Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Geometrı́a en R3
Cálculo Multivariable IME186 – 5
Dr. Alex R. Sepúlveda C.
alex.sepulveda@ufrontera.cl
Departamento de Matemática y Estadı́stica, Universidad de La Frontera
Temuco – Chile.
2021 – I
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Outline
1
Primeros Conceptos
2
Álgebra Vectorial y Proyecciones
3
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Primeros Conceptos
Sistema de ejes coordenados:
Rectas escaladas mutuamente perpendiculares.
El punto intersección de las tres rectas se denomina origen
del sistema.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Primeros Conceptos
Según esto a cada punto P del espacio se le asocia una única terna
(a, b, c ) y recı́procamente a cada terna (a, b, c ) se le hace
corresponder un único punto del espacio.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Primeros Conceptos
Los ejes x, y , z determinan tres planos: xy , xz e yz, llamados
planos coordenados y dividen el espacio en ocho partes
denominadas octantes. El primer octante corresponde a la parte
donde las tres coordenadas son positivas y el octavo octante está
bajo este.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Primeros Conceptos
Definición 1 (Vector)
Un vector es un segmento de recta dirigido con un inicio y un final.
De la definición anterior vemos que un vector tiene cuatro
atribulos:
Punto de aplicación: inicio.
Módulo o norma: su longiud.
Dirección: ángulo referido a alguna recta de referencia.
Sentido: dado por la punta de una flecha.
Dos vectores que se obtengan uno del otro mediante traslación
paralela, pero sin rotación, representan el mismo vector. Por lo
cual, siempre podemos trasladar los vectores de tal manera que su
origen coincida con el del sistema de referencia coordenado.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Primeros Conceptos
Generalizando entonces, tenemos que una n −tupla ~u = (u1 , ..., un )
es un vector en el espacio n −dimensional. Según esto, si
~u = (u1 , . . . , un ) y ~v = (v1 , . . . , vn ) son vectores en Rn entonces:
~u = ~v ⇔ uk = vk , ∀k = 1, . . . , n.
La longitud de ~u = (u1 , ..., un ) ∈ Rn llamada norma esta dada
por:
s
n
k~u k =
∑ uk2 .
k =1
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Primeros Conceptos
Si un vector tiene norma unidad, entonces se dice vector unitario.
Si ~u es un vector no nulo arbitrario, entonces es posible encontrar
uno unitario a partir de él, dado por:
û =
~u
.
k~u k
En particular, en R3 tenemos los vectores unitarios: ı̂ = (1, 0, 0),
̂ = (0, 1, 0) y k̂ = (0, 0, 1). Según esto, un vector
~u = (u1 , u2 , u3 ) ∈ R3 se puede escribir como:
~u = u1 ı̂ + u2 ̂ + u3 k̂ .
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Primeros Conceptos
El sentido de un vector es determinado por su punto final, por
−→
−→
ejemplo, el vector AB y el vector BA tienen sentidos opuestos. La
dirección esta dada por los llamados cosenos directores.
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Outline
1
Primeros Conceptos
2
Álgebra Vectorial y Proyecciones
3
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Álgebra Vectorial y Proecciones
Sean ~u = (u1 , . . . , un ) y ~v = (v1 , . . . , vn ) vectores en Rn y α ∈ R
un escalar. Definimos las operaciones suma vectorial y
ponderación por escalar respectivamente como:
1 ~
u + ~v = (u1 + v1 , . . . , ud + vn ).
2 α~
u = (αu1 , . . . , αun ).
Si α > 0 entonces α~u es un vector de longitud α veces la
longitud de ~u , con misma dirección y sentido.
Si α < 0 entonces α~u es un vector de longitud |α| veces la
longitud de ~u y sentido contrario.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Teorema 2
El conjunto Rn con la suma vectorial y la ponderación por escalar
anteriores es un espacio vectorial real. Es decir, si ~u , ~v , w
~ ∈ Rn y
α, β ∈ R, entonces:
1
2
3
4
(~u + ~v ) + w
~ = ~u + (~v + w
~)
~u + ~v = ~v + ~u
α( β · ~u ) = (α · β)~u
(α + β)~u = α~u + β~u
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
5
6
7
8
α(~u + ~v ) = α~u + α~v
~u + ~0 = ~0 + ~u = ~u
1 · ~u = ~u
α · ~0 = ~0
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Definición 3 (Producto escalar)
Sean ~u = (u1 , . . . , un ) y ~v = (v1 , . . . , vn ) vectores en Rn . El
producto escalar o producto punto de ~u y ~v , denotado por ~u • ~v
se define:
n
~u • ~v =
∑ uk vk .
k =1
Ası́, para hallar el producto punto de ~u y ~v se multiplican las
componentes correspondientes y se suman. El resultado no es un
vector. Es un número real, es decir, un escalar.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Proposición 4
Sean ~u , ~v , w
~ ∈ Rn y α ∈ R. Entonces:
1
2
3
4
5
6
7
~u • ~u = k~u k2 ≥ 0
~u • ~v = ~v • ~u
α(~u • ~v ) = (α~u ) • ~v =
8
~u • (α~v )
~u • (~v + w
~ ) = ~u • ~v + ~u • w
~
~u • ~0 = 0
9
~u • ~v = 0 ⇒ ~u ⊥ ~v
~u • ~v = k~u k k~v k cos θ, donde
θ es el ángulo que forman ~u y
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
~v cuando sus origenes
coinciden.
|~u • ~v | ≤ k~u k k~v k, llamada
desigualdad de
Cauchy-Schwarz.
k~u + ~v k ≤ k~u k + k~v k,
llamada desigualdad
triangular.
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Definición 5 (Producto vectorial)
Sean ~u = (u1 , u2 , u3 ) y ~v = (v1 , v2 , v3 ) vectores en R3 , definimos
el producto vectorial o producto cruz, denotado por ~u × ~v ,
como:
ı̂
̂ k̂
~u × ~v = u1 u2 u3 .
v1 v2 v3
Es fácil ver que ~u • (~u × ~v ) = 0 y ~v • (~u × ~v ) = 0, lo que muestra
que el vector ~u × ~v es perpendicular a los vectores ~u y ~v
simultáneamente.
Notemos que para los vectores unitarios se cumple ı̂ × ̂ = k̂,
̂ × k̂ = ı̂, k̂ ×ı̂ = ̂, ̂ × ı̂ = k̂, k̂ ×̂ = −ı̂, ı̂ × k̂ = −̂, siendo todas
las restantes combinaciones iguales al vector cero.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Proposición 6
Sean ~u , ~v y w
~ vectores en R3 , α ∈ R entonces:
1
2
3
4
5
6
7
~u × ~v = −(~v × ~u )
~u × ~u = ~0
~u × (~v + w
~ ) = ~u ×~v + ~u × w
~
~
~
~u × 0 = 0
8
α(~u × ~v ) = (α~u ) × ~v =
~u × (α~v )
~u × ~v = ~0 ⇒ ~u k ~v
k~u × ~v k2 =
k~u k2 k~v k2 − (~u • ~v )2 ,
llamada identidad de
Lagrange
k~u × ~v k = k~u k k~v k sen θ,
donde θ es el ángulo que
forman ~u y ~v cuando sus
origenes coinciden.
Geométricamente k~u × ~v k corresponde al área del paralelogramo
de lados ~u y ~v .
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Consideremos los vectores ~a y ~b no nulos mostrados en la figura.
−→
−→
Tenemos que PS es la proyección vectorial de ~a =PR sobre
−→
~b =PQ, denotada por proy~ ~a. Por su parte, PS es la componente
b
escalar o proyección escalar de ~a sobre ~b, denotada por comp~b ~a.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Por un argumento trigonométrico simple tenemos que:
comp~b ~a = k~ak cos θ,
pero ~a • ~b = k~ak ~b cos θ, por lo que:
comp~b ~a =
Multiplicando por el vector unitario
~a • ~b
.
~b
~b
~b
obtenemos la proyección
vectorial de ~a sobre ~b:


 ~a • ~b  ~
proy~b ~a = 
b.
2
~b
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Notemos que ~a − proy~b ~a es perpendicular a proy~b ~u . En efecto:


  
 

 ~a • ~b  ~   ~a • ~b  ~ 
~a − proy~b ~a • proy~b ~a = ~a − 
b •
b
2   
2 
~b
~b


~
~ 2
 ~a • b 
~b − (~a • b ) ~b • ~b
= 
~
a
•

2
4
~b
~b
=
(~a • ~b )2
~b
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
2
−
(~a • ~b )2
~b
2
= 0.
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Por lo que tenemos:

~a =

 
(~a • ~b )~ 
 ~a • ~b  ~ 
b
b
+
~
a
−


2
2 
~b
~b
| {z } |
{z
}
k a ~b
⊥ a ~b
Proposición 7
Sean ~a, ~b ∈ Rn , entonces ~a se puede expresar en terminos de ~b
como:
~a = α~b + β~b ⊥ ,
donde ~b ⊥ es un vector perpendicular a ~b y α, β ∈ R.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Outline
1
Primeros Conceptos
2
Álgebra Vectorial y Proyecciones
3
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Outline
1
Primeros Conceptos
2
Álgebra Vectorial y Proyecciones
3
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Sean P1 (x1 , y1 , z1 ) y P2 (x2 , y2 , z2 ) dos puntos del espacio. Por
cada uno de estos puntos pasan tres planos paralelos a los planos
coordenados formándose un hexaedro como el mostrado en la
siguiente figura:
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
De acuerdo a esto tenemos los puntos A(x2 , y2 , z1 ) y B (x1 , y2 , z1 ).
El ∆P1 AP2 es rectángulo en A y, por tanto, se cumple que:
2
2
d 2 = P1 A + AP2 .
Por su parte, el ∆ABP1 es rectángulo en B cumpliéndose:
2
2
2
P1 A = AB + BP1 .
Remplazando esta última expresión en (1) y notando que
AB = x2 − x1 , BP1 = y2 − y1 y AP2 = z2 − z2 obtenemos:
d 2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 ,
de donde:
d=
q
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
(1)
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Outline
1
Primeros Conceptos
2
Álgebra Vectorial y Proyecciones
3
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Definición 8 (Recta en el espacio)
Una recta en el espacio corresponde al lugar geométrico de todos
los puntos que satisfacen el sistema lineal:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
llamado ecuación general.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
~ = (d1 , d2 , d3 ) 6= ~0 un
Sean A = (a1 , a2 , a3 ) un punto en R3 , d
vector llamado vector director y P (x, y , z ) un punto arbitrario de
la recta L.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
De acuerdo a la figura anterior tenemos:
−→
−→
~u + AP = ~r ⇒AP = ~r − ~u ,
−→
~ Luego, ~r − ~u = t d~ con t ∈ R,
donde AP es un vector paralelo a d.
por tanto:
(x, y , z ) − (a1 , a2 , a3 ) = t (d1 , d2 , d3 ) .
Despejando x, y y z tenemos la forma paramétrica de la recta:

 x = a1 + td1
y = a2 + td2
(2)

z = a3 + td3
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
La forma vectorial de la recta L que pasa por A tiene vector
~ es:
director d
n
o
~ |X
~ = A + t d,
~ t∈R .
L= X
Despejando t de (2) e igualando tenemos la forma cartesiana o
simétrica de la recta:
x − a1
y − a2
z − a3
=
=
.
t=
d1
d2
d3
De esta última ecuación obtenemos la ecuación general de la
recta, tomándolas de dos en dos y estableciendo los sistemas.
Ejercicio 9
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2, 3) y
tiene vector director generado por los puntos (4, 5, 6) y (10, 7, 8).
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Proposición 10
~1 y d~2
Sean L1 y L2 dos rectas de vectores directores d
respectivamente. Entonces, ellas son:
~1 y d~2 son paralelos.
1 pararelas si d
2
3
~ y d~ son perpendiculares.
perpendiculares si d
1 2
] (L1 , L2 ) = ] d~1 , d~2 .
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Outline
1
Primeros Conceptos
2
Álgebra Vectorial y Proyecciones
3
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Definición 11 (Plano)
El plano es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen
una ecuacion lineal de la forma:
Ax + By + Cz + D = 0.
Aunque una recta en el espacio se determina por un punto y una
dirección, es más difı́cil describir un plano en el espacio. Un solo
vector paralelo al plano es insuficiente para llevar la dirección del
plano, pero un vector perpendicular al plano especifica por
completo su dirección. Ası́, un plano en el espacio se determina por
un punto P0 (x0 , y0 , z0 ) en el plano y un vector ~n que es ortogonal
al plano llamado vector normal.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Consideremos un plano M que contiene el punto P0 (x0 , y0 , z0 ) y
supongamos que ~n es un vector normal a este. Sea P (x, y , z ) un
−→
punto en R3 . Entonces P ∈ M si y solo si P0 P es perpendicular a
~n, es decir:
−→
P0 P •~n = 0.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
−→
Si ~n = aı̂ + b̂ + c k̂ y considereamos el hecho que P0 P = P − P0 ,
entonces:
(x − x0 , y − y0 , z − z0 ) • (a, b, c ) = 0 ⇔ ax + by + cz + d = 0,
donde d = −ax0 − by0 − cz0 , es la ecuación del plano requerida.
Proposición 12
Sean P1 y P2 dos planos de vectores normales ~n1 y ~n2
respectivamente. Entonces:
1
2
3
P1 y P2 son paralelos si y solo si ~n1 y ~n2 son paralelos.
P1 y P2 son perpendiculares si y solo si ~n1 y ~n2 son
perpendiculares.
] (P1 , P2 ) = ] (~n1 , ~n2 ).
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Ejercicio 13
Encuentre la ecuación del plano que contiene los puntos a (1, 1, 1),
(2, 0, 0) y (1, 1, 0).
Ejercicio 14
Encuentre la ecuación del plano que contine al punto (1, 1, 0) y es
paralelo al plano 3x + 2y − z = 5.
Ejercicio 15
Encuentre la ecuación del plano que contine a las rectas
x −2
y −3
z +1
=
=
.
(x, y , z ) = (1, 2, 5) + t (1, 2, 1) y
3
2
4
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I
Primeros Conceptos
Álgebra Vectorial y Proyecciones
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Distancia entre dos puntos
La recta
El plano
Elementos de Geometrı́a Analı́tica en R3
Ejercicio 16
Encuentre una fórmula para la distancia D de un punto
~ = (d1 , d2 , d3 ) y
P1 (x1 , y1 , z1 ) a una recta con vector director d
que pasa por un punto P0 (x0 , y0 , z0 ).
Ejercicio 17
Encuentre una fórmula para la distancia D de un punto
P1 (x1 , y1 , z1 ) al plano ax + by + cz + d = 0.
Dr. Alex R. Sepúlveda C. alex.sepulveda@ufrontera.cl
Cálculo Multivariable IME186 2021 – I