Derivada de una Función Vectorial
MSc. Daniel G. Camacho
Facultad de Ingeniería
Universidad de Piura
A
S
ST
U
P
I
U
MSc. Daniel G. Camacho (UDEP)
R
IS
ORUM
UNIVERS
DI
IT
Piura 2020
EN
S
Cálculo Vectorial (CVE)
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Contenido
1
Derivada
2
Algunas reglas de derivación
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I Uno de los conceptos muy importantes en las matemáticas es el de
velocidad de cambio.
I Supongamos que el día t0 tiene usted en su cuenta de ahorros, la suma de
mil soles; en una fecha posterior, el día t, sus ahorros ascienden a dos mil
soles. Un dato importante para usted es cuanto fue el incremento en sus
ahorros, mil soles en este ejemplo.
I Sin embargo, otro dato muy importante es saber con que velocidad
crecieron sus ahorros. Es muy diferente que ese incremento ocurriera en
siete días que en catorce días.
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I El concepto de velocidad de cambio promedio nos permite conocer la
velocidad de crecimiento de nuestros ahorros.
I Sea A(t) la función que nos da la cantidad de ahorros que tenemos el día
t. El incremento en nuestros ahorros entre el día t0 y el día t es
∆A = A(t) − A(t0 )
y ocurrió en t − t0 días.
I La velocidad de cambio promedio de los ahorros se calcula según al
fórmula
A(t) − A(t0 )
A=
cuando t varía de t0 a t.
t − t0
I Si A(t0 ) = 1000 soles y A(t) = 2000 soles, y t − t0 = 7 días, entonces, la
velocidad de cambio promedio de los ahorros es
A=
2000 − 1000 1000
=
soles/dia
7
7
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cuando t varía de t0 a t.
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I La velocidad de cambio promedio de sus ahorros es de 1000
7 soles/dia
entre el día t0 y t.
I Podemos extender estas ideas a las funciones vectoriales. En mecánica,
la velocidad media de una partícula que en el instante t0 estaba en la
posición r(t0 ) y que en el instante t está en los posición r(t) es un vector
que se calcula según la expresión
3=
r(t) − r(t0 ) ∆r
=
.
t − t0
∆t
I La velocidad media 3 es un vector secante a la trayectoria, que pasa por
los puntos individualizados por los vectores r(t) y r(t0 ).
I La velocidad media de la física no es sino la velocidad media de cambio
del vector posición entre los instantes t0 y t.
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I La vida diaria nos permite entender que existe el concepto físico de
velocidad instantánea que no es sino la velocidad de cambio instantánea
del vector posición.
I La velocidad de cambio instantánea del vector posición se define como:
3(t0 ) = lı́m
t→t0
r(t) − r(t0 )
.
t − t0
Este límite se denomina también razón de cambio instantánea,
tasa de cambio instantánea o derivada de la función r en t0 .
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Figura: Velocidad de cambio instantánea, en t0 , del vector posición, que en mecánica se denomina
velocidad instantánea en t0 .
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Definición 1 (Derivada)
Dada una función vectorial f : I ⊆ R → Rn , la velocidad de cambio
instantánea de la función f en t0 es el vector que resulta del límite
f 0 (t0 ) = lı́m
t→t0
f (t) − f (t0 )
.
t − t0
Otros nombres para la velocidad de cambio instantánea son, razón de cambio
instantánea, tasa de cambio instantánea o derivada de la función f en t0 .
I Si utilizamos la notación ∆ f = f (t) − f (t0 ) y ∆t = t − t0 , entonces si
t → t0 se cumple que ∆t → 0 y podemos escribir la derivada como el
límite de la razón de cambio promedio:
f 0 (t0 ) = lı́m
t→t0
f (t) − f (t0 )
∆f
= lı́m
,
∆t→0 ∆t
t − t0
quizás está más claro ahora el porque del nombre de razón de cambio
instantánea.
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I En la figura anterior se han dibujado dos vectores velocidad media, uno
correspondiente a la velocidad media entre t0 y t1 y otro correspondiente
a la velocidad media entre t0 y t2 . Estos vectores son secantes a la
trayectoria.
I Conforme t tiende a t0 el vector velocidad media tiende a la posición
tangente. El vector derivada, f 0 (t0 ) tiene la propiedad geométrica de ser
tangente a la imagen de la función f en el punto f (t0 ).
I Otro símbolo para le derivada es
f 0 (t0 ) =
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df
(t0 ).
dt
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Definición 2 (Función diferenciable)
Una función vectorial f : I ⊆ R → Rn definida en el intervalo abierto I de R
se denomina diferenciable en t0 ∈ I, si tiene derivada f 0 (t0 ) en t0 . Si la
función f tiene derivada en cada punto de I decimos que la función es
diferenciable en I.
