Isig (d) = I0 floss Rf + (1 − Rf )2 Rc S(d)2 ·
π
8
· π (d0 − qs − A sin (2πf0 t − ϕexc )) +
· I0 floss −2rf rc (1 − Rf ) S(d) sin
λ
2
(1)
Using the Bessel function of the first kind
f = sin(C − D sin(B))
(2)
where
8π
π
8π
A], C = [ (d0 − qs ) + ],
λ
λ
2
The basic trigonometric identities
D=[
B = [2πf0 t − ϕexc ]
(3)
sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y
2 sin x cos y = sin(x + y) + sin(x − y)
2 cos x sin y = sin(x + y) − sin(x − y)
(4)
f = sin C cos(D sin(B)) − cos C sin(D sin(B))
(5)
Taking the first term [1]
cos(A sin(B)) =J0 (D) + 2[J2 (D) cos(2B) + [J4 (D) cos(4B) + [J6 (D) cos(6B) + ...] =
∞
X
= J0 (D) + 2
J2n (D) cos(2nB)
n=1
(6)
where Jn (A) is a Bessel function of first kind, where A is a argument and
n is the order.
sin C cos(D sin(B)) = sin C(J0 (D) + 2
∞
X
J2n (D) cos(2nB) =
n=1
= J0 (D) sin C +
∞
X
(7)
J2n (D) sin C cos(2nB)
n=1
For the second term
sin(D sin(B)) = 2[J1 (D) · sin(B) + J3 (D) · sin(3B) + J5 (D) · sin(5B) + ...] =
∞
X
=2
J2n+1 (D) sin((2n + 1)B)
n=0
1
cos C sin(D sin(B) = 2
∞
X
J2n+1 (D) cos C sin((2n + 1)B)
n=0
After Combination of the two halves
∞
∞
X
X
f = J0 (D) sin C+
J2n (D) sin C cos(2nB)+2
J2n+1 (D) cos C sin((2n+1)B)
n=1
n=0
(8)
f=
+∞
X
Jk (A)(sin(kB) cos(C) + cos(kB) sin(C))
(9)
k=−∞
If the static deflection is zero,
8π
π
d0 + = π · k,
λ
2
Therefore sin C = 0, cos C = −1.
qs = 0, => C =
f =2
∞
X
where k = 1, 2, 3, ....
J2n+1 (D) cos C sin((2n + 1)B)
(10)
(11)
n=0
Using this result for the [1] equation
Isig (d) = I0 floss Rf + (1 − Rf )2 Rc S(d)2 ·
!
∞
X
8π
8π
J2n+1 ( A) sin( d0 ) sin((2n + 1)(2πf0 t − ϕexc ))
· 4I0 floss rf rc (1 − Rf ) S(d)
λ
λ
n=0
(12)
2