books-library.online-10110214Xy5V7

 ‫ ا‬‫م‬ (‫)ا‬ ‫ك‬‫ا‬ ‫م‬‫ا‬ ٢ : ‫ول‬‫ ا‬‫ا‬ ( ‫ل‬‫ا‬ ‫ب‬‫ ا‬‫ا‬ ‫و‬‫ول )ا‬‫ا‬: ‫م‬‫ا‬ ‫از‬‫ى ا‬‫ ا‬: ‫ ا‬‫ا‬ ‫ا‬ ‫ان ا‬‫ا‬ : ‫ا‬‫ ا‬‫ا‬ ‫ت‬‫زدوا‬‫ ا‬: ‫ ا‬‫ا‬ ‫د‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٣‬‬ ‫ا‪ ‬ا‪‬ول ‪ :‬ا‪‬ك‬ ‫‪:‬‬ ‫ھﻰ ﻗﻮة ﻛﺎﻣﻨﺔ ﺑﯿﻦ ﺳﻄﺤﯿﻦ ﺧﺸﻨﯿﻦ وﻻ ﺗﻈﮭﺮ إﻻ ﻋﻨﺪ ﻣﺤﺎوﻟﺔ ﺗﺤﺮﯾﻚ أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻠﻰ اﻵﺧﺮ‬ ‫)‪: (‬‬ ‫ھﻰ اﻟﻘﯿﻤﺔ اﻟﻨﮭﺎﺋﯿﺔ ﻟﻘﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ أو ﻣﺘﺤﺮك ‪.‬‬ ‫)م( ‪:‬‬ ‫ھﻮ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ اﻻﺣﺘﻜﺎك اﻟﻨﮭﺎﺋﻰ )‪ (:‬ورد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻌﻤﻮدى )ر( ‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫أى أن ‪ :‬م = ر وﻣﻦ ذﻟﻚ ﺗﻜﻮن ‪ = :‬م ر )ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك اﻟﻨﮭﺎﺋﻰ ﻓﻘﻂ(‬ ‫ل‬ ‫‪:‬‬ ‫ر‬ ‫ھﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻦ رد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻌﻤﻮدى ورد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻤﺤﺼﻞ ‪.‬‬ ‫‪/‬‬ ‫)ر‬ ‫(‪:‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ل‬ ‫ش‬ ‫ر‬ ‫‪=:‬مر‬ ‫ھﻮ ﻣﺤﺼﻠﺔ رد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻌﻤﻮدى واﻻﺣﺘﻜﺎك ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن ﻧﮭﺎﺋﯿﺎ ‪.‬‬ ‫و‬ ‫‪/‬‬ ‫ر = ر‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪+١‬م‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ :‬مر‬ ‫ﻧﺠﺪ ﻣﻦ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺴﺎﺑﻖ أن ‪ :‬ظﺎ ل = ر = ر = م‬ ‫أى أن ‪) :‬ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك = ظﻞ زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك(‬ ‫م = ظﺎ ل‬ ‫‪/‬‬ ‫ر‬ ‫‪:‬‬ ‫ى‬ ‫إذا وﺿﻊ ﺟﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ ﻣﺎﺋﻞ ﺧﺸﻦ وﻛﺎن اﻟﺠﺴﻢ‬ ‫ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ﻓﺈن ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﯾﺴﺎوى‬ ‫ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ‪.‬‬ ‫أى أن ‪ :‬م = ظﺎ ه‬ ‫)إذا ‪‬ن ا‪‬م ‪‬ت ‪‬ر وز‪ ‬ط( ‪.‬‬ ‫ه‬ ‫و‬ ‫ه‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫أ‪ ‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (١‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ١٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻓﻘﻰ ﺧﺸﻦ ﺛﻢ ﺷﺪ اﻟﺠﺴﻢ ﺑﻘﻮة أﻓﻘﯿﺔ‬ ‫ﻣﺎﺳﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ﻣﻘﺪارھﺎ ‪ ٣ ٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺠﻌﻠﺖ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ‪.‬‬ ‫أوﺟﺪ ‪ :‬أوﻻ ‪ :‬ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫ر‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﻰ اﻻﺗﺰان ھﻤﺎ ‪:‬‬ ‫مر‬ ‫‪٣ ٤‬‬ ‫مر=‪٣ ٤‬‬ ‫ر = ‪، ١٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ى م × ‪ ٣ ٤ = ١٢‬ى م =‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ى ه = ‪ْ ٣٠‬‬ ‫ى ظﺎ ه =‬ ‫ي م = ظﺎ ه‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٢‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ٣٨‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ أﻓﻘﻰ ﺧﺸﻦ وﻛﺎن ظﻞ زاوﯾﺔ‬ ‫‪١‬‬ ‫اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ ،‬ﺷﺪ اﻟﺠﺴﻢ ﺑﻘﻮة ﺗﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫زاوﯾﺔ ﺟﯿﺒﮭﺎ ﺟﻌﻠﺖ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ‪ .‬اوﺟــﺪ ‪:‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻗﻮة رد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻌﻤﻮدى‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻗﻮة اﻟﺸﺪ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻗﻮة رد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻤﺤﺼﻞ ‪.‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ه‬ ‫ر‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ر‬ ‫ش‬ ‫ش ﺟﺎه‬ ‫ﺑﺘﺤﻠﯿﻞ اﻟﻘﻮة ش ﻓﻰ اﺗﺠﺎه‬ ‫‪ ٤١‬ر‬ ‫‪ ١‬ر ش ﺟﺘﺎه‬ ‫ه‬ ‫‪٤‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى واﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﯿﮫ ‪.‬‬ ‫‪١ ٤‬‬ ‫ر‬ ‫ى ش× =‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٣٨‬‬ ‫‪٤ ٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫ر ‪ +‬ش = ‪(٢) ........ ٣٨‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ش ‪(١) ........‬‬ ‫ى ر=‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ش = ‪ ١٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬ر = ‪ ٣٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ﻣﻦ )‪(٢) ، (١‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ى ر =ر‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ + ١‬م = ‪٣٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ ١٧ ٨ = ١٦ + ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪.‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٣‬وﺿ ﻊ ﺟ ﺴﻢ وزﻧ ﮫ و ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى أﻓﻘ ﻰ ﺧ ﺸﻦ وﻛ ﺎن ﻗﯿ ﺎس زاوﯾ ﺔ‬ ‫اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺠ ﺴﻢ واﻟﻤ ﺴﺘﻮى ل ‪ .‬ﺷ ﺪ اﻟﺠ ﺴﻢ ﺑﻘ ﻮة ﺗﻤﯿ ﻞ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى‬ ‫اﻷﻓﻘ ﻰ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ ه ﻓﺄﺻ ﺒﺢ اﻟﺠ ﺴﻢ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻟﺤﺮﻛ ﺔ ‪ .‬اﺛﺒ ﺖ أن‬ ‫و ﺟﺎ ل‬ ‫‪ ،‬ﺛ ﻢ أوﺟ ﺪ ﻣﻘ ﺪار أﻗ ﻞ ﻗ ﻮة ﺗﻜﻔ ﻰ‬ ‫ﻣﻘ ﺪار ھ ﺬه اﻟﻘ ﻮة ﯾ ﺴﺎوى‬ ‫ﺟﺘﺎ )ه ‪ -‬ل(‬ ‫ﻟﺘﺤﺮﯾﻚ اﻟﺠﺴﻢ واﻟﺸﺮط اﻟﻼزم ﻟﺬﻟﻚ ‪.‬‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫ي‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ي‬ ‫ى‬ ‫‪/‬‬ ‫ر‬ ‫‪/‬‬ ‫ر ھﻰ ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ر ‪: ،‬‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﺛﻼث ﻗﻮى‬ ‫ل‬ ‫‪:‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ه‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ وھﻰ )ق ‪ ،‬ر ‪ ،‬و (‬ ‫ﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻗﺎﻋﺪة ﻻﻣﻰ ‪:‬‬ ‫و‬ ‫ق‬ ‫و‬ ‫‪‬‬ ‫ﺟﺎ]‪)   ٩٠‬ه ‪ ‬ل([‬ ‫ﺟﺎ)‪   ١٨٠‬ل(‬ ‫و ﺟﺎ ل‬ ‫و‬ ‫ق‬ ‫ى ق=‬ ‫=‬ ‫ﺟﺘﺎ )ه ‪ -‬ل(‬ ‫ﺟﺘﺎ )ه ‪ -‬ل(‬ ‫ﺟﺎ ل‬ ‫اﻟﻤﻄﻠﻮب ھﻮ أﻗﻞ ﻗﻮة ‪ ،‬ﻓﯿﻜﻮن اﻟﻤﻘﺪار ﺟﺘﺎ )ه – ل( أﻛﺒﺮ ﻣﺎ ﯾﻤﻜﻦ‬ ‫واﻟﺸﺮط اﻟﻼزم ھﻮ ‪:‬‬ ‫ى ق = و ﺟﺎ ل‬ ‫ﺟﺘﺎ )ه – ل( = ‪١‬‬ ‫ﺟﺘﺎ )ه – ل( = ﺟﺘﺎ ‪ ٠‬ى ق)ه – ل( = ‪ ٠‬ى ق)ه( = ق)ل(‬ ‫ق‬ ‫ر‬ ‫‪‬ل )‪ : (٤‬وﺿ ﻊ ﺟ ﺴﻢ وزﻧ ﮫ *‪ ٥٧‬ث ‪ .‬ﻛﺠ ﻢ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى أﻓﻘ ﻰ ﺧ ﺸﻦ وأﺛ ﺮت ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﺠ ﺴﻢ ﻗﻮﺗ ﺎن ﻣﻘ ﺪارھﻤﺎ ‪ ٣ ، ٢‬ث ‪ .‬ﻛﺠ ﻢ وﯾﺤ ﺼﺮان ﺑﯿﻨﮭﻤ ﺎ زاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ‬ ‫‪ ْ ٦٠‬ﺑﺤﯿ ﺚ ﻛﺎﻧ ﺖ اﻟﻘﻮﺗ ﺎن أﻓﻘﯿﺘ ﺎن واﻗﻌﺘ ﺎن ﻓ ﻰ ﻧﻔ ﺲ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى اﻷﻓﻘ ﻰ ﻣ ﻊ‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ ‪ ،‬ﻓﺈذا أﺻﺒﺢ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷ ﻚ اﻟﺤﺮﻛ ﺔ ﻓﺄوﺟ ﺪ ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى وﻛﺬﻟﻚ ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ‪.‬‬ ‫ر‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫مر‬ ‫‪١٩‬‬ ‫‪ْ ٦٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٥٧‬‬ ‫ر‬ ‫مر‬ ‫‪٥٧‬‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ ٣ ، ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وھﺬه اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺗﻌﺎدل‬ ‫ﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك اﻟﻨﮭﺎﺋﻰ )مر(‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ي ح=‬ ‫ق‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪+‬ق‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪ ٢ +‬ق‪ ١‬ق‪ ٢‬ﺟﺘﺎ ى‬ ‫‪١‬‬ ‫‪×٣×٢×٢+٩ + ٤‬‬ ‫ىح=‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى م ر = *‪١٩‬‬ ‫ي اﻟﺠﺴﻢ ﻣﺘﺰن‬ ‫‪١‬‬ ‫ى وﺑﻘﺴﻤﺔ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ ‪ :‬ى م =‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ى ظﺎ ل =‬ ‫ي م = ظﺎ ل‬ ‫‪٣‬‬ ‫= *‪ ١٩‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫‪‬ل‬ ‫‪،‬‬ ‫ر = *‪٥٧‬‬ ‫ى ق)آل( = ‪ْ ٣٠‬‬ ‫)‪ : (٥‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧ ﮫ ‪ ٣‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى ﯾﻤﯿ ﻞ ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ْ ٣٠‬وﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑﯿﻨ ﮫ وﺑ ﯿﻦ اﻟﺠ ﺴﻢ ﯾ ﺴﺎوى ‪ .‬أﺛ ﺮت ﻋﻠ ﻰ اﻟﺠ ﺴﻢ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻗﻮة ﺗﻌﻤﻞ ﻓ ﻰ ﺧ ﻂ أﻛﺒ ﺮ ﻣﯿ ﻞ ﻟﻠﻤ ﺴﺘﻮى وﻷﻋﻠ ﻰ وﻣﻘ ﺪارھﺎ ‪ ٢‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ‪ ،‬ﻓ ﺈذا‬ ‫ﻛﺎن اﻟﺠﺴﻢ ﻣﺘﺰﻧﺎ ‪ .‬ﻋﯿﻦ ﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك وﺑﯿﻦ ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن اﻟﺠ ﺴﻢ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ‬ ‫اﻟﺤﺮﻛﺔ أم ﻻ ؟‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫ر‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﺑﺘﺤﻠﯿﻞ وزن اﻟﺠﺴﻢ ‪ ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ إﻟﻰ ﻣﺮﻛﺒﺘﯿﻦ ﻓﻰ‬ ‫اﺗﺠﺎه اﻟﻤﺴﺘﻮى واﻟﻌﻤﻮدى ﻋﻠﯿﮫ ‪.‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪،‬‬ ‫ى ر = ‪ ٣‬ﺟﺘﺎ ‪= ْ ٣٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ٣‬ﺟﺎ‪٣٠‬‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫ح‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﻤﻤﺎﺳﯿﺔ ﻟﻠﻮزن وﺗﻌﻤﻞ ﻷﺳﻔﻞ = ‪ ٣‬ﺟﺎ ‪= ْ ٣٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ى ‪=٢‬ح ‪+‬‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ ﻣﺘﺰن‬ ‫ىح=‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣ ٢‬‬ ‫‪ ٣ = ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ى ‪× =:‬‬ ‫‪=:‬مر‬ ‫‪٢ ٣‬‬ ‫‪<:‬ح‬ ‫اﻻﺣﺘﻜﺎك ﻏﯿﺮ ﻧﮭﺎﺋﻰ وﻻ ﯾﻜﻮن اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫ي‬ ‫ى‬ ‫‪‬ل‬ ‫)‪ : (٦‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ١٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ ﻣﺎﺋ ﻞ ﺧ ﺸﻦ ﺗ ﺆﺛﺮ ﻋﻠﯿ ﮫ ﻗ ﻮة ﻓ ﻰ‬ ‫اﺗﺠﺎه ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ إﻟ ﻰ أﻋﻠ ﻰ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى ‪ ،‬ﻓ ﺈذا ﻋﻠ ﻢ أن اﻟﺠ ﺴﻢ ﯾﻜ ﻮن ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٧‬‬ ‫وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛ ﺔ إﻟ ﻰ أﻋﻠ ﻰ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ق = ‪ ٦‬ث ‪ .‬ﻛﺠ ﻢ وﯾﻜ ﻮن ﻋﻠ ﻰ‬ ‫وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ إﻟﻰ اﺳﻔﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻨﺪﻣﺎ ق = ‪ ٤‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ‪ .‬اوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﯾﻨﺎ ‪ :‬ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻣﻌﺎدﻟﺘﻰ اﻻﺗﺰان ھﻤﺎ ‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ر‪ ١٠ = ١‬ﺟﺘﺎ ه‬ ‫‪ ١٠ = ٦‬ﺟﺎ ه ‪ +‬م ر‪١‬‬ ‫وﺑﺤﺬف ر‪١‬‬ ‫ى ‪ ١٠‬ﺟﺎ ه ‪ ١٠ +‬م ﺟﺘﺎ ه = ‪.... ٦‬‬ ‫ر‪١‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪ ١٠‬ﺟﺎه‬ ‫هْ‬ ‫)‪(١‬‬ ‫هْ‬ ‫مر‪١‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻣﻌﺎدﻟﺘﻰ اﻻﺗﺰان ھﻤﺎ ‪:‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ر‪ ١٠ = ٢‬ﺟﺘﺎ ه‬ ‫‪ ٤‬مر‪٢‬‬ ‫‪ + ٤‬م ر‪ ١٠ = ٢‬ﺟﺎ ه ‪،‬‬ ‫وﺑﺤﺬف ر‪٢‬‬ ‫‪ ١٠‬ﺟﺎه‬ ‫ى ‪ ١٠‬م ﺟﺘﺎ ه = ‪ ١٠‬ﺟﺎ ه ‪(٢) .... ٤ -‬‬ ‫هْ‬ ‫مر‬ ‫هْ‬ ‫ﻣﻦ )‪: (٢) ، (١‬‬ ‫ى ‪ ١٠ = ٦‬ﺟﺎ ه ‪ ١٠ +‬ﺟﺎ ه – ‪ ٤‬ى ‪ ٢٠‬ﺟﺎ ه = ‪١٠‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ى ق)آه( = ‪ْ ٣٠‬‬ ‫ى ﺟﺎ ه =‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى ‪ ١٠‬م ﺟﺘﺎ ‪ ١٠ = ْ ٣٠‬ﺟﺎ ‪٤ – ْ ٣٠‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ رﻗﻢ )‪(١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫=‬ ‫ى م =‬ ‫× ‪ ١٠‬م = ‪٤ – ٥‬‬ ‫ى‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣ ٥‬‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫‪‬ل‬ ‫)‪ : (٧‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ ﻛﺘﻠﺘ ﮫ ‪ ٤‬ﻛﺠ ﻢ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮ ﻣﺎﺋ ﻞ ﺧ ﺸﻦ ﯾﻤﯿ ﻞ ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ﺑﺰاوﯾ ﺔ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ .‬ﺑ ﯿﻦ ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن‬ ‫ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ٣٠‬وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑﯿﻨ ﮫ وﺑ ﯿﻦ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى‬ ‫‪٢‬‬ ‫اﻟﺠ ﺴﻢ ﯾﻨﺰﻟ ﻖ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى أو أن ﯾﻜ ﻮن ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻻﻧ ﺰﻻق أو أن‬ ‫اﻻﺣﺘﻜﺎك ﻏﯿﺮ ﻧﮭﺎﺋﻰ ‪ ،‬ﺛﻢ اوﺟﺪ أﻗﻞ وأﻛﺒﺮ ﻗ ﻮة ﺗ ﺆﺛﺮ ﻋﻠ ﻰ اﻟﺠ ﺴﻢ ﻓ ﻰ اﺗﺠ ﺎه‬ ‫ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﺑﺤﯿﺚ ﺗﺠﻌﻞ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ‪.‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫ي ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻮزن = ‪ ٤‬ﺟﺎ ‪ ٢ = ْ ٣٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪=:‬مر=‬ ‫× ‪ ٤‬ﺟﺘﺎ ‪ ٣ = ْ ٣٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى ‪ < :‬ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻮزن )و ﺟﺎه(‬ ‫ى اﻻﺣﺘﻜﺎك ﻏﯿﺮ ﻧﮭﺎﺋﻰ ‪.‬‬ ‫ر‬ ‫ح‬ ‫‪ ٤‬ﺟﺎ‪٣٠‬‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫‪ ٤‬ﺟﺘﺎ‪ْ◌ ٣٠ ٣٠‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬أﻗﻞ ﻗﻮة ﺗﺠﻌﻞ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ‬ ‫اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻷﺳﻔﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪:‬‬ ‫ق ‪ ٤ +‬ﺟﺎ ‪: = ْ ٣٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ق ‪ ٣ = × ٤ +‬ى ق = ‪ ١‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬أﻛﺒﺮ ﻗﻮة ﺗﺠﻌﻞ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ‬ ‫اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻷﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪:‬‬ ‫ق = ‪ ٤‬ﺟﺎ ‪: + ْ ٣٠‬‬ ‫ق = ‪ ٣ + ٢‬ى ق = ‪ ٥‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫ق‬ ‫‪ ٤‬ﺟﺎه‬ ‫‪ ٤‬ﺟﺎه‬ ‫ق‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:  ‬‬ ‫‪ ‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ < : :‬ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻮزن )و ﺟﺎه( ‪ J‬اﻻﺣﺘﻜﺎك ﻏﯿﺮ ﻧﮭﺎﺋﻰ ‪.‬‬ ‫‪ ‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ > : :‬ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻮزن )و ﺟﺎه( ‪ J‬اﻟﺠﺴﻢ ﯾﻨﺰﻟﻖ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫‪ ‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪ = : :‬ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻮزن )و ﺟﺎه( ‪ J‬اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ‪.‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٨‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ و ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ ﺧﺸﻦ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ْ ٣٠‬‬ ‫ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ٢٠‬ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻘﺪار واﺗﺠﺎه اﻗﻞ ﻗﻮة ﺗﺠﻌﻞ‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ إﻟﻰ اﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫ر‬ ‫ق‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼث ‪:‬‬ ‫* وزن اﻟﺠﺴﻢ "و" رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ ـ اﻟﻘﻮة "ق"‬ ‫اﻟﺘﻰ ﺗﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ "ه" ـ‬ ‫‪/‬‬ ‫* رد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻤﺤﺼﻞ "ر " واﻟﺬى ﯾﺼﻨﻊ ﻣﻊ‬ ‫* رد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻌﻤﻮدى زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ، ْ ٢٠‬وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﻗﺎﻋﺪة ﻻﻣﻰ ‪:‬‬ ‫ه‬ ‫‪ْ ٢٠‬‬ ‫‪ْ◌ ٣٠‬‬ ‫و‬ ‫‪/‬‬ ‫ر‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٩‬‬ ‫ﺟﺎ‪   ٥٠‬و‬ ‫ق‬ ‫و‬ ‫=‬ ‫ق‬ ‫ى‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫ﺟﺎ)‪   ١١٠‬ه(‬ ‫ﺟﺎ)‪   ٩٠‬ه ‪( ٢٠ ‬‬ ‫ﺟﺎ‪١٣٠‬‬ ‫واﻟﻠﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ اﻗﻞ ﻗﻮة ﻧﻀﻊ ‪ :‬ﺟﺎ )‪ – ْ ١١٠‬ه( = ﺟﺎ ‪) ْ ٩٠‬أﻛﺒﺮ ﻗﯿﻤﺔ ﻟﻠﺠﯿﺐ(‬ ‫ى ه = ‪ْ ٢٠‬‬ ‫ى ‪ – ْ ١١٠‬ه = ‪ْ ٩٠‬‬ ‫وﺗﻜﻮن أﻗﻞ ﻗﻮة "ق" = و ﺟﺎ ‪ْ ٥٠‬‬ ‫‪‬ل‬ ‫)‪ : (٩‬وﺿ ﻊ ﺟ ﺴﻢ وزﻧ ﮫ ‪ ٢‬ث ‪ .‬ﻛﺠ ﻢ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى اﻓﻘ ﻰ ﺧ ﺸﻦ ﺛ ﻢ اﻣﯿ ﻞ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى‬ ‫ﺗﺪرﯾﺠﯿﺎ ﺣﺘﻰ أﺻﺒﺢ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧ ﺰﻻق اﺳ ﻔﻞ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﻛ ﺎن‬ ‫ﻗﯿ ﺎس زاوﯾ ﺔ ﻣﯿ ﻞ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ‪ . ْ ٣٠‬أوﺟ ﺪ ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى‪ ،‬وإذا رﺑﻂ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻨﺪﺋﺬ ﺑﺨﯿﻂ ﺛﻢ ﺷﺪ اﻟﺨﯿﻂ ﻓ ﻰ اﺗﺠ ﺎه ﯾﻤﯿ ﻞ‬ ‫ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ٦٠‬ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺣﺘﻰ أﺻﺒﺢ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻟﺤﺮﻛ ﺔ إﻟ ﻰ‬ ‫‪.‬‬ ‫أﻋﻠ ﻰ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى ﻓﺄوﺟ ﺪ ‪:‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻗﻮة اﻟﺸﺪ‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫أو‪ ‬‬ ‫ي اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ﻷﺳﻔﻞ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ وزﻧﮫ ﻓﻘﻂ‬ ‫‪١‬‬ ‫ى م = ظﺎ ‪= ْ ٣٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ : ‬ﻣﻌﺎدﻻت اﻻﺗﺰان ھﻰ ‪:‬‬ ‫ر ‪ +‬ق ﺟﺎ ‪ ٢ = ْ ٣٠‬ﺟﺘﺎ ‪ْ ٣٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ق ﺟﺘﺎ ‪ ٢ = ْ ٣٠‬ﺟﺎ ‪+ ْ ٣٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻣﻦ )‪(٢) ، (١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬ق = ‪ - ٣ )٢ + ٣ ٢‬ق(‬ ‫‪٢‬‬ ‫ق ﺟﺘﺎ‪٣٠‬‬ ‫ر‬ ‫ق‬ ‫ق ﺟﺎ‪٣٠‬‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫‪ ٢‬ﺟﺎ‪٣٠‬‬ ‫‪ ٢‬ﺟﺘﺎ‪ْ◌ ٣٠ ٣٠‬‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ى ر= ‪- ٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ق‬ ‫‪، (١) .........‬‬ ‫ر ى ‪ ٣‬ق = ‪٢ + ٣ ٢‬ر‬ ‫ى ‪٤‬ق=‪٣ ٤‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪= ٣‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ )‪ (١‬ى ر = ‪- ٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪......‬‬ ‫) ‪(٢‬‬ ‫ى ق = ‪ ٣‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫‪ ٣‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪= ٣‬‬ ‫×‬ ‫ى ‪=:‬مر=‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ ٣‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (١٠‬ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ ﻣﺎﺋﻞ ﺧﺸﻦ ﻟﻮﺣﻆ أن اﻟﺠﺴﻢ‬ ‫ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق إذا ﻛﺎن ﺟﯿﺐ زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ =‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻓﺈذا زﯾﺪ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ﺟﯿﺐ زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ .‬أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار أﻗﻞ ﻗﻮة ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ ﻣﻮازﯾﺔ ﻟﺨﻂ‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ =‬ ‫‪٢‬‬ ‫أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ‪ :‬أوﻻ ‪ :‬ﻟﺘﻤﻨﻌﮫ ﻣﻦ اﻻﻧﺰﻻق‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻟﺘﺠﻌﻠﮫ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻷﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫ي اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ﺗﺤﺖ ﺗﺎﺛﯿﺮ وزﻧﮫ ﻓﻘﻂ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎن ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ‬ ‫‪١‬‬ ‫ى م = ظﺎ ‪= ْ ٣٠‬‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ = ‪ْ ٣٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻘﺪار أﻗﻞ ﻗﻮة ﺗﻤﻨﻊ اﻟﺠﺴﻢ ﻣﻦ اﻷﻧﺰﻻق ‪:‬‬ ‫ى ر = ‪ ٢٠‬ﺟﺘﺎ ‪ ، ْ ٤٥‬ق‪ + ١‬م ر = ‪ ٢٠‬ﺟﺎ ‪ْ ٤٥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ى ق‪+ ١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ق‪١‬‬ ‫مر‬ ‫ر‬ ‫×)‪ ٢٠‬ﺟﺘﺎ ‪ ٢٠ = (ْ ٤٥‬ﺟﺎ ‪ْ ٤٥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫×‬ ‫ ‪× ٢٠‬‬‫ى ق‪× ٢٠ = ١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫(‬ ‫)‪- ١‬‬ ‫= ‪٢٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ٥.٩٧٧١٦٩٨ ‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪.‬‬ ‫وﺟﺎ ‪ْ ٤٥‬‬ ‫‪◌ْ ٤٥‬‬ ‫وﺟﺘﺎ‪ ْ ٤٥‬و‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻹﯾﺠﺎد ﻣﻘﺪار اﻗﻞ ﻗﻮة ﺗﺠﻌﻞ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ‬ ‫وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻷﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪:‬‬ ‫ر = ‪ ٢٠‬ﺟﺘﺎ ‪ ْ ٤٥‬ى ر = ‪ ٢ ١٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪،‬‬ ‫وﺟﺘﺎ‪ ْ ٤٥‬و‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ ٢٢.٣٠٧١ ‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫×‪×٢٠ + ٢ ١٠‬‬ ‫ق‪= ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ر‬ ‫مر‬ ‫وﺟﺎ ‪ْ ٤٥‬‬ ‫‪◌ْ ٤٥‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪‬ر‪( ١ ) ‬‬ ‫أو‪ (Y)    ‬أو ‪: (×) ‬‬ ‫)‪ (١‬ﯾﺘﻮﻗﻒ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ ﺟﺴﻤﯿﻦ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻠﯿﮭﻤﺎ وﻛﺘﻠﺘﯿﮭﻤﺎ ‪.‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﻣﻘﺪارى ﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك اﻟﻨﮭﺎﺋﻰ ورد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻌﻤﻮدى ﺑﻤﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ‪.‬‬ ‫)‪ (٣‬ظﻞ زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﯾﺴﺎوى اﻟﻨﺴﺒﺔ ﺑﯿﻦ ﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك اﻟﻨﮭﺎﺋﻰ ورد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻌﻤﻮدى ‪.‬‬ ‫)‪ (٤‬إذا وﺿﻊ ﺟﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﺧﺸﻦ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻻﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ ه وﻛ ﺎن ﻣﻌﺎﻣ ﻞ‬ ‫اﻻﺣﺘﻜﺎك ﯾﺴﺎوى ظﺎ ل ‪ ،‬وﻛ ﺎن اﻟﺠ ﺴﻢ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻻﻧ ﺰﻻق ﺗﺤ ﺖ ﺗ ﺄﺛﯿﺮ وزﻧ ﮫ ﻓﻘ ﻂ‬ ‫ﻓﺈن ه = ظﺎ ل ‪.‬‬ ‫)‪ (٥‬إذا وﺿ ﻊ ﺟ ﺴﻢ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى ﻣﺎﺋ ﻞ ﺧ ﺸﻦ وﻛ ﺎن ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻻﻧ ﺰﻻق ﻓ ﺈن ﻣﻌﺎﻣ ﻞ‬ ‫اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى ﯾﺴﺎوى ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ‪.‬‬ ‫)‪ (٦‬إذا وﺿﻊ ﺟﺴﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎﺋﻞ ﺧﺸﻦ وﻛﺎن ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ﻓﺈن ﻗﯿﺎس‬ ‫زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﯾﺴﺎوى ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ‪.‬‬ ‫)‪ (٧‬زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ھﻰ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ ﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك اﻟﻨﮭﺎﺋﻰ وﻗﻮة رد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻤﺤﺼﻞ ‪.‬‬ ‫‪  ‬أ‪‬ب ‪‬ن ا‪ ‬ا‪: ‬‬ ‫)‪ (١‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ٣٩‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ أﻓﻘﻰ ﺧﺸﻦ وﻛﺎن ظﻞ زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪١‬‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ ،‬ﺷﺪ اﻟﺠﺴﻢ ﺑﻘﻮة ﺗﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﻷﻓﻘﻰ زاوﯾﺔ ﺟﯿﺒﮭﺎ ﺟﻌﻠﺖ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ‪ .‬اوﺟــﺪ ‪:‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻗﻮة اﻟﺸﺪ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٥ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ٩ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪ (٢‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ٢١* ٢‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻓﻘﻰ ﺧﺸﻦ وأﺛﺮت ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ‬ ‫ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ‪ ٦ ، ٤‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ وﯾﺤﺼﺮان ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ٦٠‬ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮﺗﺎن أﻓﻘﯿﺘﺎن واﻗﻌﺘﺎن ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻷﻓﻘﻰ ﻣﻊ اﻟﺠﺴﻢ ‪ ،‬ﻓﺈذا أﺻﺒﺢ‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى وﻛﺬﻟﻚ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ ،‬ل = ‪[ ْ ٣٠‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬م =‬ ‫ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ‪.‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫)‪ (٣‬ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ٣٨‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ وزﻧﮫ إذا وﺿﻊ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎﺋﻞ ﺧﺸﻦ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ظﻠﮭﺎ ‪ ،‬ﻓﺈذا وﺿﻊ ھﺬا اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻣﺴﺘﻮى أﻓﻘﻰ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ ﺧﺸﻮﻧﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎﺋﻞ وأﺛﺮت ﻋﻠﯿﮫ ﻗﻮة ﺷﺪ إﻟﻰ أﻋﻠﻰ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺗﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﻷﻓﻘﻰ زاوﯾﺔ ظﻠﮭﺎ وﺗﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ﻓﺠﻌﻠﺘﮫ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ‬ ‫‪٤‬‬ ‫اﻟﺤﺮﻛﺔ ‪ .‬اوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ھﺬه اﻟﻘﻮة وﻣﻘﺪار رد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻌﻤﻮدى ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ق = ‪ ١٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ‪ ،‬ر = ‪ ٣٢‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (٤‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ٤٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ .‬أﺛﺮت ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ ﻗﻮة‬ ‫‪ ْ ٣٠‬وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻨﮫ وﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ ﯾﺴﺎوى‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻣﻘﺪارھﺎ ‪ ٥٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﻓﻰ ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى وﻷﻋﻠﻰ ‪ .‬إذا ﻛﺎن اﻟﺠﺴﻢ ﻣﺘﺰﻧﺎ‬ ‫ﻓﻌﯿﻦ ﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك وﺑﯿﻦ ﻣﺎ إذا ﻛﺎن اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ أم ﻻ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٥٠ = : :‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ‪ ،‬اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ [‬ ‫)‪ (٥‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ ﻛﺘﻠﺘﮫ ‪ ٤‬ﻛﺠﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎﺋﻞ ﺧ ﺸﻦ ﯾﻤﯿ ﻞ ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ .‬ﺑ ﯿﻦ ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن اﻟﺠ ﺴﻢ ﯾﻨﺰﻟ ﻖ‬ ‫‪ ْ ٣٠‬وﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑﯿﻨ ﮫ وﺑ ﯿﻦ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻋﻠ ﻰ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى أو ﯾﻜ ﻮن ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻻﻧ ﺰﻻق أو أن اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﻏﯿ ﺮ ﻧﮭ ﺎﺋﻰ ‪ ،‬واوﺟ ﺪ‬ ‫ﻣﻘ ﺪار واﺗﺠ ﺎه ﻗ ﻮة اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﻋﻨﺪﺋ ﺬ ‪ .‬ﺛ ﻢ اوﺟ ﺪ ﻣﻘ ﺪار اﻟﻘ ﻮة اﻟﺘ ﻰ ﺗ ﺆﺛﺮ ﻋﻠ ﻰ ھ ﺬا‬ ‫اﻟﺠﺴﻢ ﻓﻰ اﺗﺠ ﺎه ﺧ ﻂ أﻛﺒ ﺮ ﻣﯿ ﻞ ﺑﺤﯿ ﺚ ﯾﻜ ﻮن اﻟﺠ ﺴﻢ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻟﺤﺮﻛ ﺔ إﻟ ﻰ اﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬اﻻﺣﺘﻜﺎك ﻏﯿﺮ ﻧﮭﺎﺋﻰ ‪ ،‬اﻟﻘﻮة = ‪ ٥‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (٦‬وﺿ ﻊ ﺟ ﺴﻢ وزﻧ ﮫ ‪ ٣ ٢٠‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى ﻣﺎﺋ ﻞ ﺧ ﺸﻦ ﯾﻤﯿ ﻞ ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ‬ ‫ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ ‪ ْ ٣٠‬ﺛ ﻢ ﺷ ﺪ اﻟﺠ ﺴﻢ إﻟ ﻰ اﻋﻠ ﻰ ﺑﻮاﺳ ﻄﺔ ﺧ ﯿﻂ واﻗ ﻊ ﻓ ﻰ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى‬ ‫اﻟﺮأﺳﻰ اﻟﻤﺎر ﺑﺨﻂ أﻛﺒ ﺮ ﻣﯿ ﻞ وﻓ ﻰ اﺗﺠ ﺎه ﯾ ﺼﻨﻊ زاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ ‪ ْ ٣٠‬ﻣ ﻊ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى ‪،‬‬ ‫ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﯾ ﺴﺎوى ‪ ٠.٢٥‬ﻓﺒ ﺮھﻦ ﻋﻠ ﻰ أن أﻗ ﻞ ﻗﯿﻤ ﺔ ﻟﻠ ﺸﺪ ﻓ ﻰ اﻟﺨ ﯿﻂ‬ ‫ﺗﻤﻨﻊ اﻟﺠﺴﻢ ﻣﻦ اﻟﺤﺮﻛﺔ إﻟﻰ أﺳﻔﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﺴﺎوى ‪ ٧.٧٨‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻘﺮﯾﺒﺎ ‪.‬‬ ‫)‪ (٧‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ )و( ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﺧﺸﻦ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ )ه(‬ ‫ﻓﻮﺟﺪ أن أﻗﻞ ﻗﻮة ﺗﻮازى ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى وﺗﺠﻌﻞ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ‬ ‫إﻟﻰ أﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﺴﺎوى ‪٢‬و ﺟﺎه ‪ .‬اﺛﺒﺖ أن ‪:‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻣﻘﺪار رد اﻟﻔﻌﻞ اﻟﻤﺤﺼﻞ = و‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك = ه‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪١٣‬‬ ‫)‪ (٨‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ٢٥‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎﺋﻞ ﺧﺸﻦ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﯿﮫ ﻗﻮة ق ﻓﻰ‬ ‫اﺗﺠﺎه ﺧﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ إﻟﻰ أﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ .‬ﻓﺈذا ﻋﻠﻢ أن اﻟﺠﺴﻢ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ وﺷﻚ‬ ‫اﻟﺤﺮﻛﺔ إﻟﻰ أﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻨﺪﻣﺎ ق = ‪ ١٥‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ وﺗﻜﻮن ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ‬ ‫إﻟﻰ أﺳﻔﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻨﺪﻣﺎ ق = ‪ ١٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻓﺄوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك‬ ‫أوﻻ ‪ :‬زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫‪٣‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪[ ١٥ ، ْ ٣٠ :‬‬ ‫)‪ (٩‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ )و( ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ ﻣﺎﺋﻞ ﺧﺸﻦ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﺟﯿﺒﮭﺎ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺷﺪ اﻟﺠﺴﻢ ﺑﻘﻮة أﻓﻘﯿﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ‪ ٢٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ واﻗﻌﺔ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺮأﺳﻰ اﻟﻤﺎر ﺑﺨﻂ‬ ‫‪١٣‬‬ ‫اﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ﺟﻌﻠﺖ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻷﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى ھﻮ ‪ ،‬ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻘﺪار وزن اﻟﺠﺴﻢ )و( ‪.‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٩ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪ (١٠‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ٨‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى اﻓﻘﻰ ﺧﺸﻦ ﺛ ﻢ اﻣﯿ ﻞ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى ﺗ ﺪرﯾﺠﯿﺎ‬ ‫ﺣﺘ ﻰ أﺻ ﺒﺢ اﻟﺠ ﺴﻢ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻻﻧ ﺰﻻق اﺳ ﻔﻞ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﻛ ﺎن ﻗﯿ ﺎس زاوﯾ ﺔ‬ ‫ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ‪ . ْ ٣٠‬أوﺟ ﺪ ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ اﻟﺠ ﺴﻢ واﻟﻤ ﺴﺘﻮى‪،‬‬ ‫وإذا رﺑﻂ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻨﺪﺋﺬ ﺑﺨﯿﻂ ﺛﻢ ﺷﺪ اﻟﺨﯿﻂ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﯾﻤﯿﻞ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ ‪ ْ ٣٠‬ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﻤ ﺴﺘﻮى ﺣﺘ ﻰ أﺻ ﺒﺢ اﻟﺠ ﺴﻢ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻟﺤﺮﻛ ﺔ إﻟ ﻰ أﻋﻠ ﻰ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى ﻓﺄوﺟ ﺪ ‪:‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿ ﺎ ‪ :‬ﻣﻘ ﺪار رد اﻟﻔﻌ ﻞ اﻟﻌﻤ ﻮدى‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻣﻘ ﺪار ﻗ ﻮة اﻟ ﺸﺪ‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪:‬‬ ‫‪١‬‬ ‫م=‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ش=‪٣ ٤‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ر=‪[ ٣ ٢‬‬ ‫)‪ (١١‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ٣‬ث ﻛﺠﻢ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ ﺧﺸﻦ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺑﯿﻦ ﻣﻊ ذﻛﺮ اﻟﺴﺒﺐ أن‬ ‫‪ ْ ٦٠‬وﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫‪٩‬‬ ‫ھﺬا اﻟﺠﺴﻢ ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﺒﻘﻰ ﺳﺎﻛﻨﺎ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻛﺒﺮ واﺻﻐﺮ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ )واﻗﻌﺔ‬ ‫ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺮأﺳﻰ اﻟﻤﺎر ﺑﺨﻂ اﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ( ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ اﻟﺠﺴﻢ وﯾﺒﻘﻰ ﻣﺘﺰﻧﺎ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣ ٥ :‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ‪ ٣ ٢ ،‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (١٢‬ﻛﺘﻠﺘﺎن ‪ ٥ ، ٣‬ﻛﺠﻢ ﻣﺘﺼﻼن ﺑﺨﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ وﻣﻮﺿﻮﻋﺘﺎن ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺎﺋﻞ ﺧﺸﻦ‬ ‫‪٤ ٢‬‬ ‫وﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى واﻟﺠﺴﻤﯿﻦ ‪،‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬ﺑﯿﻦ أى‬ ‫‪٥ ٣‬‬ ‫اﻟﺠﺴﻤﯿﻦ ﯾﻮﺿﻊ أﺳﻔﻞ اﻟﺠﺴﻢ اﻵﺧﺮ ﺣﺘﻰ ﯾﺘﺤﺮك اﻟﺠﺴﻤﺎن ﻣﻌﺎ ً ‪ ،‬ﺛﻢ أﺛﺒﺖ أن ظﻞ‬ ‫‪١٤‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن اﻟﺠﺴﻤﺎن ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ =‬ ‫‪٤‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﯾﻮﺿﻊ إﻟﻰ أﺳﻔﻞ اﻟﺠﺴﻢ اﻟﺬى ﻣﻌﺎﻣﻞ اﺣﺘﻜﺎﻛﮫ أﺻﻐﺮ [‬ ‫)‪ (١٣‬ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ )و( ﻣﻮﺿﻮع ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ ﻣﺎﺋﻞ ﺧﺸﻦ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ‬ ‫)ه( وزاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻨﮫ وﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ى ‪ .‬اﺛﺮت ﻓﻰ اﻟﺠﺴﻢ ﻗﻮة ﻣﻘﺪارھﺎ‬ ‫)ق( وﺗﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ )ل( ‪ .‬اوﺟﺪ اﺻﻐﺮ ﻣﻘﺪار ﻟﻠﻘﻮة )ق(‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ ﺗﺠﻌﻞ اﻟﺠﺴﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻷﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ق = و ﺟﺎ)ه ‪ +‬ى( ‪ ،‬ل = ى [‬ ‫‪  ‬ل ا‪‬و‪ ‬ا‪: ‬‬ ‫)‪/٢٠٠١ (١‬دور ﺛﺎن ‪ :‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ١٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮ ﺧﺸﻦ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ٦٠‬وﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﯾﺴﺎوى‬ ‫‪٩‬‬ ‫ﺑﯿﻦ )ﻣﻊ ذﻛﺮ اﻟﺴﺒﺐ( أن ھﺬا اﻟﺠﺴﻢ ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﺒﻘﻰ ﺳﺎﻛﻨﺎ ‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار أﻗﻞ‬ ‫ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ ﻟﯿﺒﻘﻰ ﻣﺘﺰﻧﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄن اﻟﻘﻮة واﻗﻌﺔ ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺮأﺳﻰ‬ ‫اﻟﻤﺎر ﺑﺤﻂ أﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ < ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ‪ ٣ ٨ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪/٢٠٠٢ (٢‬دور أول ‪ :‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧﮫ ‪ ٦‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﺧﺸﻦ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺑﺰاوﯾﺔ ﺟﯿﺐ ﺗﻤﺎﻣﮭﺎ وﻛﺎن ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺠﺴﻢ واﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ْ ٤٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﺑﯿﻦ أن اﻟﺠﺴﻢ ﯾﺒﻘﻰ ﻣﺘﺰﻧﺎ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار أﻗﻞ ﻗﻮة ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺠﺴﻢ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﺧﻂ‬ ‫اﻛﺒﺮ ﻣﯿﻞ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى ﻷﺳﻔﻞ وﺗﺠﻌﻠﮫ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ اﻻﺣﺘﻜﺎك < ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ‪ ،‬ق = ‪ ١.٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪/٢٠٠٣ (٣‬دور أول ‪ :‬وﺿﻊ ﺟﺴﻢ وزﻧ ﮫ ‪ ٢٠٠‬ث ‪ .‬ﺟ ﻢ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى ﺧ ﺸﻦ ﯾﻤﯿ ﻞ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫‪١‬‬ ‫اﻷﻓﻘ ﻰ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﺟﯿﺒﮭ ﺎ وﻛ ﺎن ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ اﻟﺠ ﺴﻢ واﻟﻤ ﺴﺘﻮى ﯾ ﺴﺎوى‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ .‬اﺛ ﺮت ﻋﻠ ﻰ اﻟﺠ ﺴﻢ ﻗ ﻮة ﻣﻘ ﺪارھﺎ ‪ ٢٥‬ث ‪ .‬ﺟ ﻢ ﻓ ﻰ اﺗﺠ ﺎه ﺧ ﻂ أﻛﺒ ﺮ ﻣﯿ ﻞ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻟﻠﻤ ﺴﺘﻮى وﻷﻋﻠ ﻰ ‪ ،‬ﻓ ﺈذا اﺗ ﺰن اﻟﺠ ﺴﻢ ‪ ،‬ﻓﺄوﺟ ﺪ ﻗ ﻮة اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ‪ ،‬وﺑ ﯿﻦ ﻣ ﺎ إذا ﻛ ﺎن‬ ‫اﻟﺠ ﺴﻢ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻟﺤﺮﻛ ﺔ أم ﻻ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑ ﺔ ‪ ٧٥ = : :‬ث ‪ .‬ﺟ ﻢ ‪،‬‬ ‫اﻻﺣﺘﻜﺎك ﻏﯿﺮ ﻧﮭﺎﺋﻰ ‪ ،‬وﯾﻜﻮن اﻟﺠ ﺴﻢ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻟﺤﺮﻛ ﺔ ﻷﺳ ﻔﻞ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪١٥‬‬ ‫ا‪ ‬ا‪‬م‪ : ‬ا‪‬و‪‬‬ ‫أو‪  : ‬ا‪‬ب ا‪ ‬‬ ‫‪ : ‬إذا ﻛﺎن ا ‪ ،‬ب ﻣﺘﺠﮭﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮﯾﯿﻦ ‪ ،‬ه ﻗﯿﺎس‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺼﻐﺮى اﻟﺘﻰ ﯾﺤﺼﺮھﺎ ھﺬان اﻟﻤﺘﺠﮭﺎن ﻋﻨﺪ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺼﻐﺮى ه‬ ‫رﺳﻤﮭﻤﺎ ﺧﺎرﺟﯿﻦ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة أو داﺧﻠﯿﻦ إﻟﻰ‬ ‫ب‬ ‫ﻧﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻓﺈن ‪ :‬ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب اﻟﻘﯿﺎﺳﻰ ‪.‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ا ﻓﻰ اﻟﻤﺘﺠﮫ ب وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪ :‬ا ‪ ‬ب ھﻮ ‪:‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ا& ‪ ‬ب&= اب ﺟﺘﺎه‬ ‫ﻣﻼﺣظﺎت ‪:‬‬ ‫)ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب اﻟﻘﯿﺎﺳﻰ ﻟﻤﺘﺠﮭﯿﻦ ﻋﻤﻠﯿﺔ أﺑﺪاﻟﯿﺔ(‬ ‫)‪ (١‬ا ‪ ‬ب = ب ‪ ‬ا‬ ‫)‪ (٢‬ا‪  ٠ = ٠ ‬ب = ‪ = ٠  ٠‬ﺻﻔﺮ‬ ‫ا‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﻜﺒﺮى‬ ‫‪h‬‬ ‫ا‪ ‬ا‪‬ى ) ا‪ ‬ا‪   ( ‬ا‪‬ه آ‪: ‬‬ ‫‪ : ‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ب ﻓﻰ اﺗﺠﺎه‬ ‫ب‬ ‫اﻟﻤﺘﺠﮫ ا ھﻮ اﻟﻜﻤﯿﺔ اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﺔ ب ﺟﺘﺎ ه ‪.‬‬ ‫ه‬ ‫ا‬ ‫ل = ب ﺟﺘﺎ ه‬ ‫اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻤﺘﺠﮫ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه آﺧﺮ‬ ‫ﻣﻮﺟﺐ )آ ه ﺣﺎدة (‬ ‫ﺳﺎﻟﺐ )آ ه ﻣﻨﻔﺮﺟﺔ (‬ ‫ﺻﻔﺮ ‪ :‬ق)آه( = ‪ْ ٩٠‬‬ ‫و‪ ‬أن ‪:‬‬ ‫ا‪‬ب‬ ‫ﻣﺴﻘﻂ ب ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ا =‬ ‫|| ا ||‬ ‫ا‪‬ب‬ ‫ﻣﺴﻘﻂ ا ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ب =‬ ‫|| ا ||‬ ‫‪،‬‬ ‫م‪ : (١) ‬ﻷى ﻣﺘﺠﮫ ا ﺗﺘﺤﻘﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪:‬‬ ‫م‪: ‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ز ‪ ،‬ض ﻣﺘﺠﮭﻰ وﺣﺪة ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ا‪‬ا=ا‬ ‫ز‪ ‬ز = ض‪‬ض = ‪١‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ز‪ ‬ض = ض‪ ‬ز = ﺻﻔﺮ‬ ‫‪١٦‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫م‪ : (٢) ‬ﻷى ﻣﺘﺠﮭﯿﻦ ا ‪ ،‬ب وﻷى ﻛﻤﯿﺔ ﻗﯿﺎﺳﯿﺔ م ﺗﺘﺤﻘﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪:‬‬ ‫)م ا(‪ ‬ب = ا‪) ‬م ب( = م ) ا‪ ‬ب (‬ ‫م‪ : (٣) ‬ﻷى ﺛﻼث ﻣﺘﺠﮭﺎت ا ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ﺗﺘﺤﻘﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪:‬‬ ‫)ا‪+‬ب( ‪‬ج = ا‪‬ج ‪ +‬ب ‪ ‬ج‬ ‫‪‬ظ‪:  ‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ا = )س‪ ، ١‬ص‪ ، (١‬ب = )س‪ ، ٢‬ص‪ (٢‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫ا‪‬ب = س‪ ١‬س‪+ ٢‬‬ ‫ص‪ ١‬ص‪٢‬‬ ‫ا‪ ‬ا‪  ‬ا‪  ‬ا‪‬ب ا‪:  ‬‬ ‫ﻧﻔﺮض أن اﻟﻤﺘﺠﮫ ق ﯾﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ه‬ ‫ق‬ ‫ﻣﻊ وس وأن ز ‪ ،‬ض ﻣﺘﺠﮭﺎ اﻟﻮﺣﺪة ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﻰ‬ ‫وس ‪ ،‬وص ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪.‬‬ ‫س‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻰ ﯾﻜﺘﺐ ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻘﻮة ق ﻓﻰ اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻮرة ‪:‬‬ ‫ق = )ق ‪ ‬ز( ز ‪) +‬ق ‪ ‬ض( ض‬ ‫ص‬ ‫ض‬ ‫ه‬ ‫ز‬ ‫ا‬ ‫‪‬ظ‪ : ‬اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ق ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ا = ق ‘‬ ‫|| ا ||‬ ‫ق‪ ‬ا‬ ‫ا‬ ‫ا‬ ‫=) ‪( ٢‬ا‬ ‫(×‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻤﺘﺠﮫ ق ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ا = )ق ‪‬‬ ‫|| ا || || ا ||‬ ‫ا‬ ‫أﻣﺛﻠﺔ ﻣﺣﻠوﻟﺔ‬ ‫‪‬ل )‪ : (١‬اﻟﻤﺘﺠﮭﺎن ا ‪ ،‬ب ﯾﺤﺼﺮان ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ٦٠‬ﻓﺈذا ﻋﻠﻢ أن ا = ‪، ٣‬‬ ‫ب = ‪ ٤‬ﻓﺄوﺟﺪ ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب اﻟﻘﯿﺎﺳﻰ ﻟﻠﻤﺘﺠﮭﯿﻦ ﺛﻢ أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ا ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ب ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ب ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ا ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪١٧‬‬ ‫ي ا ‪‬ب = اب ﺟﺘﺎ ه‬ ‫‪١‬‬ ‫ى ا ‪ ‬ب = ‪ ٤ × ٣‬ﺟﺘﺎ ‪× ٤ × ٣ = ْ ٦٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ا ‪‬ب‬ ‫‪٣ ٦‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ا ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ب = ب = ‪‬‬ ‫‪٢ ٤‬‬ ‫ا ‪‬ب ‪٦‬‬ ‫= =‪٢‬‬ ‫ﺛﺎﻧﺒﺎ ‪ :‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ب ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ا =‬ ‫ا‬ ‫‪٣‬‬ ‫=‪٦‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٢‬أوﺟﺪ ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب اﻟﻘﯿﺎﺳﻰ ﻟﻠﻤﺘﺠﮭﯿﻦ ا ‪ ،‬ب ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫ب =‪٨‬ز–‪٦‬ض‬ ‫‪،‬‬ ‫ا=‪٣‬ز–‪٤‬ض‬ ‫ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ا ‪ ‬ب = )‪ ٣‬ز – ‪ ٤‬ض( ‪ ٨)‬ز – ‪ ٦‬ض( = ) ‪( ٦ - ، ٨ ) (٤ - ، ٣‬‬ ‫= ‪٤٨ = ٢٤ + ٢٤ = ٦ × ٤ + ٨ × ٣‬‬ ‫‪ ،‬ا = ‪ ، ٥ = ٢٥ = ١٦ + ٩‬ب = ‪١٠ = ١٠٠ = ٣٦ + ٦٤‬‬ ‫ا‪‬ب‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫‪٤٨‬‬ ‫= ‪٠.٩٦‬‬ ‫=‬ ‫ى ﺟﺘﺎه =‬ ‫ي ﺟﺘﺎه = اب‬ ‫‪٢٥ ١٠  ٥‬‬ ‫ى ق)آه( = ‪ْ ١٦ َ ١٥ ً ٣٧‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٣‬أوﺟﺪ اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ج = ‪ ٥‬ز – ‪ ١٢‬ض ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اب ﺣﯿﺚ‬ ‫ا = )‪ ، (٣ - ، ٢ -‬ب = ) ‪. ( ٥ ، ٤‬‬ ‫ا‪‬‬ ‫ي اب = ب – ا = ) ‪( ٣ ، ٢ ) + ( ٥ ، ٤ ) = (٣ - ، ٢ -) - ( ٥ ، ٤‬‬ ‫=)‪(٨،٦)=(٣+٥،٢+٤‬‬ ‫ج‪ ‬اب‬ ‫ى اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ج ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اب = اب‬ ‫)‪٦٦ ٩٦  ٣٠ ( ٨ ، ٦)  (١٢ - ، ٥‬‬ ‫= ‪٦.٦ -‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪٦٤ + ٣٦‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫واﻹﺷﺎرة اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ ﻟﻠﻤﺮﻛﺒﺔ ﺗﻌﻨﻰ أن اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه با ‪.‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٤‬ابجد ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻓﯿﮫ اب = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ١٦‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻋﯿﻦ اﻟﻤﺴﻘﻂ‬ ‫اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ بد ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﻰ بج ‪ ،‬جد ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫بد =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪ ٢٠ = (١٦) + (١٢‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﺠﺒﺮى بد ﻓﻰ اﺗﺠﺎه بج = بد ﺟﺘﺎ ه ‪.‬‬ ‫‪١٦‬‬ ‫= ‪× ٢٠‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪ ١٦‬‬ ‫ا‬ ‫= ‪ ١٦‬ﺳﻢ‬ ‫د‬ ‫‪ ١٢‬‬ ‫‪ ١٢‬‬ ‫ب‬ ‫ى‬ ‫ه‬ ‫‪ ١٦‬‬ ‫ج‬ ‫‪ ،‬اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﺠﺒﺮى بد ﻓﻰ اﺗﺠﺎه جد = بد ﺟﺘﺎ ى‬ ‫‪١٢‬‬ ‫= جد × ﺟﺘﺎ ) ‪ – ْ ٩٠‬ه ( = جد × ﺟﺎ ه = ‪× ٢٠‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٥‬ﯾﺮاد ﺗﺤﻠﯿﻞ ﻗﻮة ق إﻟﻰ ﻣﺮﻛﺒﺘﯿﻦ ق‪ ، ١‬ق‪ . ٢‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ق‪ ١‬ﺗﻮازى ﻣﺘﺠﮭﺎ‬ ‫ق ‪‬ب‬ ‫‪( ٢‬ب‪.‬‬ ‫ﻣﻌﻄﻰ ب ﺑﯿﻨﻤﺎ ق‪ ٢‬ﻋﻤﻮدﯾﺔ ﻋﻠﻰ ب ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن ق‪) = ١‬‬ ‫ب‬ ‫ﺛﻢ أوﺟﺪ ق‪. ٢‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ق‪‬ب‬ ‫ق‬ ‫اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮة ق ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ب = ق‪= ١‬‬ ‫ق‬ ‫‪٢‬‬ ‫ب‬ ‫ب‬ ‫ي ﻣﺮﻛﺒﺔ اﻟﻘﻮة ق ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻤﺘﺠﮫ ب = ق‪. ١‬‬ ‫ق‪١‬‬ ‫ب‬ ‫ق‪‬ب‬ ‫ق‪‬ب ب‬ ‫‪( ٢‬ب‪.‬‬ ‫=)‬ ‫ى ق‪ ) = ١‬ب ( ‪.‬‬ ‫ب‬ ‫ب‬ ‫ق‪‬ب‬ ‫‪( ٢‬ب‪.‬‬ ‫ي ق = ق‪ + ١‬ق‪ ٢‬ى ق‪ = ٢‬ق – ق‪ = ١‬ق – )‬ ‫ب‬ ‫= ‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪‬م‪  : ‬ا‪‬ب ا‪ ‬‬ ‫ﻟﯿﻜﻦ ا ‪ ،‬ب ﻣﺘﺠﮭﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮﯾﯿﻦ ‪ ،‬ه ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺼﻐﺮى اﻟﺘﻰ ﯾﺤﺼﺮھﺎ ھﺬان‬ ‫اﻟﻤﺘﺠﮭﺎن ﻋﻨﺪ رﺳﻤﮭﻤﺎ ﺧﺎرﺟﯿﻦ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة ‪.‬‬ ‫‪ : ‬ﯾﻌﺮف ﺣﺎﺻﻞ اﻟﻀﺮب اﻻﺗﺠﺎھﻰ ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ا ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻤﺘﺠﮫ ب وﯾﺮﻣﺰ ﻟﮫ‬ ‫ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ا × ب ﻛﺎﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ا × ب = ) ا ب ﺟﺎ ه ( ى‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪١٩‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ى ﻣﺘﺠﮫ وﺣﺪة ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬى ﯾﺠﻤﻊ اﻟﻤﺘﺠﮭﯿﻦ ا ‪ ،‬ب وﯾﺘﺤﺪد اﺗﺠﺎھﮫ‬ ‫ﺑﻘﺎﻋﺪة اﻟﯿﺪ اﻟﯿﻤﻨﻰ واﻟﺘﻰ ﺗﻨﺺ ﻋﻠﻰ اﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻷﺻﺎﺑﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﯿﺔ ﻟﻠﯿﺪ اﻟﯿﻤﻨﻰ ﺗﺸﯿﺮ إﻟﻰ دوران اﻟﻤﺘﺠﮫ ا ﻧﺤﻮ اﻟﻤﺘﺠﮫ ب ﻋﺒﺮ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺼﻐﺮى اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ﻓﺈن اﻹﺑﮭﺎم ﯾﺸﯿﺮ إﻟﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻤﺘﺠﮫ ى ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ‬ ‫ا×ب‬ ‫ا×ب‬ ‫ى‬ ‫اﺗﺠﺎه اﻟﻤﺘﺠﮫ ى‬ ‫ب‬ ‫ه‬ ‫اﺗﺠ ﺎه دوران ا ﻧﺤ ﻮ‬ ‫ب ﻋﺒ ﺮ اﻟﺰاوﯾ ﺔ‬ ‫اﻟﺼﻐﺮى‬ ‫ا‬ ‫ﻧﺗﯾﺟﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎن أﺣﺪ اﻟﻤﺘﺠﮭﯿﻦ ا ‪ ،‬ب ) أو ﻛﻼھﻤﺎ ( ھﻮ اﻟﻤﺘﺠﮫ اﻟﺼﻔﺮى ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫ا×‪×٠ = ٠‬ب = ‪٠ = ٠×٠‬‬ ‫ﺧﺻﺎﺋص ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ا × ب = ‪ ) -‬ب × ا (‬ ‫)‪ (٢‬إذا ﻛﺎن اﻟﻤﺘﺠﮭﺎن ا ‪ ،‬ب ﻣﺘﻮازﯾﺎن ﻓﺈن ‪ :‬ا × ب = ‪٠‬‬ ‫)‪ (٣‬ا × ا = ‪٠‬‬ ‫ﻧظرﯾﺔ)‪ : (١‬ﻷى ﻣﺘﺠﮭﯿﻦ ا ‪ ،‬ب وﻷى ﻛﻤﯿﺔ ﻗﯿﺎﺳﯿﺔ م ﯾﻜﻮن ‪:‬‬ ‫)ما(×ب = ا×)مب( = م)ا×ب(‬ ‫ﻧظرﯾﺔ)‪ : (٢‬ﻷى ﺛﻼث ﻣﺘﺠﮭﺎت ا ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ﺗﺘﺤﻘﻖ ﺧﺎﺻﯿﺔ اﻟﺘﻮزﯾﻊ اﻵﺗﯿﺔ ‪:‬‬ ‫)ا‪+‬ب(×ج = ا×ج ‪ +‬ب×ج‬ ‫ا‪ ‬ا‪ ‬ر ‪ ‬ا‪‬ب ا‪ ‬‬ ‫‪ :‬ن‬ ‫ي || ا × ب || = ) ا ب ﺟﺎ ه (‬ ‫وﺑﻔﺮض أن ‪ :‬وج ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻤﺘﺠﮫ ا ‪،‬‬ ‫ود ﺗﻤﺜﻞ ب ‪:‬‬ ‫ج‬ ‫ى || ا × ب || = ||وج|| ‪|| .‬ود || ﺟﺎ ه ‪.‬‬ ‫= ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ ﻣﺘﻮازى اﻷﺿﻼع وجند ‪.‬‬ ‫= ﺿﻌﻒ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺜﻠﺚ وجد ‪.‬‬ ‫د‬ ‫ب‬ ‫ه‬ ‫ا‬ ‫و‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ا‪ ‬ا‪ ‬ت ا‪‬ة ‪:‬‬ ‫ﺑﻔﺮض أن ‪ :‬وس@ ‪ ،‬وص@ ‪ ،‬وع@ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪة ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺮﺳﻮم ‪ ،‬ﯾﻘﺎل‬ ‫ﻋﻨﺪﺋﺬ أن ﻣﺘﺠﮭﺎت اﻟﻮﺣﺪة } ز ‪ ،‬ض ‪ ،‬ع { ﺗﻜﻮن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﯾﻤﯿﻨﯿﺔ ﻣﻦ ﻣﺘﺠﮭﺎت‬ ‫ع‬ ‫اﻟﻮﺣﺪة وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻧﺠﺪ أن ‪:‬‬ ‫ز× ض = ع ‪ ،‬ض×ع = ز ‪ ،‬ع × ز = ض‬ ‫ص‬ ‫ض‬ ‫ض× ز = ‪-‬ع ‪ ،‬ع×ض = ‪-‬ز ‪ ،‬ز× ع =‪-‬ض‬ ‫ع‬ ‫ز‬ ‫ز‬ ‫ز × ز = ‪ ، ٠‬ض ×ض = ‪ ، ٠‬ع × ع = ‪٠‬‬ ‫س‬ ‫ض‬ ‫ع‬ ‫ا‪‬ه ا‪‬وران ‪‬د ‪‬رب ا‪‬‬ ‫ﻣﺮﻛﺒﺎت اﻟﻤﺘﺠﮫ ا × ب ﻓﻰ اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ ‪:‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ا = ا‪ ١‬ز ‪ +‬ا‪ ٢‬ض ‪ ،‬ب = ب‪ ١‬ز ‪ +‬ب‪ ٢‬ض ﻓﻰ اﻟﺘﺤﻠﯿﻞ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ ﻓﺈن‬ ‫ا × ب = ) ا‪ ١‬ب‪ – ٢‬ا‪ ٢‬ب‪ ( ١‬ع‬ ‫وﯾﻤﻜﻦ ﺗﻮﺿﯿﺤﮭﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﺤﻮ اﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ا × ب = ) ا‪ ، ١‬ا‪ ) × ( ٢‬ب‪ ، ١‬ب‪ ) = ( ٢‬ا‪ ١‬ب‪ – ٢‬ا‪ ٢‬ب‪( ١‬ع‬ ‫ا‪١‬‬ ‫ا‪٢‬‬ ‫ب‪ ١‬ب‪٢‬‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ـ أﻣﺛﻠﺔ ﻣﺣﻠوﻟﺔ‬ ‫‪‬ل )‪ : (٦‬إذا ﻛﺎن ا = ‪٥‬ز ‪ ٦ +‬ض ‪ ،‬ب = ‪ ٤‬ز – ض ‪ ،‬ج = ‪ ٢‬ز ‪ ٣ +‬ض‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﻤﺘﺠﮭﺎت اﻵﺗﯿﺔ ‪:‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ ) :‬ا × ب ( × ج ‪.‬‬ ‫أوﻻ ‪ ٢ ) :‬ا – ‪ ٣‬ب ( × ج‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪ ) :‬ا × ب ( ‪‬ج ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫أوﻻ ‪ ٢ :‬ا – ‪ ٣‬ب = ‪( ١ - ، ٤ ) ٣ – ( ٦ ، ٥ ) ٢‬‬ ‫= ) ‪( ١٥ ، ٢ - ) = ( ٣ ، ١٢ - ) + ( ١٢ ، ١٠‬‬ ‫) ‪ ٢‬ا – ‪ ٣‬ب ( × ج = ) ‪( ٣ ، ٢ ) × ( ١٥ ، ٢ -‬‬ ‫= ) ‪( ٢ × ١٥ – ٣ × ٢ -‬ع‬ ‫= ) ‪ ( ٣٠ – ٦ -‬ع = ‪ ٣٦ -‬ع ‪.‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٢١‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ا × ب = ) ‪( ١ - ، ٤ ) × ( ٦ ، ٥‬‬ ‫= ) ‪ ( ٦ × ٤ – ١ - × ٥‬ع = ) ‪ ( ٢٤ – ٥ -‬ع = ‪ ٢٩ -‬ع ‪.‬‬ ‫) ا × ب ( × ج = ‪ ٢٩ -‬ع × )‪ ٢‬ز ‪ ٣ +‬ض (‬ ‫= ‪ ) ٥٨ -‬ع × ز ( – ‪ ) ٨٧‬ع × ض (‬ ‫= ‪ ٥٨ -‬ض ‪ ٨٧ +‬ز = ‪ ٨٧‬ز ‪ ٥٨ -‬ض‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ا × ب = ) ‪( ١ - ، ٤ ) × ( ٦ ، ٥‬‬ ‫= ) ‪ ( ٦ × ٤ – ١ - × ٥‬ع = ) ‪ ( ٢٤ – ٥ -‬ع = ‪ ٢٩ -‬ع ‪.‬‬ ‫) ا × ب ( ‪‬ج = ‪ ٢٩ -‬ع × )‪ ٢‬ز ‪ ٣ +‬ض (‬ ‫= ‪ ) ٥٨ -‬ع ‪ ‬ز( – ‪ ) ٨٧‬ع ‪ ‬ز(‬ ‫= ‪ = ٠ × ٨٧ - ٠ × ٥٨ -‬ﺻﻔﺮ ‪.‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٧‬إذا ﻛﺎن ‪ :‬ا = ‪٤‬ز ‪ ٢ +‬ض ‪ ،‬ب = ‪ ٣‬ز – ‪٤‬ض ﻓﺄوﺟﺪ ا × ب ﺛﻢ‬ ‫ﻋﯿﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﻨﺸﺄ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﻌﺘﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺘﯿﻦ اﻟﻤﻤﺜﻠﺘﯿﻦ‬ ‫ﻟﮭﺬﯾﻦ اﻟﻤﺘﺠﮭﯿﻦ ﻛﻀﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ﺑﻔﺮض أن } ز ‪ ،‬ض ‪ ،‬ع { ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﯾﻤﯿﻨﯿﺔ ﻣﻦ ﻣﺘﺠﮭﺎت اﻟﻮﺣﺪة ‪.‬‬ ‫ي ا × ب = )ا‪ ١‬ب‪ – ٢‬ا‪ ٢‬ب‪ (١‬ع‬ ‫ى ا × ب = ) ‪ ( ٣ × ٢ – ٤ ×٤ - ) = ( ٤ - ، ٣ ) × ( ٢ ، ٤‬ع ‪.‬‬ ‫= ) ‪ ( ٦ – ١٦ -‬ع = ‪ ٢٢ -‬ع ‪.‬‬ ‫ى || ا × ب || = | ‪٢٢ = | ٢٢ -‬‬ ‫ى ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﻨﺸﺄ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﻌﺘﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺘﯿﻦ اﻟﻤﻤﺜﻠﺘﯿﻦ ﻟﮭﺬﯾﻦ اﻟﻤﺘﺠﮭﯿﻦ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻛﻀﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ = × ‪ ١١ = ٢٢‬وﺣﺪة ﻣﺴﺎﺣﺔ ‪.‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٨‬أﺛﺒﺖ أﻧﮫ ﻷى ﺛﻼث ﻣﺘﺠﮭﺎت ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮﯾﺔ ا ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ﯾﻜﻮن ‪:‬‬ ‫)ا×ب(×ج = ج×)ب×ا( ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫) ا × ب ( × ج = ‪ -‬ج × ) ا × ب ( = ‪-‬ج × )‪ -‬ب × ا ( = ج × ) ب × ا (‬ ‫‪‬ل )‪ : (٩‬ق‪ ، ١‬ق‪ ، ٢‬ق‪ ٣‬ﺛﻼث ﻣﺘﺠﮭﺎت ﻗﻮة ﺗﺤﻘﻖ اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪:‬‬ ‫ق‪ + ١‬ق‪ + ٢‬ق‪ ٠ = ٣‬أﺛﺒﺖ أن ‪:‬‬ ‫ق‪ × ١‬ق‪ = ٢‬ق‪ × ٢‬ق‪ = ٣‬ق‪ × ٣‬ق‪ . ١‬ﻓﺴﺮ ذﻟﻚ ھﻨﺪﺳﯿﺎ ‪.‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٢٢‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ى ق‪ ) - = ٣‬ق‪ + ١‬ق‪( ٢‬‬ ‫ي ق‪ + ١‬ق‪ + ٢‬ق‪٠ = ٣‬‬ ‫ى ق‪ × ٢‬ق‪ = ٣‬ق‪ ) - × ٢‬ق‪ + ١‬ق‪( ٢‬‬ ‫= ‪ -‬ق‪ × ٢‬ق‪ - ١‬ق‪ × ٢‬ق‪ = ٢‬ق‪ × ١‬ق‪(١) ....... ٠ - ٢‬‬ ‫وﺑﺎﻟﻤﺜﻞ ‪ :‬ق‪ × ٣‬ق‪ ) - = ١‬ق‪ + ١‬ق‪ × ( ٢‬ق‪١‬‬ ‫= ‪ -‬ق‪ × ١‬ق‪ - ١‬ق‪ × ٢‬ق‪ + ٠ = ١‬ق‪ × ١‬ق‪(٢) ...... ٢‬‬ ‫ﻣﻦ )‪(٢) ، (١‬‬ ‫ى ق‪ × ١‬ق‪ = ٢‬ق‪ × ٢‬ق‪ = ٣‬ق‪ × ٣‬ق‪١‬‬ ‫اﻟﺗﻔﺳﯾر اﻟﻬﻧدﺳﻰ ‪:‬‬ ‫ﻣﻌﯿﺎر ﻛﻞ طﺮف ﻣﻤﺎ ﺳﺒﻖ ﯾﺴﺎوى ﺿﻌﻒ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﺬى أﺿﻼﻋﮫ ﺗﻤﺜﻞ‬ ‫اﻟﻤﺘﺠﮭﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ ‪.‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (١٠‬إذا ﻛﺎن م ‪ ،‬ن ﻣﺘﺠﮭﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮﯾﯿﻦ ﻓﺄﺛﺒﺖ أن ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫|| م × ن ||‬ ‫‪٢‬‬ ‫|| م × ن ||‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= م ن‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ )م‪‬ن(‬‫‪٢‬‬ ‫= || م || || ن || ﺟﺎ ه‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ه ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺘﺠﮭﯿﻦ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= م ن ) ‪ – ١‬ﺟﺘﺎ ه ( = م ن – م ن ﺟﺘﺎ ه‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= م ن – )م ن ﺟﺘﺎه( = م ن‬ ‫‪  ‬ر‪‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ) -‬م ‪‬ن (‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫)‪ (١‬إذا ﻛﺎن ‪ :‬ا = ‪ ٤‬ز ‪ ٣ +‬ض ‪ ،‬ب = ‪ ٥‬ز ‪ ٢ -‬ض ‪ ،‬ج = ‪ ٣‬ز ‪ ٢ -‬ض‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫ﺟـ( ) ا ‪ +‬ب ( ‪ ‬ج‬ ‫ب( ب × ج‬ ‫أ ( ا ‪‬ب‬ ‫و( )ب × ا(×ج‬ ‫د ( ) ب ‪ +‬ج ( × ا ھـ( ) ا × ب ( ‪‬ج‬ ‫)‪ (٢‬ﻓﻰ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أ ( اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ا ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ب‬ ‫ب( اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ بج ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ا‬ ‫ﺟـ( ﻣﺘﺠﮫ وﺣﺪة ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺘﺠﮫ ) ‪٢‬ا ‪٣ -‬ب ( ‪.‬‬ ‫)‪ (٣‬إذا ﻛﺎن ا = ) ‪ ، ( ٣ ، ٢‬ب = ) ‪ ( ١ - ، ١‬ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﻤﺘﺠﮫ ج ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫ا ‘ ج = ‪ ، ٨‬ج × ب = ‪٣ -‬ع‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ز ‪ ٢ +‬ض [‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٢٣‬‬ ‫)‪ (٤‬إذا ﻛﺎن ا = ‪ ٥‬ز ‪ ١٢ -‬ض ‪ ،‬ب = ‪ ٣‬ز ‪ ٤ -‬ض ﻓﺄوﺟﺪ ا × ب ﺛﻢ ﻋﯿﻦ‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻤﻨﺸﺄ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﻌﺘﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺘﯿﻦ اﻟﻤﻤﺜﻠﺘﯿﻦ ﻟﮭﺬﯾﻦ‬ ‫اﻟﻤﺘﺠﮭﯿﻦ ﻛﻀﻠﻌﯿﻦ ﻣﺘﺠﺎورﯾﻦ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٦ :‬ع ‪ ٨ ،‬وﺣﺪات ﻣﺴﺎﺣﺔ [‬ ‫)‪ (٥‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ا = )‪ ، (١ ، ١‬ب = )‪ ، (٤ ، ٥‬ج = )‪ (١ - ، ٣‬ﻓﺄوﺟﺪ جا × جب‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪١٤ - :‬ع ‪ ٧ ،‬وﺣﺪات ﻣﺴﺎﺣﺔ [‬ ‫ﺛﻢ ﻋﯿﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺜﻠﺚ جاب ‪.‬‬ ‫)‪ (٦‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ا = )‪ ، (٤ ، ٥-‬ب = )‪ ، (٣ ، ٢‬ج = )‪ (٧ - ، ٦‬ﻓﺄوﺟﺪ اب × اج‬ ‫ﺛﻢ ﻋﯿﻦ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺜﻠﺚ ابج ‪] .‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٦٦ - :‬ع ‪ ٣٣ ،‬وﺣﺪات ﻣﺴﺎﺣﺔ [‬ ‫)‪ (٧‬أوﺟﺪ اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮة ق = ‪ ٣‬ز ‪ ٤ +‬ض ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻤﺘﺠﮫ اب ﺣﯿﺚ‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪[ ١.٤ - :‬‬ ‫ا=)‪ ، (٢،٠‬ب=)‪. (٢-،٣‬‬ ‫)‪ (٨‬م ‪ ،‬ن ﻣﺘﺠﮭﺎن ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮﯾﯿﻦ ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ‪ :‬م × ن = ‪ ٤‬ع ‪.‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ‪ ) :‬م ‪ ٣ +‬ن ( × ) ‪ ٢‬م – ‪ ٥‬ن (‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٤ - :‬ع [‬ ‫)‪ (٩‬إذا ﻛﺎن ا = ‪ ٢‬ز ‪ ٣ -‬ض ‪ ،‬ب = ‪ ٣‬ز ‪ ٤ +‬ض وﻛﺎن ج ‪ //‬ا ‪،‬‬ ‫ج × ب = ‪ ٣٤‬ع ‪ .‬ﻓﺄوﺟﺪ ج ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪٤ :‬ز – ‪ ٦‬ض [‬ ‫)‪ (١٠‬اﻟﺴﻮدان ‪ : ١٩٩١‬إذا ﻛﺎن ‪ :‬ا = ز ‪ +‬ض ‪ ،‬ب = ز – ض ‪،‬‬ ‫ج = ا × ) ا × ب ( ‪ .‬أوﺟﺪ اﻟﻤﺴﻘﻂ اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ج ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ب ﺣﯿﺚ‬ ‫ز ‪ ،‬ض ﻣﺘﺠﮭﻰ وﺣﺪة ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪[ ٢ ٢ - :‬‬ ‫)‪ (١١‬ﻣﺼﺮ ‪ : ١٩٩١‬ا ‪ ،‬ب ﻣﺘﺠﮭﺎن ﻏﯿﺮ ﺻﻔﺮﯾﯿﻦ ﺣﯿﺚ ا × ب = م ‪ .‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫) ا ‪ ٢ +‬ب ( × ) ‪ ٣‬ا – ‪ ٢‬ب ( ﺑﺪﻻﻟﺔ م ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٨ - :‬م [‬ ‫)‪ (١٢‬ﻣﺼﺮ ‪ : ١٩٨٩‬إذا ﻛﺎن ا = ‪ ٣‬ز ‪ ٢ -‬ض ‪ ،‬ب = ‪ ٦‬ز ‪ ٥ +‬ض ‪،‬‬ ‫ج = ز ‪ +‬ض ﻓﻌﯿﻦ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ || :‬ب ‪ ٣ ) +‬ا ‘ ‪٢‬ج ( ا ||‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ب × } ‪ -‬ج ‪ +‬ز ‪ ) +‬ب ‪ ٢ -)‬ا( (ج {‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪، ٢٥ :‬‬ ‫‪ ٢٢ -‬ع [‬ ‫)‪ (١٣‬إذا ﻛﺎن ا = ‪ ٣‬ز ‪ ٤ -‬ض ‪ ،‬ب = م ز ‪ ٢ +‬ض ‪ ،‬ا × ب = ‪ ١٠ -‬ع ‪،‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ م ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪[ ٤ - :‬‬ ‫)‪ (١٤‬إذا ﻛﺎن ا = ز ‪ ٢ +‬ض ‪ ،‬ب = ‪ ٣‬ز ‪ ٤ -‬ض ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ ج ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫ا ‪ ،‬ب ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن ا ‪‬ج = ‪ ، ٩ -‬ب × ج = ‪ -‬ع ‪ ٥] .‬ز ‪ ٧ -‬ض [‬ ‫)‪ (١٥‬إذا ﻛﺎن || ا || = ‪ || ، ٢‬ب || = ‪ ٣ ) ، ٣‬ا – ‪ ٢‬ب ( ‪ )‬ا ‪ +‬ب ( = ‪، ٩‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪[ ١ :‬‬ ‫أوﺟﺪ || ا – ب || ‪.‬‬ ‫)‪ (١٦‬ﻣﺼﺮ ‪ : ١٩٩٠‬ابج ﻣﺜﻠﺚ ‪ ،‬م ت اب ‪ ،‬ن ت اج ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ‪:‬‬ ‫ام ج ن ‪٢‬‬ ‫‪ ‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ان ×من = اج × ) ك ‪ .‬بج ( ﻓﺄوﺟﺪ ك‬ ‫‪‬‬ ‫مب ن ا ‪٣‬‬ ‫‪٢٤‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪ ‬ة ‪ ‬‬ ‫‪: ‬‬ ‫ﻋﺰم اﻟﻘﻮة ق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ )و( ھﻮ اﻟﻜﻤﯿﺔ اﻟﻤﺘﺠﮭﺔ ر × ق ﺣﯿﺚ ر ﻣﺘﺠﮫ‬ ‫ﻣﻮﺿﻊ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮة ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ )و( ‪ ،‬ﻓﺈذا رﻣﺰﻧﺎ ﻟﻌﺰم اﻟﻘﻮة ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫)و( ﺑﺎﻟﺮﻣﺰ ‪‬و ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪‬و = ر × ق‬ ‫م‪: ‬‬ ‫و‬ ‫)‪ (١‬ﻻ ﯾﺘﻐﯿﺮ ﻋﺰم اﻟﻘﻮة إذا ﻧﻘﻠﻨﺎ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮھﺎ إﻟﻰ أى ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫أﺧﺮى ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ‪.‬‬ ‫ر‬ ‫ر‪١‬‬ ‫ﻓﻔﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫ر × ق = ر‪ × ١‬ق ‪.‬‬ ‫ق‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫)‪ (٢‬ﯾﻨﻌﺪم ﻋﺰم اﻟﻘﻮة ق ) ﻏﯿﺮ اﻟﺼﻔﺮﯾﺔ ( إذا ﻛﺎن ‪:‬‬ ‫ر = ‪ ٠‬أو ر ‪ //‬ق ‪ ،‬وﻓﻰ ﻛﻠﺘﺎ اﻟﺤﺎﻟﺘﯿﻦ ﻓﺈن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮة ق ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ و‬ ‫‪ ‬ا‪‬او‪ ‬ا‪‬رة ‪ ‬ر ‪ ،‬ق ‪ ‬ب ‪ ‬ة ‪:  ‬‬ ‫ﻟﺘﺤﺪﯾﺪ اﻟﺰاوﯾﺔ ه اﻟﻤﺤﺼﻮرة ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺘﺠﮭﯿﻦ ر ‪ ،‬ق ﯾﺘﻄﻠﺐ أن ﯾﻜﻮن ھﺬﯾﻦ اﻟﻤﺘﺠﮭﯿﻦ‬ ‫ﺧﺎرﺟﯿﻦ أو داﺧﻠﯿﻦ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ واﺣﺪة ‪ ،‬وﻋﻠﻰ ذﻟﻚ ﻧﺘﺼﻮر ﻧﻘﻞ ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻘﻮة ق ﻣﻮازﯾﺎ‬ ‫ﻟﻨﻔﺴﮫ ﺣﺘﻰ ﺗﻨﻄﺒﻖ ﻧﻘﻄﺔ ﺑﺪاﯾﺘﮫ ا ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ و ‪ .‬وﺗﻜﻮن اﻟﺰاوﯾﺔ ﺑﯿﻦ ر ‪ ،‬ق ھﻰ‬ ‫اﻟﺰاوﯾﺔ اﻟﺘﻰ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ه ورأﺳﮭﺎ ﻧﻘﻄﺔ و ‪ ،‬ﻛﻤﺎ ﻓﻰ اﻷﺷﻜﺎل اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ‪.‬‬ ‫وﻓﻰ ﺟﻤﯿﻊ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﯾﻜﻮن طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺴﺎﻗﻂ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ و ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ‬ ‫اﻟﻘﻮة ق ﯾﻌﻄﻰ ﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ ‪.‬‬ ‫ل = ر ‪ .‬ﺟﺎ ه‬ ‫ﺣﯿﺚ ‪ :‬ر = || ر ||‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪‬ر وا‪‬ه ‪ ‬ة ‪:  ‬‬ ‫ﻟﯿﻜﻦ ق = || ق || ‪ ،‬طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺴﺎﻗﻂ ﻣﻦ ﻣﺮﻛﺰ‬ ‫اﻟﻌﺰم ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮة ق ھﻮ ل ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫ﻣﻌﯿﺎر اﻟﻌﺰم = || ‪ ‬و || = || ر × ق || = رق ﺟﺎ ه‬ ‫= ق) ر ﺟﺎ ه ( = ق ل ‪.‬‬ ‫ر‬ ‫ق‬ ‫ه‬ ‫|| ‪‬و || = ق ل‬ ‫وﯾﻜﻮن ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻌﺰم اﻟﺬى ﻣﻌﯿﺎره = ق ل واﺗﺠﺎھﮫ ھﻮ اﺗﺠﺎه ى ﯾﺴﺎوى ‪:‬‬ ‫‪‬و = ) ق ل ( ى‬ ‫أﻣﺛﻠﺔ ﻣﺣﻠوﻟﺔ‬ ‫‪‬ل )‪ : (١‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮة ق = ‪ ٣‬ز ‪ +‬ض ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪ . ( ١ - ، ٢‬أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ‬ ‫ﻋﺰم ھﺬه اﻟﻘﻮة ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = ) ‪ ، ( ٢ ، ١‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد‬ ‫اﻟﺴﺎﻗﻂ ﻣﻦ ب ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق ‪.‬‬ ‫ب = )‪(٢ ، ١‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ر‬ ‫ل‬ ‫ر = با = ا – ب‬ ‫ق‬ ‫ا = )‪(١- ، ٢‬‬ ‫=)‪(٣-،١)= (٢،١)–(١-،٢‬‬ ‫‪‬ب = ر × ق = ) ‪ ( ٩ + ١ ) = ( ١ ، ٣ ) × ( ٣ - ، ١‬ع = ‪ ١٠‬ع ‪.‬‬ ‫‪ ،‬ي || ‪‬ب || = ق × ل‬ ‫|| ‪‬ب ||‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫= ‪ ١٠‬وﺣﺪة طﻮل‬ ‫=‬ ‫ى ل= ق =‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪١+٩‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٢‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮﺗﺎن ق‪ = ١‬ز ‪ +‬ض ‪ ،‬ق‪ = ٢‬م ز ‪٢ -‬ض ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ا‪ ، ( ٠ ، ٢ ) = ١‬ا‪ ( ٢ ، ٠ ) = ٢‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬ﻋﯿﻦ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺜﺎﺑﺖ م‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻨﻌﺪم ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺰﻣﻰ ھﺎﺗﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ل‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٢٦‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ر‪ = ١‬وا‪( ٠ ، ٢ - ) = ١‬‬ ‫ر‪ = ٢‬وا‪( ٢ ، ٠ ) = ٢‬‬ ‫و )‪(٠ ، ٠‬‬ ‫ي ‪٠ = ٢ + ١‬‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫ى ر‪ × ١‬ق‪ + ١‬ر‪ × ٢‬ق‪٠ = ٢‬‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ى )‪)×(٢ ،٠) + (١،١)×(٠،٢‬م‪٠ = (٢-،‬‬ ‫‪ ٢‬ع ‪ ٢ -‬م ع = ‪ ، ٠‬ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻠﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ى م=‪١‬‬ ‫ى ‪٢ - ٢‬م =‪٠‬‬ ‫ق‪١‬‬ ‫ر‪١‬‬ ‫ا‪(٠ ، ٢ ) = ١‬‬ ‫ا‪(٢ ، ٠ ) = ٢‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٣‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮى ق‪٣ = ١‬ز ‪٢ -‬ض ‪ ،‬ق‪٢ = ٢‬ز ‪٣ +‬ض ‪ ،‬ق‪ = ٣‬ز ‪ -‬ض‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ا ) ‪ . ( ٣ - ، ٢‬أوﺟﺪ ﻋﺰم ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫اﻷﺻﻞ )و( وﻣﻦ ﺛﻢ أوﺟﺪ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﺴﺎﻗﻂ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ‬ ‫ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ﻧﻔﺮض أن ق ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮى ق‪ ، ١‬ق‪ ، ٢‬ق‪. ٣‬‬ ‫ى ق = ق‪ + ١‬ق‪ + ٢‬ق‪. ٣‬‬ ‫ىق=)‪(٠،٦) = (١-،١)+(٣،٢)+(٢-،٣‬‬ ‫‪ ،‬ر = وا = ) ‪( ٣ - ، ٢‬‬ ‫ي ‪‬و = ر × ق‬ ‫ى ‪‬و = ) ‪ ١٨ = ( ٠ ، ٦ ) × ( ٣ - ، ٢‬ع ‪.‬‬ ‫ى || ‪‬و|| = ‪١٨‬‬ ‫|| ‪‬ب ||‬ ‫ي ل= ق‬ ‫ى ل=‬ ‫‪١٨‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫=‬ ‫‪٠ + ٣٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫= ‪ ٣‬وﺣﺪة طﻮل‬ ‫ا = )‪(٢ ، ٤‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٤‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮى ق = ل ز ‪ +‬م ض ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ا = ) ‪ ( ٢ ، ٤‬وﻛﺎن ﻣﺘﺠﮫ‬ ‫ﻋﺰم ق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ھﻮ ‪ ٢٢ -‬ع ‪ ،‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ب = )‪(١ ، ١٣‬‬ ‫ھﻮ ‪ ٢٢‬ع ‪ .‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺘﻰ ل ‪ ،‬م ‪.‬‬ ‫ر‪١‬‬ ‫ق‬ ‫و = )‪(٠ ، ٠‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ر‪ = ١‬وا = ) ‪( ٢ ، ٤‬‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫ر‪ = ٢‬با = ا – ب = )‪(١ ، ١٣) – (٢ ، ٤‬‬ ‫=)‪(١،٩-‬‬ ‫ب = )‪(١ ، ١٣‬‬ ‫ي ر‪ × ١‬ق = ‪ ٢٢ -‬ع ‪.‬‬ ‫ى ) ‪ ) × ( ٢ ، ٤‬ل ‪ ،‬م ( = ‪ ٢٢ -‬ع‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫ى‬ ‫‪،‬‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫‪٢٧‬‬ ‫‪ ٤‬م – ‪ ٢‬ل = ‪ ٢٢ -‬ى ل – ‪ ٢‬م = ‪١١‬‬ ‫ر‪ × ٢‬ق = ‪ ٢٢ -‬ع ‪.‬‬ ‫) ‪ ) × ( ١ ، ٩ -‬ل ‪ ،‬م ( = ‪ ٢٢‬ع ‪.‬‬ ‫‪...............................‬‬ ‫ ‪ ٩‬م ‪ -‬ل = ‪٢٢‬‬‫ﺑﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ )‪(٢) ، (١‬‬ ‫ى م=‪٣-‬‬ ‫ ‪ ١١‬م = ‪٣٣‬‬‫وﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (١‬ى ل ‪ ١١ = ٦ +‬ى ل = ‪٥‬‬ ‫‪...................‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٥‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ق = ‪ ٢‬ز ‪ ٣ -‬ض وﻛﺎن ﻣﺘﺠﮫ ﻋﺰم ق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ب = ) ‪ ( ٤ ، ١‬ﯾﺴﺎوى ‪ ١٦‬ع ‪ .‬ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ي ر = با = ا – ب‬ ‫ى ر=)س‪،‬ص(–)‪)=(٤،١‬س–‪ ، ١‬ص–‪(٤‬‬ ‫ى ر × ق = ‪ ١٦‬ع‬ ‫ي ‪‬ب = ‪ ١٦‬ع‬ ‫ى ) س – ‪ ، ١‬ص – ‪ ١٦ = ( ٣ - ، ٢ ) × ( ٤‬ع‬ ‫ب=)‪(٤،١‬‬ ‫ر‬ ‫ى ] ‪ ) ٣ -‬س – ‪ ) ٢ - ( ١‬ص – ‪ [ ( ٤‬ع = ‪ ١٦‬ع‬ ‫وﺑﺄﺧﺬ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻠﻄﺮﻓﯿﻦ‬ ‫ق‬ ‫ا=)س‪،‬ص(‬ ‫ى ‪٣ -‬س ‪٢ - ٣ +‬ص ‪١٦ = ٨ +‬‬ ‫ى ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق ھﻮ ‪ ٣ :‬س ‪ ٢ +‬ص ‪٠ = ٥ +‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٦‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮة ق ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪ ، ( ١ ، ٢‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻋﺰﻣﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ‬ ‫ب = ) ‪ ( ٢ ، ٣‬ﯾﺴﺎوى – ع ‪ ،‬ﻋﺰﻣﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ج = ) ‪( ٢ - ، ١‬‬ ‫ﯾﺴﺎوى – ‪ ٥‬ع ‪ .‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮة ق ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اب ‪.‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ق‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ب=)‪(٢،٣‬‬ ‫ﻧﻔﺮض أن ‪ :‬ق = م ز ‪ +‬ن ض‬ ‫ر‪١‬‬ ‫ع‬‫ي ر‪ = ١‬با = ا – ب‬ ‫ق‬ ‫= )‪(١ - ، ١ -) = (٢ ، ٣) – (١ ، ٢‬‬ ‫ا = )‪(١ ،٢‬‬ ‫‪ ،‬ر‪ = ٢‬جا = ا – ج‬ ‫ج = ) ‪( ٢- ، ١‬‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫ ‪٥‬ع‬‫= )‪(٣،١) = (٢-،١)–(١،٢‬‬ ‫ى ر‪ × ١‬ق = ‪ -‬ع‬ ‫ي ‪‬ب = ‪ -‬ع‬ ‫ى )‪) × (١-،١-‬م‪،‬ن( = ‪-‬ع‬ ‫‪٢٨‬‬ ‫ى‪-‬ن‪ +‬م = ‪١-‬‬ ‫ي‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ى ن– م=‪١‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪........................‬‬ ‫ى ر‪ × ٢‬ق = ‪٥ -‬ع‬ ‫‪ ‬ج = ‪٥ -‬ع‬ ‫)‪) × (٣،١‬م‪،‬ن( = ‪٥-‬ع‬ ‫)ن–‪٣‬م(ع = ‪٥-‬ع‬ ‫‪...........................‬‬ ‫‪-‬ن‪٣+‬م=‪٥‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫وﺑﺠﻤﻊ )‪(٢) ، (١‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ )‪ (١‬ى ن = ‪٤‬‬ ‫ى ‪٢‬م=‪ ٦‬ى م=‪، ٣‬‬ ‫ى ق=‪٣‬ز‪٤ +‬ض‬ ‫‪ ،‬ي اب = ب – ا = ) ‪( ١ ، ١) = ( ١ ، ٢ ) – ( ٢ ، ٣‬‬ ‫ق ‪‬اب‬ ‫ى اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮة ق ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اب =‬ ‫|| اب ||‬ ‫)‪٤+٣ (١،١)(٤،٣‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١+١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧﺗﺎﺋﺞ ھﺎﻣﺔ ‪:‬‬ ‫ق‬ ‫)‪ (١‬إذا اﻧﻌﺪم ﻋﺰم ﻗﻮة ق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ و ‪ ،‬ﻓﺈن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق‬ ‫ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ و ‪ ،‬واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﯿﺢ ‪.‬‬ ‫)‪ (٢‬إذا ﻛﺎن ﻋﺰم ق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ﻋﺰم ق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ب‬ ‫ب‬ ‫ﺣﯿﺚ ا ‪ ،‬ب ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬى ﯾﺤﻮى ق‬ ‫‪/‬‬ ‫ق ل‬ ‫ﻓﺈن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق ‪ //‬اب ‪ ،‬واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﯿﺢ ‪.‬‬ ‫ق‬ ‫)‪ (٣‬إذا ﻛﺎن ﻋﺰم ق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ‪ -‬ﻋﺰم ق‬ ‫‪/‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ب ‪ ،‬ﻓﺈن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق‬ ‫ل‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫ﯾﻨﺼﻒ اب ‪ ،‬واﻟﻌﻜﺲ ﺻﺤﯿﺢ ‪.‬‬ ‫ر‬ ‫ب‬ ‫ا‬ ‫ل‬ ‫ا‬ ‫ل‬ ‫‪‬ل )‪ : (٧‬إذا ﻛﺎﻧﺖ ق = ‪ ٣‬ز ‪ ٤ -‬ض ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ا = ) ‪ (٢ ، ٠‬وﻛﺎﻧﺖ اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ب = ) ‪ ، (٢ - ، ٣‬ج = ) ‪ ، ( ٣ ، ٢‬د = ) ‪ ، (١ ، ٢ -‬ه = )‪(٥ ، ٥ -‬‬ ‫ﻓﺎﺛﺒﺖ أن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﯾﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ب‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪ :‬ﯾﻮازى د ه‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﯾﻨﺼﻒ ج د‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ر = با = ا – ب = ) ‪( ٤ ، ٣ - ) = ( ٢ - ، ٣ ) – ( ٢ ، ٠‬‬ ‫و‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٢٩‬‬ ‫ى ‪‬ب = ر × ق = ) ‪( ٤ - ، ٣ ) × ( ٤ ، ٣ -‬‬ ‫= ) ‪ ( ١٢ – ١٢‬ع = ‪٠‬‬ ‫ى ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق ﯾﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ب ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ر‪ = ١‬جا = ا – ج = ) ‪( ١ - ، ٢ - ) = ( ٣ ، ٢ ) – ( ٢ ، ٠‬‬ ‫ر‪ = ٢‬دا = ا – د = ) ‪( ١ ، ٢) = (١ ، ٢- ) – ( ٢ ، ٠‬‬ ‫ى ‪‬ج = ر‪ × ١‬ق = ) ‪( ٤ - ، ٣ ) × ( ١ - ، ٢ -‬‬ ‫= ) ‪ ( ٣ + ٨‬ع = ‪ ١١‬ع ‪.‬‬ ‫‪  ،‬د = ر‪ × ٢‬ق = )‪( ٤ - ، ٣ ) × ( ١ ، ٢‬‬ ‫= ) ‪ ( ٣ - ٨ -‬ع = ‪ ١١ -‬ع ‪.‬‬ ‫ى ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق ﯾﻨﺼﻒ ج د ‪.‬‬ ‫ى ‪‬ج = ‪ -‬د‬ ‫ﺛﺎﻟﺜﺎ ‪ :‬ر‪ = ١‬دا = ا – د = ) ‪( ١ ، ٢) = (١ ، ٢- ) – ( ٢ ، ٠‬‬ ‫ر‪ = ٢‬ها = ا – ه = ) ‪( ٣ - ، ٥) = (٥ ، ٥- ) – ( ٢ ، ٠‬‬ ‫ي ‪‬د = ‪ ١١ -‬ع ‪.‬‬ ‫‪ ،‬ه = ) ‪( ٤ - ، ٣ ) × ( ٣ - ، ٥‬‬ ‫= ) ‪ ( ٩ + ٢٠ -‬ع = ‪ ١١ -‬ع ‪.‬‬ ‫ى ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق ‪ //‬د ه ‪.‬‬ ‫ى ‪‬د = ‪‬ه‬ ‫‪  ‬ر‪‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫)‪ / ١٩٩٩ (١‬دور أول ‪ :‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮة ق = ‪٣‬ز ‪٤ +‬ض ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = )‪(١ - ، ٣‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ ﻋﺰم ھﺬه اﻟﻘﻮة ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ب = ) ‪. ( ٤ ، ٢ -‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣٥ :‬ع [‬ ‫)‪ / ١٩٩٨ (٢‬دور أول ‪ :‬ﻗﻮﺗﺎن ق‪ = ١‬ز ‪ +‬ض ‪ ،‬ق‪٣ = ٢‬ز ‪٢ +‬ض ﺗﺆﺛﺮان‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪ . ( ٣ ، ٢‬أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ ﻋﺰم ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺎﺗﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = ) ‪. ( ١ ، ١‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٥ - :‬ع [‬ ‫)‪ / ١٩٩٩ (٣‬دور ﺛﺎن ‪ :‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮﺗﺎن ق‪ = ١‬ز ‪٦ +‬ض ‪ ،‬ق‪٣ = ٢‬ز ‪٢ -‬ض‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪ . ( ٢ ، ١ -‬أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ ﻋﺰم ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺎﺗﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٦ :‬ع [‬ ‫ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = ) ‪. ( ٧ ، ٠‬‬ ‫)‪ (٤‬اﻟﻘﻮة ق = ‪٣‬ز ‪٤ +‬ض ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪ . ( ١ ، ٢‬أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ ﻋﺰﻣﮭﺎ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = ) ‪ ، ( ٤ ، ١‬ﺛﻢ أوﺟﺪ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ب‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮة ق ‪.‬‬ ‫‪[ ١٣‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪١٣ :‬ع ‪،‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫)‪ (٥‬ﻣﺼﺮ ‪ ١٩٩٥‬أﺛﺮت اﻟﻘﻮة ق = ‪٤‬ز ‪٥ +‬ض ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪ . (٢ ، ١‬أوﺟﺪ‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻋﺰم ق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = ) ‪( ٢ ، ٣‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮة ق ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اب ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪١٠ - :‬ع ‪[ ٤ ،‬‬ ‫)‪ / ١٩٩٧ (٦‬دور أول ‪ :‬أﺛﺮت اﻟﻘﻮة ق = ‪٦‬ز ‪٨ +‬ض ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = )‪(٢ ، ١ -‬‬ ‫أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻋﺰم ق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = ) ‪( ٥ ، ٢‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮة ق ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اب ‪ ] .‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪٦ - :‬ع ‪[ ٢ ٧ ،‬‬ ‫)‪ (٧‬ﻣﺼﺮ ‪ : ١٩٩٢‬ﺛﻼث ﻗﻮى ق‪ ، ١‬ق‪ ، ٢‬ق‪ ٣‬ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ) ‪ ، ( ٣ ، ٢‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:‬‬ ‫ق‪٢ = ١‬ز ‪٤ +‬ض ‪ ،‬ق‪ = ٢‬ز ‪٢ -‬ض ‪ ،‬ق‪٣- = ٣‬ز ‪٤ +‬ض‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺰوم ھﺬه اﻟﻘﻮى ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ‪ ،‬وﻛﺬﻟﻚ ﺑﻌﺪ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ‬ ‫ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪١٢ :‬ع ‪[ ٢ ،‬‬ ‫)‪ / ١٩٩٨ (٨‬دور ﺛﺎن ‪ :‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮة ق = ل ز ‪٦ -‬ض ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪( ٤ ، ٧‬‬ ‫وﻛﺎن ﻋﺰﻣﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = )‪ (٢ - ، ٩‬ﯾﺴﺎوى – ‪ ٦‬ع ‪.‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺜﺎﺑﺖ ل‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ل = ‪[ ٣‬‬ ‫)‪ / ١٩٩٧ (٩‬دور ﺛﺎن ‪ :‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮﺗﺎن ق‪ = ١‬ز ‪٢ +‬ض ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪، ( ١ ، ٢‬‬ ‫ق‪٢ = ٢‬ز ‪ -‬مض ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ ( ٢ ، ١‬ﻋﯿﻦ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺜﺎﺑﺖ م ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻨﻌﺪم‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺰﻣﻰ ھﺎﺗﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ‪ ] .‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬م = ‪[ ١ -‬‬ ‫)‪ / ١٩٩٦ (١٠‬دور أول ‪ :‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮى ق‪ = ١‬ز ‪٣ +‬ض ‪ ،‬ق‪ = ٢‬ز ‪٢ +‬ض ‪،‬‬ ‫ق‪ = ٣‬ز ‪٤ -‬ض ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪ . ( ١ ، ١ -‬أوﺟﺪ ﻋﺰم ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = )‪ ، (٨ ، ٠‬ﺛﻢ أﺣﺴﺐ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ب‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪٢٠ :‬ع ‪[ ١٠ ٢ ،‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪.‬‬ ‫)‪ (١١‬ﻣﺼﺮ ‪ : ١٩٩٤‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮة ق = ل ز ‪٢ -‬ض ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪( ٢ ، ٥‬‬ ‫وﻛﺎن ﻋﺰﻣﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = )‪ (٤ - ، ٧‬ﯾﺴﺎوى – ‪٢٠‬ع أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺜﺎﺑﺖ ل‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ل = ‪[ ٤‬‬ ‫)‪ (١٢‬أﺛﺮت اﻟﻘﻮة ق‪٧ = ١‬ز ‪٢ -‬ض ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪ ، ( ٣ ، ٣‬وأﺛﺮت اﻟﻘﻮة‬ ‫ق‪ = ٢‬ز ‪ +‬مض ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ب = ) ‪ . (١ - ، ٥‬اوﺟﺪ اﻟﺜﺎﺑﺖ م ‪ ،‬ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻨﻌﺪم‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺰﻣﻰ ھﺎﺗﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ج = )‪ ] (٣ ، ٦‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬م = ‪[ ١٠‬‬ ‫)‪ / ٢٠٠٠ (١٣‬دور أول ‪ :‬اﻟﻘﻮﺗﺎن ق‪٥ = ١‬ز ‪ +‬ض ‪ ،‬ق‪ - = ٢‬ز ‪٢ +‬ض‬ ‫ﺗﺆﺛﺮان ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪ . ( ٥ ، ٢‬أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ ﻋﺰم ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺎﺗﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = )‪ ، (١ ، ١‬ﺛﻢ أوﺟﺪ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ب‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪١٣ - :‬ع ‪[ ٢.٦ ،‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٣١‬‬ ‫)‪ / ٢٠٠٠ (١٤‬دور ﺛﺎن ‪ :‬اﻟﻘﻮﺗﺎن ق‪٥ = ١‬ز ‪٤ -‬ض ‪ ،‬ق‪ = ٢‬ز ‪٤ -‬ض ﺗﺆﺛﺮان‬ ‫ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪ ( ٤ ، ٣ -‬ﺛﻢ‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ ﻋﺰم اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = )‪ ] . (٥ - ، ٢‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪١٤ - :‬ع [‬ ‫)‪ / ٢٠٠١ (١٥‬دور ﺛﺎن ‪ :‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮى ق‪ = ١‬ز ‪٦ +‬ض ‪ ،‬ق‪٣ = ٢‬ز‪٥ +‬ض ‪،‬‬ ‫ق‪ = ٣‬ز ‪ +‬ض ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = ) ‪ . ( ٣ ، ٢‬أوﺟﺪ ﻣﺘﺠﮫ ﻋﺰم ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه‬ ‫اﻟﻘﻮى ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = ) ‪ ، ( ٢ ، ١ -‬ﺛﻢ أوﺟﺪ طﻮل اﻟﻌﻤﻮد اﻟﻤﺮﺳﻮم ﻣﻦ‬ ‫‪٣١‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺔ ب ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪.‬‬ ‫‪[ ١٣‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪٣١ - :‬ع ‪،‬‬ ‫)‪ / ٢٠٠١ (١٦‬دور أول ‪ :‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮة ق = م ز ‪ +‬ن ض ) ﺣﯿﺚ م ‪ ،‬ن ﺛﺎﺑﺘﯿﻦ (‬ ‫ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = )‪ ، (٢ ، ٤‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻋﺰﻣﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ و = )‪(٠ ، ٠‬‬ ‫ﯾﺴﺎوى – ‪١٥‬ع ‪ ،‬ﻋﺰﻣﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = ) ‪ ( ٥ ، ٠‬ﯾﺴﺎوى ‪١٥‬ع ‪ ،‬ﻓﺄوﺟﺪ‬ ‫ﻗﯿﻤﺘﻰ م ‪ ،‬ن ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬م = ‪ ، ٦‬ن =‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫[‬ ‫)‪ / ٢٠٠٢ (١٧‬دور أول ‪ :‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮة ق = ‪ ٣‬ز ‪٢ +‬ض ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = )‪(١- ، ٢‬‬ ‫أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻣﺘﺠﮫ ﻋﺰم ق ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = ) ‪. ( ٢ ، ٦‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮة ق ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اب ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪١ :‬ع ‪[ ٣.٦ ،‬‬ ‫)‪ / ٢٠٠٣ (١٨‬دور أول ‪ :‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮة ق = ز – ض ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ا = )‪ (٣ ، ٠‬وﻛﺎﻧﺖ‬ ‫اﻟﻨﻘﻂ ب ‪ ،‬ج ‪ ،‬د ھﻰ ) ‪ ( ١ ، ٢ - ) ، ( ٣ ، ٤ ) ، ( ٠ ، ٣‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪.‬‬ ‫أﺛﺒﺖ أن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق ﯾﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ب وﯾﻨﺼﻒ ج د ‪.‬‬ ‫)‪ / ٢٠٠٥ (١٩‬دور أول ‪ :‬ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮة ق = م ز ‪٢ +‬ض ﯾﻤﺮ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ‬ ‫ا = ) ‪ ، ( ١ - ، ٢‬ب = ) ‪ ( ٣ - ، ٥‬أوﺟــﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺜﺎﺑﺖ م ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻤﺮﻛﺒﺔ اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻤﺘﺠﮫ ق ﻓﻰ اﺗﺠﺎه و ا ﺣﯿﺚ و ﻧﻘﻄﺔ اﻷﺻﻞ ) ‪( ٠ ، ٠‬‬ ‫‪٨‬‬‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪، ٣ - :‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫[‬ ‫)‪ (٢٠‬اﻟﻘﻮﺗﺎن ق‪ = ١‬م ز ‪ +‬ن ض ‪ ،‬ق‪٢ = ٢‬ز ‪٣ +‬ض ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ا = )‪ ، (٤ - ، ٢‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﺘﺠﮫ ﻋﺰم ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ب = )‪(٣ ،١ -‬‬ ‫ﯾﺴﺎوى ‪ ٣٣‬ع ‪ ،‬ﺣﯿﺚ ع ﻣﺘﺠﮫ وﺣﺪة ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﺘﺠﮭﻰ اﻟﻮﺣﺪة‬ ‫اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ ز ‪ ،‬ض ‪ ،‬وﻛﺬﻟﻚ ﻋﺰم ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ج = ) ‪(١ - ، ٢‬‬ ‫ھﻮ ‪ -‬ع ﻓﺄوﺟﺪ ق ‪.‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫‪ ٧٩‬ض [‬ ‫‪+‬‬ ‫ز‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ق =‬ ‫‪٩‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٣٢‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ا‪ ‬ا‪ : ‬ا‪‬ى ا‪‬از‪ ‬ا‪‬و‪‬‬ ‫أو‪   : ‬از‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫إذا أﺛﺮت ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن ق‪ ، ١‬ق‪ ٢‬ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ‪ ،‬ب ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ وﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ح ﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ج ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻷوﻟﻰ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻣﺘﺤﺪﺗﺎن ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه ‪:‬‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫‪ ‬ﻣﻘﺪار اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪ :‬ح = ق‪+ ١‬‬ ‫‪ ‬اﺗﺠﺎه اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪ :‬ھﻮ ﻧﻔﺲ اﺗﺠﺎه اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ‬ ‫‪ ‬ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪ :‬ﯾﻘﺴﻢ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﺪاﺧﻞ ﺑﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﻋﻜﺴﯿﺔ ﻟﻤﻌﯿﺎرﯾﮭﻤﺎ أى ‪:‬‬ ‫ى‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ق‬ ‫‪ ١‬ح =ق‪ +١‬ق‪٢‬‬ ‫ق‪ × ١‬ﺑﻌﺪ ﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ﻋﻦ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ = ق‪ × ٢‬ﺑﻌﺪ ﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ﻋﻦ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ‬ ‫م‪: ‬‬ ‫أى أن ‪ :‬ق‪ × ١‬اج = ق‪ × ٢‬بج‬ ‫د‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ق‪ = ١‬ق‪ = ٢‬ق ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫ح = ‪٢‬ق وﯾﻜﻮن ‪ :‬جب = جد‬ ‫ق‬ ‫ى‬ ‫ق‬ ‫ح =‪٢‬ق‬ ‫أى أن ‪ :‬ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﺘﯿﻦ وﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﯿﻦ‬ ‫ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺪار وﻣﺘﺤﺪﺗﻰ اﻻﺗﺠﺎه ھﻰ ﻗﻮة‬ ‫ﻣﻌﯿﺎرھﺎ ﺿﻌﻒ ﻣﻌﯿﺎر اﺣﺪى اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ وﻓﻰ اﺗﺠﺎھﮭﻤﺎ وﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ﯾﻨﺼﻒ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪.‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ‪ :‬إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻣﺘﻀﺎدﺗﯿﻦ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه ‪:‬‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ح=‬ ‫ى‬ ‫‪ ‬ﻣﻘﺪار اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪ :‬ح = ق‪- ١‬‬ ‫‪ ‬اﺗﺠﺎه اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪ :‬ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻘﻮة اﻟﻜﺒﺮى‬ ‫ج‬ ‫‪ ‬ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪ :‬ﯾﻘﺴﻢ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ‬ ‫ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج ﻧﺎﺣﯿﺔ‬ ‫اﻟﻘﻮة اﻟﻜﺒﺮى ﺑﻨﺴﺒﺔ ﻋﻜﺴﯿﺔ ﻟﻤﻌﯿﺎرﯾﮭﻤﺎ أى أن ‪:‬‬ ‫ق‪ - ١‬ق‪٢‬‬ ‫ق‪< ١‬‬ ‫ق‪١‬‬ ‫ا‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ب‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ق‪ × ١‬ﺑﻌﺪ ﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ﻋﻦ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ = ق‪ × ٢‬ﺑﻌﺪ ﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ﻋﻦ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ‬ ‫أى أن ‪ :‬ق‪ × ١‬اج = ق‪ × ٢‬بج‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٣٣‬‬ ‫م‪ : ‬ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺰوم أى ﻋﺪد ﻣﺤﺪود ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺘﻮازﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷى ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﯾﮭﺎ ﯾﺴﺎوى ﻋﺰم ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻔﺲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪.‬‬ ‫‪‬ازن ‪‬ث ‪‬ى ‪‬از‪: ‬‬ ‫ق‪٣‬‬ ‫إذا اﺗﺰن ﺟﺴﻢ ﻣﺘﻤﺎﺳﻚ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺘﻮازﯾﺔ‬ ‫ﻓﺈن إﺣﺪى اﻟﻘﻮى ﯾﺠﺐ أن ﺗﺴﺎوى ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺪار وﺗﻀﺎد‬ ‫ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻷﺧﺮﯾﯿﻦ وﯾﻜﻮن ﻟﮭﺎ ﻧﻔﺲ‬ ‫ﺧﻂ اﻟﻌﻤﻞ ‪.‬‬ ‫ا‬ ‫ق‪١‬‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ح‬ ‫‪:  ‬‬ ‫إذا ﻋُﻠﻤﺖ إﺣﺪى اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻟﻤﺘﻮازﯾﺘﯿﻦ وﻟﺘﻜﻦ ق‪ ، ١‬وﻋﻠﻤﺖ ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ح ‪ ،‬ﻓﻠﺘﻌﯿﯿﻦ ق‪٢‬‬ ‫ﻧﺠﺪ أﺣﺪ اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﯿﻦ اﻵﺗﯿﯿﻦ ‪:‬‬ ‫‪ ‬اﻟﻘﻮة اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ ق‪ ، ١‬اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ح ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ ‪:‬‬ ‫ق‪١‬‬ ‫ﻓﺘﻜﻮن ‪ :‬ق‪ = ٢‬ح ‪ +‬ق‪١‬‬ ‫ج‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫وﯾﻜﻮن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق‪ ٢‬ﯾﻘﻊ ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ‬ ‫ﻋﻤﻞ ق‪ ، ١‬ح وﻓﻰ اﺗﺠﺎه ح ‪.‬‬ ‫‪ ‬اﻟﻘﻮة اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ ق‪ ، ١‬اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ح ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ ‪:‬‬ ‫ح‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻷوﻟﻰ ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ‪ :‬ح < ق‪١‬‬ ‫ب‬ ‫ﻓﺘﻜﻮن ق‪ = ٢‬ح – ق‪١‬‬ ‫وﯾﻜﻮن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق‪ ٢‬ﯾﻘﻊ ﻓﻰ اﻟﺠﮭﺔ اﻷﺧﺮى ﻣﻦ ﺧﻂ ق‪١‬‬ ‫ﻋﻤﻞ ق‪ ، ١‬ح ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻮﺿﺢ ‪.‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ‪ :‬ح > ق‪١‬‬ ‫ﻓﺘﻜﻮن ق‪ = ٢‬ق‪ – ١‬ح‬ ‫وﯾﻜﻮن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق‪ ٢‬ﯾﻘﻊ ﺧﺎرج ﺧﻄﻰ‬ ‫ﻋﻤﻞ ق‪ ، ١‬ح ﻧﺎﺣﯿﺔ ق‪ ١‬وﻓﻰ اﺗﺠﺎه‬ ‫ﻣﻀﺎد ﻻﺗﺠﺎه ق‪ ١‬ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻮﺿﺢ ‪.‬‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ج‬ ‫ا‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ح‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ج‬ ‫ح‬ ‫ا‬ ‫ق‪١‬‬ ‫ب‬ ‫‪٣٤‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫أﻣﺛﻠﺔ ﻣﺣﻠوﻟﺔ‬ ‫‪‬ل )‪ :(١‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن ‪ ٦ ، ٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ ﻋﻤﻠﮭﻤﺎ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻋﯿﻦ‬ ‫ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫ا‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻧﻔﺮض أن ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻮﺣﺪة ى ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪:‬‬ ‫س‬ ‫‪ - ٢٠‬س‬ ‫ي اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ‬ ‫ى‬ ‫ى ق‪ ٤ = ١‬ى ‪ ،‬ق‪ ٦ = ٢‬ى ‪ ،‬ح = ‪ ١٠‬ى‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ح‬ ‫ى ح = ‪ ١٠ = ٦ + ٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫وﺗﻮازى اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ وﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﺗﺠﺎھﮭﻤﺎ‬ ‫وﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ج ت اب ﺣﯿﺚ بج = س ﺳﻢ‬ ‫ى س = ‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫ى ‪ × ٦‬س = ‪ - ٢٠ ) ٤‬س (‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻧﻔﺮض أن ﻣﺘﺠﮫ اﻟﻮﺣﺪة ى ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻘﻮة اﻷﻛﺒﺮ ﻣﻌﯿﺎرا‬ ‫ي اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫ا‬ ‫ى ق‪ ٦ = ٢‬ى ‪ ،‬ق‪ ٤ - = ١‬ى ‪ ،‬ح = ‪ ٢‬ى‬ ‫س‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ى‬ ‫ى ح = ‪ ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﻮازى اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ وﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه‬ ‫‪٦‬‬ ‫ح‬ ‫اﻟﻘﻮة اﻟﻜﺒﺮى ‪ ٦‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬وﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ج ت اب‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪ ،‬ج ـ اب ﺣﯿﺚ بج = س ﺳﻢ‬ ‫ى ‪ × ٦‬س = ‪ + ٢٠ ) ٤‬س ( ى س = ‪ ٤٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪‬ل )‪ : (٢‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن ق‪ ، ١‬ق‪ ٢‬ﻣﻌﯿﺎر اﻷوﻟﻰ ‪ ٤‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ وﻣﻌﯿﺎر ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ‬ ‫‪ ٦‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ واﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ واﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻋﯿﻦ‬ ‫ﻣﻌﯿﺎر واﺗﺠﺎه ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق‪ ٢‬واﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﺤﺎﻟﺘﯿﻦ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ق‪ ، ١‬ح ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ق‪ ، ١‬ح ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫ا‬ ‫س‬ ‫‪٨‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ي اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ واﻟﻘﻮة اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ ﺗﻌﻤﻼن ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ‬ ‫ى‬ ‫وﻣﻌﯿﺎر اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ < ﻣﻌﯿﺎر اﻟﻘﻮة اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ح=‪٦‬‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ى اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻣﺘﺤﺪﺗﺎن ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه ‪.‬‬ ‫وﺑﻔﺮض أن ى ﻣﺘﺠﮫ وﺣﺪة ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٣٥‬‬ ‫ى ق‪ ٤ = ١‬ى ‪ ،‬ح = ‪ ٦‬ى‬ ‫ى ق‪ ٢ = ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ى ق‪ = ٢‬ح – ق‪ ٢ = ١‬ى‬ ‫وﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ب ت اج ‪ ،‬ب ـ اج ﺣﯿﺚ بج = س ﺳﻢ‬ ‫ى س = ‪ ١٦‬ﺳﻢ‬ ‫ى ‪×٢=٨×٤‬س‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ي اﻟﻘﻮة اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ واﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺗﻌﻤﻼن ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ‬ ‫ى اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻣﺘﻀﺎدﺗﺎن ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه ‪.‬‬ ‫ى ‪ ٦‬ى = ق‪ ٤ – ٢‬ى ى ق‪ ١٠ = ٢‬ى‬ ‫ا‬ ‫ى ق‪ ١٠ = ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ب ت ا ج‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺣﯿﺚ بج = س ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫ى س = ‪ ٣.٢‬ﺳﻢ‬ ‫ى ‪ × ١٠‬س = ‪٨ × ٤‬‬ ‫ى اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ ٤.٨‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ب‬ ‫ح=‪٦‬‬ ‫ى‬ ‫س‬ ‫ج‬ ‫‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫‪‬ل )‪ : (٣‬ﻗﻮﺗ ﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘ ﺎن أﺻ ﻐﺮھﻤﺎ ‪ ٢٠‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ وﺗ ﺆﺛﺮ ﻓ ﻰ اﻟﻄ ﺮف ا ﻣ ﻦ‬ ‫ﻗﻀﯿﺐ ﺧﻔﯿﻒ اب واﻟﻜﺒﺮى ﺗﺆﺛﺮ ﻓ ﻰ اﻟﻄ ﺮف اﻵﺧ ﺮ ب ‪ ،‬ﻓ ﺈذا ﻛ ﺎن ﻣﻘ ﺪار‬ ‫ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ‪ ١٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﺒﻌﺪ ﻋﻦ اﻟﻄﺮف ب ﺑﻤﻘﺪار ‪ ٨٠‬ﺳﻢ ﻓﻤﺎ طﻮل اﻟﻘﻀﯿﺐ‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ي ﻣﻘﺪار اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ أﺻﻐﺮ ﻣﻦ ﻣﻘﺪار إﺣﺪى اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ‬ ‫‪ + ٨٠‬ل‬ ‫ى اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻣﺘﻀﺎدﺗﺎن ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه ‪.‬‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫ا‬ ‫‪ ٨٠‬ﺳﻢ‬ ‫ى ح = ق‪ – ١‬ق‪ ) ٢‬ﺣﯿﺚ ق‪ < ١‬ق‪( ٢‬‬ ‫ق‬ ‫ى ق = ‪ ٣٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ى ‪ = ١٠‬ق – ‪٢٠‬‬ ‫ح = ‪١٠‬‬ ‫‪ ،‬ي ق × ‪ + ٨٠ ) ٢٠ = ٨٠‬ل ( ﺣﯿﺚ ل طﻮل اﻟﻘﻀﯿﺐ‬ ‫ى ‪ + ٨٠ ) ٢٠ = ٨٠ × ٣٠‬ل (‬ ‫ى ‪ + ٨٠‬ل = ‪ ١٢٠‬ى ل = ‪ ٤٠ = ٨٠ – ١٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪‬ل )‪ : (٤‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن وﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ ﻣﻘﺪاراھﻤﺎ ق ‪٢ ،‬ق ﺗﺆﺛﺮان ﻓ ﻰ اﻟﻨﻘﻄﺘ ﯿﻦ‬ ‫ا ‪ ،‬ب ﻋﻠ ﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿ ﺐ ‪ ،‬ﻓ ﺈذا ﺗﺤﺮﻛ ﺖ اﻟﻘ ﻮة ق ﺑﺤﯿ ﺚ ﺗﻈ ﻞ ﻣﻮازﯾ ﺔ ﻟﻨﻔ ﺴﮭﺎ‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻗﺪرھﺎ س ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻌﺎع با ‪ ،‬ﻓﺎﺛﺒﺖ أن ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﺗﺘﺤﺮك ﻣﺴﺎﻓﺔ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻗﺪرھﺎ س ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎه ‪.‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫‪٣٦‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫ﻧﻔﺮض أن ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ‬ ‫ﺗﺤﺮﻛﺖ ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻗﺪرھﺎ ص ﻧﺘﯿﺠﺔ‬ ‫س‬ ‫ص‬ ‫ﺗﺤﺮك اﻟﻘﻮة ق ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻗﺪرھﺎ س ‪.‬‬ ‫ق‬ ‫ق‬ ‫ح‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ‬ ‫ح‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ج ‪.‬‬ ‫ي ق × اج = ‪ ٢‬ق × بج‬ ‫ى ق ) اج‪ + /‬ص ( = ‪٢‬ق × بج ‪.‬‬ ‫‪...........................‬‬ ‫ى اج‪ + /‬ص = ‪ ٢‬بج‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ج‪. /‬‬ ‫ى ق)اا‪ + /‬اج‪ ٢ = ( /‬ق ) بج ‪ +‬ص (‬ ‫‪..........................‬‬ ‫ي س ‪ +‬اج‪ ٢ = /‬بج ‪ ٢ +‬ص‬ ‫وﻣﻦ )‪(٢) ، (١‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ى س ‪ +‬اج‪ = /‬اج ‪ +‬ص ‪ ٢ +‬ص ‪.‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ى ص= س‬ ‫ى س=‪٣‬ص‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ا‬ ‫ا‬ ‫‪/‬‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫‪٢‬ق‬ ‫)‪(١‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٥‬ا ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ‪ ،‬د أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ أﻓﻘﻰ وﻣﺄﺧﻮذة ﺑﮭﺬا اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬ ‫ﺑﺤﯿﺚ اب = ‪ ٢‬بج = ‪ ٣‬جد = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ .‬أﺛﺮت اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ٨ ، ٤‬ث‪.‬ﺟﻢ‬ ‫رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ﻓﻰ ا ‪ ،‬ج وأﺛﺮت اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ٦ ، ١٠‬ﻓﻰ ب ‪ ،‬د رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬ﻋﯿﻦ ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫اب = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٤‬ﺳﻢ‬ ‫جد = ‪ ٤‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫ب م‬ ‫د‬ ‫ا‬ ‫ج‬ ‫ﻧﺄﺧﺬ ﻣﺘﺠﮫ وﺣﺪة ى ﻓﻰ اﺗﺠﺎه‬ ‫ى‬ ‫اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪.‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪ ١٠‬ح‬ ‫ح = ‪١٠‬ى ‪ ٦ +‬ى – ‪ ٤‬ى – ‪ ٨‬ى = ‪ ٤‬ى‬ ‫ى ح = ‪ ٤‬ث ‪ .‬ﺟﻢ وﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ﯾﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ م ﺣﯿﺚ ام = س ﺳﻢ‬ ‫ي اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺣﻮل ا = ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻌﺰم اﻟﻘﻮى ﺣﻮل ا‬ ‫ى ‪ × ٤‬س = ‪٢٢ × ٦ + ١٨ × ٨ – ١٢ × ١٠‬‬ ‫ى س = ‪ ٢٧‬ﺳﻢ‬ ‫ى م ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ ٢٧‬ﺳﻢ ﻋﻠﻰ اﻟﯿﺴﺎر ﻣﻦ ا ‪.‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٣٧‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٦‬اب ﺳﺎق ﻣﻦ اﻟﺤﺪﯾﺪ طﻮﻟﮭﺎ ‪ ٨٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮭﺎ ‪ ١٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﯾﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ﻣﻨﺘﺼﻔﮭﺎ‬ ‫ﺗﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ج ‪ ،‬د ﺣﯿﺚ اج = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬بد =‬ ‫‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪ .‬أوﺟﺪ اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ ‪ .‬أوﺟﺪ أﯾﻀﺎ اﻟﺜﻘﻞ اﻟﺬى ﯾﻌﻠﻖ‬ ‫ﻣﻦ ب ﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﻘﻼب ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ‬ ‫ﺛﻼث ﻗﻮى ‪:‬‬ ‫ر‪١‬‬ ‫ا‬ ‫‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫د‬ ‫ج‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫ب‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪ ‬وزﻧﮫ ‪ ١٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻋﻨﺪ ﻣﻨﺘﺼﻒ اب رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ‬ ‫‪ ‬رد اﻓﻌﻞ ر‪ ١‬ﻋﻨﺪ ج رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ‬ ‫‪ ‬رد اﻟﻔﻌﻞ ر‪ ٢‬ﻋﻨﺪ د رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ‬ ‫ى ﻣﺤﺼﻠﺔ ر‪ ، ١‬ر‪ ٢‬ﺗﺘﺰن ﻣﻊ اﻟﻮزن وﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ھﻮ ﻧﻔﺲ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻮزن ‪.‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪.................................‬‬ ‫ى ر‪ + ١‬ر‪١٠ = ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى ر‪ = ١‬ر‪ ٢‬وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ )‪(١‬‬ ‫‪ ،‬ر‪ = ٣٠ × ١‬ر‪٢٠ × ٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى‬ ‫ر‪١٠ = ٢‬‬ ‫ى‬ ‫ر‪ + ٢‬ر‪١٠ = ٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ر‪ ٤ = ٦ × = ١‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫‪،‬‬ ‫ى ر‪ ٦ = ٢‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫وﺷﻚ اﻻﻧﻘﻼب ﻓﺈن رد‬ ‫ا ج‬ ‫‪ ٢٠‬ﺳﻢ د ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ب‬ ‫رد اﻟﻔﻌﻞ ﻋﻨﺪ ج ﯾﺘﻼﺷﻰ‬ ‫‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫وﯾﻜﻮن رد اﻟﻔﻌﻞ ﻋﻨﺪ د‬ ‫و‬ ‫‪١٠‬‬ ‫ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﻟﻤﺤﺼﻠﺔ وزن‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ واﻟﺜﻘﻞ و ‪.‬‬ ‫ى و = ‪ ١٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫ى ‪ = ٢٠ × ١٠‬و × ‪٢٠‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٧‬ﻗ ﻀﯿﺐ ﺧﻔﯿ ﻒ طﻮﻟ ﮫ ‪ ٦٠‬ﺳ ﻢ ﻣﻌﻠ ﻖ ﻣ ﻦ طﺮﻓﯿ ﮫ ﺑﻮاﺳ ﻄﺔ ﺧﯿﻄ ﯿﻦ رأﺳ ﯿﯿﻦ‬ ‫ﻻ ﯾﺘﺤﻤﻞ أى ﻣﻨﮭﻤﺎ ﺷﺪا ﯾﺰﯾ ﺪ ﻋ ﻦ ‪ ١٤‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ‪ .‬ﻋﻠ ﻖ ﻣ ﻦ إﺣ ﺪى ﻧﻘ ﻂ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫ﺛﻘ ﻞ ﻗ ﺪره ‪ ٢١‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ‪ .‬أوﺟ ﺪ اﻟﻤﻮاﺿ ﻊ اﻟﺘ ﻰ ﯾﻤﻜ ﻦ ﺗﻌﻠﯿ ﻖ اﻟﺜﻘ ﻞ ﻣﻨﮭ ﺎ دون أن‬ ‫ﯾﻨﻘﻄﻊ أى ﻣﻦ اﻟﺨﯿﻄﯿﻦ ‪.‬‬ ‫‪٣٨‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ﻧﻔﺮض أن اﻟﻘﻀﯿﺐ ھﻮ اب وأن ﻧﻘﻄﺔ ج‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫ھﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻌﻠﯿﻖ اﻟﺜﻘﻞ ﺣﯿﺚ اج = س ‪،‬‬ ‫س‬ ‫ا‬ ‫‪ -٦٠‬س‬ ‫وأن اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻨﺪ ا ھﻮ ش‪، ١‬‬ ‫‪٢١‬‬ ‫واﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻨﺪ ب ھﻮ ش‪ ، ٢‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ج أﻗﺮب إﻟﻰ اﻟﻄﺮف ا ﯾﻜﻮن‬ ‫ش‪ < ١‬ش‪ ٢‬وﯾﻜﻮن اﻟﺨﻂ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﻘﻄﺎع ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ش‪ ١٤ = ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪.‬‬ ‫ى ‪ + ١٤‬ش‪ ٢١ = ٢‬ى ش‪ ٧ = ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ي ش‪ + ١‬ش‪٢١ = ٢‬‬ ‫ى ‪ ١٤‬س = ‪ – ٦٠ ) ٧‬س (‬ ‫‪ ،‬ي ش‪ × ١‬س = ش‪ – ٦٠ ) ٢‬س (‬ ‫ى ‪ ١٤‬س = ‪ ٧ – ٤٢٠‬س ى ‪ ٢١‬س = ‪ ٤٢٠‬ى س = ‪ ٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫أى أن اﻟﺜﻘﻞ اﻟﺬى ﯾﺠﺐ أن ﯾﻌﻠﻖ ﻣﻦ أى ﻣﻮﺿﻊ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ دون أن ﯾﻨﻘﻄﻊ اﻟﺨﯿﻂ ﻻ ﯾﻘﻞ‬ ‫ﺑﻌﺪھﺎ ﻋﻦ اﻟﻄﺮف ا أو ب ﺑﻤﻘﺪار ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫ش‪١٤ = ١‬‬ ‫ش‪٢‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٨‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ ) وزﻧﮫ ﻻ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻣﻨﺘ ﺼﻔﮫ ( طﻮﻟ ﮫ ‪ ٨٠‬ﺳ ﻢ ووزﻧ ﮫ‬ ‫‪ ٢٠‬ث‪.‬ﻛﺠ ﻢ ﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﻓ ﻰ وﺿ ﻊ أﻓﻘ ﻰ ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﻣﻠﯿﻦ ﻋﻨ ﺪ ج ‪ ،‬د ﺣﯿ ﺚ‬ ‫اج = بد = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻋﻠﻖ ﻣﻦ ا ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪ ٤٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻓﺄﺻﺒﺢ اﻟﻘﻀﯿﺐ‬ ‫ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل ج ‪ .‬أوﺟﺪ ﺑﻌ ﺪ ﻧﻘﻄ ﺔ ﺗ ﺄﺛﯿﺮ وزن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋ ﻦ ا‪،‬‬ ‫ﺛﻢ أوﺟﺪ أﻛﺒﺮ ﺛﻘﻞ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﻠﯿﻘﮫ ﻣﻦ ب دون أن ﯾﺨﺘﻞ اﻟﺘ ﻮازن ﻣ ﻊ رﻓ ﻊ اﻟﺜﻘ ﻞ‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻖ ﻣﻦ ا ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ر‪١‬‬ ‫أوﻻ ‪:‬‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫ي اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران‬ ‫‪ ١٠‬ج س‬ ‫‪ - ٦٠‬س‬ ‫د ‪١٠‬‬ ‫ﺣﻮل ج ‪.‬‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ى ﯾﻨﻌﺪم اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻨﺪ د ‪.‬‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﻋﻨﺪ ج ‪.‬‬ ‫ى ‪ × ٢٠‬س = ‪ ١٠ × ٤٠‬ى س = ‪ ٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻮزن ﺗﺒﻌﺪ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ﻋﻦ ا ‪.‬‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪:‬‬ ‫د ‪١٠‬‬ ‫‪ ١٠‬ج ‪٢٠‬‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ق ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ھﻮ أﻛﺒﺮ ﺛﻘﻞ ﯾﻌﻠﻖ ﻋﻨﺪ ب‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ق‬ ‫دون أن ﯾﺨﺘﻞ اﻟﺘﻮازن ‪ ،‬ﻓﺈن اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻨﺪ ج ﯾﻨﻌﺪم ‪.‬‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﻋﻨﺪ د ‪.‬‬ ‫ى ‪ = ٤٠ × ٢٠‬ق × ‪١٠‬‬ ‫ى ق = ‪ ٨٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪  ‬ر‪‬‬ ‫‪٣٩‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫)‪ (١‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ‪ ٨ ، ٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ واﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ ﻋﻤﻠﮭﻤﺎ ‪ ٢٤‬ﺳﻢ ‪ .‬أوﺟﺪ‬ ‫ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﺗﻜﻮن ‪:‬‬ ‫اوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻘﻮﺗﺎن ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬أوﻻ ‪ :‬ح = ‪ ١٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬ﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ ح ﻋﻦ اﻟﻘﻮة ق‪ ١٢٠ = ٢‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ح = ‪ ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬ﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ ح ﻋﻦ ق‪ ٤٠ = ٢‬ﺳﻢ [‬ ‫)‪ (٢‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن ق‪ ، ١‬ق‪ ٢‬ﻣﺘﺤﺪﺗﺎن ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه واﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ ﻋﻤﻠﮭﻤﺎ ‪ ٤٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ‪ ١٢‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ وﯾﺒﻌﺪ ﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ﻋﻦ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق‪١‬‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺔ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ﻛﻼ ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٩ ، ٣ :‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (٣‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن وﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ أ ‪ ،‬ب ﺣﯿﺚ اب = ‪ ٤٠‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ‪ ٢٥‬ث ‪ .‬ﺟﻢ وﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ج ت اب ﺣﯿﺚ‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٠ ، ١٥ :‬ث ‪ .‬ﺟﻢ [‬ ‫اج = ‪ ١٦‬ﺳﻢ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪.‬‬ ‫)‪ (٤‬ﻣﺼﺮ ‪ : ١٩٩٢ /‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق ‪ ٣٦ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ‪٨٤‬‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﻣﻀﺎد ﻟﻠﻘﻮة اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ وﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ﻣﻨﮭﺎ ‪ .‬أوﺟﺪ ق واﻟﺒﻌﺪ‬ ‫ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٢٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ٢١ ،‬ﺳﻢ [‬ ‫)‪ (٥‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن ق‪ ، ١‬ق‪ ٢‬ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ‪ ٧٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ‬ ‫‪ ٥٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﯾﺒﻌﺪ ﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ﻋﻦ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻋﯿﻦ ﻣﻘﺪار واﺗﺠﺎه‬ ‫ﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق‪ ٢‬ﻓﻰ اﻟﺤﺎﻟﺘﯿﻦ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ق‪ ، ١‬ح ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ق‪ ، ١‬ح ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ، ٢٠ :‬ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ ٧٥‬ﺳﻢ ﻣﻦ ح ‪ ١٢٠ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ ١٢.٥‬ﺳﻢ ﻣﻦ ح [‬ ‫)‪ (٦‬ﻣﺼﺮ ‪ : ١٩٩١ /‬ق‪ ، ١‬ق‪ ٢‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن وﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ‪ ،‬ب ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺣﯿﺚ ق‪ < ١‬ق‪ . ٢‬إذا ﻛﺎن ﻣﺤﺼﻠﺔ ق‪ ، ١‬ق‪ ٢‬ﻗﻮة‬ ‫ﻣﻌﯿﺎرھﺎ ‪ ٩٠‬ث‪ .‬ﻛﺠﻢ وﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ ج ت ب ا ﺣﯿﺚ اب = ‪ ٣٦‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫اج = ‪ ١٦‬ﺳﻢ ‪ .‬أوﺟﺪ ق‪ ، ١‬ق‪. ٢‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٠ ، ١٣٠ :‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ [‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫)‪ (٧‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن ﻣﻘﺪار ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ‪ ١٢‬ث ‪ .‬ﺟﻢ وﻣﻘﺪار إﺣﺪى اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ ١٥‬ث ‪ .‬ﺟﻢ‬ ‫وﺗﻌﻤﻞ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ واﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ‬ ‫ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ إذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮة اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ واﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺗﻌﻤﻼن ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ ‪.‬‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫ﺳﻢ [‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬أوﻻ ‪ ٣ :‬ث‪.‬ﺟﻢ ‪ ٤٠ ،‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ ٢٧ :‬ث‪.‬ﺟﻢ ‪،‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫)‪ (٨‬ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻣﺘﻮازﯾﺘﯿﻦ ﺗﺴﺎوى ‪ ٣٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬وإﺣﺪى اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ ٥٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﻌﻤﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ ١٢‬ﺳﻢ ﻣﻦ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ‪ .‬اوﺟﺪ ﻣﻘﺪار واﺗﺠﺎه اﻟﻘﻮة اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ واﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ‬ ‫إذا ﻛﺎﻧﺖ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه اﻟﻘﻮة اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺗﻀﺎد اﻟﻘﻮة اﻟﻤﻌﻠﻮﻣﺔ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ أوﻻ ‪ ٢٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ١٨ ،‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ ٨٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ٤.٥ ،‬ﺳﻢ [‬ ‫)‪ (٩‬ﻣ ﺼﺮ‪ : ١٩٩٠/‬ﻗﻮﺗ ﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘ ﺎن ﻣﻘ ﺪار ﻣﺤ ﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ‪ ٤٠‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ وﻣﻘ ﺪار إﺣ ﺪى‬ ‫اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ ٦٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ﯾﺒﻌﺪ ﻋﻦ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﺑﻤﻘ ﺪار ‪ ٢٤‬ﺳ ﻢ ‪ .‬أوﺟ ﺪ‬ ‫اﻟﻘ ﻮة اﻟﺜﺎﻧﯿ ﺔ واﻟﺒﻌ ﺪ ﺑ ﯿﻦ ﺧﻄ ﻰ ﻋﻤ ﻞ اﻟﻘ ﻮﺗﯿﻦ إذا ﻛﺎﻧ ﺖ اﻟﻤﺤ ﺼﻠﺔ واﻟﻘ ﻮة اﻟﻤﻌﻠﻮﻣ ﺔ‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٢٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ٤٨ ،‬ﺳﻢ [‬ ‫ﺗﻌﻤﻼن ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ ‪.‬‬ ‫)‪ (١٠‬ﻣﺼﺮ‪ : ١٩٩٥/‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ‪ ، ١٥‬ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺣﯿﺚ ق < ‪١٥‬‬ ‫وﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ‪ ،‬ب ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ،‬إذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪار اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﯾﺴﺎوى‬ ‫‪ ٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ج ت ا ب ﺣﯿﺚ بج = ‪ ٤٥‬ﺳﻢ ﻓﺄوﺟﺪ اب ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٢٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ١٥ ،‬ﺳﻢ [‬ ‫)‪ (١١‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن ﻣﻘﺪاراھﻤﺎ ‪ ٤ ، ٣‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ‪ ،‬ب ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ وﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﺗﺤﺮﻛﺖ اﻟﻘﻮة اﻷوﻟﻰ ﺑﺤﯿﺚ ﺗﻈﻞ ﻣﻮازﯾﺔ ﻟﻨﻔﺴﮭﺎ‬ ‫ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻗﺪرھﺎ ل ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻌﺎع ب ا ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﺗﺘﺤﺮك ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻗﺪرھﺎ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ل ﺳﻢ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎه ‪.‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫)‪ (١٢‬ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺘﺎن ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ق‪ ، ١‬ق‪ ٢‬ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ‪ ،‬ب‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻓﺈذا ﺗﺤﺮﻛﺖ ق‪ ٢‬ﺑﺤﯿﺚ ﺗﻈﻞ ﻣﻮازﯾﺔ ﻟﻨﻔﺴﮭﺎ ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻗﺪرھﺎ س ﻋﻠﻰ‬ ‫ق‬ ‫‪ ٢‬س ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺸﻌﺎع اب ﻓﺎﺛﺒﺖ أن ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ﺗﺘﺤﺮك ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻗﺪرھﺎ‬ ‫ق‬ ‫‪‬‬ ‫ق‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻧﻔﺲ اﻻﺗﺠﺎه ‪.‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٤١‬‬ ‫)‪ (١٣‬ا ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ‪ ،‬د ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ أﻓﻘﻰ ﺑﺤﯿﺚ اب = ‪ ٥‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫بج = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬جد = ‪ ١٥‬ﺳﻢ ‪ .‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ٨ ، ٢ ، ٦ ، ٤‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻂ ا ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ‪ ،‬د رأﺳﯿﺎ إﻟﻰ أﺳﻔﻞ ‪ .‬ﻋﯿﻦ ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ح = ‪ ، ٢٠‬وﺗﺒﻌﺪ ﻋﻦ ا ‪ ١٥‬ﺳﻢ [‬ ‫)‪ (١٤‬ا ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ‪ ،‬د ‪ ،‬ه ﺗﻘﻊ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ أﻓﻘﻰ ﺑﺤﯿﺚ اب = ‪٢‬بج =‬ ‫جد = ‪ ٢‬ده = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬أﺛﺮت اﻟﻘﻮى ‪ ٤ ، ٥ ، ٣‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ رأﺳﯿﺎ إﻟﻰ أﻋﻠﻰ ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻨﻘﻂ ا ‪ ،‬ج ‪ ،‬ه واﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ١٠ ، ٦‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ رأﺳﯿﺎ إﻟﻰ أﺳﻔﻞ ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ب ‪ ،‬د ‪.‬‬ ‫ﻋﯿﻦ ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ح = ‪ ، ٤‬وﺗﺒﻌﺪ ﻋﻦ ا ‪ ٢٨.٧٥‬ﺳﻢ [‬ ‫)‪ (١٥‬ا ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ‪ ،‬د أرﺑﻊ ﻧﻘﻂ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ واﺣﺪ ﺑﺤﯿﺚ اب = ‪ ٢‬بج = جد =‬ ‫‪ ٤٠‬ﺳﻢ ‪ .‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﺘﻮازﯾﺔ ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ، ٣٠ ، ٢٠‬ق‪ ، ١‬ق‪ ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ا ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ‪ ،‬د ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ، ٢٠‬ق‪ ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه‬ ‫واﺣﺪ ﻣﻀﺎد ﻻﺗﺠﺎه اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ ، ٣٠‬ق‪ ١‬وﻛﺎﻧﺖ ﻣﺤﺼﻠﺘﮭﻤﺎ ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻓﻰ اﺗﺠﺎه‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٢٠ ، ٣٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ق‪ ١‬وﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ﯾﻨﺼﻒ اد ﻓﺄوﺟﺪ ق‪ ، ١‬ق‪.٢‬‬ ‫[‬ ‫)‪ (١٦‬ﺛﻼث ﻗﻮى ﻣﺘﻮازﯾﺔ وﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ اﻟﺮؤوس ا ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ابج ‪.‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﺤﺼﻠﺔ ھﺬه اﻟﻘﻮى ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻟﺘﯿﻦ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼث ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻘﻮة ﻋﻨﺪ ا ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﻣﻀﺎد ﻟﻠﻘﻮﺗﯿﻦ ﻋﻨﺪ ب ‪ ،‬ج ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬أوﻻ ‪ :‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻰ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺎت ‪ ،‬ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ى ت اه ‪ ،‬ه ﻣﻨﺘﺼﻒ بج ﺣﯿﺚ ى‬ ‫ﺗﻘﺴﻢ اه‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺨﺎرج ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪ ١ : ٢‬أى ‪ :‬اه = هى [‬ ‫)‪ (١٧‬إذا أﺛﺮت ‪ ٤‬ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ وﻣﺘﻮازﯾﺔ ﻓﻰ رءوس اﻟﻤﺮﺑﻊ ابجد ﻓﻰ اﺗﺠﺎه واﺣﺪ ‪.‬‬ ‫أﺛﺒﺖ أن ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻤﺤﺼﻠﺔ ﯾﻤﺮ ﺑﻤﺮﻛﺰ اﻟﻤﺮﺑﻊ ‪ ،‬وإذا أزﯾﻠﺖ اﻟﻘﻮة اﻟﻤﺆﺛﺮة ﻓﻰ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ د ﻓﺄوﺟﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼث اﻟﺒﺎﻗﯿﺔ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼث ھﻰ ه ﺣﯿﺚ ه ت ب م‬ ‫) م ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻰ اﻟﻘﻄﺮﯾﻦ ( ‪ ،‬ه ﺗﻘﺴﻢ بم ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪[ ٢ : ١‬‬ ‫)‪ (١٨‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻦ اﻟﺤﺪﯾﺪ طﻮﻟﮫ ‪ ٦٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٩٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ﯾﺮﺗﻜﺰ‬ ‫ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ اﻟﺒﻌﺪ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ أﺣﺪ‬ ‫اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ ﺿﻌﻒ اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﻣﻞ اﻵﺧﺮ ﻓﺄوﺟﺪ ﺑﻌﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ ﻋﻦ طﺮف‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ اﻟﻘﺮﯾﺐ ﻣﻨﮫ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٦٠ ، ٢٠ :‬ﺳﻢ [‬ ‫‪٤٢‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫)‪ (١٩‬ﻣﺴﻄﺮة ﺧﻔﯿﻔﺔ ﻣﺪرﺟﺔ ﻣﻌﻠﻘﺔ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﺑﺨﯿﻄ ﯿﻦ رأﺳ ﯿﯿﻦ أﺣ ﺪھﻤﺎ ﻋﻨ ﺪ اﻟﺘ ﺪرﯾﺞ‬ ‫‪ ١٠‬واﻵﺧ ﺮ ﻋﻨ ﺪ اﻟﺘ ﺪرﯾﺞ ‪ ، ٧٠‬ﻋﻠ ﻖ ﺛﻘ ﻞ ﻗ ﺪره ‪ ١٢‬ث ‪ .‬ﻛﺠ ﻢ ﻋﻨ ﺪ اﻟﺘ ﺪرﯾﺞ ‪، ٢٥‬‬ ‫‪.‬‬ ‫أوﺟﺪ اﻟ ﺸﺪ ﻓ ﻰ ﻛ ﻞ ﻣ ﻦ اﻟﺨﯿﻄ ﯿﻦ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣ ، ٩ :‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (٢٠‬ﻗﻀﯿﺐ ﺧﻔﯿﻒ طﻮﻟﮫ ‪ ٦٠‬ﺳﻢ ﻣﻌﻠﻖ ﻣﻦ طﺮﻓﯿﮫ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻄﯿﻦ رأﺳﯿﯿﻦ ﻻ ﯾﺘﺤﻤﻞ أى‬ ‫ﻣﻨﮭﻤﺎ ﺷﺪا ﯾﺰﯾﺪ ﻋﻦ ‪ ١٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ‪ ،‬ﻋﻠﻖ ﻣﻦ أﺣﺪ ﻧﻘﻂ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺛﻘﻞ ﻗ ﺪره ‪١٦٠‬ث‪.‬ﺟ ﻢ‬ ‫‪.‬‬ ‫أوﺟﺪ اﻟﻤﻮاﺿﻊ اﻟﺘﻰ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﻠﯿﻖ اﻟﺜﻘﻞ ﻣﻨﮭ ﺎ دون أن ﯾﻨﻘﻄ ﻊ أى اﻟﺨﯿﻄ ﯿﻦ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻻ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﻠﯿﻖ اﻟﺜﻘﻞ ﻋﻠﻰ أﻗﻞ ﻣﻦ ‪ ٢٢.٥‬ﺳﻢ ﻣﻦ أﺣﺪ طﺮﻓﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ [‬ ‫)‪ (٢١‬ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ طﻮﻟ ﮫ ‪ ٦٠‬ﺳ ﻢ ووزﻧ ﮫ ‪ ١٢‬ث ‪ .‬ﻛﺠ ﻢ ﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﻓ ﻰ وﺿ ﻊ أﻓﻘ ﻰ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ج ‪ ،‬د ﯾﺒﻌﺪان ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ٦ ،‬ﺳﻢ ﻋﻦ طﺮﻓﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ‪ ،‬أوﺟﺪ أﻛﺒﺮ ﺛﻘﻞ ﯾﻤﻜ ﻦ‬ ‫ﺗﻌﻠﯿﻘ ﮫ ﻣ ﻦ طﺮﻓ ﻰ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻛ ﻞ ﻣ ﺮة ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺪه دون أن ﯾﺨﺘ ﻞ ﺗ ﻮازن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ‪،‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺛﻢ أوﺟﺪ رد اﻟﻔﻌﻞ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣ ﺮة ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬أﻛﺒﺮ ﺛﻘﻞ ھﻮ ‪ ٤٨ ، ١٨ :‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ‪ ،‬رد اﻟﻔﻌﻞ ﯾﺴﺎوى ‪ ٣٠ ، ٦٠‬ث ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (٢٢‬ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ٦٤‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٧٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ وﺿ ﻊ أﻓﻘ ﻰ ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﻣﻠﯿﻦ‬ ‫أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺒﻌ ﺪ ‪ ٨‬ﺳ ﻢ ﻋ ﻦ أﺣ ﺪ اﻟﻄ ﺮﻓﯿﻦ واﻵﺧ ﺮ ﯾﺒﻌ ﺪ ‪ ١٤‬ﺳ ﻢ ﻋ ﻦ اﻟﻄ ﺮف اﻵﺧ ﺮ ‪.‬‬ ‫أوﺟﺪ اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﺣﺎﻣﻞ ‪ .‬ﺛﻢ أوﺟﺪ اﻟﺜﻘﻞ اﻟﺬى ﯾﻌﻠﻖ ﻣ ﻦ اﻟﻄ ﺮف اﻵﺧ ﺮ ﺣﺘ ﻰ‬ ‫‪.‬‬ ‫ﯾﻜ ﻮن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻻﻧﻘ ﻼب‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٠ ، ٣٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ٩٠ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪ (٢٣‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ٥٠‬ﺳﻢ ‪ .‬ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ج ‪ ،‬د‬ ‫ﺣﯿﺚ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪى ‪ ٤٠ ، ١٠‬ﺳﻢ ﻣﻦ اﻟﻄﺮف ا ‪ .‬إذا ﻋﻠﻖ ﻣﻦ اﻟﻄﺮف ا ﺛﻘﻞ ﻗﺪره‬ ‫‪ ٦٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺼﺒﺢ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل ج ‪ .‬أوﺟﺪ وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ ورد‬ ‫ﻓﻌﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ ﻋﻨﺪﺋﺬ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ١٠٠ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬ﺻﻔﺮ [‬ ‫)‪ (٢٤‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ٢٤‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ١٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ﻋﻨﺪ ج ‪ ،‬د ﺣﯿﺚ اج = بد = ‪ ٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻋﻠﻖ ﻣﻦ ا ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪٢٠‬‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺄﺻﺒﺢ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل ج أوﺟﺪ ﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ وزن‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻦ ا ‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟﺪ أﻛﺒﺮ ﺛﻘﻞ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﻠﯿﻘﮫ ﻣﻦ ب دون أن ﯾﺨﺘﻞ اﻟﺘﻮازن‬ ‫ﻣﻊ رﻓﻊ اﻟﺜﻘﻞ اﻟﻤﻌﻠﻖ ﻋﻨﺪ ا ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٥ :‬ﺳﻢ ‪ ٨ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٤٣‬‬ ‫‪‬م‪ : ‬ا‪‬ان ‪     ‬ا‪‬ى ا‪‬از‪ ‬ا‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪‬ة‬ ‫إذا اﺗﺰن ﺟﺴﻢ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺘﻮازﯾﺔ اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﮭﺬه اﻟﻘﻮى ﯾﺴﺎوى ﺻﻔﺮاً‬ ‫‪ ‬ﻣﺠﻤ ﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳ ﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾ ﺔ ﻟﻌ ﺰوم ھ ﺬه اﻟﻘ ﻮى ﺣ ﻮل أى ﻧﻘﻄ ﺔ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮﯾﮭﺎ‬ ‫ﯾﺴﺎوى ﺻﻔﺮاً ‪.‬‬ ‫أﻣﺛﻠﺔ ﻣﺣﻠوﻟﺔ‬ ‫‪‬ل )‪ : (١‬ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻗﻀﯿﺐ ﻣﮭﻤﻞ اﻟﻮزن طﻮﻟﮫ ‪ ٩٠‬ﺳﻢ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ﻋﻨﺪ‬ ‫ﻧﻘﻄﺘﻰ ﺗﺜﻠﯿﺜﮫ وﻋﻠﻖ ﻣﻦ طﺮﻓﯿﮫ ﺛﻘﻼن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ‪ ٣٠ ، ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﻋﯿﻦ اﻟﻀﻐﻂ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ‬ ‫‪ ٣٠ ، ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﻌﻤﻼن رأﺳﯿﺎ‬ ‫ا‬ ‫ﻷﺳﻔﻞ ‪ ،‬وردى اﻟﻔﻌﻞ ر‪ ، ١‬ر‪٢‬‬ ‫وﯾﻌﻤﻼن رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ى ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮى = ﺻﻔﺮا‬ ‫ر‪١‬‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫ى ر‪ + ١‬ر‪٠ = ٣٠ - ٢٠ - ٢‬‬ ‫ى‬ ‫‪،‬‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ب‬ ‫‪...............................‬‬ ‫ر‪ + ١‬ر‪٥٠ = ٢‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻌﺰوم اﻟﻘﻮى ﺣﻮل ا = ﺻﻔﺮاً‬ ‫‪ – ٩٠ × ٣٠‬ر‪ – ٦٠ × ١‬ر‪٠ = ٣٠ × ٢‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫‪................................‬‬ ‫‪ ٢‬ر‪ + ١‬ر‪٩٠ = ٢‬‬ ‫ى ‪ ٢‬ر‪ – ٥٠ ) + ١‬ر‪٩٠ = ( ١‬‬ ‫وﺑﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ )‪(٢) ، (١‬‬ ‫ر‪ ٤٠ = ٥٠ – ٩٠ = ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ )‪ (١‬ى ر‪ ١٠ = ٤٠ – ٥٠ = ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪٤٤‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٢‬اب ﻗﻀﯿﺐ طﻮﻟﮫ ‪ ٩٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٦‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ‪ ،‬ﻋﻠﻖ ﻓﻰ‬ ‫وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻄﯿﻦ رأﺳﯿﯿﻦ ﻋﻨﺪ طﺮﻓﯿﮫ ‪ .‬أﯾﻦ ﯾﻌﻠﻖ ﺛﻘﻞ ﻣﻘﺪاره‬ ‫‪ ١٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن اﻟﺸﺪ ﻓﻰ أﺣﺪ اﻟﺨﯿﻄﯿﻦ ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﺿﻌﻒ ﻗﯿﻤﺘﮫ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ اﻵﺧﺮ‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ش‬ ‫‪٢‬ش‬ ‫ﻧﻔﺮض أن اﻟﺜﻘﻞ ‪ ١٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺒﻌﺪ‬ ‫ﻋﻦ اﻟﻄﺮف ا ﺑﻤﺴﺎﻓﺔ ﻗﺪرھﺎ س‬ ‫ا‬ ‫ب‬ ‫س‬ ‫‪ ٤٥‬ﺳﻢ‬ ‫ي اﻟﺴﺎق ﻣﺘﺰﻧﺔ‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ى ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮى = ﺻﻔﺮا‬ ‫ى ‪٢‬ش ‪ +‬ش ‪٠ = ٦ – ١٥ -‬‬ ‫ى ش = ‪ ٧‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ى ‪ ٣‬ش = ‪٢١‬‬ ‫‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻌﺰوم اﻟﻘﻮى ﺣﻮل ا = ﺻﻔﺮاً‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻋﻦ ﻗﯿﻤﺔ ش‬ ‫ى ‪ × ١٥‬س ‪ – ٤٥ × ٦ +‬ش × ‪٠ = ٩٠‬‬ ‫ى ‪ ١٥‬س ‪٠ = ٧ × ٩٠ - ٢٧٠ +‬‬ ‫ى س = ‪ ٢٤‬ﺳﻢ‬ ‫ى ‪ ١٥‬س = ‪٣٦٠ = ٢٧٠ – ٦٣٠‬‬ ‫ى ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﻠﯿﻖ اﻟﺜﻘﻞ ‪ ١٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ ١٥‬ﺳﻢ ﻣﻦ أﺣﺪ طﺮﻓﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ‪.‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٣‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ٨٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ١٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﯾﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ‬ ‫ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ﻋﻨﺪ ج ‪ ،‬د ﺣﯿﺚ اج = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫بد = ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻋﻠﻖ ﻓﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺛﻘﻼن ﻣﻘﺪارھﻤﺎ ‪ ٦ ، ٤‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ‪ ،‬اﻷول‬ ‫ﯾﺒﻌﺪ ‪ ٢‬ﺳﻢ ﻋﻦ ا واﻟﺜﺎﻧﻰ ﯾﺒﻌﺪ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ﻋﻦ ب ‪ .‬أوﺟﺪ اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ي‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ر‪١‬‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ وزﻧﮫ‬ ‫ﻋﻨﺪ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ واﻟﺜﻘﻠﯿﻦ اﻟﻤﻌﻠﻘﯿﻦ‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ورد اﻟﻔﻌﻞ ﻋﻨﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ‬ ‫‪٦‬‬ ‫ر‪ + ١‬ر‪٠ = ( ٦ + ١٠ + ٤ ) – ٢‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪......................................‬‬ ‫ر‪ + ١‬ر‪٢٠ = ٢‬‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ ج ) ﺣﺘﻰ ﯾﻨﻌﺪم ﻋﺰم ر‪( ١‬‬ ‫‪ – ٤٠ × ٦ + ٣٠ × ١٠ + ١٠ × ٤‬ر‪٠ = ٥٠ × ٢‬‬ ‫‪ ٥٠‬ر‪ ١١.٦ = ٢‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ‪ ،‬وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ )‪ (١‬ر‪ ٨.٤ = ١‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ ج ‪ ،‬د ھﻤﺎ ‪ ١١.٦ ، ٨.٤‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ ‪.‬‬ ‫ا ‪ ١٠‬ج‪١٠‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪ ١٠ ١٠‬د‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ب‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٤٥‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٤‬ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ اب طﻮﻟﮫ ‪ ٦٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ١٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ وﯾﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ‬ ‫ﻣﻌﻠﻖ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻄﯿﻦ رأﺳﯿﯿﻦ أﺣﺪھﻤﺎ ﻣﺮﺑﻮط ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ا‬ ‫واﻵﺧﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ج ﺣﯿﺚ اج = س ﺳﻢ ‪ ،‬ﻋﻠﻖ ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪ ١٢‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﻓﻰ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ د ﺣﯿﺚ اد = ‪ ٢٥‬ﺳﻢ ‪ .‬ﻓﺈذا ﻛﺎن أﻗﺼﻰ ﺷﺪ ﯾﺘﺤﻤﻠﮫ ﻛﻞ ﺧﯿﻂ ھﻮ‬ ‫‪ ١٥‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ‪ ،‬ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﻘﯿﻢ اﻟﺘﻰ ﺗﻘﻊ ﺑﯿﻨﮭﺎ س ‪ ،‬وأوﺟﺪ أﯾﻀﺎ أﻛﺒﺮ وأﻗﻞ ﻗﯿﻤﺔ‬ ‫ﻟﻠﺸﺪ ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺨﯿﻄﯿﻦ ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ش‪١‬‬ ‫ا‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻧﻔﺮض أن ش‪ ١‬وﺻﻠﺖ ﻗﯿﻤﺘﮭﺎ‬ ‫إﻟﻰ اﻟﺤﺪ اﻷﻗﺼﻰ ‪ ١٥‬ث ‪ .‬ﺟﻢ‬ ‫ى ش‪ + ١‬ش‪٢٢ = ٢‬‬ ‫ى ش‪ ٧ = ٢‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ) ﻓﻰ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ (‬ ‫وﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل ا‬ ‫ى ‪ × ٧ – ٣٠ × ١٠ + ٢٥ × ١٢‬س = ‪٠‬‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ش‪٢‬‬ ‫س‬ ‫‪ ٢٥‬ﺳﻢ د ‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫ج‬ ‫ب‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪١٠ ١٢‬‬ ‫‪٦٠٠‬‬ ‫ى س=‬ ‫‪ ٧‬س = ‪٦٠٠ = ٣٠٠ + ٣٠٠‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫ﻻ ﯾﻤﻜﻦ أن ﯾﺼﻞ ش‪ ١‬إﻟﻰ اﻟﻘﯿﻤﺔ ‪ ١٥‬ث ‪ .‬ﺟﻢ‬ ‫ﻧﺒﺪأ ﻓﻰ اﻟﺒﺤﺚ ﻋﻦ أﻗﺼﻰ ﻗﯿﻤﺔ ﺗﺄﺧﺬھﺎ ش‪ ١‬وذﻟﻚ ﺑﺠﻌﻞ س = ‪ ٦٠‬ﺳﻢ وھﻰ أﻗﺼﻰ‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ ﺗﺄﺧﺬھﺎ س ‪.‬‬ ‫وﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل ا ‪.‬‬ ‫‪ – ٣٠ × ١٠ + ١٥ × ١٢‬ش‪٠ = ٦٠ × ٢‬‬ ‫‪ × ٦٠ = ٦٠٠‬ش‪ ٢‬ى ش‪ ١٠ = ٢‬ث ‪ .‬ﺟﻢ وﺗﻜﻮن ش‪ ١٢ = ١‬ث ‪ .‬ﺟﻢ‬ ‫< طﻮل اﻟﻘﻀﯿﺐ‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻧﻔﺮض أن ش‪ ٢‬وﺻﻠﺖ ﻗﯿﻤﺘﮭﺎ إﻟﻰ اﻟﺤﺪ اﻷﻗﺼﻰ ‪ ١٥‬ث ‪ .‬ﺟﻢ‬ ‫وﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل ا‬ ‫ى س = ‪ ٤٠‬ﺳﻢ‬ ‫ى ‪ × ١٥ = ٦٠٠‬س‬ ‫ﺗﻜﻮن ش‪ ٧ = ١‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﻓﻰ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ‬ ‫‪ ،‬وأﻗﻞ ﻗﯿﻤﺔ ‪ ٧‬ث ‪ .‬ﺟﻢ‬ ‫ى أﻛﺒﺮ ﻗﯿﻤﺔ ﻟﻠﺸﺪ ﻋﻨﺪ ا ھﻰ ‪ ١٢‬ث ‪ .‬ﺟﻢ‬ ‫وأﻛﺒﺮ ﻗﯿﻤﺔ ﻟﻠﺸﺪ ﻋﻨﺪ ب ھﻰ ‪ ١٥‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ‪ ،‬وأﻗﻞ ﻗﯿﻤﺔ ‪ ١٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ‬ ‫‪ ،‬س ﺗﻘﻊ ﺑﯿﻦ ‪ ٤٠‬ﺳﻢ ‪ ٦٠ ،‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫‪٤٦‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٥‬اب ﻗﻀﯿﺐ طﻮﻟﮫ ‪ ١٢٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٦٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ‪،‬‬ ‫ﯾﺮﺗﻜﺰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ طﺮﻓﮫ ب وﯾﺤﻔﻆ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ‬ ‫ﺗﻮازن ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻂ رأﺳﻰ ﻣﺜﺒﺖ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﯿﮫ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ٤٠‬ﺳﻢ ﻋﻦ اﻟﻄﺮف ا‬ ‫وﯾﺤﻤﻞ ﺛﻘﻼ ﻣﻘﺪاره ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ﻣﻦ ا ‪ .‬ﻋﯿﻦ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﻞ‬ ‫ﻣﻦ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ واﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﻣﻞ ‪ ،‬وﻣﺎ ھﻮ ﻣﻘﺪار اﻟﺜﻘﻞ اﻟﺬى ﯾﺠﺐ‬ ‫ﺗﻌﻠﯿﻘﮫ ﻓﻰ اﻟﻄﺮف ا ﺣﺘﻰ ﯾﺼﺒﺢ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﻔﺼﺎل ﻋﻦ اﻟﺤﺎﻣﻞ ‪،‬‬ ‫وﻣﺎ ھﻰ ﻗﯿﻤﺔ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻨﺪﺋﺬ ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ر‬ ‫ش‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ وزﻧﮫ‬ ‫‪ ٦٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬واﻟﺜﻘﻞ ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ ‪ ،‬واﻟﺸﺪ ﻓﻰ‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻨﺪ ج ‪ ،‬رد اﻟﻔﻌﻞ ﻋﻨﺪ ب رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ا‬ ‫‪ ٢٠‬ج ‪٢٠‬‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫ب‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫ى ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮى = ﺻﻔﺮا‬ ‫ى ش ‪ +‬ر = ‪ ٨٠ = ٦٠ + ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪ ،‬ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ ج ) ﺣﺘﻰ ﯾﻨﻌﺪم ﻋﺰم ش (‬ ‫ى ‪ – ٢٠ × ٦٠‬ر × ‪٠ = ٢٠ × ٢٠ – ٨٠‬‬ ‫ى ش = ‪ ٧٠ = ١٠ – ٨٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ى ر = ‪ ١٠ = ٨٠ ÷ ٨٠٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻧﻔﺮض أن اﻟﺜﻘﻞ اﻟﻤﻌﻠﻖ ﻋﻨﺪ ا‬ ‫ھﻮ )و( ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬ﺣﺘﻰ ﯾﺼﺒﺢ‬ ‫ا‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﻔﺼﺎل‬ ‫‪٢٠ ٢٠‬ج ‪٢٠‬‬ ‫ﻋﻦ اﻟﺤﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ ج ‪ ،‬وﺗﻜﻮن‬ ‫و ‪٢٠‬‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫ﻗﯿﻤﺔ ر ﻓﻰ ھﺬه اﻟﺤﺎﻟﺔ = ﺻﻔﺮ‬ ‫‪ ،‬ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ ج ) ﺣﺘﻰ ﯾﻨﻌﺪم ﻋﺰم ش (‬ ‫ر‬ ‫ش‬ ‫ى ‪ – ٢٠ × ٢٠ – ٢٠ × ٦٠‬و × ‪٠ = ٤٠‬‬ ‫ى و = ‪ ٢٠ = ٤٠ ÷ ٨٠٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ى ش = ‪ ١٠٠ = ٦٠ + ٢٠ + ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫ب‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٤٧‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٦‬ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ١٢٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٦٠٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ج ‪ ،‬د‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻨﮭﻤﺎ ‪ ٦٠‬ﺳﻢ ﺣﯿﺚ اج = ‪ ٢٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻋﻠﻖ ﻓﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺛﻘﻞ ﻋﻨﺪ ه‬ ‫ﺣﯿﺚ اه = ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ‪ .‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬رد اﻟﻔﻌﻞ ﻋﻨﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ ج ‪ ،‬د ‪ ،‬إذا ﻛﺎن اﻟﺜﻘﻞ اﻟﻤﻌﻠﻖ ﻋﻨﺪ ه = ‪ ٢٠٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻣﻘﺪار اﻟﺜﻘﻞ اﻟﻤﻌﻠﻖ ﻋﻨﺪ ه إذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪار رد اﻟﻔﻌﻞ ﻋﻨﺪ ج ﺿﻌﻒ‬ ‫ﻣﻘﺪار رد اﻟﻔﻌﻞ ﻋﻨﺪ د ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ وزﻧﮫ‬ ‫‪ ٦٠٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬واﻟﺜﻘﻞ ‪ ٢٠٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ ‪ ،‬وردى اﻟﻔﻌﻞ‬ ‫ر‪ ، ١‬ر‪ ٢‬رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫ر‪١‬‬ ‫ا‬ ‫‪ ٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫ه‬ ‫ج‬ ‫‪٢٠٠‬‬ ‫‪ ٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫د‬ ‫‪ ٣٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ب‬ ‫‪٦٠٠‬‬ ‫ى ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮى = ﺻﻔﺮا‬ ‫ى ر‪ + ١‬ر‪ ٨٠٠ = ٦٠٠ + ٢٠٠ = ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪ ،‬ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ ج ) ﺣﺘﻰ ﯾﻨﻌﺪم ﻋﺰم ر‪( ١‬‬ ‫ى ‪ – ٣٥ × ٦٠٠ + ٥ × ٢٠٠‬ر‪٠ = ٦٠ × ٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى ر‪ ٣٦٦ = ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬ر‪ ٤٣٣ = ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻧﻔﺮض أن اﻟﺜﻘﻞ اﻟﻤﻌﻠﻖ ﻋﻨﺪ‬ ‫ﻋﻨﺪ ه ھﻮ و ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪.‬‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ ه‬ ‫) ﺣﺘﻰ ﯾﻨﻌﺪم ﻋﺰم و (‬ ‫ر‬ ‫‪٢‬ر‬ ‫ا‬ ‫‪ ٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٥‬ﺳﻢ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫ج ه‬ ‫و‬ ‫‪ ٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫‪٦٠٠‬‬ ‫ى ‪ – ٣٠ × ٦٠٠‬ر × ‪ ٢ + ٥٥‬ر × ‪٠ = ٥‬‬ ‫وﻣﻨﮭﺎ ‪ :‬ر = ‪ ٤٠٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪،‬‬ ‫ي ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮى = ﺻﻔﺮا‬ ‫ى ‪ ٢‬ر ‪ +‬ر = و ‪٦٠٠ +‬‬ ‫ى و = ‪ ٣‬ر – ‪٦٠٠‬‬ ‫ى ‪ ٣‬ر = و ‪٦٠٠ +‬‬ ‫ى و = ‪ ٦٠٠ = ٦٠٠ – ١٢٠٠ = ٦٠٠ – ٤٠٠ × ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫د‬ ‫‪ ٣٥‬ﺳﻢ‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ب‬ ‫‪٤٨‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٧‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ ﻏﯿ ﺮ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ طﻮﻟ ﮫ ‪ ١٢٠‬ﺳ ﻢ ‪ ،‬إذا ﺛﺒ ﺖ ﻋﻨ ﺪ طﺮﻓ ﮫ ب ﺛﻘ ﻞ ﻗ ﺪره‬ ‫‪ ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﻋﻠﻖ ﻣﻦ ا ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪ ١٦‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺈن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﯾﺘ ﺰن ﻓ ﻰ ھ ﺬه اﻟﺤﺎﻟ ﺔ‬ ‫ﻋﻨ ﺪ ﻧﻘﻄ ﺔ ﺗﺒﻌ ﺪ ‪ ٣٠‬ﺳ ﻢ ﻣ ﻦ ا ‪ ،‬وإذا أُﻧﻘ ﺺ اﻟﺜﻘ ﻞ اﻟﻤﻮﺟ ﻮد ﻋﻨ ﺪ ا وﺻ ﺎر‬ ‫‪ ٨‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﻓ ﺈن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾﺘ ﺰن ﻋﻨ ﺪ ﻧﻘﻄ ﺔ ﺗﺒﻌ ﺪ ‪ ٤٠‬ﺳ ﻢ ﻣ ﻦ ا ‪ .‬أوﺟ ﺪ وزن‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ وﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ وزﻧﮫ ﻋﻦ ا ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ر‬ ‫ا‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ وزﻧﮫ )و(‬ ‫‪ ،‬اﻟﺜﻘﻠﯿﻦ اﻟﻤﻌﻠﻘﯿﻦ ﻋﻨﺪ ا ‪ ،‬د‬ ‫‪١٦‬‬ ‫ورد اﻟﻔﻌﻞ ﻋﻨﺪ ج ‪.‬‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ ج ) ﺣﺘﻰ ﯾﻨﻌﺪم ﻋﺰم ر (‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫س‬ ‫و‬ ‫ى ‪ + ٩٠ × ١‬و ) س – ‪٠ = ٣٠ × ١٦ – ( ٣٠‬‬ ‫‪....................................‬‬ ‫ى و ) س – ‪٣٩٠ = ( ٣٠‬‬ ‫ر‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ ٤٠‬ﺳﻢ‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ وزﻧﮫ‬ ‫س‬ ‫‪ ،‬اﻟﺜﻘﻠﯿﻦ اﻟﻤﻌﻠﻘﯿﻦ ﻋﻨﺪ ا ‪ ،‬د‬ ‫ورد اﻟﻔﻌﻞ ﻋﻨﺪ د ‪.‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﺑﺄﺧﺬ اﻟﻌﺰوم ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ د ) ﺣﺘﻰ ﯾﻨﻌﺪم ﻋﺰم ر (‬ ‫ا‬ ‫‪١‬‬ ‫ب‬ ‫د‬ ‫و‬ ‫‪ + ٨٠ × ١‬و ) س – ‪٠ = ٤٠ × ٨ – ( ٤٠‬‬ ‫‪......................................‬‬ ‫و ) س – ‪٢٤٠ = ( ٤٠‬‬ ‫ﺑﻘﺴﻤﺔ )‪ (١‬ﻋﻠﻰ )‪(٢‬‬ ‫و ) س ‪٣٩٠ ( ٣٠ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫و ) س ‪٢٤٠ (٤٠ ‬‬ ‫‪ ١٣‬س – ‪ ٨ = ٥٢٠‬س – ‪٢٤٠‬‬ ‫‪ ١٣‬س – ‪ ٨‬س = ‪٢٤٠ – ٥٢٠‬‬ ‫ى س = ‪ ٥٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٥‬س = ‪٢٨٠‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ رﻗﻢ )‪(١‬‬ ‫و ) ‪٣٩٠ = ( ٣٠ – ٥٦‬‬ ‫ى و = ‪ ١٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪ ٢٦‬و = ‪٣٩٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٤٩‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٨‬ﺗﺆﺛﺮ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ اﻟﻤﺘﺰﻧﺔ واﻟﻤﺘﻮازﯾﺔ ق‪ ، ١‬ق‪ ، ٢‬ق‪ ، ٣‬ق‪ ٤‬ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫ا = ) ‪ ، (١ - ، ٢‬ب = )‪ ، (٣ - ، ٤ -‬ج = )‪ ، (٥ ، ٣‬د = )‪ (٠ ، ١-‬ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ق‪ ٣ = ١‬ز ‪ ٤ +‬ض ‪ || ،‬ق‪ ٢٠ = || ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ‬ ‫اﺗﺠﺎه ق‪ . ١‬أوﺟﺪ ﻛﻼ ﻣﻦ ق‪ ، ٣‬ق‪ ٤‬إذا ﻛﺎﻧﺘﺎ ﺗﻌﻤﻼن ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﻣﻀﺎد ﻻﺗﺠﺎه‬ ‫ق‪. ١‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ﻧﻔﺮض أن ق‪ = ٢‬ك ق‪ = ١‬ك ) ‪ ٣‬ز ‪ ٤ +‬ض(‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى ‪ ٥ c = ٢٠‬ك‬ ‫ى || ق‪ ٩ = || ٢‬ك ‪ ١٦ +‬ك‬ ‫ي ق‪ ٢‬ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﺗﺠﺎه ق‪ ١‬ى ك = ‪٤‬‬ ‫ج‬ ‫ى ق‪ ٣ ) ٤ = ٢‬ز ‪ ٤ +‬ض (‬ ‫ع‬ ‫= ‪ ١٢‬ز ‪ ١٦ +‬ض‬ ‫‪ ،‬ﻧﻔﺮض أن ‪:‬‬ ‫ق‪٣‬‬ ‫ق‬ ‫‪١‬‬ ‫ق‪ - = ٣‬ل )‪ ٣‬ز ‪ ٤ +‬ض( ‪،‬‬ ‫‪٢ ٣ ٤‬‬ ‫ق‪ - = ٤‬م )‪ ٣‬ز ‪ ٤ +‬ض (‬ ‫ا‬ ‫ﺣﯿﺚ ل < ‪ ، ٠‬م < ‪٠‬‬ ‫ي اﻟﻘﻮى ﻣﺘﺰﻧﺔ ‪ :‬ى ح = ‪٠‬‬ ‫ى ق‪ + ١‬ق‪ + ٢‬ق‪ + ٣‬ق‪٠ = ٤‬‬ ‫ى ك=‪٤c‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣- ٢- ١‬‬‫‪١‬‬‫‪٢‬‬‫‪٣-‬‬ ‫‪٤-‬‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫ق‪٤‬‬ ‫ب‬ ‫ى ) ‪ ٣‬ز ‪ ٤ +‬ض ( ‪ ١٢ ) +‬ز ‪ ١٦ +‬ض ( ‪+‬‬ ‫)‪ ٣ -‬ل ز ‪ ٤ - +‬ل ض ( ‪ ٣ - ) +‬م ز ‪ ٤ - +‬م ض ( = ‪٠‬‬ ‫ى ) ‪٣ – ١٥‬ل – ‪٣‬م ( ز ‪٤ – ٢٠ ) +‬ل – ‪ ٤‬م ( ض = ‪٠‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪.................................‬‬ ‫ى ل‪+‬م=‪٥‬‬ ‫ي اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ ى جو = ‪٠‬‬ ‫ى )‪+ (١٦ ، ١٢) × (٣ - ، ٤ -) + (٤ ، ٣ ) × (١ - ، ٢‬‬ ‫)‪٣ -) × (٥ ، ٣‬ل ‪٤ - ،‬ل( ‪٣ -) × (٠ ، ١ -) +‬م ‪ ٤ - ،‬م ( = ‪٠‬‬ ‫ى ‪ ١١‬ع ‪ (٢٨ -) +‬ع ‪ ٣ +‬ل ع ‪ ٤ +‬م ع = ‪٠‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫‪...............................‬‬ ‫ى ‪ ٣‬ل ‪ ٤ +‬م = ‪١٧‬‬ ‫وﺑﺤﻞ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﯿﻦ )‪ (٢) ، (١‬ى م = ‪ ، ٢‬ل = ‪٣‬‬ ‫ى ق‪ ٣ ) ٣ - = ٣‬ز ‪ ٤ +‬ض ( = ‪ ٩ -‬ز ‪ ١٢ -‬ض‬ ‫‪ ،‬ق‪ ٣ ) ٢ - = ٤‬ز ‪ ٤ +‬ض ( = ‪ ٦ -‬ز ‪ ٨ -‬ض‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪  ‬ر‪‬‬ ‫)‪(٤‬‬ ‫)‪/١٩٩٩ (١‬دور ﺛــﺎن ‪ :‬اب ﻣــﺴﻄﺮة طﻮﻟﮭــﺎ ‪ ٥٠‬ﺳــﻢ ووزﻧﮭــﺎ ‪ ٥٠٠‬ث ‪ .‬ﺟــﻢ ﯾــﺆﺛﺮ ﻓــﻰ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﮭﺎ ‪ ،‬ﻋﻠﻘﺖ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻄﯿﻦ رأﺳﯿﯿﻦ ﻋﻨﺪ طﺮﻓﯿﮭـﺎ وﻋﻠﻘـﺖ ﻓـﻰ‬ ‫اﻟﻤﺴﻄﺮة ﺛﻼﺛﺔ أﺛﻘﺎل ﻣﻘﺪار ﻛـﻞ ﻣﻨـﮫ ‪ ١٠٠‬ث ‪ .‬ﺟـﻢ ﻋﻠـﻰ أﺑﻌـﺎد ‪ ١٠‬ﺳـﻢ ‪ ٢٠ ،‬ﺳـﻢ ‪،‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳــﻢ ﻣــﻦ ﻧﻘﻄــﺔ ا ‪ .‬أوﺟــﺪ ﻣﻘــﺪار اﻟــﺸﺪ ﻓــﻰ ﻛــﻞ ﻣــﻦ اﻟﺨﯿﻄــﯿﻦ‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣٧٠ ، ٤٣٠ :‬ث ‪ .‬ﺟﻢ [‬ ‫)‪/٢٠٠١ (٢‬دور أول ‪ :‬اب ﻗﻀﯿﺐ طﻮﻟﮫ ‪ ١٤٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ١٦‬ﻧﯿﻮﺗﻦ )ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ(‬ ‫ﻖ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻄﯿﻦ رﻓﯿﻌﯿﻦ رأﺳﯿﯿﻦ ﻣﻦ طﺮﻓﯿﮫ ‪ ،‬ﻋﻠﻰ أى ﺑﻌﺪ ﻣﻦ‬ ‫ﻋُﻠ َ‬ ‫طﺮﻓﮫ ا ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﻠﯿﻖ ﺛﻘﻞ ﻣﻘﺪاره ‪ ١٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﻦ إﺣﺪى ﻧﻘﻂ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻟﻜﻰ ﯾﻜﻮن اﻟﺸﺪ‬ ‫ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻨﺪ ا ﺿﻌﻒ ﻣﻘﺪاره ﻋﻨﺪ ب ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٢٠ :‬ﺳﻢ ﻣﻦ ا [‬ ‫)‪/٢٠٠٠ (٣‬دور ﺛﺎن ‪ :‬اب ﻗﻀﯿﺐ طﻮﻟﮫ ‪ ١٨٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٧٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ) ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ(‬ ‫ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿ ﻊ أﻓﻘ ﻰ ﻋﻠ ﻰ ﺣﺎﻣ ﻞ ﻋﻨ ﺪ طﺮﻓ ﮫ ب وﯾﺤﻔ ﻆ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ ﺗ ﻮازن‬ ‫ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ رأﺳ ﻰ ﻣﺜﺒ ﺖ ﻣ ﻦ ﻧﻘﻄ ﺔ ﻓﯿ ﮫ ﺗﺒﻌ ﺪ ‪ ٦٠‬ﺳ ﻢ ﻋ ﻦ طﺮﻓ ﮫ ا وﯾﺤﻤ ﻞ‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺛﻘﻼ ﻣﻘﺪاره ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋ ﻦ ﻧﻘﻄ ﺔ ﺗﺒﻌ ﺪ ‪ ١٥‬ﺳ ﻢ ﻣ ﻦ ا ‪ .‬ﻋ ﯿﻦ ﻣﻘ ﺪار ﻛ ﻞ ﻣ ﻦ‬ ‫‪.‬‬ ‫اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ واﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﻣ ﻞ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٠ ، ٨٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪/٢٠٠١ (٤‬دور أول ‪ :‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ طﻮﻟ ﮫ ‪ ١٠٥‬ﺳ ﻢ ووزﻧ ﮫ ‪ ١٢‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﯾ ﺆﺛﺮ ﻋﻨ ﺪ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ‪ ،‬ﻓﺈذا ارﺗﻜﺰ اﻟﻘﻀﯿﺐ أﻓﻘﯿﺎ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ﻋﻨﺪ ج ‪ ،‬د ﺑﺤﯿﺚ اج = ‪ ٢٥‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫وﻋﻠ ﻖ ﻣ ﻦ طﺮﻓﯿ ﮫ ا ‪ ،‬ب ﺛﻘ ﻼن ﻣﻘ ﺪارھﻤﺎ ‪ ٢٤ ، ٤٨‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﻋﻠ ﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿ ﺐ ‪ .‬ﻋ ﯿﻦ‬ ‫ﻣﻮاﺿ ﻊ اﻟﻨﻘﻄ ﺔ د ﻟﯿﻜ ﻮن ﻣﻘ ﺪار اﻟ ﻀﻐﻂ ﻋﻨ ﺪ ج ﺿ ﻌﻒ ﻣﻘ ﺪار اﻟ ﻀﻐﻂ ﻋﻨ ﺪ د ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬د ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ ٦٢.٥‬ﺳﻢ ﻣﻦ ا [‬ ‫)‪/٢٠٠٠ (٥‬دور ﺛ ﺎن ‪ :‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ طﻮﻟ ﮫ ‪ ٦٠‬ﺳ ﻢ ووزﻧ ﮫ ‪ ٣٠‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ) ﯾ ﺆﺛﺮ ﻓ ﻰ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ( ﻣﻌﻠﻖ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻄﯿﻦ راﺳﯿﯿﻦ ﻣﻦ طﺮﻓﯿﮫ وﯾﺤﻤﻞ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫ﺛﻘﻠ ﯿﻦ ﻣﻘ ﺪارھﻤﺎ ‪ ١٠‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﻋﻠ ﻰ ﺑﻌ ﺪ ‪ ١٠‬ﺳ ﻢ ﻣ ﻦ اﻟﻄ ﺮف ا ‪ ٢٠ ،‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﻋﻠ ﻰ ﺑﻌ ﺪ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ٢٠‬ﺳﻢ ﻣﻦ اﻟﻄ ﺮف ب ‪ .‬أوﺟ ﺪ ﻣﻘ ﺪار اﻟ ﺸﺪ ﻓ ﻰ ﻛ ﻞ ﻣ ﻦ اﻟﺨﯿﻄ ﯿﻦ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣٠ ، ٣٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪ (٦‬ﻣﺼﺮ‪ : ١٩٩٢/‬اب ﻗﻀﯿﺐ طﻮﻟﮫ ‪ ١٢٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٣٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﯾﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ‬ ‫ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ دﻋﺎﻣﺘﯿﻦ ﻋﻨﺪ ج ‪ ،‬د ﺣﯿﺚ اج = بد = ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫وﯾﺤﻤﻞ ﺛﻘﻼ ﻗﺪره ‪ ٢٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ه ﻣﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺣﯿﺚ اه = ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺪﻋﺎﻣﺘﯿﻦ ‪ ] .‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٧٥ ، ٣٢٥ :‬ث ‪ .‬ﺟﻢ [‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٥١‬‬ ‫)‪ (٧‬اب ﻗﻀﯿﺐ طﻮﻟﮫ ‪ ١٢٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٦٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ‪ ،‬ﻋﻠﻖ اﻟﻘﻀﯿﺐ‬ ‫ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻄﯿﻦ رأﺳﯿﯿﻦ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ج ‪ ،‬د ﻋﻠﯿﮫ ﺣﯿﺚ اج =‬ ‫‪ ٢٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬بد = ‪ ٣٥‬ﺳﻢ وﻋﻠﻖ ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ق ث ‪ .‬ﺟﻢ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ه ﻋﻠﯿﮫ ﺣﯿﺚ اه‬ ‫= ‪ ٣٠‬ﺳﻢ وﻛﺎن اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻨﺪ ج ﺿﻌﻒ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻨﺪ د ‪ .‬أوﺟﺪ ق ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ق = ‪ ٦٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ [‬ ‫)‪/١٩٩٨ (٨‬دور أول ‪ :‬ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ١٨٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٦٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ )ﯾﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ(‬ ‫ﻣﻌﻠﻖ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻄﯿﻦ ﺧﻔﯿﻔﯿﻦ رأﺳﯿﯿﻦ ﻣﻦ طﺮﻓﯿﮫ ا ‪ ،‬ب وﯾﺤﻤﻞ‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺛﻘﻼ ﻣﻘﺪاره ‪ ١٥٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻨﺪ ج ﻣﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ ‪ ،‬إذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻨﺪ ا ﺿﻌﻒ ﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻨﺪ ب ‪ .‬ﻓﺄوﺟﺪ اج ‪ ] .‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٨ :‬ﺳم [‬ ‫)‪/١٩٩٧ (٩‬دور ﺛﺎن ‪ :‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ١٠٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ١٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ) ﯾﺆﺛﺮ‬ ‫ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ( ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ أﺣﺪھﻤﺎ ﯾﺒﻌﺪ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ﻣﻦ ا واﻟﺜﺎﻧﻰ‬ ‫ﯾﺒﻌﺪ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ﻋﻦ ب ‪ ،‬أوﺟﺪ رد ﻓﻌﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ ‪ ،‬ﺛﻢ اوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﺜﻘﻞ اﻟﺬى‬ ‫ﯾﺠﺐ أن ﯾﻌﻠﻖ ﻋﻨﺪ ب ﺣﺘﻰ ﯾﺘﺴﺎوى اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ ﻛﻞ اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٠ ، ٨٠ :‬ﻧﯾوﺗن ‪ ،‬و = ‪ ٣٠‬ﻧﯾوﺗن‬ ‫[‬ ‫)‪ (١٠‬اب ﻣﺴﻄﺮه طﻮﻟﮭﺎ ‪ ١٠٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮭﺎ )و( ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻔﮭﺎ ‪ ،‬ﻋﻠﻘﺖ ﻓﻰ‬ ‫وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻄﯿﻦ رأﺳﯿﯿﻦ ﻋﻨﺪ طﺮﻓﯿﮭﺎ ‪ .‬أﯾﻦ ﯾﻌﻠﻖ ﺛﻘﻞ ﻣﻘﺪاره )‪٥‬و(‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺣﺘﻰ ﯾﻜﻮن ﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻰ أﺣﺪ اﻟﺨﯿﻄﯿﻦ ﺿﻌﻒ ﻣﻘﺪاره ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ اﻵﺧﺮ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ﻣﻦ أﺣﺪ طﺮﻓﯿﮭﺎ ﺣﯿﺚ ﯾﻜﻮن اﻟﺸﺪ ﻋﻨﺪ ب ﺿﻌﻒ اﻟﺸﺪ ﻋﻨﺪ ا [‬ ‫)‪ (١١‬اد ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﯾﺮﺗﻜﺰ أﻓﻘﯿﺎ ﻋﻠﻰ وﺗﺪﯾﻦ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ب ‪ ،‬ج ﺣﯿﺚ‬ ‫اب = بج = جد ‪ ،‬وﺟﺪ أﻧﮫ إذا ﻋﻠﻖ ﻣﻦ ا ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪ ٥‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻓﺈن اﻟﻘﻀﯿﺐ‬ ‫ﯾﺼﺒﺢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل ب ‪ ،‬وإذا ﻋﻠﻖ ﻣﻦ د ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪ ١٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻓﺈﻧﮫ‬ ‫ﯾﺼﺒﺢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل ج ‪ .‬أوﺟﺪ وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ وأﺛﺒﺖ أﻧﮫ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺴﻢ اد ﺑﻨﺴﺒﺔ ‪. ٥ : ٤‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٥ :‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (١٢‬اب ﺳﺎق ﺣﺪﯾﺪﯾﺔ طﻮﻟﮭﺎ ‪ ٩٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮭﺎ ‪ ١.٢‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻔﮭﺎ ‪ ،‬ﺗﺮﺗﻜﺰ‬ ‫ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻨﺪ اﻟﻄﺮف ا ‪ ،‬إذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪار اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺤﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ ا ﯾﺴﺎوى ‪ ٠.٣‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻓﺒﯿﻦ أن اﻟﺤﺎﻣﻞ اﻵﺧﺮ ﯾﺠﺐ أن ﯾﻮﺿﻊ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺑﻌﺪ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ﻣﻦ اﻟﻄﺮف ب ‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﺜﻘﻞ اﻟﺬى ﯾﺠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻘﮫ ﻣﻦ اﻟﻄﺮف ب‬ ‫ﺣﺘﻰ ﺗﻜﻮن اﻟﺴﺎق ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬و = ‪ ٠.٦‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪/١٩٩٧ (١٣‬دور أول ‪ :‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ ‪ ٤‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ وطﻮﻟﮫ ‪ ١٠٠‬ﺳﻢ‬ ‫ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ج ‪ ،‬د ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن اج = بد = ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪار اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ ج ﯾﺴﺎوى ﺿﻌﻒ ﻣﻘﺪار اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪٥٢‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ د ‪ .‬ﻋﯿﻦ ﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻦ ا ‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﺜﻘﻞ‬ ‫اﻟﺬى ﯾﺠﺐ أن ﯾﻌﻠﻖ ﻋﻨﺪ ب ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬اﻟﺒﻌﺪ ﻋﻦ ا = ‪ ٤٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬و = ‪ ٨‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫[‬ ‫)‪ (١٤‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ )و( ﻧﯿﻮﺗﻦ وطﻮﻟﮫ ‪ ١٥٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻋﻠﻰ وﺗﺪﯾﻦ‬ ‫ج ‪ ،‬د ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن اج = ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬بد = ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻟﻮﺣﻆ أن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ‬ ‫وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل ج إذا ﻋﻠﻖ ﻣﻦ اﻟﻄﺮف ا ﺛﻘﻞ ﻣﻘﺪاره ‪ ٧‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬وﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ‬ ‫وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل د إذا ﻋﻠﻖ ﻣﻦ اﻟﻄﺮف ب ﺛﻘﻞ ﻣﻘﺪاره ‪ ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬أوﺟﺪ وزن‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ وﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮه ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٢ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ٩٠ ،‬ﺳﻢ ﻣﻦ ا [‬ ‫)‪/٢٠٠٠ (١٥‬دور أول ‪ :‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ﻋﻨﺪ ج ‪ ،‬د ﺣﯿﺚ اج = جد = دب ‪ ،‬وﺟﺪ أﻧﮫ إذا ﻋﻠﻖ ﻣﻦ ا ﺛﻘﻞ‬ ‫ﻗﺪره ‪ ٦‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻓﺈن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﯾﺼﺒﺢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل ج ‪ ،‬وإذا ﻋﻠﻖ ﻣﻦ‬ ‫ب ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪ ٩‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻷﺻﺒﺢ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل د ‪ .‬أوﺟﺪ وزن‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ وﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮه ﻋﻦ ا ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٥ :‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ‪ ٤ ،‬ﺳﻢ [‬ ‫)‪ (١٦‬سل ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ٤٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ﻋﻨﺪ‬ ‫ص ‪ ،‬ع ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺣﯿﺚ سص = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬عل = ‪ ٧‬ﺳﻢ ‪ُ ،‬وﺟﺪ أن اﻟﻘﻀﯿﺐ‬ ‫ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران إذا ﻋُﻠﻖ ﻣﻦ اﻟﻄﺮف س ﻛﺘﻠﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ‪ ١٢٠‬ﺟﻢ أو ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻄﺮف ل ﻛﺘﻠﺔ ﻣﻘﺪارھﺎ ‪ ١٨٠‬ﺟﻢ ‪ .‬أوﺟﺪ وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ وﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ وزﻧﮫ ﻋﻦ‬ ‫اﻟﻄﺮف س ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٦٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ١٨ ،‬ﺳﻢ [‬ ‫)‪ (١٧‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ٦٤‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٩‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ﻋﻨﺪ ج ‪ ،‬د ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن اج = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬بد = ‪ ١٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻋﻠﻖ ﻣﻦ ا ﺛﻘﻞ‬ ‫ﻗﺪره ‪ ١٨‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﺄﺻﺒﺢ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل ج ‪ .‬أوﺟﺪ ﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺗﺄﺛﯿﺮ وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻦ ج ‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟﺪ أﯾﻀﺎ أﻛﺒﺮ ﺛﻘﻞ ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﻠﯿﻘﮫ ﻣﻦ اﻟﻄﺮف ب‬ ‫دون أن ﯾﺨﺘﻞ اﻟﺘﻮازن ﻣﻊ ﻋﺪم رﻓﻊ اﻟﺜﻘﻞ اﻟﻤﻌﻠﻖ ﻋﻨﺪ ا ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٦ :‬ﺳﻢ ‪ ٧٣.٨ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪/١٩٩٨ (١٨‬دور ﺛﺎن ‪ :‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ١٢٠‬ﺳﻢ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ج ‪ ،‬د ﻣﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺑﺤﯿﺚ اج = ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬بد = ‪٤٠‬‬ ‫ﺳﻢ ‪ ،‬إذا ﻋُﻠﻖ ﻣﻦ ا ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪ ١٦٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﯾﺼﺒﺢ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران‬ ‫ﺣﻮل ج ‪ ،‬وإذا ﻋﻠﻖ ﻣﻦ ب ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪ ٥٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﻣﻊ ﺑﻘﺎء اﻟﺜﻘﻞ اﻷول ﻓﺈن‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﯾﺼﺒﺢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل د ‪ .‬أوﺟﺪ وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ وﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﺗﺄﺛﯿﺮه ﻋﻦ ا ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٢٤٠ :‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ‪ ٥٠ ،‬ﺳﻢ [‬ ‫)‪ (١٩‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ طﻮﻟ ﮫ ‪ ٤٠‬ﺳ ﻢ ووزﻧ ﮫ ‪ ٤‬ث ﻛﺠ ﻢ ‪ ،‬ﯾﺮﺗﻜ ﺰ أﻓﻘﯿ ﺎ ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﻣﻠﯿﻦ‬ ‫أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻨﺪ ج ﺣﯿﺚ اج = ‪ ٩‬ﺳﻢ واﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﻨﺪ د ‪ ،‬ﻋﻠﻖ ﻣﻦ طﺮﻓﯿﮫ ا ‪ ،‬ب اﻟﺜﻘﻠﯿﻦ‬ ‫‪ ٦ ، ١٤‬ث ﻛﺠ ﻢ ﻋﻠ ﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿ ﺐ ‪ .‬أوﺟ ﺪ ﻣﻮﺿ ﻊ اﻟﻨﻘﻄ ﺔ د إذا ﻛ ﺎن اﻟ ﻀﻐﻂ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٥٣‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ ج ﺿﻌﻒ اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ د ‪ ،‬أوﺟﺪ أﯾ ﻀﺎ اﻛﺒ ﺮ ﺛﻘ ﻞ ﯾ ﻀﺎف‬ ‫إﻟ ﻰ اﻟﺜﻘ ﻞ اﻟﻤﻌﻠ ﻖ ﻋﻨ ﺪ ا دون أن ﯾﺨﺘ ﻞ ﺗ ﻮازن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ ‪ ١٣‬ﺳﻢ ‪ ١١ ٥ ،‬ث ﻛﺟم [‬ ‫‪٩‬‬ ‫)‪ (٢٠‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ١٠٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٤٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ )ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ( ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ‬ ‫وﺿﻊ أﻓﻘ ﻰ ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﻣﻠﯿﻦ أﺣ ﺪھﻤﺎ ﻋﻨ ﺪ اﻟﻄ ﺮف ا واﻵﺧ ﺮ ﻋﻨ ﺪ ﻧﻘﻄ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫ﺗﺒﻌﺪ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ﻋﻦ اﻟﻄﺮف ب وﯾﺤﻤﻞ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺛﻘ ﻼ ﻗ ﺪره ‪ ١٢‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﻋﻨ ﺪ ﻧﻘﻄ ﺔ ﺗﺒﻌ ﺪ‬ ‫‪ ١٥‬ﺳ ﻢ ﻣ ﻦ ب ‪ .‬ﻋ ﯿﻦ ﻗﯿﻤ ﺔ اﻟ ﻀﻐﻂ ﻋﻠ ﻰ ﻛ ﻞ ﻣ ﻦ اﻟﺤ ﺎﻣﻠﯿﻦ ‪ ،‬وأوﺟ ﺪ أﯾ ﻀﺎ ﻣﻘ ﺪار‬ ‫اﻟﺜﻘﻞ اﻟﺬى ﯾﺠﺐ ﺗﻌﻠﯿﻘﮫ ﻣﻦ اﻟﻄﺮف ب ﺑﺤﯿﺚ ﯾﺼﺒﺢ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷ ﻚ اﻟ ﺪوران ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪، ٣٧.٧٥ ، ١٤.٢٥ :‬‬ ‫و ‪ ٥٧‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪/١٩٩٦ (٢١‬دور ﺛﺎن ‪ :‬ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻗﻀﯿﺐ اب طﻮﻟﮫ ‪ ٦٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٤٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ﻋﻠﻰ وﺗﺪ ﯾﺒﻌﺪ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ﻣﻦ ا ‪ ،‬ﺣﻔﻆ اﻟﻘﻀﯿﺐ أﻓﻘﯿﺎ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﺗﺰان ﺑﻮاﺳﻄﺔ‬ ‫ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ رأﺳﻰ ﯾﺘﺼﻞ ﺑﻄﺮﻓﮫ ب ‪ .‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻮﺗﺪ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻣﻘﺪار اﻟﺜﻘﻞ اﻟﺬى ﯾﻠﺰم ﺗﻌﻠﯿﻘﮫ ﻋﻨﺪ اﻟﻄﺮف ا ﻟﯿﺠﻌﻞ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ﻋﻠﻰ‬ ‫وﺷﻚ اﻻﻧﻌﺪام ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ش = ‪ ١٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ‪،‬‬ ‫ر = ‪ ٣٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ‪،‬‬ ‫ق = ‪ ٢٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ [‬ ‫)‪/١٩٩٦ (٢٢‬دور أول ‪ :‬اب ﻗﻀﯿﺐ طﻮﻟﮫ ‪ ١٢٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٨٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ‪ ،‬ﯾﺮﺗﻜﺰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ طﺮﻓﮫ ب وﯾﺤُﻔﻆ ﻓﻰ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ﺑﺨﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ رأﺳﻰ ﻣﺜﺒﺖ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺒﻌﺪ ﻋﻦ طﺮﻓﮫ ا ﺑﻤﻘﺪار ‪ ٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫وﯾﺤﻤﻞ ﺛﻘﻼ ﻗﺪره ‪ ٢٥‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ١٥‬ﺳﻢ ﻋﻦ ا ‪ .‬أوﺟﺪ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ‬ ‫اﻟﺨﯿﻂ واﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﻣﻞ ‪ ،‬أوﺟﺪ أﯾﻀﺎ ً اﻟﺜﻘﻞ اﻟﺬى ﯾﺠﺐ أن ﯾﻌﻠﻖ ﻣﻦ ا ﺣﺘﻰ‬ ‫ﯾﺼﺒﺢ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﻔﺼﺎل ﻋﻦ اﻟﺤﺎﻣﻞ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٥٣.٧٥ ، ٣٠.٧٥ ، ٧٤.٢٥ :‬ث ‪ .‬ﺟﻢ [‬ ‫)‪/٢٠٠٢ (٢٣‬دور أول ‪ :‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ طﻮﻟ ﮫ ﻣﺘ ﺮ واﺣ ﺪ ووزﻧ ﮫ ‪ ٧٠٠‬ث ‪ .‬ﺟ ﻢ )ﯾ ﺆﺛﺮ ﻓ ﻰ‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ( ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ طﺮﻓﮫ ب وﺣﻔ ﻆ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ ﺗ ﻮازن ﻓ ﻰ وﺿ ﻊ أﻓﻘ ﻰ‬ ‫ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻂ رأﺳﻰ ﻣﺜﺒﺖ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺗﺒﻌﺪ ﻋﻦ طﺮﻓﮫ ا ﺑﻤﻘﺪار ‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫وﯾﺤﻤﻞ ﺛﻘﻼ ﻣﻘﺪاره ‪ ٣٥٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ﻋﻦ ا ‪ .‬أوﺟﺪ ﻛﻼً ﻣﻦ اﻟﺸﺪ‬ ‫ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ واﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﻣﻞ ‪ ،‬وإذا ﻋﻠﻖ ﻣ ﻦ ا ﺛﻘ ﻼً ﺟﻌ ﻞ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ‬ ‫‪.‬‬ ‫اﻻﻧﻔ ﺼﺎل ﻋ ﻦ اﻟﺤﺎﻣ ﻞ ‪ .‬أوﺟ ﺪ ﻣﻘ ﺪار اﻟﺜﻘ ﻞ واﻟ ﺸﺪ ﻓ ﻰ اﻟﺨ ﯿﻂ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ر = ‪ ١٠٠‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ‪ ،‬ش = ‪ ، ٩٥٠‬ش = ‪ ١٢٨٣.٣‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ‪ ،‬و = ‪ ٢٣٣.٣‬ث ‪ .‬ﺟﻢ [‬ ‫)‪ (٢٤‬ﯾﺤﻤﻞ رﺟﻼن ا ‪ ،‬ب ﺟﺴﻤﺎ ﻛﺘﻠﺘﮫ ‪ ٩٠‬ﻛﺠﻢ ﻣﻌﻠﻖ ﻣﻦ ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻌﺪﻧﻰ ﻣﺘﯿﻦ وﺧﻔﯿﻒ ‪،‬‬ ‫ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﯿﻦ اﻟﺮﺟﻠﯿﻦ ‪ ٦٠‬ﺳﻢ وﻛﺎﻧﺖ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻌﻠﯿﻖ اﻟﺠﺴﻢ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ﻣﻦ‬ ‫‪٥٤‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ا ‪ ،‬ﻓﻤﺎ ﻣﻘﺪار ﻣﺎ ﯾﺘﺤﻤﻠﮫ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺮﺟﻠﯿﻦ ﻣﻦ ھﺬا اﻟﺜﻘﻞ ؟ وإذا ﻛﺎن اﻟﺮﺟﻞ ب ﻻ‬ ‫ﯾﻤﻜﻨﮫ أن ﯾﺤﻤﻞ أﻛﺜﺮ ﻣﻦ ‪ ٥٠‬ﺛﻘﻞ ﻛﺠﻢ ‪ ،‬ﻓﻌﯿﻦ أﻛﺒﺮ ﻣﺴﺎﻓﺔ ﻣﻦ ا ﯾﻤﻜﻦ ﺗﻌﻠﯿﻖ اﻟﺜﻘﻞ‬ ‫ﻋﻨﺪھﺎ ﺣﺘﻰ ﯾﺘﻤﻜﻦ اﻟﺮﺟﻞ ب ﻣﻦ اﻻﺳﺘﻤﺮار ﻓﻰ ﺣﻤﻞ اﻟﻘﻀﯿﺐ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٦٠ ، ٣٠ :‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ‪،‬‬ ‫‪ ٣٣ ١‬ﺳم [‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪ (٢٥‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ٢‬ﻣﺘﺮ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ وﺗﺪﯾﻦ ج ‪ ،‬د‬ ‫‪١‬‬ ‫أﻣﻠﺴﯿﻦ ﺣﯿﺚ اج = بد = ﻣﺘﺮ ‪ ،‬وﺟﺪ أﻧﮫ ﻟﻮ ﻋﻠﻖ ﻣﻦ ا ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪ ٢٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﯾﺼﺒﺢ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل ج ‪ ،‬وإذا ﻋﻠﻖ ﻣﻦ ب ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪١٦‬‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺼﺒﺢ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل د ‪ .‬أوﺟﺪ وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ وﺑُﻌﺪ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮه ﻋﻦ ا ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٦ ٢ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ١.١٥ ،‬ﻣﺘﺮ [‬ ‫‪٣‬‬ ‫)‪/٢٠٠٤ (٢٦‬دور أول ‪ :‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ١٠٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٤٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﻌﻠﻖ‬ ‫ﻣﻦ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺧﯿﻂ ﺧﻔﯿﻒ رأﺳﻰ ‪ .‬إذا اﺗﺰن اﻟﻘﻀﯿﺐ أﻓﻘﯿﺎ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻋﻠﻖ ﺛﻘﻞ‬ ‫ﻣﻘﺪاره ‪ ١٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻨﺪ ا ﻓﺄوﺟﺪ ﺑﻌﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻮزن ﻋﻦ ا ‪ .‬وإذا رﻓﻊ اﻟﺜﻘﻞ‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻖ ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة اﻟﺮأﺳﯿﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ب ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻈﻞ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰﻧﺎ ﻓﻰ‬ ‫وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٦٢.٥ :‬ﺳﻢ ‪ ١٠ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪/٢٠٠٥ (٢٧‬دور أول ‪ :‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ١.٥‬ﻣﺘﺮاً ووزﻧﮫ ‪ ١٤٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺆﺛﺮ‬ ‫ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ وﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ أﺣﺪھﻤﺎ ﻋﻨﺪ اﻟﻄﺮف ا‬ ‫واﻟﺜﺎﻧﻰ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ج ﻣﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻘﺪار رد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ ا ﯾﺴﺎوى‬ ‫ﺛﻠﺜﻰ ﻣﻘﺪار رد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ ج ‪ .‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻣﻘﺪار رد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﻣﻞ ﻋﻨﺪ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﻣﻠﯿﻦ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﺑﻌﺪ ج ﻋﻦ اﻟﻄﺮف ب ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٨٤ ، ٥٦ :‬ﻧﯾوﺗن ‪ ٢٥ ،‬ﺳم [‬ ‫)‪ (٢٨‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻏﯿﺮ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ٧٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٤.٥‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻓﻰ وﺿﻊ‬ ‫أﻓﻘﻰ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﻣﻠﯿﻦ أﻣﻠﺴﯿﻦ ﻋﻨﺪ ج ‪ ،‬د ﺣﯿﺚ اج = = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬بد = ‪ ١٤‬ﺳﻢ‬ ‫وﻗﺪ وﺟﺪ أﻧﮫ ﻟﻮ ﻋﻠﻖ ﻣﻦ اﻟﻄﺮف ا ﺛﻘﻞ ﻣﻘﺪاره ‪ ٦‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻓﺈن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﯾﻜﻮن‬ ‫ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ‪ .‬أوﺟﺪ ﺑﻌﺪ ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻦ ﻧﻘﻄﺔ ج ‪ .‬وإذا ﺑﻘﻰ اﻟﺜﻘﻞ‬ ‫اﻟﻤﻌﻠﻖ ﻋﻨﺪ اﻟﻄﺮف ا وﻋﻠﻖ ﺛﻘﻞ ﻣﻘﺪاره )و( ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﻋﻨﺪ اﻟﻄﺮف اﻵﺧﺮب‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ )و( اﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺪوران ﺣﻮل ﻧﻘﻄﺔ د ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٦ :‬ﺳﻢ ﻣﻦ ج ‪ ٣٣ ،‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ [‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٥٥‬‬ ‫ا‪ ‬ا‪‬ا‪ : ‬ا‪‬ان ا‪‬‬ ‫ا‪‬و‪ ‬ا‪ ‬وا‪‬ز‪ ‬ان ‪  ‬ا‪‬ى ‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﯾﻨﻌﺪم ﻣﺘﺠﮫ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﻮى ‪.‬‬ ‫)‪ (٢‬ﯾﻨﻌﺪم ﻋﺰم اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ واﺣﺪة ‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫)‪ (١‬ﯾﻨﻌﺪم ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻤﺮﻛﺒﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮى ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ واﻗﻌﯿﻦ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﯾﮭﺎ‬ ‫)‪ (٢‬ﯾﻨﻌﺪم ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻌﺰوم اﻟﻘﻮى ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ واﺣﺪة ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﯾﮭﺎ ‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ز = ‪٠‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ض = ‪٠‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ج = ‪٠‬‬ ‫أ‪ ‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (١‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ١٢٠‬ﺳﻢ وﻣﻘﺪار وزﻧﮫ ‪ ٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺘﺼﻞ طﺮﻓﮫ ا‬ ‫ﺑﻤﻔﺼﻞ ﻣﺜﺒﺖ ﻓﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ‪ ،‬ﻋﻠﻖ ﺛﻘﻞ ﻗﺪره ‪ ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ٨٠‬ﺳﻢ ﻋﻦ ا وﺣﻔﻆ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﻰ وﺿﻊ‬ ‫ض‬ ‫اﻓﻘﻰ ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺣﺒﻞ ﯾﺘﺼﻞ أﺣﺪ طﺮﻓﯿﺔ ﺑﺎﻟﻄﺮف ب ﻟﻠﻘﻀﯿﺐ‬ ‫وﯾﺘﺼﻞ طﺮﻓﮫ اﻵﺧﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ج‬ ‫اﻟﺤﺎﺋﻂ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ١٦٠‬ﺳﻢ رأﺳﯿﺎ أﻋﻠﻰ ا ‪.‬‬ ‫ش‬ ‫‪٥‬‬ ‫اوﺟﺪ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ‪.‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ه‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ أرﺑﻊ ﻗﻮى ھﻰ ‪:‬‬ ‫‪ ‬وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ ‪ ٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ ‪.‬‬ ‫ز‬ ‫‪ ‬اﻟﺜﻘﻞ ‪ ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ رأﺳﺎ ﻷﺳﻔﻞ ‪.‬‬ ‫ب‬ ‫د‬ ‫ص‪١‬‬ ‫ه‬ ‫س‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ا‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٥٦‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪ ‬ﻗﻮة اﻟﺸﺪ اﺧﯿﻂ ش وﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه بج@ وﯾﺼﻨﻊ ﺧﻂ ﻋﻤﻠﮭﺎ ﻣﻊ اﻷﻓﻘﻰ زاوﯾﺔ‬ ‫ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ه ‪.‬‬ ‫‪ ‬ﻗﻮة رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ وﯾﻤﺜﻠﮭﺎ اﻟﻤﺮﻛﺒﺘﯿﻦ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪﺗﯿﻦ س‪ ، ١‬ص‪ ١‬ﻛﻤﺎ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ‪.‬‬ ‫ﺑﻜﺘﺎﺑﺔ ﺷﺮوط اﻻﺗﺰان ‪:‬‬ ‫ى س‪ = ١‬ش ﺟﺘﺎه‬ ‫ز =‪ ، ٠‬ض=‪٠=  ، ٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ىس =‬ ‫‪٥ ١‬‬ ‫ش ‪(١) .........‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪ ،‬ص‪ + ١‬ش ﺟﺎ ه = ‪ ٤ + ٣‬ى ص ‪+‬‬ ‫‪٥ ١‬‬ ‫‪١٢٠ ١٦٠‬‬ ‫– ‪٠ = ٨٠×٣ – ٦٠×٤‬‬ ‫ى ش×‬ ‫‪ ،‬ا = ‪٠‬‬ ‫‪٢٠٠‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻓﻰ )‪(٢) ، (١‬‬ ‫ى ‪ ٩٦‬ش = ‪ ٤٨٠‬ى ش = ‪ ٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ى س‪ ٣ = ٥ × = ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬ص‪ ٧ = ٥ × + ١‬ى ص‪ ٣ = ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ش=‪٧‬‬ ‫ي ر=‬ ‫س‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ +‬ص‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫‪..........‬‬ ‫ص‬ ‫‪١‬‬ ‫= ‪ ٢ ٣ = ٩ + ٩‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ر‬ ‫‪٣‬‬ ‫ص‬ ‫‪ ،‬ظﺎ ل = ‪= ١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫س‪١‬‬ ‫أى أن ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻗﻮة رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ = ‪ ٢ ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﺗﺼﻨﻊ زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ٤٥‬ﻣﻊ اس@‬ ‫= ‪ ١‬ى ل = ‪ْ ٤٥‬‬ ‫ل‬ ‫س‬ ‫‪١‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٢‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺘﺼﻞ ﺑﻄﺮﻓﮫ ا ﺑﻤﻔﺼﻞ ﻣﺜﺒﺖ ﻓﻰ‬ ‫ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ وﯾﺤﻤﻞ ﻋﻨﺪ طﺮﻓﮫ ب ﺛﻘﻼ ﻗﺪره ‪ ١٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬ﺣﻔﻆ اﻟﻘﻀﯿﺐ‬ ‫ﻓﻰ وﺿﻊ ﯾﻤﯿﻞ ﻓﯿﮫ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﻷﻋﻠﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ٣٠‬ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺣﺒﻞ‬ ‫ﻣﺴﺎو ﻟﻠﻘﻀﯿﺐ ﻓﻰ اﻟﻄﻮل وﯾﺘﺼﻞ أﺣﺪ طﺮﻓﯿﮫ ﺑﺎﻟﻄﺮف ب ﻟﻠﻘﻀﯿﺐ‬ ‫ض‬ ‫وﯾﺘﺼﻞ طﺮﻓﮫ اﻵﺧﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ج ﻣﻦ‬ ‫اﻟﺤﺎﺋﻂ ﺗﻘﻊ رأﺳﯿﺎ أﻋﻠﻰ ا وﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ‬ ‫ج‬ ‫ﻣﻨﮭﺎ ﯾﺴﺎوى طﻮل اﻟﻘﻀﯿﺐ ‪.‬‬ ‫ش‬ ‫ك‬ ‫أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺤﺒﻞ وﻣﻘﺪار ﻗﻮة رد‬ ‫ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ﻋﻨﺪ ا واﺗﺠﺎھﮫ ‪.‬‬ ‫ْ‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫ب‬ ‫ا‪‬‬ ‫ْ‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫‪...‬‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ أرﺑﻊ ﻗﻮى ھﻰ ‪:‬‬ ‫ن‬ ‫ص‬ ‫‪١‬‬ ‫ز‬ ‫م‬ ‫‪١٠‬‬ ‫ْ‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫د س‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ا‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٥٧‬‬ ‫وزﻧﮫ ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬واﻟﺜﻘﻞ ‪ ١٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ ‪ ،‬واﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺤﺒﻞ ش وﯾﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه‬ ‫بج@ ‪ ،‬ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ اﻟﺬى ﻣﺮﻛﺒﺘﯿﮫ س‪ ، ١‬ص‪. ١‬‬ ‫وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﺷﺮوط اﻻﺗﺰان وھﻰ ‪:‬‬ ‫ز = ‪ ، ٠‬ض = ‪ ، ٠‬ا = ‪٠‬‬ ‫( ي ‪‬ا = ‪٠‬‬ ‫)‬ ‫ى ش × اك – ‪ × ٢٠‬اد – ‪ × ١٠‬ام = ‪٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ل ‪ ٣ × ١٠ +‬ل‬ ‫ى ش × ‪ ٣‬ل = ‪× ٢٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ،‬س‪ = ١‬ش ﺟﺘﺎ ‪× ٢٠ = ْ ٣٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى ش = ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫= ‪٣ ١٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ ،‬ص‪ + ١‬ش ﺟﺎ ‪ ٢٠ + ١٠ = ْ ٣٠‬ى ص‪× ٢٠ – ٣٠ = ١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ي ر=‬ ‫س‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ +‬ص‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ى ر = ‪ ٧ ١٠ = ٤٠٠ + ٣٠٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪٢‬‬ ‫ص‬ ‫ي ظﺎ ل = ‪= ١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫س‪١‬‬ ‫)ﺣﯿﺚ ل ھﻰ زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ﻣﻊ اﻷﻓﻘﻰ(‬ ‫ى ل = ‪ْ ٤٩ َ ٦‬‬ ‫= ‪١.١٥٤٧‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٣‬اب ﺳ ﺎق ﻣﻨﺘﻈﻤ ﺔ وزﻧﮭ ﺎ ‪ ٢٠‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﺗﺮﺗﻜ ﺰ ﺑﻄﺮﻓﮭ ﺎ ا ﻋﻠ ﻰ أرض أﻓﻘﯿ ﺔ‬ ‫ﺧﺸﻨﺔ وﺗﺴﺘﻨﺪ ﺑﻄﺮﻓﮭﺎ ب ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ أﻣﻠ ﺲ ﺑﺤﯿ ﺚ ﺗﻜ ﻮن اﻟ ﺴﺎق ﻓ ﻰ‬ ‫ﻣ ﺴﺘﻮ رأﺳ ﻰ ﻋﻤ ﻮدى ﻋﻠ ﻰ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ وﺗﻤﯿ ﻞ ﻋﻠ ﻰ اﻷرض اﻷﻓﻘﯿ ﺔ ﺑﺰاوﯾ ﺔ‬ ‫ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ . ْ ٤٥‬أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻗ ﻞ ﻗ ﻮة أﻓﻘﯿ ﺔ ﺗ ﺆﺛﺮ ﻋﻨ ﺪ اﻟﻄ ﺮف ا ﻟﻠ ﺴﺎق ﻟﻜ ﻰ‬ ‫ﺗﺠﻌﻠﮭﺎ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧ ﺰﻻق ﺑﻌﯿ ﺪا ﻋ ﻦ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ ﻋﻠﻤ ﺎ ﺑ ﺄن ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﺑﯿﻦ اﻟﺴﺎق واﻷرض‬ ‫‪.‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫اﻟﺴﺎق ﻣﺘﺰﻧﺔ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮى اﻵﺗﯿﺔ ‪:‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٥٨‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫وزﻧﮭﺎ ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ ‪ ،‬رد ﻓﻌﻞ اﻷرض ر‪، ١‬‬ ‫رد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﺋﻂ اﻟﻌﻤﻮدى ر‪ ، ٢‬اﻟﻘﻮة اﻷﻓﻘﯿﺔ ق ‪ ،‬ﻗﻮة‬ ‫ر‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻻﺣﺘﻜﺎك ر‪ ١‬ﻛﻤﺎ ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺠﺎور ‪.‬‬ ‫ل‬ ‫‪٤‬‬ ‫وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﺷﺮوط اﻻﺗﺰان وھﻰ ‪:‬‬ ‫ر‬ ‫‪ ١‬ل‬ ‫ز = ‪ ، ٠‬ض = ‪ ، ٠‬ا = ‪٠‬‬ ‫مر‬ ‫ق‬ ‫‪ْ ٤٥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫( ي ‪‬ا = ‪٠‬‬ ‫)‬ ‫ز‬ ‫ا‬ ‫ى ‪ ٢٠‬ل ﺟﺘﺎ ‪ – ْ ٤٥‬ر‪ ٢ × ٢‬ل ﺟﺎ ‪٠ = ْ ٤٥‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ى ‪٢‬ر‪ ٢٠ = ٢‬ى ر‪ ١٠ = ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ،‬ر‪ ٢٠ = ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ى ق = ‪ ٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪ ،‬ق ‪ +‬ر‪ = ٢‬ر‪ ١‬ى ق ‪٢٠ × = ١٠ +‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪‬ل‬ ‫ض‬ ‫ب‬ ‫)‪ : (٤‬ﺳﻠﻢ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ وزﻧﮫ ‪ ٢٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﺑﺄﺣ ﺪ طﺮﻓﯿ ﮫ ﻋﻠ ﻰ أرض أﻓﻘﯿ ﺔ‬ ‫ﺧﺸﻨﮫ وﺑ ﺎﻟﻄﺮف اﻵﺧ ﺮ ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ أﻣﻠ ﺲ ‪ ،‬أﺗ ﺰن اﻟ ﺴﻠﻢ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮ‬ ‫رأﺳ ﻰ وﻛ ﺎن ﻗﯿ ﺎس زاوﯾ ﺔ ﻣﯿﻠ ﮫ ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ‪ ، ْ ٦٠‬ﻓ ﺈذا ﻋﻠ ﻢ أن ﻣﻌﺎﻣ ﻞ‬ ‫‪١‬‬ ‫اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ اﻟ ﺴﻠﻢ واﻷرض ﯾ ﺴﺎوى‬ ‫‪ .‬اﺛﺒ ﺖ أن أﻗ ﺼﻰ ﻣ ﺴﺎﻓﺔ‬ ‫‪٣ ٢‬‬ ‫ﯾ ﺴﺘﻄﯿﻊ رﺟ ﻞ وزﻧ ﮫ ‪ ٦٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠ ﻢ أن ﯾ ﺼﻌﺪھﺎ ﻋﻠ ﻰ اﻟ ﺴﻠﻢ ﺗ ﺴﺎوى‬ ‫ﻧﺼﻒ طﻮل اﻟﺴﻠﻢ ‪.‬‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫ض‬ ‫ر‬ ‫اﻟﺴﻠﻢ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮى ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫وزﻧﮫ ‪ ٢٠‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ ‪ ،‬ووزن اﻟﺮﺟﻞ ‪ ٦٠‬ث‪.‬ﻛﺠﻢ‬ ‫رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ ‪ ،‬ورد ﻓﻌﻞ اﻷرض ر‪ ، ١‬ورد‬ ‫ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﺋﻂ ر‪ ، ٢‬وﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك مر‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻛﻤﺎ ھﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ اﻟﺠﺎﻧﺒﻰ ‪.‬‬ ‫وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﺷﺮوط اﻻﺗﺰان وھﻰ ‪:‬‬ ‫ز = ‪ ، ٠‬ض = ‪ ، ٠‬ا = ‪٠‬‬ ‫‪،‬‬ ‫س‬ ‫ر‬ ‫‪١‬‬ ‫‪ْ ٦٠‬مر‬ ‫‪١‬‬ ‫ز‬ ‫ا‬ ‫‪٦٠ ٢٠‬‬ ‫س‬ ‫ب‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫ي ر‪ ٨٠ = ٦٠ + ٢٠ = ١‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫‪،‬‬ ‫‪٥٩‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ر =‬ ‫‪٣ ٢ ٢‬‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫‪١‬‬ ‫× ‪= ٨٠‬‬ ‫ى ر =‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣ ٢ ٢‬‬ ‫ر‬ ‫‪١‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪...............‬‬ ‫ي ‪‬ا = ‪٠‬‬ ‫ل‬ ‫ى ‪ ×٢٠‬ﺟﺘﺎ ‪ × ٦٠+ْ ٦٠‬س ﺟﺘﺎ ‪ – ْ ٦٠‬ر‪ × ٢‬ل ﺟﺎ ‪...... ٠ = ْ ٦٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻣﻦ )‪(٢) ، (١‬‬ ‫‪٤٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫=‪٠‬‬ ‫ل×‬ ‫ى ‪ ٥‬ل ‪ ٣٠ +‬س –‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫ل‬ ‫ل =‬ ‫ى س=‬ ‫ى ‪ ٣٠‬س – ‪ ١٥‬ل = ‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫ى اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ اﻟﺘﻰ ﯾﺼﻌﺪھﺎ اﻟﺮﺟﻞ ﺗﺴﺎوى ﻧﺼﻒ طﻮل اﻟﺴﻠﻢ ‪.‬‬ ‫‪‬ل‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫)‪ : (٥‬اب ﺳﻠﻢ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﺘﺰن ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ ‪ ، ْ ٤٥‬ﯾﺮﺗﻜ ﺰ‬ ‫ﺑﻄﺮﻓﮫ ا ﻋﻠﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ ﺧ ﺸﻦ وﺑﻄﺮﻓ ﮫ ب ﻋﻠ ﻰ أرض أﻓﻘﯿ ﺔ ﺧ ﺸﻨﮫ ‪،‬‬ ‫‪/‬‬ ‫ﻓ ﺈذا ﻛ ﺎن م ‪ ،‬م ھﻤ ﺎ ﻣﻌ ﺎﻣﻠﻰ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك اﻟﻨﮭ ﺎﺋﻰ ﺑ ﯿﻦ اﻟ ﺴﻠﻢ واﻷرض‬ ‫واﻟﺤﺎﺋﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن اﻗﻞ ﻗ ﻮة ﺗ ﺪﻓﻊ اﻟﻄ ﺮف ب ﻧﺤ ﻮ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ ھ ﻰ‬ ‫‪ ٢  ١ ١‬م ‪ ‬م م ‪ /‬‬ ‫و ‪‬‬ ‫‪ ‬ﺣﯿﺚ )و( وزن اﻟﺴﻠﻢ ‪.‬‬ ‫ض‬ ‫‪/‬‬ ‫م‬ ‫‪‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ٢‬‬ ‫ر‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫ا‬ ‫‪٢‬‬ ‫ل‬ ‫اﻟﺴﻠﻢ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮى اﻵﺗﯿﺔ ‪:‬‬ ‫‪/‬‬ ‫م ر‪٢‬‬ ‫وزﻧﮫ )و( ‪ ،‬رد اﻟﻔﻌﻞ ر‪١‬ﻋﻨﺪ ب ‪،‬‬ ‫رد اﻟﻔﻌﻞ ر‪ ٢‬ﻋﻨﺪ ا ‪ ،‬ﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك‬ ‫‪/‬‬ ‫مر‪ ١‬ﻋﻨﺪ ب ‪ ،‬ﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك م ر‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻋﻨﺪ ا ‪ ،‬اﻟﻘﻮة اﻷﻓﻘﯿﺔ ق ﻋﻨﺪ ب ‪.‬‬ ‫ر‬ ‫ل‬ ‫‪١‬‬ ‫ز‬ ‫مر‪١‬‬ ‫‪ ْ ٤٥‬ق‬ ‫ب‬ ‫و‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٦٠‬‬ ‫وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﺷﺮوط اﻻﺗﺰان وھﻰ ‪:‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ز = ‪ ، ٠‬ض = ‪ ، ٠‬ب = ‪٠‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫ي ‪‬ب = ‪ ٠‬ى ل × و ﺟﺘﺎ ‪ – ْ ٤٥‬ر‪٢ × ٢‬ل ﺟﺎ ‪ + ْ ٤٥‬م‪/‬ر‪٢ × ٢‬ل ﺟﺘﺎ ‪٠ = ْ ٤٥‬‬ ‫و‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪.............. /‬‬ ‫ى و = ‪٢‬ر‪ ٢ – ٢‬م‪/‬ر‪ ٢‬ى ر‪= ٢‬‬ ‫‪  ١) ٢‬م (‬ ‫و ‪  ٢‬م ‪ /‬‬ ‫م‪ /‬و‬ ‫‪ /‬‬ ‫‪ + /‬و = ‪‬‬ ‫‪ ،‬ر‪= ١‬‬ ‫‪٢  ٢‬م‬ ‫‪  ١ ٢‬م ‪‬‬ ‫ي ز=‪٠‬‬ ‫ى ق = ر‪ + ٢‬م ر‪١‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ )‪ (٢) ، (١‬ﻓﻰ )‪(٣‬‬ ‫‪..............‬‬ ‫) ‪(٢‬‬ ‫‪...............‬‬ ‫)‪(٣‬‬ ‫و ‪  ٢ ‬م ‪١ ١  /‬‬ ‫و‬ ‫‪ =  /‬و ‪‬‬ ‫‪ + /‬م × ‪‬‬ ‫ى ق=‬ ‫‪  ١) ٢‬م (‬ ‫‪  ١ ٢‬م ‪ ٢ ‬‬ ‫‪‬ل‬ ‫‪٢ ‬م ‪ ‬م م ‪ /‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪/‬‬ ‫‪ ١‬م‬ ‫‪‬‬ ‫)‪ : (٦‬ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ ﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ اﻟﻌﻠ ﻮى ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺑﯿﻨ ﮫ وﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾ ﺴﺎوى وﺑﻄﺮﻓ ﮫ اﻟ ﺴﻔﻠﻰ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى أﻓﻘ ﻰ ﻣﻌﺎﻣ ﻞ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑﯿﻨ ﮫ وﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾ ﺴﺎوى ‪ .‬أوﺟ ﺪ زاوﯾ ﺔ ﻣﯿ ﻞ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫‪٤‬‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ‪.‬‬ ‫‪ /‬ض‬ ‫م ر‪٢‬‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫ر‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧﻔﺮض أن وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ و ‪ ،‬طﻮﻟﮫ ل وﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ه ‪.‬‬ ‫وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﺷﺮوط اﻻﺗﺰان وھﻰ ‪:‬‬ ‫ز = ‪ ، ٠‬ض = ‪ ، ٠‬ا = ‪٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ي ر =‬ ‫‪٤ ٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ى ر =‬ ‫‪٤ ٢‬‬ ‫ر‬ ‫‪١‬‬ ‫ز‬ ‫ه‬ ‫‪١‬‬ ‫ر‪ ، ١‬ر ‪+‬‬ ‫‪٢ ١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫و– ر‬ ‫ى ر‪= ٢‬‬ ‫) و – ر‪(٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ر‪ = ٢‬و‬ ‫مر‪١‬‬ ‫ا‬ ‫و‬ ‫ب‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫ى‬ ‫ي‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫‪٦١‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫ى ر‪= ٢‬‬ ‫ر‪ = ٢‬و‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ى و – ‪٢‬ر‪ ٢‬ظﺎ ه – ر‪٠ = ٢‬‬ ‫‪‬ا = ‪٠‬‬ ‫‪(٢) .................‬‬ ‫ر‪ ٢) ٢‬ظﺎ ه ‪ = (١ +‬و‬ ‫ﻣﻦ )‪(٢) ، (١‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫ى ظﺎ ه =‬ ‫و × )‪ ٢‬ظﺎ ه ‪ = (١ +‬و ى ‪ ٢‬ظﺎ ه ‪= ١ +‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪.............‬‬ ‫و‬ ‫)‪(١‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٧‬اب ﺳﺎق ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ وزﻧﮭﺎ ‪ ٥‬ث ﻛﺠﻢ وطﻮﻟﮭﺎ ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ﺗﺮﺗﻜﺰ ﺑﻄﺮﻓﮭﺎ ا‬ ‫ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﯿﺔ ﺧﺸﻨﺔ وﺗﺮﺗﻜﺰ ﻋﻨﺪ إﺣﺪى ﻧﻘﻄﮭﺎ ج ﻋﻠﻰ وﺗﺪ أﻣﻠﺲ ﯾﻌﻠﻮ‬ ‫ﻋﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض ﺑﻤﻘﺪار ‪ ١٢.٥‬ﺳﻢ ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ اﻟﺴﺎق ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎﻧﺖ ﺗﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷرض اﻷﻓﻘﯿﺔ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ . ْ ٣٠‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻣﻘﺪار ﻗﻮة رد ﻓﻌﻞ اﻟﻮﺗﺪ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﻄﺮف ا واﻷرض ‪.‬‬ ‫ا‪... ‬‬ ‫ر‪ ٢‬ﺟﺘﺎ‪٣٠‬‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫اﻟﺴﺎق ﻣﺘﺰﻧﮫ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮى ‪:‬‬ ‫ب‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫ر‪ ١‬ﻋﻨﺪ ا ‪ ،‬ر‪ ٢‬ﻋﻨﺪ ج ‪،‬‬ ‫ر‪ ٢‬ﺟﺎ‪٣٠‬‬ ‫ج‬ ‫ووزﻧﮭﺎ ‪ ٥‬ث ﻛﺠﻢ ﻋﻨﺪ م ‪،‬‬ ‫ر‬ ‫م‬ ‫‪١‬‬ ‫وﻗﻮة اﻻﺣﺘﻜﺎك مر‪ ١‬ﻓﻰ اﺗﺠﺎه او@‬ ‫وﺑﺘﻄﺒﯿﻖ ﺷﺮوط اﻻﺗﺰان وھﻰ ‪:‬‬ ‫ز = ‪ ، ٠‬ض = ‪ ، ٠‬ا = ‪٠‬‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫مر‬ ‫ا‬ ‫‪١‬‬ ‫د‬ ‫‪٥‬‬ ‫ي ‪‬ا = ‪٠‬‬ ‫ى ‪ ١٥ × ٥‬ﺟﺘﺎ ‪ – ْ ٣٠‬ر‪٠ = ٢٥ × ٢‬‬ ‫وﻣﻦ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻰ اﻻﺗﺰان ‪:‬‬ ‫ى ر‪ ٢‬ﺟﺎ ‪ – ْ ٣٠‬م ر‪٠ = ١‬‬ ‫ى‬ ‫‪٣ ٣‬‬ ‫‪ ٢‬م ر‪= ١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ،‬ر‪ + ١‬ر‪ ٢‬ﺟﺘﺎ ‪٥ = ْ ٣٠‬‬ ‫و‬ ‫‪٣ ٣‬‬ ‫ى ر‪= ٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى ر‪ ٢ = ٢‬م ر‬ ‫‪١‬‬ ‫‪.........‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ )‪(١‬‬ ‫‪٣ ٣‬‬ ‫ى م ر‪= ١‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ر‪ ٥ = ٢‬وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ )‪(١‬‬ ‫ى ر ‪+‬‬ ‫‪٢ ١‬‬ ‫‪(٢) ............‬‬ ‫‪٦٢‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪٣ ٣‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١١ ٩‬‬ ‫ى ر‪= – ٥ = ١‬‬ ‫=‪٥‬‬ ‫×‬ ‫ى ر ‪+‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ ١‬‬ ‫‪٤ ٤‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻋﻦ ﻗﯿﻤﺔ ر‪ ١‬ﻓﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ )‪ (٢‬ﻹﯾﺠﺎد ﻗﯿﻤﺔ م ‪.‬‬ ‫‪٣ ٣‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫=‬ ‫ى م×‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ث ﻛﺠﻢ ‪.‬‬ ‫‪٣ ٣‬‬ ‫ى م =‬ ‫‪١١‬‬ ‫‪‬ر‪( ٥ ) ‬‬ ‫أو‪ (Y)    ‬أو ‪: (×) ‬‬ ‫)‪ (١‬ﻟﻜﻰ ﺗﺘﺰن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ ﻏﯿﺮ اﻟﻤﺘﻼﻗﯿﺔ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﯾﻠﺰم وﯾﻜﻔﻰ أن‬ ‫ﯾﻨﻌﺪم ﻣﺘﺠﮫ ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﻮى ‪.‬‬ ‫)‪ (٢‬ﻟﻜﻰ ﺗﺘﻮازن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﻮى اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ اﻟﻤﺆﺛﺮة ﻋﻠﻰ ﺟﺴﻢ ﻣﺎ ‪ ،‬ﯾﻠﺰم وﯾﻜﻔﻰ أن‬ ‫ﯾﻨﻌﺪم ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻤﺮﻛﺒﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻠﻘﻮى ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪﯾﻦ واﻗﻌﯿﻦ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﯾﮭﺎ‬ ‫)‪ (٣‬إذا أﻧﻌﺪم ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﻮى ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺎ واﻧﻌﺪم ﻋﺰﻣﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ واﺣﺪة ﻓﺈﻧﮫ ﯾﻨﻌﺪم‬ ‫ﻋﺰﻣﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻷى ﻧﻘﻄﺔ اﺧﺮى ﻓﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫)‪ (٤‬إذا أﻧﻌﺪم ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﻮى ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺎ واﻧﻌﺪم ﻋﺰﻣﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ واﺣﺪة ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮاھﺎ ﻛﺎﻧﺖ ھﺬه اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ ‪.‬‬ ‫)‪ (٥‬إذا ﻟﻢ ﯾﻨﻌﺪم ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﻮى ﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺎ واﻧﻌﺪم ﻋﺰﻣﮭﺎ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ واﺣﺪة ‪،‬‬ ‫ﻛﺎﻧﺖ ھﺬه اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ ‪.‬‬ ‫)‪ (٦‬ﯾﺘﺰن اﻟﺴﻠﻢ إذا ارﺗﻜﺰ ﺑﺄﺣﺪ طﺮﻓﯿﮫ ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﯿﺔ ﻣﻠﺴﺎء وﺑﻄﺮﻓﮫ اﻵﺧﺮ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ﺧﺸﻦ ‪.‬‬ ‫‪  ‬ا‪‬ب ‪‬ن ا‪ ‬ا‪: ‬‬ ‫)‪ (١‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ وزﻧ ﮫ ‪ ٤‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ وطﻮﻟ ﮫ ‪ ١٢٠‬ﺳ ﻢ ﯾﺘ ﺼﻞ ﺑﺄﺣــ ـﺪ طﺮﻓﯿ ﮫ ﺑﻤﻔ ﺼﻞ‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ ﻋﻨﺪ طﺮﻓﮫ ا واﻟﻤﻔ ﺼﻞ ﻣﺜﺒ ﺖ ﻓ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ ‪ .‬ﻋـ ـﻠﻖ ﺛﻘ ﻞ ﻗ ﺪره ‪ ٦‬ﻧﯿ ـﻮﺗﻦ‬ ‫ﻣﻦ ﻧﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ﻋﻦ طﺮﻓﮫ ا ﺛﻢ ﺣﻔ ﻆ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻓ ﻰ وﺿ ﻊ أﻓﻘ ﻰ‬ ‫ﺑﻮاﺳﻄﺔ رﺑﻄﮫ ﻣﻦ ب ﺑﺤﺒﻞ رﻓﯿــﻊ بج ﻣﺜﺒ ﺖ طﺮﻓ ﮫ ج ﺑﻨﻘﻄـ ـﺔ ﻋﻠ ﻰ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ ﺗﻘ ﻊ‬ ‫رأﺳﯿﺎ ﻓﻮق ا ﺗﻤﺎﻣﺎ وﺗﺒــﻌﺪ ﻋﻦ ا ﻣ ﺴﺎﻓﺔ ‪ ٩٠‬ﺳ ﻢ ‪ .‬أوﺟــ ـﺪ ﻣﻘ ﺪار اﻟ ﺸﺪ ﻓ ﻰ اﻟﺤـ ـﺒﻞ‬ ‫وﻣﻘﺪار واﺗﺠﺎه رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ‪.‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٥ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ١.٧٥ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪[ ْ ٦٠ َ ١٤ ،‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٦٣‬‬ ‫)‪ (٢‬ﺳﺎق ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ وزﻧﮭ ﺎ ‪ ٤‬ث ﻛﺠ ﻢ ﯾﺘ ﺼﻞ طﺮﻓﮭ ﺎ ا ﺑﻤﻔ ﺼﻞ ﻣﺜﺒ ﺖ ﻓ ﻰ ﺣـــ ـﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ‬ ‫وﺗﺤﻤﻞ ﻋﻨﺪ طﺮﻓﮭﺎ اﻵﺧﺮ ب ﺛﻘﻼ ﻗﺪره ‪ ٢‬ث ﻛﺠ ﻢ ‪ .‬ﺣﻔﻈ ﺖ اﻟ ﺴﺎق ﻓ ﻰ وﺿ ﻊ ﺗﻤﯿ ﻞ‬ ‫ﻓﯿﮫ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﻷﻋﻠﻰ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳــ ـﮭﺎ ‪ ْ ٣٠‬ﺑﻮاﺳﻄــ ـﺔ ﺣﺒ ﻞ ﻣ ﺴﺎو ﻟﮭ ﺎ ﻓ ﻰ اﻟﻄ ﻮل‬ ‫وﯾﺘﺼﻞ أﺣﺪ طﺮﻓﯿﮫ ﺑﺎﻟﻄﺮف ب ﻟﻠﺴﺎق وﯾﺘ ﺼﻞ طﺮﻓ ﮫ اﻵﺧ ﺮ ﺑﻨﻘﻄ ﺔ ج ﻣ ﻦ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ‬ ‫ﺗﻘﻊ رأﺳﯿﺎ أﻋﻠ ﻰ ا وﻋﻠ ﻰ ﺑﻌ ﺪ ﻣﻨﮭ ﺎ ﯾ ﺴـﺎوى ط ﻮل اﻟ ﺴﺎق ‪ .‬أوﺟ ﺪ ﻣﻘ ﺪار اﻟ ﺸـــﺪ ﻓ ﻰ‬ ‫اﻟﺤﺒﻞ وﻣﻘﺪار ﻗﻮة رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ‪.‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤ :‬ث ﻛﺠﻢ ‪ ٧ ٢ ،‬ث ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (٣‬ﺳﻠﻢ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ ‪ ٦٤‬ث ﻛﺠﻢ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﺑﺄﺣﺪ طﺮﻓﯿﮫ ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ وﺑﻄﺮﻓ ﮫ اﻵﺧ ﺮ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى أﻓﻘﻰ أﻣﻠﺲ وﺣﻔﻆ اﻟ ﺴﻠﻢ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ ﻓ ﻰ وﺿ ﻊ ﯾﻤﯿ ﻞ ﻓﯿ ﮫ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ٤٥‬ﺑﻮاﺳ ﻄﺔ ﺣﺒــ ـﻞ ﻣﺜﺒ ﺖ ﻓ ﻰ ﻗــ ـﺎﻋﺪة اﻟ ﺴﻠﻢ وﻓ ﻰ ﻧﻘﻄ ﺔ ﻣ ﻦ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺗﻘﻊ رأﺳﯿﺎ أﺳﻔﻞ ﻗﻤﺔ اﻟﺴــﻠﻢ ‪ .‬وﻗ ﻒ رﺟ ﻞ وزﻧ ﮫ ﯾ ﺴــﺎوى وزن اﻟ ﺴﻠﻢ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻣﻮﺿﻊ ﻣﻦ اﻟﺴﻠﻢ ﯾﺒﻌﺪ طﻮل اﻟﺴﻠﻢ ﻣﻦ ﻧﺎﺣﯿ ﺔ اﻟﻘﺎﻋ ﺪة ‪ .‬ﻋ ﯿﻦ ﻗ ﻮة اﻟ ﺸﺪ ﻓ ﻰ اﻟﺤﺒ ﻞ‬ ‫‪٤‬‬ ‫وردى ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﺋﻂ واﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٨٠ :‬ث ﻛﺠﻢ ‪ ٨٠ ،‬ث ﻛﺠﻢ ‪ ١٢٨ ،‬ث ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (٤‬ﯾﺮﺗﻜﺰ ﺳ ﻠﻢ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ وزﻧ ﮫ ‪ ١٠‬ث ﻛﺠ ﻢ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى أﻣﻠ ﺲ وﺑﻄﺮﻓ ﮫ ب ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ اﻣﻠــﺲ ‪ .‬ﺣﻔﻆ اﻟ ﺴﻠﻢ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴــﺘﻮى رأﺳ ﻰ وﻓ ﻰ وﺿـ ـﻊ ﯾﻤﯿ ﻞ ﻓﯿ ﮫ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ْ ٤٥‬ﺑﻮاﺳﻄﺔ ﺣﺒ ﻞ اﻓﻘ ﻰ ﯾ ﺼﻞ اﻟﻄ ﺮف ا ﺑﻨﻘﻄ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ راﺳﯿﺎ أﺳﻔﻞ ب ‪ .‬ﯾﺼﻌﺪ رﺟﻞ وزﻧﮫ ‪ ٨٠‬ث ﻛﺠﻢ ھﺬا اﻟﺴﻠﻢ ‪ .‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻗﻮة اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺤﺒﻞ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن اﻟﺮﺟﻞ ﻗﺪ ﻗﻄﻊ طﻮل اﻟﺴﻠﻢ ‪.‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬أﻗﺼﻰ ﻗﯿﻤﺔ ﻟﻠﺸﺪ اﻟﺘﻰ ﯾﺘﺤﻤﻠﮭﺎ اﻟﺤﺒﻞ ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻧﮫ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﻘﻄﺎع‬ ‫ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﺼﻞ اﻟﺮﺟﻞ ﻋﻠﻰ ﻗﻤﺔ اﻟﺴﻠﻢ ‪ ] .‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٦٥ :‬ث ﻛﺠﻢ ‪ ٨٥ ،‬ث ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (٥‬ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ ‪ ٤٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺑﻄﺮﻓﮫ ا ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﯿ ﺔ ﺧ ﺸﻨﮫ وﺑﻄﺮﻓ ﮫ ب‬ ‫ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ أﻣﻠ ﺲ ﺑﺤﯿ ﺚ ﯾﻜ ﻮن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ ﻋﻤ ﻮدى ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﺤﺎﺋﻂ وﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷرض اﻷﻓﻘﯿﺔ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ . ْ ٤٥‬أوﺟ ﺪ ﻣﻘ ﺪار أﻗ ﻞ ﻗ ﻮة اﻓﻘﯿ ﺔ‬ ‫ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻨ ﺪ اﻟﻄ ﺮف ا ﻟﻠﻘ ﻀﯿﺐ ﻟﻜ ﻰ ﺗﺠﻌﻠﮭ ﺎ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻻﻧ ﺰﻻق ﺑﻌﯿ ﺪا ﻋ ﻦ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ‬ ‫ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄن ﻣﻌﺎﻣﻞ ﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ واﻷرض ‪. ٠.٧٥‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪ (٦‬ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ ﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ اﻟﻌﻠ ﻮى ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ أﻣﻠ ﺲ‬ ‫وﺑﻄﺮﻓ ﮫ اﻟ ﺴﻔﻠﻰ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى ﺧ ﺸﻦ أﻓﻘ ﻰ ﺑﺤﯿ ﺚ ﻛ ﺎن ﯾ ﺼﻨﻊ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻣ ﻊ اﻷﻓﻘ ﻰ‬ ‫‪٣‬‬ ‫زاوﯾﺔ ظﻠﮭﺎ ‪ .‬اوﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ واﻟﻤﺴﺘﻮى اﻷﻓﻘ ﻰ ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﯾﻜ ﻮن‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬م = ‪[ ٣‬‬ ‫ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ‪.‬‬ ‫‪٦٤‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫)‪ (٧‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ وﻧ ﮫ ‪ ٥٦‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﺑﺄﺣ ﺪ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ ا ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ اﻣﻠ ﺲ‬ ‫وﺑﻄ ﺮف ب ﻋﻠ ﻰ أرض أﻓﻘﯿ ﺔ ﺧ ﺸﻨﮫ ﺑﺤﯿ ﺚ ﯾﻘ ﻊ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ وﯾﻤﯿ ﻞ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻷﻓﻘ ﻰ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ ‪ . ْ ٤٥‬أﺛﺒ ﺖ أﻧ ﮫ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ اﺗ ﺰان اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﺑ ﺄن ﻣﻌﺎﻣ ﻞ‬ ‫اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ≤ ‪ ، ٠.٥‬وإذا ﻛ ﺎن ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘ ـﻜﺎك = ‪ ٠.٧٥‬ﻓﻌ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻮة اﻷﻓﻘﯿـ ـﺔ اﻟﺘ ﻰ‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ب وﺗﺠﻌﻠﮫ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻧﺤﻮ اﻟﺤﺎﺋﻂ‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﺑﻌﯿﺪا ﻋﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٧٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ١٤ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ[‬ ‫)‪ (٨‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ ﻣﻘ ﺪار وزﻧ ﮫ ‪ ٤٠‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ ا ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑﯿﻨ ﮫ وﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾ ﺴﺎوى وﺑﻄﺮﻓ ﮫ ب ﻋﻠ ﻰ ارض أﻓﻘﯿ ﺔ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑﯿﻨﮭ ﺎ وﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﺗ ﺴﺎوى ﻓ ﺈذا ﻛﺎﻧ ﺖ أﻗ ﻞ ﻗ ﻮة أﻓﻘﯿ ﺔ ﺗﺠﻌ ﻞ‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻟﻄﺮف ب ﻟﻠﻘﻀﯿﺒﺐ ﻋﻠﻰ وﺷ ﻚ اﻟﺤﺮﻛ ﺔ ﻧﺤ ﻮ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ ﺗ ﺴﺎوى ‪ ٦٠‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ‪ ،‬ﻓﺄوﺟ ﺪ‬ ‫ﻓ ﻰ وﺿ ﻊ اﻻﺗ ﺰان ﻗﯿ ﺎس زاوﯾ ﺔ ﻣﯿ ﻞ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ‪ ،‬ﻋﻠﻤ ﺎ ﺑ ﺄن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪[ ْ ٤٥ :‬‬ ‫ﯾﺘﺰن ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ‪.‬‬ ‫)‪ (٩‬ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧ ﮫ "و" ﯾﺘ ﺼﻞ أﺣ ﺪ طﺮﻓﯿ ﮫ ﺑﻤﻔ ﺼﻞ وﯾﺘ ﺼﻞ طﺮﻓ ﮫ اﻵﺧ ﺮ ﺑﺨ ﯿﻂ‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻷﻓﻘﻰ اﻟﻤ ﺎر ﺑﺎﻟﻤﻔ ﺼﻞ ﺑﺤﯿ ﺚ ﻛ ﺎن ﻗﯿ ﺎس زاوﯾ ﺔ‬ ‫ﻣﯿ ﻞ ﻛ ﻞ ﻣ ﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ واﻟﺨ ﯿﻂ ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ﻣ ﺴﺎ ٍو ه ‪ .‬أﺛﺒ ﺖ أن رد ﻓﻌ ﻞ اﻟﻤﻔ ﺼﻞ‬ ‫‪٢‬‬ ‫و‬ ‫ظﺘﺎ ه ‪. ٩ +‬‬ ‫ﯾﺴﺎوى‬ ‫‪٤‬‬ ‫)‪ (١٠‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ طﻮﻟ ﮫ "ل" وﻣﻘـ ـﺪار وزﻧ ﮫ "و" وﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﺑﻄـ ـﺮﻓﮫ ا ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﻣ ﺴﺘﻮى أﻓﻘ ﻰ ﺧ ﺸﻦ وﺑﻄﺮﻓ ﮫ ب ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ اﻣﻠ ﺲ وﻛ ﺎن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾﻤﯿ ﻞ‬ ‫ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ "ى" ﻋﻠ ﻰ اﻟﺮأﺳ ﻰ أﺛ ﺮت ﻗ ﻮة أﻓﻘﯿ ﺔ "ق" ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋﻨ ﺪ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻧﻘﻄ ﺔ ج ﺣﯿ ﺚ اج = ل ﻓﻜ ﺎن اﻟﻄ ﺮف ا ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻟﺤﺮﻛ ﺔ ﻧﺤ ﻮ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻓﺎﺛﺒ ﺖ أن‬ ‫ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ واﻟﻤ ﺴﺘﻮى اﻷﻓﻘ ﻰ ﯾ ﺴﺎوى‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬ق‬ ‫‪. ١‬‬ ‫ظﺎ ى =‬ ‫‪٢‬و‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٦٥‬‬ ‫‪  ‬ل ا‪‬و‪ ‬ا‪: ‬‬ ‫)‪ (١‬ﻣﺼﺮ‪ : ١٩٩٣/‬ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ ‪ ٢٤‬ث ﻛﺠﻢ‬ ‫ﺑﺄﺣﺪ طﺮﻓﯿﮫ ﻋﻠﻰ ارض أﻓﻘﯿﺔ وﺑﻄﺮﻓﮫ‬ ‫اﻵﺧﺮ ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘ ٍﻮ اﻣﻠﺲ ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ْ ٦٠‬‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ . ْ ٦٠‬إذا ﻛﺎن‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎن‬ ‫ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻠﮫ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ‪ ، ْ ٣٠‬ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣ ١٢ ،١٢ ،‬‬ ‫واﻷرض ورد ﻓﻌﻞ ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى واﻷرض ‪] .‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪:‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ث ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (٢‬ﻣ ﺼﺮ‪ : ١٩٩٤/‬ﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﻗ ﻀﯿﺐ ﻏﯿ ﺮ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ اب طﻮﻟ ﮫ ‪ ١٤٠‬ﺳ ﻢ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ ب ﻋﻠ ﻰ‬ ‫أرض أﻓﻘﯿﺔ وﺑﻄﺮﻓﮫ ا ﻋﻠﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ ‪ ،‬إذا ﻛ ﺎن ﻣﻌ ﺎﻣﻼ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫‪١ ١‬‬ ‫وﻛﻞ ﻣﻦ اﻷرض واﻟﺤﺎﺋﻂ ﯾﺴﺎوى ‪ ،‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ وﻛﺎن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ‬ ‫‪٣ ٢‬‬ ‫اﻻﻧ ﺰﻻق ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﻛ ﺎن ﻗﯿ ﺎس زاوﯾ ﺔ ﻣﯿﻠ ﮫ ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ‪ ْ ٤٥‬ﻓﺄوﺟ ﺪ ﺑﻌ ﺪ ﻣﺮﻛ ﺰ ﺛﻘ ﻞ‬ ‫اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋ ﻦ اﻟﻄ ﺮف ب ‪) .‬اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾﻘ ﻊ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ ﻋﻤ ﻮدى ﻋﻠ ﻰ ﺧ ﻂ‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٨٠ :‬ﺳﻢ [‬ ‫ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﻣﻊ اﻷرض ( ‪.‬‬ ‫)‪ (٣‬ﻣﺼﺮ‪ : ١٩٩٥/‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ٢٦٠‬ﺳﻢ وﻣﻘﺪار وزﻧﮫ ‪ ٤٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺮﺗﻜﺰ‬ ‫ﺑﻄﺮﻓﮫ ا ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ وﺑﻄﺮﻓﮫ ب ﻋﻠﻰ أرض اﻓﻘﯿﺔ وﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻼ اﻻﺣﺘﻜﺎك‬ ‫‪١ ١‬‬ ‫ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ وﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ واﻷرض ﯾﺴﺎوﯾﺎن ‪ ،‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ وﻛﺎن‬ ‫‪٢ ٤‬‬ ‫اﻟﻄﺮف ب ﯾﺒﻌﺪ ‪ ١٠٠‬ﺳﻢ ﻋﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة اﻷﻓﻘﯿﺔ اﻟﺘﻰ إذا اﺛﺮت ﻓﻰ‬ ‫اﻟﻄﺮف ب ﺟﻌﻠﺖ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻧﺤﻮ اﻟﺤﺎﺋﻂ ‪) .‬اﻟﻘﻀﯿﺐ ﯾﻘﻊ ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺤﺎﺋﻂ واﻷرض( ‪.‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪:‬‬ ‫‪ ٤٥.٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪ (٤‬ﻗ ﺪﯾﻢ‪ : ١٩٩٦/‬ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ وزﻧ ﮫ و ﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ اﻟﻌﻠ ﻮى ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ راﺳ ﻰ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻨﮫ وﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾ ﺴﺎوى وﺑﻄﺮﻓ ﮫ اﻟ ﺴﻔﻠﻰ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى اﻓﻘ ﻰ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٦٦‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑﯿﻨ ﮫ وﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾ ﺴﺎوى‬ ‫‪٤‬‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﻊ اﻷﻓﻘﻰ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ‪.‬‬ ‫‪ .‬أوﺟ ﺪ ظ ﻞ اﻟﺰاوﯾ ﺔ اﻟﺘ ﻰ ﯾ ﺼﻨﻌﮭﺎ‬ ‫‪٥‬‬ ‫‪[ ١٢‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪:‬‬ ‫)‪ (٥‬ﻗ ﺪﯾﻢ‪ : ١٩٩٧/‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ طﻮﻟ ﮫ ‪ ٦٠‬ﺳ ﻢ ووزﻧ ﮫ ‪ ٨‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﯾﺘ ﺼﻞ طﺮﻓ ﮫ ا‬ ‫ﺑﻤﻔﺼﻞ ﻣﺜﺒﺖ ﻓﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ﻋﻠﻖ ﺛﻘﻞ ﻗ ﺪره ‪ ٦‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﻓ ﻰ ﻧﻘﻄ ﺔ ﻣ ﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﺗﺒﻌ ﺪ‬ ‫‪ ٤٠‬ﺳﻢ ﻋﻦ اﻟﻄﺮف ا ‪ .‬اﺗﺰن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﻰ وﺿ ﻊ أﻓﻘ ﻰ ﺑﻮاﺳ ﻄﺔ ﺧ ﯿﻂ ﺧﻔﯿ ﻒ ﯾﺘ ﺼﻞ‬ ‫اﺣ ﺪ طﺮﻓﯿ ﮫ ﺑ ﺎﻟﻄﺮف ب ﻣ ﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ وﺛﺒ ﺖ اﻟﻄ ﺮف اﻵﺧ ﺮ ﻟﻠﺨ ﯿﻂ ﺑﻨﻘﻄ ﺔ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫‪.‬‬ ‫اﻟﺤﺎﺋﻂ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ٨٠‬ﺳﻢ رأﺳﯿﺎ أﻋﻠﻰ ا ‪ .‬اوﺟﺪ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺨﯿﻂ ورد ﻓﻌ ﻞ اﻟﻤﻔ ﺼﻞ ‪.‬‬ ‫)‪/١٩٩٧ (٦‬دور أول ‪ :‬ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﻣﻘﺪار وزﻧﮫ ‪ ١٠٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺑﺮﺗﻜ ﺰ ﺑﺄﺣ ﺪ طﺮﻓﯿ ﮫ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻨﮫ وﺑﯿﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﯾ ﺴﺎوى ‪ ،‬وﺑﻄﺮﻓ ﮫ اﻵﺧ ﺮ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫أرض اﻓﻘﯿ ﺔ ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑﯿﻨﮭ ﺎ وﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾ ﺴﺎوى وﻛ ﺎن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻓ ﻰ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫وﺿﻊ ﯾﻤﯿﻞ ﻓﯿﮫ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﺟﯿﺒﮭ ﺎ ‪) .‬اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾﻘ ﻊ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﺤﺎﺋﻂ واﻷرض( ‪.‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٩ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫)‪/١٩٩٧ (٧‬دور ﺛ ﺎن ‪ :‬ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ ﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ اﻟﻌﻠ ﻮى ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ اﻣﻠﺲ وﺑﻄﺮﻓﮫ اﻟ ﺴﻔﻠﻰ ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى أﻓﻘ ﻰ ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑﯿﻨ ﮫ وﺑ ﯿﻦ‬ ‫‪١‬‬ ‫اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾ ﺴﺎوى ‪ .‬اوﺟ ﺪ ظ ﻞ اﻟﺰاوﯾ ﺔ اﻟﺘ ﻰ ﯾ ﺼﻨﻌﮭﺎ ﻟﻠﻘ ﻀﯿﺐ ﻣ ﻊ اﻷﻓﻘ ﻰ ﻋﻨ ﺪﻣﺎ‬ ‫‪٤‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪[ ٢ :‬‬ ‫ﯾﻜﻮن ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ‪.‬‬ ‫)‪/١٩٩٨ (٨‬دور أول ‪ :‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ وزﻧ ﮫ ‪ ٢٠‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ وطﻮﻟ ﮫ ‪ ٦٠‬ﺳ ﻢ ﯾﺮﺗﻜ ﺰ‬ ‫ﺑﻄﺮﻓ ﮫ ا ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى أﻓﻘ ﻰ ﺧ ﺸﻦ وﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﻋﻨ ﺪ إﺣ ﺪى ﻧﻘﻄ ﮫ ج ﻋﻠ ﻰ وﺗ ﺪ أﻓﻘ ﻰ‬ ‫أﻣﻠ ﺲ ﯾﻌﻠ ﻮ ‪ ٢٥‬ﺳ ﻢ ﻋ ﻦ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى اﻷﻓﻘ ﻰ ﻓ ﺈذا ﻛ ﺎن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ‬ ‫ﻋﻤ ﻮدى ﻋﻠ ﻰ اﻟﻮﺗ ﺪ وﻛ ﺎن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻻﻧ ﺰﻻق ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﻛﺎﻧ ﺖ زاوﯾ ﺔ ﻣﯿﻠ ﮫ‬ ‫ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ‪ . ْ ٣٠‬أوﺟ ﺪ رد ﻓﻌ ﻞ اﻟﻮﺗ ﺪ وﻛ ﺬﻟﻚ ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫واﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١١ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪،‬‬ ‫‪٣ ٣‬‬ ‫‪١١‬‬ ‫)‪/١٩٩٨ (٩‬دور ﺛﺎن ‪ :‬ﯾﺮﺗﻜﺰ ﺳﻠﻢ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ ‪ ٤٠‬ث ﻛﺠﻢ ﺑﺄﺣﺪ طﺮﻓﯿﮫ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ‬ ‫رأﺳﻰ أﻣﻠﺲ وﺑﻄﺮﻓﮫ اﻵﺧﺮ ﻋﻠﻰ ارض أﻓﻘﯿﺔ ﺧﺸﻨﮫ ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻘﻊ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ‬ ‫ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ وﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ . ْ ٤٥‬ﺻﻌﺪ وﻟﺪ وزﻧﮫ‬ ‫[‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٦٧‬‬ ‫ﯾﺴﺎوى وزن اﻟﺴﻠﻢ ﻓﺄﺻﺒﺢ اﻟﺴﻠﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻘﻄﻊ اﻟﻮﻟﺪ ﻣﺴﺎﻓﺔ‬ ‫‪٣‬‬ ‫طﻮل اﻟﺴﻠﻢ ‪ ،‬أوﺟﺪ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻷرض واﻟﺴﻠﻢ ‪ .‬وإذا اراد اﻟﻮﻟﺪ أن‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﯾﺘﻢ ﺻﻌﻮد اﻟﺴﻠﻢ ‪ ،‬ﻓﺄوﺟﺪ أﻗﻞ ﻗﻮة اﻓﻘﯿﺔ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻄﺮف اﻟﺴﻔﻠﻰ ﻟﻠﺴﻠﻢ ﺣﺘﻰ‬ ‫ﯾﺘﻤﻜﻦ اﻟﻮﻟﺪ ﻣﻦ ذﻟﻚ ‪.‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٠ ، ٥٨ :‬ث ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪/١٩٩٩ (١٠‬دور أول ‪ :‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ ‪ ١٥‬ث ﻛﺠﻢ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﺑﻄﺮﻓﮫ ا ﻋﻠﻰ‬ ‫ارض أﻓﻘﯿﺔ ﺧﺸﻨﮫ وﺑﻄﺮﻓﮫ ب ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ أﻣﻠﺲ ﯾﺤﯿﺚ ﯾﻘﻊ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﻰ‬ ‫ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ وﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪، ْ ٤٥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫أﺛﺮت ﻗﻮة اﻓﻘﯿﺔ ق ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ج ﻣﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺣﯿﺚ اج ﯾﺴﺎوى طﻮل‬ ‫‪٤‬‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﺄﺻﺒﺢ اﻟﻄﺮف ا ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻧﺤﻮ اﻟﺤﺎﺋﻂ ‪ .‬إذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ‬ ‫‪١‬‬ ‫اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ واﻷرض ﯾﺴﺎوى أوﺟﺪ اﻟﻘﻮة ق ورد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﺋﻂ ‪.‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٢.٥ ، ٢٠ :‬ث ﻛﺠﻢ‬ ‫[‬ ‫)‪/٢٠٠٠ (١١‬دور أول ‪ :‬اب ﺳﻠﻢ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ ‪ ١٤‬ث ﻛﺠﻢ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﺑﻄﺮﻓﮫ ا ﻋﻠﻰ‬ ‫أرض أﻓﻘﯿﺔ ﺧﺸﻨﮫ وﯾﺮﺗﻜﺰ ﺑﻄﺮﻓﮫ ب ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ﺧﺸﻦ ‪ ،‬وﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺴﻠﻢ واﻷرض وﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺴﻠﻢ واﻟﺤﺎﺋﻂ ‪ ،‬ﻓﺈذ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٧‬‬ ‫اﺗﺰن اﻟﺴﻠﻢ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎن ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫ﺑﺰاوﯾﺔ ‪ ْ ٤٥‬ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻘﺪار أﻗﻞ ﻗﻮة أﻓﻘﯿﺔ ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ اﻟﻄﺮف ا ﻣﻦ اﻟﺴﻠﻢ ﻟﺘﺠﻌﻠﮫ‬ ‫ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻟﺤﺮﻛﺔ ﻧﺤﻮ اﻟﺤﺎﺋﻂ ‪.‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٨ :‬ث ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪/٢٠٠٠ (١٢‬دور ﺛﺎن ‪ :‬ﺳﻠﻢ ﻣﻨﺘﻈﻢ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﺑﺄﺣﺪ طﺮﻓﯿﮫ ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ ﺧﺸﻦ وﺑﻄﺮﻓﮫ‬ ‫اﻵﺧﺮ ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﯿﺔ ﺧﺸﻨﮫ ‪ ،‬وﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﺴﻠﻢ وﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﺤﺎﺋﻂ‬ ‫‪١‬‬ ‫واﻷرض ﯾﺴﺎوى‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ .‬ﻓﺈذا اﺗﺰن اﻟﺴﻠﻢ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﻓﻰ‬ ‫‪١‬‬ ‫وﺿﻊ ﯾﻤﯿﻞ ﻓﯿﮫ ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ ﺑﺰاوﯾﺔ ظﻠﮭﺎ‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٩‬‬ ‫طﻮل اﻟﺴﻠﻢ دون ان ﯾﺨﺘﻞ اﻟﺘﻮازن ‪.‬‬ ‫اﻟﺴﻠﻢ ﻻ ﯾﻤﻜﻨﮫ اﻟﺼﻌﻮد اﻛﺜﺮ ﻣﻦ‬ ‫‪١٠‬‬ ‫‪ .‬ﺑﺮھﻦ أن رﺟﻼ وزﻧﮫ ﯾﺴﺎوى وزن‬ ‫‪٦٨‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫)‪/٢٠٠١ (١٣‬دور أول ‪ :‬ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ وزﻧﮫ )و( ﯾﺴﺘﻨﺪ ﺑﺄﺣﺪ طﺮﻓﯿﮫ ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ‬ ‫ﺧﺸﻦ وﺑﻄﺮﻓﮫ اﻵﺧﺮ ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﯿﺔ ﺧﺸﻨﮫ وﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫واﻟﺤﺎﺋﻂ ﯾﺴﺎوى وﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﯾ ﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ واﻷرض ﯾ ﺴﺎوى ﻓ ﺈذا اﺗ ﺰن‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ﻋﻤ ﻮدى ﻋﻠ ﻰ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ ﻓﺄوﺟ ﺪ ظ ﻞ زاوﯾ ﺔ ﻣﯿ ﻞ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫‪٨‬‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺮأﺳﻰ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ‪.‬‬ ‫‪[ ١١‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪:‬‬ ‫)‪/٢٠٠١ (١٤‬دور ﺛﺎن ‪ :‬ﻗ ﻀﯿﺐ ﻏﯿ ﺮ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ اب طﻮﻟ ﮫ ‪ ٧٠‬ﺳ ﻢ ﯾﺮﺗﻜ ﺰ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ ا ﻋﻠ ﻰ‬ ‫ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ وﺑﻄﺮﻓ ﮫ ب ﻋﻠ ﻰ أرض أﻓﻘﯿ ﺔ وﻛ ﺎن ﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫‪١‬‬ ‫واﻟﺤ ﺎﺋﻂ ﯾ ﺴﺎوى وﻣﻌﺎﻣ ﻞ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﺑ ﯿﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ واﻷرض‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﯾ ﺴﺎوى ﻓ ﺈذا ﻛ ﺎن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾﻘ ﻊ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ ﻋﻤ ﻮدى ﻋﻠ ﻰ ﺧ ﻂ ﺗﻘ ﺎطﻊ‬ ‫‪٢‬‬ ‫اﻟﺤ ﺎﺋﻂ ﻣ ﻊ اﻷرض وﻛ ﺎن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻻﻧ ﺰﻻق ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﻛ ﺎن ﻗﯿ ﺎس زاوﯾ ﺔ‬ ‫ﻣﯿﻠﮫ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ‪ ْ ٤٥‬ﻓﺄوﺟﺪ ﺑﻌﺪ ﻣﺮﻛﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻦ اﻟﻄﺮف ب ‪] .‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٠ :‬ﺳﻢ [‬ ‫)‪/٢٠٠٢ (١٥‬دور اول ‪ :‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ وزﻧ ﮫ ‪ ١٠‬ث ﻛﺠ ﻢ ﯾ ﺴﺘﻨﺪ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ ا ﻋﻠ ﻰ‬ ‫أرض أﻓﻘﯿﺔ ﺧﺸﻨﮫ وﺑﻄﺮﻓ ﮫ ب ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ اﻣﻠ ﺲ ﺑﺤﯿ ﺚ ﯾﻜ ﻮن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻓ ﻰ‬ ‫ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ ﻋﻤ ﻮدى ﻋﻠ ﻰ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ وﯾﻤﯿ ﻞ ﻋﻠ ﻰ اﻷرض اﻷﻓﻘﯿ ﺔ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪ ْ ٤٥‬ﻓﺈذا ﻛﺎن ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ واﻷرض ﯾ ﺴﺎوى ‪ .‬أوﺟ ﺪ ﻣﻘ ﺪار أﻗ ﻞ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﻗ ﻮة أﻓﻘﯿ ﺔ ﺗ ﺆﺛﺮ ﻋﻨ ﺪ اﻟﻄ ﺮف ا ﻟﻠﻘ ﻀﯿﺐ وﺗﺠﻌﻠ ﮫ ﻋﻠ ﻰ وﺷ ﻚ اﻻﻧ ﺰﻻق ﺑﻌﯿ ﺪا ﻋ ﻦ‬ ‫اﻟﺤﺎﺋﻂ ‪ ،‬وﻣﻘﺪار رد ﻓﻌﻞ اﻟﺤﺎﺋﻂ ‪.‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ق = ‪ ٢.٥‬ث ﻛﺠﻢ ‪ ،‬ر = ‪ ٥‬ث ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪/٢٠٠٣ (١٦‬دور أول ‪ :‬اب ﺳ ﻠﻢ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ وزﻧ ﮫ ‪ ٩‬ث ﻛﺠ ﻢ ﯾ ﺴﺘﻨﺪ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ ا ﻋﻠ ﻰ أرض‬ ‫أﻓﻘﯿ ﺔ ﺧ ﺸﻨﮫ وﺑﻄﺮﻓ ﮫ ب ﻋﻠ ﻰ ﺣ ﺎﺋﻂ رأﺳ ﻰ ﺧ ﺸﻦ ﻓ ﺈذا ﻛ ﺎن ﻣﻌ ﺎﻣﻼ اﻻﺣﺘﻜ ﺎك ﻋﻨ ﺪ‬ ‫‪١ ٥‬‬ ‫ا ‪ ،‬ب ھﻤ ﺎ ‪ ،‬ﻋﻠ ﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿ ﺐ ﺛ ﻢ ﺷ ﺪ اﻟﻄ ﺮف ا ﻟﻠ ﺴﻠﻢ ﺑﻘ ﻮة أﻓﻘﯿ ﺔ ق& ﺟﻌﻠ ﺖ‬ ‫‪٢ ٦‬‬ ‫اﻟﺴﻠﻢ ﻋﻠﻰ وﺷﻚ اﻻﻧﺰﻻق ﺑﻌﯿﺪا ﻋ ﻦ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ وﻛ ﺎن اﻟ ﺴﻠﻢ ﯾ ﺼﻨﻊ ﻣ ﻊ اﻷﻓﻘ ﻰ زاوﯾ ﺔ‬ ‫ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ ‪ . ْ ٤٥‬اوﺟ ﺪ ﻣﻘ ﺪار اﻟﻘ ﻮة ق& )اﻟ ﺴﻠﻢ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ ﻋﻤ ﻮدى ﻋﻠ ﻰ اﻟﺤ ﺎﺋﻂ( ‪.‬‬ ‫]اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ق = ‪ ٣.٢٥‬ث ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪/٢٠٠٣ (١٧‬دور ﺛﺎن ‪ :‬اب ﺳﻠﻢ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ١٠‬ﻣﺘﺮ ووزﻧﮫ ‪ ٢٠‬ث ﻛﺠﻢ ﯾﺴﺘﻨﺪ‬ ‫‪١‬‬ ‫ﺑﻄﺮﻓﮫ ا ﻋﻠﻰ أرض أﻓﻘﯿﺔ ﺧﺸﻨﮫ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻻﺣﺘﻜﺎك ﺑﯿﻨﮭﺎ وﺑﯿﻦ اﻟﺴﻠﻢ وﯾﺮﺗﻜﺰ‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺑﻄﺮﻓﮫ ب ﻋﻠﻰ ﺣﺎﺋﻂ رأﺳﻰ اﻣﻠﺲ ‪ .‬اﺛﺒﺖ أن اﻟﺴﻠﻢ ﻻ ﯾﻤﻜﻦ ان ﯾﺘﺰن ﻋﻨﺪﻣﺎ ﯾﻜﻮن‬ ‫اﻟﻄﺮف ب ﻋﻠﻰ ﺑﻌﺪ ‪ ٨‬ﻣﺘﺮ ﻣﻦ ﺳﻄﺢ اﻷرض )اﻟﺴﻠﻢ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ اﻟﺤﺎﺋﻂ(‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٦٩‬‬ ‫ا‪ ‬ا‪ : ‬ا‪‬زدوا‪‬ت‬ ‫ا‪‬زدواج ‪:‬‬ ‫ھﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ﻗﻮى ﺗﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﻤﻌﯿﺎر‬ ‫وﻣﺘﻀﺎدﺗﺎن ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه وﻻ ﯾﺠﻤﻌﮭﻤﺎ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ واﺣﺪ ‪.‬‬ ‫‪ ‬ا‪‬زدواج ‪:‬‬ ‫جو‬ ‫ق‬ ‫ھﻮ ﻣﺘﺠﮫ ﺛﺎﺑﺖ ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻰ ﺗﻨﺴﺐ‬ ‫إﻟﯿﮭﺎ ﻋﺰﻣﻰ ﻗﻮﺗﯿﮫ وﯾﺴﺎوى ﻋﺰم إﺣﺪى ﻗﻮﺗﻰ‬ ‫اﻻزدواج ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮة اﻷﺧﺮى ‪.‬‬ ‫ج = با × ق = اب × )‪ -‬ق(‬ ‫ه‬ ‫ب‬ ‫اه‬ ‫ل‬ ‫‪ -‬ق‬ ‫‪: ‬‬ ‫ﻻ ﯾﺘﻐﯿﺮ ﻋﺰم اﻻزدواج إذا اﺳﺘﺒﺪﻟﺖ ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ا أى ﻧﻘﻄﺔ أﺧﺮى ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮة ق‬ ‫وﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ ب ﻋﻠﻰ أى ﻧﻘﻄﺔ أﺧﺮى ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮة )‪ -‬ق( ‪.‬‬ ‫م‪: ‬‬ ‫ﻋﺰم اﻻزدواج ھﻮ ﻣﺘﺠﮫ ﺛﺎﺑﺖ ‪ ،‬ﻻ ﯾﻌﺘﻤﺪ ﻋﻠﻰ اﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﺘﻰ ﻧﻨﺴﺐ إﻟﯿﮭﺎ ﻋﺰﻣﻰ ﻗﻮﺗﯿﮫ‬ ‫وﯾﺴﺎوى ﻋﺰم إﺣﺪى ﻗﻮﺗﻰ اﻻزدواج ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻨﻘﻄﺔ ﻋﻠﻰ ﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮة اﻷﺧﺮى ‪.‬‬ ‫‪‬ر وا‪‬ه ‪ ‬ا‪‬زدواج ‪:‬‬ ‫|| ج || = با × ق ﺟﺎ ه = ق ) با ﺟﺎ ه ( = قل ‪.‬‬ ‫ﺣﯿﺚ ل ھﻮ اﻟﺒﻌﺪ اﻟﻌﻤﻮدى ﺑﯿﻦ ﺧﻄﻰ ﻋﻤﻞ ﻗﻮﺗﻰ اﻻزدواج ‪ ،‬وﯾﺴﻤﻰ ذراع اﻻزدواج ‪.‬‬ ‫واﺗﺠﺎه ﻋﺰم اﻻزدواج ﯾﻜﻮن ﻋﻤﻮدﯾﺎ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﺬى ﯾﺠﻤﻊ ﻗﻮﺗﯿﮫ وﯾﺘﺤﺪد طﺒﻘﺎ ﻟﻘﺎﻋﺪة‬ ‫اﻟﯿﺪ اﻟﯿﻤﻨﻰ ‪.‬‬ ‫‪‬ة ‪:‬‬ ‫ل‬ ‫ق‬ ‫‪+‬‬ ‫ق‬ ‫ج<‪.‬‬ ‫اﻻزدواج ﯾﻌﻤﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺪوران ﻓﻰ‬ ‫ﻋﻜﺲ اﺗﺠﺎه دوران ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫ق‬ ‫‪-‬‬ ‫ل‬ ‫ق‬ ‫ج>‪.‬‬ ‫اﻻزدواج ﯾﻌﻤﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺪوران ﻓﻰ‬ ‫اﺗﺠﺎه دوران ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫‪٧٠‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫م‪: ‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ج‪ ، ١‬ج‪ ٢‬ﻋﺰﻣﻰ ازدواﺟﯿﻦ ﻣﺴﺘﻮﯾﯿﻦ ‪ ،‬وﻛﺎن ج‪ ، ١‬ج‪ ٢‬اﻟﻘﯿﺎﺳﯿﻦ اﻟﺠﺒﺮﯾﯿﻦ ﻟﻌﺰﻣﻰ‬ ‫اﻹزدواﺟﯿﻦ ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪ ‬ﯾﻜﻮن اﻹزدواﺟﺎن ﻣﺘﻮازﯾﺎن إذا ﻛﺎن ‪ :‬ج‪ + ١‬ج‪ ٠ = ٢‬أ‪،‬‬ ‫‪ ‬ﯾﻜﻮن اﻹزدواﺟﺎن ﻣﺘﻜﺎﻓﺌﺎن إذا ﻛﺎن ‪ :‬ج‪= ١‬‬ ‫ج‪٢‬‬ ‫ج‪ + ١‬ج‪٠ = ٢‬‬ ‫أ‪،‬‬ ‫ج‪= ١‬‬ ‫ج‪٢‬‬ ‫أﻣﺛﻠﺔ ﻣﺣﻠوﻟﺔ‬ ‫‪‬ل )‪ : (١‬ابجد ﻣﺘﻮازى أﺿﻼع ﻓﯿﮫ اب = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ق)آابج(‬ ‫= ‪ ، ْ ١٢٠‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ٣ ٥ ، ٦ ، ٣ ٥ ، ٦‬ث ﻛﺠﻢ ﻓﻰ‬ ‫اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬جد ‪ ،‬دا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ ٦ ، ٦‬ث ﻛﺠﻢ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪٣ ٥ ، ٣ ٥‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ د س ‪ ‬اب ‪ ،‬د ص ‪ ‬ب ج‬ ‫ﻣﻦ ھﻨﺪﺳﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫دس = اد ﺟﺎ ‪ ١٠ = ْ ٦٠‬ﺟﺎ ‪٥ = ْ ٦٠‬‬ ‫‪ ،‬دص = دج ﺟﺎ ‪ ٨ = ْ ٦٠‬ﺟﺎ ‪٤ = ْ ٦٠‬‬ ‫ا‬ ‫‪٣ ٥‬‬ ‫د‬ ‫‪ْ ٦٠‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫س‬ ‫ب‬ ‫‪ ٣ ٥‬ص‬ ‫‪ْ ٦٠‬‬ ‫ج‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ ٦ ، ٦‬ث ﻛﺠﻢ‬ ‫= ‪ × ٦ -‬دس = ‪ ٣ ٣٠ - = ٣ ٥ × ٦ -‬ث ﻛﺠﻢ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪٣ ٥ ، ٣ ٥‬‬ ‫= ‪ × ٣ ٥ -‬دص = ‪ ٦٠ - = ٣ ٤ × ٣ ٥ -‬ث ﻛﺠﻢ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫‪ : ‬إﺷﺎرة ﻋﺰم اﻻزدواج ﺗﺘﻮﻗﻒ ﻋﻠﻰ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﺄﺧﻮذ ﻓﯿﮫ اﻟﻘﻮى إذا ﻛﺎن ﻣﻊ ﺣﺮﻛﺔ‬ ‫ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ أو ﻋﻜﺲ اﺗﺠﺎه ﺣﺮﻛﺔ ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ ‪.‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٧١‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٢‬ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫ق‬ ‫اج = جد = دب = ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ق ‪ ،‬ق ث ﻛﺠﻢ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ‪ْ ٤٥‬‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳﻢ ج ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ‪ ْ ٤٥‬د‬ ‫ا ‪ ،‬د وﺗﻤﯿﻼن ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﺑﺰاوﯾﺔ ا‬ ‫ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ ٢ ، ٢ ، ْ ٤٥‬ث ﻛﺠﻢ ﺗﺆﺛﺮان‬ ‫ق‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ج ‪ ،‬ب وﻋﻤﻮدﯾﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ق اﻟﺘﻰ ﺗﺠﻌﻞ اﻹزدواﺟﺎن ﯾﺘﺰﻧﺎن ‪.‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳﻢ ب‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ج‪ ) ١‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ ق ‪ ،‬ق (‬ ‫= ق × ‪ ٦٠‬ﺟﺎ ‪ ٢ ٣٠ = ْ ٤٥‬ق ث ﻛﺠﻢ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ج‪ ) ٢‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ ‪( ٢ ، ٢‬‬ ‫= ‪ ١٢٠ - = ٦٠ × ٢ -‬ث ﻛﺠﻢ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ي اﻹزدوﺟﺎن ﻣﺘﺰﻧﺎن ى ج‪ + ١‬ج‪٠ = ٢‬‬ ‫ى ‪ ٢ ٣٠‬ق ‪٠ = ١٢٠ -‬‬ ‫ى ق = ‪ ٢ ٢‬ث ‪ .‬ﻛﺠﻢ‬ ‫ى‬ ‫‪،‬‬ ‫‪ ٢‬ق ‪٠=٤ -‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٣‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ طﻮﻟ ﮫ ‪ ٦٠‬ﺳ ﻢ ووزﻧ ﮫ ‪ ١٨‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﯾ ﺆﺛﺮ ﻋﻨ ﺪ ﻣﻨﺘ ﺼﻔﮫ وﯾﻤﻜﻨ ﮫ‬ ‫اﻟﺪوران ﺑﺴﮭﻮﻟﮫ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ﺣﻮل ﻣﺴﻤﺎر أﻓﻘﻰ ﺛﺎﺑﺖ ﯾﻤﺮ ﺑﺜﻘﺐ ﺻﻐﯿﺮ ﻓ ﻰ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ج اﻟﺘﻰ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ١٥‬ﺳﻢ ﻣ ﻦ ا ‪ ،‬ﻓ ﺈذا اﺳ ﺘﻨﺪ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ ب ﻋﻠ ﻰ ﻧ ﻀﺪ أﻓﻘ ﻰ‬ ‫أﻣﻠﺲ ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻘﺪار واﺗﺠﺎه رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﻤﺎر ‪ ،‬وإذا ﺷ ﺪ اﻟﻄ ﺮف ا أﻓﻘﯿ ﺎ ﺑﺤﺒ ﻞ ﺣﺘ ﻰ أﺻ ﺒﺢ‬ ‫رد ﻓﻌﻞ اﻟﻨﻀﺪ ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﻟﻮزن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺤﺒﻞ ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﻤﺎر ﺣﯿﻨﺌﺬ ﻋﻠﻤ ﺎ‬ ‫ﺑﺄن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﯾﺘﺰن ﻓﻰ اﻟﺤﺎﻟﺘﯿﻦ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ﯾﻤﯿﻞ ﻓﯿﮫ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ْ ٦٠‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ﺛﻼث ﻗﻮى ‪:‬‬ ‫‪ ‬اﻟﻮزن ) ‪ ١٨‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ( رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ‬ ‫‪ ‬رد اﻟﻔﻌﻞ ر‪ ١‬ﻋﻨﺪ ب رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ‬ ‫‪ ‬رد اﻟﻔﻌﻞ ر‪ ٢‬ﻋﻨﺪ ج رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ‬ ‫وﻣﻦ اﺗﺰان اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫ا‬ ‫ر‪٢‬‬ ‫‪ ١٥‬ﺳم‬ ‫ج‬ ‫‪ ١٥‬ﺳم‬ ‫ر‪١‬‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳم‬ ‫‪ْ ٦٠‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫ب‬ ‫‪٧٢‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪......................................‬‬ ‫ى ر‪ + ١‬ر‪١٨ = ٢‬‬ ‫‪....................‬‬ ‫‪ ،‬ر‪ = ٣٠ × ١‬ر‪١٥ × ٢‬‬ ‫ى ر‪ ٢ = ٢‬ر‪١‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﻌﻮﯾﺾ ﻣﻦ )‪ (٢‬ﻓﻰ )‪: (١‬‬ ‫ى ‪ ٣‬ر‪١٨ = ١‬‬ ‫ى ر‪ ٢ + ١‬ر‪١٨ = ١‬‬ ‫‪ ،‬ر‪ ١٢ = ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ى ر‪ ٦ = ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ا‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ١٨ ، ١٨‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻜﻮﻧﺎن إزدواﺟﺎ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ ‪:‬‬ ‫ج‪ ٣٠ × ١٨ - = ١‬ﺟﺎ ‪ْ ٣٠‬‬ ‫= ‪ ٢٧٠ -‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ي اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن‬ ‫ى اﻟﻘﻮﺗﺎن ق ‪ ،‬ر ﯾﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ ﯾﺘﺰن‬ ‫ﻣﻊ اﻻزدواج اﻷول‬ ‫ى ق = ر وﺗﻀﺎدھﺎ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه‬ ‫‪ ،‬ﺑﻔﺮض ان اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﺜﺎﻧﻰ ج‪٢‬‬ ‫)‪(١‬‬ ‫)‪(٢‬‬ ‫ق‬ ‫‪ ١٥‬ﺳم‬ ‫ر‬ ‫ج‬ ‫‪ ١٥‬ﺳم‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳم‬ ‫‪ْ ٦٠‬‬ ‫‪١٨‬‬ ‫ب‬ ‫‪١٨‬‬ ‫ى ج‪ + ١‬ج‪٠ = ٢‬‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى‬ ‫ى ج‪ ٢٧٠ = ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ ‪ + ٢٧٠‬ج‪٠ = ٢‬‬‫ق × ‪ ١٥‬ﺟﺎ ‪٢٧٠ = ْ ٦٠‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪٢٧٠‬‬ ‫ق × ‪× ١٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى ر = ‪ ٢ ١٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ق = ‪ ٣ ١٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪‬ل )‪ : (٤‬ابجد ﺻﻔﯿﺤﺔ رﻗﯿﻘ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ھﯿﺌ ﺔ ﻣﺮﺑ ﻊ ط ﻮل ﺿ ﻠﻌﮫ ‪ ٥٠‬ﺳ ﻢ ووزﻧﮭ ﺎ ‪٣٠٠‬‬ ‫ث ﺟﻢ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄ ﺔ ﺗﻼﻗ ﻰ اﻟﻘﻄ ﺮﯾﻦ ‪ ،‬ﺛﻘﺒ ﺖ اﻟ ﺼﻔﯿﺤﺔ ﺛﻘﺒ ﺎ ﺻ ﻐﯿﺮا ﺑ ﺎﻟﻘﺮب‬ ‫ﻣﻦ ا وﻋﻠﻘﺖ ﻣﻦ ھﺬا اﻟﺜﻘﺐ ﻓﻰ ﻣﺴﻤﺎر أﻓﻘ ﻰ رﻓﯿ ﻊ ﺑﺤﯿ ﺚ أﺗﺰﻧ ﺖ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى‬ ‫رأﺳﻰ ‪ .‬أوﺟﺪ اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﻤﺎر ‪ ،‬وﻋﻨﺪﻣﺎ اﺛﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ إزدواج ﻣﻌﯿ ﺎر‬ ‫ﻋﺰﻣﮫ ‪ ٧٥٠٠‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ واﺗﺠﺎھﮫ ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ‪ .‬اﺛﺒ ﺖ أن‬ ‫اﻟ ﻀﻐﻂ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻤ ﺴﻤﺎر ﻻ ﯾﺘﻐﯿ ﺮ ﺛ ﻢ أوﺟ ﺪ ﻣﯿ ﻞ اﻟﻘﻄ ﺮ اج ﻋﻠ ﻰ اﻟﺮاﺳ ﻰ ﻓ ﻰ‬ ‫وﺿﻊ اﻻﺗﺰان ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٧٣‬‬ ‫ر‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻗﺒﻞ اﻟﺘﺄﺛﯿﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﺑﺎزدواج‬ ‫ا‬ ‫اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪:‬‬ ‫‪ ‬وزن اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ‪ ٣٠٠‬ث ﺟﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ‬ ‫‪ ‬رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﻤﺎر )ر( رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ‬ ‫ى ر = ‪ ٣٠٠‬ث ﺟﻢ‬ ‫د‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫‪٣٠٠‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﺑﻌﺪ اﻟﺘﺄﺛﯿﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﺑﺎزدواج ﻋﺰﻣﮫ‬ ‫‪ ٧٥٠٠‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ ﯾﻜﻮن ر = ‪ ٣٠٠‬ث ﺟﻢ‬ ‫ر‬ ‫ا‬ ‫أﯾﻀﺎ وﻻ ﯾﺘﻐﯿﺮ ﻷن ﻣﺤﺼﻠﺔ ﻗﻮﺗﻰ اﻻزدواج‬ ‫ﺗﺴﺎوى ﺻﻔﺮاً ‪.‬‬ ‫وﺑﻔﺮض أن اج ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﺮأﺳﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ‬ ‫‪٧٥٠٠‬‬ ‫ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ه ‪ ،‬اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ إزدواﺟﯿﻦ‬ ‫ج‪ + ١‬ج‪٠ = ٢‬‬ ‫‪ × ٣٠٠ – ٧٥٠٠‬من = ‪ ٠‬ى من = ‪ ٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫وﻣﻦ ﺧﻮاص اﻟﻤﺮﺑﻊ ‪ :‬طﻮل ﻗﻄﺮه اج = ‪ ٢ ٥٠‬ﺳﻢ‬ ‫وﯾﻜﻮن طﻮل ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ ام = ‪ ٢ ٢٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪٢٥‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ى ﺟﺎ ه =‬ ‫ى ق)آه( = ‪ْ ٤٥‬‬ ‫=‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ ٢٥‬‬ ‫ى اد ﯾﻜﻮن ﻓﻰ وﺿﻊ رأﺳﻰ‬ ‫ه‬ ‫ب‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫د‬ ‫ج‬ ‫‪٣٠٠‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٥‬ابجد ﺻﻔﯿﺤﺔ رﻗﯿﻘﺔ ﻋﻠﻰ ھﯿﺌﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻓﯿﮫ اب = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪١٦‬‬ ‫ﺳﻢ ووزﻧﮭﺎ ‪ ٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ وﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻰ اﻟﻘﻄﺮﯾﻦ ‪ .‬ﻋﻠﻘﺖ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﻣﺴﻤﺎر اﻓﻘﻰ رﻓﯿﻊ ﻣﻦ ﺛﻘﺐ ﺻﻐﯿﺮ ﺑﺎﻟﻘﺮب ﻣﻦ اﻟﺮأس ا ﻓﺎﺗﺰﻧﺖ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى‬ ‫رأﺳﻰ ‪ .‬أوﺟﺪ اﻟﻀﻐﻂ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺴﻤﺎر ‪ ،‬وإذا أﺛﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ إزدواج ﻣﻌﯿﺎر‬ ‫ﻋﺰﻣﮫ ‪ ٢ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺳﻢ واﺗﺠﺎھﮫ ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮى اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ‪ .‬أوﺟﺪ‬ ‫زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اج ﻋﻠﻰ اﻟﺮأﺳﻰ ﻓﻰ وﺿﻊ اﻻﺗﺰان ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ﻣﻦ ﻓﯿﺜﺎﻏﻮرث ‪ :‬اج =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪ ٢٠ = (١٦) + (١٢‬ﺳﻢ‬ ‫ى ام = ‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٧٤‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻗﺒﻞ اﻟﺘﺄﺛﯿﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﺑﺎزدواج‬ ‫ر‬ ‫اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﺗﺤﺖ‬ ‫ﺗﺄﺛﯿﺮ ﻗﻮﺗﯿﻦ ‪:‬‬ ‫ر‬ ‫ا‬ ‫ا‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫‪ ‬وزن اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ‪ ٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫رأﺳﯿﺎ ﻷﺳﻔﻞ‬ ‫ه‬ ‫‪٢‬‬ ‫د‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫ن‬ ‫م‬ ‫ب‬ ‫‪ ‬رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﻤﺎر )ر(‬ ‫رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ‬ ‫ﺣﯿﺚ ر = ‪ ٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫د‬ ‫ج‬ ‫ج‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﺑﻌﺪ اﻟﺘﺄﺛﯿﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﺑﺎزدواج ‪:‬‬ ‫ﺗﻜﻮن اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﯿﺮ ازدواج ﻣﻜﻮن ﻣﻦ وزﻧﮭﺎ ‪ ٤‬ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﻤﺎر ر ‪،‬‬ ‫وازدواج آﺧﺮ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ ﯾﺴﺎوى ‪ ٢ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫ى ج‪ + ١‬ج‪٠ = ٢‬‬ ‫ى ‪٢٠‬‬ ‫ى ‪ ٤‬من = ‪٢٠‬‬ ‫‪ × ٤ - ٢‬من = ‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢ ٥‬‬ ‫من‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ى ﺟﺎ ه =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫ام‬ ‫‪ ٢‬ى من = ‪٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى ق)آه( = ‪ْ ٤٥‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٦‬ابج ﺻﻔﯿﺤﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوى اﻷﺿﻼع ووزﻧﮭﺎ ‪ ٥٠‬ث ﺟﻢ وﯾﺆﺛﺮ‬ ‫ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻰ ﻣﺘﻮﺳﻄﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ،‬ﻋﻠﻘﺖ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﻓﻰ ﻣﺴﻤﺎر أﻓﻘﻰ رﻓﯿﻊ‬ ‫ﻣﻦ ﺛﻘﺐ ﺻﻐﯿﺮ ﺑﺎﻟﻘﺮب ﻣﻦ اﻟﺮأس ا ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ﻣﺴﺘﻮاھﺎ رأﺳﯿﺎ ‪ ،‬أﺛﺮ ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ازدواج ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ﯾﺴﺎوى ‪ ٢٥٠‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ واﺗﺠﺎھﮫ ﻋﻤﻮدى‬ ‫ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮﯾﮭﺎ ﻓﺎﺗﺰﻧﺖ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻣﯿﻞ اب ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ إذا ﻋﻠﻢ أن ارﺗﻔﺎع اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ر‬ ‫ﯾﺴﺎوى ‪ ١٥‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ه‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫ر‬ ‫ا‬ ‫ا‬ ‫‪٢٥٠‬‬ ‫ب‬ ‫م‬ ‫ن‬ ‫ب‬ ‫د‬ ‫ج‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫ج‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٧٥‬‬ ‫اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﻣﺘﺰﻧﺔ ﺗﺤﺖ ﺗﺎﺛﯿﺮ ازدواﺟﯿﻦ اﻷول ﻣﻜﻮن ﻣﻦ وزن اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ )‪ ٥٠‬ث ﺟﻢ( رأﺳﯿﺎ‬ ‫ﻷﺳﻔﻞ ورد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﺎر ر رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ‪ ،‬اﻵﺧﺮ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ﯾ ﺴﺎوى ‪ ٢٥٠‬ث ﺟ ﻢ ‪ .‬ﺳ ﻢ‬ ‫وﯾﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه اﻟﻤﻀﺎد وﯾﺘﺰن ﻣﻊ اﻻزدواج اﻷول ‪.‬‬ ‫ا‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫ﺷﻜﻞ )‪(١‬‬ ‫اﻷﻓﻘﻰ‬ ‫اﻟﺮأﺳﻰ‬ ‫ب‬ ‫ج‬ ‫ا‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫‪ْ ٦٠‬‬ ‫اﻟﺮأﺳﻰ‬ ‫وﺑﻔﺮض أن اب ﯾﺼﻨﻊ ﻣﻊ اﻷﻓﻘﻰ زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ه‬ ‫ى من = ‪ ٥‬ﺳﻢ‬ ‫ى ‪ × ٥٠ – ٢٥٠‬من = ‪٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ي اد = ‪ ١٥‬ﺳﻢ ى ام = × ‪ ١٠ = ١٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪٣‬‬ ‫من‬ ‫‪١ ٥‬‬ ‫=‬ ‫ى ﺟﺎ )آمان( =‬ ‫‪‬‬ ‫ام‬ ‫‪٢ ١٠‬‬ ‫‪ْ ٣٠‬‬ ‫‪ْ ٦٠‬‬ ‫ى ق)آمان( = ‪ ْ ٣٠‬أى أن اج ﯾﻜﻮن رأﺳﯿﺎ‬ ‫ى اب ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ْ ٣٠‬‬ ‫ﺷﻜﻞ )‪(٢‬‬ ‫ب‬ ‫ﻛﻤﺎ ھﻮ ﻣﻮﺿﺢ ﺑﺸﻜﻞ )‪(١‬‬ ‫إذا ﻛﺎن ﺗﺮﺗﯿﺐ أﺿﻼع اﻟﻤﺜﻠﺚ ابج ﺿﺪ ﺣﺮﻛﺔ ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ ﻛﻤﺎ ﺑﺸﻜﻞ )‪(٢‬‬ ‫‪،‬‬ ‫ى اب ﯾﻤﯿﻞ ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺰاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪. ْ ٩٠‬‬ ‫ج‬ ‫‪‬ر‪‬‬ ‫)‪ (١‬ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫اب ﻗﻀﯿﺐ ﺧﻔﯿﻒ طﻮﻟﮫ ‪ ١٠٠‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﻓﺈذا ﻋﻠﻢ أن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ‬ ‫ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮى اﻷرﺑﻊ اﻟﻤﻮﺿﺤﮫ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ‪.‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ق ‪.‬‬ ‫)‪ (٢‬ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫اب ﻗﻀﯿﺐ ﺧﻔﯿﻒ طﻮﻟﮫ ‪ ٤٠‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ﻓﺈذا ﻋﻠﻢ أن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻣﺘﺰن ﺗﺤﺖ‬ ‫ﺗﺄﺛﯿﺮ اﻟﻘﻮى اﻷرﺑﻊ اﻟﻤﻮﺿﺤﮫ ﺑﺎﻟﺸﻜﻞ ‪.‬‬ ‫ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ق ‪.‬‬ ‫) ‪( ١٢‬‬ ‫ق‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫‪ ٤٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٤٠‬ﺳﻢ‬ ‫ج‬ ‫ا‬ ‫ق‬ ‫‪ ٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫ب‬ ‫د‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫ق‬ ‫‪٦‬‬ ‫‪ ٢٠ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫ا‬ ‫ج‬ ‫‪٣٠‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫د ‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫ب‬ ‫ق‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٢٤ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫‪٧٦‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ر‬ ‫)‪ (٣‬ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ‪:‬‬ ‫اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟﮫ ‪ ٤٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ‬ ‫‪ ٥٠‬ث ﺟﻢ ﯾﺮﺗﻜﺰ ﻋﻨﺪ ﻣﻨﺘﺼﻔﮫ ‪ ،‬ﯾﻤﻜﻨﮫ‬ ‫اﻟﺪوران ﺑﺴﮭﻮﻟﮫ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ﺣﻮل‬ ‫ﻣﻔﺼﻞ ﻋﻨﺪ ا ‪ ،‬أﺛﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻀﯿﺐ ازدواج‬ ‫ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪ ٥٠٠‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻓﻰ‬ ‫وﺿﻊ اﻻﺗﺰان رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ وﻗﯿﺎس‬ ‫زاوﯾﺔ ﻣﯿﻠﮫ ﻣﻊ اﻟﺮأﺳﻰ ‪.‬‬ ‫ا‬ ‫‪ ٥٠٠‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ه‬ ‫‪ ٢٠‬ﺳﻢ‬ ‫ب‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٥٠ :‬ث ﺟﻢ ‪[ ْ ٣٠ ،‬‬ ‫)‪ (٤‬ابجد ﻣﺘﻮازى أﺿﻼع ﻓﯿﮫ اب = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬ق)آابج(‬ ‫= ‪ ، ْ ١٢٠‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ٣ ٢ ، ٣ ، ٣ ٢ ، ٣‬ث ﻛﺠﻢ ﻓﻰ‬ ‫اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬جد ‪ ،‬دا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ ٦ ، ٦‬ث ﻛﺠﻢ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪٣ ٥ ، ٣ ٥‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪١٥ :‬‬ ‫‪ ٢٤ ، ٣‬ث ﻛﺠﻢ ‪ .‬ﺳﻢ [‬ ‫)‪ (٥‬ابجدهو ﺷﻜﻞ ﺳﺪاﺳﻰ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪٥‬‬ ‫‪ ٣ ١٠ ، ٥ ، ٣ ١٠ ،‬ث ﻛﺠﻢ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بد ‪ ،‬ده ‪ ،‬ها ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‬ ‫أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ ٥ ، ٥‬ث ﻛﺠﻢ‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ ٣ ١٠ ، ٣ ١٠‬ث‬ ‫ﻛﺠﻢ‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣ ١٠٠ ، ٣ ٥٠ :‬ث ﻛﺠﻢ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫وﻛ [ﺎن‬ ‫)‪ (٦‬أﺛ ﺮ ازدواﺟ ﺎن ﻣ ﺴﺘﻮﯾﺎن ﻓ ﻰ ﻗ ﻀﯿﺐ اب ﻣﮭﻤ ﻞ اﻟ ﻮزن طﻮﻟ ﮫ ‪ ٩٠‬ﺳ ﻢ ‪،‬‬ ‫اﻻزدواج اﻷول ﯾﺘﻜﻮن ﻣﻦ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻣﻌﯿﺎرھﻤﺎ ق ‪ ،‬ق ث ﻛﺠﻢ ﯾ ﺆﺛﺮان ﻓ ﻰ ﻧﻘﻄﺘ ﻰ ا ‪،‬‬ ‫ج ﻣﻦ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﺣﯿ ﺚ بج = ‪ ٣٠‬ﺳ ﻢ وﯾﻤ ﯿﻼن ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﺑﺰاوﯾ ﺔ ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ ‪ْ ٤٥‬‬ ‫وﯾﺘﻜﻮن اﻻزدواج اﻟﺜﺎﻧﻰ ﻣﻦ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﻣﻌﯿﺎرﯾﮭﻤﺎ ‪ ٢ ، ٢‬ث ﻛﺠﻢ وﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻧﻘﻄﺘﻰ ب‬ ‫‪ ،‬م ﻣﻦ اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻤﻮدﯾﺘﯿﻦ ﻋﻠﯿﮫ ﺣﯿﺚ ام = ‪ ٣٠‬ﺳ ﻢ ‪ .‬ﻋ ﯿﻦ ﻗﯿﻤ ﺔ ق اﻟﺘ ﻰ ﺗﺠﻌ ﻞ‬ ‫اﻻزدواﺟﯿﻦ ﯾﺘﺰﻧﺎن ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٢ ٢ :‬ث ﻛﺠﻢ [‬ ‫)‪ (٧‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ طﻮﻟ ﮫ ‪ ٢٠‬ﺳ ﻢ ﯾ ﺪور ﺣ ﻮل ﻣ ﺴﻤﺎر ﻓ ﻰ ﺛﻘ ﺐ ﺻ ﻐﯿﺮ ﻋﻨ ﺪ ﻧﻘﻄ ﺔ‬ ‫جت اب ﺣﯿﺚ اج = ‪ ٥‬ﺳ ﻢ ﻓ ﺎﺗﺰن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻓ ﻰ وﺿ ﻊ أﻓﻘ ﻰ ﺑﺘ ﺄﺛﯿﺮ ﻗ ﻮﺗﯿﻦ ﻣﻘ ﺪار‬ ‫ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ‪ ٥٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻋﻨﺪ طﺮﻓﯿﮫ ا ‪ ،‬ب ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﯿﻦ ﻣﺘﻀﺎدﯾﻦ وﺗﺼﻨﻌﺎن ﻣ ﻊ‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ زاوﯾﺔ ﻗﯿﺎﺳﮭﺎ ‪ . ْ ٣٠‬أوﺟﺪ وزن اﻟﻘﻀﯿﺐ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٠٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ [‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٧٧‬‬ ‫)‪/١٩٩٩ (٨‬دور أول ‪ :‬اب ﻗﻀﯿﺐ طﻮﻟﮫ ‪ ٥٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮫ ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺆﺛﺮ ﻓﻰ ﻣﻨﺘ ﺼﻔﮫ ‪،‬‬ ‫ﯾﺘﺤ ﺮك ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ ﺣ ﻮل ﻣﻔ ﺼﻞ ﺛﺎﺑ ﺖ ﻋﻨ ﺪ طﺮﻓ ﮫ ا ‪ ،‬أﺛ ﺮ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫ازدواج ﻣﻌﯿ ﺎر ﻋﺰﻣ ﮫ ‪ ٢٥٠‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳ ﻢ ‪ .‬اوﺟ ﺪ رد ﻓﻌ ﻞ اﻟﻤﻔ ﺼﻞ وزاوﯾ ﺔ ﻣﯿ ﻞ‬ ‫اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻋﻠﻰ اﻟﺮأﺳﻰ ﻓﻰ وﺿﻊ اﻟﺘﻮازن ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٢٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ْ ٣٠ ،‬إﻟﻰ أﻋﻠﻰ [‬ ‫)‪ (٩‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ طﻮﻟ ﮫ ‪ ١٠٠‬ﺳ ﻢ ووزﻧ ﮫ ‪ ٣‬ث ﻛﺠ ﻢ ﯾ ﺆﺛﺮ ﻓ ﻰ ﻣﻨﺘ ﺼﻔﮫ ‪ ،‬ﯾﺘﺤ ﺮك ﻓ ﻰ‬ ‫ﻣ ﺴﺘﻮى رأﺳ ﻰ ﺣ ﻮل ﻣﻔ ﺼﻞ ﺛﺎﺑ ﺖ ﻋﻨ ﺪ طﺮﻓ ﮫ ا ‪ ،‬ﻓ ﺈذا اﺗ ﺰن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫ﻧﺘﯿﺠ ﺔ اﻟﺘ ﺄﺛﯿﺮ ﻋﻠﯿ ﮫ ﺑ ﺎزدواج ﻣﻌﯿ ﺎر ﻋﺰﻣ ﮫ ‪ ٧٥‬ث ﻛﺠ ﻢ ‪ .‬ﺳ ﻢ وﯾﻌﻤ ﻞ ﻓ ﻰ اﻟﻤ ﺴﺘﻮى‬ ‫اﻟﺮأﺳﻰ اﻟﻤﺎر ﺑﺎﻟﻘﻀﯿﺐ ‪ .‬أوﺟﺪ رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﻔﺼﻞ ‪ ،‬وﻛﺬﻟﻚ ﻗﯿﺎس اﻟﺰاوﯾ ﺔ اﻟﺤ ﺎدة اﻟﺘ ﻰ‬ ‫‪.‬‬ ‫ﯾ ﺼﻨﻌﮭﺎ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻣ ﻊ اﻟﺮأﺳ ﻰ‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣ :‬ث ﻛﺠﻢ ‪[ ْ ٣٠ ،‬‬ ‫)‪ (١٠‬اب ﻗ ﻀﯿﺐ طﻮﻟ ﮫ ‪ ٢٤‬ﺳ ﻢ ووزﻧ ﮫ ‪ ٥‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﯾ ﺆﺛﺮ ﻋﻨ ﺪ ﻣﻨﺘ ﺼﻔﮫ وﯾﻤﻜﻨ ﮫ اﻟ ﺪوران‬ ‫ﺑﺴﮭﻮﻟﮫ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮى رأﺳﻰ ﺣﻮل ﻣﺴﻤﺎر أﻓﻘﻰ ﺛﺎﺑﺖ ﯾﻤ ﺮ ﺑﺜﻘ ﺐ ﺻ ﻐﯿﺮ ﻓ ﻰ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ‬ ‫ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ج اﻟﺘﻰ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ٤‬ﺳﻢ ﻣﻦ ب ‪ ،‬ﻓ ﺈذا اﺳ ﺘﻨﺪ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ ا ﻋﻠ ﻰ ﻧ ﻀﺪ‬ ‫أﻓﻘﻰ أﻣﻠﺲ ﻓﺄوﺟﺪ ﻣﻘﺪار واﺗﺠﺎه رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﻤﺎر ‪ ،‬وإذا ﺷﺪ اﻟﻄ ﺮف ب أﻓﻘﯿ ﺎ ﺑﺤﺒ ﻞ‬ ‫ﺣﺘﻰ أﺻﺒﺢ رد ﻓﻌﻞ اﻟﻨﻀﺪ ﻣﺴﺎوﯾﺎ ﻟﻮزن اﻟﻘﻀﯿﺐ ﻓﺄوﺟﺪ اﻟﺸﺪ ﻓﻰ اﻟﺤﺒ ﻞ ورد ﻓﻌ ﻞ‬ ‫اﻟﻤﺴﻤﺎر ﺣﯿﻨﺌﺬ ﻋﻠﻤ ﺎ ﺑ ﺄن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﯾﺘ ﺰن ﻓ ﻰ وﺿ ﻊ ﯾﻤﯿ ﻞ ﻓﯿ ﮫ ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ﺑﺰاوﯾ ﺔ‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻗﯿﺎﺳ ﮭﺎ ‪ْ ٣٠‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣ :‬ث ﻛﺠﻢ رأﺳﯿﺎ ﻷﻋﻠﻰ ‪ ،‬ق = ر = ‪١٥‬‬ ‫‪[ ٣‬‬ ‫)‪ (١١‬اب ﻗﻀﯿﺐ ﻣﻨﺘﻈﻢ طﻮﻟ ﮫ ‪ ١٤٠‬ﺳ ﻢ ووزﻧ ﮫ ‪ ٦‬ث ﻛﺠ ﻢ ﯾ ﺆﺛﺮ ﻋﻨ ﺪ ﻣﻨﺘ ﺼﻔﮫ ‪ ،‬ﯾﻤﻜﻨ ﮫ‬ ‫اﻟﺪوران ﺑﺴﮭﻮﻟﮫ ﺣﻮل ﻣﺴﻤﺎر أﻓﻘﻰ ﺛﺎﺑﺖ ﯾﻤﺮ ﺑﺜﻘ ﺐ ﺻ ﻐﯿﺮ ﻓ ﻰ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋﻨ ﺪ ﻧﻘﻄ ﺔ‬ ‫ج اﻟﺘﻰ ﺗﺒﻌﺪ ‪ ٣٥‬ﺳ ﻢ ﻋ ﻦ اﻟﻄ ﺮف ب ‪ .‬ﻓ ﺈذا اﺳ ﺘﻨﺪ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﺑﻄﺮﻓ ﮫ ا ﻋﻠ ﻰ ﻧ ﻀﺪ‬ ‫أﻓﻘﻰ أﻣﻠﺲ ﻓﺄوﺟ ﺪ رد ﻓﻌ ﻞ اﻟﻨ ﻀﺪ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ‪ .‬وإذا ﺷ ﺪ اﻟﻄ ﺮف ب أﻓﻘﯿ ﺎ ﺑﺤﺒ ﻞ‬ ‫ﺣﺘ ﻰ أﺻ ﺒﺢ رد ﻓﻌ ﻞ اﻟﻨ ﻀﺪ ﻣ ﺴﺎوﯾﺎ وزن اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻓﺄوﺟ ﺪ اﻟ ﺸﺪ ﻓ ﻰ اﻟﺤﺒ ﻞ وﻣﻘ ﺪار‬ ‫واﺗﺠﺎه رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﻤﺎر ﻋﻠﻤﺎ ﺑ ﺄن زاوﯾ ﺔ ﻣﯿ ﻞ اﻟﻘ ﻀﯿﺐ ﻋﻠ ﻰ اﻷﻓﻘ ﻰ ﺗ ﺴﺎوى ‪. ْ ٣٠‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ر = ‪ ٢‬ث ﻛﺠﻢ ‪ ، ،‬ش = ر = ‪١٢‬‬ ‫‪[ ٣‬‬ ‫)‪ (١٢‬ابج ﺻﻔﯿﺤﺔ رﻗﯿﻘﺔ ﻋﻠﻰ ھﯿﺌﺔ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻰ ب وزﻧﮭﺎ ‪ ٦‬ﻧﯿ ﻮﺗﻦ ﯾ ﺆﺛﺮ ﻓ ﻰ‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻼﻗﻰ اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺎت ‪ ،‬وﻓﯿﮫ اب = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ١٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻋﻠﻘﺖ ﻓﻰ ‪.‬‬ ‫ﻣﺴﻤﺎر ﻣﻦ ﺛﻘﺐ ﺻﻐﯿﺮ ﺑﺎﻟﻘﺮب ﻣﻦ اﻟﺮأس ا ﺑﺤﯿ ﺚ ﻛ ﺎن ﻣ ﺴﺘﻮاھﺎ رأﺳ ﯿﺎ ‪ ،‬ﺛ ﻢ اﺛ ﺮ‬ ‫ﻋﻠﯿﮭﺎ ازدواج ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮﯾﮭﺎ ﻓﺎﺗﺰﻧﺖ ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻛﺎن اب رأﺳ ﯿﺎ ‪ .‬أوﺟ ﺪ رد ﻓﻌ ﻞ اﻟﻤ ﺴﻤﺎر‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ :‬ر = ‪ ٦‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ ٣٠ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ [‬ ‫وﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰم اﻻزدواج ‪.‬‬ ‫‪٧٨‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫)‪ (١٣‬ابج ﺻ ﻔﺤﺔ ﻋﻠ ﻰ ﺷ ﻜﻞ ﻣﺜﻠ ﺚ ﻣﺘ ﺴﺎوى اﻟ ﺴﺎﻗﯿﻦ ﻓﯿ ﮫ اب = اج = ‪ ١٣‬ﺳ ﻢ ‪،‬‬ ‫بج = ‪ ١٠‬ﺳ ﻢ ﺗ ﺪور ﺑ ﺴﮭﻮﻟﮫ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮ رأﺳ ﻰ ﺣ ﻮل ﻣﻔ ﺼﻞ ﺛﺒ ﺖ ﻋﻨ ﺪ ا ‪ ،‬ﻓ ﺈذا‬ ‫أﺛﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ وﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮاھﺎ ازدواج ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪ ٢٠٠‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ ﻓﺎﺗﺰﻧﺖ ﻓ ﻰ‬ ‫وﺿﻊ ﻛﺎن ﻓﯿﮫ اﺣﺪ اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ رأﺳﯿﺎ ‪ ،‬ﻓﺄوﺟﺪ وزن اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺑﺄﻧﮫ ﯾ ﺆﺛﺮ ﻓ ﻰ ﻧﻘﻄ ﺔ‬ ‫ﺗﻼﻗﻰ ﻣﺘﻮﺳﻄﺎت اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٦٥ :‬ث ﺟم [‬ ‫)‪/٢٠٠٥ (١٤‬دور ﺛﺎن ‪ :‬اب ج ﺻ ﻔﯿﺤﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ﺷ ﻜﻞ ﻣﺜﻠ ﺚ ﻣﺘ ﺴﺎوى اﻷﺿ ﻼع‬ ‫ط ﻮل ﺿ ﻠﻌﮫ ‪ ٣ ١٨‬ﺳ ﻢ ووزﻧﮭ ﺎ ‪ ١٠٠‬ث ﺟ ﻢ ﯾ ﺆﺛﺮ ﻋﻨ ﺪ ﻧﻘﻄ ﺔ ﺗﻼﻗ ﻰ‬ ‫اﻟﻤﺘﻮﺳﻄﺎت ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪ .‬ﻋﻠﻘﺖ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﻓﻰ ﻣﺴﻤﺎر أﻓﻘﻰ رﻓﯿﻊ ﻋﻤ ﻮدى ﻋﻠ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮى‬ ‫اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﻓﻰ ﺛﻘﺐ ﺻﻐﯿﺮ ﺑﺎﻟﻘﺮب ﻣﻦ اﻟﺮأس ا ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ﻣﺴﺘﻮى اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ رأﺳ ﯿﺎ‬ ‫‪ ،‬ﻓ ﺈذا أﺛ ﺮ ﻋﻠ ﻰ اﻟ ﺼﻔﯿﺤﺔ ازدواﺟ ﺎ ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﺘﻮاھﺎ ﻓﺎﺗﺰﻧ ﺖ ﻋﻨ ﺪﻣﺎ ﻛ ﺎن اب أﻓﻘﯿ ﺎ ‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫أوﺟ ﺪ ﻣﻘ ﺪار اﻟ ﻀﻐﻂ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻤ ﺴﻤﺎر وﻣﻌﯿ ﺎر ﻋ ﺰم اﻻزدواج‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣ ٩٠٠ :‬ث ﺟم ‪ .‬ﺳم [‬ ‫)‪ (١٥‬ابجد ﺻﻔﯿﺤﺔ رﻗﯿﻘﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﺮﺑﻌﺔ اﻟﺸﻜﻞ طﻮل ﺿﻠﻌﮭﺎ ‪ ٢٠‬ﺳﻢ ووزﻧﮭﺎ ‪٢٠٠‬‬ ‫ث ﺟﻢ وﯾﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ﻣﺮﻛﺰھﺎ اﻟﮭﻨﺪﺳﻰ ‪ ،‬ﻣﻌﻠﻘﺔ ﺑﻤﺴﻤﺎر ﯾﻤﺮ ﻓﻰ ﺛﻘﺐ ﺻﻐﯿﺮ ﺑﺎﻟﻘﺮب‬ ‫ﻣﻦ ا ﺑﺤﯿﺚ ﯾﻜﻮن ﻣﺴﺘﻮاھﺎ رأﺳﯿﺎ ‪ ،‬أﺛﺮ ﻋﻠﻰ اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ازدواج ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ‬ ‫‪ ١٠٠٠‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ ﻓﻰ اﺗﺠﺎه ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ ﻣﺴﺘﻮاھﺎ ﻓﺎﺗﺰﻧﺖ ‪ .‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ اج ﻋﻠﻰ اﻟﺮأﺳﻰ‬ ‫أوﻻ ‪ :‬رد ﻓﻌﻞ اﻟﻤﺴﻤﺎر‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٢٠٠ :‬ث ‪ .‬ﺟم‬ ‫‪[ ْ ٢٠ َ ٤٢ ،‬‬ ‫)‪/٢٠٠٣ (١٦‬دور أول ‪ :‬ابجد ﺻ ﻔﯿﺤﺔ رﻗﯿﻘ ﺔ ﻋﻠ ﻰ ھﯿﺌ ﺔ ﻣﺮﺑ ﻊ ط ﻮل ﺿ ﻠﻌﮭﺎ ‪ ٥٠‬ﺳ ﻢ‬ ‫ووزﻧﮭ ﺎ ‪ ٣٠٠‬ث ﺟ ﻢ ﯾ ﺆﺛﺮ ﻋﻨ ﺪ ﻣﺮﻛ ﺰ اﻟﻤﺮﺑ ﻊ ‪ ،‬ﻋﻠﻘ ﺖ اﻟ ﺼﻔﯿﺤﺔ ﻣ ﻦ ﺛﻘ ﺐ ﺻ ﻐﯿﺮ‬ ‫ﺑ ﺎﻟﻘﺮب ﻣ ﻦ اﻟ ﺮأس ا ﻓ ﻰ ﻣ ﺴﻤﺎر أﻓﻘ ﻰ ﺑﺤﯿ ﺚ ﯾﻜ ﻮن ﻣ ﺴﺘﻮاھﺎ رأﺳ ﯿﺎ ‪ ،‬أﺛ ﺮ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اﻟﺼﻔﯿﺤﺔ ﻓﻰ ﻣﺴﺘﻮاھﺎ ازدواج اﻟﻘﯿ ﺎس اﻟﺠﺒ ﺮى ﻟﻌﺰﻣ ﮫ ‪ ٧٥٠٠‬ث ﺟ ﻢ ‪ .‬ﺳ ﻢ ‪ .‬أوﺟ ﺪ‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻣﯿ ﻞ اﻟﻘﻄ ﺮ اج ﻋﻠ ﻰ اﻟﺮأﺳ ﻰ ﻓ ﻰ وﺿ ﻊ اﻟﺘ ﻮازن ‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ْ ٤٥ :‬أ‪،‬‬ ‫‪[ ْ ١٣٥‬‬ ‫)‪ (١٧‬ابجد ﺻﻔﯿﺤﺔ رﻗﯿﻘﺔ ﻣﻨﺘﻈﻤﺔ ﻣﺴﺘﻄﯿﻠﺔ اﻟﺸﻜﻞ ﻓﯿﮭﺎ اب = ‪ ١٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪٢٤‬‬ ‫ﺳﻢ ووزﻧﮭﺎ ‪ ٢٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ﻧﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎطﻊ اﻟﻘﻄﺮﯾﻦ ‪ ،‬ﻋﻠﻘﺖ ﻓﻰ ﻣﺴﻤﺎر رﻓﯿﻊ‬ ‫ﻣﻦ ﺛﻘﺐ ﺻﻐﯿﺮ ﻋﻨﺪ اﻟﺮأس د ﺑﺤﯿﺚ ﻛﺎن ﻣﺴﺘﻮاھﺎ رأﺳﯿﺎ وأﺛﺮ ﻋﻠﯿﮭﺎ ازدواج ﻣﻌﯿﺎر‬ ‫ﻋﺰﻣﮫ ‪ ١٥٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻗﯿﺎس زاوﯾﺔ ﻣﯿﻞ دب ﻋﻠﻰ اﻷﻓﻘﻰ ﻓﻰ وﺿﻊ اﻻﺗﺰان‪.‬‬ ‫] اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪[ ْ ٦٠ :‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٧٩‬‬ ‫‪‬ع أى ‪‬د ‪‬ود ‪ ‬ا‪‬زدوا‪‬ت ا‪‬‬ ‫ﺗﻌرﯾف ‪ :‬ﻣﺠﻤﻮع أى ﻋﺪد ﻣﺤﺪود ﻣﻦ اﻹزدواﺟﺎت اﻟﻤﺴﺘﻮﯾﺔ ھﻮ ازدواج ﻋﺰﻣﮫ‬ ‫ﯾﺴﺎوى ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺰوم ھﺬه اﻹزدواﺟﺎت ‪.‬‬ ‫ج = ج‪ + ١‬ج‪ + ٢‬ج‪ + ........................ + ٣‬جن‬ ‫ﻧﺗﯾﺟﺔ ‪ :‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم ﻣﺠﻤﻮع ﻋﺪة ازدواﺟﺎت ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﯾﺴﺎوى ﻣﺠﻤﻮع‬ ‫اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻌﺰوﻣﮭﺎ ‪.‬‬ ‫ج = ج‪ + ١‬ج‪ + ٢‬ج‪ + ........................ + ٣‬جن‬ ‫ﻗﺎﻋـدة ‪:‬‬ ‫إذا أﺛ ﺮت ﺛ ﻼث ﻗ ﻮى ﻣ ﺴﺘﻮﯾﺔ ﻓ ﻰ ﺟ ﺴﻢ ﻣﺘﻤﺎﺳ ﻚ وﻣﺜﻠﮭ ﺎ ﺗﻤﺜ ﯿﻼ ﺗﺎﻣ ﺎ أﺿ ﻼع ﻣﺜﻠ ﺚ‬ ‫ﻣﺄﺧﻮذة ﻓﻰ ﺗﺮﺗﯿ ﺐ دورى واﺣ ﺪ ﻛﺎﻧ ﺖ ھ ﺬه اﻟﻤﺠﻤﻮﻋ ﺔ ﺗﻜ ﺎﻓﺊ ازدواﺟ ﺎ ﻣﻌﯿ ﺎر ﻋﺰﻣ ﮫ‬ ‫ﯾﺴﺎوى ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺔ ﺿﻌﻒ ﻣ ﺴﺎﺣﺔ ﺳ ﻄﺢ اﻟﻤﺜﻠ ﺚ ﻋﻠ ﻰ اﻟﻄ ﻮل اﻟﻤﻤﺜ ﻞ ﻟﻮﺣ ﺪة اﻟﻘ ﻮة‬ ‫) ﻣﻘﯿﺎس اﻟﺮﺳﻢ ( ‪.‬‬ ‫ا‬ ‫اﻟﺑرھـﺎن ‪:‬‬ ‫د‬ ‫اﻟﻘﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﻮﺟﮭﺔ اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬جا ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻘﻮى‬ ‫اﻟﺜﻼث ق‪ ، ١‬ق‪ ، ٢‬ق‪ ٣‬ﺗﻤﺜﯿﻼ ﺗﺎﻣﺎ ) ﻓﻰ اﻟﻤﻘﺪار واﻻﺗﺠﺎه‬ ‫وﺧﻂ اﻟﻌﻤﻞ ( ‪ ،‬وﻧﻔﺮض أن ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮة ﯾﻤﺜﻞ ﺑﻤﻘﯿﺎس‬ ‫ق‪٣‬‬ ‫ق‪١‬‬ ‫ب‬ ‫ق‪٢‬‬ ‫رﺳﻢ ‪ ١‬وﺣﺪة طﻮل ﻟﻜﻞ )م( وﺣﺪة ﻣﻘﺪار ﻗﻮة ‪.‬‬ ‫ ق‪٣‬‬‫ى اب ‪ +‬بج ‪ +‬جا = ‪ ٠‬ى ق‪ + ١‬ق‪ + ٢‬ق‪٠ = ٣‬‬ ‫ى ق‪ + ١‬ق‪ - = ٢‬ق‪٣‬‬ ‫أى أن ﻣﺤﺼﻠﺔ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ق‪ ، ١‬ق‪ ٢‬ھﻰ ﻗﻮة )‪ -‬ق‪ ( ٣‬واﻟﺘﻰ ﺗﻤﺮ ﺑﻨﻘﻄﺔ ب‬ ‫ى ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى اﻟﺜﻼث ق‪ ، ١‬ق‪ ، ٢‬ق‪ ٣‬ﺗﻜﺎﻓﺊ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ‪ :‬ق‪ ٣‬وﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ج‬ ‫‪ - ) ،‬ق‪ (٣‬وﺗﺆﺛﺮ ﻓﻰ ب أى أﻧﮭﺎ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ‬ ‫ى ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰم اﻻزدواج = ||ق‪ × ||٣‬بد ‪ ،‬ي ||ق‪ = ||٣‬اج × م‬ ‫ى ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰم اﻻزدواج = اج × م × بد = ‪×٢‬ﻡ)إابج( × م‬ ‫ﺿﻌﻒ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪١‬‬ ‫= ﺿﻌﻒ ﻣﺴﺎﺣﺔ ﺳﻄﺢ إابج ÷ =‬ ‫اﻟﻄﻮل اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻮﺣﺪة اﻟﻄﻮل‬ ‫م‬ ‫ج‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٨٠‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪‬‬ ‫إذا أﺛﺮت ﻋﺪة ﻗﻮى ﻣﺴﺘﻮﯾﺔ ﻓﻰ ﺟﺴﻢ ﻣﺘﻤﺎﺳﻚ وﻣﺜﻠﮭﺎ ﺗﻤﺜﯿﻼ ﺗﺎﻣﺎ أﺿﻼع ﻣﻀﻠﻊ ﻣﻘﻔ ﻞ‬ ‫ﻣﺄﺧﻮذة ﻓﻰ ﺗﺮﺗﯿﺐ دورى واﺣﺪ ﻛﺎﻧﺖ ھﺬه اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻜ ﺎﻓﺊ ازدواﺟ ﺎ ً ﯾ ﺴﺎوى ﻣﻌﯿ ﺎر‬ ‫ﻋﺰﻣﮫ ﺧ ﺎرج اﻟﻘ ﺴﻤﺔ ﻟ ﻀﻌﻒ ﻣ ﺴﺎﺣﺔ ﺳ ﻄﺢ اﻟﻤ ﻀﻠﻊ ﻋﻠ ﻰ ﻣﻘﯿ ﺎس اﻟﺮﺳ ﻢ اﻟﻤ ﺴﺘﺨﺪم‬ ‫ﻟﺘﻤﺜﯿﻞ ﻣﻘﺪار اﻟﻘﻮى ‪.‬‬ ‫أﻣﺛﻠﺔ ﻣﺣﻠوﻟﺔ‬ ‫‪‬ل )‪ : (١‬ابجد ﻣﺮﺑﻊ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬أﺛﺮت اﻟﻘﻮى ‪ ٥ ، ٤ ، ٥ ، ٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ‬ ‫اب ‪ ،‬جب ‪ ،‬جد ‪ ،‬اد ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﻛﻤﺎ أﺛﺮت ﻓﻰ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ب ‪ ،‬د ﻗﻮﺗﺎن‬ ‫ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ‪ ٢ ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﻰ جا ‪ ،‬اج ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن ھﺬه‬ ‫اﻟﻘﻮى ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫بد =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪١٠ = (١٠) + (١٠‬‬ ‫ا‬ ‫‪٢‬‬ ‫ي اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ٤ ، ٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ‬ ‫= ‪ ٤٠ - = ١٠ × ٤ -‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫‪٥‬‬ ‫د‬ ‫‪٢ ٣‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪٢ ٣‬‬ ‫ب‬ ‫ي اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ٥ ، ٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ = ‪ ٥٠ = ١٠ × ٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫‪٥‬‬ ‫ي اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ٢ ٣ ، ٢ ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ = ‪ ٦٠ = ٢ ١٠ × ٢ ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ى ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ = ‪ ٧٠ = ٦٠ + ٥٠ + ٤٠ -‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ج‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٨١‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٢‬ابجد ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻓﯿﮫ اب = ‪ ٤٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ٣٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬أﺛﺮت ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪار‬ ‫ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ‪ ٢٠٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬جد وﻗﻮﺗﺎن ق ‪- ،‬ق ﻋﻨﺪ ا ‪ ،‬ج‬ ‫وﺗﻮازﯾﺎن ب د ‪ .‬ﻋﯿﻦ ﻗﯿﻤﺔ ق ﺣﺘﻰ ﯾﺘﻜﺎﻓﺄ اﻻزدواﺟﺎن اﻟﻨﺎﺗﺠﺎن ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ي اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ٢٠٠ ، ٢٠٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ‬ ‫ى اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ‬ ‫ج‪ ٦٠٠٠ = ٣٠ × ٢٠٠ = ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ي اﻟﻘﻮﺗﺎن ق ‪ ،‬ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﺗﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ‬ ‫وﻣﻦ ھﻨﺪﺳﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪ :‬ﻧﺤﺴﺐ طﻮل ا ن ﻛﺎﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ق‬ ‫ا‬ ‫‪ ٣٠‬ﺳﻢ‬ ‫ب‬ ‫‪٢٠٠‬‬ ‫ص‬ ‫س‬ ‫‪ ٤٠‬ﺳﻢ‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ ا ن ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ب د‬ ‫وﺧﻂ ﻋﻤﻞ ق ‪.‬‬ ‫ي ص ﻣﻨﺘﺼﻒ اج ﻣﻦ ﺧﻮاص اﻟﻤﺴﺘﻄﯿﻞ‬ ‫ى س ﻣﻨﺘﺼﻒ ا ن ﻷن س ص ‪ //‬ن ج‬ ‫اب ‪ ‬اد‬ ‫) ﻣﻦ إﻗﻠﯿﺪس (‬ ‫ى ان = ‪ ٢‬اس = ‪× ٢‬‬ ‫بد‬ ‫‪٤٠ ٣٠‬‬ ‫= ‪ ٤٨‬ﺳﻢ‬ ‫ى ان =‬ ‫‪٥٠‬‬ ‫ى اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﻜﻮن ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ ق ‪- ،‬ق‬ ‫ج‪ = ٢‬ق × ‪ ٤٨ = ٤٨‬ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ي اﻹزدواﺟﺎن ﻣﺘﻜﺎﻓﺌﺎن ‪:‬‬ ‫ى ‪ ٤٨ = ٦٠٠٠‬ق‬ ‫د‬ ‫‪٢٠٠‬‬ ‫ج‬ ‫ق ن‬ ‫ج‪٢‬‬ ‫ى ج‪= ١‬‬ ‫ى ق = ‪ ١٢٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪‬ل )‪ : (٣‬ابجد ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻓﯿﮫ اب = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬ه ‪ ،‬ى ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ‬ ‫ب ج ‪ ،‬اد ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ،‬أﺛﺮت اﻟﻘﻮى ‪ ، ٤‬ق ‪ ، ٤ ، ١٣ ٢ ،‬ق ‪،‬‬ ‫‪ ١٣ ٢‬ث ‪ .‬ﺟﻢ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬ها ‪ ،‬جد ‪ ،‬دا ‪ ،‬ىج ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪.‬‬ ‫أﺣﺴﺐ ق ﻟﻜﻰ ﺗﻜﺎﻓﺊ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ازدواﺟﺎ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪ ٢٠‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ ﯾﻌﻤﻞ‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺪوران ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه ابجد ‪.‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٨٢‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫اﻟﻘﻮﺗﺎن ق ‪ ،‬ق ث ﺟﻢ ﺗﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ = ‪ -‬ق × ‪٦‬‬ ‫= ‪ ٦ -‬ق ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ى‬ ‫ا‬ ‫‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫اه = )‪ ١٣ ٢ = (٦) + (٤‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ٤ ، ٤‬ث ﺟﻢ ﺗﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ = ‪ ٣٢ - = ٨ × ٤ -‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ق‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪ ٤‬ﺳﻢ‬ ‫ب ق‬ ‫و‬ ‫د‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪ ٤‬ﺳﻢ‬ ‫ه‬ ‫‪٤‬‬ ‫ج‬ ‫اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ١٣ ٢ ، ١٣ ٢‬ث ﺟﻢ ﺗﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ وﯾﻤﺜﻠﮭﺎ ه ا ‪ ،‬ى ج ‪.‬‬ ‫وﻣﻦ ھﻨﺪﺳﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪ :‬ﻧﺤﺴﺐ طﻮل ه و ﻛﺎﻵﺗﻰ ‪:‬‬ ‫ي ق)آ جهو( = ق)آ دجى( ﻷن ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻢ ﻣﺘﻤﻢ ﻟﺰاوﯾﺔ هجى ‪.‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٦‬‬ ‫هو‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫ى هو =‬ ‫=‬ ‫ى ﺟﺘﺎ )آ جهو ( =‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١٣ ٢‬‬ ‫‪٤‬‬ ‫‪١٢‬‬ ‫= ‪ ٢٤‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ = ‪× ١٣ ٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫ي اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﻤﺤﺼﻞ = ‪٢٠ -‬‬ ‫ى ‪ ٦ – ٣٢ -‬ق ‪٢٠ - = ٢٤ +‬‬ ‫ى ‪ ٦‬ق = ‪٢٠ + ٢٤ + ٣٢ -‬‬ ‫ى ق = ‪ ٢‬ث ﺟﻢ‬ ‫ى ‪ ٦‬ق = ‪١٢‬‬ ‫‪‬ل )‪ : (٤‬ابجد ﻣﻌﯿﻦ ﻓﯿﮫ ق)آا( = ‪ ، ْ ٦٠‬طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ‪ ٢٤‬ﺳﻢ ه ‪ ،‬و ﻣﻨﺘﺼﻔﺎت‬ ‫اب ‪ ،‬اد ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ،‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﻤﺎ ‪ ، ١٠ ، ٥ ، ١٠ ، ٥‬ق ‪،‬‬ ‫ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬جد ‪ ،‬دا ‪ ،‬دب ‪ ،‬هو ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى ﻣﺘﺰﻧﺔ ‪ ،‬ﻓﺄوﺟﺪ ﻗﯿﻤﺔ ق ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ﻣﻦ ﺧﻮاص اﻟﻤﻌﯿﻦ ﻧﺠﺪ أن ‪:‬‬ ‫إ امد اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﺛﻼﺛﯿﻨﻰ ﺳﺘﯿﻨﻰ‬ ‫‪١٠‬‬ ‫و‬ ‫‪ ْ ٣٠‬ق‬ ‫ا‬ ‫‪٢٤‬ﺳﻢ‬ ‫د‬ ‫‪ْ ٦٠‬‬ ‫‪٥‬‬ ‫ق‬ ‫م‬ ‫ج‬ ‫س‪١٠‬‬ ‫ه‬ ‫‪٥‬‬ ‫ب‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫دم = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬ام = ‪١٢‬‬ ‫‪ ،‬اج = ‪٢٤‬‬ ‫‪٨٣‬‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣‬ﺳﻢ ‪ ،‬اس = دج ﺟﺎ ‪ ٢٤ = ْ ٦٠‬ﺟﺎ ‪١٢ = ْ ٦٠‬‬ ‫ﺳﻢ‬ ‫‪٣‬‬ ‫اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ٥ ، ٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪:‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ج‪ × ٥ - = ١‬اج ﺟﺎ ‪× ٣ ٢٤ × ٥ - = ْ ٣٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ،‬اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ١٠ ، ١٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪:‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪١٢٠ -‬‬ ‫ج‪ ٢٤ ×١٠ - = ٢‬ﺟﺎ ‪× ٢٤٠ - = ْ ٦٠‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫= ‪٦٠ -‬‬ ‫‪ ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٣‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ،‬اﻟﻘﻮﺗﺎن ق ‪ ،‬ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ﯾﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪:‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪ ٣ ٦‬ق ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ج‪ = ٣‬ق × دو ﺟﺎ ‪ = ْ ٦٠‬ق × ‪× ١٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ي ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى ﻣﺘﺰﻧﺔ ‪:‬‬ ‫ى ﻣﺠﻤﻮع اﻟﻘﯿﺎﺳﺎت اﻟﺠﺒﺮﯾﺔ ﻟﻌﺰوم اﻻزدواﺟﺎت اﻟﺜﻼﺛﺔ = ﺻﻔﺮ‬ ‫ى – ‪ ٦ + ٣ ١٢٠ - ٣ ٦٠‬ق ‪٠ = ٣‬‬ ‫ى ‪ ٦‬ق = ‪ ١٨٠‬ى ق = ‪ ٣٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪‬ل )‪ : (٥‬ابجد ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﻓﯿﮫ ا د ‪ //‬ب ج ‪ ،‬اب ﻋﻤﻮدى ﻋﻠﯿﮭﻤﺎ ‪ ،‬ه ﻣﺴﻘﻂ د‬ ‫ﻋﻠﻰ ب ج ‪ ،‬جب = ‪ ١٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬با = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬اد = ‪ ٩‬ﺳﻢ ‪ .‬أﺛﺮت ﻗﻮى‬ ‫ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ٣٤ ، ١٢ ، ٢٠ ، ١٨ ، ١٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬اد ‪ ،‬دج ‪ ،‬هد ‪،‬‬ ‫جا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬اﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪.‬‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫د‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫ج‬ ‫‪٣٤‬‬ ‫ه‬ ‫‪١٢‬‬ ‫ب‬ ‫‪ ١٥‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫ﻣﻦ ھﻨﺪﺳﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫به = ‪ ٩‬ﺳﻢ ‪ ،‬هج = ‪ ٦ = ٩ – ١٥‬ﺳﻢ‬ ‫دج = ‪ ١٠ = ٣٦ + ٦٤‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ٩‬ﺳﻢ‬ ‫ا‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٨٤‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ،‬جا = )‪ ١٧ = (١٥) + (٨‬ﺳﻢ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ،‬ﻡ)إادج( = اد × اب = × ‪ ٣٦ = ٨ × ٩‬ﺳﻢ ‪.‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪ ‬اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ١٢ ، ١٢‬ﺗﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ ‪:‬‬ ‫ج‪ ١٠٨ = ٩ × ١٢ = ١‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ‬اﻟﻘﻮى ‪ ٣٤ ، ٢٠ ، ١٨‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﺄﺧﻮذة ﻓﻰ ﺗﺮﺗﯿﺐ دورى واﺣﺪ ﻓﻰ إادج وﻣﻤﺜﻠﺔ‬ ‫‪٣٤ ٢٠ ١٨‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪ ) ٢‬ﻣﻘﯿﺎس اﻟﺮﺳﻢ(‬ ‫ﺗﻤﺜﯿﻼ ﺗﺎﻣﺎ ﺑﺄطﻮال أﺿﻼع إادج ﺣﯿﺚ‬ ‫‪١٧ ١٠ ٩‬‬ ‫ﻓﮭﻰ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ ‪:‬‬ ‫ج‪ ٢ - = ٢‬إادج ) ﻣﻘﯿﺎس اﻟﺮﺳﻢ ( = ‪ ١٤٤ - = ٢ × ٣٦ × ٢ -‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫اﻻزدواج اﻟﻤﺤﺼﻞ ج = ج‪ + ١‬ج‪ ٣٦ - = ١٤٤ – ١٠٨= ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫‪‬ل )‪ : (٦‬ابج ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوى اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ﻓﯿﮫ اب = اج = ‪ ١٣‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ،‬د ﻣﻨﺘﺼﻒ ب ج ‪ ،‬أﺛﺮت اﻟﻘﻮى ‪ ٤٨ ، ٢٠ ، ٥٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بد ‪،‬‬ ‫دا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ اﻟﻘﯿﺎس‬ ‫اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮ إﺣﺪاھﻤﺎ ﻓﻰ اج واﻷﺧﺮى ﺗﺆﺛﺮ‬ ‫ﻋﻨﺪ ب ﻓﻰ اﺗﺠﺎه جا ﺑﺤﯿﺚ ﺗﺼﺒﺢ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ﻣﻦ ھﻨﺪﺳﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫اد =‬ ‫‪٢‬‬ ‫ا‬ ‫‪٢‬‬ ‫)‪ ١٢ = (٥) - (١٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ١٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫ﻡ)إابج( = بج × اد =‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ب ج ‪ ‬اد ‪١٢٠ ١٢  ١٠‬‬ ‫ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫=‬ ‫ى به =‬ ‫‪‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫اج‬ ‫ي اﻟﻘﻮى ‪ ٤٨ ، ٢٠ ، ٥٢‬ﺗﻤﺜﻠﮭﺎ أﺿﻼع إابد ‪،‬‬ ‫وﻣﺄﺧﻮذة ﻓﻰ ﺗﺮﺗﯿﺐ دورى واﺣﺪ ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫اج × به‬ ‫ق‬ ‫‪٥٢‬‬ ‫ق‬ ‫‪٤٨‬‬ ‫ه‬ ‫‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫ب‬ ‫‪٢٠‬‬ ‫د‬ ‫ج‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٨٥‬‬ ‫‪٤٨ ٢٠ ٥٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪١٢ ٥ ١٣‬‬ ‫ى ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ إزدواﺟﺎ ً ‪.‬‬ ‫=‪٤‬‬ ‫) ﻣﻘﯿﺎس اﻟﺮﺳﻢ (‬ ‫اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج = ‪ × ٢‬ﻡ)إابد( × ) ﻣﻘﯿﺎس اﻟﺮﺳﻢ (‬ ‫‪١‬‬ ‫= ‪×٢ -‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫× ‪ ٢٤٠ - = ٤×١٢ × ٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ي اﻟﻘﻮﺗﺎن اﻟﻠﺘﺎن ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ اج ‪ ،‬ﻋﻨﺪ ب ﻓﻰ اﺗﺠﺎه جا ) وﻟﺘﻜﻦ ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ق (‬ ‫ﺗﻜﻮﻧﺎن ازدواﺟﺎ اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰﻣﮫ = ‪ ٢٤٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫ى ق × به – ‪٠ = ٢٤٠‬‬ ‫ى ج‪ + ١‬ج‪٠ = ٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١٢٠‬‬ ‫= ‪ ٢٦‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ى ق = ‪× ٢٤٠‬‬ ‫= ‪٢٤٠‬‬ ‫ى ق×‬ ‫‪١٢٠‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫ى اﻟﻘﻮﺗﺎن ‪ ٢٦ ، ٢٦‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫‪‬ل )‪: (٧‬ابجد ﺷﻜﻞ رﺑﺎﻋﻰ ﻓﯿﮫ اب = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬جد = دا = ‪ ١٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪ ،‬ق)آابج( = ‪ ، ْ ٩٠‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪١٩.٥ ، ١٩.٥ ، ٩ ، ١٢‬‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬جد ‪ ،‬دا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ‬ ‫ازدواﺟﺎ ‪ ،‬وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻋﻨﺪ ب ‪ ،‬د‬ ‫وﺗﻮازﯾﺎن جا ‪ ،‬اج ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺤﯿﺚ ﺗﺼﺒﺢ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن‬ ‫ا‪: ‬‬ ‫ﻣﻦ ھﻨﺪﺳﺔ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬ ‫ﻧﺮﺳﻢ اج ﺛﻢ ﻧﺮﺳﻢ د ه ‪ ‬اج‬ ‫ﻓﯿﻘﻄﻊ اج ﻓﻰ ه وﺧﻂ ﻋﻤﻞ اﻟﻘﻮة‬ ‫ق اﻟﻤﺆﺛﺮة ﻋﻨﺪ ب ﻓﻰ و ‪.‬‬ ‫ﻓﻰ إ ابج اﻟﻘﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ‪:‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ي )اج( = ‪١٠٠ = ٣٦ + ٦٤‬‬ ‫ى اج = ‪ ١٠‬ﺳﻢ‬ ‫ا‬ ‫‪ ١٣‬ﺳﻢ‬ ‫‪١٩.٥‬‬ ‫د‬ ‫‪ ٨‬ﺳﻢ‬ ‫ق‬ ‫‪١٢‬‬ ‫‪١٩.٥‬‬ ‫ه‬ ‫و‬ ‫ب ‪ ٦‬ﺳﻢ‬ ‫‪٩‬‬ ‫ج‬ ‫ق‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٨٦‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ي إداج ﻣﺘﺴﺎوى اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ‪ ،‬د ه ‪ ‬اج‬ ‫ى ه ﻣﻨﺘﺼﻒ اج‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى )ده( = )‪١٤٤ = (٥) – (١٣‬‬ ‫ى ده = ‪ ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫وﻹﯾﺠﺎد اﻟﺒﻌﺪ اﻟﻌﻤﻮدى ﺑﯿﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﯿﻦ و ب ‪ ،‬اج ﻧﺴﺘﺨﺪم إﻗﻠﯿﺪس ‪:‬‬ ‫ى وه = طﻮل اﻟﻘﻄﻌﺔ اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻤﺔ اﻟﻤﺮﺳﻮﻣﺔ ﻣﻦ ب ﻋﻠﻰ اج‬ ‫اب ‪ ‬ب ج ‪٨  ٦‬‬ ‫= ‪ ٤.٨‬ﺳﻢ‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪١٠‬‬ ‫اج‬ ‫ى دو = ده ‪ +‬هب = ‪ ١٦.٨ = ٤.٨ + ١٢‬ﺳﻢ‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻹﯾﺠﺎد ﻋﺰم اﻻزدواج اﻟﺬى ﯾﻌﻤﻞ ﻓﻰ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ابجد ‪:‬‬ ‫ي اﻟﻘﻮى ‪ ١٩.٥ ، ١٩.٥ ، ٩ ، ١٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻣﺄﺧﻮذه ﻓﻰ ﺗﺮﺗﯿﺐ دورى واﺣﺪ ‪ ،‬ﻣﻤﺜﻠﺔ‬ ‫ﺗﻤﺜﯿﻼ ﺗﺎﻣﺎ ﺑﺄطﻮال أﺿﻼع اﻟﺸﻜﻞ ﺣﯿﺚ ‪:‬‬ ‫‪٣ ١٩, ٥ ١٩, ٥ ١٢‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺖ ) ﻣﻘﯿﺎس اﻟﺮﺳﻢ (‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪٨‬‬ ‫ى ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ ً ﻋﺰﻣﮫ =‬ ‫ﺿﻌﻒ ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺮﺑﺎﻋﻰ ابجد × ﻣﻘﯿﺎس اﻟﺮﺳﻢ‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻋﺰم اﻻزدواج = ‪ ) ٢‬ﻡ اﻟﺸﻜﻞ ابجد ( ×‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪ ) ] ٢ -‬ﻡ إابج ( ‪ ) +‬ﻡ إاجد ( [ ×‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪١‬‬ ‫‪١‬‬ ‫اج × ده [ ×‬ ‫= ‪ ] ٢ -‬اب × اج ‪+‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫= ‪ ٢٥٢ -‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ‬ ‫= ‪× ( ١٢ × ١٠ + ٦ × ٨ ) -‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ى ق × دو – ‪٠ = ٢٥٢‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ى ج‪ + ١‬ج‪٠ = ٢‬‬ ‫ى ق = ‪ ١٥ = ١٦.٨ ÷ ٢٥٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫ى ق × ‪٢٥٢ = ١٦.٨‬‬ ‫ى ﻣﻘﺪار ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻋﻨﺪ ب ‪ ،‬د وﺗﻮازﯾﺎن جا ‪ ،‬اج ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ﺑﺤﯿﺚ ﺗﺼﺒﺢ‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ﻫﻣﺎ ‪ ١٥ ، ١٥‬ﻧﯾوﺗن ‪.‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪  ‬ر‪‬‬ ‫‪٨٧‬‬ ‫)‪(٦‬‬ ‫)‪/١٩٩٧ (١‬دور أول ‪ :‬ابجد ﻣﺘﻮازى أﺿﻼع ﻓﯿﮫ اب = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ق)آداب( = ‪ ، ْ ٦٠‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ١٠ ، ٦ ، ١٠ ، ٦‬ث ﺟﻢ ﻓﻰ اب ‪،‬‬ ‫جب ‪ ،‬جد ‪ ،‬اد ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر‬ ‫ﻋﺰﻣﮫ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣ ٣٦ :‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ (‬ ‫)‪/٢٠٠١ (٢‬دور أول ‪ :‬ابجد ﻣﺘﻮازى أﺿﻼع ﻓﯿﮫ اب = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫ق)آا( = ‪ ، ْ ٦٠‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ١٠ ، ٨ ، ١٠ ، ٨‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬جب‬ ‫‪ ،‬جد ‪ ،‬اد ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰم اﻻزدواج اﻟﺬى ﯾﻜﺎﻓﺊ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪٢ :‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ (‬ ‫)‪/١٩٩٩ (٣‬دور ﺛﺎن ‪ :‬ابجد ﻣﺮﺑﻊ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ‪ ١٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬أﺛﺮت اﻟﻘﻮى ‪ ، ٤٠‬ق ‪،‬‬ ‫‪ ، ٤٠‬ق ث ﺟﻢ ﻓﻰ با ‪ ،‬بج ‪ ،‬دج ‪ ،‬دا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ،‬ﻓﺈذا ﻛﺎﻧﺖ ھﺬه اﻟﻘﻮى‬ ‫اﻷرﺑﻊ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ﯾﺴﺎوى ‪ ٤٨٠‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎه ادجب‬ ‫أوﺟﺪ ق ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٠ :‬ث ﺟﻢ (‬ ‫)‪/١٩٩٩ (٤‬دور أول ‪ :‬ابجد ﻣﺮﺑﻊ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬أﺛﺮت ﻗﻮﺗ ﺎن ﻣﻘ ﺪارھﻤﺎ ‪٢٠‬‬ ‫‪ ٢٠ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬جد ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﺛﺮت ﻓﻰ ا ‪ ،‬ج ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪار ﻛﻞ‬ ‫ﻣﻨﮭﻤﺎ ‪ ٢ ١٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﻰ بد ‪ ،‬دب ﻋﻠ ﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿ ﺐ ‪ .‬اﺛﺒ ﺖ أن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋ ﺔ‬ ‫ﺗﻜ ﺎﻓﺊ ازدواج وأوﺟ ﺪ ﻣﻌﯿ ﺎر ﻋﺰﻣ ﮫ ‪ ،‬ﺛ ﻢ أوﺟ ﺪ ﻣﻘ ﺪار واﺗﺠ ﺎه ﻗ ﻮﺗﯿﻦ ﺗ ﺆﺛﺮان ﻓ ﻰ‬ ‫‪.‬‬ ‫ب ‪ ،‬د وﺗﻮازﯾ ﺎن اج وﺗﺠﻌ ﻼن اﻟﻤﺠﻮﻋ ﺔ ﻓ ﻰ ﺣﺎﻟ ﺔ ﺗ ﻮازن ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٠٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ ‪٥ ،‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ (‬ ‫)‪ (٥‬ابجد ﻣﺮﺑﻊ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ٩ ، ٤ ، ٩ ، ٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ‬ ‫اب ‪ ،‬جب ‪ ،‬جد ‪ ،‬اد ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﺛﺮت ﻓﻰ ا ‪ ،‬ج ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪار ﻛﻞ‬ ‫ﻣﻨﮭﻤﺎ ‪ ٢ ٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اﺗﺠﺎھﻰ بد ‪ ،‬دب ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫اﻟﻘﻮى ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٥٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ (‬ ‫)‪ (٦‬ابجد ﻣﺮﺑﻊ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ‪ ١٥‬ﺳﻢ ‪ ،‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ٣ ، ٢ ، ٣ ، ٢‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ‬ ‫‪٢‬‬ ‫اب ‪ ،‬جب ‪ ،‬جد ‪ ،‬اد ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﺛﺮت ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ‪ ،‬ج ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎھﯿﻦ بد ‪ ،‬دب ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬اﻟﻘﯿﺎس اﻟﺠﺒﺮى ﻟﻌﺰم اﻻزدواج اﻟﺬى ﯾﻜﺎﻓﺊ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫‪٨٨‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﻌﻤﻼن ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ب ‪ ،‬د وﺗﻮازﯾﺎن اج وﺗﺠﻌﻼن اﻟﻤﺠﻮﻋﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٥ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪٣‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫(‬ ‫)‪/٢٠٠١ (٧‬دورﺛﺎن ‪ :‬ابجد ﻣﺮﺑﻊ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ‪ ٣‬ﺳﻢ ‪ ،‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪، ١٠‬‬ ‫‪ ١٥ ، ١٠ ، ١٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬جب ‪ ،‬جد ‪ ،‬اد ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ،‬ﻛﻤﺎ أﺛﺮت‬ ‫ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ‪ ٢ ٥‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ‪ ،‬ج ﻓﻰ اﻻﺗﺠﺎھﯿﻦ بد ‪،‬‬ ‫دب ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أوﺟﺪ ‪:‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰم اﻻزدواج اﻟﺬى ﯾﻜﺎﻓﺊ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﻌﻤﻼن ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ب ‪ ،‬د وﺗﻮازﯾﺎن اج وﺗﺠﻌﻼن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻓﻰ‬ ‫ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٥ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫‪١٥‬‬ ‫‪٢‬‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ‬ ‫(‬ ‫)‪/٢٠٠٢ (٨‬دور أول ‪ :‬ابجد ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻓﯿﮫ اب = ‪ ٩‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ٢٤‬ﺳﻢ ‪ ،‬س ‪،‬‬ ‫ص ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ ب ج ‪ ،‬اد ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪٤٥ ، ٣٦ ، ٢٧‬‬ ‫ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بس ‪ ،‬سا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ‬ ‫وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ بص ‪ ،‬دس ﺣﺘﻰ ﺗﺘﺰن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣٢٤ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ ( ٤٥ ، ٤٥ ) ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ (‬ ‫)‪/١٩٩٨ (٩‬دور ﺛﺎن ‪ :‬ابجد ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻓﯿﮫ اب = ‪ ٦‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬أﺛﺮت‬ ‫ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ٧ ، ٦ ، ٧ ، ٦‬ث ﺟﻢ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬جد ‪ ،‬دا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪.‬‬ ‫أﺛﺒﺖ أن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪ .‬ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار واﺗﺠﺎه‬ ‫ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﻌﻤﻼن ﻋﻨﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘﯿﻦ ا ‪ ،‬ج ﻋﻤﻮدﯾﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ اج ﺑﺤﯿﺚ ﺗﺘﺰن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٩٠ :‬ث ﺟﻢ ‪ ( ٩ ، ٩ ) ،‬ث ﺟﻢ (‬ ‫)‪ (١٠‬ابجد ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻓﯿﮫ اب = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ٥‬ﺳﻢ ورءوﺳﮫ ا ‪ ،‬ب ‪ ،‬ج ‪ ،‬د‬ ‫ﻓﻰ ﺗﺮﺗﯿﺐ دورى واﺣﺪ ﻋﻜﺲ اﺗﺠﺎه دوران ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ ‪ .‬أﺛﺮت ﻗﻮﺗﺎن ‪، ٢٤٠‬‬ ‫‪ ٢٤٠‬ث ﺟﻢ ﻓﻰ اب ‪ ،‬جد ‪ .‬أوﺟﺪ ﻗﻮﺗﺎن ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﺎن ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ج ‪ ،‬ا وﺗﻮازﯾﺎن‬ ‫اﻟﻘﻄﺮ بد وﺗﻜﺎﻓﺌﺎن اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻟﺴﺎﺑﻘﺘﯿﻦ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٣٠ :‬ث ﺟﻢ ‪ ١٣٠ ،‬ث ﺟﻢ (‬ ‫)‪ (١١‬ﻣﺼﺮ‪ : ١٩٩٣/‬ابجد ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻓﯿﮫ اب = ‪ ١٢٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ٥٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬أﺛﺮت‬ ‫ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ١٠ ، ٥٠ ، ١٠ ، ٥٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬جب ‪ ،‬جد ‪ ،‬اد ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ب ‪ ،‬د ﻋﻤﻮدﯾﺎ ﻋﻠﻰ ب د ﺑﺤﯿﺚ ﺗﺘﺰن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٠ ، ١٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ (‬ ‫)‪ (١٢‬ابجد ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﻓﯿﮫ اب = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬ه ‪،‬و ﻣﻨﺘﺼﻔﺎ ب ج ‪ ،‬اد‬ ‫ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ ،‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ١٨ ، ٣٠ ، ٣٦ ، ٢٤‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بج ‪،‬‬ ‫جو ‪ ،‬وا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪:‬‬ ‫ا‪‬ت ‪ ‬ا‪ ‬ا‪‬م‪‬ى‬ ‫‪٨٩‬‬ ‫أوﻻ ‪ :‬أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪.‬‬ ‫ﺛﺎﻧﯿﺎ ‪ :‬أوﺟﺪ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻟﻠﺘﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻋﻨﺪ ها ‪ ،‬وج ﺣﺘﻰ ﺗﺘﺰن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٣٢ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ ٩٠ ، ٩٠ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ (‬ ‫)‪ (١٣‬ابج دهو ﺷ ﻜﻞ ﺳﺪاﺳ ﻰ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ ط ﻮل ﺿ ﻠﻌﮫ ‪ ٨‬ﺳ ﻢ ‪ ،‬أﺛ ﺮت ﻗ ﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھ ﺎ ‪.‬‬ ‫‪ ٨ ، ٣ ، ٨ ، ٣‬ث ‪ .‬ﻛﺠ ﻢ ﻓ ﻰ اب ‪ ،‬جب ‪ ،‬ده ‪ ،‬وه ﻋﻠ ﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿ ﺐ ‪ .‬أﺛﺒ ﺖ أن‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪ ) .‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣ ٤٠ :‬ث ﻛﺠﻢ ‪ .‬ﺳﻢ (‬ ‫)‪ (١٤‬ابجدهو ﺷ ﻜﻞ ﺳﺪاﺳ ﻰ ﻣﻨ ﺘﻈﻢ ط ﻮل ﺿ ﻠﻌﮫ ‪ ٢٠‬ﺳ ﻢ ‪ ،‬أﺛ ﺮت ﻗ ﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھ ﺎ ‪.‬‬ ‫‪ ٤ ، ٧ ، ٤ ، ٧‬ث ﺟ ﻢ ﻓ ﻰ با ‪ ،‬بج ‪ ،‬هد ‪ ،‬هو ﻋﻠ ﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿ ﺐ ‪ ،‬ﻛﻤ ﺎ أﺛ ﺮت‬ ‫ﻗﻮﺗﺎن ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻨﮭﻤﺎ ق ث ﺟﻢ ﻓ ﻰ جد ‪ ،‬وا ‪ ،‬أوﺟ ﺪ ﻗﯿﻤ ﺔ ق إذا ﻋﻠ ﻢ أن ‪.‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى ﻣﺘﺰﻧﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣ :‬ث ﺟﻢ (‬ ‫)‪ (١٥‬ابج ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻰ ا ‪ ،‬ﻓﯿﮫ اب = اج = ‪ ٥‬ﺳﻢ ‪ .‬أﺛ ﺮت ﻗ ﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھ ﺎ‬ ‫‪ ٢ ٤٠ ، ٤٠ ، ٤٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ با ‪ ،‬اج ‪ ،‬جب ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أوﺟﺪ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ‬ ‫اﻟﻠﺘ ﯿﻦ ﺗ ﺆﺛﺮان ﻋﻨ ﺪ اﻟﻨﻘﻄﺘ ﯿﻦ ب ‪ ،‬ج وﻋﻤ ﻮدﯾﺘﯿﻦ ﻋﻠ ﻰ ب ج ﺣﺘ ﻰ ﺗﺘ ﺰن ﻣ ﻊ‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٢٠٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ ٢ ٢٠ ، ٢ ٢٠ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ (‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫)‪ (١٦‬ابج ﻣﺜﻠﺚ أطﻮال أﺿﻼﻋﮫ اب ‪ ،‬ب ج ‪ ،‬ج ا ھﻰ ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪، ١٨ ، ١٥‬‬ ‫‪ ٢١‬ﻣﻦ اﻟﺴﻨﺘﯿﻤﺘﺮات ‪ ،‬أﺛﺮت اﻟﻘﻮى ‪ ١٠٥٠ ، ٩٠٠ ، ٧٥٠‬ث ﺟﻢ ﻓﻰ با ‪ ،‬جب‬ ‫‪ ،‬اج ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ‬ ‫‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻟﻠﺘﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ﻛﻞ ﻣﻦ ا ‪ ،‬ج ﻋﻤﻮدﯾﺘﺎن ﻋﻠﻰ‬ ‫اج ﻟﻜﻰ ﺗﺘﺰن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪) .‬اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٣٢٢٨ :‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ ٦٣٠ ، ٦٣٠ ،‬ث ﺟﻢ (‬ ‫)‪ (١٧‬ابج ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎوى اﻟﺴﺎﻗﯿﻦ ﻓﯿﮫ اب = اج = ‪ ١٠‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬د‬ ‫ﻣﻨﺘﺼﻒ ب ج ‪ ،‬أﺛﺮت اﻟﻘﻮى ‪ ٢٤ ، ١٨ ، ٣٠‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بد ‪ ،‬دا ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻘﻮى ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟﺪ‬ ‫ﻣﻘﺪار ﻗﻮﺗﯿﻦ إﺣﺪاھﻤﺎ ﺗﻌﻤﻞ ﻓﻰ اج واﻷﺧﺮى ﺗﺆﺛﺮ ﻋﻨﺪ ب ﻓﻰ اﺗﺠﺎه جا ﺑﺤﯿﺚ‬ ‫ﺗﺼﺒﺢ اﻟﻤﺠﻮﻋﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ اﺗﺰان ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ١٤٤ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ ١٥ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ (‬ ‫)‪/٢٠٠٠ (١٨‬دور أول ‪ :‬ابج ﻣﺜﻠﺚ ﻓﯿﮫ اب = اج = ‪ ١٣‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ٢٤‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪ ٣٩ ، ٧٢ ، ٣٩‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬جا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ‪.‬‬ ‫أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ ً وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ﺛﻢ أوﺟﺪ ﻗﻮﺗﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ‬ ‫ب ‪ ،‬ج وﻋﻤﻮدﯾﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ب ج وﺗﺠﻌﻼن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻓﻰ ﺣﺎﻟﺔ ﺗﻮازن ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣٦٠ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ ١٥ ، ١٥ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ (‬ ‫‪٩٠‬‬ ‫ا‪‬م‪‬‬ ‫)ا‪(‬‬ ‫)‪ (١٩‬ابجد ﻣﻌﯿﻦ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬ق)آا( = ‪ ، ْ ٦٠‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ‬ ‫‪ ٨٠ ، ٥٠ ، ٨٠ ، ٥٠‬ث ﺟﻢ ﻓﻰ با ‪ ،‬بج ‪ ،‬دج ‪ ،‬دا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬اﺛﺒﺖ‬ ‫أن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟﺪ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻟﻠﺘﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان‬ ‫ﻋﻨﺪ ا ‪ ،‬ج وﺗﻮازﯾﺎن ب د وﺗﺘﺰﻧﺎن ﻣﻊ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪١٨٠ :‬‬ ‫‪ ٣‬ث ﺟﻢ ‪ ١٥ ، ١٥ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ (‬ ‫)‪ (٢٠‬ابجد ﻣﻌﯿﻦ طﻮل ﺿﻠﻌﮫ ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ ،‬ق)آابج( = ‪ ، ْ ٦٠‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ‬ ‫‪ ٦ ، ٤ ، ٦ ، ٤‬ث ﻛﺠﻢ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬جد ‪ ،‬دا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن‬ ‫اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ﺛﻢ أوﺟﺪ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻟﻠﺘﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ‬ ‫ب ‪ ،‬د ﻋﻤﻮدﯾﺘﯿﻦ ﻋﻠﻰ ب د ﺑﺤﯿﺚ ﺗﻜﺎﻓﺌﺎن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪٦٠ :‬‬ ‫‪ ٣‬ث ﻛﺠﻢ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ ٥ ، ٥ ،‬ث ﻛﺠﻢ‬ ‫(‬ ‫)‪ (٢١‬ابجد ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﯾﺔ ﻓﻰ ب ‪ ،‬ا د ‪ //‬ب ج ‪ ،‬اب = ‪ ٩‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫بج = ‪ ٢‬اد = ‪ ٢٤‬ﺳﻢ ‪ ،‬ﻧﻘﻄﺔ ه ﻣﻨﺘﺼﻒ ب ج ‪ ،‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ‬ ‫‪ ٣٦ ، ٤٥ ، ٧٢ ، ٢٧‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ﻓﻰ اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬جد ‪ ،‬دا ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ‬ ‫أن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواج وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪ .‬أوﺟﺪ ﻣﻘﺪار ﻛﻞ ﻣﻦ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ‬ ‫اﻟﻠﺘﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ ها ‪ ،‬دج ﺣﺘﻰ ﺗﺘﺰن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٩٧٢ :‬ﻧﯿﻮﺗﻦ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ ١٣٥ ، ١٣٥ ،‬ﻧﯿﻮﺗﻦ (‬ ‫)‪/١٩٩٧ (٢٢‬دور ﺛﺎن ‪ :‬ابجد ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﻓﯿﮫ ا د ‪ //‬ب ج ‪ ،‬ق)آابج( = ‪ْ ٩٠‬‬ ‫‪ ،‬اب = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬بج = ‪ ١٧‬ﺳﻢ ‪ ،‬اد = ‪ ١١‬ﺳﻢ ‪ .‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪١٦ ، ٢٢‬‬ ‫‪ ٢٠ ، ٣٤ ،‬ث ﺟﻢ ﻓﻰ دا ‪ ،‬اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬جد ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿﺐ ‪ .‬أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ﺛﻢ أوﺟﺪ اﻟﻘﻮﺗﯿﻦ اﻟﻠﺘﯿﻦ ﺗﺆﺛﺮان ﻓﻰ اد ‪ ،‬جب‬ ‫ﺣﺘﻰ ﺗﺘﺰن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٤٨٨ :‬ث ﺟﻢ ‪ .‬ﺳﻢ ‪ ٥٦ ، ٥٦ ،‬ث ﺟﻢ (‬ ‫)‪ (٢٣‬ابجد ﺷﺒﮫ ﻣﻨﺤﺮف ﻓﯿﮫ ا د ‪ //‬ب ج ‪ ،‬ق)آادج( = ‪ ، ْ ٩٠‬بج = ‪ ١٨‬ﺳ ﻢ‬ ‫‪ ،‬جد = ‪ ٨‬ﺳﻢ ‪ ،‬دا = ‪ ١٢‬ﺳﻢ ‪ .‬أﺛﺮت ﻗﻮى ﻣﻘﺎدﯾﺮھﺎ ‪١٨ ، ١٢ ، ٢٧ ، ١٥‬‬ ‫ث ﻛﺠ ﻢ ﻓ ﻰ اب ‪ ،‬بج ‪ ،‬جد ‪ ،‬دا ﻋﻠ ﻰ اﻟﺘﺮﺗﯿ ﺐ ‪ .‬أﺛﺒ ﺖ أن اﻟﻤﺠﻤﻮﻋ ﺔ ﺗﻜ ﺎﻓﺊ‬ ‫ازدواﺟﺎ وأوﺟﺪ ﻣﻌﯿﺎر ﻋﺰﻣﮫ ‪ ،‬ﺛﻢ أوﺟ ﺪ ﻗ ﻮﺗﯿﻦ ﺗ ﺆﺛﺮان ﻓ ﻰ ا ‪ ،‬ج ﻋﻤ ﻮدﯾﺘﯿﻦ ﻋﻠ ﻰ‬ ‫اج وﺗﺘﺰﻧﺎن ﻣﻊ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ ‪.‬‬ ‫) اﻹﺟﺎﺑﺔ ‪ ٣٦٠ :‬ث ﻛﺠﻢ ‪ .‬ﺳﻢ ‪،‬‬ ‫‪٩٠‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪٩٠‬‬ ‫‪١٣‬‬ ‫ث ﻛﺠﻢ (‬

books-library.online-10110214Xy5V7

Products

Support

books-library.online-10110214Xy5V7

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib