WISKUNDE KERKONSEPTE
G R A A D
11
Kennisgewing van kopiereg:
Die teorie-opsommings in hierdie Smart Prep Boekie is die oorspronklike werk van Science Clinic (Pty)
Ltd. Die materiaal mag versprei word, mits die volgende vereistes nagekom word:
• As die boekie elektronies of in gedrukte vorm gekopieer of versprei word, moet hierdie
kopieregkennisgewing behoue bly.
• As die opsommings en/of vrae in die boek gebruik word, moet die bron erken word.
• Hierdie Smart Prep Boekie is geskep ter voordeel van die gemeenskap en mag nie deur enige
ander persoon of entiteit gebruik of versprei word vir kommersiële doeleindes nie.
• Die teorie-opsommings in hierdie boekie mag nie aangepas word en onder ‘n nuwe lisensie versprei
word nie.
Volledige terme vir die gebruik van die materiaal is op die volgende skakel beskikbaar:
www.scienceclinic.co.za/terms-book-usage/
Erkenning van inhoud:
Baie dankie aan diegene wat betrokke was by die produksie, moderasie en vertaling van hierdie boek:
S Bouwer, E Britz, G Kyle, D Kotze, Q Meades, S Sapsford, S Stevens, G Swanepoel, GM van Onselen,
L Vosloo
www .scienceclinic.co.za
facebook.com/scienceclinicsa
Science Clinic (Pty) Ltd © 2020
INHOUDSOPGAWE
OPSOMMINGS VAN KERNKONSEPTE
Vraestel 1
Aard van Wortels
Kwadratiese Vergelykings
Funksies en Grafieke
Eksponente en Wortels
Getalpatrone
Finansies
Waarskynlikheid
2
5
6
11
15
18
21
Vraestel 2
Trigonometrie
Euklidiese Meetkunde
Analitiese Meetkunde
Statistiek
www
24
30
36
39
www
Aard van Wortels
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
GETALLE
Nie-reëel (R’)
(word somtyds na verwys as denkbeeldige getalle)
SCIENCE CLINIC 2020 ©
AARD: Verwys na die tipe getalle wat die wortels is.
WORTELS: Die x-afsnitte/oplossings/nulpunte van die kwadratiese vergelyking.
Twee reële wortels
Reëel (R)
Rasionaal (Q)
Heelgetalle en breuke
Heelgetalle (Z)
Positiewe en negatiewe heelgetalle
y
Irrasionaal (Q’)
Natuurlike getalle (N)
1, 2, 3...
y
VOORBEELD:
π
x
Alle desimale getalle
wat nie as ‘n breuk
geskryf kan word nie.
OF
x
OF
y
x=
−b ±
b 2 − 4ac
2a
a = die koëffisient van x2
b = die koëffisient van x
c = die konstante term
Dit word gebruik om kwadratiese vergelykings
te faktoriseer.
OF
3x 2 + 2x − 4 = 0
a = 3
b = 2
c = −4
x =
x =
−b ±
b 2 − 4ac
2a
−(2) ±
(2) 2 − 4(3)(− 4)
y
x
x
DIE DISKRIMINANT
x=
−b ±
b 2 − 4ac
2a
BEPALING VAN DIE AARD VAN WORTELS
aangedui deur Δ .
Die DISKRIMINANT word gebruik om die aard van wortels te bepaal.
2
∴ Δ = b − 4ac
Δ
VOORBEELD:
VOORBEELD:
x
y
x
KWADRATIESE FORMULE
Geen reële wortels
y
2
Heelgetalle (N0)
0+N
Een reële wortel
Δ<0
Nie-reële
wortels
3x 2 + 2x − 4 = 0
a = 3
b = 2
c = −4
Δ≥0
Reële
wortels
Δ>0
2 ongelyke
wortels
Δ = b 2 − 4a c
Δ = (2)2 − 4(3)(−4)
Bepaal die waarde van Δ
Δ = volkome vierkant
rasionale wortels
2(3)
Los op vir x
2
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Δ=0
2 gelyke,
reële wortels
Δ ≠ volkome vierkant
irrasionale wortels
Aard van Wortels
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
DISKRIMINANT
(∆ = b2 - 4ac)
VOORBEELDE
AARD VAN WORTELS
SCIENCE CLINIC 2020 ©
b2 - 4 a c
AANTAL REËLE WORTELS
a>0
a<0
y
y
x2 + x + 1 = 0
a
b
c
Δ=
=
=
=
Δ<
b2 – 4ac
(1)2 – 4(1)(1)
1–4
–3
0
x
Nie-reëel
0
x
y
y
x2 – 6x + 9 = 0
a
b
c
x2 – 5x – 6 = 0
a
b
c
Δ=
=
=
=
Δ=
b2 – 4ac
(–6)2 – 4(1)(9)
36 – 36
0
0
Reëel (Δ = +)
Rasionaal (Δ = volkome
vierkant)
Gelyk (Δ = 0)
1 (2 van dieselfde)
Δ=
=
=
=
Δ>
b2 – 4ac
(–5)2 – 4(1)(–6)
25 + 24
49
0 (volkome vierkant)
Reëel (Δ = +)
Rasionaal (Δ = volkome
vierkant)
Ongelyk (Δ ≠ 0)
2
x
x
y
y
x
2x2 + 3x – 7 = 0
a
b
c
Δ = b2 – 4ac
= (3)2 – 4(2)(–7)
= 9 + 56
= 65
Δ > 0 (nie volkome
vierkant)
x
Reëel (Δ = +)
Irrasionaal (Δ ≠
volkome vierkant)
Ongelyk (Δ ≠ 0)
2
3
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Aard van Wortels
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
BEPALING VAN DIE AARD VAN
DIE WORTELS SONDER OM
DIE VERGELYKING OP TE LOS
VIR WATTER WAARDES VAN k SAL
BEWYS DIE AARD VAN DIE WORTELS
DIE VERGELYKING GELYKE
Die aard van die wortels sal gegee word en die diskriminant kan gebruik word om die aard, met óf een óf geen
WORTELS HÊ?
onbekende waardes te bewys,
Die aard van die wortels van ‘n
vergelyking kan bepaal word deur die
waarde van die diskriminant (Δ) te
bereken.
Die diskriminant (Δ) kan gebruik word om die
onbekende waarde van k te bepaal. (bv vra
jouself, vir watter waardes van k sal die
diskriminant nul wees?)
Stappe om die wortels te bepaal
deur die diskriminant te gebruik:
1. Skryf die vergelyking in die standaardvorm
2. Vervang die korrekte waardes en
bereken die diskriminant
3. Bepaal die aard van die wortels van
die vergelyking
VOORBEELD:
Stappe om die waardes van k te bepaal
deur die diskriminant te gebruik:
1. Skryf die vergelyking in die standaardvorm
2. Vervang die korrekte waardes en bereken
die diskriminant
3. Stel die diskriminant gelyk aan 0 en los k op
(kwadratiese vergelyking).
VOORBEELD:
x2 = 2x +1
x2 – 2x – 1 = 0
a
b
Vir watter waardes van k sal die vergelyking
(x2 + 2kx = –4x – 9k) gelyke wortels hê?
Δ
Δ
Δ
Δ
=
=
=
=
ONTHOU: Δ = 0 vir gelyke wortels
1. Standaardvorm
x2 + 2kx = –4x – 9k
x2 + 2kx + 4x + 9k = 0
c
2. Bereken die diskriminant
b2 – 4ac
(–2)2 – 4(1)(–1)
4+4
8
3. Bepaal die aard van die wortels
Die wortels is:
Reëel (Δ > 0)
Ongelyk (Δ ≠ 0)
Irrasionaal (Δ ≠ volkome vierkant)
1. Skryf die vergelyking in standaardvorm
2. Vervang die korrekte waardes en bereken die waarde
van die diskriminant
3. Bepaal die wortels en toets of dit is wat gegee is
a
b
c
2. Bereken die diskriminant
Δ
Δ
Δ
Δ
=
=
=
=
b2 – 4ac
(2k + 4)2 – 4(1)(9k)
4k2 +16k +16 – 36k
4k2 – 20k + 16
Stappe om die aard van die wortels te bewys
(EEN onbekende):
1. Skryf die vergelyking in standard vorm
2. Vervang die korekte waardes en bereken die waarde
van die diskriminant
3. Bepaal die wortels en toets of dit is wat gegee is
VOORBEELD:
VOORBEELD:
Bewys dat die vergelyking twee ongelyke, irrasionale
wortels het: x2 = 2x + 9
Bewys dat die wortels van die vergelyking
x(6x – 7m) = 5m2, reëel, rasionaal en ongelyk is as
m>0
1. Standaardvorm
1. Standaardvorm
2
Bepaal die aard van die wortels vir
x2 = 2x + 1 sonder om die vergelyking
op te los.
1. Standaardvorm
Stappe om die aard van die wortels
(GEEN onbekende) te bewys.
x – 2x – 9 = 0
a
b
c
2. Bereken die diskriminant
Δ
Δ
Δ
Δ
=
=
=
=
6x2 – 7mx – 5m2 = 0
2
b – 4ac
(–2)2 – 4(1)(–9)
4 + 36
40
a
b
c
2. Bereken die diskriminant
Δ
Δ
Δ
Δ
=
=
=
=
b2 – 4ac
(–7m)2 – 4(6)(– 5m2)
49m2 + 120m2
169m2
3. Bepaal die aard van die wortels
3. Bepaal die aard van die wortels
Die wortels is:
Reëel (Δ > 0)
Ongelyk (Δ ≠ 0)
Irrasionaal (Δ ≠ volkome vierkant)
Die wortels is:
Reëel (Δ > 0)
Ongelyk (Δ ≠ 0)
Rasionaal (Δ = volkome vierkant)
3. Stel gelyk aan nul (0) en los k op.
0 = 4k2 – 20k + 16 (÷ 4)
0 = k2 – 5k + 4
0 = (k – 1)(k – 4)
dus k = 1 of k = 4
k moet 1 of 4 wees om te verseker dat die
diskriminant van die vergelyking nul (0) sal
wees (die diskriminant moet nul wees om
gelyke wortels te verseker).
4
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Kwadratiese Vergelykings
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Kwadratiese vergelykings is vergelykings van die tweede graad (d.w.s. die hoogste eksponent van die veranderlike is 2). Die graad van die vergelyking bepaal die maksimum aantal reële wortels/oplossings/
nulpunte. Die standaardvorm van ‘n kwadratiese vergelyking is:
a x 2 + bx + c = 0
wa ar a ≠ 0
OPLOS VAN KWADRATIESE VERGELYKINGS
FAKTORISERING
1. Skryf in
standaardvorm
2. Pas die nul-faktor
wet toe
3. Lys die moontlike
oplossings
Bv. x2 = –2x + 63
x2 + 2x – 63 = 0
Bepaal faktore van 63
sodat F1 x F2 = –63
en F1 + F2 = 2
KWADRATIESE FORMULE
VERSKIL VAN VOLKOME
VIERKANTE
Vervang in die kwadratiese
formule:
1.
2.
3.
4.
Skryf in standaardvorm
Skuif c na die oorkant
Deel beide kante deur a
Plus (½ x b)2 aan beide
kante
5. Faktoriseer en los op
b 2 − 4a c
2a
−b ±
x =
waar a = koëffisiënt van x2,
b = koëffisiënt van x,
c = konstante term
Bv. –3x2 = –12 + 7x
–3x2 – 7x + 12 = 0
a = –3; b = –7; c = 12
x =
7±
x =
x =
2
2(−3)
x =
(x + 9)(x – 7) = 0
x + 9 = 0 of x – 7 = 0
x = –9
x=7
Enige metode kan gebruik word.
(−7) 2 − 4(−3)(12)
−(−7) ±
7+
193
−6
49 + 144
Bv. x = 25
x2 – 25 = 0
(x – 5)(x + 5) = 0
x = 5 or x = –5
193
x =
x = ±5
25
(x + 1)2 = ±
x + 1= ±
7−
x = −1−
193
2
TWEE WORTELS
of
2
2
x + 1=
x = −1+
Bv. –9 en 7 is die wortels
van ‘n kwadratiese
vergelyking
(5)2 + (5)m – 15 = 0
25 + 5m – 15 = 0
5m = –10
m = –2
2
2
2
x = –9
of
x+9=0
x=7
x–7=0
(x + 9)(x – 7) = 0
x2 – 7x + 9x – 63 = 0
x2 + 2x – 63 = 0
x2 – 2x – 15 = 0
(x – 5)(x + 3) = 0
x=5
of
x = –3
(gegee)
Bv.
x
= x −1 3 − 2 −2 x
x−2
x
= x −1 3 + x −2 2
x−2
KGV: (x − 2)(x − 3)
Beperkings: x − 2 ≠ 0; x − 3 ≠ 0
x(x − 2)(x − 3)
(x − 2)
=
1(x − 2)(x − 3)
(x − 3)
+
2(x − 2)(x − 3)
(x − 2)
x(x – 3) = 1(x – 2) + 2(x – 3)
x2 – 3x = x – 2 + 2x – 6
x2 – 3x – x – 2x + 2 + 6 = 0
x2 – 6x + 8 = 0
(x – 4)(x – 2) = 0
x–4=0
or
x–2=0
x=4
x=2
Toets geldigheid: x ≠ 2, x ≠ 3
Dus, x = 4 is die enigste oplossing.
−6
Antwoord in wortelvorm of kan
bereken word/afgerond tot 2
desimale plekke
x = –3,48
OF
x = 1,15
ALGEMENE STAPPE OM KWADRATIESE VERGELYKINGS OP TE LOS:
Onthou:
* LK = Linkerkant
* RK = Regterkant
* Breuke en hulle beperkinge
Som
Kry faktore:
* Faktor 1 + Faktor 2 = b
BREUKE EN BEPERKINGE
1. Bepaal KGV en die beperkings
1. Vervang die wortels in die 2. Los op vir x
3. Toets jou antwoorde t.o.v. beperkings
vergelyking
ONTHOU:
2. Gebruik “EBBL” vir die
kwadratiese vergelyking
0
x
= 0 MAAR
= ongedefinieerd
x
0
Bv. x2 + mx – 15 = 0,
waar 5 ‘n wortel is.
x 2 + 2x + 1 = 1 + 1
x + 1= −
−6
of
x2 = ±
EEN WORTEL
1. Vervang die
onbekende wortel
2. Los die veranderlike
op
3. Vervang die waarde en
los die wortel op
Bv. x2 + 2x = 1
(½ . 2)2
= (1)
Dus x = ±5
−6
7±
VOLTOOI DIE VIERKANT
* Faktor 1 x Faktor 2 = c
Nul-faktor wet:
As A x B = 0 dan is A, B of beide = 0
Voorbeeld:
Tweeterm
1. Standaardvorm
2 volkome
vierkante
Verskil
2. Faktoriseer die
grootste algemene
faktore uit
Drieterm
x.y=0
x = 0 of y = 0 of (x + 1)(x – 3) = 0
x + 1 = 0 of x – 3 = 0
Faktoriseer
Faktoriseer
Kwadratiese formule
Voltooi die vierkant
5
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Kan nie
faktoriseer nie
Funksies en Grafieke
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Hiperbole
TERUGFLITS: Hersiening van Gr 10 Funksies
Geen gradiënt
Reguitlyn grafieke
y = mx + c
Gradiënt: 1)
y=
y
y-afsnit
a
y =
+ q
x
x
Ongedefinieerde gradiënt
x=2
3) ⊥ lyne m1 × m 2 = − 1
y
a
y =
+ q
x
y
• Vorm: a > 0 ∴
a < 0; q > 0
y=q
y=q
x
x
x
x
y = mx + c
a
+ q
x
y =
m < 0; c > 0
m > 0; c > 0
a > 0; q < 0
x
x
m > 0; c < 0
y
y=q
y=q
x
x
x
-2
-1
y
1
0
0
ε
• Asimptote
x = −1
y = 2
a>0
‘b’ bepaal die vorm
of
a<0
VOORBEELD:
Skets die grafiek van: f (x) = x 2 − 4
VOORBEELD:
Skets die grafiek van: f (x) = 2x 2
• Vorm: a > 0 ∴
• Vorm: a > 0 ∴
• x-afsnit (y = 0)
• Gebruik ‘n tabel (Op jou
sakrekenaar)
-2
-1
0
1
2
y
8
2
0
2
8
y
±
(-2;0)
(2;0)
• y-afsnit (x = 0)
(0;-4)
x
y=q
(-1;2)
0 = 2x − 1
• Asimptoot (y = q)
x
y=q
x
x
yy =
= qq
x
y=q
(1;2)
x
y = −4
6
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
y
y = −1
0= x
• y-afsnit (x = 0)
y = 20 − 1
(2;8)
x
4= x
x = − 2 OF x = 2
(-2;8)
y
y
y
y
4 = x2
y
x
• x-afsnit (y = 0)
1 = 2x
y = + a . b x − q; b > 1 y = + a . b x − q; 0 < b < 1 y = − a . b x − q; b > 1 y = − a . b x − q; 0 < b < 1
x
0 = x2 − 4
y
• Vorm: a > 0 ∴
20 = 2 x
y=q
Opsie 2: Los op vir x
x
x
x
y
y
x
y=q
y=q
y=q
y=q
x
VOORBEELD:
Skets die grafiek van: f (x) = 2x − 1
y
x
x
x = − 2 OF x = 2
y=q
x
(-1;0)
y
y
y
y=q
Opsie 1: Faktoriseer
0 = (x + 2)(x − 2)
q = asimptoot
y = + a . b x + q; b > 1 y = + a . b x + q; 0 < b < 1 y = − a . b x + q; b > 1 y = − a . b x + q; 0 < b < 1
y
0 = x2 − 4
y = a (b x ) + q
3
y=2
(-2;1)
Eksponensiële Grafiek
y = bx + q
OF
4
(1;4)
(2;3)
m < 0; c < 0
Parabole (Kwadratiese funksies)
y = a x2 + q
y-afsnit
2
y
geen y-afnsit
y = mx + c
1
NOTA:
Begin deur die
asimptote te skets
x = 0
• y-afsnit (x = 0)
2
y =
→ ongedefinieerd
0
a < 0; q < 0
y
y = mx + c
a
+ q
x
y =
y
• Gebruik ‘n tabel en plot minstens 2 ander
punte
Asimptoot!
