第 34 卷
原
第5 期
2017 年 10 月
子
与
分
子
物
理
学
报
Vol． 34 No． 5
JOURNAL OF ATOMIC AND MOLECULAR PHYSICS
Oct．
2017
doi： 10． 3969 / j． issn． 1000-0364. 2017. 05. 028
二维简谐势阱中旋转理想玻色气体热力学性质的修正
李玉山
（ 菏泽学院物理与电子工程系，菏泽 274015）
摘
要： 利用截断求和方法修正了二维简谐势阱中旋转理想玻色气体的热力学性质． 对玻色 － 爱因斯坦凝
聚（ BEC） 临界温度的修正表明： 旋转框架下的 BEC 临界温度随旋转频率增大而快速趋近于零，到达势阱特
征频率时，基态将会发生从 BEC 态到强关联非凝聚态的转变； 由合成磁场引起的旋转对 BEC 临界温度的
影响则要弱得多． 对旋转导致的抗磁性的修正表明： 磁化强度随旋转频率和合成磁场的增大而增强． 利用
截断求和方法计算的结果与考虑有限尺度效应的修正结果获得了很好的一致．
关键词： 简谐势阱； 旋转频率； 合成磁场
中图分类号： O469
文献标识码： A
文章编号： 1000-0364（ 2017） 05-0973-06
Corrections on thermodynamics of rotating ideal Bose gases
confined in a two dimensional harmonic trap
LI Yu-Shan
（ Department of Physics and Electronic Engineering，Heze University，Heze 274015，China）
Abstract： Thermodynamics of rotating ideal Bose gases confined in a two dimensional （ 2D） harmonic trap are
corrected by introducing truncated － summation approach. It indicates that Bose － Einstein condensation （ BEC）
critical temperature in a rotating frame rapidly drops to zero with increasing rotation frequency. When the rotation
frequency approaches to trapping frequency，the BEC ground state will turn into strongly correlated non － condensed phase. Bose gases in a rotating frame exhibit much stronger dependence on the rotating frequency than
those in synthetic magnetic field. It also suggests that the diamagnetism resulted by rotation becomes strong as the
rotation frequency and synthetic magnetic field strength increase. Our results have a good agreement with those
calculated by considering the fine size effect.
Key words： Harmonic trap； Rotation frequency； Synthetic magnetic field
1
引
统旋转相当于引入一个等效磁场， 因此研究不旋
言
转玻色系统所采用的经典方法并不能直接推广到
人们已经对简谐势阱中的玻色气体的热力学
处理旋转玻色气体．
行为进行了广泛研究， 并从理论上给出了空间维
冷原子体系相对纯净， 杂质引起的散射可以
度、有限尺度效应和粒子间相互作用等因素对玻
忽略，而且实验参数大都可以控制， 因此很多传
色 － 爱因斯坦凝聚（ BEC） 的影响， 揭示了 BEC 与
统凝聚态体系中无法观测的物理量在冷原子实验
这几个因素之间的普遍关系， 为实验上控制和利
中都可以进行观测， 这使得冷原子成为模拟传统
［1 － 4］
用 BEC 提供了理论依据
． 但关于旋转玻色气
凝聚态物质的优质平台． 人们关注的量子霍尔效
