CONTENTS
TOPIC
( 1 )V e c t o r sa n d S c a l a r s
page
3
( 2 )U n c e r t a i n t i e s
8
( 3 )P h y s i c a
Ql u a n t i t i easn dS . l .U n i t s
3,6
( 4 )D i m e n s i o nAa nl a l y s i s
18
( 5 )L i n e a M
r otion
23
(6) Projectiles
33
(7) Newton'sLawsof Motion
40
( 8 )L i n e a M
r omentum
4t
( 9 )C i r c u l aM
r o t i o na n dG r a v i t a t i o n
52
(10) Effectsof Forces
77
( 1 1 )M o m e n t sa n d E q u i l i b r i u m
81
( 1 2 )E n e r g y
87
( 1 3 )S i m p l eH a r m o n iM
c otion
99
( 1 4 )W a v eM o t i o n
I20
(15)Reflection
& Refraction
(16)Diffraction
135
t48
( 1 7 )P h y s i cosf t h e E a r
1,52
( 1 8 )L e n s eas n dt h e E y e
( 1 9 )T h e r m aP
l hysics
1,54
163
( 1 8 )K i n e t i cT h e o r yo f M a t t e r
205
a
(19)Thermodynamics
2tl
( 2 0 )M e c h a n i c aPl r o p e r t i eosf M a t t e r 222
MODULE7
(1) PhysicalQuqntities
(2) S./.Units
(3) Motion
(4) Forces
(5) Energy
V E C T OA
RN DS C A L AQ
RU A N T I T I E S
scalaq
r u a n t i t i e sa r e p h y s i c aqlu a n t i t i etsh a t h a v em a g n i t u d oe n l y .
V e c t o rq u a n t i t i e sa r e p h y s i c aql u a n t i t i e st h a t h a v em a g n i t u d ea n d d i r e c t i o n .
S o m ee x a m p l e o
s f v e c t o r sa n d s c a l a r a
s r e g i v e ni n t h e f o l l o w i n gt a b l e :
SCALAR
VECTOR
Mass
Weight
Length
Displacement
Speed
Velocity
Energy
Acceleration
Power
Force
Temperature Momentum
density
E l e c t r i fci e l ds t r e n g t h
Time
pressu
re
C o mb i n a t i o n so f V e c t o r s :
( 1 ) P a r a l l evl e c t o r s ;
W h e nt w o o r m o r ev e c t o r sa c t p a r a l l etlo e a c ho t h e ro n a b o d y ,t h e i n d i v i d u avle c t o r sc a n b e
r e p r e s e n t e bd y a s i n g l ev e c t o rw h i c hw o u l d h a v ea m a g n i t u d eb e i n ge q u a lt o t h e S U M o f t h e
m a g n i t u d eos f t h e i n d i v i d u avl e c t o r s .
40N
T h er e s u l t a nvt e c t o ri s . :
2 0 N+ 3 0 N + 4 0 N = 9 0 N t o w a r d s
the right
e.g.
20N
( 2 ) A n t i - p a r a l l ev le c t o r s :
W h e nt w o v e c t o r sa c t A N T I P A R A L Lt E
o Le a c ho t h e r ,t h e r e s u l t a nvt e c t o rh a sa m a g n i t u d e
b e i n ge q u a l t ot h e d i f f e r e n c ien m a g n i t u d eosf t h e i n d i v i d u avle c t o r sa n dt h e r e s u l t a n t
d i r e c t i o nw i l l b e i n t h e d i r e c t i o no f t h e v e c t o rw i t h t h e l a r g e rm a g n i t u d e .
o0
T h e r e s u l t a nvt e c t o rh a sa
m a g n i t u do
ef :
8 5 N- 5 5 N= 3 0 Nt o w a r d s
the left
( 3 ) V e c t o r sa c t i n ga t a n a n g l e0 t o e a c ho t h e r ( V E R Y
I M P O R T A|N) ;
T h es o l u t i o nt o t h i ss i t u a t i o n
c a ne i t h e rb e d o n eg r a p h i c a l (l yi . e .b y s c a l ed r a w i n g o
) r by
calculation.
: n t h e m e t h o do f c a l c u l a t i o nt h, e v e c t o r sm u s tf i r s tb e R E S O L V EiD
. e. .t h e y m u s te a c hb e b r o k e n
d o w n i n t ot h e i ri n d i v i d u ahl o r i z o n t aclo m p o n e n t(sx - c o m p o n e nat n
) dv e r t i c acl o m p o n e n t s ( y component).
T h ec o m p o n e n t a
s r e t h e n g r o u p e dt o d e t e r m i n et h e r e s u l t a nht o r i z o n t aal n d r e s u l t a nvt e r t i c a l
components.
Pythagoras'Theorem.
T h ef i n a lr e s u l t a nct o m p o n e nits t h e nf o u n db y a p p l y i n g
e . g .C o n s i d ear v e c t o rA h a v i n ga m a g n i t u d eo f 6 0 Na n d a c t i n ga t a n a n g l eo f 3 0 ' t o a n o t h e rv e c t o r
l yss h o w n ;
e f 7 5 Na n da c t sh o r i z o n t a l a
B w h i c hh a sa m a g n i t u d o
60N
75N
l f A i s f i r s t r e s o l v e di ,t w i l l h a v ea v e r t i c a l
c o m p o n e not f 6 0 s i n 3 0 , a n d a h o r i z o n t a l
c o m p o n e not f 6 0 c o s3 0 .
T h ev e c t o rB h a sn o v e r t i c acl o m p o n e n ta, n d i t s
h o r i z o n t aclo m p o n e nits 7 5 N .
T h ec o m p o n e n tcsa nb e d i s p l a y eidn a t a b l ea s
follows:
y- comp.
Vector x - c o m p .
=
30N
A
6 0 c o s3 0 5 2 N 6 0 s i n 3 0 =
0
75N
B
=
30N
75+52 127N
Total
t a k 6 sw i t h t h e
T h ea n g l et h a t t h e r e s u l t a nm
h o r i z o n t acla nb e d e t e r m i n e df r o m t h e r e l a t i o n
onnostte
tan 0
adl acent
127N
0.236: 13,3o
T h e r e s u l t a nits t h e n f o u n df r o m P y t h a g o r a s
: 130.5N
Theorem, Le. rl3}\Trt
F i n dt h e r e s u l t a nvt e c t o ri n e a c hc a s e :
T h e 2 0 Nv e c t o rm a k e sa n a n g l eo f
3 0 " w i t h t h e h o r i z o n t awl h i l et h e
6 0 Nv e c t o rm a k e sa n a n g l eo f 4 0 '
w i t h t h e h o r i z o n t aa
l ,n d t h e 7 0 N
vectoractsverticallydownwards.
(1)
A n s :7 5 . 6 Na t 3 3 ob e l o wt h e h o r i z o n t a l
S o u t ho f E a s t
60kgms-i
Ans: 17Lkgmsa
- 1t
2 0 . 6 0b e l o wt h e .
h o r i z o n t asl o u t ho f
west
1
220kgms
(3)
3 3 7 Na t l - . 1 0a b o v et h e
h o r i z o n t anl o r t ho f e a s t .
400N
SOLUTIONS
(1)
T h eT O T A Lo f t h e h o r i z o n t a l
c o m p o n e n tiss :
2 0 Nc o s3 0 + 6 0 Nc o s4 0 = 6 3 . 2 8 N
T h eT O T A Lo f t h e v e r t i c acl o m p o n e n t s
is
- ( 2 0s i n 3 0 ) N+ 6 0 s i n4 0 N- ( Z O t t =
tl41.4N
63.28N
T h em a g n i t u d o
e f t h e r e s u l t a ni ts f o u n d
u s i n gP y t h a g o r a T
s 'h e o r e m
R : J ( 4 1 . 4 2+ 6 3 . 2 2 = 7 5 . 6 N
T h e d i r e c t i o no f t h e r e s u l t a nits f o u n df r o m
t h e a n g l e0 .
tan9 :
41,.4
6328;
0 - 33"
The total of the verticalvectors
is:
=- l-60kgms-1
(60-220)kgms-1
T h et o t a l o f t h e h o r i z o n t a l
vectorsis :
1
120kgms
-60kgms-1
(-180+1,20lt
kgms-1=
220kgms-1
Theresultant
vectorisequalto:
,l160r+60, -LTrkgms-r
tan?
60kgms-1
60
0 0. 6. 6"
: 0 : 22
160;
The total of the horizontalvectorsis :
(3)
480N-400N+ (400cos50)= 337N
T h et o t a l o f t h e v e r t i c acl o m p o n e n t iss :
( 4 0 0s i n 5 0 ) 3
- 0 0 =6 . 4 N
337N
-4
6.4N
T h e m a g n i t u d eo f t h e r e s u l t a nits
h?,
tan g :
+ 6nz - 337.!N
6'4
trt;
o : r'Lo
U N C E R T A I N TIINEM
SEASUREMENTS
W h e n e v ear m e a s u r " r . n i i s m a d e ,t h e r ew i l l b e s o m eu n c e r t a i n tiyn i t s i n c ei n s t r u m e n t cs a n n o t
r i l l l i m i t h i sa c c u r a c y .
g i v ea r e a d i n gt h a t i s 1 . 0 0 % a c c u r aat en,d a l s ot h e s k i l lo f t h e o b s e r v ew
:
t
w
o
t
y
p
e
s
a
r
e
o
f
T h e u n c e r t a i n t i et sh a t o c c u ri n a l l m e a s u r e m e n t s
( a ) R a n d o mU n c e r t a i n t i e s
( b ) S y s t e m a t iucn c e r t a i n t i e s
t h e e x p e r i m e n t ecra n n o tr e p e a th i sa c t i o n sp r e c i s e l y
R A N D O Mu n c e r t a i n t i e so c c u rb e c a u s e
. h e r a n d o mu n c e r t a i n t i ehsa v ea n e q u a l
r f r e a d i n gasb o u ts o m em e a nv a l u e T
causina
g s c a t t eo
, a t i s ,t h e yc a nb e e i t h e rh i g h e ro r l o w e rt h a nt h e m e a no r
o r n e g a t i v et h
c h a n c eo f b e i n gp o s i t i v e
a c c e p t e dv a l u e .
T h e s er a n d o mu n c e r t a i n t i ebse c o m eo b v i o u sw h e n a n e x p e r i m e n t et r i e st o o b t a i nt h e t i m e
. a c hs e t o f r e a d i n g w
s i l l d i f f e rf r o m t h e o t h e r
i n t e r v afl o r a b o u tt w e n t yf i v e s w i n g so f a p e n d u l u mE
s f a s e c o n dT. h i sd i f f e r e n c ei n t i m e m a y b e d u e t o ;
by a few hundredtho
(i)
t i m eo f t h e o b s e r v e r
C h a n g eisn r e a c t i o n
(ii)
T h e e x a c tp o i n t so f s t a r t i n ga n d s t o p p i n gm a yv a r y '
in a set of readings,determinesthe
The magnitudeof the RANDOMUNCERTAINTY
P R E C I S I OoNf t h e e x p e r i m e n t .
ErSe d u e t o e i t h e rf a u l t ye q u i p m e n ot r c o n s i s t e n t lpyo o r
S Y S T E M A TU
I CN C E R T A I N T I a
o r a c o m b i n a t i oonf b o t h .
t el c h n i q u e
experimenta
thatis
F i r s t l y i,f a n i n s t r u m e ni ts n o t p r o p e r l yc a l i b r a t e dt h, e r ew i l l b e a f a u l ti n a n yr e a d i n g
as s y s t e m a t i c
i
n
t
r
o
d
u
c
e
i
n
s
t
r
u
m
e
n
t
i
n
a
n
r
e
a
d
i
n
g
z
e
r
o
e
r
r
o
r
a
A
l
s
o
i
n
s
t
r
u
m
e
n
t
.
f
r
o
m
t
h
a
t
obtained
i
t
s h o u l db e
g
i
v
e
s
w
h
e
n
r
e
a
d
i
n
g
a non-zero
u n c e r t a i n t yA. z e r oe r r o rm e a n st h a t t h e i n s t r u m e n t
g i v i n ga z e r or e a d i n gT. h i si s m o s t l yc o m m o nw i t h a n a l o g u ea m m e t e r sa n dv o l t m e t e r s . t h e ri se
h e z e r oe r r o r .
u s u a l l ya n a d j u s t m e nst c r e wt o s e t t h e p o i n t e rt o z e r oi n o r d e rt o E L I M I N A Tt E
a
n
g
l ef r o m a v e r t i c a l
S e c o n d l yi f, a n o b s e r v e cr o n s i s t e n t lkye e p sh i se y e l e v e l a t s o m ee l e v a t e d
s c a l er e a d i n gt ,h e nt h e r ew i l l b e a p a r a l l aex r r o ri n e a c ho f t h e r e a d i n ghs e o b t a i n s .
I n b o t h c a s e st,h e s y s t e m a t i cu n c e r t a i n t yi n t r o d u c e dw, i l l r e s u l ti n a l l o f t h e r e a d i n g tsa k e nt o b e
f a u l t yi n o n e d i r e c t i o n , i .eei.t h e ra l l h i g h e ro r a l l l o w e r t h a nt h e a c c e p t e vda l u e .
of
in a set of readings,determinesthe ACCURACY
UNCERTAINTY
The magnitudeof the SYSTEMATIC
the experiment.
6)f
Y/
or
g h i c ht y p e o f u n c e r t a i n t iys a s s o c i a t ewd i t h e i t h e rp r e c i s i o n
A s i m p l ew a y o f r e m e m b e r i n w
"
p
"
r
e
p
r
e
s
e
nt
t
o
"
P
R
E
C
l
S
l
O
N
"
.
i
s
u
s
e
d
l
e
t
t
e
r
f
i
r
s
t
l
f
t
h
e
o
f
a c c u r a ciys t o o b s e : e t h e s p e l l i n g
t andoml
P r r c i s i o nt ,h e n t h e s e c o n dl e t t e r" r " w i l l r e p r e s e nR
G r a p h i c arle p r e s e n t a t i o nosf S Y S T E M A TuI C
n c e r t a i n t i easr e g i v e na sf o l l o w s :
Accepted
value
Accepted
H e r et h e r e a d i n g a
sre
e i t h e ra l l h i g h e ro r a l l
l o w e rt h a nt h e
a c c e p t e dv a l u e .
A g r a p h i c arle p r e s e n t a t i oonf R A N D O Mu n c e r t a i n t i ei s g i v e na sf o l l o w s :
Accepted
value
N o t et h a t i n t h i sc a s e t, h e
readinga
s r e b o t h a b o v ea n d
b e l o wt h e a c c e p t e d
value.
A p r e c i s es e t o f r e a d i n g sh a sa s m a l lR A N D O Mu n c e r t a i n t ya,n d a n a c c u r a t es e t o f r e a d i n g h
s a sa
s m a l lS Y S TMEA T I Cu n c e r t a i n t y .
f w o s e t so f r e a d i n g a
s r ed i s p l a y e o
d n a p r o b a b i l i t cy u r v ea s s h o w n :
T h ev e r t i c asl o l i dl i n e
r e p r e s e n ttsh e a c c e p t e do r
'true'value,
w h i l et h e b r o k e n
l i n er e p r e s e n ttsh e
measured
value
E
T h eg r a p hA s h o w sa n a c c u r a t ee x p e r i m e not f l o w p r e c i s i o nw, h i l e B s h o w sa p r e c i s e
e x p e r i m e . :ot f l o w a c c u r a c yE. x p l a i!n
s r ea sf o l l o w s :
T h e e x p l a n a t i o fno r t h e p r e v i o u sg r a p h i c adl i s p l a y a
s n b o t h s i d e so f t h e a c c e p t e dv a l u e ,h e n c et h e r e
I n d i a g r a mA , t h e r e i s a w i d e s p r e a do f r e a d i n g o
s r e n o t f o u n do n o n e
g l o w p r e c i s i o nA. l s o ,t h e r e a d i n g a
i s a l a r g er a n d o mu n c e r t a i n t iyn d i c a t i n a
u
n
c
e
r t a i n tw
y h i c hm e a n s
i
s
s
m
a
l
l
s
y
s
t
e
m
a
t
i
c
t
h
a
t
t
h
e
r
e
a
v
a
l
u
e
,
i
n
d
i
c
a
t
i
n
g
s i d eo f t h e a c c e p t e d
t h a t t h e a c c u r a c iys h i g h .
v a l u e ,h e n c et h e r e i s a l a r g e
s r e m o s t l yo n o n e s i d eo f t h e a c c e p t e d
I n d i a g r a mB ,t h e r e a d i n g a
s y s t e m a t iuc n c e r t a i n t iym p l y i n gt h a t t h e a c c u r a c iys l o w .A l s o ,t h e s p r e a do f r e a d i n g iss r e l a t i v e l y
ishigh.
s m a l li n d i c a t i n tgh a t t h e r a n d o mu n c e r t a i r r ti ys s m a l lw h i c hm e a n st h a t t h e p r e c i s i o n
s b t a i n e db y f o u r i n d i v i d u a lws h o m w e l a b e la s A , B , C a n d
C o n s i d etrh e f o l l o w i n gs e t so f r e a d i n g o
D.
E a c hi n d i v i d u aol b t a i n e dv a l u e so f t h e a c c e l e r a t i odnu e t o g r a v i t yb y t h e s a m ee x p e r i m e n t a l
p r o c e d u r ea n d t h e r e s u l t sa r e d i s p l a y e a
d sf o l l o w s :
A
B
9.81
8.68
c 9.70
D 7.73
9.84
8.66
9.80
7.73
9.83 9.82
8.6s 8.64
9.82 9.88
7.74 7.72
T h e a c c e p t e dv a l u eo f a c c e l e r a t i odnu e t o g r a v i t yi s 9 . 8 1 m s - '
s i t h t h e w o r d sH i g ho r l o w .
f i t ti n t h e b l a n ks p a c e w
precision.
a c c u r a c ay n d_
T h e r e a d i n g fsr o m A h a v e
precision.
a c c u r a cayn d_
T h e r e a d i n g fsr o m B h a v e
p
recision.
a c c u r a c ay n d_
T h e r e a d i n g fsr o m C h a v e
precision.
a c c u r a c ay n d_
T h e r e a d i n g fsr o m D h a v e
Reductionof uncertainties:
Dy t a k i n gr e p e a t e dm e a s u r e m e n tasn d f i n d i n ga n a v e r a g e
R a n d o mu n c e r t a i n t i ecsa nb e R E D U C E b
b e c o m p l e t e l ye l i m i n a t e d .
v a l u e .H o w e v e tr h e y C A N N O T
S y s t e m a t i cu n c e r t a i n t i ecsa nb e R E D U C EaDn d E L I M I N A T EbDy r e c a l i b r a t i oonf i n s t r u m e n t us s i n g
nf a
. .h
, e nt h e s y s t e m a t iuc n c e r t a i n t iyd d u e e n t i r e l y t oa f a u l t yc a l i b r a t i o o
s t a n d a r di n s t r u m e n Lw
z e r oe r r o r .
10
C a l c u l a t i o ni ns v o l v i n gu n c e r t a i n t i e s
l n a n y e x p e r i m e n tw, h e n a r e a d i n gi s o b t a i n e dt,h e v a l u eo f t h e r e a d i n gt o g e t h e rw i t h i t s
u n c e r t a i n t iys r e c o r d e dF. o re x a m p l ei,f a m e a s u r e m e ni st m a d ew i t h a m e t r er u l ea n d a l e n g t ho f
3 6 O m mi s m e a s u r e dt,h e n t h e r e a d i n gi s w r i t t e na s ( 3 6 0 * 1 ) m m
T h e * 1 m m i s c a l l e dt h e A B S O L U TuEn c e r t a i n t iyn t h e m e a s u r e m e n t . ( s o m e t i mc e
a sl l e dt h e a c t u a l
uncertainty)
T h e r e a d i n ga n d t h e a b s o l u t eu n c e r t a i n t m
y u s th a v et h e s a m eo r d e ro r t h e s a m en u m b e ro f
. e n c ew e c a n n o tw r i t e a r e a d i n gs u c ha s ( 3 4 * 0 . 1 ) c ms i n c et h i s i m p l i e st h a t t h e r e
d e c i m ap
l l a c e sH
i s a n u n c e r t a i n to
y f 0 . 1 c m b u t t h e r e a d i n gi n d i c a t etsh a t t h e i n s t r u m e nct a no n l y m e a s u r ew h o l e
u n i t s , i . ei t. c a n n o tm e a s u r eu p t o 0 . 1 c m .
T h e c o r r e c tw a y o f r e c o r d i n g
t h e a b o v er e s u l ti s ( 3 4 . 0 * 0 . 1 ) c m .
When two or more readinesare combinedeither bv additionor subtraction,the ABSOLUTE
UNCERTAINTIES
AREALWAYSADDED.
F o re x a m p l ec, o n s i d etrh e t w o s e t so f r e a d i n g A
s andB.
4 = ( 4 5 . 5* 0 . 3 ) c m , n OL = ( 7 8 . 2 1 0 . 2 ) c m
l f C = A + B , t h e n6 = ( 4 5 . 5+ 7 8 . 2 )+ ( 0 . 3 +0 . 2 ) = ( j , 2 3 . 7* 0 . 5 ) c m
lfD=B-A,theng=(78.2-45.5) +(0.3+0.2)=(32.7*0.5)cm.Noteherethattheabsolute
u n c e r t a i n tw
y a sn o t s u b t r a c t e d .
11
UNCERTAINTIES
OR PERCENTAGE
When quantitiesare multipliedor divided,their FRACTIONAL
a r ea d d e d .
C o n s i d etrh e r e a d i n gA = ( 4 5 . 5* 0 . 3 ) c m . T h ef r a c t i o n aul n c e r t a i n t iyn A i s e q u a lt o :
0.3
A,a 0.3
l00o/o
and the percentage uncertatnty tt
+*+x
-*
i
l f Q = A B ,t h e n ;
Lq
_A,a *L,b
AAB
W h e r eA q , A a a n d A b r e p r e s e ntth e a b s o l u t eu n c e r t a i n t i ei sn Q , A a n d B r e s p e c t i v e l y .
A l s to)fAz' Z- BBA^, t n *
o:
-*
*o:
: P - M 3 ' t l t e n P- M x M x M
l f w e h a v e a n e x p r e s s i o n g i vb ey n
Lp
_
a^
*y
PMMMM
*a- _ zL^
nLx
Lv
In general, f or any equatton of tlte f ormY : Xn,f would be equal to
X
12
T U T O R I ASLH E E T
C o n s i d et rh e f o l l o w i n gp a r a m e t e r:s
A = 7 5 . 3* 0 . 4 c m , B = 2 8 . 2 2 * 0 . 1 2 c m, P =( 1 2 0 0 0 + I 2 O l Paan d r = ( I 2 + 1 ) m m .
( 1 ) ( i ) l fD - A + 8 ,d e t e r m i n e
t h e v a l u eo f D t o g e t h e w
r i t h i t su n c e r t a i n t y .
( i i )W h a t i s t h e p e r c e n t a guen c e r t a i n tiyn D ?
(Ans1
[ 0 3 . 5 21 0 . 5 2 ] c m
;0.5%
( 2 ) ( i ) l f X =A - B ,d e t e r m i n et h e v a l u eo f X t o g e t h e rw i t h i t s a b s o l u t ea n d p e r c e n t a g e
u n c e r t ai n t i e s .
i i ) l f W = A t 8 3 'd e t e r m i n et h e v a l u eo f W a n d c a l c u l a t e
i t s f r a c t i o n aul n c e r t a i n t y .
(iii)
H e n c ed e t e r m i n e
theabsolute
u n c e r t a i n tiyn W .
( A n s :[ 4 7 . 0 8 1 0 . 5 2 ] c 1m, ;. 1 %W; = 1 . 2 7x 1 O 8 c mO
s ;. O 2 ; 2 . 5x4 1 0 6c m s l
( 3 ) T h eq u a n t i t yZ i s g i v e nb y t h e e q u a t i o n :
Z -
p213
AB
, calculate Z together witlt i.tspercentage and absolute uncertainties
(You must convert to standar d unttst!!
( A n s :1 , . 1 ,x7 L 0 3N 2 m - 3 ; 2 3 % ;t 2 6 9 N 2 m3 )
( 4 ) W h a t i s t h e f r a o t i o n aaln da b s o l u t eu n c e r t a i n t i ei ns M i f M i s d e f i n e db y t h e e q u a t i o n :
o'
,
,
(A_B)
M-
( H i n t t: h e m a g n i t u d o
e f M m u s tf i r s tb e c a l c u l a t e dl e; t ( A - B ) =
6)
( A n s : M =3 0 6 P a ,f r a c t i o n aul n c e r t a i n t=y 0 . 1 0 4 ;a b s o l u t e
= t32Pa)
( 5 ) T h e q u a n t i t yY i s g i v e nb y ;
pz
\/_
c a l c u l a t et h e v a l u eo f Y t o g e t h e rw i t h i r X ; ; l f , l , r . , r r , )
uncertainty.
( Y o um u s tc o n v e r t o s t a n d a r du n i t sb e f o r ea t t e m p t i n gt h e c a l c u l a t i o nssi n c eN m 2 c a n n o t
be
d i v i d e db y c m 2 )
( A n s Y= 2 . 9 8x 1 0 1 0 N m
2 a ; t h e a b s o l u t eu n c e r t a i n tiyn Y i s c a l c u l a t eadsf o l l :
Let F :
4 2 - g z ; L e t G = A 2 a n d H : B 2 , h e n c eF - G - H
AF
AG
AH
F=G-11
AF
Hettce:=
F
AY AK AF
-_
- *-;_0.02
YKF
AG
;butG-
zLA
zLB
t_:
A
B
2AA
AH
Aandpl=
2 (0 . 4 \
-+
75.3
2AB
B
2 (0 . 1 2 \
:0.02
28.'2',2
L+
Let
P2: K, ro -ry - .':t'?)-: o,oo2
1(
P
1.2x1,05
+0.002:0.022; AY -0.022x2.98 x1010:6.6x108N2m-4
13
SOLUTIONS
( 1 )D = A + B a n dA d = A a + A b ; D = 7 5 . 3+ 2 8 . 2 2 =1 0 3 . 5 2j A d = 0 . 4 + 0 . I 2 = 0 . 5 2
( i ) H e n c eD + A d = ( 1 0 3 . 5 2 * 0 . 5 2 ) c m
(it)Percentage uncertatnty In D :
Ld
0.52
* 7000/o:j.03SZx 100%- 0.50/o
t
(2) (i) X= A- 3= = (75.3-28.22\+(0.4+ 0.I2)= (47.08+0.52)cm
0.52
L00o/o- L.\o/o
Percentage uncertainty tn X :
4T.*Bx
( i i ) W - A 2 B 3 : 7 5 . 3 2x 2 8 . 2 2 3: 1 . 2 7 x I T g c m s
StncetheabovereIattontsaproduct,o#_ry-ry=#-#:0.02
T h e a b s o l u t eu n c e r t a i n t iyn W i s A w .
W - 1 , . 2 7 x1 0 8o n a Y
- 0 . 0 2 ; h e n c eL w : 0 . 0 2 x 1 . 2 7 x l - 0 8 - 2 . 5 4 x 1 0 6 c m s
VV
P
(3)Z - -#:
AB
=L.77x 103N2m-3
+
0 . 7 5 3x 0 . 2 E z z
Lz
ZLn
-;::T-T-T:
3Lr
L,a
Lb
B
ol+ 6.t,
L,z: z x tzoz 3 /1
o ' 2 3: 2 3 o / o
*
*
z*z* zgn:
:]noo n
z
L z - 0 . 2 3x Z - 0 . 2 3 x 1 . 1 7x 1 , 0 3: 2 6 9 N z m - 3
Note that in the first calculationit was important to convert ALLof the units to standard
'
units,sincewe cannotcombinecm with mm and Pascals.
Howeverin calculatingthe fractionaluncertainty,there is no need to convert,since
eachfractionaluncertaintyis a ratio, and the ratio is unaffectedby whether the units
are standardor not.
14
(4) M :
@
Pr
_ B);
Lm
L e t ( A - B ) : C ; h e n c eM Ap
Lr
Pr
;
A,c
M:T-;-7,
S i " n cCe: ( A - B ) ; t h e n A c- A a * A , b : 0 . 4 + 0 . 1 2 - } S Z c m
g - (75.3- 28.22): 47.}Bcm
Lm
-_
120
M
12000
1. 0.52
*' - * _ -'^ ^ - 0 . 1 , 0v4' ^; v r ' M 12
47.08
12000x 0.012
-306pa
0.4708
L m - 0 , 1 0 4 x 3 0 6- 3 2 P a
15
s.l.uNlTs
in two groupsi'e'
canbeclassified
Physical
Quantities
T h e B A S Eo r f u n d a m e n t aql u a n t i t i e sT- h e s ea r e c o n s i d e r etdo b e i n d e p e n d e n t
s n dt h e i r c o r r e s p o n d i nugn i t sa r e
q u a n t i t e sT. h e s e v e no f t h e b a s eq u a n t i t i e a
g i v e ni n t h e t a b l eb e l o w :
(i)
S . l .U n i t S y m b ofl o r q u a n t i t Y
Quantitv
M
Kilogram
Mass
L
M
e
t
r
e
Length
T
Second
Time
A
m
p
e
r
e
Electricurrent
n
Kelvin
Temperature
Iu
C
a
n
d
e
l
a
L u m i n o u sI n t e n s i t Y
N
A m o u n to f s u b s t a n c e M o l e
(ii)
S y m b ofl o r u n i t
kg
m
S
A
K
cd
mol
T h e D E R I V EoDr s e c o n d a rqy u a n t i t e sT- h e s eo r g i n a t ef r o m t h e b a s eq u a n t i t e sa n d
a r e u s u a l l yc o m b i n a t i o nosf t h e b a s e sq u a n t i t e so r o n e b a s eq u a n t i t yr a i s e dt o
s o m ee x p o n e n t i aPl o w e r .
s f d e r i v e dq u a n t i t i e sa n dt h e i r c o r r e s p o n d i nugn i t sa r e g i v e n
Someexampleo
below.
QuantitY
Speed
M o m e n t um
Density
Area
Units
re
Pressu
N m - 2 =P a
Force
lmpulse
Energy
Electricharge
N =k g m s '
ms-t
kgms-t
kgr'
m'
N s = kgms-1
J=Nm=kgm's-'
C=As
F o re x a m p l e
T h e u n i t sf o r t h e d e r i v e dq u a n t i t i e sa r e o b t a i n e df r o m t h e e q u a t i o n tsh a t d e f i n et h e m .
m
u
l
t
i
p
l i e db y t h e u n i t so f
F o r c e= m a s sx a c c e l e r a t i o nh ,e n c et h e u n i t o f F o r c ei s e q u a lt o t h e u n i t o f m a s s
acceleration.
o f b a s eu n i t sf o r e n e r g ya n d p o w e rc a nb e d e t e r m i n e d .
S i m i l a r ityh e c o m b i n a t i o n
E__-.-
--.
16
T h eA v o g a d r oc o n s t a n its d e f i n e da st h e n u m b e ro f a t o m si n 0 . 0 1 2 k go f t h e C - 1 .i2s o t o p e .
l t h a sa n u m e r i c av ta t u eo f 6 . 0 2 x L 0 2 3 . L E A R N T H I S I I I .
The mole is the quantityof substancecontaininga numberof particlesequalto the Avogadro
constant.Henceone mole of substancecontains5.02x 1023particles.
M u l t i p l e sa n d s u b - m u l t i o l eosf u n i t s
Submultiplel
:.
10-3
Multiple
Prefix
.
lSymbol
milli
lPrefix
17
lSymbol
D I M E N S I O N AALN A L Y S I S
T h ed i m e n s i o nosf a p h y s i c aql u a n t i t yi n d i c a t eh o w t h e q u a n t i t yi s r e l a t e dt o t h e b a s i cq u a n t i t i e s
f r o m i t s d e f i n i n ge q u a t i o n
: o m e n t u m= m a s sx
F o re x a m p l et ,h e m o m e n t u mo f a b o d yi s g i v e nb y t h e d e f i n i n ge q u a t i o nm
velocity
T h eb a s eu n i to f m a s si s t h e I k g ]a n dt h e b a s eu n i t so f v e l o c i t ya r e I m s ' ] .
H e n c et h e u n i t so f m o m e n t u m= u n i t o f m a s sx u n i t so f v e l o c i t ya, n dw e w r i t e
[ m o m e n t u m=] f m a s sx] [ v e l o c i t y ]
t
[ m o m e n t u m=] k g m s
O R R E CoTr H O M O G E N E O Ui fSt h e d i m e n s i o n(so r
LY
A n e q u a t i o ni s s a i dt o b e D I M E N S I O N A LC
b a s eu n i t s )o n b o t hs i d e so f t h e e q u a t i o na r ee q u i v a l e n t .
F o re x a m p l ec, o n s i d ear n a f b i t r a r ye q u a t i o ng i v e nb y ;
F orce momentum
tpeed.
ti^,
1]
t o I k g m s - ' s -=t 11 k g m s - 3 ]
T h e u n i t so n t h e l e f t h a n ds i d ea r e I N s w h i c hc a n b e s i m p l i f i e d
1 mt s ] =
t+ms t] =
T h e u n i t so n t h e r i g h th a n ds i d ea r e I k g m s
tkgl
[kgms
H e n c et h e u n i t so n t h e l e f t h a n ds i d ea r e n o t e q u i v a l e ntto t h o s eo n t h e r i g h ts i d e ,s o t h a t t h e
e q u a t i o ni s N O Td i m e n s i o n a lcl yo r r e c t .
t o s e ei f e q u a t i o n sa r e d i m e n s i o n a l cl yo r r e c tt,h e d i m e n s i o n aaln a l y s icsa n b e
A p a r tf r o m c h e c k i n g
u s e dt o h e l pd e r i v ee q u a t i o n si f w e k n o ww h a t q u a n t i t i e sa r e i n v o l v e d .
F o re x a m p l et h e s p e e do f w a t e rw a v e si s b e l i e v e dt o b e d e p e n d e nut p o nt h r e eq u a n t i t i e s:
( i ) a c c e l e r a t i odnu e t o g r a v i t y( i i )w a v e l e n g t h( i i i )d e n s i t yo f w a t e r . '
H e n c ew e c a nw r i t e v = k g t i - r ' f , ( k i s a d i m e n s i o n l e scso n s t a n t )
t h e v a l u e so f x , ya n dz .
D i m e n s i o na n
l a l y s icsa nt h e n b e u s e dt o d e t e r m i n e
, e h a v et h e u n i t sI m s
O n t h e l e f t s i d eo f t h e e q u a t i o nw
11
o n t h e r i g h ts i d e ,w e h a v eI r s ' ] * [ m ] vI k g m - 3 ] ' .
T h e b a s eu n l t so n t L e r i g h ts i d ec a n b e g r o u p e dt o g e t h e ra sf o l l o w s ;
'
[r,,,''*u[tg]'[s]''*
18
H e n c ei n e q u a t i n gl e f t a n d r i g h ts i d e sw
, e have;
t
I m ] [ s ] = [ m ] x + Y -I3k 'g ] '[ s ] - ' *
C o m p a r i n tgh e i n d i c e sf o r [ m ] , [ k g ]a n d [ s ] s e p a r a t e l yw, e g e t t h e f o l l o w i n gs i m u l t a n e o u s
equations:
( 1 ) [ m ] 1 = x +y - 3 2
( 2 ) [ k e ] 0 = z ( s i n c et h e r ea r e n o u n i t so f [ k g ]o n t h e l e f t s i d e )
- ! = - 2 x w h i c hi m p l i e s, :
(3) tsl
)
F r o me q u a t i o n( 1 ), i f w e s u b s t i t u t ze - 0 a n d .x - ! , t h e n y - :
H e n c et h e f i n a le q u a t i o nb e c o m e s :u : k r [ g A
W h e r ek i s a d i m e n s i o n l e cs os n s t a nat n dt h e v a l u eo f w h i c hc a no n l yb e d e t e r m i n e fdr o m
experiment.
19
SHEET
TUTORIAL
( 1 ) A s t u d e n tp r o p o s e tsh a t w h e n a p r o j e c t i l ei s l a u n c h e dw i t h a n i n i t i a vl e l o c i t yu a t a n a n g l e
0 t o t h e h o r i z o n t a tl ,h e s p e e do f t h e p r o j e c t i l ea t a n yt i m e t a f t e rt h e l a u n c hi s g i v e nb y ;
v2: u2 -Sugtsing +2g2tz
D e t e r m i n ew h e t h e rt h e a b o v ee q u a t i o ni s h o m o g e n e o u s .
( H i n t :C h e c kt o s e ei f t h e f o l l o w i n gt e r m si n b r a c k e t e
s a c hh a v et h e s a m eu n i t s
(u') ; (Sug t s tn?) ; (2 92 t2)
( 2 1 T h e p e r i o do f o s c i l l a t i o on f a s i m p l ep e n d u l u mi s t h o u g h tt o b e d e p e n d e not n i t s l e n g t h ,
. s ed i m e n s i o n aaln a l y s itso d e t e r m i n et h e c o r r e c t
m a s sa n d a c c e l e r a t i odnu e t o g r a v i t y U
r e l a t i o nb e t w e e nt h e s eq u a n t i t i e s .
( A n s: ? "- 1 1 1 1 / z g - t,lw
, h e r e k i s a d i m e n s i o n l e scso n s t a n t )
2.
( 3 ) T h eg r a v i t a t i o n aclo n s t a nG
t h a su n i t so f N m 2k g T h e p e r i o d o f a s a t e l l i t eo r b i t i n ga
p l a n e t ,i s d e p e n d e nut p o nt h e m a s so f t h e p l a n e t t, h e r a d i u so f o r b i t a n dt h e g r a v i t a t i o n a l
c o n s t a n at c c o r d i n tgo t h e e q u a t i o nT : G x M r r t
B yf i n d i n gt h e v a l u e so f x , y a n d z o b t a i na n e x p r e s s i ofno r t h e p e r i o do f o r b i t o f t h e
satellite.
(Ans:x - -
,,-1,
(;)'v--G)
hence T -
20
p:
GII4
Solutionfor Question3:
T -
GxMyRz
F i r s t l yf,i n d t h e b a s eu n i t o f G
S i n c eG h a su n i t so f N m 2 k g -s2i,m p l i f yt h e u n i t so f N . R e c a ltlh a t t h e N e w t o n= 1 k gX L m s - 2
H e n c eu n i t so f G a r e Ik g m s ' m 2 k2g]w h i c hc a nb e s i m p l i f i etdo I k g1 m 3 2s ]
[?"]= s - [kg-1m3s-2]'[kg]Y[-]'
E q u a t i ntgh e t e r m s :
F o r t h e ' s ' t e r m w e h a v e 1 ,For the kg termwe have 0 -
- Z x ; h e n c ex : - ( )
- x * y ; h e n c e, : ) . *
a
F or the m term we h a v e 0 - 3 x *
S o t h e e q u a t t o n b e c o m e s T-
Z; Z=
3
z
G-t/tM-1/zp3/z
Wlticlt can be re - wrttten as T -
21
, ;y:-
p:
GI,4
(;)
Linear Motion,
Projectilesand
Collisions
IMPORTANT
FORMULAE
(L)v-u-rat
(2 ) vz : tLZ i Zqs
(3)s-9P'
(a)s -nt+|ot'
( 5 ) s- " t l t - l , o t '
(6 )m 1 u 1 I m2u2 - rft1u1* T,-ft2v2
,-. 1
,
L
t
1
only)
fn imfltr + )mzu|" - ;mfltr + )mzvl @tasticcottisions
(B) Impulse - Force x time - AreAunder
(9) Kinetic Ener
(10) Kinetic Energy :
gY-
*where
22
L
Force - time graph
2
r^up : momentum
LINEARMOTION
DISPLACEMENT;
W h e n a b o d yu n d e r g o eas c h a n g ef r o m o n e p o s i t i o na 1 t oa n o t h e rp o s i t i o na 2 i t i s s a i dt o h a v e
u n d e r g o n ea d i s p l a c e m e ngti v e nb y A a = d z -d r
T h e d i s p l a c e m e ni st a v e c t o rq u a n t i t ya n d i t s m a g n i t u d ei s e q u a lt o t h e l e n g t ho f t h e s t r a i g h lti n e
connecting
i t s i n i t i a lp o s i t i o nt o i t s f i n a lp o s i t i o n .
C o n s i d ear b o d ym o v i n ga r o u n dt h e c i r c u m f e r e n coef a c i r c l e s, t a r t i n ga t p o i n tA a s s h o w n :
T h e b o d ym o v e sa l o n gt h e p e r i m e t e fr r o m A t o B
t o C t o D a n dt h e n b a c kt o A .
I n o n e r e v o l u t i o nt ,h e D I S T A N CtEr a v e l l e di s e q u a l
t o t h e c i r c u m f e r e n coef t h e c i r c l e .
H o w e v e ri,n o n e c o m p l e t er e v o l u t i o nt h e b o d y
r e t u r n st o i t s s t a r t i n gp o i n t ,a n dt h e
D I S P L A C E M Ei sNzTe r o .
A l s oi n a h a l fr e v o l u t i o n, f r o m A t o C ,t h e d i s t a n c e
t r a v e l l e di s e q u a lt o h a l fo f t h e c i r c u m f e r e n c e
b ,u t
t h e m a g n i t u d eo f t h e D I S P L A C E M Ei N
s eTq u a lt o
t h e l e n g t ho f t h e s t r a i g h lt i n ec. o n n e c t i n A
g to C,
w h i c hi n t h i s c a s ei s e q u a lt o t h e d i a m e t e r .
T h e d i r e c t i o no f t h e d i s p l a c e m e ni nt t h i sc a s e i,s .
f r o m A t o C ( i . es. o u t h w a r d s )
SPEED:
The speedof a body is the rate of changeof its DISTANCE.
The AverageSpeedof a body is given
bythe relation:
T otal distance tr av eIIed
Average speed T otal ttme taken.
S p e e di s a S C A L AqRu a n t i t y a, n d i s t h e r e f o r en o t r e s t r i c t e d
t o R e c t i l i n e a( rs t r a i g hlti n e )m o t i o n .
VELOCIW:
T h ev e l o c i t yo f a b o d yi s t h e r a t eo f c h a n g eo f i t s D i s p l a c e m e nl t .i s a v e c t o rq u a n t i t y a, n d
t h e r e f o r er e f e r st o m o t i o ni n a s t r a i g h tl i n eo n l y .
A C C E L E R A T I:O
stNh e r a t eo f c h a n g eo f v e l o c i t ya n d i s a l s oa v e c t o rq u a n t i t y .
23
GRAPHS
( 1 ) W h e n a b o d ym o v e sw i t h a c o n s t a nvt e l o c i t yu m s - t t, h e d i s p l a c e m e natt a n yt i m e t i s
g i v e nb y
x=ut.
A g r a p ho f d i s p l a c e m e nvte r s u st i m e w i l l h a v et h e f o l l o w i n gs h a p e:
T h eg r a d i e n ot f t h e g r a p h
i n t h i s c a s e i, s c o n s t a nat n d
i s e q u a lt o t h e v e l o c i t yo f
the body.
displacement
time
t h, e f o l l o w i n g
( 2 ) l f a b o d ys t a r t sf r o m ' r e s ta n d m o v e sw i t h a u n i f o r m ( c o n s t a natc) c e l e r a t i o n
v e l o c i t y - t i maen d d i s p l a c e m e nt itm e g r a p h sw i l l r e p r e s e nitt s m o t i o n
displacement
velocity
time
time
I n t h e v e l o c i t yt-i m e g r a p h ,t h e r e i s a c o n s t a ngt r a d i e n ti,n d i c a t i n tgh a t t h e a c c e l e r a t i oins
c o n s t a n tA. l s of o r t h i s g r a p h t, h e a r e au n d e r t h eg r a p hr e p r e s e n ttsh e d i s p l a c e m e notf t h e b o d y .
I n t h e d i s p l a c e m e n t - t i mger a p h t, h e g r a d i e n its i n c r e a s i n gw,h i c hi m p l i e st h a t t h e v e l o c i t yi s
i n c r e a s i nwgh i c ht h e n i m p l i e st h a t t h e b o d yi s a c c e l e r a t i n g .
24
( 3 ) l fa b a l li s t h r o w nv e r t i c a l l yu p w a r d sa, n dt h e n a l l o w e dt o r e t u r nt o t h e t h r o w e r ,t h e v e l o c i t y t i m e g r a p hw i l l h a v et h e f o l l o w i n gs h a p e ;
velocit'!
t 1 r e p r e s e n ttsh e t i m e a t
w h i c ht h e b a l lr e a c h e s
t h e m a x i m u mh e i g h t
where the velocityis
zero,and t2represents
t h e i n s t a nw
t h e nt h e b a l l
r e t u r n st o t h e t h r o w e r .
t2
l f t h e g r a p ho f a c c e l e r a t i ovne r s u st i m e i s d r a w nf o r t h e a b o v es i t u a t i o ni,t w o u l d h a v et h e
f o l l o w i n gs h a p e ;
T h i sg r a p hi n d i c a t etsh a t t h e
a c c e l e r a t i oins c o n s t a n itn b o t h
m a g n i t u d ea n d d i r e c t i o nr e g a r d l e s s
o f w h e t h e rt h e b a l li s g o i n gu p o r
f a l l i n gd o w n .
acceleration
time
( 4 ) l f a b a l li s d r o p p e df r o m a h e i g h ta n d a l l o w e dt o s t r i k ea h a r ds m o o t hs u r f a c e , stoh a t i t
ge
r a p h sa r e
b o u n c e s e v e r atli m e sb e f o r ec o m i n gt o r e s t ,t h e v e l o c i t y - t i maen d a c c e l e r a t i o n - t i m
a sf o l l o w s :
velocity
acceleration
time
25
I n t h e v e l o c i t y- t i m e g r a p ht h e f e a t u r e sc a nb e e x p l a i n e d
a sf o l l o w s :
(i)
F r o mO t o A , t h e v e l o c i t yi s n e g a t i v ea n d i t s m a g n i t u d ei n c r e a s eusn i f o r m l yw i t h t i m e .
T h i sm e a n st h a t t h e a c c e l e r a t i oins n e g a t i v e. T h i sp o r t i o no f t h e g r a p hi n d i c a t etsh a t
t h e b a l li s m o v i n gd o w n w a r d sa, n d i t s v e l o c i t yi n c r e a s edso w n w a r d s .
(ii)
F r o mA t o B ,t h e r e i s a s h a r pc h a n g ei n t h e d i r e c t i o no f t h e v e l o c i t ya s i t g o e sf r o m a
l a r g en e g a t i v ev a l u et o a l a r g ep o s i t i v ev a l u e .T h e p o i n tA t h e r e f o r er e p r e s e n ttsh e
p o i n to f i m p a c tw i t h t h e f l o o r a n d a st h e b a l lr e b o u n d su p w a r d si,t sv e l o c i t yi s n o w
u p w a r d sa n d i s t h e r e f o r ep o s i t i v eT. h e m a g n i t u d eo f t h e v e l o c i t ya t B i s l e s st h a n t h a t
a t A , s i n c ew h e n t h e b a l lc o l l i d e sw i t h t h e f l o o r ,i t l o s e ss o m ek i n e t i ce n e r g y h, e n c ei t s
v e l o c i t yi s r e d u c e d .
W h i l eA r e p r e s e n ttsh e p o i n to f i m p a c tw i t h t h e f l o o r ,B r e p r e s e n ttsh e p o i n ta t w h i c h
t h e . b a l l e a v e st h e f l o o r .T h et i m e i n t e r v abl e t w e e nA a n d B i s v e r ys m a l l .
(iii)
T h e l i n eB Cc a n b e s e p a r a t e d
i n t o t w o p a r t s ,i . e .f r o m B t o t h e t i m e a x i s ,a n d f r o m t h e
t i m e a x i st o C .
F r o mB t o t h e t i m e a x i s ,t h e v e l o c i t yi s p o s i t i v eb, u t d e c r e a s eusn i f o r m l yu n t i l i t
r e a c h e sz e r o T
. h i sp o r t i o nr e p r e s e n t s t h u
e p w a r dm o t i o no f t h e b a l lw h e r et h e r e i s a
c o n s t a ndt e c e l e r ' a t i ounn t i la t t h e m a x i m u mh e i g h t h e v e l o c i t yi s z e r o a
, n da t t h i s
p o i n tt h e g r a p hc u t st h e t i m e a x i s .
F r o mt h e t i m e a x i st o p o i n tC ,t h e v e l o c i t yi s n e g a t i v ea n d i t s m a g n i t u d ei n c r e a s e s
w i t h t i m e .T h i sp o r t i o ni n d i c a t etsh a t t h e b a l li sf a l l i n gv e r t i c a l lsyi m i l a tro t h e m o t i o n
from O to A.
(iv)
T h eo t h e r p o r t i o n so f t h e g r a p ha r e r e p e t i t i o n os f t h e f i r s t p a r t s ,e x c e p t h a t t h e r ei s a
c o n t i n u o udse c r e a s ien v e l o c i t yd u et o t h e l o s s e isn k i n e t i ce n e r g yw h e nt h e b a l l
c o l l i d ew
s i t h t h e f l o o re a c ht i m e .
26
ge
r a p h st,h e f e a t u r e sc a n b e e x p l a i n e d
Inthe acceleration-tim
a sf o l l o w s ;
(i)
I n t h e f i r s t p o r t i o n ,t h e a c c e l e r a t i oins p o s i t i v ea n d c o n s t a n tT. h i sp o r t i o nr e p r e s e n t s
t h e d o w n W a r dm o t i o no f t h e b a l lf a l l i n gu n d e rg r a v i t y .
(ii)
T h e r ei s t h e n a s h a r pc h a n g ei n t h e a c c e l e r a t i ofnr o m p o s i t i v et o n e g a t i V ei n, d i c a t i n a
g
s u d d e nc h a n g ei n t h e d i r e c t i o no f t h e a c c e l e r a t i o T
n .h i si s d u e t o t h e i m p a c tw i t h t h e
f l o o r c a u s i n ga n u p w a r df o r c et o b e e x e r t e do n t h e b a l l .T h i su p w a r df o r c ei s o n l y
a p p l i e df o r a v e r ys h o r tt i m e a st h e b a l l i si n c o n t a c tw i t h t h e f l o o rf o r a v e r ys h o r t
time.
(iii)
I t i s n o r m a lp r a c t i c et o a s s i g na n e g a t i v ev a l u ef o r v e c t o r sa c t i n gd o w n a n d a p o s i t i v e
v a l u ef o r v e c t o r sa c t i n gu p w a r d sa, n d i n t h a t c a s et h e g r a p hw o u l d h a v et o b e
i n v e r t e di,. e .t h e p o s i t i v ep a r t sa r e n o w m a d en e g a t i v ea, n dt h e n e g a t i v ep a r t sn o w
m a d ep o s i t i v el.t i s a l s oe q u a l l yc o r r e c t o h a v ei t t h e o t h e rw a y a r o u n d .
E i t h e ro f t h e b e l o wg r a p h sw i l l b e c o r r e c t .
acceleration
acceleration
time
27
THEEQUATIONS
OF MOTION
Derivations
(i)
T h e a c c e l e r a t i oonf a b o d yi s t h e r a t eo f c h a n g eo f i t sv e l o c i t yH
. e n c ei f a b o d yh a sa n
i n i t i a vl e l o c i t yu a n dt h i s c h a n g e su n i f o r m l yt o a f i n a lv e l o c i t yv i n a t i m e t , t h e n b y
definition,
change tn v.eloci'ty- v - u
accelerati.ona ttme taken
t
hencev=1t*at
(ii)
A s t h e v e l o c i t yo f a b o d yc h a n g e su n i f o r m l yf r o m a v a l u eu t o a v a l u ev i n a t i m e t , t h e
averagevelocity is givenby
u+v
z
Averageveloctty :
T h e d i s p l a c e m e ni st g i v e nb y
Displcement - Averege uelocity x time; s _
(iii)
(u*v\
i,
T h ee x p r e s s i ovn2 : u 2 + Z a s c a nb e d e r i v e da sf o l l o w s :
u:'u*at,
hencet:u-u
a
Substi"tuttngthi"sexpressi"onforttntheequati"ons=ry'
,,r
ut€p€t s-
(u+v)(u-u)
2a
v2 - tt2
2"
Hence v2 = uz + zas
(iv)
T h e e x p r e s s i osn - u t + 1 a t 2 c a n b e d e r i v e da sf o l l o w s :
2
Since
s-
= 1.r
t and.v
* at
ry
(u*utat)
ifiel'tS:
Z
Zut
(2u+at)
t=
qtz
'-;*t:ut*iot'
28
Z
L
t
(v)
T h e e x p r e s s i osn - v t - 1 o t ' c a n b e d e r i v e da sf o l l o w s :
2
Sincev:LL*
'":u'
a t , 1 . t : v - a t a n d t h i si s t h e ns u b s t i t u t ei d
n t h e e q u a t i o n st
2
l(v-at)+vl
Hence s '2v
t:
at
Tt-7,
Ln
s:vt-Zot'
V E R YI M P O R T A N T ! !l n a l l o f t h e e q u a t i o n so f m o t i o ni t i s a s s u m e dt h a t t h e a c c e l e r a t i oins
c o n s t an t .
29
TUTORIAL
SHEET
( 1 ) E x p l a i tnh e f o l l o w i n g :
(i)
H o w i s i t p o s s i b l feo r a b o d yt o b e a c c e l e r a t i nwgh i l ei t t r a v e l sa t a c o n s t a n t
speed?
(ii)
H o wc a nt h e v e l o c i t yo f a b o d yc h a n g ew h i l ei t m a i n t a i nas c o n s t a n t
acceleration?
( 2 ) A m a n c y c l e st o h i sd e s t i n a t i ow
n i t h t h e w i n d a t 8 m s - 1a n d r e t u r n sh o m ea g a i n s t
between
. h a t i s h i sa v e r a g e
s p e e d ? [ H i n t :L e tt h e d i s t a n c e
t h e w i n d a t 4 m s - 1W
a n dt h e n t o t a lt i m e . ;t h e n u s et h e s et o
h o m ea n dw o r k b e x . F i n dt o t a ld i s t a n c e
(Ans
find averagespeedl
5.33ms-1)
( 3 ) A s t o n ei s d r o p p e df r o m a c l i f fo f h e i g h th a t t h e s a m em o m e n ta s a n o t h e rs t o n ei s
thrown verticallyupwardfrom the bottomof the cliffwith an initialvelocityu. The
't 'in
s t o n e sa r ea t t h e s a m eh o r i z o n t alle v e l a f t e ra t i m e t . F i n da n e x p r e s s i ofno r
t e r m so f ' h ' a n d ' u ' a n d t h e c o n d i t i o nf o r t h e s t o n e st o h a v ee q u a ls p e e d sa t t h i s
level.
h
(Ans't:i)
( 4 ) R a i ni s f a l l i n gv e r t i c a l lay t 8 m s - 1r e l a t i v et o t h e g r o u n dT
. h er a i n d r o pm
s a k et r a c k s
l . a l c u l a tteh e
o n t h e s i d ew i n d o wo f a c a ra t a n a n g l eo f 3 0 ' b e l o wt h e h o r i z o n t aC
. i n t :D r a wa v e c t o rd i a g r a mo f t h e s p e e d st ,h e n
s p e e do f t h e c a r . ( A n s .1 4 m s - 1{)H
f l n d t h e u n k n o w ns p e e d )
30
SOLUTIONS
(2) The average speed.i.scalculated f rom
Total di.stance
total ti"me
Let the distance between home and work be x.
The time required to arrile a"tthe desttnati"oni.sequal to T, -
The time required to return home i.sequal to T2
T o t at lt m e- T t* T z= : . 1 :
distance
speed
x
4
#
Total distancetravelled - 2 x
3x2xB
i6
=
Aueragespeed- 2x
81,3x
T
F
^ ^
5 , 5' m S
- 1
W h e nt h e s t o n ef a l l st h r o u g ha
d i s t a n c ex i n a t i m e ' t '
, -!ot'
t
Z
The other stonethat is projected
f r o m t h e f l o o rw o u l d h a v e
pf
m o v e dt h r o u g ha d i s t a n c e
( h - x )i n t h e s a m et i m e t .
X
-_{
h
(h - x) : ut -1or'
z
Substi.tuttng
1,
x : -..,
at' in equation (2)
z
(h-x)=ut-x
h - u t ; h e n c et : L
T h ec o n d i t i o nf o r t h e s t o n e st o h a v ee q u a ls p e e d sa t t h i st i m e :
F o rt h e f a l l i n gs t o n e: u 1 - a t ; F o rt h e r i s i n gs t o n eu z : u - a t
It
l f v t : " u 2 ; t h e n u - a t = e t , h e n c eu - Z a t - 2 a u
,
rTtt2 - Z a h ; u - t l Z a h
31
u
(4)
T h e h o r i z o n t avl e l o c i t yi s r e p r e s e n t e d
b y t h e h o r i z o n t al il n ea n d i s e q u a lt o
Btan 60 = 13.Bms-1
8ms
1
32
PROJECTILE
MOTION
A b o d yi s s a i dt o u n d e r g op r o j e c t i l em o t i o nw h e n i t i s o n l ya c t e du p o nb y t h e f o r c eo f g r a v i t ya s i t
m o v e st h r o u g hs p a c ea( s s u m i nagi r r e s i s t a n ci e
snegligible).
e o t i o nc a nb e i n a s i n g l ed i m e n s i o on r i n t w o d i m e n s i o n sm, o s tp r o b l e m si n
W h i l ep r o j e c t i l m
P h y s i casn d M a t h e m a t i ccso n s i d eor n l yt h e c a s eo f m o t i o ni n t w o d i m e n s i o n s .
e o t i o ni s t h e c a s ew h e r ea b o d yi s d r o p p e dv e r t i c a l l y
A s i m p l ec a s eo f s i n g l ed i m e n s i o p
n r o j e c t i lm
d o w n f r o m a c l i f f .A s t h e b o d yf a l l s ,i t i s a c t e du p o no n l y b y g r a v i t y .
e o t i o na r e :
E x a m p l eosf t w o d i m e n s i o n aplr o j e c t i l m
( 1 ) A b o d yi s p r o j e c t e dh o r i z o n t a l lfyr o m a c l i f fw i t h a n i n i t i a lh o r i z o n t avl e l o c i t yu m s t .
umst
, rr-t
.1
V2 l'l1S
A t a l l p o i n t sd u r i n gt h e m o t i o n ,t h e h o r i z o n t avl e l o c i t yr e m a i n sc o n s t a n ts i n c et h e r e i s n o
h o r i z o n t aalc c e l e r a t i oonr d e c e l e r a t i o(na s s u m i nagi r r e s i s t a n ci e
snegligible).
T h ev e r t i c acl o m p o n e not f t h e v e l o c i t yh o w e v e r i,s a c t e du p o n b y t h e a c c e l e r a t i odnu e t o g r a v i t y ,
a n d a st h e b a l lf a l l s ,t h e m a g n i t u d eo f t h e v e r t i c a cl o m p o n e n o
t f t h e v e l o c i t yi n c r e a s ew
s ith
time.
T h e h o r i z o n t aDl I S P L A C E M EoN
f tTh e p r o j e c t i l ies c a l l e dt h e R A N G E .
t f t h e h o r i z o n t avle l o c i t ya n dt h e t i m e o f f l i g h t .
T h e r a n g ei s e q u a l t ot h e p r o d u c o
RANGE= horizontalvelocity x time of flight.
T h et i m e o f f l i g h ti s c a l c u l a t efdr o m t h e e q u a t i o n so f m o t i o nf o r t h e V E R T I C AMLO T I O No f t h e
body.
' h e e q u a t i o n so f m o t i o nc a nb e a p p l i e df o r
v e r t i c am
l o t i o ns i n c et h e a c c e l e r a t i odnu e t o g r a v i t y
c o n s t a n at n d a c t sV E R T I C A L L Y .
33
I t i s i m p o r t a n tt o n o t e t h a t t h e P E R P E N D I C U LCAORM P O N E N TOSF M O T I O NA R EI N D E P E N D E N T
O F E A C HO T H E R .
H e n c et h e a c c e l e r a t i odnu e t o g r a v i t yw h i c ha c t sv e r t i c a l l yd, o e sn o t i n t e r f e r ew i t h t h e h o r i z o n t a l
velocity.
from a cliff, its lNlTlALverticalcomponentof velocity
Also, if a body is projectedHORIZONTALLY
i sZ E R O ! ! ! !
( 2 ) A b o d yi s p r o j e c t e df r o m a s u r f a c ea t a n a n g l e0 w i t h a n i n i t i a lv e l o c i t yu m s
-
u ms-t
c oLm p o n e not f t h e v e l o c i t yi s e q u a lt o u c o s Oa, n d i s C O N S T A N T
I n t h i s c a s et h e H O R I Z O N T A
t h r o u g h o utth e e n t i r ef l i g h to f t h e b o d y .
T h e R a n g ei s a g a i ne q u a lt o t h e p r o d u c to f t h e h o r i z o n t acl o m p o n e not f v e l o c i t ya n dt h e t i m e o f
flight.
RANGE= u eosOx time of flight.
co
T h ei n i t i a l v e r t i c a
l m p o n e not f t h e v e l o c i t yi s e q u a tl o u s i n 0 ,w h i l et h e a c c e l e r a t i oi sne q u a tl o gms2.
W h e t h e rt h e b o d yi s m o v i n gu p w a r d so r d o w n w a r d st,h e a c c e l e r a t i oins a l w a y s- g m s - 's i n c et h e
a c c e l e r a t i odnu e t o g r a v i t yi s a l w a y sd i r e c t e dt o w a r d st h e e a r t h ' ss u r f a c e .
1 t a n a n g l eo f 3 0 " t o t h e h o r i z o n t a l .
E x a m p l e: A b o d yi s p r o j e c t e dw i t h a s p e e do f 4 0 m s - a
ca
snegligible
, l c u l a tteh e t i m e o f f l i g h t ,a n dt h e r a n g eo f t h e
A s s u m i ntgh a t a i r r e s i s t a n ci e
projectile.
l E R T I C AcLo m p o n e not f v e l o c i t y= 4 0 s i n 3 0 = 4 0 x 0 . 5 = 2 0 m s - 1 ( iat c t s
S o l u t i o n :T h e i n i t i a V
u p w a r d ss o i t i s p o s i t i v e )
T h ea c c e l e r a t i o=n- 9 . 8 1 m s - 1' . i ti s n e g a t i v eb e c a u s ei t a c t sd o w n w a r d s )
F o rt h e e n t i r ef l i g h tt h e b o d yr e t u r n st o g r o u n dl e v e l s, o t h e t o t a l V E R T I C ADLI S P L A C E M E iNsT
ZERO.
a t z , a n dw e s u b s t i t u t es = 0 , d = - 9 . 8 L ,u = 2 O m s - t1h, e n w e g e t
I t w e u s et h e e q u a t i o ns - u f *
)
1,
0 :20 f *;etz:20t-4.9t2
z
2 0 = 4 . 9 t , h e n c et - 4 . 0 8 s
34
T h e R A N G E: 4 0 c o s3 0 x t t m e o f f l i " g h t
RANGE : 40 x 0,866 x 4.08 - 141,.4m
ProjectileMotion in Two Dimensionsis PARABOLIC:
P r o j e c t i lm
e o t i o nc a n b e p r o v e nt o b e p a r a b o l i ci f i t sv e r t i c acl o m p o n e nct a nb e e x p r e s s eidn
t e r m so f t h e h o r i z o n t acl o m p o n e n ti n t h e f o r m
! = kxzwhere ! : uerti"caldisplacement and x - hori.zontal d.isplacement
T h i sc a nb e d o n eu s i n gt h e f o l l o w i n ge x a m p l e :
C o n s i d ear s t o n eb e i n gp r o j e c t e dh o r i z o n t a l lfyo r a c l i f fw i t h a h o r i z o n t avl e l o c i t yu , a n da s i t f a l l s
t h r o u g ha v e r t i c adl i s p l a c e m e nyt, i t w o u l d h a v em o v e dt h r o u g ha h o r i z o n t adl i s p l a c e m e nxt.
T h ev e r t i c adl i s p l a c e m e ni st g i v e nb y y =
IL f r r . D u r i n gt h a t s a m et i m e i n t e r v a lt ,h e h o r i z o n t a l
d i s p l a c e m e notr R A N G E
i s g i v e nb y x = u t . t f t = L i s s u b s t i t u t e d
i n t h e a b o v ee q u a t i o nt,h e n w e
LT
o b t ai nr
OY
y- - = ,
.
2
2u'
w h i c hi s o f t h e f o r m ! = k x 2 a n d i s t h e e q u a t i o no f a p a r a b o l a( .Y o um u s tl e a r n
t h i s! ! )
The syllabusrequiresthat you show that projectilemotion is parabolic.
35
SHEET
TUTORIAL
(g=- 9.81ms-2)
l f r o m t h e t o p o f a c l i f ft h a t i s 1 2 0 m
y i t h a s p e e do f 6 0 m s
( 1 ) A p r o j e c t i l ei s f i r e . dh o r i z o n t a l lw
sn e g l i g i b l e ,
h i g h .A s s u m i ntgh a t a i r r e s i s t a n ci e
( a ) H o w l o n gw i l l i t t a k et o s t r i k et h e g r o u n db e l o w
( b ) H o w f a r f r o m t h e b a s eo f t h e c l i f fw i l l i t s t r i k e ?
u u s tf i n d t h e r e s u l t a n t
( c ) W h a t w i l l b e i t s v e l o c i t yw h e n i t s t r i k e st h e g r o u n d ? ( Y om
v e l o c i t y )( A N S4. . 9 5 s; 2 9 7 m ; 7 7 ' 2 m s r \
a nA K 4 7
h
orizontal
m
a
x
i
m
u
m
t
h
e
b
e
w
i
l
l
) hat
t h a t i s 2 2 m h i g h . ( aW
r i f l ef r o m t h e t o p o f a b u i l d i n g
(
b
)
o tf t h e b u l l e ta n dw i t h w h a t s p e e dw i l l i t s t r i k et h e g r o u n d ? W h a t i s t h e
displacemen
1)
: 3 5 m; 3 0 0 . 7 m s
K Eo f t h e b u l l e tj u s t b e f o r ei t h i t st h e g r o u n d (. A n s 6
l yi t h a m u z z l ev e l o c i t yo f 3 0 0 m s ' f r o m
\21 A b u l l e to f m a s s5 0 gi sf i r e dh o r i z o n t a l w
( 3 ) p e r s o n n ei nl t h e a r m ya r e r e q u i r e dt o i m p r o v et h e i rm a r k s m a n s hbi py t h e c o n s t a n t
p r a c t i c eo f s h o o t i n ga t t a r g e t s o. n e s u c ht a r g e ti s a l o n gp o l ep l a c e d4 0 m a w a yf r o m t h e
' b u l l se y e ' p a i n t e do n i t a t a h e i g h to f x c m a b o v et h e l e v e lg r o u n d T
. he
s h o o t e ra n d h a sa
s r i f l et h a t i s m o u n t e do n a t r i p o dw h i c hi s 3 0 c m
s h o o t e rl i e so n t h e g r o u n da n do p e r a t e a
'.
h i g h .T h e m u z z l ev e l o c i t yo f t h e g u n i s 2 0 0 m s
D e t e r m i n teh e p o i n to n t h e p o l et h a t t h e b u l l e tw i l l s t r i k ei f :
( a ) T h eg u n i s p e r f e c t l yh o r i z o n t awl h e n i t i s f i r e d
( b ) T h eg u n i s t i l t e du p a t a n a n g l eo f 3 0 " a b o v teh e h o r i z o n t awl h e n i t i s f i r e d .
( A n s1 0 . 3 8 c ma b o v et h e g r o u n ds u r f a c e4; c m a b o v et h e b a s e )
lA\
\+l
A b a l l a sbt a gi s d r o p p e df r o m a b a l l o o nt h a t i s 3 0 0 ma b o v et h e g r o u n da n d r i s i n ga t
1
. 1 3 m s F o rt h e b a g ,f i n d
( a ) T h em a x i m u mh e i g h tr e a c h e d
( b ) l t s p o s i t i o na n d v e l o c i t y5 s e c o n d as f t e ri t i s r e l e a s e d
( c ) T h et i m e a t w h i c hi t h i t st h e g r o u n d
l p w a r dv e l o c i t yo f 1 3 m s - ' )
{ H i n t :I n t h e b a l l o o na l l o f t h e o b j e c t sh a v ea n i n i t i a u
t
( 3 0 8 . 6 m; 2 4 2 . 5 m ; 3 6 m sd o w n w a r d s9; ' 3 s )
' h a t m u s tb e t h e
( s )A s t u n tf l i e ri s m o v i n ga t 1 5 m s -p1a r a l l et lo t h e f l a tg r o u n d1 0 0 mb e l o w W
h o r i z o n t adl i s t a n c eb e t w e e nt h e p l a n ea n d a t a r g e to n t h e g r o u n di f a s a c ko f f l o u r
r e l e a s efdr o m t h e p l a n ei s t o s t r i k et h e t a r g e t( 6 7 ' 8 m )
1
( 6 ) A b a s e b a lbl a t t e rh i t sa h o m e r u n b a l lw i t h a v e l o c i t yo f 4 0 m s a t a n a n g l eo f 2 6 "w i t h t h e
h o r i z o n t aAl . f i e l d e rw h o c a nr e a c h3 m a b o v et h e g r o u n di s b a c k e du p a g a i n stth e
. h eb a l lw a s l - 2 0 c ma b o v et h e g r o u n d
b l e a c h ewr a l lw h i c hi s 1 1 0 mf r o m t h e h o m ep l a t e T
s l o v ed o e st h e b a l lp a s s ?
w h e n i t w a s h i t . H o w h i g ha b o v et h e f i e l d e r ' g
(6m)
( 7 ) A h o s el y i n go n t h e g r o u n ds h o t sa s t r e a mo f w a t e r u p w a r da t a n a n g l eo f 4 0 " t ot h e
1as
h o r i z o n t a ii h e s P e e do f t h e w a t e r i s 2 0 m s i t l e a v e st h e h o s e .H o w h i g hu p w i l l i t s t r i k e
a w a l lw h i c hi s 8 m a w a Y ?( 5 . 4 m )
36
Solutions
(1)
( a )T h ev e r t i c adl i s p l a c e m e n=t- I 2 0 m
A c c e l e r a t i o=n- 9 . 8 m s2
\
I
T h em i n u ss i g ni n d i c a t etsh a t a l lo f t h e d o w n w a r d
v e c t o r sa r e n e g a t i v e .
I n i t i aV
l E R T I C Av L
e l o c i t y= Q
I
I J s t n gs - t t t +
)ot';u
- 0;s _ - 1 2 0 m
a--9.81.ms-2;-1.20:-
( b )T h e h o r i z o n t adl i s t a n c et r a v e l l e di s c a l l e d
the range.
= h o r i z o n t avl e l o c i t yx t i m e o f f l i g h t
RANGE
Range=60x4.95=297m
(;) e B1,t2;
2 x 1,20
- 4 . 9 5s
9B1
( c )T h e r e s u l t a not f t h e v e r t i c aal n d h o r i z o n t acl o m p o n e n t os f v e l o c i t ym u s t b e f o u n dh e r e .
T h e h o r i z o n t acl o m p o n e n its a l w a v sV , = 6 0 m s1 i n t h i sc a s e .
-1
T h ev e r t i c acl o m p o n e n its f o u n df r o m u v : u I a t ; w h e r e u - 0 ; v y - 9 . 8 1 x 4 . 9 5 - 4 9 . 6 m s
T h eR E S U L T A N
v eTl o c i t yi s t h e n f o u n d u s i n gP y t h a g o r a T
s 'h e o r e m :
tv/ R -
(50), + (48.6)2- 77.2ms
- l 4
( 2 )T h et i m e o f f l i g h tm u s tf i r s t b e c a l c u l a t efdr o m t h e e q u a t i o n
1r
s - ttt
' ' 1* ) at' ,where u ts the tniti.al verttcal verti"calveloci.ty Q
22m -
O . A tx t 2; t - 2 . 1 , 2 s
2x
The Range - Horizontal veloctty x ttme of f ltghf : 300 x 2.1,2- 636m
( i i )F i n dt h e v e r t i c acl o m p o n e not f t h e v e l o c i t y f r o mv = u + a t a n dt h e n u s eP y t h a g o r a s ' t h e o r etm
o
g e t t h e r e s u l t a n.t
( 3 )T h e R a n g e= 4 0 m a n dt h e h o r i z o n t avl e l o c i t y= 2 0 0 m s - tH. e n c et h e t i m e o f f l i g h tc a nb e
c al c ul a t e d .
T h e i n i t i a vl e r t i c avl e l o c i t y= 0 a n d k n o w i n gt h e t i m e o f f l i g tt h a t w a s c a l c u l a t e p
d r e v i o u s l yt h, e
v e r t i c adl i s p l a c e m e ncta n b e c a l c u l a t e .d
W h e nt h e g u n i s t i l t e da t a n a n g l eo f 3 0 o ,t h e h o r i z o n t avl e l o c i t yi s (3 0 0 c o s3 O ) , a n tdh i sv a l u ec a n b e
u s e dt o f i n d t h e t i m e o f f l i g h ts i n c et h e r a n g ei s s t i l l4 0 m
W h e nt h e t i m e o f f l i g h ti s o b t a i n e dt,h e n c o n s i d etrh e h o r i z o n t am
l o t i o n, w h e r et h e i n i t i a vl e r t i c a l
v e l o c i t yi s (3 0 0s i n3 0 ) .T h e nu s et h e e q u a t i o ns - u t + ) a t z t o f i n dt h e v e r t i c adl i s p l a c e m e n t ,
r e m e m b e r i ntgh . r tt h e a c c e l e r a t i oan= - 9 . 8 1 m s - 2 .
37
(4)
I n i t i a lu p w a r dv e r t i c avl e l o c i t y= 1 3 m s - 1
A c c e l e r a t i o=n- 9 . 8 1 m s - 2
F r o mt h e p o i n to f r e l e a s ef ,i n d t h e u p w a r d
displacemen
u ts i n gv 2 = u 2 + Z a s ;
v = 0 a t m a x i m u mh e i g h t
0 = 1 3 2- 2 x 9 . 8 1 x s ; s - B . 6 m
l f t h e d i s p l a c e m e nf rto m t h e p o i n to f r e l e a s e=
8 . 6 mt h e n t h e t o t a l h e i g h to f t h e b a g 300+8.6=308.6m
( b ) F i v es e c o n d sa f t e r r e l e a s et ,h e d i s p l a c e m e ni st g i v e nb y : s - t r t +
)atz;
s - 1 3 ( s-) ) f n . r 1 ) ( s ' -) - s 7 . s m
T h e m i n u ss i g ni n d i c a t e tsh a t t h e b a gi s b e l o wi t s p o i n to f r e l e a s eT. h et o t a l h e i g h to f t h e b a ga t
t h i sp o i n ti s 3 0 0 m- 5 7 . 5 m= 2 4 2 . 5 m .
1(upwards)
A t p o i n to f r e l e a s ei n i t i a vl e r t i c avl e l o c i t y= 1 3 m s
1(The
m i n u ss i g nm e a n st h a t t h e v e l o c i t yi s
A f t e r5 s e c o n d sV, =u + a t = 1 3 - ( 9 . 8 1x 5 ) =- 3 6 m s
d i r e c t e dd o w n w a r d s )
( c )t h e d i s p l a c e m e ni st t h e s t r a i g h lt i n ed i s t a n c eb e t w e e nt h e s t a r t i n gp o i n ta n dt h e e n d p o i n t .I n
. h em i n u ss i g ni n d i c a t e s
n t- 3 0 0 m T
t h i sc a s ew
, h e nt h e o b j e c th i t st h e g r o u n dt,h e d i s p l a c e m e =
i std o w n w a r d s .
t h a tt h e d i s p l a c e m e n
Using s - ttt + 1ot';
z
- 3 0 0 - 1 3t - : ( 9 . 8 1 , ) t 2 ; 4 . g * - 1 3 r - 3 0 0 : 0
z
L3+
it - 9.2.6seconds
f-
2x4.9
38
(s)
F i n dt h e t i m e t h a t t h e s a c k
takesto travelthe vertical
h e i g h to f 1 0 0 mb y u s i n g
1n
s - ltt *
remembering
;at',
t h a t t h e i n i t i a vl e r t i c a l
v e l o c i t y- 0 . '
15ms-1
T h e q u e s t i o nt h e n r e q u i r e st h a t
t h e h o r i z o n t adl i s t a n c e
t r a v e l l e db e c a l c u l a t e d .
H o r i z o n t adl i s t a n c e= R a n g e=
H o r i z o n t asl p e e dx t i m e
T h e b a l li s h i t w i t h a s p e e do f 4 0 m s1 at a n
a n g l eo f 2 6 o t ot h e h o r i z o n t a l .
(6)
F i r s tf i n d t h e h o r i z o n t acl o m p o n e not f t h e
s p e e di . e .4 0 c o s 2 6 .
T h e nf i n d t h e t i m e o f f l i g h t ,s i n c eR a n g e
= L L O m= h o r i z o n t asl p e e dx t i m e o f f l i g h t
3m
----)
<-
loom
(7)
T h ev e r t i c adl i s p l a c e m e ncta nt h e n b e
c a l c u l a t efdr o m s : u t +
u
)at2,where
i s t h e v e r t i c acl o m p o n e not f t h e v e l o c i t y
4 0 s i n 2 6 :a = - 9 . 8 1 m s2
A f t e r ' s ' h a sb e e nf o u n d ,a d d 1 . 2 mt o i t .
s i n c et h e b a l lw a s i n i t i a l l yh i t 1 2 0 c ma b o v e
theground.
N o w t h a t t h e t o t a l h e i g h to f t h e b a l li s
o b t a i n e ds, u b t r a c 3t m f r o m i t s i n c et h e
f i e l d e rc a n r e a c hu p t o 3 m .
A s i n t h e p r e v i o u sq u e s t i o nf,i n d t h e t i m e
o f f l i g h tf r o m t h e R a n g ea n dt h e h o r i z o n t a l
speed.
T h eR a n g e =
h o r i z o n t asl p e e dx t i m e
T h e nu s e
s : rtt +
or the vertf.calmotton
)atz f
R e m e m b efro r v e r t i c am
l o t i o n ,u = 2 0 s i n
=
4 0 a n d a c c e l e r a t i oan - 9 . 8 1 , m s - 2
39
LAWSOF MOTION
NEWTON'S
Newton's FirstLaw:
E v e r yb o d yc o n t i n u e si n i t s s t a t eo f r e s t o r i n i t s s t a t eo f u n i f o r mv e l o c i t yu n l e s si t i s a c t e du p o n
FORCE.
by a RESULTANT
T h i sm e a n st h a t a b o d ya t r e s tw i l l r e m a i na t r e s tu n l e s sa r e s u l t a nfto r c ec a u s e si t t o m o v e . A l s o
a b o d ym o v i n gw i t h a c o n s t a nvt e l o c i t yw i l l c o n t i n u et o d o s o ,a n d w i l l o n l yc h a n g ei t s v e l o c i t y
e i t h e ri n m a g n i t u d eo r d i r e c t i o no r b o t h w h e n a r e s u l t a nfto r c ea c t so n i t .
Newton's SecondLaw:
T h e r a t eo f c h a n g eo f m o m e n t u mo f a b o d yi s d i r e c t l yp r o p o r t i o n at lo t h e R E S U L T A NFTO R C E
a c t i n go n i t , a n d t h e c h a n g ei n m o m e n t u mt a k e sp l a c ei n t h e d i r e c t i o no f t h e r e s u l t a nfto r c e .
A c c o r d i n tgo t h i s l a w ,t h e f o l l o w i n gm a t h e m a t i c aelx p r e s s i ocna n b e w r i t t e n :
mv - mu
mu - m1t
chanqe inmomentum
"
orF c(-r+F=kFo(.
t
t
ttme taken
T h e c o n s t a not f p r o p o r t i o n a l i twy a sf o u n dt o b e e q u a lt o L f r o m e x p e r i m e nst o t h a t t h e e q u a t i o n
becomes
m(v - u)
=F-ma.
Ft
Newton'sThird Law:
l f a b o d yA e x e r t sa f o r c eo n a b o d y B ,t h e n B w i l l e x e r ta n e q u a la n d o p p o s i t ef o r i e o n A .
T h i sl a w . i sa l s os t a t e da s : T o e v e r ya c t i o nt,h e r ei s a n o p p o s i t ea n de q u a lr e a c t i o n .
bT
o d i e ss, o w e c a n n o ta s s u m et h a t t h e
N o t et h a t t h e a c t i o na n d r e a c t i o nf o r c e sa c t o n D I F F E R E N
. h e r ew i l l o n l y b e a r e s u l t a n t
r e s u l t a n ft o r c e i s z e r o b e c a u s et h e f o r c e sa r e e q u a la n d o p p o s i t eT
o
n
t
h
e
s
a
m
eb o d y .
a
c
t
i
n
g
f
o
r
c
e
s
a
n
d
o
p
p
o
s
i
t
e
a
r
e
e
q
u
a
l
i
f
t
h
e
r
e
f o r c eo f z e r o
s f t h e s ea c t i o na n d r e a c t i o nf o r c e sa r e :
S o m ee x a m p l e o
( 1 ) T h e e a r t h e x e r t sa g r a v i t a t i o n af ol r c eo n a m a s sa n d i n t u r n t h e m a s sw i l l e x e r ta n e q u a l
a n d o p p o s i t eg r a v i t a t i o n af ol r c eo n t h e m a s s .
.
- h e m a n e x e r t sa
( 2 ) A m a n u s i n ga p a r a c h u t ed e s c e n d si n t h e a i r w i t h a c o n s t a n vt e l o c i t y T
d o w n w a r df o r c e w h i c h i s e q u a lt o h i s o w n w e i g h to n t h e p a r a c h u t ea; n d t h e p a r a c h u t e
e x e r t sa n e q u a la n d u p w a r d sf o r c eo n t h e m a n . T h e m a n m o v e sw i t h a c o n s t a n vt e l o c i t y
. hey are the
b e c a u s et h e r e a r e T W O f o r c e s a c t i n g o n h i m i n o p p o s i t ed i r e c t i o n s T
g r a v i t a t i o n af ol r c eo n h i m d u e t o t h e e a r t h ,a n d t h e u p w a r df o r c ed u e t o t h e p a r a c h u t e ,
s o t h a t t h e R E S U L T A Nf oTr c e o n t h e m a n i s z e r o , h e n c e h e m o v e s w i t h a c o n s t a n t
velocity.
- R E A C T I OpNa i ro f f o r c e si s N O Tt h e
I t i s i m p o r t a n th e r et o n o t et h a t t h e A C T I O N
g r a v i t a t i o n af;o r c ed u e t o t h e e a r t ho n t h e m a n a n dt h e u p w a r df o r c ed u e t o t h e
p a r a c h u t eT. l r ea c t i o n - r e a c t i opna i ri s t h e g r a v i t a t i o n af ol r c et h a t t h e e a r t he x e r t so n t h e
n r a na n dt h e g r a v i t a t i o n af lo r c et h a t t h e m a n e x e r t so n t h e e a r t h .
40
LINEAR
MOMENTUM
T h e l i n e a rM o m e n t u mo f a b o d yi s e q u a lt o t h e p r o d u c to f i t s m a s sa n d v e l o c i t yl.t i s a V E C T O R
q u a n t i t ya n d t h e r e f o r ei t s d i r e c t i o nm u s t b e t a k e ni n t o c o n s i d e r a t i oin d o i n ga n y m o m e n t u m
c al c ul a t i o n s .
C o n s i d e rt h e f o l l o w i n gs i t u a t i o n si n v o l v i n gm o m e n t u m c a l c u l a t i o n :s
( 1 ) T w o b o d i e sA a n d B h a v i n gm a s s e sm r a n d m 2 r e s p e c t i v e l ym o v e w i t h v e l o c i t i e sV 1d f l d V 2
i n t h e d i r e c t i o n ss h o w n :
V1
Y2
ts
(A)
(B)
V
\_-/
S i n c eA m o v e st o w a r d st h e r i g h t ,i t s v e l o c i t yc a nb e
g i v e na p o s i t i v es i g n ,a n d B m o v e si n t h e o p p o s i t e
d i r e c t i o ns, o i t s v e l o c i t yw i l l h a v ea n e g a t i v es i g n .
T h em o m e n t u mo f A w i l l b e m 1 v1a n dt h e m o m e n t u m
o f B w i l l b e- m 2 v 2 .
T h et o t a lm o m e n t u mo f A a n d B w i l l b e
l'IltVr - fllzVz.
l f t h e r ew a sa s i t u a t i o nw h e r et h e t w o b o d i e sw e r e
m o v i n gi n t h e s a m ed i r e c t i o tnh e nt h e t o t a l
momentumwould havebeen[flrVr* tn2v2.
S i n c eb o t h b o d i e sm o v ea t a n a n g l et o t h e h o r i z o n t a l ,
t h e i r v e l o c i t i ecsa n b e r e s o l v e di n t o v e r t i c aal n d
h o r i z o n t acl o m p o n e n t ss,o t h a t t h e m o m e n t u mo f
e a c hb o d yw i l l h a v ev e r t i c aal n d h o r i z o n t a l
components.
F i r s t l yt,h e h o r i z o n t acl o m p o n e not f t h e v e l o c i t yo f A
i s v 1 c o s 0a1n d t h e h o r i z o n t acl o m p o n e not f t h e
v e l o c i t yo f B i s - V 2 c o s 0T2h. e m i n u ss i g ni s u s e ds i n c e
t h e h o r i z o n t avl e l o c i t yo f B i s o p p o s i t et o t h a t o f A .
T h eT O T A Lh o r i z o n t am
l o m e n t u mi s t h e r e f o r e:
rT1
1V1coS01 ffi 2V2cos02.
T h e T O T A Lv e r t i c a M
l O M E N T U Mw i l l b e :
2 .o t eh e r et h e t w o v e r t i c acl o m p o n e n t o
n 1 1 V 1 s i n+0m, r v 2 s i n 0N
sf
v e l o c i t ya c t i n t h e s a m ed i r e c t i o ni . e .u p w a r d ss, o t h a t t h e r e i s
n o r e a s o nt o i n c l u d ea n e g a t i v se i g nf o r a n yo f t h e m .
41
(3)
V1
(A)
V
I n t h i s c a s e t, h e v e l o c i t yo f A i s p e r p e n d i c u l a r
t o t h e v e l o c i t yo f B .
A h a so n l ya h o r i z o n t aml o m e n t u mw i t h n o
v e r t i c am
l o m e n t u mw
, h i l eB h a so n l ya v e l t i c a l
m o m e n t u mw i t h n o h o r i z o n t aml o m e n t u m .
1Y2
I n c a l c u l a t i o ni nsv o l v i ntgh i ss i t u a t i o nt ,h e
h o r i z o n t acl o m p o n e n t m
s u s tb e g r o u p e d
snd
s e p a r a t e lfyr o m t h e v e r t i c acl o m p o n e n t a
M U S TN O Tb e c o m b i n e d.
HenceTOTALhorizontalcomponents= rltrVl
TOTALverticalcomponents = I"ytzVz.
Y R O N Gt o s a yt h a t t h e t o t a l
I t i s T O T A L LW
m o m e n t u mi s e q u a lt o m 1 v 1t t y t 2 v b2 e, c a u s e
t h e h o r i z o n t aal n dv e r t i c acl o m p o n e n t a
sre
i n d e p e n d e not f e a c ho t h e ra n dt h e r e f o r e
c a n n o tb e a d d e dt o e a c ho t h e r ,o r e v e n
subtracted
f r o m e a c ho t h e r .
MOMENTUM:
CONSERVATION
FL I N E A R
T h e m o s tc o n c i s ew a y o f s t a t i n gt h e p r i n c i p l eo f c o n s e r v a t i oonf l i n e a rm o m e n t u mi s ;
momentum is alwavs
or explosionsl.total
Foran isolatedsvstemof interactinebodies(collisions
.conserved.
The term 'isolated'meansthat no externalforcesact on the svstemof interactinqbodies.
t e a n st h a t t h e t o t a l m o m e n t u mb e f o r ea c o l l i s i o no r e x p l o s i o ni s,
M a t h e m a t i c a l l tyh, i s s t a t e m e n m
e q u a lt o t h e t o t a l m o m e n t u ma f t e rt h e c o l l i s i o no r e x p l o s i o np r o v i d i n gt h a t t h e r ea r e n o e x t e r n a l
f o r c e sa c t i n go n t h e b o d i e s .
for
Thisconservation
of linearmomentummust be appliedSEPARATELY
horizontalandyerticalcomponents.
42
A s s t a t e dp r e v i o u s l yt h, e p r i n c i p l eo f c o n s e r v a t i om
n u s tb e a p p l i e ds e p a r a t e ltyo t h e v e r t i c aal n d
h o r i z o n t acl o m p o n e n t o
, h e n t h e b o d i e sh a v et w o - d i m e n s i o n aml o t i o n .
s f m o m e n t u mw
C o n s i d etrh e f o l l o w i n ge x a m p l e :
B E F O RCEO L L I S I O N
AFTER
COLLISION
1
12ms
V lrnS-l
-
v2
ms1
(A)
v
=
T o t a lh o r i z o n t am
l o m e n t u mb e f o r ec o l l i s i o n
2 ( 2 0c o s 3 0 -) 3 ( 1 2 c o s 4 0=) 3 4 . 6- 2 7 . 6 = 7 k g m s - 1
H e n c et o t a l h o r i z o n t am
l o m e n t u ma f t e rc o l l i s i o n
t
l s T k g m s -al ,n dY t = 7 / 2 i 3 . 5 t s
T o t a lv e r t i c am
l o m e n t u mb e f o r ec o l l i s i o n=
1
+3(12sin40)=
20+23=43kgms
2(20sin3O)
T o t a lv e r t i c a m
l o m e n t u ma f t e rc o l l i s i o ni s
43kgms-1
a ,n d Y z = 4 3 / 3= 1 4 . 3 m s - 1
43
1
OFCOLLISIONS
TYPES
ollisions.
T h e r ea r e t w o t y p e so f c o l l i s i o n st h, a t i s E L A S T IcCo l l i s i o nasn d I N E L A S TcI C
A R EC O N S E R V E D '
, E T IECN E R GAYN DM O M E N T U M
I n E L A S T ICCO L L I S I O NKSI N
but
kineticenergyis not conserved, momentum is conserved.
COLLISIONS
For INELASTIC
r after a collision,the collisioni
ies stickt
When
and in this situation.the greatestlossof KineticEnergvoccurs.
id to be
elvINE
c o l l i d i nw
g i t h a m a s sm z t h a ti s
g i t h a v e l o c i t yu 1 , a n d
C o n s i d ear p a r t i c l eo f m a s sr n l m o V i n w
i n i t i a l l ym o v i n gw i t h a v e l o c i t yu 2 .A f t e r t h ec o l l i s i o nm, l s t i c k s t om 2 a n dt h e y m o v eo f f w i t h a
c o m m o nv e l o c i t yV .
T h et o t a l m o m e n t u mb e f o r ec o l l i s i o ni s g i v e nb y :
f l ' l r U r* l T l zU z= ( m r + m 2 ) V ,
m - t u t* m z y z
7 , r , , , r ,- * ( # \ " ,
iv = (
)
\mr + mz/
\m 1l m2/
( m 1* m )
T h eT o t a lK i n e t i cE n e r g yb e f o r ec o l l i s i o ni s g i v e nb y
* !^rur'.
l^rur'
H e n c ev _
T h eT o t a lK i n e t i ce n e r g y. t t . r . c o l l i s i o ni s e q u a lt o ] { t r + m 2 )V 2 .
S u b s t i t u t i nfgo r V f r o m t h e a b o v ee q u a t i o ng i v e s :
*
K.E.af t er - ).r^, * ^)l^t-*
#rrr)'
-ut
:llr,,,
=
1I
\t
Tftl,ur
+11*,u)l3uttffi"'1
1 )?
L
)?
;L m l u T -i ;L mS uj
m7 -f tTr2
:+m#?(#*).;m2uf
(#*)
T h i sr e s e m b l etsh e s u m o f t h e K i n e t i cE n e r g i ebs e f o r ec o l l i s i o ne x c e p t h a t e a c ht e r m o f t h e K E
. e n c et h e K Ea f t e rc o l l i s i o ni s a
w h i c hi s a f r a c t i o n H
b e f o r ee q u a t i o ni s n o w m u l t i p l i e dA'v ( # )
\mt +m2/
f r a c t i o no f t h e K Eb e f o r ec o l l i s i o ns,o t h e c o l l i s i o ni s I N E L A S T I C .
44
EXPLOSIONS:
I n t h e c a s eo f c o l l i s i o n st h, e m o m e n t u mi s c o n s e r v e a
d n dt h e K Em a y o r m a y n o t b e c o n s e r v e d
b u t i n e i t h e rc a s et h e K Ei s n o t i n c r e a s eadf t e r t h ec o l l i s i o n .
I n t h e c a s eo f E X P L O S I O h
NoSw e v e rt,h e r e i s a n i n c r e a s e
i n K i n e t i ce n e r g ya f t e rt h e e x p l o s i o nb, u t
t h e m o m e n t u mi s s t i l lc o n s e r v eadn d i s e q u a tl o z e r o .
A s i m p l ec a s eo f a n e x p l o s i o ins t h e f i r i n go f a b u l l e tf r o m a g u n .T h eK Eb e f o r et h e ' e x p l o s i oi sn
z e r o ,b u t t h e K Ea f t e ri s e q u a lt o t h e s u mo f t h e k i n e t i ce n e r g i eos f t h e b u l l e ta n do f t h e g u n .
B yt h e c o n s e r v a t i oonf m o m e n t u m , :
m v ( b u l l e t+) M V ( r i f l e ) =
Q
))MV=-mv orV= -^,
M
C o n s i d et rh e K Eo f t h e b u l l e t ;
1
^ m2v2
KE=lmvl-2
2m
arz
Letp-mv,thenre=3 (This
is a very USEFUL
EQUATION....remember
I
Zrn
ir | | | | | | | | || ll
! l
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a ,
H e n c ek i n e t i ce n e r g yi s i n v e r s e lpyr o p o r t i o n a l i r c pl f w h e n m o m e n t u mi s c o n s t a nat n d m a s s
v a r i e s i,. e .w h e n a s t a t i o n a r ym a s se x p l o d e si n t o m a s s e st n l a n d m 2 .
t/^,
ke of mass mL
rft2
ke of mass m2
45
,l^,
rft1
IMPULSE
T h e i m p u l s ea c t i n go n a n o b j e c ti s e q u a lt o i t s c h a n g ei n m o m e n t u m i. . e .
l omentum).
l m p u l s e= ( F i n a m
l o m e n t u m ) - ( l n i t i aM
B y N e w t o n ' ss e c o n dL a w , , - ( m v - m u )
t
Hence Ft : (mv - mu), where Ft is the IMPULSE.
I n a c o l l i s i o ne, . g ,w h e n a b a t c o l l i d e sw i t h a b a l lo r w h e nt w o c a r sc o l l i d ei n a c a rc r a s h t, h e r ei s a
time-voryingforceactingon the collidingobjects,which can be represented
graphically
as
follows:
T h e a r e au n d e rt h e g r a p hi s ( F A t ) a n di s e q u a l
t o t h e I M P U L SoEf o n e o f t h e c o l l i d i n go b j e c t s .
l f t h e a v e r a g ef o r c ei s u s e d ,t h e n t h e g r a p hw i l l h a v et h e f o l l o w i n gs h a p e :
Force
H e r ea g a i n t, h e a r e ae n c l o s e db y t h e g r a p h ,g i v e s
Ft or IMPULSE
46
CommonApplications
of Newton'sSecondand Third'Laws
( 1 ) I n a g a m eo f . c r i c k etth, e f i e l d e rc a t c h e tsh e b a l la n d i m m e d i a t e lpyu l l sb a c kh i s
h a n d st o w a r d sh i sb o d y .B yd o i n gt h i s ,h e i n c r e a s et sh e t i m e f o r w h i c ht h e b a l li s
broughtto rest.According
to Newton'ssecondlaw,the resultantfor:ceappliedby
t h e b a l li s g i v e nb y t h e e q u a t i o n :
tr-
m(v - u)
t
S o i f t i s i n c r e a s etdh e n F w i l l d e c r e a s ea,n d b y t h e t h i r d l a w , t h ef o r c ee x e r t e db y
t h e b a l li s a l s on o w r e d u c e dT. h i sm e a n st h e n t h a t t h e f i e l d e rw i l l e x p e r i e n cae l e s s
' hen
i n t e n s e' s t i n gw
h e c a t c h e tsh e b a l l .
(2) lf a glassjar fallsfrom a heightof 50cmonto a concretefloor,it will break,
h o w e v e ri f t h e s a m ej a r f a l l sf r o m t h e s a m eh e i g h to n t o a w o o d e no r a c a r p e t e d
f l o o ri t d o e sn o t b r e a k W
. h e nt h e j a r c o l l i d e w
s i t h t h e c o n c r e t es u r f a c et,h e r ei s
a l m o s tz e r oc o m p r e s s i oonf t h e c o n c r e t ea n dt h e j a r i s a l m o s ti m m e d i a t e l y
b r o u g h t o r e s [ .H e n c et h e t i m e f o r i t s m o m e n t u mc h a n g ei s v e r ys m a l sl o t h a t t h e
forceit exertson the floor is very largeand by the third law,a verylargeforceis
exertedby the floor on the jar.
'
W h e nt h e j a r h i t sa w o o d e nf l o o r ,t h e r ei s c o m p r e s s i oonf t h e w o o d a n d
the time for the jar to cometo rest,is now increased,
so that by the secondlaw, t h e r a t eo f c h a n g eo f m o m e n t u mo f t h e j a r i s n o w d e c r e a s e da,n d b y t h e t h i r d
l a w ,t h e f o r c eo n t h e j a r i s n o w r e d u c e d .
47
Physicsin Sports
r a yo p t t o m a k ea ' f o l l o wt h r o u g h ' i nh i s
I n t h e g a m e so f c r i c k eat n dt e n n i s ,t h e p l a y e m
s h o ti n o r d e r t o c a u s et h e b a l lt o d e p a r tw i t h a g r e a t e r v e l o c i t y . T hi ni sc r e a s evde l o c i t y
d sf o l l o w s :
c a nb e e x p l a i n e a
t i t h t h e b a t o r t h e r a c q u e bt e
L e tt h e t i m e f o r w h i c ht h e b a l li s i n c o n t a c w
't'.
r x e r t sa f o r c e ' F ' w h e nh e s t r i k e tsh e b a l l .
T h eb a t s m a no r t e n n i sp l a y e e
R e c a lt lh a t t h e i m p u l s et h a t t h e b a l le x p e r i e n c ei ssg i v e nb y
Ft : Change tnmomentum - (mv - mu)
Hence Ftnalmomentummv - Ft + mu
sov -
Ft*mu
m
t i t h t h e b a tf o r a l o n g e r
r
e
m
a i n si n c o n t a c w
b
a
l
l
t
h
e
t
h
r
o
u
g
h
,
I n t h e a c t i o no f t h e f o l l o w
'
t
'
t i m e s o t h a t i s i n c r e a s eadn d b y o b s e r v a t i oonf t h e a b o v ee q u a t i o nt h e f i n a lv e l o c i t yv
w i l la l s oi n c r e a s e .
t a l l ,t h e b o w l e ri s a b l et o s w i n gt h e b a l l ,b y h a v i n go n e
I n t h e a c t i o no f b o w l i n ga c r i c k e b
d h i l et h e o t h e rh a l fi s r o u g h e n e d .
s i d eo f t h e b a l lp o l i s h ew
T h ed i f f e r e n c ien t h e t w o t y p e so f t h e s u r f a c ecsa u s e tsh e f r i c t i o n aflo r c ed u et o t h e a i r
. he
t o t h a t o n t h e s m o o t hs i d e T
p a r t i c l etbo b e g r e a t e ro n t h e r o u g hs i d ea sc o m p a r e d
s i d et o
r
o
u
g
h
t
h
e
t
o
d i f f e r e n c ien t h e f r i c t i o n aflo r c e so n e a c hs u r f a c ec a u s e tsh e a i r c l o s e
havea greatervelocitythan that on the smoothside,creatinga pressuredifferenceover
the two surfaces.
T h er e g i o no n t h e r o u g hs i d ew i l l h a v ea l o w e rp r e s s u rteh a nt h a t o n t h e s m o o t hs i d e
a r e s u l t a nfto r c et o a c t o n t h e b a l li n t h e d i r e c t i o nt o w a r d st h e r o u g h e sr i d e .
causing
48
NOTES
49
TUTORIAL
SHEET
( 1 ) T w o s p h e r e cs o l l i d ea n d b o u n c eo f f e a c ho t h e ra s s h o w n .
500g
800g
----\---\.
t..
30cms.'
tn'\
\l
\l
\ /' / a
( A N S2 6 c m s -t1o t h e r i g h ta t a n a n g l e
o f 2 8 " ) ;I n e l a s t i c
4.5kg
(2)
2ke
t
40ms
( a ) W h a t i s t h e f i n a lv e l o c i t yo f
t h e 5 0 0 9b a l li f t h e 8 0 0 9b a l l
h a sa s p e e do f 1 5 c m s -a1f t e r
thecollision?
( b ) D e t e r m i n ew h e t h e ro r n o t t h e
c o l l i s i o ins e l a s t i c
\
\\
,A\
( a ) W h a t i s t h e s p e e do f t h e
4 . 5 k g b a l li f t h e 2 k g b a l l
hasa speedof 22ms-L
a f t e rt h e c o l l i s i o n ?
( b ) l s t h e c o l l i s i oenl a s t i c ?
"../ {
( 3 ) A 1 2 0 0k g g u n m o u n t e do n w h e e l ss h o o t sa n 8 k g p r o j e c t i l e
w i t h a m u z z l ev e l o c i t yo f
1
6 0 O m s a t a n a n g l eo f 3 0 " a b o v et h e h o r i z o n t a lF. i n d( a ) t h eh o r i z o n t arle c o i ls p e e do f t h e
g u n ( b )T h e r a n g eo f t h e p r o j e c t i l e .
( 3 . 4 6 m s - 1 ) [ H :i nSti n c et h e g u n r e c o i l sh o r i z o n t a l l y ,o u n e e dt o u s eo n l yt h e h o r i z o n t a l
. h et o t a l m o m e n t u mb e f o r ec o l l i s i o ni s z e r o ]
c o m p o n e n to
s f t h e m o m e n t u mT
( 4 ) A 1 5 9b u l l e ti s f i r e d h o r i z o n t a l liyn t o a 3 k g b l o c ko f w o o d s u s p e n d e b
d y a l o n gc o r d .T h e
i
m
p
a
c tc a u s e s t h e
block
. a l c u l a tteh e s p e e do f t h e b u l l e ti f t h e
b u l l e ts t i c k si n t h e b l o c k C
t o s w i n gl - 0 c ma b o v ei t s i n i t i a l e v e l . ( Y ocua n n o ta s s u r n teh a t t h e c o l l i s i o ni s e l a s t i ci,. e .a l l
o f t h e i n i t i a lk . e .o f t h e b u l l e ti s n o t a s s u m e dt o b e c o n v e r t e dt o P Eo f t h e b l o c k -b u l l e t
combination)
Y o uc a na s s u m eh o w e v e rt h a t a l l o f t h e K Eo f t h e b l o c k - b u l l ecto m b i n a t i o jnu s t a f t e r
c o i l i s i o ni s t r a n s f e r r e tdo P Eo f t h e s y s t e ma s i t r i s e s t oi t m a x i m u mh e i g h t .
(281ms'1)
50
S O L U T I OGNU I D E L I N E S
The solutionshere are for questionsthat are similarbut not identicalto those in the
tutorial.
1,.2kg
1)ms
( i )W h a t i s t h e f i n a l
velocityof the 1..2kg
ballif
t h e 2 k gb a l lh a sa s p e e d
of 5ms-1
a f t e rt h e
c o l l i s ino?
( i i )D e t e r m i n w
e h e t h e ro r
n o t t h e c o l l i s i o ni s e l a s t i c
40'
\
\l
\l
I
'/
{
F i r s t l ya p p l yt h e p r i n c i p l eo f c o n s e r v a t i oonf m o m e n t u mH O R I Z O N T A L L Y ;
a
T h et o t a lh o r i z o n t aml o m e n t u mb e f o r ec o l l i s i o =n ( 2 x1 5 )- ( 1 . 2 x2 0 ) = 6 p t r ntr
T h et o t a l h o r i z o n t am
l o m e n t u ma f t e rc o l l i s i o n= ( 2 x 5 c o s 4 0 )- ( 1 . 2x v c o s O )
T h et o t a l h o r i z o n t am
l o m e n t u mb e f o r ec o l l i s i o n= T o t a lh o r i z o n t am
l o m e n t u ma f t e r
collision
7 . 6- 6
:4.75
6:7.6_1,.2ucos0; ucos9_
n
T h e na p p l yt h e p r i n c i p l eo f c o n s e r v a t i oonf m o m e n t u mV E R T I C A L L Y
T h et o t a l V E R T I C Am
L o m e n t u mb e f o r ec o l l i s i o ni s Z E R O
T h et o t a l v e r t i c a m
l o m e n t u ma f t e rc o l l i s i o n= ( - 2x 5 s i n4 0 ) + ( 1 , . 2 xv s i n 0 )
T h et o t a l v e r t i c a m
l o m e n t u mb e f o r ec o l l i s i o n= t o t a l v e r t i c am
l o m e n t u ma f t e r
c o l l i s ino
6.43
: 5.36
0 - - 1 0 s i n 4 0 + 1 , . 2 us i n ) ; v s i n ? :
12
Re-wrtttng:
u c o s0 - 4 . 7 5 ,
u sin9 - 5.36;
- 1,.1,3
0 -
u sin?
^ - t a n0 :
u cosA
tan- '1.13 - 48.4"
5.36
= 7.1,6ms-1
u s i n ( 4 8 . 4 ): 5 . 3 6; u s l n4 u . 4
5'1
5.36
*
4.75
CircularMotion and
Gravitation
I M P O R T A N TF O R M U L A E
( L ) A N G U L A RS P E E Dt t -
An g ul ar di sp I ac ement (r adi an s)
:
time taken(seconds)
0
7 tad.s-')
( 2 ) Dtstance travelled - Arc Length - r0
(3) Speedv : r0)
(4)Centrtpetal Accelerationq - rr;'Z-+
(5) Centripetal Force F - ntra'
(6) Gravitational
-Y-'
T
r
:
f orce on each of two point ma'sses, F
Gm1m2
--7-
(7)Wherl a mass rftt orbtts another rftass rft2,
Centripets"l Force - Gravitsti"onal Force
Gm1m2
-.,
T-
-
Illll'U)-
7
(B) Gravitational Field Strength g -
GM
,z
(Ut<g-')
- Gravttational Force - Centrtpetal Force
Gmlmy
.2
- Tft1TAApparentWetght - -i--
(9) Apparentwetght
(10) For aBankedTrack
52
tan9 -
v2
rg
CIRCULAR
MOTION
W h e n a b o d yu n d e r g b ecsi r c u l a m
r o t i o n ,i t c h a n g e si t s a n g u l a rp o s i t i o nf r o m a r e f e r e n c ep o i n ta t
0 , t o a n e w p o s i t i o na t 0 2 a n dt h e a n g u l a rd i s p l a c e m e ni st g i v e nb y A , 0= 0 r - 0 2 .
C o n s i d e r a b o d y m o v i n g a t c o n s t a n t s p e e d a l o n g t h ae ca irrccol ef , orfa d i u sr , f r o m a p o i n t A t o a
p o i n tB a l o n gt h e c i r c u m f e r e n c e .
The distancetravelledby the body
i s g i v e nb y s - - r 0 , w h e r e 0 i s
m e a s u r e di n r a d i a n sa n d r
measuredin metres.
T h eA N G U L A R
V E L O C I TOYRA N G U L A R
SPEED
o i s g i v e nb y :
AO
(r)-t
a
(1)
The unitsof u.rare radiansper second(rad s-1)or sometimeswritten as s-l
I n o n e r e v o l u t i o nt h, e A N G U L A D
R I S P L A C E M Ei sN2Tn r a d i a n a
s n dt h e t i m e t o c o m p l e t eo n e
revolution
i s c a l l e dt h e P E R I O(DT ). H e n ce o :
T h e s p e e do f t h e b o d yi s g i v e nb y v -
v-
-s=r 0tt
H e n c eu : r 0 )
T.
T
di " stance trqveLLed
ti.metaken
0
j but =@,
t
(2)
W h e n a b o d yu n d e r g o ecsi r c u l a m
r o t i o n ,i t e x p e r i e n c easn a c c e l e r a t i otno w a r d st h e c e n t r eo f
r o t a t i o n ,a n d t h i s a c c e l e r a t i oins c a l l e dt h e c e n t r i p e t aal c c e l e r a t i o n .
,
T h e c e n t r i p e t aal c c e l e r a t i oins g i v e nb y a : r a 2 o r A :
I1 ) 2
,
1mS-2)
The importantformulaeto rememberhere are;
tl) o =+
Ql v : ra
(31a: rrll =+ (4)Period
T =':
53
R e c a ltlh a t t h e c e n t r i p e t aal c c e l e r a t i oins g i v e nb V
''a
, :
t h e c e n t r i p e t af lo r c ew i l l b e g i v e nb y
F - ma:
r r , t 2= t , a n d
b y N e w t o n ' ss e c o n dl a w ,
?
mr0)2 -mv-
r
FORCEIN CIRCULARMOTION
FORCEIS ALWAYSTHE RESULTANT
THE CENTRIPETAL
I t i s i m p o r t a n t o r e m e m b e trh a t t h e c e n t r i p e t a l f o r caen dt h e c e n t r i p e t aal c c e l e r a t i oanc t a l o n g
t h e s a m el i n e ;i . e .t h e y b o t h a c t t o w a r d st h e c e n t r eo f r o t a t i o n .
C i r c u l am
r o t i o np r o b l e m si n v o l v ea n yo f t h e f o l l o w i n gs i t u a t i o n s :
(i)
H o r i z o n t acli r c l e s
(ii)
V e r t i c acl i r c l e s
(tii)
T h ec o n i c aPl e n d u l u m
( i nc y c l i n g
(iv)
Banking
t r a c k sa n dc a r r a c i n gt r a c k s )
CIRCLES
:
HORIZONTAL
' m ' i s t i e d t o a s t r i n ga n d w h i r l e di n a h o r i z o n t acl i r c l e i,t s w e i g h ta c t sv e r t i c a l l y
W h e na m a s s
d o w n w a r d sw, h i l et h e c e n t r i p e t af lo r c ea c t st o w a r d st h e c e n t r eo f r o t a t i o n .
S i n c et h e w e i g h ta n dt h e c e n t r i p e t af lo r c e
a r e a l w a y sa t r i g h ta n g l e st o e a c ho t h e r ,
the weight doesnot haveany influence
on the centripetalforce.
T h e c e n t r i p e t af lo r c ei s p r o v i d e db y t h e
TENSION
i n t h e s t r i n ga n da s l o n ga st h e
speedis constant,the centripetalforce is
c o n s t a nfto r a p a r t i c u l arra d i u so f
rotation.
T e n s i o nr = T r r a z - t t t u Z
T
54
VERTICAL
CIRCLES
W h e n a m a s s' m ' i s t i e d t o a s t r i n ga n d w h i r l e di n a V E R T I C ACLI R C L Et h, e r ew i l l b e p o s i t i o n o
sf
t h e m a s sd u r i n gi t s m o t i o nw h e n t h e t e n s i o ni n t h e s t r i n gi s v e r t i c aol r h a sa v e r t i c acl o m p o n e n t .
S i n c et h e w e i g h ta l s oa c t sv e r t i c a l l yt ,h e T E N S I Ow
No u l dv a r yf o r d i f f e r e n tp o s i t i o n o
s f the mass
a l o n gt h e c i r c u m f e r e n c e .
mvZ
R e m e m b etrh a t t h e C E N T R I P E TFAOLR C iEs a l w a y st h e
A t A : T1 * m g :
,
RESULTAN
FT
O R C Ea n d i s a l w a y se q u a lt o :
F - rftTaz -rrtuZ
mvZ
r
-mg
HenceTt:
,
7
At B and at D,T2 : -
m12r
AtC, Tg-mg:+
D
At point C,the TENSIONt s
the highest,and at A, it ts
the lowest.
55
The FerrisWheel
T h e o p e r a t i o no f t h e F e r r i sw h e e li n v o l v e sc i r c u l a m
r o t i o ni n a v e r t i c apl l a n e .H o w e v e rs, i n c ei t
c o n s i s to
s f r i g i ds t r u c t u r e si t, c a n n o tb e c o n s i d e r etdo b e i d e n t i c atlo t h e r o t a t i o no f a m a s sa t t h e
e n do f a s t r i n g .
I n t h e m a s s - s t r i nagr r a n g e m e nt h, e l a c ko f r i g i d i t yo f t h e s t r i n ga l l o w si t t o h a v ea t e n s i o n ,
w h e r e a sw i t h t h e F e r r i sw h e e l ,t h e p a s s e n g esre a t sa r e r i g i da n d p r o v i d ea R E A C T I OFNO R CoEn
s it.
t h e p a s s e n g e ri n
A t a l l o f t h e p o s i t i o n s h o w n ,i t i s i m p o r t a n t o
r e m e m b etrh a t t h e C E N T R I P E TFAOLR ClEST H E
RESULTAN
FT
O R C E . ( D e n o tbeydF . )
A t p o s i t i o nA , t h e C e n t r i p e t af o
l r c ea c t i n go n t h e s e a t
i s F . . T h ep e r s o ne x p e r i e n c easg r a v i t a t i o n af ol r c e
d o w n w a r d s= m B .L e tt h e f o r c et h a t t h e p e r s o ne x e r t s
o n t h e s e a tb e F 2 .H e n c et h e p e r s o na c c e l e r a t e s
t o w a r d st h e s e a t ,w h i l et h e s e a ta c c e l e r a t easw a yf r o m
him.
S i n c et h e c e n t r i p e t af lo r c eF 5i s t h e r e s u l t a nfto r c e ,
Fc=Fz+ mg ) Fz=Fc-mg
B y N e w t o n ' st h i r d l a w ,t h e f o r c et h a t t h e s e a te x e r t so n
t h e p e r s o nw o u l da l s ob e
R z=F.-mg.
A t p o s i t i o nC ,T h e r e a c t i o nf o r c eo n t h e s e a ta n dt h e
w e i g h ta l s oa c t i n o p p o s i t ed i r e c t i o n sb,u t i n t h i sc a s e :
Rr- mB = F.i Rr=F.* mg
mg
At positionB, the situationis entirelydifferent,and by lookingat the diagramit may seem
difficultat first to determinethe directionof the reactionforce R. However,if the directionof
the resultantis known to act toward the centreof the circle,and the directionof the weight
actsverticallydownwards,then the reactionforce must act in the directionshown,so that
when it combineswith the weight (actingdown) the resultantwill haveto point towardsthe
centreof the circle.
l f t h e r e a c t i o nf o r c em a k e sa n a n e 0 w i h t h e h o r i z o n t a; lt h e n R c o s O= F 6 a n d R s i n 0 = m g
56
T U T O R I ASLH E E T
( g= 9 . 8 1 m 2
s)
( 1 ) A 5 0 gm a s si i t i e dt o t h e e n do f a s t r i n ga r r dw h i r l e di n a v e r t i c acl i r c l eo f r a d i u s6 5 c m .l f
t h e a n g u l asr p e e do f t h e m a s si s 2 . 3 7 nr a d s t , d e t e r m i n e
f o r t h e m a s s i,t s :
(i)
Speed
(ii)
Acceleration
(iii)
C e n t r i p e t af ol r c e
(iv)
T h et e n s i o ni n t h e s t r i n ga t t h e t o p a n d b o t t o mo f t h e c i r c l e
(v)
T h et e n s i o ni n t h e s t r i n ga t t h e i n s t a n w
t h e nt h e c e n t r i p e t aalc c e l e r a t i oanc t sa l o n ga
h o r i z o n t al iln e .
( A n s ;4 . 8 4 m sr , 3 6 m s2 ,1 . 8 N ,L . 3 l _ N2,. 2 9 N 1, . g N )
( 2 ) W h e na 1 0 0 9m a s si st i e dt o o n e e n d o f a s t r i n ga n dw h i r l e di n a v e r t i c acl i r c l et,h e
t e n s i o ni n t h e s t r i n gi s 4 . 2 N ,a t t h e i n s t a n w
t h e nt h e m a s si s a t t h e b o t t o mo f t h e c i r c l e
w h o s er a d i u si s B 0 c m .D e t e r m i n e
b o t ht h e a n g u l asr p e e da n da c c e l e r a t i oonf t h e m a s s .
)
( A n s ;6 . 3 4 r a d s' , 3 2 . 2 r n 2
s
( 3 ) W h e na m a s sn 1i s w h i r l e di n a v e r t i c acl i r c l eo f r a d i u s5 5 c m ,t h e t e n s i o ni n t h e s t r i n gi s
3 . 5 Na t t h e i n s t a nw
t h e nt h e m a s si s a t t h e t o p o f t h e c i r c l el.f t h e m a s si s n o w w h i r l e di n
a h o r i z o n t acli r c l ea t t h e s a m es p e e da n d r a d i u sa s b e f o r et,h e t e n s i o ni n t h e s t r i n gi s n o w
5,2N.
D e t e r m i n teh e m a g n i t u d o
e f t h e m a s sa n d i t sa n g u l asr p e e d
1 . 7 3 9 , 7 . 4 r a1d) s.
( 4 ) W h e n a m a s sm i s w h i r l e di n a v e r t i c acl i r c l eo f r a d i u s1 . 2 0 c mt h
, e t e n s i o ni n t h e s t r i n gi s
6 . 5 Na t t h e i n s t a nw
t h e nt h e m a s si s a t t h e t o p o f t h e c i r c l el.f t h e m a s si s n o w w h i r l e di n
a h o r i z o n t acli r c l ea t t h e s a m es p e e da n d r a d i u sa s b e f o r et,h e t e n s i o ni n t h e s t r i n gi s n o w
1_2.2N.
D e t e r m i n teh e m a g n i t u d o
e f t h e m a s s, i t ss p e e da n d i t sa c c e l e r a t i o n
( 5 8 1 95
, . 0 2 m s1 ,2 1 , m s 2 )
( 5 ) l n a f e r r i sw h e e lr i d e ,a p e r s o no f m a s s6 8 k gr o t a t e si n a v e r t i c acl i r c l eo f r a d i u s7 . 2 m .T h e
p e r i o do f r e v o l u t i o n
i s3 . 8 s .
F i n dt h e r e a c t i o nf o r c ee x e r t e db y t h e s e a to n t h e p e r s o nw h e n h e i s
( a )A t t h e t o p o f t h e c i r c l e
( b ) A t t h e b o t t o mo f t h e c i r c l e
( c ) ( c )H a l fw a y u p .
( 6 7 1 . 5 N2, 0 0 5 . 6 N1, 4 9 6 N )
57
S O L U T I OG
NU I D E L I N E S
( 1 ) R a d i u rs = 0 . 6 5 m a n d m a s s= 0 . 0 5 k ga, n g u l asr p e e d@= ( 2 . 3 7x n ) r a ds 1 .
( i ) S p e e dv = r u )
( i i )A c c e l e r a t i oan = r u ) '
( i i i )C e n t r i p e t af ol r c eF =m r o 2
l r c e F .o r T , = F . - m g
i i v ) A t t h e t o p o f t h e c i r c l eT, 1+ m g =C e n t r i p e t af o
At the bottom of the circleT2- rng= [.
or T2= F.+ mg
W h e nt h e c e n t r i p e t af lo r c ea c t sa l o n ga h o r i z o n t al li n et h e n t h e w e i g h ta n d F . a r e p e r p e n d i c u l aor
e a c ho t h e r ,a n d t h e w e i g h tw i l l h a v en o e f f e c to n t h e c e n t r i p e t af lo r c e .
I n t h i sc a s et h e t e n s i o nT 3i s e q u a l t ot h e c e n t r i p e t a l f o r c e .
( 2 ) R e c a ltlh a t a t t h e b o t t o mo f t h e c i r c l eT = c e n t r i p e t af lo r c e+ w e i g h t
l f T i s g i v e na n dt h e w e i g h tc a n b e d e t e r m i n e dt h e n t h e c e n t r i p e t af lo r c eF .c a n b e c a l c u l a t e d .
F. = rrlrtlt, hencet,l can be found.
The acceleration
a = r(rt.
'
At the top of the circle,
Tt * mg - mra2;
3.5N - mra2 - mg
F o rt h e h o r i z o n t acl i r c l et,h e t e n s i o ni s e q u a lt o t h e
c e n t r i p e t af lo r c e
Tz: mru2 :5.2N
H e n c ew e c a ns u b s t i t u t et h i ss e c o n de q u a t i o ni n t o t h e
first one to give:
3.5N = 5.2N- mg; mg = 0 . L7 3 k g
I f m r a 2 - 5 . 2 N ; t h e na -
0 . 1 , 7x3
: 7.4 rad s
.i
I
( 4 )S i m i l a tro q u e s t i o n 3b, u t s i n c es p e e di s r e q u i r e dr a t h e rt h a n a n g u l a sr p e e d ,u s et h e c e n t r i p e t a l
f o r c ea s :
m-=
u2
F :
rather than F - mra2
7
58
^l
(s)
( a )A t t h e t o p o f t h e c i r c l eT, h e
reactionforce actsupwardssince
t h e p e r s o n ' sw e i g h ta c t s
downwards.
R:mra'-^g
tlt can be found from the
equation
-' _ -, 2 o
(b) At the bottom of the circle,
The reactionforceand the weight
a r e i n o p p o s i t ed i r e c t i o n s
Rz:mra2 *mg
( c )H a l fw a y u p :
R e m e m b etrh a t t h e c e n t r i p e t a l
force is alwaysTHERESULTANT
FORCE.
S i n c et h e w e i g h tm g a c t sv e r t i c a l l y
d o w n w a r d sa, n dt h e r e s u l t a nfto r c e
i s p e r f e c t l yh o r i z o n t a tl ,h e n t h e
reactionforce R must havea vertical
c o m p o n e ntto b a l a n c et h e w e i g h t .
I t m u s ta l s oh a v ea h o r i z o n t a l
c o m p o n e ntth a t w o u l d p r o d u c et h e
c e n t r i p e t af lo r c e .
T h ev e r t i c acl o m p o n e not f R = m g .T h e h o r i z o n t acl o m p o n e n=t F 6( c e n t r i p e t af ol r c e )
R i s t h e n f o u n d u s i n gP y t h a g o r a s ' T h e o r e m .
59
T h e C o n i c apl e n d u l u m
A m a s sm i s t i e dt o o n e e n d o f a s t r i n ga n ds u s p e n d evde r t i c a l l yl f.t h e m a s si s m a d et o o s c i l l a t e
n ti l l b ea s i m p l ep e n d u l u m .
t h e nt h e a r r a n g e m e w
o t h a t t h e p o i n to f s u s p e n s i o n
H o w e v e ri ,f t h e m a s si s m a d et o r o t a t ei n a h o r i z o n t a l c i r csl e
a b o v et h e p l a n eo f t h e c i r c l et,h e nt h e a r r a n g e m e n t ci sa l l e da
r e m a i n sa t a f i x e dv e r t i c adl i s t a n c e
c o N l c A Lp E N D U L U Ml t.s n a m ei s d e r i v e df r o m t h e c o n i c asl h a p et h a t t h e s t r i n gt r a c e so u t d u r i n g
i t sm o t i o n .
A d i a g r a mo f t h e a r r a n g e m e ni st s h o w nb e l o w :
, hich
T h et e n s i o na c t sa l o n gt h e s t r i n gw
m a k e sa n a n g l e0 w i t h t h e v e r t i c a l .
T h ev e r t i c acl o m p o n e not f t h e t e n s i o ni s
( T c o s 0a) n dt h i si s e q u a la n do p p o s i t et o t h e
o n l yo t h e rv e r t i c aflo r c ew h i c hi s t h e w e i g h t .
-+ (1)
HenceTcos0- mg
A
I COSU
T h i se q u a t i o ni s t r u e b e c a u s teh e r ei s n o
r e s u l t a nV
t E R T I C Af oLr c e ,h e n c et h e u p w a r d
f o r c em u s t b a l a n c et h e d o w n w a r df o r c e .
T h e r e s u l t a nht o r i z o n t af lo r c ei s t h e
c e n t r i p e t af lo r c ea n dt h i s i s p r o v i d e do n l y b y
t h e h o r i z o n t aclo m p o n e not f t h e t e n s i o ni n
t h e s t r i n gT. h i sh o r i z o n t aclo m p o n e nits T
sin0.
,mg
mvz
-' (Z)
l f e q u a t i o n( 2 )i s d i v i d e db y e q u a t i o n( 1 ) ,w e
get:
H ence T sin9 -
tan9
60
v2
rg
The BankedTrack
R a c et r a c k sf o r c a r sa n d b i c y c l easr e n o r m a l l yb a n k e d( t i l t e d a
) t t h e c o r n e r st o p r e v e n ta n ys i d e
s l i pw h e nt h e v e h i c l ecsh a n g et h e i rd i r e c t i o n
a n d h e n c et h e i rm o m e n t u ma t h i g hs p e e d sa t t h e
bends.
C o n s i d efri r s ta t r a c kt h a t i s u n b a n k e d :
T h ed i a g r a ms h o w st h a t a v e h i c l ei s m o v i n ga r o u n da n u n b a n k e tdr a c kt h a t h a st w o c u r v e de n d s .
A l o n gt h e s t r a i g hpt a r t s t, h e r ei s n o c h a n g ei n d i r e c t i o n
, h e n c en o c h a n g ei n m o m e n t u ma n dt h e
v e h i c l er e m a i n so n t h e t r a c k .
A t t h e c u r v e de n d s t, h e r ei s a c o n t i n u o ucsh a n g ei n d i r e c t i o na, n d h e n c et h e m o m e n t u mc h a n g e 5 .
T h ed r i v e ro f t h e v e h i c l eh a st o n e g o t i a t et h e b e n db y t u r n i n gt h e s t e e r i n ga n d a f o r c ei s r e q u i r e d
t o c a u s et h e v e h i c l et o c h a n g ei t s m o m e n t u mi n o r d e rt o s t a ya l o n gt h e t r a c k . ( N e w t o ns' e
scond
law).
T h i sf o r c et h a t i s r e q u i r e dt o c a u s et h e c h a n g ei n m o m e n t u m i, s p r o v i d e db y t h e f r i c t i o n aflo r c eo f
t h e r o a ds u r f a c eH. o w e v ear t h i g hs p e e d st ,h e m o m e n t u mc h a n g er e q u i r e di s h i g h ,a n dt h e
f r i c t i o n aflo r c em a y n o t b e s u f f i c i e n t lhy i g h ,c a u s i n g
t h e v e h i c l et o s i d e - s l i p .
T h e p r o b l e mm a y b e o v e r c o m ei n t w o w a y s :
( 1 ) R e d u c i ntgh e s p e e do f t h e v e h i c l es o r e d u c i n tgh e r e q u i r e df o r c ef o r t h e m o m e n t u m
c h a n g eT. h i sh o w e v e irs u n s u i t a b lief h i g hs p e e d sa r e r e q u i r e dt o w i n r a c e s .
( 2 ) B a n k i no
g f t h e t r a c k - w h i c hi n t r o d u c eas c e n t r i p e t af ol r c et o a c t o n t h e v e h i c l ec, a u s i n g
it
t o b e f o r c e di n w a r d so n t h e t r a c kr a t h e rt h a n o u t w a r d sa s i n t h e c a s eo f t h e u n b a n k e d
track.
61
DR A C K :
o f a v e h i c l eo n a B A N K E T
Side-view
mu2
r
mg
lf the reactionforceof the r o a ds u r f a c eo n t h e w h e e l si s (R 1+ R z) , t h e n t h e f o r c ed i a g r a mc a n b e
R.+R,
d r a w na s f o l l o w s :
{ R r + R),c o s O
C o n s i d e r i nt gh e H O R I Z O N T A L
FORCES;
( R r * R 2 ) ( c o s9 0 - e )
- R1 * Rz(sin9)
a n d ( R 1 * R z )( s i n 9 )
mu2
:R
(1)
C o n s i d e r i nt gh e V E R T I C A L
FORCES:
(Rr * R2)cos) - mg
MN DT H E
F O RB O T HT H EC O N I C APLE N D U L UA
BANKET
DR A C KI ,T I SI M P O R T A NTTO R E M E M B E R
THAT:
v2
rg
from
Thisequationistrue when0 is measured
vertical
from
the
and
for the track,
the horizontal
pendulum.
for the conic*rl
tano -
62
(2)
E q u a t i o n( 1 )d i v i d e db y e q u a t i o n
( 2 )g i v e s
v2
tan9 _ rg
Where 0 is the angleof banking
TUTORIAL
SHEET
( 1 ) A b a l li s t i e dt o o n e e n do f a 4 5 c ms t r i n ga n d t h e o t h e re n d i s f i x e dt o a c e i l i n gT. h eb a l l
w h i r l si n a h o r i z o n t acli r c l e. F i n dt h e s p e e do f t h e b a l li f t h e s t r i n gm a k e sa n a n g l eo f 3 0 "
to the vertical.
H i n t :( 1 ) F i n dr a d i u so f C i r c l e
( 2 ) G e t E x p r e s s i o nf osr v e r t i c a l
a n d h o r i z o n t acl o m p o n e n t o
sf
thetension.
ANS1
: . 1 2 m is
mg
( 2 ) A b a l lo f m a s s1 5 0 9i s t i e dt o o n e e n do f a s t r i n gw h i l et h e o t h e re n d i s f i x e dt o a c e i l i n g .
T h e b a l lw h i r l si n a h o r i z o n t acli r c l ew i t h a s p e e do f 3 m s - l. l f t h e t e n s i o ni n t h e s t r i n gi s
' 2 . 1 N ,f i n d
t h e a n g l et h a t t h e s t r i n gm a k e st o t h e v e r t i c aal n dt h e r a d i u so f t h e c i r c l e .
( A N S4 5 . 5 " 9; 0 c m )
( 3 ) A b a l lo f m a s s8 0 gi s t i e dt o o n e e n d o f a s t r i n gw h i l et h e o t h e re n d i s f i x e dt o a c e i l i n g .
T h eb a l lw h i r l si n a h o r i z o n t acli r c l ew i t h a s p e e do f 2 . 5 m s - a
1 n dt h e t e n s i o ni n t h e s t r i n g
i s3 . 0 3 NF
. i n dt h e a n g l et h a t t h e s t r i n gm a k e st o t h e v e r t i c aal n dt h e r a d i u so f t h e c i r c l e .
