis indeksas i su kuriuo |Xi | ≥ λ. Tuomet
Ak ∪ (
k
[
Bi ) = Ω.
i=1
Taigi
EXn2
=
n
X
EXn2 1Bi
+
EXn2 1An
i=1
≥
n
X
EXn2 1Bi .
i=1
Kita vertus
EXn2 1Bi = E(Xn − Xi + Xi )2 1Bi = E(Xn − Xi )2 1Bi + E(Xi )2 1Bi + 2E(Xn − Xi )Xi 1Bi
= I1 + I2 + I3 .
Pirmiausia pastebėkime, kad I1 ≥ 0 ir I2 ≥ λ2 P (Bi ), nes |Xi | ≥ λ aibėje Bi . Dabar nagrinėkime I3 .
Kadangi (Xn ) yra martingalas
E((Xn − Xi )Xi 1Bi |Fi ) = 0.
Surinkę gautą informaciją užbaigiame teoremos įrodymą.
Pastebėkime, kad a.d. Xm ir (Xn+m − Xm ) yra nekoreliuoti, kei n.m ≥ 1, nes
E(Xm (Xm+n − Xm )) = E[(Xm (Xm+n − Xm ))|Fm ] = 0.
Taigi
2
2
EXn+m
= EXm
+ E(Xn+m − Xm )2 .
Matome, kad seka (EXn2 ) yra nemažėjanti ir, remiantis teoremos sąlyga, aprėžta. Taigi ta seka konverguoja.
Pažymėkime M = limn→∞ EXn2 . Įsitikinsime, kad seka (Xn ) yra Koši seka b.t.
Pažymėkime C = {ω : (Xn (ω)) yra Koši seka}. Taigi jei ω ∈ C, tuomet Xn (ω) → X∞ (ω). Įrodysime, kad P (C) = 1. Pagal Koši sekos apibrėžimą
C = {kiekvieną ε > 0 atitinka toks m, kad
|Xm+i − Xm+j | < ε su visais i, j ≥ 1}.
Kadangi |Xm+i − Xm+j | ≤ |Xm+i − Xm | + |Xm − Xm+j |,
91
C = {kiekvieną ε > 0 atitinka toks m, kad |Xm+i − Xm | < ε su visais i ≥ 1}
\[
=
{|Xm+i − Xm | ≥ ε su visais i ≥ 1}.
ε>0 m
Aibės C paildinį galime užrašyti
[\
Cc =
Am (ε),
Am (ε) = {|Sm+i − Sm | ≥ ε su visais i ≥ 1}.
ε>0 m
Kadangi An (ε) ⊂ Am (ε0 ), jei ε ≥ ε0 , tai
P (C c ) = lim P
\
ε↓0
Am (ε) ≤ lim lim P (Am (ε)).
ε↓0 m→∞
m
Tikimybes P (Am (ε)) įvertinsime pasinaudoję Doob-Kolmogorovo teorema. Fiksuokime m ir nagrinėkime
seką (Yn ), Yn = Xn+m − Xm . Galime patikrinti, kad (Yn ) yra martingalas. Taigi
P ( max |Sm+i − Sn | ≥ ε) ≤ ε−2 E(Xn+m − Xm )2 .
1≤i≤n
Perėję prie ribos, kai n → ∞, gauname
2
P (Am (ε)) ≤ ε−2 (M − ESm
).
Taigi P (Am ) → 0, kai m → ∞.
Liko įrodyti, kad konvergavimas taip pat teisingas kvadratinio vidurkio prasme. Tam pasinaudosime
Fatu lema:
E(Xn − X∞ )2 = E(lim inf (Xn − Xm )2 ) ≤ lim inf E(Xn − Xm )2
m→∞
=M−
n→∞
EXn2
→0
kai n → ∞. Teorema pilnai įrodyta.
4.7 pavyzdys. Tegu {ξn , n ≥ 1} yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę normaliniai atsitiktiniai dydžiai su
nuliniu vidurkiu ir dispersija σ 2 . Apibrėžkime X0 = 1,
Xn = exp{
n
X
ξj − nσ 2 /2}.
j=1
b.t.
Seka (Xn ) yra neneigiamas martingalas ir Xn −→ 0. Bet EXn = 1 su visais n.
4.4
Tolydaus laiko martingalai
Tolydaus laiko tikimybinės erdvės (Ω, F, P ) filtracija yra toks σ algebrų srautas (Ft )t≥0 , kad Fs ⊂ F su
visais s ≥ 0 ir Fs ⊂ Ft , jei s ≤ t. Standartinis pavyzdys yra natūralioji atsitiktinio proceso (Xt , t ≥ 0)
generuota filtracija Ft = σ(Xs , s ≤ t), t ≥ 0. Ketvertas (Ω, F, (Ft )t≥0 , P ), kaip ir diskrečiuoju atveju,
vadinamas tikimybine erdve su filtracija arba stochastine baze. Be atskiro priminimo tarsime, kad filtracija
(Ft )t≥0 tenkina taip vadinamas įprastastines sąlygas:
92
(i) kiekvienai σ algebrai Ft priklauso visi nulinės tikimybės įvykiai (filtracijos pilnumas);
T
(ii) su kiekvienu t > 0, Ft = s>t Fs ; (tolydumas iš dešinės).
Pirmą filtracijos savybę nesunku pasiekti prie kiekvienos σ algebros Ft prijungus nulinės tikimybės įvykius.
Antroji savybė yra sudėtingesnė.
Daugumoje pavyzdžių ji yra išpildoma. Retais atvejais, kai taip nėra,
T
galima nagrinėti filtraciją s>t Fs , t ≥ 0, kuri pasižymi tolydumu iš dešinės.
Kaip ir diskrečiuoju atveju, procesas (Xt , t ≥ 0) yra adaptuotas atžvilgiu filtracijos (Ft )t≥0 , (trumpiau
(Ft )-adaptuotas), jei Xt yra Ft -matus atsitiktinis dydis.
4.5 apibrėžimas. Tegu yra duota stochastinė bazė (Ω, F, (Ft )t≥0 , P ). Tuomet (Ft )-adaptuotas integruojamas procesas (Xt , t ≥ 0) vadinamas
(i) martingalu, jei E(Xt |Fs ) = Xs b.t., su visais s ≤ t;
(ii) submartingalu, jei E(Xt |Fs ) ≥ Xs b.t., su visais s ≤ t;
(iii) supermartingalu, jei E(Xt |Fs ) ≤ Xs b.t., su visais s ≤ t;
Norėdami diskretizuoti (sub/super) martingalą (Xt , t ≥ 0) imame bet kuriuos fiksuotus laiko momentus
t0 = 0 < t1 < t2 < · · · ir apibrėžiame Yk = Xtk , k = 0, 1, 2, . . . . Galima patikrinti, kad (Yk , Ftk ) yra
(sub/super) martingalas.
4.4 teorema. Jei (Xt , Ft , t ≥ 0) yra (sub/super) martingalas ir filtracija (Ft ) tenkina įprastines sąlygas, o
funkcija t → EXt yra tolydi iš dešinės, tuomet egzistuoja proceso (Xt ) cadlag modifikacija.
Įrodymas. Žr......
4.8 pavyzdys. Duotai filtracijai (Ft , t ≥ 0) ir atsitiktiniam dydžiui, X, apibrėžkime Xt = E(X|Ft ), t ≥ 0
parinkdami kurią nors sąlyginio vidurkio modifikaciją (visos jos skiriasi tik nulinės tikimybės aibėse). Be
to, galima parinkti tokią, kad martingalas būtų cadlag.
Martingalų konvergavimas
4.5
Kai kurie taikymai ekonomikoje
4.9 pavyzdys. Kainos prognozės procesas. Tarkime, ...., Xt , Xt+1 , . . . , Xt+T , . . . – procesas, aprašantis
kainas, pvz. aukso, vilnos ir pan., Xt yra kaina dabartiniu momentu, Xt+T – ateities kaina, praėjus T
laiko momentų (dienų). Tarkime, kad atsitiktiniai dydžiai Xj yra aprėžti ir apibrėžti tikimybinėje erdvėje
(Ω, F, P ). Ekonomikos dalyvis žino šios dienos kainą ir buvusias kainas. Kitais žodžiais, tariame, kad
ekonominis agentas žino visą informaciją, kurią generuoja procesas iki laiko momento t, arba informaciją
esančią σ-algebroje Ft = σ(X0 , X1 , . . . , Xt ). Joje, beje, yra ir stebėtos kainos, tarkime, x0 , x1 , . . . , xt . Jos
yra viena iš proceso realizacijų,
X0 (ω) = x0 , . . . , Xt (ω) = xt .
Tačiau agentas negali žinoti nei rytdienos kainos Xt+1 nei, juo labiau, kainos Xt+T . Tačiau laikui bėgant,
informacijos vis daugėja, todėl galima vis kita kainos prognozė. Tarkime, norime prognozuoti kainą Xt+T .