−2x = 2
y = mx + c
y
x
• x-afsnit (y = 0)
2
0=
+ 2
x
2
−2 =
x
y
y
x
2
+ 2
x
Skets die grafiek van: f (x) =
y
a > 0; q > 0
y
2) ∥ lyne m1 = m 2
VOORBEELD
q = asimptoot
‘a’ bepaal die vorm
y=2
y2 − y1
x 2 − x1
a
+ q
x
SCIENCE CLINIC 2020 ©
y
y = 0
(0;0)
x
y = -1
Funksies en Grafieke
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Graad 11 Funksies: Kwadratiese Funksies
2
y = a(x − p) + q
Vorm:
Horisontale skuif:
Vertikale skuif:
• a>0
• x-waarde van
draaipunt
• y-waarde van
draaipunt
• a<0
• Simmetrie-as
Stappe vir die skets van y = a x 2 + b x + c
Bepaal die vergelyking in die vorm y = a (x − p)2 + q Bepaal die vergelyking in die vorm y = a x 2 + b x + c
1. Bepaal die vorm (‘a’)
Wanneer die draaipunt en ander punt gegee is
2. Vervang die ander punt in die vergelyking om
‘a’ te bepaal
2. Vervang die ander punt in die vergelyking om
‘a’ te bepaal
4. Plot die punte en skets die grafiek
3. Bepaal die vergelyking van die grafiek
3. Skryf/vereenvoudig jou finale antwoord
VOORBEELD 1:
Bepaal die vergelyking van die grafiek:
VOORBEELD 2:
Bepaal die vergelyking van die grafiek:
• Vorm: a > 0 ∴
2. Bereken die x- en y-afsnitte
• x-afsnit (y = 0)
3. Bepaal die draaipunt
Opsie 1:
0 = x 2 − 4x + 3
0 = (x − 3)(x − 1)
VOORBEELD 1:
Skets f (x) = (x + 1)2 − 9
x = 3 OF x = 1
Opsie 2: x =
y
x =
• x-afsnit (y = 0)
0 = (x +
1)2 − 9
9 = (x + 1)2
±
(-4;0)
(2;0)
x
9= x+ 1
2 = x OF − 4 = x
• y-afsnit (x = 0)
y = (0 + 1)2 − 9
(−1; − 9)
• Simmetrie-as
x = −1
• Definisieversameling
x ∈R
• Waardeversameling
−(−4) ±
x =
(1;0)
b 2 − 4a c
2a
4± 2
2
(-1;-9)
Onthou:
(x − (−1))2 − 9
(x − p)2 + q
NOTA:
f (x) = x 2
→ skuif 1 eenheid links
→ skuif 9 eenhede afwaarts
• Draaipunt (p;q)
x = 1 OF x = 3
Formule: y = a (x − x1)(x − x 2 )
y = a (x − 1)2 − 9
y = a (x − 1)(x − 3)
(−1; 0)
0=
a (−1 − 1)2 − 9
9 = 4a
9
a =
4
• Vergelyking
9
y =
(x − 1)2 − 9
4
(0;3)
• Waardeversameling
y ≥ −1
x
p = 1 en q = − 9
• Ander punt
• Definisieversameling
x ∈R
(3;0)
• x-afsnitte
2(1)
x = 3 OF x = 1
• Simmetrie-as
x = 2
(1;0)
(1;-9)
(−4)2 − 4(1)(3)
• Draaipunt (p;q)
−b
−(−4)
1) x-waarde van DP =
=
2a
2(1)
x = 2
2) Vervang x in oorsp. vgl:
y = (2)2 − 4(2) + 3
y = −1
y
DP (2; − 1)
(0;–8)
(0;8)
y = −8
• Draaipunt (p;q)
−b ±
(0;3)
x
(-1;0)
• y-afsnit (x = 0)
y = 3
+ 3 = x + 1 OF − 3 = x + 1
y
y
4. Plot die punte en skets die grafiek
• Vorm: a > 0 ∴
1. Vervang die x-afsnit in y = a (x − x1)(x − x 2 )
1. Vervang die draaipunt in y = a (x
1. Bepaal die vorm van (‘a’)
+ q
Wanneer die x-afsnitte en ander punt gegee is
2. Bereken die x- en y-afsnitte
−b
3. Bepaal die draaipunt ( )
2a
VOORBEELD 2:
Skets f (x) = x 2 − 4x + 3
Stappe vir die skets van y = a (x − p)2 + q
− p)2
(3;0)
• Ander punt
(0; 3)
3 = a (−1)(−3)
1= a
• Vergelyking
y = 1(x − 1)(x − 3)
y = x 2 − 4x + 3
NOTA:
Indien jy die vergelyking in die vorm van
y = a (x − p)2 + q moet skryf, voltooi die
vierkant
(1;0)
(2;-1)
y = (x − 2)2 + 3 − 4
y ≥ −9
y = (x − 2)2 − 1
7
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Funksies en Grafieke
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Eksponensiële Grafiek
y = ab
x−p
Hiperbool
Bepaal die vergelying in die vorm van y =
+ q
a b x−p
+ q
Wanneer die asimptoot en ander punt gegee is
Vorm:
Vertikale skyf:
y
• asimptoot
x
• b>1
1. Vervang die asimptoot in die vergelyking
Vorm:
2. Vervang die ander punt
y
• 0<b<1
• a<0
VOORBEELD 2:
Bepaal die vergelyking van die gegewe grafiek:
y = b x+ 1 + q :
Stappe vir die skets van y = a b x−p + q
1. Bepaal die asimptoot (‘q’)
x
Vertikale skuif:
• asimptoot
• asimptoot
y
a
+ q
x −p
y
1. Bepaal die asimptote (y = ‘q’ en x = ‘p’)
2. Bepaal die vorm (‘a’)
3. Kry die x- en y- afsnitte
4. Plot punte (minstens 2 ander) en skets die grafiek
(-3;2)
x
y = -2
Skets f (x) =
0=
y
• Asimptoot
−1 = 2 x+ 1
• Vorm: a < 0 ∴
y = b x+ 1 − 2
• x-afsnit (y = 0)
−1
0=
−1
x −2
−1
1=
x −2
2 = b −3+ 1 − 2
• y-afsnit (x = 0)
y = 20+ 1 + 1
y = 3
y
• Definisieversameling
x ∈R
y> 1
q = −2
(−3; 2)
∴ geen x-afsnit
• Waardeversameling
y = −1
• Ander punt
Nie moontlik om vir x op te los nie
(1;5)
(-1;2)
(0;3)
y=1
x
4 = b −2
1
4=
b2
1
b2 =
4
1
b = ±
2
1
b = +
2
x
y = 1 en x = − 1
a
f (x) =
+ 1
x − (−1)
a
f (x) =
+ 1
x+ 1
y
x
• Ander punt
(2; 0)
a
+ 1
2+ 1
a
−1 =
3
0=
x −2 = −1
x = 1
• y-afsnit (x = 0)
−1
y =
−1
−2
1
y = −
2
1
b ≠−
2
• Definisieversameling
• Vergelyking
1
y = ( ) x+ 1 − 2
2
−3 = a
y
• Vergelyking
f (x) =
(1;0)
(0;-½)
(3;-2)
x ∈ R; x ≠ 2
• Waardeversameling
x=2
y ∈ R; y ≠ − 1
8
x = -1
• Asimptote
x = 2
x
1
(2;0)
−1
−1
x −2
• Asimptote
• x-afsnit (y = 0)
2 x+ 1 +
y=1
VOORBEELD 1:
• Asimptoot
• Vorm: a > 0 ∴
2. Vervang die ander punt in die vergelyking en
los ‘a’ op
VOORBEELD 2:
Bepaal die vergelyking van die grafiek:
4. Plot punte (minstens 2 ander) en skets die grafiek
y = 1
1. Vervang die asimptote in die vergelyking
3. Skryf/Vereenvoudig jou finale vergelyking
x
3. Kry die x- en y- afsnitte
VOORBEELD 1:
Skets f (x) = 2x+ 1 + 1
a
+ q
x −p
Wanneer die asimptote en ander punt gegee is
Horisontale skuif:
Stappe vir die skets van y =
y
2. Bepaal die vorm (‘a’)
y
• a>0
3. Skryf/vereenvoudig jou finale vergelyking
x
Bepaal die vergelyking in die vorm van y =
a
y=
+ q
x −p
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
x
y = -1
−3
+ 1
x+ 1
Simmetrie-asse:
Gebruik die snypunt van
y = x+ c
(−1; 1)
1= −1+ c
2= c
y = x+ 2
die
y =
1=
0=
y =
asimptote. (-1;1)
−x + c
(−1; 1)
1+ c
c
−x
Funksies en Grafieke
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Interpretasie Van Grafieke
AFSTAND
NOTASIE
A
Stappe om VERTIKALE AFSTAND te bepaal
1. Bepaal die vertikale afstand
B
Vertikale afstand = boonste grafiek – (onderste
grafiek)
2. Vervang die gegewe x-waarde om jou antwoord
af te lei
Stappe om HORISONTALE AFSTAND te bepaal
1. Kry die x−waardes wat
van toepassing is.
A
2. A B = xB − xA (grootste − kleinste)
VOORBEELD 1:
f (x) = a x 2 + bx + c en g (x) = k x is geskets. D is die draaipunt van f(x) met die simmetrie-as by x=2.
• f (x) > 0
(bokant die lyn y = 0)
y
AB = 6 eenhede.
(-2;9)
x
x
Stappe om MAKSIMUM AFSTAND te bepaal
1. Bepaal die vertikale afstand
Vertikale afstand = boonste grafiek – onderste
grafiek
A
2. Voltooi die vierkant
y = a (x − p)2 + q
B
3. Skryf die maksimum afstand neer
y = a (x − p)2 + (q) → q is die maksimum afstand
LET OP:
• Afstand is altyd positief
• Afstand, op ‘n grafiek, word gemeet in eenhede
SNYPUNTE VAN GRAFIEKE
Stappe om SNYPUNTE te bepaal
1. Stel die twee vergelykings gelyk
f (x) = g (x)
2. Los op vir x (kyk na oplossings wat toepaslik is vir
𝑥 : A of B)
3. Vervang die toepaslike x-waarde in enige van die
twee vergelykings en kry sodoende ‘y’.
A
• f (x) < 0
(onder die lyn y = 0)
x
x
Vrae:
Antwoorde:
(m.a.w. waar y negatief is)
a. Bepaal die waarde van k.
• f (x) ⋅ g (x) ≤ 0
b. Bepaal die x-waardes van A en B.
−1
4
c. Wys dat a =
en b = .
5
5
a. (−2; 9)
9 = k −2
1
9=
k2
1
k = ±
3
1
k =
3
(een grafiek lê bo y = 0 en
een grafiek lê onder y = 0)
d. Bepaal die koordinate van D.
e. Bepaal die maksimum afstand van DE.
• f (x) ≥ g (x)
bo
onder
(i.e. f(x) lê bo g(x))
f. Bepaal die waarde van p vir:
−1 2 4
x +
x+ p< 0
5
5
• f (x) = g (x)
(snypunt)
g. Bepaal vir watter waardes van x:
WORTELS EN PARABOLE
• Gelyke en reële wortels
y
y
i. f (x) ≥ 0
f (x)
ii.
> 0
g (x)
iii. f (x) is stygend
x
x
• Nie-reële/Geen ware wortels
A
y
B
x
end
Dal
end
Dal
y
x
y
x
b. E = (2; 0) en A B = 6 eenhede
A = (−1; 0) x = − 1
B = (5; 0) x = 5
c. y = a (x − x1)(x − x 2 )
(−1; 0) en (5; 0)
y = a (x + 1)(x − 5)
Gebruik F (0; 1)
1 = a (+ 1)(−5)
1
− = a
5
y = −
• Reële, ongelyke wortels
Sty
gen
d
B
1
(x + 1)(x − 5)
5
1 2
y = − (x − 4x − 5)
5
1
4
y = − x2 +
x+ 1
5
5
4
b =
5
y
x
STYGEND/DALEND
Sty
gen
d
E
y
y
f(x)
g(x)
D
F
(m.a.w. waar y positief is)
B
y
y
x
9
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
1 2 4
(2) + (2) + 1
5
5
9
9
y =
∴ D = (2; )
5
5
d. y = −
9
eenhede (y-waarde van
5
koordinate D is ook die DP)
e.
1
4
f. − x 2 +
x+ p< 0
5
5
4
p< −
5
NOTA:
g.• Interpreteer vraag as:
Hoeveel eenhede moet die
h.
grafiek beweeg vir die maki. simum waarde < 0 te wees
g.
i. x ∈ [−1; 5]
ii. x ∈ (−1; 5)
iii. x ∈ (−∞; 2)
Funksies en Grafieke
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Interpretasie van grafieke
VOORBEELD 2:
f (x) = m x + c en g (x) = a(x − p)2 + q is onder geskets. T is die draaipunt van g(x).
y
(-2;8) T
B
G
J
A
D
H
R
Antwoorde:
a. y = a (x + 2)2 + 8 (0; 0)
−8 = 4a
−2 = a en p = − 2 en q = 8
∴ g (x) = − 2(x + 2)2 + 8
D (−4; 0)
8
∴ m =
= − 2 en c = − 8
−4
g. −2x 2 − 8x = − 2x − 8
0 = 2x 2 + 6x − 8
0 = 2(x − 1)(x + 4)
x = 1
or x = − 4 (NA)
y = − 2(1) − 8
y = − 10
∴ FP = 10 eenhede
b. OD = 4 eenhede
O
M -8
P
x
F
c. TR = 8 eenhede
d. TR: x = − 2
f
g
e. g (x) = − 2(x + 2)2 + 8
= − 2(x 2 + 4x + 4) + 8
= − 2x − 8x − 8 + 8
= 2x 2 − 8x
Vrae:
BM = g (x) − f (x)
Bepaal:
BM =
=
BM =
BM =
a. Die waarde van a , p, q, m en c.
b. Die lengte van OD.
c. Die lengte van TR.
d. Die vergelyking van TR.
e. BM as OA = 1 eenheid.
f. OJ as GH = 28 eenhede.
g. Die lengte van FP.
h. Die maksimum lengte van BM.
i. Die waarde van k waarvoor −2x 2 − 8x + k twee gelyke wortels het.
f (x)
j. Vir watter waarde(s) van x sal
< 0?
g (x)
− 2x 2 − 8x − (−2x − 8)
− 2x 2 − 6x + 8)
− 2(−1)2 − 6(−1) + 8
12 eenhede
f. 28 = − 2x − 8 − (−2x 2 − 8x)
28 = − 2x − 8 + x 2 + 8x
0 = 2x 2 + 6x − 36
0 = 2(x 2 + 3x − 18)
0 = 2(x + 6)(x − 3)
x = −6
of x = 3 (N.V.T)
∴ OJ = 6 eenhede
10
h. Maks lengte word gegee deur DP van parabool
(L (x)) gegee deur L (x) = g (x) − f (x). Vind die TP
deur die vierkant te voltooi.
∴ Max BM = g (x) − f (x)
= − 2x 2 − 8x − (−2x − 8)
= − 2x 2 − 6x + 8
= − 2(x 2 + 3x − 4)
3
9
= − 2[(x + )2 − 4 − ]
2
4
3
25
= − 2[(x + )2 −
]
2
4
3
25
= − 2(x + )2 +
2
2
25
∴ Maks van BM =
eenhede
2
i. k = -8
j. x ∈ (−∞; 0); x ≠ − 4
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Eksponente en Wortels
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
WAT IS:
EKSPONENT WETTE
Eksponente: Eksponente onstaan wanneer ‘n uitdrukking/basis/veranderlike
vermenigvuldig of gedeel word deur ‘n soortgelyke uitdrukking/basis/
veranderlike
Wortels: ‘n Wortel is die wiskundige term vir irrasionale wortels,
wanneer hulle in ‘n wortel vorm gelos word, in plaas van desimale vorm geskryf word.
NUTTIGE WENKE
F
1. Vir eksponensiële vergelykings, moet getalle as priemgetalle in eksponensiële
vorm geskryf word.
2. Haal die gemeenskaplike faktor uit, waar nie-soortgelyke terme deur ‘n +/geskei word.
3. Maak seker dat wortels altyd in die eenvoudigste vorm uitgedruk word.
4. Skryf wortels in eksponensiële vorm wanneer ‘n uitdrukking vereenvouding moet
word.
5. Neem kennis van die volgende:
’n Algemene fout wat voorkom, met oplos van vergelykings waar die eksponent
‘n breuk is, is deur beide kante se eksponente te vermenigvuldig met die onbekende eksponente se inverse (sodat die eksponent gelyk gestel word aan 1).
Wanneer jy egter die breuk eksponente in wortelvorm moet uitdruk, sal jy die
volgende opmerk:
a. ‘n Ewe mag sal altyd ‘n positiewe en negatiewe oplossing hê:
4
x3 = 3
3
Eksponentwette is slegs van toepassing op vermenigvuldiging, deling, hakies en wortels. NOOIT van toepassing vir optel of aftrek
nie.
Algebraiese Notasie Eksponensiële Notasie
Toepassing van Eksponent Wette
1
16 = 24
Wanneer ons VERMENIGVULDIG met dieslefde grondtal word die
eksponente OPGETEL.
16 = 2 × 2 × 2 × 2
2
64
= 4
16
26
= 22
24
Wanneer ons DEEL met dieselfde grondtal word die eksponente AFGETREK
(altyd die boonste een minus die onderste een).
3
43 = 64
(22 )3 = 26
Wanneer ons eksponente buite die HAKIES het word die INGEMAAL.
4
64
= 1
64
26
= 20 = 1
26
Enige grondtal met MAG 0 is gelyk aan een. (Uitsondering 00 is
ongedefineerd).
26 = 22
Die MAG in die wortel word GEDEEL deur die grootte van die wortel.
5
3
6
4 × 9 = 36
8
x4 = 3
2×
x = ± 4 27
b. ‘n Negatiewe getal onder ‘n ewe wortel kan nooit ‘n reële oplossing lewer
nie:
1
(−2) 2 = x
∴ Geen reële oplossing
c. ‘n Onbekende onder ‘n ewe wortel het geen reële oplossing vir ‘n negatiewe
antwoord nie:
3=
2=
1
1
1
1
2 2 × 32 = 6 2
4= 2
2 2 × 2 2 = 21
N
x = x
N
D
Stappe vir vereenvoudiging van wortels:
1. Druk die terme in die eenvoudigste wortelvorm uit
2. Identifiseer soortgelyke terme vir optel/aftrek, gebruik Eksponent Wette vir maal/deel.
ONTHOU: Dui veranderinge aan waneer ‘n sakrekenaar gebruik word:
m.a.w. 50 =
25 × 2 =
25 × 2 = 5 2
VOORBEELD 1
VOORBEELD 2
Vereenvoudig:
Vereenvoudig:
5
VOORBEELD
50 + 3 18 −
1. 5 x 2
= x
Enige vierkantswortel gemaal met homself is gelyk aan die term/getal
onder die wortel.
