ECUACIÓN DE BUCKLEY-LEVERETT
EFICIENCIA AL DESPLAZAMIENTO
DEFINICIÓN
Se define la eficiencia al desplazamiento de petróleo por un agente desplazante, agua o gas,
por
volumen de petroleo desplazado
ED =
volumen de petroleo contactado por agua o gas
E D =1 −
S om
1 − S wc − S om
=
S o , IN
1 − S wc
(1)
donde,
Som = saturación de petróleo promedio en el medio poroso, variable en el
So,IN = saturación de petróleo promedio inicial = 1 − S wc
tiempo
La eficiencia al desplazamiento teórica variaría entre 0 y 1. El valor 1 correspondería a la
saturación nula de petróleo en el medio poroso. En la práctica, aún barriendo el reservorio
por largo tiempo, queda una saturación de petróleo entrampada. Por eso, la eficiencia está
limitada por la saturación residual de petróleo, Som=Sor, para E D máximo.
La eficiencia al desplazamiento está influenciada por las condiciones iniciales, el agente
desplazante, el volumen de agente inyectado; y las propiedades de la roca, de los fluidos y
de la interacción roca-fluido.
Durante el barrido de un reservorio, la eficiencia al desplazamiento coincidiría con la
eficiencia en la recuperación, ER , si hipotéticamente el fluido inyectado contactara todo el
petróleo del reservorio.
Np
ED = ER =
(2)
N
La eficiencia al desplazamiento se mide con un ensayo de flujo en un testigo de roca en el
laboratorio. También se puede estimar con la teoría que se describe a continuación.
DESPLAZAMIENTO INMISCIBLE. HIPÓTESIS FÍSICAS
Se presentará un modelo matemático para estimar la eficiencia al desplazamiento de acuerdo
a la teoría de Buckley-Leverett y de Welge. Las hipótesis de dicha teoría son:
• Flujo bifásico: se inyecta agua en el borde de entrada y se extraen agua y petróleo en el
borde de salida. La roca-reservorio es mojable al agua, entonces el proceso es una
imbibición.
• No hay fuentes ni sumideros en el medio poroso.
• Flujo incompresible: el caudal total, igual a la suma del caudal de agua y del caudal de
petróleo, es igual al caudal de agua inyectada.
• Flujo lineal y unidimensional.
• Medio poroso homogéneo: porosidad y la permeabilidad constantes. En la práctica todas
las rocas son heterogéneas. Entonces, se estima un valor promedio de las porosidades y
de las permeabilidades medidas: usualmente la media aritmética para las porosidades y la
1
media geométrica para las permeabilidades. Para un sistema heterogéneo se considera la
media geométrica de las permeabilidades como el valor más probable. Estos valores
promedio se utilizan en la modelización.
• Se desprecia el gradiente de la presión capilar en la dirección del flujo.
Antes de describir la teoría de Buckey-Leverett, se definirá el concepto de flujo fraccional.
LA EC. DEL FLUJO FRACCIONAL
Se define el flujo fraccional de agua como,
qw
fw =
(3)
qo + q w
Como los fluidos se consideran incompresibles, el caudal total es igual a la suma de los
caudales de agua y de petróleo, a su vez igual al caudal inyectado.
qt = qo + q w = qIN
(4)
ECUACION DE BUCKLEY – LEVERETT
Se realiza un balance de masa de agua en un elemento de volumen del reservorio lineal,
como el de la Fig. 8,
dx
q wρ w x + dx
q wρ w x
Fig. 8- Flujo másico de agua a través de un elemento de volumen en un medio poroso lineal
y unidimensional
 masa 
 masa 
 masa acumulada 
−
=
 tiempo 


