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Festkörperphysik Fragenkatalog
Einführung in die Molekül- und Festkörperphysik für USW (Universität Graz)
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Festkörperphysik Fragenkatalog SS 2014 (Simon Wellenzohn)
1. Kapitel: Chemische Bindungen in Festkörper
1. Was ist Kohäsionsenergie und wieso ist es wichtig sie zu berücksichtigen?
Kohäsionsenergie = Energie der einzelnen Atome – Energie des Festkörpers
Immer > 0
Ist die Energie, die notwendig ist ein Teilchen aus einem unendlich ausgedehnten idealen
Kristall zu entfernen.
Ist wichtig zu berücksichtigen um Bindungsstärken der Verbindungen und
zwischenmolekulare Kräfte abzuschätzen.
2. Wieso ist der thermische Ausdruck kBT wichtig?
kBT gibt die durchschnittliche thermische Energie eines Partikels wieder.
kB = 1,38.10-23 [J.K-1]
3. Welche Rolle spielt die Entropie in Festkörperbindungen?
Nach Planck wird die Entropie ideal kristallisierter, reiner Festkörper am absoluten
Nullpunkt gleich null gesetzt. In der Festkörperphysik spielt Entropie eine untergeordnete
Rolle.
4. Erkläre das typische Bindungspotenzial und dessen resultierende Kraft
F=-
∇ φ(r )
⃗F =⃗φ̇
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5. Erkläre den Beitrag der Kohäsionsenergie an den ionisch gebundenen Kristall
Bei einem Festkörper mit Ionenbindung lässt sich die Kohäsionsenergie aus der
Gitterenergie, also dem elektrostatischen Energiegewinn bei Zusammenbau des Gitters,
sowie aus der Ionisationsenergie und der Elektroaffinität der Atome berechnen.
EK = EIon + EAff + EGitter
Die Gitterenergie lässt sich aus den Coulombkräften aller Ionen im Gitter berechnen
6. Erkläre die kovalente Bindung
Interaktionen von Elektronen die zu ver. Atomen gehören. Sie „teilen“ sich das Elektron.
2
Eψ=−
ℏ 2
∇ ψ
2m
Mithilfe der Schrödingergleichung
lässt sich zeigen, dass die Energie
bei Verdopplung des Raumes, das ein Elektron besetzt dessen Energieniveau sinkt.
Kovalente Bindungen entstehen zwischen nicht zu stark unterschiedlich elektronegativen
Atomen.
7. Erkläre den Ursprung der Atomorbitale, wie z.B. 1s, 2s, 2p
Die Atomorbitale sind Ergebnisse der Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom
ℓ = Drehimpulsquantenzahl, 0=s, 1=p, 2=d, 3=f
Sie sind die räumlichen Wellenfunktionen eines einzelnen Elektrons → Isoflächen von
2
|ψ (r )|
= Aufenhaltswahrscheinlichkeit
8. Erkläre die Schrödingergleichung für Helium (Wasserstoffmolekül)?
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9. Welche Elektronen sind in Metallbindungen involviert?
Die Valenzelektronen (1, 2 oder 3) bewegen sich „frei“ zwischen den fest verankerten
Atomrümpfen.
10. Erkläre den Begriff „sigma – Bindung“, „pi – Bindung“, „sp2 und sp3 – Hybridisierung“
σ - Bindung: Bindung durch horizontales Überlappen von s- oder p-Orbitalen. Frei
drehbar
π – Bindung: Bindung durch paralleles Überlappen von 2 p-Orbitalen. Nicht frei drehbar
sp2: 2 p und 1 s Orbital bilden 3 sp2 hybridisierte Orbitale. 120° planar mit senkrecht dazu
p-Orbital (z.B. Carbon)
sp3: 3 p und 1 s Orbital bilden 4 sp3 hybridisierte Orbitale. 109,5° tetraedrisch (z.B.
Diamant)
11. Was sind die Auswirkungen der Bindungsgeometrien auf die Gestalt der Moleküle?
Die Hybridisierung bestimmt die Anordnung und Winkel der Atome in Molekülen. Z.B.
sp2 nicht drehbar, sp planar
12. Was sind die Konsequenzen der Elektronegativität in Molekülen?
Statistische Verteilung der geteilten Elektronen ungleichmäßig, deswegen partielle
Ladungsverteilung, Wasserstoffbrückenbindungen und partielle Dipole
13. Was sind Wasserstoffbrückenbindungen?
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Elektrostatische Interaktion zwischen Wasserstoffatomen und elektronegativen Atomen;
partielle Ladungen ziehen sich an → intermolekulare Bindungen (ca. 20 kBT)
14. Wie kommen van der Waals Kräfte zustande?
Unpolare ungeladene Moleküle bilden zufällige fluktuierende Dipole da ungerichtete
Verteilung der Elektronen im Zeitverlauf.
