Graad 11 Wiskunde Kernconcepten Samenvatting

WISKUNDE KERKONSEPTE G R A A D 11 Kennisgewing van kopiereg: Die teorie-opsommings in hierdie Smart Prep Boekie is die oorspronklike werk van Science Clinic (Pty) Ltd. Die materiaal mag versprei word, mits die volgende vereistes nagekom word: • As die boekie elektronies of in gedrukte vorm gekopieer of versprei word, moet hierdie kopieregkennisgewing behoue bly. • As die opsommings en/of vrae in die boek gebruik word, moet die bron erken word. • Hierdie Smart Prep Boekie is geskep ter voordeel van die gemeenskap en mag nie deur enige ander persoon of entiteit gebruik of versprei word vir kommersiële doeleindes nie. • Die teorie-opsommings in hierdie boekie mag nie aangepas word en onder ‘n nuwe lisensie versprei word nie. Volledige terme vir die gebruik van die materiaal is op die volgende skakel beskikbaar: www.scienceclinic.co.za/terms-book-usage/ Erkenning van inhoud: Baie dankie aan diegene wat betrokke was by die produksie, moderasie en vertaling van hierdie boek: S Bouwer, E Britz, G Kyle, D Kotze, Q Meades, S Sapsford, S Stevens, G Swanepoel, GM van Onselen, L Vosloo www .scienceclinic.co.za facebook.com/scienceclinicsa Science Clinic (Pty) Ltd © 2020 INHOUDSOPGAWE OPSOMMINGS VAN KERNKONSEPTE Vraestel 1 Aard van Wortels Kwadratiese Vergelykings Funksies en Grafieke Eksponente en Wortels Getalpatrone Finansies Waarskynlikheid 2 5 6 11 15 18 21 Vraestel 2 Trigonometrie Euklidiese Meetkunde Analitiese Meetkunde Statistiek www 24 30 36 39 www Aard van Wortels Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte GETALLE Nie-reëel (R’) (word somtyds na verwys as denkbeeldige getalle) SCIENCE CLINIC 2020 © AARD: Verwys na die tipe getalle wat die wortels is. WORTELS: Die x-afsnitte/oplossings/nulpunte van die kwadratiese vergelyking. Twee reële wortels Reëel (R) Rasionaal (Q) Heelgetalle en breuke Heelgetalle (Z) Positiewe en negatiewe heelgetalle y Irrasionaal (Q’) Natuurlike getalle (N) 1, 2, 3... y VOORBEELD: π x Alle desimale getalle wat nie as ‘n breuk geskryf kan word nie. OF x OF y x= −b ± b 2 − 4ac 2a a = die koëffisient van x2 b = die koëffisient van x c = die konstante term Dit word gebruik om kwadratiese vergelykings te faktoriseer. OF 3x 2 + 2x − 4 = 0 a = 3 b = 2 c = −4 x = x = −b ± b 2 − 4ac 2a −(2) ± (2) 2 − 4(3)(− 4) y x x DIE DISKRIMINANT x= −b ± b 2 − 4ac 2a BEPALING VAN DIE AARD VAN WORTELS aangedui deur Δ . Die DISKRIMINANT word gebruik om die aard van wortels te bepaal. 2 ∴ Δ = b − 4ac Δ VOORBEELD: VOORBEELD: x y x KWADRATIESE FORMULE Geen reële wortels y 2 Heelgetalle (N0) 0+N Een reële wortel Δ<0 Nie-reële wortels 3x 2 + 2x − 4 = 0 a = 3 b = 2 c = −4 Δ≥0 Reële wortels Δ>0 2 ongelyke wortels Δ = b 2 − 4a c Δ = (2)2 − 4(3)(−4) Bepaal die waarde van Δ Δ = volkome vierkant rasionale wortels 2(3) Los op vir x 2 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Δ=0 2 gelyke, reële wortels Δ ≠ volkome vierkant irrasionale wortels Aard van Wortels Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte DISKRIMINANT (∆ = b2 - 4ac) VOORBEELDE AARD VAN WORTELS SCIENCE CLINIC 2020 © b2 - 4 a c AANTAL REËLE WORTELS a>0 a<0 y y x2 + x + 1 = 0 a b c Δ= = = = Δ< b2 – 4ac (1)2 – 4(1)(1) 1–4 –3 0 x Nie-reëel 0 x y y x2 – 6x + 9 = 0 a b c x2 – 5x – 6 = 0 a b c Δ= = = = Δ= b2 – 4ac (–6)2 – 4(1)(9) 36 – 36 0 0 Reëel (Δ = +) Rasionaal (Δ = volkome vierkant) Gelyk (Δ = 0) 1 (2 van dieselfde) Δ= = = = Δ> b2 – 4ac (–5)2 – 4(1)(–6) 25 + 24 49 0 (volkome vierkant) Reëel (Δ = +) Rasionaal (Δ = volkome vierkant) Ongelyk (Δ ≠ 0) 2 x x y y x 2x2 + 3x – 7 = 0 a b c Δ = b2 – 4ac = (3)2 – 4(2)(–7) = 9 + 56 = 65 Δ > 0 (nie volkome vierkant) x Reëel (Δ = +) Irrasionaal (Δ ≠ volkome vierkant) Ongelyk (Δ ≠ 0) 2 3 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Aard van Wortels Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © BEPALING VAN DIE AARD VAN DIE WORTELS SONDER OM DIE VERGELYKING OP TE LOS VIR WATTER WAARDES VAN k SAL BEWYS DIE AARD VAN DIE WORTELS DIE VERGELYKING GELYKE Die aard van die wortels sal gegee word en die diskriminant kan gebruik word om die aard, met óf een óf geen WORTELS HÊ? onbekende waardes te bewys, Die aard van die wortels van ‘n vergelyking kan bepaal word deur die waarde van die diskriminant (Δ) te bereken. Die diskriminant (Δ) kan gebruik word om die onbekende waarde van k te bepaal. (bv vra jouself, vir watter waardes van k sal die diskriminant nul wees?) Stappe om die wortels te bepaal deur die diskriminant te gebruik: 1. Skryf die vergelyking in die standaardvorm 2. Vervang die korrekte waardes en bereken die diskriminant 3. Bepaal die aard van die wortels van die vergelyking VOORBEELD: Stappe om die waardes van k te bepaal deur die diskriminant te gebruik: 1. Skryf die vergelyking in die standaardvorm 2. Vervang die korrekte waardes en bereken die diskriminant 3. Stel die diskriminant gelyk aan 0 en los k op (kwadratiese vergelyking). VOORBEELD: x2 = 2x +1 x2 – 2x – 1 = 0 a b Vir watter waardes van k sal die vergelyking (x2 + 2kx = –4x – 9k) gelyke wortels hê? Δ Δ Δ Δ = = = = ONTHOU: Δ = 0 vir gelyke wortels 1. Standaardvorm x2 + 2kx = –4x – 9k x2 + 2kx + 4x + 9k = 0 c 2. Bereken die diskriminant b2 – 4ac (–2)2 – 4(1)(–1) 4+4 8 3. Bepaal die aard van die wortels Die wortels is: Reëel (Δ > 0) Ongelyk (Δ ≠ 0) Irrasionaal (Δ ≠ volkome vierkant) 1. Skryf die vergelyking in standaardvorm 2. Vervang die korrekte waardes en bereken die waarde van die diskriminant 3. Bepaal die wortels en toets of dit is wat gegee is a b c 2. Bereken die diskriminant Δ Δ Δ Δ = = = = b2 – 4ac (2k + 4)2 – 4(1)(9k) 4k2 +16k +16 – 36k 4k2 – 20k + 16 Stappe om die aard van die wortels te bewys (EEN onbekende): 1. Skryf die vergelyking in standard vorm 2. Vervang die korekte waardes en bereken die waarde van die diskriminant 3. Bepaal die wortels en toets of dit is wat gegee is VOORBEELD: VOORBEELD: Bewys dat die vergelyking twee ongelyke, irrasionale wortels het: x2 = 2x + 9 Bewys dat die wortels van die vergelyking x(6x – 7m) = 5m2, reëel, rasionaal en ongelyk is as m>0 1. Standaardvorm 1. Standaardvorm 2 Bepaal die aard van die wortels vir x2 = 2x + 1 sonder om die vergelyking op te los. 1. Standaardvorm Stappe om die aard van die wortels (GEEN onbekende) te bewys. x – 2x – 9 = 0 a b c 2. Bereken die diskriminant Δ Δ Δ Δ = = = = 6x2 – 7mx – 5m2 = 0 2 b – 4ac (–2)2 – 4(1)(–9) 4 + 36 40 a b c 2. Bereken die diskriminant Δ Δ Δ Δ = = = = b2 – 4ac (–7m)2 – 4(6)(– 5m2) 49m2 + 120m2 169m2 3. Bepaal die aard van die wortels 3. Bepaal die aard van die wortels Die wortels is: Reëel (Δ > 0) Ongelyk (Δ ≠ 0) Irrasionaal (Δ ≠ volkome vierkant) Die wortels is: Reëel (Δ > 0) Ongelyk (Δ ≠ 0) Rasionaal (Δ = volkome vierkant) 3. Stel gelyk aan nul (0) en los k op. 0 = 4k2 – 20k + 16 (÷ 4) 0 = k2 – 5k + 4 0 = (k – 1)(k – 4) dus k = 1 of k = 4 k moet 1 of 4 wees om te verseker dat die diskriminant van die vergelyking nul (0) sal wees (die diskriminant moet nul wees om gelyke wortels te verseker). 4 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Kwadratiese Vergelykings Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © Kwadratiese vergelykings is vergelykings van die tweede graad (d.w.s. die hoogste eksponent van die veranderlike is 2). Die graad van die vergelyking bepaal die maksimum aantal reële wortels/oplossings/ nulpunte. Die standaardvorm van ‘n kwadratiese vergelyking is: a x 2 + bx + c = 0 wa ar a ≠ 0 OPLOS VAN KWADRATIESE VERGELYKINGS FAKTORISERING 1. Skryf in standaardvorm 2. Pas die nul-faktor wet toe 3. Lys die moontlike oplossings Bv. x2 = –2x + 63 x2 + 2x – 63 = 0 Bepaal faktore van 63 sodat F1 x F2 = –63 en F1 + F2 = 2 KWADRATIESE FORMULE VERSKIL VAN VOLKOME VIERKANTE Vervang in die kwadratiese formule: 1. 2. 3. 4. Skryf in standaardvorm Skuif c na die oorkant Deel beide kante deur a Plus (½ x b)2 aan beide kante 5. Faktoriseer en los op b 2 − 4a c 2a −b ± x = waar a = koëffisiënt van x2, b = koëffisiënt van x, c = konstante term Bv. –3x2 = –12 + 7x –3x2 – 7x + 12 = 0 a = –3; b = –7; c = 12 x = 7± x = x = 2 2(−3) x = (x + 9)(x – 7) = 0 x + 9 = 0 of x – 7 = 0 x = –9 x=7 Enige metode kan gebruik word. (−7) 2 − 4(−3)(12) −(−7) ± 7+ 193 −6 49 + 144 Bv. x = 25 x2 – 25 = 0 (x – 5)(x + 5) = 0 x = 5 or x = –5 193 x = x = ±5 25 (x + 1)2 = ± x + 1= ± 7− x = −1− 193 2 TWEE WORTELS of 2 2 x + 1= x = −1+ Bv. –9 en 7 is die wortels van ‘n kwadratiese vergelyking (5)2 + (5)m – 15 = 0 25 + 5m – 15 = 0 5m = –10 m = –2 2 2 2 x = –9 of x+9=0 x=7 x–7=0 (x + 9)(x – 7) = 0 x2 – 7x + 9x – 63 = 0 x2 + 2x – 63 = 0 x2 – 2x – 15 = 0 (x – 5)(x + 3) = 0 x=5 of x = –3 (gegee) Bv. x = x −1 3 − 2 −2 x x−2 x = x −1 3 + x −2 2 x−2 KGV: (x − 2)(x − 3) Beperkings: x − 2 ≠ 0; x − 3 ≠ 0 x(x − 2)(x − 3) (x − 2) = 1(x − 2)(x − 3) (x − 3) + 2(x − 2)(x − 3) (x − 2) x(x – 3) = 1(x – 2) + 2(x – 3) x2 – 3x = x – 2 + 2x – 6 x2 – 3x – x – 2x + 2 + 6 = 0 x2 – 6x + 8 = 0 (x – 4)(x – 2) = 0 x–4=0 or x–2=0 x=4 x=2 Toets geldigheid: x ≠ 2, x ≠ 3 Dus, x = 4 is die enigste oplossing. −6 Antwoord in wortelvorm of kan bereken word/afgerond tot 2 desimale plekke x = –3,48 OF x = 1,15 ALGEMENE STAPPE OM KWADRATIESE VERGELYKINGS OP TE LOS: Onthou: * LK = Linkerkant * RK = Regterkant * Breuke en hulle beperkinge Som Kry faktore: * Faktor 1 + Faktor 2 = b BREUKE EN BEPERKINGE 1. Bepaal KGV en die beperkings 1. Vervang die wortels in die 2. Los op vir x 3. Toets jou antwoorde t.o.v. beperkings vergelyking ONTHOU: 2. Gebruik “EBBL” vir die kwadratiese vergelyking 0 x = 0 MAAR = ongedefinieerd x 0 Bv. x2 + mx – 15 = 0, waar 5 ‘n wortel is. x 2 + 2x + 1 = 1 + 1 x + 1= − −6 of x2 = ± EEN WORTEL 1. Vervang die onbekende wortel 2. Los die veranderlike op 3. Vervang die waarde en los die wortel op Bv. x2 + 2x = 1 (½ . 2)2 = (1) Dus x = ±5 −6 7± VOLTOOI DIE VIERKANT * Faktor 1 x Faktor 2 = c Nul-faktor wet: As A x B = 0 dan is A, B of beide = 0 Voorbeeld: Tweeterm 1. Standaardvorm 2 volkome vierkante Verskil 2. Faktoriseer die grootste algemene faktore uit Drieterm x.y=0 x = 0 of y = 0 of (x + 1)(x – 3) = 0 x + 1 = 0 of x – 3 = 0 Faktoriseer Faktoriseer Kwadratiese formule Voltooi die vierkant 5 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Kan nie faktoriseer nie Funksies en Grafieke Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte Hiperbole TERUGFLITS: Hersiening van Gr 10 Funksies Geen gradiënt Reguitlyn grafieke y = mx + c Gradiënt: 1) y= y y-afsnit a y = + q x x Ongedefinieerde gradiënt x=2 3) ⊥ lyne m1 × m 2 = − 1 y a y = + q x y • Vorm: a > 0 ∴ a < 0; q > 0 y=q y=q x x x x y = mx + c a + q x y = m < 0; c > 0 m > 0; c > 0 a > 0; q < 0 x x m > 0; c < 0 y y=q y=q x x x -2 -1 y 1 0 0 ε • Asimptote x = −1 y = 2 a>0 ‘b’ bepaal die vorm of a<0 VOORBEELD: Skets die grafiek van: f (x) = x 2 − 4 VOORBEELD: Skets die grafiek van: f (x) = 2x 2 • Vorm: a > 0 ∴ • Vorm: a > 0 ∴ • x-afsnit (y = 0) • Gebruik ‘n tabel (Op jou sakrekenaar) -2 -1 0 1 2 y 8 2 0 2 8 y ± (-2;0) (2;0) • y-afsnit (x = 0) (0;-4) x y=q (-1;2) 0 = 2x − 1 • Asimptoot (y = q) x y=q x x yy = = qq x y=q (1;2) x y = −4 6 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za y y = −1 0= x • y-afsnit (x = 0) y = 20 − 1 (2;8) x 4= x x = − 2 OF x = 2 (-2;8) y y y y 4 = x2 y x • x-afsnit (y = 0) 1 = 2x y = + a . b x − q; b > 1 y = + a . b x − q; 0 < b < 1 y = − a . b x − q; b > 1 y = − a . b x − q; 0 < b < 1 x 0 = x2 − 4 y • Vorm: a > 0 ∴ 20 = 2 x y=q Opsie 2: Los op vir x x x x y y x y=q y=q y=q y=q x VOORBEELD: Skets die grafiek van: f (x) = 2x − 1 y x x x = − 2 OF x = 2 y=q x (-1;0) y y y y=q Opsie 1: Faktoriseer 0 = (x + 2)(x − 2) q = asimptoot y = + a . b x + q; b > 1 y = + a . b x + q; 0 < b < 1 y = − a . b x + q; b > 1 y = − a . b x + q; 0 < b < 1 y 0 = x2 − 4 y = a (b x ) + q 3 y=2 (-2;1) Eksponensiële Grafiek y = bx + q OF 4 (1;4) (2;3) m < 0; c < 0 Parabole (Kwadratiese funksies) y = a x2 + q y-afsnit 2 y geen y-afnsit y = mx + c 1 NOTA: Begin deur die asimptote te skets x = 0 • y-afsnit (x = 0) 2 y = → ongedefinieerd 0 a < 0; q < 0 y y = mx + c a + q x y = y • Gebruik ‘n tabel en plot minstens 2 ander punte Asimptoot! −2x = 2 y = mx + c y x • x-afsnit (y = 0) 2 0= + 2 x 2 −2 = x y y x 2 + 2 x Skets die grafiek van: f (x) = y a > 0; q > 0 y 2) ∥ lyne m1 = m 2 VOORBEELD q = asimptoot ‘a’ bepaal die vorm y=2 y2 − y1 x 2 − x1 a + q x SCIENCE CLINIC 2020 © y y = 0 (0;0) x y = -1 Funksies en Grafieke Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © Graad 11 Funksies: Kwadratiese Funksies 2 y = a(x − p) + q Vorm: Horisontale skuif: Vertikale skuif: • a>0 • x-waarde van draaipunt • y-waarde van draaipunt • a<0 • Simmetrie-as Stappe vir die skets van y = a x 2 + b x + c Bepaal die vergelyking in die vorm y = a (x − p)2 + q Bepaal die vergelyking in die vorm y = a x 2 + b x + c 1. Bepaal die vorm (‘a’) Wanneer die draaipunt en ander punt gegee is 2. Vervang die ander punt in die vergelyking om ‘a’ te bepaal 2. Vervang die ander punt in die vergelyking om ‘a’ te bepaal 4. Plot die punte en skets die grafiek 3. Bepaal die vergelyking van die grafiek 3. Skryf/vereenvoudig jou finale antwoord VOORBEELD 1: Bepaal die vergelyking van die grafiek: VOORBEELD 2: Bepaal die vergelyking van die grafiek: • Vorm: a > 0 ∴ 2. Bereken die x- en y-afsnitte • x-afsnit (y = 0) 3. Bepaal die draaipunt Opsie 1: 0 = x 2 − 4x + 3 0 = (x − 3)(x − 1) VOORBEELD 1: Skets f (x) = (x + 1)2 − 9 x = 3 OF x = 1 Opsie 2: x = y x = • x-afsnit (y = 0) 0 = (x + 1)2 − 9 9 = (x + 1)2 ± (-4;0) (2;0) x 9= x+ 1 2 = x OF − 4 = x • y-afsnit (x = 0) y = (0 + 1)2 − 9 (−1; − 9) • Simmetrie-as x = −1 • Definisieversameling x ∈R • Waardeversameling −(−4) ± x = (1;0) b 2 − 4a c 2a 4± 2 2 (-1;-9) Onthou: (x − (−1))2 − 9 (x − p)2 + q NOTA: f (x) = x 2 → skuif 1 eenheid links → skuif 9 eenhede afwaarts • Draaipunt (p;q) x = 1 OF x = 3 Formule: y = a (x − x1)(x − x 2 ) y = a (x − 1)2 − 9 y = a (x − 1)(x − 3) (−1; 0) 0= a (−1 − 1)2 − 9 9 = 4a 9 a = 4 • Vergelyking 9 y = (x − 1)2 − 9 4 (0;3) • Waardeversameling y ≥ −1 x p = 1 en q = − 9 • Ander punt • Definisieversameling x ∈R (3;0) • x-afsnitte 2(1) x = 3 OF x = 1 • Simmetrie-as x = 2 (1;0) (1;-9) (−4)2 − 4(1)(3) • Draaipunt (p;q) −b −(−4) 1) x-waarde van DP = = 2a 2(1) x = 2 2) Vervang x in oorsp. vgl: y = (2)2 − 4(2) + 3 y = −1 y DP (2; − 1) (0;–8) (0;8) y = −8 • Draaipunt (p;q) −b ± (0;3) x (-1;0) • y-afsnit (x = 0) y = 3 + 3 = x + 1 OF − 3 = x + 1 y y 4. Plot die punte en skets die grafiek • Vorm: a > 0 ∴ 1. Vervang die x-afsnit in y = a (x − x1)(x − x 2 ) 1. Vervang die draaipunt in y = a (x 1. Bepaal die vorm van (‘a’) + q Wanneer die x-afsnitte en ander punt gegee is 2. Bereken die x- en y-afsnitte −b 3. Bepaal die draaipunt ( ) 2a VOORBEELD 2: Skets f (x) = x 2 − 4x + 3 Stappe vir die skets van y = a (x − p)2 + q − p)2 (3;0) • Ander punt (0; 3) 3 = a (−1)(−3) 1= a • Vergelyking y = 1(x − 1)(x − 3) y = x 2 − 4x + 3 NOTA: Indien jy die vergelyking in die vorm van y = a (x − p)2 + q moet skryf, voltooi die vierkant (1;0) (2;-1) y = (x − 2)2 + 3 − 4 y ≥ −9 y = (x − 2)2 − 1 7 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Funksies en Grafieke Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © Eksponensiële Grafiek y = ab x−p Hiperbool Bepaal die vergelying in die vorm van y = + q a b x−p + q Wanneer die asimptoot en ander punt gegee is Vorm: Vertikale skyf: y • asimptoot x • b>1 1. Vervang die asimptoot in die vergelyking Vorm: 2. Vervang die ander punt y • 0<b<1 • a<0 VOORBEELD 2: Bepaal die vergelyking van die gegewe grafiek: y = b x+ 1 + q : Stappe vir die skets van y = a b x−p + q 1. Bepaal die asimptoot (‘q’) x Vertikale skuif: • asimptoot • asimptoot y a + q x −p y 1. Bepaal die asimptote (y = ‘q’ en x = ‘p’) 2. Bepaal die vorm (‘a’) 3. Kry die x- en y- afsnitte 4. Plot punte (minstens 2 ander) en skets die grafiek (-3;2) x y = -2 Skets f (x) = 0= y • Asimptoot −1 = 2 x+ 1 • Vorm: a < 0 ∴ y = b x+ 1 − 2 • x-afsnit (y = 0) −1 0= −1 x −2 −1 1= x −2 2 = b −3+ 1 − 2 • y-afsnit (x = 0) y = 20+ 1 + 1 y = 3 y • Definisieversameling x ∈R y> 1 q = −2 (−3; 2) ∴ geen x-afsnit • Waardeversameling y = −1 • Ander punt Nie moontlik om vir x op te los nie (1;5) (-1;2) (0;3) y=1 x 4 = b −2 1 4= b2 1 b2 = 4 1 b = ± 2 1 b = + 2 x y = 1 en x = − 1 a f (x) = + 1 x − (−1) a f (x) = + 1 x+ 1 y x • Ander punt (2; 0) a + 1 2+ 1 a −1 = 3 0= x −2 = −1 x = 1 • y-afsnit (x = 0) −1 y = −1 −2 1 y = − 2 1 b ≠− 2 • Definisieversameling • Vergelyking 1 y = ( ) x+ 1 − 2 2 −3 = a y • Vergelyking f (x) = (1;0) (0;-½) (3;-2) x ∈ R; x ≠ 2 • Waardeversameling x=2 y ∈ R; y ≠ − 1 8 x = -1 • Asimptote x = 2 x 1 (2;0) −1 −1 x −2 • Asimptote • x-afsnit (y = 0) 2 x+ 1 + y=1 VOORBEELD 1: • Asimptoot • Vorm: a > 0 ∴ 2. Vervang die ander punt in die vergelyking en los ‘a’ op VOORBEELD 2: Bepaal die vergelyking van die grafiek: 4. Plot punte (minstens 2 ander) en skets die grafiek y = 1 1. Vervang die asimptote in die vergelyking 3. Skryf/Vereenvoudig jou finale vergelyking x 3. Kry die x- en y- afsnitte VOORBEELD 1: Skets f (x) = 2x+ 1 + 1 a + q x −p Wanneer die asimptote en ander punt gegee is Horisontale skuif: Stappe vir die skets van y = y 2. Bepaal die vorm (‘a’) y • a>0 3. Skryf/vereenvoudig jou finale vergelyking x Bepaal die vergelyking in die vorm van y = a y= + q x −p Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za x y = -1 −3 + 1 x+ 1 Simmetrie-asse: Gebruik die snypunt van y = x+ c (−1; 1) 1= −1+ c 2= c y = x+ 2 die y = 1= 0= y = asimptote. (-1;1) −x + c (−1; 1) 1+ c c −x Funksies en Grafieke Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © Interpretasie Van Grafieke AFSTAND NOTASIE A Stappe om VERTIKALE AFSTAND te bepaal 1. Bepaal die vertikale afstand B Vertikale afstand = boonste grafiek – (onderste grafiek) 2. Vervang die gegewe x-waarde om jou antwoord af te lei Stappe om HORISONTALE AFSTAND te bepaal 1. Kry die x−waardes wat van toepassing is. A 2. A B = xB − xA (grootste − kleinste) VOORBEELD 1: f (x) = a x 2 + bx + c en g (x) = k x is geskets. D is die draaipunt van f(x) met die simmetrie-as by x=2. • f (x) > 0 (bokant die lyn y = 0) y AB = 6 eenhede. (-2;9) x x Stappe om MAKSIMUM AFSTAND te bepaal 1. Bepaal die vertikale afstand Vertikale afstand = boonste grafiek – onderste grafiek A 2. Voltooi die vierkant y = a (x − p)2 + q B 3. Skryf die maksimum afstand neer y = a (x − p)2 + (q) → q is die maksimum afstand LET OP: • Afstand is altyd positief • Afstand, op ‘n grafiek, word gemeet in eenhede SNYPUNTE VAN GRAFIEKE Stappe om SNYPUNTE te bepaal 1. Stel die twee vergelykings gelyk f (x) = g (x) 2. Los op vir x (kyk na oplossings wat toepaslik is vir 𝑥 : A of B) 3. Vervang die toepaslike x-waarde in enige van die twee vergelykings en kry sodoende ‘y’. A • f (x) < 0 (onder die lyn y = 0) x x Vrae: Antwoorde: (m.a.w. waar y negatief is) a. Bepaal die waarde van k. • f (x) ⋅ g (x) ≤ 0 b. Bepaal die x-waardes van A en B. −1 4 c. Wys dat a = en b = . 5 5 a. (−2; 9) 9 = k −2 1 9= k2 1 k = ± 3 1 k = 3 (een grafiek lê bo y = 0 en een grafiek lê onder y = 0) d. Bepaal die koordinate van D. e. Bepaal die maksimum afstand van DE. • f (x) ≥ g (x) bo onder (i.e. f(x) lê bo g(x)) f. Bepaal die waarde van p vir: −1 2 4 x + x+ p< 0 5 5 • f (x) = g (x) (snypunt) g. Bepaal vir watter waardes van x: WORTELS EN PARABOLE • Gelyke en reële wortels y y i. f (x) ≥ 0 f (x) ii. > 0 g (x) iii. f (x) is stygend x x • Nie-reële/Geen ware wortels A y B x end Dal end Dal y x y x b. E = (2; 0) en A B = 6 eenhede A = (−1; 0) x = − 1 B = (5; 0) x = 5 c. y = a (x − x1)(x − x 2 ) (−1; 0) en (5; 0) y = a (x + 1)(x − 5) Gebruik F (0; 1) 1 = a (+ 1)(−5) 1 − = a 5 y = − • Reële, ongelyke wortels Sty gen d B 1 (x + 1)(x − 5) 5 1 2 y = − (x − 4x − 5) 5 1 4 y = − x2 + x+ 1 5 5 4 b = 5 y x STYGEND/DALEND Sty gen d E y y f(x) g(x) D F (m.a.w. waar y positief is) B y y x 9 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za 1 2 4 (2) + (2) + 1 5 5 9 9 y = ∴ D = (2; ) 5 5 d. y = − 9 eenhede (y-waarde van 5 koordinate D is ook die DP) e. 1 4 f. − x 2 + x+ p< 0 5 5 4 p< − 5 NOTA: g.• Interpreteer vraag as: Hoeveel eenhede moet die h. grafiek beweeg vir die maki. simum waarde < 0 te wees g. i. x ∈ [−1; 5] ii. x ∈ (−1; 5) iii. x ∈ (−∞; 2) Funksies en Grafieke Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © Interpretasie van grafieke VOORBEELD 2: f (x) = m x + c en g (x) = a(x − p)2 + q is onder geskets. T is die draaipunt van g(x). y (-2;8) T B G J A D H R Antwoorde: a. y = a (x + 2)2 + 8 (0; 0) −8 = 4a −2 = a en p = − 2 en q = 8 ∴ g (x) = − 2(x + 2)2 + 8 D (−4; 0) 8 ∴ m = = − 2 en c = − 8 −4 g. −2x 2 − 8x = − 2x − 8 0 = 2x 2 + 6x − 8 0 = 2(x − 1)(x + 4) x = 1 or x = − 4 (NA) y = − 2(1) − 8 y = − 10 ∴ FP = 10 eenhede b. OD = 4 eenhede O M -8 P x F c. TR = 8 eenhede d. TR: x = − 2 f g e. g (x) = − 2(x + 2)2 + 8 = − 2(x 2 + 4x + 4) + 8 = − 2x − 8x − 8 + 8 = 2x 2 − 8x Vrae: BM = g (x) − f (x) Bepaal: BM = = BM = BM = a. Die waarde van a , p, q, m en c. b. Die lengte van OD. c. Die lengte van TR. d. Die vergelyking van TR. e. BM as OA = 1 eenheid. f. OJ as GH = 28 eenhede. g. Die lengte van FP. h. Die maksimum lengte van BM. i. Die waarde van k waarvoor −2x 2 − 8x + k twee gelyke wortels het. f (x) j. Vir watter waarde(s) van x sal < 0? g (x) − 2x 2 − 8x − (−2x − 8) − 2x 2 − 6x + 8) − 2(−1)2 − 6(−1) + 8 12 eenhede f. 28 = − 2x − 8 − (−2x 2 − 8x) 28 = − 2x − 8 + x 2 + 8x 0 = 2x 2 + 6x − 36 0 = 2(x 2 + 3x − 18) 0 = 2(x + 6)(x − 3) x = −6 of x = 3 (N.V.T) ∴ OJ = 6 eenhede 10 h. Maks lengte word gegee deur DP van parabool (L (x)) gegee deur L (x) = g (x) − f (x). Vind die TP deur die vierkant te voltooi. ∴ Max BM = g (x) − f (x) = − 2x 2 − 8x − (−2x − 8) = − 2x 2 − 6x + 8 = − 2(x 2 + 3x − 4) 3 9 = − 2[(x + )2 − 4 − ] 2 4 3 25 = − 2[(x + )2 − ] 2 4 3 25 = − 2(x + )2 + 2 2 25 ∴ Maks van BM = eenhede 2 i. k = -8 j. x ∈ (−∞; 0); x ≠ − 4 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Eksponente en Wortels Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte WAT IS: EKSPONENT WETTE Eksponente: Eksponente onstaan wanneer ‘n uitdrukking/basis/veranderlike vermenigvuldig of gedeel word deur ‘n soortgelyke uitdrukking/basis/ veranderlike Wortels: ‘n Wortel is die wiskundige term vir irrasionale wortels, wanneer hulle in ‘n wortel vorm gelos word, in plaas van desimale vorm geskryf word. NUTTIGE WENKE F 1. Vir eksponensiële vergelykings, moet getalle as priemgetalle in eksponensiële vorm geskryf word. 2. Haal die gemeenskaplike faktor uit, waar nie-soortgelyke terme deur ‘n +/geskei word. 3. Maak seker dat wortels altyd in die eenvoudigste vorm uitgedruk word. 4. Skryf wortels in eksponensiële vorm wanneer ‘n uitdrukking vereenvouding moet word. 5. Neem kennis van die volgende: ’n Algemene fout wat voorkom, met oplos van vergelykings waar die eksponent ‘n breuk is, is deur beide kante se eksponente te vermenigvuldig met die onbekende eksponente se inverse (sodat die eksponent gelyk gestel word aan 1). Wanneer jy egter die breuk eksponente in wortelvorm moet uitdruk, sal jy die volgende opmerk: a. ‘n Ewe mag sal altyd ‘n positiewe en negatiewe oplossing hê: 4 x3 = 3 3 Eksponentwette is slegs van toepassing op vermenigvuldiging, deling, hakies en wortels. NOOIT van toepassing vir optel of aftrek nie. Algebraiese Notasie Eksponensiële Notasie Toepassing van Eksponent Wette 1 16 = 24 Wanneer ons VERMENIGVULDIG met dieslefde grondtal word die eksponente OPGETEL. 16 = 2 × 2 × 2 × 2 2 64 = 4 16 26 = 22 24 Wanneer ons DEEL met dieselfde grondtal word die eksponente AFGETREK (altyd die boonste een minus die onderste een). 3 43 = 64 (22 )3 = 26 Wanneer ons eksponente buite die HAKIES het word die INGEMAAL. 4 64 = 1 64 26 = 20 = 1 26 Enige grondtal met MAG 0 is gelyk aan een. (Uitsondering 00 is ongedefineerd). 26 = 22 Die MAG in die wortel word GEDEEL deur die grootte van die wortel. 5 3 6 4 × 9 = 36 8 x4 = 3 2× x = ± 4 27 b. ‘n Negatiewe getal onder ‘n ewe wortel kan nooit ‘n reële oplossing lewer nie: 1 (−2) 2 = x ∴ Geen reële oplossing c. ‘n Onbekende onder ‘n ewe wortel het geen reële oplossing vir ‘n negatiewe antwoord nie: 3= 2= 1 1 1 1 2 2 × 32 = 6 2 4= 2 2 2 × 2 2 = 21 N x = x N D Stappe vir vereenvoudiging van wortels: 1. Druk die terme in die eenvoudigste wortelvorm uit 2. Identifiseer soortgelyke terme vir optel/aftrek, gebruik Eksponent Wette vir maal/deel. ONTHOU: Dui veranderinge aan waneer ‘n sakrekenaar gebruik word: m.a.w. 50 = 25 × 2 = 25 × 2 = 5 2 VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 Vereenvoudig: Vereenvoudig: 5 VOORBEELD 50 + 3 18 − 1. 5 x 2 = x Enige vierkantswortel gemaal met homself is gelyk aan die term/getal onder die wortel. BEWERKING MET WORTELS Die mag onder die wortel word die teller en die grootte van die wortel word die noemer D Wanneer ons nie-identiese grondtalle het, maar identiese eksponente, hou ons die eksponent en vermenigvuldig die grondtal. (Dieselfde reël geld vir deling). 