Tegu Y (T, t) – jos prognozė laiko momentu t. Pasibaigus vienam laiko periodui, tos kainos prognozė jau
bus Y (T − 1, t + 1) ir taip toliau. Taip gauname seką
(4.1)
Y (T, t), Y (T − 1, t + 1), . . . , Y (T − n, t + n), . . . , Y (1, t + T − 1).
93
Racionalių lūkesčių hipotezė teigia, kad
(4.2)
Y (T, t) = E[Xt+T |Ft ],
su visais T = 1, 2, . . .
Įsitikinsime, kad jei teisinga racionalių lūkesčių (4.2) hipotezė, tai (4.1) seka yra martingalas atžvilgiu σalgebrų
Ft , Ft+1 , . . . , Ft+T −1 .
Iš esmės reikia patikrinti tik martingališkumo sąryšį
E[Y (T − 1, t + 1)|Ft ] = Y (T, t).
Tam reikia pasinaudoti dvigubo vidurkinimo taisykle:
E[Y (T − 1, t + 1)|Ft ] = E[E[Xt+T |Ft+1 ]|Ft ]
= E[Xt+T |Ft ]
= Y (T, t).
Martingalinė ateities kainų savybė gali būti panaudota tiriant akcijų rinkos efektyvumą. Kapitalo rinka
yra efektyvi, jei vertybinių popierių kaina atspindi visą prieinamą informaciją.
informaciją (silpna, pusiau stipri, stipri infoprmacijos). kurie bandymai praeities kainose įžvelgti kokią
nors naudą prognozuojant yra pamerkti žlugti.
4.10 pavyzdys. Efektyvios rinkos hipotezė.
Tarkime, Pt , t = 0, 1, 2, . . . yra akcijos (dieninių) kainų procesas,
Xt = ln(Pt /Pt−1 ) = ln(1 +
Pt − Pt−1
Pt − Pt−1
≈
,
Pt−1
Pt−1
t = 1, 2, . . .
yra logaritminių (santykinių) grąžų procesas. Tegu It yra visa prieinama informacija iki laiko momento t.
Sakoma, kad yra teisinga efektyvios rinkos hipotezė, jei
E(Xt |It−1 ) = E(Xt ),
t = 1, 2, . . . .
Kitaip tariant, grąžų procesas Xt − E(Xt ), t = 1, 2, . . . yra martingalinių skirtumų procesas atžvilgiu
informacijos srauto It , t = 0, 1, 2, . . . . Efektyvios rinkos atveju, kainų proceso logaritmas yra martingalas.
Yra trys rinkos efektyvumo sampratos, besiskiriančios informacijos It apibrėžimu.
1. Silpna efektyvumo forma reiškia, kad It yra tik informaciją apie procesą Xs , s ≤ t.
2. Pusiau stipri efektyvumo forma reiškia, kad It yra informacija apie proceso praeitį, t.y. apie Xs , s ≤ t
ir visa informacija, kuri yra viešai prieinama laiko momentu t.
3. Stipri efektyvumo hipotezė reiškia, kad It sudaro visa tiek vieša, tiek privati informacija prieinama
laiko momentu t.
Žinios apie naujas prekiavimo strategijas ar naujus rinkų modeliavimo metodus laikomos privačia informacija. Pateikta efektyvios rinkos hipotezė yra klasikinė ir labiau siejama su negalimumu prognozuoti. Yra ir
modernesnių šiuolaikinių efektyvumo apibrėžimų.
94
4.6
Pratimai
4.1 pratimas. Tegu X, Y yra du nepriklausomi Bernulio atsitiktiniai dydžiai. Apibrėžkime Z = 1{X+Y =0} .
Raskite E(X|Z) ir E(Y |Z). Ar tie atsitiktiniai dydžiai yra nepriklausomi?
4.2 pratimas. Tegu (Yn , n ≥ 1) yra nepriklausomų atsitiktinių dydžių tolygiai pasiskirsčousių intervale
[−1, 1] seka. Tegu S0 = 0, Sn = Y1 + · · · + Yn , n ≥ 1. Patikrinkite ar duotos sekos yra martingalai:
P
2 Y ,
a) Xn = nk=1 Sk−1
X0 = 0;
k
b) Xn = Sn2 − n3 ,
X0 = 0.
4.3 pratimas. Tarkime, (Y, F) yra martingalas. Įrodykite, kad
E(Yn+m |Fn ) = Yn
su visais n, m ≥ 0.
4.4 pratimas. Tegu (Xn , n ≥ 1) yra nepriklausomi N (0, σ 2 ) a.d. Tegu Y0 = 1,
Yn = exp{a
n
X
Xk − nσ 2 },
n ≥ 1.
k=1
Su kuria parametro a reikšme, (Yn ) yra martingalas?
4.5 pratimas. Tarkime, Sn yra draudimo kompanijos kapitalas n-tųjų metų gale. n-taisiais metais gautas
pelnas yra c > 0 ir išmokėta ξn išmokų. Tegu ξn yra N (µ, σ 2 ) ir µ < c. Kompanija bankrutuoja, kai jos
kapitalas pasidaro mažesnis ar lygus nuliui. Įrodykite, kad
P (bankrotas) ≤ exp{−2(c − µ)S0 /σ 2 ).
95
5 skyrius
Puasono procesas
5.1
Apibrėžimas ir modeliavimas
Pirmiausia apibrėšime homogeninį Puasono procesą.
5.1 apibrėžimas. Homogeniniu Puasono procesu su parametru λ vadiname procesą {Xt , t ∈ [0, ∞)} apibrėžtą tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ), jei teisingos šios trys savybės:
(P1) X0 = 0
(P2) su visais 0 < t1 < · · · < tn priaugliai Xt1 , Xt2 − Xt1 , . . . , Xtn − Xtn−1 yra nepriklausomi;
(P3) Jei 0 ≤ s < t < ∞, tai Xt − Xs turi Puasono skirstinį su parametru λ(t − s), t.y.
P (Xt − Xs = k) =
[λ(t − s)]k
exp{−λ(t − s)},
k!
su visais k ∈ N.
Šio apibrėžimo (P2) ir (P3) sąlygos reiškia, kad Puasono procesas turi nepriklausomus ir stacionarius priauglius.
Puasono proceso konstravimui labai svarbūs yra eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai. Priminsime, kad
a.d. τ turi eksponentinį skirstinį su parametru λ, jei
P (τ ≤ t) = 1 − e−λt ,
Tai yra tolydus atsitiktinis dydis su tankio funkcija
(
λe−λt ,
fτ (t) =
0,
t ≥ 0.
kai t ≥ 0,
kitur.
Svarbiausios eksponentinio atsitiktinio dydžio charakteristikos yra šios.
• Vidurkis Eτ = 1/λ :
Z
∞
Z
∞
xfX (x)dx =
xλe−λx dx
−∞
Z ∞ 0
∞
1
= −xe−λx +
e−λx dx = .
λ
0
0
Eτ =
97
• Dispersija var(τ ) = 1/λ2 . Pirmiausia suskaičiuokime antrąjį momentą:
Z ∞
Z ∞
2
2
x2 λe−λx dx
x fX (x)dx =
Eτ =
0
−∞
Z ∞
∞
2
2 −λx
2xe−λx dx = 2 .
+
= −x e
λ
0
0
Taigi
varτ = Eτ 2 − (Eτ )2 =
1
.
λ2
• Atminties nebuvimas: P (τ > t + s|τ > t) = P (τ > s) :
P (τ > t + s|τ > t) =
P (τ > t + s)
e−λ(t+s)
=
= P (τ > s).
P (τ > t)
e−λt
Keletas kitų svarbių savybių.
• Jei τ1 , . . . , τm yra nepriklausomi eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai su parametrais atitinkamai λ1 , . . . , λm ,
tai atsitiktinis dydis V = min{τ1 , . . . , τm } yra eksponentinis su parametru λ1 + · · · + λm :
P (min{τ1 , . . . , τn ) > t) = P (τ1 > t, . . . , τn > t)
= P (τ1 > t) · · · P (τn > t)
n
Y
=
e−λk t = exp{−(λ1 + · · · + λn )t}.
k=1
• P (τi = min{τ1 , . . . , τm }) = λi /(λ1 + · · · + λm ).
Norėdami įrodyti šią savybę, pirmiausia tarkime, kad S ir τ yra nepriklausomi eksponentiniai a.d. su parametrais atitinkamai λ ir µ. Tuomet
Z ∞
Z ∞
P (S < τ ) =
P (τ > s)fS (s)ds =
λe−λs e−µs ds
0
0
Z ∞
λ
λ
=
.
(λ + µ)e−(λ+µ)s ds =
λ+µ 0
λ+µ
Lieka pasinaudoti šia ir prieš tai išvestąja savybėmis.