U∝
1
r6
ca. 1 kBT
15. Was ist das van der Waals Volumen eines Kristalls?
Kleinste Distanz zwischen zwei nicht bindenden Atomen
→ wegen Van der Waals Anziehung = Abstossung wegen Pauli und Elektrostatik
2. Kapitel: Kristallstrukturen
a.) Kristallstrukturen
1. Was ist eine primitive Einheitszelle?
Primitive Einheitszellen enthalten nur einen Gitterpunkt. Kristalle können als periodische
Abfolge dieser Einheitszellen beschrieben werden.
R = ma1 + na2 + oa3
mit m, n, o ¿ N| ax … Einheitszellenvektoren, R …
Gittervektor
2. Wie konstruiert man eine Wiegner-Seitz Zelle?
Wigner – Seitz Zelle ≡ primitive Einheitszelle
→ von einem Gitterpunkt aus Verbindungen zu allen Nachbarn zeichnen (Geraden),
Gitterpunkt befindet sich im Mittelpunkt der Einheitszelle
→ Alle Verbindungsgeraden werden durch Mittelsenkrechten (Normalebenen) halbiert
→ Die eingeschlossene Fläche (Volumen) repräsentiert die Einheitszelle und im
reziproken Gitter der ersten Brillouin – Zone
3. Was ist die Basis einer Kristallstruktur?
Die Basis einer Kristallstruktur ist die primitive Einheitszelle mit den darin enthaltenen
Ionen. Jeder Punkt im Kristall kann mit den Einheitsvektoren beschrieben werden.
4. Was sind Bravais – Gitter?
Bravais – Gitter sind eine Klassifikation der möglichen Transtionsgruppen regelmäßiger
Punktgitter. Im 3 – D Raum gibt es 12 Bravais – Gitter.
5. Nenne 6 Kristallklassen
Triklin, Monoklin, Orthorombisch, tetragonal, Hexagonal, Kubisch
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6. Wie wird eine Ebene (Richtung) im Gitter notiert?
Weiss – Index (m,n,p): Anzahl der Gitterpunkte pro Richtung
z.B.: m=2, n=1, p=2
Miller – Index (h,k,l): Die Ebene schneidet die Achsen bei 1/h, 1/k, 1/l
z.B:
()( )()
h 1/2
2
k = 1 ⇒1
l
1/2
2
immer teilerfremd! Und ganze Zahlen
Die Angabe von Richtungen erfolgt mittels R (Gittervektor)
⃗R=a ⃗x +a ⃗y +a ⃗z
1
2
3
7. Was sind äquivalente Ebenen (Richtungen)?
Ein Kristall ist eine Ansammlung von Netzebenen, die gleich große Abstände besitzen.
Alle Gitterpunkte sind Teil dieser Sammlung von Netzebenen.
8. Erkläre das Rationalitätsgesetz?
Das Rationalitätsgesetz (auch Rationalitätsprinzip, Gesetz der rationalen Verhältnisse oder
Gesetz der rationalen Indizes) besagt, dass sich alle Kristallflächen und alle Kanten
durch rationale Indizes darstellen lassen. Die Indizes sind immer kleine ganze Zahlen. Das
gilt sowohl für die Weiss'schen Indizes m:n:p als auch für deren Kehrwerte, die später
eingeführten Millerschen Indizes (hkl).
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9. Was ist der Unterschied zwischen klassischen und quasi – Kristall?
Quasikristalle sind geordnet aber haben keine translative periodische Struktur
10. Was ist das Symmetrieprinzip in der Kristallographie?
Symmetrische Spiegelungen/Operationen müssen den Kristall reproduzieren.
Symmetrische Elemente sind: Drehachsen; Inversionszentren; Spiegelebenen
Nur Rotationswinkel von 60, 90, 120, 180 und 360 ergeben wieder einen
deckungsgleichen Kristall
→ es gibt 32 Kombinationen von Rotationsachsen und Spiegelungen (plus Chiralität)
11. Nenne die charakteristischen symmetrischen Elemente der 6 Kristallklassen.
12. Welche symmetrischen Elemente kennst du?
z.B. H2O, CH4, HC≡CH
13. Welche symmetrischen Elemente schließen Piezoelektrizität aus?
Kristalle mit Inversionszentren und/oder senkrecht zueinanderstehenden Spiegelebenen
Inversionszentrum: Man zieht eine Linie von einem Atom bis zum Mittelpunkt eines
Moleküls. Von diesem Mittelpunkt aus geht man die gleiche Entfernung in derselben
Richtung weiter. Trifft man dann auf ein symmetrieäquivalentes Atom, so spricht man von
einem Inversionszentrum.
14. Nenne Beispiele für symmetrische Elemente, welche zu Pyroelektrizität fähig sind.
Die Kristalle dürfen nur eine Symmetrieachse und kein Inversionszentrum besitzen.
Pyroelektrizität (griech. pyrein, πυρος pyro = „brennen, ich brenne“,
auch: pyroelektrischer Effekt, pyroelektrische Polarisation) ist die Eigenschaft
einigerpiezoelektrischer Kristalle, auf eine zeitliche Temperaturänderung
ΔT mit Ladungstrennung zu reagieren. Z.B.: Triglycerinsulfat
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15. Erkläre die Begriffe „close packing“ und gib den Erscheinungsgrund an.
= strukturelle Anordnung bei welcher Atome so dicht wie möglich gepackt sind.
→ weil Metallbindungen keine bevorzugte Bindungsrichtung habe
→ größtmögliche Überlappung
16. Was ist der Unterschied zwischen einer Flüssigkeit (Kristall) und einem Glas?
→ Kristalline Festkörper: Ordnung auf langer Distanz (anisotropische
Eigenschaften=richtungsabhängig)
→ Flüssigkeiten: kurze Reichweite der Ordnung, Brown’ sche Molekularbewegung
→ unterkühlte Schmelze, verhinderte Kristallisierung, nicht im Gleichgewicht
Isotropische Eigenschaften durch nicht reguläre Netzwerke, keine Brown’sche Bewegung
17. Wieso bilden sich Gläser? Nenn einige Beispiele für Gläser?
Gläser können theoretisch mit allen Materialien hergestellt werden, wenn sie schnell
genug abgekühlt werden können, d.h. bevor die Kristallisierung einsetzt.
(z.B. bei Siliziumoxide: 10-4 K/s)
Beispiele für Gläser: Anorganisch→Oxide: mit Elemente der 3, 4 und 5 Hauptgruppe
z.B: Fensterglas=70% SiO2 + Störionen
metallische: spezielle Legierungen
Organisch→Polymere: Unterschiede in Form und Konformation
verhindern zusätzlich eine Kristallation
b.) Kristallstrukturaufklärung
1. Erkläre den Ursprung der Bragg – Gleichung
→ Annahme: Spiegelung der eintretenden Röntgenstrahlung an flache Kristallebenen
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Für eine konstruktive Interferenz muss die Weglängendifferenz zwischen Röntgenstrahlen, die
von einer Ebene und der nächsten Ebene reflektiert werden, ein ganzzahliges Vielfaches der
Wellenlänge λ sein → 2.AB = n. λ
sin θ=
→ es gilt auch
→Bragg-bedingung:
AB
d
n . λ=sin θ . 2. d
Kann nur für λ<2 . d erfüllt sein (Röntgenwellenlänge muss kürzer sein als Gitterabstand)
Angabe der Gitterebenen mithilfe der Miller- Indizes
2. Erkläre ein einfaches Streuexperiment mithilfe ebener Wellen
Röntgenstreuung: das elektromagnetische Feld der Röntgenstrahlung regt die Elektronen des
Stoffes in seiner Frequenz zum Schwingen an. Die schwingenden Elektronen emittieren neue
Röntgenstrahlung welche Interferenzmuster bildet → sie werden gestreut
E
= E .ei .k.r−i.ω.t
0
(r ,t )
Das elektrische Feld lässt sich als ebene Welle schreiben:
k… Wellenvektor → zeigt in Ausbreitungsrichtung der Welle, seine Länge beträgt 2π/λ
E0 kann weggelassen werden da nur relative Phasenänderung interessant.
i. k.(r− R) i.ω .t
.e
→ E(r , t )∝e
[I]
R’ … Ort des Detektors (sehr weit weg → ebene Welle)
k’ … Wellenvektor der Probe
Von r gehen gestreute Wellen in alle Richtungen → nur die Richtungen R’ intressant
E( R' , t )∝ E(r , t ) ρ(r ) . ei . k '.( R '−r )
→
Ladungsdichte)
→ [I] + [II] : E( R ', t)=e
i(k' .R ' −k.R )
[II] ( ρ … Streuwahrscheinlichkeit an Ort r → lokale e- i.( k−k ' ).r
. ρ(r ) .e
−iω.t
.e
Gesamtwellenfeld am Detektor berechenbar durch Integration des Gesamtvolumens V vom
Kristall
E( R',t) ∝e−iω .t ∫ ρ(r ) .ei .(k−k ' ).r dV
→
da k’ für alle Punkte fast gleich (K=k-k’ [Streuvektor])
V
3. Was ist ein Streuvektor?
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K=k-k’ [Streuvektor]
Differenz aus einfallenden und austretenden Wellenvektor
k und k’ unterscheiden sich nur in Richtung |k|=|k’| → da elastische Streuung angenommen
Man misst die Intensität der Röntgenstrahlung als Funktion des Streuvektors k um Strukturen
aufzulösen → Erleichterung durch Periodizität und reziproken Gitter
4. Wie wird das reziproke Gitter vom realen Gitter konstruiert?
Zu einen gegebenen Bravais – Gitter: R=m.a1 + n.a2 + o.a3
Def.: Reziprokes Gitter als die Menge der Vektoren G für die
R.G = 2.π.l = eiGR =1
(l ¿ N) gilt. (G…reziproker Gittervektoren)
G=m’b1 + n’.b2 + o’.b3
reziprokes Gitter entspricht einem Bravais – Gitter
b1 =2 π
a2 xa 3
a1 (a2 xa 3 )
b2 ⊥ a1 , a3
und analog für b1, b2 und b3
ai . b j=2 πδ ij
Def über Wellenvektoren:
e iGR=eiGr . e iGR =e iG( r+R )
Def der Miller’schen Indizes mit reziproken Gitter:
i,j,k definieren eine Ebene die senkrecht auf dem reziproken Gittervektor ib1 + jb2 + kb3 steht.