1 6 3 Soortgelyke terme is terme in uitdrukkings wat identiese veranderlikes en eksponente het. Vir optel/aftrek, gaan jy doodeenvoudig die koëffisient optel/aftrek. Eksponente verander nooit wanneer die ons +/- met die grondtal nie 22 × 32 = 62 OMSKAKELING VAN WORTELS NA EKSPONENSIËLE VORM (EN VICE VERSA) x4 = −2 OPTEL EN AFTREK VAN SOORTGELYKE TERME 3 64 = 4 2× 7 x 4 = 27 −2 = x SCIENCE CLINIC 2020 © 98 = 5 2+ 9 2−7 2 2 5 = 7 2 5 = VOORBEELD 1. 3x 2 y 4 − 5x 3 y + 2x 2 y 4 2. 3 2 + 5 3 − 8 2 + + x 3y = 5x 2 y 4 − 4x 3 y 3 = −5 2+ 6 3 2. x 3 4 = 4 = x3 11 81 × 4 27 9× 5 = 3 34 × 4 33 5 32 × 4 3 2 1 35 × 34 35 × 32 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za VOORBEELD 3 3 3. ‘n Reghoek het ‘n lengte van 7 + 1 en ‘n breedte van 7 − 1. Bereken die lengte van die hoeklyn. 31 3 20 9 3 10 13 = 3 20 = 20 ( 7 + 1)2 + ( 7 − 1)2 = r 2 3 13 7 + 2 7 + 1 + 7 − 2 7 + 1 = r2 16 = r 2 4= r Eksponente en Wortels Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte RASIONALISERING VAN DIE NOEMER Die proses om ‘n ekwivalente breuk te vind wat uitgedruk kan word sonder ‘n wortel in die noemer. Stappe vir rasionalisering van eenterm noemers: Stappe vir rasionalisering van tweeterm noemers: 1. Vermenigvuldiging die teller en die noemer met die noemer wat jy wil rasionaliseer. 2. Onthou om sovêr moontlik te vereenvoudig. 1. Vermenigvuldig die teller en die noemer met die tweegetal in die noemer (tweeterm), maar met ‘n teenoorgestelde teken voor die tweede getal. 2. Vereenvoudig VOORBEELD 1 Hoekom? Om ‘n irrasionele drieterm te vermy, gaan ons met dieselfde tweeterm vermenigvuldig, maar die teken in die tweede hakie verander. Dit lei tot ‘n verskil van die vierkante, wat geen middelterm na vermedigvuldiging het nie. Druk die volgende met ‘n rasionale noemer uit: 1. = = 3 2. 7 3 7 × 7 = 7 3 7 = 7 = = 6+ 3 2 2 3 6+ 3 2 2 3 × 3 3 6 3+ 3 6 2×3 6 3+ 3 6 6 2 3+ 6 VOORBEELD 1 Druk die volgende breuke met ‘n rasionale noemer uit: 7 3 2. 1. 1 x− 5− 7 = 2 = VOORBEELD 2 x2 + 2 3 + 2, vereenvoudig: As x = en druk jou x −2 antwoord uit met ‘n rasionale noemer: x2 + 2 1. x −2 = = = = ( 3 + 2)2 + 2 3+ 4 3+ 4+ 2 3 3 × 9 3+ 4⋅3 3 = 3 3+ 4 = 5− 7 × 5+ 5+ x 7 7 = 15 + 3 7 25 − 7 15 + 3 7 18 5+ 7 6 3 3 7 × 1 x− x x− x+ 1 x+ 1 x x 7 7 x+ = x 1 x 7x + 7 = = ( 3 + 2) − 2 9+ 4 3 = 3 = = = = x x2 − 1 x 7x + 7 x ÷ 7(x + 1) x x2 − 1 x × 7x x (x − 1) 7x x (x + 1)(x − 1) × x x x x (x − 1) 7 x (x − 1) 12 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za SCIENCE CLINIC 2020 © Eksponente en Wortels Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © FAKTORISERING Faktorisering is die teenoorgestelde van distrubisie, dit beteken dat jy die eksponente aftrek wanneer jy die faktore “uithaal”. Daar is ses tipes faktorisering. 1. Algemene faktorisering 2. Verskil van volkome vierkante (VVVV): 3. Som of verskil van twee derdemagte: Verwyder die grootste gemene faktor vanuit die koëffisiënte en algemene veranderlikes. Gebruik wanneer terme, wat albei volkome vierkante is, van mekaar afgetrek word. Die vierkantswortel van beide terme sal in beide hakies verkyn, met teenoorgestelde + en - tekens. Gebruik wanneer twee terme wat albei volkome derdemagte is, by mekaar opgetel of afgetrek word. Die antwoord word geskryf, as ‘n tweeterm in een hakie en ‘n drieterm in die ander. ‘n Volkome vierkant se eksponent kan deur twee gedeel word, en het ‘n rasionale vierkantswortel. ‘n Volkome derdemag se eksponent kan deur drie gedeel word, en het ‘n rasionale derdemagswortel. VOORBEELDE Faktoriseer die volgende: 1. 3x 5 y 4 + 9x 3y 5 − 12x 2 y 4 2 4 3 = 3x y (x + 3x y − 4) 4x 5 8x 3 16x 2 + 2. 3 − 9y 27y 2 3y = 4x 2 x 3 2x + + 4 ) 3y ( 3y 2 9y 4. Eksponesiele faktorisering: VOORBEELDE = 2x ⋅ 6 3. 5x − 5x−2 2 ⋅ 5x − 5x 5x (1 − 5−2 ) = 5x (2 − 1) = 1− 24 = 25 1 1 25 Faktoriseer die volgende: 1. 9x 2 − 4y 6 2. x 4 − 16 1. x 3 − 8 = (3x + 2y 3)(3x − 2y 3) = (x 2 + 4)(x 2 − 4) = (x − 2)(x 2 + 2x + 4) = (x 2 + 4)(x + 2)(x − 2) 2. 27x 6 + 64y 9 = 2 x −7 x+ (x + = x− Faktoriseer die volgende: = 2x (23 − 2) VOORBEELDE Faktoriseer die volgende: 3. Soortgelyk aan algemene faktorisering. Verwyder die grootste gemene faktor, wat in hierdie geval ‘n grondtal met ‘n eksponent is. Eksponente word van die selfde grondtalle afgetrek. 1. 2x+ 3 − 2x+ 1 VOORBEELDE 9 x+ 2 − 32 x 2. x 3 3 ⋅ 2 × 3x ⋅ 5 = (32 ) x+ 2 − 32 x 32 x ⋅ 8 ⋅ 5 32 x+ 4 − 32 x = 32 x ⋅ 40 2x 4 3 (3 − 1) = 32 x ⋅ 40 = 80 40 = 2 7 = (3x 2 + 4y 3)(9x 4 − 12x 2 y 3 + 16y 6 ) 7)(x − x+ 7) 4. a 2 + 2a b + b 2 − x 2 7 = (a + b)2 − x 2 7 = (a + b + x)(a + b − x) 6. Drieterm: Nota: Die verhouding van die eerste term se eksponent tot die middelterm moet 2:1 wees. ‘n Kombinasie van die faktore van die eerste en laaste term moet die middelterm gee. VOORBEELDE 5. Groepering: Tegnies algemene faktorisering, maar ‘n algemene polinoom (gewoonlik ‘n tweeterm) word verwyder. VOORBEELDE Faktoriseer die volgende: (V2 - V6 is konseptueel dieselfde) 1. 3x 2 − 5x − 2 2. x 2 + 3x − 10 = (3x + 1)(x − 2) = (x + 5)(x − 2) 3. x 4 + 3x 2 − 10 4. x 3 + 3x 3 − 10 = (x 2 + 5)(x 2 − 2) = (x 3 + 5)(x 3 − 2) = 5(x − 3y) + 3a(3y − x) 5. 52 x + 3 ⋅ 5x − 10 6. 32 x + 3x+ 1 − 10 = 5(x − 3y) − 3a(x − 3y) = (5x + 5)(5x − 2) = 32 x + 3 ⋅ 3x − 10 Faktoriseer die volgende: 2. a 2 + 2a b + b 2 − 3a − 3b 1. x (y − 4) + 3(y − 4) 2 = (y − 4)(x + 3) = (a + b) − 3(a + b) = (a + b)(a + b − 3) 2 1 1 1 3. 5x − 15y + 9a y − 3a x = (3x + 5)(3x − 2) = (x − 3y)(5 − 3a) 13 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Eksponente en Wortels Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © VERGELYKINGS 1. Lineêre vergelykings: 3. Gelyktydige vergelykings: 5. Eksponensiële vergelykings: Skuif al die veranderlikes na een kant en al die konstantes na die ander kant. Lineêre vergelykings het slegs een oplossing. Twee onbekendes in twee vergelykings word opgelos dmv die vervangingsmetode. Onthou om altwee onbekendes op te los - vervang eerste onbekende se oplossing in die oorsponklike vergelyking. Kry een term met dieselfde basis aan altwee kante van die vergelyking. Verwyder dan die basis aan elke kant en stel die eksponente gelyk aan mekaar. VOORBEELDE VOORBEELDE Los op: 1. 3(x − 2) + 10 = 5 − (x + 9) 2. (x − 2)2 − 1 = (x + 3)(x − 3) 3x − 6 + 10 = 5 − x − 9 x 2 − 4x + 4 − 1 = x 2 − 9 3x + 4 = − x − 4 −4x + 3 = − 9 4x = − 8 −4x = − 12 x = −2 x = 3 1. Vergelyking 1: 2x + 3y = 18 2. Vergelyking 1: y + 3x = 2 Vergelyking 2: − 3x + 5y = 11 Van 1: 2x + 3y = 18 Vergelyking 2: y 2 − 9x 2 = 16 Van 1: y + 3x = 2 2x = − 3y + 18 −3y + 18 ....1a x = 2 y = − 3x + 2....1a Vervang 2 met 1a: y 2 − 9x 2 = 16 Vervang 2 met 1a: −3x + 5y = 11 2. Kwadratiese vergelykings: Wenke: • Moet NOOIT die grondtalle weglaat terwyl die terme met + of − geskei word nie! Gebruik eers algemene faktorisering om die vergelyking in die eenvoudigste vorm te skryf. • Skakel altyd desimale getalle na breuke om, en dan na ‘n grondtal met ‘n negatiewe eksponent. Los op: (−3x + 2)2 − 9x 2 = 16 VOORBEELDE 1. 4x = 8 2. 0,0625x = 64 −3y + 18 −3 + 5y = 11 ( ) 2 9x 2 − 12x + 4 − 9x 2 = 16 22 x = 23 −12x = 12 VOORBEELDE 9y − 54 + 5y = 11 2 x = − 1....3 2x = 3 3 x = 2 Los op: 9y − 54 + 10y = 22 Stel die vergelykings gelyk aan nul. Die een kant sal ‘n twee- of drieterm wees wat kan faktoriseer. Dus sal daar twee oplossings wees. 1. x 2 + 5 = 6x x 2 − 6x + 5= 0 4 −2 of x = 3 5 x = 2 3. x 4 + 3x 2 − 10 = 0 1 4. x 3 + 3x 3 − 10 = 0 (x 2 + 5)(x 2 − 2) = 0 1 (x 3 x2 1 x3 = − 5 of x2 = 2 of x = ± N/A 2 + 1 5)(x 3 = − 5 of − 2) = 0 1 x3 = 2 x = − 125 of x = 8 3. (−1; 5) y = 4....3 3x = 4 of 5x = − 2 x = 5 of x = 1 y = 5 19y = 76 2. (3x − 4)(5x + 2) = 0 (x − 5)(x − 1) = 0 Vervang 1 met 3: y + 3(−1) = 2 x+ 1 (x 2 1 3x 2 + − 10 = 0 1 5)(x 2 − 2) = 0 1 1 x 2 = − 5 of x 2 = 2 x = − 5 of N/A x = 2 of x = 4 6. 22 x − 6 ⋅ 2 x − 16 = 0 (2 x + 2)(2 x − 8) = 0 2x = − 2 of N/A 2x = 8 of 2 x = 23 x = 3 1 x = 26 ( 24 ) 2−4x = 26 2 ⋅ 3x+ 1 + 5 ⋅ 3x 3x (2 ⋅ 3 + 5) = 33 = 33 3x (11) = 33 Vervang 1 met 3: 2x + 3(4) = 18 2x = 6 3x = 31 x = 3 x = 1 4. 4. Vergelykings met Wortels: Kry die wortel aan die een kant van die vergelyking deur toepassing van inverse bewerkings. Kwadreer elke kant van die vergelyking om van die wortel ontslae te raak. NB: Kontroleer altyd jou oplossing. x −2 = 3 2. x + 5−x = 3 x −2 = 9 x+ 5= x+ 3 x = 9+ 2 x+ 5= x2 x = 11 0 = x 2 + 5x + 4 + 6x + 9 0 = (x + 1)(x + 4) Bewys: LK = (−1) + 5 − (−1) LK = (−4) + 5 − (−4) LK = 3 RK = 3 ∴ x = −1 LK = 5 RK = 3 ∴ x ≠ −4 x = − 1 of x ≠ − 4 14 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za = 812 x+ 5 (33)3x+ 1 = (34 )2 x+ 5 = 38x+ 20 9x + 3 = 8x + 20 x = 17 Los op: 1. 273x+ 1 39x+ 3 −4x = 6 −3 x = 2 5. 0,5x ⋅ (3; 4) VOORBEELDE 5. x + 3 x − 10 = 0 1 x = 26 ( 16 ) 1+ 1 x ⋅ (2) 2−x ⋅ 25 = 10 16 5 = 10 4 2−x = 8 2−x = 23 −x = 3 x = −3 9 = 10 16 Getalpatrone Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © Patrone/ Rye: geordende versameling getalle ONTHOU: F Lineêre: Konstante verskil tussen opeenvolgende terme. 1. Opeenvolgende: Nommers volg direk op mekaar 2. Gemene/konstante verskil: verskil tussen twee opeenvolgende terme in ‘n patroon (d) d = T2 − T1 3. Algemene formule: (Tn) staan ook bekend as die nde term. • Algemene formule vir ‘n linieêre patroon: Tn = d n + c / Tn = a + (n− 1)d • Algmene formule vir ‘n kwadratiese patroon: Tn = a n2 + b n + c Kwadraties: Tn = d n+ c Die algemene formule is soortgelyk aan die lineêre funksie: y = m x + c n = Term nommer Die algemene formule is soortgelyk aan die kwadratiese vergelyking en formule vir die parabool Stappe om die nde term te bepaal: 1. Vind die konstante verskil 1. Vind die konstante verskil 2. Vervang die konstante verskil (d), ‘n term waarde en ‘n term nommer 2. Gebruik die waarde van die tweede verskil om die “a”-waarde te bepaal 3. Vervang die c- en d-waardes om die nde term te bepaal. 3. Gebruik die waarde van “a” en die eerste verskil en bepaal “b” 4. Gebruik die “a”- en “b”-waarde en bepaal die “c”-waarde VOORBEELD VOORBEELD 1. Bepaal die nde term van die volgende reeks: Bepaal die nde term van die volgende reeks: T1 T2 T3 T4 2; 7; 12; 17 7−2 woordig deur T en die nommer van die term as ‘n onderskrif. a. Bepaal die waarde van die veranderlikes b. Gebruik waardes om ‘n algemene term te bepaal c. Gebruik die algemene term om spesifieke terme te bepaal d. Gebruik ‘n gegewe waarde om die term te bepaal Tn = algemene term Tn = a n2 + bn+ c Stappe om die nde term te bepaal: 4. T1; T2; . . . . T100: Term word verteen- 5. Doel: Konstante tweede verskil tusssen opeenvolgende terme. Tn = algemene term d = konstante verskil n = term nommer 12 − 7 5 5 17 − 12 Term 1 (a + b + c) Tn = a + (n− 1)d 12 = 5(3) + c = 2 + (n− 1)(5) 12 = 15 + c = 2 + 5n− 5 12 − 15 = c T2 T3 6; 17; 34; 11 Tweede verskil (2a) 7−2 6 17 T4 57 57 − 34 12 − 7 23 6 Tweede verskil = 2a 6 = 2a 3= a Tn = 5n− 3 −3 = c 34 − 17 17 − 6 Eerste verskil (3a + b) 5 Term 3 was gebruik waar T3 = 12 OF Tn = 5n + c T1 Eerste verskil = 3a + b 11 = 3a + b ∴ Tn = 5n− 3 11 = 3(3) + b 2= b 2. Bepaal die 100ste term T100 = 5(100) − 3 Term 1 = a + b + c 6 = (3) + (2) + c = 500 − 3 6−3−2 = c = 497 1= c ∴ T100 = 497 ∴ Tn = 3n2 + 2n + 1 15 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Getalpatrone Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © Oplos van Kwadratiese Getalpatrone VOORBEELD 1 VOORBEELD 3 Bewys dat die tweede verskil 2a is. Die verhouding tussen die term (Tn) en term waarde (n) kan grafies voorgestel word. Tn = a n2 + b n + c Die terme sal dus wees: T1 = a (1)2 + b (1) + c n 1 2 3 4 T1 = a + b + c Tn 6 17 34 57 Vir Tn = 3n2 + 2n + 1 Tn T2 = a (2)2 + b (2) + c T2 = 4a + 2b + c 0 1 2 3 4 n T3 = a (3)2 + b (3) + c T3 = 9a + 3b + c a+ b+ c Gebruik die kwadratiese vergelyking vir die bostaande grafiek (Tn = 3n2 + 2n + 1) en bepaal de volgende twee terme. 4a + 2b + c 3a + b 9a + 3b + c Term 5: 5a + b T1 T2 T3 T4 T5 6; 17; 34; 57; 86 + 29 OF T5 = 3(5)2 + 2(5) + 1 Eerste verskil = 75 + 10 + 1 11 17 23 Tweede verskil 2a n=5 +6 = 86 29 6 6 6 T1 T2 T3 T4 T5 6; 17; 34; 57; 86; + 35 121 VOORBEELD 2 Gebruik ‘n gegewe waarde en bepaal die term nommer: Watter term het ‘n waarde van 80 in die kwadratiese patroon met ‘n algemene reël van Tn = 2n2 + n + 2? 