tiempo

 entrada  tiempo  salida 
 elementodevolumen
(qw ⋅ ρw ) x − (qw ⋅ ρw ) x+dx = A⋅ φ ⋅ dx ⋅
∂ ( ρw ⋅ S w )
∂t
(17)
Aplicando la definición de derivada y eliminando la densidad del agua por ser el flujo
incompresible,
∂q w
∂S w
= − A⋅ φ ⋅
∂x
∂t
(18)
Se busca despejar de la Ec. 18 la velocidad de un frente de saturación de agua constante:
[dx dt ]Sw . Nótese que la Ec. 18 contiene derivadas parciales pues Sw ( x , t ) y qw ( x , t ) .
Para un frente de saturación de agua constante, d Sw = 0 .
2
 ∂S 
 ∂S 
dSw =  w  ⋅ dx +  w  ⋅ dt
 ∂t  x
 ∂x  t
(19)
 ∂S 
− w
 ∂x  t
(20)
 ∂S 
 dx 
⋅  =  w 
 dt  Sw  ∂t  x
∂q w
Además se expresa
evaluado a tiempo t como,
∂x
 ∂qw   ∂S w 
 ∂qw 
 ∂x  =  ∂S  ⋅  ∂x 

t  w t 
t
Sustituyendo las Ecs. 20 y 21 en la Ec. 18, encontramos:
 ∂q w 
 dx 

 = A ⋅ φ.  
 dt  Sw
 ∂S w  t
Introduciendo la definición de flujo fraccional, qw = qt .fw
q  df 
 dx 
v Sw =   = t ⋅  w 
 dt  S w A ⋅ φ  dS w  S
(21)
(22)
(23)
w
Esta es la Ec. de Buckley y Leverett: la velocidad de un plano de saturación de agua
constante es proporcional a la derivada del flujo fraccional evaluada a esa saturación.
Integrando entre el tiempo inicial, al comenzar la inyección y un tiempo cualquiera de
recuperación, se puede encontrar el punto alcanzado por el plano de saturación constante de
agua,
x Sw =
1  df w  t
⋅
 ∫ qt ⋅ dt
A ⋅ φ  dS w  S 0
(24)
w
El valor de la integral es el volumen acumulado de agua inyectada, Wi . Este depende del
tiempo de inyección, siendo la condición inicial usual, Wi = 0 cuando
t = 0. Entonces,
W  df 
(25)
x Sw = i ⋅  w 
A ⋅ φ  dS w  Sw
Resulta conveniente introducir las siguientes variables adimensionales,
x
(26)
xD =
L
donde L es la longitud del medio poroso, y
W
(27)
WiD = i
ALφ
WiD es el número de volúmenes porales de agua inyectados; proporcional al tiempo de
inyección. Por eso, algunos autores (Enhanced Oil Recovery, Lake 1989) lo denominan
tiempo adimensional,
t D = WiD
(28)
Con estas variables adimensionales, la Ec. 25 se puede reescribir como
 df 
(29)
xD S = t D  w 
w
dS
 w S
w
3
Esta ecuación permite encontrar x D (S w ) o recíprocamente la distribución de la saturación
de agua S w D ( x ) . Para ello, hay que calcular la derivada del flujo fraccional con respecto a
la saturación de agua. En la Fig. 9 se muestra la derivada que corresponde a la curva de flujo
fraccional de la Fig. 4, con µ w µo = 0.1 . La Fig. 4 muestra que la curva de flujo fraccional
tiene generalmente un punto de inflexión. Por lo tanto, su derivada presenta un máximo (Fig.
9).
4,5
4,0
3,5
dfw/dSw
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80
Swc
1-Sor
Sw
Fig. 9- Derivada del flujo fraccional respecto de la saturación de agua, típica de una
muestra de roca mojable al agua (Datos de la Fig. 4 con µ w µo = 0.1 )
1-Sor 0,80
0,75
0,70
0,65
0,60
Sw 0,55
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
Swc 0,25
0,0
0
|
|
0.2
|
|
|
xD
0.4
x
|
0.6
|
|
0.8
|
4,5
1
Fig. 10a- Representación gráfica de la Ec. 29. Distribución de la saturación de agua en
función de la distancia adimensional para tD =0.22 y los mismos datos de la Fig. 9.
4
1-Sor 0,80
0,75
0,70
0,65
0,60
Sw 0,55
|
0,50
Swf = 0.514
0,45
0,40
0,35
0,30
Swc 0,25
0,0
0
|
|
|
0.2
|
|
xxD
0.4
xD = 0.616
||
|
0.6
|
|
0.8
4,5
1
Fig. 10b- Compensación de áreas para hallar el frente de choque.
1-Sor 0,80
0,75
0,70
0,65
0,60
Sw 0,55
|
0,50
Swf = 0.514
0,45
0,40
0,35
0,30
Swc 0,25
0,0
0
|
|
0.2
|
|
|
xxD
0.4
|
0.6
|
|
0.8
|
4,5
1
Fig. 10c- Distribución de la saturación de agua de la Fig. 10a mostrando el frente de
choque.
Distribución de la saturación de agua en el medio poroso. Formación de un frente
discontinuo.
Para encontrar x D (S w ) o Sw (xD) con la Ec. 25, hay que fijar un valor al tiempo
adimensional. En la Fig. 10a se representa la distribución de la saturación de agua en el
