1.1. Sodda funksiyalarning aniqmas integrallari jadvali
1. Aniqmas integralning ta’rifi. 𝑓(𝑥) funksiya (𝑎, 𝑏) intervalda aniqlangan
bo‘lib, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), bo‘lsa, u holda 𝐹(𝑥) funksiya 𝑓(𝑥) funksiyaning
boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
Agar 𝐹1 (𝑥) va 𝐹2 (𝑥) funksiyalar 𝑓(𝑥) funksiyaning boshlang‘ich
funksiyalari bo‘lsalar, u holda ular bir biridan o‘zgarmasga farq qiladilar. Ya’ni
𝐹2 (𝑥) = 𝐹1 (𝑥) + 𝐶 bo‘ladi.
Ta’rif. Agar 𝐹(𝑥) funksiya 𝑓(𝑥) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi
bo‘lsa, u holda {𝐹(𝑥) + 𝐶} funksiyalar oilasiga 𝑓(𝑥) funksiyaning aniqmas
integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶.
2. Aniqmas integralning asosiy xossalari.
a) 𝑑[∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥] = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥;
b) ∫ 𝑑Φ(𝑥) = Φ(𝑥) + 𝐶;
v) ∫ 𝐴𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐴 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥(𝐴 = const; 𝐴 ≠ 0);
g) ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3. Sodda funksiyalarning aniqmas integrallari jadvali.
I. ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
II. ∫
𝑑𝑥
𝑥 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶(n ≠ −1).
= ln|𝑥| + 𝐶(𝑥 ≠ 0).
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
𝑑𝑥
III. ∫
={
.
2
1+𝑥
−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
𝑑𝑥
1
1+𝑥
IV. ∫
= ln { } + 𝐶.
2
1−𝑥
2
1−𝑥
𝑑𝑥
arcsin𝑥 + 𝐶
V. ∫
={
.
√1−𝑥 2
−arccos𝑥 + 𝐶
𝑑𝑥
VI. ∫ 2 = ln |𝑥 + √𝑥 2 ± 1| + 𝐶.
𝑥
√𝑥 ±1
𝑥
𝑎𝑥
VII. ∫ 𝑎 𝑑𝑥 =
+ 𝐶(𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) ; ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶.
ln𝑎
VIII. ∫ sin𝑥𝑑𝑥 = −cos𝑥 + 𝐶
XII. ∫ 𝑠ℎ𝑥𝑑𝑥 = 𝑐ℎ𝑥 + 𝐶
IX. ∫ cos𝑥𝑑𝑥 = sin𝑥 + 𝐶
XIII. ∫ 𝑐ℎ𝑥𝑑𝑥 = 𝑠ℎ𝑥 + 𝐶
𝑑𝑥
X. ∫ 2 = −𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
sin 𝑥
𝑑𝑥
XIV. ∫
𝑠ℎ2 𝑥
𝑑𝑥
= −𝑐𝑡ℎ + 𝐶
XI. ∫ 2 = 𝑡𝑔𝑥 + 𝐶
cos 𝑥
𝑑𝑥
XV. ∫ 2 = 𝑡ℎ𝑥 + 𝐶
𝑐ℎ 𝑥
Jadval yordamida hisoblashga misollar.
1-misol.
Yechish.
3
√𝑥−2 √𝑥 2 +1
𝑑𝑥
∫
4
√𝑥
– integralni hisoblang.
3
3
√𝑥 2 𝑑𝑥
𝑑𝑥
√𝑥 − 2√𝑥 2 + 1
√𝑥
∫
𝑑𝑥
=
∫
𝑑𝑥
−
2
∫
+
∫
=
4
4
4
4
√𝑥
√𝑥
√𝑥
√𝑥
1
5
1
4
12 ⋅ 2
4
= ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥 12 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 −4 𝑑𝑥 = − 4
+ 12
− 4
+𝐶
3√𝑥 3 7 √𝑥 7 5√𝑥 5
√1+𝑥 2 +√1−𝑥 2
2-misol. ∫
𝑑𝑥 – integralni hisoblang.
√1−𝑥 4
Yechish.
√1 − 𝑥 2
√1 + 𝑥 2 + √1 − 𝑥 2
√1 + 𝑥 2
∫
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥 =
√1 − 𝑥 4
√(1 + 𝑥 2 )(1 − 𝑥 2 )
√(1 − 𝑥 2 )(1 + 𝑥 2 )
1
1
=∫
𝑑𝑥 + ∫
𝑑𝑥 = arcsin𝑥 + ln |𝑥 + √1 + 𝑥 2 | + 𝐶
2
2
√1 + 𝑥
√1 − 𝑥
𝑑𝑥
3-misol. ∫
– integralni hisoblang.
𝑛
Yechish.
(𝑥−𝑎)
𝑑𝑥
1
1
=
+ 𝐶.
(𝑥 − 𝑎)𝑛 1 − 𝑛 (𝑥 − 𝑎)𝑛−1
– integralni hisoblang.
2
∫
4-misol. ∫
Yechish.
𝑑𝑥
√𝑥 2 ±𝑎
𝑑𝑥
∫
=∫
𝑑(𝑥/𝑎)
√(𝑥/𝑎)2
±1
√𝑥 2 ± 𝑎 2
𝑑𝑥
5-misol. ∫ 2 2 – integralni hisoblang.
𝑎 +𝑥
Yechish.
= ln |𝑥 + √𝑥 2 ± 𝑎2 | + 𝐶.
1
a𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥/𝑎) + 𝐶
𝑑𝑥
1
𝑑(𝑥/𝑎)
𝑎
∫ 2
= ∫
={
1
𝑎 + 𝑥 2 𝑎 1 + (𝑥/𝑎)2
− 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔(𝑥/𝑎) + 𝐶
𝑎
1+cos2 𝑥
Mustaqil ishlash uchun misollar
𝑑𝑥
6-misol.∫
𝑑𝑥
1+cos2𝑥
7-misol.∫
√3+3𝑥 2
8-misol.∫
9-misol.∫ 2 2 𝑑𝑥
cos 𝑥sin 𝑥
(1−𝑥)2
𝑥 √𝑥
𝑑𝑥
𝑥
cos2𝑥
(1+𝑥)2
10-misol.∫ 2sin 𝑑𝑥
2
11-misol.∫
𝑑𝑥
𝑥(1+𝑥 2 )
12-misol.∫ 𝑡𝑔2 𝑥𝑑𝑥
13-misol.∫
𝑑𝑥
14-misol.∫
cos2𝑥+sin2 𝑥
√𝑥−𝑥 3 𝑒 𝑥 +𝑥 2
𝑑𝑥
𝑥3
15-misol. ∫(arcsin𝑥 + arccos𝑥) 𝑑𝑥