5. Welcher Zusammenhang besteht zwischen reziproken und realen Gitter?
siehe Nr. 4
6. Nennen sie die Laue – Bedingung für die Beugung
I(k) ∝|∑ ρG∫ ei(G−K ).r dV|
2
G
V
Bei der Integration wird I sehr klein für sehr große Kristalle (0 für unendlich lang)
→ Ausnahme bei K=G=k’-k (Laue – Bedingung)
dann ist e^(…) = 1 und das Integral gleich V
Bedingung für Beobachtung konstruktiver Interferenz
7. Erkläre die Ewald – Konstruktion
Ewald Konstruktion → Veranschaulichung der Laue – Bedingung
Grundlage = reziprokes Gitter
a.) Einzeichnen von k (sein Ende ist im Ursprung des Gitters, frei wählbar)
b.) Kreis mit Radius |k| um den Ursprung
c.) Dort wo der Kreis Gitterpunkte berührt ist die Laue – Bedingung G=K erfüllt
8. Welche Parameter werden in einem Beugungsexperiment benutzt um Kristallstrukturen
aufzuklären?
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Die Intensität der emittierten Röntgenstrahlung in Abhängigkeit des einfallenden
Wellenvektors k.
9. Warum wird das reziproke Gitter verwendet um eine periodische Funktion im Gitter zu
beschreiben?
Weil das Beschreiben gitterperiodischer Funktionen sehr einfach im reziproken Raum
funktionieren. Z.B.:
ρ(r )=∑ ρG . eiGr
G
3. Kapitel: Mechanische Eigenschaften
1. Was ist der Unterschied zwischen Spannung und Dehnung?
Spannung σ ist definiert als Kraft pro Fläche, je nach Richtung entweder Zug- oder
ε=
Druckspannung. Die Reaktion eines Festkörpers auf Spannung nennt man Dehnung
2. Was ist der Unterschied zwischen elastischer und plastischer Verformung?
Δl
l
ε<0 ,01 elastische Verformung auf, d.h. der Festkörper nimmt seine ursprüngliche Form
wieder an sobald die Spannung gelöst wird.
→ σ =K . ε lineare Funktion
Wenn die Dehnung über die Fließspannung hinausgeht → plastische Verformung, Verformung
ist permanent, bei Spannungslösung nimmt der Festkörper nicht wieder seine ursprüngliche
Form an. Er zieht sich nur leicht zusammen
3. Erkläre die unterschiedlichen Bereiche der Spannungs -, Dehnungskurve
Sobald die Fließspannung erreicht ist setzt das durch Versetzungen begünstigte Gleiten ein.
Dieser Berreich heißt Fließzone. Die Spannung erhöht sich auch bei zunehmender Dehnung
nur wenig.
Verfestigungszone: Kurve wird steiler, wenn das Material hier gelöst wird zieht es sich leicht
zusammen (gestrichelte Linie in Abb). Bei wieder Spannungsaufbau verformt sich das
Material erst elastisch bis die ursprüngliche Kurve wieder erreicht ist.
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Bruch: Spannung kann sich unmittelbar vorher verringern→ Brucheinschnürung→ lokale
Spannungserhöhung → Bruch obwohl insgesamt auftretende Spannung verringert.
4. Was ist der Young – Modulus
Verhältnis aus Spannung und Dehnung im elastischen Berreich ist das Young’sche Modul
σ F .l
Y= =
ε A . Δl
→ Anstieg der Kurve im linearen Bereich
Üblicherweise im Bereich von GPa
5. Erkläre des Hook’sche Gesetz
σ =Y . ε
F=H . x
oder
Federkonstante H → elastischer Bereich
6. Was bedeuten die unterschiedlichen Werte der Poisson – Zahl?
Typische Werte für Poisson – Zahl: 0,2 – 0,4
Gummi → 0,5 → nahezu inkompressibler Festkörper
 0,5 nicht möglich → entspräche Volumensverminderung bei Spannungseinfluss
 -1 bis 0 → Festkörper dehnen sich quer unter Zugspannung und ziehen sich bei
Druckspannung zusammen.
7. Was ist der Schermodulus?
τ=
Scherspannung
F
A
G=
Scher Modul:
τ
α
( α … Scherwinkel)
8. Was ist der (Kompressions) Bulk Modulus?
K=− Δp
Definiert als:
V
ΔV
9. Wie sind die makroskopischen elastischen Konstanten mit den mikroskopischen Kräften
miteinander verbunden?