体热力学性质的研究还相对较少． 原因在于， 系
应、自旋霍尔效应等多体现象都与带电粒子在磁
收稿日期： 2017-04-10
基金项目： 国家自然科学基金（ 11504095） ； 山东省高等学校科技计划项目（ J15LJ55） ； 菏泽学院博士研究基金（ XY16BS38）
作者简介： 李玉山（ 1980—） ，男，山东临沂人，博士，副教授，主要研究领域为冷原子物理． E-mail： lysh507@ 163. com
原
974
子
与
分
场中的物理行为有关， 因而如何利用带电粒子在
磁场中的运动观测量子多体现象一直是研究者特
别关注的问题． 由于冷原子呈电中性， 因此直接
借助于冷原子模拟带电粒子在电磁场中的运动行
子
物
理
学
第 34 卷
同时给出合成磁场约束的玻色气体的哈密顿
［10］
和能谱
^2
^ = P + 1 M（ ω20 + ω2L ） （ x2 + y2 ） － ω L L! z =
H
2M
2
1 珗 珗2
1
（ P － A） + Mω20 （ x2 + y2 ） ，
2M
2
为是十分困难的． 最初， 人们尝试通过旋转势阱
的方式来模拟磁场． 然而由于粒子同时受到离心
力的作用， 转速过大会导致粒子从势阱中逃离 ，
报
ε lm = （ 2l +| m | + 1）
2
槡ω0
（ 3）
+ ω2L － mω L ．
因此该方式存在临界旋转频率， 这就限制了它所
（ 4）
能模拟出的磁场大小． 随着实验的发展， 人们又
1珗
珗
珗= B 珒
A 是合成磁场 B
e z 所对应的磁矢势，珗
A = B
×
2
发展了合成磁场方法． 该方法的优点在于通过引
入随空间变化的光场来形成约束粒子的有效磁矢
势，由于实验上能够制造出很强的合成磁场， 因
1
1
珒
r = （ － By， Bx，
0） ． ω L 为拉莫尔频率，基态能
2
2
2
量 ε0 =
此有望实现对量子霍尔效应的观测 ．
鉴于旋转在破坏和压制玻色气体到达 BEC 态
槡ω0
+ ω2L ．
采用准经典近似导出系统热力学量的过程非
及探测其量子性质中起着举足轻重的作用 ， 因此
常简单，相关推导可参看文献［2 － 8］， 本文直接
势阱中旋转玻色气体的热力学性质值得进一步探
给出结果． 旋转框架下系统的粒子数
［5 － 7］
讨． 本文首先沿用准经典近似
研究二维旋转
理想玻色系统的热力学性质． 由于温度极低时，
(
)
（ k B T） 2
ε0 － μ
N = N0 + N T = N0 + 2 2
，
2 g2
（
－
）
ω0 Ω
kB T
玻色子体系量子化特性比较明显， 故将不连续的
（ 5）
量子态视为连续的准经典近似可能会给出不精确
N0 和 N T 分别代表处于基态和激发态的粒子数．
的结果． 例如， 文献 ［8］ 采用准经典近似研究
带电荷玻色气体在简谐势阱和磁场中的热力学性
质，得到了 BEC 临界温度与磁场无关、磁化强度
与温度无关等违反常识的结论． 这意味着仅用准
经典近似研究量子气体是远远不够的， 尤其是其
%
g γ （ z） =
∑
n =1
e －nz
1
=
Γ（ γ）
nγ
%
∫ dx e ex
γ －1
z x
0
－1
为 Poly －
logarithm 函数． 合成磁场中的粒子数
N = N0 +
（ k B T）
2
2
ω0
2
g2
( ε k －T μ ) ．
0
（ 6）
B
． 基于此， 本文又重新考虑了能级量
系统刚好发生 BEC 时，N0 = 0 ，T = T C ，μ =
子化，采用直接对量子态进行求和的截断近似来
ε0 ． 由方程（ 5） 可得旋转框架下 BEC 临界温度为
［9］
低温性质
修正准经典近似．
2
TC =
[
N2 （ ω20 － Ω2 ）
k2B g2 （ 0 ）
]
1 /2
．
（ 7）
物理模型及准经典近似结果
方程（ 7） 表明， 当旋转频率 Ω 接近势阱特征频率
首先给出二维各向同性简谐势阱囚禁的理想
ω0 （ 临界旋转频率） 时，BEC 临界温度逐渐下降直
中性玻色气体在旋转框架下的单粒子哈密顿和能
［10］
［11］
至为零，系统不再保持凝聚
，该结论与快速旋
转极限下系统基态将发生向非凝聚相的量子跃迁
谱
^
^ = P + 1 Mω20 （ x2 + y2 ） － ΩL! z =
H
2M
2
2
1 珗 珗2
1
（ P － A） + M（ ω20 － Ω2 ） （ x2 + y2 ） ，（ 1）
2M
2
（ 2）
ε lm = （ 2l +| m | + 1） ω0 － mΩ．
珗
P 、M 、x 、y 代表玻色子的动量、 质量和坐标，ω0
!
［12，13］
的预言相一致
． 此时，由旋转所引起的离心
力将抵消势阱的约束力， 二维旋转玻色气体随之
将变成 二 维 自 由 玻 色 系 统， 自 然 也 就 不 会 发 生
BEC［14，15］．
由方程（ 6） 可得合成磁场中的 BEC 临界温度
TC =
[
N2 ω20
k2B g2 （ 0 ）
]
1 /2
．
（ 8）
A
和 L z 为简谐势阱特征频率和沿旋转轴的角动量 ． 珗
珗 = 2MΩ珒
ez
是由旋转频率 Ω 带来的形式上的磁场 B
→
A = MΩ × 珒
r =
所对应的矢势， 采用对称规范有 珗
很明显，BEC 临界温度与合成磁场无关，这个结论
（ － MΩy，MΩx，
0） ． 量子数 l = 0，1，2，3，… ，m
致转变温度下降的传统观念． 所丢失的物理信息需
= 0，± 1，± 2，… ，基态能量 ε0 = ω0 ．
要通过超越准经典近似的量子化方法找回．
明显有悖于磁性和超导物理中建立的磁场增大会导
第5 期
李玉山： 二维简谐势阱中旋转理想玻色气体热力学性质的修正
［－ n max ，n max ］，选择合适的 n max 才能保证结果的
凝聚在基态的粒子所占的比例为
( )
2
N0
= 1 － T ．
N
TC
（ 9）
无量纲单粒子比热为
珔
C
N
T ＞ TC
=
C
NkB
( εk －Tμ) g ( εk －Tμ)
=6
－4
，
ε －μ
ε －μ
g (
g
( kT )
k T )
0
g3
0
2
B
T ＞ TC
B
0
0
2
1
B
B
（ 10）
珔
C
N
T&T C
( TT ) ．
g3 （ 0）
= 6
g2 （ 0）
2
（ 11）
珚=
M
{
－N
Ω
（ 旋转框架）
ω0
ωL
2
槡ω0
可靠性． 理论上， 求和的级数项越多计算结果越
可靠． 图 1 给出了粒子数 N = 1000 时， 无量纲
珔C = k B T C / （ ω0 ） 随 n max 的变化规
BEC 临界温度 T
律，由图 1 可以看出， 当 1 / n max ≤ 0. 01 ， 即 n max
≥ 100 时，级数开始收敛． 当 n max = 1000 时， 级
数已经明显收敛于固定的常数， 这意味着后面的
高阶项是可以忽略的， 此时的截断近似结果能够
确保计算的可靠性． 接下来关于 BEC 临界温度的
计算取 n max = 1000 ， 粒子数 N = 1000 ， 比热和
磁化强度等的计算也做类似处理 ．
C
由旋转效应导致的无量纲磁化强度为
－N
975
（ 12）
．
（ 合成磁场）
2
+ ωL
磁化强度为负值， 系统表现出朗道抗磁性．
抗磁性随旋转频率和合成磁场的增大而增大 ， 随
旋转频率和合成磁场减弱至零而消失． 需要指出
的是，准经典近似得到的磁化强度与温度无关 ，
这一 “非物理” 的结论说明准经典近似并不适用
于处理旋转玻色系统的磁性质， 必须用数值的方
［9］
法来修正准经典近似的结果
3
．
数值结果及讨论
本文采用的数值计算方法为截断求和近似 ，
其 具 体 过 程 为： 求 解 粒 子 数 方 程 N =
（ exp［（ ε lm － μ） / k B T］ － 1）
－1
∑
lm
，得到 BEC 临界温
珔 =
度 和 化 学 势； 然 后 通 过 C
∑
lm
ε lm
（ k B T）
2
exp［（ ε lm － μ） / k B T］［k B T（ μ / T） + ε lm － μ］
（ exp［（ ε lm － μ） / k B T］ － 1） 2
珚
M
=
计 算 比 热； 最 后 通 过
－ N0 τ － ∑ （ 2l +| m | + 1） τ － m （ 旋转框架）
（ ε lm － μ） / k B T］ － 1
lm exp［
（ 2l +| m | + 1） α / 槡1 + α2 － m
α
－
N
－
∑
0
2
exp［（ εlm － μ） / kB T］－ 1
lm
槡1 + α
（ 合成磁场）
BEC 临界温度随截断因子倒数的变化 （ a） 旋
转框架； （ b） 合成磁场
Fig. 1 BEC critical temperature versus the inverse of
the maximum cut － off order for （ a） rotating
frame and （ b） synthetic magnetic field
图1
3. 2
BEC 临界温度和基态粒子凝聚比例
图 2 给出了 BEC 临界温度随旋转频率和合成
给出磁化强度． 为表述方便， 上式中引入了参数
磁场的变化关系． 由图 2（ a） 可以看出， 两种方法
τ = Ω / ω0 ，α = ω L / ω0 ．
得到的结果基本一致， 说明准经典近似可以用来
可靠性分析
求解旋转框架下的 BEC 临界温度． 由图 2 （ b） 可
3. 1
引入求和截断因子 n max 代表量子数 l 和 m 的
最大 值， 即 定 义 量 子 数 l ∈ ［0，n max ］，m ∈
以看出，合成磁场中的 BEC 临界温度不再是准经
典近似所得到的常数， 合成磁场的增强将会导致
BEC 临界温度的缓慢降低， 这与外磁场的增大将
原
976
子
与
分
子
物
理
学
报
第 34 卷
导致转变温度下降的结论相一致 ． 需要指出的是，
尽管两种旋转方式虽然都能够降低 BEC 临界温
度，但其效率是不同的． 通过加大合成磁场来降
低 BEC 临界温度的速度很缓慢，需要很强的磁场
才有可能破坏简谐势阱中原本形成的 BEC． 而旋
转框架却能够很快的降低 BEC 临界温度，也更容
［16］
易破坏 BEC
．
凝聚粒子数随温度的变化 （ a） 旋转框架； （ b）
合成磁场． 实线： 截断近似结果； 虚线： 准
经典近似值，参数 α = τ = 0. 5
Fig. 3 Condensate fractions versus scaled temperature
for （ a） rotating frame and （ b） synthetic magnetic field withα = τ = 0. 5 . Solid line： truncated － summation approach； short dashed
line： semi － classical approximation
图3
图2
BEC 临界温度随（ a） 旋转频率和（ b） 合成磁场
的变化，实线和虚线分别对应截断近似和准
经典近似
Fig. 2 BEC critical temperature versus （ a） rotation
frequency and （ b） synthetic magnetic field，
the solid and short dashed lines correspond to
the truncated － summation and semi － classical
approximation，respectively
图 3 给出了基态粒子凝聚比例随温度的变化 ．
显然，旋转效应并没有改变凝聚粒子对温度的依赖
在严格意义上的相变． 旋转频率和合成磁场强度
影响着系统的比热，T C 之下， 比热随旋转频率和
合成磁场的增大， 相变逐渐变弱． T C 之上， 随着
［17］
温度的升高，比热逐渐趋于经典值
．
磁化强度
3. 4
由图 5 的磁化强度 － 温度曲线可以看出， 旋
转效应引起的抗磁性随旋转频率和合成磁场的增
大而增强，系统表现出很强的抗磁性． 截断求和
结果和准经典近似仅在绝对零度附近吻合 ， 随着
关系． 虽然准经典近似将能量视为连续变量违背了
体系的量子化特性，但由于能级间隔不是很大，温
温度的增大， 两种方法的差别越来越大． 结合前
度较低时基态粒子容易随温度波动，导致凝聚比例
减小，而准经典近似的能级连续性减缓了该过程，
能量大于能级间隔的区间， 而在低温情况下， 气
因此两种方法得到的结果仅存在微小的差别．
3. 3
比
热
由图 4 给出的比热 － 温度曲线可以看出，T C
附近比热的跃变量趋于零， 表明二维系统并不存
面的分析可知， 准经典近似的适用范围应该在热
体的量子效应占主导地位， 因此准经典近似不再
［18］
适用
． 截断求和考虑到了能级的量子化特性，
因此更能反映系统真实的物理特性． BEC 临界温
度以下， 磁化强度随温度变化明显， 温度越低，
磁化强度的绝对值越大， 磁化越强． BEC 临界温
第5 期
李玉山： 二维简谐势阱中旋转理想玻色气体热力学性质的修正
977
磁化强度随温度的变化 （ a） 旋转框架； （ b） 合
成磁场，直线对应于非旋转态
Fig. 5 Magnetization as a function of scaled temperature for （ a） rotating frame and （ b） synthetic
magnetic field. The solid lines in （ a） and （ b）
denote no － rotating cases
图5
比热随温度的变化 （ a） 旋转框架； （ b） 合成磁
场． TSA 代表截断求和，SCA 对应准经典近
似，下同
Fig. 4 The specific heat versus temperature for （ a） rotating frame and （ b） synthetic magnetic field.
TSA and SCA demonstrate the values of truncated － summation and semi － classical approximation
图4
度以上，磁化强度开始趋于常数， 随着温度越来
越高，截断求和法的精度由于受到截断级数的限
制，也开始慢慢失效．
3. 5
有限尺度效应
对于有限粒子数系统， 需要考虑有限尺度效
应对系统热力学性质的影响． 文献 ［19］ 采用改
进的准经典近似给出了简谐势阱中非旋转理想玻
色气体考虑有限尺度效应的热力学量解析表达式 ，
我们可将 截 断 近 似 修 正 结 果 与 文 献 ［19］ 中 的
（ 31） 式进行对比， 参见图 6． 图 6 表明， 截断近
似修正与文献 ［19］ 中考虑有限尺度效应的结果
获得了较好的一致， 粒子数越大， 吻合越好， 即
使对于很少的粒子数，二者的偏差也很小．
4
结
论
采用截断求和方法修正简谐势阱中的二维旋
图6
珔C － T
珔（C0） ） / T
珔（C0） 和粒子数 N －1 /2
有限尺度修正 （ T
珔C 和 T
珔（C0） 分别代表临界温度 TSA
的关系图，T
和 SCA 值． 黑实心点代表 TSA 修正，短划线
对应于文献 ［19］ 中的（ 31） 式
珔C － T
珔（C0） ） / T
珔（C0） versus
Fig. 6 Finite size corrections （ T
珔C andT
珔（C0） describe the critical temperaN －1 /2 . T
ture within TSA and SCA，respectively. The
bullets and short dashed line indicate TSA correction and finite size correction which is taken
from Eq. （ 31） in Ref. ［19］
原
978
子
与
分
转理想玻 色 气 体 的 热 力 学 性 质， 所 得 主 要 结 果
子
物
理
［8］
（ 1） 旋转框架和合成磁场对 BEC 临界温度的
影响是不同的． 虽然增大旋转频率和加大合成磁
［9］
的相变特征明显弱于三维系统， 在高温极限下回
方法研究谐振子势阱和磁场中的带电荷玻色气体
［J］. 原子与分子物理学报，2014，31： 821］
［10］ EI － Badry A M. Temperature dependence for the syn-
归经典值．
thetic magnetization of a rotating Bose gas in harmonic
（ 3） 抗磁性随旋转频率和合成磁场的增大而
增强， 对 温 度 也 表 现 出 了 很 强 的 依 赖， 尤 其 是
trap ［J］. Turk. J. Phys. ，2013，37： 30．
［11］ Kling A. Thermodynamical properties of a rotating ideal Bose gas ［J］. Phys. Rev. A，2007，76： 023609．
BEC 临界温度之下， 温度越低， 抗磁性越强， 这
与前人的研究相符合．
［12］ Wikkin N K，Gunn J M F. Condensation of“Composite Bosons”in a rotating BEC ［J］. Phys. Rev. Lett. ，
（ 4） 截断求和近似能够有效改进准经典近似
的不足，并与考虑有限尺度效应的修正获得较好
的一致．
2000，84： 6．
［13］
sates ［J］. Phys. Rev. Lett. ，2001，87： 120405．
［14］
sation in two dimensions： A quantum Monte Carlo
study ［J］. Phys. Rev. A，1998，58： 4811．
［6］
［7］
Posazhennikova A. Colloquium： Weakly interacting，
dilute Bose gases in 2D ［J］. Rev. Mod. Phys. ，
2006，78： 1111．
［15］ Fetter A L. Rotating trapped Bose － Einstein conden-
Chen L，Yan Z，Li M，et al. Bose － Einstein conden-
sates ［J］. Rev. Mod. Phys. ，2009，81： 647．
sation of an ideal Bose gas trapped in any dimension
［16］ Li Y S，Gu Q. Thermodynamics properties of rotating
［J］. J. Phys. A，1998，31： 8289．
trapped ideal Bose gases ［J］. Phys. Lett. A，2014，
Bayindir M，Tanatar B. Bose － Einstein condensation
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in a two － dimensional，trapped，interacting gas ［J］.
［5］
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phase of vortices in rotating Bose － Einstein conden-
参考文献：
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（ 2） BEC 临界温度附近， 二维旋转玻色气体
［4］
Fan J H，Gu Q，Guo W. Thermodynamics of charged
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本形成的 BEC，但二者的效率明显不同．
［3］
第 34 卷
Chin. Phys. Lett. ，2011，28： 060306．
场都能够降低 BEC 临界温度，从而破坏势阱中原
［2］
报
ideal Bose gases in a trap under a magnetic field ［J］.
如下：
［1］
学
［17］ Li Y S. Bose － Einstein condensation of Bose gases
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Phys. ，2014，31： 683 （ in Chinese） ［李玉山 . 谐振
thermodynamics properties of an ideal system trapped
子势阱囚禁玻色气体的玻色 － 爱因斯坦凝聚 ［J］.
in any dimension ［J］. J. Phys. A，1999，32： 4069．
原子与分子物理学报，2014，31： 683］
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［18］ Li H，Liu H Y，Wang L，et al. Magnetic properties of
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2 费米气体的磁性质 ［J］. 原子与分子物理学报，
Phys. Rev. A，1998，58： 1490．
2017，34： 577］
Li M，Chen L，Chen J，et al. Bose － Einstein conden-
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sation of a finite number of particles trapped in any di-
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