Санкт-Петербургский национальный исследовательский
университет ИТМО
Теория автоматического управления
Отчёт по лабораторной работе №2 (вариант 18)
Выполнил:
студент гр. R33423
Ворков Никита
Преподаватель:
Парамонов А.В.
Санкт-Петербург
2021
Цель работы
Ознакомление с методами взаимного перехода между моделями вход-выход и
вход-состояние-выход, с каноническими формами представления моделей входсостояние-выход, а также со структурными свойствами системы.
Переход от модели вход-выход к модели вход-состояние-выход
Математическая модель вход-выход
y(3)+9y(2)+4y(1)+9y = 2u(2)+4u(1)+7u
Передаточная функция
а(p)=p3+9p2+4p+9
b(p)=2p2+4p+7
𝑊=
b(p)
2p^2 + 4p + 7
=
а(p)
p^3 + 9p^2 + 4p + 9
Канонически наблюдаемая форма
0
𝑥̇ = [1
{
0
𝑦 = [0
0 −9
7
0 −4] 𝑥 + [4] 𝑢
1 −9
2
0 1]𝑥
Канонически управляемая форма
0
1
0
0
𝑥̇ = [ 0
]
𝑥
+
[
0
1
0] 𝑢
{
−9 −4 −9
1
𝑦 = [7 4 2]𝑥
Жордановая форма
В матлабе вычисляется функцией: [M,J]=jordan(Ay)
𝐴̂ = 𝑗 = 𝑀−1 𝐴𝑀
𝐵̂ = 𝑀−1 𝐵
𝐶̂ = 𝐶𝑀
𝐽=[
−8.6581
0
0
0
−0.1710
1.0051
0.0133
𝑀 = [−0.1155
1
𝑀
−1
0
−1.0051]
−0.1710
−0.9079 − 0.3181𝑖
−0.1645 + 0.9669𝑖
1
1.0668
= [−0.5334 + 0.0270𝑖
−0.5334 − 0.0270𝑖
−0.9079 + 0.3181𝑖
−0.1645 − 0.9669𝑖 ]
1
0.3509
−0.1755 − 0.5082𝑖
−0.1755 + 0.5082𝑖
1.0263
−0.0132 − 0.0591𝑖 ]
−0.0132 + 0.0591𝑖
1.0263
̂
𝐵 = [−0.0132 − 0.0591𝑖 ]
−0.0132 + 0.0591𝑖
𝐶̂ = [1.6314
−5.0132 + 1.6413𝑖
−5.0132 − 1.6413𝑖 ]
1.0263
−8.6581
0
0
] 𝑥 + [−0.0132 − 0.0591𝑖 ] 𝑢
0
−0.1710 − 1.0051𝑖
0
{
−0.0132 + 0.0591𝑖
0
0
−0.1710 + 1.0051𝑖
𝑦 = [1.6314 −5.0132 + 1.6413𝑖 −5.0132 − 1.6413𝑖 ] 𝑥
𝑥̇ = [
Схема моделирования
Графики
Система В-В
Система В-С-В для канонической управляемой формы
Система В-С-В для канонической наблюдаемой формы
Переход от модели вход-состояние-выход к модели вход-выход.
Система В-С-В
−1 1
𝐴=[
]
−2 −6
{
1
𝐵=[ ]
1
𝐶 = [5 0.5]
−1 1
1
]𝑥 + [ ]𝑢
−2 −6
1
𝑦 = [5 0.5]𝑥
𝑥̇ = [
Передаточная функция
Wp = C(pI − A)−1 B
В Матлабе вычисляется по формуле: [b,a] = ss2tf(A,B,C,D);
𝑊=
b(p)
5.5p + 34.5
= 2
а(p)
p + 7p + 8
Система В-В
y (2) + 7y (1) + 8𝑦 = 5.5u(1) + 34.5𝑢
Канонически наблюдаемая форма
{
0
1
0
𝑥̇ = [
]𝑥 + [ ]𝑢
−8 −7
1
𝑦 = [34.5 5.5]𝑥
Канонически управляемая форма
{
0 −8
34.5
]𝑥 + [
]𝑢
1 −7
5.5
𝑦 = [0 1]𝑥
𝑥̇ = [
Схема
Графики
Место для уравнения.