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Das Potential Φ hat ein Minimum im Abstand d, dort ist: F=0,
−
∂Φ
=0
∂x
Bei Spannung → Verschiebung danach wollen die Atome wieder in diese Gleichgewichtslage
zurück
→ Taylor – Reihe für das Potential bei x (nahe Minimum):
2
dΦ (a )
1 d Φ( a)
Θ( x )=Φ (a )+
( x−a)+
( x−a )2 +. .. .
2
dx
2 dx
1. Term: absolut Betrag unwichtig wird 0
2. Term: wird 0 am minimum da steigung = 0
3. Term: Harmonisches Potential → F ~ x →linear (elastisch)
Young’sche Modul hängt von der Energie der BIndungen und der Bindungsdichte ab und
entspricht der Krümmung des Potentials um das Minimum.
10. Nenne Kristalldefekte
Punktdefekte: → Leerstelle
→ substitionelle Fremdatome
→ interstitielle Fremdatome (zwischen Gitterplätzen)
Versetzungen: Liniendefekte ziehen sich über ganzen Kristall
11. Welche Auswirkungen haben Kristalldefekte auf die mechanische Stabilität des Materials?
Ist im Festkörper eine Versetzung vorhanden, so muss man zur plastischen Verformung nur
Bindungen in einer Reihe aufbrechen anstatt alle Bindungen zwischen 2 Ebenen gleichzeitig
→ aber Punktdefekte verankern Versetzungen → wieder mehr Energie notwendig
12. Erkläre die unterschiedlichen Mechanismen beim Bruch
siehe Aufgabe 3 &
bei spröden Festkörpern kommt es gleich nach der elastischen Verformung zum Sprödbruch.
Feine Risse im Material, an deren Ende die lokale Spannung höher als die mittlere Spannung
ist (um Faktor 2 √ l/r , l…Länge Riss, r…Radius Riss). → selbst verstärkender Prozess,
Spannung erhöht sich für tiefere Risse.
4. Kapitel: Thermische Eigenschaften des Gitters
1. Was ist die Dispersionsrelation?
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Dispersionsrelationen sind Beziehungen, die eine Frequenz oder eine Energie mit einem
Wellenvektor k verknüpfen (periodisch)
ω(k)=2.
√
γ
k .a
|sin |
M
2
2. Leite die Dispersionsrelation für eine unendlich lange Kette von Atomen ab
→ Annahme: Schwingungen eines Festkörpers aus N-Atomen werden durch 3.N – einfache
und unabhängige harmonische Schwingungen beschreiben.
d 2 x (t )
F=M . a=M
=−γ . x
dt 2
ω=
→ Ergibt für einen harmonischen Schwinger:
Für eine unendlich lange Kette:
√
γ
M
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2
M
d un
dt
2
=−γ ( un −un−1 )+ γ ( u n+1 −u n )
Lösung durch Welle, die nur an Gitterplätzen definiert ist:
un (t )=u. ei( k . a . n−ω . t)
Als Winkelfrequenz erhält man:
ω(k)=2.
√
γ
k .a
|sin |
M
2
Dispersionsrelation → abhängig von k
3. Wie ist die maximale Wellenlänge der Gittervibration mit den Dimensionen der Probe
verknüpft?
ω(k)=2.
λ max →k min=0
√
γ
k .a
|sin |
M
2
k=
2.π
λ
Maximale Länge hängt dann von der Kraftkonstanten ab
4. Wieso ist die Dispersionsrelation einer finiten Kette diskret?
Durch Einführen einer Kette von N-Atomen ergibt sich für:
un =un +N → 1=e i. k . a. N → k.a.N=2π.m
und deswegen ergeben sich folgende mögliche Werte für k:
k=
2.π
m
N .a
(m=0, 1, …, N-1)
5. Was ist ein Phonon, welche Merkmale beschreibt ein einzelnes Phonon?
Die einzelnen Anregungen eines Schwingungsspektrums eines Gitters wie z.B.
( 12 ) ℏ . ω(k )
El ( k )= l+
nennt man Phononen.
→ gleiches Konzept wie Photonen (Welle-Teilchen, Statistik, Bosonen→kein Pauliprinzip)
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6. Was ist die erste Brioullin – Zone?
Durch die Periodizität eines Gitters reicht es aus die Lösung ω
der Länge 2.π/a zu kennen um sie überall zu kennen.
ω(k)=2.
√
für k nur in einem Intervall
γ
k .a
|sin |
M
2
Wegen der Symmetrie reicht auch der Bereich von k=-π/a bis k=π/a → dieser Bereich wird
erste Brillouin – Zone des Gitters genannt.
Entspricht der Wigner – Seitz – Zelle im reellen Raum → Brillouin – Zone = Wigner – Seitz –
Zelle des reziproken Gitters.