BEWERKING MET WORTELS
Die mag onder die wortel word
die teller en die grootte van die
wortel word die noemer
D
Wanneer ons nie-identiese grondtalle het, maar identiese eksponente, hou
ons die eksponent en vermenigvuldig die grondtal. (Dieselfde reël geld vir
deling).
1
6
3
Soortgelyke terme is terme in uitdrukkings wat identiese veranderlikes
en eksponente het. Vir optel/aftrek, gaan jy doodeenvoudig die koëffisient
optel/aftrek. Eksponente verander nooit wanneer die ons +/- met die grondtal nie
22 × 32 = 62
OMSKAKELING VAN
WORTELS NA
EKSPONENSIËLE VORM
(EN VICE VERSA)
x4 = −2
OPTEL EN AFTREK VAN SOORTGELYKE TERME
3
64 = 4
2×
7
x 4 = 27
−2 = x
SCIENCE CLINIC 2020 ©
98
= 5 2+ 9 2−7 2
2
5
= 7 2
5
=
VOORBEELD
1.
3x 2 y 4 − 5x 3 y
+
2x 2 y 4
2. 3 2 + 5 3 − 8 2 +
+
x 3y
=
5x 2 y 4 − 4x 3 y
3 = −5 2+ 6 3
2. x
3
4
=
4
=
x3
11
81 × 4 27
9×
5
=
3
34 × 4 33
5
32
×
4
3
2
1
35 × 34
35 × 32
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
VOORBEELD 3
3
3. ‘n Reghoek het ‘n lengte
van 7 + 1 en ‘n breedte
van 7 − 1. Bereken die
lengte van die hoeklyn.
31
3 20
9
3 10
13
= 3 20
=
20
( 7 + 1)2 + ( 7 − 1)2 = r 2
3
13
7 + 2 7 + 1 + 7 − 2 7 + 1 = r2
16 = r 2
4= r
Eksponente en Wortels
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
RASIONALISERING VAN DIE NOEMER
Die proses om ‘n ekwivalente breuk te vind wat uitgedruk kan word sonder ‘n wortel in die noemer.
Stappe vir rasionalisering van eenterm noemers:
Stappe vir rasionalisering van tweeterm noemers:
1. Vermenigvuldiging die teller en die noemer met
die noemer wat jy wil rasionaliseer.
2. Onthou om sovêr moontlik te vereenvoudig.
1. Vermenigvuldig die teller en die noemer met die
tweegetal in die noemer (tweeterm), maar met ‘n
teenoorgestelde teken voor die tweede getal.
2. Vereenvoudig
VOORBEELD 1
Hoekom?
Om ‘n irrasionele drieterm te vermy, gaan ons met
dieselfde tweeterm vermenigvuldig, maar die teken in die tweede hakie verander. Dit lei tot ‘n verskil van die vierkante, wat geen middelterm na
vermedigvuldiging het nie.
Druk die volgende met ‘n rasionale noemer uit:
1.
=
=
3
2.
7
3
7
×
7
=
7
3 7
=
7
=
=
6+ 3 2
2 3
6+ 3 2
2 3
×
3
3
6 3+ 3 6
2×3
6 3+ 3 6
6
2 3+
6
VOORBEELD 1
Druk die volgende breuke met ‘n rasionale noemer
uit:
7
3
2.
1.
1
x−
5− 7
=
2
=
VOORBEELD 2
x2 + 2
3 + 2, vereenvoudig:
As x =
en druk jou
x −2
antwoord uit met ‘n rasionale noemer:
x2 + 2
1.
x −2
=
=
=
=
( 3 + 2)2 + 2
3+ 4 3+ 4+ 2
3
3
×
9 3+ 4⋅3
3
= 3 3+ 4
=
5−
7
×
5+
5+
x
7
7
=
15 + 3 7
25 − 7
15 + 3 7
18
5+
7
6
3
3
7
×
1
x−
x
x−
x+
1
x+
1
x
x
7
7 x+
=
x
1
x
7x + 7
=
=
( 3 + 2) − 2
9+ 4 3
=
3
=
=
=
=
x
x2 − 1
x
7x + 7
x
÷
7(x + 1)
x
x2 − 1
x
×
7x
x (x − 1)
7x
x
(x + 1)(x − 1)
×
x
x
x
x (x − 1)
7 x
(x − 1)
12
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Eksponente en Wortels
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
FAKTORISERING
Faktorisering is die teenoorgestelde van distrubisie, dit beteken dat jy die eksponente aftrek wanneer jy die faktore “uithaal”. Daar is ses tipes faktorisering.
1. Algemene faktorisering
2. Verskil van volkome vierkante (VVVV):
3. Som of verskil van twee derdemagte:
Verwyder die grootste gemene faktor vanuit die koëffisiënte en algemene veranderlikes.
Gebruik wanneer terme, wat albei volkome vierkante is, van mekaar
afgetrek word. Die vierkantswortel van beide terme sal in beide
hakies verkyn, met teenoorgestelde + en - tekens.
Gebruik wanneer twee terme wat albei volkome derdemagte is, by
mekaar opgetel of afgetrek word. Die antwoord word geskryf, as ‘n
tweeterm in een hakie en ‘n drieterm in die ander.
‘n Volkome vierkant se eksponent kan deur twee gedeel word, en het ‘n
rasionale vierkantswortel.
‘n Volkome derdemag se eksponent kan deur drie gedeel word,
en het ‘n rasionale derdemagswortel.
VOORBEELDE
Faktoriseer die volgende:
1. 3x 5 y 4 + 9x 3y 5 − 12x 2 y 4
2 4
3
= 3x y (x + 3x y − 4)
4x 5
8x 3
16x 2
+
2. 3 −
9y
27y 2
3y
=
4x 2 x 3
2x
+
+ 4
)
3y ( 3y 2 9y
4. Eksponesiele faktorisering:
VOORBEELDE
= 2x ⋅ 6
3.
5x − 5x−2
2 ⋅ 5x − 5x
5x (1 − 5−2 )
=
5x (2 − 1)
=
1−
24
=
25
1
1
25
Faktoriseer die volgende:
1. 9x 2 − 4y 6
2. x 4 − 16
1. x 3 − 8
= (3x + 2y 3)(3x − 2y 3)
= (x 2 + 4)(x 2 − 4)
= (x − 2)(x 2 + 2x + 4)
= (x 2 + 4)(x + 2)(x − 2)
2. 27x 6 + 64y 9
=
2
x −7
x+
(x +
= x−
Faktoriseer die volgende:
= 2x (23 − 2)
VOORBEELDE
Faktoriseer die volgende:
3.
Soortgelyk aan algemene faktorisering. Verwyder die grootste gemene faktor, wat in hierdie geval ‘n grondtal met ‘n eksponent is.
Eksponente word van die selfde grondtalle afgetrek.
1. 2x+ 3 − 2x+ 1
VOORBEELDE
9 x+ 2 − 32 x
2. x 3
3 ⋅ 2 × 3x ⋅ 5
=
(32 ) x+ 2 − 32 x
32 x ⋅ 8 ⋅ 5
32 x+ 4 − 32 x
=
32 x ⋅ 40
2x
4
3 (3 − 1)
=
32 x ⋅ 40
=
80
40
= 2
7
= (3x 2 + 4y 3)(9x 4 − 12x 2 y 3 + 16y 6 )
7)(x −
x+
7)
4. a 2 + 2a b + b 2 − x 2
7
= (a + b)2 − x 2
7
= (a + b + x)(a + b − x)
6. Drieterm:
Nota: Die verhouding van die eerste term se eksponent tot die middelterm moet 2:1 wees. ‘n Kombinasie van die faktore van die eerste
en laaste term moet die middelterm gee.
VOORBEELDE
5. Groepering:
Tegnies algemene faktorisering, maar ‘n algemene polinoom (gewoonlik ‘n tweeterm) word verwyder.
VOORBEELDE
Faktoriseer die volgende: (V2 - V6 is konseptueel dieselfde)
1. 3x 2 − 5x − 2
2. x 2 + 3x − 10
= (3x + 1)(x − 2)
= (x + 5)(x − 2)
3. x 4 + 3x 2 − 10
4. x 3 + 3x 3 − 10
= (x 2 + 5)(x 2 − 2)
= (x 3 + 5)(x 3 − 2)
= 5(x − 3y) + 3a(3y − x)
5. 52 x + 3 ⋅ 5x − 10
6. 32 x + 3x+ 1 − 10
= 5(x − 3y) − 3a(x − 3y)
= (5x + 5)(5x − 2)
= 32 x + 3 ⋅ 3x − 10
Faktoriseer die volgende:
2. a 2 + 2a b + b 2 − 3a − 3b
1. x (y − 4) + 3(y − 4)
2
= (y − 4)(x + 3)
= (a + b) − 3(a + b)
= (a + b)(a + b − 3)
2
1
1
1
3. 5x − 15y + 9a y − 3a x
= (3x + 5)(3x − 2)
= (x − 3y)(5 − 3a)
13
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Eksponente en Wortels
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
VERGELYKINGS
1. Lineêre vergelykings:
3. Gelyktydige vergelykings:
5. Eksponensiële vergelykings:
Skuif al die veranderlikes na een kant en al die konstantes na die
ander kant. Lineêre vergelykings het slegs een oplossing.
Twee onbekendes in twee vergelykings word opgelos dmv die vervangingsmetode. Onthou om altwee onbekendes op te los - vervang eerste
onbekende se oplossing in die oorsponklike vergelyking.
Kry een term met dieselfde basis aan altwee kante van die vergelyking. Verwyder dan die basis aan elke kant en stel die eksponente gelyk aan mekaar.
VOORBEELDE
VOORBEELDE
Los op:
1. 3(x − 2) + 10 = 5 − (x + 9)
2. (x
− 2)2 − 1
= (x + 3)(x − 3)
3x − 6 + 10 = 5 − x − 9
x 2 − 4x + 4 − 1 = x 2 − 9
3x + 4 = − x − 4
−4x + 3 = − 9
4x = − 8
−4x = − 12
x = −2
x = 3
1. Vergelyking 1: 2x + 3y = 18
2. Vergelyking 1: y + 3x = 2
Vergelyking 2: − 3x + 5y = 11
Van 1: 2x + 3y = 18
Vergelyking 2: y 2 − 9x 2 = 16
Van 1: y + 3x = 2
2x = − 3y + 18
−3y + 18
....1a
x =
2
y = − 3x + 2....1a
Vervang 2 met 1a: y 2 − 9x 2 = 16
Vervang 2 met 1a: −3x + 5y = 11
2. Kwadratiese vergelykings:
Wenke:
• Moet NOOIT die grondtalle weglaat terwyl die terme met +
of − geskei word nie! Gebruik eers algemene faktorisering
om die vergelyking in die eenvoudigste vorm te skryf.
• Skakel altyd desimale getalle na breuke om, en dan na ‘n
grondtal met ‘n negatiewe eksponent.
Los op:
(−3x + 2)2 − 9x 2 = 16
VOORBEELDE
1. 4x = 8
2. 0,0625x = 64
−3y + 18
−3
+ 5y = 11
(
)
2
9x 2 − 12x + 4 − 9x 2 = 16
22 x = 23
−12x = 12
VOORBEELDE
9y − 54
+ 5y = 11
2
x = − 1....3
2x = 3
3
x =
2
Los op:
9y − 54 + 10y = 22
Stel die vergelykings gelyk aan nul. Die een kant sal ‘n twee- of
drieterm wees wat kan faktoriseer. Dus sal daar twee oplossings
wees.
1. x 2 + 5 = 6x
x 2 − 6x
+ 5= 0
4
−2
of x =
3
5
x =
2
3. x 4 + 3x 2 − 10 = 0
1
4. x 3 + 3x 3 − 10 = 0
(x 2 + 5)(x 2 − 2) = 0
1
(x 3
x2
1
x3
= − 5 of
x2
= 2
of x = ±
N/A
2
+
1
5)(x 3
= − 5 of
− 2) = 0
1
x3
= 2
x = − 125 of x = 8
3.
(−1; 5)
y = 4....3
3x = 4 of 5x = − 2
x = 5 of x = 1
y = 5
19y = 76
2. (3x − 4)(5x + 2) = 0
(x − 5)(x − 1) = 0
Vervang 1 met 3: y + 3(−1) = 2
x+
1
(x 2
1
3x 2
+
− 10 = 0
1
5)(x 2
− 2) = 0
1
1
x 2 = − 5 of x 2 = 2
x = − 5 of
N/A
x = 2
of x = 4
6. 22 x − 6 ⋅ 2 x − 16 = 0
(2 x + 2)(2 x − 8) = 0
2x
= − 2 of
N/A
2x
= 8
of 2 x = 23
x = 3
1 x
= 26
( 24 )
2−4x = 26
2 ⋅ 3x+ 1 +
5 ⋅ 3x
3x (2 ⋅ 3 +
5) = 33
= 33
3x (11) = 33
Vervang 1 met 3: 2x + 3(4) = 18
2x = 6
3x = 31
x = 3
x = 1
4.
4. Vergelykings met Wortels:
Kry die wortel aan die een kant van die vergelyking deur toepassing
van inverse bewerkings. Kwadreer elke kant van die vergelyking om
van die wortel ontslae te raak. NB: Kontroleer altyd jou oplossing.
x −2 = 3
2.
x + 5−x = 3
x −2 = 9
x+ 5= x+ 3
x = 9+ 2
x+ 5=
x2
x = 11
0 = x 2 + 5x + 4
+ 6x + 9
0 = (x + 1)(x + 4)
Bewys:
LK =
(−1) + 5 − (−1)
LK =
(−4) + 5 − (−4)
LK = 3
RK = 3
∴ x = −1
LK = 5
RK = 3
∴ x ≠ −4
x = − 1 of x ≠ − 4
14
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
=
812 x+ 5
(33)3x+ 1 = (34 )2 x+ 5
=
38x+ 20
9x + 3 = 8x + 20
x = 17
Los op:
1.
273x+ 1
39x+ 3
−4x = 6
−3
x =
2
5. 0,5x ⋅
(3; 4)
VOORBEELDE
5. x + 3 x − 10 = 0
1 x
= 26
( 16 )
1+
1 x
⋅
(2)
2−x ⋅
25
= 10
16
5
= 10
4
2−x = 8
2−x = 23
−x = 3
x = −3
9
= 10
16
Getalpatrone
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Patrone/ Rye: geordende versameling getalle
ONTHOU:
F
Lineêre:
Konstante verskil tussen opeenvolgende terme.
1. Opeenvolgende: Nommers volg direk op
mekaar
2. Gemene/konstante verskil: verskil
tussen twee opeenvolgende terme in ‘n
patroon (d)
d = T2 − T1
3. Algemene formule: (Tn) staan ook
bekend as die nde term.
• Algemene formule vir ‘n linieêre
patroon:
Tn = d n + c / Tn = a + (n− 1)d
• Algmene formule vir ‘n kwadratiese
patroon:
Tn = a n2 + b n + c
Kwadraties:
Tn = d n+ c
Die algemene formule is soortgelyk aan die lineêre funksie: y = m x + c
n = Term nommer
Die algemene formule is soortgelyk aan die kwadratiese vergelyking en formule
vir die parabool
Stappe om die nde term te bepaal:
1. Vind die konstante verskil
1. Vind die konstante verskil
2. Vervang die konstante verskil (d), ‘n term waarde en ‘n term nommer
2. Gebruik die waarde van die tweede verskil om die “a”-waarde te bepaal
3. Vervang die c- en d-waardes om die nde term te bepaal.
3. Gebruik die waarde van “a” en die eerste verskil en bepaal “b”
4. Gebruik die “a”- en “b”-waarde en bepaal die “c”-waarde
VOORBEELD
VOORBEELD
1. Bepaal die nde term van die volgende reeks:
Bepaal die nde term van die volgende reeks:
T1
T2
T3
T4
2;
7;
12;
17
7−2
woordig deur T en die nommer van die
term as ‘n onderskrif.
a. Bepaal die waarde van die
veranderlikes
b. Gebruik waardes om ‘n algemene
term te bepaal
c. Gebruik die algemene term om
spesifieke terme te bepaal
d. Gebruik ‘n gegewe waarde om die
term te bepaal
Tn = algemene term
Tn = a n2 + bn+ c
Stappe om die nde term te bepaal:
4. T1; T2; . . . . T100: Term word verteen-
5. Doel:
Konstante tweede verskil tusssen opeenvolgende terme.
Tn = algemene term
d = konstante verskil
n = term nommer
12 − 7
5
5
17 − 12
Term 1
(a + b + c)
Tn = a + (n− 1)d
12 = 5(3) + c
= 2 + (n− 1)(5)
12 = 15 + c
= 2 + 5n− 5
12 − 15 = c
T2
T3
6;
17;
34;
11
Tweede verskil
(2a)
7−2
6
17
T4
57
57 − 34
12 − 7
23
6
Tweede verskil = 2a
6 = 2a
3= a
Tn = 5n− 3
−3 = c
34 − 17
17 − 6
Eerste verskil
(3a + b)
5
Term 3 was gebruik waar T3 = 12
OF
Tn = 5n + c
T1
Eerste verskil = 3a + b
11 = 3a + b
∴ Tn = 5n− 3
11 = 3(3) + b
2= b
2. Bepaal die 100ste term
T100 = 5(100) − 3
Term 1 = a + b + c
6 = (3) + (2) + c
= 500 − 3
6−3−2 = c
= 497
1= c
∴ T100 = 497
∴ Tn = 3n2 + 2n + 1
15
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Getalpatrone
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Oplos van Kwadratiese Getalpatrone
VOORBEELD 1
VOORBEELD 3
Bewys dat die tweede verskil 2a is.
Die verhouding tussen die term (Tn) en term waarde (n) kan grafies voorgestel word.
Tn = a n2 + b n + c
Die terme sal dus wees:
T1 = a (1)2 + b (1) + c
n
1
2
3
4
T1 = a + b + c
Tn
6
17
34
57
Vir Tn = 3n2 + 2n + 1
Tn
T2 = a (2)2 + b (2) + c
T2 = 4a + 2b + c
0 1 2 3 4
n
T3 = a (3)2 + b (3) + c
T3 = 9a + 3b + c
a+ b+ c
Gebruik die kwadratiese vergelyking vir die bostaande grafiek (Tn = 3n2 + 2n + 1) en bepaal de volgende twee terme.
4a + 2b + c
3a + b
9a + 3b + c
Term 5:
5a + b
T1
T2
T3
T4
T5
6;
17;
34;
57;
86
+ 29
OF
T5 = 3(5)2 + 2(5) + 1
Eerste verskil
= 75 + 10 + 1
11
17
23
Tweede verskil
2a
n=5
+6
= 86
29
6
6
6
T1
T2
T3
T4
T5
6;
17;
34;
57;
86; + 35 121
VOORBEELD 2
Gebruik ‘n gegewe waarde en bepaal die term nommer:
Watter term het ‘n waarde van 80 in die kwadratiese patroon met ‘n algemene
reël van Tn = 2n2 + n + 2?
80 = 2n2 + n + 2
0 = 2n2 + n + 2 − 80
Term 6:
Bewys dat n = 6
T6 = 2(6)2 + (6) + 2
= 72 + 6 + 2
0 = (2n + 13)(n− 6)
= 80
17
6
23
6
29
6
+6
35
6
Bepaal nou die waarde van die 100ste term:
2n + 13 = 0 of n− 6 = 0
2n = 13
of
n= 6
13
MAAR geen halwe/desimale getalle geldig vir term nommers
n=
2
OF
n=6
T6 = 3(6)2 + 2(6) + 1
= 108 + 12 + 1
11
0 = 2n2 + n− 78
T6
T100 = 3(100)2 + 2(100) + 1
= 30 000 + 200 + 1
= 30 201
∴ n= 6
16
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
= 121
Getalpatrone
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Oplos van Kwadratiese Getalpatrone
VOORBEELD 4
VOORBEELD 6
Ondersoek die onderstaande figure en bepaal die algemene formule
Navorsers ondersoek die veranderinge in ‘n nuwe sel. Hulle maak elke uur ‘n nota oor die groei van die sel. In die onderstaande tabel kan jy die bevindinge, rakende die groei, nagaan. Die navorsers besef, dat die groei van die sel ‘n kwadratiese
patroon verteenwoordig.
T1
T2
1 by 2, + 1
T3
2 by 3, + 1
3 by 4, + 1
T1 = 3:
T2 = 7:
T3 = 13:
1 × 2 + 1:
n(n + 1) + 1
2 × 3 + 1:
n(n + 1) + 1
3 × 4 + 1:
Tyd
Ure gemonitor
Grootte (pm)
08:00
1
3
09:00
2
7
2. Bepaal die grootte van die sel teen 20:00 die aand.
Dokumentering het begin teen 07:00, ∴20:00 - 07:00 = 13u
10:00
3
x
Term 1
(a + b + c)
11:00
4
21
12:00
5
31
Eerste verskil
(3a + b)
13:00
6
43
n(n + 1) + 1
= n2 + n + 1
T1
T2
T3
T4
3;
7;
x;
21
VOORBEELD 5
4
Bepaal die waarde van x as 6; 15; x ; 45... ‘n kwadratiese ry is
T3
T4
6;
15;
x;
45
9
(x - 15) - 9
x - 15
x-7
T4
3;
7;
13;
21
Tweede verskil
(2a)
6
2
8
2
2 = 2a
1ste verskil
45 - x
2de verskil
(45 - x) - (x - 15)
21 - x
1= a
Eerste verskil = 3a + b
4 = 3(1) + b
1ste verskil
4−3= b
2de verskil
Term 1 = a + b + c
1= b
(x - 7) - 4
NB: Omdat dit ‘n kwadratiese ry is,
is die tweede verskil konstant!
(x − 15) − 9 = (45 − x) − (x − 15)
T3
Tweede verskil = 2a
∴ Tn = n(n + 1) + 1
T2
T2
4
1. Wat sal die grootte, van die sel, na 3 ure (𝑥) wees?
T1
T1
(21 - x) - (x - 7)
NB: Omdat dit ‘n kwadratiese ry is,
is die tweede verskil konstant!
∴ (x − 7) − 4 = (21 − x) − (x − 7)
x − 11 = 21 − x − x + 7
x + 2x = 28 + 11
3x = 39
3 = (1) + (1) + c
3−1−1= c
1= c
Tn = 1n2 + 1n + 1
∴ T13 = 1(13)2 + 1(13) + 1
= 169 + 13 + 1
= 183
x = 13
x − 24 = 45 − x − x + 15
∴ Teen 20:00 sal die grootte van die sel 183 pm wees.
x + 2x = 45 + 24 + 15
3x = 84
x = 28
17
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Finansies - Saamgestelde en Enkelvoudige Rente
ONTHOU:
1.Inflasie:
Die koers waarteen pryse oor ‘n
gegewe tydperk styg
2.Verbruikersprysindeks (CPI):
Die gemiddelde prys vir ‘n basiese
mandjie en dienste
3.Wisselkoers:
Die waarde van een soort geldeenheid, vergelyk met ‘n ander eenheid; om sodoende geld te wissel
ENKELVOUDIGE RENTE
P = Oorspronklike waarde
A = P(1 + in)
OF
r
A = P(1 +
n
100 )
Jaarliks:
1 per jaar
Halfjaarliks:
2 per jaar
Kwartaalliks:
4 per jaar
Maandeliks:
12 per jaar
Daagliks:
365 per jaar*
*(uitsluitend skrikkeljaar)
A
A
A
=
=
=
P (1 + i n)
15 000(1 + (0,065)(4))
R18 900
=
P (1 + i ) n
=
=
15 000(1 +
R19 296,99
a) Deposito : R800
P
=
=
4 000 − 800
3 200
A
=
=
=
P (1 + i n)
3 200(1 + (0,12)(2))
R 3 968
b) A = R 3 968
2 jaar = 24 gelyke betalings
3 968
= R165,33
24
S
(0,065))4
HUURKOOP
Jy koop ‘n wasmasjien ter waarde van R4000
deur ‘n huurkoop kontrak vir 2 jaar te teken.
Jy betaal ‘n deposito van R800. Bereken die
a) die totale waarde wat jy sal betaal indien
die rente koers 12% is.
b) jou maandelikse paaiemente.
Bereken die toekomstige waarde van ‘n belegging na
3 jaar, teen ‘n rente koers van 15% per jaar saamgestel:
a) Jaarliks
A =
P (1 + i ) n
=
=
ge
ste
ld
15 000(1 + (
R 23 149,52
c) Kwartaalliks
A =
P (1 + i ) n
te
en
eR
oudige
Enkelv
15 000(1 + (0,15))3
R 22 813,13
b) Halfjaarliks
A =
P (1 + i ) n
=
aam
SCIENCE CLINIC 2020 ©
VOORBEELD
=
ENKELVOUDIGE RENTE
SAAMGESTELDE RENTE
SAAMGESTELDE TYDPERKE
r n
A = P (1 +
100 )
VOORBEELD
Bepaal die verskil in die opgehoopte waardes; wanneer spaargeld ter waarde van R15000 vir 4 jaar belê
word by twee verskillende banke, beide bied ‘n rentekoers van 6.5%, maar een bank bied enkelvoudige
rente en die ander saamgestelde rente.
5.Huurkoop:
Kort termyn lening, deposito word
vereis. Gebruik enkelvoudige
rente vir berekening.
8.Effektiewe rentekoers:
Die saamgestelde tydperk en die
gekwoteerde tydperk is dieselfde.
vb. 0.75% per maand, maandeliks
saamgestel.
OF
r = rente koers in % vorm
r
i = rente koers
100
A
A
A
7.Nominale rentekoers:
Die saamgestelde tydperk en die
gekwoteerde tydperk is verskillend. vb. 15% per jaar maandeliks
saamgestel.
A = P(1 + i )n
n = aantal tydperke
4.Bevolkinngsgroei:
Die verandering van ‘n bevolkings
grootte oor ‘n gegewe tyd
6.Verminderde rente lening:
Rente word betaal op ‘n verminderde balans, die hoeveelheid
rente verminder soos die balans
verminder.
SAAMGESTELDE RENTE
A = Opgehoopte waarde
BEDRAG
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Rente
TYD
BEVOLKINGSGROEI
=
=
15 000(1 + (
R 23 331,81
d) Maandeliks
A =
P (1 + i ) n
=
=
15 000(1 + (
R 23 495,16
6
0,15
2 ))
12
0,15
4 ))
36
0,15
12 ))
Ptoekms = Ph ed e(1 + i ) n
Ptoekoms = toekomstige bevolkings grootte
Phede = Huidige bevolkings grootte
i = gemiddelde bevolkings (%)
n= aantal jare
Die bevolking leeus in 2015 is 2567. Indien die
groeikoers 1.34% is, bereken die aantal leeus in
2020.
2020 − 2015 = 5
Ptoekoms = Ph ede(1 + i)n
= 2567(1 + 0,0134)5
= 2743
(die hoeveelheid leeus sal ′n heelgetal wees)
18
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
LET OP: Soos die aantal saamgestelde tydperke
meer word, so doen die opgehoopte waarde ook.
VOORBEELD
As R13 865 ontvang word na beleggings periode van
6 jaar teen ‘n koers van 16% jaarliks saamgestel,
bepaal die oorspronklike bedrag.
A =
P (1 + i )n
13 865
13 865
13 865
2,44
=
=
P (1 + 0,16)6
2,44P
=
P
P = 5 690,78
∴R 5 690,78 is die bedrag wat oorspronklik belê was.
OF gebruik die volgende formules:
A = P (1 + i )n
P = A(1 +
i )−n
To find A
om P te bepaal
Finansies
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Jaarlikse effektiewe rentekoers is gelykstaande aan die
nominale rentekoers wat jaarliks saamgestel word, omdat
dit dieselfde opgehoopte waarde lewer.
1 + ieff
n
i
= (1 + Nom )
n
ieff = effektiewe koers (jaarliks)
iNom = nominale koers
n = aantal saamgestelde tydperke per jaar
VOORBEELD
Verander ‘n nominale koers van 18 % per, maandeliks
saamgestel na ‘n jaarlikse effektiewe koers.
1 + ieff
=
ieff
=
ieff
∴ reff
=
=
(1 +
0,18 12
12 )
0,18 12
(1 + 12 )
0,196
19,6 %
−1
=
ieff
=
ieff
∴ reff
=
=
A
A
(1 +
0,14 12
12 )
0,14 12
(1 + 12 )
0,1493
14,93 %
=
P (1 + i ) n
=
25 000(1 +
=
R 28 733,55
=
=
=
P (1 +
i )n
−1
12
0,14
( 12 ))
25 000(1 + 0,1493)1
R 28 733,55
Waardevermindering is die verlies of afname van ‘n waarde teen ‘n vasgestelde koers oor ‘n tydperk.
VOORBEELD
R100 000 word belê vir 6 jaar teen ‘n koers van 16% per
jaar, kwartaalliks saamgestel. Daarna word die opgehoopte waarde herbelê vir 5 jaar teen ‘n koers van 14%
halfjaarliks saamgestel. Bereken die waarde van die belegging teen die einde van die tydperk.
P (1 + i ) n
A
=
A
=
A
=
100 000(1 +
R 256 330,42
A
=
P (1 + i ) n
A
=
A
=
0,16 24
4 )
256 330,42(1 +
R 504 239,91
0,14 10
2 )
24 periodes:
4 periodes (kwartaalliks)
per jaar oor 6 jaar
10 periodes :
2 periodes (halfjaarliks)
per jaar oor 6 jaar
Waardevermindering: Afname van ‘n waarde oor tyd
Boekwaarde: Waarde van bates op ‘n gegewe tyd, na
waardevermindering in berekening gebring is
Sloopwaarde: die waarde van ‘n bate aan die einde
van sy nuttige lewensduur.
Die eksponensiële
waarde (12) word
bepaal deur op te
merk dat daar 12
saamgestelde
periodes is; een
keer ‘n maand vir
12 maande.
VOORBEELD
SAAMGESTELDE
WAARDEVERMINDERING
Ook bekend as enkelvoudige waardevermindering of reguitlyn waardevermindering
Ook bekend as verminderende saldo
waardevermindering
A = P(1 − in)
A = P(1 − i)n
Reguitlyn
Waardevermindering
i )n
A
=
A
=
A
=
30 000(1 +
R47 815,44
A
=
P (1 + i ) n
A
=
47 815,44(1 +
A
=
Verminderende Saldo
Waardevermindering
Aantal Periodes
EXAMPLE
R30 000 was aan jou nagelaat in ‘n spaarrekening. Die
rentekoers vir die eerste 4 jaar is 12% per jaar, halfjaarliks saamgestel. Daarna verander die koers na 18% per
jaar, maandeliks saamgestel. Jy besluit om die geld vir ‘n
verdere 3 jaar te belê. Bepaal die toekomstige waarde
nadat die spaar periode verby is.
P (1 +
A = Boek/sloop waarde
P = Huidige waarde
i = waardeverminderings
koers
n = tydperk
LINEÊRE
WAARDEVERMINDERING
Aantal Periodes
VOORBEELD
Jy belê ‘n bedrag van R25000 met ‘n rentekoers van
14% per jaar, maandeliks saamgestel vir ‘n tydperk
van 12 maande. Gebruik die jaarlikse effektiewe rentekoers om te wys dat dieselfde waarde gekry word wanneer die nominale koers gebruik word.
1 + ieff
WAARDEVERMINDERING (VERVAL)
Indien die rentekoers verander na ‘n vasgestelde tydperk:
1. Bepaal die opgehoopte waarde vir die eerste tydperk.
2. Gebruik die opgehoopte waarde as die aanvanklike waarde
vir die tweede tydperk.
3. Bepaal die opgehoopte waarde vir die tweede tydperk.
Waarde van Bate (R)
(SAAMGESTELDE RENTE)
VERANDERDE RENTE KOERSE
Waarde van Bate (R)
NOMINALE teenoor EFFEKTIEWE
RENTEKOERSE
SCIENCE CLINIC 2020 ©
0,12 8
2 )
0,18 36
12 )
R 81 723,25
Alternatiewelik: A
=
=
=
8 periodes :
2 periodes (halfjaarliks)
per jaar oor 4 jaar
36 periodes:
12 periodes (halfjaarliks)
per jaar oor 3 jaar
P (1 + i ) n × (1 + i ) n
30 000(1 +
R 81 723,26
0,12 8
0,18 36
× (1 +
2 )
12 )
19
My nuwe motor, ter waarde van R200 000 depresieer teen ‘n koers van 9% per jaar. Wat sal
die waarde van my motor wees na ‘n tydperk van 6 jaar? Vergelyk deur middel van lineêre en verminderende saldo waardevermindering.
LINEÊRE WAARDEVERMINDERING
A = P (1 − i n)
= 200 000(1 − (0,09)(6))
=
R 92 000
VERMINDERENDE SALDO
WAARDEVERMINDERING
A =
P (1 − i ) n
=
=
200 000(1 − 0,09)6
R113 573,85
VOORBEELD
Die waarde van ‘n stuk toerusting depresieer van R15 000 tot R 5000 in vier jaar.
Wat is die waardeverminderings koers wat bereken word deur middel van:
a) Reguitlyn metode
A =
P (1 − i n)
5 000 = 15 000((1 − (x)4)
5 000 =
15 000 − 60 000x
−10 000 =
−60 000x
x =
0,1667
Depresiasiekoers = 16,67%
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
b) Vermindere saldo waardevermindering
A
=
P (1 − i ) n
5 000
1
3
4 1
3
−1
−0,2401...
i
r
=
15 000(1 − i )4
=
(1 − i )4
=
−x
=
=
=
−i
0,2401... × 100
24 %
Finansies
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
ADDISIONELE BETALINGS OF ONTREKKINGS
Tydlyne help om van verskillende koerse en betalings rekord te hou en te visualiseer.
Stel elke gedeelte op met al die inligting oor die aantal terme , saamgestelde tydperke en rentekoerse.
VOORBEELD
Jy deponeer R5000 in ‘n spaarrekening. 4 jaar later, deponeer jy nog R4 500. Die
rentekoers vir die eerste 3 jaar was 11% kwartaalliks saamgestel, dan verander
dit na 12,5% maandeliks saamgestel. Bereken die opgehoopte spaargeld teen die
einde van 6 jaar.
n = 3 jaar
year × 4
= 12
Y
J0
!=
0,11
4
n = 1 jaar
year × 12
= 12
Y
J3
!=
0,125
12
VOORBEELD
Jy neem ‘n lening uit om ‘n nuwe iPad te koop. Jy betaal ‘n addisionele R5000 af, 4 jaar nadat jy
die lening uitgeneem het. Twee jaar later betaal jy die finale bedrag van R6000. Gedurende die
eerste 4 jaar van die lenings tydperk is die rentekoers 14% per jaar, halfjaarliks saamgestel. Vir die
laaste twee jaar het die rentekoers verander na 11% per jaar, kwartaalliks saamgestel. Hoeveel het
jy aanvanklik geleen?
n = 2 jaar
year × 12
= 24
Y
J4
!=
0,125
12
n = 4 jaar
year × 2
=8
Y
J6
!=
Y
J0
0,14
2
+4500
Y3
=
=
=
Y4
=
=
=
Y6
=
=
=
R 6923,92
P (1 + i ) n + 4500
0,125 12
12 )
+ 4500
Y
J6
+6000
P
=
P
=
P
=
A = P (1 + i )n om A te bapaal
A(1 + i )−n
6000(1 +
P = A(1 + i )−n om P te bepaal
0,11 −8
4 )
R4 829,44
Dit beteken dat die waarde van lening, teen die einde van jaar 4,
voor die betaling van R5000 gemaak is was R9 829,44.
R12 340,76
Deur terug te werk, bepaal ons die aanvanklike waarde van die
lening J0.
P (1 + i ) n
12 340,76(1 +
0,11
4
+5000
0,11 12
4 )
6923,92(1 +
!=
Y
J4
Deur terug te werk, bepaal ons die waarde van die lening teen
Jaar4:
P (1 + i ) n
5000(1 +
n = 2 jaar
year × 4
=8
0,125 24
12 )
Wanneer onttrekkings
gemaak word vanuit ‘n
spaarrekening trek ons
eerder af
R15 825,37
P
=
P
=
P
=
A(1 + i )−n
9829,44(1 +
0,14 −8
2 )
R 5 720,82
OF voeg stappe saam in een berekening
OF
Y6
P
=
=
5000[(1 +
0,11 12
0,125 12
1+
4 ) ][(
12 )
R15 825,37
+ 4500][(1 +
0,125 24
12 ) ]
=
6000[(1 +
=
0,11 −8
+
4 )
5000][(1 +
R 5 720,82
20
0,14 −8
2 ) ]
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Waarskynlikheid
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Teoretiese Waarskynlikheid vir ‘n gebeurtenis:
aantal gunstige uitkomste
totale moontlike uitkomste
n(E )
=
n(S)
Relatiewe Frekwensie of
Eksperimentele waarskynlikheid:
P(E ) =
E = Gebeurtenis
P(E ) =
aantal kere wat ′n gebeurtenis plaasvind
aantal proefnemings
Onderling Uitsluitend:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
A en B is inklusiewe gebeurtenisse omdat hulle elemente deel.
6
2
9
5
7
8
B = {gebeurtenis B}
Gebeurtenisse is uitputtend wanneer hulle alle elemente van die
steekproef bevat.
