Universidad de la Frontera
Facultad de Ingenierı́a y Ciencias
Departamento de Matemática y Estadı́stica
Formulario
Ecuaciones Diferenciales (IME188)
Carreras: Ingenierı́as Civiles
Profesor: Dr. Alex Sepúlveda.
1.
Derivadas
1. f (x) = xn ⇒ f ′ (x) = nxn−1
2. f (x) =
1
1
⇒ f ′ (x) = − 2
x
x
3. f (x) = ex ⇒ f ′ (x) = ex
4. f (x) = ax ⇒ f ′ (x) = ax ln a
5. f (x) = ln x ⇒ f ′ (x) =
1
.
x
6. f (x) = loga x ⇒ f ′ (x) =
1
x ln a
7. f (x) = sen x ⇒ f ′ (x) = cos x
8. f (x) = cos x ⇒ f ′ (x) = − sen x
9. f (x) = tg x ⇒ f ′ (x) = sec2 x
10. f (x) = ctg x ⇒ f ′ (x) = − csc2 x
2.
11. f (x) = sec x ⇒ f ′ (x) = sec x tg x
12. f (x) = csc x ⇒ f ′ (x) = − csc x ctg x
1
13. f (x) = arc sen x ⇒ f ′ (x) = √
1 − x2
1
14. f (x) = arc cos x ⇒ f ′ (x) = − √
1 − x2
15. f (x) = arc tg x ⇒ f ′ (x) =
1
1 + x2
16. f (x) = arc ctg x ⇒ f ′ (x) = −
17. f (x) = arc sec x ⇒ f ′ (x) =
1
1 + x2
1
√
|x| x2 − 1
18. f (x) = arc csc x ⇒ f ′ (x) = −
1
√
|x| x2 − 1
Integrales
2.1.
Integrales Indefinidas
9.
Z
ctg x dx = ln |sen x| + c
xn+1
x dx =
+ c, n 6= −1
n+1
10.
Z
sec x dx = ln |sec x + tg x| + c
Z
dx
= ln |x| + c
x
11.
Z
csc x dx = ln |csc x − ctg x| + c
4.
Z
ex dx = ex + c
12.
Z
sec2 x dx = tg x + c
5.
Z
ax
+c
a dx =
ln a
13.
Z
csc2 x dx = − ctg x + c
6.
Z
14.
Z
x
dx
1
+c
=
arc
tg
a2 + x2
a
a
7.
Z
cos x dx = sen x + c
15.
Z
ln x dx = x ln x − x + c
8.
Z
tg x dx = − ln |cos x| + c
16.
Z
sec3 x dx =
1.
Z
dx = x + c
2.
Z
3.
n
x
sen x dx = − cos x + c
1
[sec x tg x + ln |sec x + tg x|] + c
2
1
2.2.
Algunos Métodos de Integración
Integración por partes:
Z
u dv = uv −
Z
v du. La función u se elije de acuerdo a la sigla LIATE, donde
L: Logarı́tmicas, I: Inversas trigonométricas, A: Algebraicas, T: Trigonométricas, E: Exponenciales.
Sustitución trigonométrica:
 2
 a + x2
a2 − x2
 2
x − a2
Funciones racionales de seno y coseno:
⇒ x = a tg θ
⇒ x = a sen θ
⇒ x = a sec θ
Z
t = tg
ó
x = a cos θ
R (sen x, cos x) dx
x
2

2t

 sen x = 1+t22
⇒
cos x = 1−t
1+t2

 dx = 2dt
1+t2
Si R (− sen x, − cos x) = R (sen x, cos x) entonces:

t

 sen x = √1+t2
1
cos x = √1+t
t = tg x ⇒
2

 dx = dt
1+t2
Funciones irracionales:
Z
m p
r
R x n , x q , . . . , x s dx. Se hace la sustitución z k , donde k es el común de-
nominador entre las fracciones
2.3.
m p
r
n , q, . . ., s.
Teoremas Fundamentales del Cálculo
Primer teorema fundamental : Sea f continua sobre [a, b]. Si F (x) =
ciable sobre [a, b] y satisface
Z
x
f (t) dt, entonces F es diferen-
0
d
F (x) = f (x).
dx
Segundo teorema fundamental : Sea f continua sobre [a, b] y F una función primitiva de f en [a, b].
Z b
Entonces
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
3.
3.1.
Trigonometrı́a
Razones Trigonométricas
B
2
b
√ a2 +
c =α
A
b
Figura 1:
a
C
∆ABC rectángulo en C.
1. sen α =
Cateto Opuesto
a
=
Hipotenusa
c
4. ctg α =
b
Cateto Adyacente
=
Cateto Opuesto
a
2. cos α =
b
Cateto Adyacente
=
Hipotenusa
c
5. sec α =
c
Hipotenusa
=
Cateto Adyacente
b
6. csc α =
Hipotenusa
c
=
Cateto Opuesto
a
3. tg α =
Cateto Opuesto
a
=
Cateto Adyacente
b
2
3.2.
Valores Notables de la Funciones Trigonométricas
Función-Ángulo
sen α
cos α
tg α
ctg α
sec α
csc α
3.3.
0 rad
0
1
0
∞
1
∞
π
6
rad
1
√2
3
√2
3
√3
3
√
2 3
3
2
π
4 √rad
2
√2
2
2
1
1
√
2
√
2
π
3 √rad
3
2
1
√2
π
2
rad
1
0
∞
0
∞
1
3
√
3
3
2
√
2 3
3
π rad
0
−1
0
−∞
−1
0
3π
2
rad
−1
0
−∞
0
−∞
−1
Identidades Trigonométricas
1. sen α · csc α = 1
2. cos α · sec α = 1
3. tg α · ctg α = 1
sen α
4. tg α =
cos α
cos α
5. ctg α =
sen α
6. sen2 α + cos2 α = 1
14. tg (α − β) =
15. sen 2α = 2 sen α cos α
16. cos 2α = cos2 α − sen2 α
17. sen2 α =
1
(1 − cos 2α)
2
18. cos2 α =
1
(1 + cos 2α)
2
7. tg2 α + 1 = sec2 α
8. 1 + ctg2 α = csc2 α
9. sen (α + β) = sen α cos β + sen β cos α
10. sen (α − β) = sen α cos β − sen β cos α
11. cos (α + β) = cos α cos β − sen β sen α
12. cos (α − β) = cos α cos β + sen β sen α
13. tg (α + β) =
tg α + tg β
1 − tg α tg β
tg α − tg β
1 + tg α tg β
19. tg 2α =
2 tg α
1 − tg2 α
20. cos mα·cos nα =
1
[cos (m + n) α + cos (m − n) α]
2
21. sen mα·cos nα =
1
[sen (m + n) α + sen (m − n) α]
2
22. sen mα·sen nα =
1
[− cos (m + n) α + cos (m − n) α]
2
3