7. Wieso gibt es drei akustische (oder optische) Bänder in einer 3-D Dispersionsrelation?
Zu der longitudinalen Mode kommen noch 2 transversale Modi hinzu
8. Nenne einen typischen Wert der Oszillationsfrequenz, wie kann er mithilfe des Young –
Moduls errechnet werden?
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ω=
√
γ
M
Y=
γ
a
ω≈¿
¿
1012 – 1014 Hz
9. Wie ist Wärmekapazität definiert und welche Einheit besitzt sie?
C=
Q
ΔT
cV =
∂U
|
∂T V
S=
( ∂∂ ET )
1
∫ c dT
T V
C=
[J.K-1]
10. Was ist die Wärmekapazität eines Gitters und welche Grenzen sind bei hohen und tiefen
Temperaturen?
Für hohe Temperaturen stimmt das Gesetz von Dulong-Petit C=3R
E: 1FHG → ½ kBT → 3.2.1/2 kBT = 3kBT (pro Schwingungsfreiheitsgrad 1 kBT)
( ∂∂ ET )
C=
für ein Mol = 3.R.T
hohe T: c=3R
tiefen T: c=0 da S→0
= 3R
11. Was ist die Wärmekapazität und wie lautet das Einstein Model der Wärmekapazität?
Beschreibung durch Oszillatoren im Festkörper aber Quantenmechanisch → unabhängige
harmonische Oszillatoren schwingen mit Einstein – Frequenz ω E
( 12 ) ℏ . ω
En = n+
E
Für 3 NA (Dimensionen; pro Mol)
(
⟨E n ⟩= ⟨n⟩+
)
1
ℏ . ω E∗3 N A
2
⟨ n⟩=
→ sinkt bei niedrigen T zu schnell ( ΘE <0,1)
1
e
ℏ ωE
kBT
−1
C=
∂⟨E ⟩
∂T
ℏ ω E =k B Θ E (Einstein Temperatur)
Der Fehler stammt von
12. Was ist die Debye – Temperatur und wie wird sie genutzt um die Wärmekapazität zu
erklären?
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ℏ ω D =k B Θ D
Beschreibung durch akustische, langwellige Schallwellen, weil die
Energielevels sehr nahe beieinander sind. → linearer Verlauf der Dispersionsrelation bis zu
ω max =ω D . c ∝T 3
einer
Für Temperaturen über die Debye – Temperatur ist Dulong Petit erfüllt
13. Wie ist die Wärmeleitfähigkeit definiert und welche Einheit besitzt sie?
κ=
∂Q . Δx
=κ +κ
A . ∂ t . ΔT P e
(Phononen + Elektronen)
[J.(s.m.K)-1]
14. Wie ist die Wärmeleitfähigkeit mit den Eigenschaften der Phononen verbunden?
1
κ P= .C V . λ P . ν P
3
λ
=
( P
mittlere freie Weglänge, ν P= Phononengeschwindigkeit →
Schallgeschwindigkeit)
λ P limitiert durch: → Beugung an Defekten
→ Beugung an Probenrand
→ Beugung an anderen Phononen
→ Beschreibung der Phononen als ideales Gas wie in kinetischer Gastheorie
→ Maximale
bei T=0,1. ΘD
κ
λ P → 0 bei hohen T
CV → 0 bei tiefen T
15. Wie ist die Wärmeausdehnung definiert?
αV=
( )
1 ∂V
V ∂T
α=
p
wenn linear:
( )
1 ∂L
L0 ∂T
L=L0 .(1+α . ΔT )
α=
1
3
. αV
α → 0 bei T→0
16. Wie ist die Wärmeausdehnung mit dem interatomaren Potential verknüpft?
Die thermische Expansion ist ein Effekt der anharmonischen Schwingung:
3
1 ∂ φ(a )
(x −a )3
3
6 ∂x
(aus der Taylorreihe des Potential)
→ harmonische Schwinger haben keine thermische Expansion
→ flache Potentialkurve → hohe anharmonische Effekte → hohe Wärmeausdehnung
5. Kapitel: Elektrische Eigenschaften von Metallen: Klassische Betrachtungsweise
1. Was sind die Annahmen des Drude – Modells
→ freie Elektronen verhalten sich wie ein ideales Gas
→ Elektronen stoßen an stationäre Ionenrümpfe
→ aber Elektronen stoßen sich nicht gegenseitig (auch real so)
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3
1
me ν 2t = k B T
2
2
λ=τ .ν t (
τ … Relaxionszeit;
λ … mittlere freie Weglänge)
2. Welche Parameter sind notwendig um elektrische Leitfähigkeit mit dem Drude – Model
erklären zu können?
2
n. e . τ
σ=
=n . μ . e
me
(n…Anzahl Elektronen; τ … Relaxionszeit; µ…Mobilität der Ladungsträger [m2.(Vs)-1]
3. Was ist Ladungstransportfähigkeit?
μ=
ν̄
E
ν̄=
−e.E .τ
me
σ =n . μ . e=
1
ρ
also
Nützliche Definition für Festkörper bei denen die Ladungsträgerkonzentration durch einen
äußeren Parameter geändert werden kann ohne den Streumechanismus d.h. τ zu verändern.