• Jei I = argmin{τ1 , . . . , τm }, tai
P (I = i) = λi /(λ1 + · · · + λm ).
Tegu I = i, S = τi , U = minj6=i τj . Atsitiktinis dydis U yra eksponentinis su parametru
µ = λ1 + · · · + λn − λi .
Taigi
P (I = i) = P (S < U ) =
λi
λi
=
.
λi + µ
λ1 + · · · + λn
• a.d. I ir V yra nepriklausomi.
98
Suskaičiuokime bendrą šių a.d. skirstinį:
P (I = i, V = t) = P (τi = t, τj > t, kai j 6= i)
Y
= λi e−λi t
e−λj t
j6=i
λi
(λ1 + · · · + λn )e−(λ1 +···+λn )t
λ1 + · · · λn
= P (I = i)P (V = t),
=
nes a.d. V turi eksponentinį skirstinį su parametru λ1 + · · · + λn .
5.1 teiginys. Jei τ1 , τ2 , . . . nepriklausomi eksponentiniai su parametru λ, tai a.d. Zn = τ1 +· · ·+τn tankio
funkcija yra
(λt)n−1
fZn (t) = λe−λt
, t ≥ 0.
(n − 1)!
Įrodymas. Įrodysime pasitelkę matematinę indukciją. Teiginys akivaizdžiai teisingas, kai n = 1 (priminsime, kad pagal susitarimą 0! = 1). Tarkime, kad teiginys teisingas, kai n = m ir suskaičiuokime fZm+1 (t).
Kadangi a.d. Zm ir τm+1 yra nepriklausomi, tai
Z t
fZm+1 (t) =
fZn (t)fτm+1 (t − s)ds
0
Z t
(λs)m −λ(t−s)
λe
ds
=
λe−λs
m!
0
Z t m
s
ds
= eλt λm+1
0 m!
λm tm
= λe−λt
.
m!
Teiginys įrodytas.
Tegu τ1 , τ2 , . . . yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai, su pasiskirstymo funkcija
Fτ (x) = P (τi ≤ x) = 1 − e−λx , x ≥ 0.
Atsitiktinį dydį τi interpretuojame, kaip i-ojo kliento laukimo laiką. Apibrėžkime
Tn = τ1 + · · · + τn , n = 1, 2, . . . .
Atsitiktinį dydį Tn interpretuojame, kaip n-ojo kliento atvykimo laiką. Pastebėkime, kad limn→∞ Tn = ∞
beveik tikrai, nes pagal didžiųjų skaičių dėsnį
1
1
Tn =
b.t.
n→∞ n
λ
lim
Apibrėžkime procesą (Nt , t ≥ 0) taip:
N0 = 0,
Nt = max{n ≥ 1 : Tn ≤ t}, t > 0.
Ekvivalenčiai
Nt =
∞
X
n1Tn ≤t<Tn+1 ,
n=1
99
t > 0.
5.1 teorema. Atsitiktinis procesas (Nt , t ≥ 0) yra homogeninis Puasono procesas su parametru (intensyvumu) λ.
Įrodymas. Irodysime, kad procesas (Nt , t ≥ 0) turi (P1)–(P3) savybes.
5.1 lema. Su kiekvienu s > 0, Ns yra Puasono atsitiktinis dydis su parametru λs.
Įrodymas. Reikia pastebėti, kad įvykiai {Ns = n} ir {Tn ≤ s < Tn+1 } yra lygūs, todėl
P (Ns = n) = P (Tn ≤ s < Tn+1 ).
Pastaroji tikimybė lygi
Z∞
P (Tn ≤ s < Tn + τn+1 ) =
P (t ≤ s < t + τn+1 )fTn (t)dt
0
Zs
P (τn+1 > s − t)fTn (t)dt
=
0
Zs
=
e−(s−t)λ λe−λt
(λt)n−1
dt
(n − 1)!
0
= e−λs
(λs)n
.
n!
Lema įrodyta.
5.2 lema. Atsitiktinis dydis Nt+s − Ns yra Puasono su parametru λt ir nepriklauso nuo atsitiktinių dydžių
Nu , 0 ≤ u ≤ s.
5.3 lema. Atsitiktinio proceso (Nt , t ≥ 0) priaugliai yra nepriklausomi.
Jau matėme, kad Puasono proceso trajektorijos yra trūkios su vienetiniais šuoliukais. Tačiau Puasono
procesas yra tolydus antrojo momento prasme:
E(Nt − Ns )2 = λ(t − s) + [λ(t − s)]2 → 0
kai
s → t.
Homogeninis Puasono procesas su intensyvumu λ gali būti charakterizuotas kaip sveikareikšmis procesas, prasidedantis nulyje, nemažėjančių trajektorijų, nepriklausomų priauglių kuriam tolygiai pagal t
P (Xt+h − Xt = 0) = 1 − λh + o(h)
P (Xt+h − Xt = 1) = λh + o(h).
Kodėl Puasono procesas yra svarbus? Spęskime tokį uždavinį. Tegu n MIF studentų nepriklausomai
vienas nuo kito eina pietauti tarp 12 ir 13 val. su tikimybe λ/n. Be to, tas kuris nusprendžia eiti, laiką
pasirenka pagal tolygų skirstinį. Tikimybė, kad lygiai k studentų pietaus tarp 12 ir 13 val. lygi
n λ k
λ n−k
λk −λ
1−
→
e ,
k n
n
k!
kai n → ∞.
Pavyzdžio tęsinys.
100
5.2 teorema. Tarkime, su kiekvienu n ≥ 1, Xnk , k = 1, . . . , n yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai,
P (Xni = 0) = 1 − pni ,
P (Xni = 1) = pni ,
i = 1, . . . , n. Tegu
Sn = Xn1 + · · · + Xnn ,
λn = ESn = pn1 + · · · + pnn
ir Zn yra Puasono atsitiktinis dydis su parametru λn . Tuomet, su bet kuria aibe A ⊂ N
P (Sn ∈ A) − P (Zn ∈ A) ≤
n
X
pni .
i=1
5.1 išvada. Jei λn → λ ir max1≤k≤n pnk → 0 kai n → ∞, tai
sup P (Sn ∈ A) − P (Zn ∈ A) → 0.
A⊂N
5.2
Puasono procesų suma ir išskaidymas
Nagrinėkime du nepriklausomus homogeninius Puasono procesus N = (Nt , t ≥ 0) ir M = (Mt , t ≥ 0)
su intensyvumais atitinkamai λ ir µ. Tuomet procesas Lt = Nt + Mt , t ≥ 0 vadinamas procesų N ir M
superpozicija.
5.2 teiginys. Atsitiktinis procesas L = (Lt , t ≥ 0) yra homogeninis Puasono procesas su intensyvumu
λ + µ.
Įrodymas. Akivaizdu, kad L turi nepriklausomus priauglius ir L0 = 0. Pakanka įsitikinti, kad su bet kuriais
0 ≤ s < t atsitiktinis dydis Lt − Ls yra Puasono su intensyvumo parametru (λ + µ)(t − s). Suskaičiuokime
tikimybes:
P (Lt − Ls = n) =
=
n
X
k=0
n
X
P (Nt − Ns = k, Mt − Ms = n − k)
e−λ(t−s)
k=0
(λ(t − s))k −µ(t−s) (µ(t − s))n−k
e
k!
(n − k)!
((λ + µ)(t − s))n
.
n!
Pirmame žingsnyje pasinaudojome pilnosios tikimybės formule, o antrame - procesų N ir M nepriklausomumu.
= e−(λ+µ)(t−s)
Toliau tegu N = (Nt , t ≥ 0) yra Puasono procesas su intensyvumu λ. Tegu (Xn , n ≥ 1) yra seka
nepriklausomų Bernulio atsitiktinių dydžių su parametru p ∈ (0, 1), nepriklausomu nuo N :
P (Xn = 1) = p = 1 − P (Xn = 0),
n = 1, 2, . . .
Pažymėkime Sn = X1 + · · · + Xn , n ≥ 1. Interpretuokime Sn , kaip įvykio pasirodymų skaičių po n
bandymų ir tegu n-asis bandymas yra vykdomas n-ojo atvykimo laiku Tn . Tokiu atveju, įvykio pasirodymų
skaičius laiko intervale [0.t] yra
Mt = SNt ,
o neįvykimų skaičius Lt = Nt − SNt .
101
5.3 teiginys. Atsitiktiniai procesai L = (Lt , t ≥ 0) ir M = (Mt , t ≥ 0) yra nepriklausomi Puasono
procesai su intensyvumais atitinkamai λ(1 − p) ir λp.
Įrodymas. Pakanka įsitikinti, kad įvykiai
A = {Mt − Ms = m, Lt − Ls = k},
0 ≤ s < t,
nepriklauso nuo atsitiktinių dydžių {Mu , Lu ; u ≤ s} ir
P (A) = e−λp(t−s)
(λp(t − s))m −λ(1−p)(t−s) (λ(1 − p)(t − s))k
e
.
m!
k!
Galime pastebti, kad
A = {Nt − Ns = m + k, SNt − SNs = m}.
Be to, σ algebra σ(Mu , Lu ; u ≤ s) sutampa su σ algebra
F = σ(Nu , u ≤ s; Y1 , . . . , YNs ).
Akivaizdu, kad A nepriklauso nuo F. Galiausiai
P (A) =
=
=
∞
X
n=0
∞
X
n=0
∞
X
P (A ∩ {Ns = n})
P (Ns = n, Nt − Ns = m + k, Sm+k+n − Sn = m)
P (Ns = n, Nt − Ns = m + k)P (Sm+k+n − Sn = m)
n=0
= P (Nt − Ns = m + k)P (Sm+k = m)
= e−λ(t−s)
(λ(t − s))m+k (m + k)! m
p (1 − p)k .
(m + k)!
m!k!
Teiginys įrodytas.
5.3
Sudėtinis Puasono procesas
Kiek pinigų išleido pirkėjai parduotuvėje iki laiko momento t? Koks informacijos kiekis atėjo į serverį iki
laiko momento t? Šiems ir panašiems klausimams spręsti galime pasinaudoti sudėtiniu Puasono procesu.
5.2 apibrėžimas. Tegu Y1 , Y2 , . . . yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai ir nepriklauso nuo Puasono proceso (Nt , t ≥ 0). Tuomet procesas
Zt =
Nt
X
Yk , t ≥ 0,
k=1
vadinamas sudėtiniu Puasono procesu.
102
Jei Puasono procesu (Nt , t ≥ 0) modeliuosime ateinančių į parduotuvę klientų skaičių, o atsitiktiniu dydžiu
Yj aprašysime j’ojo pirkėjo išleidžiamą pinigų sumą, tai sudėtinis Puasono procesas (Zt , t ≥ 0) kaip tik
aprašys pinigų kiekį, kurį pirkėjai išleidžia parduotuvėje. Atsitiktinių dydžių Y1 , Y1 , . . . nepriklausomumas
čia yra visai natūralus.
5.3 teorema. Tegu Y, Y1 , Y2 , . . . yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai nepriklausantys nuo sveikareikšmio neneigiamo atsitiktinio dydžio N . Apibrėžkime SN = Y1 + · · · + YN (SN = 0, jei
N = 0). Tuomet
(a) jei EN < ∞, tai ESN = EY · EN ;
(b) jei EN 2 < ∞, tai var(SN ) = EN var(Y ) + var(N )(EY )2 ;
(c) jei N yra Puasono su parametru λ, tai var(SN ) = λEY 2 .
Įrodymas. Pasinaudijame pilnosios tikimybės formule:
ESN =
∞
X
E(SN |N = n)P (N = n) =
n=0
∞
X
nEY1 P (N = n)
n=0
= EN EY.
Analogiškai skaičiuojame ir variaciją. Pirmiausia pastebime, kad
2
E(SN
|N = n) = ESn2 = nvar(Y1 ) + (nEY1 )2 .
Toliau skaičiuojame kaip anksčiau:
2
ESN
=
=
∞
X
2
E(SN
|N = n)P (N = n)
n=0
∞
X
[nvar(Y1 ) + n2 (EY1 )2 ]P (N = n)
n=0
= (EN )var(Y1 ) + EN 2 (EY1 )2 .
Lieka suskaičiuoti variaciją:
2
var(Sn ) = ESN
− (ESN )2
= (EN )var(Y1 ) + EN 2 (EY1 )2 − (EN · EY1 )2
= (EN )var(Y1 ) + var(N )(EY1 )2 .
Atskiru atveju, kai N yra Puasono atsitiktinis dydis, tai EN = var(N ) = λ, todėl
var(SN ) = λ(var(Y1 ) + (EY1 )2 ) = λEY12 .
Teorema įrodyta.
5.4 teiginys. Sudėtinis Puasono procesas turi nepriklausomus prieaugius, o priaugliai Zt − Zs turi charakteristinę funkciją
e(cY1 (x)−1)λ(t−s) , x ∈ R.
Čia cY1 yra atsitiktinio dydžio Y1 charakteristinė funkcija.
103
Įrodymas. Fiksuokime 0 ≤ s < t. Galime pastebėti, kad
G := σ(Zu , u ≤ s) ⊂ F := σ(Nu , u ≤ s; Y1 , . . . , YNs ).
Iš čia gauname, kad Zt − Zs = SNt − SNs nepriklauso nuo G. Lieka suskaičiuoti charakteristinę funkciją:
ix(Zt −Zs )
Ee
=
=
=
=
∞
X
Eeix(Zt −Zs ) 1Ns =m,Nt −Ns =k
m,k=0
∞
X
m,k=0
∞
X
m,k=0
∞ h
X
Eeix(Sm+k −Sm ) 1Ns =m,Nt −Ns =k
EeixSk P (Ns = m, Nt − Ns = k)
EeixY1
ik
k=0
e−λ(t−s)
[λ(t − s)]k
k!
= exp{(cY1 (x) − 1)λ(t − s)}.
teiginys pilnai įrodytas.
5.4
Nehomogeniškas Puasono procesas
5.3 apibrėžimas. Nehomogeniniu Puasono procesu su dažnumo funkcija λ(r), r ≥ 0, vadiname procesą
{N (t), t ∈ [0, ∞)} apibrėžtą tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ), jei teisingos šios trys savybės:
(P1) N (0) = 0
(P2) su visais 0 < t1 < · · · < tn prieaugiai Xt1 , N (t2 )−N (t1 ), . . . , N (tn )−N (tn−1 ) yra nepriklausomi;
Rt
(P3) Jei 0 ≤ s < t < ∞, tai N (t) − N (s) turi Puasono skirstinį su parametru s λ(r)dr.
Esminis skirtumas nuo homogeninio yra tas, kad laukimo laikai nebėra pasiskirstę pagal eksponentinį skirstinį ir nėra nepriklausomi.
5.5
Pratimai
5.1 pratimas. Tegu X ir Y yra nepriklausomi eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai su parametrais atitinkamai
λ ir µ. Pažymėkime U = min{X, Y }, V = max{X, Y }. Raskite
(a) E(U ),
(b) E(V − U ),
(c) E(V ),
(c) išraišką vidurkiui EV , pritaikę tapatybę V = X + Y − U.
104
5.2 pratimas. Tegu T1 ir T2 yra eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai su parametrais atitinkamai λ1 ir λ2 .
Pažymėkime U = min{T1 , T2 }, V = max{T1 , T2 }. Tegu I = argmin{T1 , T2 }. Raskite vektoriaus (U, V −
U, I) bendrą tankio funkciją ir įrodykite, kad U ir V − U yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai.
5.3 pratimas. Tarkime, (Nt , t ≥ 0) yra Puasono procesas su intensyvumu λ = 15. Suskaičiuokite
(a) P (N6 = 9);
(b) P (N8 = 10|N9 = 6);
(c) P (N9 = 6|N8 = 10).
5.4 pratimas. Tegu (Nt , t ≥ 0) yra Puasono procesas su parametru λ = 5. Tegu Tn yra n-ojo kliento
atvykimo laikas. Raskite
(a) E(T12 );
(b) E(T12 |N2 = 5);
(c) E(N5 |N2 = 5).
5.5 pratimas. Pirmoji ir antroji futbolo komandos muša įvarčius pagal Puasono procesą su parametrais
(1)
(2)
atitinkamai 1 ir 2. Tarkime N0 = 2, N0 = 1.
(1)
(a) Kokia tikimybė, kad Nt
(2)
= 5 anksčiau, nei Nt
= 5?
(b) Atsakykite į tą patį klausimą, kai atitinkamų Puasono procesų parametrai yra λ1 ir λ2 .
5.6 pratimas. Pirkėjai į parduotuvę užeina pagal Puasono dėsnį su intensyvumu λ = 10 per valandą. Suraskite vidutinį pardavimų kiekį per darbo dieną (8 val.), jei žinoma, kad pirkėjas ką nors nuperka su tikimybe
0.3.
5.7 pratimas. Parduotuvė turi tris įėjimus. Per kiekvieną iš jų pirkėjai ateina pagal Puasono dėsnį su intensyvumais atitinkamai λ1 = 100, λ2 = 90. λ3 = 120 per valandą. Be to, 30 procentų ateina vyrų. Vyrai ką
nors nuperka su tikimybe 0.8, o moterys - 0.1. Kiekvienas pirkėjas vidutiniškai išleidžia 12 Lt.
(a) Kiek vidutiniškai pirkėjai išleidžia parduotuvėje per 10 val.
(b) Kokia tikimybė, kad trečioji pirkėja moteris apsipirkti ateis per pirmas 15 min.? Koks yra tikėtinas
jos atvykimo laikas?
5.8 pratimas. Tarkime, Y1 , Y2 , . . . yra neneigiami nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai.
Tegu Z0 = 0, Zn = Y1 + · · · + Yn , n ≥ 1. Atsitiktinį dydį Zn interpretuojame, kaip n-ojo kliento atvykimo į
parduotuvę laiką. Atsitiktinis procesas (Zn , n ≥ 0) dar vadinamas atstatymo procesu. Tegu Nt yra atvykimų
skaičius laike [0, t].
(a) Įrodykite, kad su visais n ≥ 1 ir t ≥ 0, P (Nt ≥ n) = P (Zn ≤ t);
(b) Įsitikinkite, kad limt→∞ Nt = ∞ b.t.
(c) Įrodykite, kad
ZNt b.t.
−→ a = EY1 .
Nt
105
(d) Pritaikę nelygybes ZNt ≤ t < ZNt +1 įrodykite, kad
Nt b.t. 1
−→
,
t
EY1
kai t → ∞.
5.9 pratimas. Tegu τ1 , τ2 , . . . yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę eksponentiniai atsitiktiniai dydžiai su
parametru λ, o ν yra nepriklausomas atsitiktinis dydis su P (ν = n) = p(1 − p)n−1 , n ≥ 1. Raskite sumos
Sν = τ1 + · · · τν skirstinį.
5.10 pratimas. Tegu N yra Puasono procesas su parametru λ, L yra paskutinio atvykimo intervale [0, t]
laikas (L = 0, jei atvykimų nebuvo). Raskite vidurkį E(t − L) ir išnagrinėkite jo elgesį, kai t → ∞.
106
6 skyrius
Brauno judesio procesas
6.1
Apibrėžimas ir paprasčiausios savybės
Matematinis Brauno judesio arba Vynerio proceso apibrėžimas yra toks.
6.1 apibrėžimas. Atsitiktinis procesas W = (Wt , t ≥ 0) vadinamas (standartiniu) Brauno judesiu arba
(standartiniu) Vynerio procesu, jeigu:
1) W0 = 0
2) proceso prieaugiai yra nepriklausomi: su visais 0 ≤ t1 < · · · < tn atsitiktiniai dydžiai Wtn −
Wtn−1 , . . . , Wt2 − Wt1 yra nepriklausomi;
3) jei 0 ≤ s < t, tai atsitiktinis dydis Wt − Ws turi normalųjį skirstinį N (0, t − s);
4) proceso (Wt , t ≥ 0) trajektorijos yra tolydžios.
6.1 teiginys. Brauno judesio procesas yra Gausinis.
Įrodymas. Reikia įsitikinti, kad visi proceso baigtiniamačiai skirstiniai yra Gauso. Imkime 0 < t1 < t2 <
· · · < td ir nagrinėkime vektorius X = (Wt1 , Wt2 , . . . , Wtd )τ , ir Y = (Wt1 , Wt2 −Wt1 , . . . , Wtd −Wtd−1 )τ .
Čia τ žymi vektoriaus transponavimą, kitaip tariant X ir Y yra atitinkami vektoriai stulpeliai. Remiantis
Vynerio proceso nepriklausomų prieaugių savybe, gauname, kad vektorius Y turi Gauso skirstinį. Kadangi
X = AY , su matrica


1 0 ... 0
 1 1 ... 0 


A= . . .
. . ... 
 .. ..

1 1 ...
1
tai ir X yra Gauso atsitiktinis vektorius.
6.2 teiginys. Brauno judesio vidurkis yra nulis:
mB (t) = EBt = 0,
t ≥ 0,
t ≥ 0,
o kovariacija
ΓB (s, t) = EBs Bt = min{s, t},
107
s, t ≥ 0
Įrodymas. Tikrai, kadangi Wt = Wt −W0 ∼ N (0, t2 ), tai EWt = 0 su visais t ≥ 0. Norėdami suskaičiuoti
kovariaciją, tarkime, t > s > 0. Tuomet
EWt Ws = E(Wt −Ws +Ws )Ws = E(Wt −Ws )(Ws −W0 )+EWs2 = E(Wt −Ws )E(Ws −W0 )+EWs2 = s.
Čia pasinaudojome (2) ir (3) Vynerio proceso apibrėžimo aksiomomis.
Yra teisingas ir atvirkčias sąryšis tarp Gauso proceso kovariacijos ir Vynerio proceso: jei atsitiktinis
Gauso procesas X = (Xt , t ≥ 0 turi nulinį vidurkį ir kovariacinę funkciją Γ(s, t) = min{s, t}, s, t ≥ 0, tai
jis tenkina (1) − (3) Vynerio proceso 6.1 apibrėžimo aksiomas (žr. 6.1 pratimą). Čia tik pastebėsime, kad
kovariacinė funkcija Γ(s, t) = min{s, t} yra neneigiamai apibrėžta, nes
n
X
ai aj min{ti , tj } =
n Z
X
∞
i,j=1 0
i,j=1
1[0,ti ] (u)1[0,tj ] (u)du
n
∞hX
Z
=
0
i2
ai 1[0,ti ] (u) du ≥ 0.
i=1
Taigi remiantis Kolmogorovo teorema egzistuoja Gauso procesas, kurio kovariacija yra Γ(t, s) = min{t, s}, s, t ≥
0. Be to, kadangi Xt − Xs turi normalųjį skirstinį, tai
E[(Xt − Xs )2k ] =
(2k)!
(t − s)k .
2k k!
Pėmę, pavyzdžiui. k = 2, procesui X galime pritaikyti Kolmogorovo teorem1 apie tolydumą. Taigi egzistuoja proceso X versija, kurios trajektorijos yra tolydžios beveik tikrai. Ta tolydžioji versija ir yra Vynerio
procesas. Taigi jis egzistuoja. Tačiau, kaip nesunku pastebėti, įrodymas nėra konstruktyvus. Konstruktyvius
Vynerio proceso aprašymus nagrinėsime vėliau.
6.2
Atsitiktiniai procesai susiję su Brauno judesiu
Tegu W = (Wt , t ≥ 1) yra standartinis Vynerio procesas.
6.2 apibrėžimas. (Brauno tiltas) Brauno tiltu vadinamas atsitiktinis procesas B = (Bt , t ∈ [0, 1] :
Bt = Wt − tW1 ,
kai t ∈ [0, 1].
Brauno tiltas yra Gauso procesas, kurio vidurkis yra nulis, o kovariacinė funkcija
ΓB (t, s) = E(Bt Bs ) = min{s, t} − st,
s, t ∈ [0, 1]. Be to, iš Brauno tilto apibrėžimo matome, kad
B0 = B1 = 0.
6.3 apibrėžimas. (Brauno tiltas su dreifu) Atsitiktinis procesas
Xt = σWt + µt,
t≥0
vadinamas Vynerio procesu su dreifu. Čia σ > 0, t ∈ R yra konstantos.
108
Atsitiktinis procesas (Xt , t ≥ 0) yra Gauso su vidurkiu
µX (t) = E(Xt ) = µt
ir kovariacine funkcija
ΓX (s, t) = σ 2 min{s, t},
s, t ≥ 0.
6.4 apibrėžimas. (Geometrinis Brauno judesys) Apibrėžiamas taip:
Xt = exp{σWt + µt},
t ≥ 0.
Čia σ > 0 it µ ∈ R yra konstantos.
Šį procesasą Black, Scholes ir Merton pasiūlė akscijų kainų modeliavimui. Procesas nėra Gauso.
6.5 apibrėžimas. (Ornstein–Uhlenbeck procesas) Apibrėžkime
Xt = e−t We2t ,
t ≥ 0.
Procesas X = (Xt , t ≥ 0) vadinamas Orstein-Uhlenbeck’o procesu.
Tai yra Gauso procesas, kurio vidurkis yra nulis, o kovariacinė funkcija yra
EXt Xs = e−|t−s| ,
t, s ≥ 0.
Taigi didėjant atstumui tarp laiko momentų t ir s, koreliacija tarp proceso elgesio tais laiko momentais
mažėja eksponentiškai.
Apibrėžkime Vynerio procesą atitinkančią filtraciją. Nagrinėkiome procesą W = (Wt , t ≥ 0), apibrėžtą
tikimybinėje erdvėje (Ω, F, P ). Kiekvienam laiko momentui t, tegu Ft yra σ algebra generuota atsitiktinių
dydžių σ{Ws , s ≤ t} ir F aibių, kurių tikimybės yra nulinės. Kitaip tariant, Ft yra mažiausia σ algebra,
kuriai priklauso aibės pavidalo
{Ws ∈ A} ∪ N ;
čia 0 ≤ s ≤ t, A ⊂ R yra Borelio aibė, N ∈ F tokia aibė, kad P (N ) = 0. Galime pastebėti, kad Fu ⊂ cft ,
jei u ≤ t. Kitaip tariant, šeima {Ft , t ≥ 0} yra tikimybinės erdvės (Ω, , P) filtracija.