medio porosos para tD = 0.22 , es decir, cuando se inyectó un volumen de agua igual al 22%
5
del volumen poral. Este valor se fijó arbitrariamente. Las Fig. 9 y 10 se trazaron con los
datos del Apéndice A.
La solución Sw (xD) presenta más de un valor de Sw para una distancia xD (Fig. 10a). Esto no
tienen sentido físico. La solución múltiple es ficticia y proviene de haber despreciado la
presión capilar.
En forma intuitiva, Buckley y Leverett (1942) dedujeron que, en realidad, los planos de
saturación Sw intermedios tienen mayor velocidad que los de Sw pequeños (ver Ec. 23 y Fig.
9). Entonces los alcanzan y se forma una discontinuidad en la curva Sw(x). Esta
discontinuidad o frente de choque (shock front) se muestra en la Fig. 10b. La saturación en
el frente de choque se denomina Swf . Este valor se encuentra mediante un balance de agua
(Lake,1989), haciendo que las áreas por delante y por detrás del frente de choque sean
iguales.
Aguas arriba del frente la saturación es la connata, Swc. Aguas abajo del frente, vale la Ec. de
Buckley-Leverett. La distribución de la saturación de agua se muestra en la Fig. 10c. Nótese
que en dicha figura sólo se han utilizado los valores de Sw>Swf. Cuando no se desprecia la
presión capilar, se puede ver que los valores de Sw bajos o intermedios están influidos por
los valores altos de ∂ Pc ∂ S w (Fundamental of Reservoir Simulation, Dake,1978). Por eso,
para Sw, bajos o intermedios los términos capilares no pueden despreciarse.
La existencia de un frente discontinuo está comprobada por experiencias de laboratorio
(Waterflooding, Society of Petroleum Engineers, Willhite, 1986)
Avance del frente de agua en el medio poroso.
La distribución de la saturación de agua en el medio poroso depende del volumen de agua
inyectado Wi y, en consecuencia, del tiempo de inyección, tD. En la Fig. 11 se muestra como
avanza el frente de choque al aumentar el tiempo tD desde 0.1 hasta 0.8. Para trazar los
gráficos se utilizó la Ec. 29.
 df 
para S w ≥ S wf
(29)
xD S = t D  w 
w
dS
 w S
w
S w = S wc
para S w ≤ S wf
En el próximo punto se demuestra que S wf y [∂ f w ∂ S w ]S no dependen del tiempo de
wf
inyección. Para los datos acá utilizados S wf = 0.514, [∂ f w ∂ S w ]S = 2.802 .
wf
Con la Ec. 29, se estiman los valores x D
para cada tiempo tD, y se muestran en la Fig.
S wf
11. El agua irrumpe en la salida a un tiempo adimensional de "breakthrough" que es
xD
S wf
= tD x 2.802 = 1 ⇒ tD = 0.357.
6
1
0 .9
0 .8
0 .7
0 .6
S w 0 .5
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
0
t D = 0 .1
xD
0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
0 .5
0 .6
0 .7
S wf
= 0 . 28
0 .8
0 .9
1
0.9
1
xD
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
Sw 0.4
0.3
0.2
0.1
0
tD=0.2
xD
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Swf
0.7
= 0.56
0.8
xD
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
Sw 0.4
0.3
0.2
0.1
0
tD=0.4
xD
0
S wf
0.1
= 1.12
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.6
0.7
0.8
0.9
1
xD
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
Sw 0.4
0.3
0.2
0.1
0
tD=0.8
xD
0
S wf
0.1
= 2.24
0.2
0.3
0.4
0.5
0.9
1
xD
Fig. 11. Avance del frente de agua para tD = 0.1, 0.2, 0.4 y 0.8 .
Un método alternativo de estimar la saturación de agua en el frente discontinuo.
La Fig. 12 muestra la distribución de saturaciones a un tiempo fijo, antes que el agua
irrumpa en el pozo productor (tiempo de breakthrough). El frente alcanzó una posición x2 y
el agua total que ingresó es Wi.
7
1,0
0,9
1-S or 0,8
0,7
S w m 0,6
S wf
0,5
0,4
0,3
S wc
0,2
0,1
0,0
x1
0,00
x2
Fig.12 - Distribución de saturación de agua antes del “breakthrough”
Haciendo un balance de agua,
Wi = x2 ⋅ A ⋅ φ ⋅ ( S wm − S wc )
(30)
y usando la Ec. (25) ,
S wm − S wc =
Wi
1
=
x2 ⋅ A ⋅ φ  df w 


 dS w  S wf
(31)
 df w 
1− 0
=


S wm − S wc
 dS w  S wf
(32)
Analicemos el significado geométrico de la Ec. 32, en la Fig. 13. La Ec. 32 indica que la
tangente a la curva de flujo fraccional trazada desde el punto (Swc, fw=0) toca a la curva en
(Swf, fw(Swf)). La extrapolación de esa tangente intercepta a la recta horizontal de fw=1, en
el punto (Swm, fw=1). De esta manera se encuentran la saturación de agua en el frente de
choque y la saturación promedio de agua por detrás de dicho frente.
Recuérdese que el desarrollo de este método se basó en despreciar el gradiente de la presión
capilar con respecto a la dirección de flujo. Pero esta hipótesis es aceptable para saturaciones
de agua intermedias o altas. Justamente entonces, se la aplica para saturaciones de agua
iguales o mayores que la saturación en el frente discontinuo, Swf . La parte de la curva con
saturaciones de agua menores que Swf no es utilizada en la práctica. Este criterio equivale a
la compensación de áreas realizada en la Fig. 10b.
8
S wm
fw = 1
S wf
fw
0
0,25
S wc
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
Sw
0,80
1-S or
Fig. 13- Tangente a la curva de flujo fraccional, desde S w = S wc
Por lo tanto el método consiste en:
1. Construir la curva de flujo fraccional.
2. Trazar la tangente a esta curva desde el punto de saturación de agua connata Swc y flujo
fraccional nulo (Swc, fw=0) .
3. Determinar así, la saturación de agua en el frente de choque Swf y la saturación de agua
promedio por detrás de dicho frente Swm.
Este procedimiento gráfico tiene una importante aplicación práctica. en el cálculo del
petróleo recuperable mediante la inyección de agua en el "breakthrough".
9
ECUACION DE WELGE
El método de Welge (1952) permite obtener la saturación promedio de agua, detrás del
frente de choque, Swm. Con ese fin, se integra la distribución de la saturación de agua en la
distancia, Sw(x).
La saturación de agua promedio, se puede obtener integrando a lo largo del reservorio la
distribución de las saturaciones de agua entre dos puntos (Fig. 12),
x2
∫ S w ⋅ dx
S wm =
x1
(33)
x2 − x1
En realidad, x1=0, entrada al medio poroso. Reemplazando la distancia x por su valor de la
Ec. 25,
S wm =
x2
 df
x1


