ênÚO
1/90
15Ù ëê
«m
O†b u
2/90
1 5Ù
Ù ëê
loN¥
Š.
«m
O†b
u
*ÿŠ , ÏL: O, Œ¦Ñ™•ëêθ
O
´du
´‘Å , ¤± OŠØUO(/ uëêýŠ, o´
kØ , @où‡ OŠ†ý¢ëêƒm Ø ‰ŒkõQ? ùÒ
´«
«m O ¯K.
3¢S¯K¥¬?Øëê
ä¯K, ~X ¬´ÄÜ‚!EU´
Ĥõ , ùI‡ÏLb
b u •{5£‰.
«m OEáuëê O‰Æ,
Ó˜Ù0 .
du§Úb u k—ƒ éX,
3
3/90
ëê
«m
O
Ú~1
3 ¬•C•þ, ‡¦I5-þ. ˜„5`, I5
½-þØ´˜‡ê,
~~´“-þ: 100 ± 5Ž”ù«‚ª. ùpk5Ž
, L²
½þ(ëêθ)395Ž†105Žƒmž, ¬•CÎ܇¦, ÄKŒ±@•´"
6áü. ùp«m[95, 105]‰Ñ ²þ ½-þ(ëêθ)
Š‰Œ, ‡¦
²þ ½-þ“Œ—”395Ž†105 Žƒm, ù«•{¡•ëêθ «m
O. ù•¹±eA‡¯K:
“Œ—”395Ž†105Žƒm “Œ—”´Ÿo¿g?
²þ
½-þθkÃŒU3«m[95, 105]ƒ
?
95Ž†105Ž´XÛ¦Ñ ?
4/90
²þ ½-þθ´™• , §
ŒU5kõŒ?
kŒU3«m[95, 105]ƒ
F" ½-þθ3«m[95, 105]S ŒU5¦ŒU/Œ,
«mƒ
ŒU5¦ŒU/ .
. @où‡
á3ù‡
Ï~‡¦«m[95, 105]•¹ëêθ VÇ•1 − α(α > 0é , X
α = 0.05), =k1 − α rº y«m[95, 105]•¹θ, θá3«
m[95, 105]ƒ
ŒU5•α.
ùpò«m[95, 105]¡•²þ
½-þθ
˜&«m.
5/90
ëê
Ÿo
«m
O
ëê «m
O?
ëê ˜ &«m Œ±ÏL: Oþ E. l
X1 , . . . , Xn ¥, eŒ±é
ü‡ÚOþT1 (X1 , . . . , Xn )ÚT2 (X1 , . . . , Xn ), ¦
P {T1 (X1 , ..., Xn ) ≤ θ ≤ T2 (X1 , ..., Xn )} = 1 − α,
@oÒ
‘Å
é
ê.
˜„/,
±1 − α
VÇ•¹θ
«m, Ù¥α´ýk‰½
oNX´ëY.‘ÅCþž, Ïé˜éÚOþT1 , T2 , ¦
P {T1 ≤ θ ≤ T2 } = 1 − α,
`²‘Å«m±1 − α
VÇ•¹ëêθ
ýŠ.
oNX´lÑ.‘ÅCþž, ˜„ØU¦P { T1 ≤ θ ≤ T2 }°(/
u1− α. ùž, ‡¦P {T1 ≤ θ ≤ T2 }–
u1 − α=Œ.
6/90
5.1 « m
O
½Â5.1(Vý˜&«m)
oNX ©Ù¼ê•F (x; θ), Ù¥θ•™•ëê, θ ∈ Θ. X1 , . . . , Xn ´
5goN {ü‘Å
. éu‰½ α ∈ (0, 1), ed
(½ ü‡
ÚOþT1 (X1 , . . . , Xn )ÚT2 (X1 , . . . , Xn )÷v
P {T1 ≤ θ ≤ T2 } = 1 − α,
(1)
K¡‘Å«m[T1 , T2 ]•θ ˜&Ý (½˜
˜& Y²)•1 − α Vý˜ &«
m, «mà:T1 ÚT2 ©O¡•˜&Ý•1 − α V ý˜& e •Ú ˜&þ
•.
7/90
1
2
3
4
[T1 (X1 , ..., Xn ), T2 (X1 , ..., Xn )]•‘Å«m.
ª(1)L«˜&«m[T1 , T2 ]CX™•ëêθ
¹θ Œ& §Ý•(1 − α).
VÇ•1 − α, T«m•
˜&«m •ÝT2 − T1 “L O ° Ý, †˜&݃p› . ˜„
±˜&Ý`k K•Ì, =3÷v˜&Ý cJe, 2 ¦‰½˜&
Ýe°Ý•p ˜&«m.
, , T1 , T2 ùü‡ÚOþØ É ˜&Ý K•, ••6uÄ ©
Ù œ¹. Ä ©ÙØÓ, K(JÒ•3 O.
8/90
~
X1 , ..., Xn ´,Ônþµ Ýþ, …X1 , ..., Xn ´ƒpÕáÓÑl
©
ÙN (µ, σ 2 ) ‘ÅCþ, Ù¥ëêµ™•, σ 2 ®•, Á¦µ «m O.
©Û.
Šâ±
?Ø, ^X̄ =
p
√
… Var(X̄) = σ/ n,
1
n
Pn
i=1 Xi Šµ
: Oþ,
σ2
X̄ ∼ N µ,
.
n
9/90
ÄkOŽ[X̄ −δ, X̄ +δ]Ø•¹µ
VÇ
√
δ n
|X̄ − µ|
√ >
)
P (|X̄ − µ| > δ) = P (
σ
σ/ n
√
Ï• n(X̄ − µ)/σÑlIO
©Ù, ¤±
√
√
δ n
δ n
) + Φ(−
)
P (|X̄ − µ| > δ) = 1 − Φ(
σ
√σ
δ n
= 2Φ(−
) > 0.
σ
ddŒ„, é?¿‰½
δ, [X̄ − δ, X̄ + δ]Ø
ØC X µ
VÇŒu".
10/90
√
AO/, XJ-δ = σ/ n, K
√
P (|X̄ − µ| > σ/ n) = 2Φ(−1) = 0.32
ù¿›X«m[X̄ − √σn , X̄ + √σn ]ØCXµ VÇ´0.32, Tê¿Øv
.
√
• ˆ ¦2 Φ( −δ n/σ)
¤Ï" ¿©
êα, ¦·‚
Œ
± ÑVÇ•α ¯‡, Àδ(½n)¦
√
δ n
)=α
P (|X̄ − µ| > δ) = 2Φ(−
σ
11/90
du
P (|X̄ − µ| ≤ δ) = 1 − P (|X̄ − µ| > δ) = 1 − α
½`±100(1 − α)%
éu‰½ α,
Œ&§Ý, «m[X̄ −δ, X̄+ δ]•¹µ.
P (|X̄ − µ| ≤ δ) = P (
√
dX̄ ∼ N (µ, σ/ n)IO
|X̄ − µ|
δ
√ ≤ √ )=1−α
σ/ n
σ/ n
©Ù
© ꌕ, 鉽 α,
12/90
P (|X̄ − µ| ≤ δ) = P (
|X̄ − µ|
δ
√ ≤ √ )=1−α
σ/ n
σ/ n
|X̄ − µ|
√ ≤ zα ) = 1 − α
2
σ/ n
σ
σ
P (X̄ − z α2 √ ≤ µ ≤ X̄ + z α2 √ ) = 1 − α
n
n
P(
K[X̄ − δ, X̄ + δ]±100(1 − α)%VÇCXµ, Ù¥δ = z α2 √σn .
13/90
σ
σ
P (X̄ − z α2 √ ≤ µ ≤ X̄ + z α2 √ ) = 1 − α
n
n
α~ ž, ˜&Ý p, ·‚Òk•°
ü.
˜&«m, , °ÝÒ¬e
~
~X, 95 %˜&,«>ÀŬN+ ²þÆ·•(6, 7)co'99 %˜&Ù
²þÆ·3(3, 10) cƒm‡Ð. ·‚•F" «m¥ ¬k p ˜ &
Ý.
14/90
üý˜&«m
XJ3¢S¯K¥, ·‚'% ´™
™• ëê e.½ þ.. ~X, ÿþ|
ÜrÝ, 󧓂•UÂ8 'ue. &E. , ˜•¡, ƒé Œ
θŠéÿþ(JÃ^½Ø´·‚¤Ï" ž, ·‚Ò¬é˜&þ.a,
, XI Ñ,^à6pþ¹þþŠ þ.. dž, I‡^ üý ˜&«
m.
½Â5.1(üý˜&«m)
éu‰½ α ∈ (0, 1), eÚOþT1 (X1 , ..., Xn )÷v
P {θ ≤ T1 (X1 , ..., Xn )} = 1 − α,
(½öP {T1 (X1 , ..., Xn ) ≤ θ} = 1 − α)
K¡T1 •θ
˜&Ý•1 − α
üý ˜&þ •(ü
üý˜ &e • ).
15/90
E˜&«m ̇•{
1
Ͷþ{;
2
Œ
3
ÚOþ{;
4
b
5
...
{;
u {.
Ù̇ ãͶþ{ÚŒ
{, ¿0 «m O†b u
éX.
16/90
EVý˜&«m
E ™ •ë ê g(θ)
1
2
•{
Vý˜&«m
•{
À ˜‡•¹
X1 , . . . , Xn Ú™
™•ëê g(θ) ¼
êh(X1 , . . . , Xn ; θ), ¦Ù©Ù†θÃ';
Ïéa, b¦
P {a ≤ h(X1 , . . . , Xn ; θ) ≤ b} = 1 − α;
3
)Ø
(2)
ªa ≤ h(X1 , . . . , Xn ; θ) ≤ b
T1 (X1 , . . . , Xn ) ≤ g(θ) ≤ T2 (X1 , . . . , Xn ),
u´
g(θ) ˜&Ý•1 − α
Vý˜&«m[T1 , T2 ].
éuëY.ÚOþ, {a ≤ h(X1 , . . . , Xn ; θ) ≤ b}†
{a < h(X1 , . . . , Xn ; θ) < b} Vǃ .
(2)•˜„ ‡¦´P {a ≤ h(X1 , . . . , Xn ; θ) ≤ b}≥1 − α, ∀θ ∈ Θ.
17/90
Eüý˜&«m
•{
aq/, e3(2)¥¦^
P {a ≤ h(X1 , . . . , Xn ; θ)} = 1 − α
(½P {h(X1 , . . . , Xn ; θ) ≤ b} = 1 − α),
2l
a ≤ h(X1 , . . . , Xn ; θ)
(½h(X1 , . . . , Xn ; θ) ≤ b)
¥)Ø ªÒŒ±
g(θ)
˜&Ý•1 − α
üý˜&«m.
18/90
AO/,
g(θ) = θž, ¦™•ëêθ
¦™•ëêθ
1
2
Vý˜&«m
À ˜‡•¹ë
ëê :
†θÃ';
|^Ä
˜&«m Ú½o(Xe:
Ú½
OÚ™
™•ë ê ¼êY = h(θ, θ̂), Ù©Ù
©Ù½n‰Ñ
P {Y1−α/2 ≤ Y ≤ Yα/2 } = 1 − α;
3
n
P {T1 < θ < T2 } = 1 − α, dd
ý˜&«m[T1 , T2 ].
θ
˜&Ý•1 − α
(3)
V
aq/, e3(3)¥¦^
P {Y ≤ Yα } = 1 − α(½P {Y ≥ Y1−α } = 1 − α),
2lY ≤ Yα (½Y ≥ Y1−α )¥)Ø ªÒŒ±
ý˜&«m.
θ
˜&Ý•1 − α
ü
19/90
oNe
1.
‰ ½ ˜ &Ý 1 − α,
1
2
oNëê
E
˜&«m
oN™•ëêθ
˜&«m
l
oN 6‡®• Ä ©Ù(üoN!VoNˆ3‡)¥À ˜
‡•¹k–
– ë êθ Ø•¹Ù
Ù¦™• ëê Ä ©ÙY . 5¿Y Œ
U¹k– ëêθ : O, •ŒU¹kÙ§®•½™•ëê :
O.
duY ˜½ÑloŒ©Ù(N (0, 1)!χ2 !t!F )¥ ˜‡, Ù©
:Yα/2 , Y1−α/2 Œ L, …7,÷v
P {Y1−α/2 ≤ Y ≤ Yα/2 } = 1 − α.
3
Ú½
duY ¥¹k– ëêθ,
n
(4)
d Ø ª
P {T1 ≤ θ ≤ T2 } = 1 − α.
dd
θ
˜&Ý•1 − α
Vý˜&«m[T1 , T2 ].
20/90
aq/, e3(4)¥¦^
P {Y ≤ Yα } = 1 − α(½P {Y ≥ Y1−α } = 1 − α),
2lY ≤ Yα (½Y ≥ Y1−α )¥)Ø ªÒŒ±
ý˜&«m.
θ
˜&Ý•1 − α
ü
21/90
~5.1
,/« ^|rÝX ∼ N (µ, 202 ), ylT/« 36‡:, ÿ
ÿŠþŠ•x̄ = 61.1. 30.95˜&Ýe¦T/«²þ^|rݵ
m.
*
˜&«
).
ù´ü
oN3σ 2 ®•ž'uµ
Vý˜&«m¯K. ®•
X̄ − µ
√ ∼ N (0, 1),
σ/ n
u´
P
X̄ − µ
√ ≤ zα/2 = 1 − α,
z1−α/2 ≤
σ/ n
22/90
=
P
¤±µ
σ
σ
X̄ − √ zα/2 ≤ µ ≤ X̄ + √ zα/2
n
n
= 1 − α.
˜&Ý•1 − α ˜&«m•
σ
σ
X̄ − √ zα/2 ≤ µ ≤ X̄ + √ zα/2 .
n
n
®•
þ•n = 36,
þŠ•x̄ = 61.1, oN• σ 2 = 202 , ˜&Ý
•1 − α = 0.95, α = 0.05, L•
−z0.975 = z0.025 = 1.96,
“\êâOŽ T/«²þ^|rݵ ˜&Ý•0.95 ˜&«m•
h
i
61.1 − √2036 × 1.96, 61.1 + √2036 × 1.96 = [54.6, 67.6].
23/90
~5.2
®•,
Æ·Ñl
©Ù, yl˜1
¥‘ÅÄ 16•Š•
, ÿ Ù²þÆ·•1490 h,
IO •25.4 h. 30.95 ˜&Ýe¦
ù1
²þ¦^Æ· ˜&«m.
).
oN3σ 2 ™•ž¦µ
ù´ü
Vý˜&«m¯K. duσ™•, |^
X̄ − µ
√ ∼ t(n − 1)
S/ n
Œ
P
X̄ − µ
√
t1−α/2 (n − 1) ≤
≤ tα/2 (n − 1) = 1 − α,
S/ n
24/90
nŒ
n
o
P X̄ − tα/2 (n − 1) √Sn ≤ µ ≤ X̄ − t1−α/2 (n − 1) √Sn = 1 − α,
¤±µ
˜&Ý•1 − α ˜&«m•
i
h
X̄ − tα/2 (n − 1) √Sn , X̄ − t1−α/2 (n − 1) √Sn .
®•n = 16, x̄ = 1490, s = 25.4, α = 0.05,
−t0.975 (15) = t0.025 (15) = 2.1314,
“\ µ ˜&«m•
h
1490 − 2.1314 × √2516 , 1490 + 2.1314 ×
√25
16
i
= [1476.47, 1503.53].
25/90
~5.3
,•m)
9‡, ÿ
&«m.
E¾ †»X ∼ N (µ, σ 2 ), yl,F)
E¾¥Ä
• •s2 = 0.252 . 30.95 ˜&Ýe¦oN• σ 2 ˜
).
ù´ü
oN3µ™•ž¦σ 2
Vý˜&«m¯K. duµ™•, |^
n−1 2
S ∼ χ2 (n − 1)
σ2
Œ
n−1 2
2
2
P χ1−α/2 (n − 1) ≤
S ≤ χα/2 (n − 1) = 1 − α,
σ2
26/90
nŒ
(
P
¤±σ 2
(n − 1)S 2
(n − 1)S 2
2
≤
σ
≤
χ2α/2 (n − 1)
χ21−α/2 (n − 1)
)
= 1 − α,
˜&Ý•1 − α ˜&«m•
"
#
(n − 1)S 2
(n − 1)S 2
,
.
χ2α/2 (n − 1) χ21−α/2 (n − 1)
®•n = 9, s2 = 0.252 , α = 0.05,
χ20.025 (8) = 17.535, χ20.975 (8) = 2.180,
“\ σ 2
˜&«m•
h
8×0.252 8×0.252
17.535 , 2.180
i
= [0.03, 0.23].
27/90
~5.4
,•m^ü .ÒƒÓ Åì) Ó˜« ¬, ®•ÅìA)
¬
•ÝX ∼ N (µ1 , 1), ÅìB)
¬•ÝY ∼ N (µ2 , 1). • ' ü
Åì)
¬•Ý, ylA)
¬¥Ä 10‡, ÿ
þŠ
•x̄ = 49.83 cm. lB)
¬¥Ä 15‡, ÿ
þŠ•ȳ = 50.24
cm. 30.99 ˜&Ýe¦üoNþŠ µ1 − µ2 ˜&«m.
).
ù´V
oN3σ12 , σ22 ®•ž¦µ1 − µ2
2
oN• σ1 = σ22 = 1®•, |^
Vý˜&«m¯K. Ïü‡
(X̄ − Ȳ ) − (µ1 − µ2 )
q 2
∼ N (0, 1)
σ1
σ22
+
n1
n2
Œ




(X̄ − Ȳ ) − (µ1 − µ2 )
q 2
≤
z
= 1 − α,
P z1−α/2 ≤
α/2


σ1
σ22
+
n1
n2
28/90
nŒ
q
σ2
P X̄ − Ȳ −zα/2 n11 +
σ22
n2
≤ µ1 −µ2 ≤ X̄ − Ȳ +zα/2
q
σ12
n1
+
¤±µ1 − µ2 ˜&Ý•1 − α ˜&«m•
q
q
σ12
σ2
σ22
X̄ − Ȳ − zα/2 n1 + n2 , X̄ − Ȳ + zα/2 n11 +
σ22
n2
σ22
n2
= 1 − α,
.
®•n1 = 10, n2 = 15, x̄ = 49.83, ȳ = 50.24, σ12 = σ22 = 1, α = 0.005,
z0.005 = 2.58,
“\ µ1 − µ2 ˜&«m•
q
q
1
1
1
1
49.83−50.24−2.58 10 + 15 , 49.83−50.24+2.58 10 + 15
=[−1.46, 0.64].
29/90
~5.5
,•m^ü .ÒƒÓ Åì) Ó˜« ¬, ®•ÅìA)
¬
2
2
•ÝX ∼ N (µ1 , σ ), ÅìB)
¬•ÝY ∼ N (µ2 , σ ). • ' ü
Åì)
¬•Ý, ylA)
¬¥Ä 10‡, ÿ
þŠ
•x̄ = 49.83 cm,
IO •s1 = 1.09cm. lB)
¬¥Ä
15‡, ÿ
þŠ•ȳ = 50.24 cm,
IO •s2 = 1.18 cm.
30.99 ˜&Ýe¦üoNþŠ µ1 − µ2 ˜&«m.
).
ù´V
oN3σ12 = σ22 ™•ž¦µ1 − µ2
‡oN• ƒ
™•, |^
Vý˜&«m¯K. Ïü
(X̄ − Ȳ ) − (µ1 − µ2 )
q
∼ t(n1 + n2 − 2)
Sw n11 + n12
Œ




(X̄ − Ȳ ) − (µ1 − µ2 )
q
P t1−α/2 (n1 +n2 −2) ≤
≤ tα/2 (n1 +n2 −2) = 1−α,


Sw n11 + n12
30/90
nŒ
q
n
P X̄ − Ȳ −tα/2 (n1 +n2 −2)Sw n11 +
1
n2
≤ µ1 −µ2 ≤ X̄ − Ȳ +tα/2 (n1 +n2 −2)Sw
¤±µ1 − µ2
q
1
n1
˜&Ý•1 − α ˜&«m•
q
h
X̄ − Ȳ − tα/2 (n1 +n2 −2)Sw n11 +
q
X̄ − Ȳ + tα/2 (n1 +n2 −2)Sw n11 +
+
1
n2
o
= 1 − α,
1
n2 ,
1
n2
i
.
®•n1 = 10, n2 = 15, x̄ = 49.83, s1 = 1.09, ȳ = 50.24, s2 = 1.18,
α = 0.005, t0.005 (23) = 2.8073, “\ µ1 − µ2 ˜&«m
•[−1.72, 0.9].
31/90
~5.6
σ2
30.95 ˜&Ýe, ¦~5.5¥üoN• ' σ12
˜&«m.
2
).
ù´V
σ2
oN¦ σ12
Vý˜&«m¯K. |^
2
S12 σ22
·
∼ F (n1 − 1, n2 − 1)
S22 σ12
Œ
P
S12 σ22
F1−α/2 (n1 −1, n2 −1) ≤ 2 · 2 ≤ Fα/2 (n1 −1, n2 −1) = 1 − α,
S2 σ1
32/90
nŒ
2
S1
1
S12
1
σ22
P
≤
≤
= 1 − α,
S22 Fα/2 (n1 −1, n2 −1)
σ12
S22 F1−α/2 (n1 −1, n2 −1)
σ2
¤± σ12
˜&Ý•1 − α
˜&«m•
2
S12
S12
1
1
,
.
S22 Fα/2 (n1 −1, n2 −1) S22 F1−α/2 (n1 −1, n2 −1)
®•n1 = 10, n2 = 15,
s21
s22
= 0.853, α = 0.05,
F0.025 (9, 14) = 3.21, F0.975 (9, 14) =
“\
σ12
σ22
1
F0.025 (14,9)
=
1
3.77 ,
˜&«m•[0.27, 3.22].
33/90
~5.7
• O›E,« ¬¤I ü‡²þóŠžm( ž), y›E5‡,
IóžXe:
10.5, 11, 11.2, 12.5, 12.8.
›Eü‡ ¬¤IóŠžmX ∼ N (µ, σ 2 ). Á¦µ
ÚIO σ 0.95üý˜&þ•.
¤
0.95üý˜&þ•
).
(1) ù´ü
oN3σ 2 ™•ž¦µ
üý˜&«m¯K. ®•
X̄ − µ
√ ∼ t(n − 1),
S/ n
u´
P
X̄ − µ
√
t1−α (n − 1) <
S/ n
= 1 − α,
34/90
=
P
S
µ < X̄ + √ tα (n − 1) = 1 − α.
n
®•*ÿŠþŠ•x̄ = 11.6,
&Ý•1 − α = 0.95, L•
IO s2 = 0.995,
þ•n = 5, ˜
t0.05 (4) = 2.1318,
“\êâOŽ
µ
˜&Ý•0.95 üý˜&þ••12.55.
35/90
(2) ù´ü
oN3µ™•ž¦σ 2
üý˜&«m¯K. ®•
n−1 2
S ∼ χ2 (n − 1),
σ2
u´
P {χ21−α (n − 1) <
n−1 2
S } = 1 − α,
σ2
=
P
®•
•
(n − 1)S 2
σ < 2
χ1−α (n − 1)
2
IO s2 = 0.995,
= 1 − α.
þ•n = 5, ˜&Ý•1 − α = 0.95,
L
χ20.95 (4) = 0.711,
“\êâOŽ
σ
√
˜&Ý•0.95 üý˜&þ•• 5.598 = 2.366.
36/90
37/90
2. 'Çëê
˜&«m
¢‚¥, XJ•Ä Á (J•kü«ŒU, 'Çp´²~‘
'X ¬´ÄÜ‚, ¾<´Ä)•, «f´ÄuÞ . dž,
w¤ü:©ÙB(1, p), ©ÙÆ•
˜‡þ.
roN
P (X = 1) = p, P (X = 0) = 1 − p,
¿k
E(X) = p, Var(X) = p(1 − p).
38/90
P
loNX ∼ B(1, p)¥Ä n‡
Xi , i = 1, . . . , n, K ni=1 Xi ∼ B(n,
p)L«ng0-1Á ¤õ gê. ëêp : Oþd
Pn
Xi
p̂ = X̄ = i=1
n
‰Ñ. …
E(X̄) = p, Var(X̄) =
o NX ∼ B(1, p), e ¡?Ø ëêp
p(1 − p)
.
n
«m
O¯K.
39/90
Šâ•#Ã-.Ê.d¥%4•½n,
X̄ ∼ N (p,
X̄ − p
p(1 − p)
), = p
∼ N (0, 1).
n
p(1 − p)/n
¤±, 鉽α ∈ (0, 1), ·‚k
(
P
z α2 ´L«IO
þn錞,
−z α2 ≤ p
X̄ − p
p(1 − p)/n
)
≤ z α2
=1−α
©Ù þ α2 © ê.
40/90
ª¥ •
Ïd, Œ p
p(1 − p)/n´™• , ^p̂ = X̄5 Op, KCq/k
(
)
X̄ − p
P −z α2 ≤ p
≤ z α2 = 1 − α
X̄(1 − X̄)/n
Cq ˜&Ý•1 − α ˜&«m•
#
"
r
r
X̄(1 − X̄)
X̄(1 − X̄)
, X̄ + z α2
X̄ − z α2
n
n
=
"
r
X̄ − z α2
X̄(1 − X̄)
, X̄ + z α2
n
r
X̄(1 − X̄)
n
#
41/90
~5.8
,è’) ˜1 ¡, '%û¬Ç, ‘Å Ä 100‡uÿ, XJÙ
¥80‡ÎÜIO, ±pPù1 ¡ û¬Ç, Á¦p «m O(α = 0.05).
).
ù´'ǯK, ¦p
Vý˜&«m. ®•Cq
k
X̄ − p
p
∼ N (0, 1),
X̄(1 − X̄)/n
u´
(
P
p
X̄ − p
≤ z α2
−z α2 ≤ p
X̄(1 − X̄)/n
)
= 1 − α,
Cq ˜&Ý•1 − α ˜&«m•
"
#
r
r
X̄(1 − X̄)
X̄(1 − X̄)
X̄ − z α2
, X̄ + z α2
n
n
42/90
®•
þn = 100,
þŠx̄ = 0.8, ˜&Ý•1 − α = 0.95,
L•
z0.025 = 1.96,
“\êâOŽ p ˜&Ý•0.95 ˜&«m•
"
#
r
r
0.8(1 − 0.8)
0.8(1 − 0.8)
0.8 − 1.96
, 0.8 + 1.96
= [0.7216, 0.8784].
100
100
Ä uÿ`², Œ±k95%
372.16%–87.84%ƒm.
rº@•ù1 ¡û¬Ç
43/90
~5.9
,š • /—Ë {éu·IM_¾<´Äk , ‘Å]À100
ö, ‹lN 4c k 67<, ¦k Çp ˜&e•(α = 0.05).
‡
).
ù´'ǯK, ¦p
X̄ − p
q
X̄(1−X̄)
n
üý˜&«m, u´Cq/k


 X̄ − p

∼ N (0, 1) ⇒ P q
≤ zα = 1 − α
 X̄(1−X̄)

n
n
P
Ïd
p
p ≥ X̄ −
˜&Ý•1 − α
q
X̄(1−X̄)
n
· zα
=1−α
q
X̄(1−X̄)
· zα , +∞ .
˜&«m• X̄ −
n
®•x̄ = 67/100 = 0.67, “\ p ˜&«m•[0.57784, +∞), =
k95% rºäó, k ÇØ u57.784%.
44/90
•
y Opž, Ø
u˜‡A½êŠe, ·‚y35(½õ
õŒ N þ
1
´7I . duX̄(1 − X̄) ≤ 4 , K
z α2
q
p
X̄(1 − X̄)/n ≤ z α2 1/4n
@o
P (|X̄ − p| < z α2
p
1/4n) ≥ 1 − α,
45/90
Nþ•
z 2α
n=
2
4e2
ž, ·‚k
P (|X̄ − p| < e) ≥ 1 − α,
46/90
½n
XJp̂´p
˜‡ O,
Nþ•
z 2α
n=
ž, ·‚– U ±100(1 − α)%
2
4e2
rº(&Ø Ø¬‡LA½þe.
47/90
öS
XJ·‚‡95%(&p
Oþ30.02±S, I‡˜‡õŒNþ
?
48/90
5.2 ë ê
b
u
Ú~2(~5.10)
,•m^˜ gÄ•CÅ•CÄ:0, ½IOz•À-0.5kg, T•C
Å•C Ä:0z•ŸþX ∼ N (µ, 0.152 ). ,F, l•CÅ•C Ä:
0¥‘ÅÄ 9•, ¡ À-©O•
0.497
0.506
0.518
0.524
0.498
0.511
0.520
0.515
0.512
¯ FT•CÅóŠ´Ä ~?
49/90
Ú~3(~5.11)
,ÃÅ) ‚[3Ù\D2w¥, (¡¦‚)
þžm– •71.5h. ŸuÜ€u
T‚)
žm©O•
,¬ýÃÅ–Å ²
ù«ÃÅ6Ü,
–Å
69 68 72 70 66 75
b ÃÅ –ÅžmX ∼ N (µ, σ 2 ), d
ž¤öƒv?
êâUÄ
äT2wkТ
50/90
þ¡ùü‡~f“L ¯KéÊH, §‚kXe Ó::
ÄkéoN ëê•3˜½ “@£”(¡ƒ•“b ”). X
~5.10¥ “ ½IOz•À-0.5kg”.
~5.11¥ “–Å ²þžm– •71.5h”.
ÙgI‡|^
*ÿŠ
äù«“b ”´Ä¤á.
51/90
b u
Ä Vg9Ä Ú½
‰Æ[½ó§“3¢S¥‘
¯KÏ~Ø•´?Ø'uëê
O,
¦‚I‡éXÚ‰˜ Ä
b ½íÿ. 阇½õ‡oN ,«í
ä½ßÿÒ¡•Ú
ÚOb (ëêb u , šëêb u ), XÛÄuê
âéb
)˜‡û
ûü L § .
52/90
b (H0 )´‡£‰´ É„´áý b . Ú b éá ?Û˜‡
b ¡• Jb . Jb (H1 )Ï~ •H0 Ö8.
1
3£ã b H0 ž, Ï~¦^
2
¢
3
)¹¥, ˜„ÀJ†~„y–ƒÓ Š• b
¥, ˜„ÀJ†*
Ò.
y–ƒ‡ Š• b (É o5).
(É o5).
53/90
˜„ b ´É“ o”
´‡éÐ ~f,
H0 :
, vk¿©Šâ´ØUáý
wÂ, H1 :
.
"ì ~f
wk‚
›w´ u~¦k‚, H0 b ‡éH1 ¥ b , •k3¿©Ünyâ
|±H1 ž, ⬘ïH0 ¥ b .
54/90
XJ·‚ 8 ´F"l
* ŠJø &Eé•ã
rkå
±, Krù
ù˜ •ã Ä ½Š• b , r•ã ŽŠ• Àb .
|
55/90
˜„, ©Û< Œ±
ü‡(Ø¥ ˜‡: áý H0 (êâk¿© yâ
|±H1 ), ÉH0 (êâ¥vk¿© yâáýH0 ).
, , “ØáýH0 ”¿Ø¿›X wÂ, •´vk¿© yây²k‚,
¤± "ì¿Ø˜½@•H0 ´ý , •´ ÉH0 .
56/90
H0 : µ = 1000 H1 : µ 6= 1000
({
{ü b éE
EÜ Àb , Vý u )
H0 : p ≤ (≥)0.03 H1 : p > (<)0.03
(EÜ b éEÜ Àb
, üýu )
(⇔ H0 : p = 0.03 H1 : p > (<)0.03)
H0 : µ1 = µ2 H1 : µ1 6= µ2
H0 : XÑl ‘©Ù H1 : XÑlÙ¦©Ù
Jb û½Výu „´üýu .
57/90
3b H0 ( cJe, Šâ
ddò —Ÿo(Ju):
* ŠÚ$^ÚO©Û•{wwŒU
XJ — Vǯ‡3˜gÁ
(, l áý b ;
‡ƒ, XJ™ —
¥u) , K@• b ŒUØ
Vǯ‡u), Kvkndáý b
.
58/90
b u
n:
VÇ K + “‡y{”
VÇ K:
Vǯ‡3˜gÁ ¥´Ø¬u) .
59/90
Ï•
äk‘Å5, ŒU‰Ñ ( ä, •ŒU‰Ñ†
†Ø
áýH0
ÉH0
H0 •ý
1˜a†Ø
(
ä.
H0 Øý
(
1 a†Ø
‹1˜a†Ø†Ø VÇ•1
1˜ a†Ø VÇ, Ï~P•
P (áýH0 |H0 •ý) = ïý VÇ
60/90
‹1 a†Ø
VÇ•1
1
a†Ø VÇ, Ï~P•β.
P ( ÉH0 |H0 •–) =
– VÇ.
1˜a†ØÒ´á
áý† Ø, • ü$1˜a†Ø VÇ, Ò¬ —B
B–
†Ø O\, =O\1 a†Øu) VÇ.
Nþ ½ cJe,
üa†Ø VÇØUÓž~ . •kÏLO\
NþŒ±Óž~ ‹
1˜a†Ø VÇÚ1 a†Ø VÇ.
61/90
¢SA^¥, ŒU˜«a. †Ø',˜«a. †Ø•\-‡, ùžé
•\-‡ †Ø‰±››.
Ï~ ´›› ‹1˜ a†Ø VÇ• α, Ï~P•
α = P (áýH0 |H0 •ý) = ïý VÇ
•¡α•w
wÍ Y². 3››‹1˜a†ØVÇ u , ù« Ke b
u ¯K¡•w
wÍ5u . Ï~ α = 0.01, 0.05 .
62/90
~
,󂘆) 60WIO
,
Æ·X Ñl
©ÙN (1000, 2002 ).
U? j
•Y , q) ˜1
, b½
Æ·EÑl
©
2
ÙN (µ, σ ), ÙIO σ = 200ØC, l#
)
˜1
¥Ä
20‡, ÿÁÆ·Š, ²OŽ
þŠX̄ = 1100, Á¯#
j
•
Y)
Æ·'±
´ÄkwÍCz(½¯´ÄkwÍJp)?
63/90
(1)
H0 : µ = 1000, H1 : µ 6= 1000
À IO
©Ù ‘ÅCþ
Z=
X̄ − µ
√ ∼ N (0, 1).
σ/ n
64/90
(2)
H0 : µ = 1000•ýž, u ÚOþ
Z=
X̄ − 1000
√
∼ N (0, 1)
σ/ n
(3)À α = 0.05, §´˜‡é
ê, Kdž Vǯ‡(H1 eZ
Šª³)•
X̄ − 1000
√
| ≥ C) = 0.05
P (|
σ/ n
65/90
IO
©ÙL, ©
XJŠâ
* Š¦
êC = z0.025 =1.96, ¡z0.025 •
Vǯ‡u) , =
|
KATáý
b ,
.Š,
x̄ − 1000
√ | ≥ z0.025
σ/ n
¡
(−∞, −1.96]½[1.96, +∞)
• b
áý•.
66/90
(4)OŽu ÚOþ * Š. rx̄ = 1100, σ = 200, n = 20“\
z=
1100 − 1000
√
= 2.236
200/ 20
(5)‰ ä. ' z êŠÚ .Šz0.025 , du|z| = 2.236 > 1.96, =Z
êŠá3áý•¥, Káý b .
•Ò´`, U? j
•Y± ,
Æ·kwÍCz. qZ *
Šá3màáý•¥, ¢SþÆ·Jp .
67/90
‰Ñþã ä
n´ V Ç n , α = 0.05´ VÇ, é
˜|*
Š´˜gÁ (J, OŽ u ÚOþZ * Šá3 Vǯ‡u)
«•, = — Vǯ‡u) , dd ä b Øý, l áý b
µ = 1000, Œ±@•µÚ1000kwÍ É.
68/90
XJÀ α = 0.01, .Šz0.005 = 2.58, du|Z| = 2.236 < 2.58, =Z
êŠvká3áý•¥, ™ — Vǯ‡u), ¤±vkndáý b
, Œ±@•U? j
•Y ,
Æ·Ú±
µ = 1000vkwÍ
É. ddŒ„, b u
(؆w Í5Y ²αk
k— ƒ ' X .
69/90
XJdKU•Á¯
Æ·´ÄkwÍJp? ²(b u ´üýu
(1)H0 : µ=1000 H1 : µ>1000
(2) H0 •ýž, u ÚOþ
Z=
(3)‰½wÍ5Y²α = 0.05,
P(
,
X̄ − 1000
√
∼ N (0, 1)
σ/ n
Vǯ‡•
X̄ − 1000
√
≥ z0.05 ) = 0.05
σ/ n
70/90
IO
© êL,
.Šz0.05 = 1.645, Káý••[1.645, +∞).
XJŠâ
êâ, Z * Šá3[1.645, +∞)¥, K¡Z * Š Œ,
áýH0 , ÉH1 .
(4)OŽu ÚOþ * Š
z=
1100 − 1000
√
= 2.236
200/ 20
71/90
(5)‰ ä. ' z êŠÚ .Šz0.05 , duz > 1.645, =Zá3áý•
¥, Káý b H0 , Œ±@•, U? j
•Y ,
Æ·kw
ÍJp.
72/90
b u
A‡‡
‡:
(1) lJÑ
Àb w, ©üýu ÚVýu
u ÚO3 Àb e
Šª³û½.
. áý•
Ø
ªd
(2) w Í5Y ²α´
´‹ 1˜a †Ø •ŒVÇ . ·‚`3wÍ5Y
²αeáý b
ä, ¿•
b •ýžd
‰Ñáý b
ä, ‹ ä†Ø ŒU5Œ –õ´α.
73/90
(3) À u
ÚOþ´b u
'…¯K.
(4) b u
Ä gŽ´^ Vǯ‡ n.
b •ýž, wd
d¬ )Û« J. XJ —˜‡“ Vǯ‡”u), K@• b
Øý, l áý b , ÄKØáý b .
74/90
b u
Ú½
1
Šâ¢S¯KJÑH0 , H1 .
2
3H0 e(½u ÚOþ9Ù©Ù.
3
•Ä
ǯ‡
5guH0 ÚH1 éA oNžu ÚOþ
/ª, ŠâH1 ••(½áý•.
4
òêâ“\u ÚOþ.
5
Šâáý•, ‰Ñ ä.
É, (½ V
75/90
oNb u
oNVýb
1
2
3
u
Ú½ I
Ú½
Š â¢S ¯KJ ÑH0 , H1 .
3 H0 e (½u ÚOþ 9Ù© Ù. l
oN 6‡
‡® • Ä
© Ù(ü
ü
!V
oN ‡3‡
‡)¥
¥À ˜‡• ¹k– u ë êθ9
9
Ù: O, ±9Ù ¦ ® •ëê ½™•ë ê : O, P• Y .5
5
¿òY ¥ ëêθ •H0 e ä NŠ.
•Ä
5gu H0 ÚH1 éA oN žu ÚOþ
É, (½
Vǯ‡ /ª , Š âH1 •• (½áý •. ~X
5 gH0 ,
KY Cu 0;
5gH1 , KY Ø C0, 7, ÷v
P {Y < Y1−α/2 ½ Y > Yα/2 } = α.
K{Y < Y1−α/2 ½Y > Yα/2 }Ò
Ò´ V Ç ¯ ‡ , = á ý • . d u Y
©Ù ˜½´ oŒ©Ù (N (0, 1)!
!χ2 !t!
!F )¥
¥ ˜‡, Ù©
:Yα/2 , Y1−α/2 Œ L .
76/90
oNb u
4
5
Ú½ II
duY ¥vk™•ëê, òêâ“\u
Šâáý•, ‰Ñ
Ä K É H0 .
oNü
üý b
u
ÚOþ.
ä. e {Y < Y1−α/2 ½Y > Yα/2 }, Ò á ýH0 ,
Ú½
XJ ´†ý u ½ mýu , ²L' u ÚOþ Y 3H0 ÚH1 éA
oNž
É, •Iò P {Y < Y1−α/2 ½Y > Yα/2 } = α†
†¤
P {Y < Y1−α } = α½
½P {Y > Yα } = α.
d ž, á ý• ©O• {Y < Y1−α }½
½{Y > Yα }.
77/90
~5.12
Šâ] w«, ,ó‚)
¶« ¦^Æ·(ü : h)
X ∼ N (1020, 1002 ). yl•C)
˜1 ¬¥‘ÅÄ 16‡, ÿ
²þÆ·•1080 h. Á30.05 wÍ5Y²e, äù1¶« ¦^Æ
·´ÄkwÍJp?
).
ŠâK¿JÑb •
H0 : µ ≤ 1020,
ù´ü
oNéµ
A¦^u ÚOþ
H1 : µ > 1020.
mýu ¯K, …σ 2 ®•, ¤±3H0 ¤á œ¹e
Z=
X̄ − µ
√ ∼ N (0, 1),
σ/ n
78/90
5¿Z¥ µ÷vµ ≤ 1020. duÚOþZ3H0 e Cu0,
Œ, u´
X̄ − µ0
√ > zα ≤ P (Z > zα ) = α,
P
σ/ n
n
o
√ 0 > zα .
áý•• X̄−µ
σ/ n
3H1 e
®•n = 16, x̄ = 1080, µ0 = 1020, σ = 100, “\
1080 − 1020
√
= 2.4 > 1.645 = z0.05 ,
100/ 16
ÏdATáýH0 , ÉH1 . •Ò´`30.05 wÍ5Y²e, ù1¶«
¦^Æ·kwÍJp.
79/90
~5.13
,ÃÅ) ‚[3Ù\D2w¥, (¡¦‚)
²þžm– •71.5 h. ŸuÜ€u
T‚)
–Åžm©O•
,¬ýÃÅÙ–Å
ù«ÃÅ6Ü,
69 68 72 70 66 75
b ÃÅ –ÅžmX ∼ N (µ, σ 2 ), d
êâUÄ äT2wkТ
ž¤öƒv? 30.05 wÍ5Y²e, )‰T¯K.
).
‡u T¯K, dK¿, JÑb :
H0 : µ = 71.5,
ù´ü
oNéµ
^u ÚOþ
H1 : µ < 71.5.
†ýu ¯K, …σ 2 ™•,
t=
3H0 ¤á œ¹e¦
X̄ − µ0
√ ∼ t(n − 1),
S/ n
80/90
5¿t¥
u´
´µ0
šµ. duÚOþt3H0 e Cu0,
3H1 e
,
P {t < t1−α (n − 1)} = α,
áý••{t < t1−α (n − 1)}.
®•n = 6, x̄ =
6
P
s
xi /6 = 70, s =
i=1
\
t=
6
P
(xi − x̄)2 /5 = 3.2, µ0 = 71.5, “
i=1
70 − 71.5
√ = −1.15 > −t0.05 (5) = −2.015,
3.2/ 6
AT ÉH0 , =30.05
ƒv.
wÍ5Y²e, ØU@•T2wkТž¤ö
81/90
~5.14
,ó‚)
Új †»X ∼ N (µ, σ 2 ), yl,F)
Új¥Ä
9‡, ÿ
• •s2 = 0.252 , 30.05 wÍ5Y²eŒÄ@•oN
• σ 2 = 0.362 .
).
dK , JÑb
H0 : σ 2 = 0.362 ,
ù´ü
þ
oNéσ 2
H1 : σ 2 6= 0.362 .
Výu ¯K, 3H0 ¤á œ¹e¦^u
χ2 =
ÚO
n−1 2
S ∼ χ2 (n − 1).
0.362
82/90
duÚOþχ2 3H0 e Cun − 1,
3H1 eØ Cun − 1, u´
P {χ2 < χ21−α/2 (n − 1) ½χ2 > χ2α/2 (n − 1)} = α,
áý••{χ2 < χ21−α/2 (n − 1) ½χ2 > χ2α/2 (n − 1)}.
χ20.025 (8) = 17.535,
®•n = 9, s2 = 0.252 , “\ χ2 = 625
162 ≈ 3.858,
χ20.975 (8) = 2.180, ¤± É b H0 , @•oN• σ 2 = 0.362 .
83/90
~5.15
,úikü`!¯ü‡©‚, úi+n @•`©‚ó< )
LJ
pu¯©‚ó< )
Ç. yl`©‚‘ÅÄ 10¶ó<) ,«ó
‡, ÿ ²þ¤^žmx̄ = 20©¨,
IO s1 = 4©; l¯©‚‘Å
Ä 20¶ó< ¤ƒÓ óŠ, ÿ ²þ¤^žmȳ = 24©¨,
IO
s2 = 5©¨. b ó<) ù«ó‡¤^žmþÑl
©Ù, …oN
• ƒ . 30.01 wÍ5Y²e, ´ÄŒ±@•úi+n
䴌
‚ ?
).
dK , JÑb
H0 : µ1 = µ2 ,
H1 : µ1 < µ2 .(½H0 : µ1 − µ2 = 0,
ù´V
oNéµ1 − µ2
œ¹e¦^u ÚOþ
t=
H1 : µ1 − µ2 < 0)
mýu ¯K, …σ12 = σ22 ™•, 3H0 ¤á
(X̄ − Ȳ ) − (µ1 − µ2 )
q
∼ t(n1 + n2 − 2).
Sw n11 + n12
84/90
duÚOþt3H0 e
Cu0,
3H1 e
, u´
P {t < t1−α (n1 + n2 − 2)} = α,
áý••{t < t1−α (n1 + n2 − 2)}.
®•n1 = 10, x̄ = 20, s1 = 4, n2 = 20, ȳ = 24, s2 = 5,“\
(20 − 24) − 0
= −2.75 < −t0.01 (28) = −2.47.
t= q
22.11
22.11
+
10
20
áýH0 , =30.01 wÍ5Y²e, Œ@•úi+n
.
ä´Œ‚
85/90
~5.16
˜[’/ muúiO
?˜1
, kü‡øÀûŒøÀJ.ùü[
øÀû
²þ¦^Æ· OØŒ, d‚•éƒC, •Ä ̇σÒ
´
¦^Æ· • Œ . XJ• ƒÓ, ÒÀJål C˜[øÀ
û?À.•d, úi+n< éü[øÀûJø
¬?1 uÿ, •
2
øÀû`Jø 20‡ ¬ • S1 = 3675.46, øÀû¯Jø 15‡
¬ • S22 = 2431.43. Á30.05 wÍ5Y²e, u ü[øÀû
¦^Æ· • ´ÄkwÍ5 É?
).
dK , JÑb
H0 : σ12 = σ22 ,
ù´V
þ
H1 : σ12 6= σ22 .(½H0 :
σ2
oNé σ12
Výu
2
F =
σ12
= 1,
σ22
H1 :
σ12
6= 1)
σ22
¯K, 3H0 ¤á œ¹e¦^u ÚO
S12
∼ F (n1 − 1, n2 − 1).
S22
86/90
duÚOþF 3H0 e Cu1,
3H1 eØ Cu1, u´
P {F < F1−α/2 (n1 − 1, n2 − 1)½F > Fα/2 (n1 − 1, n2 − 1)} = α,
áý••{F < F1−α/2 (n1 − 1, n2 − 1)½F > Fα/2 (n1 − 1, n2 − 1)}.
®•s21 = 3675.46, s22 = 2431.43,“\
F = 1.51.
F0.025 (14, 19) = 2.62,
F0.975 (19, 14) =
1
= 0.38.
F0.025 (14, 19)
du0.38 < 1.51 < F0.025 (19, 14) = 2.84,
ÉH0 , =30.05 wÍ5Y
²e, Œ@•ü[øÀû
¦^Æ· • vkwÍ5 É.
87/90
~5.17
˜[OŽÅ ¡‚(¡¦‚
¡ ¬ØÜ‚Ç››32%±e. ,˜[
>fúi ï ˜1 ¡, •
y´ÄÎ܇¦, ‘Å]ÀÑ300‡
¡ÿÁ, uyk10¡ØÜ‚. ¯ù1 ¡´ÄA ò£(α = 0.05)?
)
‡u ù1
¡´ÄÎ܇¦, ÄkJÑb
H0 : p ≤ p0 = 0.02, H1 : p > p0 = 0.02.
3H0 e, Cq
k
X̄ − p0
Z=p
∼ N (0, 1).
p0 (1 − p0 )/n
88/90
u´
(
P
=áý•• √
X̄ − p0
)
p
> zα
p0 (1 − p0 )/n
> zα .
= α,
X̄−p0
p0 (1−p0 )/n
®•
þn = 300,
þŠx̄ =
z0.05 = 1.645, “\êâOŽ
10
300 ,
wÍ5Y²α = 0.05,
L
0.033 − 0.02
p
= 1.65 > z0.05 = 1.645,
0.02 × 0.98/300
áý
b , ù1
¡A ò£.
89/90
15ÙŠ’
S K(P104-107)
2; 4; 7; 9; 11; 14;
15; 19; 20; 22; 26; 27
90/90