6.3 teiginys. σ algebrų šeima {Ft , t ≥ 0} yra tolydi iš dešinės, t.y., su visais t ≥ 0,
\
Fs = Ft .
s>t
6.4 teiginys. Procesai
(1) (Wt , t ≥ 0);
(2) (Wt2 − t, t ≥ 0);
(3) (exp{aWt − a2 t/2}, t ≥ 0) su bet kuriuo a 6= 0,
yra martingalai filtracijos {Ft , t ≥ 0} atžvilgiu.
109
Įrodymas. Brauno judesio procesas yra martingalas, nes E(Ws |Fs ) = Ws , o
E(Wt − Ws |Fs ) = E(Wt − Ws ) = 0.
Imdami s < t bei taikydami sąlyginio vidurkio savybes suskaičiuojame
E(Wt2 |Fs ) = E((Wt − Ws + Ws )2 |Fs )
= E((Wt − Ws )2 |Fs ) + 2E((Wt − Ws )Ws )|Fs ) + E(Ws2 |Fs )
= E(Wt − Ws )2 + 2Ws E((Wt − Ws )|Fs ) + Ws2
= t − s + Ws2 .
Panašiai įsitikiname, kad ir trečiasis procesas yra martingalas:
E(exp{aWt − a2 t/2}|Fs ) = eaWs E(exp{a(Wt − Ws ) − a2 t/2}|Fs )
= eaWs E exp{a(Wt − Ws ) − a2 t/2}
= exp{aWs } exp{a2 (t − s)/2 − a2 t/2} = exp{aWs − a2 s/2}.
Teiginį įrodėme.
110
6.3
Vynerio proceso modeliavimas
Invariantiškumo principas
Tarkime, X1 , X2 , . . . , Xn yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai, EX1 = 0. Apibrėžkime S0 = 0 ir
Sk = X1 + X2 + · · · + Xk , k = 1, . . . , n.
Nagrinėkime atsitiktinį procesą
ξn (t) = n−1/2 S[nt] + (nt − [nt])X[nt]+1 , t ∈ [0, 1].
Akivaizdu, kad to proceso visos trajektorijos yra tolydžios. Vienu svarbiausių atsitiktinių procesų teorijos rezultatų yra taip vadinamas Donskerio invariantiškumo principas.
6.1 teorema. (Donsker-Prohorov) Tarkime, X1 , X2 , . . . , Xn , . . . yra nepriklausomi vienodai pasiskirstę
atsitiktiniai dydžiai su vidurkiu EX1 = 0 ir dispersija EX12 = 1. Iš jų sukonstruotas sukonstruotas laužčių
procesas (Wn (t), t ∈ [0, 1]) konverguoja pagal skirstinį erdvėje C[0, 1] prie standartinio Vynerio proceso
(Wt , t ∈ [0, 1]).
Nenorėdami gilintis į konvergavimo pagal skirstinį erdvėje C[0, 1] apibrėžimą (tai išeina už šio kurso
ribų), pateiksime kelias išvadas iš invariantiškumo principo.
Tarkime, kad laužčių procesas Wn = (Wn (t), t ∈ [0, 1]) yra sukonstruotas iš nepriklausomų vienodai
pasiskirsčiusių atsitiktinių dydžių X1 , X2 , . . . , Xn , . . . su vidurkiu EX1 = 0 ir dispersija EX12 = 1.
6.1 išvada. Atsitiktinio proceso Wn baigtiniamačiai skirstiniai konverguoja prie atitinkamų Vynerio proceso baigtiniamačių skirstinių:
lim P (Wn (t1 ) ≤ x1 , . . . , Wn (td ) ≤ xd ) = P (Wt1 ≤ x1 , . . . , Wtd ≤ xd )
n]to∞
su visais x1 , . . . , xd ∈ R ir d ≥ 1.
Atvaizdis T : C[0, 1] → R yra tolydus taške f0 , jei
lim T (fn ) = T (f0 )
n→∞
su bet kuria tokia seka (fn ) ⊂ C[0, 1], kad
lim sup |fn (t) − f0 (t)| = 0.
n→∞ t∈[0,1]
Atvaizdis T yra tolydus, jei jis tolydus kiekviename ta6ke f0 ∈ C[0, 1].
6.2 išvada. Bet kuriam tolydžiam atvaizdžiui T : C[0, 1] → R,
D
T (Wn ) −→ T (W ).
Panagrinėkime keletą pavyzdžių.
6.1 pavyzdys. Imkime funkcijas Ti : C[0, 1] → R, i = 1, 2,
T1 (f ) = sup |f (t)|,
t∈[0,1]
T2 (f ) = sup f (t).
t∈[0,1]
111
Galima įsitikinti, kad abi funkcijos T1 ir T2 yra tolydžios. Pavyzdžiui,
|Ti (f ) − Ti (g)| ≤ sup |f (t) − g(t)|,
0≤t≤1
bet kurioms funkcijoms f, g ∈ C[0, 1].
Be to, T1 (Wn ) = n−1/2 max1≤k≤n |Sk |, o T2 (Wn ) = n−1/2 max1≤k≤n Sk . Taigi, iš invariantiškumo
principo gauname, kad
D
n−1/2 max |Sk | −→ sup |Wt |,
1≤k≤n
1≤t≤1
o
D
n−1/2 max Sk −→ sup Wt .
1≤k≤n
1≤t≤1
Abiejų ribinių atsitiktinių dydžių pasiskirstymo fumkcijos yra tolydžios ir yra žinomos jų analitinės
išraiškos. Taigi teisinga ši išvada:
6.3 išvada.
(a) Su kiekvienu x ≥ 0,
lim P (n−1/2 max |Sk | ≤ x) = P ( sup |Wt | ≤ x) =
n→∞
1≤k≤n
1≤t≤1
∞
4 X (−1)k
exp{−(2k + 1)2π 2 /(8x2 )}.
π
2k + 1
k=0
(b) Su kiekvienu x,
lim P (n−1/2 max Sk ≤ x) = 1 − 2Φ(x).
n→∞
1≤k≤n
Pastarasis ribinis skirstinys gaunamas remiantis tuom, kad Brauno judesio maksimumas iki laiko momento
T turi tą patį skirstinį, kaip modulio reikšmė taške T :
P ( max Wt ≥ a) = 2P (WT ≥ a),
0≤t≤T
a ≥ 0.
Lévy, Kampé de Fériet skleidinys
Tegu Dj žymi j’ojo lygmens intervalo [0, 1] diadinius skaičius t.y.,
D0 = {0, 1},
Dj = (2l − 1)2−j ; 1 ≤ l ≤ 2j−1 ,
j ≥ 1.
Skaiti visų diadinių intervalo [0, 1] skaičių aibė yra
D=
∞
[
Dj .
j=0
Diadinius skaičius galime perindeksuoti natūraliaisiais, naudodamiesi tuom, kad
P kiekvieną natūralųjį skaičių
j
j
n ≥ 2 galime užrašyti n = k + 2 ; čia k = 1, . . . , 2 , j ≥ 0. Taigi eilutę r∈D f (r) reikia suprasti kaip
P
∞
n=0 f (rn ). Skaičiams r ∈ Dj , j ≥ 0, apibrėžkime
r− := r − 2−j ,
r+ := r + 2−j .
Skaičių r ∈ Dj , j ≥ 1 atitinkanti Faber-Schauder kepuraitė yra funkcija

 (t − r− )/(r − r− ) = 2j (t − r− ) if t ∈ (r− , r];
(r+ − t)/(r+ − r) = 2j (r+ − t) if t ∈ (r, r+ ];
Λr (t) =

0
else.
Atskiru atveju, kai j = 0,
Λ0 (t) = 1 − t,
Λ1 (t) = t,
112
t ∈ [0, 1].
Λr (t) 6
1
C
C
C
C
C
C
C
r−
0
C
C
r -r+
1
t
-
2−j
11 pav. Faberio–Šauderio funkcijos Λr
Vynerio proceso konstrukcija remiasi tuom, kad kiekvieną tolydžią funkciją f : [0, 1] → R galime
išreikšti eilute
∞ X
X
X
λr (f )Λr (t), t ∈ [0, 1],
f (t) =
λr (f )Λr (t) =
j=0 r∈Dj
r∈D
kuri konverguoja tolygiai intervale [0, 1]. Schauder’io koeficientai λr (f ) yra apibrėžti šia formule:
(
f (r) − 21 (f (r+ ) + f (r− )), if r ∈ Dj , j ≥ 1,
(6.1)
λr (f ) :=
f (r)
if r ∈ D0 .
Standartinio Brauno judesio proceso sklaidimas eilute atžvilgiu Feber-Schauder kepuraičių buvo įrodytas Lévy ir Kampé de Fériet.