I Ahora que ya hemos definido la derivada de una función vectorial nos
preguntamos cómo calcular dicha derivada. Ciertamente no utilizamos la
definición de derivada, esto sería muy complicado.
I Puesto que la derivada es un límite, utilizamos el teorema que afirma que
para calcular el límite de una función vectorial hay que calcular el límite
de cada función coordenada.
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I Entonces, dada f como:
f (t) = ( f1 (t), f2 (t), . . . , fn (t)) ,
escribiendo t = t0 + h, según la definición 1 de derivada,
f (t0 + h) − f (t0 )
h→0
h
( f1 (t0 + h), . . . , fn (t0 + h)) − ( f1 (t0 ), . . . , fn (t0 ))
= lı́m
h→0
h
!
f1 (t0 + h) − f1 (t0 )
f1 (t0 + h) − fn (t0 )
= lı́m
,...,
h→0
h
h
!
fn (t0 + h) − fn (t0 )
f1 (t0 + h) − f1 (t0 )
= lı́m
, . . . , lı́m
h→0
h→0
h
h
= f10 (t0 ), . . . , fn0 (t0 )
f 0 (t0 ) = lı́m
I Este resultado nos indica que para calcular la derivada de una función
vectorial simplemente hay que calcular la derivada de cada función
coordenada.
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Ejemplo 3
(a)
Encontrar la derivada de f (t) = (1 + t3 )i + te−t j + sin 2tk.
(b)
Encontrar el vector tangente unitario en el punto en el que t = 0.
Solución de la parte (a):
Según el razonamiento anterior, para calcular la derivada f 0 debemos calcular
la derivada de cada función coordenada, es decir
f 0 (t) = 3t2 i + e−t − te−t j + 2 cos 2t k.
Solución de la parte (b):
Sabemos que el vector derivada f 0 (t) es tangente a la curva generada por f en
el punto f (t).
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Ejemplo 3
(a)
Encontrar la derivada de f (t) = (1 + t3 )i + te−t j + sin 2tk.
(b)
Encontrar el vector tangente unitario en el punto en el que t = 0.
Solución de la parte (a):
Según el razonamiento anterior, para calcular la derivada f 0 debemos calcular
la derivada de cada función coordenada, es decir
f 0 (t) = 3t2 i + e−t − te−t j + 2 cos 2t k.
Solución de la parte (b):
Sabemos que el vector derivada f 0 (t) es tangente a la curva generada por f en
el punto f (t).
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Ejemplo 3
(a)
Encontrar la derivada de f (t) = (1 + t3 )i + te−t j + sin 2tk.
(b)
Encontrar el vector tangente unitario en el punto en el que t = 0.
Solución de la parte (a):
Según el razonamiento anterior, para calcular la derivada f 0 debemos calcular
la derivada de cada función coordenada, es decir
f 0 (t) = 3t2 i + e−t − te−t j + 2 cos 2t k.
Solución de la parte (b):
Sabemos que el vector derivada f 0 (t) es tangente a la curva generada por f en
el punto f (t).
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I Entonces, un vector tangente a la curva generada por f en el punto en el
que t = 0 es f 0 (0):
f 0 (0) = j + 2 k.
I Este vector es tangente a la curva pero no es unitario. Para obtener el
vector tangente unitario, que denotaremos como T u , simplemente
dividimos al vector tangente entre su norma:
T u (0) =
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2
f 0 (0)
1
1
= √
( j + 2 k) = √ j + √ k.
2
k f 0 (0)k
5
5
1+2
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Ejemplo 4
Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice con
ecuaciones paramétricas
x = 2 cos t
y = 2 sin t
z=t
en el punto (0, 2, π/2).
Solución:
I La hélice con las ecuaciones paramétricas dadas es la imagen de la
función vectorial
f : [0, 2π] → R3
f (t) = (2 cos t, 2 sen t, t).
I Para construir la recta tangente a la hélice en el punto (0, 2, π/2)
necesitamos un punto de paso de la recta y un vector que de la dirección
de la recta.
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Ejemplo 4
Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice con
ecuaciones paramétricas
x = 2 cos t
y = 2 sin t
z=t
en el punto (0, 2, π/2).
Solución:
I La hélice con las ecuaciones paramétricas dadas es la imagen de la
función vectorial
f : [0, 2π] → R3
f (t) = (2 cos t, 2 sen t, t).
I Para construir la recta tangente a la hélice en el punto (0, 2, π/2)
necesitamos un punto de paso de la recta y un vector que de la dirección
de la recta.
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Ejemplo 4
Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice con
ecuaciones paramétricas
x = 2 cos t
y = 2 sin t
z=t
en el punto (0, 2, π/2).