80 = 2n2 + n + 2 0 = 2n2 + n + 2 − 80 Term 6: Bewys dat n = 6 T6 = 2(6)2 + (6) + 2 = 72 + 6 + 2 0 = (2n + 13)(n− 6) = 80 17 6 23 6 29 6 +6 35 6 Bepaal nou die waarde van die 100ste term: 2n + 13 = 0 of n− 6 = 0 2n = 13 of n= 6 13 MAAR geen halwe/desimale getalle geldig vir term nommers n= 2 OF n=6 T6 = 3(6)2 + 2(6) + 1 = 108 + 12 + 1 11 0 = 2n2 + n− 78 T6 T100 = 3(100)2 + 2(100) + 1 = 30 000 + 200 + 1 = 30 201 ∴ n= 6 16 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za = 121 Getalpatrone Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © Oplos van Kwadratiese Getalpatrone VOORBEELD 4 VOORBEELD 6 Ondersoek die onderstaande figure en bepaal die algemene formule Navorsers ondersoek die veranderinge in ‘n nuwe sel. Hulle maak elke uur ‘n nota oor die groei van die sel. In die onderstaande tabel kan jy die bevindinge, rakende die groei, nagaan. Die navorsers besef, dat die groei van die sel ‘n kwadratiese patroon verteenwoordig. T1 T2 1 by 2, + 1 T3 2 by 3, + 1 3 by 4, + 1 T1 = 3: T2 = 7: T3 = 13: 1 × 2 + 1: n(n + 1) + 1 2 × 3 + 1: n(n + 1) + 1 3 × 4 + 1: Tyd Ure gemonitor Grootte (pm) 08:00 1 3 09:00 2 7 2. Bepaal die grootte van die sel teen 20:00 die aand. Dokumentering het begin teen 07:00, ∴20:00 - 07:00 = 13u 10:00 3 x Term 1 (a + b + c) 11:00 4 21 12:00 5 31 Eerste verskil (3a + b) 13:00 6 43 n(n + 1) + 1 = n2 + n + 1 T1 T2 T3 T4 3; 7; x; 21 VOORBEELD 5 4 Bepaal die waarde van x as 6; 15; x ; 45... ‘n kwadratiese ry is T3 T4 6; 15; x; 45 9 (x - 15) - 9 x - 15 x-7 T4 3; 7; 13; 21 Tweede verskil (2a) 6 2 8 2 2 = 2a 1ste verskil 45 - x 2de verskil (45 - x) - (x - 15) 21 - x 1= a Eerste verskil = 3a + b 4 = 3(1) + b 1ste verskil 4−3= b 2de verskil Term 1 = a + b + c 1= b (x - 7) - 4 NB: Omdat dit ‘n kwadratiese ry is, is die tweede verskil konstant! (x − 15) − 9 = (45 − x) − (x − 15) T3 Tweede verskil = 2a ∴ Tn = n(n + 1) + 1 T2 T2 4 1. Wat sal die grootte, van die sel, na 3 ure (𝑥) wees? T1 T1 (21 - x) - (x - 7) NB: Omdat dit ‘n kwadratiese ry is, is die tweede verskil konstant! ∴ (x − 7) − 4 = (21 − x) − (x − 7) x − 11 = 21 − x − x + 7 x + 2x = 28 + 11 3x = 39 3 = (1) + (1) + c 3−1−1= c 1= c Tn = 1n2 + 1n + 1 ∴ T13 = 1(13)2 + 1(13) + 1 = 169 + 13 + 1 = 183 x = 13 x − 24 = 45 − x − x + 15 ∴ Teen 20:00 sal die grootte van die sel 183 pm wees. x + 2x = 45 + 24 + 15 3x = 84 x = 28 17 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Finansies - Saamgestelde en Enkelvoudige Rente ONTHOU: 1.Inflasie: Die koers waarteen pryse oor ‘n gegewe tydperk styg 2.Verbruikersprysindeks (CPI): Die gemiddelde prys vir ‘n basiese mandjie en dienste 3.Wisselkoers: Die waarde van een soort geldeenheid, vergelyk met ‘n ander eenheid; om sodoende geld te wissel ENKELVOUDIGE RENTE P = Oorspronklike waarde A = P(1 + in) OF r A = P(1 + n 100 ) Jaarliks: 1 per jaar Halfjaarliks: 2 per jaar Kwartaalliks: 4 per jaar Maandeliks: 12 per jaar Daagliks: 365 per jaar* *(uitsluitend skrikkeljaar) A A A = = = P (1 + i n) 15 000(1 + (0,065)(4)) R18 900 = P (1 + i ) n = = 15 000(1 + R19 296,99 a) Deposito : R800 P = = 4 000 − 800 3 200 A = = = P (1 + i n) 3 200(1 + (0,12)(2)) R 3 968 b) A = R 3 968 2 jaar = 24 gelyke betalings 3 968 = R165,33 24 S (0,065))4 HUURKOOP Jy koop ‘n wasmasjien ter waarde van R4000 deur ‘n huurkoop kontrak vir 2 jaar te teken. Jy betaal ‘n deposito van R800. Bereken die a) die totale waarde wat jy sal betaal indien die rente koers 12% is. b) jou maandelikse paaiemente. Bereken die toekomstige waarde van ‘n belegging na 3 jaar, teen ‘n rente koers van 15% per jaar saamgestel: a) Jaarliks A = P (1 + i ) n = = ge ste ld 15 000(1 + ( R 23 149,52 c) Kwartaalliks A = P (1 + i ) n te en eR oudige Enkelv 15 000(1 + (0,15))3 R 22 813,13 b) Halfjaarliks A = P (1 + i ) n = aam SCIENCE CLINIC 2020 © VOORBEELD = ENKELVOUDIGE RENTE SAAMGESTELDE RENTE SAAMGESTELDE TYDPERKE r n A = P (1 + 100 ) VOORBEELD Bepaal die verskil in die opgehoopte waardes; wanneer spaargeld ter waarde van R15000 vir 4 jaar belê word by twee verskillende banke, beide bied ‘n rentekoers van 6.5%, maar een bank bied enkelvoudige rente en die ander saamgestelde rente. 5.Huurkoop: Kort termyn lening, deposito word vereis. Gebruik enkelvoudige rente vir berekening. 8.Effektiewe rentekoers: Die saamgestelde tydperk en die gekwoteerde tydperk is dieselfde. vb. 0.75% per maand, maandeliks saamgestel. OF r = rente koers in % vorm r i = rente koers 100 A A A 7.Nominale rentekoers: Die saamgestelde tydperk en die gekwoteerde tydperk is verskillend. vb. 15% per jaar maandeliks saamgestel. A = P(1 + i )n n = aantal tydperke 4.Bevolkinngsgroei: Die verandering van ‘n bevolkings grootte oor ‘n gegewe tyd 6.Verminderde rente lening: Rente word betaal op ‘n verminderde balans, die hoeveelheid rente verminder soos die balans verminder. SAAMGESTELDE RENTE A = Opgehoopte waarde BEDRAG Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte Rente TYD BEVOLKINGSGROEI = = 15 000(1 + ( R 23 331,81 d) Maandeliks A = P (1 + i ) n = = 15 000(1 + ( R 23 495,16 6 0,15 2 )) 12 0,15 4 )) 36 0,15 12 )) Ptoekms = Ph ed e(1 + i ) n Ptoekoms = toekomstige bevolkings grootte Phede = Huidige bevolkings grootte i = gemiddelde bevolkings (%) n= aantal jare Die bevolking leeus in 2015 is 2567. Indien die groeikoers 1.34% is, bereken die aantal leeus in 2020. 2020 − 2015 = 5 Ptoekoms = Ph ede(1 + i)n = 2567(1 + 0,0134)5 = 2743 (die hoeveelheid leeus sal ′n heelgetal wees) 18 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za LET OP: Soos die aantal saamgestelde tydperke meer word, so doen die opgehoopte waarde ook. VOORBEELD As R13 865 ontvang word na beleggings periode van 6 jaar teen ‘n koers van 16% jaarliks saamgestel, bepaal die oorspronklike bedrag. A = P (1 + i )n 13 865 13 865 13 865 2,44 = = P (1 + 0,16)6 2,44P = P P = 5 690,78 ∴R 5 690,78 is die bedrag wat oorspronklik belê was. OF gebruik die volgende formules: A = P (1 + i )n P = A(1 + i )−n To find A om P te bepaal Finansies Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte Jaarlikse effektiewe rentekoers is gelykstaande aan die nominale rentekoers wat jaarliks saamgestel word, omdat dit dieselfde opgehoopte waarde lewer. 1 + ieff n i = (1 + Nom ) n ieff = effektiewe koers (jaarliks) iNom = nominale koers n = aantal saamgestelde tydperke per jaar VOORBEELD Verander ‘n nominale koers van 18 % per, maandeliks saamgestel na ‘n jaarlikse effektiewe koers. 1 + ieff = ieff = ieff ∴ reff = = (1 + 0,18 12 12 ) 0,18 12 (1 + 12 ) 0,196 19,6 % −1 = ieff = ieff ∴ reff = = A A (1 + 0,14 12 12 ) 0,14 12 (1 + 12 ) 0,1493 14,93 % = P (1 + i ) n = 25 000(1 + = R 28 733,55 = = = P (1 + i )n −1 12 0,14 ( 12 )) 25 000(1 + 0,1493)1 R 28 733,55 Waardevermindering is die verlies of afname van ‘n waarde teen ‘n vasgestelde koers oor ‘n tydperk. VOORBEELD R100 000 word belê vir 6 jaar teen ‘n koers van 16% per jaar, kwartaalliks saamgestel. Daarna word die opgehoopte waarde herbelê vir 5 jaar teen ‘n koers van 14% halfjaarliks saamgestel. Bereken die waarde van die belegging teen die einde van die tydperk. P (1 + i ) n A = A = A = 100 000(1 + R 256 330,42 A = P (1 + i ) n A = A = 0,16 24 4 ) 256 330,42(1 + R 504 239,91 0,14 10 2 ) 24 periodes: 4 periodes (kwartaalliks) per jaar oor 6 jaar 10 periodes : 2 periodes (halfjaarliks) per jaar oor 6 jaar Waardevermindering: Afname van ‘n waarde oor tyd Boekwaarde: Waarde van bates op ‘n gegewe tyd, na waardevermindering in berekening gebring is Sloopwaarde: die waarde van ‘n bate aan die einde van sy nuttige lewensduur. Die eksponensiële waarde (12) word bepaal deur op te merk dat daar 12 saamgestelde periodes is; een keer ‘n maand vir 12 maande. VOORBEELD SAAMGESTELDE WAARDEVERMINDERING Ook bekend as enkelvoudige waardevermindering of reguitlyn waardevermindering Ook bekend as verminderende saldo waardevermindering A = P(1 − in) A = P(1 − i)n Reguitlyn Waardevermindering i )n A = A = A = 30 000(1 + R47 815,44 A = P (1 + i ) n A = 47 815,44(1 + A = Verminderende Saldo Waardevermindering Aantal Periodes EXAMPLE R30 000 was aan jou nagelaat in ‘n spaarrekening. Die rentekoers vir die eerste 4 jaar is 12% per jaar, halfjaarliks saamgestel. Daarna verander die koers na 18% per jaar, maandeliks saamgestel. Jy besluit om die geld vir ‘n verdere 3 jaar te belê. Bepaal die toekomstige waarde nadat die spaar periode verby is. P (1 + A = Boek/sloop waarde P = Huidige waarde i = waardeverminderings koers n = tydperk LINEÊRE WAARDEVERMINDERING Aantal Periodes VOORBEELD Jy belê ‘n bedrag van R25000 met ‘n rentekoers van 14% per jaar, maandeliks saamgestel vir ‘n tydperk van 12 maande. Gebruik die jaarlikse effektiewe rentekoers om te wys dat dieselfde waarde gekry word wanneer die nominale koers gebruik word. 1 + ieff WAARDEVERMINDERING (VERVAL) Indien die rentekoers verander na ‘n vasgestelde tydperk: 1. Bepaal die opgehoopte waarde vir die eerste tydperk. 2. Gebruik die opgehoopte waarde as die aanvanklike waarde vir die tweede tydperk. 3. Bepaal die opgehoopte waarde vir die tweede tydperk. Waarde van Bate (R) (SAAMGESTELDE RENTE) VERANDERDE RENTE KOERSE Waarde van Bate (R) NOMINALE teenoor EFFEKTIEWE RENTEKOERSE SCIENCE CLINIC 2020 © 0,12 8 2 ) 0,18 36 12 ) R 81 723,25 Alternatiewelik: A = = = 8 periodes : 2 periodes (halfjaarliks) per jaar oor 4 jaar 36 periodes: 12 periodes (halfjaarliks) per jaar oor 3 jaar P (1 + i ) n × (1 + i ) n 30 000(1 + R 81 723,26 0,12 8 0,18 36 × (1 + 2 ) 12 ) 19 My nuwe motor, ter waarde van R200 000 depresieer teen ‘n koers van 9% per jaar. Wat sal die waarde van my motor wees na ‘n tydperk van 6 jaar? Vergelyk deur middel van lineêre en verminderende saldo waardevermindering. LINEÊRE WAARDEVERMINDERING A = P (1 − i n) = 200 000(1 − (0,09)(6)) = R 92 000 VERMINDERENDE SALDO WAARDEVERMINDERING A = P (1 − i ) n = = 200 000(1 − 0,09)6 R113 573,85 VOORBEELD Die waarde van ‘n stuk toerusting depresieer van R15 000 tot R 5000 in vier jaar. Wat is die waardeverminderings koers wat bereken word deur middel van: a) Reguitlyn metode A = P (1 − i n) 5 000 = 15 000((1 − (x)4) 5 000 = 15 000 − 60 000x −10 000 = −60 000x x = 0,1667 Depresiasiekoers = 16,67% Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za b) Vermindere saldo waardevermindering A = P (1 − i ) n 5 000 1 3 4 1 3 −1 −0,2401... i r = 15 000(1 − i )4 = (1 − i )4 = −x = = = −i 0,2401... × 100 24 % Finansies Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © ADDISIONELE BETALINGS OF ONTREKKINGS Tydlyne help om van verskillende koerse en betalings rekord te hou en te visualiseer. Stel elke gedeelte op met al die inligting oor die aantal terme , saamgestelde tydperke en rentekoerse. VOORBEELD Jy deponeer R5000 in ‘n spaarrekening. 4 jaar later, deponeer jy nog R4 500. Die rentekoers vir die eerste 3 jaar was 11% kwartaalliks saamgestel, dan verander dit na 12,5% maandeliks saamgestel. Bereken die opgehoopte spaargeld teen die einde van 6 jaar. n = 3 jaar year × 4 = 12 Y J0 != 0,11 4 n = 1 jaar year × 12 = 12 Y J3 != 0,125 12 VOORBEELD Jy neem ‘n lening uit om ‘n nuwe iPad te koop. Jy betaal ‘n addisionele R5000 af, 4 jaar nadat jy die lening uitgeneem het. Twee jaar later betaal jy die finale bedrag van R6000. Gedurende die eerste 4 jaar van die lenings tydperk is die rentekoers 14% per jaar, halfjaarliks saamgestel. Vir die laaste twee jaar het die rentekoers verander na 11% per jaar, kwartaalliks saamgestel. Hoeveel het jy aanvanklik geleen? n = 2 jaar year × 12 = 24 Y J4 != 0,125 12 n = 4 jaar year × 2 =8 Y J6 != Y J0 0,14 2 +4500 Y3 = = = Y4 = = = Y6 = = = R 6923,92 P (1 + i ) n + 4500 0,125 12 12 ) + 4500 Y J6 +6000 P = P = P = A = P (1 + i )n om A te bapaal A(1 + i )−n 6000(1 + P = A(1 + i )−n om P te bepaal 0,11 −8 4 ) R4 829,44 Dit beteken dat die waarde van lening, teen die einde van jaar 4, voor die betaling van R5000 gemaak is was R9 829,44. R12 340,76 Deur terug te werk, bepaal ons die aanvanklike waarde van die lening J0. P (1 + i ) n 12 340,76(1 + 0,11 4 +5000 0,11 12 4 ) 6923,92(1 + != Y J4 Deur terug te werk, bepaal ons die waarde van die lening teen Jaar4: P (1 + i ) n 5000(1 + n = 2 jaar year × 4 =8 0,125 24 12 ) Wanneer onttrekkings gemaak word vanuit ‘n spaarrekening trek ons eerder af R15 825,37 P = P = P = A(1 + i )−n 9829,44(1 + 0,14 −8 2 ) R 5 720,82 OF voeg stappe saam in een berekening OF Y6 P = = 5000[(1 + 0,11 12 0,125 12 1+ 4 ) ][( 12 ) R15 825,37 + 4500][(1 + 0,125 24 12 ) ] = 6000[(1 + = 0,11 −8 + 4 ) 5000][(1 + R 5 720,82 20 0,14 −8 2 ) ] Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Waarskynlikheid Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte Teoretiese Waarskynlikheid vir ‘n gebeurtenis: aantal gunstige uitkomste totale moontlike uitkomste n(E ) = n(S) Relatiewe Frekwensie of Eksperimentele waarskynlikheid: P(E ) = E = Gebeurtenis P(E ) = aantal kere wat ′n gebeurtenis plaasvind aantal proefnemings Onderling Uitsluitend: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) A en B is inklusiewe gebeurtenisse omdat hulle elemente deel. 6 2 9 5 7 8 B = {gebeurtenis