( A N S: 7 5 " , 1 7 c m )
( 4 ) A b a l lo f m a s s1 4 0 9i s t i e d t o t h e e n d o f a s t r i n gw h i l et h e o t h e re n d i s f i x e dt o a c e i l i n g .
T h e b a l lw h i r l si n a h o r i z o n t acli r c l ew i t h a s p e e do f 1 . 4 5 m st . l ft h e r a d i u so f t h e c i r c l ei s
2 0 c m ,f i n d
(i)
T h e a n g l et h a t t h e s t r i n gm a k e sw i t h t h e v e r t i c a l
(ii)
T h et e n s i o ni n t h e s t r i n g
(iii)
T h el e n g t ho f t h e s t r i n g
( A N S4: 7 "; 2 . 0 I N ;2 7 . 3 c m )
( 5 ) A r a c e - c aor f m a s s1 2 0 0 k gt r a v e l l i n ga t a s p e e do f 1 2 0 k m h1 r o u n d sa b e n do f a b a n k e d
t r a c ko f r ' ' d i u s8 0 m . l ft h e r ei s n o s i d e - s l i o
p f t h e c a r ,c a l c u l a t e:
(i)
T h em i n i m u ma n g l eo f b a n k i n gr e q u i r e d
(ii)
T h e N o r m a rl e a c t i o n
o f t h e r o a do n t h e w h e e l s .
( A N S5: 4 . 7 6 " ;2 0 4 0 6 N )
63
( 6 ) A c y c l et r a c ki s b a n k e dw i t h a n a n g l eo f i n c l i n a t i oonf 5 8 ' , W h a t m u s tb e t h e m a x i m u m
s p e e do f a c y c l i sat r o u n dt h e b e n d ,i f t h e r a d i u so f t h e b e n di s 9 2 m ?
( A N S: 3 8 m s1 )
( 7 ) I n t h e d e s i g no f a r a c i n gc a rt r a c k t, h e e n g i n e e rws i s ht o h a v ec a r st r a v e l l i nagt s p e e d su p
t o 1 8 0 k m h -at r o u n da b e n dw h i c hh a sa n a n g l eo f b a n k i n go f 5 5 " .W h a t m u s tb e t h e
m i n i m u mr a d i u so f t h e c i r c l et h a t w i l l a l l o wt h e r e q u i r e ds p e e do f t h e c a rw i t h o u ta n ys i d e
slip?
( A N S1: 7 8 . 4 m )
( 8 ) A s t o n eo f m a s s2 0 O gi s t i e d t o t h e e n d o f a 1 5 0 c ms t r i n ga n d r o t a t e di n a v e r t i c acl i r c l e l. f
t h e s t r i n gc a no n l yw i t h s t a n da m a x i m u mt e n s i o no f 6 0 N b e f o r ei t b r e a k sd, e t e r m i n et h e
m a x i m u mp e r m i s s i b lneu m b e ro f r o t a t i o n sp e r s e c o n do f t h e s t o n e . ( A N S2 . 2 I )
( 9 ) I n m o t o r c y c l er a c i n gt h e t r a c ki s f l a t r a t h e rt h a n b a n k e da, n dt h e m o t o r c y c l i s ht a st o t i l t
h i sb i k ei n o r d e r t o n e g o t i a t teu r n sa t h i g hs p e e d sl .n o n e s u c ht r a c k t, h e r a d i u so f
t.
i s 5 0 m a n da r a c e rm a yw i s ht o r i d ea r o u n dt h e b e n da t a s p e e do f 1 5 0 k m h
curvature
Determinw
e h a t m u s tb e t h e a n g l eo f t i l t f r o m t h e v e r t i c atlo m a i n t a i nt h i ss p e e d .
ANS7
: 4.2'
mvZ
r
64
GRAVITATION
N e w t o n ' sL a wo f U n i v e r s aGl r a v i t a t i o n :
T h eg r a v i t a t i o n af ol r c ea c t i n go n e a c ho f t w o s e p a r a t ep o i n t m a s s e si,s d i r e c t l yp r o p o r t i o n at lo
t f t h e m a s s e as n d i n v e r s e lpyr o p o r t i o n a l ttoh e s q u a r eo f t h e i rd i s t a n c o
t h e p r o d u co
ef
s e p ar a t t on .
T h i s l a w c a n b e e x p r e s s e dm a t h e m a t i c a l l a
y sfollows:
Gmtm.,
F
H - -
.,
r"
W h e r eG i s a c o n s t a nct a l l e dt h e U n i v e r s aglr a v i t a t i o n caol n s t a n tm
, l a n d m 2 a r et h e m a s s e as n d r
i st h e d i s t a n c o
ef separation.
The magnitudeof G is 6.67x 10-11Nm2kg-2
l l di s p r o d u c e d
A g r a v i t a t i o n fai e
a r o u n da n ym a s sa, n dt h e f i e l dl i n e sa r ea l w a y sd i r e c t e dt o w a r d s
t h e m a s st h a t i s p r o d u c i ntgh e f i e l d .H e n c ei f a m a s sm , p r o d u c eas g r a v i t a t i o n fai e
l l d ,a n da m a s s
r T 1i 2s p l a c e di n t h e f i e l do f m r , t h e n m 2 w i l lb e a t t r a c t e dt o r r r r d
, n d a l s om , w i l l b e a t t r a c t e dt o m r .
T h ea b o v ed i a g r a ms h o w st h e g r a v i t a t i o n af ile l d so f t w o m a s s e sm 1a n d m 2 .T h e b o t h m a s s e s
a t t r a c te a c ho t h e rw i t h t h e S A M EF O R Cw
Eh i c hi s e q u a tl o
u^f'
F r'
65
(N)
POTENTIAL
GRAVITATIONAL
The Gravitationalpotentialat a point is definedas the work done in bringinga unit massfrom
t o m e a nt h e G r a v i t a t i o n a l
i n f i n i t y t o t h a t p o i n t .G r a v i t a t i o n aPl o t e n t i acl a n sb e i n t e r p r e t e d
P o t e n t i aEl n e r g yo f a 1 k gm a s s .
Gravttattonal
Potential Energy - Gravitational
Potentia.l x Mass
l f w e c o n s i d etrh e g r a v i t a t i o n af ile l dp r o d u c e db y t h e e a r t h ,t h e n I N F I N T Yi s, t h a t r e g i o ni n s p a c e
l ld.
b e y o n dt h e e a r t h ' sg r a v i t a t i o n fai e
b y t h e g r a v i t a t i o n aplu l lo f t h e e a r t h .
p
l
a
c
e
i
n
f
i
n
i t y i,t w i l l n o t b e i n f l u e n c e d
a
t
i
s
i
f
a
n
o
b
j
e
c
t
Hence
At infinitythe gravitationalforce actingon a masswill be zero,and thus no work is requiredto
m o v et h e o b j e c tw i t h i nt h e r e g i o no f i n f i n i t y .
SZ E R O .
ALT I N F I N I TlY
t h e r e f o r et h a t t h e G R A V I T A T I O NPAOL T E N T I A
I t c a nb e c o n c l u d e d
C o n s i d enr o w a m a s st h a t i s r e s t i n go n t h e e a r t h ' ss u r f a c eT. h i sm a s sl i e sw i t h i nt h e e a r t h ' s
g r a v i t a t i o n af ile l da n d i f w e h a v et o l i f t i t t o a h e i g h ta b o v et h e e a r t h ' ss u r f a c ew e h a v et o d o w o r k
a g a i n stth e f o r c eo f g r a v i t Y l
. sw e l i f t
T h i sw o r k t h a t i s d o n et o l i f t t h e o b j e c ti s t h e n s t o r e da sg r a v i t a t i o n aplo t e n t i ael n e r g yA
, o r e p o t e n t i ael n e r g yi s s t o r e db y i t . H e n c et h e p o t e n t i ael n e r g yo f
t h e m a s sh i g h e ra n d h i g h e r m
t h e m a s si n c r e a s ewsi t h t h e h e i g h t o w h i c hi t i s r a i s e d .
E v e n t u j l l yt h e m a s si s r a i s e dt o t h e p o i n to f i n f i n i t ya n d h e r et h e p o t e n t i ael n e r g yo f t h e m a s si s
z e r ob e c a u s en o g r a v i t a t i o n af ol r c e sa c t o n i t .
from somevalue
of a massincreases
ENERGY
It can be concludedthereforethat the POTENTIAL
o n t h e e a r t h ' ss u r f a c ea l l t h e w a y u p t o Z E R O ! ! !
f o r t h e p o t e n t i ael n e r g yt o i n c r e a s teo Z E R O ?T h i sc a no n l y h a p p e ni f t h e
Howisit possible
p o t e n t i ael n e r g yw i t h i nt h e e a r t h ' sf i e l dh a sa N E G A T I VVEA L U E .
N C R E AT
SO
EZ E R O ! I !
N E G A T I VNEU M B E RI S
of a mossis
ENERGY
POTENTTAL
Hencewithin a grovitational field, the GRAVTTATTONAL
NEGATIVE.
PotentialEnergy
while the GRAVITATIONAL
of a body is alwaysPOSITIVE,
ENERGy
The KtNET|C
is negative.The Total Mechanicalenergyof a body is the sum of its K.E.and G.P.E.which may
resultin either a pnsitiveof negativenumber dependingon the magnitudesof the energies.
66
GRAVITATIONAL
FIELDSTRENGTH
T h eG r a v i t a t i o n aFli e l dS t r e n g t ha t a p o i n ti s d e f i n e da st h e g r a v i t a t i o n af ol r c ea c t i n go n a u n i t
m a s sp l a c e da t t h a t p o i n t .H e n c eg r a v i t a t i o n af ile l ds t r e n g t hi s t h e f o r c ea c t i n gp e r u n i t m a s s ,
w h i c hc a nb e e x p r e s s em
d a t h e m a t i c a lal ys :
F orce
E'
tt:
GM
7'r"ass
E'
T h e u n i t sa r e N k g - 1
rz
G r a v i t a t i o n af ile l ds t r e n g t hi s a v e c t o rq u a n t i t ya n d i t s u n i t so f N k g - ' c a nb e s h o w nt o b e
rr').
e q u i v a l e nt o
t t h e u n i t so f a c c e l e r a t i o( n
Force,
a c c e l e r a t i o=n
( B y N e w t o n ' ss e c o n d
,rrou,and
n ou
l a w ) ,t h e G R A V I T A T I O NFAILE L D
S T R E N G TAHT A P O I N Tl SN U M E R I C A LE
LQ
Y UAT
L OT H E
A C C E L E R A T ID
OU
NET O G R A V I TAYTT H A TP O I N TT. h i ss t a t e m e n h
t o w e v e rD O E SN O Ta p p l yf o r
b o d i e st h a t a r e i n c o n t a c tw i t h t h e e a r t h ' ss u r f a c e .
S i n c eg r a v i t a t i o n af ile l ds t r e n g t hg
-
Force
t.
, e g r a v i t a t i o n a l f i esl tdr e n g t h= 9 . 8 1 N k g
H e n c en e a r t h ee a r t h ' sq u r f a c et h
Orbits:
W h e , na p l a n e to r b i t st h e s u n (a s s u m e fdo r s i m p l i c i t y t o
b e a c i r c u l aor r b i t ), t h ec e n t r i p e t a l f o r c e
r e q u i r e dt o k e e pt h e p l a n e ti n o r b i t ,i s p r o v i d e db y t h e g r a v i t a t i o n a l f o r caec t i n go n t h e p l a n e t .
i . e .l f t h e m a s so f t h e sun is m2andthe mossof the plonetis my then:
GravitationolForce= CentripetalForce
F-
Grnpn2
12
2 mrvZ
lTl{U)-=:
r
F=mrtl2
T h eC e n t r i p e t af ol r c ei s d i r e c t e dt o w a r d st h e c e n t r eo f r o t a t i o nb, u t d o e sn o t c a u s et h e
p l a n e t o f a l i i r , . v a r dtso w a r d st h e c e n t r eo f r o t a t i o nW
. hy?
Thegravitational
forceisonlyequalto the centripetal
forceif thereis no physical
contact
letween the bodies.
67
TYPES
OFSATELLITE
ORBITS
( 1 ) G E O S T A T I O N AORRYB I T S :
A l s ok n o w na sg e o s y n c h r o n o uosr b i t s ,s a t e l l i t eisn t h e s eo r b i t sc i r c l et h e E a r t ha t t h e s a m er a t ea s
t h e E a r t hs p i n sT. h eE a r t ha c t u a l l tya k e s2 3 h o u r s 5, 6 m i n u t e sa, n d4 . 0 9s e c o n dtso m a k eo n e f u l l
r e v o l u t i o nT. h es a t e l l i t easr e l o c a t e dn e a rt h e e q u a t o rs i n c ea t t h i sl a t i t u d et,h e r ei s a c o n s t a n t
f o r c eo f g r a v i t yf r o m a l l d i r e c t i o n sA. t o t h e r l a t i t u d e st,h e b u l g ea t t h e c e n t e ro f t h e E a r t hw o u l d
p i r l lo n t h e s a t e l l i t e .
G e o s y n c h r o n ooursb i t sa l l o wt h e s a t e l l i t teo o b s e r v ea l m o s ta f u l l h e m i s p h e roef t h e E a r t hT. h e s e
s a t e i i i t easr e u s e dt o s t u d yl a r g es c a l ep h e n o m e n osnu c ha s h u r r i c a n e os r, c y c l o n e sT.h e s eo r b i t s
e r r ca l s ou s e df o r c o m m u n i c a t i osna t e l l i t e T
s .h ed i s a d v a n t a goef t h i st y p eo f o r b i ti s t h a t s i n c e
t l i e s es a t e l l i t e as r ev e r yf a r a w a y ,t h e y h a v ep o o r r e s o l u t i o nT. h eo t h e rd i s a d v a n t a gi set h a t t h e s e
s a t e l l i t ehsa v et r o u b l em o n i t o r i n a
g c t i v i t i ense a rt h e p o l e s .
EARTH
(2) POLAR
O R B T T: S
P o l a r - o r b i t i ns g
a t e l l i t epsr o v i d ea m o r eg l o b avl i e wo f E a r t hc, i r c l i n g
a t n e a r - p o l ai n
r c l i n a t i o(nt h e
a n g i eb e t w e e nt h e e q u a t o r i apl l a n ea n dt h e s a t e l l i t o
e r b i t a lp l a n e- - a t r u e p o l a r o r b i h
t a sa n
i n c l i n a t i oo
n f 9 0 d e g r e e s )O. r b i t i n ga t a n a l t i t u d eo f 7 0 0t o 8 0 0 k m ,t h e s es a t e l l i t ecso v e rb e s tt h e
p a r t so f t h e w o r l dm o s td i f f i c u ltto c o v e ri n s i t u( o n s i t e ) .
.ihese
s a t e l l i t eosp e r a t ei n a s u n - s y n c h r o n ooursb i t .T h es a t e l l i t e
p a s s etsh e e q u a t o ra n de a c h
l a t i t u d ea t t h e s a m el o c a sl o l a rt i m e e a c hd a y ,m e a n i n gt h e s a t e l l i t e
p a s s eos v e r h e a d
at
e s s e n t i a ltl hy e s a m es o l a r t i m et h r o u g h o uat l l s e a s o nosf t h e y e a r .T h i sf e a t u r ee n a b l e sr e g u l a r
d a t ac o l l e c t i oant c o n s i s t e nt itm e sa sw e l la s l o n g - t e r m
c o m p a r i s o nTsh. eo r b i t a lp l a n eo f a s u n s y n c h r o n o uosr b i t m u s ta l s or o t a t ea p p r o x i m a t e loyn e d e g r e ep e r d a yt o k e e pp a c ew i t h t h e
E a r t h 's u r f a c e .
I n c l i n e do r b i t sf a l l b e t w e e nt h o s ea b o v e T
. h e yh a v ea n i n c l i n a t i o b
n e t w e e nO d e g r e e s( e q u a t o r i a l
o r b i t )a n d 9 0 d e g r e e s( p o l a ro r b i t ) .T h e s eo r b i t sm a y b e d e t e r m i n e db y t h e r e g i o no n E a r t ht h a t i s
o f m o s t i n t e r e s (t i . e . ,a n i n s t r u m e ntto s t u d yt h e t r o p i c sm a y b e b e s tp u t o n a l o w i n c l i n a t i o n
s a t e l l i t e )o, r b y t h e l a t i t u d eo f t h e l a u n c hs i t e .T h eo r b i t a la l t i t u d eo f t h e s es a t e l l i t eiss g e n e r a l l y
o n t h e o r d e ro f a f e w h u n d r e dk m , s o t h e o r b i t a lp e r i o di s o n t h e o r d e ro f a f e w h o u r s T
. hese
s a t e l l i t eas r e n o t s u n - s y n c h r o n o uhso, w e v e rs, o t h e y w i l l v i e w a p l a c eo n E a r t ha t V a r y i n g
times.
I n c l i n e do r b i t sa r e u s e df o r G L O B AP
L O S I T I O N I NSG
YSTEM
s a t e l l i t e(sG P Ss y s t e m s )
The diagramon the left showsa GPS constellationof
satellites.
:17
69
ESS
WEIGHT AN D WEIGHTLESSN
t e t w e e nt h e b o d i e se, . g . ap a r t i c l ei s r e s t i n go n t h e
C o n s i d e r t hcea s ew h e r et h e r ei s c o n t a c b
e a r t h ' ss u r f a c eh, e n c ei t r o t a t e sw h e nt h e e a r t hr o t a t e s .
P a r to f t h e G r a v i t a t i o n af ol r c ep r o v i d e db y t h e e a r t h ,g i v e st h e p a r t i c l ei t s c e n t r i p e t af lo r c e ,a n d
t h e r e m a i n d e irs u s e dt o p r o v i d et h e A P P A R E NwTe i g h to f t h e o b j e c t .
force
force- Centripetal
Weight= Gravitational
APPARENT
' A P P A R E NiTs 'u s e db e c a u s e" w e i g h t "n o r m a l l yr e f e r st o g r a v i t a t i o n aalt t r a c t i o nw h i c h
T h et e r m
d o e sn o t d e p e n do n t h e r o t a t i o no f t h e o b j e c t .
T h ea p p a r e nw
t e i g h th o w e v e r i,s t h e f o r c et h a t a n o b j e c tw o u l de x e r to n a s c a l ea, n d t h i sf o r c e
w i l l v a r ya st h e c e n t r i p e t af lo r c eo n t h e o b j e c tv a r i e s .
, owever
e . g .w h e n a n o b j e c ti s p l a c d a tt h e N o r t ho r s o u t hp o l e ,i t w i l l s p i na st h e e a r t hr o t a t e s h
b
e
z e r os i n c e
o
n
i
t
w
i
l
l
a
l
s
o
i t s r a d i u so r r o t a t i o ni s z e r o ,a n dt h e r e f o r et,h e c e n t r i p e t af lo r c ea c t i n g
F':
^ mvZ
mra' =;'
I n t h i sc a s e i,f t h e o b j e c ti s p l a c e do n a s c a l et,h e w e i g h tr e c o r d e db y t h e s c a l ew i l l b e e q u a lt o t h e
g r a v i t a t i o n af ol r c eo n t h e o b j e c t .
l f t h e o b j e c ti s n o w t a k e nt o t h e e q u a t o ri,t w i l l r o t a t ew i t h a r a d i u se q u a l t ot h e r a d i u so f t h e
e a r t h ,a n d a c e n t r i p e t af ol r c ew i l l b e a c t i n go n i t . W h a t i s t h e o r i g i no f t h i sc e n t r i p e t af ol r c e ?
P A R TO Ft h e g r a v i t a t i o n af ol r c ep r o v i d e st h e c e n t r i p e t af lo r c e ,a n dt h e r e m a i n d eor f i t p r o v i d e s
t eight.
t h e a p p a r e nw
Henceapparentweight m1g' -
- fit{o)2'
ry
. l f t h ee n t i r ee q u a t i oinsd i v i d e d
b y m 1 t, h e nw e g e t
.Gmz7
g':i-raz
due to gravity
Whereffi2f€pfesentsthe massof the earth.In this casethe acceleration
Gmtbecausepart of the gravitational
g' is lessthan the gravitational
field strength(i),
field strengthprovidesthe centripetalacceleration.
70
WEIGHTLESSNESS
When a personstandson a surface,he feelsthe sensation
of hisown weight
becausethe surfacethat he standson providesan upwardreactionforceat his
feet.The personcanexperience
the feelingof weightlessness
in the.following
ways:
( 1 ) l f t h e p e r s o nd e c i d e tso d o a s k y d i v eh, e w i l l f e e lw e i g h t l e sbse c a u s teh e r ei s
n o s u r f a c et o p r o v i d ea n u p w a r dc o n t a c ft o r c eo n h i m .
(21 lf the personis in a lift that is fallingfreelytowardsthe earth,the floor that he
i ss t a n d i n g
o n i s a c c e l e r a t i nagw a yf r o m h i sf e e t a t t h e s a m er a t et h a t h e i s
accelerating
towardsit, and as a resultthere is no contactforcebetweenhim
and the floorto createthe sensation
of weight.
( 3 ) l f t h e p e r s o ni s i n a s p a c e s h itph a t i s o r b i t i n gt h e e a r t h ,b o t h h i m a n dt h e
s p a c e s h iepx p e r i e n cteh e s a m ec e n t r i p e t aalc c e l e r a t i o nT.h es i t u a t i o n
b e c o m e s i m i l a tro ( 2 )w h e r et h e s u r f a c et h a t h e i s s t a n d i n g
o n ,i sa c c e l e r a t i n g
awayfrom him towardsthe earth,at the sameratethat he is accelerating
towardsit and againthereis no contactforcebetweenhim and the floor to
createthe sensation
of weight.
71
SHEET
TUTORIAL
The magnitudeof G is 6.67x 1o-11Nm2kg-2
(1) A satellito
e r b i t st h e e a r t ho n c ee v e r y3 h r . D e t e r m i n iet s a n g u l asr p e e d .
( A n s5 . 8 1 x1 0 o r a ds t )
( 2 \ T h em o o no r b i t st h e e a r t ha t a r a d i u so f 3 . 8 4x L 0 s k ma n d h a sa p e r i o do f o r b i to f 2 8
daysD
. e t e r m i n teh e c e n t r i p e t aalc c e l e r a t i oonf t h e m o o n .
( A n s ;2 . 6x 1 0 - 3 m2s)
D.e t e r m i n e :
( 3 ) A d i s t a n tp l a n e th a sa r a d i u so f 6 5 0 k ma n da m a s so f 7 . 5x 1 0 2 0 k g
(i)
(ii)
T h ew e i g h to f a 7 5 k gp e r s o nl o c a t e da t t h e e q u a t o ro n t h e p l a n e t
l l ds t r e n g t ho n t h e s u r f a c e
of the planet
T h eg r a v i t a t i o n fai e
1
)
( A n s 8: . 9 N 0, 1 . 8 N k g
( 4 ) T h e p l a n e t J u p i t ehra sa m a s so f 1 . 9 2 x1 0 2 7 k g ,raa d i u so f 7 . I 5 x 1 0 7 ma n da p e r i o do f
r e v o l u t i oo
nf 1 0 h r .
(i)
C a l c u l a tteh e g r a v i t a t i o n af ile l ds t r e n g t ho n t h e s u r f a c eo f J u p i t e r
(ii)
T h ec e n t r i p e t aalc c e l e r a t i oant t h e e q u a t o r
(iii)
T h ea p p a r e nw
t e i g h to f a 2 0 k gm a s sa t t h e e q u a t o r
(iv)
T h e r e a c t i o nf o r c et h a t t h e s u r f a c ee x e r t so n t h e 2 0 k gm a s sa t b o t h t h e e q u a t o r
a n da t t h e p o l e s .
( 5 ) W h e na s a t e l l i t o
e r b i t st h e e a r t ho f m a s sM , a t a r a d i u sR ,t h e p e r i o do f t h e o r b i tc a nb e
' d e n o t e db y T .
P r o v et h a t
T -
int
2r | - -- where G - the universal grauitatton constant
Gt''l
I
(6) A satellite
i s t o b e p l a c e di n a c i r c u l agr e o s t a t i o n a or yr b i t . l f t h e r a d i u so f t h e e a r t hi s
6 4 0 0 k ma
, n d i t s m a s si s 5 . 9 8x 1 O 2 o kfgi n, d t h e s p e e do f t h e s a t e l l i t ea n d i t s h e i g h ta b o v e
t h e e a r t h ' ss u r f a c eH. i n t :
e - ro)z - + where r - d.istancebetween satelli.teand.eartlt'scentre)
[ W h e nr i s f o u n d, y o u n e e dt o s u b t r a c t h e r a d i u so f t h e e a r t hf r o m i t a sw e n e e dt o f i n d
1;
t h e h e i g h ta b o v et h e e a r t h ' ss u r f a c eI. A n s3 0 7 5 m s 3 . 6x 1 0 7 m ]
t i t h a r a d i u so f o r b i to f 4 . 5x 1 0 6 m
( 7 ) A m o o na r o u n da p a r t i c u l aprl a n e to r b i t st h e p l a n e w
. e t e r m i n et h e m a s so f t h e p l a n e t . [ A n2s x 1 0 2 0 k g ]
a n d w i t h a p e r i o do f 6 d a y s D
GY{
-- t m
I IR
L r4\ n '
t L nRwa 2-- ^
Hint:u*
Rz
n
( 8 ) P l a n eA
e f 2 x 1 0 sk m a w a yf r o m t h e c e n t r e
t h . a m a s sm a n d i t s c e n t r ei s a t a d i s t a n c o
o f a p l a n e t3 w h o s em a s si s 2 . 6t i m e st h a t o f A . A t w h a t d i s t a n c fer o m A a l o n gt h e l i n e
A B w i l l t h e g r a v i t a t i o n af ile l ds t r e n g t hb e z e r o ? ( A N S7 . 6 6x 1 o 4 k m )
72
SOLUTIONS
( 1 ) T h e p e r i o d i ct i m e T = 3 h r . C o n v e r tT t o s e c o n d st h e n u s e & r - 2 1 r
T
( 2 ) C o n v e r t h e r a d i u st o m e t r e st h e n u s ea = r a 2
( 3 )T h eA p p a r e n w
t e i g h to f t h e p e r s o ni s g i v e nb y : W = ( G r a v i t a t i o n faol r c e )
t^t-*'
The Graui.tati.onal Force ,
G r a u i t a t i o n a lF i e L ds t r e n g t h _
GM
rz
( 4 ) ( i i i )T h e A p p a r e n t W e i g h t = ( G r a v i t a t i o n aflo r c e ) - ( C e n t r i p e t a F
l orce)
The Graui.tational Force:
'Ty
; centripetal f orce - mrof
( i v )T h er e a c t i o n
f o r c ea t t h e e q u a t o ri s t h e s a m ea st h e a p p a r e nw
t e i g h tc a l c u l a t eidn ( i i i )
b y N e w t o n ' s3 ' dL a w .
A t t h e p o l e st h e r e i s n o c e n t r i p e t af lo r c es i n c et h e r a d i u so f r o t a t i o ni s z e r o .T h e
G r a v i t a t i o n a l f o rw
c ei l l b e e q u a l t ot h e w e i g h ta n d h e n c et h e r e a c t i o n
f o r c ei n t h i sc a s e .
( S ) L e t m a s s o f s a i e l l t t e - m , M a s so f e a r t h- M .
The grauitational f orce acting on the satellite - centripetal f orce
GMm
2rc
GMm mR4r2
4tt2 R 3
^
- rnRa' ;but
-rM
; hence
'
t
N
f
R2
7z
,
T
11 Z
-
R3
2r
Gn4
GMm mR4r2
(7) Since -------=M
R2
4 t t 2R 3
GT,
T2
l f t h e f i e l ds t r e n g t has r e e q u a tl h e n :
Gms
cme
l ( 2 x 1 o s )- x l z
/
r
(2x1os)-x
Tfts
x
\-/
lTl ,t
lms
x2
f(2x10t)-xl'
x2
(2x10s)-x
tI ITL,I
!n
xrlz.a- (z x 1os)-
1 , . 6 1 , x - ( 2 x 1 0 s ) - x"
x -7.66x104km
73
TUTORIAL
MOTION& GRAVITATION
CIRCULAR
( 1 ) A r o c ko r b i t st h e m o o n a t a h e i g h to f 2 4 0 0 0 m l.f t h e o n l yf o r c ea c t i n go n i t i s t h e
. h em o o n ' s
g r a v i t a t i o n aplu l l ' o ft h e m o o n ,f i n d i t s s p e e d i, t s a n g u l a sr p e e da n d i t s p e r i o d T
i
;
9
.
4
4
x
1 0 - a r asd- 11; . 8 5
m a s si s 7 . 3 4 x ! 0 2 2k g a n d i t s r a d i u si s 1 . . 7 4 x1 0 b m (. A n s .1 6 6 5 m s
hr).
( 2 ) T h e p l a n e tJ u p i t e rh a sa m a s so f 1 . 9 x 1 , 0 2k7g a n d a r a d i u so f 7 x ! 0 7 m ,w h i l et h e m a s so f
. s t r o n o m i c aolb s e r v a t i o nrse v e a tl h a t
t h e s u n i s 1 . 9 81 0 3 k0 g a n d i t s r a d i u si s 6 . 9 6x 1 0 8 mA
p
e
r
i
o
d
the orbital
o f J u p i t e ri s 4 3 3 3d a y s .
)
( i )T h ea n g u l asr p e e do f J u p i t e r( I . 6 7 8 x 1 - 0 - 8 r sa 1
d
Determine
( i i )T h eo r b i t a lr a d i u s( 9 . 6x 1 0 2 0 m )
( i i i )T h el i n e a rs p e e d( 1 . 6 1x 1 O 1 3 m s - 1 )
( 3 ) A r o c kA o f m a s s5 0 0 k go r b i t sa n o t h e rr o c kB o f m a s s2 0 , 0 0 0k g i n o u t e rs p a c eT. h e p e r i o d
s f t h e r o c k s,
o f o r b i t i s 4 5 d a y s .D e t e r m i n et h e d i s t a n c ebs e t w e e nt h e c e n t r e so f m a s s e o
a n dt h e d i s t a n c ef r o m A a l o n gt h e l i n ej o i n i n gt h e t w o m a s s e sw, h e r et h e g r a v i t a t i o n a l
p u l lo n a n o t h e rm a s sm i s z e r o .( 7 9 . 9 m6; 9 m ) .
( 4 ) A s t o n eo f m a s s8 0 g i s t i e d t o o n e e n d o f a s t r i n gt h a t i s 6 8 c ml o n g ,a n dt h e o t h e re n d i s
, i t h t h e s t r i n gm a k i n ga n
h e l df i x e dt o a p o i n tO . T h e b a l li s w h i r l e di n a h o r i z o n t acl i r c l ew
a n g l eo f 4 0 ' t o t h e v e r t i c a l .F. i n dt h e r a d i u so f r e v o l u t i o nt,h e s p e e do f t h e b a l l ,t h e
1;1.02N;1,.447s.)
t e n s i o ni n t h e s t r i n g ,a n d i t s p e r i o do f r e v o l u t i o n .4( 3 . 7 c m , 1 . 8 9 6 m s
( 5 ) A c r i c k e tb a l lo f m a s s3 0 0 g i s a t t a c h e dt o a c o r do f l e n g t h1 6 0 c ma n dw h i r l e di n a
. i n dt h e r a d i u so f
h o r i z o n t acl i r c l ew i t h t h e c o r dm a k i n ga n a n g l eo f 5 0 " w i t ht h e v e r t i c a lF
r e v o l u t i o nt,h e s p e e do f t h e b a l l ,t h e t e n s i o ni n t h e c o r d ,a n dt h e p e r i o do f r e v o l u t i o n .
(1,22.5cm;
3.78ms-1;4.
58N;0.65s)
( 6 )A s t o n eo f m a s s8 0 g i s t i e d t o a s t r i n ga n d w h i r l e di n a v e r t i c acl i r c l eo f r a d i u s7 5 c m .( a )
r ath?
W h a t m i n i m u ms p e e dm u s ti t h a v ea t t h e t o p o f t h e c i r c l es o t h a t i t r e m a i n si n a c i r c u l a p
( b ) W h a t w i l l b e i t s s p e e da t t h e b o t t o mo f t h e c i r c l e , itfh e t e n s i o ni n t h e s t r i n gi s 2 . 4 4 N ?
O F i n dt h e t e n s i o ni n t h e c o r dw h e n t h e s t o n ei s a t t h e b o t t o mo f t h e c i r c l ew h e n i t s s p e e di s
5.4ms-1?
( d ) W h a t i s t h e t e n s i o ni n t h e c o r da t t h e i n s t a n tw h e n t h e s t r i n gi s h o r i z o n t awl h e n i t i s
. m o v i n gw i t h a s p e e d o f 7 . 2 m s - 1??
( 2 . 7 t m s1 ;3 . 9 1 m s - 1 ; 3 . 5
9 .N5;3 N )
( 6 ) A m a s so f 2 2 g i s w h i r l e di n a v e r t i c acl i r c l eo f r a d i u s3 8 c mw i t h a c o n s t a nst p e e do f 6 . 4 m s '
D e t e r m i n et h e t e n s i o ni n t h e s t r i n gw h e nt h e m a s si s :( a )A t t h e t o p o f t h e c i r c l e
( b )A t t h e b o t t o mo f t h e c i r c l e
( c ) T h es t r i n gi s h o r i z o n t a l .
( 2 . 1 5 N?; 5 9 N ; 2 . 3 7 N
);
74
NOTES
75
S o l u t i o nG u i d e l i n e s
(1) Flrsf calculate the distance between the centres of mass of the moon and the rock
b y a d d i n gt h e h e i g h ta b o v et h e m o o nt o t h e r a d i u so f t h e m o o n .
GMn+ muz
Ztt
:
; ucanbefoundandl2-ra,T?J
r
2n
( 2 ) r - - ; w h e r e T - 4 3 3 3x 2 4 x 3 6 0 0 ;
a
R a d i u s o f O r b i " t: r : d"istancebetween centres of masses
GMnt
r3
Since;-nn'ro2i
GM
-tT ,where M i"sthe mass of the sun, and m ts mass of
Jupi.ter
@'
( 3 ) F i n d r a d i u so f o r b i t u s i n gt h e m e t h o d
S e es i m i l a r
s o l u t i o no n p g
t h e p r e v i o u qs u e s t i o n .
( 4 )a n d ( 5 )U s et h e f o r m u l af o r t h e c o n i c apl e n d u l u mT. h ev e r t i c acl o m p o n e not f t h e t e n s i o n
i s e q u a l t ot h e w e i g h t a
, n dt h e h o r i z o n t aclo m p o n e not f t h e t e n s i o ni s e q u a lt o t h e
centripetalforce.
(6)and (7) At the top of the ctrcle,Ttt mg T2 - mg -
mu2
,
muqnd at the bottom of the circle
,
; when the strtng is hortzontal Tz =
76
mu2
,
E FFE C TS
OF FOR C E S
Up t h r u s t :
T h i si s t h e u p w a r df o r c ea c t i n go n a b o d yw h e n i t i s e i t h e rp a r t i a l l oy r w h o l l yi m m e r s e di n a f l u i d .
T h i s u p t h r u s to r i g i n a t efsr o m t h e p r e s s u r e
d i f f e r e n c easc t i n go n t h e b o d yd u e t o d u e t o t h e f l u i d
l e v e ld i f f e r e n c e s .
V o l u m eo f f l u i dd i s p l a c e=d V o l .
submerged=Ah
M a s so f f l u i dd i s p l a c e =
d Ahp
W e i g h to f f l u i dd i s p l a c e dA=h p g
U p t h r u s=
t F o r c ea t B - F o r c ea t A
=Ahpg-0-Ahpg
t
lB
C o n s i d ear b o d ys u b m e r g e tdo a d e p t h h i n a f l u i do f d e n s i t yp . A t p o i n tA t h e p r e s s u r e
d u et o t h e
f l u i di s z e r o .( w h y ? )
A t p o i n tB t h e p r e s s u r de u et o t h e f l u i di s P = p g h
H e n c eb e t w e e nA a n d B ,t h e p r e s s u r e
d i f f e r e n c ei s p g h .
l f t h e b o d yh a sa u n i f o r mc r o s ss e c t i o n aal r e aA , t h e nt h e p r e s s u rfeo r c ea c t i n go n t h e b a s e
u p w a r d si,s g i v e nb y F = p g h A .
T h ep r e s s u r e
f o r c e sa t t h e s i d e sa c t h o r i z o n t a l l ya,n d t h o s eo n t h e l e f t a r e c a n c e l e d
out bythose
o n t h e r i g h t ,s i n c et h e y a r e e q u a la n d o p p o s i t eH
. e n c et h e r e i s o n l ya r e s u l t a nvt e r t i c afl o r c e
w h i c hi s t h e u p t h r u s t .
U P T H R U S=TW E I G H TO F F L U I DD I S P L A C E D
Archimede'sprinciplestatesthat when a body is wholly or partiallysubmergedin a fluid, it
experiences
an upthrust,which is equalto the weight of fluid displaced.
When the body floats in the fluid, the weight of fluid displacedis equalto the weight of the
body!
77
FORCES
RESISTIVE
forcescan be eitherfrictionalforcesdue to the relativemotion betweentwo or more
Resistive
s r D R A Gf o i c e sd u e t o t h e r e l a t i v em o t i o nb e t w e e na f l u i da n d a s o l i ds u r f a c e .
s o l i ds u r f a c e o
t h a t c a nf l o w . H e n c ea f l u i dc a nb e e i t h e ra l i q u i do r a g a s .
A f l u i d i s a n ys u b s t a n c e
W h e n e v e trh e r e i s r e l a t i v em o t i o nb e t w e e na f l u i da n d a s o l i do b j e c tw h i c hc a no s s u rw h e n t h e
b o d ym o v e st h r o u g ht h e f l u i do r w h e nt h e f l u i df l o w sp a s tt h e b o d y ,t h e s o l i do b j e c te x p e r i e n c e s
a r e t r d i n gf o r c ec a l l e dt h e D R A GF O R C,Ea n d i s d i r e c t e dp a r a l l etlo t h e f l u i d m o t i o na n d a n t i p a r a l l etlo t h e m o t i o no f t h e b o d
rl
T h e D R A Gf o r c ei s d u e t o t h e c o n t i n u o u cs o l l i s i o nbse t w e e nt h e s o l i ds u r f a c ea n dt h e f l u i d
p a r t i c l ew
s h i c hl e a dt o a d e i e l e r a t i o no f t h e b o d y .
, e r e i s a c o n t i n u o u isn t e r - l o c k i nogf p i t sa n d
FO
In FRICTIONA
L R C EbSe t w e e ns o l i ds u r f a c e st h
. o r k h a st o b e d o n et o
p r o j e c t i o nas t a m i c r o s c o p ilce v e lb e t w e e nt h e t w o s u r f a c e isn c o n t a c t W
i n K i n e t i ce n e r g yo f t h e
o v e r c o m et h e o b s t r u c t i o nosf t h e i n t e r - l o c k i nwgh i c hc a u s e sa d e c r e a s e
i
n
t
o
h
e
a
t
e
n
e
r
g
y
.
m o v i n gs . u r f a c easn, dt h e c o n v e r s i o on f k i n e t i ce n e r g y
Hencewhen work is done to overcomefriction,heat is dissipated.
SurfaceA
D i a g r a ms h o w i n gt h e i n t e r - l o c k i nogf
p i t sa n d p r o j e c t i o nas t a m i c r o s c o p i c
level.
SurfaceB
78
T E R M I N AV
LE L O C I T Y
W h e n a b o d ys t a r t st o f a l l t h r o u g ha f l r , i d ,i t w i l l a c c e l e r a tien i t i a l l yb, u t t h e m a g n i t u d eo f t h e
a c c e l e r a t i owni l l d e c r e i a swei t h t i m e u n t i l i t r e a c h e sz e r o ,c a u s i n gi t t o m o v ew i t h a c o n s t a n t
- P r o v i d i n tgh a t t h e l e n g t ho f t h e t r a v e lp a t h i s
v e l o c i t yc a l l e dt h e T E R M I N AV
L E L O C I T-Y
s u f f i c i e n t llyo n g s o t h a t t h e f a l l i n gb o d yd o e sn o t h i t t h e b a s eo f t h e c o n t a i n eor r t h e e a r t h ' s
s u r f a c eb e f o r et e r m i n a vl e l o c i t yi s r e a c h e d !
Velocity
Time
T h ed r a gf o r c ea c t i n go n t h e b o d ya t a n y i n s t a n ta s i t f a l l s ,i s p r o p o r t i o n at lo i t s s p e e d o
, r the
s q u a r eo f i t s s p e e da t t h a t i n s t a n t .
i . e . l f t h e D r a gf o r c e = D , t h e n : D x v 2
T h e m a g n i t u d eo f t h e d r a gf o r c eD i n c r e a s e s
w i t h t i m e a st h e v e l o c i t yi n c r e a s e s .
D r a gF o r c e( D )
E v e n t u a l l yt h, e m a g n i t u d eo f t h e d r a gf o r c e
( w h i c ha c t su p w a r d s ) , i n c r e a st oe st h e p o i n t
w h e r et h e T O T A LU P W A R D
F O R C (ED + U )
becomee
s q u a li n m a g n i t u d o
ef theweight,
( w h i c ha c t sd o w n w a r d s ) a ntdh e r e s u l t a n t
f o r c eo n t h e b o d yb e c o m e sz e r o ,h e n c ei t s
a c c e l e r a t i obne c o m e sz e r o ( F= m a ) .
u p t h r u s tU
I D + U ] = m g ( A t T e r m i n avl e l o c i t y )
mg
T h e b o d yt h e n c o n t i n u e tso m o v ew i t h a
c o n s t a nvt e l o c i t yc, a l l e dt h e T E R M I N A L
VELOCITY.
Totalu p w a r d
d o w n w ar d
79
SHEET
TUTORIAL
3
( 1 ) A p i e c eo f m e t a lo f m a s s8 0 0 9a n d d e n s i t y2 6 0 0 k g m i s s u s p e n d efdr o m a s t r i n ga n d
i s c o m p l e t e l yi m m e i s e di n a b e a k e ro f w a t e r .C a l c u l a tteh e t e n s i o ni n t h e s t r i n g .
(4.82N)
t
( 2 ) A p i e c eo f m e t a lo f m a s s1 5 0 0 ga n d d e n s i t y2 8 0 0 k g m i s s u s p e n d efdr o m a s t r i n g
3.
r f b r i n et h a t h a sa d e n s i t yo f 1 . 2 5 g c m
a n d i s c o m p l e t e liym m e r s e di n a b e a k e o
C a l c u l a tteh e t e n s i o ni n t h e s t r i n g .
(8.14N)
( 3 ) A p i e c eo f m e t a lo f m a s s2 2 O O g a ndde n s i t y3 2 O 0 k g mi-s' s u s p e n d efdr o m a s t r i n g
3.
in a beakeo
r f o i l t h a t h a sa d e n s i t yo f 0 . S g c m
a n d i s c o m p l e t e liym m e r s e d
C a l c u l a tteh e t e n s i o ni n t h e s t r i n g .
(16.17N)
3,what
3
( 4 ) l f t h e d e n s i t yo f i c e i s 9 1 7 k g m a n dt h e d e n s i t yo f s e aw a t e r i s 1 0 2 4 k g m
inthe seawater?
f r a c t i o no f a l a r g em a s s o f i c ew i l l b e s u b m e r g e d
(8e.6%)
L e tt h e m a s so f i c e b e ' m .S i n c et h e i c ef l o a t s t, h e m a s so f s e a w a t edr i s p l a c e ids e q u a l
l l a t a f l o a t i n gb o d yd i s p l a c eist s o w n w e i g h to f f l u i dt h a t i t
t o t h e m a s so f i c e . ( R e c at h
i s p l a c e di n . )
The uolume of the ice ts gi.uenby VoI :
Theuolume of seawater d"isplaced"
ma"ss
drrritu
=
m
gU
mass
denstty of seawater
- '? '
L024
Hence the uolume of tce that ts submerged ts equal to volume of seawater di.splaced
m
1,024
91,7
m
m
-?-:- _ - 0.896
' - - - ls
-- .
The fractton of ice tltat is submer,qed
"
1,024
1,024 9\7
80
MOMENTS
A ND E Q U I L I B R I U M
T h e M O M E N To f a f o r c e! sa l s oc a l l e dt h e T O R e U Eo f t h e f o r c e .
R e c a l l t h at th e m o m e n to f a f o r c ei s e q u a tl o t h e p r o d u c o
t f t h e f o r c ea n dt h e P E R P E N D I C U L A R
d i s t a n c eb e t w e e nt h e l i n eo f a c t i o no f t h e f o r c ea n dt h e p i v o tp o i n t .
i . e .T o r q u e= F o r c ex P e r p e n d i c u ldairs t a n c e .
W h e na s y s t e mi s h e l di n E Q U I L I B R I UtM
h e, r ea r eT W OC O N D I T I O Nt hSa t m u s tb e s a t i s f i e d :
( 1 )T h e r e s u l t a n t o r q u ea c t i n ga b o u ta n y p o i n t m u s t b e z e r o .i . e .t h e t o t a l c l o c k w i s em o m e n t s
a b o u t a n y p o i n t m u s t b e e q u a lt o t h e t o t a l a n t i c l o c k w i sm
e o m e n t sa b o u tt h a t p o i n t .
(2) The resultantforce actingon the body must be zero.Thismeansthat the total sum of the
upward forcesmust be equalto the total sum of the downwardforces,and the total sum of the
forcesdirectedtowarcJs
the right must equalto the total sum of the forcesdirectedtowardsthe
left.
C o n s i d et rh e f o l l o w i n gs i t u a t i o n s ;
A u n i f o r mb a r A B i s x m l o n ga n d h i n g e dt o a v e r t i c arl v a l iw i t h
A B m a k i n ga n a n g l e0 t o t h e v e r t i c a l .
T h eb a r i s h e l ds t e a d yi n p l a c eb y m e a n so f a h o r i z o n t a l
r o p ew h i c hc o n n e c t B
s t o a p o i n tC o n t h e w a l l .
l f t h e w e i g h to f t h e b a r i s L 2 0 0 N , i t lse n g t hi s 2 . 6 ma n d t h e
a n g l e0 i s 3 5 " ,c a l c u l a tteh e t e n s i o ni n t h e t i e r o p e .
T h ef i r s ts t e pi n t h i sq u e s t i o ni s t o c h o o s ea s u i t a b l ep o i n to n
t h e b e a ma b o u tw h i c hm o m e n t sc a nb e t a k e n T
. h em o s r
s u i t a b l ep o i n ti s A s i n c et h e b e a mi s h i n g e da t t h i sp o i n ts o i t
c a nt u r n a b o u tt h i sp o i n t .
S o n o w w e t a k em o m e n t sa b o u tA .
A clockwise
m o m e n ti s p r o d u c e db y t h e w e i g h t ,a n d w e m u s t
find the PERPENDICULAR
distancebetweenthe line of action
o f t h e w e i g h ta n d t h e p i v o t .
81
T h e p e r p e n d i c u l adri s t a n c eb e t w e e nt h e
l i n eo f a c t i o no f t h e w e i g h ta n dt h e
p i v o ti s d e n o t e db y x
T h ed i s t a n c A
e D i s 1 . 3 ms i n c et h e e n t i r e
l e n g t ho f t h e b a r i s 2 . 6 ma n d s i n t et h e
b a r i s u n i f o r m, i t sw e i g h tw i l l a c t a t t h e
c e n t r eh e n c et h e p o i n tD i s t h e c e n t r eo f
g r a v i t yo f t h e b e a m .
I n r e d r a w i n gt h e t r i a n g l ew e g e t :
1200N
T h e d i s t a n c ex i s o b t a i n e du s i n gt r i g o n o m e t r ya n d i s g i v e nb y
x - 1 . 3c o s S S o- 0 . 7 5 m
T h e c l o c k w i s em o m e n t d u e t o t h e w e i g h t a b o u t p o t n t A : 1 2 0 0 N x 0 . 7 5 m - 9 0 0 N m
T h ea n t i c l o c k w i sm
e o m e n ti s p r o v i d e db y t h e t e n s i o ni n t h e t i e r o p e
T h e p e r p e n d i c u l adri s t a n c eb e t w e e nt h e l i n eo f a c t i o no f t h e t e n s i o na n d t h e p i v o ti s g i v e n
by:
v-2.6cos350= 2.6x0.82-2.1.3m
The Anticlockwtse moment is T x 2.1'3: 2.L37'
w h i c hw e a s s u m et o e x i s ti n t h i ss i t u a t i o nt ,h e
F o rt h e c o n d i t i o no f e q u i l i b r i u m
e oment'
A n t i c l o c k w i sMeo m e n ti s e q u a tl o t h e c l o c k w i sm
900
H e n c e2 . 1 . 3:7 9 0 0 N ; T : * :
.3
82
422.5N
W o r k e dE x a m p l 2
e:
A u n i f o r mb a r P Qi s 4 . 6 ml o n ga n dw e i g h s
2 8 0 0 N. l t i s h i n g e da t P a g a i n sat v e r t i c a l
w a l la n d i s h e l dh o r i z o n t ably m e a n so f a
c a b l ew h i c hi s f i x e da t a p b i n tS o n t h e w a l l
verticalla
y b o v eP a n d a t t a c h e dt o a p o i n t R
o n t h e b e a mw h i c hi s a t a d i s t a n c o
ef 3.7m
f r o m p o i n tP .T h e c a b l em a k e sa n a n g l eo f
4 0 "w i t h t h e b e a m .
F r o mt h e o t h e re n d o f t h e b e a ma t p o i n tQ ,
a s i g no f w e i g h t4 5 0 Ni s s u s p e n d e d .
4l
T s i n4 0
A
A
/
e
Tension
\
-|r
3.7m
+ -
I
I
2.3m
l f t h e b e a mr e m a i n sc o m p l e t e lhy o r i z o n t a l ,
f i n d:
( i )T h eT e n s i o ni n t h e c a b l e
( i i )T h e r e a c t i o nf o r c eQ a t t h e h i n g e .
+++++++++
+++++++++
450N
A g a i nh e r et h e c o n d i t i o nosf e q u i l i b r i u m
e x i s t s, o w e c a nt a k em o m e n t sa b o u tP .
T h eT o t a lc l o c k w i s e
M o m e n ,, , . O u a lt o ( 2 8 0 0 x 2 . 3 ) + ( 4 5 0 x 4 . 6 ) :
B51ONm
6 4 4 0t
2 0 7 0:
T h ev e r t i c acl o m p o n e not f t h e T e n s i o ni sT ( s i n 4 0
a irs t a n c o
ef 3 . 7 m
) a n dt h i si s a t a p e r p e n d i c u l d
a w a yf r o m t h e p i v o t ,s o t h a t t h e a n t i c l o c k w i sm
e o m e n td u e t o t h e T e n s i o ni s T s i n 4 0 x 3 . 7 2.387
8 51 0
= 3576N
F o r e q u i . l i " b r i u m , 2 . 3 9:T 8 5 1 0 ; T -
2.38
It is important to note here that we CANNOTuseTotal upward force=Total downward
force to solvefor T sincethe reactionforce Q alsohasan upward componentthat we
do not know the value of, so we would end up with an equationthat hastwo
unknowns.
l n s o l v i n gf o r Q w e c a n n o w u s eT o t a lu p w a r df o r c e= T o t a ld o w n w a r df o r c es i n c ew e n o w
h ' a v ea l l o f t h e o t h e rf o r c e s .
Qsin0 +T sin40- 2800+450 = 3250
8510
: 2300
Recall T sin 40 x 3.7 : 85 L0,, hence si.n40:
17
,T
Hence Q sin 0 : 3250 - 2300 : 950N (1)
A I s o f o r e q u i l i " b r i u m t h eH O R I Z O N T A Lf o r c e s m u s t b l a n c e, s o Q c o s ? - T c o s 4 \
Q cos9 - 2739N (2)
D i u i . d t , " ge q t L a t i o n( 2 ) b y e q u a t i o n ( 1 ) g i v e s t a n ? : 0 . 4 a n d 0 : 2 1 "
950
Substttuting this vctlueof 0 in equation (1) gives Q $in21) = 950 ; Q :
,rn ,
= 2651,N
83
T U T O R I ASLH E E T
T h ed i a g r a ms h o w sa u n i f o r m
2 4 0 0 Nb e a mt h a t i s h i n g e da t
o n e e n d a n d h e l db y a t i e r o p e
a t t h e o t h e re n d .
D e t e r m i n teh e t e n s i o ni n t h e
t i e r o p ea n dt h e r e s u l t a nfto r c e
at the hinge
T i er o p e
(HintT
: a k em o m e n t sa b o u tt h e
hinge)
A n s :T = 8 4 0 N ,F = 2 5 4 3 N
T h ed i a g r a ms h o w sa u n i f o r m
7 8 0 0 Nb e a mt h a t i s h i n g e da t
o n e e n d a n d h e l db y a t i e r o p e
a t t h e o t h e re n d .
D e t e r m i n teh e t e n s i o ni n t h e t i e
r o p ea n dt h e r e s u l t a nfto r c ea t
the hinge
60"
rope
n t : T a k em o m e n t sa b o u tt h e
hinge)
A n s :T = 6 7 5 5 N ;F = 1 0 3 1 8 N
T h e d i a g r a ms h o w sa u n i f o r m
3 6 0 0 Nb e a mt h a t i s h i n g e da t
o n e e n d a n d h e l db y a t i e r o p e
a t t h e o t h e re n d .
D e t e r m i n teh e t e n s i o ni n t h e
t i e r o p ea n dt h e r e s u l t a nfto r c e
at the hinge
rope
(HintT
: a k em o m e n t sa b o u tt h e
5 5 4 0 N ; F =6 6 0 7 N
3600N
84
A u n i f o r m8 0 0 0 Nc r a n e
b o o mi s h i n g e da n d
s u p p o r t e da s s h o w nw i t h a
2 5 0 0 Nw e i g h th a n g i n gf r o m
t h e f r e e e n d .C a l c u l a tteh e
t e n s i o ni n t h e h o r i z o n t a l
c a b l ea n dt h e f o r c ee x e r t e d
a t t h e h i n g e sb y t h e b o o m .
( A n s 8: 9 7 5 N; 1 3 , 8 1 3 N )
(4)
(s)
A u n i f o r m6 6 0 0 Nc r a n eb o o m i s
h i n g e da n d s u p p o r t e da s s h o w nw i t h
a 3 5 0 0 Nw e i g h th a n g i n gf r o m t h e
f r e e e n d .C a l c u l a tteh e t e ' n s i o n
in the
h o r i z o n t acla b l ea n dt h e f o r c e
e x e r t e da t t h e h i n g e sb y t h e b o o m .
( 7 9 3 6 N1; 2 , 8 4 5 N )
6600N
B5
S a m p l ec a l c u l a t i of no r W o r k s h e e t
(1)
M o m e n t sc a nb e t a k e na b o u tt h e h i n g es i n c ei t a c t s
a st h e p i v o t .
T h ew e i g h ta c t i n ga l o n ew i l l c a u s ea C L O C K W I S E
m o m e n tw h i l et h e p u l l i n gf o r c e( T E N S I O N
i n)t h e t i e
r o p ew i l l c a u s ea n A N T I C L O C W Im
So
Em e n t .
Thew ei ghtactsat the centreof the beamso w e can
r e d r a wa s i m p l el i n ed i a g r a ma s s h o w n ;
2400N
T h ew e i g h ta c t sv e r t i c a l l ay n d t h e P E R P E N D I C U L A R
distance
b e t w e e nt h e l i n eo f a c t i o no f t h e w e i g h ta n d
t h e p i v o ti s x .
I
2
T h i sd i s t a n c e
x i s o b t a i n e df r o m t r i g o n o m e t r ay n d i s
e q u a tl o
x-
F
-I s I n J^ 5
.
2
I
mEo m e n t= 2 4 0 0 x : s i n 3 5
H e n c eC L O C K W I S
2
T h et e n s i o ni n t h e t i e r o p eT a c t sa t t h e f r e e e n d o f
t h e b e a ma n dt h e P E R P E N D I C U L
dA
i sR
t a n c eb e t w e e n
t h e l i n eo f a c t i o no f t h e T E N S I O aNn d t h e p i v o ti s y .
li
Ir
+i_
y - I cos35
FromTri gonometry,
= Tl co s35
moment
A N TIC LOC K W IS
E
mEo m e n ti s e q u a lt o
F o re q u i l i b r i u mt h
, e CLOCKWIS
t h e A N T I C L O C K Wm
I SoEm e n t
2400N
H ence2400 xLsi n35 -
7l cos35
l -200tan35 = T; H enceT= 840N .
, a t i st h e
T o c a l c u l a tteh e f o r c ea t t h e h i n g e w
, e n e e dt o c o n s i d etrh e O T H E R
c o n d i t i o nf o r e q u i l i b r i u mt h
a l g e b r a iscu m o f t h e f o r c e sv e r t i c a l l ay n d h o r i z o n t a l ltya k e ns e p a r a t e l ym u s t b e z e r o .T h i si s e q u i v a l e nt to
s a y i n gt h a t t h e T o t a lu p w a r df o r c em u s t b e e q u a lt o t h e t o t a l d o w n w a r df o r c e ,A N Dt h e t o t a l f o r c e sd i r e c t e d
t o w a r d st h e r i g h tm u s te q u a lt o t h e t o t a l f o r c e sd i r e c t e dt o w a r d st h e l e f t .
l f t h e w e i g h ti s t h e o n l ya p p l i e dv e r t i c aflo r c ea n d a c t sd o w n w a r d st ,h e n t h e h i n g em u s t p r o v i d ea n u p w a r d
. imilarly,
f o r c et o b a l a n c e( c a n c e lt)h i sf o r c e .H e n c et h e h i n g ew i l l p r o v i d ea v e r t i c a l l u
y p w a r df o r c eo f 2 4 0 0 N S
p
r
o
v
i
d
e
p
r
o
v
i
d
e
s
a h o r i z o n t af lo r c e
a h o r i z o n t a l f o r coef 8 4 0 Nd i r e c t e dt o t h e l e f t ,s o t h e h i n g ew i l l
thetensron
o f 8 4 0 Nt o w a r d st h e r i g h t .
T h ef o r c ea t t h e h i n g et h e r e f o r eh a sa v e r t i c acl o m p o n e not f 2 4 0 0 Na n d a h o r i z o n t aclo m p o n e not f 8 4 0 N ,a n d
n d g i v e sa v a l u eo f
t h e r e s u l t a not f t h e s et w o c o m p o n e n t cs a nb e f o u n du s i n gP y t h a g o r a s ' T h e o r eam
2
5
4
3
N
24002+8402
B6
MechanicalEnergy
IMPORTANT
FORMULAE
(L)Work Done = Force x Di,splacement(Inthe direction of the f orce)
Work done - Fx cos9
(Z)Kinetic Enery!
:
),^u'
(3) Change tn Potential Energy - mgLh
Work Done
(4) Power :
Force xVelocity
.
Tim" taken=
(ln this casethe Forcereferredto here is the APPLIED
Force)
:'ffi
(6)Ef f ici"ency
oR Ef f iclency "
x LOOo/o
Ef f ecti've work done
x looo/o
Energy supplied
87
OF ENERGY
CONSERVATION
W h e n a n a p p l i e df o r c eo n a b o d yc a u s e sa d i s p l a c e m e notf t h e b o d y ,t h e n w o r k i s s a i dt o b e d o n e
b y t h a t a p p l i e df o r c e .
W O R KD O N E= F o r c ex d i s p l a c e m e ni nt t h e d i r e c t i o no f t h e f o r c e
C o n s i d etrh e c a s ew h e r ea f o r c eF c a u s e sa b o d yt o u n d e r g oa d i s p l a c e m e nx t i n t h e d i r e c t i o no f
F;
T h ew o r k d o n eo n t h e b o d yi s g i v e nb y W F x .
of
C o n s i d enr o w t h e c a s ew h e n t h e f o r c eF c a u s e sa d i s p l a c e m e nx ta t a n a n g l e0 t o t h e d i r e c t i o n
F.
c a nb e r e p r e s e n t eddi a g r a m m a t i c aal lsyf o l l o w s :
T h i ss i t u a t i o n
X
b te 0 .
L e tt h e a n g l eb e t w e e nt h e l i n eo f a c t i o no f t h e f o r c eF a n dt h e l i n eo f t h e d i s p l a c e m e n
i.e
T h e c o m p o n e not f F a l o n gt h e l i n eo f t h e d i s p l a c e m e ni st e q u a lt o F c o s 0.
H e n c et h e w o r k d o n e b YF i s g i v e nb Y
-
W
(Fcos?)xor W
B8
Fxcos0
POTENTIAL
ENERGY
C o n s i d ear b o d yo f m a s sm l i f t e da b o v et h e e a r t h ' ss u r f a c et h r o u g ha h e i g h tA h .
T h ef o r c et h a t i s r e q u i r e dt o l i f t t h e b o d yi s e q u a lt o t h e g r a v i t a t i o n af ol r c ea c t i n go n i t , w h i c hi s F
- mg.
T h ew o r k d o n e b y t h i sf o r c ei n c a u s i n ga d i s p l a c e m e nAth i n t h e d i r e c t i o no f t h e f o r c ei s g i v e nb y
W=Forcexdisplacement
W = mgAh
T h ew o r k d o n eo n t h e b o d yi s e q u a tl o t h e b o d y ' sc h a n g ei n g r a v i t a t i o n p
ao
l t e n t i ael n e r g y ,
HenceAP.E.= mgAh #----
Learnthis proof.
P O W E R:
P o w e ri s d e f i n e da st h e r a t eo f d o i n gw o r k .
r . e .H o w e
work d.one
W
time taken
t
.
ButWork done - Force x dtsplacement
Hencg power
-
Force xd'i'splacement.
n. D ;or Y timetaken
-.--fDo r c e '
,. ,d.tspLacement,
l t^r**,
)
ForCoNSTANT
vELoctr,,Tffi
- vetocit!,
H e n c eP o w e r - F o r c e x u e l o c i t y B U Tt h i s e q u a t i o nc a nb e a p p l i e dO N L Yl F V E L O C I Tl Y
S
CONSTANT.
EFFICIENCY:
T h ee f f i c i e n c oy f a s y s t e mi s d e f i n e da st h e r a t i oo f t h e O u t p u tP o w e rt o t h e I n p u tP o w e r .
I t i s n o r m a l l ye x p r e s s eads a p e r c e n t a g,es ot h a t t h e f o r m u l ab e c o m e s:
E f f i c t e n c y- o u t ? u t P o w e r x 1 o o %
Input Power
89
OF ENERGY
CONSERVATION
K i n e t i cE n e r g y :
C o n s i d ear b o d yo f m a s sm m o v i n gw i t h a c o n s t a nst p e e du . A c o n s t a not p p o s i n gf o r c ei s t h e n
x.
a p p l i e dt o d e c e l e r a t teh e b o d ya n d b r i n gi t t o r e s ti n a d i s t a n c e
Fromthe equationSof motiOff, U2 : 1t2* Zax,bul v = 0, hence112=-2aX;
uThisimpliesthatX- -n
T h ew o r k d o n eb y t h e f o r c eF o n t h e b o d yi s g i v e nb VW : F x
i.e.W - -F I
.
at,
n
U2
b u t b y N e w t o n ' ss e c o n dl a w ,F : T f t a ,
w - - m' -e- -t2 a = N o r w
hence
2
- lmu'
2
T h i sw o r k d o n eo n t h e b o d yb y t h e f o r c eo n t h e b o d y ,o r e q u i v a l e n t ltyh e w g r k d o n eb y t h e b o d y
t h e a p p l i e df o r c e ,a n d i s e q u a lt o t h e k i n e t i ce n e r g yt h a t t h e b o d yi n i t i a l l y
o n t h e a g e n tp r o d u c i n g
possessed.
H e n cKe.E .= 1 * u ,
K i n e t i cE n e r g yo f a b o d y , i st h e e n e r g yh a sd u e t o i t s m o t i o n .
or
p o t e n t i ael n e r g yi s t h e e n e r g yt h a t a b o d yh a sd u e t o i t s c o n f i g u r a t i o(ne gs t r e t c h i n g
m
a
g n e t i cf i e l d ) .
f
i
e
l
d
,
g
r
a
v
i
t
a
t
i
o
n
a
l
e
l
e
c
t
r
i
c
f
i
e
l
d
,
e
.
g
.
f
i
e
l
d
(
i
n
a
c o m p r e s s i o no)r d u e t o i t s l o c a t i o n
t o t h e o r i g i n alle n g t hi s
W h e n a f o r c ei s a p p l i e dt o a w i r e t o s t r e t c hi t , t h e r a t i oo f t h e e x t e n s i o n
t
h
e STRAIN'ENERGY.
i
s
c
a
l
l
e
d
w
i
r
e
i
n
t
h
e
c a l l e dt h e S T R A I Na n dt h e p o t e n t i ael n e r g ys t o r e d
T h et e r m s t r a i ne n e r g yi s u s u a l l yu s e dt o r e f e rt o s t r a n d so f w i r e a n d g l a s sw h i c ht e n d t o h a v e
r e l a t i v e l sy m a l le l a s t i c i t y ,
p o l y m e r i cm a t e r i a l s u c ha s r u b b e rh a v em u c hg r e a t e re l a s t i c i t ay n dt h e e n e r g ys t o r e dd u r i n g
s t r e t c h i n gi s c o m m o n l yc a l l e dE L A S T IPCO T E N T I AELN E R G Y .
