Mata Kuliah : Struktur Aljabar
IDEAL
DISUSUN OLEH :
KELOMPOK 3
HAYANA MARDIYAH HARAHAP
(8216172012)
HERMANTO MANIHURUK
(8216172003)
PENDIDIKAN MATEMATIKA/B-2 2021
JURUSAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS
NEGERI MEDAN
T.A 2021/2022
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan
karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan Makalah materi IDEAL pada mata kuliah Struktur
Aljabar ini tepat pada waktunya.
Dalam penulisan tugas ini penulis menemui berbagai hambatan yang dikarenakan
terbatasnya ilmu pengetahuan penulis mengenai hal yang berkenaan dengan penulisan
makalah ini. Oleh karena itu sudah sepatutnya penulis berterima kasih kepada dosen
pengampu mata kuliah, Ibu Dr. Hamidah Nasution, M.Si. yang telah memberikan limpahan
ilmu dan arahan pengerjaan tugas dengan baik.
Penulis menyadari Makalah ini belum sempurna, tetapi dalam pengerjaan tugas ini
penulis sudah berusaha semaksimal mungkin. Oleh karena itu penulis mengharapkan saran
dan kritik yang membangun agar kedepannya lebih baik dalam pengerjaan tugas selanjutnya.
Penulis juga berharap agar makalah ini dapat berguna bagi orang lain yang membacanya.
Medan, April 2022
Penulis
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................................ i
DAFTAR ISI............................................................................................................................ ii
BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah ....................................................................................................... 1
1.3 Batasan Masalah ......................................................................................................... 2
1.4 Tujuan ......................................................................................................................... 2
BAB II PEMBAHASAN ........................................................................................................ 5
2.1 Ideal ......................................................................................................................... 5
BAB III PENUTUP .............................................................................................................. 16
3.1 Kesimpulan ............................................................................................................... 16
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................... 17
ii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Struktur aljabar merupakan salah satu cabang ilmu matematika abstrak, yang
umumnya akan lebih sulit dibandingkan dengan cabang ilmu lain yang lebih konkret.
Dalam pembahasan ini, akan mempelajari konsep subgrup dan grup siklik serta
bagaimana cara untuk membuktikan berbagai masalah yang berkaitan dengan
subgrup dan grup siklik yang dilakukan dengan pembuktian secara deduktif. Karena
materi ini merupakan mata kuliah yang abstrak, tanpa hitung menghitung untuk itu
pahami dengan baik contoh-contohnya, baik contoh pembuktian secara langsung,
tidak langsung (kontradiksi) maupun contoh penyangkal
Aljabar merupakan pelajaran dasar dalam matematika yang banyak dipakai
baikdalam sekolah dasar maupun dalam sekolah menengah pertama dan
sekolahmenengah atas. Dimana berisikan tentang pengoprasian aljabar, relasi,
pemetaan, pemetaan komposisi, pemetaan identitas, pemetaan invers dan masih
banyaklagi materi pembelajaran yang termasuk kedalam materi aljabar. Sebagai
seorang pendidik adalah sudah menjadi kewajiban kita untuk dapat menguasai
berbagai macam bentuk operasi aljabar khususnya untuk saat ini, sebagai mahasiswa
kita harus dapat menguasai dan memahami materi yang terdapat dalammateri
struktur aljabar yang memuat materi grup, subgrup, operasi biner, ring, idealatau
lapangan, daerah integral dan masih banyak lagi materi yang terdapat dalamstruktur
aljabar. Selain menguasai cara pengerjaan soal seorang pendidik juga harus mampu
untuk memahami bagaimana cara pembuktian suatu teorema sehingga tidakhanya
mengetahui penggunaan teorema yang ada tetapi juga dapat membuktikankebenaran
dari teorema yang berkaitan dengan permasalahan aljabar. Mengingat pentingnya
mengetahui pembuktian serta penyangkalan suatu teorema, maka pentinguntuk
dipahami mengenai materi dalam struktur aljabar tersebut. Lebih lanjut, memahami
apa itu konsep ideal atau lapangan beserta contohnya. Berdasarkan latar belakang
diatas, makalah ini penulis buat agar dapat membantu memahami materi tersebut
diatas dan apa saja teorema serta definisi yang terdapat dalam materi ideal dalam
struktur aljabar. 1.2
3
Pada dasarnya, dalam mengerjakan makalah ini penulis menggunakan lebih dari
lima buku sebagai referensi belajar. Tujuannya ialah agar lebih memahami sumber
bacaan mana yang akan dipakai guna menunjang penguatan materi subgrup pada
mata kuliah struktur aljabar. Perbedaan yang ada pada buku adalah wajar, karena
pemikiran ataupun tujuan penulis buku juga berbeda dalam mendeskripsikan isi buku
atau materi-materi yang dipaparkan pada bukunya.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan
latar
belakang
yang
telah
dikemukakan
di
atas,
maka
rumusanmasalah dalam makalah ini antara lain :
1. Apa Pengertian Ideal?
2. Bagaimana contoh dari Ideal?
1.3 Batasan Masalah
Dalam penulisan makalah ini hanya membahas masalah tentang ideal dan contohnya
1.4 Tujuan
Adapun tujuan dari makalah ini adalah untuk mengetahui pengertian ideal dan
memahami contoh suatu ring adalah ideal.
4
BAB II
PEMBAHASAN
IDEAL
Pada materi grup kita ketahui ada subgrup normal yang merupakan Subgrup yang
memiliki sifat khusus. Di dalam ring juga ada subring khusus yang memiliki sifat-sifat
istimewa yaitu tertutup terhadap perkalian unsur di luar Subring. Subring semacam ini
dinamakan suatu ideal.
Pada ideal dikenal dengan ideal kiri yaitu bila tertutup terhadap perkalian unsur di
sebelah kiri dan ideal kanan yaitu bila tertutup terhadap perkalian unsur di sebelah
kanan. Untuk lebih jelasnya akan kita lihat dalam definisi berikut :
Definisi H-1
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan I ⊂ R dengan I ≠ ∅, I disebut ideal kiri
dari R jika
I.
II.
∀a, b ∈ I berlaku (a + (−b)) ∈ I
∀a ∈ I dan r ∈ R ⇒ ra ∈ I
(Adi Setiawan, 2014)
Definisi H-2
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan I ⊂ R dengan I ≠ ∅, I disebut ideal kanan
dari R jika
I.
II.
∀a, b ∈ I berlaku (a + (−b)) ∈ I
∀a ∈ I dan r ∈ R ⇒ ar ∈ I
(Adi Setiawan, 2014)
5
Definisi H-3
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan I ⊂ R dengan I ≠ ∅, I disebut Ideal Dua
Sisi (Ideal Kiri Sekaligus Ideal Kanan) dari R jika
I.
II.
∀a, b ∈ I berlaku (a + (−b)) ∈ I
∀a ∈ I dan r ∈ R ⇒ ra ∈ I dan ar ∈ I
(Adi Setiawan, 2014)
Contoh
1. Diketahui Z ring dari bilangan bulat dan 𝐼 = {𝐾 𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑍} dengan K bilangan
bulat. Selidiki apakah I ideal dari Z.
Penyelesaian
Akan dibuktikan I ideal dari Ring Z
Ambil dua elemen dari I
Misal : Kx1 ∈ I dan Kx2 ∈ I dengan x1 x2 ∈ Z
Maka :
i.
(∀ Kx1 ; Kx2 ∈ I ⇒ 𝐊𝐱𝟏 + (− 𝐊𝐱𝟐 ) = 𝐊 (𝐱𝟏 − 𝐱𝟐) ∈ 𝐈 K(x1 − x2) ∈ I
sebab x1 ; x2 ∈ Z ⟹ (x1 − x2) ∈ Z
ii.
(∀ K x ∈ I ) (∀ r ∈ Z) ⟹ 𝐫(𝐊𝐱) = (𝐫𝐊)𝐱 ∈ 𝐈 dan
(𝐊𝐱)𝐫 = 𝐊(𝐱 𝐫) = (𝐊𝐫) 𝐱 ∈ 𝐈
Karena (i) dan (ii) dipenuhi I , maka I adalah ideal
2. Diketahui Ring matriks ordo 2 R= {(
𝑎
𝑐
𝑏
) |𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙} dan
𝑑
𝑥 𝑦
I = {(
) |𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙} dengan I ⊂ R. Selidiki apakah I merupakan :
0 0
a. Ideal kiri dari ring R
b. Ideal kanan dari ring R
c. Ideal dari ring R
6
Penyelesaian
𝑥
0
𝑦
) |𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅𝑒𝑎𝑙} suatu ideal kanan dan ideal kiri
0
Akan dibuktikan I = {(
dari ring R.
a. Adb ideal kiri dari ring R
i.
𝑥1
0
Ambil sebarang A = (
𝑦1
𝑥
) ∈ I dan B = ( 2
0
0
𝑦2
) ∈ I dengan
0
𝑥1 , 𝑦1 , 𝑥2 , 𝑦2 , ∈ 𝑅
𝑥1
0
𝐴 + (−𝐵) = (
𝑥1 − 𝑥2
0
(
ii.
Ambil sebarang A = (
𝑥
0
𝑦
𝑎
) ∈ I dan B = (
0
𝑐
𝐵𝐴 = (
𝑎
𝑐
ax
𝐴𝐵 = ( cx
𝑏 𝑥
)(
𝑑 0
𝑦1
𝑥
) + (− ( 2
0
0
𝑦2
))
0
𝑦1 − 𝑦2
),∈ 𝐼
0
𝑏
) ∈ R dengan x, y, a, b, c, d ∈ R, maka
𝑑
𝑦
)
0
ay
dy) ∉ I
Karena (ii) tidak dipenuhi I, maka I bukan ideal kiri
b. Adb ideal kanan dari ring R
i.
Ambil sebarang A = (
𝑥1
0
𝑦1
𝑥
) ∈ I dan B = ( 2
0
0
𝑦2
) ∈ I dengan
0
𝑥1 , 𝑦1 , 𝑥2 , 𝑦2 , ∈ 𝑅
𝑥1 𝑦1
𝑥
) + (− ( 2
0 0
0
𝑥 − 𝑥2 𝑦1 − 𝑦2
( 1
),∈ 𝐼
0
0
𝐴 + (−𝐵) = (
7
𝑦2
))
0
ii.
𝑥
Ambil sebarang A = (
0
𝑦
𝑎
) ∈ I dan B = (
0
𝑐
𝑏
) ∈ R dengan x, y, a, b, c, d ∈ R,
𝑑
maka
𝐴𝐵 = (
𝑥 𝑦 𝑎
)(
0 0 𝑐
𝑥1 + 𝑥2
0
(
𝑏
)
𝑑
𝑦1 + 𝑦2
),∈ 𝐼
0
Karena (i) dan (ii) dipenuhi I merupakan ideal kanan.
c. Adb ideal dari ring R
Karena I bukan merupakan ideal kiri dan I merupakan ideal kanan, syarat
ideal harus ideal kanan dan ideal kiri, maka I bukan merupakan ideal.
 Ideal I disebut ideal trivial jika I = {0} dan
 Ideal I disebut ideal sejati jika 𝐼 ≠ 𝑅.
 Ideal I dinamakan ideal tak sejati jika I = R.
 Ring yang tidak mempunyai ideal sejati disebut ring sederhana (simple ring).
 Apabila R ring komutatif, maka ideal kanan juga merupakan ideal kiri.
Catatan :
1.
Ideal pasti merupakan subring dan tidak sebaliknya.
2.
Syarat ke-2, (∀r ∈ R)(∀a ∈ I) berlaku ra, ar ∈ I berarti bahwa ra ≠ ar.
Teorema H-1
Andaikan R suatu ring. Suatu himpunann bagian tak kosong N dari R dikatakan
ideal dari R jika N memenuhi
1. untuk setiap a, b ∈ N berlaku a – b ∈ N
2. untuk setiap n ∈ N dan setiap r ∈ R berlaku rn dan nr ∈ I
(Saragih, 2015:52)
8
Bukti
Andaikan N adalah himpunan bagian tak kosong dari ring R yang memenuhi
aksioma (1) dan (2). Kita perlihatkan N adalah suatu ideal dari R. menurut definisi
H-1, H-2 dan H-3, kita cukup memperlihatkan bahwa N adalah subring dari R.
Karena N tak kosong, sedikitnya terdapat satu x ∈ N. Dengan menggunakan
aksioma (1) diperoleh fakta bahwa x – x = 0 ∈ N. Selanjutnya dari aksioma (2) kita
ketahui bahwa untuk setiap x,y ∈ 𝑁, 𝑑𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑥𝑦 ∈ 𝑁. Akibatnya N adalah suatu
himpunan bagian dari R yang memenuhi aksioma :
1) 0 ∈ 𝑁
2) Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁, 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑁
3) Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁, 𝑥𝑦 ∈ 𝑁
Sehingga menurut Teorema H-1, N adalah subring dari R. dam sekarang kita
dapat menyatakan bahwa N adalah suatu ideal dari R.
Contoh:
𝐻𝑖𝑚𝑝𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑁 = {[
𝑅 = {[
𝑥
𝑢
𝑎
𝑏
𝑐
] |𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℤ} 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑟𝑖𝑛𝑔
𝑑
𝑦
] |𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ ℤ}
𝑣
Dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks.
Penyelesaian :
Perhatikan bahwa untuk sebarang dua unsur
𝑎1
𝐴1 = [𝑏
1
𝑐1
𝑎2
]
𝑑𝑎𝑛
𝐴
=
[
2
𝑑1
𝑏2
𝑎1
𝐴1 − 𝐴2 = [𝑏
1
𝑐1
𝑎2
𝑑1 ] − [𝑏2
𝑐2
𝑑2 ] 𝑑𝑖 𝑁, 𝑚𝑎𝑘𝑎
𝑐2
𝑎1 − 𝑎2
𝑑2 ] = [ 𝑏1 − 𝑏2
𝑐1 − 𝑐2
𝑑1 − 𝑑2 ]
𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 (𝑎1 − 𝑎2 ), (𝑏1 − 𝑏2 ), (𝑐1 − 𝑐2 ), (𝑑1 − 𝑑2 ) ∈ ℤ 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐴1 − 𝐴2 ∈ 𝑅, 𝑚𝑎𝑘𝑎
[
𝑎
𝑏
𝑐 𝑥
][
𝑑 𝑢
𝑎𝑥 + 𝑐𝑢
𝑦
]= [
𝑏𝑥 + 𝑑𝑢
𝑣
𝑎𝑦 + 𝑐𝑣
]
𝑏𝑦 + 𝑑𝑣
9
𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 (𝑎𝑥 + 𝑐𝑢), (𝑎𝑦 + 𝑐𝑣), (𝑏𝑥 + 𝑑𝑢), (𝑏𝑦 + 𝑑𝑣) ∈ ℤ, 𝑚𝑎𝑘𝑎
𝑎
[
𝑏
𝑐 𝑥
][
𝑑 𝑢
𝑦
] ∈ 𝑁,
𝑣
Hal ini berarti bahwa N adalah ideal kanan dari R. dengan cara yang serupa dapat
diperlihatkan bahwa
𝑥
[
𝑢
𝑦 𝑎
][
𝑣 𝑏
𝑐
] ∈ 𝑁,
𝑑
yaitu N adalah ideal kiri dari R. sehingga kita dapat menyatakan bahwa N adalah
suatu ideal dari R.
Teorema H-2
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I, J masing-masing
merupakan ideal pada R, maka kedua sifat berikut berlaku:
1. I ∩ J merupakan ideal pada R.
2. I + J merupakan ideal pada R.
(Rasiman. dkk,2018:66)
Jika M dan N masing-masing adalah ideal dari ring R maka
1. M ∩ 𝑁 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑅
2. M + N = {𝑚 + 𝑛|𝑚 ∈ 𝑀, 𝑛 ∈ 𝑁} adalah ideal dari R
(Saragih, 2015:56)
Bukti
1. Karena I dan J masing-masing merupakan ideal, maka 0 ∈ I, J dan akibatnya 0 ∈ I
∩ J . Dengan demikian I ∩ J ≠ ∅. Diambil sebarang a, b ∈ I ∩ J , maka a, b ∈ I
dan a, b ∈ J. Karena I dan J merupakan ideal, maka a − b ∈ I dan a − b ∈ J.
Dengan demikiana a − b ∈ I ∩ J. Diambil sebarang a ∈ I ∩ 𝐽, maka a ∈ I dan
a ∈ J. Karena I dan J ideal, maka untuk sebarang r ∈ R , berlaku ar = ra ∈ I
dan ar = ra ∈ J. Dengan demikian ar = ra ∈ I ∩ J . Jadi, terbukti bahwa I ∩ J
merupakan ideal pada R.
2. Diperhatikan bahwa I + J = {x + y|x ∈ I, y ∈ J}. Karena I dan J masing10
masing merupakan ideal, maka 0 ∈ I, J dan akibatnya 0 = 0 + 0 ∈ I, J . Dengan
demikian I + J ≠ ∅. Diambil sebarang a, b ∈ I + J, maka a = x1 + y1 dan b = x2
+ y2
untuk suatu x1, x2 ∈ I y1, y2 ∈ J. Karena I dan J merupakan ideal,
maka x1 − x2 ∈ I dan y1 − y2 ∈ J. Dengan demikian, a − b = (x1 + y1) − (x2 + y2) =
(x1 − x2) + (y1 − y2) ∈ I + J. Diambil sebarang a, b ∈ I + J, maka a = x1 + y1
untuk suatu x1 ∈ I dan y1 ∈ J. Karena I dan J ideal. Maka untuk sebarang r ∈ R,
berlaku x1r = rx1 ∈ I dan y1r = ry1 ∈ J.
Dengan demikian ar = (x1 + y1)r = x1r
+ y1r = rx1 + ry1 = r(x1 + y1) = ra ∈ I + J
Jadi, terbukti bahwa I + J merupakan ideal pada R.
Teorema H-3 :
Andaikan a adalah satu unsur di dalam ring komutatif R. Himpunan N = {ra : r ∈
𝑅} adalah suatu ideal dari R. Selanjutnya, bila M adalah suatu ideal yang memuat
unsur a maka 𝑁 ⊆ 𝑀.
(Saragih, 2015:57)
Bukti :
Karena 0a = 0, maka 0 ∈ N sehingga N ≠ ∅. Untuk sebarang dua unsur
𝑟1 𝑎, 𝑟2 𝑎 ∈ 𝑁, diperoleh 𝑟1 𝑎, 𝑟2 𝑎 = (𝑟1 − 𝑟2 )𝑎. Karena 𝑟1 , 𝑟2 ∈ 𝑅 maka 𝑟1 − 𝑟2 ∈
𝑅. Hal ini berakibat 𝑟1 𝑎 − 𝑟2 𝑎 = (𝑟1 − 𝑟2 )𝑎 ∈ 𝑁. Selanjutnya, pandang sebarang
unsur 𝑥 ∈ 𝑅 dan sebarang unsur 𝑟𝑎 ∈ 𝑁. Karena 𝑥 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑟 ∈ 𝑅, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥𝑟 ∈
𝑅. Sehingga 𝑥(𝑟𝑎) = (𝑥𝑟)𝑎 ∈ 𝑁. Jadi N adalah suatu ideal kiri dari R. Karena R
adalah suatu ring komutatif, maka N juga merupakan ideal kanan dari R. Jadi, N
adalah suatu ideal dari R.
Selanjutnya, kita perlihatkan bahwa N adalah ideal terkecil yang
mengandung unsur a. andaikan M adalah sebarang ideal dari R dengan a ∈ M. kita
perlihatkan bahwa 𝑁 ⊆ 𝑀. Untuk itu ambil sebarang 𝑟𝑎 ∈ 𝑁. Karena 𝑟 ∈
𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ∈ 𝑀 dan M adalah suatu ideal dari R, maka 𝑟𝑎 ∈ 𝑀. Sehingga 𝑁 ⊆
𝑀.
11
Definisi H-4
i.
Misalkan R ring komutatif dan 𝑎 ∈ 𝑅, ideal 𝐼 = {𝑟𝑎|𝑟 ∈ 𝑅} dinamakan ideal utama
(principal ideal) yang dibangun oleh a dan disimbolkan dengan ⟨𝑎⟩. Suatu ideal
dinamakan ideal utama apabila ideal tersebut dapat dibangun oleh satu elemen.
ii.
Suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan, di mana setiap idealnya adalah
ideal utama, disebut ring ideal utama.
iii.
Suatu daerah integral R dinamakan daerah ideal utama apabila setiap ideal di R
merupakan ideal utama.
(Rasiman. dkk,2018:68)
Contoh
Setiap ideal di Z berbentuk nZ = ⟨𝑛⟩ yang merupakan ideal utama yang dibangun oleh n.
Karena Z merupakan daerah integral maka berdasarkan Definisi H-4, Z merupakan daerah
integral utama.
Teorema H-4
Misalkan R ring dengan elemen kesatuan dan I ideal dari R. Jika I memuat elemen
unit maka I = R.
(Antonius C. Prihandoko,2009:61)
Andaikan R adalah suatu ring dengan unsur kesatuan 1. Jika N adalah suatu ideal
dari R yang mengandung unit, maka N = R.
(Saragih, 2015:60)
Bukti
Misalkan u elemen unit di I, ∃v ∈ R ∋ uv = 1. Karena u ∈ I, v ∈ R dan
I merupakan ideal di R, maka uv = 1 ∈ I
Ditunjukkan I = R
i.
Jelas bahwa I ⊂ R karena I ideal dari R
12
ii.
Ambil sebarang r ∈ R
Karena 1 ∈ I ⇒ r = r. 1 ∈ I
Jadi R ⊂ I
Berdasarkan i dan ii diperoleh I = R
Teorema H-5:
Suatu field tidak mempunyai ideal sejati.
(Fraleigh,2014:246)
Jika F adalah suatu lapangan, maka F tidak mempunyai ideal sejati.
(Saragih, 2015:61)
Bukti
Misalkan F suatu field dan S ≠ {0} adalah suatu ideal dari F, maka S⊂F .
Ambil sembarang a∈S , a ≠ z dan a−1 ∈ F. Karena S suatu ideal dari F maka
aa−1 = u ∈ S .Sehingga untuk sembarang x∈F maka xu = x ∈ S. Jadi, diperoleh
bahwa F⊂S dan karena S⊂F maka F = S. Sehingga ideal dari F yang bukan {0}
adalah F.Oleh karena itu, ideal-ideal dari F hanyalah F dan {0} saja. Jadi, field F
tidak mempunyai ideal sejati.
JENIS-JENIS IDEAL
1. Ideal Utama
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R.
Ideal I disebut ideal utama (principal ideal) jika dan hanya jika I dibangun
oleh tepat satu elemen pada R, yaitu I = a untuk suatu a ∈ R .
“Ideal N yang di definisikan pada Teorema 5.2 disebut sebagai ideal
principal, yang dibangun oleh unsur a. suatu ring demikian sehingga semua
idealnya adala ideal principal disebut sebagai ring ideal principal”
(Saragih, 2015:58)
13
Contoh :
Ideal dari ring himpunan kuasa dari himpunan A = {1,2}, P(A) = {∅, {1}, {2}, 𝐴}
adalah
Penyelesaian :
𝑁0 = {∅}, 𝑁1 = {∅, {1}}, 𝑁2 = {∅, {2}} 𝑑𝑎𝑛 𝑃(𝐴). 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎
𝑁1 = {𝑋 ∩ {1} ∶ 𝑋 ∈ 𝑃(𝐴)}
𝑁2 = {𝑋 ∩ {2} ∶ 𝑋 ∈ 𝑃(𝐴)}
P(A) = {𝑋 ∩ 𝐴: 𝑋 ∈ 𝑃(𝐴)}
dan N0, N1, N2, dan P(A) adala ideal principal dari P(A). sehingga P(A) adalah
ring ideal principal.
2. Ideal Prima
Diketahui R ring komutatif dengan elemen satuan dan I ideal pada R.
Ideal I disebut ideal prima (prime ideal) jika dan hanya jika I ideal sejati dan
untuk setiap a, b ∈ R dengan ab ∈ I dan a ∉ I berakibat b ∈ I.
“Suatu ideal sejati N dari ring R dikatakan ideal prima jika untuk
semua x,y ∈ R dengan x,y ∈ N, maka x ∈ N atau y ∈ N.” (Saragih, 2015:59)
Contoh :
⟨ℤ, +, . ⟩ Merupakan suatu ring. Dapat ditunjukkan bahwa 𝑝ℤ adalah suatu ideal.
Perhatikan semua 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 dengan 𝑥𝑦 ∈ 𝑝ℤ. Hal ini berakibat xy = kp. Tetapi ini
berarti p membagi x atau membagi y. dengan perkataan lain, 𝑥 ∈ 𝑝ℤ atau 𝑦 ∈
𝑝ℤ. Akibatnya 𝑝ℤ merupakan suatu ideal prima.
3. Ideal Maksimal
Pandang suatu ring R. K adalah suatu ideal maksimal pada R jika K ≠ 𝑅,
dan jika tidak ada ideal J yang terletak diantara K dan R; yakni jika K ⊂ 𝐽 ⊂ 𝑅,
maka K = J atau J = R
14
“Suatu ideal sejati N dari R dikatakan ideal maksimal dari ring R, bila
untuk setiap ideal M di R berlaku hubungan 𝑀 ⊆ 𝑁 ⊂ 𝑅. " (Saragih, 2015:59)
Contoh :
Perhatikan ring bilangan bulat modulo 12, ⟨ℤ12 , +, . ⟩. semua ideal sejati dari ℤ12
adalah {0,2,4,6,8,10}, {0,3,6,9}, {0,4,8}, 𝑑𝑎𝑛 {0,6}. Sehingga {0,2,4,6,8,10} dan
{0,3,6,9} masing-masing adalah ideal maksimal dari ℤ12 .
Ideal N = {0,2,4,6,8,10} adalah suatu ideal prima. Karena, untuk setiap
𝑥, 𝑦 ∈ ℤ12 dengan 𝑥𝑦 ∈ 𝑁, maka 𝑥 ∈ 𝑁 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 ∈ 𝑁. Demikian juga ideal 𝑁1 =
{0,3,6,9} adalah ideal prima. Tetapi ideal 𝑁3 = {0,4,8} dan ideal 𝑁4 = {0,6}
bukan suatu ideal prima, karena 2.2 = 4 ∈ 𝑁3 tetapi 2 ∉ 𝑁3 , 𝑑𝑎𝑛 2.3 = 6 ∈
𝑁4 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 2 ∉ 𝑁4 𝑑𝑎𝑛 3 ∉ 𝑁4 .
15
BAB III
KESIMPULAN
3.1 Kesimpulan
Pengertian ideal dapat di definisikan sebagai berikut:
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan I ⊂ R dengan I ≠ ∅, I disebut ideal kiri
dari R jika
i.
∀a, b ∈ I berlaku (a + (−b)) ∈ I
ii.
∀a ∈ I dan r ∈ R ⇒ ra ∈ I
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan I ⊂ R dengan I ≠ ∅, I disebut ideal kanan dari R
jika
i.
∀a, b ∈ I berlaku (a + (−b)) ∈ I
ii.
∀a ∈ I dan r ∈ R ⇒ ar ∈ I
Misalkan (R,+,.) adalah suatu Ring dan I ⊂ R dengan I ≠ ∅, I disebut Ideal Dua Sisi
(Ideal Kiri Sekaligus Ideal Kanan) dari R jika
i.
∀a, b ∈ I berlaku (a + (−b)) ∈ I
ii.
∀a ∈ I dan r ∈ R ⇒ ra ∈ I dan ar ∈ I
1. Misalkan R ring komutatif dan 𝑎 ∈ 𝑅, ideal 𝐼 = {𝑟𝑎|𝑟 ∈ 𝑅} dinamakan ideal utama
(principal ideal) yang dibangun oleh a dan disimbolkan dengan ⟨𝑎⟩. Suatu ideal
dinamakan ideal utama apabila ideal tersebut dapat dibangun oleh satu elemen.
2. Suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan, di mana setiap idealnya adalah
ideal utama, disebut ring ideal utama.
3. Suatu daerah integral R dinamakan daerah ideal utama apabila setiap ideal di R
merupakan ideal utama.
3.2 SARAN
Saran dalam penulisan makalah ini yaitu diharapkan ada penulisan lebih lanjut
sehingga menambah refrensi-refrensi pembaca maupun peneliti dan semoga makalah
ini bermanfaat bagi pembaca.
16
DAFTAR PUSTAKA
Jhon B. Fraleigh. A First Course in Abstract Algebra. 2014
Prihandoko, Antonius C. 2009. Pengantar Teori RING dan Implementasinya. Jember : DIABermutu 2009 Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan MIPA FAkultas
Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember.
Rasiman. -. STRUKTUR ALJABAR Fakultas Pendidikan matematika dan ilmu pengetahuan
alam. Semarang: IKIP PGRI SEMARANG.
Prof. Dr. Sahat Saragih, M.Pd. Dkk. 2015. Struktur Aljabar 2. Unimed Press.
Setiawan, Adi. 2014. Dasar-Dasar Aljabar Modern: Teori Grup dan Teori Ring. Salatiga: Tisara
Grafika.
17