Solución:
I La hélice con las ecuaciones paramétricas dadas es la imagen de la
función vectorial
f : [0, 2π] → R3
f (t) = (2 cos t, 2 sen t, t).
I Para construir la recta tangente a la hélice en el punto (0, 2, π/2)
necesitamos un punto de paso de la recta y un vector que de la dirección
de la recta.
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I Conocemos el punto de paso, es (0, 2, π/2), el vector que da la dirección
tangente a la curva es el vector derivada
f 0 (t) = (−2 sen t, 2 cos t, 1).
I Sin embargo, nos falta determinar para que valor de t queremos la
derivada. El valor de la variable t que buscamos es aquel al cual le
corresponde el punto (0, 2, π/2) de la hélice.
I De la tercera componente vemos que para obtener z = π/2 debemos tener
t = π/2. Comprobamos que f (π/2) = (0, 2, π/2). Entonces calculamos
f 0 (π/2) = (−2, 0, 1).
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I La parametrización de la recta tangente a la hélice en el punto (0, 2, π/2)
es:
g : R → R3
g(t) = f (π/2) + t f 0 (π/2),
g(t) = (0, 2, π/2) + t(−2, 0, 1),
g(t) = (−2t, 2, π/2 + t).
I Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice en el punto
(0, 2, π/2) son
x = −2t,
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y = 2,
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z=
π
+ t.
2
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Las imágenes de las funciones vectoriales son vectores. Los
vectores tienen dos características: dirección y tamaño. En consecuencia la velocidad de cambio instantánea o derivada de una
función vectorial mide la velocidad de cambio de dirección y
de tamaño de los vectores generados.
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Ejemplo 5
Sea f : [0, 2π] → R2 el camino f (t) = (r cos t, r sen t). Demuestre que los
vectores f 0 (t) son perpendiculares a los vectores f (t).
Solución:
I Este es un camino diferenciable ya que sus funciones coordenadas
f1 (t) = r cos t y f2 (t) = r sin t son diferenciables.
I La derivada de f es el vector
f 0 (t) = (−r sin t, r cos t).
I Si calculamos el producto escalar f 0 (t) · f (t) obtenemos
f 0 (t) · f (t) = (−r sin t, r cos t) · (r cos t, r sin t),
= −r2 sin t cos t + r2 sin t cos t = 0.
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Ejemplo 5
Sea f : [0, 2π] → R2 el camino f (t) = (r cos t, r sen t). Demuestre que los
vectores f 0 (t) son perpendiculares a los vectores f (t).
Solución:
I Este es un camino diferenciable ya que sus funciones coordenadas
f1 (t) = r cos t y f2 (t) = r sin t son diferenciables.
I La derivada de f es el vector
f 0 (t) = (−r sin t, r cos t).
I Si calculamos el producto escalar f 0 (t) · f (t) obtenemos
f 0 (t) · f (t) = (−r sin t, r cos t) · (r cos t, r sin t),
= −r2 sin t cos t + r2 sin t cos t = 0.
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Ejemplo 5
Sea f : [0, 2π] → R2 el camino f (t) = (r cos t, r sen t). Demuestre que los
vectores f 0 (t) son perpendiculares a los vectores f (t).
Solución:
I Este es un camino diferenciable ya que sus funciones coordenadas
f1 (t) = r cos t y f2 (t) = r sin t son diferenciables.
I La derivada de f es el vector
f 0 (t) = (−r sin t, r cos t).
I Si calculamos el producto escalar f 0 (t) · f (t) obtenemos
f 0 (t) · f (t) = (−r sin t, r cos t) · (r cos t, r sin t),
= −r2 sin t cos t + r2 sin t cos t = 0.
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Ejemplo 5
Sea f : [0, 2π] → R2 el camino f (t) = (r cos t, r sen t). Demuestre que los
vectores f 0 (t) son perpendiculares a los vectores f (t).
Solución:
I Este es un camino diferenciable ya que sus funciones coordenadas
f1 (t) = r cos t y f2 (t) = r sin t son diferenciables.
I La derivada de f es el vector
f 0 (t) = (−r sin t, r cos t).
I Si calculamos el producto escalar f 0 (t) · f (t) obtenemos
f 0 (t) · f (t) = (−r sin t, r cos t) · (r cos t, r sin t),
= −r2 sin t cos t + r2 sin t cos t = 0.
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I Este resultado quiere decir que f 0 (t) es perpendicular a f (t) para todo t.
I Esto era de esperarse ya que la función dada genera una circunferencia,
los vectores f (t) tienen la dirección radial. Los vectores f 0 (t) son
tangentes a la circunferencia y en una circunferencia la tangente es
perpendicular al radio.
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Hemos dicho que la derivada de una función vectorial evalúa la
velocidad de cambio de dirección y de tamaño de los vectores
generados por la función. Como en el ejemplo anterior todos
los vectores generados por la función vectorial son del mismo
tamaño (el radio de la circunferencia), en este caso la derivada
evalúa solo la velocidad de cambio de dirección.
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Ejemplo 6
Sea g : [0, π] → R2 el camino g(t) = (r cos 2t, r sin 2t). La imagen de esta
camino es también la circunferencia de radio r con centro en el origen.
Compare la derivada de esta función vectorial con la del ejemplo anterior.
Solución:
I La derivada de esta función vectorial es
g0 (t) = (−2r sin 2t, 2r cos 2t),
como ya sabemos es un vector tangente a la circunferencia en el punto
g(t).
I Esta derivada mide la velocidad de cambio de dirección de los vectores
que genera g.
I Calculemos la norma del vector derivada:
h
i1/2
kg0 (t)k = (−2r sin 2t)2 + (2r cos 2t)2
= 2r.
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Ejemplo 6
Sea g : [0, π] → R2 el camino g(t) = (r cos 2t, r sin 2t). La imagen de esta
camino es también la circunferencia de radio r con centro en el origen.
Compare la derivada de esta función vectorial con la del ejemplo anterior.
Solución:
I La derivada de esta función vectorial es
g0 (t) = (−2r sin 2t, 2r cos 2t),
como ya sabemos es un vector tangente a la circunferencia en el punto
g(t).
I Esta derivada mide la velocidad de cambio de dirección de los vectores
que genera g.
I Calculemos la norma del vector derivada:
h
i1/2
k g0 (t)k = (−2r sin 2t)2 + (2r cos 2t)2
= 2r.
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Ejemplo 6
Sea g : [0, π] → R2 el camino g(t) = (r cos 2t, r sin 2t). La imagen de esta
camino es también la circunferencia de radio r con centro en el origen.
Compare la derivada de esta función vectorial con la del ejemplo anterior.
Solución:
I La derivada de esta función vectorial es
g0 (t) = (−2r sin 2t, 2r cos 2t),
como ya sabemos es un vector tangente a la circunferencia en el punto
g(t).
I Esta derivada mide la velocidad de cambio de dirección de los vectores
que genera g.
I Calculemos la norma del vector derivada:
h
i1/2
k g0 (t)k = (−2r sin 2t)2 + (2r cos 2t)2
= 2r.
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Ejemplo 6
Sea g : [0, π] → R2 el camino g(t) = (r cos 2t, r sin 2t). La imagen de esta
camino es también la circunferencia de radio r con centro en el origen.
Compare la derivada de esta función vectorial con la del ejemplo anterior.
Solución:
I La derivada de esta función vectorial es
g0 (t) = (−2r sin 2t, 2r cos 2t),
como ya sabemos es un vector tangente a la circunferencia en el punto
g(t).
I Esta derivada mide la velocidad de cambio de dirección de los vectores
que genera g.
I Calculemos la norma del vector derivada:
h
i1/2
k g0 (t)k = (−2r sin 2t)2 + (2r cos 2t)2
= 2r.
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I Calculemos ahora la norma de la derivada de la parametrización de la
circunferencia del ejemplo 5:
i1/2
h
= r.
k f 0 (t)k = (−r sin t)2 + (r cos t)2
I Podemos apreciar que kg0 (t)k > k f 0 (t)k, la velocidad de cambio de
dirección de los vectores generados por g es mayor que la velocidad de
cambio de dirección de los vectores generados por f .
I Esto tiene como consecuencia que para dar una vuelta completa con la
función g se necesita un intervalo de longitud π mientras que con f se
necesita un intervalo de longitud 2π.
I Otra observación que hay que hacer es que las derivadas son vectores de
tamaño constante, es decir, la velocidad de cambio de dirección de los
vectores generados por cada función no cambia de un punto a otro del
dominio de la función.
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Ejemplo 7
Dibuje la imagen de la función
f : R → R2
f (t) = (t, |t|)
y demuestre que no es diferenciable en t = 0.
Solución:
I Las funciones coordenadas de la función f son
x = f1 (t) = t
y = f2 (t) = |t|,
por lo que los puntos generados por la función satisfacen la ecuación
cartesiana
y = |x|.
I Esta ecuación es conocida, los puntos que la satisfacen forman la curva
mostrada en la figura que sigue.
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Ejemplo 7
Dibuje la imagen de la función
f : R → R2
f (t) = (t, |t|)
y demuestre que no es diferenciable en t = 0.
Solución:
I Las funciones coordenadas de la función f son
x = f1 (t) = t
y = f2 (t) = |t|,
por lo que los puntos generados por la función satisfacen la ecuación
cartesiana
y = |x|.
I Esta ecuación es conocida, los puntos que la satisfacen forman la curva
mostrada en la figura que sigue.
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Ejemplo 7
Dibuje la imagen de la función
f : R → R2
f (t) = (t, |t|)
y demuestre que no es diferenciable en t = 0.
Solución:
I Las funciones coordenadas de la función f son
x = f1 (t) = t
y = f2 (t) = |t|,
por lo que los puntos generados por la función satisfacen la ecuación
cartesiana
y = |x|.
I Esta ecuación es conocida, los puntos que la satisfacen forman la curva
mostrada en la figura que sigue.
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I La función coordenada f2 puede escribirse como



si t ≥ 0
t
f2 (t) = 

−t si t < 0
I Para calcular f20 (0) debemos calcular la derivada por la derecha y por la
izquierda. Si estas derivadas laterales son diferentes, entonces f2 no tiene
derivada en cero.
I Para la función dada tenemos que f 0 (2+ ) = 1 mientras que f 0 (2− ) = −1,
esto quiere decir que la función f2 no tiene derivada en cero por lo que f
tampoco tiene derivada en t = 0.
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Ejemplo 8
Dibuje la imagen de la función
g : R → R2
g(t) = (t3 , t2 |t|)
y calcule la derivada g0 (0).
Solución:
I Los puntos generados por esta función satisfacen también la ecuación
cartesiana y = |x|. Por lo tanto la imagen es la misma de la figura anterior.
I En cuanto a la derivada de g en cero hay que ser cauteloso. Las
funciones coordenadas de g son
g1 (t) = t3 ,



t 3
g2 (t) = t2 |t| = 

−t3
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Cálculo Vectorial (CVE)
si t ≥ 0
si t < 0
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Ejemplo 8
Dibuje la imagen de la función
g : R → R2
g(t) = (t3 , t2 |t|)
y calcule la derivada g0 (0).
Solución:
I Los puntos generados por esta función satisfacen también la ecuación
cartesiana y = |x|. Por lo tanto la imagen es la misma de la figura anterior.
I En cuanto a la derivada de g en cero hay que ser cauteloso. Las
funciones coordenadas de g son
g1 (t) = t3 ,



t 3
g2 (t) = t2 |t| = 

−t3
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Cálculo Vectorial (CVE)
si t ≥ 0
si t < 0
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Ejemplo 8
Dibuje la imagen de la función
g : R → R2
g(t) = (t3 , t2 |t|)
y calcule la derivada g0 (0).
Solución:
I Los puntos generados por esta función satisfacen también la ecuación
cartesiana y = |x|. Por lo tanto la imagen es la misma de la figura anterior.
I En cuanto a la derivada de g en cero hay que ser cauteloso. Las
funciones coordenadas de g son
g1 (t) = t3 ,



t 3
g2 (t) = t2 |t| = 

−t3
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Cálculo Vectorial (CVE)
si t ≥ 0
si t < 0
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I La derivada g01 (t) = 3t2 , luego g01 (0) = 0. Para calcular g02 (0) no podemos
hacer lo mismo porque en justamente en 0 la función coordenada g2
sufre un cambio.
I Debemos calcular la derivada usando la definición de derivada lateral:
h3 − 0
g2 (0 + h) − g2 (0)
= lı́m+
= lı́m+ h2 = 0,
h→0
h→0
h→0
h
h
3
g2 (0 + h) − g2 (0)
−h − 0
g02 (0− ) = lı́m−
= lı́m−
= lı́m− −h2 = 0.
h→0
h→0
h→0
h
h
g02 (0+ ) = lı́m+
I Esto quiere decir que g02 (0) = 0 y que g0 (0) = (g01 (0), g02 (0)) = (0, 0).
I Entonces, aun cuando la imagen de g presenta una esquina en t = 0, la
función es diferenciable en dicho punto.
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I Sin embargo, como el vector derivada debe ser tangente a la imagen de la
función y en g(0) no está definida la dirección tangente, si hay derivada
allí, la única posibilidad es que la derivada sea el vector cero porque es el
único vector que no tiene una dirección definida.
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I Sin embargo, como el vector derivada debe ser tangente a la imagen de la
función y en g(0) no está definida la dirección tangente, si hay derivada
allí, la única posibilidad es que la derivada sea el vector cero porque es el
único vector que no tiene una dirección definida.
El ejemplo anterior nos muestra que la presencia de una esquina en la imagen de una función no implica que no exista la
derivada allí. Puede existir o no. Sin embargo, si es que existe
la derivada en la esquina no queda más que una alternativa, que
la derivada sea el vector cero.