B} Gebeurtenisse is uitputtend wanneer hulle alle elemente van die steekproef bevat. S A en B is onderling uitsluitend omdat gebeurtenisse geen elemente deel nie. A S A ∩ B = {2; 6} 1 4 3 A = {gebeurtenis A} Uitputtende Gebeurtenisse: A ∩ B = {} P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) B S = {steekproef} A ∩ B = {A interseksie B} = in stelle A en B Somreël: A Teoretiese waarskynlikheid van ‘n gebeurtenis: A ∪ B = {A vereniging B} = in stelle A of B S = Steekproef ruimte S SCIENCE CLINIC 2020 © A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} n(A) = 5 NOTA: A B 1 2 3 4 n(B ) = 5 n(A ∩ B ) = 2 B 1 3 2 4 5 6 n(A ∪ B ) = n(A) + n(B ) 5 6 n(A ∩ B ) = 0 P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) 9 n(A ∪ B ) = 8 Komplimentêre Gebeurtenisse: Onafhanklike gebeurtenisse: Afhanklike Gebeurtenisse: Gebeurtenisse A en B is komplimentêre gebeurtenisse as hulle beide onderling uitsluitend en alomvattend is. Onafhanklike gebeurtenisse is twee gebeurtenisse wat nie mekaar se uitkomste beïnvloed nie. V.b. wanneer twee gekleurde albasters uit ‘n sak te kies, en die albaster terug plaas. Die eerste keuse beïnvloed nie die uitkomste van die tweede keuse nie. Afhanklike gebeurtenisse is wanneer die eerste gebeurtenis (A) die uitkoms van die tweede gebeurtenis (B) beïnvloed. V.b. Wanneer twee munte uit ‘n beursie gekies word, sonder dat die eerste munt terug geplaas word. Die eerste keuse beïnvloed die uitkomste van die tweede keuse. n(nie in A) = n(A′) = 1 − n(A) P(A′) = 1 − P(A) = P(B) Daarom gebruik ons die produk reël P(A en B) = P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 21 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte BOOMDIAGRAMME Waarskynlikheid TWEERIGTING - GEBRUIKLIKHEIDS TABEL VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 Vrae: Die dogters se hokkie span het ‘n wedstryd hierdie Saterdag. Daar is ‘n moontlikheid van 85% dat Makayla doelwagter sal wees. Indien sy is, is daar ‘n 70% kans dat die span sal wen, maar as sy nie speel nie is daar ‘n 45% kans dat hulle die wedstryd sal wen. Teken ‘n boomdiagram om te help om die volgende vrae te antwoord: Vrae: ‘n Sak bevat 4 rooi metaal balle, 5 blou metaal balle en 3 groen metaal balle. ‘n Bal word ewekansig gekies en word nie terug gesit nie. Daar word dan nog ‘n bal, ewekansig, gekies. Teken ‘n boomdiagram om al die verskillende uitkomstes te lys. Gebruik die boomdiagram om die waarskynlikheid van die volgende te bepaal: 1. Wat is die waarskynlikheid dat Makayla doelwagter speel en dat die span wen? 2. Wat is die waarskynlikheid dat die span sal verloor hierdie Saterdag? 1. ’n Blou metaal bal in die eerste trek 2. ’n Rooi metaal bal gevolg deur ‘n groen metaal bal word getrek 3. Twee metaal balle van dieselfde kleur word getrek Oplossings: 0,27 Oplossings: 0,33 0,7 0,85 Mikayla doelwagter (MD) 0,3 0,45 0,15 Mikayla nie doelwagter (MND) 0,55 0,45 Rooi Wen 0,27 Verloor 0,36 Wen 0,42 0,36 Blou 0,27 Verloor 1. P(MD en wen) = 0,85 × 0,7 = 0,6 2. P(Md en verloor) + P(MND en verloor) 0,36 0,25 SCIENCE CLINIC 2020 © 0,45 Groen 0,18 = 0,85 × 0,3 + 0,15 × 0,55 Rooi (R;R) Blou (R;B) Groen (R;G) Rooi (B;R) Blou (B;B) Groen (B;G) VOORBEELD 1 Vrae: In ‘n groep van 26 leerders, dra daar 10 bril, 8 leerders is links en 6 leerders is beide links en dra bril. 1. Voltooi die tabel deur die ontbrekende inligting in te vul Links Regs TOTAAL Bril a b c Sonder Bril d e f TOTAAL g h i 2. Indien jy ewekansig, uit die 26 leerders een leerder kies, bereken: a. Regs is b. Regs en sonder bril Oplossings: 1. a = 6; b = 4; c = 10; d = 2; e = 14; f = 16; g = 8; h = 18; i = 26 18 P(R) = = 0,69 2. 26 14 3. P(R en SB) = = 0,54 26 VOORBEELD 2 Vrae: ‘n Opname was gedoen waar leerders gevra is met watter hand hul skryf en watter kleur ink hul verkies. Die resultate word onder saamgevat: Hand waarmee geskryf word Links (L) Regs (R) Totaal Rooi (G;R) Blue (G;B) Kleur ink a c b d 24 Swart (Sw) Blou (Bl) Totaal 50 30 80 Groen (G;G) = 0,34 1. P(B en enige) = 0,42 × 0,36 + 0,42 × 0,36 + 0,42 × 0,27 = 0,42 Die opname bereik ‘n slotsom dat “ die hand waarmee geskryf word en ink kleur is onafhanklik van mekaar. Bereken die waardes van a, b en c. Oplossings: P(L en Bl) a 80 2. P(R dan G) = 0,33 × 0,27 a = 0,09 3. P(RR of BB of GG) = 0,33 × 0,27 + 0,42 × 0,36 + 0,25 × 0,18 = P(L) × P(Bl) = × = ∴ b = 24 − 15 = 9 c = 50 − 15 = 35 = 0,29 22 56 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za 50 80 15 24 80 Waarskynlikheid - Venndiagram Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte V ∪M V (V ∪ M )′ of V′ ∩ M′ M V M VOORBEELD 1 VOORBEELD 2 Vrae: Bereken, deur die Venn-diagram, vir ‘n graad 6 groep te gebruik. Die aantal ewekansige gebeurtenisse (Lees(L); Sport(S) en (kuns(K)) is ingevul. Vrae: 120, Graad 12, Girls High was gevra oor hul deelname aan die skool se kulturele aktiwiteite: • 61 meisies doen drama (D) • 29 meisies redenaars (R) • 48 meisies sing in die koor (K) • 8 meisies doen alles • 11 meisies doen drama en redenaars • 13 meisies doen redenaars en koor • 13 meisies doen geen kulturele aktiwiteite Gr 6 S S M V V M L S 10 20 V 97 5 M 25 8 3 2 S S V∩M (V ∩ M )′ of V′ ∪ M′ V M K V M SCIENCE CLINIC 2020 © 1. Teken ‘n Venn-diagram om die informasie te verteenwoordig 2. Hoeveel meisies neem deel aan slegs drama en slegs koor? 3. Bepaal die waarskynlikheid dat ‘n graad 12 leerder wat ewekansig gekies word, deelneem aan: a. Slegs die koor b. Doen nie redenaars nie c. minstens twee van die aktiwiteite Oplossings: 1. P(K⋂L⋂S) 1. 2. P(L en K en nie S) 3. P(K of L) 4. P(S of L en nie K) n(S) = 120 n(D) = 61 n(R) = 29 3 50–x S S V′ ∩ M V M V M 25 5 2. P(L en K en nie S) = = 170 34 S 70 7 = 170 17 4. P(S of L en nie K) = 5 x 5 1 1. P(K ∩ L ∩ S) = = 170 34 3. P(K of L) = S 8 Oplossings: V ∪ M′ 13 35–x 13 n(K) = 48 2. (50 − x) + 3 + 13 + x + 8 + 5 + (35 − x) + 13 = 120 127 − x = 120 ∴x = 7 127 170 ∴ 50 − x = 43 en 35 − x = 28 3. M′ a. P(slegs K) = V M b. P(R′) = c. S 23 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za 50 − 7 43 = = 0,36 120 120 120 − 29 91 = = 0,76 120 120 P(minstens 2) = 3+ 7+ 8+ 5 23 = = 0,19 120 120 www Trigonometrie Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte BASIESE DEFINISIES BASIESE CAST DIAGRAM FUNDAMENTELE TRIG Teenoorgestaande Opposite e suys nesn outi Spk Hy Adjacent Aanliggende cos θ = tan θ = II I III IV 0⁰ 360⁰ y r θ sin θ = y x cos θ = x tan θ = tanθ - y r x r y r = 2 cosθ + cosθ + tanθ - 90o x 2. In watter kwadrant sal θ lê as sinθ < 0 en cosθ < 0 is? sinθ cosθ - • Hoeke word opwaarts gemeet vanaf die positiewe (+) x-as (anti-kloksgewys) tot en met die skuinssy. Probleme met Pythagoras Stappe: 1. Isoleer die trig verhouding 2. Bepaal die kwadrant 3. Teken ’n skets en gebruik Pythagoras 4. Antwoord die vraag 3) ( 2; 60o 2) 4. = 3 sin θ − 2 = 0 y sin θ = 23 = r 2. 2 2 x + y = r 3. y=2 θ x2 = 5 x = ± 5 ∴x = − ∴ K w a d r a nt I I 24 2 x 2 + (2)2 = (3)2 r=3 sin β cos β sin β cos3 β . sin β + sin2 β + sin2 β = cos2 β + sin2 β = 1 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za 5 = 2( 4. = = − 5 3 )+ −2 5 3 − ( 1 2 − 5 5 2 −4 5 − 3 5 6 = Onthou: Identiteite 1 tan θ 2 cos θ + 1 met behulp van diagram en sonder die gebruik van ’n sakrekenaar. tan θ tanθ sinθ + sinθ + tanθ - cos3 β + sin2(180 o + β ) + (−sin β )2 sin β = (2; 0) VOORBEELD: 1. (−tan β)(−cos β)(cos β) 2 Kwadrant III As 3sinθ – 2 = 0 en tanθ < 0, bepaal 2 cos θ + 3 = tan β . sinθ - Onthou: 60 o is 'n spesiale hoek 3 sin(360 + β) 30o 0 360° – θ tan(180 o − β)cos(180 o + β)cos2 (360 o − β) ( 3; 1) o C θ 1 = − 45o cosθ - • x2 + y2 = r2 (Pythagoras) (x; y) (1; T 360° + θ tan 660 o = tan(360 o + 300 o) = tan 300 o (KI want tan is +) = tan(360 o − 60 o) = − tan 60 o (KIV want tan is -) = − (0; 2) Kwadrant IV Onthou: 3. Spesiale Hoeke 1. In watter kwadrant sal θ lê as tanθ < 0 en cosθ > 0 is? A Verminder na ‘n skerphoek en vereenvoudig indien moontlik (sonder ‘n sakrekenaar). sin 125o cos 260 o 1. 2. = sin(180 o − 55o) = cos(180 o + 80 o) = sin 55o = − cos 80 o (KII want sin is +) (KIII want cos is −) VOORBEELDE: Op die Cartesiese Vlak S VOORBEELDE: sin2 B = 1 − cos2 B cos2 B = 1 − sin2 B 270⁰ Hierdie is ons basiese trig verhoudings. 180° + θ sin2 B + cos2 B = 1 kan geskryf word as C cos + T tan + θ 180° – θ sin A = tan A cos A A all + S sin + 180⁰ Verminder alle hoeke na skerphoeke. Memoriseer: 90⁰ sin θ = REDUKSIEFORMULES IDENTITEITE Wys in watter kwadrante elke trig funksie + is t s a s t a SCIENCE CLINIC 2020 © −7 5 6 ) Onthou: x cos θ = r en tan θ = y x Trigonometrie Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte NEGATIEWE HOEKE SCIENCE CLINIC 2020 © KO-FUNKSIES Hoeke word afwaarts gemeet (kloksgewys) vanaf die positiewe x-as, dit word ook gesien as Kwadrant IV. y B sinA en cosB staan bekend as ko-funksies, indien A + B = 90∘. VOLLEDIGE CAST DIAGRAM Memoriseer die volgende diagram: sinA = sin(90⁰ – B) = cosB A –A x = sin(90 o − 60 o) = cos 60 o sin(–A) = –sinA cos(–A) = cos tan(–A) = –tanA Metode 2: Raak ontslae van die negatief Voeg 360° by om sodoende die hoek positief te maak. VOORBEELDE: Vereenvoudig sonder die gebruik van ’n sakrekenaar: sin(–330°) = 4. cos(90 o + β ) K II, d u s cos − 90 o ∴ sin ↔ cos 5. sin(θ − 90 o) = − cos θ NB: Negatiewe Hoeke 1) sin(−330 o) = sin(360∘ + 30∘ ) K IV = sin 30 o K I, d u s sin + 90 o ∴ sin ↔ cos = − sin β 2) + 360 o 1 2 = sin(−330 o) = sin(360 o − 330 o) = sin 30 o 1 = 2 K I V, so sin − 90 o ∴ sin ↔ cos 6. Vereenvoudig tot 'n verhouding van 10°: K II, so cos − a) cos 100 o = cos(90 o + 10 o) = − sin 10 o b) tan 170 o = tan(180 o − 10 o) = − tan 10∘ 90 o ∴ sin ↔ cos K II, so tan − 180 o ∴ r ed u k si e 1. cos(−385 ) negatiewe hoek, dus a) + 360° OF b) K IV = cos(−25 ) = cos 25o - 385 K I = p ∴ + cos o 2. sin(65o) = sin(90 o − 25o) K I, sin + = cos(25o) = p o θ θ –– 90° θ – 180° 270º –θ * 270° 270º +θ θ – 90° Ko-funksies Co-functions Reductions Reduksies 270° BEWYS VAN IDENTITEITE Stappe: 1. Skei LK en RK 2. Begin met die kant wat meer kompleks is. 3. Bewys die kante is gelyk. VOORBEELDE: 1. cos2 x . tan2 x = sin2 x 3. tan x + LK = cos2 x . tan2 x = cos2 x . sin x cos2 x = sin2 x = RK 2. 1 − 2 sin x . cos x = (sin x − cos x)2 = 1 − 2 sin x . cos x = o = sin(360 − 25 ) K IV, sin = − sin 25o ONTHOU: 25° is die korrekte hoek, maar die verkeerde verhouding. Dus teken die skets −y Dus, − sin 25o = Given cos25⁰ = p x Gegee r 1 r 1 y = √1 –p2 − 1 − p2 r= (Pythag) = = − 1 − p2 x=p 1 25 4. tan(155o) LK = tan(180 o − 25o) K II, tan = − tan 25o Dit kan opgelos word op twee maniere: Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za cos x 1 = 1 + sin x cos x cos x LK = tan x + 1 + sin x sin x cos x = + cos x 1 + sin x 2 = sin2 x + cos2 x − 2 sin x . cos x o 3. sin(335 ) 90°θ– θ 360°θ + θ 180° – θ II I A + θ 0° S 360° 360° T III C IV 0° II I A S 360° – θ 180°T + θ III IV 360° C – θ– θ θ – 180° 360° 180° +θ RK = (sin x − cos x)2 OPLOS VAN PROBLEME: As cos25° = p, druk die volgende uit in terme van p (d.w.s. kry al die hoeke gelyk aan 25°): o 180° = cos(90 o − 65o) = sin 65o 3. sin(90 o − α) = cos α 180° 2. cos 25o NOTA: Kyk altyd eers na die kwadrant, maak DAN gebruik van die reduksieformules/ko-funksies Metode 1: K IV 90° – θ 90° 90° + θ 180° – θ VOORBEELD: 1. sin 30 o 90° 90° + θ = sin x (1 + sin x) + cos x (cos x) cos x (1 + sin x) = sin x + sin2 x + cos2 x cos x (1 + sin x) = sin x + 1 cos x (1 + sin x) = 1 = cos x RK Metode 1: Verhouding = = −sin 25o cos 25o − 1 − p2 p Metode 2: Skets = = −y x − 1 − p2 p Trig Vergelykings Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © BASIESE BEGINSELS KWADRATE KO-FUNKSIES FAKTORISERING Stappe: Wenke: Wenke: Stappe: • Isoleer die trig funksies • Gebruik al vier kwadrante (± beteken dat die verhouding beide + en - moet wees.) • sin en cos met verskillende hoeke • Los op soos jy ‘n kwadratiese vergelyking sal oplos • Verwysings hoek (moet nie (-) in die sakrekenaar in sit nie) • Kies Kwadrante ➡ sin of cos: 2 Kwadrante ➡ tan: 1 Kwadrante • Algemene Oplossing ➡ sin θ of cos θ + k 360∘; k ∈ ℤ ➡ tan θ + k180∘; k ∈ ℤ ONTHOU: Rond slegs af aan die einde Algemene formules: θ = sin−1 a + k 360∘ or θ = (180∘ − sin−1 a) + k 360∘ (k ∈ ℤ) θ = ± cos−1 a + k 360∘ (k ∈ ℤ) θ = tan−1 a + k180∘ (k ∈ ℤ) VOORBEELDE: VOORBEELD: • Die hoek wat verander kan word is die verwysings hoek Los op vir β: 4 sin2 β − 3 = 0 3 4 60∘ + k 360∘; k ∈ ℤ 180∘ − 60∘ + k 360∘ 120∘ + k 360∘ 180∘ + 60∘ + k 360∘ 240∘ + k 360∘ 360∘ − 60∘ + k 360∘ 300∘ + k 360∘ Los op vir θ: SINθ EN COSθ 1. 3 sin θ − 1 = 0 Stappe: sin θ = 1 3 sin + in KI en KII Verwysings∠ : 19,47∘ KI: θ = 19,47∘ + k 360∘; k ∈ ℤ KII: θ = 180∘ − 19,47∘ + k 360∘; k ∈ ℤ = 160,53∘ + k 360∘ 2. tan(3θ + 30 o) + 1 = 0 tan(3θ + 30 o) = − 1 tan − in KII Verwysings∠ : 45∘ KII: 3θ + 30∘ = 180∘ − 45∘ + k180∘; k ∈ ℤ 3θ = 105∘ + k180∘ θ = 35∘ + k 60∘ o o cos x = cos(90 − (x − 10 )) cos x = cos(100 o − x) Verwysings∠ : 100∘ − x 100∘ − x • Deel deur cos om tan te kry VOORBEELD: Los op vir α: 2 sin 2α − cos 2α = 0 2 sin 2α = cos 2α 2 sin 2α cos 2α = cos 2α cos 2α 2 tan 2α = 1 1 tan 2α = 2 tan + in KI Verwysings∠ : 26,57∘ KI: 2α = 26,57∘ + k180∘; k ∈ ℤ α = 13,28∘ + k 90∘ Los op vir x: (tan x − 1)(tan x − 1) = 0 tan x = 1 Verwysings∠ : 45∘ KI: x = 45∘ + k180∘; k ∈ ℤ k 360∘; KI: x = + k ∈ℤ 2x = 100∘ + k 360∘ x = 50∘ + k180∘ KIV: x = 360∘ − (100∘ − x) + k 360∘ x − x = 260∘ + k 360∘ 0 = 260∘ + k 360∘ Geen reële oplossing nie 2. cos2 x + sin x . cos x = 0 cos x (cos x + sin x) = 0 cos x = 0 OF Gebruik die trig grafiek: o 2. sin(x + 30 ) = cos 2x sin(x + 30 o) = sin(90 o − 2x) 30∘ 90∘ − 2x k 360∘; KI: x + = + k ∈ℤ 3x = 60∘ + k 360∘ x = 20∘ + k120∘ KII: x + 30∘ = 180∘ − (90∘ − 2x) + k 360∘ x + 30∘ = 90∘ + 2x + k 360∘ −x = 60∘ + k 360∘ x = − 60∘ − k 360∘ NOTA: Spesifieke Oplossings As hul vra vir x ∈ [−360∘; 360∘ ], kies heelgetal waardes vir k (...-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3...) so dat x in die gegewe intervalle val. x = 30∘ + k120∘ x = − 330∘; − 210∘; − 90∘; 30∘; 150∘; 270∘ k = − 3; k = − 2; k = − 1; k = 0; k = 1; k = 2 OF x = − 60∘ + k 360∘ x = − 60∘; 300∘ k = 0; k = 1 26 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za cos x = − sin x cos x −sin x = cos x cos x tan x = − 1 270⁰ 90⁰ Verwysings∠ : 90∘ − 2x • sin en cos met dieselfde hoek VOORBEELDE: 1. tan2 x − 2 tan x + 1 = 0 1. cos x = sin(x − 10 o) Verwysings∠ : 60∘ KI: β = KII: β = = KIII: β = = KIV: β = = VOORBEELDE: Los op vir x: 3 sin β = 4 2 sin β = ± • Betrek die ko-funksie 90° - z Verwysings∠ : 45∘ x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ KII: x = 135∘ + k180∘ 3. 2 cos2 x + 3 sin x = 0 2(1 − sin2 x) + 3 sin x = 0 2 sin2 x − 3 sin x − 2 = 0 (2 sin x + 1)(sin x − 2) = 0 sin x = −1 2 Verwysings∠ : 30∘ KIII: x = x = KIV: x = x = OF sin x = 2 Geen reële oplossing nie 180∘ + 30∘ + k 360∘; k ∈ ℤ 210∘ + k 360∘ 360∘ − 30∘ + k 360∘; k ∈ ℤ 330∘ + k 360∘ Trig Grafieke Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte VERTIKALE SKUIF BELANGRIK! Wanneer trig grafieke geskets word, moet jy die volgende aandui: ! Beide Asse ! x- en y- afsnitte ! Draaipunte ! eindpunte (indien nie op ’n as) ! Asimptote (net vir tan grafiek) y y = cos x − 1 x ∈ [0∘; 360∘ ] (soliede lyn) y = cos x (stippellyn – om te vergelyk) 360° (270°; -1) • y = cos x vir x ∈ [−360∘; 360∘ ] (-360°; 1) 90° 270° • y = a . sin x of y = a . cos x of y = a . tan x • y = sin b x of y = cos b x of y = tan b x As a > 1 : skets beweeg opwaarts 0 < a < 1 : krimp afwaarts a < 0 : Spieëlbeeld in x-as Die waarde van b bepaal hoeveel volledige grafieke gewoonlik in die periode is (m.a.w. sin x /cos x : 360∘ en tan x : 180∘) y = sin x (stippellyn – om x 0° 1. y = cos 3x x ∈ [0∘; 360∘ ] (90°; 2) 360° 180° x 0° te vergelyk) 2. y = − 3 cos x (soliede Lyn) y y = cos x (stippellyn – om (45°; 1) y te vergelyk) 360° (60°;-1) (360°; 1) 270° 210° 90° 0° (180°;3) y (240°; 1) 150° 30° (270°; -2) (180°;-1) 330° x (300°;-1) y 1 2. y = tan 90° 0° 270° x (180°; –1) * Waardeversameling: y ∈ [−3; 3] -3 x = 90° * Normale periode: 360° * Nuwe periode: 120° (3 grafieke in 360°) * Kritiese punte elke 90/3 = 30° 1 * Amplitude = 2 • y = tan x vir x ∈ [−360∘; 360∘ ] 180° VOORBEELDE: y (120°; 1) (180°; -1) 0° (180°; -2) VERANDERING IN PERIODE 1. y = 2 sin x (soliede lyn) (360°; 1) (-180°; -1) x (270°;-1) VERANDERING IN AMPLITUDE VOORBEELDE: y -90° (90°;-1) 360° x (-90°; -1) x 0° ❖ Asimptote by x = 90o + k180o, k ∈ ℤ 0° x = -90° VOORBEELDE ❖ Geen amplitude kan gevind word nie 180° -180° x = -270° (bv: y = sin x + 1) (bv: y = cos x − 2) ❖ Kern punte elke 45° (90°; 1) -180° As q > 0 : opwaarts As q < 0 : afwaarts ❖ Periode (1 volle grafiek); 180° (-270°; 1) -360° ❖ Kern punte (afsnitte/draaipunte) elke 90° Notas vir tan x : [−360∘; 360∘ ] -270° • y = sin x + q of y = cos x + q of y = tan x + q ❖ Amplitude (halfpad tussen min en maks): 1 y -360° Notas vir sin x en cos x : ❖ Periode (1 volle grafiek): 360° BASIESE BEGINSELS • y = sin x vir x ∈ SCIENCE CLINIC 2020 © (360°; -3) xx 1 x x ∈ [0∘; 360∘ ] 2 (90°; 1) * Normale periode: 180° -360° * Nuwe periode: 360° (½ grafiek in 180°) * Kritiese Punte: elke 45/0,5 = 90° x = 270° 360° x x = -180° 27 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za x = 180° Trig Grafieke Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte HORISONTALE SKUIF VOORBEELD • y = sin(x − p) of y = cos(x − p) of y = tan(x − p) • • • • Gegee f (x) = cos(x + (bv: y = sin(x − 30∘ )) (bv: y = cos(x + 45)) As p > 0 : skuif na regs p < 0 : skuif na links 60∘ ) en g (x) = sin 2x Verwysings ∠ : 90∘ − 2x f (x) en g (x) vir x ∈ [-90°;180°] 2. Skets f (x) en g (x) vir x ∈ [-90°;180°] 3. Gee die amplitude f (x) 4. Gee die periode van g (x) 5. Gebruik die grafieke om die waardes te bepaal van x waarvoor: 1. y = cos(x + 45∘ ) vir x ∈ [−360∘; 360∘ ] (stippellyn) y = cos x (soliede lyn - om te vergelyk) y 2 2 225° (360°; 2 2) 6. Verduidelik die transformasie wat plaasvind van y = sin x na y = sin(2x − 60∘ ) (45°; 1) (-60°; 1) 3 (-90°; ½) 2 ½ -90° 30° 90° 0° 180° x (180°; -½) (120°; -1) (135°; -1) (-45°; -1) 2 2 Vir f(x): 3 1 en cos(180∘ + 60∘ ) = − 2 2 1 y-afsnit: cos(0∘ + 60∘ ) = 2 Eindpunte: cos(−90∘ + 60∘ ) = 2. y = sin(x − 30∘ ) vir x ∈ [0∘; 360∘ ] (stippellyn) y = sin x (soliede lyn - om te vergelyk) 3. Amplitude = 1 y (120°; 1) -½ g (x) = sin 2x f (x) = cos(x + 60∘ ) y (135°; -1) Eindpunte: 2 en cos(−360∘ + 45∘ ) = cos(−360∘ + 45∘ ) = 2 y-afsnit: 2 cos(0∘ + 45∘ ) = 2 30° 2. d. f (x) ⋅ g (x) ≥ 0 - m.a.w. produk is + of 0 x 45° (-225°; -1) maar x ∈ [−90∘; 180∘ ] ∴ x = 10∘; 130∘; 150∘ b. f (x) stygend en positief is (315°; 1) -135° -315° KI: x + 60∘ = 90∘ − 2x + k 360∘; k ∈ ℤ 3x = 30∘ + k 360∘ x = 10∘ + k120∘ KIV: x + 60∘ = 360∘ − (90∘ − 2x) + k 360∘; k ∈ ℤ x + 60∘ = 270∘ + 2x + k 360∘ −x = 210∘ + k 360∘ x = − 210∘ + k 360∘ a. g (x) stygend en positief is c. f (x) ≥ g (x) - m.a.w. f (x) is bo g (x) 2 cos(x + 60∘ ) = cos(90∘ − 2x) 1. Bepaal algebraïes die snypunte van VOORBEELDE (-360°; ½2 ) Antwoorde: 1. cos(x + 60∘ ) = sin 2x Vrae: Hoe om ‘n horisontale skuif te plot: Plot die oorspronklike grafiek Skuif die kritiese punte na links/regs Merk die x-afsnite en draaipunte Bekereken en merk die eindpunte en y-afsnitte (-45°; 1) SCIENCE CLINIC 2020 © 4. Periode = 180∘ 210° x 5. a. x ∈ (0∘; 45∘ ) (360°; -½) b. x ∈ [−90∘; − 60∘ ) (300°; -1) c. x ∈ [−90∘; 10∘ ] ∪ [130∘; 150∘ ] d. x ∈ [0∘; 30∘ ] ∪ [90∘; 180∘ ] of x = − 90∘ Eindpunte: 1 1 sin(0∘ + 45∘ ) = − sin(360∘ − 30∘ ) = − en 2 2 y-afsnit: Die y-afsnit is een van die eindpunte 6. Herskyf y = sin(2x − 60∘ ) in die vorm y = sin b (x − p) = sin(2(x − 30∘ )) Transformasie: b = 2 ∴ periode is gehalveer p = 30 ∴ skuif 30° na die regterkant 28 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Trig Grafieke Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte GEBRUIK TRIG GRAFIEK OM BEPERKINGS TEN OPSIGTE VAN IDENTITEITE TE KRY m.a.w. Beantwoord die vraag: “vir watter waardes van x sal die identitiet ongedefinieerd wees?” Identiteit is ongedefinieerd as: • die funksie ongedefinieerd is tan x het asimptote by x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ • Enige noemer is nul Terugflits: A is ongedefinieerd 0 VOORBEELDE: 1. Vir watter waardes van x sal cos2 x ⋅ tan2 x = sin2 x gedefinieerd wees? • t a nx is ongedifinieerd wanneer x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ ∴ sal gedefinieerd wees as x ∈ ℝ en x ≠ 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ • Geen noemers wat kan 0 wees nie 2. Vir watter waades van x sal tan x + cos x 1 ongedefinieerd wees? = 1 + sin x cos x • tan x is ongedifinieerd wanneer x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ • Breuke is ongedefinieerd wanneer die noemer = 0 ∴ As 1 + sin x = 0 of as cos x = 0 * 1 = sin x = 0 ∴ sin x = − 1 y y = sinx Gebruik trig grafieke vir 0; ± 1 x -1 (270°; -1) ∴ x = 270∘ + k 360∘; k ∈ ℤ * cos x = 0 y y = cosx 90° 270° xx Gebruik trig grafieke vir 0; ± 1 ∴ x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ x = 270∘ + k 360∘; k ∈ ℤ kan opgesom word as: x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ x = 90∘ + k180∘; k ∈ ℤ 29 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za SCIENCE CLINIC 2020 © Euklidiese Meetkunde Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SIRKELMEETKUNDE Terugflits: Teorie van vorige grade ‘n Loodlyn uit die middelpunt van ‘n sirkel na ‘n koord, halveer die koord. 1 B Stelling 1: (Lyn vanuit midpt ⟂ koord) A 2 N C SCIENCE CLINIC 2020 © M P B̂ = Ĉ (∠'e teenoor = sye) Â + B̂ + Ĉ = 180∘ (Binne ∠'e van Δ) Omgekeerde v. Stelling 1: (lyn vanaf midpt na koord) Die lynstuk wat die middelpunt van ‘n sirkel met die middelpunt van ‘n koord vebind, is loodreg op die koord. K L J As JK = K L, dan OK ⊥ J L Omgekeerde (2) v. Stelling 1: (middelloodlyn van koord) Die middelloodlyn van ‘n koord gaan deur die middelpunt van die sirkel: O O C2̂ = Â + B̂ (Buite ∠'s van Δ) GEGEE: Sirkel met midpt O en koord N P ⊥ MO . D VOORBEELD: Gegee: Sirkel M met deursnee van 20 cm en koord DF van 12 cm. F OTB: N M = M P 1 1 K M 3 E G K2̂ = M̂1 (ooreenk ∠'e DE//GF) K2̂ = M̂3 (verw ∠'e DE//GF) K2̂ + M̂2 = 180∘ (ko-binne ∠'e DE//GF) M̂1 = M̂3 (teenoorst ∠'e) K2̂ + K1̂ = 180∘ (∠'e op 'n reguit lyn) BEWYS: Verbind ON en OP In ΔMON en ΔMOP ̂ = P MO ̂ (OM⟂PN, gegee) N MO ON = OP (radiusse) OM = OM (gemeenskaplik) ∴ ΔMON = ΔMOP (90°Sk S) NM = MP x–3 Bepaal die lengte van koord AC. Verbind MF DE = E F = 6 cm (Lyn vanaf midpt ⟂ koord) MF = 10 cm (radius) x2 = x2 = x = ∴ MB = P R x 2 2 T P T 2 = PR 2 + R T 2 (Stelling v. Pythagoras) 10 2 − 62 (Stelling van Pythagoras) 64 8 cm 8 − 3 = 5 cm (gegee) Verbind M A M A ⊥ AC (Lyn vanaf midpt ⟂ koord) MA = A B2 = A B2 = AB = ∴ AC = 30 10 cm (radius) 10 2 − 52 (Stelling van Pythagoras) 75 8,66 cm 17,32 cm Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za GEGEE: R T = R P en M R ⊥ T P OTB: M R gaan deur middelpunt v.d. sirkel. BEWYS: Kies enige punt, by M, op A D. Verbind M T en M P In ΔM R P en ΔM R T PR = R T (gegee) M R = M R (gemeenskaplik) M R̂ P = M R̂ T = 90∘ (∠‘e op ‘n reguit lyn) ΔM R T ≡ ΔM R P (S∠S) ∴ M T = MP ∴ Alle punte op A D is ewe ver van P en T en die middelpunt is ewe ver van P en T. ∴ Die middelpunt lê op A D. Euklidiese Meetkunde Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © SIRKELMEETKUNDE Stelling 2: (middelpunts ∠ = 2 x omtreks ∠) Die hoek by die middelpunt van ‘n sirkel, onderspan deur ‘n boog, is dubbel die hoek wat deur dieselfde boog by enige punt op die omtrek onderspan word. STELLING 3: VOORBEELD 1: Bepaal die waarde van x: Die omtrekshoek wat deur die middellyn onderspan word, is ‘n regte hoek Omgekeerde v. Stelling 3: (koord onderspan 90°) As ‘n koord van ‘n sirkel ‘n regtenhoek by die omtrek onderspan, dan is die koord ‘n middellyn. As A MC die middellyn is dan B̂ = 90∘. As B̂ = 90∘ dan is A MC die middellyn. (∠ in halwe sirkel/∠ in 1/2 ʘ) x = 54∘ ÷ 2 (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠) ∴ x = 27∘ ALTERNATIEWE DIAGRAMME: VOORBEELD 2: Bepaal die waarde(s) van x en y: D GEGEE: Sirkel met midpt M, met boog A B wat A M̂ B by die midpt onderspan word en A Ĉ B op die omtrek. VOORBEELD: In sirkel O met middellyn AC, D C = A D en B2̂ = 56∘. Bepaal die grootte van D Â B B x E O1 y 2 3 88° OTB: A M̂ B = 2 × A Ĉ B BEWYS: A M = B M = C M (radiusse) Â = C2̂ (∠ ‘e teenoor = sye) B̂ = C1̂ (∠ ‘e teenoor = sye) M̂1 = Â + C2̂ (buite ∠’e van Δ) ∴ M̂1 = 2C2̂ M̂2 = B̂ + C1̂ (buite ∠’e van Δ) ∴ M̂2 = 2C1̂ A CO = OB (radiusse) C2̂ = B2̂ = 56∘ (∠ ‘e teenoor = sye) O1̂ = 68∘ (som ∠ ‘e van Δ) A2̂ = 34∘ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠) C x = 44∘ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠) OB = OC (radiusse) Ĉ = 44∘ (∠ ‘e teenoor = sye) O3̂ = 92∘ (∠ ‘e van ‘n Δ) D̂ = 90∘ (∠ in halwe sirkel/∠ in 1/2 ʘ ) A1̂ = C1̂ (∠‘e teenoor = sye, DC = AD) A1̂ = 45∘ (som ∠ ‘e van Δ) O2̂ = 88∘ (teenoors. ∠ ‘e) ∴ D Â B = 34∘ + 45∘ = 79∘ 88∘ + 92∘ + 88∘ y = 2 y = 134∘ (midpts ∠ = 2 x ∠) ∴ M̂1 + M̂2 = 2(C1̂ + C2̂ ) ∴ A M̂ B = 2 × A Ĉ B 31 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte Euklidiese Meetkunde SCIENCE CLINIC 2020 © SIRKELMEETKUNDE STELLING 4: (∠ in die sirkel segment) As ∠’e by die omtrek van ‘n sirkel onderspan word deur ’n koord (boog), en vorm aan dieselfde kant van die koord (boog), is hul gelyk. a) Gelyke koorde (of boë) onderspan gelyke hoeke by die omtrek. K L = ST dan P̂ = M̂ (= gelyke koorde, gelyke ∠’e) GEGEE: Sirkel met midpt N waar R T en R P̂ T deur boog R M̂ T onderspan word in dieselfde segment. Omgekeerde v. Stelling 4: (lynstuk onderspan = ∠’e) AFLEIDINGS: b) Gelyke koorde onderspan gelyke hoeke by die middelpunt van ’n sirkel. As ’n lynstuk wat twee punte verbind, gelyke hoeke by twee ander punte aan dieselfde kant daarvan onderspan, dan is die vier punt konsiklies (d.w.s. hulle lê op die omtrek van ‘n sirkel) As Ŵ = U,̂ dan is W U Z Y ’n koordevierhoek. VOORBEELD 1: GEGEE: Sirkel met midpt O en Ĉ = 36∘ VOORBEELD 2: Bepaal die waardes van al die hoeke in A BC D met A B | | E F. OTB: R P̂ T = R M̂ T BEWYS: Verbind N R en N T om N1̂ te vorm. 1 M̂ = × N1̂ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠) 2 P̂ = 1 × N1̂ (midpts ∠ = 2 x omtreks ∠) 2 ∴ R M̂ T = R P̂ T As A B = C D dan O1̂ = O2̂ (= koorde, = ∠’e) c) Gelyke koorde in gelyke sirkels onderspan gelyke omtrekshoeke. Bereken die waardes van die hoeke: O1̂ , Â en B.