S
A en B is onderling uitsluitend omdat gebeurtenisse geen elemente deel nie.
A
S
A ∩ B = {2; 6}
1
4
3
A = {gebeurtenis A}
Uitputtende Gebeurtenisse:
A ∩ B = {}
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
B
S = {steekproef}
A ∩ B = {A interseksie B} = in stelle A en B
Somreël:
A
Teoretiese waarskynlikheid van ‘n gebeurtenis:
A ∪ B = {A vereniging B} = in stelle A of B
S = Steekproef ruimte
S
SCIENCE CLINIC 2020 ©
A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
n(A) = 5
NOTA:
A
B
1 2
3 4
n(B ) = 5
n(A ∩ B ) = 2
B
1
3
2
4
5
6
n(A ∪ B ) = n(A) + n(B )
5
6
n(A ∩ B ) = 0
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B )
9
n(A ∪ B ) = 8
Komplimentêre Gebeurtenisse:
Onafhanklike gebeurtenisse:
Afhanklike Gebeurtenisse:
Gebeurtenisse A en B is komplimentêre gebeurtenisse as hulle
beide onderling uitsluitend en alomvattend is.
Onafhanklike gebeurtenisse is twee gebeurtenisse wat nie
mekaar se uitkomste beïnvloed nie. V.b. wanneer twee gekleurde
albasters uit ‘n sak te kies, en die albaster terug plaas. Die eerste
keuse beïnvloed nie die uitkomste van die tweede keuse nie.
Afhanklike gebeurtenisse is wanneer die eerste gebeurtenis (A) die
uitkoms van die tweede gebeurtenis (B) beïnvloed. V.b. Wanneer
twee munte uit ‘n beursie gekies word, sonder dat die eerste munt
terug geplaas word. Die eerste keuse beïnvloed die uitkomste van
die tweede keuse.
n(nie in A) = n(A′) = 1 − n(A)
P(A′) = 1 − P(A) = P(B)
Daarom gebruik ons die produk reël
P(A en B) = P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
21
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
BOOMDIAGRAMME
Waarskynlikheid
TWEERIGTING - GEBRUIKLIKHEIDS TABEL
VOORBEELD 1
VOORBEELD 2
Vrae:
Die dogters se hokkie span het ‘n wedstryd hierdie Saterdag. Daar is ‘n moontlikheid van 85%
dat Makayla doelwagter sal wees. Indien sy is, is
daar ‘n 70% kans dat die span sal wen, maar as
sy nie speel nie is daar ‘n 45% kans dat hulle die
wedstryd sal wen. Teken ‘n boomdiagram om te
help om die volgende vrae te antwoord:
Vrae:
‘n Sak bevat 4 rooi metaal balle, 5 blou metaal balle en 3 groen
metaal balle. ‘n Bal word ewekansig gekies en word nie terug gesit
nie. Daar word dan nog ‘n bal, ewekansig, gekies. Teken ‘n boomdiagram om al die verskillende uitkomstes te lys.
Gebruik die boomdiagram om die waarskynlikheid van die volgende
te bepaal:
1. Wat is die waarskynlikheid dat Makayla doelwagter speel en dat die span wen?
2. Wat is die waarskynlikheid dat die span sal
verloor hierdie Saterdag?
1. ’n Blou metaal bal in die eerste trek
2. ’n Rooi metaal bal gevolg deur ‘n groen metaal bal word getrek
3. Twee metaal balle van dieselfde kleur word getrek
Oplossings:
0,27
Oplossings:
0,33
0,7
0,85
Mikayla
doelwagter
(MD)
0,3
0,45
0,15
Mikayla nie
doelwagter
(MND)
0,55
0,45
Rooi
Wen
0,27
Verloor
0,36
Wen
0,42
0,36
Blou
0,27
Verloor
1. P(MD en wen) = 0,85 × 0,7
= 0,6
2. P(Md en verloor) + P(MND en verloor)
0,36
0,25
SCIENCE CLINIC 2020 ©
0,45
Groen
0,18
= 0,85 × 0,3 + 0,15 × 0,55
Rooi (R;R)
Blou (R;B)
Groen (R;G)
Rooi (B;R)
Blou (B;B)
Groen (B;G)
VOORBEELD 1
Vrae:
In ‘n groep van 26 leerders, dra daar 10 bril, 8 leerders is links en 6 leerders is beide
links en dra bril.
1. Voltooi die tabel deur die ontbrekende inligting in te vul
Links
Regs
TOTAAL
Bril
a
b
c
Sonder Bril
d
e
f
TOTAAL
g
h
i
2. Indien jy ewekansig, uit die 26 leerders een leerder kies, bereken:
a. Regs is
b. Regs en sonder bril
Oplossings:
1. a = 6; b = 4; c = 10; d = 2; e = 14; f = 16; g = 8; h = 18; i = 26
18
P(R) =
= 0,69
2.
26
14
3.
P(R en SB) =
= 0,54
26
VOORBEELD 2
Vrae:
‘n Opname was gedoen waar leerders gevra is met watter hand hul skryf en watter
kleur ink hul verkies. Die resultate word onder saamgevat:
Hand waarmee geskryf word
Links (L) Regs (R)
Totaal
Rooi (G;R)
Blue (G;B)
Kleur ink
a
c
b
d
24
Swart (Sw)
Blou (Bl)
Totaal
50
30
80
Groen (G;G)
= 0,34
1. P(B en enige) = 0,42 × 0,36 + 0,42 × 0,36 + 0,42 × 0,27
= 0,42
Die opname bereik ‘n slotsom dat “ die hand waarmee geskryf word en ink kleur is
onafhanklik van mekaar. Bereken die waardes van a, b en c.
Oplossings:
P(L en Bl)
a
80
2. P(R dan G) = 0,33 × 0,27
a
= 0,09
3. P(RR of BB of GG) = 0,33 × 0,27 + 0,42 × 0,36 + 0,25 × 0,18
=
P(L) × P(Bl)
=
×
=
∴ b = 24 − 15 = 9
c = 50 − 15 = 35
= 0,29
22
56
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
50
80
15
24
80
Waarskynlikheid - Venndiagram
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
V ∪M
V
(V ∪ M )′ of V′ ∩ M′
M
V
M
VOORBEELD 1
VOORBEELD 2
Vrae:
Bereken, deur die Venn-diagram, vir ‘n graad 6
groep te gebruik. Die aantal ewekansige gebeurtenisse (Lees(L); Sport(S) en (kuns(K)) is ingevul.
Vrae:
120, Graad 12, Girls High was gevra oor hul deelname aan die
skool se kulturele aktiwiteite:
• 61 meisies doen drama (D)
• 29 meisies redenaars (R)
• 48 meisies sing in die koor (K)
• 8 meisies doen alles
• 11 meisies doen drama en redenaars
• 13 meisies doen redenaars en koor
• 13 meisies doen geen kulturele aktiwiteite
Gr 6
S
S
M
V
V
M
L
S
10
20
V
97
5
M
25
8
3
2
S
S
V∩M
(V ∩ M )′ of V′ ∪ M′
V
M
K
V
M
SCIENCE CLINIC 2020 ©
1. Teken ‘n Venn-diagram om die informasie te verteenwoordig
2. Hoeveel meisies neem deel aan slegs drama en slegs koor?
3. Bepaal die waarskynlikheid dat ‘n graad 12 leerder wat ewekansig gekies word, deelneem aan:
a. Slegs die koor
b. Doen nie redenaars nie
c. minstens twee van die aktiwiteite
Oplossings:
1. P(K⋂L⋂S)
1.
2. P(L en K en nie S)
3. P(K of L)
4. P(S of L en nie K)
n(S) = 120
n(D) = 61
n(R) = 29
3
50–x
S
S
V′ ∩ M
V
M
V
M
25
5
2. P(L en K en nie S) =
=
170
34
S
70
7
=
170
17
4. P(S of L en nie K) =
5
x
5
1
1. P(K ∩ L ∩ S) =
=
170
34
3. P(K of L) =
S
8
Oplossings:
V ∪ M′
13
35–x
13
n(K) = 48
2. (50 − x) + 3 + 13 + x + 8 + 5 + (35 − x) + 13 = 120
127 − x = 120
∴x = 7
127
170
∴ 50 − x = 43
en
35 − x = 28
3.
M′
a. P(slegs K) =
V
M
b. P(R′) =
c.
S
23
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
50 − 7
43
=
= 0,36
120
120
120 − 29
91
=
= 0,76
120
120
P(minstens 2) =
3+ 7+ 8+ 5
23
=
= 0,19
120
120
www
Trigonometrie
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
BASIESE DEFINISIES
BASIESE CAST DIAGRAM
FUNDAMENTELE TRIG
Teenoorgestaande
Opposite
e
suys
nesn
outi
Spk
Hy
Adjacent
Aanliggende
cos θ =
tan θ =
II I
III IV
0⁰
360⁰
y
r
θ
sin θ =
y
x
cos θ =
x
tan θ =
tanθ -
y
r
x
r
y
r = 2
cosθ +
cosθ +
tanθ -
90o
x
2. In watter kwadrant sal θ lê as sinθ < 0 en
cosθ < 0 is?
sinθ cosθ -
• Hoeke word opwaarts gemeet vanaf die positiewe (+) x-as (anti-kloksgewys) tot en met die
skuinssy.
Probleme met Pythagoras
Stappe:
1. Isoleer die trig verhouding
2. Bepaal die kwadrant
3. Teken ’n skets en gebruik
Pythagoras
4. Antwoord die vraag
3)
( 2;
60o
2)
4.
=
3 sin θ − 2 = 0
y
sin θ = 23 = r
2.
2
2
x + y = r
3.
y=2
θ
x2 = 5
x = ± 5
∴x = −
∴ K w a d r a nt I I
24
2
x 2 + (2)2 = (3)2
r=3
sin β
cos β
sin β
cos3 β
.
sin β
+ sin2 β
+ sin2 β
= cos2 β + sin2 β
= 1
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
5
= 2(
4.
=
=
− 5
3
)+
−2 5
3
−
(
1
2
− 5
5
2
−4 5 − 3 5
6
=
Onthou:
Identiteite
1
tan θ
2 cos θ +
1
met behulp van diagram en sonder die gebruik van ’n sakrekenaar.
tan θ
tanθ sinθ + sinθ +
tanθ -
cos3 β
+ sin2(180 o + β )
+ (−sin β )2
sin β
=
(2; 0)
VOORBEELD:
1.
(−tan β)(−cos β)(cos β) 2
Kwadrant III
As 3sinθ – 2 = 0 en tanθ < 0, bepaal 2 cos θ +
3
= tan β .
sinθ -
Onthou:
60 o is 'n
spesiale hoek
3
sin(360 + β)
30o
0
360° – θ
tan(180 o − β)cos(180 o + β)cos2 (360 o − β)
( 3; 1)
o
C
θ
1
= −
45o
cosθ -
• x2 + y2 = r2 (Pythagoras)
(x; y)
(1;
T
360° + θ
tan 660 o
= tan(360 o + 300 o)
= tan 300 o (KI want tan is +)
= tan(360 o − 60 o)
= − tan 60 o (KIV want tan is -)
= −
(0; 2)
Kwadrant IV
Onthou:
3.
Spesiale Hoeke
1. In watter kwadrant sal θ lê as tanθ < 0 en
cosθ > 0 is?
A
Verminder na ‘n skerphoek en vereenvoudig indien moontlik (sonder ‘n sakrekenaar).
sin 125o
cos 260 o
1.
2.
= sin(180 o − 55o)
= cos(180 o + 80 o)
= sin 55o
= − cos 80 o
(KII want sin is +)
(KIII want cos is −)
VOORBEELDE:
Op die Cartesiese Vlak
S
VOORBEELDE:
sin2 B = 1 − cos2 B
cos2 B = 1 − sin2 B
270⁰
Hierdie is ons basiese trig verhoudings.
180° + θ
sin2 B + cos2 B = 1
kan geskryf word as
C
cos +
T
tan +
θ
180° – θ
sin A
= tan A
cos A
A
all +
S
sin +
180⁰
Verminder alle hoeke na skerphoeke.
Memoriseer:
90⁰
sin θ =
REDUKSIEFORMULES
IDENTITEITE
Wys in watter kwadrante elke trig funksie + is
t
s
a
s
t
a
SCIENCE CLINIC 2020 ©
−7 5
6
)
Onthou:
x
cos θ = r
en
tan θ =
y
x
Trigonometrie
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
NEGATIEWE HOEKE
SCIENCE CLINIC 2020 ©
KO-FUNKSIES
Hoeke word afwaarts gemeet (kloksgewys) vanaf die
positiewe x-as, dit word ook gesien as Kwadrant IV.
y
B
sinA en cosB staan bekend as
ko-funksies, indien A + B = 90∘.
VOLLEDIGE CAST DIAGRAM
Memoriseer die volgende diagram:
sinA = sin(90⁰ – B)
= cosB
A
–A
x
= sin(90 o − 60 o)
= cos 60 o
sin(–A) = –sinA
cos(–A) = cos
tan(–A) = –tanA
Metode 2: Raak ontslae van
die negatief
Voeg 360° by om sodoende
die hoek positief te maak.
VOORBEELDE:
Vereenvoudig sonder die gebruik van ’n sakrekenaar:
sin(–330°)
=
4. cos(90 o + β )
K II, d u s cos −
90 o ∴ sin ↔ cos
5. sin(θ − 90 o)
= − cos θ
NB: Negatiewe Hoeke
1) sin(−330 o)
= sin(360∘ + 30∘ )
K IV
= sin 30 o
K I, d u s sin +
90 o ∴ sin ↔ cos
= − sin β
2) + 360 o
1
2
= sin(−330 o)
= sin(360 o − 330 o)
= sin 30 o
1
=
2
K I V, so sin −
90 o ∴ sin ↔ cos
6. Vereenvoudig tot 'n verhouding van 10°:
K II, so cos −
a) cos 100 o
= cos(90 o + 10 o)
= − sin 10 o
b) tan 170 o
= tan(180 o − 10 o)
= − tan 10∘
90 o ∴ sin ↔ cos
K II, so tan −
180 o ∴ r ed u k si e
1. cos(−385 )
negatiewe hoek, dus a) + 360°
OF b) K IV
= cos(−25 )
= cos 25o
- 385 K I
= p
∴ + cos
o
2. sin(65o)
= sin(90 o − 25o) K I, sin +
= cos(25o)
= p
o
θ
θ –– 90°
θ – 180°
270º
–θ
*
270° 270º
+θ
θ – 90°
Ko-funksies
Co-functions
Reductions
Reduksies
270°
BEWYS VAN IDENTITEITE
Stappe:
1. Skei LK en RK
2. Begin met die kant wat meer kompleks is.
3. Bewys die kante is gelyk.
VOORBEELDE:
1. cos2 x . tan2 x = sin2 x
3. tan x +
LK = cos2 x . tan2 x
= cos2 x .
sin x
cos2 x
= sin2 x =
RK
2. 1 − 2 sin x . cos x = (sin x − cos x)2
= 1 − 2 sin x . cos x =
o
= sin(360 − 25 ) K IV, sin = − sin 25o
ONTHOU: 25° is die korrekte hoek, maar die verkeerde verhouding.
Dus teken die skets
−y
Dus, − sin 25o =
Given cos25⁰ = p x
Gegee
r
1 r
1
y = √1 –p2
− 1 − p2
r=
(Pythag)
=
= − 1 − p2
x=p
1
25
4. tan(155o)
LK
= tan(180 o − 25o) K II, tan = − tan 25o
Dit kan opgelos word
op twee maniere:
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
cos x
1
=
1 + sin x
cos x
cos x
LK = tan x +
1 + sin x
sin x
cos x
=
+
cos x 1 + sin x
2
= sin2 x + cos2 x − 2 sin x . cos x
o
3. sin(335 )
90°θ– θ
360°θ + θ
180° – θ II I
A + θ 0°
S
360°
360°
T
III
C
IV
0°
II I
A
S
360°
–
θ
180°T + θ III IV 360°
C
– θ– θ
θ – 180°
360°
180°
+θ
RK = (sin x − cos x)2
OPLOS VAN PROBLEME:
As cos25° = p, druk die volgende uit in terme van p (d.w.s. kry al die hoeke gelyk aan 25°):
o
180°
= cos(90 o − 65o)
= sin 65o
3. sin(90 o − α)
= cos α
180°
2. cos 25o
NOTA:
Kyk altyd eers na die kwadrant, maak DAN
gebruik van die reduksieformules/ko-funksies
Metode 1: K IV
90° – θ
90°
90° + θ
180° – θ
VOORBEELD:
1. sin 30 o
90°
90° + θ
=
sin x (1 + sin x) + cos x (cos x)
cos x (1 + sin x)
=
sin x + sin2 x + cos2 x
cos x (1 + sin x)
=
sin x + 1
cos x (1 + sin x)
=
1
=
cos x
RK
Metode 1: Verhouding
=
=
−sin 25o
cos 25o
−
1 − p2
p
Metode 2: Skets
=
=
−y
x
−
1 − p2
p
Trig Vergelykings
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
BASIESE BEGINSELS
KWADRATE
KO-FUNKSIES
FAKTORISERING
Stappe:
Wenke:
Wenke:
Stappe:
• Isoleer die trig funksies
• Gebruik al vier kwadrante (± beteken dat
die verhouding beide + en - moet wees.)
• sin en cos met verskillende hoeke
• Los op soos jy ‘n kwadratiese vergelyking sal oplos
• Verwysings hoek (moet nie (-) in die
sakrekenaar in sit nie)
• Kies Kwadrante
➡ sin of cos: 2 Kwadrante
➡ tan: 1 Kwadrante
• Algemene Oplossing
➡ sin θ of cos θ + k 360∘; k ∈ ℤ
➡ tan θ + k180∘; k ∈ ℤ
ONTHOU: Rond slegs af aan die einde
Algemene formules:
θ = sin−1 a + k 360∘ or
θ = (180∘ − sin−1 a) + k 360∘ (k ∈ ℤ)
θ = ± cos−1 a + k 360∘ (k ∈ ℤ)
θ = tan−1 a + k180∘ (k ∈ ℤ)
VOORBEELDE:
VOORBEELD:
• Die hoek wat verander kan word is die verwysings
hoek
Los op vir β:
4 sin2 β − 3 = 0
3
4
60∘ + k 360∘; k ∈ ℤ
180∘ − 60∘ + k 360∘
120∘ + k 360∘
180∘ + 60∘ + k 360∘
240∘ + k 360∘
360∘ − 60∘ + k 360∘
300∘ + k 360∘
Los op vir θ:
SINθ EN COSθ
1. 3 sin θ − 1 = 0
Stappe:
sin θ =
1
3
sin + in KI en KII
Verwysings∠ : 19,47∘
KI: θ = 19,47∘ + k 360∘; k ∈ ℤ
KII: θ = 180∘ − 19,47∘ + k 360∘; k ∈ ℤ
= 160,53∘ + k 360∘
2. tan(3θ + 30 o) + 1 = 0
tan(3θ + 30 o) = − 1
tan − in KII
Verwysings∠ : 45∘
KII: 3θ + 30∘ = 180∘ − 45∘ + k180∘; k ∈ ℤ
3θ = 105∘ + k180∘
θ = 35∘ + k 60∘
o
o
cos x = cos(90 − (x − 10 ))
cos x = cos(100 o − x)
Verwysings∠ : 100∘ − x
100∘ − x
• Deel deur cos om tan te kry
VOORBEELD:
Los op vir α:
2 sin 2α − cos 2α = 0
2 sin 2α = cos 2α
2 sin 2α
cos 2α
=
cos 2α
cos 2α
2 tan 2α = 1
1
tan 2α =
2
tan + in KI
Verwysings∠ :
26,57∘
KI: 2α = 26,57∘ + k180∘; k ∈ ℤ
α = 13,28∘ + k 90∘
Los op vir x:
(tan x − 1)(tan x − 1) = 0
tan x = 1
Verwysings∠ : 45∘
KI: x = 45∘ + k180∘; k ∈ ℤ
k 360∘;
KI: x =
+
k ∈ℤ
2x = 100∘ + k 360∘
x = 50∘ + k180∘
KIV: x = 360∘ − (100∘ − x) + k 360∘
x − x = 260∘ + k 360∘
0 = 260∘ + k 360∘
Geen reële oplossing nie
2. cos2 x + sin x . cos x = 0
cos x (cos x + sin x) = 0
cos x = 0
OF
Gebruik die trig grafiek:
o
2. sin(x + 30 ) = cos 2x
sin(x + 30 o) = sin(90 o − 2x)
30∘
90∘ − 2x
k 360∘;
KI: x +
=
+
k ∈ℤ
3x = 60∘ + k 360∘
x = 20∘ + k120∘
KII: x + 30∘ = 180∘ − (90∘ − 2x) + k 360∘
x + 30∘ = 90∘ + 2x + k 360∘
−x = 60∘ + k 360∘
x = − 60∘ − k 360∘
NOTA: Spesifieke Oplossings
As hul vra vir x ∈ [−360∘; 360∘ ], kies heelgetal
waardes vir k
(...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3...)
so dat x in die gegewe intervalle val.
x = 30∘ + k120∘
x = − 330∘; − 210∘; − 90∘; 30∘; 150∘; 270∘
k = − 3; k = − 2; k = − 1; k = 0; k = 1; k = 2
OF
x = − 60∘ + k 360∘
x = − 60∘; 300∘
k = 0; k = 1
26
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
cos x = − sin x
cos x
−sin x
=
cos x
cos x
tan x = − 1
270⁰
90⁰
Verwysings∠ : 90∘ − 2x
• sin en cos met dieselfde hoek
VOORBEELDE:
1. tan2 x − 2 tan x + 1 = 0
1. cos x = sin(x − 10 o)
Verwysings∠ : 60∘
KI: β =
KII: β =
=
KIII: β =
=
KIV: β =
=
VOORBEELDE:
Los op vir x:
3
sin β =
4
2
sin β = ±
• Betrek die ko-funksie 90° - z
Verwysings∠ : 45∘
x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ
KII: x = 135∘ + k180∘
3. 2 cos2 x + 3 sin x = 0
2(1 − sin2 x) + 3 sin x = 0
2 sin2 x − 3 sin x − 2 = 0
(2 sin x + 1)(sin x − 2) = 0
sin x =
−1
2
Verwysings∠ : 30∘
KIII: x =
x =
KIV: x =
x =
OF
sin x = 2
Geen reële oplossing nie
180∘ + 30∘ + k 360∘; k ∈ ℤ
210∘ + k 360∘
360∘ − 30∘ + k 360∘; k ∈ ℤ
330∘ + k 360∘
Trig Grafieke
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
VERTIKALE SKUIF
BELANGRIK!
Wanneer trig grafieke geskets word, moet jy die volgende
aandui:
! Beide Asse
! x- en y- afsnitte
! Draaipunte
! eindpunte (indien nie op ’n as)
! Asimptote (net vir tan grafiek)
y
y = cos x − 1 x ∈ [0∘; 360∘ ] (soliede lyn)
y = cos x (stippellyn – om te vergelyk)
360°
(270°; -1)
• y = cos x vir x ∈ [−360∘; 360∘ ]
(-360°; 1)
90°
270°
• y = a . sin x of y = a . cos x of y = a . tan x
• y = sin b x of y = cos b x of y = tan b x
As a > 1 : skets beweeg opwaarts
0 < a < 1 : krimp afwaarts
a < 0 : Spieëlbeeld in x-as
Die waarde van b bepaal hoeveel volledige grafieke gewoonlik in die periode is
(m.a.w. sin x /cos x : 360∘ en tan x : 180∘)
y = sin x
(stippellyn – om
x
0°
1. y = cos 3x x ∈ [0∘; 360∘ ]
(90°; 2)
360°
180°
x
0°
te vergelyk)
2. y = − 3 cos x
(soliede Lyn)
y
y = cos x
(stippellyn – om
(45°; 1)
y
te vergelyk)
360°
(60°;-1)
(360°; 1)
270°
210°
90°
0°
(180°;3)
y
(240°; 1)
150°
30°
(270°; -2)
(180°;-1)
330°
x
(300°;-1)
y
1
2. y = tan
90°
0°
270°
x
(180°; –1)
* Waardeversameling:
y ∈ [−3; 3]
-3
x = 90°
* Normale periode: 360°
* Nuwe periode: 120° (3 grafieke in 360°)
* Kritiese punte elke 90/3 = 30°
1
* Amplitude = 2
• y = tan x vir x ∈ [−360∘; 360∘ ]
180°
VOORBEELDE:
y
(120°; 1)
(180°; -1)
0°
(180°; -2)
VERANDERING IN PERIODE
1. y = 2 sin x
(soliede lyn)
(360°; 1)
(-180°; -1)
x
(270°;-1)
VERANDERING IN AMPLITUDE
VOORBEELDE:
y
-90°
(90°;-1)
360°
x
(-90°; -1)
x
0°
❖ Asimptote by x = 90o + k180o, k ∈ ℤ
0°
x = -90°
VOORBEELDE
❖ Geen amplitude kan gevind word nie
180°
-180°
x = -270°
(bv: y = sin x + 1)
(bv: y = cos x − 2)
❖ Kern punte elke 45°
(90°; 1)
-180°
As q > 0 : opwaarts
As q < 0 : afwaarts
❖ Periode (1 volle grafiek); 180°
(-270°; 1)
-360°
❖ Kern punte (afsnitte/draaipunte) elke 90°
Notas vir tan x :
[−360∘; 360∘ ]
-270°
• y = sin x + q of y = cos x + q of y = tan x + q
❖ Amplitude (halfpad tussen min en maks): 1
y
-360°
Notas vir sin x en cos x :
❖ Periode (1 volle grafiek): 360°
BASIESE BEGINSELS
• y = sin x vir x ∈
SCIENCE CLINIC 2020 ©
(360°; -3)
xx
1
x x ∈ [0∘; 360∘ ]
2
(90°; 1)
* Normale periode: 180°
-360°
* Nuwe periode: 360°
(½ grafiek in 180°)
* Kritiese Punte:
elke 45/0,5 = 90°
x = 270°
360° x
x = -180°
27
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
x = 180°
Trig Grafieke
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
HORISONTALE SKUIF
VOORBEELD
• y = sin(x − p) of y = cos(x − p) of y = tan(x − p)
•
•
•
•
Gegee f (x) = cos(x +
(bv: y = sin(x − 30∘ ))
(bv: y = cos(x + 45))
As p > 0 : skuif na regs
p < 0 : skuif na links
60∘ )
en g (x) = sin 2x
Verwysings ∠ : 90∘ − 2x
f (x) en g (x) vir x ∈ [-90°;180°]
2. Skets f (x) en g (x) vir x ∈ [-90°;180°]
3. Gee die amplitude f (x)
4. Gee die periode van g (x)
5. Gebruik die grafieke om die waardes te bepaal van x waarvoor:
1. y = cos(x + 45∘ ) vir x ∈ [−360∘; 360∘ ] (stippellyn)
y = cos x (soliede lyn - om te vergelyk)
y
2
2
225°
(360°;
2
2)
6. Verduidelik die transformasie wat plaasvind van y = sin x
na y = sin(2x − 60∘ )
(45°; 1)
(-60°; 1)
3
(-90°; ½)
2
½
-90°
30°
90°
0°
180°
x
(180°; -½)
(120°; -1) (135°; -1)
(-45°; -1)
2
2
Vir f(x):
3
1
en cos(180∘ + 60∘ ) = −
2
2
1
y-afsnit: cos(0∘ + 60∘ ) =
2
Eindpunte: cos(−90∘ + 60∘ ) =
2. y = sin(x − 30∘ ) vir x ∈ [0∘; 360∘ ] (stippellyn)
y = sin x (soliede lyn - om te vergelyk)
3. Amplitude = 1
y
(120°; 1)
-½
g (x) = sin 2x
f (x) = cos(x + 60∘ )
y
(135°; -1)
Eindpunte:
2
en
cos(−360∘ + 45∘ ) =
cos(−360∘ + 45∘ ) =
2
y-afsnit:
2
cos(0∘ + 45∘ ) =
2
30°
2.
d. f (x) ⋅ g (x) ≥ 0 - m.a.w. produk is + of 0
x
45°
(-225°; -1)
maar x ∈ [−90∘; 180∘ ]
∴ x = 10∘; 130∘; 150∘
b. f (x) stygend en positief is
(315°; 1)
-135°
-315°
KI: x + 60∘ = 90∘ − 2x + k 360∘; k ∈ ℤ
3x = 30∘ + k 360∘
x = 10∘ + k120∘
KIV: x + 60∘ = 360∘ − (90∘ − 2x) + k 360∘; k ∈ ℤ
x + 60∘ = 270∘ + 2x + k 360∘
−x = 210∘ + k 360∘
x = − 210∘ + k 360∘
a. g (x) stygend en positief is
c. f (x) ≥ g (x) - m.a.w. f (x) is bo g (x)
2
cos(x + 60∘ ) = cos(90∘ − 2x)
1. Bepaal algebraïes die snypunte van
VOORBEELDE
(-360°; ½2 )
Antwoorde:
1. cos(x + 60∘ ) = sin 2x
Vrae:
Hoe om ‘n horisontale skuif te plot:
Plot die oorspronklike grafiek
Skuif die kritiese punte na links/regs
Merk die x-afsnite en draaipunte
Bekereken en merk die eindpunte en y-afsnitte
(-45°; 1)
SCIENCE CLINIC 2020 ©
4. Periode = 180∘
210°
x
5. a. x ∈ (0∘; 45∘ )
(360°; -½)
b. x ∈ [−90∘; − 60∘ )
(300°; -1)
c. x ∈ [−90∘; 10∘ ] ∪ [130∘; 150∘ ]
d. x ∈ [0∘; 30∘ ] ∪ [90∘; 180∘ ] of x = − 90∘
Eindpunte:
1
1
sin(0∘ + 45∘ ) = −
sin(360∘ − 30∘ ) = −
en
2
2
y-afsnit:
Die y-afsnit is een van die eindpunte
6. Herskyf y = sin(2x − 60∘ ) in die vorm y = sin b (x − p) = sin(2(x − 30∘ ))
Transformasie: b = 2 ∴ periode is gehalveer
p = 30 ∴ skuif 30° na die regterkant
28
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Trig Grafieke
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
GEBRUIK TRIG GRAFIEK OM BEPERKINGS TEN OPSIGTE VAN IDENTITEITE TE KRY
m.a.w. Beantwoord die vraag:
“vir watter waardes van x sal die identitiet ongedefinieerd wees?”
Identiteit is ongedefinieerd as:
• die funksie ongedefinieerd is
tan x het asimptote by x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ
• Enige noemer is nul
Terugflits:
A
is ongedefinieerd
0
VOORBEELDE:
1. Vir watter waardes van x sal cos2 x ⋅ tan2 x = sin2 x gedefinieerd wees?
• t a nx is ongedifinieerd wanneer x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ
∴ sal gedefinieerd wees as x ∈ ℝ en x ≠ 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ
• Geen noemers wat kan 0 wees nie
2. Vir watter waades van x sal tan x +
cos x
1
ongedefinieerd wees?
=
1 + sin x
cos x
• tan x is ongedifinieerd wanneer x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ
• Breuke is ongedefinieerd wanneer die noemer = 0
∴ As 1 + sin x = 0 of as cos x = 0
* 1 = sin x = 0
∴ sin x = − 1
y
y = sinx
Gebruik trig grafieke vir 0; ± 1
x
-1
(270°; -1)
∴ x = 270∘ + k 360∘; k ∈ ℤ
* cos x = 0
y
y = cosx
90°
270°
xx
Gebruik trig grafieke vir 0; ± 1
∴ x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ
x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ
x = 270∘ + k 360∘; k ∈ ℤ
kan opgesom word as: x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ
x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ
29
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Euklidiese Meetkunde
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SIRKELMEETKUNDE
Terugflits: Teorie van
vorige grade
‘n Loodlyn uit die middelpunt van ‘n sirkel na ‘n
koord, halveer die koord.
1
B
Stelling 1:
(Lyn vanuit midpt ⟂ koord)
A
2
N
C
SCIENCE CLINIC 2020 ©
M
P
B̂ = Ĉ (∠'e teenoor = sye)
 + B̂ + Ĉ = 180∘ (Binne ∠'e van Δ)
Omgekeerde v. Stelling 1:
(lyn vanaf midpt na koord)
Die lynstuk wat die middelpunt van ‘n sirkel met die
middelpunt van ‘n koord vebind, is loodreg op die
koord.
K
L
J
As JK = K L, dan
OK ⊥ J L
Omgekeerde (2) v. Stelling 1:
(middelloodlyn van koord)
Die middelloodlyn van ‘n koord gaan deur die middelpunt van die sirkel:
O
O
C2̂ = Â + B̂ (Buite ∠'s van Δ)
GEGEE: Sirkel met midpt O en koord N P ⊥ MO .
D
VOORBEELD:
Gegee: Sirkel M met deursnee van 20 cm en koord
DF van 12 cm.
F
OTB: N M = M P
1
1 K
M 3
E
G
K2̂ = M̂1 (ooreenk ∠'e DE//GF)
K2̂ = M̂3 (verw ∠'e DE//GF)
K2̂ + M̂2 = 180∘ (ko-binne ∠'e DE//GF)
M̂1 = M̂3 (teenoorst ∠'e)
K2̂ + K1̂ = 180∘ (∠'e op 'n reguit lyn)
BEWYS:
Verbind ON en OP
In ΔMON en ΔMOP
̂ = P MO
̂ (OM⟂PN, gegee)
N MO
ON = OP (radiusse)
OM = OM (gemeenskaplik)
∴ ΔMON = ΔMOP (90°Sk S)
NM = MP
x–3
Bepaal die lengte van koord AC.
Verbind MF
DE = E F = 6 cm (Lyn vanaf midpt ⟂ koord)
MF = 10 cm (radius)
x2 =
x2 =
x =
∴ MB =
P
R
x
2
2
T
P T 2 = PR 2 + R T 2 (Stelling v. Pythagoras)
10 2 − 62 (Stelling van Pythagoras)
64
8 cm
8 − 3 = 5 cm (gegee)
Verbind M A
M A ⊥ AC (Lyn vanaf midpt ⟂ koord)
MA =
A B2 =
A B2 =
AB =
∴ AC =
30
10 cm (radius)
10 2 − 52 (Stelling van Pythagoras)
75
8,66 cm
17,32 cm
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
GEGEE: R T = R P en M R ⊥ T P
OTB: M R gaan deur middelpunt v.d. sirkel.
BEWYS:
Kies enige punt, by M, op A D.
Verbind M T en M P
In ΔM R P en ΔM R T
PR = R T (gegee)
M R = M R (gemeenskaplik)
M R̂ P = M R̂ T = 90∘ (∠‘e op ‘n reguit lyn)
ΔM R T ≡ ΔM R P (S∠S)
∴ M T = MP
∴ Alle punte op A D is ewe ver van P en T en die middelpunt is ewe ver van P en T.
∴ Die middelpunt lê op A D.
Euklidiese Meetkunde
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
SIRKELMEETKUNDE
Stelling 2:
(middelpunts ∠ = 2 x omtreks ∠)
Die hoek by die middelpunt van ‘n sirkel,
onderspan deur ‘n boog, is dubbel die hoek
wat deur dieselfde boog by enige punt op
die omtrek onderspan word.
STELLING 3:
VOORBEELD 1:
Bepaal die waarde van x:
Die omtrekshoek wat deur die middellyn onderspan word, is ‘n regte hoek
Omgekeerde v. Stelling 3:
(koord onderspan 90°)
As ‘n koord van ‘n sirkel ‘n regtenhoek by die omtrek
onderspan, dan is die koord ‘n middellyn.
As A MC die middellyn is dan B̂ = 90∘.
As B̂ = 90∘ dan is A MC die middellyn.
(∠ in halwe sirkel/∠ in 1/2 ʘ)
x = 54∘ ÷ 2 (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠)
∴ x = 27∘
ALTERNATIEWE DIAGRAMME:
VOORBEELD 2:
Bepaal die waarde(s) van x en y:
D
GEGEE: Sirkel met midpt M, met boog A B
wat A M̂ B by die midpt onderspan word en
A Ĉ B op die omtrek.
VOORBEELD:
In sirkel O met middellyn AC, D C = A D
en B2̂ = 56∘. Bepaal die grootte van D Â B
B
x
E
O1
y
2
3
88°
OTB: A M̂ B = 2 × A Ĉ B
BEWYS:
A M = B M = C M (radiusse)
 = C2̂ (∠ ‘e teenoor = sye)
B̂ = C1̂ (∠ ‘e teenoor = sye)
M̂1 = Â + C2̂ (buite ∠’e van Δ)
∴ M̂1 = 2C2̂
M̂2 = B̂ + C1̂ (buite ∠’e van Δ)
∴ M̂2 = 2C1̂
A
CO = OB (radiusse)
C2̂ = B2̂ = 56∘ (∠ ‘e teenoor = sye)
O1̂ = 68∘ (som ∠ ‘e van Δ)
A2̂ = 34∘ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠)
C
x = 44∘ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠)
OB = OC (radiusse)
Ĉ = 44∘ (∠ ‘e teenoor = sye)
O3̂ = 92∘ (∠ ‘e van ‘n Δ)
D̂ = 90∘ (∠ in halwe sirkel/∠ in 1/2 ʘ )
A1̂ = C1̂ (∠‘e teenoor = sye, DC = AD)
A1̂ = 45∘ (som ∠ ‘e van Δ)
O2̂ = 88∘ (teenoors. ∠ ‘e)
∴ D Â B = 34∘ + 45∘ = 79∘
88∘ + 92∘ + 88∘
y =
2
y = 134∘ (midpts ∠ = 2 x ∠)
∴ M̂1 + M̂2 = 2(C1̂ + C2̂ )
∴ A M̂ B = 2 × A Ĉ B
31
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Euklidiese Meetkunde
SCIENCE CLINIC 2020 ©
SIRKELMEETKUNDE
STELLING 4:
(∠ in die sirkel segment)
As ∠’e by die omtrek van ‘n sirkel onderspan
word deur ’n koord (boog), en vorm aan dieselfde kant van die koord (boog), is hul gelyk.
a) Gelyke koorde (of boë) onderspan gelyke
hoeke by die omtrek.