Матрицы преобразования исходной модели к каноническим формам
̂𝑁
̂ −1
𝑀=𝑁
−1 1 1
0
1 0
1
1
𝑁 = [𝐵 ⋮ 𝐴𝐵] = [[ ] ⋮ [
] [ ]] = [[ ] ⋮ [ ]] = [
]
−2 −6 1
−8
1 −8
1
1
̂𝑛 = [𝐵𝑛 ⋮ 𝐴𝑛 𝐵𝑛 ] = [[0] ⋮ [ 0
𝑁
−8
1
1 0
1
0 1
0
] [ ]] = [[ ] ⋮ [ ]] = [
]
−7 1
1
−7
1 −7
̂𝑦 = [𝐵𝑦 ⋮ 𝐴𝑦 𝐵𝑦 ] = [[34.5] ⋮ [0
𝑁
1
5.5
̂𝑛−1 = [7
𝑁
1
−8 34.5
−44
34.5
34.5 −44
][
]] = [[
]⋮[
]] = [
]
−7 5.5
−4
5.5
5.5
−4
1
]
0
̂𝑦−1 = [−0.0385
𝑁
−0.0529
̂𝑛
𝑀𝑛 = 𝑁𝑛 𝑁
−1
=[
0.4231
]
0.3317
1 0
7
]∗[
1 −8
1
̂𝑦 −1 = [1
𝑀у = 𝑁𝑦 𝑁
1
1
7 1
]=[
]
0
−1 1
0
−0.0385
]∗[
−8
−0.0529
0.4231
−0.0385
]=[
0.3317
0.3846
0.4231
]
−2.2308
Передаточная матрица многоканальной системы
0 9
9
]𝑥 + [
1 −3
2
{
5 6
𝑦=[
]𝑥
3 8
5
]𝑢
11
𝑥̇ = [
5
𝑊𝑝 = 𝐶(𝑝𝐼 − 𝐴) 𝐵 = [
3
−1
[
8 2 15+2𝑝 45+3𝑝
][
]
3+4𝑝
7 3 2+𝑝
𝑝2 +3𝑝−9
=
[
8 2 𝑝+3 9 2 3
][
][
]
𝑝 1 4
3 1
𝑝2 +3𝑝−9
124+18𝑝
45+3𝑝
[
]
111+17𝑝 324+39𝑝
𝑝2 +3𝑝−9
[
−9 −1 9 5
6 𝑝
][
] [
]= 7
8 −1 𝑝 + 3
2 11
8 2 15+2𝑝 45+3𝑝
][
]
3+4𝑝
7 3 2+𝑝
𝑝2 +3𝑝−9
=
=
Замена базиса в пространстве состояний
1
𝑀=[
0
2
]
3
−1 1
𝐴=[
]
−2 −6
1
𝐵=[ ]
1
𝐶 = [5 0.5]
1 −2/3 −1 1 1 2
1 2 −1 −1 1 1 2
𝐴̂ = 𝑗 = 𝑀−1 𝐴𝑀 = [
] [
][
]=[
][
][
]
0 1/3 −2 −6 0 3
0 3
−2 −6 0 3
1 −2/3 −1
1
0.3333 15.6667
=[
][
]=[
]=
0 1/3 −2 −22
−0.6667 −7.3333
1 −2/3 1
1 2 −1 1
0.3333
𝐵̂ = 𝑀−1 𝐵 = 𝑀−1 𝐵 = [
] [ ]=[
][ ] = [
]
0 1/3 1
0 3
0.3333
1
1 2
𝐶̂ = 𝐶𝑀 = [5 0.5] [
] = [5
0 3
1 2
] = [5 11.5]
0.5] [
0 3
Схема
Графики
Вывод
В ходе выполнения работы были освоены навыки работы с каноническими
формами матриц и заменой базиса в пространстве состояний.