90
TUTORIAL
SHEET
( 1 ) A n e l e v a t o rc a bo f m a s s5 0 0 k gi s d e s c e n d i nw
g i t h a s p e e do f 4 m s - 1w h e n i t s s u p p o r t i n g
c a b l eb e g i n st o s l i pc a u s i n gi t t o f a l l w i t h a c o n s t a nat c c e l e r a t i oonf { . f t i t f a l l st h r o u g ha
5
d i s t a n c eo f 1 , 2 mf,i n d :
(i)
T h ew o r k d o n eo n t h e c a bb y t h e g r a v i t a t i o n af ol r c e
(ii)
T h ew o r k d o n eo n t h e c a bb y t h e s u p p o r ct a b l e .
(iii)
T h e n e t w o r k d o n eo n t h e c a b .
(iv)
W h a t i s t h e k i n e t i ce n e r g yo f t h e c a ba t t h e e n d o f t h e I 2 m ?
(ANS 59000J,-47000J,12000J,15760J)
( 2 ) A h e l i c o p t elri f t sa 7 2 k g a s t r o n a u 1t 5 mv e r t i c a l l fyr o m t h e o c e a nb y m e a n so f a c a b l e T
. he
a c c e l e r a t i oonf t h e a s t r o n a uits o n e t e n t h o f ' g ' . H o w m u c hw o r k i s d o n eo n t h e a s t r o n a u t
by
( a ) T h ef o r c ef r o m t h e h e l i c o p t e(rA n s :W = 1 1 6 5 4 J )
( b ) T h eg r a v i t a t i o n af ol r c eo n h e r ( A n sW
: 2= - 1 0 5 9 4 J
( c ) J u s tb e f o r es h er e a c h e st h e h e l i c o p t e rw, h a t i s h e r k i n e t i ce n e r g ya n d s p e e d ?
A N S : ( 1 0 5 95J.,4 m s1 )
( 3 ) T o p u l la 5 0 k gc r a t ea c r o s sa f r i c t i o n l e sfsl o o r ,a w o r k e ra p p l i e sa f o r c eo f 2 1 0 Nd i r e c t e d
2 0 ' a b o v et h e h o r i z o n t a A
l . s t h e c r a t em o v e s3 m w h a t w o r k i s d o n eo n t h e c r a t eb y
(a) The worker'sforce
( b ) T h eg r a v i t a t i o n af ol r c e
( c ) T h e n o r m a lf o r c ef r o m t h e f l o o r
'
( d ) W h a t i s t h e n e t w o r k d o n eo n t h e c r a t e ?
( 4 ) T h e a c c e l e r a t i oonf a 7 5 k gm a s sv a r i e sw i t h i t s p o s i t i o na l o n gt h e x a x i sa s s h o w ni n t h e
g r a p hb e l o w .W h a t i s t h e n e t w o r k d o n eo n t h e m a s sb y t h e f o r c ec a u s i n gi t t o a c c e l e r a t e
a s i t m o v e sf r o m x = 0 t o x = 1 6 m ?
+
-zl
ams I
40
ANS:24000J
30
20
10
48
1 2 1,6
x (m)
91
( 5 ) A v a r i a b l e f o r c e c a u s e st h e a c c e l e r a t i o no f a 3 0 k g m a s s t o c h a n g e w i t h d i s p l a c e m e n ta s
shown in the graphhelow:
ams'J
4ms?---
12
<-
x(m) -)
F i n dt h e w o r k d o n eo n t h e n l a s sw h e n i t h a sm o v e df r o m :
( a ) 0 t o 5 m ( b )5 m t o 1 2 m ( c )1 2 mt o 1 B m( d )0 t o 1 B m
( A N S 3: 0 0 J 8
; 4 0 i ; 3 6 0 J ;1 5 0 0 J )
( 6 ) T h e a c c e l e r a t i oonf a 4 0 k gm a s si n c r e a s elsi n e a r l yw i t h d i s p l a c e m e natsf o l l o w s :
When x = 0 a = 0; at x = B t'tt,a = t2ms''.
2?
(i)
W h a t i st h e d i s p l a c e m e w
n th e nt h e a c c e l e r a t i oi sn8 m s
(ii)
i st2 m ?
W h a t i s t h e a c c e l e r a t i ownh e nt h e d i s p l a c e m e n
(iii)
W h a t i s t h e w o r k d o n eo n t h e m a s sw h e ni t s d i s p l a c e m e inst6 m ?
2?
(iv)
W h a t i s t h e w o r k d o n eo n t h e m a s sw h e nt h e a c c e l e r a t i oi sn1 0 m s
( A N S :5 . 3 3 m ; 3 m s - 1
' ; 0 8 0 J1; 3 3 3 J )
( 7 ) A f o r c e o f 5 0 N a c t so n a 2 5 0 k gm a s sw h i c h i s i n i t i a l l ya t r e s t ,c a u s i n gi t t o b e d i s p l a c e d
a l o n gt h e l i n e o f a c t i o n o f t h e f o r c e . A s s u m i n gt h a t n o . f r i c t i o n aflo r c e sa r e p r e s e n t ,
_ calculate:
(i)
T h ew o r k d o n e b y t h e f o r c ei n t h e f i r s t8 s e c o n d s
(ii)
T h ew o r k d o n ei n t h e 6 ' ns e c o n d
(iii)
T h ew o r k d o n ei n t h e S t hs e c o n d
(iv)
T h e i n s t a n t a n e o upso w e ra t t h e e n d o f t h e 6 t hs e c o n d
(v)
T h e i n s t a n t a n e o upso w e ra t t h e e n d o f t h e 8 t hs e c o n d
(ANS:32OJ;55J;7 5J;60W;80W)
92
( 8 ) A f o r c eo f 3 O O Na c t so n a 1 2 O k gm a s sw h i c hi s i n i t i a l l ya t r e s t .A s s u ' m i ntgh a t n o f r i c t i o n a l
f o r c e sa r e p r e s e n tc, a l c u l a t e :
(i)
T h ew o r k d o n eb y t h e f o r c ei n t h e f i r s t5 s e c o n d s
(ii)
T h eW o r kd o n ei n t h e 6 ' hs e c o n d
(iii)
T h ew o r k d o n ei n t h e 5 ' ns e c o n d
(iv)
T h e i n s t a n t a n e o upso w e ra t t h e e n d o f t h e 6 t hs e c o n d
(v)
T h e i n s t a n t a n e o upso w e ra t t h e e n d o f t h e 5 t hs e c o n d
(ANS:9375J; 4L25J;3375J;4500W;3750W)
( 9 ) A 2 5 g b u l l e tm o v i n gw i t h a h o r i z o n t avl e l o c i t yo f 5 5 O m sl c o m e st o a s t o p 1 . 4 c mw i t h i n a
s o l i dw a l l .
(i)
w h a t i s t h e w o r k d o n eb y t h e w a l li n s t o p p i n g
thebullet?
(ii)
W h a t i s t h e a v e r a g ef o r c ef r o m t h e w a l lt h a t s t o p st h e b u l l e t ?
(iii)
W h a t i s t h e t i m e i n t e r v a bl e t w e e nt h e p o i n to f i m p a c ta n d t h e p o i n to f s t o p p i n g ?
as)
(Ans:37BOJ;27OO0N;5.1x
l-0
( 1 0 ) A4 5 g b u l l e tm o v i n gw i t h a h o r i z o n t avl e l o c i t yo f 6 0 0 m s - c' o m e st o a s t o p l - 8 c mw i t h i n a
s o l i dw a l l .
(i)
w h a t i st h e w o r k d o n eb y t h e w a l li n s t o p p i n g
the bullet?
(ii)
W h a t i s t h e a v e r a g ef o r c ef r o m t h e w a l lt h a t s t o p st h e b u l l e t ?
(iii)
W h a t i s t h e t i m e i n t e r v abl e t w e e nt h e p o i n to f i m p a c a
t n dt h e p o i n to f s t o p p i n g ?
( 1 1 ) T om a k ea p e n d u l u r na, 0 . 0 9 2k g b a l li s a t t a c h e dt o o n e e n d o f a r o d o f l e n g t h0 . 6 2 ma n d
n e g l i g i b l em a s sa n d t h e o t h e r e n d o f t h e r o d i s m o u n t e do n a p i v o t .T h e r o d i s r o t a t e d
u n t i li t i s v e r t i c a l l yu p r i g h ta n d t h e n i t i s r e l e a s e d
s o t h a t i t s w i n g sd o w n a r o u n dt h e p i v o t .
w h e n t h e r o d s w i n g sd o w n ,a n d r e a c h e tsh e l o w e s tp o i n t ,w h a t i s :
. (i)
l t ss p e e d
(ii)
T h et e n s i o ni n t h e r o d
(4.9msI4.46N)
( H i n td r a w a d i a g r a mo f t h e v e r t i c aflo r c e s a
, n d u s eT - m g =c e n t r i p e t af lo r c e )
93
Solutions
( 1 )T h ew o r k d o n eo n t h e c a bb y t h e g r a v i t a t i o n a l f o r ci see q u a lt o i t s c h a n g ei n g r a v i t a t i o n a l
p o t e n t i ael n e r g y , r e g a r d l eos fsh o w f a s to r s l o wi t m o v e d .
LPE- mgLh:
5 0 0 x 9 . 8 1x L Z - 5 8 8 6 0 / - 5 9 0 0 0 /
( i i )T h e s u p p o r tc a b l ep r o v i d e da n u p w a r da c c e l e r a t i oont ? , h e n c et h e a p p l i e d
upward force=massx !;tne
worke done by tltis f orce =
Force x displacement : 500
4a
f
"
(-L2) - -47000J,,
the negattve stgn tndtcati.ng that the f orce and dtsplacement are tn opposite dtrecttons.
A p h y s i c ael x p l a n a t i o on f t h i s n e g a t i v ee n e r g yi s t h a t t h e c a b l er e d u c e st h e K Et h a t t h e c a bw o u l d
h a v eh a d i f i t w e r e a l l o w e dt o f a l lf r e e l y . T h irse d u c t i o no r l o s so f K Ei s d e n o t e db y a n e g a t i v es i g n .
(iii)The networkdone on the cab = 59000J-47000J= 12000J
( i v )T o f i n d t h e K Ea f t e rt h e 1 2 m f a l l , w e n e e dt o f i r s tf i n d t h e s p e e da f t e r I 2 m . T h e i n i t i a ls p e e d=
4ms-1,
A c c e l e r a t i o n-
q
5
,
ttslng vz -- 1r2, Za.s; v2 :
63m2s-2; KE =),^u'
-
15,760J
( 2 ) a . l f t h e a s t r o n a uat c c e l e r a t eusp w a r d sa t 0 . 1 g , t h e n t h e n e t f o r c eu p w a r d s= 0 . L m ga n dt h e
t o t a l a p p l i e du p w a r df o r c e= 1 . 1 m 8
T h ew o r k d o n eb y t h e h e l i c o p t e=r F o r c ex d i s p l a c e m e n=t 1 . 1 x 7 2 x 9 . 8 1 x1 5 = ' J ' t 6 5 4 J
( b )T h ew o r k d o n e b y t h e g r a v i t a t i o n af ol r c e= f f i g A h =7 2 x 9 . 8 1 , x
-10594J
i n K E =n e t w o r k d o n eo n h e r
( c )S i n c et h e a s t r o n a ust t a r t e df r o m r e s t ,h e r f i n a lK E= i n c r e a s e
AKE= net work = 11654- l-0594=1059J
i"sf ound from KE :
Speed"
),*u'
L
94
(3)
( a )T h ec o m p o n e not f t h e f o r c e . t h aat c t s
a l o n gt h e l i n eo f t h e d i s p l a c e m e =
n tF c o s2 O o
Work done = 21.0cos20 x 3m = 592J
| ( b )T h eg r a v i t a t i o n af ol r c ei s c o m p l e t e l y
p e r p e n d i c u l taor t h e d i s p l a c e m e a
nn
td
t h e r e f o r ed o e sn o w o r k o n t h e c r a t e .A N S= O
( c )T h e n o r m a lf o r c ef r o m t h e f l o o r i s a l s o
p e r p e n d i c u l taor t h e d i s p l a c e m e a
nn
td
t h e r e f o r ed o e sn o w o r k .
( d )S a m ea sa n s w e fr o r p a r t( a )
( 4 ) O v e rt h e l - 6 md i s p l a c e m e ntth, e a c c e l e r a t i oinn c r e a s efdr o m 0 t o 4 0 m s - t ,h e n c et h e
A V E R A GaEc c e l e r a t i o n2=0 m s2 .
W o r k d o n e= F o r c ex d l s p l a c e m e n tM
= a s sx a v e r a g ea c c e l e r a t i oxnd i s p l a c e m e n t7=5 x 2 0 x 1 , 6
= 24000J
( 5 ) F o rt h e d i s p l a c e m e ndtf S m t h e a v e r a g ea c c e l e r a t i o=n 2 m s - 2 .
W o r k d o n e= M a s sx a v e r a g ea c c e l e r a t i oxnd i s p l a c e m e n t
( b )A c c e l e r a t i oins c o n s t a nat t 4 m s - 2s o t h e r e i s n o n e e dt o h a l v ei t . t h ed i s p l a c e m e ni nt t h i s i n t e r v a=l
7m
( c ) F r o m 1 ' 2 t ol - 8 ma c c e l e r a t i odne c r e a s elsi n e a r l ys o f i n d a v e r a g ea c c e l e r a t i o n
T .h e d i s p l a c e m e n t
f o r t h i s i n t e r v a il s 6 m
( d ) F i n dt h e s u mo f t h e w o r k d o n ei n e a c hi n t e r v a l .
( 6 )( i ) D i s p l a c e m ew
n th e nt h e a c c e l e r a t i oi sn8 m s - 2 :
1 , 2 m s ' 2 g i v e s a d i s p l a c e m8em
n t;o8f m s 2 g i v e s da i s p l a c e m e n t o* xf : B = 5 . 3 3 m s - 2
\2
( i i )8 m c o r r e s p o n dtso a n a c c e l e r a t i oonf i - 2 m s - 2
2m corresponds to an acceleration , B* x 2 : 3ms-2
"f
( i i i )F i r s tf i n d t h e a c c e l e r a t i oant 6 m t h e n f i n d t h e A V E R A GaEc c e l e r a t i o n .
At 6m the accelerati"on- +
6 - 9ms-2
U "
2
T h e a v e r a g ea c c e l e r a t i o=n4 . 5 m s
W o r k d o n e= M a s s x A V E R A Ga E
c c e l e r a t i oxnd i s p l a c e m e n 4
t =0 x 4 . 5x 6 = 1 0 8 0 J
( i r . ,F)i n dt h e d i s p l a c e m e w
n th e nt h e a c c e l e r a t i o=n1 0 m : 2
B
Dtsplacement: _ X 10: 6.67m
IZ
W c r k d o n e= m a s sx A V E R A GaEc c e l e r a t i oxnd i s p l a c e m e n=t4 0 x 5 x 6 . 6 7 = 1 3 3 3 J
95
( 7 )( i ) F i r s t ldye t e r m i nteh ed i s p l a c e m ef rnot mt h ee q u a t i o nosf m o t i o n
- 0.2ms-2
acceleration- *
; ttme - B seconds;s - trt +l L ot' - 6.4m
259
Work done - Force X dtsplacement = 50N x 6.4m - 320J.
( i i )T h eW o r k d o n ei n t h e 6 ' hs e c o n 6= ( W o r kd o n ea f t e r6 s e c o n d s-) ( W o r kd o n ea f t e r5
seconds)
1,
- 3.6m
D t s p l a c e m e n ta f t e r 6 s e c o n d t :
,att
1
- 2.1*
D t s p l a c e m e n ta f t e r 5 s e c o n d t :
Zat€
W 6- W s = ( 5 0 x 3 . 6 ) - ( 5 0 x 2 . 5 ) - 5 5 1
r a n n e ra st h a t a b o v e , i . et h. e
( i i i )T h ew o r k d o n ei n t h e 8 t hs e c o n di s f o u n di n a s i m i l a m
o f t h e w o r k d o n ea f t e rt h e 8 t ha n d t h e 7 t hs e c o n d s .
difference
( i v )l n s t a n t a n e o upso w e rr e f e r st o t h e p o w e rA TT H A TI N S T A N T .
W ork done
stnce that equatton gtves
You cannot calculate power f rom
tt^, t"kr",
AVERAGEPOWER
Instantaneolrs power - Force x Instantaneous veloci.ty
ve
s l o c i t ya f t e r6 s e c o n d sv,= u + a t =0 . 2 x 6 = t 2 m s - '
F i n dt h e i n s t a n t a n e o u
I n s t a n t a n e o u sP o w e r :
50N x 1.2ms-z- 60 W.
( v )S i m i l atro p a r t( i v )
( 8 )S i m i l atro q u e s t i o n7
( 9 ) ( i ) F i r s t l yt,h e d e c e l e r a t i oonf t h e b u l l e tm u s t b e c a l c u l a t e dT.h e i n i t i a vl e l o c i t y =5 5 0 m s
n t0 . 1 4 m .
= , a n dt h e d i s p l a c e m e =
t h e f i n a lv e l o c i t y 6
l J s i . n g ' u 2= u 2 + Z a s ; a = - 1 . 0 8 x 1 0 6 m s - 2 ;
Work done - Mass x Acc'n x displacement - 3780J
( i i )T h ea c c e l e r a t i oins c o n s t a nst o t h e r e i s n o n e e dt o h a l v ei t s v a l u e .
A v e r a g eF o r c e =M a s sx a c c e l e r a t i o n2=7 0 0 0 N .
s f motion:
T h et i m e o f t r a v e lt h r o u g ht h e w a l l c a nb e f o u n df r o m o n e o f t h e e q u a t i o n o
11
s -L1t1;at';
z
t:
2s
a"
96
= 5 . 1 x- 1 0 - a s
( 1 1 )I n f a l l i n gf r o m t h e h i g h e spt o i n tt o
t h e l o w e s tp o i n tt h e v e r t i c a l
displacemen
i st0 . 6 2 mx 2 = L 2 4 m
A s s u m i ntgh a t f r i c t i o ni s n e g l i g i b l teh, e
decrease
i n p o t e n t i ael n e r g yw p u l d b e
e q u a lt o t h e i n c r e a sien K i n e t i ce n e r g y .
L24m
1
mgAh-;mu2;v-,fzgn
- 4.9ms-I
.T
t.,l
97
MODULE2
(1)SimpteHarmonicMotion
(2) Propertiesof Wqves
(3) Physics
of the Eyeqnd Eqr
98
Simple Hqrmoinic
Motion
IMPORTANT
FORMULAE
(L) Displacement x - A sinat ORA cosat
(Z)Displacementv - + dt
(3)Accelerationo :
aAcos,lrtOR aA stnofi
= -dtzx
#
(a)vz : (,)2(n' - x2) and umax- o)A
( S ) P e r i o d T- 4
a
I
(6)Period of oscillation a stmple pendulumf - Zo l!
.js
(7)Period of osci.Ilationof a.massorl a"sprtng f - Zo l?
where k is the spring constant
vk
N.B.In all of the aboveequations,o) is calledthe ANGULAR
FREQUENCY
and NOTangularvelocity
99
S T M P LHEA R M O N TMCO T T O N ( S . H . M . )
b o d y u n d e r g o eS
s i m p l eH a r m o n i cM o t i o n i f i t s m o t i o ns a t i s f i etsh e f o l l o w i n gt w o c o n d i t i o n s :
( 1 ) T h e a c c e l e r a t i o n 'di si r e c t e dt o w a r d sa f i x e dp o i n t .
( 2 ) T h ea c c e l e r a t i oi snd i r e c t l yp r o p o r t i o n a l t iot sd i s p l a c e m e n t f r otm
h a t f i x e dp o i n t .
(YouMUSTlearntheseconditionsfor SHM)
The fixed point referredto here is the equilibriumpositionand this is the positionof the
body when it is allowedto remainat rest. Forexample,the equilibriumpositionfor a
simplependulumis the verticalpositionof the stringwhen the bob is at rest.
T h eo s c i l l a t i oonf a p e n d u l u mb o b i s a n e x a m p l eo f s i m p l eh a r m o n i cm o t i o n .
T h ev i b r a t i o no f a g u i t a rs t r i n gi s s i m p l eh a r m o n i cm o t i o n .
A m a s sv i b r a t i n g
e i t h e rv e r t i c a l loyr h o r i z o n t a l a
l yt t h e e n d o f a s p r i n gi s a l s oa n e x a m p l eo f S H M
C o n s i d et rh e o s c i l l a t i oonf a p e n d u l u mb o b .
o
A s t h e b o b o s c i l l a t easb o u ti t s e q u i l i b r i u mp o s i t i o nO , i n m o v i n gf r o m O t o B ,t h e v e l o c i t y
d e c r e a s efsr o m a m a x i m u ma t O t o z e r oa t B .T h i sd e c r e a s e
i n v e l o c i t yi n d i c a t etsh a t t h e b o b
u n d e r g o e as d e c e l e r a t i o(nn e g a t i v ea c c e l e r a t i o nf r)o m O t o B ". T h e m a g n i t u d eo f t h i s n e g a t i v e
a c c e l e r a t i odne c r e a s easst h e b o b a p p r o a c h eO
s , a n d a t t h e s a m et i m e t h e v e l o c i t yi n c r e a s e sA.t B
t h e b o b r e v e r s e ds i r e c t i o na n dt h e r a t eo f c h a n g eo f v e l o c i t yi s a m a x i m u ma t t h i s p o i n t, h e n c e
t h e n r a g n i t u doef t L i a c c e l e r a t i oi snm a x i m u ma t t h e e x t r e m ee n d so f t h e o s c i l l a t i o n .
-l ',.
r n o t i o nf r o m O t o A i s i d e n t i c a l t ot h a t f r o m O t o B .
100
p o s i t i o nO
Equilibrium
C o n s i d ear m a s so s c i l l a t i nvge r t i c a l l ya t t h e e n d o f a s p r i n gt,h e r ea r ef o u r d i s t i n c st i t u a t i o n tsh a t
'
c a nb e o b s e r v e d '
( 1 ) T h e m a s si s b e l o wt h e e q u i l i b r i u m
p o s i t i o na n d m o v i n gd o w n w a r d sT- h ev e l o c i t yi s d o w n
( - ), t h ed i s p l a c e m e n
i std o w n ( - a
) n dt h e a c c e l e r a t i oi sna l w a y st o w a r d se q u i l i b r i u m
i . e .i t i s
upwards(+).
vJ -+ 't
( Z l T h e m a s si s a t A a n d m o v i n gu p w a r d st o w a r d sO ; T h ev e l o c i t yi s u p ( + ), , h e n c ei t i s u p ( + )
, t h e d i s p l a c e m e ni st d o w n w a r db e l o w e q u i l i b r i u m( - ) a n dt h e a c c e l e r a t i oins t o w a r d s
equilibriua
mg a i n.
vt
,f ,f
( 3 ) T h e m a s s i s a t O a n d m o v i n g u p w a r d st o w a r d s B : T h e v e l o c i t yi s u p w a r d s( + ) , t h e
displacemen
i stu p w a S d(s+ ), a n dt h e a c c e l e r a t i oi snd o w n w a r d tso w a r d se q u i l i b r i u m ( - )
vt
*t
.]
( 4 ) T h em a s si s a b o v et h e e q u i l i b r i u m
p o s i t i o na t p o i n tB a n d m o v i n gd o w n w a r d s :
T h ev e l o c i t yi s d o w n w a r d s ( -t )h,e d i s p l a c e m e n
i sta b o v ee q u i l i b r i u m
h e n c ei t i s p o s i t i v e ( + )
a n dt h e a c c e l e r a t i oi snd o w n w a r d tso w a r d se q u i l i b r i u m
( - ).
v+ *t
't
I n a l lo f t h e s ef o u r s i t u a t i o n si t,c a nb e s e e nt h a t t h e a c c e l e r a t i oann dd i s p l a c e m e n
a tr ea l w a y si n
o p p o s i t ed i r e c t i o n s .
I t c a nb e s e e nt h a t t h e m a g n i t u d o
e f t h e a c c e l e r a t i oi snp r o p o r t i o n at ol t h e d i s p l a c e m e n t - T hi si s
e a s i l ye x p l a i n e ds f o l l o w s W
: h e nt h e s p r i n gi s s t r e t c h e do r c o m p r e s s e,dt h e r e s t o r i n gf o r c e i s
p r o p o r t i o n at ol t h e e x t e n s i o on r c o m p r e s s i oi n
. e .F = k x .
101
B u t F = f f i d ,h e n c ea - +
l x,and
. T h i si n d i c a t etsh a t m a g n i t u d eo f a c c e l e r a t i oins p r o p o r t i o n at o
s i n c ea c c e l e r a t i oann Ul t i r p l r c e m e nat r e i n o p p o s i t ed i r e c t i o n sw,e w r i t e ,a - ! ;
t h e m i n u ss i g n
indicatesthat o and x arOin oppositedirections
E Q U A T I O NFSO RS . H . M .
i sts i n u s o i d ai .le .i t h a s t h e
W h e na b o d yu n d e r g o essi m p l eh a r m o n i cm o t i o n ,i t sd i s p l a c e m e n
s h a p eo f a s i n ec u r v e .
ca
T h ed i s p l a c e m e n
t nt h e r e f o r eb e r e p r e s e n t ebdy t h e e q u a t i o n
x - A s i n a r f , w h e r e A i s t h e m a x i m u m d i s p l a c e m e n tf r o m e q u i l i b r i u ma n d i s c a l l e dt h e
A m p l i t u d eo f o s c i l l a t i o n .
d i t h a n g u l avr e l o c i t yf o r c i r c u l a r
a . irs c a l l e dt h e a n g u l afrr e q u e n c va n ds h o u l dn o t b e c o n f u s e w
motion.
T h e a n g u l a rf r e q u e n c ya - - 2 n f , w h e r ef i s t h e f r e q u e n c yo f o s c i l l a t i o nA.l s oT
2n
a
y i l l b e r a ds - ' .
T h eu n i t sf o r a n g u l afrr e q u e n c w
p to s i t i o na n d i n t h i sc a s e ,
n a ys t a r ta t t h e m a x i m u md i s p l a c e m e n
l n s o m ec a s e st ,h e o s c i l l a t i om
t h e e q u a t i o nf o r d i s p l a c e m e nbte c o m e s xi = A c o sa t t
T h eg r a p hf o r d i s p l a c e m e vn et r s u st i m e w i l l t h e r e f o r eb e e i t h e ra s i n ec u r v eo r a c o s i n ec u r v e
d e p e n d i n og n t h e p o i n tw h e r et h e o s c i l l a t i oins s t a r t e d .
X = A coswt
X = A sinart
102
T h e d i s p l a c e m e ni st g i v e nb y e i t h e r:
x=Asin dI orx=AcosaI.
The velocityis the rate of chongeof displacement.
Hencevelocity
v
#,
hencevelocityv :
aA cosat,
d'v !-^-^^
h e n c e o c c e l e r a t i o na - - u 2 A s i n a t ,
;,
lf we substitute x - A sf"nut tnthe equati"on a: -az A sinut
Accelerotion
a -=
Thenw€ !€t o - -az x
Leorn This
T h e m a x i m u mv a l u eo f a s i n ef u n c t i o no r c o s i n ef u n c t i o ni s 1 , h e n c et h e m a x i m u mv a l u eo f
v e l o c i t yi s g i v e nb y 7 o - a A a n d m a x i m u mv a l u eo f t h e a c c e l e r a t i oins e 0 : - a 2 A
Prove thatvz= (r)2(A' -
x')
Proof:
.)
x - A stnat; x2 :
u -
Azstnzat ; sinzat :
#
c o s t t t ;t v 2 - u ; 2 A 2 c o s z u t ; c o s 2 o )-t
h
'l,
R e c a I Is t n 2 a t * c o s zL l t- 1 ; H e n c e* *
r-:,
A - u 2A 2
v2 x2
x2\
'/
- ^2(A2 - x\
+
1
- - - u ; y 2 : t ^ t 2 A 2t{ - ; l
u2A2
Az'
Ar/
\
?o
t'
I
the importantequations
are:
I
(ilx - Asinat
1
I
I|
II
I|
I
(iil a
I
(iii)u - oA cosat
and v2= ,z 742 -
I
103
x2)
S H M( c o n t i n u e d )
d otential
t h,e r ei s a c o n t i n u o uisn t e r c h a n goef K i n e t i c a n P
W h e na b o d yi s u n d e r g o i n g S H M
Energies.
l eight
C o n s i d ear p e n d u l u mi n o s c i l l a t i o nA; t t h e e x t r e m ee n d so f t h e d i s p l a c e m e ntth, e v e r t i c a h
s
o f t h e b o b i s a t i t s m a x i m u mv a l u e ,a n dt h e v e l o c i t yi s z e r o .H e n c et h e P O T E N T I AELN E R GiY
sz e r o .
m a x i m u ma t t h e m a x i m u md i s p l a c e m e natn, dt h e K I N E T IECN E R Gi Y
p o s i t i o ni . et h e p e n d u l u mi s c o m p l e t e lvye r t i c a lt,h e v e l o c i t y
W h e nt h e b o b p a s s etsh e e q u i l i b r i u m
p o s i t i o nt ,h e K I N E T I C
. e n c ea t t h e e q u i l i b r i u m
i s m a x i m u ma n dt h e h e i g h to f t h e b o b i s m i n i m u m H
AN
L E R Gi sYa m i n i m u m .
E N E R Gi sYm a x i m u ma, n dt h e P O T E N T I E
ISCONSTANT
SYSTEM
OFAN OSCILLATING
THETOTALENERGY
= Ep
l nergY
L e t K i n e t i cE n e r g y= E r o n dP o t e n t i aE
S i n c ee n e r g yi s a l w a y sc o n s e r v e dt h, e m a x i m u mK Eo r t h e m a x i m u mP Ew o u l da l w a y sb e e q u a lt o
t h e T o t a le n e r g y .
E,* + E o =T o t a lE n e r g y .
S i m i l a r l ya,t a n yi n s t a n ot f t h e o s c i l l a t i o n
T h ev e l o . c i tayt a n y i n s t a n tc a n b e e x p r e s s eidn t e r m so f t h e d i s p l a c e m e nbty t h e f o l l o w i n g
e qu a t i o n :
v:
u
Sincefe = l lZ mu2 = 1lZma2(A' - *')
position.
T h em a x i m u mK Ew i l l b e a t t h e p o i n tw h e nx = 0 i . e .a t t h e e q u i l i b r i u m
H e n c em a x i mu m K E -
L l 2 ^ r ' . 4 2 w h i c hi s e q u a lt o t h e T O T A LE N E R GaYt a n y i n s t a n t .
T h e P O T E N T I AELN E R GaYt a n y i n s t a n ti s g i v e nb y : P E - T o t a l E n e r g y - K i n e t t c E n e r g y
pE : 1/r*rr4z
- rl2^rr(A,
WhichgivesPE : 1/2^r'r'
pE = t/2mrrx,
KE= =L/zmaz (A, -. *r)
104
- rr)
G r a p h so f P Ea n d K Ef o r S H M
ENERGY
I
f,
Displacement
DAMPEDOSCILLATIONS
I n a p r a c t i c aol s c i l l a t i nsgy s t e m, t h e A m p l i t u d ed e c r e a s ews i t h t i m e d u e t o e n e r g yb e i n g
d i s s i p a t efdr o m t h e s y s t e mw h e n w o r k i s d o n et o o v e r c o m er e s i s t i v feo r c e ss u c ha sf r i c t i o n .
T h i sc o n t i n u o udsi s s i p a t i oonf e n e r g yf r o m t h e s y s t e mi s c a l l e dD A M P I N G
a n dw i l l a l w a y sr e s u l ti n
a d e c r e a s ien a m p l i t u d e
o v e ra p e r i o do f t i m e .
T h ee x t e n tt o w h i c hd a m p i n go c c u r so v e ra p e r i o do f t i m e i s c o m m o n l yr e f e r r e dt o a st h e D E G R E E
O FD A M P I N G .
T h e r ea r et h r e ed i s t i n cD
t EGREE
OSFD A M P I N G
:
( 1 ) L i g h tD a m p i n g -T h ea m p l i t u d ed e c r e a s egsr a d u a l l w
y i t h e a c ho s c i l l a t i oann d i t w i l l
e v e n t u a l l yr e a c hz e r oa f t e ra f e w c o m p l e t eo s c i l l a t i o n s .
displacement
( 2 ) H e a v yD a m p i n g -T h eo s c i l l a t i nbgo d ys t a r t sf r o m t h e m a x i m u mp o s i t i o na, p p r o a c h etsh e
e q u i l i b r i u mp o s i t i o nr e l a t i v e l sy l o w l yb u t d o e sn o t c r o s si t , a n dt h e b o d ye v e n t u a l l y
c o m e st o r e s t a f t e ra ' r e l a t i v e llyo n gt i m e .
displacemeflt
T h eh e a v i n gd a m p i n gi s a p p l i e di n
t h e s w i n g- t y p e a u t o m a t i cd o o r
c l o s e r sw
- h e n a p e r s o no p e n st h e
d o o r a n d l e a v e si t o p e n ,t h e c l o s e r
s l o w l yp u l l st h e d o o r b a c ki n t ot h e
, h i c hi s t h e
c l o s e dp o s i t i o nw
position
equilibrium
( 3 ) C r i t i c aD
l a m p i n g :T h ev i b r a t i n gb o d y a p p r o a c h ebsu t d o e sn o t p a s st h e e q u i l i b r i u m
T h i st y p e o f D a m p i n gi s
p o s i t i o ni n T H ES H O R T E S
PT
O S S I BT
L IEM E .
usualle
y m p l o y e di n
displacement
v o l t m e t e r sa n d
analogue
a m m e t e r sT. h en e e d l e
p o i n t e ri n t h e i n s t r u m e n t
needsto movefrom the
i n i t i a pl o s i t i o nt o t h e
n e w r e a d i n gi n t h e
s h o r t e sp
t o s s i b l tei m e
106
D a m p i n gi n v e h i c l es u s p e n s i o n
S u s p e n s i oins t h e t e r m g i v e nt o t h e s y s t e mo f s p r i n g ss, h o c ka b s o r b e ras n d l i n k a g etsh a t
. u s p e n s i osny s t e m s e r v ea d u a lp u r p o s e . c- o n t r i b u t i n g
c o n n e c t sa v e h i c l et o i t s w h e e l s S
t o t h e c a r ' sr o a d h o l d i n g / h a n d l ianned b r a k i n gf o r g o o da c t i v es a f e t ya n d d r i v i n gp l e a s u r e ,
a n d r e a s o n a b lwy e l l i s o l a t e df r o m r o a dn o i s e
a n d k e e p i n gv e h i c l eo c c u p a n t cs o m f o r t a b l e
y t o d d s ,s o t h e t u n i n go f
b u m p s ,a n d v i b r a t i o n se, t c .T h e s eg o a l sa r e g e n e r a l l a
s u s p e n s i o ni n
s v o l v e fsi n d i n gt h e r i g h tc o m p r o m i s el t. i s i m p o r t a n ft o r t h e s u s p e n s i otno
a l lt h e
k e e pt h e r o a dw h e e li n c o n t a c tw i t h t h e r o a ds u r f a c ea s m u c ha s p o s s i b l eb, e c a u s e
f o r c e sa c t i n go n t h e v e h i c l ed o s o t h r o u g ht h e c o n t a c tp a t c h e so f t h e t y r e s .T h e
f r o m d a m a g ea n d
s u s p e n s i oanl s op r o t e c t st h e v e h i c l ei t s e l fa n d a n yc a r g oo r l u g g a g e
w e a r .T h ed e s i g no f f r o n t a n d r e a rs u s p e n s i oonf a c a r m a y b e d i f f e r e n t .
T h e s p r i n gr a t e ( o r s u 5 p e n s i o rna t e ) i s a c o m p o n e n ti n s e t t i n gt h e v e h i c l e ' sr i d e h e i g h to r i t s
. e h i c l ew
s h i c hc a r r yh e a v yl o a d sw i l l o f t e n h a v eh e a v i e rs p r i n g s
l o c a t i o ni n t h e s u s p e n s i osnt r o k e V
t o c o m p e n s a t feo r t h e a d d i t i o n awl e i g h tt h a t w o u l d o t h e r w i s ec o l l a p s ea v e h i c l et o t h e b o t t o mo f
. e a v i e rs p r i n g sa r e a l s o u s e di n p e r f o r m a n c ea p p l i c a t i o nw
s h e r et h e l o a d i n g
i t s t r a v e l( s t r o k e )H
c o n Q i t i o nesx p e r i e n c eadr e m o r ee x t r e m e .
Springsthat are too hard or too soft will both effectivelycausethe vehicleto haveno suspension
s u s p e n s i o lno a d sh e a v i e rt h a n n o r m a lh a v e h e a v yo r
a t a l l . V e h i c l e st h a t c o m m o n l ye x p e r i e n c e
h a r d s p r i n g sw i t h a s p r i n gr a t e c l o s et o t h e u p p e r l i m i t f o r t h a t v e h i c l e ' sw e i g h t .T h i sa l l o w st h e
v e h i c l et o p e r f o r mp r o p e r l yu n d e ra h e a v yl o a dw h e n c o n t r o li s l i m i t e db y t h e i n e r t i ao f t h e l o a d .
R i d i n gi n a n e m p t yt r u c k u s e df o r c a r r y i n gl o a d sc a n b e u n c o m f o r t a b lfeo r p a s s e n g e rbse c a u s eo f
. r a c ec a r w o u l d a l s o b e d e s c r i b e da s
i t s h i g h s p r i n gr a t e r e l a t i v et o t h e w e i g h t o f t h e v e h i c l e A
y u m p y .H o w e v e r ,e v e n t h o u g h w e s a y
h a v i n gh e a v ys p r i n g sa n d w o u l d a l s o b e u n c o m f o r t a b l b
t h e y b o t h h a v eh e a v ys p r i n g st,h e a c t u a ls p r i n gr a t e sf o r a 2 0 0 0l b r a c ec a r a n d a 1 0 , 0 0 0l b t r u c k
are very different.A luxurycar,taxi, or passengerbus would be describedas havingsoft springs.
V e h i c l e sw i t h w o r n o u t o r d a m a g e ds p r i n g sr i d e l o w e rt o t h e g r o u n dw h i c h r e d u c e st h e o v e r a l l
a n d i n c r e a s e tsh e a m o u n t o f b o d y l e a n .
a v a i l a b l et o t h e s u s p e n s i o n
amount of compression
s t h e r t h a n v e h i c l ew e i g h t
P e r f o r m a n c vec h i c l e sc a n s o m e t i m e sh a v e s p r i n gr a t e r e q u i r e m e n t o
a n dl o a d .
107
FORCED
OSCILLATIONS
S i n c ed a m p i n gc a u s e sa r e d u c t i o n
i n a m p l i t u d ea, n E X T E R N A
PL
E R I O DF
I CO R C E
m u s tb e
a p p l i e dt o k e e pa s y s t e mi n c o n t i n u o uoss c i l l a t i o n .
T h e r e s u l t i n go s c i l l a t i o ins r e f e r r e dt o a s a F O R C EO
DS C I L L A T I OaN
, t h e f r e q u e n c yo f
nd
t h e e x t e r n apl e r i o d i fco r c ei s c a l l e dt h e F O R C I NFGR E Q U E N C Y .
I f h o w e v e rn
, o e x t e r n apl e r i o d i cf o r c ei s a p p l i e dt,h e n t h e s y s t e mw i l l b e a l l o w e dt o
o s c i l l a toen i t so w n ( a s s u m i nt hga t d a m p i n gi s n e g l i g i b i e, a) n dt h e f r e q u e n c fyo r t h e
n a t u r aol s c i l l a t i o n, issc a l l e dt h e N A T U R AFLR E Q U E N O
CF
YO S C I L L A T I O N .
l f t h e e x t e r n apl e r i o d i c f o r cies a p p l i e dt o m a i n t a i na c o n s t a nat m p l i t u d ea, n dt h e
F O R C I NF
GR E Q U E N Ci sYe q u a tl o t h e N A T U R AFLR E Q E N Ct hYe, nt h e a m p l i t u d eosf t h e
n a t u r aflr e q u e n c ay n df o r c i n gf r e q u e n c y , a dudp t o p r o d u c ea v i b r a t i o no f a l a r g e
a m p l i t u d ea, n d R E S O N A N C
i sEs a i dt o o c c u r .
R E S O N A N Ci sEt h e g r o d u c t i o no f a l a r g ea m p l i t u d ev i b r a t i o nw h e n t h e f r e q u e n c yo f a n
a p p l i e de x t e r n apl e r i o d i cf o r c e ,i s e q u a lt o t h e n a t u r a fl r e q u e n c yo f v i b r a t i o no f a n
o s c i l l a t i nsgy s t e m .
= YN A T U R AFLR E Q U E N C Y .
i . e .A t r e s o n a n c e F
, O R C I NFGR E Q U E N
W h e na g r a p ho f A M P L T U D vE. s .A P P L I EFDR E Q U E N iCs Y
d r a w n t, h e f o l l o w i n gc u r v ei s
obtan
i ed:
T h e g r e a t e sat m p l i t u d eo c c u r sa t R E S O N A N Ci .Ee,.w h e n F o r c i n gf r e q u e n c y =N a t u r a l
frequency
T h i so c c u r sa t t h e f r e q u e n c yf e
AM PLITUDE
F O R C I , NFG
REQUENCY
T h eg r e a t e rt h e d e g r e eo f D A M P I N Gt h
, e f i a t t e ri s t h e c u r v e .
108
Thereare Two significant
thingsthat happenwhen the DAMPING:siruCneASED:
(1) The curvebecomesFLATTER
(2) The RESONANT
FREQUENCY
shiftsto a LOWERvalue.
T h e s eo b s e r v a t i o nasr ed e p i c t e di n t h e s e r i e so f c u r v e sb e l o w :
Note that the sharperthe
peakthe lessis the
resonanceand the higher
is the resonant
FREQU
ENCY
f.
109
APPLICATIONS
OF RESONANCE
(1) MicrowavecookingA l l f o o d sc o n t a i nw a t e r m o l e c u l e w
s h i c ha l l h a v en a t u r a fl r e q u e n c i eosf v i b r a t i o nT. h e m i c r o w a v e
r a d i a t i o nh a sa f r e q u e n c yo f v i b r a t i o nw h i c hi s e q u a l t oo n e o f t h e n a t u r a fl r e q u e n c i e s ' o
v ifb r a t i o n
o f t h e w a t e r m o l e c u l e sW
. h e nt h e m i c r o w a v ei s t u r n e do n , t h e s u p e r p o s i t i oonf t h e v i b r a t i o n so f
t h e m i c r o w a v eos n t h e v i b r a t i o n so f t h e w a t e r m o l e c u l e cs a u s e sR E S O N A N C
a nEd l a r g e r
v i b r a t i o n so f t h e w a t e r m o l e c u l e os c c u r .T h e K i n e t i ce n e r g yo f t h e w a t e r m o l e c u l etsh e r e f o r e
i n c r e a s e sa,n d b y t h e k i n e t i ct h e o r yo f m a t t e r ,t h e t e m p e r a t u r eo f t h e w a t e r m o l e c u l e isn c r e a s e s .
I n t h i s c a s e t, h e . i n c r e a s evdi b r a t i o nc a u s e sa n i n c r e a s e
i n t e m p e r a t u r ew, h e r e a sw i t h
c o n v e n t i o n aclo o k i n go n a s t o v e ,t h e t e m p e r a t u r ei s f i r s ti n c r e a s e ad n dt h i sc a u s e sa n i n c r e a s e
in
v i b r a t i o no f t h e m o l e c u l e s .
(21 MagneticresonanceimagingS t r o n gv a r y i n gr a d i of r e q u e n c ye l e c t r o m a g n e tfiice l d sa r e u s e dt o c a u s et h e n u c l e o
i f a t o m st o
v i b r a t eT
. h e r ea r e m a n yr e s o n a nftr e q u e n c i eisn m o l e c u l e sa,n d w h e n e v e r e s o n a n coec c u r s ,
e n e r g yi s a b s o r b e dT. h e p a t t e r no f e n e r g ya b s o r p t i o n
c a n b e u s e dt o d e t e c tt h e p r e s e n c e
of
p a r t i c u l am
r o l e c u l eisn a n y s p e c i m eann da n i m a g eo f t h e e n e r g y a b s o r p t i opna t t e ' r ins t h e b a s i c
m a g n e t i cr e s o n a n c iem a g e .
( 3 ) M u s i c aw
l i n d i n s t r u m e n t se . g .t h e f l u t e :
I n a w i n di n s t r u m e nt h
, e m o u t h p i e cvei b r a t i o nasr et h e " p u s h "T
. h ec o l u m no f a i r i n s i d et h e
. " p u s h "t h a t g i v e st h e r i g h tf r e q u e n c vc a u s e tsh e a i r t o
i n s t r u m e n t 'bs o d yi s t h e " s w i n g " A
v i b r a t ev e r ys t r o n g l yl,i k et h e w e l l - t i m e ds w i n g .W r o n gf r e q u e n c i ecsa u s et h e s o u n dt.o
s p u t t e ro r f a i l .T h e p l a y e rc h a n g e tsh e p i t c hb y c h a n g i n tgh e e f f e c t i v el e n g t ho f t h e
i n s t r u m e n ts, o t h a t a d i f f e r e n ft r e q u e n c yw i l l r e s o n a t ei n s i d et h e i n s t r u m e n t .
U n l i k ea s w i n g ,m o r et h a n o n e f r e q u e n c yc a n b e s u c c e s s f ua lt e a c hl e n g t h ,b u t i t i s a v e r y
s p e c i f i cs e t o f f r e q u e n c i etsh a t a r e a l l o w e dT. h i ss e t o f p o s s i b l e
f r e q u e n c i eiss c a l l e da
h a r m o n i cs e r i e sa, n dt h e s o u n d sc o m i n go u t o f a w i n d i n s t r u m e nat r ea c t u a l l a
y combination
o f h a r m o n i cs e r i e sp i t c h e s .
110
(4) Resonance
in stringedinstruments
T h es o u n do f a s t r i n gw i t h o u ta n i n s t r u m e nbt o d yi s a m u s i c atlo n e ,b u t a v e r y ,v e r yq u i e t
o n e .T h e m a i nj o b o f t h e b o d yo f a s t r i n gi n s t r u m e nits t o a m p l i f yt h e o r i g i n asl o u n d ,s o
s t r i n gi n s t r u m e n t rse s o n a t eo v e ra w i d e r a n g eo f p i t c h e sL. i k ev o i c e st,h e y w i l l h a v e
f o r m a n t s a, n d a l s oa s i n v o i c e st,h e s m o o t h e ra n d l e s sn o t i c e a b l teh e f o r m a n te f f e c t ,t h e
b e t t e rt h e i n s t r u m e n t .
l n m o s ts t r i n g e di n s t r u m e n t so,n e e n d o f e a c hs t r i n gi s h e l dt i g h t a g a i n sat p i e c eo f o f t h e
i n s t r u m e n(t o f t e nc a l l e da b r i d g e )t h a t r e s t so n t h e b o d yo f t h e i n s t r u m e n tT. h ec o n t a c ti s
i m p o r t a n tb
, ecause
v i b r a t i o n tsr a v e lt h r o u g hs o m es o l i d s( w o o d ,f o r e x a m p l em
) u c hm o r e
e f f i c i e n t l tyh a n t h e y d o t h r o u g ha i r .T h ev i b r a t i o n tsr a v e lf r o m t h e e n d o f t h e s t r i n gt h r o u g h
t h e b r i d g et o t h e b o d y ,w h i c hi s o f t e n h o l l o w .T h es o u n d sc a nt h e n r e s o n a t ei n t h e b o d yo f
t h e i n s t r u m e nat n d i n t h e a i r i n s i d et h e i n s t r u m e n tf,o r a m p l i f i c a t i obne f o r et h e y a r e r e l e a s e d
t h r o u g hs o u n dh o l e s' i nt h e b o d yo f t h e i n s t r u m e nitn t o t h e a i r o u t s i d e
111
OF RESONANCE
DISADVANTAGES
( 1 ) U n w a n t e dv i b r a t i o n si n M a c h i n e r y y i l l h a v et h e i rn a t u r aflr e q u e n c i eosf v i b r a t i o na, n dd u r i n g
T h ec o m p o n e n tisn r o t a t i n gm a c h i n e rw
f o r t h e f r e q u e n c yo f r o t a t i o nt o b e e q u a l t oo n e o f t h e n a t u r a fl r e q u e n c i eosf
r o t a t i o ni t i s p o s s i b l e
v i b r a t i o no f o n e o r m o r eo f t h e c o m p o n e n t sR. e s o n a n chee r ew i l l c a u s eu n w a n t e dv i b r a t i o n so f
t h e m e c h a n i c apla r t sw h i c hl e a d st o e x c e s s i vneo i s ea sw e l l a sg r e a t e rw e a r a n dt e a r o n t h e
machinery.
T h i sp r o b l e mi s u s u a l l yo v e r c o m eb y t h e u s e so f r u b b e rb u f f e r sp a d sp l a c e db e t w e e nt h e
t h a t i t r e s t so n . T h er u b b e rm o l e c u l easb s o r bm o s to f t h e v i b r a t i o n s
e q u i p m e nat n dt h e s u r f a c e
surface.
a n d d o n o t t r a n s f e ra n yt o t h e s u p p o r t i n g
(2) Failureof civilengineeringstructuress . g .d u e t o e a r t h q u a k e st h, e a t o m sa n d
to vibratione
W h e n c o n c r e t es t r u c t u r e as r e s u b j e c t e d
e h i c hc a nl e a dt o f r a c t u r eo f t h e c o n c r e t eT. h e
m o l e c u { eisn t h e c o n c r e t em a y u n d e r g or e s o n a n cw
p r o b l e mi s s o m e t i m e sr e d u c e db y t h e a d d i t i o no f p o l y m e rb a s e dp r o d u c t si n t h e c o n c r e t e
m i x t u r eT. h ep o l y m e rm o l e c u l ews i l l a b s o r ba n d n o t t r a n s m itth e v i b r a t i o nisn t h e s t r u c t u r e .
( 3 ) S h a t t e r i no
g f g l a s sa t h i g hf r e q u e n c ys o u n d s T y p i c agl l a s sm o l e c u l ehsa v en a t u r aflr e q u e n c i eosf v i b r a t i o nt h a t a r ee q u a l t ot h e f r e q u e n c i eosf
themto slip
s i l l v i b r a t ev i o l e n t l yc a u s i n g
. t r e s o n a n c et h, e g l a s sm o l e c u l ew
h i g hp i t c h e ds o u n d sA
of the glass.
p e r m a n e n t lfyr o m t h e l o c a t i o n sr e s u l t i n gi n t h e s h a t t e r i n g
T h ec o m p o s i t i o a
n n d s t r e n g t ho f t h e g l a s sh a st o b e v a r i e dt o c o m p e n s a tfeo r u n w a n t e d
vibrations.
112
- '
S H MT U T O R I ASLH E E T
( 1 ) A n o b j e c tm o v i n gw i t h S H Mh a sa n a m p l i t u d e
o f 0 . 0 2 ma n da f r e q u e n c oy f 2 O H z .
C a l c u l a t(ei )T h ep e r i o do f o s c i l l a t i o n
( i,i )t h e a c c e l e r a t i oant t h e m i d d l ea n de n d o f a n
o s c i l l a t i o n , ( i i i ) tvheel o c i t i east t h e c o r r e s p o n d i ni ngs t a n t s . ( A n0s. :0 5s ; 3 1 5 . 8 m 2s ;
2.51m1
s)
( 2 ) A n o s c i l l a t o hr a sa n a m p l i t u d e
o f 4 5 c ma n da f r e q u e n c oy f 6 0 H z .D e t e r m i n (ei ) l t s
p e r i o d (, i i )l t s m a x i m u ma n d m i n i m u ma c c e l e r a t i o n( si i;i )l t s m a x i m u mv e l o c i t y(;i v )l t s
v e l o c i t yw h e nt h e d i s p l a c e m e inst2 5 c m . ( A n s1 :. 6 7x 1 0 2 s ;6 . 4x l O a m s - 2;, 10 6 9 . 6 ms | ; L 4 1
t.
ms
( 3 ) A g u i t a rs t r i n gv i b r a t e tso p r o d u c ea n o t eo f f r e q u e n c 1y 5 0 0 H 2 .
( i ) D e t e r m i nt e
h e p e r i o do f v i b r a t i o no f t h e p a r t i c l eisn t h e s t r i n g .
( i i )W h a t i s t h e a n g u l afrr e q u e n c oy f v i b r a t i o n ?
( i i i )W h a t i s t h e v e l o c i t yo f a v i b r a t i n gp a r t i c l e
w h e n i t sd i s p l a c e m e n
i st0 . 2 5 c mg, i v e nt h a t
i t sa m p l i t u d ies 0 , 6 5 c m ?
( i i i ) D e t e r m i nt hee a c c e l e r a t i oonf a p a r t i c l e
o n t h e s t r i n ga t t h e i n s t a nw
t h e ni t i s
d i s p l a c ebdy 0 . 1 5 c mf r o m i t s e q u i l i b r i u m
p o s i t i o n.
( 4 ) A v i b r a t i n gb o d y J r aas p e r i o do f v i b r a t i o no f 7 5 m sa n da n a m p l i t u d e
o f 2 c m .S k e t c h
g r a p h so f d i s p l a c e m e vn.tst i m e , v e l o c i t yv . s .t i m e a n da c c e l e r a t i ovn. s .t i m e f o r a t l e a s t
t w o c y c l e so f t h e m o t i o n" O n t h e a x e sw r i t e i n t h e v a l u e so f t i m e a n dt h e c o r r e s p o n d i n g
v a l u eo n t h e y - a x i sf o r e v e r yq u a r t e ro f a c y c l e .
( 5 ) T t . ed i s p l a c e m e notf y o f a m a s sv i b r a t i n gw i t h S H Mi s g i v e n b yy = 2 0 s i nj . O n t w
, h e r ey r s
j
'
n
m
.
a n dt i s i n s e c o n d sD. e t e r m i n e (Ti )h ea m p l i t u d e( i i ) T h ep e r i o da n d ( i i i )T h ev e l o c i t y
att=0
( 6 ) l n a c e r t a i ne n g i n ea, p i s t o nu n d e r g o eSs H Mw i t h a n a m p l i t u d e
o f 7 c m .A w a s h e rr e s t sa t
. s t h e e n g i n es p e e di s s l o w l yi n c r e a s e da,t w h a t f r e q u e n c yw i l l t h e
the top of the pistonA
w a s h e rn o l o n g e rs t a yi n c o n t a c w
t i t h t h e p i s t o na t t h e m a x i m u md i s p a l c e m e n(tA
?ns.
1 . B 8 H zH
) i n t :T h ew a s h e rw i l l l o s ec o n t a cw
t i t h t h e p i s t o nw h e nt h e d o w n w a r d
a c c e l e r a t i oonf t h e p i s t o ni s e q u a lt o t h e a c c e l e r a t i odnu e t o g r a v i t yo f t h e w . a s h e r .
( 7 ) A s a n dp a r t i c l er e s t so n a h o r i z o n t aml e m b r a n e
t h a t i s m a d et o v i b r a t ei n a v e r t i c apl l a n e
b y m e a n so f a s i g n agl e n e r a t o r .
(i)
(ii1
lf theamplitude
o f v i b r a t i o ni s 1 2 m mw h a t m u s tb e t h e f r e q u e n c oy f v i b r a t i o n
t h a t w i l l c a u s et h e s a n dt o l o s ec o n t a cw
t i t h t h e m e m b r a n ea t i t s m a x i m u m
displacement?
W h a t m u s t b e t h e n e w f r e q u e n c yo f v i b r a t i o nt h a t w i l l c a u s et h e s a n dp a r t i c l et o
s e p a r a t fer o m t h e m e m b r a n ea t t h e i n s t a ntth e p a r t i c l ei s 9 m m a b o v et h e
e c r u i l i b r i upmo s i t i o n(.A n s 4. . 5 5 H 2 5; . 2 5 H 2 )
113
T he s iz e of th e fu tu re y o u a c tu a l l y e xperi ence w i l l l argel y be determi ned by one
f ac t or : t he p e o p l e y o u c h o o s e to c o n nect w i th. W hen you i nvi te peopl e w ho are trul y
c om m it t ed t o g ro w th i n to e v e ry a s p e ct of your l i fe, your ow n potenti al for grow th
becomes truly unlimited.
DanSullivan
S o l u t i o ng u i d e l i n e s
1
Q)f he frequency ts gtven and f : T;
(ti)The accelerattonvARIES wtth dtsplacementand ts gtven by a : -azx
where x ts the dtsplacement.
At the middle of the oscillation,x - 0 and at the end of i.t x : Amplttude
(iii)v= rul
(2)T-7i
1
a
I
: -a2x and the maxualue of x i.sthe amplitude whi.letheminualue ts zero
( i"ii\uz= (,)2( A2 - x2\
(5)l f ! : 20 sin 102t, compare this wi"thx : A sin art
A=20and1.0n-a
(6)For loss of contact atmax displacement,the downward accelerati.on: g
Use -azx=
g,x -0.07m; solueforaandthenlrsea -zrcf
( 7 )S i m i l atro p r e v i o u qs u e s t i o n
114
FORSHM
GRAPHS
IMPORTANT
( 1 ) T h ed i s p l a c e m e o
n ft a b o d yu n d e r g o i nSgH Mi s g i v e nb y x - A s i n a t , a n da g r a p ho f
d i s p l a c e r n evnet r s u st i m e w i l l h a v et h e f o l l o w i n gs h a p e :
( 2 ) T h ev e l o c i t yo f t h e b o d yi s g i v e nb y
dx
v dt:
atA costtt
T h eg r a p ho f v e l o c i t yv e r s u st i m e w i l l h a v et h e f o l l o w i n gg e n e r asl h a p e :
velocity
i r t o t et h a t i n t h e d i s p l a c e m e -ntti m e g r a p h t, h e m a x i m u mv a l u eo n t h e y - a x i si s t h e A M P L I T U DoEf
. i , so s c i l l a t i o n .
115
I n t h e v e l o c i t yt-i m e g r a p h t, h e m a x i m u mv a l u eo n t h e y - a x i si s e q u a l t o( o A ) . ( s i n c et h e
m a x i m u mv a l u eo f c o so r s i n ei s 1 - )
(3) Theacceleration'of
the bodyisgivenby:
dv
-azAsinat
a.-;T h eg r a p ho f a c c e l e r a t i ovne r s u st i m e w i l l h a v et h e s h a p eo f a n e g a t i v es i n eg r a p ha n dt h e
m a x i m u mv a l u eo n t h e y - a x i si s e q u a tl o t r l 2 A . ( t h em a x i m u mv a l u eo f s i n ei s 1 )
acceleration
116
(4) The VELOCITy
the bodycan be expressed
as :
n - aJAz - xz
ThegraphoF vELoclrYvERsusDISPIACEMENT
will havethe following
shape:
( 5 ) T h ea c c e l e r a t i oonf t h e b o d vi s r e l a t e d
t o t h e d i s p l a c e m e notf t h e b o d yb y t h e f o l l o w i n g
e q u a t i o n:
a -
-u2x, whichis equivalent = -kx
to a
lf a graphof acceleration
versusdisplacementis ptotted,then the equation
represents
the equationof a straightline passingthroughthe
originand havinga negative
gradient.
The gradientof this line would be -u.r2.
P E R I OO
D FA S I M P L P
EENDULUM
Derivation:
L e tt h e l e n g t ho f t h e s t r i n gb e L .
W h e nt h e b o b i s a t B ,t h e f o r c ep u l l i n gi t
t o w a r d sO i s e q u a tl o m g s i n 0 .
H e n c eb y N e w t o n ' ss e c o n dl a w ,
m g s i n O= m a
F o rs m a l a
l n g l e sS. i n 0= 0
mg0=ma
Y
sln?-7,
^9
v
i
tt - /
,
-ma
T h em i n u ss i g ni n d i c a t etsh a t t h e
d i s p l a c e m e ny ta n d t h e f o r c ea r e i n o p p o s i t e
directions.
g) -a-Y
Hence a - -
7t
2n
StnceT a
118
2tt
E
-2n l-
{s
P E R I O DO F O S C I L L A T I O O
N F A M A S SO N A S P R I N G
W h e na m a s si s a t t a c h e dt o t h e o n e
e n d o f a s p r i n gw i t h t h e o t h e re n d
s u s p e n d efdr o m a c e i l i n gt,h e
s p r i n gw i l l s t r e t c hb y a n a m o u n t
e ( m )a n d t h e p o s i t i o no f t h e m a s s
w h i l ei t i s a t r e s t ,i s c a l l e dt h e
e q u i l i b r i u mp o s i t i o n .
position
equilibrium
The restoringforceof the springis
g i v e nb y F =- k e , w h e r ek i s c a l l e d
t h e s p r i n gc o n s t a not r f o r c e
constant.
T h e m i n u ss i g ni n d i c a t etsh a t t h e
restoringforceand the
d i s p l a c e m e notf t h e m a s sa r e i n
o p p o s i t ed i r e c t i o n s
mg
f o r c eo f t h e s p r i n g h, e n c e
A t e q u i l i b r i u mt ,h e w e i g h to f t h e m a s si s b a l a n c e db y t h e r e s t o r i n g
- m g + k e = 0 ; m g = k e , b u t t h e y a c t i n o p p o s i t ed i r e c t i o n s
l f t h e m a s si s n o w p u l l e dd o w n a f u r t h e rd i s t a n c ex a n dt h e n r e l e a s e di ,t w i l l b e g i nt o o s c i l l a t e
of the spring
a b o u ti t s e q u i l i b r i u mp o s i t i o nA. t t h e m a x i m u md i s p l a c e m e ntth, e e x t e n s i o n
-(e+x),
. becomes
force is givenby-[- k(e+x)]=k(e+x)
and the Restoring
) h i l et h e d o w n w a r df o r c eo n i t i s
H e n c et h e m a g n i t u d eo f t h e u p w a r df o r c eo n t h e m a s s= k ( e + x w
mg.
T h e r e s u l t a nD
t o w n w a r df o r c eo n t h e m a s si s g i v e nb y : k(e+x)-mg = -ma (ByNewton's2noLaw)
-mg
= trtd ;
ke +kx
: g + k x- m g = - m a
B u tw e p r e v i o u s lsyt a t e dt h a t m g =k e ,s o t h e e q u a t i o nb e c o m e sm
H e n c e (k x )= - m a , b u t f o r S H M , a = - u ) t x
'
'/tt
kx = mtrl'x givingthe relationk = mu)' ; s i n c e r u o - : f * t h e n T : Z r t
T
,
)
.r
,
119
.
rn
k
WaveMotion
I M P O R T A N TF O R M U L A E
(L) Velocity of awave v : f A
(z)Frequency f :
(3) Intensity
TL
reriod:
i
x (Amptitude)z
Hence';:#
AD
(4)For the Double slit experimertt,the f ringe spa"ctng y "
where D - perpendicular distance between slits qnd screert, a slit spacing
and
7 is the wavelength of ltght
(5) For a dif fraction grating,d sin? : rtT,where d is the sltt spacing
0 ts the angle that the dtf f racted tight makes
withthecen*:iT::"TT;27o,":i'l:,";:;'"i#!"diff raction'ien
(6) RefractiveIndex n (f rom medium ! to medtumz (7)Fromrefractive
t!+
sin9 2
=ut - y
u2
1z
index r\ to refractive indexn2, f ollowing f ormula is
appltcable nlsirr"?r - n2sin02
(8)Intensity level (in d"B)- LO log!*n"re
Isi"sthe threshold intensity
I0
_ 1 x !O-12Wm-2
(9) Power of a lens (tn Dtoptres) P
L
=
7 where f is the f ocal lengthmeasured
l
l
TL
(LO)Thelens f ormula 7: - + Iuv
120
inmetres
OFWAVES
PROPERTIES
T r a n s v e r sW
e aves
of
T h ev i b r a t i o nosf t h e p a r t i c l eisn t h e m e d i u ma r e p e r p e n d i c u l taor t h e d i r e c t i o n
t r a v e l ( p r o p a g a t i oonf)t h e w a v e .
e a v e sa r e :
E x a m p l eosf t r a n s v e r sw
( 1 ) W a t e rw a v e s t-h e w a t e rp a r t i c l evsi b r a t ei n a v e r t i c apl l a n ew h i l et h e w a v et r a v e l si n a
h o r i z o n t apl l a n e .
l ys
( 2 ) W a v e so n a s t r i n g t-h e s t r i n gv i b r a t e vs e r t i c a l lw
y h i l et h e w a v e st r a v e lh o r i z o n t a l a
shown
n ; - ^ t ^ ^
ul)prdL
vibration
LongitudinalWaves:
of travel
T h ev i b r a t i o nos f t h e p a r t i c l eisn t h e m e d i u ma r e p a r a l l et lo t h e d i r e c t i o n
( p r o p a g a t i oo
n f) t h e w a v e .
wla v e sa r e :
E x a m p l eosf l o n g i t u d i n a
'
( 1 ) S o u n dW a v e s
( 2 ) W a v e so n a s l i n k y - s p r i n g .
s f high
T h ep a r t i c l easr r a n g et h e m s e l v epse r i o d i c a lilny r e g i o n o
s f l o w d e n s i t yc a l l e d
nd
Sr e g i o n o
c o n c e n t r a t i o n ( d e n s,ict ya )l l e dC O M P R E S S I OaN
RAREFACTIONS.
onepoint
Wl a v e s a
, l l o wt h e t r a n s f e ro f e n e r g y ' f r o m
B o t hT r a n s v e r saen d L o n g i t u d i n a
t
h
e
two
b
e
t
w
e
e
n
o
f
m
a
t
t
e
r
w
i
t
h
o
u
t
t
h
e
t
r
a
n
s
f
e
r
w
a
v
e
f
o
r
m
t
h
e
t o a n o t h e ra l o n g
points.