̂ O1̂ = 2 × 36∘ = 72∘ (midpts ∠= 2 x omtreks ∠) Â = B̂ = Ĉ = 36∘ (∠‘e in dies ʘ seg.) a) Bewys dat C DE F is ’n koordevierhoek. b) As D2̂ = 38∘, bereken E2̂ OPLOSSING: a) B1̂ = C1̂ (∠‘e in dies ʘ seg.) B1̂ = F1̂ (oorenk ∠ ‘e, AB||EF) ∴ C1̂ = F1̂ ∴ C DE F koordevierhoek (lynstuk onderspan = ∠‘e) b) D2̂ = E2̂ = 38∘ (∠‘e in dies ʘ seg. Vierhoek CDEF) As HF = PQ dan Ĝ = R̂ (= koorde, = ∠’e) 32 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Euklidiese Meetkunde Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SCIENCE CLINIC 2020 © SIRKELMEETKUNDE Stelling 5: (teenoorst. ∠‘e van kvh) Die teenoorstaande hoeke van ‘n koordevierhoek is supplementêr. Stelling 6: Omgekeerde v. Stelling 5: (teenoorst. ∠‘e van vierhoek is suppl.) (buite ∠ van kvh) As die teenoorgestaande hoeke van ‘n vierhoek supplementêr is, dan is die vierhoek ‘n koordevierhoek Die buitehoek van ‘n koordevierhoek is gelyk aan die teenoorstaande binnehoeke. VOORBEELD 1: GFE is ‘n dubbele koord en H1̂ = 75∘ As Q̂ + Y ̂ = 180∘ of Ĉ + L̂ = 180∘ GEGEE: Sirkel midpt C en vierhoek QUA D. OTB: Q̂ + Â = 180∘ BEWYS: Verbind UC en D C C1̂ = 2 Â (∠ midpts = 2 x omtreks ∠) C2̂ = 2Q̂ (∠ midpts = 2 x omtreks ∠) L Q̂ D = Â (buite ∠ v. kvh) Dan QC Y L ’n koordevierhoek Omgekeerde v. Stelling 6: (buite ∠ v. vierhoek = teenoorst. binne ∠) As die buitehoek van ‘n vierhoek gelyk is aan die teenoorstaande binnehoek van ‘n vierhoek, dan is dit ‘n koordevierhoek. VOORBEELD 2: Sirkel GH JK met GM ⊥ H J en GL ⊥ L J. G3̂ = 24∘ Bepaal die waarde van D.̂ H1̂ = F1̂ = 75∘ (buite ∠ van kvh) F1̂ = D̂ = 75∘ (buite ∠ van kvh) VOORBEELD 2: A BC D is ‘n parallelogram en B Â D = F1̂ . Bewys dat CE F G ‘n koordevierhoek is. C1̂ + C2̂ = 360∘ (∠‘e om ‘n punt) ∴ 2 Â + 2Q̂ = 360∘ ∴ Â + Q̂ = 180∘ VOORBEELD 1: Bereken die waarde van α. a) Is vierhoek GL J M ‘n koordevierhoek? b) Is vierhoek GL J H ‘n koordevierhoek? As L Q̂ D = Â dan is QUA D ‘n koordevierhoek a) M̂2 = 90∘ (Gegee GM ⊥ H J) L̂ = 90∘ (Gegee GL ⊥ L J) ∴ GL J M kvh (teenoorst. ∠‘e van vierhoek suppl) 55∘ − α + 41∘ + 3α = 2α = 2α = ∴α = 180∘ (teenoorst. ∠‘e van kvh) 180∘ − 96∘ 84∘ 42∘ b) Ĥ = 180∘ − 24∘ − 90∘ (∠‘e van Δ) Ĥ = 66∘ GL J H nie kvh (teenoorst ∠ = 156° nie 180°) B Â D = C1̂ (teenoorst. ∠‘e van parm) B Â D = F1̂ (gegee) ∴ C1̂ = F1̂ ∴ CE F G is n kvh (buite. ∠ v. vierhoek= teenoorst, binne ∠) 33 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Euklidiese Meetkunde Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte Stelling 7: (raaklyn ⟂ radius) ‘n Raaklyn aan ‘n sirkel is loodreg op die radius by die raakpunt. As TA N ‘n raaklyn is aan sirkel P, dan PA ⊥ TA N Omgekeerde v. Stelling 7: (lyn ⟂ radius) ‘n Lyn deur enige punt op ‘n sirkel loodreg op die radius, is ‘n raaklyn. VOORBEELD 1: Gegee sirkel O met raak lyn Z Y U en M N = F G. As Ĥ = 18∘ is, bepaal die grootte van Y2̂ . Y1̂ = Ĥ = 18∘ (= koorde, = ∠‘e) Y1̂ + Y2̂ = 90∘ (raaklyn ⟂ radius) ∴ Y2̂ = 90∘ − 18∘ = 72∘ VOORBEELD 2: Bewys dat T PK ’n raaklyn aan sirkel O is, met ’n radius van 8 cm, indien OK = 17 cm en PK = 15 cm is. SIRKELMEETKUNDE Stelling 8: (raaklyn vanuit dies. pt.) As twee raaklyne vanuit dieselfde punt aan ‘n sirkel getrek word, dan is die afstande vanaf die punt na die raakpunte gelyk. GEGEE: Raaklyne T PK en SR K tot sirkel O. OTB: PK = R K BEWYS: Konstrueer radiusse OR en OP en verbind OK. In ΔOPK en ΔOR K OP = OR (radiusse) OK = OK (gemeenskaplik) ̂ = O R̂ K = 90∘ (raaklyn ⟂ radius) O PK ∴ ΔOPK ≡ ΔOR K (RHS) ∴ PK = R K VOORBEELD: PK en K N is raaklyne aan sirkel M. As N1̂ = 24∘, bepaal die groote van P K̂ N. As PA ⊥ TA N, dan is TA N ’n raaklyn aan sirkel P. OP 2 Stelling 9: (∠ tussen raaklyn en koord) Die hoek wat gevorm word tussen ‘n raaklyn aan ‘n sirkel en ‘n koord wat vanuit die raakpunt getrek word, is gelyk aan die hoek in die oorstaande segment. GEGEE: Raaklyn TA N aan sirkel O, en koord AC onderspan B.̂ OTB: A1̂ = C2̂ BEWYS: Konstrueer die middellyn AOD en verbind D C. A1̂ + A2̂ = 90∘ (raaklyn ⟂ radius) PK 2 ∴ = + ∴ OP ⊥ T PK (Omgekeerde Stelling v. Pythagoras) ∴ T PK is n raaklyn aan sirkel O (lyn ⟂ radius) M N̂ K = 90∘ (raaklyn ⟂ radius) teenorst. ʘ seg) As ‘n lyn deur die eindpunt van ‘n koord ‘n hoek met die koord vorm wat gelyk is aan die hoek in die teenoorstaande segment, dan is die lyn ‘n raaklyn aan die sirkel. As Â = Ĉ of A2̂ = B,̂ TA N ’n raaklyn ∴ A1̂ = C2̂ VOORBEELD 1: T R N raak aan die sirkel by R en SR = RQ. As R1̂ = x, bepaal watter vyf hoeke is gelyk aan x. P2̂ = R 4̂ = x (∠ tussen raaklyn en koord) ∴ N2̂ = 66∘ PK = N K (raaklyn vanuit die. pt.) ̂ = 66∘ (∠ ‘e teenoor = sye) N2̂ = N PK ∴ P K̂ N = 48∘ (∠‘e van Δ) 34 Omgekeerde v. Stelling 9: (∠ tussen lyn en koord = in C1̂ + C2̂ = 90∘ (∠ in 1/2 ʘ) A2̂ = C1̂ (∠’e in dies ʘ seg) R1̂ = P1̂ = x (∠ tussen raaklyn en koord) Q2̂ = x (∠ tussen raaklyn of ∠’e in die ʘ seg) Q2̂ = S2̂ = x (∠‘e teenoor = sye) S2̂ = P2̂ = x (∠‘e dies. ʘ segm.) OK 2 = 172 = 289 OP 2 + PK 2 = 82 + 152 = 289 OK 2 SCIENCE CLINIC 2020 © Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Euklidiese Meetkunde Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte SIRKELMEETKUNDE VOORBEELD 2: In die figuur, is A D en A E raaklyne aan sirkel DE F. Die reguit lyn geteken deur A, is parallel met F D, ontmoet E D verleng by C en E F verleng B . Die raaklyn A D sny E B by G. Wenke vir die antwoord van Meetkunde Vrae • Lees deeglik en dui op die skets aan indien dit nie reeds gedoen is nie. • Moet nooit aannames maak nie. As dit nie gegee of aangedui is op die skets nie, is dit nie waar tot dit bewys is nie. • As jy waardes vir hoeke bepaal het of bewys het dat hulle gelyk is, dui dit op die skets aan en skryf dadelik die stelling en rede neer. • Maak seker dat jy al die informasie wat gegee is gebruik het, teen die einde van die vraag. • Wanneer daar gevra word dat jy iets moet bewys, kan jy aanneem dat dit waar is. • Byvoorbeeld: indien hul vereis dat jy moet bewys dat ABCD ‘n koordevierhoek is, is dit so. As jy sukkel met die bewys kan jy dit dus gebruik as’n bewys in een van die volgende gedeeltes van die vraag. a) Gegee E2̂ = x. Bewys dat A BDE ’n koordevierhoek is. b) As dit verder gegee word dat E F = DF, bewys dan dat A BC ’n raaklyn aan die sirkel is, wat deur die punte B, F en D gaan. a) E2̂ = D2̂ = x (∠ tussen raaklyn en koord) D2̂ = A2̂ = x (verw ∠’e AB||FD) ∴ A BDE is ′n koordevierhoek (lynstuk onderspan = ∠’e) b) E2̂ = D3̂ = x (∠‘e teenoor = sye) F1̂ = E2̂ + D3̂ = 2x (buite ∠’e van Δ) A E = A D (raaklyn vanuit dies. punt) E1̂ + E2̂ = D2̂ + D3̂ = 2x (∠‘e teenoor = sye) ∴ B3̂ = 2x (buite ∠ van kvh) B3̂ = F1̂ ∴ A BC raaklyn aan sirkel (∠ tussen raaklyn en koord) ALTERNATIEF F1̂ = B1̂ (verw ∠’e AB||FD) B1̂ = D2̂ + D3̂ (∠‘e dies. ʘ segm.) D1̂ = E1̂ (∠‘e dies. ʘ segm.) E1̂ = D3̂ (∠ tussen raaklyn en koord) ∴ B1̂ = D2̂ + D1̂ ∴ A BC raaklyn aan sirkel (∠ tussen raaklyn en koord) 35 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za SCIENCE CLINIC 2020 © Analitiese Meetkunde Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte Wat is Analitiese Meetkunde? VOORBEELD Analitiese Meetkunde (Koördinaat Meetkunde): Toepassing van reguit lyn funksies in samewerking met Euklidiese meetkunde d.m.v punte op ‘n Cartesiese Vlak te gebruik. TERUGBLITS Gegee: A(−2; 3) en C( p; − 5) is punte op ‘n Cartesiese Vlak. 1. Bepaal die waarde van p as AC = 10 eenhede. 2. Bepaal die vergelyking van lyn AC as C(4; − 5). 3. Bepaal die koördinate van M, die middelpunt van AC. Reguit lyn ewewydig aan die x-as: m = 0 5 Reguit lyn ewewydig aan die y-as: m = ongedinieerd 4. As B( − 1; ) bepaal A, B en C kolineêr. 3 Reguit Lyn Vergelyking: 5. Bepaal die vergelyking van die lyn loodreg op AC wat deur punt 4. Bewys die punte is kolineêr deur te bewys hulle het ‘n gemeenskaplik gradiënt. mAB = y − y1 Δy = 2 Δx x 2 − x1 Oplossing: 1. Skets ‘n rowwe diagram. C het twee potensiële x-koördinate vir p. Parallelle lyne: m1 = m 2 10 = m1 × m 2 = − 1 (x 2 − x1)2 + (y2 − y1)2 3− 5 3 −2 − (−1) mAB = − 4 3 − 4 × m2 = − 1 3 0 = p 2 + 4p − 32 m2 = 0 = ( p + 4)( p + 8) 3 4 p = 4 of p = − 8 Kolineêre punte: 2. Vergelyking van lyn vereis dat m en c opgelos moet word. mAB = mBC OF dAB + dBC = dAC Δy Δx y − y1 = 2 x 2 − x1 y = mx + c 4 (3) = − (−2) + c 3 m = Kolineêre punte A, B en C lê op dieselfde lyn mAC Middelpunt Formule: x 2 + x1 y2 + y1 ; 2 2 ) c = 3 − (−5) = −2 − 4 Middelpunt Stelling: Indien twee middelpunte op aangrensende sye van ‘n driehoek verbind word deur ‘n reguit lyn, sal die lyn, parallel aan en helfte van die afstand wees van die derde sy van die driehoek. mBC = Δy Δx 5 3 − (−5) −1 − 4 mBC = − mAC × m 2 = − 1 100 = p 2 + 4p + 4 + 64 (x 2 − x1)2 + (y2 − y1)2 m = 4 3 5. Vergelyking van lyn vereis dat m 2 en c opgelos moet word. ( p − (−2))2 + (−5 − 3)2 100 = ( p + 2)2 + 64 Afstand: Δy Δx ∴ A, B en C is kolineer d = Loodregte lyne: M(x ; y) = ( M(1; − 1) m = Gradiënt Formule: d = 3. Middelpunt Formule x + x1 y2 + y1 M(x ; y) = ( 2 ; 2 2 ) −2 + 4 3 + (−5) = ( ; ) 2 2 B gaan. y = mx + c m= SCIENCE CLINIC 2020 © y = mx + c 5 3 ( 3 ) = 4 (−1) + c c = 1 3 ∴y = 4 = − 3 ∴y = − 4 1 x+ 3 3 36 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za 29 12 4 29 x+ 3 12 Analitiese Meetkunde Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte Herlei gradiënt (m) na die inklinasie hoek (θ) mAB = Δy Δx m> 0 tan−1(m) = θ y B en tan θ = Herlei ‘n positiewe gradiënt na ‘n hoek ∴ mAB = tan θ Given: straight line with the equation Given: straight line with the equation inklinasiehoek afgrond tot tee desimale plekke. Determine the angle of inclination co Gegee: A(−1; − 6) en B(3; 5) is twee punte op ‘n reguit lyn. Bepaal die inklinasie hoek. daarom; θ A x θ Die inklinasie hoek (θ) word ‘n tussen die lyn en die horisontale vlak gevorm in ‘n antikloksgewys rigting. y Positiewe gradiënt: m> 0 tan−1(m) = θ A 11 = θ 4 ) Gegee: C (−5; 3) en D (7; − 2) is twee punte op ‘n reguit lyn. Bepaal die inklinasie hoek. Negatiewe gradiënt: A m< 0 tan−1(m) = verw ∠ Inklinasiehoek: θ + verw ∠ = 180∘ (∠‘e op reguit lyn) Die inklinasiehoek moet bereken word vanuit die verwysings hoek. 𝐶(−5; 3) B 𝑥 12 x verw Ref ∠ 𝐷(7; −2) θ + verw . ∠ = 180∘ m = tan θ 5 = tan θ 12 5 tan−1( ) = θ 12 ∴ verw . ∠ = - m>0; verw. ∠ = inklinasie hoek VOORBEELD Given: straight line with the equation Given: straight line with the equation of inclination co Determine the angle of inclination co inklinasiehoek afgerond tot twee desimale plekke. 𝑦 𝑦 𝑦 3𝑥 + 𝐵(3; 5) 3𝑥 + 5𝑦 = 3x + 5y = 7 5𝑦 = - kry in standaard vorm 𝑦=− 5y = − 3x + 7 𝑦= 3 7 x− 5 5 - sien dat m<0 11 5 verw Ref ∠ θ - verw. m en los op vir θ Example 2: Example 2: y = − 𝑦 y Inklinasie Angle of inclination hoek 𝑚= 4𝑚 = 4= 𝑡 3 = 3 tan−1 tan− 53,13 53,1 the angle 5y = 7. Bepaal Gegee: Reguit lyn met die vergelyking 3x +Determine die Inklinasiehoek: θ + verw ∠ = 180∘ (∠e op reguit lyn) θ - kry in standaard vorm - sien dat m>0 ∴ θ = 53,13∘ m< 0 tan−1(m) = verw ∠ x 3y = 4x − 5 4 5 y = x− 3 3 Determine the angle of inclination co 𝑦 3𝑦 − 𝑦 3𝑦=− 3𝑦 3𝑦 = 4 𝑦= 𝑦 =3 𝑥 𝑥 4 tan−1( ) = θ 3 70∘ Herlei ‘n negatiewe gradiënt na ‘n hoek θ 3y − 4x = − 5 m = tan θ 4 = tan θ 3 5 − (−6) = tan θ 3 − (−1) ∴θ = B Angle of Inklinasie inclination hoek Die verwysings hoek is gelyk aan die inklinasiehoek. m = tan θ y2 − y1 = tan θ x 2 − x1 tan−1( Example 1: Example 1: VOORBEELD Gegee: Reguit lyn met die vergelyking 3y − 4x = − 5. Bepaal die Die verwysingshoek is gelyk aan die inklinasiehoek. o Δy = a Δx GradeSCIENCE 11 Examples: CLINIC 2020 © Grade 11 Examples: m = tan θ 3 = tan θ 5 - verv. m as positiewe waarde en los op vir ∠ 𝐴(−1; −6) 3 (5) = θ tan−1 𝑥 4 ∴ verw . ∠ = 30,96∘ θ = 180∘ − 22,6∘ = 157,4∘ θ + verw . ∠ = 180∘ - m<0; θ = verw. ∠ + θ = 180° 180∘ − 30,96∘ θ = 149,04∘ 22,6∘ 37 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za 𝑦 𝐹(4; 2) 𝑦 𝑥 𝑥 𝑚= 3𝑚 = 3= 𝑡 5 = 5 tan−1 tan− 30,96 30,9 𝜃=1 𝜃= 𝜃=1 𝜃= Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte Bepaal ‘n hoek wat nie ‘n verhouding VOORBEELD met die horisontale vlak het Konstrueer ‘n horisontale vlak, parallel aan die x-as. Dit stel jou in staat om “som van aangrensende hoeke op ‘n reguit lyn” te gebruik om sodoende die waarde van die hoek te bereken. y Analitiese Meetkunde vergelyking y + 2x = 10, gaan deur punt B en C. M is die middelpunt van BC. A, B en C is die hoekpunte van ̂ = θ. A en M lê op die x-as. Δ A BC. M AC y Onthou5 om die – teken by negatiewe 𝑥 antwoorde vir 12die gradiënt te voeg. 𝐷(7; −2) Vrae: Gegee: E en F (4; 2) is punte op ‘n reguitlyn B 1. Bepaal die volgende: a. Die koördinate van A K(6;2) b. Die koördinate van M. x c. Die koördinate van B. 2. Watter tipe driehoek is θ 3. As A 4. As K(6;2) x 2y – x = 5 β 3 = t a nα t a n−1(3) 71,6∘ = α = α plekke. 𝑦 𝐹(4; 2) y + 2x = 10 A(−5; 0) en B(3; 4), wys dat A B = BC (los jou antwoord in eenvoudigste 36,9° 6. As mKL = m = t a nβ 5 = t a nβ 8 5 t a n−1 = β (8) 32∘ = β = 180∘ − (71,6∘ + 32∘ ) = 76,4∘ (∠ ‘e van ‘n Δ) 𝐸 A BCD ‘n vierkant is, bepaal die koördinate van D. 2y = x + 5 1 5 y = x+ 2 2 x − afsnit : 0 = 1 5 x+ 2 2 b. y + 2x + 10 x − afsnit : 0 = − 2x + 10 y = − 2x + 10 2x = 10 x = 5 c. 1 5 x+ = − 2x + 10 2 2 5x = 15 m = tan θ 3. dAB = ∴ M(5; 0) y = − 2(3) + 10 y = 4 ∴ B(3; 4) (−5 − 3)2 + (0 − 4)2 dBC = = 4 5 (3 − 7)2 + (4 − (−4))2 = 4 5 ∴ A B = BC 0= x+ 5 −5 = x ∴ A(−5; 0) x + 5 = − 4x + 20 θ = 180∘ − (α + β ) MN te bepaal. 7. Los op vir θ, rond af tot een desimale plek. 5 8 𝑥 C(7; − 4), bepaal die koördinate van N, die middelpunt van AC. a. 2y − x = 5 L(–2; –3) m = t a nα x C A BC? Gee ‘n rede vir jou antwoord. Oplossing: 6 = −3 2 waarde van m, afgerond tot twee desimale M θ 5. Gebruik die waarde of enige ander metode om die lengte van J(–4; 3) mJL = − met ‘n inklinasiehoek van 36,9°. Bepaal die wortelvorm). y α θ Herlei ‘n hoek na ‘n gradiënt toe 𝐶(−5; 3) Verv. die verw. ∠ in m = tan θ. Gegee: In die diagram: Reguitlyn met vergelyking 2y − x = 5, gaan deur punt A en B. Reguitlyn met J(–4; 3) L(–2; –3) SCIENCE CLINIC 2020 © 𝑦 4. N (x ; y) = N (1; − 2) ( −5 + 7 0 + (−4) ; ) 2 2 1. Maak ‘n vinnige rowwe skets indien daar koördinate, sonder ‘n skets, gegee is. 6. As A BC D ‘n vierkant is, dan is AC die hoeklyn, wat veroorsaak dat N die middelpunt is vir beide hoeklyne ∴ D (−3; − 8) Δy Δx 0 − (−4) = −5 − 7 1 = − 3 x = 3 2. A BC is ‘n reghoekige driehoek: mAD × mBC = − 1 ∴ b = 90∘ m = t a nθ 1 = t a nθ 3 1 t a n−1 − = θ ( 3) − θ = 18,4∘ 38 m = 0,75 NUTTIGE WENKE: 5. M N = 2 5 (Midpt.-stelling) 7. mAC = m = tan(36,9∘ ) Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za 2. Maak altyd y die onderwerp wanneer reguitlyn formules gegee word. 3. Ken die tipes drie- en vierhoeke. Dit kom algemeen voor dat jy hul of hul eienskappe moet bewys. 4. Die inklinasiehoek is ALTYD in verhouding met die horisontale vlak. Statistiek Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte VERTEENWOORDIG DATA ONTHOU Ongegroepeerde data = diskreet Gegroepeerde data = deurlopend Diskrete data: Data wat getel kan word, bv. die aantal mense. NB: Rangskik data altyd in toemende volgorde Deurlopende data: kwantitatiewe data wat gemeet word, vb. temperatuur reeks. Maatstawwe van sentrale neiging: ‘n Beskrywende opsomming van ‘n datastel d.m.v. ‘n enkele waarde wat die verspreiding van data sal voorstel. SCIENCE CLINIC 2020 © FREKWENSIETABEL Punte Telling STINGEL-EN-BLAAR DIAGRAM Frekwensie Stingel STAAFGRAFIEK HISTOGRAM Blaar 7 Maatstawwe van verspreiding: Die verspreiding van ‘n datastel is die hoeveelheid variasie wat mens in die stel data sien. 4 || 2 0 1, 1, 2, 2, 3, 4 6 5 || 2 1 0, 0, 0, 1, 1, 1 5 Kumulatiewe frekwensie: Die kumulatiewe frekwensie word bereken van die frekwensietabel af deur elke frekwensiewaarde by die totaal van die voorafgaande frekwensiewaardes in die datastel te tel. 6 |||| 4 2 5, 5, 7, 7, 8, 8 7 |||| 5 3 0, 1, 1, 1, 2, 2 8 |||| 4 4 0, 4, 8, 9 9 || 2 5 2, 6, 7, 7, 8 10 | 1 6 3, 6 Variansie: is ’n aanduiding van hoe ver elke waarde in die datastel van die gemiddelde waarde. ‘n Klein variansie word gegee deur ‘n klein mate van verandering. Standaard afwyking: Die hoeveelheid waarmee ‘n data waarde of interval afwyk van die gemiddelde van die datastel. Tweeveranderlike: Data met twee veranderlikes Interpolasie: Die voorspel van ‘n waarde tussen twee bekende waardes van reeks van getalle. Ekstrapolasie: Die voorspel van ‘n waarde deur die reeks van waarde te verleng of feite buite die definitiewe waarde. 1 0 6 4 2 0 [0–3] [3–6] [6–9] [9–12] [12–15] Punt 80 60 variasiewydte = maks waarde − min waarde 20 0 Nota: Variasiewydte word baie IKV = Q 3 − Q1 Nota: sterk 50% van die datastel beïnvloed deur uitskieters 3 6 9 12 15 Punt Semi-Interkwartielvariasiewydte 1 semi − IKV = (Q3 − Q1) 2 Nota: Goeie maatstaf van verspreiding vir data wat asimmetries versprei is. 39 20~30 30~40 Persentiel Dui die persentasie van data aan wat onder ‘n sekere persentiel val. Q1= 25ste persentiel Q2= 50ste persentiel Q3= 75ste persentiel 40 Interkwartielvariasiewydte 10~20 Kwartiele Die drie kwartiele verdeel die data in vier kwarte. Q1 = Onderste kwartiel of eerste kwartiel Q2 = Tweede kwartiel of mediaan Q3 = Boonste kwartiel of derde kwartiele MAATSTAWWE VAN VERSPREIDING Variasiewydte 0~10 AANWYSERS VAN POSISIE 100 Kumulatiewe frekwensie Eenveranderlike: Data met slegs een veranderlike 2 OGIEWE 8 Frekwensie Veroorsaking: Die aksie wat iets veroorsaak 3 FREKWENSIEVEELHOEK Uitskieter: Enige data waarde wat meer as 1, 5 v.d. IKV na links van Q1 of na regs van Q3 is, m.a.w. Uitskieter < Q1 – (1,5×IKV) of Uitskieter > Q3 + (1,5×IKV) 4 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Alle ander persentiele kan verkry word deur die formule: i= p (n) 100 waar; i = die posisie van die persentiel p p = die waarde van die posiesie i Statistiek Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte MAATSTAWWE VIR SENTRALE NEIGING VIR ONGEGROEPEERDE DATA Gemiddelde som van al diewaardes x̄ = totale aantal waardes Σx x̄ = n waar; x̄ = gemiddelde Σx = som van al die waardes n = aantal waardes Modus Dies modus is die waarde, in ‘n datastel, wat die meeste voorkom. Bimodale: ‘n datastel met twee modusse Trimodal: ‘n datastel met drie modusse Mediaan MAATSTAWWE VAN VERSPREIDING RONDOM DIE GEMIDDELDE Variansie Variansie meet die veranderlikheid van die gemiddelde. Die variansie van ‘n bevolking word bereken deur: 1.Bereken die gemiddelde. 2. Trek die gemiddelde af van elke datawaardes en dan word die resultaat gekwadreer. Die resultate word gekwadreer om negatiewe waardes positief te maak. Anders sal negatiewe waardes positiewe waardes, in die volgende stap, mekaar uitkanselleer. Dis die aftand vanaf die gemiddelde, positiewe of negatiewe waardes is irrelevant . 3. Bepaal die gemiddeld van die gekwadreerde verskille 1 (n+ 1) 2 Waar; n = aantal waardes As n = ewe getal, is die mediaan deel van die datastel As n = onewe getal, is die mediaan die gemiddeld tussen die twee middelste nommers. VYF GETAL OPSOMMING 1. 2. 3. 4. 5. Frekwensie (f ) Interval (x − x̄ )2 f (x − x̄ )2 3 × 5 = 15 (5 − 15,71)2 = 114,7 3(114,7) = 344,11 7 × 15 = 105 (15 − 15,71)2 = 0,5 7(0,5) = 3,53 (25 − 15,71)2 = 88,3 4(88,3) = 354,22 ( f × x) 10 ≤ x ≤ 20 7 20 ≤ x ≤ 30 4 30 + 20 = 25 2 4 × 25 = 100 totaal : 14 14 220 40 50 60 220 14 Σf(x − x)2 = 692, 86 σ = Shift: Setup screendown. 3: STAT Frekwensie? 1: ON = 2: OFF Gegroepeerde data Σ f (x − x )2 n 692,86 14 SAKREKENAAR STAPPE: Mode 2: STAT 1: VAR Standaard afwyking: = 7,03 30 som van al diewaardes totale aantalwaardes = 15,71 te Bo on s n Bo on s ed ia a M te kw ar ui te rs te tie l tie l kw ar te Middelpunt boonste klas grens + onderste klas grens x = 2 10 + 0 = 5 2 20 + 10 = 15 15 3 = te ui te rs de rs te On de rs On waar; n = aantal waardes x = middelpunt x̄ = geskatte gemiddelde 0 ≤ x ≤ 10 gemiddelde(x ) = MOND EN SNOR DIAGRAM ‘n Mond-en-snor diagram is ‘n visuele verteenwoordiging van vyf getal opsomings. 20 Σ f (x − x̄ )2 n σ = Gemiddelde: Minimum waarde Onderste kwartiel Q1 Mediaan Boonste kwartiel Q3 Maksimum waarde 10 Standaard afwyking Standaard afwyking is die hoeveelheid waarmee ‘n data waarde of interval verskil van die gemiddelde van ‘n data stel. VOORBEELD: Deurlopende data is gegroepeer in intervalle wat bestaan uit ‘n hoër klas grens (maksimum waarde)en laer klas grens (minimum waarde). Die mediaan is die middelste nommer in ‘n stel data punte posisie van die mediaan = SCIENCE CLINIC 2020 © Gee data (x = mid pt) AC ’n Klein standaardafwyking dui aan dat die data waardes naby aan die gemiddeld gegroepeer is, ’n groot standaardafwyking dui aan dat die data waardes ver van die gemiddeld is. 40 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za Shift 4: VAR 2: x̄ (mean) 3: σ x (std deviation) Statistiek Graad 11 Wiskunde Kernkonsepte MAATSTAWWE VIR SENTRALE NEIGING VIR ONGEGROEPEERDE DATA Geskatte gemiddelde som van al diefrekwensies × gemiddelde waarde (x ) = totale frekwensie SCIENCE CLINIC 2020 © VOORBEELD: Stap 1: Bepaal die kumulatiewe frekwensie vanuit die frekwensietabel. Ons doen ‘n opname oor die ouderdomme van mense wat ‘n winkel besoek, 80 mense neem aan die opnamme deel. Interval Σf ⋅ x x̄ = n waar; x̄ = geskatte gemiddeld n = aantal waardes Frekwensie Kumulatiewe Frekwensie Interpretasie Grafiek Punte 0 ≤ x < 15 0 0 0 deelnemers is onder 15. (15;0) 15 ≤ x < 30 14 0 + 14 = 14 14 mense is jonger as 30. (30;14) 30 ≤ x < 45 22 14 + 22 = 36 36 mense is jonger as 45. (45;36) 45 ≤ x < 60 30 36 + 30 = 66 66 mense is jonger as 60. (60;66) 60 ≤ x < 75 14 66+ 14 = 80 Alle deelnemers was jonger as 75. (75;80) Stap 2: Verteenwoordig die informasie op ‘n kumulatiewe frekwensie/ogief kurwe Modale interval 100 Die modale interval is die interval wat die grootste f hoeveelheid data punte. 80 Kum. Frek Mediaan interval Die mediaan interval is die interval, in ‘n data stel, wat die middelste waarde bevat. Koördinate (x;y) Die grafiek is ‘n S-vormig. 90 Die x-koördinate verteenwoordig die boonste grens van die interval. y-koördinate verteenwoordig die kumulatiewe frekwensie. 70 60 Interpretasie van die grafiek: Mediaan Daar is ‘n ewe getal data waardes in ons stel van (80). Dus, lê die mediaan tussen die twee middel waardes. Die mediaan lê halfpad tussen 40ste en 41ste waarde. Bepaal die waarde op die y-as en trek ‘n lyn van dié punt om sodoende die waarde te bepaal op die x-as. !# 50 40 M 30 20 10 x f 15 90 30 Q1 = 34 M = 48 Q3 = 58 90ste persentiel = 66 80 70 60 45 60 100Persentiele f 75 Ouderdom 40 Simmetries 50 40 Skeefgetrekte data 30 30 Asimmetriese data is data wat meer na die een, of die ander kant verspreid is. 40 10 x 15 75 30 45 60 75 Skeef na links: skeef na links as die stert langer aan die linkerkant is. 41 10 x modus 60 mediaan 45 gemiddelde 30 20 20 Vir verdere inligting oor Science Clinic se seminare, klasse en hulpbronne, besoek gerus www.scienceclinic.co.za x 15 mediaan 10 30 45 60 75 gemiddelde 30 Simmetriese data het ‘n gebalanseerde vorm, met ‘n gemiddelde, mediaan en modus naby aan mekaargether. 20 15 f 60 60 50 SIMMETRIESE EN ASIMMETRIES DATA 50 gemiddelde = mediaam = modus 100 Die mediaan en die kwartiele verdeel die datastel in 50% en 90 25% onderskeidelik, sou jy ‘n ander persentiel moes bereken, kan jy dit van die grafiek af kees of uitwerk. 80 80Berekening van die 90ste persentiel: 0,9 × 80 = 72 70So 90% van die data is onder die 72ste waarde wat in die laaste 70 interval sal wes. 90 modus 100 Kwartiele Gebruik dieselfde metode om die mediaan te bepaal, vir die bepaal van die boonste- en onderste kwartiele. !" Skeef na regs: skeef na regs as die stert langer aan die regterkart is.

Graad 11 Wiskunde Kernconcepten Samenvatting

Products

Support

Graad 11 Wiskunde Kernconcepten Samenvatting

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib