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Outils mathématiques pour les équations hyperboliques
linéaires
Jean-Marie Buchot
IMT - MIP, UPS Toulouse, ISAE
2018 - 2019
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Outline
2/20
1
Opérateurs différentiels
2
Dérivée directionnelle et différentielle
3
Exemple fondamental
4
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Table of contents
3/20
1
Opérateurs différentiels
2
Dérivée directionnelle et différentielle
3
Exemple fondamental
4
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Gradient, divergence d’une fonction scalaire
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Soit N P N˚ .
Un élément de RN sera noté x “ px1 , ¨ ¨ ¨ , xN q.
Les vecteurs de RN seront des matrices à N lignes et 1 colonne.
Soit u une fonction scalaire définie sur RN à valeurs dans R.
1
Le gradient de u, noté ru, est défini par
ru “
2
”
Bu
Bx1
ı
Bu T
BxN
.
La divergence du champ u, notée divpuq, est définie par
divpuq “
3
¨¨¨
Le laplacien de u, noté
Bu
Bu
` ¨¨¨ `
.
Bx1
BxN
u, est défini par
u“
B2 u
Bu 2
` ¨¨¨ `
.
2
Bx1
BxN2
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Gradient, divergence d’une fonction vectorielle
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Soit u une fonction vectorielle définie sur RN à valeurs dans RM avec M • 2.
1
Le gradient de u, noté r u, désigne la matrice jacobienne de u P RMˆN
ru “
˜
Bui
Bxj
¸j“1,N
,
i“1,M
où i représente un numéro de ligne et j un numéro de colonne.
2
Si M “ N, on définit la divergence du champ vectoriel u par le scalaire
div puq “ tracepr uq “
N
ÿ
Bui
.
Bxi
i“1
Remarque
Si u “ upx, tq, on notera rx et divx puq les opérateurs gradient et divergence associés
aux variables d’espace px1 , ¨ ¨ ¨ , xN q.
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Table of contents
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1
Opérateurs différentiels
2
Dérivée directionnelle et différentielle
3
Exemple fondamental
4
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Dérivée directionnelle d’une fonction scalaire
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Définition 1
Soit une application f : R2 Ñ R. On appelle dérivée directionnelle de f au point
x “ px1 , x2 q P R2 dans la direction v “ pv1 , v2 q P R2 , la dérivée en s “ 0 si elle existe
de la fonction ' de la variable s P R définie par
'psq “ f px ` sv q.
On la note Bv f px1 , x2 q et on a par définition
`
˘
f px ` sv q ´ f pxq
Bf
pxq “ '1 p0q “ lim
.
sÑ0
Bv
s
Bf
pxq est égale à la pente de la tangente à la courbe
Bv
obtenue par l’intersection de Cf et le plan passant par x orthogonal à Ox1 x2 et
contenant v .
Interprétation fondamentale.
Bf
pxq “ 0 est équivalent à f “ cste dans la direction v , autrement dit,
Bv
qu’elle ne varie pas de hauteur dans cette direction.
Conséquence.
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Interprétation géométrique
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z
f (A)
P
P
DV f (A)
z = f (A)
Trace de ⌃
⌃
Trace de U
y
V
x
U
A
z=0
A
F IGURE – ⌃ désigne le graphe de f , P le plan vertical passant par A “ px1 , x2 q contenant le
Bf
vecteur unitaire v . Le réel Bv
pxq est égal à la pente de la tangente de “ ⌃ X P au point A dans
le plan P.
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Caractérisation de la dérivée directionnelle
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Si f est C 1 , on peut caractériser la dérivée directionnelle à l’aide de son gradient.
Proposition 1
Si f P C 1 pR2 ; Rq alors f admet en tout point x P R2 une dérivée directionnelle dans
toute direction v P R2 et on a
Bf
Bf
Bf
pxq “ v1
pxq ` v2
pxq “ rf pxq ¨ v .
Bv
Bx1
Bx2
Exemples.
1
La dérivée directionnelle de f dans la direction du vecteur de base e1 “ p1, 0qT
correspond à la dérivée partielle de f par rapport à x1 :
Bp1,0q f pxq “
2
Bf
pxq.
Bx1
La dérivée normale de f à la frontière d’un domaine régulier ⌦ Ä RN est
Bf
pxq “ rf pxq ¨ n,
Bn
@x P B⌦.
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
La direction de plus forte pente
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Si }v } “ 1, l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne
|rf pxq ¨ v | § }rf pxq}.
ce qui est équivalent à
´}rf pxq} § rf pxq ¨ v § }rf pxq}.
Si on pose
v“
alors
rf pxq
,
}rf pxq}
rf pxq ¨ v “ }rf pxq}.
Conclusion. La direction du gradient est la direction de pente maximale.
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Illustration imagée
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Le skieur dans la pente.
1
Le skieur chevronné va dans la direction de la plus forte pente, c’est dans cette
direction qu’il ira le plus vite. C’est la direction du gradient de f dont la courbe
représente la surface de la piste de ski.
2
Le skieur débutant va se mettre perpendiculaire à la plus forte pente pour
s’arrêter. Il a raison car dans cette direction
Bf
pxq “ rf pxq ¨ v “ 0.
Bv
S’il continue dans cette direction, il se trouve sur une courbe de niveau, il ne
monte pas, il ne descend pas ! !
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Lien avec la différentielle de f
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Considérons N “ 2 et ⌦ un ouvert non vide de R2 .
Définition 2
Soit f P C 1 p⌦; Rq. La différentielle de f au point px1 , x2 q P ⌦ est la forme linéaire définie
de R2 dans R par
dfpx1 ,x2 q “
Bf
Bf
px1 , x2 qdx1 `
px1 , x2 qdx2 .
Bx1
Bx2
La différentielle de f au point px1 , x2 q P ⌦ dans la direction pv1 , v2 q P R2 est
dfpx1 ,x2 q pv1 , v2 q “ v1
Bf
Bf
px1 , x2 q ` v2
px1 , x2 q “ rf px1 , x2 q ¨ v .
Bx1
Bx2
Interprétation. La dérivée directionnelle de f au point x dans la direction v et la
différentielle au point x appliquée à v désigne le même objet.
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Table of contents
13/20
1
Opérateurs différentiels
2
Dérivée directionnelle et différentielle
3
Exemple fondamental
4
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Exemple 1
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Soit c P R‹ , px, tq P R ˆ R` et u “ upx, tq une fonction régulière solution de L’EDP
pE1 q
Bu
Bu
px, tq ` c
px, tq “ 0,
Bt
Bx
@x P R, @t ° 0.
Une écriture équivalente de pE1 q est
pE2 q
Bpc,1q upx, tq “ rupx, tq ¨ v “ 0 @x P R, @t ° 0.
avec
v“
„ ⇢
c
.
1
Interprétation. u est solution de pE1 q si et seulement si sa une dérivée directionnelle
en tout point px, tq P R ˆ R` dans la direction du vecteur v est nulle.
Remarque. Le gradient de u en tout point px, tq P R ˆ R` est perpendiculaire à v .
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Droites caractéristiques
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Dans le plan px, tq, les droites de vecteur directeur v ont pour équation
t“
et dans le plan pt, xq
1
1
x ´ x0 ,
c
c
x “ ct ` x0 .
Définition (Droites caractéristiques)
On appelle caractéristiques associées à pE1 q les droites de vecteur directeur v . Nous
les appellerons les droites caractéristiques de pE1 q car elles caractérisent les
solutions de pE1 q.
Remarque.
c2 ° c1 ° 0
ñ
1
1
°
.
c1
c2
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Expression de la solution
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L’égalité pE2 q signifie que les droites caractéristiques sont des lignes de niveau de
u autrement dit
upx, tq “ cste @px, tq P R ˆ R` | x0 “ x ´ ct.
Si on ajoute à pE1 q la condition initiale
upx, 0q “ u0 pxq
@x P R,
u0 P C 1 pRq,
il suffit de remonter la droite caractéristique suivant les temps décroissants afin
d’obtenir la solution de pE1 q.
La solution de pE1 q en tout point px, tq P R ˆ R` s’écrit
upx, tq “ u0 px0 px, tqq “ u0 px ´ ctq.
Conclusion. La solution de pE1 q s’interprète comme le transport de la condition initiale
à la vitesse c d’où le nom d’équation de transport ou de convection.
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Représentation graphique de la solution
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Soit pup¨, tqq “ tpx, upx, tqq, x P Ru le graphe de u au temps t. Si x “ x0 ` ct alors
px, upx, tqq “ px0 ` ct, u0 px0 qq “ px0 , u0 px0 qq ` pct, 0q.
pup¨, tqq se déduit de pu0 q par une translation de vecteur pct, 0q.
Exemple. Si t “ 1 et c “ 2, le point p0, u0 p0qq est translaté au point px, u0 p0qq avec
x “ x0 ` ct “ 0 ` 2 ¨ 1 “ 2.
1
2
u0 (x) = e!10x
2
u(x; 1) = e!10(x!2)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-1
0
1
x
2
3
2
F IGURE – Solution de l’équation pEq au temps t “ 1 avec c “ 2 et u0 pxq “ e´10x .
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Table of contents
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1
Opérateurs différentiels
2
Dérivée directionnelle et différentielle
3
Exemple fondamental
4
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Dérivée d’une fonction composée
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Proposition 2
Soit u P C 1 pR2 ; Rq et X1 , X2 deux applications appartenant à C 1 pR; Rq. L’application '
définie de R dans R par
'psq “ upX1 psq, X2 psqq,
est continuement dérivable sur R et on a
'1 psq “ X11 psq
Bu
Bu
pX1 psq, X2 psqq ` X21 psq
pX1 psq, X2 psqq.
Bx1
Bx2
C’est la dérivée totale de u par rapport à s. On la note aussi
du
pX1 psq, X2 psqq “ dupX1 psq,X2 psqq pX11 psq, X21 psqq “ '1 psq.
ds
Remarque. Lorsque
du
pX1 psq, X2 psqq “ 0 @s P R,
ds
on dit que u est constante le long de la trajectoire paramétrée par s et de courbe
C “ tpX1 psq, X2 psqq | s P Ru.
Opérateurs
Dérivée directionnelle et différentielle
Exemple fondamental
Dérivée d’une fonction dépendant d’un paramètre
Dérivée d’une intégrale dépendant d’un paramètre
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Proposition 3
Soit u P C 1 pR2 ; Rq.
1
2
Si a, b P R alors
d
dt
ªb
a
upx, tq dx “
ªb
a
Bu
px, tq dx.
Bt
Si a :“ aptq et b :“ bptq appartiennent à C 1 pR; Rq alors
d
dt
ª bptq
aptq
upx, tq dx “
ª bptq
aptq
Bu
px, tq dx ` b1 ptqupbptq, tq ´ a1 ptqupaptq, tq.
Bt
Preuve. Soit U la primitive de u par rapport à la variable t. Par définition de U on a
ª bptq
aptq
upx, tq dx “ Upbptq, tq ´ Upaptq, tq.
Les deux formules se déduisent directement en dérivant cette égalité par rapport à t.