4. Erkläre den Messaufbau des Hall – Effekts und der elektrischen Leitfähigkeit
Elektronischer Ladungstransport in einem Magnetfeld
⃗F =e.(⃗v x B⃗ )
L
E H =R H . j X . B Z
(RH … Hall Koeffizient)
1 I .d
σ= =
ρ A.V
Für Leitfähigkeit:
Messung des Widerstands durch 4-Punkt Methode
5. Welche Einheit hat der Hall- Koeffizient (elekt. Leitfähigkeit)?
Hall:
RH=
−1
n. e
(n…Ladungsträgerdichte)
[m3.C-1]
1 I .d
σ= =
ρ A.V
Leitfähigkeit:
[(Ωm)-1]
6. Welche Parameter können über den Hall – Effekt gemessen werden?
Ladungsträgerdichte n ver. Materialien
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7. Was ist die dielektrische Funktion?
Zur Beschreibung optischer Eigenschaften kann Anstelle des Brechungsindex N die komplexe
dielektrische Funktion verwendet werden.
N= √ε=√ ε r +i. ε i
8. Was ist die Plasmafrequenz?
Die Plasmafrequenz ist definiert durch:
2
n.e
ω P=
ε 0 .me
2
ε =1−
ω<ω P →
ε
ω>ω P →
ε
ωP
2
ω
negativ und reelle Zahl → exponentielles gedämpftes Eindringen der Welle
in den Festkörper, Licht wird vom Festkörper reflektiert
positiv und reelle Zahl → Lichtquelle breitet sich im Material aus, Material
ist durchsichtig
Die Plasmafrequenz entspricht der Resonanzfrequenz der Gesamtelektronen (sehr hoch)
9. Welche Festkörperparameter sind mit dem Wiedemann – Franz – Gesetzt miteinander
verbunden?
κ
=L. T
σ
(
κ
… thermische Leitfähigkeit; σ … elektrische Leitfähigkeit;
L … Lorenzzahl; T … Temperatur)
Mit dem Drude Modell erhält man dasselbe Gesetz, aber L ist um Faktor 2 zu klein
10. Welche Schwächen hat das Drude – Modell?
Die elektrische Leitfähigkeit der ver. Metalle stimmen nicht mit den exp. Daten überein
→ je tiefer T desto mehr Unterschied
→ Legierungen führen zu starker Reduktion der Leitfähigkeit (Drude hat keine Erklärung)
Problem bei klassischer Betrachtung der Elektronen:
→ Elektronen bei Raumtemperatur kein Beitrag zur Wärmekapazität
→ Dulong-Petit: Wärmekapazität des Gitters für 1 Mol = 3R
→ wenn aber Equipartitions-Theorem:
1 Valenzelektron: 3* 1/2. N A .k B .T + 6* 1/2. N A .k B .T → 4,5 R
2 Valenzelektronen: 6* 1/2. N A .k B .T + 6* 1/2. N A .k B .T → 6 R
3 Valenzelektronen: 9* 1/2. N A .k B .T + 6* 1/2. N A .k B .T → 7,5 R
Translationen
Vibrationen
Warum die Elektronen nicht zur Wärmekapazität beitragen erst erklärbar mit
Quantenmechanik.
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6. Kapitel: Elektronische Eigenschaften von Metallen: Quantenmechanische
Betrachtungsweise
1. Beschreibe qualitativ den physikalischen Ursprung der elektronischen Energiebänder
in Festkörpern
Wenn sich Atome näher kommen bilden sich bindende und antibindende Molekülorbitale
aus. E0 = Energie bei unendlichen Abstand
N-Atome spalten sich in N-Molekül-niveaus auf (nicht entartet) → bei vielen Atomen
quasikoninuirliche Zustände.
Isolatoren besitzen eine Bandlücke zwischen besetzten und unbesetzten Zuständen
2. Beschreibe das Freie Elektron Modell, wie hängt die Energie von einem
Elektronenband vom Wellenvektor ab, wie verhält sich die Dichte der Zustände zu der
Energie?
