第 2 版前言
1915年北京高等师范学校成立数理部，1922年成立数学系2004年成立北京
师范大学数学科学学院． 经过近百年的风风雨雨？数学科学学院在学科建设、人
才培养和教学实践中积累了丰富的经验． 将这些经验落实并贯彻到教材编著中
去是大有益处的
培养人才和编写教材是北京师范大学数学科学学院两项非常重要的工作．
教材的编写是学院的基本建设之一． 学院要抓好教材建设；教师要研究教学方
法． 在教材方面， 学院要推出一批自己的高水平教材．
2005年5月， 由北京师范大学数学科学学院李仲来教授和北京师范大学出版
社理科编辑部岳昌庆、王松浦进行了沟通和协商，由北京师范大学数学科学学
院主编（李仲来教授负责），准备对学院教师目前使用的，或北京师范大学出版社
已经没有存书的部分教材进行修订后再版， 另有一些教材需要重新编写． 计划
用几年时间，出版数学与应用数学系列教材、数学教育主干课程系列教材、大学
公共课数学系列教材、数学学科硕士研究生系列教材共4个系列约60余部的主要
课程教材．
从2005年起， 由学院组织和动员全院在职和退休教师之力量， 主编出版数学
一级学科4个系列课程教材教材编写涉及面之广、数量之大、持续时间之长3
远在一所高校数学院系 内 是为数不多 的， 其数量在中国数学界列全国第一． 经
过8年的编写， 至今己经出版了50余部教材，原计划的大多数教材己经出版，对于
学院来讲，这是一件值得庆贺的大事． 现在可以说？数学科学学院和北京师范大
学出版社基本上是干成了一件大事－ 这是很难办圆满的一件大事． 剩下的一些
教材在两三年内 多数可以出版 若留下缺憾，则需要后人去补充．
从数量上看3按教材系列3 出版数学与应用数学系列教材28部、数学教育主
干课程系列教材9部、大学公共课数学系列教材7部、数学学科硕士研究生系列
教材10部，按 出版教材版次，第1版21部、第2版21部、第3版12部． 还出版了3部教
辅教材．
从质量上看，7部教材被评为普通高等教育”十一 五”国家级规划教材，7部教
材被评为普通高等教育本科”十二五”国家级规划教材； 7部教材被评为北京市高
等教育精品教材； 《师范院校数学学科4个系列教材建设》项目获2012年北京师
范大学教育教学成果一等奖．
写教材要慢一 点， 质量要好一 点， 教材修订连续化， 教材出版系列化， 是编
写教材要注意的几项基本原则． 学院希望教材要不断地继续修改和完善，对己经
出版的研究生教材，我们准备再版． 在2012年， 经由北京师范大学数学科学学院
李仲来教授和北京师范大学出版社理科编辑部岳昌庆进行协商， 由北京师范大
学数学科学学院主编（李仲来教授负责））准备对北京师范大学数学科学学院教
师目前使用的 己经出版第1版的研究生教材进行修订后出版第2版．
教材的建设是长期的、 艰苦的任务， 每一位教师在教学中要 自主地开发教
学资源3 创造性地编写和使用教材学院建议： 在安排教学时， 应考虑同一教师
在3～5年里能够稳定地上同一门课，井参与到教材的编写或修订工作中去在学
院从事教学的大多数教师， 应该在一生的教学生涯中至少以 自己为主，编写或修
订一种教材为己任， 并注意适时地修订或更新教材． 我们还希望使用这些教材
的校内外专家学者和广大读者，提出宝贵的修改意见，使其不断改进和完善．
本套教材可供高等院校数学一级学科硕士研究生和课程与教学论（数学） 等
硕士研究生使用和参考（李仲来执笔）
北京师范大学数学科学学院
2012-03-08
第 2版作者的话
本书第1版于2008年1月在北京师范大学出 版社出 版， 2011年被评为“北京市
高等教育精品教材” ． 因 已售罄， 应 出 版社要求得以再版．
在 第2版中 ， 补充 了 单边Hard y-Littlewood极大算子的定义及性质 （ 见§1.2.3)
和Stei n算子解析族插值定理（见§1.4.3 ) ; §2.3中 扩充 了 复测度Fourier分析 的 内 容；
新增 了 §5.4 关于Fourier乘子和 Littlewood-Pale y理论的 内 容． 此外，还增加 了 若干
新的注记， 并 由 此补充 了 一些相关的研究成果（包括新近成果）， 因 而第2版的参
考文献也比第1 版增加 了 一倍多 ． 特别地， 我们改正 了 第1版中 的 疏漏之处和打
印错误．
新疆大学江寅生教授、 首都师范大学李中 凯教授、 中 国科学院大学燕敦验教
授、 厦门大学伍火熊教授、 西北师范大学陶双平教授、 新疆大学王新霞博士指正
了 第1版中 的打印错误， 李中 凯教授和北京师范大学邓冠铁教授指出 第1版§2.3中
函数与测度卷积定义 中 的疏漏之处． 上述专家们的意见和建议？为 本书的修订
提供 了 非常宝贵的信息． 作者在此 向他们表示衷心的感谢！
感谢所有使用 过 本书的教师和 学生诚恳希望专家和 读者对书中 的错误和
不妥之处继续不吝指 正．
感谢北京师范大学 出 版社为本书第2版的编辑出 版所做的工作．
丁勇 ( di ng y@b nu .edu. c n)
2012年12月
第 1版前言
研究生教材建设是研究生培养工作的重要环节， 是研究生教学改革措施之
一，也是衡量学校研究生教学水平和特色的重要依据． 纵观我院的研究生教育，
可分为几个阶段： 1953～1960年我院招收10个研究生班； 1962～1965年改为招收
少量的硕士研究生i 1966～1976年“文化大革命”时期，研究生停止招生. 1978年，
我院恢复招收硕士研究生，研究生所学课程除外语和 自然辩证法公共课程外，主
要学习几门专业课． 每年导师根据招生情况 分别制定每个研究生的培养计划．
从1982年开始，首次开展制定攻读硕士学位研究生培养方案的工作为拓宽研究
生的知识面，对每届研究生开设5门专业基础理论课： 泛函分析、抽象代数、实分
析、复分析、微分流形，每人至少选3门； 从1983年起，增加代数拓扑，共6门基础理
论课，安排有经验的教师讲课且相对固定， 考试要求严格，使研究生受到正规的
训练． 由于不同院校开设的本科生课程有一定的差距，经过这个阶段的学习后，
基本上达到了一个相同的水平 为从本科生到研究生基础水平过渡提供了保障．
在1992年修订教学计划时，增加了概率论基础和计算机基础． 这样，基础理论课
共开设8门从1997学年开始，规定研究生每人至少选411. 从2000年开始，改为开
设12门基础课3增加应用分析基础、偏微分方程、李群、随机过程经过近30年
系统的研究生培养工作， 学院在学科建设、人才培养和教学实践中积累了 比较
丰富的培养经验，将这些经验落实并贯彻到研究生教材编写中去是大有益处的．
在20世纪90年代，北京师范大学出版社出版了基础课教材泛函分析、实分
析、随机过程，但未系统策划出版系列教材2005年5月， 由北京师范大学数学科
学学院李仲来教授和北京师范大学出版社理科编辑部岳昌庆、王松浦进行了沟
通和协商， 由北京师范大学数学科学学院组编（李仲来教授负责），准备对北京师
范大学数学科学学院教师目前使用的北京师范大学出版社出版的几部教材进行
修订后再版3进一步计划用几年时间，出版数学一级学科硕士研究生的基础课程
系列教材－ 我们希望使用这些教材的校内外专家学者和广大读者，提出宝贵的
修改意见？使其不断改进和完善 ．本套教材可供高等院校数学一级学科硕士研
究生和课程与教学论（数学） 硕士研究生使用和参考．
北京师范大学数学科学学院 2006-01-18
第1版作者的话
“应用 分析基础”是北京师范大学数学科学学院2000年硕士研究 生培养方 案
中 列入的学位基础课程之一． 在2007年6月由 北师大研究生院组织的研究生培养
方 案的修订工作中， 根据一些专家教授的建议， 在原“应用 分析基础”课程 的 内 容
中 补充20世纪70年代 以 来在分析领域 中 取得的某些重要进展， 同 时将该课程更
名 为“现代分析基础”， 并仍列 为 北师大数学学院硕士研究生的学位基础课程．
2002年 以 来， 编者已 为 北师大数学学院的四届硕士研究生讲授 了 该门课程．
在教学 中 我们曾选用 了 1999年Wolf数学奖得主、 美国科学院院士E M. Stei n和
美国著名数学家G Weiss 的名著《Introductio nto Fourier A nal ysis o nEuclidea n
Spaces》（［120］）作为该课程的主要参考书． 本书是在编者的“应用 分析基础”讲义
之上， 参考了 国内 外一些重要专著和文献后修改补充编写而成的
全书共分六章第一章 中介绍的知识在现代分析 中 是最基本且十分重要的，
它们的应用 也始终贯穿于全书之 中． 第二章主要介绍Fourier变 换的经典理论 －
Fourier变换是现代分析 中 最重要的工具之一， 已广泛应 用 于偏微分方程 、 调和
分析、 复分析、 概率论、 小波分析及数值分析等众多 研究领域． 第三章介绍速降函
数空 间Y及其对偶空 间 f’ （ 缓增广义函数类 〉 ． 运用 缓增广义 函数理论， 可十分
有效地拓广经典的Fourier变换理论， 从而使得广 义函数在现代分析，特别是推动
偏微分方程和调和分析理论的发展 中 发挥了 极其重要的作用． 第四章介绍]Rn上
调和 函数的一般理论． 它来源于复分析并且密切联系着偏微分方程和调和分析
理论， 同 时在 概率论 中亦有重要的应用 ． 在这一章我们还讨论 了 R叶1 的上半空
间JR�＋ l 上调和 函数的径 向和非切 向边界值问题， 介绍 了 球面调和 函数的基本 内
容和一些重要性质 第五章介绍Cald ero n-Z ygmu nd奇异积分算 子的基本知识．
Ca dl er 缸，Z ygmu nd奇异积分算子 自20世纪50年代初创立 以 来便在现代调和分析
中始终居于 中心位置它一 方面来源于Cauch y型积分理论， 另 一方面来源于偏
微分方程理论半个 多 世纪以来 奇异积分算子理论 已发展成为丰富而系统的理
论体系1992年Wolf数学奖和2006年A bel奖得主、 国际数学家联盟前主席、 瑞典
皇家科学院院士L Carleso n说：Harmo nic a nal ysis has a positio ni nmathematics
compara ble to that o f the theor yof the atom i n ph ysics. （调和分析在数学 中 的
地位可与原 子理论在物理学 中 的地位相 比．） （ 见Notices of AMS , 48 (2001) , p.
482. ） 而调和分析理论和方法也正是通过奇异积分及其相 关算 子 （ 如： 极大算
子 、 振荡积分 、 分数次积分、 Littlewood-Pale y算 子 、 交换子等 ） 在Le besgue空 间
等各类 函数空 间 中 的性质而在偏微分方程 、 复分析 、 小波分析等研究领域 中 发
挥着重要作用 在最后一章我们介绍 了 小波分析 中 的部分 内 容． 二十多 年 来， 小
波分析在理论和应用 方面均得 以迅速发展，现已被广泛应用 于数值分析、信号
处理、图像处理、 语音识别 、 地震和石油勘探等领域在这一章我们仅介绍小波
分析 中 最基本的理论和知识， 如 基 本小波 、 小波变换 、 小波框架、 多 尺度分析 、
正交小波等， 同 时也可看到前面的知识在小波分析 中 的运用．
本书在 内容选取中注重现代分析 中 基本思想、基本理论和基本方法的讲解，
同 时也注意介绍某些研究前沿问题和最新研究进展，根据本人 以往教学和科研
的体会， 我们在本书中 给出 了 若干注记． 它们或对有关结论作进一步阐明 、 或指
出 运用 结论 中 应注意的问题 、 或给出 与 结论相关联的背景知识和最新研究进展、
或提出 某些目前 尚 未解决的重要问题等目录中带＊ 号的 内 容供有兴趣的读者阅
读．凡已具备“实变 函数”， “复变 函数”及“泛函分析” 等课程知识的读者， 学 习 本
课程应 当 没有 问 题．
本课程是北京师范大学研 究 生院2005-2006年建设的硕士研 究 生精品课程
之一． 本书是北京师范大学数学科学学院2005 2008年建设的硕士研究生基础课
程系列 教材之一． 最近本书也被北京市教委列 为2007年北京市高等教育精品教
材建设立项项目编者非常感谢北京师范大学研究生院和数学科学学院在本课
程讲授和本书编写过程 中 所给予的支持．北京师范大学陆善镇教授对本书的编
写思想提出 了 十分重要的指导性意见 美国Auburn大学韩永生教授与 编者就书
中某些内 容有过深入的讨论7 北京大学刘和平教授给 出 了 很好的建议， 编者在此
向他们表示最诚挚的谢意． 此外， 编者也十分感谢北京师范大学 出 版社为本书
的编辑出 版所做的大量工作．
限于本人学识水平， 本书中难免存在错误和不妥之处， 恳请专家和读者不吝
赐教指正．
编者 (ding y@bnu.edu.cn
2007年12月
本书中主要函数空间 的定义和相关记号
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IRn: n维欧氏空间 z y ＝ 汇 xi Yi icx柄的内积，l x l = (x x) 1明 z的模
仍用oi己]Rn中的零元（0,0，…，0) .
Z ＋：全体非负整数. z+ := Z＋ × … × Z ＋ . α ＝ （α1 ， α2γ · · ，an ） ε Z 年称为多
重指标，｜ α ｜ ：＝ α 1 十 … 十 αn 称为α的阶．
I E I : ]Rn中Lebesgue可测集 （本书中简称可测集） E的测度．
LP (IRn) (l ζ p < oo): ]Rn上p次Lebesg ue空间，其定义为
LP (IRn ) = � f : l l fl l P = ( /Rη l f (x) I P dx I) < J�·
£OO (JRn) : ]Rn上本性有界函数空间， 其定义为
L00 (IRn ) = �L f : llf l oo = 市j!_lf_
( s up l f (x) l IJ < oo J� ·
j：� \ xEJRn\E
Lfoc (JRn) (l 运 p < oo) : ]Rn中的任何紧集上均p次可积函数的全体．
L( log +L）β（E) : E上的Zygm und类， 即所有满足 lfl (log+l f l）β ε L1(E）的函
数 f的全体3 其中： E在]Rn中可测， β ＞ 0且log +t = max{ log t,O} (t > 0).
p' : 数p (l � p 《 ∞）的共辄数， Pfl. p＇满足 i 十 击 ＝ 1.
na （α为多重指标）： ｜ α ｜ 阶微分算子， 其定义为： na ＝ 瓦�华��－
cm (IRn) (m ε Z+ ) : IRn 上具有m阶连续偏导数的函数空间， 其定义为：
cm (IRn ) = {f : Da f ε C(IR勺，α ε Z�， I α ｜ 《 m},
这里C(IRn）为]Rn上连续函数空间（此时α ＝ 0）. 记coo (IRn）为]Rn上具有无穷
阶导数的函数空间
Co(IRn): 即C(IRn）中满足 l x l → ∞时极限为O的函数空间－
s upp(!): 函数f的支集，其定义为： s upp(!) = {x ε ]Rn : f(x） 并 O｝ . 如
s upp（ ！） 为]Rn 中的紧集，则说 f具有紧支集．
C,7'(IRn) (m ε Z +): IRn上具有紧支集的cm (IRn）函数空间. Cc (IRn）为]Rn上
具有紧支集的连续函数空间，而C'('(IRn）为具有紧支集的C00 (IRπ） 函数空间．
'
\J
00
目 录
第 一章 基本知识
1
§1.1 卷积 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． . . . . . . . . . . . . . . 1
§1.2 Hardy-Littlewood极大算子 ． － …
… …· · 4
§1.2. l 极大算子M的弱（1,1） 型和（p,p） 型 ． ． ． ． . . . . . . . . 4
§1.2.2 算子族的 点态收敛与Lebe gue
s 微分 定
理 . . . . . . . 11
§1.2.3 算子族的收敛性在遍历
理论中的应用＊ . . . . . . . . 16
§1.3 恒等逼近 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．． ． ． 23
§1.3.1 恒等逼近算子族的收敛 ． . . . . . . . . . . . 23
§1.3.2 Poi sson积分和Gau ss-Weier tras ss积分 . . . . . . . . . . . 26
§1.4 算子内插 定
理 ． ． ． ． － － ……· · － …………· 33
§1.4. l Marcinkiewicz算子内插 定
理 ． ． ． ． ． ． ． ． ．． ． ． ． ． ． ． ． 33
§1.4.2 Rie z-Thorin算子
s
内插 定
理 ． ． . . . . . . . . . . . . . . . 33
§1.4.3 算子内插 定
理的几个常用推广＊ . . . . . . . . . . . . . . . 37
习题 一 ． ． ． ． ． ．
－ …………………… 39
…
…
第二章FOURIER 变换
§2.l Fourier变换的£ 1 理论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2.1.1 Fourier变换的基本性质 ． ． ． ． ． ． ． ． . . . . . . . . .
§2.1.2 Fourier积分的平均与Fourier变换的反演． ． . . . . . . . .
§2.2 Fourier变换的£2 理论 ． ． ． . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2.2.1 Plancherel 定
理 ........................
§2.2.2 £2 (IR2 ）中Fourier变换的不变子空间 ． ． ． ． ． ． ． ． ． － …
§2.3 复测度的Fourier分析 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
§2.3.l 复测度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2.3.2 测度的卷积 ． ． …· － ………………·
§2.3.3 函数与测度的卷积 ． ． . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§2.3.4 测度的Fourier-Stieltjie 变换
s ......... ..... .
2
§2.4 £ (!Rn）上Fourier变换的进一步讨论＊ . . . . . . . . . . . . .
§2.4. l Hei enberg
s 不等式 ． ． . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
40
40
45
51
51
55
四
59
61
64
66
69
69
11
目 录
§2.4.2 Hermi e算子
t 和Fourier变换 ． . . . . . . . . . . . . . . . . 17
习题二 ． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
76
第三章SCHWARTZ函 数和缓增广义 函 数
w
z
§3.l Sch ar t函数空间Y(IRn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3.l.1 Y(IRn）的基本性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3. .2l Y(IRn）上的Fourier变换 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3.2 缓增广义函数空间Y'(IRn) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3.2.1 Y' (JRn）的基本性质 ． …… …－ － . . . . . .
§3.2.2 Y' (JRn）中的运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§3.3 与平移可交换算子的 刻画 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
习题 三．． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． － ……………·
67
67
97
四
82
84
89
96
97
第四章 调和 函 数
§4.1 JRn上调和函数的 基本性质
§4. .1l 均值定理和最大值原理 . . . . . . . . . . . .
§4. .2l JRn中球内Dirichle 问t 题的 解及其应用 ． ． . . . . . . . .
§4.2 JR�＋l 上调和函数的边界值 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． . . . . . . .
§4.2.l 边值为U(IRn）函数的调和函数特征 ． ． ． ． ． ． ． ． ． . .
§4.2. 2 调和函数的非切向极限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4.3 球面调和函数 ． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4.3.1 球面调和函数的性质 ． ． ． ． ． ． ． ． －……. .
§4.3.2 k阶带调和函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§4.3.3 Laplace-Bel rami算子的
t
谱＊ . . . . . . . . . . . . . . .
2
§4.4 £ (JRn）中Fourier变换的不变子空间＊ ． ． ． ． ． ． . . . . . . . .
习题 四． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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97
105
112
112
116
124
124
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138
146
147
第五章奇异积分算子
l 变换
t . . . . ... ........... .. .
§5. Hilber
§5.l.1 JR上Cauchy 型积分的边界值． ． ． ． ． ． ． ． . . . . . . . .
§5.l.2 Hilber 变换的£
t 2 理论 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ．
§5.l.3 Calder6n-Zygmund分 解 ． ． . . . . . . . . . . . . . . .
．．． .. ..............
§5.l.4 Hilber 变换的LP理论
t
.
14 7
14 7
149
154
155
iii
目 录
§5.2 R1esz变换 ． ． ． ． ……………………. . . 163
§5.2.l Riesz变换的£2理论 ． ． － . . . . . . . . . . . . . 163
§5.2.2 旋转方法和Riesz变换的LP理论 . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7
§5.2.3 JR�＋ l 上共辄调和函数系的Riesz变换特征 . . . . . . . 1 17
§5.2.4 !Rn上的实Hardy空间及BM O 空 间介绍事 . . . . . . . . 1 47
§5.3 Calder创－Zygmund奇异积分算子 ． ． ． ． ． . . . . . . . . . 1 77
§5.3.l 奇异积分算子£2 有界性的特征 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． 1 87
§5.3.2 经典Calder6n-Zygmund奇异积分算子 . . . . . . . . . . . . 183
§5.3.3 齐型核奇异积分算子及其极大算子 ． ． . . . . . . . 191
§5.3.4 具非 光滑核的奇异积分算子的LP有界性＊ ． . . . . . . . 198
…· . . . . . . 202
§54 Fourier乘子 ．
§5.4.1 LP乘子的定义和性质 ． · － . . . . . . . . . . 202
§5.4.2 LP乘子的充分性条件 ． ． ． ． ． ． ． . . . . . . . . . 205
§5.4.3 Littlewood-Paley理论 简－介＊ . . . .. . . . . . . . . . . . . . 210
习题 五 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 223
… ·· － …
224
第六章 小 波 分析初步
§6.l 基本小波与小波变换 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
§6.1.1 基本小波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§6.1.2 连续小波变换 ．
· － ………. . .
§6.1.3 离散小波变换及小波框架 ． ． . . . . . . . . . . . . . .
§6.2 Haar小波的展开与收敛 ． ． ． ． ． ． ． · － － . . . . . . . . . . . .
§6.2.1 Haar函数系和lHaar级数 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． . . . . . . . .
§6.2.2 二进投影算子族和Haar级数的收敛 ． ． .. . . . . . .
§6.3 多尺度分析与正交小波 － …………
· .
§6.3.1 正交系和Riesz系 . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
§6.3.2 多尺度分析和尺度函数 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． . . . . . .
§6.3.3 多尺度分析生成的正交小波 ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． . . .. .
§6.3.4 正交小波的例子 ． . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
224
225
228
232
232
233
23 7
23 7
241
246
251
参考文献
255
… ·
…
索
引
262
第一章
§1.1
基本知识
卷积
定义1.1.1 设f,g为Rn 上的两个可测函数，如果对 a.e. 1 x ε Rn， 积分
�＂ f (x - t)g(t)dt
存在， 那么称其为f与g的卷积，记为f*g . 即
川（x) ＝ 儿 f川g（帆 z ε Rn
q，“
／，
1
20
「l〈1l、
一一
、、，
，J
Z
（
od
－－
、、，，，
2，
（
FJ
由卷积的定义立即可得到下面的
命题1.1.1 对于任意的f, g, h ε L 1 (Rn），卷积运算满足以下性质：
(a) f*g = g*f; （可交换性）
(b) (f *g) *h = f *(g *h); （可结 合性）
(c ) （αf ＋ βg) *h ＝ α(f *h) ＋ β（g ＊时， V α，β ε C; （线性）
(d) l f*gl l 1 《 l fl l 1 l g l 1- （连续性）
口
证明 略．
［注1.1.1］ 按通常的 函数乘法，两个L 1 (1Rn） 中 函数的乘积未必是L 1 (1Rn） 中 的
函数． 例如： 令
z ε （ 0 , 1),
2 ε IR\(0, 1 ),
那 么f,g ξ £1（则， 但f . g f/. £ l (JR） . 命题1.1.1表明， 如果视卷积为L 1 (1Rn）上的“乘
法”运算， 那 么£ 1 (IRn）是C上的交换Ba nach代数 （加法为通常的 函数加法 〉 ， 但它
是无单位元的（见 习 题二第3题）．
命题1.1. ( d）是下面结
l
论的特殊情形．
1本书中飞，e”表示几乎处处（almost everywhere）或（对于）几乎每个（for almost every).
第一章 基本知识
定理1.1.2 (Young不等 式） 设1 ζ p, q , r ζ ∞满足1 + � = i + ＊· 若f ε
V'(IRn）及g ε Lq (IRn）， 则f *g ε Lr(IRn），且
(1.1.1 )
I ! * gl lr 《 l fl vllg l q ·
证明 首先设1 运 q < 00. 注意到
1 1 1
p p
q q
q'丁 ＋ pτ' ＋ r = 1 , r ＋ q’丁 = 1, r－ ＋ p－丁· ＝ 1.
对q’，r,p＇，应用Holder 不等式得到
｜ 川（x)I ζ n1州的’（｜刷p/rlg(x - Y) l q /r)lg(x - Y)I的U
ζ 1 111叫 儿 lf(y)IPI仰一川）飞 儿 lg川 ）｜
= I ! I � , l lg l � , （儿ηlf (y) IP lg川Wdν
由上式井应用Fubini定理’有
｜ 问l r ζ l fl �1 q 'I
= 1 1 111�／ q ' 11 9 1 �／p' 1 111 �／r l g l �／r
= Ill l vl gl q ·
口
如q = 00， 则必有p = 1且T ＝ ∞，此时（1.1.1）显然成立．
［注1.1.2] Young不等式表明， 如p, q, r满足定理1.1.2中 的关系， 那 么对取定
的g ε Lq (IRn），卷积是LP(IRn）到U(IRn）的有界线性算子
型.l.U 记I 二 ［O , l] c IR, x，为I的特征函数 . 2 容易验证，
Ix,
x ε ［O , l],
（χI ＊ χ，）（x) < 2 x,
x ε （ 1 , 2],
to,
x¢. [0, 2].
上面的例子启示我们， 通过卷积运算可以改善函数的连续性．
2
－一
一－
l
=
2 “χE表
” 示集合E的特征函数，即如zεE，那么χE(x)=l，否则χs(x)=O.
3
§1.1 卷积
命题1.1.3卷积运算满足以下性质：
( a） 设1 ζ p 运 oo, f ε £P (JRn), g ε LP (JRn）. 那么 f * 9是 JRn上一致连续的
有界函数；
(b） 如supp(!) C E1 且supp(g) C E2 ， 那么supp(! * g) C E1 + E2 ;3
(c） 设1 < p < oo, f ε £P (JRn ), g ε LP (JRn） . 那么f * 9 ε Co(lRn );
( d） 设f ε L}oc (JRn ), g ε C�（JRn）. 那么f * 9 ε cm(JR勺， 且对 ｜ α ｜ 《 刑，
D°'(f * g)(x) = (! * D°'g)(x) .
口
证明 留作习题
由命题1.1. 3立即可得
推论1.1.4
ti
nu
－飞tk
r－
一一
、自，J
Z
，，．‘、
rJ
( a） 设f ε Lioc (JRn ), 9 ε C�（JRn） . 那么f * 9 ε c=(JRn );
(b） 设f ε £ 1 (JRn） 且 supp（！）为紧集． 那么当 g ε C�（JRn）时，f * 9 ε
C�（JRn) .
现运用推论1.1. 4 给出局部紧Hausdorff空间上Urysohn引 理在]Rn上形式的直
接证明 ．
定理1.1.5 设K C JRn为紧集，而 U C JRn为开集， 且K c U 则存在f ε
C�（JRn）， 使得对任意的z ε JRn, o ζ f (x） 运 1， 且
z ε K,
x rt u.
证明 记
JRn ,
η ＝ { ��£ {I x YI x ε K 且时U} , U予t
U = JRn,
贝Uη ＞ 0. 令v = uyEK{x : I x - YI < n . 显然有K c V 且v cu. 现取ψ ε
C�（JRn）， 使得ψ 注 0 , supp（ψ） c {x : l x l < n 且fJRn ψ（x)dx = 1. 由推论l.1.4 (b),
知 ！ ＝ ψ ＊ χv即为所求
口
3 “E +E ”表示集合E1和岛的和，即：E
2
1
1
+
E2
=
{x
+y
: xεE1且自εE2 .}
第一章 基本知识
4
§1.2
§1.2.1
Hardy-Littlewood极大算子
极大算子M的弱（1, 1 ）型和（p,p）型
(!Rn）. 那么f的中，L'Hardy-Littlewood极大函数 Mf 定
义为：
(1.2.1)
Mf(x) =sup
B(x,r)I JB/ (x,r) l f (t)l dt, v z ε !Rn.
忡。I�一－
这里（及以后）， B(x, r）记以Z为中心， T为半径的开球， 即B(x, r) = {y ε !Rn : Ix YI ＜ 叶， （简记B(O, r）为B(r)).
中心Hardy-Littlewood极大函数的另一个定义方式是
(1. 2 .2)
Mf(x) = sur>pO �
IQ (x, r)I }/Q (x ,r) lf(t) l dt .
这里 （及以后） 记Q (x,r）为!Rn中 以z为中心， 边长为T， 且边与坐标轴平行的方体
定义1.2.2 设fεL}oc (!Rn）. 那么f 的非中心Hardy - L ittlewood极大函数 Mf
定义为：
sup 土
Mj(x) = Q3x
( 1. 2 .3)
IQI J／Q I J (t)l dt, V !Rn.
其中上确界取自]Rn中一切包含z 边与坐标轴平行的方体．
［注1.2.1］ 极大函数Mf也可 以通过卷积来表现 ． 事实上， 如记均为!Rn 中 单
位球B(l）的测度， 那 么Mf(x) = sup(lfl
。 ＊阶）（叫，这里ψ（t) ＝击χ8(1) (t），而特（t) =
r＞
去 ψe n .
命题1.2.1 ( Ha dy- Litt lewood极大 函数定义的等 价 性） 设f εL}oc (!Rn）， 那
么存在仅与η有关的常数A, B， 使得对一切z ε !Rn,
MJ(x） ζ AMJ(x） 《 AMJ(x） 运 BM J (x).
( 1.2.4)
口
证明 留作习题．
由命题1 2 l 对于f εL}o (!Rn）， 如无特别说明， 此后统称Mf，且f以及Mf
为f 的Hardy-Littlewood极大函数， 并依据问题的需要可选用不同的定义方式．
命题1.2.2 ( Hardy-Littlewood极大 函数的下半连续性） Lfoc (!Rn）中任意函
数f 的Hardy-Littlewood极大函数Mf在!Rn中是下半连续的．
定义1.2.1 设fεL}oc
XE
r
..，
c
5
§ 1.2 Hardy-Littlewood极大算子
证明 由下半连续的定义， 需要证明： 对任意的λ ＞ 0， 集合
E = {x ε iRn : Mf(x) ＞ λ｝
为开集． 等价地， 只需说明Ee = {x ξiRn : Mf(x）�λ｝ 4 为闭集． 设｛xk}汇1 ζ
EC满足Xk → z (k → ∞）． 由（1.2.1）， 仅需说明对任意的T > 0,
(1.2.5 )
I r) lf(t)l dt ζ λ
�一－
IB(x , r) I JB(x,
简记Bk = B(xk,r）且fk(t) = f(t)Xacx训
， Bk (t), k = 1 , 2 , 因此对一切k， 均有
｜ 儿 （t)I ζ If (t) I 且 战 儿 （t) = o.
应用Lebesgue控制收敛定理， 有
m 一�
(1.2.6 )
I B (x,r) I JBI (x,r) lfk(t)ldt = o.
另一方面
时河lk l f (t)l dt = I去1 lk lf(t)ldtζλ
因此
S
·
K→oo
时丙l(x,r
《 时刁l(x,r) l fk(t)l dt ＋λ
口
令k → ∞， 由（1.2.5）得（1.2.6) .
定义1.2.3 由（1.2.1）和（1.2.2）定义的算子M和政称为中心Hardy-Littlewood
极大算子， 而（1.2.3）所定义的算子!Vt称为非中心Hardy-Littlewood极大算子 也
统称为Hardy-Littlewood极大算子， 记为M.
M是L}oc (JRn）上的次线性算子， �p对任意的f,g ε L}oc (JRn）及λ ε JR,
M(f + g)(x） ζ Mf(x) + Mg（叫， M（λJ)(x) = IλIM f(x) . ( 1.2. 7)
在给出下面极大算子M的其他性质之前， 先介绍两个概念－
=
4如无特别说明，本书中“EC总
” 表示集合E关于Rn的补集．
5 “El:::.F＇’记集合E和F的对称差，其定义为：El:::.F
E
( \ F) u F
( \ E).
第一章 基本知识
定义1.2.4 算子T : LP (JRn） → Lq (IR.n), 1 《 p, q 运 ∞， 称为（p, q）型算子（或
是（p,q）有界的）， 如存在常数C > O，使得对所有的fεLP(IR.n）， 有
l T (J) l i q 运 C l f l p ·
满足上述不等式的最小常数C称为T的（p,q）范数， 记作 l T l (p,q ) ·
定义1.2.5 设1 ζ p, q 运 ∞ ． 那么映LP(IR.n）到!Rn上可测函数空间F的算子T
称为弱（p, q） 型算子（或是弱（p, q）有界的）， 如果
(i) 。＞U
SUJ2α［l{xε!Rn I T (J)(x)I ＞ α｝I］� ζ Cl l J l P , 1 ζ q < oo;
( ii) l T (J)l i q 《 C ll fl i p , q = oo.
上面常数C > O与f无关． 满足上述不等式的最小常数C叫做T的弱（p, q）范数， 记
作 l T l 叫p,q）· 显然，T为弱巾， ∞） 型算子等价于 T为（p, oo） 型算子 ． 又由不等式
αq [l {xε!Rn : I T (J)(x)I ＞ α｝ ｜］ ζ J{／ xεJRn IT(f)(x)I＞臼｝ I T (J)(xW dx
《 l T (J)l i%
可知， （p,q） 型算子必为弱（p,q） 型的？ 且l l T l wCp, q） 《 l T l (p,q ) ·
命题1 . 2.3 (Hardy-Littlewood极大算子M的初等性质）
( a) M是（∞， ∞） 型算子i
(b) M不是（1,1）型算子．
证明 由M的定义即知（a）成立． 现给出一个反例说明（b) . 仅考虑η ＝ 1.
取f ＝ χ10,11εL 1 (IR）， 那么对任意的Z 》 1,
M 忡） 注 去 1 2x lf(y) i dy
口
但去11,00) (x) tJ.ν（IR).
下面将说明M是弱（1 , 1）型算子 ． 先给出需用到的Vitali 型覆盖引理．
引 理1 .2.4 (Vitali型覆盖引 理） 设E c !Rn可测 ． 又球族民： ＝ ｛Bλ｝λEA 覆盖
了E,6且满足sup{d(Bλ） ： λεA} < oo . 这里d(Bλ）为Bλ的直径 ． 则存在互不相
交的球列｛Bk}巳1 c叭，使得
I E I�5n l二I
( 1.2.8)
k Bk I ·
6
＝去
6本书中。：＝ b和b＝：α都表示 “α是
” 用 “b定
” 义的． 即：挨着冒号的符号是用挨着等号的表
达式来定义的．
7
§1.2 Hardy-Littlewood极大算子
证明 记fa = λsup{d(Bλ）｝．
取Bi ε 叭， 使d(B1 ) > fo /2. 又取B2 ε BA,
EA
使B2 n B1 ＝ 矶 且
叫B们 ； 叫d(B) B ε Bt. 且 B n B1 ＝ θ｝
一般地， 设B1 , B2 ,- , Bk 己经取好， 我们如下选取Bk+l:
(i) Bk+1 n (uj=1 B1) 0;
( ii ) d(Bk+1 ) > � sup { d(B) B E Bt. 且 Bn (uj」） 0 } .
这样得到矶， 岛， · · 如果｛Bk}有限， 那么说明任意的B ε BA, Bn (uJ=1 鸟）并¢．
故对E中每一个z， 有Bx ε Bt.， 使得Bx n ( uj=1 B1 ） 并0. i己Bi是｛Bi , B2 ，…，Bk}
中第一个与BA目交的球， 则由（ii）知， d(Bi) > �2 d(Bx ） · 因此Bx c 5Bi . 这样
E c LJEE Bx c LJ= 5乌
( 1.2.9)
x
j l
由（1.2.9）即可获得（1.2.8 ) .
现设｛Bk}为无限集 如汇汇1 I Bk l 00， 则结论 自 然成立． 因此不妨设
2.::�1 I Bk l < 00. 记 Bk, 5Bk， 则E c LJ；二i B； 事实上， 由 2.::�1 I Bk l <
∞ 知 d(Bk） → 0 (k → ∞）， 因此对任意的B ε BA， 存在k使得d(Bk+ 1 ） 运 �d(B) .
不妨假定k是满足此性质的最小下标， 因此B必定与｛矶， 马， . , Bk}中某球相交．
（否则d(Bk+1 ) > �d(B）.） 现记鸟是｛鸟，品， . . ,Bk}中第一个与B相交的球， 那么
由（ii）知， d（乌） ＞ 扫（B）. 因此仍有B C5乌 ＝ B； 这样
E c λLJA B>. c LJ= Bj.
( 1. 2 .10 )
E Jl
口
此时（1.2.8）即可由（1.2.10）得到．
定理1 .2.5 Hardy-Littlewood极大算子M是弱（1,1） 型算子 即： 存在常数Cn >
0，使得对任意的λ ＞ 0及f ε £ 1 (!Rn）， 有
cfl 1 11 1 1 ( 1.2.11 )
l {x ε !Rn : Mf(x) ＞ λ｝｜ ζ 」1
λ
证明 对任意的 λ ＞ 0及f ε £ 1 (!Rn）， 记Eλ ：＝ {x ε lRn :Mf(x） ＞ λ｝， 那么
由命题1.2.2知， Eλ为开集． 另一方面， 对任意的Z 巳 E＞.， 存在球Bx ， 使得
( 1.2.12)
古 lx1 川t ＞ λ
=
=
=
=
第一章 基本知识
8
因此由（1.2.12）， 得
( 1.2.13 )
I Bx l < � l,, I J ( t) l dt 运 ： 111111 <
这样B = {Bx : x ε Eλ｝覆盖了Eλ， 且（1.2.13）说明sup{d(Bx ) : Bx ε B} < oo .
运用引理1. 2 .4， 存在互不相交的球列｛Bk}汇1 c B，使得IEλ｜ 运 5n l:k I Bk l · 所以
由（1.2.12）， 知
I Eλ I�s n :L:k I Bk l 。 τk ： ／Bk ｜附） l dt ＝ 号 ／， Bk If (t) l dt ζ 导 1 11 1 1 ·
口
此即为（1.2.11）式
在证明Hardy-Littlewood极大算子M为(p,p） 型算子之前， 先给出分布函数的
定义．
定义1.2.6 设f在!Rn上可测对S > 0， 称如下定义的入f为f的分布函数 ·
λ1(s) : = l{x ε !Rn : I J (x)I > s}I .
命题1.2.6 （分布函数的基本性质）
( a） 对!Rn上的任意可测函数f， 其分布函数λf在（0, oo） 上是非增的；
(b） 如l f (x)I 运 l g (x)I a.e. x 巳 !Rn， 那么λf(s） ζ λ9(s), s > O;
(c） 如0 ζ Ji 《 h ζ …， 且对V z ε !Rn , fk(x） ↑ f(x) (k → oo),7 那么
对S > 0， 当k → ∞时， λ!k (s） ↑ λ1(s);
(d） 如f ε £OO(JRn）， 那么 l f l oo = inf{s > 0 ： λ1(s) = O};
(e） 如f ε LP (!Rn) (1 《 p < oo）， 那么
Iii I � = P 100 s叫州s
( 1. 2 .14)
证明 结论（a)(b）及（d）由定义直接可得 ． 下面说明（c） . 记
E9(s) = {x ε Rπ ： l g (x)I ＞ 叶 ，
那么｛Eh(s）｝为单增的集合列， 且E1(s) =Uk Eh (s）. 因此
,lim λh(s) ＝ λ1(s), s > 0.
00 .
J
m一叫自
7本书中“T” 表示单调递增收敛．
J LJ 汇 I
9
1.2 Hardy-Lit lewood极大算子
e）的证明． 事实上，
最后给出（
p 1= s叫州s== pl1=p 1＝sp-1儿”χEi<•l(x)x)ddsdxxds
n= l p f(叫x)I sP讪Ei<•l(X＝ 儿 lf(x)IPdx. 口
l
,,
定理1.
2
.
7
1<
Har
d
y
L
i
t
l
e
w
o
d极大算子M是(
p
,
p
）
型
算子．
即：
pζoo,
对
l!
P
）
，
有
存在常数Cπ户使得对任意的fεV(
5)
(
1
.
2
.
1
M
运C
Jl
l
,
p
l
!
l
l
"
P
n
P
a
下面仅讨论l<p<oo的情况．对
3
.
2
.
由命题1
证明
，
知
）
(
fl
M
l
J
l
《l
l
oo
l
oo
·
任意取定的S >0，令
iiff((xx))II >《 ss,,
n） . 由M的次可加性，
及h=f - fi ， 那么Ji巳£λMJ(1 (JRn2）s且） 《λMh(
hε£＝s（)JR＋λMJ,
.
1
.
2
.
1
6
(
(
s
)
)
6
1
.
2
.
1
2
，入MJ(
知
）
）运
s
M
0.此事实结合（
=
)
s
(
注意到
故λMJ,
，
《s
运
l
hl
oo
l
l
h
l
oo
1.2.14） 以2 及算子M的弱（1,1）有界性（定理1.2.5）， 有
λM/i(s）. 因此运用（
l MJll� =p 12P飞 s） 叫M川（2s)
(
s
)
d
运p 100oo Ss叫M
f
i
《p=C叫 oop s1p号-2 l !il
np叫2P [ lf间川l>s IJ(x)ldx ds
=
C
／ 叫sdx ＝字字
l
f
(
x
)
i
n
J1 1 1 1 � －
这样（［注1.21..125.2）］获由定理1
证． .2.5和定理1.2.7的结论可知3当 f E V(JRn) (1 运pζ ∞） 时口，
f的Hardy-Lit lewo d极大函数Mf在]Rn 上几乎处处有限
§
）
Z
（
’
rJ
o
r－
l、
一一－，tl
）
Z
（
’i
rJ
J Rπ
JO
.L
10
第一章 基本知识
［注1.2.3] 1969年， E M. Stein[106］ 证明 了 ： 如f ε L(JRn）且supp(!) C B， 这
里B为有界球， 那 么Mf ε L�oc(B）仁＝争f ε Llog+ L(B) .
［注1.2.4] 1983年， E M. Stein 和J.- 0. Stromberg [115］证明 了 ，当 M是η维球
体 中心Hardy Littlewood极大算子时， 弱（1,1）型不等式（1.2.11） 中 常数Cn = 0（叫，
而（p,p）型不等式（1.2.15） 中 常数Cn ,p 可以与维数η无关． （亦可见E M. Stein在1986
年Barkeley国际数学家大会上的一小时报告［109].) 2003年，A Melas [80］进一步得
到： 如M是一维 中心Hardy-Littlewood极大算子时， 那么（1.2.11） 中最佳常数 C1 是
二次方程12x2 - 22x+5 = 0的最大根， 即C1 = (ll+Vfil)/12. 2011年， J Aldaz[18]
证明 了 3 对于η维方体 中心Hardy-Littlewood极大算子M， 当η → ∞时， 弱（1,1） 型
不等式（1.2.11） 中 最佳常数Cn → ∞．
然而， 当维数η 注 2时， 无论对于球体 中 心还是方体 中 心的Hardy-Littlewood
极大算子， 弱（1,1）型不等式（1.2.11） 中 最佳常数Cn 的值至今仍然都是未知的．
［注1.2.5] 2006年， P. Janakiraman[66］证明 了 下面的结果： 对于f ε £l(JRn) ,
Mf记其 中心Hardy-Littlewood函数， 那 么
λ�rg＋ λ l {x lRn : Mf(x) ＞ λ｝I = llfl l i此事实的直接推论是， 中心Hardy-Littlewood极大算子弱（1 ,1）型不等式（1.2.11） 中
的常数Cn ;:;:: 1.
［注1.2.6］ 设（X,sd， µ）是测度空 间 ， g为X上的μ－可测 函数． 如存在常数A， 使
得对任意的 λ ＞ 0， 有
巾 ε x l g (x ) I ＞ 斗） 斗
那么对任意的0 < 5 < 1及测度有限的μ－可测集E， 有
___!_
（＊）
}/E l g (x)l odµ:::::; (1 - 5) Aoµ(E) 1 - o.
不等式的称 为Kolmogorov不等式 由Hardy-Littlewood极大算子M的弱（ 1 , 1）有
界性（定理1.2.5）即知， 对任意的0 < 5 < 1， 有 限Lebesgue测度集E及f ε £ 1 (JRn ),
M满足下面的不等式：
（1 5) EI l - .5 ( Cn l J I 1 ） 占
}E/ 1 Mf(x)l0dx �、 �一I
E
.._,
1
1.2 Hardy-Lit lewood 极大算子
证明Le
b
e
s
g
ue
微
分定理（
L
i
t
l
e
w
ood极大算子的重要应用
定
理1
.
2
.
9
）
是
Ha
r
d
y之一定理将作为它的一个推论．从算子族点态收敛定理的证明过程中，将可看到一个
在这里我们将首先给出一个一般性的算子族点态收敛定理，Lebesgue微分
重要的思想，
界性问题 即：（ 算算子族的点态收敛性问题往往归结为相关的极大算子的弱有
子族的点态收敛性）设｛
T
c
}
(
c:
> 0）是将£P (JRn )( 1 《p《∞）
映入]R
n
上的可测函数空间的线性算子族如下定义算子族｛
乙
｝的极大算子T飞
.
如果
s
u
(
T
e:
h
)
(
x
)
I
h
)
(
x
):
=
对任意的hε£P(
JR
n
）
及
ZεR吨，（
T
p
l
*
i) T＊是弱（P(p,JRqn））型，有算子（1 运 p,q ζ ∞）． 即： 存在常数α＞ 0，使得对任意
(的λ＞0及hε£
l{x εlRn : l(T*h)(x) I ＞ λ｝｜运 ／α忖 I hiJP )＼q; (1.2.17)
a.
e
.
l
i
i ） 对于£P(JRfn）ε£的某稠密子集D中任一元g
xε]R
n
存在且有
旦g(
x
)
(限．那么对任意的
,
旦
P
a.
e
.
I
i
Te:
xε]R
n
存在且有限
(
!
r)
,
f
(
x
)
骂
证明 设fε£P(JRn）. 令
A(f)(x) = I § Te:f(x）一 些0 Te:f(x) I, x εr (1.2.18)
只需证明，对任意的λ＞0，有{x ε]Rn : A(f)(x) ＞λ｝I o.
1
.
2
.
1
9
=
(
)
l
任取b件（i ）知>， A0，可记f=g+h使得gεD且
<
b.
那么由A的定义（
l
.
2
.
1
8
）
及
条
h
l
p
l
. xεJRh＂)(.x因此，） ζ 2 , a.e.
(g)(x) A(f0)a.(xe）ζA(
1
.
2
.
2
0
T
*
h
(
x
)
n
.
(
)
xεJR
这样，由条件（i{）x得εJR到 " : ＞λ｝ 2
l A(f)(x) ｜ ζ运l{xεJR子 l hl"p T<*h（(x）＞λ｝q ｜
（ ) 子。
口
其中α和λ均与6无关． 由6的任意性，得到（1.2.19）式．
§
§1 .2.2
算子族的点态收敛与Lebesgue微分定理
定理1 .2.8
ε＞0
=
q
第一章 基本知识
［注1.2.7］ 定理1.2.8可见E M. Stein和G. Weiss 的专著［120］. 它早期的一般
形式 由S. Banach在1920年给出．
［注1.2.8］ 定理1.2.8在分析领域有许多 重要应用 ． 如：可应用于证明Lebesgue
微分定理 （ 见定理1.2.9） 和给出几个重要遍历定理的统一证明 （见下面§1.2.3).
我们现在说明， 定理1.2.8在证明著名 的Lusin猜测时亦有重要应用
设f ε £2 （汀， 叫， 记f的Fourier级数为 艺 kεz J(k) e ikx ， 其 中f(k）为f的第k个
Fourier系数8， 其定义为
f (k) ＝ 去 汇 f伸→切， k Z.
1913年， 俄罗斯数学家N Lusin提出以下猜测：£2 （ 一 霄， 何） 中 函数f 的Fourier级数
几乎处处收敛于f，这就是著名的Lusin猜测． 记SmCf)(x) L乙－m J (k) eikx 为f
的Fourier级数的部分和 那 么Lusin猜测就等价于
lim SmCf)(x) f(x) a.e. z ε （一 霄， 霄）．
现定义算子列｛Sm } mεN的极大算子为
S*(f)(x) msuεNp I SmCf)(x)I注 意 到 支在（0,2 霄） 中 的c＝函数的全体在£2 （一 霄， 叫中 稠密， 因此 由 定理1.2.8， 为
证明Lusin猜测， 只需证明极大算子V是弱（2,2）型算子 1966年， 瑞典著 名 数学
家L Carleson[28］证明 了 Lusin猜测是对的（亦称为Carleson定理）. L. Carleson的
贡献在于， 他定义了 算子P， 并将伊为弱（2,2）型算子的验证归结为证明算子C＊为
弱（ 2 , 2 ）型的． 这里C＊定义为
C* J(x) s ;;.p l p.v. 汇 丰 ！ （川）dt .
算子C＊后被称为Carleson算子（亦称 为Carleson极大算子）． 应用L Carleson的思
想， 1968年R. Hunt[62］证 明 了， L Carleson的结果对一般的U (1 < p < oo）函数
仍然成立． 因此人们也将L Carleson和R. Hunt的结果统称为Carleson-Hunt定理－
V'（一 霄， 作） （l < p < oo） 中 函数f 的Fourier级数几乎处处收敛于f.
2002年， J Reyna[91］给出了Carleson-Hunt定理的详细证明 有 关Carleson
算 子的进一步研究可见文献［64] [87] [117] [44] [45].
12
E
=
=
=
=
l
8这里及后面（§5.4.3），我们记Fourier系数仍沿用Fourier变换（定义见第二章）的记号“门’来
表示，根据上下文很容易区分它们的不同含义
13
1.2 Hardy-Lit lewood极大算子
顺便指出，CFe
ff
e
r
m
an[
5
0
］
在
1
9
7
3
年运用时频分析方法也证明了Lus
i
n
猜测．
亦见EPrl注1.2e.s9t]iniCar关 于Lusleson-iHn猜测的Ca
r
l
e
s
o
nH
un
t
证
明和Fe
ff
e
r
m
a
n
证明的评注［
8
6
]
.
1
年
，苏
（
一
汀
，
汀
）
中函数不成立．
早在1
9
2
3
un
t
定
理对于£
1
霄，叫中的函数，
联著名数学家AKol
m一 汀，og叫上几乎处处发散（
orov 就给出了一个反例说明，存在£
（一
它的Four
i
e
r
级
数在（
见
［
7
1
]
)
.
1
9
2
6
年，
A. Kolmogorov 进一
1
一
步举例说明，存在£
霄，π
）
中
的函数，它的Four
i
e
r
霄，π
）
上
处处发散［
7
2
]
.
级
数在（
（
一
［注1.2.10] 1(9L6e1b年es，Egue微M.分定理）设fεL}
Stein[l04］对一般测度空间给出了定理1
.
2
.
8
的逆．
n
）
，
则有如下结论：
o
c
(
ffi.
(a）对a.e. x εR呵’ [ 问 。 (1.2.21
)
出去 儿， f(x - t） 一巾） ＝
J
使上述极限成立的点z的全体称为f积分的可微点集．
(b）对a.e. zε配，i (x - ld 0. (1 .2.2
)
l 吨生l lf -t) f(x) t =
使上述极限成立的点z称为f的Le
b
e
s
g
ue点，其全体称为
Le
b
e
s
g
ue
点
集
f的
i
n
，
先
.
（
不
然的话，可令f
a
）
的
证明
不妨假定fεL
=
fχB
(
ffi.
证明
（
)
k
的
（
n
n
中单位球的体积为V
）
证
明该结论，再令k→∞即可．
）
记ffi.
·
对任
对儿εLl
(
ffi.
n
意的E>0及zε!Rn，令 T,J(x) ＝
斗－；：；： l f(x -t)dt.
显然
s
u
.
）
（
x
)
=
T
(
l
运Mf(
I
p
)
)
x
x
(
)
f
C
！
γ
"'
1
且由Har
d
yL
i
t
l
e
w
ood极大算
）
型
5
）可知T＊也是弱（
1
,
子M的弱（
1
,
1
）
型
（定理1
.
2
.
1
n
算子这是因为，存在常数C>O，使得对任意的
）
，
有
(
!R
λ＞0及fε£
{xε!Rn : (T!R* f)n）(在x)£l＞(JRλ｝n｜） 中《l稠，且对任意的gεC�（
{xε!Rn M只们λ｝I !R��ln), lJl 1 · (1 .2.23)
l另一方面，因C�（
li骂（T£9)(x)= g(x), V zε!Rn. (1.2.24)
§
定理1.2.9
→U 广 J i t l伞
i�＂＇
ε＞0
14
第一章 基本知识
n
事实上，对任意的Zξ!R
,
｜（阳） （x) - g(x) I = I 主 儿 ［g(x - ct）仰）］dtl
运 去儿｜运I lg(x 一ε川（x)ldt.
由g的连续性以及Le
b
e
s
g
ue
控
制收敛定理知（
1
.
2
.
2
4
）
成
立．这样由（
1
.
2
.
2
3
）
和
1
.
2
.
2
4
（
并应用定理1出.2击；.8，知j f(x -t)dt ＝ 出（切）（x) a.e. 存在且有限 ),
�
ε
t
l
下面说明此极限a.e.为f 鸟由积分连续性知
儿 lf(x一y）一巾） ldx ＝ 。
1
故
｜ 川 一 fl 1 《 !口Vnιτ… J／tiζε [f(x -t) - f(x)]dt｜ldx
运 工Un J jtj�l I If(x 一叫一f(x)ldx dt →0 （ε →0).
R
此说明｛
T
c
｝
（
ε
＞0）
依
L1范数收敛于f
由
i
e
s
z
定理，存在｛
→0(
k
→
}
满
足ε
c
k
k
∞），使得Te:kf(x）→f(x) a.e. xε!Rf(x -nt(k)d→∞）t ＝巾）． 因此a.e. xε ]Rn
J骂 斗于1 儿 ｜ 运 ε
. 对γεQ，令Fγ为＝]Rn 中使得
(b） 的证明 记JRl 中 有理数的全体为Q
J听 儿 ｜ 《r ( I f （卜t ） 一γ｜ 一 I f (x）一γ l ) dt 。
n
a
）
，
知
）
.
由结论（
显然，l
o
c
(
!R
不成立的一切z组成的点集．
f
(
x
)－γ｜εL}
｜
冉
I
=O.
F
如记F=U任
F-y
，
则
= o . 令E = {xε!Rn : l f ( x ) I 二＝ ＋∞｝ ， 那么 I E I = o. 现
I
I
Q
(
x
）
一γI<t:
f
/
2
.
对任意的zε!Rn\(E U F）If及(xE>0-t） ，一巾）取γεQ，使得I
那
么
ldt
斗；－ l l � r
ζ=:IiUn'f+言Iz.J／itl�r If(x - t） 一γldt＋ Uni言 Jiltl运T If(x）一γldt
;t
l
} IJl.n
l
主
J IJl. n
主
15
Hardy-Lit lewood极大算子
，
显然I2 I＜εi ＝斗；：
／2. 而当T→0时
ltlf{,r ( I f (x - t) -11 一 I f (x） 一γ｜ ） 叫仲 ）一γ｜《c /2 .
口
1 . 2 .22 ） 成立．
从而（事实上，还有下面一般的结论：
定理1.2.10 如fε£J出 P(去JR儿n)(1 I《f(px -too）） 一， 川P
n
那么对a.dt ＝e.xε]R
，有
。
( 1.2.25 )
l称为 f注的Le1.2.b1es］gue点]R
使（1.2.25n）中成f立的点称为
的p次Le
b
e
s
g
ue点.
的1
次
Le
b
e
s
g
ue点简
f
f
的Le
b
e
s
g
u
e点的全体称为
的L
e
b
e
s
g
u
e集.
Le
b
e
s
g
ue
f
点的概念是刻画局部性质的，可只对局部可积（
或
者局部p次可积）
的
函数来定义．
如果LefεLfbesgouec (微JRn分定理是分析中非常基本且重要的定理．
) (1 oo）， 那么f的p次Lebesgue点必然是其本质上是说明这样
f的Lebesgue 点，
一个事实：
一个!R
n
上的局部可积函数
在球体上的平均，
当球体收缩到其中心
f
时， 以f在中心的取值为极限，且此事实对!R
n
上几乎所有的点成立．
那么一个自然的问题是：
如果以其他的几何体替代球体时，
上述事实仍然
成立吗？从上面证明过程可以看出
微分定理是否成立
不仅依赖于积分连续性
（的Fi这是容易满足的），而且更本质地依赖于相应的极大算子的弱有界性
1978年
e的1小ld时报告［
s奖得主、51］ 中美总结了JR
国著名数学家C.Fe
ff
e
r
m
an在1
9
7
4年温哥华国际数学家大会
2
上
的情形
记
2
上
所有正方形｝（
其
边不必与坐标轴平行）
；
{IR
2
��2l == {{JRJR2上上所有任意方向的矩形｝
所有边与坐标轴平行的矩形｝ ，
则有如下结果：
定理1.2.11 土如flε£lf（机(JR勺的），那么dy1dy2 =f(x1 , x2) a.e. (x1 , x2） εJR2.
Q习；二» IQ I
.
其中，定理1.Q →（2町.1，2x2如fε£P(
町
，
X
（
下
同）
）意指Q 3 IR(x21) , (x12）且pQ收缩到（
)
2
oo）
，
那么
2
R『已＇；，2) I R I f （仇 ， Y2 ) dy1 dy2 = f （町 ， x2 ) a.e. （町 ， X2 ） εIR .
§1. 2
<
<P<
E=
lQ
<
土 JRl
<
第一章 基本知识
16
2
1
）
以
及｛
(
IR
.
2
.
1
2
的结论并不成立．
即：存在f
o
εL
岛
｝c
时
定理1
然而，当p=l
且
）
时
，积分
&l1， 使得当（x1 , x2） ε R1 R」－1 →（Ix1 ,fxo2(Y , Y2)dy1 dY2
1
1I
I
R
1
1
没有任何有限极限其原因在于相应于&l
1
的
强极大算子M1不是弱（
,
）
型
的．
这
里M1定义为 MIf(x1 , x2) = sup 土 IJ(y1 ， 的） Id
I
R
I
时
定理1
.
2
.
1
2
的替代结果，下面的结论成立．
作为当p=l
定理1.2.13 如f巳Llf(yo1g,+YL2)(dIRy勺dy，那么2 =f(x , x2) a.e. （町 ， x2） εIR2.
1 1
'x I R I
定理1.
2
.
1
4
（
定
理1
.
2
.
1
2
和定理1
.
2
.
1
3
的高维形式）对η注2，如
fεL(log+L）π一 1 (!Rn）或fεLP(!Rf(ny))d(1y < pf(<x)oo）a.， e那么. xε!Rn,
I
R
I
其中&l至于几何体取自&l
记]Rn 中所有边与坐标轴平行的矩形．
时
，
情
况更差．
甚至存在有界函数J
ε&l
，
当
→
o
及
R
R
2
2
（町 ， x2）时，几乎无处存在 fo(Y , Y2)dy dy2 → Jo（町 ， X2) .
1
1
I
R
I
的强极大算子
其原因在于，对于l<p<oo，相应于&l
2
M?f(x1 , x2) = sup 土IRI lf(y1 , Y2)ldy1 dY2
甚至不是（p, p）型算子．
§1.2.3
e
b
e
s
g
ue
微
分定理
本节我们将应用
在上面应用算子族的点态收敛获得了L
算子族收敛性导出几个重要的遍历定理
先给出下面算子族｛
T
.
：｝
收敛性的一个
结果，它可看作是定理1.2.8的扩充．
}Rj
RE&l 1
R ＿！：，二， . 2 )
�
I
JR
土 JRj
R ��
=
土 JRl
土 JRl
RE&l 2
I
JR
算子族的收敛性在遍历理论 中 的应 用 ＊
17
§1.2 Hardy-Littlewood 极大算子
定 理 1 .2.15 （算子族的收敛性） 设｛ T,ε ｝ （ε ＞ 0）是将LP(JRn) ( 1 ζ p 《 ∞） 映
入Rπ上的可测函数空间的线性算子族． 如果
(i） 对所有的1 ζ p < 00， 极大算子T＊是弱（p,p）型算子i
(ii） 存在某个q, 1 ζ q < 00， 以及Lq (JRn）的某稠密子集D， 使得对任－g ξ
v, li鸟 T,;g(x) a.e. x ε ]Rn存在且有限， 那么下面的结论成立：
( a） 对1 < p < oo,T＊是（p,p）型 算子；
(b） 对\f1 《 p < 00及f ε £P(JRn), li马 T,:f(x) a.e. x ε ]Rn存在且有限i
(c） 对'v' l < p < oo及f ε LP(JRn), li骂 l T"f - TJl l P = 0， 这里算子族的极
限T由（b）所确定；
( d) T是巾，p）型 （l < p < oo） 及弱（1,1）型的．
证明 首先对1 < p < oo, �p < Po < oo. 那么 由定理条件， T＊是弱（1,1）型及
弱（po ,po）型算子， 应用Marcinkiewicz算子内插定理 （见定理1.4.2） 即知T＊是（p,p)
型算子．
如p = q， 由定理1.2.8知， 当E → 0时， T,;f(x）的极限几乎处处存在且有限， 记
其为Tf(x）， 那么结论（b）成立 如p 并 q， 注意到V1 = Lq (lRn）门LP(JRn）是£P (JRn）的
稠密子集． 再次应用定理1.2.8的结论知， 对任意的LP(JRn) ( 1 ζ p < oo）结论（b）成
立． 由结论（b）， 对任意的f ε LP (JRn) (1 < p < oo）， 有
I Tt:f(x) - Tf(x)IP → 0 （ε → 0), a.e. x ε JRn.
( 1.2.26 )
注意到
I T,;f(x) - Tf(x)IP ζ （2Tγ （x))P , a.e. x ξ JRn.
( 1.2.27)
由（1.2.26）和（1.2.27）， 并运用结论（a）及Lebesgue控制收敛定理可得（c) .
最后， 对f ε LP (JRn) ( 1 ζ p < oo）， 有
I TJ(x)I ζ Tγ （x), a.e. x ε JRn.
口
由 T＊的弱（1,1）有界性及（p,p）有界性（结论（a））知， 结论（d）成立．
［注1. 2 .12] 由 后面的定理1.4.1知， 如果极大算子T＊是弱（1, 1）型和（∞， ∞）型
算子且满足条件（ii）， 那 么定理1.2.15全部结论仍然成立．
［注1.2.13］ 从定理1.2.8和定理1.2.15的证明 可 以看 出 ， 如在条件（ii） 中将“ε →
。” 改为 “ε → ∞”， 那么定理1.2.15全部结论仍然成立（相应地，结论（b）和（c） 中 “ε →
。”应 改 为 “E → ∞”）
18
第一章 基本知识
设（(i） X｛σ,t!Z"}tE，IRµ是）是一个群3即：
测度空间，｛对σt任意的t
}tEIR是X→X的变换族，且满足如下条件：
, s εR及Z εX,
σt+sX ＝ σt（σsX）， σox = x;
(E｝εZ，且
i ) ｛σt}μ（tEσIRt是E)=等可测的，
即：
对任意的EεZ及tεR，
集
σtE = ｛σtX : Xε
µ(
E
)
;
i i） 对X上任一可测函数f,f（
σ
t
X
）
是
X×R上关于（
t
）
x
,
的
可测函数．
(例如，取x=JR
满
ue测度，σ
s
g
b
e
Le
R中的平移算子T
t
，
为
那么｛
σ
t
h
E
IR
，
µ为
t
足上面条件．
命题1.(a）对Vt2.16 (JR｛σ, t ｝ 的等可积性）对X上任一可积函数f，有
/ f( x ) dµ ( x ) ;
=
f
（
σ
ρ）
d
µ
(
x
)
,
le f(
(证明b）对VEε!Z"
由于简单函数类在L1
中
稠密7只需考虑f二χE的
关于结论（
a
）
(
X
,
µ
）
，
情形’其中Eεg且µ（E) oo. 由于对tεR， χE（σtX) = Xu_,E (x）， 由（i ）得
l χE（σtX)dµ(x) = / Xu一’E (x)dµ(x)= µ（σ－tE) µ(E) = I χE(x)dµ(x).
口
.
b
类似地可证明结论（
)
e
.
引理1.
2
.
1
7
设
1
）
，
那么对a.
(
f（
σ
t
X
）
在
每个有限
t
)
=
f
xεX,
X
,
fεL
(
µ
x
区间上关于t是可积函数 此外 r
即）= I 1 儿。叫 ＜ ∞
t
）
证明
不妨设f注0.
由条件（
i
i
）
知
，
（
σ
X
是
关于（
x
,
t
）
的
非负可测函数，
因
！
此F对a.e. xεX有定义进一步，由命题1.2.16(a）， 有
儿 F(x) r ） d
＝= 才1r lix 阳f µ(x)dt = rl fl 1
口
因此F(x) oo a.e. x 巳X.
E
I
JX
JX
<
JX
JX
=
JX
< 00.
<
19
1.2 Hardy-Lit lewood极大算子
1
(
X
，
µ
）
及
满足条件（
i
）
～
（
i
i
）
的
变换族｛
这样3对于fεL
h
E
R
，如下定义的算
σ
t
子族｛Tr }r＞。是有意义的： ＇
Trf(x) = � 1 阳） zεX且r > 0.
称算子族｛Tr }r＞。为遍历算子族． 遍历算子族｛Tr }r>O的极大算子定义为
Tγ（x) =sru>pO ITrf(x)I.
，
那么对可积函数f
例如，取X=IR， µ为Lebesgue测度，σt为R中的平移算子T
,
t
川） 二 ； for J(x -t)
且Tγ（x）ζM-j(x）， 这里M－ 为左单边Hardy-Lit lewood极大算子，其定义为
M-f(x) = ��� � 1�r I月） idt.
类似地，右单边Hardy-Lit lewo d极大算子M＋定义为
M+j(x) =sru>pO 二 Irx+r if(t)ldt.
命题1.
2
.
1
8
（
单
边极大算子的有界性）单边Ha
r
d
yL
i
t
l
e
w
o
d
极大算子M一
1
p
)(
1
< p 《∞） 型 算子．
1
）
和
（
p
,
,
和M＋［注均是弱（
P. Calder6n [21 ］ 在 研究遍历定理时提出了右单边Hardy­
1
.
2
.
1
4
]
1
9
6
8年，A
1
< p 《 ∞） 型 算子 1 986
Li年t， ESlewoawd极大算子M＋，并指出M＋是弱（
1
,
1
）
和
（
p
,
p
)(
－
1
1
p
）
有
界性刻
）
和
（
p
和M＋加权的弱（
ye
r
[
9
8
］
给
出了单边极大算子M
,
,
画． 命题1引理1..22.1.819是Sa对wgye:r结JR 果的特殊情形（取权函数为常数1)
(
a
(
t
）
.
那么
)
(
t
)
=
g(
t
）
χ
（
O
,
→
R及常数α
＞
0，
记g
a
)
对fεL1 (X， µ）及O 《r, s 《N，有
1
.
2
.
2
8
(
T
f
)
(
s
)
= ( Lr f�2 N ) (s ) .
(
)
r
x
其中，Lrg(s) = � fs+r g(t）巾，且对固定的zεX, fx(s) = J（σ，x).
§
1
'I J x
20
第一章 基本知识
证明 注意到当0ζt
T时，0：：二t+sζ2
N
.
因此
运
r
(Trf)x (s) ＝阳伊r s← ； 1 J(atr(a5x) dt
= � 1 队叫 dt = � 1 儿（t ＋斗
= � 1r J£叫 ＋ 材＝ 叫叫 s) .
口
}
遍
历算子族的收敛性）设｛
T
＞
。
是
遍历算子族，那么
（
r
r
((ab）对1<
p
<
oo
,
T＊
是
（
p
,
p
）
型
算子；
）对1运p<
00及fεLP(
X
,
坐在 Tr f ( x ) a.e. x巳X存在且有限；
µ
)
,
r
c
）
对l<p<oo及fεLP(
X
,
µ)
,
}2_.� l Tr f -TJl l P 0，这里算子族的极
(
限T由（(bd）)所T是（确定，p, p）型 （l<p<oo）及弱（1,1）型的．
［
注
1
.
2
.
1
］
和［
注
1
.
2
.
1
2
］
知，为获得结论（
a
）
～
（
哟
，只需说明以下两个
证明
由
事实：
((AB）存在L
）算子族｛2(XTr,}µr）>的O 的极大算子T＊
是
弱（
1
,
1
）
型
和（
oo
,
oo
）
型
的；
稠密子集D，使得对任－gεv
,
e. x 巳X 存在且有限
lim
a.
T
g
(
x
)
－
r
－→
00
r
1
.
下面说
算子，且
oo
,
《
A
）
.
由T＊的定义即知T＊
是
（
∞
，
∞
）
型
先说明（
l
T
*I
I
(
）
oo
明T＊是弱（1,1） 型 的 对N>O，令r;.tf(x) IT f(x)I.
r
。
＜
<
r
N
则对VzεX, T;.J λ↑Tγ（g（α） Nµ(→∞）{x εx:． 由命题llg(x) I.2＞α｝.6(c））知， ，ληJ（α＞0α）↑λT•J （α） 这里
为g在（
X
，
µ
）
中
的分布函数
因此只需说明：存在常数C>0，
使
得对任意的α，
N
>
0，有
J
（
α
）
1
.
2
.
2
9
(
A
T
;,
《
； fx 1 仲） l dµ (x) .
)
记χ（x）为集｛x εx: r;l.J(xx() x＞α｝)dµ(的x)特征函数，那么（
1
.
2
.
2
9
）
可
写为
� ： 儿 lf(x)ldµ(x). (1.2.30)
定理1 .2.20
=
= sup
:=
21
1.2 Hardy-Lit lewo d 极大算子
令X征函数．x (s) ＝χ（记 σsX）. 则对任意固定的ZξX，令Xx(s）是集｛s :TjVf（σsX) ＞α｝的特
M
"j;
f
(
s
)
�.,Jro I J ( s ＋吟l dt.
。
＜
<
r
N
那么M"j;f(s） ↑M+(TJ(s）). 由（(s） 1运M.2.28），(f对于02N) (《s《N,
+
2
)
s
）
ζM
N
(
s
)
.
(
f
�
�
jV
J
t
x
记集合｛s M+ (J�2NN) (s) ＞α｝的特征函数为仇（s）， 那么
1 仙以 才 仇（ s ) ds＝λ M＋川（α）
1
,
1
）
型
算子（
命
题1
.
2
.
1
8
）
，
得到
由M＋是弱（
1 N 4归） ds《 � Ii i�川）1 1 1 ＝ 一αJo1 = I 丘川 ） ( s ) I α － 2 N
因（1.2.31）对任意的zεX成立，故
儿 （ 1N 仇 （s 叫 仰
应用Fubini定理及命题1.2.1（6x，得到)dµ(x）ζ dµ(x).
仨
守 儿 l f (x) l
此即为（1.2.p30）=（取｛¢C=εL22A(X）., µ)下面说明（¢（σtX)B＝φ（）成立x) 考虑La.e. 2(X， µ） 中 两类函数：
xεx,
\:I
t
εJR
}
,
Q＝ ｛们阳， µ） 3γε阳， 川∞ 川及sεJR,
使得ψ（x)＝γ例一γ（(Jsx) } .
如¢ε？及T>0，有仰） � r
1 1 φ（σtX)dt ＝ ； ρ（x)dt ＝仰）
因此lim Tr</J(x) ¢(x), ＼：／φε？
且亦有
rl－，im。。 Trψ（x) 0, ＼：／ ψ εQ.
§
= sup
=
r
=
=
=
第一章 基本知识
22
事实上， 写ψ（x) ＝ γ（x） 一 γ（σsX）， 并取C 》 ｜ γ ｜ ∞ ， 那么对T > 0,
Tr'l/J(x） 二 r （仰 ） 一 γ（叭x) dt
r γx (t + s)
＝ η （t
s
s
＝ 二 儿r γx (t)dt - � },.rr+ η （t )dt .
这样！ Trψ（x)I 运 2Cs/ . 因此 li已 Tr ψ （x) = 0.
现记
v = { g ε L2 (X,µ) : g = ¢ ＋ ψ， ¢ ε ？且 ψ ε Q} .
由上面的讨论知， 余下仅需说明D在L2 (X，µ）中稠密． 先说明p = QJ_. 容易看
出p c QJ_ 反之， 设h ε QJ_ 且｛hk } c L 2 (X, µ)nL=(x, µ） 使得lihk h l 2 → 0. 对
任意的S ε R， 令ψ ＝ hk - hks， 这里hks(x) = hk （σsX）， 因此ψ ε Q 且当k → ∞时，
0 = (h, hk - hks) = / h(x)(hk (x) hk （σsx))dµ(x)
→ （x)(h(x) - h(a8X
因此
l h - hs l � (h, h） 一 （h8, hs) + (h, h hs ） 一 （h8, h - hs) = (h8, h h8) .
注意到
(h8, h - hs) = / h（σ8x)(h(x) h（σs x))dµ (x)
= I h(x)(h（σ－ sX) - h(x))dµ(x) = (h, h_5 - h) = 0.
因此对任意的S, l h hs l 2 = 0. 从而对于每个s, hs = h a.e. 成立． 故p :::> QJ_ . 这
样？是L2 (X，µ）中的闭子空间， 从而L2 (X,µ) = PffiPJ_ 因此对任－1 ε L2 (X,µ),
存在唯一的 g ε ？及h ε ？土， 使得 f = g ＋ 九 由于p_l_ = (QJ_ ）土， 故
仙，η） = 0, 对任意的 η ε QJ_ .
( 1.2. 3 2 )
( 1.2. 3 2）表明， 或者h ε Q，或者h是Q中的点列的极限． 这样D在L2 (X，µ）中稠密 3
口
从而完成了 定理1.2.20的 证 明
［注1.2.15］ 定理1.2.20的结论（b）相应于Birkho伍Khinchin点态遍历定理i 定
理1.2.20的结论（c）相应于von Neumann平均遍历定理； 定理1.2.20的结论（d）相应
于Wiener控制遍历定理． 有关遍历理论的深入讨论亦可见专著［124］和［3 1].
； for
� fo
1
r
JX
伫
=
JX
JX
� fo
1
)
§1.3
23
恒等逼近
§1.3
恒等逼近
§1.3.1
在]R
n
上可测
对任意的E>0，记阶（
x
)＝去ψ（
？
）
．
若对于fε
定义1.
3
.
1
设
ψ
£P(则称ψ为£
JRn)(l 运P(JRpn运）上∞）的恒等逼近核．算子族T
， 当ε→0时，在一定意义下（
依
范数或点态）
有
f＊性（
x
）→f,
f→f＊白称为恒等逼近算子族．
ε：
n
n
定理1.
3
.
1
设
n
P
1
ψ
ε
£1
(
!R
）
且
f
JR
ψ（
x
)
d
x
＝α．
如f
ε
£
(
!R
)
,
运p
oo ,
oo
或fεCo(!Rn) C L (!Rn）， 那么li骂 l U ＊性）一αfl p 0.
1 .3 . 1 )
(
证明 易见
1
.
3
.
2
ln cp0 ( x ) dx ＝ 伫 （ x ) dx ＝ α
(
)
对于1�二p 00， 运用Minkowski不等式， P .
）
α
＊ψε
l
运
Jl
I I n l f (x 一εt) -f( x ) ! dxJ) I ψ （ t ) l dt
U
l
p
l
－
由f的LP积分连续性以及Lebesgue控制收敛定理得
lim l U ＊ψε） 一αfl pr 《 }jJRn εli→m0 (\ }JR/ n lf(x -Et) -f(x) IPdx ) Iψ（t) ldt 0.
如果fεCo(
!R
n
）
，
则f在]R
n
上一致连续．那么对任意的8>0，存在η
>
0，使
1
n
得当 ltIlU＜η＊ψ1 时ε）（，对任意的托!R
，有l
＜乖盯这样，
f
(
x
-t
)
-f(
x
)
I
x
）一αJ(
x
)
I
运 ／ lf(x - t) - f(x)l ψε（t)ldt + / lf(x -t) -f(x) l ψε（t)ldt
� + 2 l f l oo 儿 ｜ 注ηi fε ｜ ψ （ t ) I
� · 因此关
2
d
t
（
t
)
时
，
｜
ψ
l
>
0，使得当E:＜η
f
叮
I
i
l
l
由ψ的可积性，可取η
f
ε
注
t
i
oo
l
2
2
口
于Z ε!Rn 一致成立limHoI （ ！ ＊民） （x ）一αJ(x ) I o.
［注1.3.1］ 如果α ＝ 1 ， 那么定理1 . 3 . 1 给 出了恒等逼近算子族按LP范数收敛
n
的充分条件．
运用同样的方法可以证明，
如ψ可积，
满足f
JR
ψ（
x
)
d
x
＝α，
且fε
00
C(!Rn) n £ (JRn） . 那么当ε→0时，f ＊性在!Rn 的任一紧集K中一致收敛于αf.
恒等逼近算子族的收敛
<
=
<
J JR n \ J JR
=
}
J
t i＜η1
J
t i 二均1
<
<
=
第一章 基本知识
下面我们讨论恒等逼近算子族在点态意义下的收敛性问题．
定理1.3.2 设ψ ε L 1 (1Rn）且ψ（x) = l tsup
l cp (t)I . 如ψ ε £ 1 (JRn）且f ε LP (!Rn),
l 注 l xl
1 ζ p 《 ∞， 那么在 f 的Lebesgue点 z处有
出 （！ <p")(x) ＝ 忡 ） 1.. <p (x)dx.
证明 记ψ。（r) ＝ ψ（ ！ x i ) ＝ ψ（x） . 因ψ可积， 由积分绝 对连续性知， 当 T → O
及T → ∞时， 均有
Vn (2π － 1 ) Tπψo(r) ζ
一丁t二
！�2 ln -1 �O 附 － 1 dx1 ds
( 1.3.3)
。
→
=
�（x)dx
1/ 2 � J x l � r
( 1.3.3）表明， 当T → O及T → ∞时， 均有rnψ。（r） → 。 这样， 存在A > O， 使得对一
切O < r < oo有rnψ。（r） 《 A. 任取 f 的Lebesgue点尘， 由定理1.2.9， 对任意的8 > 0,
存在η ＞ 0， 使得当O < r 《 η时，
( 1.3.4)
主1 → J／ t l <r l f (x - t) - f(x ) l dt < 8.
令g(s) = J←－1 l f (x - st') - f(x)l dt＇及G(r) = J; sn- 1 g(s)ds . 那么（1.3叫式等价
于： 当O < r 《 η时 ，
G(r) = 1r ln - i lf(x - st＇ ） 一 f(x)l dt' sn-l ds ＝ l <r I f （川） 一 仲 ） l dt < 8rn
现任取E > 0， 记α ＝ fntn 快（x)dx. 由（1.3.2）， 有
I U ＊ ψε）（x） 一 αf(x)I
《 II J/i tl ＜η [f (x - t) - f(x） ］ ψε （t)dtlI + II JJ/ tl注 η [f (x - t) - f(x） ］ ψε（t)dt ｜I
24
*
儿
=:
11 + h.
先估计fi. 因为G（η） ＜ 句口 且俨E:-n ψo（； ） ζ A， 有
以 儿 ｜ 〈 η I f (x t） 一 巾）｜ 异己 ）dt （因为 ｜ 圳 ）｜ 运 的））
= 1 ry ln -1 1 州 一 的 一 巾） ｜ε－n�o ( � )dt' sn- l ds
= 1ry s n -l g(s)E: -
25
1.3 恒等逼近
§
应用分部积分， 得到
η
Ii ζ ω驯 ： ） 一 G州
η
《 6ηπ 叫o ( � ） ／
ε
ζ oA 一 η／
注意到当S → O及s → ∞时1 均有Snψ。（s） → 0， 再次应用Lebesgue-Stieltjes积分
的分部积分，
ψ（x）缸 ，
- J/o sn dψo(s) = n J/o00 sn- l ψo(s)ds ＝ w」－
n - 1 JJRI n
这里（以及下面）wn - 1 为!Rn中单位球面§n - 1 的面积， 故Wn- l ＝ ηVn · 这样， 存在常
数B（仅与n和ψ有关）， 使得Ii 运 oB.
关于I2 . 令灿（x）为｛x : l x l � η｝的特征函数， 则
马 运 1 ;;;.11 l f (x - t)I ψε（t)dt ＋ lf (x)I ψε（t讪
运 ll J l P · I χ叮 ψεl i p’ ＋ lf (x) I I χ叮 ψεI I 1 由 ψ 的可积性知， 当ε → 0时
｜ χη · ψεI i i = JI x＼ 注 叮 ψε（x)dx 二 Jl x＼ ； 问／ε ψ （x)dx → o.
另一方面，
p'
｜ χη ψεl i p' = lx \ ;;;. T/ （ψe: (x) ) p' dx) l/
l/p＇ 《 ｜｜ χ 供｜｜ 旦P I I χ 如1 1 � ／p'
= lx \ ;;;. TJ 1/Je: (x) （仰 ） ／ ／p dx )
η
η
当ε → 0时，
｜ ｜ χη － ψεl l oo = \ xsup＼；问 ψε（x) = ＼ xsup＼ ；均 ε －n ψ（x/c) ＝ η n （η／ε） nψ。（η／c） → o .
这样lime:--+o I (! ＊ 白）（x） 一 αf(x)I 运 oB＇ 再由o > O的任意性知定理结论成立． 口
( a） 如果f"l{n ψ（x)dx =
点态意义下收敛的充分条件．
才
｜： 才
才
oo
儿
儿
(
(
l 注 1 . 3 . 2]
1， 那么定理1.3.2 给出了恒等逼近算子族在
第 一 章 基本知识
26
(b ） 由 上 面Ii 和I2 的 估 计过 程 知 ， 在 定 理 1 .3.2的 条 件 下 ， 如均 为 f 的 Lebesgue
点， 那 么
J叫η I f(xo
t） 一 忡。 ） ｜ ｜白（t) l dt
=
o.
［ 注 1 .3.3］ 如 对 任 意 的x, y ε R飞 当 lxl = Iν｜ 时 ， 有 ψ（x) ＝ ψ（ν） ， 则 称 ψ 为 径 向
函 数 ． 定 理 1 .3.2 中 定 义 的 函 数ψ 也 称 为 ψ 的 递 减 径 向 控制 函 数
§1.3.2
Poisson积分和Gauss-Weierstrass积分
现在介绍两个非常重要的恒等逼近算子族： Poisson积分和Gauss-Weierstrass
积分．
1 l ) 为Poisson核， 其中 C ＝ 乌黑菩提
定 义 1 .3.2 称P(x) = Cπ
J 2l ;
n
（1
+ l x l ) ( n+ /
W(x) e πl x l 2 为Gauss-Weierstrass核．
对E > 0 ， 习惯上也 称 Pε （x) . - n （ε + l x lc2 ) (n+l )/2 为 Poisson核 ；
W (x， ε） : = W.J41f£ (x) = （ 如c) -n /2 e- l x l 2 / 4ε 为Gauss-Weierstrass核．
=
·- c
7r 叶 I
2
2
2
［ 注 1. 3.4］ 上 述 名 称 来 自 算 子 半 群 理 论 ． 凡 （x） 是 Poisson半 群 ｛e一 ε ..；＝互 ｝ε汩
的 核 ， 而 W (x， ε） 是 热 半 群 ｛eε 6. ｝ ε 汩 的 核 ， 因 此W(x, c） 也 称 为 热 核 ， 这 里（ 及 以
后），
焉
� ＝ 艺7= 1 记η维Laplace 算子
命题1.3.3 对任意的ε ＞ 0， 有
( 1 .3.5 )
儿 时也 ＝ 儿 W(x, c)dx l.
证明 通过变量替换可以将（1.3.5）的证明归结为E = 1的情形． 而由概率积
=
分知
Ln W(x, I )dx = （ 丰 L e - t /4 dt ) = l .
另一方面， 注意到 去 ＝ 市旅I 为JRn+l 中单位球面§n 面积陆的一半， 因此只需
n
2
验证
－r
]R n
(1
dx
+ I叫2)
－
(n+l ) /2 w2π
27
§1.3 恒等逼近
即可． 而
儿 （1 + i x�c叶l ) /2 = ln -l 100 (1 ＋；二+1) /2 忖，
= Wn 才oo r;;;,1 ;-;:: dr （令T = tane)
= Wn - 1 17r/2 sin← 1 制 ＝ Wn /2.
这里最后等式成立是因为ω吼一 1 sinn - l e 是用超平面向 ＝ cose去截§n得到的半径
为sine的球面面积， 而§n的上半部分的面积恰好是Wn- 1 Sinn- l 8关于0从0到2的
口
积分．
定 义 1 .3.3 对于 f ε LP(ffi.n ) ( 1 ζ p 运 ∞）及ε ＞ 0， 分别称
也（x,c) = (f ＊ 乓）（x) = I J(t）凡（x - t)dt
及
S(x,c) ＝ 仙 W（·，ε） ］ （x) = 1n J州x - t,c)dt
为 f 的Poisson积分和Gauss-Weierstrass积分．
由命题1.3.3并运用定理1.1.2、 定理1.3.l及定理1.3.2即可得下面Poisson积分
及 Gauss-Weierstrass积分的重要性质：
定 理 1 .3.4 设f ε LP(ffi.n ) ( 1 运 p 运 ∞）， 则f 的Poisson积分U 和Gauss­
Weierstrass积分S满足如下性 质 ：
( a） 对1 ζ p ζ ∞及任意的ε ＞ 0, u( · ,c), S( · ,c） ε LP (ffi.n ）， 且
l i u ( · , c)l l P 《 l !l l P , l S( - ,c) l P 《 l fl l p ;
(b） 对1 ζ p < oo,
出 ｜ 叫 ，c) - f( · ) l P = !i骂 l S（ － ， ε） - f( · ) l P = 0 ;
(c） 对1 《 p ζ ∞， 在 f 的Lebesgue点 z处
I i马 u(x，ε） = J(x) = Ii马 S(x,c) .
如果加强f的条件， 那么定理l.3.4(c）对p ＝ ∞有如下结论：
J Rη
第 一 章 基本知识
28
定理1 .3.5 设f ε £OO (JRn ） . 那 么
( a） 当 f ε Co ( !R n ） 且E → 0时， u(x, c）在JR1l 上一致收敛于f;
(b） 当 f ε C(!Rn ）且ε → 0时， 也（x, c）在]Rn 的任一紧集 K 中 一致收敛于f;
( c） 当E → 0时， u(x, c） 弱＊ 收敛于f;
(d） 上面结论（a) , (b）’（c）对Gauss
证明 结论（a）和 （ b）分 别 是 定 理 1 .3.1 和 ［ 注 1 .3. 1］ 的 应用 ． 下 面仅 证 明 （ c） . 对
任 意 的ψ ε £ 1 ’ 记v(x， ε） = P.ε ＊ ψ（x）， 则
J
JJRn
u(x， ε）ψ（x)dx =
/ /
JJRn JJRn
因 此 由 定 理 1 . 3.4 （ 时 ，
\/
JJRn
u(x, c川x -
寸
n
I
JJRn
Pε（x - t)f (t)dtψ（x)dx =
忡忡忡 ）dx
/
JJRn
v(t, c)f(t)dt .
\I
l v(t， 川 （t) l l J (t) l dt � ll f lloo ll巾 ） 才（－ ） I i i → 0 (c → 0 ) .
口
l注 1 .3.叫 我 们 现从 偏 微 分 方 程 的 观 点 来 理 解 定 理 1 .3.4和 定 理 1 .3.5. 考 虑 区
域 为 上 半 空 间 JR'.;:_+ 1 （ 见 下 面 的 定义 ） 以 f 为 边 值 的 Laplace方 程 的 Dirichlet 问 题：
{
LlJRn + l
U
u(x, 0) = f(x),
(x, t） ε JR'.;:_+ 1 ,
z ε !R n ,
（＊）
由 定 理4.2 . l （ 见 第 四 章 〉 知 ， 当 边 值f ε V (!Rn ) ( 1 运
p 《 ∞） 时， f 的 Poisson积 分 即 为 Dirichlet 问 题 （ ＊ ） 的 解 e-t
f . 而 定 理 1 .3.4和 定
t
理 1 .3.5 则 表 明 了 当 边 值 f满足 不 同 条 件 时 ， 方 程 （ ＊） 的 解ε－
f 的极 限 （ 依 范 数
收敛 、 几 乎 处 处 收 敛 及 一 致 收敛 〉 与 边 值 f 的 关 系 ．
这 里 LlJRn+ l : = Ll
＋磊
,r-:::75.
,r-:::75.
［ 注 1.3.6］ 同 样 地 ， 考 虑]Rn 中 � f 为 初 值 的 热 方 程 的 Cauchy 问 题：
（ （ £ － 圳， t) = 0,
u(x, 0) = f(x) ,
(x, t） ε !Rn × （ O , oo) ,
2 ξ !R n .
（ ＊＊）
容 易 验 证 ， 当 初 值f ε V(!Rn ) ( 1 《 p 运 ∞） 时 ， f 的 Gauss-Weierstrass积 分 即
为 Cauchy 问 题 （ 材） 的 解ett!>. f . 而 定 理 1 .3.4和 定 理 1 .3.5 结 论 （ d） 则 表 明 了 方 程 （＊＊）
的 解ett!>.f在 不 同 意 义 下 的 极 限 与 初 值 f 的 关 系 ．
［ 注 1 .3.7］ 我 们 进 一 步 指 出 ， 定 理 1 .3叫a） 中 有 关Gauss-Weierstrass积 分 的 结
论 实 际 上 是Cauchy 问 题 （ 忡） 的 解 算 子ett!>. 的 Lq → LP ( 1 《 q 《 p 《 ∞） 估 计 的 特
§1 .3
29
恒等逼近
� ＊ �
殊 情 形 事 实 上 ， 取T满 足 1 ＋ ＝ ＋ . 那 么 对 f的Gau卧Weie附ass积 分 应
用 Young不 等 式 （ 定 理 1 . 1 .2） 以 及 l l W( . , t) ll r 的 估 计 2 可 以 得 到
li e u � J ( - ) ll P llS (·, t) ll P 《 ll W( - , t) llrll f llq 运 （ 4时 ） 号 （ � 一 言 ） ll f ll q ·
* * *)
估 计 式 （ ＊ 忡 ） 给 出 了 Cauchy 问 题 （ ＊＊ ） 的解ett:>.f 关 于 空 间 变 量 的 P 范 数 当 t → ∞ 时
关 于 时 间 变 量t 的 衰 减 阶 ． 而 定 理 l .3.4 (a） 正 是q = p 时 估 计 式 （ ＊ ＊ ＊ ） 的 结 论 ．
=
(
Hardy-Littlewood极大算子M在分析中 是极其重要的， 其重要性不仅体现
于M在Lebesgue微分定理证明中所起的关键作用， 而且M可以点态地控制分析
中如 Poisson积分等一些非常重要的积分算子－ 在给出上述结论之前， 先给出径
向极大函数的定义． 称
JR�+l := ]Rn × （0, oo) = {(x,y) = (x 1 ，句， … ，Xn , Y） ε JRn+ 1 ; y > O}
为JRn+l 的上半 空间
定义1.3.4 对JR�＋ l 上的可测函数F， 其径向极大函数F：；＿定义为：
F丰（x) = sup
IF(x, y)I, V z ε ]Rn
y >O
定理1.3.6 设 ψ 的递减径向控制函数ψ ε L 1 (JRπ） 则存在常数Cn ， 使得对任
意的 f ε LP(JRn ) ( 1 ζ p ζ ∞）及Z ε JRn， 有
( 1 .3.6)
sup
I（！ ＊ 件）（x) I 运 Cπ ｜ ψ 1 1 Mf(x).
r>O
特别地， 对任－1 ε LP (JRn) ( 1 ζ p 运 ∞）， 其Poisson积分U 和Gauss-Weierstrass积
分S 的径向极大函数叫和s＋均被MJ 点态控制 即： 对任意的Z 巳 JRn,
( 1 .3.7)
u� （x） ζ Cn Mf(x）
且
S� （x ） ζ q Mf(x).
证明 由递减径向控制函数的定义（见 ［注1 .3. l］）， ψ（x) = ltsup
l <p (t) I . 因此
l ;>lx l
对任意的T > 0, l(f ＊ 件）（x)I 《 （ I l l ＊ 机 ） （x ） . 这样仅需证明， 对z ε JRn ,
sup(
( 1 .3.8)
l f ＊ 科）（x） ζ Cn l ψ I i i M f (x) .
r>O I
由于函数ψ是径向且递减， 如记ψ。（r) ＝ ψ （ l x l) ＝ ψ（x） ， 那么
｜ ψ I = 100 ψo
1
（ � ） Sn-I ds
向 （� ） sn-l（kds 1)
＝ 韦� k三 五－1于
丁；
7
儿1
主叫
( 1 .3.9)
第 一 章 基本知识
30
现回到（1. 3.8）的证明． 对任意的Z ξ ]Rn， 运用（1.3. 9 ）得到
于 产l
I f (x 仰 （ � l dt
(I ll 叫r) (x) ＝ �士00
k
r n1/Jo （ 号 ） 1
lf(x - t)i dt
飞
《 Cn Mf(x） ψo （ � ） 2�（ k 一1)
《 Cnw二 iI I ψ 1 1 Mf(x).
现取ψ为Poisson核和Gauss
在一定条件下， 对于Poisson积分的径向极大函数u工， （1.3.7）是可逆的
定理1.3.7 存在常数Cn > 0， 使得对任意的f ε £P(JRn) ( 1 《 p 运 oo ), f 注 。
及z ε 配，
( 1.3.10 )
Mf(x） 运 Cn吨位 ）．
证明 任意取定T > 0， 则
pu(x , E） 注 u(x,r) = Cn lw.饨
/ f(x - t) （r2 + l t l
注 en JIJ t r J (x t)
�－， 川 ，；：；： dt
注 G 毛 l f (x 一 帆
口
由T > 0的任意性即知（1.3.10）成立．
下面将进一步说明， 极大算子M还能点态地控制Poisson积分的非切向极大
函数．
定 义 1 .3.5 对Z ξ ]Rn及α ＞ 0， 称
r白 （x) = {(t, y) E JR�＋ i : It - xi ＜ αy}
为JR�＋ l 中 以（x,0）为顶点， α为锥度的锥． 简记r 1 (x）为r(x） . 对JR�＋l 上的可测函
数F及α ＞ 0， 其非切向极大函数F; a 定义为：
F; ,_,(x) = sup I F (t, y)I, \:/ x E三 !Rn.
J 2 • < i t 1 运 2 • +1
主
＼’ ／
. < l t l �Y + '
主
r
ε＞0
l�
I
( t ，自） εFα （x)
-�
J itl ζ T
31
恒等逼近
§1.3
设F为定义在JR'.;:_+ l 上的可测函数． 如对任意的α ＞ 0 ,
lim F(x，的 ＝ f.,
则称F在Xo ε ]Rn处有非切向极限f..
定理1.3.8 设 f ε £P (JRn) ( 1 《 p 运 oo), U为 f 的Poisson积分． 那么
( a) f 的Poisson积分的非切 向极大函数被 f 的Hardy Littlewood 极大函数
点态控制． 即 ： 对任意的α ＞ 0， 有
u; "'(x） ζ da ，π Mf(x), x E lRn ,
( 1.3.11 )
其中da ,n ( lil缸｛l + 2α2 , 2 }) (n+l ) /2 .
(b） 在f的Lebesgue点Xo 处， U存在非切向极限f(xo）. 即对任意的α ＞ 0 ,
( 1.3.12)
）�� u(x, y) f(xa) .
因此， f 的Poisson积分的非切向极限在IRn上几乎处处存在且等于f
证明 （a） 对任意的α ＞ 0及（x,y） ε ra(xo ）， 有
l xo - t1 2 ζ （l xo 叫 ＋ I x - tl) 2 ζ （αy + I x - tl) 2 运 2［ （αν ） 2 + I x tl 2 J .
那么
Py (x - t） 运 da , n Py (Xo 一 t) .
( 1.3.13)
这样由（1.3.13）和（1.3. 7),
sup l u (x, y)I � d白 ，n sup
/ lf(t)I 马 （xo - t)dt 《 da , n Mf(xo) .
y>O JJRn
( x,y)Erα（xo )
(b） 由 ［注l.3.2(b）］， 如ψ的最小径向控制ψ ε L 1 (JR吨）， 则在 f 的Lebesgue点 Xo
处， 有
(1.3.14 )
J鸟儿n If (t) － 叫｜ 向 （xo - t)l dt ＝ 。
现取向为Poisson核P缸， 由（1.3.13）和（1.3.14 ),
｝�� l u (x, Y) - f(xo)I 运 �� / IJ(t) - f(xo)IPy (X 一 均dt
《 d白 y＿li→u呗 ／ l f (t) - f(xo)IPy (xo - t)dt = 0.
口
故（ 1.3.12）成立
定 义 1 .3.6
(x,y)EI'α （xo)
归 ， ν ） → （xo ,0)
=
(x，
(z.v
（xo>
（笃。＞
=
（xo)
（x , y）
(x,yJ-(x � � � ） J JRn
J Rη
第一章 基本知识
由（1.3.11）， 对1 运 p 《 ∞和任意的α ＞ Q, £P(JR.n）函数Poisson积分的非切向
极大函数在JR.n上是几乎处处有限的．
［注1.3.8］ 定理1.3.8有下面更一般的推广： 设函数¢有一个非增 、 有界 、 可积
的径 向控制 函数． 对y > O， 记F(x, y) = f ＊ 内（x） . 对 α ＞ 0， 那 么F的非切 向极大
函数F; ,a 满足：
sup （x) I F (t , y)I 《 CMJ(x), V z ε !Rn.
F; 0 (x) = ( t ,y)Hα
下面的结论是定理1.3.6、 定理l.3.8 (a）和定理1.2.5、 定理1.2.7的直接结果．
推论1 .3.9 设1 运 p 运 ∞及α ＞ o . 如视£P (JR.n）函数Poisson积分的径向
极大函数u工和非切向极大函数吨，。 为作用于LP(IR.n）上的算子， 那么叫和吨 ，。 均
是（p,p）型（ 1 < p 《 ∞）和弱（1 , 1）型的
［注1.3.9］ 由定理1.3.8即知， 区域为IR.�＋l并 以£P (JR.n) ( l 《 p 《 ∞）函数f为边
值的Laplace方程的Dirichlet问 题（见l注1.3.5］（＊））的解e- t F互f， 对任意的α ＞ 0,
它在Rπ上的非切向极限几乎处处存在且等于其边值f
［注1.3.10] 注意到Gauss-Weierstrass 核W忡 ， 1）是Schwartz函数（见例3.1.1 ),
由 （ 1.3 .5）知定理1.3.8的结论对LP (IR.n ) ( 1 运 p 运 ∞）函数的Gauss-Weierstrass积
分 同 样成立 这样， !Rn 中 以f为初值的热方程的Cauchy问 题（见［注1.3.6] ( ＊＊））的
解etc:. f， 对任意的α ＞ 0， 其在!Rn上的非切 向极限几乎处处存在且等于其初值f
32
33
§1.4 算 子 内 插定理
§1.4
算子 内 插定理
§1.4.1 Marcinkiewicz算子内插定理
回顾在Hardy-Littlewood极大算子M为（p,p）型算子（定理 1.2.7）的证明中， 仅
运用 了M是次线性的， 弱（1,1）型以及（∞， ∞）型算子2 并没有用到M的其他性质．
因此运用证明（1.2.15）的思想， 可以得到下面一般’性 的结论：
定理1.4.1 设T为次线性算子． 如果T既是弱（ 1, 1）型的？ 又是（∞， ∞）型算子，
那么对1 < p < oo, T是（p,p）型算子 ．
定理1.4.1是下面定理的特殊情形．
定理1.4.2 ( Marcinkiewicz算子 内 插定理） 设T为次线性算子． 当1 运 Pi 《
qj 《 00 (j = 0 , 1 ）且qo 乒 q1 时， T为弱（町， qj）型的（j = 0, 1）， 那么对t ε （0, 1）且
1 - t ＋ 一t ，
1 - t ＋ 一，t －1 ＝ 一－一
一P1 ＝ 一一一
Po P 1 q qo q1
T也是（p, q ） 型的， 且
llTll(p,q） 《 C [[ T ［［�（�o,Qo) [[ T ［ ［ �（p, ,qi ) '
其中常数C > 0仅与Po, qo, P 1 , q1 及t有关．
定理1.4.2的证明本质上与（1.2.15）的证明思想是相同的， 这里略去其证明．
§1.4.2 Riesz-Thorin算子 内插定理
定理1.4.3 ( Riesz-Thorin算子 内 插定理） 设T为线性算子且对 于1 运 町，qj 运
oo (j = 0, 1 ), T为（町， qj）型的（j = O, l） . 那么对t ε （0, 1）且
1 - t ＋ 一t ，
－P1 ＝ 1 Po- t ＋ 一Pt1 ， －q1 ＝ 一－一
qo q1
T也是（p, q） 型的， 且
[ [ T［［ （川） 《 ［［T［［：♂ Qo) II
34
第一章 基本知识
为证定理1.4.3， 先给出一个引理．
引理1.4.4 ( Phragmen-Lindel证三 线 定 理） 记
S = {z = x + iy ε c : 0 < x < 1 , y ε IR} .
如复值函数F在闭包5 上连续有界， 在S内解析， 且F满足
IF(iy)I ζ Ko, IF( l + iy)I 运 K1 , \:/ u ε IR.
则对任意的z ＋ 叩 ε s, IF(x + iy）＼ 运 K6 - x Kf .
证明 不妨设Ko, K1 均为正数． 记G(z) = F(z)K� － 1 K!z， 只需说明· 若G在S
上连续有界， 在S内解析， 且对任意的 ν ε R， 有＼G(iy）＼ 《 1 及＼G(l ＋ 叩） ｜ ζ 1， 则
I G (x ＋ 叩）｜ ζ 1 , \:/ x + iy ε S
( 1.4 .1 )
首先说明， （1.4 .1）在下面条件下成立－
( 1.4 .2 )
I YJim
I → ∞ max { I G (x ＋ 叩）｜ ： z ε ［O , l l} = 0.
事实上， 此时存在Yo > 0， 使得
当z ε ［O, 1], \y ＼ 二？！ Yo时， \ G (x ＋ 叩） ｜ ζ 1
( 1.4.3)
这样在以iyo, 1 + iyo, 1 - iyo, -iyo 为顶点的矩形 Q 的边界θQ上有＼G(z）＼ 《 1.
由此并运用解析函数最大模原理可知， 对z ε Q, \G(z）＼ 运 1. 再结合（1.4 .3）便
知（1.4.1）成立 对于一般情形， 只须将上述的结果应用于函数
Gm (z) = G(z) e 己并且 (m ε N)
口
上， 便知对任意的z ε S, \Gm (z）＼ 运 1 再令m → ∞， 就得到（1.4.1）式．
走理1.4.3的证明 我们只对（阳，P1 ） 并 （∞， ∞） 且（qo, Q1 ） 并 （1 , 1）的情形给
出证明 其他情形的证明是类似的 ． 首先证明定理的结论对简单函数成立 不妨
假定1 运 Po < P1 < oo. 记
1 1 一1 ， 一1 ） (j = 0 , 1 )
（ 句 ， 岛， 民 的 ＝ （一，
Pj 一，
Qj p q
及α（z) = (l - z）αo + zα 1 , β（z) = ( 1 - z)f3o + zβl · 那么
（α（j), {3 (j ）， α（吟 ， β（t)) = （αj, {3j，α， {3) (j = 0 , 1 ) .
35
§1. 4 算 子 内 插 定 理
简记l l T llc酌，q; ) = K1 , j = O, l; C = K6 - tKf. 因此需证 明
'r/ f ε D, l T (f)l l q 运 C l J l P ,
其中D为一切可积简单函数的全体 由Lq (!Rn）中范数的表达式， 为证上式， 仅需
说明
π T(f)(u)g(u) du
定义
fz (u) = e• arg 11J(u ) l °' ( z ） ／白 ’ 9z (u) = eiarg 9 lg( u) l ( l － β（ z )) / (1 一 β）
｜儿
及
时 ＝ 儿 叭 fz〕 以州 du.
注意到ft (u) = f(u）且9t (u) = g(u）， 因此（1 .4.4 ）等价于
( 1.4 .5 )
I F(t)I ζ C, 'r/ f, g ε D 满足 l f l l gl q’ ＝ 1.
由f,g ε D， 可写f I:j= l l c1 l eiarg c； χEj 及 g = I:；二 1 l dk l eiarg d• xF. ’ 其中｛ 乌｝
矛口｛Fk}分别为两两不交的可测集列． 因此
F(z) ＝ 汇 l c1 I呻） ／ α l dkl( l － β（ z )) / (1 一 β） eiarg(c; d. ) J/.JR:n T （ χE; )(u)x F. ( u) du.
故F(z）在S内解析且在3上有界连续． 由引理1.4 .4， 为证（1.4 .5）， 只须验证
I F （ 叩）｜ 运 Ko 及 IF(l + iy)I 运 K1 .
事实上， 由α（iy) ＝ α0 + iy（α 1 一 αo）及 1 一 β（iy) = ( 1 - /30 ） 一 均（β1 - /30 ） 可知
l fiy(u)I Po = l eiarg f l J(u) l ( i的 ／由 I Po l l f (u) l y（白 l 。。 ） ／由 lf(u) I P /Po I Po = lf(u） 户 ，
以及 l 9iy (u) l q� = l g (u) l q' · 于是， 由T为（阳 ， qo）型及Holder不等式， 得
I F( iy)I 《 l Tfiy l qo l 9iy l q0 ζ Kol l !iyl l Po l 9iy l q0 = Ko l f 1 �／Po l g l �'.f吗 ＝ Ko .
同理， 1F( 1 + iy)I ζ K1 . 从而（1ι5）成立． 这样对简单函数证明 了 定理的结论．
现考虑一般的U函数f 不妨设f 》 0（若不然， 可分别考虑Re （！）和Im （！）的
正部和负部）， 且Po 《 Pi· 定义
E = {x ε !Rn : f(x) > l}, J0 = fχE 及 f 1 fX ec·
p =
=
•
°'
=
i
=
第一章 基本知识
36
则 f = !0 ＋ 尸， 且10 ε J_,Po n £P , j l ε £P l 门 LP 取 ｛grn } rnEN C D， 满足。 运 91 运
92 ζ … ζ f 且对a.e. x ε Rn, 9rn(x） ↑ f(x）. 由Lebesgue控制收敛定 理知，
lim l 9rn - f l v 0.
令9�， = 9rnXe 及gι ＝ 9Xec， 那么有
出。 ｜ 除 一 J0 1 p = 0 及 J出。 I l g� - f 1 l p = o.
注意到
1 9! f0 1 Po 运 I E l 1 /Po-l/p l 9! - f0 1 v
且
I l g� - f 1 l p , � 2 ( I l g� - f1 l p f1仇 ，
因此由T 的（阳，Qo), (P 1 ， 但 ）有界性， 得
1�00 ( l T (g! - J0 )1 1 qo 十 l T (g� - ! 1 )1 1 饥 ） = 0.
于是， ｛g旦｝含有子列｛g!j｝， 满足
对于a.e . x ε Rn , .li皂 I T (g!1)(x) - T(f0 )(x)I = 0.
同样地， 在｛g;,,j ｝中含有子列， 记之为｛gD， 满足
对于a.e. z ε R", 此 IT (g�）（x) - T(J 1 )(x)I ＝ 。
现记 儿 ＝ g� + gk， 由T的线性性质，
对于a.e. x E Rn , 此 I T (fk )(x) - T(J)(x)I = 0.
显然有 J江 ll fkl l v = ll f l p · 因 儿 为简单函数 ， 由第一步的证明知
l T (fk ) l q 《 C l fkl l v , k ε N.
这样， 应用Fatou定理得到
口
l T(J) l q 运 且旦 ll T(fk) l q 《 且旦 Cl l fkl l v = C l f l v ·
［注1.4 .1］ 定理1.4.2和定理1.4.3的结论是不可 比较的． 一方面， 定理1.4.2中T
为次线性算子并且在端点仅要求 T 的弱有界性， 而定理1.4 .3中 T 为 线性算子（对
次线性算子也成立， 见下面定理1.4.5）， 但要求 T 在端点的强有 界性． 另 一 方面，
定理1.4.2中有 Pi 运 的的限制， 而 定理1.4 .3 则 无此限制－
=
k－，。。
k－→口。
37
§1.4 算子 内 插定理
§1 .4.3
算子内插定理的几个常用 推广＊
现介绍几个常用的算子内插定理的推广． 早在1956年， A P. Calder归和A
Zygmund [24］运用Phragmen-Lindel时三线定理 （ 引理1.4 .4 ） 和次调和函数的性质
将Riesz-Thorin算子内插定理 中 ？为线性算子” 的条件减弱为T为次线性算子，
他们得到下面的结论：
定理1.4.5 ( Calder缸，Zygmund次线性算 子 内插定理） 设T为次线性算子且
对于1 运 的，qj ζ oo (j 0 , 1 ) , T为（屿， qj）型的(j 0, 1）. 那么对t ε （0, 1）及
－P ＝ －一一
qo ＋ 一q 1 ，
Po ＋ Pi一 ， －q ＝ －一一
T也是（川） 型 的， 且I I Tiie川） 《 llTll 坏＇. qo) llT l l (v, ,qi) ·
在1 958年， E M. Stein和G. Weiss [118］将定理1.4.5推广至加权的情形．
设T为次线性算子， 也0 ， 句 ，
定理1 .4.6 ( Stein-Weiss变现l度算子 内插定理）
U 1 , V1 是正值权函数， 1 ＜ 阳， Pi, qo , qi < oo， 且Po -I= Pi, qo 并 qi . 如 T满足
=
=
llTf llqo,vo 《 Collfllvo,uo 及 llTfllq， 川 《 C1 llfll叭，问 ’
其 中， ll g l l r, w
=
( JJR.n l g (xWw(x)dx) l/r 为加权空间U(!Rn, wdx）上的范数． 那么
对t ε （0, 1）及
1 - t ＋ 一t ， 1 ＝ 1 - t ＋ t
一P1 ＝ 一－一
Po Pi q qo q 1
有
一 一一一 一，
llTJllq,v 《 Cllfllv，川
这里U = ub( l - t) /vo urlv1 ' v = vg ( l - t) /qo vi呐1 且 C ζ c5 - tq .
1 956年， E M. Stein[lOl］将定理1.4.3推广至算子解析族的情形． 我们先给出
一个定义． 设S = {z = x + iy 巳 c : 0 < x < 1, y ε IR｝且｛Tz } z ES是一个线性算
子族 说｛Tz}zES是容许的（admissible）算子族， 如对任意的f,g 巳 L 1 (1Rn）， 映射
�n 巳(f)gdx
满足下面的条件：
( i） 在S的内部解析i
( ii） 在S上连续；
Z�
38
第一章 基本知识
(iii） 存在常数α ＜ 霄， 使得e 一 α ｜目 I log I / Tz (f)gdx 在S上一 致有界．
I
I J JR n
定理1.4. 7 ( Stein算 子解析族插值定理） 设｛Tz }zES是容许的算子族． 对1 运
阳， P 1 , qo, qi 《 ∞及ν ε �＇
l
ll Tiv fll qo 《 Mo(Y) ll f ll Po 及 ll Ti + i v f l i q， 《 M1 ( Y) llJll P "
其 中 Mj ( Y )
(j
=
1, 2）满足 以 下 条件· 存在b ＜ 霄， 使得
sup e b l v l log Mj (y) < oo.
y EIR
-
那 么 对t ε （0, 1）及
一＝一一一 ＋ 一 ， －＝一－一 ＋ 一，
,. l 2 (
·
P
Po P 1 q
qi
qo
有 ll Tt f llq 《 Mt llJll P ， 这里
f sin t n
log
log M1 ( Y )
,
\ )
+
M·, = exo� 一一一－ JIRI{ I\ cosh （归）Mo一 (y)
cos (t霄） cosh (yπ） + cos （加） ／I v。 j>
下面的结果表明 ， Marcinkiewicz算子 内 插定理和Riesz-Thorin算子 内插定理
条件 中 的端点空间 的有界性可 以减弱
定理1.4.8 设T为次线性算子． 如 果T为弱（阳 ， Po) (1 < Po 运 ∞） 型 的 ， 且
是H 1 （� n ）到弱£ 1 （ �n ） 有界 的 ， 那么对于l < p ＜ 阳， T为（p, p） 型算子．
定理1 .4.9 设T为线性算子． 如 果T为（阳， Po) ( l 《 Po < oo） 型 算子， 且
是£＝ （�n ） 到BMO（�n ） 有 界 的 ， 那么对于Po < p < oo, T为（p, p） 型算子．
［注1 .4.2］ 定 理 1 .4.8 中 H 1 （�n ） 为 �n上 的 实Hardy空 间 . H 1 （�n） 和 定 理 1.4.9 中
所提 到 的 BMO（ �n ） 空 间 的 定 义 可 见§5.2.4.
§1 .4
39
算 子 内 插定理
一
题
习
1 . 证 明命题1. 1.3的结论
2. 证 明 命题1.2. 1 的结论．
3. 设f ε L }oc (JRn ） . 证 明 ： 如果f(x) = O(lx l - n ) ( I叫 → ∞）， 那 么 Mf(x) =
。（ l x l - n log l xl) ( l x l → ∞）．
4. 证 明 ： 对任意的f ε L 1 (IRn ）， 只 要 ll fll 1 0， 必 定Mf rf- L 1 (1Rn ) .
>
5. 设ε ＞ 0且f ε LP (IR) ( 1 《 p ζ ∞） 算子T定义 为
J(y)
Tf(x) =
J z一ν l>l Ix - Y in ＋ε
－一一－
r’
’’
’《BE
E－、
一一
2
rlu
/r
证 明 ： T为弱 （1, 1 ） 型 和 （p, p）型算子（1 < p ζ ∞） －
1－
z
哑o
’
s
）
（
6. 设
x 7正 0,
x=
0.
证 明 ： x = O不是f 的Lebesgue点．
7. 证 明 ： 如 下 定 义 的强极大算子M；为怡， p) ( 1 < p 《 ∞）型的．
MI f(x 1 , x 2 ) = sup
主：��，）
/ If（ ) dy ,
]_
I R I JR 川2 ldY1 2
其 中§£1 = {JR2 上所有边与坐标轴平行的矩形｝．
FOURIER 变换
第二章
§2.1
§2.1 . 1
Fourier变换的£ 1 理论
Fourier变换的基本性质
定义2.1 . 1 设f ε L 1 (1Rn ） . 对任 意 的z ε )Rn ， 称
阳 ＝ ln j (t ) e- 2rrix t 也
为f的Fourier 变换
定理2.1.1 Fourier 变换有如 下基本性质 ：
( a ) Fourier 变换是£ 1 (JRn ) iiJL oo (JRn ）有界线性算子；
(b） 如f ε L 1 (JRn ）， 那么f在)Rn 上一致连续，
( c ) ( Riemann-Lebesgue� ！ 理）如 f ε L 1 (JRn ）， 那么f ε Co (!Rn ) .
证明 （a）显然成立． 关于 （ 时， 对任意 的Z ε ]Rn 及 h ε ]Rn ， 应用 Lebesgue控制
收敛定理3
Ii川
运 儿n l f(t) I
注 意到上面最后 的表达式 己与Z无关． 现考虑、（c）. 由 结论（时， 只 需证 明
l xlim
l → ∞ f(x) = 0.
证 法 1 ： 记I ＝ ［α 1 ) b1］ × ［α2 , bz］ × … × ［α口 ， bn ］ 为]Rn 中 的 区 间 那么
rb 1
r bn
汇（x) = I E一如叫t, dt1 . I
J 《Zl
J aπ
e- 2rrix 山dtn .
当 lxl → ∞时， 至少存在1 《 j 《 n， 使得lx1 I → ∞ 简单计算可知
l → ∞ X"; (x) = 0.
l xlim
§2.1
Four即变 换 的 £ 1 理 论
41
进而可知， 结 论（c）对!Rn 中 的 简 单 可 积 函 数仍然成立． 现考虑一般的L l (JR.n ） 函
数f 由 于简单可积 函 数 的全体在£ 1 (JR.n ） 中稠密， 因 此对任 意 的ε ＞ 0， 存在 简 单
可积 函 数g使得 II! - gll i < c/2， 且对充分大的 ｜叫， l§(x) I < c/2. 因 此对充分大
的 ｜叫 ， 由 结论 （ a）我们有
If ( :r ) I 运 lf(x) - g(x) I + l§ (x) I = I U - g)(x)I + l§(x) I 运 II! - gll 1 + l9 (x) I
＜ι
证法2： 对z 并 0， 记h = x/( 2 lxl 2 ） . 则
] (x) ＝
儿
f(t) e － 川 dt ＝
儿 f 川）产x ·（叫t ＝ 一 儿 f 川川x·t dt.
这样， 当 l x l → ∞时（ 自 然有 l h l → 0） ， 得到
l f(x) I =
I�
I [f( t) - J(t + h)J
I � J JR n
I "'
口
下 面给 出 －个 Co(IR） 函 数不是£ l (JR） 中 函 数 Fourier变换 的 例 子， 它表 明 ， 定
理2. 1 . 1 中 结论 （ c） 的逆是不成立的 首先说 明 一个事实： 如f ε £1 (IR）且 f 为奇函
数， 则极限
；更 1 N Bp dt
存在且有限 事实上， 因 f 为 奇 函 数， 故
� 儿 f忡一2臂ix
＝ 让 仲） sin （加仙 ＝ i 1 f(-x） 叫nxt)dx .
f(t) =
因此有
的） ＝
儿 ［if（一x) - if(x）］ 叫贺xt)
令F(x) = (if（一x） 一 if(x)) / 2 ， 那么
1 N Bp dt = 1 N � （ 儿 川in ( 2nx叫
注意到
fr 2 7r N x必 sin
�t dt 一→ 文 sgnx
(c → O + ,
J/2 7rεx
0
,<,
N → ∞），
第 二 章 FOURIER 变 换
42
由 上式及Lebesgue控制收敛定理， 得
}( t -叫
现取
N p
1
N主
二d ＝ / F(x) dx ＝俨 F(x)dx
{ xe - 1 ,
-e 《 z ζ-ee.,
j{N 一－ → oo /{ N � →∞
→oo
N
N
N
［注2.1.1］ 容易证明， 集K ψ ψ ＝ 且 E
·
e-27rix·h
( e 2"i ( - ) · h f （ － ） � （ x ) .
J IR
0
g
< oo .
x ＞ 巴，
log z ’
g(x) =
x<
log (-x ） ’
那么 g ε Ca (IR）且 g 为奇函数 由 于
g(t) = Jim
= Jim log(log N ) = oo ,
Je t
Je t iυg t
因 此 由 上述事实可知， g不是任何£ 1 (IR） 函 数Fourier变换．
= ｛ ：
f f £ 1 (1Rn ） ｝ 是Co (IRn ） 的 稠 密 子
空间．
定理2 . 1 . 2 （ 卷 积 及 平 移 与 Fourier 变 换 的 关 系 ） 如f, g ε L 1 (IRn ） ， 那 么
( a) (f * g) (x) = f(x) g(x) ;
(b） 设h ε R口 ， 平移Th 定 义为Th f(x) = f(x - h), x ε !Rn . 那么
( Th ！ ） � (x) =
}(x） 且 Th}(x) =
证明 略．
口
（ 线 性 变 换 与 Fourier变 换 的 关 系 ） 设f ε L 1 (IRn ) .
( a） 如T为!Rn 上 的 可逆线性变换， 其矩阵仍记为T 又记det(T） 为T的行列
式． 那么 f(T-) (x) = l det (T) [ -1 f(r - tx）， 这里y - t 为T的逆的转置矩阵；
(b） 对α 川， 伸 缩 变 换 ηα 定 义 为 ηα f(x) = f( ax) . 那 么
(x) =
ηα －i f(x) ;
( c ) L 1 (IRn ）上Fourier变换与正 交 变换可交换；
(d ) £ l (JRn ） 中径 向 函 数 的Fourier变换仍为径 向 函 数．
证明 （a） 只 需注意到， 对任意 的Z ξ !Rn ,
/
= [ det (T) [ 1 /
定理2 . 1 . 3
;:J()
叶
J JRn
f(T(y) e一27rix·ydy
2"iTx·r-1, du
e
)
u
f(
1 儿 f(u)e-2"i -'x·udu.
J JR n
=
[det (T) [
43
2.1 Fourier变 换的£1 理论
n
X
((bc））对任意的zε!R
）
井
运用结论（
a
）
即
可．
，
…
，
a
x
，令Tx=
（
α
町，
α
2
n
-1
d
e
t
ot
.
对!R
n
上任一正交变换。，
均有
1
且
o
由（
a
）
知
结
(
O
)
I
=
=
i
论（c）(成d）立．因f为径向函数当且仅当对!Rn 中任一旋转ρ及Zξ!Rn, J（ρx) = f(x）. 由
结论（下面讨论Fo
c）便可得． urier变换与微分的关系． 先引进按LP范数可导的概念． 设1 ζ口
p f εV(!Rn ） . 如存在gεV(!Rn ） 使 得对h= (I0p， …\ ，i;p问 ， … ， 0 ） ， 有
f[ Ir II f( x + h), -J(x) - g( x ) I dx I = 0,
2 . 1 . 1)
(
\)IR.
川
nk
数关于凡
的偏导数．
显然，
如f
则说f按£P范数关于X
可
导，
且g称为f按LP
范
k
e
.
意
义下3其按U范数关于町的偏导数是唯一的
按£P范数关于Xk可导，则在a.
1
n
设fε£
（
微
分与Four
i
町
变换的关系）
(
!R
）
且
αεz+.
m
n
n
α
a
）
如对于
）
，
那么f
ε
c
m，
有x°'
f
ε
£1
(
JR
(
!R
）
，
且D臼f(
x
)
=
(
I
::
;
:;
｜
( -2刑t(）b。）J(如fεc
-) 1\ (x).m(!Rn）且 当 ｜α｜ 运 m时，有D°'f ε£1 (!Rn）， 那么（Dαj)A(x)=
(2nix）白(f(c）x如). 9为f按£1 范数关于阳的偏导数． 那么g(x)= 2nixkf(x).
并
1的情形．
设α的第k个分量为1
，
a
）
应用归纳法，仅需考虑
α
I
=
(
｜
.
.
n
取h= (0γ , 0， 问， 0, , 0）. 对任意的Zε!R
,
去 [f(x + h) -f(x)] = I e- Ilk - l f( - ) ( (x)
2
.
1
.
2
(
)
儿旷
＝
由于
1 e - 2霄
扩飞 一一一lhk ｜ ＝ 2霄ltk I，
h
k
且Xkf ε £1τ－（(JR＂）， 运用（2.1.2f(）及x Leh)bes-f(gue控x)制收敛定理，得到
x) ＝= 儿rmf(t)e-27rIlixk·t阿凡）dt = 一 叫只）t .
(
x
)
（
1
(则l叫b→） ∞仅考虑仰）=｜αI1叫= 1的情形．
注意到，
如一元函数φ及其导数4均在£
(
JR
）
中
，
1
→一∞ 的）= 0.现设α的知个分量为1 因去 ε£ （町，
§
< oo,
J
hk→0
定理2.1.4
证明
I
+
U;J;k
几k → U
1
•.
I
4
应用分部积分得到（x)＝ 儿f a(;θf(t) e-2 't·
（瓦） � = 川j （儿 尝］产一2霄itkx
kn-1 川
＝ 儿 2 产L:;,ck t;x; （叫儿 阳… dtk dt
2 霄 ix k f ( x ) .
=
(c） 因为 纪� I f f(- + h)-f(·) \ " I
｜仰）一 hk f(x) I rg(I-g)(-t） 一 f(t + h) - J()t) (II x) I (2.1.3)
运 ｝Rn l
h
k
而g为f按£I 1 范数关于冉的偏导数，由（
2
.
1
.
1
）
和
（
2
.
1
.
3
）
，
有
e2πix·h一：－ 一1 J(《 x) I 运＿!im_ g (t) - J( t + h）一J( t ) Il dt = o.
_lim_ 1.§(x）一 一－－－；：
Ilk
Jm:/ n l
llk
“《211:ix「I__·lkh 一二f(· ，、 x)= g(x).
l
i
m
.
_
.::_
即有g(［注x2.)=1.22］们设XkmεN,P(
f(x). x) = l:l<>I《m ααx＂＇ 为m次η元多项式． 由定理2.1.4即口
P((P(D)Df))f"((xx)) == P((P2(时-2x)1rift（)叫J(，t) "(x),
n
这里假定fε£l
(
JR
)
,
D＂＇
且
上面等式的两边都是有意义的．
｜
运
P(
D
)
＝汇｜
α
。
m
白
下面的结论是常用的，其证明应用Fubi
n
i
定
理即可．
(
JR
π
）
，
那么
（乘 法公式）n f(如f,gε£l
( 2 . 1 . 4)
k x)g(x) dx = kn f( x ) g ( x ) dx .
在本段的最后，我们给出Fourier变换一个非常重要的特性：
第 二 章 FOURIER 变 换
:l
j
=
L
11
tik
I\
f I
问 →u
I
I
1
这样i
问 →U
可 推 出 如 下结 论：
命题2 . 1 . 5
问 →U
I
I
•.
I
I
45
2.1 Fourier变 换的£1 理1论
(
IR
n
）
中
函数f，使得
> 0且supp（！ ） 和supp（！ ） 同 时
定理2.
1
.
6
不存在£
l
f
l
h
为紧集．证明 用反证法． 设fεL1 (IR）， 满足l fl i > 0且supp（！）和supp（］）均为紧集．
对C平面中的点z=x＋叩，令 1二
4
1
.
1
理2.
定
换的唯一性（
变
r
e
i
可
）
紧集及Four
u
为
）
由s
.
）
x
(
pp（
则在实轴上F(
)=
x
！
知，F为C中的非零整函数．
注意iiJ
s
u
）
亦
为紧集，
因此F必然在实轴的一个
pp(
J
口
正测度子集上为零，但此与非零整函数的零点孤立性相矛盾．
§
时 ＝ 肌讪 ＝
产叫 t 阳、
f
§2. 1 . 2
Fourier积分的平均与Fourier变换的 反演
4tuπ
内4
o
e
、
rEt’〈、，1
一－
，
、‘E，
4’LW
，，E‘、
rJ
1
由前面的讨论知道，£
(
IR
n
）
函
数f的Four
i
e
r
变
换f总存在．
一个自然的问题
1
是，对于L (1Rn）函数f，下面的表达式
2
.
1
.
5
Ian ]( t ) e2-rrix · t dt
)
州＝
(
是否成立？ 此即Fourier变换的反演问题．先看一个例子．
令
t；主t 0,0,
1
那么f
ε
£
(
IR
）
且
f(
x
)
＝
罚击可 此例表明， £ 1 ( JRn ） 函 数的Fourier变 换可能
2
.
1
.
5
）
式
的右边甚至可能不存在．
因此一个首要问题
或者说，
（
在是：£]Rn上不可积
1
1
2
.
1
.
5
）
式
的右边在a.
e
.
意
义下存在？对£
(
IR
n
）函数f应满足什么条件，使得（
2
.
1
.
5
）
式
右边的形式积分为
的Four
i
e
r
积
分
在这一节我们将运用恒等
函数f，称（
f
1
逼近算子的收敛性来研究£l
(
JR
n
）
函
数Four
i
e
r
积
分的求和问题，进而解决£
(
JR
n
)
函数Four定义2.ier1变.2换的反演问题．
设φε£1 (IRM硝（n）且hφ（) 0)=/ 1.h(对ε＞0，如
积分
φ
（
ε
x
）
x
)
d
x
n
存在，则称M呐（
h
）
为
积分J
JRi
h(
x
）
巾
的φ平均
如极限
J出 M硝（ h ） 存 在， 记 其为f ,
则说积分下面结果表明，如果φ满足一定的条件，那么f的Four
j卢n h(x)dx可φ求和，且和为f.
i
e
r
积
分的φ平均可表达
．
为f的卷积
<
=
J JRin
46
定理2.儿 j刨1.7 t如贺tf，尘φ εL1 (JR.n）. 记φ＝ψ，那么对任意的ε＞0,
g（一x）称为9的反射．2.1.4） 、 定理2.1.2(b）及定理2.1.3(b）， 有
这里豆（证明x) =应用乘法公式（
ln 1 〕 t
ln 川� （x)] dx＝ 儿 灿ε 川 dx .
口
.
3
.
l
和
定理1
.
3
.
2
即得下面的
由（推论2.2.1.61）.8， 并运用定理1
1
1
n
JR.
n
设f，φεL
）且J
，
.
ψ
（
x
)
d
x
(
JR
）
，
ψ＝φεL
(
R
1
即：
范
数意义下收敛到f.
(a) f的Fourier积分的φ平均在L
： 出 ｜ 儿n ] ( x )
1
π
(
b
）如果ψ的递减径向控制函数ψιL
）
，
那么f的Four
i
e
r
积
分的φ平均
(
JR
即：
在a.e.意义下收敛到f
比I ln ](x俨 t φ （c:x)dx-f（叶 o a.e. tε]Rn
的Four
i
e
r
积
分φ平均的两个重要的特例：
现给出
的Four
i
e
r
积
分的Abe
l
平
f
f
均及Gaus 平均， 它们分别联系着Pois on积分和Gaus -Weierstrass积分． 先给出
设ε＞0，那么
ε
7r
2
((ba）) （(εe－-42时l·1·)2")(/\x()x) Cn(4(cn2c:+)-nlxflc:22e）一r（叶lxl12)/\I/42ε ＝＝ 凡W(（xx), .c:);
l
2
πl
x
l
2
e
ε一
一
州
证明
（
a
）
只需验证
而此问题可归结为一维的情形．
)
"
(
x
)＝
（
=
易知f(x) e-rrx， 是常微分方程 包’ ＋ 2nxu 0
满足u(O()f)1(1的特解．然而f也是满足此条件的方程特解．事实上，
x) (-2们（－）J(-) i\(x) (if')i\ (x) = i2刑xf(x) -2霄xf(x).
第 二 章 FOURIER 变 换
怡
=
=
一个命题，
命题2 . 1 .9
=
=
=
=
=
=
=
1. 则
47
2.1 Fourier变 换的£1 理论
因此，（f)'(x)＋如xf(x) 0. 又 f(t)dt E一霄气t 1.
.
性知f
f
这样，(b由方程解的唯一
）仅考虑ε＝l的情形 设φ（fx) e-e2-.,,-lxl， 下证°J;(x)JR. P(x）. 需用到恒等式2.1.7
(
)
去 亏
恒等式（
2
.
1
.
7
）
可
由对函数ψ（
z
)
dz> eitz 在复平面上以原点为中心， R ( R > 1 ） 为
1
.
半径的上半圆周上做围道积分并运用留数定理而得到．
于是，由（
2
.
7
）
及
结论（
a
)
,
在（← ln e 如｜ 臼 l e - 2.,,-ix · y dy
＝ 儿 （刘∞ 亏 e_ .,,-2 乎 吵 一川 dy
＝ 去 1＝ 亏 （ 儿n e _ .,,-2 早 严 目 dν ｝ d包
＝ 步 才00 � （ ） 号「ulx�l2d e-s .
＝ 去 川；1 2 ）斗00 s ds P( x )
口
2
2
l
x
l
2
l
x
l
的Four
i
e
r
.,
,ε
－
4
.,
,e
’
其相应的φ平均分别称为f
及
φ（
x
)＝
现取φ（
x
)
积分的Abe
l
平
均及Gaus
s
平
s
o
n积
均
由（
2
.
1
.
6
）
及
命题2.
1
.
9
知，它们分别为f的Poi
分和Gaus定理2.s 1.10 如fε£1 (!Rn）， 那么f的Fourier积分的Abel平均与Gaus 平均分
别是f的Pois on积分和Ga
u
s
W
e
i
e
r
s
t
r
as
s
积
分．
即对任意的ε＞0,
(2 . 1 .8)
JJRn f(x) e2霄臼 t e -2时 l x l dx JJRn f( x） 凡 （x -t ) dx =
及 f(x)e2.,,-i
l"
1
由定理2.
1
函
数的Four
i
e
r
积
分的Abe
l
平
均与Ga
u
s
平
.
1
0
和定理1
.
3
.
4
可知
£
均在£1 范数及几乎处处意义下都收敛于f
§
=
f (O)
=
I
=
J JR
=
I
J IR
=
=
=
fu du,
t＝
tE
=
�
=
=
/
=
/
u ( t, E:)
第 二 章 FOURIER 变 换
48
如f ε L 1 (lr ） ， 那 么 f的Fourier积 分 的 Abel平均与Gauss平均
推论2. 1 . 1 1
在£1 范数及几乎处处意义下均收敛到f
φ
）
。
qA
Z
l’
nu
rt飞
rl〈lL
一一
，，
、、E，
2
‘、
，，‘
自
［注2. 1 .3］ 上 面 讨 论 了 £1 函 数f 的Fourier 积 分φ平 均 的 两 个 重 要 的 特 例 ， 即 f
的 Fourier积 分 的Abel平 均 及 Gauss平 均 积 分 φ 平 均 的 另 一 个 重 要 例 子 是Fourier
积 分 的 Bochner-Riesz平 均 ． 对α 》 0， 令
取ε ＝
击， 那 么称
B'R (f)(x)
=
/
J JR n
lx l 1 ,
lxl 注 1
<
f( t ） 产ix·tι （ �
）dt
.Lι
为 f 的 Fourier积 分 的α阶 Bochner Riesz平 均 关 于 B'R 的 LP 收 敛 性 ， 有 下 面 的 两 个
重 要 事 实 （ 其 证 明 可 见 ［9] ) :
(a） 设 1 ζ p 00 且f ε LP(JRn ） ， 那 么
<
ff－斗C白
Jim ll B'R( J ) - f ll P = 0
当 且 仅 当 存 在 与 R无 关 的 正数Gp ， 使 得 对 所 有 的f ε LP(JRn ) ,
ll B'R ( J) ll P 运 Cp ll! ll P (b ) B'R 的 LP一 致 有 界 性 等 价 于 如 下 定 义 的Bochner-Riesz球 形 和 算 子 在 LP上
具有有界延拓：
Tcr f （ � ） ＝ φ 。 但 ）f （ � ） ，
f ε Y (JR勺 ，
其 中 Y(JRn ） 为 Schwartz 函 数 空 间 （ 见 定 义3. 1 . 1 ) .
这 样 ， 对 LP (JRn ） 函 数Fourier积 分 的Bochner-Riesz平 均 B'R 的 LP 收 敛 性 的 研 究
便 归 结 为 研 究 算 子孔 的 LP有 界 延 拓 ． 由 于Y'(JRn ） 在LP(JRn ) ( 1 《 p oo） 中 稠
密 （ 见 推 论3. 1 . 5) , T.白 可 延 拓 为 LP 上 的 线 性 算 子 ， 延 拓 后 的 算 子 仍 记 为 To. . 研 究 表
明 ， Ta 在LP 上 是 否 有 界 则 依 赖 于 维 数η和 指 标α 的 取 值 ， 以 及p 与 η和 α 的 关 系 ．
( I ） η ＝ 1 且α ＝ 0. Bochner-Riesz球形 和 算 子T。 为 LP (JR)
p oo） 上 的 有
界算子．
( II ） η ＝ 1 且α ＞ o. 那 么旦 在 LP(JR ) ( 1 运 p oo） 上 有 界．
( III ） η 川且α ＝ 。 在 此情 况 下 ， C Herz-0:. 1954 年 证 明 了 ， 却 ¢ （
， 在1 )
时 ， T。 不 是LP (JRn ） 上有 界 的 （ ［60］ ） . 对 比 情形 （I） ， 人们 自 然 猜测 ： 当
＜扒
<
(1 < <
<
茹
元
在z
49
§2.1 Fourier变换的£ 1 理论
时， 句 是LP(JRπ）有界的， 这就是著名 的圆盘猜测. 1971年， C. Fefferman[49］否定
了 上述猜测， 他证明 了 ： 对η 注 2， 仅 当 p = 2时， To 才是LP(Rn）上的有界算子．
(IV) n 》 2且 α ＞ 写上 此 时， Bochner-Riesz球形和算子 TaJ = f K 白 的
核满足 K口 ξ L 1 (Rn）. 因 此凡在LP(!Rn) ( 1 运 p 《 ∞）上有界（见［llO］） . 写i 称
为Bochner-Riesz平均的临界指数．
(V) n 注 2且0 ＜ α ζ 号l. 1954年， C Herz[60］证明 了 ， 在此条件下， Bochner­
Rie皿球形和算子Ta:为p有界的必要条件是p ε （耳在瓦’ 汇在20) · 由 此人们猜
测， 上述必要条件也是充分的 即： 当0 ＜ α ζ 号主， η 注 2且p ε （n,:在五， 汇在五）
时， Ta:在LP(!Rn）上有界． 它被称 为Bochner-Riesz平均猜想． 容 易 看 出， 圆 盘猜测
就是 Bochner-Riesz平均猜想在α ＝ 0时的情形
1972年， L Carleson和P. Sj凸lin[30］证明 了 Bochner-Riesz平均猜想在η ＝ 2时
是对的 当η 注 3时， Bochner-Riesz平均猜想至今没有 完全解决. A. Zygmund、 A
P. Calderon、 E M. Stein、 C. Fefferman、 J Bourgain、 T. Wolf、 T Tao（ 陶哲轩）等
著名 数学家在研究Bochner-Riesz平均猜想方面均做 出 了 重要贡献 ．
有关Bochner-Riesz平均的深入研究可见专著［9］ 以及最近的评注［14].
下面讨论， 在什么条件下L 1 (IRn）函数f的Fourier积分a. e . 等 于f， 即Fourier 变
换的反演问题．
定理2.1.12 如果J, f ε £l(JRn）， 那么
州 ＝ 人 f (t) e2-rrix · t dt 、 a.e. x E !Rn .
特别地， 上式在f的Lebesgue点处成立．
lim S(x，ε） = f(x） . 另一方面，
证明 由推论2.1. l l知， 对 a.e. x ε !Rn, ε→O
由（2.1.9),
：马 S(x,t:2 ) ＝ 出 f (t俨
因f ε £l(JRn）， 由Lebesgue控制收敛定理得
/ f( t)e2-rrix ·t ε→
f(x) = Ii吨0 S(x， ♂） = }IJln
lim0 e-4π干 ltl2 dt = J111/ n f ( t)e2-rrix tdt. 口
I注2.1到 如果f, f ε £ 1 (!Rn）且f连续， 则定理2.1.12的结论处处成立．
［注2.1.5］ 由 于 （e- 2时l·l）�（x) ＝ 凡（功， 由［注2.1.4］知
产 lx l ＝
凡 。俨
*
儿
儿
第二章 FOURIER变换
50
处处成立 令x=O，则有 JlR" Pε（t)dt = 1. 同时， 由于
e-2πε1x1 = JIJHin 凡（t）ε－2nix·(-t)dt = JJHin 凡 （ t)e-2nix·tdt,
因此得到 ）（x)＝ 产εlx(JR.l n）. 如果f》0，且f在Z=0处连续，那么fε£1 (JR.n).
由此得 川Z 儿n f(t)
特别地，证明儿＂f(首先，由乘法公式（
x) 2.1.4）和定理l.3.4(c）并注意歪LlJ在z=0处连续’有
li→mU JJHin f(t)e 2πεltldt = εli→吨U JIJHin (t）凡（t O)dt εli→吨U u(O ）= f(O）
ε
因f注0， 由Fat}(t)odu引理t = �� }(t)e-2m;;ltldt } e-2m;;ltl .
1n 1 1n
1n (t) dt = (0)
由此， εL (1Rn)(.L1 函数Fourier变 换的唯一性） 如果fi , h ε L1 (IRn）， 且对任意口
的ZεIR证明n, [i令f=f
(x) ＝ 启i -h（x）. 那么f那么i ((xx)=)＝h(元（xx)）, 一a.e元. （zxεIR) n0.因此， 由定理2.1.12,
州＝ 1.. f(t)e2n叫 ＝0, a.e. x ε!Rn.
口
从而fi (x)= h(x), a.e. xε!Rn
／
百
定理2.1.13 设f ε L1
/
1
=
:(
�
j
f
定理2.1.14
f
，ε
=
2.2 Fourier 变换的£2理论
51
§
§2 . 2
Fourier变换 的 £2理论
§2.2.1
2
2
1
n
n
n
定理2.
2
.
1
如
）
，
）门L
那么fεL
（
（
�
�
）
（
，
�
且
fεL
l
f
f
l
l
l
\
2
·
2
2
i
2
i
n
n
n
n
（
�
（
�
证明
对f
ε
L
（
�
）
门
L
（
�
）
，
令g(
x
)
=
f(
x）
，
则gε
L
）门L
)
,
g，则由定理1.1.2和 定理2.2 1.2,hε£1 （�n） ， 且
f
且g J. 另一方面，如记h=
h
.
2
.
2
.
1
·
(
x
)
(
x
)
》o
g(
x
)
=
f(
x
)
f(
x
)
[
f
(
x
)
[
(
)
因f, g ε£2， 由命题1.1.3(a）知h在�2n上一致连续．应用（2.2.1）和定理2.1.13，有
1 11 ＝ 儿 ［｝(（tx)g)[（一d快
x ＝ 儿儿h(x)d(tx)!2dth(=O)
if 1
�n J
口
2
2
2
1
n
n
现可以在£
）
中
定义Fou�
i
e
r
变
换．注意到£
n
n
(
!R
!R
在
）门L
(
）
1R
£
(
!R
(
）
中
稠
2
2
2
1
密，理2.对每一个g
ε
£
范
数收敛到g.
由定
门£
，
使得{
g
}
£
}
依
£
，
可取{
g
k
k
2. 1 ,
k -gj)1'2 = l 9k -92 j ln2 →0 (k, j →∞） ．
｜2 弘n一岛1） 中 的Ca12 =ulc(h9y列，从而｛
故{[Jk现说明对每一个gεL
} 为£ (JR 2(1Rn), g在几乎处处意义下是唯一的
豆叶在£ (JR ） 中 存在极限g. 事实上，如存
2， 使得当k→∞时， l 9k -9112 →O且lihk -g[[2 →0. 分别
在{记｛ggkk}和｛}, {hkh}k}在££1 2门£中的极限为抖阳，则
1 9 -hll2 ＝｜《｜陆｜豆 － 民1矿k l122 ++ ll hh -hklhklll22 ++ ll 9fJkk -hhklkil'22
-2 n efkl 2 + l h -hkll2 + l 9k - 9112 十 ｜ 问 －9112 →0 (k →∞）．
《1
1
9
这样，对9 ε£ (JR ）， 称豆为g的Fourier变换，并记为g. 由定理2.2.l得到
｜ 剑12 ！�旦。 ｜ 弘 1 2 = kl��。 l 9kll2 1 91 2· (2.2.2)
Plancherel定理
=
*
=
=
}
·
=
=
�
!II� .
=
c
c
=
=
、‘E，
，
2
（
’
rJ
Ou
r－J飞IL
一一
）
Z
，，‘、
ι～
rJ
第二章 FOURIER变换
52
2
函
中
n）
�
（
2
由前面的讨论可知，£
换．
变
r
e
i
函数的Four
中
r）
J
(
至此，我们定义了L
i
（
�
n）
，
通常如下
u
c
h
y
列的选取无关，故对fε£2
er变换与L nu中Ca
数f的选取CaucFourhiy列是方便的：
对kεN，令 lxlζ k,
> k.
x
l
l
定义2.
2
.
1
设T是Hi
l
b
e
r
t
空
间X到自身的有界线性算子.
T称为x上的固算
子，如T满足：
((ab)) f£(l TxTl) == lX,x\I, 'ti zεX;
T的值域．
记
）
的范数且f£(
T
这里定理2.｜ －2｜.为2 X中内积所诱导
Fo
u
r
i
e
r
变
换是£2
(
JR
n
）
上
的西算子．
(
P
l
a
n
c
h
e
r
e
l
定
理
）
证明 为方便， 记Fourier变 换为§. (2 . 2 . 2） 表 明， F是£2 (JRn ） 上 的等距算
2
2
(
JR
n
）
｝
.
显
因此只需验证f£(
§
)
=
L
(
1R
n
）
.
令E
=
P£(
§
)
=
g
ε
£
2
0
(
k
∞）
．
儿
－g
(
1R
n
）
的
闭子空间．
事实上，任取{
f
k
}
E且｜
然E是L
→
→
这
l
｜
2
里gε£2(JRn）. 由于
l fm2-f(IRnn）l中2 =的Cal (fumch-fy歹un.)1记其£2
12 = l f极m 限为f-fnl a2.→0从而 (om是， η｛儿→∞）｝ 的£，2极限．
从而{样g(x)=fk}为fo(£x) a.e. zε]Rn，因此gε E
这
l
2
(
1R
n
）
的
闭真子空间，由Hi
l
b
e
r
t
空
间的正交分解定理，
那
么存在gε
如果E是L
£定理2.2(JRη ）2＼.3E）满足1， 对任意的fε
191 2 > 0，使得对任意的
fεE有(
f
,
g
)=
0.
由乘法公式（
见
下面的
£2(JRn） ， 有
kn J州x) dx =kn ](x）而dx = 0.
所以 l gl 2 =II言1 2 = I 儿 f(x）言（叫dxl = 0.
11 1
故E = L2(1Rn) . 法公式，现给出它的证明 口
此与 在定理2.
l gl 2 > 0矛盾．2.2的证明中，我们对£2函数运用了乘
定理2.2.3 对任意的f, g ε £2(!Rn）， 有
子
c
:��
{.§
:
§2.2
53
Fourier变 换 的 £2 理 论
( a) （ 乘 法 公 式 ）
ln }(x)g(x)dx = ln J(x)[J （ 喇叭
(b) ( Fourier变 换 的Parseval 等 式 ）
l" j(x：丽〕dx = 1" }(x）�也
( 2.2.3 )
( 2.2叫
证明 显然（2.2.3）对于LI 门 £2 中 的 函 数是成立的 任取f ε L2(1Rn ） 及 g ε
LI 门 £ 2 ， 则存在 ｛fk } c L 1 n L2 ， 使 旬出。 ｜ ｜儿 － f ll 2 0. 从而 ｛ 儿 ｝弱收敛于f
同理，｛ ｝亦弱 收敛于J. 这样由 乘法公式 （ 2.1.4 ),
=
h
1" f(x)[J(x)dx = kl峦0 1n fk
＝ ；江 1, h
巾 ＝ 1n j〔州 dx .
即 （2.2.3）对于g ε £ 1 门 £2及f ε £2 (JRn ）成立 现设f, g ξ £ 2 (JRn ）且取｛gk }
L 1 n L 2 ， 使得Jo－→口。
Um ll9k - 9 1 ' 2 0. 运用 同 样 的 证 明 思想， 有
1n }(x)g(x
=
= kl� 1n }(x)gk (x)dx
= ｝�1! 1n J (x)[Jk (
c
至此证 明 了 乘法公式对于£2 函 数仍然成立
而L2 ( lr） 中Fourier变换 的Parseval等式可运用 Plancherel定理和 下 面 L 2 (1Rn )
的极化恒等式得到 ：
（归） =
�｛1 1
+ gll� 一 llf - gll扫II! + igll： 一 仲
由 Plancherel定理知， Fourier变换是L2 (1Rn ）上的 国算子． 因 此在£2 (JRn ）上存
在Fourier逆变换．
定理2.2.4 对任意的 g ε L 2 (1R＂ ）， 令g- -1 (g) (x) ff(g) (-x） . 则g- -1 为£2
上Fourier逆变换．
证明 只 需验证对每一个f ε L 2 (!Rn ) , g-- 1 (})(x) J(x), a.e. x ε IR＂ 即 可．
=
=
第二章 Fou阳ER变换
54
2
1
nL
L
,
首先，取fε£1 门£(§2，-l那么对任意的gε
(j), g) = kn §(ff()(t-)ex）_而z.,,i(-dxx)-tdt页可dx
＝ 儿 而f(t)d
现对任意的(§9-εLl (fz)（,�g)n=）， 取{l兑gk（§}ζL－1 (f1 )门£, gk2) ，=使{l!_°!,g_.k }(按f, gLz)(Rn(）f范, g数4). 欠敛于g (因此2.2.5)
k
k
k
2.2.5）表明，对任意的fε£1门L2, § 1 (f)(x) f(x), a.e. x E Rn. 由£1 门£2的口
(稠密性便知定理的结论成立
n
z
R
)
,
对任意的fεL
(
［注2.2. l］ 定理2.2.4的结论等价于：
§2f(x) = f(-x) a.e. xεRn. 2 n
.
R
如果f(
x
）
三0,
2函数Four
i
e
r
变
换的唯一性）
设f
ε
L
(
)
(
L
贝�f(x) 0 a.e. x εJR.E二Ln2(.1Rn), g εL1 (1Rn）. 则(f g)(x) = f(x) ·g（叫 “.xεJRn.
证明
2
1
0.易知在£2的意义下，（
儿
nL
，
使
得kl！已
取{
L
fk
-fl
}
＊g)
l
f
l
k
2
收敛于σ－；；）
.
另一方面，
x
由gε£1
)
，
有（
g(
x
y;
）且
g
;
)
(
x
)＝λ（
副1
9
l
1
?J
l
·
＝
1
因此当k→∞时，
l h?J - f?Jl z （ 儿 ｜λ（x)-f(x)l2jg川x) 1/2 运1191 1 λ －fl 2 →0
2
2
由£
.
）
x
(
g
)
限的唯一性知，
x
极
故（(f 五百g)(x)） （=x)＝λ（
）在£
仰
）
x
的意义下收敛于f(
口
·
.
.
e
a.
xεRn
)
x
)
g(
x
f(
1
JR.
n
最后我们给出LP(
<
p
<
2）
中
函数的Fo
u
r
i
e
r
变
换的定义和性质．
)
(
1
记（
L
+ L2 ) (1Rn ) = {f: f = Ji 十九 其中 Ji εL 1 ( 1Rn ) , fz εL2 (1Rn ) ｝.那么
n
2
1
f的Four
i
e
r
变
换定义为：
J;. + h.
对任意的fε（
L
L
)
,
)
(
1R
j=
对于l<p<2，且fεLP(JR.n）， 令 lf(x)I 注： 1,
l f(x) I < 1 ,
=
/ /
J IR＇‘ J JRn
=
=
推论2.2.5
=
定理2.2.6 如f
*
c
=
=
*
z，
ft、
、
．
．
．
）
rtdnu
r’··EJ、‘
＝
）
2
，，
，‘、
’A
rJ
+
§ 2.2
55
Fourier变 换 的L2 理 论
E
且h = f - fi . 则Ji ε L1 (1Rn ) , f2 L2 (JRn ）， 故f ε （L 1 + L z ) (!Rn ） . 这样LP (!Rn ) c
(L 1 + L z ) (!Rn ）. 因此L P (!Rn ) (1 < p < 2） 中 函 数 的Fourier变换是有意 义 的 ．
［注2.2.2］ 对 于 LP (!Rn ) ( 1 < p < 2） 中 的 函 数 ， 其Fourier 变 换 是 确 定 的 ． 事 实
上 ， 设f ε LP (!Rn ) ( 1 < p < 2）且f = Ji + h = g 1 ＋ 白 ， 其 中 fj , gj ε Li (JRn ) (j =
1, 2） . 那 么 Ji - g1 = gz - h ε L 1 门 Lz 由 Fourier变 换 的 唯 一 性， 知
Ji - § 1 = h - g1 = gz - h = §2
fz.
f.
定理2.2.7 如f ε L 1 (IRπ）且g ε V(!Rn ) ( 1 《 p 运 2）， 那 么 对 a.e. x ε !Rn ,
(J * g) (x) = f(x) · g(x) .
证明 令h = f * g ， 那 么 h ε V (!Rn ）. 因此h的Fourier变换是有意 义 的 分
解g = g1 + gz ， 其 中g1 ε L1 (JRn ） ， 如 ε L2 (1Rn ）. 这样， 对 a.e. x ε !Rn ,
从 而 f1 + fz = § 1 + §2
=
h(x) = (J * g1 nx) + (J * g2 nx) = J(x) [§i (x) + §2 (x)] = f(x) .§ (x） .
口
定理2.2.8 ( Hausdorff-Young 不 等 式） 设1 《 p 《 2， 则F是LP (!Rn ）到LP' (!Rn )
的有界线性算子 ， 且还有 ll§ f llp’ ζ llfllp·
证明 由 定理2. 1 . 1 和Plancherel定理， F分别是（ 1, oo） 型 和 （ 2,2）型 的， 且
11§ 11( 1 , oo )
=
ll§ll<z, 2 ) = 1.
再应用 Riesz-Thorin算子 内 插定理知Hausdorff- Young不等式成立．
口
［注2.2.3］ 尽 管 对 于LP (IRπ） ( 1 《 p 运 2） 中 函 数f， 已 定 义 了 其Fourier变 换J,
但 当 f f/. L 1 (1Rn ） 时3 不 能 写 f(x) = JJRn f(t)e 2 πix-t dt.
§2.2.2
L2 ( IR2 ） 中Fourier变换的不变子空间
对任意的f ε L2 (JR勺 ， 有
这样
儿 ｜川) 1 2 dxdy = 1= r 12" If ( 1· 叫 r sin e) i 2 d帅 ＜ ∞
价） =
12" IJ (r 叫 r sin 8) l 2 d8 < oo
a.e. 内 （O, oo) .
(2.2.6)
第 二 章 FOURIER 变 换
56
>
由 （2.2.6）还说 明 ， 对几乎所有的T 0, f(r cos B, r sin B）作为0的 函 数在 ［0, 2叶 上是
平方可积的 现将f( r cos () , r sin （））关于0展开成Fourier级数， 其Fourier系 数为T的
函 数， 记为｛fk (r）｝ . 即
f (r cos （）、 r sin （）〕 ～ 艺 fk
其中
儿 （←
>
材
如
(r rs叫 ikB
f cos () ,
这样， 对几乎所有 的T 0,
π
只 r cos （） ’ r si
f｜
（：巾叫
一主 以叫
kε Z
（π → ∞）．
且 由 Parseval等式 ，
主
l fk (r) l 2 ＝
材
如
If(r cos (), r sin B ) I
>
a.e. r 0.
( 2.2. 7 )
由 （2.2.7）并运 用 Lebesgue单调收敛定理，
J兑 f T
注意到｛
主
｜儿 （r) l 2 dr ＝
＝
eikB ｝的两两正交性，有
儿2 1 贝 x ,
＝ 儿2 ［ £
1o= fo
言
［
叫 ［丰 才
贝 （x’ y） 一
=
材 fo
去
儿 （r)
2贺
川 0叫 一
∞
2贺 ｜
＝
fk
00
r
llfll� ·
2 1f
If (r 叫 r sin B) I 灿
( 2.2.8 )
§2.2
57
Fourier变 换 的 £2 理 论
对于k ε Z， 记z = reiO及
｛
巧2 二 g ε L
) : g(z) = f(r)eikO a.e. ’ f 可测且满足
fo
00
r\f(r)
那么有下面的结论：
定理2.2.9 L 2 (JR 2 ）有如下 的直和分解：
( a) L 2 (rn:.2 ) ＝ 汇汇 ∞ ＠码，
(b） 每个硝 在Fourier变换下 不变． 特别地， ff（硝） ＝ 对
证明 由 ｛ei kO｝ 的两两正交性立刻得 出 ｛硝 ｝是两两正交的．
现说明 每个SJ�都是闭 的 事实上， 任取点列｛gn } SJ � ， 并使其在£2 (JR2 ） 中
收敛到 90 · 记
C
川
那 么£2(1R＋ ’ rdr）按 内 积( f, g) = J000 f(r)g(r)rdr成为Hilbert空 i阐 ． 由巧2 的 定 义，
对每个η， 不妨记9n (z) = fn (r)eikO， 其 中 fn ε L 2 (IR+ , rdr） . 由 于{gn ｝为£2 (JR2 ） 中
的Cauchy列 ， 因此Un ｝亦 为£2 (IR+ , rdr） 中 的 Cauchy列 ． 事实上， 对任意 的m爪，
00 2π
l\9m 一 队\ll2c1R2) 1 才
=
叫
＝
∞
｜ 儿（r) - fn (r) \ 2
← 圳f
m一儿｜
由 £2 (lR+ , rdr） 的完备性知’ 存在lo ε L2 (IR+ , rdr）， 使得Un ｝依£2 (lR + , rdr） 范数收
敛到fo. 故｛gn ｝依£ 2 (JR2 ）范数收敛到fo(r)ei kO. 从而现为闭子空间 最后 由 （2.2.9)
知， ｛硝｝？∞ 张成 的线性子空 间 的 闭包包含 了 £2 (JR2 ） . 这样证 明 了 结论 （ a) .
现给 出 （b） 的 证 明 首先说明ff（巧�） c 巧� － 设 g ε 巧5 门 £ l (JR勺， 那 么 存
在 f(r） ε L2 (IR+ , rdr） ， 使得g(z) = f(r)eikO a.e. z ε rn:.2 . 任取¢ ε （0, 2叫， 令h(z) =
g(e均z） . 那 么
h(z) = g(e＇φ z) = f (r)e i k（ φ＋ o) e ik与 （z) a.e. z ε rn:.2 .
(2.2.10)
=
注意到Fourier变换与旋转的可交换性， 由 （2.2.10) ,
g(e＇气 ）
= h （ �） 二 （严百）（�） = ei勺（�），
'V z ε rn:.2 及 ¢ ε ［O， 如l
( 2.2. 1 1 )
在（ 2.2. 1 1 ） 中 取� ＝ r， 得
g(re i申） = g(r)ei k币， 'V ¢ ε ［O, 27r] .
(2.2.12 )
第 二 章 FOURIER 变 换
58
下面验证g(r） ε L 2 (IR+ , r叶） 注意到9 ε £ 2 (JR勺 ， 应用 （2.2. 1 1） 和 （2.2.12）， 有
∞ ＞ 儿 I § 附� ＝ 儿 ｜ 川的）1 2 d�
2�
= 1 = r fo I 附加。） ） ｜ 伽 ＝
.
叫
咐 （r) i 2 dr .
E
这样9 ε 码 由 于咐 门 £ 1 (JR2） 在树 中 稠 密3 因此对任意 的 g ε 码 ， 存在 9n
巧� n £ 1 (IR勺 ， 使得｛ gn ｝依£2范数收敛到g. 自 然地， ｛ §n ｝按£2 范数 收敛至 g . 因
为 ｛ gπ ｝ c 硝 且月2 闭 ， 故9 ε 屹 从而 § （屹） ζ 巧� －
最 后 说 明ff（硝） ＝ 巧�－ 对 任 意 的 g E 的？ 一方面有 §g ε 的 ． 另 一方
面， 由 Plancherel定理， 存在h ε £2(JR勺， 使h(z) = (ff -1 g) (z）. 而 （ff 1 g)(z) =
(ffg)(-z） ε 硝． 故h ε 时且g = h.
口
下面定理具体 回 答 了 Fourier变换是如何作用于码 的 ． 为此我们先给出 Bessel
函 数 的 定 义 ． 函 数 ♂ s in 的 Fourier系 数 k (t）称为 B essel函 数． 即 ：
t ii
占 （t) ＝
π
ι
L.n Jol
ε
it
J
不难验证， Bessel函 数满足如 下基本性质 ：
Jk (t) = (- l ) k J k (t),
k E三 z.
(2.2.13 )
定理2.2. 10 设f ε £ 2 (JR.2）且f(z) = fo(r)e ikil, z = rew 那么 f(w) = Fa (R)ei忡，
其 中w = Re叭
马 阴） = 2 i k
fo(r
n 1=
¢
证明 由 定 理2.2.9知， f ε 巧；． 如记w = Re icf>， 那 么 f(w ) = Fo(R)e ik
为计算 Fo(R）， 不妨假设f ε 巧� n £ 1 ( 2 ）. 令w = Re io = R(l, 0）， 则w . z =
Rr(l, 0) (cos 8 , sin 8 ) = Rr cos 8. 这样
JR.
马阳） ＝ f附 ＝ 1= fo(r
＝ （ 一i) k 2霄
＝川
／ π e2刑Rr si
／Jo = fo (r ） �l 二
L.7r Jo
一 叫8
�咐
J
由 （2.2. 13）式， 即可得Fo(R） 的 另 一表达式． 由 于硝 n £ 1 ( JR.2） 在 屹 中稠密， 通过标
准的方法即知定理的结论对任意的f ε 硝成立
口
59
§2.3 复测度的Fourier分析
§2.3
§2.3.1
复�9!1］ 度 的 Fourier分析
复测度
记IB为JR.n 上 的Borel代数． 称集合 函 数μ是IB上 的 复测度， 如μ满足
(i) µ : IB → C ;
(ii) µ (0) O;
( iii ) 可列可加 性， 即
=
µ(
c
LJ 乌 ） ＝ j=艺 µ （Ej ) ,
｛乌 ｝；二 1 IB 且 当 3 泸 州， 乌 n Ek = 0.
l
很清楚， IB上的有限测度就是非负 （ 实值 ） 的 复测度．
在这一小节 中 我们 将 回 顾相关于复测度的 几个事实 （ 命题2.3.l～命题2.3.5),
其证明可见［94］ 或［54] . ( [94］及［54］ 中 结论是在局部紧Hausdorff空 间 上给 出 的， JR. n
只 是它 的特例）
1=l
命题2.3. 1 设μ是IB上的复测度 ， 记
lµl (E)
＝ 二��j 2二 lµ(Ej ) I ，
乌εs
则 有下面结论：
( a) lµI 是 也上 的 有 限测度， 即 lµl (JRn ) < 00.
(b） 对任意的E 巳 绍， 有 lµ(E) I 运 lµl (E） 《 lµl (JRn ）， 即μ在IB上一致有界 ．
设μ为结上 的 复测度． 如 对任意的E ε 绍， 有
sup lµl (K) = lµl (E) = inf lµl (V),
(2.3.1 )
则 称μ是 复 正 则 测 度， 其 中 上确 界遍取所有含在E中 的 紧集K， 而 下 确 界取 自 所
有包含E的开集v. (2.3. 1） 中第一个等式称 为 内 正 则 条件， 而第二个等式称为外
正 则条件. IB上复正则测度 的全体记为A'(JR.n ) .
型圣圣l 设f ε £ 1 (JRn ）. 对于E ε 绍，令
ν州 ＝
L f(x)dx.
第二章 FOURIER变换
60
那么（见［95])
－A
nu
r－
－‘1l‘、
一一
、‘E，
，
E
，，t、
α
ro
M 〕 ＝ 1川 队 E E 23.
从而I/j E三 .4 (!Rn）. 以此方式， L1(1Rn）可嵌入._4(!Rn）中作为其子 空间．
例2.3.2 设α ε !Rn， 定义在α点的Dirac测度也为： 对于E ε 窍，
如 α ε E,
如 α 1- E.
当α ＝ 0时， 简记为b. 很明显， Jα 巳 ._4(!Rn) .
设μ ε .4 (1Rn), m是23上的F有限测度． 如果对于任一个使得m(E) = 0的
集E ε 绍， 都有µ（E) = 0， 则说μ关于m绝对连续， 记为μ 《 m. 如存在A E 绍，使
得µ（A) = m(Ac ) = 0 ， 则称μ和m为相互奇异测度， i己为µJ..m.
命题2.3.2 ( a) ( Jordan分解定理） 设μ ε ._4(!Rn）. 则μ有下面的唯一分解：
µ = µ1 一 µ2 + i(µ3 一 µ4 ),
其中的 ξ .4(!Rn），的 注 0 ( 1 《 j 运 4）. 此外＇ µ 1 土µ2 及µ3上µ4 .
(b) ( Radon-Nikodym定理） 设μ ε .4 (!Rn）且m是23上的σ－有限测度． 如μ 《
m， 那么存在f ε L 1 (m）， 使得对所有的E ε 绍， 有
μ 问 ＝ l fdm.
此外， l µ l (!Rn ) = fntn l f l dm = l fl l u(m) ·
( c) ( Lebesgue分解定理） 设μ ε .4 (1Rn), m是23上的σ－有限测度． 则存在唯一
的 阳 ，的 ε .4 (1Rn）， 使得μ ＝ μα ＋ 的， 其中μα 《 m且µsJ..m.
(d） 在.4(!Rn）中定义加法和数乘如下：
（μ ＋ ν）（E) = µ(E) ＋ ν（町， μ， ν ε .4 (1Rn), E ε 23;
(cµ)(E) = cµ(E), E ε 窍， c ε c
则.4(!Rn）是C上的向量空间． 此外， 记 l µ l -4 = I 叫 （IRn）， 则 I · 1 1 4 是范数， 称为μ的
全变差范数． 特别地， .4 (1Rn）关于 I · 11 4 是Banach空间，
命题2.3.3 设μ是23上的复测度， 则存在Borel可测函数h， 满足 l h (x) I = 1在IRn
上处处成 立， 使得中 ＝ hdl µ I .
复 测 度 的Fourier分析
§ 2.3
61
命题2.3.4 ( Riesz表 示 定 理） 对Co(.!Rn ）上的任一有界线性泛 函t， 都存在唯一
的川 .4t（则 ， 使得
£(!) =
l,.
E
f Co( .IR勺 ，
J(x)dµ(x),
且 llµllAt = 11e11 .
现 回 顾.，／｛（.!Rn ） 中 测 度 的 乘积（可见［10] ) . 设 µ ， ν ε .,/t(.!Rn ） . 以µ（A）ν（B）作
为A × B的面积， 可定义JR.n × JR_n 上的外测度Y ， 其 中 A, B ε 123. 通过Caratheodory
条件， 确定 了Rπ × JR.n 上 的σ－代数�IR" xlR饨 ’ 记μ × ν为川 在�JRn 难n 上的限制， 称其
为 由μ， ν生成 的乘积测度． 类似地， 记�]Rn ×JRn 上所有复正则测度为.4t ( JR.由 × JR.n ) .
命题2.3.5 设 µ ， ν ε .,/t(JR.n ）， 则
(a) µ × ν ε .，／｛ (JR.n × JR.n ） ， 且对任意 的A, B ε 绍， 有
( µ x v)(A × B) = µ (A）ν（B) .
(b) ( Fubini定 理） 设f是JR_n × Rπ上的Borel可测 函 数， 那么 对每一个x , y ε JR_n '
函 数f(x, ·）和！（ · ， ν）均是JR_n 上的Borel可测 函 数． 如 果
儿儿
fl
n n l 川 ldlν ｜ ，
之一为有限？ 有
§2.3.2
儿儿
ll
叽
n xJRn Jd（µ × ←
n I Jld
n
n灿
＝
儿1
n n jdv
测 度 的 卷积
E
设E ε 123. 记 Ec 2 J = { (x, y) JR.n × JR.n : X ＋ ν ε E｝ . 那 么 Ec 2 J 是JR_n × JR_n 中
的Borel集 事实上， 令E(ll = E × JR_n ， 则 Ec1J是JR_n × JR_n 中 的Borel可测集． 作
映射ψ ： （x, y) ....... (x y, y）， 那么ψ是JR_n × JR_n 到 自 身 的 同胚映射． 因此， 如能证
明 Ec 2 J 是Ec1J在ψ下 的像 ， 从而 由 Ec1J 的可测性便知Ec 2 J可测－
任取（x, y） ε Ec1J， 由 于（x - y) + y = x E， 故ψ（x, y） ε Ec 2 J · 另 一方面，
对任意的件， y） 巳 Ec 2J ， 则 （x ＋ ν， y） ε Ec1J ， 且 （x, y) ＝ ψ（x + y, y）. 此说明Ec 2 J 确
是Ec1J在¢下 的像
E
第 二 章 FOURIER 变 换
62
定义2.3.1 设μ， ν ε .fi(!Rn ） . 测 度川岛的卷积μ υ定义为
（μ ＊ ν） （E)
= （µ × ν）（E(2) ), \:/ E ε 空3.
定理2.3.6 设μ， ν ε .fi(!Rn ） ， 则
(a） 川 ν ε .,4l (!Rn ) .
(b） 对任意的E ε �和Z ξ !Rn ， 记E - x = {y - x : y ε E｝， 那 么
川 （E) =
ln v(E 一 州叫 ＝ ln µ(E - y叫
但
µ ＊ ν ＝ ν ＊ μ．
(d） 对!Rn 上任意复值有界Borel可测 函 数f,
( )
c
I J (x)d(µ ＊ ν） （x) = /llli n /lll: n f(x ＋ ν）dµ(x)dν（y) .
J illi "
J
J
( 2.3.3 )
(e ) IIµ ＊ νllAt 《 llµllA' ll ν llA' ·
证明 （a） 的 证 明 ． 首先说 明μ ＊ ν 是�上 的复测度． 仅 需验证μ ＊ ν 满足可列
可加性． 设 ｛ 乌 ｝；二 1 c �且 当j ＝；丘 k时，Ei Ek = 0. 记E = U'f=1Ej ， 那么 由 定
义2.3. 1和命题2.3.S(a） ， 有
n
(µ * v) ( E)
=
(µ ＊ ν） （ U'f= 1 乌） ＝ （μ × ν） （
＝ 艺 （μ × ν）（（Ei ） 仅 ） ） ＝
J=l
u；二1 (Ei ) (2))
汇 （μ ＊ ν） （ 乌 ）
J=l
下 面 说 明μ ＊ ν是 正 则 的 ． 我们仅验证μ ＊ ν满 足 内 正 则 条件， 外 正 则 条件
的验证是类似的 由Jordan分解定理（命题2.3.2(a））， 不妨假设μ， ν均为测度． 任
取E ξ 绍， 显然有
sup（µ ＊ ν ） （K） ζ （μ ＊ ν） （E),
其 中 上确界取 自 一切紧集K c E 另 一方面， 由μ × ν的正则性（命题2.3.5 ( a））， 对
任意的ε ＞ 0， 存在紧集F C E（ 匀 ， 使得
（μ × ν）（F)
> （µ × ν）（E(2） ） 一 ε－
记cf> : (x, y) ,___. x + y是!Rn × !Rn → !Rn 的 映射． 令H ＝ φ（F）， 则 有
H = cf>(F) c ¢(E( 2 ) )
c E.
§ 2.3
63
复 测 度 的Fourier分析
由¢的连续性， 知H是]Rn 中 的 紧集． 注 意 到 F e 扩 1 (H)
记H在¢下 的原像， 有
（μ ＊ ν） （H) = （µ × ν） （H( 2 ） ） 》 （μ × ν）（F)
c H(2 ） ， 这里扩 i (H)
> （µ × ν）（E(2 ) ) - c = (µ ＊ ν） （E) -
i:: .
因此 sup（µ ＊ ν） （K) = (µ ＊ ν） （E）， 从而μ ＊ ν满足内 正 则 条件．
(b） 的 证 明 ． 设E 巳 笼， 那么
JIR"
( 2.3.4 )
（μ ＊ ν）（E) = I χE(x)d(µ ＊ ν） （x),
这里χE记E的特征 函 数． 另 一方面， 注意到（x, y） ε Ec 2 ） 仨斗 l x + y 巳 E， 因此
1 n χE问 忡， y)d（µ × ν）
J1JJRn×JR_
＝ 儿 x JRn X E 忻 州（μ × ν）
（μ ＊ ν）（E) = （µ × ν） （E( 2 ) ) =
注意到 lµl (JRn ) , Iνl(JRn )
儿
<
00， 由 Fubini定理（见命题2.3.5(b ）） 以及（2.3.4）， 得到
n χE(x） 仙 ν） （x)
＝ n n χE 川
=l
χ 加 y)dv(y)dµ(
n
儿儿
儿
( 2.3.5 )
固 定Z ξ ]Rn ， 贝�χE(x ＋ ν） ＝ χE - x (y ）. 因此， 由 （2.3.5）知，
JJRn JJRn
JJRn
（μ ＊ ν）（E) = I l χE(x ＋ ν）dv(y)dµ(x) = / v(E x)dµ(x) .
同 理可证
ln
µ (E 一 y)dν（y
川 但） =
这样得到结论（b）. 而结论（c） 是（b） 的 直接结果．
(d） 的 证 明 ． 由 （ 2.3.5） ， 对]Rn 上 的任何简单Borel函 数ψ， 亦有
JlJRn ψ（x)d（µ ＊ ν） （x) = JJRnI JlRη ψ（x ＋ ν）dµ(x )dv(y) .
( 2.3.6 )
� I JJRnI fdµII : f ε Co (lRn ) � ·
( 2.3.7)
现设f是]Rn 上 的复值有界Borel可测 函 数， 则存在简单Borel函数列 ｛ψd 一致
收敛于f. 注意到μ， ν ε At"(JRn ）及（2.3.6） ， 由控制收敛定理即可知 （2.3.3）成立
(e） 的 证 明 ． 应用命题2.3.3， 可得 以下 事 实 ： 对μ ε At"(JRn ) ,
llµllA' = lµl (JRn ) = sup
Il l 运 1 \. I
1本书中记号“ 仨＝争” 表示 “ 当且仅 当 ”
J
第 二 章 FOURIER 变 换
64
由 （ 2.3.2）和 （2.3.7 ）， 得到
I儿
；�,Pa 向 ＊ ν）
7�� \ ln ln 忻 州 阳 （y) I
运 � 儿 ｜仙
7
｜｜川11.4'( =
=
叫
口
应用 （ 2.3.2）可得到 下面的结论：
推论2.3.7 设 m 是�上平移不变的σ－有限测度， μ， ν ε Al(IRn ）且μ或ν关于m
绝对连续， 那么μ ＊ ν关于 m 也绝对连续
［注2.3.1］ 可 以证明， 测度卷积还满足结合律 、 关于加法的分配律． 如视测度
卷积为Al(IRn） 中 的乘法， 那 么Al(IRn）是C上有单位元的交换Banach 代数， 其单
位元正是Dirac测度b （见 习 题二 第9题）． 在第一章 中 我们 已说明£ 1 (JRn）关于通常
的 函数卷积是C上的交换Banach代数， 但 它是无单位元的（见［注1.1.1］）. 由 此可
见L 1 (1Rn）上通常函数卷积与Al(IRn）上测度卷积之间 的本质区别
§2.3.3
函 数 与 测 度 的 卷积
定理2.3.8 设μ ε Al(IRn ） . 如f ε V'(IRn ) ( 1 运 p 运 ∞）且是Borel可测 函 数，
则积分
( 2.3.8 )
(f * µ) (x) : = / f(x - t)dµ(t)
J JRn
在]Rn上a.e.存在（关于 Lebesgue测度）． 且 II! * µllp 运 llfllpllµllA't·
证明 设f 》 O且μ为非负Borel现�度， 则 （2.3.8） 中 的积分在]Rn 上有意 义（可能
取＋∞） ． 由 Minkowski不等式， 得到
p
/p
）
dx
f(x
II! (· - t) llpdlµJ (t) = llJll P IJµllA't ·
川
I
I
JRn
从而，(f * µ)(x) < oo a. e . x ε Rn . 对于一般情形， 考虑、 I l l 和 ｜ μ ｜ 并应用Fubini定 理
即 可，
注 意 到 ， LP (IRn ) ( 1 运 p 运 ∞）本质 上 是Rn 上p次Lebesgue可积 函 数等价类
的 集合， 其等价关系 是 以 “几乎处处相等”（关于Lebesgue坝。度）来确 定 的． 换 言
( JJRIrJn I lJRn
一
II
r
ζ1
口
§ 2.3
65
复 测 度 的 Fourier分析
=
之， 人们通常所说的£P (ffi.n ） 空 间 实 际上 是 关 于 子 空 间 N { f : llJll P = 0｝ 的
商 空 间 £P (ffi. n )/N， 且它关于£P (ffi.π）／N上的范数成为Banach空 间 （ 见 ［96］ ）. 因此，
£P (ffi.n ） 中 元素f 只 是f所在等价类的代表而 已
另 一方面， 对Rn 上任一个p次Lebesgue可积 函 数f， 存在Rn上的Borel可测 函
数 g ， 使得g与 f在Rn 上关于 Lebesgue测度 几乎处处相等（ 自 然有 llgllp = llfllp ） · 因
此， 由 定 理2.3.8， 在讨论£P ( 1 运 p 运 ∞） 函 数与At(ffi.n ） 中 测 度 的卷积时， 只 需将
此 函 数理解为Borel可测 函 数 在 此 意 义 下 ， 就可 以 用 （2.3.8）来定 义£P(ffi.n ) ( 1 ζ
p 运 ∞） 中 函 数与At(Rn ） 中 测度μ的卷积
定义2.3.2 设f ε V (ffi.n ) ( 1 ζ p ζ ∞）且μ ε At(ffi.n ）. 则f与μ的卷积定义为·
J11<n
(f * µ)(x) = / f(x - t)dµ(t)
a.e. x ε R n .
( 2.3.9 )
命题2.3.9
( a） 设f ε £P (ffi. n ) ( 1 ζ p 《 ∞）且μ ε At(ffi.n ） . 则f ＊ µ ε LP ， 且
( 2.3.10 )
II! * µli p 《 llfllp llµI以；
(b） 如¢ ε Co(ffi.π）且μ ε At(ffi.n ）， 则¢ ＊ μ ε Co (ffi.π ）＇ 且
｜｜ ¢ ＊ μ ｜｜∞ 《 11</>ll oo llµllAi' ·
证明 仅证结论（b）. 由 Riesz表示定理 （ 命题2.3.4 ) , ＜／＞与μ的卷积
川例 ＝ 1n </>(x － 仰 （t),
在Rn上处处存在． 再 由 Co (ffi.n ） 函 数 的 一致连续性， 并应用Lebesgue控制 收敛 定
理 即 知命题2.3.9成立．
口
定义2.3.3 设μ ε At(ffi.n ）， 那么μ的Poisson-Stieltjies积分定义为：
u(x, c:)
＝ 胁 时怕 ＝ 1n P.ε （x 一 忡川、
c: ＞ 飞
其 中 Pε 为Poisson核
下面给 出 测度 的Poisson-Stieltjies积分的几个性质
定理2.3. 10 设μ ε At(ffi.n ）， 那么
(a） 对任意 的ε ＞ 0， 测度μ的Poisson-Stieltjies积分在Rn 上处处存在i
第 二 章 FOURIER 变 换
66
> o,
ll P" * µIi i 《 llµll.41 ;
( b） 对任意 的E
(c） 当ε → 0时， μ的Poisson-Stieltjies积分u(x, c:）弱＊收敛于μ．
证明 注 意 到凡 ε Co 门 £ 1 ， 因 此结论（a）和 （b）是命题2.3.9及（2.3. 10） 和 命
题1 .3.3的直接结果 而结论（c）可 由 L 1 (IRπ） 山 矿（!Rn ）及Al'(!Rn ) = (Co (IRπ ）沪 两
个事实得到．
口
［注2.3.2］ 类似地， 可 定 义 测 度 的 Gauss-Stieltjies积 分， 并 有 类 似 结 果 ．
§2.3.4
59!1］ 度的Fourier-Stieltjies变换
现给 出 测度 的Fourier-Stieltjies变换 的 定 义
定义2.3.4 对μ ε .A ( !Rn ) , µ 的Fourier-Stieltjies变换 定 义 为 ：
帅） =
ln
川
t dµ 例
\;/
z ε !Rn .
例 2.3.3 D irac测度屯 的Fourier-Stieltjies变换为：
Ja (x） 二
特别地， 8 = 1 .
IJ !Rn e- 2rrix ·td8α（t ) ＝ ε－2rrix · α ，
\;/
x ε !Rn .
关于测度的Fourier-Stieltjies变换有下 面的基本性质 ， 其证 明 是简 单 的
定理2.3.1 1 设μ ε .A (!Rn ） ， 则μ的Fourier-Stieltjies变换β满足：
( a) p, ε U'" (!Rn ） ， 且 ｜｜刮｜∞ 《 llµll.41 ;
(b) µ在]Rn 上一致连续
［注2.3.3] Riemann-Lebesgue� ！ 理（ 定 理2.1.l(c）） 对.A(!Rn ） 中 测 度 不 再 成 立
例 2.3.3 即 可 说 明 这 一 事 实 ．
定理2.3.12 设 µ， v ξ .A (IR四） ．
( a) (.A(IRπ ） 中 Fourier 变 换 的 乘 法 公 式） fRn P, (x)dν（x) = fRn ρ（x)dµ(x) ;
(x） 二 仰 ） 仰 ） ；
(b) （ 测 度 卷 积 的Fourier：！ 换）
( c ) ( Fourier-Stieltjies 变 换 的Parseval 等 式） 如f, f ε L 1 (1Rn ） 且f；在]Rn上连
续， 那 么
( 2.3. 1 1 )
J (x)dµ(x) = n ｝ （� ） µ （
(-;);µ-
儿n
l
§ 2.3
及
复 测 度 的Fourier分析
67
l川 l
(2.3.12 )
µ（x) =
n
n J(f, ) P,任
证明 结论（a） 可 由 Fubini定理得到． 为证结论（时， 应用 （ 2.3.3）式， 有
σ可） （x)
=
=
I e 一 2霄叫（ν ＊ µ) (t)
J JRn
ll
l］俨
llf
严 叫ν （t)µ(y) ＝ 川 （x) .
n n
下 证Parseval等式． 仅证 （2.3. 1 1）式 由 ［注2.1 .4] ,
只←
因此
儿
n .f (x)dµ（ ←
n
（�
俨
n n （
口
推论2.3.13 !Rn上 连续函数 ψ是Al(!Rn ） 中 测度μ的Fourier-Stieltjies变换 当 且
仅 当存在常数C > 0， 使得对每个f ε Ca(!Rn ) n £ 1 (1Rn ）且 f 具有紧支集， 有
｜儿f
ll 火
( Ocp （ 才 ）d�
I
�c
黑 ｜削｜
�
x
(2.3. 13 )
i正明 如ψ ＝ ι 那么 由 （2.3. 1 1 ) ,
）ψ
JRn �
反之， 记
{
x EJRn
f
K = J : J ε Ca(IRπ ） n L 1 (1Rn ）且 具有紧支集 ｝ ，
那 么K在Ca (!Rn ） 中 稠密． 如 （2.3.13）成立， 则 映射f : J → fJRn J （�）ψ（－ Od� 是定
义在K上 的有界线性泛函 这样E在Ca (!Rn ）上有唯一 的有界延拓． 由 Riesz表示定
理， 存在μ ε Al(IRπ）， 使得对任意 的f ε Ca (!Rn ) ,
£(!) =
再次应用 （2.3.11） ， 知
ln ｝
l
n f(x)dµ(x）
且 llµllA't �
11e11.
（ 己 ） ［P, ( 0 一 ψ（ �忡 。 ， V f E K.
第 二 章 FOURIER 变 换
68
口
因此ψ ＝ 卢
与£ 1 (JRn ） 函 数一样， 可 以 定 义测度 的Fourier-Stieltjies积分， 并在弱＊收敛 的
意 义 下 ， 可讨论测 度 的Fourier-Stieltjies积分 的反演 问 题 设μ ε At(JRπ ）， 那 么 下
面的形式积分称为μ的Fourier-Stieltjies 积分：
儿
的 ） e 27rix ·t dx .
而μ的Fourier-Stieltjies 积分的Abel平均定义为：
Ao(µ) (t) = J/JRn p,(x） ε2 7rix · t e - 2时 lxl dx ，
ε＞
o.
定理2.3.14 设μ ε At(JRn ）， 那么 当E → 0时， Aε（μ）弱＊ 收敛于μ ．
证明 由 定理2.3.10 ( c）， 只 需说 明 ， 对任意 的ε ＞ 0及t ε ]Rn ,
Aε（ µ ）（t) = u(t, c: ) = （凡 ＊ µ)(t) .
(2.3. 14 )
记dv(x) = e2 7rix · te- 2霄ε Jxl dx . 那么 由 定 理 2.3.12 ( a),
�n
A0 (µ) (t) =
由 定 义2.3.4及命题2. l .9 (b）， 知
ρ（y )
=
=
由此知（2.3.14）成立－
1n
1n
p,(x)dv(x) ＝
伫 （y)dµ(y) .
e
e - 2 7r i (y - t ) · x e - 2 1re: Jxl dx = P" (y - t).
口
推论2.3.15 （ 测度Fourier-Stieltjies 变 换 的 唯一性） 设的 ， µ2 ξ At(JRn ）且向 ＝
fl2 . 贝Llµ 1 = µ2 .
证明 令μ ＝ 的 一 µ2 . 由β 三 O得Aε（μ） 三 0. 再应用 定 理2.3.14即 可．
口
［注2.3.4］ 类 似 地 ， 可 定 义 测 度 的Fourier-Stieltjies积 分 的Gauss平 均 ， 并运用
测度 的Gauss-Stieltjies积 分 的 结 论 得 到 相 应 结 果 ．
69
£2 (!Rn）上Fourier变 换 的 进 一 步 讨论＊
§2.4
§2 .4
§2.4. 1
£2(JRn）上Fourier变换的进一步讨论＊
Heisenberg不等式
1927年， W Heisenberg在德国海德堡大学的量子物理学实验中 ， 得 出 一个惊
人 的 结 果 ： 人们不 可 能 同 时确定微观粒子 的 位置与 动量， 对 其 中 一 个量知道得
越精确， 对另 一个量的不确 定程度就越大. W. Heisenberg称此现象为 “测 不准原
理” 2 该原理揭示 了 微观粒子运动 的基本规律 是量子力 学 中 的基本原理之一．
W. Heisenberg也因 为此发现获得 了 1932年诺 贝 尔物理学奖
测 不准原理在数学上表达为 下面Heisenberg 不等式．
定理2.4.1
(1
JR n
( Heisenberg不 等 式 ） 设f ε L2(1Rn ）， 那么对任意 的Xo’ fo ε !Rn
／
1� 一 fol 2 l （�）I
\ IRη
／
=
n
n
z
－
od
言。
nO
＋
＋
－
22
Qu
－
z
nO
玄。
＋
g
－
z
玄。
nσ
一一
v
(2.4. 1 ） 中 等号成立 当 且仅当f( x) ceh ix ·�o e a J x x0J2 / 2 ， 其 中 α ＞ 0且C ξ c.
证明 先给 出 以 下记号· 对g = (g1 ) 92 ) . . ) gπ ）， 9j ε c i ( !Rn ）， 记
= （元 ， £ ， ， 乏；；
及
2
g
z
Vx
X 1 9 1 + X g2 + · · + Xn 9n , X o f = (x i f, X2 f,
先设f ε Cg'° (!Rn ） ， 且Xo = fo Q， 那么
X
g=
\7 x · ( x o J) - x · \7 f
= V x · (xif， 日J,
=
·,
(飞X1
- ＋叫 一一 ＋
θf
Xn f) - ／ θX1
θf
θX 2
·,
＝一
； 儿π ［ （x
2 英文表述为 “Uncertainty principle ．”
o
X n j) ·
\）
f ＝
· · + x 一－
n θXn )
由 上式并运用 分部积分 即 可得
11!1
)
J) V x f + \7"J (x o f)] dx .
第 二 章 FOURIER 变 换
70
这样
卡e (ln (x o f) · 'Vxf dx)
《 ； ｜ 儿η （ x
《 � ll Vx f 11 2 llx 0 f11 2
＝ ； ｜｜白11 2 llx 0 f 11 2
llfll� ＝
L斗
·
（＊＊）
2
（ I l(l 2 lf(() l 2 圳 ( / lxl 2 l f(x) l 2
＝生
η ＼｝Rn
\ J ill η
J
叫／
2
现设f ε L2(JRn ） ， 如 llUll 2 或 llxfll 2 为∞， 则 结论 自 然 成立， 故不妨设二者均 有
限． 因 此 只 须 说 明 ， 对于满足xf(x), U(O ε L 2 (JRn ） 的 L2 (JRn ） 函 数f， 存在｛ 儿 ｝
Cr:° (JRn ） ， 使在L2 意 义下 7 当k → ∞时？
c
儿 → f, xfk → xf(x) , ( fk (O → U(O
均成立． 而应用 C� （JRn ） 在L 2 (JRn ） 中 的稠密性 （ 推论3. 1.4 ） 易证上述事实．
注意到（2.4.1 ）成为等式当且仅 当 不等式（＊）和 （＊＊）均成为等式 而（林）成为等
式等价于存在λ ε C， 使对任意Z ]Rn \7xf = 0 f 而 （＊） 式成为等式等价
于 λ ε R且λ ＜ o. 因此（2.4.1） 中 等式成立 当且仅 当
E ,
AX
'Vx f ＝ 一αz 0 f（：尘〕 〔α ＝ λ ＞ 0, v Z 巳 ]Rn 〕 ．
由此即 知f(x) = ce-<>l x l 2 /2
最后， 对任意 的Xo, fo 巳 ]Rn ， 及f ε L2 (JRn ）， 令g(x)
=
e 一如ix·fo f (x + xo）， 则
Ix - xo l 2 阳 ？ 缸，
人 附9时 dx ＝ 人
儿 i制仙巳 ＝ ln I( - fo l 2 lf (() l 2 d(,
且 llgll 2 = Iii 11 2 － 这样完成 了 定理2.4 . l 的 证 明 ．
口
［注2.4.1］ 测不准原理的发现使人们对 自 然界有 了 更深入的认识． 在时频分
析 中 ， 测不准原理说明， 频域分辨率和时域分辨率的准确性是不可兼得的．
［注2.4.2］ 由算术 几何平均不等式和Heisenberg不等式（2.4.1）， 对任意的 f ε
L2 (JRn ） 及xo , (o ε ]Rn ， 有
II ( ( - fo) fll� + ll (x xo)fll� �
去 11111�－
。）
§ 2.4 £ 2 (JRn ） 上Fourier变 换 的 进 一 步 讨 论 ＊
71
1 96 7年 ， N. de Bruijn通 过 对 £2 (JR） 中 函 数 的 Hermite 函 数 系 （ 定 义 见§2.4.2）展开， 直
接 证 明 了 当 η ＝ 1 且Xo = fo = Q时 不 等 式 （:j:） 成 立 （ ［43] ) .
§2.4.2
Hermite算子和Fourier变换
由 ［注2.2.1］知道， 对任 意 的f ε L2 (!Rn ) n C(!Rn ）， 有 § 2 f(x) = f(-x）， 进
而 §4f(x) = f(x） . 如 果记λ为F的特征值， 那么 λ满足λ4 = 1. 从而， 1， 一 1 , i, -i
为Fourier变换的特征值 可 以证 明 ， σ（ff) = { 1， 一 1 , i, -i｝ . 因此， 如能选择 由F的
特征函 数所组成的L2 (!Rn ） 的 完全正交系， 那 么Fourier变换F对应这个基的无穷
阶矩阵将为对角 矩阵下面将说明 Hermite函 数系正是所需要 的 完全正交系．
定义在Schwartz函数空 间Y(!Rn ） （其定义见§3. 1）上的线性算子衍 ＝ －� ＋ lxl 2
称为Hermite算子 为叙述方便， 下面仅考虑η ＝ 1 的情形， 即冗 ＝ 一 ＋ 泸 （此
时 也称π为调和振子 （ harmonic oscillator）） . 先 引 进Y(!R） 上 另 两个算子 ：
£
-5f'- + x
d十
A * ＝ 一 τ一
ax x,
这里A称为零化算子（annihilation operator ) , A＊称为生成算子 （ creation operator ) .
定 义Y(!R） 中 的 内积为
A=
(f, g) ＝
αz
及
汇 f(x）而此，
V f, g E Y(JR).
一 个 明 显 的事实是， A＊是A的共牺算子．
（ 生 成 算 子 及 零 化 算 子 与 Hermite算 子 的 关 系 ）
( a) A * A ＝ 对 一 I, I记恒等算子i
(b) AA＊ ＝ 冗 ＋ I;
(c ) [A， 叫 ＝ 2A ;
(d ) [A＊， π］ = -2A* .
其 中 ［A， 叫 ＝ A衍 一 对A为算子A 与算子对的 交换子．
证明 注意到一维的Hermite算子π ＝ 一 + x 2 ， 因此（a) (b）直接验证即可
又 由 （a)
A对 ＝ AA * A + A,
引 理2.4.2
f/x,
且 由 （b)
πA = AA * A A.
第 二 章 FOURIER 变 换
72
口
因此（c）成立． 同样可知（d）成立
由 引 理2.4.2立刻可以看出， Hermite算子π是 自 共辄的， 因此其特征值为实
数． 进一步， 有下面的结论：
定理2.4.3 ( Hermite算子 的特征值和特征函数） 设入为χ的特征值，
(a） λ 注 l;
(b) 7-le-x2 /2 = e x2 /2 ;
(c） 如ψ是χ的相应于λ的特征函数， 则A* <p 是χ的相应λ ＋ 2的特征函数；
( d ） 如ψ是χ的相应于λ （λ 并 1）的特征函数， 则Aψ是衍的相应于λ － 2的特
征函数．
证明 首先， 设ψ是χ的相应于λ的特征函数， 由 引 理2.4.2(a),
入（ψ， ψ） ＝ （对 吼 叫 ＝ ( A*Aψ， ψ） ＋ （ψ ， ψ）
= (Aψ， Aψ） ＋ （ψ？ ψ）
(2.4.2)
》 （ψ， 的
这样（a）成立． 下面我们说明λ的最小值为1. 由（2.4.2）知， λ ＝ l 当且仅当Aψ ＝ 0.
而这是一阶的常微分方程3 如不计常数因子， ψ ＝ e - x2 /2 是其唯一解． 这样
于te -x2/2 = A* Ae-x2 /2 + e _x, /2 = e - x2 ; 2
注意到结论（c）和（d）成立的前提是， 对于对任一特征函数ψ， Aψ和A*<p均不为
零． 事实上， 上面己看到只要λ 并 1， 则必定Aψ 并 0. 另一方面， ex2/2 是A*<p = 0的
唯一解 （ 不计常数因子） ， 然而 ex, /2 t/:. Y'(IR）. 现设ψ是η的相应于λ的特征函数，
由 引 理2.4.2(d),
A＊于4ψ 一 对A＊ ψ ＝ -2A＊ ψ ·
因此
衍（A＊ ψ） = A＊衍ψ ＋ 2A*<p = （λ ＋ 2)A* cp .
口
同理可知结论（d）成立
推论2.4.4 ( Hermite算子特征值） Hermite算子η的特征值为全体正奇数
证明 一方面 由 定理2.4.3(b）和（c）可知， ｛2m + 1 : m ε Z＋ ｝是Hermite算子
的特征值． 另一方面， 对任意的λ ＞ 1， 且λ ¢：. {2m + 1 : m ε Z＋｝， 可取k ε N， 使
得λ － 2k < 1. 如果λ是算子对的特征值， 那么 由 定理2.4.3(d）， λ － 2k也是π的特
口
征值， 但此与定理2.4.3(a）矛盾， 因此λ必不是π的特征值．
§
2.4 L2 (lr ） 上Fomier变 换的进一 步讨论＊
现给出Hermite函数系的定义如下：
h k (x) = (A*) k e- x2/2 ,
73
(2.4.3)
k ε Z+ .
由Hermite函 数系的定义可以看 出 ， hk (x) = Pk (x) e "'2/2 ， 其中pk 荠Jk阶多 项式．
从而Hermite函数系｛hk} c Y(IR) （见［注3.1.l]).
引 理2.4.5 ( Hermite函数 系 的 等价定义） Hermite函数系有如下等价定义：
( a) hk (x) = ( - l) k ex2/2 茹 俨2 ’ “ 丑，
(b) ｛ 问 ｝满足等式： 2二乙0 hk (x) fi. = e 一 （x2/2 - 2tx+ t2 )
证明 运用 归纳法直接验证即可知（a）成 立 写 e-(x2/2 - 2tx+t2 ) = ex2 /2 e (x t ) 2 ,
并注意到等式
,.ik
,.ik
主
αE仰 e一 （ x- t )' = ( - l) k 子τ” e 一 （x - t ) '
口
对巴 （x t ) 2 在 t = O处运用Taylor展开公式即 可．
定理2.4.6 ( Hermite函数 系 的性质）
(a) 'H.hk = (2k + l)hk , k ε Z+ ;
(b) {hk ｝是正交系，
( c) 11问11 2 ＝ 霄 l /4vf2币， k E Z+ ;
(d ) {hk }在£2 (JR）中 是完 全的．
证明 由定理2.4.3的（b）和（c）， 并运用 归纳法即可知（a）成立． 因对为 自 伴算
子， 由结论（a）知， 当k 并 3时，
(2k + l)(hk , hj ) = ('H.hk , hj ) = (hk , 'H.hj ) = ( 2j + l)(h k , hj ) ·
故（hk , hj ) = 0. 由 引 理2.4.5(b）及｛hk ｝的正交性， 知
� � hk 阶
注意到 e2 t2 ＝ 艺汇。 2k 号， 因此得到（c）. 最后， 如f ε .5'7 （则， 且
(!, h k ) = J/
JR
则 由 引 理2.4.5（时， 知
f(x)hk (x)dx = 0
l f(x) e － （泸 ／2 - 2tx＋ 切
k ε Z+ ,
第 二章 FOURIER 变换
74
即有
JIR/ f(x) e x2/2 e2叫x
=
o.
由 习 题二第5题， 知f = o . 因Y(JR）在L 2 (JR）中稠密（见推论3.1.5）， 故（d）成立 口
［注2.4.3］ 定理2.4.6 (a） 说 明Hermite函 数 系 ｛hk } k E Z.＋ 是Hermite算 子η的特
征函数
定理2.4. 7 ( Fourier变 换的特征 函数） 记
叫 （x) = hk ( ,/2;x), k ε Z+ ,
那么｛hi; ｝是 Fourier变换的特征函数． 特别地？
§hi;（�） ＝ ( i) k h；但 ）， k ε Z+ .
口
证明 由 引 理2.4.5(a）直接计算便可．
［注2.4.4］ 从命题2.1.9(a） 的 证 明 中 我们 看 到 ， f叫 x l 2 是F的 一 个 不 动 点 ． 定
理2.4.7的结论告诉我们3 如取k = 4m (m ε Z＋）， 那 么叫均为F的不动点， 而 E 7rX2
恰 好是 问 （x) .
［注2.4.5］ 高维Hermite函数系 在Heisenberg群上 的Fourier分析 中 具有 重要作
用 ． 见E M. Stein的专著［110].
§ 2.4 £2 (JR?.n ） 上Fourier变 换的进一步讨论＊
75
习 题 二
1. 设｛ fj ｝是Ll (JR?.n）中 的Cauchy歹Ll. 证明 ： 存在f ε L 1 (JR?.n ）， 使得当j → ∞时，
｛元｝ 在JR?.n中一致收敛于f
2. 证 明 ： 对任意的 f ε £1 (JR?.）， 集合N(f) = ｛.； ε JR?. : f(.;) = 0｝为R 中 的闭集．
3. 证 明 ： 在L 1 (JR?.n）中， 关于卷积运算不存在单位元， 即 ： 不存在e ε L l (JR?.n ）， 使
得对任意的f ε £1 (JR?.n ）， 有υ f = f.
4. 设ρ为JR?.n → JR?.n 的连续可逆线性变换． 对JR?.n 上的可测 函数f， 定义算子Rp :
(Rpf)(x) = J （ρx）. 证明 ： 如果在£ 1 (JR?.n）上Fo山’ier变换与Rρ可交换， 那么ρ是
正交变换． （ 定理2.1.3结论（c）的逆 ）
5. 设f ε £ 1 ( JR?.n） 门 C(JR?.n）. 证 明 ： 如存在α ＞ 0， 使得
α
JJRnI J(y） ε－ ｜ 自 1 2 e z 'Y dy = O , V z ε JR?.n ,
6.
7.
8.
9.
1 0.
11.
那么f = 0.
证 明 ： Gai邸
(i) (W（－， α） * W（－ ’ b)) (x) = W(x， α ＋ b） ；
( ii ) (Pa（－） ＊ 凡（ － ） ） （x) = P.α+b(x) .
证 明 ： £ 1 (JR?.）中奇 （ 偶 ） 函数的Fourier变换仍为奇 （ 偶 ） 函数． （说明该结论
对£2 (JR?.）亦成立 ）
证明 ： 对任意的f,g ε £2 (JR?.n ）， 成立着Plancherel公式： (f, g) = (f, f;) .
证明： 对任意的μ ε Al(JR?.n), µ 叫 ＝ μ， 这里6是Dirac坝�度．
设｛µk } C Al (JR?.n）满足 llµk llA't' 运 1. 证 明 ： 如果 ｛向｝点态收敛于连续函数机
则存在μ ε Al(JR?.n ）满足 llµllA't' 《 1， 使得 ψ ＝ P,. 此外｛µk }�� ＊ 收敛于μ．
设μ ε Al(JR?.n）， 那么测度μ的Hardy-Littlewood极大函数M（µ ）定义为：
M(µ)(x) = sup
__2一－ / ldµ(y)I, x ε JR?.n
r>O IB(x, r)I JB(x ,r)
证明： 对z ε JR?.n , M(oα）（x) = (vn lx 一 αl n ) - 1 ， 这里ι为Dirac测度．
第三章
SCHWARTZ 函 数 和 缓 增 广 义 函 数
按经典Fourier变换的定义方式， 对LP(IR.n) (p > 2） 中 函 数不能定义Fourier变
换． 由 于Fourier变换在分析中 的重要性， 因此有必要拓广Fourier变换的定义范
围 20世纪50年代发展起来的广义函数论十分有效地拓广 了Fourier变换的定义
范围， 为现代分析研究提供了 强有力的工具． 本章将证明Fourier变换是.9' (JR.n）上
的 同胚 进一步， 将研究Fourier变换在其对偶空间y’（JR.n ) （ 缓增广义函数类） 上
的性质． 最后我们将给出平移可交换算子的特征．
§3.1
Schwartz 函 数 空间Y' (JRn )
.9'(1R.＂）的基本性质
定义3.1.1 Schwartz函数空间.9'(1R.＂） 定义为
β < oo
.9' (JR.n ) = �l. ψ 巳 c=(IR.n ） ： 对 V α， β ε Z＇.；：＿， 岛，β （ψ） = sup
xE JRn lx0D ψ（x)l )� .
固 定 α ， β ε z＋， 那么ρ白 ，β 是.9'(JR.n）上的一个半范． 因此｛ ρo ,,a ｝ 白 ，βεz＋ 是一
个可列的 半范族， 由此诱导 了.9' (JR.n）上的Hausdorff局部凸拓扑． 通常称.9' (JR.n)
为 Schwartz速降函数空间．
［注3.1.1］ 容 易 看 出 ， .9' (JR.n）是一个 线性 空 间 进 一 步， 由 Leibnitz法则， 可
知.9' (JR.n）还是一个 交换代数． 此外， 如 果ψ ε .9'(1R.n), P(x） 为 任 意 多 项式， 那
么P(x）ψ（x） ε .9' (JR.n ）， 且P(D忡忡） ε .9' (JR.n ) .
组圣lJ. Gauss求和因子 e- 4 7r2 l x l 2 ε .9' (IR.n）. 但Able求和因子f 如l x l � .9'(JR.n ) .
C� （IR.π）上赋予如下半范所诱导的Hausdorff局部凸拓扑空间记为�（JR.n ）， 即
< oo
�（JR.n ) = �l ψ ε C�（IR.π） ： 对 V α ε Z＇.；：＿ ， ρ。（ψ） = sup
xE IR" ID0ψ（x)I )�－
［注3.1.2］ 由 于E 一l x l2 ε .9' (JR.n）， 但 e-l x l 2 � �（IR.勺， 因 此�(JR.n ) <;; .9'(JR.n ) .
定理3.1.1 对 于 1 《 p < 00, .9'(JR.n ) C V'(JR.n ）， 且当ψ ε .9'(JR.n） ， 有 ｜｜ψll P 运
§3.1.1
77
3.1
C£OO坷，p(JR2.:na).归，o （ψ）， 这里2二白为有限和． 此外， 当p ＝ ∞时， Y(JRn) C Co(lRn) C
n
设ψξY(
JR
,
)
证明 仅考虑1《p 00的情形．
p
/
l
/
l
2
:
n
x
x
I
)
x
(
dx
x
l
l
)
l
l
l
ψli 运｜｜ψl oo ( jxl�l ) ；�fn <p （儿｜川 叫 (3. 1.1)
运 Cn,p l二ρ白，o（ψ）
口
JR
n
n
）
，
令半
）
上
的度量．
对任意的α，
β
ε
z＋及机ψ
ε
Y(
现可以定义Y(
JR
范对任意的ψ，
ρ白，β（ψ一ψ）ψ εY(da,{3lR仰n）， ，ψ令）． 将｛da,{3（队 的· α， β εz＋｝排成一列， 并记为｛dn ｝汇l •
(3 . 1 . 2 )
d（ψ， ψ）＝、含�二、2 π 1 +dnd（n川（川） ）
n
3
.
1
.
2
lR
＂
）
上
的二元函数是Y(
）
上
的度量3且是不变
可以验证，
由
）
所
定义的Y(
1R
（
度量． 即： 对任意的f,Y(JRng）,关h 于度量d是一个完备的度量空间．
εY(JRπ） ， 有d(f -h, g -h) d(f,（g即). ： Y(JRn）关于度
et空间．） d（肉， ψ）→0字＝争Vη， dn（肉， ψ）→o. 事实上，
量d是Fr证明ech先证明当k→∞时：
d（肉， ψ）→0 二已、 n 1 dnd（n叭（肉， ψ，）ψ）
如果d（肉， ψ）→0，但存在向，使得d
0
（
向
2
ψ
）
不
收敛于0，那么
n
手民1 叮叮 1 +dnd（n肉（刷， ψ，）ψ）
3
.
1
.
2
）
可
知，对任意的E>
0，存在充分大的N，使
必不收敛于0. 反之，由d的定义
（
导 … 1 dnd（nψ（k肉, ， ψ） .／飞三扩手 … 飞J-叫 “
土γ
因对于任意的η，当k→∞时，有d
，
ψ
）→0，所以存在K0>
0，使得对1
（
ψ
ζn运
k
n
N - 1， 当k>Ko时，dn（肉， ψ） s/2N, η ＝ 1, 2， … ， N - 1. 这样当k>Ko时，
Schwartz函数空 间Y(JRn )
§
<
｜｜
p
=
=
定理3 . 1 . 2
+
∞
艺可
＋
dv
J电
仙V
川Y
，α
川艺 叫
<
'"
'lf;)
E
＜
π
。a
ι民”
川y
n
，G
+
第二章 SCHWARTZ函数和缓增广义函数
87
由此进一步可知，d（
，
ψ
）→0字＝争向，
（
冉
一ψ）→0对任意的α，
β
εzi.
这个
肉
β
事实说明3下面证明Y（
由度量d和半范族｛
ρ
°＇
,
/3
｝
诱
导了J
l
'
（
�
n）
上
同一拓扑
�
n）
关
于度量d是完备的．
设｛
ψ
}
关
于d是Ca
u
c
h
y列．
则对任意
k
u
c
h
y
列．
这样，当k,
的α， β εzi,｛ψk｝关于向，β也是Ca
j
→∞时1
up Ix臼l i’ Dβ（ψk)(x)-Dβ（的）（x) i == xpsEαuIR，pβ"（ψIxk一的αDβ［ψ）→k (x）一ψ0 j (x)J I (3.1 .3)
xsEIR＂
，｛
D
β内｝是Co（
�
n）
中
的Ca
u
c
h
y
特别地，当取α＝0时，由（
3
.
1
.
3
）
，
对
任意的βεZ
丰
列．某函数由于Coψβ· 易知，当
（�n）关于一致范数完备，
因此｛
D
β内｝
在�n中一致收敛于Co
（
�
n）
中
.
应用
取
=
i
时
3有Dβ
ψ
o＝吻，其中ψ。
是
内的极限（
β＝0）
｜
β
I
Z
归纳方法可知3此等式对一般的3ε
仍然成立．
现令ψ＝响，则Dβψ是｛
D
β内｝
丰
的极限．
故
对任意的α，
β
εz+,
x
°'
D
βψ也是｛
x
αDβ内｝的极限．
这
样，由ρ由，
（
ψ
）《
β
ρ度量d完备
白，β（ψ 队） Pa,J3（ψk）知ψεY（�n）， 且｛ψk }在f中收敛于ψ，从而Y（�n）关于口
下面的定理中列出了在Y（
�
n）
的
局部凸拓扑下的几个重要的运算性质
Y（
�
n）
按
其拓扑下，有如下结论：
(
a
）对ψεY(
!R
n
）
及
任意的多重指标α，
β
εz＋，映射ψHx°'
(
D
βψ）
是
y上
的连续线性算子；
!R
n
）
拓
扑是连续的；
!Rn上的平移T按Y(
((bc）) 对ψεY(
.
.
'
0
）
ε!R
,
0
，
n
仇
，
当
，
→0时，
0
!R
,
n
）
及
h=
（
ψ
－
h
(
0
,
l
l
收敛到
Thcp)/hk(d）设fεL去P； (!Rn) (1 运 p《∞）及ψ巳Y(!Rn）， 那么f＊ψεcoo (!Rn）， 且
由
.
D
ψ）
（
x
)
对Vαεz+,D
(
f
＊ψ）
（
x
)=(
f
臼
*
证明
（
a
）仅需证明，在Y(
!R
n
）
的
拓扑下3如果｛
ψ
d收敛于0，那么x°'
D
β刷收
→0.
敛于0.
为此需验证，对任意多重指标γ，
b
εz＋，当k→∞时，
li
(
x
°'
Dβ队
肉，
）
注意到， 肉，li (xαDβ内） ζ C L P叫’ （如）→0,
，
a
’
’
β
其中 ｜(αb’）对任意给定的hε!R
lbl. !Rn）， 任取多重指标α， β εz＋，那么
｜ 《｜α｜ ＋ ｜γ｜ ？ ｜阿 三二｜βnI +及ψεY(
IxαDβ（Thψ（x）一ψ（x) I =IxαDβ（ψ（x -h）一ψ（x) I = Ix臼Dβ［（\7xψ）（x -eh) . hJ I,
+
定理3 . 1 . 3
79
3.1 Schwartz 函数空间Y（�n)
.
因此
其中0<8<1
Jim xsEuJRpn I♂Dβ（Thψ（x）一ψ（x) I ζC Jim xsEuJRpn Ix°'Dβ。ψ（x)l hl = 0,
其中 (l,Bco） l对ψεY（
=IβI + i.�n）及任意的α， β ε ：q.,
hk 旦OXk旦 =运 :z:xssEEuuJRJRppnn IIxx°'°'DDββψl\�olhxklt, （→卜0,的(）lehhl k→1 10)
Ex in Ix°'Dβ \巳旦旦一
其中0<8(d）设ψξY（
’， e < 1 且�n）｜β｜， ＝则对任意的有界集Ec�n及任意的αεZ号，
｜βI + 2.
sEu12 IDαψ（x -y) I 《Ca,E( l + IYl)-n-l, \:/ u ε�n (3.1.4)
:z:
注意到（1 +Iν1)-n-lεLq(f ＊ 川（�n)）(（x1 )运＝儿nq 运∞）J(，y)因此由（
3
.
1
.
4
）
知
积分
白ψ川）
D
在E上绝对收敛井一致收敛，从而微分算子D与积分可交换．由E及α的任意性便
口
知结论成立．
π
P（
（
�
n)
�
n）
中
稠密．对于p=
推论3.
1
.
4
对于1ζp<
C.；＇°
（
�
）
在
L
在Co证明（�n）中设1《p<
按£00 范数稠密
00.
由于具紧支集的LP（
�
n）
函
数的全体L�
（
�
n）
在
LP（
�
n）
中
稠密，因此只需说明C.；＇°
（
�
n）
在
�（
�
n）
中
稠密即可．对任意的fεL�（
�
n）
，
取ψε
b）， 对任意的E > 0, f ＊ψε εC.；＇° （�n).
C.；＇°再运用定理1
（�n）使得f.3JR.n1知ψ（3当ε→0时，f＊ψε
x)dx= 1. 由推论1按.1叫LP范数收敛于f
口
应用同样的方法可以说明C�（
�
n）
在
Co
（
�
n）
中
按£
范
数稠密
00
注意到C�（�对于1n) C Y（《 p<�n）， 这样立刻得到
Y（
�
n）
在
£P（
�
n）
中
稠密．对于p=
Y（
�
n)
在Co（�n）中按£00范数稠密．
Y（�n）上的Fourier变换
现讨论Y（�n）上Fourier变换的性质．
§
l h l→0
l h l →0
p
\
f
〕J ＼I
\
（
JI
ι
推论3 . 1 . 5
§3.1.2
oo ,
oo,
oo,
oo,
c.;io
第 三 章 SCHWARTZ函 数和缓增广 义 函数
80
Fourier变换F是Y(rnln ）到 自 身的 同胚． （即： Fourier变换F是
Y(rnln ） → Y(rnln ） 上的一一映上的连续线性算子．）
证明 显然Fourier变换F是线性的
(i） 首先说明F是Y(rnln） → Y(rnln ）连续的 对任意的ψ 巳 Y(rnln）及多重指
标α， β ε Z丰， 有
Jx"'(Dβ φ）（x)J Jx白 （ （－2时 ） β ψO）� （x)J
2刑·）β ψc ) ])- (x)J
＝ �一
( 2霄） ｜ α｜ I
土
β
( 3.1.5 )
飞C 一（2霄） l一a l JJD叮 （－2πi·） ψJ (-) I ii
}／IR叽 一�丁（1
飞i + Jtl ) Jt1 2 )n JD"'[(-27rit）～J (t ) ldt
ζ C' z二 ρ叫 （ 的 ，
。’ ，β’
这里2：白 ， ，β， 为有限和． 由（3.1.5）知ff（ψ） E Y(JRn ）. 设｛ψk }按Y(JRn ）拓扑收敛于
零 那么 由（3.1.5）得 3 归，β （ φk ） 运 c 2二 。，，β， ρ。 ， ，β， （ψk ） → 0 (k → ∞）． 故F在Y(filn )
上连续
( ii） 其次说明Fourier变换F在Y(JRn ）上是一一映上的， 且其逆变换§－ 1 仍
在Y(JRn）上连续 因为Y(JR11) c L 1 (rnl叫， 由定理2.1.12知， F 是Y(rnln ）上的单射
另一方面， 对任意的f ε Y(JRn ) c L 1 (1Rn ）， 由（i）知f ε Y(filn ）. 又由 ［注2.1.4］知 ，
对任意的Z ε R曰，
( 3.1.6 )
J(x) = I J(t） ε27rix · t dt = / J( t) e- 2"ix· t dt .
令ψ（x) = f( x）， 那么ψ ε Y(JRn ）， 且 φ（x) = f(x）. 特别地， （3.1.6）还说明
( 3.1.7)
§ 1 f(x) = fff(-x), 'r/ f ε Y(JRn ) .
口
由（3.1.7）与结论（i）知， §－ 1 仍在Y(JRn）上连续．
推论3 . 1 . 7 如ψ， ψ ε Y(JRn）， 那么ψ ＊ ψ ε Y(JRn ).
证明 由 定理3.1.6， 如果ψ， ψ ε Y(JRn）， 那么 φ ， ψ ε Y(JRn ）， 从而 φ · � ε
口
Y(rnln ）. 这样（ψ ＊ ψ）－（x) ＝ φ （x）ψ（x’） E Y(JRn ）. 故ψ ＊ ψ ε Y(filn ).
［注3.1.3］ 对于Fourier变换而言， c= (ffil11）作为 基本空 间 显得过大， 因 为c＝ 中
的很多 函数， 如非零常值函数， 在经典意义下没有Fourier变换． 另 一方面 ， C'{' (JR11 )
作 为 基本空 间 又显得过小， 因 为C'{'(JRn ） 中 的 非 零 函 数 的Fourier变 换 已 不再属
定理3 . 1 . 6
= (D"'[(
+
JJR n
J JRn
81
3.1 Schwartz 函数空间Y(!Rn)
,
6
）
.
注意到Four
i
e
r
变
换是Y(
!R
n
）到自身的同胚（
定
理3.
1
.
6
于C�（
IR
叫
）
（
见
定理2.
1
.
)
因此，基本空间是非常恰当的
介于C00(!R叫）和C';"(!Rn） 之间的Y(!Rn)（速 降函数空间）作 为Fourier变 换的
r
s
e
v
a
l
等式）如f,
gεY(
!R
n
）
，
则
(Fourier变 换的Pa
f(x)g(x)dx f(x)g(x)dx, (3.1.8)
且
.
3
.
1
.
9
x
d
)
x
(
x
d
(
)
g
x
)
)
(
x
g
)
f(
x
f(
1
.
8
）
的
左边用g(
x
）
替
换g(
x
）
，
并注意
.
1
.
8
）
.
在（
3
.
由Fubi
n
i
定
理即得（
3
口
9
.
1
.
3
立
成
）
，因此（
到（ 页可Y(!R）＂n（）x中)＝页巧
Fourier变换性质可归纳如下，其证明是简单的：
Y(!Rn）中 函数的Fourier变换性质
f, gεY(f(x) !Rn) Fourie！r（变�）换 （�）
((ii i)) ff((xx)) ff
((ivv)) f(fx(x)h) f f(E,)
((vvii)) f（αx）， α笋Of(x) ｜α1J(-nE,J（αh)一1E,)
((vixi i)) P(if.D)f P(27r2i7rf,ikf,f)f(E,)
((xxi)) P(Xkxf)f(x(x) ) P（3号古去D)（fE,()E,)
((xxii i)) (ff(x*)g)g((xx)) U*fJf(E,)g)((E,E,))
§
定理3 . 1 .8
/
=
JJR n
/
=
J IR"
J JRn
J JR n
/
/
证明
表 3. 1
( i)
-
e2.,..ix · h
( - E, )
( -E,)
( -f,)
已 2πi� ·h
-
(E,)
第 三 章 SCHWARTZ 函 数和 缓 增 广 义 函 数
82
§3. 2
缓增广义 函 数空间Y'(JR.n )
Y'(!Rn）的基本性质
�（
IR
π
）
上
的连续线性泛函称为广义函数，
或分布（
d
i
s
t
r
i
b
ut
i
o
n
)
,
＇
.
Y(
!R
n
）
上
的连续线性泛函称为缓增广义函数2
或缓增分
其全体记为�
（
!R
n
)
布（te［m注p3.er2e.d1] distribution）， 其全体称为缓增广义函数空间？记为Y'(!Rn).
Y
(
IR
n
)
c
'
x
x
�Y＇'（(IRIRπn）)．. 特别地，上述包含关系是真包含． 例如，不难验证ε［ [2 ε�＇（IR勺， 但el l2
j
P
1
(
JR
n
ε£
)
是!R
n
上的可测函数．
如果存在3》0，使得（
[
x
[
)
f
组圣D
设
+
f
(是缓增LP函数．
1 运p运 ∞）， 则称特别地，任一多项式都是缓增LP函数．
f为缓增LP函数 容易看出，每个D'(JRn) (1 《 p 运 ∞） 函数都
现说明，对1《p《∞，每个缓增LP函数
事实上？如下
f都是缓增广义函数．
n
定义泛函L=Lt：对任意的ψεY(!R ) - ] [(l
句（ψ）＝j 儿 f 儿 [ [) f(x) + [x[
由于（任取｛1ψ+k}I i)Y(ψ IRεu'使得在Y(
(!Rn）， 因此Lt是Y(
!R
n
）
上
的一个线性泛函．
下证其连
续性．
!R
n
）
的
拓扑下’ψ
→0(
k
→∞）
．
由（
3
.
1
.
1
）
的
证明
k
j
j
过程可知，[L［ t（（1如+[） ｜ ζ[ ) 1阳(1［+Ip’ 运C1)-口，jpfl艺归，ip · 1 (o1（+Iψk） ， I因此）忡k[［[p（’l →0+[ · [)(k内→∞［ p’ →） 0. 这样3
.
即Lt组圣生2
在0点连续，从而Lt
Y'
(
!R
n
)
对με .4t'(JRn）， 令L =Lµ:
Lµ（ψ） =
则Lµ是Y(
!R
n
）
上
的一个连续线性泛函
即有LµεY
(
!R
n
）
.
特别地，
当μ为Di
r
a
c
'
测度也（α ε!Rn）时，oa（的 ＝Lba （ψ）＝ψ（α）， vψεY(!Rn).
§3.2.1
定义3.2.1
由 于 缓 增 广 义 函 数 空 间 Y'(!Rn ） 中 的 元 素 作 用 于 �（!Rn ） 上 是 有 意
义 的 ， 因 此 任 一 缓 增 广 义 函 数 可 视 为 乡’ （!R n ） 中 的 元 素 在 此 意 义 下 ，
tt
( x）ψ（x)dx
＝ η ［（l +
x
J
c
E
I ψ（x)dµ（吟 ，
J JR n
V ψ ε Y(!Rn ) .
83
3.2 缓增广 义 函数空 间f’（!Rn )
这样， 当α ＝ 0时， 对任意的ψ ε Y(!Rn）， 有 b（ψ） ＝ ψ（0) .
定理3 . 2 . 1 LP(!Rn ) ( 1 运 p 运 ∞）与�（!R n）均连续地嵌入到Y'(!Rn） 内 ．
证明 只 需证明 ： 当k → oo, -f).口 ｛儿｝ 依LP范数 （或d范数〉 收敛到f， 则 {fk }也
依Y'(!Rn） 中弱 ＊ 拓扑收敛到f 即要证： 对任意的 ψ 巳 Y(!Rn ),
Lfk ( cp) = / fk (x)cp (x)dx 一 L1（的 ＝ / f(x)cp (x)dx （如 儿 ε LP )
§
或
J JRn
J JRn
乌k （ψ
口
而 由{fk ｝依LP范数 （或J矿 范数） 收敛到 f即 知结论成立．
下面的定理给出 了 Y(!Rn）上 连续线性泛函 的某种有界性． 它与线性赋范空
间上线性算子的连续性与有界性等价的结论相类似
定理3.2.2 Y(!Rn）上线性泛函L是连续的 当且仅当存在常数c > 0和非负整
数m, k， 使得对任意的ψ ε Y(!Rn ）， 有
(3.2.1 )
I L（ψ）｜ ζ C E二 归，β （ψ）
｜α｜ 运k , J β ｜ 运 m
证明 充分性是显见的． 事实上， 如｛ψk }依Y(!Rn）拓扑收敛到0， 那么 由（3.2.1),
IL（ψk )I → 0 (k → ∞）． 所以L在零点连续． 从而L是Y(!Rn）上的连续线性泛函．
反之， 因为L在零点连续， 古生存在ε ＞ 0及非负整数m, k， 使得对任意的 ψ ξ
凡， k ，隅 ， 有 I L（ψ）｜ 《 1. 这里 凡， k ,m i己Y(!Rn） 中 的零元邻域：
N叭m = { cp E Y(JRn ) : 三二 归，β （ψ） ＜ ε ｝
｜α｜ζk,J β ｜ζm
现对任意的ψ ε Y(!Rn) （不妨假定ψ 并 0， 否则（3.2.1）显然成立）， 令
｜｜ψ｜｜ ＝ 汇 ρ白 ，β （ψ）
J a J<;; k ,J β ｜运 m
取η ＜ ε井记ψ ＝ η ｜｜ψII 1 ψ， 那么ψ ε Nε， k ,m · 这样IL（ψ） ｜ 运 1. 另一方面， 有L（ψ） ＝
η ｜｜ψ｜｜ 一i L（ψ）． 因此，
口
I L（ψ） ｜ 们－1 11ψ｜｜ ＝ η － 1 2: 归 ，β （ψ）
第 三 章 SCHWARTZ 函 数 和 缓 增 广 义 函 数
84
§3.2.2 Y’ （!Rn）中的运算
下面讨论缓增广义函数空间Y'(!Rn）中的运算及其性质．
( i ） 卷积： 对每一个U ε r’（!Rn）及ψ ε Y(!Rn）， 贝1J u与ψ的卷积是一个缓增广
义函数， 其定义为：
( 'u ＊ ψ）（ψ） u（φ ＊ ψ） v ψ ε Y(!Rn) .
定理3.2.3 如果U ε Y'(IRn）且ψ ε Y(!Rn）， 那么（u ＊ ψ）是一个函数 对Z ε
!Rn, (u ＊ 时（x) u(Tx φ） 如记f(x) = u(Tx 的， 那么f ε c=(JRn）， 且f及其各阶导
数均为缓增函数
证明 （ 1 ） 首先说明f(x) u(Tx cp） 是c=(JRn）函数 记
h (0, . '0, hk, 0 , . . ' 0） ε !Rn ,
那么 加 t- f(x) u(
= Tx叫； 川）
令 l h l 一→ 0， 则由 定理3.l. 3 (c）， 得
( 3.2.2 )
下说明二去是连续的 任取x, h ε !Rn， 由 （ 3.2.2）及u与 T 的连续性
(lh 0) .
OXk
OXk
I I
重复此过程得， 对任意的β ε z+ , Dβf存在且连续， 而且
(Dβf)(x) ( 1 ) 1 β l u (Tx (Dβφ））．
( 2 ）其次说明f是缓增的． 由 （ 3.2.1）存在C > O, k,m ε Z＋ ， 使
l f (x)I l u （巧的民 C E二 ρo., {3 ( Tx cp) .
( 3.2.3)
｜由｜ 运k，［β｜《m
而
ρ白 ， β （Tx φ ）
lt0 Dβφ（t - x) I
l (x + t） α Dβφ （t) I
运 C' sup 了 ｜叫 ｜ 白’ I I t I lo.I I白’ t 1 n勺（ t) 1 .
=
=
=
=
= u（飞＋士叫
在 （← u（ 一叫卖） ） ＝ → （～ （�）） .
｜ 去 仙h） ：去（叫 I = lu（飞 （乒 ） -u（～刊h（乒） ｜→0
=
=
== ssuupp
t E JRn
tE JR n
εJl{n
.. I白 ’ ｜ ζ ｜。 l
85
3.2 缓增广义函数空 间Y'(IRn)
由于ψ ε Y(!Rn）， 存在Co < oo， 使得SUPt ElR" 2::: 1 白’ ｜ ζ ｜ α I j t j l 由 ｜ 一 闷’ l j Dβφ（t) i 《 Co.
由（3. 2 . 3）知， 存在j ε Z＋， 使得［ f (x)[ � C"( l + [ x l ) J . 类似地， 由于对任意的β ε
z+, Dβφ ε Y(IRπ）， 同样可以说明D勺仍是缓增的
(3） 最后说明U ＊ ψ是函数． 即需要说明， 对任意的ψ ε Y(IRn) ,
川 例 ＝ lη f(t）ψ（仙
事实 上，
川
(3. 2 .4)
= u （ 儿η η cp (x 川0） dt
）
注意到， 对固定的2， ηφ（x）ψ（t）关于t在]Rn上的广义Riemann积分存在，
从而有
j ηφ（x）ψ（t)dt = _ lirn / tl:;;; k Tt φ（x）ψ（t)dt = ,lirn ,l �F,mI → u ；：)丁: It ，φ（x）ψ（句）b..tj.
特别地， 上面的Riemann和依y的拓扑收敛． 由U的连续性及（3.2叫，
u ( / Tt告 （x）ψ（t)dt ／) = κ→,lirn00 ,1 �F,rn_
1 →U )j:i: u( 11的ψ （tj ) b..tJ
= k�1! lt l :;;; k u叫 （t)dt = l... f(t ）�（t)
口
(ii） 微分： 设u ε Y'(!Rn）， β ε z＋为多重指标． 贝Uu的偏导数 Dβu定义为：
(Dβu）（ψ） = (- 1 ) 1 β l u(Dβ ψ）， ＼：／ ψ ε Y(!Rn ).
因此， 缓增广义函数u的偏导数Dβu ε Y'(!Rn).
例3.2. 3 IR上的Heaviside函数H 定义为：
x > 0,
z ζ 0.
那么在广义函数的意义下， H的导数恰好为R 上的Dirac测度8. 事实上， 由导数
的定义及例3. 2 .2， 对任意的 ψ ε Y(IR),
H' (cp) = -H(cp') = - 100 cp'(x)dx ＝ ψ（0 ) = 8（ψ）
§
1e�oo
化 → 00 J
J11<:n
\ J11<:n
_
－A
HU
rlJ飞l飞
一－
z
·、
r’t·
H
86
nu
ti
／’
’AJ、BE
E‘、
一一
、、E，
，
n
n，－
1
2
，，e‘、
第 二 章 SCHWARTZ函数和缓增广 义 函 数
Heaviside函 数 H 是微分算子 萃 的基本解 高
［注3.2.2] 上面的例 子 表明，
维]Rn上的Heaviside函数对 定义为：
· ·,
z
z
衍
X 1 > 0, Xn > 0,
其他，
不难证明， π（町，町， ,xn ）是微分算子 瓦骂王 的基本解
( iii ） 平移 设u ε Y'(JRn), h ε Rπ． 那么U的平移ThU定义为：
(Thu）（ψ） = u(r_hψ） , \jψ ε Y(lRn ).
这样缓增广义函数U的平移ThU ε Y'(JRn).
(iv） 线性变换： 设U ε Y'(JRn) , T为!Rn到!Rn的可逆线性变换， 那么T对U的作
用Tu定义为：
(Tu）（的 ＝ l det (T) l - 1 u(T一 1 叫 ， Vψ ε Y(IR勺，
这里仍用T表示相应于变换T的 η阶矩阵， 且det(T）为其行列式， T 1 为T的逆变
换， 而T 与（x) ＝ ψcr - lx）. 故缓增广义函数u的线性变换Tu ε y’ （!Rn).
( v） 伸缩： 设u ε f’（IRn）， α 并 0. 那么U的伸缩'f/a U定义为：
（ηa u）（ψ） ＝ ｜ α I n u（ηr呗） ) \jψ ε Y(IRn ).
从而缓增广义函数u的伸缩'f/aU ε y’ （!Rn）. 事实上， 取T : x ax， 运用 （iv）中定
义和结论 即可．
(vi） 反射： 设u ε Y'(!Rn）， 那么缓增广义函数u的反射包定义为：
。（ψ） = u（的， Vψ ε Y(!Rn ).
仍有。 ε y’（!Rn）. 事实上， 取T : x 1-+ Z， 运用 （iv）中定义和结论即可．
(vii） 乘积· 设u ε Y'(IRn）， 则缓增广义函数u与Schwartz函数ψ乘积定义为：
（叩）（ψ） ＝ u 仰的 ， Vψ ε Y(IRn ) .
因此uψ ε Y’（!Rn).
(viii) Fourier变换： 设U ε Y'(IRn）， 那么缓增广义函数U的Fourier变换。定义
为： 。（ψ） u（φ） ) \jψ ε Y(!Rn).
1-+
=
87
3.2 缓增广义函数空 间y’（�n)
定理3.2.4 (a) Fourier变换是.5"' （�n） → .5" ' （�n） 的一一映上的连续线性映
射． 因而缓增广义函数u的Fourier变换是可逆的， 其逆变换住满足：
(3. 2 . 5)
u（ψ） = u（的， Vψ ε .5" （�勺，
其中 φi己ψ的Fourier逆变换．
(b） 对 f ε LP（�n) (1 ζ p ζ 2）， 其作为缓增广义函数的Fourier变换和其作
为LP(Rn）函数的Fourier变换是一致的．
证明 (i） 先证Fourier变换在.5"'(Rn）上是连续的． 设｛uk} C .5"' (Rn）且在
分布意义下Uk → 0， 这里。记作.5"'(Rn）中的零元． 这样， 对任意的ψ E .5"(Rn),
Uk（ψ） → 0. 所以
也 （ψ） = Uk（φ） → 0, ＼：／ψ ε .5" (Rn ).
此事实说明， 在f’（Rn）中句 → 8. 从而， Fourier变换在f’ （Rn）上连续． 设问， 问 ξ
.5"' (Rn）且。 1 ＝ 句 那么对每一个ψ ε .5" (Rπ），
u 1 （ψ） = u 1 （在） ＝ 位 i （φ） ＝ 。2 （ φ） = u2 （在） = u2 （ψ）
这说明Fourier变换在.5"'(Rn）上是一一的
对U ε Y’（Rn）及任意的ψ ε .5" (Rn）， 注意到由（3.2. 5）式确定的线性泛函是连
续的， 因而位 ε .5"'(Rn）. 这样对每一个U ξ f’（Rn）及ψ ξ .5"(Rn)'
(3. 2 . 6 )
u（ψ） = u（品） ＝ 。（φ） ＝ 在（ψ）
即有： U ＝ 在 因此U是.5"'(Rn）中心的Fourier变换， 故Fourier变换在.5"'(Rn）上是映
上的 （3. 2 . 6）式进一步表明， 对每一个U ξ Y’ （Rn）， 远是U的Fourier逆变换．
(ii） 应用乘法公式可说明结论（b）对p = 1,2均成立 由此进一步可知， 结
论 （b）对l < p < 2亦成立．
口
型圣主主 Dirad.vl� 度6 的Fourier-Stieltjies变换． 由于对任意的ψ ε .5" (Rn)'
a（ψ） = a（φ） ＝ φ（o) = I ψ（x)dx = (1， ψ） ．
由此知0 1. 这与例2.3.3的结论一致．
塑圣� 设α ε Rn， 那么 函数已如ia·x 的Fourier变换为Dirac测度oa .
= o. 事实上， 如记u = e27riα尘， 贝Uu ε f’（Rn）. 对任意的ψ 巳 .5" (Rn),
位（ψ） = u（φ） = I e27rtαzφ（x)dx ＝ ψ（α） = 0α（ψ）－
下表是.5"'(Rn）中缓增广义函数Fourier变换的主要性质， 其验证留作习题．
§
J JR n
=
特别地，
i
J JRn
第 三 章 SCHWARTZ函 数和 缓增广 义 函 数
88
表 3.2 ..9'' (!Rn） 中缓增广义函数的Fourier变换性质
( i)
。i)
(iii )
(iv)
(v)
(vi )
(vii)
(viii )
(ix)
(x )
’u
E三 Y’、 cp 巳 f
u
e
Fourier变换
1ι
u
u
u
已 2贺if.· h u
Th U
ThUh
2πix·
u
ηα’μ， α 兴 。
D°' u
( - 27rix）αu
u*
cp
u cp
tι
｜ α 1 - n ηα 1 。
(2 7ri�）血。
D由 。
uψ
飞J,
＊ψ
§ 3.3 与平移可交换算子的刻 画
§3.3
89
与平移可交换算子的刻画
在这一节我们将给出与平移可交换算子的缓增广义函数特征．
定义3.3.1 记"f/' "ft'为!Rn上可测函数组成的线性空间. B 是"f/ → 万 的线性
算子． 如对任意的h ε ]Rn及 f ε ＂f', B(rh f) = rh(Bf)， 则称 B 为平移可交换算子．
组圣生1 固定 f ε LP(JRn) (1 运 p 运 ∞）． 对 g E L l (JRn）， 令B(g ) = f g .
则 B 为LI → P平移可交换的线性有界算子． 同样地， 如固定f ε L i (JRn）， 对g ε
LP(JRn) (1 ζ p ζ ∞）， 令T(g) = f g. 贝UT为LP → LP的平移可交换的线性有界
算子．
下面的定理表明， 一切与平移可交换的LP(!Rn） → Lq(JRn） 的有界线性算子
限制在.5" (!Rn）上都是卷积型算子．
定理3.3.1 设B 是LP(JRn） → Lq(JRn) (1 ζ p,q 《 ∞） 的与平移可交换的有界
线性算子， 则存在唯一的U E .5"' (JRn）， 使得对任意的 ψ ε .5"(!Rn）， 有 Bψ ＝ U ＊ ψ ·
先给出下面的引理．
引理3.3.2 设 f ε LP(!Rn）且具有直至!Jn +l阶的LP导数． 那么存在连续函数g,
满足g (x) = f(x) x ε ]Rn， 且
( 1)
l g (O) I ζ Cn,p ｜ 由 ｜汇《 ＋ l Dα fl i p ·
π1
证明 （ i ) p = 1的情形 首先有如下事实：
+ I 的 （叶 1) /2 ζ （ 1 + lx 1 I + lx2 I + + l xn l ） π＋l 运 C’ ｜ 汇
lxQI ·
α l � n+l
*
*
a.e.
. .
33
(1
因此
J xnf(x) I
�r阴山 间 ｜α｜艺
ζπ＋ 1
(Dn f) � （x)I
-;_ f了， … α 艺
l
运
｜ ｜ n+ l
《 ～ t �＂－ L l Dα ！I i i ·
ln l 运 n+l
ln 问以 C 汇
l Dnfl l 1 ·
｜α｜ 运”＋ 1
lf(x)I �
c
h
,
'
＂ ＂�
两边积分得
第三章 SCHWARTZ函数和缓增广 义 函数
90
因此 f ε £ l (JRn）. 由定理2.1.12存在连续 函数g ， 满足g (x) = f(x) a.e .， 且
l g (O) I ζ 1 1 1 1 《 c l ｜2二
l D 勺I I
由 ζ n+l 1
1的情形． 取ψ ε C<,;°(!Rn）， 使得当 l x l ζ 1时ψ（x) = 1， 当 l x l 2
时ψ（x) = 0. 那么ψf ε L 1 (IRn）. 由（3. 3 .1）， 存在连续函数h， 满足h(x) ＝ ψ（x)f (x)
a. e . x ε !Rn， 且ih(O)I ζ c1二｜ 叫 。＋ 1 l D白 （ψ！ ） I i i · 注意到
Da（旷） ＝ μ＋汇＝ Cµ, v (Dµf)(Dνψ），
να
·
>
(i ) p >
故
l D0（ψ！ ） I i i 《 μ工）Z二α: Cµ,1.1 lxsupl 《 2 I Dνψ（x)I J/ x i 《 2 I Dµ f(x) l dx
p
《 C �al （ 儿 ｜ 。 I Dµf(x)I 叫 ／
l
这样在 lx l 《 1上， f = h a. e . ， 且 i h (O)I ζ C艺 ｜ α ｜ 。＋ 1 J I D0 f l p · 因此只要 适当选
择ψ， 可以说明在以0为中心的任何球上， f几乎处处等于一个连续函数g . 口
现回到定理3.3.l的证明． 首先说明对任意的ψ ε .？（!Rn), B（的具有所有
阶的Lq导数． 事实上， 由定理3.l. 3 (c）， 如h = (0， … ， 0， 仇，0， … ， 0） ε !Rn， 那
么 亘古旦依Y(!Rn）拓扑收敛到 一 茬 （当然也依P范数收敛） ( l h l → 0）. 由于 B 是
与平移可交换的有界线性算子， 这样在Lq范数意 义下，
Th(Bψ） － Bψ = B ／叫
ψ一一 ψ－ ＼I 一→ － B ／（ 了一ψ ＼l ( l h l → 0).
（ 一一
h
此表明岛在Lq中一阶导数存在， 且岛关于阳的Lq导数满足 弩;2 = B（ 茬 ） 类
似地， 可以证明Bψ具有任意阶的Lq导数， 且
D0(Bψ） = B(D0ψ）， 对 Vψ ε Y(IR勺， α ε Z�.
由引理3. 3 . 2可修改Bcp为连续函数， 且由 （ 3. 3 .1）知
=
B(D ）
I E ψ（O)I 《 c ｜ 臼 l二
�l n+1 l D0(B叫l i q C Iα ｜l二
运 n+I l 句 l q
(3. 3 .2)
运 ｜ 臼 ｜艺运 ＋ l B l l D句l l p ζ c ｜ ｜ ， ｜ l二｜ 运 + 归，β （ψ）
βα nl
π1
µ
k \ hk ) \ OXk)
91
如果对ψ ε Y'(IRπ ）， 令U 1 （ψ） = Bψ（0）. 那么 由（3. 3 .2）及定理3.2.2知也1 巳 Y’（!Rn ) .
t己U 二 位 l i 贝LlueP为所求． 事实上， 由定理3. 2 .3,
(u ＊ ψ）（x) = u(Txφ） = u [(Lxψ）～］ ＝ 心（7-xψ）
= u1 (T x cp) = B(Lx cp)(O) = Lx(Bψ）（0) = Bψ（x) .
口
由U的构造可知， 它是唯一的．
定理3.3.3 设 B 是£P(JRn） → U(!Rn ) (1 《 q < p < oo） 的与平移可交换的有
界线性算子， 那么 B 为零算子．
证明 首先说明 以下事实， 对1 《 p < 00及任意的 f ε £P(!Rn）， 有
(3.3. 3)
l → ∞ I ! + Thfl lP = 2 1 1P l f l p ·
l hlim
这是因为， （i）如果f具有紧支集， supp(!) c A， 那么 当 l h l 充分大时， supp( ! ) n
supp(Th f) ＝ θ． 这样，
I ! + Thf l p = （ 儿 l f (x) + f川)I Pdx) l/p
(3.3.4)
P
= I /
dx
(x)I
+
f
l
/ ( lf(x - h)I P dx I
(
Jsupp J)
Jsupp Thf)
1
= 2 /P l f l p ·
(ii）p 设 f ε £P(JRn）， 则对任意的ε ＞ 0，p 存在具紧支集 的函数g满足I I ! - gl l p <
c/22+1 / . 显然， ll l g l p 一 l f l p l ＜ ε／22+ 1 / ， 且对任意的h ε !Rn仍有 l h f- Thgl l p <
c/22+i /p 由于g具有紧支集， 由（3. 3 . 4 ）知， 存在N > O， 使得当 l h l > N时， 有ll l g +
Thgl l p - 2 l /p l g l p l < E./4. 这样 ，
Ill ! + Thfl l p - 2l/p l f l p l ζ I 1 ! + 7hf l p 一 I l g + Th9l l p l
+ I I l g + Th9l l P - 2l/p l g l pl + 1 2l/p l g l p 一 2 1 1P 1 f l p I
< c/2 ＋ ε／4 ＋ ε／4 =
这样（3.3. 3 ）成立． 现回到定理的证明． 对任意的 f 巳 £P(JRn）， 有
l BJ + Th (Bf) l q = l B (f + Thf)l l q 运 l Bl l . I ! + Thfl l p ·
令 l h l → ∞， 由（3.3.3）知21 /q l Bfl l q 《 l B l 21 /P l ! l p · 由于q < p， 故
l Bfl l q 《 \ I B l 2 1 /p -l/q l f l P ＝丰 l B l \ I Bl l · 2 1 /p - l /q ＝争 B = O. 口
§ 3.3 与平移可交换算子的 刻 画
I
\
E..
·
·
:S:
第三章 SCHWARTZ函数和缓增广 义 函数
92
定义3.3.2 设1 �二 ∞， 记
(£P , Lq ) = { u ε . 9"' (JR.n ) : .:JC > 0， 使得 W ε ..9" (JR.n ), l u ＊ ψ l q 《 Cl l 叫 I p } ·
如记F为LP(JR.n） → Lq(JR.n）的平移可交换有界线性算子的全体， 那么 由前面
的讨论可知， F与（LP,Lq）之间是一一对应的． 下面给出（L2 ' L2 ）和（L1 ,L 1 ）的特
征刻画．
定理3.3.4 设 u ε ..9"'(JR.n）. 对ψ ε .9" (JR.n）， 记Bψ ＝ U ＊ ψ · 贝Llu ε （L2 , L2 ) C等
价地， B是L2 门Y → L2 的有界线性算子〉 当且仅当存在b ε LOO(JR.n）， 便在..9"'(JR.n)
的意义下， 位 ＝ b. 此时有 l B ll(2, 2) = l b l oo ·
证明 先证明充分性． 对任意的 ψ ε f及ψ ε f 门 L2 ， 由表3.2 ( ix）及广义函
数与Schwartz函数乘积的定义， 知
l (u ＊ ψ）（ψ） I = l u （φψ） I = l b（φψ） ｜
＝ ｜ 升刷川咔 l i bφ1 1 2 I
ζ l b l oo l ψ 1 2 I ψ 1 2 < 00.
因 ..9" n L2 在L2 (JR.n）中稠密， （3. 3 .5）表明（u ＊ ψ） E L2 (JRn）， 并且
l u ＊ ψ 1 2 = l (u ＊ ψ） 1 2 《 l b l oo l ψ 1 2 因此U ε （L2 ,L勺， 且l l B l ( 2,2） 运 l b l oo ·
反之 ， 设U ε （L2 , L勺， 则存在C > O， 使得对任意的 ψ ε . 9" , l u 叩1 1 2 《 C2 l ψ 1 2 胁。但） ＝ 俨 l x l 气 y， 那么φ（x) = (,;;;o )(x） ε L2 (JR.n ）. 令b(x) = e.,,. l x l 州，
则 b 即为所求 首先说明， 对一切ψ 巳 Y， 有 （－；；；日 ＝ 岭 事实上， 由稠密性仅需
说明， 对任意的ψ ε 乡， 有（ 。φ）（ψ） = (bφ）（ψ）即可． 注意到ψ♂ l x l 2 ε !!J. 因此， 由
广义函数与Schwartz函数乘积的 定义3
!S二 p, q
刷刷 ＝ 怜的ψ怜的 ＝ Ln 叫灿灿♂xl 2 dx
= Ln 制 川怕 dx ＝
巾的 例
(3.3.6)
现证明 u = b. 对任意的 ψ ε 9， 取ψ ε f， 使得在某个包含supp（ψ）的开球上，
φ ＝ （应用定理1.1.5， 这样的 ψ是可取到的）． 由（3.3. 6 ）， 有
企（ψ） ＝ 。 （φψ ） ＝ （。φ）（ψ） = (bφ）（ψ） = b（φψ） = b（ψ） ．
1
93
最后， 我们说明b ε £＝（�n）， 且 l b l oo 《 l B l c2 ,2）· 由于B（ψ） = u ＊ ψ是L2 n f →
£2 的有界线性算子， 因此对任意的ψ 巳 Y（�n),
l i bφ1 1 2 = sup I / b(x）φ（x ）ψ（x)dx j .
§ 3.3 与平移可交换算子的刻画
而
ψ ε s- I J Rn
II ψ 11 2 $ 1
I
1 1 b(x)cp(x阿叫 ＝ l b伸手 ） I = l u （ 仰 ） ｜
(3. 3 . 7)
= 1 ru:-石）（语 ） I = l (-;);-; 1 2 1 ψ 1 2
ζ l B l c2,2)l l ψ 1 2 = l B l c2 ,2)l l φ 1 2 设d为L2 （�n）中的单位球， 则对任意的f ε d， 有 l bfl l 2 《 l Bl l c2,2）· 事实上， 由
于Y（�n）在L2 （�n ）中稠密， 存在｛φk } c Y（�n )nd， 使得｛φk｝依£2 范数收敛到 f.
因此存在 子列 ｛ φk； ｝几乎处处收敛到 f . 这样由 （ 3. 3 . 7 ),
/ l b (x)f(x) l 2 dx = /
lb(x）φk; (x) l 2 dx
(3.3.8)
运 3坠 儿” l b(x)cp
最后说明b ε £＝（Rn）， 且 l b l oo 运 l Bllc2 ,2）· 若 不然， 记
E = { x ε Rn : l b(x)I > l Bl l c2,2) },
那么 I E I = 8 > o. 不妨设8 < 00， 贝Ll g ＝ χE5- 1 /2 ε d. 一方面， 由 （3.3.8）知，
l bgl l 2 《 l Bl l c2,2）· 另一方面，
l bgl l 2 = (L I 仰川 l 2 dx） 飞 l B l c2,
口
此矛盾说明 I E I = 0. 因此b ε £＝（Rn）， 且 l b l oo 《 l B l c2,2) ·
定理3.3.5 设U ε f’（Rn）， 对ψ 巳 Y(Rn）， 记Bψ ＝ u叩 · 贝Llu ε （£1, £ 1 ）（等价
地， B 是L1 ny → £ 1 的有界线性算子）当且仅当存在μ ε Al(Rn）， 使在Y'(R＂）的
意义下U ＝ μ． 此时 l B l c 1 , 1 ) = l µ l Ar ·
证明 充分性的证明 对任意的ψ ε Y(Rn）， 由定理3.2. 3 ,
｜ 川 Ii i = I 川） Ii i = fan I 川） j dx
= / I / 7xφ（t)dµ (t) J dx 运 I l cp(x - t)l dx dl µ l (t) = I ψ I i i l µ l A't .
JRn
lim
JJRn j → ∞
JJRn
JJRn I JIRπ
［
l
JJRn JJRn
第三章 SCHWARTZ函数和缓增广 义 函数
94
所以U ε （£ 1 , £1）， 且l l B l （川） 《 l µ l Ar ·
反之， 设U ε （£1 , £1 ）. 对ε ＞ 0， 取W(x,E) = （的c） π 2 lxl 2 /4ε ε S"'(!Rn).
i.2uε（x) = (u * W( . ,c))(x）. 这样对任意的ε ＞ 0， 由命题1. 3 . 3 ,
(3. 3 . 9 )
｜ 叫 11 = l (u * W)( -, c )l l 1 《 l B l < 1. l ) ! I W（ －， ε） I i i = l B ll< 1 . 1) ·
( 3. 3 . 9）表明， ｛uε ： E > O｝按L 1 范数关于E－致有界． 因此｛uε ： E > 0｝按At(!Rn）范
数仍一致有界 由于Al(!Rn) = ( Co(!Rn) ) * （见命题2.3. 4）， 而 Ca (!Rn）是可 分空间，
因此｛uε ： E > O｝在At(!Rn）中是弱 ＊ 列紧 所以存在μ ε At(!Rn）以及｛ε叶， 满
足εk → O (k → oo）， 使对于 任意的ψ ε Co(!Rn),
(3. 3 .10)
k1�1! ln （／）以阳 ＝ 七（ x)dµ (x).
现任取ψ ε S"'(JRn）， 记如何） = (W(-,E) ＊ ψ）（x） ε S"'(!Rn）. 因此
u('!f;, J = u(W( . , E) ＊ 呐 ＝ 忡 叭， 训 ＝ ln ψ怡队队dx.
在上式中用Ek替代ε， 并令k → ∞ ． 那么 由（3.3 .10）式，
咐εk) = 1n 州山
下面证明， 当ε → O时7 在S"'(!Rn）的拓扑下3 ψε → ψ 由定理3.l.3(d）’ 对任意
的α，β ε z丰 及z ε !Rn,
／ e
r
l
l
l
e
n
e
γ
u
%
，G
A噎
IllIl
li－
－
，，
，，
J冲｜l
l
－7LU卢－
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4
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a
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ι
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－
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口叫
帕M川
uM
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州） 的
m
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k
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w
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｜
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一
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’
沟
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Z
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，
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让
叮
仙
一
一
气
z
卜
z
z
i
j
j
K
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J叭
响厅
圳
t
M
H
U元
、u
f
β
哼
l
Mm
p
d
d
v
β
η
n
o 1
f
cE
h
Y
R
R
h
l
f
l
f
D
W
m
－
－
f
a
RR
α
叮
A
Z
Z
Z
－－
U
z
Z－－ 一一 一一 一一《
仙V
E
仙V
Rμ
D
O
Z
其中0 < 8 < 1且l /3o l = 1 /3 1 + l. 由此可知， 在Y'(!Rn）中， 如 → ψ ． 从而由u的连续
性及（3. 3 .11）， 知u（ψ） = fJRn ψ（x)dµ (x）. 最后， 由（3.3. 9）和（3.3.10）式， 有
(3.3.12)
｜ 儿” 叫µ（x) ζ ｜ ψ l oo s�p I 州
I
§ 3.3 与平移可交换算子的刻 画
95
另一方面， 由Riesz表示定理 （命题2. 3 叫知 ， Go（�n）上的有界线性泛函E : £（ψ） ＝
fan ψ（x)dµ (x） 的范数为 l µ l Al· 由 （3.3.12）式， ｜ μ ｜ 矿 运 l B l c 1 , 1 ）· 故 l B l c 1 ,1) =
口
l µ l Al·
对于一般的（LP, Lq ）， 其特征是未知的． 但有如下的对偶定理．
定理3.3.6 设1 《 p 运 q 运 ∞， 那么（LP, Lq ) = (Lq , LP ).
证明 设u ε （LP, Lq ）， 则存在c > 0， 使得对任意的ψ ξ .9"（�n), l u ＊ ψ l q 运
Cl l cp l v · 记B（ψ） = u ＊ ψ， 那么B在LP（�n）上有唯一的有界线性扩张． 其共辄算
子B＊为Lq’（�n）到LP’（Rn） 的有界线性算子． 这样对任意的ψ， ψ ε Y(Rn）， 有
向）（x川dx ＝ 叫
此式表明， 对任意的ψ，ψ ε Y(Rn),
(B＊ ψ）（的 ＝ （Bψ）（ψ） = (u ＊ ψ）（ψ ） u（φ ＊ ψ ）
＝ 叫（ψ ＊ ψ）丁 ＝＝ 也（ψ ＊ ψ） ＝ （。 ＊ ψ）（ψ）．
这样
｜ 也 ＊ ψll v’ ＝ llB＊ψl l v， ζ l B* l cq',v'l I ψ l q’ ＝ l B l cv,qJ · I ψ l i q’ ·
所以 。 ε （Lq’， LP’）． 现说明 以下事实：
(3.3.13 )
位 巳 （U’ ， LP’ ） 仨＝争 u ε （U’ ， LP ).
事实上， 对任意的ψ ε Y(Rn),
｜ 。 ＊ ψl l v' = sufivnpg I / （。 ＊ ψ）（x） ψ （x)dxl.
飞1�
而
儿n 川
＝ 川）（ （／； ） = ln川）（x阳 dx.
因此
｜｜们 咐
从而（3. 3 .13）成立 故（LP,Lq ) c (Lq’，LP’） 同理可证（Lq’，P’） C (LP, Lq ). 口
儿
儿
=
I J "JRn
I
第 三 章 SCHWARTZ函数和缓增广 义 函 数
96
习 题 三
1. 证明： Schwartz速降函数空间Y'(JRn ）的等价定义为：
Y'(JRn ) ｛ψ ε coo (JRn ) ： 对Vα，β ε z+, sup I Dβ （x°＇ψ（x))I < oo
＝ ｛ψ ε coo (JRn ） ： 对Vα，β ε z+, lim xa Dβ ψ（x) = O}
＝ ｛ψ ε coo (JRn） ： 对V{3 ε z＋和k 注 0, sup (1 + l x l2 ) k l Dβ ψ（x)I < oo
＝ ｛ψ ξ coo (JRn ） ： 对Vβ ε z＋和k 注 0, lim ( 1 + l x l 2 ) k Dβ ψ（x) = O} .
2. 设
lx l < 1 ,
ψ（x) =
lx l 注 1
证明： ψ ε C�（!Rn).
3. 证明： 存在ψ ε Y'(JRn）， 使得0 《 ψ 《 1 , supp（ψ） {x ε ]Rn : � ζ l x l 运 2 } ,
且
三二 ψ（r k x) = 1, 时 0
4. 证明： 存在ψ ε Y'(JR）， 使得0 ζ ψ 《 1 , supp（ψ） = {x ε IR : � 《 l x l ζ 2｝， 且
r oo 旦主2
x dx = 1 .
5. 对ε ＞ 0， 记Y'E ｛ ψ ε Y'(IR) ： φ（�） ＝ 。 当 l� I 《 t: ｝ . 令功 ＝ Uoa Y'<= .
证明： 对任意的2 运 p < oo , .J飞 在LP(JR）中稠密
6. 如对任意的ψ ξ Y'(JR), u（ψ） ＝ 艺；二1 ψ（k）. 证明： u ε Y''(JR).
7. 找出满足如下条件的U ε Y''(JR) :
u（ψ） ＝ 儿 旦Sf-dt ψ ε Y'(JR） 且 ψ（0) = o.
8. 设ψ ε Y'(JRn）并满足JJRn ψ（x)dx = 1. 证明： 当ε → 0时， ｛ψε｝ε〉。在y’（JRn)
中的弱 ＊ 极限恰为Dirac 6－函 数．
=
}
xEJRn
'
lxl→∞
xEIRη
’
lxl →∞
｛ ； 巾，
=
Jo
=
}
第四章
§4.1
调和 函 数
JRn上调和 函 数 的 基本性质
§4.1.1 均值定理和最大值原理
本章中。记!Rn中的区域， 即]Rn中的连通开集．
定义4.1.1 设u是定义在!Rn中区域。内 的函数． 如果U ε c2 (0）， 且对任意
的Z ξ O, u满足Laplace方程.6.u(x) = 0， 则称U为Q内 的调和函数3 其中A为Laplace
算子．
不难看出， 如 η ＝ 1， 那么也在IR中调和当且仅当u(x)
= ax + b. 此外， 直接验
＋
l
证可知， Poisson核马（x ) ＝ 句 （泸＋ lx l马川）／2 是JR� 中的调和函数， 且
3,
η ＝ 2,
n 二�
(4. 1 . 1 )
也在!Rn \ {O｝中调和 运用调和函数的定义可得下面的结论：
命题4.1.1 （ 运算与调和函数的关系） 如果u在Q内调和， 则
( i) （平移不变性） 对任意的 h ε JRn, ThU在Q + h = { x + h : x ε O｝内调和，
( ii) （旋转不变性） 对]Rn中任意的旋转ρ， u（ρx）在ρ－ 1 0 = ｛ρ 1 x : x ε O｝内
调和i
(iii) （伸缩不变性） 对任意的α ＞ 0, u(ax）在α i o = ｛α－ I x 2 ξ O｝内调和．
在研究调和函数的其他性质之前， 先给出一些记号， 记B(x,r）为!Rn中�Z为
中心， T为半径的开球体 I:x (r）为其边界， 即Ex(r) = {t ε R曰 ： l t - x l = r} .
简记B(O,r）为B(r), Eo(r） 为E(r）. 因此E(l) = §n 一 1 为]Rn中的单位球面． 函
数u在Ex (r）上的面平均定义为：
M叩 （u) ＝ －－：－」
n - lr山τ丁品 J'£l ,,(r ) u( s)ds = W__!___
n一 1 }§/ n - 1 u(x ＋ 的dt’ ，
这里及下面， ds 记!Rn中一般曲面的面积元， dt＇为§n -1 的面积元．
第 四章 调和 函数
定理4. 1 . 2 （ 调和函数的球面均值性质） 设 U在区域。内调和． 如球E百万0 c
Q， 那么对O < r 《 时， 有u(x) = M x,r (u) .
证明 （i） 设E是Q中任一个具有充分光滑边界M c Q的子域． 记u在M 上的
外法向导数为茬， 则
(4.1.2)
jδ主 ds ＝ 。
事实上， 令υ（x） 三 1 (x ε £）， 应用Green公式·
98
j严v － 吟巾
并注意到6-v = 6-u = 0及� = 0， 得到（4.1.2).
E:
(ii） 由调和函数的平移不变性， 只需讨论Z = 0的情形． 任取ε 满足0 < <
T 《 时， 则（4.1.1）中定义的函数F 在 B : = B(r) ＼ � 内调和． 下仅证n 》 3的情
形. ( n = 2的情形类似可证， ） 注意到，
df（ρ） I｜ = (2 - )
在I;+ (r）上，
( 4.1.3)
dρ ｜ ρ＝r
一 一一一
θr ＝
θn
n r1
在2一（ε）上， τ ＝ 一 df（
(4.1.4)
「－ρ） tI｜ ρ＝ε ＝ 一（ 2 - n)
这里及下面， I;＋和E一表示沿球面2的法线方向分别指向球面外侧和指向球心
由于 u, r均在B上调和， 由Green公式以及（4.1.2）式， 有
。 ＝ 儿 （ul:!..r - fl:!..u)dx = faB （击 － r主 ） ds = laB 去 ds .
由（4.1.3）和（4.1.4）式， 得
。 ＝ �＋（r) u � ds �－（c:) u � ds
= �（r) U · ( 2 叫 r 1- n ds 一 ι
θr
r
E: 1
+
即
汇仨l l（ε） u(s ) ds ＝ 汇仨1 l (r) u(s ) ds .
§
4.1 JR.n上调和函数的基本性质
99
这样由U在0点连续， 得到
M o,r (u) ＝
汇仨T h价） u(s
＝ 汇仨T h 位） u( s
＝ 二士； lsn-1 U 叫， → u(O) 川）
口
因此对任意的z ε Q， 均值定理恒成立 ．
定理4.1.3 （ 调和 函数的最大值原理） 设u为Q内的实值调和函数， 且满足A =
s p u(x) < oo. 那么或者u在Q中取常值A， 或者对任意的 z ε Q， 有 u(x) < A.
证明 令E = {t ε n : ·u (t) = A｝. 如E = 0， 则结论成立 现不妨假设E 并 G
先说明E为闭集． 因U在Q内连续， 任取E中的点列｛xk｝， 满足Xk → Xo (k → ∞）
贝�u(xo) = kl！� u(xk) = A， 即Xo ε E， 故E为闭集 下说明E亦为开集 任取Xo ε
E， 则存在ro > 0， 使得B（句，ro) c n. 由球面均值性质， 对任意的0 < r < ro,
A = u(xo) ＝ 一Wn＿＿.！＿i rτ川丁A l u(s)ds.
则在:E:i:o (r）上恒有u(t) = A. 事实上， 如存在So ε 丸。（r）， 使得u( so) < A， 那
么 由U的连续性知， 必存在球B（句，<5) c Q， 使得在B（句， <5）上u( s) < A. 记A =
B( so, <5) n :Ex。（r）， 那么A的面测度 I A I ＞ 。 这样
A u(xo ) ＝ 二土士
Wn -F 于 l [A - u( s)] ds
主丁 ／ [A - u( s)] ds > 0.
注二
Wn -P
但此与u(xo) = A矛盾 上述事实及0 < r < ro的任意性说明， 对任意的Z ε
B（句，而）， 恒有u(x) = A. 因此B(xo,ro) C E， 故E又为开集． 现考虑（JR.n,U）的
子拓扑（n，叫。）， 这里M为]Rn中开集的全体． 显然E相对Q是既开又闭的． 因此 ，
由。的连通性知， 或者E = D， 或者E = 0. 这表明， 或者U在Q中取值恒为A， 或
口
者U在Q中恒小于A
u
:i:Erl
JL.x0 (r)
J L. x0 ( r)
J /\
［数在Q内不能达到其上确界
注4.1.1］ 调和函数最大值原理的意义在于， 区域。内定义的非常值调和函
定理4.1.4 ( Liouvil e 定理） JR_n 上有界的调和函数必为常值函数．
100
第 四 章 调和 函 数
证明 设也为!Rn上有界的调和函数． 首先说明3 调和函数不仅具有关于球面
的均值性质？ 也满足球体均值性质． 记Vn ＝ 巳止1为!Rn中的单位球的体积． 由定
理4.1.2， 对任意的Z 巳 !Rn及T > 0,
u(x) u(x） 刊 ρ叫ρ
＝ 二 1r Mx,p (u)r pn l dρ
(4.1.5)
＝ 二三； 去 1 { ln-1 U川t' )dt＇ ｝ ρn-l dρ
＝ 斗；；： lY l < r u(x + y)dy
＝ 斗n l(x,r) u(y)dy.
由（4.1.时， 对任意取定的町，X2 ξ !Rn及T > 0， 有
lu (x 1 ) - u(x2 )I ＝ 」
Vn l士 I JB(I x1,r) u（ 州 JB(x,,r) u(y） 句｜I
注意到当T充分大时， B（町，r）与B（町，r）必定相交． 因此有
出 儿（x1,r) u(y)dy L(x2 ,r) u(y） 叫
ζ �如 （ 儿（x1, r)\B(x,,r) dy L(x2 ,r)\B(xi,r) dy .
l u l oo I B （町，r) 6 B(x2 , r)I,
(4.1. 6 )
lu (x i ) - u(x2 )I 《 ττ；；；：－
vn ’
其中B(x 1 , r) 6 B(x2 , r）为B（町， r）与B(x2 ,r）的对称差． 取T > d lx 1 - x2 I， 那么
I B (x 1 , r) 6 B(x2 , r)I 运 Vn [ (r d) n 一 （r - drJ = O（户 1).
口
由（4.1. 6）知定理的结论成立．
!Rn上取正值的调和函数必为常值函数．
定理4.1.5
证明 设u为!Rn上正的调和函数． 对任意的Z ε !Rn， 取T ＞ ｜ 叫 ， 那么 由（4.1.5),
u(x) u(O) ＝ 占
Un i JIB(x,r) u（ 帅 一 J B(r) u(y） 圳
u( ）
运 步； L(x,r) L>. B(r) y 句
n
=
l
一
+
)
故
=
+
(Liouvil e定 理）
！
\
l
/
!Rn 上调和函数的基本性质
注意到Ju在!RJu(nx中取正值1因此
）一 u(O) J 《 言 l u（ν）
＝」Vnr丁· l Jxl)πu(一y)（drν－-lx土lr王 l u(y)
=u(
O
)
r
n
口
.
!!
P
在!R
n
中为常值函数．
令T→∞，得u(
x
)=
u(
O
)
u
下面的定理说明均值性质完全刻画 了调和函数
定理4.
1
.
6
设uεc2
n
）
.
如对任意满足E百万）cQ的球B(
x
,
r
）
，
有u(
x
)=
(
调和
－
身1x,r证明(u）， 那么U在Q内
对任意固定的zεQ， 记Uk＝ θX二一，01•k’ UkJi = ＿＿：：：＿θXkθ＿ Xj
-t; (u)
（
u
)=
1.
叫。
出
那么
fr [u ( x 十时’ ） l 二 L uk( x + rt' ) t�
101
§ 4.1
兰
Vnr … JB ( x ’ r )6. B( r )
ζ 斗；； le俨＋ JxJ）怦 J x l
Vnr叫 JB(r -Jxl )
j B (r+Jx l )
(r +
a鸟 ，
一一 及
,
.
－
K
’
T
＋
uZι－m ，d
n
γμ
牛
T
一－
＋
z
u
T＋d
M
－
2
fls
’k
u
n
Z
抖
一
川
k
’
n
艺
阳
u
一－
T
M
＋
zd
u
M
d
及
M x ,r
－
M
所以
＝ 主 fsn主l
Ukj (X 十 T川 M
令T→0，得到
叫。（u) ＝ 斗； 二1 fsn Ukj (x)t�材
＝ 卢 立l Ukj (X） 儿－1 t�tj dt'.
i
(4. 1 . 7)
第四章 调和函数
1 02
现说明，如有 � d 1 = { � ＇ j = k, (4.1.8)
lsn-l l lJ l
k,
j
＿！＿
.
�
另一方面，
4
4
由u(
.
.
(
1
1
u
.
.
）
x
7
时
知
=
)
，
=
，
左
那么由（
知M�
Mx
u
,
(
u
)
)
(
0
r
边关于T为常数．
因此�u＝ηM�
在Q内调和．
因此剩下只需证
（
u
)=
0，从而
U
，
。
明（4.1.8）式 当j= k时，
Wn 1 = fsn dt' = fsn (t川2 + + t';)dt' ＝ η fsn 1 t�2dt”
因此
当j k时，定义!Rn 中的旋转 .
ρ（x1 , · , Xj 1 , Xj , Xj+l， … ， Xn) = (x1 , ' Xj-1 , -Xj , Xj+I ， … ， Xn)·
如记J(t') = t；吨，那么
"I
n
午
一一
，d
2
·k
Q山
rt’
’’
l
I
"I
J← 1 川
这样
t' ＝ 一 fsn一 c
1仰
1n- dl1 =
口
故当3笋k时，
2
事实上，也巳c
n
）
的
条件还可以减弱
(
定理4.1. （ 调 和函数的球面均值特征）设uεC( n ） ， 如对任意满足五百万）c
Q的球B(证明x, r任取Xo）， 有u(xε0，那么存在r
)= Mx,1(u）. 那么0 >U在Q内调和，且uεC00
.
n
(
)
0，
使得B(Xζ百）c
n.
取径向函数ψε
�（!Rn）， 满足
supp帐 川｜ζ 1｝ 及 儿 叫x= 1.
记性（x)＝去ψ（？）（ε ＞0）. 对任意的ZεB(xo, ro）， 令民（x)= (u ＊收） （x）. 显然，
儿n
Q. 即川式成立
7
§ 4. 1
1 03
IRn 上 调 和 函 数 的 基 本 性 质
只 要E充分小， 必 有x - ct＇ ε B(xo, ro ） . 此外， 问 ξ C00 (B（町 ， ro ） ） ， 并 且
叫
＝ 1t， �E: u怡 一 均 附 也
1" hn - 1 u(x 一 巾ε （r)rn - l dt＇ 由
= 1" r～ 0 (r) Wn 1 〔 士1 hn-1 叫 x - rt＇ ） 均 由
=
由 均值性质 ， 对任意 的r, 0 《 T 《 E， 有u(x)
=
叫
Mx,r (u） . 应用 （ 4. 1 .9）， 得
ω ＝ ω吭一
(4 . 1 . 10）告诉我们， 对 任 意 的Z ε B (xo, ro ） ， 只 要E > 0充分小， 在 B (x， ε） 中 也便与一
个coo 函 数 等 同 ． 注 意 到 微分 是 个 局 部 性 质 及 由 Xo ε Q 的 任 意 性 ， 知u ε C00 ( 0 ) .
运用 定 理4 . 1 .6的结论便知u在Q 内 调 和
口
推论4.1.8 设 ｛uk } kE N为 区 域。 内 调 和 函 数列 ． 如 ｛uk } k EN在 Q的 每一 个 紧子
集上一致收敛于u， 那 么 U在Q 内 调和
证明 因为。为 区域， U k 均在Q 内 调 和 3 因 此Uk 均在Q 内 连续 ． 又 由 ｛uk } 在 Q 的
每 一 个 紧 子 集 上 一 致 收 敛于帆 故 可 知u在Q 内 连续 ． 为 证 明 也在Q 内 调 和 ， 由 定
理4. 1 . 7， 只 需 说 明U在Q 内 满足均值性质 即 可
任取Z ε Q， 那 么 存 在To > Q， 使 得� e n. 由 调 和 函 数 的 球面均值性
质 （定理4. 1 .2 ） 知 ， 对任意的k及O < r 《 吨 ， 有问 （x) = Mx,r (uk ） · 由 于 ｛uk } 在�x(r)
上一致收敛于包， 因 此
u(x)
_lim Mx,r(uk)
= K;－→
00
＝ 浊。 丰 fsn 1 毡k (x + r州
＝ 士1 ln- 1 k�1! 也k (x 斗 巾’
＝ 士1 fsn 卢 十 咐 ＝ Mx,r (u〕
�Pu在 Q 内 满足均值性质 ．
口
推论4.1.9 （ 调 和 函 数 的 球 体 均 值 特 征 ） 设u ε C( O） . 贝Ll u在Q 内 调 和 的 充分
必 要 条件 是对任意满足亘古J) c Q 的 球B (x, r）， 下 面 的 等式成立：
Mx,r (u) ＝ νx,r (u) .
(4. 1 . 1 1 )
第 四章 调和 函数
104
这里Vx,r (u）称为证球B(x,r）上 的体平均 3 即 ： νx,r (u) ＝ 苟言 JB(x ,r) u(y)dy .
证明 如u在Q内调和， 那么 由定理4.1. 2 和 （4.1.5）即知（4.1.11）成 立． 下证充分
性 设亘古"":R) c n. 对任意的0 < r < R， 由 （4.1.11）， 有
主 l u(y)dy ＝ 丁L / u(s)ds .
因此
r
ηfo ( la 产 叫 dt = r la (r) u(s)ds .
ψ（r) = la ( r) u(
那么
r
n fo r.p (t)dt ＝ 叩（r) .
在两边关于T微分知， ψ满足以下微分方程：
Tψ’ （r) + (1 η）ψ（r) = 0.
从而存在与T无关的常数民 使得ψ（r) = crn-l 故由 （4 .1.11),
ψ（r) ＝ 百 二
(4 .1.12)
να，r (u) = M α，r (u) ＝ 百万�
( 4.1.12）表明， u在B（α，r）上的体平均比， r (u） 与T无关 由于U连续， 至少存在B（α， r)
内一点Xo， 使得u(xo）等于均值比 r(u）. 又注意到 （4.1.12） 对任意小的T均成立， 故
口
由Lebesgue微分定理得到Xo ＝ α． 应用定理4.1.7即知 u在Q内调和．
l注4.1.2］ 推论4.1. 9 中 函数的连续性是必需的． 事实上， 如果U为Q内 的调和
函数， 而U与U仅在有 限个点上取值不 同 那么 U 仍满足 （4.1.11）， 但υ显然不是Q内
的调和 函数．
定理4.1.10 ( Harnack不等式） 设u为区域Q内 的非负调和函数， 那么对Q内
的任一有界子域。 1 ） 如同 c o， 则存在常数c C(n, n, n 1 ) > o， 使得
sup u(x） 运 C xE01
inJ u(x) .
证明 ． 不妨设u不为常值函数． 对任－xo ξ Q， 取T > 0， 使得亘古ζ否） c n .
对任意的X 1 , X2 ξ B（町 ， r）， 由 （4.1.5 )
u(x 1 ) ＝ 主言 lB(x1 ,r) u（ 州 ζ 土工 l u（ 帅 ，
Vn r ·· J B（ α ，r)
HVn F …
J εα （r)
，，、．
丐
=
zεf)1
Vn t
J
Vnt
J B(x0,2r)
§ 4.1
!Rn 上调和函数的基本性质
且
(x 2 )
1 05
u(y)dy .
u(y)dy 飞 � /
/
＝ 一」－
Vn (3r)n JB(x0, 2r)
n (3r)n }B(x, ,3r)
"
因此， 对 任 意 的X 1 , X2 ε B （町 ， r) , u(x i ) ζ 3nu(x 2 ） . 这样
( 4 . 1 . 13 )
u
内4
2
u
及
u
1
nbε
3
一一
z
u
由 于D 1 有 界且百i c n， 故存在町 ， X2 ε 凡 ， 使得
、‘，，，
z，
－Q
d
－u
d
－－
z
－q
m
唱i
sup u(x） ζ 3n inf u(x) .
xEB (xo ,r)
xE B(xo ,r)
设γ是百 1 中 井连接X 1 , X2 的弧线． 取T > 0， 使命 ＜ inf { l y - y' I ： ν ε θD, y＇ ε θDi } .
由 Heine-Borel有 限 覆 盖 定 理， 存 在 正 整 数k = k(D, D 1 ） ， 使 得ri1 被 最 多 k 个 半 径
为T的球所覆盖 从而γ被 最 多 c ( e ζ k）个半径为T的球所覆盖． 从X 1 所 在 的 球开
始3 在每个球 中 依 次运用 （4. 1 . 13）式， 便可得u (xi ) ζ 3k n u(x2 ） . 故 定 理得证．
口
推论4. 1 . 1 1 设｛u k }k EN为Q 内 单增 调 和 函 数 列 － 如存在 ν ε Q， 使 ｛uk （ ν ） ｝k EN
收敛， 那 么 对Q 内 任一包含U的有 界子域。 1 ， 百 1 C D, {uk } kEN在D 1 中 一致收敛于
一个调 和 函 数
证明 任给E > O， 存 在N ε N， 使 得 当j 注 k > N时， 有O 运 问 （y) - U k ( Y ) ＜ ε．
由 Harnack不等式 （ 定 理4. 1 . 1 0 ) ,
sup (uj (x) - uk(x））
xEfi1
ζ C inJ (uj (x) - uk(x))
xE!11
运 C(ui （ ν ） - uk (y)) < Cε．
( 4. 1 . 14 )
此处C仅 与η， D, D 1 有 关 ． 由 （4 . 1 . 14） 及 推 论4. 1 .8， 知 ｛ u k } k EN在向 中 的 极 限 函 数
在D 1 内 调 和 ．
口
§4. 1 . 2
!Rn 中 球 内Dirichlet问题的解及 其应用
经 典 的Dirichlet 问 题 是 ： 设。为!Rn 中 的 有 界 区域， f 为 定 义在 其边界θQ 上 的
连 续 函 数 ， 那 么 是 否 存在 一 个在。上 的 连 续 函 数u， 满 足 ：
{ �u(x) = 0,
x ε n,
2 ε θn.
如 果 这 样 的U存在， 那 么 U 是 唯一 的 （ 见 习 题 囚 第 2题 ） ． 先看。为单位球 的情形． 我
们将指 出 ， 运用 单位球上 的 Poisson核便可解决单位球 内 的 Dirichlet 问 题 ．
第 四章 调和函数
106
定义4.1.2
.!Rn 中 单位球上 的 Poisson核p(s' , x） 定 义 为 ：
p(s' , x) ＝
一一一一一一 一一
1 - r2
l 一 lxl2 ＝ 1
Wn 1
Wn 一 1 I x - s ' ln
其 中 r = l x l < 1 , l s' I = 1 , （）为z与s＇ 的夹角 ， cos （） ＝
平
定理4. 1 . 1 2 单位球上 的 Poisson核p(s’ ， x）具有如 下 性质 ：
(a） 任 意 的 s' ε §n - 1 及 l x l < 1 , p(s' , x) >
O;
(b） 当 l xl < 1 时 ， J二π ， p(s' , x)ds' = 1 ;
(c） 对x＇ ε §n l ， 令x = rx' (0 < r < 1 ） . 则 对 任 意 的 c) > 0， 极 限
j
i
p(s' , rx ' )ds' = 0
→l ！1飞
- U J s'-x' I ＞ δ
关于Z ， ε §n 1 一致成 立 ．
证明 （a） 显 然 成立
(b） 的 证 明 直接计 算 可 知 ， 对任取 的s＇ ε §n - 1 , p(s' , x ） 关于Z在 lx l < 1 内 调
和 ． （ 实 际上可验证， p(s', x）关于z在.!Rn \ { s＇ ｝ 内 调 和 ． ） 由 调 和 函 数 的球面均值性
质 （ 定 理4. 1 .2） ， 知
1 ＝ 陆一 1 川）
= �n-1
p川，）dx
( 4 . 1 . 15)
注 意到 s', x， ε §n - 1 ， 计算 内 积， 得 Jrx， 一 s' J = Jrs＇ 一 x' J . 这样，
1 r2
1
1 r2
p(s’ ， 旷 ） ＝ 一一 一一一一一 ＝ 一一 一一－一百 ＝ 帅 ’斤 1
ωπ － 1 Jrx' - s' J n
Wn 1 J，。 一 曲 l
由 （4 . 1 . 1 5 ） 及 上 式 知 （b）成立．
(c） 的 证 明 ． 注 意 到
·+
Js ' - x J 2 = J s ' - rx' J 2 = 1 - 2rs' x ' r 2
= ( 1 - r) 2 + 2r( l cos ()) > 2r( l 一 cos B).
另 一方面， 62 < J s' - x' J 2 = 2 ( 1 一 cos B ） ， 因 此Js' - x J 2 > rb2 这样，
L,
I s ’ 2 ’ 1 >8
时x' ) ds' =
JL ,
�主主
s' Jn
－(rb
－一一2 ）一旧／2一 rl… ＇
s ’ －x' I ＞ 占 ω叫 一 1 Jx
ζ 一一一－ I
、 Wn - 1 } s ’ － x ’ 1 > 8
ζ
元； → 0
- .
－ �
(r → 1 一 0) .
§ 4.1
1 07
JR.n 上 调 和 函 数 的 基 本 性 质
口
很清楚3 上 面 的 极 限关于4 ε §n - 1 是 一致 的 ．
运用单位球上的Poi
s
o
n核p(
s
’
，
x
）
的
性质，可解决单位球内的Di
r
i
c
h
l
e
t
问
题．
定理4.1.13 设f在§n-1 上连续则函数
{I J sn - 1 J(t' )p(t' , x) dt’ ，
I
i. 由Pois on核p(t’， x）在单位
ro 一 xo 五百ζ可） c
u(xo ＋付’）dt' ＝二L f(s')p(s', xo ＋时’）ds'J) dt'
s') I ÷L p(s', xo十rt')dt'J) ds'
J
C
＝ 儿－1 川队）ds' ＝响）
I上 J(s') （
-u(
x
0)
1
ln 1 I J ( s＇ ） 一时IP川0 ) ds'
f(s') I
If(s') -f（吨） lp(s', rx0)ds'
u(x) =
lxl < 1 ,
I
lx l = 1 ,
J (x ) ,
在 B ( l ） 内 调 和 ， 在E百7上连续．
证明 先证 明U在B(l ） 内 调 和 ． 由 定理4 . 1 .7， 只 需iifo 在B( l ） 内 连续 并 且满 足
均值性质 任取Z ε B ( l ） 及 h ε ]Rn ， 使得 I x + hi <
球 内 的连续性，
当 l h l → 0.
lu川
另 一方 面 ， 任 取Xo 巳 B ( l ）及0 <
< 1 l l ， 使得
的O < r 《 时 ， 由p(s’ ， x）在单位球 内 的 调 和 性 ， 有
/
__2_
Wn - 1 J§n - 1
Wn
=
/
B(l）. 对任意
( /
1 J §n - 1 \ J §π － 1
I
J §n - 1
Wn - 1
\
/
J §n - 1
下 面 说 明U在B(l ） 上连续 ． 显 然 只 需讨论u在§n - 1 上 的 连续性． 任取x(i ε §n - 1 1 首
先证 明 当z沿x(i 同 一 向 径趋于x(i时 ， U是 连续 的 ． 由 条件 可知f在§n - 1 上一致连续．
因 此对 任 意 的 E > 0， 存在6 > 0， 使得对任意 的s', t’ ε §n - 1 ， 当 I s' - t'I 《 6时，有
现i己x = rx0 , 0 《 r < 1 . 对
-
J (t' ) I ＜ ε．
述 6 > 0， 由 定 理 4.1 . 1 2 时 ， 有
l u(x)
《
=
-
J s’
xb l ζ/j
= : Ii + I2 .
I
Jc吨 ） lp(s’ ， rx(i )ds ' +
/
J
s'
xb l >li
( 4.1 . 16)
108
对于Ii ， 由（4.1. 16）及定理4.1.12（时If，有(s’） -f(x�） Iρ川
← 儿， xCil �8
另一方面， 由f在§n 1 上连续知，存在常数clf(x')I >ζc0，使得.
( 4 . 1 . 1 7)
1
§
n
’
E
2
1
-0）
时
，
应用（4.1.17）及定理4.1.h《12(c）2，C当Z→x� （等p(s价地，T→
s’－xb l >6 ’ ， rx� ） ds＇ →0.
n1
,
U在沿Xo同一向径在Xo处连续．
因此对任意的Xoε§
1
n1
l
且
Z
ξ
第二步，
假定Xo
ε
§
r
<
.
一方面，
）
.
可记x
=
r
x
'
(
0
B(
运
)
1
n
由f；在§
上
一致连续知，
对
任意的ε＞0，
存
在8
> 0， 使 得对任意的 s' , t＇ ε§n- 1 ,
1
当I存在8s' -2t>'I <0，使得当l
81时，有If-(sr')<-8J2(时t’），I l<u(cx/)-u(2. 这x样当')I <Ixc' /2x(i.现取0<
l < 81 时，由第一步的结论3
.
8
<
8
,
8
}
2
1
那么当 lx -x01 <8时，有i-r=I功 1 - lxl运lxo一叫＜8 < 82
及 lx0-x'I 运lxo-xi + Ix -x'I = [x0一叫＋(1 -r) < 28 < 81 .
因此 [u(x) -u（吨）｜ 运［u(x)-u(x')[ + [u(x') -u(xo) I
＝
）-u(
'
x
'
)
[
+
[
f
(
x
）
<c.
忡忡
)
-f（
I
吨
从而u在亘古7
上
连续．
口
n
应用命题4.
中任意球内的Di
r
i
c
h
l
e
t
问
题的解．
1
.
l
，
可以得到]R
n
推论4.1r.14 设Xoξ]R
o. f在 x （ α ） 上 连续，那么函数
，α＞
i r J(xo+at' ) α2一 I x - xo[ 2 dt’ ， [ x -xo[ ＜α ，
一一�
｜
W
u(x) = l f(nx)1,旷 山｝§n- 1 [ (x -xo) -at' In [x -xo[ ＝α
在B(下面给出推论4.
xo， α） 内 调和，在五百ζ写上连续
1.8和推论4.1.14的应用
第 四 章 调和 函 数
sup
/
J
§ rnin {
I: o
�
/
1 09
4.1
定理4.
1
.
1
5
设｛
u
ε
N为区域。内调和函数列
如｛
u
}
在
0的有界子域F的
}
k
k
k
闭包F上一致有界，且F
c n. 则存在子列｛ 问i }j EN 一致45t 敛 于一个r内的调和函
数u. 证明 我们分三步完成其证明
}
由｛
u
(在F上一致有界知，M:
i） 首先说明｛uk}kE=N在r的任一闭子集K上是等度连续的
事实上，
k
oo.任取闭集K
c F 由r有界，知存
s
u
p
s
u
p
u
(
x
)
l
k
I
k
E
I'
x
K,
又由K紧，存在｛
x
在αK使得 > 0，使得对任意的zεK,B币1百）cr
;
}
1
运
i
�
N
KC N B(xi, aK) C r.
(4. 1 . 1 8)
2
a
K）
中
的任一点句，有亘在ζa:;)
c F由于｛ uk } 在 r内调和，
显然，对任一球B(
x
,
i
ξ
)
,
应用推论4.1.(1x4)及球上Di
r
i
c
h
l
e
t
问题解的唯一性，对任意的Z
B(
x
o
,
aK
-xol2'
＝ 一一－－＝－ r uk (xo ＋αKt ' ) l ( x L-xo一I)x－αKt
由此式得到胁。） 1 = 1 1 uk（ ’）tj dt' I ♂ (4.1.19)
川一 1
αK
4.1.19） 表 明，i=l｛ 先归）, 2, ·｝ 关于3, N，当x,λ x1£y εB(B（町xi，,问2αK））上时是一致有界的
运用（
4
.
1
.
1
9
(对任意的k及
)
,
，有
η3αK/2M Ix -YI · (4.1.20)
·
）
u
）
(
x
）
（
�
u
-Y)
I
运
I
=
l
(
（
ν
(
x
)
-u
V'
一－
k
l
k
k
x
4
.
1
.
1
8
4
注意到对任意的x,
y
EK，如满足
）
知
，存在1
N,
x
-yl＜αK，则由（
ζ
ζ
l
使得尘，(i ）u其次说明，存在子列｛
εB（町， 2αK）· 由此及（uk4;.}1J.2E0N）在r的任一｜
知，｛uk}在羽K上是等度连续的
子集K上一致收敛于某函数u.
由于｛按C(Kuk） }范数是列紧的
z
e
l
a
A
s
c
o
l
i
定
理知，｛
}
在
K上
u
kEN在K上等度连续且一致有界，应用Ar
k
刨
依C(
K
）
范
数收敛到一个函数u.
因此存在子列｛
U
;
}
j
k
注意到K为闭集，故子列｛
U
；
｝
一
致收敛于u.
k
因r开，故可构造一列闭子集凡，满足
(i i） 最后完成定理的证明．
K1 c K2 c · c r, 且 LJKi =r. (4. 1.21 )
1
对于K
，
由（
i
）
知
3存在｛
u
}
的
子列｛
u
L
勺
在K
上
一致收敛于V
.
由于｛
u
�
）
｝
仍
满
k
1
1
1
2
足在Q内调和，在F上一致有界， 因此由（i) (i ） 的结论知，存在｛u�l） ｝ 的子列｛uL ) }
§
JRn 上 调 和 函 数 的 基 本 性 质
<
c
U
t= l
/
Wn - l αk … Jsn- 1
J
I
�
Wn - l αK
In
…
第四章 调和函数
10
在K子列套2上一致收敛于函数饨，且t2在Kl 上 的限制为VJ . 重复上述过程，得到｛uk} 的
{
u
k}
::i { ukl ) } ::i ::i {uki) } ::i
i
2
1
上
一致收敛于V
）
上
的
使得对Z=
3
，
且的在K1(
l
,
i-1
）
｝
在
K
,
,
{
u
k
《
运
i
i
i
i
i
2
1
U
限制为句
ui
(
x
）
，
这里ui
：见对Z=
）
｝
的
第1
个
函数
3记队（
x
)=
(
x
）
是｛
,
,
k
那么对任意的j，最多除去前面的j-1
上
项
之外，｛
b
i
}
是
｛
u
�）
｝
的子列，因而在K1
2
1
一致收敛于V
, ， … ）． 这样，得到r内定义的函数u，其在K1
由推论4.上1 .8的限制为V
，知u在F内j口·
由（调和4.1.21）可知，｛j (j =川在r的任一闭子集上均一致收敛于u.
定理4.1.16 （ 调 和函数的反射原理） 设区域。 C �n+l 关 于]Rn 对称． 即：
如何7在D+ν:）=εQ，{(x, y）ε叫ν＞O｝
则（x, -y） ε Q内 调和，则u在Q内调和．
如Q内的连续函数u满足u(x, y) = -u(x, -y）， 且
证明 回顾L).IR叫 (：＝L).IRL).饥+＋茹i u)(x, y)因为U在D
内调和，因此
＋
0,
V
.
(
x
，
ν
）εD
=
+
：＝ ｛怡， y）εn1 ν ＜O｝内
而也调和因此只需证明U在Do:
（L).JRn+t u)(x, -y)= (L).JRn+1=u){((xx, y, y）ε叫y=
) = 0，所以U在QO｝内调和即可
任取（
句
，
0
）ε句，那么存在α＞0，使得B(
(
x
o
,
O
）
，
α
）
n.因也在Q内连续，
自
1
.
1
4
J
（
α
）
上也连续．
由推论4.
然在θB（
（
句
，
0
）
，
α
）
=Ee
町
，
，
存在B（
（
町
，
时
，
α
）
内
的
O
0）
，
α
）
，
有
调和函数w(ω怡， νx）＝, y），一－－，.－：
使得对任意的（
x
,
y
）εB(
(
x
o
,
2
2
α
xo
x
(
y)
,
l
l
，
，
f
I
：－
a1
川
§
n
W
+
(
x
-Xo一αt
n
,
一αs
)
y
l
l
i
'
'
n
（
α
）
上
此外，
在
E
ω忡，
ν
）＝
o
,
O
n记]R
n
+
l
中
的单位球面，
d
σ为§n上的面积元．
这里§
x
(
)
＇
u(xl(,xy）-. xo由于u(－ αtx’o＋αt， 一αs')’？lnα+sl')==l(-u(x -xo一xo ＋αtαt＇，＇，一ααss')）ln以十1及, v (t’， s’） ε§n. (4.1.22)
这样当U=0时，
由（
4
.
1
.
2
2)
,
w(x, 0) ＝一- Wn寸�lt Irr§n u(飞 ｛血 ， J r)、1 l(－x＇、 α-xo一2 α一2 l一I(xαt-xo(x’， -xo一αs, 0)',)10)2ln1l2噜
，
一
0
5
吭
一「
＇
…
一 j l (x xo d ， αs’ ） ｜ 时 1uu
,’， － 0)s')12I叶1 uu
r§n 一四，－
u儿o ， ＿_,_/ ， －＇ j飞 l ( x α2xo一 一l ( xα-xo
4
a
= w(x, O).
c
f
�
�
-
I
-
＇ … …
,_
·'
11
§4.l JRn 上调和函数的基本性质
o.
=
0
.
另一方面，
由条件知，
对任意的（
句
，
0
）
ε
0
,
u（
句
，
0
)
=
由此知w(
x
,
0
)
0
n
上
=
这样在B(
0
）
，
α
）
的
上半球面L:
以及B（
（
句
，
0
）
，
α
）门]R
u(
x
,
y）
.
由
w(
x
,
y
)
(
x
o
,
＋
题
于同理可证，
i
）
，
知在此半球体内W=U.
（
ω和U均在此半球体的内部调和，应用习题囚第2
在B(
(
x
o
,
0
）
，
α
）
的
下半球体内仍有w
u.
故U在B（
（
句
，
0
）
，
α
）
内
调和．
口
由（句推论4.， 0）εDo的任意性知u在Do内调和．
1.JR17'.;:.+l设U在:= JR'.;:.+l U JRn ×｛O}) = {(x, y）εJRn+l Y》O}
(
n
l
上连续，在JR
'.;:_
+
l内调和，且在]R
上为零．
那么如果u在JR
'.;:_
+
内有界，则u恒为零．
n
证明
通过反射将U延拓至JR
+l
上
，记其为UQ
.
由定理4.
1
.
1
6
在
JR
n
，知u。
+
l
上
1
.
4
在
JR
n
+l内有界，'.;:_+l 上由定理4.
调和在JRn+l由于u。上恒为零．在JRn故u在JR
，
知u。
+
l
上
为常值函数，
从而u。
口
亦恒为零．
=
1.17中也在JR'.;:_+l内有界的限制不可缺少．
例如，u(
x
,
y
)
［ν满足推论4.
注4.1.3]1.17推论4.的其他条件，但u在JR
'.;:_
+
l
上
不恒为零．
此例还说明，
当Q为无界
和
l
）
三
0均在区
Di
r
i
c
h
l
e
t
问题的解不是唯一的.
（
尘
，
区域JR
'.;:_
+
时
，
(
u
(
x
,
y)
＝
ν
y
v
0.
）
但若添加u的有界性条件，则由
n
上均有边值f
域JR推论4.'.;:.+l内调和，且在边界]R
1.17, Dirichlet 问题的解是唯一的
=
=
12
§4. 2 . 1
2.1 �n) (1 ζpζ∞） ． 则f的Pois on积分u在��＋l 内 调和，
定理4.(a）设fεLP（
1
n
分
积
s
e
i
j
t
l
e
i
t
S
n
o
s
i
则μ的Po
，
）
在R�＋
�
(证明b）设（aμεAt（
内调和
U
1
1
n核巧在R�＋
o
s
连续性可从Poi
内
u在R�＋
由定
内的连续性得到．
)
1
1
＋
r>
及
）εR�
，
町
满足球面均值性质即可．任取（
内
理4.使得B(1.7，仅验证u在R�＋
如
i
C R�＋ l ， 那么由巧在R'.;:.+ 内的调和性，有
)
r
,
)
o
Y
,
o
x
(
ωπ－l JSn u(xo+rt', yo +rs')dσ＝ωπ－I JSnz)wJJll:－nl f(z)PPyy00+rs'' ((xxoo ＋时’－z)
σ
d
z
d
JJll:n f( π J sn +rs ＋时’－z) dσdz
� j ( z ） 巧。 （xo-z) dz ＝仇如 ） ，
1
+
调和
内
从而u在R'.;:.
+1 内 满足球面均值性质即可．任取（xo, Yo） εR'.;:.+i , Jj�么
需验证，u在R'.;:.+1 内的调和性，得
(由Poisb）o只n核巧在R'.;:_
工ωη Jsnl u(xo rt', yo ＋时’）dσ ＝工儿Wn JsnI（士}JtnIfs马。巾， （xo+rt' -z)dµ(z) dσ
＝
n Py0 +rs' (xo +rt' -z） 吵µ（ z )
儿”马0 (xo-z) dµ( z ) ＝仇如）
＝
i
口
内调和
+
从而u在R'.;:.
定理4.2.2 设fεC(fRn(f）门L＊马）oo (（Rx)n,）. 那么函数(x, y）εR'.;:.+1 ,
(x, y) il f(x),
y=O
1
+
在R'.;:.证明+1 内调和，在R'.;:.
连续．
上
I
+
+
显然也在R'.;:.
调和．
内
i
2
由定理4.
u在R'.;:.
知
）
a
因此仅需证
连续．
内
(
l
.
明 U在Rn上连续任取XoξRn，由于f在Xo点连续，故对任意的E>0，存在η1 > 0,
第 四章 调和函数
§4.2
JR�＋ l 上调 和 函 数 的边界值
边值为£P （�n ） 函 数 的调 和 函 数特征
0,
/
=
=
+
=
/
/ /
/
13
ε]Rn : Ix -xol ζηi /2｝72， 时那，
时， lf(xo -t由定理l) -f(.x3o).5(Ia＜ε）知／， 2对. 上述ε，令F =存{x在加＞0，使得当O<y<1
当么F为]Rltl ＜ηn1中的紧集．
对任意的ZξF, lu(x, y) -f(x)I < c/2.
＋
2
｝
，
那么对任意的（
x
,
y
）εJR
�
l
)
'ft,
口
l
(
x
,
y
）一
，
η
这样，对上述ε，取0<
<mi
n
｛
η
/
i
2
(xo, O) I < O，lu那么I(x, yx) -u(-xoxl o,<O)O I＜ηζ liu/(2x且y<o＜咱
这样由（
4
.
2
.
1
）
，
有
l
f
(
x
)
-f(
x
o)
I
＜ι
,
y
)
-f(
x
)
I
口
�Pu在（町.，20.）l点连续．fεC(JR.n)
uo(x, y) �(l f((xx,)y, )+y y(x, y）εJRo. �＋l )
n
＋
1
s
o
n
积分在JR
�
由定理4.
2
.
1
知
，如fεLP(
JR.
内
，
那么f的Poi
)(
《pζ∞）
l
1
＋
调和．下面我们将讨论反向的问题，即对于JR.
�
内的调和函数u，在什么条件下，
U是一个LP函数的Po
i
s
o
n积分
1
定理4.2.3 如u在JR�+l s内调和，且存在p(
p
∞）
以
及C>O，使得
ζ
《
up l u(·, Y) l P n运c <
i
s
o
n积分；
那么· ((ba））当l<p运∞时3存在fεLP(
JR.
）
，
使U是f的Po
n
当p=l
时
，存在μεA
JR.
）
，
使u是μ的Poi
s
o
n
S
t
i
e
l
t
j
i
e
s
积
分i
(
1
(c） 对p=l， 如当ν→0时，u(
范
数满足Ca
u
c
h
y条件，即：
,
y
）
按
£
0.
-u（
－
，
如
）
(
,
�
1
l
1
1 (JR.n）， 使u是f的Pois on积分．
那么存在定理4.fε£2.3的证明有赖于下面两个引理
引理4.2.4 如u满足定理4.
2
.
3
的条件3则存在常数
得
>
0，使
A=A
p
,
n
l u(·, y) l oo sup lu(x, y) I ζ A · Cy-n/p.
§ 4.2 JR�＋ l 上 调 和 函 数 的 边 界 值
(4.2 . 1 )
o
+
l 注4
n £=(JR.n ） ， 定 理4.2.2给 出 了 JR�＋ l 上Dirichlet 问 题
］ 对于
的 一 个 解u . 现 令
=
=
那 么 容 易 验 证 ， Uo亦 在JR�+l 内 调 和 1 在JR�+ l 上 连 续 此 事 实 表 明 ， 在 一 般 的 条 件
下 ， JR.n+ l 的 上 半 空 间 Dirichlet 问 题 的 解 不 是 唯 一 的 （亦 见 ［注4. 1.3] ) .
y>O
到i ,y2 －→ u
lim
=
( 4.2.2)
00.
u Yi )
xEJR n
=
14
＋
特别地，u在每个本征子空间IR
�
：
�
:
=
(
x
,
y）εJR
�
I
:
y》Y
o
>0｝上有界．
Y
+l
2
为
）εJR
�
，
以（
x
,
y
）
为
中心，ν／
p
00的情形．任取（
x
，
证明
只需证明1
ν
运
时
1
.
由调和函数满足球体均值条件（
见
（
4
.
1
.
5
半径作球，则该球体积为V
l(
f
l
)
,
n
+
00时，
因此当1运p
iu(x, y) I 运 Vn+I l1 n+I iu（.；， η） Id.; dη
运 Vn,i+I （ �）n叶/十l＇ r iu（己，\η） ｜呗 dη ） (vn+I �
运 丁主羔
U 、寸 ， ，，r－；：； （ I I i u （.； ， η ) ! Pd.; dη/l
=
口
C
�
上，
有
特别地，在IR
�
：
i
u
(
x
,
y
)
i
《
y
1
引理4.
2
.
5
如
�
上有界．
那么对
内
调和，并在每个本征子空间IR
+
:
在IR
+
u
Y
任意的YI ， 的 ＞0, u（矶 的＋ = ., u(t, Y ）马 (x -t) (4.2.3)
fa 1 2
任意取定Y
o
> 0以及（尘 ， y ） εIR++ 1 ， 令w( x , y) = u( x , y +Yo ） . 那么
证明
由u在IR++1w在IR内 调和以及在每个本征子空间上有界知：
1
内
调和，
+
w在IRw在JR+'.;:_+1+1内有界；
另一方面，由于u(., Yo上） 连续εC(IRπ） n £=(JRn）， 令
W1 (x, y) = {l u(x,u(Yot),, Yo)Py(x -t)dt, (x, y）εIRy =+ 0.1 ,
+
+
1
I
内调和，
3
.
4
内
有界
且由定理4.
2
.
2
，
叫
在IR
+
在
JR
'.;:_
那么由定理l
.
a
）
，
知W
(
I
+1
+
1
内 调和井有界，1 . 17,
在IR在IR+'.;:_+1 上上连续，且在!R
连续 现令h(nx上, yh（) 工=， 0w()=x，w(ν）x, 0）wi一(xw,1y(）x. , O那么）恒为零．h在IR+那么由推论4.
h在IR++1 上恒为零. F!P对任意的U > 0,
u(x, y +yo) =w(x, y)=wi (x, y)= / u(t, yo)R自（x t)dt. 口
第 四章 调和 函数
{
<
<
/
（ 号 ） ，.－，－. 11 ＜已叮） － （ x,y ) l <y /2
/p
(\ JI1 ct.，的一 （x,y) l<y /2
l /p
r3y/ 2
\ Jy 2
/ J]Rn
ζ CAn , pY 一 （n +I )/py l /p CAn,p Y n/p.
A n ,p Y;; n/p .
Y2 )
(i )
(ii )
(iii )
I /
Jan
-
J ]Rn
J
（ � t+ 1 ） 旷
15
4.2
4
.
2
.
2
u的LP范数关于
a
）
当1
p
运
∞时，
由条件（
)
,
(
ν
'
n
1
oo）
是可分的Ba
n
a
c
h
空间，
任取点列｛
｝
满
一致有界．
因为LP
(
!R
ζp
)
(
Y
k
'
'
n
足以的． 因此存在｛
→ 0 (k →u（尘oo）， 如，）｝那么｛的子列｛u(xu, (yxk，）如｝作； ）为£P｝ 以及fε£P
列
紧
(!R ）上的有界线性泛函是弱＊
n
）
｝
弱
＊
收
）
，
使得｛
u
(
x
，
(
IR
如
；
’
n
敛于f. 即： 对－7.Jg εLP （!R ）， 有
坦 儿n u( t ， ν
现取g(t) = Py(xlim一t）’ 那么 ；
u(t, Yk ）马（x -t)dt / J(t）马（x -t)dt. (4.2.4)
另一方面，
由引理4.
2
.
4
知，u在JR
�
+l内调和及在每个本征子空间上有界，应用引
理4.2.5，有
儿 u川
鸟
3
由（4.2叫和（4.2.5）， 得 u(x,
(上的有界线性泛函是一致有界的．应用Banac
b）当p=l时， 任取点列｛Yk｝满足Yk →0，由（h-Ala4o.2g.l2u）定理，知，｛u存(x在子列｛
, Yk）｝作为Co(u(x, ykIR;n) })
以及με.4'(1Rn）， 使得｛u(x， 风 ）｝弱＊收敛于μ 取巧（x 一 ·） Co(IRπ）， 那么
lim u(t, YkJP,自（x -t)dt = Py(x -t)dµ(t). (4.2.6)
由（4.2.5）和（4.2.6）， 有 川）＝ 儿 马（x -t)dµ(t).
n）， 使得
(c） 如当u→0时，叶， y）按lim£1 范数满足Cauchy条件，则存在fεL1
(
1R
Jju(-, y') -fl 1 = 0.
_
因此，对任意的gε£＝u(（JRt,ny'),)
ln
§
JR�＋ l 上 调 和 函 数 的 边 界 值
定理4.2.3的证明
<
<
3 → (X)
/
JJRn
’
=
JJR�
E
/
/
JJRn
3 → ex> JJRn
Y �u
第 四章 调和 函数
1 16
现取g (t) = Py(x t）， 那么 由 （4. 2 . 7),
ln u(t, y＇）马（x 一 材 → ln J(t）马（x t)dt ( y＇ → 0 ) .
( 4.2.8)
另 一方面， 由 （4.2.3）和 （4.2. 时 ，
儿 11, ( t, y' )Py(x 一 叶dt ＝ 川 ＋ y） → u(x,
最
后？
由
上式和
（4.2 . 8）， 得
川
）=
口
ln J(t)P(x - t, y)
［注4.2.2］ 由 定 理4.2.3， 当 1 运 p 《 ∞ 时 ， 条 件 （4.2.2） 给 出 了 JR�H 上 调 和 函 数
是 一 个Poisson积 分 的 特 征 ， 进 而 可 推 出 其 非 切 向 边 值 的 存 在 性 （ 见 下 面Fatou定
理 ） ． 定 理4.2.3 的 结 果 在 下 面 的 意 义 下 是 最 佳 的 ： 对 于 满 足O < p < l 的 每一 个p,
存 在IR�+l 上 调 和 函 数u， 满 足 条 件 （4.2.2）， 但 当 U → 0 时 ， U在IRn 上 不 能 几 乎 处 处
存在非切 向 极 限．
另 一 方 面 ， 可 以 证 明 ， 如u在JR�＋ l 内 调 和 且 对0 < p < 1 满 足 （4.2.2） 式 ， 则 极
限 li骂 u(x, y） 在 缓 增 广 义 函 数 的 意 义 下 存 在 即 ： 存 在U ε Y'(IRn ） ， 使 得 对 任 意
的ψ ε Y(IRn ) ,
；叫 n 川
特 别 地 ， 极 限u 唯 一 地 决 定 了 u （ 见 ［3] ) .
§4.2.2
调 和 函 数 的非切向极限
n
1
由第一章的讨论知道，一个LP(
IR
)(
函
数f的Po
i
s
o
n
积分在IR
n
上
《p运∞）
几乎处处存在径向和非切向极限（
见
定理1
.
3
.
4
和定理1
.
3
.
8
）
.
在本节，
我们将讨
论JR�＋l内一般调和函数（不必是LP(JRn） 中 函数的Pois on积分）在IRn上的非切向收
F
a
t
o
u
定理）设u在JR
�
＋l内调和如存在1《p《∞，使得（
(
立，那么U在IRn上几乎处处存在非切向极限．即存在]Rn上的函数f，对任意的α＞
敛 问 题． 这 方面 的 第一个结果是法国 数学家P. Fatou [48］在 1906年得到 的 ．
4 .2.2）成
定理4.2.6
O及a.e. z ε ]Rn ， 有
。 ��芋 ， l u(t, y) = f(x) .
，νJ J 飞X }
(t ,y）→归，。）
( 4.2.9)
17
4.2 �＇.；：.＋1 调和函数的边 值
其中： (a）当1< p《∞时，fεLP（�π）且U为f的Pois on积分；
JR
n
(
x
)
d
x为.
,
ll
(
）
中
某测度μ的绝对连续部分，且U为μ的Poi
­
时
，
f
b
）当p=1
(
s o口－证明Stieltji因也在IR
es 积分'.;:.+1 内 调和且满足（4.2.2）， 当l<pζ∞时， 由定理4.2.3知，U是
s
o
nf
只
分2再由定理l
.
3
.
8
4
.
2
.
9
某£P当p=(JRn） 函 数的Poi
）
成
立
(
b
）
知
（
n
1
时
，
由定理4.
2
.
3
，
存在με.,l
l
）
，
使得u为μ的Po
i
s
o
n
S
t
i
e
l
t
j
i
e
s
积
(
JR
1
I
n
R
ado
n
N
i
k
ody
m
定理（
见
命题2.
3
.
2
分．使得d由Leµ(xb)=esguef（分叫d解定理和
）
，
存在fεL
(
1R
)
,
xu（队+的＝P
dµ5 (x）y， *µ(其中的与Le
b
e
s
g
ue
测
度相互奇异
因此
.
x
)
=
P百＊f(
x
)
Pγ＊
µ5
(
x
)
由定理1
.
3
.
8
（
时
，马＊f在]R
n
上的非切向极限几乎处处为f
因此，为证明（
4
.
2
.
9
）
式
，
只需说明，马＊的在]R
n
上非切向极限几乎处处为零．
而此事实可由的与Le
b
e
s
g
ue
口
测度相互奇异得出
（
见
［
1
9
]
)
.
由于非切向收敛性是局部性质，而条件（
4
.
2
.
2
）
是
整体性质，因此一个自然的
+
n
4
.
2
.
2
的局部是否
1
的
局部满足较（
）更弱的条件，那么U在]R
问题是：
如果u在JR
'.;:
.
仍具有非切向收敛性？下面我们将讨论这个问题先给出非切向有界的定义．
n
>r （xo)0，对Xoε]R
及α＞0，称
1 : 0 < y《h}
+
r
（
x
o
）
门｛
（
x
,
y
）εJR
'.;:.
由
为高为h的截锥，这里凡（
x
o
）
为
以（
句
，
0
）
为
顶点、α为锥度的锥（
见
定义l
.
3
.
5
）
.
设F
1
n
为定义在JR'.;:.+ 上的可测函数，对于Xoε]R
，如存在h>O、α＞0及c>
0，使得
sup JF(x, y)I ζc <
则说F在Xo处非切向有界．
n
（
局
部Fa
t
o
u定理）设也在JR
'.;:
.
+
l内调和，并在]R
的正测度集E上处
处非切向有界
那么u在E上几乎处处存在非切向极限
l注4.Pr2.4iv]alovPr在1iv9a2l3ov年又将单位圆周上的局部Fa
在1919年首先给出了单位圆周上的局部Fa
tou定理推广至JRtolu定理［
上［89］.8定].
§
上
界
+
定义4.2.1 设h
�
:=
(x,y)H� (xo)
oo ,
［注4.2.3］ 非 切 向 有 界 是 很 弱 的 性 质 ． 事 实 上 ， 容 易 看 出 ， 如也在JR'.;:.+ 1 中 有 界，
那 么 其 在]Rn 上 必 然 处 处 非 切 向 有 界 3 但 反 之 不 然
定理4.2.7
随后， I
I.
18
]
理4.19622年，LCa
.7是局部Farlestoon[u定理的高维形式？是由A.
Ca
l
d
e
r
但
在1
9
5
0
年给出的（
［
2
0
.
)
2.7的结论仍然成立.
1
9
6
8
年M.， ChrR. iHuntst 关于局部Fa
s
c
h
i
t
z
区域.
2
0
5
年，
和R. 巩The27］te在odue较弱的条件下，证明了定理4.
n定理给出了一个评
[63］ 将 定理4.2.7推广到一般的Li
p
.
注（
见
［
3
2
]
)
过 下 个 命题 完 定 的证
π
命题4.
2
.
8
设也在�＂＇.；：.
＋
！
上
连续，在R
的具有正测度的有界集E上处处非切向
C
有界． (a则对任意的ε，存在紧集E
E满足
i
)( 对IE\Eα，1hI s;O 存在 (s, h)
命题4.2.9 设u在�＂＇.；：.＋1 上调和，Ec�n为紧集． 对任意给定的α＞0及h > 0,
那么对a.定理4.e. zεE,u存在非切向极限．
l
2
.
7
的证明
不妨假定E有界．
由于也在�＂＇.；：.
＋
！内调和，故u在JR
"'.;:_
+
上
连
续的α＞O,由命题4.h 20，.8，对任意的kεN，存在紧集E
c
E，使得
� 且对任意
E
\
E
I
k
kl
在 k α h) 0 （不妨可取Mk 注1）， 使得 (4.2.10)
由U在lR"'.;:.+l 内 调和，知 一u一也在JR
k1 � 1 � 1'"'.;:_+l 内 调和，且对紧集Ek c E，由（4.2.10) ,
k
在 u在Ek 上 a. e . 存 在非切向极限因此白山e存在非切向极限
由命题4.
2
.
9
，
令Eo= U；二1Ek，则EocIE\EoE，且l IE\Ekl ＜ 卜 。， 卜∞）
�
口
这样这样，余下只需给出命题4.
IEol = IEI, filPu在E上a.e.存2在非切向极限
.
8
和命题4.
2
.
9
的证明．
在证明命题4.
2
.
8
之前，先
给出可测集密点的定义及其基本性质 r）门E设Ecl lRn咱可测． 如点zε]Rn满足：(4.2.1 )
第 四章 调和函数
P.
我们将 通
来
面两
成
理
明
<
b
） V
> ，
M
a,
>
0， 当（川） ε U r�（α）时， l u （川）｜ 运 M
αE E1
当 （川） ε xU r�（xo） 时 ， 有 忡忡， y)I ζ 1 ,
oEE
<
>
存
M = M 忡， ， >
l u （川） ｜ ζ Mk, V(x, y） ε U r�（xo).
xa E Ek
飞
M
M
I
(x,y） ε U r�（xo) .
xo E Ek
k一 IB(x,
户。 IB(x, r)I
‘
119
4.2 JR�＋ l 上调和 函数的边界值
则称Z为可测集E的密点． 有关密点的一个重要结论是： 可测集中几乎所有的点
都是 自 身 的密点． 事实上 设E为]Rn中 的可测集， χE为E的特征函数， 显然χE 巳
L｝。c (JRn）. 应用Lebesgue微分定理 （ 定理1.2.9）， 得到
1 Ir XE(t) dt
IB(x, r) n EI = lim 一－
VnTn Jit - xl < r
I B( x, r)I
a.e. x ε E .
= ;i骂 斗；；： l l <
命题4.2.8的证明 该证明将分三步完成
第 一 步证明． 对任意的E > 0， 存在可测集Eo c E及0 ＜ 间， ho < 1 , Mo > 0,
使得
(i) I E \ Eol ＜ ε／2 ;
( ii） 对任意的（x, y） ε Uxa E Eo r��（xo), lu(x, y)I 《 Mo .
对m ε N ， 记
Em = {xo ε E ： 忡忡， ν）｜ ζ m, 当 （x, y） ε r1 (xo)} .
先说明Em为可测集． 事实上Em为闭集． 设Xo为Em的任一极限点， 则存在｛xk} C
Em, 1.更得Xk → Xo (k → ∞）． 任取（x', y’） ε r:f (xo）， 那么Ix' - xol ＜ 去j 因
此， 存在8 > 0， 使得I x’ － xol < 8 ＜ 去y＇. 另一方面， 存在N， 当k 》 N时，
l x k - xol < （去y' - 8)/2. 所以
I x’ 一 句｜ 《 I x' - xol + l xo 一 句I < o + （ � v＇ 一 件／2 ＜ 杂’
因此说明（x', y’） ε 时 （XN） . 又注意到XN ε E隅， 因此l u (x', y')I ζ m 由（x', y＇） ε
r 主 （xo） 的任意性， 知Xo ε Em. 即Em为闭集 下面说明
E = LJ= Em.
(4.2.12)
”t l
只 需说明E c LJ:=1 Em. 任取Xo 巳 E， 由于U在Xo处非切 向有界， 故存在α0 >
0, ho > 0及Mo > 0， 使得当（x， 的 ε r��(xo）时， lu(x, y)I ζ Mo. 这样， 取击 运
四巾山， 古｝， 那么叫（xo) ::J 马 （xo）， 且
lu（川）｜ 运 Mo 《 m， 对 ＼：／ (x, y) E f 主 （xo) c r��（xo) .
因此Xo ε Em. 故（4.2.12）成立． 现记Eι ＝ U；二 1 Ek · 由 （ 4.2.12）知， E = Jim E;,.,
且仍满足：
lu（川）｜ 仇 ， 对 V 怡 ， 们 UE r � （句）
(4.2.13 )
XQε ；，凡
§
T→ O
r →0
1 20
.
)
o
x
(
)
o
x
o
(
E
这样r=t'.:
ζm，使Xo
o
存在kk
k
事实上，任胁。ε鸟，则
·
，
时
）
o
x
rf(
ε
）
y
,
x
因此当（
m.
运
o
k
有忡
，
）
)
o
y
x
r平（
ε
）
y
,
x
运
而对任意的（
I
忡，
"'
ko
4
.
2
.
1
3
2
.
）
成
立
对任意的ε＞0，存在E；，
，
，使
有忡忡，
ν
）
｜
ζm，
即（
E
\E.
λ
<c
/
I
。
。I
1
现令αo=ho＝忐
＜
> 0. 如取Eo E儿，那么由（4 . 2 . 1 3 ） ， 知结
,
Mo
=
mo
论（i ）第二步证明：
成立． 存在紧集Eoo E满足
E \ Eool < c;》 1， 存在M M（ε， 的， 使得lu(x， ν） ｜ ζ M 当（x, y） ε
((iivi）) I对任意的β
UxoE由第一步的证明知Eo
岛。 rg(xo) . 可测，且 IE \Eol < c/2. 由（4.2.1 1),
IB(IBx,(rx), r)EoI l = 1
r
l
i
m
l
i
m
(
x
)
=
f
o
T
→
0
→
r
2
，
且
由Eg当T→0时，f
Eo
，
使得
E
o\
Eo
o
＜
ε
／
oroff定理，r(x对上述ε
＞
0，
存在可测集Eo
o
I
l
1
）
在
Eo
o
上
一致收敛于1
.
这样，对任意的0＜
，
存在0<
r
o
<
η＜
r
o
时
，
当0<
r
<
1，
IB(IBx,(r）门Eo
l ""
4
.
2
.
1
4
(
)
r
x
,
)
I
因E有界，
因此不妨假定Eo
o
为紧集7
则结论（
i
i
）
成
立．
下面只需证明，
对任意
的β注1, u在UxoEEoo r�（xo）上一致有界对任意的0 > 0，记
= 、xoLJEEoo g(xo)' 门切 注o}.
1
+
上
连续且E为有界集，
故u在互s
上
一致有界
因此问题归结为证
由于u在R°'.;:.
2
现取
，
那么对第一步证明中确定
明U在的α。（U0x＜α0aεEoo<ri(1 ζβ）xo）上及一致有界．
r
o
/
β
o
问，有u r；但） c LJ r�� （x').
(4 . 2 . 1 5 )
不然的话，存在XoεEo
o
及
（
x
,
y
）ε吗（
x
o
）
，
使得对任意的尘’εEo,I
x
2’
注αO
Y
｜
·
C ( B （ 句 ， 2{3y)\ Eo ） . 这样
x
，
α
o
注意到αoY ＜向及IB(xol,x2β-xoν）门Eol..
Y
)
l ＜邸，因此B(
IB(xo, 2βy) I =『,. (IE2β（町ν）π2， 2I一（Bβy)(xαo,Io一Y2）βIπBy)=(xI ，1αoY（)αI 。／2β）n.
( βν）γ
第 四章 调和 函数
c ri
E
=
c
=
n
c
'
A"
(
r
）
=
x E Eoo
2 ’ 巳 Eo
'
121
§ 4.2 JR�＋ l 上 调 和 函 数 的 边 界 值
因2βy < 2βfJ = ro， 如预先取η ＞ 1 一 （αo/2/3户， 则与（4.2.14）矛盾． 这样由 （4.2.15 )
及第一步的结论（ii）， 存在Mo > 0， 使得
l u (x， ν）｜ ζ Mo, V（川） ε U ri(xo).
Xoε Eoo
如i己u 在马上的上界为M1 ， 那么取M max{Mo, Mi}， 则第二步的结论成立．
第 二 步 ： 运用 上面的结论完成命题4.2.8的证明． 由结论 （ iii)(iv）， 对任意
的E > 0和k ε N， 存在紧集Ek，ε C E和Mk，ε ＞ 0， 使得
(v) IE \ Ek，ε ｜ ＜ ε／2飞
(vi） 对任意的 （x, y） ε Uxo E Ek,< r � （xo), 忡忡， y)I 运 Mk,£ ·
现令E1 = n；二 1 Ek占3 则E1 仍为E的紧子集， 且满足
IE \ E1I 二 ｜ 叫kε ） ｜ 《 IE \ Ek,£ 1 ＜ ε
又对任意的α， h > O， 取k = max｛［α］， (h]} + 1 , 1 那么存在M = M(c:， 吼 叫 ＞ 0， 使
得当（x, y） ε UxaεEk, • r�（xo）时忡忡， Y)I 运 M. 注意到 E1 ζ Ek，ε及
r�（xo) c u r�（xo),
xo k ,
xouE E1
因此， 存在M = M巾， 吼 叫 ＞ 0， 使得
口
l u (x, y)I 运 M, V(x, y） ε oU r�（xo) .
x EE1
命题4.2.9的证明 对给定 的α ＞ 0 , h > 0， 记冗 ＝ u 吨位。） 对m ε N， 令
=
三
只
EE
xo ε E
但， 去） ε 冗，
ψm(x) = r�l 0,(x, -L ），
(x， 去） ¢ 冗
这样， 对任意的风 ｜ψm(x)I 《 1 由 ｛ψm｝一致有界以及£ 1 (JRn）的可分性知， ｛ψm}
作为£1(JRn）上的有界线性泛函列是弱＊列紧的． 故存在ψ ξ £OO(JRn） 及子列｛ψmi },
使其弱＊收敛于ψ 显然 ｜ ψ｜｜∞ 《 1.
现对 y > 0， 分别记φm和φ 为ψm和ψ的Poisson积分． 那么对忡， ν） ε JR�＋ l,
φ 叫 （工， ν） → φ（x, y) (j → ∞）． 另一方面， 对任意的m1， 记
(4.2.16)
川 ＋ 去 ） ＝ 队 （x, y) ＋ 川 ， ν）
1 记号“ ［a） ” 表示 “ 不大于α的最 大 整数’＼
第 四章 调和函数
122
注意到u(x, y＋ 去 ） → u(x, y) (j → ∞）， 因此由（4.2. 叫， 当j → ∞肘， ｛ψ叫 （x, y）｝的
极限存在， 记其为ψ（x， ν）． 它必然满足
(4.2.17)
u(x, y) ＝ φ（x, y) ＋ ψ（x， ν）．
因φ是£OO (JRn）函数的Poisson积分， 由 定理1.3.8， φ在!Rn上几乎处处存在非切 向
极限． 因此只 需证明ψ（x， 的在E上几乎处处存在非切 向极限即可． 下面将看到，
ψ（x, y）在E上的非切向极限为0 .
为此， 我们需构造JR�＋l上的函数H， 使其在E上几乎处处存在非切向极限0,
且在冗上控制 了ψ． 记冗 的边界θ冗 ＝ B := Bo u B＋ ， 其中βo := B n {y = O},
β＋ := B n { y > O｝. 对ν ＞ 0， 令H(x, y) = C［（χEe * Py)(x) ＋ 叫， 这里C > O待定．
则H满足以下性质 ：
(i ) H在JR�＋！ 内调和，
(ii ) H在JR�＋l上非负，
( iii） 只要取C充分大，在B＋ 上H(x, y) > 2;
(iv) H在E上几乎处处存在非切向极限O;
(v ) Iψ（x, y)I ζ H(x, y), (x, y） ε 冗．
下面验证H满足上面5条性质 （ i )(ii）是显然成立的 现说明 （ iii） ， 记
B+ = Bi u B!, 其中· si = : B＋ 门 ｛ν ＝ 叶， B! =: B＋ 门 ｛O < y < h} .
先考虑si. 取c > 2/h， 则
H(x, h) > 2/h［（χec * Ph)(x) ＋ 叫 ＞ 2 , V（尘， y） ε si.
现任取（x, y） ε si， 则B(x， αν）门E = 0 . 若不然， 设£ ε B(x， αy)nE， 那么Ix .;1 <
吨， 即有（x, y） ε ra (O. 但此与（x, y） ε 吭矛盾 因此，
Ee (t）ν
H(x,y） 》 C Cn }J'in
/{ x - t 2 + 2 ） （叶 1)/2
(I l y
C
-::: dt.
,,,... c 句 九/ （叫＞ (Ix - tl2 -j!y2 ) C叫 ／2 dt = C · n 儿/ l<a
因此只要C取充分大， 可使对任意的（x， ν） ε si, H（工， y) > 2.
运用定理1.3.8 (b）易知， H在E上几乎处处存在非切向极限0， 即（iv）成立． 最
后给出（v）的证明 因为u 和φmj均在JR�＋l 内调和， 因此由 （4.2.16）知， ψmj 亦在JR�＋l
内 调和 只 需证明
H(x, y） 士 ψmJ (x, y) =: h主）尘， ν） 》 0, V(x,y） ε 冗
(4.2.18 )
·
�-
123
4.2 JR�＋l 上 调 和 函 数 的 边 界 值
先看h-:;,,j . 若不然， 存在ε0 > 0及（xo,Yo） ε 冗， 使得h-:;,_j （句， Yo） ＜ 一εO· 记
G = { (x, y） ε 冗 ： h丰j (x,y) ＜ εo}.
因G为有界无限集 （ 由冗有界以及h-:;,,j 的连续性可知） ， 故G必存在极限点（x*'y*) .
以下说明必有（x*, y＊） ε B 事实上， 如果（x＊，扩） f/. B， 则。 c 冗． 由于h-:;,,j 在。 上
调和且在。上达到其最小值， 且此最小值亦为h-:;,,j 在冗上的最小值． 但 由调和函
数的极值原理， h-:;,_j 在冗上调和， 故其最小值只能在θ冗上达到．
( 1 ） 如果（x* , y＊） ε B＋. 此时存在｛（町， 如）｝ c G c 冗， 使得（xk, Yk） →
(x＊，γ） （k → ∞）． 由此推出， h-:;,_1 (x*, y＊） ζ －εO· 这样， 由（4.2.18）及（4.2.16）， 得
H(x＊，扩） ＋ εo 运 ｜ ψm1 (x* , y*)I � 2 .
但此与性质（iii ） 矛盾．
(2） 如果（x＊，旷） ε B。 那么f ε E且γ ＝ 0. 此时存在｛（xk, Yk)} c G C 冗，
使得（句， Yk） → （x*, O) (k → ∞） 注意到， φ叫 是ψ叫 的Poisson积分， 且ψ叫 （x）在f
处连续， 因此φ叫在（x*, 0）处存在非切向极限ψ叫 （x＊）. 这样， 对任意的 α ＞ 0,
当（xk, Yk） ε ro(x＊）时，
） 一 φm1 (Xk, Yk) ]
'l/Jm1 （川k) It→∞ [u（川k ＋ 丢
κ→CXJ
，，ι3
(4.2.19)
= u(x＊， 去 ） 一 φrn3 （川 ＝ 0.
另一方面， 显然有
(4.2.20)
.rrm h :;.. ,, (xk， 如） 运 一ε。
κ－→CXJ
因此由（4.2.19) (4.2.20） ， 有
,Ili豆 H(xk, Yk） 《 κ→
，Ill面口。h:;,;d (xk, Yk) - k→∞
旦旦 ψrn;’ （缸， Yk） ζ －c:o .
κ→口。
但此与性质（ii）矛盾． 这样对h丸 ， 我们证明了（4.2.18 ） . 同理可证3 对于h:;;.j (4.2.18)
仍然成立 因此
H（尘， ν） 注 ｜ψ叫（x, y)I, V(x， ν）
故性质（v）成立． 由性质（iv）即知3 ψ在E上几乎处处存在非切向极限o. 从而U在E
上几乎处处存在非切向极限． 这样完成了命题4.2.9的证明．
口
§
,lim
=Jim
E 冗
第 四 章 调和函数
124
§4.3
§4.3.1
球面调 和 函 数
球面调和 函 数 的性质
由定理2.2.9 , L2 (IR2 ) ＝ 艺立 一∞ ＠码 ， 其中 每 个 岭 在Fourier变 换 下 不 变 ． 我
们希望在维数η ＞ 2 时 获得类似结果 在η ＝ 2 时， ｛eikO}kεz 起了非常本质 的作
用． 在η ＞ 2时’3 起相同作用 的是球面调和函数
记 g;ki 为!Rn 中 一切 复 系 数k阶 齐 次 多 项 式 的 全体 ． 即 ：
9J; = { P(x) : P(x)
＝ 汇 αJ ， α ＝ （ 肉 ， 他
， an )
E Z� ｝ .
则有如下结论：
( a) 9J; 的 维数dim(9J; ) := d"k = c�＋L 1 = c�+k-1 ·
事 实 上 ， 注 意 到 单 项 式俨 ， ｜ α I = k 的 全 体 是 91: 的 一 个 基 ． 因 此该基 中 元素
的 个 数恰好为满足αi ＋ α2 + · · ＋ 的 ＝ k 的 非 负 整数 α 1 ， 的 ， － ， α n 所 有 可 能取
法 的 总 数 ． 它 可如 下 得到 ： 将k个 黑 球排成一排 ， 再将η － 1 个红球任 意地插进去 ，
使得到这k个 黑 球 的 一 个分组3 它 对 应 着 非 负 整数α 1 ， 句 ， … ， α n 的一种取法． 因
此所有可能取法 的 总 数 为在k ＋ η － 1 个黑 球 中 将 其 中 任意η － 1 个 黑 球 染成红球
的方法的总
＋
(b） 在 9J; 中 引 入 内 积 ：
和 3 即是 c� L 1 ·
(P, Q) : = P(D)Q,
VP, Q ε 9J; ,
(4 .3.1)
句，＆
噜A
r
．．．
，，、lt
、
rtE、
其 中 P( D ） 为 由 P (x） 确 定 的微分算子． 注 意 到 对 任 意 的P, Q ε 9J; , (P, Q） 是 一 个
确 定 的 复 数 ． 我们仅看单项式的情况 设P(x) = a0x"' , Q (x) = bβd ， 那 么
QM俨
70
0
α
n
α
α
O α
一一
－
Q
D
P
此外 ， （ P, Q）满足 如 下性质 ：
(i) (P, P) = O 仨斗 P 三 O ;
1
(P + P2 , Q) = (P1 , Q) + (P2 , Q) ;
(i 叫 （P, Q) = (Q, P) ;
(iv) (P, ) '1 Q1 ＋ λ2 Q 2 ) ＝ λ i (P, Q 1 ) ＋ λ2 (P, Q 2 ) ·
(i i )
α 并 β，
α ＝ β．
§
4.3
125
球面调和 函数
事实上， 如记P(x) ＝ 艺｜ α l =k α。俨， 那么（P, P) ＝ 艺｜αi =k Iα白 1 2 αi！α2 ！ … αn !,
从而 （ i）成立 而（ii）～（iv）则 是显然的． 因此Y''k按（4.3.1）定义的内积构成一个 内
积空间． 容易看出， Y''k还是一个Hilbert 空间．
定理4.3 . 1 (Y''k的分解定理） 记Y''k中调和多项式的全体为.sdt. 则有如下
的分解定理：
( 4.3.2 )
9'k = .sdt EB lxl 2 .fl1,.己 2 EB · EB lxl 2£ .fl1{'_ 2e·
其中， 当k为偶数时.e = k/2； 当k为奇数时f = (k - 1)/2. 故对任意的P ε Y''k， 有
( 4.3.3 )
P(x) = Po(x) + l x l 2 P1 (x) + · · + lxl u Pe(x),
这里乌 ε dι 2j为k - 2j阶齐次调和多项式， j = 0, 1 ， … ， e.
证明 不妨假定k 》 2. 令ψ（P) = D.P， 这里A为JR?.n 中 的Laplace算子． 则ψ
是＆r 到Y''k- 2 的一个映射． 由于Y''k- 2 是Hilbert空间， 而ψ（Y''k) c Y'k- 2 为闭
子空间， 因此
&'k- 2 ＝ ψ（ Y''k ) EB （ψ（ Y''k ) ).l
下面说明（ψ（ Y''k ））土 ＝ {O｝， 即ψ是映上的． 若不然7 存在Q ε g;k- 2 > Q 并 0， 使得
对任意的P ε ＆r,
(D.P, Q) = (Q, D.P) = 0.
特别地1 取P(x) = l x l 2 Q(x） ε Y''k. 那么P(D) = D.Q(D）. 由上式 ，
0 = (Q, D.P) = Q(D)D.P = D.Q(D)P = P(D)P (P, P) .
由性质（i）得P 三 0， 但此与Q 并 0矛盾． 对 2 运 3 《 k， 记
@j = {P(x） ε 9j P(x) = lxl 2 Q(x), Q(x） ε 9j_ 2 } l x l 2 Y'j:_2
则＠j为Y'j的闭子空间， 且还有
Y'j ＝ 码n © @j .
( 4.3.4)
为证（4.3.4）， 先说明＠j.l c 叫n. 事实上， 设P ε ＠j.l . 则对任意的R(x) =
lxl 2 Q(x） ε ＠j,
0 = (R, P) = D.Q(D)P = Q(D)D.P = (Q, D.P).
在上式中取Q = t:,.p， 那么t:,.p 三 0. 即有P ε 乓π． 反之， 任取P ε 乓n 及任意
的R(x) = l xl 2 Q(x） ε ＠j， 有
(R, P) = D.Q(D)P = Q(D)D.P = (Q, D.P) = 0.
=
= ·
第 四 章 调和函数
126
因此吗＇｛＇ c !!fij J_， 故（4.3.4）成立 重复运用 （4.3.4）便得（4.3.2 ) .
最后， 由 正交分解定理， 对任意的P ε .91i:， 存在唯一的马 ε .dt 及Q ε
.91i: 2 ， 使得
P(x) ＝ 凡（x) + lxl 2 Q(x).
对 Q(x）和j = k 2再次应用（4.3.4）， 得到唯一分解
Q(x) = P1(x) + lxl 2 Q 1 (x),
口
其中R ε d汇 2 及Q 1 ε 9;:_ 4 · 重复上述过程便得到分解式（4.3.3) .
定义4.3.1 称sz1kn为k阶球体调和函数空间 .dt在单位球面§n 1上的限制记
为J馆， 称为k阶球面调和函数空间， �n 中 的 函数简称为k阶球调和函数． 因此
J吗� = {Y(x') : Y(x') = P（ 三 ）， P(x） ε .dt }.
lxl
注意到对任意的P ε .dt， 有P(x) = lxl k Y（市）· 因此， ¢ : P(x） → Y(x')
是.dt → Jη的一一映上的线性映射． 从而构成.dt → J作z的 同构映射 故
由（ 4.3.4）， 当k 》 2时，
dim.3呢� = dimdt = dim.91;: - dim.91;:_2
= dk - dk-2 = C�＋ k- 1 一 c��：一3
当n = 2时， dim�2 = 2. 事实上， 取P忡， y) = (x＋叩） k ξ .91� (k 》 1）. 由P为
解析函数， 故b.. P (x, y) = 0. 现记P(x, y ) = u(x, y) ＋ 四（x, y ）. 那么 由
b..P (x, y) = b..u (x, y) + ib..v (x, y) = 0,
得b..u (x, y) = b..v (x, y) = 0. 因此u, v E dk2 . 另 一 方面， 记
P(x, y ) = (re"9) k = rk (cos k() + i sink() )
及毡， c分别为u , U在§ 1 上的限制， 那么也 ＝ cos M ， 台 ＝ sin k（）. 此说明
对 ＝ span {cos k () , sin k() }.
故dim�2 = 2.
定理4.3.2 任何η元多项式在单位球面§n - 1 上的限制是U；二0 ..7咛 中元素的
有限线性组合．
§ 4.3
127
球 面调 和 函 数
证明 注意到任何η元多项式均是U�o &i: 中 多项式的有限线性组合． 而
由 （4.3.3）， 对任意的k及任意的P ε ＆；：， 其在单位球面§n- 1 上的限制是
P(x' ) = Po(x') + P1 (x') + · · · ＋ 岛位’），
口
其中2’ ＝ 击 （x 并 0）， 因此结论成立．
推论4.3.3 u立。 硝？ 中元素的一切有限线性组合
(a） 在C(§n - 1 ） 中按LOO范数稠密，
(b） 在L2 (§n - 1 ） 中稠密．
证明 （a） 由Weierstrass逼近定理， 如g ε C(§n 1 ）， 贝Llg可用 限制在§n - 1 上的
多项式一致地逼近 而 由 定理4.3.2知？ 这样多项式的限制是U汇。 均？ 中元素的
有限线性组合．
(b） 对任意的f ε L2 (§n - 1 ）及ε ＞ 0， 存在 g ε C(§n - 1 ）， 使得 II! - gll 2 ＜ ε／2.
又可取U立0 .）附 中元素的有限线性组合h， 使得 llh - 9lloo < c/2（叫 一 i ）川． 口
由 推论4.3.3, u；二0 .）句i c L2 (§n i ). 现定义L2 (§n- 1 ） 中 的 内 积． 对任意
的f, g 巳 L2 (§n-1 ),
(f, g) := lsn -1 (x＇ 曰“
J
｛�n ；二。｝是两两正交的．
证明 需要证明， 当k 笋 E时， 对任意的y ( k ） ε J可1及y( e） ε Yt£口，
命题4.3.4
J← 1 沪l (x’）町dx' = 0.
(4.3.5)
事实上， 对Z 并 0， 令u(x) = lxl k y (k) (x'), v(x) = lxl e y (e) (x＇）. 假如x = O且k, C 并 0,
那么令u(O) = v(O) = 0. 如z 二 O且k = O， 此时y( k ) (x＇）为常数C， 则令u(O) = C .
这样u, v在x＇处的外法向方向导数分别为：
主 ｜ 町，＝ 二 （州的 叫 lr=l = kY ( k） 例
及
主 l x=x＇ ＝ 二 （rey(e)(x丁） l r= l = cy (l）例
128
第 四章 调和函数
应用Green公式，
0=
j
xl � l ( u .6. v - v .6. u
) dx
� L H� 一 去 ） dx'
y (k)
(
ls
－
I
饨
=
＝ 川 lsn-1 y (k)(x＇ 阿M
故（4.3.5）成立．
由 命题4.3.4， 立刻有如下结论：
[
定理4.3.5 设｛飞（ k) ' ， 可 ｝ （αk = di m均i ） 为均的 一 组标准正交基， 那
么U立。｛乓（k ) ' . ， 对：） ｝ 为 £2 (§n - l ） 的 一 组标准正交基
［注4.3.l］ 由 定 理4.3.5， 对 任 意 的f ε £2 (§n - l ） ， 存 在 唯 一 的 表 达 式 （ 在 £2 意
义下 〉
(4.3.6:
! = 2二 三二 Cj k 咛 ，
k =Oj=l
且 II! ll �»c§← ＇ ） ＝ 艺 k ,j c]k ， 其 中 Cj k = ( f， 可 k ) ) , k = 0, 1, · , j = 1, 2, · , ak ·
［注4.3.2］ 在n = 2 时， （ 4.3.6） 即 为 f的Fourier级 数． 而dim�2 = 2且 Yt1c2
span{c叫 sin kB｝ . 因 此刊的 （俨） ＝ 去 c叫 泛的（eiO) = �元 sin kB 是.Yt付
=
一组标准正 交 基 ．
k阶带调和 函 数
’”
叫，－
§4.3.2
，AV
d
AV
Aσ
T
P
AV
FJ
o
f’tf
－
－
AU
K
E
LE阳
T
ι儿
C
·－－
白
C－
T
、
4＝
一
－
AU
T
U
∞
，，
、
ι凰”
由经典的Fourier级数理论知道， 周期为2作的可积函数f的Fourier级数的Abe
平均为
其中0 ζ r < 1 , Ck 为f的Fourier系数且P(r, B）为单位圆上的Poisson核， 即
阶 。） ＝ ； ； ＋ ～ ω ＝ 去 1 一 ι； ＋ r- .
（ 主 ）
§ 4.3
球面调和 函数
129
下面将看到在η ＞ 2时也有类似结论． 取定2’ ε §n- 1 ， 如下定义J'tkn上的线性泛
函 Lx’ ：
Lx'(Y) = Y(x') V Y E J呢？
注意到J可z为有限维线性空间， 因此J句z为 自 对偶空间． 由Riesz表示定理， 存在
唯一的k阶球调和 函数z��i ε 呀， 使得对任意的h 巧， 有
川） ＝ 才η 川叫 ） 阳 ＝ Y的
(4.3.8 )
由 （4.3.8）式确定的z��l称为 以x＇为极的k阶带调和函数
引 理4.3.6
（ 带 调 和 函 数 的 基 本性 质 ）
(a） 若｛ 刊的 ， 可） ， ， 对？） ｝ 为均1的一组标准正交基， 那么
z��l (t') ＝ 艺 Y�k ) (x' )Y�k ) (t') ;
付i=l
(4.3.9)
(b) z��J(t＇）是实值的3 且z�� l (t') = zi,k l (x') ;
(c） 若ρ是]Rn 中 的旋转， 那么z�：！（ρt') = z��l(t').
证明 首先， 因为｛盯（k） ， 可） ， , Y1:l ｝ 为J呢？的标准正交基， 故
z��l (t') ＝ 艺 （Z��l, yJik l) yJik l ( t').
而 由 （4.3.8)
( Z��l, YJkl) = J/§n l yJ.k l (t' )Z��）（t' )dt' = yJik l (x' ).
其次3 由于Jη的维数与该空间 中 的 函数是实值还是复值没有关系， 因此可
以选取实值函数作为押的一组标准正交基 由 （ 4.3.9) z��l(t＇）是实值的， 且
z��l (t' ) = z��l (t' ) ＝ 汇 y�k l(x＇ ） 吟的 （t' ) = zi,k ) (x' ) .
m=l
最后， 对任意的Y ε Jlf't及]Rn中 的旋转ρ， 有
lsn - 1 z�：� （ρt'
= Y川x')) ＝ 附） ＝ fsn _, z��） (t')Y阳’
130
口
由线性泛函表示式的唯一性知z�：� （ρt') = z��） （t').
n
1
m
均；
((ba）对任意酌’E§
，
这里α
,
z�
�
）
（
x
'
)
＝α
/
w
=di
k
k
π
1
的 ， . . ＇ 哝） ｝ ，
吁
吁
）对任意的x'E §n 1 及厅的任一组标准正交基｛
艺Im=l Y�k) (x') l2 ＝αk/Wn l;
§n-1
及
列？的任一标准正
c
）
存在仅与n有关的常数C，使得对任意的
(
x'E
k
k
元y( ） ， 有IYε( ）§（n尘’）1｜ ,运l ZC� k） (In� 2＝)/2α; k/wπ 1 ， 且对任意的x', t＇ 巳 §n一1 ,
交基中任(d）一对任意的u＇
1z;,kl证明(x')I ζC设x�kn-2， x�ε§n-1 ， 则存在旋转ρ，使ρx�= x�. 由引 理4.3.6(c), z� ）（x;) =
n-1
4
z�数c�）＝汇去＝
（x� ） . 因此存在c
，
使得对任意的x＇
ε
§
.
3
.
9
）
－
知？
常
c
.
由（
，
均）
（
x
'
)
=
k
k
k
)
)
)
2
(
(
�
n
，
这
y
(
x
'
)
的任一组标准正交基
I
Y
里｛
Y
'
－，
对
？
）
｝
是
Jft'k
'
1
2
1
1
因此 α I （x
k＝ 主 ln-1 附）
epc ＝αkk/Wn'-n'- k1+· 这样同时证明了（
a
）
和
（
b
）
.
注意到当k充分大时3有
k-2k-3 ＝ (n ι (n +k - 3）！ ζc kn-2
C
k
n
1
n+
b）知 IY(k4l (.3x.'9) ）I ，《（对任意的u
αk/Wn_i)'ε§l/2， n-从而（1 ， 有c）成立．
再 由（最后，由（
｜ 巧） I � ＝ ι z��l (t＇）币dt'
ln-1 （ 主 而7；可） (t呛 币比（k) （吵f
＝ 主l 而归
＝ 何i=l汇 IY�kl （的12 = ak/Wn l ·
另一方面，由带调和函数的定义（
4
.
3
.
时
n-1
，对于任意的x'
,
t
’
ε§
,
z;,k) (x') z;,k) (w')Z� ） （旷）dw'.
第 四章 调和函数
推论4.3.7
＋平 2)
=
=I
J§n - 1
131
4. 3 球 面 调 和 函 数
这样，
口
1 zi,k) (x') I 运 l Zi,k ) l 2 l Z��ll l 2 ＝ 句／wn 1 运 Ckn- 2 .
下面给出较推论4. 3 . 7(c）更一般的结论．
推论4.3.8 设k E N， α ε Z年且｜ α ｜ 运 k. 那么存在常数C = C(n，α）， 使得对
任意的Z 巳 .!Rn 及Yf'k'的任一标准正交基中任一元y(k） ， 有
I Dα （ l x l k y (kl (x')) I 《 c1 x 1 k -l o l k (n+2 1αl - 2)/2 .
证明 令P(x) = l x l k y(kl(x'), mLJp ε Slit . 应用Gauss公式， 得
/ P('\lP) ndx' = / ( l '\lP l 2 + P�P)dx
＝ 儿（ i) l '\lP l 2dx
＝ 才 1 r 2 川 叫← 1
= 2k+七2 ln 1 l '\lP l �＝x'dx'.
另一方面，
θn 1I ＿ ” dx' = k J/.,_/ I Y (k) 1 2dx' = k.
fs" P('\lP) ndx' 1n" 1 y ( k） �
这样，
(4. 3 .10)
1n l '\lP l ;=x'dx' ＝ 阳 ＋η － 2 ) .
注意到� E dk� 1 , j = 1, 2, ，η 如 记｜ ｜ 弩1 1 £2伊 ＇） ＝ α， 那么由推论4. 3 . 穴c),
存在仅与η有关的常数C， 使得
(4. 3 .11 )
l �p � aCl x l 叩 ＿ l )(n- 2)/2
另一方面， 应用（4. 3 . 1 0）， 得
α2 《 ι （ 去 r1 x=x' dx' ＝ 阳 ＋ η － 2).
此式结合（4.3.11）表明， 当｜ 叫 ＝ 1时， ｜去｜ 《 Ckn/2 由于去如 一 1阶齐次的， 因
口
此证明了当｜ α I = 1时结论成立． 对一般的情形， 重复上述过程便可
§
·
J §n - 1
,
J B( l )
=
1
a;; I
主
第 四章 调和函数
132
［注4.3.3］ 推论4.3.7结论 （ c）是推论4.3.8 当α ＝ 0且lx l = 1 时 的 情 形 ．
我们知道， 腔中单位圆上Poisson核可 以通过余弦函数来表 达． 下面将看到7
运用带调和 函 数可 以表达]Rn 中 单位球上的Poisson核． 设o < I 叫 ＜ 1, i t'I = 1 ,
0为奇与t＇的夹角 ， 那么 由JR.2 中单位圆上Poisson核的定义（见（4.3. 7)) '
二
cos ke ＝ i i 一 lxl 2
T
、
k
p(t’， x) ＝
已 汗 如 Ix - t'l 2 '
其中r = I叫， cos e ＝ 珩 类似地， 可定义]Rn 中单位球上的Poiss 核p(t ）为
1 一 lxl2 一
p(t', x) ＝ W一一1 －一
n Ix - t' ln
则有下面的结论：
定理4.3.9 设r = lxl < 1， 则对一切t＇ ε §n一1 '
一 ＋ 一一一 一 一一一
·
Z
Z
艺M
∞
Z
汇时
∞
T
T
z
pa
证明 由推论4.3.7(d）， 级数艺汇。 rkz;,k ) （尘’）在 lxl < 1的任意闭域内一致收
敛． 记其和函数为q(t’， 叫． 现设u(t') ＝ 艺；二 1 t＇）是 U；二0 .）吃Z 中球调和函数的
一个有限线性组合， 其中巧 ε Yet. 由 引 理4.3.6(b） 以及带调和函数的定义（4.3.8),
得到
bj乌（
L一1
二 兰 bj 兰 lsn- 1 rkz},k) (x'
＝ 兰 让 1 η；� ＼t＇）巧 。
＝ 三二 句lxl呜 （x’）
= : U(x) .
则u（尘’）是U(x）在§n- 1 上的限制 由单位球 内Dirichlet问题解的唯一性，
U(x) = 1n -l u(t')p川 dt' = 1n -l u(t'
J= l
§ 4.3
这样，
球面调 和 函 数
133
(4.3.12)
fF( t’ ， x) - q(t’， x)]u( t')dt' = 0.
(4.3.12）说明， [p(t', x) - q(t', x）］ 与U；二0 .｝句z 中任意有限线性组合均正交． 由
于U；二0 .Yt't 中元素的一切有限线性组合在L2 (§n - 1 ） 中稠密（推论4.3.3）， 因此
p(t’，x) = q(t’， x), a.e. t＇ ε §n-1 .
再由p( t', x）与q(t', x）的连续性， 对任意的 t＇ ε §n- 1 ,
p(t ' , x) = q（们） = L. rk zi,k ) (x').
I
J §n - 1
口
以下给出带调和函数的几何特征． 设ε， 5 ε §n - 1 （� i= e）. 称过5点且与E iE
交的超平面与§n - 1 的交为§n- 1 的正交于 E 的平行截形， 记为马 （£ ）， 即 ：
马 （�） : = {x＇ ε §n - 1 . 件’ － �， e) = 0}.
下面的事实是明显的：
(a）对任意的（Ji , fh ε 马（�）. 存在旋转p， 使得ρe = e且ρ81 = 82 ;
(b） 对任意的5 ε §n 1 （� 并 e), z�k ） 在 马 （�）上取 常值． 即 ： 对任意的。1 ' 82 ε
马（0 , z.俨 Uh ) = z�k) (82 ).
我们将说明， 性质 （b）刻画 了 带调和函数 先给出 下面的 引 理：
引理4.3.10 设P为!Rn上的多项式（n 注 2）. 如对于任意的z ε !Rn及!Rn上任
一旋转ρ， P（ρx) = P(x）， 那么存在常数Co, C1 ， … ， Cm ， 使得P(x) ＝ 艺二。 ck lxl 2k .
证明 记P(x) ＝ 艺�＝ O Pe(x）， 其中同（x）为E阶齐次多项式． 对任意的E > 0 ,
P（叫 ＝ 汇 Pe （口） = L, ce Pe (x) .
f=0
f=O
另 一方面， 对JR1t上任一旋转ρ，
P（口） ＝ 艺 Pe (cpx) = 'L, ce Pe （ρx) .
由此推出Pe (px) = Pe （功， 对f = 0, 1 , J 令马（x) = �Pe (x）， 那么 易见Fe (x）是
零阶齐次， 且在旋转下不变． 因此乃（x）在]Rn上为常数be. 事实上， 对任意的z ε
!Rn ' X 7正 0, Fe (x) = Fe （忡忡＇） ＝ 月（x＇）. 又对任意的抖 ， x； ε §n - l , x� 并 吨， 有
Fe (x�） ＝ 日 （ρx� ） = Fe (x; ),
第 四章 调和函数
134
其中旋转ρ满足ρx� = x�. 这样Pe (x) = belxl e . 由于岛（x）为多项式， 故t必为偶数．
口
因此P(x) ＝ 汇丰0 ck l x l 劫， 其中Ck = b2k , k = 0, 1 , · · , m，且m = ［ � ］.
定理4.3.11 设ε ε §n- 1 且Y ε J作． 则对一切E ε §n一1 , y在马（£）上为常
数当且仅当存在常数c， 使对任意的2’ ε §n- 1 , Y(x’） = cz£k ) (x') .
证明 仅证明 必要性 取向 ＝ (1, 0， … ， 0） ε §n- 1 ， 则存在旋转7， 使得e =
Te 1 . 对任意的2’ ε §n - 1 ， 记W(x') = Y(TX＇）. 那么W在二�e 1 (0上为常数 事实上，
如果ρ是保持e 1 不动的旋转， 则TfYT -1 是保持巴 不动的旋转－ 由于
2’ ε 二九， （�） 牛二字 TX1 ε 马（T�），
因此， 对任意的4 ε 马 1 (€),
W（ρx') = Y(Tpx') = Y(TpT -1 (Tx')) = Y(Tx') = W(x').
如能证明， 存在常数c， 使得对任意的 x＇ ε §n -1 ,
( 4.3.13)
W(x') = cZ��l(x').
那么
Y(x') = W(T-1 x’） = cz£�l(T-1 x') = cZ��� (x') = cz�k ) (x’）．
下面证明（4.3.13）. 设p是保持e 1 不动的旋转． 对Z 并 0， 令P(x) = l x l k W（功 ， 那
么P（ρx) = Iρxl k W（间’） = P(x）. 对任意的Z ＝ （町 ， X2 , · . , xn ） ε !Rn ， 记
ρZ 二 （ 町 ， Y2 , · Yn )·
由 于ρ保持单项式x！不变， 如记P(x) = I::7=o x� J 乌（x2 , , xn ）， 这里巧是3阶
多项式， 那么
2二 x� －J 乌 （x2 , , Xn ) = P(x) = P(px) ＝ 艺 x� －1 乌（ν2 , , Yn ) ·
,
通过比较系数， 得到
( 4.3.14 )
马 （x2 ， … ， Xn ) ＝ 马 （ Y2 ， … ， Yn )·
注意到映射（x2 ， … ， xn ） → （y2 ， … ， Yn ）是n - 1维的旋转． 当遍取]Rn中一切保
持巴 1 不动的旋转时， 便得到所有!Rn 1 中 的旋转. (4.3.14）说明巧在一切n - 1维的
旋转下不变 运用 引 理4.3.10 ， 知j必为偶数， 且
马 （x2 γ · · , xn ) = Cj (X� + · · + x� ）i l2 .
§ 4.3
球面调和函数
135
记R = (x� ＋ . . + x�） 1 !2 ， 得
P(x) = cox� ＋ c2 x�－ 2 R2 + + c2j x�－ 2J R2j + · + C2iX � － 2t R2e
因W ε J句＼ 故P(x） ε .>tit . 因此
j
0 = 6.P(x) = L [C2j αj + C2(j + 1) .Bj ]X� 2 2 R2j )
·
(4.3.15)
1=0
其中αj = (k - 2j)(k - 2j - 1）且向 ＝ 2(j + l）（η ＋ 2j 一 1 ）. 由此推出
( 4.3.16)
C2(j + i ) ＝ 一 αq
万二C
2j , j = 0 , 1， … ， f, 1.
/-']
由（4.3.16）知所有系数co， 句， … ， C2f均 由句所确定． 因此两个形如（4.3.15）的调和
多项式必定互为常数倍． 另 一方面， 上述论证也说明， 任何限制在马1 (0上为
常数的k阶齐次多项式必具有（4.3.15）的形式． 由于 Z��l ( �） lxl k 正是具有该性质
的k阶齐次调和多项式，因此P(x) = cZ��） （南） lxl k · 由此即知（4.3.13）成立． 口
推论4.3.12 对任意的x', y’ ε §n -1 ， 如果函数F； 川x＇） 满足 以下性质 ·
(a） 对任意的j ε §n - 1 ， 凡，关于z’是k阶球调和函数，
(b） 对任意的旋转p, Fp白’（ρx') = Fy'(x’）．
那么存在常数c， 使得对任意的x', y＇ ε §n-1 ， 巧， （x') = cz��） （x') .
证明 固定j ε §n 1 ， 设ρ是使 y＇保持不动的旋转． 由 （b）， 对任意的Z， ε §n- 1 ,
Fy' (x') = Fpy＇（问’） ＝ 凡，（间’）．
此说明Fy'(x＇）在乓J，上为常数． 因凡，关于2’ 是k阶球调和 函 数， 由定理4.3.11 ， 存
在ω）， 使Fy'(x’） = c(y')Z��） （x＇）. 下面仅证明， 对任意的时 ， 的 ε §n -1 ， 有c(yD =
c（的）即可． 考虑旋转σ， 使σ（YD = Y�· 由（b）及引 理4.3.6(c）， 得
c(y�）Z��） （σx') ＝ 与 （ 町’） ＝ 几y; （σx') ＝ 几； (x')
= c（叫）Z��） (x') = c(yDZ�� （σx＇ ） 二 c（的）Z��） （σx').
口
故c(y�） = c(y� ）.
§4.3.3
Laplace-Beltrami算子的谱＊
我们知道， 在平面 内 单位圆周上算子券 的全部特征值为｛一的立。， 而相应
于－k2 的特征子空间为span{cos kB, sin kB} (k = 0, 1, · · ) . 如果将单位圆周视
第 四章 调和函数
136
为JR2 的单位球面§ 1 ， 那么span{cos kB, sin kB｝ 恰好为JR2 的球调和 函数空间£k2 .
注意到算子磊是]Rn 中 单位球面§n -1 上Laplace-Beltrami算子的二维表现， 因此
上述事实启示人们， 球调和函数空间J可z 与§n -1 上的Laplace-Beltrami算子的谱
必然会有某种联系． 在这一节我们将讨论此问题．
设 ¢ 为§n一 1 上的函数， 记φ（x) ：＝ 圳市）为¢在JRn \{O｝中径向延拓 称 ¢在S← 1
上k阶可做（或k阶连续可微）， 如φ在JRn\{O｝上存在k阶偏导数（或k阶连续偏导数）．
设¢在§n 1 上二阶可微， 称如下定义的算子.6.sn- 1 为Laplace-Beltramj算子：
.6.sn i </>(x’） : = .6.φ（x)lx=x” 2’ ε §n- 1 ,
其中A为]Rn中 的Laplace算子．
［注4.3.4］ 流形上的Laplace-Beltrami算 子是通过Riemann度量来定义的． 这
里 我们采用 了 Seeley在［100］ 中 所给 出 的.6.sn-1 的定义．
定理4.3.13 对k 》 0， 一k(k + n - 2）是.6.sn斗 的特征值， 且任－y ε £t均
为.6.sn - 1 的相应于 － k(k + n - 2）的特征函数， 即
.6.sn i Y = -k(k + n - 2) Y.
( 4.3.17)
证明 记P(x) = lxl k Y（ 击 ）． 那么对Z ε JRn \ {O},
0 = .6.P（←
主 ［ （� 1叫k) Y（击 ） ＋ 2录 lxlk k Y（ 击 ）］ + lxlk.6.哈 ）
这样，
k2
k -2 f xr－�－ Y（ 三 ） . ( 4.3.18 )
l x l k .6.Y（ 三
lxl ） ＝ 一 l x l k(k + n - 2 )Y（ 主
1 8xj lxl
l x l ） 放 lxl 台
回 顾 Euler 等 式 ：
哈 州 ＝ m仰L
主
其中φ为c2 (1Rn \ {O｝） 中m阶齐次函数． 注意到Y是零阶齐次函数， 因此
÷ X j 立 lxl ） = 0.
(4.3.19)
乞 1 8xj Y（ 主
口
由 （4.3.18）和（4.3.19）即得（4.3.17).
§ 4.3
球面调 和 函 数
137
最后说明， J句z恰好是算子.6.sn 1 相应于特征值－k(k + n - 2）的特征子空间．
Laplace-Beltrami算子.6.sn → 的全部特征值为
λk = k(k + n - 2) (k 注 0).
.6.s← 1 相应于特征值凡的特征子空间为均气 因而其重数为
dim.？可， = cnk +k - 1 cnk -2
+k -3 "
证明 记.6.sn-1相应于特征值凡的特征子空间为l乍 由定理4.3.13, .7作 c l乍
(k 注 0）. 现假设.6.sn-1 还有一特征值λ 并 儿 （k 》 0） 且其相应于λ的特征子空
间为叭， 则对任意的k 注 0， 必定有几.l_.J'tkn. 另一方面， 由推论4.3.3和命题4.3.4 ,
知 ＠汇0 .7句1在c2 (§n -1 ） 中稠密， 因此几 ＝ {O｝， 此与几为.6.sn-1 的特征子空间相
矛盾．
如果存在k 注 0， 使得.J'tkn � 凡， 任取g ε 凡 ＼.J'tkn . 那么一方面对一切k’ 手 k,
由Vk _Ly句？知g亦与J呢？正交 另 一方面， 由 于g f{_ y作1， 故g也必与J句z正交． 综上
得g = O， 但此与g 为l:.sn 1 的特征函数相矛盾．
口
［注4.3.5］ 应用 Green公式可 以导 出 下面 的 结 果： 如f, g ε c2 (sn 1）， 则
/ -1 f(x').6.sn-1g(x1)dx1 = J§n/ 1 g(x').6.sn 1f(x’）dx'.
J§n
此等式表明， Laplace-Beltrami算子.6.sn→ 是 自 伴算子．
定理4.3. 14
_
第 四章 调和函数
138
§4.4
(
£ 2 JR.n ） 中 Fourier 变换的 不 变 子 空间 ＊
我们现讨论L2 (JR.n）的直和分解问题 由定理4.3.5可知？
L2 (§n -1 ) ＝ 艺 ＠厅
( 4.4.1)
k =O
对于k ε Z＋ ， 记
咣 ＝ { 1 ε L2 (JR.n ) : f是所有fj (r
其中fj(r）遍取所有的径向函数， 马 遍取所有.sztt 中 的函数． 那么有如下结论：
定理4.4.1 在下述意义 下， L2 (JR.n ) ＝ 汇汇 。 ＠咣；
( a） 咣 均为闭 子 空间；
(b) ｛ 咣 ｝ 旦。两两正交；
( c ) L 2 (JR.n ） 中 函数是｛ 咣 ｝汇。中元素的有限线性组合的 极限；
(d） 每个巧：在Fourier变换下不变． 即. ff（巧�） ＝ 巧i
证明 取｛哥 叫：工1 为.sztt 中 的正交基， 使其满足
ln - 1 p?l 忡’ 用巧dx' { �： ； 二
这样， 对任意的f ε 巧1， 可记f(x) ＝ ε；三 1 力（lxl)Pj( k )(x）， 其中αk = dim.sztt ， 且
/ lf(x)l 2 dx ＝ 了 JIJH:n 111(1x1)1 2 1 PJ 创 （x) l 2 dx
JR”
豆L
00
＝ 1 lfj 州…k 1 1 I 厅 k)(
η
00
＝ 才 lfj (r)l 2 rπ 1 +2k dr.
(a）的证明． 设点列{f(m )} m E N C 均1， 且{j(m ） ｝ 在L2 (JR.n ） 中 收敛到f. 对任
意的m ε N， 记j(m) (x) = L;�� l Jjm ) (r）厅川x） . 由 （4.4.2),
llJ(m) - f (£) llI2(JRn ) ＝ 到∞ ｜ 俨） ( r) - fY) ( r) I 川 2
( 4.4.3)
=
兰
兰
二 三二 ｜ 俨）
- 1Y) 11i2 饵 ，川－ 叫价）
2 当 n = 2及k ε Z＋时，叫 由 §2.2.2中定义的地和巧 沪 所张成．
1 39
£ 2 (!Rn ） 中 Fourier变 换 的 不 变 子 空 间 ＊
由 于{j ( m) } m EN为£2 (JRn） 中 的Cau均列， 由（4.4.3）， 对于j = 1 ， 丸 ， 句， ｛ 俨） ｝
亦为£2 (IR＋ ， 川一i +2k dr）中 的Ca山hy列． 故存在{ij ｝；三1 C L2 (IR+ , rn - 1+2勺， 使得
在£2 的意义下，
J( m ) (x） → 艺 fj (r）厅的 （x), (m → ∞ ）
l
§ 4.4
J=
从而f ε 巧�＇ 故巧i 闭． 另 一方面， 由 ｛..？作hε岛 的两两正交性（命题4.3.4） 即可得
出结论（b).
( c）的 证明． 只 需说明， 对f ε £2 (JRn ）， 如果f 与｛巧�hEZ＋ 均正交， 则f几乎
处处为零即可． 由于
fo � rn一 1 fsn ' IJ (rx') I讪r ＝ IJ(x) l 2dx < oo,
儿
A哇
AUZ
Z
Y3
创
汇间
γUM
∞
Z
Y
∞
艺时
Z
FJ
这样， 对a.e. r 巳 （0, oo）， 有fsn , If (rx')l 2 dx' < oo. 因此，
其中｛ 俨 ｝主 1 是�n 标准正交基， k E Z＋· 现对k E Z＋ ， 令
的
） ＝ 汇 收 ｜ 叫 ）lxl飞（ k) (x＇ ） ε 叫
那么 (f, g) = o. 另 一方面， 由（4.4.4） 以及｛J作hEZ＋ 的两两正交性， ｛厅 的 ｝；二 1
为J均1 的标准正交基， 得
儿 f(x阿dx
=
= 1 ln- 1 （ 兰 Y伙l(r
=
1 ln一1 ( � b� （r） 材 k) (x
= （r )1 2 rk +n -I dr.
� 1 1咛
0 = （归） ＝
=
=
此式说明， 对于k ε Z＋及j = 1 , 2 , － ， 句， 均有bj(r) = 0 a.e. r > 0. 从而 f几乎
处处为零．
14
第 四章 调和函数
0
(d）的证明． 考虑f ε 巧i门L 1 (1Rn ） . 写 f(u ) = Jo（ρ）ρk Y(u＇）， 其中ρ ＝ ｜叫 ， Y ε
.Ye,.,n . 易知， 所有这类函数的有限线性组合的全体在均1中 是稠密的． 这样
f(x ) = l f 忡 如ix ·u du
= 1 = fo（ρ） 户 1 ( η － 丁 E 一 2 '·u' du
如能证明， 存在函数ψ（ s ）， 使得对S 》 0,
Y(u＇ 户SX ·U du＇ ＝ 叫s)Y(x
(4.4.5 )
那么 由（4.4.5),
ψ （r)k · rk Y(x'),
f(x) = �( /r= fo（ρ）pk ＋ n-1 ψ（rρ）dρ 1�Y(x， ) ＝ τ
这里ψ（r) = J0= fo(p）ρk +n 1 ψ（rρ）dρ 且T = lxl. 因此f(x） ε 巧� － 现给出 （4.4.5）的
证明 运用带调和函数的定义，
J吭 － 1 川
e 叩 · u' {
=
') Z��） 川 duI
( 4.4.6)
Y(v') { i e
现记F旷 （v') = fsπ ＇ e一 2霄isx' ·u' z��） ( u')du＇ 如能证明存在常数 c ＝ ψ（ s） ’ 使得对
任意的x' , v＇ ε §n - 1 ,
几， x' (v') ＝ ψ（ s )Z�� ） （v'),
(4.4.7)
那么 由（4.4.6）和（4.4.7）， 即可得（4.4.5）. 因此问题归结为（4.4. 7）的证明． 首先， Fs ,x’
与 �n (j 并 的是正交的 事实上， 任取y (j ） ε 均n,
Fs ,x＇ 川ρ （v')dv' = / �l 1 产sx' u 均 ） （ u＇ 叫 y U l 川 ’
J
2
=
e- 1risx ' ·u ' {
z��l （υF
这样 由 （4.4.6）’ 必、有凡’z， ε J句1. 现设σ是]Rn中 的旋转， 那么
Fs ,ux' （σv') = / e - 2贺is (ux' ,u' ) z�：� （ 包’） du'
（σz 叫：！ （ 叫 d旷 （令u' = O"W1 )
=
l川
'
e - 2 "Trisx ' w z�� ） （ 旷 ）dw' ＝ 凡，x (v'
1
ln-l
fsn 1 ln= lsη－1 fsn
Jln§n-11 §n-1 1
η＿，
-
ls
J1§吭n 一1
= 1n- l
｝
141
§ 4.4 L2 (1Rn） 中Fourier变 换的不变 子 空 间 ＊
由 定理4.3.11， 知（4.4. 7）成立． 由 于巧� n L 1 (JRπ ） 在.f)�中稠密， 且ηi是闭的， 因
此§（均�） c 巧ι 事实上仍有F问：） ＝ 巧�（见定理2.2.9 (b）证明 中最后的说明 ） 口
我们现在进一步研究Fourier变换在.f)�上的作用 ． 首先考虑均� （ 即径向函数
类 ） 上的Fourier变换． 由 定理2.l.3(d）和定理2.2.10知， L 1 (1Rn ） 和£2 (JRn ） 中 径 向 函
数的Fourier变换仍为径向 函数－ 当n = 2时， 径向函数的Fourier变换可通过Bessel
函数 的积分来表现（定理2.2.10). 下面将上述结论推广至η维． 先给出Bessel函
数Jk 的定义（k > － � ） ：
( � ) k ' J{ 1 e itts ( 1 s2� ） 一「 ds t > o .
Jk (t) ＝ I'（斗主）I'（�
性f,
） l-1
定理4.4.2 设 f ε L 1 (1Rn ) （η 注 2）为径向 函 数， f(x) = fo(lxl)， 则对任意
的Z ε Rn , J(x) = Fo(lxl)， 其中
马（lxl) ＝ 月（r) = 2汀T一 平 fo 00 fo( s ） 》加s) s号 ds.
证明 因为f ε L 1 (Rn ）且f(x) = fo( l x l )， 则fo00 l fo(r)lrn一 1 dr < oo. 因此，
Fo(r) = f(x) ＝ 儿n f (u)
= z� Jo 叫
对固定的x＇， 令Le = {u＇ ε §n -I : x' · u' = cos (;}} (0 运 。 《 汗）． 记Rn i 中单位球
面§n-2 的面积为Wn 2 ， 则Le的测度为
'J.7γ 一百－ （sin8） …I Le I = Wn- 2 (sin 8） π －z ＝ 二ι÷
I l 丁二 j
�
这样，
fsn 川
l
= Wn 2 1 贺 ε
= Wn一 俨� （ 1 一 e户 仰
2
I'( � ) I'( 号l ）
＝ 付号i
z /2 J平 （2πrs).
z
I'(写主） (7rrs)<n一
因此， Fo(lxl) = Fo(r) = 27rr－与主 fo00 fo( s )J号主 （2汀rs)s� ds.
－一一 －
口
第 四章 调和 函 数
142
［注4.4.1］ 定理4.4.2的结论对£2 (JRn） 中 径 向 函数亦成立．
定理4.4.3 设f (u) = e－巾12 Pk (u), u E lRn , k ε Z+ , Pk (u） ε sdt是k阶球体
调和 函数． 则f(v) = i k f(v), v ε JRn .
证明 固 定t ε ]Rn ， 有
I e 巾l 2 Pk(u + t) du = / rn 1 · e 川 （ ／ 凡（t + ru') du' I) dr.
因为P调和， 故满足均值性质． 即j二← 1 Pk ( t + ru＇）缸’ ＝ Wn - l Pk (t ）. 因此，
J JR n
\ J §η
JO
i
�n e－霄lul2 凡（u ＋ 帆 ＝ 凡 叫∞ 陆一川扩 dr
= Pk (t)
由于
/
I
J Rη
0
JJRn
e -2niu v e － l u l 2 αurl = e 一叫 v l 2 ,
· 0 作
用Pk (Dv）作用 （4.4.9）两边， 得
Pk(Dv )e-n l 叫 2 ＝ 凡 阳
＝ π 凡（
＝ 问i)
儿
知iu)e － ～一 π l u l
n 凡r川V e 叫u l
1 Pk (u）川V e 巾1 2 du = __2___
(-2时 ） k
因为
( 4.4.9)
儿n e-2
这样，
下面只须证明
(4.4.8)
/ e- nl u l 2 du ＝ 凡（t).
叫
e 州v l 2 = : Q(v) e－巾 1 2
Q(v ) = Pk (-iv).
儿η 凡（u)
＝ 儿n 凡（u 圳 l u l 2 ＋…v l 2 ldu ＝ 儿n 凡（u) e一
儿 凡W
(4.4.1 0)
Q (v
若
(4.4.1 1 )
143
L2 (lr） 中Fourier变 换 的 不 变 子 空 间 ＊
那么 由 （4.4.8),
Q(iv) = JIR/ " Pk (u + v) e 一π l u l2 du = Pk (v).
故（4.4.10）成立． 下面仅对U 1 的情形证明（4.4.1 1 ) .
令z = u1 ＋阳， 则e －智（z +iv i ) 2 pk (z， 也2 ， … ， Un ）在z平面上解析． 设r是由z平面
上的点（－R, 0), (-R, -iv i )， 间， －iv 1 ), (R, O）为顶点组成的矩形的边界， 其方向
为逆时针方向． 那么
o = JrI e一巾 ＋叫l 2 Pk (z, u2, · , Un )dz
R
= JIr e 一πlu 1 1 2 Pk (u 1 - ivi , u2 , · · , un )du 1 +
R
rI-O e 一 霄（ R+iw+iv1) 2 ＋ 山
Pk (R ， u2 , · · , Un )idw+
J -V1
R
Ir e－霄（u i+ivi) 2 Pk ( u1, u2, · , uπ）du1+
J Rr- i
v
’‘
I e － π （ －R ＋阳＋iv i), Pk (-R + iw, U2 , , Un )idw.
JO
.&. I R I → 0， 得
r oo
r e目
/J -OO e - -n:ufpk ( u1 - iv1, u2, · ， 也n ) du1 = J/-C目 E 一π （u 1＋切i)' Pk ( u1, u2, · · , Un )du 1 .
§ 4.4
··
口
［注4.4.2］ 注 意 到f叶 1 2 pk ξ Y(Rn）， 因 此定理4.4.3表 明 ， 对于 空 间 L 1 (Rn )
2
和L ( Rn ） 而言 ， e 训12 pk 均是Fourier变换相应 于特征值（－i) k 的特征 函数．
下面考虑更大的一个函数类． 设α ＞ O, k ε Z+ , Pk 仍记作k阶齐次调和函数，
f(x) = e→l x l 2 Pk (x）. 对Z ε Rn， 令g(x) = e一πl oxl 2 Pk (x) ＝ α－ k f（αx）. 因此由 定
理4.4.3,
g (x) ＝ α k . α－ n . J（言 ） ＝ α k n . i k · J( '[; )
( 4.4.12)
＝ α－ 2k - n i- k e -1τ l x l ,/0 2 Pk (x).
另 一方面， 令h(u) ＝ 「叫ou l2 ' U ε Rn+2 k ＿ 那么 由命题2.1.9， 知
h(u) ＝ α－ 2k -n e 一πl ul2 I由2 .
(4.4.13)
现对m ε N， 引 进（0, oo）上的Hilbert空间：
对m ＝ ψ（r) : ll'Pll rt=
｛
第四章 调和函数
144
其内积定义为：
（川） ＝ 俨（r）而T叫T
若取m = n ＋ 扯， pk ε sdk (JRn ）， ψ ε 1tn+2k 且g(x) ＝ ψ（＼xl)Pk (x) (x ε JRn ）， 那么
\lg＼＼ � ＝ ν （ ＼ x\)Pk (x) \ 2 dx = 1= ＼州 2 川切 l\ Pk l\l•cs
其中
/ \ Pk (x') \ 2 dx' I)
\\ Pk \\L• (sn-1 ) = ( J§n-1
因 g ε £2 (JRn）， 由Planchere！定理知， 9 ε £2 (JRn ） 且 1 191 \ 2 = l\g\1 2 . 又 由 定理4.4.l 的
证明过程知， 对a.e. x ε Rn , g (x) ＝ ψ（ ＼ x\)Pk (x ）. 因此ψ ε 衍叶2 k 且 ｜｜ψ｜｜凡＋＞k =
｜｜ψ｜｜对叶2 k . 这样定义了 衍π＋2k 上的有界线性算子TJ:， 使得TJ:（ψ） ＝ ψ． 显然， TJ:
是等距算子．
现考虑另 外一个径向函数， h(x) ＝ ψ（ ＼ x\), x ε ]Rn＋叭 ψ（r） ε 对n+2k· 由 于
\\ h\
＝ 均＋2 k 1 100 Iψ（r)\ r
故h ε £2 (JRn+2k ）. 因h为径向 函数， h(x) = O(\x＼） 也是径 向 函 数． 令r0 +2k ψ ＝
0， 易证。 ε 于in+2k ， 从而TQ'+2与也是等距算子. (4.4.12）和（4.4.13）表明 ， 当 ψ ＝
rε泸 （c: > 0）时， r0+2k ψ ＝ ik TJ:ψ· 如果记
W = {e Er• 的有限线性 组合； c: > O},
则算子r0 +2k 与沪TJ:作用在W上是一致的 现说明W在衍叶2k 中稠密． 若不然， 存
在b ε 衍n+2 k , b 并 0, a.e.， 且对任意的ψ ε w,
1 = cp (r)b(r)rn+2k 1 dr = 0.
特别地， 对任意的E > 0,
( 4.4.14 )
100 e-Er2 b(r)rn斗2k 1 世 ＝ 。
记
φ（s) = 1 e一 句（俨叫T 川）
\
145
§ 4.4 £2 (Ir） 中Fourier变 换的不变 子 空 间 ＊
在（4.4.14）中令E = m + l, m为正整数， 由分部积分， 得
0 = loo e ＝ 且 la e吨’（r)dr
＝ 且［产2 φ （α ） + la 2m俨句 （r 叫
(4.4.15 )
＝ 叫 ∞ ε 时2 φ 价
= fo l um一 1φ 辰：） du . (m = 1, 2, 3, · )
由 于多项式的全体在［O, l］ 中 的连续函数空间 中稠密， 故对任意的U ξ ［O, l］， 只有
当φ（ �） ＝ 0时， （4.4.臼）成立 即对任意的叫 （O, oo）斗（← 0， 从而
<I>'(r) = e - r2 b(r)r叶 2k - l = 0 a.e. r ξ （O, oo) .
于是b(r) = 0， 但此与 己知矛盾． 由 于r; +2k 与iT'f:均为有界算子， 且它们作用
在W上相 同， 而W = 'Hn+ 2k ， 故对任意的ψ ε 'Hn+2k , r;+2k ψ ＝ ik T'f:ψ· 运用这个
结论， 我们可以得到下面的重要结果
定理4.4 .4 设η 注 2, k ε Z+ , f(x) = fo(lxl)Pk (x） ε £ 1 (!Rn ） 门 £2 (JRn ), pk ξ
硝c· 则f(x) = Fo(lxl)Pk (x）， 其中
Fo(r) = 27ri - k r一（n+ 2k - 2) /2 / fo(s)J（π＋2k - 2) /2 (2霄rs)s <n+2k l /2 ds. (4.4.16)
证明 事实上， 由f(x) = fo(lxl)Pk (x) E L2 (1Rn ）， 可知fo(r） ε π叶 2k · 而f(x) =
Fo(lxl)Pk (x） ε £2 (JRn ）， 得到Fo(r） ε 对叶 2k · 这样， i k T'f:Jo = ik Fo(r）. 另 一方面，
ik T'f: fo = Tf;'+2 k fo ＝： 元．
因此
00
元（r) ＝ 加－ （n+ 2k 一 叮 fo(s)J(n+2k -2) /2 (27rrs 川的 ／2 d
从而
Fo（户 kf(r) ＝ 川
（
JO
口
［注4.4.3］ 定 理4.4.4的结 论 可 推广 到£l (JRn）和£2 (JRn ） 中 ， （4.4.16） 实 际 上 已
给 出 了 巧i 中 函 数Fourier 变 换 的 特 征 ．
第四章 调和函数
146
习
题
四
1. 证明调和函数的最小值原理： U在区域。内调和 ， 满足B : = in� u(x) ＞ 一∞
如果u不是常值函数， 那么对任意的Z ε Q， 有u(x) > B .
2. 设 叫 ， 也2 均在有界区域。 内 调和， 在Q的 闭包百上连续 证明：
(i） 如叫不是常值函数， 那么问 的最大值 （最小值〉 仅在Q的边界θ0 ＝ 百＼0上
达到；
(ii） 如在θQ上叫 ＝ 间， 那么对任意的Z ε 百， u 1 (x) = u2 (x) .
J u (x)J 《
3. 设α ε z＋. 证明： 存在C白 ＞ 0， 使得对任意调和函数u， 如果z εsup
B （α，r)
M， 那么
JDα u（α
4. 设F为IR'.f.+ 1 上的可测函数． 证 明 ：
(i） 如F在点Xo 巳 !Rn处存在非切 向极限 （ 见定义1.3.6） ， 则F在点XQ处非切
向有界；
(ii） 如F在IR'.f.+ i 上连续， 则F在点Xo ε !Rn处非切向有界当且仅当存在α ＞ 0,
使得F在r�（xo）上有界－
5 . !Rn中 区域。上定义的函数f称为实解析的， 如果对每一个α ε Q及在α的任一
邻域U(U c 0）中f(x) ＝ 艺α C0(x 一 α） 白 （α ε z＋）， 且此幕级数在U中绝对
收敛． 证明： Q上的调和函数必为实解析函数．
6. i.in 泣， D = （ 击 ， £ ）且P(D）加π 上常系数微分多项式
证明： 对Rπ 上的一切旋转Rp,
P(D)Rp RpP(D） 字斗 存在m ε N， 使得P(D)
这里Cj (j = 0, 1 ， … ， m）为常数， I记恒等算子， 且A为Laplace算子
=
＝句l+c1 .D.+ ··+cm..6.m ,
第五章
奇异积分算子
在这一章我们将研 究Hilbert变换， Riesz变换和奇异积分算子的基本性质 －
Hilbert变换是分析领域中非常重要的基本算子之一， 它来源于复分析， 并与小
波分析、 函数空间理论有着密切联系， 在信号分析与处理中有重要应用 . Riesz变
换是Hilbert变换的高维形式， 它在复和实的Hardy空间和BMO空间的刻画方面
起着关键作用 本质上， 奇异积分算子是Hilbert变换和Riesz变换的推广． 另 一方
面， 经典的Calder6n-Zygrrmnd奇异积分算子也直接来源于二阶椭圆方程解的 正
则性研究， 且奇异积分算子及其各种变形在偏微分方程解的存在性和正则性研
究中正发挥着十分重要的作用
§5.1
Hilbert变换
本节我们通过Hilbert变换产生的背景给出它的定义， 并深入研究Hilbert变
换基本性质． 由第一章和第四章知道， 对任意的f ε LP (IR)(l 运 p 运 ∞）， 其Poisson
积分u为!Ri 内 的调和函数， 且U在R上的非切向边界值几乎处处为f 下面将看到，
当1 运 p < 00时， LP (IR）函数f的Hilbert变换Hf的Poisson积分恰好是U的共辄调
和函数．
§5. 1 . 1 R上Cauchy型积分的边界值
设f ε LP (!R) (1 《 p < oo）. 考虑R上的Cauchy型积分：
J (t) dt =: Jim FN(z),
: /r �
F(z) = ;:;-::-:
( 5.1. l )
，，：，刀Z Jilli ι － z
川→∞
这里z = x ＋ 旬， y > O， 且
N f(t )
FN(z ) = � J-/{ N －；－－
1: Z
由于FN(z）为IR� 内 的解析函数， 因此F(z）亦在IR� 内 解析． 注意到
j
F(z) = _:_1霄 Jilli/ (x t ) 2 + y2 f ( t)dt 十 一
2霄 Jilli (x t) 2 ＋ ν2 f (t） 出
= = � [ u� 泸 州） ＋ 灿 ＊ f)(x) ] .
L:Tri
I - 气'U
-一
i I -X-tv
第五章 奇异积分算子
这里马（t) = � p仨吉 为]Ri 中 的Poisson核， 马 ＊ f为f的 Poisson积分 而 Qy(t) =
� p{:y吉 称为盹 中 的共辄Poisson核． 积分
v(x , y) := 2Im(F(z)) - Qy * J(x) -一 �作 J./R (x -xt)-2 t＋ ν2 f(t)dt
称为f的共辄Poisson积分． 由定理4.2.l及定理1.3.4， 定理1.3.8知道， 马 ＊ f为]Ri 内
的调和函数， 且当U → 0时， 在f的Lebesgue点z处， 马 ＊ f的径向和非切 向极限均
为f(x）. 另 一方面， 由 于F(z）在]Ri 内解析， 因此Qy * f(x）也必然为JR！ 内 的调和
函数． 这样， 一个 自 然的 问题是： 当U → 0时， Qy * f(x）是否几乎处处存在极限？
如果极限存在， 它与f的关系如何？
命题5.1.1 对任意的f ε LP (JR) ( 1 《 p < oo), f的共辄Poisson积分在R上几
乎处处存在有限的非切 向极限
证明 由于f可表为两个非负函数之差， 不妨设 f 注 o. 分别记f的Poisson积分
和共辄Poisson积分为u-*Dv， 贝U u 》 0. 令G(z) ＝ ε一 （ u( x ,y） 十四 （x,y ）） ， 那么G在JR！ 内
解析且满足 I G (z)I = e - u(x ,y） 运 1. 当 ν → 0时， 在f的Lebesgue点处G存在非切 向
极限 从而G在R上几乎处处存在非切向极限（见［？？！或［90］）. 该极限不可能在R的
任何正测度子集上为零． 否贝Uu在该子集上的非切向极限为∞． 但也是f的Poisson
积分， 此与f ε LP 矛盾． 从而F(z) = u(x， ν） ＋ 切（x, y）在R上几乎处处存在有限的
非切向极限， 故v(x， ν）在R上几乎处处存在有限非切向极限．
口
引理5.1.2 设 f ε LP (JR) ( 1 ζ p < oo）， 则在f的Lebesgue点z处，
l出 Q凹 ＊ f(x） ＝ ；出 Hyf(x),
(5.1.2)
148
其中， 对U > 0,
J(t)
Hyf（ 叫 ＝ 言 人r － t ＞凹 口
证明 首先说明在f的Lebesgue点z处 ，
，，、－
1哥
问 （ 儿 （x �λ y2 只t)dt lx- t l ＞
ψ（t) = � 叮 1 t
飞 t2 + 1 ’
βdt }
ltl > 1 ,
ltl ζ 1
=
0.
( 5.1.3)
§ 5.1
149
Hilbert变 换
记向（ t) ＝ 伊（ � ） (y > 0）. 为证（5.1.3）， 只 需说明， 在 f的L由吨ue点z处， 有
( 5.1.4)
J鸟 儿 J(t川 一 t)dt = 0.
注意到
i 一土一
J t l > 1,
ψ（t) = � 1 + ltJ 2 ，
\. � .
JtJ 运 1
为ψ的递减径向控制 函数． 由 于ψ和ψ均可积且ψ为奇函数， 应用定理1.3.2知道，
在f的Lebesgue点z处（5.1.4）成立． 另 一方面， 由 定理1.3.6， 对任意的Z ε R， 有
IJ Q 目 时（x） 一 －作i jIr Xf ( t)t dt IlI 运 5Mf(x),
(5.1.5)
sup
ρo l ν
这里M为Hardy-Littlewood极大算子． 上式表明， 对几乎所有的Z 巳 IR, (5.1.2）两
边的极限同时存在或同时不存在（由 ［注1.2.2］）. 再联系到（5.1.3）， 便知引 理的结
口
论成立．
引 理5.1.2给出 了 Qy*f；在f的Lebesgue点处径向极限表达式． 称f的共辄Pois­
son积分Qy * f在R上的径向极限为f的Hilbert变换， 那么 由命题5.1.1 ， 引 理5.1.2实
际上己给出 了£P (IR) (1 ζ p < oo）函数的Hilbert变换的存在性．
定理5.1.3 设f ε V'(IR) (1 ζ p < oo）. 那么在f的Lebesgue点z处， 其Hilbert
变换的值Hf(x）有限， 且有
J(t ) dt = li� H,:f(x).
Hf(x) = p . v.-:::-71 J／rJR 二一τ
( 5.1.6)
由此可知， f的Hilbert变换Hf在R上是几乎处处有定义的．
综合前面的结果我们得到， 对f ε V'(IR) (1 运 p < oo), f的共辄Poisson积
分Qy * f在R上的径向和非'JJ 向 极限均几乎处处为f的Hilbert变换 Hf. 由此可得
下面的结论：
定理5.1.4 设f ε V' (IR) ( 1 《 P < oo）， 那么 由（5.1.1）式定义的R上Cauchy型
积分F(z) (z = x + iy, y > 0） ；在R上的径向边界值和非切 向边界值均几乎处处
为 � (f(x) + iHf(x)).
x - t l >Y
:L； 一 E
-
ε →U
§5.1.2 Hilbert变换的£2 理论
在讨论Hilbert变换的基本性质之前， 先看一个例子． 记K(t) = C 1 (t ε IR \
150
第五章 奇异积分算 子
{O｝）， 很明显K在含零点的任一区 间 内 不可积， 故K tJ. Y'(JR）. 然而， 按下面的定
义5.1.1, K是y’（JR）中 的主值广义函数．
定 义5. 1 1 对函数K ， 令
LK（ψ） = li吨
l K(x）ψ（x)dx, V ψ 巳 Y(lRn ).
→U J ixl ＞ε
.
如LK ε Y'(JRn ）， 则称K为Y'(JRn ） 中 的主值广义函数， 此时记LK为pv.K.
引 理5 . 1 . 5 令k( t) = p.v.击， 那么k为Y'(JR） 中 的主值广义函数， 且k（�）
-isgn�. 1
证明 任取ψ ε Y(JR),
J Lk (ψ） ｜ ＝ ｜ ； ：叫。1,,; � dt + � ll > l � dt
1
《 � L}'i ，）γ（叩 ＋ 叫 l> l I 平 l dt
《 ； ｜｜旷lloo ＋ � SU� Jtcp(t)I ζ C
l
因此k为Y'(JR）中 的主值广义函数． 现任取ψ ε Y(JR),
£ （ψ k（ φ ； J出 J ζ I E 儿 ψ（t
＝ 卦。 (t) L＂＂� ，一叫子） dt
＝ ！鸟 儿 叫 手 1�1 E I�� 叫霄t�） 子 ） dt .
如 (1
回顾
li吨
芋l
叫2叫） 竿i;; ＝ 一 叩 t
→ u π Jε
运 IE I ζ �
nu
nu
nu
＞
＝
＜
咱i
－
n
叫
－L寸
rE
EEl－
－at
一－
σo
cu
因此
1= T dt = � ，
1本书中sgn z为 符号函数， 其定义为：
=
z z z
z
n
151
Hilbert变换
由Lebesgue控制收敛定理， 有k（ψ） = JIR ψ（t )(-isgn t)dt . 从而k（�） = -isgn�. 口
这样， 由Hilbert变换的定义（5.1.6）， 对ψ ε Y'(JR), Hψ（x) = k ＊ ψ（x）， 且
( 5.1.7)
Hψ（0 = -isgn � φ（£） ．
Hilbert变换具有 以下基本性质 ：
定理5.1.6 对任意的f ε L2 （则，
(a) llH f 1 1 2 = II ! 11 2 ;
(b) H(H f)(x) = -f(x) a.e. z ε IR;
( c) H' = -H, 这里H＇记H的共辄算子3 即 ： （Hj, g) = (f, H’的， 而（！， g) =
JJR f(x ) g(x )dx;
( d ) H t = H， 这里Ht i己H的转置算子， 其满足： JJR Hf(x)g(x)dx =
j卢 f(x )H t g(x )dx;
(e ) Hf · Hg = fg+H(gHJ+JHg）， 这 里f, g ε Y(JR）. 特别地， 对 f ε Y(IR),
(Hf) 2 = j2 + 2H(JHJ).
证明 由 （ 5.1.7）和Plancherel定理 （ 定理2.2.2）， 知 H是L2 (JR) n Y(JR） → L2 (JR)
的有界线性算子． 由定理3.3.4得到结论 （ a）. 再次应用 （ 5.1.7）及（－isgn 0 2 = 1
（� 于是 0）， 故（ b）成立 现任取f, g ε L2 (JR）并应用 定理2.2.4和乘法公式（定理2.2.3
( a））， 有
川 ） = 1 Hf(x）俨旷（x)dx ＝ 伊 （x)(§ - l g）阳
＝ － 儿 一isgn x言（ x)f（一Z
＝ 一 儿 只z用x)dx = -( !, Hg) .
这样得到（c）. 类似可证明 （ d ) . 最后给 出 （e）的证明 记m（�） ＝ 一切gn ξ 运
用Fourier变换，
(Jg + H(gHJ + fHg））飞） 二 (f * g）（巳 ） + m（�）（g * Hf)(O + m（�）(f ＊ 豆豆）（£）
注意到
(f * Hg ）（�） ＝ 扣 除
手口
(g * Ht）（�） = 1 m(ry)f(
§ 5.1
第 五 章 奇异积分算子
152
因此
m（�） （ g * H f) （ �） +m （ � ） (f * Hg ） （� ）
=
1何 ） g（� 一 训m（� ） ［m（η） 叫 一 η） ］ dη
1
另 一方面， 当 ｜£｜ ＋ ｜ηI >
(5 . 1 .8 )
o时， 有等式
1 + m （ � ） ［m（η） + m（� 一 η） ］
由 （ 5. 1 .8) (5. 1 .9） ， 得
（加 H ( gHJ ＋ 间））飞） ＝
=
=
m （η）m（� 一 η）．
(5.1 . 9 )
仨（η）低 一 州 ＋ m（�） ［m（η） + m（� 一 η）］ ｝dη
1 f (17）§ （� - 77)m伽（� - 17)dη
二 （Hf * Hg） （�） ＝ ( Hf · Hg) ( O .
口
这样完成了 （ e） 的 证 明 ．
［注5. 1 . 1］ 定 理5 . 1 .6 的 结 论 （ a） 和 （ b） 表 明 Hilbert 变 换是L2 (JR ） 上 的 西 算 子． 结
论 （ b ） 实 际 上 也 给 出 了 L2 (JR ） 上Hilbert 变 换 的 反 演 公 式 ， 即
(
Hf一－dt
t) = - lim H0 (H！ ） （功， a.e. x ε R (5. 1 . 1 0)
／{ 一
ε→
X
JR - t
结 论 （ c ） 说 明 Hilbert 变 换 是L2 (JR ） 上 的 反对 称 算 子 ． 结 论 （ e） 中 的 等 式 也 称 为 Cotlar
等 式 ， 它 由 M. Cotlar在1955 年 得 到 ［3 7] .
f ( x)
= - p .v. -
0
［注5.1 .2］ 上 面 我 们 通过Fourier 变 换 证 明 了 Hilbert 变 换 是L2(JR） 上 的 有 界 算
子． 早 在 195 1 年 ， Lusin没有 应 用 Fourier变 换， 给 出 了 Hilbert变 换L2(JR ） 有 界性 的
一 个 简 单 证 明 ． 对任 意 的E > 0， 记 H； 是 Hε 的 共 辄 算 子． 显 然， 复合算 子 H; H.ε 仍
是卷 积 型 的 积 分 算 子 ， 其 积 分 核 为
f ____!!!:._
人巳�：. ( t x) "
当 lx l > 2e: 时 ， K" (x) ＝ 一 击 log 悻� ； * lx l < 2ε时 ， IK" (x) I 寸
K" ( x)
易 证，
=
这样，
儿 ｜ 几 （x) l dx 运 c < oo ,
其 中 C > O 与ε无 关 ． 因 此， H; H.ε 是L2 (JR ） 上 的 有 界 算 子 ， 且 II H; HE II ( 2 , 2） 《 C 关
于ε ＞ 0 一 致 成 立 这 样 ， 对 任 意 的f ε L2 及ε ＞ 0， 一 致 有
ll H" f 111_2
=
( H; H.ε ， f) ζ llH; H" llc 2 , 2 ) ll f lli2 《 C l l f ll1_2 .
153
§ 5.1 Hilbert变 换
’A
n，A
PU
FU
）
－tJlt
一一
户户、
，，t、
、
，hυ
由Hilbert变换的定义（5.1.6）易证， H在£P (JR) (1 运 p < oo）上满足以下性质 ：
(a） 与平移Th可交换， 即ThH = HTh;
(b） 与伸缩T/a （α ＞ 0）可交换， 即ηαH = Hrya ;
( c） 与反射可反交 换， 即Hf = -Hf.
下面的结果说明性质（a) (b) (c）完全刻画了£2 (JR）上的Hilbert变换．
定理5.1.7 设 T 为£2 (JR）上的有界线性算子 那么 T满足性质 （a)(b）和（c）的充
分必要条件为： 存在常数c， 使得在£2 (JR）上T = cH.
证明 仅证必要性． 因 T 为£2 (JR）上有界的线性算子且与平移Th可交换， 由 定
理3.3.4， 当 T 限制在Y'(JR）上时， 必、存在U ε
U ＊ ♀？， 且
( 5.1.11 )
Tψ（0 = (u ＊ ψ）＂（0 = b(Oφ（�）， 'V � ε JR,
其中b ε £＝（JR）. 由于T与伸缩可交换， 应用y’（JR）中Fourier变换的性质 以及伸缩
的定义， 那么（5.1.11）说明b为零阶齐次函数， 即对任意的 5 ε R及α ＞ 0, b（叫） ＝
b（�）. 这样存在c1 , c2 ， 使得
� > 0,
( 5.1.12)
� < 0.
最后， 应用缓增广义函数反射的定义和性质（c）， 对任意的 ψ ε Y'(JR）， 有
b（�）φ（－0 = -b(-0φ（－�），
因此b（－�） = -b(O. 由 （5.1.12）式知， C2 = -C1 且b(O = c 1 sgnι 如取C ＝ 叫， 那
么 T和cH在Y'(JR）上的限制相等 由 于T和cH均为£2 (JR）上的有界线性算子， 由
口
稠密性即知 T和cH在£2 (JR）上相等．
［ 注5.1 .3］ 易 知 ， 作 用 在Y' ( JR ） 上 的 一 阶 微 分 算 子D 满 足 ： ( a) Drh = ThD;
(b ’ ） Drya ＝ αηαD; ( c) Dφ ＝ -Dψ． 如 视 恒 等 算 子I 为 零 阶 微 分 算 子 Do， 那
么 Do 满 足 ： (a) Do rh = rhDo; ( b) Doryα ＝ T/aDo; (c ’ ） Docp ＝ 亘局． 因 此 在
此 意 义 下 ， 也 称Hilbert变 换 为 “ 零 阶 反 对 称 微 分 算 子 ”
另 一 方面， 通过取Fourier变 换， 可形式地记H = D （ － �） － 1 /2 ， 这 里A 为 一维
的Laplace算 子 ． 这 样， Hilbert变 换亦 可 视 为 零 阶 微 分 算 子 ．
第 五 章 奇异积分算子
154
§5.1.3
Calder侃，Zygmund分解
为研究Hilbert变换在£P(JR) (1 ζ p < oo）上的作用， 我们先介绍]Rn上Calder创－
Zygmund分解， 这是现代调和分析实方法中十分重要的工具之一．
定理5 . 1 .8 ( Calderon Z）伊und分解 ） 设f ε L 1 (1Rn ）且λ ＞ 0. 那么存在]Rn 中
的方体列｛Q1}1酬， 其内部两两不交， 及]Rn上的函数g和b， 使得
(i) IRn = F u n, F 门 。 ＝ ¢， 这里。 ＝ U1Q1;
。i ） λ ＜ 俞 JQ; lf(x)I dx ζ 川， j = 1, 2,
(iii) lf(x)I ζ λ 对a.e. x ε F;
(iv) IOI 运 ： llfll 1 ;
(v) f = g + b;
(vi) llglloo 运 俨 λ 且 llgll� ζ C)...P 1 llfl l 1 对1 运 p < oo;
(vii) b(x) = 0, x ε F， 且JQ; b(x) dx = 0, j = 1, 2,
证明 我们可分解]Rn 成为内 部两两不交的等边长的方体网． 因f ε L 1 (1Rn ),
只要边长足够大， 便可使得对每个方体Q,
土
IQI ／Q lf(x)I dx ο
令 Q’是该网 中任一固定 的方体， 我们分解Q＇成2n个等边子方体， 记Q＂为其中之
一． 那么存在如下两种情况：
(a) �
IQ"I /Q” lf(x)I dx ＞ 入
对于情况（a）， 有
(b) �
I Q" I /Q” lf(x)I dx 运 入
」→
2 －叫Q'I /Q’ lf(x)I dx ζ Tλ
IQ"I lQ” lf(x)I dx 飞� 一土－
这样我们不再剖分Q”， 并将Q”归入方体列｛Q1 ｝ 中
对情况（时， 我们再分解Q＂ 成2n个等边小方体． 对每个小方体， 如出现情况（a),
便不再剖分并将其归入方体列｛岛｝中， 否则作进一步剖分并重复上述程序． 这
样得到的方体列｛岛｝中所有方体均满足情况（a）. 记。 ＝ U1Q1及F = ]Rn \ n， 应
用Lebesgue微分定理（定理1.2.9）， 得
If (x) I = lim _}_
I If (t) I dt ο， a.e. x E F.
31艺。 IQI Q
155
§ 5.1 Hilbert 变 换
因此得到结论（i) (ii）和（iii）. 由（ii)
1 n 1 ＝ 车 I Q1I 运 ： l Q l f(x)I dx 运 ：11 ! 1 1·
;;
此即为（iv）. 现定义函数g和b如下：
仰） � ｛ �·l 仲）dx,
，
z ε F,
2 巳 Qj ,
j = 1,2, ·
且
1 Ir J(x）缸， zz εε QjF, , j = 1,2， …
b(x) = <l f(x） 一－
I Q1 I
因此f = g +b， 且由b的定义知（vii）成立． 最后， 我们验证结论（vi）. 由（ii）及（iii）即
得ll g l oo 《 T入． 对l < p < oo， 应用（ii）及（iii）， 有
l g l � ＝ ； lg(x)I川 lg(x)I dx 让 ｜ 州「11 州 dx
ζ 车 （2
ζ （ pτ l; l f (x)I dx ＋ λP 1 L l f(x)I dx 《 C>..P一 1 1 ! 1
而p l 时 结论 （vi） 是明显 的． 这样得到 了 Cald r6n Zyg und分解定 理 ． 口
l
Q;
引
l
e
=
-
·
rn
［注5.1 .4］ 从 上 面 证 明 过 程 可 知 ， Calder6n-Zygrnund 分 解 中 方 体 列 ｛Q1 ｝ 亦 可
取 为 二 进 方 体 列 ｛Qj ｝ · 称 方 体Q为 二 进 方 体 ， 如 对k, m 1 ， … ， mn ε Z， 有
Q
= [2k m1 , 2k (m1 + 1）） × ［2k m2, 2k (m2 + 1）） × · · × ［2k mn, 2k (mn + 1 ) ) .
§5.1.4
Hilbert变换的LP 理论
现讨论Hilbert变换的p ( 1 《 p < oo）有界性． 首先指出， 和Hardy-Littlewood极
第五章 奇异积分算子
大算子一样， H山ert变换不是L i 到£ 1 有界的 事实上， 取f(x) = dx> ， 对 E > 0,
156
H,J(x ) ＝ ： 儿 － ti ＞ε 旦
=
由于积分
因此
出
� ｝�＂° ｛ 汇 ＋ 1::A } （ 卢市 ＋
：
十
j
飞 ι； ： 飞 主 ＝ 0,
Hε 削 ＝ 矿 i) ｝�m"° ｛ 汇 ＋ 汇A ｝ 击 ＋
丁
矿工i) A�m� {j�：• 1:： � ！击
+
＝ 去 （ 击 叫 一 兰兰 ） ＋ ih 叫 一 去去 ） ） ，
上面两个对数函数均取主值 注意到， 当0 ＜ ε ＜ 1时， 一告旨和一吾先 的实部
和虚部均为负数 因此
Hf(x) ＝ 卦。 H, J （ ← 去 （ 古 （ 町 ） ＋ ih 问 ） ＝ 占
显然Hj rf_ L 1 (1R) .
［注5.1.5］ 由 于Hilbert变 换与平移 、 伸缩均可交换， 因 此运用 上面 的例 子， 还
可说明JR� 中 的Poisson核的Hilbert变 换 为 共辄Poisson核， 即对任意的U > 0及 t ε
JR, (HPy(- - t))(x) = Qy(x - t ) .
定理5.1.9 (a) Hilbert变换H是弱（ 1, 1 ）型算子；
(b） 对 1 < p < oo , Hilbert变换H是（p,p）型算子．
证明 首先运用Calder6n-Zygmund分解证明结论（a）. 不妨设f 注 0， 对任意
给定的λ ＞ 0， 有
J{x ε JR : JHf(x)J ＞ λ｝ ｜ ζ J{x ε JR : JHg(x)J ＞ λ／2} 1 + J{x ε JR : JHb(x)J ＞ λ／2}J,
其中g, b由f在入处的Calder6n-Zygmund分解所确定． 由Hilbert变换的L2 (1R）有界
157
§ 5.1 Hilbert 变 换
性及定理5.1.S (vi）， 得
。
,, ＝ 万4 儿r ｜仰）l;:dx
运 云「7 llfll i l {x ε IR : I的（x) I ＞ 入／2}1 运 万4 儿r IHg(x)l:ldx
记I；为马 的同心二倍扩张， 这里｛I1}1剧 为f；在入处的Calder6n-Zygmund分解所确
定的R中 的区间列． 令。＊ U1 号， 由 定理5.1.S(iv), IO* I 《 2 101 ζ � llfll 1 － 这样
l {x ε IR IHb(x)I ＞ λ／2}1 运 IO*I + l{x rf. O* : IHb(x)I ＞ λ／2}1
运 ；/\ llflli + ;/\ J/!Ri\f!• IHb(x)ldx .
=
现记
bJ1 (x) = \I f (x） 一 土
I ι l 11;l f(x) dx)） χI; (x), j = l , 2 , · ·
如果 2:1 IHb1(x)I为有限和？ 那么 IHb(x)I 《 艺1 IHb1(x)I, a.e. x ε IR. 否则， 注意到
在£2 的意 义下 ， 2=1 bj 和2:1 Hb1 分别收敛到b矛日Hb， 故仍有 I Hb(x) I 运 2:1 IHb1(x)I,
.e. z ε R 记马 的中心为町， 则 当 t ε 马及x rf. I；时， It - Xj l 运 II11/2且Ix - ti 》
Ix - x1 1/2. 由于 f b1(x)dx = 0， 有
IHb1(x)ldx
\I �
1 \ 1
1 r b1 ct) 1 r 1 r r 1
= Ir
, ; I 人 口 “ ldx ＝ 儿 ＇ ； I J1 b1(t) I 口 一 可 ） dt l 由
j
1
x1
t
｜ ι ｜ 白 ）） dt .
i
｜ 句 （ t)I \（( 儿!Ri\I; I x - tllx - x1I dx))) dt ζ lrIr I句 （ t) 1 \1（ 儿R\I* 一一一一
I
x
x1 1 2 )
j
因此
/ IHb(x)ldx ζ ） : /R\fj IHb1(x)ldx ζ 2 ) : II; lb1(t)ldt ζ 4 1 1 11 1 J JRi\f!•
J
儿
寸
二了 J
二了
、、E，
，，
、、E，
，，
何一勾
贺－h·
机U
4EU
（（
a
o
PL
＋L
「JIL
一－
nr
P
H
从而证明 了H是弱（1, 1 ）型算子．
由结论（a）和定理5.1.6 (a）， 并应用Marcinkiewicz算子内插定 理（定理1.4.2）知，
对1 < p < 2, Hilbert变换H是（p,p）型 算子． 再 由 定理3.3.6， 对2 < p < oo , H仍
口
是（p,p）型算子． 从而（b）成立 ，
［注5.1.6] 1972年 ， S. Pichorides [84］ 给 出 了 Hilbert 变 换 的 算 子 范 数 的 精确 值．
1 < p �二 2,
2 �王 p < 00 .
第五章 奇异积分算子
158
1974年， B. Davis[42］应用 概率方法证明 了 ：
l H l 四 口， 1) ＝ 1唱 ＋- ��32 ＋· ��52 ＋- ��72 ＋• �-h92 +- .
上面 l H l cP♂） 和 l H l w c 1 , 1） 分别表示Hilbert变换 H 的（p,p）范数和弱 （ 1, 1）范数
［注5.1.7］ 早在1925年 ， A Kolmogolov 运用 复分析方法首先证明 了 Hilbert变
换为弱 （ 1 , 1）型算子． 下面是 已简化 了 的证明 （ 见［120] ) .
设f ε L 1 （�）， 不妨设f 》 0. 对z x + iy, y > 0， 令
F(z) = ( P ＊ f)(x) + i(Qy f)(x),
这里 Py * j; 和Q自 ＊ f：分别71f的Poisson积分和共辄Poisson积分． 那 么 当S > 0时，
ω怡，y) = log l l + sF(z)I 在�� 内调和， 且在本征子空 间��，自o : = {(x, y） ε �� ：
U 》 Yo > 0 ｝ 上有界． 由 （ 4.2. 3 ）， 只 要0 ＜ η ＜ ν ， 有
川） ＝ 儿 w （�， η） 马 一 η （ ）
1I
y一η
og jl + sF（� ＋ 叼）｜ 句
I (x �) 2 + （ ν 一 η ？
由 定理5.1. 4 和Fatou引 理，
1I
�一 η
og ll + sF（� ＋ 叫）I d�
｝ (x - �) 2 + （ν 一 旷 ？
( 5.1.13 )
》 ！＿ ｝I (x - �)飞2 + Y2 log y'( l + sf(0) 2 + (sHf（�）) 2 d� .
由 （ 5.1.13）， 得
!_ }/ (x 0y22 ＋ ν2 log V(l + sf（�）) 2 + (sHJ （�）） 2 d�
( 5.1.14 )
.
《 ylog l l + sF(x ＋ 叩）｜ 《 ylog(l + s! F (x + iy)I） 运 ys l F (x + iy)I
另 一方面， 易知
此 汀yF川y) ＝ 儿 f（�）d� = 1 1 1 1 .
这样在 （ 5.1.14）的两边令u → ∞， 有
儿 l叫1 + sf（�）） 2
.
'
'
=
ν
霄
η→O 霄
作
R
R
R
1
rr
*
159
5.1 Hilbert变换
对α ＞ 0, 1.己Eα ＝ ｛� ε R Hf（�） ＞ α｝． 由上式
(logs叫阳 三 l,, log l sHf (0 快
《 Lio巴 v(1 十 s附料 〔sH
口
现 取S = e／α’ 便得到Hilbert变换的弱（1, 1）有界性
由Hilbert变换的LP有界性 ， 可说明Hilbert变换的反演公式 （5.1.10）对LP函数
仍然成立．
推论5.1.10 设1 p 00. 如 f ε LP (IR）且g ε U’（IR）， 那么
(a) l Hf(x)g(x)dx = - l f(x)Hg（喇叭
例 lHf(x）而由 ＝ 一 ρf
巾） 儿 Hf(x)Hg(X)dx ＝ 护）g(X'jdx;
(d) H(Hf)(x) = -f(x), a.e. x ε JR.
证明 首先设f ε LP(IR） 且g ε L2 (JR） 门 LP (JR）. 取｛ hhEl\I c L2 (1R） 门 LP(IR),
使得此 ｜ 儿 一 fl ip = o. 那么由Ht = -H（见定理5.1.6(d)),
儿 H儿（ )dx ＝ 一 儿 fk 川
这样由上式及Hilbert变换自qLP有界性， 知
\ l Hf 仰 ＋ l f · 由 ｜
《 ＼ lH(f 一 九） 仰 ＼ ＋ ＼ lH儿 · gdx l fk H仰 ｜ ＋ (5.1.15)
I L 儿 H仰 － lf · Hgdx\
《 l H (f - fk ) l P l 9 l P’ ＋ I ! - hl l p l Hgl l p’ → 0. (k → ∞）
对f ε LP (JR）且9 ε LP’（则， 取｛gk }kEl\I c L2 (1R） 门 的IR）， 使得A。 l 9k -gllp' = o.
运用（5.1.15）式及同样的思想便可得结论（a）. 同样的方法可用于（b）和（c）的证明．
现说明（d）. 在结论（a）中用Hf代替f， 用g代替g并应用结论（c）， 有
1 H(H叩〕dx = -1 Hf(x)Hg(X)dx ＝ 一 l f （：叫
§
<
<
均
+
第五章 奇异积分算 子
160
这表明， 对任意的g ε LP’ （IR）， 都有
(5.1.16)
如 （H门 （x) f(x）阳dx ＝ 。
现取
页王丁 ＝ sgn [H(Hf)(x) f(x)]I H (Hf)(x) f(x)I P一 1 ,
那么 由 （5.1.16）， 得
儿 I H 附 （x) ＋ 州 P dx = 0.
口
从而 H(H f) (x) = -J（叫， a. e . x ε R
下面的引理揭示了Hilbert变换 ， Poisson积分和共军BPoisson积分之间的重要
+
+
+
关系
引理5.1.11 设1 < p < 00. 对任意的f ε LP(IR）及U > 0， 有
z
一川
1
－
T
一一
、、，
，r
z
v
、、E，J
引V
π
。h
PLV
n
ub
oD
E
qtu
Qy * f(x) = Py * Hf(x), \:/ z ε R
( 5.1.17)
其中Py和Qy分别为IR�中的Poisson核和共朝Poisson核．
证明 注意到7 对任意的U > 0， 巧， Qy ε LP (IR) (1 < p' < oo）. 因此由定
理5.l.9(b), Qy*f, Py*Hf均有意义． 下面我们将分别运用Hilbert变换和Fourier变
换的性质给出 （ 5.1.17）式两种证明方法
( i） 应用推论5.1.lO(a）及 ［注5.1.5］ ， 有
马 ＊ H贝x) ＝ 儿 Hf(t）马 川）
＝ 儿 f(t) [H
(ii） 只需对 f ε S"(IR）证明（5.1.17）式． 先说明如下事实： 对y > O， 有
(5.1.18)
事实上， 对U > 0， 记q(t) = (- isgn t) e 2叼！t i ， 那么q ε y’（JR）. 任取ψ ε S"(IR),
ij （ψ） = q（ φ ） = - i / sgn t e -2叼 ！ t i φ（ － t)dt
＝ 伫 叫飞－i ） 仰－ 2πyt sin (2刑仰£
JR
不难计算
2 fo= e 一切t sin(2叫）dt ＝ ；二 百
§ 5.1
Hilbert变 换
161
从而（5.1.18）成立． 这样
(Qy * J)"(O = (-isgn �）e -2叼 1 € 1 f（�）.
( 5.1.19)
现在（5.1.17）两边取Fourier变换， 并应用 ［注2.1.5］ 和（5.1.19）， 得
(Py * HJ)＂（�） ＝ e一 切 1 € 1 盯 （� ） = （一吨no e － 问 l € 1 f（�） = ( Qy * ！）＂（� ）.
从而（5.1.17）成立．
口
l 注5.1.8］ 应用 推论5.1.10及 ［注5.1.5］ 可进一步说明： 对任意的f ε LP （�） ( 1 <
p < oo）及 ν ＞ 0， 有Qy * Hf(x) = -Py * J (x）. 此事实可 作 为 引 理5.1.11的补充．
应用 引 理5.1.11， 可以给出极大Hilbert变换H＊ 的LP 有界性的简单证明． 设 f ε
£P （�） (1 运 P < oo）. 那么f的极大Hilbert变换H＊定义为：
Hγ（x) = sup
ε＞0 IHcf(x)I .
定理5.1.12 极大Hilbert变换H＊亦是弱（1, 1）型和(p,p) (1 < p < oo）型算子．
证明 先说明H＊是（p,p) (l < p < oo）型算子． 对任意的 f ε LP （�）及E > 0,
由 （5.1.17), ( 1.3.9）及（5.1日，
IHcf(x)I 运 IQε ＊ f(x) I + IQ£ * f(x) - Hcf(x)I
ζ sup
ε＞0 IP.ε ＊ Hf(x)I + sup
ε＞0 IQε ＊ f(x) - Hcf(x)I ζ CM(HJ)(x) + 5Mj(x),
此处M为Hardy-Littlewood极大算子． 注意到上式右边己与E无关， 因此
Hγ（x） 运 CM(HJ)(x) + 5 Mf(x), a.e. x 巳 R
( 5.1.20 )
这样， H＊为（p，ρ） （l < p < oo）有界的结论便是应 用 （5.1.20)(1.2.15）和定理5.1.9 (b)
的结果．
现证明H＊是弱（ 1 , 1）型的 － 仍不妨设f 注 0， 并采用定理5.1.9证 明 中 引 进的记
号． 对任意的λ ＞ 0， 由f在λ处的Calder6n-Zygmund分解， 写
f = g + b = g ＋ 汇 bj .
由证明H为弱（1, 1）型算子的思想可知（注意上面己证明H＊为（2, 2）型算子），
l {x ε � ： Hγ（x) ＞ λ｝ ｜
ζ l{x ε � ： H*g(x) ＞ λ／2} 1 + IO*I + l{x ¢. O * : H*b(x) ＞ λ／ 2 } 1
作 lfll i + l{x ¢. 0* H*b（们 明｜
162
第五章 奇异积分算子
对Z rt- fl＊， ε ＞ 0及马， 下面三种情况之一必然出现：
(a) (x 一 ε， x + s） 门 马 ＝ Ij ;
(b) (x ε， x ＋ ε） 「1 马 ＝ ¢，
(c) x 一 ε ε 马 或 x ＋ ε ε 马
对于情况（a) , H.ε bj (x) = 0. 在情况（b）时， ｛t : lt - xl > s｝ 门 马 ＝ 马． 如记马 的中心
为Xj ， 那么
r
I汇 ｜
i I
i
IHc: bj (x)I ζ l1jl I←一
x - Xj I［ lbj ( t)ldt �飞 一-2一llb;
x - t 一 一一－
Ix - Xj l 2 11 1 在情况（c）下， 由Z rt- n吱日Ij c (x - 3s, x + 3ε）， 且对所有 t ε ι， 有 I x - ti ＞ ε／3.
因此
l b1( t ) I dt � -3 Irx+ 3ε I句（t)ldt .
IHc:bJj(x)I 运 11If �
I x - ti 飞 ε 九－3c: J
综上， 我们有
3 r+3" lb(t)ldt $'. �
1 汇 I一
I 孔 ｜ .. ｜｜句 11 1 + CMb(x) .
+- I
1
I Hc: b(x) I 运 �
..
llb
） ； 一_l...!.
〉 ： 一_l...!.
j
1
2
乍
X
E 九一挝
、乍
Ix j l
Ix - X一
jl 2
I
这样
l{x rf_ fl* H*b(x) ＞ λ／2}1
l lj l
�
)
If
） ； 一一ι一
『 lI�l x n* : 乍
lx - xj l 2 llb1 ll 1 ＞ 入／4 J� I［ ＋ 1{x ε IR : Mb(x) ＞ λ／4C} I
I汇 I
c’
C"
�
> : llbJjll i JIR\If Ij 一
- Xj 1 2 dx + ll b lli 《 一 llbll 1 Ix _:1_1__
干了
口
由此得出 H ＊是弱（1, 1）型的．
［注5.1.9］ 不 等 式（5.1.20）称 为Cotlar不等式．
应用 引 理5.1.11， 定理1.3.4和定理l.3.8(b）可直接得出共辄Poisson积分在R上
的LP极限．
定理5.1.13 设l < p < oo 且f ε £P(IR) .
(a） 对任意的U > 0, Qy * f ε LP(IR）， 且 llQy * fllv 运 Cllfllv， 这里C =
C(p）与 ν 和 f 无关；
(b） ；出 llQy * f - Hfllv = 0;
(c） 对任意的α ＞ O, (x ）�￥！ （xo) Q目 ＊ f(x) = Hf(xo), a.e. xo 巳 R成立
I
§
163
5.2 Riesz变换
§5.2
Riesz变换
§5.2.1 Riesz变换的L2理论
现研究Hilbert变换的高维形式 回顾Hilbert变换的核为k(x) = p.v. �. 因
为 当π ＝ 1时， 可写� ＝ 同仨T · 又注意到 π可视为JR.2 中单位圆§ 1 的长度同 的一半．
因此， Hilbert变换的η维（n 》 2）形式的积分核应具有 以下形式：
K i (x) = p.v . cn ＿.：：.」
lx in+ l ' J = 1 , 2， … ， n,
其中z ε !Rn\{O｝且乌 ＝ 如拼l为IR�+ l 中Poisson核P(x）中 的常数（见定义1.3.2),
而c� 1 恰好为JRn+ l 中单位球面V的面积陆的一半． 下面将看到， 以K1 ( 1 《 j 运
n）为核的积分算子确实是Hilbert变换的高维表现 记以K1为核的积分算子为屿，
并称其为第3个Riesz变换， 其定义 为： 对f ε Y(!Rn ),
R1f(x) K1 * J(x) = p.v. Cn }/JRn ＿＿＿＿：
Ix - Y in+ l ：ζ主－ J(y）句， j = 1, 2, , n. (5.2.1)
很明显， 雨如 � Y'(!Rn ）. 然而， K1却是f’（!Rn ） 中 的主值广义函数
引理5.2.1 码 为Y'(!Rn） 中 的主值广义函数， 且乓（�） = -i市 （ 1 运 j 运 n).
证明 固定1 运 j ：：二 η及ψ ε Y(!Rn ),
立
I
ILKj （ψ） ｜ ＝ 句 I｜ εlim
→ o j叫
IYI 叶1 仰）dy + JIYl > l IYI 刊的
飞 dy l｜
YI l�l 」一
IY1 1P (Y－)i 'U
- f I的lψ（y） 一 ψ（O) J I dv11 +1' C /{ --2._
n } y j > 1 IYI一
叶 1 II
『 C�n }/ Y l �l
IYI 叶 1
ζ C' ll'Vcp lloo + C" E二� ｜｜内 （ t )lloo 运 C
ja j l
因此K1为Y'(!Rn） 中 的主值广义函数． 现任取ψ ε Y(!Rn ）， 有乓（ψ） = K1（φ）， 而
K1（φ） ＝ 唱 1� 1{ 1 纣 扣 （x) e -2叫x � d�
＝ ：叫 仰） (Cn 1� { 1 � 产 x·｛ � 句 ） dx
1 �
(5.2.2)
＝ ：叫n cp （ 钊 － i让 － 1 1 飞n 阳 呻1 d8 ) dx
= l n cp (x) （ 守 儿 1 B1 sgn(x · B )dB) dx.
J
:=
第五章 奇异积分算子
164
在上面最后一步运用 了Lebesgue控制收敛定理． 现固定z ε ]Rn (x 并 0）， 选取]Rn
中 的标准正交基｛α 1 ， α2 ， … αn ｝， 使得αj ＝ �.
l x l 那么
Bj = (B ej ) ＝ 艺 （α 的 （ej 时 ，
这里ej = (0， … ， 1， … ， 时， 其第3个分量为1其余分量为零． 容易看出 ， sgn (x · B)
sgn （αj . B）. 又因｛α 1 ， α2 , , an ｝为标准正交基， 故 通过正交变换可知， 对k 笋 j,
n (B . αk ) sgn （ α3 制 ＝
n
k
k= l
·
·
=
i
i'
i ' (}jsgn(x 仰 ＝fsn一，（ 句 ） （α3
这样
ej
n
=
f:/sn _!
的
sgn （α3
的
( 5.2.3)
取]Rn中 的旋转(j’ 使得tJ（αj ) ＝ 句． 同时运用]Rn 1 中单位球面§n 2 面积Wn -2 的
表示， 得到
ι ｜（α3 机 ＝ ι I(ej 制 ＝ ι1 IBj ldB
1
de/> 一旦三一 ＝ Wn-2 / is J(l - s 2 ) (n- 3) /2 ds
l/-1 is l I
1 1 u n - 2du r��l几 ＝ 去
=
lvti=S古§ n
2
v1fτ82
J一
=
口
结合 （5.2.2）和 （5. 2 . 3 ）， 我们证明 了乓（£）
← ＝ 4 垒l � I ， j = 1 , 2 ,
［注5.2.1］ 注意到 ， 当η ＝ 1且 � ;tf 0时， 告 ＝ sgn � － 因此从积分核的Fourier变
换的角 度来看， Riesz变换确实是Hilbert变换的η维形式．
［注5.2.2] 在［注5.1. 3］ 中 ， 我们说明 了 Hilbert变换可看作R上的零 阶微分算
子 ． 同 样地， Riesz变换亦可 表 达为]Rn上的零阶微分算子． 事实上 ， 由Laplace
算子A与Fm山er变换的关系及引 理5.2.1， 可形式地记R = 'i.7 （ －�） i;2 ， 其 中R =
） 且 'i7 （ 采 ， £ ， ， £ ）
（ 矶 ， R2 ，
·
λ
=
165
§ 5.2 Riesz变 换
定理5.2.2 对任意 的f ε L2 ( JRn ) ,
( a) llRJJll 2 《 llJll 2 , j = 1 , 2 , . ， η；
(b） 艺7= 1 哼f(x) -f(x), a.e. x ε JRn;
( c ) Rj (Rkf) (x) = Rk(RJ J ) (x) , a.e. x ε JRn , j, k = 1, 2， … ， 叫
( d） 艺］＝ 1 llRJJll � = llfll �·
证明 由 引 理5.2.1， 对 ψ E 9(JRn）， 有
． （�）， j = 1 , 2 , . ， η．
( 5.2.4 )
" （�） = i 生
l�I φ
由 （5.2.4 ), Plancherel定理和定理3.3.4可得结论（a）. 应用 Fourier变换 ， 得
=
高马
住时1)'\o 主
＝
川川 ） ＝
主 非主
f ( ( ) = - f ( () .
这样得到结论（时， 同样可得（c） . 最后？ 再次运用Plancherel定理可得到 （d).
口
由 Riesz变换的定义（5.2.1）， 不难验证， Riesz变换句 （ 1 ζ j ζ n） 在£ 2 ( JRn） 上
满足 以 下性质：
( a） 与 平移Th可交换， 即ThRj = Rj Th ;
(b） 与伸缩T/a （α ＞ 0）可交换， �PryαRJ = RJ 阳，
( c） 设。为]Rn上任一旋转， 其矩阵为0 = （αjk ） · 对!Rn 上 的 可测 函 数f， 定
义算子 {j : (tff) (x) := f(Ox） . 那么
tf- 1 RJ tf ＝ 汇 α kJ R
下面 的结果推广 了 定理5.1 .7， 它表明上述性质 （ a) (b) ( c ）完全刻 画 了 £ 2 ( JRn ） 上
的Riesz变换回
定理5.2.3 设｛巧}j'=l为£2 ( JRn ) （η 》 3） 上η个有界线性算子． 如 ｛ TJ ｝满足性
质 （a) (b）和 （c）， 那么 存在常数c， 使得在£2 ( !Rn）上TJ = cRJ , ( 1 运 3 《 η）．
证明 因巧在£ 2 ( !Rn）上有 界且与平移可交换， 由 定理3.3.4， 当马 限制在9(JRn )
上时， 必存在u ε 9' (JRn ）， 使得对一切ψ ε 9(JRn ） ， 巧ψ ＝ U ＊ ψ ， 且
写导 （0 = (u ＊ ψY\ (( ) = bj （（） φ（日 ，
V （ ε !Rn ,
( 5.2.5 )
其 中bj ε Loo (JRn）. 又因TJ 与伸缩可交换， 应用9'(JR叫 中Fourier变换性质及 （5.2.5 ) ,
知句 为零阶齐次函数， 即 对1 《 j 《 η，
bj （ 叫 ） = bJ ( ( ),
V （ ε ]Rn 及 α ＞ 0.
( 5.2.6 )
第 五 章 奇异积分算 子
166
设。为Rn上的旋转3 其矩阵记为（αjk ）， 由 性质 （ c ）及（5.2.5）， 对任意 的ψ ε Y(Rπ），
艺
αkj (Tkcp ）＂ （� ） ＝ 三二 α 叭 （ 己 ） φco .
k= l
k= l
另 一方面， 由 于算子 。→ 与 Fourier变换可交换， 故
（。－ 飞 向 ）＂ （�） ＝
(tJ lTjtJψ）＂ （�） = e - 1 (Tj tJ的＂（� ） = {j l [bj （�）φ（O�） ］
=
bj （ο － l oφ （�） .
如选取ψ（x) ＝ ε－ π l x l 2 ’ 那 么 以上两式说 明 ， 对任一旋转。（矩 阵为（αjk ））及任意
的5 ε Rn， 有
( 5.2.7 )
bj （ο － 1 � ） ＝ α 呐 （� ） ， 1 � j � n.
k= l
现取ei 二 （ 1 , 0， … ， Q)T， 贝。句 （ei ) = 0 ( 2 《 3 ζ η） 事实上， 设ρ为Rn 中 任一满
足 p(e1 ) ＝ 町 的旋转． 如ρ的矩阵为（ρjk)， 贝Ll pu = 1 ， 且
汇
P2 1 ＝ … ＝ ρn l ＝ ρ 1 2 = . . ＝ ρ l n = 0.
由 （ 5.2.7）， 对2 运 j 《 η，
与 （e1 ) = bj (p- 1 e1 ) ＝
汇
汇
ρ以k (e1) ＝ ρkjbk (e1) .
k= l
k=2
上式表 明 ， 向量（b2 (e1）， … ， bn (e1)) T 在Rn- 1 中 任一旋转下不变， 故其必为Rn - 1 中
的 零 向 量 ． 另 一方面， 注 意 到 （ 5.2.7）等价于对任一 旋转。 （矩阵为（αjk ））及任意
的5 ε Rn ， 有
bj (O�） ＝ α川k （�）， l � j � n.
( 5.2.8 )
k= l
记句 ＝ b 1 (ei )， 由 （5.2.8）， 对任一旋转。 （矩阵为（αjk))
汇
bj (Oe1) ＝
汇
k= l
α川k (e1) ＝ α川i (e1 ) ＝ 句 αj l , 1 ζ j � n.
( 5.2.9 )
现任取z ε Rn, x 并 0， 则 存在Rn 中 的旋转σ， 其矩阵为（σj k ） ， 使得σ（e1 ) ＝ 三 ． 等
lxl
价地，
1 � j � n.
σj l ＝ 笃， ，
荫
注意到 bj 均为零阶齐次函数（见（5.2.6））， 应用 （ 5.2.9 ）和 上式得到
bJj (x) = bJj （ 三l ） ＝ 句J （σ（ei )) ＝ 句σJi l ＝ 句主L ’
lx
lxl
1 运 j �二 n.
( 5.2.10 )
5. 2 Riesz变 换
对1 ζ j 《 n及ψ ε 5"(Rn）， 由 （ 5.2.10), ( 5. 2 .5）和 （ 5. 2 .4),
167
§
（
豆豆
写�（�） ＝ Co 生
l�I φ （�） = ico ( - i l�I φ （�） ） = icoRj ψ （0
因此令C = ic0， 则在5"(Rn）上巧 ＝ cRi ( 1 运 j ζ n）. 由于Ti ， 乌均为L2 (Rn ）上的
口
有界线性算子， 由5"(Rn ） 的稠密性即知定理的结论成立 ．
［注5.2.3］ 上面的证明方法不适用 于η ＝ 2的情形． 然而有如下的结论， 它是
定理5.2.3的一般化 设｛巧｝j= l 为£2 (Rn) (n 》 2）上n个有界线性算子 如｛巧｝满
足性质 （ a）和（b） 以及 （c’）： 对Rn上任一正交变换.sz1, T ( .sz1! ) = .sz1t ( T（！））， 这里T =
（月， 巧 ， · · , Tn ）飞 .sz1t为d的转置变换（即 为.sz1 - 1 ）， 而（.szlf)(x) = f(.szlx）. 那 么存
在常数 c， 使得在 L2 (Rn ） 上玛 二 cRi ( 1 《 j ζ π）．
§5.2.2
旋转方法和Riesz变换的U理论
旋转方法是A P. Calder6n-t口A Zygmund 在 1956年为研究一类带非光滑核
的奇异积分算子的LP 有界性而 引 进的 简言之， 其思想就是运用球坐标变换
将!Rn （η 注 2）上的积分算子化为沿某方向相应的一维积分算子在球面§n一1上
的积分， 再应用 己知的一维积分算子的（p, p）有界性导出原积分算子的（p,p）有界
性 下面我们给出旋转方法的原理 并应用此方法给出Riesz变换的U有界性．
对任意的ν ε !Rn , Y 并 0， 可记y = ry＇， 其中O < r < oo且j ε §n- 1 . 令Tf
o
r’If
K * f， 则
UU
，α
Z
”
Z
O
ftIF
Uν
＝
Z
rId
如 K(ry' ) = O (y' )h(r）， 那 么
Z
rJ
T
、、，
，J
Uu，，
d
，‘、
T
FJ
，d
Mud
T
n、‘，，，
，
T
WU
U
WWU
Q
T
IId flA
一－
wud
T
Uυ
，G
K
T
，d
∞
唱i
n
T
、，
，，J
WHU
怠。
p’
’’
’’
T
一－
，，E‘、
uu
rJ
，G
T
Wwυ
‘、
ιM
zrt‘
∞
rId
wud
，，at、
k
Q
fIR
”“
－－fls
z
，，E‘、
T
=
现固定j ε §n- 1 ， 令Y是通过原点且与j正交的超平面． 这样对所有的Z ε !Rn ,
存在 s ε R及z ε Y， 使得x = z + sy＇ . 因此
巧f(x) = fo00 h(r加
( 5.2.11 )
如 果L是R上的怡，p) ( 1 运 p 运 ∞ ） 型 算子 ， 即存在 C = C(p) > 0， 使得对任意
的g ε £P (IR）， 有
llL(g)ll P 《 Cllgll p ·
第五章 奇异积分算 子
1 68
那么 由 （ 5.2. 1 1 ） 并应用Fubini定理，
儿
”
｜ 巧， 刚P dx ＝
儿汇
运C
｜ 山，y' ) (sW dsdz
i j_: lf(z
+ sy') IP dsdz
= C儿
｜ 州 P dx .
很 明 显， 这里常数C与z, y＇ 及f均无关． 运用Minkowski不等式， 便有
｜｜ 川 ＝
l sn-1
O（川f(·)dy'
寸J
如果有
ι
L
I D ( y' ) [d们
∞，
那 么 由 上面 的讨论即 知T是£P (JRn ） 有 界 的 （ 1 《 p 《 ∞） ．
我们将上面的讨论归纳为下面的命题 ：
命题5.2.4
( Calder6n-Zygmund旋 转 方 法） 设一维算子T在R上是 （p, p) ·( l 运
p 运 ∞）型 的 ， 巧， 为T 的 方 向 算子． 那 么 对Q ε L l (§n一 1 ） ， 算子
Tnf( x) =
ls← －
y＇ ） 巧
在]Rn 上 也是（p, p) ( 1 《 p 《 ∞）型 的 ．
现给 出 几个重要 的 方 向 算 子 的 定 义 ．
定义5.2.1 （方 向 算 子 ）
flR
u叮
归
回
(i） 方 向 Hardy-Littlewood极大算子My' :
r
，α
t
川一
J
乓
霄
．
换 1一
哎 严
阳 ＝
向
方
My'f(x) = SUι
／ [ f (x - ty') [dt,
r>O �J J - r
f ε £P(JRn ) ( 1 运 p 《 ∞），
f ε £P(JRn ) (1 运 p <
oo ) ;
(iii） 方 向极大Hilbert变换H;, :
I
x -一
ty')
! (一
－ dt l )
H;, f(x) = = sup II /f 一
丁
N ε＞O I J i tl ＞ε
ι
｜
f ε £P(JRn ) ( 1 《 p <
oo).
169
§ 5 .2 Riesz变 换
首先我们运用 旋转方法给 出 一类带粗糙核 的极大算子的U有界性
定理5.2.5 设Q为Rn \ {O} ( n 注 2）上 的 零阶齐次函 数， 即
0（λx) = n(x),
如Q ε
(5.2.12 )
\fλ ＞ 0 及 z 并 0.
L 1 (§n- 1 ） ， 那么对于 l < p ζ ∞ ， 如 下 定 义 的极大算子
Mnf(x) = srup>O 毛T … JI Yi,;;;r ID(y）川 f(x y） 陶
( 5.2.13)
是 （p, p） 型算子．
证明 事实上， 只 要注 意 到
Mnf(x） ζ Cn /
J §n - 1
ID(y’） I Mv' f(x)dy'.
由 Hardy-Littlewood极大算子的LP有界性 （ 定理1.2.7） 及命题5.2.4 即 知 定理的结
论成立．
口
［注5.2.4] 由 （ 5.2.13）定义的算子Mn称为 带粗糙核的极大算子， 这是因 为 其
核函数。在单位球面§n- 1 上仅有尺寸条件而没有任何光滑性. Mn在研究一类非
光滑核奇异积分算子问题 中有非常重要的作用 ．
然而至今仍不清楚， 当Q ε L 1 ( §n- 1 ）时， 粗糙核极大算子Mn是否为弱 （ 1, 1）型
算子. E. M. Stein分别 在 1993年和 1999年两次公开提 出 上 述 问 题 （ 见 ［1 10］ 及 ［1 1 1] ) .
现 回 到Riesz变换的LP有 界性讨论．
>
定理5.2.6 设 l < p < oo且1 运 j ζ η， 那 么 存在常数c 0， 使得对任意
的f ε LP(Rn ),
(5.2.14)
ll Rj f ll P 《 ll ! ll p ·
证明 先 考虑f ε .5" (Rn ） 的情形． 对ε ＞ 0 记
R'(J(x) = J YI＞ε 一些－
IY I 叶 1 f ( x - y) dy, j = 1 , 2， … ， π．
由 （ 5.2.月， 马 f(x) = ！！骂 Rjf(x）. 运用球坐标变换， 有
C
，
Cn /
Rj f(x)
这里
＝ ；出 字 儿－1
yj巧， 削
J (x
-一
ty')
一了
Hi,f(x) = =“ J/rl t l 注ε 一
b
第五章 奇异积分算子
170
称为截断方 向 Hilbert变换． 由 极大Hilbert变换 的£P(JR) ( 1 < p < oo）有界性（定
理5. 1 . 12）， 可知H；， 在£P(1Rn) (1 < p < oo）上关于j ε §n一 1 是一致有界的 因此，
H气 f(x） 句’ ＜ oo,
I
J §n - 1
x ε ]Rn.
a.e.
e esgue控 制 收 敛定理 有
Rj f （ 叫 ＝ ！� R'jf(x) ＝ 气f- fs, _ , yjHy' f(x)dy’ ，
运用 L b
J
a.e. z ε !Rn
由 定理5. 1 .9井运用 旋转方法（命题5.2.4） 知 ， （5.2. 14）在Y'(IRn）上成立． 因Y'(!Rn )
在£P(JRn） 中稠密， 故鸟 在LP(!Rn） 中有定义， 且（5.2.14）在£P(IRπ）上仍然成立
口
定理5.2.7 对 1 运 3 《 η ， 极大Riesz变换定义 为 R�f(x)
［ . 那么
I RU(x）
’
ε ＞0
当 l < p < oo时， R； 是(p, p） 型算子． 从而对f ε LP(IRn）及1 运 j 《 η，
= sup
Rjf(x) = ！�马 R'j f(x) ,
证明 运用 球坐标变换得到
｜ 町 （x) I
因此
=
I半
�
I
l
J §n - 1
a.e.
y� H�， J (x)dy' II ζ
Rjf(x） 《
z ε ]Rn
半
�
l
J §n - 1
町， f(x)dy' .
芋 L一 1 H;,f(x
井 由 定理5. 1. 12及命题s.2.dP 可知， R； 是（p ’ p）型 算子． 进而运用 算子族的点态收
敛性 （ 定理1.2.8） 即 可得后一结论．
口
［注5.2.5] Riesz变换和极大Riesz变换均不是（1 , 1）型算子． 运用Calderon-Z.）号
mund 分解可 以证明， Riesz变换和极大Riesz变换均是弱（1, 1）型算子（亦可见推
论5.3.7和推论5.3.11 ） . 需要说明 的是， 弱（1 , 1）有界性不能通过旋转方法得到．
［注5.2. 6］ 在［106］ 中， E M. Stein指 出， Riesz变换也满足Hardy-Littlewood极
大算子在Llog+L ( B ） 空 间 上 的 类 似 性 质 见 ［注 1 .2. 3] ： 如 球If;_ C B2 且B2 有界，
下 面 的 结 论 成 立：
(a) 如f ε L log+ L(B2 ）， 那 么对j = 1 , 2， … ， 风 Rj ε L(Bi ) ;
(b) 如对j = 1 , 2 , ·
Rj L(B2 ）且在B2 上f 注 0， 那么f ε Llog+L(B 1 ) .
（
· , n,
)
E
推论5.2.8 设 l < p < oo， 则 算子等式
三二 RJ
= -I
( 5.2.15 )
§ 5.2
171
Riesz变换
在£P(JRn） 上成立， 这里I记LP(JRn） 上 的恒等算子．
证明 因 （ 5.2.15） 在.9"(1Rn） 上成立， 由.9"(JRn）在LP(JRn ） 中 稠 密 以及Riesz变换
在LP(JRn）上有界便知， （ 5.2.15）也在LP(JRn）上成立．
口
推论5.2.9!':12 … 设U ε c; (JRn）且A为Laplace算子， 那 么
-R1 Rk6.u;
( a） 一二二一
θXjδXk ＝
( b） 对1 < P < oo I � I � Ap\\6.u \l w
’ ｜｜ θXjθXk ll p
J
Y
证明 由 Fourier变换
（ 子� ）
/\
俨
（�） ＝ 一 叭叭 ）
F一 飞 (／ i �k \ (-4n；！空 ＼�I 空 勺。（0 =
( - i_J_
I� ＼ J)
\ ＼ � ＼ J) \ - -
= -／
(Rj Rk6.u） ＂（� ） .
因 此得到（a） . 再应用 Riesz变换的LP(JRn ）有界性（定理5.2.6） 即 知 （ b ） 成立．
口
［注5.2.7］ 推 论5.2.9实 际 上 给 出 了 Poisson方 程6.u = f ；解 的 先验估计．
［注5.2.8］ 方向Hilbert变换 H凹， 是积分核支在]Rn 中 子流形上奇异积分算子的
最简单的例子． 如果代替直线 以如下 曲 线：
r(t) = w1 , t句 ， . . . ' tan ) '
t ε JR,
其 中αj > 0 ( 1 运 3 运 n）. 那么可定义沿曲线r的Hilbert变换为
Hr f(x) p. v . 儿 f(x - r(t
可以证明， Hr 在L叫Rπ） (1 < p < oo）上有界． 然而， Hr 是否为弱 （ 1,1） 型算子至
今仍然未知 类似地， 也可定义沿曲线r的Hardy-Littlewood极大算子为
Mr f(x) suιL.T J／- r \f(x - r(t)) \dt.
沿曲线的H山ert变换与振荡积分 、 复分析、 偏微分方程等 多个研究领域密切相
关， 有 关算子 Hr和Mr及其相关结果及其应用 可见［116].
=
=
§5.2.3
r
r> O
JR�＋l 上共辄调和函数系的Riesz变换特征
由 引 理5.1.11知道， 直线上一个LP 函 数f的Hilbert变换H f 的Poisson积分 马 ＊
Hf(x）恰好是f的共辄Poisson积分， 且 Py * Hf(x）是Py * J (x）在JR� 上 的共辄调和
172
第五章 奇异积分算子
函数． 下面给出 上述结论在JR�＋ l 上 的推广． 为叙述方便， 记JR�＋l 中 的 点为（尘， xo)
或 （x， ν ）， 这里町， ν ＞ 0， 且Z ＝ （町 ， · · Xn ） ε JRn.
对（x, y） ε JR�＋l及j = 1, 2, . . 爪， 称
,
QVl (x) ＝ en 一�豆
(y2 + Ix 尸 ） （叶1 )/ 2
为JR�+l 中 的共辄Poisson核， 其 中 Cn ＝ 棋 照 我们有下面的结论：
设 f ε £P(1Rn ) ( 1 < p < oo）， 岛 为Riesz变换， 马为JR�+ l 中
的Poisson核， 那 么 对j = 1 , 2， … ， η，
( a) QV ) (x) = Rj (Py ) (x) ;
( b ) QV ) * J(x) ＝ 马 ＊ 乌 f(x);
( c） 在f的 Lebe唱ue点Z处， ；� QV ) * J(x) ＝ 岛f(x) ;
(d） 如视相应于QV） 的共辄Poisson积分町 的径向极大函数咛， ＋ 和非切 向极
大 函 数vJ,v，由为 LP(lRn ) ( 1 < p < oo）上 的算子， 那 么 咛， ＋ 和vJ,v，。均是（p, p） 型 的 ．
证明 不难看 出 ， 对j 二 1, 2 , . . ， 叫 QV ） 在JR�+ l 内 调和且在每个本征子空 间
上有界 对任意 的ε ＞ 0 及 （x, y） ε JR�＋l ， 由 （4.2.3)
定理5 . 2 . 1 0
- J�n
Xj
（ （ ν ＋ ε) 2 + I 叫 2 ) ( n+l )/ 2
--n
I
（ε2
+
tj
y
JL
/
_
2
l)
2
2
(
+
t1
(y + Ix ti 2 ) ( n + l )/ 2 山
1 )n
由Poisson核 的可积性及Lebesgue控制收敛定理得到结论（a） . 再 由 （a）及Fourier变
换即可得（b）. 结论（c） 的 证 明 类似 于 引 理5. 1 .2 的证 明 ． 只 需说 明 在 f 的Lebesgue
点z处，
� = 0.
L （ν2 + lt l 2 ) (I n+ l )/2 f(x - t)dt - j/l t l >Y _!j
l t i n +l_ J(x - t)dt j
俨0 �l ｝�n
tj
,A.
可
ψ（t) =
<I ( 1 + l t l t2 ) <n+ 1 > 12 ’
l (1 l t l 2 ） ＜叶 1 )/2
+
t
且记 向 （t) ＝ 击ψ（ ）. 又注意到存在常数 C
(
ψ（x) = sup Iψ （t) I 运
ltl 注 lxl
�
ltl叶1 '
=
c
�
1,
l tl < 1 ,
C(n）， 使得
lxln ( l + l x l 2 ) '
I c
ltl
Ix！ 注 1 ,
lxl < 1 .
( 5.2. 16 )
§ 5.2
173
Riesz变 换
故ψ 的递减径 向控制 函 数ψ ε Ll (JRn）. 由 定理1.3.2， 在f的Lebesgue点z处，
J骂 儿” 仲 － t ) cpy (t
此 即 为 （5.2. 16） . 最后， 我们说明结论（d）. 对j = 1 , 2 , .
爪， 由 （b）及 （1 .3.9 )
vj + (x) = supO I Py * Rjf(x) I ζ Cn M (Rif)(x).
y>
’
由 于 Hardy-Littlewood极大算子和Riesz变换均为（p, p） 型算子， 从而咛， ＋ 亦为（p, p)
型算子． 同样， 由 （b）及 （1 .3. 13）可得咛夕 ，由 的 （p, p）有 界性．
定义5.2.2 (JR�＋l 上 辄 调 和 函 数 ） 设｛uj } j=O C2 (JR�＋ l ） ， 且满足 如 下
的广义Cauchy-Riemann方程：
主 告 ＝ 0,
·
θUj
θXk
C
系
共
口
θUk j, k = 1 , 2, . . ， η，
δXj '
0,
3 予t k .
(5.2. 17 )
则称F = ｛句 ， 叫 ， · , un ｝ 为JR�＋ l 上 的共辄调 和 函 数系 ．
例如， F ＝ ｛ 元 ， 击 ， ， 告 ｝ 为JR�＋ l 上的共辄调和 函数系， 这里r =
_
（ ε7=o lxJ l2 ) 1 ;2
下面的定理说明， 通过Riesz变换可以刻画JR�＋l 上 的共辄调 和 函 数系
定理5.2. 1 1 设f， 元 ， … ， fn ε L 2 (ffi.n）. 它们 的Poisson积分分别记为
uo(x, y) ＝ 马 ＊ f(x), ui (x , y) ＝ 马 ＊ fi (x）， … ， Un (x , y) = Py * fn (x) .
那 么 F = ｛句 ， 问 ， … ， Un ｝为JR�+ l 上 的共朝调 和 函 数 系 的充分必要条件是
= 1 , 2， … ， n.
(5.2.18)
!J = Ri f、
J
证明 设（5.2. 18 ） 成立． 那么 应用 （2.1.8）及（5.2.4）， 有
uo(x , y) =
及对j = 1, 2 , . . 爪，
叫 （x, y) =
�n }( t )e27rix·t e-2叼 l t l dt
}J'if./ n fj ( t )e2霄ix· t e -2叼l tldt = -i }J'if.j n !.i._l t l
} ( t ) e 2 rri x·t e 2叼ltldt .
通过在积分号下 的微分， 可知（5.2. 17 ）成立． 反之， 记 f = fo， 由 定理条件 ， 知
Uj 队 的 ＝ 川州 ＝
1n jj (t)e2剖x·t e-2rrylt l
J = 0, 1 ， … ， η．
第五章 奇异积分算子
1 74
由 （ 5.2.17）式， 对j = 1 , 2 ， … 爪，
θu。 一 θUj 一 θUj
θXo
θXj
θu
因 此 由 Fourier变换的唯一性，
2霄it1 }(t)e-2叼ltl = -2霄 l tlf1 (t)e 2叼ltl
故对j = 1, 2， … ， η， 有
元 。）
=
- it1 ltl 1 }(t) .
口
此 即 为 （5.2. 18 ) .
［注5.2.9] Riesz变 换是现代分析 中 非 常 重 要 的 工具 之 一 ． 这 里 给 出 Riesz变 换
应 用 于 复 分析 、 调 和 分析 和 偏微 分 方 程 的 几 个 例 子：
( i ） 在 §5.2.3 中 ， 通 过Riesz 变 换 建 立 了 JR�＋ l 上 的 共 辄 调 和 函 数 系 并 由 此 建
立JR'.;:.+ l 上 的Hardy空 间 （见 ［1 1 9] [3]) .
( ii ） 在§5.2.4 中 将 看 到 ， Riesz变换可用 于刻 � ]Rn 上 的 实 Hardy空 间 H 1 (1Rn） 及
其对偶BMO(JRn） 空 间 （ 见 ［52] [8] [3]) .
( iii ） 在§5.3.4将 介 绍A. P. Calderon和A Zygmund 研 究 具 非 光 滑 核 的 奇 异
积 分 算 子LP有 界 性 的 思 想 ， 从 中 可 以 看 到 Riesz 变 换 所 起 的 关 键 作 用 （ 见 ［25]) .
(iv） 应 用 Riesz 变 换 交 换 子LP 有 界 性 的 特 征 ， 可 以 给 出 实 Hardy空 间 H 1 (1Rn )
中 函 数 的 分 解 定 理 （ 见 ［34] ) .
( v） 应 用 Riesz 变 换及 上 述 实 Hardy空 间 H 1 (JRn） 中 函 数 的 分解定理，可 得 到 在
流体 动 力 学 方 程 研 究 中 有 重 要 应 用 的div-curl定 理 （ 见 ［33] ) .
§5.2.4
Rn上的实H盯dy空间 及BMO空间介绍＊
Stein和G. Weiss建立 了 JR'.;:.+ 1 上 的Hardy空 间HP(JR'.;:.+ l ) (p >
1960年， E
与！ ） （ 见［119］）， 并证明 了 HP(JR'.;:.+ l ） 中 函 数几乎处处存在非 切 向极限．
定义5.2.3 (JR'.;:.+ 1 上Hardy空 间 ） 设 与！ < p 《 1 , F = {uo ， 叫 ， … ， Un ｝为JR'.;:.+ l
上 的 共辄调和 函 数 系 ． 称F ε HP(JR＇.；：.＋勺 ， 如果
l /p
ll Fllm11R叶 i \ = sup / IF (x , y)I P dx ) < oo ,
M.
Ir
(
y>O \ J JRn
、 ？ ’
其 中 IF(x , y)I = （丘。 ｜ 帆 y)l 2 ) 1 /2
\
/
175
§ 5.2 Riesz变 换
定理5.2.12 设F ε HP(JR�＋ l ) （与王 ＜ p 运 1 ）. 那 么 F(x, t）在JR.n上几乎处处
存在非切 向 极 限， 且 当t → 0时， F(x, t）在LP意义下收敛到 同一极限
定理5.2.13 F = {uo, u 1 , · · , un ｝ ε HI (JR�＋ l ） 的 充分必要条件是存在lo ε
£ 1 (JR.π）， 使得uo (x, y) ＝ 马 Uo)(x）及町 （x, y) = Py （岛fo)(x) , (j = 1 , 2， … ， n）. 此
时还有
( 5.2.19 )
[[ F [[ H1 (1R'.;_+1 ） ～ llfo ll 1 ＋ ［ ［ RJfo [[ 1 .
艺
1972年， C. Fefferman和E
M. Stein [52］ 引 入 了 JR.n 上 的实Hardy空 间 ．
定义5.2.4 JRn上 的 实Hardy空间定义为
H 1 (1Rn ) =: ｛！ ε L 1 (1Rn ) : RJf ε £ 1 (JR.勺 ， 1 ζ j ζ n} .
对f ε Hl (JRn）， 记
[ [ f[ J H 1 = jj f JJ 1 ＋
艺 ［ ［ RJ f [[ 1 ,
那么 ［［ · ［［H 1 是H l (JRn）上的范数，且按此范数成为Banach空间 ． 由 （ 5.2.19）知HI (JR.吨 ）
是与H 1 (JR�+ l ）具有等价模 的 空 间 . Riesz变换不是 （ 1, 1 ）型算子， 但从上面H 1 (1Rn )
的 定 义 即 可看 出 ， Riesz变换是从Hl (JRn）到£ l (JRn）的有界线性算子．
定义5.2.5 BMO(IRn）空间定义为
BMO(JRn ) = {f ε Lfoc (JRn ) : llJll* < 00
},
其中
lf(x) - fo ldx .
llfll. = sup _2_
QClR" IQI }Q
可
这里 Q 为]Rn 中 边与坐标轴平行的方体， fQ = T击I JQ f(x）缸， 称为f在 Q 上 的平均
BMO(IRn）按范数 ｜｜ · ｜ ｜ ＊ 成为Banach空 间 3 且L00(1Rn ) s;; BMO(IRn）. 容 易 验
证， £OO (JRn）是BMO(JRn）的子空间， 且 由 log lxl ε EMO知Loo (JR.n） ♀ BMO(IRn ) .
/
l注5.2. 10]
EMO空间 即有界平均振动空 间3 它首先由F John和L Nirenberg
[67］在1961年研究一类非线性偏微分方程 问 题时提 出 的. EMO空 间 与 复分析、
偏微分方程 、 概率论等领域均有密切联系， 是现代分析 中 十分重要的研究对象
之一
第五章 奇异积分算子
176
在 ［52］ 中 ， C. Fefferman和E M . Stein 证 明 了 ， 在 同 构 的 意 义下 ， BMO(fil?.π）
是H 1 ( Yil?.n） 的对偶空间这一著 名 结果 ． 此外， 在［52］ 中 还给 出 了 BMO (Yil?.n） 的一个
等价定义
｛
BMO叶 1 ＝ ψo ＋
杂
的
以 Lcxi (fil?.n ), 0 创
刊
当p ＝ ∞时， Riesz变换也不是（∞， ∞）型算子． 显然， 由 上述等价定 义 即 知 ， Riesz
变换是£CXl (!Rn） 到BMO(IRn ） 的有界线性算子．
［注5.2. 1 1 ] BMO(!Rn） 函 数 的 一 个 重 要 性 质 是满 足 下 面 的John-Nirenberg定
理 （ ［67]):
定理 （John-Nirenberg） 存 在 仅 与 η有 关 的 常 数λ， C > O， 使 得 对 每 一 个f ε
BMO(IRn ） ， 有
（ ＊）
、
Q c.Rn IQI Q
由 （＊）可 推 出 下 面 的John-Nirenberg不 等 式 ： 存 在仅 与 η有 关 的 常 数λ， c > 0， 使得
对 每 一 个 f ε BMO(!Rn） ， α ＞ 0及Q !Rn， 有
n 土 j e.>.I J (x）一fQl/ll f l ·dx ζ C
C
l {x ε Q : lf(x) - fQ I ＞ α
｝ ｜ ζ CI Ql
－ 白 l JJ • .
e λ
／l
I
！注5.2.12] John-Nirenberg不 等 式 的 逆 也 成 立 ： 给 定 函 数f， 如 存 在 正 数λ，
C 及 K ， 使得 不 等 式
l {x ε Q : lf(x) - fQ I ＞ α｝｜ 《 CIQI ε一 λ白／ K
对 每 一 个α ＞ 0及 Q C !Rn 成 立 ， 那 么f ε BMO(!Rn ) .
有 关实Hardy空 间 和BMO空 间 的 上述事实的详细证 明 及 实Hardy空 间 的其
他特征刻画 （ 如极大 函 数特征 、 Littlewood-Paley函 数特征 、 原 子－分子特征等 ）
可看［119] [52] [77] [8］和 ［3] .
［注5.2. 13］ 直 线 上 的 实Hardy 空 间 定 义 为 ：
H 1 (IR) = ｛！ ε L 1 (IR) :
Hf ε L 1 (IR) } .
H 1 (IR） 的 对 偶 为 BMO(IR） 空 间 ． 此外， Hilbert变 换是从Hl (JR） 到 £ 1 （则， 及从Lcxi (IR)
到 BMO(IR） 的 有 界 线性 算 子
177
§ 5.3 Calderon-Zygrnund奇 异 积 分 算 子
§5.3
Calder6n-Zygmund奇异积分算子
Calder创－Zygmund奇异积分算子是Riesz变换的推广． 另 一方面它也直接来
源于二阶常系数椭圆方程解 的正 则性研究． 我们知道， 当η ；� 3时 ， ]Rn上Laplace算
子A的基本解为
1
r(x) = ( 2 一 η）w ＿＿＿＿
丁
＿！＿＿
n - 1 lxl忡 “
当f具有一定光滑性质 时 （如f ε .9'(1Rn )), r * f 是Poisson方程�U = f 的解． 记
J(y)
u(x) = I' * f( x) = C（η） ／r
Ix - YIπ一
并对u形式地求二阶偏导数， 得
(X y) ！（ν）dy
θ2 u(x) ＝ ( 一
fl」i�
flj (X - y) J (y)dy : = lim /(
I}ITl_n l 山一－�
寸土了
ε
yl
→ o + } ，， 自 ｜ 〉 ε 山
yl
j
其 中 。j (y) = C（η） （1 - nlyl- 2 许）． 如果令
fl7 (x - y)
巧J J (x) = lim /r
� J (y） 句 ，
J
}J'il.n
一一一一一
＿ ｜－
ε→o+ x -yl ＞ε ｜ 中 日｜
那么 方程�u = f解的LP正则性便归 结为算子写 的P有界性． 容 易 看 出 ， 上面导
出 的 同 （ y）满足如下条件：
。（λy) = fl(y) , V λ ＞ 0， ν 并 O ;
lsn - 1 n 川 ＝ 0 ;
(5.3 . 1 )
(5.3.2)
。 ε L 1 ( §n -1 ) .
(5.3.3)
设IR.n \ {O｝上定 义 的 函 数。满足上述条件（5.3.1）～（5.3.3） ， 那 么 对f ε .9'(JR.n） ， 如 下
定义的算子To.称为Calderon-Zygmund奇异积分算子 ：
(x - y)
n一
( 5.3.4 )
To.f(x) = p.v. /r 一
一τJ(y)dy .
JITl_n I中 YI
通常（5.3. l）称为零阶齐次条件， （5.3.2）称为消 失条件， （5.3.3）则称为尺寸条件．
特别地， 取。（x) = en fti (j = 1 , 2, · · , n）， 那 么 To. 即 为 Riesz变换 Rj (j =
.
1, 2, . ， η） 当η ＝ 1时， 取。但） = �sgnx ， 则To.恰好为H山ert变换H
［注5.3.1］ 消 失 条 件 （5.3.2） 对 于 由 （5.3.4） 定 义 的 奇 异 积 分 算 子 的 存 在 性 是 必
要 的 ． 事 实 上， 取 ψ ε .9'(JR.n）， 并 当 lxl 运 2 时ψ（x) = 1. 那 么 对 lxl 《 1 ,
（ ν） （
n (y) ψ（x - y)dy + /r 一
n τψ
To.（ψ） （x) = lirn /r
x y)dy = : I1 + h
一一
IYln
IYI
J
ε →o jε＜ l y i ,,,;; l
yJ>l
第五章 奇异积分算子
Q
一
一
－
－
－A
ε
一
一
Q
E
ε －A
11
’－s
’’sf’
PI’
显 然乌 ＜ ∞， 但
d－
7 1－
ε
飞i〉lJ
Ltj
1t
了
T
－
fjε
同
U
U JU
JU
UU
rlJ飞lkfJ－L
斗
m
h叩
m
UU
，G
A
川
－M
｜
w
－
叫
运
”唱“
〈
－ε
fit－
斗
m
yt
1 78
因 此仅 当 Q满 足 消 失 条 件 （ 5.3.2） 时， Tn （ ψ ） 才 有 意 义 ．
［注5.3.2］ 如 不 特 别 说 明 ， 以 下 称 “ 奇 异 积 分 算 子Tn ” 均 指 由 （5.3.4） 所 定 义 ，
且Q满 足 条 件 （ 5.3. 1）～ （ 5.3.3) .
§5.3.1
奇异积分算子£2 有界性的特征
首先说明 奇异积分算子Tn:f:EY(JRn）上是存在 的 注意 到 静 在]Rn 中 任一含
有 原 点 的开球上不可积， 因 此 豁 口’（JRn ） . 然而 由
K (x )
=
。 （x)
p .v . 一一
lx l n
可 定 义Y’ （JRn ） 中 的 一个主值广义 函 数
号 ｜ 理5 . 3 . 1 i!i[n 川， 那 么 K(x） 二 p. v .
数， 且
得
K(E,) I log __!___ = II｜ εlim→o jε运I/f Yl�l 一一
=
JsI n - 1 fl ( y' ) \
If. Y' I
定 义 了Y' (JRn） 中 的主值广 义 函
� s时 川 dy’
(5.3.5 )
)
2
证明 注意到。满足条件 （ 5.3.1 ) -(5.3.3） ， 任取 ψ ξ Y(JRn ） ， 有
I L K （ψ） I
n （ ν ） （ ψ （ y ) ψ （O))
n ( y) ψ （ ν ） dy I
一
dy Ir
n
I
IYl
IYIτ
1n （ ν ） I dy + sup { ltl lψ （ ) I If
1n （ν ） ｜
《 ll\7ψII= Ir
t
}
一
百
=I
tEJRn
I
IYI
Y i n+ l
J
《 C' ll'V'Plloo llflll 1 + C"
II内 （ t ) lloo llflll 1 ,
j 自 l�l
+ j Yl > l
L
其 中 C’， C”仅与η有关， 且 ｜ ｜ 叫 1 为Q的L 1 (§n- 1 ）范数．
下面证明 （ 5.3.5） 成立 对 O < c: < N ＜ ∞， 记K: (x ) ＝
yl> l
一一一
J
静 χ｛叫 ＜N ｝ （叫 ， 那
1 79
§ 5.3 Calder创－Zygmund奇 异 积 分 算 子
么 Kt' ε £ 1 (!Rn） . 如令.； = r.；’， y = Ry’， 应用消失条件得到
0（ν）
U 一一
= I{
IYIπ
,; Y N
N
cos ( 2πr R)
dR dy'
= I{ - 1 O(y' ) /_{
R
JF
J§n
kt (.;) } < I l < e- 27ri€
写
e 27rir时’凹’ －
1 N 崎 U 二 cos ( 27lTR) dR
1 N cos (2 乓， y＇） 一 C臼（2
川
R
容易看出
lim {
; :;., jε
::
N sin （加R.;' y') J
R
dR 一 t
I
rI 27r 白’ －一－
si s
J二二 h刑’ε£’ U’ ds
叫
l1i m
n
= � s胆 （.；＇ y') .
1N 叫叫 3’ 一 叫叫R
= 1：：：，：，＇.：，·�＇ I 咛 ds 一 ;;:N 咛 ds
f
＝ 汇：；C ·y' 气� ds 一 c：；可 毡， 芹 ds.
I
注意到3 当0 ＜ α 运 1且O < c- ＜ � 时， 有
( 5 .3.6)
另 一方面
以及
由此推出
又对0 ＜ α ζ 1 ,
(5 .3.7)
汇 丰 ds 《 汇 � ＝ log �
l芹 ds � COS E ！ 三 ＝ cos c- lo巴 二 、
i ε 一一一一α
COS S s = 10！！：!!: －一一一－
1
IE→01r22霄T
πTε 1 €’·y' I s … � 1.；’ . y' I
!ID I
.
N) I
�－s ds z二 l sinNN I ＋ I 叫
一
c
汇
αN
\
｜
一一一一
一一一一
.
0
＋巳；
(N → ∞）．
第 五 章 奇 异积分算 子
180
这样 由 （5.3.7） ， 得到
-
c
R _, n
·
c
lim { N os（如r Ri,' yR' ) os（如r ) F…
J 三二 jε
此式连同 （5.3.6） ， 有
-2rrirRf.” 凹’ 一 cos(2作rR )
lim /{ N e
dR 二 log
jε
=-
' og0
一一－
｜ 己’ .
1
le · Y' I °
sgn （矿 . y' ) .
y' I
( 5.3.8 )
由 （ 5.3.8）可知， 存在与民 N均无关 的常数c > 0， 使得
下面说明
注意到
1 1 N e一
白…
R
） － ’
） dy’ ＜ =,
JsI n -1 ID （ 的 1 ( 1 + log �一
I�＇ · Y'I
lsn -1 log 古 df;,' = Wn 才
le · y'I
(5.3.9)
a.e. �’ ε §n - 1 .
( 5.3.10 )
π俨
( 5.3. 1 1 )
其中Wn - 2 为JRn- 1 中 单位球面的 面积． 应用Fubini定理， 有
） }de
1n-l {l L.sn - 1 I 邸’ ） I ( 1 + tog 土
I�’ . y' I ' J
） d( � ID(y' ) I句 ’ ＜ ∞
Js/ n - 1 �l Js/ n -1 ( 1 + tog ＿＿＿＿！＿一
I 「 . y' I
J
I
由 此得（5.3.10） . 最后， 我们完成（5.3.5） 的证 明 由 （5.3.9）及 （5.3.10）并应用 Lebesgue
控制 收敛定理及（5.3.8） ， 得到
Ii� K｛＇ （ � ）
1n - l n 川主 ｛ 1 N ε 一 凹，ii cos 川
= 1←＿ 1 D (y' ) log 古习 一 �sgn (( · y' ) ) dy'
＝ 儿－ 1 n 叫og i日 － � 耶 （� . y＇ ） ） 句’
=
…
(
现任取ψ ε Sl'(IRn） ， 应用 乘法公式，
儿 Kf (O<p （�
(5.3.12 )
181
§ 5.3 Calder6n-Zygmund奇 异 积 分 算 子
另 一方面， 注意到K定 义 了 Y＇ （�n） 中 的主值广 义 函 数， 因 此
/ K（�） φ（0dE,
JIJRn K(E, ）ψ（E, )dE, = p.v. JJRn
= Jim / K;' （� ） φ（�）d�
N二L J JR n
=
Ii鸣 j Kf （�）ψ（E, )d� .
N→：。 J IJlin
口
对上式应用Lebesgue控制 收敛定理及 （ 5.3.12）便得到 （ 5.3.5 ) .
显然， 奇异积分算子Tn可延拓为L 2 (Rn） 上 定 义 的 算子． 下 面 的 定 理给 出
了 Tn为（2, 2）型算子的特征刻画 ．
定理5.3.2 Tn是（2, 2）型算子当且仅当
E8�fn I lsn -1 n 川 � dy' I < oo.
(5.3.13)
证明 因。 ε L 1 ( §n - 1 ）， 由 （ 5.3.5 ),
sup [k (O[ < oo 白 sup I / O(y') log 土 dy' I < oo.
EEJRn l Jsn-l
€EIR吼
I � Y' I I
口
应用 定理3.3.4便得所需结论．
推论5.3.3 设。满足 （ 5.3.1）及 （ 5.3.2 ） . 又如Q ε L log +L( §n - l ） ， 即 ：
人 、 刚W 附 ） ldy' < 00 、
那 么 Tn是 （ 2, 2 ） 型算子．
证明 只 需验证 （ 5.3. 14 ） 蕴涵 了 （ 5.3. 13 ）. 由 。满足 （ 5.3.2）， 知
」 dy'
Y' l
在JRn I §n→ （ 的 log I E. - －
II
II
l e Y' I
E’E§n-I II J/sπ＿， O(y') log �
白 sup
( 5.3.14 )
'II
由 （ 5.3. l 月 ， 下面仅考虑 ［O(y＇） ［ 注 1 的情形． 任取E’ ε §n - 1 1 应用 初等不等式：
1 , b 0,
�二 α log α ＋ eb,
't/ α ）
αb
得到
� [O(y') [ log 寸�
｜豆 · Y I
=
>
[O(y')[ Iog 一＿＿！＿一
I�’ . y' [ l / 2
《 I O(y') [ log+ IO(y') l 十 一
｜ 号’�
· y’ 1 112 .
第五章 奇异积分算子
182
π俨
’
d
y
W
＝
1
忖币
才
n
n
1
以上事实连同（5.3.14）， 说明 (y ) log
从而（［注5.35..133.3）成］ 立由推论5.3.3的证明可知，条件（5.3.14）蕴涵了 （5.3.13）. 在［25］ 中 ，A.口
Ca奇异积分算子Tn为U(
lderon和AZygmund证明了，如果。满足（
5
.
3
.
1
）
及
（
5
.
3
.
2
）
，
那么条件（
5
.
3
.
1
4
）
是
1
oo）
上
有界算子的充分条件（
见
定理5.
3
.
1
5
）
.
另一
p
方面，在2
0
7年，
L
Gr
a
f：出O
S
等
［
5
9
］
给
出一个例子表明，即使Q满足（
5
.
3
.
5
.
3
.
3
l
）
～
（
)
'
以及下面比（5.3.13） 稍 强的条件 (y ) log 句’ ＜∞， (5.3.13’），
＿＿＿＿£＿一
仍不足以保证算子Tn的p(
p
并
2
）
有
界性．
可见条件（
5
.
3
.
1
3
’
）
严
格弱于（
5
.
3
.
1
4
)
1
5
.
3
.
1
3
）
严
格弱于条件（
5
.
3
.
1
4
）
.
关于定义在§n上
的几类函数空
（自然地，
更有（
间的包含关系，亦可见下面［
注
5.
3
.
1
9
]
.
推论5.3.4 设Q满足（。（－5y'.3.)1）和（5.3.3） . 如Q为§'<I ＇ n-ε§1n上的奇函数，即： (5.3.15
y
)
则Tn必为（2, 2） 型算子．
［的奇异积分算子Tn为带奇核的奇异积分算子．
注5.3.4］ 如Q满足（5.3.1),(5.3.3） 及 （5.3.15) （类似地，如0满足（
此时（5.3.2） 自动满足）5.3.1， ）则称相应
～
（
5
.
3
.
3
)
,
并为§n-1 上 的偶函数，即满足：
'<I y＇ ε§n- 1
。
(
（
－
y'
)
(
5
.
3
.
1
6
y
)
)
则称相应的奇异积分算子Tn为带偶核的奇异积分算子．
注意到
/ → IO ' l
{' E §n→ Jsn
_2_
I�＇ · Y' I
P.
<
<
/ IO ' I
{EJRn Jsn→
=
IC Y' I
- O(y'),
证明 留作习题
=
O '
,
l_
183
§ 5.3 Calder6n-Zygmund奇 异 积 分 算 子
§5.3.2
经典Calder6n-Zygmund奇异积分算子
现讨论经典 的Calder但－Zygmund奇异积分算子 的 有 界 性 问 题 ． 它 首 先 由 A
P. Calderon和A Zygmund [23］ 在 1952年所创立 下面的（5.3.19）称为Hormander条
件， 它 由L Hormander [61］在1960年提出 . H6rmander条件减弱 了 ［23］ 中 最初给 出
的Calder但－Zygmund核的光滑性条件．
设K ε L }oc (JRn \{ O} ）. 如存在常数A 1 , A2 > 0， 使得K满足如下条件：
(5.3.17 )
I K(x) I ζ A 1 lxl 飞 V z 并 O;
/
Jr运
l x l ζR K(x)dx = 0, 'v' 0 < < R < oo ;
/
x i 注 2I Y I IK(x y) - K(x) ldx ζ A2 , 'v' U 并 0,
r
-
J
( 5.3. 18 )
(5.3.19)
贝�K称为Calder6n-Zygmund核．
定理5.3.5 设 K 是Calder6n-Zygmund核． 对ε ＞ 0及f ε £！＇ ( 1 ζ P < oo）， 令
J YI ＞ ε f(x - y)K（ν） dy .
T,d (x) = /
那么
( a) T＂是弱 （ 1 , 1） 型 和 （p, p） 型 算子（ 1 < p < oo）， 且 ll T" llw(l,l） 和 llT.ε ll (p,p）均
与ε无关；
(b） 对 l < p < oo及f ε LP， 极 限 Ii骂 T" f在LP范数意义下存在， 记为
Tf(x) ＝ 出 Tε 削 ＝ p . v .
�n f(x - y)K机
(5.3.20)
贝。T为（p, p）型 算 子 ；
( c ） 对f ε £ 1 (!Rn）， 极 限 Ii� Tcf依测度收敛意义下存在， 记为
Tf(x)
=
l i!I!
T,,J ( x) = p.v. J/R_n f(x - y)K(y)dy,
→U
( 5.3.21 )
那 么 T为弱 （ 1 , 1） 型算子．
［注5.3.5］ 由 Caldero卧Zygmund核 及 （ 5.3.20 ) ( 5.3.21 ） 所 定 义 的 积 分 算 子T称
为 经 典Calder6n-Zygmund奇 异 积 分算 子．
定理5.3.5的证明 对E > 0， 令Kε （x) = K(x）χ｛ε ＜l x l } (x） ， 则T"j = Kε ＊ f .
下面先说明Kε关于E一致满足（5.3. 17）～（ 5.3. 19 ）. 显然， 只 需说 明 Kε关于ε一致满
第五章 奇异积分算子
184
足（5.3.19）. 事实上， 对]Rn 中任意满足ν 并 0及 lxl 注 2 lyl 的 工 ， ν ， 如x, x - y ε B(Ej,
那 么 K" (x) = K.ε （x - y) = O. 如x, x - y ε （ 亘古） Y ， 有
Kε（x) = K(x） 且 Kε （x - y) = K(x - y) .
此时Kε满足（5.3.19） . 如 lxl ＞ ε且lx - yl ＜ ε， 则 lxl /2 《 Ix - yl < c:且ε ＜ lxl < 2c:.
因 此 由 （5.3.17),
( 5.3.22 )
IKε （x) ldx 运 CA 1 ,
I Ke (x - y) - Kε （x) ldx ζ I
/
J ε ＜lxl< 2ε
J xi注 2 1到I
其 中 C与ε无关． 类似地， 当 ｜叫 ＜ c;且Ix - YI > c时， Kε 关于E仍一致满足（5.3.22 ) .
由此， 对ε ＞ 0及f ε LP(JR.n) ( l ζ p < oo ) , Tc:f是存在的
( a） 的 证 明 ： 第一步， 证 明 ｛T.ε ｝ε〉。在£ 2 (JR.n）上一致有界 （ 关于c;) .
由 于 Kε ε £ 2 (JR.n）， 由 定理3.3.4和Plancherel定理， 如 能 说 明 存在常数c > 0 ,
使得对任意 的E > 0 , sup� E JRn I瓦（0 1 ζ C， 则 ｛T.ε｝在£2 (JR.n）上一致有界
现给定E > 0. 对任意 的5 ε JR.n， � 并 0， 任取R > m缸｛ε， 古 ｝ 令K:-(x) =
Kε （x） χ｛ lxl.;; R} (x） ， 那么 K:- £l (JR.n ） ， 且
E
e 一如四 � Kε（x)dx
Kf-（ � ） = I
J xl,,;R
e-27rix ·f. Kε （x)dx = : Ii + h
e-2贺ix · � K.ε （x)dx + /
=I I
l ffi <lxl运R
\J xiζ W
j
由 （5.3. 17） 和 （5.3.18） ， 得到
J
( e-27r臼（. - l) K.ε （x)dx ζ Cl�I /
lxl lKε（x) ldx ζ CA 1 .
J 叫运由
运
｜
11 叫 由
对于 马， 取y ＝
， 则 产iy · � = -1 . 这样
11i 1
=
I/
l
布
e-27ri (x - y H K" ( x - y)dx
/2 = /
J m <lx - yl运R
e-2贺 臼·f. Kε （x - y)dx = - /
e-27rix ·(. Kε （x - y)dx +
=- I
J ffi <lx - yl 《R
J 由 ＜lxl 运R
其中
因此
J= （
儿
＜lxl.;; R
jw < lx 叩
12 = �,c, /ffi<lx [Ke (x) - Ke (x 山叫 · € dx +
lζR
J
�－
J,
Calder6n-Zy伊und奇异积分算子
nH
H
创
L一
L
185
A
C
J电
2
．d
ud
z
ε
K
Z
ε
K
运
z
d
F、
z
霄
。，“
e
uu
z
z
fk
f
lR
I
E
u
n，＆
飞F
E
r－
－L川
k
失儿
刻
一
＝／与
φ
山川
M
U
剧
§ 5.3
其中C与E:, �均无关 另一方面， 如记
E = �l x : __!__
l�I < lxl � R J�L:.�l x 二
l�I ＜ lx - yl 运 R J�
为对称差 ， 那么 IJI ζ fs l Kε（x - y)ldx . 注意到 I Y I ＝ 」一，
2 1 � 1 因此
川 �l x
{x ： 土
2 1�1 付｜ 飞斗
l�I J v
这样由 （5.3.17）， 得到
IJI 运 J／甜 甜
｜ ζ 古I
主 运 lxl � 2R
IKe:(x y)jdx + J/卡 l x l .;;: 2 R IKε（x - y)jdx 运 CA 1 ,
这里C与ι ε均无关． 综上， 我们证 明 了 ｛丑｝在L2 (1Rn ）上一致有界．
第二步， 证明 T＂为弱（ 1 , 1）型算子， 且其界与E无关．
设f ε £ 1 (JRn）且入 ＞ 0， 由Calder6n-Zygmund分解（定理5.1.8）， 得到一列 内 部
两两不交的方体列｛Qj }j EN及函数g, b， 使得f = g + b井满足 以下性质：
(i) llglJ� 《 C入11 111 1 , lg(x )I ζ 2nλ， a.e. x ε JRn ;
(ii） λ �飞 _2__
/ lf(x)ldx 运 2n λ， j = 1, 2, .
IQj l lQ;
(iii） 汇 IQjl ζ ± 1111Ji;
(iv) b(x) = ） ； 句 （x), JQ/ bj (x)dx = 0, supp（句 ） c Qj 且 ｜｜句II 1 《 2 / lf(x)ldx .
JQ;
;
了
这样Tc;f(x) = T"g(x) + T.ε b(x）， 且
l {x ε R曰 ： IT"f（叫｜ ＞ λ｝ ｜
《 I { x ε ]Rn : ITc;g(x
由 ｛T.ε｝的L2 (1Rn ）一致有界性和（i）’ 得到
以 （ �） ln IT＂仰)j 2 dx � � 儿 lg(x)i 2 dx 与 llfll i .
第五章 奇异积分算子
186
为估计I2 ， 记Qj = 2，／瓦岛是与Qj 同心且边长为Qj 边长2，／百倍的方体． 令 E*
U1 Q；， 那么 由 （iii)
\ E* \ � L IQj \ � 子 ＼＼f\\i .
这样
2r
叶 E* \Te:b(x) \ ＞ 才1 1｜ 《 c啊
h 《 ＼ E* \ + II ↑fλ
于 ＼＼ J \ \ 1 + � j
ntn \ E •
=
\Te:b (x)\dx .
注意到 ITe:b(x） ＼ ζ 艺 ｜叭 （x） ＼ ， 只 需证明
字 儿吧 ＼Te:b1(x)\dx � C\\f\\ i .
(5.3.23)
记Qj 的中心为屿， 由 （5.3.22）得到
/
JJRn \ E •
\Te:b1(x)\dx ζ l
I I Kε （x - y) - Kε（x 一 的 ） ＼ \bj （ν） ＼ dydx
J n<: n \ Qj J Qj
ζ l lb1（ν）I I
JJRn \ Qj
J Qj
\ Kε（x - y) - Kε（x 一 的 ） ＼ dxdy
ζ CA 1 I \b1(Y )idy 《 2CA 1
J Qj
I
J Qj
If（ν） ＼ dy .
此连同（ii）及（iii）得到（5.3.23）. 由此得出第二步的结论．
第二步， 应用Marcinkiewicz算子 内插定理（定理1.4.2）知7 对1 < p < 2, {Te:}
在£P (JR.n ）上一致有界 最后， 对2 < p < oo， 有1 < p' < 2. 如记Tε 为1的共辄算
子， 那么Tef(x) = Kε ＊ f(x）， 其中Kε （x) = Kε（ x ）. 显然Kε也满足Kε的所有条
件， 因此z为（p’，p＇）型算子． 现对任意的f ε V(!Rn）， 有
\\Te:f \\p = sup I / Te:f (x)g (x)dx l
l l g ll 庐， 运 l I J Rπ
=
sup
｜
I / f(x)T;g(x)dx l ζ I I! l i p .
llgll，，， ζ 1 I J Rπ
I
sup
l l g ll ，， ’ 运 1
I 王g lJ,.,r , � Ap\lf\\p·
很明显， 这里AP 与ε及f均无关 至此我们证明 了结论（a) .
(b）的证明： 首先说明对f ε �（!Rn ）及U ε ]Rn （ν 并 0）， 有如下事实：
（儿 ＼ f(x - y）
州叫 飞
(5.3.24)
187
§ 5.3
（ �n l l
Y l (\7f， 训 一 句’）ds P
儿 （儿
运 I Y I 刽l fxS
L
ζ
｜自｜
wud
QU
z
Z
l/p
P
)I
dx
J(x
If
一
（儿 川
) =
。
rI’
’’
一一
U
U
M川 －
I
一（
Z 一
Jt
t、
，
d
z
故
－
一 一
一
cυ
JU
、‘E，
，，
r，
，‘、，
、、、，
UU
ZIJw
nv
wue
4’u”
，d
、‘E，
，
wu
u
ι’UW
ι’U
U
川町
rJrJ
a
－
w
唱A
－A
pt’
’’o
ft－o
r’t、
IJ
VU
z
－－d
Calder6n-Zygmund奇异积分算子
当p ＝ ∞时3 上式是明显的． 我们仅考虑1 《 p < 00的情形． 由
ft f(x - ty) ＝ 何 一州 一 ty),
得
｜ 陈 － y ')(x
l 什p
／p
l/
- sy' )I Pdx) ds
这样得到（5.3.24）. 现回到（b）的证明 对f ε _q?!(JR.n ）及0 ＜ η ＜ c， 由 （5.3.24） 和
( 5.3 .17）， 有
l l T,i f - T.εfllp 运 J／η＜ ζε IK(y)I I＼Jiii!/ π lf(x - y) - f(x)IP dx ／) dy
｜自｜
运 C JIη＜ IY I 《ε IYI · IK （ν）ldy 《 CA 1 （ε 一 η） 一→ 0 （η， ε → 0) .
此事实说明， 对f ε _q?!(JR.n ), {T,J｝是£P (JR.n ） 中 的Cauchy列．
设f ε £P (JR.n ）， 对任意的b > O， 存在g ε P(JR.n ）， 使得f = g + h 且 llhllp < b .
因此当0 ＜ η ＜ c时， 由结论（a),
llT,i f - T,Jll P 运 llT.η （！ - g)llp + llT.叮g - Tc: gll P + llT.ε（g - J)ll p
ζ 2Apb + llTT/g - Tc:gll P → 2Ap b,
（η， ε → 0)
由6的任意性知， 对f ε £P (JR.n ), {Tc:！｝仍为£P (JR.n ） 中 的Cauchy列． 记其在£P (JR.n )
中 的极限为Tf， 那么U骂 llTc:f - TJll P = 0. 由此即知
llTJll P 运 llTJ - Tc:Jll P + llTc: fll P 《 llTJ - Tc: fll P + Ap llJll P 一→ Apllfl/p , (c → 0) .
第五章 奇异积分算子
188
故对f ε £P(ffi.n ）， 有 j Tf j p ζ Apllfl l p ·
(c） 的证明： 其证明思想同上 对g ε �（Rn）及任意的λ ＞ 0， 当0 ＜ η ＜ c;时，
由（5.3.24）和（ 5.3.17),
i{x : IT.η g(x) - Te:g(x)I ＞ λ｝｜
I T,., g (x) - Te:g(x) j dx
ζ ： I IK(y) j ( / j g (x - y) － 仰 ） i d叫 dy
ζ － ／＿I{ I Y I IK(y)j dy �飞 CA 1 (cλ 一 η） → 0 （η 3 ε → 0) .
此事实说明， 对g ε �（Rn), {Te:g｝是依测度Cauchy列． 现设f ε L 1 (Rn）， 那么对
任意的8 > 0， 存在g ε �（Rn）， 使得f = g + h 且 l h lli < 8 . 因此对任意的 λ ＞ 0 ,
当0 ＜ η ＜ c; 时 ， 由结论（a)
l {x IT.η f(x) - T,J(x)I ＞ λ｝｜ 运 i {x : I 写 f(x) T,., g (x) I ＞ λ／3 }1+
l{x : I T,.,g(x) - T.,g(x)I ＞ λ／3 }1 +
l{x : I Te:g(x) - TEJ(x)I ＞ λ／3 }1
ζ 年 十 I{ I T.仰
6C8 3 （η， E → 0) .
λ
再由 6 的任意性， 知对f ε £ l (ffi.n ), {TEJ}仍为依测度Cauchy歹u. 记其在依测度意
义下的极限为Tf， 那么对任意的f ε Li(Rn）及 λ ＞ 0 ,
li骂 i {x : I TJ (x) - T"f(x)I ＞ λ｝I = o .
因此
l{x : I T J(x)I ＞ λ｝｜
ζ l{x : I TJ(x) - T"f(x)I ＞ λ／ 2 }1 + l {x : I T"f(x)I ＞ λ／ 2 }1
c l flli －→ 一l l Jl l 1 , (c; → 0) .
运 l {x : I TJ(x) - Te:f(x)I ＞ λ／ 2 } 1 ＋ 一l
λ
口
故结论（c）成立． 至此完成了 定 理5.3.5的证明
［注5.3.6］ 从定理5.3.5的证明 过程可 以看出， 在Calderon-Zygmund奇异积分
算子T 为£2 有界的前提下， H己rmander 条件（5.3.19）便是保证T为 弱（1,1）型算子
的充分性条件
《 �ln
/\ J η＜ l y l ，，； ε
＼JIRπ
J 叮＜ I Y I 运 ε
－－－－今 －－－－－一
／
§
189
5.3 Calder6n-Zygmund奇异积分算子
另一方面， 从定理5.3.5的证明过程知， 将Calder6n-Zygmund核的条件（5.3.17)
替换为 下面较弱的条件：
( 5.3.17)'
IK(x)l dx 《 A� ，
�1;o 儿 。 1,,; 2 R
定理5.3. 5 的结论仍然成立．
［注5.3.7] 定理5.3.5的证明过程实际上也蕴涵 了 下面 的结 论： 设｛KN}N剧
1
是L (IRn） 中 的一 列 函数 如存在常数C > O， 使得下面条件关于N一致成立·
IKN(c;)I 运 c, v E ε IRn;
/
I KN(x y) KN(x)l dx 《 c, v u ε Rπ ＼ {0}.
J x J;;,2Jy[
那 么｛TNf := KN * J}NεN是V(IRπ） （l < p < oo）到 自 身 以及L 1 (IRn） 到L l ,oo(JRn)
的一致有界的算子列．
［注5. 3 . 8］ 我们知道， L2 (JRn）是Hilbert空 间， 从算子 内 插定理的应用 过程显
示线性算子的L2 有界性是非常重要的． 由 于 上面讨论的奇异积分算子Tn （ 包
括Hilbert变 换和Riesz变 换 ） 为卷积型算子， 因此Tn的L2 有界性可归结为验证其
积分核的Fourier变换的Loo有界性．
然而， 如果算子T不是卷积 型的， 在研究其L 2 有界性时， Fourier变换方法就
不再有效． 下面介绍的Cotlar-Knapp-Stein引 理及其推论提供 了 处理这类算子的
一个有 力 工具， 它分别 由M. Cotlar [37] （关于 自 伴 、 可交换算子列）以及A Knapp
和E M. Stein[70] （关于不可交换算子列） 得到．
Cotlar-Knapp-Stein 引 理 ： 设X, Y均为Hilbert空 间，｛Tj}JEZ是映X到Y的
线性算子列， ｛αj}JEZ是正数列． 如对任意的i, j ε Z, l Tt巧｜ ｜ ζ αLj 且 l Ti Tj*l l 《
αLj· 那 么对任意的M, N ε Z， 有
-
｜ 争 I � 主α3
上述引 理的直接推论是： 女口2二；三 － ∞ αj = A < oo， 则算子T 二 三：；二－ ∞ 巧 是从X
到Y的有界线性算子， 且l l T l ζ A.
［注5.3.9］ 映Hilbert空 间X歪IJ Hilbert空 间Y的线性算子列｛Tj}jEZ称为 是几乎
正交的， 如果存在数列γ ：＝ ｛γj}jεz ε £1 (1£）， 使得
l T；＊巧I I + \ 1 Ti7了｜ ｜ ζ γ；＿j , i,j ε ／£.
第五章 奇异积分算子
190
那 么 Cotlar-Knapp-Stein引 理表明， 几乎正交的线性算子列｛TJ}JEZ的部分和序列
强收敛于一个从X到Y的有界 线性算子T， 且满足 l T l ζ ｜ γ l v
［注5.3.10] 1984年， G. David 和J.-L. Journe [40］ 给 出 了 一个积分算子是否
为£2 (!Rn） 有界的判断准则， 即著名 的T(l）定理 我们先给出 几个定义 记
6 {(x, y） ε ]Rn × ]Rn : X = y} .
函数 K : IRη × ]Rn \ 6 → C称为标准核， 如果存在C > 0及0 < 8 ζ 1， 使得
（＊）
IK(x, y)I ι飞 ＿！！＿
y户 ’
lx - 一
IK(x, y) - K(z, y) i + IK(y, x) - K(y, z) I �飞 C l xl x--ylz叶l δ δ ’ Ix - YI > 2 l x - z l . （忡）
对于标准核K以及f,g ε �（!Rn）， 定义积分算子 T 为
(Tf,g) = J1J1 K(x,y)f(y)g(x)dxdy, supp(!) n s叩p(g) ＝ 臼
算子T的共辄算子T＊定义为
(Tγ，g) = (f,Tg), V f,g ε �（!Rn ) .
很明 显， T＊的积分核是k(x，ν） = K（ν ，x).
说积分算 子T满足“弱有界性质” （ 记为WBP ） ， 如果对�（!Rn） 中 任一有界
集B， 存在常数 CB > 0， 使得对任意的 ψ，ψ ε B, x ε ]Rn及 R > O， 有
l(Tψx, R ， ψ笃 ， R )I 运 CB Rn ,
其 中 俨 ， R(y) ＝ ψ（气王）， ψx, R 类似定义． 易证， 如果对某个p > 1, T是IJ'(!Rn）上的
有界算子， 那 么T满足弱有界性质．
T ( l ） 定理： 相应于标准核 K 的算子T : �（!Rn） → �’（!Rn）， 可延拓为L 2 (!Rn)
到 自 身的有界线性算子的充分必要条件是：
( i) T l ε BMO(!Rn );
( ii ) T*l ε BMO(!Rn);
( iii ) T满足弱有界性质 ．
（上面定理 中Tl的合理性可详见［40]. )
［�主5.3.11］ 为 将T( l）定理应用 于沿Lipschitz曲线的Cauchy积分等其他算子，
在1985年， A. Mcintosh和Y Meyer[79], G. David, J. L. Journe和S Semmes [4 1］分
·
:=
－一一一一
Rπ × JRn
§ 5.3
191
Calder6n-Zygmund奇异积分算子
别将T(l）定理推广为T(b）定理． 下面仅介绍性1］ 中 的结果． 称一个复值函数b为仿
增长的， 如果b ε Loo ， 且存在常数c > 0， 使得对]Rn中任意的二进方体Q,
｜土
IQI 1 b(x)d \I � C.
对b ε Loo ， 由b生成的乘法算子Mb定义为Mbf = bf.
T(b）定理： 设的， b2 为 仿增长的 相应于标准核 K的算子T : (b1 �）（1Rn） →
(b2 �） ’ （!Rn）连续 如果
(i) Tb 1 巳 BMO(IRn);
(ii) T飞 ε BMO(!Rn );
( iii) Mb2 TMb，满足弱有界性质，
那 么T可延拓为L2 (1Rn）到 自 身的有界线性算子．
Q
§5.3.3
x
齐型核奇异积分算子及其极大算子
由 （5.3.4）定义的奇异积分算子Tn脚印） = p.v. 悍 ， 由于Q满足零阶齐次
条件（5.3.1）， 因此也称由 （ 5.3叫定义的奇异积分算子为带齐型核的奇异积分算子
这类算子的产生也来源于卷积型算子Tf = K * f与伸缩变换阳 的可交换性要求
事实上， 设ηα （α ＞ 0）是!Rn 中 的伸缩变换， 如ηα与卷积型算子Tf = K * f可交换，
即 Tbα ＝ ι T， 那 么 T 的核K 必 满 足·
( 5.3.25)
K（αx) ＝ α－n K(x) .
上式表明K是－n阶齐次的 这样可重写 K(x) ＝ 静 ， 其中Q满足零阶齐次条
件（ 5.3.1）. 下面我们说明， 当Q满足一定的尺寸条件时， 这类带齐型核的奇异积
分算子的LP有界性问题可 由定理5.3.5得到
定理5.3.6 设。满足（5.3.1）和（5.3.2）. 此外， Q ε Loo(§n 1 ） 且
(5.3.26)
fol 呼旦 db < oo,
其中
woo (b) : = Z’，ν’supεsn- 1 IO (x') - O(y')I, 0 < b ζ I
对ε ＞ 0,
｜ 笃’ －y ’ 1 <6
O (y) - y)dy
n ,ef(x) J／[yJ ＞ε 一τf(x
｜ν｜
:=
第五章 奇异积分算子
192
称为Tn的截断算子 那么对1 《 p < 00
( a） 罚，ε 是弱（1, 1）型和（p,p）型算子（1 < p < oo）， 且 l Tn,e: l w(l , l） 和 l Tn ,e: l cp,p)
均 与E无关，
(b） 对l < p < oo及f ε LP(JRn）， 极限！� Tn, e: f在U范数意义下存在， 记为
Tnf(x) : = lill)-_ Tn,e: f(x) p.v. Jffii/ n f(x - y)K（ν）dy,
贝LlTn为（p,p）型算子；
(c） 对f ε £1(1Rn）， 极限li� Tn, e: f依测度收敛意义下存在， 记为
Tnf(x) li吨 Tn ,e: f(x) = p.v. Jffii/ n f(x - y)K(y)dy,
那么Tn为弱（1,1）型算子．
［注5. 3 .12] Woo 称为Q的L=(sn- 1 ）连续模， 而（5.3.26）称为£00-Dini条件．
定理5川的证明 注意到， 如记 K(x) ＝ 悍 ， 那么：
(a) n ε L=( sn- 1 ） 仨＝争 I K (x)I ζ Ail x l -n ;
(b) n满足（5.3.2）字＝争 对 0 < < R < oo, / K(x)dx = 0.
因此由定理5.3.5， 只需验证 K(x) ＝ 得 满足Hormander1k件 （5.3.19） . 记
1
1\
K(x - y) K(x) = 。（x 1-X y) Yi-nD(x) + D(x) (（\ 一一一
I x - Yi n 一 －
l x l n )） ＝ ：
注意到， 当0 < (;I < 1及 l x l ?: 2 1 ν ｜ 时， 有
j x - Byl 运 l x l + I ν ｜ 运 一32 lxl 及 l x - yl 注 l x l 一 ｜ ν ｜ 》 一 l x l .
因此
土 一 土 � c lYllx - By l n - 1 �� c 」旦L
( 5.3.27)
l x - yl π l x l n I 、 I x - Yl n l x l π l x l 叶 1 .
另一方面， 当 I x ！ ；主 2 l y l 时，
( 5.3.28)
这样由（ 5.3.27）和（5.3.28）知， 当 lxl ?: 2 l y l 时，
IK(x - y) - K(x)I
叫 ( 5.3.29 )
中 （ 仨号 ） 。 （ 品 ） Ix - Yl -n + Cl l D ll oo l Y ll 俨
→U
:=
=
ε→U
r
-
｜
《
I
ω 非 ｜俨 ＋ Gi i 川
（ ）
J r '( l x l 运 R
193
5.3 Calder6n-Zygmund奇异积分算子
因此由（5.3.29）， 得到
( I � ） dx ＋ c”llD l oo
r
中｜
lx l � 2I Y I IK(x - y) - K(x)l dx ι飞 C' ｝I x i只I Y I 00 I\ －l x l )） 一I 丁
= C' /r 00 /r Woo r( 2 -;.-1 ν ｜ ＼) dx' --:;:- + C”l l Dl l oo
飞 C' 1 1 一γ－） do + c”l l Dl l oo 运 B
§
I
_
口
如记。j(x) ＝ 高 （1 运 j ζ n）， 那么 易知。3满足£00-Dini条件 从而 由 定
理5. 3 .6， 得
推论5.3.7 Riesz变换乌为（p,p) (1 < p < oo）型和弱（ 1, 1）型算子．
接下来我们将说明， 在定理5.3.6的条件下， Tn不仅是截断算子族｛Tn，ε ｝的LP
极限（l < p < oo） 或依测 度意义下的极限（p = 1）， 而且也是｛Tn ，， ：｝在几乎处处意
义下的极限． 为此需研究截断算子族｛Tn ε｝ 的极大算子写的有界性问题， 这里，
Tfif(x) ε＞U ITn ,, J(x)I .
Tfi也称为极大奇异积分算子． 下面的引理表明， 在一定的条件下， Tfi能被Hardy­
Littlewood极大算子点态控制
引 理5.3.8 ( Cotlar不等式） 如Q满足 （ 5. 3 .1) ,( 5.3.2）及£00-Dini 条件（5.3.26),
那么存在常数C1 , C2 > 0， 使得对f ε LP(JRn) (1 < p < oo）及z ε !Rn ,
(5.3.30)
Tfif(x） ζ C1 M(Tnf)(x) + C2 Mf(x),
其中M为Hardy-Littlewood极大算子．
证明 记K(x) = l x l -n D(x）及K"'(x) = l x l -n D(x）χ｛ l x l ;;>c}(x) （ε ＞ 0）. 取非负
的径向函数ψ ε .9'(JRn）， 使得supp（ψ） c {x : l x l 运 l｝且j卢饵 ψ（x)dx = 1. 进一步还
可要求ψ（l x l )关于 l x l递减
令φ（x) = K ＊ ψ（x) - K1 (x） . 如对ε ＞ 0， 记轧（x) ＝ 去φ （ ？）及收（x) =
�ψ （ ？ ） ， 那么
φε （x) ＝ ψε ＊ K(x) - Kε （x) .
( 5.3.31 )
由（ 5.3.31）， 对f E LP (!Rn ),
Tn ，ε f(x) K" * f(x) = （ψε ＊ K) * f(x） 一 φε ＊ f(x) .
( 5.3. 3 2 )
: = SUI_>
=
第五章 奇异积分算子
194
另一方面， 对η ＞ 0和z ε !Rn， 有
（ψε ＊ Kη） ＊ f(x） ＝ ψε ＊ (Kη ＊ f)(x) ＝ ψε ＊ (Tn，叮f)(x) .
视ψε ε P’， 那么当η → 0时， ψε ＊ K叮 依LP 范数收敛至ψε ＊ K， 而Tn,TJJ依LP 范数
收敛至Tnf， 这样（ψε ＊ K) f(x) ＝ 收 ＊ (Tnf)(x）. 此式连同（5.3. 3 2） ， 得到
Tn, '- f(x) ＝ ψε ＊ (Tnf)(x） 一 φε ＊ f(x) .
( 5.3.33)
现说明φ能被一个径向可积函数控制． 如 l x l < 1， 那么
帕 ） = cp ＊ 即 ） ＝ 儿 lψ 川 ） 一 ψ（x 川句
注意到K(y) = Iν｜ 一πn cν）， ψ 巳 Y(!Rn ） 及supp（ψ） C {x : l x l 运 l｝， 故当 l x l < 1时，
φ是有界的 ． 同样， 当1 《 l x l ζ 2时， φ仍有界 如 l x l > 2， 则
φ（x) = / K(x - y）ψ（y)dy K(x) = / [K (x - y) - K(x）］ψ（y)dy .
因 l x l > 2 》 2 1 剖 ， 由（5.3.29）， 知
IK(x画 一 y） 一 K(x)I ζ C' l x l DO \ l x l ／
这样 ｜ φ （x)I 运 C'I 叫 －nwoo （ 击 ） 从而φ的递减径向控制函数曾（x) = sup I φ （y)I
口
必然是可积的 这样， 由（5.3.33）并应用定理1.3.6得到 （5.3.30 ) .
走理5.3.9 如Q满足（5.3.1)(5.3.2）及£00-Dini 条件（5.3.26）， 那么极大奇异积
分算子骂是（p,p) (1 < p < oo）型和弱（1 , 1 ）型算子．
证明 由Cotlar不等式（5.3.30）及Hardy-Littlewood极大算子M 和奇异积分算
子刊的(p,p）有界性 （见定理1.2.7和定理5.3.6） 可得写的（p,p）有界性． 下面仅说
明T[i为弱（1, 1 ）型的， 其证明思想类似于定理5.1.12的证明
对任意的f ε £ 1 (!Rn）及λ ＞ 0， 由Calder6n-Zygmund分解 （ 定理5.1.8） ， 存
在]Rn中内部两两不交的方体列｛也L刨及f = g + b， 使得
l{x ε !Rn : T.占f(x) ＞ λ｝｜
( 5.3.34 )
运 i {x ε !Rn T吕g(x) ＞ 言 ｝ I + i {x ε R曰 ： T[ib(x) ＞ 言 ｝｜
因 1 9 1 � ζ CλI I /I i i且T[i 是（2, 2）型算子， 得到
( 5.3.35)
\ { x E IRπ ： 刷x) > � I ζ C＇λ－2 1 Tfigll � ζ C" � I / I i i .
*
J lll! n
Jlyl运1
IYI 法 lxl
｝
§ 5.3
195
Calder6n-Zygmund奇异积分算子
记岛 的中心为屿，岛 的边长为鸣， 并令 乌 ＝ 2 v百Qj及E = LJ1 S1. 这样
IEI 也 ｜乌I = L Cn lQJ I ζ llfl h·
导
由此得到
x ε ]Rn ： 骂b(x
取 定 Z ε EC及E > 0， 则
I{
� ｝ I ζ 寻 1111
（x) ＝ 字 儿1 K.:(x - y)bJ (y)dy .
川
对每一个岛， 下面三种情况之一必然出现：
(a) B(x， ε） n Q1 = Q1 ;
(b) B(x, c-) n Q1 0;
(c） 存 在ν ε 岛， 使得lx - yl ＝ ε．
对情况（a）， 有Kε（x y) = 0， 故Tn,0b(x) = 0. 对情况（b）， 有Kε（x - y) = K(x - y),
这样
lj ι （ 句 （ν） dy = l1 [K
=
ll
l
运
lj 问 一 叭 一 K 怡 一 YJ 〕 1
至于情况（c ）， 注意至iJ x ε Ec c 巧， 则存在仅与η有关的常数0 < C� < 1 < Cn ， 使
得Qj C B(x, Cn ε）． 同时亦有B(x, C�c-） 门 Qj ＝ 正当 这样， 对任意的U 巳 岛，
IO(x - y)I 《 llOlloo(C�ε） n .
IKε（x - y)I 《 一一一τ一
！中 Y I
l[ r = C ε， 那么
n
（x 一 y） 川｜句 （y
Qj 凡（x 一 y)bj（ν）dy ζ Qj内B(x,r) I ι
运 C’ 1 0 1100 ε n JIB(x,r) l b (y)ldy ζ C＂ �一－
I B(x, r)I JIB(x,r) lb（ν）ldy .
现对所有的方体求和？ 得
11
I Tn ,E:b(x)I
弯 儿 IK川
l1
196
因此
第五章 奇异积分算子
引
IK(x - y) - K(x 一 的 ） l\ b1川
Tnb(x） ζ
；
这里M记Hardy-Littlewood极大算子． 这样
I{ x E EC 写b(x
《 I{ x E EC ： 字 ； IK(x - y) - K(x 一 约 ） Il b1 （ ν） ｜
I { x ε Ee CMb(x
由（5.3.23）的证明过程和M的弱（1, 1）有界性， 得
I{ x E EC ： 耶（x) > �｝I � � 1 111 1口
此不等式连同（5.3.34）～（5.3.36）， 便说明T占是弱（1,1）型的
推论5.3.10 如Q满足（5.3.1 ) ( 5.3.2）及L00-Dini 条件（5.3.26）， 则对f ε LP (JRπ）
( 1 《 P < oo ) ,
！� Tn,,J(x) = Tnf(x), z ε JRn ,
其中 To由定理5.3.6结论（b)(c）所确定．
证明 对f ε LP (JRn ) ( 1 《 p < oo）， 令
A(f)(x) = I ε→!illiu Tn ,, J(x） 一 ε→且旦O Tn,, J(x)I , 2 巳 R吭，
则A(f)(x） ζ 2Ti1f(x） . 对任意的8 > 0， 记f = g+h， 使得g ε C(f(lRn）且l l h \ l p < 8.
由于Q满足消失条件（5.3.2）， 并注意到g 具有紧子集， 因此当E → 0时， To，εg一致
收敛于Tog. 故A(g)(x) = 0. 这样， 对于1 < p < oo,
l A (f)l l P 《 l A(h)l lP ζ 2Apl i hi i P 运 2Aµ8.
由 6 的任意性得出， A(f)(x) 0 x ε ]Rn＿ 故极限liTa Tn，ε f (x）几乎处处存在．
当p = l时， 对任意的 λ ＞ 0， 有
2 A8 ·
l {x ε ]Rn : A(f)(x) ＞ λ｝｜ 运 丁 l h l 1 运 气了
从而仍有A(f)(x) = 0 a.e. x ε JRn . 因此极眼li鸟 Tn，ε f (x）在几乎处处的意义下
口
仍存在． 最后， 上述事实结合定理5.3.6的结论（b）和（c）便知推论成立．
儿
1
a.e.
=
a.e.
197
5.3 Calder6n-Zygmund奇异积分算子
运用旋转方法， 定理5.2.7给 出 了极大Riesz变换冉的£P (l < p < oo） 有界性
作为定理5.3.9 的特殊情形， 有如下推论：
推论5.3.11 对1 《 3 《 η， 极大Riesz变换R；为 弱（1,1）型算子 ．
下面我们将说明定理5.3. 6 的条件可以减弱 显然， 如i2K(x) ＝ 芋 ， 那么
条件（5.3.17）等价于Q ε Loo (sn- 1 ）， 即有
Q ε Loo (sn- 1 ） 字＝争 IK(x)I ζ A 1 lx1 - n.
另一方面7 如K(x) ＝ 毕 ， 那么
sup / ζJ x J《2R IK(x ) l dx ζ A�.
。 ε L 1 ( sn - 1 ） 字斗 R>OJR
注意到Loo (§n 1 ） 手 Lq (§n - 1 ) ( 1 ζ q < oo）， 故上述事实及 ［注5. 3 . 6］ 启示我们， 可
以在比定理5.3. 6 的条件更弱的情况下3 获得齐型核奇异积分算子Tn的LP有界性
和弱（ 1 ,1）有界性． 先给出Lq -Dini条件的定义
定义5.3.1 对1 ζ q 《 ∞， 说§n 1上的函数。（x＇） 满足Lq Dini条件， 如：
(i) n ξ1 Lq （§← 1 );
( ii ) /{ Jwq亏（一们
这里wq (b）称为Q的Lq 积分连续模， 其定义为： 对0 < 6 ζ 1 ,
q
wq (b) = J sup
p J ＜ 占 (＼J§η/ 1 I O （ρx') - O (x') l dx' I) , 1 运 q <
及
woo (b) = J sup
p J «5 I O (px') - O (x')I,
其中 ρ是]Rn中的旋转 ， ｜ ρ I = sup { I闷’ － x'I : x＇ ε sn - 1 }.
［注5.3.13］ 很 明 显， 当 1 《 r < q 运 ∞时， 女口。满足Lq -Dini条件， 那 么。也满
足Lr Dini条件．
定理5.3. 6 给出 了 当。满足L00-Dini条件时齐型核奇异积分算子Tn的£P (1 <
p < oo）有界性和弱（1,1）有界性． 下面说明L00-Dini条件被更弱的Lq-Dini条件（1 《
q < oo）替代后7 仍保证Tn是LP有界和弱（1,1）有界的． 先给出两个重要结论， 它们
表明， L 1 -Dini条件和Hormander条件（5.3.19）本质上等价．
引理5.3.12 设。满足（5.3.1）和（5.3.2), K(x) = O(x)l x i -n. 那么
§
00
第五章 奇异积分算子
( a） 如Q满足L1-Dini条件， 则。 ε Llog+L(§n 1 ）且K满足 H凸rmander条件3
(b） 如K满足Hormander条件， 贝Ll n ε Llog+L(§n- l ）且满足L 1 Dini条件．
［注5. 3 .14] 引 理5.3.12的结论（a） 由A P. Calderon, M. Weiss和A Zygmund
在1967年证明（见［22］）， 而 结论（b）则 由A P. Calderon和A Zygmund在1979年证
明（见［26]).
定理5.3.13 设。满足（5.3.1）和（5.3.2）及Lq -Dini条件（1 运 q < oo）. 那么齐型
核奇异积分算子Tn是（p,p) (l < p < oo）型和弱（1,1）型算子．
证明 只需考虑q = l的情形（见 ［注5.3.12］）. 由引理5.3.12 , n ε L log+L(§n一 1 )
且K(x) = D(x) [ x [ -n满足Hormander条件（5.3.19）. 应用推论5.3.3， 知Tn是（ 2 , 2 ）型
算子． 又由定理5.3.5的证明过程可推出Tn是弱（1,1）型算子（见［注5.3. 6] ) . 再 运
用Marcinkiewicz算子内插定理和对偶方法 （亦见定理5.3.5(a）的证明 〉 ， 便可知算
口
子Tn是（p,p）型和弱（ 1 ,1）型算子
［注5.3.15] 在［注1.2.4］ 中 ， 我们介绍 了 中 心Hardy-Littlewood极大算子M的
弱（ 1 , 1 ）和怡，p）范数与 空 间 维数n关系 的研 究进展情况． 对于齐型核奇异积分算
子Tn也有类似结果 在Q满足一定条件下， 2004年， P Janakiraman[65］证 明 了 ，
Tn 的（ 2 , 2）范数和弱（1 , 1） 范数均不大于logn. 由 此结果立刻得到， Riesz变换鸟
,n）的弱（1,1）范数亦不大于logη．
(j = 1 , 2 ,
［注5.3.16］ 在定理5.3.13的条件下， 对于l < p < oo， 齐型核极大奇异积分算
子T占是（p,p）型和弱（1,1）型的． 故在相 同 的条件下， 对于f ε LP (1 《 P < oo）， 有
li骂 Tn， ε f(x) = Tnf(x), a.e. x ε IR".
顺便指 出 ， 经典极大 Calder6n-Zygmund奇异积分算子Tγ （x) :=
[ Tc: f(x) [
（截断算子丑的定义见定理5.3.5）也是£P(l < p < oo）有界和弱（1,1）有界的．
198
··
SUPc: >O
§5.3.4
具非光滑核的奇异积分算子的LP有界性＊
定理5.3.13表明， 在很弱的条件下， 齐型核奇异积分算子Tn 是U和弱（1, 1）有
界的． 然而Lq-Dini条件仍反映了Q在§n l上一定程度的光滑性质． 另一方面， 注
意到推论5.3.3和推论5.3. 4 中所讨论的（2, 2）型奇异积分算子刊的核函数。在§n 1
上均没有任何光滑性． 因此一个自然的问题是： 当p ？正 2时， 推论5.3.3和推论5.3.4
的结论是否仍成立？ 称核函数。在§n- 1 上没有任何光滑性的奇异积分算子Tn为
非光滑核奇异积分算子 （也称带粗糙核的奇异积分算子） ． 这样3 上述问题亦可
§
199
5.3 Calder6n-Zygmund奇异积分算子
表述为． 非光滑核奇异积分算子Tn是否为LP (l < p < oo）和弱（ 1 , 1）有界的？ 研究
表明， 当Q满足一定尺寸条件时， 上述问题的回答是肯定的．
下面我们运用§5.2.2中介绍的Calder6n-Zygmund旋转方法将带奇核的奇异
积分算子（见 ［注5.3.4］）的£2 有界性（推论5.3.4） 开拓为LP有界性（l < p < oo) .
定理5.3.14 设 1 < p < oo,Tn为带奇核的奇异积分算子． 那么
(a) Tn在£P(JRn）上有定义且为（p,p）型算子i
(b） 写亦为（p,p）型算子；
(c） 对f ε £P(1Rn), Tnf(x) = !i骂 Tn,c f(x) a.e. x ε ]Rn
证明 由 引 理5.3.l知奇异积分算子Tn在.5" (JRn）上是有定义的． 先考虑f ε
.5" (1Rn）的情形． 运用球坐标变换以及。在§n - 1 上的奇性（5.3.15）， 得到
Tn ,c f(x) = � lsn-i O (y')Hi,J(x)dy”
这里H；，为截断方向Hilbert变换 （其定义见定理5.2.6的证明〉 ． 由H；，的LP ( 1 <
p < oo）有界性， 知
I J O (y')I H气j (x） 句’ ＜ oo, a.e. x ε JRn .
运用Lebesgue控制收敛定理， 得
Tnf(x) = � / O (y')Hy'f(x)dy’， a. e . z ε Rπ
故应用定理5.1.9及旋转方法（命题5.2叫， 知Tn 在y n £P (1Rn）上是（p,p）型算子．
由.5" (JRn）在£P (JRn）中的稠密性， 从而Tn在£P(JRn）有定义且在£P(JRn）上有界．
另一方面3 容易看出， 对f ε £P (JRn),
J T[ij (x) J ζ � / JO (y') J H;,J(x)dy'
由此式及定理5.1.12说明T[i亦为（p,p）型算子． 最后， 应用算子族的点态收敛性
口
（定理1. 2 .8） 得到结论（c ) .
［注5.3.17］ 带奇核的奇异积分算子不是（1,1）型算子 （ 例如， Hilbert变换就不
是（1,1）型算子） 然而， 带奇核的奇异积分算子是否为 弱（ 1 , 1）型算子， 是一个至
今 尚 未解决的 问题．
［注5.3.18] 如Q仅满足（5.3.1） ～ （5.3 . 3） ， 而 不满足奇性条件（5.3 . l日， 那 么 定
理5.3.14的结论不再成立 这说明在上述情况下， 对 于奇异积分算子Tn的U有
J §n - 1
"' J §饨－ 1
"- J §n - 1
第五章 奇异积分算子
界性而言， §n 1 上的可积函数空 间 显得过大． 因此， 寻找£1(§n- 1 ）的子空 间K， 以
保证相应于 K 中 函数。的奇异积分算子Tn的p有界性便成为 十分重要且非常有
意义的问 题
200
注 意 到对于Q ξ £ l (§n - l ） ， 总 有 如 下 的 分解 ：
D (x' ) =
。 （x’） + D( -x' )
+
D （扩） - D ( - x')
= : De (x＇ ） 十 D0 (x' ) ,
2
x ＇ ε §n
1’
其 中 仇 ， Q。分 别 为§n - 1 上 可积 的 偶 函 数和 奇 函 数 ． 因 此， 由 定 理5.3.14， 对 于 一
般 奇 异 积 分 算 子岛 的LP有 界性 的 讨 论 便 归 结 为 带 偶 核 的 奇 异 积 分算 子 （ 定 义
见 ［注5.3.4］ ） 的LP有界 性 问 题．
早 在 1956年， A P. Calder但和A. Zygmund [25］便考虑 了 这个 问 题 对于Tn
为 带偶 核 的 奇异 积 分 算 子 ， 由 于 不 能通过 方 向 Hilbert变 换 的 积 分 来 表 达日 ， 故
不 能直接运用 旋转方法导 出岛 的U有界性 A P. Calder6n:fDA. Zygmund 的 基
本思想 是 ：
(i） 运用 等式（5.2.15）， 写
Tn = -
�二 巧 （ 吨 ） = - j2二=l 乌 （T11 R1 ) ;
J= l
( 5.3.37 )
(ii） 验证复合算子Tn冉 的 核为奇核 （ 这 可 由 Riesz变换鸟 是奇核及Tn 为偶
核得到 〉 ；
( iii） 通过加 强。 的尺寸条件 （ 由 ［注5.3.18] 这是必 需 的 ） ， 验证复合算子T11 R1
的 核 函 数在伊－ 1 上可积 ， 并运用 定 理5.3.5得 到复合算子Tn 岛 的LP有界性；
(iv） 最后 由 （5.3.37）及Riesz变换 的LP有 界性得到岛 的LP有界性
基 于 上述思想， A P. Calderon和A Zygmund[25］ 证 明 了 下 面 的 结 果 ：
定理5.3.15 设。满足零阶齐 次条件和 消 失条件 如 Q ξ L log+L (§n 1 ） ， 那
么 对 l < p < oo， 奇异积分算子Tn 为（p, p） 型 算子
定理5.3. 15及极大奇异积分算子Tfi 为 （p, p） 型 算 子 的 证 明 亦可 见 ［57] .
1979年 ， W. Connett [35］ 以及F Ricci和G Weiss [93］ 分 别 独立地改进 了 上述
结果：
定理5.3.16 设。满足零阶齐次和 消 失 条件． 如Q为Hardy 空 间 H I (§n - 1 ） 中 的
函 数 ， 那 么 对 1 < p < oo , Tn 为 （p, p） 型算子 ．
1997年， D
S. Fan和Y B. Pan[47］ 进 一 步证 明 了 ， 在 定 理5.3. 1 6 的 条 件 下 ， 其
§
201
5.3 Calder6n-Zygmund奇异积分算子
极大奇异积分算子写 亦 为 （p, p） 型 算子 （ l < p < oo) .
有关 Hardy空间 H 1 (§n - 1 ）的定义及上述结论的证明亦可见［78].
I注5.3.19］ 定义于§11 - 1 上的函数 空 间 有如下的包含关系：
LOO (§n - 1 ) � U (§n- 1 ) ( 1 < q < oo)
豆 Llog+L(§n 1 ） ♀ H l (§n 1 ) � £ l (§n 一 1 ) .
最 后 ， 我们 给 出 非 光 滑 核 奇 异 积 分 算子Tn 的 弱 （ 1 , 1 ） 型 结 果 ， 它 由 A
Seeger
在1996年证明［99]:
定理5.3.17 设。满足零阶齐 次条件和 消 失条件． 如 0
奇异积分算子Tn 为弱 （ 1 , 1 ） 型 算 子 ．
E L log+L(§11- 1 ）， 那么
［注5.3.20］ 当Q满足零阶齐次和消失条件， 且Q ε H 1 (§n- 1 ）时， 奇异积分算
子Tn是否为 弱（1, 1）型算子， 是个至今仍未解决的问题．
［注5.3.21] 当 Q满足条件（5.3.1）～（5.3.3）， 但Q在§n - 1 上无光滑性 时， 确定极
大奇异积分算子T占的弱（1, 1）有界性是很 困难的． 事实上， 即使Q ε £OO (§n- l ),
至今仍然不知道相应的极大奇异积分算子T占是否 为 弱（1, 1）型算子．
第五章 奇异积分算子
202
§5.4
§5.4.1
Fourier乘子
£P乘子的定义和性质
这 一 节 将 讨 论 的 Fourier乘子 是 奇 异 积 分 算 子 的 推 广 ． 事 实 上 3 前 面 研 究 过
的 几个积分算子均 可 归 结为Fo旧ier乘 子. Fourier乘子 的 进 一 步 发 展 是拟微分算
子 和 Fourier积 分 算 子 ， 它 们在 微 分 算 子 理 论 、 偏微分方程和 调 和 分析等研 究领
域 中 发挥 了 重 要作 用 ． 因 此Fourier乘 子 己成为现代分析 中 的 重 要 工具之一
定义5.4.1 设 1 ζ p 运 ∞且m ε £＝ （JR.n ） . 如 果 以 下 定 义 的 算 子Tm
写了 （ � ） = m( O f (O ,
VJ E L 2 (1R.n ） 门 £P (JR.n )
满足
JI Tm f ll P 运 CJJ JIJ P ,
VJ ε £2 (IR.n )
n £P (IR.n ) ,
（ ＊）
其 中 常 数c > 0与f无关， 则 称m为LP-Fourier乘子 ， 简 称 为 LP乘子， 其 全 体 记
为Mp (IR.π ） ． 对 于 1 运 p < 00且m ε Mp(IR.n ） ， 由 于£2 n £P在V(IR.n ） 中 稠 密 ，
因 此Tm 在 £P (JR.n ） 中 存在 唯 一 的 有 界 延 拓 ， 且仍满足的式． 为方便， 其 延 拓 仍 记
为Tm － 对于 m ε Mp， 记
J J m J I Mv
= ll Tm ll(p,p) :=
组ι生1 由 定理5. 1 .9 , m( O
为Hilbert变换H.
P
11 / ll p ( l
s� p
IJ (mf r J l p ·
= -isgn � ε Mp (IR.) ( 1 < p < oo ） .
�j
例 5.4.2 由 定 理5.2.6, m3 （ � ） - -i 一
ε M p (IR.n ) ( 1 <
一
l�I
为Riesz变换Ri ·
此时算子Tm
p < oo ） . 此时算子Tm,
111] 5.4.3 i己
m（� ） =
'
�
J/sn-1 O(y ) (\ log J� · y' J
J)
生 sgn （
� y' ) dy'
2
那 么 由 定 理5.3. 15， 当 Q满 足 条 件 （5.3. 1 ) , (5.3.2） 以 及 。 ε L log+L (§n -l ） 时 ， m ε
Mp(IR.π） （ l < p < oo） . 此时算子Tm 为带非光滑核的 奇异积分算子Tn .
203
5.4 Fourier乘子
组圣生主 令m(O e- 271"ε I E I ， 那么Trn为Poisson积分（见l注2.1.5］ ） . 由定理1. 3 .4
知， m ε Mp(1Rn) ( 1 《 p 运 ∞） 类似地， Gauss-Weierstrass积分是相应于乘
子m（�） = e- 471"2 ε I E l 2 的算子， 且m ε Mp(1Rn ) (1 运 p 运 ∞）·
些应兰主 对于α 》 0， 令ma （�） ＝ φ。（�）， 其中φ由是［注2.1.3］ 中定义的φ平均函
数． 那么相应于乘子ma的算子Trnα就是Bochner-Riesz球形和算子T白 · 由［注2.1.3]
知＇ ma 是否为LP(JRn）乘子依赖于维数n和指标α的取值3 以及p与饥，α的关系．
塑生生旦 设α，b ε JR （α ＜ b）， 那么χ（α ，bJ(O ε Mp(1R) (1 < p < oo） . 事实上，
对f L2 (1R) n LP(JR）， 有
T川
其中H为 Hilbert变换． 应用定理5.1.9知， Tχ（a, b）可延拓为LP ( 1 < p < oo）上的有
界算子， 即 χ（α，b） ε M p (lR) (1 < p < oo）. 进一步， 当α ＝ 一∞时， 仍有χ（ oo ,b） 巳
Mp (1R) (1 < p < oo） . 因为对f E三 L2 (1R) n LP(JR）， 有
TX(-oo, b) J(x) = －T … fR"
f(x) .
这里I为恒等算子 类似地， 有 χ（α，∞ ） 巳 Mp (lR) (1 < p < oo).
坐监兰主 设ρ是]Rn中任一有限或无限矩形， 其边与坐标轴平行． 等价地， p是R
中有限或无限区间的笛卡儿积． 相应于乘子χρ的算子
Sp (f）（�） ＝ χp （�）f（�）， VJ ε L2 (1Rn ) n £P (1Rn )
称为部分和算子． 应用111] 5.4.6可以证明＇ Sp 可延拓为LP(JRπ） （1 < p < oo ） 上的有
界算子（见［107］）. 从而， 对于l < p < oo， 有b 巳 Mp (1Rn).
组ι生旦 设m是]Rn上的零阶齐次函数， 即对任意的λ ＞ 0及� =/= 0, m（λ£） ＝
m（�）. 如还有m ε c=(§n 1 ）， 那么m ε Mp (1Rn) (1 < p < oo）. 特别地， 此时Trn满
足伸缩不 变性： Tm (fo ) = (Trnf)li， 其中c5 > 0且fo(x) ＝ 去f （ 言 ） ．
例5.4. 9 考虑常系数高阶齐次椭圆方程
（ ＊＊）
Lu ＝ 汇 αa.Da u = f, (k ε N) .
两边取Fourier变换， 得到
Lu （�） ＝ 汇 αCt( 2叫） 白 。（0 = f(O.
§
=
E
,;,,27ribx
｜ 臼 l =2k
-
,, 27ri(
b)x
第五章 奇异积分算子
204
记m（�） ＝ 艺 ｜ α l =2k αα 品 ， 那么 Lu （�） ＝ (Tm 的） （日 ， 这 里 A 为 Laplace算 子 从
而方程（料） 成 为 ： Lu = Tm !::J. k u = f. 这样， 此方程解的存在及 正 则 性 问 题就 归 结
为 相 应 于乘子m的 算子Tm性质 的 研 究 由 例 5.4.8知 ， m E M p (ffi.n ) (1 < p < oo) .
〈
事 实 上 ， Tm 本 质 上 是2k个Riesz变 换 的 复合， 从而且z是齐型 核 奇 异 积 分算子 ． 特
别 地， Tm 可视为零阶微分算子 （见［注5.2.2] ) .
由 LP乘子 的 定 义 即 可验证 下 述基本性质 ：
命题5.4.1 设1 《 p 《 ∞， 那么对所有的m ε M p (Rn）， 有
(a） 对任意的h ε Rn, l l Thml l M P = llm llMp ; （平移不变 性）
(b） 对任意 的 o > o, 11ηom I Mp = ll m l l Mp ; （伸缩不变性）
(c) 11 仇llMP = ll m l l Mv ; （ 反射 不变性）
(d） 对任意 的 正 交变 换 。 ， l l m O llMp = llm llMv ; （正交变换不变性）
(e） 对任意的α ε Rn, ll e27ria·Cl m l 1 Mp = l lml l Mp · （模变 换不变性）
LP乘子空间M p (ffi.n ）有如下重要性质：
命题 5.4.2
( a) M 2 = L00(ffi.n ）， 且I I · l l M2 = II ll oo ;
(b) M 1 = ｛β ： μ ε .4' ( ffi.n ）｝， 且I I · l l M 1 = II l l A't ;
(c） 当 1 ζ p 《 ∞时， M p = Mp” 且I I . I Mp = I . llM P' ;
( d） 当1 运 p ζ q 《 2时， M p C M q ， 且I I llM. 《 I I l l Mp ;
(e) I l l Mv 是 M p ( I 《 p < oo）上的范数． 特别地， M p 关于｜ ｜ l l Mv 是 交
换Banach代数 ．
证明 性质（a)(b）即为定理3.3.4和定理3.3.5， 下面证明（c）. 记σ（g)(x) = g( x) .
容 易 验证 ， 算子σ－ 1 rmσ 就是相应于乘子巾的算子T而 这样， 由 命题5.4. 1 知 ， m ε
M p 当且仅当仇 ε Mp · 应用Fourier变换的Parseval等式（2.2.4）， 对于f,g E L2 ， 有
(Tm f, g ) = ( m f, g ( · ) ) = （！ ，仇g （ 一 · ） ） = (!, T,而 g)
设m ε Mp ， 及任意的f ε L2 (ffi.n ) n LP’ （Rn）， 有
l 'I'o仇 fl l p’ ＝ sup II JIH:/ n T而f(x)g(x)dxl
=
J(x)r:g(x}dx l � I 川
g 二��LP
0
·
ε £ 2 n£P
I
I 1n
§ 5.4
205
Fourier乘子
从而7月 ε Mp， 且 llml l M P ， 《 l l m llMp · 同样 可 以 证 明 反 向 的 不 等式
性质 （d）是 Riesz Thorin算子 内 插 定 理 （ 定 理 1 .4.3 ） 的 直接应用 ． 最后我们证
明 （e ）. 由 （c） ， 仅 需考虑1 《 p 运 2的情形． 显 然 ， ii · il M v 是Mp上的范数． 如m 1 , m2 ε
Mp且α ε C， 那么m 1 + m2 ， αm 1 ε Mp. 又m 1 m2 是相应于算子Tm1 m2 = Tm , (Tm , )
的 乘 子 ， 注 意 到 ll m 1 m2 llMv = ll Tm , Tm, ll (p,p） 运 l l m 1 llM P ll m 2 llMp ’ 且 上述乘法运
算 显然满足交换律 、 结合律及 关 于 加 法 的 分配律． 因 此Mp是交换代数．
最 后 3 我们 说 明Mp 是 完 备 的 ． 任取Mp 中 的C auchy 列 ｛mj ｝ ， 由 （ a） 和 （ d） 可
知 ， {mj ｝ 也 是£OO(JRn ） 中 的Cauchy 列 ， 因 此存在m ε £OO (JRn） 为 ｛mj ｝ 在£ 00 范 数
下 的 极 限 任 取 ψ ε Y， 由 Lebesgue控制收敛 定 理 ， 有
儿
n
φ0
（
另 一方 面 ， 由 ｛mj ｝ 在Mp 中 的 有 界性 知 ， 存在常数C > O， 使得supj l l mj llM v 运 c.
应 用 Fatm月 ｜ 理， 得到
/
JJRn
ITm （ 的 （x) I Pdx =
/ lim I Tm; （ ψ） （x) IPdx
JJR " j →∞
ζ 且旦
/
3 →oo J JR n
I Tmi （ ψ ） （x) I Pdx ζ 且旦 l l mj ll �v ll ψ II � 运 CP ll ψ II � ·
j →∞
－
故m ε Mp. 接 下 来 需 要 说 明 ， m 也 是｛ mj ｝ 按Mp范 数 的 极 限 上述论证过程表
明 ， 如 ｛ bj ｝ 是Mp 中 一致有界序列， 且bj → b a.e. ， 那 么 b ε Mp， 且
ll b l l Mp 运 且旦 ll bj ll M p ·
3 →口。
这样， 对k ε N， 记bj = m k - mj 及b = mk
m， 那 么
Jim ll mk - m llMp 《 川m hm ll mk - mj ll Mv ＝ 。
民：－
吟。
口
，c 一
→ 。O J 一
＋。
口
’
即 ｛mj ｝在Mp 中 收敛 于m， 故Mp 是 交 换 Banach代 数 ．
口
l注5.4. 1 ] 记B = {x ε ]Rn : lxl < l ｝ ， 那 么 φ0 ＝ χB 巳 M 2 (1Rn） 是 显
(III)) ,
然 的－ 由C.
当 η 注 2 及 1 运 p < 2 时 ， φ。 1. Mp(lRn ) . （ 自 然 地 ， 由 命 题5.4.2(c） ， φ。 1. Mp' (JRn ) . )
此 事 实 表 明 ， 当 1 《 p < q 运 2 时 ， 乘 子 空 间 的 包 含 关 系 （ d） 是 真 包 含 ．
Herz和C Fefferman关于 圆 盘猜测的 否 定 结 果（均见［注2.1.3]
§5.4.2
LP乘子的 充分性条件
要 判 断 一 般 的 £ 00 函 数是 否 为£P (p 笋 2 ） 乘 子 并 非 易 事（ 见 l注2 .1 .3］ ） . 下 面 给
出 几个判断U乘子 的 充分性条件
第五章 奇异积分算子
206
定理5.4.3 ( Mihlir
如对任 意 的α ε z+ ( I α ｜ ＝二 mi + i ） ， 存 在 常 数C > O， 使 得
(r - n 1
…
(5.4. 1 )
那 么 对所有 的 l < p < oo， 有m ε Mp (IRn ) .
证明 取 非 负 C';" (lr ） 函 数ψ， 使得supp （ψ） ζ ｛ � ε !Rn : � < l�I < 2 ｝且满足 ：
当� ＃ 0时， Lj EZ ψ（2 -j O =
i. 记
m( O ＝
汇 m(Oψ （ T i � ） ＝：
3 εz
三二 mi （�）
J EZ
及乌 ＝ mi (j ε Z）， 那 么 对 任 意 的 N ε N， 有
N
IL I
j= - N
kj （� ） � l m（�） I ♂ （!Rn ) .
(5.4.2)
如果能证明
� lx1 >21 v 1 I 句 （x
y)
kj 叫
定理5.4.3 的 证 明 即 可 完成． 事 实上3 构造算 子 列
TN f(x) =
N
L ki
J= N
*
N = 1 , 2,
f (x)
由 （5.4.2） 及 （5.4.3）， 并应用 ［注5.3.7］ 的 结 论 ， 知 ｛ T N ｝在LP (!Rn ) (1 < p < oo ）上 是一
致有 界 的 注 意 到 ， 相 应 于 算子T N 的 乘 子 是
N
N
mj （ � ） m（� ） 汇 ψ （ 2 飞 ）
mN
:=
J= N
J= N
(0
=
(0
L
从而， 对5 ε !Rn \ {O｝， 有 lim N→ oo m N
= m( O . 由 Plancherel定 理 （ 定理2.2.2),'
2
2
对每一个 f ε L (1Rn ） ， 在£ 意 义 下 ， 当 N → ∞时， 有TN J → Trn f · 特别地，
N
且旦 I T f(x)
N →∞
Trn f(x) I
应用 Fatou 号 ｜ 理， 对 任 意 的 f ε £2 n LP
=
0 a.e. z ε Rπ－
(1 < p < oo ) ,
N
llTrnf ll P 《 且旦 ll T f li p 运 Cp l l f l l p ·
N一→口。
207
§ 5.4 Fourier乘 子
即有m ε Mp(lR") ( 1 < p < oo）. 这样， 定理5.4.3的证明便归结为验证（5.4.3）式．
我们先给出一个 引 理 ．
引理5.4.4 记α ＝ ［号］ ＋ l且s满足α ＝ � + � － 若k ε £2 (JR＂）且k ε Cα （JRn）， 则
/
｜叫 ＞ t
J k(x)Jdx ζ Cn t一吉 l皿ax
臼 ｜ ＝ 。 JJD°'kJJ s, 0 < t < oo .
C
等式（定理2.2.8）， 得到
0 得 J xJ α ζ Cn '£'j= 1 I 町 ｜ α ．
证明 存 在 常 数 n > ， 使
1
立
运 c�c a唁 ｜ ｜ 剖 I s
/ Jxjk(x)l8' dx )
J k(x)Jdx ζ α :;:;;;] （\ JJRn
J
\J
( 5.4.4)
应用 Hausdorff-Young不
x i 〉t
口
从而（5.4均成立．
现回到（5.4.3）的证明． 下面简记α ＝ mi + i. 由于
supp(mj ) c二 ｛� ε iRn : 21 -1 < l� I < 2j + i },
则 以下结论成立：
llD°'mj lls 运 CTI臼 ｜ ＋ 号 ， （1 ζ s ζ 2; I α｜ ζ α） .
(5.4.5)
事实上， 当 ｜ α ｜ ζ α时，
JD°' mj （�）I = I L Df3m（� ）2 j h l ffY'l/; (2 j � ） I 《 C2 j l 叫 艺 2 j ＼ β 1 1Df3m(OI .
由＝β＋1
β｜ α
应用 （5.4. 1 ）和 H ol der 不 等式， 得到
IDβ m( � ） 飞 伊r�才（2j ） 一 ｜ β ｜ ＋ 号 《 C2
(1
I
运
J
2j - l 笔二 l { I 军二2H1
这样， （5.4.5） 由此可得 现固定U ε R飞 记
2二 .,l
｜ 句 （x y） 一 句 （x)ldx ＝ 汇 ＋ 艺 ，
jEJ jEJJ
j
j
其 中 I = {j ε z : 2 1 ν ｜ ；二 l ｝ 且 II = {j ε z : 2 1 νI < l｝. 当3 ε I时， 由 （5.4.4)
和（5.4.5）， 有
I 问 （x - y) - kj (x)Jdx 运 2 J/ Jkj (x)Jdx 《 CJyl i/2rj/2 .
I
J
3εZ
xl >2＼νI
x1 >21νI
x\> ly\
第五章 奇异积分算子
208
因此，
� lx 1 > 21 y 1
I句 川 一 句 （x)ldx 运Cly！飞；�－］川 ζc注
另一方面， 令
kj(x) ＝ 句 （x - y） 一 句（x), 仇j（《） ＝ 乌 （0 mj（�）（ e-27riy·€ 1 ) .
则有
j
! sua l ＝pα l D°＇仇j l s 《 C l ν 1 2 ( l 一 叶引， 1 运 s 《 2; 2i l y l < 1. ( 5.4.6)
为说明这一事实， 首先注意到， 对任意的E ε supp（仇j),
( 5.4.7)
IDl( e 2叫E 1 )1 运 Cl y l 2i < 1 一 ｜ 计 ） (j ε II)
当γ ＝ 0时， （5.4.7）显然成立． 当 ｜ γ I > o时， 有 I DJ( e -2叫ι） I = 1 ( 2叼P C y l ·
由（5.4.7）并应用Leibnitz法则， 得到
j α
｜ 白su｜ ＝pα ID°＇向（刮风 C l y l 2 ( 1 ） ｜ 月了三α 2il β ＇ I D13mi （�）I .
结合Dβmi 的LS范数估计（5.4.5）， 便得到（5.4.6） . 最后， 对L应用 引 理5.4.4， 井结
合（5.4.6 ）， 有
=
-
lζ l
'
儿 1 >2 1 自 ｜ ｜ 阶
这样，
j� lx1 >21 y 1 I 协 川（x)ldx �
Clyl1;2 2；�－1 2U-1)/2 《 击
口
综上， 我们己完成了定理5.4.3的证明
［注5.4.2] 1956年， S. Mihlin[82］在下面的条件下得到 了 定理5.4.3的结论：
ID°' m (OI � 1 � 1 - 1 叫 ， ｜ α ｜ ［ � ］ + l .
( 5.4.1） ’
1960年， L Hormander [61］用 更弱的条件（5.4.1）替代（5.4.1） ’ 证明 了 上述乘子定理
［注5.4 .3］ 可 以证明， 如果m满足定理5.4.3的所有条件， 那么相应的算子Tm 可
延拓为弱（1,1）型以及L=(!Rn）到BMO(IRn）（见定义5.2.5）的有界算子（见［110] ) .
c
ζ
Fourier乘 子
oo,
D
"'
m
设kεN且k＞号，如艺
,,;
l
b
e
r
tei
）
l
a
(
k
l
l
那么mεMp(IRn) oo）， 且 -n/2k （二『 ｜ θkm I \ n/2k
l ml Mv 运 Cl ml 2 l＼纣｜、 ‘ 一一1θE;,j l12Jl
l ml M， 寸η ｜仇阳 /2 另一方面，注意到 k ζ ，由
应用Hol
d
e
r
不
等式，知I
｜
刮
Ei'
=
l
t;.
1
户
《Cηn
1
i
m
l
·
i
1
2
Four ζ 质 ，
!2 儿｜〉 主 lt;.1 ι m问 ιι飞｜｜ θkm l｜
运 ν η川－几 丘： ｜ 页：； 12
口
现取η满足等式l ml 2
2 得到（ ).
L�（!Rn) = {f LP(IRη I l Jl L: := I主 ｜ 的l p }.
白
的分布导数.
那么L�（的!Rn） 为质熟知的非齐次Sobol
e
v
空间，其中D
为
f
f
是
要k
＞
号，
空间L�（
!R
n
）
可
连续嵌入（
按
乘子范数）
L
P乘子空
间 Mp(IRn) oo）中． 此外，齐次Sobol
e
v
空间定义为：
L�（!Rn) = { LP(JR勺 I l fl t� := I主 ｜ 的l p }·
一个重要的事实是： 乓（!Rn)= LP(!Rn) L�（设!RnmεL00(
).2 IR) C1 (IR {O}） . 如存在
常数C>O，使得 ��� 1 1 去何） Id！；， 运c,
209
§ 5.4
l注5.4.4] 1980 年 ， M. Taibleson和 G . Weiss[121］ 定 义 了 实 Hardy 空 间 上 的 HP
乘 子 ， 并 建 立 了 HP 乘 子 的 Mihlin-Hormander 乘 子 定 理 （ 可 见 ［8］ 或 ［77] ) .
定理5.4.5 B ns n 乘子定理
(1 《 p <
<
.
(s.4.s)
证明 由 命题5.4.2(d） ， 只 需 考虑p = l 的 情 形 ． 对η ＞ 0， 有
ier 变换性
有
I
＝ η － k 立＝ l II 勒1 ， 则
5 .4.8
［注5.4.5］ 对 k ε N 及 1 《 p 《 ∞， 记
< 00
E
子定理
Bernstein乘
本
， 只
(1 运 p <
JE
< 00
n
定理5.4.6 ( Marcinkiewicz乘 子 定 理 ）
n
\
(5.4.9)
2 一些文献中也用 \lifk,P (JRn）和 Wk•P (!Rn）分别表示lRn上的齐次 和 非 齐 次Sobolev 空 间 ．
第五章 奇异积分算子
210
E
p
c
m一
P
×
×
J、
，，A
X
k
h
u扫
，毛
s
r电
K
F、
，G
F、
，G
rr、
K
－
一卢、
－nAU
I’m
－
2
no
－ru
－nHU
＝号
文
。
FIt－
－
r’
’’
’J
其 中 I ε I : = { [21 , 21 + 1 ] , [- 21 + 1 ， 一2l ] }jEZ 为 R 中 所有 二进 区 间 的集 合， 那 么 m
M (JH.) ( 1 < p < oo) .
定理5.4.6及如 下 高维形式 的 证 明 需用 到 下 一小节介绍 的 Littlewood-Paley理
论， 可 见［ 107］ . 设m ε £00 (JH.n ） 门 cn (JH.n \ {O} ） . 如 存 在 常数C > o， 使 得
(5.4.9）’
.
其 中 ， Ije ε I ( l ζ t ζ k ） 且｛i 1 , i2 , - , ik } 跑遍全体 含 有 ｛ l , 2, . . . ， η｝ 中 k个 元 素 的
子集， 那 么 m ε Mp(iH.n ) ( 1 < p < oo) .
［注5.4.6］ 对 于 1 运 p 运 q 运 ∞， 还 可 研 究 更 一 般 的 （p, q) Fourier乘 子 设 m ε
£OO (JH.n ） . 如 果 以 下 定 义 的 算 子 Tm
£：！ （� ） = m(O f（ �） ， '<If E L2 ( 1H.n ） 门 £P (JH.n )
满足 l TrrJ l q 《 Cl l ! l P （！ ε £2 n LP）， 其 中 常 数C > O 与 f 无 关 ， 则 称m 为 （p, q)­
Fourier乘 子 ？ 简 称 为 (p, q） 乘 子 ， 其 全 体 记 为 儿勺，q (iH.n ） . 对 于m ξ 儿匀，q ， 记
f巳L 三nL P
l Tml l cp, q) : = sup l l (mfr l l q ·
有 关M p,q (iH.n）的基本性质， 可见L Hormander 的 文 章 ［6 1 ] .
llmllMp ,q =
ll / ll p .;; 1
§ 5.4.3
Littlewood-Paley理论简介＊
Fourier乘子 与 Littlewood-Paley理 论 密 切 相 关 ． 一 方 面 ， Littlewood-Paley理
论可通过Fourier乘子来表现 另 一方 面， Littlewood-Paley理论 又 是证 明 U 乘子
定理 （或HP乘子 定 理 ） 的 有 力 工 具 ．
Plancherel 定 理 （ 定 理2.2.2） 告 诉我 们， £ 2 (JH.n ） 函 数 的Fourier变换 可 以 完 全 刻
画 £2 空 间 ． 但Plancherel定 理对 于 一 般 的 £P (p 并 2 ） 空 间 并不成立． 作为Fourier变
换 的 替 代， 就 是Littlewood-Paley理论， 它 是 在J. Littlewood 和 R. .Paley 在20 世
纪30年代工作基础 上 发展起来 的 （ 见综述 文献［13] ) .
Littlewood-Paley理论具有丰富 的 内 容， 它 涉 及 多 个平方算子 的性质 ， 其 中 既
有离散形态， 又有连续形态； 既有齐次形态， 又有非齐次形态， 既有光滑 的积分核7
又有非光滑 的积分核 近些年来， 又发展 了 相 关于 一 般 自 伴 算 子 的平方算子． 随
着 Littlewood-Paley理论的 发 展 ， 其应用 也 日 益广泛． 它不仅 是处理U上Fourier分
析 问 题 的 强有 力 工 具 ， 而且在现代调和 分析 、 函 数 空 间 刻 画 和偏微分方程理论研
§ 5.4 Fourier乘 子
211
究 中 发挥 了 极其重 要的 作用 ． 限于 本 书 的 篇 幅 ， 本节我们仅简 要介绍 Littlewood­
Paley理论产 生 的背景及其发展 中 的 一些重要结论 ， 具 体 的 证 明 细节可看相 关 的
参 考 文 献 （ 如 ［ 1 07] [ 108] [55] [ 122] [ 1 23] [5 7] [12] ) .
1.
(0， 如） 上 的Littlewood-Paley定理及其不 同表现形式
设 f ε £P (O， 如） （ l < p < oo） ， 那 么 f( ） ～ .z:.= k ε z f ( k ) e i k 飞
t
霄
／ f （ 吟巳 一i kt
f (k) ： ＝ ι
＜－ “ J O
其中
k ε z,
称为f的第k个Fourier系 数 ． 当p = 2时 ， 有
去 1 7' I f 州t ＝ 三 ｜ 阳） 1 2
2
( 5.4. 10 )
(5.4. 10）称为Fourier级 数 的Parseval等 式 . Parseval等式 的 本 质 是 ， £ 2 (0, 2n） 函 数
的Fourier 系 数 完 全 刻 画 了 £ 2 (0, 2n） 空 间
然 而 3 有 例 子 表 明 ， （5.4. 1 0 ） 的 结论对于一般 的£P (0, 2汀） (p 并 2 ） 并 不 成 立 .
Littlewood和R. Paley在 193 1 年 ［74］给 出 了 下 面 的 结 论 （其 证 明 于 1936 年 和 1 937年
发表 ［75] [76] ) :
J.
定理5.4. 7 ( Littlewood-Paley定 理 ） 存在常数Ap , Bp
LP (O， 如） （ l < p < oo）， 有
> 0，
使得对任意 的f ε
Ap ll!IJP 运 ｜｜ （ 艺 JEN ( f ) ( · ) l 2 ） 叫 I p 《 Bp llfll扣
(5.4. 1 1 )
其中
EN (f)(t) : =
<
三二 f( k ) ei k t ,
2N 1 ζ k<2 N
N = O,
f(O) ,
2二
2 N < k � 2 -N - l
N � 1,
f ( k ) ei kt ,
N ！＇；二 － 1 .
(5.4. 1 1 ）表 明 ， £P(O， 如） （ l < p < oo） 函 数 的 Fourier级数经适 当 组合 后 ， 在 一
定 意 义 下仍然可 以 刻 画 £P (0, 2背） 空 间 ， 因 此 （5.4 . 1 1 ） 也 可看作Parseval等式（5.4 . 1 0 )
的 替 代 事 实 上， 如 果p = 2， 那 么 （5.4. 1 1） 就 是Parseval等式， 此时A2 ＝ 乌 ＝
( 2霄） 一1 /2
212
第五章 奇异积分算子
［注5. 4 .7］ 在定理5.4.7证明过程 中， J Littlewood和 R. Paley引 进 了 下面两个
辅助函数：
11 口 － r �＇ ei8 叫 ／
到 f) (B)
=(
)l
（r
)1
和
（fo \ 1 一 r)X 2
其中． φ是复平面 中单位圆盘内 的解析函数， 满足Re（ φ） u(r， 。） 及 Im（φ（0)) 0,
这 里u(r, B) (P (r, ) J) (B ） 为 f的 Poi
积分 此 外
X 2 (r, B) ＝ 去 I 如 ｜ φ ， (r e i伊＋¢ ）
J. Littlewood幸口R. Paley证 明 了 ？ 当 f ε LP(0, 2汗） ( 1 < p < oo）且J(O) 0时，
有 l fl l p ～ l g (f)l l p · 此 事 实在证明定理5.4.7中 起关键作用 ． 另一方面， 有g (f) ( B） 《
2g* (!) ( B）， 该 结 论 连 同 后 来 A Zygmund[l27］的结果表明： l f l p ～ I l g *(!)l i p , ( 1 <
旷 （ ！） 仲
=
sson
· *
．
，
=
=
=
p < oo) .
现
回 到 定 理5.4. 7 的 讨论
．
注意到， 对
于N ε
午 三二
1
<f.JN ( X ) ＝ 飞 2霄’
5二 2-N -l
2π - 2-N <k运－
Z，
如记
e•k x ,
N ；主 1,
N O,
N 《 －1.
=
eik x ,
那 么 EN （ ！ ）可表达为下面形式的 “卷积 ” 3
EN (f) (x)
＝ 阳 门 （ ← 12
7r
</JN ( X
t)j(t)
由 此得 到JLittlewood-Paley定 理 的 “卷积” 形 式 ． 对 于 f ε LP (O， 如） （ l < p < oo) ,
( 5. 4 .11）成为
Apl l J l P 《 ｜ ｜ （ 汇 ｜（ 如 ＊ J)( - )1 2 ）叫I p 《 Bpl l f l p ·
( 5.4.12 )
3 这里 的 “卷积” 只 是在（0, 2作）上的积分， 与本书定义1. 1 . 1 不 同 ， 因 此我们加 了 号｜ 号， 但仍用
卷积记号“ ＊ ” 来表示．
2 13
§ 5.4 Fourier乘 子
《rIJw
nu
rE
EFt－t
AIJ
nu
i－
－Et
～rJ
－
nb
下 面我们进一步 说 明 ， Littlewood Paley定 理还可 以通过乘子算子来表现． 易 知 ，
EN （！） 的 第1个Fourier系 数 为 ：
－
E
2N - l 运 j < 2N ,
tf_ [2 N 2 N ) ,
且
J
1,
rtd
～
二N
2 N < j 王三 - 2 - N - l ,
tf_ ( - 2 - N , - 2 - N -l j ,
j
石I/)
S1S1(f()f(x)(）j，)其中＝χ151(j满)f足：(j),
当 N ；主 1 ,
当 N �二
1.
(j） 三 。 这样， 对于所有的t ε N及 I = [2e i ， 到 ）或I =
此 外 ， 对所有的3 ε z，
（ 拦 ， －2ε－ 1 ］ ， 有Ee (f) (x) =
(5.4. 13)
而χI 是 区 间 I 的特征 函 数 ． 现 记
V = { I : I = [2e 1 , 2e） 或 （ － 2e , - 2e 吁 ， 对于
t ε N} .
那 么 得 到 Littlewood-Paley 定 理 下 面 的乘子算子表现形式：
Apll!l P 运 ｜ （ 汇151 (f)(-) 12) 1 2 l p 《Bpllfl p,
这里fεLP(O， 如）
(1 <
p < oo ) .
!EV
( 5.4. 14)
2. JR 上 的 Littlewood-Paley定理
虽 然 （5.4. 1 3） 的 两 边是 取Fourier系 数 ， 不 是 真 正 Fourier乘 子 的 定 义 ， 但 它 却
启 发 人们 用 Fourier变换 替 代Fourier系 数 ， 并 将 （0, 2汀） 上 的Littlewood-Paley定 理
的乘子形式（5.4. 14）推广到 全直线上 ． 为此， 我们先给 出 R 的 二进分解．
对k ε Z， 区 间 h = [2k , 2 k + l ］ 及 一 h : = [- 2k 礼 ， 一 2 k ］称 为R 中 的二进 区 问 这
样 ， 所有R中 的 二 进 区 间 内 部 不 交 ， 且
IR \ {0} =
LJ (-h U h ) .
kεz
(5.4.臼）
虽 然 原 点 被排除在外， 但 它 无碍 下 面 的 讨论， 因 此 习 惯上仍称（5.4. 1 5） 给 出 了 R 的
二进分解． 记I = { h , - h } k εz， 且Sρ为相应于ρ ε Z的部分和算子， 即
SJ (O ＝ χρ （�） j (f,) ,
f E L2 (1R) n £P(JR).
(5.4 . 16 )
第五 章 奇异积分算子
214
2
'ef
ε£
（�） .
f
p
E
'I
下面的结果是（
5
.
4
.
1
4
）
的
推广：
定理5.
4
.
8
上二进分解的Li
t
l
e
w
o
d
P
a
l
e
y
定理）设1
p
00.
则对任意
（
�
的fεLP（�）， 有
( 5 . 4 . 1 7)
( 12
里
是
关 的正 数
［
1
定理5.
4
.
8
的证明需要用到i
J
R
e
d
e
m
a
c
h
e
r
函
数系及其性质．
如下定义的区间
0
,
)
上的函数列｛rj }jEZ＋ 称为Redemacher函数系：
Tj(t) ＝ k=l （一1）川 χj,k(t),
j
1
1 , j-l )
2
是区间l
其中均，
2
-1
,
）
的
特征函
,
)
k
k
j
0
1
）
中
的正交系（
但
不是完全的）
d
e
m
a
c
h
e
r
函
数系｛
＋
是£2[
数．Rede容易看出，Re
ε
,
r
－
Z
j
}
j
m应用定理5.
acher函数系的基本性质及定理5.
4
.
8
的证明均可见［
1
0
7
]
.
定
理5.
4
.
6
Mar
c
i
n
ki
e
w
i
c
z
乘
子定理
）
的
证明
4
.
8
（
，可以给出一维的
5
.
4
.
1
5
［的R的另一分解，
注5.4.8］ 与定理5.并定义相应的部分和算子，
4.8相关的一个问题是： 那么定理5.
如果给出不同于二进分解（
)
4
.
8
的结论是否仍然成
1定理967年（，CLCaarlesornle）so如nI首先考虑了这个问题［
2
9
]
.
+ 1), } J E Z ， 马是相应于马 ＝ (j, j +l ） ε Z的
5
.
4
.
1
6
部分和算子（
定
义见（
）
，
那么对于2
0，
对任意
p
《
的f εLP（则，有
！（·） 2 I 《 f
E
Z
J
有例子表明，上述结论中p的范围是最佳的．
9
5
]
.
［定理注5.4（.9R]ubi19o8de5年，J.Fran-Lci.Rubia） 设2o运depFrancia�夺上述Carleson定理一般化［
0，使得对R中任意
不交的区问列工 ：＝ {Jj }jEZ及f E LP（则，有
。）
那么 显然有
2二 llSpfll� = llJll�，
<
Av llfllv 运 ｜｜ （ 汇 ISpf · ) 1 2 )
这
Av 和 Bv
与 f无
常
<
\\ v 运 Bvllfllv,
－
艺
:=
k2
[(k
(j ε Z+ ; k
= 1, -
立？
:=
{ (j, j
<
｜｜ （ 艺 ｜ 乌
00， 存 在 常 数 Cv >
1 ） 叫 v Cv ll llv ·
<
00. 则 存 在 常数 Cv >
｜｜ （ 汇 ｜乌J ( - ) 1 2 ） 叫I v 《 Cvllfllv ,
215
5.4 Fourier乘 子
）
中p的范围是最佳的．
另一方面，
其中s
是相应于ιεZ的部分和算子
同样，
（
:j:
j
果
J.-L. Rubio de马 Fr＝a［nαcjia在［， αj9]5］ 中 也指出，如
2
α
)
,
jεz,
α
3
》
（
α
3一句
j
1
－1
+
l
那么（:j:） 对所有的l<p<oo成立．
特别地，此时（
:j:
）
的
反向不等式
C�llJl P 《 ｜ （ 艺｜乌！（·)12） 叫Ip
对所有满足supp( ) LJJ IJ 的LP(IB.） 中函数f成立（这是定理5.4.8的推广〉．
IB.要将定理5.
n上的Li4.t8l向高维推广，可考虑两条路径：
ewood-Paley定理 一是给出JR.n 的二进矩形分解；
n
的二进环形分解．
下面我们分别叙述．
另一是给出]R
5
.
4
.
1
5
为得到lR
n
的二进矩形分解，首先按（
）
对
每个坐标轴作二进分解，再将
得到的所有二进区间再作笛卡儿积，得到lR
n
中的二进矩形，记其全体为&l.
很明
f!,l中所有元素内部两两不交，且lRn LJ ρ
( 5 . 4 . 1 8)
称为lR定理5.n 的二进矩形分解．
相应二进矩形分解（
5
.
4
.
1
8
）
的
Li
t
l
e
w
o
d
P
a
l
e
y
定理是：
π
4
.
9
上二进矩形分解的Li
t
l
e
w
oodP
al
e
y
定理）
设1
<
p
<
00.
则
(
JR
n
P(
IB.
）
，
有
εL
存在常数Ap, Bp A0，使得对任意的
f
Pl Jl P 运 ｜ （ 艺｜鸟！（·) 12） 叫Ip 《Bpllfl p· (5.4.19)
5
.
4
.
1
6
与前一样，这里岛为（
定
义的相应于
ε3的部分和算子．
定理5.
4
.
9
的证
）
ρ
明及应用于高维Ma
r
c
i
n
ki
e
w
i
c
z
乘
子定理（
见
［
注
5.
4
.
6
］
7
]
.
）
的
证明均可见［
1
0
l到lRn 注（η5.�4.21)0.] 1985年， J Journe[69］ 将R由io de Francia定理（见［注5.4.9］） 推广
是
J
o
ur
n
的设冗是lR
n
中互不相交的边与坐标轴平行的矩形马的集合
定理
J
（
S
相应于马
ε冗的部分和算子．
设2
p<
00.
则存在常数G
>0，
使得对所有
运
p
的fεLP(IB.n）， 有 ｜ （ 汇 ｜乌j(-) 12） 叫Ip 《Cpllfl p·
§
且
J EZ
} c
3.
显＇
\ {O} =
ρεa
>
ρE�
第五章 奇异积分算子
216
2
中的扇形区域列
ff
e
r
m
an[
3
6
］
考
虑JR
［对3εN，记r
注5.4.1 j] 1{zεC
977年， A泸《Cordoabrga和R.Fe
是相应于川的部分和算子，即
z＜击｝设
乌
SJ （�） ＝ 叭） f （�） ， fεL2 (IR） 门LP (IR) .
对于�
< p < 4及 f ε LP (IR2 ) n L2 (JR2 ） 满
A. Cordoba和ujRrPej ，有fferIm(aI:nj证明了，
2
1
2
p
(
·
)
l
f
l
f
l
I
)
N
～
·
l
乌
E
p
E. M. Stein 和S.Wainger[83］ 对 于如上定义的JR2 中扇形区
1域列｛9I'7j8}J年，A.Na
g
e
l
,
N
建立了相应的Li
t
l
e
w
o
dP
al
e
y
定理
从而改进了Cor
d
oba
P
e
ff
e
r
m
a
n
E
的上述结果．
n
i
e
t
S
l
定理
e
g
a
N
（
2
则对于相应的部分和算 子列｛Sj }jEN及fεL
P(
有
IR
）
＇
｜ （ 3εN ｜乌！（·） 12） 叫Ip ～llfl p·
4
.
8
和定理5.
4
.
9
相
应的二进分解中所涉及的乘子都是特征函
注意到，
定理5.
数函数，但在全空间不连续，这给Li
高
维）
）
，
虽然它是具有紧支集的有界
χp （这里ρ为二进区间（一维）或t二进矩形（
l
e
w
oodPal
e
y
定理的使用带来不便后来发展
的!Rn设¢ε.
的光滑二进环形分解及相应的Li
t
l
e
w
oodP
al
e
y
定理克服了上述缺陷．
9'(1Rn）是!Rn上的径向函数，满足¢注O及下面的性质：
｜1£�｜《1 >2.1,
命题5.(i) 4.10令ψ（｛0� ： �《l＜／＞（�）一¢（�Iζ 22}�; ）. 那么ψε.9'(!Rn）且满足：
((ii )i） I:对任意固定的E并0，在（
jεz ψ（2-j�） = 1， 任意的5乒O;
i
）
中
的和式中仅有相邻两项不为o.
n
命题5.
4
.
1
0
给出了!R
的光滑二进环形
分解．
定义5.
4
.
2
对于1
ε
Z，
称下面定义的相应于上
述光滑二进环形分解的
算
子马为Lit lewo d-Paley（二进）分1 解算子： 2 P
写了（0 ＝ψ（T �）j（�） ， fεL (IR) n L (JR). (5.4.20)
=
足supp ( ! )
c
艺
－i
nu
，SE－
－〈BEt、
一一
）
F、
（
AV
=
su pp （ ψ ）
c
217
5.4 Fourier乘 子
r乘 子定理（ 定 理5.t le4w.3o）知d-，P对任意的3
ξ
z,
［ψ（2-j注.） 是5.4LP乘子（
.12］ 应用Mil <p<oo）hlin-H.i:ir即：mande对任意的3εZ,Li
a
l
e
y
分解算子s
j
是LP上的有界算子
相应于]Rn光滑二进环形分解的Li
t
l
e
w
o
d
P
a
l
e
y
定理是：
!R
n
上光滑二进环形分解的Li
t
l
e
w
o
d
P
a
l
e
y
定理）
设1
<p<
(
t
l
e
w
o
d
P
a
l
e
y
分解算子列｛
及任
>
0，
使得对于Li
∞．意的则存在常数
S
j
}
j
E
Z
B
Aµ,
p
n
f ε£P(JR ）， 有
AµllJl P 运 ｜ （ 汇 ｜乌f(-) 12） 叫Ip 《Bpllfl p· (5.4.21)
设ψ为命题5.
4
.
1
0
确
定，记ψ（
0.对
己
）
．
则ψεY且f
ll{
>
0
,
审（
x
)
d
x
0
二ψ（
t
n
j
记也（子Sj也x可表达为
) en审（x/t）. 注意到区工（0 ＝ ψ（2- �）， 因此Lit lewo d-Paley分解算
5
.
4
.
2
2
.
x)
（
审
f
(
)
(
x
f
j(
2
这样得到相应于]Rn光滑二进环形分解的Li
t
l
e
w
o
d
P
a
l
e
y
定理的卷积形式：
< p < CXJ . 则存在常数岛， BP >0，使得对如上定义的函
数审及任意的fε£P(IRn）， 有
Apll!l P 《 ｜ （ 艺 ｜（电－j f)(-)l2) 1/2 1 p 《Bpllfl p· (5.4.23)
l积分算子有界性方面有重要作用，尤其在处理具非光滑核的奇异积分算子的
注5.4.13］ 二进环形分解的Lit lewood-Paley定理及其各种变形在证明奇异LP有
界性中作用强大（见 ［38] [57] [58] [78]).
]R(5.4.2n上函数空间的Li
t
l
e
w
o
d
P
a
l
e
y
特
征
c
h
wa
r
t
z
函
数ψ后（
事
实上S
c
h
wa
r
t
z
函数ψ的
）
和
（
5
.
4
.
2
3
）
表
明，
适
当选取S
注
5.
4
.
1
4
］
）
，
得到的Li
t
l
e
w
o
d
P
a
l
e
y
分解算子列｛
选取不是本质的，见［
ε
z
刻画
S
j
}
j
< oo） 空 间， 也称为LP的Lit lewood-Paley特征． 我们接下来
了£P(说明， IR｛nS)j }jEZ< 还p 可以刻画]R
n
上更多的函数空间，
它们被统一在下面的峦i
e
b
e
l
­
Lizorkin空间中，这部分内容可详见［
5
]
[
1
2
]
2
3
]
.
[
(Triebel-Lizorkin空间） 设α ε IR, 0 < p, q 运 ∞且p并 ∞． 那
§
定理5.4. 1 1
=
=
S
)(
; *
=
定理5.4 . 1 2 设 1
*
4.
(1
1
定 义5 .4.3
)
)
第五章 奇异积分算子
218
么Triebel-Lizorkin空间P:,q(lRn）定义为：
引JRn) {f E Y'/.9\ 1 /l t;,. := I （ 三（叫川） ｜ ILP < },
这里及下面，.
9'
＇
／
＆表示模去多项式，｛
为Li
t
l
e
w
o
d
P
al
e
y
分解算子列．
等
S
J}
j
E
Z
价地，
轨（JR乍 ｛1E Y'/&\ 1 11 厅，. == I （ 军川
其中曾同定理5.
4
.
1
2
.
类似地，也可以定义Be
s
o
v空间，它在研究各类偏微分方程
解的适定性问题中有重要应用．
∞．
那么Be
s
o
v
空间13
�
.
q
(
JR
n
）
定
B
e
s
o
v
空间）设αεJR
,
<
p,
q
运
(
义为： q (JRn) εY'
峙， {I I&\ l ll a� : = ｛ 三（2町 ｜ 切（－） l v,)q } 1 q < oo },
其中 ｛Sj }JEZ为Lit lewood-Paley分解算子列． 等价地，
B�，q(JRn) = {IE Y'/&\ l ll a�.o ｛ 军叫ψ2 *!) (·) I 川
这里审同定理5.
4
.
1
2
.
［选取．注事实上，记满足下列性质（
5.4. 14］ 币iebel-Lizorkin空间和Be
s
o
v
空间的定义不依赖Sc
h
wa
r
t
z
函数
的
ψ
i
）
～
（
i
i
）
的
函数ψ的全体为功（
JR
n
)
:
((ii）)ψεY(
JR
n
）
为
径向函数；
s(i i） 存在常数c>O，使得当3《l
upp（φ）ζ｛� εRπ iζ｜£｜运�Iζ32}; 时， ｜φ（�） I 》 c
那么，2飞（显然，定理5.
JRn）中任一函数定义了相同的Tr
i
e
b
e
l
L
i
z
o
r
k
i
n
空间或Be
s
o
v
空间．
.
4
.
1
2
中的函数由εYo(
lR
n
)
s
o
v
空间的一些基本性质．
现给出Trieb(ePl-:,Lqiz(oJRrnk）in与空间和Be
常用函数空间
的关系）
P
(
lR
n
)
;
(
JR
n
）～厅
((ii）） 如l<p<oo，那么L
，
2
如O<p 《 1， 那么flP(JRn）～Pg,2(JRn） ， 这里flP(JRn）是实H町dy空间；
川
=
定义5.4.4
0
=
.•
:=
命题5.4. 1 3
1
00
219
5.4 Fourier乘 子
。1i) BMO(!Rn）～k乌2 (!Rn）， 当p 00时，在厅，2 (!Rn）定义中用Carleson测度
(
!R
n
)
;
!R
n
)
=
B�
(
((viv））如O<p<oo，那么P;,
，
p
p
分
(
IR
n
）
，
这里4(
IR
n
）
是
齐次（
如α＞0且1<
p
<
00，那么比（
!R
n
）～P;_
2
数阶）Sobol
e
v
空
间
［义（见注l注5.5.44.1.55］］） . 在前一节我们给出了整数阶的Sobol
e
v
空间（
齐
次和非齐次）
的
定
由上述命题结论（
v
）
，
齐次Sobol
e
v
空间的定义可统一为：
此（!Rn)= { E .9＇叫I 11 （ 军（伊 ｜ （宙川） （） ｜ 1 £P < ()()} ·
∞．
则
命题5.
4
.
1
4
设αεR且1＂二p,
q
运
a) I · l P；，n.a和chI 空l· I'BJ.a�;. 分别是P;,q (P < oo）和B�，q 的范数，且它们分别关于上
(述范数成为Ba
(
p
<
((bc)）在连续嵌入下，有y
P;,
q
.
9
c i3;,q c .9’，
q
均
有限，
或i3;,q 中稠密当且仅当p,
.(d）如1ζp,
9(1Rn）在qP;,<q00，那么（
，
;
=
(
q
(
B
i3
q
)
*
P
;,
q
)
*
=P
－；
；；
，
丸
�
，
,
，
p
和
(［e注） 5.如1《p,
q
<
00，那么f去
均
是可分空间．
;
q
,
q
i3
4
.
1
6
］
关于Tr
i
e
b
e
l
L
i
z
o
r
k
i
n
空间和Be
s
o
v
空间不同指标间的包含关系，以
及它们的内插空间，均可见［
1
2
]
1
2
3
]
.
[
［空间． 注还可定义非齐次的Tr
5.4.17］ 才去q(!Rn）和J3i;e,bqe(!Rl-Ln）iz分or别称为齐次的世i
e
b
e
l
L
i
z
o
r
k
i
n
空间和Be
s
o
v
kin空间和Besov空间，见［5 ] [12 ] [123].
5.本节前4连续型Li段中给出的Li
t lewo d-Ptalleewy理论ood-Paley理论都是离散型的． 事实上，该理论产
生之初就与连续型的Li
t
l
e
w
oodP
al
e
y
理论密不可分
见
［
注
5.
4
.
7
]
.
（
)
E. M. Stein 的工作［ 1 02] [ 1 03] [ 105］ 奠 定了高维连续型Lit lewood-Paley理论
的基础
他定义并研究了后被称为Li
t
l
e
w
oodP
al
e
y
平方算子（
简
称平方算子）
的
下面三类算子：
Lit lewo d-Paley g－函数．这是（∞ 5.4.12）定义的g(1fρ)(e） 的高维形式．
f)
(
x
才 ｜引（ 叫
剖
（
这里及下面，u(x, t）是f的Pois on积分，且V (Vx, ft).
§
=
替代L＝范数，
f
俨
f lit� : =
c
oo ) c
Y’ i
> l);
(I)
:=
第五章 奇异积分算子
20
s
i
n
于1
9
3
0
年
在复平面C中单位圆盘内定义的面积函数
I ） 面积积分．它是Lu
(的高维形式
． S(f = (/frα（ 叫y, t
4
这里α＞ o, r臼（x）是JRr�a(＋lx中) 以（｛x（ν, 0， t）为） εIR顶点7α为锥度的锥’定义为：
�＋i IY xi ＜αt}.
(I I) Lit lewo d-Paley g�－函数这是（>.n5.4.12）定义的扩(f)(B）的高维形式：
以 （！） （功 ＝ （ 儿l (ix=七t) l\7u(y, t)12川
E. M. Stein将 Lit lewo d-Paley 以及Zygmund的结果（ 见 ［ 注 5. 4 . 7］ ） 推 广到高维：
P
1
p oo） 时 ，则
(
!R
n
)(
ε£
S
t
e
i
n
定理）
当
f
(
((ba)) AvlAp,alfllfvl 运lv 运llg(lSf()fl v) l《Bv 《Bvlipf,al vl ;fl v;
p 2／ λ ，那么Av, >. l f l v ζ l gt( f ) l v 运Bv, >. l f l v ;
((d））存在常数c
.
,
c
λ
＞0，使得到f)
(
x
）运c
S
(
f
)
(
x
)
C
>.
g
t(
f
)
（
叫
，
zε!R
n
上述结论中的常数均与
无关．
f
－
函
数）完全刻
［画了£P(注5.!R4n.)(181] Stpein定理表明，平方算子（
含
9函数、面积积分、
以
oo）
空
间．
至于它们同实Har
d
y空间的关系，可见［
3
]
[
8
]
1
0
7]
.
[
［理5.4.注3）5.的4另一证明（
.19］ 应用？函数的
有
界性，可以给出Mi
h
l
i
n
H
o
r
m
ande
r
乘
子定理（
定
LP
.
可
见［
1
0
7
]
)
�
＋
l中可测函数的径向和非切向极大
［函数（注见5.定义14.20].3.T函数和面积积分分别与JR
＋
l
4
和定义1
.
3
.
5
）
密
切相关．事实上，g
－
函
数和面积积分在研究JR
�
上可测函数的径向极限（
见
定义1
.
3
.
4
）
和
非切向极限（
见
定义1
.
3
.
6
）
，
以及JR
�
+
l
上
调
和函数的径向边值和非切向边值时有重要作用．
E. M. Stein给出的平方算子的定义均依赖于 f 的Pois on积分． 人们观察到，
在定理5.
4
.
1
5
的证明中仅用到Po
i
s
o
n
核是恒等逼近核这一性质．
此现象启发人
们考虑用更一般的函数来替换Pois on核．
=
:
<
定理5.4. 1 5
<
c 如 >
�
<
<
4 这里 以及下面， 锥ra (x）定义中U ξ Rn 且t > 0， 它 们 的 角 色与定义 1 .3.5中钱的定义正好转
换 了 ， 阅 读时请注意．
221
5.4 Fourier乘 子
n
记满足下列性质（
i
）
～
（
i
i
）
的
函数ψ的全体为‘万（
ffi.
)
:
1
n
((ii））ψεL存在常数c(1Rn），为ε 径向函数，且j卢
ψ（
x
)
d
x
（
叶
l
)
）
x
;
（
x
)
I
《c
(
＞0，使得｜
l
+
l
c
一
ψ
,
6
> 0，使得fJRn l cp ( x + y）一ψ（x) l dx 运cl y l 5 , uε ]Rn
(［注i i）5.存在常数c
n
.
0的径向函数ψεX(
4(i ） 函数类（.21] (i见) .［9'注(5.JR4n.）中所有满足以0)
ffi.
)
n
1
4
］
C X(ffi.n ) .
）
巧
（
JR
)
(为Poisi io) n核（cp(x见) 定义1/iP.3t(.2x)).[t=l = (x [Y'xP](x) + nP(x） ε x， 这里凡， P均
00
2
n
(
t
)
l
）中的函数ψ满足
f
l
<P
千 ） 1 /2 《 C
l取ψξ也完：
注5.4.2 ］ （JR可以证明，X(
ffi.
（
o
n
）
.
对
> 0，记白（ x )=en ψ（x/t） . 现定义相应于ψ的三类平方
t
算子（亦统称为r平方算子）
如
下：
Lit lewo d-Paley g旷函数． oo
/
2
）
（
x
)
I
（
（
）
（
！
I
如
←
l
川
哼
r
（
(I ＇） ψ－ 面乌积积分
(Lit lewf)ood-(x)＝Pal川ey �.cp－函l(数．'Pt * f)(y)l2 �丫／＼ （α ＞0).
g ,\n
／
2
2
)
y
(
*
(
f)
l
�丫
l
t
'P
（ ff}JR�＋ 工 ＼｛一土－l
鼠对于，<p(!ψ)（－←平方算子满足定理5.
t +Ix4.1-yl5一样的结论：
J （入 ＞1).
J
n
P
n
1
)(
ffi.
p
oo）
时
，有
(
ffi.
）
且
fεL
当ψεX(
((b)a) AplAp,olfll!Pl 运lP 《llgcplS(cfp()fl P) lζBP 《Bpllpf,ol pl ;fl p;
如p > 2／λ，那么, cλ ＞0，使得知(
((cd））存在常数c
Ap,-\ l Jl P 《lf)lg(xA,）《c<pU)Slipcp(《Bf)(xp,）运C-\l Jl λPg; A,cp(f)(x), xεffi.n.
上述结论中的常数均与f无关
[结论（;Ia主）～5.4（c.2） 3中右边不等式）
］ 如果仅考虑，ψ那么核函数
有 界性和弱U有界性（ 即 定理5.同时其4.16
－平 方算子的LPψ是径向函数的要求可以去掉，
光滑性条件亦可大大减弱（见 ［68] [78]).
§
= O;
=
=
(I’）
\ J J rα （ x)
(III')
"
I
\J
定理5.4.16
<
<
第五章 奇异积分算子
22
［函数时提出了一类直线上的积分算子，
cinkiewicz在有研究Li界的t 1le9w44年o d，-PA.aleZygy g­­
注5.4.24] 1938年， 波兰数学家JMar并猜测它是LP
cin1由wicz的猜测. 1rc9i5n8ki年，ewEiczM.积分．Stei本质上，Mar
n[l02］ 研 究了上述积分算
mund证明了JMar
子高维形式的有界性质，并称之为Ma
c
i
n
ki
e
w
i
c
z
积
7
8
]
见
［
)
.
l
y
分就是一类Li
t
P
a
e
＂＇
－
函
数，其核函数ψ具有较弱的光滑性（
l
e
w
oodg
［注5.4.25］ 对α＞0或λ ＞1， 如下定义函数空间：
凹1 = ｛ 叫t) [ l hl
皿2 = {h叫lhll日2 （ 儿了 ih川2 但r/2 n }; ／2
日3 �l h（川） I i hl illla ( ih(y, t)l2 ( ＿＿＿！＿t 一IYI }丫 旦t旦n 丫} J
和
易知，因
，
l
b
e
r
空
由Li
y
平方算子的
因
均
为可分的Hi
t
间
t
P
a
l
l
e
e
w
ood日3
2
1
’ ） ～ （I I ＇ ） ， 知
定义（I）～（I I） 以( 及ψ－)(x) 平= 方算子的定
义（
I
g f l t V' u(x, t)l l 囚1 > g"' (f)(x) = I （ ψt f)(x)l l 矶 ，
S(f)(x) = l t V'u (x y, t)i l 阻2' S"' (f)(x) = I （ ψt f)(x - Y) i 四2;
g)JJ )(x) l i tV'u (x - y, t)l l 日3' g�＇ ＂＇ (f)(x) llC白 ＊f)(x Y) i 皿3 .
中
定理5.
4
.
）
的
结论表明3
对于满足定理条件的指标p，
及]R
1
6
n
5
定理5.
4
.
1
（
及
al
e
y
Li
t
l
e
w
o
d
P
平方算子（
及
伊平方算子）
分
别映U函数至矶，
IHI
几乎所有的
x,
与四异积分算子．
3 中 在此意义下，平方算子（及ψ－平 方算子） 可被看作日1 （或阻2 、回3） 值 的奇2
上述思想已发展为对取值在一般可分Hi
l
b
e
r
t
空
间的奇异积分算子有界性的
研究（界性质（见 ［见10［75］6）].).更一般地，还可以进一步研究Banach空间值的奇异积分算子的有
< 00
:=
=
I
:=
rr
\ J Jrr�：；.＋1
\ +
+l
*
*
=
=
�－
23
5.4 Fourier乘 子
1
0.
1.2. 设ψε.
Hψε£
证明：
.
）
IR
(
9'
=
x
d
)
x
ψ（
卢
且仅当j
当
）
IR
(
设3. 证明：f ε£2对任意的f,
（则，对ε£g ε2（£则2 （，且J则，有IR f(x)dx = 0. 证明： Hfε£l (JR).
O
H
，
;
f)=
((ab）如f为实值函数，那么（
！
.
H
=
g
*
*Hg
f*
g)
f
=
f
H(
)
4.5. 证明：设fεc£P;((JRIR2) ）(.1 证明：《P < oo）中奇（ 偶 ）函数的Hilbert变换为偶（ 奇 ）函数－
((ii）) 言＝－=
u;i,｜｜ δjXf Il-R1II(Rθfx1 -iIl R2) ／θf（ p言＝－u;i,I θf1X+ i！），u;i,θ丁.fθxθ2f\J ,I = 1 , 2;
θ
l p I θ 2 P 飞 ll θ 1 2 I
1
.
4
.
3
6.7. 证明推论5.
设。满足（5.3.1）及（5.3.3）. 对ε＞O,f f ε£P(O(x!R-y)n)(l < p 《 ∞）， 算子T定义为：
（ν）dy.
Tf(x) / 一一�！
y
－
山
l
I
< pζ∞） ．
1
算子（
型
）
p
,
p
T为（
证明：
O且
那么Tnf
0，
如果f注
证明：
.
）
3
.
3
.
5
1
（
～
）
1
.
3
.
5
8. £设。非零并满足（
1
1
1
19. 设。满足（
奇异积分算子．
是
(JRn）， 其中To.
q
<
1
界的（
有
L
到
LP
是
如果奇异积分算子To.
证明：
.
）
3
.
3
.
5
1
.
3
.
5
（
～
）
< oo） ， 那么p=q.
q
p,
10. 证明： 条件（5.3.17）’与 下面等价： xK(x)
( 5 . 3 . 1 7） ”
�� � l l l dxζA�.
从而，如将Ca
的结论仍然成立．lder6n-Zygmund核的条件中（5.3.17） 替换为（5.3.17）＇’， 定理5.3.5
§
习
题
五
I
\
j
11 一一 ｜｜ ＋ ｜｜ 一一 ｜｜ � A l卜一 ＋ i 一一 ｜｜
=
l x － ν 1 <1
>
x l�R
rJ.
小 波 分析初 步
第 六章
[
7
3
］
）
产生至今，
小波分析在理论和应用方面均得
自1
9
8
5
年
Me
y
e
r
基
见
［
8
1
]
（
以迅速发展，现己被广泛应用于数值分析、信号处理、
图像处理、语音识别、地
震和石油勘探等领域．在这一章我们将介绍小波分析的基本理论．
§6.1
基本小波与 小波变换
基本小波
定义6.(a）ψεL1.1 称R上定义的函数ψ为一个基本小波3如果它满足以下条件：
2
R
(
)
;
2
(［注6.b)1.（1容］ 许条件）
ψ
c.
＝
｜
低
)
1
坐＜∞
l(R） 门�LI 2(R）， 那么由ψ在零点的连续性及容许
1
如果基本小波ψεL
b）知，必有jψ（x)dx ＝ψ（0) o.
条件（下面给出基本小波的几个例子．
例6.1.1 如下定义的Haar函数h是一个基本小波：
zε［zε［O1/, 12/, 21)),,
1
[
O
,
x
)
.
事实上， h εL1 (R) £2（则，故h的Fourier变换为：
h(E) fo1υ
e--ur2t;?Ti_E 1 e-27r-i{2_?TieE-iπE (1 -2e作-i�i7r{)2
显然容许条件（Gausb）亦si满足．an小波ψ（x) Cxe 口2 是一个基本小波．
§6. 1 . 1
J／JR
tA
－A
nu
，EBEBE
－，
，、‘E
EE
一一E－
、‘E，
，
2
（
，几
=
tf_
n
=
坦全.!_1
=
6.1 基本小波与小波变换 e 2 a ）均满足． 注意到 2 5
事实上， 易知非但） = -i2C坐f. 叫 2 从而条件（ ）和（b 2;
I中（t,)1 If.I ＝ 2c ('°。 c 2霄，
因此如取c=
V27r
，
则有
1
.
Cψ
＝
2
例6.
1
.
3
墨西哥帽小波ψ由其Four
i
e
r
变
换＇¢
（
£.
）
=
ceε
叫
所
定义．显然墨西
x
2
e
2
哥帽小波ψ是一个基本小波直接计算，可知ψ（
"
.
特别地，
x
)=
C(
l
／
如－x
)
如取C=2［注6.1霄.2，那么C
1
.
ψ＝
2
e
1T
X
]
Gaus
s
i
a
n小波和墨西哥帽小波本质上分别是Ga
u
s
i
a
n
函数
的
一阶和二阶导数．
§6. 1 . 2
定义6.1.2 设ψ为基本小波且f ε£2(JR). f关于ψ的连续小波变换定义为．
(6. 1 . 1 )
川） 1 f(x日由
其中α， b εR，α乒0, 1/Ja,b(x) = IαI i;2ψ（于）
(6 . 1 . 2)
.
连续小波变换
定理6.
1
.
1
设ψ为基本小波且fε£2
（
α
，
b
）
满
足如下
(
JR
）
W1
/J
f
性质： (a) （ 可 加性） 设fi , h ε £2(JR）且J(x) fi (x) + h(x）， 则WψJ（α， b) =
W1/Jfi （α(，bb)) （+平W移,µ）设g(h（α， bx))=; f(x -c）， 则Wψg（α， b) = W,µf（α， b -c);
(c) （ 伸 缩 ）设g( x )= J(cx） ， 则Wψg（ α ， b) = l c l l / 2 w;ψ J （αc, be) ;
(d) （ 小 波变换的Parseval 等 式）如还有gε£2 ( JR ） ， 则
(6 . 1 . 3)
112 叽 J （α， b）町�； 学 ＝C1/J 1
特别地’ 对任意的fε£2 (JR）’
J12 I W1fJ f （ α， b) l 2 � c1/J 1 l f ( x ) l 2 dx .
(6. 1 .4)
§
I
f.e－如e elf:, =
lJR
连续 小波变换
=
=
=
26
2
·
d
.
首先说明对a.
e
.
(
JR
）
.
注意
）
ε
£
证明
仅证结论（
α
ε
IR
,
ttl:
ψ
f
（
α
，
）
b
{
i
到瓦：b（�）= e-2霄 ！I （α’ b) ＝ 扒川α11啊卢（－b),
叽
其中凡（0 = f（�） Iα 1 2手（�（）叫I ） 由于 ＝ lf（�）I
儿 （ 儿 ｜凡 叫 � 儿
（IYyI)12 \)l
If l f《 ( ) i 2� fI lf 一I ψ一－
< oo,
=Cψ
I
\
�
!
1
故对a.
e
.
关
于5平方可积．
由Pl
a
n
c
h
e
r
e
l
定
理
（定理2.
2
.
2
）
和上式，
α
ε
R，
（
（
）
凡
对a.e. αεIR儿, ｜ ！（
叽
＝ δ： b） . 运用Par­
2
/
l
，那么Gαε£2
o
α
（
且
）
i,b
JR
(
)
b
’
α
I
α
（
（
）=
Wψg（
0
1
现记Gα
9(
seval等式（2扣.2.4）， f(得a, b）而两db ＝ 俨（－b）曰“
( 6 . 1 . 5)
＝＝ 如儿 何:901）百二百α川 ｜d语(
由Fubi
n
i
定
理并再次运用Pa
r
s
e
v
a
l
等
式，得
在（6.1.5）两边关于5号， 作积分’
一一
《
一
l
g(
a
,
b
）
丁
W山
2＝
b
f（
ο
儿
l:
人＝ 叫 f也）g（（g） (O儿儿d(｜α川 ｜£（α£） ）
= C,µ l f(x）而dx.
口
2
2
2
）
的
是£
（
时
，
由
db
／
α
［同构，其中空间£2
注6.1.3］ 定理6.(JR21,.dl(αdbd） 表／α明，映射
(
1R
,
d
x）
到
£
Wψf
f
2
）
中的内积定义为：
(F, G) = fa F(a, b）同学
第 六 章 小 波 分析初步
= JR
\ JR
（
f(
ω
／
（
f-+
f2
27
6.1 基本小波与小波变换
下面给出连续小波变换的反演公式
2
2
定理6.
1
.
2
设
意
义
ε£
(
JR
）
，
在£
为满足Cψ＝l
的
基本小波．则对任意的
ψ
f
下？有 f(x) = fl2 叽f(a, b）ψαb(x） 学
(
6
.
1
.
6
)
？
吧
）
（
，
b
）
＝
W
α
川
,
µ
f
JJ �1x� 'i/
i正日月 记
SεA,2 Bf(x) = ！！�旷 Wψf川α，b(x） �
(
JR
）
，
有
那么对任意的gε£
(Sε，A,B ＝ 儿 （ .ffε了；Ix�
= ff �旷 Wψ f(a , b）町(a,b) � .
这 由 （6. . ）式，得
＝ ｜ 儿lxl<A,I问c 叽f（α， b）而同；／2 学 ｜
运 （ ／jE…lbl<B)c 1叽！12 哇。 1 2 （ 儿 ｜阳12 �） I (6.1.7)
＝
（
丘 … lbl < B ) C I 叽 Jl 2 � ） 1 9 1 2 注意到 l f -Sε，A,Bfll2 = gsup= I J/JR(f(x) -Sε，A,Bf(x) g(x)dx l ,
l
l2 l
由 （6.1.7）井应用Lebesgue控制收敛定理7知
口
s.ε，A,Bfll2 =
2
下面的结果表明，连续小波变换可被用于刻画£
(
JR
）
中
函数的光滑性
先给
出一个记号对f ε£2(IR）及s>0，称 2s f 日 2 c;) 1/2
l Jl 2,s = ( l 1c;1 l （ l d
§
且
l
样
14
I
l出 II ! -
A , B－→。。
Q.
第六章 小波分析初步
28
为连续导数．
f的Sobolev范数． 不难证明，如果 l Jl 2,s < 00，那么当k < s - 1/2时，f具有k阶
定理6.1.3 设ψ为满足Cψ＝1的r基本小波．如存在s>O，使得
旦到：
.户 、，
s
1
「
+
2
�
l
l
那么 j�2 IW11>f(a, b) l2 �主 ＝CV>,s l Jl L·
2
+
2
s
两边积分，得
再关于
，
证明工在（6.1.5） 中取f=g并在其两边除以α
α
IW11>f（α， b) I2 α b = 1ff1 If《(OI2 一一1ψla（l叫丁－；－I) 12 dαd� ＝cψ，s l Jl ，s· 口
§6 . 1 . 3
对小波变换作离散化处理，
无论在理论上还是应用方面都是重要的
我们
先引入二进小波及其变换．
定义6.1.3 设ψε£2(JR）Aζ. 如存在常数0<AζB，使得
( 6. 1 . 8)
汇｜手（2 0!2 ζB,
2
6
.
1
.
8
）
称
为稳定性条件．对fε£
（
酌
，其关于ψ的二进
则称ψ为二进小波，而条件（
小波变换定义为
w;J(b) f2k＊ψ2J-(kx(b）ψ) （2-k(x b) dx 2kf2w11>f(rk, b), (6.1.9)
k
k
2
2
>
•
x
)
.
ψ
（
其中kεz,b
0，且ψ
(
x
)
2
命题6.(a）稳定性条件等价于
1.4 （稳定性条件的基本性质）
AllJl � :L l W11>f(rk, ·) 1 2 《Bllfl店， fεL2(IR); (6.1.10)
(b）稳定性条件蕴涵了每个二进小波必然是基本小波．
C仙'I' » .
；巨石－；
2
:=
}R
�
} fR2
离散小波变换及小波框架
j
jEZ
=
/
=
=
JR
=
�
kEZ
29
6.1 基本小波与小波变换 k
证明 由于 （�） ： （�）J(2- o，故结论（吟a） 由此可得 另一方面， 易知
j 吃山 ＝ ［：： 主 d� .
由（6.1. ）， 有 og 叫∞ 哼巴d� ：：：；； B og 2.
同理有 A lo11: 2 ζ r＝ 兰� 2f ， 、 og〕
从而（二进小波变换实际上是将小波变换的伸缩参数α进行了二进离散化．
b）获证．
口
下面
> 1,
讨论更一般的伸缩，
同时对平移参数
也
进行离散化的情形
取定常数α0
b
bo > 0， 设ψ是一个基本小波．考虑由ψ的伸缩和平移生成的小波函数系
ψ
(
x
)
ψ（
α
｛
ψ＇
j
k
：
＝α
；
／
bX 胁。 ） ， kεZ}.
j
k
6
.
1
.
1
(
)
对fε£2(JR）及( , k）ε ，其相 离散小波变换为
＝ 护）ψ（αbX 一胁。）dx＝川） (6.1.12)
，
ψ
和
来
表达f的问题，
对于离散小波变换的反演，
t=!
P
通过ψj
归结为小
u
j
k
）
k
波框架的研究．为此我们先给出框架的定义及其性质．
定义6.
1
.
4
设H为Hi
l
b
e
r
t
空
间，｛
ψ
H
(
J
为可数集）
．
如存在正数
,
B
,
ε
J
A
j}
j
使得对一切fεH，有
Allfl � ζ JEJ I U， 的） 12 ζBl fl � ， (6.1.13)
则称｛切fεH，有
ψj ｝头JH的一个框架． 如A=B， 则称｛ψj ｝为H的一个紧框架． 此时，对一
汇 I U， ） Al l f l � －
命题6.(a) f1=.5 �（ 紧 框架的基本性质）设｛
｝
为
Hi
l
b
e
r
t
空
间H的紧框架，那么
ψ
j
j E J （ ！， 的 ） 的 ；
§
两］
f
=
8
u
、 Jo
血
t
2
j
z2
j,
应
叽灿 灿aQ"J )
c
汇
的 12
汇
�
=
第六章 小波分析初步
且
j
εJ）
，
则
(证明b）如还有A=l
｜
ψ
Jl
l
n
=l(
｛
ψ
j
}
j
E
J为H的标准正交基
运用极化恒等式
� { I l l + 1 I l l +i i
即可得（a）. 另一方面，由结论（a）， 有
i=
k
并
3
又注
= o. 此表明=｛0的可得f｝jEJ为H的标准正交系．
(
H
中的零元）
，
因
=
完全的． lbert空 间H的紧框架不 一定是H的标准正交基．口
而｛ψj}［注j6.εJ还是1.4］ 现给出一例说明Hi
(
0
,
1
）
，
取H＝腔，白＝
向
＝
（
一
手 ， － � ） ， 向＝（ 手 ＇ － � ） . 显然 ｛ 叭 ， ψ2 ' <p3 ｝ 不
是JR2 的标准正交基．然而容易验证它确是JR
2
的一个紧框架
.
.
0.
如果ψε£2
(
JR
）
且由ψ的伸缩和平移生
给
常数αo
1
,
b
o
成的函数系 ｛ψjk ： ψJk(x) = a�12ψ（αbx -kbo),
6
.
1
.
1
4
)
(
2
2
构成£
(
JR
）
的
一个框架，则称｛
ψ
}
V
为£
(
JR
）
的
←个小波框架．此时，（
6
.
1
.
1
3
)
E
j
k
j
,
k
(
)
中的常数下面我们给出构成小波框架的必要和充分条件，其证明均可见［
A, B分别称为此框架的下界和上界．
3
8
]
.
2
6
.
1
.
1
4
分
（
构
成小波框架的必要条件）函数系（
）
构
成£
(
JR
）
的
以A,
B
别为下界和上界小波框架的必要条件是= 2
问A log αo运 1 1�（�） 1 号 运boB log αo (6.1.15)
(6. 1 . 16)
问A log αo《 1= 手（一叫
［满足容许条件，即
注6.1.5］ 定理6.1.6表明， 为使函数系（6.1.14）构 成£2(JR） 的 小波框架，ψ必须
l-¢(0!2坐l�I ＜ ∞
230
（归） =
9 �一
- 9 11�
11的 II� ＝ 汇 ｜ （ 屿 ， 如） 1 2 = II 的 II� ＋ 艺 ｜ 屿 ， 叫 1 2
从而对一切k 并 3， 均有（町 ， 向）
意 到 ， 对f ε H及任 意 的j ε J， 由 (f， 队）
定义6 1 5
定
>
(}
>
j, k ε z}
定理6 . 1 . 6
及
I
I
Cψ'I' ：＝ J'!if.
231
6.1 基本小波与小波变换
此外，如函数系（6.1.14）构 成L2（�） 的 紧框架，那么
boA log α。＝boB log αo = fooo I非（�） 12 号 ＝ fooo忡忡 (6.1.17)
（
构
成小波框架的充分条件）设ψεL2
1.
如果下
（
则
，常数α
0
面条件成立： ::;m�ao � l�（a��) l2
(6. 1 . 1 8)
(6 . 1 . 19 )
1，，：��p 1二 ｜ 手 （ α前 ) 1 2 <
且存在ε＞0，当s→0时，有
β（s) ＝ 闷了｜jEi 手（ab�） ＼ �（怅 ＋ s)\ = 0(1 + \sl)一（叫 ， (6.1.20)
< b o < b0 时 ，函数系（6 . 1 . 14） 构 成L2 （�） 的 小波框架． 此
(;
0，使得当0
那么存在
b
时该小波框架的上下界分别为：
A= � ｛ 1ζ！♂�ao � ＼非（α；rn2 － ζ ［叫（＊k)
2
/
r
k
（
＊k)
一
}·
）β
[/3(*
�
小
B 二 支 ｛ 1：：；���。o I叫 �
［注6.1.6］ 如果存在常数C，
α
＞0且γ＞l＋α，使得
白（1 + 1w-')', � ε�＇ (6.1.21)
）
ζC
ψ
（
l
�
I
｜
�
I
6
.
1
.
2
6
.
1
.
1
8
6
.
1
.
2
1
） 亦 是函数系（6.1.14)
那么此时（
6
.
1
.
1
9
0
）
成
立．
从而条件（
）
连
同（
)
(
构成L2（�） 的小波框架的充分条件．
§
定理6. 1 . 7
>
> O;
00 .
、 1 � 1 ：；；； α D j E Z
( E IR
>
-
k寻企。
232
第六章 小波分析初步
§6.2
Haar小波的展开与收敛
作为例子，前面己看到Ha
a
r
函
数h是个基本小波在这一节我们将进一步说
明，Haa定义6.ri!Ei数2.h是一个正交小波．
1 设ψε£2(JR）. 如果函数系
(6 . 2 . 1 )
=
i
i
/
2
2
x
2
ψ
（
（
x
)
ψ
ψ
j
k
：
｛
纠
构成£2由定义6.
(JR） 的一个标准正交系，则称ψ是一个正交小波．
是
£2(
JR
)
说明函数系｛
h
}
ε
z
,
1
，
为
证明h是一个正交小波，只需
j
k
2
.
k
j
(
）
2
中完全的标准正交系即可我们将分两个小节说明上述事实．
§6.2.1
2
是
£
(
JR
）
中
6
.
2
.
1
）
所
生成的函数系｛
h
}
ξ
z
命题6.
2
.
1
由Ha
a
r
函
数h通过（
j
k
j
，
(
的
2
一个标准正交系，称为Haa
r
函
数系．
证明 需要说明
川j'k') ＝ 护（咐’k’ （x)dx {
首 设
l h仙一的h(2
<
儿 h阶一的h(2j x － ν） dx
二＝叫2-j i h(1/y)h(2j’－jy 2i -j 一 dy
才
最后’如果(j儿， 的｜川＝ ） l2dx＝ 才 t仰
k), (j , k） ε z2 } ,
Haar函 数 系和Haar级数
(j, k) = (J’， 的，
=
先
(j, k） 并 （j ’， k').
j = j＇且k 并 k＇. 在此情况下3
当j j＇且k 予t k，时，
+
(J’， 的， 那么
k
的
233
§ 6.2 Ha缸＋ 波 的 展开 与 收敛
对f ε £ 2 (IR）， 其Fourier Haar系数Cj k 定 义 为 ：
Cj k
:=
/
Cj k (f) = f(x)hj k (x)dx, j, k ε Z.
JR
f的Ha町级数定义为
f (x） ～ 汇 Cj k (f）阳（x) .
J,k
由 ｛ hj k } 的 正交性和Bessel不等式， 得
( 6.2.2 )
(6.2.3 )
汇 I Cj k(f)l 2 《 11!11 � < oo,
再 由 L2 (1R） 的完备性便知f的Haar级数依£2范数收敛．
§6.2.2
二进投影算子族和Haar级数 的 收敛
在这一小节， 我们将说明Haar函数系｛hj k }(j ,k)E V 在£2 (JR） 中 是完全的． 只 需
说 明 ， 对任意 的f ε £2 (JR）， 在£2 的 意 义下 ， （6.2.3） 可 以 成为等式． 为此需要 引 进
二进投影算子族｛Pn ｝ · 首先给 出R的二进剖 分｛Fn } n EZ:
凡＝{
hn =
［去 ， 号） ： “ z } .
对η ε Z， 如 下 定义的算子凡是£2 (JR）到£2 (JR， 丑 u dx） 的投影： 对任意 的f ε L 2 (1R),
时川 ＝
叫＂ ！（仇 x E hn ·
( 6.2.4 )
Pn 亦称为二进投影算子． 下面给 出 二进投影算子族｛Pn ｝ 的几个基本性质 ．
命题6.2.2 （ 二 进 投 影 算 子族｛Pn ｝ 的 基 本 性 质 ）
(a） 对任意 的n ε Z, ll Pn ll c 2 , 2 ） 运 1， 即 ｛ 凡 ｝ 的 算子范数一致有界，
(b） 如f ε Co (IR）， 则 lim llP-mfllcxo O ;
( c ） 如f ε £2 (JR）， 则 lim ll P- mf 11 2 O;
(d） 如f ε Cc(IR）， 则在一致收敛和£2 收敛意义下均有 lim Pn f = f;
( e ） 如f ε £ 2 （则， 则在几乎处处和£2 收敛意义下均有 lim Pn f = f .
证明 （a） 的 证 明 对任意的 n ε Z及f ε £2 （则， 由 凡 的 定 义 ， 当 z ε hn 时，
=
=
IPn U ） 叫 《
叫＂ lf(y) l 2 dy.
234
第六章 小波分析初步
因此
＝ 车 lkn I时！）位） ＼ 2 dx 运 � lkn IJ (y)l 2 dy = llJll�·
首先设 g ε Cc(IR）且supp(g) c [ K, K］ . 这样 当2 rn > K且z ε
｜｜附 ） ＼＼�
(b） 的 证 明
m
[o, 2 ］ 时 ，
rK
IP rn g(x) I ζ r rn I lg(y) l dy → 0 (m → ∞） ．
当Z ε ［－2rn , OJ时 ， 亦有相 同 结论． 因此 l \ P- rn flloo → O(m → ∞）－ 由于Cc(IR）在Co (IR)
中稠密， 对f ε Co (IR）及ε ＞ 0， 取g ε Cc(IR）， 使得I I! - glloo c:. 故
<
< €.
sup
lim－→sup 1\P- rn flloo 运 lim
m－叫自 l\P rnU g) lloo
rn 00
这样证 明 了 结论（b ) .
( c） 的 证 明 ． 对f ε L2 (IR）且ε ＞ 0， 取g ε Cc (IR） ， 使得 II! gll 2 ＜ ε． 设supp(g) c
[-K, K］ . 那 么 当2rn K且 2rn ζ z ζ 2 rn 时， 由 结论 （ a）有下面的事实：
>
\ P- rn g(x) I ζ r rn JI- lg(x)ldx ζ r rn (2K) 1 ; 2 llgl\ 2 ;
K
rn
/2
4
l\ P-m9ll 2 《 r ( K) 1 1 2 llgll 2 ;
1\P- rn fl\ 2 运 llP rn9ll 2 + llP rnU - g) ll 2 ζ ll P- rngll 2 ＋ ε．
再 由 结论（b） 的证 明 可知， lim supm -+ oo l\P- rn fll 2 运 ε．
(d） 的证明 如果f ε Cc（则， 不妨设supp( !) c [- K, K］且K 》 1 . 对于ε ＞ 0,
由f的 一致连续性， 存在8 0， 使 得 当 Ix - YI 8时， lf(x) - f(y) I ＜ ε／K. 如
果2 一 π ＜ 8， 则 对一切x,
俨K
<
>
\ Pn f(x) - f(x) I 运 c:/ V2K
从而得到一致收敛性． 另 一方面，
1 \ Pn 州 － f附叭 1_
:
<
€.
c: 2 /2Kdx ＝ ♂
这样证 明 了 （d）. 最后， 由Cc(IR）在L2 (IR） 中稠密， 运用 （d）可得结论（e) .
口
定理6.2.3 设f ε L2(IR） ， 那 么 在£2 收敛意义下， 有
f(x) ＝
汇 cjk(f)hj k (x) .
( 6.2.5 )
235
§ 6.2 Haar小 波 的 展 开 与 收敛
证明 首先证 明 ， 对f ε L2 ( .IR） 及η ε Z， 有
Pn +if 一 Pn f ＝ 艺 Cn k (J)hn k (x) .
k EZ
为此定 义Haar尺度 函 数：
z ε ［O,
仰） ＝
x � ［O, l) .
1),
（；
( 6.2.6 )
( 6.2.7 )
那 么 二进投影算子凡可表示为
凡 （ 川 ＝ 2π
三 （ 全（ 2ny 一 k)J(y)dy}t>（ 忏 时 ，
或者
凡 （州 ＝
护 （叫
其中
Kn (X, y) = 2n
L ¢（川 － k）¢（内
k εz
的＝
( ＇、
｛ ：n
( 6.2.8 )
如存在k使得 2， ν ε Ikn ,
其他
、 �，
记L n （工 ， y) := Kn 十i (x, y) - Kπ （x, y） ， 则
2n+ l 2n,
问） ε
2n + l - 2白 ，
Mε
Lπ （x , y) =
。 一 2飞
(x y ） ε
_
［ 去 ， 与�） × ［ 去 ， 与� ） .
［与旦 ， 平） × 阳� . �） .
, l 去 与� ） × ［与旦 ， 早 ） ，
.
(x , y ） ε ［ 与� . �） × ［去 ， 与E)
。 一 2饵，
从而
L
( 6.2.9 )
L n (x, y) ＝ 艺 2叫2n x - k)h(2、 － k) = h叫x)h叫y) .
kEZ
kEZ
注 意 到 对 每 个Z 巳 R， 由 于（6.2.9） 中 的 级数仅包含一个非零项， 因 此 显 然 收敛．
由 （6.2.8）， 得到
儿 三 川）h
二 z 川） （ 儿 h nk （ν）f(y)dy
P叶i f(x） 一 Pn f(x) ＝
236
第六章 小波分析初步
最后， 运用结论 （6.2.6）， 有
Pn+1f ＝乌f ＋汇的＋if 一 切）＝马f ＋ Cnk U）协（x).
Pn+if P-rnf ＝ j＝－竹Z kEZ Cnk(f)hjk(x).
口
［性质 ： 注6.2.1］ 运用命题6.2.2的证明方法，可以得到二进投影算子族｛Pn｝的如下
1
;
P
,
oo)
p
l
f
l
《l
l
fl
运P<
l
(
)
IR
(
((ab）对任意的ηεZ及fεLP
n
P
）如fεLP(IR) (1 < pp << oo）oo），， 那么那么J��。m�虫。｜阳l P-rn－flflPip==
E LP（ 则 ， f 的Haar 级 数 2:1, k C1k U)
由上述事实不难证明，对于l<p<oo及f
在R上
）
x
(
c
，级数艺
时
）
IR
当fεCo(
此外，
h
)
(
k
j
J
k
j
h一致收敛于
k
,
j
1k(x） 依LP范数收敛于f.
f.
Haar函数h是一个正交小波．特别地，在LP(1 <p< oo）意义下，
f(x) = ) , h1k(x) ( / f(y)h1k(y)dy ) , fε£P(IR).
(6.2. 叫
艺艺
J =O kε z
J =O
现对n, m ε N， 由 （6.2.10）， 知
艺 艺
应用 命题6.2.2结论 （ c）和结论（e ）便得到（6.2. 5 ) .
0;
o.
(c） 如f ε LP(IR ) ( 1 �
综合命题6.2.1 和 定 理6.2.3的结论及 ［注6.2.1］ ， 有
定理6.2.4
j,k
\ J IR
I
V
§ 6.3
237
多 尺度分析与正交小波
§6.3
§6.3. 1
多尺度分析与 正 交 小 波
正 交 系和Riesz系
nu
1i
ta〈1t飞
rt
一一
、
，，《、
在这一节我们将§6.2 中 证 明 h 是 正 交 小 波 的方法一般化， 即 多尺度分析， 这
是构造正交小波非常重要的方法． 首先给 出 正 交系和Riesz 系 的 定 义 ．
定义6.3.1 设H是一个Hilbert空间， 且 ｛xk}kEZ C H.
( i） 称｛x k } k EZ为标准正 交系 ， 如果
），J
Z
’化
Z
k = j、
k 手 j;
( ii） 称｛x k } k EZ为H中 的Riesz系 ， 如果存 在常数0 < A ζ B < oo， 使得对任
意 的 复数列｛αk ｝ ε f.2， 有
A
｜ ｜
l二k ｜ αk l 2 运 I 汇k α山 l H 运 E Lk I αk l 2
( 6.3.1 )
命题6.3. 1 Hilbert空间H中 的集｛x k }kEZ 为标准 正 交 系 当 且仅 当对 任 意 的
复数列 ｛α k } €2 ， 有
( 6.3.2 )
E
I 车叫
｜ 艺 lH 艺
1i
咱i
nu
EE
E，fE
／’tE
一一
ι岛
证明 如 果｛x k } k EZ 为标准正 交系 ， 那么
2
akxk ＝ ak aj (
k
k,j
反之， 对N ε Z， 取αN = 1及αk = 0, k 乒 N. 那么 由 （ 6.3.2）， 得（XN , XN)
设M, N ε Z且M 并 N. 如 下选取｛α k } :
α
那 么 由 （6.3.2） ， 知
k ＝ λIf,
k = N,
k 并 M 且 k 予＇＝ N.
2 = ll xM - xN ll 7-I = 2 一 （xM , XN) (xN, XM) ·
=
1. 现
rEEt
tp〈EBE
Et飞
一－
1κ
238
第六章 小波分析初步
α
zl o
因此（xM , XN） 十 （XN, XM) = 0. 如取
k = M,
k=N,
口
=
［且此时注A=B6.3.1］ =l命题6.. 此外容易看出，H中的Ri
3. l 的 一个直接结果是，H中任一标准正交系必定为Ri
e
s
z
系，
e
s
z
系是线性无关的
<AζB <
(6.3.3)
k 予t M 且 k 予6 N,
0.
那么 （XM , XN） 一 （xN, XM) = 0 ， 从而（xM, XN)
定理6.3.2 设 φ ε £2 (IR）且0
( a） 对ae. � ε IR,
oo. 则 以 下两条件等价：
A 《 艺 ｜品（� ＋ l) I气 B;
lEZ
(b) {<f>(x - k ) } k EZ 是£ 2 (IR） 中一个Riesz系 ． 即 ， 对任意 的复数列｛αk } ε p_2 ’
A
fu II fu
l αk l 2 运
ak <f> (· - k)
l 二 fu
B
J αk l 2
证明 首先注意到 ， 对任意的 m ε z ,
rn+ l
L
�
J 品 川 J 2d� =
� 1: 1
:
+1
I品（� ） 1 2 句 ＝
儿
｜品（� ） J 2d�
<
00 .
从而（6.3.3） 中 的和 式 在R上a.e.有 限 ， 且此和 函 数是周 期 为 1 的 周 期 函 数． 在 证
明 （a）和 （b） 的等价关系之前 ， 先建立一个等式． 对 任 意 的 ｛αk ｝ ε 沪 ， 由 Fourier变
换的性质知 ，
A
ak<f>(- - k) （�） ＝ αk e 叫ω
)
(�
ζ
1] )
( 6.3叫
记 β（E) ＝ 艺 αk e 27rikE ， 则β 是周期为1 的周 期 函 数 由 Fourier级数（关于£2 ( [0,
kEZ
的标准正交基｛ε2 tri kE } k a）的Paeseval等式， 有
1
1
1β（E) l 2d� ＝
三
｜ αk l2
§ 6.3
239
多 尺度分析与正交小波
这样应用 Plancherel定理， 得到
儿 ｜β （�) 1 2 1¢ （�） 1
= � ll+l
i 2
�
＝ 儿 I β（�) 1 1¢ ( l 2 d�
= fol 1β （�) 1 2 （ 主 1¢ （刊 ） ｜ 识
I � 句¢（ 一 k)11:
＝
I
现 回 到定 理6.3.2的证 明 ． 设（6.3.3）成立， 那么 由等式 （ 6.3.4） 和 （6.3.5） ， 得
A
�
lak l 2
= fo 1β（内 斗
A
1
�
运B
c
ak ¢(· - k)
l:
1 1 1β（�） l 2 d� = B � I 句 1 2
反之， 对任意 区 间 （α， b ) [0, 1］ ， 令β（0 = L:: k EZ αk e 2...i k€ 是 χ （α，b） 的Fourier级数．
由 于｛αk } ε P且忡忡 － k) ha是一个Riesz系， 由 等式（6.3.4）和（6.3.5）， 知
A �
从而
fo l 1 (3 时 仲 州 电
la ＇ 附 1 2 d�
A三
恒
噜 ＇ ＂＂ �
�
B.
占 j： 至 1品（� ＋ l) l 2 战 三 B
运用 Lebesgue微分定 理（ 定理1.2.9）， 知 （6.3.3）在［O, l］ 中a.e.成立， 从而 （ 6.3.3） 在R中
仍然a.e.成立． 在上面（b）蕴 涵（a） 的 证明中3 我们实际上使用了下面Carleson定口
2叶 中函数f 的Fourier级数几乎处处收敛于f
［注6.3.2]
理 （ !i!PLusin猜测 ）： L2 [0,
（ 见 ［注 1 .2.8] ) .
推论6.3.3 设¢ ε L2 (IR）. 那 么 ｛¢（x - k)} k EZ 是标准正交系 当 且仅 当 在R上
几乎处处 有 艺lEZ 1 ¢（� + l) l 2 1 .
推论6.3.4 设¢ ε L2 (IR）且 ｛φ（x - k)} k εz是标准正交系， 那么 I supp（品） ｜ 注 1 .
此外， 上面等号成立 当且仅 当 存在可测集K， 使得 I K I 二 1 且 品 ＝ χK ·
=
2 40
第六章 小波分析初步
证明 由 推论6.3.3， 知 艺 lEZ 1¢ （� + l)l2 = 1 a.e. � ε R， 因此 1¢（�）1 主运 1 a.e.
5 ε R 应用Parseval等式，
(6.3.6)
I supp（ 品） I = I
Jsupp（ 币） d� 注 JIsupp（ 币） 1¢（�)12d� = i .
又注意到） (6.3.6）成为等式当且仅当
JIsupp（的 ( 1 一 ｜φ（�)12)d� = o .
由 于被积函 数非负， 因此上式成立当且仅当在supp（φ）上， 1 一 1¢ （�）12 = 0 a.e.
口
5 ε R 故取K = supp（¢）即可．
定理6.3.5 设φ ε £2 (JR）且｛¢（x k)} k EZ是Riesz系． 那么存在复数列｛bk } ε
P 使｛ 白 （x - k)} k EZ是标准正交系， 其中队（x) ＝ 艺 bk ¢(x - k）. 此外，
k 巳Z
span ( ｛ 白 （x - k)} k EZ) = span({¢(x - k)} k Ez) .
( 6.3.7)
证明 由推论6.3.3， 只 需寻找｛bk } ε £2 (IR）， 使得 艺 lEZ I白 （ � + l)l2 = 1 a.e.
5 ε R即可． 如｛bk } 己得出， 那么 由 白 的定义，
争创 ＝ 三二 bk 产
k EZ
-
这样
如令
R
（
L
ε
句，“
一
－
，φ
包干
品
二
、
E
－Z
，J
、‘，
码，b
；
＋
＝
＝
户户、
、t’’’
＝
，，，飞、
J
二hL
艺 1¢ 1 （� 十 l )l2 ＝ 艺 IB（忻 州｜低 ＋ l )l2 = IB（�) l2 L I仪 ＋ l)l2
lεz
lEZ
tεz
由此只 需选择｛bk } k EZ ， 使得
IB（�）l2 = II γ bk e-21rik � Ij 2 = 艺 ;（� + ） , a.e.
( 6.3.8)
lEZ 1¢ l 尸
�
由于忡忡－k)} k EZ是Riesz系， 定理6.3.2表明， 满足（6.3.8）的｛bk } k EZ是容易得到的
( 6.3.3）告 诉我们，
白（�） = ' ¢ (0
飞／ 艺 lEZ 1¢（� + l)l 2
§ 6.3
241
多 尺度 分析 与 正 交 小 波
那么。 1 ε £2 （则， 且 满足定理的要求． 下面说明 （ 6.3.7） . 为此需要证 明 ， 对任意给
定 的 ｛αk}kEZ ε P， 存在｛ck}kεz ξ 沪， 使得
2二 α川（ x - k) ＝ 汇 ck¢ 1 (x 一 的
k巳Z
kεz
( 6.3.9 )
反之， 对任意给定 的 ｛ck }kEZ ε 沪， 存在｛αk }kEZ ε P 使得（6.3.9）成立． 由 Fourier变
换） (6.3.9）成为
( � ak e -21rikf. ） 低） = （ � c户中1 （�） .
由 的 的定义， 如记
A( O ＝ 汇 αk e 川E 及 C（� ） ＝ 艺 Ck e - 2 Tri kf,
kEZ
k巳Z
那么 只 需说 明 下式成立：
A（ � ） ＝ 艺 αk e - 2 7ri kf.
=
( � bk e - 27ri
( 6.3.10 )
由 定理6.3.2知， 存在常数O < A 运 B < oo， 使得
B - 1 《 I B（�） I =
I 艺 bk e一叫£ ｜ ζ A - 1
’ kEZ
I
因此， 对任意 给 定 的 ｛αd ε e2 ， 只 要取｛ck}kEZ为周 期 函 数A （�）／B（� ） （周 期 为 1)
的Fourier 系数（关于｛ e 27ri kf.} kEZ ） 即 可 反之亦 然．
口
［注6.3.3］ 从 上 面 的 证 明 过 程 可 以 看 出 ， 当 ｛α叶， ｛ck } 跑 遍e2 (z） 时， （6.3.9） 两
边 生 成 的 函 数集合是相 同 的 ． 注 意 到 （6.3.9） 右 边 的 函 数集是£2 (JR.） 中 的 问 子 空 间 ？
因 此 ， 由 ｛cp(x k)}kEZ 张 成 的 线性集亦 是£2 (JR.） 中 的 闭 子 空 间
§6.3.2
多尺度分析和尺度 函 数
定义6.3.2
（ 多 尺度分析 （ MRA）） 如果存在£2 (JR） 的 闭子 空 间 列 1" = ｛ 巧 ｝ j EZ
满 足 以 下条件·
(A） 巧 c l亏＋ 1 ,
j ε Z;
第 六 章 小 波 分析初步
242
LJ
门
巧 ＝ {O} ;
巧 ＝ £ 2 （则，
j EZ
j εz
(C) f(x） ε 巧 字＝争 f( 2 x） ε Vj+ 1 , j ξ Z;
(D） 存在¢ ε £ 2 （则， 使得忡忡 － k) } kεz构成町 的标准正交基．
则称此子 空 间 歹u -r = ｛问 ｝j EZ 是L2 (IR） 的 一 个 多 尺度 分析（MRA) . 1 函 数¢称
为此多尺度分析的尺度函数
(B)
［注6.3.4］ 关 于 多 尺度 分析 的 定 义 ， 我 们 给 出 以 下 几 点 说 明 ：
(i） 如 已有屿， 那 么 由 （C） 便 可得巧 (j ε Z） ， 因 此只 需 验证 条件 （A)(B） 及（D);
( ii） 对 于 给 定 的 L2 (IR） 的 一 个MRA， 尺 度 函 数 不是 唯 一 的 ；
( iii） 由 条 件（C） 和 （D） 即 可 知 ， 对 于3 ε Z, { 2i l 2 ¢( 2i x - k)} k εz是 巧 的 标准
正 交 基 ． 从 而 空 间 Vj 关 于 整 数 平 移 不 变 ， 即 f ε 巧 字＝中 J(- - k） ε 巧 （k ε Z) ;
(iv ） 对1 ε Z， 记f亏 为 Vj 上 的 正 交 投 影 ， 那 么 条 件（A）和 （ B） 表 明 在£2 意 义
下 ， 江 巧 f = f 且 j ＿！！�oo 乌f = 0.
命题6 3 6 定 义6.3.2中 的 条件（D）可 放宽为：
(D＇） 存在¢ ε £2 （则， 使得｛¢（x - k) } kEZ构成吨的Riesz基．
证明 这是定理6.3.5结论 的 直接应用 ．
..
口
命题6.3.7 设 -r
函 数mo， 使得
= ｛巧｝jεz 是一个 以¢为尺度 函 数 的MRA. 那么存在 1 －周 期
《 E ) , a.e. E ε IR.
φ（ � ） = mo( 25 )¢(
2
(6. 3. 1 1 )
证明 因 -r是 以¢为尺度 函 数 的 MRA， 故 由 条件（C）和 （D), { ./2¢( 2x - k)} k EZ
是町 的标准正交基 这样在£2 的意 义 下 ，
φ（x) ＝ 汇 a k ¢( 2x 一 的，
kEZ
-
( 6.3. 12 )
这里｛αk/J豆hEZ 是 ¢关于1气 的标准正交基｛ v'2¢(2x k)} k εz 的Fourier系数． 因此
αk
且ε k EZ I αk l 2
=儿
2
¢（
< 00. 在 （6.3.12） 两边取Fourier变换， 得
品（0 ＝ ； ε αk 271"ikl; 2
k εz
1 M RA指Multi-resolution Analysis.
e
243
§ 6.3 多 尺度 分 析 与 正 交 小 波
�
口
令mo （� ） ＝ l二 αke - 2ni k（. 即 可
kEZ
［注6.3.5] 等 式 （6.3.12） 称 为 尺 度 方 程 （scaling equation）， 而 满 足 （6.3. 1 1 ） 式
的 L 周 期 函 数mo 称 为 尺度 滤 子 （scaling filter ) .
命题6.3.8 （ 尺 度 方 程 的 存 在性） 记£2 (JR/Z） 是 周 期为 1且在其任意周 期 上平
方可积的 函 数 的全体， 那么¢ ε £2 (JR）满足尺度方程（6.3. 12） 的充分必要条件 是 存
在 m ε £2 (JR/Z） ， 使得（6.3.1 1） 成立， 且 m （ � ） = � I: kEZ αk e - 2ni k(.
证明 仅证充分性－ 设m 巳 £2 (JR/Z） ， 使得（6.3. 1 1）成立． 令
k=
那么
2
fo 1
m （� ）e 2
=�
l二 α k e 一
kεz
由 上式及（6.3. 11） 井应用Plancherel定理知， φ ε £2(JR）满足尺度方程（6.3.12 ) .
m(O
口
［注6.3.6］ 由 命题6.3.8， 也 称 等 式 （6.3. 1 1 ） 为 尺度 方程．
下面的定理给 出 了 多 尺度分析 的存在性．
定理6.3.9 (MRA 的 存 在性） 设¢ ε £2 (JR）且满 足 以 下条件：
( i ) {¢(x - m) }:mEZ是£ 2 (JR） 中 的标准正交系；
(ii） 在£2意义下＇ ¢（x) = L mEZ αm¢(2x - m） . 其 中 汇mEZ lam l 2 < oo ;
(iii) ¢ 的Fourier变换¢（� ）在E = 0处连续， 且 1¢(0) 1 = 1.
对J ε Z， 记巧 ＝ span( { 2ρ ¢（2J x - k) }ka） ， 则 ｛ Vj }jEZ是£2 (JR） 的一个 以¢为
尺度函数的MRA.
证明 由 条件（i）和 （ii）知巧 ζ 1号 ＋ l · 对j, k ε Z， 记肉，k (x) = 2J1 2 ¢( 2Jx - k） . 现
定义1号上的正 交投影 乌 如 下． 对f ε £ 2 (JR） ， 乌f = L kεz U， 句，k）句， k · 显然｛乌 ｝ 是
有界线 性算子族， 且｜｜乌 II = i . 为证 明 定 理 的 结论， 只 需说 明 ， 对任意 的f ε
£2 (JR）， 在£2 意 义 下 ， 有
3虫巳 乌f = f 及 旦？∞ 乌 f =
为此3 我们将（6.3. 13） 分解为几个 引 理的结论．
引 理6.3.10 对任意 的 f ε £ 2（则， lim P1 f = 0.
o.
( 6.3. 13 )
第 六 章 小波分析初步
，J
P
1’／
＼飞1
Z
，G
qe
～山、
＼l
1
1／
f
人一切
ilt＼
Z
AJ
／
i
／J
＼
、
、 ，，j俨
t
E
h
UW
切
T
Et－－
I
”
T
T
J
川w
f
f
←
M
J
K
／
－
I＼
Il
r1
M
M
γU
Z
λ
f
9·CU飞「『＝
岛a阳
－
qJ
244
－
z
k
h d
dlt
Av
z
r r ’κ
g
IlE飞 2
2
2 2
l←
LTg f
句
ω川 川
γμ
AV
－－u
一
－
内4
n，“
rtd
zω
证明 对任意 的ε ＞ 0， 存在T > 0， 使得f = fi +h ， 其中 Ji = fχ ［ r,r］ 且 llh ll 2 <
ι 由 条件（i）， 知 ｛2j /2 ¢(2ix - k ) } k EZ是巧 的标准正交基 因此
如2ir < 1/2， 记Uj = U k ε z (-k - 2ir, -k + 2ir）， 那么门i Uj = Z. 应用 Lebesgue控
制 收敛定理， 得到
｜｜马你
口
另 一方面， 注意到 ll Pj h ll 2 《 ll h ll 2 ＜ ε， 从而完成 了 引 理的 证 明 ．
引 理6.3.11 设f ε £2 (JR）， 满足f有界且存在r > O， 使得 supp (J） ζ ［－r, r] .
那 么 ， 当2j 1 > r时， 有
汇 1］（�) 1 2 1 品（ rj � ） l 2 句
( 6.3.14 )
q4
4
F、
，J
呵，“
－
7φ
qL
F、
句，“
L儿
llI
tl
mII－t
吃
，，、
内，“
ω
ι儿
，J
γ
向
rr、
rr、
AFJ
《FJ
f
L
f
l
吨，“
－K
n4n4
2J
｜｜用II� ＝
－
A
e
2
一
一
－ T句 T
一
一
艺ω汇ω
AV
rId
艺ω
一
－
乌
证明 因品j ,k（� ） = 2 -j /2 e - 271: ikf. 2 －； 品（ 2 - j � ） ， 由 Parseval等式 （ 2.2.4）， 得到
这样由 f的支集条件， 当2j -l > r时，
汇 f（伊 ρ巳
注意到f（ο品（ 2 j � ） ε £2 （ 一 2j- l , 2j- l ）且｛2 一j /2 e2 11:i kf. 2 -; h EZ 是£2 （一2j 一 1 , 2j- l ） 的
标准正交基， 因 此运用Parseval等式， 有
｜｜乌！II� ＝
乙
（ �)1 2 1品（rj {)I切 ＝
： 1］
汇 I f（ �)1 2 1¢(rj � ） 1 2 <.t{ .
口
§ 6.3
245
多 尺度 分析 与 正 交 小 波
引 理6.3. 12
如 尺度 函 数¢满 足 定 理6.3.9的 条件， 则 对 任 意 的f ε £2 (JR) ,
lim I 乌f - = o.
Jll 2
证明 由于集 合
A ＝ ｛ ！ ε L2 (IR) f有界且f具紧支集｝
1 !1 ： 一
在£2 (JR） 中稠密 ， 故 只 需 说明 结论对A是成立的． 另 一方面， 由 于 II乌！II� ＝
II！ 一 马 f眩， 因此 只 要证 明
(6.3.15 )
l = ll Jll 2 , VJ ε A
3 一→ 。。 llP;J l 2
lim
即 可． 由 条件知， 当3 → ∞时， 1¢( 2 -J�） I 在任一个含 原 点 的 紧集上一致收敛于 1 .
这样 由 （6.3.14）， 对2J - l r（假定 supp (!) [-r, r］） ， 当j → ∞时， 有
>
C
1哺
此即（6.3.15) .
最后， 综合上面 引 理的结论得到（6.3.13）. 从而 完成 了 定理6.3.9的证明
口
口
l注6.3.7］ 关于定理6.3.9，我们给出以下几点进一步的结果：
连续的条件所蕴涵．C 事实上，注意到 ｜ 乌fll2 → l Jl 2
>
1 !1 � =I品（O) I如此) 12d� = I品（0) 12 1 11 �.
L
(b） 定理6.3.9 中函数¢的条件lcf>(O)I = 可减弱为 ） 手 0 事实上= 假
<
(g )
>
Z）. 现任取ε＞0，必存在g
I g - !) 1 2 <
且上述不等式对一切ε＞0均成立．
但此与
非零相矛盾．
f
(
c
）
可以证明，
定理6.
3
.
9
中函数¢的条件
1
亦
可减弱为下面的条
cf>
(
O
)
I
=
l
j
im 1¢(2 �） I = � εIR. 此外，上述条件对于以¢为尺度函数的MRA也
件.l是必要的．
( a） 如 已有 一 个MRA， 那 么 其 尺 度 函 数¢ 的条件 lcf> (O) I = 1 被 cf> （� ） 在 � ＝ 0处
(j → ∞）． 对f ε A及 2J - l
r(r 满足 supp (!) [-r, r］ ）， 在 （6.3.14） 的 两 边令3 → ∞， 得
故 lcf>(O)I =
1
.
，
cf> (O
2
2
如丐豆v; 并 £ (JR） ， 则 存 在 非 零 函 数f ε £ （则， 正 交 于Uj EZ巧， 故乌f O (j 巳
c [ -r, r］ 及 II! - gll 2 €.
ε A和r 0， 使 得 supp
€. 在 （6.3.14） 的 两 边令j → ∞， 得
因 此 ll PJ g ll 2 = 乌 （
♂ 》 ｜｜乌gll
1 , a.e.
第六章 小波分析初步
246
n
(d） 如 函 数¢ ε L 1 (JR) L2 （则， 那 么 定 理6.3.9的 条 件 对 于 以 ¢为 尺 度 函
数 的MRA也 是 必 要 的 仅 说 明 条 件 （iii）. 事 实 上， 由 ¢ ε L 1 (JR） 知¢ ε Co(IR),
故品在� ＝ 0处连续． 又 由 本 注记（a）， 知 ｜品 （O) I =
L
§6.3.3
�尺度分析生 成 的 正 交 小 波
设"f/ = ｛ 巧 ｝j EZ 是L2 (1R） 的 一 个 多 尺度分析． 记 wi为巧在Vj+ 1 中 的 正 交 补，
即 巧 ＠ 叽 ＝ Vj+1 , 3 ε Z. 由 多 尺度分析 的定义可得
L 2 (1R) = EB Wj .
j EZ
(6.3. 16)
事实上，
问 ＝ W_ 1 E9 V- 1 = W_ 1 E9 W一2 E9 l乙 2 = E9j= 1 W_i E9 V_ n ＝ ＠立 i W-1 .
记巧 在L2(1R） 中 的 正 交补为飞飞 则对任意 的j ε Z， 飞.L = Wi E9 飞－＇.＋. 1 · 由 Uj εzVj
在L2 (1R） 中稠密， 因 此
（ � v;)
故
＝
门 厅 ＝ J坠 厅 ＝ {0} .
V/ = Wo E9 V/ = Wo E9 W1 E9 V2.L
＝ 可＇，：� Wi EB Vn.L = E9�0 tt今
从而
L2 (1R) ＝ 比 EB V/ = ( EB二 － ∞ 叽） ＠ （ ＠豆。 wi ) = EB wi ·
J EZ
又 由 定 义6.3.2条件（ C) ,
f (x） ε Wi 字＝字 f(2x） ε 问台＋ 1 , 3 ε Z
( 6.3.17 )
现设ψ ε L2 (1R）， 使得｛ψ（x - k) } k EZ构成Wo 的标准正交基， 由 （6.3.17） 即 知对于任
意 的3 ε z , { 2i / 2ψ（2i x - k)} k εz是 wi 的标准正交基． 再 由 （6.3.16）， 知ψ是一个正
交小波． 此时称ψ为 多尺度分析Y 所生成的正交小波．
定理6.3.13 设 "f/
结论成立：
=
｛ 巧 ｝jεz 是L2 (1R） 的一个 以¢为尺度 函 数的MRA. 则 下面
247
§ 6.3 多 尺度 分析 与 正 交 小 波
(a) ¢的尺度滤子mo满足
�
[mo （�) l 2 + [m。 但 ＋ ) [ 2 = 1 ;
(b） 如ψ是 由 Y所生成 的 正交小波， 则存在1－周 期 函 数m 1 ， 使得
ψ（ �） = m 1 ( 2� )¢( 2� ) a.e. E ε R
且m 1 满足
[m1 （�) [ 2 + [m 1 （ � + ) [ 2 = 1 a.e. � ε IR,
A
�
(6.3.18 )
(6.3.19 )
(6.3.20 )
mo （ � ） 而i （� ） ＋ mo（� ＋ � ）币 i （ � ＋ � ） ＝ O a.e. � ε IR;
(6.3.21 )
2
2
(c） 如存在 m 1 ξ L2 (IR/Z）满足（6.3.20）和 （6.3.21） ， 则 由 （6.3.19）确定的£2 (IR )
中 函 数ψ是由Y所生成 的正交小波．
证明 由 推论6.3.3及（6.3. 11） ， 得到
1 ＝ 艺 ｜ 品 （� + 2k ) [ 2 ＋ 艺 ｜ 低 ＋ 2k + 1 ) [ 2
k巴Z
kEZ
） 1 2 ＋ 艺 I m卢芋
） 1 2 1品 （
＝ 艺 I mo（
KεZ
kE二Z
= [mo（ ） ［ 乞 ｜
＋ k) l 2 + [mo （ ＋ ) [ 2 I: 1¢ C
kεZ
Kεz
= [mo （ ） ［ 2 + [mo （ ＋ ) [ 2
平 于
� ) 1 2 1品（ 巳俨 ） 1 2
� �
� 码
� + k) l 2
� �
�
此 即 为 （ 6.3. 18） . 现讨 论（b） . 因ψ是 由Y所生成的正交小波， 故 ｛ψ（x - k) }kEZ是标
准正交系． 由推论6.3.3， 知
E IR.
(6.3.22 )
汇 ｜ 非 （� + l)[ 2 = 1 a.e. �
lεz
又 由 于ψ ε W1 ， 那么存在 艺 kEZ [ bk [ 2 00， 使得在£2 的意义下，
ψ（x） 二 三二 bk ¢ (2x - k) .
(6.3.23 )
kεz
记 m 1 （ � ） = � L, kEZ bk e 2-n-ikE ， 对上式作Fourier变换， 知 （ 6.3.19）成立． 再 由 （ 6.3.19 )
和 （6.3.22） ， 并运用 （ 6.3.18） 的计算过程便可得（6.3.20） . 下面说明 （ 6.3.21）式． 注 意
到ψi吨， 因此
<
儿价
248
第 六 章 小 波 分析 初 步
由 此式得到， 对任意 的 k ε Z,
儿 ¢（0�（�户k� 句
l
= f;;, fo ¢ （� ＋ l)
l
= fo ( f;;, ¢（� ＋ 毗 ＋ l) ） 产i k€ 句
0 ＝
( 6.3.24 )
上式表 明 ， 1－周 期 函 数 L lEZ 品（� + l）ψ（� + l ） 的Fourier系数均为零． 从而 艺 lEZ ¢（� +
l）中（� + l) = 0, a.e. � ε IR. 这样， 由 上述事实及推论6.3.3， 知
0 ＝ 艺 品（� + l ）忧 ＋ l)
lEZ
＝ 艺 品（� + 2 月内 ＋ 2月 ＋ 艺 品（� + 2l + 1 ）以 ＋ 2 l +
lEZ
lεz
�
�
Y「
＝ 主� mo( 2 + l）仇1 （ 豆 ＋ n 1 的� ＋ n 1 +
lεz
艺 mo （ ＋ l ＋
i C ＋ t ＋ ） I句 ＋ l ＋ ） l 2
lEZ
） 汇 ｜品（ + l) l 2 + mo （
）仇i （ ＋ ） 汇 ｜ ＆ （
= mo（
!EZ
lEZ
1
�
�
�
�
= mo( 2 ）仇i ( 2 ) + mo( 2 + 2 ）而i ( 2 + 2 )·
1)
A
� 护 �
；叫
�
� ： �
卜； � �
斗� ＋ 川
最后证明结论 （ c）. 设m 1 ε L 2 (JR/Z）且满足（6.3.20）和 （ 6.3.21）， 我们 需要说明对于
满足（6.3.19） 的ψ， ｛ψ（x k)}kEZ构成Wo 的标准正交基． 事实上， 对a.e. � JR,
E
L I� （� ＋ k)l2
kEZ
＝ 汇 l m1 （
） 1 2 1¢哼
） 12+
kEZ
) 1 2 1 品（
)12
汇 l m1 （
kEZ
= l m1 （ ） I 乞 ｜
＋ 的 1 2 + I 叫 （ + ） 12 日 （
kEZ
kEZ
= lm 1 （ )12 + lm 1 （ + )12 l .
半 生
红芋� 巳芋�
� �
� 吟
�
� � =
午 十 的 12
( 6.3.25 )
因此 由推论6.3.3， 知 ｛ψ（t - k)}kEZ是标准正交系． 类似地， 由 （ 6.3.25） 式及结论 （ b )
§ 6.3
249
多 尺度 分析 与 正 交 小 波
中 （ 6.3.21） 的 证 明 过程， 知
"
三二 φ（�
《 + l）ψ（� ＋ l) = mo( -�2 )m－ 1 （ 一�2 ） + mo ( � + －1 ）仇 1 ( -� + -1 ) .
tεZ
故L !EZ 品（� + l）面（� + l) = 0 a.e. � ε R 因而， 对所有k ε Z由 （6.3.24）， 得
0=
上式等价于
fol ( �
k
¢ （� + l)J（� + l) 严 � d� 二
）
儿 φ（x
扣 （�）J（�户k� 句
阶）dx = 0, \lk E
/Z.
此表明 ψ ..U也 ． 因此完成 了 结论 （c） 的证明 ．
口
［注6.3.8］ 等 式 （ 6.3.19） 和 （ 6.3.23 ） 均 称 为 小 波 方 程 （wavelet equation）， 而 1－周
期 函 数 m1 称 为 小 波 滤 子 （ wavelet filter ) .
［注6.3.9] 由 （ 6.3. 1 1 ） 和 （ 6.3.18） 知 ， 如mo 是MRA 的 尺 度 滤 子， 那 么 Im。 但） I �
1, mo(O) = 1及 mo（ � ） = 0. 如m 1 是 由 MRA 生 成 的 正 交 小 波 的 小 波 滤 子 ， 那
么 lm 1 （�） I 《 1 及 m 1 ( 0 ) = 0.
［注6.3.10］ 定 理6.3.13 的 结 论 亦 可 表达 为 ： 设）／是 以¢为 尺度 函 数 的MRA, mo
为 其尺 度 滤 子 ． 那 么£ 2 (JR） 中 函 数 ψ 是 由 ）／所 生 成 的 正 交 小 波 当 且仅 当 存 在 m 1 ε
L2 ( JR/Z） ， 使得 对a.e. � ε R， ψ满足 小 波 方 程 （ 6.3.19） 且 矩 阵
M （� ）
=
I\{ mo（�）
m 1 （�）
mo（� ＋ � ） 飞
m 1 （� + � ） )
I
( 6.3.26 )
是西矩阵．
下面进一步讨论尺度滤子和小波滤子之间 的关系 （ 6.3.21） 式告诉我们 ， 对a.e.
�
5 ε R ， 向 量（mo（� ）， mo（� ＋ 二）
2 ） 与 向 量（而i (O ’ 币i （� ＋ 2 ） ） 正交． 因 此必存在1－周
期 函 数α（ � ） ， 使得
(m 1 （�）， m1 （� ＋ � ）） 二 α（�） （币。但 ＋ �2 ）， 而。但）） .
( 6.3.27 )
由 （ 6.3.
α（� ） . 这样
�
；
m 1 （← α（0币。 （� + ） ， 其 中 中 ） ＝ 一α（� ）， Iα（OI = i .
250
第六章 小波分析初步
显 然 由 上式所确 定 的m1满足（6.3.20）和 （6.3.21） . 另 一方面， 由 上式 函 数α（ � ） 的性
质 ， 亦可知存在1－周 期 函 数µ（�） ， 使得
α（�） = e- 27ri(µ( 2� ） ， 且 l µ， （�） I = i .
这样我们得到尺度滤子和小波滤子之间 的 如 下关 系 ：
mi (�） ＝ 产 i（µ阳市o（� 十 ） ， 其 中μ为L周 期 函 数， I µ（� ） I = i .
�
因 此 由 Y生成的正交小波ψ可通过Fourier 变换定义如 下 ：
1 《
5 《
ψ（ � ） = m 1 ( 2 )¢( "2� ) = e - 7ri f在 μ（£ ） 雨。（ �2 + 2 )¢( 2£ )
由 前面 的讨论知道， 尺度滤子mo 和 小波滤子m 1 有 如下 表达式：
mo（� ） ＝ 汇 αk e- 2 7ri 及 m 1 （� ） = 汇 阳 － 27ri
；
( 6.3.28 )
( 6.3.29 )
�
下面我们将运用 关系式（6.3.28）给 出 系 数 ｛αk } 和 ｛bk ｝ 间 的关 系 ． 由 （6.3.28） ， 得
；
m 1 (0 ＝ 产 句（2� ）币。（ � 十 ）
＝ 巳一
；
= � µ （ 2�） 汇 （ 一 队e2 7r i（ 叫
＝ � 汇← l) k 一 1 a 1 kµ( - 2 贺z
kεz
lEZ
IEZ
因此
'V
KεZ
( 6.3.30 )
bk = (- 1 ) k - 1 a 1 - kµ( 2� ） ，
应用 （ 6.3.23）和 （ 6.3.30） 知 ， 由 Y所生成的 正交小波ψ满足下面的小波方程：
ψ（x) = µ( 2�） 艺（－ 1 ) k - 1 a 1 k¢( 2x - k),
( 6.3.31 )
kEZ
这里μ为1－周 期 函 数且满足 lµ( Oj = l.
由 定理6.3. 13及上述讨论， 下面的结论是 明 显 的 ．
定理6.3.14 设'"f/ =
( a） 由 等式
{ V i }Jεz 是£2 (JR）的一个 以¢为尺度 函 数 的MRA. 则 ：
1 《 £
ψ（�） = e - mif屯柄。 （ 2� + 2 )¢(
2)
( 6.3.32 )
251
§ 6.3 多 尺度 分析 与 正 交 小 波
定 义 的 函 数ψ是 由 11'生成的正交小波i
( b） 在£2 的 意 义 下 ， ψ满足 以 下 小波方程
( 6.3.33 )
ψ（x) ＝ 艺（ 1 ）与川（ 2 x + k - 1 ),
kEZ
其中αk = 2 f!R φ（x)¢;( 2x - k）缸， k ε Z;
( c） 由 Y所生成 的任何正交小波 审 都具有 如 下 形 式 ： 对a.e. � ε JR,
审（�） = µ（ � ）ψ（ £ ） ，
其 中μ为 满足 Jµ （� ） I = 1 的 L周 期 函 数 ．
［注6.3.1 1］ 设 ψ 是 由 以 ¢ 为 尺 度 函 数 的MRA"f/ 生 成 的 正 交 小 波 ． 由 （ 6.3.32） 以
及 ［注6.3.9］ ， 知{b(O) = mo（ � ）品（0) = 0. 因 此， 如ψ ε £1 (JR） ， 则 必 有 JIR ψ（x)dx = 0.
§6.3.4
1.
正 交 小波的例 子
Haar小波
在§6.2中我们 己说明 了 Haar函数是一个正交小波． 这里通过Haar尺度函数及
相应的MRA再次证 明这一事实． 由 （ 6.2.7）知Haar尺度函 数 ¢（x) ＝ χ［o , 1 ) (x）. 对3 ε
Z， 记V; = { 2j/ 2 ¢( 2J . -k)h钮， 那 么 V; 是£2 (JR） 的 闭 子空间． 易 知 ， 11' = ｛ 巧 ｝jEZ 是
以¢为尺度 函 数 的£ 2 (JR） 中 一个MRA. 那么Haar小波h是Y生成的 正交小波．
事实上， 注意到φ满足 以下等式：
¢(x) = ¢(2x) + ¢(2x 1 ), x ε R
(6.3.34 )
如取αo ＝ α 1 = 1 ， 而对其他的k ε Z， 令αk = 0， 那 么 （6.3.34）式表明 ¢满足尺度方
程， 且相应的尺度滤子mo为·
�
mo（�） ＝ （ 1 ＋ 产传） ＝ ε叫 叫霄
现取µ（0 三 一 1 ， 令
m1 （ � ） = - e-2 "i€ 币。但 ＋ �2 ） = �2 （ 1 - e 如何 ） = ie －叫 sin （叫 ） ·
易 知 m 1 满 足 （ 6.3.20）和 （6.3.21 ) . 由 （ 6.3.30）， 得 bo = 1 , b1 = - 1 及 bk = 0 (k ε
Z \ { 0, 1 ｝）. 于是满 足如 下小波方程
ψ（x) = ¢(2x) － φ（ 2x - 1 )
第 六 章 小波分析初步
252
的ψ为"f/生成的正交小 波， 此时m1为其相应的小波 滤子． 显然ψ为Haar小波h.
2. Shennon小波
Shennon尺度 函数 定 义 为 ： 仲） = �豆 则何） ＝ χ ［ 一 吉 ， 吉 I （�） . 不难看 出 ，
对a.e. � ε JR,
汇 ｜品（� ＋ l) l 2 = 1.
lEZ
由推论6.3.3知 ， ｛ef: { - k)} k E Z 是 L 2 (1R） 中 的标准正交系 从而对3
．
巳z
,
｜刮 ＜ � ＇
一
←
（
m
nu
节i
r－－E，，、．．．．
，
、‘E，
卢、
nu
{2j/2 cf> (21 -k)} kE Z
亦是£2 (JR） 中 的标准正交系． 如对5 ε ［－ � ， � ］ ， 取
、
j ζ l�I 运 �＇
再令 mo(( + 1) = mo（�） （（ ε JR）， 那么 下面等式成立：
¢（ £ ） ＝ χ ［寸 ， 剖 （� ） = mo ( �2 ) X ［ － �.�1 ( �2 ) = mo( 2� )cf>（ 豆� ） � JR.
从 而 由 命题6.3.8， 知¢满足尺度方程（6.3.12）. 这样， 如对3 ε Z， 令
A
E
( 6.3.35 )
巧 ＝ span{ 21/ 2 ¢(21 . -k) } k EZ’
那么 由 定理6.3.9, "f/ = ｛巧｝j εz便是以φ为尺度函数的£2 (JR）中一个MRA.
用 定理6.3.14结论（时， 由 等式
1 《 5
ψ（�） ＝ ε－ 7l't生 雨。（ 2� ＋ 豆 ）φ（
2)
于是运
if
定义的函数ψ是由"f/生成的正交小波． 经计算得
�
ψ（x) ＝ 一一三一
( 2x - 1 ) ［sin如（ x - ） - sin 7r (x
所得的正交小波ψ称为Shennon/J、波
3. Meye r小波
-
� )J .
在 ［O, 1］上 定 义 函 数0， 使其满足 以 下 条件 ：
0 运 。但） 运 1;
( 6.3.36 )
§ 6.3
253
多 尺度 分析 与 正 交 小 波
。（c;) + 8(1
-0
( 6.3.37 )
= l;
c; � e(c;) 为单调减；
。但） = 1 , 0 � c; 运
( 6.3.38 )
；
( 6.3.39 )
［注6.3. 12］ 满足上述条件 的 函 数。 的 存 在 性 是 显 然 的 ． 上 面 对 称 性 条 件 （ 6.3.37)
表 明 当 3 运 5 ζ 1 时 。但） = 0及 。（ � ） = � · 单 调 性 条 件 （ 6.3.38）说 明 ， 当 0 ζ 5 《
i 时。（£） 注 i
现将0作 如 下 延 拓， 使其成为R上有 定义 的 函 数 ： 对 一 1 ζ 5 ζ 0 ， 令。（c;) =
8( -c;） ； 对 民I > i ，令。（c;) = 0. 这样 。为R上 的 偶 函 数且仍满足（6.3.36） . 记
忡忡 （ 而川 ＝
由 于supp(8)
汇
e271'ix( JBITTdc;
x
E
JR.
( 6.3.40)
C [- 1 , l］， 因 此 由 （ 6.3.40） 知 ， 和 式
艺 ｜品（c; + k) l2 ＝ 汇 。（c; + k ) (c; ε JR)
kEZ
kEZ
中 至 多 含两个非零项， 且它们可归结为8（ο和8（（ 十 1 ）两项， 其 中 一 1 ζ 〈 运 0. 而
由 。 的定义， 知
。（（） 8(( 1 ) = 1 ， 一 1 ζ 〈 《 o.
+ +
因此 对£ ε JR , I:k EZ I品（c; + k)l2 = 1. 应用 推论6.3.3, {</>( · - k)}kEZ是£2 (JR） 中 的 标
准正交系．
为说明 ¢满足尺度方程（6.3. 12）， 我们如 下构造尺度滤子 mo :
mo（ 巳 ）
=
fa(20,
1.;1
再将mo按周 期为1 延拓至全直 线 ： mo(c; + 1 ) = mo(c;) (c; ε JR）. 显然m ε L2 (1R/Z) .
由 化） = y'e0及。的定义可知 ， 对c; E JR,
¢(2c;) = mo(c;)¢(c;) .
( 6.3.41 )
上式和命题6.3.8表 明 ， ¢满足尺度方程（6.3.12）. 最后 品（£ ）在零点连续， 且 ｜品（O) I =
J而 ＝ 0. 至此， 我们 己验证 了 ¢满足定理6.3.9的条件 （ i ）～（iii） ， 因 此对j E Z， 如
记巧 ＝ span ( { 2J 1 2¢( 2Jt - k) }kεz） ， 则j/ = { VJ }jEZ是£2(JR）的一个 以¢为尺度 函
数的MRA.
第 六 章 小 波 分析 初 步
254
由 尺度滤子 mo 和 小波滤子m 1 之间 的关系（6.3.28） ， 可计算 出 小波滤子 m 1
（ 取μ（£） 三 1 ) :
E
�
m 1 ( 0 = e 叫而o（� + ） ＝ 产i{ JO(l=-币 ， l� I
寸
对� JR， 令mo （� ＋ 1 ) = mo （日， 那 么 m 1 为R上 1 － 周 期 函 数 ． 这样 ， Meyer小 波ψ 便
由 下面 的 小波方程所定义：
iE
I 一 IWB(2)·
ψ（0 = m 1 ( 2� )¢- ( 2� ) = e－＂＇� '\jB(l
［注6.3. 13］ 关 于 Meye川、 波ψ及其尺度 函 数¢， 我 们 给 出 几 点 说 明 ：
( i ） 由 定 义 （ 6.3.40） 知 品具 有 紧 支 集 ， 因 而 ¢ ε c= (JR）， 且 对 任 意 的 l ε Z+ ,
i中炯 三
j；
但吨 ll阳钱 三 C1 .
(ii） 如 果 J百百； ε C k (JR） 及 l ε Z＋ ， 那 么 存 在 常数ck l > o， 使 得 对 任 意
的Z 巳 R， 有 l xk ¢Cl l (x ) I ζ ckl ·
(iii ） 如 果 � ε c= (JR）， 那 么机 Y(JR) .
［注6.3. 14］ 例 1 中 的Haar尺度 函 数 具 有 紧 支 集 ， 但 不 连 续 ． 例 2 中 的Shennon尺
度 函 数 虽 为 c= (JR） 函 数 ， 但 在 无 穷 远 处 衰 减 缓 慢 ． 上 面 注 记 说 明 ， 只 要 加 强 函
数9 的 光 滑 性 ， 其Meyer小 波 的 尺度 函 数 在 无 穷 远 处 便 具 有 相 应 阶 的 衰 减 性 ．
［ 注6.3. 15] Meyer小 波 也 包 括 了 Shennon小 波． 事 实 上3 如 在 ［O, l ］ 上 定 义 函
数。为
0��
1,
。 但）
=
{ �，
0,
E
=
< �＇
�，
� < � � l.
那 么。满 足 （ 6.3.36 ） ～ （ 6.3.39） ， 且 由 （ 6.3.40） 所 定 义 的 尺 度 函 数忡忡
吗俨
小波分析理论可推广到 高维情形． 在现代分析领域 中 ， 小波分析理论可用
于Lebesgue空 间 、 Sobolev空 间 、 Hardy空间 、 BMO空 间 、 Holder函数空间 的刻画
及积分算子性质 的研究 此外小波分析 己被广泛应用 于数值分析 、 信 号 与 图像
分析中 的 数据处理 、 地震勘探、 语音识别等领域． 有关小波分析理论的深入研究
及其应用 可见［38] [ 16] [1 7] [39] [4] [7] [2] [6］ 等 ．
参考文献
(1） 程 民 德 ， 邓 东 泉 ， 龙瑞麟 实 分 析 北 京 ： 高等教 育 出 版社， 1993.
(2) ［美］ 崔 锦 泰 小波分析导论． 程 正 兴 ， 译 西 安 ： 西 安 交通大学 出 版社 ， 1 995.
[3） 邓 东息 ， 韩永生 HP 空 间 论 北 京 ： 北 京 大 学 出 版社， 1992.
[4） 邓 东 呆， 彭 立 中 ． 小波分析． 数学进展， 20 ( 1991 ) , 294～3 10
(5） 韩 永 生 ． 近代调和 分析方法及其应用 ． 北 京 ： 科 学 出 版社 ， 1988.
(6) 梁
i 学 章 ， 何 甲 兴 ， 王新 民，等 ． 小 波 分 析 北 京 ： 国 防工 业 出 版社 ， 2005.
(7） 龙瑞麟 高维 小 波 分 析 ． 北 京 ： 世 界 图 书 出 版公 司 ， 1995.
(8） 陆 善 镇 HP 空 间 实变理论及其应用 ． 上海 ： 上海科 学技 术 出 版社， 1992.
(9） 陆善镇， 王 昆扬. Bochner-Riesz平 均 北 京 ： 北 京 师 范 大 学 出 版社 ， 1988.
(10） 陆善镇， 王 昆扬 ． 实分析（第2版 ） ． 北 京 ： 北 京 师 范 大 学 出 版社， 2006.
(11） 苗 长 兴 调 和 分析及其在偏微分方 程 中 的 应 用 （第2版）． 北 京 ： 科 学 出 版
丰士， 2004.
[12） 苗 长 兴 Littlewood-Paley理论及其在流体动 力 学 方程 中 的应用 北京 ： 科
学 出 版 社 ， 201 2.
[13） 王 斯 雷 Littlewood-Paley理论发展概况， 数学进展， 12 ( 1983), 30～52.
( 14） 杨大春. Bochner-Riesz乘子 问 题 10 000个科学难题数学卷， 北 京 ： 科 学 出
版社， 2009, 252～254.
(15） 周 民 强 调 和 分析 讲 义 ． 北 京 ： 北 京 大 学 出 版社， 1999.
(16) ［法） Y.Meyer. 小 波 与 算子（第 l卷 ） 尤众，译． 北京 世 界 图 书 出 版公司 ，1992 .
(17) ［法）Y.Meyer小 波 与 算 子 （第2卷）王耀 东 ， 译 北 京 ： 世 界 图 书 出 版 公 司 ，1994 .
(18) J . Aldaz.
The weak type
(1, 1)
bounds for the maximal function associated
to cubes grow to infinity with the dimension.
Annals of Math. , 173 (201 月 ，
1 013～1 023.
[19) S. AJ<ler, P. Bourdon and W. Ramy. Harmonic Function Theo叩. 2nd Edi . ,
Graduate Texts in Math. , 137, Springer-Verlag, Berlin, 200 1 .
[20) A. P . Calderon. On the behαviour of harmonic functions a t the
Amer. Math. Soc. , 68 ( 1950), 47～54.
(21) A. P. Calder臼1. Ergodic theory and translation-invαriαnt
Acad. Sic. USA., 59 ( 1968) , 349～353.
boundαry.
operators.
(22) A. P. Calderon, M. Weiss and A. Zygmund. On the existence
grals. Proc. Symp. Pure Math., AMS. , 10 ( 1967) , 56～73.
Trans.
Proc. Nat.
of singular inte­
参考文献
256
[23] A . P. Calderon and A . Zygmund.
Acta Math., 88 ( 1 952) , 85～139.
On the existence of certαin singi血r integrals.
[24] A. P. Calderon and A. Zygmund. A note on
operators. Amer. J . Math., 78 ( 1956) , 282～288.
[25] A. P. Calderon and A. Zygmund.
( 1956) , 289～309.
[26] A. P. Calderon and A. Zygmund.
65 ( 1979) , 77～87.
[27] L. Carleson.
On singular integrals.
Amer. J. Math. , 78
A note on singulαr integrals.
Studia Math.,
On the existence of bound町 values for harmonic functions m
several vαriαbles.
Ark. Mat . , 4 ( 1962), 393～399.
[28] L. Carleson. On convergence αnd growth
Math., 1 16 ( 1 966), 1 35～157.
[29] L. Carleson.
the inte叩olαtion of sublmear
of pαrtial sums of Fourier series.
On the Littlewood-Paley Theorem.
Acta
Mittag-Leffler Institute Report,
Djursholm, Sweden ( 1 967) .
[30] L. Carleson and P. Sj凸Jin. Oscillαtory integrals
disc. Studia Math., 44 ( 1 972) , 287～299.
[31] M. F. Chen.
Berlin, 2005.
[32] M. Christ.
αnd α multiplier problem for the
Eigenvalues, Inequalities， αηd Ergodic Theo叩.
Commentα叩 on two p叩ers of A. P. Cαlder6n.
J.
2005. unpublication.
[33] R. Coifman, P. Lions, Y. Meyer and S. Semmes. Compensated
Hardy spaces.
Math. Pures Appl . , 72 ( 1 993) , 247～286
[34] R. c。由nan, R. Rocherberg and G. Weiss.
spaces in several valuables.
[35] W. Connett.
Spri吨er Verlag,
compactness and
Factorization theorems for Hαrdy
Ann. of Math. , 103 ( 1976), 6 1 1 ～636
Si叼ular integrals
mαT
£1.
Proc. Symposia Pure Math.,
Amer.Math.Soc. , 35 ( 1 979) Part I , 163～165.
[36] A . Cordoba and R. Fefferman.
On the equivalence between the boundedness of
certain clαsses of mαximal and multiplier operators in Fourier αnalysis.
Proc.
Natl. Acad. Sci. USA 74 ( 1 977), 423～425
[37] M. Cotlar.
A combinatorial inεqual句 and 巾 αpplieαt朋
Mat. Cuyana, 1 ( 1 955) , 4 1 ～55.
[38] I. Daubechies.
Ten Lectures on Wavelets.
6 1 . CBS-NSF regional Conference in
Applied Math . , SIAM, 1992.
[39] G. David.
Wavelets αnd Singulαr Integrals on Cu阿es and Surf•αces.
Lecture
Notes in Math. 1 465, Springer-Verlag, Berlin, 1 99 1 .
[40] G . David and J .-L. Journe.
Zygmund operators.
A boundedness criterion for generalized Calderon­
Ann. of Math. 1 20 ( 1 984) , 371～397.
257
[41] G. David, J .-L. Journ岳 and S . Semmes.
tions para-accretives et interpolation.
44
[42] B. Davis. On the weαk type ( 1 , 1)
Math. Soc.
( 1974 ) , 307～3 1 1 .
Oper1αteurs de Calder6n- Zygmu叫， Jone­
Rev. Math. lber. 1 ( 1 985), 1 ～56.
inequality for conjugαte functions.
Proc. Amer.
[43] N. de Br山jn. Uncertainty principles in Fourier απαlysis. Inequalities (0.
Shisha, ed . ) . Academic Press, New York, 1967, 55～71 .
[44] Y . Ding and H . H . Liu. £P boundedness of Cαrleson type maximal
with nonsmooth kernels. Tohoku Math. Jour. 63 (201 1 ) , 255～267
[45] Y. Ding and H. H. Liu. Weighted LP boundedness of Carleson
operators. Proc. Amer. Math. Soc. 140 (20 1 2) , 2739～2751 .
operat。”
type maximal
[46] J . Duoandikoetxea. Fourier A nalysis. Grad. Studies i n Math. 29, Amer. Math.
Soc., Providence, RI, 2000.
[47] D. S. Fan and Y. B. Pan. SingulαT integral operators with rough
ported by subvarieties. Amer. J. of Math., 1 19 ( 1997) , 799～839.
[48] P. Fatou.
335～400.
Series trigonometriques et series de Tαylor.
[49] C. Pefferman.
330～336.
The multiplier problem for the bαll.
[50] C. Pefferman. Pointwise
( 1 973) , 55 1～57 1 .
[53] G . Folland. Introductioη to Pαrtial
Univ. Press, Princeton, 1995.
[54] G. Folland.
Annals of Math. 94 ( 1 97 1 ) ,
Real An呻sis.
Annals of Math. 98
in Clαssical Fourier Analysis.
[52] C. Pefferman and E. M . Stein. HP
129 ( 1 972) , 1 37～ 193.
S叩－
Acta Math. , 30 ( 1 906) ,
Convergence of Fourier Series.
[5 1] C. Pefferman. Recent Progress
Vancouver, 1 974, 95～ 1 18.
kernels
Proc. o f ICM,
spaves of several uα问αbles.
Differential Equations.
Acta Math.,
2nd Edi. , Princeton
2nd Edi . , Wiley-lnterscience Publication, 1 999.
[55] M. Fraz町， B Jawerth, and G. Weiss. Littlewood - Paley Theo叩 and the Study
of Function Spaces. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 79,
Amer. Math. Soc. Providence, RI, 199 1 .
[56] J . Garcia-Cuerva and J . L . Rubio de Francia. Weighted Norm inequalities and
Relαted Topics. North-Holland Math. Studies 1 16, North-Holland, Amsterdam,
1 985.
[57] L. Grafakos. Classical Fourier A nalysis. 2nd Edi . , Graduate Texts in Math.
249, Springer-Verlag, Berlin, 2008.
参考文献
2 58
[58] L. Grafakos. Mofern Fourier A nalysis. 2nd Edi . , Graduate Texts in Math. 250,
Springer-Verlag, Berlin, 2009.
[59] L. Grafakos, P. Honzik and D. Ryabogin. On the p-independence property of
Calder6n-Zygmund theory, Jour. fiir die Reine und Angewandte Mathematik
(Crelles Journal), 602 (2007) , 227～234.
[60] C. Herz. 0π the mean inversion of Fourier
Acad. Sci . USA 40 ( 1954), 996～999.
[61] L. H凸rmander. Estimαtes for translation
Math. 1 04 ( 1 960) , 93～ 1 40.
and Hankel transforms.
Proc. Nat.
invαnαnt oper，αtors in LP spaces.
Acta
[62] R. Hunt. O n the convergence of Fourier se内es, Orthogonal Expansions and
Their Continuous Analogues (Proc. Cont. Edwardsville, Ill. , 1 967) , 235～255,
Southern Illinois Univ. Press, Carbondale Ill. 1968.
[63] R. H unt and R. L. Wheeden. On the boundα叩
Trans. Amer. Math. Soc. 1 32 ( 1 968), 307～322.
[64] R. H unt and W. Young. A weighted norm
Amer. Math. Soc. 80 ( 1974), 274～277
四lues of harmonic functions,
inequality for Fourier series,
[65] P. Janakiraman. Weαk- type estimαtes fo俨 singular integriαls
form, Indiana Univ. Math. Jour. 53 (2004 ) , 533～555.
Bull.
αηd the Riesz tr，ιns
[66] P. Janakiraman. Limiting weak句＇Pe behavior for singular integral and mαximal
operators, Trans. Amer. Math. Soc. 358 (2006) , 1 937～ 1 952.
[67] F . John and L. Nirenberg. On functions of bounded
Pure and Appl. Math., 14 ( 196 1 ) , 4 15～426.
[68] J. Journe.
mean oscillαtion.
Comm.
Caldero作Zygmund Operators, Pseudo-Differential Operators and
the Cauchy Integral of Calderon.
Lecture Notes in Math. 994, Springer-Verlag,
Berlin, 1983.
[69] J. Journe. Calde叫作Zygmund
1 ( 1 985) , 55～9 1 .
operators on product spαces.
[70] A . Knapp and E. M . Stein. Intertwining
of Math., 93 ( 1971 ) , 489～578.
operators for semisimple groups.
[71] A. Kolmogorov. Une serie de Fourier-Lebesgue
Fund. Math. , 4 ( 1 923) , 324～328.
[72] A. Kolmogorov. Une serie de Fourier-Lebesgue
Sci . Paris, 1 83 ( 1 926 ) , 1327～1 328.
[73] P. Lemarie and Y. Meyer .
( 1 986), 1 ～ 1 8 .
Rev. Mat. lber . ,
Ann.
divergente presque pαrtout.
divergente pαrtout.
。叫elettes et bases h加rtiennes.
C. R. Acad.
Rev. Mat. lber., 2
259
[74] J. Littlewood and R. Paley. Theorems on Fourier
J . London Math. Soc . , 6 ( 1 93 1 ) , 230～233.
series and power series
[75] J. Littlewood and R. Paley. Theorems on Fourier series
Proc. London Math. Soc. , 42 ( 1 936) , 52～89.
[76] J. Littlewood and R. Paley. Theorems on Fourier se同es
Proc. London Math. Soc., 43 ( 1 937) , 1 05～126.
Z.
Z.
[77] S.
Lu. Fo旷
pore, 1 995.
Lectures on Real
HP
Spαces.
[78] S.
Lu, Y. Ding and D. Y. Yan. SingulαT
Scientific Publishing, Singapore, 2007.
αηd power se内es
αnd power series
(I).
(II) .
(III) .
World Scientific Publishing, Singa­
Integral and Related Topics.
[79] A. Mcintosh and Y. Meyer. A lgebres d6perateurs definis par des
gulieres C. R. Acad. Sci. Paris 301 ( 1 985) , 395～397.
World
integrates s饥－
[80] A. Melas. The best constαnt for the centered Hardy-Littlewood maximal inequal­
ity. Annals of Math. , 157 (2003) , 647～688.
[81] Y. Meyer.
Serr
P时ncipe d 'incertitude, bases hibertiennes et alg，告bres d 'operdteurs.
[82] S. Mihlin. 0η the mi
1 09 ( 1 956) , 70 1～703
ipliers of Fourier integr•αls. [in
[83] A. Nagel, E. M. Stein, and S. Wainger. Differentiation
Proc. Nat. Acad. Sci . USA 75 ( 1978), 1060～1062.
[84) S. Pichorides.
in lαcuna叩 directions.
On the best values of the constants αrising in the theorems of M.
Riesz, Zygmund and Kolmogorov.
[85] M. Pinsky.
－
Russian) Dokl. Akad. Nauk.
Studia Math. 44 ( 1 972) , 1 65～ 1 79.
Introduction to Fourier Analysis αnd Wavelets.
[86) E. Prestini. On the Two Proofs of Pointwise
Amer. Jour. Math. 1 04 ( 1 982) , 1 27～ 139.
Brooks/Cole, 2002.
Convergence of Fourier Series,
[87] E. Prestini and P. Sjolin. A Littlewood-Paley inequality for
。tor, J . Fourier Anal. Appl. 6 (2000), 457～466.
[88]
I.
Privalov.
Jnterale de Cαuchy.
Bull. Univ. Saratov, 1 9 1 9, 1 ～1 04.
[89] I. Privalov. S旷 une generalisαtion
Sbornik, 31 ( 1 923) , 232～235.
[90] I. Privalov.
the Cαrleson oper­
d u theoreme d e Fatou.
Boundα叩 Properties of A nalytic Functions.
Rec. Math. Mat.
GITTL, Moscow, 1 950.
[9 1] J . R启yna. Pointwise Convergence of Fourier Series. Lecture Notes in Math.
1 785, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2002.
[92]
J也.
Rubio de Francia. A Littlewood-Paley
Rev. Mat. lber . , 1 ( 1985) , 1 ～ 14.
inequal句 for αrbitra叩 饥tervals
参考文献
260
[93] F . Ricci and G . Weiss. A characterization
Math. , 35 ( 1 979) part I, 289～294.
of H
1
(En一 i ) . Proc. Symposia Pure
&
[94] W. Rudin. Fourier Analysis on Gro叩s. lnterscience Publishers, a division of
John Wiley New York-London, 1 962.
[95] W. Rudin. Real and Complex A nalysis. 3rd Edi . , McGraw-Hill Publishing, New
Delhi, 1 987.
[96] W. Rudin.
Functional Analysis.
[97] C . Sadosky.
Inc., 1976.
2nd Edi . , McGraw-Hill Companies, Inc., 1 99 1 .
Inte叩olαtion of Operators αnd Singular Integrals.
Marcel Dekker
[98] E. Sawyer. Weighted inequalities for the one-sides Hardy-Littlewood
functions. Trans. Amer. Math. Soc., 297 ( 1986) 53～6 1 .
maximal
[99] A . Seeger. Singulαr integral operators
Math. Soc . , 9 ( 1 996) , 95～ 1 05.
J . Amer.
[100] R. Seeley.
Spherical Harmonics.
[101] E . M. Stein. Inte叩olαtion
( 1956) , 482～492.
with rough convolution kernels.
Amer. Math. Monthly, 73 ( 1 966) 1 15～ 1 2 1 .
of linear operators.
Trans. Amer. Math. Soc., 83
[102] E. M. Stein. On the functions of Littlewood-Pαley,
’Trans. Amer. Math. Soc., 88 ( 1958), 430～466.
[103] E. M. Stein. On some functions
Math. Soc., 67 ( 1961 ) , 99～ 1 0 1 .
[104] E. M. Stein.
1 40～ 1 70.
Lt山n, and Mαrcinkiewicz.
of Littlewood-Paley and Zygmund.
On lirr时S of sequences of operators.
Bull. Amer.
Ann. o f Math. , 7 4 ( 1 96 1 ) ,
[1 05) E. M . Stein. Classes HP, multiplicateurs, et fonctions de Littlewood-Paley. C.
R. Acad. Sci. Paris Ser. A , 263 ( 1 966) 716～719; 264 ( 1 967) , 107～ 1 08.
[106) E. M . Stein.
Note o n the class L l og L .
Studia Math., 32 ( 1 969), 305～310.
[107) E. M . Stein. Singulαr Integrals Differentiable Properties
Univ. Press, Princeton, 1970.
of Functions.
Princeton
[108) E. M. Stein. Topics in Hα'T'1'月onic Analysis Related to the Littlewood-Paley The071日 Annals of Math. Studies 63, Princeton Univ. Press, Princeton, 1 970.
[1 09) E. M. Stein.
Problems in Harmonic Analysis Related to Cu阿ature and Oscil­
tαtory Integrals.
[1 10) E . M . Stein.
Proc. of ICM, Berkeley, USA, ( 1 986), 196～22 1 .
Harmonic A nalysis: Real Variable Methods, Orthogonality, and
Oscillatory Integrals.
Princeton Univ. Press, Princeton, 1 993.
“
[ 1 1 1) E. M. Stein. Calderon and Zygmund 's Theory of Singulαr Integrals . Harmonic
Analysis and Partial Differential Equations, Essays in Honor of Alberto P.
2 61
Calderon” . Edited by M . Christ, C. E. Kenig and C. Sadosky, Univ. Chicago
Press, Chicago, 1999. 1 ～26.
[ 1 1 2] E. M. Stein and R. Shakarchi. Fourier A nalysis: A n introductio风
Lectures in Analysis I. Princeton Univ. Press, Princeton, 2003.
R.
[ 1 1 3] E. M. Stein and
Shakarchi. Complex A nalys吨
ysis II. Princeton Univ. Press, Princeton, 2003.
(1 1 4] E. M. Stein and R. Shakarchi. Real A nalysis:
III. Princeton Univ. Press, Princeton, 2005.
J.- 0.
[ 1 1 5] E. M. Stein and
Stromberg. Behavior
lαrge n . Ark. Mat. 2 1 ( 1983) , 259～269.
Princeton Lectures in Anal­
Princeton Lectures in A nalysis
of maximal functions in Rη for
[ 1 1 6] E. M. Stein and S. Wainger. Problems in harmonic analysis relαted to
Bull. Amer. Math. Soc. 84 ( 1 978) , 1 239～ 1 295.
[ 1 1 7] E. M. Stein and S. Wainger. Oscillαtory
Math. Res. Lett. 8 (200 1 ) , 789～800.
Princeton
四川αture,
integrals relαted to Cαrleson's theorem,
[ 1 1 8] E. M. Stein and G. Weiss. Interpolation of operators
Trans. Amer. Math. Soc. , 87 ( 1 958 ) , 1 59～ 1 72.
[ 1 1 9] E. M . Stein and G . 飞iVeiss. O n the theo叩
uαriabies. Acta Math., 103 ( 1960), 26～62.
[120] E. M. Stein and G. Weiss. Introduction to
Princeton Univ. Press, Princeton, 1 97 1 .
with change of rneasu陀S
of harmonic functions of several
Fourier A nalysis on Euclidean Spαces.
[ 1 2 1 ] M . Taibleson and G . Weiss. The molecular
spaces. Aster吨肥， 77 ( 1 980), 67～149.
characterization of certain Hardy
[122] H . 峦iebel. Theo叩 of function spaces. Monographs in Math. Vol. 78,
Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Stuttgart, 1 983
11.
[123] H 古iebel. Theory of function spaces
Monographs in Math. Vol. 84,
Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Stuttgart, 1992.
[124] P. Walters.
[1 25] K . Y.
飞凡lar
Sphere.
A n Introduction to Ergodic Theory.
Springer-Verlag, Berlin, 2000.
and L. Q. Li. Hα阿..，， nic Anαlysis αnd A pproxirnαtioη Oπ
Graduate Texts in Math. , 1 , Science Press, Beijing, 2000.
[126] K . Yosida.
Functional A nalysis.
[ 127] A. Zygmund.
1 70～204.
[1 28] A. Zygmund.
Springer-Ver!吨， Berlin, 1 978.
On ce付α饥 饥tegrals.
Trans. Amer. Math. Soc., 55 ( 1944 ) ,
Trigonor旧忧 Series, Vol. I, II.
Cambrige, UK, 1977
the Ur时
3rd 时 ， Caπ削dge Univ. Press,
索
(p, p） 型算子 ， 33, 156, 161, 183
(p, q) -Fourier 乘子， 210
怡， q） 型算子 ， 6
(p, q） 有界， 6
(p, q）乘子， 210
B(r) , 4
B( x, r), 4, 97
BMO空间， 38, 175
C� （ �n ), 69, 76, 81
Co （�n), 3, 40, 61
L00-Dini 条件＇ 192
Loo连续模， 192
LP-Fourier乘子， 202
LP乘子， 202
� （�n ), 79
L q-Dini条件， 197
L q 积分连续模， 197
Q(x , r), 4
(k)
129
t!.JRn抖 ， 28, 1 10
r� （x) , 1 1 7
F白 （x), 30, 220
φ平均， 毡， 48
φ求和 ， 45
97
§n 1 , 25
§n - 1 上 函 数空 间 的关系， 201
s�， q （�勺 ， 218
P;,q （�n) , 217
码 ， 57
矶 ， 138
M p （�n ), 202
zx'
'
I:x(r),
号｜
Mp , q （�n ), 210
Y'J: 的 分解定理， 125
�JRn xJRπ ， 61
219
X > 69, 219, 221
ρ白，β ， 77
ψ －面积积分 ， 221
ψ ，平方算子， 221, 222
k阶齐次多项式， 124
p次 Lebesgue点 ， 15
R的二进分解， 213
R上 Heaviside函数， 85
JR2 中单位圆上Poisson核， 128, 132
!Rn 的二进矩形分解， 215
!Rn光滑二进环形分解， 216
]Rn 上 Heaviside函数， 86
]Rn 中 单位球上Poisson核， 105, 132
JR'.;:_+ 1 , 29, 1 12
JR'.;:_+ l 上的Hardy空间 ， 1 74
IR'.;:_+ 1 上共牺调 和 函 数系 ， 1 73, 174
z+ , 76
97
104
123, 59
Jllt ' 125, 126, 138
�（!Rn), 221
�’ （!Rn ), 82
�（ !Rn ) , 76
ff, 52
§ - 1 , 53
J句＂ 126
X(!Rn), 221
V' ,
V'
Mx,r (u),
νx,r (u),
263
索 引
.4'(1Rn ) , 59
.4'(1Rn × !Rn) , 61
&-;; , 124
2飞 （!Rn ) , 218
y的零元邻域， 83
y’ 中 的Fourier变换， 86
9＇ 中 的乘积， 86
y’ 中 的导数， 85
Y＇ 中 的反射， 86
y’ 中 的平移， 86
Y＇ 中 的伸缩， 86
y’ 中 的线性变换， 86
Y ' (!Rn), 82
y’ （ !Rn） 中 的 卷积， 84
Y(!Rn ） 上 的度量， 77
Abel平均， 47
Banach-Alaoglu定理， 1 15
Bernstein乘子定理， 209
Besov空 间＇ 2 18
Bessel函数， 58, 141
Birkhoff-Khinchin点态遍历定理， 22
Bochner-Riesz平均， 48
Bochner-Riesz平均猜想， 49
Bochner-Riesz平均 的 临 界指数， 49
Bochner-Riesz球形和算子， 48, 203
Borel代数， 59
Bosov空 间 ， 219
Calder6n-Zygmund次线性算子 内 插 定
理 ， 37
Calder6n-Zygmund分解， 154-156, 161,
170, 185
Calder创－Zygmund奇异积分算子， 17 7
Calder6n-Zygmund旋转方法， 167, 168,
199
Calder6n-Zygmund分解， 194
Calder6n-Zygmu时核， 183, 189, 223
Carleson-H unt定理， 12
Carleson定理， 12, 239
Carleson算子， 12
Cauchy 问题， 28
Cauchy型积分， 147
Cauchy型积分的非切 向 边界值， 149
Cotlar-Knapp-Stein号｜ 理 ， 189
Cotlar不等式＇ 162, 193
Cotl町等式， 152
Dirac测度＇ 60, 75, 85, 87
Dirichlet 问题， 28
div-curl定理， 174
Euler等式， 136
Fatou定理， 1 16
Fourier-Haar系数 Cjk , 233
Fourier-Stieltjies变换， 66
Fourier变换， 40
Fourier变换的反演， 49
Fourier变换 的特征函 数， 74, 1 43
Fourier变换 的特征值， 71, 143
Fourier积分， 45
Fourier级数， 12
Fourier级数部分和 ， 12
Fourier系数， 12, 211
Fubini定理， 61
Gauss-Weierstrass核， 26, 46, 75
Gauss-Weierstrass积分， 27, 29, 47, 203
264
Gaussian具j、波， 224
Gauss平均， 47
Green公式， 98
HCirmander条件） 183, 197
Haar尺度 函 数， 235, 251
Haar函数， 224
Haar函数系， 232
Haar级数， 233
Haar小波， 251
Hardy-Littlewood极大函数， 4, 31
Hardy-Littlewood极大算子） 5, 13, 29,
30, 149, 161, 193, 196
Harnack不等式， 104
Hausdorff-Young 不等式， 55, 207
Heisenberg 不等式， 69
Heisenberg 测不准原理， 69, 70
Hermite函 数 系 ， 71 , 73
Hermite算子， 71
Hermite算子 的特征 函数， 72
Hermite算子 的特征值， 72, 73
Hilbert变换， 149, 171 , 176, 177, 202
Hilbert变换的反演公式， 152, 159
H山ert变换的共辄算子， 151
Hilbert变换的转置算子， 151
Hilbert空间值的奇异积分算子 ， 222
John-Nirenberg不等式， 176
John Nirenberg定 理， 176
Jordan分解定理， 60
Kolmogorov不等式， 10
Laplace-Beltrami算子） 136
Laplace-Beltrami算子的特征函数， 137
索 引
Laplace-Beltrami算子的特征子空间，
137
Laplace方程， 28, 97
Laplace方程解的非切 向 收敛性， 32
Laplace算子， 26, 71, 97, 125, 136,
146, 153, 164, 171, 177
Lebesgue点 ， 13, 31, 148, 149, 172
Lebesgue点集， 13
Lebesgue分解定理， 60, 1 1 7
Lebesgue集， 15
Lebesgue微分定理， 13, 15, 1 19, 154,
239
Liouville定理， 99, 100
Littlewood-Paley T 函 数， 2 12, 219
Littlewood-Paley g�－函 数， 220
Littlewood-Paley 鼠，<p－函数， 221
Littlewood-Paley gψ－函数， 221
Littlewood-Paley定理， 21 1-215, 217
Littlewood-Paley分解算子， 216
Littlewood-Paley平方算子 ， 219
Lusin猜测， 12, 13, 239
Marcinl也wicz乘子定理， 209, 214, 215
Marcinkiewicz积分， 222
Marcinkiewicz算子 内 插定理， 17, 33,
38, 157, 186
Meyer小波， 252
Mihlin-Hormander乘子定理， 206, 209,
217, 220
Parseval等式 （ Fourier级数）， 2 1 1
Parseval等式 （Fourier-Stieltjies变换 ） ，
66
Parseval等式 （ Fourier变换 人 53, 81
265
索 引
Parseval等式 （ 小波变换 ） ) 225
Phragmen-Lindel时三线定理， 34, 37
Plancherel定理， 52, 53, 151, 165, 184,
206, 210, 226
Plancherel公式， 75
Poisson-S tie! tjies积分， 117
Poisson半群， 26
Poisson方程， 171, 177
Poisson核， 26 , 46, 75, 97, 1 12, 148,
156, 160, 172, 220, 221
Poisson积分， 27, 29, 31, 47, 1 12, 1 13,
148, 160, 203, 219
Rador叶�ikodym定理， 60, 117
Redemacher函数系， 214
Riemann-Lebesgue号｜ 理， 40, 66
Riesz-Thorin算子 内 插定理， 33, 37,
38
Riesz变换， 163 , 174, 177, 193, 198,
202, 204
Riesz表示定理， 61
Riesz系， 237
Schwartz速降函数空 间.5"(IRπ ） ， 76, 96
Shen non尺度 函 数， 252
Shennon小波， 252
Sobolev范数， 228
Stein
Stein算子解析族插值定理） 38
T( l ）定理， 190
T(b）定理， 191
τ'riebel-Lizorkin空 间 ， 217, 219
Urysohn寻｜ 理， 3
Vitali型覆盖引 理， 6
von Neumann平均遍历 定理， 22
WBP, 190
Wiener控制遍历 定理， 22
Young不等式， 2
按LP范数可导， 43
本征子空间， 1 14, 158, 172
遍历定理， 16
遍历算子族， 19
标准正交系， 237
不变度 量， 77
部分和算子， 203, 213, 215
测度 Fourier-Stieltj ies积分的Abel平均，
68
测度的 Fourier-Stieltj ies积分， 68
测度的 Hardy-Littlewood极大函数， 75
测度的 Poisson-Stie! tj ies积分， 65, 1 12,
1 13
测度的卷积， 62, 64
乘法公式， 44 , 53, 66, 180
乘积测度， 61
尺寸条件， 177
尺度方程， 243
尺度 函 数， 242
尺度滤子， 243
次线性算子， 5
带粗糙核 的极大算子， 169
带粗糙核的奇异积分算子， 198
带调和 函 数， 129
266
带偶核的奇异积分算子， 182
带奇核的奇异积分算子， 182
带齐型核的奇异积分算子， 191
单位球面面积叫 一l i 25, 26, 97
单位球体积1悦， 13, 25, 100, 104
递减径向控制函数， 26, 29, 149, 173
调和函数， 97
调和函数的反射原理， 110
调和函数的球面均值特征， 102
调和函数的球面均值性质， 98
调和函数的球体均值特征， 103
调和函数的最大值原理， 99
调和函数的最小值原理， 146
调和振子， 71
对称差， 5, 100, 185
多尺度分析 （MRA) , 242
二 进方体， 155
一进投影算子， 233
二 进小波， 228
一进小波变换 ＇ 228
反射， 46, 153
方向 Hardy-Littlewood极大算子， 168
方向 Hilbert变换， 168, 170, 171, 199
方向极大 Hilbert变换， 168
非齐次Sobolev空间， 209
非切向极大函数， 30, 32, 172, 220
非切向极限， 31, 116, 146, 148
非切向有界， 117, 146
分布， 82
分布函数， 8, 20
复测度， 59
索 引
复正则测度， 59, 61
共辄Poisson核， 148, 156, 160, 172
共辄Poisson积分， 148, 160, 162, 172
关于测度绝对连续， 60
广义 Cauchy-Riemann方程， 173
广义函数， 82
恒等逼近， 23
恒等逼近算子族， 23
缓增LP函数， 82
缓增分布， 82
缓增广义函数， 82
缓增函数， 84
基本小波， 224
极大 Hilbert变换， 161
极大 Riesz变换， 170, 197
极大奇异积分算子， 193, 198
极化恒等式， 230
几乎正交线性算子列， 189
加权空间的范数， 37
交换 Banach代数， 1, 64, 204
交换代数， 76
紧框架， 229
经典 Calderon-Zygmund奇异积分算
子， 183
经典极大Calder归－Zygmund奇异积
分算子， 198
径向函数， 26, 216
径向极大函数， 29, 172, 220
径向延拓， 136
局部Fatou定理， 117
索 引
卷积， 1
可测集的密点， 119
框架， 229
连续小波变换＇ 225
连续小波变换的反演公式， 227
零化算子， 71
零阶齐次条件， 177
零阶微分算子＇ 153, 164, 204
面积积分， 220
墨西哥帽小波， 225
内正则条件， 59
平方算子， 219
平移 刊， 钮， 153, 165
平移可交换算子， 89
齐次（分数阶）Sobolev空间， 219
齐次Sobolev空间， 209
强仿增长， 191
强极大算子 Ml , 16, 39
强极大算子 M] , 16
球调和函数， 126
球体调和函数， 126
区域＇ 97
全变 差范数， 60
热半群， 26
热方程， 28
热方程Cauchy问题解的衰减阶， 29
热方程解的非切向收敛性， 32
热核， 26
容许的算子族＇ 37
267
容许条件， 224, 231
弱（p, q）型算子， 6, 11
弱（1,1）型算子， 7, 156, 161, 169, 170,
183, 193, 198, 199, 201
弱有界性质， 190
伸缩阳， 42, 153, 165, 191
生成算子， 71
实 Hardy空间， 38, 175
实解析函数， 146
算子族的极大算子， 11, 17, 19
算子族的收敛性， 11, 16
外正则条件， 59
稳定性条件， 228
相互奇异测度， 60
消失条件， 177
小波方程， 249
小波框架， 230
小波滤子， 249
沿曲线的Hardy-Littlewood极大算子，
171
沿曲线的Hilbert变换 ， 171
国算子， 52, 152
有界平均振动空间， 175
右单边Hardy-Littlewood极大算子， 19
圆盘猜测＇ 49, 205
正交小波， 232
主值广义函数， 150, 163, 178
左单边Hardy-Littlewood极大算子， 19