6.2 teorema. Tarkime, {Xr ; r ∈ D \ {0}} yra nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių standartinių normaliųjų atsitiktinių dydžių seka. Tuomet funkcinė eilutė
(6.2)
Wt := X1 Λ1 (t) +
∞ X
X
2−(j+1)/2 Xr Λr (t),
t ∈ [0, 1]
j=1 r∈Dj
konverguoja tolygiai beveik tikrai. W yra Brauno judesio procesas. (6.2) formulėje pašalinę pirmąjį narį
X1 Λ1 , gauname Brauno tilto procesą B.
Paley-Wiener skleidinys
Brauno judesį galime modeliuoti taikydami taip vadinamą Paley-Wiener skaidinį:
∞
t
2 X sin(nt/2)
Wt = γ0 √ + √
γk ,
n
π n=1
2π
t ∈ [0, 2π]. Čia γ0 , γ1 , . . . yra nepriklausomi standartiniai normaliniai atsitiktiniai dydžiai. Naudojant šį
dėstinį, reikia pasirinkti svaikuosius skaičius M ir N ir modeliuoti
M
tj
2 X sin(ntj /2)
γ0 √ + √
γk ,
n
π
2π
k=1
tj = (2πj)/N, j = 0, 1, . . . , N.
113
6.4
Trajektorijų savybės
Savipanašumas
Atsitiktinio proceso trajektorijų savipanašumą aprašo šis teiginys.
6.5 teiginys. Jei atsitiktinis procesas (Wt , t ≥ 0) yra standartinis Vynerio procesas ir skaičius a > 0 tai
atsitiktinis procesas Xt , t ≥ 0) apibrėžtas formule
Xt = a−1 Wa2 t ,
t ≥ 0,
taip pat yra standartinis Vynerio procesas.
Įrodymas. Trajektorių tolydumas, proceso prieaugių stacionarumas ir nepriklausomumas nesikeičia pakeitus skalę bei mastelį. Lieka pastebėti, kad su bet kuriais t > s ≥ 0, atsitiktinis dydis Xt − Xs =
a−1 (Wa2 t − Wa2 s ) yra normalinis su nuliniu vidurkiu ir dispersija a−2 (a2 t − a2 s) = t − s.
6.6 teiginys. Apibrėžkime procesą
(
tW1/t ,
Xt =
0,
kai
kai
t>0
t = 0.
Tuomet (Xt , t ≥ 0) taip pat yra standartinis Vynerio procesas.
Įrodymas. Galime įsitikinti, kad (Xt , t ≥ 0) yra Gauso procesas. Be to, jo vidurkis yra nulis, o kovariacija
EXt Xs = stEW1/t W1/s = st min{1/t, 1/s} = min s, t,
s, t > 0.
Lieka įsitikinti, kad procesas (Xt , t ≥ 0) yra tolydus. kadangi tolydumas bet kokiame taške t > 0 nekelia
abejonių, lieka patikrinti tolydumą nulyje, t.y.,
lim Xt = 0 b.t.
t↓0
Tam reikia pastebėti, kad
1
1
Bs = lim Bn ,
s→∞ s
n→∞ n
lim Xt = lim
t↓0
o pastaroji riba yra nulis beveik tikrai, reimiantis didžiųjų skaičių dėsniu ir Brauno judesio prieaugių nepriklausomumu arba 6.5 teorema.
Trajektorijų Hiolderiškumas
Tegu W = (Wt , t ≥ 0) yra standartinis Vynerio procesas.
6.3 teorema. tegu 0 < α < 1/2. Egzistouja toks atsitiktinis dydis M > 0, kad beveik tikrai su visais
0≤s<t≤1
(6.3)
|Wt − Ws | ≤ M |t − s|α .
114
Trajektorijos, kurioms teisinga (6.3) savybė, vadinamos Hiolderio su rodikliu α. Taigi, su kiekvienu
0 ≤ α < 1/2 Vynerio proceso trajektorijos yra beveik tikrai Hiolderio su rodikliu α.
Įrodymas. Įrodymui pasinaudosime Vynerio proceso Lévy, Kampé de Fériet skleidiniu. Fiksuokime s, t ∈
[0, 1]. Iš Lévy, Kampé de Fériet skleidinio gauname
X
X
2−(j+1)/2
Yr (Λr (t) − Λr (s)).
Wt − Ws = Y1 (t − s) +
j≥1
r∈Dj
P
Toliau pastebėkime, kad fiksuotiems s ir t sumoje r∈Dj Yr (Λr (t) − Λr (s)) yra ne daugiau kaip du nenuliniai nariai. Be to,
|Λjk (t) − Λjk (s)| ≤ min{1; 2j+1 |t − s|}.
Taigi
|Wt − Ws | ≤ |Y1 ||s − t| + 2
X
2−(j+1)/2 max |Yr | min{1, 2j+1 |t − s|}.
r∈Dj
j≥1
Išskaidę sumą į dvi: pagal j : 2j+1 |t − s| ≤ 1 ir j : 2j+1 |t − s| > 1 pirmoje sumoje esančius narius
įvertiname dydžiu
2−(j+1)/2 max |Yr |2j+1 |t − s| ≤ 2−(j+1)(1/2−α) max |Yr ||t − s|α
r∈Dj
r∈Dj
o antroje sumoje dydžiu
2−(j+1)/2 max |Yr | ≤ 2−(j+1)(1/2−α) max |Yr ||t − s|α
r∈Dj
r∈Dj
Taigi
|Wt − Ws | ≤ 2
X
2−(j+1)(1/2−α) max |Yr ||t − s|α
r∈Dj
j≥1
ir
sup
s6=t
X
|Wt − Ws |
≤
2
2−(j+1)(1/2−α) max |Yr |.
r∈Dj
|t − s|α
j≥1
Lieka įsitikinti, kad
M := 2
X
2−(j+1)(1/2−α max |Yr | < ∞ b.t.
r∈Dj
j≥1
Tam pakanka pasinaudoti tokia paprasta nelygybe.
6.1 lema. Jei η1 , . . . , ηm , . . . yra nepriklausomi standartiniai Gauso a.d. Tuomet egzistuoja tokia absoliutinė konstanta c > 0, kad su kiekvienu m ≥ 1,
p
E max |ηk | ≤ c log m.
1≤k≤m
Pritaikę šią lemą, gauname
X
X
p
2−(j+1)(1/2−α) E max |Yr | ≤ c
2−(j+1)(1/2−α) j < ∞.
r∈Dj
j≥1
j≥1
Lieka pasnaudorti Kolmogorovo trijų eilučių teorema.
Šiek tiek tiksliau Vynerio proceso elgesį aprašo Levy teorema.
6.4 teorema. (Levy, 1937) beveik tikrai
lim sup
h↓0
|W
− Wt |
p t+h
= 1.
2h log(1/h)
0≤t≤1−h
sup
115
Elgesys begalybėje ir nulyje
Vynerio proceso elgesį begalybėje ir nulyje tiksliai aprašo vadinamas kartotinio logaritmo dėsnis.
6.5 teorema. tarkime, W = (Wt , t ≥ 0) yra standartinis Vynerio procesas. Tuomet
P (lim sup √
t→∞
ir
P (lim inf √
t→∞
Wt
= 1) = 1,
2t log log t
Wt
= −1) = 1.
2t log log t
Nulyje:
|Wh |
P (lim sup p
= 1) = 1.
2h log log(1/h)
h↓0
Kokį bepaimtume T > 0, intervale (0, T ) Vynerio procesas turi be galo daug nulių. Tačiau jo nulių aibė
yra beveik tikrai uždara, neskaiti ir jos Lebego matas yra nulis,
√ nėra izoliuotų taškų.
Jei f : [0, 1] → R tenkina f (t) > 0 yra didėjanti, o f (t)/ t yra mažėjanti kurioje nors nulio aplinkoje,
tuomet
P (|W (t) < r(t)∀t ∈ [0, t0 ] ka=kuriam t0 ) = 1
tada ir tik tada, kai
Z
1
t−3/2 r(t)e−r
2 (t)/2t
dt < ∞.
0
Trajektorijų nediferencijuojamumas
Pagal apibrėžimą, Vynerio proceso trajektorijos yra tolydžios. tačiau apskritai jos yra nereguliarios. Kokia
prasme netrukus paaiškės.
6.7 teiginys. Beveik tikrai su bet kuriais 0 < a < b < ∞, Brauno judesio procesas nėra monotoninis
intervale [a, b].
Įrodymas. Pirmiausia fiksuokime teigiamo ilgio intervalą [a, b]. Jei jis yra Brauno judesio monotoniškumo
intervalas, tuomet Ws ≤ Wt su visais a ≤ s ≤ t ≤ b. Paimkime bet kurį intervalo [a, b] suskaidymą:
a = 11 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an+1 = b į n intervaliukų [ai , ai+1 ]. Kiekviename tokiame intervale Wti − Wti+1
turi tą patį ženklą. Kadangi proceso prieaugiai yra nepriklausomi, tai
P ({Wti − Wti+1 ≥ 0, i = 1, . . . , n} ∪ {Wti − Wti+1 ≤ 0, i = 1, . . . , n})
≤ P (Wti − Wti+1 ≥ 0, i = 1, . . . , n) + P (Wti − Wti+1 ≤ 0, i = 1, . . . , n)
n
n
Y
Y
=
P (Wti − Wti+1 ≥ 0) +
P (Wti − Wti+1 ≤ 0)
i=1
−n
= 22
i=1
→ 0,
kai n → ∞. Taigi P (W yra monotoninis intervale [a, b]) = 0. Imdami skaičias sąjungas įsitikiname,
kad beveik tikrai nėra neišsigimusio Vynerio proceso monotoniškumo intervalo su racionaliais galais. Tačiau
bet kuris monotoniškumo intervalas savyje turėtų intervalą su racionaliais galais.
Priminsime, kad dešinioji ir kairioji funkcijos f išvestinės taške t yra atitinkamai
D∗ f (t) = lim
h↓0
f (t + h) − f (t)
,
h
116
ir
D∗ f (t) = lim
h↑↑0
f (t + h) − f (t)
.
h
6.8 teiginys. Tegu t ≥ 0 yra fiksuotas. Tuomet Vynerio procesas beveik tikrai nediferencijuojamas taške t.
Be to,
D∗ Wt = +∞, o D∗ Wt = −∞.
Įrodymas. Imdami standartinį Vynerio procesą (Wt , t ≥ 0) sukonstruokime proces1 (Xt , t ≥ 0) kaip 6.6
teiginyje. Šiam procesui
D∗ X0 ≥ lim sup
n→∞
X1/n − X0
= lim sup nX 1/n = ∞
1/n
n→∞
remiantis kartotinio logaritmo dėsniu. Analogiškai išvedame, kad D∗ X0 = −∞. Tai įrodo, kad procesas
nėra diferencijuojamas nulyje. Su bet kuriuo s > 0 procesas (Wt+s − Ws , t ≥ 0) yra Vynerio, o jo
diferencijuojamumas nulyje ekvivalentus digerencijuojamumui taške s.
6.6 teorema. (Paley, Wiener ir Zygmund, 1933) beveik tikrai Vynerio procesas yra nediferencijuojamas jokiame taške. Be to, su visais t
D∗ Wt = +∞, o D∗ Wt = −∞.
Trajektorijų šiurkštumas
Šiurkščiomis įprasta vadinti funkcijas, kurių variacija yra begalinė. Priminsime, kad tolydi iš dešinės funkcija f : [0, t] → R vadinama baigtinės variacijos, jei
(1)
Vf (t)
= sup
m
X
|f (tj ) − f (tj−1 | < ∞
j=1
kai tikslusis viršutinis rėžis skaičiuojamas pagal visus m ≥ 1 ir visus galimus intervalo [0, t] skaidinius
0 = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tm = t.
Funkcija turi baigtinę variaciją tada ir tik tada, kai ją galima užrašyti dviejų didėjančių funkcijų skirtumu.
6.7 teorema. Tarkime, su kiekvienu n ≥ 1 turime smulkėjančius skaidinius
(n)
0 = t0
(n)
≤ t1
(n)
≤ · · · ≤ tk(n) = t
ta prasme, kad kiekviename žingsnyje pridedami nauji padalijimo taškai. Tegu
∆n =
(n)
sup (tj
1≤j≤k(n)
(n)
− tj−1 ) → 0,
kai n → ∞. Tuomet beveik tikrai
k(n)
lim
n→∞
X
j=1
(Wt(n) − Wt(n) )2 = t.
j
j−1
6.4 išvada. Brauno judesio proceso trajektorijos su tikimybe vienas turi begalinę pilnąją variaciją.
117
(1)
Tikrai, jei VW (t) būtų baigtinis dydis, tai
n
n
X
X
2
(∆Wk ) ≤ sup |∆Wt |
|∆Wk | ≤ V max |∆Wk | → 0,
k=1
k
k
k=1
kai
Brauno judesio trajektorijos yra tolydžios. Bet tas prieštarautų ką tik įrodytam faktui, kad
Pn|π| → 0, nes
2 konverguoja kvadratinio vidurkio prasme prie intervalo ilgio t, tai π| → 0.
(∆W
)
k
k=1
Arksinuso dėsniai
Sakoma, kad atsitiktinis dydis X intervale (0, 1) turi arksinuso skirstinį, jei jo tankio funkcija yra
1
f (x) = p
,
π x(1 − x)
kai
x ∈ (0, 1).
Jo pasiskirstymo funkcija yra
P (X ≤ x) =
√
2
arcsin( x),
π
kai
x ∈ (0, 1).
Nagrinėkime standartinį Vynerio procesą W = (Wt , t ∈ [0, 1]).
6.8 teorema. (Pirmasis arcsinuso dėsnis)
(a) Tegu T = argmax0≤t≤1 W (t). Atsitiktinis dydis T yra
beveik tikrai vienintelis ir turi arksinuso skirstinį.
(b) Jei L = sup{t ∈ [0, 1] : W (t) = 0}, tai a.d. L turi arksinuso skirstinį.
Kaip išvadą iš invariantiškumo principo ir Brauno judesio proceso arksinuso dėsnio gauname šį teiginį.
6.9 teiginys. tarkime, (Xk , k ≥ 1) yra seka nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių a.d., EX1 = 0, 0 <
EX12 = 1. Tegu Sn , n ≥ 1) yra atitinkama dalinių sumų seka. Tuomet a.d.
Nn = max{1 ≤ k ≤ n : Sk Sk−1 ≤ 0},
kuris reiškia paskutinį momentą iki n’ojo, kai atsitiktinis klaidžiojimas keičia ženklą, tenkina
lim P (Nn ≤ xn) =
n→∞
√
2
arcsin( x),
π
su visaais x ∈ (0, 1).
6.5
Stochastinis integralas
6.6
Pratimai
6.1 pratimas. Įrodykite, kad Gauso procesas X = (Xt , t ≥ 0, kuris turi nulinį vidurkį ir kovariacinę
funkciją Γ(s, t) = min{s, t}, s, t ≥ 0, turi jis prasideda nulyje, turi nepriklausomus prieaugius ir Xt −Xs ∼
N (0, t − s) su visais t > s > 0.
6.2 pratimas. Įrodykite, kad Gauso procesas X = (Xt , t ∈ [0, 1]), kuris turi nulinį vidurkį ir kovariacinę
funkciją Γ(s, t) = min{s, t}, s, t ∈ [0, 1], turi tolydžią versiją.
118
6.3 pratimas. Vynerio procesui W , kuris prasideda nulyje W (0) = 0 įrodykite, kad
P (Ws > 0, Wt > 0) =
p
1
1
+
arcsin−1 s/t,
4 2π
kai s < t. Raskite P (Ws > 0, Wt > 0, Wu > 0), kai s < t < u.
6.4 pratimas. Tegu W yra standartinis Vynerio procesas, a > 0. Įrodykite, kad šie procesai taip pat yra
standartiniai Vynerio procesai:
(a) Vt = aWt/a2 ,
(b) Wt+a − Wt ,
(c) Vt = wW1/t , kai t 6= 0, V0 = 0,
(d) W1 − W1−t , t ∈ [0, 1].
6.5 pratimas. Kokios turi būti parametrų λ1 , λ2 reikšmės, kad procesas λ1 W (1) +λ2 W (2) būtų standartinis
Vynerio procesas, kai W (1) ir W (2) yra nepriklausomi standartiniai Vynerio procesai.
6.6 pratimas. Tegu W yra standartinis Vynerio procesas. Raskite šių procesų vidurkius ir kovariacines
funkcijas:
(a)
t
= |Wt |,
(b) Yt = eWt ,
Rt
(c) Zt = 0 Ws ds.
119
Literatūra
[1] Marc A. Berger (1992). An Introduction to Probability and Stochastic Processes, Springer-Verlag, New
York.
[2] R. M. Dudley (1998) Real Analysis and Probability. Wadsworth& Brooks/Cole.
[3] Rick Durrett (1997). Essentials of Stochastic Processes, Springer, New York.
[4] V. Kabaila Matematinė analizė. I, II d. Vilnius: Mokslas, 1983, 408 p.; 1986, 482 p.
[5] V. Mackevičius (1998). Integralas ir Matas, Vilnius: TEV.
[6] K.R. Parthasarathy, Introduction to Probability and measures, Academic Press, New York and London,
1980.
[7] Sidney Resnick (1992). Adventures in Stochastic Processes, Birkhäuser, Boston-Basel-Berlin
[8] Hsu Hwei P. (1997) Probability, Random Variables and Random Processes, Schaum’s Outlines Series,
McGraw-Hill, New-York.ne
121