Beschreibung der quantenmechanischen Eigenzustände aller Elektronen in einem Festkörper
→ Wellenfunktion, die von allen e- - Koordinaten abhängt sowie von allen positiven Ionen ist
viel zu komplex
→ deswegen: → Born-Oppenheimer-Näherung
-Protonen keine Bewegung (passt obwohl thermische Bewegung, weil sich die e- an die
Verteilung der langsamen schweren Protonen schnell genug anpassen)
-keine Betrachtung der korrelierten Bewegungen der e→ Berechnung der Elektronenzustände für ein e- das sich in einem Potential U(r) befindet
welches durch alle Ionen und anderen Elektronen bestimmt wird. U(r) ist für Metalle ziemlich
klein → Vereinfachung zum freien Elektronen Modell:
Im freien Elektronenmodell wird das Standardproblem eines freien Teilchens in einem Kasten
herangezogen:
ℏ2 2
−
∇ ψ (r )+U (r).ψ ( r)=E . ψ (r)
2
.
m
e
Die gitterperiodische Schrödingergleichung:
wird für U(r) = 0 gelöst
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Die Energie der ver. Elektronenzustände hängt quadratisch vom Wellenvektor ab
2 2
ℏ k
E(k )=
2 me
Da k nur bestimmte Werte (n.2.π/L) annehmen kann → diskontinuirliche Energiezustände
Eigenzustände werden nach Pauli Prinzip besetzt (korrekt bei Nullpunkt, sonst statistische
Besetzung der Zustände nach Fermi-Dirac)
1
Die Dichte der Zustände verhält sich zur Energie mit
g( E )∝ E
2
3. Welchen Beitrag liefern die freien Elektronen im Quantenmodell zu der
Wärmekapazität und wie unterscheidet sich das vom Drude Modell?
Im freien Elektronenmodell liefern nur die Elektronen die sich im Bereich der Fermi-Energie
befinden einen Beitrag zur Wärmekapazität. Nur dort herrschen Verteilungen von besetzten
und unbesetzten Zuständen vor, die einen Wechsel zwischen diesen erlauben.
→ Anzahl der Elektronen g( E ).k B T
3
k T∗¿
2 B
¿
g( E ). k B T
∂E
c= =3 k B T∗g( E )
∂T
→ Wärmekapazität
→ Energie
4. Wie hängt der Beitrag der Elektronen an die Wärmekapazität von der Temperatur ab
und warum?
Der Beitrag der Elektronen an die Wärmekapazität c hängt über die Fermi-Dirac-Verteilung
mit der Temperatur zusammen. Bei hohen Temperaturen wird der Bereich
unbesetzter/besetzter Zustände größer → höheres g(E) → höheres c
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5. Wie schaut die allgemeine Lösung der Schrödingergleichung für gitterperiodische
Potenziale aus?
2
ℏ
∇ 2 ψ (r )=E .ψ (r )
2 .me
für gitterperiodische Potentiale lautet
2 2
ℏ k
E(k )=
2 me
(k→diskrete Werte)
−
Die allgemeine Lösung von
ψ (r)=
1 ikr
e
√V
oder
6. Was ist die Ursache für die Lücken zwischen den Energien der elektronischen Bänder?
Die mithilfe des Bloch-Theorems errechneten Energiewerte der Elektronen im Gitter ergeben
für größere U-Werte (Gitterpotentiale) diskrete Energiewerte mit Lücken an gewissen Stellen.
Im Festkörper gibt es kein Kontinuum an Zuständen mehr, sondern durch Löcher getrennte
Bänder.
7. Die allgemeine Lösung der Schrödingergleichung für periodische Potenziale weist
darauf hin, dass Metalle keinen elektrischen Widerstand besitzen sollten. Warum ist
dies so und woher kommt der Widerstand?
ikr
Die mathematische Lösung der Bloch-Welle [ ψ k (r )=e . uk (r) ] ist eine ebene, über den
gesamten Kristall delokalisierte Welle. Damit ist kein Transport beschreibbar. →
Beschreibung des bewegten Elektrons als ein Wellenpaket (Superposition von Bloch-Wellen)
→ Ein Bloch-Elektron wird an den Gitterionen nicht gestreut, da Bloch-Wellen stationäre
Lösungen bei vorhandenen Ionen beschreiben → Demzufolge Widerstand=0
Aber bei genauer Betrachtung nur Elektronen in der Nähe des Fermi – Niveaus liefern Beitrag
zur Leitfähigkeit
→ von null unterschiedlich da: → bei hohen Temperaturen Gitterschwingungen → Streuung
der Bloch-Elektronen (Elektronen-Phononen-WW)
→ Fehlstellen und Defekte in realen Kristall
8. Erkläre das Konzept der effektiven Masse.
Zur Vereinfachung der Bewegungsgleichung der Elektronen durch Superposition von
2
1 d E( k )
a=− ℏ
. eE
dk 2
Blochwellen: →
→ a.m*=-e.E
wird der Begriff der effektiven Masse eingeführt um eine klassische Bewegungsgleichung zu
erhalten.
→ m* kann sehr viel kleiner oder größer als me sein
→ m* kann auch negativ sein (positiver Ladungsträger, „Löcher“)
→ m* enthält die Informationen über die Bandstruktur des Festkörpers
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9. Wie hängt der elektrische Widerstand von Metallen von der Temperatur ab und
weshalb?
siehe 7.
Fermi-Niveau wird bei steigender Temperatur breiter → mehr Elektronen tragen zur
Leitfähigkeit bei
ABER Gitterschwingungen nehmen stark zu! Überdecken Elektroneneffekt
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