It i s n o t th e c ri ti cw h o c o u n t s,nor the man w ho poi ntsout howthe strongman stumbl ed,or
wherethe doer of deedscouldhave done them better.The creditbelongsto the man who is
a c tu a l l yi n th e a re n a ,w h o s eface i s marredby dustand sw eatand bl ood;w ho stri vesval i an t ly;
greatdevoti ons ;
w h o e rrsa n d c o m e ss h o rta gai nand agai n;w ho know sgreatenthusi asms,
w h o s p e n d sh i ms e l ifn a w o rthycause;w ho,at the best,know si n the end the tri umphof hi g h
a c h i e v e m e nat,n d w h o ,a t th e w orst,i f he fai l s,at l eastfai l sw hi l edari nggreatl y,so that hi s
p l a e s h a l ln e v e rb e w i thth oseti mi dsoul sw ho knownei thervi ctorynor defeat
- T h e o d o reR o o s e v e l t
I
I
121
G r a p h so f ( d i s p l a c e m evn.ts .t i m e )a n d ( d i s p l a c e m e vn.ts .d i s t a n c ec)a n b e d r a w n
to
r e p r e s e nw
t a v em o t i o n
displacement
displacement
T h e l e n g t hO B o n t h e x - a x i sr e p r e s e n ttsh e
t i m e f o r o n e c o m p l e t ec y c l ea n d i s c a l l e d
t h e p e r i o d .R e c a ltlh a t p e r i o d
1.
f requency
T h e d i s t a n c eO B w h i c h r e p r e s e n ttsh e
distancebetweensuccessive
crestsor
s u c c e s s i vt e
r o u g h si s e q u a lt o o n e
wavelength
L
POLARISATION
T r a n s v e r swe a v e sm a y h a v et w o o r m o r e p l a n eo f v i b r a t i o n, i . e .a l o n gt h e x y ,x z ,a n d y z p l a n e s .
l f t h e s em a n yp l a n e so f v i b r a t i o nw e r e m a d et o e n c o u n t ear s l i tw h e r eo n l yo n e p l a n e
of vibration
w a sa l l o w e dt o p a s st h r o u g h t, h e n t h e e m e r g i n gw a v ew o u l d h a v eo n l yo n e p l a n eo f
v i b r a t i o na n d
a l l o f t h e o t h e r sw i l l b e c u t o f f .
T h i sc a n b e r e p r e s e n t e idn a d i a g r a ma s s h o w n
I
T h i sr e d u c t i o no f t w o o r m o r e p l a n e so f v i b r a t i o ni n t o a s i n g l ep l a n eo f v i b r a t i o ni,s c a l l e d
P O L A R I S A T Ia
OnNd t h e d e v i c et h a t c a u s e st h e p o l a r i z a t i oins c a l l e da p O L A R I S E R .
A n e x a m p l eo f a p o l a r i z eirs P O L A R O IwDh i c hi s a t r a n s p a r e nm
t a t e r i aw
l i t h t h e c a r b o nc h a i n si n
i t s m o l e c u l e as r r a n g e dv e r t i c a l l tyo c a u s et h e v e r t i c apl o l a r i z a t i oonf l i g h t ,w h i c hc u t s
o f f a l lo f t h e
h o r i z o n t acl o m p o n e n "os f v i b r a t i o n so f l i g h ta n d s o r e d u c e st h e l i g h ti n t e n s i t yb y a b o u t
5 0 % .l t i s
u s e di n s u n g l a s s e s .
122
A n o t h e ra p p l i c a t i o on f p o l a r i z a t i oins t h e t r a n s m i s s i oonf T V s i g n a l sI.n t h e U . K .t h e s i g n a l fsr o m
the stationsare horizontallypolarized,but after the wavestravelfor a few hundredkm over
v a r y i n gc o n t o u r st h e i r i n t e n s i t yd e c r e a s easn dt h e s i g n a l sh a v et o b e a m p l i f i e db y b o o s t e rs t a t i o n s
wavesto preventthe interferencebetweenwavesfrom the
which emit vertically'polarized
b o o s t e rs t a t i o n sa n dt h e m a i nT V s t a t i o n .
i ca v e se . g .l i g h t ,
SA
EV E Sc a n b e p o l a r i z e dH" e n c ea l l e l e c t r o m a g n e tw
O n l yT R A N S E V E RW
r a d i o w a v e sm, i c r o w a v eest c . c a nb e p o l a R i s e d .
WAVESCANNOTBEPOLARISED.
LONGITUDINAL
T.h e y
rom Longitudina
wla v e sb y p o l a r i z a t i o n
e a v e sc a n b e d i s t i n g u i s h ef d
H e n c eT r a n s v e r sW
or diffraction.
from eachother by reflection,refraction,interference,
cannot be distinguished
WAVESPEED
T h es p e e do f a n o b j e c ti s t h e d i s t a n c et r a v e l l e dp e r u n i tt i m e .
'f'
lf a sourceof waveshasa frequencyf and eachcyclecoversa wavelengthl, , then wavesare
p r o d u c e de a c hs e c o n da, n dt h e T O T A Ld i s t a n c ec o v e r e dp e r s e c o n di s t h e w a v es p e e dv
Number of waves per second x length of 1,wave- Total lengthper second
Stnce total length per second - speed v
Then f x 7 - v
OR v: f 7
LEARN
WAVE INTENSITY:
'
T h e l n t e n s i t yo f a w a v ea t a p o i n ti s d e f i n e da st h e p o w e rt r a n s m i t t e dp e r u n i t a r e aa t t h a t p o i n t - .
lNrEN.sITy :r#
ilte units are wm_z
F o ra n yw a v e ,t h e I n t e n s i t yi s p r o p o r t i o n at lo t h e s q u a r eo f t h e a m p l i t u d e .
LEARN
INTENS ITY x (AMPLITUDE)z
r a v e ,a t o n e p o i n ti f t h e i n t e n s i t yi s 1 1a n dt h e c o r r e s p o n d i n g
T h i si m p l i e st h a t f o r a n y p a r t i c u l aw
p
o
i
a m p l i t u d ei s4 1 ,a n da t a n o t h e r n ti f t h e i n t e n s i t iys l 2a n dt h e a m p l i t u d ei s 4 2 , t h e n
Irx Al andl2qAT
Ir Ar'
-=Iz Ar'
LEARN
123
PHASE
ANDPHASE
DIFFERENCE
T w o w a v e sa r e s a i dt o b e i n P H A S E
i f i n a r r i v i n ga t a c o m m o np o i n t ,t h e c r e s t sf r o m o n e w a v e
a r r i v ea t t h e s a m et i m e a st h e c r e s t sf r o m t h e o t h e rw a v e ,o r a l t e r n a t i v e l tyh, e t r o u g h sf r o m o n e
w a v ea r r i v ea t t h e s a m et i m e a s t h e t r o u g h sf r o m t h e o t h e rw a v e .
T h ea b o v ew a v e s' A ' a n d ' B ' h a v ed i f f e r e n a
t m p l i t u d e sb u t h a v et h e s a m ep h a s ea st h e c r e s t s
f r o m ' A ' a r e p r o d u c e da t t h e s a m et i m e a st h e c r e s t sf r o m ' B ' .
T h i si s e q u i v a l e ntto s a y i n gt h a t t h e c r e s t sf r o m ' A ' a r e i n s t e pw i t h t h e c r e s t sf r o m ' B ' .
124
T w o w a v e sa r e s a i dt o b e o u t o f P H A S w
E h e n i n a r r i v i n ga t a c o m m o np o i n t , ' t h ec r e s t sf r o m o n e
w a v ed o n o t a r r i v ea t t h e s a m et i m e a st h e c r e s t sf r o m t h e o t h e rw a v e .
D I F F E R E NeCxEi s t sb e t w e e nt h e m .
W h e nt w o w a v e sa r e o u t o f p h a s et,h e n a P H A S E
l f t h e C R E S Tf rSo m o n e w a v ea r r i v ea t t h e s a m et i m e a st h e T R O U G HfS
r o m t h e o t h e rw a v e ,t h e n
t h e P A T HD I F F E R E NbCeEt w e e nt h e t w o w a v e si s h a l fw a v e l e n g t h
or]
. f f i t p a t hi j i f f e r e n c eh a sa
c o r r e s p o n d i nPgH A S D
E lF F E R E N C E .
p
a
t
h
A
difference
o f l , i s e q u i v a l e ntto a P H A S E
D I F F E R E NoCfE2 n .
D I F F E R E NoCfEn .
S i m i l a r la
y P A T HD I F F E R E N oCfE; i s e q u i v a l e ntto a P H A S E
P A T HD I F F E R E NA
CE -
PHASE
D I F F E R E N2CnE
L isEQUAL
W e c a n n o ts a yt h a t P a t hd i f f e r e n c e
t o a P h a s eD i f f e r e n c oe f 2 n , s i n c ep a t hd i f f e r e n c e
a n d p h a s ed i f f e r e n c e
a r et w o d i s t i n c q
t u a n t i t i e sP. a t hd i f f e r e n c ei s m e a s u r e di n m e t r e so r n u m b e r
o f w a v e l e n g t h sw,h i l ep h a s ed i f f e r e n c ei s m e a s u r e di n r a d i a n s .
P A T HD I F F E R E N b
CeEt w e e nt w o w a v e si s t h e d i f f e r e n c ei n d i s t a n c eo r d i f f e r e n c e
i n t h e n u m b e ro f
w a v e l e n g t htsh a t o n e w a v eh a st o t r a v e lf r o m i t s s o u r c et o a p a r t i c u l apr o i n tc o m p a r e dt o t h e
.
o t h e rw a v e .
C o n s i d etrw o s o u r c e so f w a v e s5 1a n d 5 2p r o d u c i n g
w a v e so f t h e s a m ef r e q u e n c ya n d w a v e l e n g t h
X 1f r o m 5 1a n d a d i s t a f l c €
X 2f r o m 5 2
a s s h o w n .L e tP b e t h e p o i n to f a n o b s e r v ear t a d i s t a f l c €
W h e n t h e w a v e s l e a v eS 1a n d t h e y a r r i v ea t P , t h e d i s t a n c et h e y t r a v e l i s S 1 P= x t
W h e n w a v e s l e a v e5 2a n d a r r i v e a t P , t h e d i s t a n c et h e y t r a v e l i s 5 2 P= x t
T h e P A T HD I F F E R E N CoEf t h e t w o s e t s o f w a v e s i s g i v e n b y
A x = S r P- S ,' P= Xr -Xr
R e c a lt lh a t a n yP A T HD I F F E R E NwCi E
l l h a v ea c o r r e s p o n d i nPgH A S D
E I F F E R E NwChEi c hc a nb e
SA
E
e x p r e s s eidn m e t r e so r i n t h e n u m b e ro f w a v e l e n g t hA
s .SL O N GA S T H EP A T HD I F F E R E NlC
W H O L EN U M B E T
TH
SE
, WAVES
W I L LB EI N P H A S E .
O FW A V E L E N G T H
125
LEADAND LAG
c o n s i d e tr h e t w o w a v e sA a n B s h o w no n t h e a x e s :
displacement
(time)
l.
n e a do f
t i m e t 1 .H e n c ew a v eA il s a h
l a t e rtime
a t a later
s t a r t sat
w a v e B starts
t h e wave
w h i l s tthe
0 , whilst
t i m e = 0,
a t time
s t a r t sat
w a v eA starts
The
T
h e wave
B sinceit startedbeforeB.
We saythat A LEADSB or alternativelyB LAGSA'
, h i l et h e l a t e ro n e w i l l b e l a g g i n g '
i . e .T h ew a v et h a t s t a r t e df i r s t ,w o u l d b e l e a d i n gw
phaseangle,then we get the
lf the cufvesare then re-drawnwith the x-axisnow representing
following:
displacement
betweenA and"B b
DIFFERENCE
The PHASE
t
radtans
by!
A
lags
B
o,
henceA leads B by I
P h a s ea n g l e
126
I n t h e a b o v ed i a g r a mt h e P H A S D
E I F F E R E NiC
s nEa n dA l e a d sB b y n r a d i a n so,r B l a g sA b y n
radians.
TUTORIAL
SHEET
( 1 ) A n a l a r mp r o d u c e as h i g hf r e q u e n c n
y o t ew h e nt h e d i a p h r a g m
i n i t v i b r a t e sw i t h a
d i s p l a c e m e ngti v e nb y y = A s i n 2 5 O n t .
P e o p l ei n t h e v i c i n i t yo f t h e a l a r ma r e a b l et o h e a ri t b e c a u steh e s o u n dc a u s e tsh e
e'ardrum
t o v i b r a t e .l f a n o b s e r v e irs 6 5 0 ma w a y ,a n dt h e s p e e do f s o u n di s 3 5 0 m s - 1 ,
determine:
( a ) T h ef r e q u e n c oy f t h e s o u n d
( b ) T h ew a v e l e n g t h
of the sound
( c ) T h e n u m b e ro f w a v e l e n g t hbse t w e e nt h e s o u r c ea n dt h e o b s e r v e r
( d ) T h ep h a s ed i f f e r e n c be e t w e e nt h e v i b r a t i o nisn t h e s i r e na n dt h o s ei n t h e e a r d r u m
( e ) T h em a x i m u mk i n e t i ce n e r g yo f t h e e a r d r u mi f i t s m a s si s 1 . 3x 1 0 2 m ga n dt h e
amplitude
o f v i b r a t i o ni n t h e e a r d r u mi s 1 . 3 3x 1 0 - 8 m .
'
( A n s : 1 . 2 5 H 2 , 2 . 8,m
2 3 2 . 1 4w a v e l e n g t h,s0 . 8 8 r a d i a n s7,. t x 1 0 - 1 s J )
e i c r o p h o nteh a t i s u s e df o r d e t e c t i n g v e rrye m o t ea n df a i n ts o u n d sh, a s
{21A h i g h l ys e n s i t i vm
in it a membrane
t h a t v i b r a t e sw h e n e v e irt d e t e c t sa n yn o i s es i g n a lA. s h i pt h a t i s 1 - 2 5 0 m
producing
a w a y ,s o u n d si t s h o r na n d t h e m e c h a n i s m
t h e n o t e, v i b r a t e w
s ith a
displacemen
Rt, w h e r e
R =r s i n L 5 0 n t T
. h es p e e do f s o u n di s 3 5 0 m s1 .C a l c u l a t e :
( a ) T h ef r e q u e n c yo f t h e s o u n d
( b ) T h ew a v e l e n g t h
of the sound
( c ) T h e n u n " h e ro f w a v e l e n g t hbse t w e e nt h e s h i p ' sh o r na n d t h e m i c r o p h o n e
( d ) T h e p h a s ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e v i b r a t i o n si n t h e h o r n a n d t h o s ei n t h e m i c r o p h o n e
( e ) T h em a x i m u me n e r g yo f t h e d i a p h r a g m
i n t h e m i c r o p h o n ief i t s m a s si s 9 . 2x L 0 ' 6 k g
a n di t sa m p l i t u d e
o f v i b r a t i o ni s 2 5 0 n m .
127
( 3 ) A s o u r c eo f s o u n d' A ' p r o d u c e sa n o t e o f c o n s t a nftr e q u e n c yf r o m a l o u d s p e a k ewrh o s e
r e c o r d i n gd e v i c ep l a c e d3 8 0 ma w a y
d i s p l a c e m e ni st g i v e nb y y = A c o s4 0 0 t . A s e n s i t i v e
1.
p
a
r
t
i
c
u
l
a
r
l
o
c
a
t
i
o
nt ,h e s p e e do f s o u n di s 3 2 0 m s
A
.
A
t
t
h
i
s
f
r
o
m
, d e t e c t tsh e s o u n d
D e t e r m i n et h e p h a s ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e l o u d s p e a k earn dt h e d e t e c t o r .
S o l u t i o nG u i d e l i n e s
( l ) y - , 4s i n 2 5 0 r c t w h t l e t h e g e n e r a l e q u a t i o n t s y - A s i n u t
- 2nf
, h e n - c ef c a n b e f o u n d
O n c o m p a r t n g t h e t w o e q u a t t o n S , o: 2 5 0 t t , b u t u
( b ) u f 1 , s i n c e v i s g i v e n a n d f w a s p r e u i o u s l y c a l c u l a t e d , t l t ew a u e l e n g t h c a n b e c a l c u l a t e d .
(c)The nttmber of wavelength ts equal to :
Di"stancebetween source and obseruer
w auelength
(d)For a wLtolenumber of wavelengths,the vtbrattons will be tn phase.
e x i s t i n gb e t w e e nt h e t w o p o i n t s .
T h e yb e c o m eo u t o f p h a s ew h e n t h e r e i s a f r a c t i o no f a w a v e l e n g t h
R e c a ltlh a t f o r L w a v e l e n t a .t,hne p h a s ed i f f e r e n c ei s 2 n r a d i a n s .
-rma'A2
Max K.E.:
; a : 2 5 A n , A : 1 ' . 3 3 x 1 0 - 8 m ; m a s s- 1 . 3x I T - B k g
L ,
Q u e s t i o n2s a n d# a r e s i m i l atro q u e s t i o n1
128
(STANDtNG) WAVES
STATTONARY
A P r o g r e s s i vwea v ea l l o w st h e t r a n s f e ro f e n e r g yf r o m o n e p o i n tt o a n o t h e r w
, i t h o u tt h e t r a n s f e r
o f m a t t e rb e t w e e nt h e t w o p o i n t s .
A STATIONAR
WYA V E d o e sn o t f a c i l i t a t et h e t r a n s f e ro f e n e r g yb e t w e e na n y p o i n t sa l o n gt h e
w a v e f o r mA
. stationarw
y a v ei s a l s oc a l l e da S T A N D I NW
GAVE.
A s t a n d i n gw a v ec a nb e p r o d u c e do n a s t r i n gt h a t i s f i x e da t b o t h e n d s .
A t C E R T A IFNR E Q U E N C It E
h eSs t r i n gw i l l e f f i c i e n t l ya b s o r be n e r g yf r o m t h e d r i v i n gs o u r c et o
p r o d u c ea s t a n d i n w
g a v ep a t t e r na, n da t t h i sp o i n t ,R E S O N A N C
i sE
s a i dt o o c c u r .
I nt h e s t a n d i n w
g a v ep a t t e r n i,n c i d e nw
t a v e sa l o n gt h e s t r i n ga r es u p e r i m p o s eodn r e f l e c t e d
w a v e sf r o m t h e b o u n d a r i e sb ,u t R E S O N A N C
wEi l l o n l yo c c u ri f t h e l e n g t ho f s t r i n gc o n t a i n e d
w i t h i nt h e b o u n d a r i e si s, e x a c t l ya n i n t e g r am
l u l t i p l eo f f .
H e n c ei f t h e l e n g t ho f t h e s t r i n gi s ' L ' t h e n f o r R e s o n a n c eL, - n
I
2
I n c i d e n tw a v e
1
Reflectedwave
#
2
129
F r o mt h e a b o v ed i a g r a mt h e r ea r es o m ei m p o r t a nfte a t u r e tso R E M E M B E R .
( 1 )T h e r ea r e p o i n t sa l o n gt h e p a t t e r nw h i c ha r e a t r e s t ,o r s t a t i o n a r yT. h e s ep o i n t sa r e c a l l e d
'A' 'C'
'G'.
NODES
a n da r et h e p o i n t s ,
,'E' and
( 2 )T h e r ea r e p o i n t sw h e r et h e d i s p l a c e m e n
i st m a x i m u ma n dt h e s ep o i n t sa r e c a l l e dA N T I N O D E S
' F '.
'
B
'
p
o
i
n
t
s
a n da r et h e
, ' D ', a n d
( 3 ) T h e d i s t a n c eb e t w e e ns u c c e s s i vneo d e so r t h e d i s t a n c eb e t w e e ns u c c e s s i vaen t i n o d e si s
e q u a tl o
o n e h a l fw a v e l e n g t hi ..e .A C : C E - E G : *
2
S i m i l a r l yB D = D F :
:
( a )T h a t p o r t i o no f t h e p a t t e r nc o n t a i n e db e t w e e nA a n d C , i s c a l l e da l o o p .I n t h e a b o v ep a t t e r n ,
t h e r ea r et h r e el o o p s .
( 5 ) A l lo f t h e p a r t i c l e si n o n e l o o pv i b r a t el N P H A S w
E i t h e a c ho t h e r .T h a ti s a l l o f t h e p a r t i c l e s
move
u p w a r d sa t t h e s a m et i r n e ,o r t h e y a l l m o v ed o w n w a r d sa t t h e s a m et i m e .
( 6 ) E a c hp a r t i c l ew i t h i na l o o p h a si t s o w n a m p l i t u d et h a t i s d i f f e r e n ft r o m t h e n e i g h b o r i n g
p ar t i c l e .
( 7 )W h i l ea l l p a r " t i c l e
i nso n e l o o pv i b r a t ei n p h a s et,h e yw i l l a l l b e i n A N T I P H A S
wEi t h t h e p a r t i c l e s
f r o m a n a d j a c e n tl o o p .
A t o n e i n s t a n tt,h e p a r t i c l e isn t h e f i r s t l o o pa r e a l l m o v i n gu p w a r d sa, n d a t t h e s a m ei n s t a n ta l l o f
t h e p a r t i c l e isn t h e s e c o n dl o o pa r e a l l m o v i n gd o w n w a r d sa, n d a t t h a t s a m ei n s t a n tt,h e p a r t i c l e s
i n t h e t h i r d l o o pa r e a l l m o v i n gd o w n w a r d s .
( 8 ) l f t h e s t a n d i n gw a v ew a s o b t a i n e df r o m t w o w a v e se a c ho f a m p l i t u d e' A ' t r a v e l l i n gi n o p p o s i t e
ef
d i r e c t i o n st h, e nt h e a m p l i t u d e
o f t h e s t a t i o n a rw
y a v ew i l l b e e q u a lt o ' 2 A ' ,b y t h e p r i n c i p l o
p
e
r
p
o
s
i
t
i
o
n
.
su
( 9 )T h e r ea r e m a n yd i f f e r e n ft r e q u e n c i efso r w h i c hr e s o n a n ccea no c c u ro n t h e s t r i n g T
. h el o w e s t
f r e q u e n c ya t w h i c hr e s o n a n ccea no c c u r ,i s c a l l e dt h e F U N D A M E N T AFLR E Q U N C Y .
130
WAVESIN PIPES
T h e r ea r e t w o s e p a r a t ea r r a n g e m e n t so c o n s i d efro r w a v e si n p i p e s :
( 1 ) P i p eo p e na t b o t h e n d s : A n A N T I N O D E
i s a l w a y sp r o d u c e da t e a c ho p e ne n d
T h i sf i r s th a r m o n i ci s c a l l e dt h e F U N D A M E N T A L
FREQUENC
a sYi t i s t h e l o w e s tf r e q u e n c ya n d h a st h e
l o n g e sw
t a v e l e n g t hF.o ra l e n g t ho f p i p e ' L ' ,t h e f r a c t i o n
of wavelength
c o n t a i n e di n i t i s j . H e n c ef o r t h i s
)
p a r t i c u l a r m o dLe ,- ;
ZndHumonir
lst Harmonic
T
I
T
-rl
I
I
ftdHumonic
T h e 3 ' o h a r m o n i c o r r e s p o n dt o
s
L_
T h i ss e c o n dh a r m o n i ci s a l s oc a l l e dt h e f i r s t
o v e r t o n ea n d i t sf r e q u e n c yi s t h e s e c o n dl o w e s t
f r e q u e n c yI.n t h i s c a s e ,
L- 1
31
T
131
( 2 ) P i p ec l o s e da t o n e e n d a n do p e na t t h e o t h e re n d : T h e r ei s a l w a y sa N O D Ea t t h e
c l o s e de n d a n da n A N T I N O DaEt t h e o p e ne n d
I n t h i sc a s ea, t t h e F U N D A M E N T A L
F R E Q U E N CLY:, L
T h i si s t h e s e c o n dl o w e s tf r e q u e n c ya n d i s
c a l l e dt h e 3 ' dh a r m o n i ca si t sf r e q u e n c iys 3
t i m e st h e f u n d a m e n t af rl e q u e n c y .
t^
l n t h i sc a s eL -
4
4
lst Hnrruonic
3d Harmtrnic
T h i si s t h i r d l o w e s ?t r e q u e n cayn d i s 5 t i m e st h a t o f
the fundamental.
5^
l n t h i s c a s e| 4
5th Harmonic
IMPORTANT;For a stringfixed at both ends,the wave patternset up is
identicalto that for a pipe,with NODESbeingpresentat both endsof the
string.
132
APPLICATION
OFSOUNDWAVES
(1) ULTRASOUNT
DE C H N O L O G Y :
Ultrasound
is the term usedto referto soundwhichthe humanear cannotdetect.The actuallimit
(andthereis evidenceto suggestit variesaccordingto dge,too),but in
variesbetweenindividuals
generalthe frequencyat whichultrasoundbeginsis generallyregardedas 20 KHz.Belowthis
frequency,soundcan be heardby the humanear and is referredto as infrasound.
Ultrasound
technologyusesa pieceof equipmentcalleda transducer
to view a targetorganor life
form (suchas a humanfetus).The transduceremitssound,and detectsechoeswhichare then
usedby a computerto buildup a pictureof the targetunderexamination.
Thereare no known
harmfuleffectsof ultrasound
technology,
makingit idealfor use duringpregnancyas it cannot
harmthe healthof a fetus.
MedicalUsesof Ultrasound
Ultrasound
technologycan be usedin manyotherways in additionto its mostwidelyknownuse to
collectinformation
abouta fetusduringpregnancy.Dependingon the dosageand frequencyused,
ultrasound
can be used in a varietyof waysto treatdiseasesand improvehealth.
o
.
.
o
DetectabnormqJities
in otherpartsof the body,such as tissuesand organs.
Treattumorsusinga processcalledfocusedultrasound
surgery,whichuseshigh intensity
ultrasound
at a specificfrequency.
Penetratethe blood-brain
barrierand deliverchemotherapy
drugsto braincellsfor the
treatmentof cancer.
T r e a t i n gc a t a r a c t sa,d m i n i s t e r i npgh y s i o t h e r a payn, d c l e a n i n gt e e t h .
I n d u s t r i aaln d C o m m e r c i aUl s e s
In industry,ultrasonic
testingis routinelyemployedas a type of nondestructive
testingto findflaws
in objectsand materials,
or to measuretheirthickness.Generallytheseuse a frequencyof
betweentwo and ten MHz.Automatedultrasound
examination
is a technologyusedin most
processes,
modernmanufacturing
as a wide varietyof materialscan be examined,including
p l a s t i c sm
, e t a l sc, o m p o s i t e sw, o o d ,a n d c o n c r e t e .
Forthe consumer,two piecesof equipmentemployultrasound
technology:
ultrasoniicleaners
(typically
usedfor jewelry,watches,and similaritems),and ultrasonic
humidifiers.
Bothof these
i t e m sh a v ei n d u s t r i aaln d c o m m e r c i aul s e si n a d d i t i o nt o b e i n ga v a i l a b l teo c o n s u m e r s .
U l t r a s o u nidn A n i m a l s
M a n yt y p e so f a n i m a l s - i n c l u d i nbga t s ,d o g s ,m o t h s ,d o l p h i n sw, h a l e s a
, n d s o m es p e c i e so f f i s h can hearsoundat much higherfrequencies
than humanscan detect,and thuswe referto them as
b e i n ga b l et o d e t e c tu l t r a s o u n dM. a n ya n i m a l sw h i c hc a n d e t e c tu l t r a s o u nuds et h e s eh i g h e r
frequencysoundsas huntingtools.Whales,for example,use ultrasound
as a navigation
aid (they
are, in fact,thoughtto havetheirown naturalsonarsystem),and as a toolwhen hunting.
Batsalso use uitr"asonic
techniquesto detectprey,by emittinghigh-frequency
soundsand using
:choes to detectthe iocationof the preyanimal.Interestingly
enough,thereis evidencethatthe
frequencies
iiltrasonic
emittedby batstriggerevasivemaneuversin moths,manyspeciesof which
are preyeduponby bats.
133
(2) soNAR
T h eb e s tw a y f o r s u b m a r i n et so f i n do u t a b o u tw h a t ' sa r o u n dt h e m i s t o u s es o n a r .L i g h td o e sn o t
p e n e t r a t ev e r yf a r i n t o w a t e r ,s o v i d e oc a m e r a sa r e n o t v e r ye f f e c t i v eb e l o wc e r t a i nd e p t h s .S o
s u b m a r i n eus s es o n a r ,a n a c r o n y mf o r s o u n dn a v i g a t i o a
n n d r a n g i n g .T h e r ea r et w o t y p e so f
. c t i v es o n a ri s a s y s t e mi n w h i c ha s o u n dw a v ei s
s o n a ru s e db y s u b m a r i n e sa,c t i v ea n d p a s s i v eA
e m i t t e da n dt h e n r e f l e c t so f f o t h e r o b j e c t sa n d b o u n c e sb a c k .T h es o u n dw a v ei s t h e n r e c o r d e d
a n d b y n o t i n gt h e t i m e i t t a k e sf r o m e m i s s i o tno w h e ni t c o m e sb a c k y, o u c a nt e l l h o w f a r a w a ya n
o b j e c ti s . Y o uc a na l s ot e l l a l o t o f o t h e rt h i n g sa b o u tt h e o b j e c t ,s u c ha s s p e e d b
, u t t h e s et h i n g s
w i l l b e d i s c u s s el da t e r .T h es e c o n dt y p eo f s o n a ri s p a s s i vseo n a r .P a s s i vseo n a ri s s i m p l yu s i n g
v e r ys e n s i t i v e
u n d e r w a t em
r i c r o p h o n etso d e t e c tn o i s e sa r o u n dy o u . P a s s i vseo n a ri s u s e dm o s t
o f t e nb e c a u s e
a c t i v es o n a rc a n b e d e t e c t e db y o t h e rv e s s e l sT. h ec o m p u t e rc o n s o l er e c o r d st h e
s o u n df r o m t h e p a s s i vseo n a ra n dc o m p a r e ist t o a l i b r a r yo f s o u n ds i g n a t u r et so t r y a n df i n da
m a t c h .T h a tw a y t h e t a r g e tc a nb e i d e n t i f i e a
d n dt h e s h i pk n o w sw h e t h e ri t i s a t h r e a to r n o t .
T h i sw a y t h e s u b m a r i n cea nd i s t i n g u i st h e s o u n d so f m o t o r so r o t h e rb o a t sf r o m t h e n a t u r a l
s o u n d si n t h e o c e a n .
(3) MUSTC:
M u s i c asl o u n d sc a n . b ep r o d u c e db y :
(1) Stringed
I n s t r u m e n tssu c hv i o l i n g
, u i t a r s, i t a ra n dt h e h a r p
( 2 ) W i n d i n s t r u m e n tssu c ha st h e f l u t e ,t r u m p e t ,a n ds a x o p h o n e .
( 3 ) P e r c u s s i oi n s t r u m e n t st h- e s ea r e i n s t r u m e n t sh a t p r o d u c es o u n dw h e nt h e ya r e h i t
e . g .t h e d r u m ,c y m b aal n dt h e s t e e l - p a n .
I n s t r i n g e di n s t r u m e n t w
s ,h e na s t a n d i n w
g a v ep a t t e r ni s s e t u p a l o n g t h es t r i n gt,h e v i b r a t i o nosf
t h e s t r i n gc a u s e tsh e v i b r a t i o no f t h e s u r r o u n d i nagi r m o l e c u l etsh a t c a u s e tsh e p r o d u c t i o on f
s o u n dw a v e sw i t h t h e s a m ef r e q u e n c ya st h a t o f t h e v i b r a t i o n so f t h e s t r i n g .
I n t h e a c o u s t igc u i t a r t, h e w a v e sf r o m t h e s t r i n ga l s os e t u p s t a n d i n w
g a v e sa m o n gt h e a i r
, n dt h e s es t a n d i n w
m o l e c u l eisn s i d eo f t h e b o xo f t h e g u i t a r a
g a v e sa l s op r o d u c es o u n d .T h e
g e n e r asl h a p eo f t h e g u i t a ra n dt h e m a t e r i a l f r o m
w h i c hi t i s m a d e ,d e t e r m i n ei t s r e s o n a n t
f r e qu en c i e s .
I n w i n d i n s t r u m e n tssu c ha st h e f l u t e ,s t a n d i n w
g a v e sw i l l b e s e t u p i n t h e a i r c o l u m ni n s i d eo f i t
a s l o n ga st h e w a v e l e n g tohf t h e s t a n d i n w
g a v ec a nm a t c ht h a t c o r r e s p o n d i nt og o n e o f t h e
r e s o n a nftr e o u e n c i eosf t h e f l u t e .
I n p e r c u s s i oi n s t r u m e n tssu c ha st h e s t e e l - p a nt h, e m e t a li s s e t i n t ov i b r a t i o nw h e n i t i s s t r u c k ,
a n d r e s o n a n coec c u r sw h e nt h e r e f l e c t e a
d n d i n c i d e nw
t a v e sm e e ti n p h a s ew i t h i nt h e
b o u n d a r i eT
s .h es t a n d i n w
g a v e sp r o d u c e di n t h e m e t a lt h e n c a u s et h e v i b r a t i o nosf t h e a i r
r n o l e c u l easd j a c e ntto t h e p o i n to n t h e m e t a lw h e r ei t w a ss t r u c ka, n dt h e v i b r a t i o nosf t h e a i r
p a r r i c l e sc ,r e a t et h e s o u n dw a v e s .
1 r " p i t c ho f t h e s o u n dd e p e n d so n t h e s h a p eo f t h e i n d e n t a t i oonn t h e p a n ,t h e p o s i t i o no f t h i s
r r r C e r r t a t i oan ,dt h e t h i c k n e sosf t h e m e t a la t t h a t p o i n t .
H i g hp i t c h e sa r e p r o d u c e dc l o s e r t ot h e m i d d l eo f t h e p a n ,a n d a t p o i n t sw h ' e r et h e m e t a li s t h i n .
134
REFLECTION
AND REFRACTION
L a w so f R e f l e c t i o n :
( 1 ) T h e a n g l eo f [ n c i d e n c ies e q u a lt o t h e a n g l eo f r e f l e c t i o n .
( 2 ) T h e i n c i d e n rt a y ,t h e r e f l e c t e dr a y ,a n dt h e n o r m a la l l l i e i n t h e s a m ep l a n ea t t h e p o i n to f
incidence
Lawsof Refraction:
( 1 ) F o rt w o p a r t i c u l am
r e d i a ,t h e r a t i oo f t h e s i n eo f t h e a n g l eo f i n c i d e n c teo t h e s i n eo f t h e
a n g l eo f r e f r a c t i o ni s a c o n s t a n tc, a l l e dt h e r e f r a c t i v e
i n d e x .i . e .
Refractiue tndex -
stn'
s l nr
Thisiscalled
sNELL,s
LAW.
( 2 ) T h ei n c i d e n rt a y ,t h e r e f r a c t e dr a y a n dt h e n o r m a la l l l i e i n t h e s a m ep l a n ea t t h e p o i n to f
incidence.
FurtherNote on Refractiveindex:
C o n s i d ear r a y o f l i g h tt r a v e l l i n g
f r o m m e d i u m l ,r e f r a c t i n tgh r o u g hm e d i u m 2a n dt h e n r e f r a c t i n g
t h r o u g hm e d i u m 3 .
g l a s s+ w a t e f - - *
E g .F r o ma i r +
air.
I
I
I
:
I
I
I
I
t
WATER
135
I n g o i n gf r o m a i r t o g l a s s ,t h e r a y g o e sf r o m m e d i u m l t o m e d i u m 2a n d t h e r e f r a c t i v ei n d e xf r o m
O
to A
\_7
\-/
i s w r i t t e na s r h z .
W h e n t h e r a y g o e s f r o m m e d i u f f r 2t o m e d i u m 3, t h e r e f r a c t i v ei n d e x f r o m
O
to O iswritten
as 2l'13.
index
T o c a l c u l a t teh e r e f r a c t i v e
f r o m m e d i u m tl o m e d i u m 3w, e u s e
t h e g e n e r aflo r m u l a:
rflg=rflZ X zllZ
i n d i c e sa r e w r i t t e n, i s v e r y i m p o r t a n t .
I n t h e a b o v ee q u a t i o nt,h e o r d e ri n w h i c ht h e r e f r a c t i v e
tl'lZ = tl"lg X
S 1 ' l Z . 3 f l d 2 f l 3 = Z 1 ' l rX r l ' l 3
As a seneralrule. on the rieht hand sideof the equation.the subscriptsadiacentto the
s i s nc a n c e ol u t .
multiplication
N o t ea l s ot h a t t h e R E C I P R O CoAf L{ 1 2 i s 2 l ' 1 1 .
11
,
thz
ano
zHt
,ll-
I
J
,h,
JI
i.e The refractiveindexfrom air to slassis the reciprocalof that from glassto air.
isz ht Sin 4
formula
veryuseful
Another
:
H2 Sln 02
grg.lf a raytravelsfrom the air to glassandthen to water,and the refractiveindicesof
g l a s sa n d w a t e ra r e k n o w n ,t o g e t h e rw i t h t h e i n c i d e nat n g l ea t t h e g l a s s- w a t e rb o u n d a r y ,
i n t h e w a t e rc a nb e c a l c u l a t e d .
t h e nt h e a n g l eo f r e f r a c t i o n
136
Derivation
of: nt Sin 4
: H2 Sln e2
T h i sc a n b e p r o v e na sf o l l o w s :
L e ta r a yo f l i g h tt r a v e lf r o m a i rt o g l a s sw, i t h t h e a n g l eo f i n c i d e n cien t h e a i r b e i n g0 1a n d
t h e a n g l eo f r e f r a c t i o ni n t h e g l a s sb e i n g0 2 .T h e r e f r a c t i v e
i n d e xi f t h e g l a s si s g i v e nb y ;
nglass:#
l f t h e r a , yo f l i g h tt r a v e l sf r o m a i r t o w a t e r, t h e nt h e r e f r a c t i v e
i n d e xo f w a t e r i s g i v e nb y
stnot
l' L
r w Q t e r_
sino*oy",
ftglass
Twater
.
-
sin9t
sift9gmss
,stn1*ot",
sin01
H e n c € T L g I a s s s i n 9 g L a s:s f t w a t e r s t n 9 * o 6 " ,
R e f r a c t i v ei n d e x c a n a l s o b e d e t e r m i n e d i n t e r m s o f v e l o c i t i e s .rf
a r a y t r a v e l sf r o m m e d i u m l t o m e d i u m 2t h e n
fiz
speed of li.ght of ltghtmediumt
s p e e d o f li ghtmedtum2
137
,r_7,
u2 1z
TOTAL INTERNALREFLECTION
i n d e xf l 1 t o a s e c o n dm e d i u mo f r e f r a c t i v e
W h e n a r a yt r a v e l sf r o m o n e m e d i u mo f r e f r a c t i v e
(
t n g l eb e i n gg r e a t e rt h a n O " , t h e nt h e r e f r a c t e dr a y
i n d e xh 2 , w h e f € h 2 n 1 , w i t h t h e i n c i d e n a
b e n d sa w a yf r o m t h e n o r m a li n t h e s e c o n dm a t e r i a l
T h i sw i l l b e o b s e r v e df o r e x a m p l ew h e n l i g h tt r a v e l sf r o m g l a s st o a i r o r f r o m w a t e rt o a i r ,o r f r o m
g l a s st o w a t e r .
es
l n a l l o f t h e a b o v ec a s e st,h e a n g l eo f r e f r a c t i o ni s a l w a y sg r e a t e r t h a nt h e a n g l eo f i n c i d e n c a
i s n o t 0 ' , i n w h i c hc a s et h e a n g l eo f r e f r a c t i o nw i l l a l s ob e 0 " .
l o n ga s t h e a n g l eo f i n c i d e n c e
I
I
water
I
i
e 1i
:
t
e2
glass '
i s i n c r e a s e dt h, e a n g l eo f r e f r a c t i o na l s oi n c r e a s e su,n t i la t t h e C R I T I C A L
A s t h e a n g l eo f i n c i d e n c e
Ee, a n g l eo f r e f r a c t i o ins e q u a tl o 9 0 ' .
ANGLE
O FI N C I D E N Ct h
H e n c et h e C R I T I C AALN G L Ei s t h e a n g l eo f i n c i d e n c feo r w h i c ht h e c o r r e s p o n d i nagn g l eo f
refractionis 90".
i s i n c r e a s eb
d e y o n dt h e c r i t i c aal n g l e t, h e r e i s n o l o n g e ra n y r e f r a c t i o n
l f t h e a n g l ei f i n c i d e n c e
i sN
said
i
n
t
o i t s f i r s tm e d i u m ,a n dT O T A LI N T E R N ARLE F L E C T I O
r
e
f
l
e
c
t
e
d
b
a
c
k
a n dt h e r a y i s n o w
to occur.
total internal
reflection
glass
c r i t i c a lc a s e
138
R e c a lt lh e f o r m u l af o r S n e l l ' L
s aw:n1 Sin0r = hz Sin 02
A t t h e C R I T I C AALN G . L E0,1 = c a n d 0 2= 9 O o ,a n d s i n9 O o=
H e n c teh ee q u a t i obne c o m e sn l S i n C = h z
oR sinc -
ftz
LEARN
Tt1
W h e nt h e s e c o n dm e d i u mi s a i r ,t h e r e f r a c t i v ei n d e xo f a i r i s e q u a lt o 1 a n d t h e e q u a t i o nb e c o m e s
.1,
Sln C _ 7,
b u t i t i s i m p o r t a n t o r e m e m b e tr h a t t h i se q u a t i o ni s o n l yv a l i dw h e n t h e
TL1
s e c o n dm e d i u mi s a i r o r a v a c u u m .
APPLICATIONS
OFTOTALINTERNAL
REFLECTION
( 1 ) T o t a l l yr e f l e c t i n gp r i s m sT
: h e s ea r e u s e di n b i n o c u l a ras n d t h e y a r e u s e di n s t e a do f p l a n e
m i r r o r sa s t h e y e l i m i n a t et h e p r o b l e mo f m u l t i p l ei m a g e st h a t a r e f o r m e dw h e n p l a n e
m i r r o r sa r e u s e d .
( 2 ) O p t i c a fl i b r e s -T h i si s a v e r y t h i n b e n t g l a s sr o d o r n y l o ns t r i n ga n d w i l l t o t a l l yi n t e r n a l l y
r e f l e c tl i g h t w i t h o u t a n y l o s so f e n e r g y .H e n c ed a t a c a n b e t r a n s m i t t e dt h r o u g ht h e s e
b u n d l e so f o p t i c a fl i b r e so v e rv e r y l o n gd i s t a n c ew
s i t h o u ta n y l o s so f s i g n a l .
139
SHEET
TUTORIAL
( f ) ( a ) A b e a mo f m o n o c h r o m a t ilci g h tr e f l e c t sa n d r e f r a c t sa t a p o i n tA o n t h e i n t e r f a c e
between
m a t e r i all w i t h r e f r a c t i vien d e xn r = 1 . 3 3a n d m a t e r i a l 2w i t h r e f r a c t i vien d e xn z = L 7 7 .
T h ei n c i d e nbt e a mm a k e sa n a n g l eo f 5 0 ow i t h t h e i n t e r f a c eD. e t e r m i n teh e a n g l e so f
r e fl e c t i o n
a n d r e f r a c t i o na t t h e P o i n tA .
( b )T h e l i g h tt h a t e n t e r sm a t e r i a 2l a t p o i n tA t h e n r e a c h e sp o i n tB o n t h e i n t e r f a c eb e t w e e n
e t B i s p a r a l l et lo t h a t a t A . A t B s o m eo f t h e
m a t e r i a2l a n d m a t e r i a3l , w h i c hi s a i r .T h ei n t e r f a c a
l i g h tr e f l e c t sa n dt h e r e s te n t e r st h e a i r . D e t e r m i n et h e a n g l eo f r e f l e c t i o na n d r e f r a c t i o na t t h i s
interface
( T h er e f r a c t i v ei n d e xo f a i r i s 1 )
(Ans.40o,28.88.o,
28.88o,58.50)
1'l3
w i t h t h e f o l l o w i n gc h a n g e sT:h ei n c i d e nbt e a ma t A m a k e sa n
( 2 )e u e s t i o n1 i s n o w r e p e a t e d
a f l dn r = I . 2 2 .
a n g l eo f 6 5 o w i t ht h e i n t e r f a c ef,l l = 1 , . 4 5f,l z = 1 - . 8 6
( 3 ) R e p e aqt u e s t i o n2 w i t h t h e f o l l o w i n gc h a n g e sT;h ei n c i d e nbt e a ma t A m a k e sa n a n g l eo f
, n dn : = 1 . 1 6 .
3 5 o w i t ht h e i n t e r f a c ef ,l r = 1 . 2 2 , n z= 1 . 5 6 a
(4)
V
e
0.
Air
I n t h e d i a g r a m0 r = 4 0 . 1 0 ,h 1 = L . 3 , f l 2=
1 - . 4n, 3 = 1 , . 3 2a n d n += 1 . 4 5 .
ln1
W h a ti s t h e v a l u eo f 0 + a n d0 s .
A N S( 3 5 . 3 o5. 6 . 9 0 )
h2
\
rl3
\
4
Fla
140
( 5 ) A p o i n ts o u r c eo f l i g h ti s 8 0 c mb e l o wt h e s u r f a c eo f a b o d yo f w a t e r .F i n dt h e d i a m e t e ro f
t h e c i r c l ea t t h e s u r f a c et h r o u g hw h i c ht h e l i g h te m e r g e sf r o m t h e w a t e r ,g i v e nt h a t t h e
r e f r a c t i v ei n d e xo f w a t e r i s 1 _ . 3 3 .
( A N S1 8 1 . 4 c m )
( 6 ) A p o i n ts o u r c eo f l i g h ti s 4 4 c mb e l o wt h e s u r f a c eo f o i l t h a t h a sa r e f r a c t i v e
i n d e xo f 1 . 2 4 .F i n d
t h e d i a m e t e or f t h e c i r c l ea t t h e s u r f a c e
o f t h e o i l t h r o u g hw h i c ht h e l i g h te m e r g e s .
( 7 )W h e n a p o i n ts o u r c eo f l i g h ti s k e p ta d e p t hx b e l o wt h e s u r f a c eo f a l i q u i do f r e f r a c t i v ei n d e x
1 . 3 8 ,t h e d i a m e t e ro f t h e c i r c l et h a t t h e l i g h tm a k e so n t h e s u r f a c eo f t h e l i q u i di s 1 , 2 4 c mF. i n dt h e
d e p t h t o w h i c ht h e l i g h ts o u r c ei s s u b m e r g e d
( 8 ) L i g h ti n a v a c u u mi s i n c i d e not n t h e s u r f a c eo f a g l a s s l a b .I n t h e v a c u u mt,h e b e a mm a k e sa n
a n g l eo f 3 2 " w i t h t h e n o r m at ol t h e s u r f a c e , w h i l e i n t h e g l a s s , i t m a k e s a n o
a fn2gIl "ew i t h t h e
n o r m a lW
. h a t i s t h e i n d e xo f r e f r a c t i o on f t h e g l a s s ?
( A N S1 . 4 8 )
( 9 )A g l a s sp l a t ei s 0 . 6 0 c mt h i c ka n d h a sa r e f r a c t i v e
i n d e xo f 1 . 5 5 .H o w l o n gd o e si t t a k ef o r a
p u l s eo f l i g h ti n c i d e nnt o r m a l l tyo p a s st h r o u g ht h e p l a t eg i v e nt h a t t h e s p e e do f l i g h ti n a i r i s
2 . 9 9 8x L 0 8m s 1
'
( A N S: 3 . 1x 1 0 1 1 s )
( 1 0 )W h a t i s t h e m i n i m u mv a l u eo f t h e r e f r a c t i vien d e xf o r a 4 5 ' p r i s mw h i c hi s u s e dt o t u r n a
b e a mo f l i g h tb y t o t a l i n t e r n a rl e f l e c t i o nt h r o u g ha r i g h ta n g l e .
(ANS,:1".41)
( 1 1 )I n a v e s s e la, l a y e r o fb e n z e n e
( n = 1 . 5 )6 c mt h i c k f l o a t so n w a t e r ( n =1 . 3 3 )4 c m d e e p .
D e t e r m i n et h e a p p a r e n d
t i s t a n c eo f t h e b o t t o mo f t h e v e s s ebl e l o wt h e u p p e rs u r f a c eo f t h e
benzene
w h e nv i e w e dv e r t i c a l ltyh r o u g ht h e a i r
( A N S7 c m)
.
( 1 2 )A s t r a i g h rt o d i s p a r t i a l l yi m m e r s e di n w a t e r ( n = L . 3 3l)t.s s u b m e r g e d
p o r t i o na p p e a r st o b e
inclined
4 5 ' w i t ht h e s u r f a c e
w h e nv i e w e dt h r o u g ht h e a i r .W h a t i s t h e a c t u a il n c l i n a t i oonf t h e
rod?
( A N S7 0 " )
141
SolutionGuidelines
l f t h e b e a mm a k e sa n a n g l eo f
50owith the interface,then
t h e a n g l et h a t i t m a k e sw i t h
t h e n o r m a li s 4 0 o .H e n c e
a n g l eo f i n c i d e n c e4=0 o ,s o
t h e a n g l eo f r e f l e c t i o nw o u l d
a l s ob e 4 0 o .
(1)
hzsiflOz.
( i i )U s et h e e q u a t i o nn l s i n O r =
( b )T h e a n g l eo f i n c i d e n c e
a t B w o u l d b e e q u a lt o t h e a n g l eo f r e f r a c t i o na t A , s i n c ei t i s t h e s a m er a y
t h a t l e a v e sA a n c ti r a v e l st o B .
, h e r € n r = t ' 7 7 a n dh : = L
A t B u s e t h ee q u a t i o nn 2s i n 0 2= h : s i n 0 3w
Q u e s t i o n (s2 ), ( ( 3 )a n d ( a )a i e s i m i l a r .
anglecanbefoundfrom
Thecritical
t1
Stn]:-_::
1.33
n
80cm
48.6"
\d
T h e r a d i u so f t h e c i r c l et h a t i s
producedby the lightis givenby
8 0 t a n 4 8 . 6 =9 0 . 7 c m
T h e d i a m e t e r =1 8 L . 4 c m
142
( 8 ) A n g l e o f i n c i d e n c e= 3 2 0 a n d a n g l e o f r e f r a c t i o n= 2 1 o U s et h e f o r m u l af o r r e f r a c t i v e
index.
(9) Ref racti"ue index of glass -
C a l c u l a t et h e s p e e d i n g l a s s , t h e n u s e t i m e -
speed i"nair
tprrd * Gt"tt
dtstance
speed"
T h e a n g l e o f i n c i d e n c ef o r
whichthe corresponding
a n g l e o f r e f r a c t i o ni s 9 0 o i s
c a l l e dt h e c r i t i c a la n g l ef o r
the material.
(e)
H e n c ei n t h i s c a s e ,t h e
c r i t i c a la n g l e= 4 5 o .
1'
nsin c
(11)
Refractiue index -
Realdepth
apparent depth
5c
F i n dt h e a p p a r e ndt e p t hf o r b e n z e n e
given
t h a t t h e r e a ld e p t hi s 6 c m .T h e nf i n d t h e
a p p a r e nd
t e p t hf o r w a t e rg i v e nt h a t t h e r e a l
d e p t hi s 4 c m
T h e na d dt h e t w o a p p a r e ndt e p t h s .
4c
143
I
(12)
T h ea p p a r e n p
t o s i t i o no f t h e s t i c ka l l o w si t t o m a k ea n a n g l eo f 4 5 ow i t h t h e s u r f a c ea n d
n
o r m a lS
. ot h e a p p a r e ndt e p t hi s H r .
t
h
e
a l s ow i t h
=
H r L s i n 4 5w h e r eL i s t h e s u b m e r g e lde n g t h .
l f t h e r e a ld e p t hi s H 2t h e n H 2= L s i n 0
Lsin9
RealDepth
App"rr"t
d"ptt
: 1 . 3 3; s t n ? : 1 . 3 3s i n 4 5 : 0 . 9 4
Lstn45
0 : 70.1,"
144
S UP E R P O S I T I O N
W h e nt w o w a v e sm e e t a t a c o m m o np o i n t ,t h e r e s u l t a nAt m p l i t u d ei s t h e a l g e b r a iscu mo f t h e
i n d i v i d u a lm p l i t u d e s .
(i)
I n p h a s e-
Reinforcement
A
/
(ii)
A+
\+
/
\
/,^
I
O u t o f p h a s eb y n r a d i a n s : C a n c e l l a t i o n
// \ \ / \.
l\+
I\V
\
I
\ I
----->
N o t et h a t t h e r ew i l l o n l yb e t o t a lc a n c e l l a t i oi fnt h e a m p l i t u d eosf t h e i n i t i aw
l a v e sa r e i d e n t i c a l .
The principleof superpositionstatesthat wavespassthrougheachother unaffectedand where
they cross,the resultantdisplacementis the algebraicsum of the individualdisplacements
at
p
o
i
n
t
.
that
INTERFERENCE
.
I n o r d e rt o o b t a i na n i n t e r f e r e n cpea t t e r n t, h e w a v e - t r a i nfsr o m t w o s o u r c e sa r r i v i n ga t a
c.ommob
n o u n d a r ys u c ha sa s c r e e n , m u sht a v ea c o n s t a npt h a s ed i f f e r e n cie. et h e t w o s o u r c e os f
w a v e sm u s tb e c o h e r e n t .
C o h e r e nst o u r c e sh a v ea c o n s t a n p
t h a s ed i f f e r e n c e
w h i c hm e a n st h a t t h e y m u s th a v et h e s a m e
f r e qu e n c y .
l f t h e s o u r c e sa r e i n c o h e r e ntth e n a t a n y p o i n to n t h e s c r e e nt,h e r em a y b e r e i n f o r c e m e natt o n e
i n s t a n at n dc a n c e l l a t i oant a n o t h e ri n s t a n t .
A d d i t i o n a l l iyn, o r d e rt o e n s u r ec o m p l e t ec a n c e l l a t i ow
nh
, e nt h e p h a s ed i f f e r e n c ies n , t h e w a v e s
m u s th a v et h e s : 1 e a m p l i t u d e .
145
Interferenceof Light:
Y o u n g ' sD o u b l eS l i tE x p e r i m e n t :
M o n o c h r o m a t li icg h tf r o m a l a m ps o d i u ml a m pi s a l l o w e dt o f a l lo n a s i n g l es l i t ,a n dt h e e m e r g i n g
l i g h tf r o m t h i ss i n g l es l i ti s t h e a l l o w e dt o f a l lo n t w o s l i t sS ra n d5 2t h a t a r e p l a c e da t a ' d i s t a n c e ' a '
apart.
Diffractibo
n c c u r sa t t h e e d g _ eosf t h e s l i t s ,a n dt h e s u p e r p o s i t i oonf t h e d i f f r a c t e dr a y s ,p r o d u c e
a n i n t e r f e r e n c pe a t t e r n .
T h e p a t t e r nc o n s i s t o
s f a s e r i e so f e q u i d i s t a nat l t e r n a t eb r i g h ta n d d a r kb a n d s .
t ,h i c ho c c u r sw h e n t h e w a v e sm e e t i n
T h e P R O D U C T I OONF b r i g h tb a n d si s d u e t o r e i n f o r c e m e nw
p h a s ea n d i s r e f e r r e dt o a sC O N S T R U C TIIN
VT
EE R F E R E N C E .
VE
TERFERENCE.
T h e p r o d u c t i o on f d a r kb a n d si s d u et o c a n c e l l a t i oann di s c a l l e dD E S T R U C T I N
146
F r i n g eS e p a r a t i o n :
1,.
I
.l
l f t h e r e i s c o n s t r u c t i vien t e r f e r e n caet P , t h e nt h e w a v e sa r r i v ei n p h a s ea t P ,w h i c hm e a n st h a t
t h e p a t h d i f f e r e n c eb e t w e e nt h e t w o w a v e si s n , La n dt h e p o i n tP r e p r e s e n ttsh e p o s i t i o no f t h e
n t h b r i g h tf r i n g e .
HenceSrf=fl2
T h es m a l tl r i a n g l es 1 s 2 Ra n d t h e l a r g et r i a n g l eM p o a r es i m i l a r .
F r o mt h e s m a l lt r i a n g l e,,, n , = !
a n d f r o mt h e l a r g et r i a n g l et,a n g
_ln
D
F o rs m a l vl a l u e so f 0 , s i n 0= t a n 0
nA
Hence-
=;
Tn
--------A:
#
nAD
!n:
"
F o rt h e ( n - 1 ) t hb r i g h tf r i n g ew h i c hi s n e x tt o t h e n t h b r i g h tf r i n g e ,
(n-I)AD
!n-t:
"
Theseparation
of fringes
isgivenbV! :
FRINGE
ySEPARATION
ln
-
AD
!n_t
a
AD
( L e a r n ) . w h e r'eD 'i st h e p e r p e n d i c udl ai sr t a n c e
a
b e t w e e nt h e s l i t sa n d t h e s c r e e na, = slitseparation
and7 isthewavelength.
I
|
I
|
i
i
The conditionsnecessary
for two sourceinterferenceof LIGHTare:
( 1 ) C o h e r e nst o u r c e sm u s t b e u s e d, i . e .t h e r e m u s ta l w a y sb e a c o n s t a n p
t h a s ed i f f e r e n c eb e t w e e n
t h e s o u r c e sT. h i si m p l i e st h a t t h e s o u r c e s h o u l dh a v et h e s a m ef r e q u e n c y .
( 2 ) T h e s l i t s e p a r a t i o n' a ' m u s t b e s i g n i f i c a n t lsym a l l e rt h a n t h e p e r p e n d i c u l adri s t a n c e' D ' b e t w e e n
t h e s l i t sl n d t h e s c r e e n, a = 5 x 1 0 a ma n d D =3 0 c m .
( 3 ) S l i tw i d t h= 2 x 1 0a m .
II
147
DIFFRACTION
t h e n i t p a s s etsh r o u g ha g a po r a r o u n da n
D i f f r a c t i oins t h e s p r e a d i nogu t o f a w a v e f r o nw
obstacle.
r r o p a g a t i o no f a w a v e w h e n t h a t
I t c a n b e p r e c i s e l yd e s c r i b e da s t h e f a i l u r eo f t h e r e c t i l i n e a p
\ , v a v ep a s s e st h r o u g h a g a P .
I l - r eD i f f r a c t i o ng r a t i n g ;
-i h t - ' r e
ar e t wo t y p e s o f g ra ti n g s i 1 ) l h e t r a n s m i s s i o ng r a t i n gw h i c h i s m a d e f r o m a s m a l l r e c t a n g u l a sr t r i p o f t r a n s p a r e n t
n r a t e r i a l o nw h i c h a l a r g en u m b e r o f e q u i d i s t a npt a r a l l elli n e sa r e r u l e d .W h e n l i g h ti s
i n c i d e n to n t h e g r a t i n g ,d i f f r a c t i o nt a k e s p l a c ea t t h e e d g e so f t h e g a p sa n d a d i f f r a c t i o n
p a t t e r n c a n b e o b t a i n e do n a s c r e e n.
l f w h i t e l i g h t i s u s e d , e a c h w a v e l e n g t h i s d i f f r a c t e db y a d i f f e r e n t a m o u n t a n d h e n c e t h e r e
i s a s e p a r a t i o no f t h e c o l o u r s .
T h e g r a t i n gp r o d u c e sa s e r i e so f s p e c t r ao n b o t h s i d e so f a c e n t r a lw h i t e r e g i o nc a l l e dt h e
c e n t r a lm a x i m u m .
T h e b r i g h t c o l o u r e d s p e c t r aa r e d u e t o t h e i n t e r f e r e n c eo f t h e d i f f r a c t e dl i g h t .
T h i r do r d e rd i f f r a c t i o n
Second
order
diffraction
F i r s to r d e r
diffraction
C e n t r am
l aximum
F i r s to r d e r
diffraction
Second
order
diffraction
o r d e rd i f f r a c t i o n
F o rt h e g r a t i n g i,f a p a r t i c u l adr i f f r a c t e dr a yo f w a v e l e n g t .h1m a k e sa n a n g l e0 w i t h t h e c e n t r a l
m a x i m u mt,h e n f o r a n yo r d e r' n ' w e c a nw r i t et h e f o l l o w i n ge q u a t i o n :
dsin 0 -nA
T h e q u a n t i t y' d ' r e p r e s e n ttsh e g r a t i n gs p a c i n g .
l f a g r a t i n gh a s2 0 0 l i n e sp e r c m , t h e nt h e n u m b e ro f l i n e sp e r m e t r ei s 2 O Ox 1 0 O= 2 x ! 0 4 , a n d
sm-1.
t h e g r a t i n gs p a c i n w
g o u l db e e q u a tl o d "5 x 10
#=
H e n c et h e q u a n t i t y ' d r' e p r e s e n t sh e r e c i p r o c aolf t h e n u m b e ro f l i n e sp e r m e t r e .
T h e o r d e ro f d i f f r a c t i o nn c a nh a v ei n t e g r avl a l u e sf r o m ! , 2 , 3 , e t c .
i . e .f o r f i r s to r d e rn = 1 , s e c o n do r d e rn = 2 , t h i r do r d e rn = 3e t c .
F o ra p a r t i c u l agr r a t i n ga n d s o u r c eo f l i g h t ,t h e h i g h e sot r d e rp o s s i b l e
c a n b e o b t a i n e db y p u t t i n g
t h e m a x i m u mv a l u eo f s i n 0 ,i . e .a t m a x i m u ms, i n0 = 1 .
Hencen-
dsin9
A
:
d
i(formaximumn).
( 2 ) T h es e c o n O
t y p . o f g r a t i n gi s a r e f l e c t i o n
grating.
T h i sc o m p r i s e as s e r i e so f e q u i d i s t a npt i a n d p r o j e c t i o nosn a s h i n ys u r f a c eD
. iffraction
t a k e sp l a c ea t t h e e d g e so f t h e p r o j e c t i o nasn dt h e d i f f r a c t e dw a v e l e n g t hasr e r e f l e c t e d
o f f t h e s h i n ys u r f a c eA. n e x a m p l eo f t h i s i s t h e s u r f a c eo f a C D .
T h eg r a t i n ge q u a t i o ni s a l s oa p p l i c a b lteo t h i ss u r f a c e .
.
T H EE L E C T R O M A G N E
ST
PIECC T R U M
Type of radiation Wavelength/m
Gamma rays
1Or2
X -ra y s
10
U.v
l-o
V i s i b l el i g h t
4x!O-7to 7 x 1O-7
t.R
104tol-06
M i c r o w ./ e s
l - O ' t o1 0 '
R a d i ow a v e s
1 0 0t o 1 0 s
10
7to
10
8
149
SHEET
TUTORIAL
( 1 ) I n a d o u b l es l i ti n t e r f e f e n ceex p e r i m e n lt i,g h to f w a v e l e n g t4h8 O n mi s i n c i d e not n t h e p a i ro f
s l i t st h a t a r e 0 . 0 5 0 c ma p a r t .A t w h a t a n g l et o t h e s t r a i g htth r o u g hb e a mw i l l o n e o b s e r v e( a )T h e
t h i r d b r i g h tf r i n g e ( b )t h e s e c o n dd a r kf r i n g e .
(0.r7",0.083')
a p a r ta n dt h e w a v e l e n g tohf t h e i n c i d e nlti g h t
( 2 ) I n a d o u b l es l i te x p e r i m e n t h, e s l i t sa r eO . 0 5 c m
l a x i m u ma r e ;
i
s
2
0
0
c
m
,
h
o
w f a r f r o mt h e c e n t r am
d
i
s
t
a
n
c
e
s
c
r
e
e
n
l
f
t
h
e
s
l
i
t
t
o
4
8
0
n
m
.
is
( a )T h et h i r do r d e rm a x i m u m
( b )T h es e c o n dm i n i m u m ?
( 0 . 5 8 c m0,. 2 9 c m )
( 3 ) R e dl i g h to f w a v e l e n g t h
6 4 4 n mf r o m a p o i n ts o u r c ep, a s s e tsh r o u g ht w o p a r a l l eal n d n a r r o w
l r i g h tf r i n g ea n dt h e t h i r d
s l i t sw h i c ha r e 1 m m a p a r t .D e t e r m i n et h e d i s t a n c eb e t w e e nt h e c e n t r a b
d a r ki n t e r f e r e n cfer i n g ef o r m e da n a s c r e e np a r a l l etlo t h e p l a n eo f t h e s l i t sa n d 1 m a w a y .
(1.61m
m)
( 4 )G r e e nl i g h to f * . u . t " n g r h 5 0 0 n mi s i n c i d e nnt o r m a l l yo n a g r a t i n ga n dt h e s e c o n do r d e r
. o w m a n yl i n e sp e r c m a r e m a r k e do n t h e g r a t i n g ?
d 2 " f r o mt h e n o r m a l H
i m a g ei s d i f f r a c t e 3
( 5 . 3 0x 1 0 3 l i n epse r c m )
7m
i s d i f f r a c t e db y a g r a t i n gt h a t h a s5 0 0 0l i n e sp e r c m r u l e d
( 5 ) B l u el i g h to f w a v e l en g t h4 . 7 x 1 0
on it.
o f t h e s e c o n do r d e ri m a g e
( a )C a l c u l a tteh e a n g u l adr e v i a t i o n
e i t h t h i sw a v e l e n g tahn dg r a t i n g /
( b )W h a t i s t h e h i g h e sot r d e rt h e o r e t i c a l p
l yo s s i b lw
(28", 4thorder)
t o r m a l l yo n a d i f f r a c t i o n
6 O 0 n mi s i n c i d e n n
( 6 )A n a r r o wb e a mo f y e l l o wl i g h to f w a v e l e n g t h
p
g r a t i n gr u l e d2 0 0 0 l i n epse r c m ,a n d i m a g e sa r ef o r m e do n a s c r e e n a r a l l et lo t h e g r a t i n gL m
l r i g h tf r i n g et o t h e f i r s to r d e r
a w a y .C a l c u l a tteh e d i s t a n c ea l o n gt h e s c r e e nf r o m t h e c e n t r a b
Ii n e s .
. (12.1-cm)
l i n e sp e r c m .C a l c u l a tteh e
( 7 )A s p e c t r u mo f w h i t e l i g h ti s o b t a i n e dw i t h a g r a t i n gr u l e d2 5 O O
a n g u l asr e p a r a t i obne t w e e nt h e v i o l e t( 4 0 0 n m )a n d r e d ( 7 0 0 n m i)n t h e ( a )f i r s to r d e r a n d ( b )
s e c o n do r d e r .
( i i )D e t e r m i n w
e h e t h e rt h e y e l l o w( 6 0 0 n m i)n t h e t h i r do r d e ro v e r l a ptsh e v i o l e ti n t h e f o u r t h
order.
{ 4 . : 1 38" ,. 9 5 " )
'150
SolutionGuidelines
(1)
RecallA-T-,calcularcf
l f t h e r ea r e 3 b r i g h tf r i n g e sw
, e m u s tc o n s i d e r
the distancecoveredby 3y,
hence calcularr 2
D
From the d"i.agramon the lef t,tanT - 2'
0
+--
Solvefor 0.
F o rp a r t ( i i )t h e s e c o n dd a r kf r i n g ew i l l o c c u r
a t 1 . 5 y ,s o u s et h i s i n s t e a do f t h e 3 y i n p a r t ( i )
D
tan02:
(2)Use the equatton
ay
tL
-
D'
1.5v
D
and solve f or y.
( a )F o rt h e 3 ' do r d e rm a x i m u mf,i n d 3 y .
( b ) F o rt h e s e c o n do r d e rm i n i m u mf i n d 1 . 5 y
( 3 )T h et h i r d d a r kf r i n g eo c c u r sa t a d i s t a n c eo f 2 . 5 y
( 4 ) U s et h e e q u a t t o n d s t n ? : f l L , w h e r ei n t h i . s c a s en : 2 , f
tnd d.
( 5 ) U s ed s i n 0= n I , r e m e m b e tr o c o n v e r tf r o m l i n e sp e r c m t o l i n e sp e r m e t r e .
( b )T h e h i g h e sot r d e rw i l l o c c u rw h e n s i n 0 = l - , s i n c1ei s t h e m a x i m u mv a l u eo f s i n O .
S u b s t i t u t teh i s i n t h e a b o v ee q u a t i o na n d f i n d n , r e m e m b e r i ntgh a t t h e o r d e r sc a ' n n oht a v e
f r a c t i o n si,. e .t h e y m u s t b e w h o l en u m b e r so n l y .
( 6 ) U s ed s i n 0 =n l , w h e r en = 1a n d f i n d 0 . T h e nd r a w a r i g h ta n g l e dt r i a n g l ew i t h t h e
h o r i z o n t alle n g t h= 1 m , 0 a s c a l c u l a t e p
d r e v i o u s l yt h, e n u s et r i g st o f i n d t h e d i s t a n c e
r e q u i r e d . ( R e m e m bt e
o rc o n v e r tl i n e sp e r c m t o l i n e sp e r m e t r e )
( 7 ) A g a i n u s e d s i n ? : r l t r ,f t n d 0 1 a n d ? 2 , t h e nf t n d ( 0 2 - 0 r )
( b ) W h e t h ecr l rn o t t h e y o v e r l a pd e p e n do n w h e t h e rt h e a n g l e so f d e v i a t i o na r e t h e s a m e .
151
PHYSICS
OFTHE EAR
Responseof the Ear:
T h e h u m a ne a r r e s p o n d tso f r e q u e n c i eisn t h e r a n g eo f 2 O H zt o 2 0 k H z
u p p e rl i m i ti s a b o u t
T h eu p p e rl i m i to f 2 0 k H zd e c r e a s ewsi t h a g e ,a n d n o r m a l l tyh e a v e r a g e
15kHz.
T h es e n s i t i v i toyf t h e e a r h a st w o a s p e c t s:
( 1 ) S e n s i t i v i ttyo f r e q u e n c y :
T h i si s t h e a b i l i t yo f t h e e a r t o d i s t i n g u i sdhi f f e r e n c ei sn f r e q u e n c yT. h ee a rc a nn o r m a l l y
d i s t i n g u i sbhe t w e e nd i f f e r e n c eosf Z H zi n t h e f r e q u e n c yr a n g eo f 6 0 H zt o 1 0 0 0 H 2 .
s i f f i c u ltto d i s t i n g u i sshm a l cl h a n g e isn
W h e nf r e q u e n c i eesx c e e d1 0 0 0 H 2i t, b e c o m e d
frequency.
( 2 ) S e n s i t i v i ttyo I n t e n s i t y :
T h i si s t h e a b i l i t yo f t h e e a r t o d e t e c t h e s m a l l e sf tr a c t i o n aclh a n g eo f i n t e n s i t iy. e .l f t h e
i n t e n s i t yc h a n g e sb y A l w h e n t h e i n t e n s i t yw a so r i g i n a l l ly, t h e n t h e s e n s i t i v i tdye p e n d so f
A I
AI
the ratro-.
I
T h ee a r i s c a p a b l eo f d e t e c t i n gs o u n d sw i t h i n t e n s i t i ersa n g i n gf r o m t h e l o w e s tv a l u eo f
1 x 1 0 - 1 2 W m - ' ut op a m a x i m u mv a l u eo f 1 0 0W m - t1 t f R R rTuH I SR A N G Ew) i t h i na
f r e q u e n c yr a n g eo f l k H z t o 6 k H z .
s a yo c c u r .
A t t h e u p p e rv a l u eo f t h e i n t e n s i t yr a n g e t, e m p o r a r yd e a f n e s m
T H R E S H O LODF H E A R I N G :
y f s o u n dw h i c hc a nb e h e a r db y t h e h u m a ne a r ,a n d h a sa
T h i si s t h e l o w e s ti n t e n s i t o
v a l u eo f
1 x 1 o - 1 2 w ma- 2t l o o o H z .( L E A R N )
A L U Ev a r i e sw i t h f r e q u e n c ya, n df o r f r e q u e n c i ebso t h g r e a t e rt h a n a n d
T h i sT H R E S H O LVD
v a l u ei n c r e a s e s
l e s st h a n 1 0 0 0 H,zt h e t h r e s h o l d
d h e n e v e trh e i n t e n s i t yr e a c h e sa n d e x c e e d s1 W m - 2
D I S C O M F O RoT
r P A I Ni s e x p e r i e n c ew
. h eT h r e s h o l do f P a i ni s 1 W m - 2 w h i cihs e q u i v a l e n t
w i t h i nt h e 1 0 0 0H zt o 6 0 0 0 H 2r a n g e T
to 120dB.
T h e D E C I B ESLC A L E :
l i n e a r l yw i t h i n t e n s i t yb, u t t h e r e i s a
l o u d n e so
s f s o u n dd o e sn o t i n c r e a s e
T h ep e r c e i v e d
l i n e a rr e l a t i o n s h iipf a l o g a r i t h m iscc a l ei s u s e d .H e n c et h e r e s p o n s eo f t h e e a r i s
c a l em o r ep r a c t i c at hl a n a n i n t e n s i t sy c a l et h a t i s
l o g a r i t h m i ew h i c hm a k e st h e D E C I B Es L
y ,l o gs c a l eh a st h e a d d e da d v a n t a goef r e q u i r i n gs m a l l e nr u m b e r sf o r
l i n e a rA
. d d i t i o n a l la
s h i c hi s u s u a l l ym o r ec o n v e n i e nt o
t w o r kw i t h .
c a l c u l a t i opnu r p o s ew
152
I n t h e d e c i b esl c a l eS, O U N DL E V E L - 1 0 l o g !
" 1,,
w h e r e I o : 1 x 1 O - 1 ' 2 W n t - t ( ie' . t h r e s h u l d i n t e n s i t y )
T h e s o u n dl e v e li n c r e a s ebsy 1 0 d Be v e r yt i m e t f i r :i n t e n s i t yi n c r e a s ebsy a f a c t o ro f 1 0 .
i . e .W h e n | = l ot h e S O U N DL E V E L= 1 0 i o g 1 . =0
T h e u n i t o f S o u n dL e v e li s t h e D e c i b e(l d B ) .
l f t h e i n t e n s i t yl e v e li s n o w 1 0 t i m e sl s t h e r rt h e S c u n ctJ- e v|e- i ( , }l . , H, 1 i : = 1 Ul o g - 1 0= 1 0x 1 = 1 O d B
l f t h e I n t e n s i t yl e v e li s n o w 1 0 0t i m e si i ,i h c n S u t i r i rl,eJ' - r (.- i i 0 i t t j : ' j - : , := i { i l u r l l { 1 0. . . Z A t t B
i,,
'-{"':1'
l f t h e i n t e n s i t yl e v e l i s n o w 1 0 0 0 t i n r e s 1 , ,t,h e r r t l ' r es c u n d l e v e !. l , J ! , - l B
l0 iug 1000 :
30d8.
C o n s i d e ra s o u n d l e v e l o f 6 5 d 8 , w e c a n c a l c u l a t et i r e c r : : r r r s p c t i L ! i riingt c r r s i t l it t l v e la s f o l l o r r r s :
l f t h e S o u n dL e v eils e q u a lt o t d B ,t h e n 1 = =1 Ol g - j ,
i"
0 . 1- l o g l ^
I
1 x 1 0 _r2
. . - l n , q *i 0 ,1 = - 1 . 2h
H e n c e| = 1 . 2 6x 1 0
l 2 W r n2 .
NOISE
A N DL O U D N E S S :
T h el o u d n e sosf s o u n dd e p e n d sm a i n l yo n t h e o b s e r v e r 'rse : s p o r rtsaei n t e r i s i iay t a p a r t i c u l a r
f r e qu e n c y .
A t d i f f e r e n ft r e q u e n c i e st h, e p e r c e i v e d
l o u d n e sw
s i l l b e d i f f e r e n ft o r t h e s a m ev a l u e so f i n t e n s i t y .
N o i s ei s c o n s i d e . etdo b e u n w a n t e ds o u n d sa, n dt h i sa l s oi s a s u b j e c t i vree s p o n s ien t h a t i t i s
d i f f e r e nfto r d i f t c r e n p
t e o p l eF. o re x a m p l et h e m u s i co f a s t e e lb a n dm a yb e p l e a s i ntgo s o m e
. l e o p l eb u t m a y b e n o i s yt o o t h e r s .
153
LENSESAND THE EYE
T h e L e n sF o r m u l a
T h eo b j e c td i s t a n c ei s r e p r e s e n t ebdy u , t h e i m a g ed i s t a n c eb y v a n d t h e f o c a ll e n g t hb y f .
11,1,
l -
;-i-7
i s"u s e d .
T h es i g nc o n v e n t i o n" R E A Ll S P O S I T I V E
T h i sm e a n st h a t a s l o n ga st h e o b j e c td i s t a n c ei s r e a l( w h i c hm e a n st h a t t h e o b j e c ti s r e a l ), t h e nu
i s p o s i t i v e ,i ;f t h e o b j e c ti s v i r t u a lt h e n u i s n e g a t i v e .
W h e nt h e i m a g ei s r e a l ,v i s p o s i t i v ea, n d w h e n t h e i m a g ei s v i r t u a l v, i s n e g a t i v e .
For a converginglens,the focal length f is alwayspositive.
Fora diverginglens,the focal lengthf is alwaysnegative.
E x a m p l e:s
( 1 ) A n o b j e c ti s p l a c e d8 c m f r o m a c o n v e r g i nlge n so f f o c a ll e n g t h2 0 c m .F i n dt h e p o s i t i o no f
the image.
T h e l e n si s c o n v e r g i nsgo t h e f o c a ll e n g t hi s p o s i t i v eT. h eo b j e c ti s r e a lh e n c eu i s p o s i t i v e .
1-1_1
vuI
1_1_1
t-
1,
1L-3
v- f
r#,;.'J, .:r;ff
rheractthattheimage
u
-40
androra
:ff::,:;,,?^#age isvirtuar,
c o n v e r g i n lge n s, t h e v i r t u a li m a g ei s f o r m e do n t h e s a m es i d eo f t h e l e n sa st h e o b j e c t .
( 2 ) A b e a mo f l i g h tc o n v e r g i ntgo a p o i n t 1 5 c m b e h i n da c o n v e r g i nlge n si s i n c i d e n ot n t h e
l e n s. l f t h e l e n sh a sa f o c a ll e n g t ho f 3 5 c m f i n d t h e p o s i t i o no f t h e i m a g e .
\i----
Appi.
I
v
' n s1 1 1 1 - L L
i* i: T, ;+ ts: 3s
-1,
+ - 1, : 1 0 ;u - 1 0 5cm.The imageis real
1fr
3 5 1 5 10S
154
----O
The raysconvergeon
o n e s i d eo f t h e l e n st h a t
i s o p p o s i t et o t h e s i d e
t h a t t h e i n c i d e n tr a y s
c o m ef r o m . H e n c et h e
p o i n tw h e r et h e y
c o n v e r g ei s c o n s i d e r e d
to bean imaginary
s o u r c es, i n c et h e r a y s
did not emergefrom
t h a t s o u r c eT. h i sm e a n s
that u isnegative.
( 3 ) D i v e r g i nlge n s :
A n o b j e c ti s p l a c e d8 c m i n f r o n t o f a d i v e r g i n gl e n so f f o c a ll e n g t h1 5 c m . F i n dt h e
p o s i t i o no f t h e i m a g e .
111
l t -
1.
-1
uuf
1. -23
u
15
B
120
Henceu:qCTft
L20'
2'r
( 4 ) C o n v e r g i nlge n s :
A b e a mo f l i g h ti s i n c i d e n ot n a c o n v e r g i nlge n so f f o c a ll e n g t hl 2 c m . l f t h e b e a m
c o n v e r g etso a p o i n t5 c m b e h i n dt h e l e n s ,f i n d t h e p o s i t i o no f t h e i m a g e .
W h e nt h e i n c i d e n rt a y sa r e e x t e n c l etdh e p o s i t i o no f t h e v i r t u a lo b j e c ti s
o b t a i n e dT. h e r a y sd i d n o t o r i g i n a l l cy o m ef r o m t h i s p o i n t ,h e n c ei t i s a v i r t u a lp o i n t .
Applying
theequation
1, 1, 1,
t t -
vuf
1, -1
_r_
v
1-1
'5
-1
1,2
1.7
v1,2560
uo
H ence ',) :
rcm
T h e i m a g ei s t h e r e f o r eR E A La, n d i n t h i s c a s e i, t c a nb e s e e no n a s c r e e na s a p o i n to f l i g h t .
POWEROFA LENS:
T h eP O W E R
o f a l e n si s g i v e nb y
P
L
f ocal length.
when f ocal lengthis meAsured in metres, P has units of dioptres
: e. lf the foca!length-=25cm,then f= 0.25mand
- 4 d"ioptres,which is written as 4D.
P: *
0.25
For a diverginglensboth the focal lengthand the Powerare negative.
155
T H EE Y E :
Accomodation:
***era
***r*iel
ffi**ic?€
**rn**
i
i
*€f'E*
*ili*ry ***y
l i g h tr a y so n t h e r e t i n aT. h eg r e a t e rp a r to f
er focusing
T h el e n sa n dc o r n e da r e r e s p o n s i b fl o
r e f r a c t i o trai k e sp l a c ei n t h e c o r n e aa n dt h e l e n sm a k e sf i n ea d j u s t m e n tbsy c h a n g i n igt s s h a p et o
b e c o m et h i c k e ro r t h i n n e ra n dt h u sa l t e r i n gt h e a m o u n to f r e f r a c t i otna k i n gp l a c ei n i t . T h i s
c h a n g ei n s h a p eo f t h e l e n st o a l i e rt h e a m o u n to f r e f r a c t i o ins c a l l e dA C C O M O D A T I O N .
Longsight:
T h ee y e b a lils t o o s h o r ta n dt h e l e n sd o e sn o t p r o v i d es u f f i c i e nrte f r a c t i o nt o f o c u st h e i m a g eo n
t h e r e t i n a. A l l o f t h e i m a g e sa r e p r s f l u c e db e h i n dt h e r e t i n aa n dt h e p e r s o ni s a b l et o o n l ys e e
d i s t a no
t b j e c t sc l e a r l y .
A c o n v e r g i nlge n sh a st o b e u s e dt o c o r r e ct h i ss i t u a t i o n
156
S h o r ts i g h t :
T h ee y e b a lils t o o l o n ga n dt h e l e n sc a u s e st o o m u c hr e f r a c t i o nc,a u s i n gt h e i m a g e st o b e
p r o d u c e di n f r o n t o f t h e r e t i n a T
. h e p e r s o ni s o n l ya b l et o s e en e a ro b j e c t sc l e a r l y .
A d i v e r g i n lge n sh a st o b e u s e dt o c o r r e c t h i ss i t u a t i o n .
DEPTHOF FOCUS
F r o mt h e a b o v ed i a g r a m si ,t i s s e e n
t h a t i n b o t h c a s e st,h e i m a g ei s n o t
f o r m e do n t h e r e t i n ab u t t h e
p e r s o nm a y s t i l lb e a b l et o s e et h e
i m a g e sw i t h a n a c c e p t a b lfeo c u s .
l f t h e p o i n t sA a n d B r e p r e s e ntth e
l i m i t sa t w h i c ht h e i m a g eh a s
a c c e p t a b lfeo c u s ,t h e n t h e
d i f f e r e n c ei n d i s t a n c eb e t w e e nA
a n d B i s c a l l e dt h e D E P T H
OF
FOCUS
157
ASTIGMATISM:
The conditionof Astigmatismpreventsa personfrom focusinglight raysin differentplanesat the
s a m et i m e .
C o n s i d etrh e t w o p a i r so f p a r a l l elli n e s :
c a n n o tf o c u so n a l lt w o s e t so f l i n e sa t t h e s a m et i m e .
A p e r s o nw i t h A s t i g m a t i s m
, e n c et h e h o r i z o n t aal n d
T h e h o r i z o n t alli n ew i l l h a v ea d i f f e r e n ft o c u sf r o m t h e v e r t i c a l i n e s h
v i s i o nw i l l o c c u rf o r l i g h t
h
a
n
d
i
c
ap
T
h
i
s
d
i
s
t
a
n
c
e
s
.
a
t
d
i
f
f
e
r
e
n
t
f
o
c
u
s
v e r t i c a il i n . s w i l l b e i n s h a r p
r a y si n t h r e ea n df o u r p l a n e sa sw e l l .
I t i s c a u s e db y t h e c o r n e ah a v i n ga n u n e v e no b l o n gs h a p er a t h e rt h a n a c y l i n d r i c aol n e ,a n d
c a u s e st h e e y et o h a v et w o p o i n t so f f o c u sr a t h e rt h a n o n e .
T h ec o n d i t i o nc a n b e c o r r e c t e db y u s i n ga c y l i n d r i c al el n sw i t h i t s a x i sp e r p e n d i c u l at or t h a t o f t h e
e y el e n s .
CATARACTS:
T h i si s d u e t o t h e c l o u d i n go f t h e e y e ' sl e n s ,w h i c hp r e v e n t s o m eo f t h e l i g h tf r o m p a s s i n g
t h r o u g hi t .
, n d i n s e v e r ec a s e st h e l e n so f t h e e y e h a st o b e r e m o v e da n d r e p l a c e d
I t l e a d st o b l u r r yv i s i o n a
w i t h a c l e a ro n e .
158
FOCUSSED
IMAGESBYA MAGNIFYING
GLASS:
T h e r ea r et w o c a s e st o c o n s i d e r :
( 1 ) A m a g n i f y i n g l a s si s e m p l o y e di n t h e u s eo f a p r o j e c t o r ;
I n o r d e rt o g e t a m a g n i f i e dR E A Li m a g eu s i n ga c o n v e r g i nlge n s ,t h e o b j e c tm u s t b e p l a c e da t a
d i s t a n c eb e t w e e nf a n d 2 f .
object
( 2 1 T h eS i m p l eM i c r o s c o p a
e sa m a g n i f y i ng l a s s :
I n t h i sc a s e a, V I R T U AUL P R I G HIT
M A G Ei s r e q u i r e dT. h i si s a c h i e v e b
d y h a v i n g t h eo b j e c t
d i s t a n c se m a l l etrh a nt h e f o c a ll e n g t h .
159
F O C U S S EI M
D A G E SB YA C A M E R A :
I n a c a m e r at,h e i m a g er e q u i r e dm u s tb e d i m i n i s h eidn o r d e r t of i t o n t h e f i l m ,b u t i t m u s ta l s ob e
r e a l ,s i n c et h e f i l m i s t h e s c r e e no n w h i c ht h e i m a g ei sf o r m e d
T h i si s a c h i e v e do n l y i f t h e o b j e c td i s t a n c ei s m u c hg r e a t e r t h a nt h e f o c a ll e n g t h t, h a t i s ,t h e o b j e c t
m u s tb e a t i n f i n i t y .
Raysfrom i n f i n i t y
W h e nt h e o b j e c ti s a t i n f i n i t yt,h e i m a g ei s p r o d u c e da t t h e f o c a lp o i n t .T h e c a m e r af i l m i s
on it.
p o s i t i o n eadt ' f ' s o t h a t t h e i m a g ec a nb e p r o d u c e d
160
Calculation
f osr C o r r e c t i nlge n s e s .
( 1 ) A p e r s o ns u f f e r i n gf r o m s h o r ts i g h t ,c a n n o ts e ef u r t h e rt h a n 2 m f r o m t h e e y e .
D e t e r m i n et h e t y p e o f l e n sa n d i t s f o c a ll e n g t ht o c o r r e c t h e p e r s o n ' sv i s i o n .
A d i v e r g i n gl e n si s u s e dt o c o r r e c t h e p r o b l e mo f s h o r ts i g h t T
. h ef a r p o i n to f t h e e y e i s t h e
m a x i m u mf u r t h e s d
t i s t a n c fer o m t h e e y ef o r w h i c ho b j e c t sc a nb e c l e a r l ys e e n .I n t h i sc a s e i,t i s
2m.
A n o b i e c t. i t u a t e da t i n f i n i t ym u s ta p p e a tr o t h e e y et o b e a t i t sf a r p o i n tw h i c hi s 2 m .
T,
. ' n gl e n sm u s tt h e r e f o r et a k er a y sf r o m i n f i n i t ya n d p r o d u c ea v i r t u a il m a g e2 m a w a y
from the eye.
F r o mt h e l e n sf o r m u l a :
111,
tt-
uuf
u -
a J,1):
-2m(vi rtuul
t _1_ 1
i mage)
oo2f
Hencef = -2m (the minussign indicotesthot it is o diverginglens)
ThePower of this lens is given by
P_
P = -0.5 Dioptres
f ocal length.
161
( 2 ) A p e r s o nc a n n o ts e ec l e a r l ya n yo b j e c t sn e a r e tr h a n0 . 7 5 m .
S t a t ew h a t d e f e c ti s o c c u r r i n gh e r ea n d w h a t t y p e o f l e n sa n d w h a t p o w e rm u s ti t
the person'svision
haveto corre.ct
A s s u m et h a t t h e n o r m a ln e a rp o i n tf r o m t h e e y ei s 0 . 2 5 m .
S i n c et h e p e r s o nc a nf o c u so b j e c t sf r o m i n f i n i t yt o 0 . 7 5 m ,h e m u s tb e l o n gs i g h t e d .
T h e e y ec a n n o tm a k ei t s l e n st h i c ke n o u g ht o p r o d u c et h e i m a g e so f n e a ro b j e c t so n
the retina.
LE
A CONVERGIN
GN SM U S TB EU S E D .
- = =: --lt]
.0.25m,
0.75m
T h e c o n V e r g i nl ge n sh a st o m a k et h e n e a rp o i n tt o a p p e a tro b e 0 . 2 5 m .H e n c ei f a n o b j e c ti s
p l a c e da t 0 . 2 5 mt h e l e n sm u s tc r e a t ea v i r t u a il m a g ea t 0 . 7 5 m .
F r o mt h e l e n sf o r m u l a :
1, 11
tl -
vuf
u :0.25mv--0.75m
-1,
2
1
1.
'
^
0 . 2 5 0 . 75
0 . 75
I
I-
1,
: 2 . 6 7D ; f : 0 . 3 7 5 m .
7
162
ThermalPhysics
IMPORTANT
FORMULAE
(r)onthe Empiri.cal scale,g-
xe - xo
xtoo - xg
x 100"c
(2) On the Kelvin scale,the Thermodynamic Temperature ts given by z
P,
T - =: x 273.L6K;where Prr: Pressure atthe triplepoint of water
P,,
Pt: Pressure attemperature t and273.L6 is the triplepoint of water
(3) e"c =:I(
273.L5;where zr3.Ls ts thefreezing potnt of water
(4) Energy absorbed or disstpatedto cause atemperature
E - rncL0
change of A0,is giv
(S)Energy absorbed or d.issipated during aphase change
at constant temperature is gi"ve by E - mL
(6)The rate of heat f low by conduction through a solid is given by
a - -01-ez
i:t.t^-
(7) The Power dissipation by radiation
P - oATa
of a black body is given by
(B)The net rate of Power disstpatton by radiation is given by
P - oA(ru - f!) where T is the temperuure of the environment
"
163
M O D U L E3
D E S I G NA N D U S EO F T H E R M O M E T E R S
T e m p e r a t u r el f: a b o d yA i s a t a h i g h e tr e m p e r a t u r teh a na b o d yB ,t h e nt h e r ew i l l b e a n e t
tr,,lnsfer
of rreatenergyfrom A to B.
T e i l p e r a t u r ei s t h a t p h y s i c apl r o p e r t yt h a t c a u s e st h e n e t t r a n s f e ro f h e a te n e r g yf r o m a b o d yA
t o a [ : o d yI i f B i s a t a l o w e rt e m p e r a t u r teh a nA .
d y t h e c h a n g ei n s o m ep h y s i c apl r o p e r t yo f a s u b s t a n c eF.o re x a m p l e
l € i r l r p e r 3 t i rirsem e a s u r e b
l - h i :r i i . i n g ei n P r e s s u roef a g a sa t c o n s t a nvt o l u m e -T h i si s u s e di n t h e c o n s t a n-tv o l u m eg a s
therrrrcrrreter.
l f r r :c h a r g eI n v o l u m eo f a l i q u i dT- h i si s a p p l i e di n t h e l i q u i di n g l a s st h e r m o m e t e r
hermometer.
T h ei , h a i r g Ien e l e c t r i c ar e
l s i s t a n coef a m e t a l- T h i si s a p p l i e di n t h e r e s i s t a n ct e
- h et h e r m o c o u p l e
T . l i ec i i a r r g e
i n t h e e m f p r o d u c e da t t h e j u n c t i o no f t w o m e t a l sj o i n e dt o g e t h e r T
t i-it-=
i"it i t) rt rete r.
i - h : s: r l o t i n t o f e l e c t r o m a g n e tw
i ca v e se m i t t e d- T h e r a d i a t i o nt h e r m o m e t e r .
sometemperature
A physicalpropertycan be usedto measuretemperatureby establishing
physical
property
property.
must
change
In order to obtain a scale,the
scalefor that
t h e n t h e t e m p e r a t u r ei s
c o n t i n u o u s lw
y h e n t e m p e r a t u r ec h a n g e sa, n d m u s t r e r n a i nc o n s t a n w
constant.
A d d i t i o n a l l tyh, e m e a s u r e m e not sf t h e p r o p e r t ya t t h e f i x e dp o i n t sm u s tb e d e t e r m i n e fdo r
L I N [ i \ RS C A L E S .
w,h e nt h e f i x e dp o i n tv a l u e sa r e d e t e r m i n e da, l i n e a rm a t h e m a t i c a l
A s s u r n r rtrhge s c a l ei s L I N E A R
e sl o n g
c c l u a t i ocna nb e s e t u p a n dt h i sc a nt h e n b e u s e dt o c a l c u l a tael r yu n k n o w nt e m p e r a t u r a
: r st h e r n e r s u r e m e notf t h e p h y s i c apl r o p e r t yi s o b t a i n e d .
'
s pEl o t t e du s i n gt h e t w o f i x e d
P LR O P E RvT.Ys .T E M P E R A T UiR
A l t e r n a i i v e liyf ,a g r a p ho f P H Y S I C A
' 1 , i ; ^ i .r c t r r ; 3 h tl i n ec a nb e d r a w na n d b y e x t r a p o l a t i oann d i n t e r p o l a t i o a
sf
nn
, yvalueo
frLJil iL5,
d
rLrdrE
t e r r p ef a t u r ec a nb e r e a do f f f r o m t h e g r a p h .
t i rt h e e v c - ntth a t t h e c h a n g ei n P h y s i c aplr o p e r t yi s n o t l i n e a rw i t h t e m p e r a t u r et,h e n a s e r i e so f
e m p e r a t u r ehs a v et o b e
PLR O P E R T
aY
n dt h e c o r r e s p o n d i nt g
t i - r em e a s u r e m e n tosf P H Y S I C A
p l o i t e dt c o b t a i na c a i i b r a t i ocnu r v e .A n y u n k n o w nt e m p e r a t u r east a p a r t i c u l a r v a l uoef t h e
r ; h y s i c apir o p e r t yc : i t t h e n b e r e a do f f .
164
P h y s i c af el a t u r e so f t h e l i q u i di n
G l a s st h e r m o m e t e r :
( 1 ) T h eb u l bc o n t a i n i nt gh e
l i q u i dh a sa t h i nw a l lt o
a l l o wr a p i dh e a t
c o n d u c t i ofnr o m a n
e x t e r n asl o u r c et o t h e
liquid.
( 2 ) T h ev o l u m eo f l i q u i dh e n c e
i t s m a s si n s i d eo f t h e b u l b
i ss m a l l h
, e n c ei t s h e a t
c a p a c i t iys s m a l sl o t h a t i t
r e q u i r eo
s n l yl i t t l eh e a t
e n e r g yt o e x p a n d .
( 3 ) T h ec a p i l l a rtyu b e ,t h r o u g h
w h i c ht h e l i q u i dr i s e si,s
u n i f o r ms o t h a t t h e r e
w o u l db e e q u a lc h a n g e isn
l e n g t hf o r e q u a lc h a n g e isn
'
temperature.
( 4 ) T h ec a p i l l a rtyu b e a n dt h e
b u l bw i t h t h e l i q u i da r e
v a c u u ms e a l e dt o p r e v e n t
a n ya i r p r e s s u r ae c t i n g
a g a i n stth e r i s eo f t h e
l i q u i di n t h e c a p i l l a rtyu b e .
( 5 ) T h ec h o i c eo f l i q u i d
d e p e n d su p o nt h e d e s i r e d
r a n g eo f t e m p e r a t u r e .
( 6 ) T h et e m p e r a t u r 0
e i n " Ci s
d e f i n e do n t h e m e r c u r yi n
g l a s ss c a l eb y t h e e q u a t i o n :
0
le-lo
1oo:/rr.-/,
T H ER E S I S T A NTCHEE R M O M E T E R T H ET H E R M I S T O
RE R M O M E T E R
TH
( 1 ) M a d ef r o m p l a t i n u m
because
o f i t sc h e m i c a l
i n e r t n e sasn d l i n e a rc h a n g e
o f r e s i s t a n cw
ei t h
temperature.
( 2 ) T h ep l a t i n u mw i r e i s
w o u n do n a s t r i po f m i c a
w h i c hi s a n e l e c t r i c a l
i n s u l a t o rs, o i t d o e sn o t
a f f e c tt h e c u r r e n t h r o u g h
theplatinum.
( 3 ) T h e m i c ad o e sn o t u n d e r g o
a n ys i g n i f i c a ne tx p a n s i oant
h i g ht e m p e r a t u r esso t h a t
t h e p l a t i n u mw i r ew o u n d
on it,will not besubjected
t o s t r a i n sw, h i c hw o u l d
h a v ea l t e r e di t s r e s i s t a n c e .
( 4 ) T h i c kc o p p e rl e a d sa r e
u s e da st h e y h a v ea l m o s t
z e r or e s i s t a n c e .
( 5 ) T h et e m p e r a t u r 0e i n " Co n
t h e p l a t i n u mr e s i s t a n c e
s c a l ei s d e f i n e db y t h e
e qu a t i o n :
0
Ro-Ro
1oo=Rjxo-Ro
(6) lt isconnected
to a
W h e a t s t o n eb r i d g ec i r c u i t
t o d e t e r m i n ei t s r e s i s t a n c e
point.
atthe balance
165
(1) lt isconnected
to a digital
m u l t i m e t e ro n i t s l o w e s t
o l ' r mr a n g ei . e . 0 - 1 0 0 0 0 .
( 2 ) l t s r e s i s t a n crea n g ei s t o o
s m a l lf o r i t t o b e g i v e na n
e mp i r i c ael q u a t i o nd e f i n i n g
i t st e m p e r a t u r e .
( 3 ) l t h a st o b e c a l i b r a t e d
f i r s t l yb y p l o t t i n ga g r a p ho f
r e s i s t a n cve. s .t e m p e r a t u r e
( u s i n gm e r c u r yi n g l a s s
t h e r m o m e t e fro r
calibration).
(4) Anyunknown
t e m p e r a t u r eas r e r e a do f f
f r o m t h e c a l i b r a t i o cnu r v e
a s l o n ga st h e m e a s u r e d
r e s i s t a n cies w i t h i nt h e
r a n g eo f t h e c u r v e .
( 5 ) l t i s m a d ef r o m s e m i c o n d u c t i nm
g a t e r i aal n d i s
. connectedto a metre
b r i d g et o o b t a i ni t s
r e s i s t a n caet t h e b a l a n c e
point.
( 6 ) l t i s m o r es e n s i t i v teo
c h a n g e si n t e m p e r a t u r e
t h a nt h e p l a t i n u m
r e s i s t a n caen d i s u s e di n
e l e c t r o n i c i r c u i t sa s a n
a l a r mw h e n t e m p e r a t u r e s
r e a c ha p r e - d e t e r m i n e d
value.
'
EE R M O M E T E R :
T H ET H E R M O C O U PTLH
( 1 ) I t i s m a d ef r o m t w o d i f f e r e n tm e t a l ss u c ha s c o p p e ra n d i r o nw h i c ha r ej o i n e d
t o g e t h e ri n a c i r c u i tw i t h t h e i rj u n c t i o n sk e p ta t d i f f e r e n t e m p e r a t u r e s
(2)A smale
e f t h e e m f d e p e n d so n t h e t y p eo f
l m f i s p r o d u c e da n dt h e m a g n i t u d o
m e t a l su s e da n dt h e t e m p e r a t u r ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h e i rj u n c t i o n sT. h ee m f i s i n
t h e o r d e ro f m V .
( 3 ) A c a l i b r a t i o cnu r v ef o r e m f v . st e m p e r a t u r ei s d r a w na n d i s u s e da s a c a l i b r a t i o n
curve.
( 4 ) I n o r d e rt o g e t a s u f f i c i e n t llya r g ec h a n g ei n e m f ,a l a r g en u m b e ro f t h e r m o c o u p l e s
t o g e t h e rt o p r o d u c ea t h e r m o p i l e .
a r ec o n n e c t e d
( 5 ) l t i s w i d e l yu s e df o r m e a s u r i n rga p i d l yv a r y i n gt e m p e r a t u r ebs e c a u s e
o f i t ss m a l l
of the small
h e a tc a p a c i t ya n d f o r m e a s u r i ntge m p e r a t u r eas t a p o i n tb e c a u s e
p h y s i c asl i z eo f i t sj u n c t i o n s .
166
Constant volume
gas thermometer
( 1 ) T h eb u l b B c o n t a i n sh y d r o g e ng a s ,R i s a r e s e r v o icr o n t a i n i n g
m e r c u r ya n d C i s t h e l e v e lo f
m e r c u r yT. h e p r e s s u r e
o f t h e g a si s t h e d i f f e r e n c ei n m e r c u r yl e v e l sC a n d D p l u st h e a t m o s p h e r i c
pressu
re.
( 2 ) F o ra f i x e dm a s so f g . , a t c o n s t a nvt o l u m e ,t h e p r e s s u r e
c h a n g e s i g n i f i c a n tw
l yh e nt h e
t e m p e r a t u r ec h a n g e s .
( 3 )T h et e m p e r a t u r e0 i n ' C i s d e f i n e do n t h e c o n s t a nvt o l u m eg a ss c a l eb y t h e . e q u a t i o n :
o
Pe-Po
100: effi
( 4 ) l t h a sa w i d e r a n g e v, e r ya c c u r a t eb, u t v e r y b u l k y .
167
T h e E M P I R I C ASLC A L E
i s g i v e nb y t h e e q u a t i o n
0
xe-x
100= *ton-^
w h e r ex i s t h e p h y s i c aqlu a n t i t yb e i n gm e a s u r e d .
A n E M P I R I C ASLC A L E
i s o n e w h i c hi s d e r i v e df r o m a m a t h e m a t i c aelq u a t i o nt h a t f i t s i n t o t h e
e x p e r i m e n t ad la t a .i . e .t h e e m p i r i c avl a l u e sc o i n c i d w
e i t h t h o s et h a t a r eo b t a i n e df r o m
experiment.
T h eK E L V I N
S C A L Ei s o b t a i n e df r o m t h e p r e s s u r e
m e a s u r e m e n tosf a n i d e a lg a s ,a n dt h e
m e a s u r e m e n at sr e m a d ef r o m t h e C o n s t a n tV- o l u m eg a st h e r m o m e t e r .
T h e K e l v i nt e m p e r a t u r ies c a l c u l a t efdr o m t h e e q u a t i o n :
P,
T---X273.16
P,,
Where
Pt : Pr,essure at temperature't'
antd Pr, : Pressure q"t the triple point of water
The triple point of water = 273.t6K= 0.01".Thetriple point of a substanceis the
thermodynamicsingularityat which the gas,liquid,and solid phasesmay coexistin
thermodynamicequilibrium.A triple point is thereforea much more accuratetemperature
referencethan either a freezingpoint or a boilingpoint, becausethe tripfle point is
INDEPENDENT
of all externalconditionssuchas pressure,and temperature,while the freezing
point and boilingpoint will vary as externalconditionsvary
T h e I C EP O I N T= 2 7 3 . 1 5 K
= 100'C
T h eS T E A MP O I N T= 3 7 3 . 1 5 K
l n g e n e r a le " / C= T I K- 2 7 3 . 1 5o r f l K = 0 l " C+ 2 7 3 . 1 5
168
THERMAP
L ROPERTIES
T h e I N T E R N A LE N E R G Yo f a s y s t e mi s t h e s u m o f t h e k i n e t i ca n d p o t e n t i ael n e r g i e a
s ssociated
w i t h t h e m o l e c u l e os r a t o m so f t h e s y s t e m
T h eK i n e t i ce n e r g yi s d u et o t h e m o t i o no f t h e m o l e c u l easn dt h i sr n o t i o nm a y b e a c o m b i n a t i oonf
t r a n s l a t i o n avli,b r a t i o n aaln d r o t a t i o n am
l o t i o n .A l l o f t h e s et y p e so f m o t i o no n l yo n t e m p e r a t u r e .
T h e p o t e n t i ael n e r g yo f g a sd e p e n d so n f o r c e se x i s t i n g
b e t w e e nt h e m o l e c u l e,sw h i c hd e p e n d so n
t h e s e p a r a t i oonf t h e m o l e c u l e s .
lf the temperatureof a gasis increasedthen the kineticenergyof the moleculesincreasesand
as a resultthe Internalenergywill increaseeventhoughthere may be no increasein Potential
Energy.
|fthe|ncreasein|nterna|EnergyisdenotedbyAU,then:AU=Ak.e+Ap.e+-LEARN
I t i s i m p o r t a ntto r e m e m b etrh a t t h e I N T E R N AELN E R Gi Y
s P R O P O R T I O Nt oAtLh e
T HER M O D Y N AlM
CT EM p E R A TRUE( t e mp e r a t ur e in K e l v i n )
HEATCAPACITY:
T h e H E A TC A P A C I ToYf a b o d y i st h e a m o u n to f h e a te n e r g yt h a t i s r e q u i r e dt o i n c r e a s e
its
temp,erature
by 1-K.
T h eS P E C I F H
I CE A TC A P A C I ToYf a s u b s t a n c ies t h e a m o u n to f h e a te n e r g yt h a t i s r e q u i r e dt o
i n c r e a s teh e t e m p e r a t u r eo f u n i t m a s s( l k g ) o f t h e s u b s t a n c b
ey 1 K .
169
DETERMINATION
HEATCAPACITIES
OFSPECIFIC
E l e c t r i c aMl e t h o df o r s o l i d s :
T h e e x p e r i m e n t aalr r a n g e m e ni ts s e t u p a s s h o w n :
heater
thermometer
Metal block
oil
A r e c t a n g u l abrl o c ko f m e t a li s u s e da n d h o l e sa r e d r i l l e di n i t t o a c c o m m o d a taen e l e c t r i c a l
, s m a l la m o u n to f o i l i s
h e a t e ra n d a t h e r m o m e t e rW
. h e nt h e c o m p o n e n t a
s r ef i t t e d i n t h e h o l e s a
p o u r e di n t o e n s u r eg o o dt h e r m a lc o n t a c t .
W h e nt h e s w i t c hi s c l o s e da, t i m e r i s s t a r t e da n dt h e r e a d i n go n t h e t h e r m o m e t e irs m o n i t o r e d
u n t i lt h e t e m p e r a t u r er i s e sb y a b o u t1 5 K .
l f t h e r ea r e n o e n e r g yl o s s e st ,h e n t h e t o t a l e n e r g ys u p p l i e db y t h e h e a t e rw o u l d b e e q u a lt o t h e
s u m o f t h e h e a te n e r g yr e c e i v e db y t h e b l o c ka n dt h e o i l .
V l t = m c ( 0 2- 0 r ) + H , w h e r e H r e p r e s e n ttsh e h e a ta b s o r b e db y t h e o i l .
l f t h e m a s so f t h e o i l i s s m a l l, t h e nH i s n e g l i g i b l eo,t h e r w i s et h e " H " t e r mc a n b e c a l c u l a t efdr o m
t h e e q u a t i o n:
H : rftzc2A,O
;where firz : mass of otl and c2 is lts speci.ftc heat capaci.ty.
170
E l e c t r i c aml e t h o df o r l i q u i d s :
heater
calorimeter
thermometer
T h ea p p a r a t u si s s e t u p a ss h o w n .
T h et o t a l e n e r g ys u p p t i e O
b y t h e h e a t e ri s e q u a lt o t h e s u m o f t h e e n e r g i e a
s b s o r b e db y t h e
l i q u i da n d b y t h e c a l o r i m e t e rT. h e c a l o r i m e t eirs a g o o dt h e r m a lc o n d u c t oar n d i t w i l l h a v et h e
s a m et e m p e r a t u r a
e st h e l i q u i d H
. ence:
H e a ts u p p l i e db y h e a t e r= V I Uw h e r et i s t h e t i m e i n s e c o n d s .
Let the mass of the ltqutd be m1 and the spectf ic heat capaci.ty be c1
Let the mass of the calortmeter be m, and the speci.fic heat capaci.ty be c,
The temperature bef ore the heater i"sswi.tchedon ts 0,
The temperature af ter t seconds ts 02
A f t e rt h e h e a t e ri s l e f t r u n n i n gf o r t s e c o n d w
s i t h a c o n s t a nvt o l t a g eV b e i n ga p p l i e da n d
c a u s i n ga c o n s t a n ct u r r e n tI t o f l o w t h r o u g ht h e h e a t e r t, h e e n e r g ys u p p l i e di s g i v e nb y E = V l t .
A s s u m i n gn o h e a t l o s s e s, a l l o f t h e h e a ts u p p l i e di s a b s o r b e db y t h e l i q u i da n d b y t h e
calorimeter.
Hence VIt : rfttcr(% - 0r) + fficcc(O,- 0z)
171
( 3 )S p e c i f i ch e a t c a p a c i t yo f a l i q u i db y t h e C o n t i n u o u fsl o w m e t h o d :
t sa l l e n d aarn d B a r n e si n 1 8 8 9w h o u s e da n e l e c t r i c a l
T h i sm e t h o dw a sd e v e l o p e bd y t w o p h y s i c i s C
m e t h o da n do n l ys t e a d yt e m p e r a t u r ewse r em e a s u r e d .
P l a t i n u mr e s i s t a n ct e
h e r m o m e t e rasr e u s e df o r t h i s p r o c e d u r be e c a u s teh e ya r e m o r e a c c u r a t e
t h a n m e r c u r yo n e s .
A l s o t, h e c a p a c i t oy f t h e a p p a r a t uiss n o t r e q u i r e dw, h i c hi s a s i g n i f i c a na td v a n t a gaes n o
d y t h e a b s o r p t i oonf h e a tb y t h e a p p a r a t u s .
u n c e r t a i n t i ewsi l l b e i n t r o d u c e b
T h ea p p a r a t uiss s e t u p a s s h o w nb e l o w :
02
w a t e ri n
w a t e ro u t
W a t e rf r o m a c o n s t a n p
t ressure
t a n k f l o w st h r o u g ha g l a s st u b e c o n t a i n i n g
a n e l e c t r i c ahl e a t e r ,
t o t e n t i adl i f f e r e n c ei s a p p l i e d
a n d i s t h e n c o l l e c t e da t t h e o u t l e to f t h e a p p a r a t u sA. c o n s t a n p
a c r o s st h e h e a t e rc o i la n d a s t e a d yc u r r e n tI f l o w st h r o u g hi t . T h et e m p e r a t u r eo f w a t e ra t t h e i n l e t
i s 0 1, w h i l et h a t a t t h e o u t l e ti s 0 2 .
r a s so f w a t e rf l o w st h r o u g ht h e a p p a r a t uiss m e a s u r e w
T h et i m e f o r w h i c ha p a r t i c u l am
d itha stop
c l o c ka n dt h e m a s sp e r u n i t t i m e m i s d e t e r m i n e d .
T h e p o w e rs u p p l i e db y t h e h e a t e ri s V l , a n d a l l o f t h i s p o w e ri s t r a n s f e r r e tdo t h e w a t e r a s w e l l a s
h e a t l o s s e sh . H e n c eb y t h e c o n s e r v a t i oonf e n e r g y :
-(1)
Vl:fficw@z-0)+h
T o e l i m i n a t et h e h e a t l o s sf a c t o rh , t h e m a s sf l o w r a t ei s i n c r e a s etdo t w i c ei t s v a l u ea n dt h e
V o l t a g ea n d c u r r e n t sa r e a d j u s t e dt o r e t u r nt h e f i n a lt e m p e r a t u r eo f t h e w a t e r b a c kt o 0 2 ,s o t h a t
the heat losswill be the sameas before.
l f t h e n e w c u r r e n ta n d p . d .a r e l ' a n dV ' r e s p e c t i v e ltyh, e n V ' I ' - m ' c * ( 0 2 - 0 t ) + h - - - +( 2 )
l f e q u a t i o n( 1 )i s s u b t r a c t efdr o m e q u a t i o n( 2 )t h e n t h e h e a tl o s sf a c t or " h " i s e l i m i n a t e da,n dt h e
s p e c i f i hc e a tc a p a c i t cy a nt h e n b e c a l c u l a t e d .
172
DETERMINATION
OFSPECIFIC
HEATCAPACITIES
BYTHEMETHODOF MIXTURES
A k n o w nm a s so f s o l i di s p l a c e di n a b e a k e ro f b o i l i n gw a t e ra n dt h e w a t e r k e p to n .b o i lf r o m
a b o u tt e n m i n u t e st o a l l o ws u f f i c i e nt ti m e f o r t h e s o l i dt o a c q u i r et h e s a m et e m p e r a t u r ae st h e
w a t e r . L etth i st e m p e r a t u r eb e O 1 .
T h es o l i di s t h e n q u i c k l yt r a n s f e r r e d
t o a b e a k e rc o n t a i n i n a
g m a s so f w a t e r m * a t a n i n i t i a l
temperature02.
T h e h o t s o l i dc a u s e st h e w a t e ra n d i t s c a l o r i m e t etro r i s et o a t e m p e r a t u r e0 3
T h ec h a n g ei n t e m p e r a t u r oe f t h e s o l i di s ( 0 1 -
031d
, n dt h e h e a tl o s tb y t h e s o l i di s
mrcr(01 - 0s),
T h e h e a tg a i n e db y t h e c a l o r i m e t ear n d t h e c o o l e rw a t e r i s m r c r ( O s - 0 ) + m w c w @ z - 0 z )
H e n c e m s c s @ t - 0 z ) = m c c c @ s - 0 ) + m w c w @ J -, 0 z )
F r o n lw h i c hc sc a n b e c a l c u l a t e d .
173
PHASE
CHANGES
W h e na s u b s t a n c u
e n d e r g o eas p h a s ec h a n g ef o r e x a m p l em e l t i n go r b o i l i n gt,h e r ei s a n i n p u to f
e n e r g yb
, u t n o c h a n g ei n t e m p e r a t u r e .
T h i sm e a n st h a t t h e r e i s n o c h a n g ei n K i n e t i cE n e r g yo f t h e m o l e c u l es i n c eK Ei s p r o p o r t i o n at lo
t e mp e r a t u r e .
T h e e n e r g ys u p p l i e dt h e r e f o r eg o e si n t o i n c r e a s i ntgh e P Eo f t h e m o l e c u l e as n d a l s og i v e st h e
m o l e c u l e as d d i t i o n ael n e r g yt o d o w o r k a g a i n stth e a t m o s p h e r w
e h e nt h e r ei s a n i n c r e a s e
in
v o l u m ef r o m l i q u i dt o g a s .
SPECIFIC
LATENT
HEAT:
T h es p e c i f i cl a t e n th e a to f f u s i o no f a s u b s t a n c ies t h e a m o u n to f h e a te n e r g yt h a t m u s tb e
s u p p l i e dt o u n i t m a s s( 1 k g )o f t h e s u b s t a n cteo c a u s ei t t o c h a n g ep h a s ef r o m s o l i dt o l i q u i dA T
CONSTANT
TEMPERATU
RE.
T h i si s a l s oe q u a lt o t h e h e a td i s s i p a t e b
d y u n i t m a s so f t h e l i q u i dt o c a u s ei t t o b e c o m p l e t e l y
c o n v e r t e dt o s o l i dA T C O N S T A NTTE M P E R A T U R E .
T h e h e a ts u p p l i e dt o a m a s sm t o c a u s ei t t o c h a n g ep h a s ea t c o n s t a ntte m p e r a t u r ei,s g i v e nb y :
E = mL,where L is the specificlatent heat of fusionor vaporization.
174
QUESTIONS
1.
( 1 )A n e l e c t r i ck e t t l ew i t h a 2 0 0 0 Wh e a t i n ge l e m e n th a sa h e a tc a p a c i t yo f 4 O 0 J K
1 k go f w a t e ra t
2 0 " Ci s p u t i n t h e k e t t l e .T h e k e t t l ei s s w i t c h e do n a n d i t i s f o u n dt h a t 1 3 m i n u t e sl a i e r ,t h e m a s s
o f w a t e r i n i t i s 0 . 5 k g .l g n o r i n gh e a t l o s s e sc, a l c u l a t e
a v a l u ef o r t h e s p e c i f i cl a t e n th e a to f
v a p o r i z a t i oonf w a t e r .T h es p e c i f i ch e a tc a p a c i t yo f w a t e r i s 4 2 0 0J k g - 11K.
A n s2 . 3 8x 1 0 6 J k g - N
t . (o t et h a t i n t h i s q u e s t i o nt,h e H E A TC A P C I TaYs o p p o s e dt o S p E C t F IhCe a t
c a p a c i t yw a s g i v e nf o r t h e k e t t l e .T h e h e a ta b s o r b e db y t h e k e t t l ei s g i v e nb y E = C 4 0 . )
( 2 )T h e b u r n e ro n a s t o v es u p p l i e sh e a ta t a r a t eo f 8 0 0 W. A p o t o f m a s sO . 7 5 k gm a d eo f a n a l l o y
t h a t h a sa S P E C I F H
I CE A TC A P A C I ToYf 5 5 0 J k g - 1 K
- td i n i t i a l t e m p e r a t u roef 2 0 " C i sp l a c e do n t h e
an
s t o v ew h i l et h e b u r n e ri s o f f .
W h i l et h e b u r n e ri s s t i l lo f f , 5 0 0 go f w a t e rf r o m t h e t a p a t 2 4 " Ci s p u t i n t h e p o t , a n d s o m e
v e g e t a b l efsr o m t h e r e f r i g e r a t o rh,a v i n ga m e a nt e m p e r a t u r eo f 6 ' C a n d m a s so f 1 . 2 k ga r e a l s o
p u t i n a n dt h e t e m p e r a t u r oe f t h e p o t a n d i t sc o n t e n t fsa l l t o L 6 ' C .
( a ) F i n dt h e s p e c i f i ch e a tc a p a c i t yo f t h e v e g e t a b l eass s u m i n g
n o h e a tl o s s e s . ( A n1s5 3 7 . 5 J k1gt <1 )
tK-t
T h e s p e c i f i ch e a tc a p a c i t yo f w a t e r i s 4 2 0 0 J k g
( b ) A f i e r t h eb u r n e ri s s w i t c h e do n , i t i s f o u n dt h a t a f t e r x m i n u t e st;h e t e m p e r a t u r eo f t h e
c o n t e n t si n t h e p o t i s 9 8 ' C .D e t e r m i n et h e v a l u eo f x i f :
( i ) T h eh e a tl o s tt o t h e s u r r o u n d i n gi ssn e g l i g i b l e
( i i ) 2 0 %o f t h e h e a ts u p p l i e db y t h e b u r n e ri s l o s tt o t h e s u r r o u n d i n g s .
A n s7 . 4 4m i n , 9 . 3 m i n )
'
( 3 )A w e l l l a g g e dm e t a la l l o yc a l o r i m e t eor f m a s s1 5 0 9c o n t a i n s2 3 0 9o f w a t e r a n d 8 0 go f i c e ,a l l a t
0 ' C .S t e a ma t 1 0 0 ' Cc o n t a i n i n cg o n d e n s e w
d a t e r a l s oa t 1 0 0 ' Ci s b u b b l e dt h r o u g ht h e m i x t u r e
u n t i lt h e t e m p e r a t u r eo f t h e c a l o r i m e t ear n d i t s c o n t e n t si s 4 4 ' C .l f t h e t o t a l m a s so f t h e
c a l o r i m e t ear n d i t s c o n t e n t si n c r e a s ebsy 5 6 9 ,f i n d t h e p e r c e n t a goef w a t e r i n t h e s t e a m . [ T h e
s p e c i f i cl a t e n th e a to f v a p o r i z a t i oonf w a t e ra t 1 0 0 " Ci s 2 2 6 0J g ' ; s p e c i f i cl a t e n th e a to f f u s i o no f
ic
i c ea t O ' Ci s 3 3 4 J g1 ; s p e c i f h
e a tc a p a c i t yo f m e t a la l l o yi s 0 . 5 4 J gt K 1 ,t h e m e a ns p e c i f i ch e a t
1
K
c a p a c i t yo f w a t e r i s 4 . 1 8 J g 1
i A n s4 1 . 4 % )
175
at
, w i n d i n ge n g i n ew o u l d r a i s ea c a g ew e i g h ' i n1g0 O 0 k g
( a ) l n t h e a b s e n c eo f b e a r i n gf r i c t i o n a
1,
p
e
r
r
e
q
u
i
r
e
d
i
s
2
0
'
C
a
t
i
n
i
t
i
a
l
l
y
o
i
l
m
u
c
h
1 0 m s b u t t h i s i s r e d u c e db y f r i c t i o nt o 9 m s - t .H o w
s o w nt o 7 0 " C ?T h es p e c i f i ch e a tc a p a c i t yo f o i l i s
s e c o n dt o k e e pt h e t e m p e r a t u r eo f t h e b e a r i n g d
t , g = 9 . 8 1 m s2 > A n s : 0 . 0 9 3 4 K g '
21O0Jkg-tK
1.
o f 4 4 M Jk g A s s u m i n tgh a t 7 0 p e r c e n to f t h e h e a ti s
( 5 ) F u r n a c eo i l h a sa h e a to f c o m b u s t i o n
u s e f u l h, o w m a n yk i l o g r a m os f o i l a r e r e q u i r e dt o r a i s et h e t e m p e r a t u r eo f 2 0 0 0 k go f w a t e rf r o m
20"Cto 99'C.[Ans.22kg]
g a t e r a t 1 0 0 " Ci s b u b b l e dt h r o u g ha m i x t u r eo f 5 4 0g o f w a t e r
( 6 )A m i x t u r e o f s t e a mc o n t a i n i n w
1
a n d 7 0 go f i c e b o t h a t 0 " Ci n a c a l o r i m e t eor f m a s s2 0 0 9a n d s p e c i f i ch e a tc a p a c i t y0 . 4 5 j g .
D e t e r m i n et h e m a s so f t h e w a t e r i n t h e s t e a mi f t h e f i n a lt e m p e r a t u r eo f t h e c a l o r i m e t eirs 8 8 ' C
a n dt h e m a s so f t h e c o n t e n t si n c r e a s ebsy 3 2 g .
latentheatof
.[Thespecificlatentheat of vaporizationof water at 100'Cis2260 Jg''; specific
t K - t t, h e m e a ns p e c i f i c
f u s i o no f i c e a t 0 " Ci s 3 3 4 J g { ; s p e c i fhi ce a tc a p a c i t yo f m e t a la l l o yi s 0 . 5 4 J g
'K-'
h e a tc a p a c i t yo f w a t e r i s 4 . 1 8 J g
176
S o l u t i o nG u i d e l i n e s
( 1 ) H e a ta b s o r h r e b
d y e l e m e n t H 1 =( H e a tc a p a c i t y x) t e m p . c h a h g e =( 4 0 0 x S 0 ) J
H e a t a b s o r b e d b y w a t e r f o r t e r n p e r a t u r er i s e o n l y H r = M a s s * x s . h . c * xt e m p c h a n g ef r o m 2 0 t o B 0 )
H z =1 k g x 4 2 0 0 x 8 0
T o t a l h e a t r e q u i r e df o r t e m p c h a n g eo n l y = H , + H ,
Totalheat suppliedH=
p P o w e rx t i m e = 2 0 0 0x l - 3 x 6 0
T h e h e a t a v a i l a b l ef o r e v a p o r a t i n gw a t e r = H r - ( H r + H z )= H u
T h e m a s so f w a t e re v a p o r a t e=d 0 . 5 k g .
L n t e t t t h e a t o f v a p o r f . s a t i . o-n
Hu
0.5k9
( 2 ) l n i t i a l l y ' b o t h e p o t a n dt h e w a t e rh a da h i g h e tr e m p e r a t u rteh a nt h e f i n a lt e m p e r a t u r oe f t h e
m i x t u r eT. h i sm e a n st h a t a l l o f t h e h e a tr e q u i r e dt o h e a tt h e v e g e t a b l ecsa m ef r o m t h e p o t a n dt h e
w a t e ro n l y .
F i n dt h e h e a t l o s tb y t h e p o t a s i t st e m p e r a t u r ec h a n g e df r o m 2 O o C
t o 1 - 6 o C( H r )
F i n dt h e h e a t l o s tb v t h e w a t e r a s i t s t e m p e r a t u r ec h a n g e df r o m z 4 o c t o 1 6 o C( H 2 )
T h eT o t a lo f H 1a n d H 2r e p r e s e n tasl l o f t h e h e a ts u p p l i e d
to thevegetables.
T h et e m p e r a t u r ec h a n g eo f t h e v e g e t a b l e=sA 0 =1 6 o C- 6 o C =l _ 0 o c
Usec-
Heatsupplted(fu + Hz)
rnass x temp change
( b ) ( i ) T h e t e m p e r a t u r ec ' f e a c h c o m p a r r e n ti n t h e p o t i n c r e a s e df r o m 1 6 o Ct o 9 B o C .
H e n c et h e t e m p e r a t u r ec h a n g e= 8 2 K
F i n dt h ' ' e a t a b s o r b e di n d i v i d u a l l yb y t h e w a t e r , t h e p o t a n d t h e v e g e t a b l e si,. e . E 1) E z ,a n d E 3
F r r ; i l ' L o t a le n e r g ya b s o r b e db y a d d i n gE , + E r +E 3
power -!ry?:92 ;ilte time canbecalculated..
Sittr:e
time
( i i )l f 2 0 % o f h e a ti s l o s tt o t h e s u r r o u n d i n gt sh e n t h e b u r n e ri s 8 0 % e f f i c i e nst o t h e p o w e ro f t h e
b u r n e rn o w b e c o m e 0s . 8x 8 0 0 W .R e c a l c u l atthee t i m e a s a b o v e .
177
I
i
I
I
I
( 3 )C a l c u l a t :eH r =h e a ta b s o r b e db y t h e 1 5 0g c o n t a i n efrr o m O o Ct o 4 4 o C ;
H z =h e a ta b s o r b e db y 2 3 0 9w a t e rf r o m O o Ct o 4 4 o C
H : = h e a ta b s o r b e dt o m e l t 8 0 g o f i c et o w a t e ra t O o C
H a= h e a ta b s o r b e db y 8 0 g o f m e l t e di c ea t O o Ct o 4 4 o C .
F i n dt o t a l h e a ta b s o r b e dH r =H r +H r +H r +H o
T h eT o t a lm a s so f s t e a ma n d w a t e r = 5 6 9 .M a s so f w a t e r i n s t e a m= x .
M a s so f s t e a mo n l y = ( 5 6- x )
T h e h e a ts u p p l i e db y t h e w a t e r / s t e a mm i x t u r eh a st w o p a r t s .F i r s t l yt h e s t e a mc o m p o n e n t
a l o n ei s c o n v e r t e dt o w a t e r a t l - 0 0 o Ca,n dt h i s h e a ts u p p l i e d= ( 5 6- x ) 2 2 6 0 J= H s r
T h e na l l o f t h i s h o t w a t e r a t 1 0 0 o Cs u p p l i e sh e a ta s i t st e m p f a l l st o 4 4 o C
Hsz=56x4.18x56K
* H 5 2a n de q u a t et h i st o H e a ta b s o r b e d
F i n dT o t a lh e a ts u p p l i e d
i . e .H 5 1
H1.
S o l v ef o r x w h i c hi s t h e m a s so f w a t e r i n t h e s t e a m T
. h e nf i n d p e r c e n t a g be y d i v i d i n gt h e
v a l u eo f x b y t o t a l m a s so f m i x t u r e ( 5 6 g ) .
178
HEATTRANSFER
T H E R M ACL O N D U C T I O N :
.
C o n d u c t i o ins t h e t r a n s f e ro f h e a tb y d i r e c tc o n t a c to f p a r t i c l e o
s f m a t t e r .T h et r a n s f e ro f e n e r g y
c o u l db e p r i m a r i l yb y e l a s t i ci m p a c ta s i n f l u i d so r b y f r e e e l e c t r o nd i f f u s i o na s p r e d o m i n a nitn
m e t a l so r p h o n o nv i b r a t i o na s p r e d o m i n a nitn i n s u l a t o r sI n
. o t h e rw o r d s ,h e a ti s t r a n s f e r r e db y
conduction
w h e n a d j a c e nat t o m sv i b r a t ea g a i n sot n e a n o t h e r o
, r a s e l e c t r o n sm o v ef r o m a t o mt o
a t o m .C o n d u c t i o n
i s g r e a t e ri n s o l i d sw
, h e r ea t o m sa r e i n c o n s t a nct o n t a c t I. n l i q u i d s( e x c e p t
t i q u i dm e t a l s )a n d g a s e st,h e m o l e c u l e as r e u s u a l l yf u r t h e ra p a r t ,g i v i n ga l o w e rc h a n c eo f
m o l e c u l ecso l l i d i n ag n d p a s s i n og n t h e r m a e
l nergy.
M e t a l s( e . g .c o p p e r ,p l a t i n u mg, o l d ,i r o n ,e t c . )a r e u s u a l l yt h e b e s tc o n d u c t o r os f t h e r m a le n e r g y .
T h i si s d u et o t h e w a y t h a t m e t a l sa r e c h e m i c a l lbyo n d e d m
: e t a l l i cb o n d s( a so p p o s e dt o c o v a l e n t
o r i o n i cb o n d s )h a v ef r e e - m o v i n e
gl e c t r o n w
s h i c ha r e a b l et o t r a n s f e rt h e r m a le n e r g yr a p i d l y
t h r o u g ht h e m e t a l .