w
∫ S w ⋅ d  dS 
w
(34)
 df w 


 dS w  Swf
Resolviendo la integral del numerador usando integración por partes:
∫ u dv = uv − ∫ v du
S wf
S wf
 df   df 
S
S w d  w  = S w w 
− [ f w ]1−wfS
∫
or
 dS w   dS w  1− Sor
1− S or
(35)
donde [df w dS w ]1− S = 0 (Fig. 9), y [ f w ]1− S = 1
or
or
Sustituyendo la Ec. 35 en la Ec. 34 y cancelando términos, se obtiene,
S wm =
 df 
S wf  w 
+ (1 − f w
 dS w  Swf
Swf
)
(36)
 df w 
 dS 
 w  Swf
 df 
Finalmente despejando  w 
 dS w  Swf
(1 − f w S )
 df w 
wf
=


m
S w − S wf
 dS w  Swf
(37)
Esta es la ecuación de Welge. La Ec. 37 es complementaria de la Ec. 32. Su significado
geométrico se muestra en la Fig. 14. Se la aplica para hallar la saturación de agua a la salida
(en el pozo productor), en el breakthrough o luego de éste.
10
Luego del breakthrough, tanto la saturación de agua como el flujo fraccional aumentan con
el tiempo en el pozo productor (ver Fig. 11). Se le adicionará el subíndice e (exit) a la
saturación de agua y el flujo fraccional de agua en la salida.
Según la Ec. de Welge 37,
 df w 
(1 − f we )
=


m
 dS w  Swe S w − S we
(38)
o sea,
Swm = S we +
(1 − f we )
 df w 
 dS 
 w  Swe
(38')
En forma gráfica, para cada valor de Sw>Swbt, se traza la tangente a la curva de flujo
fraccional. dicha tangente intercepta a la línea horizontal de fw=1 en el punto buscado Swm
(Fig. 14).
Swm
fw = 1
S we , f we
1− f we
Swm − Swe
S wbt , f wbt
fw
0
0,25
0,30
0,35
S wc
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
Sw
0,65
0,70
0,75
0,80
1-S or
Fig. 14- Aplicación de la Ec. 37 de Welge para encontrar Swm después del “breakthrough”
Este procedimiento gráfico tiene una importante aplicación práctica en el cálculo del
petróleo recuperable mediante la inyección de agua después del breakthrough. Se describirá
en la próxima sección.
CALCULO DEL PETROLEO RECUPERABLE
Antes del “breakthrough”
El desplazamiento es incompresible y todavía no se produce agua. Entonces, el petróleo
recuperado es igual al agua inyectada,
Np=Wi = qi t
(39)
11
donde qi es el caudal de inyección (dato). La Ec. 39, que indica el petróleo recuperado al
tiempo t < t bt , es obvia. Nótese que resulta innecesario en este período utilizar las
ecuaciones de Buckley-Leverett y de Welge.
En el “breakthrough”
El petróleo recuperado cuando el agua irrumpe en el pozo productor es todavía igual al agua
inyectada. Entonces, sigue siendo válida la Ec. 39. Es útil expresarla en forma adimensional.
N pD = WiD
(40)
donde
N pD =
Np
(41)
ALφ
y WiD es el volumen de agua inyectada adimensionalizado respecto del volumen poral
(número de volúmenes porales de agua inyectada). Se definió en la Ec. 27.
El petróleo recuperado y el agua inyectada al breakthrough también se pueden estimar a
partir de las Ecs. 30 y 31. En efecto, cuando el frente de choque llega al pozo productor,
x2 = L, y la Ec. 31 puede ser expresada como:
Wi
1
=
L ⋅ A ⋅ φ  df w 


 dS w  S
= WiD
(42)
wbt
donde Swf = Swbt es la saturación de agua en el pozo productor. De las Ecs. 30, 40 y 42.
1
m
N pDbt = WiDbt = S wbt
− S wc =
 df w 