K L = ST dan P̂ = M̂ (= gelyke koorde,
gelyke ∠’e)
GEGEE: Sirkel met midpt N waar R T en R P̂ T
deur boog R M̂ T onderspan word in dieselfde
segment.
Omgekeerde v. Stelling 4:
(lynstuk onderspan = ∠’e)
AFLEIDINGS:
b) Gelyke koorde onderspan gelyke hoeke by
die middelpunt van ’n sirkel.
As ’n lynstuk wat twee punte verbind, gelyke hoeke by twee ander punte aan dieselfde kant daarvan
onderspan, dan is die vier punt konsiklies (d.w.s. hulle lê op die omtrek van ‘n sirkel)
As Ŵ = U,̂ dan is W U Z Y ’n koordevierhoek.
VOORBEELD 1:
GEGEE: Sirkel met midpt O en Ĉ = 36∘
VOORBEELD 2:
Bepaal die waardes van al die hoeke in A BC D
met A B | | E F.
OTB: R P̂ T = R M̂ T
BEWYS:
Verbind N R en N T om N1̂ te vorm.
1
M̂ =
× N1̂ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠)
2
P̂ =
1
× N1̂ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠)
2
∴ R M̂ T = R P̂ T
As A B = C D dan O1̂ = O2̂ (= koorde, = ∠’e)
c) Gelyke koorde in gelyke sirkels onderspan
gelyke omtrekshoeke.
Bereken die waardes van die hoeke:
O1̂ , Â en B.̂
O1̂ = 2 × 36∘ = 72∘ (midpts ∠= 2 x omtreks ∠)
 = B̂ = Ĉ = 36∘ (∠‘e in dies ʘ seg.)
a) Bewys dat C DE F is ’n koordevierhoek.
b) As D2̂ = 38∘, bereken E2̂
OPLOSSING:
a) B1̂ = C1̂ (∠‘e in dies ʘ seg.)
B1̂ = F1̂ (oorenk ∠ ‘e, AB||EF)
∴ C1̂ = F1̂
∴ C DE F koordevierhoek (lynstuk onderspan =
∠‘e)
b) D2̂ = E2̂ = 38∘ (∠‘e in dies ʘ seg. Vierhoek
CDEF)
As HF = PQ dan Ĝ = R̂ (= koorde, = ∠’e)
32
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Euklidiese Meetkunde
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SCIENCE CLINIC 2020 ©
SIRKELMEETKUNDE
Stelling 5:
(teenoorst. ∠‘e van kvh)
Die teenoorstaande hoeke van ‘n koordevierhoek
is supplementêr.
Stelling 6:
Omgekeerde v. Stelling 5:
(teenoorst. ∠‘e van vierhoek is suppl.)
(buite ∠ van kvh)
As die teenoorgestaande hoeke van ‘n vierhoek
supplementêr is, dan is die vierhoek ‘n koordevierhoek
Die buitehoek van ‘n koordevierhoek is gelyk aan
die teenoorstaande binnehoeke.
VOORBEELD 1:
GFE is ‘n dubbele koord en H1̂ = 75∘
As Q̂ + Y ̂ = 180∘
of Ĉ + L̂ = 180∘
GEGEE: Sirkel midpt C en vierhoek QUA D.
OTB: Q̂ + Â = 180∘
BEWYS:
Verbind UC en D C
C1̂ = 2 Â (∠ midpts = 2 x omtreks ∠)
C2̂ = 2Q̂ (∠ midpts = 2 x omtreks ∠)
L Q̂ D = Â (buite ∠ v. kvh)
Dan QC Y L
’n koordevierhoek
Omgekeerde v. Stelling 6:
(buite ∠ v. vierhoek = teenoorst. binne ∠)
As die buitehoek van ‘n vierhoek gelyk is aan die
teenoorstaande binnehoek van ‘n vierhoek, dan is
dit ‘n koordevierhoek.
VOORBEELD 2:
Sirkel GH JK met GM ⊥ H J en GL ⊥ L J. G3̂ = 24∘
Bepaal die waarde van D.̂
H1̂ = F1̂ = 75∘ (buite ∠ van kvh)
F1̂ = D̂ = 75∘ (buite ∠ van kvh)
VOORBEELD 2:
A BC D is ‘n parallelogram en B Â D = F1̂ .
Bewys dat CE F G ‘n koordevierhoek is.
C1̂ + C2̂ = 360∘ (∠‘e om ‘n punt)
∴ 2 Â + 2Q̂ = 360∘
∴ Â + Q̂ = 180∘
VOORBEELD 1:
Bereken die waarde van α.
a) Is vierhoek GL J M ‘n koordevierhoek?
b) Is vierhoek GL J H ‘n koordevierhoek?
As L Q̂ D = Â dan is QUA D ‘n koordevierhoek
a) M̂2 = 90∘ (Gegee GM ⊥ H J)
L̂ = 90∘ (Gegee GL ⊥ L J)
∴ GL J M kvh (teenoorst. ∠‘e van vierhoek suppl)
55∘ − α + 41∘ + 3α =
2α =
2α =
∴α =
180∘ (teenoorst. ∠‘e van kvh)
180∘ − 96∘
84∘
42∘
b) Ĥ = 180∘ − 24∘ − 90∘ (∠‘e van Δ)
Ĥ = 66∘
GL J H nie kvh (teenoorst ∠ = 156° nie 180°)
B Â D = C1̂ (teenoorst. ∠‘e van parm)
B Â D = F1̂ (gegee)
∴ C1̂ = F1̂
∴ CE F G is n kvh (buite. ∠ v. vierhoek=
teenoorst, binne ∠)
33
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Euklidiese Meetkunde
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Stelling 7:
(raaklyn ⟂ radius)
‘n Raaklyn aan ‘n sirkel is
loodreg op die radius by die
raakpunt.
As TA N ‘n raaklyn is aan
sirkel P, dan PA ⊥ TA N
Omgekeerde v. Stelling 7:
(lyn ⟂ radius)
‘n Lyn deur enige punt op ‘n
sirkel loodreg op die radius, is
‘n raaklyn.
VOORBEELD 1:
Gegee sirkel O met raak lyn Z Y U
en M N = F G. As Ĥ = 18∘ is, bepaal die
grootte van Y2̂ .
Y1̂ = Ĥ = 18∘ (= koorde, = ∠‘e)
Y1̂ + Y2̂ =
90∘
(raaklyn ⟂ radius)
∴ Y2̂ = 90∘ − 18∘ = 72∘
VOORBEELD 2:
Bewys dat T PK ’n raaklyn aan sirkel O is, met
’n radius van 8 cm, indien OK = 17 cm en PK
= 15 cm is.
SIRKELMEETKUNDE
Stelling 8:
(raaklyn vanuit dies. pt.)
As twee raaklyne vanuit dieselfde punt aan ‘n
sirkel getrek word, dan is die afstande vanaf
die punt na die raakpunte gelyk.
GEGEE: Raaklyne T PK en SR K tot sirkel O.
OTB: PK = R K
BEWYS:
Konstrueer radiusse OR en OP en verbind OK.
In ΔOPK en ΔOR K
OP = OR (radiusse)
OK = OK (gemeenskaplik)
̂ = O R̂ K = 90∘ (raaklyn ⟂ radius)
O PK
∴ ΔOPK ≡ ΔOR K (RHS)
∴ PK = R K
VOORBEELD:
PK en K N is raaklyne aan sirkel M. As
N1̂ = 24∘, bepaal die groote van P K̂ N.
As PA ⊥ TA N, dan is TA N ’n
raaklyn aan sirkel P.
OP 2
Stelling 9:
(∠ tussen raaklyn en koord)
Die hoek wat gevorm word tussen ‘n raaklyn aan ‘n sirkel en ‘n koord wat vanuit die
raakpunt getrek word, is gelyk aan die hoek
in die oorstaande segment.
GEGEE: Raaklyn TA N aan sirkel O, en
koord AC onderspan B.̂
OTB: A1̂ = C2̂
BEWYS:
Konstrueer die middellyn AOD en verbind
D C.
A1̂ + A2̂ = 90∘ (raaklyn ⟂ radius)
PK 2
∴
=
+
∴ OP ⊥ T PK (Omgekeerde Stelling v. Pythagoras)
∴ T PK is n raaklyn aan sirkel O (lyn ⟂ radius)
M N̂ K = 90∘ (raaklyn ⟂ radius)
teenorst. ʘ seg)
As ‘n lyn deur die eindpunt van ‘n
koord ‘n hoek met die koord vorm
wat gelyk is aan die hoek in die
teenoorstaande segment, dan is
die lyn ‘n raaklyn aan die sirkel.
As  = Ĉ of A2̂ = B,̂
TA N ’n raaklyn
∴ A1̂ = C2̂
VOORBEELD 1:
T R N raak aan die sirkel by R en SR = RQ.
As R1̂ = x, bepaal watter vyf hoeke is gelyk aan x.
P2̂ = R 4̂ = x (∠ tussen raaklyn en koord)
∴ N2̂ = 66∘
PK = N K (raaklyn vanuit die. pt.)
̂ = 66∘ (∠ ‘e teenoor = sye)
N2̂ = N PK
∴ P K̂ N = 48∘ (∠‘e van Δ)
34
Omgekeerde v. Stelling 9:
(∠ tussen lyn en koord = in
C1̂ + C2̂ = 90∘ (∠ in 1/2 ʘ)
A2̂ = C1̂ (∠’e in dies ʘ seg)
R1̂ = P1̂ = x (∠ tussen raaklyn en koord)
Q2̂ = x (∠ tussen raaklyn of ∠’e in die ʘ seg)
Q2̂ = S2̂ = x (∠‘e teenoor = sye)
S2̂ = P2̂ = x (∠‘e dies. ʘ segm.)
OK 2 = 172 = 289
OP 2 + PK 2 = 82 + 152
= 289
OK 2
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Euklidiese Meetkunde
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
SIRKELMEETKUNDE
VOORBEELD 2:
In die figuur, is A D en A E raaklyne aan sirkel DE F. Die reguit lyn geteken deur A, is parallel met F D, ontmoet E D verleng by C en E F verleng
B . Die raaklyn A D sny E B by G.
Wenke vir die antwoord van Meetkunde Vrae
• Lees deeglik en dui op die skets aan indien dit nie reeds gedoen is nie.
• Moet nooit aannames maak nie. As dit nie gegee of aangedui is op die
skets nie, is dit nie waar tot dit bewys is nie.
• As jy waardes vir hoeke bepaal het of bewys het dat hulle gelyk is, dui
dit op die skets aan en skryf dadelik die stelling en rede neer.
• Maak seker dat jy al die informasie wat gegee is gebruik het, teen die
einde van die vraag.
• Wanneer daar gevra word dat jy iets moet bewys, kan jy aanneem dat
dit waar is.
• Byvoorbeeld: indien hul vereis dat jy moet bewys dat ABCD ‘n koordevierhoek is, is dit so. As jy sukkel met die bewys kan jy dit dus gebruik as’n
bewys in een van die volgende gedeeltes van die vraag.
a) Gegee E2̂ = x. Bewys dat A BDE ’n koordevierhoek is.
b) As dit verder gegee word dat E F = DF, bewys dan dat A BC ’n raaklyn aan die sirkel is, wat deur die punte B, F en D gaan.
a) E2̂ = D2̂ = x (∠ tussen raaklyn en koord)
D2̂ = A2̂ = x (verw ∠’e AB||FD)
∴ A BDE is ′n koordevierhoek (lynstuk onderspan = ∠’e)
b) E2̂ = D3̂ = x (∠‘e teenoor = sye)
F1̂ = E2̂ + D3̂ = 2x (buite ∠’e van Δ)
A E = A D (raaklyn vanuit dies. punt)
E1̂ + E2̂ = D2̂ + D3̂ = 2x (∠‘e teenoor = sye)
∴ B3̂ = 2x (buite ∠ van kvh)
B3̂ = F1̂
∴ A BC raaklyn aan sirkel (∠ tussen raaklyn en koord)
ALTERNATIEF
F1̂ = B1̂ (verw ∠’e AB||FD)
B1̂ = D2̂ + D3̂ (∠‘e dies. ʘ segm.)
D1̂ = E1̂ (∠‘e dies. ʘ segm.)
E1̂ = D3̂ (∠ tussen raaklyn en koord)
∴ B1̂ = D2̂ + D1̂
∴ A BC raaklyn aan sirkel (∠ tussen raaklyn en koord)
35
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Analitiese Meetkunde
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Wat is Analitiese Meetkunde?
VOORBEELD
Analitiese Meetkunde (Koördinaat Meetkunde):
Toepassing van reguit lyn funksies in samewerking met
Euklidiese meetkunde d.m.v punte op ‘n Cartesiese Vlak
te gebruik.
TERUGBLITS
Gegee: A(−2; 3) en C( p; − 5) is punte op ‘n Cartesiese Vlak.
1. Bepaal die waarde van p as AC = 10 eenhede.
2. Bepaal die vergelyking van lyn AC as C(4; − 5).
3. Bepaal die koördinate van M, die middelpunt van AC.
Reguit lyn ewewydig aan die x-as: m = 0
5
Reguit lyn ewewydig aan die y-as: m = ongedinieerd
4. As B( − 1; ) bepaal A, B en C kolineêr.
3
Reguit Lyn Vergelyking:
5. Bepaal die vergelyking van die lyn loodreg op AC wat deur punt
4. Bewys die punte is kolineêr deur te bewys hulle het ‘n gemeenskaplik
gradiënt.
mAB =
y − y1
Δy
= 2
Δx
x 2 − x1
Oplossing:
1. Skets ‘n rowwe diagram. C het twee potensiële x-koördinate vir
p.
Parallelle lyne:
m1 = m 2
10 =
m1 × m 2 = − 1
(x 2 − x1)2 + (y2 − y1)2
3−
5
3
−2 − (−1)
mAB = −
4
3
−
4
× m2 = − 1
3
0 = p 2 + 4p − 32
m2 =
0 = ( p + 4)( p + 8)
3
4
p = 4 of p = − 8
Kolineêre punte:
2. Vergelyking van lyn vereis dat m en c opgelos moet word.
mAB = mBC OF dAB + dBC = dAC
Δy
Δx
y − y1
= 2
x 2 − x1
y = mx + c
4
(3) = − (−2) + c
3
m =
Kolineêre punte A, B en C lê op dieselfde lyn
mAC
Middelpunt Formule:
x 2 + x1 y2 + y1
;
2
2 )
c =
3 − (−5)
=
−2 − 4
Middelpunt Stelling: Indien twee middelpunte op aangrensende sye van ‘n driehoek verbind word deur ‘n reguit
lyn, sal die lyn, parallel aan en helfte van die afstand
wees van die derde sy van die driehoek.
mBC =
Δy
Δx
5
3
− (−5)
−1 − 4
mBC = −
mAC × m 2 = − 1
100 = p 2 + 4p + 4 + 64
(x 2 − x1)2 + (y2 − y1)2
m =
4
3
5. Vergelyking van lyn vereis dat m 2 en c opgelos moet word.
( p − (−2))2 + (−5 − 3)2
100 = ( p + 2)2 + 64
Afstand:
Δy
Δx
∴ A, B en C is kolineer
d =
Loodregte lyne:
M(x ; y) = (
M(1; − 1)
m =
Gradiënt Formule:
d =
3. Middelpunt Formule
x + x1 y2 + y1
M(x ; y) = ( 2
;
2
2 )
−2 + 4 3 + (−5)
= (
;
)
2
2
B gaan.
y = mx + c
m=
SCIENCE CLINIC 2020 ©
y = mx + c
5
3
( 3 ) = 4 (−1) + c
c =
1
3
∴y =
4
= −
3
∴y = −
4
1
x+
3
3
36
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
29
12
4
29
x+
3
12
Analitiese Meetkunde
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Herlei gradiënt (m) na die inklinasie hoek (θ)
mAB =
Δy
Δx
m> 0
tan−1(m) = θ
y
B
en
tan θ =
Herlei ‘n positiewe gradiënt na ‘n hoek
∴ mAB = tan θ
Given: straight line with the equation
Given: straight
line with
the equation
inklinasiehoek afgrond tot tee desimale plekke.
Determine
the angle
of inclination
co
Gegee: A(−1; − 6) en B(3; 5) is twee punte op ‘n reguit lyn.
Bepaal die inklinasie hoek.
daarom;
θ
A
x
θ
Die inklinasie hoek (θ) word ‘n tussen die lyn en die horisontale vlak
gevorm in ‘n antikloksgewys rigting.
y
Positiewe gradiënt:
m> 0
tan−1(m) = θ
A
11
= θ
4 )
Gegee: C (−5; 3) en D (7; − 2) is twee punte op ‘n reguit lyn.
Bepaal die inklinasie hoek.
Negatiewe gradiënt:
A
m< 0
tan−1(m) = verw ∠
Inklinasiehoek:
θ + verw ∠ = 180∘ (∠‘e op reguit lyn)
Die inklinasiehoek moet bereken word
vanuit die verwysings hoek.
𝐶(−5; 3)
B
𝑥
12
x
verw
Ref ∠
𝐷(7; −2)
θ + verw . ∠ = 180∘
m = tan θ
5
= tan θ
12
5
tan−1( ) = θ
12
∴ verw . ∠ =
- m>0; verw. ∠ = inklinasie hoek
VOORBEELD
Given: straight line with the equation
Given: straight line with the equation
of inclination co
Determine the angle of inclination co
inklinasiehoek afgerond tot twee desimale plekke.
𝑦
𝑦
𝑦
3𝑥 +
𝐵(3; 5)
3𝑥 +
5𝑦 =
3x + 5y = 7
5𝑦 =
- kry in standaard vorm
𝑦=−
5y = − 3x + 7
𝑦=
3
7
x−
5
5
- sien dat m<0
11
5
verw
Ref ∠ θ
- verw. m en los op vir θ
Example 2:
Example 2:
y = −
𝑦
y
Inklinasie
Angle
of
inclination
hoek
𝑚=
4𝑚 =
4= 𝑡
3 =
3
tan−1
tan−
53,13
53,1
the angle
5y = 7. Bepaal
Gegee: Reguit lyn met die vergelyking 3x +Determine
die
Inklinasiehoek:
θ + verw ∠ = 180∘ (∠e op reguit lyn)
θ
- kry in standaard vorm
- sien dat m>0
∴ θ = 53,13∘
m< 0
tan−1(m) = verw ∠
x
3y = 4x − 5
4
5
y =
x−
3
3
Determine the angle of inclination co
𝑦
3𝑦 −
𝑦
3𝑦=−
3𝑦
3𝑦 =
4
𝑦=
𝑦 =3
𝑥
𝑥
4
tan−1( ) = θ
3
70∘
Herlei ‘n negatiewe gradiënt na ‘n hoek
θ
3y − 4x = − 5
m = tan θ
4
= tan θ
3
5 − (−6)
= tan θ
3 − (−1)
∴θ =
B
Angle
of
Inklinasie
inclination
hoek
Die verwysings hoek is gelyk
aan die inklinasiehoek.
m = tan θ
y2 − y1
= tan θ
x 2 − x1
tan−1(
Example 1:
Example 1:
VOORBEELD
Gegee: Reguit lyn met die vergelyking 3y − 4x = − 5. Bepaal die
Die verwysingshoek is gelyk aan die inklinasiehoek.
o Δy
=
a
Δx
GradeSCIENCE
11 Examples:
CLINIC 2020 ©
Grade 11 Examples:
m = tan θ
3
= tan θ
5
- verv. m as positiewe
waarde en los op vir ∠
𝐴(−1; −6)
3
(5) = θ
tan−1
𝑥
4
∴ verw . ∠ = 30,96∘
θ = 180∘ − 22,6∘
= 157,4∘
θ + verw . ∠ = 180∘ - m<0;
θ =
verw. ∠ + θ = 180°
180∘ − 30,96∘
θ = 149,04∘
22,6∘
37
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne,
besoek gerus www.scienceclinic.co.za
𝑦
𝐹(4; 2)
𝑦
𝑥
𝑥
𝑚=
3𝑚 =
3= 𝑡
5 =
5
tan−1
tan−
30,96
30,9
𝜃=1
𝜃=
𝜃=1
𝜃=
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
Bepaal ‘n hoek wat nie ‘n verhouding
VOORBEELD
met die horisontale vlak het
Konstrueer ‘n horisontale vlak, parallel aan die
x-as. Dit stel jou in staat om “som van aangrensende hoeke op ‘n reguit lyn” te gebruik om
sodoende die waarde van die hoek te bereken.
y
Analitiese Meetkunde
vergelyking y + 2x = 10, gaan deur punt B en C. M is die middelpunt van BC. A, B en C is die hoekpunte van
̂ = θ. A en M lê op die x-as.
Δ A BC. M AC
y
Onthou5 om die – teken by negatiewe
𝑥
antwoorde vir
12die gradiënt te voeg.
𝐷(7; −2)
Vrae:
Gegee: E en F (4; 2) is punte op ‘n reguitlyn
B
1. Bepaal die volgende:
a. Die koördinate van
A
K(6;2)
b. Die koördinate van
M.
x
c. Die koördinate van
B.
2. Watter tipe driehoek is
θ
3. As
A
4. As
K(6;2)
x
2y – x = 5
β
3 = t a nα
t a n−1(3)
71,6∘ = α
= α
plekke.
𝑦
𝐹(4; 2)
y + 2x = 10
A(−5; 0) en B(3; 4), wys dat A B = BC (los jou antwoord in eenvoudigste
36,9°
6. As
mKL =
m = t a nβ
5
= t a nβ
8
5
t a n−1
= β
(8)
32∘ = β
= 180∘ − (71,6∘ + 32∘ )
= 76,4∘ (∠ ‘e van ‘n Δ)
𝐸
A BCD ‘n vierkant is, bepaal die koördinate van D.
2y = x + 5
1
5
y =
x+
2
2
x − afsnit : 0 =
1
5
x+
2
2
b. y + 2x + 10
x − afsnit : 0 = − 2x + 10
y = − 2x + 10
2x = 10
x = 5
c.
1
5
x+
= − 2x + 10
2
2
5x = 15
m = tan θ
3. dAB =
∴ M(5; 0)
y = − 2(3) + 10
y = 4
∴ B(3; 4)
(−5 − 3)2 + (0 − 4)2
dBC =
= 4 5
(3 − 7)2 + (4 − (−4))2
= 4 5
∴ A B = BC
0= x+ 5
−5 = x
∴ A(−5; 0)
x + 5 = − 4x + 20
θ = 180∘ − (α + β )
MN te bepaal.
7. Los op vir θ, rond af tot een desimale plek.
5
8
𝑥
C(7; − 4), bepaal die koördinate van N, die middelpunt van AC.
a. 2y − x = 5
L(–2; –3)
m = t a nα
x
C
A BC? Gee ‘n rede vir jou antwoord.
Oplossing:
6
= −3
2
waarde van m, afgerond tot twee desimale
M
θ
5. Gebruik die waarde of enige ander metode om die lengte van
J(–4; 3)
mJL = −
met ‘n inklinasiehoek van 36,9°. Bepaal die
wortelvorm).
y
α θ
Herlei ‘n hoek na ‘n gradiënt toe
𝐶(−5; 3)
Verv. die verw. ∠ in m = tan θ.
Gegee: In die diagram: Reguitlyn met vergelyking 2y − x = 5, gaan deur punt A en B. Reguitlyn met
J(–4; 3)
L(–2; –3)
SCIENCE CLINIC 2020 ©
𝑦
4. N (x ; y) =
N (1; − 2)
(
−5 + 7 0 + (−4)
;
)
2
2
1. Maak ‘n vinnige rowwe skets indien
daar koördinate, sonder ‘n skets,
gegee is.
6. As A BC D ‘n vierkant is, dan is AC die hoeklyn, wat
veroorsaak dat N die middelpunt is vir beide hoeklyne
∴ D (−3; − 8)
Δy
Δx
0 − (−4)
=
−5 − 7
1
= −
3
x = 3
2. A BC is ‘n reghoekige driehoek:
mAD × mBC = − 1
∴ b = 90∘
m = t a nθ
1
= t a nθ
3
1
t a n−1 −
= θ
( 3)
−
θ = 18,4∘
38
m = 0,75
NUTTIGE WENKE:
5. M N = 2 5 (Midpt.-stelling)
7. mAC =
m = tan(36,9∘ )
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
2. Maak altyd y die onderwerp wanneer
reguitlyn formules gegee word.
3. Ken die tipes drie- en vierhoeke. Dit
kom algemeen voor dat jy hul of hul
eienskappe moet bewys.
4. Die inklinasiehoek is ALTYD in
verhouding met die horisontale vlak.
Statistiek
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
VERTEENWOORDIG DATA
ONTHOU
Ongegroepeerde data = diskreet
Gegroepeerde data = deurlopend
Diskrete data: Data wat getel kan word, bv. die
aantal mense.
NB: Rangskik data altyd in toemende volgorde
Deurlopende data: kwantitatiewe data wat gemeet
word, vb. temperatuur reeks.
Maatstawwe van sentrale neiging: ‘n Beskrywende opsomming van ‘n datastel d.m.v. ‘n enkele
waarde wat die verspreiding van data sal voorstel.
SCIENCE CLINIC 2020 ©
FREKWENSIETABEL
Punte
Telling
STINGEL-EN-BLAAR DIAGRAM
Frekwensie
Stingel
STAAFGRAFIEK
HISTOGRAM
Blaar
7
Maatstawwe van verspreiding: Die verspreiding
van ‘n datastel is die hoeveelheid variasie wat mens
in die stel data sien.
4
||
2
0
1, 1, 2, 2, 3, 4
6
5
||
2
1
0, 0, 0, 1, 1, 1
5
Kumulatiewe frekwensie: Die kumulatiewe frekwensie word bereken van die frekwensietabel af deur
elke frekwensiewaarde by die totaal van die voorafgaande frekwensiewaardes in die datastel te tel.
6
||||
4
2
5, 5, 7, 7, 8, 8
7
||||
5
3
0, 1, 1, 1, 2, 2
8
||||
4
4
0, 4, 8, 9
9
||
2
5
2, 6, 7, 7, 8
10
|
1
6
3, 6
Variansie: is ’n aanduiding van hoe ver elke waarde
in die datastel van die gemiddelde waarde. ‘n Klein
variansie word gegee deur ‘n klein mate van verandering.
Standaard afwyking: Die hoeveelheid waarmee ‘n
data waarde of interval afwyk van die gemiddelde
van die datastel.
Tweeveranderlike: Data met twee veranderlikes
Interpolasie: Die voorspel van ‘n waarde tussen
twee bekende waardes van reeks van getalle.
Ekstrapolasie: Die voorspel van ‘n waarde deur die
reeks van waarde te verleng of feite buite die
definitiewe waarde.
1
0
6
4
2
0
[0–3]
[3–6]
[6–9]
[9–12]
[12–15]
Punt
80
60
variasiewydte = maks waarde − min waarde
20
0
Nota: Variasiewydte word baie
IKV = Q 3 − Q1
Nota: sterk 50% van die datastel
beïnvloed deur uitskieters
3
6
9
12
15
Punt
Semi-Interkwartielvariasiewydte
1
semi − IKV =
(Q3 − Q1)
2
Nota: Goeie maatstaf van verspreiding
vir data wat asimmetries versprei is.
39
20~30
30~40
Persentiel
Dui die persentasie van data aan wat
onder ‘n sekere persentiel val.
Q1= 25ste persentiel
Q2= 50ste persentiel
Q3= 75ste persentiel
40
Interkwartielvariasiewydte
10~20
Kwartiele
Die drie kwartiele verdeel die data in vier
kwarte.
Q1 = Onderste kwartiel of eerste kwartiel
Q2 = Tweede kwartiel of mediaan
Q3 = Boonste kwartiel of derde kwartiele
MAATSTAWWE VAN VERSPREIDING
Variasiewydte
0~10
AANWYSERS VAN POSISIE
100
Kumulatiewe frekwensie
Eenveranderlike: Data met slegs een veranderlike
2
OGIEWE
8
Frekwensie
Veroorsaking: Die aksie wat iets veroorsaak
3
FREKWENSIEVEELHOEK
Uitskieter: Enige data waarde wat meer as 1, 5 v.d.
IKV na links van Q1 of na regs van Q3 is, m.a.w.
Uitskieter < Q1 – (1,5×IKV) of
Uitskieter > Q3 + (1,5×IKV)
4
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Alle ander persentiele kan verkry word
deur die formule:
i=
p
(n)
100
waar;
i = die posisie van die persentiel p
p = die waarde van die posiesie i
Statistiek
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
MAATSTAWWE VIR SENTRALE NEIGING
VIR ONGEGROEPEERDE DATA
Gemiddelde
som van al diewaardes
x̄ =
totale aantal waardes
Σx
x̄ =
n
waar;
x̄ = gemiddelde
Σx = som van al die waardes
n = aantal waardes
Modus
Dies modus is die waarde, in ‘n datastel, wat die meeste
voorkom.
Bimodale: ‘n datastel met twee modusse
Trimodal: ‘n datastel met drie modusse
Mediaan
MAATSTAWWE VAN VERSPREIDING RONDOM DIE GEMIDDELDE
Variansie
Variansie meet die veranderlikheid van die gemiddelde.
Die variansie van ‘n bevolking word bereken deur:
1.Bereken die gemiddelde.
2. Trek die gemiddelde af van elke datawaardes en dan word die resultaat gekwadreer. Die resultate word gekwadreer om negatiewe
waardes positief te maak. Anders sal negatiewe waardes positiewe
waardes, in die volgende stap, mekaar uitkanselleer. Dis die aftand
vanaf die gemiddelde, positiewe of negatiewe waardes is irrelevant .
3. Bepaal die gemiddeld van die gekwadreerde verskille
1
(n+ 1)
2
Waar;
n = aantal waardes
As n = ewe getal, is die mediaan deel van die datastel
As n = onewe getal, is die mediaan die gemiddeld tussen die
twee middelste nommers.
VYF GETAL OPSOMMING
1.
2.
3.
4.
5.
Frekwensie
(f )
Interval
(x − x̄ )2
f (x − x̄ )2
3 × 5 = 15
(5 − 15,71)2 = 114,7
3(114,7) = 344,11
7 × 15 = 105
(15 − 15,71)2 = 0,5
7(0,5) = 3,53
(25 − 15,71)2 = 88,3
4(88,3) = 354,22
( f × x)
10 ≤ x ≤ 20
7
20 ≤ x ≤ 30
4
30 + 20
= 25
2
4 × 25 = 100
totaal :
14
14
220
40
50
60
220
14
Σf(x − x)2 = 692, 86
σ =
Shift: Setup screendown. 3: STAT
Frekwensie? 1: ON
=
2: OFF
Gegroepeerde data
Σ f (x − x )2
n
692,86
14
SAKREKENAAR STAPPE:
Mode 2: STAT 1: VAR
Standaard afwyking:
= 7,03
30
som van al diewaardes
totale aantalwaardes
= 15,71
te
Bo
on
s
n
Bo
on
s
ed
ia
a
M
te
kw
ar
ui
te
rs
te
tie
l
tie
l
kw
ar
te
Middelpunt
boonste klas grens + onderste klas grens
x =
2
10 + 0
= 5
2
20 + 10
= 15
15
3
=
te
ui
te
rs
de
rs
te
On
de
rs
On
waar;
n = aantal waardes
x = middelpunt
x̄ = geskatte gemiddelde
0 ≤ x ≤ 10
gemiddelde(x ) =
MOND EN SNOR DIAGRAM
‘n Mond-en-snor diagram is ‘n visuele verteenwoordiging
van vyf getal opsomings.
20
Σ f (x − x̄ )2
n
σ =
Gemiddelde:
Minimum waarde
Onderste kwartiel Q1
Mediaan
Boonste kwartiel Q3
Maksimum waarde
10
Standaard afwyking
Standaard afwyking is die hoeveelheid waarmee ‘n data waarde of interval verskil van die gemiddelde van ‘n data stel.
VOORBEELD:
Deurlopende data is gegroepeer in intervalle wat bestaan uit ‘n hoër klas grens (maksimum waarde)en laer klas grens (minimum waarde).
Die mediaan is die middelste nommer in ‘n stel data punte
posisie van die mediaan =
SCIENCE CLINIC 2020 ©
Gee data (x = mid pt)
AC
’n Klein standaardafwyking dui aan dat die data waardes naby
aan die gemiddeld gegroepeer is, ’n groot standaardafwyking
dui aan dat die data waardes ver van die gemiddeld is.
40
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
Shift
4: VAR
2: x̄ (mean)
3: σ x (std deviation)
Statistiek
Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte
MAATSTAWWE VIR SENTRALE NEIGING VIR ONGEGROEPEERDE DATA
Geskatte gemiddelde
som van al diefrekwensies × gemiddelde waarde
(x ) =
totale frekwensie
SCIENCE CLINIC 2020 ©
VOORBEELD:
Stap 1: Bepaal die kumulatiewe frekwensie vanuit die frekwensietabel.
Ons doen ‘n opname oor die ouderdomme van mense wat ‘n winkel besoek, 80 mense neem aan die opnamme deel.
Interval
Σf ⋅ x
x̄ =
n
waar;
x̄ = geskatte gemiddeld
n = aantal waardes
Frekwensie
Kumulatiewe Frekwensie
Interpretasie
Grafiek Punte
0 ≤
x < 15
0
0
0 deelnemers is onder 15.
(15;0)
15 ≤
x < 30
14
0 + 14 = 14
14 mense is jonger as 30.
(30;14)
30 ≤
x < 45
22
14 + 22 = 36
36 mense is jonger as 45.
(45;36)
45 ≤
x < 60
30
36 + 30 = 66
66 mense is jonger as 60.
(60;66)
60 ≤
x < 75
14
66+ 14 = 80
Alle deelnemers was jonger as 75.
(75;80)
Stap 2: Verteenwoordig die informasie op ‘n kumulatiewe frekwensie/ogief kurwe
Modale interval
100
Die modale interval is die interval wat die grootste
f
hoeveelheid data punte.
80
Kum. Frek
Mediaan interval
Die mediaan interval is die interval, in ‘n data stel,
wat die middelste waarde bevat.
Koördinate (x;y)
Die grafiek is ‘n
S-vormig.
90
Die x-koördinate verteenwoordig die boonste grens van die interval.
y-koördinate verteenwoordig die kumulatiewe frekwensie.
70
60
Interpretasie van die grafiek:
Mediaan
Daar is ‘n ewe getal data waardes in ons stel van (80). Dus, lê die mediaan tussen die twee middel waardes. Die mediaan lê halfpad tussen 40ste en 41ste waarde. Bepaal die waarde op die
y-as en trek ‘n lyn van dié punt om sodoende die waarde te bepaal op die x-as.
!#
50
40
M
30
20
10
x
f
15
90
30
Q1 = 34
M = 48
Q3 = 58
90ste persentiel = 66
80
70
60
45
60
100Persentiele
f
75
Ouderdom
40
Simmetries
50
40
Skeefgetrekte data
30
30
Asimmetriese
data is data wat meer na die een, of die ander kant verspreid
is.
40
10
x
15
75
30
45
60
75
Skeef na links: skeef na links as die stert langer aan die linkerkant is.
41
10
x
modus
60
mediaan
45
gemiddelde
30
20
20
Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za
x
15
mediaan
10
30
45
60
75
gemiddelde
30
Simmetriese data het ‘n gebalanseerde
vorm, met ‘n gemiddelde, mediaan
en modus naby aan mekaargether.
20
15
f
60
60
50
SIMMETRIESE EN ASIMMETRIES
DATA
50
gemiddelde = mediaam
= modus
100
Die mediaan en die kwartiele verdeel die datastel in 50% en 90
25% onderskeidelik, sou jy ‘n
ander persentiel moes bereken, kan jy dit van die grafiek af kees of uitwerk.
80
80Berekening van die 90ste persentiel: 0,9 × 80 = 72
70So 90% van die data is onder die 72ste waarde wat in die laaste 70
interval sal wes.
90
modus
100
Kwartiele
Gebruik dieselfde metode om die mediaan te bepaal, vir die bepaal van die boonste- en onderste kwartiele.
!"
Skeef na regs: skeef na regs as die stert langer aan die regterkart is.