A s d e n s i t yd e c r e a s esso d o e sc o n d u c t i o nT. h e r e f o r ef,l u i d s( a n de s p e c i a l lgya s e sa) r e l e s s
c o n d u c t i v eT. h i si s d u e t o t h e l a r g ed i s t a n c eb e t w e e na t o m si n a g a s :f e w e rc o l l i s i o nbse t w e e n
a t o m sm e a n sl e s sc o n d u c t i o nC. o n d u c t i v i toyf g a s e si n c r e a s ews i t h t e m p e r a t u r eC. o n d u c t i v i t y
i n c r e a s ews i t h i n c r e a s i npgr e s s u r e
f r o m v a c u u mu p t o a c r i t i c apl o i n tt h a t t h e d e n s i t yo f t h e g a si s
s u c ht h a t m o l e c u l e os f t h e g a sm a y b e e x p e c t e dt o c o l l i d ew i t h e a c ho t h e r b e f b r et h e y t r a n s f e r
h e a tf r o m o n e s u r f a c et o a n o t h e r A
. f t e rt h i s p o i n ti n d e n s i t yc, o n d u c t i v i tiyn c r e a s eosn l ys l i g h t l y
w i t h .i n c r e a s i npgr e s s u r e
a n dd e n s i t y .
T o q u a n t i f yt h e e a s ew i t h w h i c ha p a r t i c u l am
r e d i u mc o n d u c t se, n g i n e e res m p l o yt h e t h e r m o l
conductivity,alsoknown as the conductivityconstantor conductioncoefficient,k.
179
L ONDUCTIVITY
ONFT H E R M A C
DETERMINATIO
e .Sg .m e t a l s :
G O O DC O N D U C T O R
sat
t h e t h e r m a cl o n d u c t i v i toyf a m e t a l t, h e r em u s tb e t w o r e q u i r e m e n t h
I n o r c l e tro m e a s u r e
r r r u s bt e m e t :
H e a tm u s tf l o w t h r o u g ht h e s a m p l ea t a m e a s u r a b lrea t e .
T h et e m p e r a t u r ge r a d i e nat l o n gt h e s a m p l em u s tb e s t e e pe n o u g ht o g i v em e a s u r a b lvea l u e sT. h e
L0
e e r u n i t l e n g t hi . e .k t e m p e r a t u r ge r a d i e nits t h e c h a n g ei n t e m p e r a t u r p
I
I t i s v e r ye a s yt o s a t i s f tyh e f i r s tr e q u i r e m e nsti n c em e t a lg e n e r a l layl l o wa r a p i dh e a tf l o w ,
h a w e v e rt h i s p l o p e r t ym a k e si t a b i t d i f f i c u l t o g e t a s t e e pt e m p e r a t u r eg r a d i e n tT. h e p r o b l e mi s
b y h a v i n gt h e s a m p l ei n t h e f o r m o f a u n i f o r mb a r w i t h t h e m a g n i t u d eo f t h e l e n g t h
overcorne
. t y p i c a sl e to f d i m e n s i o nasr e ; L E N G T=H2 0 c m
the diameterA
i : e i n gm u c hg r e a t e r t h a n
D i A N 4 E T=
E 4Rc m .
iaggi
180
T h e b a r i s h e a t e db y a c o i la t H a n d c o o l e db y c i r c u l a t i nw
g a t e r a t B .T h ew h o l ea p p a r a t u iss
h e a v i l yl a g g e dw i t h w o o l .
T h et e m p e r a t u r ge r a d i e nits m e a s u r e b
d y h a v i n gt w o t h e r m o m e t e rpsl a c e di n h o l e sd r i l l e di n t h e
b a r ; t h eh o l e sa r e f i l l e dw i t h m e r c u r yt o e n s u r eg o o dt h e r m a lc o n t a c ta n dt h e r e f o r er e d u c e se r r o r s
d u e t o h e a tl o s s e s .
T h ec o o l i n gw a t e rf l o w si n a t E , ( a r o u n da c o p p e rc o i lw h i c hi s s o l d e r e tdo t h e b a r )a n do u t a t G .
T h ew a t e rl e a v i n g
a t G i s w a r m e rt h a nt h a t a t c o m i n gi n a t E , h e n c et h e w a t e rt e m p e r a t u rfea l l s
c o n t i n u o u sa
l yl o n gt h e b a r .
T h ew h o l ea p p a r a t u iss l e f t r u n n i n gw i t h a c o n s t a n ft l o w r a t e o f w a t e r u n t i la l l t h e t e m p e r a t u r e s
h a v eb e c o m ec o n s t a n t .
T h ef l o w r a t eo f t h e w a t e ri s m e a s u r e w
d i t h a m e a s u r i ncgy l i n d ear n da s t o pw a t c h .
C al c u l a t i o n :
a
l f A i s t h e c r o s ss e c t i o n aal r e ao f t h e b a r a n d k i s t h e t h e r m a lc o n d u c t i v i t yt h, e n t h e h e a tf l o w p e r
s e c o n dt h r o u g ha s e c t i o ns u c ha sS i s g i v e nb y :
a- - k A, - e z - e r
t
"^-
I
T h i se q u a t i o ni s u s e dt o d e f i n et h e t h e r m a lc o n d u c t i v i tky. T h et h e r m a lc o n d u c t i v i t yk i s d e f i n e d
as the rate of heat flow througha materialper unit area per unit temperaturegradient.
T h i sh e a t i s c a r r i e da w a yb y t h e c o o l i n gw a t e r ;i f a m a s sm o f s p e c i f i ch e a tc a p a c i t yc * f l o w s
t h r o u g ht h e p o i n tF i n o n e s e c o n dt,h e n t h e h e a tc a r r i e da w a yi s g i v e nb y m c * ( 0 0- 0 r ) .
.
At steadvstateconditions,the rate of heat enersvsuppli.ed
bv the heater.is equalto the rate at
w h i c ht h e h e a t i s c a r r i e da w a v b v t h e w a t e r . H e n c e :
kA
0"-0t
,
L
:trlcw(O+-0s)
T h i sa p p a r a t u si s u s e dt o s h o wt h a t t h e t h e r m a lc o n d u c t i v i tiys c o n s t a not v e rs m a l lr a n g e so f
t e m p e r a t u r eT. o d o t h i st h e r a t eo f f l o w o f c o o l i n gw a t e r i s i n c r e a s eadn d t h i s c a u s e st h e o u t f l o w
t e m p e r a t u r0
e at r d e c r e a sw
e h i c hi n t u r n c a u s e 0s t t o d e c r e a s eT.h i st h e n c a u s e tsh e
t e m p e r a t u r ge r a d i e not f t h e b a rt o i n c r e a saes ( 0 , - 0 r ) i n c r e a s e s .
181
T h eq u a nt i t y f u !
RR
EA D I E NFTo. ra w e l l- l a g g e db a rt h e t e m p e r a t u r e
i s c a l l e dt h e T E M P E R A T UG
g r a d i e n it s c o n s t a nat n d a g r a p ho f t e m p e r a t u r ev e r s u sl e n g t h w
, i l l g i v ea s t r a i g h lti n ew i t h a
n e g a t i v eg r a d i e n t .
l f h o w e v e rt h e b a r i s u n l a g g e d
o r p o o r l yl a g g e dt,h e n
h e a te n e r g yw i l l e s c a p ef r o m t h e s i d e sa n dt h e
t e m p e r a t u r ceh a n g ew i l l n o t b e u n i f o r ma l o n gt h e
l e n g t hT
. h eg r a p ho f t e m p e r a t u r ev e r s u sl e n g t hw i l l n o
l o n g e rb e a s t r a i g hlti n e :
length
length
182
BADCODUCTORS:
I n m e a s u r i n tgh e t h e r m a lc o n d u c t i v i tfyo r p o o rc o n d u c t o r st h, e r e i s a d i f f i c u l t yi n g e t t i n ga
m e a s u r a b lhee a tf l o W .
T o o v e r c o m et h i s ,t h e s a m p l ei s m a d ei n t h e f o r m o f a t h i n d i s c" D " , a b o u t1 0 c mi h d i a m e t e ra n d
a f e w m i l l i m e t e rtsh i c k .
I t i s h e a t e db y a s t e a mc h e s tC ,w h o s eb o t t o mi s t h i c ke n o u g ht o c o n t a i na h o l ef o r a
thermometer.
T h es a m p l er e s t so n a t h i c kb r a s ss l a bB , a l s oc o n t a i n i nag t h e r m o m e t e r .
T h ew h o l ea p p a r a t uiss h u n gi n
steam
.l !' tr,/.t /,,' ! lt l l Lt' i...r t t.t /.t./ l.r l l t t.r t l.r / il l t l l t.r il, t t t t /,
'
I r'.r'/ r'.i I I I Lr i.r t t t t I I / Lt I r'.JrtT t i i i Lt r' t.l.t.r I t' t,t r' t
01
'.r
ir'l././Ir'tr',4i.rIi./Il.rttILt//./l.',./.1,rtr't,/r',r,/,r./I/Lrtt,
'!
ll
Lt,'1,'t'.lltt/,,1t./lt'li.rlt.rt.r'./trtll.Jtl.rtit,r/l.rtJl.rl.
02
B
T o e n s u r eg o o dt h e r m a lc o n t a c tt,h e a d j o i n i n gr a c e su f C , D a n d B m u s t b e f l a t a n d c l e a n ;t h o s e o f
C a n i JB s h o u l db e p o l i s h e dA. b i t o f p e t r o l e u mj e l l yi s s m e a r e do v e re a c hf a c et o i m p r o v et h e
contact.
W h e nt h e t e m p e r a t u r e hs a v eb e c o m es t e a d yt,h e h e a tp a s s i n g
f r o m C t h r o u g hD e s c a p e fsr o m B
b y r a d i a t i o na n d c o n v e c t i o n
. l t s r a t eo f e s c a p ef r o m B i s a p p r o x i m a t e lpyr o p o r t i o n at lo t h e
d i f f e r e n c ei n t e m p e r a t u r eo f B a n dt h e r o o mt e m p e r a t u r e .
T h e s u r f a c eB a c q u i r e sa s t e a d yt e m p e r a t u r e0 1s u c ht h a t t h e r a t eo f l o s so f h e a tt o t h e o u t s i d ei s
j u s t e q u a lt o t h e g a i no f h e a tt h r o u g ht h e s u r f a c eD .T h e r a t eo f l o s so f h e a tf r o m t h e s i d e so f D i s
n e g l i g i b l,eb e c a u s e
t h e i r s u r f a c ea r e ai s s m a l l .
T y p i c avl a l u e sf o r t e m p e r a t u r eas r e : 0 r - 7 0 " Ca n d 0 z= 1 0 0 " CT. h e r ei s t h e p r o b l e mt o f i n d t h e
r a t eo f h e a tl o s sf r o m B .T h i si s o v e r c o m eb y r e m o v i n gt h e s a m p l eD a n d h e a t i n gt h e s u r f a c eB
d i r e c t l yf r o m C u n t i l i t st e m p e r a t u r eh a sr i s e nb y a b o u t1 0 ' C .
183
s f a b o u to n e
C i s t h e n r e m o v e da n dt h e t o p o f B i s c o v e r e da g a i nw i t h t h e s a m p l eD . A t i n t e r v a l o
d n da g r a p ho f t e m p e r a t u rve. s .t i m e i s p l o t t e d .
m i n u t e t, h e t e m p e r a t u r oe f B i s m e a s u r e a
length
f h e r a t ea t w h i c hB l o s e sh e L ta t t h e t e m p e r a t u r e0 i i s g i v e nb y :
heat lostper secona! = Mc x temperature f allper second
t
T h eg r a p hw i l l h a v ea g e n e r a l l cy u r v e ds h a p ea n d t o f i n d t h e r a t eo f f a l l o f t e m p e r a t u r ea t 0 1 ,
t a n g e n t o t h e c u r v ei s d r a w na t 0 1a n dt h e g r a d i e ndt e t e r m i n e d .
l f t h e g r a d i e nat t 0 1i s e q u a tl o f t f t e n
k A 9 ' - , 0 '- M c +
TN
W h e r eM i s t h e m a s so f t h e s l a ba n d c i s i t ss p e c i f i hc e a tc a p a c i t y .
H e n c ek c a nt h e n b e c a l c u l a t e d .
184
Applicationsof ThermalConductivityin Compositeslabs:
l n s o m ea p p l i a n c efso r e x a m p l er e f r i g e r a t o rasn d o v e n s t, h e w a l l sa r e m a d eo f s l a b so f d i f f e r e n t
m a t e r i a l tso s e r v et h e d u a lp u r p o s eo f p r o v i d i n gr i g i d i t ya sw e l l a s r e d u c i n gt h e t r a n s f e ro f h e a t
b e t w e e nt h e s u r r o u n d i n gasn dt h e i n t e r i o o
r f t h e r e f r i g e r a t oorr o v e n .
S o m ew i n d o w sa r e a l s om a d eo f a d o u b l eg l a s sp a n es e p a r a t e d
b y a s t a g n a nlta y e ro f a i r .T h e
g l a s ss e r v e sa s a t r a n s p a r e nm
t e d i u mt o a l l o wt h e e n t r a n c eo f l i g h t ,w h i l et h e l a y e ro f a i r s e r v e sa s
a t h e r m a li n s u l a t o r .
I n b o t h o f t h e a b o v ee x a m p l e st ,h e h e a te n e r g yf l o w st h r o u g ha m e d i u mt h a t i s c o m p o s e do f
d i f f e r e nm
t a t e r i a las n dt h i sm e d i u mi s c a l l e da c o m p o s i t sel a b .
C o n s i d ear c o m p o s i t se l a bt h a t i s m a d ef r o m t w o s l a b so f m a t e r i aPl a n d R .l f P h a sa t h i c k n e sls1
a n dt h e r m a lc o n d u c t i v i tky1 ,w h i l eR h a sa t h i c k n e sls2a n dt h e r m a cl o n d u c t i v i tky2 ,t h e n u n d e r
s t e a d ys t a t ec o n d i t i o n st ,h e r a t eo f f l o w o f h e a tt h r o u g hP i s e x a c t l ye q u a lt o t h a t t h r o u g hR .
:.+
_Ft
r-t
r-l
-rl
-rl
.-. t
tt -)
H ence
a
k4(et - 0z)
kzA(oz- 0E)
t
h
l2
I n s o l v i n gp r o b l e m si n v o l v i n cgo m p o s i t sel a b st,h e c o n c e pot f E Q U I V A L E T
NH
T I C K N E iSsS
used.
T h e e q u i v a l e n t h i c k n e s so f s l a b P f o r e x a m p l ei s t h e t h i c k n e s so f t h e m a t e r i a lR t h a t w i l l a l l o w t h e
s a m e r a t e o f h e a t c o n d u c t i o na s t h e p r e s e n tt h i c k n e s so f s l a b P .
185
C o n s i d etrh e f o l l o w i n gs i t u a t i o n :
1,
l f p h a sa t h i c k n e s os f 5 m m a n d a t h e r m a lc o n d u c t i v i toy f O . 6 W m - 1 Kw h i l e R h a sa t h i c k n e s os f
x m m a n d a t h e r m a lc o n d u c t i v i toyf 0 . 3 2 W m - t K -wt ,h a t t h i c k n e sos f R c a n b e u s e dt o r e p l a c eP ,
a s s u m i ntgh a t P a n d R h a v et h e s a m ea r e a ?
T h e p r o b l e mc a n b e s i m p l i f i e dw i t h t h e f o l l o w i n gd i a g r a m :
e2
I
l')
lt
Q_
t
F or the material P;
a
F or the material R ;
a
hlz
lz : -
kzlt
k1
=-
h
kzA(e1 - 0z)
I2
Since the heat f low rate and temperature
k6(er - o)
kA(eL - 0z)
dtf f ererlces are the same,then
k | A ( o L- o z )
kt -kz
IL lz
0 . 3 2x S m m
- 2.67mm
0.6
186
W o r k e de x a m p l e :
( 1 ) I n o r d e r t o r e d u c et h e h e a tl o s s e sf r o m a g l a s sc o n t a i n e rt,h e w a l l so f t h e c o n t a i n ear r e m a d e
o f t w o s h e e t so f t w o s h e e t so f g l a s se a c h2 . 5 m mt h i c kp l a c e d3 . 4 m ma p a r t ,w i t h t h a g a p b e t w e e n
t h e m f i l l e dw i t h p l a s t i c. T h et h e r m a lc o n d u c t i v i toyf g l a s si s 0 . 6 5 W m - t Kw
- th i l et h a t o f p l a s t i ci s
0.48Wm-1K-1.
C a l c u l a tteh e r a t i oo f t h e r a t eo f c o n d u c t i o no f h e a tp e r u n i t a r e at h r o u g ht h i s c o m p o s i t ew a l l t o
t h a t o f a s i n g l es h e e to f g l a s st h a t i s 5 m m t h i c k ,a s s u m i n gt h e s a m et e m p e r a t u r eisn b o t h c a s e s .
T o s i m p l i f yt h e p r o b l e mt h e p l a s t i cm u s t b e r e p l a c e db y a n e q u i v a l e ntth i c k n e sos f g l a s sh, e n c e
w e s h o u l du s et h e f o r m u l a:
kr
lt:
lz =
k2
kzlr
,
; L2:
k"
h
2 = g l a s sl =
; plastic
0 . 6 5x 3 . 4
- 4.6mm
0.4g
H e n c e4 . 6 m mo f g l a s sc o n d u c t st h e s a m ea s 3 . 4 m mo f p l a s t i cs, o t h a t t h e s l a bn o w b e c o m e s
2 . 5 m m+ 2 . 5 m m+ 4 . 6 m m= 9 . 6 m mo f g l a s so n l y .
T h e r a t eo f h e a tf l o w p e r u n i t a r e af o r t h e c o m p o s i t es l a bi s g i v e nb y
H 't : Q
At
-ksae -ksao
Ir
9.6
T h e r a t eo f h e a tf l o w p e r u n i t a r e ao f t h e s i n g l es h e e t5 m m g l a s si s g i v e nb y
Q
H',A:t 5 - k s a e
T h er a t i oH t I H z :
,ol
= 0.52
187
Worksheet
1 ) A n i r o n p l a t ei s 2 c m t h i c ka n d h a sa c r o s s - s e c t i o naar le ao f 8 0 0 0 c m ' O
. n ef a c ei s a t
1
5
'
C
.
1 8 0 " Ca n dt h e o t h e r i s a t
l f t h e t h e r m a lc o n d u c t i v i toyf i r o n i s 8 0 W mk
c a l c u l a t he o w m u c hh e a tp a s s etsh r o u g ht h e p l a t ee a c hs e c o n d .
( A N S5: . 9 2 x 1 0 s W )
2 ) A m e t a lp l a t ei s 5 c mt h i c k , h a sa s u r f a c ea r e ao f 2 5 O c ma2n do n e o f i t sf a c e si s
m a i n t a i n e da t 4 0 " C ,w h i l et h e o t h e r i s k e p ta t 1 3 0 ' C .l f t h e r a t eo f h e a tf l o w t h r o u g h
t h e ' p l a t ei s 4 5 0 0 W ,d e t e r m i n e
t h e t h e r m a cl o n d u c t i v i toyf t h e p l a t e .
( A N S: 1 0 0 W mL Kr )
3 ) A p o r t a b l ep l a s t i c o o l e ri s i n t h e s h a p eo f a c u b e ,w i t h e a c hi n s i d ee d g eb e i n g
45cm.The
w a l l sa r e 4 . 4 c mt h i c ka n d h a v ea t h e r m a lc o n d u c t i v i toyf 0 . 0 5 5 W m - t K -l ft .
t h e a m b i e n t ( o u t s i d) tee m p e r a t u ries 2 5 ' C ,d e t e r m i n e:
( i ) T h er a t eo f h e a tf l o w f r o m t h e e n v i r o n m e nt o
t t h e i n s i d eo f t h e c o o l e r
( i i )H o w m u c hi c ew i l l m e l t i n t h e c o o l e re a c hh o u r .
( T h es p e c i f i cl a t e n th e a to f f u s i o no f i c ei s 3 . 3 4x 1 O s J k1g)
( A N S3
: 7 . 9 7 W; 0 . a 1 k g )
4 l A w i n d o wm a d eo f s i n g l et h i c k n e sgsl a s sh a sd i m e n s i o nosf 1 2 0 c mx 5 0 c m x4 m m . l f t h e
, n dt h e t h e r m a l
o u t s i d et e m p e r a t u r ei s 2 0 " Ca n d t h e i n s i d et e m p e r a t u r ei s 2 6 " C a
c o n d u c t i v i toyf g l a s si s
tK-t,
0.80Wm
h o w m u c hh e a tw i l l f l o w t h r o u g ht h e g l a s se a c hh o u r ?
( A n s: 2 . 5 9 x1 0 6 J )
188
COMPOSITE
SLABPROBLEMS
W o r k e de x a m p l e
A c o n c r e t ew a l l m e a s u r e 6s m x 4 m x 2 0 c ma n d h a so n e o f i t s s u r f a c ecso v e r e dw i t h . f i b e r g l a st hsa t
i s 5 c mt h i c k .T h e i n n e ra n d o u t e rs u r f a c et e m p e r a t u r eosf t h e c o m p o s i t ew a l l ar e 2 2 " Ca n d 8 " C
a n dt h e t h e r m a lc o n d u c t i v i toyf c o n c r e t ei s 0 . 6 W m1 K1 ,w h i l et h a t f o r f i b e r g l a siss 0 . 0 4 W m1 K - 1 .
Calculate:
( i )T h et e m p e r a t u r ae t t h e j u n c t i o no f t h e f i b e r g l a sasn dc o n c r e t e
( i i )T h e r a t eo f h e a tf l o w t h r o u g ht h e c o m p o s i t ew a l l .
e2
ri:iririri:iririri:i::riri:ir:riri:ir:riri:i::ri
e1
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22"C
8"C
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5cm
20cm
fn n f f o f t h e s ec o m p o s i t es l a bq u e s t i o n so,n e v e r y i m p o r t a n ta s s u m p t i o ins m a d e ,a n d t h a t i s ;
S T E A DS
YT A T E
C O N D I T I O NESX I S TT.h i sm e a n st h a t t h e r a t eo f h e a tf l o w t h r o u g he a c hs e g m e n o
tf
t h e s l a bi s c o n s t a n t .
T h e r a t eo f h e a tf l o w t h r o u g ht h e f i b e r g l a siss g i v e nb y ;
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Q_kFA(eI-e) _ 0.04x24x(22-0r)
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0.0s
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T h e r a t eo f h e a tf l o w t h r o u g ht h e c o n c r e t ei s g i v e nb y
k c A ( 0 2- 0 r )
0.6x 24 x (02- B)
a
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l,
0.20
T h et w o e q u a t i o n sa r e e q u a lt o e a c ho t h e rs i n c et h e r a t eo f h e a tf l o w i s t h e s a m ei n b o t h c a s e s ,
s o t h a t 0 2c a n b e s o l v e dt o g i v ea v a l u eo f 1 0 . 9 5 " CT. h i sv a l u ei s t h e n s u b s t i t u t e d
i n a n yo f t h e
a b o v ee q u a t i o n tso g i v e? = 2 n . q W
189
W O R K SE
HE T
1K-1
i s a d h e r e dt o a g l a s sp l a t eo f
( 1 )A 2 c m m e t a lp l a t eh a v i n ga t h e r m a lc o n d u c t i v i toy f 1 0 5 W m
l
f
t
h
t h e s a m ea r e aa n d h a v i n ga t h e r m a lc o n d u c t i v i toy f O . 8 W m - 1 K - t . e s u r f a c eo f t h e e x p o s e dg l a s s
w h i l et h a t o f t h e m e t a li s k e p ta t 8 0 " C ,a n dt h e i n t e r f a c ei s a t 6 5 " C ,h o w
i s m a i n t a i n e da t 2 O " C
g
l
a
s
s
?
i
s
t
h
e
thick
( A N S0 . 4 6 m m )
2 ) A 3 c m m e t a lp l a t eh a v i n ga t h e r m a lc o n d u c t i v i toyf o f 1 2 0 W m - t Ki-st a d h e r e dt o a g l a s sp l a t eo f
t h e s a m ea r e aa n d h a v i n ga t h e r m a lc o n d u c t i v i toy f 1 . 6 W m - 1 K l-ftt.h e s u r f a c eo f t h e e x p o s e dg l a s s
i s m a i n t a i n e da t 3 0 " Cw h i l et h a t o f t h e m e t a li s k e p ta t 1 0 0 ' C ,a n dt h e i n t e r f a c ei s a t 8 5 " C ,h o w
.47mm)
t h i c ki s t h e g l a s s ? ( A N1S
(3) A cavitywall is madefrom two layersof gypsum2cm thick with an air spaceL2cmthick
b e t w e e nt h e m .
( i ) l f t h e t h e r m a lc o n d u c t i v i toyf g y p s u mi s 5 t i m e st h a t o f a i r c a l c u l a t teh e e q u i v a l e ntth i c k n e sos f
g y p s u mt h a t c a n r e p l a c et h e e x i s t i n ga i r s p a c ei n t h e w a l l .
( i i )T h et h e r m a lc o n d u c t i v i toy f g y p s u mi s O . 2 W m - t K -cta, l c u l a t teh e r a t eo f h e a tc o n d u c t e dp e r
u n i t a r e at h r o u g ht h e w a l l w h e n t h e i n s i d ea n d o u t s i d es u r f a c e os f t h e g y p s u ma r e 2 8 ' Ca n d L 6 ' C .
'
( A N S6 O c m :; . Z S W m - 2 )
( 4 ) ) A c a v i t yw a l l i s m a d ef r o m t w o l a y e r so f c l a y8 c mt h i c kw i t h a n a i r s p a c eL 5 c mt h i c kb e t w e e n
them.
sf
( i ) l f t h e t h e r m a lc o n d u c t i v i toyf c l a yi s 1 2 t i m e st h a t o f a i r c a l c u l a t teh e e q u i v a l e ntth i c k n e s o
theexistina
g i r s p a c ei n t h e w a l l .
c l a y t h a t c a nr e p l a c e
tK-t,
c a l c u l a t teh e r a t eo f h e a tc o n d u c t e dt h r o u g h
( i i )T h et h e r m a lc o n d u c t i v i toyf c l a yi s 0 . 7 5 W m
t h e w a l l i f t h e s u r f a c ea r e ao f t h e w a l l i s 4 O m 2w h e n t h e i n s i d ea n d o u t s i d es u r f a c e os f t h e c l a ya r e
34"Cand LS"C.
( A N S1 . 8 m; 2 4 4 . 9 W )
( 5 )A b e v e r a g e
c o o l e ri s m a d eo f a c o m p o s i t ew a l l h a v i n gt w o t h i n s h e e t so f m e t a ls e p a r a t e db y a
t h i c kl a y e ro f f i b e r g l a s sT.h e m e t a ls h e e t se a c hh a v ea t h i c k n e s os f 2 m m w h i l et h e f i b e r g l a siss
4 c m t h i c k .T h et h e r m a lc o n d u c t i v i toy f t h e m e t a li s 2 3 5 W m - t K -wt ,h i l et h a t o f t h e f i b e r g l a siss
O . O 5 W m - t K - t . ti n
hn
e e ra n d o u t e rt e m p e r a t u r eos f t h e c o o l e ra r e 2 5 ' Ca n d - 1
F i n d( i )T h ee q u i v a l e n t
t h i c k n e so
s f m e t a lt h a t c a n
metal
me;l
-10"c r e p l a c et h e f i b e r g l a s s
25"C
(ii)The rate of heatflow per
u n i t a r e at h r o u g ht h e w a l l
r
II A n s :1 3 8 m ; 59.6\tim
190
( 6 )A 4 c m m e t a lp l a t eh a v i n ga t h e r m a lc o n d u c t i v i toyf o f 2 1 5 W mt K - ti s a d h e r e dt o a g l a s sp l a t e
1 Kt .
o f t h e s a m ea r e aa n d h a v i n ga t h e r m a lc o n d u c t i v i toyf 0 . 8 W m
l f t h e s u r f a c eo f ' t h ee x p o s e d
g l a s si s m a i n t a i n e da t - 4 " Cw h i l et h a t o f t h e m e t a li s k e p ta t 8 0 " C ,a n dt h e g l a s si s 2 m m t h i c k ,
determine
t h e e q u i v a l e nt h
t i c k n e sosf m e t a l t h a tc a nr e p l a c e
t h e g l a s sa n d h e n c ef i n dt h e
in t e r f a c et e mp e r a t ur e .
(53.75cm;74.2"C)
( 7 )A 2 . 5 c mm e t a lp l a t eh a v i n ga t h e r m a lc o n d u c t i v i toyf o f 1 8 0 W m - t K i-st a d h e r e dt o a g l a s sp l a t e
1 Kt .
o f t h e s a m ea r e aa n d h a v i n ga t h e r m a lc o n d u c t i v i toyf 1 . 2 W m
l f t h e s u r f a c eo f t h e e x p o s e d
g l a s si s m a i n t a i n e da t - 6 " Cw h i l et h a t o f t h e m e t a li s k e p ta t 1 l - O " Ca,n dt h e g l a s si s 4 m m t h i c k ,
determine
t h e e q u i v a l e nt h
t i c k n e sosf m e t a lt h a t c a nr e p l a c e
t h e g l a s sa n d h e n c ef i n dt h e
interfacetem perature.
( 6 0 c m ;1 0 5 . 3 6 " C )
191
CONVECTION
Heat Transfer Through Convection
Like conduction and unlike radiation, convection requires a medium. However, in
conductionthe heatis transferredfrom one moleculeto another,whereasin convectionthe
heatedfluid itself is actuallymoving.As it does,it removesor displacescold air in its path.
The flow of heatedfluid in this situationis calleda convectioncurrent.
Convectionis of two types:naturaland forced.Heatedair rising is an exampleof natural
conyection.Hot air has a lolver densitythan that of the coolerair in the atmosphere
above
it and thereforeis buolzant;as it rises,however,,it losesenergyand cools.This cooledair,
now denserthan the air around it, sinks agarn,creating a repeatingcycle that generates
wind.
Forced convectionoccurs when a pump or other mechanismmoves the heated fluid.
Examples of forced-convectionapparatusesinclude some types of ovens and even
refrigeratorsor air conditioners.As notedearlier,it is possibleto transferheat only from a
high-temperature
reservoirto a low-temperatureone, and thus these cooling machines
work by removinghot air. The refrigeratorpulls heatfrom its compartmentand expelsit to
the surounding room, #hile an air conditionerpulls heat from a room or building and
releases
it to the outside.
Forcedconvectiondoesnot necessarilyinvolve man-mademachines:the humanheartis a
pump, and blood carriesexcessheat generatedby the body to the skin. The heat passes
throughthe skin by meansof conduction,and at the surfaceof the skin it is removedfrom
the body in a uumberof ways.primarily by the coolingevaporationof perspiration.
Real-LifeApplications
ConvectiveCells
One impoftantmechanismof convection,whetherin the air, water,or eventhe solid earth,
is the convectivecell,,sometimesknown as the convectioncell. The lattermay be defined
as the circularpatterncreatedby the rising of warmedfluid and the sinkingof cooledfluid.
Convectivecells may be only a few millimetersacross,or they may be largerthan Earth
rtsell.
Thesecells can be observedon a number of scales.Inside a bowl of soup,,heatedfluid
rises,and cooled fluid drops. Theseprocessesare usually hard to see unlessthe dish in
questionhappensto be one such as Japanesemiso soup. In this case,piecesof soybean
paste,or miso, can be observedas they rise when heatedand then drop down into the
interiorto be heatedagain.
On a vastly greaterscale,convectivecells are presentin the Sun. Thesevast cells appear
cn ihe Sun's surfa*e as a grainy pattern formed by the variationsin temperaturebetween
ti;" parts of the cell. The bright spotsare the top of rising convectioncuffents,while the
dark areasare cooledgas on its way to the solar interior,where it will be heatedand rise
asain.
192
A Sca Brceze
Cottvective ce'lls"afong w'ith conveclion cun'ents, help explain why there is usually a
breezc-at the bearch.t\t the seaside.o1''course, there is a land surface and a water srrrtacc.
both exposeclto the Sutr'slight. UniJcr such exposure,the temperatureof land rises lrlore
'T"he
quickly'than that ot'\\ ittcr.
reast-rt-i
is tliat rvaterhas an extraordinarilyhigh specilic heat
capaciti,'. that is. thc atnount cll'heatthat rnust be addedto or removed from a unil of-rnliss
f o r a g i r e n s u b s t a n c et o e h a n g c i t s t e n r p e r a t r - rbr ey 3 3 . 8 " F ( l ' C ) . T h u s a l a k c . s t r e a n r o r
ocean is alrvays a goocl 1-.lliceto c-ooltlou'n olt a hot summer day.
The land. then. tends to heat up more quic-kly,as does the air above it. This heatedair liscs
in a convection cllt-renl.but as it rises and thus overcomesthe pull of gravity, it crpcrrrls
-I'he
enel'g) and titerctbrc bcsirrs to cool.
cooled air then sinks. And so it goes. n'itlr trir:
h e a t e d a r i r . r ' i s i n ga n c i t h e c o o i i n g a i r s i n k i n g , f o n n i n g a c o n v e c t i v ec e l l t h a t c c n t i n u a l l l '
c i r c u l a t e sa i r . c r e a t i r i ga b r c c z e.
C o n v e c t i rc I c l l s L i n c l g 'i ) u r F r ' c t
Cottvectil.e r.:ellsalsr-rcan cxist in thc solirl earth, r.vherethey cause the plates (nqlg!]_q
segtnetrts)of therlithosphcrc--thc Lrpllcrlayer of Earth's interior, including the cgrlstancl
the bfr:tlS portion at thb 11'''p
of thc nrantle -to shift. They thus play a role in platc 1_q_r=Jq.n1!.s,
o n e o f ' t l t c t u o s t i t n p o r t a n la r e ; r so 1 = s t u d ti'n t h e e a r - t hs c i e n c e s P
. l a t e t e c t o n i c sc r p l a i r r s ; r
r,'at'ietvof phettt-rntcna.ralrgirre tl'c:rnr;ot-ttinentaldrift to earlhquakesand volcanil(:-q"(Sec
-I'c:ctonic.,s
Plate
l o l " r n u c l rn t o r c o n t i r i s s r r h j c c t . )
\\'hct'clrs tlic Sutt's clccfronraglrt-'ticelrergy is the source of heat behind atnrerspheric
(r ,'.
;" tlrc ,inersv that clrivcs gcologic convection is geothenlal, rising Llp ll"oiir'
L , i i t l ; i . :r r - ) l -icl : i r l ' c s t r l lo t - r a d r o a c t i v ed e c a y .( S e e E n e r g y a n d E a r t h . )T h e c o n r e c l i v e c e l l s
fcnn iti tltr: aS!bgr:g.tp!_tS:_r:.
a region of crtrernely high pressure at a depth of abclut 60-l ! 5
(about
rni.
l()(,)-i5()knrl" *'herc rocks are dq&ruEd by enormousstresses.
In thc astltcttosphere.
heated material rises in a convection cument until it hits the bottorn
of the lithospl1crc(the upper layer o1'Earth'sinterior, colnprising the crust and the tolr r-r1'
the rrrantle). bevottri r,r'hich it cannot rise. Therefore it begins moving lateralll,'or
horizontally.and as it ckresso. it clragspart crfthe lithosphere.At the same timc, tlris lrcatccl
material pushes a\\'a)' cooler. denscr material in its path. The cooler material sink-slorver
i n t o t h e t n a n t l e( t h c t l r i c k . c l e n s el a l , e r o f r o c k , a p p r o x i m a t e l y1 , 1 2 9r n i . [ 2 , 3 0 0 k t n ] t h i c k .
betr,l'een f:rtrth's cnrst anii core) until it heats again and ultimately rises Ltlt, ihus
propagatirrg the cr.'clc.
193
When a Non-Fluid Acts Like a Fluid
Up to this point we have spoken primarily of convection in the atmosphereand the
geosphere,but it is of importancealso in the oceans.The miso soup examplegiven earlier
illustratesthe movementof fluid, and henceof particles,that can occur when a.convective
cell is setup in a liquid.
Likewise, in the oceanconvection-driven both by heat from the surfaceand, to a greater
extent, by geothermalenergy at the bottom-keeps the waters in constant circulation.
Oceanic convection results in the transfer of heat throughout the depths and keeps the
ocean stably stratified. In other words, the strata, or layers, coffespondingto various
temperaturelevels are kept stableand do not wildl)z fluctuate.
Ocean waters fit the most common, everyday definition of fluid, but as noted at the
beginningof this essay,a fluid can be anythingthat flows-including a gas or, in special
a solid. Solid rocksor solid ice, in the form of glaciers,can be madeto flow
circumstances,
if the materialsare deformed sufficiently. This occurs,for instance,when the weight of a
glacierdeformsice at the bottom, thus causingthe glacieras a whole to move. Likewise,
geothermalenergy can heat rock and causeit to flow, setting into motion the convective
processof platetectonics',
describedearlier,which literally movesthe earth.
194
RADIATION
Radiation
i s t h e m e t h o db y w h i c ha n o b j e c t a n d i t s e n v i r o n m e nct a ne x c h a n g teh e r m a le n e r g yv i a
E L E C T R O M A G N EWTA
I CV E Ss u c ha sv i s i b l el i g h ta n d i n f r a - r e dw a v e s
T h e e n e r g yt r a n s f e r r e di n t h i sw a y i s c a l l e dT H E R M AR
L A D I A T I OaNn d i s q u i t ed i s t i n c ft r o m
e l e c t r o m a g n e tsi ci g n a l s u c ha s r a d i o - w a v e s .
E l e c t r o m a g n e twi ca v e sc a nt r a v e lt h r o u g ha v a c u u m s, o t h a t n o m e d i u mi s r e q u i r e df o r t h e r m a l
radiation.
A BLACKBOD
i sYo n e t h a t a b s o r b sA L Lo f t h e t h e r m a lr a d i a t i o nf a l l i n go n i t . I n a s t a t eo f T H E R M A L
E Q U I L I B R I UaMb, o d ye m i t sa s m u c he n e r g ya s i t a b s o r b sh, e n c ea g o o da b s o r b eor f r a d i a t i o ni s
a l s oa g o o de m i t t e ro f r a d i a t i o n .
The rate at which a BLACKBODY
emitsthermalradiationis givenby the Stefan-Boltzmonn
equationwhich is expressed
as:
P - oATawhere o i"scalled the Stef an - Boltzmann constant, A
- surf ace area"and
T
- Tempera,ture in Kelvin (called the ABSOLUTE TEMPERATURE)
o - 5 . 6 7x 1 0 - 8 W m - 2 y - +
,
A l l o b j e c t sh a v i n ga t e m p e r a t u r eg r e a t e rt h a n a b s o l u t ez e r o ( Z e r K
o e l v i n r) a d i a t et h e r m a le n e r g y .
W h e na b l a c k b o diys a t a n a b s o l u t e
t e m p e r a t u rT
e a n d i s p l a c e di n a n e n v i r o n m e nt h
t a t h a sa
t e m p e r a t u r e Tt"h, e N E T r a t eo f e m i s s i o no f t h e r m a le n e r g yi s g i v e nb y :
P - oA(r1-rt)
R e c a ltlh a t I N T E N S I Ti sYd e f i n e da s p o w e rp e r u n i t a r e a ,h e n c ef r o m t h e S t e f a n - B o l t z m a n
Ln
aw,
t h e i n t e n s i t yo f r a d i a t i o nf r o m a b l a c k b o d cy a nb e e x p r e s s eads :
I - 6Ta; or a.lternatvely I - o(T4 - 7"t)
195
T H EG R E E N H O U SEEF F E C T
I h e G r e c n n o u s ee f f e c t i s a n i m p o r t a n t n a t u r a lm e c h a n i s ntrh a t a l i o w st l t e e a r t h t o a c h j e v ea
t e n r p i : r a t u r et h a t i s s u i t a b l ef o r l i f e t o b e s u s t a i n e d .
-i'he
r r e c h a n r s mi s e x p l a i n e da s f o l l o w s :
, h e r e s L r m eo f i t b e c o m e s
V i s i b l ei i g h t f r o m t h e s u n a r r i v e sa t t h e t o p o f t h e a t m o s p h e r e w
s c a t t e i e da s i t e n c o u n t e r sg a s m o l e c u l e s ,w h i l e s o m e i s r e f l e c t e db a c k i n t t l s p a c eb y t h e w h i t e
t.loucls.
[ " 1 o w t : v e sr -i r. - r caei r i s v e r y t r a n s p a r e n t ,m o s t o f t h e i n c o m i n gl i g h t p a s s e :t' h r o u g h t h e a t m o s p h e r e
a n t l i s i n c i d e n to n t h e e a r t h ' ss u r f a c e .A s m a l l p o r t i o n o f t h i s i n c i d e n tl i g h tv ; i l l b e r e f l e c t e db a c k
i i r t r l S t i , r C r: l u e t o t h e b r i g h t s u r f a c e ss u c h a Sw a t e r , S n o w a n c li c e .
t h a t i s a b s o r b e db y t h e e a r t h ' ss u r f a c ew h i c h c a u s e st h e e a r t h t o b e c o m e
l h e r - ' :r , : . ,i:a r g e . p o r t i o n
-i
i i i i r t t , r h i s i n c r e a s ei n t e m p e r a t u r eo f t h e e a r t h t h e n c a u s e si t t o r a d i a t ee l e c t r o m a g n e t i c
i - : r j i . ; t t o {r sr i n c ea n y b o d y t h a t h a s a t e m p e r a t u r eg r e a t e rt h a n a b s o l u t ez e r o i . e .z e r o K e l v i nw i l l
i , rr I t t :i i : r - trtJ t t t a g n e t irca di a t i o n) .
i l - i . :w . i v E : int g t h o f t h e e m i t t e d r a d i a t i o ni s d e p e n d e n t u p o n t h e e r r e r g yo f t h e b o d y . H e n c e
extrerrreih
y o t b o d i e sh a v e h i g h e n e r g ya n d w o u l d e m i t s h o r t w a v e l e n g t h sw h e r e a sw a r m b o d i e s
l ' t ; r v ri ,r-; ,w c r c n e r g y a n d w i l l e m i t l o n g w a v e l e n g t h s ( i nt h e i n f r a - r e dr e g i o n ) .
i i i r - ' i ; r ' t l i ' s : ; L t r f a ci seo n l y r e l a t i v e l y w a r ma n d w i l l t h e r e f o r ee m i t l o r r g w a v e l e n g t hisn t h e l R b a n d
i , r fi i r e e l e i t r o m a g n e t i cs p e c t r u m .T h e l R p h o t o n sa r e d i r e c t e da w a y f r o m t h e e a r t h ' ss u r f a c ea n d
. r i t i i . ; i ; i t - r o v eu p , t h e y s t r i k e t h e m o l e c u l e so f t h e g r e e n h o u s eg a s e sw h i c h a b s o r b ' t h ee n e r g y o f
i l r e ! R i i r r f r er e d ) r a v s .
T h i : ; t ; s o r | : t i o no f e n e r g yb y t h e g r e e n h o u s eg a s e sc a u s e st h e a t m o s p h e r et o h e a t u p a n d t h e y
t h e i r h e a t i n a l l d i r e c t i o n ss, o m e o f w h i c h i s d i r e c t e db a c k t o t h e e a r t h .T h e r e i s
i l ' i e ni ' c - r a d i a t e
c o n t i n u o u sc y c l i ce x c h a n g eo f h e a t b e t w e e n t h e e a r t h a n d t h e a t m o s p h e r ew h i c h i s
t i r i , : r ' r - , t gar e
r r f c r r e e jt o a s t h e T H EG R E E N H O U SEEF F E C Ta n d i t i s t h i s i m p o r t a n te f f e c tt h a t a l l o w st h e e a r t h
t e m p e r a t u r e ' o f1 5 ' C .
t , ; rh a v r . t t i A V E R A G E
'[-ht:
o f t h i s G r e e n h o u s eE f f e c tw o u l d h a v e c a u s e dt h e a v e r a g et e m p e r a t u r e o n t h e
aL:sence
e ; i i ' t h ' s> u r f a i cteo r e m a i n a t a p p r o x i m a t e l y- 1 5 ' C w h i c h w o u l d b e u n s u i t a b l ef o r s u s t a i n i n g t h e
n r a j o r i t yc f l i f e .
196
THE VACUUM FLASK
S t o p p e rm a d ef r o m
p l a s t i co r c o r k
O u t e rp l a s t i co r s t a i n l e s s
s t e e lc a s e
A d d i t i o n al a
l ggine
g.g.
w o o lf o r i n s u l a t i oann d
s h o c ka b s o r p t i o n
O u t e rl a y e ro f s i l v e r e dg l a s so r
p o l i s h e ds t a i n l e ssst e e l
Vacuum
l n n e rl a y e ro f s i l v e r e dg l a s so r
p o l i s h e sd t a i n l e ssst e e l
R u b b e rs u p p o r t sf o r i n n e r
v a c u u mc h a m b e r
T h ee s c a p eo f h e a te n e r g yi s p r e v e n t e do r s i g n i f i c a n t rl ye d u c e db y :
( 1 ) T h e s t o p p e ra t t h e t o p p r e v e n t sa i r f o r m e n t e r i n ga n d l e a v i n gs o n o h e a ti s l o s tb y c o n v e c t i o n .
( 2 ) T h ev a c u u mb e t w e e nt h e i n n e rw a l l sp r e v e n lto s so f h e a tb y c o n d u c t i ofnr o m t h e i n n e rw a l lt o
t h e o u t e rw a l l .
( 3 ) W h e ni n f r a - r e d
r a d i a t i o fnr o m t r i e st o l e a v et h e h o t l i q u i dl i q u i dt,h e s h i n ys u r f a c eo f t h e
w a l l sr e d u c et h e r a d i a t i o ns i g n i f i c a n t lA
y .l s ot h e r e f l e c t i o no f t h e l R r a d i a t i o nf r o m t h e o u t e r
s n ye s c a p e
w a l lt o t h e i n n e rw a l l p r e v e n t a
o f h e a tb y r a d i a t i o n .
T h ef l a s ka l s ow o r k sf o r k e e p i n gc o l dl i q u i d sb y p r e v e n t i n g
h e a tf r o m t h e e n v i r o n m e nftr o m
e n t e r i n gt h e f l a s k .
197
R
THE SOLARWATER HEATE
. e o g r a p h ilco c a t i o n ,
S o l a re n e r g yc a nm e e t p a r t o r a l l o f a h o m e ' sd o m e s t i ch o t w a t e r n e e d s G
s y s t e md e s i g nc, o l l e c t oor r i e n t a t i o na, n d c o l l e c t osr i z ew i l l d e t e r m i n eh o w m u c he n e r g yc a n b e
p r o v i d e df o r d o m e s t i ch o t w a t e r h e a t i n g .
s .a c hd i f f e r si n d e s i g nc, o s t ,p e r f o r m a n c e ,
S o l a rw a t e r h e a t e r sc o m ei n a v a r i e t yo f c o n f i g u r a t i o nE
. o s t s r T s t e mhsa v eb a c k - u pw a t e r h e a t i n gs u c ha s e l e c t r i c i toy r g a s .A
a n d l e v e lo f c o m p l e x i t yM
s f a h o t w a t e rs t o r a g et a n k ,a s o l a rc o l l e c t otrh a t
s o l a rw a t e r h e a t i n gs y s t e mu s u a l l yc o n s i s t o
a b s o r b s o l a re n e r g ya, b a c k - u pe n e r g ys o u r c ea, n d ( f o rf o r c e dc i r c u l a t i o sny s t e m sa) p u m pa n d
controls.
a n d f o r c e dc i r c u l a t i o nW
. i t h i ne a c ht y p e ,t h e r ea r e
T h e r ea r e t w o r n a i nt y p e so f s y s t e m sp: a s s i v e
w a t e r h e a t e rc o n s i s t os f a w a t e rt a n k i n t e g r a t e di n t o o r l o c a t e d
s .p a s s i v e
s e v e r acl o n f i g u r a t i o nA
a b o v ea s o l a rc o l l e c t o rI.n a n i n t e g r a t e dc o l l e c t osr t o r a g e( l C Ss) y s t e ma, l s oc a l l e db a t c hw a t e r
h e a t e r t, h e w a t e r i s h e a t e da n d s t o r e di n s i d et h e c o l l e c t o rT. h e s es y s t e m sa r e s u i t a b l eo n l y f o r
s y s t e mw h e r et h e s t o r a g ei s
w a r m c l i m a t e sw h e r et h e r ei s n o r i s ko f f r e e z i n gl.n a p a s s i v e
w
a
t
e
r
i
n
t
h
e
c
o
l
l
e
c
t
o
w
r
a
r
m
s
,
w
a t e rf l o w sb y n a t u r a cl o n v e c t i o n
f
r
o
m
t
h
e
c
o
l
l
e
c
t
o
r
a
,
s
separate
t h r o u g ht h e c o l l e c t otro t h e s t o r a g et a n k .A f o r c e dc i r c u l a t i o sny s t e mr e q u i r e sa p u m pt o m o v e
. o s t s o l a rw a t e r h e a t e r si n t h e U n i t e dS t a t e sa r e
w a t e rf r o m t h e s t o r a g et a n kt o t h e c o l l e c t o rM
t h e f o r c e dc i r c u l a t i o tny p e .
T h e r ea r e s e v e r atly p e so f s o l a rc o l l e c t o r sM. o s t c o n s i sot f a f l a t c o p p e rp l a t e ,p a i n t e db l a c k t, h a t
r l a t e .A s s o l a re n e r g yf a l l so n t h e c o p p e ip l a t ea n d i s
h a sw a t e rt u b e sa t t a c h e dt o t h e a b s o r b e p
t o w a t e rf l o w i n gi n t h e t u b e s .T h e a b s o r b epr l a t ei s m o u n t e d
a b s o r b e dt,h e e n e r g yi s t r a n s f e r r e d
r l a t ef r o m h e a tl o s s .
i n a c a s i n gt h a t h a sa c l e a rc o v e r i n ga n d i n s u l a t i o tno p r o t e c t h e a b s o r b e p
O t h e rc o l l e c t o r isn c l u d ea n i n t e g r a t e dc o l l e c t oar n d s t o r a g es y s t e ma n dt h e e v a c u a t e tdu b e
c o l l e c t o rI.n t e g r acl o l l e c t oar n d s t o r a g es y s t e m sc o m b i n et h e f u n c t i o no f h o t w a t e rs t o r a g ea n d
s o l a re n e r g yc o l l e c t i o ni n t o o n e u n i t .E v a c u a t etdu b e c o l l e c t o r ps r o d u c eh i g h e rt e m p e r a t u r e
w a t e ra n d a r e m o r ec o m p l e xt h a n f l a t p l a t ec o l l e c t o r sE. v a c u a t etdu b e c o l l e c t o rcso n s i sot f a
s e r i e so f t u b e st h a t c o n t a i na h e a tp i p et o a b s o r bs o l a re n e r g ya n dt r a n s f e irt t o a l i q u i dm e d i u m .
( v a c u u ms) o t h a t t h e r e i s v e r yl i t t l eh e a tl o s sf r o m t h e t u b e .M o s t s o l a r
T h et u b e sa r e e v a c u a t e d
c o l l e c t o r as r e r o o f - m o u n t e dS. o l a rw a t e r h e a t e r sa r e u s e df o r d o m e s t i ch o t w a t e r ,p o o l ' h e a t i n g
a n ds p a c eh e a t i n gn e e d s .
198
Trmprrutur+/Fr*r'*ur*
SsEetl&lve
Edch floctsr: Tanftcflrnsule*d
ber rit:lt *S|SJ-glien*d gl-rai*g
199
W o r k e de x a m p l e s
8 W m' K o )
( S t e f a n - B o l t z m acnonn s t a n =
t 5.7xL0
( 1 )A t t h e e a r t h ' ss u r f a c e , ' t hien t e n s i t yo f t h e r m a lr a d i a t i o nd u et o t h e s u n i s a p p r o x i m a t e l y
fromthe
1 4 0 O W m - l' f, t h e r a d i u so f t h e s u n i s 7 x 1 0 8 ma n dt h e e a r t hi s a t a d i s t a n c eo f L . 5 xl - 0 1 1 m
t e m p e r a t u r oe f t h e s u n .
thesurface
s u n ,d e t e r m i n e
A s s u m e t h a t t h es u n i s a p e r f e c ts p h e r e ( A = 4 n ra2n) d a p e r f e c tb l a c k b o d yT.h ee n e r g yr a d i a t e dp e r
s e c o n df r o m t h e s u n i s g i v e nb y
P -oATsa -o(4nr?)Tra
T h e d i s t a n c eb e t w e e nt h e e a r t ha n dt h e s u n r e p r e s e n ttsh e r a d i u so f o r b i t o f t h e e a r t h .
SOLUTION
T h e e n e r g yf r o m t h e s u n i s r a d i a t e di n a l l d i r e c t i o n is. e .i n t h e f o r m o f a s p h e r e h, e n c ea t t h e e a r t h ,
t h e d i s t a n c eb e t w e e nt h e e a r t ha n d t h e s u n r e p r e s e n ttsh e r a d i u so f t h e i m a g i n a r sy p h e r eo v e r
w h i c ht h e s u n ' se n e r g yi s r a d i a t e dT. h e r e f o r et h e A R E Ao v e rw h i c ht h e s u n ' se n e r g yi s ' r a d i a t e ids
given by Ao - 4rro2
T h e P o w e rp e r u n i t a r e ar a d i a t e df r o m t h e s u nA TT H EE A R T H 'SSU R F A Ci sEg i v e nb y :
o(4nr!)74
Powerfrom sun
Power
4 ,.
:i=""'j"L
:
an|
,r*t:
T =5 8 0 0 K .
204
( 2 )T h ef i l a m e n ot f a l a m pi s c y l i n d r i c a ln d h a sa l e n g t ho f 0 . 6 ma n da d i a m b t eor f 4 8 p r mT. h e
l a m pi s r a t e da t 7 5 W .l f t h e r a d i a t i o nf r o m t h e l a m pi s e q u i v a l e ntto 9 0 %o f t h a t o f a b l a c k b o d y
r a d i a t oa
r t t h e s a m et e m p e r a t u r ed,e t e r m i n e
t h e t e m p e r a t u r oe f t h e f i l a m e n t .
SOLUTION
T h ee n e r g yr a d i a t e df r o m t h e l a m pi s e q u a lb 9 A %o f 7 5 W = 0 . 9 x 7 5 W = 6 7 . 5 W .
T h es u r f a c ea r e ao f t h e f i l a m e n ti s e q u a lt o t h e s u r f a c ea r e ao f a c y l i n d e a
r n d i s e q u a lt o A = 2 n r h
s
=
:
A
2x ir x (24 x10-6) x 0. 6 9' 049x 1,0 mz
o A T a - o ( 9 . 0 4 8x 1 g - s 1 7 +: 6 7 . 5
T4:1.31 x1013,T=1902K
( 3 ) A l a r g ei o c k h a sa s u r f a c ea r e ao f 4 . 6 m 2 h aas t e m p e r a t u r eo f 1 1 5 " Ca n d i s p l a c e di n a r o o m
w h e r et h e A M B I E N T
t e m p e r a t u r ei s 2 3 " CA
. ssuming
t h a t t h a t r o c kr a d i a t e se n e r g yt h a t i s
e q u i v a l e nt o
t 8 0 %o f t h e r a d i a t i o o
n f a b l a c k b o dayt t h e s a m et e m p e r a t u r ed,e t e r m i n eh o w m u c h
e n e r g yt h e r o c kl o s e si n a l - 5m i n u t ep e r i o d . ( T haem b i e n t e m p e r a t u r ies t h e t e m p e r a t u r oe f t h e
s u r r o un d i n g s ) .
2 7 3+ 2 3 =2 9 6 K 1
l T = 2 7 3 + 1 1 5 =3 8 B K ;f
"=
. Power radi.ated P - B0o/ox oA(Tn - T"n)
P : 0 . 8 x 5 . 7 x 1 0 - Bx 4 . 6 x ( 3 8 8 4- 2 9 6 , : 3 I 4 4 W
H e n c ei n 1 s e c o n d3, t $ 4 J o u l e os f e n e r g ya r e r a d i a t e d .
l n l - 5 m i n u t e s ( 9 0s0e c o n d st)h e t o t a l a m o u n to f e n e r g yr a d i a t e di s e q u a l t o 3 I 4 4 x9 0 0 = 2 . 8 3 M J .
201
TUTORIAL
(Stefan-Boltzmann constant = 5.7xL0-8Wt-'K-o)
r a d i u so f
1 ) A t t h e s u r f a c eo f M a r s , t h e i n t e n s i t yo f t h e r m a lr a d i a t i o nd u e t o t h e s u ni s Q . l f t h e
f r o m t h e s u n ,a n dt h e s u r f a c e
t h e s u n i s 7 x 1 0 8 ma n d M a r si s a t a d i s t a n c eo f 2 . 3 xL 0 1 1 m
t e m p e r a t u r eo f t h e s u n i s 5 9 O O Kd,e t e r m i n et h e v a l u eo f Q . [ R e c a lt lh a tI n t e n s i " t y f f i l
2)
(ANS640Wm
( 2 ) ) T h ef i l a m e n to f a l a m pi s c y l i n d r i c aaln d h a sa l e n g t ho f l - . 4 ma n d a d i a m e t e ro f 6 8 p t mT. h e
a blackbody
l a m pi s r a t e da t g g W .l f t h e r a d i a t i o nf r o m t h e l a m pi s e q u i v a l e ntto 7 0 %o f t h a t o f
(
A
N
S1 3 7 6 K )
f
i
l
a
m
e
n
t
.
t
h
e
o
f
r a d i a t o ra t t h e s a m et e m p e r a t u r ed, e t e r m i n et h e t e m p e r a t u r e
of
( 3 )A t t h e s u r f a c eo f J u p i t e r, t h e i n t e n s i t yo f t h e r m a lr a d i a t i o nd u e t o t h e s u n i s Q . l f t h e r a d i u s
t
h
e
s
u
r
f
a
c
e
a
n
d
s
u
n
,
t
h
e
f
r
o
m
t h e s u n i s 7 x i - 0 8 ma n dJ u p i t e ri s a t a d i s t a n c eo f 7 . 7 8 x1 0 1 1 m
t e m p e r a t u r eo f t h e s u n i s 5 9 0 0 Kd, e t e r m i n et h e v a l u eo f Q . ( A N SS 6 W m - 2 ) .
( a )T h ef i l a m e n to f a l a m pi s c y l i n d r i c aaln d h a sa l e n g t ho f 0 . 9 6 ma n d a d i a m e t e ro f 7 4 p r mT. h e
a blackbody
l a m pi s r a t e da t 2 2 0 W .l f t h e r a d i a t i o nf r o m t h e l a m pi s e q u i v a l e ntto 9 0 %o f t h a t o f
(
2
0
.
9
K)
f
i
l
a
m
e
n
t
.
t
h
e
o
f
t
e
m
p
e
r
a
t
u
r
e
t
h
e
r a d i a t o ra t t h e s a m et e m p e r a t u r ed, e t e r m i n e
( 5 )A r o c kh a sa s u r f a c ea r e ao f 3 . 4 m 2 h aas t e m p e r a t u r eo f 8 0 ' Ca n d i s p l a c e di n a r o o mw h e r e
. s s u m i n tgh a t t h a t r o c kr a d i a t e se n e r g yt h a t i s e q u i v a l e ntto
t e m p e r a t u r ei s 2 2 " CA
the AMBIENT
g o %o f t h e r a d i a t i o no f a b l a c k b o d ay t t h e s a m et e m p e r a t u r ed, e t e r m i n eh o w m u c he n e r g yt h e
r o c kl o s e si n a 2 0 m i n u t ep e r i o d .( A n s: 1 ' . 6 6x 1 0 6 / )
y n d h a sa n a r e ao f 1 - . 4 c ma2n, d i t s t e m p e r a t u r e
( 6 )A s m a l lh o l ei n a f u r n a c ea c t sl i k ea b l a c k b o d a
w h a t i st h e
t
h
i s e q u a lt o t h a t o f t h e f u r n a c ew h i c hi s 1 9 2 7 " C . | f e a m b i e n t e m p e r a t u r ei s 2 7 o c ,
(
A
n
s
t
1
'
2
2
0
1
:
)
r a t e a t w h i c he n e r g yi s r a d i a t e df r o m t h e h o l ee a c hm i n u t e ?
at
( 7 ) B e f o r et h e i n v e n t i o no f t h e e l e c t r i cf r e e z e r p, e o p l eu s e dt h e t e c h n i q u eo f f r e e z i n gw a t e r
a
t
s
k
y
t
h
e
s
i
n
c
e
n i g h t st o f o r m i c e b y a l l o w i n gt h e w a t e rt o r a d i a t ei t s e n e r g yt o t h e n i g h ts k y
t h e s k yh a sa
n i g h t sa c t a s a b l a c k b o d yT.h e a m b i e n t e m p e r a t u r ed u r i n gt h e n i g h ti s 6 " Cw h i l e
t e m p e r a t u r eo f - 2 3 " C .
r a v i n ga n a r e ao f 9 c m 2a n d a d e p t ho f S m m , a n dt h e
l f a m a s s o f w a t e r i s u s e di n a c o n t a i n e h
w a t e rt o f r e e z e
r a d i a t i o nf r o m t h e w a t e r i s 9 0 %o f a b l a c k b o d dy e t e r m i n et h e t i m e t a k e nf o r t h e
g i v e nt h e f o l l o w i n gd a t a ;
=
;latentheat of
I n i t i a tl e m p e r a t u r eo f w a t e r = 6 o Cs, p e c i f i ch e a tc a p a c i t yof water 4LgOJkg-1K-1
. St i m e = 5 ' 9 h )
f u s i o no f w a t e r = 3 . 3 3x l - O s J k g(-A1 N
202
SOLUTIONS
( 1 ) T h e P o w e r r a d i a t e db y t h e s u ni s g i v e nb y P - o A l T a w h e r e A t = s u r f a c e e r e a O F S U N
T h es u n i s a s p h e r es o i t s s u r f a c ea r e ai s g i v e nb y A r - 4 r c r 1 2- 4 T x ( 7 x 1 0 8 ) 2
W h e nt h e h e a te n e r g yi s r a d i a t e db y t h e s u n i t i s r a d i a t e di n a l l d i r e c t i o n o
s v e r a n e n t i r es p h e r ei n
w h i c hM a r si s c o n t a i n e d .
S i n c eM a r s i s a t a d i s t a n c eo f 2 . 3 x l \ L r m f r o m t h e s u n , t h e a r e a o f t h e s p h e r eo f s p a c e
c o n t a i n i n gM a r si s g i v e nb y A z - 4 r r 3 - 4 r x ( 2 . 3 x 1 0 1 1 ) 2
The intensi.ty Q i"sgiven by Q oArTa
Q : - - i - A: 2
Power radiated
Area over whi"ch power i.sdistributed
5 . 7 x 1 0 - B W m - 2 K - 4 x 4 t t x ( 7 x 1 0 8 ) 2x 5 9 0 0 4
- 640 Wm-z
4tx(2.3x101'1')2
( 2 ) F i r s yt o u n e e dt o f i n dt h e s u r f a c ea r e ao f t h e c y l i n d e;r A : Z r r h o r
rdh
A - 2 n x 6 8 x 1 0 - 6x 1 . 4 : 5 . 9 8x L 0 - a m 2
lf 80\A/
representsTO%
blackbodyradiation,
theni
B0-0.7 xoATa
,BOBO
,
=
T
^ *:
0 . 7x o A 0 . 7x 5 . 7x 1 0 - Bx 5 . 9 8x 1 , 0 - a'
T =I376K
( 3 ) T h i si s s i m i l a tro q u e s t i o n( 1 ) :
Surf ace erea.of sunAt = 4rrl
- 4rc x (7 x 108)2
Area"of Sphere conta.intngJupiter Az = 4 n r | - 4 n x ( 7 . 7 8 x 1 0 1 1 ) 2
The i"ntensity Q i"sgi.ven by Q -
/1
v-
-
Power rad"tated
Area over whi.ch power i.sdi.strtbuted
oA , T a
5 . 7 x 1 0 - 8 W m - 2 K - a x 4 r cx ( 7 x 1 0 t ) ' x 5 9 0 0 a
: 56 Wm-2
^
11
4rcx(7.78x1011)2
2
203
( a )T h i si s s i m i l a tro q u e s t i o n2 :
Surf ace area of cylinder _ n d h - n x 7 4 x 1 0 - 6 x 0 . 9 6- 2 . 2 3x I A - a t n z
2 2 0 W : 0,9x oATa
: 2 0 . 9K
0.9 x oA
( 5 )W h e na b l a c k b o dayt a t e m p e r a t u r e Ti sl p l a c e di n a n e n v i r o n m e nt h
t a t h a sa t e m p e r a t u rTe 2 ,t h e
p o w e rt h a t i s r a d i a t e db y t h a t b o d yi s g i v e nb y :
P - oA (,rf - r;)
W h e r eT h et e m B e r a t u r easr e m e a s u r e idn K e l v i n .
S i n c et h e r o c kr a d i a t e se n e r g ye q u i v a l e ntto 9 0 %o f t h a t o f a b l a c k b o d yt h
, en
Pr:o.9xoAQl-r;)
T F 2 7 3 + 8 0 =3 5 3 K ; f z = 2 7 3+ 2 2 =2 9 5 K
H e n c eP t : 0 . 9 x 5 . 7 x 1 0 - B x 3 . 4 x ( 3 5 3 +- 2 9 5 \ - 1 3 8 7 W
I n a 2 0 m i n u t ep e r i o dt,i m e - . 1 2 0 0s e c o n d s
E n e r g yr a d i a t e d= P o w e rx T i m e = 1 3 8 7 Wx L 2 O 0 s =
1 . . 6 6x 1 0 u J
(6)
P- oA(T'a-T':)
P : 5 . 7 x 1 0 - B x 1 . 4x 1 0 - 4 x ( 2 2 0 0 4- 3 0 0 4 )- 1 B 7 W
l - 8 7 J o u l eosf e n e r g ya r e r a d i a t e di n 1 s e c o n d .I n 1 m i n u t e, t h e a m o u n to f e n e r g yr a d i a t e d=
1.87x60=1I220J
( 7 ) F i r s t l yd e t e r m i n et h e m a s so f w a t e r
. T h ev o l u m eo f w a t e r= 9 c m 2x 0 . 5 c m= 4 . 5 c m 3
3,
T h ed e n s i t yo f w a t e r= l g c m h e n c em a s so f w a t e r = 4 . 5 8
T h e P o w e rr a d i a t e di s g i v e nb y
P - 0.9oA Qrn - Tf) wheref ; (273+6) = 279Kand Tr= (273-23)=250K
H e n c e P : 0 , 9 x 5 . 7 x 1 0 - 8 x 9 x 1 0 - 4 x ( 2 7 9 4- 2 5 0 4 ): O . l W
( m c A O+ m l , )= ( 4 . 5x 4 . 1 . 9 x 2 9+) ( 4 . 5x 3 . 3 3x 1 - 0 2 )5=4 7 J + 1 , 4 9 8 . 5 = 2 0 4 5 . 5 J
E n e r g yr e q u i r e d =
l f i n 1 s e c o n d , 01. J o , -s i s e x t r a c t e dt,h e n i n o r d e rt o e x t r a c t2 0 4 5 . 5,Jt t m e - r y = : - 2 0 4 5 5 s
T tme tn hour s -
20455
204
3600
- 5.7hr
TheKineticTheory
of Gases
I M P O R T A N TF O R M U L A E
(L)The Equations of State of an ld.eal gas
is givenby
pV :
nRT and. pV :
NkT
(Z)Deri.vation
of pV - 1r*a
5
(3)use
of pv (4)Average Translatinnal
to7
Kineti.c Energy of a monatomic molecule is given
by
3
Ek:
rkr
(S)The TOTAL Kinetic enegy of a gas is given
by .
2
Ek:
|nnr
(6)Heat energy supplied. to a ga.s a"t constant
volume is giuen by
E n = nCuA9
(7)Heat energy supplied. to a gas at constant pressure
is given by
EH - nCrA?
(8)comparisons
of heat capacities a.t constant pressure and" constait
uolume
Cp:Cv+R
(9)The work done on q gas at constant pressure
w -
pAV
(l0)The First Law of Thermod.ynamics
LU - Le + AW if hea"t is supplied" and.work d.one
oN the gas
LU - AQ - AW if heat is supplied. and.work is d"one
By thi gas
LU : AW - AQ if work is d"one oN the gas and" heat
is Extracted"
205
THE KINETICTHEORYOF GASES
T h ee q u a t i o no f s t a t eo f a n i d e a lg a si s e x p r e s s eidn t w o w a y s :
, i s a c o n s t a nct a l l e dt h e m o l a r
p V = n R T; w h e r e p = p r e s s u r eV, = v o l u m e ,n = n u m b e ro f M O L E SR
r eK e l v i n )
I Cm p e r a t u r e ( t e m p e r a t ui n
g a sc o n s t a n ta, n dT = T H E R M O D Y N A Mt e
the
p v = N k T ; w h e r eN = h u r n b e ro f P A R T I C L (EmSo l e c u l eosr a t o m s )a n d k i s a c o n s t a nct a l l e d
constant.
Boltzmann
E q u a t i o n( 2 ) c a nb e d e r i v e df r o m e q u a t i o n( 1 )a sf o l l o w s :
of gas,then - ffi
of moles
lf n = number
"
- NRr
H e n c ef r o m e q u a t i o n( l ) P V
L
=
=
B u t R a c o n s t a nat n d L a c o n s t a n t ,h e n c el , : o c o n s t u n t k
S ot h a t P V= N k T .
Y FG A S E S :
OS
FT H EK I N E T ITCH E O RO
ASSUMPTION
sre
a
t
t
r
a c t i o na n d r e p u l s i o nb e t w e e nt h e g a sp a r t i c l e a
o
f
f
o
r
c
e
s
i
n
t
e
r
m
o
l
e
c
u
l
a
r
1. The
'
negligible.
the gas.
z . T h ev o l u m eo f t h e p a r t i c l e iss n e g l i g i b lceo m p a r e dt o t h e v o l u m eo c c u p i e db y
s r e p e r f e c t l ye l a s t i c
3 . T h e c o l l i s i o nosf t h e p a r t i c l e a
collisions
4 . . T h ed u r a t i o no f a c o l l i s i o ni s n e g l i g i b lceo m p a r e dt o t h e t i m e i n t e r v a bl e t w e e n
206
PRESSURE
EXERTED
BYA GAS
M o l e c u l am
r o v e m e n ti s r e s p o n s i b lfeo r t h e p r e s s u r e x e r t e db y a g a s .G a sp a r t i c l e s
arein
c o n s t a n rt a n d o mm o t i o na f r e q u e n t l ys t r i k et h e w a l l so f t h e c o n t a i n e irn w h i c h
t h e ya r ee n c l o s e d .
A t e a c hc o l l i s i o nw, h i c hi s a s s u m e dt o b e p e r f e c t l ye l a s t i ct,h e p a r t i c l e u
s n d e r g oa i h a n g ei n
m o m e n t u ma
, n d b y N e w t o n ' s2 n dL a w , a f o r c ew o u l d h a v eb e e ne x e r t e do n
t h e m b y t h e w a l l so f
t h e c o n t a i n e rB. y N e w t o n ' s3 ' dL a wt h e p a r t i c l e w
s o u l d h a v ee x e r t e da n e q u a la n d oppositeforce
o n t h e w a l l so f t h e c o n t a i n e r .
H e n c ea t e a c hc o l l i s i o na, f o r c ei s e x e r t e do n t h e w a l l so f t h e c o n t a i n e r . T hpea r t i c l e s
h a v ea r a n g e
o f s p e e d sa n d i n a p a r t i c u l atri m e ,t h e y w o u l d h a v ee x e r t e da n A V E R A GFEo R c E
o n t h e w a l l so f
t h e c o n t a i n e rT. h eA V E R A GFEO R C p
Ee r u n i t A r e ai s e q u a lt o t h e t h e p R E S S U ReEx e r t e db y t h e
gas.
DERIVATION
OFpV :
!x*P (VERYTMPORTANT)
c o n s i d e ra c u b i cc o n t a i n gor f s i d ex , c o n t a i n i n gN g a sm o l e c u l e es a c ho f m a s s
m a n d e a c hm o v i n g
w i t h a v e l o c i t yu a l o n gt h e x - a x i s ,t o w a r d st h e r i g h t .
T h e m o m e n t u mo f e a c hp a r t i c l ei s m u a n d w h e n i t s t r i k e sa w a l la n d r e b o u n d s
intheopposite
d i r e c t i o ni,t s v e l o c i t yn o w b e c o m e s- u a n d i t s m o m e n t u mb e c o m e s- m u .
-mu
T h ec h a n gien m o m e n t u m
- I n i t i am
i se q u atlo ( F i n aml o m e n t u m
l o m e n t u m -) m
= u - m u= - 2 m u .
207
C o n s i d e r t w o p p o s i t ef a c e so f t h e c o n t a i n e r Aa n d B t h a t a r ea t a d i s t a n c xe a p a r t .
A
{-
XI
I
W h e n a p a r t i c l es t r i k e sB , i t
r e b o u n d st h r o u g ha d i s t a n c ex ,
t h e n r e b o u n d fsr o m A , m o v e s
t h r o u g ha d i s t a n c xe a g a i na n d
s t r i k e sB . H e n c et h e p a r t i c l e
m o v e st h r o u g ha d i s t a n c eo f 2 x
on
f o r e a c hc o n s e c u t i vceo l l i s i o n
p
a
r
t
i
c
u
l
a
r
face.
a
I
L e tt h e t i m e b e t w e e ns u c c e s s i vceo l l i s i o nbse e q u a lt o " t " .
F o ra c o n s t a nst p e e do f u , t h e t i m e b e t w e e ns u c c e s s i vceo l l i s i o niss g i v e nb y
distqnce
time _ speed
t--
2I
u
T h en u m b e ro f c o l l i s i o npse r s e c o n dw o u l dt h e r e f o r eb e e q u a lt o u .
T h i sc a n b e e x p l a i n e da sf o l l o w s : l f t h e r e i s a c o l l i s i o na t e v e r y0 . 2 s e c o n d st ,h e n i n l - s e c o n dt h e r e
i.e.fi= S
willbe5 collisions,
H i n t: r e p l a cte= 0 . 2O Vt = l
S i n c ee a c hc o l l i s i o nc a u s e sa m o m e n t u mc h a n g eo f - 2 m u ,t h e T O T A L ' M o m e n t ucmh a n g ep e r
s e c o n dp e r p a r t i c l ei s e q u a lt o :
Total momerltum change per second(per particle)
- Momentum change per colllsion
x number ocollisions per second
u
_ -Ztnu ^ =:
LLI
muZ
B y N e r v t o n '2
s n dL a w ,t h i s m o m e n t u mc h a n g ep e r s e c o n di s e q u a lt o t h e f o r c ee x e r t e do n t h e w a l l .
208
l f t h e r ea r e N p a r t i c l esst r i k i n g t h e
w a l l se a c hs e c o n dt,h e nt h e f o r c ed u et o t h e N p a r t i c l eiss
g i v e nb y
,F. x _ _
Nmuz
t
s o n o t h a v et h e s a m es p e e d sU , s o i n s t e a dt h e i r a v e r a g es p e e d su m u s tb e
T h ep a r t i c l e d
c o n s i d e r eadn dt h e e o u a t i o nb e c o m e s
Nmuz
,F. x _ _
t
s a v em o t i o n sa l o n gt h e x , y a n d z a x e s w
Allof the particleh
, i t h s p e e du , v a n d w r e s p e c t i v e a
l yn d
:
s 'h e o r e m( 3 D )
b y P y t h a g o r aT
e2 uz + vz + w2
B u t u = v = wa st h e p a r t i c l eh a sn o p r e f e r e n c teo a n y p a r t i c u l aar x i s ,h e n c e
-?
n-i
c- - 3u',oru=
I
-,
gc'
Hence
Fr:-i
L NmEz
I
T h e P r e s s u ries d e f i n e da st h e f o r c ep e r u n i t a r e a ,a n d e a c hf a c eh a sa n a r e a A ' : I 2
-7::ry
Pressur€P
S i n c el 3 : V o l u m e ,
P--
oR
_
L Nmcz
5v
1_
PV : l Nmcz
3
T h eq u a n t i t yt ' i t c a l l e dt h e M E A NS Q U A RSEP E E O
D FT H EP A R T I C L E S .
T h e P r o d u c ot f N m i s e q u a lt o t h e T O T A Lm a s so f g a sw h i l eV r e p r e s e n ttsh e T O T A Lv o l u m e .
H e n c ei f w e r e a r r a n g teh e a b o v ee q u a t i o nw
, e get:
p -- IYA,
't
v
t
BItr ,Tr?\
vonlme
L
- =
- wd"ensity
pcz
v ' j s v v ' tHence
r v 'Lvc p
'
J
209
K I N E T IECN E R GOYFG A SP A R T I C L E S
F r o mt h e e q u a t i o n s
PV-!N^7
a n dP V - N k T
W e c a nw r i t e
,Nmcz
L . t
Hence
]mcz
Or mF :3
-
NkT
kT
kT
H o w e v etrh e K i n e t i ce n e r g yo f a s i n g l ep a r t i c l ei s e q u a tl o
F r o mt h e p r e v i o u es q u a t i o n ,
i*7
i*"
=XO,
The AVERAGETRANSLATIONALKINETICENERGYof a STNGLE
m o n a t o m ig
c a sp a r t i c l ei s g i v e nb y K E - = 1 7 r 7 .
, e n t h e T o r A L K i n e t i cE n e r g yo f a l l o f
l f t h e r ea r e N p a r t i c l e st h
t h e p a r t i c l e iss g i v e nb y K E T o r o t-
B u tk
R
;NkT
where L : Auogadro 's Number
3 NRT
KErot,,I:
2L
A/
HoweverT:rrHence
KErotol:
3
2nRT
T h i se q u a t i o nr e p r e s e n ttsh e T o t a lK i n e t i cE n e r g yo f n m o l e so f
gas.
210
THERMODYNAMICS
I N T E R N AELN E R G Y
The internalenergyof a systemis the sum of the Kineticand PotentialEnergies
of the individual
particlesin the system.
InternalEnergy= K.E.+ P . E "
W O R KD O N E :
W h e n a g a si s c o m p r e s s e dw,o r k i s s a i dt o b e d o n eO N t h e g a s .
l f a g a si s h e a t e da n d a l l o w e dt o e x p a n dt,h e n w o r k i s s a i dt o b e d o n e B Yt h e g a s .
i.e Compression----+
E X P A N S I O N+
ON
BY
W h e n a g a si s c o m p r e s s eadt C O N S T A NPTR E S S U R
s oEt h a t i t sv o l u m ec h a n g e sb y a n a m o u n tA V ,
t h e n t h e w o r k d o n eo n t h e g a si s g i v e nb VW - p A V .
Work done = lrl/ - pAV.
l f a g r a p ho f P r e s s u rve. s .V o l u m ei s d r a w n t, h e nt h e A R E AU N D E R
T H EG R A P H
REPRESENTSTHE
WOR.K
DONE.
A g a su n d e r g o eas c y c l ef r o m A t o
B t o C a n d b a c kt o A .
( 1 ) A W ( A t o B ) = 0 s i n c eA V = 0
Pressure
( 2 )A W ( B t o C ) i s n e g a t i v es i n c e
t h e r ei s a n e x p a n s i ow
n h i c hm e a n s
t h a t w o r k i s d o n eB Yt h e g a s .A W
i s e q u a lt o t h e a r e ao f B C D E
( 3 )A W ( Ct o A ) i s p o s i t i v es i n c e
v o l u m ed e c r e a s esso t h e r ei s a
c o m p r e s s i omn e a n i n gt h a t w o r k i s
d o n eO Nt h e g a s .
A W = a r e ao f T r a p e z i u m
CADE
V o l um e
211
C o n s i d ear f i x e dm a s so f g a sh e l di n a c o n t a i n e r t h aits f i t t e dw i t h a f r e e m o v i n gp i s t o na n dt h e g a s
e.
o c c u p i eas v o l u m eV a t a t e m p e r a t u rT
l f t h e g a si s n o w h e a t e ds o t h a t i t a b s o r b sa n a m o u n to f h e a te n e r g yA Q ,t h e n t h i s h e a ta b s o r b e d
d o e st w o t h i n g s ;
I t c a u s e tsh e I N T E R N AELN E R GoYf t h e g a st o i n c r e a s eb y a n a m o u n tA U .
t h e p i s t o nu p w a r d sT. h ea m o u n t
I t c a u s e tsh e g a st o e x p a n dt h u sm a k i n gi t d o W O R Kb y p u s h i n g
o f w o r k d o n ec a nb e w r i t t e na s A W .
T h e c h a n g ei n v o l u m e= A V ,
T h ew o r k d o n eb y t h e g a si s
1ry= pAV
1111
AQ
212
T H EF I R S T
L A WO FT H E R M O D Y N A M I C S :
T h eF I R SL
T A Wo F T H E R M O D Y N A M tccaSn b e s t a t e da sf o l l o w s :
The changein the internalenergyof a gasis equalto the sum of the heat energysuppliedto the
g a sa n d t h e w o r k d o n eo n t h e g a s .
Oncomparing
t h e t w o e q u a t i o n sa b o v e ,
A U = A Q + A W ( W o r kd o n eO N t h e g a s )
A U = A Q - A W ( W o r kd o n eb y t h e g a s )
The First Law of Thermodynamics
LU = LQ + LW if heat is supplied" and. work d.one ON the gas(compressionand
heating)
AU = LQ - LW if heat is supplied and work is done By the gas (expansion
and
'
heating)
a
LU = LW - A.Qif work is done ON the gas and. hed.t is Extra.cted from it lcoolinl
andcompression)
AU
= LW if no heat is supplied or remoped.and the gos is compressed"
LU=
AQ if the gs.s is heated in a sealed.container where there is no change in
volume
B y t h e L a wo f c o n s e r v a t i oonf E n e r g ya, l l o f t h e h e a ts u p p l i e d , A e
i s c o n v e r t e dt o o t h e rf o r m so f
e n e r g yi . e .T h e h e a ts u p p l i e di s c o n v e r t e dt o w o r k A W a n d a n i n c r e a s e
i n l n t e r n aE
l n e r g yA U .
H e n c eA Q = A U + A W .
T h i se q u a t i o ni s u s e dw h e nw o r k i s d o n eB yt h e g a s
T h i si s a m a t h e m a t i c a
s tl a t e m e not f t h e F I R SLTA WO FT H E R M O D Y N A M I C S .
I n t h e a b o v ee q u a t i o nw, e c o n s i d e r etdh e c a s eo f w o r k d o n eB Y T H EG A S .
C o n s i d enr o w a c a s ew h e r et h e g a si s h e a t e db y a n a m o u n tA e a n da t t h e s a m et i m e i t i s
c o m p r e s s esdo t h a t w o r k i s d o n eO N t h e g a s .
l n t h i s c a s e, t h eg a sh a st w o i n p u t so f e n e r g yi . eA e a n dA W .
A i l o f t h e e n e r g yi n p u tg o e si n t o i n c r e a s i ntgh e i n t e r n ael n e r g yo f t h e g a ss i n c et h e r e i s n o o t h e r
a v e n u ef o r e n e r g yc o n v e r s i o n .
213
H e n c eA U = A e + A W
R e m e m b et rh a t t h i se q u a t i o ni s u s e dw h e nw o r k i sd o n eO N t h e g a s
Thereare two specialcasesthat are worth remembering:
(1) The ADIABATIC
Process:
W h e nt h e g a si s e i t h e rc o m p r e s s eodr e x p a n d e d( b y m e a n so f a m o v e a b l ep i s t o n )a n d a t t h e
s a m et i m e n o h e a ti s a l l o w e dt o e n t e ro r l e a v et h e s y s t e mt,h e n A Q = 0 s o A U =A W
(2) The ISOTHERMAL
Process:
W h e nt h e t e m p e r a t u r ies h e l dc o n s t a ndt u r i n ga n e x p a n s i oonr c o m p r e s s i oonf t h e g a s .l n t h i s
c a s eA T = 0a n dt h i sw o u l d m e a nt h a t A U = 0 ( s i n c eA U =C uA T a sw e w i l l s e ei n t h e f o l l o w i n g
r u r i n ga c o m p r e s s i o n
s e c t i o n )T. h i sc o n s t a nt e m p e r a t u r ei s a c h i e v e db y c o o l i n gt h e g a sc o n t a i n e d
l yo n eb y h a v i n gt h e c o n t a i n eirm m e r s e d
T.h i sc a nb e p r a c t i c a l d
a n d h e a t i n gi t d u r i n ga n e x p a n s i o n
eath.
i n a c o n s t a ntte m p e r a t u r b
I
214
H E A TC A P A C I T I E S
W h e n h e a ti s s u p p l i e dt o a g a s ,i t m a y o r m a y n o t e x p a n dd e p e n d i n go n t h e t y p e o f c o n t a i n etrh a t
i t i s h e l di n .
l f t h e c o n t a i n e irs f i t t e dw i t h a m o v e a b l ef r i c t i o n l e spsi s t o n t, h e n t h e h e a ta b s o r b e dw i l l c a u s et h e
g a st o e x p a n d, t h e r e b yd o i n gw o r k a n d w i l l a l s oc a u s et h e i n t e r n ael n e r g yo f t h e g a st o i n c r e a s e .
T h eg a se x p a n d si n o r d e rt o m a i n t a i na G o N S T A NPTR E S S U R( A
Ee
. = AU+ AW)
The MOLARHEATCAPACTTY
OFA GASAT CONSTANT
(Ce)is the amount of heat
PRESSURE
energyrequiredto increasethe temperatureof ONEMOLE of the gasby 1K while keepingits
pressureconstant.
l f h o w e v e rt,h e g a sw a s c o n t a i n e di n a c l o s e dv e s s e li,t w o u l d n o t b e a b l et o e x p a n da, n d a l l o f t h e
heat
s u p p l i e dw i l l g o i n t o i n c r e a s i ntgh e I N T E R N AELN E R GoYf t h e g a s .I n t h i s c a s et h e v o l u m ei s h e l d
c o n s t a n tI.n t h i s c a s en o w o r k i s d o n ea n d A e = A U
The MOLARHEATCAPACIWOFA GASAT CONSTANT
VOLUME(C")is the amount of heat energy
requiredto increasethe temperatureof ONEMOLEof the gasby 1K while keepingthe volume
constant
I n t h e c a s eo f c o n s t a nvt o l u m eA Q = A U ,a n d f r o m t h e d e f i n i t i o no f m o l a rh e a tc a p a c i t y
AQ=AU =nx CuAT
i . e .h e a ts u p p l i e d= n u m b e ro f m o l e sx h e a tc a p a c i t yx t e m p e r a t u r ec h a n g e
F o ra t e m p e r a t u r ec h a n g eo f 1 K , A T =1 , h e n c eA U = C u
At constantpressure,
AQ =n C'AT=AU + AW
F r o mt h e e q u a t i o no f s t a t eo f a n i d e a l
gas,pV =nRT,and pAV=nRAT.
But AU =o CuAT and 61ry= pAV
T h e p r e v i o u se q u a t i o nt h e n b e c o m e s
Hence n CoAT=n
CuAT + pAV
nCoAT=n
CuAT + nRAT
Cp=Cu+R
Div iding by n AT B !i ,,e sC o= C u+ R
LEARN
215
.
PressureAQ= CpAT
At CONSTANT
VolumeAQ = Cv AT
At CONSTANT
Whether a gasis heatedat constantPressureor at constantvolume,the changein
InternalEnergyis alwaysgivenby AU = CvAT.(lmportant!!!)
The explanationis as follows:
its
lf a gasis heatedat constantvolume,all the heat suppliedgoesinto increasing
internalenergy.
When a gasis heatedat constantpressure,the internalenergyincreasesand the
gasalsodoeswork as it expands.Thework done by the gasis independentof its
internalenergy.
It would appearthat when the gasis heatedat constantpressure,the first thing
that happensis that the temperaturerisesand this causesthe lnternalEnergyto
increase,
similarlyto the casewhen the volumeis constant.Thenpart of the heat
the gasi.e. doingwork, while the rest of the heat
supptiedgoesto exp'anding
the InternalEnergy.The increasein InternalEnergy
suppliedgoesinto increasing
and the Work beingdone are separateevents.
216
Q U E S T I O NO
S N T H E R M A LP H Y S I C S
(1 ) A t h e r m o d y n m
a i c s. y s t e mi s t a k e n f r o m a s t a t e A t o s t a t e B t o s t a t e C a n d t h e n b a c k t o A a s
s h o w ni n t h e p - Vd i a g r a m.
Pressu
re/Pa
40
30
/l
/i
/+
/l
20
/i
10
>
--11
:
:
1.
V o l um e / m '
(a)Completh
e e t a b l eb y i n s e r t i n ag p l u ss i g n a
, m i n u ss i g no r z e r oi n t h e b l a n kc e l l s .
( b ) W h a t i s t h e n e t w o r k d o n eo n t h e s y s t e ma s i t m o v e so n c et h r o u g ht h e c y c l eA B C A ?
( 2 )A s a m p l eo f g a se x p a n d sf r o m L m 3t o 4 m 3 w h i l ei t s p r e s s u r e
d e c r e a s efsr o r n4 0 P a t o l - 0 P a .
g
a
s
H o w m u c hw o r k i s d o n eb y t h e
if itspressure
changew
s i t h v o l u m e v i a ( i ) P a t hA ( i i )P a t hB ,
( i i i )P . a t hC
P r e s srue / P a
40
30
rB
ANS 1.20J,75J,
30J
)n
10
3tJ
V o l um e / m 3
( 3 ) l f t h e d e n s i t yo f N i t r o g e na t 0 " Ca n d L x L O s Pias 1 . 2 5k g r - ' , c a l c u l a t teh e r o o t m e a ns q u a r e
s p e e do f n ; t r o g e nm o l e c u l e as t 2 2 7 " C (. A N S6 6 3 m s ' l )
217
(4)Forwaterat constantpressure
latentheatof vaporization
is 2.26x
of 1x10sPa
,thespecific
in volumeof 1kgof wateris 1.67m3
Duringthe transformation
to vapour,the increase
1O6Jkg-1.
to the
duringthisprocess.
Whathashappened
Calculate
the workdoneagainstthe atmosphere
duringthe evaporation?
remainder
of the heatsupplied
(ANsl.6TxlosJ,therestoftheenergysuppliedincreasesthelnternal
energy
of thevapor
molecules)
(5)Somegasassumed
whichissurrounded
by insulation
withina cylinder
to be idealiscontained
is 1.04x lOsPaandits
to preventheatloss.lnitially,the volumeof gasis 2.9x 10'am3
,its pressure
temoerature
is 314K.
(i)Determine
the numberof molesof gas.
(ii)Thegasisthencompressed
risesto 790K.
to a volumeof 2.8x L05m3anditstemperature
the pressure
of the gasafterthiscompression.
.Calculate
(iii)The
in internal
energy.
is91J.Findthe increase
workdoneon thegasduringcompression
duringcompression.
Explain
whythereis a risein temperature
5 o l e s2, . 7 1x l . 0 6 P a ; 9 1 J ,oAf ltlh e e n e r g y s u p p l i e d g o e s i n t o i n c r e a s i n g t h e l n t e r n a l
( n= 0 . 0 1 1m
so AQ=O.
Theinternalenergyis
energyof the gas,no heati3lostsincethe containeris insulated
gas,
in
Temp)
increase
in
KE
causes
an
increase
KEfor an ideal
an
(6)A litreof air initiallyat 20'Candat 760mmHg,
untilitsvolumeis
is heatedat constantpressure
doubled.Find
Thefinaltemperature
workdonebythe air in expanding
Theextdrnal
Thequantity
of heatsupplied
(Thedensityof air at O"Cand760mmHg
is 1.293kgm'3
andthe specificheatcapacity
of air at
3)
pressure
kg'1K'1;
the
density
of
mercury=
13,500kgm
is
714
J
constant
(Ans586K,L07.4J,27OJl
(7)A cylindercontaining
is
19kgof compressed
air at a pressure
9.5timesthat of the atmosphere
is 27'Ca safety
keptin a storeat 7'C.Whenit is movedto a workshopwherethe temperature
someof the air . lf the valveoperateswhenthe pressure
valveon the cylinderoperates, releasing
calculate
the massof air that escapes.
10timesthat of the atmosphere
exceeds
. (Ans0.33k9)
27'C,and
(8)Assumingthat heliummolecules
havea root meansquarespeedof 900ms-1at
(ii)27'cand2 x L0sPa.
the r.m.s.speedat (i)L27'cand1osPa,
10sPa,
calculate
(1o39ms'1
9ooms 1)
percubicmetre.Howmany
(9)Airat 273Kand1.01x 105Pacontains
2.7x 1025molecules
place
per
where
the
temperature
is 223Kandthe
molecules cubiimetrewilltherebeat a
pressure
is 1.33x 10oPa.
(ANS: 4. 35 x 1024)
218
S o l u t i o nG u i d e l i n e s
( 1 ) F r o mA t o B t h e r ei s a n i n c r e a s ien v o l u m ei . e .a n e x p a n s i o nh,e n c ew o r k i s d o n eB y t h e
g a ss o A W i s n e g a t i v eI.f t h e i n t e r n ael n e r g yi s i n c r e a s etdh e n i t m e a n st h a t t e m p e r a t u r ei s
a l s oi n c r e a s e .dT h et e m p e r a t u r ec a nb e i n c r e a s e
intwo ways
( i ) B Vc o m p r e s s i ntgh e g a sw h i c hi s n o t t h e c a s eh e r es i n c ew e k n o wt h a t t h e g a sh a s
expanded
( i i )B y h e a t i n gt h e g a si . e .A Q i s p o s i t i v e
F r o mB t o C t h e v o l u m ei s c o n s t a nst o A V i s z e r o t, h i s m e a n st h a t A W i s z e r o .
T h e p r e s s u r ei s i n c r e a s eadn d s i n c et h e r ew a s n o c h a n g ei n v o l u m et h e p r e s s u r e
c o u l do n l y
b e i n c r e a s eb
d y h e a t i n gt h e g a s ,s o A Q = * V € .
S i n c eP V= n R T ,t h e q u a n t i t yP Vw o u l d h a v ei n c r e a s e idf P w a s i n c r e a s e ad n d V i s h e l d
c o n s t a n tT. h i sm e a n st h a t T w o u l d h a v ei n c r e a s e ds,o A U w o u l d i n c r e a s e
(+ve)
F r o mC t o A V o l u m ei s d e c r e a s esdo t h e r e i s a c o m p r e s s i o nW. o r k i s d o n eO N t h e g a s ,s o A W
is +ve.
S i n c eb o t h P r e s s u raen d V o l u m ed e c r e a s e tsh, e n t h e q u a n t i t y( P V )d e c r e a s e s ,o
t e m p e r a t u r ew o u l d a l s od e c r e a s fer o m t h e e q u a t i o nP V= n R T T
. h i sm e a n st h a t A U w o u l d
decrease
s i n c et h e i n t € r n ael n e r g yi s p r o p o r t i o n at lo t e m p e r a t u r e .
l f t h e g a si s c o m p r e s s eadn dt h e t e m p e r a t u r ed e c r e a s e tsh, e o n l yw a y t h a t t h i sc o u l d
happenis if heat is extractedfrom the systemso AQ hasto be negative.
( b ) F i n d A W 1f r o m A t o B ( l t w o u l d b e a - v e v a l u es i n c et h e r ei s a n e x p a n s i o n ) .
A W 2f r o m B t o C i s z e r os i n c eA V i s z e r o
A W 3f r o m C t o A , t h e a r e au n d e rA Ci s a t r a p e z i u m
. F i n dt h i sa r e aw h i c hw o u l db e + v e
s i n c ew o r k i s d o n eO Nt h e g a s.
N e t W o r k i s e q u a lt o A W 1+ A W : .
( 2 )A l o n gp a t hA , f i r s t l y t h e p r e s s u r ei s c o n s t a n at t 4 0 P aa n dt h e v o l u m ec h a n g e fsr o m L m 3
. i n dP A V -W 1 .A l o n gt h e v e r t i c asl e c t i o nt h e r e i s n o
t o 4 m 3 ,s o t h e c h a n g ei n v o l u m e= 3 m 3 F
c h a n g ei n v o l u m es o A V =0 .
A l o n gp a t h B ,t h e a r e au n d e rt h e s l a n t e dl i n ei s t h e w o r k d o n e .T h i si s t h e a r e ao f a
trapezium.
A l o n gp a t h C , f o r t h e v e r t i c asl e c t i o nt,h e r e i s n o c h a n g ei n v o l u m es o f o r t h a t s e c t i o nA V
a n d h e n c eA W = 0 .
F o rt h e h o r i z o n t asl e c t i o nt,h e p r e s s u r ei s c o n s t a nat t 1 0 P aa n d t h e v o l u m ei n c r e a s efsr o m
l - m 3t o 4 m 3 .
I
L_-
219
( 3 ) P:
1_
.7Pr'
ej
-:el
1_
soez T
irr' ;
; s o l v ef o r c 2 r ; A l s oO : ' ! r 'V
T2
T1
wltere the temperatures are tn Kelutn
t-
Af ter el ts f ound",calculate^lel
v( 5 )T h ew o r k d o n ed u r i n gt h e e x p a n s i o on f a v a p o u ri s g i v e nb y W = P A V .
( b ) P V- n R T , n -
nRT2
PV
Pz:
n
Rr ;(lt)
pressurr,+:?; Tz=Tiuse tempin Keluin
(6)Atconstant
W o r k d o n e= P A V ,
P =7 6 0 m mH g = p g h =0 . 7 6x 9 . 8 1x 1 3 , 6 0 0; A V = 1 x 1 0
3m3
Find" massof gasfrom mass - denstty x volume
LQ : mass x s' h.c.x LT
'#
hence^r:
butnc( 7nas.s
(7)
SincePV : nRT;n .
v o l u m ea n dRa r ec o n s t a n t s '
T h ek c a nb e u s e ds i n c e
P I ,-P ,
:
k m .', a n d -'l'2
=
Tr
U'i
km2, divtde one equationby the other and solve f or m2
T he m a s s o f g a s e s c a p i n g= rrl r- l ' f1 2.
(B)
4 =+
PV
----=
nRT =
; hence T x c 2 ;
lNmcz
1'
.rJ
11
;l z
- jL t
r' 2
-2
are tn Keluin
whereaII of thetemPeratures
r=
rhenf tndl cl
e n l y .l t is not affectedby pressure
T h e m e a ns q u a r es p e e di s a f f e c t e db y T e m p e r a t u r o
t h, e
a n dt h e t e m p e r a t u r ree m a i n su n c h a n g e d
o n l y ,h e n c ei f t h e p r e s s u r ies c h a n g e d
m e a ns q u a r es p e e dr e m a i n su n c h a n g e d .
220
NPN
PV : NKT ; V = k T w h e r e V /U
Let-V
x,
PzTt
_
xI
TzPt
,v
t 42-
PrT.
-'v
TrPr"t
the number of molecules per untt volume
X ; X 1: f i
P.,
andX2-
KIt
1,33 x
'J,04
x 273
2 2 3x 1 . 0 1X 1 0 s
221
P2
KT,
x 2 . 7x 1 0 2 s: 4 . 3 5 x 1 0 2 a
MechanicalProperties
of Mqtter
EQUATIONS
IMPORTANT
(1) Pressrrre :
Force
Normal. Area
(2) Densiy -
Mass
Volume
(3)Pressure due to qliquid
p - pgA'h
,
(4)Tensi.le and Compressive ^Stress:
(S)Tensile and Compresstve Strain -
Force
Ar"o
Qa)
Extension
(no uni.ts)
Or t g inal (uns tr etc hed) L eng th
E: m:ffi
(6)Young
Modurus
ea)
"W
(7) From Hooke'sLAw,F- kx
(8) Thenn"r gy stored in a stretchedwire ' -
tr'"
=
x Strcrin)
e)f he energy storedper unttvolume tn awire-E
;(Stress
222
MECHANICAL
PROPERTIES
OF MATERIALS
Density:
T h e d e n s i t yo f a m a t e r i a il s i t s m a s sp e r u n i t v o l u m e ;i . e .D e n s i t y -
ffi
P r e s s u r eP
: r e s s u r ies d e f i n e da st h e f o r c ea c t i n g N O R M A L L(Y
a t r i g h ta n g l e sp) e r u n i t a r e a .
Pressure -
Force
N ormal Area
(P a)
P r e s s u rdeu et o a l i q u i d :
C o n s i d ear v e s s eol f u n i f o r mc r o s ss e c t i o n aal r e aA , c o n t a i n i n g
l i q u i do f d e n s i t yp . T h e l i q u i dl e v e l
i s a t a h e i g h th a b o v et h e b a s eo f t h e v e s s eal s s h o w n :
T h ev o l u m eo f l i q u i dc o n t a i n e ids g i v e n
bVV= Ah
T h e m a s so f l i q u i dc o n t a i n e di s g i v e n b y
mass -uolume
xdensi.tv
Wetght - mg
T h ew e i g h to f l i q u i di s t h e n o r m a fl o r c e
d u et o t h e l i q u i da c t i n go n t h e b a s e .
F orce
Pressure Are a
Weight of ltquid
I
Pressure
'A',v
,I[:'of
base
T h ee x p r e s s i oP
n = p h gr e p r e s e n ttsh e P R E S S U R
DE
I F F E R E NbCeEt w e e nt h e s u r f a c eo f t h e l i q u i d
a n dt h e b a s eo f i t .
223
S O L I DLSI Q U I DASN DG A S E S
S i m p l eK i n e t i cM o d e lf o r s o l i d s :
I n a s o l i d ,t h e r ea r e i n t e r - a t o m ifco r c e so f a t t r a c t i o na n d r e p u l s i o nT. h ea t t r a c t i o ni s d u e t o t h e
s f a n a d j a c e nat t o m ,w h i l et h e
f o r c eb e t w e e nt h e n u c l e u so f o n e a t o m a n dt h e e l e c t r o n o
n
u
c
l
e
i
.
b
e
t
w
e
e
n
f
o
r
c
e
s
t
h
e
r e p u l s i o ni s d u e t o
T h e r ei s a n e q u i l i b r i u mp o s i t i o rfl6w h ef e t h e f o r c eo f r e p u l s i o ni s e q u a lt o t h e f o r c eo f a t t r a c t i o n
c a u s i n gt h e r e s u l t a nfto r c et o b e z e r o .T h eg r a p hb e l o ws h o w st h e v a r i a t i o no f f o r c ew i t h
separatioo
nf atoms.
fo rc e
T h e p o s i t i v ev a l u e so f
force representthe
f o r c e so f r e p u l s i o n ,
w h i l et h e n e g a t i v e
p o r t i o nr e p r e s e n t s
attraction.
repulsion
S e p a r a t i oonf a t o m s
ttraction
I n t h e s o l i d ,t h e A T O M Sv i b r a t ea b o u tt h e i r e q u i l i b r i u mp o s i t i o n sa, n dt h e y w o u l da l t e r n a t e l y
mLo t i o n ,t h e r e i s N O
. h i l et h e r ei s V I B R A T I O N A
e x p e r i e n cfeo r c e so f a t t r a c t i o na n d r e p u l s i o nW
p
o s i t i o nt o a n o t h e r .
f
r
o
m
o
n
e
f
r
e
e
l
y
m
o
v
e
c
a
n
n
o
t
T R A N S L A T I O NmAoLt i o n ,s o t h a t t h e a t o m s
T h e a t o m sa r e e f f e c t i v e l "yl o c k e d ' i np o s i t i o na n dt h i sc a u s e st h e m t o h a v ea d e f i n i t es h a p ea n d
a l s ot o h a v er i g i d i t y .
224
S i m p l ek i n e t i cm o d e lf o r l i q u i d s :
A l i q u i di s f o r m e dw h e . na s o l i dm e l t s .A s t h e t e m p e r a t u r eo f a s o l i di s i n c r e a s e dt h, e k i n e t i c
e n e r g yo f t h e a t o m si n c r e a s easn dt h e y a r e t h e n a b l et o p a r t i a l l yo v e r c o m et h e f o r c e so f
a t t r a c t i o no f a d j a c e nat t o m s ,a n dt h e s o l i dm e l t s .
T h ei n t e r - a t o m iscp a c i n g
i n a l i q u i di s a l m o s t h e s a m ea st h a t o f t h e c o r r e s p o n d i ns go l i d b
, u tt h e i r
g r e a t e rK i n e t i ce n e r g yd u et o t h e h i g h e rt e m p e r a t u rael l o w st h e mt o m o v er a n d o m l yw h i l es t i l l
v i b r a t i n gT. h e yt h e r e f o r eh a v e T R A N S L A T I O NaAnLdV I B R A T I O N A
mLo t i o na s w e l l a s R O T A T I O N A L
motion
T h ei n t e r m o l e c u l a r f o r coef sa t t r a c t i o n
i n a l i q u i di s l e s st h a nt h a t o f t h e c o r r e s p o n d i ns go l i d s, c r
t h e l i q u i dc a n n o tm a i n t a i na d e f i n i t es h a p e .
H o w e v e rt,h ' e r ea r e s t i l ls o m ei n t e r m o l e c u l a r f o r coef sa t t r a c t i o tnh a t c a u s et h e l i q u i dt o e x h i b i t
s u r f a c et e n s i o nv, i s c o s i t a
v n d a l s of o r i t t o h a v ea L A T E N H
T E A TO FV A P O R I S A T I O N .
SimpleKineticmodel for sases:
W h e n a l i q u i di s h e a t e d i,h . p . r t i c l e sg a i nK i n e t i ce n e r g yu n t i lt h e y h a v ea c q u i r e ds u f f i c i e n t
e n e r g yt o c o m p l e t e l ye s c a p et h e a t t r a c t i o no f a d j a c e not n e s ,a n dt h e l i q u i dv a p o r i z ecsa u s i n g
the
p a r t i c l e tso g o i n t o t h e g a s e o u sp h a s e .
s o v er a n d o m l yw i t h r e l a t i v e lhyi g hs p e e d sa, n dt h e i ri n t e r - a t o m iscp a c i n igs
I n a g a s ,t h e p a r t i c l em
- .
m t . t c fq' 'r ' " e r t h a n t h a t f o r l i q u i d sT. h e r ea r e i n t e r - m o l e c u l a rt t r a c t i o nos n l yf o r v e r ys h o r t
d u r , , - ' w h e nt h e m o l e c u l ecso l l i d ea, n da r es i g n i f i c a n tlleys st h a nt h a t f o r l i q u i d sa n ds o l i c J s .
s x h i b i tT R A N S L A T I O N A
T h eg a s e o u sp a r t i c l e e
VLI B, R A T I O N A
a nLd R O T A T I O N AmLo t i o n .
CRYSTALLINE
AND NON-CRYSTALLINE
SOLIDS.
'
I n a c r y s t a l l i nseo l i d t, h e a r r a n g e m e notf t h e a t o m s i, o n so r m o l e c u l ehsa sa d e f i n i t eo r d e rt h a t
r e p e a t si t s e l fc o n t i n u o u s ltyh r o u g h o utth e b o d yo f t h e s o l i d T
. h i su n i f o r ma r r a n g e m e ni st s a i dt o
beHOMOGENEOUS.
T h ec r y s t a l l i nseo l i di st h e r e f o r es a i dt o h a v ea l o n gr a n g eo r d e ra st h e o r d e ri s u n i f o r ma t t h e
f u r t h e s tp o i n tf r o m a n y r e f e r e n c pe o i n tw i t h i nt h e s o l i d .
ALLMETALS
ARECRYSTALLINE.
S o l i d st h a t d o n o t f o r m c r y s t a l l i nset r u c t u r e sa,r e s a i dt o b e A M O R P H O UoSr n o n - c r y s t a l l i an ne da
tvpicae
l x a m p l er : G L A S S .
i i t a n a m o r p h o u s o l i d t, h e p a r t i c l ehs a v en o d e f i n i t ea r r a n g e m e nTt .h e p a r t i c l easr e a r r a n g e d
i . , r n d o m al yn dt h e r ei s n o r e p e t i t i o n
o f a n ya r r a n g e m e notf g r o u p so f a t o m so r i o n s .
225
POLYMERS:
' hich
' p o l y s-' w h i c hm e a n sm a n ya n d ' m e r o s w
" p o l y m e r "i s d e r i v e df r o m t h e G r e e kw o r d s :
m e a n sa p a r t .
polymera
s r ev e r yh u g em o l e c u l em
s a d eu p o f r e p e a t i n sgm a l lu n i t sc a l l e dm o n o m e r i '
s r e N y l o na n d R u b b e r .
E x a m p l eosf p o l y m e r a
FS P R I N GASN DW I R E S
S T R E T C H IO
NG
H O O K E 'LSA W :
W h e n a s p r i n go r a w i r e i s . s t r e t c h ebdy a n a p p l i e df o r c e ,t h e e x t e n s i o np r o d u c e di s d i r e c t l y
p r o p o r t i o n at lo t h e a p p l i e df o r c e, p r o v i d e dt h a t t h e s p r i n go r w i r e d o e sn o t b e c o m ep e r m a n e n t l y
d e f o r m e d ( i . ei t.s e l a s t i cl i m i t i s n o t e x c e e d e d ) .
DO R C Ee,i s
l ys F - k e w h e r eF r e p r e s e n ttsh e A P P L I EF
T h i sl a w c a nb e w r i t t e nm a t h e m a t i c a l a
t h e e x t e n s i o np r o d u c e da n d k i s a c o n s t a nfto r t h e s p r i n go r w i r e a n d i s c a l l e dt h e F O R C E
CONSTANT
or SPRING
CONSTANT
t h a t i t c a nu n d e r g ow i t h o u t
T h e E L A S T ILCI M I To f a s p r i n go r w i r e i s t h e m a x i m u me x t e n s i o n
t
h
e
. i t h i nt h i s e l a s t i cr e g i o n , r e i s a n o t h e rl i m i t i s a l s oc a l l e d
b e c o m i n gp e r m a n e n t l dy e f o r m e dW
t h e p R O p O R T I O NLAILM I Ta n dt h i s i s t h e l i m i t a t w h i c ht h e E X T E N S I Oi sNd i r e c t l yp r o p o r t i o n at lo
FORCE
theAPPLIED
H o o k e ' sL a wi s o n l ya p p l i c a b luep u n t i lt h e p r o p o r t i o n al ilm i ti s r e a c h e d .
226
W h e nt h e s p r i n go r w i r e r e t u r n st o i t s o r i g i n alle n g t ha n d s h a p ea f t e rt h e a p p l i e dT E N S I LfE
o r c ei s
r e m o v e dt,h e w i r e ( s p r i n gi)s s a i dt o h a v eu n d e r g o n eE L A S T IDCE F O R M A T I O N
A T E N S I LfEo r c ei s b a s i c a l lay s t r e t c h i n g f o r caen d a c t si n t h e o p p o s i t ed i r e c t i o nt o a C O M p R E S S I V E
FORCE.
TENSILE
COMPRESSIVE
W h e nt h e e l a s t i cl i m i t i s e x c e e d e dt ,h e d e f o r m a t i o no f t h e w i r e ( s p r i n ge) n t e r sa n e w r e g i o nc a l l e d
P L A S T IDCE F O R M A T I O N .
I n t h e P L A S T IrC
e g i o nt,h e . r ei s p e r m a n e ndt e f o r m a t i o ns,o t h a t t h e w i r e ( s p r i n gd) o e sn o t r e t u r n
t o i t s o r i g i n al e n g t ha n d s h a p ea f t e rt h e a p p l i e df o r c ei s r e m o v e d .
GRAPH
O F F O R CvEe r s u sE X T E N S I Of oNr a w i r e :
Load/N
o
extension
T h e r e g i o nf r o m o : o A i s p e r f e c t l yl i n e a ra n d r e p r e s e n ttsh e r e g i o ni n w h i c hH O O K E 'lS
a wi s
i - ':fe y e da n d t h e p o i n tA i s t h e L l M t r o f p R o p o R T l o N A L l r y .
227
' a w( F =k e )c a n
F r o mA t o B t h e g r a p hn o w b e c o m e s l i g h t l yc u r v e da n dt h e e q u a t i o nf o r H o o k e L
n o l o n g e rh o l d ,h o w e v e trh e w i r e s t i l le x h i b i t sE L A S T IbCe h a v i our p t o p o i n tB . ( i . eU. p u n t i lp o i n t
B ,t h e w i r e r e t u r n st o i t so r i g i n alle n g t ha n ds h a p ew h e nt h e a p p l i e df o r c ei s r e m o v e d ) .
P O I N Ta n d i s a l s ot h e e l a s t i cl i m i t '
T h ep o i n tB i s c a l l e dt h e Y I E L D
B e y o r rp
d o i n tB ,t h e w i r e b e g i n st o e x p e r i e n cPeL A S T IDCE F O R M A T I OwNh,i c hc o n t i n u eus p t o
p o i n tD w h e r et h e w i r ef r a c t u r e s .
p o i n tC i sj u s t u s e da s a r e f e r e n c pe o i n to n t h e g r a p ht o s h o wt h e b e h a v i oor f t h e w i r e w h e nt h e
a p p l i e df o r c ei s r e m o v e dd u r i n gt h e p l a s t i cd e f o r m a t i o n .
T h e d o t t e dl i n eC Ei n d i c a t e tsh e r e c o v e r yo f t h e w i r e w h e n t h e a p p l i e df o r c ei s r e m o v e da, n dt h e
l e n g t hO Er e p r e s e n t sh e p e r m a n e net x t e n s i oonf t h e w i r e .
228
T H EY O U N GM O D U L U S
C o n s i d ear u n i f o r mp i e c eo f w i r e o f l e n g t h' l ' a n d c r o s ss e c t i o n aalr e a ' A ' b e i n gs t r e t c h e d
bya
t e n s i l ef o r c e' F ' a s s h o w n :
ts
l f t h e a p p l i e df o r c ec a u s e st h e w i r e t o u n d e r g oa n E X T E N S I O' eN' , t h e n t h e S T R A I N
experienced
b y t h e m a t e r i ails g i v e nb y t h e e q u a t i o n :
Strq.in -
extension
origi"nal length
S t r a i nh a sn o u n i t s .
t h e S t R f S Sa p p l i e dt o t h e s p e c i m e ins g i v e nb y t h e e q u a t i o n :
Stress :
applied f orce
cross sectional area
T h e u n i t so f S t r e s sa r e N m - 'o r P a .
W h e n a S t r e s si s a p p l i e dt o a s p e c i m e ni ,t e x p e r i e n c easS t r a i n .
T h e r a t i oo f t h e A p p l i e dS t r e s st o t h e S t r a i ne x p e r i e n c e di s, c a l l e dt h e Y O U N GM O D U L U o
Sf t h e
material.
Young Modulus E -
Stress
Str"i" Vo)
OR
E_
F orce
extension
Area
length
229
l f a g r a p ho f S t r e s sv . s .S t r a i ni s d r a w nf o r a l e n g t ho f u n i f o r mw i r e t h a t i s s u b j e c t e d
to increasing
l o a d st,h e s h a p eo f t h e g r a p hw i l l b e t h e s a m ea st h a t f o r t h e l o a d -e x t e n s i o n
g r a p ht h a t w a s
p r e v i o u s ldyr a w n .
Stress
Stra i n
M e t a l sa r ec o n s i d e r etdo b e D U C T I LmEa t e r i a las st h e yc a nb e d r a w ni n t ow i r e s .
A l l D U C T I Lm
E a t e r i a l se x h i b i t ' ar e g i o no f E L A S T IdCe f o r m a t i o nf ,o l l o w e db y a r e g i o no f P L A S T I C
d e f o r m a t i o nw h e nt h e y a r e s u b j e c t e d
t o i n c r e a s i nlgo a d s E
. x a m p l eosf d u c t i l em a t e r i a l sa r e
c o p p e ra, n ds t e e l T
. h ed u c t i l em a t e r i a lasr e a l s oc r y s t a l l i n e .
B R I T T Lm
Ea t e r i a l se x h i b i to n l y E L A S T IdCe f o r m a t i o na, n d a t t h e l i m i to f p r o p o r t i o n a l i t tyh, e
m a t e r i abl r e a k s .
E x a m p l ebsf b r i t t l em a t e r i a lasr eg l a s sa n dc o n c r e t eT. h e ya r ea l s oa m o r p h o u s .
P O L Y M E Rm
I Ca t e r i a lssu c ha s n y l o na n d r u b b e ru n d e r g or e l a t i v e llya r g ee x t e n s i o nf so r s m a l l
i n c r e a s eisn l o a d .T h eg r a p hf o r s t r e s s- s t r a i ni s n o t l i n e a ra n d w h e nt h e a p p l i e df o r c ei s r e m o v e d ,
t h e w o r k t h a t w a s d o n ed u r i n gs t r e t c h i n g , n
i so t t o t a l l yr e c o v e r e d
a st h e s p e c i m e nr e t u r n st o i t s
o r i g i n alle n g t h .
T h e l o s so f e n e r g yi s d u e t o H Y S T E R E w
S IhSi c hi s t h e d i s s i p a t i oonf h e a te n e r g yw h e nt h e i n a t e r i a l
stretches
T h ea r e au n d e rO A B Cr e p r e s e n ttsh e w o r k d o n e
d u r i n gs t r e t c h i n gw, h i l et h e a r e au n d e rC D O
r e p r e s e n ttsh e e n e r g yr e c o v e r e d u r i n gu n l o a d i n g .
T h ea r e ab e t w e e nt h e t w o g r a p h si s s h a d e da n d
r e p r e s e n ttsh e e n e r g yd i s s i p a t eads h e a t .
T h eg r a p hi s c a l l e da H Y S T E R E S
I SO P .
LO
ioading
unl o a d i n g
230
F O R C EE-X T E N S I OGNR A P H S
Force
Force
Force
Extension
D u c t i l em a t e r i ael . g .
c o p p e r s, t e e l .
C r y s t a l l i n.e
extension
extensron
B r i t t l em a t e r i ael . g .
c o n c r e t eg, l a s s .
Amorphous.
T h ee x t e n s i o n
changes
b y o n l ya s m a l l
a m o u n tf o r a r e l a t i v e l y
l a r g ec h a n g ei n l o a d
P o l y m e r im
c aterial
e . g .r u b b e r ,n y l o n . T h e e x t e n s i o nc h a n g e s
b y a l a r g ea m o u n tf o r
a r e l a t i v e l sy m a l l
c h a n g ei n l o a d
g r a p hr e p r e s e n ttsh e w o r k d o n ed u r i n gs t r e t c h i n ga,n d
T h eA r e au n d e ra F o r c e e
- xtension
t h i s e n e r g yi s s t o r e da s S T R A I N
E N E R GiY
nthe specimen
f o r t h e l i n e a rp o r t i o no f t h e
graph only.
STRAIN
E N E R G=Y! F "
D u r i n gP L A S T IdCe f o r m a t i o nt ,h e g r a p hi s n o n - l i n e a ra,n dt h e a r e au n d e rt h e g r a p hf o r
p l a s t i cd e f o r m a t i o nr,e p r e s e n ttsh e w o r k d o n ei n d e f o r m i n gt h e s p e c i m e nT. h e e n e r g yf o r
plastir-,leformationis not recoverable
as it is dissipatedas heat.
231
Determinationof YoungModulus
d e x tt o e a c ho t h e rf r o m a c e i l i n g .
T w o l o n gt h i n w i r e sA a n d B a r e s u s p e n d e n
T h ew i r e A i s k e p tt a u t b y a w e i g h tC a t t a c h e dt o i t s e n d a n d h a sa s c a l eo n i t t h a t i s g r a d u a t e di n
millimeters.
T h ew i r e B c a r r i e sa v e r n i e rs c a l eD w h i c hi s a l o n g s i d sec a l eC .
W h e n a l o a do f a b o u t8 N i s a t t a c h e dt o t h e e n d o f B ,t h e w i r e e x t e n d sb y a s m a l la m o u n ta n dt h e
e x t e n s i o nc a nb e r e a do n t h e v e r n i e r .
T h e l o a di s t h e n r e m o v e da n dt h e v e r n i e rr e a d i n g
r e c o r d e dt o c h e c ki f t h e w i r e r e t u r n st o i t s o r i g i n a l
length.
W h e nt h i s i s e n s u r e dt,h e l o a di s i n c r e a s etdo a b o u t
o b t a i n e dA
. g a i nt h e w i r e
1 2 Na n d t h e n e w e x t e n s i o n
i s c h e c k e df o r p e r m a n e ndt e f o r m a t i o nw h e nt h e
l o a di s r e m o v e d .
T h e p r o c e d u r ei s r e p e a t e df o r i n c r e m e n t os f a b o u t
4 N , u n t i la s e r i e so f a b o u ts e v e np a i r so f l o a d sa n d
t h e c o r r e s p o n d i negx t e n s i o nasr e o b t a i n e d .
A g r a p ho f l o a dv e r s u se x t e n s i o ni s p l o t t e d ,a n dt h e
g r a d i e nits o b t a i n e dw h i c hi s e q u a tl o #
232
R e c a l tl h a t
YoungModulusE-
.Sfress
Strain
Force
extension
Stress - --:and Stra"in Area
original length
Force
HenceE-_x
Area
original
Force
orE _ _x
extension
ori"ginal length
length
extension
Area
Force
But -^^,
_ - Gradient of graph
CXTCNSLOTL
lensth
HenceE-Gra"dient"
arti
T h e l e n g t h c a n b e m e a . s u r e db y m e a n s o f a m e t r e r u l e a n d t h e A r e a i s c a l c u l a t elcl'r o m A' - r t d z
4
w h e r e d i s t h e d i a m e t e r w h i c h i s m e a s u r e dw i t h a m i c r o m e t e r s c r e w g a u g e .T h e s e c o n dw i r e A
s e r v e st h e p u r p o s eo f c o m p e n s a t i n gf o r a n y y i e l d i n go f t h e c e i l i n g .
l m p o r t a n pt o i n t s :
( 1 )T h e u s eo f t w o w i r e sA a n d B o f t h e s a m em a t e r i aal n d l e n g t he l i m i n a t e tsh e c o r r e c t i o n
f o r ( a )T h ey i e l d i n go f t h e s u p p o r w
t h e nt h e l o a d sa r ea d d e da n d ( b )c h a n g eos f
t e m p e r a t u r ew h i c hc a u s ee x p a n s i o n / c o n t r a c t i o n
( 2 )T h ew i r e sa r e m a d et h i n s o t h a t a m o d e r a t el o a do f a f e w k g w i l l p r o d u c ea l a r g et e n s i l e
s t r e s s. T h ew i r e i s a l s om a d el o n gs o t h a t a m e a s u r a b leex t e n s i o ins p r o d u c e d .
( 3 ) B o t hw i r e sm u s tb e f r e e o f k i n k s o
, t h e r w i s et h e e x t e n s i o nc a n n o tb e a c c u r a t e l y
m e a s u r e dT. h ew i r e sa r e s t r a i g h t e n ebdy a t t a c h i n gw e i g h t st o t h e i r e n d s .
( 4 )A v e r n i e rs c a l ei s n e c e s s a rtyo m e a s u r et h e e x t e n s i o n
o 1 ' t h ew i r e s i n et h i s i s a l w a y s
small.
( 5 )T h e d i a m e t e ro f t h e w i r e m u s t b e f o u n d b y a m i c r o m e t esr c r e wg a u g ea t s e v e r apl l a c e s
, a n dt h e a v e r a g et h e n c a l c u l a t e dT.h e a r e ao f c r o s ss e c t i o nc a nt h e n b e c a l c u l a t efdr o m A
=TTT,
233
W O R K SE
HE T
6m2
( 1 )A w i r e 2 . 5 ml o n ga n d c r o s ss e c t i o n aal r e a1 . . 2 x l - O
i s s t r e t c h e db y l - . 8 m mw h e n a f o r c eo f
:
6 0 N i s a p p l i e dA
. s s u m i n tgh a t t h e d e f o r m a t i o ni s e l a s t i cc, a l c u l a t e
( i )T h e S t r a i n ( i i )T h eY o u n gM o d u l u s ( i i i )T h ee n e r g ys t o r e di n t h e w i r e
( 7 . 2x I O a; 6 . 9 4x 1 0 1 0 P;a0 . 0 . 0 5 a i ) J )
( 2 ) ) A w i r e 4 . 8 m l o n ga n d c r o s ss e c t i o n aal r e a2 . 5 x 1 O - 6 mi s2s t r e t c h e db y 5 . 2 m mw h e n a f o r c eo f
2 2 0 Ni s a p p l i e dA. s s u m i ntgh a t t h e d e f o r m a t i o ins e l a s t i cc,a l c u l a t :e
( i )T h eS t r a i n ( i i )T h eY o u n gM o d u l u s ( i i i )T h ee n e r g ys t o r e di n t h e w i r e
( 1 . 0 8 3x 1 O -;38 . I 2 x 1 0 1 o P; 0
a . 5 7 2 J)
( 3 ) C o p p e rh a sa Y o u n gm o d u l u so f 1 , 1x 1 0 1 1 P a
F.i n dt h e e x t e n s i o np r o d u c e dw h e n a 4 m l e n g t h
i
s
o f c o p p e rw i r e h a v i n ga d i a m e t e ro f 3 . 6 m m s t r e t c h e db y a t e n s i l ef o r c eo f 5 5 N .( 1 . 9 6x 1 0 - a m )
( 4 )A 3 . 8 ml e n g t ho f s t e e lw i r e h a v i n ga d i a m e t e ro f 1 . . 7 m mi s s t r e t c h e db y 0 . 9 8 m mw h e n a f o r c e
ef F . ( 1 1 7 . 1 N )
F i s a p p l i e dl.f t h e Y o u n gm o d u l u so f s t e e li s 2 x 1 0 1 1 Pdae, t e r m i n e
t h e m a g n i t u do
( 5 )A m e t a lh a sa Y o u n gm o d u l u so f 1 . 8x 1 0 1 1 P aF.i n dt h e e x t e n s i o np r o d u c e dw h e n a 4 . 8 m l e n g t h
o f w i r e o f t h e m e t a l h a v i n g ad i a m e t e ro f 2 . 6 m mi s s t r e t c h e db y a t e n s i l ef o r c eo f
1 1 2N .( 0 . 5 6 m
m)
( 6 )A 2 . 6 ml e n g t ho f w i r e h a v i n ga d i a m e t e ro f 2 . 4 m mi s s t r e t c h e db y 1 . 4 8 m mw h e n a f o r c eF i s
t h e m a g n i t u do
ef F . ( 6 8 5 N )
a p p l i e dl.f t h e Y o u n gm o d u l u so f s t e e li s 2 . 6 6x 1 0 1 1 Pdae, t e r m i n e
( 7 ) A v e r t i c am
l e t a lr o d o f c i r c u l a cr r o s ss e c t i o ni s l o a d e db y p l a c i n ga 6 k gw e i g h to n t o p o f i t . l f i t s
l e n g t hi s 4 8 c ma n d i t s r a d i u so f c r o s ss e c t i o ni s 9 . 4 m ma n d i t s Y o u n gm o d u l u si s 4 . 4 x L 0 1 0 P a ,
of the rod.(2.3pm)
d e t e r m i n et h e c o n t r a c t i o n
( 8 )A v e r t i c am
l e t a lr o d o f c i r c u l a cr r o s ss e c t i o ni s l o a d e db y p l a c i n ga 4 8 k gw e i g h to n t o p o f i t . l f
i t s l e n g t hi s t 7 Z c ma n d i t s r a d i u so f c r o s ss e c t i o ni s 1 . 4 c ma n d i t sY o u n gm o d u l u si s 7 . 8 x L 0 1 0 P a ,
of the rod.(1.68pm)
d e t e r m i n et h e c o n t r a c t i o n
( 9 )A c y l i n d r i c aclo p p e r w i r ea n da c y l i n d r i c a
s tl e e lw i r e e a c ho f l e n $ t h1 , . 2 m
a n dd i a m e t e 1
r .8mm
a r ej o i n e da t o n e e n d t o f o r m a c o m p o s i t ew i r e 2 . 4 ml o n g .T h ew i r e i s l o a d e du n t i li t s l e n g t h
. b e c o m es 2 . 4 0 4 m T
, d t h e Y o u n gM o d u l u so f s t e e li s
. h eY o u n gm o d u l u so f c o p p er i s 1 , . 2x 1 0 1 1 P a n
2 x 1o11Pa.
C a l c u l a tteh e s t r a i n si n t h e c o p p e ra n d s t e e lw i r e sa n dt h e f o r c ea p p l i e dt o t h e c o m p o s i t ew i r e .
( 1 0 )) A c y l i n d r i c aclo p p e rw i r e a n d a c y l i n d r i c aslt e e lw i r e e a c ho f l e n g t hl - . 8 ma n d d i a m e t e r
2 . 4 m ma r ej o i n e da t o n e e n d t o f o r m a c o m p o s i t ew i r e 3 . 6 ml o n g .T h ew i r e i s l o a d e du n t i l i t s
l e n g t hb e c o m e s3 . 6 I 2 m .T h eY o u n gm o d u l u so f c o p p e ri s 1 . 2x L 0 1 1 P a ,n dt h e Y o u n gM o d u l u so f
s t e e li s 2 x 1 0 1 1 P a .
C a l c u l a tteh e s t r a i n si n t h e c o p p e ra n d s t e e lw i r e sa n dt h e f o r c ea p p l i e dt o t h e c o m p o s i t ew i r e .
234
S o l u t i o nf o r q u e s t i o n9 :
T h ee x t e n s i o n
o f t h e c o m p o s i t em a t e r i ails 2 . 0 4 m - 2 . 4 m = 0 . 0 4 m
Erorrer : 1,.2x 1,011Pa
) Esteet- 2.0 x 1011Pa
Let the extenston of the copp€r : x, and the extenston of the steel would be(0.04 - x)
Recall that Young Modulus E For the copper,the stress is equal to
'
.Sfress
str"*
1,.2x 1011x
; hencestress - E x stratn
(Recall that Strai.n :
*
extenslon
orLginat length
x
-L4) \
F o r t h e s t e e l , t h e s t r e s si s e q u a l t o
2 x I01r (0.04 - x)
_
T h e b o t h m a t e r i a l se x p e r i e n cteh e s a m es t r e s ss i n c et h e b o t h h a v et h e s a m ec r o s ss e c t i o n aal r e a
a n dt h e s a m ef o r c ea c t so n e a c ho f t h e m .
Str essroppr, = Str ess rs""1
L . 2 x ! 0 1 1 x _ z x 1 0 1 1 ( 0 . 0 -4 x )
2.4
2.4
0,04
1 . 6 x- 0 . 0 4 ; x : - ; - 7
-0.025m
L.O
0.025
, ^. .
f .,
= _ - = 0.01.04(no
The Stratn of the copper
untts)
rr
\
2.4m
T h e e x t e n s i o no f t h e s t e e l : 0 , 0 4 - 0 . 0 2 5 : 0 . 0 1 5 m
Thestrai"nof the steel:Y
: 0.0062s(nounits)
The applted f orce can be f ound by ustng the quantittes' f or any ONE of the wtres e. g.
1 . . 2x ! 0 1 1 x
F o r t h e c o p p e r , t h e s t r e s si . sg t v e n b y' - :
2.4
L 2 x 1 0 1 1x 0 . 0 2 5
2.4
The cross secttonalarea is gtvenby A - ftrZ : rc(O.9x 10-3)2
Force
Stress : -;-;
Force - .Stressx area
Area'
7 . 2 x 1 0 1 1x 0 , 0 2 5
2.4
235
THE END
236