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I Una imagen con una esquina representa un problema en el sentido en que
no hay una dirección tangente definida.
I Una curva que no presenta esquinas se llama curva regular y la función
que la genera es un camino regular.
I Entonces, un camino regular tiene la propiedad de que su vector derivada
nunca es el vector cero.
I Las siguientes definiciones establecen lo que denominaremos camino
regular.
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I Una imagen con una esquina representa un problema en el sentido en que
no hay una dirección tangente definida.
I Una curva que no presenta esquinas se llama curva regular y la función
que la genera es un camino regular.
I Entonces, un camino regular tiene la propiedad de que su vector derivada
nunca es el vector cero.
I Las siguientes definiciones establecen lo que denominaremos camino
regular.
Definición 9 (Camino de clase C1 )
Un camino diferenciable cuya función derivada es continua se denomina
camino de clase C1 .
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Definición 10 (Camino regular)
Sea f : I ⊆ R → Rn un camino de clase C1 , se dice que éste es un camino
regular si f 0 (t) , 0 para todo t ∈ I.
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Ejemplo 11
Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice
f : R → R3 definida como
f (t) = (cos t, sin t, t),
√
√
en el punto ( 2/2, 2/2, π/4).
Solución:
I Para determinar la recta tangente necesitamos el punto de paso y la
dirección
√
√ de la recta. El punto de paso ya lo tenemos, es el punto
( 2/2, 2/2, π/4). La dirección de la recta tangente es igual a la del
vector derivada en en el punto de paso.
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I Para hallar dicho vector necesitamos determinar para que valor de t se
√
√
genera el punto ( 2/2, 2/2, π/4).
I Puesto que la tercera componente es igual a t deducimos inmediatamente
que t = π/4. Necesitamos calcular f 0 (π/4):
f 0 (t) = (− sin t, cos t, 1),
f 0 (π/4) = (− sin π/4, cos π/4, 1)
√
√
f 0 (π/4) = (− 2/2, 2/2, 1)
I Una parametrización de la recta tangente será
g : R → R3 ,
g(t) = f (π/4) + t f 0 (π/4),


√ √
 √ √
 2

2 π 
2
2 
g(t) = 
,
,  + t −
,
, 1
2
2 4
2
2
√
√
√

√
 2
2
2
2 π 
−
t,
+
t, + t
g(t) = 
2
2
2
2 4
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I Las ecuaciones paramétricas solicitadas son:
√
√
2
2
−
t,
x=
√2
√2
2
2
y=
+
t,
2
2
π
z = + t.
4
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I Las ecuaciones paramétricas solicitadas son:
√
√
2
2
−
t,
x=
√2
√2
2
2
y=
+
t,
2
2
π
z = + t.
4
Ejemplo 12
Consideremos el camino f : R → R3 definido como f (t) = (t, t2 , 2t3 ). Se
quiere saber en qué punto (si lo hay), la curva correspondiente atraviesa el
plano yz perpendicularmente.
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Solución:
I Buscamos en que puntos la curva atraviesa el plano yz. Estos puntos se
caracterizan por que x = 0.
I Buscamos cuando la primera función coordenada de f se hace cero:
f1 (t) = t = 0,
t = 0.
La curva cruza el plano yz por f (0) = (0, 0, 0).
I Calculamos la dirección de la curva cuando atraviesa el punto (0, 0, 0).
La dirección de la curva en dicho punto es la de su tangente.
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Solución:
I Buscamos en que puntos la curva atraviesa el plano yz. Estos puntos se
caracterizan por que x = 0.
I Buscamos cuando la primera función coordenada de f se hace cero:
f1 (t) = t = 0,
t = 0.
La curva cruza el plano yz por f (0) = (0, 0, 0).
I Calculamos la dirección de la curva cuando atraviesa el punto (0, 0, 0).
La dirección de la curva en dicho punto es la de su tangente.
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Solución:
I Buscamos en que puntos la curva atraviesa el plano yz. Estos puntos se
caracterizan por que x = 0.
I Buscamos cuando la primera función coordenada de f se hace cero:
f1 (t) = t = 0,
t = 0.
La curva cruza el plano yz por f (0) = (0, 0, 0).
I Calculamos la dirección de la curva cuando atraviesa el punto (0, 0, 0).
La dirección de la curva en dicho punto es la de su tangente.
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Solución:
I Buscamos en que puntos la curva atraviesa el plano yz. Estos puntos se
caracterizan por que x = 0.
I Buscamos cuando la primera función coordenada de f se hace cero:
f1 (t) = t = 0,
t = 0.
La curva cruza el plano yz por f (0) = (0, 0, 0).
I Calculamos la dirección de la curva cuando atraviesa el punto (0, 0, 0).
La dirección de la curva en dicho punto es la de su tangente.
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I La dirección de la tangente en (0, 0, 0) es la del vector derivada f 0 (0):
f (t) = (t, t2 , 2t3 ),
f 0 (t) = (1, 2t, 6t2 ),
f 0 (0) = (1, 0, 0)
I Observamos que el vector derivada f 0 (0) tiene componente sólo en la
dirección x y en consecuencia es perpendicular al plano yz.
I Por lo tanto en f (0) = (0, 0, 0) la curva atraviesa el plano yz
perpendicularmente.
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Ejemplo 13
Sea C la curva que se obtiene de la intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y
el plano z = y. Entonces C es una circunferencia en el espacio. Se quiere
!
1 1 1
obtener la ecuación de la recta tangente en el punto p = √ , , .
2 2 2
Solución:
I Los puntos de la circunferencia están sobre el plano z = y, por lo tanto
podemos hacer z = y = t.
I Teniendo en cuenta las igualdades anteriores y como los puntos de la
circunferencia también satisfacen la ecuación de la esfera, ésta se
convierte en:
x2 + t 2 + t 2 = 1
x2 = 1 − 2t2
p
x = ± 1 − 2t2
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I Puesto que el punto por el que queremos que pase la curva generada por
el camino que estamos construyendo tiene coordenada x > 0, tomamos la
raíz positiva:
p
x = 1 − 2t2
I La parametrización
de una porción de circunferencia que pase por
!
1 1 1
es entonces:
p= √ , ,
2 2 2
p
f (t) =
1 − 2t2 , t, t .
I Esta parametrización no genera toda la circunferencia, sino sólo aquella
parte que tiene puntos con coordenada x positiva o cero.
I No calcularemos dicho dominio y saltamos directamente a lo que solicita
el ejemplo. Para hallar la ecuación de la recta tangente necesitamos saber
que valor de t genera el punto p.
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1 1 1
I Deducimos rápidamente el valor de t para generar p = √ , ,
2 2 2
notando √
que para generar
la
tercera
componente
de
p
con
f (t) =
1 − 2t2 , t, t debemos escoger t = 1/2:
!
√
f (1/2) = (1/ 2, 1/2, 1/2)
I Necesitamos la derivada para t = 1/2, pues esta nos da la dirección de la
recta tangente.
!
−2t
0
, 1, 1
f (t) = √
1 − 2t2
√
f 0 (1/2) = (− 2, 1, 1)
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√
I Ya tenemos el punto de paso f (1/2) = (1/ 2, 1/2, 1/2) y la dirección
√
f 0 (1/2) = (− 2, 1, 1)√de la recta tangente. Una parametrización de la
recta tangente en (1/ 2, 1/2, 1/2) es:
!
√
1 1 1
g(t) = √ , , + t − 2, 1, 1
2 2 2
!
√ 1
1
1
= √ − 2t, + t, + t
2
2
2
I Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la circunferencia en
√
f (1/2) = (1/ 2, 1/2, 1/2) son
√
1
x = √ − 2t
2
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y=
1
+t
2
Cálculo Vectorial (CVE)
z=
1
+ t.
2
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Ejemplo 14 (Cicloide)
Obtenga la parametrización de la curva que se genera cuando el punto P de
la circunferencia de radio r rueda sin resbalar sobre el eje x. Para cierta
posición de la circunferencia, el punto P coincide con el origen. Dicha curva
se denomina cicloide.
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Solución:
−−→
I Considerando la figura anterior, necesitamos construir el vector OP. Lo
construimos como la suma
−−→ −−→ −−→ −−→
OP = OT + TC + CP.
−−→
I Para construir el vector OT usamos el hecho de que la longitud del arco
−→
c es igual que la longitud del vector −
PT
OT :
c = rθ,
longPT
−−→
OT = rθ i.
I Además
−−→
TC = r j,
−−→
CP = −r sen θ i − r cos θ j.
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−−→
I Calculamos ahora el vector OC:
−−→ −−→ −−→ −−→
OP = OT + TC + CP,
= rθ i + r j − r sen θ i − r cos θ j,
= (rθ − r sen θ) i + (r − r cos θ) j,
= r(θ − sen θ) i + r(1 − cos θ) j.
I La parametrización de la cicloide es
f : R → R2
(1)
f (θ) = r(θ − sen θ) i + r(1 − cos θ) j.
(2)
I Con el dominio natural igual a todo R se generan infinitos arcos de la
cicloide. Si consideramos el dominio por definición [0, 2π] se genera un
solo arco de cicloide. En este caso tenemos un camino con punto inicial
y final que además es un camino simple.
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I Calculamos la derivada de la parametrización de la cicloide:
f 0 (θ) = r(1 − cos θ) i + r sen θ j.
I Podemos observar que para θ = 0 y θ = π la derivada es igual al vector
cero:
f 0 (0) = f 0 (2π) = (0, 0),
por lo que la cicloide no es una curva regular.
I No tiene una dirección tangente definida en el punto inicial y final. Esto
queda más claro si se considera un dominio mas grande que el intervalo
[0, 2π], aparecen unas “esquinas” donde no hay dirección tangente
definida.
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Contenido
1
Derivada
2
Algunas reglas de derivación
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48 / 56
Sean f y g funciones vectoriales diferenciables, sea c una constante real y sea
h una función real diferenciable, entonces se cumple:
d
( f (t) + g(t)) = f 0 (t) + g0 (t),
dt
d
(c f (t)) = c f 0 (t),
dt
d
(h(t) f (t)) = h0 (t) f (t) + h(t) f 0 (t),
dt
d
( f (t) · g(t)) = f 0 (t) · g(t) + f (t) · g0 (t),
dt
d
( f (t) × g(t)) = f 0 (t) × g(t) + f (t) × g0 (t), sólo en R3
dt
h(t) = g(h(t)) = ( g ◦ h)(t),
d
dh
=
(g(h(t))) = g0 (h(t)) h0 (t) regla de la cadena
dt
dt
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La función h resulta de la composición de g con la función h.
h(u) = ( g ◦ h)(t) = g(h(u)).
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50 / 56
Ejemplo 15
Demostrar que si k f (t)k = C (C es una constante), entonces f 0 (t) es ortogonal
a f (t) para todo t.
Solución:
I Multiplicamos escalarmente la función vectorial f por si misma, y
usamos el hecho de que k f (t)k = C:
f (t) · f (t) = k f (t)k2 = C 2
y C 2 es una constante,
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51 / 56
Ejemplo 15
Demostrar que si k f (t)k = C (C es una constante), entonces f 0 (t) es ortogonal
a f (t) para todo t.
Solución:
I Multiplicamos escalarmente la función vectorial f por si misma, y
usamos el hecho de que k f (t)k = C:
f (t) · f (t) = k f (t)k2 = C 2
y C 2 es una constante,
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51 / 56
I Por la propiedad de la derivada del producto escalar, ver teorema ??,
tenemos
d
[ f (t) · f (t)] = f 0 (t) · f (t) + f (t) · f 0 (t) = 2 f 0 (t) · f (t) = 0.
dt
I Por consiguiente f 0 (t) · f (t) = 0, lo que quiere decir que f 0 (t) es
ortogonal a f (t).
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52 / 56
Ejemplo 16
Componer la función g : [0, 2π] → Rn definida como g(t) = (a cos t, a sen t)
con la función como g(u) = 2π − u. Seleccione el dominio de g de modo que
genere todo el dominio de g. Comente que efectos tiene esta composición
sobre la curva generada.
Solución:
I Para que la imagen de g sea igual al dominio de f debemos considerar el
dominio por definición de g igual al intervalo [0, 2π].
I Denominaremos h : [0, 2π] → R2 a la nueva función vectorial que
resulta de la composición:
h(u) = ( g ◦ g)(u) = g(g(u)),
= (a cos (2π − u), a sen (2π − u)),
= (a cos u, −a sen u)
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53 / 56
I Al igual que el camino g, h es un camino cerrado y el punto inicial (0, a)
es igual que el punto final.
I Sin embargo, a diferencia de g, el camino h genera los puntos de la
circunferencia de radio a con centro en el origen, en sentido horario
partiendo del punto (0, a).
I Tenemos g0 (t) = (−a sen t, a cos t) y g0 (u) = −1.
I Utilizando la regla de la cadena, la derivada de la función compuesta h
es:
h0 (u) = g0 (g(u))g0 (u),
h0 (u) = (−a sen (2π − u), a cos (2π − u))(−1),
h0 (u) = (a sen (2π − u), −a cos (2π − u)),
h0 (u) = (−a sen u, −a cos u)
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I Puesto que g y h generan la circunferencia en sentido contrario, los
vectores derivada g0 (t) y h0 (u) en un mismo punto de la circunferencia,
tienen sentidos opuestos.
I Por ejemplo, cuando u = 11π/6 se tiene t = g(11π/6) = π/6.

√
 3 1 
a, a .
f (π/6) = g(11π/6) = 
2
2
I Las derivadas son
√
3a/2),
√
0
h (11π/6) = (−a sen 11π/6, −a cos 11π/6) = (a/2, − 3a/2).
g0 (π/6) = (−a sen π/6, a cos π/6) = (−a/2,
que son vectores con sentido opuesto.
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