 dS w  Swbt
(43)
Por lo tanto, NpD y WiD se estiman como la inversa de la pendiente de la curva de flujo
fraccional, en el punto en que la tangente trazada desde la saturación de agua connata toca a
dicha curva. Es decir con el procedimiento ya explicado en la Fig. 13.
Este procedimiento se aplica para calcular el tiempo de “breakthrough”
t bt =
WiDbt
qiD
(44)
en la Ec. 44 el caudal de agua inyectado qiD está adimensionalizado respecto del volumen
poral.
Después del “breakthrough”
La Ec. 42 es válida también para tiempos posteriores al “breakthrough”. Pero los valores de
Wid y de [df w dS w ] cambian con el tiempo.
1
(45)
WiD =
 df w 


 dS w  S
we
Introduciendo la Ec. 45 en la Ec. 38,
12
S wm = S we + ( 1 − f we ) ⋅ WiD
Finalmente restando en ambos miembros Swc:
(46)
N pD = S wm − S wc = ( S we − S wc ) + ( 1 − f we ) ⋅ WiD
(47)
Nótese que como los fluidos se consideran incompresibles, el petróleo recuperado es
reemplazado en el medio poroso por el agua inyectada. Por eso, es igual a la saturación de
agua promedio en la formación menos la saturación de agua inicial o connata. Swm. El
petróleo recuperado se puede estimar analítica o gráficamente.
En forma analítica, se aplica la Ec. 47: para cada valor de Swe se estima fwe. También se
determina la derivada a la curva de flujo fraccional en ese punto (dfw/dSw)Swe. Su inversa es
Wid (Ec. 45). Para nuestro ejemplo, se pueden ver los cálculos en el Apéndice A.
En forma gráfica, para cada valor de Sw>Swbt, se traza la tangente a la curva de flujo
fraccional. dicha tangente intercepta a la línea horizontal de fw=1 en el punto buscado Swm
(Fig. 14).
El petróleo recuperado se representa en función del agua inyectada en la Fig. 15. Si se
conociera el caudal de agua inyectada qi , se podría estimar el petróleo recuperado en función
del tiempo. Este tiempo se calcula con la Ec. 44, válida también despues del “breakthrough”.
De esta manera se calcula el petróleo recuperable de un medio poroso lineal y
unidimensional. Con este valor de Np se estima la eficiencia al desplazamiento teórica
aplicando la Ec. 2.
0.600
NpD
0.500
(PV)
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
8.000
9.000
WiD
(PV)
Fig. 15 Petróleo recuperado en función del agua inyectada, ambos medidos en volúmenes
porales.
13
Apéndice A: Datos y cálculos utilizados para la realización de los gráficos
Datos
Roca mojable al agua
Roca mojable al petróleo
0.3
0.6
k rw *
0.9
0.9
k ro *
2
2
nw
2
2
no
0.25
0.10
Swc
0.20
0.30
Sor
k rw =
S w − S wc 

 1 − S wc − S or 

k *rw 
nw
µw
µo
ρw
ρo
qt A
k
,
=
=
=
=
=
=
∗  1 − S w − S or 
k ro = k ro


1 − S wc − S or 
1 cp
10 cp
1g/cm3
0.8 g/cm3
0.01 B/D ft2
400mD
Cálculos
Sw
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
krw
0.000
0.003
0.010
0.022
0.040
0.062
0.090
0.122
0.159
0.201
0.248
0.300
Sw
0.514
0.550
0.600
0.650
0.700
0.750
0.800
kro
0.900
0.744
0.603
0.476
0.365
0.268
0.186
0.119
0.067
0.030
0.007
0.000
fw(Sw)
0.734
0.828
0.911
0.960
0.985
0.997
1.000
fw(Sw)
0.000
0.032
0.141
0.319
0.521
0.698
0.828
0.911
0.960
0.985
0.997
1.000
dfw /dSw
2.811
2.093
1.277
0.712
0.352
0.131
0.000
14
dfw /dSw
0.0000
1.374
2.967
3.984
3.922
3.090
2.093
1.277
0.712
0.352
0.131
0.000
WiD
0.357
0.478
0.783
1.404
2.841
7.634
infinito
xD(tD =0.22)
0
0.302
0.653
0.876
0.863
0.680
0.460
0.281
0.157
0.077
0.029
0
NpD
0.357
0.382
0.420
0.456
0.493
0.523
0.550
no
15