www.nismath.org
И.П. Рустюмова
С.Т. Рустюмова
МАТЕМАТИКАДАН
БІРЫҢҒАЙ ҮЛТТЫҚ
ТЕСТ1ЛЕУГЕ (Б¥Т)
ДАЙЫНДАЛУҒА АРНАЛҒАН
ТРЕНАЖЕР
Бірінші басылым
Алматы
2013
ББК22.ІЯ7
Р88
www.nismath.org
АУДАРҒАН: ДЖУМАДИЛЬДАЕВА Асия Серкудовна - Алматы
қаласының Әуезов аудаыьша қарасты №126-ші мектеп-лицейінің
математика пәнінің жоғарты категориялы мұгалімі
(Тараулар: 5 - 9 )
ПІК1Р Ж А ЗҒА Н : ДЖУМАДИЛЬДАЕВА Асия Серкуловна - Алматы
қаласыньщ Әуезов ауданына қарасты №126-ші мектеп-лиЦейінін
математика пэнінің жога]яы категориялы мугалімі
Р88
Рустюмова И.П., Рустюмова С.Т.
Математикадан бірыщай
улттық тестілеуге
(Б¥Т)
дайындалуға арналтаи тренажер.
Бірінші басылым.
Алматы, 2013. - 492 б.
ISBN 9965-07-369^
«Математикадан
бірынгай
улттық
тестілеуге
(Б¥Т)
дайындалуға арналған і|>енажер» жинағында үш мыцнан actaM
есштер усьшылған. 2000-2013 жылдар аралығында EVT тапсырмаларын
қуруда осылЖинақ неіізге алынган. Тапсырмалардың күрделілігінің
деңгейлері (А, В, С) эртүрлі және олар алгебра курсы мен математикалық
анализ бастамаларыньщ негізгі мазмұнды кезеңдерін қамтиды. Мектеп
бітіру кезіндегі емтихан, Б¥Т тапсыру және ЖОО тусу емтихандарына
дайындалу үшін бетімен дайьгндалуга немесе топпен және жеке окыту
кезінде тренажерды қолдануға болады.
Талапкерлерге, жоғары сыныптгфда оқитындарға, мұгалімдер мен
репетиторларға ариалған.
Барлык қукык қорғалған. Осы кітаптың ешқандай бөлігі, авторлык
куқық иелеріяін жазбаша рүксатынсыз, қандай да бір түрде, басьш
шығарылуы мүмкін болып табылмайды.
р 1602000000
407(05)-05
ISBN 9965-07-369-4
ББК22.ІЯ7
I Рустюмова И.П.
Рустюмова С.Т.
2009
АЛҒЫ СӨЗ
www.nismath.org
Сіздің назарыңызға ұсынылатын «Математиканың тренажеры»,
бірыщай ултгык тестілеуден табысіы өту үшін, орта мектептің
бш'дарламасынын көлеміндегі математикалық талдаудың басы және
алгебраны оқитын талапк^)лерге арналған. Сонымен қатар, 11 сыныпта
оқитындарды бітірупіі емтиханға дайындауға ұйьтмдастыру кезінде,
муғалімдерге жэне репетиторларта жэне ЖОО түсуге, осы оқу қуралы
пайдасвш келтіреді.
Жинакгың негізгі мазмуны, такырыпт^>ы бойынша іріктеліп және
күрделілік деңгейі мен шепіу әдістері бойынша жүйеленіп, өз бетімен
шешуге арналған үш мыңнан астам есептерден т^ады.
Жинадтьщ ішіндегі барлық есептердің жауапт^ы болғандықган,
«тренажер» оқытушыньщ басшылығымен жумыс жасау үшін
қолданыпумен қатар, алгебраның курсын және математикалық талдаудьщ
басын өз бетінше оқу үшін колданылады, буғаы қоса осыған И.П.
Рустюмованың, С.Т. Рустюмованың «Математикадан бірыщай ұлттық
тестілеуге (Б¥Т) дайындау үшін оқу қуралдгфындағы» тапсырмалардыц
удсас түрлеріяің талданған шешімдері және теориялық тусівдірмелері
септігін тигізёді.
Жинақга теориялық мәліметтер мен керекті формулалар
келтірілмейді; оларды оқырман, Б¥Т дайывда^ла арналған жоғарыда
аталған оқу-әдістемелік қ^алының тиісті бөлімдерінде табады деп
болжанған болатык.
Авторлар барлық ескертулерге алгыстарын білдіреді, оларды
келесі мекея жай бойыншя жіберулерііизді өтіяемЬ:
svrustjamova@mail.ni
www.nismath.org
I
ТАРАУ. РАЦИОҒЬАЛ ФУКЦИЯЛАР
§1. САНДЫҚ ӨРНЕКТЕРДІТЕПЕ-ТЕҢ ТҮРЛЕНДІРУ
1) 3,7-(і,133:]Д -1,2):(-0,02) 0,2
2)
(4 ,3 -0 ,6 4 ;1,б)-0,25
25
1
— : 2,5+0,375-16
3
, , ^ 2 ,7 55 f 43 23"|
3) 2 —; 1—I— ; --------- I
3 9 84 1,63 Збу
4,
5)
SO') 1
4 ) |_ ,0 ,1 2 5 - - Д М : 8
18 : З б ; 'б 5 Ч 7
% ) ‘ 4 9 ’^6
Л
7 21
13Л56
2
7) I 6 - + 2 -^ + 5 - 1 : — -3 0 : —
' 3
15
2 / 15
28
8) I 3— -1 2 — - 5 — -0,85 1-3
' 15
20
45
'
9 )-7 ,8 -1 ,3 (19,6:1,4-20)
10) (^3.24:^ - з | : 1 0 :0 ,9
^
5 25 7 5 ^ 1
11) Өрнекпң мэнше кети санды табыңдар; — : —
-2— .
14 72 12 36 12
12) Мьша жай бөлшекті периодгы ондык бөлшекке келтіріңіз:
13) Мына санды жай бөлшекке келтіріңіз: 3,5(72).
14) ЕҮОБ (42; 140; 882) табыңыз.
15) ЕКОЕ (54; 81; 135; 189) табыңыз.
16) ЕК0Е(156;195; 1950) табьщыз.
22'
www.nismath.org
в
Л
Г
■4
^
17) 8 0 - 1--7 + 0 ,6 4 - 1 ,2 5 -7 ---1 ,2 5 +31,64
1
5
J
У
18) I 2 2 , 3 8 5 : 3 , 7 - 2 , 9 - l |j : 9 ||
4 5 І^ -4 4 ^
19) -----^ ------ ^ ; 3 1
4 3
4
1 2 - - 3 - - 4 ^ - 4 ,1 2 5
5
4
11
___
20)
2 ІД
7 35
21) 71 •72 -73 ■ • 79 көбейтіндісі кандай цифрмен аяқталады?
22) Пропорциядан х - ті табьщыз:
3,2
X
0,(4)
2,1(6)'
.,.,4
^
0,875
23) Пропорциядан х - ті табыңыз: —0,(7)
24) Пропорциядан х - ті табыңыз:
X
3,1(6) ■
0,(7) 1,875
3 ,(1 )“ X ■
4 0 ,(3 )J :0 ,2 5
25) Есептеңіз:
0,12(3): 0,0925 '
26) /н-саньшың 72%-ьш табьщыз; т =
27) Пропорциядан х - ті табыңыз:
1 3 - - 2 — - 1 0 - 1-230,04 +46,75
4
27
6 '
0,01
3,6
X
1 4 - 1 5 - :2 ,2
1,5 + 2 -+ 3 ,7 5
8
3
www.nismath.org
28) 3,6%-ы
3+4,2: ОД
өрнегінің мәніне тең санды табыңыз.
1 ;0 ,3 -2 ^ | 0,3125
29) ЕҮ0Б{38;6) = 2 , ЕКОЕ(38;б) = 1216. Ь-иы табъіңыз.
30) ЕҮОБ (68; 6) = 4 , ЕКОЕ (68; Ь) = 1292 . Ъ -ны табыңыз.
Ж А У А П ТА РЫ
5)2
1)2
2)1,3
3) 16,5
4) 15,5
6) 0,235
7) 48,5
8) -4 2 ­
3
9)0
11) і
9
12) 2,4(09)
1 3 )3 ^
110
14) 14
15)5 670
16) 3 900
17)0
18) 0,125
1 9 )^
16
20) 1
21)0
22) 15,6
9
23) 3 —
16
24) 7,5
25)3
26)7 200
27)4
28)4 000
29)64
30)76
412-172
1) 3 7 2 - 2 12
392,2 7 ^
452-212
5 І .1 Ч
3 16 J I 5 38
52^-37^ 39^ -36^
3) 57^-32^ + 452_ зо 2
- 7г 1 _ А
5 38
■Аі
www.nismath.org
7 ,4 "-2 ,б "
^ 11,2^-8,8^
5)
, 3. 88.3,12
6) 2 , 8 5 4 7 , 1 5 4 ^’^ ^'^’^^
0,5
7)
+
8) j^5 + 172j ^ :( 5 -л /і?)
9)
и 56^-4 6 ^
I 0, 25 -лЛо
10)
20{2 + ^ ) { 2 - ^ )
11)
В
12) 0,507^+ 0,493^ - 0,507 0,493
5 7 4 6 3^
- - 57-63
13) — І 20
18, 5 ^ - 17, 5^
14)
15, 1^ - 10,5 ^
+ 15, 110,5
4,6
32^-19,2'=
гЛ/'
15) 9~“’^ 4 (2 V 2 ) 3
.
А
2^\
9“°’^^-(2л/2) 'з
www.nismath.org
6 [y l2 -lf
17)
1-5 (л /2 -і)
25 1101^-20^
1
-^ .^ 1 1 5 ^ - 1 1 0 =
198
125
45
18)
.4 . і \ Г о 8
19) (З^ +1)(3^
+1)(3* +1)(3^^ +1)(3^^ + і ) - - - 3 , 64
20) (2^ + і)(2 ‘‘ +і)(2* + і) ( 2 ‘* + і )(2^2 + і ){2'^ + і ) - | - 2 ‘^
Ж А У А И ТА РЫ
1)1
2)8
3)0,8
4)1
5) 24,5
6) 100
7) -3
8) 0,5
9) 2 - ^ Ш
10)0,7
11)2
12) 0,000196
13) 1
14)1
15) І
16) 10
17)3
18, I
19) - 1
8
20)
О
7*-49“^ -S'*+49-125-
1)
3)
(7-5)'*-7“^
л/3.
12
(S -2 ^ + 7-2*®)>52.....
2)
4)
(13-8'*)^
t/2 5 -^
www.nismath.org
(8 + > /^ )(1 ,5 + 0,25)
5)
7)
(л/45 - 7 ^ )(> Я 2 +
6)
+-^8^
•7>Д
УІ5 + ^ І Ш
l-2 -V 5 + ^ /5
8)
(3 -2 -^ )(з + 2 ^ 5 )
(л /З -^ )
В
10)
9)
И)
[у/3-^)-у/Т2
з{ 2 ^ J6 - y/ T 6 ) [ Щ + l)
(л/5- ^ /n ) ( ^ ^ + ^/Г5- л ^ -N /^)
S + S —J i - i
4б + 2 ^ - ' І 2 - 2
12)
^f75-Ш
25^+1_25^
13)
14)
(5 * + 5 * -“)
0 +2 -^ + 1
(-3к _2
^
Ж А УА П ТА РЫ
1) 350
2 )і
8
3)3
4)6
5)3,5
6)21
7)1
s> i
9)4
10) 0,2
12) -1,2
13)3
14) 1 б |
15) 16
■Л
И) —
2
www.nismath.org
врі>«цяо8
1)
4)
7)
10)
13)
3 -S
17___
Зл/5-2>/7
2)
3)
5)
6)
ф~л/П
11
Зл/5+2л/7
9)
лІ2-у/з
1
^ -1
11)
4
2 -3 -^
14)
3
7 4 - л/7
2
8)
л /Т -л ^
;л 1 ■/.
1
12)
^ + І
^^Ч Ъ 5+ М 5
Ш -Щ + Щ
в
15)
16)
< /3 + ^
18)
2
-+-
73-1
1
17)
^ -1
•'Ji+ ‘\ ^ + ’\/5
3
лЯ- 2 3 -л/^ j >Д+5
19) —7==г---7=: + —==----р= + -\Д5^
>Д9 +лЛ7 >Д7 +>Л5
21)
22)
^2+л/з
j
л/2-лУз
1
5-л/7 • л/7+>/5
+-
22
7+^^
10
www.nismath.org
. V5+V3
^
л/5+1
^ -1
іо~Щ"’ +^І35
^
24)
P + yfbS
(8 -> /й )^
-+ л /« + 2005
25)
^^н^ТбГ
Ж А У А П ТА РЫ
6 + 2л/з
^
3
2) 9 л ^ -1 2
4) Зл/5+2л/7
6) 74 + ^/7
_
’
1і(Зл/5-2%/7)
3) л/7 + л/З
2
8) 2^І2+л/з
17
10)
11) і ( ^ - ^ + і )
+
-2 (4 + 6 - ^ + 9 - ^ )
15) { ^ - Щ { у І З + 9 Д )
,4 ,
5
23
16) ( ^ + і) ( л /2 + і)
12
З л /2 + 2 ^ ^ - ^ ^
^
2
18) -2
19) 19
20) 24
21) 2л/3
22)6
23,
24)6
.2
25)2 013
11
www.nismath.org
Р » д * к і^
1) (3-^2)-^11+ 6> Я
2) (з-^/5)•^/l4+6^/5
3) ^ ф + ^ Ш +>/7-л/33 j
4) ф - 2 ^ •t/l7+12^/2
5) y j ( y / 3 - l f + ^ ( л / 3 - 2 ) '
6) ^ ( 2 - л /5 ) ' + ^ ( з - л ^ ) '
7) у1(у/3-2)'
В
8)
10)
9 )^(-л Я 4 + 2)^ +2лЛ 4-8
^/2S+8^/5
уі9 - 4 у/5
8+>/5
11) ^ 2 -л /3 -^7+4л/з
12) (^/3+l) + (л /3-2) + л/27+^4+2>/5 + ^ 7 - 4 ^
13) y i + i f
+ ^ + Ф + 2 у/2 + ^ П - 6 у/2
14) ^ 1 7 -4 у /9 + 4 Ж ~
15) ,/і5 - 4 ^ 7 + 4 Ж ~
Ж А У А П ТА РЫ
I) 7
2)4
3)22
4)1
5)1
6)1
7 )3 - Т З
8)2
9)Зл/І4-10
10) 5-2^/5
II) 1
12)14+^3
13) 18+6л^
14) л /5 -2
15) 2 - n^
12
www.nismath.org
1і;)ф»м[ындй
6 й ір .^ « а в д ы қ 'е |ія е қ т е р д І
?a-^',LtA‘,^;;A
s’j.'■
•
t«F4«?a^*jpi» •ма4дя|ід|4:«И4|()^ІР<М к^
.x
A
1) у І 2 ^ - у / ш + ^ Д Ш - ^ / ш
2) л/2 8 - 7 і Т 5 - 7 і 5,75
3) 27 і 8+З л/8 + Зл^ ^ - л/50
4) ^ 4 9 + (л /б б ")"-^ (-5 )'
В
6) 3 VM4 - ( 0 , 3 - ^ ) ^
7) (l0^/48-6^/^+4^Л 2):^/з
8) (і5>/50+5л/200-Зл/450):лЛ0
9) 2 ^ 4 0 ^ + 3 ^ 574^ - 2 - V 7 5 - 4 ^ l 5 y l W
10) | • ^ - 3 • ^ - l , 7 ■ V 6 - 4 ,/і;5 + 3,7-7б
Ж А УА П ТА РЫ
1)0
2)0
3) 19л/2
4)68
5) -2 ^ ^
6)2,97
7)30
8) 16^/5
9)0
10)0
13
www.nismath.org
-1
1)
4V '
Г- -I V '
1 2j
2)
1^J
-3 (-2 )-4 g )
-3
■{3,375)~‘
(0 ,4 )-^ (2,5)-^ ^
4)
3)
(2,25)
(0,16)'' ((6 ,2 5 )'')'
-2 Г 2
5) (-2,2)^- 2
11
В
6) (2 0 -2 ^ -1 2 -2 ^ -4 8 -2 ^ )^ (-8 )'
7) (75-5^+35-5^):(20-25-125 -625-75)
•3 Л-1
8)
r
(0 ,2 )'Ч (-2 ,3 ) ”
-1
( - 1 ,2 ) 4 (0,5)
-r
-3 -(-2 )'' -(0,2)-^
9)
v 4
10) 6 -4 -
2)
ІЗ ;
3
2>У2
Ъп
4
+1 -----------^ - c o s - —
14
Ж А У А П ТА РЫ
1)9
2)0,5
6) -2
3
1) v4j
3) —
27
4)1
5) -1375
8)1
9) -0,125
10) 2,5
1 / ^ ^-0,75
+3 0,0081 4 +
U6
_2
www.nismath.org
^ ^13 3
2) 1000 5 +
-625-°>''
27
1
3)81“’’^ •32'°’'*-8 3.273+256®’^
4) > r-T .,S .V 2 5 + 3 2 + ^
5) 4 (0,0025) ‘*’^ •^0,001
6) 5-^0,0004-0,216 3
1 /
7 )6 4 2 -3 -
-л ^
В
( І Ң ) ‘ -2
8) Егер
9) Есептеңіз:
г
г
*1 >І2
өрнегі берілсе, дс- ті табыңыз.
4 - » .+ ( ^ ) 5 + 2 + lf
3 9
-0,5
•
4 ,8 -б |-3 1 ,7 5
15
www.nismath.org
-2
10) 10%-ті 32 5 . о,5 - (>/Н ) ° +
j
/o v '* /2 ''^
—I өрнегшщ мэшне
v3.
тең болатын савды табьщыз.
'3-0,2
-0,
II) 3®-^:----- 5Т + —
^
1-3®’^
T^
1- 0 ,5
1
12) 16^®-’*-25®-Чб4 2 . 9 1.5
100
13) ^ 2 yl2\JT
14) 0,027 ^
^j
+ 256
- 3 “‘ +10 ®
15) 2 - ^ ^ f l 6 - ^ [ 2 5 0 + 2 - ^ -3/І28*
Ж А У А П ТА РЫ
1)26
2)81,002
3)22
4) -83
5)8
‘>?
7)64
8)8
9)2
10)275
11) - 4
12) - 6
13)
14)32
1) (4 ^ /6 + ^ Д 9 + 2 ^ ^ + 6 )(4 ^ /6 + ^ ^ -2 ^ /2 6 -6 )
2)
-ja y
10+УІМ
7 5 2 -3 (Ь / з -З л Д ''
'
16
;
15) 6 - ^
www.nismath.org
г
2 .
4) 15-4“^ + 1210.25
V
(l + 90.25).(^^_l)
5) (2 л /б -5 )"- 1074 9 - 20^6 +1
6) л/б+л/57 и -2 ^ ^
7) I j S y f l - l - 7 з + 2л/2
8)
4 + ^^
7 6 ,3 1 ,7
9)
10)
^
Р_23_ 17
'1,7 V6,3
7 ( 6,3 + 1 ,7 )'-4 -6 ,3 1 ,7
>/40
. 2 _ , - . 2 20
4--0,15 + 4 - : —
7
7 3
11)
12) I 7 9 + 4V5 + 7 2 + 5/5 ) - 7 n/ 5 - 2
13) (і+2"'^)Ч (з+2>/2)"‘
14)
7 ^ - 7 ^ )^ + 7 j- ^ ( 7 ^ + 7 ^ ) ^ - 7 j
15) 7 1 3 + 3 0 7 2 + 7 9 + 45/2
17
-1
www.nismath.org
16)
17)
•^ 5 + 2 ^ •
y |^ 2 -2 ^ Iй
^12+2лДТ
д /іГ Ч 2 ^
^/і7+12л/2
18) 7 521^-7 522-7 520
19)
-Зл/5+7
1 + —1 —+ 1
20) —1 -<-—1 + ——
2-5 5-8 8 11 11-14 14-17
Ж А У А П ТА РЫ
1) -5
2)8
3 , - 'f
4)2
5)0
6)0
7)1
8) >/5-2
9)1
10) 125
12)2
13) 6
14)47
15)5+3>/2
17) 4 л / ^ - 6
18) 1
19) 10-4>/5
20) —
34
16)3
18
www.nismath.org
§ 2. РАЦИОНАЛ АЛГЕБРАЛЫҚ ӨРНЕКТЕРДІ
ТЕҢБЕ-ТЕҢ ТҮРЛЕБДІРУ
1) х ^ + х ^ у + х у ^ + у ^
2) х ^ -2 х ^ з;+ у ^ х -2 з;^
3) x ^ y ^ + l x ' ^ + x ^ y ^ + l x ^
4) 2 х ^ + 7 х -4
S) 4х^' + у - 2 х - у ^
6) x ^ -9 x + 9 j- > '^
7) З а х - 2 - х + 6 а
8) 4 х у —3—2у+6х
9) 4jc^+5 jc- 9 x ^+15 x
10) 2х^ -7 х + 5
11) 6x^-1 ljc-30
12) 4х^ - 4 у ^ +3х+3у
1 3 )1 0 х ^ -З х -4
14) 2 х + у + у ^ - 4 х ^
В
15) 5 х ^ у - 4 х у ^ - у ^
16) х ^ у - 4 х у ^ - 5 у ^
17) сг^+6о^+12д+8
18) 4a^-12a6+5Z>^
19)
20) 9х^+6х>;+>'^-^^
+ Ь ^ - Ь ^ -с^
21) (х + і)^ -3 (х + 1 )Ч з (х + і)- 1
22) a -3 ft+ 9 fe ^ -a ^
23) x ^ + j ^ + 4 + 2 x7 + 4 x + 4>'
24) 2 а '* + 3 0 а Ч і5 0 а ^ + 2 5 0 о
25) 64(2-5 а)^ -2 5 (6 й г-5 )^
19
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) [х^+у^-){х+у)
2) [х^ + у ^ ) { х - 2 у )
3) x^ [ x^ + l){ y ^+ 2 )
4) (х + 4 )(2 х -і)
5) { 2 х - у ) { 2 х - ^ у - \ )
6) ( x - j) ( x + > ;- 9 )
7) (х + 2 )(З а -1 )
8) (2x-l)(2.v+3)
9) 5 х (4 -х )
10) ( х - і) ( 2 х - 5 )
11) (3х-10){2х+3)
12) (х+>^)(4х-4>'+3)
13) (2х+1)(5х-4)
14) (2x+>^)(l+_v-2x)
15) 7 ( x - j )(5 x +>^)
16) у { х + у ) { х - 5 у )
17) { a + l f
18) {2а-Ъ){2а-5Ь)
19) ( й ^ + с 2 ) ( б Ч і) ( і+ і) ( б - і)
20) (3x+jH+z)(3x + >’- z )
21)
22) ( і - 3 6 - а ) ( а - 3 б )
23) (x + j+ 2 )^
24) 2 a { a + 5 f
25) (І0 а + 9 )(7 0 а -4 і)
A
х^ +4х^ - 9 х - 3 6
х ^ + х -1 2
х^-х-2
^ З х ^ -5 х -2
5х^ - 1 х - 5 х у л - 1 у
-х -у
20
www.nismath.org
5)
х'* -t-a^x
х ^ - а х ^ +а^х
6)
7)
х у —у+2х —2
ху+Зх-у-3
8)
1+ab-a-b
l-2a+a^
х ^ - 9 х+ 1 4
х^ -ІО х+16
Ix'^y*+1х"^у^
х^+у^
9)
10)
х^ +х^ +1
Х^ +ДС+ 1
11)
12)
а^+Ь^-с^-2аЪ
-Ь'^
+2ас
13)
-п^-2пр-р^
—2тп + п^ —р^
14)
Л(Л
18)
20)
С^-1
Зх^ - 3 jc
хЭ^
-2а^ +4а-3
л
а ^ - 1 а +6
^ + У+ х ^ - у ^
г\
2
х —у + х 2 —2ху-\-у
17)
a b+ b + a z + z
а^+За^+ За +1
X^ + 2х ^ + 4 х +3
i9 )£ 4 ^ iL ± > L
X —ху + у
4
-^іх + в
2
2
"7 7
д:4 +х^у
+у 4
Ж А У А П ТА РЫ
1)
х+1
Зх + 1
4) -
1
І + а'*
2) х+3
3) 5 х - 7
5) х+ а
6)
21
1-Ь
1—а
4
www.nismath.org
J.+2
>'+3
7)
8>
х -7
х^-8
9)
10)
- х+ 1
И)
д » -1
а
12)
13)
X* +х^ +1
Зх
14)
т + п +р
т - п +р
15)
Щ
х+у
х-у
17)
b +z
18)
{a^lf
2
л +. .........2
19) х"
ху+у‘
20)
X - ху - \- у
х^ - х ^ у ^ +у^
а —Ь~с
а + й+с
-а + 3
а —6
х^+х+3
х+6
7
i^-yf
1)
от'‘ -4 9
/и ^+ 7
[ 1+и
^* уп 2 - т п
/я®-343
от‘*+ 7/п^+49
1-/П
2
т -тп
3)іА+Л^-«
a-b
)Ka + b )
т+п
т п-п ш
a^2га 2
Ъ ^ -а ^
4)Erqj £>= -0,5 болса, ^
. f
5)
lab
a -b
-+ a ^ - b ^ 2(g+7>)
2g
a+b
^ ^-------— :Q,15 есептеңіз.
. g -1
.
b
a -b
,, „
3x+2 4 x - l
2x^+3x
.
6) Егер X= 3 болса, ----- ^------------ 1—
^— - есептещз.
2x+3 2x+3 4х 2+12 д:+9
22
www.nismath.org
7) Егер X = 4 болса.
7(д:-3)
1
1
х^-6х+9
х^-9
есептеңіз.
а
5-2а
—I а + \
^2\
_1_ J ___ 1 Л Са„2' Ь
— н—
9)
аЬ V *
"у
8 )2 2 Г І + ^
а + 1 <3 + 1
10)
11)
-1
т +п
т -п
■{тп)
а +1
+О
а —Ъ а —1 <3^ —4<з + 3,/ Vflr-3j
_ 6 ____ 3
За^ + 2 а х - х ^
ах-3х‘
12) ------- гг------Г+ 10-(Зх + а)(а + х)
а ^ -9 х ^
13)
14)
{a +b f - 3 a b
а^-Ь*
+а^Ь + аЬ^ +Ь^ а^+Ь^
- 9 т^+4т+3
т ^ - I тп^-4т + 3
X
15) ^ ----X +у
у(х :- у)
ZS Ц X -у
а"*-Ь*
16) Егер <3= 2,71; Ь = 1,29 болса, -------- 5------- есептеңіз.
(а + Ь) -2аЬ
17)
д:'‘ - 4
х^ + 2
J
I
3
2
18) I <3+1 ч----a - l j ]- 2а+ а^
19)
Ь
—ah
1
33 + 6
а —Ь] \ а ^ —аЬ аЬ —Ь^
23
www.nismath.org
20)
21)
X
x'^+y^.
x - y ' y^-x^
f m -2
\wj+2
x+y
/и + 2^
8»i
m —2 j rn}- 4
a^-b^
{а + Ьу f ' - ' l
U b) ■ а Ч^
23)
аЪ
а^-Ь^
2b
2a-2b)'a^-b^
В
24)
25)
1
1
l+ 3 a
-+
2 - 6 a 27a’ -1 l+ 3 a + 9a^
2+6a
a
.2 Л
8-и’ r
4 -и ^
2+ 2+w
2+ «
n —2 n^+2n
26)
12
5a^ + a - 4
27)
/- х - ,^\2
jc + 5
x+7 ^ Г
9Г
(лс-9)(х+9) ( x - 9 )
у
a+1
3 (5 a-4 )
15a-12
a+ 7
U+sJ
28) Егер or=—2j5 ; fr = 0,5 болса.
7+x
9+jc
r g
1
-\~Ъ^ ^ ^a + b
( g^
^a+b
g^ ')
g ^ -fe ^ J
есеіггещз.
29)
49
g ’ +27
g+3
^ a ( g ’ -f 27) ^ 4 - 9a - q ^
g ^ + 9 -3 g J
jc+l
x^-4x
16 -a^
g+4
x^-ix-4
1 -1
2 _ g _ ^ ^ ^ _ l_ ^ 2 - g
31) Егер a =^^163 болса, | —
^ | 1
g 4 2a 2a)
24
+ — | есептеңіз.
8
3(3+ 32)
а -8
2 а ^ -8 а
- 6 4 j ' +4а^+16а
32)
а
а
4а^ -1
■+ ■
а^ -1 'U ^ - 2 a + l а ^ - \
33)
www.nismath.org
4-с
2
а +\
{x^+ 5)% 4(jc^+ 5) + 4 2х ^-1 8
34)
х^-Ш +2\
5>'-35
у^+\%у + 11
У -4 9
(>;+8) + б (у + 8 )+ 9
35)
Г
36)
2
(2-af
1
+-
Д ^ -4
(а^-4)^
(2 + аУ
1
37) ^
І ----- Г+ ТТ---- Xz---- г +
(а-Ь)[а-с) (Ь-с){Ь-а) (с-а)(с-Ь )
38) [ x ^ - y ^ - z ^ + 2 y z ) :
x +y —z
x+y+z
-,пч f 2х+1 4 х + 2 '\ 2х+1
2
39) I --------------- т I:--- - + 1.Х + 2 4 - х ^ ) х - 2 х+2
9
40)
+
1 ^ -9
3
^
(3-^)^
6
1—2х
-+(х -3 )^ 3 + х
Ж А У А П ТА РЫ
/- \2
1)0
2) -1
3>f^l
4)1
5)1
б )і
3
7)0
8) а
9)
10)
аЬ{^а + Ь)
т —п
11)
а —\
25
12)3
www.nismath.org
13)
a-b
й +Ь
т -3
m+ 1
14)
15)
17) (лг+ l f
18) a -1
19)
21) -1
22) -ab
23)
25)2
26)
29) 1
30) 1
33)
(2 a + l)(fl-l)
37)0
1)
34)
2
5 —a
a +1
2x + 6
x-1
1
Х+-У
b-a
~b~
a-b
20) 1
24) - ­
a
27) 1
28) 3,75
31)0
32) 1
35)
36) 16
7 + 11
38) ( x + z f - y ^
16) 5,68
39)1
40) -
2
x +3
Erep x > 2 болса, f { x ) = \ x - 2 \ + l - x табыңыз.
2) Егер ae(-< »;0) болса,
q ^ -4
ықшамдаңыз.
| a| + 2
В
3 ) Егер
болса, /{ х ) = |3д!: + і| + |4л:—3|~7д: табыңыз.
1 3
4 ) Егер — < х < — болса, / ( x) = |3 jc+11 + I4j : - 3 |—7jc табыцыз.
3
4
V/ I
I і
I
5) Егер 0< д :< 2 болса, / ( j c ) = |x |+ |2 —д:| + 3 -|х -3 ] табыңыз.
^) / ( ^ ) —|х —2 | функциясы берілген. / ( - З ) табыңыз.
26
www.nismath.org
7) Егер а е (-оо; - 2) болса,
8) Қыскартыңыз:
+а^ —2а
ықшамдаңыз.
а-\ а + 2 \ - а ^ +4
X- л:—3
-------- .
9) j = | x - 2 | + |x —3| функциясыныңеңкішімэнінтабыңыз.
10) >»= |х | 4-1X- 2 1 функциясының ең кіші мэнін табыңыз.
Ж А У А П ТА РЫ
1)5
2)-а-2
3 )-2
, егер х > 3
х+2
8)
-X
, егер X< 3,
^х + 2
9) 1
6)5
л -f
-2
а-^+Ь-^
a ^+Ь *
&үтім-.- көрсеткішгт>^^^>^^
аЬ
-1
2ab ^ ’
a+ft
2 )(а -2 -г> -^ ).(б -‘ - а - ‘)
£ lz z l.£ l:z l
^ х - Ч у - ‘ '( j - x ) " '
4)
5) 11-Зх
10) 2
5^тобы. Қ¥і>амынд»
1) {а + Ь)
4 ) -8 х + 4
a^ 3оt-l —a^ -Iоl J I/■'2
a —bL2^~^
ab ’ +a 'ft
aft
27
бар
www.nismath.org
а -Ч ^-а
5)
1
+а
а^3.-2
о
-2 ,
Ь+а
-1
В
a~■1^-b>--1
а о
+1
а ^+Ъ ^ [а + Ь ^ —ЪаЬ
б)
-0 ,5
7) Егер да = 0,003; « = 0,007 болса,
т
^- т
т - п -2
• •
,а
9)
‘
1
-( +
т
а ЧЪ
2 + да и)
4аЬ
Ь ^ -а ^
есептеңіз.
-1
-а~^х+а~^У^х~^ + а^ -х-(ах)
-1 „-1
19)
^
-2
а - 3 +х - 3
ха
■
4 -а х
х —а
-2 Л
-1
У
,
5;^
( x j ’ +->’х “Ч і М х
.’У
: .
11) Егер х = 0,24; у = — болса, 2---= з —- =
■• -■=- - -—^ есептеңіз.
'
12
X у +у X ~ х у ~ у х
12)
13) Егер а = -10 ; 6 = 2 болса.
(а-Ч^+аЧ-^)
^ _д есептеңіз.
ЬЧ -^+ 2Ь -^+ аЧ
а-^-П ЬЧ -^
14) Егер 6 = - 4 ; а = — болса.
3
’ а ”Ч За"^6+ 9а^^6^
28
есептещз.
www.nismath.org
15)Егер а —Ь = 'І2 болса, ^2а ^ —Ъ
—р + -^
-4а“®
есептещз.
Ж А У А П ТА РЫ
1)
2)
аЬ
1аЬ{а + Ь)
7)30
6 )^
2Ъ
11) 10
3)1
4) аЬ
5) а { Ь - а
8) -1
9) ах^
10) 1
13) 200
14) 19
1 5 )1 16
б-то6ы .в р н е к т і ы кш амдацыз: ,,
С
1)
X
Vх - 2
2) а
д:^-2х + 4^
8
х^+8
х-2
(х + 2) - S x
л:^ +JC+ 6
4х + 8
2 5 -4 а ‘ ^ 1-1,5а“^2 - а„-4'\
5а ^ + 2а ^
а ^ +0,5а
3)
л^+ л'—56
0,5л + 4
З л ^ -л -1 4
л+ 2
6+ 7 л —5л^
5л+3
4)
л ^ + л —20
л -4
2л“ -5 л + 3
2 л -3
4 - 8 л —5л^
л+2
^л^ -л -5 ^ ^ л ^ - л - 2 ^ + 2
^ ^ л " -л -5 ^ (л ^ - л - і | + 4
JS -3
л(л + і)(л + 2)(л+3)
6) Егер л = ----- болса, ^ - ; -4-^--—^-Ц;
2
(л -1 )(л + 4)
29
есептещз.
www.nismath.org
7) Егер х = ^ — болса, О
2
х^{х+\)
8)
6дг+7 2x+S f х+ 4
2х+3 Зх+7 ^2дг^+дг-3
есептеңіз.
2х +3 ''
х^+Здс—4^
1
л/а'*-6а^+9а^ + J 4 a ‘^-4a^-^a^
.
9 )Егер —< а < 3 , ----------------= = = = = -------------- есептещз.
2
yJa^+4a + 4
10)
1+ 6ас
[sc^-а ^
1 ]
2с-а^
(
д:^-2я: + 4 2х^+х
4 x ^ -1
х^+8
11)
1
1
'І
+2ас + 4с^ ^
х + 2 '|Г4(д: + і)\л-> 6 —6х
2x^-xj\x^+2x
3—6х
» --(» -1 )=
12)
лг^(*+1)^-1
л:^'{д:+1)^
--1 + 2 1
7^2
2\ д:4 у..4
У
X
13)
2+^
2 "^^2
ху-Һ
у^
х^
2
х
^
у
+
ху^
уу
X J
'J
п
L й
2а
.
14)Егер 0<дг<с)болса,
■■—--■—2аЬ+Ь^^ -і------есептещз.
yja^+2ab +b^ а+Ь
1 /I-V с
15)
1
д(д+1)
16)
х'*-Зд^+1 х ^ + х - 1
х ^ - 2 1 ‘ х^+ Зд+ 9
1
(х+1)(х+ 2)
j^ r_ 3 _ ^ a + l
\а+2
-9
1
(д + 2)(д+ 3)
1
(х+ 3)(д+ 4)
а-1
\.3 « Ч 7 а -2 8
а^ + 5 а + 6 ) а^+ 5 о + 6
30
www.nismath.org
18
+[ ( , + 3 ) ” Дг"-9
^
9
18)
(х^іҮ
' X
3
3'
X
19) Өрнектің ең кіші мәнін табш^ыз:
( х - і) ( д :- 2 ) ( х - 3 ) ( х - 4 ) + 10.
20) Өрнектің ең үлкен мэнін табьпіыз:
(х - і) ( х - 3 ) ( д :- 4 ) ( х - 6 ) + 10.
Ж А У А П ТА РЫ
1)
5)
- -
х'^ -д г-4
х^-х-3
9) а
13)
П)
+ /
1
а-3
2) 1 024
3) -9
4) 5JC+ 4
6) 0,2
7)6
8)3
10) 2 с - а - 1
11) -1
12) 1
14) 1
4
1 5 )X- Т+-4Гх
1 6 )------X —
18)4
19)9
20) 1
31
х'^ - 3
www.nismath.org
§ 3. РАЦИОНАЛ АЛГЕБРАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ
tf
ал тец деул ер ді ш еш іціз:
1) (х -5 )^ + { 3 - x f - 4 ( х + 5 )(3 -л :)-4 8 = (.г + і)^
2)
3)
1
1-
( 1 - ,) = 0
JC 2 д: 3
2 x 3
X
(х ^ -4 х + 4 )(2 х + 5 )
^
12-Зх^
5x^+9
* 6
4 x ^ -9
5 ~
6) (Зх-8)^ -(4 х -б )^ +(5х-2)(5х-|-2) = 96
х^ +3х _ х + 7
/Ч
8)
л
X -З х
+х =1
9) ( З х - 5 )^ -(2 х -і)^ = 2 4
10) (Зх-8)(7х+ 5) = (Зх-8)^
4х^ -7 х -'7
11) ^
=
х^ -5 х + 6
8
0
5
i3)4=S
^iiS-o
х ^ -х -1 2
32
www.nismath.org
14) у = х ^ - 4 жэне у = х + 1 функциялары графиктерінің қанша ортақ
нүктелері бар.
В
15) (х -4 )(л :Ч 4 д : + 1б) = -189
16) 6{x + \ f +2 { х- \){ х^ ^ x + \ ) - 2 { x + \ f =32
17)
+
—2.х:ч-4^ —х (х —3)(,т+3) = 26
18) Зх‘^+л-^-12д:^-4х = 0
19) 2д:'*+3л:^-8х^-12х = 0
20) ^ :^-2 x '‘ + jc^ - 2 jc" + x - 2 = 0
21)
+ х ‘*—6х^ —6а'^ + 8д:Ч-8 = 0
22) 2х Ч 7 х ^+ 7 х + 2 = 0
23) х^-5.х:^-5.г + 1= 0
24) (х -1 )^ = х (х + 2 )^ -9
25) А:-ның қандай теріс мэнінде 10х^+А:х+40
квадрат бо.тып табылады?
үшмүшелігі толық
Ж А УА П ТА РЫ
1) -3 ; 5
2)2
3) ±7б
4) -2,5
5) х е 0
6) ±2
7) -3,5; 1
8) -2 + ^/Г^
9)0; 5,2
12) -0 ,9 ; 1,5
10) - 3 - ; 2­
4
3
13) х е 0
15) -5
14)2
33
www.nismath.org
W)5
17) 2
18)
19) -1,5; ± 2 ; О
20)2
21) - 1 ; ± 2 ; ±у/і
22) - 2 ; - 1 ;
2 3 )-1 ; 3+2л/2
2 4 )--; 1
~
0; ±2
25) l' = -^0
^
А
'
1)
— —- —= 1 тендеуін шешіңіз,
х -5 X
көрсетіңіз.
2) х - 2 =
4)
У-7х
2х + 4
4;е-14
х -3
3)
1,5-3,5х
х +2
5
6 )— +
х - 2 , х+ 2
5)
х^+4
2
X
8
х ^ -4
жауабында
X —4
Зх+4 -+.------=
1 -------З х -2
7) -------X -2 х х - 2
X
8 ) ^ + і ± І+ £ ± 1 = з
х + І хн-2
X
...
1
+ - ^ =2
х^+5
х^+8
X " — 4х
В
10)
түбірлердің
2
х ^ -4
1
х ^ -2 х
х -4
х^+2х
„
4
1
10
{х+4)?
х^-4х^-І6х+64
3
15 , , 7
„
' ■
-f-' ........ = 0
4 х -2 0 50-2х^ 6х+30
34
санын
(х Ч 3 5 )^ _
www.nismath.org
I44x^
12)
( х ^ - 49)
13)
15) 1­
л
10
+3
х-7
30
X
X
1
х"^-8х + 7
50
л:^4-х —6
7
х+4
х + 1 2 -2 х
17)
2
X —2
Зх^-38
х ^ -1
13
7 + 18х
1 х ^ + х + 1 х ^ -1
Зх
18) — +
х -1 х ^ -З х + 2
19)
1
х^+Зд:—3
2л:—1
-+ X -Ьх + 1
х ^ -1
л:-1
16)
(49-Jc^)
х+ 3
4 x ^ -9
х -2
3 -х
(2х+3)^
2
2 х -3
4
20) £ ± 1 + - ^ ! ^ = — х+3 X + х —6 X — 2
Ж А У А П ТА РЫ
1) 5
2) 4; 5
3) о
4) X - кез-келген, (-2) -ден басқа нақты сандар
5) х е 0
6) -9
7)4
4
8) - ­
3
9)3
^ 20
10) -6 ; у
11) х е 0
12) ±5
13) -1 ; 1,5
35
www.nismath.org
14)0
15)10
18)3
19) - 6 ;
1 6 )-2 ,2 ;
3 - тобы. Ж ац а
ш еіаіяіз:
1)
5х
X
2{Зл:+2)
енгізу
2)
2
3) { З і-2 )^ + 5 (З л ;-2 )-6 = 0
„ х+3
5 )
х -3
г + х -3
х+3
X
6)
3
х 4 2 х +3
9
л+1
әдісімен
+4
тендеулерді
х —5
4) 3jc^ - 1 3 x 4 4 = 0
10
6х
7)
1 7 )-4 ;
20) - 7
ай н ы м ал ы
3 jc + 2
----------- +
о
6
х^+1
X
х^+1
2
8) ( х ^ ~ 8 ) Ч 4 ( х ^ - 8 ) - 5 = 0
х ^+ 2х + 3
9) 1 б ( х - 5 ) % 4 ( 5 - х ) ^ = 0
10) х '’ - 7 х ^ - 1 4 4 = 0
11) (2х 4 3
12)
х
)^ -7 (2
х
^4-Зх ) = - 1 0
2 х -6 З х -4
+
Зх—4 2 х - 6
17
4
7
13) (х 4
-
х
і
){х ^ +
х
^ Х ^ + Х + і)
15)
12
3
х^+ 2х
х ^ + 2 х —2
1 6 ) х * + 9 х ‘* + 8 = 0
„
+ х = 42—
X
В
18) (х 4 3
х
)^-1 4
х
^
,
2
17)
8
+ 2 ) = 40
^ -4 2
х
+40 = 0
36
+Х + 1
+ 1= 0
www.nismath.org
19) (x -3 )(x -4 )(x + l)(x + 2 ) = 336
20) х(д:-2)(х+3){д:+1) = 72
21) (х Ч б )% (х ^ + б )(л :^ + і)-б (д :^ + і)^ = 0
22)
+5)~-5(л:^ +5)(л:^ + 2)+ б(х^ +2)^ = 0
1 -т + - 1 7
23) —^-х{х+2) (,v + l)^ 12
24)
25)
- =-А
^(jc + 6) (д: + 3)
х^-х-1
^
~
х'^ - х + 2
х^-х-2
20
I
26) {x+ l)(x+ 3)(x+ 5)(x + 7 ) = -15
27)
24
15
х^+ 2х —8 х^ + 2х —3
• =
2
28) (З х -і)^ -3 (З х -і)(2 .т+ 5 )+ 2 (2 х + 5 )^ = 0
29) (2х+і)^ + 3(2х+ і)(Зл:-4)-4(3;с-4)^ = 0
30) (^x^+2xf - х ^ - 2 х = 56
х^ +2х+ 1 ^ х^ +2х+2
jc^+2x + 2 л-^+2л: + 3
7
6
32) (х -2 )(д :-3 )^ (л :-4 ) = 20
33) jr(x+3)(jc+5)(x+8)+56 = 0
34) 5лг'*-Зх^-4х^-Зд:+5 = 0
35)
+х^ —4х^+х+1 = 0
37
www.nismath.org
36)
— х^ =3-4дг
X - 4 x +l
37) л:'’ -5 д :^ 6 х ^ -5 х + 1 = 0
38) ( x - 3 ) V ( x + l ) '‘ =256
39) (х -і)х (х + і)(х -+ 2 ) = 24
40) (б -х )^ + (8 -х )^ =16
Ж А У А П ТА РЫ
1 ) - 4 ; -1
2) -3
3 ) - |; 1
4 > t2 ;
5) ±6
6)1
7)1; 3
8)±л/3; :±3
9)5
10) ±4
11) -2,5; -2 ; 0,5; 1
12) 1; 4
13) -3 ; 2
1 4 )-3 ; --1; 0; 2
15) -4 ; -3 ; 1; 2
16)
17)2; 4;
X
60
-7±лД?
2
19) -4 ; 6
20) -А; 3
22) ±1
23) -3 ; 1
’
18) -5 ;
1; 2
21) ±2
7
24) -5 ; -1 ; -3±л/5
„
-2±у[б6
2
25)0; 1
26) - 6 ; --2; -4±л/б
27) -2 ;
28) -11; 6
29) 1— : 5
14
30) -4 ; 2
31) -2 ; 0
32) 3±VS
33) -7 ; -1 ; - 4+ 2V2
38
www.nismath.org
34) 1
35) 1;
36)0; 2; 4
38) -1 ; 3
39) -3 ; 2
40)6; 8
4:- тс^ьл.^Т
1)
2)
і іп еш іціз:
ЗОл:
16х
=2
2х ^ + 2х 4-1 2х ^ 4*X4-1
15дс^ 4 -2
х
8л:
1г+ 1
3 ) ---х-9 х-1
=1
1
1
-4-Х4-18 JC-10
4)
_ 1 _____ ___________ 1_
JC4-10 л:-1 а'4-8 а - 3
5)
1
х-4
1
а- 5
1
1
-4 -а-8
а -1
6)
------------4 - ------------- = -------------- 4 - -------------
х-3
л:-1
Х4-3
А4-1
а'4-6 х —6
JC4-2 а - 2
8)
ІА -2 І
4-2x4-2
Х4-1
=2,5
А^-1
х ^ -4
Х^4-4х 4-6
х 4-2
Х^ 4-6x4-12 Х^ 4-8x4-20
Х4-3
Х4-4
9) ^Х^- 14-4
1 + —------7 + ~ = 0
X
X 4- Зх 4-4 2
10)
1
х -1
Алмастыру: а = 2х + —+ 1
х ^ ~ }~ х ^ 2
-һ 2
7 )Г ^ ^ 1
i^A4-2j
37) 2 ± S
2
3
■+ х - 2 Х -3
Алмастыру. а==х +—
X
6
Х4-6
39
www.nismath.org
II)
12)
( дс+ 5)"^-13л:^(.1!:+5)^+36д-'’ = 0
Д:''-10д: + 15
л: -6х+ 15
3
х^ + 2х
13)
Ъх
дг^^-За + ІЗ
Алмастыру. а =
д: + 5
Ачмастыру: а = а н------ о
X
Алмастыру. а = х+ —
X
Х ^ - X
14)
(х^-2х-1
15)
х^-2х+2
х-1
)
х —4
х —2
х-3
Ж А У А П ТА РЫ
1)0,5; 1
2)1; 2
3) 8 - ; 12
4
4) -3,5
5)4,5
6)0
8) -2,5; 0
9)
-3±ТІ7
2
3±^Я7
2
10) 1,2; 2,4
11)
13) 1; 2
14) - і ; - - ; 2; 3
2
3
3
4
-; 5
2
-А ;
-1
12) 7 ± л /м
15) 2,5
5 “тобы. Квадрат тецдеу тубірлеріиіц қаси$ттерІ№ қолдаііГа;
отырып, тецдеулерді щешіңіз:
■
"
‘
в
1) 6-ньщ қандай мэндерінде а ^ + 6 а + 3 = 0 теңдеуінің түбірлерщің
квадратгарының косындысы 10-ға тең?
40
www.nismath.org
2) Егер тендеудің
л,
және JC2 тубірлері
З x ^ - 2 x 2 = l ‘i
шартьш
канағатгандырса, х ^ -3 х + /и = 0 теңцеуівдегі т -нінмәнінтабыңыз.
Xj
2
3) Егер Xj жэне Х2 түбірлері — = —
jCt
5
шартын канағаттандырса,
+3х+к = 0 теңдеуіндегі k -ньщ мэнін табыңыз.
1
4) к -ның қандай мәнінде кх'^ +12х-3 = 0 теңдеуінің - -те тең түбірі бар
болады?
5) Егер х^' - [ а + 2)х+а + 7 = 0 теңдеуінің түбірлеріне кері сандардың
қосьгадысы — -ге тең болса, а-нытабыңыз.
12
6)
- ( a - 2 ) jc —а - 1 = 0 тендеуініц түбірлерінің квадраттарыныц
қосындысы, a -ның қандай мэндерінде ең аз мэнді қабылдайды?
7) Егер оның түбірлерінің квадраттарының қосындысы 34-ке тең болса,
- Sx+q = 0 теңцеуіндегі q -ді табыңыз. ' /
8) 4х^ - ( 3 + 2т)х+2 = 0 тевдеуінін түбірлерінің біреуі т параметрінің
қандай мәндерінде басқасынан сегіз есе кем болады?
9) 2д:^-5дг+1 = 0 тендеуінін түбірлерінің кубтарының қосьшдысын
табыңыз.
10) 4х^ - 2 0 х+ с = 0 теңцеуінің түбірлерінің біреуі
мэндерінде басқасынан 2-ге кем болады?
с-ның қандай
11) дг^-4д: + ^ = 0 квадрат теңдеуінің түбірлерінің айырмасы 20-ға тең.
q -ді табыңыз.
12)
+ 2сд: = сд:+2с^ теңдеуін шешіңіз.
13) х^ +{2а-\^х+а^ = 0 теңдеуінің а-ньщ қандай мәндерінде, тең екі
түбірі бар болатынын анықтаңыз.
41
www.nismath.org
14)
x^-2(m + 6)jc = (l-2 w )(7 -m )
теңдеуінін
нақты
түбірі
жоқ
болатыңдай т -нің мәнін табыңыз.
15) х ^ + а х + 8 = 0 жэне
+х +а = 0 теңдеулерінің ортак түбірі бар
болатындай a параметрінің мэнін табыңыз.
16) у = ( 2 k - 5 ) x ^ - 2 ( к - і ' ) х + 3 функциясыньщ графші й:-вың қандай
мәнінде абсцисса осіне жанасады?
17) т -нің қандай мэнівде ту +1 = m теңдеуінің шешімі болмайды?
18) а^х^ —2x+\ —Q теңдеуінің бір түбірі болатындай а-ның барлық
мэндерін табыныз.
19) а-ның қандай мэндерінде
шешімі болады?
а х - а =х - \
теңдеуінің шексіз көп
20) п -нің кандай мэндерінде nx+5 = n-2jc тендеуінің шешімдері жоқ
болады?
21)
л-2 -9 д:+(
-9^ = 0
теңдеуінің
0-ге
тең
бір
түбірі
болатындай т -нің барлық мэндерінің көбейтіндісін табыныз.
22) 7Я-НІҢ қандай мэндерінде т ^ х - т = х+ \
шешімі болады?
23) А:-ньщ қандай мәндерінде
Зх-И
л+1
теңдеуінің шексіз көп
к —2 тевдеуінің теріс түбірі
болады?
24) /t-ньщ қандай мэндерінде кх^ -(А^—7)jc+9 = 0 теңдеуінің өзара тең
екі теріс түбірі болады?
25) а-ның қандаи мәндершде х+ 4 = — тендеуінің екі иақты әртүрлі
X
түбірі болады?
26) 9jc^ + fcx=^2x-A:+6 теңцеуінің тең түбірлері болатындай
параметрінің барлық мэндерінің көбейтіндісін табьщыз.
42
к
www.nismath.org
27) о-ның қандай мэндерінде х^+3д: + а + 0,75 = 0 тевдеуінің екі түбірі
де теріс болады?
28)
+13л:+1 = 0 тендеуінің екі әртүрлі шешімі бар болатындай а
парамеірінің барлық мэндерін табыңыз.
29) к параметрінің қандай мэндерінде х ^ —2х+Л = 0 теңдеуінің екі
эріурлі тубірі болады?
30) 6xj+ X 2= 0 шартын Xj жэне Х2 түбipлqзi қанағаттандыратындай
Зх^—5х+А: = 0 тевдеуіндегі А'-ныңмэнін табыңыз.
31) Xj және Х2
Зх"+17х-14 = 0 тевдеуінін түбірлері болатындай
Зх? +5х, -х, +3х^
А = --------------- 2------ табьщыз.
4xj -Xj +4xj -Xj
32) Ах^—(l-2A )x+A :-2 = 0
квадрат теңдеуінщ рационал түбірлері
болатындай к -ның бугін мэндерін табыңыз.
33) Бір түбірі басқа тубірінің жартысына тең болатьшдай
X^ - (2к + і)х + А^ +2 = 0 теңцеуіндегі к параметрінің мәнін анықтаңыз.
34) хі +Х2 теңдеуінің түбірлерінің квадраттарының қосындысы ең аз
болатындай х^+Ах+А:-1 = 0 тендеуіндегі к параметрінің саіщық мэнін
табыңыз.
Ж А УА П ТА РЫ
1) Ъ= ±4
2) /w= -4
3) А= -1
4) А= 15
5) a = 5
6) а = \
7) ^ = 15
8 )-6 ;3
9 )S
8
10) с = 2І
11) 9 = -96
12)
43
X,
=
www.nismath.org
13) а = 0,25
14) ондай мэндер жоқ
15) а = -6
16) к = 4
17) т = 0
18) а = 0 ; ± \
19)й = 1
20) п = -2
21)36
22) т = ~1
23) А :е(-^;3)и(5;оо)
24) А:= 1
25) «е(-4 ;0 )и (0 ;о о )
26) 220
27) a e \ - j ;
К 4
28) ае(-<»;
29) A'g (- oo; 1)
30) к = -2
3 1 )^ = ^
952
32)2; 6; 12; ...
33) к = 4
34) к = \
44
www.nismath.org
§4. АЛГЕБРАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСШ ШЕШУ
1 гтЪбіХ-ТенА^удер ж үйесій алмасіғьір^тэсі^
\ х - у = б{х + у)
\х'^-у^= 6
3)
5)
\х + у ^ = 2
[іу^+х'^ =3
ш еш іңіз;
х^ +ху = 2
у-Ъх^1
2)
fy^ + 1 - х = 0
4)
[ у^ +у ^ =ху
f(x + l)4 (j-l)" = l
І3х + у = 2 ( х - у )
[х + у = 1
|(3яч-_у)^ + 2 (х -у )^ =96
7)
9)
х +2 у - 1
х^-3ху-2у^= 2
х^ - 2ху = 1
х =З у - 2
{ 2 х - у =\
11)
\2х'^-у'^ + Х + v = - l l
8)
,
3
х~ +ху = —
4
^ + 1= 1
10)
12)
JC-1
у - 2 х =х
2 х^ -у^ -х^+Зу^-
В
13)
15)
І + х + х^
'7
І + У+У
х +у = 6
Гх+>’ = -8
[х^^ +у^ +6х+2у = 0
14)
Х^ +У + 1
у^ +д: + 1
х - у =1
2ху = -1
16)
45
X2 - у 2 -
4
www.nismath.org
1
х-3
17) х + у
2x+v = 3
19)
Зх—х^
х-у
JC+ 5
у-1
у +1
х -2 у =1
х + Зу + 1
21)
У
v - x =l
4
у^-I
I
2
•+ 18) у^ +у
у +1
х-у= 3
х-у-2
=0
20) \ х - 3
[2jc^ + v ^-2 x > ' = 13
у —х + 3
=2
2(jc-2)
—2j^^+x = —6
L 2 -3 y 2 = _ ll
22 )
Ж А У А П ТА РЫ
1)
1
2
5
2
7 .5
2 2
’
» » » (^?)
3 )(1 ;-1 ); (1;1)
4)(1;0)- (2;1)
5)(0;1); (-1;2)
6) (-3;1); (3 ;-l)
S )l];i)
(7;3)
10)
4 ;-i
( - 1; - 2)
1 1 ) ( - ] ;- 3 ) ;
12) (2; 2); (2; - 2)
13) (4; 2); (16;-Ю )
14) (2; 1); (3;2).
15) ( - 6 ;- 2 ) ; ( - 4 ;- 4 )
16)
17)
2 5'
З ’ З.
1
=0
2-х
18)
V
2j
(% 1
J ’ ~3
46
Г , 1
1 2
www.nismath.org
19) (-5 ;-3 )
20) (-3 ;-5 )
21) (3;4)
2 2 )(1 ;2 );{ 1 ;-2 ); (-4 ;3 ); Н ; - 3 )
2 ^тобы. Тендеулер жүйесін артүрлі алгебралық әдістермев
ші&шіціз:
,
w '
2,xj'-5v = 5
1)
Зу^.2
—2ху = 45
(ху +х = 6
5)
7)
9)
13)
х у - 2 х + 3у = 6
2 x j- 3 x + 5 j = l l
4)
х-у+ ху= 5
х - у ~ х у = -7
[ху+3х-4>^ = 12
|х > '+ 2 х -2 > '= 9
х ^ + у ^ + х+ у = 2
2х^ - у ^ + 2 х - у = 4
2х —у —ху = 14
х + 2у + ху = -1
[лг^+у^ =10
[х‘^ + х ^у ^ = 9 0
^х" у + ху ^=120
11)
2)
8)
10)
12)
X
+XV"
:10
+х^_у = 5
І х ^ - у ^ ^124
[х^ +ху + у^ =31
[х^ -х у = -2
[х^у —ху^ =30
f^ 2 /= 8
'
14)
3
1
=0
4х+13
у
1х + 24у = 65
В
15)
|2х^ - х у - З у ^ + x + j = 6
16)
І2х^ -5xj^ + 3>'^ + х - у = 2
47
[х^ + 3ху+ х+ 37 = 8
[з^^ +д5^-2х-6у = -4
www.nismath.org
17)
j x + xy +xy =6
[x^ +x^ y^ +x^ y'^' =12
18)
^ L - Z ' ^ = 48
104 l ^ x ^ + x y - 2 x - y = 5
\ ->
[2д: ^ - Зл:^; - 2x + = 1
28)
r2 x » = x V '‘ + l
2 i> i «
[з>-« =x‘*y* +2
22)
23)
x^ ч-х^+х + ^’ = -2
y^ +ХУ + Х + У = l
X J - —
25)
xy -
У
уЗ
= -24
=6
L fi
1^
= 48
7 —+
X уу
3x+.2y+ ■= 5,5
x+ V
2x =3
x +, 3^ y --------x+y
[2x^ = 3 x V + 2 0
ІЗу^ =2х^ у-5
'J __ l _ _ l
24)
X
у
ху^
6
^ =6
Іх + ху^ =9
2 6 )і
^ ,
[ху+ ху = 6
X
27)
[ х ^ - х ^ у + х у ^ - у ^ =5
[х ^+ х ^у + х у ^ + у^ =15
Ж А У А П ТА РЫ
y -f
2 ) { - 3 ;- 2 ) ; (і;2)
3) (2;2); ( - 6 ;- 2 )
4 )(2 ;3 ); (-3 ;-2 )
5) (-2 ;0 ); ( - 2 ; - і ) ; (і;0 ); ( і ; - і )
6 )(-3 ;-3 ); f 4 ;l
7 ) ( 3 ; - 2 ) ; j ^ - |; 1 4 j
8)(2;1)
9)(3;1); (3 ;-1 ); (-3 ;і); ( - 3 ;- І )
10) (-1 ;-5 ); (5;1)
48
www.nismath.org
11) (5;3)
12) (2; 1); ( - 2 ;- l)
13) (1;2)
14) (-1;3)
15) ( - 4 ;- 2 ) ; (2;1)
16)(1;1); (7 ;-2 )
17) (2; 1)
7 1\
18) . .
‘6 6
19) (2; 1);
20) ( 1; 1)
Г1. _ 7
8’
8
21 )(1 ;1 );
22)(2;1); (-2;1)
23) (1;-2)
24) (2; 3); (-3 ;-2 )
25) (4; 2) ; И
26)j^8;i]; (1;2)
-2 )
27) (2:1)
3 - тобы.
ш еііііціз:
әдісімен
1)
х +у = 1ху
х —у = Ъху
2)
3)
4х^ —3xy + Sx—6y = 0
3 x - l l j = -17
4)
5)
7)
^х^ =4х + 5у
[у^ =4>> + 5х
6)
=0
+
=6
Jx'^ =2х + 3>'
=2>'+3x
x + y = 3xy
x —y = 2xy
\ х ^ - 4 у ^ =0
[{x - 7 )(^ + > '-9 ) = 0
\х^ +ху —у~ = 20
[;;^= 4 x + 13y
49
9)
www.nismath.org
-4х^^0
[у^ + х у - у = 4
В
10)
х-у= 3
д:^+Зх“у - 4 / = 0
х у -л :у -3 у + 3 = 0
12) х + 4 у - 1
=3
у-\
14)
)д:^+ у-20 = 0
11)
^х^у + 9 х - 9 х у = т
2д: + 3у-15 ,
х-9
13)
Зху^ +15у + 5ху =-25
Зх + 12у+ 11
=1
Зу + 5
15)
1 д ;+ /- 2 0 = 0
[х^ -4 у ^ -4 х + 8у = 0
[х +ху + 30у = 0
Ж А У А П ТА РЫ
J, 2
2’5
2) (2; 1); (-2; - І ) ; ( - 2 ^ ; S ) ; (2^/3; - S )
);0 ); (5;5)
5 )(0 ;0 ); (9'9)
.
6 )(0 ;0 ); (2; 0,4)
7 ) (-Ч ;-2 ); (4; 2), (^ц/5;2^/5); (4^^;-2^/5)
8 ) {0;0); (17; 17); (-3;12); (12;- З )
9 ) (І;2);
10) (-6; - 9 ) ; (2; ^ І)
(-2 ;4 ); ( і;- 2 )
II) (-3; 3)
12) (1; 3)
f
l-л/^ 1+л/г7
14)
l +y fn
( - 5 ;- 5 ) ; (4;4);
V 2
15)
(0;0); (-1 0 ;-5 ); (2 0 ;-8 ) ; ( б ;- і)
2
^
50
13) (-5; 1)
www.nismath.org
5)
\{x + y f - 2 { x + y ) = l5
6)
[xy = 6
x+y
X
x +y
1
7)
+ x+ l= 0
+
=
-2
j^3{x+5j)+5xj = -5
8)
X
+ X —
2=0
[2(x + 5 j) + 7x>' = 15
[ x-y
y =3
9)
У
2x-y
1
2x —V’
+4=0
В
2x
1 0 )\ У
у
2x
x^ + y^ =20
17
4
x+v
x -y
13
' +■
- x+v
6
11) x —y
xv = 5
51
www.nismath.org
12)
1
3 __5
■+ •
х+2у
2х-у
8
-2
5
21
■+ •
х +2_)’
2х - 7
8
Z__Z. 5
14) у
6
X
x + v =5
16)
13)
[(л:+v+l)^ +(л' + з>)^ =25
ху
У
15).
+ j " +2х~ у = 2ху + 9
[jc+3 = x^v+>’
ху- Z_JA
X 2
\
Ачмастыру:
а = х —у, Ь = х^у ,
^
17)
1[х+2уУ+ І у - 2 х У =90
—= 6
18)
|^(.т + 2_у)+(>'—2х) = 12
+
х+1
. 1
1-1
у
3
1 1
(.х + 1)"
_
л
19)
дг+;і^ + - ^ = 7
.У
.2
=
21)
20 )
23)
+ i ^ = -3
у
х у + у —х - 1
=2
ху
22)
^
X
4
1
1
■+ •
3 -х
у -2
2 . + І 1 - = _з
3 —X
-у
12
З х -2 у _
_ _ _1
2 j+ 3 x
1
+ 3 х -2 у = —
Зх + 2^,
5
j'
24)
3’ •_ J3
З'
X 6
х+у =5
х+2
у +\
X
у
х7 + 2 д'+ х + 2
ху
52
-3
--2
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
Ң ;-2 |
4) (4;1);
10 . 2
7 ) ( - 2 ;- 3 ) ;
3 ’3
3) (2;3)
5 )(3 ;2 ); (2;3)
6 ) | і ; - - | ; (-2;3)
8) ( - 5 ;- і)
1;
1 0 )(4 ;2 ); (-4;
2){5;1)
16
2);
11) (5;1); ( - 5 ;- і)
л / Б ’ лІПу
12) (3 ;-2 )
14) (3; 2 ); (-10; 15)
15) (4; 2); И ; - 2 )
16)(0;3); (-3 ;0 ); (2;і)
1 7 )(-3 ;3 ); (0,6;4,2)
18)
П ._ ^
13’ 5
19)(2;1); (б ;-3 ); (б-2>/3; 2 v '3 -2 ); (б + 2 л Я ;-2 -2 > /з)
2 0,(2;3)
22) (2;3); (З; 2)
23)
1 J.
'3 ’ 2
53
_1
2’3
www.nismath.org
1)
3)
5)
x + xy + >>=5
x^+xy+j>^ = 7
іх^ +3xy+y^ =61
\ x y = l 2 ’\x^+y^=2{xy+2)
[jc + y = 6
2)
ix ^ + y ^ =25
|л:+а:>' + у = 19
4)
х ^ - х у + у^ = 7
д: + >’ = 5
6)
х ^ у + х у ^ =12
лсу + л'+у = 7
В
7)
х + у + 29—jcj = 0
X + у^ = X+у + 72
8)
х ^ у + х у ^ =30
9) — + i - = X
11)
13)
у
[лг^ + у ^ +x_v = 84
f(x + iX y + i)= io
f(x -2 )(y -2 ) = 4
[х^ +у^ + ху = 3
[x ^ -jty + y^ = 7
= 14
6
[(х + у )(х у + і) = 25
[дс^+лгу + у^ =13
12)
14)
f x —x y + у = 1
2
2
(^х +у + 2х + 2у = 11
[х у (х ^+ у ^) = 10
[х у + х ^ + у ^ =7
х ^ у + х у ^ =240
15) J_
;r У ~ 1 2
54
Ж А УА П ТА РЫ
1) (1;2); (2;1)
www.nismath.org
2) (3; 4 ); (4; З)
3 ) (3;4); (4;3); ( - 3 ;- 4 ) ; ( ^ ; - 3 )
4) (2; 3); (З; 2)
5) (4; 2); (2; 4)
6) (1; З ); (3; 1)
7) (6; 7); (7; б); (-5 + ч /б ;-5 -л /б ); (-S -v /б ;-5 + ^/6 )
8 ) (1;3); (3;1); ( - 1 ;- 3 ) ; (-3 ;-1 )
9) (2;3); (З; 2) ; (-6;1);
10) (2; 8); (8; 2)
11) (4; 1); (1; 4)
12) (1;2); (2;1); (1 ;-4 ); (-4;1)
1 3 ) (1 ;-2 ); (-2;1)
14)(2;1); (1;2); ( - 1 ;- 2 ) ; (-2 ;-1 )
15) (-12; 2); (2 ;-1 2 ); (6; 4); (4; 6)
6 - тобы. Б іртекті теңд«ул«р ж у^ееіи ш еш іціз:
\Ъх'^+ху-2у'^ =0
1)
3)
[ і х ^ - З х у + у ^ =-1
2)
f2x^+3xy+3y^- =2
[ З х ^ - 2 х у - 2 у ^ =3
^х^ +3ху'-3у^ =1
І 2 х ^ - х у + у^-=2
55
’-
www.nismath.org
В
4)
6)
8)
\3 х ^ + 2 х у - 2 у ^ =3
\2х^ +3ху - у^ = 4
^ х ' ^ - х у + у ^ =3
[ 2 х ^ - х у - у ^ =5
іх^ - 4 х у + у ^ = 6
[у^ - З х у —4
5)
7)
9)
(2х^ - З х у + у^ = 3
+ 2 х у - 2 у ^ =6
Іх'^ +3ху = 4
[4 7 ^ + х>’ = 5
(2ху-у^= \5
[лс^ +ху = 36
=4
Ж А У А П ТА РЫ
;3 ); ( - ^ ;- 3 )
2) (1;0); (-U 0 ) ; (-1;1); (1;-1)
3 ) (1;0); (-U 0 ); ( l ; l ) ; ( - l ; - l )
4 ) (U 1 );
5 )(2;1); (-2 ;-;l)
■f
Л
f 4
6)(2;1); ( - 2 ; - l ) ; r _ _ 4 _ . О >
1 ^
lV 7 ’“ V7j
7) (1; 1); (-1; - 1); (8; -2 ,5 ); (-8; 2,5)
8 ) (1;-1); (-1;1)
9) (4; 5); (-4; - 5 ) ; (Зу/З; S ) ; {-ЗуІЗ; -л /з)
1в)(3;і); ( - 3 ; - l ) ; [-yj2; 2yf2); (^^;-2^/2)
56
www.nismath.org
’7^тобы. ӘЬтурл-і эдістерм ен тёіідеУлёр
С
дс^ +jc^>'^ + >’^ =17
д:+ х>’+ _у= 5
1)
3)
f ( j c 4 l ) ( j ; 4 l ) = 18
2)
4)
jx ^ y + x y " =30
[х^+у^ =35
р -/= 1 5
[х>' + х + >^= 5
5)
7)
\ х ' ^ - х у + у'^- = 7
[х'^+х^у'^+у‘^ ^ 1 \
\3х^у^ +х^ ~ 3 х у ~ 7 = 0
[і0х^у^у3х^-20ху-3 =0
( x - y ) ( x ^ - y ^ ' j = 16
9)
(х + >')(х^ +^^^ = 40
х^ +7^ -3x_v+4x+4v = -9
ху-Ъ х-Ъ у-1
6)
J 2 x - 2 y = 3ху
*М 4 x 4 4 ^ 2
25х^-4>'^ =12
10)
3
4
•+ ■
5х + 2у 5 х - 2у
Жауабында х - у көрсетіңіз.
11)
\х^ =13x + 4 j
[ у ^ = 4 х + 13у
х^
— +і^ =з
13) у
X
х +у =2
15)
12)
|'(х+8)(>' + 20) = 160
|(х + 9)(>'+10) = 90
\{ х + у Ү + 4 ( х +>^)^ -117 = 0
[х-_у = 25
14)
16)
17
[6 x '-x j-1 2 _ v = 0
\ух +2х у +ху = 4
[х-¥у+х'^у+у'^х = 4
_
Гдг^-9У=0
17) Егер оньщ төбесшің координаттары: \ ,
теңдеулер жүйесш
=36
қанағатгандыратын болса, тіктөртбұрыппъщ диагоналінін ұзындығын
табыңыз.
57
www.nismath.org
18) а -ньщ қандаи ең аз мэнінде
^ '
\х = а
теңцеулер жүиесшщ
шешімі жалғьтз болады?
19) Л/(і;10) жэне Л^(-3;—18) нүктeлq)i арқылы өтетін у = ах^ +5х+с
парабола теңде)гііндегі а жэне с коэффициенттерін табыңыз.
20) Олардың қосындысы 1-ге тең, ал ах^ +Ьх+с = 0 квадрат теңдеуінің
л:=^-1 деген жалғыз ғана піеигімі бар болатындай, а, Ь және с үш
санын табыиыз.
Ж А У А П ТА РЫ
1)(1;2); (2;1)
2) {2;3); (3;-2)
3)(1;2); (2;1)
4) (2 ;і); ( - 2 ;- і)
5 ) ( і; - 2 ) ; (-2;1); (2; - і ) г ( - 1 ;2 )
6 ) ( - 1 ;- і)
7) (1; 2); (-1; - 2 )
8) (0; 0); (-1; 2) ^ (-2; і)
10)
7
40
9) (3‘1); (і; З)
11 )(0 ;0 ); (1 2 ;-3 ); (-3; 12); (17; 17)
12)(14;-11); (11;-І4)
1 3 ) f |; |j ; f | ; |
/
14) (3;2); (-3; - 2 ) ; -272;
-272;
V
^ J
)
\
^ J
іб ) ( і;і)
17)12
18) а = -1
19) а = -1 , с = 6
29) а = ~ , Ь = - ; с = 4
2
4
58
www.nismath.org
§5. Р А Ц И О Н А Л Т Е Ң С ІЗ Д ІК Т Е Р Д І Ш ЕШ У
1 - тобы. Сызыктык тедсіідіктер м«и сызьіктіьік теңёіздіктЧ!*
күйёсін шешіңіз:
Г^
^
.
А
Т е ң с ізд ік т і қ а н а г а т т а н д ы р а т ы н
м әнін т аб ы ң ы з:
д:-тің
ең
ү л к ен
1) 3 - 2 jc< 1 2 -5 jc
2) д г-8 > 2^x+-^j+7
3) x(x+ 3 )> (jc+ l)(x + 3 )
4)
5)
З.г-1
бүтін
9д: + 2 10з:-2
>2
10
JC+ 1
< 1 -2
7
Т е н с ізд ік т і қ а н а ғ а т т а н д ы р а т ы н дс-тіқ ен к іш і бүтін м эніи
т а б ы ц ы з:
6) 3jc+ 3 < 5 ( x + 1 )-2
_Здг + 5
д:-2
7 ) --------- 1 < ------ + х
4
3
8) 2 (х -3 )-1 > 3 (л —2 )-4 (д :+ і)
9)
Щ £ ± І-£ ± 2 < -з
7
4
12) -2 < 4 -2 л :< 2
11) 2 < З д :-5 < 4
+х <х{х + 5) + 5
13) jc < 3 -.v < ll
В
Т е н с ізд ік те р ж үйесін іііеш іціз ж әне ең к іш і бүтін ш еш ім ді
к ө р с е т ің із:
14)
Здс—4 < 8 jc+6
15) 2х —\ > 5дс—4
11д:-9<15л+3
\2х^ -(2дг-3)(бх+ і) > X
(5д:-і){5л: + ])-25д:^ > х - 6
1-х
3+4л:
--------3
^ ----------4
17)
16)
-д: + 5(4-.х) > 2(4-Jc)
59
7 2
0,4л: + - < - х - 1 ,2
3 3
5х + 17 >9х~6Ъ
www.nismath.org
Ж үй еяің
т а б ы ң ы з;
б а р я ь іқ
бутін
ш еш ім д ср ін ің
2.Х-13
11
18)
X 2,
_ч. Зх -2 0
- + - ( д г - 7 ) < -----—.
6
’
9
Зх> 2
19)
х -1 х - 2 х - 3
> --------X
2
3
4
1—0,5х> JC—4
3 - 2х ^ X- 2 X
------- <
+­
15------- 3----- 5
21)
1 - 3 х ^ 5 х - 1 7х
12 ~ ~ 3
4"
х + 2< ——
X —3
^----- -----20 )
2
3
4
1,5х—5,05<х
X
қ о сы н д ы сы н
л : —)■
Ж А У А П ТА РЫ
1)2
2) -16
3) -1
4) -8
5)6
631
7)2
8)0
9 )-1
10) 18
11) 0
12) 1
13) -8
14)0
15) -1
16)3
17) 14
18)9
19)5
20) 34
21)2
:t*to6bi. Раииоіііал тея сіз||ііст« р д і
A
■
I) 1 1 -(х + і)“ > х
2) { 2 x - g f - 4 х ( 2 х - 8 ) > 0
3) х (х + 5 )-2 > 4 х
1 1
4) —х^ +3х + 6< 0
3
х^
1
5) х > ^ — 4х + 5­
2
2
6) (2 -х )х < 1
7) x^ - ^ £ z 1 > 2 x + 4
3
о)
9) 14х—х^ >49
10) х“ —5х + 16>0
,
х^
II) 6 х Ч і > 5 х - —
4
12) х ^ + 4 х + 4 < 0
13) ( 2 - х ) ( х - 3 ) ( х - 1 2 ) > 0
14) (х + 1 4 ){ 8 -х )(5 + х )< 0
60
х^ + 10х 2х + 5
10
2
<20
www.nismath.org
15) х ^ -2 5 х < 0
16) х^х^—З х -4 ^ > 0
17) (х ^ -9 )(х ^ -4 )< 0
18) х'* -5 х ^+ 4 < 0
X
9х
19) — + 2> —
10
10
20) (2 -х )(З х + 1 )(2 х -3 )< 0
21) х ^ - 3 х ^ - х + 3 > 0
22) (х^ -5 х + б )(.х ^ -і)> 0
23) (-7х^ - 6х+ 1)(х - 5) > о
24) (х Н х ) (4 9 - х ^ ) < 0
25) х ^ + 6 х ^ —X—6 < 0
26) х‘*-1 0 х ^+ 9 < 0
27) х ^ ч -1 < 3 х -х ^ + 3
28) (х " + 5 х + 4 )(3 -х )< 0
29) 6 4 х ^ - х > 0
30) (10-х)(х^+ 14х+33)<0
В
31) (x + 3 )^ (x -2 )(x + 5 f <0
32) ( 8 - x ) ( l+ x f ( 1 0 - х / > 0
33) ( x - 2 f (х + 1 )(х -3 )< 0
34) ^4х^- 4 x + l / x ^ + 6х+ 5^< 0
35) x ( x - l f >0
36) —х^—16+8х>0
37) x'^+Sx^+nx^ > 0
38) ( x - l) ( x ^ - l) < 0
39) ( х + з / ( х - 3 ) ( х - 4 ) ( х - 5 / < 0
40) ( х " - 9 ) ( х - 4 / ( х + 3 ) < 0
41) ( 3 - х / ( x + l / ( x - 7 ) > 0
4 2 )-9х^ + 12х-4> 0
43) ( 7 - х ^ ) ( х - і / ( х 2 - 8 х + 1 б ) > 0
44) ( 7 - х ) ( 2 - х / ( х + і ) > 0
45) ( х ^ -3 х + 2 ) ( х ^ -3 х ^ )( 4 -х ^ )< 0
46) (х^ -6х+8)(х^ - 4 ) ( 4 + х^ - 4 х) >.0
61
47) {3+л)(.Ү^- .r j ( х - 2 ) > 0
www.nismath.org
;
48)
49) { .х -і)(3 -.ү )(2 -.ү /> 0
50) ( л;2 + і )( д:2 -4 х - 5 ) ^ 0
51) (л -5 )(З д:2 ~ х +2){ х ^ -2 5 )< 0
5 2 ) /- 2 л :^ - 6 3 < 0
53) х * -6 х ’ +9л‘’ -л:^+ 6дс-9< 0
54) ^Зх^ —5х+8^(х+4) < 0
55)
+д:^ < jc^+ l
56) (д :^ -і)(х ^+ 1 і)> 0
57) {г '’- З ү^)(.ү^ + 7 ) < 0
:
Л=
58) (х-1){.т‘ - l ) ( V -і)(д:^ -])< { )
59) ( x - l f (д:+2)(2;^-10-ж ^)<0
60) (х-3)(3ж^ -*+2){д:^ -9 )> Ө
61) (J(^-4л:)(ү2 +2д:-8)(зс^ + 7 jc%10)(y^ + і) < 0
62) ( ү - 3 ) ( х^4-3)(х2 - 6 л:+ 9 )< 0
63) (2 7 -ү ^ )(д ^ -9 )< 0
64) (jc^ - 1)^ (Зх^ + 1) < (д:^ - 1)^ ( - б - З х - З л ^ )
62
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) [-5; 2]
2) p ; 4 ]
3) ( ^ ;- 2 ) U ( l;° o )
4) (-^ ;- 3 )
5) (5-^Л 4;5 + ^/^4)
6)
7){-oo;-l]U у
8) [-15; 15]
9) x = 7
10) x e R
X
^1
12) x = -2
13) (-oo;2]U[3;12]
14) [-14;-5]U[8;oo)
15) ( ^ ;- 5 jU [ 0 ;5 ]
16) (-l;0)U (4;oo)
17) [-3;-2]U [2;3]
18) (-2 ;-l)U (l;2 )
19) (-oo;4)U{5;oc)
20 )
21) (-l;l)U (3;oo)
22) (-^;-l]U [l;2]U [3;oo)
23)
24) (-<»;-7)U (-l;0)U (7;co)
1 З’’
U[2; oo)
3 2_
7^^
25) ( - ^ ; - 6 ) U ( - l ; l )
26) [-3 ;-l]U [l;3 ]
27) I 4 2
28) (-4;-l)U (3;oo)
29) - -^ ;;00 U ^-.00
L 8 _
30) [-ll;-3]U [lO ;oo)
31) (-5 ;-3 )U (-3 ;2 )
32) (^;8]U [lO ;oo)
63
www.nismath.org
33) [-1;3]
34)
35) [0;«>)
36) x = 4
37) (-«= ;-6]и[-2;оо)
38)
39) {-<»;-3]U[3;4]U{5}
40) {-3}U[3;4]
{-1}и[з;7]
42) x € 0
43) [-V7; V7]U{4}
44) [-1;7]
45) [-2;l]U{2}U[3;oo)
46) (-K»;-2]U{2}U[4;oo)
41)
47) (^;-3 ]U { 0 ;l} U [2 ;o o ) 48) {-3;-l}U [l;3]
49) [1; 3]
50) (-^;-l]U [5 ;o o )
51) (-«);-5]U{5}
52) [-3;3]
53) (-1;1)
54) (-<»; - 4 )
55) (-K»;l)
56) ( ^ ; - l] U [ l;o ) )
57) ( ^ ; 3 ]
58)
59) { -« );-2)U(l;oo)
60) [-3;oo)
61) (-«);-5]U [-4;0]U{2}
62) (-^ ;3 ]
63) [-3;«.)
64) [-1;1]
64
www.nismath.org
ІШ Ш Ш ^ЕШгтіёк.тйаМ'и q lif'
(»-5)(лгн-2) ^ д
х -1
1) ■
(лч-2)(х-5)
3)
5)
x^7x+10
+2дс-3)(л:^ -1б)
4Л 2________ !л-------- L > О
-!)(« “-9 )
■
so
(,+3)=
4 -х "
<0
[х+і)х
6)
( 4 -7 д :)(х Ч 2 )^ ^
7)
9)
12+х-х
8)
(л -3 )(х -2 )
10)
х^+1
{ 2 х + 3 )(х '-х + і)
^
хЧ і
<0
>0
У--^
—Іб^х
( х -і)( х ^ + 4 х + з)
----------- і > 0
х^+2
х^ -х + 1 .
12) ----- 2---- > 0
(д:-3)^(х'-2)х
^
>0
(х + і)"* +
13) ^
х ^ -7х+ 12
>0
Ш -3 )(4 -^ ^ 0
(х-б)(.г^ + 4х+б)
16)
17)
х^+хЧ і
<0
х^-Ах-5
18)
І+Зх^
<0
2х^ -21х+40
19)
х^-36
<0
х^ —9.Х+18
20)
х^ - 6 х + 9
>0
5 -4х-х^
21)
25-16х^
х^+4х+4
>0
2х^ "Ь4х+5
х^ +2х + 1
65
www.nismath.org
в
23) і ^ < - ^
х —2 х + 1
24)
JC-2 2 х -3
2 5 )------> -------х + 2 4х-1
27)
29)
А + Зх+2
2
X
33)
35)
37)
39)
3
3
X
дг^ —Зх + 24
х '- З х + З
2
>30) х " - З х - 4 х‘ + х - 6
„
5
2 ^
■<1 + х
2ДГ - 4 д :- 6 ^ ^
4х-11
28)
х" -5х+12
x ' -4 x + 5
3 -х
3 -х
2+ х
32)
X
>1
1
5
-+ <1
2 - х 2+ х
34) I
6
2 -4 х
5х
<0
1-2х
36)
<1
2
3
38) — ---- 2 < ­
X
X X
Л2
х+1
_ 3 5 х _ _ ^ х + 2 _ З х -1
4+10х-6х^ Зх + 1 х - 2
х -5
1
х+]
I <9
< 1 -2 х
х ^ -х + 1 1+ х^
6 х " -х -1 8 5 - 2 х ^ _
1
40) ——^5— — + - -----<5+ Зх^-12
2 -х
х -2
Ж А УА П ТА РЫ
1) (-2;2]и(5;«>)
2) {-2}U(1;5]
3) [-5 ;-3 )U (-3 ;-2 ]
4)H ;-4 ]U (-l;l)U (l;3 )U [4 ;co )
5) {-«);-7)U [-2;0)U[2;oo)
6) ( ^ ;- 3 ] U ( 0 ;4 ]
4'
:;3)
8 )(^ ;-2 )U - |; 0
66
www.nismath.org
10) [-3 ;-l]U [l;o o )
9) (-» ;-i]U [l;« o )
11) Ң о ; - -
3'
12) (^ ;0 )U (0 ;o o )
14) ( ^ ; - l ) u [ |; 3 j u ( 4 ; o o )
13)(-5; -1)U(-1; 0)U(2; 3)U(3; oo)
16) (^;3 )U (4 ;o o )
:;4 U(6; oo)
15) {0}U
17) (-1;5)
Г5 ^
18) - ; 8
19) (-6; 3)
Щ (-5;1)U{3)
21)
^ 5 .5
4’4
22) ( - 2 ;- l) U ( - l;2 )
23) (-1; 2)
24) (l}U(3;oo)
2 5 )(-« ;-2 )u [^ ^ ;lju (4 ;o o )
26) 2 ;“ ] u [4; cc)
27) (-4 » ;-2 )U (-l;0 ]
28) ( ^ ;- l) U ( 4 ;c o )
2 9 ) |i ; 3
30) (-3 ;-l)U [0 ;2 )U { 4 ;ll]
31) ( ^ ; - l ) U
33)
32) (-4 « ;-2 )u j^-2 ;^
34)
( - < x 3 ; - 2 ) U ( 2 ; oo )
1 3
2 5.
35)
37
36) ( ^ ; - l ) U ( - i ; 2 ]
3 8 )(-l;0 )U | j;o o
37)
“^ 4
/
39)
C 2
0 ;-
1
40)(-oo;-3]U ~ 2;- U(2;oo)
;2 U{2;oo)
16’
67
www.nismath.org
Arтобы.Тенсі^діктер жүйесін щ еш іціз:
А
1)
3)
>16
\х^ —16л:<0
fx(.v + 5)<2(j:^ + 2)
+ лг-ь8 > 0
5)
9)
11)
13)
8)
[21х^+ 39л-6< 0
|л '^ -1 4 4 > 0
|х - 3 < 0
Гх+7>0
10)
[х ^-1 4 х + 4 5 < 0
х^-1 1 х + 3 0 > 0
х^ - 4 < 0
х+1 > 0
[х^ + х - 6 < 0
|-х ^ + 2х + 3 < 0
12)
14)
[х ^ + 4 х -5 > 0
1 х ^ -2 х - 8 < 0
jx - З х - 4 < 0
З х -1 2 > 0
^х~ +Зх + 2 >0
8х-2<х-1
2х^ - х - 1 < 0
х ,^-25< 0
^ --х > 0
І2
|х<0
+ 5х < 0
15)
6)
-х-6>0
Іх ^ -4 х < 0
бх-х^ - 5 < 0
2х—3
>0
Зх+5
4)
-2
>0
.Зх + 5
[ х ( х - і) < 0
[х ^ -З х + 2 < 0
7)
2)
16)
<0
X+ ]
х^-7х+ 10
>0
17) X + Зх + 10
х^ —X—6 > 0
(х + і) ( х - 2 )
18)
68
>0
X —6
х+5
>0
(4 -х )(х -3 )
www.nismath.org
6x-l
19)
<2
x+4
5(д;-8) > 6x
21) l< - 2 x - 3 < 4
20) - l < 3 + 2 x < 4
22) -l< 5 .x + 4 < 1 9
4jc—1
23) -2 < ------- < 0
В
24)
26)
Гбх^-29х+30<0
„2
x ^+ 6 x + 8 < 0
j^{x+ 4)(x + 5 ) - x < 5
- 5+ x , 9 - x
2
— < 1 -14
7
27)
-12x-18<2x^
2 -x
1>0
x+1
2 -x
2<0
x+1
,2 - i[4 7 - f]< 3
29)
[Зх^ - 4 x + l > 0
ІЗ х ^ -5 х + 2 < 0
2 (х -і)-3 (х -4 ) > x + 5
31)
-
32)
[x" + 6 x + 9 < 0
[Sx5x f 2 > 3x
3x—2 < 5 x —8
28) ■2 x - l
<4
2 -x
30)
25)
3 x -4
>0
x^ + 4x+ 4
4 x ^ -4 x - 3 < 0
[(х ^ + і)(х Ч з )(х ^ - 2 ) > 0
V>i
[x < 3
" (x ^ -4 )(x ^ -2 x + l)> 0
(x^ - 4 x ) ( x - l) < 0
35)
34)
(x -1 4 )(7 -x ^ )< 0
^х^ - lj{ 3 - x ) >0
69
www.nismath.org
X +І0л: + 25
>0
4х-5
36)
(х —2)^jc^ -6 j: + 9j < о
„ 3x—1 ,
37) 0 < ------- < 1
2x+5
38) 2 < x ^ + x < 6
3jc-1
39) l < ^ i ^ < 2
2x+l
40) 1<
5x-l
41) 3 < ^ ^ < 5
2jc- 3
Зл: -7 x + 8
<2
x^+l
^->4 -1 < -1 < -1
43)
4 x 3
42) 5x—20<x^ <8x
Ж А У А П ТА РЫ
1)(4;16]
2)[-5;l]U {5}
3) (-oo;l)U(4;oo)
4) 1 ^ ^ ;-
5) x = l
6) {6; 9)
7)[3;4)
8)
9) (-2;0)
10) (-3 ;-l]
11) (-ю ;-1 2 )
12) (1; 4)
13) (-5;0)
14) x e { 4 }
15)
16) (-1;0]
17) (^ ;-2 ]U [5 ;< » )
18) X € 0
^ 4
11
2’7
19) x e 0
21) (-3 ,5 ;-2 ]
22) (-1;3)
»(-H .
24)
25) x = -3
26) [-5 ;-3 )
27) I y ;c o
28) [3;co)
29) x e 0
30) 0;
70
3
-;2
1
www.nismath.org
31)
32) (-oo;-^/2]u[^/2;3)
-;2,5
34) ( ^ ; _ l ] U [ l ; 3 ]
33) 4 ; о
35)[-ч/7;-2]U { 1}U[2; ^/7JU[l4; оо)
36) {-5} и
v4
.
3 7 )i-;6
U{3}
38) (-3 ;-2 ]U [l;2 )
39) (-4x.;-3)U(2;co)
40) [1;б]
41) [2,8; 8]
42) [0;8]
43) (3;4)
А
х>3
1)
5 -2 л < 2 (1 -л )
-1 < д: < 2
4) 2 < X< 5
X> 5
-1 < д :< 0
3 < х< 5
2)
х>5
3)
О < д: < 2
2<дг<5
2х+1 2 - х
2
7
5)
-4 х -К 0
г
,
6)
3 —2jc 1 - х
---- < -----5
.2 - З д :
2
> X
В
7)
2 < 2л < 4
( x - l) ( x - 2 ) > о
8)
(л :-і)(л :-2 )> 0
-1 < 2 х -3 < 1
71
x (,r-1 0 )> 0
9)
-х ^ + 4 д :-4 > 0
www.nismath.org
10)
2 x ^ -7 x + 5 < 0
2x^ -5 x + 3 > 0
13)
16)
0
x-4
x —2
<0
x-4
11)
14)
x<l
x^ —3x + 2< 0
x^ + 2x - 3 > 0
X + 2x + 3 0
12)
X -8 x + 16< 0
x^ -6 x + 8 < 0
15)
X - 5 x - 6 >0
у
X — 5x + 6 > 0
2х-Ъ<\
х^ -4 x + 3 > 0
Ж А У А П ТА РЫ
(3;oo)
2) (3 « )
3) [-1;5)
4) (-1; oo)
1
5 ) |- - ; o o
6)
7) X e R
8) (-oo; oo)
9) (^ ;0 ]U (2 } U [l0 ;o o )
10) X e R
11) (-^;1)U (1;2)
12) (2; 4)
13)
(2 ;4 )U (4 ;6 )
14) (^ ;-3 ]U [l;o o )
15) (-oo;2)U(3;oo)
16)
(-4»;2]U[3;oo)
1)
6 - тобы. Теіісіздіктёріщ і ш еш ің із:
С
1 ) 4 z g £ lz g < 0
х^ + 2х +1
2) (х+б)^^х^+х-1^<^х^+3х^(х + б)^
J)
х“ - х + 6 ^ 2х
г
>
X — Зх+2
х -2
72
www.nismath.org
1
+2<0
l —x
4)
3
4<0
,5 + 2x
( jc^ - 4 jc-5 )(9 x^ - 6 x + 1)
5)
(л-^-2л:-15)(5х^-д: + 4)
<0
-5x-6^^3x^ +2jc + l)
^ ^Зх^-12x+12^(x^+X+8)
x'’ -4x^+4x^
<0
(x+4)^
n
2
6
1+---- ->■
x - 2 X—1
8)
1
>0
x -1
9)
6
-4 x -x ‘
x ^ -4 x
x'^-16
>0
x_4<4
3 3 X
10)
1>-1
X
x^ + 3x +1 > 0
11) 2 ( x + 2 f - 3 ( x + 2 ) + l< 0
12) (x ^ -3 x )^ -2 (x ^ - 3 x ) - 8 > 0
13) (^х^+ 3x+ l)(x^+ 3 х -3 )> 5
14) ( x ^ - x - l ) ( x ^ - x - 7 ] < - 5
15)
1
x^+x
1
2x^+2x+3
73
www.nismath.org
16)
1
1
>
X - З х + 2 х^--7х + 12
2
■
1 7 ) [^x + - j
-
+ 2 |^ x + - J - 3 5 < 0
л ^ -х
х ^ -х + 2 ,
18) ^ --------- - > - . 5 --------- - + 1
X —х + 1 X"—х - 2
19) (х^ + 3 х ) ( 2 х + 3 ) - 1 6
20)
X +JX
2 х ^ -З х -1
,
— , ---------- > х + 1
Х^+Х~]
Ж А У А П ТА РЫ
1)
(-2 ;-l)U (-l;2 )
2)
-_ ;o o
3)
[-2;1)U (2;3]
4)
1;-
5 )(-3 ;-
6) (-1;2)U (2;6)
7)
H ;-4 )U {0 ;2 }U (5 ;« ))
8)
9)
(-4 ;0 )U (4 ;o o )
10)
11)
(2 ;3)U (4;= o)
-
U(0;6]
3
12 )
(^ ;-l)U (l;2 )U (4 ;< » )
13)
( ^ ; - 4 ] U [ - 2 ; - 1 ] U [ 1 ; oo)
14 )
(-2 ;-l)U (2 ;3 )
15)
(-1 ;0 )
16 )
(^ ;1 )U (2 ;2 ,5 ]U (3 ;4 )
17)
[-6 ;-l]U [2 ;3 ]
18)
(-1 ;0 )U (1 ;2 )
19) [ - 4 ; - 3 ) U
; o ] u [!;<»)
20)
74
-i-V s
u
-1 + ^ 5 '
www.nismath.org
§6. М О Д У Л Ь Б Е Л Г ІС ІН ІҢ А С Т Ы Н Д А А Й Н Ы М А Л Ы С Ы
Б А Р Т Е Ң Д Е У Л Е Р Д І Ш ЕШ У
«ем^еіЁе ж үй »Ш іі«рм асты р ы а
A
I) |2 jc- 3 | = 11
2) Iл:^ —x | = 6
3 ) |5 х ^ -3 | = 2
4) |x ^ - 5 x + 4 |= 4
5) 1 2 л :^ + x - 4 | = j дг^+ 2 x - 2
6) |3 х ^-3 х + 5| = |2л:^+6д:-3|
7 ) |3 л :^ + 5 х - 9 |= : |б д : + 15|
8) j X—б| =j
-5 x + 9 |
В
9 ) | д : ^ - 4 д : - 4 | + 4 = 2д:
10) |д ^ - 2 х - і | = 1 -х
II) |- x ^ - 1 6 |= 8 x
12) |х ^ - х - 3 | = - х —1
13) 3 |д : ^ -6 л :+ 7 |= 5 л : -9
14) 2 |x ^ + 2 x - 5 |= x - l
IS)
16) |x ^ + 3 x -4 |= 3 x
| x 4 x - l | = 2 .x -l
17) |x ^ - 4 x + 4| = x
18) |х ^ - х + з |= х + 2
19) І 6 х ^ + 2 х - 2 і = х - 1
20)
|2x^ + 5 x-10| = 5 -2 x
Ж А У А П ТА РЫ
1) - 4 ; 7
2) - 2 ; 3
3 ) ± l ; ± f
5) ± 1; ± 2
6) 1; 8
7 )± 3 ;Л ;-
9) 4; 6
10) -1 ; 0
11)4
13)3; 6
14,
17) 1; 4
18) 1
4
1
1 5 )-^ "-^ ;
2
2
19) 0
75
4)0; 5
2
3
8)1; 3
12) - 7 2 ; l-^ /5
1
16) -З + зЛЗ; 2
www.nismath.org
wyT
^ -«
I ) ||х - 2 |+ 3 | = 3
2) ||2 x + 5 |- x | = 7
3) 12 - x \ = 5 - 4 x
л\ -------!•= —
х+2
4)
—+ х
3
5
5) |х + 2 | = 2 (3 -л )
6) I3jc—2 |+ x = 11
7) I x| = —3 x -5
8) л:+| jc| = 0
В
9) л ^ + |х - і | = 3
10) - \ ^ - x = — + l
X
2
II) J y ^
12) |л: + 1]=-х^-2д: + 5
=l
13) I д: I = дс^ + X - 2
14) x ^ - 4 |x + l| + 5x + 3 = 0
15) \х-Ъ\ = }^ - 2 x - l
16) д : - - 4 |х + 1 |-4 1 = 0
17) З д ^ - 5 |х - 2 |- 1 2 = 0
18) x ^ - 1 8 | x - 2 j - 4 = 0
19)
20)
- 4 \х - Ъ \- 2 х - 1 =0
х^ + 4х + [х + 3| + 3 = 0
Ж А У А П ТА РЫ
1)2
2)
4) —
^>1
7) - 2 , 5
8) ( ^ ; 0 ]
13
-4; 2
3)1
:
9
13
2
10)
п > 4
-2
13) - 1 - ч / 3 ;
^/2
12) - 3
-9 -^ /«
- 1 + л/5
2
2
9
17)
- у ;
2
19) - l - ^ Д 0 ; 5
20)
-3
;
-2
16) - 2 - л / 4 1
;
;
1
18) - 2 0 ; 2; 16
76
www.nismath.org
'3 -то6ы; Жаиа іайнымалыкы генгізу < әдісім ен тецдеулерді^
іцеш іңіз: ,
. /
'
~ ^ г'
А
I) ( x + l f + | д : + і | - 2 = 0
2) (л: + і)^ -2 |л г+ і| + 1= 0
3) х ^ - 4 І х | + 3 = 0
4) ( x - l f + | х - і | - 2 = 0
5) ( х + 2)^ = 2 j x + 2 | + 3
6) ( х + 3 ) ^ - | д : + 3 1 - 3 0 = 0
В
7)
х ^ + 2 х - 3 |х + і| + 3 = 0
9)
|х |-(х ^ -4 )+ 3 = 0
'■
'
10)
II) 4 х ^ - 2 |2 х - і |- 3 4 - 4 х = 0
, ,
|^ |“ 2
, ,
- , , ,
1^1 + 3
х ^ + |х |- 6
12 ) х ^ - 2 х - 5 | х - 1 1 + 5 = 0
-1
13) ^ ^ —
|х + 3 |-І
=и+з|
'
14)
'
х'’ + х ^ + 4 І х ^ - х | = 2 х Ч і 2
ЖАУАПТАРЫ
1) - 2 ; 0
2)
4)0; 2
5) - 5 ;
7) - 3 ;
- 2 ; 0I; 1
3 ) ± 1; + 3
-2; 0
1
6) - 9 ; 3
8) ± 3
9 )± 1 ;
2
10)
±3
11)
-7 -л /ІЗ
-3; 4
2
2
77
12)
- 3 ; 0; 2; 5
www.nismath.org
Д^Ш^Ыі-Арелықтйрладісііііеіі ,-тендеул-*рд1 .шеш
A
1)
|x |
=
2) |x + l | + |x —5| = 6
|7 - 2 x |+ 3
3) 2 |x - l |+ 2 x - 2 |
=
6
4)
|x + 2 |+ |x - 3 | = 5
5) 1jc+l|+] x | =1
В
6)
1jc+ 1 |+ | x - 2 |
2jc
7) | x - 5 | - j x - 2 | = -3
8)
|3 д ;-5 |-2 х = |х + 2 |
9) |x - l |+ |8 - x |+ 2 |x
=
l2 x + 5 | = lx l+ 2
10)
|2 x - l - |x + 4 |= 3
11)
12)
|х - і |- 2 і л : - 2 | + 3 |х - 3 і= 4
|x-3l
13) H
|x - 2 |- l
14)
jx |+ | X—4 |+ | X—5| =12
15) |3 x - 8 |- |3 x - 2 |
Ж А У А П Т А Р Ы
l)j;4
2 )[-l;5 ]
3)0; 3
4 )[-2 ;3 ]
5 )[-l;0 ]
6)1,5
7) [5 ;« )
8 )i
9) 0
10)
-2 ; 8
13)(3;oo)
11)
12)[1;2]U {5}
-7 ; -1
1 4 ) -1 ;
15)
7
78
f
2І
V
J.
=
www.nismath.org
'жүй е еін' :Шeiii ІцІЗ
В
2)
1)
fl>’- l | + ^ - 2 = 0
|2л: + >' = 3
3)
.
(Ь -З =4
‘
\х + 2у = 5
2
^ [|х -Ы К 2 у = 1
[х+_у = 5
fx+y =2
7)
10)
13)
?.х-у\ = 1
^■х+Ъ\ VI = 2
З х -у = 1
jy + x ~ l = 0
У з;1-х-1 = 0
5)
jx^ - 2 | x j- 3 = 0
6)
=6
х + 2>> = 2
8)
11)
14)
9)
|2 л -3 > '| = 1
Һ - х =і
[x + | j | = l
||j f | + P = l
[л:^
| | х | + з; = 5
12)
[л: + 4>> = 5
I л :-і| + >' = 0
І2:с-;; = 1
|Ь І = ^ - з
[у = х^ -8JC+15
Ж А У А П ТА РЫ
1) (0; 0); (л/2;
2) (0;3); [ 1 ; | ]
3 )(-1 ;3 ); (7 ;-і)
4) (10;-5)
5 )(3 ;3 ); (-3;9)
6 ) ( 2 ; - і ) ; ( - 2 ;- і)
7)
1 7,
3 5
4’4 / И 4
8)
8 3
7’7
4 5
7 ’ 7.
1 _5
8’ 8
9) (5;0); (-3;2)
10) i j ; ^
11) (0; 1)
12) ( 0 ;- і)
13) (0; 1)
14)(3;0); ( 4 ; - і ) ; (6;3)
79
=5
www.nismath.org
г
"-'.
1)
y j(x^ -3 x -h 2 f
2)
I Х +2І-І x|
1=^0
= 3 x -x^ -2
3) I 6jc^ - 5 x + l| = 5jc- 6 x^ -1
I x^ + 2 x + 3 1
4) 4 — ^
= ^+2
\x-3\
5) ф х ^ - 1 2 х + 4 - 7 4 x:^-20 x + 25 - x = 2
6) 7 ? + 2x+ l +x = 5-yjx^
7) (x -2 )[^ |x | + 4 ^ - l - ^ j = 0
8) 7 | ^ - 7 | = ^ - 1
9) |x ^ - 2 x + l|+ |4 x + l |= 0
\x^ - 4x \+ 3
10) І- , ■ ' . =1
X^ +[ л:-5 j
11)
12)
x^-l0x+2l
x^-Ux+32
x ^ -2 |jc | + l
4-x^
x^-l0x+2l
x^ - l2 x+ 3 2
\x-2\
x +2
13) 2(л:^-і) = (х^+ д:)(|д:|-і)
14) (л:^-5л: + б )% 7 |л —2 |= 0
80
www.nismath.org
15) |x ^ - 9 j + |x - 2 l = 5
16)
2х+\
х+1
2д:-1
X—1
17) f { x ) = - ^ 5 -2 x
функщіясының
анықталу
облысына
тиісті
болатындай (I х |+ 1)^ = 4| jc| +9 теңцеуінің барпық шешімдерін табыңыз.
18)
l2 x
+ l i - i 2 j c - 3 |- 4
=0
— 5z - 6
Ж А У А П ТА РЫ
3)
2) -1
1) [І;2]
1 1
.3 ’ 2.
6)
4 ) - |м
8)3
9) 0
11) [3;4)и[7;8)
12)
1 3 )± .;2 ;
14)2
15) -3 ; 2
16)0;
17) -4
18) (б;оо)
7)2
1
0
2
)
1
2
81
3
2
-1+Тб5
www.nismath.org
§7. М О Д У Л Ь Б Е Л Г ІС ІШ Ң А С Т Ы Н Д А А Й Н Ы М А Л Ы С Ы
Б А Р Т Е Ң С ІЗ Д ІК Т Е Р Д І Ш ЕШ У
А
1 )|2 л :-3 |< 4
2 )|5 -8 х 1 < 1 1
3)
Зд: + ]
<3
Х--3
4) | x4 1 9 jc+ 3 4 |< -1
5 ) |З д:- 5 |> 1 0
6)
2
>1
х-4
9)
2л+3
>1
Зх-2
8) |д :- 2 |< 2 х - 1 0
7) 3| х-11 <JT+3
В
10) [0;5] аралығына тиісті болатындай
х^ -5лс+4
< 1 теңсіздігінің
х^-4
бүгін шешімдерінің санын табыңыз.
11) j х^ -5л: [ <6
12) |2х^-9х+ 15[> 20
13)
х^ -Зл:+2
>1
х^ +Зл:+2
14) х^ -5л: + 9 > |х - б |, е ң кіші натурал шешімін табыңыз.
15) | х2 - 2 х - 3| < Зх—3 , бүтін шешімдерінің санын табыңыз.
16) ^ '- 1 5л:+61 > 0 , ең кіші бүтін оң шешімін табыңыз.
17) j х —2х^ I >2л:^ —X
18) |х ^ -б |> 4 х + 1
19) |лг^+3х|^2 -
, ең үлкен бүгіи теріс шешімін табыңыз.
82
www.nismath.org
20) jc< |x ^ —2jc|
21)
-Зд: + 4|
22) ] лг^+ x —2| >1 x + 2 |
23) I д:" + 2x—3 1—I —2x—8 1< 0, ең үлкен бүтін іпешімін табыңыз.
24)
х -2
>
25) I I <
2х-1
+X
4- 6
26) 14х^-9х + б| > - х ^ + Х - 3
27) |х ^ - 6 х + 8 |- |х - 2 |< 0
28) | х ^ + 2 х - 4 | > 4
29)
х^ ~Һ5х+2
с ^ -5 х -2 4
30) х^-8х+ 15 < х - 3
Ж А У А П ТА РЫ
1) [-0,5; 3,5]
2 )і--;2
3)
4) 0
5) -ос; - ■ и[5;«>)
6)(2;4)U {4;6)
7) [0;3]
8) (8; со)
10)5
И ) (-1;2)U (3;6)
12)
1 3 ) ( ^ ; - 2 ) U ( - 2 ;- l ) U ( - l ;0 ]
14)4
15)4
17) fo:
16)7
83
U[5; oo)
www.nismath.org
18) (-оо; і)и^2 + лЯі; со)
19) -1
20) (-^;l]U [3;oo)
21, [ - « ; i
22) (^ ;-2 )U (-2 ;0 )U (2 ;o o )
23)2
24) ( - ^ ;- 4 ] U 1 - ;2 |U ( 2 ;« )
25) ( l - s f l ; 7б)
26) (-oo; oo)
27) {2}U[3;5]
28) (-оо;-4)у(^_2; 0)U(2; oc)
29) (-1 0 ;-5 )
30) (4; 6)
2_;_тобы... Аныктама,; бойынша м одульд! аш уға 'Негіздеятеңадіспен тец сіздік тер ді ш еш іціз: '
А
х^-1
| х |-1
4)
x^+3 jc-10
Л-+ ]
2) 2jc<| дг| + 1
3)
| і + 4|
<0
В
5 )4 fflL > 2
X -5 x + 6
7) | | x - l | - 5 | < 2
x+2
8 )p ^ < l
|x - l |
9) 3 x ^ - |x - 3 |> 9 x - 2
I ■*~l|
11) J------ ^<1
12)
x +2
1— < -1
X -3 2
84
10) x '^ + x - 1 0 < 2 |x - 2 |
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) (-» ;-l)U (-l;l)U (l;o o )
3) (-7 ;-4 )U (-4 ;l)
4) (-5 ;-1 )U (-1 ;2 )
5)
6) (-5 ;-2 )U (-l;o o )
7) [-6;-2]U [4;8]
8) ( ^ ; t) U ( l;4 ]
9)
4-л/і9
u
4+ТІ9
10)
- | jc|-12 < 0
2)
- 5 | jc| + 6 < 0
;3
12) ( ^ ;- 5 ) U ( - 3 ;3 ) U ( 5 ; oo)
11) (-<»;-2)U |
1)
-3-л/б5
В
3) |;c ^ -5 |x j+ 4 |> |2 x 2 -3 |jc |+ l|
4) ( x - 7 ) ^ - |x - 7 |< 3 0
5) ( |x - 3 |- 5 ) ( |x - 3 |+ 4 ) < 0
6)
7) (|2 jc- 1 |- 3 ) ( |2 x - 1 |- 1 ) > 0
8) x ^ - 8 x - ^ ^ - ^ + 18<0
x-4\
9)
x^+\x\-2
x^ +1 x |- 6
10)
>0
85
2-ЗІХІ
1+ JC
<1
4 |x - l ] + 3
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
5 .5
З ’ З.
1 )И ;4 )
2 )(-3 ;-2 )U (2 ;3 )
3)
5) [-2;8]
6)
7) (-^;-l)U ((> .l)U (2;oo)
8) [3; 4)U(4; 5]
9) (-чв; -2 )U (-1 ; l)U(2; oo)
W
4)(1;13)
у j
В
1) |х - 2 |> 2 + х - |3 - д : |
2) |x + 3 |< 3 + |jr |
3) |x - l |+ |2 - x |> 3 + x
4) |х -4 |+ |2 д г + б |> 1 0
5) |x + 2 |+ |x - 2 |> 1 2
6) ( x - l |> |3 x - l l - 1 0
7) |x - l |+ |x + 2 [ < 3
8) |x - 3 |+ |2 + x j^ 2 x + 3
9) j5 - 2 x |+ |x + 3 |> 5
10)
jx |+ |2 x + l |—x > l
Ж А УА П ТА РЫ
1) (-^;l)U (7;oo)
2) (-<»; 0)
3)
4) (-oo;-4)U(0;oo)
5)(-<»;-6]U [6;«.)
6) (-5; 5)
8)[1;сю)
9)(-ч»;со)
7) [-2;1]
10) (-<»;-0,5)U((>,«)
86
O) U(6; °®)
www.nismath.org
A
1 х |< -х
1)
|х + 2|>1
\\ х - ] \ = 2
4)
[х^ + 5 х + 6 < 0
f|x l> l
2)
5)
Іх^ - 5 х + 6>0
3)
U - i|< 3
1 |х + 4 | = 2
1 х -З І< 2
f |2 x - 5 j< 5
|3 - 2 х |< 1
||5 х + і|< 2 1
В
I
7)
1 2 х ^ -2 3 х + 1 3 І< 2 5
+ 5 х I< 6
8)
х>8
|.r + l | < l
'л:^-5л: + 11
9)
7
х^-х-2
х +1
<0
х^ - 5 х + 4
10)
|х + 2 |> 5
12х + 3 | > 3
х^
11)
-4 х +4
3 + 4 л Ң- X
-< 0
х+ зг1і
12)
X
Iх + і |
|х + і|< 4
4л:^+5
>1
1 3 ) -!і + 4 х + 4д:^
2
17)
5 + 4 х —X
16)
I х^ - 4 х I < 5
X
х - 3 |< 4
>0
2х
X" - х + 6
18)
^ -З х + 2
х -2
|2 х - 3 |> 3
Iх + і | > 3
19)
,
—< х + 1
1 х |< 4
і" 10х + 2 5
>0
х^ + З х + 2
Ух1<2
х~ —2х + 3
> -3
х^ —4 х + 3
х^
<5
х^ + х ^ - 4 х - 4
14)
Jl-x|<2
15)
<0
х^ + 2 х - 1 5
20)
У 2 х -3 |< 1
Іх^ -4х + 3 > 0
I Х+1І <3
87
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) (-oo;-3)U (-l;0]
2 )(-2 ;-l]U [l;4 )
3} x = -2
4)
5)[1;2]
6) (0,4)
12
7) (-2;0]
10) (3; 4] •
9) (-3}U [1;2)
11) (-3; -1 )U { 2}
12) {-6; 0)U[3; 4)
14) x = 2
15) [-4;l)u[^|;2ju(3;4]
16) [-1;0)U(1;7]
1 7 )(-5 }U (2 ;5 )
18) [-2;0]U {3}
19) (-1; 2)
20) x = l
'-Һ;J- .
c
-7|xj+10
<0
x ^ -6 x + 9
1) 4|х-5|-л :^ + 10л -20> 0
2)
-4x1 + 3
____ I '
3) -xT* + |x -5 | >1
4) j 5 - x |< |2 - x |+ j 2 x - 7 |
5) ||2 х ^ - х |- 3 |^ 2 х Ч х + 5
6)
7)
9)
Vx^+6x+9
+ 6x+9
>3
Vx^- 4x+4
-5x +4
<1
-4
8) ^ + 2 j i h l < : 3 x
x+1
9
3
x + 7 |(3 x + 7 )> 0
10)
2хЧ 2 £ 2 і 1 < і
+ X+ 1
; + 4 K 2 x +1)>0
c
88
www.nismath.org
|д:-9І
13) 1<3'
4х-11
'< 9
12)
х+3\-і'
> х+2\
14) |2 ^ -3 -2 ^ '+ 2 |> |4 ''-3 -2 ^ -1 0 |
\2-x\-x ^
15)^-----^ ^ 2
I х —31—1
16) -!----Г-!---- г>-1
4 -2 |д : + 4|
17) |;с |-(л :^ -2 х -3 )> 0
18) Д т(.И -6л:^-1б)<0
иГ
’
19) |д :^ -і'|< д ^ -|х |+ 1
20) (2-д;+д:^)°’^ < |х - 3 |
іх + З І-1
Ж А УА П ТА РЫ
2)(-5;-2 )U (2 ;3 )U (3 ;5 )
1) ( 0; 10)
3) И »;-
u
4 ) ( ^ ; 2 ) u Q ;<
[2 .
5) [-4; оо)
‘5 ^
24 8
6) 0 ;- U -;oo
5 [2 j
16
7 )И -3 )и -3 ;--
8) [-2 ;-l)U - - ; o o
г 7
;4
9) {-7} и
10) {-4}U
11) [ ^ ^ ;^ jU { 4 } U [ 8 + 7 ^ ;« > )
12) [-3 -^ /5 ;-4 )U { -2 ;0 ]
13) (-1;0)U(0;1)U(1;2)
14) (2;«))
15) (^ ;2 )U { 3 } U (4 ;^ )
16) (-<»;-8]U (-6;-2)U (-2;oo)
17) (^ ;-i]U {0 }U [3 ;c o )
18)
4^^
[-2 > Я ;0 )и (0 ;2 л /2 ]
20) ( ^ ;1 ,4 ]
89
www.nismath.org
II
ТА РАУ . И РРА Ц И О Н А Л Ф У Н К Ц И Я Л А Р
§1. А Л Г Е Б Р А Л Ы Қ И РР А Ц И О Н А Л Ө Р Н Е К Т Е Р Д ІҢ
Т Е П Е -Т Е Ң Т Ү Р Л Е Н Д ІР У Л Е Р І
1)
3 -3 lj9a+3 l [ J a ^ - a ^
(ЦЗ- a f
3)
4)
y[b-b
3^+ 9b+ 3jT b^+ b^
2,y2m« —wV2
2 n - ^ mn
Ijab + ljac
5)
6)
Ifbc + l j c ^
7)
( S +b f
2)
x.^fx +9x+21 ^Jlc -i-27
x + 6^J~x +9
8)
9) і [ ^ - і [ 7 + ^ - 4 У
iJ7+ tfy+ i
в
10)
11)
12)
2+ yfx-x
yfx-2
1+2^7
4x-6^-4
2x+3yfx - 2
i —'^fx
2 + ^ /7
S^fx —2x+3
90
^ (,/7 -2 ^ 7 )
www.nismath.org
13)
14)
15)
—5<J~x—2x+3
5,Jlc —x —6
l —2yjl^
y f x —2
a b - l j ab
ll ab +I
2 ^ l - x ^ +x^-2
l —- ^ l - x -^Jx+l
16) J L V Z Z L , «_ның қандай мэндерінде бөлшектің ең үлкен мэндІ
4-а
қабылдаіггынын табыңыз.
17)
18)
1-х
, өрнектің ең кіші мэнін табыңыз.
2 - і/х + 3
х - 2 Ірс +1
х+ 2
-I
_5 ^
Ү-24
у 24
19)
3
_L
—9 х^'^
6
5
4
3
+у'^ +у'^ +у''
20)
3
2
J_
у"^ +_у^ 4-у~' +1
Ж А У А П ТА РЫ
3) ‘ +
1) \ ^ - а
6)1
7) V^+3
8) ^
+ t/b
91
9) V ^ - t / 7
www.nismath.org
10) - ( V ^ + l )
11)
13) 9 - х
14) Ij
16) 0 = 3
17)2
19)
1
1
x«+3
1
12) 4л:-1
~У ab
15) ^1-л:^ -1
18)
1[х-\
^
+1
3
20) .у’
11
Ш т ш т т т Ш Ш т ш жт т ш ш й м т Л ш ^т т ш ш М ш
1)
3)
1
Ifa -\ [Ь
4
2)
х —2
х —1 +1
4)
1
2у[х + 3 ,/У
В
5)
7)
9)
Ш+ И+
т+п
1
6)
V^ZIzVZHl
•^х^+І + - ^ х ^ - \
8)
10)
\р с - \ J х^’ + х
^х+ у-^х-у
у]х + у + ^ | x - y
91
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1)
3)
5)
i f a ^ + \[ab +\[b
. a-b
4)
c-1
т + Im 2 —n 7~
n
2 ^ -Ъу[у
4x—9y
6) x^ — x‘*—I
+ a iJT + ^ a b + ‘^ Ь^
7)
9)
2)
8)
a^-b
i + lf x
1+ x
a l f b ^ +b l f a ^
a +b
X --J x
10) ■ - І -
3 - тобы. Адгс бра 1 ЫК и р р а ц ^
^ - y ^
орнектерді ы қш ам дады з:
А
2)
3)
sfa +^fb
У V а —Ь
л
х +у
■ху
■sj аЬ
1)
X
2
,
+ у
2
у
x'^4~у
J у +\^х
3ayfa —3a^fb^+3byfa
З^^а
a^fa + b - J ^
л[а + 4 b
r^-Jb ){if^+ i[b \ (
^
4)
(^-4ь)(у^*4ь)
1 ,^ + Д
Л2
5) Егер X- 9 \ у = 4 болса,
V
есептеңіз.
93
у
www.nismath.org
6)
7)
Щ т
a+1
8)
^fa
a-.^fa
^
X^+2
12)
4^+1
a-l J
-/a
x —l
2a/b
_ ^ - 2 \
a +2 ,/^ +1
a-^a
I —a
1+ a
^fa+l
d2 bb ^M) \b f
9) a
10)
-
^
yfa-I
l[^-l
Ifx
U ^-i
1
13)
+
a + ^ /a ^ - b ^
(
I—
14) sja
а-л^
9
^
ab +c
-b
■.^b^Ja +b-J ab^ +c
{ab^ + C
15)
—y
yf x-yfy
X
Х л /х -у ^
X-y
16) ^^yf^ + X a + b^
-^^a+ b^ -sfa
17) Егер a = 5 ; x = 4 болса.
1+ 4
ёa+x
94
l - J ^
Af a+x
есептещз.
www.nismath.org
в
18)
19)
20)
^
+ с^
yfb
yfb
23)
/ Г +c^
yfa
1 ^
Гy f a - l
2
2yfa J
(-v /^ +1
1—a
yfx-^fy
^
x^J~ y+ ,fxy
Ху[У-у[Ту)
21) yja ■^
22)
J
:
X ^ -^ /У
Х ^+ ^
.
, izMV
J & .4^^
i f a b J 1+ya b
^ l-^^b
+ l + (3-^
+1
a + л]а^+1
5
y]a^+l
25,
^
-Уaft + a J
a-ft
[a -l)^-{b -l^JT
'
27)
'
^
'
+ 4
b +ab + a^ —a
1
w-^OT/j
.
1
m + ^Jmn ^
\
28)
x-y
X +
24)
26)
x +y
ft
4ft
rti
^ n~^ ■тГ
' і +2 ( ^ ) " ' '
V
1­- ч щ ~ ' J
95
24
ft + 8
www.nismath.org
96
.6 ,
1 (61
г : (о г
-
|<?і (9 1
і + ^
^хД
(гі
t
(SI
(і-р д )р д
^......у —
(п
i+ ^ t'A
,
1 - (8
S
-
—
PJ
f ( n
(еі
І-г^ ,
(6
Z
I (9
1 (S
(г
Т (І
т
о (е
I (t’
^ Д - ^
ИЛУХЫУЛУЖ
,_ ^ г -іД
л:
ііУ
f ^“ ''1
XД
' •
S
f l “
r —р Д —х+г>Д
zX
/
XД
^ + ^ - і
у
V
Х -р Д + ЗГ+ рД (и:
z
І - ^
^ д + ^ д + о
^
( ^ - 0 - г ^ -іД
х -і
fCД +х
(££
у
х - і Д - аг+іД
(ге
х+
I/
£ + іД
X-
Т+
Л'Дх^7
І+ ^
гСД-х
^Д +х
tf Дх—^х
^(Д—X
XД - ^х
I
(іе
х Д + х + хДх
1+^
(61
www.nismath.org
21) 1
x^J~y
2 2 )^ ^
л
23)4
25)0
26)4
27) 2
28) -3
29) л -1
30) л
31) y j l - x
32) 1
33) 2л/з
3 4 )^
X
-
24)5
А
1 ) Егер a<3 болса, 2 а + ^ ( а - 3 ) ^
есептеңіз.
2) Егер 3 < а < 6 болса, ^ ( а - 3 ) ‘* + ^ (а - б ) ^
есептеңіз.
-Ь)* + ^ ( Ь —3)^
3)Егер 2<Ь<3 болса, ^ (6 -1 )^
есептеңіз.
4) Егер л > 7 болса, .у^(б-л)^ - | л - 7 | есептеңіз.
В
5 )Егер 1 < « < 2 болса, ^ja+2■^a-l
J а - 2 ^ a~l
есептеңіз.
J(b+ 2f-Sb
6) Егер 6 = 0,0025 болса, ----------- ------ есептеңіз.
7)Егф - 2 < а < 2 болса, ^ а ^ + 4 а + 4 + •>/а^-4а4-4 есептеңіз.
;—
-Мх+Л) -16х
8) Егер x = J l болса, ------------------------есептеңіз.
л -4
97
www.nismath.org
9) Егер д:<1 болса, \ j 2х^ - 2 x + 3 - ^ f j ^ +4х^ +4
1 /^ 1
6*
10) Егер а = —1,5; Ь = 2,25 болса,
есептещз.
есепгещз.
Ж А У А П ТА РЫ
1) fl + 3
2)3
У)Ь
4)1
5)2
6 )-0 ,0 5
7)4
8 )-7
9) 1 -х
10)3
££таб|1 .1 ' Р аң и ^ ал '' К0рсетқ1шх1 дәрежелерден
|іҒ|^1і^ктерді түрлендГріц ықщамддцыз; г
/
//3
зЛ /^з
зл
0 “^ + !>'* а ‘^ —Ь^
V
J\
-{аЬ)г
1)
а^-Ь-
(^а+ ЬУ‘
V
і'
2)
3)
\
3
І-у^
I
— — +У
1-у2
/
Г I
1Л
х^ - у ^
I
V
I”
г 2 _ 1,2
У
4)
3
л
1+>'^
k
------ Г ~ У
1+ у'^
/
(х у У
/ 1
х'^ +у^
J
-fs-ifb
tjJ-h^+ 2
98
т^ратын
,
www.nismath.org
5)
1-:сО’-Ч х
- X
1—л:
1 -х 0 , 5
0,5
У
з
3 л
(
3
3 1
а 4 - г , 4
6) Егер
fr
’
болса,
b '( a i
(.-Л 5
^г .'{a
3
a
7)
1
) \
1
)
^[а --Jb
есептещз.
2
W
1
<' I i
Д.2 у2
Л
.2>'x-y
8)
2x5- 2 j
9)
\ —a
+
l + ( ^ f7 ) ^
3
1+ л/^*
l_a 2
3
Г2-&2
i
i
«2+^)2
1 1
a —b
+ 2д2 />2
11
a + a^ b^ Л-Ь
l
11) ^2^J~a—а —і у .\ а * —a, 4
В
3
3
,2
_ 2
2^ f
a 2 - ( a —b)^
12) Егер Of = 1,2; о = 0,6 болса, --------------: — j=l—^ ^
I a ^ - b ^
-ab ^
д
r
13)
8a
1
л2
1
За 5 + 2
За 3 - 2
У
Г 1
V
2аЗ - 3
8а-27
\Л
99
^
есептеңіз.
www.nismath.org
и
14)
::
15) Егер
.16
а = 12,25',
Ь = 12,25
i
l
l
(а -б )2 ■(^а—Ь)з -(^а—Ь)б
болса.
Va + VF
есептещз.
16)
1 - ^ +2 j_
- Z
у + у^
1
17) Егер о = — ; b = — болса, —^ —_^
і і
^
16
81
а^+а^Ь^
f
1
18)
20 )
і
і
—Ь}
і
^
—Ь^
аЪ
1
1 1 A і
а^ + а^ Ь ^+ Ь ^
2а*
1.5 _ 1,1.5
0 ,5
,0 ,5
^ 0 ,5
—Ъ^
есептеңіз.
і
і
а*+Ъ*
1
Л
0 .5
Ж А У А П ТА РЫ
1)2
2) ( l - r f
1,5
‘>Н
11) -л/^
12) 2,52
16) 1
17) —
27
1
Уу'^
4) -2
5) 1+ д:“’^
‘1
9)
10) а+Ь
13)9
14)
15)5
1 1
18) а2 + /,2
19)
20) а - Ь
3)
1
1
X^ —V^
4
а-\
1
100
www.nismath.org
+ t/^ ) - i j i b a b
1)
}
я -ft
+^ ,
+2т^ : ^ + п ^
2)
^ a-b"
\24ь ]
-Л
-1
у
З ^ ^ -З и
т —п
m-Jrn +Пур7
:{2-x^-2sjl-x^ )
3) { l - x ^ y ^ + l +
(і-Д -^ )'2 -1
ft) j - ( I6a + 4ft)
io ^ _ 3 ^
4a~ b
5)
' + 2 а -3 + { а + і)л/я^ - 9
- 2<7-3 + ( o - l) '( /a ^ - 9
6) Erep l< x < 2 болса,
x+2yfx-l + ^jx -2 .^ x -l
есепгеңіз.
^
^
J - 2 a b + b^- 2a
.
7) Erep Q<a<b болса, \ -....................н--------есешещз.
■sja^+2ah + b^
8)
x+6-J~x +S
x + 6 ^ x - 2 +6
^ jk +4
^ jc—2 +4
9)
10) J H " _ W Z 5 I —
1
Vfl + ft /,2
ft^(aft-‘ + l)' i + l z ^
^
’
l + fta“'
101
www.nismath.org
11) Егер а> 0 болса, ^ S a ( l + 4-^3^ •^2-Тба-4л/2 а есептеңЬ.
12) ^9 6 * :
/
'' I 'і 20
1
3
I —a ^
sfa
13)
7
a+2a^- +1
14)
^
n + 2 +^J~n^^^ ^ п + 2 —л^п^^~^
п + 2 —^J
—4
п + 2 + ^J
—4
15)
ь
4 7 + /ь У ' А 4У ^4ь
+Ь
2Ьу[а
2а-^
/у
-1
1«
a + ^jab ^
2аЬ ^
17)
^зс^ —1 1 + |х +
Т"j
(^+ ^f-{2 sf2 f
1
18)
19)
Гі + ^ ай
2аЪ
a-b
-1
+2^1 —2x^j
г . -1
i'^ і
а2
+62
•І1 У 1
-Ь^
• 2
і
+Ь^
b^-fc
-Ijab^ j
20)
l-yfa
2
1^ ■
^ l + ^ /^ ^ \
1H—
H—
^fa
7«
^
102
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
4а + 4 ъ
^
1
2)3
3) 1-д^
4)1
6)2
7)1
8) ^ - y j x - 2
10)0
11) - 2 ^
12)
14) п
15) 2Ь{а-Ь)
16)
4 : - s
2а^
13) —
1 -а
2 (^ -2 )
17) 0
19) а
103
169
«>
30 2 0 ) - ^
yja + l
www.nismath.org
§2. И РРА Ц И О Н А Л Т Е Ң Д Е У Л Е Р Д І Ш ЕШ У
1 - тобы. Теңдсулердіа екі ж агы н да дэрежеге ш ы гару әдісімен
теңдеул«рді ш еш іціэ:
^
^
^+б
Г- —
1) - = = = = /з Г + У
yjx-2
2) ^ 3 5 - 5 х = 9 - 2 х
3)
4) лУл:‘ +11JC-9
5 - 4 х - х ^ =-2х-1
1
5)
yJx ^-Sl
= уІ^х-5
1
<i)^
д:лД 0 -9 7 І0
Z
.i
л:+ 1
7 )—
8) л / т + ^ р Т Ғ = 3
X
9) yjx^-5 x ^ + 4 = х - 2
10) ^ 2 - х -^1-4дг =JC+ 8
В
11) 7 2х-1
х - 2 = л[х+Т
12) 7 2 x - l + ^ 2 x + l = 7 2
13) ^ 4 - х - y j5 + x =3
14) y j \ + x . J x ^ - ^ = x - l
15) ^ 2 х + 3 -2 ^ 2 д : + 1 =1
16) ^J2x + l + 7 ^ - 3 - 2 y f x
17) ^J^x+l + 4 х +13 = -J Ъх + 12
18) yj3x + 4 h . ^ x - 4 - 2 y [ x
19) y j \ 5 - x + .у /Т - ^ - 6
20) \ + ^jl + Xyfx^- 2 4
21) ^ З х + 7 -л /х + І = 2
22) 7 ^ -9
23) 7 T + 7 - - = L ^ = 7 2 + 7
,/T + r
24) 7 4 ^ 2x + -^У^"-l-'x
25) 73x^+1 +yjx^+3 = 7 б л '+ ] 0
104
36
7 ^ -9
= JC
'7 ^
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) 10
2)2
3) -2
4)1
5) И
6)1
7)4
8) ±1
9) З+л/5
10) -2
11)2
12) 0,5
13) -5
14) 10
15)0
16)4
17) -1
18)4
19) -1
20)7
21) -1 ; 3
22)25
23) ;с е 0
24) - 2 ; ^
25) ±1
1) ( / 4 7 + 7 - і ) ( / 4 Т + 7 - 2 ) = 20
2) лг^+л/х^ + 20 =22
=4
3) ^2х+1 +^2х+ \
4) ( / ^ 3 ^ + 2 і ) ( 7 ^ ^ ? ^ - 3 ) = -44
5) х^' +11 + 7^^ +11 =42
6) x^ + 4 - 5 s j x ^ - 2 =0
7) Jc+12-y/jc-64 = 0
8)
х -4
= jc-8
^fx + 2
В
9) 7 3 д:^-2. х+15 +-^3x ^ - 2 x +S =7
105
www.nismath.org
10) x ^ - 5 x + 4 ^ x ^ - 5 x + W = 2
11) 7 3 д:^ -6 х + 7
12)
2x + 2
x+2
= 2x+ 7
j x+2 _ 7
V 2x + 2 12
13) x^+ 2 x + 7 jc^+ 2 x + 8 -12 = 0
15) x ^ + 3 x - l 8 + 4 -y jx ^+ 3x -6 = 0
16) x ^ - 4 x - 6 = ^ 2 x ^ ~ 8 x + U
1
17) 3x 4 1 5 x + 2 ( x ^+5 x +1)2 = 2
18) / 2 ? Т 5 і ^ - ^ / 2 ? + 5 7 ^ = 1
20) ^ х ^ - З х + І = 3 x + { x - 3 f - 2 2
21)
22)
x+3
-2-
^ 2x^ - 4x +3 - уІх^ - 2х - 2
-^ х -І
=2
^2x+l
24) (х+ 4)(х+ і)-3,У х2 + 5х+2 = 6
25) х ^ -7 х + л /х ^ -7 х + 1 8 =24
106
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
4) -6
1) -11
2) ± 4
5) ±5
6) ±-7б; ±^ДT
7) 16
8)9
9 )-і;і
10)2; 3
И ) -1.; 3
12)7
13) -4 ; 2
17) -5 ; 0
21) -4
’> 1
- I
9
22) - 1 ; 3; 1±2>/3
15) -5 ; 2
16) - 2 ; 6
19) 1,8
20) -3 ; 6
23) 2,5
24) - 7 ; 2
25) -2 ; 9
А
^ { х + 5){х-3)
=0
1)
-0
х+5
4) { 9 - x ^ ) y j 2 - x = 0
В
7)
^ 6-д с-х"
2х-5
^ 6 - хх - х ^
-2
6хх —6
—6
9) ( x ~l ) ^ j х^ —X—6 —6
8) [х'^ - 9 ) ^ J - 5 х + 4 =2х^
10) ( х ^ - 4 ) ( ^ 3 - 2 х - х ) = 0
107
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) -ч/7 ; 2
2) 3
3)1; ±у/з
6 ) - 2 ; -1
7 )-3
8) -3 ; 0; 5 9) - 6 ; 7
і:і£!!бы. ;Жоғары дэрежелі
тецдеулерді шешіціз;
1) 2( а +8)2 = 9 ( jc+8)4 +18
4 )-3 ;2
түбірлері
5 ) - 2 ; -1
бар
Ю) - 2 ; 1
ирраци©«ал
2) 1 н------------j— 2{2а + і )4 = 0
(2 а + і )'4
3) 2х^ +5дс® =18
5)
Ух+2
+
5
4) ^ ( x - 3 f +3 ^ / І ^ + 2 = 0
=2
6) ^ 2 5 + 7 а - Т ~ = 2
1
I
7) x 2 - 3 a '*~10 = 0
В
8)
6 —6х
-l/Sx-ll = 1
10) ^ х + 6 + ^/б6—.г = 6
11) \ f x - 2
12) ^ х + 2 -^ /з Т Г Т = 0
13) l f J + T + ^ / 6 ^ = l
х+\ =3
IS) x y f x ^ +xyfx^^^ =,JJl2
16) 5 х ^ -^yjxyfx ~ 4 y f x ^ = 243
17)
18) У ‘77~х~+УЖ ЙГ = 5
19)
108
+^ /15+7 = 2
+ і[ Р 7 Т н = 5
www.nismath.org
20)
V Sx+2
5x+2
+ з [ і і і Т = 11
V x +3
6 ’
21) J x l f x - l f x
M У
=4
ен үлкен түбірін табыңыз
22) У х + 5 + ^ X+6 = ^ 2х +11
23) ifx T T +\[Зх+Т = У х - 1
24) lfx+24 + ^ 1 2 - х =6
25) ^ 1 + / Г + ^ 1 - ^ 7 = 2
ЖАУАПТАРЫ
1) 1 288
2)40
3)64
4) - 5 ; 2
5) 8; 27
6) 53
7)625
8) -3 ; 4
9) -3 ; 1
10)2; 58
11)3
12)2
13) -2 ; 7
14) — ; 2
50
15)4
16)9
17) -1 5 ; 1
18) -4 ; 61
19) ±3
20)5
21)8
22) - 6 ; - у ; -5
23) - і
24) -8 8 ; -2 4 ; 3
25)0
5 »тобы. Тендеүдерді талдауды қоядана огырып шеіпііііз:
A
1) yfSx+2 + ^ З х - 2 = -1
2) / х - І + ^ 2 х + 5 = 4
3) у і х - 5 - y f x + 4 =2
4) б - ^ х + Т Т = 7
5)
6) л/дс-4 +3х = ^ 1 2 - З х
х + 4 + ^ X—4 —yj2\ X
7> / х + / . ^ =^1
8) ^ / Ғ Т - ^ 7 + х =1
9) ^ 3 + y j x -\
10) V x + 3 + ^ = 5 -2 х
=1
109
www.nismath.org
Ж А У А П Т А РЫ
1) х е 0
2)2
3) х е 0
4) х е 0
5)5
6) х е 0
7)1
8) -8
9) х е 0
10) 1
Йррацйонал теңдёулердРш еш ійіі:
С
1) ^ 4 + .yjc^ +2л: + 1 —х = 9
2)
= х+5
3)
4)
X+8 + 2yJ X+7 + ^ дг+1—^ лг+7^ = 4
5) { x + 4 ) ( x+ l) - З ^J l^ ~^ h5 x^ = 6
6)
+Х+4 +-у/дс^+дг+1 = ^ 2 х ^ +2х + 9
7) ^ х ^ - б |л ;| + 17 =3
8) ^ х ^ + х - 2 +у]х^-4х+3 = ^ 2 х ^ - З х + 1
9) y j x + ^ f x + і Г + ^Jх - ^ + и
=4
10) ^ х + 2 - 4 / 1 ^ - ^ J x - l - 2 y [ x ^ = 1
11) д /4 - л :+ 4 ^ - х = 4 - ^ 4 - x - 4 ^ - j f
12)
•J X+ 2 —^ х —2
X
•УТ+Х+У х - 2
2
110
www.nismath.org
13) - J s + l f T + ^ j 5 - \ f x = l [ ^
14)
-3 x + l = I2 x - l \ - x
15) ^ 3 - x = l x |- 3
16)
1
1 -^1 -д г
17)
l x^+5x +13
"S
-I
;c ^ -l
Vд:^+5х + 13
3-^x + 2 - 5
4-^x+2 - 9
1»)
1
=3
l +^ J l - x
8
3
f
3yJx+2 - 4 ~ 4 7 ^ + 2 - 8
+ X -1 =1
19) V6^
^ 7 -J c - \ l x - 5
20) ---------------------- 6 —x
Ц і - х +IJ x - 5
21) ^ I x ^ +8ДГ+ 10 --у/Ix^ -8дг + 10 =2д:
22) ^ 1
+ 8jt+ 7 + yj\0x^ —8x+7 ===8x
23) (sin2x) •у/4-х^ =0
24) (cos3x—
6+ 5x—x" = 0
Ж А УА П ТА РЫ
1)
-6
5)
-7
2) -2
;
2
6) - 1
;
0
3) 12
4)2
7) ± 2; ± 4
8) -2 ; 1; 3
9)5
10) [2; 3]
11) [ - 4 ; 0 ]
12)2
13)64
14)0
15) -6 ; 3
.6 )f
111
www.nismath.org
1 7 )-^ ; 2
О
18)14
1 9 )-2 ; 1
21) 0; +1
22) 1
23)0; ± 2 ; ± -
24) -1 ; 0; 6;
2я
Ая
112
20) 5; 6; 7
www.nismath.org
§3. И РРА Ц И О Н А Л ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСШ ШЕШУ
1
Алі мі а^^
тиещіңіз
иі»ііащі»шід тевдеулер ж ү й ^ іц
A
1)
3)
U x ^ + 4 y ^ =:у+3
2)
\х+ у =5
І ^ х ^ +4;g^-37^ =х+1
1х - 7 = Г
h o . , f x y + 3 х- 3 у = 58
[х -7 = 6
В
4)
6)
| ^
- ^
=2
5)
1x7 = 27
\ x ^ - ^ f y =1
[з х ^ + 2 7 ~ 8х ^
=2
[V ^ + ^
[х7 = 8
=3
J _____
V 7“ 6
7) ^
Х7 = 36
[ 2 ^ /7 - 7 У = 5
8)
Ж А У А П ТА РЫ
1) (3;2)
2) (2; 1)
3) (8; 2); (-2 ;-8 )
4)(27;1); (-1 ;-2 7 )
5 ) ( і ;8 ); (8; і )
6) ( ^ ; 9 )
7) (4; 9)
8)(9;1)
113
www.nismath.org
2 - тобы. А лгебралы к ам алдарды колдану әдісімен иррационал
тецдеулер жүйесін ш еш іціз:
'
А
1)
3)
[5y[V-4^ =3
и х - у + 2 =3
х + у - 4 =1Ъ-2х
5)
7)
2)
\yj~x + 2~jy = 9
[jc-4jv = 9
4)
6)
И)
[у/ 7 - у/ У = 2
/ iх^+ 3=
l
f y i + 7 =7
[ У х - у =3
[з ,у 7 -л /;7 = 8
«)
f x - y = 16
9)
[.у 2 х - у + 3 = 7 у + 1
л:у = 36
\yjx + y - l =1
[л/ ^ ~У +2 = 2 у - 2
|^,Ух+Зу + 5 = 2
10)
[^/Т+2УзГ = 19
|х , / У + у ^ = 30
|^ / 7 + 4 У = 5
+ ^ /7 = 5
[2х + у + 2 ^ х у =34
В
лУ
=4
І9х+y + e J х у =100
12)
Ш
14)
^х + 25у + 10.^ х у =100
15)
л-уурГу =70
[ х л / х ^ Уу^ =105
\ s p ^ - y f 7 = 2^fxy
[х+з' = 12
[^ /x '-^ /У = 4
16)
- ^ =2
17)
^ 5 - l j x - 2 y +3-ljx + y =13
[3 -^ x -2 j -4-Ц х+ у =2
114
www.nismath.org
ГІ08ІГ
I-------
I—
18)
19)
=
20)
\ x .J ^ + 2y^J~^ = 36
У у[ У + 2 x ^
22)
+л ] х - у
x~ +x-\j x y ^ =80
21)
= 28
y^ +y-lj y x ^ = 5
\lpc+ lfy= 5
^/jГ + yfy =10
23)
[^ + t/7 =4
Ж А У А П ТА РЫ
1) (9; 9)
2) (-l;0 )
3) ( 6 ;- l)
4) ( - 9 ;- 4 ) ; (4; 9)
5) (25; 4)
6) (29; 20)
8) (25; 49)
9) (25; 9)
10){4;9); (9;4)
11) (9; 4)
12) (6;4); (- 2 ;- 4 )
13) (4; 16)
14) (25; 1)
15)
4X 2}
К
16) (4; 9)
19) (5; 4)
18) (10; 6)
20) (9;1)
21) (8:1); ( 8 ;- l); (-8 ;l); ( - 8 ;- l)
2 2 ) (64;1)
23) (1; 81); (81; 1)
115
2
www.nismath.org
3 ^тобы. Жана айяымалыларды енгізу арқылы иррационал
тецдеулер жүйесін шешіціз:
■ v
'
-
^J х —3
1)
3)
у +3
■= 1
4
+ 9
= .4
yj х —3 , yj у+ 3
\ x - y j х у +у = 7
[у[^ + %[У = 5
\ y j 2 x - y + U - J 3 x + y - 9 =3
дг:-------- .г:---------------г- .
7)
+sfy=5
U-+y = 13
1
1
и х +у - ^ y j x - y =10
2)
[ 4 7 ^
V 2
4)
I x +y
M 8
=9
V 3
=14
ix-y
V 12
.
x + y + yj x+ y =20
6)
x'^ +_v^ - 136
+ ЛІХ-У =6
8)
[х^ - у ^ - х + у = 12
,
9)
_1_____
^yfy
10) I fx
6
^л: + ^/У = 4
И)
1
/7
1
X
1
5
>1
2
15
~ 4
В
12)
X
+ y j 5 - y =3
1 ^ 7 - 5 x - 2 j + 10 = 4
13)
iyj5x+2y + 5 - y ] x + y =3
|бл: + 3у = 12
116
www.nismath.org
15)
14) -jV У +^■
х + у = 12
16)
18)
r+ y + x y
с^ + у ^ + х у = І2
[х + у + у/ху =6
jy/ у + х - i j x - y =2
19)
\ y f y T T + y j x - y =8
20)
9
[2J> ’+ 2 ^ “ 7> ’“ ^ =2дг
,-----г I------[^+ -2дг +^ j y ~ x = V
\>[у + х + / І у - х = у
JT+ V
^ y ^ - s f b ’- x =х
;c ^ -y ^ = 1 6
22)
23)
24) | ^ ^ ^ ^ + / > ч Т = 3
^2 ~ J '+ 6JC- 3 = 4
25)
+ y[2x + J y b = 7
+^)^ + 7 = 4
[лг+ 2>’= 5
27)
\ x + y + 2yj x y +yfx +у[У = 12
1 > /Г -7 7 = 1
(1 9 .
Ж А УА П ТА РЫ
6)
(124: 76)
2) (41;40); (41;-40)
3 )(4 ;9 ); (9;4)
6) (6; 10); (10; 6)
117
www.nismath.org
7) (4; 9); (9; 4)
8) (4;0)
9) (4; 4)
10) (8; 27); (-27;--8)
11) [ і ; 2]
12)(1;1); (-2; 4)
13) (3 ;-2 )
14) (5; 7)
15) (4; 1); j ^ - 9 ; - |
16) (2; 2)
17) (9; 4)
18) (28; 16^/з)
19)(0;0); (3;3);
' 3 ,З У (9 .9 ")
V 4’2 j’ U ’l)
2 0 )(0 ;0 ); (б;3); (-3 ;3 ); (3;6)
21) (-4; 0); (4;0); ( - 6 - ; - 5 - 1 ; Г б - ; з Л
1 3
з ; Ч 3 ’ з)
2 2 ) і | ; 2 4 ] ; ( з; |
И )(-10-,26); (4;5)
2 4 )(І;І);
25)(3;1)
2 6 )(2 5 ;9 );[^ 1 2 l;2 0 ij
27) (4; і)
28) (4; 1); (і;4)
Ш
ш еш щ із:
...................
|л /Т І + У + ^ х + у =6
[^дг+у - у + х = 2
М
118
|л/ 7 х + у
+^2х+у
/ 2: +^у
+ х-у-1
=5
www.nismath.org
\x^ +Xyj xy - 3 = 0
[ ^ 4 - 3 jc - l - ^ 5 y - 3 x
3)
4)
y^ +y y j x y -2 4 = 0
[ ^ l - 5 y + ^ 5 y - 3 x =5
| з >- + 2^/ х7 +8 = 0
|дс + .у/Т =
= 1] 2 - J x y
|jc -3 -^ x y +7 = 0
[j^ + / y =18- , / x7
+IJ x - y + 2 =3
8)
7)
jc+^ = 20
9)
y^ + - ^ 3 y ^ - 2 x + 3 = jX + 5
[2xyy =7
1 0 )|9 х ^ + 7 9 х Ч 2 7 ’+ 1 =1-23^
[бх+>' = 2
3x-2>' = 5
x |- - /4 x ^ - v ^ =0
\y\-^}y^-4x^ =0
11)
13)
12)
x-jv+','4-<^ - y
[x + y - .,/y ^ - 4 x ^ =5
| x + y - ^ / T - 7 У + 2 д / ^ = 12
x 7 ^ +У^f7' = 189
14)
_y(jv —2) = 6
y= ^2-x
16)
15)
y + < j { x - 3 f =3
17)
+3^л/^ = 180
y + y j { x - 3 f =0
fl + З^+ л/х =0
) ^ x ^ - 2 x =>^-1
/x + 23 = 0
[7 + 2| x | = 1
Ж АУАПТ АРЫ
1) (2; 2)
2) (i;2)
4 )(l;4 )
5) ( - i ; - 4 )
6) (4; 9)
4 )(3 ;2 );
7) (4; 16); (16;4)
lj'9
-1
www.nismath.org
10)
;-2 ^
13) (9; 1)
(0 ;-3 )
ll) ( - 5 ;1 0 ) ;
1 2 )(-l;-2 );(^ i;-
14) (16; 25); (25; 16)
1 5 )(l;l)
17)(0;1)
18) (121;-12)
www.nismath.org
§ 4. И РРА Ц И О Н А Л Т Е Ң С ІЗ Д ІК Т Е Р Д І Ш ЕШ У
1 - тобы. - Тецсіздіктердід екі ж агы н 'д а дарежеге
ар қы л ы иррационал теқсіздіктерді ш еш іңіз: ' г
А
2) .у/6-j;^ > ^ - х
1) ^j6 — x — x^ < ^ 3 х + 6
1
Ч
х+2
2
^3
4) ^ j - x ^ - 3 x
4 >-2
jx^-x
6) л -------- <1
V ^+з
5 ) , / ' “ ^ > -1
V 1-2д:
7)
+
8) \ j x ^ —4x > ^ 3 —2х
х^ +4х^ -3 6 < х
10) i j x ^ - 4 x > Ц З - 2 х
11) yj 3x -\0 > y j 6 - x
12) 4 ] ~ х < ^ 5 + х
13) ^ { х - 3 ) ( 2 - х ) < ^J4x^+l2x+n
14) ^
15) >/2л-^ - 3 jc- 5 < yf х - 1
16)
2х^+1х-Л ]_
х+4
^2
5д: —8
В
18) 1 -^ 1 3 + Зл:^ >2х
17) x +4>2-J a - x ^
4
20) ^ 5 - х ^ > х - 1
X 2
22)
21) 6 - ^ j s + 2 x - x ^ <3х
121
'л:^+8
1
> х —2
ш ы ғару
www.nismath.org
23) ^ j 2 x ^ - 3 x - 5 < x - l
24) -v/x+T> X-1
25) ^ х^ - 3 x + 2 >л: + 3
26) д^{х+2)(х—5) < 8 —X
27) уІ24-і-2х-х^ <x
28) 3 > / - x 4 x + 6 > - 2 ( 2 x - l)
29)
х ^ -4x >x-3
30)
31) у І 2 х - х ^ < 5 - x
32)
33)
34) x —9<3yjx+l
x^ + x ^ - 2 x +1 < Д-
45—2x < 6 x - l
V 7 -4 x
<x
Бірнеш е радикалдары бар иррационал теңсіздіктерді ш еш іңіз;
В
35) З ^ х - ^ х + З >l
36) -sjх + 2 + , / З - х > --1
37) / З - х +^Д +І' > 1
38) ^ х - 5 +УІ10-Х <3
39) ^ 2 х + 5 + л /х-1 >8
40) > / І + 2 - / ^ > 1
Ж А У А П ТА РЫ
1) (0;2]
2 )(-2 ;0 ]
3) (-1 ,2 ;-І]и [2 ;3 )
4) [-4;!]
5)Іх;2
6 )(-1 ;0 ]и [і;3 )
7 )(-3 ;3 )
10) ( ^ ; - i ) U ( 3 ; « )
8) (-^;-і)и(3;< ю )
12)[-1;1]
11) (4; 6]
15) | ; 1 + N^
.2
У
13) [2;3]
122
www.nismath.org
8
17) - 2 ; - |j u ( 0 ; 2 ]
18) ( ^ ; - 2 )
( 2
19) 1;
2 0 ) [ - ^ ^ ;2 )
21) (1;4]
^ ,,( ^ ; - 2 ] U ( 0 ; c o )
« .[f
2 4 )[-l;3 )
26) ( ^ ; - 2 ] U
27) (4; 6]
28) ('1 ; 3]
29) (-= o ;0 ]u [|:
3 « )(H
31) [0;2]
32)
33) x = l
34)[-1;24)
35)(l;oo)
36) [-2;3]
37) [-1; 3]
38) [5;6)U(9;10]
39) (10, oo)
16)
5’ J
25) [ ^ ’" 9
U |2 ; «
40) [1; 2)
2 - гобы. ^ а ц а
;^еңсізд|ктерді
айнымалы^'ЧйгЬу" а р і^ л ы
i)b ii± Is o
1—^ jc+2
2) / Г - 3 <
3) x ^ + y j x ^ + U - 3 1 < 0
4) z / 7 + - ^ < 3
^х
х ~ ^ -2
5 ) ---- — >0
х - ^ х -6
6) 3 - ^ Т Т - Ц х + Ү >2
^
123
л[х-2
иррационал'
'
www.nismath.org
7)
х+3 —1
5-^J x+3
>0
8)
X +-
sjl-x
->2
_____ -2
10) j G - i ^-> 0
lJT ^T + 3
9) x - 5 ^ f ^ <6
В
12) x^ -З у іх '^ - 4 x + 20 >4x -10
13) {x + 5)[ x-2) + 3 ^ x [ x + 3) > 0
14) x^ + 5 x + 4<5yjx^^ +5x + 2S.
15) ^ j x ^ - 3 x + 5 + x ^ - 3 x ~ l < 0
16)
17)
+
/И Г < 1
4V 2-л: 4
2-л:
________
6
19) ^л:^-х <
>1
•/л:^ - ;
Ж А У А П ТА РЫ
1) и
2]
7) [-2; 22)
2)[0;1]U(4;16]
3 )(-S 5 )
5) [0;4)U(9;oo)
6)
8) (-<«;0)U(0;1)
9) [О ;*]
iJ ) (-" ;-'lU [5 ;« > )
10) (-- o;-7]U {28; oo)
13) (-co;-4)U(l;co)
14) (-9; 4)
16) (-^;0)U(l;oo)
17) [0;1]
19) (-2;0)U(1;3)
20) (-oo; --5)U(6;o^)
15) ['l:-*!
18) (0}U (U «)
•
124
www.nismath.org
І5 - тобы.
Көбейткіштерге
лгецс|здіктер;|і шешіціз:
' жіктеу
.Іаркйлм^' , іфрационал
^
-і
A
у .7 - 1 5 > - 2 ,^
х+ 3
1) (.х^- 4) 7 2 5 -л-^ > 0
6 —2х
3)
<0
7 х^ +7х+12
5) { x + 2 f { x - l f ^ х - 7 > 0
л -1
7)
а'7
,0
4) ( x ^ - 4 ) J — <0
X—1
(х -2 )(х -4 )
6) -V
Л .. 7 < о
у X + X+1
>0
4+З дг- ;
в
8) 7 ^ ^ + 7а —8 - ^ х + 9 <0
9) y i ^
10) ( х - 3 ) ^ + X - 2 >0
И) {х-3)Ух^+4 < х ^ -9
12)
logoi (-^+2)
<0
7 5 -4 х —
13) [ х—1)У—х ^ + х + 6 >0
14) ( х + і) '7 ^ + 4 -уІх+7 <0
16)
Ух-4
>0
Ух^-5х-Ы
18) [2 + х) У 4 - х - yj S- x >0
20)
yj> 0
У ~ х +5
17) { 2 + х ) У{ 4 - х ) { 5 - х ) >0
19) {х+1)Ух^+1 > х ^ - 1
- З а + і ) 7 2 а - х ^ - 1 <0
125
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) [-5;-2]U [2;5]
2) (-3;1)
3) (3;«))
4) [-2 ;-l]U (l;2 ]
5) [7;со)
6) (2; 4)
7) (-1;0)U(1;4)
8) {-9}U[-8;1]
9) {0}U[l;oc)
U[3;oo)
10) {-2;1}U[3;«))
12) [-1:1)
13) {-2}U[1;3]
14) [-4 ;-1 ]
15) (1; 5)
16) (7;oo)
17)[-2;4]U [5;«))
18) [-2; 4]
19) (-!;<»)
20) x = l
4:^тобыГ; Интервалдар
әдісімён
’иррационал, теңсіздіктерді
в
I)
-x-12 >X
2) yJx+2 +УІЗ-Х <3
3) y j - I > X
х - 2 у Г х —8
4 ) ----- ^ -------> 0
2 ^ -4
5) у І 2 х ^ - З х - 5 < x - l
6)
7) - Д — <1
yfx-l .
8) Зурс^- y j x + 3 >1
9 )3----- <1
2 - y j x+3
10)
II) { 2 x - l) ( ^ x ^ y j3 - 2 x ) < 0
,2 ,b E iH L ,3
126
J X
2-x
<1
I 0 x ^ ~ 7 x +l
„
— ---------- < 0
yjx-3
5-x
- j =
www.nismath.org
13) у/х + 2 >х
J х-2
16)
15) ^ ------- < 1
2х-5
-JC>0
ЖАУАПТАРЫ
1) ( - ^ ; - 3 ]
2) [-2 ;-l]U [2 ;3 ]
4) [0,2)и[16;<»)
5)
7)[0 ;1 )U (4 ; oo)
8) (l;co)
1«) [3; 4)
11)
13) [-2; 2)
14) Ң ; 2
2
6) |0;l]U (2;oo)
;3
'1
3) (-o o ;-l]
9) {-3}U(l;®)
12)
;]
i;o ]u (o ;i
_ z
15) [2 ;Я5^и (3 ;о о >
16) (-<»; 1)
5 - тобы. И ррационал тенеіздіктерді ліеш іңіз:
С
yj 4 + З х - х "
1)
J 4 +2 х ~ х '
JC4*3
2х + 2
Г л ---J4-JC -
Uo
X
3)
,Jl2—x~ x ^ ^ ^ l 2 - x - x ^
~
х-5
2х - 7
4)
’ V х +2
I1 1 1 > 1
V 2х-1
12
127
www.nismath.org
S)
6)
4х
I 2х
т< 1 + /
1+ х"
1+ х"
1
х-2
Vх-2
Vх-2
7) у1 з х ^+5 х +7 ~ ^ х ^+5 х + 2 >1
*
8)
>1
9) \ х \ < у І х ^ - 2 +1
10) - 9 - ^ + 7 jr+ 1 8 > 0
11) [х^ ~ 4 х + 3 у x + l < x ^ - 2 x - 3
12)
1 - J 2 1 -4 x -x ^
—
--------------- >
x+1
0
,,4
1 ■■> 1
13) -p --yjx+lS
2-x
1 4 ) - ^ ^
’
^2-x
1+x
15) 4 \ x \ - \ T 9 > уІ\х\-\97
16)
- 6 | x - 7 | + 8 < yf3
17) yjx'*-2x^ + l >l ~ x
(x-2)J-5x+4
18) i ^
--------------> 0
5 —X
128
www.nismath.org
Иррацпонял тецсіздіктер жүйесін шешіціз:
19 )
{ \ - x ) y j 4 - x ^ <0
J /4 X - 7 <jt
20)
[•^jf+5 + yj5—x > 4
бүтін мэндерді табыцыз
21)
[л/зЛ^л: > JC-3
22)
{ x - 2 ) yj x^~5,5x+6 > 0
(jc+ 1)-^ jc^+0,5 jc- 3 < 0
[> /~ х -6 -л /з б ^ < 0
Ж А У А П ТА РЫ
I) H ;0 ]U {4 }
2) [ - Д 0)U(0;2]
3) {-4}U[2;3]
4) (-^;-2)U [20,5;oo)
6) ( 2; 8)
5)
7) (-2 ;-l]U
11
з ’з
8) [-3;2]
3
-;o o
10) [0;8l]U[l296;oo)
22
II) {-1;3}
12 ) [ - - S ; - l ) u [ - 2 + 2 >/6 ; 3 ]
13) (-18;-2)U(2;oo)
14) (-oo;-l)U л Л з - з ;2
15) (-co;~-197]IJ[l97;oo)
16) (2; 3]U[5; 6)U(8; 9]U[l 1; 12)
17) (-чю;-2)и(0;і)и(1;'«)
19)
21) X = -6
18) {1}U[4;5)
20) 0
22) x = l,5
129
www.nismath.org
Ill ТАРАУ. КӨРСЕТКІШ ТІК ЖӘНЕ ЛОГАРИФМ ДІК
ФУНКЦИЯЛАР
§1.КӨ РС ЕТКІШ ТІК ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУ
Течяеулердін екі жагын д« gip н еііэге
9ДІСІШЯ тецдеулерді шешіцЬ:
Ъх-1
1)
(I)
r _ s7 x -3
72
V.
3) 2 ^
5)
=32~*
« ) ( і о '~ " ) '" " = і о о
7 ) ( 2 ,5 f " - ’ = 1 5 |
^^-7,2л-
9 ) 4 ^ - у[ ¥ = 36
Г^Ү
1
(^27^
^ 9 j ■(. 8 J
12) 0 ,2 5 ^ = 1 ^
2X-1
11) 4 ^ -5 ''-" ‘ = 5 -2 0 ^ " ^
ул2-20дг+бІ,5
8
13) (0,5)'
І2
(5
v2x-3
1 5 )^ -j
=(2.4)
Здг-2
1 7 ) 1 0 0 0 - ^ / ^ = 100^
14) 5
= _L
25
16)
=
1 8 ) 2 « « 2 .^ ^
19) ^ / 1 - ^ = 225
130
X-
2
3
келгіюу
www.nismath.org
20)2^^ ^-5^^ ^ = 0 , 0 і ( і0 *
.6-х
21) 27 = (0 ,(3 ))
22)
Ч-2Х+3
23) 2 і^^‘! = ( / Т ) ‘
24)
2л:
4х+ 5
25) ( ^ )
S in
я -^
П
3
'v
26) 4 9 6 -7^’^ = 7 2 -7
3-49-х
0,5
і
—
27) 1 6 - 2 8 - 8 4 0 - х = 4 ^ - 2 5 . -
28) 3'
х2-З х+2
=Г
5 ,/Г + І
29) 3,24^ '^ '^ = j ^ |
у
27 ^
=
21
3
Ж А У А П ТА РЫ
1)1
2) 2,5
3) 4
4) -1; 7
5) -2
6)4; 7
7)3
8)0,2; 7
131
www.nismath.org
9)4
10)2
11)1
12) -8
13)4; 16
14) 1
15) 1
16)2
17) х е 0
18) х = ± — + ;ск
6
19) х е 0
20) 1; 2
21)9
22) 0,6
2 5 )-!^
16
26)49
29) 1
30) 1
24)0,2; 5
27) 0,5
28)0; 5
*Жауаптарында к&Ъ параметр!.
2 -тобы.
шещіціз:
Теңдеулерді
,
көбейткіщтерге' ’ жіктеу
. ",
1) 5 ^ ^ ^ - 5 ^ = 1 0 0
2)
-{-5-Ъ^ - 1
3) 3 дг+1
=20
=25
4) 1 0 * = 9 5 0
5) 7 * ^ ^ - - - 7 * - " ‘ - 1 4 - 7 * - ‘ + 2 - 7 * = 4 8
7
6) 2 -1 6 * -2 ‘^*-4^*~^ =15
7) 5-2'^-3-2'/*"* =56
8) 2*-Ч2*~^+2*~^ =448
9) 2 * -" Ч З -2 * “ ' - 5 - 2 * + 6 = 0
10) 4 * “ Ч і 1 - 4 * " ^ = 1 5 - 2 “'^
132
әдісімен
www.nismath.org
36
2x
12) з 2^“^ -9 * ~ Ч 2 7 3 =675
13) 4*"‘ +4^ +4^'^* =84
14) 5^^’ +5^+5^~* =155
В
15) 3^*^^-4•27^“ ’ +9^’^''~’ = 8 0
16)
= 43■5^"''^-19-3'"^^
17) 2 ^ " -'-3 ^ '= 3 ^ ^ -* -2 '^ '^ ^
18) 5^ ^ -7^ -5^ " ^ -3 5 + 7 * -3 5 = 0
19) Jc"•2^^-2^=x•2^■^^’'
20) з ^ ^ Ч з ^ - з ^ " ^ - з = о
21)
22) 3 ^ + З ^ ^ Ч 3 ^ ^ 2 = 5 * + 5 ^ ^ Ч 5 * ^ ''
^ , \ 2 - x
23) [3j
24)
(1
x-4
- 6 - 9 2 +2-3^“^ =29
n 2- x
/^1
J_
+ 3^-3 =99 +
v9y
»y
Ж А У А П ТА РЫ
1)2
2)0
3)2
4)3
5)0
6)1
7) 16
8)9
133
www.nismath.org
9)2
10)0
11) - 1
12)3
13)2
14)2
15) 1
16) - 3
17) ±^/3
18)0
19) ^ /2 ± l
20) - 1 - 2 1 о В з 2
21) 1,5
2 2 )lo g 3 ^
5 3-3
23)6
24)6
+ 15
1) 4
f з Ү
= 54
2) 0,2-5^’" -4 ,8 -5 ^ -5 = 0
3) 4 ^ -1 0 -2 ^ " '-2 4 = 0
4) 25^ + 2 4 ■ 5 ^ " ^ -l = 0
5) 2 " '^ '+ 4 " '= 8 0
6) 2
2 х -3
-3 -2 ^ ~ Ч і= 0
7) 9^-1 _з^^+і+ 3 ^ -3
8) 5 А Ү ^ = 2 - 7 ^ ^ +Ъ
9) 9 '^ + 8 -3 ^ “ * -1 = 0
10) 3 3 -2'^~ ^-4^^^ = 2
11) 6 ^ ^ - 8 - 6 ^ + 1 2 = 0
12)
- 4 - Ү ' ^ +ъ = о
134
www.nismath.org
в
13) 1 7 - 2 ' ^ ^ ^ - 8 = 2 - 4 ' / ^ ^ ^
14) 5 ^ -2 4 = ^
5
15) 1 0 -5 * ~ '-5 ''" ^ Ч 2 5 * = 1 0
16) 4 ^ -
Г іҮ “‘
=8
V^y
17)
4 ^ -2 * ^ 2 + 3
X
+ 2 2 + 1=0
2 2 -1
18 ) log2 (2^ - 7 ) = 3 - х
19) 2-^+^-2^“^ -15 = 0
20) 8 ’" - 4 ^ = 2 ^
21) 9 ^ '- ’ - 3 6 - 3 ^ ^ 'Ч З = 0
22) 4^"^* + 4 * “^ - 1 0 = 0
І
І
23) 3 -8 И -1 0 -9 ^ + 3 = 0
24) 2 * -0 ,5 ^ =3,75
Ж А У А П ТА РЫ
1)2
2)2
3)3
4 )-1
5)3
6)1; 2
7)3
8)0
9) -1
10) - 3 ; 2
11)1; loge2
1 2 )0 +
135
www.nismath.org
13) -1 ; 9
14)2
15) 1
16) -2
17) 1
18)3
19)2
20) log
21) ±1; ± 7 2
22) ±0,5
23) ±2
24)2
1+75'
ж
в
1) 9-^ + 6'^
2) 1 2 5 -2 5 ^ -7 0 1 0 ^ + 8 -4 ^ = 0
3) 3 - 4 ^ - 5 - 6 ^ + 2 - 9 ''= 0
4)
5)
= 5 -6 ^
^^х^-Зх+1 _ 2 2 х ^-6 х+3
6) 8 - 9 ' ' + = 2 7 - 4 ^
7) 4 - 2 ^ ''- 6 ^ = 1 8 - 3 ^ ''
8) 316"'+-36"" -2-81"'
9)
=5-6"'
10) 4 " '+ 6 " ' = 2 -9 "
Ж А У А П ТА РЫ
1)0
2) -2 ; -1
3)0; 1
4) -1 ; 0
5) 1; 2
6)1
7) -2
8) 0,5
9) -1 ; 0
10)0
136
www.nismath.org
1) 3 ^ = 1 0
2)
3)
3
=8
/7 Л !* - з |
4) I V
=9
5)
=2
v5y
Ж А У А П ТА РЫ
2) log, 5
1) log3 1 0
3) log 2 8
3
4)
log , 4 9
5) 3±log72
5
і$-Ачібы:-Т Ғ Щ деШ й>ді'эотЩ ^іШ ^Ш м ;ніІеа^
C
1) 27^-13-9^ + 13-3^^‘ - 2 7 = 0
2) 3 .4 ^ + 1 . 9 ^ + 2 ^ 6 - 4 ^ ^ * - - - 9 ’^+‘
3
2
3) 2 -1 2 ^ -3 '^ ^ 4 4 ''^ ’ - 6 = 0
4) 2-3^^‘ - 5 - 9 ^ “^ = 8 1
10 ^ + 1 0 ~ ^
lO ’^ -lO " ^ ”
6 ) 2 і' " - ' і = 4 - 8 і"-Ч
137
www.nismath.org
7)
sin,v , т 5-2 sin д:
8) |> /2 + 7 з |
as
+ | л/ 2 - > / з | ' ' = 4
9) | 7 з - 2 Т 2 |
+ | л/ з + 2 ^ | ^ = 6
10) 3 -8 * " ’
=0
1 1 ) о, 5
= 0 , 5 ’^^
12) 6 - W - 1 3 - V 6 + 6 - ^ = 0
13) З ^ - Ч з ^ - ^ +3^-^ = 4 5 ,5 + 22 ,7 5 + 11,375 + .
14) 2 к+1|.
2-’^ - l U l + 2^
-2 д
1 5 ) / ' ( x ) = /( 0 ) - f ?
если f { x ) = ------
1-8х
16)
=х^
17) х^- ■ 3 ' ^ +
= 2 ^ ^ ' ^ +х^
18) 4 2 - л:+^4-5.Т+2д 2 _ ^ 2^-Х+']4-5х +2х ^
,____
19)
о^12х+25
= — _2^5 х +6
20)
+18 = 0
2JJ 9 C0SX 2 cos^x
.
_2
22) 2^^1"^‘ ‘1 = 1 6 .4 “ '^’^^
23) 3^-*“^+ 27-* = 2^^'^* + 7 -4 ^
138
www.nismath.org
2^
'5 *
24) —:—r+3>
= x-l
:x-l
Ж А У А П ТА РЫ
2) - ­
2
3 )^ ( lo g 2 3 - l)
4)4; 4-1 оЕз 5
5 ) ^ lg l,5
6) ( ^ ; 1 ]
7)
8) ± 2
9) ± 2
10)2
11)8
12) x e 0
13)9
14) (-2}U[0;co)
15) - - ; -
16)2; 4
17)1; 3
18) 1; 4
19)2
20)2
21) х = ± — + 2жк
3
22)
23) 1
24) 1
1)0; 1; 2
-
+
*Жауаптарында к e Z параметр!.
139
www.nismath.org
§ 2 .К Ө Р С Е Т К ІШ Т ІК Т Е Ң С ІЗ Д ІК Т Е Р Д І Ш ЕШ У
1 і тобы. Т ен сізд іктер дін екі ж ағы н да-бірдей негізді дәреж ғ
кел тіру а р к ы л ы тен сізд ік тер д і ш еш іціз:
, ^ “ Ге
1)
» ( " ■ » ) "
4
і ; ) ‘
х^-1х
,\ 4 д г ^ - 2 х - 2
4) (0,1)
>1
3)
,
^ (0 ,1 )2 ^ '3
1)
5) 32Jf+3.52jT+3
7)
9)
1
6)
'
1
Л6-х
0 ,4 ^"-2х-з
д;2+2
1 х^-\
8) 5
г 1^
>
>25
10) 5 ^ < 0 , 2
JC-3
У
> ( 2 ,2 5 ) - »
11)
12)
х^+2х-15
37“
13) —
10
лг-4 ■
,
>1
в
6ДЕ-3
1 4 )3
^
<і[ ^
2х-1
15) 2 < 0 , 1 2 5
140
^ х^ + х- и >5*0854
www.nismath.org
4x+l
(12,25) 2
16)
>1
KV
6х-6
17) (V 2 + 1 ) JC+l
1
Л-""
V2 + 1 .
x-\
m { S + 2 y ~ ' > [ 4 5 - 2 ), Л-+1
19) ^ 6 - j c
20) 2 ^ ^ ^ ^ > —
2*
/ j—\X—10
{ 'I s )
, 575
21) 4Х-Ю
64
' 1
22)
>
25
v5y
23) 0 ,6 '^
' >0,6*^’^
24) 5'■'*-‘ 1 ^ 2 5 ’" - '
^ '^лД+4
^ j '^а/ х^+Іх +4
^
]_
25)
>
v3j
'чЗ j
>3
26)
v3y
("1 ^ 2
''
4 3
X
1
J
141
www.nismath.org
28) (0 ,(4 ))^ ^-* > ( 0 ,( 6 ) ) ^ '^ ^
-0,01-(і0^~*)^ < 0
29)
. x^+2jc
30) 16
<
1
Гі
256 J .
31)
П
с^-х-6
х^-9
> a r c COS
V2
J j
32) (0,1(6))'' '^ 0 ,2 5 < 5 4
33) I Л
[3j
- 3 ^ '------^ < 0
243^
34) 8^"^
35)
Ж А У А П ТА РЫ
1) (-«>;-3)U(l;oo)
'
2 )(^ ;-4 ]
3) (0;2]
4) л:еК
5) (1;^)
6) (-8; 4)
7 )|-< « ;± JU (7 ; cx.)
8) (-1;0)U(0;1)
9) (-l;3)U[6;oc)
10) (-oo;0)U[l;2]
11) ( ^ ; Vs) ■
12) (^ ;-4 )U (3 ;o o )
142
www.nismath.org
1
13) (-5;3)U(4;oo)
14) 0;
1 5 )1 0 ;-
16) (^ ;1 1 ]
17) (-l;2]U [3;oc)
18) [-2;-l)U [l;oo)
1
19) -с о ;- U{6}
20) [-1; oo)
21) (—со; 13)
22) ( ^ ; - 2 ) u ( ^ |; o o j
23) [2,5; 3,5]
24) (-oo; 1,4]
25) [-4 ;-2 )U (0 ; oo)
26) (2;oo)
27) (-^ ;-1 )U (0 ;2 )
28) (-2^/2;2^/2)
29) (1; 2)
30) (^ ;-3 ]U [2 ;o o )
31) (-3;3)U(3;oo)
32)(l3;oo)
33) (-6;1)
34)(3;oo)
U(3; oo)
35) [0;1]
і*ітобьь .Ж а ң а ' .айиьімалы,
Щсшічіз:
4
ш ^-р к ьід ы
1) 2 5 ^ < 6 - 5 ^ - 5
2) 9 ^ _ з ^ _ б > 0
3) 4"^"®’^ - 7 - 2 “^ - 4 < 0
4)
5) 2^ + Ц . 2 ‘*’^ ^ < 2 6
>5^+4
в) З дг+ 2 ^ 9 дс+ і _ 8 і о > о
7) 3 + 2 - 3 ^ - 9 ' ' > 0
8) 0 ,0 4 * -2 6 0,2^+ 25< 0
143
www.nismath.org
в
3^+5
10)
11)
< 0 ,8 + 2-102 2 ^ + 1 - 5 - 6 ^ + 3 2х+1 < 0
12) 3 - 4 ^ + 2 - 9 ^ - 5 - 6 ''< 0
13)
5 ^ + 5 “^
5 ^ - 5 “'^
<1
14) 3 -2 ^ " '+ 2 -3 ^ " '> 5 -6 '"
15) 3 " ' - 3 ' “" '< 2
16) 3^""^^+7^"^+^ < 5 8 -2 1 "'
17) 4""-2 -5 ^ "^-1 0 "" > 0
18)
2"^+8
2 "^ -!
> 2^
19) 5-4"'+2-25"' <7-10"^
20) 5""+5^“""-30<О
2 і-х _ 2 ^ ^ і
21) —
2""-1
22) 4 " '- 9 - 2 " '+ 8 ‘'’®^^'^”®’ ^ < 0
Ж А У А П ТА РЫ
1)
[ОД]
4)(0;со)
2)(1;оо)
3)(-2;оо)'
5)(-«>;2)
6)(2;оо)
144
www.nismath.org
7 )(^ ;1 ]
8) [ - 2; 0]
9) (-1;1]
10 ) (~ 1 ;с о )
И ) [-1;0]
12) (0; 1)
13) ( ^ ; 0 )
14) (-оо;0]и[1;<»)
15) (-оо;1]
16) [-2;0]
17)
log 2 2
V
21) (-ч»;0)и[1;°о)
20) [1; 2]
19)[0;1]
18) (0;2)
5 J
22) (0;3)
^зГ^обы)^ Кебейт
.ІИешіқІз:
V' ^
1)
1
і+ 3
3^+3^
2)
жіктсу , арқылы
'
-
>84
- У -11> ^
3)
<448
4) 2 ^ ^ ''+ 2 ^ ^ 'Ч 2 ^ ^ ” ^ - 8 9 6 < 0
1
5) 3 » -,
6) 3х^+\
1
\Х+\ < 1 0
m
>162
V i)
7 ) 2 ^ + { 0 ,5 ) ^ “^ < 9
145
теңсіздіқтерді
■'■ '
www.nismath.org
в
8) 3^“*®- 2 ^ - ^ - 3 ^ - “
>О
1х с2х
9 ) 5 ^ ^ ~ * + 2 ^ ^ - 5 ^ ^ + 212х+2 > 0
10) 4 -3 ^ ^ ^ -2 - 5 ^ ^ ^
11) 2 ^ - 5 ^ ~ ''+ 2 ''^ ’ - 5 " ^ > 2 ,8
1 2 )
__ 2
__ ^
х+4
^
^
хч-2
.
13) - ■ 6 ^ ^ -2 ^ '^ -3 ^ ^ < 0
8
14) 9 - 3 ^ ^ ^ ^ + 3 -3 ^ " '+ ‘ - 9 ' " < 8 9
Ж А У А П ТА РЫ
1) (0 ;1 )
2)
4 )Н ;2 )
5 ) [-1 ;а > )
6) ( - ^ ; -
7 )Н ;3 )
8 ) ( 1 3 ;® )
9) ( ^ ; 1 )
10) [ - 2 ; « )
11) ( - ^ ; 1 )
12) [0 ;® )
13) ( - ^ ; 3 ]
14) ( - * ; 0 ]
(2 ;< х > )
3) f-o o ;^
146
www.nismath.org
в
2)
x -2 V ^ ^ 0
'
-2 х -3 ]> 0
2 '-4
9 * -1 0 -3 * + 9
3)
4 ^ _ 9 .2 * + 8
4)
>0
>0
4 -x "
І-х ^
5 ) ( x - 6 ) ( 8 ^ - '- 6 4 ) < 0
6 )(5 ^ -1 2 5 )(3 ^ -8 l)< 0
7) х^ -2^ + 4 > x ^ +2*'*’^
8 )x2 -3 " -3 " + " < x'- 8 1
,3x-l
9)
И)
0 , 2 ^ - 0 ,0 0 8 ^ ^
10)
e'
>0
X +8
x ^ -lO x + 2 5
4* + 2 x - 4
<2
x -1
12) x '+ 3 ^ ^ " > x " - 3 ^ + 8 1
Ж А У А П ТА РЫ
1) [0;2)U[l6;co)
2) (-l;2)U (3;oo)
3) (-l;0 ]U (l;2 ]
4) (-2;0]U (2;3]
5) (6; 8)
6) (3;4)
7) [-2;0]U[2;oo)
8) (-oo; -9]U [0; 9]
9) [3; 5)U(5; oo)
10) {-<»; -8 )U b « !
И)
12) (-^ ;-3 ]U [0 ;3 ]
147
www.nismath.org
Теңсіздіктер жүйесін ш еш іңіз:
,5-2х
<32
2) <
3X2+6X<J
1) 0 < 3 ^ '- ^ - ^ < 1
3)
1
5)
[9 ^+ o,5 _ j q .3 x _ ^ 3 ^ q
4) і
[х>-0,5
> 0 ,2 1 0 ^ " ^
4Д:.5Х+1 < 5 .2 0 2-^
2-х
>1
,
2
6 )1 < 3 '
1
‘<9
2-4^^ > 3 2
2 .
3 ^“ ^ <
3
8)
6^+2 > ^2^2 з х + 2 |
Теңсіздіктерді ш еш іңіз:
з 2 к - і |+ з
10)
<3
*-і|
11)
12)
24x2-1
_ 5
<3
13) 8" 2 - 9 .4 * + 2 ^ + ^ > 0
й
148
www.nismath.org
9
17
15) 9 ^ - 8 4 - 3 ”^ ^ + - > 0
.
3
- ^gX> 0
7.
\X^+X
Ж\
17) COS —
{
10)
/
(
- + 2 5 " * ’’
16)
hx-2)
+ 8 3^
>52,
x-0,5x^
r n
72
>1
v3y
1) (-2;3)
2) (-6;0)
3) x = l
4) [-0,5; 1]
5) [1; 2)
6) (-1;0)U(0;1)U(1;2)
7) ( -l;3 )
8) x e 0
10) (0;1)U(1;2)
-;2
и
10
< 2 ,5
Ж А У А П ТА РЫ
9)
2 ^
—
2Y°S0,25(j^^-5^ + 8)
21)
U J
22) 3
•
19) 8 < 3 ^ ^ "^ ^ ^ ‘ - l < 8 0
^^\гх-\1\+гх
20)
1
< l-s m
12) {2;3;4}
;1
^/2’
13) (-<»;-l]U [2;co)
14)
15)[l;co)
46) I log2^;<»
149
2]
www.nismath.org
17) (-oo;-2)U(l;oo)
18){3;ао)
1 9 ) [ - 1 ;1 - Т 2 ] и [ і+ л ^ ;3 ]
2 0 ) ( ^ ; - 3 ] U [ 4 ; od)
21) [1; 4 ]
22) [(^64]
150
www.nismath.org
§З.Л О Г А Р И Ф М Д 1К Ө Р Н Е К Т Е Р Д ІҢ Т Е П Е -Т Е Ң
Т Ү Р Л Е Н Д ІР ІЛ У І
/
\4 1 o g 5 2
2) —
{25 J
1)
4)
^
^
^ 4 6 1 o g 8 5 -lo g ^ l2 5
2 2 '° ® 4 3 -0 .5 1 o g 2 3
z' 1 /: Л *°e 125 3
9)
10)
2 5 * °® °’^'^
^
—
{25)
4 lo g 2 3
И)
—
і------------^1108227
12)
-lo g 1 5 - i l o g y y 4
14)
13) 7
21og25 8 + log , 5
16) 5
18)
17)
19)11 + 4
I
c o s-^
151
20
^
ilg 9 -lg 2
100 2^
www.nismath.org
в
2») 3
6
-
5 ‘° * 55
2 ’ -'«S210 ^ ^
2 1 ) 2 " ' ^ ^ '^ ' + з " - ' ^ > ‘* - 3 2 , 5
22) 2 ’ ‘^ ^ ’ "“‘ + 4 ^ ‘'* '1 ^ - 2 0 0 9
23, о ,2 2'“*> "-'»'2 ііо
24) 4 ° ’®'°e4 9-0.25Iog2 25
25) З 6 .з‘»0.«-2Ь ..З
26) 4 ° ’^ ‘“82 4+21ogig4
^
2 ‘‘^25
28)
+
log2 5
2 9 )2 ^ -^ “® ^ ' + f l
ЗО) >“ g 0,6 (log 8 32) + 49
log
32) 4
50 ,2 +
1
log5 4 ^
log 2 5
log g 625
152
www.nismath.org
f
log 4 ^ 3 ^ ^ 3 1 o g 4 9 l6
33) 7-
У
У
3 4 ) З б '^ ‘’’ + 1 0 ^ - '''‘ - 4 '° * ‘' *
Ж АУАПТАРЫ
1 )8
2) —
256
3) —
125
4 )8
5 ) 3 & j6
6 ) 0 ,0 4
7 )1
» ) i
3
9 )3 16
■“' w
1 1 )3
12)
1 3 ) 1,25
14) 1
1 6 ) 1,6
17) 1
1 8 )4 5
1 9 ) 1 ,5
2 0 ) 0 ,0 4
2 1 ) 8,5
2 2 )0
2 3 )2
2 4 ) 0 ,6
2 5 )3 2 4
2 6 )8
7
27) 5
2 8 )3 9
29) 1
3 0 )3
31) 1
3 2 )2
3 3 )6
34) 1
ІуҢ.
A
2)
1) l o g i
3)
log 2 sin 135°
5) lo g
1
^
1 ^
lo g
9i f T
4) log 8
^
6) log 4^ 8
vV 4^y
153
www.nismath.org
25
7) log.
8) log, ^
W
10) lo g ^ a y j O y f a
9) log 0 , ( 3 ) ^
1 1 ) log 15^
1
243
V ^-V i
1 2 ) log 2
V8
Ж А У А П ТА РЫ
1 )-^
12
^>4
6) 12
« 4
^>4
2
5) ■
3
в )-|
«1
10)
7
4
1 1 )^
4
Зігтобіі.;,,
Аоғарнфм^іШ інің
'/дар'еж<ін1ад’
' ’'
1) lo g 2 log^ lo g g 6 4
2 ) 41og, 3 - | l o g , 2 7 - 2 1 o g , 6
3) - Ig 0,001 + Ig^lOOO - - Ig ^100000
5
4 ) lo g ^ ( lo g 9 27)
154
www.nismath.org
5) log 1 j^logj co s^ - l o g 3 sin—j
6) log 1 1-\/7->/з^ + logj|^^>/7+>/з)
4
4
7) 21og2 6 + l o g 2 ~ “ log2 35
У
1
1.
25
8) log 4 - + log 4 36 + - 10g4 —
9) 2 Ig 5 + i Ig 16
10) log36 8 4 - l o g 6 > / i 4
Ig27 + lg l2
^ Ig2 + 2 lg 3
12)
lo g 2 5 lo g 32 1 0 g 6 36
13) - log^ 16 - 3 log 1 ^
I4)(lg300-lg 15~lg2)
15) ^ log ,4 49 - 4 log
-26
^
14
16 )
,2bgj4
log 2 log 2 log 2 3
17) 3 log 2 (log 4 16) + log, 2
155
www.nismath.org
18)
log3
— + Iog^ 9
19) lo g ^ logg729
20) lo g 4 lo g n l2 1 + log,<;>/2
21)
lo g 8 lo g ,4 l9 6 -lo g 7 /7
22) logj 175 - logs 7 - l^logj 8 + 3 log31
23)
3 log3 2 - log3 24
log3 3 + lOgg 9
в
24) log J 16 • lo g s
• 9 *^32
25
25) | ( l o g 6 2 + l o g , 3 + 2 “^='‘) ' “^'^
26) ^
l o g ^
^
( ^
c o s |
27) lo g s ( 7 2 6 + 1) + l o g ^ / 7 ^ - 1
28)
lo g s 7
--^
iogyj
29) lo g 2 1 - c o s
П я’
156
www.nismath.org
fs
30) lo g
1
49
1 О Е б 3 0 - |іо § б 1 5 0
31)
l o g 7 l 4 - ^ l o g 7 56
32) lo g
•
2 sm
^
1
— + lo g
In
2 COS -
,
+ lo g ,
5n
•*T
Ж АУАПТАРЫ
1) - 1
2 )2
3) - 2 ,5
4 )-2
5 )1
6) - 1
7 )2
8 )1
9 )2
20, i
1 1 )2
. . - i
13) 1
14) 1
15) 1
16) 1
1 7 )2
18) 1
1 9 )2
20) -
« > - i
22) -1
2 3 )- i
»>f
2 5 )2 1
26) -1
2 7 )2
29) - 2
30) —
15
32) - 1 ,5
157
8
7
www.nismath.org
1) log^ 4 + logg 9 + lo g 4 6• l o g ^ 2 + 5
2) (з logy 2 - log 7 2 4 ) : (logy 3 + logy 9)
—^
lo g ? 3 ) 3 * 0 .5 3 ^
^^3
log4 81
І о В д (log2 3 1og3 4 )
logЗ г е - 2
5 )2
6) 6
log 3 36
+1
8) log 3 64 • logy
(
1
27
\ log 24 2
9) 4 9 ‘* ’ ■'-1
10) 6 logy 125 • logs 2 + 2
5
158
^
в
www.nismath.org
1 1 ) lo g s 4 • log6 5 • logy 6 • logs 7
12) logj 7 • logy 5 • logs 4 +1
13)
14)
logs 30
lo g s 150
log 30 5
lo g s 5
logs 12
lo g s 4
log 36 3
log 108 3
2+
15) V 2
16)
-
'“* = 4 2 5
logy 40
logy 5
lg 2
ІОё 80 ^
+1
17) ^^ 22 ‘" " « ^ ^ 4 lo g 3 5 1ogs27
18) l o g y l 2 5 1 o g s 4 - l g ( l 0 ’‘
19) logy 2 -
log2COs2^'\
lo g 3 2 • logy 6 +
log 36
logy 2
logis 3 ■log 1 3
20 )
______________5
logis 3 + log j 3
5
lo g y g 7 - lo g ^ 7
21)
_______________ 4
log 28 7 + log 1 7
4
159
www.nismath.org
22) 1о£з 5 • 1о§4 9 • lo g j 2
1
4
23) 81
*°®7^
Ж А У А П ТА РЫ
1)5
-
^>4
3) 24,5
4)2
5)6
6) 18
7)97
8) -18
9)2
10)25
П )|
12) lo g jll
13) 1
14)2
15)4
16)3
17)2
18)5
19) -1
20) 1
21) 1
22) 1
23) 1 031
ій Ш Ш Ш Ів
ітівңіШ"
A
1) Берілгені: lg5 = <7, lg3 = 6*. Ig 75 табыңыз.
2) Берілгені: lg2 = a , lgl5 = b . Ig 60 табьщыз.
3) Берілгені: log5 2 = a , logj 3 = 6 .
logj 72 табьщыз.
4) Берілгені: log2 3 = a , log2 10 = c.
log ^6 табыңыз.
5) Берілгені: log^^a = 5.
log^(a^6^) табьщыз.
6) BqjinrcHi; logg2 = a .
log^9 табьщыз.
В
7) Берілгені: log
7 = a , log
5 = . log j
160
56 табыңыз.
www.nismath.org
8) Берілгені: lgS = a , lg3 = 6 . log3Q8 табыңыз.
9) Берілгені: logj 12 = a . log^ 18 табыңыз.
10) Берілгені: log^2 = a , log^5 = b . log,5 табыңыз.
11) Бфілгені: \og^^l —a, log|^5 = 6. logj28 табыңыз.
12) Берілгені: log д 6 + log”’ 6 = 3. log„ b + log“^ b табьщыз.
21g
13) Берілгені: a ^ + b ^ —l a b .
табыңыз.
Ig a + Ig 6
j
,
21g(2of+36)-21g5
14) Бериігеш: \ЪаЬ = Ла^ +9b^ . --------------------------- табыңыз.
Ig a + Ig 6
15) Берілгені: log j2 2 = a . logg 32 табыңыз.
16) Берілгені: Iog3^8 = a .
log3g9 табьщыз.
Ж А УА П ТА РЫ
1) 2d+ 6
2) 2a+b
3) 3o+26
6) 2 - 2 a
7)
„ 3 ( .- « )
1+6
11)
12)7
b
a + 2b
'Л
l-C
14) 1
13)1
16) l - - a
3
161
5)2,4
15)
l-C
www.nismath.org
6 - тобы. Ө ри с к ті ыкімаіміДаііьіз;
* 'у
5lg20
1) 2oig5+i
log,? ( t V s ) + 2 logs" 7 - 3 logs ( 7 V 5 ) • logs 7
2)
logs
3)
logs 49
Ig " 5 -2 1 g 5 1 g 2 -3 1 g " 2
2 (lg 5 -3 1 g 2 )
. к^з7 +1
4)
5)
3 logs 15 ■logs 9 “ 2 logs 15 - log" 9
logs 9 - l o g s 15
6)
log369 ^ log49 25
log 25 49
log, 36
- logs 7 + 2 logg 2
7) (lo g s 2 + lo g 2 5 + 2 )(lo g s 2 - lg 2 ) lo g j 5 - logs 2
8) logs4• log 4 5 • logs 6 f loge7 • log 7 8 •logg9
9)
'
10) 10“‘« 4 l 0 0 ~ ‘«^+1000~‘®^+...
162
'■
www.nismath.org
1
(
3
Л2
I
4 ІОВ43 ^ 4 1 + 108425
‘“84З
И)
12) l o g l o g
( 4 + 2>^‘)
5>/5 + log
e i o g j R - ( 5 - 4 / i o ) + 81og , ( > ^ - > /2 )
13)
2
14) l o g
,2 1 8
15) ( l o g 3
• lo g
4+
24 54 + 5 ( l o g ,2 1 8
lo g 2
9 )^
- (lo g 3
4-
- lo g
lo g 2
24 54 )
9 )^
16) lg 5 -lg 2 0 + lg"2
17) Келесі сандардың қайсысы артық екендігін анықтаңыз:
yl = lo g 2 7 1o g 7 9 - lo g 9 l 6 немесе В=^П.
18) Келесі сандардың қайсысы артық екендігін аныктаңыз:
v4 = lo g 5 7 1o g 7 9 1 o g 9 l l lo g j,2 5
немесе B ~ 4 S .
Ж А У А П ТА РЫ
1) 0 ,0 5
2 )0 ,5
6)2
7)1
11) 10
1 2 ) 3,75
16) 1
17 )
А>В
4)5
5)2
8)2
9)3
10) і
3
1 3 ) 25
14) 1
15) 16
18)
А<В
163
www.nismath.org
§ 4 .Л О Г А Р И Ф М Д ІК Т Е Ң Д Е У Л Е Р Д І Ш ЕШ У
Леғ«|ііііфіинІң акиқтамяФын қйяданыв, і-ецяеүлердГ
----- '
■
■
•
■
l) lo g ^ ( V 5 0 0 f = - |
2) log,, logj log.
l-x
=
0
3 )lo g ^ 8 -l = 0
7+x
^
4) logj log 3 log2(l0дc + 12) = l
5) logj log2(4"'-8) = l
6) log4jc + 31og2Ji: = 7
7) log 9 x
+ 2
logj jc = 5
.) 3 ' ”'^'-’" = lo g ,3 4 3
9)
= lo g jl25
">'"«^=1^ 3 - 2 = 0
12) I o g 3 |2 x - l | = 2
13) log,^ X + log 4 X + log 2 X = 7
14) log 4 log 3 log 2 (x^ - l ) = 0
164
www.nismath.org
15) logj,^2(3^^-12) = 2
/у
16) l o g j j ( 6 4 - ^ ) = l -
17) logj,+2o(2^->/^ + 20) = i
18) 2
ioggX
^
1
64
19) ln(2x + l) ln(9-4jc) = 0
В
20) l o g ^ ^ = 0 ,1 (6 )
21) l o g ^ 3 6 - ^ ) = 2,(6)
22) log^(s-^ 0,25 ) =
13
23) ( З х ^ - 5 x - 2 ) l o g 3 ( 5 - 4 x ) = 0
24) ^4x^ + 5 x - 6 )lo g 2 (2 x -6 ) = 0
25) lo g 3 (3 '^ --2 ) = l - x
26) log 2 (9 -2 ^ )
27) lo g 5 ( 2 + 3 - 5 ”^ ) = x + l
28) lo g 2 ( 5 - 2 ^ + 3 ) = 2 х + 1
29) lo g 7 (6 + 7 '* ) = x + l
165
www.nismath.org
30) lg [ ^ 8 1 - ^ /? ^ j = 0
31) l o g (2>/2х + 7 - 2x + 5 ) = 0,5
32) log6(5 + 6 “'^) = jc+ l
33) log 256
+ 10gi6
+ log 4
= 7 10g7 7
34) lo g g (4 --lo g 6 (5-x)) = i
Ж А У А П ТА РЫ
1) —
500
^>1
3) -6
4 )5 0
5)2
6 )4
7)9
«>1
9 ) - 0 ,8
10) 16
11)3
12) - 4 ; 5
14) ± 3
15 )4
16)
19 ) 0; 2
20) 16
13)
16
4
17)5
21)6
22)2
“ ) - ^
i
16
2 4 ) 3,5
25) 1
26 )0
27)0
28) log^S
29 )0
30)2; 6
3 1 )4 ,5
3 2 )0
33) ± 16
34) -31
166
www.nismath.org
2) Х = 81
3) г х ^ + 5 * ^ ^ ’ = 1 6 ' ° ^ ' ' ^
4 ) 0 , l ' ' ‘“ " ” ’ = l g l 0 ' “
5 )
9 '°* ’ ' - 1 2 - з '°*’ * + з ‘‘* ’ "’ = 0
«) l o g 4 ( 2 “ ) = 2 ‘°* '
8) 2 - 4 '° ‘ " ' ' = 7 x + 4
3
1 1 )j : ' ° ' ^ " * = 4
Ж А У А П ТА РЫ
1) 24,5
2) 12
3)3
39
4) 8—
^ 40
5)3; 9
6)2
7) -2-л/ІО
8)4
9) ± 3 n/2
1 0 )--
П) X B 0
167
www.nismath.org
1) log2(^: + 5) + l o g 2 ( 2 x - l ) + 2 = lo g 2 5 2
2) l o g 5 ( x - 4 ) + log5X = lo g 5 (x + 14)
3) log 2 (x + 3) + log 2 (jc -l) = 2 + logi
^
^ 8
4) log 2 - J x - 4 + log 2 V 2x-1 = log 2 3
5) l g > / ^ + lg V 2 x -3 + 1 = Ig 30
6) log3^ ( x - 2 ) + 2 1 og3 ( x - 2 ) = 10
7) log 3 (x + 4) + log 3 ( x - l ) = l +
log2 3
8) I g (x -l) + lg (x + l) = 3 Ig 2 + lg (x -2 )
9) l g ( x - l f - 3 1 g ( x - 3 ) = lg8
10) 1 п з / 5 х - ^ х ^ - ^ 1 п ( 5 - х ) = 0
11) l o g 3 ( x ^ - 7 ) = 2log3 з / х - 1
12) log3X = l + l o g 3 ( 4 - x ) 2
13) log^_^2 ( 2^ ^ ~ 8 x - 2)=:1 + log^_^2 2
14) log^(x^ + 2 x - l ) - l o g ^ x = 2
168
www.nismath.org
15) 1о§зХ + 1оВз(х + 4 ) = - ^ ^ ^
16) 2 1 o g 7 ( x - 2 ) = l o g 7 ( . x - 1 0 ) ^ - 2
17) lo g 2 ( 3 - J c ) - l o g ^ ( l- ^ : ) = 3
2
18) lo g 4 ( 2 x ^ - .x + l) = lo g 2 (2 ^ )
19) 3 1 o g 8 ( x - 2 ) = l o g 2 V 2 x ^
20) log2(21-^/xj = log2(^/x-3^ + 1
21) logs
X
+ lo g 25 X = log , л/з
5
в
22) lg(x + 5) - lg(3x + 25) = lg(x - 15) - lgl7
23) l + log3
x+ 2
x -+ 5
X
1
\o g ^{x-2 y
4
X+ 8
1
24) lo g s-^ ^ -!^ = - ^ l o g 3 ^ ( x - 4 )
x -3
6
-1
25) I g ( 2 * + l) - lg 6 = x l g 5 - x
26) lg ( 2 ''+ x - l) = x ( l - l g 5 )
27) lo g 2 ( 2 '' + 3) + l o g 2 ( 5 - 2 '') = 4
28) lo g 3 (8 + 3 ^ ) + l o g 3 ( l 0 - 3 ^ ) = 4
169
www.nismath.org
29) lg (x -4 l)-0 ,2 5 -lg (jc ^ 2 ^ :+ l)^ = lg 3
30) l o g j = 0 , 5 1 o g 5 ( 4 jc-3)^
31) l o g ^ ^ / 3 - l o g , 2 7 = ^
32) log2 y f x + T - 1= log2 3 - log2 y j 2 x + 3
33) l o g 4 ( 2 5 ^ - 4 - 5 ^ + 4 3 ) = 2 + log4 3
Ж А У А П ТА РЫ
1)1,5
2)7
3)5
4)5
5)6
6) 11
7)2
8)3; 5
9)5
10) 1
11)3
12)3
13) -1
14) 1
15) 1
16)3
17) -1
18) 0,5
19)5
20) 81
22)20
23)4
24) 14
25) 1
26) 1
27)0
28)0
29)2
30) -2±yji-, 1; 3
31) i
9
32)3
33) 1
айвымаЛьГ ёнтГзу‘арқылы тевдеуді шешіці*з:
A
1)
17-lgJc
41gx
= 4 Ig jc
2 ) log 2 X+ log 2 X^ = - l
170
www.nismath.org
3) 10g4X + lo g 4 > /^ = l,5
log 2 X - l 0g 2 X- 2
4)
=
1
log 2 л: +1
5) 4 - Ig X= 3 ^ Ig x
6) Ig^ x + 2 1 o g io o ^ - 6 = 0
7) Ig^
8)
'
1
"
+ l g ( x - l) = lgl00
x -1
1
5 - Ig X
2
1 + Ig X
=1
в
9) 0,5 Ig X •Ig 0,001 X = Ig 0,1
10)
11)
1
1
Igx
IglOx
+■
IglOOx
:0
0,l lg '* x -lg ^ x + 0,9 = 0
12) Ig^(l00x) + lg^ (l0x) = 14-lgx + 15
13) lo g 4 X ^ + log4x"^ = 8
14) log 1 - + 3 log3 i = logj x^
15)
log 2 X
logg4x
log4 2 x
lo g i^ S x
16) lo g j X = 1 + lo g ^ 9
171
www.nismath.org
-------- L
17)
=i
5 -lg J c
18)
19)
-5-2 " ^ ^ ^ ^ +
= 0
lg ^ (l0 x ) + lg x - 1 9 = 0
20) x + l o g 2 ( 2 ^ - 3 l ) = 5
21) I g ( l 0 x 2 ) - l g x = l
2 2 ) 4 " '^ = '® '= l g x - l g ^ ; . + l
23) lo g 3 X • l o g 9 ( 3 x ) = 2 l o g 9 3
24) logo_5 ( l o g ^ X - 3 1 o g 2 X + 4 ) = - l
25) 2 1 o g ! ^ 4 + 3 1 o g _ ^ 4 - 2 = 0
26 )
lo g I ( - x ) - l o g , ( - x ) - 2 = 0
Ж А У А П ТА РЫ
_17
1) 10 '6; 10
3) - ; 4
8
4)8
5)
7 ) 1 , 0 1 ; 11
8) 100; 1000
9)10; 100
11) 0,001; 0, 1; 10; 1000
12) 10"'; lO''
1 4 )i;2 7
15) — ;
10) 10
~4±yf^
5
13) ± — ; ± 4
16
10
6) 10“^ 10^
16
172
2
www.nismath.org
1
17) 10"'^; 10
18)1; 25
19) 1 0 '* ; 10^
20)5
21)0,1; ^/ш
22) 10
1
2 3 )- ; 3
24)2; 4
1
25) - 1 6 ; - -
26) - 4 ;
16
^ятобыу '/Jloraoйфмдсрд» бірдей
Ус«Ядеуя9рдЬщеішціз:
■
В
1) lo g j^2 -lo g 4 J£ : + - = 0
2) lo g ^ 2 + lo g 4 ^ 4 = l
3) lo g ^ 2 1og2^2 = log4 2
4) log7 X + log^ 7 = 2 ,5
5) log3,,3 = log^2 3
6) l o g ^ ( 3 x - 4 ) + log3^_4(;c) = 2
7) lo g ^ 2 l6 + log2;,64 = 3
8) log 2 (x + l) +
1
lo g , 2
= log 2 30
9) log5jc log3JT = 91og5 3
10 ) l + log 2 ( x - l ) = log,_i4
173
негізге кедтіру
^
-
әдісімен
www.nismath.org
11) \ o g x { ^ X ^ ) - \ 0 % l X = l
12) log2 X + log3 X = 1
13) log2 X + log5 X = logj 10
14) log^2 1 o g^ 2 = log^
2
X
16
64
15) log2 X + logr 2 = —
3
1 6 ) lo g 2 (x + 4 ) - lo g 4 ^ ^ ,6 8
17) l + 2 1 o g ,2 -lo g 4 (l0 -x ) = log4X
18) lo g 3 (2 x + 1) = 2 lo g 2;,+i 3 + 1
19)
1
log^lO
1
=1
log>дг+3
^^3 10
.2 /-і/л \ .
20) lg^(l0x)
+
1
log^ 10
=5
Ж А У А П ТА РЫ
4
5)3
3) - ; 2
4
4) V7; 49
6)2
8)5
^ W ’
9) — ; 27
27
10)
13)2
14)4; 8
15)
17)2; 8
.* )- l;4
19)2
4
3
Ш І; S
174
12)2'*’^«'
8
20)0,0001; 10
www.nismath.org
В
1 ) x ‘® ^ = 1 0 0 0 jc2
2 ) х ‘«^~^=0,01
lg3C+5
= 625
3) X
4 )х
lgJC + 7
5 )х
4
8) 100x = x ‘s"'
=0,1
11)
=:іоЗ+>е^
^ 1+ Іое-,ДГ _ 2
6) X
3 = 9 jc^
=10'8^+1
7)1б'°®^^=8
9)
3
1 0 )х*® ^+ '= 100
=32
і 2 ) 2 '”'
'Ч
х
'^ ^ '= 4
13)3'“‘ ’ * + х '« ’ *=162
1 4 ) х '^ ‘ '= Х - 1 б '° “ '
1 5 )х ' * ’ ' = 9 х - ‘
16) (8 х )^"^"^“ '= 3 2 л / ^
1 7 ) 2 ‘°‘ ' %
х
'° '^ '= 3 2
Ж АУАПТАРН
1)0,1; 1000
2)10; 100
3) — ; 25
25
4) 10-"*; 10^
5) ІО"'^; 10
б )і; 9
7) 2ІІ2
8 ) — ; 100
10
9)ф Л ,
10)0,01; 10
11) — ; 2
32
12) | ; 2
14) 1; 64
1 5 )І;3
1 6 )— ; 16
16
10
17) і ; 4
175
www.nismath.org
ш
ш ічіз;
log3.»rlog2.r
( 9Ylog3A:-log2JC
J
=4
• H i
2) 6 ‘® ^= 72-x'® ®
3)
Ig Д- +
-
2
IgX + ^ Ig X+ - Ig X + ... =
4
8
2
J
4) л:
*O gl-;c(3-Jf) = lo g 3 _ ^ { l- x )
6) 3 1 o g ^ 4 + 2 1 o g 4 ^ 4 + 3 1 o g i^^4 = 0
^ ® g x + i(^ ^ + 8 -9 jrj-lo g ^ _ j (л: + і) = 3
8) logjj.9x^ - lo g j x = A
9) 4* g ' ^+’ _ 6 ‘e^ _ 3 . 3 i g j ^ ^ _ Q
r
1
10) log, 5" +125 L lo g 36 + l + —
2x
11) lglg^: + Ig(lgJc^-2) = 0
12) |jc -3 |-lg x = 2(;c-3)
ЖАУАПТАРЫ
2) 100
3) 10
176
4) x e M ,
X5^:0
www.nismath.org
1_ I
&’ 2
5) 2 - ^
6)
9)1
10) - ; 4 2
7)3
8 )-;3
11) 10
12)0,01; 3; 100
177
www.nismath.org
§5. Л О Г А Р И Ф М Д ІК Т Е Ң С ІЗД 1К Т Е Р Д І Ш ЕШ У
U. 'Д
ё я с Ь д Іктердд і1 ман^ес жүиемен ялм<%тддру а ^ и ^ і ы
1 - тобы.
Т е^сіздіктер
Ш ііІзд ІктеіМ Е и ііщ ін Із:
A
1) lo g o ,4 ( x ^ - 7 x ) > lo g o 4 (3 x + l l )
,
х+3
,
х+5
2) Ig---- - > l g ——
х+4
х+2
3) lg ( 2 x ^ + 4 jc + 1 0 ) > lg ( A :^ - 4 x + 3)
4
4 ) l0 g 2 ----- - > l 0 g 2 ( 2 - x )
jc + 3
,
9
6) log о 5
-5jf + 6 j > -1
7) log . ^ (x " -3 x + 2 )> 2
sin J
'
2 —3x
8) lo g o ,( 3 ) - ^ ^ - l
,
x^3
2л"
9) lo g ] ---- - > c o s —
4 x+3
3
10) log] (2x + 3)>log9 27
4
11) 2 - l o g 2
12)3
+3x)>0
logjlx^-a.r+a)
'
><3
178
www.nismath.org
13)
14) l o g ^ ( 2 x 4 x ) < 2
15) log3(jc^+10ji: + 2 4 ) < lo g 3 ( 6 x + 3 6 )
Щ
2
log 0,5 ( x +5) > log 1 ( 3 x - 1)
2
17) І ё ф с ^ ^ - З х ^ - l g y [ x + l > 0
18) log 2 ( 2 jc—l)< lo g
j
2
7?
19) log 3 X+ 10g^ JC+ log, x < 6
1
20) log 5 , / j c - 2 log 25 л: > 2
в
21) lg (jc-2) + lg ( 2 7 - x )< 2
22) logo,!( x ^ + 75)- lo g 0,1 (;c -4 )< - 2
23) log 20 X+ log 20
+1) ^ log 20 (2x + 6)
24) log5(20+5^ )>3-jc
X —4
25) logi log3------- > 0
2
X -6
26) I0g 2 (x + 2 )< 1 —31ogg(jC + l)
27) lo g 2 ;c -3 ^ > l
179
www.nismath.org
^2
28) l o g
( 3 jc + 4 ) > 1
29) I o g ^ _ 2 ( 2 x - 3 ) > l o g ^ _ 2 ( 2 4 - 6 x )
30) l o g ^ _ ,
0,3 > 0
Jc+ 5
x+3
31) l o g , - ^
>
1
32) l o g 3 X + l o g 3 ( x - l ) - l < l o g 3 2
33)
logo^5 logs
- 4 ) > logo,5 1
34) l o g 2 ( 4 ' ' - 5 - 2 ^ + 2 ) > 2
2 Л ’°8 о,25(-*'^+5х+8)
35)
<2,5
u
X^ + x
3 6 ) l o g o s l o g g --------- —
^0
x+4
x ^ -l
3 7 ) l o g , l o g g -------- — < 0
2
X —2
38) l o g 3 | 3 - 4 x | > 2
39) 1 0 g 7 ( x ^ - 6 ) < l o g 7 | x j
40) lo g ;
1 .1
>1
X
41)
4 - x < l o g 2 ( 6 + 2'^ )
180
www.nismath.org
42) l - 2 l o g i ( x + 2 ) > l o g 3 ( x - 3 )
9
lg(x2 + 2l)
43) lg l0
^
' > l + lg x
44) l o g 2 ( 9 ^ “ 4 7 ) - 2 < l o g 2 ( 3 ' ' ' ’ + l )
45) l o g ^
(x + 27) -
lo g ^
(16 -
2x) < \o g ^ x
46) l o g 7 X - l o g 7 ( 2 x - 5 ) < l o g - 7 2 - l o g 7 ( x - 3 )
47) | 3 - l o g 2 A : | < 2
48)
^O go.5(^'^-3)
<0
lg3
49) l o g o , 5 ( x ^ - l ) - l g 0 ,5 < 0
50) lo g ^ — — < - l
6 - 5 jc
Ж А У А П ТА РЫ
1) [-1;0)U(7;11]
2) ( ^ ; - 5 )
3) (-^c;-7)U (-l;l)U (3;oo)
4) (-3 ;-2 )U (l;2 )
5) (1; 2)
6) (1;2)U(3;4)
7)
8) 1 .2
3’ 3
9) (-<»;-9] u(3; со)
'
181
2
16
www.nismath.org
11) И ;-3 )и (0 ;1 ]
12) [0;1)и(2;3]
15) И
16) (^ ;-5 )U (-5 ;-l)U (3 ;o o )
2]
17) (-1; 1)и(3;оо)
-(H)
19) (0;27)
21) (2;7)U(22;27)
22) (4;5]U[95;oo)
23) (0;3]
24) (1;да)
25) (7; да)
26) (-1;0)
27) (2;3)
28) (1;4]
29) ( 2 ; 3 ) u [ y ; 4 j
30) (1;да)
31) (1;3)
32) (1;3]
33) ( - 3 ; - 7 5 ) u (V5;3)
34) х >1о§2(^5+7з З )-1
35) И ; -1]
36) (^ ;-3 ]и [8 ;д а )
37) (2;3]и[5;да)
38) j^ -^ ;-lju (3 ;o o )
39) [-3;-V 6)u (^ /6;3]
4 0 ) [ - ^ ; 0 j u ( 0 ; l)
41) (1; да)
42) (3;да)
182
www.nismath.org
43) (0;3)U(7;co)
44) (1;2)
45) Гз;^
46) (3;5]
47) (2; 32)
48) (^ ;-2 ]U [2 ;o o )
49) [-^ /2 ;-l)u (l;^ /2 ]
5 0 )1 -; I
2-то<ы. Ж аңа; айнЫмалы
шешіціз:
1.? ‘
L-
вягЬу
В
1
1 >2
1 ) ----------1----------1+ l g x
\-\g x
l- l 0 g 4 X
2)
<
1
—
l + lo g jX
2
3) 41og4 X -log4X >3
2
4)
>1
1+ lg ^
5) l o g ^ ( x - l ) 4 5 1 o g o , 5 ( ^ - l ) > - l
6) log5(jc + 3)>log^+ 3 625
7)
8)
lg ^ x -4 1 g x + 5
2 Ig X- 3
Ig^ x + lg x - 6 ^ ^
Ig x
183
арқылы
теңгіхдіктеірг^І;
--і----.''
www.nismath.org
9) lo g 2 x - 2 1 o g j p 2 + l > 0
10) Ig j[:+61og^l0<5
1 1 ) lg^ (-x) + lg x ^ - 3 < 0
12 ) log 0 5 X + logo 5 X - 2 < 0
r
13)
д;
<100
V10
iuy
<4
14)
U
15)
1
Igx
lg x - 1
<1
16) l o g 2 ( 2 * + l ) - l o g o , 5 ( 2 '" 4 2 ) > - 2
17) log ,
^
X
2
< --------------Io g 2 ^ -l
18) lo g 3 (x + 2 ) > lo g ^ ^ 2 81
19) ^Ig^ x+21gx^
>9
20) logj x - 6 log 3 x + 5 > 0
21)
Ig^ x -3 I g x + 3
<1
lg x - 1
22 ) log 2 A:-logj(. 32 < 4
23) l o g ^ ^ / ? • l g l 0 0 x < 3 1 g x
184
www.nismath.org
24) lo g i X > lo g ^ 3
iogT JC-5
^,
2 5 )—
^ ----- ^ ^ 2 1 o g 2 X
l - 2 1 og ^2
26 ) log 2 (log 5,5^ - bgo .5 x - 2 ) > 2
1
3 1
Л
27) log 3 x - l o g , x < - l o g 1 4
^
2^/2
Ж А У А П ТА РЫ
« (i;')u (u o )
2 ) .( ;0 ;lju [ ^ ;c o )
3) f o ; ^ j u ( 4 ; « )
5) (l;l+ ^ )U (3 ;o o )
6) [-2,96;-2)U[22;oo)
7) (O;107io)U(l0O; lO0OO)
8) (0,001; l)U(l00;oo)
9) ^ ;lju [2 ;o o )
10) (0;1)U[100;1000]
11) ( - 10; - 0, 001)
12) [0,5; 4]
13) (1;1000)
14) (l;8)
15) (0;l)U(lO;co)
16) ( ^ ; 0 )
17) 0;
1
U(2;4]
17
i 8 ) |- - ; - i
185
.
7;*)
www.nismath.org
19) (a,0,00l)U(l0;oo)
20) (0;3]U[243;oo)
21) (0;10)
22) I 0 ; - U{1;32]
24) (0;1)U( n/3;9)
“ *1.10^’
25) 0;
1
U(l;4).
26) 0;
27) I 0 ;- U[9;oo)
3 -тобы. Йвт^рвал
В
3 - lo g 2
-6 л : + 8)
1 ) ----------------------------- ^ > 0
x-3
2)
Зл^-Ібх + 21 .
---j— ----- ^ < 0
logo,3 (x +4)
3) ( x - l ) - l o g 2 ( x ^ - 4 x + 3 ^ < 0
>0
4)
b g o ,5 ( ^ ^ + l)
5) ( 4 x - l) lo g 2 X > 0
6)
- t e
z
x ^ -4 x -5
€
,0
186
U[4; qo)
www.nismath.org
(х + 3,5)(д:-і)
- 4 ) log] jc> 0
8)
2
9)
1о е Д З - 2 ' - ‘ - і )
-1
>0
л:
.„
11)
<0
JC - 4 х
х ^ -4
<0
I o g ,( j c '- l)
2
12)
13)
bgp,25(5 + J^)
>0
lo g 4 (7 -x )
^ o g o .2 (9 -^ )
<0
lo g 5 (7 + Jc)
lo g o ,3 (^ y (lo g 2 5 - l ) j
14)
>0
(i~ ^ (2 -jc )
lg 7 - lg ( 8 - x ^ )
15) --------- 7“ ^^— r
lg(x + 3)
16)
>0
4 log TJC
^ ^ ^ > 0
x^-2
187
www.nismath.org
17)
J х~ 0,3
^
^
<0
10g2X
4 x ^ —16x
Ж А У А П ТА РЫ
1) (^ ;0 )U { 4 ;6 )
2) [^-«;-jU (3;oo)
3) (-<x);2-^/2)u{3;2 + ^^)
4) X = 2
5) 0; ^ 'U[l;°o)
6) {4}U(5;oo)
7) {-1,5}U(1;1,5)U(1,5;2,5)
8) (1;2)
9) log2^;0 U і0 8 2 |;« 5
10) (-4x>;0)U(l;2)U(2;3)U(4;<x>)
11) {-<o; -2 )U (-7 2 ; -1)U(1; л/2)и(2; с»)
1 2 ) (-5 ;-4)U {6;7 )
13) (-6;8)
14) ( ^ ; 2)U(8; oo)
15) (-2; - l) U ( l; n/s )
16) (1}и(л/2;«з)
17) [0,3; 1)
18) (0;4)
188
www.nismath.org
1) |l o g 2 X ^ + 2 j > |l o g 2 X + 4
2)
log 100 X > lo g io V ^
^ 2
3)
+ 2 <0
bg3
l o g , COSJC + l
4)— ^
---------- > 0
2 jc4 3
l-^ O g 0 ,5 (-^ )
5)
<0
УІ2-6Х
lg ( j c ^ - 6 jc + s )
lg (x -8 )
,
,
2 x -l
7) lo g o ,5 lo g 4 ---------- <1
x+1
X —1
8)
-
>0
1о8 з ( 9 - 3 ' ' ) - 3
9 )5
^(lg*)^-31gr+l
X
> 10 0 0
lofi TX 2 ^
"
>—
4
189
www.nismath.org
-2х+1
>32
12)
І0§4(х-б)^ <1
1одз(і-д:)^ <2
13)
32д:-б
27
14)
іо§2(.ү^ - 2 л:- 2 ) > 0
2x^+5jt+2 ^ I
1о§ о5( ү ^ - 5 ү + 7 ) > 0
15)
logj.Y +log^Y +log,
ү <6
3
16)
|lOg4(Y+7)>log2(Y + l)
[log2(Y -2)+log2(Y +2)<log2 5
17),
гlog 0,2 ( ү +2) - log 5 Ү > log 0,2 15
у 2y + 1I <i jc-3[
lo g ^ (Y -3 )> -l
18)
s in x > 0
l g |Y - 2 j < 2
19)
20)
х^
Ш
<21^
Ig^ Y+ lg 0,01x > 0
— < 1000
190
www.nismath.org
lg(jt^ -3.v-3)> 0
21)
lg(jc^-15)<l
x^+5
22)
a-^-16 jc+ 64
>0
lg(x - 5) - 21g 2 < lg-Jx+7
, , 12-5x ,
23) -1 < Ig— -— < 1
24)
4X+1
>1
l + log3(x-4)< lo g 3 (x + 2l)
Ж А У А П ТА РЫ
1) (0;ijU (4;oo)
2) (l;10'‘)
3) {-2 }U
4) ^ ^ + 2 л к \ ^ + Ъ
)
6) (8; 9)
7 )(-o o ;-l)
8)(-« );l]
9) (0,2; 5)
10) (1000; )
11) (0;2)U(4;c»)
12) [4;6)U(6;8]
13) [-2 ;i)u (^ i:|j
14) (-oo;-2)U(3;oo)
15) (2;3)
16) x e 0
00
191
t);
www.nismath.org
П )Ю ;-
18) {У, ж)
19) (-98;-3)U {0;2)U (2;102)
20)
21) (-5 ;-л /І5 )и [4 ;5 )
22) (5;8)U(8;29)
23) (-3,6; 2;34)
24) (4; 16,5]
192
1
1
,1000 100
и (10; со)
www.nismath.org
S6 К Ө Р С Е Т К ІШ Т ІК Ж Ә Н Е Л О Г А Р И Ф М Д ІК Т Е Ң Д Е У Л Е Р
‘
Ж Ү ЙЕС1Н Ш ЕШ У
І.табьі. БІрдіей
:»«нд«улер
ц р іізге к ЫТ І р у
ш еш іціз:
'
2 ^ - 4 ’' =1^6
1) 1
_^4у+1 „ Q
5)
к^р^еткІіЙУШ
■’
(9^+-»'^729
2) I3 X-.V-1
[8 ^ = 1 0 у
=: 243
4)
3) 19Д.-У-1
|2ж-і ^2,']
арқыЛы
; '
І2-^=5>^
10
х-у
У~
(О Л )
6)
(5х~у)^ =36
[(2 ,3 )" " " = 5 ,.29
J \2x-y
V iV " ~ "
= 128
= 243
8)
2)
rjlx ~ y
49
9)
3*+2 _2 ’''*'^ = —
8
=3
10)
х~ у~ 2
193
lx -y = -4
,
www.nismath.org
2 X-V = 4-’'
11)
13)
12)
6
1
,
— +■---- = 1
X 5;^
[(1,3)"''= !,69
|7^ -16j; = 0
14) i
[4^- 4 9 y = О
5 ^^>'=125
2^- ^ = U S
15) •
x-2v+ l
(-3
В
16)
[3'*-5^ = 75
17)
x+j = 7
| з ’'- 5 '’'= 4 5
2 7 ^ = 3 ’ - ’'
12’^. 33' = 1 2
18)
2^-3^ = 18
20)
i
z
4^ =32-8^
JL
1-y
3-V =::2.9~y
3 " - 7 ” = 27 783
19) ^ 1
-
c
^
+
2=
10
—
у
2-^'-2^ = _L
21)
81
194
www.nismath.org
g 2.v=4l.5x-0.5
2^-3''=648
23)
22)
\3 * - 2 ^ = 4 3 2
25
=3
^.xy
2 ^-y -2^y
2 4 ) , . . ,4 -.
9^ =3^
25)
2x+y
_
\ 0,5-x
^ =(1
^
2
7
U /
26)
2x
(л /2 ) = 2 ^ -^ ’^
|2*-3^ =24
27)
|2^-3^ =54
3 > .^ = :3 6
28)
5
^
=
200
Ж А У А П ТА РЫ
2) (2;1)
3) (3; 2)
5) (1;-1); (-0,8; 2)
6 )(2 ;0 )
7) (1;9)
8)(1;8)
9) ( - 2 ;- 4 )
10) (- 2; 2)
11) (6,6; 2,2)
12) (2; 0)
13) -2;
14) (1;2); (2;l)
15) (12; 5)
1) 3;
4)
2,
2
5 У
784
195
www.nismath.org
16) (1;2)
17) (4;3)
18) (2; 1)
20) (-2; 4 ); [ | ; і
22) (3;4)
23) (6; 14)
2 4 )(2 ;1 ); (5 ;-0 ,5 )
25) ( 2 ;- 1 ) ; (-2; 1)
26)
27) (3;1)
-;5
28) (3;2)
2 - тобы. Жаца айнымалылар ‘енгізу аркылы кврсеткіштік
тёңяеул
,
/
" ' . .
|5^-5^=3125
1)
3)
І5^+5^=150
|2 ^ + 3 ^ = 1 7
•2Х+2_^У+1 ^ 5
|3 ^ - 7 ^ = 6 3
2)
[2 -7 ^ - 4 - 6 ^ = 5 4 2
4)
3 - 7 '^ - 5 - 6 ^ = 8 4 9
|2 * + 2 ^ = 5
6)
5)
2^+У = 4
3^+7^ =16
5-2^~ ‘ - 2 - 5 > ’+ ^ = - —
8
4 ^ + 5 ^ '= —
16
|3 ^ + 3 ^ = 2 8
7)
|з^+-»'=27
196
www.nismath.org
В
[3^-2^-*'-17
8)
\
X
1 3 2 + 2 ^ -1 7
[72^+42.)'+1 = g 5
9)'I '■!
• [7 ^ _ 4 > = 5
!-З Х ^ 2 ^ 1 ^ 5
Гз ^ _ 2 2 > = 2 3
10)
пт,_2>'.= 25
11)
X т X+.V
} 3 -2
12)
І5-2^^*-2-'"-’"'’ = 1 6
О )
3
^3^+3"'=36
32X-V ^ 3 x ^ 1 2
Гз -’^ _ 4 ''= 7 7
[25^^'+25^-" = 3 0
14)
25
Х+1^ - 5 J 5
Х+І
Ь(л/з)
п \х
-2-''=7
15)
3 4 X-V
. ^ у - у
^5
=77
36
2;
П)
16)
3"-22 =7
x j —х + у —118
-2х
!2 х + 2 ‘ = -1
561
19)
’‘* ^ [ - 2 0 x 4 - 3 ,5 - 2 ’’^ '= 1 4 6
5 ^ - 2 2 =17
,2
3-^_2>’ = 7 7
^2COSX ^^sin,v _ 3
20 )
2COSX.4Siny _ 2
X
21)
1V
IV 3
Гб4^*+64^^=12
|б4*-^^’ =4л/2
197
20’5 Г = 7
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1 )(2 ;3 ); (3;2)
2) (іодз7;!о§7 9);
3) (3;2)
4) (3;2)
5 )(0 ;2 ); (2;0)
6) (-2;0)
7 )(0 ;3 ); (3;0)
8 )(4 ;3 )
x = log7^Vl3+4]
10) (3;1)
9)
>• = log4(^/ІЗ-l)
И ) (0;1)
12) (1;2)
13) (2;3)
15) (4; 1)
16) (2; 2)
17) (-1 0 ,-1 2 ); (12; 10)
18) (-4,5; 3)
19) (2; 6)
20) (2пк\жп) \
21)(-4;л /2); (-4 ;-л /г )
»1Н|^(Н)
*Жауаптарында к , п ^ Ъ параметрлері
198
www.nismath.org
а -т о б ы . Г1от?енц«рлеу
Ікүнесіп шёщШог,
9ДІсі»ен
В
p g x - - l g v = l g l ,6
^ І 5.\: + 2 j ; ^ 1 0 0
l g x - l g .v - - = l g l 5 - - l
2)
^3x+2_v=-39
!g
^ = І + I g 13
3 )^
l g ( x + j ) ~ l g ( x - y ) = 31g2
[ Ig X + ig V =
2
^О
= -2
iOgi ( g - x ) + iog2
S) i
\У у
2
+y^' --2 5
flo g g X + lo g j V = 2
6) <
.
.
p g i5 ,( j~ x ) - = 0 ,5
f l o g 4 X + i o g 4 3; =
7) '
[x + j - 20 = 0
+
1+
2
lo g j4
10 g 4 9
lo g 2 (x ^ + > ;^ ) = 5
«)
2 lo g
4X
+ lo g
2у =
4
199
л л гар я ф м д ік
іең д ву й ей
www.nismath.org
^ ё ^ х -ig ^ y = i
^)1
І0§2
j; = I + Iog2 5
2l+log3(-v+>.)
10)
(-^'+ >") + log5 ( r - 7 ) = ]
5
log 3 ( І Ч - 2 y ) + log J { x - 2 y ) = l
3
11)
+y^ = 4 + ~
,2) l^ ^ 82J o g , ( x + y ) = l
b g x + Igy = 31g2
1____1 _ ^ ^
13) -j X
у
15
log3X + Iog3>' = l + lo g 3 5
X + lo g 2 у = 2 + log, 5
14) •<
[ % о .5 ( л ^ - .у ) - 0
log2X + lo g 4 j; =
2
15)
log,6X + log4 V=
1
3
| 2 + lo g 2 (^ + J ') = log2 8
|x ^ - > ; 2 = 1 6
200
www.nismath.org
17) <
l g ( ^ - > ') + l g ( ^ + >^) = 3 1 g 2
[ІО §4Х -ІО §2У = 0
18)
х --5 у Ч 4 = 0
lg(x + >’) + l g ( x - j ) = l + 2 1 g 2
19) <
1 0 ‘s(->')+‘ = 4 0
20)
logj х^ = 2
lo g 3 X -lo g 3 j = l
Ж А УА П ТА РЫ
3) (9; 7)
1) (16; 10)
2) (9; 6)
4 )(5 ;2 0 ); (20;5)
5)
7) (2; 18); (18; 2)
8) (4; 4)
10) (3; 2)
11)
13) (3;5)
14) (5; 4)
15) (1;8)
16) (5 ;-3 )
17)(3;1)
18)(1;1); (4; 2)
19) (7; 3)
20)(3;1)
r 7 > /2 .7 2 і
; (3;4)
z2 ’ z2 J
6) (16; 25)
9)(10;1)
12) (1; 8); (8;l)
H)
201
www.nismath.org
4 - тобы. Жаңа айнымалылар енғізу арқылы логарвфмдік
теддёулер жүйесін шешіңіі:^
^ ^
В
b g x 3 ^ -lo g _ ^ x = -
\ х у = Ъ0
1 )і
х+ у-0,15
flog^ j + lo g ^ jc = 2
3)
4)
[ х Ч > ’ = 12
log^, X + log^ 7 =
26
x y = 64
X5)
|;c'“*’ ^ = 6 4
71000
6)
!x j = 500
1
- l g x = -6
ІУ
7)
i o g ^ y + l o g ^ x = 2,5
[ x '^ ’' = 2
8)
lx>' = 20
4 y /x -3 ^ = 1
lg x -lg (x y ) = 2
[log;^y + 4 1 o g ^ x = 4
9)
\
10) <
[x^ + 3_v = 8
Ig
=3
f lo g ^ x - 2 1 og^ j = l
11)
!x 4 2 j 2 = 3
Ж А У А П ТА РЫ
1 )1 ^ ;^ '^
'24
2)(3;10); (10;3)
202
www.nismath.org
3) (3;3)
4) (2; 32); (32; 2)
5> (4,125); (125,4)
6)(о,С Ю і;~ |; j^lOOO;~^-j
Ъ (2;!О);
8)
9) ( Л ; 2)
1 «) (lot*; 0, 1) ;
1,9 8 l j
T io ’ ^ 0 '
! г- >/2
1 I)U /2 ;~ V
5 - іобм. К«|}'еетісіштІк, жэис’ яогарифаідІіслтевдеулер жүйесііі,
' : 2'
^
, ' 2 ■,
‘
„шенііңіз: ■ -
В
| 3 ‘ - 2 ” -576
,
2)
log^ { у ~ х ) = 4
--\Гг
f
j1■? "г”
}-у
.w
12
3)
4)
>3v-2.v
^ІоЯб(А-4 v) _ j
5)
4^-2.v _ у 2
203
www.nismath.org
3 ^ -2 ^ '= 1 1 5 2
6)
l o g 3 A f - 2 ' ’' + j ; = 3
7)
j - 2 - ’’ + 2 ^ ' - l o g 3 . x = 4
2 ^ -4 ^ = 3 2
8) <
lg (x -> ^ )'= 2 1 g 2
4 ^ -^ = 1 6
9)
[lo g 5 (lo g 3 X + lo g 3 j;) = 0
^I+iog4(x+>') _
10)
lo g i (x + jn ) + Io g j ( x ~ y ) = - l
3
3
lo g ^ (x + v ) = 2
И)
12)
36-.r.4VH-3^3^
lo g 2 ( x - j ) = l
2 ^ - V ’^^ = 1 1
13)
(V 3 )'
~ .3 ,j
l0 g 2 ( x + v ) + l0 g 2 (x -> ^ ) = 4
14)
ll0 g 2 X -l0 g 2 J -l
204
www.nismath.org
Ilogs ( ^ - j ) = log 3 2
15)
І2 ^ -4 ^ = 3 2
1о § з(х + >') = 0
16)
3"-l-!
7,
=63
j 2 x + 3^ = 1 0
Ь = 1оЕ з ( і 8х )
|lo g 2 (4 x -y ) = - l
18)
19)
\^^2x+2 _^2y
[3^+х = 10
j-lo g 3 X = 2
5^-2^=3200
20)
lo g ^ (j-J c ) = 2
2 ^- 8 “^’ = 2 л/2
21) <
1
1
I o g 9 - + 0 ,5 = - l o g 3 9>;
X
2
lo g 3 X + lo g 3 y = l
22)
<
205
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) (2; 6)
2) (17; 9)
3) (27; 4)
4) (-3;2)
5) (5;1)
6) (2; 7)
7) (81; 0)
9) (3; 1)
(3 ;0
10) (2; 1)
11) (4 ;-2 )
12) (3;1)
13) (5;3)
14) (4; 2)
15) (3;1)
16) (-1; 2)
19) (1;2)
20) (2; 7)
22) (3;1)
6 - тобы. Ә ртүрлі эдістерм ен к в р се тк іш т ік теңдеулер жүйесін
ш еш іаіз:
= 243
4 х + у =2
1)
2)
( а'
3)
4 ^ - ^
= 125
+ у)-5^=100
=24ъ
4)
[(х + у ) - Г - ^ ^ Ъ
4 n ^ - 4 4 ^ = SS
206
www.nismath.org
х+у
5)
х-у
х+у
2~Т~ + 2 6 = 6
6)
і
х'^ + 5 у ^
=
х-у
3 4 +3 2 =12
х^ - 5 у ^ = 4 х у
вху
х^ = 2 5 6
8)
7)
[^ •< /6 2 5 = 1 5
І7х + 5>^ = 41
2 . > / ^ = Зх
Ж А УА П ТА РЫ
1) (3; 5)
2) (2; 2)
3 )(4 ;3 )
4) {7; 5)
5 )(3 ;3 ); (5;1)
6) ( 2 ;-2 ); (5;і)
7) (2; 8)
8) (3; 4)
207
www.nismath.org
IV
ТА РАУ . Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Я Л Ы Қ Ф У Н К Ц И Я Л А Р
§1. Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Я Л Ы Қ Т Ү Р Л Е Н Д ІР У Л Е Р
1 тобы. К елтіру ф орм улал ар ы н қолд ан ы п ы қщ ам д ац ы з:
А
I) sm^{270°-a)+sin^(360°-a)
2)
cos 2 а + cosf ——Of'і •sin or
u ___ ;
sm| ^ + o r
l-sin^(270° + a )
' l-sm 2 (l8 0 °+ a )
5)
7)
4)
sin2ar
1 -sin f—-2or
U
cos^(l80°-or)
6)
I-cos(270°-or)
cos^(270°-a)
1 - cos (180°-I-or)
sm (я--2ог)
l+cos2or
cos ( - a ) cos (180° 4-a )
sin (-or) sin (90° + a )
9) 2cos|^^-orj-sin •^+Qrj■tg(лr-ar)
В
10)
sinl35°-cos210°-tg240°
ctg300°
11) sin (90°+or) •sin (270° - a ) + cos (or - 90°) •sin (or -180°)
12)
tg (2 ^ r-a)
208
www.nismath.org
tg (2л" - а ) •cos (я’- « )
13)
. f Зя- ^
f ЗлI 2
j
U
s in ( ^ - « ) - c o s |^ ^ - a j-cigl ^ + cc
14)
tg ( 2 ^ - « )
15) 8sinl05° sinl5°-3tg209° tg299°+2
16) s i n |^ ~ - 2 a \ c o s ( 3 ^ - a ) - sm a ;
a =
ж
siD (^-o:)-tg a —
17)
c o s ^ ^ + a ]-ctg(,T-a)
18) sin225°-cos495°-tg330°-ctg600°
sin ( Л - a ) •c tg |^ ^ + a
19)
tg (2яг - a ) •cos
+a
_
ІОж
ІЗж
20) cos 3 я- cos---- cos----3
3
sin^ (or - 270°) •cos ( a - 360°)
^ tg ^ (a -9 0 °) cos^(a-270°)
22)
cos^ (270° + a )
cos^ ( - a )
tg ^ (a-3 6 0 °)
tg^(«--270°)
,
, cos^(l80°+a)
23) s m (l8 0 ° -a )------^
^
^
^ cos(270°-a)
209
Зл
16
www.nismath.org
cos^(or-90°)
24) sin(90° + « ) sin ( a + 270°)
25) 2 sin 1320° ■ctg(-780°) - 3cos(-900°)
sin
26)
l + sin(2^’- a )
27) sinj^a-Yj-cos«-sin^(^--Q:)-sm ^Qr-cos^{^r-a)' cos
Ъп
-+ a
28) 2 8 Іп |^ а-'^ ^ -зіп (а -9 я -)-8 Іп (З я --2 а)
. / Ч
sm (-a )
29)
30)
tg [—-or
'^1^2
sin (о, Зл'+ or) + cos ( Л-- 3or)
l-cos(-2o:)
Ж А УА П ТА РЫ
1)1
2) cos or
3) tg^or
4) ctga
5) 1 -sin a
6) tgor
7) 1-cosor
8) ctga
9) -2 sin ^ a
1 0 ) 3 '^
4
11) ^1
12) cos^a
13) - t g a
14) -sin^or
15)7
16) —
8
17) 1
18)0
19) -1
20) 4
210
www.nismath.org
1
sm a
21) cosa
22) 1
23)
25)4
26) - c tg a
27) ~I
29)2
30) 2cos«
2--~r*>dhi. О р н е к т і ы к га а м я а и ы з:
A
i)
s m { - a ) lg ( - a )
cos(--rt) ctg( -or)
2) ! + tg -« h
3„ )
sill^ or cos^ O'
Sjn fJlj
sin ---a f !-cosff
I-cosO'
sin or
.—
------------
4) cos^or-^l i tg^or^-siri'a
5)
2sin‘ O '-!
sm or + cos or
6)
cos^or-sin^or
- tgorcosor
cos or-s in or
7)
(cos a + sin or)' -1
ctg cr-sin a-co sa
8)
2 s in a —sin2or
2sinflr+sin2ar
9) sm^or+sm“ a-cos^or+cos'*ot
10) sin" a (l+ctga)+cos^ a - ( l+ tg a )
11) схк^^Ілг-зіп^^Зог
211
24)
cos a
28)0
www.nismath.org
12) (ctgor + t g a f - ( c tg a - t g a f
ж
n
13) tgj - + a |-tg
■a
14) (]+ cos2a) tg a
15) (sin2a+ 3cos2«)^+ (cos2a-3sin2a)^
16) sin'^oi+cos'a—сое"*»
17) tg«a'
l-2cos^ a
sinorcosor
18) 2cos~ —-COSO'
2
19)
sin2a + sinl0o'
^
------------- ------------- ------------- ^
cos 2« + cos 1Oar
20)
I + t g 2o r + t g ^ 2or
l+ctg2ar+ctg*2a
,c t g 6a
l+cosar
•> dr
2
21) ------------tg " -----cos or
1 -co sa
2
22)
I + tg^ 2a
tg “ 2« + ctg * 2a
1
cos* 2a
В
23)
sin« + sin3g
cosa + cos3g
24)
ctg^2g - 1
-cos8or-ctg4g
2ctg2g
25)
‘ 4
8Ш
g - c o s 4 g + cos2 cr
2 (l-co sff)
212
www.nismath.org
26)
I “ cos l a + sill l a
1+ cos l a + sin l a
27)
2
-ctg l a
sin4or
1+ tg «
1+ctg a
29) 4 sin a cos^ a - 2 sin l a ■sin^ a
sin 2a cos 2a
3 0 ) ------+ ------- cosa
sm a
31) cosa (l+cos“'a + t g a ) ( l - c o s '* a + t g a )
32) i +
!
sin^a
tg^ I Y + ®
33) sni a + sm a
34) sin|^-“ - a j -
+- COSf
cosa + ------cosa
^ + a j - cos|^^+ a j •cos|^-^ ~ « j
35) yf{\-cosa- cos f i f - sin* a ■sin* fi
36) sra“' a + tg “'a
37) (sina+sin/?)^ + (c o s a + cos>0)^
sin a + c o sa
__
sin^ a
-sm a
38) —------------- +
s in a - c o s a
I-tg “ a
39)
- t g 'a - c f g a
tg2a tgg
tg 2 a - tg a
213
www.nismath.org
40)
sin {Q,5n+Ъа)—cos (-5 a )
4sina-cos2a
41)
sin^ (/) - 45°) - cos^
sin 2/?
42)
sin6a
sin2a
- 45°)
cos(6a-^-)
^-------- L
cos 2a
tg a tg (a + 7 ? )
лл\ t ^
1 -sin a
‘*4) tg 7 + 7 ----------V4 2J cosa
45) cos 4 a - —^ - cos 2 a + 2 cos^ a
tg2a
46)
l-2 s in ^ g
l+ sin 2 a
1 -tg g
1+ tg g
1*4
4
l-s m a - c o s a ^ ?
47) ---------- 4------------2tg a
cos a
48)
y /2 c o sa-2 sin (4 5 °-a )
2 sin (60°+a ) - V3 cos a
49)
1-c o s a + cos 2g
sin a - sin 2a
50)
cos a - 2 sin 3a - cos 5a
sin 5a - 2 cos 3a - sin a
51) c o s |^ j-2 a j-s in |^ ^ -2 a j+ s m ^ 2a
214
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) - t g v
2)1
3)
4) cos^ a
5) sin a-co so r
6) cosa
7) 2tg^a
8) t g " -
9)1
10) (sina + cosor)^
11) cos4cr
12)4
13) 1
14) sin 2«
15) 10
16) sin^o:
17) ctga
18) 1
19) 1
20) tg ^ 2 a
21) sin^ a
22) -1
23) tg 2 a
24) sin 8a
25) c o s ^ 2
26) tg a
27) tg2a
28) sin 2«
29) sin4a
30) —
sin a
31) 2sina
32) tg ^ a
33) 7
34)0
35) I c o s a -c o s ^ j
36) c t g -
37) 4 c o s " ^ " ~ ^ j
38) cosa
39) sin 2a
40) sin2a
41) -1
42)2
43) 1
44) 1
45)0
46)0
47)0
48) 72
49) - c tg a
50) tg3a
51)0,25
215
sm a
www.nismath.org
3 -т о б ы .Е с е п т £ н із:
,
'
1) л/Зсо8— + cos(-480°)
6
■ 2^
7Z
ж
2) sm— + cos---- tg—
3
4
*4
лч
3) cos^ 15° - 4 sin^ 97,5° ■cos^ 97,5°
4) л/з cosj
|-sin570°
^ ж . 5ж
ж
5) tg—+sm -----hcos—
6
6
3
6) 8sin l5° cosl65° sin300°
7) ^cos(-330°)-tg690°
04 tg----sm—
4 ^ ' 2яг^-cos—
8)
3
3
6
9) (cos^ 67,5°-sm ^ 67,5°)-sin^ 225°
10)
sin 46° - sin 44°
cos 44° - cos 46°
cos 72° + cos12°
^ sin 12°- s i n 72°
cosl55°-cos35
12) ---------------------sml55° + sin35°
13) 8 sin37°30' • cos37°30' • cos75°
14) sin'‘ l5° + cos‘*15°
216
www.nismath.org
15) sm (30°-Q r)+sin(30°+a)
Ъя
Я- . Ъя . я
cos---- cos----- sm----- sin—
8
8 ____ 8 ____ 8
16)
tg| 5 + Д
17) cos^ 15°-cos^ 75°
18)
2 tg75°
l-tg ^ 7 5 °
19)
tg ^ 9 ° - l
2tg9°
20)
яя
. я . я
cos— cos — + sm — sm—
30
15
30
15
.
ІЯ
^Я
ІЯ
.
^ я
sm---- cos — + COS -----sm—
30
15
30
15
21) cos 75“+ cos 15°
22) 3 +
tg l5 °-tg 6 0 “
l+ tg l5 °tg 6 0 °
23) ■ ^ctgl35° sm210°-008225°
V2
24)
2cos^ 4 8 °-l
sin 186°-sin 6°
25)
l- 2 s in 4 3 °
sinl76°+sin4°
26) ctg(ll2°30')
27) sin50° cos200°-ccs230°-sin20^
28) tgll0°+ctg20°
217
29)
www.nismath.org
sin 35°+cos 65°
2 cos5°
-1ПЧ •
JV ' n ^ 9 n
30) sm —-cos— tg— ctg—
8
8
8
8
В
31) sin70°-sin50°-sinl0°
32)
l-4sinl0°-sra70°
2 sin 10°
33) ^/(l-2sin45°)^ - ^ / ( 1 - 2 cos45°)*
34) ^ ( t g 6 0 ° - 2 f - ^ ( c t g 3 0 ° - 2 f
35) cos105°
36) cos 15°
37) tg75°
cos 70° •cos 10°+cos 80° ■cos 20°
cos 68° ■cos 8°+cos 82° •cos 22°
39) cos^ 3°+cos^ 123°+cos^ 117°
40) cos20° cos40°-cos80°
sin^ 10°
2 sin ^5°
42) sin50°+sin40° tg20°
43) (tg60°-cosl5°-sinl5°)-7>/2
44) cos92°-cos73°- s in 92°-sin73°
45) ctg35°-tg35°-2tg20°
46) sin87°~sm59°-sm93°+sm61°
J18
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) -1
2)
/ з '+ з
л/3 + \/2 —2
^3
3)
4) -1
Z
8)0
6)
7 )-i
8
9)
10) 1
И ) -ч /З
12) - S
13) 1
14)
15) COSCC
16)0
! 7)
18)
19) -ctg 18°
20) cos —
30
22)2
23) -2,5
24) 0,5
25) 0,5
26) \-л /2
27) -0,5
28)0
29) -
30) —
4
31)
33)0
34)0
35)
36)
37) 2 + лЯ
38) 1
39) 1,5
40)
41) 1
42) I
43) 14
44)
45)0
46) sinl'^
5)
21)
3
2
4ь
'
2
2
1
8
32)1
ч/2(| + ч^)
ч/^(]-л/з)
219
-Л (іч-ч/з)
www.nismath.org
4-то6ы .
1) Егер ctga = —
V3
өрнегін есептеңіз.
2) Егер ctgor = - ^ ,
«еі і ш
болса,
4sin^ or—2 c o s« —> /3tga+ l
о геіш болса, 2tgar-sina+8cos^or+4
есептеңіз.
3) Егер tg y = ^/2 болса, fgor есептеңіз.
4) Егер cosor = - ^ болса, t g ^ есептеңіз.
2sin а - ssin2o'
i
өрнегін есептеңіз.
:г:--------:
+sin2or
2smor+sii
♦ a =—
3 я
tga+ ctga өрнегш есептсңіз.
6) сЕгер ctg
бго л с а ,-------------2
tg a - c t g a
5) Егер tg ~ = l болса
/
_ „
3 _
sino coso
7) Егер t g o r - - болса, — ^
— өрнегін есептеціз.
2
sin " а - C O S ' or
1+tg^or
8) Егер sinor = - болса,
— өрнегін есептеңіз
3
!+ctg^a
ov
с
с о л са,----- ^ — өрнегін есептеңіз.
9) Егер
cos a - — *б
3
1 -ctg ‘ or
10) Егер ctgor = ' ^
болса, tg|^^+ orj есептеңіз.
ct
11) Егер tg—= 3 болса, sinor+cosor өрнегін есептеніз.
12) Егер ctg2a = -2 болса, sin4or есептеңіз.
220
өрнегін
13) Егер tg a = - болса, cos2 а есешещз.
www.nismath.org
14) Егер cosa = —J , а е П ш болса, tg a есешеңіз.
15) Егер tg a = 2, а е Ш ш болса, >/5sina есептеңіз.
І^
Егер tg a = 0,2 болса.
87
өрнепн есептеңіз.
3+4cos2a
17) Егер tg - - a 1= 2 болса, ctga есептеңіз.
ч4
^
1 2 sin a+ sin 2 a
18) Егер c o s a = — болса, —---------------- өрнегш есептещз.
5
2 s m a -s in 2 a
с
^ сболса,
19) Егер
а - р/э = —
2
sina-sin>9— өрнепнесептещз.
cosa+cos>9
20) Егер tga+ tg/9 = — жэне tg a tg ^ = - болса, а + /? есептещз.
6
6
21) Егер а = -45°, ^0 = 15° болса, oos(a+y0)+2sina smy0 өрнегін
есептеңіз.
В
-..ч
. а 3
„
^
( л а^
22) Егер sm—= - , а е П ш б о л с а , c t g ------- өрнегшесептещз.
2 5
\4
2/
23) Егер cos2a = sin a , а в \ —\ п болса, cos а есептещз.
v2 ^
•Л
24) Егер sina + cosa = — болса, sin'^a+cos^a өрнегін есептещз.
_
7 sin ^ a+ 5 sin a co sa+ 4
25) Егер ctga = 5 болса, — —^ ^ ^ о р н е п н
6 sina-cosa+ 2cos а - 2
Л
26) Егер sina = —
есептещз.
болса, s in a - c o s a - c ^ a - 1 өрнегінесептещз.
221
www.nismath.org
27) Егер cosa = — , sin>9 = -0 ,6 , а € І ш , ;9еШ ш болса, s\a{a—0 )
өрнегін есептеңіз.
40
9
28) Егер sin a = - — , tg>5 = — , а е І Ү ш болса, tg{a+ fi) өрнегін
есептеңіз.
1
29) т.
Егер — 15— I------5—
----1Т~ -----12~
tg a
c t g a siluz
сои
есеіггеңіз.
^
^
болса,
sin~2«
өрнегш
30) Егер sin2« = -0,6 жэне 1 3 5 °< a< l80° болса, tg 4 a есептеңіз.
31) Егер sin 2 а = 3 ^ болса, А =
sin^(4a-540°)
cos^(4a-540°)
өрнепн есептещз.
32) Егер sin2a = 0,5 болса, sin ^a+ co s^a өрнегінесептещз.
,-.4 т. «
t
^
4sin2a cosa
33) Егер tg—= -1,25 болса, ----------- --------------г өрнегш есептещз.
2
(l+ co sa)(l+ c o s2 a )
4
34) Егер sin а = J ; cos
12
жэне а мен Р - сүйір б:урыштар болса,
13sin(a+/0) есептещз.
35)
Егер tg a = ^ болса,
36) Егер tg(x + y ) = 3
s in ^ 2 a + -^ j
ж эне
37) Егер cosl5°-sinl5° =
өрнегін есептещ з.
tg (^ :-7 ) = 2 болса, tg2x
есептещ з.
а
болса, а табьщыз.
4 cos15°
38) Егер c o s a - s in a = 0,2 болса, c o s^ a -sin ^ a өрнегін есептещз.
39) Егер t g a = —2 болса, l+ 5 s in 2 a —3cos *2а өрнегін есептещз.
3 7Z
40) Егер t g ( a - ^ ) = 2 , siny6 = —, ~< р< т [ болса, tg a есептещз.
222
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
4) ± 2
1)8
2)9
5)1
6) - 2 5
8)0,8
9) -8
10)
12) -0,8
3) -2-У2
13) Н
13
15) -2
16) 13
17) -3
19) 1
20) —+ л-Л; к еіл
4
»
2 4 )2
8
22)7
4
33
2 7 ) ----65
28)
29)«
9
3 0 )-“
7
31)8
32) 8
33) -5
34) 12,6
ІУІ2
35) —
10
36) -1
37)
38)0,296
39)2
40) 2
223
720
www.nismath.org
1)
a rc tg
■»и
2) “
a r*
c t g ----------1a rc s m г—о
3
2
I, 2 j
2
3)
-л / 3
^ a r c t g > ^ + -^ a rc tg
V 3 ,
4)
12
Я"
V3
arc cos
V
+ a rc s m
arctg(-V3)
^ у
r
5 ) 2 arc sin
V2
+ a r c t g ( - l ) + a rc c o s —
V
6 ) a rcco s
H
a rc sm
v2y
В
(
7 ) cos arc sin
1
(
iV
i
3
JJ
8)
c o s (a rc tg (-2 ))
10 )
sin a rc c o s —
I
3
/
9) tg
arccos
V
11) sinl arctg
V з |
13 )c tg
V2 ''
2Я"-Загс sin-—
2
1 5 ) c o s f 2 a r c s in ^
f
2
у
. (
in
- -\ Л U _7C
12) tg arcsm
I
3j 2
V
14)
s in ^ 2 a r c c o s —
16 )
s in f2 a rc s in —
I
224
V
www.nismath.org
17) tgj^2arccos|^- —
18) sin] -^aiG ctgf-^
19) cos(2arcctg л)
f
2Л
20) cos 2aicsm—
I
V
2
21) ■
smI'l —arccos—
'.2
3
,-,4 cosг 1—arccos—
2
22)
.5
.1 2
23) sin arc sm— + arcsm—
13
13
. f 12^
• 4
24) cos a rc s m -----+arcsm -
25) sin(arcsin0,6+arccos0,8)
ж
26) sin] —-2 arctg 0 ,2 8
27) sin] 2 arc sin ^
28) tg|^arctg^+arctg^
29) sin (2 arc tg 3) - cos (2 arc tg 2)
(
1
П
30) sm arcsm—+ arc cosI
2
2)
Л2
3
i,
13j
5
Ж А УА П ТА РЫ
« - f
^>f
-« f
7)
1 6 )* ^
49
1-Ji
3
» > f
4)2
2ж
5 )-T
9) - 4 0
1 0 )^
3
12) 2 n/2
13) 1
14) 0,96
23
15) —
25
17) 4^/5
iS
18) ^
5
1 9 )4 ^
X +1
20) i i
49
23) 1
2 4 )«
65
2 5 )^
25
28) —
13
29) 5
30)1
0
2 6 )^
337
3) —
36
27)
4ч/2
^
9
225
www.nismath.org
Ө р и ек ті ы к ш а м д а н ы з :
1) 4sin^a cos3a+4cos^Qr sin3a
„
т ^
/ l - c o s a . jl+c osa
2) Егер а е і ш болса, . ---------»-J ----------у 1+cosa У l-cosor
3)
cos'* or-sin^a -c o s^ a
2 (c o s a -l)
4)
2sm a + sin2or l- c o s a
2cosa + sin2a 1 -s in a
өрнегш есептеңіз.
f Зя-^ / 1+cosa
/Т cosa
5) Егер a e Я’; — болса, , ------------- . —
2 J
V l- c o s a V 1+ cosa
өрнепн есептеңіз.
6) Егер ае|^ ^ ;я ^ ^ болса,
өрнегін есептеңіз.
-lj(l-s in ^ a )
„„
5/r / l- c o s a _ a
. 2
7) Егер a = — болса, ,1---------- ctg---- sm a өрнепн есептеңіз.
6
У 1+ cosa
2
я _
sin a + sm 3a+sin5a
8) Егер a = — болса, --------------------------- өрнегш есептеңіз.
9
cos a + cos За + cos 5a
9) Егер
180°<a<270°
болса,
4cos^|^45°-ү^+^У4sm‘* a+ sin ^2 a
өрнегін есептеңіз.
10) sin^a + cos(60'’+ a ) co s(6 0 °-a)
Есептеніэ:
11) ctg 70°+4 cos 70°
12) 4 a r c t g |- a r c t g ^
226
www.nismath.org
1
13)
14)
0,2 5 sin 2 0 “- — cos20°+cos^25°
4
sia^l5°+cos^l5°
sin 15"+ cos 15“
15) cos^ 5+cos^ l- c o s 6 - c o s 4
ct
1
1
16) Егер s in — = — = болса, /l = 9 s in ( 2 a - 4 5 0 “) өрнегін есептеңіз.
2
>/3
17) Егер 2 s m 3 a c o s 5 « - 0 ,5 = s in 8 a болса, c tg a есептеңіз.
18) Егер c tg a = ^
болса, cos^2cr + — ^ өрнегін есептеңіз.
19) Егер s in a = — p
болса, A = 7 tg~ ( 2 а - 7 л ) өрнегін есептеңіз.
sinf— - 5 a ]
5a
өрнегш есептеңіз.
20) Егер t g ~ = 3 болса.
- c o s [ |- 5 a ]
21) Егер tg a - — = 5 л Д - 8 болса, 1 0cos2a өрнегінесептеңіз.
22)
Егер а
мен Р
- сүйір бурыштар болса, c tg a = 4 ;
=—
болатындай, а + Р градусгарда есеітгеңіз.
23) Егер
cos4a= —
болса,
А =—
, (l-tg ^ a )
(l + tg " a )
есептеңіз.
24) (c o s ,r+ 5 )(3 -c o s jc ) өрнегініңеңүлкен мәнінтабыңыз.
227
өрнегш
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) 3sin4a:
2) —
sin or
6) sin а
11) ^/3
16)7
21) - 6
'
12) 4
17) - 2 ± л / з
22) —
4
3) cos^ —
2
4) t g ^ a
5) -2ctgor
8) yfi
9 )2
10) 4
13) 0,5
26
23) ± —
26
228
15) 1
19)9
24) 16
4
20) 7
www.nismath.org
§ 2. Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Я Л Ы Қ Т Е Ң Д Е У Л Е Р Д І Ш ЕШ У
1) 8Іп (0,5 д:) = -1
2 ) cosx = ^
теңдеуін
[700°; 1050°]
аралығындағы ең үлкен шешімін
табыңыз.
п
3) s in (^ + Jc) + cos
+ д: = -1
4) 2^/зtg(-x)+6 = 0
5) cosfл :-— 1= - —
I
4j
2
7)
=1
8) lgcosx = l
^ X I=11
10) 2 sin x sin ----
9 ) s m |f - n 4
12) tg(3^-10°) = 0
13) logjcosx = 0
14) I cos—+ 1 II sia —+2 (=0
Я
15) cos(jc-l) = —
16) 2cosjc+3sinx = 0
В
17)
ЗІ™'' ‘1=9
18) 4
8Юд: ■COSX
19)
20)
= ^/2
Егер .х б (2 ;4 ) болса, l + 2 s i n - ^ = 0 шешіңіз.
^l.log.cosx^
229
www.nismath.org
21) ЗШ^Я'СОзЗдс) = 1
22)
_2C0S^JC _ q
23) (Зсовятх:—я')^28Іпя 'л:—л ^ | = 0, теңдеудің ең кіші оң түбірін табыңыз.
24) ^ ^ = 0
s in x -l
25) 1+2COS— = 0
15
COSJC—
2 6 )--------- ^ = 0
•
^/з
smjc-----2
27) 1sin2xjҺ і
28)
29) cos^2 jc
БІпд:
=0
_ 1
~2
30) sm^2jc = —
2
Ж А У А П ТА РЫ
1) —7г+4/гк
2) 1020°
3) ( - 1 ) ^ 1 + Л-А
4) - + жк
3
—
V . 2л л »
5) —± -----һ2лк
4 3
6) л{2 к+ \)
^
п Ъ л,
7 ) ----+ — к
4 2
8) х е 0
9)
^
10) - ^ л к
4
11)
13) 2лк
14) 2я-+4л-А:
15) 1+ - + 2Л-А:
6
17) ~ - + 2лк
2
18)
2
16) -a rC tg j + Я-Л:
19) 3,5
4
+
’
6
4
12) 3°20Ч60° А:
2
20) ± — + 2лк
3
230
— +—
^ ’ 12 2
9
3
www.nismath.org
лг
2
22) ± - + п к
23)
2 4 ) - — + 2я-к
25) ±10+30А:
п
26) - у + 2 я ’А:
27)
28) ^ { З к ± \)
29) 2(22 + 1)
Л* 7С
30) - +—к
6
* Ж а уап т ар ы н да ке .Ъ
яг я к
—+ —
4
2
f
8
4
парам етр!.
2 -тюбы. H erfarf т р я т ё и о м е т р і^ І^ ы к ф »рм уд8Л4| ^ ^
отм рьш тецдеулерд! Р іеш іціз:
1) s in 3 .x + s in x = 0
2) ■v^sinjc-cosx=sin^ ДГ
2
1
3) sm Л-— sui2jc= 0
2
4) 3sinjC'COSJc—2cos^oc=0
5)
cos5x
7) cosx
cosx
=
c o s 4 a-
6) sinjc-sm2jc+cos3x=0
c o s 4.t
=
c o s 5 jc
8) 3sinjc-cosAr—5cos^jc=0
9) cos3x ct*sj(:-sin3jc sinx = - — 10) sinjc+sHi2jr+sm3jr=0
11) sin2x = 2-\^cos^j[:
,
1
2
13) sin ДГН— 8іп 2 дс= 1
15) 2(cos‘‘x -s in '’ x) = l
17) sin 3 x -2 sin x = 0
12) smx+sm3A- = 2sin2x
14) A^cos^ дг-0,5аіп2х = 0
16) 2cos|^x+^^ = ^^cosx
18) tg(x+20® )+ig(70°-x) =2
19) Егер 90“ <x<180'’ болса, cos2xr-sinx=cos2x шешіңіз.
231
'V
Г*-?’
www.nismath.org
20) c o s ^ x — sin''jc=0
2 1 ) Erep j c e (0 ® ;9 0 ° ) болса, 2 s in ^ jc —\^ sin 2 o r = 0 ш еш іңіз.
В
22) 8Іп^Зх==Зсо8^3д:
2 3 ) c o s ^ jc+
cos ^ 2 x
+
cos ^ 3 jc+ co s ^ 4 x
= 2
Sx
2
24) c o s3 jf+ c o s— = 2
2 5 ) s in a c + s m 2 x = c o s j c + 2 c o s ^ x
2 6 ) sin 5 x -sin 4 jc + o o s6 jc o o s 3 x = 0
27) 8Іп 2 дг+8І п ( - дг) = 2 соз ( - дг) - 1
2 8 ) s i n ( * + 3 0 “) + c o s ( j r + 6 0 ° ) = l+ cos2jic
29) 8 Іп ^ З л :+ 8 т ^ 4 л = 8Іп^ 5х+8Іп^ 6д:
3 0 ) c o s 2 x = 2 sin ^ jc
31) c o s^ 2 x + c o s^ 3 x = l
3 2 ) t g 3 x —t g x = 0
3 3 ) c o s 2 x - s in 4 x —c o s x s in 5 x = 0
3 4 ) c o s 7 x = c o s 4 x -c o s3 x
3 5 ) s in ^ 2 x + s in ^ 3 x + s in ^ 4 x + s in ^ 5 x = 2 , ж ауабы нда
0:—
L 2j
кесіндісіне
ТИІСТІ эртүрлі тубірлсрдің санын көрсетіңіз.
3 6 ) Егер 1 8 0 ° < х < 2 7 0 ° болса, I + 8 i n x + c o s ( 2 x —1 8 0 °)= ;0 ш еш іңіз.
37) co s6 x + 6 c o s^ 3 x = l
3 8 ) 2sin ^ 3 x + c o s ^ 3 x + s in 3 x = 1,
[0°; 180°]
ш еш ім дердің санын табыңыз.
232
кесіндісіндегі
әртурлі
www.nismath.org
39) sin fx+-^l+cosfj[: + ^ l+ V 3 = 0
V
40)
3j
cos д:—cos 3jc
=0
sinx
41) cos 9jc—cos 7x+ cos 3x—cos X= 0
42) sin6x+sin2x = siii4x
43) cos 2x— — =sin(4x+3я■)
V
2 j
44) sin‘*x+cos‘*x = isih ^ 2 x
2
45) cos3x cos2x-sinx- sin6x = cos7x
46) 4sin— cosx+l = 0
2
Ж А У А П ТА РЫ
2)
2
71
Ttk ; —+ ЯИ
3
3) я’Л ; —+Л-Л
4
4 ) —+ яЛ ; агс1д- + яи
5 )f
<Ч f p t + i ) ; f ( 2 » + i )
^>Т
8) агс1е- + яА:; —+яп
'
®3
2
, Я9) ± - + —
6 2
яА: , 2я ^
10) — ; ± — +2яи
2
3
Я" , Я’
1 1 )—+ яА:; — + 7Ш
2
3
1 2 )5 *
2
233
www.nismath.org
13) — ^ лк', — + ЛП
4
2
1 ^
I яг
1 4 )—+ Я-А:; —+ Я-И
2
3
15) ± — + лк
6
16) л к
17) л к ; ± —+лп
6
18) 25°+ 180° А:
19) 135°
20) 2 + І Й
4 2
21) 60°
22) |(ЗА:±1)
2Ъ)—+ лк-, — + — ; — + ---2
4 2
10 5
24) Алк
2 5 )± -^ + 2 я А :; — + лп
3
4
2 6)|(2А : + 1); ^{2й + 1)
Т Т ) ± ^ + 2лк-, ^ + 2лп
28) 90°(2Л: + 1); 60°(бя±1)
2 9 )^ ; ^
9
2
30) ± — +л к
6
тс л к л
’"Т о ^ Т - Г " "
32) л к
33) я*А:; —+ —
6 3
лк лп
34) — ; —
4
3
35)5
36) 210°
37) ± - + —
9 3
38)5
39) ЯЧ-2Я-А:
40) - + л к
2
234
www.nismath.org
41)
n
6
лк
3
лп
5
42)
лк
4
л
±6
„_ /Г
, лп
43) ± — + лк ;
6
2
л лк
44) - + —
4 2
л к лп
45) — ; —
4
3
46) 2лк
*Жауаптарында k ,n ,m ^ 'L параметрлері.
Э - тобы; Ж ан а айдііымал ы вііі^ау і ф к ь і а ^ і ^
А
1) 2cos^x= 3sm x
л ( ^ +xj-5cos(a^^-x)+2 = 0
2) 2 sirr
3) c o s 2 r-c o s x = 2 -s in ^л'
4) 6sinx = 3 -8 co s^ x
5) ctgx = -4 - 3 tg x
6) 8 co s^x + 6 sin x -3 = 0
7) 2cos"x—5cosx = -3
8) 5 -5 c o s|^ -^ -x j = 2 со8^( я- - х)
9) 3cos2x = 4 —llcosx
10) 2со8^(х-Л ')+ 38т(я’+х) = 0
^ x ^ -2co sx + 2 co s 2 x = 0
11) 3cos' —+
2 )
235
www.nismath.org
в
12) tg^.x-3^jc+ 4 = 3ctgx-ctg^jc
13) 6cos^x-2sin2x = l
14) l+sinjr cosx-3cos^x = 0
15) sinx: cc*sx-cos^x = l
16) 2sin^A:-7sinx-cosx+6cos^.x = 0
17) 3sin^x:+4cos^x: = 13smx-cosx
18) 6cos^ jc+sin^jc = 5sinx^-cosx
,
1
19) sin x + -s in 2 x = l
2
20) 2sin^ jr-5sinx-cosx+3cos^jc = 0
21) 3cos^ x -sin ^ x:-sin2jc = 0
22) sin^x—10sinx-cosx+9cos^дг= 0 , erep 0 ° < x <90°болса, х-тің ең
кіші шешімін табыңыз.
Зя23) 3sin|^22 х + ^ i- 5 s in x - l = 0
24) cos2x(cos2x-l) + sin^x = c o s^ x -l
25) Егер 0°<х<100° болса, l + cos4x-2cos^(x-270°) = 0 шешіңіз.
26) sin‘‘ x+cos'*x = sinx cosx
Ж А У А П ТА РЫ
1)
О
3) к-¥2л:к
+
2) ± — + 2jrfc
3
4) (-1)*"' | + ;гА
236
www.nismath.org
:і у
5) —^ + ягЛ; - a r c tg f i j+ лп
6)
7) 2пк
8) - + 2ягАг
2
я9) ± —+
3
10) ( - І ) * | + яг)^
11) 2тгк
12) - л - л к
4
яг
1 3 )—+ ягД:; -arctgS + ^rn
4
ж
14) —+ л к \ ^arctg2+^'«
4
15) д :€ 0
16) arctg2+/r^:; arctg-+^^«
17) arctg4+jrA:; arctg - + ^^w
18) arctg2+^-A:; arctgЗ + я■и
19) —+ ягЛ:; —+ яги
2
4
2 0 ) ^ + ^"^; arctg^ + яги
2 1 )—+ я^А:; ^ « -arctg 3
4
22) 45°
23) ( - 1 ) * ^ '| + ;гА:
24) nk
25) 30°; 90°
26) —+ лк
4
*Жауаптарыяда к,гг&Ъ параметрлері.
237
+
'
www.nismath.org
і4'
і^ят ііу,. * ркй4£і,
1) -TSsinZx—cos2x = 2
2) у[35тх—со5х-1
3) sinx+oosx = l
4) Erq) 90° < X< 180° болса,
sin х + cos х = V2 шешіңіз.
_
X . X л/2
5) cos— sm—= —
2
2
2
В
6) sinx+2cosx = l
7) 8sinx-3cosx = 4
8) 4cosx+3sinx = 2
9) sinx—•72cosx = >/з
10) 3sm x—2cosx = 2
Ж А У А П ТА РЫ
1) — + fck
3
/%ч ^
/ л\ ^ ^
1
3)^ (V- l; ) ^4 - - 4- + ;rjt
4) 105°
Л 2tc
5) - - ± — + Алк
2 3
ЛГ
1
6 ) — + 2 л к ; 2jTn-2aictg-
7 )(-l)* a r c s in - ^ + a r c tg - + ?rA: 8) -arcsin —+ (-l)* arc sin —+ л-it
V73
8
5
5
9) - ^ + aгctg^/2 + 2я■Л:
2
k
2
10) a r c tg - + ( - l) a rc s in -= + ^r)t
3 ^ '
^/^3
*Жауаатарында к,п& Ъ параметрлері.
238
I
www.nismath.org
-smjc
, 90°<дс<270° шартын қанағатгандыратын ец үлкен
sm^x
бүтін шешімді табыңыз.
1) tgx =
2) y j\-s m ^ x = -c o s x , 90°<х<270° шартыв қанағаттандыратын ең
кіші бүтін шешімді табыңыз.
3) 7+
+3cos~'(90°-2.y) = 0 ,
cos X
шешімдердің санын табыңыз.
[0°;360®1
кесіндісіндегі
эртүрлі
4) sin^3x-cos(l80°-x)+ cos^3x+ sin^90°+ ^j = 0 ,
[0°; 720°] кесіндісіндегі эртүрлі шeшiмдq}дiк санын табыңыз.
5)
2sin^x = 4 sm ^2 x + 7 co s2 x -6
6)
2cos^4x~6cos^2x+l = 0
7)
cos4x+ 2cos"x= 0
8)
cos^x+ sin^x=cosx+sinx
9)
tg x -sin x = l-tg x -s ia x
10) sinx+ tgx =
s in ^
11) s m |2 x - — +
I
2
түбірін көрсетініз.
12)
X
sin2x
. (3fT
8Ш -
8x^+cos6x = 1, жауабында ең киш оң
'v 2
-2 6 -5 “ *^’^+5 = 0
239
www.nismath.org
13) [я-; 2я] кесіндісівде
C O S JC
=co s2 x -l
тевдеуінің қанша түбірлері
C O S JC
бар?
со8 ^ ^ -^ ^ + л/2 д:^ - 5 х - 3
14)
=0
15) 4 со8^ х +8Іп х -со8л:+38Іп ^ л: = 3 , егер л:е[90°; 180°] болса,
теңдеудің осы аралықтағы түбірлерінің қосындысын табыңыз.
16) sin^x+sin^2x = sin^3x
Ж А У А П ТА РЫ
1) 269°
2) 91°
4)4
5)
тік . п
± — + ЯГИ
2
3
6
+ лк
^ л: жк
6) ± —+ —
6 2
Я, лп
8 ) ----- + лк', —
4
2
9)
10) ± — + 2лгА:
3
11) 22°30'
12) лк
13) 1
14)3
15) 225°
7)
л
4
± —
3)4
— л----- :
л
тск
лп
16) - + — ; —
6 3
2
*Жауаптарында k , n e Z параметрлері.
240
—
' 4
+л к
www.nismath.org
§ З .Т Р И Г О Н О М Е Т Р И Я Л Ы Қ Т Е Ң С ІЗ Д ІК Т Е Р Д І Ш ЕШ У
\<-у
A
>І2
1) sm x< —
2
2) ctgx< 0
3) 2cosx< -yf2
4) >/3tgx<l
5) a^ - 2 cosx> 0
6) tgx> -^l3
7) sinx< —
2
8) s m x > - —
2
9) co sx > — \=
>/2
10) cosx< —
■
2
11) sm x> —
2
12) 2cos2x>l
В
13) tgj^x + ^ j > l
14) 2sin^x—j
15) c o s^ x -sin ^ x > ~
2
16) 2sin^2x--
17) c o s ^ x - s in ^ x < - —
18) sin (2 x -l)
19) 0<СО8ДС< —
2
20) y = ^ c i g x - l
функциясыныңаныкталуоблысынтабыңыз.
241
www.nismath.org
1
21)
2
жүйесін шешіңіз жэне [О; 4^rJ аралығына тиі
sinx> 0
шешімдершің қосындысын таоыңыз.
22) t g - < 0
4
23) jctgj:|<N ^
24) tg2;c>l
,72
25) sin jc < ■
26) log) sin x > l
Я- ,
27) ctg XH— < - l
3
28) |tg x |> 7 3
29) tg ^ x > i
. f Зл- я- ^ 1
30) s r a ---1-— < “7=
І2
12j 72
31) |c x ) s x |> ^
32) |s in x |<
73
Ж А У А П ТА РЫ
Я"
2
1) f —^ + 2я'л;
^+2кп\
2) —+ Я'я; л +Ttn
3) I
'^ л - і я п I
4) I - ^ + л:п; ^ +
^ ^
1ІЯ- ^
5) — Ь 2 я п ;------һ2я’и
6
6
яг
3
к
2
6) — + ^«; — \-кп
7)
4я- ^
7Г ,
------|-2л'и; —+ 2я^я
3
3
8) I -■^+2я'я; ’^ + 2тт
9)
Зя- Зя- ---- +2я-и; — + 2я'и
4
’ 4
10) I -^ + 2я"я; ^ -f 2я-я
242
www.nismath.org
л _
2/f „
П ) —+ 2жп‘, — -+ 1жп
3
3
л
''
13) жп; — + лп
.
4
1
14)1 - л + 2лл, — + 2лп
ж
л
15) — л-лщ —+ лп
6
6
16) — +я"и;
[12
5л
1л
17) — + лп; — ~+ лп
12
12
,8)
J
Һ
19) I ^ ^ + 2лп; - ^ + 2лп и
л
+
3
2 л ’и ;
7t
л
2
—
'
/
у
ж
1
5я 1
)
у +j+ » .J
2лп
10я
20) I л'и; — + Л П
'
4
21)
22) {^2л+ 4лщ ^лп)
<•>•4 II —+яг«;
^
5л
23)
--У-ЛП
24)
Л
------- (-
L8
лп л
--- 1
4
лпЛ
2
л
л
25) — +яи; —+лп
4
4
2J
L
26) |'2яи; ■^+ 2я'«^и|^^+ 2я'и ; я+ 2 яи ^
'5 л
27) I
2л
■
<«AVII - —+ яп;
28)
л
л
— + лп\ — + лп
3
2
^ + ЯГЙ
л
л
—+лп: — + лп
6
2
29) I — + л п \ ----+ лп
2
6
8 я 4я-и
—..н—
9
3
32)
л 4лпЛ
+"
9 « 3
31)
J
Л'^
Л
— + лп: — УЛП
3
3
^Жауаптарында n e Z параметр!.
243
л
л
— + лп; — + лп
4
4
www.nismath.org
^фг9б^|>‘Д егіэг Г тригёШ
O'fUjrMtf, ^^кгон вм етряіі.
1) l- 4 s in ^ x < 0
2) 3—4 cos^x< 0
1
3) cos3x cosx+sm3.r-smx>
4) 2 sin ^2 x < l
5) sin3x-cosx+cos3x-sinx> —
2
6) sinx-cosx>0
7)2oos5x-cos4x+2sin5x:-sin4x < \/з
В
8) sinx+-73cosx>0
9) sinx>cosx
10) (l + cos4x)siti2x > cos^ 2x
11) 4 co sx -sin 2 x > 0
12) 3sinx+ sin2x<0
Л
4 JC 1
13) sin —+ cos —> —
3
3 2
14)
I
I sin—-c
o s—
2
2j
15) sin fx + —] cos x + —1> —
I
6j
I
6j 4
<sinx
16) 2 co s^ x < 7 2 + 2 sin ^ x
Ж АУАП ТАРЫ
f ЯГ
5n
( л
л
2) — +жя; —+ /
{ 6
6
Л
,4 Г
Л
1
3) — +пщ —л-лп
[6
^ Гж
.. f л
1 -8
’6 J
лп
5л
лпЛ
6) ^жп;
244
лп
л
лп')
Г т ]
www.nismath.org
7) |^^ + 2ят»; i ^ + 2 ; r n ^
8) ^-у+2зг»қ ^ + 2 ^ n J
9) ^^+2лгп; “ + 2я’и^
11)
11) |^~"j+2ffii; ^ + 2 /r« ^
1 2 ) ( —яч-2ягл; 2 я » )
Ъж Ъжп
13) х ^ — + -----
14) ^^+2жп; ~ + 2 ж п ^
4
f
2
16) ( —+жп; — +я^и1
и
8
)
15) ^ ~ ~ + ж п ; ^ + ? r/ij
’^Жауаптарында гі,ке.Ъ парамеі|міері.
jl.-...yp6w. Ж^тя я й ш щ а т
гетЬаіктерАі щелііцізіі’ ’ '
'
,,
В
1)
c o s 2 jr + 5 c o s jc + 3 > 0
3)
s m x -^ c o s 2 jr > l
2) 2 s in ^ x -7 s in ^ + 3 > 0
4 )3 s i n ^ 2 j c + 7 c o s 2 j c
5 ) 3 s i n ^ .x : - 2 s m x - c o s j c —c o s ^ j c < 0
6 ) 3 c o s 2 jc+ 2
7) 3 s m x > 2 c o s ^ x
8) t g ^ x + t g ^ x -t g x -l< 0
9) 2 sm ^ x + N ^ sm x ~ 3 > 0
10) c tg ^ x + c t g x 2 :0
11) 2 c o s '* x ~ 3 c o s ^ x + l > 0
12) 2 s m ^ x - 3 s i n x + l < 0
13) c o s 2 x < c o s 4 x
14) 2 s i n ^ x + s i n 2 x - 4 c o s ^ x > 0
-tg x -3 < 0
15)
cosx^
5
16) c o s 2 x + 5 s in x + 2 ^ 0
COS^ X
245
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
2Я" „
3
/
2л
3
1) -------і-2 лй; ~ + 2лп
2)
V 6
+ 2яг/і; — + 2лп
6
5яг
'
3) і 2яги; ■~+ 2я’й |U — -i-2^«; п + ітт I
6
J
я
. л
4) ----- |-яй;‘ —+лп
4
4
1
я
5) ~агс1с~ + я«; — і-яи
3
4
6) x = 2nn
7) I “ +2яги; ^ + 2 ^ rw j
8)
( Л"
----------- \-TC n.
2
'
—
n
+
A
ЛП
)
\ J \ - ~ + nk-, — + n k
'4
4
9) —+ 2жтг, — + 2ли
v3
3
10) ^ + ягй; я + от І иГя^Л:; ^ л - п к
. я3;г
11) —+ лй; — + л’и
4
4
12) I —+2я'п; —+ 2яги'іиГ—+ 2яги; ~ + 2яги
' 6
2
J I2
6
f яг
2л13) —+ лп\ — + жп
14) —~ ^ л п \ - a r c tg 2 + ^-« jUf ^ +
,,, ,
15) I - a
1
л
+ я ' и ; — + лп
2
4
~ +л к
16)
r c tg —
^Жауаптарыида n s Z параметр!
246
л- *
7л- ---- h2^;j: — + 2лп
www.nismath.org
4 ^ тобм.TbftrPHffMeTptHrfjibiK теи сі?дік іг#|іі' ів^іиіціз;
С
1)
8’ 8
2) 2sin^ I х + ~
+ \ /3 c o s 2 jc> 0
4
3 ) I 8ІПл| >1
C O S J fj
ft
ft
5
5) sm x+cos jc > -
8
6) sin 3 a ( cos 2 x + 1) > 0
7 ) sin3A '—2 s m x < 0
8) cosx cos7x>cos3x cos5x
/3
smx < 10)
9)
cosx > —2І1
sm x> 3
cosx<0
2
11) 2+tg2x + ctg2x<0
12) 2sm ^3x+sm ^6x<2
, 3 a -6
„
.
. . .
13) s m x s ------- , <а-ньщ қандаи мәндершде теңсіздіктщ шешімдершщ
а + 1
болмайтындығын табыңыз.
14) (-2 x ^ + 5 x --7 )(3 tg ^ x -l)> 0
15)
(0;я^)
аралығьша
тиісті
болатын
^л/З қос
l-tg 3 x -tg x
теңсіздігінің ең үлкен жэне ең кіші шешімдерінің қосындысын табыңыз.
247
1<
www.nismath.org
16)
>0
< X )S X +
17) sin2x(cos3jc-l)<0
18)
sin2x--sin3jc-cos2jc-cos3j:>smlOA:
19) 7sin^jt+^sin^2j[:>cos2x
4
4
20) c o s ^ 4 jr+ ^ j< c o s '‘x - s in ‘‘ x
Ж А У А П ТА РЫ
3. ^ \
^
8• - й П г
5/r
5я-Ү /5/Г
п К т "s
’
^
5я
^
2) —~ + ^n; — + Я-Л
4
I
12
J
Я"
Зя’
3) —+ я-и;---- һжл
4
4
4) (2лч-Зя-«; 3я-+3яги)
5)
6)
_яг
тсп л
тт
8'*’Т
І7СП
л
2пп\ Л л
1
~
7)
+ 2^"w;
_ 6
л ^
5л ^
2лп и —+2лщ
— + 2лги и л+ 2лп: — + 2л'и
_6
6
L
6
_
^ - ^ + 2я-и; ^ + 2 ж п ^и ^^+ 2 я п ; ^ + 2^-wj
248
www.nismath.org
Зж
. 2
3
11)
тс Я П
--Ц
----- •
4
2
ж
ЯП
12
2
ж
;
п пп
жяҮ /
f — и -2 j
1 8"^Т
пп
’ Ү
ж
япЛ
— +—
12
3 ;
13) -1;
14)
15)
16)
ж
ж
— +жи: —+ ЖИ
6
6
43ж
48
ж
я
— + жи: — 1-жи
6
6
17) I 2жй; •^+2жи^и|^ж+2жй; ~ + 2 ж и ^ и ^ ^ + 2жл; ^ ү + і л п
, ж 2жй
‘ 10
5
ж 2жи'' , „ ж
30 5
1 8 ) ----- + ------ ; ------ + ------
2жи
.„ч I я5ж
^
19) I —+ж«; —г + л п
6
6
Щ
ж
ж
-----+ жи;
4
L 12
J
и
Зж
1я
— +жи; ----- +
4
[12
ЖИ
^Жауаптарында п,ке:Ъ парамепгрлері.
249
7ж 2жя^
www.nismath.org
V ТА РА У . П Р О Г Р Е С С И Я Ғ А Б А Й Л А Н Ы С Т Ы
Е С Е П Т Е Р Д І Ш Ы ҒА РУ
§ 1. А Р И Ф М Б Т И К А Л Ы Қ П Р О Г Р Е С С И Я
А р яф м с-гя к ал ы к ^д|>»і~р«с‘с н я и ы я п -т \ м үш есіи ііі
‘»5^'•і'
* ч,*
Ф-»
1. Егер а ^ -~ Ъ , d -Ъ болса, 47-ге тең арифметикалық прогрессия
мүшесінің нөмірін табыңыз.
Жауабы: 14.
2. Егер а ^ = 2 3 , а,, =48 болса, гфифметикалық прогрвссияның
бірінші мүшесін табыңыз.
Жауабы: -2 .
3. Арифметикалык прогрессияда 10 мүше бар. Ж рі нөмірлері бар
мүш&яердщ қосындысы 25, ал тақ нөмірлері бар мүшеяердін. қосыңцысы
10-ға тең. Прогрессшның жетішиі мүшесін табыңыз.
Жауабы: 8.
4. д ,,
02,
15,
04,
Oj,
33,
О7 ... эріптермен белгіленген
арифметикалық прогрессиялардың мүшелерін табьщыз. Жауабында
о, -Оу к ^ е г ін Ь .
Жауабы: 117.
5. Арифметикалық прогрессиянын бірінші мүшвсі 2-ге тең, ал
екінші және үшінші мүшелері сәйкесінше тізбеісғес екі натурал саңц^дың
квадфаттарына тең. Осы npoq>ecciiain>iK айырмасын табыңыз.
Жауабы: 7.
6. X, жэне Xj
х ^ -4 х + о = 0 тевдеуінің түбірлері; Х3 және Х4
х ^ - 12х + б = 0 теадеуінің түбірлері екендігі белгілі. х ,, х^, JC3 , Х4
сандары - арифметикалык прогрессия болып табылады. а Ъ табыңыз.
Жауабы: 105.
250
www.nismath.org
7. Өспелі арифметикалық прогрессияның екінші, төртінші және
алтыншы мүшелерінің қосындысы 15-ке тең, ал осы прогрессияның
үшінші жэне бесінші мүшелерінің квадратгарьшың қосындысы 58-ге тең.
Осы прогрессияның жетінші мүшесін анықтаңыз.
Жауабы; 11.
8. Арифметикалық прогрессияньщ алғашқы үш мүшесінің
қосындысы 30-ға тең, ал осы прогрессияньщ бірінші жэне екінші
мүшелерінің квадраттарьшың қосындысы 116-ға тең. Егер оның бесінші
мұшесі 13-ке бүтіндей бөлінетіндігі белгілі болса, осы прогрессияның
бірішпі мүшесін табыныз.
Жауабы: -4 .
9. Үш санның қосындысы 0,б(і) тең, ал арифметикалық
прогрессияны қурайтын, оларға кері сандардьщ қосьшдысы 18-ге тең.
Осы сандарды табыңыз.
Жауабы: і . 1 . і
З ’ 6 ’ 9'
10. Кемімелі арифметикалық прогрессияньщ екінші және үшінші
мүшелерінің көбейтіндісі 21-ге тең, ал осы прогрессияньщ аін-ашқы жеті
мүшесінің қосындысы (-7)-ге тең. Прогрессияньщ бесінпіі мүшесін
анықтаңыз.
Жауабы: -5 .
11. Лрифметикалық прогрессияны қүрайтын үш санның қосындысы
111-ге тең. Екішпі сан біріншіден 5 есе артық. Бірінші санды табьщыз.
Жауабы: 7,4.
Га2 + 05- ^ з =10,
12. <
арифметикалык прогрессиясы берілген.
[аі+О б=17
flj-ді табьщыз.
Жауабы: 1.
251
www.nismath.org
[07- 0 3 = 8,
13. ^
_мүпіелері оң арифметикалық прогрессия берілген.
Оз-a-j ?=75
Жауабында {bd-2a^^ көрсетіңіз.
Жауабы: 0.
=80,
14. (с/>0)
арифметикалық прогрессиясы берілгён.
Осы прогрессияда модульдері 10-нан аспайтын, қанша мүше бар
екендігін анықтаңыз.
Жауабы: 11.
15. Арифметикалық прогрессияның он үшінші мүшесін үшішпі
мүшесіне бөлгенде бөліндісі 3, ал он сегізінші мүшесін жетінші мүшсге
бөлгенде бөліндісі 2-ге жэне калдығы 8>ге тең болады. о, және d-wa
анықгаңыз.
Жауабы: 12; 4.
16.
02+04
16,
[oj -oj =28
арифметикалық прогресснясы берілғен.
Op d -иы табыңыз.
Жауабы: 2; 3 немесе 14; -3 .
17. Осы сандармен бірге арифметикалық проірессияны қүрайтыи, 8
жэне 26 сандарынын арасына бес сан қойып шығьщыз.
Жауабы: 11; 14; 17; 20; 23.
18.9,2; 8,7; 8,2; ... арифметикалық прогрессия мүшелерінің
арасында ( - 0,8) саны кездеседі ма?
Жауабы: 02j = -0 ,8 .
[5-2-64+02=14,
19.
арифметикалық проірессиясы берілген.
[і^з +03 =17
Oj; d табыңыз.
Жауабы:
138
73
11
11
252
www.nismath.org
20.
p tij +10aj =0,
1S4=14
арифмвтикалық прогрессиясы берілғен.
(о|-і/)-ны табыңыз.
Жауабы: -24.
21.
fSj —S2 —«5 = 0,1
[5 4 + О7 = 0,1
арифметикалық прогрессиясы берілген.
^а, —і/)-ны табыңыз.
Жауабы: —1.
22. Өспвлі арифметикалық прогрессиясындағы
және
көбейтіндісі 406-га тең. я^-ны а 4-ке бөлген кезде бөліндісі 2 және
қалдыгы 6 шығады. а, және d -ны табыңыз.
Жауабы: 4; 5.
23. Арифметикалық
протрессияның бірінші
және
екінші
мүшелерінің қосындысы, алғашқы үш мүшенің қосындысының 60%-ын
құрайды. Егер оньщ үшінші мүшесі 12-ге тең болса, прогрессияның
бірінші мүшесін аныктаңыз.
Жауабы: 8.
24. Осылармен бірге арифметикалық прогрессияны қүрайтьшдай, 1
және 1,3 сандарының арасына бес санды қойып шығыңыз.
Жауабы: 1,05; 1,1; 1,15; 1,2; 1,25.
Oj
25.
+ <^3 =30,
-а л = -4 ,
арифметикалық
прогрессиясындағы
п
а„ = -10
қаншмд тең?
Жауабы: 12.
26. 299 саны, 5; 8; 11 ... жэне 3; 7; 11 ... келесі екі
арифметіікалық пpoq)eccиялapының ортақ мүшесі болып табыла ма? Егер
^латы н болса, онда оның нөмірін әрбір прогрессияда көрсетіңіз.
Жауабы: Иэ (99; 75).
253
www.nismath.org
27.
227 саны, 5; 8; II ... жэне 3; 7; 11 ... келесі
гфифметикалық прогрессиялардын ортақ мүшесі болып табыла ма? Еғер
болатын болса, онда оныц ііөмірін әрбір прогрессняда көрсетіңіз.
Жауабы: Иә (75; 57).
28. — ; 0,55;
12
мүшесін табыңыз.
Жауабы: 29. Егер
арифмегикалық прогрессияның бірінші теріс
60
= -3 0 , 0,9 = -45 болса, арифметикалық проірвссияның
п -ші мүшесінің формуласын қурыңыз.
Жауабы: о„ = - 1 8 - 1 ,5 - ( и - і) .
30. а, = -л /2 , d = \+yFi арифметикалық прогрессиясындағы a-j
табыңыз.
Жауабы: 6 + 5 > ^.
муійелерінііі^косідпш ы сі^
ф«ірм]гласьі;:
1.
= 4/1+ 1
арифметикалық
мүшесінің қосындысын табыңыз.
прогрессияның
алғашқы
он
Жауабы: 230.
2. -63; -58 ... арифметикалык прогрессиясывдағы оның барлык
теріс мүшелерінің қосындысын табыңыз.
Жауабы: -429.
3. а ^ = 6 арифметикалык прогрессиясывдшы 5,7 табыцш.
Жауабы: 102.
4. о3 = 8 ,
= 5 , 5„ = 28 арифметикалық прогрессиясыцдағы п -
ді табыңыз.
Жауабы: 8.
254
www.nismath.org
5. 5з =
п
> *5^5 ~
’ ^п~
а р и ф м е тн ка л ы қ п р о гр е с с и я с ы ң д т > і
-Д І т а б ы ц ы з .
Жауабы: 6.
6. 6-ға еселі және 70-тен аспайтын барлық натурал сандардың
қосындысын табьщыз.
Жауабы: 396.
7. Арифмегакалық прогрессияның үшінші мүшесі екіншісінен үш
есе артық, ал барлық мүшелерінің қосындысы үшішпіден 40 есе артық.
Мүшелердің санын табыңыз.
Жауабы: 12.
8. aj = - 5 ,
= 1909 арифметикалық прогрессиясындағы d -ны
табыңыз.
Жауабы: 8.
9. Турист бірішпі сшғатта 800 м биіктікке жетті, ал әрбір келесі
сағатга алғаиіқыға қарағанда 25 м кем көтерідді. Ол 5 700 м биіктікке
қанша сағат ішінде жетеді?
Жауабы: 8 саг.
10. Евсі арифметикалық прогрессия берілген:
2)
= 0 , а„ =3,5.
1) Оі = 7 ,
=-5;
Егер екі прогрессияның үшінші мүшелері өзара тең екендігі белгілі
болса, екінші прогрессия мүшелерінің қосындысын табыңыз.
Жауабы: 14.
_9_31_^
4 12 12
Жауабы: -189.
45
есептеңіз.
12. Егер оның бірііпиі мүшесі 69-ға тең болса, ал aJH-aimna он
мүшесінің қосындысы одан кейінгі осы прогрессияның жиЕярма
мүшесінің қосындысына тең болса, арифметикалық прогрессияның
айырмасьш табыңыз.
Жауабы: -2 .
255
www.nismath.org
13.Ол^дың қосындысы нөлғе тең болу үшін, 105; 98; 91 ...
арифметикалық щюгрессиясьгаың қанша мүшесін алу қажет?
Жауабы: 31.
14. Арифметикалық проірессияда жүз отыз мүше бар. Тақ орында
тңн-ан мүшелвріиің қосындысы 34-ке тең, жұп орында турған
мүшелерівің косындысы 21-ғе тең. Прогрессияның айырмасын табыңыз.
Жауабы: -0 ,2 .
15. Егер алғашқы үш мүшесішң қосындысы нөлге тең, ал алғашқы
төрт мүшесінің қосындысы 1 -ге тең болса, ^ифметикалық прогрессияның
он екі мүшесінің қосындысын табыңьЬ.
Жауабы: 27.
а„ = 55;
16. «2 +^5 = 32,5;
арифметика;іық
нрогрессиясындагы
п -ді
,^15 =412,5
табыңыз.
Жауабы: 19.
17.
['оз+о^ =6,
ctj -Ду =8
кемімелі арифметикалық прогрессиясы үшін
-
ны табыңыз.
Жауабы: 20.
18. Егер оның үшінші мүшесі 9-^а тең болса, ал жвтінші жэне
екінші мүшелерінің айырмасы 20-ға тең болса, олардьщ қосьшдысы 91
құрауы үшін, арифметикалық прогрессияның қанша мушесін алу қажет?
Жауабы: 7.
5з=9,
19. 1S4 =16,
арифметикалық прогрессиясындағы
s„=m
{ay-d r ^ -щ табыңыз.
Жауа|5ы: 20.
256
www.nismath.org
20. Арифметикалық прогрессияның сегізінші мүшесі төртінші
мүшенің 40%-ын қүрайды, ал олардың қосындысы 2,8-ге тең. Олардыц
қосындысы 14,3-ке тең болу үшін, осы прогрвссияның қанша мүшесін алу
қажет?
Жауабы: 13.
21. Өспелі арифметикалық прогрессияның бірінші және бесінші
мүшелерінің қосындысы 26-ға тең, ал екінші және төртінші мүшеле{)дің
көбейтіндісі 160-қа тең. Прогрессияның алғашқы алты мүшесінің
қосыидысын табыңыз.
Жауабы: 87.
I, + < ? 4 + a 7
22.
=
:45
орындалатындай,
ч.-а. =315
арифмепгикалық
тірогрвссиянын жиырма мүшесінің қосындысын табыцыз.
Жауабы; 690.
23. Арифметикалық прогрессияныц барлык мүшелврі натурал
сандар. Оның алгашқы тоғыз мүшесініц қосындысы 200-ден артық, бірақ
220-дан кем. Егер екііішісі 12-ге тең болса, осы прогрессияньің бвсінші
мүшесін табыңыз.
Жауабы: 24.
24. Оньщ барлық мүшелерінің қосындысы 112, екінші мүшесінің
айырмага көбейтіндісі 30, ал үшінші және бесінші мүшеяерініц
косындысы 32-ге тең болса, арифметикалық прогрессия мүшелерініц
санын табыңыз.
Жауабы: 7.
25.5-ке есеяі барлық үоі таңбалы сандардың қосындысы қаншага
тең?
Жауабы: 98 550.
26. Егер
а, = 6 ,
= 33
болып,
ал
барлык мүиюлерінің
қосындысы 405-ке тең болса, арифметикалық прогрессия мүшелерінің
санын табыңыз.
Жауабы: 15.
27.4-ке бөлгенде, 3-ке тең қалдық шьиатын,барлық екі таңбалы
сандардың қосындысын табыцыз.
Жауабы: 1 265.
257
www.nismath.org
28. Арифметикалық прогрессияның алғашқы сегіз мүіаелерінің
қосындысы 32‘Ге тең, ал алғашқы жиьфма мүшесінің қосындысы 200-ге
тен- Алғашқы жиырма с т з мушесіиің қосыңдысын табыңыз.
Жауабы: 392.
29. Арифмеіикалық прогрессияның үшінші мүшесі 10, ал
сегізіншісі 30. Қосындысы 242-ге теңболу үшін, кщпоа мүшені алу керек?
Жауабы: 11.
•
30.10 200-ге тең қосындыны алу үшін 3; 5; 7; 9 ... арифметикалық
прогрессиясының қанша мүшесін алу қажет?
Жауабы: 100.
'Л риф м етйкі!
-.К«см«ттері
гын « с е а га
1. Арифметикалық прогрессияныц алғашқы төрт мүшесінің
косындысы 56-ға тең, ал соңғы төрт мүшесінің қосындысы 112-ге тец.
Егер онын бірінші мүшесі 11-ге тең болса, прогрессия мүшел^ііяіц санын
табыңыз.
Жауабы: 11.
2. Арифметикалық прогрессияның алғашқы торг мүшесінің
қосьгадысы 40-қа тец, сонғы торт мүшесінің косындысы 104-ке тең, ал
осы прогрессияның барлық мүшелерінің қосындысы 216-га теқ. Осы
прогрессияда қанша мүше бар?
Жауабы: 12.
3. Оның алғашқы торт мүшесінің қосындысы 26, соңғы төрт
мүшесінің косындысы 110, ал барлық мүшелерінің косындысы 187 екенін
біле отырып, арифметикалық прогрессияны курайтын сандардм табыңыз.
Жауабы: 2; 5; 8 ...
4.
lg (5 * -4 );
lg3
жэне lg(5^+ 4) үш сан дг-тің қанда
мәндерінде арифметикалык прогрессия қүР^іДы?
Жауабы: 1.
258
www.nismath.org
5. lg ( 2 " - l) ;
ilg 3 1
және lg (2 ^ + l) үш сан х-тің қандай
мәндерінде гфифметикалық прогрессия қ^айды?
Жауабы: 2,5.
6. 2yfx ; yflx+ S және 4>/х тізбегі .х-тің қандай мәндерінде
арифметикалық прогрессия курайды?
Жауабы: 4.
7. уІ2х+9 ;
жэне -J^x+9 гізбегі дс-тің қандай мәндерінде
^)ифметикалық прогрессия қурайды?
Жауабы: 20.
8. Ig4; lg(9^+5^; lg(9'*^+13) сандары дс-тің қандай мэндерінде
арифметикалық прогрессия кұрайтынын анықгаңыз.
Жауабы: 0,5.
9. 2cos—; 4sincf; 6 s in ( ^ - a ) сандары а-ньщ қандай
6
мәндерінде, арифметикалық прогрессияның тізбектес мүшелері болып
табылады?
Жауабы: (-1)^ ^ + жк; k ^ Z .
10. sinjc; sin 2л:; sin3jc арифметикалық прогрессияның тізбекгес
үш мүшелері беріпген. х табыңыз.
Жауабы:
keZ.
1. Арифметикалық проірессияның төртінші жэне оньшшы
мүшелерінің косындысы 10-ға тең. Алғашқы 13 мүшесінің қосындысын
табыңыз.
Жауабы: 65.
2. 5 0 ^ -4 9 ^ + 4 8 ^ -4 7 ^ + ...+ 2 ^ -1 косындысын табыңыз.
Жауабы: 1275.
259
www.nismath.org
3. Тевдеудашепшцз: -----^+ ------+ ...+ —= 3 .
X
X
X
Жауабы: 7.
4. Тевдеуді шешіңіз: 2 + 5 + 8 + ...+ х = 155.
Жауабы: 29.
5. Арифметакаяық прогрессия берілген.
4а^ - 4flj -Ор + а ^ -a fy
есептеп шығарыңыз.
Жауабы: —.
2,
6. ТІК бурьшггы үшбурьпптың қабырталары арифметикалык
прогрессияны қурақды. Үшбурыштың периметр! 24-ке тең. Үшбурыштыц
ауданын табыңыз.
Жауабы: 24.
7. Егер
a^+ag+a^2+a^^=224
екендігі белгілі бопса, онда
арифметикальщ прогрессияның алғаліқы 19 мүшесінің қосындысын
табыңыз.
Жауабы: 1 064.
8. Тевдеуді шешіңіз: 2+6+10+-...+2дс = 242.
Жауабы: 21.
9. Кез-келген п үшін белгілі бір арифметикалық прогрессияныц
мүшелерінің қосындысы S„ =4п^ —Зп формуласы турінде орнектелетіні
белгілі. Осы прогрессияның алғапіқы үш мүшесінщ көбейтіндісш
табыңыз.
Жауабы: 153.
10. Арифметикалық прогрессияның алгашкы бес мүшесінің
қосықцысы оның келесі бес мүіпесшщ қосындысынан 50-ге кем.
Прогрессияның оныншы мүшесі ёкіншісінен қаншаға артық?
Жауабы: 16.
1 1 .13-ке бөлінбейтін барлық үш таңбалы савдардың қосындысьга
табьщыз.
Жауабы: 456 876.
260
www.nismath.org
1 2 .17-ге бөлінбвйтін бфлық үш таңбалы сандардьщ қосындысын
табыкыз.
Жауабы: 465 718.
13. Теңдеудішешіңіз:
=27^ (д:еМ ). .
Жауабы: 4.
14. Тік бурышты үшбұрыштың кабырталары арифметикалык
прогрессияны қурайды. Егер оның ауданы 6-ға тец болса, үшбүрыштың
периме'ірін табыңыз.
Жауабы: 12.
15. Төрт таңбалы сандардыц цифрларының қосындысы 16-ға тең.
Егер онын цифрлары арифметикалық прогрессияны күрайтын болса және
бірлік цифры жүздік цифрдан 4-ке артық екендігі белгілі болса, оңда осы
санды табыңыз.
Жауабы: 1 357.
16. Көпбұрыштың периметрі 158-ге теқ, олардың қабырғаларынын
ұзындыктары арифметикалық прогрессияны күрайды. Прогрессияныц
айырмасы 3-ке тең. Көпбүрыпггың ец үлкен кабыргасы 44-ке тең.
Көпбүрыштың қанша қабыргасы бар?
Жауабы: 4.
17. Айырмасы 10° арифметикалык прогрессияны қүрайтын, дөңес
көпбүрыштың ішкі бүрыштарының ең кішісі 100° екендігі беягілі. Осы
көпбұрыштын кабырғаларының санын табыцыз.
Жауабы: 8.
18. Үшбұрыштьщ ең кіші катеті а-га тең,
арифметикалык прогрессияны қүрайды. Ауданын табыңыз.
кабырталіфы
Жауабы: —а^.
3
19. Арифметикалык прогрессияның бірінші мүшесі бірге тең. d
прогрессия айырмасының кандай мәнінде
кіші мәнге ие болады?
Жауабы:
261
'^ з +
'^ з )
сң
www.nismath.org
§2. Г Е О М Е Т Р И Я Л Ы Қ П Р О Г Р Е С С И Я
Гсом«трнялм қ
1. Геомеіриялық прогрессияның бесінші мүшесін табыцыз, егер
/•j + 64 = 36 , &2 "^^3 ~ ^8 •
Жауабы: 48.
2. Геомвтриялық прогрессияныц Ь„=Ъ, ft„^.g =243 екі мүшесі
белгілі.
қаншағатец?
Жауабы: ±%Jb .
3. Осы сандармен бірге геометрияпық прогрессияны қүрайтьшдай,
243 және 1 сандары арасына төрт санды орналастырыңыз.
Жауабы: 81; 27; 9; 3.
4. Геомегриялык прогрессияның тогазыншы мүшесінің алтыншы
мүшесіне қатынасы - -ге тең. Егер оның бесінші мүшесі 3-ке тең болса,
8
прогрессияныц бірінші мүшесін табыцыз.
Жауабы: 48.
5. Кемімелі геомеіриялык прогрессияныц екінші мүшесі 192, ал
төртінші мүшесі 48. Осы прогрессияныц қанша мүшесі екі таңбалы
натурал сандар болып габылахіы?
Жауабы: 4.
6. Үш сан
геометриялық прогрессияны қ^заиды.
көбейтіндісі 64-ке тец, ал олардың арифметикалык ортасы
Олардың
тең.
Прогрессияныц бірінші мүшесін табыцыз.
Жауабы: 2 немесе 8.
7. Үш сан геометриялық прогрессия күрайды. Оның екінші және
үшінші мүшел^зініц арифметикалық ортасы 20нга тең, ал бірінші және
екінші мүшелерініц арифметикалық ортасы 5-ке тең. Осы сандарды
табыцыз.
Жауабы: 2; 8; 32.
262
www.nismath.org
8. Егер бірінші жәве төртінші мүшeлq)дiң қосындысы 35, ал
екішпі және үшшші мүшелердің қосындысы 30 бопса, геометриялық
прогрессияның еселігін табыңыз, мрідағы прогрессия өспелі екендігі
белгілі.
3
Жауабы: —.
9. Оньщ үшінші мүшесі біріншісінен 9-ға артық, ал екіншісі
төртіншісінен 18-ге артық болса, геомвтриялық прогрессияны қ^айтын,
торг санды табыңыз.
Жауабы: 3; -6; 12; -24.
10. Егер алғашқы екі мүшесінің қосындысы 6-ға тең, ал алғашқы үш
мүшесінің қосындысы 7-ге тең болса, геометриялық прогрессияның
еселігін табыңыз.
1
I
Жауабы: — немесе —.
3
2
11. Егер үшінші және жетінші мүшелерінің көбейтіндісі 144-ке тен
болса, геометриялық прогрессияның бесінші мүшесі қаншаға тең?
Жауабы: ± 12.
12. b j= — ,
= 3 геометриялық прогрессиясьгадгпы 27-ге тең
81
мүшесівің нөмірін табыңыз.
Жауабы: 8.
, , 3 750
, 10 50
....................
1 3 . ----- санының 2; — ; — ... пзбегшетиістіліпнанықгаңыз
243
3
9
жэне оньщ нөмірін көрсетіңіз.
Жауабы: Иә (5).
14. Егер алғаіпқы үш мүшелерінің қосындысы 26, ал сощы үш
мүшвсінің қосындысы 2 1 0 6 ^ тең болса, оыда 7 мүшеден қуралган,
геометриялық прогрессияньщ еселігін табыңыз. Прогрессия мүшелері натурал сандар.
Жауабы: 3.
15. Геометриялық прогрессия мүшелері-натурал сандар. Үшінші
мүшесі бірінші мүшенің кубьша тең. Оның алғашқы үш мүшесінің
қосьшдысы бірінші мүшеден 7 есе артық. Прогрессияны табыңыз.
Жауабы: 2; 4; 8 ...
263
www.nismath.org
16. (6„) тізбегі - геомеіриялық іфогрессия, мандаты
''10
= 9.
b^-^b^=54fy. i j -ді табыңыз.
Жауабы: ± 2 .
1 7 .(6 ,) - геомегриялық прогрессия, мундағы 6j + 62+63 =14,
6|*+б| +63 =84. 6j, 9 -ді табыідаз.
Жауабы: 2; 2 немесе 8; —.
18.
Алғашқы
мушесінің қосыцдысы 40-қа тең, ал төртінш
мүшесінен бастан, жегінші мүшесін қоса алғанда мүшелердің қосыңдысы
1 080-хе тең болса, геометрияльщ прогрессияныя Ьу және q табыңыз.
Жауабы: 1; 3.
19.
Геометриялық прогрессияның алғашқы үш мүшесінің
қосындысы 21-ге тең, ал олардың квадраттарының қосындысы 189-ға тең.
Прогрессияның бірінші мүшесін табыңыз.
Жауабы: 3 немесе 12.
20.
Геометриялық прогрессияыың төртінші мүшесі екінші
мүшесінен 24-ке аріық, ал еісінші жэне үшінші мүшелердің қосындысы 6ға тең. Осы проірессияньщ төртінші мүшесін табыңыз.
Жауабы: 25.
21.
Алғашқы үш мүшесінія қосындысы 10,5-ке, ал бірінші және
төртішпі
мүшелдіінің
айырмасы 31,5-ке
тең,
геометриялық
прогрессияның бірінші мүшесін табьщыз.
Жауабы; 3,5.
22.
Бгер олардіщ қосындысы 21-ге тең болса, ал кері шамаларының
қосьшдысы — -ге тең болса, мүшелері оң геометриялық прогрессияны
12
қүрайтын үш саныың ^асыңдыы ең үлкенін табыңыз.
Жауабы: 12.
264
Л
www.nismath.org
23. Геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі мен еселігін
1*5-*1=15,
анықтаңыз, ондагы
1 *4 “ * 2 ”
Жауабы: 1; 2 немесе -16; —.
24. Егер бірінші және үшінші мүшелерінің қосындысы 52-ге тең, ал
екіншісінің квадраты 100-ге тең вкендігі белгілі болса, геометриялық
прогрессияны қ^айтын үш санды табыцыз.
Жауабы: 50; 10; 2 немесе 50; -10; 2.
25. Сощы мүшелерінің қосындысы 27-ге тен, ал <^)таңғы
мүшeлq)iнiң көбейтіңлісі 72-ге тең болса, өспелі геометриялық
протрессияны күрайтын, төрт санды табыңыз.
Жауабы: 3; 6; 12; 24.
26. Осы екі сандармен бірге өспеяі геометриялық прогрессияны
қүрайтындай, 5 және 405 сандарының арасына үш санды
орналастырыңыз.
Жауабы: 15; 45; 135.
27. Гвометриялық прогрессияның үшінші мүшесі 3-ке тең. Осы
прогрессияның алғашқы бес мүшесінің көбейтіндісін табыңыз.
Жауабы: 243.
28. Геометриялық прогрессияның мүшелерінің санын табыңыз,
мүндағы *1 = 2 , ^ = 4 , Ь „ = 2048.
Жауабы: 6.
29. - 8; 4; -2 ... геометриялык прогрессияның нешінші мүшесінен
бастап, абсолюттік шамасы бойынша 0,001 кем болады?
Жауабы: 14.
30. ft,, ... , ft,, - жэне ft,-ft3 -ft, , = 8 геометрия.пық прогрессия
екендігі белгілі. ^ft2 • ftg ) табыңыз.
Жауабы: 4.
265
www.nismath.org
^^3 $І§ц.;Г*еадбігриильіқ прогрессияпы ц ал гаш к ы мүиіелеріиін
>?ІҚд<іЦИДі^^іірыр^н ф орм ула^ар^
'
1. Геометриялық прогрессия мүшелерінің санын табыныз, егер
62+63 =18, 64- 62= 18 , 5 „ = 9 3 .
Жауабы: 5.
2. Мүшелері он геометриялық прогрессиясында 63 = 12, 65 = 4 8 .
Қосындысы 189-ға тең болу үшін, біріншісінен бастап қанша мүше алу
керек?
Жауабы: 6.
3. Геометриялық прогрессияның мүшелерінің саныы табықыз,
мұндмъі 64+ 65= 24 , 6^ - 64= 24, S„ = I27.
Жауабы: 7.
4. 8 2 = 4 ,
S ,=U
мүшелері оң геометрия.пық прогрессиясы
берілген. ^4 табыңыз.
Жауабы: 40.
5. Геометриялык прогрессия мүшелерінің санын авықтаңыз,
I
7
ондағы 6, = 2 , 6 „ = - , 5’„ = 3 - .
О
О
Жауабы: 5.
6. Геомегриялық прогрессияның жиырма сегіз мүшесі бар. Тақ
орында түратын мүшеяердің қосындысы 60, xqpnr орында түратын
мүшелердің қосындысы 75-ке тең. Прогрессиянын еселігін табыңыз.
Жауабы: ^ .
7. Өспелі геометриялык прогрессиянын алгашқы төрт мүшесінің
қосындысы 15-ке тең, ал келесі төрт мүшесінін қосындысы 240-қа тенОсы прогрессиянын алғашқы алты мүшесінің қосындысын табыцыз.
Жауабы: 63.
266
www.nismath.org
8. Мүшелері оң геометриялық прогрессияның бесінші және екінші
мүшелерінің айырмасы 234-ке тең, ал үшішпі және екішпі мүшеяерінің
айырмасы 18-ге тең. Қосьгадысы 120 болу үшін, осы прогрессияның
қашоа мүшесін алу қажет?
Жауабы: 4.
9. 61+ 63+ 65= 18 2, 63+ 64+ 65=546 геометриялықпрогрессиясы
берілген. Қосындысы 242 болу үшін, осы прогрессияішң қанша мүшесін
алу қажет?
Жауабы: S.
10. Өспелі геометриялық прогрессияның алғашқы уш мүшесінің
қосындысы 13-ке тең, ал көбейтіндісі 27-ге тең. Осы іфогрессиявың
алғахпқы бес мүшесінің қосьгадысын есептеп шығфыңыз.
Жауабы: 121.
11. Геометриялық прогрессияның сегізішш мүшесін аныісгаңыз,
мандаты 6 j= 3 , 6 „= 9 6 , S„=189.
Жауабы; 384.
65-64 =216,
12. Erq)
63- 6 1= 8,
болса,
геометриялық прогрессияның
5 „= 4 0
мүшелершщ санын анықтаңыз.
Жауабы: 4.
13. Геометриялык прогрессияньщ бірінші мүшесі 3-ке тең, ал сощ-ы
мүшесі 24-ке тең. Егер оның қосьшдысы вселігінен 43-ке артық болса,
онда прогрессияньщ еселігін анықтақыз.
Жауабы: 2.
14. Геометриялық прогрессияньщ алғаоиол үш мүшесінің
қосындысы 12-ге тең, ал алғашқы алты мүшесінің қосындысы (-8 4 )-ке
тең. Прогрессияньщ үшінші мүшесін табьщыз.
Жауабы: 16.
267
15. Геометриялық
.
bt + b-t
мұқдағы — — — = 2 ,
www.nismath.org
бірінші мүіпесің табыңыз,
прогрвссияның
55 = 2 7 9 ,
Жауабы: 144.
16. Шьщқан қосынды 3 066-ға тең болу үшіы 6;
геометриялық іфоірессияның қанша мұшесін қосу керек?
Жауабы: 9.
17. 0,02 + 0,06 + 0,18+...+43,74 қосылғыштары
прогрессияны қ^райтын қосындыны табыңыз.
Жауабы: 65,6.
12;
24
...
геометриялық
18. Қосындыны табыныз: 1 + 2 + 2^+ ... + 2 ^
Жауабы: 511.
19. Барлық мүшелері оң болатьш, геомегриялық прогрессияның
алғашқы үш мүшесінің қосындысы 221-ге тең. Осы прогрессияның
үшінпіі мүшесі біріншісінен 136-ға артық. Осы прогрессшшың аяогапщы
алты мүшесінің қосындысын табыңыз.
Жауабы: 6 188.
20. 6, = 2,
b„= l 024,
S„ = 2 046
геометриялық прогрессиясы
берілген. Онын мүшеяерінің санын табыңыз.
Жауабы: 10.
Геонёт^
Урёгресс
1. 1;
3^Jy+4 сандары - геөметриялық прогрессиявың
іізбектес мүшелері бола-щндай у-ті табыңыз.
Жауабы: 16.
2. у-тің қандаб мэндерінде,
1;
сандары геометриялық прогрессияның тізбектес
табылады?
Жауабы: 1.
268
2у+4;
7 j+ ll
мүшелері бояып
www.nismath.org
3. X -тің қандай мэндерінде, ^ х - 5 ; 1Jl0x + 4 ; л/х+2 сандары
геометриялык прогрессияның тізбектес мүшелері болып табылады?
Жауабы: 14.
4.
а
;
Ь
\
с
;
d
сандары геометриялық прогрессияны құрайды.
{ a - c f + { b - c f + { b - d 'f - ( a - d f
табыңыз.
Жауабы: 0.
5. jc-тің кэндай мэндерінде X; ^ ІО х ;
прогрессия болады?
тізбегі геометриялық
Жауабы: 0,1 немесе ^/І0.
6. 30—
; 1 сандары геометриялық прогрессияның тізбектес
мүшелері болып табылатындай х -ті табыңыз.
Жауабы: ± л/з.
7. Өспелі геометриялық прогрессияның бірінші және соңғы
мүшелерінің қосындысы 99-ға тең, екінші және соңғысының алдындгоы
мүшелерінің көбейтіндісі 288-ге тен, ал барлық мүшелердің қосындысы
189-ға тең. Геомезриялық прогрессияның еселігін табыңыз.
Жауабы: 2.
4-тобы. ШексіЗ' кем ім елі геом етряяды к арогреееяяікіиік
^сеитері
^V
Ь
1. Шексіз кемімелі геомвтриялық прогрессияның қосындысы 9-га
тең, ал прогрессия мүшелерінің квадратгарыяык қосьлідысы 40,5-ке тен.
Прогрессияны табыңыз.
Жауабы: 6; 2; | ...
2. Екінші мүшесі
тең, ал мүшелерінін қосындысы оның
1
мүіиелершщ квадраттарыиың қосындысының - -не тең, шексіз кемімелі
8
геометриялык прогрессияны анықганыз.
Жауабы: 12; 6; 3 ...
269
www.nismath.org
3. Т ең деудіш еш ііііз: —+ 1+ лс+ дг^+... + дс"+... = ^ ( |л : |< і) .
X
Жауабы: ^
^
j .
4. Тецдеуді шешщіз:
+ 2^ ^ + 2*”' = 6,5 + 3,25 +1,625 +....
Жауабы: 4.
5. Шексіз кемімелі геометрнялық прогрессияның бірінші мушесі 2ге тец, ал оның қосындысы 5-ке тец. Алдыңғы прогрессияның
мүшелерінің квадфатпц>ынан куралған, геометриялық прогрессия
мүшелерінін қосындысын табыңыз.
Жауабы: 6,25.
6.
Қосьгадысы 2,25-ке тең, ал екінші мүшесі 0,5-ке теи шекс
кемімепі геометриялық проірессиявың еселігін табыцмз.
пж
, ^
Жауабы:
j1 иемесе 2
*
тл
^
г;
S
2^5-3
7. Қосындыны табыңыз; V3 + -------р + ------ ?="+...
2+>/3 2 + S
п
жл «
3+лЯ .
Жауабы:
------8. Швксіз кемімвлі геомегриялық прогрессияның қосындысы 4-ке
1
тең, ал оның мүшелерінің кубгарының қосындысы 9 - - г е тең. Осы
прогрессия мүшелерінің ква.іфаттарының қосындысын табьщыз.
Жауабы: — .
9. Есептеңіз:
■
Жауабы: 5.
10. Есеітгеңіз:
£_1
3^3
3^ 3
Жауабы: ~3—.
270
■
11 Z>1•
.
=-64,
•
www.nismath.org
/>2 +
—10
болатындай шексіз кемімеяі
геометриялык, прогрессия берілген. S -ті табыңыз.
Жауабы:
.
12. а-нъің қандай мәндерінде
a-j2 ... шексіз кемімелі
геометриялық прогрессияның қосындысы 8-ге тен болады?
Жауабы: 4 -2 л /2 .
13. Алдыщи екі мүшелерінің қосвшдысы 48-ге тең, ал барлық
мүшелерінің қосвоідысы 49-ға тең, шексіз кемімелі геометриялық
прогрессияның бірінші мүшесі мен еселііін табыңыз.
Жауабы: 42; у немесе 56; - у .
14. Мүшелері оң ліексіз кемімелі геометриялық прогрессияның
алғашкы екі мүшесінің квадраттарының айырмасы 27-ге тең, ал оньщ
мүшелерінің квадратт^ынан қуралган прогрессияның қосывдысы 48-ғе
тең. Осы прогрессияны табыңыз.
Жауабы: 6; 3; 1,5 ...
15. Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы 64-ке
тең, ал оның алғашқы үш мүшесінің косындысы 65-ке тең.
Прогрессияның үшінші мүшесін табыңыз.
Жауабы: 5.
3
9
1 27
1
16. Есептеңіз: —+ ІН------1---- н------1-—+ ...
7
49 3 343 9
Жауабы:
1
17. Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелерінің
һ
қосындысы, оның біршші мүшесшен 3 есе артық. — қатынасын
^4
табыңыз.
9
Жауабы: —.
271
www.nismath.org
18. Алғашкы алты мүшесінің қосындысы оның барлық мүшелерінің
қосындысының
--ІН
8
к^айтынын
біле отырыіі,
шексіз кемімелі
геометриялық прогрессилның еселігін табыңыз.
Жауабы: ± ^ .
■Jl
19. Мүшелері оң шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның
злғашқы уш мүшесінің қосындысы 10,5-ке тең, ал прогрессияның
қосыңдысы 12-ге тең. Прогрессияның екінші мүшесін табыңыз.
Жауабы: 3.
20. Шексіз кемімелі геометрияльгқ прогрессияньщ барлық мүшелері
оң. Алғашқы үш мүшесінін іқ о с ы н д ы с ы 39-ға тең, ал осы мүшвлердің кері
13
'
шамаларьшың қосы н ды сы -----ке тең. Прогрессияның қосындысын
27
табыңыз.
Жауабы: 4 0 ,5 .
1. Геомвтриялық прогрессия 6 мүшеден турады. Алғашкы үш
мүшесінін: қосьшдысы, сояғы үш мүшесінің қосындысынан 8 есе кем
екенін біле отырып, оның еселііін табыңыз.
Жауабы: 2.
2. Өспелі геометриялык прогрессияны қурайтын үш санның
қосындысы 42-ге тең. Негізі 2 болғандагы осы сандардың
логарифмдерінің қосындысы 9-га тек. Прогрессияның еселігін табьщыз.
Жауабы: 4.
3. Геометриялық прогрессия мүшелерінің оньпппысынан бастап,
он алтыншысын қоса есептегендегі көбейтіндісі 125-75 -ке тең.
Прогрессияның он үшінші мүшесін габыңыз.
Жауабы: л/5.
.
. . . 1 I 1 1
4. Теңдеудішешпцз;------ -f-------- -і-...-^
2
4
8
Жауабы: 169,5.
272
16
I
1 024
л+1
512
www.nismath.org
5. Геомеіриялық прогрессияның он жетінші жэне жиырма жетінші
мүшелерінін көбейтіңдісі 9,3-ке тең. Осы прогрессияныц он біріыші және
отыз үшінші мүшелерінің көбешіндісін табыңыз.
Жаунбы: 9,3
6. Геометриялык. прогрессияның эрбір мүшесі келесі екі
мүшелерініц қосындысыньщ алтыдан біріне тең. Егер 6, = I болса, онын
еселігін табыңыз.
Жауабы: - 3 ; 2.
7. Өспелі геометриялык прогрессиясының эрбір
b„^]—2b„+Ъb,^_^ (и > 2 )
шартын канағ.зітандырады.
Ь„ мүшесі
Егер
болса, прогрессияньщ еселігін табыңыз.
Жауабы: 3.
8. Әр бөліісгің келесі бөлікке қатынасы --г е тең болатыңлай,
5
7 8і2 санын алты бөлікке бөліңіз.
Жауабьз: 2; 10; 50; 250; 1 250; 6 250.
9. Он үшінші мүшесінен бастап, проірессияның он екі мүшесіиін
қог:ындысы, оның алғашқы он екі мүшелерінің қосындысының 40%-ін
күраса, кемімелі геометриялық прогрессияның үшішні мүшесініц онык он
бесінші мүшесіне қатынасын табыңыз.
Жауабьі: ^ .
10. Геометриялык лрогрессияныц бірінші
Прогрессия еселігінің қандай мэндерінде,
+
мүшесі бірге тең.
шамасынын мэні
аз болады?
Жауабы:
1 1 . 6,,
2
.
геометриялык прогрессиясының бірінші мүшесі 2-ге
тең. Проірессия еселігінің қандай мэндерінде, (6i!>2 + 5bj) шамасынық
мәні аз болады?
Жауабы: -0,6.
273
www.nismath.org
12. Геометриялық ііротрессиянмң он сешінші жэне жиырма үшінші
мүшелфініц көбеіһіндісі 1,9-ға -гең. Осы прогрессияның он екінші жэне
жнырма тшызыншы мсүшелерінін көбейтіндісін табыныз.
Жауабы: 1,9.
13. Геометрияпық прогрессияның
Осы прогрессиянып
алғашқы тогыз мүшелерінің көбетііідісін табыцыз.
Жауабы: 8.
14. Геометриялық
прогрессияның « мүшесііпч қосывдысы
5 „= Ю ( 2 " - і ) формуласы бойынша есептелс.аі. Осы прогрессняның
жстіш т мүшесін табыңыз.
Жауабы: 640.
15-155 санын үш бөлікке болгенде, шыққан сандар геометриялық
прогресснякы қүрайтын боисын, мүндағы бірінші мүіие ушіншіеінен 120ға кем болуы ксрек. Осы үш бөлікті табыңыз.
Жауабм; 5; 25; 325.
16. Шексіз кемімслі геомсгриялық проірсссияыин. коеын.цысы
/(jc) = x'^-b3x-9 функциясынын [~2;3] аралығындагы ең у-іксн моніке
тең, ал
-һп = /'(0 ). Прогрессбіянын: есе.іігі нсшсге тсң2
Жауабы: j .
17. п -нің
кез-келген
наіурал
мәндсрін.цс,
геометриялық
іірогрессияимң ашғашкы л мушелерінщ қосыидысы, S „ = 3 -(2 ” - l )
фор.муласы бойыніші есептследі. Осы прогрессияиың бесінші мүшесіи
табыныз.
Жауабы: 48.
18. Геометриялық прогрессияның үш тізбектес мүшелершін
косындысы 62-ге тең, ал олардшц ондық логарифмдерінің қосындысы 3-ке
тең. Прогрессияның еселігін табмңыз.
Жауабы: 5 немесе j .
274
www.nismath.org
19. Бірінші және үшінші мүшелерінің қосындысы 35-ке тең, ал
алғашқы бес мүшесінің қосындысы олардың кері шамаларының
косындысынан 49 есе артық. Геометриялық прогрессияның бірінші
мүшесін табыңыз.
Жауабы: 28.
20. Тік бүрьшпы үшбүрыштың қабырғаларының үзындыктары
геометриялық прогрессияны күра ала ма?
Жауабы: Құраалады, q
21.
Геометриялық прогрессияның алғашқы он екі мүшелерінің
көбейтіндісін бірінші мүшенің он бірінші дэрежесіне бөліңіз.
Геометриялык прогрессияның қандай мүшесі шығады?
Жауабы: прогрессияның алпыс жетінші мүшесі.
6 -тобы. А рифметикалы к және геом етряялы қ прогрессняга
аралас есептер
.S-''1. a ; Ь ; с , k бүтін сандарының алғашқы үшеуі арифметикалық
прогрессияны, ал соңғы үшеуі -геометриялық прогрессияны қүрайды.
Егер а+ к = ЪЬ, Ь+с = 27 болса, А санынтабыңыз.
Жауабы: 36.
2. Өспелі геометриялык прогрессияны қүрайтын үш сандардыц
қосындысы 26-ға тең, егер осы сандарға сэйкесінше 1; 7 және 5 сандарын
қоссақ, онда шьщқан сандар арифметикальщ прогрессияны қүрайды.
Геометриялық прогрессияньщ еселігін табьщыз.
Жауабы: 3.
3. Өспелі арифметикальщ проірессияның алғашқы үш мүшесінің
қосындысы 15-ке тең. Егер осы прогрессияның алғашқы екі
мүшелеріненде бірді алып тастасак, ал үшінші санына бірді қоссақ, овда
шыққан сандар геометриялык прогрессияны қүрайды. Арифметикалық
прогрессияның алғашқы 10 мүшесінің қосындысын табьщыз.
Жауабы: 120.
275
www.nismath.org
4. Үшіншісі 12-ге тең үш сан геометриялық прогрессия қүрайды.
Еғер 12 савының орньгаа 9 алсақ, онда үш сан арифметикалық
прогрессияны к^аңңы. Осы саңдарды табыңыз.
Жауабы: 3; 6; 12 немесе 27; 18; 12.
5. Геометриялық прогрессияны кұрайтьш үш санның қосындысы
26-ға тең. Егер бірінші санды өзгерісеіз қалдырсақ, екіншісін 3-ке
арттырсақ, ал үшіншісін 2-ге кемітсек, онда шыққаы сандар
арифметикалық прогрессияны iqfpaiiflbi. Алгашқы савдарды табыңыз.
Жауабы: 2; 6; 18 немесе 18; 6; 2.
6. Геометриялық прогрессияның барлық мүшелері эртүрлі. b^, 63 ,
Z жэне
арифметикалық прогрессияның келесі гөрт мүшелері болып
табылатьшдай, оньщ екінші жэне үшінші мушелерінің арасьша z саиын
қоюға болады. Еселігін табыңыз.
Жауабы: 2.
7. Бес эртүрлі сан арифметикалық прогрессияны құрайды. Егер
оның екінші жэне үшінші мушелерін алып тастасақ, онда қалған үш сан
геометрнялык прогрессияны қүрайды. Оның еселігін табыңыз.
Жауабы: - .
3
8. Егер
6j = l ,
^5
ал
сандары
прогрессияның тізбектес мүшелері болып
геометриялық прогрессияньщ еселігін табыцыз.
арифметикалық
табылса,
кемімелі
Жауабы: —- — .
9. Өспелі геометриялык прогрессияны қ^айш ш үш санньщ
қосындысы 56-ға тец. Егер олардан сэйкесінше 1; 7 жэне 21 сандарьш
алып тастасақ, онда жаңадан шыққан сандар арифметикалық
прогрессияны қүрайды. Геомётриялык прогрессияның он мүщесінің
косындысьш табыңыз.
Жауабы: 8 184.
10. Өспелі арифметикалық прогрессияны қурайтын үш санның
қосьгадысы 15-ке тең. Бгер оларға сэйкесінше 1; 4 және 19 сандарын
қоссақ, онда шыққан сандар геомелриялық прогрессияны күрайды.
Геометриялық прогрессиянын сегіз мүшесінің қосывдысын табыцыз.
Жауабы: 9 840.
276
www.nismath.org
11. Төрт сан арифметикалық прогрессияны қ^райды. Егер оларға
сэйкесінше 1; 1; 3; 9 сандарын қоссақ, онда геометриялық прогрессия
шығады. Осы сандарды табыңыз.
Жауабы: 1; 3; 5; 7.
12. Төрт сан геометриялық прогрессияны құрайды. Егер бірінші
саннан 11-ді, екіюпіден 1-ді, үшіншіден 3-ті, ал төртіншіден 9-ды алып
тастасақ, онда арифметикалық прогрессия шығады.
Осы сандарды
табыңыз.
Жауабы: 27; 9; 3; 1.
1 3 . Айырмасы нөлден өзгеше, арифметикалық прогрессияның
екінші, бірінші жэне үіиінші мүшелері, осы тэртіппен геометриялық
прогрессияны қурайды. Оньщ еселігін табыңыз.
Жауабы: -2 .
14. 3 жэне белгісіз сан арасына бір сан койылған, совда барлық үш
сан арифметикалық прогрессияны қурайды. Егер ортащ-ы мүшесін 6-ға
кемітсек, онда геометриялық прогрессия шығады. Белгісіз санды табьщыз.
Жауабы: 3 немесе 27.
15. Егер геометрия:п>іқ прогрессияның үшінші мүшесінен 4-ті алып
тастасақ, онда алғашқы үш мүіпесі айрымасы 2 болатын, арифмеіикалық
прогрессияны кұрайды. Алғанщы геометриялык прогрессияны табыңыз.
Жауабы: 1, 3, 9 ...
1 6 . Үш сан гео.метриялық прогрессияны қүрайды. Егер ортанд'ы
мүшесін екі еселесек, онда арифметикалық прогрессия шьнады.
Проірессияньщ еселігін анықтаңыз.
Жауабы: 2 ± у /з .
1 7 . Өспелі арифметикалық прогрессияның бірінші мүшесі және
өспелі геометриялық прогрессиянын бірінші мүшесі 3-ке тең.
.Арифметикалық
прогрессияның
екінші
мүшесі,
геометриялық
прогрессияның екінші мүшесінен 6-ға артьпс;; прогрессиялардың үшінші
мүшелері бірдей. Осы прогрессия.чарды табыңыз.
Жауабы: 3; 15; 27 жэне 3; 9; 27.
18. Арифметикалық және өспелі геомегриялық прогрессиялардьщ
бірінші мүшелері бірдей және олардың эрқайсысы 3-ке тең.
Прогрессиялардың екінші мүшелері де өзара тең. Геометриялык
прогрессияның үшінші мүшесінің арифметикаяық прогрессияньщ үшінші
мүшесіне 9:5 -ке қатынасындай. Осы прогрессияларды табыңыз.
Жауабы: 3; 9; 15... жэне 3; 9; 27...
277
www.nismath.org
19. Алғашқы үшеуі арифметгасалық проірессия, ал сЬщ*ы үшеуі геометриялық прогрессия қурайтын төрт санды табыңыа. Арифметикалық
.
. . 4
прогрессияның аиырмасы 4, ал геометрияяық прогрессияның еселіп —-ке
тең екендігі белгілі.
Жауабы: 8; 12; 16; 21^.
20. Арифметикальп; прогрессияның бес мүшесінің қосьшдысы
g 2x+i
теңдеуінің түбіріне тең, оның сощъі мүшесі
1 1 2
- + - + —+
шексіз
кемшелі
геометриялық
прогреееияның
қосындысына тең. Арифметикалық прогрессияны құрыңыз.
.ж
л
Жауабыг
-1; 3- ; , 1;5 - ; 3
2 4
4 2
278
www.nismath.org
VI
ТАРАУ. М ӘТІНДІК МӘСЕЛЕ ЕСЕПТЕРДІ ШЕШУ
1 - то6ы . Т узу бой ы м ен С ір к альіи ты к о згал ы с
1. Пойыз станцияда 6 мин кідіріп, жылдамдыгын 4 км/саг
зрітырып, 36 К.М перегонда кешігуді жойды. Пойыздың алғашкы
жы.лдамдығын анықтаңыз.
Жауабы: 36 км/саг.
2. Электр пойызы А станциясынан Д станциясына қарай шықты.
450 км өткен соң, бұл барлық АВ жолының 75%-ын вэд>ады, пойыз қар
үйікдісінің бөгет болу себебінен токгауға тиіс болды. Жарты сағаттан
кейін жол тазартылды және машинист электр пойызының жылдамдығын
15 км/сш арттырып, В станииясына кешікпей ке.вді. Пойыздың алғашқы
жылдамдыгын табыңыз.
Жауабы: 60 клі/саг.
3. Теплоход белгілі бір жыдцамдықпен 72 км жолды өтуі ззгіс
болатын. Ол жолдың бірінші жартысын ол 3 кіи/саг-кц кем жьшдамдықпен, ал
екінші жартысын 3 кч/саг аргық жылдаиідықпен өтгі. Барлық жолға теплоход
5 сағат жұмсады. Теплоход қанша минутқа кешікті?
Жауабы: М м ш .
4. Темір жолдың екі станциясьшың арасындағы қашықтык 120 км.
Бірінші пойыз бұл қашыктықты екіншісіне қарағаііда 50 мии жылдам
өтеді, бірінші пойыздың жылдамгщіғы екіниіі пойыздың жылдамдығынан
12 км/саг артық. Екі пойыздың жылдамдыктарын анықтаңыз.
Жауабы: 48 юч/саг; 36 км/саг.
5. Арасы 18юі/-гетең А пунктінен В пунктіне жаяу адам шықты.
Оның артынап 2 сағаттан соң велосипедист шыкты, ол жаяу адамның 1
сағат ішіиде жүріп өткен жолына қарағанда, әрбір сағат аралығытіда
4,5 км артық жүріп отырды. Егер оның В пунктіне жаяу адаммен бір
мезгілде жеткендігі белгілі болса, велоснпедистгің жылдамдығын
аиықтаңыз.
Жауабы: 9 км/cas.
6. Жеңіл машина жук машинасына қарағанда 2 мин кеш шығып,
жүк машшюсын 10 к м жерде қуып жетгі. Егер жеңіл машина жүк
машинасынан сағатына 15 км артық жүретін болса, машиналардың
жылдамдыктарын аныктаңыз.
Жауабы: 60 км/саг жэне 75 км/саг.
279
www.nismath.org
7. А және Л-дан і5ір мезгіаде автобус пей велосипедист шыкты.
45 км/cas жылдамдықпеи жүре отырып, автобус Л-да 15- минут аялдаған
сои қайтадан рсйске шығып, А жэне В арасындағы жолдың ортасында
12 км/саг жылдамдықпем келе жаткан велосипедиспі кездесгірдз.
АВ ісашыкгшғын табыңыз.
Жауабьі; 30 км.
8. Турист 160 км жүріп orri. Жолдың -- -ін автокөлікпен жүріп, ал
8
■
калган бөлігін катермен журген. Катердің жылдамдығы автокөліктің
жылдамдығына қарағанда 20 км/саг кем. Турист катерге Караганда,
автокөлікте 15 мин артык уакыт журді. ^ т е р мен автокөліктің
жылдамдыкгары қаншага тең?
Жауабы: ЬО км/cas және 80к;и/сда; %0гм/саг жэне ІШ км/ат.
9. Арасы 360 км болатын екі қаладан бір-біріне қарама-қарсы
бағьпта екі пойыз жолға шықты. Егер екінші пойыз стаяцнадан бірівдіі
пойызга Караганда 1,5 сағатка ерте шықса, онда ояар жолдың ортасында
кездесіп калуы мумкін. Ал егер олар станциядан бір мезгілде шықса, овда
5 саіаттан соң олардың арасындағы кдшықтык 90 км тең болады. Әрбір
пойыздың жылдамдыгын табыңыз.
Жауабы: 30 км/саг және 24 км/саг.
1Ө. А және В калаларыгган, бір мезгідде, бң>біріне қарама-карсы екі
автоквлік шықты. Бір сағаттан соң автокөліктер кездесіп, сол
жылдамдыкіарымен токтамастан жүруді жалғастырды. А қаласына жеткен
екіншісіне вдрағанда, біріншісі В каласша 27 лти кеш жеггі. Егер
калалардыи арасы 90 км екендігі беягілі болса,
автокөліктіи
жыддамдытын аныкгаиых
Жауабы: W км/саг және 50 км/сог.
11.
Арасы
км А және В пункттарынан, бір мезгілде, бір-бір
карама-карсы екі велосипедист шыкш да бір сагаттан сои кездесті. Олар
тура сол жьщ’дамдыкпен тоқгамастан жүруді жалгастырып, А пуніггіне
екіншісінін жетуіне Караганда, В пунктіне біріншісі 35 м т тезірек жетті.
Әрбір велосипедисітің жышдамдығыи анықтаңыз.
Жаүабы: \6км/саг жэне 12іш/саг.
280
www.nismath.org
12. Аэрюдромнан бір мезгілде екі ұшак .ұшып шығып, бірі
192 ісм/cas жыпдамдыкпен огіггүстікке қарай бағытталса, ап екіншісі
256 км/саг жылдамдыкпен шыгысқа қарай багыггады. 3 сағаттан соң
ушактар бір-біріиен қандай қашықтыіпа болады?
Жауабы: 960 км.
13. Бір мезгілде портіан екі пароход: бірі солпусгікке, ал екіншісі
шышсқа карай шықты. Скі сагаттан соң олардың арасындгиы кашыкгық
60
болды. Оларднң бірінің жылдамдығы екіншісінс қараіанда 6 к»/саг
артык екендігін біле отырып, параходшң әркдйсысының жылдамдыгын
табыкыз.
Жяуабы: 18 км/сак 24 км/сш.
14. ІТойыз жолда 6 мин кідіріп калып. кссте бойынша жоспарланган
жылдамлықгак 10 км/саг артық жылдамдықпен өткен соң, 20 км
псрсгонда кешігуді жондм. Кесте бойынша осы перегондг^ы пойыздың
жылдамдығын аиыктаңызЖауабы: А О клі/саг.
15. А жэне В стандиялары арасындағы жолдын орзжьшда пойыз
10 мин кідірді. Кесте бойынша
жету үшін, машинист пойыздың
алғашқы жылдамдьиыи 6 км/сш жоғарылатуға мәжбүр болды. Егер
станциялардың арасы 60 км екендігі белгілі болса, пойыздмң аягашқы
жьиідамдығын табыі^илз.
Жауабм: 30 км/ст.
16. Паровоз 24 клі-лік бірінші перегонды өтіп, біршама уакьгтқа
кідіріп, содан кейін келесі перегонды алдыңғыдан 4 ки/саг артык
жылдамдықпен өтті. Екінші перегон бірінші перегоннан 15 км ү:)ынырақ
болуына қарамастан, оны паровоз біріпші перегонды өтуге кеткен
уақыттан 20 мин артық уақыгта өтті. Паровоздыц аягашқы жылдамдыгын
анықтаңыз.
Жауабы: 32 км/саг
17. Пойыз 840 км жүруі керек. Жолдың ортасында ол 30 мин кідіріп
қадаы жәие сол себеші уақытында келіп жету үшін, жылдамдықгы
2 км/сш арггырды. Пойыз барлык, жолға канша уақыт жұмсады?
Жауабы; 21 саг.
281
www.nismath.org
18. Адасы 75 /cw А және В сгаіщияларниэн, бір мезіілде, бір-біріке
карама-қарсы тауарлык жэне жүрдек пойыз жонелггілдіі жэне олар жарш
сағаттан кейін кезлесті. А стаііциясыиа келіп хгеткеи журдек іюйызға
Караганда. В станцмясына тауарлык пойш 25 м і т кеш жегті. Әрбір
поны ідын жш'дамдыгы кдндай?
Жауабы: Ы)клі/сш жоке 90 км/см.
19. Бір жердсн шыккан екі адам алты кияомстрлік се|>уенге шыісгзд.
Віреуі 3 KAt/t^t.^ жылчамдыкпен, ал скіншісі - 5.5 км/са? жылдзадыкнск
журді. Белгіленгсн жерге жатксн соц, скшшісі соя жыіідамдыкпен кері
карай қайпъ). Олардын ксздесуі жчзнслту жеріт.-іі қаидай қашыктмкіа
болады?
72
Жауабы: Жояелпу жеріыен
к*і кдшыклакга.
20. Пойыз бірқалыпгм 60 км/сш жыддамдыкгіен журе іугы^жгп,
ұзннды»ы 200 мсір жілраньщ Жіишнаі! 0,3 мивуг з}лшышііда «тгі,
Пиныздыц үзындыгьш аныюаңыз.
Жауабы: ІОО л#.
2 - тобы. Ө а*в бойыіц<мг кочгады<;
1. Катер езен ағысы бойымен жилга 3 сатаг жумсады, ал қачітар
жолга 4,5 сагаі жүмсади. Егер суға кшысты катердің жылдамдыім
25 км/са^ болса, өзен аі-ысымың жылдамдығм қандаіі?
Жауабы: 5 км/c a s .
2. Бірінші ксмежайдан екіншігс карай 12 км/саг жы^ддамдықпся
қзмық багыт алды, ал одан кейін жарты сағаттан сон тура сол бағытпеи
жылдамдыгы 20 км/саг пароход шыкггы. Erq> пароход кайыққа қарағанла
1,5 сағат ерте келген болса, кемежайл^ арасы қанша километр екенік
табыныз.
Жауабкі: 60 к л і .
3. Өзсн бойынлагы екі кемежайдып арасы 80 к:*;. Кдйық барыпканткднга 8 саглг 20 минуг уакыт жұмса,ды. Ө кн ағысынмң жылдамлыгык
4 кч/сш, тыньіқ судазъі юшмқіың жылдамдышп аііыкгаңыз.
Жауабы: 10км/>:аг.
282
www.nismath.org
4. Қдйықшы ағысқа қарсы жүргендегіден өзен ағысымен \6 км
қашықтықты 6 сагат жылдам өтеді. Өзен ағысының жылдамдығына
қарманда, тынық судағы қайықтың жылдамдығы 2 км/саг артық. Тынық
судагы қайықгың жылдамдығы мея өзен ағысының жылдамдығын
анықгаңьп.
Жауабы: 5 юи/саг; 3 км/саг.
5. Моторлы қайық өзен агысымен төмен қ ^ ай 14 км өтті, содан
кейін ағысқа қарсы 9 км өтіп, барлық жолға 5 сағат жумсады. Егер тынық
судағы моторлы кайыктың жылдамдығы 5 км/саг болса, өзен ағысыньщ
жылдамдығыи табыңыз.
Жауабы: 2 км/сш.
6. Катер өзен ағысымен 15 км өтгі және ағысқа қарсы тура соыша
өтгі. Ол барлық жолға, оған тынық судағы 80 км өту үшін қажет болтан
уақыттан, 2 есе артық уақытты жүмсады. Егер өзен ағысьшьщ
жылдамдьны 5 км/саг болса, тынык судағы катердің жыддамдығы
қандай?
Жауабы: 20 км/саг.
1.
Турист өзен ағысымен 56 км жүріп өту үшін қаяша уақыт қаж
болса, тура сонша уакыт аралығында көлмен байдаркада 25 км және өзен
ағысына қарсы 9 км өтті. Өзен атысынын жылдамдығы 2 км/саг екендігін
біле отырьш, тынык судаіы байдарканын жыдцамдығын табыңыз.
Жауабы: 5 км/саг.
8. Моторлы кайық тынық суда 70 км жолды журіп өтетін уақыт
гфалыіында, өзен ағысымен 39 км және ағысқа қарсы 28 км өпі. Егер өзен
шғысының жьиідамдығы 3 км/саг болса, тынық судағы моторлы қайықгыц
жылдамдығы қандай болады?
Жауабы: 10 км/саг.
9. Тынык судағы жылдамдығы 15 км/саг катер, өзен айпағынан
өзен аіысымен төмен қарай 36 км өткенде, катердің жөнелтілуіне 10 саг
қалғаида сол өзен айлағынан шыққан салды қуып жетгі. Өзен ағысының
жылдамдьн-ын табыңыз.
Жауабы: 3 км/саг.
283
www.nismath.org
10. Турист өзен іиысымен 12 км салмен жүрііі өтіп, кідірмей, тынык
судағы жылдамдығы 5 км/саг қайықпен қайтадан қайтып кедді. Егер
туристгің барлық саяхатқа 10 саг жұмсағаны белгілі болса, өзен
ағысының жылдамдығын табыңыз.
Жауабы: 2 ті/саг немесе 3 км/саг.
11. Өзен бойындағы екі кемежайдың арасы 40 км. Пароход барыпқайтқанга 6 сагат, ж о л д іи ^ы аялдамаға 1,5 сағат жұмсады. Егер
пароходтың меншікті жылдамдығы 18 км/саг болса, өзен ағысывыц
жылдамдығын анықтақыз.
Жауабы: 2 т/саг.
12. Егер өзен ағысының жылдамдығы 2 км/саг болса, қайтадан 4
сагат ішінде кері кайтып келу үшін, тынық судағы жылдамдығы 8 км/саг
кайықпен кемежайдан озен ағысына қарсы қанша километрге ұзап кетуге
болады?
Жауабы: 15 юи.
13. Кемежайдан ағыс бойымен сал шьщты. Оның артынан 4
сағаттан соң катер шығып, 15 км өткен соң, салды қуьш жетгі. Егер тынық
судағы катердің жылдамдыгы 12 км/саг болса, өзен ағысыыың
жылдамдығьш есептеңіз.
Жауабы: 3 км/саг.
14. Моторлы қайық өзен агысымен 7 сағат және агысқа қарсы 6
сағат жүрді. Егер тьшық судағы қайыкгыд жылдамдығы 10 км/саг болса
және қайық барлық саяхат аралығында 132 км жүрген болса, өзен
ағысының жылдамдығын табыңыз.
Жауабы: 2 км/саг.
15. Моторлы қайық ағыс бойымен жшдры қарай 24 км және кері
карай келіп, барлық жолға 1 сағат 45 минут жұмсады. Егер ол ағыспен
4 .м жолдь, салта кара^нда I с«г жылдымьфак ететін болса, к а й ь ™
8
меншікті жылдамдығын табыңыз.
Жауабы: 28 клі/саз.
284
www.nismath.org
3 *тобы; ІІІенбер бойымен козгалы с
1. Ұзындығы 100 jM-re тең meH6q> бойымен екі дене қозғалып
келеді. Олар бір бағытга және тура солай қозғалып, эрбір 20 сек сайын
кездеседі жэне эрбір 4 сек соң карама-карсы бағыттарда қозғалады. Әрбір
дененің бір секундтағы жылдамдығын анықтаңыз.
Жауабы: 15 м/с жэне 10 м/с.
2. Ұзындығы 999 л/-ге тең шеңбер бойымен, бір бағытга және тура
солай екі дене қозғалады жэне эрбір 37 минут сайын кездеседі. Егер
бірінші дененіи жылдамдығы екіншісінен 4 есе артық екендігі белгілі
болса, әрбір дененің жьщдамдыгын аньнсгаңыз.
Жауабы: Збм/иин жэне 9м/мин.
3. Сақина тәріздес трасса бойымен жарыста, бір шанғышы
екіншісіне қараганда айналымды 2 мин жылдам өтті және бір сағаттан соң
оны бір айналымда қуып жетті. Әрбір шащ-ьшіы айнальшды қанша минут
аралығында өтті?
Жауабы: 10 мин жэне 12 мин.
4. Сақіша тэріздес трассадағы картинг бойынша жарыста,
карттардың бірі екіншісіне арағанда айналымды 5 мин баяу өтті және бір
сағаттан соң одан бір айналымға қалып қалды. Әрбір карт қанша минут
аралығында айна.пымды өпі?
Жауабы: 20 мин жэне 15 мин.
5. А жэне В екі нужте диаметральдық қарама-қарсы нүктелерден,
теракты жылдамдықтарымен шеңбер бойымен қозғалысты бастады. А
нутстесінің жылдамдығы 40 м/с. А нүктесі бес айналымды өткенде,
нүктелер бірінші рет теңессе, А нүктесінің жылдaмz^ығынaн В нүктесінің
жылдамдьны каншага артық?
Жауабы: 4л</с.
6. Екі дене бір бағытга қарай шеңбер бойымен бірқалыпты
қозғалып келеді. Бірінші дене екінші денеге қарағанда шеңберді 3 сек
жылдам айналып өтеді жэне эрбір жарты минут сайын екінші денені қуып
жетеді. Әрбір дене шеңберді қандай уақыт ішінде айналып өтеді?
Жауабы: 15 с жэне 18 с.
285
www.nismath.org
4 г-т<^ы. Жумыс Ж9не ецбек өн ім діл ігін е қ ати сты М9іСеле
« с .е п т е р
'Jr.
'-2' " .
1. Жұмысшылардың бригадасы 360 бөлшек дайындауы тиіс
болатын. Олар күнделікгі белгіленген жоспарға қарағанда 4 бөлшекке
артық дайындап, тапсырманы мерзімінен бір күн бұрын орындады.
Тапсырманы орындауға бригада қанша күн жұмсады?
Жауабы: 9 iqfH.
2. Екі кран бірге жұмыс жасап, баржаны 6 сағат аралығында
жүктен босатты. Егер олардың біреуі басқасына қарағанда оны 5 сағат
жылдам жүктен босата алса, эрбір кран жеке өзі баржаны қавша уақытта
жүктен босата алады?
Жауабы: 10 саг; 15 саг.
3. Аг апі отырғызуда екі бригада жұмыс жасады. Бірінші бригада
екіншісіне қараганда күнделікті 40 ағаш артық отырғызды жэне 270 ағаш
екті. Екінші бригада бірінші бригадаға қараганда, екі күн артык жүмыс
жасады жэне 250 ағаш отыргызды. Бригадаяардың эрқайсысы қанша
күннен жұмыс жасады?
Жауабы: 3 күн; 5 күн.
4. Шөп шабатын шалғышылардың бригадаларының өнімділігіне
қарағанда, өзі жүреіін шапқыштың өнімділігі 5 есе жоғары. Егер өзі
жүретін шапқыш пен шалғьшіылардьщ бригадалары бірге жүмыс жасай
отырып, пішен шабуды үш күн ішінде бітірсе, шабьшдықты шабу үшін,
шагггышылардың бригадаларына қанша күн қажет болады?
Жауабы: 18күн.
5. Бір комбайн участоктан өнім жинай бастады. 2 сағатган сон оған
екінші комбайн қосылды жәно 8 сагат бойы бірігіп жүмыс жасгн'ан соң,
олар өнімнің 80% жинап алды. Егер екіншісіне қараганда, бірінші
комбайнға 5 сагат артық уақыт қажет болгандьн-ы белгілі болса, эрбір
комбайн участоктан өнімді қанша сағат ішінде жинай алады?
Жауабы: 25 саг; 20 саг.
6. Бригада күнделікті 180 га егістікті жыртуы керек болат™,
Жоспарды асыра орьгадай отырып, бригада күнделікті 210 га.жьфтып
отырган жэне жүмыстъі мерзімнен бір күн б ^ ы н аяқтадьг. Бригада қанша
гектарды жэне қанша күн ішінде жыртгы?
Жауабы: 6 күн ішінде, 1 260 га.
286
www.nismath.org
7. Екі автокөлік бірге жұмыс жасай отырып, 6 күннің ішівде жүкті
тасымалдады. Егер олардың бірі, екіншісіне қарағаңца барлық жүкті 5
күнге жылдамырақ тасымалдай алса, барлык жүкті тасымалдауға эр
машинаға жеке қанша күн қажет болады?
Жауабы: 10 күн; 15 күн.
8. Екі жұмысшы бірге жұмыс жасай отьгрып, тапсырысты 6 см-ат
ішінде орыңцай алады. Егер бірінші жұмысшы 9 сағат жұмыс жасап,
содан кейін оны екінші жұмысшы алмастыратын болса, онда олар барлық
жріысты 3 сағаттан соң бітіреді. Жеке жұмыс жасай отырып, эр
жұмысшы барлық жұмысты қанша сағат ішінде орындай алады?
Жауабы: 12 саг; 12 cas.
9. Екі тас қалаушы қабырғаны 7 кунде қалай алады, олардьщ
екіншісі біріншісіне қарағанда жұмысты І ^ күн кейін бастады.
Егер
бірішиісіне қарағанда, екінші тас қалаушы осы жумысты 3 күнге жьшдам
орындай алатыны белгілі болса, олардың эрқайсысы жеке осы қабырғаны
қанша күн ішінде қалай алады?
Жауабы: 14 күн; 11 күн.
10. Трактор бригадасы бірнеше күн ішінде 600 га жерге егін егуі
керек болатын. Ол күнделікті жоспардан 15 га артық егіп отырган,
сондықтан жұмысты 2 күн бұрьш бітірді. Бригада қанша күн ішінде жерге
егін егуді жоспарлады?
Жауабы: 10 күн.
11. Екі слесарь тапсырманы 12 саг ішінде орындады. Егер
тапсырманың жартысын біріншісі орындап, ал қалган бөлігін екіншісі
орьшдаған болса, онда екіншісіне қарағанда біріншісіне 5 саг артық уақыт
қажет болар еді. Олардың әрқайсысы тапсырманы қанша сағат ішінде
орындай алады?
Жауабы: 30 саг; 20 саг.
12. Бір жүргізупііге 600 т жүкті, ал екіншісіне 540 т жүкті
тасымалдауға наряд берьтген. Бірінші жүргізуші белгіленген мерзімге
дейін 4 күн бүрын, ал екіншісі белгіленген мерзімге дейін 2 күн бұрын
тапсырманы оръшдады. Егер біріншісі екіншісіне қарағанда 4 т артық
тасымалдаған болса, жүргізушінің эрқайсысы күніне қанша жүк
тасымалдаған?
Жауабы: 24 т; 20 т.
287
www.nismath.org
13.90 т жүкті тасымалдау үшін бірнеше машинаға тапсырыс
берілді. Әрбір магаинага 0,5 т жүкті кем тиеуіне байланысты, қосымша 6
машина қажет болды. Алгашқыда қанша мапшяаға тапсырыс берілген?
Жауабы: 30 машина.
14.
Бір жұмысшы екіншісіне қарағанда, бір бөлшекті өндеу
минут кем уақыт жұмсайды. Егер екінші жұмысшыға қараганда, бірінші
жұмысшы осы уақыт аралығында 8 бөлшекті артық өңдейтін болса,
олардың әрқайсысы 4 сағат ішінде қанша бөлшек өндейді?
Жауабы: 48 бөлшек; 40 бөлшек.
15. Зауытқа белгілі бір мерзімге дейін 8 000 бөлшекті дайьшдауға
тапсырыс бершді. Нақты кесте бойшппа жұмыс жасай отырып, зауыт
тапсырыстың 25% дайындады, ал содан кейін күндізгі жоспарды асыра
орындай отырып, күнделікті 100 бөлшекті дайьгадады жэне белгіленген
мерзімге дейін 2 күн бұрьш тапсырысты орындады. Тапсырысты орындау
үшін зауытқа қашпа күн қажет болды?
Жауабы: 14 күн.
16. Жұмысшылардың бригадасы белгілі бір мерзімде 272 бөлшекті
дайыңдауы тиіс. Жүмыс басталған соң 10 күннен кейін, бригада күндізгі
жоспарды 4 бөлпіекке асыра орындай отырып, белгіленген мерзімге дейін
1 күн бүрын 280 бөлшек дайындады. Бригада мерзіміңде қанша бөлшек
дайындап шығарады?
Жауабы: 300 бөлшек.
17. Жоспар бойынша бригада белгілі бір мерймде 540 га өнім
жинауы тиіс. Өнімнің 30% жішап болтан соң, бригада қосымша комбайн
алып, алғашқыға қарағаңда, күнделікті 9 га артьщ өнім жинап, белгіленген
мерзімнен 1 күн бүрын жинау жүмысын аяктады. Өнімді жинау қанша
күнге жалғасты?
Жауабы: 9 күн.
18. Белгілі бір мерзімде жүмысшылар бригадасы 360 бөлшекті
дайындауы тиіс. Күндізгі жоснарды 9 бөлшекке асыра орындай отырып,
бригада белгіленген мерзімнен 1 күн бүрын жоспарланган тапсырманы
5%-ке асыра орындады. Егер осы еңбек өнімділігімен жүмыс жасауды
жалғастырса, бригада мерзімінде қанша бөлшек дайындайды?
Жауабы: 432 бөлшек.
288
www.nismath.org
19. Барлық егістікті жыртуға бірінші тракіорға, үшіншісіне
Караганда 2 саг кем уақыт және екінші тракторға қараганда 1 саг артық
уакыт қажег. Бірінші жэне екінші тракторлардың бірігіп жұмыс жасауы
нетижесінде, еілстік 1 саг !2 мин. аралығында жыртылуы мүмкін. Барлық
үш тракгордың бірігія жүмыс жасаса, егістікті жыртуға қамиіа уақыт
жүмсалады?
Жауабм:
саг.
20. Екі жүмысшы белгілі бір іапсырманы бірге орымдаса, оны 12
күнде бітіре алады. Ef ep алдымен олардың біреуі ғана жүмыс жасап, ол
жүмысіъщ жартысын орындап болтан соң, оны екінші жүмысшы
алмастыратын болса, тапсырма 25 күн ішінде бітеді. Әр жүмысшы жеке
барлық тапсырманы қанша күн ішінде орындай алады?
Жауабы: 30 күн; 20 күн.
5 -тобы. Біи меагілде эртүрлі күбырлармеи толты ры яаты о
басссйнге бййлааы сты імәселе есептер
1. 6 сағат гшінде екі қүбыр арқылы бассейн сумей толтырылады.
Бірінші қүбыр екіінші қүбырга Караганда 5 сағатқа жылдам толіырады.
Әрбір қүбыр жеке жүмыс жасаса, қанша уақыт ішінде бассейнді толтыра
алады?
Жауабы: 10 саг; 15 саг.
2. Бір мезгідде екі шүмек бакіы 3 сагагг іініндс толгырады. Егер
екінші шүмекке щшанда, бірішні шүмек бакгы 8 сағатка баяу толтыра
алатыны белгілі болса, эрбір шүмек жеке қанша уақытга бакты толтьфа
алады?
Жауабы: 12 саг; 4 саг.
3. Су айдауыш бакты екі қүбыр 2 сағат 55 минутга толтырады.
Екіншіге Караганда, бірінші күбыр оны 2 сагат жылдам толтыра алады. Әрбір
күбьір жёке жүмыс кгғесе, кэнша уакыт ішіңце бакты толтъфа алады?
Жауабы: 5 саг; 7 саг.
289
www.nismath.org
4. Екі к^бырдың біреуі екіншісіне Караганда бакты сумей 10 мин
'жылдам толплра алады. Егер екі кұбыр бірһіп косылса, 8 мину па бакшн
2
--СІН то.тгырған б*ика, осы бакгед эрбір ісубыр канта узкьп' іідзнде
толтыра аладьз'’
Жауабы; 20.зн/и; 3(і міш.
5.
' Бірінші қубыр І сгнаг ііиіиде басссйннія, бір бнлігіп іолгы
болтан соң. екінш? кубир қосылды кәие олар бірге бассейаді 3 саппта
іолтырды- Егер эр к^быр бассейнді жеке годтырагыһ болса. екінші
к^быргн Караганда бірінші кұбырға 2 сағат арі ык уавддх керек бодар еді.
Бірінші қүбыр ез бегінше гжұмыс жасағанда, қщіша уақьгг ішіндс
бассейиді толі ыра алады?
Жауабм; 8сятаіДа.
6. flip шүмек арқылы вашіа 18 минуіта, зл екіншісі аркылы 27
5
минут ішінде толіьлрылэды. BaHfsaubiH - болігін тозпыру уініи, екі
■
, '..б
шүмекті канша уақь! )қа ашыіі коіо қаткет?
Жауабы: 9 мин.
7. Екі қубыр бассекнді 10 сатат ішінде тпггырадьг. Ғгңр екіншіге
Караганда, бірінші кубырдан судың 2 есе кем ататыіш белгіяі болса, гф
кұбыр жеке бассейнд» кднша уакыт іцгінде толт ырадынын аныісіаңыз.
Жауабм: 30 tw : 15 со?.
8. Біріиіиі кү^быр арқыяы бассейн 5 сатат ішінде толады. Бірікші
кубыр ашылгак соң, 3 сагаттан ксйін екінші кубыр ашылды, оңда бүкіл
бассейнды 6 сағат ішінде тслтыруга болады. Бүкіл бассейн канша сагат
ішіңде толтырылдь;?
1
Жаүабы: 4 — саг.
II
9.
Екі қүбыр бірігіп, бассейнді 4 сағатга толтыра алады. Его
алдымен бірінші қүбыр бассейннің жартысын юлтырып, содзн кейін оны
жазнлп гастап, екіншісік ашсақ, бассейн 9 сағат ішінде толтырылып
бітетін еді. Әр қүбыр жеке бассейііді қаиша сағат ішінде іолтыра алады?
Жауабы: 6 tw ; 12 саг.
290
www.nismath.org
10.
Бассейнді екі насоспен 9 сағат ішінде толтыру қажет болды
бірақ жұмыстьщ аяқталуына бір сағат қалғанда бір насосты өшіріп тастау
қажет болды және жалпы алғанда толтыру 12 сағатқа созылды. Әр
насоспен жеке бассейнді қанша сағатта толтыруға болады?
Жауабы: 12 cas] 36 саг.
6
- тобы .
П ропорция
ш ы гары даты н
иайыздарға;бЦилцн-ыс#ы;!иаіс^
1. Питомникте үйеңкінің 82 000 көшеттері болды, ол питомниктің
барлық көшеттерінің 4%-ін кұрайды, Барлық көшеттердің 85% қарағай
қураған болатын, Питомникте қарағайдьщ қанша көшеті болған?
Жауабы: 1 742 500 көшет.
2. 200 г 10%-тікқантсиробыныңжәне 300 г 20%-тік қант сиробы
араластырылды. Алынған қоспаның концентрациясы {%) қаншаны
құрайды?
Жауабы: 16%,
3. Тракторлық бригада бір күн ішінде 24 га жерді жырпы, бұя
барлық егістіктің 15%-ын кұрады. Егістіктің ауданы қандай?
Жауабы: 160 га.
4. Алдымен тауардьщ бағасы 20% төмендетіліп, содан кейін жаңа
баға тағы 25% төмендетілді. Тауардың алғашқы бағасы барлығы қанша
пайызға төмендетілді?
Жауабы: 40%.
5. Бір ай аралығында фотоапііараттардың бағасы алдымен 18%
төмендетіліп, содан кейін 20% төмендетілді жэне 1 640 теңгені құрады.
Фотоаппаратгардың алғашқы бағасын табьщыз.
Жауабы: 2 500 тенге.
6. А қаласының автоинспекциясыыда есепе тұрған жеқіл
автокөліктердщ саЕШ, жүк автокөліктер санының 60%-ін қурайды. Жеңіл
автокөліктер барлық автокөлікгер санының қанша пайызьш қурайды?
Жауабы: 37,5%.
291
www.nismath.org
7. Бірінші сан 0,5, ал вкінші сан 0,3. Бкінші сан бірінші және
екінші сандардың айырмасының қанша пайызын құрайды?
Жауабы: 150%.
8. 30%-ті 60; 48; 45 сандарыньщ ең үлкен ортақ бөлгіші мен ең
кіші ортақ еселігінің қосындысына тең болатын санды табыңыз.
Жауабы: 2 410.
9. Фирма 2 300 теңгеге ігөтерме бма бойынша товарды сатып
алады жэне оны 6% қымбат етіп бір-бірлеп сатады. Товардың бір-бірлеп
сату б^асы қаидай?
Жауабы: 2 438 теңге.
10. 5 саны N санының 20%-ін қүрайды. -Jn табыңыз.
Жауабы: 5.
11. 11 саны ЗЛ^-1 санының 25%-ін қүрайды. N табьщыз.
Жауабы: 15.
12. 24 с а н ы
Л "
с а н ы н ы ң
15%-ін к ү р а й д ы
.
jV
-н
ің
10%-тін т а б ы ң ы з .
Жауабы: 16.
13. Жүмысшы күндізгі өндіруді 27 бөлшекке көбейтіп күніне 297
бөлшекгі өңдей бастады. Ол еңбек өнімділігш қанша пайызға көбейтгі?
Жауабы: 10%.
14. Егер саның 28%-ті 196-ға тең болса, онда сол санның 84%-ті
қанша?
Жауабы; 588.
15. 646 саньш 10%-ке арттырьш, содан кейін 10%-ке кемітті. Сан
қалай өзгерді? Осы санның өзгеруін пайызбен көрсетіңіз.
Жауабы: 1% азайды.
16. 400 санын 5%-ке арттырып, содан кейін 5%-ке қайтадан
артгырды. Осы санды табыкыз.
Жауабы: 441.
292
www.nismath.org
17. Тік бұрышты үшбұрыштьщ катеітерінің бірін 80%-ке артгарып,
ал басқасын 75%-ке кемітті. Үшбұрыштың ауданы қаиша оайызға
взгерді?
Жауабы: 55% азаяды.
18. Ромбының диагональдарының бірі 40%-ке артты, ал басқасы
20%-ке кеміді. Ромбының ауданы қанша пайызға өзгерді?
Жауабы: 12% көбейді,
19. 140 кг саңырауқүлақ жиналды, олардың ылғалдылығы 98%
и;үрады. Оларды кептіріен соң ылғалдылығы 93%-ке дейік төмевдеді.
Кептіргеннен кейінгі саңыраукүлаісгардың салмағы қандай болды?
Жауабы: 40 кг.
20. Ком(мерс.тат бұйымды 1000 теңгеі е сатып алды. Ол оны
алғашқы бағасынан 20% қымбат сата бастады, бірақ содан кейін сатылым
бағасын 10% төмепдетуге мәжбүр болды. Бүйым қаидай сомаіа сатылды?
Жауабы: 1 ОВОтеңгс.
7-то6ы. Адгебрадык эдкпев паЙызДарга і(атм«ты 'мәселе
« с е Л т с р д і'ш е т ів із г
■'
;
1. Ағаш дайындауда үш бригада жұмыс жасады. Бірінші бригадада
барлық жұмысшылар санының 36% болған, екінші бригада
жұмысшыларының саны, бірінші бригадаға Караганда 72-сі артьщ бодды,
ая қалған 124 жүмысшы ушіиші бригадада болган Үш бригадада барлығы
қанша жүмысшы болған?
Жауабы: 700 адам.
2. Үш жәшікте барлыгы 64,2 кг қанг бар. Екінші жәшікте, бірінші
4 _
.....................................................
жәшіктеп кантгыц ~ -і bap, ал үшшші жәшисге, екшші жэппктеп қанттын:
42,5%-гі бар. Жәшіктердің эрқайсысьшда қанша қант бар?
Жауябы: 30 кг; 24 кг: 10,2 кг.
3. Екі жүмысшы бір ауысым ішінде 72 бөлшеж дайындайтын.
Бірінші жұмысшы еңбек өнімділігін 15%, ал екіншісі 25% жоғарылатқан
соң, олар бірге бір ауысым ішінде 86 бөлшек дайындай бастады. Еңбек
өнімділігін жоғарылатқан соң, әр жүмысшы бір ауысым ішінде қанша
белшек дайындайды?
Жауабы: 46; 40.
293
www.nismath.org
4. Қоймада ! 00 к- жидек болтан. Тачдау жасау натнжесіаде,
жидектіфдің 99% судын бар скендігі анықтаііды Біраз уакыттан сон
жидектердегі судың қүрамы 9S%-Kfc дкйін томепдеді. Енді жнаектсрдін
салмата қашиа?
Жауабы: 50 кг.
5. ?> саиын үш қосылғышқа бөлшекісдік, скінші қосыліын»
біріншіден 25%-ке кем, ал ушіиші косьшғыщ екіншідеи 1-ге кем. Бірінші
косылшшгй'пібыңыз.
Жауабы: 1,6.
6. Тік гөртоұрыиггың биіктігі оның табаішиьщ 73%-ін курайды.
Т к гөрі'бурыиігың аудатл 48 л г -ая іең екенділ пі бше отырып, осы іте
торгбұрыштаң перимстрін ілбыңы.і
Жауабы: 28 м.
7.
Тік төртбурыштың ұзывдығы 25%-ке улкейтіаді. Оиын ауданы
өзгермсу үшін, гік төртбұрышаъщ еніи қанша пайызга азайту ісалсет?
Жаүабы; 20%.
8.
Жака піскен такқурай қурамында судын мөлшсрі 85%. ал курға
таңкураи курамыидаі ы су - 20®/«. Егер жаңа иіскен тацкурайдык. салмаі ы
36 кг болса, қурғак таііқурзйдың салмағын табыиы:;.
Жауабы: 6,73 кг.
9. Қазіргі здіқытта қалада 48 400 тұрғын бар. Жы.з сайыи осы
қаланьщ турғыидары 10%-ке көбейіп оіыргандығы белгі.ш болса, екі жыя
бурын кшіада канша гуртын бол* ан?
Жауабы: 40 000 туріын.
10. Бірінші куі?і іііалғышмлардьщ бригадасы шабындықтың
жартысыи және тага 2 га шанса, ал скінші күні калган шабындықшн
25%-тін және калган 6 га шапқан. Шабындықтың ауданыи табыңыз.
Жауабы: 20 г<?.
11. Бір саниың 5%-гі және екінші санныц 4%-ті 46-ны курайды, ал
бірінші санның 4%-ті мен екінші санньщ 5%-ті 44-зі кұрайды. Осы
сандарды табыңыз.
Жауабы: 600; 400.
12. Тауардың бағасы 23“/0'Ке көтерілді. Тауардың алттішқы багасына
кол жеткізу үшін. оны епді қанша пайызға төмендету қажет?
Жауабы: 20%
_2М.
www.nismath.org
13. Тік бұрышты параллелепипедтің ұзындығы мен енін 10%-ға
арттырьш, ал биіктігін !0% азайтса, оньщ көлемі қанша пайызға көбейеді?
Жауабы: 8,9%.
14. МашЕшаның бағасы алдымен 15%-ға төмендетіліп, содан кейін
)0% жогарьшатьиды, Оның бағасын екі рет өзгерткен сон„ машинаның
бағасы алғашқы қу-нның қанша пайызын құрады?
Жауабы: 93,5%.
15. Кдаьшыс басқармасы бір жыл ішінде мектепті салып бітір5'ді
жоспарлады. Бірінші гоқсандз барлық жұ.мыс көлемінің 25%, екіиші
тоқсанда қалган жұмыстың - 40%; ал үшінші тоқсанда - тағы калган
жүмыегын 60% жасалды. Тортінші тоқсаңда жалпы жүмыс колемінің
пайызы қандаЕі болады?
Жауабы: 18%.
16. Кейбір жүмыстарды орьшдау кезіндегі еңбек өнімділігі 40%
жоғарылады. Осы жүмысты орындау үшін керекті уақыт кднша пайызга
қысқарды?
Жауабы: =:і 28,6%.
17. Дәннің ылғалдылығы 25%-ті қүрайды. 600 кг дәнді кентіргеннен
кейін, ол 100 кг жеңіл болды. Кептіргеннен кейін дэннін ылғалдылығы
кандай болды?
Жауабы: 10%.
18. Жаңадан шабылған шөптің ылгалдылыш 85% құрайды. Егер
оны кеппрген соң, оның ылғалды.ііығы 75% құраса, 1 т шептен қанша
суы кетті?
Жяуабы: 400 кг.
19. Тауардың бағасы екі рет бірдей пайызға төмендетілд!. Егер
оның алғашқы кұны 20 000 теңге, ал негізіі бағасы- 11 250 теңге болса, эр
жолы тауардың бағасы қанша пайызға төмендеді?
Жауабы: 25%.
20. Тауардың бағасы екі рет бірдей пайызға көтерілді. Егер оның
алғашқы қүны 6 000 теңге, ал иегізгі iqfHbi - 6 615 теңге болса, эр жолы
тауардьщ бағасы қанша пайызға көтерілді?
Жауабы: 5%.
295
www.nismath.org
в»^~г<И1ы. К о и ц ен гр аи й я
есевтерт:'
■
мен пай ы ізд м қ к у р а м г а
-
м эселе
1. Teni'i с>'ы массасы бойыноха 5% тр^цан гурзды. Гұздыи
коіщентрациясы ),5% болу үшін, 15 л теңіз суына канша тұщы су қүю
кажет?
Жауабы: 35 .г.
2. 8С% Судан г’урагын, массаға қол жеткізу үшін, ку{>амында
суы бар ! 00 кг массадан канига кг судм буландыру қажеі ?
Жауабы: 50кг.
3. Мыс псн қааайы балқымаларынык екі кссегі Gap. Бірінипсііідг
40%, екінигісінле - 32% мыс бар. Мысы 35% біхлатындай жнңа 8 кг
балқыма алу ушін осы кесектердіц садмағы қандай болуы керек?
Жауабы: 3 к г-, 5 кг.
4. Бір срітіадіде азот қышқылыньш, молшері 30'И> (көлемі
бойынша), ал екінліісінде азот қышкыльшың мөлшері 55%. 100.</ 50%-дык
азот қышкылының ерітілдісін алу үшік, бірінші және екіиші
срігінділерден кднша шіу кдже г?
Жауа®іыі; -20д; 80д. ■
5. 80 г І5"/о-дық түз ерітіндісіне 20 .? су қосьиуты. Паііда болғзн
ерітіндінің кояцентрациясын гныіпацыз.
Жауабы: 12%,
6. Массасы 16 кг мыс пен калайының балқымасьшдат қалайынын
молшері 55%. Жаңадан пзйда боліан балкымада 60% қалайы болу үшін,
балкымаға қанша таза қалайыны қосу кажет?
Жауабы: 2 кг.
1. 4%-цық ерітіндіиі any үшін, 40 кг
қанша су қосу кажет?
Жауабы: ІОкг.
5%-дық түз ерігіндісіне
8. Массасы 24 кг мыс пен қалайының балқымасындағы мыстық
мөлшері 45%. 40% мыстан іүратын балкыманы алу үшін, бастапқы
балкымага қанша таза қалайыны қосу қажет?
Жауабы: 3 кг.
296
www.nismath.org
9. Массасы 72 кг мыс пен мырыштың балқытьшған кесегі 45%
мыстан тұрады. Жаңадан пайда болған балқымада 60% мыс болу үшін,
осы кесекке қанша мыс қосу қажет?
Жауабы: 27 кг.
10. Тот баспайтын болат, хром мен никелі бар темір балқымасынан
тң)ады. Егер балқымадағы хром 15%, ал хромға қарағанда никель 30 есе
кем болуы тиіс болса, 67,6 кг темірден қанша хром мен никельді балқыту
қажет?
Жауабы: 12,4 кг.
11.60% жэне 80% темірден тұратын екі балқымадан, қурамында
75%-дық темірі бар 40 кг балқыманы алу қажет. Әр балқыманың неше
килоірамын алу қажет?
Жауабы: 10 кг\ 30 кг.
12.20 кг 4%-дық тұз ерітіндісіне, 30 кг 5%-дық ерітіндісін қосьш,
сонан соң пайда бодаан ерітіндіден 8% суды буландырып тастады. Пайда
болған ерітіндідегі трдың концентрациясын есептещз.
Жауабы: 5%.
13. 300 г 50%-дық жэне 100 г 30 %-дық қышкыл ерітінділері
^іаластырылды. Пайда болтан қоспадши қышқылдың пайыздық қ^рамын
анықтаңьп.
Жауабы: 45%.
14. Құрамында 80 г алтын бар күміс пен алтынның балқымасы,
100 г таза алтынмен бірге балқытылды. Соның нәтижесінде балқымадағы
алтынның қурамы, алғашқы 20%-дан жоғарылады. Балкымадағы күміс
қавша?
Жауабы: 120 г.
15. 50%-дық қышқыл ерітіндіні алу үшін, 30 г 15%-дық қьшіқыл
ерітіндісіне, осы қьппқылдың 75%-дық ерітіндісін қосу қажет. Қосуға
кажетті 75%-дық қышқыл ерітіндісінің мөлшерін табыңыз.
Жауабы: 42 г.
16. Алюминий мен мырыпггың балқымасындағы алюминийдің
мөлшері 82%. 18 кг мырышты қосқаи соң, балқымадағы алюминий
қүр амы 70%-ға дейін төмендеді. Балқымада алюминий мен мырыштың
бөлек қанша болғандығын есептеңіз.
Жауабы: 86,1 кг; 36,9 кг.
297
www.nismath.org
17. Екі бөшкеде су мен спирттің қоспасы бар. Бірінші қоспаның
40%-ті, ал екінпіі қоспаның 30%-ті спирт. Спирт пен су 3:5
қатынасындай болатындай, 12 декалитр спирт қоспасын алу үшін, эрбір
бөпікеден осы коспаның қанша мөлшерін алу қажет?
Жауабы: 9 д к л і 3 д к л .
18. Екі кесек құйма мырьші, мыс және қалайыдан турады. Бірінші
кесекте 40% қалайы, ал екінші кесекте - 26% мыс бар. Бірінші және екінші
кесектегі мырыштың пайыздық құрамы бірдей. 150 г бірінші және 250 г
екінші кесекті балқытқанда, жаңа балқыма алынды, оньщ 30%-ті мырыш
болып шықты. Жаңа балқымада қанша грамм қалайы бар?
Жауабы: 170 г.
19. Бір тонна кенде темірдің белгілі бір мөлшері бар. 12,5%
темірден туратын, 400 г қоспаны кепнен алып тастаган соң, қалған кендегі
темір құрамы 20% жоғарылады. Кенде темірдің тагы қанша мөлшері
қалды?
Жауабы: 375 кг.
20. Балқыма мыс пен мырыштан тұрады. Бірінші кссекте 60% мыс
және 40% мырьші бар, ші екіншідегі мыс пен мырыштың мөлшері 7:3
қатынасьгндай. Мыс пен мырыш 11:5 қатьшасында болатындай, 1 к г
жаңа балқыманы алу үшін, әрбір кесектен қанша алу керек?
Жауабы: 125 г; 875 г.
9 -тобы^ Сандардын формулалары" каЛдаяылатын маселё
есептер: .
^
^‘
1. Ізделінді санды оның цифрларының қосындысьша көбейтсек,
144 шығады. Бірліктерінің саны ондықтарының санынан екіге артьщ
болатын екі таңбалы санды табыңыз.
Жауабы: 24.
2. Цифрлары бірдей екі таңбалы сан берілген. Егер үлкен разрядка
бір бірлікті қоссақ, ал кішісіне екі бірлікгі қоссак жэне шыққан санды
бастапқы саивға көбейтсек, онда көбейтіндісі 2464 болады. Осы санды
табыңыз.
Жауабы: 44.
3. Екі таңбапы санның цифрларының қосындысы 12 тең. Егер осы
санның цифрларының орнын ауыстырсақ, онда бүл ізделінді саннан 18-ге
артық сан болады. Осы санды табьщыз.
Жауабы: 57.
298
www.nismath.org
4. Екі танбалы санның цифрларынын косындысы 6-га тең. Осы
санның берілген санның цифрларының орнын ауыстырғанда пайда болған
санға қатынасы ^ -ге тең. Осы сандарды табыңыз.
Жауабы: 24; 42.
5. Ортасында иөл гүрған үш таңбалы санның цифрларының
қосывдысы 9-га тең. Егер бірінші және соңғы цифрлардың орнын
ауыстырсақ, онда шыккан жана сан берілген саннан 99-ға артық болады.
Осы санды табыңыз.
Жауабы: 405.
6. Егер ойластырылған екі таңбалы санның сол жағына екі цифрын
қосып жазсақ, онда шыққан үш таңбалы сан алгашқы саннан 9 есе артык
болады. Қандай сан ойластырылған?
Жауабы: 25.
7. Екі таңбалы натурал сан 6q)uireH. Осы санның жэне кері қарай
жазылған санның квадраттарының айырмасы 495-ке тең. Осы саңдардың
қосындысын табыңыз.
Жауабы: 55.
8. Егер екі таңбалы санды оньщ цифрларының қосындысына
бөлсек, онда бөліндісі 6 жэне қалдығы 2 шығады. Егер осы санды окың
цифрларының көбейтіндісіне бөлсек, онда бөліндісі 5 және калдыгы 2
шығады. Осы санды габыңыз.
Жауабы: 32.
9. Егер екі таңбалы санды оның цифрларының қосындысына
бөлсек, онда бөліндісі 8 жэне қалдығы 4 шығады. Егер осы саннан 63-ті
алып тастасақ, онда сол цифрлармен керісінше ретпен жазылған екі
таңбалы сан шыгады. Осы санды табыңыз.
Жауабы: 92.
10. Ізделінді екі таңбалы санның цифрларынын қосындысы 11-ге
тең. Егер ізделіп отырған санды сол цифрлармен керісінше ретпен
жазы-лған, санға бөлсек, онда бөліндісі 2 жэне қалдығы 7 шыгады. Осы
санды табыңыз.
Жауабы: 83.
299
www.nismath.org
11. Eici таңбапы сан өзінің цифрларының көбейтіндісінен 14-ке
артык жәнв кері қарай, сол цифрлармен жазылған саннан 45-ке кш . Осы
санды табыңыз.
Жауабы: 38.
12. Екі таңбалы сан өзінің цифрларынын квадраттарының
қосыцаысынаы 19-ға гфтық және сол цифрлармен кері қарай жазылған
саннан9-гаарпгық. Осы санды табыңыз.
Жауабы: 32.
13. Белгілі бір екі таңбалы санның цифрларының квадратгарының
қосындысы, осы цифрлардыц екі еселенген көбейтіндісінен 4-ке артық.
Осы екі таңбалы санды овың цифрларьшың қосындысына бөлсек,
бөліндісі 4 және қалдыгы 9 шығады. Алгашқы санды табыңыз.
Жауабы: 57.
14. Екі тацбалы санныц цифрларынын көбейтіндісі оның
цифрларының қосындысынаи екі есе артык. Егер ізделінді саннан 27-ні
алып тастасақ, онда кері қарай сол цифрлармен жазылгаы сан шығады.
Осы санды табыныз.
Жауабы: 63.
15. Екі тацбалы сан оның цифрл^зының қосындысынан 6 все аріъіқ.
Егер осы санван оның цифрларынын көбейтіндісін алып тастасақ, онда 34
шыгады. Алғашқы санды табыңыз.
Жауабы: 54.
16. Екі таңбалы оң санда цифрлардын квадраттарының қосындмсы,
оның цифрларынын қосындысынан 2,5 есе артық және осы цифрлардың
үш есвленген көбейііңдісінен бірге артық. Осы санды табыцыз.
Жауабы: 13 немесе 31.
300
www.nismath.org
10 - тобы. К ейбір сая д ар га нрояф рциоиая қ о с ы л і ы щ т ар га
(пемесе олард ы ц к а т ы н а с ы н а б ай л ан ы стія) маселе есецтер:
1. Атка
мінген
екі
адамның
жылдамдыкгары
2 1_
5' 2 0
қатынасындай. Бірінші атка мінген адамның жылдамдығы екіншісінен 1,5
км/саг артық. Бірінил атқа мінген адамнын жылдамдығын табыңыз.
Жауабы: 12 клг/саг.
2. Тікүішактың жылдамдыгы автокөліктің жылдамдығынан
85 км/саг артық, ал олардың жылдамдмқгармның қатынасы 35:18-ге теч.
Автокөлік пен тікұшакплң жылдамдыкгармн анықгаңыз.
Жауабы: 90 к.ч/сш\ 175 км/саз.
3. 30 санын; 1; 2 лсәне 7 сандарына тура пропорционал етіп
бөліңіз (үш қосылғышіардың қосықдысына бөлшекгеңіз). Үлкен санды
табыңыз.
Жауабы: 21.
4. Шебер үш күнде 48 бапшек жасады, оның бірінші, екінші және
үшінші күні жасаған бвлшектерінщ саны 5; 4 жэне 3 сандарына
пропорционал. Алғашқы екі күнде ол қанша бөлшек жасады?
Жауабы: 36.
5. Екі оң санның кдтынасы 3:2 қатынасындай. Егер оның кішісін
4-ке бөлсек, ал үлкенін 9нға бөлсек, онда бірінші бөлінді екінші
бөліндіден 4-ке артық болады. Осы сандарды табыңыз.
Жауабы: 72; 48.
6. Фарфорды жасау үшін 6,25:0,25:0,5 катынасындағы саз, гипс
жэне қүм қолданылады. Егер күмнан саздың 184 г-ы артық болса,
фарфорлық ыдыстың салмағы қанша болады?
Жауабы: 224 г.
7. Үш сан 1; 2 және 3 сандарына ісері пропорционал. Бірінші сан
екінші сааінан 2,16 артық екендігін біле отырып, осы сандарды табыңыз.
Жауабы: 4,32; 2,16; 1,44.
301
www.nismath.org
8. Үш сан
0,4; 0,75 сандарына кері пропсфционал. Үшінші
сан қалған еке)4він қосындысынан Ібнга кем. Осы саидарды табыңыз.
Жауабы: 9; 15; 8.
23
9. Екі бөлшектің қосындысы 1—--ке тең. Олардың алымдарының
63
катынасы 4:5 -ке, ал бөлімдерінің қатынасы 3:7 -ге қатынасындай. Осы
бөлшектерді 'табыііыз.
Жауабы: - ; — .
9 21
’
10. Үш бөлшектіц алымдары 1; 2; 5 сандарына пропорционал, ал
бөлімдері сәйкесіише 1; 3; 7 сандіарына пропорционал. Осы бөлшектердің
арифметикалык ортасы
441
-ге тең. Осы бөпшектерді табыңыз.
Жауабы: —; — ; — .
7 21 49
іісуйёсЖ
1. Ауданы 80 га және 120 га екі учасгоктан 7 200 ц дәнді дакыл
жиналды. Егер еківші участоктың 2 га-нан жинаганға қарағаида, бірінші
участоктын әр 3 га-нан 10 ц дәвдІ дақыл аріъіқ жиналса, әрбір
участоіггағы 1 га-иш канніа BeHTHq> дәцді дакыл жиналцы?
Жауабы: 30 ц; 40 ц.
2. Егер екі еселенгон бірінші және үш еселенген екінші санның
қосындысы 23-ке тең болса, ал үш еселенген бірінші саинан төрт
есепенген екіншіден 8-ге артық екендігі белгілі болса, 2 санды табыңыз.
Жауабы: 4; 5.
3. Егер бөлшектің алымын бірге азайтсақ, онда бөлшек j -ге тең
болады, ал егер оның бөлімін бірге азайтсақ, онда белшек - - г е тең
4
болады. Осы бөлшекті табыңыз.
6
Жауабы:
25
302
www.nismath.org
4. Егер тік төртбұрьпптың енін 10%, ал ұзындығын 20% артгырсақ,
онда оның периметрі 16 слі артады. Егер енін 20%, ал ұзындығьш 10%-ке
азайтсақ, рвда периметрі 14 см-ге азаяды. Тік төртбұрыштың ұзындығы
мен енін табыңыз.
Жауабы: 30 сл<; 20 см.
5. Екі санның арифметикалық ортасы 17-ге тең, ал геометриялық
ортасы 15-ке тең. Осы сандарды табыңыз.
Жауабы: 9; 25.
6. Бір-бірінен 30 км қашықтықгағы өзендёгі моторлы қайық пен
желкеқці кеме, бір-біріне қарама қарсы шыгьш бір сағаттан соң кездесті.
Егер моторлы кайык, желкенді кемеден 20 км қашықтықга болып және
оны қуьш жететін болса, онда оған 3 сағат 20 минут қажет болатын еді.
Қайык пен желкенді кеменің жылдамдықтарын анықтаңыз.
Жауабы: 18 км/саг; 12 км/саг.
7. Егер жай бөлшектің алымьша жэне бөліміне 1-ді қоссақ, онда
бөлшек --г е тең болады, ал егер ала.шьшың квадраіъш жэне алғашқы
бөлшектің бөлімін қоссақ, онда 146 шығады. Алғашқы бөлшекті табыңыз.
Жаүабы:
11
■
8. Көбейтіндісі 720 тең болатын, екі натурал сан ойластырылды.
Егер бірінші санды екіаші санға бөлсек, онда бөліңдісі 3 және қалдыіъі 3
болады. Қандай сандар ойластырылды?
Жауабы: 48; 15.
9. Екі санның орта пролорционалы осы сандардьщ кішісінен 12-ге
аріық, ал осы савдардың арифметикалық ортасы олардың үлкенінен 24-ке
кем. Осы сандарды табыныз.
Жауабы: 6; 54.
10. Фермадағы сиырларды бірнеше күн жемнің евсі түрімен
азыкдандырды. Бірінші түрлі жемнің 1 г/-де 15 кг ақуыз жэне 80 кг
көмірсутек бар, ал екінші түрлі жемнің 1 і/-де 5 кг ақуыз бен 30 кг
көмірсутек бар. Егер барлық жемде 10,5 ц ақуыз бен 58 ц көмірсутек бар
болса, жемнің эр тұрі қанша центнерді қүрайды?
Жауабы: 50 щ 60 ц.
303
www.nismath.org
11. Олардың &ірліқ саны жүзяік санная 1-ге кем, бірлік саны ондық
саннан 2-ге кем, цифрлардвд қосындадсы барлық саннан 333-ке кем
болатын үш таңбалы санды та&іңыз,
Жауабы: 342.
12. Егер олардың цифрларының. қосындысы санның өзінен 837-ге
кем және ізделін отыртан сан сол цифрлармен кд)і қарай жазылған саннан
396-ға артьщ екендігі белгілі болса, бірінші цифры соңғысынан екі есе
артық үш таңбалы саңцы табыңыз.
Жауабы: 854.
13. 30 жейде мен 25 көйлекке 14 750 теңге төлеу керек. Дегенмен
жейдеге 20% жеңілдік жэне көйлекке 10% жеңілдік болғаннан, жейде мен
көйлектің құнының айьфмашылығы 3 075 теңгені кдаады. Бір көйлек пен
бір жейденің бағасын анықгаңыз.
Жауабы: 350 теңге; 200 теңге.
14. Бір бөшкеде су мен спиртіъщ қоспасы 2:3 қатынасывдай, ал
басқасында 3:7 қатынасындай болады. Спирт пен су 3:5 қатынасында
болатындай, 12 шелек қоспаны алу үшін, ^>бір бөппседен қанша шелек
алукерек?
Жауабы: 9; 3.
15. Катер 7 сағатта өзен ағысымен 60 км және ағыска карсы 64 км
жүрді. Келесі жолы катер 7 сағатта өзен ағысымен 80 км және өзен
ағысЕша қарсы 48 юи жүрді. Катердің меншікті жылдамдьшл мен өзен
ағысының жылдамдығын анықгаңыз.
Жауабы: 18 км/саг\ 2 км/саг.
16. Көп жылғы егістікте 20 га участок қара бидата, ал бидаэта- 30
га бөлінді. Өткен жыян екі участоктан 2300 ц астык жиналды. Осы жылы
қара бидай өнімі 20%, ал бвдайдікі 30% өсті, сондықтан былгырғы жылға
Караганда, 610 ц артық дэвді дақыл жиналды. Осы жылы әрбң> дэнді
дақылдың өнімі қандай болды?
Жауабы; 48 ц; (>Ъц.
17.3 саг жүріп өткен жүк көлігінё қарағанда, жев(іп автокөоіік 2 саг
іінщде 10 кл< артык жүрді. Егер жеңй автбколіктін жылдамдағын 25%, ал
жук көлігінің жьілдамдыіын 20% азайтеақ, оңда 3 ояг жүрін өтет^ жеңіл
автокөлікке Караганда, жүк автбкөлігі 5 сағатта 20 км артық жүреді. Әрбір
автокөлһстің жылдамдыЕғьш табьщыз.
Жауабы: 80 км/саг', 50 км/саг.
304
www.nismath.org
18. Моторлы қайык өзен ағысымен төмеы қарай 18 км жүрді де, кері
қайтьт келіп, барлық жолға 1 саг 45 мин жумсады. Егер қайық ағысқа
қарсы жүргенге қараганда, өзен агысымен 6 км-ді, 5 мин жылдам жүріп
өтетіндігі белгілі бояса, қайықтың меншікті жылдамдығын табыңыз.
Жауабы: 21 км/саг.
19. Алтын мен кумістің екі балқымасы бар. Біріншісіндегі осы
металлдардың саны 2; 3 қатынасындай,
екіншісіндв - 3:7
қатынасындай. Ондағы алтын мен күмістің мөлшері 5:11 қатынасындай
болатын, 8 кг жаңа балқыманы алу үшін, эрбір балқымадан қанша алу
қажет?
Жауабы: 1 к:г; 7 кг
20. Материалдын бір бөлігі 45 000 теңге тұрады. Егер қиынды 15 м
артық болса, ал эр метрі 100 теңгеге арзан болса, онда материалдың
бағасы бұрынғыдай болатын еді. 1 м материал алғашқыда қанша тұрған?
Жауабы: бООтеңге.
305
www.nismath.org
V II
ТА РА У . А Н А Л И З Б А С Т А М А Л А РЫ
§ 1 . Ф УНКЦИЯ Ж Ә НБ О НЫ Ң ҚА СИБТТЕР1
I --гобы.ф у н к ц и я в ы н ц н ы қ т а л у о б л ы сы н т а б ы ц ы з : ,
2) у =-^sinx
3) у = ^[щ х
4) y = lg ctg x
5) у = агс8т(л:—3)
6) у = aiccos(2x:+l)
7)
8 ) y = l g |l - x |
У =
9) у =
1
1
sin (3 x -2 )
+ lg (2 x -l)
10) y = -
^2+x-j
11) _v= arecos{x-3) + arcctgVjc-2
12) y - J s - x - -
.4 ).
/.v ^ -7 x + 12
V 2x - x ^4+3
15) y = 2 ' ^ - V 2 ^ s i n x
16) у =
+
17) у = 2"'
+
18) у :
у/ - 2 x
10g5(x-l)
19) y = lg
x -5
-lO x+24
21) >’ = l o g 3
x -1
fT T
_Ig(2x_3)
2 0 )y = lo g 4 9 - 4 x ^ ) + ^ ^
у X+1
22) v = -------- *,
3 -lo g 3 (x -3 )
lo g i X
2
306
www.nismath.org
lg (3 -2 x -x ^ )
23) у =
X 3
24) >’= arcsin— ---- lg (4 -x )
3 -2 x
25) у = -^Ъ -х + arc cos-
26)
=
+2дс + 1
ДГ-1
27) y = log^_,2
В
28) y =
29) у = .^smx + cosjc
^x+l -yjx-2
30) y = lgcos
32)
=
X
31) y = yjlgsmx
1
33) у = ^(sinx+cosx)^ -1
arc sin 2x
34) j = ^ ^ lo g 4 l6 -lo g g (x ^ -4 jc + 3)
2x
ix^-5x+ 6 '^fx^-4x+3
3.Y-1
0,1
37) v = arccos-
2y + 1
2y
,
1+ Y^
J l2 + x - x ^
Щ у = "‘ f
y(y - 2 )
38)
40) >' = log5 log 05
42) у
35) y = ,Jlog
3-x
x +2
41) v = arcsin3^ +
3 ^ -4 ^
2y ^—Y—6
1
+Y+2
43) > = log|H _43-5/3-Y
307
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) [0;3)U(3;oo)
2) [2як-, я ^ 2 я к \
3) як', — + я к
5) [2-4]
6 )[-l;0 j
8)(-co;l)U(l;oo)
9 ) 1 .; 2
11) [2; 4]
12) (-oo;0)U[2;3]
13) [5; 7)
14) (-1; 3)U(3; 4]
15) ( ^ ; 2]
16) |^-;2jU(2;oo)
17) [-2;1)U(1;2]
18){2;oo)
19) (4; 5)U(6; oo)
2 0 )^ -!;:
21)(0;1)
22) (3;30)U(30;oo)
23) (0;1)
24) [1; 4)
25)[-l;3 ]
26) {-1}U(1;«>)
27) (3; 4)U (4; qo)
28)[2;oo)
29) - —+ 2якг, — + 2як
4
4
30) (^-я+4як', я + 4 я к )
31) дг= - + 2я-А
2
32)
34) [-U1)U(3;5]
35) (1 ; 2 ]
36) [0;i)U (l;2)U (3;*)
37) {~<c; oo)
38)
39){-3;0)U (0;2)U {2;4]
4) \ n t ,
n
+
7) (-oc;-2]U[2;oo)
2
40)
Ttk
Л
;3
v2 у
'
I
2
’
0 ;i
V 2_
2
33) як', — + я к
_
2
_
‘■-f
41) (-io ;-l)U (-l;0 ]
43) (-< » ;-5)U (-5;-4 )
*Жауаптарында к e Z параметрлері
308
4 2 ) |- ^ ; - - |U [ 0 ; 2 )
www.nismath.org
2 . тобьі.^ у н к ц и яІіЛ ш і
1) 7 = 3-
2) 7 = -2 sm |^ x —- 1+ 3
3) j = 16-6sin 2x
4) 7 = —x ‘*+2x^+5
3 21
5 ) 7 = - cos
^
6)
-1
8) 7 = 4 x ^+8 x +10
7) 7 = sin |^ -^ -xj-cos(^ 4-x)
^^
l+8cos^x
1 0 ) _ ,.------ -------
9) 7 = 2sin^x-cos2x:
11)
l-c o s x
7 = 10
12) 7 = (sm x-cosx)^
7 = 1 - 2 |co sx |
14) _y= |j c - 4 |- 2
13) 7=0,3^"^’ -1 0
В
IS) 7^
16) 7 =
x+2
2x —3
18) 7 =
x -3
2x + 2
x 4 l,2 5
x+1
20) 7 =
x^+3
x+1
lx-2|
+2
22) 7 = lg (- x ^ - 2 x + 9)
^ x —1 +1
24) 7 = 2 ------ 5-4;---- 2 x ^ -8 x + 9
3x
+1
17) 7 = 2cos - + tgx-ctgx
19) 7 =
21) 7
x-2
23) 7 = 1 -
26) 7 = 4 tg x cosx
25) 7 = - ^ - 3 x ^ +12X-3
309
www.nismath.org
27) у = 008"*— sin'* —
5
5
28) у = sm* x+cos^ JC
29) у = ^ + - ^
30) у = 3 sin x -4 c o sx
31) у :
х^+ 2
jc^+3
32) у =
Х -6
33) у =X— +-----X -х-2
х Ч 5 х -6
х -1
34) У = -|-----г
1+ JC
Ж А У А П ТА РЫ
1) (0;«.)
2) [1;5]
3) [10; 22]
4) (-оо; 6]
5)
6) [1;100]
7) [-2; 2]
8)[б;оо)
9) [-1;3]
И)
12 )
14) [-2 ;« )
15)
10)
19
4 ’4
13) (-10;<»)
16)
и
л
;оо
V-^ /
[0 ;2 ]
3 3
2’2
17) (1;2)и(2;3)
19) (-<»;-5] и [I; со)
20) (-оо;-б]и[2;оо)
21) {1;3}
22) ( ^ ; 1 ]
23) [ ^ ; 1 )
24) [-1;2)
2 5 )[-3 ;0 ]
26) ( ^ ; 4 )
27) [-1;1]
28)[1 ;4 ]
29) [2;«,)
30) [-5; 5]
310
www.nismath.org
31)
|;lj
34)
_ l - i
3
32) ( - oo;7)U(7;«))
3 З)
( ^ ; l)u[^l;|juj^|;«
2’2
- тобы. ф ун Г кди иды т а қ
зер ,ттеі
A
1) у —2 х ^ —х ‘*
3) у =
З^'+З’
2) 7 - 2 4) 7 =
з""-з-
6) V - J—L
5) у = 3
X
1) у = Х
-C O S X
9) у = х^ -sinx
1+
11) 7 -
COSX
8) 7 = 2 t g x + sin 2x
2^
10 ) 7
x+2
2 sin x
12 ) 7
1 + co sx
I-C O S X
13) 7 = ^/sinx
14) y = -sJcosx
15) 7 = lg c o sx
16)
17) y = -
18)
^
X -4
1 -x
y
=
y i - x
+IJI + X
7 = --c tg 3 x
20) 7 -
c o s 2x —x^
co sx
x ^ + s in 2x
21) 7 - ---------------
22) 7 = x - |s m x |- s in ^ x
23) y = c x ) s x - ^ x ^ - 2 x ^
24) 7 = :c-2-
co sx
311
www.nismath.org
в
1— X
15)y =\ g - ^
1+ х
26) j =
+sin Зх
sin3x- X
27) > ^--(х + 3 )-|х -і| + ( х - 3 ) - |х + і|
28) j =
|х - 4 |
х +2
2 9 );.=
ЗЩ у
х+1
х -1
=
х -2
(х-1)^
(Зх+4)
32) у =
31) j = ^{x + l ) ' + ' ^ { x ~ l f
|х + 4
(З х -4 )'
I -і- X
33) у=^^2—х^У(2 + х^Усо$2х
34) р коэффициентінің қандай мэндерінде
фушсциясы тақ больш табылады?
j = (х + і)^'+/>-{х-і)^
35) / ( х ) = х* ч-ах"*-fl жэне / ( 2 ) = 305 екендігі беягілі. / ( —2) жэне a
коэффициентінің мэнін табьщыз.
15 552
жэне / ( 3 ) = 16 екендігін біле отырып, / ( - З ) жэнех^+Ьх^
Ь коэффициентінің мэнін табыңыз.
36) / ( х ) =
37) Егер у = / ( х ) функциясы - жұп, y = g(x) функциясы - тақ екендігі
белгілі болса, /( х д ) = 5 , ^(х(,) = 1,х„нүктесіңцегі (р = —
^ ^
^ ^
2 g (x )-3 g (-x )
функциясының мәнін табыңыз.
38) Е і ^ >' = /(л^) фушщиясы - жұп, J = g (x) функциясы - тақ екендігі
белгіш болса, /( х д ) = 3, g-(x5) = - l , Xg нүктесіндегі (р =
^
^
g{- x)
функциясының мэнін табыңыз.
)
/(-х )
39) Егер у —f { x ) функциясы - жұп, y = g{x) функциясы - тақ екендігі
белгілі
болса,
—
я(^о) = ” 2 ,
Хд
^ = / ( x ) g^(—х )—/ ( —х) функциясының мэнін табыңыз.
312
нүктесіндегі
Ж А У А П ТА РЫ
www.nismath.org
1)Жұп
2)Жұп
3)Жұп
4)Тақ
5)Жұп
6) Тақ
7)Жұп
8)Тақ
9)Тақ
10) Жалпы түрдегі функция
11)Жұп
12) Тақ
13) Жалпы түрдегі функция
14)Жұп
15)Жұп
16)Жұп
17) Тақ
18) Тақ
19) Жалпы түрдегі функция
20)Жұп
21) Так
22)Жұп
23)Жұп
24) Так
25) Тақ
26)Ж¥П
27) Так
28)Жұп
29) Так
30)Жұп
31)Жұп
32)Тақ
33)Жұп
34) -1
35) / ( - 2 ) = 305; а = Ъ
36) / ( - 3 ) = -1 6 ; 6 = 27
37) 1
38) 4
4 тобы. ф у н к ц и іін іл ц
39) -3
Ь,ң/п>рйоі^^
А
1) >^= cos3x
2) y = cos| —
3) >’ = tg(2K)
4) у = ctg -
7t
5) >^= sin 5k +
„
, 5 k
6) y = ctg[-K + -
7) у = ctg
V
x —n
8) >>= cosj
313
www.nismath.org
в
9) y = sm2jc+cos3jc
110)
ПЧ 7 = sml
• ГЗ-^^
. fl -2х
— J+ sin
у
11) >>= sin 5л: - cos 4д:+1
12) j^= 2sin| - ^ j - 3 s i n [ - y
13) J =
14)
15) >’ = 8Іп |^2л:+ ^ -cos|^2x +-^
16) 7 = sin3x cos3x
17) у
104
18)
sin^ 2л'
= s in ^ ^ j- 3 c o s |^ ^ j+ c o s 5 x
4 3x
4
>; = t g —
2 3x
4
-C O S ^ -—
19) >' = tg2л:+ctgЗд:+cos5л:
20)
2 1 ) >» = 8Іп л : 8Іп 4 х - со8 л: со 8 4 х
22) 7 = sin3x cosx+cos3x sinx
= cosxcos6x
23) >' = 38Іп4х + б8ІПХ+8Іп(х-Л-)+58Іп(х+Л’)
->^4
24)
;^ = co s-X + t g X-
25) >>= sin — + 5cos—
4
3
Ж А У А П ТА РЫ
4) 5л-
2к
5) —
5
9) 2п
10) 12л-
13) бл:
14) Ібл-
1 5 )^
2
4л18) —
3
19) 2л
20) 2лг
23) —
2
24) ЗОл-
25) 24л-
I ) f
2) 8л-
6 ) -
7) 4л-
8)
11) 2ж
12) 24л-
5
. « f
2k
21) —
5
22) —
2
Зл
314
www.nismath.org
1 JC
1) /{ x ) = ^--- бңіілген. /(дс + і) табыңыз.
2) / ( х ) =
6q)uireH. / ( x ^ j табыңыз.
3) /(дг) = зс^-д:, ^ (x ) = sin2x 6q)inreH.
j табьщыз.
В
4) Егер /
5) Егер /
= — — , х > 0 болса, / ( х ) табьщыз.
х+1
х+1
= х^ болса, / ( х ) табьщыз.
6) Егер /(х + 1 ) = х^ —Зх+2 болса, / ( х ) табыңыз.
7) g(x) = 2x + l функция. /(g -(x )) = 4x ^- 4 х - 3 күрделі фунюдия.
/ ( х ) табьщыз.
8) g(x) = l - 2 x берілген. g (g (x )j табьщыз.
9) / ( х ) = -^^^І^ бершен. / ( х + 2 ) - / ( х + б ) табьщыз.
х -4
1 0 ) ^ (х ) = 3 -2 х жэне / ( ^ ( х ) ) = 6х+4 берілген. / ( х ) табьщыз.
1 1 ) g (x ) = 2x+l жэне /( ^ { х ) ) = 4х^+6х берілген. / ( х ) табьщыз.
12) Берілгені; / ( х ) = х^+1 ( х > 0 ),
13) Берілгені: / ( х ) = х^ - 2
я W табьщыз.
(х > 0 ), g ( / ( x ) ) = x . g( x ) табьщыз.
14) / ( 2 х - 3 ) = 4 х -5 берілген. / ( / ( ! ) )
315
табьщыз.
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
3 )-
•• - » 2
8
/
5) / ( л ) =
6) / ( х ) = л ^ -5 л + 6
, 1-л:
V
7) / ( х ) = л^ —4л
8) 4л-1
10) / ( л ) = 13-3л
11) / W =
13) g{x) = yJx + 2
14)7
9)
84
х ^ -4
МёЙссі Л
1) >>= 3л
3) у = - х + \
2) 7 = 2л —5
4) у = х^
В
^+З
‘ * ^ '2 , - 1
7 )7 = - ^
8) >>= 28 ш Зл
9) v
10) >’= t g -
11) у = - ^
л -1
12) >- = 3 ^ 'Ч і
13) >^= 3~"^-2
14) у = 2^-^+5
15) >’ = log5 (л + 1 )-3
316
= ic o s x
2
www.nismath.org
16) J = {^-1)3
17) у = Ц 2 х - 5
18) 7 = ( д :- 3 ) Ч і
19) >>= 3-1о§5 ( x - 6 )
20) y = x ^ - A x + 1 ',хе.{-<хі;2^
21) у = х'^+Л- л:<0
ll)
f2x + i, хе(-со;2І
2 , хе(2;со)
/л ^
[х^+1,
y = 2x+2\ jce[l;3]
25) >' = log^ 2
24) y = l + lg(x+2)
26) >- =
JC-l
1Т)У =
дг + 1
х^ + Ъх
х^ - 5 х
28) 1-ге тең, аргументтің мэнінде /(дг) = —2 + 0,5 л: функциясына кері
функцияның мэнін табыңыз.
29) 4-ке тең, аргументтің мэнінде /(д :) = 2 ^ —4 функциясына кері
функцияның мэнін табыцыз.
Ж А У А П ТА РЫ
V)
=- х
3
у
2) v = —х + 2,5
2
^
4) y ^ l f x
^
4х + 3
7) у =
X
10)
у
3) y = - x + l
= 2arctg X
пч
1
. X
8) y = -a rc sm —
3
2
9) j = arccos2x
11) y = l + -
12) y = log3 9 ( x - l)
X
13) j = -log3(x+ 2)
x+3
14) l ' » l o g 4 _ 5 )
317
15) j =
www.nismath.org
1 6 )y = x 2 + l
17 )7 -0 ,5 x4 2 ,5
18) Kepi функциясы жоқ
1 9 ) 7 = 5^"^+6
20) y ^ 2 - y j x - 3
21)
22) y = ^ x - l ; x e[4 ;8 ]
X—1
, xef-oo;5l
23) 7 = -^ 2
У ’ i
x - 1 , хб(5;оо)
24) 7 = -2+10 x - l
25) 7 = 2^
26) 7 =
5x+3
3
2 7 ) 7 = ------Г-’
^
^
'
X—1
57
28)6
29)3
318
1+ x
1 -x
www.nismath.org
§ 2. Ф У Н К Ц И Я Л А РД Ы Д И Ф Ф Е РЕ Н Ц И Я Л Д А У
Э л ем ен тар ф у н к ц и я л а р д ы ң т у ы н д ы л а р ы н ы ц к ест ес і мен
д и ф ф е р ен ц и я л д ау ереж есін қ о л д а н а о т ы р ы п , ф у н к ц и я в ы ц
туы яды сы н табы ң ы з.
'I.,
1 ) / ( х ) = 3 ;с ^ -2 х ^ + х -1
2 ) / ( x) = 15(x + 4 )( x 2 - 2 )
3) f { x ) = ^ x ^ -x > j3 + 2 '^
4) /(^х) = х^2х+уІ3^^2х-\ІЗ^+3
5) / ( x ) = { x -l)(x ^ + x + l)
б ) /( х ) = (х ^ -і)(х Ч і)
8) f { x ) =
'
’ 4x+2
Г- t
В
9) /(■ * c )= (^ + l)(^ + 2 )-(x -l)(x - -3)
1 0 )/ ( х ) = ( х Ч і ) '- 2 ( х Ч і ) + 1
11) / ( x ) = x ^ - l
I2 )/W = — +
I 3 ) /W =| + | ;
/ '( 2 ) - 7
15) / W = -X - X^
17)/ W = — ^
14)/( x ) = ^
+ 4X ;
+ 0,02x; / ' ( - 2 ) -
i« ) / W = ^ ;
/ '( 0 ) - ?
•*) / ( ^ ) = '
/ '( 0 - ?
^
2 0 ) f { x ) =^
X
22) / ( » ) =
2 .) / W =
319
'
; / ' ( 2) ?
www.nismath.org
« , /(,)= ( - ; )
2 5 )/ W = ^ ^ ;
24) / ( х ) = -Хі + 4X - + ЛX
/'(2 )-?
Күрд елі ф у н к ц и я н ы ң т у ы н д ы с ы н т а б ы ц ы з :
26) f ( x ) ^ { - 2 x + 3 f
2 7 ) /( x ) = ( x Ч l ) ^
28) / ( х ) = (х^-3х)^
29) / ( х ) = (9х+5)^
30) / ( х ) = (х ^ - і) '
31) f { x ) = { x ' ^ - x ^ y ^
32) / ( x ) = (^ |-b2j'
33) / ( x ) = [^l + lj
3 4 )/(,)= [-;]
3 5 )/М = -
‘
,
36)/(х) =
-jc + lj
ЖА УА П ТА Р Ы
1) 9 x ^ -4 x + l
2) 15(Зд:Ч 8х-2)
3) х - ^
4) П х^ - 3
5) Зд:^
6) 4х"
7)
-11
(1-Здс)*
10) 4х^
8)
-2
(2х + і)
2
11) 4 x 4 - ^
320
9)7
12)
-
5
-
^
2х^
/'Q j
www.nismath.org
3
1 3 )- A
12
14) 1,02
16)0,5
17)2
18)
^
19) 4л+ - ^
4 л -6
2 0 )---- ^
21)
Л
3
2л^
j-
X
23)
1
+8
(.4-3)^
26) -1 б (-2 л + 3 )’
2 5 )1
9
\2
4
27) 2,5
29) Зб(9л+5)^
28) 3(2л-3)(л^ -З л )
30) 18л^(л^-і)" ’
4
31)42(4л^-3л^)(л'^
Зч41
)
4 (л + і)
34) - —1-----f
32) i f . 2 ) ”
35)
—8jc
(--1 )
36)
4{l - 2x)
—x + l)
ІЦ туыңд«і»ы« табыңыз:
1) f { x ) = x ^ + 2 / ^
2) f { x ) = 4 ^ + l p ^ + i [ 7
3) f { x ) = ^[x + 4 x ^ + 2
s
2
4 )/(x )- — +^
5) / W =
6) f { x ) =
321
1-л:
l-yfx
9
www.nismath.org
7 )/(х ) = л /Г ( х З - ^ + і)
9 )/W =
8 ) /(;с ) = 4 - ^ - 6 . ^
-+х-2^х
В
_ 2урс
1 1 ) / ( х ) = ^ .2
1—
^х
12) f { x ) = — j = -
1 3 )/(ж ) = д г - 2 - ^ . ^
14) f ( x ) = ^ i j 2 x ^
1 5 )/ ( х )
16) / { х ) = и ^ ^ ф
-
К ү р д ел і ф у н к ц и я н ьіц ту ы н д ы с ы н т а б ы ц ы з:
17) / ( х ) = ^ х ^ - 3
18) f { x ) = ^ 4 - x ^
19) f ( x ) = ^ x ^ - 4 x + 6
20) f { x ) = x^Jl+x^
21) / W = ^ ( ^ ' + l ) '
22) f { x ) = [ x + 4 ^ f
23) f ( x ) = ^ ( x ^ - 2 )
; /'(2 )-?
25) f ( x ) = y 2 x + 5 + lj
2 4 ) / ( x ) = ( l + ^ /P lT j^
26) f { x ) ^ [ x ^ + 6 ) ^ x ^ - 3
>/х^чТ
29)
/(х )
=з
ф х \ - 9
+ i( 2 x - 4 ) %
322
/'(2 )-?
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
1) 2х +
3)
6)
+6
1 ^ 4 /7
х^
4^
2^ " T 7
15)
4)
7-if8
10)
13)
16)
32-lJJ
X
17)
J~x ( х - 4 )
18)
1+ 2д:"
2
2
1
2^[х
2-t[2
14)
^
___4 _
If x
1+ Зх^
11)
1 6 -^
1
x^
х^
2x^J^
-X
3x' l p(
19)
x —2
д/ x “ —4x+6
^ /x ^ -3
20)
1х~ yfic
1 8)
x -1
2x^Jlc
7
------ X
6
1
5)
4х
7) - х ^ ^ +
2^fx
9)
1
3-1р~
2 ^
21)
2x"
2 2 ,з ( . 3 ^ 7 ) ^ [ і з ^
^/l + X
23)
2 x |l + / ? r r j
8
з ( ^ 2 х + 5 + l)^
25)
24)
'J x^ + l
26)
Зх-'
27)
—2x
з . ^ Мі ^ х ^ У
29)4
323
28)
л/2х + 5
x+2
www.nismath.org
• ,t''*‘- y ы н ’іі№ІС’ы н
1) / ( x ) = 5sinjc+3cosa:; / ' [ - і | _ 7
2) /(;с) = sin^.x+cos^ X
3) /(jc ) = cosac(l+sinx)
4) f { x ) = c t g x + -
I2x
2x^
T'
f[~
1 's j
-4-1; / '
к
(' n^
u
-?
cosx; /'^Q^
’ ) / W = 2CO»»— ^
+~ ;
8) / { x ) = tg A :-c tg x
В
9) / ( x ) = x ctgx
11) f { A = ^sinx
,
13) / W =
15) / W =
sinx
X
tg x
10) f { x ) =
cos2x
cosx-sm x
12) f { x ) = ^
1 4 ) /( x ) =
1-cosx
sinx
1 6 )/ W = —
cosx
324
www.nismath.org
17) / ( х ) =
19) f { x ) =
1 —COSJC
18) f { x ) =
(l + cosx)^
sinjc + cosx
sin д: —cos л:
tgJC + l
t gx
\ smx
X
20) / ( x ) = ------ + —
smx
21) / ( x ) = (^2-x^ jcosx + 2xsinx
К ү р д ел і ф у н к ц и я н ы ң т у ы н д ы сы н т а б ы ң ы з:
22) / ( x ) = sin^x-cos^x
23) / ( х ) = 3 х ^ -sin^ 2х
'
24) / (х) = cos
25) / (х) = 2 sin ’ X; / '
v6y
26) / ( х ) = cos Зя'х—8Іп 2 л' х ;
/'
-?
v2.
27) / ( х ) = cos^x^-4х^
28)
/(х )
= cos^
(2 х -
29) / ( x ) = ^ co sx ;
і
)
/'
30) / ( x ) = 3cos2x—sin 2 x ;
-9
/'
V8y
31) / ( x ) = c o s ( ^ j ;
/'
,1 6 ,
32) / ( x ) = {cos3x+6)^
325
www.nismath.org
3 3 )/ ( x ) = sinx + 2 co s^x ;
34) f { x ^ = xcos^x + n \
/'
V у
rf \
2sinx-cosx
35) f { x ) = ---- 2------Г Т ,cos x -s m X
37) / ( x ) = 5 t g y + t g y
38) / ( x ) = tg^x + l
39) /( x ) = cosx cos3x+sinx sm3x
40) / ( x ) = smx-sin3x+cos2x;
41) / ( x ) =
42) / ( x ) =
/'
-7
v4y
sin4x
4x
sin2x
43) / ( x ) = cosx sin^ X
44) f { x ) = ^ 2 -sin x
45)
46) / ( x ) = t g [ ^ ^ ^ j
47) / ( x ) = sin(cosx)
326
www.nismath.org
48) /( j r ) = ^sin(x^ -л:^
1
smx
49) f { x ) -
. 4
50) /(jc ) =
S ill
4
J C -“ C O S
s in ^
X
X
51) / (x) = sin - •sin 2x
Ж А У А П ТА РЫ
1) УІ2
2)0
3) cos2x—sinx
4 )-3
5) -3
6) - 2
9) ctg X-
10) co sx -sin x
8 )-4 sin 2x
sinx—xcosx
11)
x co sx --------sm x
1 3 )--------
14)
7)
1
16)
19)
(l-co sx )^
sin x (3 -co sx )
1 7 )------ i
^
(l+cosx)
1
1+ cosx
(sin X-cos x)
20) (xc4)sx-sinx)
21) x^sinx
22) - sin4x
24)
25)
2
sin[ —
X
I
s in ^ X
12) -
ЗлІЗ
2x+sin2x
б х "^ s i n ^ X
s in ^ X
1--COSX-X sinx
15)
x -sinx-cosx
X ^ COS^ X
18)
s in ^ X
1
sin
X
23) 6 x -2 sin 4 x
26) 5л:
X
27) (4 -2 x )s in (x ^ -4 x )
28) -6 co s^ (2 x -l)-sin { 2 x -l)
2 » )-^
30) -4л/2
327
X
3 1 )-
л/2
ж
www.nismath.org
32) -9sin3x(cos3.r+6)^
33) л/3 + -
34)
35)
36)
37)
cos^ l x
2sinjc
38)
4jccos4x-sin4jc
4x^
2 cos
48)
21 X + \
2
-
40) -3
44) —
2^j 2-si nx
i ~
4- /tg — -cos^ —
V'
2
2
47) -sinjc cos(cosx)
(2 x -l)c o s (x ^ -x )
2 ^sin
COS
2(jrcos2jc-sin2jc)
42) -----------------------
43) sin^^:(3cos^jc-sin^jr)
46)
cos 2x
39) -28І п 2л'
cos^ X
41)
2
2 —n
-ctgx
2 -J sin X
- x)
1
.
5 0 ) ^
sm X
X
51) - c o s - sm2x + 2 s m - cos2x
2
2
2
4-:;.йЗ#ь| Л о га р и ф м д ік ж эне к ө р с е т к іш г ік
т у ы п д ы сы н т а б ы ң ы з : ^
,
1) / ( х ) = 3'^+4^
2 )/(jr)= e ^ + 4 /7 -t^ ;
3) / ( x ) = log2X + 2^
4 ) f { x ) =U ^ - 6 ;
5) / ( х ) = х '- 3 ^
6) / ( x ) = ln e “"^
21gx
7 )/(x ) = 4 ^ - l x - l o g 2 5 ;
Ige
4
/ '( 2 ) - ?
328
ф ункцияиы ц
..
/ '( ! ) - ?
В
www.nismath.org
8) /( jt) = e^(jc^-2r+2)
9
10) f [ ^ x ) - x ^ liu:
ID /( jr ) = x"-4^
1 2 )/(;c ) = x '^ + ( /2 ) *
13) /(дс) = 3^(х + 1)
14)/(x ):
2^
+
2'
)
15) /( x ) = x'^log3X
16) /{jc) = x IO"
17) f ( x ) = - ~
<04
rf \ = —
18) /(jr)
19) / W = - J f
20)/(x) = -
2.) / W = ^
e'
sm x
2
2
)
f'0)~?
r(-l}-7
X
23)
f ( x ) = tgx+
1+ JC
Күрделі функцняны ц туындысын табыңыз:
24) / ( х ) = х +е ~^ ^ ; / ' ( О ) - ?
j_
25) / ( х ) = 10'^'
е^-1
е
2 6 ) /(л ) =
27) / ( х ) = Іп. 2 X
28) / ( x) ^ e^ ^^ ^ ^
2 9 ) / ( x ) = sin(2^)
30) /( x ) = cos(7,2x)-e-’- Z ' ' - ^
329
3 1 ) / ( x ) - x - 2 ^ ^ ';
www.nismath.org
/ '( 0 ) - ?
32) /(д г) = е ‘82.г
33) / ( x ) = ln^3x
3 4 ) / ( x ) = xto(jc^+l] + ln5;
/'( - 2 ) ~ ?
2x^ 1
35) / ( x ) = In(sin4x) + +■
ж 4
/•'[ ^ |_9
U 6J ■
36) /{ л :) = 1 п ^ 2 х -1
3 7 ) / ( x ) = l n ^ l + tg ^ x
3 8 ) /(л :) = 1п^х + / і + х^ j
3 9 ) /{ x ) = lo g 3 (x ^ -2 /^ ^ )
4 0 ) / ( x ) = In (ctgx); / ' [ ^ 1 - ?
V8 i
41) / ( x ) = hi
x+1
X~1
42) / ( x ) = ln(sinx)
43) / ( x ) = ln(xsinx)
44) /{ x ) = ln (x ^ -3 sm x )
45) / (x) = ln(l-t-cosx)
46) / ( x ) = ln(lnx^)
47) / ( x ) = ln^(sinx)
48) / ( x) = ^
+ 5-2^
330
Ж А УА П ТА РЫ
www.nismath.org
1) 3^1n3+4^1n4
2) e+2
3)
4) 21n6
5) 3x^ -3 * hi3
6) cosx
7) 0,75
8) x^e*
10) xln^ex^j
11) 4^-x^{4+ xln4)
12)>/2х'^"*+(л/2)
13) 3 * ((x + l)ln 3 + l)
14) ( 2 ^ -2 '^ )ln ^ /2
15) 2 x l o g , x + 4
m3
16) 10*(l+ xlnl0)
17) ‘ 7
19)
22)
5jf^ —
2 + 1пЗ
3
1+ 10 InMO
In 10
х-2
sinx+cosx
X
20) (sinx-cosx)
sin X
23)
^ +2*ln2
xln2
1
х е^
COS^JC
(1 + л)^
-1
21)
X In ^ x
24) -1
2 7 )-^
2 5 ) - 4 - ■lOMnlO
X
26)
28) 2cos2x e “"^*
29) 2^ ln2cos(2"^)
30) 7,2(e~''’^’'-sin (7 ,2 x ))
31)2
^^)
33)
34) In5+1,6
35) 4,25
37) tgx
38)
X
2 2x
-Л
COS
36)
1
39)
ЗІп^Зх
1
2 x -l
2x-JT - I
ІпЗ^х^yfx - 2x^
VI +x
331
www.nismath.org
40) -2л/2
41)
43) — + ctgx
44)
X
46)
42) ctg X
І-х ^
2x-3cosx
х^ -3 sin x
45)
47) 4 In^ (sinx)-ctg X
л:: Inj
m X
-sin x
14-cosx
^
1
'
48) -In 5 2 -5 “ ^^+5-* x “2
V
5-тобы.
5
^ *if
В
1 ) / ( ^ ) = {-*^-і)(-*^^ + і)(лг+і) болса, / '( x ) = 0 тевдеуін шешіңЬ.
2)
/(х )-х ^ -б х ^ ,
g (x ) = ~ 7 ^
болса,
/'( x ) - g '( x ) = 0
тевдеуш
шешіңіз.
3 ) /( х ) - - - х ^ - 1 8 х , g[x) —2yfx болса,
= 0 тевдеуіншешіңіз.
3
g{x)
f { x ) = x^ болса, / '( х ) —/ ( х ) = 0 теңцеуін шешініз.
5) / ( х ) = х ^ ~ 3 , g(x ) = (x -2 )(3 x + 2 ) болса, /'{ x ) - g '( x ) = 0 теңдеуін
шешіңіз.
^ f { x ) = x^ +4, g{x) = (x-l-l)(4x-3) болса, / '( x ) = g '(x ) теңдеуін
шешіңіз.
7) / [ х ) = Зх-2уГх болса,
\ =2 теңцеуіншешіңіз.
f{x)+\
8) /{ x ) = cosx-2sin^x-f 1 болса, / '( х ) = 0 теңцеуіншешіщз.
9
)
=
-2х1п5 болса, / '( х ) = 0 теңцеуіншешіңіз.
332
Ж А У А П ТА РЫ
1)0
2)4
8) жк', ±arccos
3)3
4)0; 3
www.nismath.org
5)1
Ч]
+2жп\ п, AreZ
9)0
в
jc^ Ібх^
1) / ( х ) = -^--------— болса, / '( х ) < 0 тенсіздігінің бүгін шешімдерінід
санын көрсетщіз.
2)
/ { х )
= в х. 2^ - Ъ \ а х болса, / '( х ) < 0 теңсіздігіншешіңіз.
2
3) /(л :) = —, g(.Tc) =
болса, / '( x ) < g '( x ) теңсіздігіншешіңіз.
4) / ( х ) = х ^ -4 х ^ болса,
fiA
■' ^ 0 теңсіздігін шешіңіз.
J\А
5) / (х) = 6х + 2,5х “ 6)
болса, / ' (х) > 0 теңсіздігін шешіщз.
/ ( х ) = 5х+ 3, . g(x) = 2x|^x+ i^
болса,
/'( x ) < g '( x )
теңсіздігін
болса, g '( x ) < /'( x )
теңсіздігін
шешіңіз.
7) g(^:) = 4 x - 5 ,
/ ( х ) = -^х(2-6х)
шешіңіз.
8) х-тің кандай мәндерінде
/ ( х ) = х ^ -5 х
/ ' (х) ^ 1 теңсіздігін қан^аттандырады?
333
функциясыньщ туындысьі
www.nismath.org
2
9 ) / ( х ) = -^----- болса, /'( д :) - /( д с ) ^ 0 теңсіздігін шешіңіз.
-2
10)
,1
I
f { x ) =-------- ,
^ (х ) = 5л:+— болса,
f'(x)<g'{x)
теңсіздігін
шешіңіз.
11) /( jf ) = sin3:+— болса, / '( х ) > 0 теңсіздігін шешіңіз.
f'(x )
12) — ^ ^ > 0
х-5
теңсіздіктің ең кіші бүтін шешімін табыңыз, мұндг^-ы
f[x) =x ^ -Ъ х-4.
Д.З
1 3 ) /{ х ) = -------- болса, / '( x ) > 0 теңсіздігін шешіңіз.
14) / ( x ) = x^
-4 х -1 2 )+ 3 болса, / '( x ) > 0 теңсіздігія шешіңіз.
Ж А УА П ТА РЫ
1)9
3) [-1;0)U(0;1]
'> К .
5 )(-і;6 )
4 ,[_ 2 ; - ,/ 2 ) U ( f t '/ 2 ) U [ 2 ; » )
8 )(^ ;3 ]
11) ^ - ү + 2 я к ; Ц - + 2 л к
14) [-l;0]U[2;oo)
,г > -1
334
www.nismath.org
+зтд:
1) /(ji:) = sm
4) / ( x ) = arccos
3) f { x ) = i%^ l x
5 )/W =
2sin^ jc
cos 2л:
7) / ( x ) = arctg
2 ) /{ x ) = ^ | b ^ 8 ^ i ^
6) / ( x ) = x^cos ^
' x+\
^ X—1
8) / (x) = ^ sin ^x H-----^
cos^x
9) / ( x ) = arcsinx+ л /і-х ^
10) f { x ) = ^
11) / ( x ) = Vl + 2 tg x
12) / ( х ) = агссо8-^-т^
V2
13) f { x ) = - f x - ^ c t g ^
14) / ( x ) = a r c t g x + ^ arctg^x"’)
15) / ( x ) = arctg^|^^
16) / ( x ) = arcsin|^— j
17) /{ x ) = tg(sinx)
18) / ( x ) = sm^^x^)
1 9 ) /( x ) =
^
3cos^x
21)
'
l-co s2 x
’
=
^
cosx
•arctgx
20) f { x ) = ^ x e ^ + x
22) / ( x ) = itg ^ x - tg x + x
335
www.nismath.org
Ж А У А П ТА РЫ
X
1 ) -----5"cos
11
cosx
s in ^
4)
7 )-
10)
13)
2 )-
X
5)
1
x^ +l
2>%fx
2(1+*)
28Іп 2л:
cos^ 2дс
2 со8д:
Ssinjc
8) - V,------ +smx
cos x
1+ ДГ^
3)
2
1
^fx (і + д:)
cos —
8
11) ---- ^-----cos'^x .yi+2tgjc
1 4 ) ^
1+ JT
6)
14tg^2j:
cos^ 2x
2
jccos|
’) /
—j+ s in f -
l-x
1+ д:
1 2 )/ 1+ 2x2arctg
1 5 )X
16)
x\^x^ -4
19)
sin^ JC
4
COS
JC
17)
cosx
cos^ (sinjc)
20) £ І ± £ £ І 1 І
2^J х е ^ + x
22) tg*x
336
r_ i
+ l
18) 2x sin^2ar^j
21) -2 -^ ® ^
www.nismath.org
§ 3. ТУ Ы Н Д Ы Н Ы Қ О Л Д А Н Ы П
Ф У Н К Ц И Я Л А РД Ы ЗЕ Р Т Т Е У
1 - тобы. Ф у н к д и я д а р д ы я к р«ш стІк-.н үігтелррін т а б ы и ы з ;
А
I) / ( х ) = 2+ 18х^-х^
2) / ( х ) = -2 х ^ -3 x ^ + 4
3) / ( х ) = - х '* -2 x ^ + 3
4
4) / ( х ) = х ^ -6 х ^ + 9 х -4
5) / ( х ) = 2.т^+Зх^-36х+15
6 ) /{ x ) = 2 x '- |x " + x - ^ / з
7 ) / ( х ) = (х + 1 )'(2 х -3 )
8 ) / М = (»+2)'(дг-1)"
10) ,/(х ) = 2х + —
’ > /(* )=
П ) / W = — Т ~ ---- 7
В
12) / ( х ) = 2 ^ - х
13) / ( х ) = ^ 1 -х 2
14) / ( х ) = х ^ 2 - х ^
15)
16) f ( x ) - x - 4 y p c -{-^[3
17) f { x ) = ^ x ^ - 6 x
18) / ( х ) = ^ х ^ - 6 х + 15
1 9 ) / ( х) = ( х - 1 ) 7 7
20) f { x ) = \ [ ^ { x - 5 )
21) / ( х ) = е-'(-ДГ^+4х-і)
22) / ( х ) = 2^--х1п2+1
23) / ( х ) = һ і(4 х -х ^ )
337
=
www.nismath.org
24) / ( x ) = ln^x-61njc+5
2 5 )/(л :) = — - 6 1 n ( x - l)
26) / ( x ) = 2^ + 4-*
27) / ( x ) = 0,5sin2jc+sinx
28) / ( x) = 0,5 cos2x + cosj:
29) / ( x ) = s i n x - ^
30) /{ x ) = jc?(x-3)
ЖАУАПТАРЫ
1) + 3 ; 0
2) -1 ; 0
3) ± 2 ; 0
4)1; 3
5) -3 ; 2
6 ){ ; ^
3 2
7) -1 ; 1
8
8) - 2 ; - 7 ; 1
5
9)2; 6
10) ± 2
11) ±1
12) 1
13) ± 1; 0
14) ±1
15) ±1,5; 0
16)4
17) кризистік нүктeлq)i жоқ
18)3
...i
20)0; 2
21) - 1 ; 3
22)0
23)2
24)
25)3
26) 3
27) п+2жк \ ± —+ 2я'п
3
2 9 ) ± у + 2л-А:
30)0; |
*Жауаптарында
w eZ параметрлері
28) жк , ± —
3
www.nismath.org
т а б ы ц ы з:
Ф у н к ц и я л а р д ы ң өсу
A
1) / ( ^ ) = ^^ -Зх^
2) f { x ) = \^x^- ^ х ^
-¥ІХ-1
3) / ( х ) = д:^ +3х^ - 9 х
4) /(ac) = -2jc^+3дг^+36х+1
5) f { x ) = x^ +2х^ +х
6) / ( х ) = -х^+Х ^+Х + 1
8) / ( х ) = х + —
X
9 ) f { x ) =- ^
.« )/« =
В
11) f { x ) = - J x - x ^
12) f { x ) = 4 7 ^
13) f { x ) = y J 7 - x
14) f { x ) ^ x ^ ^ 2 - x
15) / ( x ) = e^+5jc
16) / И = - ^
17) / ( x ) = ln (x 4 2 .x + 3 )
х^
18) / ( x ) = ------ Inx
10
19) f { x ) = s i n x - ^ ^ x
20) / ( x ) = cos2x--\/3x
тибы цы -з:
Ф у в к ц и я л а р д ы ц кем у шШй
A
21) f { x ) = l - x ^
22) / ( x ) = 2 x ^ - 3 x 4 l
23) / ( х ) = 2 х '* - 4 х Ч і
24) / ( x ) = x ^ - x ^ - x + 3
339
^
www.nismath.org
25) / { х ) = 4 х ^ - 9 х ^ + в х
2 6 )/W = l - |
27)
28) / ( , ) = , J + i -
х^+1
29) f { x ) = -
3 .) / ( , ) . ^
3 1 ) /( х ) =
1
2x
32) / ( x ) =
1-д:'
В
33) f [ x ) = - j 2 x - x
34) f { x ) = ^ 2 x ^ - x + l
35) f { x ) = x - ^
36) /(д :) = 2д:1пд:
37) f ( x ) = x e - ^ ^
38)/(дс) = (д:-1)е^"'
39) f { x ) = In
40) /(jc ) = sinx-jc
V •* у
Ж А У А П ТА РЫ
3 -з Д
1) -oo;3 ) Н ; - 3 ] , [l;oo)
з + л/з
2 )(-4 « ;0 ], [2;oo)
4 )[-2 ;3 ]
5) (-«o;oo)
7){-<c; - 4 ] , [2;«>)
8 )(-< » ;-4 ], [4;oo)
9)(-oo;0), (0;oo)
10)
11)
12) [4; go)
13)
14) 0;
6)
¥
340
4
8
www.nismath.org
17) [-1;оо)
15) (-оо; оо)
16) (-оо;1]
18) [л^;оо)
19) ---- + 2жк; —+2nk
[ 4
4
21) (-оо;оо)
22) [ 0; 1]
2 3 )(-< в ;-1 ], [0;1]
24)
25)
26) (-оо;0), (0;оо)
Ж
3 J
^
v ' lJ
[2
J
20) - —+пк-,-—+ я к
. 3
6
.
2 7 )(-о о ;0 )
2 8 )[-1 ;0 ), (0 ;l]
2 9 )[-1 ;0 ), (0;1]
30) (-оо;2), (2;оо)
31) (-оо;О), (О;оо)
3 2 )(-о о ;-1 ), (-1 ;0 ]
33) [1;2]
34) -оо;
36)
37)
0 ;-
39)(0;оо)
1
-
■
35)
■ г
NJ
38) (-«);0]
;оо
40) (-оо;оо)
*Жауаптарыида к & Ъ параметрлері
таО ы ^ы эі ^
1) / ( jc) = x ^+3 x ^ -4 5 jc+ 1
2) f ( x ) - x ^ -15x^
3) f { x ) = x ^ + x - 2
4) f ( x ) = x ^ - 3 x
5) f ( x ) = x ^ - 2 x ^ + 3 x - 2
6) f { x ) = x ^ ( x - 3 )
341
.
www.nismath.org
в
7 ) /W = ^ +5 X
8 ) / ( x ) =— J ^
X +4x+4
9) f { x ) = x ^ 2 - x ^
10) f { x ) = x ^ ^ l - x ^
11) f { x ) = ( x ^ 2 f { x + l f
12) f { x ) = e ’^"-^-^
13) f { x ) - x ^ ^ Inx
14) f ( x ) = x^ Inx
15) f ( x ) = 3^"-^^
16) / ( x ) = 3cos|^ jr-^ J
17) f ( x ) = ^
1 8 )/ ( л:) = 8Іп 2х - л-, x e
X
^9) f ( x ) ~ s m x - — x
2
20) / ( x ) = y 7 - 2 x "
e лар ДЫЦ
A
21) / ( x ) = 4 x - x ^
22) / ( x ) = x ^ -6 x + 5
23) / ( x ) = 4x^+12 jc^ - 3
24) f { x ) = x ^ - 6 x ^
25) f ( x ) = x^ - 3 x ^ - 9 x + 4
26) / ( x ) = 2x'*- 4 x ^ - 5
В
2 7 )/(л :) = 4 д :^ (х -2 )'
28) /{ x ) = 21nx-x^
29) /(д:) = А-^
30) / ( x ) = x - e ^
31) f ( x ) = x + X
“ )/W =, ‘ a
(x -3 )
342
www.nismath.org
33) / { х ) = Ъх^-2х' ^+Ъх-2
36) f { x ^ = —x ^ + 2 \ n x
35) f ( x ) = x e ' ^ ' ‘
37) f [ x ) = x + 39) / ( x ) = -
34) /(jc ) = x ln x
1
38) / ( x ) = e * + e '^
1
(x-l)
Ж А У А П ТА РЫ
1)
max= —5: ’ X -min=3
•*'mm
I
'2
5) экстремум нүкгелері жоқ
^max
^max
^min
^ > ^min
'^max
- > '^min
^min
I—
Ve
15) X^ax = -1 ;
17)
=1
^
^max ~
» ^min ~ ^
^max “
> ^min ~ ^
6) x^^^ - О ; Xj^jj —2
^max ~ ^
•„ = 0
’ Xmm
^
19) ^max
^
12) X„.„ =1,5
e
1^)
2n
^ т а х = ү
^max
343
9ж
— + 2яА:
+ 2я-і;
ж
^ > ^min
^
www.nismath.org
19)
^max
= ^ + 2 л - А : ; х ^ ^ = - ^ + 2жк
20)
Хшах
22)
Ушіп
, v ^ „ = - 3
24)
Ушах = 0 ;
.V m in= -23
20)
У шах ~ ~ 5 ,
28)
Ушах
21) >'шах=4
23) >шах
= 1 3 ;
2 5 ) У „ а х = 9 ;
27) Ушах = 4 ;
29)
Ушах
31) у ш а х
=0
=Л
е
= ^
У ш іп = -3 2
Ушіп ~ ~ 7
= -1
3 0 ) У ш а х = - 1
4, у
=4
32) экстремумдары жоқ
33) экстремумдары жоқ
3 4 ) У ш і „ = - -
35)
Ушах
36)
Ушах = - 1
37)
Ушах = ~ 2 ,
38)
Ушіп = 2
40)
Ушах
е
= :^
Ъе
Ушіп = 2
39) экстремумдары жоқ
*Жауаптарында А e Z параметрлері
1) f { x ) = x ^ - %x ^ + \ , д:е[-1;3]
2 ) f { x ) = x ‘^ - % x ' ^ + 3 ,
jc e [-2 ;2 ]
3 ) /(д:) = Злг^-4х + 8, jc e [ - l;l]
4) /(д :) = З д :^ - 5 х Ч і, x e [-2 ;2 ]
344
=V2
www.nismath.org
5 ) /(лг) = х^ -2л г^ + 8д:-2, jce[l;4]
6) / ( х ) = 2х‘*-8дс, х е [ —2;1]
7) / ( х ) = х + — , х е
-^ ^ -2
8 ) / W = Y + ^ , х е [1 ;б ]
9 ) / ( х ) = у + ^ , х е [ - 3 ;- 1 ]
1 0 )/ ( х ) = - х ^ - 4 х , х е[0 ,2 ]
В
1 1 ) / ( х ) = х + - ^ , хе[1;3]
12) / ( x ) = x^ (x+ 2)^ х е [-1 ;1 ]
13) f { x ) ^ x ' ^ + Y ~ , х е [-2 ;3 ]
Щ f{x) =- ^ - x ,
15) / ( х ) =
x g [-3 ;-1 ]
з ^ + з '- ^
, х е [-1 ;2 ]
ьз
16) / ( x ) = log, X, х е
1
-;4
2
17) f ( x ) = y [ 4 x , хе[1;4]
4х
18) / W = — > -^б[0,1]
е
2ІПХ
19) /( ^ ) = --------, хе[1;3], 1пЗ«1,099
345
www.nismath.org
20) f ( x ) = ( x - l ) y j х + 2 , д:е[-2;0]
21)
/ ( x )
= 2cx)sx—
c o s
2
jc
,
х е
ж ж
~б’ 2
22) / ( x ) = sin^jc-jc, jce о Л
2^) f { x ) = t g x - x ,
2 4 ) / ( х) = л/З дг+8Іп 2х , л:е[0;я-]
25) f { x ) = дг+ со8^л:, x e
26) f { x ) = e ~ ^ { x ^ +x - 5^ , x e [-4 ;4 ]
Ж А У А П ТА РЫ
1) -15; 10
2) -13; 3
3 )^ ;
9
5)5; 62
6) -6 ; 48
7) -2 ,5 ; --2
8) 1; 2­
8
9) -2,5; -2
10)
11) 2,5; 9
12)0; 27
13) 3; 9,4
14)3; 5
- * ;
3
*
3
17)2; 4
18)0; -
21) . ;
1
22) 1 - - ; 0
2
25»;
f
26) - 3 e ^ ; 7e^
e
15)
4) -5 5 ; 57
9
ln3
27 i
3
ln3
16) -2 ; 1
19)0; -
20) - 2 ; 0
23) ~ 1 ; 1 - ^
4
4
24)0; я-л/з
e
346
www.nismath.org
Stfc Оптималды. майдепді табуға байдавыстьг мәселе
е'еаіғгё|>^. ш еш ің із:...;' 1
'
*
''
С
1) Өз квадратьшен қосылғанда, ең аз шаманы беретін санды табыңыз.
Жауабы;
.
2) Оған Kq)i санмен қосылғанда экстремалды қосындыны беретін, оң a
санын табыңыз. Бұл не болады: максимум ба әлде минимум ба?
Жауабы; а = 1, минимум.
3) Оның үш еселенген квадраты, оның кубьшан максималды мәнге
асатын савды табыңыз.
Жауабы: 2.
4) Оның кубы үш еселенген оның квадратынан минимальды мэнге
асатын санды табыңыз.
Жауабы: 2.
5) Өзінің үш еселенген кубтық түбірін минимальды мэнге артгыратын
санды табыңыз.
Жауабы: 1.
6) Олардьщ бірінің кубьшың екі еселенген екіншісіне көбейтіндісі ең
улкен болатындай, 12 саньш екі теріс емес қосылғыштардың қосындысы
турінде көрсетіңіз.
Жауабы: 9; 3.
7) Олардың көбейтіндісі ең үлкен болатындай, 36 саньш екі он
қосылғыштардың қосындысы түрінде көрсетіңіз. Осы сандардың
көбейтіндісін табыңыз.
Жауабы: 324.
8) Екіншінің кващ)атымен бірінші қосылғыштын қосындысы ең аз
болатындай, 64 санын екі қосылғышқа бөлшектеңіз.
Жауабы: 0,5; 63,5.
9) Бірінші жэне екінпіі қосылгьшітардың квадраттарьшьщ қосындысы ең
көп болатындай, 18 санын екі теріс емес қосьшғышқа бөлшектеңіз.
Жауабы: 12; 6.
10) Олардын қосьшдысы ең аз болатындай, 49 санын екі оң көбейткіштің
көбейтіндісі түрінде көрсетіңіз. Қосьгадысын табьщыз.
Жауабы: 14.
' ' ;
347
www.nismath.org
11) Олардың квадратт£фының қосындысы ең аз болатындай, 20 саныв екі
оң қосьинъшітың қосындысы турінде көрсетіңіз. Осы сандардың
квадратгарының қосындысын т^ыңыз.
Жауабы: 200.
12) Сүйір бұрышы 30° бо.іатындай, тең бүйірлі трапецияның пішініңцей
участоктың ауданы 200-ге тең. Оның nqjHMerpi қандай ең аз мәнді
қабылдайды?
Жауабы: 80.
13) Сүйір 6:^ышы 30° болатындай, параллелограмм түріндегі
участоктьщ ауданы 8-ге тең. Оның периметрі қандай ең аз мәнді
қабылдайды?
Жауабы: 16.
14) Үшбұрыштың табаны мен биіктігінщ қосындысы 20 ои-ді қ^айды.
Үшбұрыштың ауданы ең үлкен болатындай, табанының үзьгадығын
табыңыз.
Жауабы: 10 см.
15) Осьтік қиманың диагоналі 5-ТЗ-ке тең болатындай, цилиндрдін ең
үлкен көлемін табыңыз.
Жауабы: 62,5я".
16) Радиусы R дөнгелегіне іштей сызылған тік төртбұрыштың ең үлкен
ауданын анықтаңыз.
Жауабы; 2R^ .
17) 32 сіріңкеден, ауданы ең үлкен болатындай іік төртбүрышты
қүрьшыз.
Жауабы: 8 сіріңкеден түратьш квадрат.
18) Ауданы 200-ге тең тік төртбұрыш пішщцегі участок үш жағынан
қоршаумен қоршалған. Барлық коршаудьщ ең кіпіі үзындығьш табыңыз.
Жауабы; 40.
19) Ромбы диагональдарының үзындығыньщ қосывдысы 8-ге тең. Оның
ауданы қандай ен үлкен мәнді қабылдайды?
Жауабы: 8.
20) Гипотенузасы 16 жэне бүрьшп>і 60° тік бүрыпггы үшбүрьппқа, оның
табаны гипотенузада жатқан тік төртбүрыш сальшған. Оның ауданы ең
үлкен болу үшін, тік гөртбұрыштьщ өлшемдері қандай болуы керек?
Жауабы: 8; 2-Л.
348
www.nismath.org
§4.Ф У Н К Ц И Я Н Ы Ң ТУ Ы Н Д Ы С Ы Ж ӘНЕ
ЖАНАМ АНЫҢ ТЕҢДЕУІ
1 тоібіы.
А б сц и ссасы
дгц н ү к тесін д е
У=
ф у н к ц и я сы н ы ң
г р а ф и гін е ж ү р гізіл ген ж ан ам ан ы ц тецдеуін қ ү р ы ң ы з:
1) /{ х ) = 2 х ^ -1 ; х , = 0
3) / ( х) = 7 2 х Ч і ; х„=2
4) / ( x ) = x ln x ; Хо = е
5) / W =
6 ) / ( х ) = х-е-*~‘ ; х„=]
2 , ; -^0-2
1
7) / ( х ) = е^^“ ’ - со82я"х -1 ; -0 = 2
8) / ( x ) = ln (2 x -l) + s in - ^ - - 2 ; Хо=1
9) / ( ^ ) -
,2 ’ -*^0-1
( 2 х - і)
1 0 )/ ( x) = (2jc+1)^; jCo = -1
А б сц и ссасы
н ү ктесін д е
у = f{x)
ф ункциясы ны ң
граф игіне жүргізілгеи ж анам аны ц бүры ш ты қ коэффициентін
табы ны з:
11) /(jc) = jc^-З х + 2 ; х„=2
12) / ( х ) = х ^ - З х Ч 2 ; Хо =2
14) / ( х ) = 1п{4х-і); Хо
1 5 )/ ( x ) = ^sin2x-sin .v ;
16) / ( x ) = 3smx+12.x;
349
www.nismath.org
/{ ^ ) = 3л:—4]пдг; л^=2
1 8 )/ W = ( x - l) ^ ( , + l) ^ - ( ;t Ч I ) ^ , .= 1
*’ ) / W
= ^ ;
* .= 4
2 0 ) / ( дг) = ,= -5 ,= - 3 ;
1
У f(-^) ф у н к ц и я сы н ы ң гр а ф и г ін е б ер іл ген
н ү к тесііід е
жүргізілген ж анам асы ны ң аб сц и сса осін іц оц б ағы т ы м ен
ж ас ай ты н б үры ш ы н т а б ы ң ы з:
2 1 )/ ( л ) = 2х^+Зд: + 4; х , ^ - 1
2 2 ) f { x ) = ~ ; x , =y f l
23) f { x ) = x ^ - 2 x + 5 -,
2 4 )/ ( л ) . ^ ;
2 5 ) /( л ) = ^
2 6 )/ ( х ) = л ^ -З л + 2; л:,=2
;
-0 = 0
2 7 ) /( x ) = - ~ ;
=1
2 9 )/ W = - ^ ;
л „= 2
.„ = 2
2 8 )/{ л ) = х ^ -8 л + 20; л ,= 4
3 0 ) / ( л ) = 2 :с Ч 4 х - 3 ; л „ = - 4
Ж А У А П ТА РЫ
1
4
1
3) У = - х + -
4) у = 2 л - е
6) у = 2х-1
1) у = 2х
8) ;;= :2 л -3
9) у - - 4 х + 5
10) у = 6х+5
11)1
12)0
13) -1
14)4
15) -1
16) 12
1 )3’ = -1
2) >- =
«л / = ----3 х +—
16
5)
25
25
350
www.nismath.org
17) 1
21 )
Ъл
' 5\
25) arctgj 29) 120°
18) -8
19) -6
—
Ъл
4
Ъл
23) —
26) 4
__ Ъл
27) —
4
22)
20) 15
24) 4
28) о
30) 4
в
функциясыньщ графигінв х^=Ъ нүктесі арқылы
l-x
жүргізілген жанамамен абсцисса осінің арасьгадағы бұрыш а . cos2a-Hbi
табыңыз.
1)
=
2) (з:о;)'о) нүктесівде у = х ^ —2х параболасьша жүргізілген жанаманьщ
бзфыштық коэффициент! 4-ке тең. Осы жанаманын теңдеуія жазыңыз.
3)
1 ,
j = - —X +2х функциясыньщ графигіне қандай нүктеде жүргізілген
жанама у = -2х түзуіне параллель болады?
4) >' = 5х +<7 түзуі у = х ^ —х+1 функциясының графигіне жанама
болатындай парамеірдің мәнін табыңыз.
5) Абсциссасы 3-ке тең нүкте арқылы у = х^ қисығьоіа жүргізіпген
жанамаға параллель болатын (3; 4) нүтстесі аркылы өтетін түзудің тевдеуін
жазыңыз.
6) Абсциссасы 0-ге тең нүкте арқылы
у = х ^ —2х+4
кисьнъша
жүргізілген жанамаға (3; 5) нүктесі арқьшы өтетін перпендикуляр түзудің
тевдеуін жазыңыз.
7) / { х ) = х^ -2 х -1 5 параболасыньщ абсцисса осімен қиылысатъін
нүктелері арқылы ж^фіізілген жанамаларының тевдеулерін жазыңыз.
351
www.nismath.org
8) Оның бірі графикпен абсциссасы 3-ке тең нүктеде жанасатын, ал
екіншісі абсциссасы 1-ге тең нүктеде жанасатын, / ( x ) = x ^ -4 x + 3
гі)афигіне жүргізілген жанамалардьщ ортақ нуктесін табыңыз.
9) f { x ) = Ъх-х^ теңдеуімен анықталған қисыққа жүргізілген абсцисса
осімен 45° жасайтындай жанаманьщ жанасу нүктесін табыңыз.
10) / ( х ) = (дс-3)(х-2) қисығына осы берілген қисықпен ордината
осінің қиылысу нүктесі арқьшы жүргізілген жанаманың абсцисса осімен
көлбеулік бұрьппын табыңыз.
\ \ ) Ь параметрінің қандай мәндерінде абсциссасы Х{,=1 нүктесі арқылы
/(х ) =
арқылы өтеді?
+3
функциясына жургізілген жанама (2; 8) нүкгесі
12) у = х^ жэне у = х ^ + 3 х —6 функцияларының қиылысу нүктесі
арқылы өтетіндей берілген функциянардың графиктеріне жүргізілген
жанама теңдеулерін курыңыз.
13) / ( х ) = -8 -У х -4
функциясының графигіне жүргізілген бүрыштық
коэффициент! к = -0,8 болатындай жанаманың абсцисса осімен қиылысу
нүктесін табыңыз.
14) а-ның қандай мәндерінде f [ x ) = x^ +ах+Ъ параболасыыа Оу
осімен киылысу нүктесінде жүргізілген жанаманын. бүрыштық
коэффициент! 2-ге тең болады?
15) / ( х ) = х ' - 2 х + 4 жэне у = х^ функцияларьшың қиылысу нүктес!
аркылы / (х) функциясының графигіне
бұрьшпъщ коэффициент!н табыңыз.
жүрг!з!лген
жанаманың
16) / ( х ) = е* функциясының графигіне жүргізішен у = ^ ~ \
түззтне
параллель болатындай жанаманың жанасу нүктесш табьщыз.
17) Абсциссасы Хо=1 болатьш нүкте арқЕллы у - 4 - х ‘ параболасына
жанама жүрг!з!лген. Осы жанаманың ордината осшен қиылысатьш
нүктен!ң координаттарын табыңыз.
352
www.nismath.org
18) = -5 х + 6 жэне у = х^ +х+1 параболаларына ортақ жанаманың
тевдеуін жазыңыз.
f
19) f { x ) = ^ 5 - x
функцнясыньщ графигіне координаттары (1; 8)
болатындай нүкте арқылы жанама жүргізілген. Оның координатгар
осьтері арасындағы бөлігінің ұзындығын табыңыз.
функциясының графигіне абциссасы
= 1 нүктесі
2 х -\
арқылы жүргізілген жанамамен және координат осьтерімен шектелген
үшбұрыштың ауданын есептеңіз.
20) у =
Ж А УА П ТА РЫ
1) і ^
17
2) у
4) а = -8
5) _v = 6jc-14
6)
8) ( 2 ;- 2 )
9)(1;2)
7)>; = 8jc-4 0 ; у
=
-іх -2 4
10) ^--arctgS
у = 7 л:-10
1 5 ) 10
„V
у
=
X
5
9
------ 1-—
3
4 х -9
3 ) (4 ;0 )
^ ■ ^ 2 2
11) 6 - 2
12) >' = 4jc- 4 ;
18)
=
13) (-2 1 ; 0)
14) й
1 6 ) (^ -1 п 2 ;
17)
19)
20)2
5 > /5
353
=2
(0 ;5 )
www.nismath.org
§5.А Л Ғ А Ш Қ Ы Ф У Н К Ц И Я Ж Ә Н Е О Н Ы Е С Е П Т Е У .
А Н Ы Қ ТА Л ҒА Н И Н Т Е Г Р А Л Д Ы Ң Қ О Л Д А Н Ы Л У Ы
1 - тобы.
ф у н ц в я н ы Ң ал г 8 ш к ы ббрЛ)^ыңың жалһы т ^ і н табы ңы і:
А
1) /(x)= = sm (3x-4)
3) / ( x ) = 2sin j+ 3 co s6 x
6 ) / ( х ) = е ^ -^
(5 x -7 )
7) / ( x ) = 2'*’^^^‘
10)
1 1 ) /( х ) = ^ +
+^
^
В
12) / ( x ) = ,^ ^ + 4sin(4x + 2)
+х^ - 2
+1
13) f { x ) =
15)
= 7 + cos X
16) / ( х ) = (д:+і)(л:-і)(х+2)
. ч cos2x
17) / W = —
sm 2 X-
18) / ( х ) = 2cosx-cos5x
19) / ( x ) = tg X
2
354
www.nismath.org
20)/(дс) =
^ 9 -1 6 х "
22) f { x ) =
24) f{x )--
23) f { x )
_ x ^
■ /x -l
x -lp ~
25) f { x ) ^
3-2^-2-3"^
F
( l- ,^ x f
26) / ( x ) =
27) / ( x ) =
sin| ^ ~ 2 x
X . 3x
28) f{x)-- :cos—-sm—
2
2
29) f { x ) =
cos^ f —+ 2x
30) / ( x ) =: 6cos^ — 3x
u
Ж А УА П ТА РЫ
I) F (x)
= - |c o s ( 3 x - 4 ) + C
2) F (x ) = |t g 5 x + C
3) F{x) = - l 0 c o s | + is in 6 x + C
4) F (x ) = | , / 3 x - 2 +C
5) F [x) =
6) F(x) = 0 , 5 e ^ ^ '4 c
5(5x-7)
2 0 ,5 x + 2
7) F (x ) =
9) F {x) =
ln2
■+ C
+c
Jl
ctg x --;^ +C
3
2x^
I I ) F(x) =.2 -3
x~--yflc-ьЗ Ір с+C
'7
8) F (x ) = 0 ,5 1 n |4 x -l| + C
1 0 )F (x ) =
12) F ( x)=
355
-V + - V — T +
2x,Jlc
---- cx)s(4x+2)+C
www.nismath.org
13) /'(^:) = - .x ''- 2 a r c tg x + C
4
14) F { x ) - x - 2 s K ,tg x + C
15) F (x ) = t g |+ C
2
1
16) F (x ) = — + - х ^ - - х ^ - 2 л : + С
'■ ^ 4 3
2
17) Ғ {х) = -(Л % х-2х+ С
18) F ( jc) = is in 4 x + -^зшвх + С
19) F{x) = tg x -x -¥ C
20) F (x ) = ^ a r c s i n ^ + C
21) / ’(jf) = ^ a r c tg ^ + C
22) F {x) = ~
23) F{x) = - x - i / ^ + C
24) Ғ(дс) = j x-Tx - yjc-t/x + C
+ ^ Y ^ +x + C
f3 Y
25) F (x )~ 3 x 2
+C
26) F (x ) = - ^ + C
ІП-2
27) /^(х) = Ь |д:| + 4>/х+л: + С
28) F (x ) = - ^ c o s 2 x - i c o s x + C
29) F (x ) = lt g ( ^ 2 x + |j+ C
30) F ( x) = 3 x - ^ cos6x + C
356
www.nismath.org
өтетін
Графиті
Л/„ (jco;^)
нүктесі
аркылы
функциясының алғашқы образый табыцыз:
A
_ ,
й
,
■
1 ) / ( х ) = 2х"; Мо(-1;2)
2 ) / ( x ) = sin2x; Мо(0;і)
Ъ) f { x ) = Ax^+ 9x-^-, М )(3 ;-2 )
4 ) / ( х ) = 10д:л/х ; М)(1;5)
5 ) / ( х ) = х '; М„(2;1)
6 ) /{л:) = 8 х ^ -5 ; Мо(і;4)
7) / (
х)
= 8і п 4 д:;
М,,
я- _2,
12’ 2
Ж А У А П ТА РЫ
2) F ( jt) = - - cos2x + ^
3) Ғ ( л:) = - д: - — -3 5
2
4
4) Ғ(л-) = 4х^л/х + 1
5) Ғ (л ) = - - — 3
6) F(jc) = 2 x " -5 x + 7
7) F ( x) = - - cos4x + ^
4
8
И н т е г р а л ды е се п т ең із:
А
1) Jjf\c-oV
s X- Asm- lx dj -
r
dx
3 )1^ -y/x + 3
2 -3 x
4)
I (3x'‘ -f2 x ^ -5 )d x
357
8S£
Xp I I — +
4 U
I _Ш 5 - I — + ДС
u
f (Ql
Xp —p->
ilZ
SOD
,
www.nismath.org
■' £
ж
z-
' xp' “ J (SI
l + ^ l £ J (61
-^1 M
^ -lA
" 5 ^
sf
I -.
«
X 7-Q
x p --------- j------------- f (9J
x z - z l ^+ ^ x f - ^ J
Iz_
Й-
Z
3l‘
xp(xj;^uisz:-i) J (SI
-rp X ^ms J (t-i
1
г
U
a
0
хрх^Зг
1 (£l
n
t.
и
1 + x s ‘o ? ,
xp
J (tl
x p (x ^ 3 jo + i)J iZJ
L
и
гчг
£+ ^ гД
J (01
%
гч
^р
ГЛХ I
-A
J
^ p
p_
(8
^
3C_SOd V .
Г ' -
\
)l^^
йі
t
xp
J
V I‘
■":fj у 6/ * *
www.nismath.org
22) f
23) J i l —5x j dx
dx
1+
-2
J3
24) I |2 -jc jd x
f
25) i — ^ = = ^ d x
i ‘5 / ^
0
f
26) J
f
dx
27) J - 2
•L sm
Cl x cos2 X
dx
16+x^
-
4
dx
29)
28) f ^ -— dx
1 л /^ + 1
j j 2 ^, /^bl-x
2
30) I s j x ^ x ^ c dx
Ж А УА П ТА РЫ
1 )0 .
2) - - l n 2
3
3)2
4 )^
15
5) 14
6) 9
7)2
8)6
9)2
10) -6
11) ln9
12) 1
13) 1 - ^
4
1 4 )^
2
16) 3+лД
1 7 )6
19) 38,4
26
2 0 )-
22)4
24)2,5
25) —
3
29) —
24
30) —
^ 15
2 8 )- ү
359
www.nismath.org
:-v.i-'>чи';<;'.гч*4.чл і'л і'.:л
В
£.
2) J (x+l)djc = >’ ^
1) J х^ dx = 4y^ +5
о
0
3
3
4) J ^х^ +1^ dx = у^ +y
3) J {x+ 3)dx = y ^ - у
-1
2
S ) j { x - 2 ) dx = y^ +3y
Ж А У А П ТА РЫ
1)+1
2) ±2
3)
1±V65
Т ецсіздіктерді ш еш іціз:
4)-4;3
,
В
4
О
1) J (д: + 3)<1д: > > - 4 8
-2
2) J (^ + 4)d x< і
-3
6
4
3) f ( x - 2 ) d x > y^ + 2
2
4) ^ {x + 2)dx > y ^ + \5
-2
3
5) J
( x + 5 ) d x < 2>>2 + 6
-1
Ж А У А П ТА РЫ
l)[-4 ;4 ]
2) (-» ;-3 ]U [3 ;o o )
4 ) Г-л^;л^1
5) (-co;-3]U [3;oo)
360
3) [-7 б ;> /б ]
5 ) - 2 ; -1
www.nismath.org
3 - тобы. ТвмендегГсы зы ктармеи ‘шектелгёнГфнгураяыц , «уданы'н е с е п т е ң і і | . ^ , , , с"
1) у = х'^: у = 2х.
2) у = х ; у = ~ ; у ~ 0 ; х = е.
X
Ъ ) у = 9- х ^\ у = х^+1', х = 0.
4 ) j = 2sinjr; >>= 1; л:е[0;;г].
5) у = ^ х '; у = у [ 2 ^ .
в
6 ) y = 2cosx; у = 0; х = ^ ; ^ = Т О
3
7) у = 4 х - х ^ \ у = 0.
8) У=->
У
+х = 7 .
X
9) у = х^; у--=— ; >" = 0; х = 2; х > 0 .
X
10) Ғ(0) = 1 екендігін ескеріп, > = 2 .r-2 және оның Ғ (х ) алғашқы
образының графигімен.
11) у = 4 х - х ^ фунісциясының графигімен жэне (4;0) мен (0;4)
нүктелері арқылы өтетін түзумен.
JC^+l
12) у= I
жэне у = 1,5 түзуімен.
13) У = 1 - х ; ;^ = 0; >- = (х + і)^ ; х > - 1 .
14) у = ( х - 2 ) ( 2 х - 3 ) ; >’= 0.
361
www.nismath.org
15) у = х^ —2х+]
графигімен.
қисығымен
және
оның
туындысының
У (^)
16) у = 2 -J ^ ; у = 4 ; х = О.
1 7 ) у = 3 ^ ; у = 9^; х = 1.
1 8 ) >’ = ^ ;
Щ
У= ^ 1
у = ^ 4 - 3 х ; у = 0.
У =
-Зх + 7.
20) у —х ^ -6 х + 4 ; у = 4 —х^.
21) у = - 6 х ; у = 0 ; х = 4.
22) у =
1
;
1+ х ‘
х = 0; х = 1
23) у = —7= - ; 3^= 0; д: = 1; х = 4.
УІх
24) jv = sinjc; >>= cosx; х = 0; х е
25) y = ^fx , у = х - 6 , у - 0 .
26) j = 3 - [ x - 3 |; y = 0.
2 7 ) j = |x ^ - 4 j ; j = 0; лг= -1 ; х е [-1 ;2 ].
28) y = x'^ -2 x + 2 қисығымен жэне оған М (3;5)
жүргізілген жанамамен жэне дс = 0 түзуімен.
нүктесі арқылы
Ж А У А П ТА РЫ
1) 1
1
2) 1,5
32
3 )^
362
4) 2 ^ /3 -
2ж
5 ) .|
www.nismath.org
7)
6) > /з -і
3
10) 1
‘Ч -
8) 17,5~61п6
11) 4,5
12) ~
15) 3
■ « 4
■’ > ta 3
18) 9
19) —
2
20)9
21) 48
2 2 )-^
4
23)6
24) л/2-1
25) 13,5
26)9
27)9
28)9
4-тобы . Т вм ен д сгі
«ы эы ктарме»
ш ектелгси .. кнсммк
сімзмк;тіы трап«цм«пі4 'авсий^ей осія«' қатііісті(і айналу
кезііід е п ай д а бол іа н д«ненія квлемгін табм ч м з:
-- .В
1) у =
у =х .
2) у = х+ 2 ; у = 1; х = 0; х = 2.
3) у = у [ 7 ;; у - х .
4) _v= sinx ; 3' = 0 ; х е [0 ;д ].
5) у = — ;
X
’ =т-
Jc = 2; у = х .
1
6) у = — ; -t = 2; х = 3; ,У= 0.
X
7)
y = -j2 ~ x ; X = 0.
8 ) у = х^+1; x = 0; х = 3; з>= 0.
363
www.nismath.org
9)
у =/ 4 х
;
=
10) у = 2~ 2х^; У --0.
11) J = —т
X ;
= -2г І
^•
12) >’= sm x; у = — х: jce 0 ;£
п
-%v
13)
y = ^ c o sx ; j' =л0; х = ~ж
— ; х =Jt~•«
/-----------
4
14)
4
у = х^; у - ^ .
15) х у - 2 ; v = l ; х==-2; у = 0.
16)
2х~3>>-6 =
,х-3 =
0;
0;
х -9 = 0;
^^ = 0 .
1 7 ) ^ = 1д-^; j r - 0 ; j' = 0 ; х = 3.
Ж А УА П ТА РЫ
1) 3 1
2)
16 | я
15
’* т
5 )i? ^
24
6)
9 ) 1 9 ,2л^
1« )
13)
уІ2л
7)
—
0
15
1 4 )3 ;
10
.А .
П ) і? 1
24
15)
!7)
5
364
2л
4)
л
8) 69,6
. 2 ) 4
12
16)
32 ж
www.nismath.org
VIIIТАРАУ. ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. ҮШБҮРЫШТАР
I -тобы . «Kc'j кслген ушб¥РЫШ>>такырыбына байлаиысты есепгерді
шешіціч:
А
1. Қабыргаііарының ұзьгадықтары 4 жэне 6, ал олардың
арасындагы бұрышыиың тангенсі 0,75-ке тең екендігі беліілі болса,
ушбурыішың ауданын табыңыз.
Жауабы; 7,2.
2. Үшбүрыштың табаны 60, биіктігі 12, ал табанына жүргізілген
медианасы П-ке тең. Үшбұрынггың улкен бүйір қабырғасын аныкгаііыз.
Жауабы; 37.
3.
Үшбұрыштың бүрышы —, ал оған қарама-қарсы қабырғасы
3
,
Л -ге тец. Басқа кабыргаларыньщ ұзындығы а ;6 = 3:1 қатынасындай.
Үшбүрыштың үлкен кабырғасын табыңыз.
Жауабы: 3.
4. Қабырғалары 4; 13 және 15 болатын үшбұрыштың ауданын
табыңыз.
Жауабы: 24.
5. Үшбүрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусы 3-ке тең, ал
үшбүрыштың периметр! - 20. Үшбүрыштың ауданьш табыңыз.
Жауабы; 30.
6. ABC үшбүрышындагы АВ = 8 ; АС = 5 ;
Z A : Z B : ZC = 3:4:1 1 . Үшбүрыштың ауданын табьщыз.
Жауабы; 10.
7. ABC
үшбұрышындагы;
АА = 1Ъ°,
ZB = %5°.
ВС
қабыргасына түсірілген А бұрышының биссектрисасы мен биіктіктігінің
арасындағы бүрыш қаншагэ тең?
Жауабы: 31,5°.
365
www.nismath.org
8. Үшбұрыштың биіктігі 12-ге тең жэне 2і-ге тең қабыргасын
5 :І6 қатынасындіай беліктерге бөледі. Үшбұрыштың периметрін
габыңыз.
Жауабы: 54
9. Үшбц}ыштын биіктіп 4-ке тец. Ол овы сәйквсіншс
nqjHMeipjiepi 16 жәке 23 болагындай скі ушбүрышқа беледі. Осы
үшбурыштың периметрін габыңыз.
Жауабы; 31.
10. ABC үшбұрышынын АС қабырғэсының узындығмн табыңыз,
5
мұндагы В бүрышыд№ап, АВ = 1'^ ; ВС = 2 және sin ZB 13
Жауабы; - Ш І .
11. Үшбұрышты орга сызыгымен бвлгендс пайда болған
звртбурышггыд ауданының үшбұрыштық аудаиына қатынасын табыңыз.
Жауабы: 3: і .
12. Үшбүрыштагы үзыіідықтары 3 жәые 4 болатьш екі медиана іік
бүрыш жасап қиылысады. Үшбүрыштың ауданын табыңыз.
Жауабы; 8.
13. ABC үшбүрышыныц аудакк
болатындай,
АС
қабырғасыида
К
үіибүрышының ауданмн табыңыз
Жауабы; 30.
36~ға TCfv Л К : КС = 1:5
нүкіесі алынган.
КвС
14. Орта сытыгы 4л/з, бүрыштарының шамалары 2; 3 және 4
сандарына пропорңиокал болатын үшбүрышда сырттай сызыліан
шеңбсрдің радиусым есептеңЬ.
Жауабы: 4.
15. Үшбұрыш қабырғасыііын ортасынан іүзулер жұргізілген, олар
оныц басқа екі қабырғ.зларына параллель. Егер осы үшбү|>ыштыд ауданы
60 бопса, шыққаи гөрібүрышіъің ауданым табыңыз.
Жауабы; 3U.
466
www.nismath.org
в
16.
A B C үшбұрышында; AB = S; ВС = 6; СА = 3 сәйкесіыш
бұрыштардың биссектрисалары BD жэне А Е . АВС жэне CDE
үшбұрыштарының аудандарыньщ қатынасын табыңыз.
77
Жауабы: — .
К
17. Үшбурыштың табаны а-га гең, ал табаныньщ б^ыштары —
6
жэне — тек болса, үшбұрыштың ауданын табыңыз.
4
2
Жауабы: — (^/3 -1 ).
4
18. АВС үшбұрышындағы А бүрышы 30°-қа тең, ал ВС
қабырғасы АВ қабырғасынан екі есе артық. Егер BDC үшбұрьшіының
ауданы 4VT5 ген болса, АС қабырғасына 5 төбесінен жүргізілген BD
биіктігін табыңыз.
Жауабы; 2\/2 .
19. Үшбүрыштың екі қабыртасы сәйкесінте 6 және 8. Осы
қабырғаларға
жүргізілген
медиаиалар
өзара
перпендикуляр.
Үшбұрыштың үші нші қабыргасьш табыңьп.
Жауабы: i S ■
20. ABC
үшбұрьшіьшда
Үшбұрыштың ауданын табьщыз.
Z B - 120° ;
АВ = 7 ;
АС = 13 .
Жауабы: 14\/з .
21. Үшбұрыштын ІШКІ бурышыньщ биссектрисасы қабырғаны 13
жэне 15-ке тең кесінділеріне бөледі. Екі қалған қабырғаларының
қосьшдысы 56 болса, үшбұрыппъщ ауданын табыңыз.
Жауабы: 336.
22. MNP ушбұрышьшың N бұрышының биссектрисасы МР
қабырғасын 28 және 12-ге тең кесінділеріне бөледі. Егер MV-iVP = 18
болса, MNP үшбұрышының периметрін габыныз.
Жаүабы: 85.
367
www.nismath.org
23. Қабырғалары 13; 14 және 15 болатын үшбұрыштың ең кіші
биіктігін табыңыз.
Жауабы; 11,2.
24. О нуктесі, ABC үшбұрышыньщ төбесінен бірдей қашықтықта,
ZABO = A%°. / л е в бұрышын табыңыз.
Жауабы: 42°.
25. PQR үшбүрышының ауданы Збнға тең. S нүістесі PQ
қабыргасын 1:3 қатынасьшда бө.чеді, ал Т нүктесі - QR қабырғасының
ортасы болып табылады. STRP төртбүрышының ауданын табмңыз.
Жауабы: 22,5.
26. Егер ВС = 8, ал АС жэне ВС-га түсіршгек биіктіктердің
узындықтары сәйкесінше 6,4 жэне 4 тең болса, ABC үшбурышының АВ
және АС қабырғаларының узындыктарын табьщыз.
Жауабы: -Ja I ; 5.
27. ABC 'ітпбұрышындағы АС қабыргасы 26-ға тең, ал А жәнс
С төбелерінен жүргізілген мвдианалары сэйкесінше 36 және 15. Үшінші
медиананы табыңыз.
Жауабы: 39.
28. Доғал бүрышты үшбүрыштың үлкен кабырғасы 16, ал оньщ екі
ұшынан жүрпзілген биіктіктері, доғал бүрьпіітың төбесінен 2 және 3-ке
тең қашықтықта болады. Үшбұрыштьщ екі кіші қабыргаларын табыңыз.
Жауабы: 8; 12.
29. ABC үшбұрышында: А В - 6 ;
ВС = 9; АС = 5; В М
биссектрисасы жэне BN медианасы жүргізілген [М е АС, N е А С ).
MN кесіндісінің ұзындығын табыңыз.
Жауабы: 0,5.
30.
ABC үшбүрышының
ауданы 100-ге тең. М нүктесі АВ
қабырғасына тиісті, мұндағы А М \А В = Ъ:\0. N нүктесі ВС
қабырғасына тиісті, мұндағы BN-.BC = 6-.\0. К
нүктесі СА
қабырғасына тиісті, мұндағы С К : С4 = 7:10. MNK үшбұрышының
ауданын табыңыз
Жауабы: 21.
368
www.nismath.org
31. Үшбұрышқа (қабырғалары 6; 9; 11) іштей дөңгелек салынган.
Үшбұрыштың қабырғалары жаыасу нүктелерімен бөлінген. Барлық алты
бөліктің ішінен кішісінің узьшдығын табьщыз.
Жауабы; 2.
32. ABC
үиібұрьшшнда
АВ = І 9 ,
бң)ьпптары
ZA = aictg —,
2
ZB -- arc tg —. ABC үшбурышыньщ ауданын табьщыз.
Жауабы: 95.
33. ABC ушбурышывда В М биссектрйсасы жэне BN биіктігі
жургізьтген, мұндағы M g АС және N g AC; AM = 8; M N = l ; NC = 3.
BN биіктігінщ квадратын табьщыз.
Жауабы; 15.
34. ABC ^тпбұрьппында A M медианасы жүргізілген. Егер
АС= З уІ 2 , BC = W , ZM 4C = 45° болса, ABC үиібұрышының ауданын
табыңыз.
Жауабы; 21.
Г~~
35. ВК = 12, АК - 4 , ZBOK = ZBAO , cos ZB = —
ABO үшбұрышының АВ қабырғасында К
ушбұрышының ауданын табьщыз.
Жауабы; 48.
*
болатындай
нүктесі жатыр. ОВК
36. ZC = 30°, А В - 5 , ВС = 8 болатындай ABC үшбұрыілында
A бұрышы - доғал. АС қабырғасын табыңыз.
Жауабы; 4л/3-3.
37. ABC үшбұрышыньщ ВС қабырғасы 25-ке тең, биіктігі
B D -1 5 , оған сыртгай сызыщан шеңбердің радиусы 7? = 32,5.
Үшбұрыштың қалтан екі қабырғаларкш анықтаңыз.
Жауабы: 39; 56.
3
5
38. Үшбұрыштың екі сүйір б^ышының синустары - және — -ке
тең, ал оған сырттай сызылған шенбердің ради>’сы 32,5. Үшбүрыштың
ауданын табыңыз.
Жауабы: 420.
369
www.nismath.org
39. Үшбұрыштың екі қабырғасы 2 және 2>/Г5, ал үшінші
қабырғасының медианасы 4. Үшбұрыпітың ауданын табыңыз.
Жауабы; 2^Л5.
40. MNK үшбурышында ZMNK бурышы - доғал. MD және КЕ
биіктіктері Р нүктесінде қиылысады. PN = 5; МК = 10. AWKP
төртбұрьшіының ауданьш табыңыз.
Жауабы; 25.
2 - тгдйбы:: «Тен буйірлі үшбмаьші» тақырыбына бабланысты есептерді
шещіціз:
. .
1.
Тең бүйірлі үшбұрышта
АВ = ВС = 2;
мединасыиьщ узындығын табьщыз.
Жауабы;
АС = 1.
AM
2
п
Тең бүйірлі үшбұрыштың табанының бұрышы — ке тең, ал
4
бүйір қабырғасы Зл/2. Медианалар төбесінен қандай кашыктыкта
қиылысады?
Жауабы; 2.
2.
3. ABC (АВ = ВС) тең бүйірлі үшбурышына іштей сызылған
дөңгелекгің ради>'сы BD биіктіктігінің 0,4-ін қурайды, ал үшбурыштың
периметрі40. АС табаньшың узындығын табыңыз.
Жауабы; 16.
4. ABC (А В -В С ) тең бүйір.7І үшбұрышының табаны АС = 48,
ал бүйір қабьгрғасы 30. Сырттай сызылған шеңбердің радиусын
анықгаңыз.
Жауабы; 25.
5.
Тең бүйірлі үшбүрьшггық бүйір кабырғасына жүргізіліен
биіктігі 4-ке тең. Төбесіндегі бұрышы — . Үшбүрыштың табанының
үзындығьш табыңыз.
Жауабы; 8.
370
www.nismath.org
6. ABC [AB = BC) тең бүйірлі үшбұрышьшьщ периметр! 95-ке
тең, ал АС табаны периметрдің 40%-ын құрайды. АВ бүйір
қабырғасьшың ұзьшдығын табьщыз.
Жауабы; 28,5.
7. Тең бүйірлі үшбұрыштың периметр! 32-ге тең, ал табанының
бүй!р қабырғасьгаа қатынасы 6:5 қатынасыңдай. Үшбұрьшггаң ауданын
аныктаңыз.
Жауабы: 48.
8. Табаны 10 жэне бүй!р қабырғасы 13 болатын, тең бүй!рл!
үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердін R радиусы мен штгей
сызылған г радиусын табьщыз.
Жауабы; r = — ; R = ---- .
3
24
9. Табаны AC
ABC тең бүйірлі үшбүрышында AF.
биссектрисасы мен .АН биіктіг! жүргізілген. ZB = 112° болса, AHF
ушбүрьшшның бұрьпіггарын табыңыз.
Жауабы: 39°, 51° и 90°.
10. Ten бүйфл! үшбұрыштын табаны мен біііктігі 4-ке тең. Осы
үшбұрышқа сыртгай сызылған дөңгелектің ауданын табыңыз.
_
25лЖауабы;
.
11. Егер бүй!р қабырғасына жүргізішген бшктік 8-re тең жэне
табанымен 45° бұрьшіты қүрайтын болса, тен бүй!рл! үшбұрыштың
ауданын табыңыз.
Жауабы; 32.
12. Тең бүй!рл! үшбұрыштың табанының бұрышы 30° -қа тең. Б!р
бүйір қабырғасына түсірілген биіктік пен екінші бүй!р қабырғасының
арасындағы бүрышты табыңыз.
Жауабы; 30°.
13. Тең бүйірлі үшбүрыштың бүй!р қабырғасы 5-ке тең, ал
7
төбесіндег! бұрышьпшң косинусы
Үшбүрыппың бүй!р
қабырғасына гүсфшген биіктіктің үзындығьш табыңыз.
Жауабы; 4,8.
371
www.nismath.org
14. Ауданы 25-ке тең, ап табанындағы а бұрыштарының tg or = 4
болатын, тең бүйірлі үшбұршптың табанының ұзьшдығьш табыңыз.
Жауабы: 5.
15. Табаны А С , ал табанындат бұрышы 75° болатын, тең
бүшрлі ABC үшбұрышына центрі О шеңбер сальшған. Егер ВОС
үшбұрышының аудавы 16 тең болса, оның раудиусын табыңыз.
Жауабы; 8.
16. ABC тең бүйірлі үшбүрышьгаа іиггей шеңбер сызылған. Оның
АС табанына параллель, бүйір қабырғаларын D және Е яүкіелеріңде
қиятын шеңберге жанама жүргізілген. Егер DE = S, АС = IS болса,
шеңбердің радиусын табыңыз.
Жауабы; 6.
17. Тең б^-йірлі үшбұрыпітың табанының ұзындығы 15, ал бүйір
қабырғасына түсірілген биіктігі 12. Үшбұрьппіъщ ауданын анықтаңыз.
Жауабы: 75.
18. Тен бүйірлі үшбүрыппъвд периметрі 128, ал оның табаны - 48.
Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердін радиусын табыңыз.
Жауабы; 12.
19. Тең бүйірлі үшбұрыштың табаньша жұргізілген биіктігі 20, ал
табанының бүйір қабырғаға қатынасы 2:3 қатынасьгадай. Іштей
сызылған дөңгелектің радиусын анықтаңыз.
Жауабы: 5.
20. Радиусы 10 болатын шеңберге төбесінің бүрышы 120° тең, тең
бүйірлі үшбүрыш іштей сызылған. Үшбүрыштьщ қабырғаларын табыңыз.
Жауабы; 10; 10; 10v§.
21. Бүйір қабырғасы a және төбесіндегі бүрышы a = arccos(0,9)
болатын тең бүйірлі үшбүрыппъщ табанының бір төбесінен бүйір
қабырғаға қарай жүргізілген биіктік пен медианасының табандарының ара
қашықтығын табыңыз.
Жауабы; 0,4а.
22. Табаны АС = 6 болатын ABC тең бүйірлі үшбүрыніына іштей
шенбер сальшған, жанасу нүктесі бүйір қабырғаларды 7 :6 қатынасьшда
бөледі. Егер ZB < 60° болса, үшбүрыппың периметрін табыңыз.
Жауабы: 19.
372
в
www.nismath.org
23. ABC [АВ=ВС) тең бүйірлі үшбұрышына шеңбер іштей
салыш-ан. Үшбұрыштьщ төбесінен түсірілген BD биіктігі 8-ге тең.
3
cos ZA - — болса, іштей сызылған шедбердің радиусын табыңыз.
Жауабы; 3.
24. ABC
(АВ = ВС)
тең бүйірлі үшбүрышының қабырғасы
АВ = 12. BD биіктігінің ортасы арқьшы MV || 5 С кесіндісі жүргізілген.
MN ұзындығын табыңыз.
Жауабы; 9.
25. Бүйір қабырғасы 50, ал табаны 60-қа тең, тең бүйірлі
үтбұрьпііқа іштей дөңгелек салынған. Бүйір қабьгрғаларда орналасқан
жанасу нүктелерінің арасындағы қашықтықты анықтаңыз.
Жауабы: 24.
26. Табаны АС ABC тең бүйірлі үшбұрышыньщ ішінде
табанынан л/З қашықтықта жэне бүйір қабырғаларынан 6-ға тең
қашықшқта орналасқан М нүктесі жатыр. Егер Zff = 120° болса, ABC
үшбурышының табанын табыңыз.
Жауабы: 30.
27. Табаны A-jl жэне бүйір қабырғасына түсірілген медианасы 5ке тең, тең бүйірлі үшбурыштың ауданын табыңыз.
Жауабы: 4лЯ4.
28. Тең бүйірлі үшбұрыпггың бүрышы 120°, оның төбесі арқылы
үлкен қабыртамен 60° жасайтын түзу жүргізілген. Пайда болған
үшбүрьші бөліктерінің аудандарьшың қатынастарын табыңьп.
Жауабы: 1:2.
29. Тең бүйірлі үшбүрыштың табаны 2, ал бүйір қабырғаларға
жүргізілген медианалар өзара перпендикуляр. Үшбұрьпптың ауданын
табыңыз.
Жауабы: 3.
373
www.nismath.org
30.
ABC (AB = BC) тең бүйірлі үшбұрьшіында медианаларды
қиылысу нұктесі арқылы АС-ға параллель тузу жүргізілген. Ол АВ
қабырғасымен М нүктесінде қиылысады, ал ВС қабырғасьшен N
нүктесінде қиылысады. Егер ABV = 12 , ал ABC үшбурышының ауданы
108-ге тең болса, осы түзумен АВ қабырғасы қандай кесінділерге
бөлінетінів анықтаңыз.
Жауабы: 5; 10.
31- ABC (АВ = ВС) тең буйірлі үшбій^ыЩьіВДа, центрі A ,
радиусы АС шеңбердің доғасы жүргізілген, ол АВ қабырғасьш D
нүктесінде қиып өтеді. Егер АС = 6, DC = 8 болса, ВС қабырғасын
анықтаңыз.
Жауабы; 27.
32. Табаны CD = 16, BCD сүйір бурышты тея; бүйірлі
үшбұрьппына радиусы 10 центрі О шеңбер іштей салынған. ВОС
үшбурьппының ауданын табыңыз.
Жауабы; 40.
3 ^ тобы. «Теи кабыргалы ушбіпіыш» такмрыбына байланысты
есептерді шешіцЬ:
; г:
.
: r v
1. ABC тең кабыргалы үшбурьшіында сәйкесінше А В , В С , АС
қабырғаларыньщ орталары болатвшдай К , L жэне М нүктелері
белгіленген. Егер KBL үшбурышының периметр! 27-ге тең болса,
AKLM параллеяограмының периметрін табыңыз.
Жауабы; 36.
2. Тең қабырғалы үиібурыштың биіктігі 10-ға тең. Оның
биссектрисаларының қиылысу нүктесі оның қабьфғаларынан қандай
қашыктықга болатындығьга авықтаңыз.
•«л
«
10 .
Жауабы;
—
3. Радиусы 10 болатьш шеңберге іштей сызыэтан тең қабырғалы
үшбурыштың биіктігін есептеңіз.
Жауабы; 15.
374
www.nismath.org
4. Радиусы 10 болатын шеңберге сырттай сызылған тең
қабыргалы үшбұрыштың қабырғасын есептещз.
Жауабы: 20>/з .
5. Қабырғасы 4 болатын тең қабырғалы үшбұрышқа іштей
сызылган шеңбердің радиусын есептещз.
Жауабы:
.
6. Дұрыс үшбұрыштьщ биіктігі 9-ға тең. Үшбүрышқа іштей
сызььтған шеңбердің радиусын табыңыз.
Жауабы; 3.
7. ABC тең қабырғалы үшбұрышының A төбесі D нүктесімен
қосылған. Мұндағы D нүктесі ВС қабырғасыи Ж ) = 1 және DC = 2
кесінділеріне бөледі. AD кесіндісін анықтаңыз.
Жауабы; л/7.
8. Ауданы 12л^ -ке тең дұрыс үшбүрышқа сырттай сызылған
шеңбердің радиусын анықтаңыз.
Жауабы; 4.
9. Шеңберге дұрыс үшбұрыш пеи квадрат іштей сызылған.
Квадраттың қабырғасы а . Үшбүрыштын периметрін табыныз.
Жауабы;
уау/б
В
10. Дұрыс үшбұрыштьщ 2-ге тең қабырғасы диаметрі болатындай
шеңбер салынған. Үшбұрыш пен дөңгелектің ортақ бөлігініч S ауданын
табыңыз.
мг
я
я-^л/з
Жауабы;
11. Дүрыс үшбұрышқа іштей жэне сыртгай сызылган шенберлердің
ұзындықтарының қосындысы 7>/Зл- -ге тең. Үшбұрьпптың периметрін
табыныз.
Жауабы; 21.
375
www.nismath.org
12. Шеңберге іштей сызылған квадраттьщ ауданы 16-ға тең. Осы
шеңберғе сыртгай сызылған дурыс үшбұрыштың ауданын табыңыз.
Жауабы: 24\/3.
13. Радиусы R шеңберге дұрыс үшбурыш іштей сызылған. Оның
қабырғасына квадрат салынған. Квадратқа сырттай сызылған шеңбердің
радиусын анықгаңыз.
Жауабы: ^Л>/б.
14. Тең қабыріалы ^шб^ышқа сырттай радиусы 2-Тз болатын
шеңбер салынған, оның центрі арқылы түзу жүргізіяген, ол үшбұрыштың
қабьфғаларының біріяв п^аллель. Үшбурыштың басқа екі қабырғалары
арасындағы осы түзудің бөлігінің узывдығын табыңыз.
Жауабы; 4.
15. ABC тең қабырпиш үшбұрышьша шеңбер іштей салынған
жэне осы шеңберге жанасатъш MN кесіндісі жургізілген, MN АВ
қабырғасына параллель АВ = 18, AMNB трапециясының периметрін
анықгаңыз.
Жауабы: 48.
4^ т о б ы . ’ «Тік би)Ы ііггіьі • уіибиіыш^:Үакырыбына байлаиысты
есея т ер д і ш еш іц із:
1. Тік бұрышты үшб^ьшггың сүйір бурыпіы 30°, ал тік
бұрыпггьщ төбесінен жүргізыген биіктігі >/з . Гішотенузаны табыңыз.
Жауабы; 4.
2. Тік бурышты үшбурыштың катеттерінің бірі 9нға тең, ал оған
сырттай сызылған шеңбердің радиусы 6-ға тең. Осы катетгің ортасынан
шеңбердің центріне дейінгі қашыктьщты табыңыз.
Жауабы;
зТ?
.
3. Тік бурышты үпібұрыштың гипотенузасы 25, ал катеттерінің
бірі 10. Екінші катеттің гипотенузадагы проекциясын табыңыз.
Жауабы; 21.
376
www.nismath.org
4. Тік бзй)ышты үшбұрьшпъщ катетгерініқ ^ындықтары 12 және
35-ке теқ. Гипотенузаға жүргізіяген медиаианың ұзындығын табыңыз.
Жауабы; 18,5.
5. Тік бұрышты \дцбурыштың катетгері 9 және 40. Осы
үиібұрыштың гипотенузаға түсірілген биікхігін табыңыз.
;з2
Жауабы: 8
41
6. іштей сызылған дөңгелектің радиусы катеттердің айырмасьшьщ
жартысына тең болса, тік бурышты үшбұрыштың кіші бурыіпының
градустық өлшемін табықыз.
Жауабы: 30°.
7. Катеті 6-ға тең тік б^ышты үшбұрышқа үтыбұрышпен тік
бұрышы ортақ квадрат салынған. Егер квадраттың диагоналі 2л/2 болса,
үшбурыштың ауданын табыңыз.
Жауабы: 9.
8. Сүйір бұрышы 60° тік бұрышты үшбурышына ромб салынған,
олардын 60° бұрышы ортақ, ал ромбыньщ қалған үш төбесі үшбурыштың
кабыргаларында жатады. Егер ромбының қабырғасы 2,4 болса, улкен
катеттің узындығын табьщыз.
Жауабы: 3,6\j2 .
9.
ABC
(ZC = 90°)
тік
бұрышты
үшбұрыштың
СК-
биссектрисасы болып табылады, Z4 = 15°, AC=--Jb. АК табыңыз.
Жауабы: ^/2.
10. Периметр! 72 болатын тік бұрышты үшбұрышқа іштей
сызылған шеңбердің радиусы 6-ға тең. Оған сырттай-сызылған шеңбердің
радиусын табыңыз.
Жауабы: 15.
11. Тік бұрышты үшбщ)ышқа шеңбер іштей сызылған. Егер
гипотенузасы 20, а і шеңбердің радиусы 4-ке тең болса, үшбурыипың
периметрін табыңыз.
Жаүабы: 48.
377
www.nismath.org
12. Тік бұрышты үшбұрыштьщ ауданы 8-ге тең. Катеттерінің
біреуінің ұзывдшы 5-ке тең. Тік б^ыш ты үшбурыштың кіші сүйір
бұрышын табыңыз.
Жауабы: arc tg 0,64.
13. Тік бурышты үшбұрыштың катеті 8-ге тең, ал оның
гипотенузадағы проекіщясы 6,4. Осы үшбурыштың ауданы қашнаға тең?
Жауабы: 24.
14. Тік бұрьшіты үшбұрьшггық катеттерінің бірі екінші катеттен 2
есе артык. Осы үшбұрьшггың гипотенузасына түсірілген биіктігі 12.
Үшбұрьшітың ауданын табьщыз.
Жауабы: 180.
15. ЛВС тік бұрышты үшбұрышыньщ АВ катеті диаметр
болатындай шеңбер салыш-аи, ол С -дан бастап санм'анда гипотенузаны
3:2 қатынасында бөледі. Егер гипотенуза 10-ға тең болса, осы
үшбұрыштьщ ауданын табыңыз.
Жауабы: 10^6.
16. ABC тік бұрышты үпібұрышында: катеті ВС —Ъб, ВАС
бүрышьшьщ косинусы
тең. Үшбұрыштың ауданын табыныз.
Жауабы: 345,6.
В
17. Радиусы 3-ке тең шедбердің центр! О АВС т!к бұрышты
үшбұрышынын; АС гипотен^’засында жатыр. Үшбұрыштьщ катеттері
шеңберге жанасады. Егер ОС кесіндісінің ұзындығы 5-ке тең екендігі
белгілі болса, ABC үшбұрышының ауданын табыныз.
Жауабы:
18. ТІК бұрышты үшбұрыштьщ ауданы 30, ал сүйір бұрыштардың
бірінің тангенс! 2,4. Гипотенузаны табыңыз.
Жауабы: 13.
19. ТІК бурынггы үшб:^ыштың гипотенузасы Юнн тең, кіші
катетгің гипотенузадағы проекциясы 3,6. Осы үшбүрышқа !штей
сызылған дөңгелектің радиусын табыңыз.
Жауабы: 2.
378
www.nismath.org
20. Тік бұрышты үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің жанасу
нүктесі гипотенузаны ұзындықтары 5 жэне 12 болатын кесінділерге
бөледі. Іштей сызылған шеңбердің радиусын табыңыз.
Жауабы: 3.
21. Шеңберге шггей сызылған шеңбердің радиусы 3-ке тең, ал
катетгеріяің бірі 10-ға тең болса, тік бұрышты үшбұрышқа шеңбердің
радиусын табьщыз.
29
Жауабы: — .
22. Дөңгелектің және оған іштей сызылған тік бұрьшггы
үшбұрыштың аудандарының қатынасы п -ге тең. Осы үшбұрыштың сүйір
бурышыв табыңыз.
Жауабы: 45°.
23. Тік бұрышты ушбұрьпптьщ катетінің рындығы 100, ал осы
катетке іргелес сүйір бұрыштың синусы ^ -ге тең. Оған іштей сызылған
шеңбердің радиусын табыңыз.
Жауабы: 30.
24. Тік бұрышты үшбұрыштащ гипотенузасы 10, ал оған іштей
сызылған піеңбердің радиусы 2-ге тең. Үшбурыштың ауданын табыңьо.
Жауабы: 24.
25. Тік бұрышты үшб:¥рьшггьщ биссектрисасы пшотенузаны 20-ға
жэне 15-ке тең KCciHjiinqjre бөледі. Үшбүрыштың ауданын табыңыз.
Жауабы: 294.
26. ABC тік бүрышты үшбұрышындағы АС жэне ВС
катеттерінің ұзындықтары сэйкесінше 12 және 8-ге тең. К нүктесі —BD
медианасының ортасы. СК кесіндісінің үзындығын табыңыз.
Жауабы: 5.
27. Тік бұрышты үшбұрыштың сүйір бүрыштарының төбесінен
шығатын медианалардың үзындықгары 15 және 6-J3. Үшбүрыштьщ
гипотенузасын табыңыз.
Жауабы: 18.
379
www.nismath.org
28. ABC тік бұрышты үшбүрышының ВС катеті диаметр
болатындай шеңбер салынған. Ол AD .D B = 16:9 болатындай АВ
гипотенузасьш D нүктесінде қиып өтеді. Егер АС = 4 болса, ABC
үшбурыпіыньщ ауданын табыңыз.
Жауабы; 6.
29. ABC (ZC = 90®) тік бурышты үшбурышының катеттері 6-ға
және 8-ге тең. CD биіктігі мен CM медианасы жүргізілген. CDM
үшбұрышыныи ауданын табыңыз.
Жауабы: 3,36.
30. Катеттерінің бірі екіншісіне қарағанда центрге екі есе жақын
болатындай, радиусы 5 ^ болатын шеңберге тік бүрышты үшбүрыш
іштей сызылған. Үлкен катеттіц үзындығын табыңыз.
Жауабы; 20.
31. Тік бүрышты үшбүрыштыд катеттері 15-ке және 20-ға тең.
Оған іштей сызыдган дөңгелектің ценірінен гипотенузмд жургізілген
биіктікке дейінгі қашықтықты анықгаңыз.
Жауабы: 1.
32. Тік бүрышты үшбүрыштың бұрыштарыньщ бірі 30°-қа тең.
Оған іштей сызылған шеңбердің радиусы 4-ке тең болса, үшбұрыштың
ауданын табыңыз.
Жауабы; 48+32>/3.
33. Сүйір бүрышы 60° болатын тік бұрышты үшбүрышқа сырттай
жэне іштей сызылған шеңберлердің радиустарының қатынасын табыңыз.
Жауабы: >^ + 1.
34. Катеттері 14 жэне 18 болатьш тік бұрышты үшбүрышқа сүйір
б^ыштардың медианалары жүргізілген. Олар алғашкы үшбүрышты үш
үшбүрыш пен төртбүрышқа бөледі. Осы төртбұрыштың ауданы қандай?
Жауабы; 42.
35. Гипотенузаға жүргізілген биіктік тік бүрьппты үшбұрыішъі
аудандары 384 және 216 болатын екі үшбүрышка бөледі. Гипотенузаның
үзындығын табыңыз.
Жауабы; 50.
380
www.nismath.org
36.
Тік б ^ь ш п н үшб:|фьшпъщ катеттері 3 және 6-ға тең. Тік
бурьшггың биссектрисасының узындығьш табыңыз.
Жауабы;
.
S - тобы.^ «Үксас
есептерді шещіщЗзІ
vio бігрыіитгіаір»
taKupu6uHa
баялйнысты
1. Үшбұрыштың кабырғалары 4 :5 : 6 катынасындай. Оған ұқсас
үшбұрыппың кіші қабырғасы 0,8-ге тең. Екінші үшбұрыштың
қабырғаларын анықтаңыз.
Жауабы: 1; 1,2.
2. Үшбұрыппъщ қабырғалары 2 :5 : 4 қатьгаасындай. Оған р;сас
үшбұрыштың периметрі 55-ке тең. Екінші үшбұрыштьщ қабырғаларын
анықгаңыз.
Жауабы: 10; 25; 20.
3. Екі тең бүйірлі үшбұрыштың төбесіндегі бүрьшггары тең. Бір
үшбұрыштың бүйір қабырғасы мен табаны 17 және 10-ға тең; басқасының
табаны 8-ге тең. Оның буйір кдбырғасын аныктаңыз.
Жауабы: 13,6.
4.
ABC және А^В^С^ үшб:^ыіптарында
= Z5, және В
бүрьгаіьш жасайтын бірінші үшбүрьшггың қабырғалары,
бүрышын
жасайтын екінші үшбүрыштың қабырғаларынан 2,5 есе ^ты қ. Егер
олардың қосындысы 4,2-ге тең болса, ЛС жэве A^C^ анықгаңыз.
Жауабы: 3; 1,2.
5. Екі ұқсас ушбұрыштардың қабырғаларының қатынасы 3:4
қатынасьгадай, ал олардыц аудандарьшың айырмасы 70-ке тең. Осы
үшбүрыштардың аудандарын анықганыз.
Жауабы: 90; 160.
6. ABC үшбұрышы мен оның ішінде АС-га параллель DE
кесіндісі берілген (£) G^ , E s B C ) . АС = 20, AB = J7 жэне BD = 11,9
болса, DE үзындығын анықтаныз.
Жауабы: 14.
381
www.nismath.org
7.
ABC үшбұрышында ZBDC = ZABC және АС қабырғасынд
AD = 7 және DC = 9 кесінділері пайда болатьшдай BD түзуі
жүргізілген. ВС кабырғасы мен B D : ВА қатьшасын анықтаңыз.
Жауабы: 12;
4
8» /LABD = ZBCA болатындай ABC үшбұрышында BD түзуі
жүргізілген. Егер ^4В - 2 жэне АС = 4 болса, AD жэне DC кесіқцілерін
анілқгаңыз.
Жауабы: 1; 3.
9. Диагоналі BD ABCD трапециясыньщ (мұндағы J5C||^D ),
ZABD және ZBCD бұрыштары тең. ВС = \0 , DC = \5 және BD = 20.
АВ жэне AD -ны анықтаңыз.
Жауабы: 30; 40.
10. Диагоналі АС ABCD трапециясының ZABC және ZACD
бұрыштары тең. Егер ВС және AD табандары сәйкесінше 12 және 27-ге
тең болса, АС диагоналін анықтаңыз.
Жауабы: 18.
11. Трапецияның табандары 5:9 катьшасындай, ал оньщ бүйір
қабырғаларының бірі 16-ға тең. Ол басқа бүйір кдбырғамен кңылысуы
үшін, оны қаншаға ұзарту қажет?
Жауабы: 20.
12. Ушбұрыпіқа параллелограмм саяынған, оның бір б^ыш ы
үшбұрыштың бір бурьппымен сэйкес келеді. Осы бұрышты жасайтын
үшбурьшітьщ қабырғалары 20 жэне 25-ке тең, ал параллелограмның оған
параллель
қабырғаларьюьщ
қатынасы
6:5
қатынасындай.
Параллелограмның қабырғаларын анықтаңыз.
Жауабы: 10; 12.
13. ABC жэне DEF үшбұрыштарында ZA = Z E жэне Z C —Z D .
AB = \,6, AC = 2, EF = 1,2 жэне ВС қабырғасы DF қабырғасынан 0,3ке артьщ. Белгісіз қабырғаларды табыныз.
Жауабы: 0,9; 1,2; 1,5.
14. ABC тік бұрьшггы үшбұрышыньвд АС катетінде жатқан D
нүктесінен, СВ гипотенз^асына DE перпендикуляр тусірілген. Егер
СВ = 15 , АВ = 9 жэне СЕ —4 болса, CD кесіндісін табыңыз.
Жауабы: 5.
382
www.nismath.org
15. ABC
үшбұрышы берілген.
АВ = 9,
ВС = 15.
АС
қабырғасынан алынған D нүктесінен ZDEC = ZA болатындай DE түзуі
жүргізілген {Е нүктесі 5С -да жатыр). Егер DC = 10 болса, DE-ai
табыңыз.
Жауабы; 6.
16. Оның екі төбесі үшбұрьшпъщ табанында жататьшдай, табаны
Ь жэне биіктігі һ болатын үшбұрышқа квадрат іпггей салынған.
Квадратгың қабырғасын аныктаңыз.
Жауабы: .
Ь+һ
17. ABC үшбұрышында BD биіктігі мен АЕ және E F L AC
болатындай биссектрисасы жүргізілген.
Егер
BD = 30
және
АВ :АС = 7 :S болса, ЕҒ-ті табыңыз.
Жауабы: 16.
18. ABC тең бүйірлі ұшбұрышьшың АВ бүйір қабырғасының
ұзындығы 7-ге тең, АС табаныньщ ұзьшдығы 4-ке тең. ACD үшбұрышы
ABC ұшбұрышына ұксас жэне D нүктесі A жэне В -ға сэйквс
келмейтіндей, АВ қабырғасынан алынған. ABC үшбурышының
ауданының ACD үіпбұрышының аудаііына қатынасын табыңыз.
49
Жауабы; — .
19. Бір бурышы ортақ тік бұрышты үшбұрышқа квадрат іштей
салынған. Erq) үшбұрыштын катеттері 10 жэне 15-ке тең болса,
квадратгың ауданыи табыңыз.
Жауабы; 36.
20. Гипотенузасы 15-ке тең тік бұрышты үшбүрьшггьщ
медианаларының қ{іылысу нүктесінен оның 12-ге тең катетіне дейінгі
қашықтықты табыныз.
Жауабы; 3.
В
21. Оньщ гипотенузасы осы үшбүрыштың табанына параллель, ал
тік бұрыштың төбесі осы табанда жататындай, тік бүрышты тең бүйірлі
үшбүрыш, табаны 30-ға тең, ал биіктігі 10-ға тең үшбүрыпща іщтей
салынған. Гипотенузапы аныктақыз.
Жауабы: 12.
383
www.nismath.org
22. ABC үшбұрышының АБ қабырғасы ЗОнға тең, ВС = 36 және
С4 = 45. ZAD B -/^A B C болатындай АС қабырғасын D нүктесінде
киып өггетівдей Б төбесінен түзу Щфгізілген. BCD үшб^іышының
nq)HMerpiH табыңы?..
Жауабы: 85.
23. Үшбурышқа бір бурышы оріак ромб іштей сызылған. Ромбтың
қарама-қарсы төбвсі үшб.үрывітың қабырғасын 2:3 қатынасында бөледі.
Ромбыыың диагоыальдары 4>/5 және 8-ге тең. Ромбының қабырғалары
жатқан үшбүрышгың қабырғаларын табыңыз.
Жауабы: 10; 15.
24. ABC тең бүйірлі үшбүрышмның АВ табанының A төбесі
және CD биіктігінін ортасы арқьшы түзу жүргізілген, ол үшбүрыштың
ВС бүйір қабырғасын L нүкгесінде юшп өтеді. CL .BL қатынасын
анықгаңыз.
Жауабы: 1:2.
25. Ромбыныц диагоналі, дсяал бүрыштың төбесінен жүргізілген
биіктігін, 10 және 6-га тен кесіндіяерге бөледі. Ромбының перимеірін
табьщыз.
Жауабы: 80.
26. ABC сүйір бүрышты үшбұрышының АЕ жэне CD биіктіктері
Н нүктесінде қііы.ішсады. Егф олардың қосындысы 18-ге тең, ал
ЛН -■8, СН - 4 бояса, олардын биіктіктерін анықгаңыз.
Жауабы: 10; 8.
27. Сүйір бүрышынын гөбесінен бастап санағанда катетін 1:2
қатьшасьшда белетін нүктеден гитіогенузага дейінгі каишктық 2-ге тең.
Екінші катеті 7-ге тең. Үшбүрыштын ауданын табшғыз.
147лЯз
Жауабы; — —— .
28. ABCD тең бүйірлі тралециясының АС диагоналі CD бүйір
кабырғасына перпендикуляр жэне BE биіктігін ВҒ - 7 ; ҒЕ - 9
болатындай кесінділерге бөледі. Трапецияның кіші табанын анықгаңыз.
Жауабы: 9 ^ .
384
www.nismath.org
29. ABC үшбұрышы берілген, оның ЛВ = 9 , ВС = 12, АС = 6.
АВ қабыргасында A D - 4 кесіндісі жатыр. CD кесікдісін анықтаңыз.
Жауабы; 8.
30, BD жэне АЕ М В С (АВ = ВС) гең бүйірлі үшбұрышының
биіктіктері. BD -.AE- 5 : 6 , ED кесіндісі 15-ке г-ең үшбұрыштыч бүйір
қабыріжын анықтаңыз.
Жауабы: 25.
385
www.nismath.org
§2. ТӨРТБ¥РЫШТАР
1 ‘^.^сбы. -іШ аЬаллёлограмм» та№ р^ы на ба^аяысты^сісёігт^ді
^5'<*/;»'''
шещівііз:
1. Арасындағы сүйір бұрышы 37” (cos37” » 0 ,8 ) диагональдары
24 жэне 30-ға тең параллелограмньщ кіші қабырғасын табыңыз.
Жауабы: 9.
2. Параллелограмньщ сүйір бұрышы 60” . Доғал бұрыштьщ
төбесінен жүргізілген параллелограмньщ биіктігі параллелограмньщ
қабьірғасьш қақ бөледі. Егер оньщ периметрі 24-ке тең болса,
параллелограмньщ кіші диагоналін табыңыз.
Жауабы: 6.
3. Параллелограмньщ диагональдары 12 жэне 20, ал олардың
арасындағы бұрыш 60° -қа тең. Параллелограмньщ қабырғаларын
табыңыз.
Жауабы: 14; 2лД9.
4. Паразшелограмның екі қабырғалары 3 және 5, ал олардьщ
диагональдарьщьвд бірі 4-ке тең. Оның кіші диагоналі мен
параллелограмньщ сүйір бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу
нүктесіне дейінгі қашықтыкты табыңыз.
Жауабы: 1.
5. Параллелограмньщ
үшбұрыштың периметрі 25,
Диагональды табыңыз.
Жауабы: 10.
диагоналімен
қиып
түскендегі
ал параллелограмньщ периметрі 30.
6. Параллелограмның
кабыргалары
23
жэне
11,
ал
диагональдарының қатынасы 2:3 қатынасындай. Үлкен диагоналінің
ұзындығын табыңыз.
Жауабы: 30.
7. Егер а : 6 = 5 :8 , ал параллелограмның кіші диагоналі 28-ге тең
болса, сүйір бұрышы 60° болатын параллелограмньщ а жэне b ( a ^ b )
қабырғаларын габыңыз.
Жауабы: 20; 32.
386
www.nismath.org
8. ABCD параллелограмының A жәые В б^ыштарының
биссектрисалары CD
қабырғасьш үш бөлікке бөледі. Егер
параллелограмыың қабырғалары АВ = 12; AD = 5 тең болса, эрбір бөлікті
анықтаңыз.
Жауабы; 5; 2; 5.
9. Қабырғалары 5 жэне 8 болатын параллелограмның ауданы 32ге тең. Параллелограмның үлкен бұрышының косинусы қаншаға тең?
Жауабы: -0 ,6 .
10. Параллелограмның биіктіктері 3:4 қатьшасында. Периметрі
42-ге тен болса, параллелограмның қабырғаларыи есептеңіз.
Жауабы: 9; 12.
11. Ауданы 144-ке тең, ал биіктіктері 8 жэне 12-ге тең болатын
параллелограмның периметрін табыңыз.
Жауабы: 60.
12. Параллелограмның периметрі 44-ке тең. Онын диагональдары
параллелограмды төрт ушбұрыінқа бөледі. Олгфдың ішіндегі екі іргелес
бөліктерінің периметрлерінің айырмасы 2-ге тең. Параллелограмның
үлкен қабырғасының рындығын табыңыз.
Жауабы: 12.
13. ABCD параллелограмындшы АС LC D (А С - диагоналі),
СЕ ± A D , АЕ = 16, E D = 4. Параллелограмның ауданын табыңыз.
Жауабы: 160.
14. Параллелограмның кіші қабырғасы 13-ке тең, үлкен қабырғаға
түсірілген биіктігі - 12, ал кіші диагоналі - 15-ке тең. Параллелограмның
ауданын табьщыз.
Жауабы: 168.
15. ABCD параллелограмыньщ ауданы S -ке тең. М нүктесі ВС
түзуіне тиісті. AMD үшбұрышының ауданын табьщыз.
Жауабы: ^ 5 .
387
www.nismath.org
16. Параллелограмның екі қабырғасына перпендикуляр түзу, оны
екі трапецияға бөледі, олардың әрқайсысына шеңберді іштей сызуға
болады. Егер оның қабырғал^ы 2 және 3-ке тең болса, параллелограмның
сүйір бүрышын табьщыз.
Жауабы; 30°.
17. Параллелограмның бүрышы 30°. Доғал бүрьпптан жүргізілген
биіктіктерінін арасындағы бұрыш қаншаға тең?
Жауабы: 30°.
18. ABCD параллелограмының 5Z) диагоналінде К нүктесі
жатыр, мүндағы BK:K D = \:4 . АК түзуі ВС қабырғасын қандай
қатынаста бөледі?
Жауабы: 1:3.
19. ABCD параллелограмының В төбесі арқылы түзу ж-үргізілген,
ол Ғ нүктесінде AD қабырғасының созындысын қиып өтсе. ал Е
нүктесінде CD қабырғасын қиып өтеді. ^4D қабырғасы 5-ке тең, ал
B E : ҒЕ = 3:2 болса, DF кесіндісін анықтаңыз.
Жауабы: 3 j .
20. Периметрі 90, ал биіктіктері
параллелограмнын ауданын табыңыз.
Жауабы: 300.
12
және
15
болатын,
В
21. Параллелограмньщ а сүйір бурышы жэне диаі ональдарының
қішлысу Еі\'кгесінен тең емес кабьфғаларына дейінгі а және Ь
қашықтықгары берілген. Параллелограмньщ ауданын табыңыз.
Жауабы:
4аһ
sin а
22.
Параллелограмньщ диагональдарының бірі оньщ биіктігі болып
табылады. Егер параллелограмньщ периметр! 50, ал оның
қабырғаларының айырмасы бірге тең болса, дигональдарьш аныктақыз.
Жауабы: 5; -у/боТ.
388
www.nismath.org
23. Паралледограмньщ б:урыштарының бірі
диагоналінің квадраты 3-ке тең. Периметрі
паралледограмньщ қабырғаларын табьщыз.
Жауабы: 1.
-ке тең. Үлкен
3
4-ке тең болса.
24. Бір қабырғасы 51, ал диагонадьдары - 40 және 74-ке тең
параллелограмның ауданын есептеңіз.
Жауабы: 1 224.
25. ААВС -ға ADEF параллелограмы іштей сальшған, оның
периметр! 22. А В - 9 , АС = 12, паралледограмньщ қабыргаларын
табыңыз.
Жауабы: 3; 8.
26. Параллелограмньщ диагональдары 19 және 23-ке тең, ал оның
периметр! Р = 58. Параллелограмның қабырғаларын есептеңіз.
Жауабы: 11; 18.
к
27. Параллелограмм берілген, оньщ сүйір бурьппының шамасы — ке тең. Егер диагональдарының ұзындьщтарының квa^фaттapының
қатынасы
і-г е
тең
болса,
параллелограмньщ
қабырғаларыньщ
ұзындықтарының қатынасын табыңыз.
Жауабы; 1:1.
28. Догал бұрьпны 135° болатын параллелограмға ауданы 9л-ге
тең дөңгелек іштей сызылған. Параллелограмньщ периметр! қандай?
Жауабы; 24л/2 .
29. Параллелограмньщ диагональдары 4 және
Олар 45°
бұрыш жасап қиылысады. Параллелограмньщ үлкен биіктігін табыңыз.
Жауабы; 4.
30. ABCD параллелограмының А бүрышының биссектрисасы ВС
қабырғасын К нүктесіңде киып өтеді. Егер ВК = КС = 5 , АК = 8 болса,
параллелограмның ауданын табьщыз.
Жауабы; 48.
389
www.nismath.org
31. Параллелограмньщ ауданы 3, сүйір бұрыштың синусы j , кіші
диагоналінің квадраты 18-ге тең. Параллелограмньщ периметрін табыңыз.
Жауабы: 12.
32. Параллелоі^рамньщ диагоналі оның бұрышын 60° жэне 45° -қа
бөледі. Параллелограмньщ қабырғаларыньщ қатынасынтабыңыз.
Жауабы; у/3 : уі2 .
----
2 ^ тобы. «'
Ш^ШІҢІЗГ
1. Трапецияның табандары 2 жэне 4, ал бүйір қабырғалары 2.
Трапецияның диагональдарының узындығын табыңыз.
Жауабы: 2л/3 .
2. Трапещмның диагональдары өзара перпендикі^^ляр, ал олардың
рындыктары 7 жэне 15. Трапецияньщ ауданын табыңыз.
Жауабы: 52,5.
3.
Бүйір қабырғалары мен кіші табаны 8, ал табаныньщ сүйір
бурышы у . Трапеіщяның ауданын табыңыз.
Жауабы: 48^^.
4. Тең бүйірлі трапецияиың ауданы 180. Орта сызығының
узындығы 45, ал бүйір қабырғасының узьгадығы 5. Трапецияның кіші
табанының узындығын анықіаңыз.
Жауабы: 42.
5. Табандары 8 жэне 12 болатын тең бүйірлі трапеіщяға іштей
шеңбер сызылған орналасқан. Шеңбердің узындығын табыңыз.
Жауабы: 4ж.
6. Табандары 10 және 24, ал бүйір қабырғасы 25-ке тең
болатындай тең бүйір.лі трапецияның ауданын анықгаңыз.
Жауабы: 408.
.390
www.nismath.org
7. Трапещіянын табаидарының узындықтары 3 және 4. Орта
сызық трапециянын ауданын қандай қатынаста бөледі?
Жауабы; 13:15.
8. Трапеция дөңгелекке сырттай сызылған. Оның орта сызығы 10га тен екендігіи біле отырып, оньщ периметрін табыңыз
Жауабы: 40.
9. Тең бүйірлі трапецияның диагоналі сүйір бүрышты қақ бөледі.
Егер оның перізметрі 48, ал үлкен табаны 18-ге тең болса, трапецияның
орта сызығын табыңыз.
Жауабы; 14.
10. Оның бүйір қабырғалары 12 және 13-ке тең, ал табандарының
қатьгаасы 4:9 катынасында болатъш, тік бүрышты трапецияның ауданьш
табыңыз.
Жауабы; 78.
11. Трапециянын бүйір кабырғалары мен биіктігі сэйкесінше 30;
25; 24 тең. Егер оның доғал бүрьпптарыньщ биссектрисалары үлкен
табанда кріьиіысатьш болса, трапецияның ауданын табьщыз.
Жауабы: 1 020.
12. Тең бүйірлі трапецияньщ ауданы A-Jb , кіші табаны 3-ке тең, ал
ү т е н табанымен бүйір қабырғасының арасьшдағы бұрыш ү -ті құрайды.
Үлкен табанды табыңыз.
Жауабы: 5.
13. Шенберге сырттай тең бүйірлі трапеция салынған, оның
табандарының ұзындықтары 3 жэне 6-ға тең. Шенбердін радиусыиың
квадратын табыңыз.
Жауабы: 4,5.
14. Тең бүйірлі трапецияньщ 8^3 -ке тең диагоналі табанмен бірге
30° қүрайды. Трапецияньщ орта сызьщы қаншща тең?
Жауабы: 12.
391
www.nismath.org
15. ABE ушбұрышының периметрі 36-ға тең, мұндагы BE\\CD
жэне трапецияныи кіші табаны 6-ға тең болса, ABCD тралециясының
периметрін табыңыз.
Жауабы: 48.
16. Тең бүйірлі трапецияның кіші табаны 6, үлкені - 12, ал
табанының бұрышы 60°. Трапецияга сырттай салынған шеңбердің
раднусын табыңыз.
Жауабы: 6.
17. Тең бүйірлі трапецияның бүйір қабырғасы лДз , ал табандары 3
жэнв 4. Трапецияның диагоналін табыңыз.
Жауабы: 5.
18. Трапецияның бүйір қабырғасы ІО-л-а тең болса, радиусы 4
болатын шеңберге сырттай сызылған тең бүйірлі трапсцияның ауданьш
табыңыз.
Жауабы: 80.
19. Тік бұрышты трапеіщяның үлкен табаны 25, ал оның бүрьлпы
53°. Кіші диагоналі бүйір қабырғасына пq)пeндикyляp. Егер sin53° » 0,8
болса, трапецияның кіші табанын табыңыз.
Жауабы: 16.
20. Табавдары AD = 7 , ВС = 4 ABCD трапеіщясындағы ABD
үшбұрьнпының ауданы 28-ге тең. ABC үшбүрьшіының ауданын табыңыз.
Жауабы: 16.
^
21. Бүйір қабырғасы 9-ға тең, тең бүйірлі трапецияға, ради>'сы 4
болатын шеңбер іштей сызылған. Трапецияның ауданын табыңыз.
Жауабы. 72.
В
22. Шеңберге табан,цары 4 жэне 12 болатын тең бүйірлі трапеция
сырттай садынған. Бүйір кабырғалармен шеңбердің жанасу нүктелерін
коскандм'ы хорданың ұзындығьш анықтаңыз.
Жауабы: 6.
23. Тең бүйірлі трапецияның периметрі 71,8-ге тең. Трапецияның
орта сызығы 21,4, ал үлкен бүрыштың биссектрисасы бүйір қабырғасына
параллель. Кіші табаныньщ үзындығын табыңыз.
Жауабы: 14,15.
392
www.nismath.org
24. Дөңгелекке сырттай сызылған тең бүйірлі трапецияның ауданы
162. Ошлң табанының сүйір бүрышы 30° болса, трапецияның бүйір
кабырғасының үзындығын анықтаңыз.
Жауабы; 18.
25. Оған шеңберді іштей сызуға болатын тең бүйрлі трапецияның
ауданы 2-ге тең. Табанындағы бүрышы 30°-қа тең болса, трапециялың
қабырғаларын анықгаңыз.
Жауабы: 2+у/3 ;2 ; 2 - ^ Д .
26. Параллель қабырғалары 60 және 20, ал параллель емес
қабырғалары 13 пен 37 болатын, трапецияның ауданьш табыңыз.
Жауабы; 480.
27. Тең бүйірлі трапецияның ауданы S , ал бүйір қабы{насына
қарсы жатқан оның диагональдары арасындағы бүрыш а -ға тең.
Трапецияның биіктігш табыңыз.
Жауабы;
28. Тең бүйірлі трапецияға іштей сызылған шенбердің ааентрінен
бастзп, жоғарғы табанның төбесіне дейінгі қашықгық 15, ал төменгі
табанньщ төбесіне дейінгі қашықшқ 20нға тең. Осы трапецияның ауданы
қаншаға тең?
Жауабы; 600.
29. ABCD трапециясыньің орта сызығы оны орта сызықпфы 13
жэне 17 болатындай екі трапецижа бөледі. ABCD трапециясыньщ үлкен
табанын табыңыз.
Жауабы; 19.
30. ABCD {^АВ IIZX7) трапециясы берілген. Егер АВ - 6, ВС = 3,
CD = 4 және 0 4 = 2 болса, С бұрышының косинусын табыңыз.
3
Жауабы; 4
31.
диагональдары
үшбүрьшльшың
табыңыз.
Жауабы;
Табандары
ВС
жоне
AD
ABCD
трапециясыкың
О нүктесінде қиылысады. ВО = 2, DO = 4 және ВОС
ауданы 6-ға тең болса, осы трапециявьщ ауданын
54.
393
www.nismath.org
32. Трапецияның табандары 8 және І2, ал сүйір б^ыштарьшьш
бірі 30°. Бүйір қабырғаларының созындылары 90° б^ы ш жасап
қиылысады. Траііецияның биіктігін табыңыз.
Жауабы; л/з.
33. Тең бүйірлі трапецияға іштей сызылған шеңбер, жанасу
нүктесімен бүйір қабы{жаны 1:9 қатынасында бөледі. Осы шеңбердің
узындшы 6л -ге тең. Трапецияның периметрі қашпаға теқ?
Жауабы; 40.
34. Трапецияның табаядары 10 және 31, ал бүйір қабырғалары 20
жэне 13. Тралецияның биікгігін табыңыз.
Жауабы: 12.
35. Тең бүйірлі трапецияның кіші табаны 10, бүйір қабырғасы 18,
ал диагоііалі 22-ге тен. Трапецияның үлкен табанын табыңыз.
Жауабы: 16.
36. Сүйір бүрышы 53° тең бүйірлі трапецияньщ аудаяы 5 120-ға
тең. Егер sin53°»0,8 болса, осы ірапецияға іштей сызылған шеңбердіц
радиусын табьщыз.
Жауабы: 32.
37. Тец бүйірлі трапецияның диагоналі оның бүйір қабырғасына
перпендикуляр. Оның диагоналі мен бүйір қабырғасы сэйкесінше -JlS
және 5-ке тең болса, трапецияның ауданын анықтаңыз.
Жаүабы: ------ .
4
38. Тең бүйірлі трапецияньщ үлкен табаны кіші табанынан үш есе
артық. Трапецияның ауданы
-ке тең. Егер трапеция шеңберге сырттай
сызылса, оның бүйір қабырғасын табыңыз.
Жауабы: >/2.
39. Трапецияның табандарының үзындықтары 5 жэне 15, ал
диагональдарының үзындықтары 12 жэне 16. Трапецияның ауданын
табыңыз.
Жауабы: 96.
394
www.nismath.org
40. Тік бұрышты трапецияға радиусы 3 болатын шеңбер іштей
сызьип'ан. Трапецияның кіші табаны 4-ке тен. Трапецияның қалган
қабырғаларын табыңыз.
Жауабы: 6; 10; 12.
41. Трапециявың орта сызығының узыңцығы 4, табандарының
бурыштарының бірі 40° және 50°, ал табандарының орталарын қосатьш
кесіңдінщ узындығы 1-ге тең. Трапеіщяның табандарының узындыкгарын
табыңыз.
Жауабы: 3; S.
42. Трапеция табанының доғал бурыштарывың биссектрисалары
оның баска табанында қиылысады. Егер оның биіктігі 12, ал
биссектрисалары IS және 13-ке тең болса, трапецияныц барлық
қабырғаларын табыңыз.
Жауабы: 14; 12,5; 29,4; 16,9.
З^тобьі
утертбжуыша іМсырыбым^
г>.
1. Тік төртбұрыштың қабырғалары 3:4 қатынасында болады, ал
оішң диагоналі 50-ге тең. Тік төртбұрыштың периметрін табыңыз.
Жауабы: 140.
2. Квадраттыц диагоналі 26-ға тең. Оның төбелері квадратшң
қабырғаларының орталары больш табылатын, төртбщллштьщ периметрін
табыңыз.
Жауабы: 52.
3. Тік төртбұрыштың қабырғалары 5 және 4. Үлкен қабырғаға
іргелес бурьпптардың биссектрисалары қарсы жатқан қабыртаны үш
бәлікке бөледі. Осы бөліктердің узындықтарьш табьщыз.
Жауабы: 1; 1; 3.
4. Катетгері 3 жэне 6 болатын тік бурышты үшбурышқа осы
үшбурышпен тік б^ыш ы ортақ іштей салынған квадрапың қабыртасын
табьщыз.
Жауабы: 2.
395
www.nismath.org
5. Квадратна сырттай салынған дөңгелектің ауданы Зя’-ге тең.
Квадратгың ауданын табыңыз.
Жауабы; 16.
6. Қабырғасы 1-ге тең квадрат берілген. Оның диагоналі басқа
квадраттың қабырғасы болып табылады. Соңғысының диагоналін
табыңыз.
Жауабы: 2.
7. Егер тік төртбұрыппың табанының узындығын 50% нға
арттырсақ, ал биіктігін 50%-ға азайтсақ, онда оның ауданы қанша
пайызға өзгереді?
Жауабы: 25% азаяды.
8. Радиусы R шеңберге ііптей сызылған квадратгың ауданын
аныктаңыз.
Жауабы: 2 R ^ .
9. Бір-бірімен жанасатын және эрқайсысы тік төртбурыппың үш
қабырғасымен жанасатындай радиустары г екі шеңбф тік төртбурышқа
іштей сызылған тік төртбурыштьщ ауданын табыцыз.
Жауабы;
.
10. Квадраттың ауданының оған іштей сызылған дөңгелектің
ауданына катынасын есептеціз.
4
Жауабы; —.
ж
11. АЕ және СҒ ABCD тік төртбурышыньщ, BD диагоналіне А
және С төбелерінен түсірілген перпендикулярлар. Диагональдар
^асындағы бұрыш 30“ , ал СҒ = 2 . ЕҒ кесіндісін табыңыз.
Жауабы: 4л/3.
12. К нүктесінде AD қабырғасын қиып өтетіндей қабырғасы 4-ке
тең ABCD квадратының С төбесінен түзу жүргізілген. КС кесіндісі 5-ке
тең, ВКС үшб:ц)ышьгаың В М биіктігін анықтаңыз.
Жауабы; 3,2.
396
www.nismath.org
13. CD қабырғасын E нүктесінде, ал ВС қабырғасыньщ
созындысын М нүктесіңде қиып өтетіндей қабырғасы 4-ке тең ABCD
квадратының А төбесі арқылы түзу жүргізілген. D E : СЕ = 3:2. МС
кесіядісін табыңыз.
Жауабы: 2 ^ .
14. Тік төртбдаыппъщ қабырғалары 8 жәве 15-ке тең. Олардын
диагональға түсірілген проекцияларын табыңыз.
13
4
Жауабы: 3— ; 13—
17
17
15. Тік төртбұрьгапъщ nq)HMerpi 28, ал оның ауданы - 48. Тік
төртбұрышқа сыртгай сызылған шеңбердің узындығын табыңыз.
Жауабы; 10 тг.
16. Тік төртбұрыш диагональдарымен төрт үшбурышқа бөлінген.
Олардың бірінің ауданы 27-ге тең. Тік төртбұрыштың ауданы қаншаға
тең?
Жауабы: 108.
17. Төбелері квадраттың қабырғаларының орталЕфымен сәйкес
келетіндей квадратқа төртбұрыш іштей салынған. Іштей салынған
төртбұрьгаітың ауданы 36-ға тең. Квадраттың ауданын табьщыз.
Жауабы: 72.
18. Тік төртбұрыштьщ қабырғалары 3 және
1; өзара
қиылысатындай биссектрисалар жүргізілген. Олардың қиылысуынан
пайда болған төртбұрыштьщ ауданын табыңмз.
Жауабы; 2.
19. ABCD тік төртбурышының АВ қабырғасы 24, ал диагоналі 25ке тең. АВ қабырғасында жатқан К нүктесі А төбесінен қашықтығы 14ке тең. К нүкгесінен BD диагоналіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
Жауабы; 2,8.
В
20. Шеңбср квадраттьщ екі көршілес қабырғаларымен жанасады,
ал қалған қабырғаларының әрқайсысым 2 және 23-ке тең кесінділерге
бөледі. Шеңбердің радиусын табыңыз.
Жауабы; 17.
397
www.nismath.org
21. ABCD тік төртбұрышының ВС қабырғасынан алынған М
нүктесінен АВ жэне AD қабырғалары тең бұрыштармен көрінвді.
АВ = 80, ал AD = 89 болса, М нүктесі ВС қабырғасын қандай
6 e f liK T q p r e бөледі?
Жауабы: 39; 50.
22. Радиусы 13 болатын шеңбер қабырғасы 18-ге тең ква^фаттың
екі көршілес қабырғаларымен жанасады. Шеңбер квадраттың екі басқа
қабы]напарының эрқайсысын қаыдай екі кесіндіге бөледі?
Жауабы: 1; 17.
23. ABCD тік төртбурышыныи А бурышының төбесінен
түсірілген перпендикуляры осы төбе арқылы өтпейтін диагональды В
төбесінен бастап, оны 1:3 қатынасында бөледі. Диагональ 6-ға тең.
Диагональдардың қиылысу нүктесінен бастап, үлкен қабырғаға дейінгі
қашықтықіы табьщыз.
Жауабы: 1,5.
24. Тік төртбүрыштың диагоналі оның бүрышын 1:2 бөледі. £гер
екі диагональдардың және кіші қабырталардьщ қосындысы 24-ке тең
болса, тік төртб^ыпггың диагоналін анықтаңыз.
Жауабы: 8.
25. Тік төртбүрыштьщ периметрі 32, ал оныц ауданы 48-ге тең.
Оньщ диагональдары арасындағы бүрыштың синусын табыңыз.
Жауабы: j .
26. Тік төртбұрыштың ауданының квадраттың ауданына қатынасы
л/з : 4 қатынасьшдай, мүндағы квадраттьщ қабырғасы тік төртбұрыштың
диагоналіне тең. Тік төртбұрьпшың диагональдарының арасындаіы
бұрышты табыңыз.
Жауабы: 60°.
27. Тік төртбүрыштың екі төбесінен оның диагоналіне түсірілген
перпендикулярлар, оны тең үш бөлікке бөледі. Тік төртбұрыштың кіші
қабырғасы а -ға тең. Үлкен кабырғасын табыңыз.
Жауабы: - jl a .
398
www.nismath.org
28. Тік төртбұрьшпъщ диагональдары 30° бұрыш жасап
қішлысады, ал оған сырттай сызылған дөңгелектің ауданы 144/г-ге тең.
Тік төртбурыштың ауданын табыңыз.
Жауабы: 144.
29. ABCD тік төртбұрьшіьгада К нүктесі АВ қабыртасын
А К : КВ = 3 :4 қатынасында бөледі, ал М нүктесі CD қдбыіжасын
DM:AfC = 5:3 қатынасында бөледі. Тік төртб^ьшпъщ ауданьш К М
кесіидісі қандай қатынаста бөледі?
Жауабы; — .
59
30. Тік төртбұрьшпъщ периметр! 46-ға тең. Тік бұрьшпъщ
биссектрисасы диагональды 8:15 қатынасында бөледі. Тік төртб^ыпіқа
сырттай сызылғаы шеңбердің ^ ешдығын табіщыз.
Жауабы: 17ж.
а4‘^тобы;
1. Қабырғасы 12-ге тең және б^ыш ы у
болатьш ромбыныц
төбесінен кіші диагональ жүргізілген. Пайда болған үшбурыштардьщ
біріне шеңбер іштей сызылған. Оның радиусьш табыңыз.
Жауабы: 2у/з .
2.
табьщыз.
а
және
Ь
ромбыньщ диагональдары. Ромбының биіктігін
Жауабы: ■.
— .
■4а^ +Ь^
3. Ромбының диагональдгфының қатьшасы 2:1 катынасындай, ал
ауданы 5-ке тең. Ромбының іабырғасьш табыңыз.
Жауабы: 2,5.
4. Ромбының сүйір бурышы 30° -қа тең. Ромбыға іштей сызылған
шеңбердіи радиусы 3-ке тең. Ромбынын ауданын табьщыз.
Жауабы: 72.
399
www.nismath.org
5. Ромбының ауданы 3 360. Оньщ диагональдарының бірі 84-ке
тен. Ромбының кабырғасын табыңыз.
Жауабы: 58.
6. Ромбының бурыштарының бірі 120°, ал осы бұрыштың
төбесінен шығатын диагональ 10-ға тең. Ромбьшьщ псриметрін табыңыз.
Жауабы: 40.
7. Ромбының бурыштарының бірі
120°-*қа тең. Ромбьшьщ
диагональдарынын қиылысу нүктесі ромбыньщ қабырғасьшан I'Jb
қашықтықта. Ромбыньщ периметрін табыңыз.
Жауабы; 32.
8. Ауданы 98 болатын ромбыньщ бурыштарының бірі 150°-қа
тең. Ромбының периметрін табыңыз.
Жауабы; 56.
9. Периметрі 24, ал ауданы 18
б^ьшггарын табыңыз.
Жауабы; 30° и 150°.
тең
болатьщ, ромбыньщ
10. Ромбыға іштей сызылған шеңбердің жанасу нүктесі, оның
кабырғасын 9 жэне 16 кесіндіяфіне бөледі. Оньщ диагональдарын
табыңыз.
Жауабы; 30; 40.
11. Ромбынын биіктігі -Jb -ке тең. Егер олардың бірі ромбынын
қабырғасына тең болса, ромбынын диагональдарын табыңыз.
Жауабы; 2; 2-Л.
12. Ромбыға іштей сызылған шеңбердің, радиусы 5-ке тең.
Ромбыньщ перимегрі 80. Ромбының сүйір бұрышын есептеңіз.
Жауабы; 30°.
13. Ромбьшьщ периметр! 112-ге тең, оның бұрьинтарының бірі
45° -қа тең. Осы ромбыға іштей сызылған шеңбердің радиусьш есептеңіз.
Жауабы; 7\/2 .
4(Ю
www.nismath.org
14. ABCD ромбысының биіктігі һ -қа тең, ал ZABC = 120°. ВС
қабырғасынан М нүктесі альшған. АШ ) үшбұрышының ауданын
табыңыз.
™
Жауабы; —-— .
15. Қабырғасы 4 болатын ромбыға іштей сызылған шеңбердің
радиусы 1-ге тең. Ромбының сүйір бұрьшіының синусын табыңыз.
Жауабы: ^ .
16. Ромбының периметрі 24-ке тең. Ромбының диагональдарыньщ
бірі ромбының қабырғасымен 75° қурайды. Ромбының қарама-қарсы
қабырғалары арасындағы кашықгықіы табыңыз.
Жауабы: 3.
17. Сүйір бурышы 30° болатын ромбыға дөңгелек іштей cm3mjh^ i .
Дөңгелек ауданыньщ ромбьшьщ ауданына қатынасын табыңыз.
Жауабы: у .
18. Ромбының периметрі 52-ге тең, ал оның диагональдарьшың
қосындысы 34-ке тең. Ромбының ауданын табыңыз.
Жауабы: 120.
19. Ромбыяың қабырғасы 5 және диагональдарыньщ бірі 6-ға тең.
Ромбының ауданын табыңыз.
Жауабы: 24.
20. Дөңгелекке сырттай сүйір бұрышы 37° болатьш ромб
салынған. Ромбыньщ қабырғасы 50-ге тең. Егер sin37°»0,6 болса,
дөңгелектің диаметрін табьщыз.
Жауабы: 30.
21. Үлкен диагоналі 1Онга тең, ал оған іштей сызылған шеңбердің
радиусы 3-ке тең екендігін біле отырып, ромбыньщ ііериметрін табыңыз.
Жауабы: 25.
22. Ромбыньщ ауданы периметрі ромбтың пңриметріндей
квадратгьщ ауданынан екі есе кем. Ромбыньщ бұрыштарын табыңыз.
Жауабы: 30°; 150°.
401
www.nismath.org
23.
Бурышы а болатын жэне осы б:щ>ыіитың төбесін
жүртілтен диагональ d -ға тең ромбының ауданыы табыңыз.
і2
Жауабы: ү tg ү
В
24. ABC сүйір бұііьгаіының тангенсі
ABCD ромбының ауданын табыңыз.
жэне АС - 4 болатын
Жауабы: —-— .
25. Ромбының диагоналі оның доғал бұрышыньщ төбесінен
жүргізілген биіктігін ^зындыкгары 10 және 6 болатын кесінділерге бөледі.
Ромбының периметрін табьщыз.
Жауабы; 80.
26. Ауданы 2400 болатын ромбыға іштей сызылған шеңбердің
радиусы 24-ке тең. Ромбыиьщ диагональдарьш табыңыз.
Жауабы; 60; 80.
27. Диагональдары 15 және 20 болатын, ,ІВСО ромбысында, С
дснал бурыпшньщ төбесінен; СЕ жэне СҒ екі биіктік жүргізілген.
АЕСҒ төртбұрышының ауданын есептеңіз.
Жауабы; 108.
28. Ромбының диагональдарының қатьшасы 3:4 қатынасындай.
Ромбының ауданыиың ромбыға іпгғей сызылған дөңгелектің ауданына
қатынасын аяықгақыз.
•мл «
25
Жауабы; — .
бя"
29. Екі тең дөңгелектердін қиылысуында диаговальдары 12 жзне 6
болатын ромб орналасқан. Шеңберлврдің радиусын табыңыз.
Жауабы: 7,5.
30. Оның аудаыы 24, ал диагональдарының қатынасы - 0,75-ке тең
ромбының қабырғасын анықгаңыз.
Жауабы; 5.
402
www.nismath.org
31.
Ромбыға дөңгелек іштей сызылған, ал дөңгелекке квадрат
іштей салынған, Егер квадраттың ауданы ромбының ауданынан 4 есе кіші
болса, ромбынын бурышы қаншаға тең?
Жауабы: 30°.
71
32. ABCD ромбында А төбесінің бурышы — -ке тең. N нүктесі
АВ қабырғасын A N ; BN = 2:1 қатынасында бөледі. DNC бурышының
тангенсін анықгаңыз.
9лД
Жауабы:
11
403
www.nismath.org
§3. ШЕҢБЕР ЖӘНЕ ДӨҢГЕЛЕК
б«іІЛ9шіцстіьк’
-
-
W
'
'v %
v-
і
~: ^
А
^
л^
. - ' ' ' - ' ' '
'■ ''
'''.:%'-.}:'<^6
1. Радиустары 3 жэне 5 болатьш екі шеңбер бір-біріне сыртгаіі
жанасады. Екі ортақ сыртқы жанамалар жүргізілген. Осы жанамалардың
қиылысу нүктесінен үлкен шеңбердің центріне дейінгі қашыкіықгы
табыңыз.
Жауабы: 20.
2. Радиусы 10 болатын шеңберге АВ хордасы жүргізілген, ол
1а -ға тең центряік бұрышының дотасын қиып өтеді. Хорданың ортасы
арқылы ОС радиусы жүргізілген. Егер cos or »0,8 болса, CD
кесіндісінің ұзындь^ын табыңыз (мұндағы D - хорданың жэне ОС
радиусының қиылысу нүктесі).
Жауабы: 2.
3. Радиустары 1-ге тең өзара жанасатын төрт шеңбердің цeнтpлq)i
квадраттың төбелерінде орналасқан. Оларға сырттай сызылған жэне
олармен жанасатьш шеңбердін радиусын анықгаңыз.
Жауабы: V2+1.
4. Шеңбердің бойындагы нүктеден диаметр жэне ұзындьны 30-ға
тең хорда жүргізілген. Хорданың диаметрдегі проекциясының шеңбердің
радиусына қатынасы 18:25 қатьшасындай. Шеңбердің радиусын
табыңыз.
Жауабы: 25.
5. Шеңберде екі қйылысатын хорда жүргізілген. Олардың
қиылысу нүктесі аркылы бірі 2 жэне 6 кесінділеріне бөлінеді, ал екінші
хорданың үзындығы 7-ге тең. Екінші хорданың кесінділерін табыңыз.
Жауабы: 3; 4.
6. Радиустары 20 жэне 5 болатъш екі шеңбер сырттай жанасады
және оларға ортақ жанама жүргізідген. Жанасу нүктелері арасындаіъі
қашықіықіы табыңыз.
Жауабы: 20.
404
www.nismath.org
7. А нүктесі дөңгелектіц цевтрінен диаметр қашықгығында
дөңгелектен тыс жаіъір. А нүктесінен осы шеңберге жүргізілген
жанамалар арасындағы бұрьшіты аиықтаңыз.
Жауабы; 60°.
8. Шеңбердің АВ диамегріне перпендикуляр CD хордасы
жүргізілген. Олардың қиылысу нүктесі диамегрді 18 және 32-ке тең
кесівділерғе бөледі. CD хордасьпшң узындығын табыңыз.
Жауабы: 48.
9. Шеңбердің радиусына тең АВ хордасының ұштары арқыльі D
нүктесінде қиьілысатын екі жанама жүргізілген. AD B бурыппіШ табыңыз.
Жауабы: 120°.
10. М нүктесі радиусы 9-ға тең шеңбердің Р К хордасын РМ —1 ,
МК = 8 екі кесіндіге бөледі. М нуктесінен шеңбердің центріне дейінгі
қапшктыкіы табыңыз.
Жауабы: 5.
11. Ушбұрьшгшң төбелері оған сырттай сызылган шеңбердің
толық доғасын 1:2:3 қатынасында бөледі. Осы үшбурыпгтыц ең кіпгі
қабыріасы >/б -ға тең. Оның ауданын табыңыз.
Жауабы: 3-s/3.
12. Әркайсысы екіншісінің центрі ^)қылы өтетіндей екі тең шеңбер
орналасқан. Олардың ортақ хордасы эр шеңбердің центрінен қандай
бұрьппта көрінеді?
Жауабы: 120°.
13. 6уІЗ-ке тең хорда 120°-тьщ доғаны керіп тұр. Осы хорда
жүргізілген шеңбердің узындығы қаншаға тең?
Жауабы: 12тт.
14. А В - дөңгелектің диаметрі, ВС - жанаманың кесіндісі; шеңбер
мен АС түзуінің қиылысу нүктесі D . Берілгені: A D - 32, 2X7 = 18.
Дөңгелекіің ауданьш анықгаңыз.
Жауабы: 400^*.
405
www.nismath.org
15. Бір нүктеден шығатын жанама мен қиюшы сәйкесінше 20 және
40-қа тең. Қиюпшның центрден қашықгығы 8. Дөңгелектің ауданын
табыңыз.
Жауабы: 289ж .
16. А , В , С нүктелері шеңбердің бойында жатыр. ВАС
бурышының биссектрисасы осы шеңберді М нүктесінде хияды.
Zflu4C = 80° болса, ВМС үшбурышыньщ бурыштарьоі табыңыз.
Жауабы; 100°; 40°; 40°.
17. Түзуден центрлері әртүрлі жағында орналасқан шеңберлер, осы
түзуге жанасады. Центрпердің сызьдъг 30° -тық б^ьшшен түзуді қияды.
Олардың радиустары 3 және 5 болса, шеңберлердің центрлері ара
қашықтығын табыңыз.
Жауабы; 16.
18. Қабырғасы 20^а тең квадратқа іштей және сырттай сызылздн
шеңберлермен швктелгеи сақинаньщ ауданьш табыңыз.
Жауабы; ІООя-.
19. Дөңгелектің радиусы 25-ке тең; 14 және 40-қа тең болатын екі
параллель хордалар, диаметрдің бір жапшда жатыр. Олардың арасындағы
кашықтықты анықтаңыз.
Жауабы; 9.
20. Дөңгелек диаметрінід бір ұшынан оған параллель хордалардың
ұштарына дейінгі қашьп;тықтары 13 және 84-ке тең. Дөңгелектің
диаметрін табыңыз.
Жауабы; 85.
21. ог = 60°-тық бурьппына г = 6 радиусты шеңбер іштей
сызылған, бұрыштың қабырталарымен оның жанасу нүктелері А және
В . АВ кесіндісінің узындьпын табыңыз.
Жауабы; 6л/з .
22. Центрі О шенберге А нүктесінен АВ жанамасы жүргізілген,
В нүктесі шеңберде жатыр, А В =12. Сондай-ақ А нүктесі арқылы түзу
жүргізілген, ол О нүктесі арқылы өтіп, С және D нүктелерінде
шеңберді қияды, С нүктесі А жэне D арасьгада жатыр, АС = А.
Шеңбердің диаметрін табыңыз.
Жауабы; 32.
406
www.nismath.org
23. Диаметрдің ұштары жанамадан 1 жэне 3-ке тең кашықгықта.
Шеңбердің диаметрін табыңыз.
Жауабы: 4.
24. А М .В М = А:Ъ, АВ = 14 болатындай, М нүктесі АВ
хордасьшда жатыр. Шеңбердің центрінен М нүкгесіне дейінгі кашықтық
4-ке тең. Шеңбврдің радиусын табыңыз.
Жауабы; 8.
В
25. Жанасатын екі шеңбердің біреуінің радиусы 1-ге тең, ал
олардың ортақ жанамасьшың узыңдығы 4-ке тең. Екінші шеңбердің
радиусын табықыз.
Жауабы: 4.
26. Шеңбердің центрінен әртүрлі жақгарда жатқан узындықпфы 12
және 16 болатын параллель хордал^ жүріізілген. Олардың арасындағы
қашықгық 14-ке тең. Шеңбердіи радиусын табыңыз.
Жауабы: 10.
27. CD диамеірі шеңбердің АВ хордасына параллель. АС = 3,
ВС = 4 болса, осы хорданьщ ұзьшдыіъш табыңыз.
Жауабы: 1,4.
28. Шеңбердің радиусы г -ге тең. М нүктесінен шеңбердің центрі
арқылы MB қиюшы жэне МА жанамасы жүргізілген, мұндағы
MB = 2МА. М нүктесі шеңбердің центрінен қандай қашықгықга
болатындығын табыңыз.
Жауабы: ^ г .
29. Шеңберден тыс жатқан нүктеден екі жанама жүргізілген жэне
шеңбердің доғасымен және жанамалармен шекгелген фшураға, екінші
шеңбер іштей сызылған. Осы нүктеден шеңберлердің центрлеріне дейінгі
қашықгық 6 және 18-ге тең. Шеңберлердің радиустарын табьщыз.
Жауабы: 3; 9.
407
www.nismath.org
30.
Екі meii(6q) сыртгай жанасқан; радиустарынын катынасы 2-ге
тең; жанасу нүктвлврі арасындағы олардың сыртқы жанамасының
кесіндісі a -ға тең. Осы шеңберлердің радиустарьш табыңыз.
Жауабы;
a-Jl
а\І2
31. R = S S радиусты шеңбер берілген. Диаметрдің бір ушьшан
жанама, ал екінші ұшынан 120°-тык доғаны керетін хорда жүргізілген;
хорданы созып, жанамамен қиылыстырғандағы қиюшының сыртқы
бөлігін анықтаңыз.
Жауабы: 5.
32. Екі шеңберлердің эрқайсысы екіншісінің центрі арқьшы өтеді.
Олардың қиылысу нүктесі арқылы шеңберлерге жүргізілген
жанамалардың арасынд^ы бщ)ышты анықтаңыз.
Жауабы; 120°.
33. Шеңбердің радиусы 8-ге тең, ал хордасы АВ = 12. А нүктесі
арқьшы жанама жүргізілген, ал В нүктесінен - жанамаға параллель BD
хордасы жүргізілген. Жанамадан BD хордасына дейінгі қашықіықгы
анықтаңыз.
Жауабы: 9.
34. Шеңбердің хордасы 10-ға тең. Хорданың бір ушы арқылы
шеңберге жанама жүргізілсе, ал екіншісі арқылы - жанамаға параллель
қиюшы жүргізілген. Қиюшының ішкі кесіндісі 12-ге тең болса, шецбердің
радйусын анықгаңыз.
Жауабы; 6,25.
35. ABC үшбурыоіына сырттай шеңбер салынған. Үшб^ыппъщ
A M медианасының созыңдысы шеңбермен К нүктесінде қиылысады.
АМ = \%, MK = S, ВК = 10 болса, АС қабыртасын табыңыз.
Жауабы: 15.
36.
Үзындығы 30-ға тең хордалардың уштары арқылы
нүктесінде кдылысатындай екі жанама журіізілген. Е г ^ шеңбердің
радиусы 17-ге тең болса, А нүктесінен хордіна дейінгі қашықіы
табыцыз.
«
225
Жауабы; —^ .
А
408
‘Л
1
www.nismath.org
37. Бір нүктеден шеңберге екі жанама жүргізілген. Әрбір
жанаманың ұзындығы 13, ал жанасу нүктелері арасындағы қашықгық 24ке тең. Шеңбердің радиусыны табыңыз.
Жауабы: 31,2.
38. Шеңбердің нүктесінен диаметрге түсірілгсн перпендикуляр,
оны айырмасы 18 болатын кесінділерге бөледі. Перпендикулярдың
узындығы 12-ге тең. Диаметрді табыдыз.
Жауабы: 30.
39.
ABCD
төртбұрышьпща
Z.CBD - 58°,ZABD=44°
ZADC —78° екендігі белгілі. CAD бурышын табыңыз.
Жауабы: 58°.
40. АВ диаметр! болатындай етіп, ABC үшбурьппыньщ АВ
кабырғасына дөңгелек салынған, ол сэйкесінше М жэне N нүктелерінде
ВС және АС қабырға.ларын қиып өтеді. ВСА бұрыош 60° -қа тең.
ABMN төртбурышыньщ ауданы ABC үшбурышы ауданының қандай
бөлігін қурайды?
3
Жауабы: —.
41. Диаметр! АВ болатьшдай ABC үшб^ышының АВ
қабырғасьшда дөңгелек салынган, ол сәйкесінше D және Е нуктелершде
АС және ВС қабырғаларын қиып етед!. Егер DCE жэне ABC
үшбұрыштарының аудандары 1:4 қатынасында болса, CBD бурышын
табыңыз.
Жауабы: 30°.
42. Диаметр! АВ болатындай ABC [АВ = 5С ) тең бүй!рл!
үшбұрышының АВ бүіпр қабырғасында салыиған жартылай дөңгелек,
екінші бүйір қабырғасын К нүктес!нде, ал табанды - D нуктесшде қиып
өтед!. DC ұзындығы 3-ке тең, ал бүйір қабырғасына жүргЫлген биіктйг!
- 4>/2 -ге тең. ВАК үшбұрьшіының ауданы, ABC үшбұрышы
ауданының қандай бөл!гін қурайтынын табыңыз,
7
Жауабы: - .
409
www.nismath.org
IX ТАРАУ. СТЕРЕОМ ЕТРИЯ
§ 1. КЕҢІСТІКТЕГІ ҚАШ ЫҚТЫҚТАР МЕН
БҮРЫШ ТАРДЫ ЕСЕПТЕУ
Ти'пгобй:
- «Пе<і^іЕІякУляр ^ акст
б а Е
л м
й ^ ы
^
келСеу» %
. .V '-'
1. Сүйір бұрышы 30° тік бурышты үшбурышка сырттай сызылған
дөңгелектін центрінен, оньщ жазықтығына ұзьгадаіғы 6-ға тең
перпендикуляр жүргізілі-ен. Үшбұрыпггың жазықгығынан тыс жатқан
перпендикулярдың ушынан үлкен катетке дейінгі қашықгығы 10.
Үшбүрьпптың гипотенузасын табыңыз.
Жауабы: 32.
2. ABC тік бұрышты үшбүрыштың катетгері 15 және 20-ға тең.
Осы үшбұрыштың жазықгығына С тік бүрьппьшың төбесінен CD = 35
перпендикуляры жүргізілген. D нүкгесінен АВ гапотенузасына дейінгі
қашықгықты табыңыз.
Жауабы: 37.
3. Дөңгелектің
центрінен
оның
жазыкгығына
OD
перпендикуляры жүргізілген. Егер перпендикулярдын узындығы д-ға
тең, ал дөңгелектіц ауданы S болса, осы перпендикулярдын D үшынан
шеңбердің бойындағы нүктелерге дейінгі қапшіқтықты анықтаңыз.
Жауабы
fs
Г
4 . Жазыкгық берілген: кеністіктің белгілі бір нүкгесінен осы
жазыктықка үзьшдықтары 20 және 15 болатын екі көлбеу жүргізіш^ен;
олардьщ біріншісінің жазыктықтағы проекциясы 1 6 ^ тең. Екінші
көлбеудің жазыктықгағы проекциясын табыңыз.
Жауабы: 9.
5. Кеңістіктің белгілі бір нүктесінен осы жазықгыққа 6-ға тең
перпендикуляр және үзындығы 9 болатын көлбеу жүргізілген. Көлбеуге
түсірілген перпендикулярдын проекциясын табыңыз.
Жауабы: 4.
410
www.nismath.org
6. Тең қабырғалы үшбұрыпітың қабырғасы 3-ке тең. Әр төбесінен
қашықтығы 2 болатын нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықгықгы
аныкіацыз.
Жауабы; 1.
7. Белгілі бір нүктеден жазықгыққа екі көлбеу жүргізілген,
олардың әрқайсысы 2-ге тең; олардьщ арасындағы б ^ ь ш 60°, ал
олардың проекциялары арасындағы бұрыш - тік бұрыш. Осы нүктеден
жазыктыққа дейінгі қашықтыхты табыңыз.
Жауабы: л/2.
8. ABCD төртбұрышы - квадрат, О нүктесі - оның центрі. ОМ
тузуі квадрагшң жазықтығына перпендикуляр. Егер АВ = 4 , ОМ = 1
болса,
-ны табыңыз.
Жауабы: 3.
9. ABC тең бүйірлі үшбұрышының бүйір қабырғасы 15-ке тең, ал
табаны АС = 6. Оған іштей сызылған дөңгеяектід О центрінен
үшбұрыштың жазықтығьша 2-ге тең ОК перпендикулягры жүргізшген. К
нүктесінен үшб:йрыштьщ кабырғаларына дейінгі қашьщтықгарды
табыныз.
Жауабы: >Яо.
10. ABCD ромбының жазЕлсгығынан тъіс жатқан S нүктесі оның
тобелерінен бірдей қашықтықта орналасқан. Егер BD = S болса, ABCD
ауданьш табьщыз.
Жауабы: 32.
11. S нуктесінен a жазьгқтығына SB көлбеуі жүргізіпген, оның
a жазыктығындағы проекциясы АВ кесіндісі. Егер SA = 5, SB = \3
болса, .4В -ны есептеңіз.
Жауабы; 12.
12. ABC тең бүйірл! үшбүрышьшың ВС табаны 12, бүйір
қабырғасы 10. A төбесінен ABC үшбұрышыньщ жазықтыгына
перпендикуляр AD = 6 кесіндісі жүргізілген. D нүктесінен ВС
қабырғасына дейінгі кашықтьщты табыңыз.
'
Жауабы; 10.
411
www.nismath.org
13. Нүктеден жазықіыққа ұзынділқгары 4 жэне 8 болатын екі
көлбеу жүргізілген. Егер олардың жазықгықтағы ііроекцияларының
катынасы 1:7 қатынасындай болса, нүктеден жазыктыққа дейінгі
қашықгыкгы табыңыз.
Жауабы: у/і5.
14. Тік бұрышты үшбурьпшъщ тік бурышыііың төбесіыен оның
жазықгығына ұзындығы 5 болатын, перпендикуляр жүргізілгеи. Осы
перпендикулярдьщ төбесінен гипотенузаның уштарына дейінгі
қапшқшқгары 9 жэне 13. Үшбұрыштың гипотенузасын аньпсгаңыз.
Жауабы: 10л/2.
15. ABC тік бурышты үшбурыпггың тік бурышывың төбесінен
осы үшбұрыштың жазықгығына CM перпендикуляры жүргізілген. Егер
CM = 1, AM = ВМ = 3 болса, АВ гипотенузасын табьщыз.
Жауабы; 4.
16. Екі нүктенің жазықтықтан қашықгықтары 8 жэне 23-ке тең; осы
жазықгықка берілген нүктелерден түсіріпген перпендикулярлардың
табандары гц>асындағы қашыкшк 20нға тең. Берілген нуктелер
арасындағы қашыкгықты есептеңіз (нүкгелер жазықтыктың бір жағында
жатыр).
Жауабы: 25.
17. АВ кесіндісінің ұзындьшл 15, ал осы кесіыдінің жазыкгықтағы
проекциясы - 12-ге тең. Осы кесіндінің А төменгі ұшының жазықтыкган
қашықтығы 16. Осы кесіндінің В жоғарғы ұшы жазықгықтан қандай
қашықтыкта болады? ( АВ кесіндісі жазықгықты қиьш өтпейді).
Жауабы: 25.
18. АВ кесіндісінде С нүктесі таңдап алынған, мұндағы
А С : СВ = 3:5. А нүктесінен 12, ал 5 нүктесінен 28-ге тең қапшқтъщта
болатындай С нүктесінен жазықгыққа дейінгі қашықты табыңыз ( АВ
кесіндісі жазықтықгы киып өтпейді).
Жауабы: 18.
19. Қабырғасы 6 жэне бұрышы 60° болатын ромб берілген. М
нүктесінің ромб жазықтығынан қашықгьны 3-ке тең жэне оның
қабырғаларынан туратын түзулерден бірдей қапплқтықта. Осы
қашықгықш табыңыз.
.«л
Зл/7
Жауабы; ----- .
412
www.nismath.org
20. а жазықгыгынан тыс жатқан А нүктесінен осы жазықтыққд
дейінгі қашықтық 5-ке тең. а жазықшгыңца жатқан ВС түзуінен А
нүктесінің осы жазықтықгағы проекциясына дейінгі қашықтық 12. ВС
түзуінен бастап, А нүктесіне дейінгі қашықгықгы аішқгаңыт.
Жауабы: 13.
21. Тік бн>ышты ушбұрыштың барлық төбелерінен 6,5
қашықтықга болатын нүкте берілген. Катеттері 3 және 4-ке тең болса, осы
нүктедвн үшбұрыш жазықтығына дейінгі қашыклықгы табыңыз.
Жауабы: 6.
22. Тік бүрышты үшбүрыштың катетгері 6 және 8. М нүктесінен
үшбүрыштың эр қабыргасына дейінгі қашықтығы 2,5нға тең. М
нүктесінен үшбүрыш жазықтығына дейінгі қашықгы табыңыз.
Жауабы: 1,5.
В
23. Табаны 48 болатын тең бүйірлі үшбұрыштын ауданы 768-ге
тең. Үшбүрыштьщ төбелерінен бірдей қашықгықта орналасқан үшбүрыш
жазықтығынан тыс жатқан нүкгеден осы жазыкгыққа дейінгі қашықгық
60. Осы нүктеден үшбұрыш төбелеріне дейінгі кашықгыкты табыңыз.
Жауабы: 65.
24. ABC үшбұрышының A төбесінен үшбұрыш жазықшғына
АК перпендикуляры жүргізілген. Егер АС = АВ = \Ъ, ВС = \ 0 , АК = 16
болса, ВСК үшбұрышының ауданын табыңыз.
Жауабы: 100.
25. Тең бүйірлі үшбұрыштыц табаны мен биіктігі 4-ке тең.
Төбелерінен бірдей
қашықгықга орналасқан жэне үшбүрыш
жазықтығынан қашықтығы 6-ға тең нүкте берілген. Осы нуктеден
үшбурыш төбелеріне дейінгі қашықгықгы табыңыз.
Жауабы: 6,5.
26. ABC үшбурышындаіы АС = ВС = 10, ZB = 30°. BD түзуі
үшбұрыш жазықтығьгаа перпендикуляр, BD = 5. D нүктесінен АС
түзуіне дейінгі қапіыктыкты табыңыз.
Жауабы: 10.
413
www.nismath.org
27. Үшбдаыппың қабырғалары 10; 17 және 21. Осы үшбұрыштың
үлкен бүрыпшның төбвсінен оның жазықтығына 15-ке тең перпендикуляіі
жүргізілген. Оның үштарынан үлкен қабырғаға дейінгі қашықтықты
анықтаңыз.
Жауабы: 8; 17.
28. ABC үшбүрышындағы С бүрышы тік; CD - осы
үшбүрыштың жазыкгығына перпендикуляр. D нүктесі А жэне В
нүкгелерімен қосылған. Егер СА = 3, ВС = 2 , CD = 1 болса, ADB
үшбүрыиіыЬың ауданын анықтаңыз.
Жауабы: 3,5.
29. ABCD төртбүрыпшның A төбесінен оньщ жазықшаъша АК
перпендикуляры жүргізілген, оның К үшыньщ басқа төбелерден
қашықтығы 6; 7 және 9. АК ұзьшдығын табыңыз.
Жауабы: 2.
30. Гипотенузадан қашықгығы 10-ға тең ABC тік бұрышты
үшбүрышының С тік бүрьппының төбесі арқылы гипотенузаға параллель
жазьпсшк: жүргізілген. Осы жазықхықтағы катетгердің проекциясы 30
жэне 50-ге тең. Осы жазьнаықгағы гипотенузаның проекциясын табыңыз.
Жауабы: 60.
31. Табаны ^С = 18 жэне бүйір қабырғасы 15-ке тең ABC тең
бүйірлі үшбұрышы берілген. Оған іштей сызылғаи шеңбердің О центрі
арқылы осы үшбүрыш жазықтығына ОК = 6 перпендикуляры
жүргізілген. К нүктесі мен үшбұрьшпың қабырғалары арасындағы
қашьпстыкгы табыңыз.
Жауабы: 7,5.
32. ABCD тік төртбұрышьшың жазықтығына A төбесінен АЕ
перпендикуляры жүргізілген. Егер Е В , ЕС жэне ED сэйкесінше 15; 24
жэне 20 болса, осы перпендикулярдың үзындығын анықтаңыз.
Жауабы; 7.
33. Тең бүйірлі трапецияның табандары сәйкесінше 4 жэне 9-ға
тең. Оның әр қабырғасынан қапіықгығы 5-ке тең трапецияның
жазықтығынан тыс жатқан М нүктесі алынған. М нүктесі трапеция
жазықгығынан қандай қапп>іқтықта екендігін анықтаңыз.
Жауабы: 4.
414
www.nismath.org
34. Ромбының қабырғасьшың ортасьшан оның жазықгығьгаа
перпендикуляр жүргізілген, оның жоғарғы ушы ромбтың 16-ға тең үлкен
диагоналінен капшктығы ромб қабырғасыньщ жартысына тең. Осы
перпендикулярдьщ ұэындыіъш анықтаңыз.
Жауабы: 4.
35. ABC тік бурышты үшбурышыыың A бұрьшш 30®, ал
гипотенузасы 8-ге тең. A төбесінен үшбұрыштыц жазықгығына
ұзындьиы 1-ге тең АК перпендикуляры жүргізілген. К нүктесінен
қарсы жатқан катеттің перпендикулярына дейінгі қашықгықты
анықтаңыз.
Жауабы: 7.
36. Тең бүйірлі үшбұрыштың табаны мен биіктігі 8-ге тең. Нүкте
үшбұрьпп жазықгығынан қапп.іқгығы 12-ге тең және оның төбелерінен
бірдей қашықтықта болады. Осы қашыктықты табыкыз.
Жауабы; 13.
37. ABCD параллелограмындағы А жэне D төбелері берілген
жазықгыкда жатыр, ал басқа екеуі осы жазықтықтан тыс жа-тар. АВ = 15,
ВС = \9 ,
ал жазьпсіъщтағы параллелограмм диагональдарының
проекциясы 20 жэне 22-ге тең. Осы жазыкдықтағы параллелограмм
қабырғаларының проекцияларын анықганыз.
Жауабы; 9; 19.
38. ABC үшбұрышында ^ = 13, ВС = \А, АС = \5 екендігі
белгілі. A төбесінен оньщ жазыісгыгына 5-ке тең AD перпевдвкуляры
жүргізілі’ен. D нүктесінен ВС түзуіне дейінгі қашыктықты табыңыз.
Жауабы; 13.
39. Трапецияның
табандары
28
жэне
36.
Трапеция
диагональдарының қиылысу нүктесінің кіші табан арқылы жүргізілген
жазыкгықтан қашықтығы 14-ке тең. Трапецияның үлкен табанынан осы
жазықгыққа дейінгі қашыкгықгы анықіаңыз.
Жауабы; 32.
40. Радиусы 2-ге тең шеңбердің бойьшан алышан А нүктесінен,
дөңгелектің жазықтығына үзындығн 1-ке тең АК перпендикуляры
жүргізілген. А нуктесінен АВ диаметрі, ал В нүктесінен диаметрмен
45® бүрыш жасайтын ВС хордасы жүргізілген. К нүктесінен ВС
хордасына дейінгі кашыкгықгы анықгаңыз.
Жауабы; 3.
415
www.nismath.org
3*—
Ібіи№і№мсгы1;
1. ¥штарының жазықгықган қашыктықгары 3 және 2-ге тең
узындығы 10 болатын кесінді жазықгықты қиып өтеді. Осы кесівді мен
жазықтық арасындағъі бурышты табыңыз.
Жауабы: 30°.
2. ABCD квадратының жазықтығына А төбесі арқылы МА
перпендикуляры жүргізілген. МС түзуі мен квадраттың жазықгығы
арасыңцағы бурыш 45°, ал МА = 4л/2 . Квадратіың ауданын табьщыз.
Жауабы; 16.
3. Жазыкгықтан а қашықіықга болатын нүктеден екі көлбеу
жүргізілген, олар жазыкгықпен 45° бурышты, ал өзара 60° б^рыш
жасайды. Көлбеулердің ұштары арасындағы қашықтықты анықтаңыз.
Жауабы: a - J l.
4. a жазықтығы ABD үшб:^ышының AD қабырғасы арқылы
өтеді. АВ қабырғасы a жазыктығымен 30° бурыш жасайды. Егер
AD = 3, АВ = 5, BD = 4 болса, a және ABD жазықтықтары арасындагы
бұрыштың синусын табыңыз.
5
Жауабы:
8
5. а жазықгығы ABCD квадратынын AD қабырғасы арқылы
өтеді. BD диагоналі a жазықтығымен 45° бұрыш жасайды. Квадратгың
жазьщтығымен а жазықгығы арасындағы бұрышты табыңыз.
Жауабы: 90°.
6. ABC тең бүйірлі ушбурышьшьщ ВС табаны арқылы a
жазьшдығы жүргізілген; A төбесінен осы жазықтыққа дейінгі қашықіық
4-ке тең. Егер ВС = \2 , АВ = АС = 10 болса, a жазықтығымен
ушбұрыштың жазықтығы арасьшдағы бурышты табыңыз.
Жауабы: 30°.
416
www.nismath.org
7. а жэне р жарты жазықтықгарынан жасалған екі жакты
бұрыш 90° -қа тең. А нүктесі екі жақгы бұрыштың жақтарынан
қашықтықтары 8 және 6-ға тең. А нүктесінен бастап, екі қырлы
бұрыштың қабыргасына дейінгі қашықтыкты табыңыз.
Ж ауабы ; 10.
8. а жазықтыіы мен оны қііып өтпейтін ^ 5 = 13 кесіндісі
берілген. Кесіндінін ұштарынан жазықтыққа дейінгі қашықшкгары 5
жэне 8-ге тең болса, АВ түзуін қамтитын көлбеу мен а жазықтығының
арасындм’ы бұрыштың синусын анықтаңыз.
3
Ж ауабы : — .
9. ABC үшбұрышының 5-ке тең ВС
қабырғасы a
жазықтығында жатыр, ал A төбесінің a жазықтығынан қашықтығы 6-ға
тең. Үшбұрыш жазықтығы a жазыктығымен 60° бұрыш жасаса, ABC
үшбұрышының ауданын табыңыз.
Ж ауабы : 1 0 л /з .
10. Жазықгықган қашықгығы 30-ға тең нүктеден осы жазықтықпен
60° бұрыш жасайтын түзу жүргізілген. Көлбеудің және оның
жазықтыктағы проекдиясының узындығын есептеңіз.
Ж ауабы : 2 0 > ^ ; 10^Уз .
11. Үшбурыштың қабыргалары 50; 58; 12. Оның жазыктығымеы
60° бурыш жасайтын жазықтыктағы оның проекциясының ауданын
табыңыз.
Ж ауабы : 120.
12. Тік бұрышты үшбурыштың катеттері 3 жэне 6-ға тең,
үшбурыштың жазыктығы мен проекциясының арасындағы бурыш 60°.
Проекциясьшың ауданын табыңыз.
Ж ауабы : 4,5.
В
13. ABCD квадратынын AD қабырғасы арқылы a жазьнсгығы
өтеді жэне АВ қабырғасымен сішусы
-ге тең б^ы ш жасайды. BD
квадратының диагоналімен осы жазыктықгың жасайтын бұрышын
табыңыз.
Ж ауабы : a r c s i n ^ .
417
www.nismath.org
14. ABCD - ромб, СК - ромбының жгизыктығына перпендикуляр,
мұндағы СК = 2л/з , АВ = 4 және ZBAD = 60°. АВК жазықтыіымен
ромбынілң жазықтығы арасьгадм-ы бұрышты табыңыз.
Жауабы: 45®.
15. ABC үпібұрыпш, ZC = 90°, АС катетімен a жазықгағына
тіреліп, онымен 45° -тық екі жакты қырлы бұрьпп жасайды. Катет
АС = 2, ал АВ гипотенузасының ВС катетіне қатынасы 3:1
қатынасындай. В төбесінен а жазықтығына дейінгі қапшіктықты
аныкгаңыз.
Жауабы: 0,5.
16. Қабырғалары АВ = 9; ВС = 6 жэне ,4С = 5-ке тең ABC
үшбұрышы берілген. Үпібұрыш жазықтығымен 45° бүрыш жасайтындай
АС қабырғасы арқылы се жазыктығы өтеді. В төбесінен а
жазықтығына дейінгі кашықтықты табыңыз.
Жауабы: 4.
17. ABCD тетраэдрінде қабырғалардың узындыктары белгілі:
АВ —\Л, Z)C = 8, AC = BC = AD —BD = 9. АВ қабырғасының екі жакты
бурышыньщ шамасын табьщыз.
Жауабы; 90°.
18- ABC және ABD үшбұрыштары - тең бүйірлі және
АС = ВС = \5, АВ = 18, AADB = 90°. CD = 6 болса, ABC және ABD
жазықгықтары арасындаіъі бұрыштың косинусын табыңыз.
7
Жауабы; —.
8
19. ABCDA^ByC^D^ — куб. DC^ жэне СВ^ түзулері арасывдгпы
бүрышты табыңыз.
Жауабы; 60°.
20. ABC үшбұрышы - тік бұрьшіты, ZC = 90°, DBE үшбұрышы
- теи қабырғалы. АС жэне DE қабырғалары параллель жэне олардың
арасындағы қаппдқтык V3, ал ВС = DE = 2 болса, \тпбүрыштардың
жазьгқтыктары арасындағы сызықгық бүрышты табыңыз.
Жауабы: arccos— .
418
www.nismath.org
21. Тік бұрьшпы үшбұрыппъщ катетгері 7 және 24-ке тең. Тік
бұрыштың төбесінен гипотенуза гц>қылы өтетін және үшбурыштың
жазыкгығымен 30° бұрыш жасайтын жазықтыққа дейінгі қашықгықты
анықгаңыз.
Жауабы: 3,36.
22. 60° -тық екі жақш бұрыштың ішінде алынған нүкте екі
жагынан да қашыктығы о -ға тең. Берілген нүктеден екі жақгы бурыштың
кырына дейінгі қашықтықты табыңыз.
Жауабы: 1 а .
23. Үш жақты бурьпшың барлық жазық бұрьшггары тік болып
табылады. Оның жақгарьгаан 1; 2 және 2 қашықтыкта орналасқан нүкте
берілген. Бұрыштың төбесінен осы нүктеге дейінгі қашықтыкты табьщыз.
Жауабы: 3.
24. DAB ,
DAC , АСВ бурыпггары - тік, ал АС = СВ = 5,
D B ^S'Js болса, ABCD тетраэдрыньщ ABCD екі жақгы бурышын
табыңыз.
Жауабы; 60°.
25. 120°-тық екі жақты б^рыштың ішшде эр жағыыан а
кашықтықта болатындай М нүктесі берілген. Осы нүктеден екі жақты
бұрыштың қырына дейінгі қашықгықгы табыңыз.
.
2й'Уз
Жауабы: —^— .
26. АВМ дұрыс үшбұрышынын A M қабырғасы арқылы
жазықтык жүргізілген. BD медианасы жазықтықпен 60° бурыш
жасайды. АВ түзуі мен жазыктық арасындағы бұрыштьщ синусын
табьщыз.
Жауабы:
27. Көлбеу жазықтықпен 45° бұрыш жасайды. Көлбеудің табаны
арқьшы көлбеудің проекциясымен 45° бурыш жасайтын жазықгықга түзу
ж^фгізілген. Осы түзу мен көлбеу арасындағы бүрышты табыңыз.
Жауабы: 60°
419
www.nismath.org
28. Төртбурышты пирамиданың барлық қырлары өзара тең. Бүйір
қыры мен пирамида табаныньщ жазықгығы арасындағы бұрыпіты
анықтаңыз.
Жауабы; 45*^.
29. Тең бүйірлі трапвцияның табавдары 10 және 34, ал биіктігі 32., Трапецияның биіктігімен 60° бурыш жасайтындай үлкен табан
арқылы а жазыктығы жүргізілген. Трапецияның бүйір қабыртасьшын а
жазықгығындағы проекциясын анықгаңыз.
Жауабы: 20.
30. Ромб
жазыктығымеы
60°
жасайтындай
ромбының
жазыкіығынан тыс жатқан К нүктесі арқылы ромб қабырғаларына
перпендикуляр болатындай көлбеулер жүргізілген. Ромб диагональдары
15 жэне 20. К нүктесінен ромб жазықтыгана дейіші қашықтықты
табыңыз.
Жауабы; 6у/ з .
31. Жазықтықтан тыс жатқан нүктеден осы жазықгыққа
перпендикуляр мен екі көлбеу жүргізілген, олардың біреуі жазықшқпен
30°, ал екіншісі - 60° б^ышты жасайды. Жазықгықтағы осы
көлбеулердін проекдияларының үзьшдықгарының қосындысы 8.
Көлбеулердіц үзындығын анықтаңыз.
Жауабы: 4; 4л/3 .
32. Efd жақты бүрьпитың бір жэтында екінші жагымен 30° бүрыш
және екі жақш бүрыштың қырымен 45° бұрыш жасайтын түзу
жүргізілген. Екі жақгы бурыштын шамасын табьщыз.
Жауабы; 45°.
33. Тең бүйірлі тік бурышты үшбурыштың катеті берілген
жазыктықта жатыр, ал гипотенузасы онымен 30° бурыш жасайды. Осы
жазықтыкден үшбурыштың жазықтығы арасындэты бурышты табьщыз.
Жауабы: 45°.
34. Тік бүрышты екі жакты бурыштьщ қырындағы нүктеден
жақгарында екі түзу жүргізілген, олардың әрқайсысы қырмен 45° бүрыш
көлбеулеген. Осы түзулер арасындағы бурьппты табьщыз.
Жауабы; 60°.
420
www.nismath.org
35. ABC және ACD тең бүйірлі екі үшбурышіъщ ортақ табаны
АС қыры болатындай, екі жақгы бұрыш 60°, ал ВС қабырғасы мен
ACD жазыюъЕгының арасындағы бүрыш 45°. ВС = 6 болса, ABC
үшбүрышының ауданын табыңыз.
Жауабы: 12-72.
36. Үшбұрыштың қабырғалары 11; 13; 20. Үшбұрыш жазықтыгына
кіші бүрыштьщ төбесі арқылы перпендикуляр кесінді жүргізілген, ал
оның жоғарғы үшьгаан осы бүрышка қарсы жатқан қабырғгига
үшбурыштың жазықтығымен 60° бурыш жасайтындай перпендикуляр
тусірілген. Үшбұрьпп жазьпсгығыиа жүргізілген перпендикулярдың
узындығын табыңыз.
Жауабы; u S ■
37. АВ кесіндісінің уштары тік бурышты екі жақты бурыштың
жақгарында жатыр. A жэне В нүктелерінен екі жақты бүрыштын
қырына АС жэне BD перпендикулярлары түсірілген. Егер АВ = 7 ,
DC = 3, АС = 2 болса, BD -ны табьщыз.
Жауабы; 6.
38. Екі жақты бұрьпптың ішінде жатқан К нүктесінен осы
бұрыштың В5.ірына КМ перпендикуляры тусірілген. К нүктесінен
жақтардың
біріне
дейінгі
қашықтык
осы
жақтағы
КМ
перпендикулярының проекциясына тең. К М кесіндісі оның екінші
жағындағы проекциясынан екі есе артьщ. Екі жақгы бұрыппың шамасын
анықтаңыз.
Жауабы; 105°.
39. ABC (ZC = 90°) тік бұрышты үшбурышының A төбесі
арқылы ВС түзуіне параллель а жазықтығы жургізілоген. АС катеті мен
оньщ а жазықтығындағы проекциясы арасындағы бурыш 60° . АС = 10,
ВС = 8. а жазықтығындағы ABC үшбұрышының провкциясының
периметрін есептеңіз.
Жауабы; 13 + л/89.
40. Тік бурышты үшбүрыштың катетгері 7 жэне 24 тең. Тік
бурыштың төбесінен гипотенуза арқылы өтетін және үшбурыпггың
жазықтығымен 30° бұрыш жасайтын жазықтыққа дейінгі қашықтықты
табьщыз.
Жауабы; З ^ .
421
www.nismath.org
§ 2. КӨПЖАҚТАР
1-^ то б ы .« П р я зм а . . паіраллеледидед.
баІ^4ныстьес#п‘і‘ёр^аи^шіцЬ: '
куб»
’
тақырьгі^год
'
Ш
1. Дұрыс төртбұрышты призманың табанының ауданы 144, ал
биіктігі 14-ке тең. Осы призманың диагоналін анықтаңыз.
Жауабы; 22.
г
2. Тік призманың табаны гипотенузасы S\fl -ге тең, тең бүйірлі
тік бұрышты үшбұрыш. Катет арқылы өтетін бүйір жағының диагоналі
10-ға тең. Призманың көлемін табыңыз.
Жауабы: 192.
3. Дұрыс төртбүрышты призманың бүйір бетінің ауданы 32, ал
толық бетінің ауданы 40. Биіктікті табыңыз.
Жауабы: 4.
4. Дүрыс төртбұрышты призманьщ көлемі 60, зл бүйір бетінің
ауданы 120. Төменгі табанының симметрия ценірінен жоғарғы
табаныньщ төбесіне дейінгі қашықгықты табыңыз.
Жауабы: л/227 .
5. Үшбұрышты көлбеу призманыя бүйір қабыргалары арасындағы
қашыкгык 10; 17 жэне 21, ал бүйір қабырғасы 18. Призманьщ көлемін
табьщыз.
Жауабы: 1512.
6. Тік призманың табаны, төбесіндегі бүрышы 120°-қа тең
бүйірлі үшбүрыш. Осы бұрышқа қарама-қарсы жағыньщ диагоналінің
үзындығы 6 және табан жазьактығымен 60° бұрьпп жасайды. Призманьщ
көлемін табыңыз.
Жауабы: 6,75.
7. Тік призманьщ табаны сүйір бұрышы 60° -қа тең ромб,
ромбының кіші диагоналі мен призманьщ кіші диагоналі арасындағы
бүрыш та 60°-қа тең. Егер ромбының кіші диагоналі 6-ға тең болса,
призманьщ көлемін табыңыз.
Жауабы: 324.
422
www.nismath.org
8. Тік призманың табаны тең бүйірлі тік бұрышты үшбурыш. Тік
б^ыш қа қарама—карсы жақтың диагоналі 4-ке тең және табаи
жазьпоығЕшен 30'’ б ^ы ш жасайды. Призманьщ көлемін табьщыз.
Жауабы: 6.
9. Тік призманың табаны - катеті 3 болатын және оған іргелес
б^ы ш ы 60° тік б^ышты үшбұрыш. Үшбұрыштьщ гапотенузасы жатқан
бүйір жағының диагоналі 10-ға тең. Призманьщ көлемін табыңыз.
Жауабы: 36л/3 .
10. Тік параллелепипедтің табанының қабыіжалары 8 және 4, ал
арасындағы бурыш 60°. Параллелешшедгің кіші диагоналі S-Jb • Осы
диагональ табан жазьпсгығымен қандай б^ы ш жасайды?
Жауабы: 60°.
11. Тік параллелепипедгің табаныньщ қабырғалары 3 және 5, ал
арасьшдэты бурьші 60°, бүйір қабырғасы 7л/2 . Параллелешшедгің үлкен
диагоналі табан жазықтығымен қандай бүрыш жасайды?
Жауабы: arctg ' J l .
12. Тік бұрышты параллелепипедгің бір төбесінен шығатын үш
қабырғасьгның оргалары арқылы өтетін жазықтыкден қиғанда көлемі 6
болатын пирамида пайда болады. Параллелепипедтің көлемін табыңыз.
Жауабы: 288.
13. Тік параллелепипедтің бүйір қабырғасы 10-ға тең. Табанының
үлкен диагоналі 9 жэне сол табанының 7-ге тең үлкен қабыін-асымен
синусы
б е т ін ің
4уІ5
болатьгадай бүрыш жасайды. Параллелепипедтің бүшр
а у д а н ы н та б Ы ң ы з.
Жауабы: 220.
14. Көлбеу параллелешшедтін табаны сүйір бүрышы 30° және
4
қабырғасы 5-ке тең ромб. Бүйір қабырғасы -у= тең жэне 60° бүрышында
v3
табанның жазықтығьша көлбеулеген. Параллелепипедтің көлемія
табыңыз.
Жауабы: 25.
423
www.nismath.org
15. Тік параллелепипедтің табанының қабырғалары 6 жэне 10,
табанының бұрыштарының бірі 60°, піфаллелепипедтің кіші диагоналі
табан жазықгығымен 30° б ^ы ш жасайды. Паралпелвпипедтщ көлемін
табыңыз.
Жауабы; бОлЛ?.
16. Тік параллелепипедтщ эрбір қырының ұзындығы 6, оның
табаньгаың б^ыщтарының бірі 30°. Параллелешшедтің көлемін
табыныз.
Жауабы: 108.
17. Тік параллелепшіедтің табандарының қабыртал^ы 6 және 8, ал
параллелепипедтің диагональдары табандарымен 45° және 30° бұрьпіі
көлбеулеген. Осы диагональдардың ұзывдықгарын табыщіз.
Жауабы: 10; 10л/2.
18. Тік параллелепипедтің табанының қабьфғалары 2 және 7, ал
табанынын бұрыпггарының бірі 60°. Параллелепипедтің кіпгі дііагоналі 8.
Параллелепипедгің бүйір бетінің аудаяын табыңыз.
Жауабы; 90.
19. Кз^тъщ диагональ қимасының ауданы 8-\/2. Кубтьщ толық
бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы; 4 8 .
20. Кубтың көлемі 16^2. Кубтың жағына сырттай сызылған
шеңбердің радиусын табыңыз.
Жауабы: 2 .
21.
Кубтың қыры а. Кубтың табан
диагоналінің арасындағы көлбеулік б^ЕЛііын табыңыз.
жазықтығымен
куб
. >/з .
Жауабы: arcsm—
22. Кубтың бетінің ауданы 54. Оның диагоналін табыңыз.
Жауабы: 3^^.
424
www.nismath.org
в
23. Берілген тік бұрьппты призманың барлық қырларының
ұзыцдықтары бірдей. Призманың толық бетінің ауданы 12+24л/з.
Призманың табаныньщ аудаішн табыңыз.
Жауабы: 6.
24. Үшбурьпыты тік прюманың табандарының қабырғалары 13; 14
жэне 15, ал буйір қабырғасы табаныньщ биіктігінің узьшдығы бойынша
орташасьша тең. Призманың көлемін табыңыз.
Жауабы; 1 008.
25. Тік призманың табанындағы ромбтың қабырғасы 12 және сүйір
бұрышы 60°. Ромбының кіші диагоналі арқылы перпендикуляр қима
жүргізшген және оның ауданы 180. Осы призманың көлемін аньщтаңыз.
Жауабы: lOSO-Jb.
26. Үшбурьшпы тік призманың табавьшың ауданы 4, ал бүйір
жакгарынын аудандары 9; 10; 17. Призманың көлемін табыңыз.
Жауабы: 12.
27. Тік призманың табаны ABCD : АВ = CD = 12, .SC = 11,
A D =21 тең бүйірлі трапециясы. Оньщ диагональ қимасьшың ауданы
180. Призманың толық бетінің ауданьш есептеңіз.
Жауабы: 906.
28. Тік призманың табаны қабырғасы 5-ке тең дұрыс үшбұрьші.
Төменгі табанының қабырғасьгаың ортасы арқылы жэне оған қарсы
жоғарғы табанының төбесі арқылы өтетін жазықтық табан жазықтығымен
45° бұрыш жасап көлбеулеген. Призманың көлемін табыцыз.
Жауабы: 46,875.
29. Үшбұрышты тік призманың табанының қабырғалары 10; 13; 13.
Үзындыгы ІО^а тең осы бүйір қырына қарсы жатқан қырдық ортасы мен
төменгі табанының кіші қабырғасы арқылы өтетін жазықтықпен
қиғандағы призманың қимасының ауданьш табыңыз.
Жауабы: 65.
30. Диагоналі 14, бүйір жағының диагоналі 10-ға тең дұрыс
төртбұрьпшы призманың толық бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: 32л/б(л/б + і).
425
www.nismath.org
31. Тік параллелепипедтің табаны ауданы 3-ке тең ромб, ал
диагональ қималарының аудавдары 3 және 2-ге тең. Көлемін табыңыз.
Жауабы; 3.
32. Тік б^рышты параллелепипвдтің табанының қабыргаларының
қатьшасы 2; 3 қатывасыңдай, ал диагональ қимасьгаың ауданы 169-ға твң
квадрат. Параллелеішпедгің көлемін табьіңыз.
Жауабы; 1 014.
33. Тік призманың табаны қабы}н-алары 9; 19 және 20 болатын
үшбұрыш. Жоғарғы табанының үлкен бүрьшшның төбесінен төменгі
табанының қарама-қарсы қабырғасына двйінгі қашықтыққа тең кесіндінің
табан жазықгығымвн көлбеулік бүрышь] 30°. Призманың көлемін
табыңыз.
Жауабы; 240^/з.
34. Тік бурышгы параллелепипедтің төменгі табанының диагоналі
және оған қарама-қарсы жоғарғы табанының төбесі арқылы жазыкгық
жүргізілген. Пайда болған қима ауданы 20-ға тең үшбұрыш, ^т қабырғасы
4л/2 -ге тең квадрат параллелеішпедтің табаны. Параллелепипедтің
көлемін анықгаңыз.
Жауабы; 96.
35. Диагоналі мен бүйір жағының арасындэтъі бүрыш 30°, ал
табаны қабырғасы 2^2 -ге тең квадрат болатын тік бурышты
параллелепипедтің көлемін табыңыз.
Жауабы; 32.
Fa
36. Жақтарының диагональдарының үзындықтары 11; 19 және 20тең тік бүрьшіты параллелепипедтің диагоналін табыңыз.
Жауабы; 21.
37. Тік параллелепипедтің табаны-периметрі 40-қа тең ромб.
Параллелепипедгің бүйір қабырғасы 9, ал оның диагональдарының бірі
15. Параллелепипедтің көлемін табыңыз.
Жауабы; 864.
38. Тік бүрышты параллелепипедтің центрінен оның қырларына
дейінгі қашықтықгары лЛЗ; 2 -S және 5. Параллелепипедтің көлемін
табыңыз.
Жауабы: 192.
426
www.nismath.org
39. Қыры а-ға тең кубтың жоғарғы табаныньвд цешрі, төменгі
табанының қабырғаларыньщ орталарьшен қосылған жэне орталары бірбірімен тізбектеліп қосылған. Пайда бош-ан шірамиданын толық бетінін
ауданын есептеңіз.
Жауабы; 2 а ^ .
40. Табан жазықтығы мен қима жазықгығы арасындағы бұрыштың
шамасы 30°, ал кубтын қырының ұзьшдығы 5-ке тең болатындай,
жоғарғы табанының кабырғасы арқылы өтетін жазықтықгықпен
киғандағы кубгаң қимасьшың ауданын табыңыз.
й
50л/з
Жауабы: ------ .
Іа. 1ЙИЫК пнрамяяі__
1. Дұрыс төртбұрышты пирамиданьщ биіктігі 6, ал апофема 6,5-ға
тең. Осы пирамиданьщ табаныньвд периметрін табьщыз.
Жауабы: 20.
2. Дурыс пирамиданың бүйір бетіігің аудаиы 24, ал табаньпшң
ауданы 12-ге тең. Бүйір жақгары табанымен қандай бүрьші жасап
көлбеулеген?
Жауабы; 60°.
3. Дүрыс төртбұрыіпты пирамиданың көлемі 48, ал биіктігі 4-ке
тең. Пирамиданың бүйір бетінін ауданын табыңыз.
Жауабы: 60.
4. Пирамиданьщ биіктігі 16. Табанының ауданы 512-ге тең.
Ауданы 50 болатын табанына параллель қима табанынан қандай
қашықтықга болады?
Жауабы: II.
5. Пирамиданьщ табан диагоналі 6-ға тең квадрат. Бір бүйір қыры
табанына перпендикуіюр. Үжен бүйір қырымен табаньвдын арасындағы
көлбеулік бүрышы 45°. Пирамиданың көлемі қаншаіа тең?
Жауабы; 36.
427
www.nismath.org
6.
Үшбұрышты
пирамиданың
екі
бүйір
жағы
өзара
пqJпeндикyляp. Осы жақтардың аудандары Р жэне Q , ал олардың ортақ
қабырғасының ұзьшдығы а . Пирамиданың көлемін аныктаңыз.
Жауабы:
2PQ
Ъа
7. Пирамиданың табаны қабырғалары 4 және бнға тең тік
төртбұрыш. Бүйір қырларының әрқайсысы 7-ге тең. Пирамиданың
көлемін табыңыа.
Жауабы: 48.
8. Пирамиданың табанына параллель қимасының жазықтығы
пирамида биіктігін 1:1 қатынасында бөледі. Егер табанның ауданы 60-қа
тең болса, қиманын ауданын табыңыз.
Жауабы; 15.
9. Үшбұрышты пирамиданың бүйір кабырғалары өзара
перпендикуляр, эрбір қыры 3-ке тең. Пирамиданың көлемін табыңыз.
Жауабы; 4,5.
10. Дурыс төртбұрышты пирамиданың кө.демі 20-ка тең, ал оның
биіктігі 1-ге тен. Пирамиданың апофемасының узьгадығын табыңыз.
Жауабы; 4.
11. Д¥рыс үшбурышты пирамиданың биіктігі табаныныц
қабырғасынан екі есе кіші. Пирамиданың бүйір жағы мен табан
жазықтығы арасьшдағы бұрышты табыңыз.
Жауабы; 60°.
N
12. Барлық бүйір қырлары табан жазықтығьгаа 45° бұрьші жасап
көлбеулеген болса, ал табанының медианасы 6л/3 -ке тең болса, дұрыс
үшбұрышты гшрамиданың көлемін табыңыз.
Жауабы; 144.
13. Дүрыс үшбұрьшіты пирамиданық табанының биіктігі 3-ке тең,
ал бүйір қыры пирамиданың биіктігімен 30° бұрыш жасайды.
Пирамиданьщ көлемін табыңыз.
Жауабы; 6.
428
www.nismath.org
14. Бяіктігі 10л^-ке тең, ал табанының қабырғасы іфіры
болатындай екі жақіы бұрышы 45° -қа тең. Дұрыс үшбұрышты
пирамиданыц табанының ауданын табьщыз.
Жауабы: 900.
15. Үшбұрышты пирамиданың барлық бүйір қырлары табанының
жазықтығымен 45° бүрыш жасайды. Егер оның табанының қабырғалары
20; 21 жэне 29-ға тең болса, ішрамиданың биікгігін табыңыз.
Жауабы: 6.
16. Пирамиданың табаны қабырғалары 7; 10 және 13 болатын
үшбұрыш. Пирамиданың биіктігі 4. Еғер барлык бүйір қырл^ы
табанының жазықтығына бірдей көлбеулеген болса, пирамида табанының
екі жақты бурышының шамасын табыңыз.
Жауабы: 60°.
17. Пирамвданың табаны табандарьшьщ үзындықтары 16 және 4
болатын тең бүйірлі трапеция. Оның эрбір бүйір жағы табанымен 60°
бүрыш жасайтын болса, пирамиданың биіктігін табыңыз.
Жауабы: 4>/з.
18. Табанына параллель жазықіықпен қиғандағы пирамиданьщ
қимасы, шірамиданыц биіктігін төбесінен бастап 2:3 қатьшасында
бөледі. Пирамиданың табаньпшң ауданы 360-ка тен. Оның қимасының
ауданын табыңыз.
Жауабы: 57,6.
19. Пирамиданьщ табаны қабырғалары 5; 5 және 6 болатын
үшбүрыш. ІІирамиданын биіктігі, осы үшбұрышқа іші-ей сызылған
дөщ^лектің центрі арқылы өтеді және 2-ге тен. Пирамиданың бүйір
бетінің ауданьш табыңыз.
Жауабы: 20.
20. Үшбүрышты пирамиданын төбесінін жазық бұрыштары тік, ал
пирамиданын бүйір қырлары 5; 6; 7-ге тең. Пирамиданын көлемін
табыңыз.
Жауабы: 35.
21. Дүрыс төртбүрьшіты қиык пирамиданын табандарьшьщ
қабырғалары 4 және 6-ға тең. Бүйір қыры үлкен табанмен 45° -қа тен
бүрыш жасайтын болса, диагональ қиманын ауданын табыңыз.
Жауабы: 10.
429
www.nismath.org
22. Табандарының қабырғалары 14 және 10-га тең, ал диагоналі 18'
ге тең болатын, дұрыс төртбұрышты қиық пирамиданың биіктігін
табыңыз.
Жауабы; 6.
23. Қиық ішрамиданың табандары қабырғапары 2 және бнға тен
д ^ ы с үшбурыштар. Көлемі 52>/3 -ке тен болса, осы пирамиданын
биіктігін анықтаңыз.
Жауабы; 12.
В
24. Пирамиданьщ табаны қабырғасы 14 және сүйір бұрышы 60°
болатын ромб. Пирамиданьв{ табаныньщ екі жақгы б^ыштары 45°.
Пирамиданьщ көлемін есеігғеңіз.
Жауабы; 343.
25. Дй5ыс төртбурышты пирамиданың табанының ауданы 36, ал
оньщ бүйір бетінің ауданы 60. Пираьгаданың көлемін табьщыз.
Жауабы: 48.
26. Пирамиданьщ табаны қабырғатары 13; 14 жэне 15 болатын
үшбұрыш. Б\тһр жақтарыньщ барлық биіктіктері 14-ке тең болса,
пирамиданың биіктігін табыңыз.
Жауабы; 6^/5 .
27. Биіктікті 3:2 қатынасында бөлетін табаньша параллель
жазықгық пирамиданьщ көлемін қандай қатьшаста бөледі?
Жауабы; 27:98.
28. Пирамиданын табаны қабырғасы 6 және сүйір бұрышы 30° -қа
тең ромб. Егер табанының әрбір екі жақіы бұрышы 60°-қа тең болса,
пирамиданың толық бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы; 54.
29. ҒАВС үшбұрышты пирамиданың табаны қзбырғасы -Ji -ке
тең, ҒА —^/з, ABC дүрыс ұшбұрыш. Пирамиданын бүйір жактарынын
аудандары тең. Пирамиданын көлемін табыңыз.
Жаүабы:
4
.
430
www.nismath.org
30. Дұрыс үіибұрьшпы; пирамиданьод 6-ға тең бүйір щ ры оның
табанымен 30° бүрыш жасап көлбеулеген. Пщіамиданьщ көлемін
табьщыз.
Жауабы;
4
31. Дұрыс үшбұрышты пирамиданың биіктігі 2~Jb -ке теқ, ал бүйір
жағы табан жазықтығымвн 60° бүрыш жасайды. Пярамиданьщ көлвмің
табыңыз.
Жауабы: 24.
32. Қырлары a -ға тең дұрыс тетраэдрдщ көлемін табыңыз.
Жауабы;
л/2а^
12
33. /Іұрыс үшбүрышты пирамиданың төбееінің жазық бүрышы
90°-қа тең. Пирамиданың бүйір бетінің ауданы 192^ге тең. Пирамиданың
бүйір жағына сырттай салынған шедбердіңрадиусын табыңыз.
Жауабы; 8.
34. Дүрыс үшбүрышты пирамиданыд табан жазықгьоы мен бүйір
жағының арасындага бүрыш 45°. Пирамиданың көяемі j - r e тең.
Пирамиданьщ табанының қабырғасьш табыңыз.
Жауабы; 2.
35. Пирамидаиың табаны диагональдары 6 және 8 болатын ромб.
Пирамнданын биіктігі ромб диағональдарының қиылысу нүктесі арқылы
өтеді жэне 1-ге тең. Пирамиданыд бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы; 26.
36. Төртбүрышты пирамиданыд барлык бүйір қырлары табан
жазықтығына 60° бүрыш жасап көлбеулеген. Оның табаны үлкен
бүрышы 120° -қа тед тед бүйірлі трапеция. Трапеіщядың диагоналі оның
сүйір бұрьшіьаныд биссектрисасы. Пирамиданыд биіктігі
.
Трапецияның үлкен табанын табыдыз.
Жауабы; 8.
37. Табан жазықгығымен бүйір қырыныд арасындағы бұрыш
Of = 30° және диагональ қішасьгаыц ауданы S = ^ 3 болатыи дүрыс
төртбүрышты пирамиданыд көлемін анықгаңыз.
Жауабы; 2.
431
www.nismath.org
38. Пирамиданың табаны қабырғасы Vl5 -ке тең дұрыс үшбұрыш.
Бүйір қырларының бірі табанына перпендикуляр, ал қалған екеуі табан
жазықтығьгмен 60° бұрыш жасап көлбеулеген. Пирамиданын үлкен бүйір
жағьпшң ауданын табыңыз.
Жауабы: 3,75.
39. ГГирамиданың табаны ауданы 81-ге тең тік төртбүрыш. Екі
бүйір жағы табан жазықгығына перпендикуляр, ал қалған екеуі онымен
30° жэне 60° бұрыш жасайды. ІЪфамиданың көлемін табыңыз.
Жауабы: 243.
40. Табандары 10 жэне 20 болатын тең бүйірлі трапеция
пирамиданын табаны болатьш, ал бүйір жақтары табан жазьпсгығымен
60° -қа тең екі жақты бүрыштарды жасайтындай пирамиданьщ көлемін
табыңыз.
Жауабы: 500>/з .
41. Пирамиданьщ табаны гипотенузасы с -ғз тен тік бұрьппты тең
бүйірлі үшбүрыш. Пирамиданын эр кыры табан жазықтығымен 45°
бүрыш жасап көлбеулеген. Пирамиданьщ толык бетінін ауданын табьщыз.
Жауабы; ^ ^ 2 + л/з|.
42. Дұрыс үшбүрыпіты пирамиданын табаньгаьщ қабырғасы а-ға
тен. Пирамиданьщ бүйір жағымен биіктігі арасындағы бүрыштың шамасы
30°. Пирамиданын толык бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: -------- .
4
43. Дүрыс төртбұрышты пирамиданын биікіігі мен онын бүйір
қырьпшн арасындаіъі бүрыш 60°. Оның биіктігі 10-ға тең болса,
пирамиданын толық бетінін ауданын табыңыз.
Жауабы: 200(з+^Т?).
44.
Пирамиданын табаны үлкен диагоналі 12 жэне сүйір бүрыпіы
60° болатын ромб. Пирамида табанынын барлык екі жақты бұрыпггары
45° -ка тен. Пирамиданьщ көлемін табыңыз.
Жауабы; 24у/3.
432
www.nismath.org
45. Дүрыс қиық пярамиданың табандары қабырғалары а жэне Ь
(йг> й) болатын квадратгар. Буйір хіфлары та
ж ^ыкавъгаа а
бұрыш жаеап көлбеулетөн. Табандгфының кдбыргаларының екі жақты
бұрыштарының шамадарын аиыктаныз.
Жауабы: arc tg(%/2 tg a ).
46. Үшбұрышты қиык пирамиданың биіктігі tO-ға тең. Бір
табанының қабырғалары 27; 29 жэне 52, ал басқа табанының периметрі
72-ге тең. Қиық ішрамиданьщ көлемін аныкгаңыз.
Жауабы: 1900.
47. Қиық пирамкданың табандары сүйір бурышы 60° болатын тік
бұрыштьт үшбұрыштар. Осы үшбұрыштардың гипотенузалары 6 және 4ке тең. Пирамиданың биіктігі -Jb . Қиық шірамиданың көлемін табыңыз.
Жауабы: 9,5.
48. Дұрыс төртб^ышты қиық пирамиданың табавдарьгаың
қабырғалары 4 жэне
-ке тең; бүйір жағы табан жазыкгығына 60°
бұрыш жасап көлбеулеген. Пирамидаыыңтолықбвтінщ ауданын табыңыз.
Жауабы: 128.
49. Дұрыс төртбұрышты қиык пирамидаыың табавдарының
қабырғаларының катынасы 3:2 қатынасындай. Нирамңцаның биіктігі 3ке тең. Бүйір қыры табаи жазықтығымен 60° бұрыш жасайды.
Пирамиданыц квлемін табыцыз,
50. Дұрыс төртбұрыппы қиық ішрамиданьщ бүйір қыры л^-кетең
жәые табан жазықтыгьгаа 60° бурыш жасап көлбеулеген. Пирамвданыц
диагоналі бүйір қырына перпендикуляр. Пирамиданың қіші табавының
ауданын табыңыз.
Жауабы: 1,5.
433
www.nismath.org
§3. АЙНАЛУ Д Е Н Е С І
1 - тоб^. ' «Йвідинар»: '^"тіікьгоыбына -^^^^^
шешідізі', ■:
. '■ :'; ■
есептерді
Д
A
1. Цилиндрдің жазбасы
Цилиндрдің көлемі қанш^а тең?
Жауабы: 2.
қабырғасы
2 І / я -те тең
квадрат.
t
2. Цилиндрдің жазбасы диагоналі 8-ге тең жэне табанымен 30°
бұрыш жасайтын тік төртбұрыш. Цидиндрдің көлемін табыңыз.
4^
Жауабы:
к
3. Цилиндрдің осьтік қимасьгаың диагональдары 90° бұрыш
жасап қиылысады. Бүйір бетінің ауданы 4л--ге теч болса, цилиндрдің
биіктігін табыңыз.
Жауабы: 2.
4. Цилиндрдің осінс параллель қимасы табанындағы шсңберден
60°-тық доғаны қиып түседі. Цилігадрдің биіктігі һ , ал табаныыьгң
радиусы г -ге тең болса, қиманың ауданын табыңыз.
Жауабы: h r .
5. Цилиндрдің биіктігі 5-ке тең, осьтік қимаиын диагоналі табан
жазықтығымен 45° бурыш жасайды. Цилиндрдің толық бетінің ауданын
табыңыз.
Жауабы: 37,5 тс .
6. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданының, оның осьтік қимасьшың
ауданына қатынасын табыңыз.
Жауабы: л .
7. Цилиндрдің осьтік қимасы - ауданы 100-ге тең квадрат.
Цшіиндрдің табанының ауданын анықтаңыз.
Жауабы: 25^г.
8. Цилиндрдің биіктігі 6-ға тец, ал табанының радиусы 5-ке тең.
Одан қашықтығы 4-ке тең цилиндрдің осіне параллель жүргізілген
киманың ауданын табыңыз.
Жауабы; 36.
434
www.nismath.org
9. Цилиндр табаньшБщ ідиаметрі Ш-ға тең. Цидиндрдің осінен
қашыктыіы 3-ке тең цилиндрдің осіне параллель квадрат піішнді қима
жүргізілген. Осы қиманңң аудаңын табыңыз.
Жауабы; 64.
1 0 . Цилиндрдің табанының радиусы төрт есе үлкейтіліп, ал биіктігі
сонша есе кішірейтілді. Цилиндрдің көлемі қалай өзгереді?
Жауабы; 4 есе көбейеді.
11. Цилиндрдің табаныньщ радиусы биіктігінен 3 есе кіші, ал
толық бетінщ ауданы 288яг-ге тен. Цилиндрдің өлшемдерін табыңыз.
Жауабы; г - 6 , А= 18.
1 2 . Цилиндрдің осьтік қимасыньщ ауданы 6>/^ -ге тең, ал
цияиидрдің табаньгаьің ауданы 25-ке тең. Цйлиндрдің биіктігія табыңыз.
Жауабы: 0,6^*.
1 3 . Цилиндрдің
осыік кимасынБЩ диагоналі табанының
диаметрінен 25% артық. Табандарының центрл^)інін ара қашықтыіы 18ге Тең болсЗі цилиндрдін толык бетінің аудайын табыдыз.
Жауабы; 720я".
Цилиндрдің осінен қаюықтығы а -ға тең және оған параллель
жазықгық табаньгадағы шеңберден 120° -тық доғаны қиып туседі. Пайда
болған қиманың диагоналі Аа -ға тең. Цилиндрдің көлемія табыңыз.
Жауабы:
.
14.
1 5 . Цилиндрдің осіне параллель жазықгық одан 15-ке тең
кашықтықта. Пайда болған қиманыд диагоналі 20, ал цилиндрдін
табанының радиусы 17-ге тең. Цилиндрдщ көлемін табыңыз.
Жауабы; 3 468я’.
Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы S ,
шеңбердін узьшдьп'ы С -га. тең. Көлемді табыңыз.
CS
Жауабы: -— .
16.
ал табанындағы
An
1 7 . Цилиндрдід биіктігі табанындағы шеңбердің ұзьшдығына тең.
Цилиндрдің көлемі 432лг^-қа тең болса, табанының диаметрін табыңыз.
Жауабы: 12.
435
www.nismath.org
18. Үштары цилиндрдің табавдарының эртүрлі шеңберлерінде
жатқан АВ кесіндісі, цилиндрдің осін 30° бщ)ыш жасап қиып өтеді. АВ
кесіндісінің ұзындығы 4^/з -ке тең болса. цилиндрдің көлемін табыңыз.
Жауабы: 18 д .
19. Биіктігін 4-ке арттырса, көлемі Збя'-ге артатандығы белгілі
болса, биіктігі 5-ке тең цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы; ЗО/г.
20. Циюиндрдің осьтік қимасы - квадрат, ал диагоналінің
ұзындығы 20-ға тең. Цилиңцрдің табанының радиусын табыңыз.
Жауабы; 5 'J l.
21. Тік циличцрдің осьтік қимасының ауданы 24-ке тең. Оның
б^-йір бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: 24я .
22. Цилиндрдің табанының ауданының осьтік қимавьщ ауданына
қатынасы тг: 4 қатъшасындай. Осьіік қвманың диагональдары
арасындағы бұрышты анықтаңыз.
Жауабы; 90°.
23. Қабырғасы 2-ге тең квадратгы цилиндр пішініне келтіріп
орады. Осы цилиндрдің табаньшың ауданын табыңыз.
Жауабы;
1
я
В
9тг
24. Цилиндрдің көлемі — , ал жасаупіысының ұзындығы 1-ге тең,
4
цилиндрдің осіне параллель жэне одан у/і қашьпсдықга болатын қиманьш
ауданын табыңыз.
Жауабы: 1.
25. Періщетрі 24-ке тец жэне диагоналъдары арасындағы бұрыш
60° тік төргбұрыштың бір қабырғасына қатысты айналдырғанда пайда
болған цилішдрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы; 144л л /з
.
436
www.nismath.org
26. Ңилиндрдің бяіктігі бныіу радщ?сынан 2-ге кем. Цидиндрдің
бүйір бетінің ауданы ІбОя^-ге
а;р^нын табыңш;^
Жауабы: 160.
Цидиндрдін осыік қимасының
27. Төменгі табаныныц 4^14 -ке тең хордасы, төмеввғі табаиының
ңешрінея қашықгығы 5, ал ж о ғар т табаныныццентршен қашыкшғы 13ке тең. Цилинщ)дщ көлемін табыңыз.
Жауабы: 9 1 2 л .
28. Цилиндр жасаушысы арқылы өзара перпендикуляр аудандары
16 және 30-ға тең екі қима жұргізілген. Цилшщ>дің бүйір бетінщ ауданын
табыңыз.
Жауабы: 34яг.
29. Екі цишвдрдің көлемдері бірдей. Осы цилиңфлардьщ
биіктіктерінің ^ыңдықгарының қатынасы 4 :9 қатынасыңдай. Осы
цилиндрлердің бүйір беттерінің аудандарыньщ к^тынасын табьо^із.
Жауабы: 2 :3 .
30. Ц и л и н д р д ің бүйір жағының жазбасы диаговалі AC= S
болатын ABCD тік тнртбұрышы. Диагональд^іщың ар^ьіндағы бұрыш
30“-қа тең болса, щшшдрдің бұйір бетінің ауданың табыңыз.
Жауабы: 16.
31. АВ кесіндісі ІЗ^ке тең, .4 және 5 ңүктел^і дилиңгфдің
әртүрлі табандарыньщ шеңберлерінде жатыр. Егер оның биіктііі 5, ал
табанының радиусы 10 болса, АВ кесіндісінен цилиндрдің осіне дейінгі
қашықгьпсгы табыңыз.
Жауабы; 8.
32. Т^илиндр жасаушысы арқылы өзара перпендикуляр аудандары
45 жэне 200-ге тең екі қима жүргізілген. Осьтік қиманьщ ауданьш
табыңыз.
Жауабы: 205.
33. Ңилиндрдің осьтік қимасьшың ауданы 212-ге тең. Цилиндр
жасаушысы арқылы өзара перпендикуляр екі қима жүргізілген, олардың
аудандарьшың қатынасы 2 8 :4 5 қатьшасындай. Осы қималардың
аудандарын табыңыз.
Жауабы; 112; 180.
437
www.nismath.org
34. Цилиндр жасаушысы арқылы арасьшдағы бұрыш 60°
болатындай АВВуА^ және АСС^А^ қималары жүргізілген. Осы
қималардьщ аудандары 420 жэне 100-ге тең.
5CCjSj
қимасының
ауданьш есептеңіз.
Жауабы: 380.
35. Цилиндрдің биіктігі мен радиусы сэйкесінше 15 және 5-ке тең.
АВ=П кесіндісінің ұштары цилиндрдің табандарының шеңберлерінде
жатыр. Осы кесіндіден цилиндрдің осіне дейінгі қашықтыкты табыңыз.
Жауабы: 3.
36. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы оның толық бетінің
ауданының жартысын қурайды. Осьтік қиманың диагоналі d -гл тең,
цилиндрдің толық бетінің ауданын анықтаңыз.
Жауабы: 0,8
37. Цилиндрдің осьтік қимасының диагоналі цилиндрдің
радиусынав 5,2 есе артық. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы 120-ға тең.
Цилиндрдің толық бетінің ауданын есеіггеңіз.
Жауабы: 145.
38. Цшпшдрдің осьтік қимасының диагональдарының қиылысу
нүктесінен жасаушысы 60° бұрышында керінеді. Табаныньщ ауданы S .
Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.
«
45>/3
Жауабы: —-— .
39. Цилиндрдің бүйір бетінің жазбасы тік төртбұрыш. Оның
қабырғаларының бірі екіншісінеи екі есе артық. Цилиндрдің бүйір бетінің
ауданы 20. Цилиндрдің толық бетінің ауданын аныкгаңыз.
20(яч-і)
Жауабы; — ^ ^ .
п
40. Цилиндрдің биіктігі мен радиусы сэйкесінше 32 және 13-ке тең.
Төбелері цилиндрдің табандарының meH6q)nep^e жататындай, осы
цилиндрге тіх төртбұрыш іштей салынған. Тік төртбұрыштың
қабырғаларының қатынасы 1:4 қатынасындай, тік төртбұрыштың
ауданын анықтаңыз.
Жауабы; 400.
438
www.nismath.org
1. Конустың биіктігі 5-ке тең. Конусты оның төбесінен
қашықтығы 2-ге тең табанға параллель жазықгық қиып өтеді. Егер
кішісінің көлемі 24-ке тең болса, ұлкен конустың көлемі қаншаға тең?
Жауабы: 375.
2. Тік конустың биіктігі жасаушысынан 4 есе кіші, ал конустьщ
табанының радиусы З^Я5 . Конустың көлемін табықыз.
Жауабы; 135д.
3. Конустың жасаупгасы 10, ал биіктігі - 8-ге тең. Конустыд
көдеміи табьщыз.
Жауабы: 9 6 ^ .
4. Биіктігі 4-ке тең, ал осьтік қимасының төбесіндегі бурышы
90°. Конустың бүйір бетінің ауданын табыщ^.
Жауабы; 16-72 я .
5. Конустың осьтік қимасынын периметр! 24-ке тең, ал табан
жазықтығымен жасаушыньщ арасындағы бурыш 60°. Конустьщ толық
бетінің ауданьш табыңыз.
Жауабы; 48 я .
6. Осьтік қимасыньщ ауданы 32, ал биіктік пен жасаушысыньщ
арасындағы бұрыш 45°. Конустың толық бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: 3 2 я (і+ л /2 ).
7. Конустың көлемі 9■^^ я-ге тен. Осьтік қимасы тең қабырғалы
үшбұрыш болса, конустьщ бижгігін табьщыз.
Жауабы: Зу/З .
8. Конустың көлемі Ібя-ге тең, ал оның бішстігінің узындыгы 3ке тең. Конустьщ бүйір бетінін ауданын табыцыз.
Жауабы; 2 0 я .
439
www.nismath.org
9. Конустың бүйір бетінін ауданы 36л--ге тең, ал конустьщ
жасаушысы табанының радиусынан үш все артық. Конустьщ көлемін
анықтаңыз.
Жауабы: 16>/бл’.
10. Конустың жасаушысының биіктігіне қатынасы 12:13
қатьшасындай. Оның көлемі 800 ж -ге тең, конустың толық бетінің
ауданіш анықганыз.
Жауа'бы: 360ж.
11. Конустьщ осьтік қимасы бурышы 120°-қа тең жэне
қабырғалары 16-ға тең тең бүйірлі үшб:ң)ыш. Конустьщ толык бетінің
ауданьш табыңыз.
Жауабы: 64 ж^З+ 2^ ^ .
12. Конустьщ биіктігі 4, табанының радиусы 3, ал конустьщ буйір
бетін жазғанда пайда болған сектордың бұрышьщ табыңыз.
Жауабы; 216°.
13. Конустьщ биіктігі 15, ал көлемі 320ж-ге тең. Толық бетінің
ауданын анықтаныз.
Жауабы; 200ж .
14. Конустың биіктігінің жасаушысына қатынасы
3 5 : 37
қатынасындай. Конустың бүйір бетінің ауданы 444ж -ге тең, Осы
конустың көлемін табыңыз.
Жауабы: 1680 ж .
15. Конустың биіктігі 12-ге тең, осьтік қимасының периметрі 36-ға
тең. Конустың көлемін табыңыз.
Жауабы: 100 ж.
16. Конустың екі жасауіішсы арқылы жазықтық жүргізілген, ол
табанынан 120° доғаны кңып өтеді. Егер конустьщ табаныныц радиусы 4ке тең жэне қиманың жазықтығы табан жазықтығымен 45° бұрыш
жасайтын болса, конустьщ буйір бетінің ауданын анықтаңыз.
Жауабы: 8л/5ж.
440
www.nismath.org
17. Кон>’стың бүйір бетінің ауданы оның табаньіның ауданынан екі
есе артық. Конустың бүйір беіінің жазбасының бурышын табьщыз.
Жауабы; 180°.
18. Конустың жасаушысы мен биіктігі арасьшдағы бурьші 30°-ка
тең. Егер конустьщ жасаушысы 12 болса, конустьщ көдемін есептеңіз.
Жауабы; 72л/3 ж.
19. Дөңгелек сектордың радиусы 6, ал оның бурышы - 30°. Сектор
конустык бет болатындай оралған. Конустың табаныиың ауданын
табыңыз.
Жауабы: —.
4
20. Конустьщ табанының радиусы 12, жасаушысы - 40-қа тең.
Конустың жазбасының бұрышын табьщыз.
Жауабы: 108°.
21. Конустын, табанынын радиусы - ^ - к е тең. Конустьщ бүйір
бетінің ауданы
-ке тең болуы үшін, конустьщ жасаушысы мен табан
V3
жазыктығы арасындағы бүрыш қандай болуы қажет?
Жауабы: arc cos
.
22. Егер конустын табаныньщ радиусы 3, ал көлемі к болса,
конустьщ жасаушысы мен оньщ биіктігі арасьшдағы а бүрышьш
табыңыз.
Жауабы: arc tg 9.
23. Қиық конустын табандарынын радиустары 5 жэне
жасаушысы - 10-ға тең. Оньщ осьтік қимасының ауданын табыңыз.
Жауабы: 128.
И,
24. Табандарыпьін радиустары 3 Жэңе 5, ал жасаушысы 10 болса,
КИЫҚконустын ТОЛЫҚ бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: ІЫ я'.
441
www.nismath.org
25. Қиық конустың табандарының радиустары 1 жэне 9, ал
жасаушысы 10-ға тең. Көлемін табыңыз.
Жауабы: 182^-.
26. Табандары 13 жэне 18 болатын тік бұрышты трапецияяың
ұзындығы 12-ге тең кіші қабырғасына қатысты айналдырғанда пайда
болған қиық конустың толық бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: 896 л".
27. Қиық конустың жасаушысы 8-ге тең және табан жазықгығымен
60° бұрыш жасап көлбеулеген. Осьтік киманың диагоналі осы бұрышты
қақ бөледі. Қиык конустьщ толык бетінің ауданын табьщыз.
Жауабы; \1 Ь л .
28. Қиық конустьпі табандарьшың радиустарының қатынасы 5:3
қатьшасындай, жасаушысы 17, ал бігіктігі - 15-ке тен- Табандарының
радиустарын табыңыз.
Жауабы; 12; 20.
29. Қиық конустың табандарьшың радиустары 11 жэне 27-ге тең;
жасаушысының биіктікке қатьшасы 17; 15 қатынасындай. Осьтік
қиманың ауданын табыңыз.
Жауабы; 1 140,
30. Табандарыньш радиустары 3 жэне 1-ге тең, ал жасаушысы
төметл табанмен 60° бұрыш жасап көлбеулеген болса, қиық кон>'сіъщ
көлемін табыңыз.
26я^
Жауабы; —-=г-.
•S
31. Қиық конустың ось-гік қимасының орта сызығы 11, биіктігі - 8,
ал табандарының радиустарының айырмасы - 3-ке тен. Қиық конустын
көлемін табыңыз.
Жауабы; 248я’.
32. Қиык конустьщ осьтік қимасының диагоналі 17, биіктігі — 15
жэне табан жазықтығындағы проекциясы - 2-ге тең. Қиық конустың
көлемін табыңыз.
Жауабы; 245
442
www.nismath.org
в
33. Осьтік
қимасының
периметрі
ал
буйір
бетінің
жазбасьшын бұрышы 120° болса, конустын толық бетінің ауданын
анықтаңыз.
Жауабы: 256.
I 24
34. Конустың биіктігі Н ----- ге тен. Бүйір бетінің жазбасы центрлік
V ябұрышы 120° болатын сектор. Конустың көлемін есептеңіз.
Жауабы: 1.
35. Конустьщ табаньшың 120°-тық центрлік бурышьш керетін
хордасы 6\/3 -ке тең және конустьщ төбесінен оиьщ қашыктьвғы 5-ке тең.
Конустың көлемін табыңыз.
Жауабы: 48я^.
36. Конустьщ биіктігі 20, ал оның табанының радиусы 25.
Конустың табаныңың центрінен қашықгығы 12-ге тен болатьш конустьщ
төбесі арқылы жүргізшген қиманьш ауданын табыңыз.
Жауабы:. 500.
37. Конустьщ төбесі арқылы табаа жазықтығымен 45° бурыш
жасап, табанындағы шеңбердің төрттен бір бөлігін қиятын жазықгық
жүргізілген. Конусіъщ биіктігі 2-ге тең. Қиманың ауданын табыңыз.
Жауабы: 4^/2.
38. Конустын биіктігі 6, ал бүйір бетінің ауданы 24 я". Конустьщ
көлемін анықтаңыз.
Жауабы; 2 4 /г.
39. Олардын төбелері бір түзуде жатқан, бір-бірінен қашьщтыш
12-ге тең, табандары ортақ екі конус бірі екіншісінің ішінде орналаеқан.
Бір конустьщ осьтік қимасыньщ төбесіндегі бұрышы 120°, ал басқасынікі
60° болса, осы конустардың қонустық бетт^)імен шекгелген дененің
бетінің аудаңьш аньіқгаңыз.
Жауабы; 72я-(з + 7 з ).
443
www.nismath.org
40. Конустың бетінде эрқайсьісыньщ ұзындығы 3-ке тең өзара
перпендикуляр уш жасаушы жүргізілген. Конустың бүйір бетінің ауданын
анықгаңыз.
Жауабы; Зл/б я .
41. Конус және цилиндрдің табандары ортак, ал конустың төбесі
цилиндрдің басқа табанының центрінде жатыр. Цилиндрдін бүйір бетінің
ауданы конустың бүйір бетінің ауданына тен. Конустың жасаушысы мен
цилиндрдін жасаушысының арасындағы бүрышты табыңыз.
Жауабы: 60°.
42. Қиық конустъщ табандарының радиустары 9 жэне 24-ке тең.
Осьтік кнманың диагональдарының киьшысу нүктесінен конустың
жасаушысы 60° -пен көрінеді. Қиық конустың бүйір бетінің ауданын
табыңыз.
Жауабы; 4 6 2 ^ я .
43. Табандарыньщ радиустары 11 және 21, ал осьтік қимасьшың
диагоналі 40, қиық конустың бүйір бетінің ауданьш табыңыз.
Жауабы; 832д .
44. Табандарының радиустары 7 жэне 8-ге тең қиық конус жэне
соның биіктігіндей тең шамалас толық конус берілген. Толық конустың
табанының радиусын табыңыз.
Жауабы; 13.
3 —тобы. «Сфера.
шешіціз:
шар»
такырыбына байланысты есептерді
1. Шардын радиусыньщ ортасы арқылы оған перпендикуляр
жазықтық жүргізілген. Пайда болған қиманың ауданының үлкен дөңгелек
қиманың ауданына қатынасын табыңыз.
Жауабы; 3 ;4 .
2. Шардың радиусы R . Радиустың үшы арқылы онымен 60°
бүрыш жасайтын жазықтық жүргізілген. Қиманың ауданын табыңыз.
Жауабы; —я К ^.
444
www.nismath.org
3.
Радиусы R шар берілген. Оның бетінде жатқан бір нүктесі
арқылы екі жазықтык: біріншісі - шарға жанама, екіншісі - біріншісімен
30° бұрыпі жасайды. ҚиманЫң ауданын табьщыз.
Жауабы: —жК 2 -■
4. Шардың бетінде үш нүкте берілген. Олардың арасындағы тік
сызыісгы қашықтықтары 6; 8; V0. Шардыц радиусы 13. Осы үщ нүкте
аркьшы отетін жазықтықтан шардың центріне дейінгі қашықтыкты
табьщыз.
Жауабы; 12.
5. Шардың центрінен yfs қашықтықга болатын шар қимасының
диаметрі 4-ке тең. Шардың бетінін ауданын табьщыз.
Жауабы: 36я .
6. Шардың радйусыньщ ұшы арқылы радиуспен 60° бұрыш
жасайіын ауданы Г6я"-ге тёң шардың қимасы жүргізілген. Шардың
көлемін табыңыз.
^
2 048
Жауабы'
^ - 'л .
7. Жұмыр шардың сырткді диаметрі 18. Қабьфгаларыньщ
қалыңдығы 3. Шар дайындалған материалдың көлевш хабыңыз.
Жауабы: 684 яг.
8. Квадраттьщ б^лы қ қабырғатары диамехрі 50 болатын
сферамен жанасады, квадраттың қабырғасы 14-ке тең. Сфераның
центрінен квадраттың жазықгығына дейінгі қашыктықты табьщыз.
Жауабы: 24.
9. Cфq)aның центрінен қашықгыты 8-ге тең жазықгық пен
сфераның қиылысу сызыгынық ұзывдыіы 12 лг . Сфераның бетінің
ауданын табьщыз.
Жауабы: 400ж .
10. Шардьщ диаметрі 2т -ге тец. Диамеірдің үшы арқылы онымен
45° бүрыш жасайтын жазыкггық жүргізілген. Сфераның осы жазықгықпен
қиылысу сызыгының ұзындығын табыңыз.
Жауабы: у Ң т л .
445
www.nismath.org
11. Шарды жа;5ықтықпен қиғандағы қиманың ауданы 25 ж-те тең.
2
ОА шардың радиусы қиманың
радиусымен косинусы —-ге тең
бұрьші жасайды. Шардын радиусының ұзындыіын табыңыз.
Жауабы: 7,5.
12. Шардың көлемі
32
— л . Шардың толық бетінің ауданын
анықгаңыз.
Жауабы; 16 д .
13. Көлемі оньщ бетінің ауданы тең болатын шардың радиусын
анықгаңыз.
Жауабы; 3.
14. Шардьщ қимасының ауданы 80 я- -re тең. Қиюшы жазықтықтьщ
шардың центрінен қашықтығы 8-ге тең. Шардың көпемін табыңыз.
Жауабы; 2 304 я .
15. Сфера мен жазыюықшң қиылысу сызығының ұзындығы 12 яг.
Сфераның диаметр! 16-ға тең, сфераньщ центрінен жазықтыққа дейінгі
қаніықтықты табыңыз.
Жауабы; , 2г/? .
16. Ш ^дын екі қимасының жазықгықг^ы өзара нерпендшсул5ір.
Ол^дың бірі шардың центр! арқылы өтеді, ал ек!нін!сінің одан
қапіықгығы 12-ге тең, қималардың ортақ хордасы 18-ге тең. Қиматардың
аудандарын табыңыз.
Жауабы; 225 я"; 81яг.
17. Тік төртбұрыштың төбелері радиусы 10 болатын сферада
жатыр. Онъщ диагоналі 16-ға тең болса, сфераньщ центрінен т!к
төртбұрыштың жазықтығьша дейіиг! қаншқтықгы табыңыз.
Жауабы; 6.
18. Сфераның радиусы 112-ге тең. Сфераға жанама жазықтықта
жатқан нүктенің жанасу нуктесінен қашықтығы 15. Осы нүктеден
сфераның оған ең жақын нүктесіне дешнг! қашыктықты табьщыз.
Жауабы; 1.
446
в
www.nismath.org
19. Шардың центрі арасында жатқан шарды қиятын екі параллель
жазықгықгардыц аудандары 144яг және 25 я . Егер параллель
жазықтықгар арасындағы қашықтық 17-ге тең болса, шардың бетінің
ауданын табыңыз.
Жауабы: 676я.
20. Сфера қабырғасы 12-ге тең ABCD квадратының төбелері
арқылы өтеді. OD радиусы квадраітың жазықтығьплен 60° бұрыш
жасайтын болса, сфераның центрі О нүтесінен квадраітың жазықгығына
дейінгі қашықгыкты габьщыз.
Жауабы: 6>/б.
21. ABC үшбұрьшіьшың қабырғалары шармен жанасады. АВ = 8,
ВС = 10, АС = 12 және шардың О иентрінен, ABC үшбұрышыньщ
жазықгығьша дейінгі қашыктық ^/2-ге тең болса, шардьщ радиусын
табыңыз.
Жауабы: 3.
22. Радиусы 1 болатын шойын өзекті қайтадан балқытьш,
жасаушысы ^/6 болатын тең шамалас конуе жасалған. Егер ол 1-ден кем
емес болса, конустьщ биіктігін табыңыз.
Жауабы; 2.
23. Көлемі Збя алюминий шарды қайта балқытьш, жасаушысы
3^/s болатьш тен шамалас конус жасалған. 4-тен артық болмайтъшдай
конусгьщ биіктігін табыңыз.
Жауабы: 3.
24. Диаметряері 9 болатын 125 бірдей шариктерді балқытып бір
шар жасады. Пайда болған шардьщ радиусыв анықтаңыз.
Жауабы: 22,5.
25. Шар қабатьшың табандіфыньщ радиустары 15 және 7-ге тец,
шардың радиусы 25. Қималары шардын центрініц эртүрлі жақгарывда
орналасса, шар қабатыньщ көлемін табыңыз.
60 676 я
Жауабы: ---- ;-----.
447
www.nismath.org
26. Радиусы а болатын жарты шардың биіктігінің ортасы арқылы
жарты шардьщ табанына параллель қима жүргізілген. Лайда болтан шар
қабатының көлемін табыңыз.
Жауабы; — жа^.
24
27. Шардьщ радиусы 3, ал табанындаты шеңберінің радиусы 4 ^
болатын шар секторыньщ көлемін табыныз.
Жауабы; 6 л .
28. Радиусы 13-ке тең шар берілген. Оның центрінен қашыктьшы 4
жэне 12 болатын өзара перпендикуляр екі қима жүргізілген. Қималардың
ортақ хордасының ұзындығын табыңыз.
Жауабы: 6.
29. Шар берілген. Оның центрінің бір жағында орналасқан
радиустары 9 жэне 12-ге і^ең екі параллель қима жүргізілген. Қималардьщ
жазықтықтары арасьшдағы қашықтық 3-ке тең болса, шардьщ көлемін
табыңыз.
Жауабы; 4 500 л .
30. Бірінің центрі екіншісінің бетінде жататындай радиусы R
болатын екі бірдей шар орналасқан. Ол^фдың беттері киылысқанда пайда
болтан сызықтың ұзындығын аныісгаңыз.
Жауабы: \ ІЗКл.
31. Центрлері арасындағы қашықтық Збнға тең екі шардьщ
радиустары 25 жэне 29. Олардың бетгері қиылысқанда пайда болтав
сызықтың ұзындығын анықтаңыз.
Жауабы: 40л-.
32. Үшбурыштьщ кабырғалары: 13; 14; 15. Үшбұрьшгшң
жазықтыгынан үшбң)ыштың қабырғалары жанасатын шардьщ цетріне
дейінгі қаіпықтықты табыңыз. Шардың радиусы 5.
Жауабы: 3.
33. Ромбтың даагональдары 15 және 20. Шардың беті оньщ барлық
кабыргаларымен жанасады. Шардың радиусы 10. Оньщ центрінен
ромбының жазықтығына дейінгі қашықтьпсты табыңыз.
Жауабы; 8.
448
www.nismath.org
34. Радиусы 5 болатын ш ^ға ромбтың 6-ға тең эр қабырғасы
шарға жанасатындай етіп орналасқан. Ромб жазыктығымен шар центріне
дейінгі қашықтык 4. Ромбының ауданын табыныз.
Жауабы; 36.
35. Шардьщ шекарасы болып табылатын радиусы R сфераньщ
нүл:тесі арқылы екі жазықгық жүргізЬтген, олардың біреуі сфераға жанама
жазьщтық болып табылады, ал екіншісі жанама жазықтықпен (р бұрыш
жасап көлбеулеген. Осы шардың қимасынъщ ауданьш табыңыз.
Жауабы; R ^ sin^ фл:.
36. Сфера 120°-тьщ екі жақты бурыштың жақтарымен жанасады.
Сферанын центрінен екі жакты бурыгатын қырына дейінгі кашыкгық а ға тең, жанасу н^'ктелері арасындағы қашықтыкты табыңыз.
Жауабы: — а .
4-тобы . «АйналV денесі» такырыбына байлаиысты ессптерді
щ еш іңіз:
- ч..
1.
Қабырғалары
Л
және
-re тең тік төртбұрышты кіші
қабырғасына қатысты айналдырғанда пайда болған айналу денесінің
толық бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: 72.
2. Гипотенузасы 3>/2 болатындай тең бүйірлі тік бұрьшггы
ұшбурыштың катетіне қатысты айналдарғанда пайда болған фигураньщ
көлемін табыныз.
Жауабы: 9 ж .
3. Тік төртб¥рьшгп.ің қабырғалары 1 жәнв 2-ге тең. Осы
кабырғалардан тұратын осьтерге катысты тік төртбұрышты айналдыру
кезінде пайда болтан цилиндрлердің толық бетгерінщ аудандарының
қатынасын есептеңіз.
Жауабы: 1:2.
449
www.nismath.org
4. а жэне Ь тік төртб:н)ыштың қабырғалары. Ъ қабырғасына
қатысты тік төртбұрышты айналдыру нэтижесінде пайда болған
фигураньщ бүйір бетінін ауданын табыңыз.
Жауабы; 2аЬтг.
2
5. Тең қабырғалы үшб^ышты а = —=
қабырғасьша қатысты
Цп
айналдырғанда пайда болған айналу денесінің көлемін табыңыз.
Жауабы: 2.
6. Тік бұрышты трапецияны параллель емес қабырғаларыньщ
кішісіне қатысты айналдырган. Трапецияныц кіші табаны 2-ге тең, ал
ұзыңцығы 12 болатын бүйір қабырғасы табанмен 60° бүрыш жасайтьш
болса, пайда болған айналу денесінің бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы; 188 л-.
В
7. Қабырғалары 10; 17 және 21 болатын үшбүрышты үлкен
қабырғасына қатысты айналдырғанда пайда болған айналу денесінің
көлемін табыңыз.
Жауабы; 448л .
8. Табаны 30, бүйір қабырғасы 25-ке тең тең бүйірлі үшбүрыштың
бүйір кабырғасына қатысты айналдырғанда пайда болтан дененің көлемін
табьпіыз.
Жауабы; 4 800 л .
9. Кіші диагоналі мен оның қабырғалары сэйкесішне 25; 17 және
28-ге тең параллелограмды ү^лкен қабырғасына қатысты айналдыріанда
пайда болтан айналу денесінің бетінің ауданын анықтаңыз.
Жауабы; 1350 л .
10. Қабырғасы а-та тең квадратгың төбесі арқылы өтетін
диагоналіне перпендикуляр оське қатысты айналдыртанда пайда болтан
дененің толык бетінің ауданын табьщыз.
Жауабы; 4л/2а^ л .
450
www.nismath.org
11. 8-ге және 15-ке тең қабырғаларьгаың арасындағы бұрышы 60° қа тең үшбұрышты осы қабырғалардың үлкеніне қатысты айналдырғанда
пайда болтан айналу денесінің толық бетінің ауданын анықтаңыз.
Жауабы;
тт.
12. Катеттері 5 жэне 12 бопатыы тік бүрышты ұшбұрыш, үлкен
сүйір бұрьппының төбесі аркылы өтетін карсы жатқан катетке параллель
түзуге қатысты айналдырғанда пайда болтан дененін толық бетінщ
ауданын табыңыз.
Жауабы; 210л'.
13. NPKM ( M N IIК Р , Z N = 90°) тік бүрышты трапециясын КР
қабыртасына катысты айналдырганда пайда болтан айналу' денесінің
көлемін табыңыз, мұндаты К Р = 2 , диагоналі МР = 6 және ZAfPK = 60° .
Жауабы; 72л-.
14. Ауданы Q , ал үлкен қабыртасы а -га тең параллелограмды осы
кабырғасына қатысты айналдырганда пайда болтан айналу денесінің
көлемін табьщыз.
Жауабы:
п,
15. Катеттері 5 жэне 12-ге тен тік бүрьгаггы үшбұрышты осінен
қашықтьн-ы 3-ке тең болатын үлкен катетке параллель сыртқы оське
қатысты айнапдырғанда пайда болтан айналу денесінің көлемін
анықтаңыз.
Жауабы: 280л .
16. ABCD ^свадратьга (у4і5 = і) BD диагоналіне параллель С
төбесі арқылы өтетін оське қатысты айналдырғанда пайда болтан дененің
көлемін табыңыз.
Жауабы;
п.
17. Катеттері 16 және 12 болатын тік бүрьшіты үшбүрьпыты
гипотенузасына қатысты айналдырганда пайда болтан айналу денесінің
толық бетінің ауданын табьщыз,
Жауабы; 268,8я-.
451
www.nismath.org
18. Табандары 12 және 18-ге тен: жэне сүйір бурышы 60° болатын
тең бүйірлі трапецияны K in d табаньгаа қатысты айналдырғанда пайда
болған дененің толық бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы;
ІЛ А у і Ъ л .
19. Катеттері 3 жэне ■Гъ -ке тең тік бұрышты үшбұрышты
гипотнузасына қатысты айналдырганда пайда болған айналу денесінің
көлемін табьщыз.
Жаүабы;
•п .
20.
Бүйір қабырғасы 10 жэне төбесіндегі бурьппы 120° болаты
тең бүйірлі үшбұрышты бүйір қабырғасына қатысты айналдырғавда пайда
болған айналу денесінің көлемін табыныз.
Жауабы; 250 л-.
5 - тобы. «Көпжактар жане айналу о деиеяеоі»
байланыстыесептерді шешіңіз:^ ' ^
такырыбыиа
1. Қыры >/2-ге тең куб шарға іштей салынған. ІПардың толық
бетінің ауданьш табыңыз.
Жауабы: 6 д .
. 4
Конусқа көлемі —к -ге тең шар іштей салынған. Оның биіктігі
3
3 болса, конустың көлемін табыңыз.
Жауабы: Ъ л .
2.
3. Цилиндрге шар іштей салынған (ол табандарымен жэне бүйір
бегімен жанасады). Циігандрдің биіктігі оның радиусынан канша есе
артық?
Жауабы: 2 есе.
4. Қиық конусқа шар іштей салынған. Жоғаргы табанының
радиусы 3, төменгі табанының радиусы 5-ке тең. Қиык конустың биіктігі
мен жасаушысының ұзындығын табыңыз.
Жауабы: 8; 2^/^5 .
452
www.nismath.org
5. Осьтік вдшасыішң төбесіндегі бұрыішы 60°-қа тең кон>сқа шар
іштей сызылған. Жасаушысының ұзындығы 4-ке тең болса, шардың
радиусын анықгаңьЕі.
«
2^/з
Жауаоы: — —.
6. Радиусы 5 болатын жарты сфераға табаньшың диаметрі 6
болатын цилиндр іштей салынған, Цилиндрдің биіктігін табыңыз.
Жауабы; 4.
7. Тік бұрышты параллелешшедтің өлшемдері 4; 6; 12. Оған
сырттай сызылған шардың радиусьш табыңыз.
Ж ауабы : 7.
8. Тік призмаыың табаны қабырғалары 6; 8; 10 болатын үшбурыш.
Призманың биіктігі 24. Оған сырттай сызы;яан шардьщ радиусьш
табыңыз.
Жауабы: 13.
9. Шарға дұрыс төртбұрьпшы пирамида іштей салыиган.
Пирамиданың биіктігін шардьщ центрі 4 жэне 5-ке тең екі белікке бөледі.
Пирамиданың көлемін табыңыз.
Жауабы. 54.
10. Конустың биіктігі 8, жасаушысы 10. Оған іштей сызылған
шардың радиусын табыңыз.
Жауабы: 3.
11. Осътік қимасының диагоналі а болатьш тең қабырғалы
цилиндрге іштей сызылған сфераның ауданын табьщыз.
Жауабы:
п а
12.
Толық бетінің ауданы Q -га тең кубқа сфера іштей салынған
Сферанын ауданын табыңыз.
Жауабы:
6
13.
Дурыс алтыбурышты призманың биіктігі 8. Бүйір жағыны
диагоналі 13. Сырттай сызьинан шардьш радиусын табыңыз.
ЖауабЫ; 11.
453
www.nismath.org
14. Шардың
радиусы 9. Оғал биіктігі 14-ке тең
төртбұрышты призма іштей сызылған. Призманың табанының
қабырғасын табыңыз.
Жауабы: 8.
15. Табанының радиусы бнға тең цилиндрге конус іштей сызылған.
Конустың табаны цилиндрдің табанымен сәйкес келеді, ал конустың
төбесі цилиңдрдің жоғарғы табанының центрімен сәйкес келеді.
Конустың бүйір бетінің ауданы бОя^-ге тең. Цилиндрдің бүйір бетінің
ауданын табьщыз.
Жауабы; 96д .
16. Биіктігі 16 жэне табанының радиусы 12-ге тең конусқа, биіктігі
10 болатын цилиндр іштей салынған. Цилиндрдің табаньшың радиусын
табыңыз.
Жауабы: 4,5.
17. Радиусы бірге тең шарға конус іштей сызьии-ан, онын
жасаупіысы
-ке тең. Конустьщ осьтік қршасыньщ төбесіндегі
бұрышьшың шамасын табыңыз.
Жауабы: 60°.
18. Шарға осьтік қимасы тең бүйірлі тік бүрышты үшбүрыш
болатындай конус іпггей салынған. Конустьщ көлемі шардың көлемінің
қавдай бөлігін қүрайды?
Жауабы: ^ .
19.
І6
Тең қабырғалы цилиндрге шар іштей салышан. Шардың көлемі
. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданы қаншаға тең?
Жауабы:
9л
20. Конустың табаныньщ диаметрі 6 және жасаушысы 5 болатын
конусқа іштей сызылған шардың бетініи ауданын табьщыз.
Жауабы: 9ж.
21. Жасаушысы бнға тең, ал осьтік қимасыш>щ төбесіндегі бүрышы
60° -қа тең конусқа іштей салынған шардың бетіиің ауданын табыңыз.
Жауабы: 12 л .
454
www.nismath.org
22. Табанының биіктігі мен радиусы сәйкесінше З жэне Зл^-ке тең
конус шарга іштей салынғая. Шардын радиусыя табьщыз.
Жауабы: 6.
23. Дурыс үшбурьшіты пирамидага конус іштей салынған.
Пирамиданың бүйір жақгары табан жазьнсгығымен 60“ бұрыш жасап
көлбеулегендігі және конустың табанының радиусы 16-ға тең екендігі
белгілі болса, осы конустың бүйір бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: Ъ\1ж.
24. Табанының қабырғасы 6-ға тең және биіктігі 8 болатын дурыс
үшбұрьшіты пирамидка шар сыртгай салынган. Шардың радиусын
табыңыз.
Жауабы: 4,75.
25. Цилиндрге дурыс үшбұрьшіты призма іштей сызылған. Оның
табанының қабырғасы а , ал бүйір қабырғасы Ь . Цилиндрдің бүйір
бетінің ауданы мен оның көлемін табыңыз.
Жауабы: ^ ^ а Ъ \
~а^Ь.
26. Шардьвд радиусы 2. Оған тең қабырғалы конус іштей салынған.
Конустың толық бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: 9тг.
27. Берілген пирамиданың барлық бүйір қырлары 9, ал оның
биіктігі 5-ке тең. Сырттай сызылған шардың радиусын анықгаңыз.
Жауабы; 8,1.
28. Кубтың бетініц ауданы 72-ге тең болса, кубқа сырттай
салынған шардың радиусьш табыңыз.
Жауабы: 3.
29. Шарға дұрыс төртбұрышты призма іштей салынған. Шардың
радиусы 5, ал призманың табанының қабырғасы 6 болса, призманың
биікгігін табыңыз.
Жауабы: 2^/7.
30. Дұрыс үшбүрышты пирамидзның бүйір қырларьшың үзындьиы
іД -ке тең. Бүйір қыры табан жазыктығымен 60° бұрыш жасайды.
Пирамидаға сырттай саяынған шардьщ радиусын табьщыз.
Жауабы: 1.
455
в
www.nismath.org
31. Шарға тең қабыргалы конус іпітей салынған.
көлемінің конустың көлеміне қатьшасын табьщыз.
32
Жауабы; — .
Шардың
32. Шарга тең қабырғалы цилиндр іштей салышан. Шардың
көлемінің цилиндрдің көлеміне қатынасын табыцыз..
4л/2
Жауабы; —^ .
33. Дұрыс тетраэдрдьщ бетінің ауданы 12>/з -ке тең.
тетраэдрға іштей сызылған конустын бетінің ауданын табыңыз.
Жауабы: Аж.
Осы
34. Дұрыс төртбұрыпгш пирамидаға куб іштей салынтан.
Пирамиданын биіктігі 6л/2, ал ігарамңданың табаныныц қабырғасы 4>/2
болса, кубтьщ қырын табыңыз.
Жауабы. 2,472.
35. Радиусы 14-ке тең шарға дұрыс үшбұрышты призма іштей
салынған; оньщ бүйір жағының диагоналі 26. Призманың табанының
қабырғасын табыңыз.
Жауабы: 18.
36. Дұрыс төртбұрышты киық пирамиданың табандарыныц
кабырғалары 7 және 1-ге тең. Буйір қыры табанымен 45° бұрыш
жасайды. Сырттай сызылн ан шардың радиусын табыңыз.
Жауабы: 5.
37. Қиық конустың табандарының радиустары 3 жэне 4; ал биіктігі
7. Сыртгай сызылған шардың радиусын табыцыз.
Жауабы; 5.
38. Радиусы бнға тең шарға жасаушысы 13 болатын киық конус
сырттай сызыпған. Қиық конустың көлемін табыңыз.
Жауабы: 532 л'.
39. Дүрыс төртбурьшгш пирамиданың биіктігі 8, ал бүйір қыры 12ге тең. Сырхтай сызылған шардың көлемін табьщыз.
Жауабы: 972л-.
456
www.nismath.org
40. Табаны қабырғасы а - г а тең тең қабырғалы үшбұрыіп болатын
үшбұрышты тік призмага іштей шар салынған. Сфераның ауданын
табыңыз.
Жауабы: ^
лг .
41. Пирамиданыц табаны дұрыс ұшбұрыш, оныц кабырғасы 3-ке
тең. Бүйір қырларының бірі 2-ге тең жэне ол табанга перпендикуляр.
Сыртгай сызылған шардың радиусыи табыңыз.
Жауабы: 2.
42. Кубқа іштей сызылған цилиндрдің көлемі 2 я -ге тең. Осы
кубқа сыртгай сызылған сфераньщ бетінің ауданьі қандай?
Жауабы: 12л'.
43. Тен қабырталы цилиндр формалы ағаштан ең үлкең көлемді
шар жасалған. Материалдың қандай шйызы қалдыққа кетгі?
Жауабы; 33^% .
44. Кубіы бір төбесінен шығатын үш дырының орталары арқылы
өтетін жазықтық киып өтеді. Қңманың ауданы 16^/3 -кe тең. Осы кубқа
іштей сызылған шардың бетінің ауданы қавдай?
Жауабы: 128 гг.
45. Тең қабырғалы конусқа сырттай шар салынған жэне оған іштей
шар салынғая. Іштей салынған шардың көлемі, сырттай сызылған шардың
көлемінің қанша пайызын күрайфл?
Жауабы: 12,5%.
46. Дүрыс төртбүрьшгш қиық пирамиданың жогарғы табаншшң
ауданы 50, ал төменгі табанының ауданы 200-ге тен. Осы пирамвдаға
іпіғей сызылған сфераньщ бетінін ауданы қандая?
Жауабы: ЮОя.
47. Шарға іштей сызыпған конус жасаушысы 8, ал шардың
радиусы 5-ке тең. Конустыц көлемін табыңыз.
Жауабы: 49,152д-.
457
www.nismath.org
48. Кубқа цилиндр сыртгай сызылған. Кубтын бетініц ауданы S -ке
тең болса, цилиндрдің толық бетінія ауданын табыңыз.
Жауабы;
+ ^/2 j .
49. Конустан үлкен көлемді шар қиып алынды. Конустың осьтік
қимасы тең қабырғалы үшбүрыш болса, қиылған бөліктің көлемінің
шардьщ қөлеміне қатьшасьш табыңыз.
Жауабы:
4
50. Конустың табанының ауданы конусқа іштей сызылған
цилиндрдің табанының ауданьшан 36 есе артық. Конустьщ биіктігі 30, ал
цилиндрдің радиусы 3-ке тең болса, консутың көлемі цилиндрдің
көлемінен қанша есе артық екендігін аныктаңыз.
Жауабы: 14,4 есе.
51. Дұрыс үшбүрышты пирамиданьщ биіктігі мен бүйір жағының
apacbiH4afTa бүрыш 30°-қа тең. Пирамидаға іштей сызылған шардың
радиусы 1-ге тең болса, табанының қабырғасының ұзындығын табыңыз.
Жауабы: 6.
52. Кубқа сырттай шар салыиган жэне іштей шар салынған. Іштей
салынған шардың көлемінен сырттай сызылган шардың көлемі қанша есе
артық?
Жауабы: Зу/з.
53. Конустың осьтік қимасы қабырғасы 1-ге тең тең қабырғалы
үшб:йрьші. Конустьщ осімен, табаны мен бүйір бетімен жанасатын
сфераның радиусын табыңыз.
Жауабы: ------- .
458
www.nismath.org
X ТА РА У . А Н А Л И Т И К А Л Ы Қ Г Е О М Ё Т Р И Я Н Ы Ң Ж ӘНЕ
ВЕКТО РЛ Ы Қ А ЛГЕБРА НЫ Ң ЭЛЕМ ЕН ТТЕРІ
§1. Д Е К А Р Т Т Ы Қ К О О РД И Н А Т Т А РЫ
; «Ж азы к ты к тағы
д ёкартты к
Ш
£^4І^ірыбы бойьі^ш а бсептерді шещіңіз:
А
1. (-1; 1) және (3; 5) HYKxe.iqiiHeH бірдей кашьсқтықта болатын
ордината осіндегі ііүктені табыныз.
Жауабы; (0;4).
2. А(5; 1), 5{б; 5) j С{6; 6), D{r~&, - 2 ) нүктелч)інің қайсысы
(х + 2 )^ +(v-"5)^ =65 шеңберінде жатады?
Жауабы; Д , С және Z).
3. Д (5;і), 5{б;5), G (6;6), D ( - 6 ;- 2 ) нүктелерінің қайсысы
[ x + l f +^yr-S'f =65 шеңберінде жатады?
Жауабы; { x - 3 ) 4 ( y - 2 f =32.
4. Түзу 4х+3>’-2 4 = 0 тедцеуімен берілген. ДВ кесіндісінің
ортасыньщ координатгарын табыңыз, мұндагы A жэне В - тузудің
координат осьтерімен қиылысу HYKieaiqji.
Жауабы; (З; 4).
5. Д (2 ;-1 ), Д (-1;3), С(-3;1) нүктелері тобепері болатыңцай
ABC үшбүрышының AD медианасы жүргізілген. Осы медиананың
рындығын табыҢыз.
Жауабы; 5.
6. Л (2 ;- 3 ) , і Д (-2;3)
жэне
С(б; -3 )
’нүкгелд)і
төбелері
болатындай ABC үшбұрышьгаың BG қабырғасына параллель 5jCj орта
сьізьныжүргізілген. Д,Сі ұзьіндьіғьштабьщыз.
Жауабы: S.
459
www.nismath.org
7. АБ түзуінің теңцеуін кдаыңыз, мұндағы А (5; - З ) , В {-\\ - 2).
Жауабы; х+ 6у + 13 = 0.
8. х+ 2у+ 3 = 0 , 4х + 5у + 6 = 0 теңцеулерімен берілген түзулердін
қиылысу нүктесін табыңыз.
Жауабы: (і; - 2 ) .
9. А (2; 3) жэне В(^х; і) нүктелері арасындағы қашықтық 2-ге тең
болса, X табыңыз.
Жауабы; 2.
10.
ААВС:
^ (-1 ;2 ), 5 (5 ;-1 0 ), С ( і;- 2 ) ,
A ^B JA B
орта
сызығы жүргізілген. Орта сызық арқылы өтетін түзудің тевдеуін құрыңыз.
Жауабы; 2х+ у = 0.
11. Центрі О нүктесі мен 0 ( —1;2); А (0;5) шеңберге тиісті А
нүктесі берілсе, шеңбердің теңдеуін жазыңыз.
Жауабы: (д:+i f + {у - 2 ^ = 1 0 .
12. А (2 ;-3 ) нүктесі арқылы өтетін у —2 х - 5 түзуіне параллель
түзудің теңдеуін жазыңыз.
Жауабы: 2 х - у - 7 - 0.
13. А(^-3;~2), Л ( і; 4), С (-5;0) берілген. ABC үшбұрышыньщ
түрін анықтаңыз.
Жауабы; тең бүйірлі.
14. М {і,5\ 8,5) нүктесі мен х —у+1 = 0, х + у - 8 = 0 түзулерінің
қііылысу нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеуін қүрыңыз.
Жауабы; х - у + 1= 0.
15. ^ ( - 8 ; - 4 ) нүктесінен жэне координата басынан бірдей
қашықтықта болатын Оу осіндегі нүктені табыңыз.
Жауабы: (0;-10).
460
www.nismath.org
16. Ox осін координата бас нүктесінде, w
нүктесінде жанайтын шеңбердің теңдеуін құрыңыз.
Оу осін А[0;4)
Жауабы: д;"+(_у-2)^ = 4 .
17.
5(2; 4) жэнё ^ (7 ;!) болса, ABCD тік
төртбұрыціыньщ төртінші төбесшің координаттарын табыңыз.
Жауабьгада осы төбенің координаттарының қосындысьш көрсетіңіз.
Жауабы: 0
18. 4 { -1 ;2 ),
5(1; 5)
коэффициентін табыңыз.
3
Жауабы: —.
бопса,
АВ
түзуінің
бұрьштык
19. 41 (-2; З), 5(2; О), С (-2 ;-3 ) нүктелері беріяген. ABC
үшбұрьшіьшын CM медианасы арқылы өтетштүзудэдтевдеуін жазьщыз.
Жауабы: 9х - 4у + 6 = 0.
20. Координат осьтерімея (-3 ;0 ) жэне (0;-гЗ) нуктелерінде
жанасатын шеңбердің теңдеуін жазыңыз.
Жауабы: (jc+3)^+(уЗ-3)^ = 9 .
21. 4 ( - 2 ; - і )
қашыктыкты табыңыз.
Жауабы:
нүктесінен
2 x + 3 j+ l = 0
тұзуіне
дейінгі
13
22.
Координаттық бүрышты 3 x + 4 j-1 2 = 0
өткёнде пайда бодғаң ұщбүрыштың, ауданын ^ептеңіз.
Жауабы: б.
461
түзуімен қиып
в
www.nismath.org
23. (О; о ), (6; 4 ), (Ю; 26) нүктелері үшбұрьшітың төбелері. Оның
медианаларьшың ұзьюдықтарын анықтаңыз.
Жауабы: 25, 17, 7 І2 .
24.
+12дс+.у^-18у = 244 шеңберінің центрін табыңыз.
Жауцбы: (-6; 9).
25. Центрі (3; 5) нүктесі болатындай шеңбер абсцисса осімен
жанасады. Осы шеңбер қаіщай нүктелерде ордината осін қиып өтеді?
Жауабы: (О; 1) жэне (О; 9).
26. 5 х -1 2 у -120 = 0 түзуімен және
шектелген \тибұрыштың периметрін табыңыз.
Жауабы; 60.
координат
осьтерімен
27. Егер Л(0;8), 5 (-6 ;0 ), С (2 ;-б ), Е»(8; 2) болса, ABCD
төртбұрьшіьшьщ түрін анықтаңыз.
Жауабы; квадрат.
28. Координат басы мен (б; 0) жэне (О; 8) нүктелері арқьшы
өтетін шеңбердің теңдезан кұрыңыз.
Жауабы: (х -3 )^ + (у -4 )^ =25.
29.
- 8 х - 8 у + 7 = 0 шеңберінің абсцисса осімен қиьшысу
нүктелерінің координаттарын табыңыз.
Жауабы: (7;0) жэне (і;0).
30. ABCD трапециясының төбелерінің координаттары берілген:
А ( - 2 ; - 2 ) , Л (-3 ; і ), С(7;7) жэне D(.3; і ) . Трапецияиың орта сызығы
арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазыңыз.
Жауабы; Зх - 5у + 5 = 0 .
31. Координат осьтерімен және
шеңбердің тендеуін кұрыңыз.
Жауабы: (х+ 2)^+ (у± 2)^ = 4 .
462
х = -4
түзуімея жанасатын
www.nismath.org
32. /4(2; З), 5 (-2 ;0 ),, С (2 ;-3 ) нүктелері берілген.
үшбурышьша сырттай сызылган теңдеуін жазыңыз.
ABC
,2
Жауабы: I л - - | 1
=(!)■
33. Здс+4у-24 = 0 түзуі Ох жәые Оу осьтерін A жәые В
нүктелерінде қиып өтеді. АОАВ үшбұрылшва іштей сызылған шеңбердің
ұзындьл-ьш табыңыз.
Жауабы: 4л-.
34. Абсцисса осімен,
З х -4 у = 0
және
15х+8у-168=0
түзулерімен шектелген үшбүрьыптың периметрін табыцыз.
Жауабы: 28.
35.
- 6 х + у ~ +2у+1 = 0
және
х ^ + 4 х + у ^ + 1 0 у -1 = 0
шеңбфлері берілген. Осы шеңберлердін центрлері арқылы өтетін түзудің
тевдеуін жазыңыз.
Жауабы: 4 х -5 у -17 = 0 .
36. А (1; і ) , 5(6; 4 ), С(8; 2)
үыібурышының аудавын табьщыз.
Жауабы: 8.
нүктелері
берілген.
ААВС
37. А { -2 \\), 5 (2 ;-1 ) және С(4;3) төбелері болатындай
үшб^ыш пішінді пластинканыц ауырлык центрінің координаттарын
табыңыз.
Г4 ^
Жауабы:
;1
38. Егер А ( —2;3) және 5(1;—4) болса, АВ кесіндісініц орта
пврпевликуляры арқыяы өтепн теңдеуді табыңыз.
Жауабы; З х - 7 у - 2 = € .
39. Ординат(хлмвн жаиасатын цеатрі 2х+3у-13 = 0 , х + у - 5 = 0
түзуперінің қиылысу нүктесівде болатьга шеңбердін тевдеуін жаіыңыз.
Жауабы: (х - 2 ) 4 ( y - 3 f = 4 .
463
www.nismath.org
40. (-2; 5) жэне (О; 1) нүюгелерінен бірдей
орналасқан х + 2 у -1 = 0 түзуіндегі нұкгенітабыңыз.
қашықтықга
Жауабы: (~3;2).
41. Цеятрі 0(б; 7) және радиусы г = 5 шеңбер берілген. А (7; 14)
нүктесі арқылы шеңберге жанама жүріізілген. Оның узындығын табыңыз.
Жауабы: 5.
42. А:-ның қандай мэнівде ^ ( 2 ;і) , В { 3 ;-2 ), С(0;Аг) нүктелері
бір түзуде жатады?
Жауабы; к = 1 .
43. х^+ у^'= 5 шеңберінің С (і;-2 ) нүктесівдегі жанамасының
теңдеуін жазыңыз.
Жауабы: ;с -2 у - 5 = 0.
44. Зх-5>’-21 = 0 түзуіне Л/(-1;2) нүктесінен
пqJпeндикyллpдың табаныньщ координаттарын есеіггеңіз.
түсірілген
Жауабы; (2 ;-3 ).
45. х^' +у^^ + 4х—6у = 0 шеңбері берілген.
2jc—3j+13 = 0
хордасына перпендикуляр диаметрдін тевдеуін жазыңыз.
Жауабы; Зх+ 2у = 0.
46. Ординат осімен Здс+5у-15 = 0 түзуінің қиылысу нүктесінен
осы түзуге перпендикуляр жүргізілген. Перпендикулярдың тевдеуін
қурыңыз.
Жауабы; 5 л -З у + 9 = 0.
47. ABC үшбұрыпплның MN - орта сызығы, М е А В , N e B C .
Егер ^ (-1 ;3 ), М (3;4), N (4; 2) болса, В жэне С нүктелерінің
координаттарын табыңыз.
Жауабы; 5(7; 5) жэне С ( і;- і) .
464
www.nismath.org
48.
үшбұрышьіның төбелң»! /4(1; 2), 5 ( 2 ;- 2 ) , С (б;і).
CD биіктігінің теңдезтн қң)ыңыз.
Жауабы: д: - 4 V- 2 = 0 .
49. Қабырғалары х = 0, у = 0 , Здг+4у-12 = 0 іүзулдіінде жатқан
үшбұрьшіқа сыртгай сызылған шеңбердің тевдеуін қүрыңыз.
Жауабы: ( х - 2 ) ^ = ^ 50. /4 (2 ;- 5 ) , 5 (5 ;- і ) , С (-4;3) берілген ABC үшбүрышының
AD биссекірисасыньщ теңцеуін қүрыңыз.
Жауабы; х —2 = 0 .
51. Центрі ( і;- 2 ) және радиусы yjs болатын шеңбердің у+1 = 0
тұзуімен қиылысу нүктелерін табыңьіз. Жауабьінда абсциссалардьщ
кішісін көрсетіңіз.
Жауабы; -1 .
52. С (і;3) нүктесі арқылы өтетін /4(—1;?), 5(3;3) нүктелері
арқылы өтетін түзуге параллель түзудің теңдеуін жазыңыз.
Жауабы; х + >>-4 = 0.
53. 2х + З у -8 = 0 жэне 5 х - у - 3 = 0 түзулерінің киылысу
нүктесін, 4 х -3 у + 3 = 0 жэне х + у - 1 = 0
түзулерінщ. вдылысу
нүктесімен байланыстыратьга түзудің теңдеуін жазыңыз. ,
Жауабы; х - у + 1= 0.
х^
-1 0 х -1 0 у + 3 0 = 0
жәве
54. х ^ + у ^ = 1 0
шенберлердің ортақ хордасыньщ тевдеуін табыңыз.
Жауабы; х + у - 4 = 0.
екі
55. /4 (1; 2), 5 (З; 7), С (5;-13) ұшбүрышы берілген. А
төбесіиен
жүргізілген,
5
төбесінен
медианаға
түсірілген,
перпендикулярдың үзындығын есептещз.
25уі34
Жауабы;
34
465
www.nismath.org
І^тйІ5ьі. «К ен істік^сгі декйрті^
коорд^инаттар» ;такыры6ьі_
в а Ш ііій и а /Ім ^ т ^ д к Щ е іц ің й ^ ^ # ^ ;,^
А
1. у4(3;—2 ;—4) нүктесінен Оу осінв жэне xOz жазыктығьша
дсйінгі қашықіықтардың қосындысын табыңыз.
Жауабы: 7.
2. ABC үшб^ышының төбелерінің координаттары белгілі:
^ (2 ;—1 ;-3 ), 5 ( —3;5;2), С (—2;3;—5). Осы үшбұрышының ВМ
медианасының үзындығын табыңыз.
Жауабы:
3. А{4; -3 ; 2 ),
—5; 4) нүктелері берілген О у осівде жататын
және A , В иүкгелерінен бірдей кщпықіықга болатын С нүктесінің
координаттарының қосындысын табыңыз.
Жауабы; -3,25.
4. у4(3; 1; —4). В нүктесі — хОу жазықтығына қарағацда А
нүктесіне симметриялы. ал С нүктесі Оу осіне кдрағанда В нуктесіне
симметриялы. А және С нүктелері арасындағы қашыктықты табыңыз.
Жауабы: 6.
5. А{-Ъ\ 4; 6) нүктесінен Oz осіне АВ перпендикуляры, ал хОу
жазықгығына АС перпендикуляры жүргізілген. АВ және АС
қашықтықтарының қосындысьш табыңыз.
Жауабы: 11.
6. АВ кесіндісінің ортасы Ох осінде жатыр. Егер А (-3;т ;5),
Л (2 ;-2 ;и ) болса, т жэне п табыңыз.
Жауабы: /я = 2 ; и = -5 .
7. (і;2 ;-3 ) нүктесінен координаттардың бас нүктесіне дейінгі
қашықтьпсгы табыңыз.
Жауабы; -JlA.
8. A (l; 2; 3) жэне В{-2\ 1; 3) нуктелерінен бірдей қашықтыкта
орналасқан, Ох осінің С(дг;0;0) нүктесін табыңыз.
Жауабы: С(0; 0; О) .
466
www.nismath.org
9. АВ кесіндісініңортасы - С (і;1;і) нүктесі. А(2;Ъ;—і) берілген
болса, В нүктесінің координаталарын табыңыз.
Жауабы: 5 (0 ; - и З ) .
10. 5 (-7; 4 ;-3 ) нүктесінен Ох осіне дейінгі жэне
жазықіығына дейінгі қашықтыктардың қосыңдысын табыңыз.
Жауабы; 12.
yOz
11. і5 (-6 ;-3 ; 8) нүкгесінен Оу осінв ВС перпендикуляры, ал
xOz жазықтығьгаа BD перпендикуляры жүргізілген. ВС және BD
қапшктыктарының қосындысын табыңыз.
Жауабы: 13.
12. 5 (-2 ;5 ;3 ). С нүкгесі xOz жазыктығына қарағанда В
нүктесіне симметрияпы, ал D нүктесі Oz өсіне қарағаңда С нүктесіне
симметриялы. В жэне D нүктелері арасындағы қапшқтыісты табыңыз.
Жауабы: 4.
13. Төбелері А (2; 3; і ) , S(l; 3; З) және С(2; 4; З) нүктелері
болатын теп бүйірлі үшбурыштың табанының узындығын табЕЩЫз.
Жауабы: -n/2 .
14. В нүкгесі АС кесіндісін 4:1 қатынасында бөледі. Егер
..^(-1;3;2), С(4;13;12) болса, В нүктесінің координаттарын табыңыз.
Жауабы: (З; 11; 10) .
15. уі(2;1;5), В (-2;1;б) нүктелері берілген. Координатіардың
бас нүкгесіне ең жақын нүктені анықга.
Жауабы:
нүктесі.
16. у4 (-1 ;2 ;-2 )
жэне
Л(3;1;2)
нүктелері
берілген.
Координаттардың бас нүктесінен АВ кесіндісінщ ортаеына дейінгі
қашықтықты табыңыз.
Жауабы:
467
www.nismath.org
17. х ^ + у ^ +z^ —6 у —16 = 0 теңдеуімен берілген сфераның центрі
мен радиусын табыңыз.
Жауабы; (О; 3; 0) және г = 5.
В
18. С (-4;1;5), 27(-5;4;2), £ '( 3 ;- 2 ;- і ) , F (x ;y ;z ) нүктелері
CDEF
параллелограмының
төбeлq)i
болса,
Ғ
нүктесінің
координаттарының қосындысын табыңыз.
Жауабы; 1.
19. .4(4;-3; 7), 5(5; 3; 8) жэне D (l0 ;-4 ;6 ) нукгелері ABCD
ромбысының төбелврі болып табылады. АС диагоналіяің ұзыыдығын
табьщыз.
Жауабы:
.
20. Ц етр і .4 (-2 ;3 ;-і) нүктесі болатын сфера 5 ( 0 ;0 ;2 ,) және
C (0;0;z2) нүктелерінде Oz осін қиып өтеді. Егер z, =3 болса, Zj
табьщыз.
Жауабы: -5 .
21. (д:—1)^+(_р+2)^+ (z —3)^ =25
сферасы
дс= -3
жазықтығымен қиылысуынан пайда болған шеңбердің центрі мен
радиусын табьщыз.
Жауабы: ( -3 ;- 2 ;3 ) ; 5 = 3.
22. Егер .4(3; 7 ;- 4 ) , 5 (5 ;-3 ; 2),
үшбұрышының түрін анықгаңыз.
Жауабы; тік бурышты.
С(1;3;-10)
болса,
АВС
23. С (4 ;1 ;-і) жэне D (0;5;5) нүкгелері АВ кесіндісін үш тең
бөліктерге бөледі. .45 кесіндісінің ұзындыгын табыңыз.
Жауабы: блД?.
24. Егер 4(0; 2; 4 ), 5(3; 1; 2), С (0 ;0 ;-3 )
болса, ABC
үшбұрышының медианаларьшың қиылысу нүктесінен оның 5 тебесіце
дейінгі қапгықтыкды табыңыз.
Жауабы: 4 ^ .
468
www.nismath.org
25. Л /(-5;3;7) нүктесінен х^ч -y ^ + z^ =16 сферасыіш дейінгі
қашықтықты табыңыз.
Жауабы: л /83-4.
26. хОу жазықтығы мен х ^ + у ^ + (z+ 4)^ =25
қимасының ауданын табьщыз.
Жауабы; 9ж.
27.
сферасьшың
АВ кесіндісініп ортасы Ох осінде жатыр. Егер А (0 ;т ;п + і),
В (і;п ;1 -т ) болса, т және п табыңыз.
Жауабы: т = 1; п = -1 .
28. Абсцисса осіне тиісті М нүктесінен координатгардьщ басына
дейінгі қашықтык, Л/ нүктесінен N ( 3 ; —2; 1) нүктесіне дейінгі
қашықгықган екі есе кем екеидігі белгілі болса, М нүктесінің
координатгарын табыңыз.
Жауабы:
0
29. АВ кесіндісі бес тең бөлікке бөлінген. Бөлінудің бірінші
нүктесінін координаттары (3 ;-5 ;7 ) және соңғысының координатгары
(-2; 4 ;-8 ) болсз, А нүктесінің координаттарын анықтаңыз.
Жауабы;
'14
- 8; 12
'з ’
30; Қабырғасы 1-ге тең болатын ABCD
кубының D
нүктесінен А^С-^ кесіндісініңортасьінадейшгі қашықтықтытабыңыз.
Жауабы; — .
469
www.nismath.org
§2. Ж А ЗЫ Қ Т Ы Қ Т А Ғ Ы Ж Ә Н £ К Е Ң 1 С Т ІК Т Е Г І
ВЕКТОРЛАР
1. Егер:
а^3 ;л /б |,
Л^-2;-->/б)
болса,
а —Ь
векторыньщ
:рындығын «сабыңыз.
Жауабы: 7.
2. ^ (0 ;0 ), 5 (2 ;2 ), С (5 ;-і) нүктелері берілген. АС СВ скаляр
көбейтіндісін табыңыз.
Жауабы; -18.
3. АВ
жэне CD векторлары өзара тең.
А [-2 ,5 ),
5(0; З),
D(7; 10) екендігі белгілі болса, С нүктесінің координаттарын табыңыз.
Жауабы: С(5;12).
4. а(4 ;3 ) және
анықтаңыз.
Жауабы: 45“ .
векторлары арасындағы
бурышты
5. Егер
5(3; 1), С(2;2) болса, .45 және АС векторлары
{фасындгиы бурышты табыңыз.
Жауабы: 45“ .
6. Л (—2;0), 5(2; 2 ), С ( 4 ;- 2 ) , /> ((^-4 ) нүктелері берілген.
л = .4 5 + 3 /Ш -^ С 4 векторыныңұзындығынтабыңыз.
Жауабы: у / ш .
7. с = а+Ъ,
|а | = 5,
|^ | = 3
екендііз белгілі.
векторлары арасындағы бұрыш 60° тең. | с | табыңыз.
Жауабы: 7.
470
а
жэне
Ъ
www.nismath.org
векторымен бірдей багытталған, бір ғана вектордың
координаттарын анықтаңыз.
Ж .у.бы :
9. Егер Л(0;1),
С(0; 3) болса, ABC үшб^рыщыньщ A
бұрыпшн табыныз.
Жауабы; 120°.
10. а(4 ;3 ) және Ь(т;2) векторлары берілген. /и-нің қандай
мэніңде осы векторлар перпендикуляр болады?
І^ у а б ы : w = -l,5 .
11. |а | = 2 , |Ь |= :3 , ал олардЕщ арасынлағы б^ы ш 135° тең.
Векторлардың скалярлық көбешіндісін есептеңіз.
Жауабы; - i - J l .
12. а(5;т) векторының абсолютгік шамасы 13, ал &{и;24)
векторының абсолкптік шамасы 25-ке тен. т жэне п табьщыз.
Жауабы: ш = ± 12; п = ± 7.
13. і жэне j - координаттық векторлар бодса, a = S i - 4 j
векторының рындығын табыңыз.
Жауабы; 5.
14. Егер |я | = 5, 1^1 = 8, z{a ,V j = 60° болса, |a + f t| жэне \o ~ b \
есептеңіз.
Жауабы: л / ш ; 7.
15.
c )-Z (6 ,c ^ = 6 0 ° ,
j & | = [ c | = 2 екеавдгі белгЫ.
^a+Vjc есептеңіз.
Жауабы: 3.
471
www.nismath.org
16. /( 3 ;—2 ), р ( - 4 ;і) векторлары
векторыныц координаттарын табыңыз.
6 q > in r e H
болса, а —Ъ І—І р
Жауабы: (17;-8).
17. |а |= 2 > /2 , 1^1 = 4, z ( a ,6 ) = 135°. [ a + 2 ij табьщыз.
Жауабы; 2>/io.
18. а ( 4 ;- 3 ) , b [ m ;-6 ). т қандай мэнівде a жэне Ь векторлары
коллинеар болады?
Жауабы; m = S.
19. k қандай болганда, Л (2 ;і), В (3 ;-2 ), С (0;к) нүктел^)і бір
түзуде жатады?
Жауабы; к - 7 .
20.
т-н ін кавдай мәнінде
веюорының үзывдшы 10
тең?
Жауабы: ±9.
21. а (2 ;3 ), б (7 ;-7 ) және с (4 ;-3 ) векторлары берілген. (a + c j
және Ь векторлары арасындағы бұрышты табыңыз.
Жауабы; 45°.
22. Координатгардың басынан айналдыру кезінде, А (б; 8) нүктесі
Аі (8; б) нүкгесіне айналды. Айналу бұрышының косинусын табыңыз.
Жауабы; 0,96.
В
23.
^(3;5) екендігі бежіпі болса, а векторына перпендикуляр
және модулі тен Ъ векторын табыңыз.
Жауабы; Ъ{5,-Ъ) немесе б (-5 ;3 ).
472
www.nismath.org
24. а (і;4 )
және
Ь {-У ,І)
векторлары берілген.
{ а + Х І^
векторы Ь векторыва перпендикуляр болатындай X санын табьщыз.
5
Жауабы: -
13
25. Егер |а |= 2 , |^ |= 5 және Z^a,Z>^ = 120' болса, х кандай
мэнінде р —х-а+ \1-Ъ
болады?
Жауабы; 40.
жэне q = 3-a—b векторлары перпендикуляр
26. М нүктесі ABCD параллелограммының ВС қабырғасыпда
жатыр, мандаты ВМ :М С = 3:1. AM және MD векюрларын a= AD
және Ь = АВ векторлары арқылы жіктеңіз.
Жауабы; A M - —a + b\ MD = —a - b .
4
4
27.
|aj= 3,
jftj
= 4, Z.^a,V ^-\iaP берілген. o-2fe және Ъ
векторлары арасындағы бурыштыі; косинусыв табыңыз.
19
Жауабы;
2 ^ '
28.
АВС \ .4(і;3), 5(2; і), С(9;3) үшбұрышьшьщ төбелерінің
координаттары берілген. ctg ZACB табыңыз.
Жауабы; 3,5.
29. Шеңбердің АС диаметрі мен АВ хордасы жүргізілген.
Шеңбердің ішінен М нүктесі тавдап алынды. Осы нүктеден АВ және
АС векторларына сәйкесінпіе болатын тең. MN және МҒ векторлары
салынған. MNF бұрышы қаншаға тең?
Жауабы: 90°.
30. Р бұрышы тік, Р М жэне КН табандары болатын РКНМ
трапециясының HP диагоналі жүргізілген. ZPHK = 30°, ZPHM = 90°,
РМ = а болса, \К Р + М К -М Н \ табьщыз.
Жауабы;
а\/3
473
www.nismath.org
31. а (1; 2 ),
Ь (-3; 2)
векторлары
параллелограммньщ ауданын табьщыз.
Жауабы; 8.
кабырғалары
болатын
32. Д/45С берілген. О - медианаларыньщ қиылысу нүктесі.
А С = а , ВС = Ь болса, а жэне Ъ векторлары арқылы АО векторын
жіктещз.
Жауабы: ^ { іа -Ъ ^ .
33. Төбелері ^ (5 ; 4 ), 5(0; З), С (9;8), D(4;7) болатын ABCD
пч>аллелограммның ауданын табыңыз.
Жауабы: 16.
34. йг(1;—2) жэне Ъ{Ъ,4) векторлары арасындтл бұрыштың
тангенсін табыңыз.
Жауабы: —2.
35. Егер |а + б |= 1 9 , | а —б| = 17 жэне |б | = 10 болса, |a j + |i j
табьщыз.
Жауабы: 25.
36. Егер IаI = л/і37, ja+Z>| = 20 жэне | а —б| = 18 болса, |й |
табыңыз.
Жауабы: 15.
37. Егер |а | = 17,
|а + б | = 28 жэне |б | = 21
болса,
табьщыз.
Жауабы: 26.
38. Егер а (5; 4), б ( —3;0), с (19; 8) болса, с векторын а жэне Ь
векторлары арқылы жіктеңіз.
Жауабы: с = 2 а -Ъ Ъ .
39. Егер а (-6; 2), 6 (4; 7), с (9 ;-3 ) болса, а жэне Ъ векторлары
арқылы с векторын көрсетіңіз.
Жауабы: с = - ^ а .
474
www.nismath.org
40.
CM кесіндісі - ABC тең бүйірлі үшбурышыньщ тік
бұрышының төбесінен жүргізілген медиана. Егер АВ = ІО болса,
АВ-АС+ ВМ ^ табыңыз.
Жаүабы: 5.
1. А ( - 3 ; 2 ; - \) , 5 ( 2 ;- 1 ; - 3 ) , С (і;-4 ;3 ), £>(-1;2;-2) нүкгелері
берілген. 12 ^В + З CD I табыныз.
Жауабы: \І521.
2. С (3 ;-2 ;1 ),
D ( - l;2 ;l) ,
М (2 ;-3 ;3 ),
нүктелерінің координаттары берілген. CD
арасындағы бұрыштың косинусыы табыңыз.
Жауабы; 0,7.
және
J V (-l;l;-2 )
MN
векторяары
3.. a (2; - 2; О) жэне Л(3; 0; - 3) векторлары арасындгны бұрыпггы
есептеңіз.
Жауабы: 60°.
4. п -нің қандай мэнінде осы
векторлары перпендикуляр болады?
а (2; -1; З)
және
Ь (1; 3; и )
Жауабы: j .
5. а(3;1;1),
б (-2 ;0 ;2 ),
координаттары бойынша, ^ 2 я+ зБ + с)
есептеңіз.
Жауабы: (1;1; 8).
475
с (і;-1 ;0 )
векгорларының
векторының коордияаттарын
www.nismath.org
6. а (2 ;Л ;-і)
және
Ь {Ъ ,-\,2 к)
векторлармнш^
скалярлық
көбейтіндісі (-5) -ке тең болатьш, к мэнін есептеңіз.
Жауабы: — .
7. а (-3 ;-1 ;2 ), с (5 ;—2;7)
векторлары
векторывың координаттарын табыңыз.
берілген.
З с—а
Жауабы; (18;-5; 19).
8. X және у -тія кдвдай мәндврінде а ( х ;- 2 ;5 ) жэне б ( і;у ;- 3 )
векторл^ы коллинеар болады?
Жауабы: х = - - ; у = ~ .
9. Егер а(3;1;0 ),
ұзындығын есептеңіз.
6(0;1;-1)
болса,
2а+ЪЬ
векторының
Жауабы: V w .
10.
A (2; -1; З ), В (l; 0; 4) нүктелфі және a (4; - 2; - З) векторы
берілген. ЗА В + 5а векторыныңұзындығын габыңыз.
Жауабы: V482.
11. A {2 ;0 ;l), 5 ( 4 ;-1 ;3 ), С (і;1;2) нүктелері берілген. ABC
үшбұрышыньщ В төбесінің ішкі бұрышының косинусын табыңыз.
5^Л4
Жауабы;
21-.12. а(/и + 1; I; -1 )
және
Ь[т; -т ; -2ти+3)
векторлары
перпендикуляр болатын, т барльп<; мэндерінің қосьшдысын табыңыз,
Жауабы; -2 .
13. а ( 3 ;- 3 ; - 2 ) жэне 6(1;2;-1) векторлары қабырғалары
болатын кұрылған параллелограмның үлкен диагоналінің ұзындығын
табыңыз.
Жауабы;
.
476
www.nismath.org
14. а^1;1;л/б^ векторы мен Oz осі арасывдағы бұрышты
табыныз.
Жауабы: 30°.
15. о( —
&( 0; 2; - 2)
векторлары
б^>ілген.
с = (2 а + 3 б )-^ а -2 6 ^ + 2 ^ а -6 ^ векторының координаттарынтабьщыз.
Жауабы: (-3 ;9 ;-3 ).
16.
а(і5 ;?и ;і)
жэне
6 (18; 12; я)
векторлары
коплинеар
болатындай, т жэне п мэндігрін табыңыз.
Жауабы: /и = 10; и = 1,2.
17. а = т - і + Ъ ]-\-Ак
жэне
Ь = Аі+тп ] - 1 к
векторлары
берілген. т -нің қандай мэнінде а жэне b вектс^лары ортогональ болып
табылады?
Жауабы: 4.
18.
а(^1; 2; 3) және 6 (5' х;—і) векторлары берідген. х -Tip кавдай
мэнінде а-Ь=^Ъ шартыорындаяады?
Жауабы: 5,5.
19.
ABC үшбдаышының төбелфі j4 (-2 ;0 ;1 ), fl(—1;2; 3) жэне
С (8;—4; 9) берілген. Егер ЙМ -
үшбұрышының медиаиасы болса,
В М векторыньщ координаттарны табыңыз.
Жауабы: (4 ;-4 ; 2).
20. Үшб^ыштың .4 { -1 ;-2 ;4 ), .8 (-4 ;—2;0) және С (3;-2;1)
төбслфі берілген. А төбесівдегі үшбүрыцпъщ б^ыіпын табыңыз.
Жауабы: 90°.
21, Егер
a+ b+c = 0
жэне
a-b+ b'C + c-a есентеңіз.
Жауабы: -1,5.
477
а = 6
:1
болса.
www.nismath.org
22.
b = 2 i + j —Ък векторыныңұзындығынесептеңіз.
Жауабы: -Л4.
23. Егер а(1;2;і) жэне й (2 ;-1 ;0 ) болса, а - Ъ
векторларының арасындағы бұрьшпың косинусын табыңыз.
Жауабы;
және а+Ъ
1
11
24. Егер
=
г і ^ ’
|^ + ^ | = 3
болса,
а
жэне
Ь
векторларының скалярлық көбейтіндісін табыңыз.
Жауабы: 2.
25. Егер а = і —j л-2к жэне Ь = 2 і + 2J болса, р = 2а+ЪЬ және
q = 2 a -3 b векторларынын арасындағы бұрышты табыңыз.
Жауабы: 120°.
26.
ABCD параллелограммында ^ ( - 4 ; - 4 ; - 2 ) , С В (-3 ;-6 ;1 )
жэне ^ (3 ;8 ;-5 ) берілген. Диагональдардың қиылысу нүктесінің
координатіарының қосывдысын табыңыз.
Жауабы: 5.
27. а (дс; у, z) векторының ұзындыгы 5 тең. Егер л: = 2, z = —v/s
болса, а векторыныц ордиватасын табыңыз.
Жауабы: ±4.
28.
.(4(і;0;і), Д(-1;1;2) жэне С ((^ 2 ;-і) нүктелері берілген.
Егер АВ жэне CD векторлары тең болса, D{x, y\ z) нүктесін табыңыз.
Жауабы: D (-2;3;0).
478
в
www.nismath.org
29. Л^-нің кандай мәыінде a [ 6 - k \ k; 2) және Ь(-3; 5 + 5 i; - 9 )
векторлары перпендикуляр болады?
Жауябы:2;-3,6.
30. Егер ^ { -2 ;-1 ;2 ), S { 4 ;-3 ;6 ), С(-1; а -1 ; l), Z )(-4 ;-l;a )
болса, ЙГ-НЫҢ қандай мэнінде АВ және CD векторлары коллинеар
болады?
Жауабы: - 1 .
31. Берілгені: |а |= 4 ,
мувдгны а
|^ | = Ь
Z^o,6j = 60°. сс»а табьщыз,
а —Ь жэне 6 векторлгфы арасындағы бурыш.
Жауабы;
'
'
32. Егер |Ц = 1 , р | = 2, | с | = 3, Z (a ,* ) = 90°,, z [ b ,c ) = 60P,
Z |^e,cj-120° болса, а + 6 —с вею^ыныцузындьпынтабыяыз.
Жауабы: -Лл .
33» ABCD параллелограммыцда CD(-3; 4; 2)„ СВ (5; - 2; 4) жэне
А (5; 8; О) берілген. С
қашықгықгы табыңыз.
Жауабы: 9.
нүктесінен координаттардьщ басына дейінгі
34. ^ (1 4 ;-8 ;-1 ) ,
5 (7 ;3 ;-1 ),
С (-6 ;4 ;-1 ),
£>(1;-7;-1)
нүкгелері ABCD ромбысывың төбелері болып табылады. Ромбьгаың
сүйір б^рышын табыңыз.
Жауабы: arccos ^ .
35.
параллелепйпеді
ABCDA^B^Cp^
Z 5 + 5 jC j +
беріотен.
+CD қосындысьша тең болатын, векторды табьщыз.
Жауабы: ~AD^.
479
www.nismath.org
36. уі(3;—2 ;і), 5(3; 0; 2), С (і;2;5) нүктелері төбелері болатьш
үшбұрыш берілген. BD медианасы мен АС табаны арасындағы
б^ы іігш табыңыз.
Жауабы; 45°.
37. Қабыргасы а-ға тең DABC дурыс тетраэдрі берілген. О
нүетесі- ABC үшбүрьпішныңцешріболса, ^ОА+АС-ОС^табыңыз.
...
,
ал/б
Жауабы: ----- .
38.
5 ( —1;1;2), С (0;2;—і) нүкгел^рі берілгвн. АВ
және CD векторлары nq^neiwocyaap болатындая Oz осіыін /7(0; 0; с)
нүктесін табыңыз.
Жауабы; с = 1.
39. DABC
тетраэдрінде
DA = D B ~ D C ,
ZBDC = 60°. Векторлар арасындағы бурышты есептеңіз;
1) DA және B D ;
2) DB және С В .
Жауабы: 1) 135°;
40.
ZADB = 45°,
2) 60°.
ABCDA^B^C^D^
-
куб.
АА^ —DC^ +ВС
тең векторды
табыңыз.
Жауабы; B D .
41. а-ның қандай мэнінде
нүктелері бір тузуде жатады?
Жауабы; а = —1.
42. />(—1; 2х;
А (2 ;а ;3 ),
В(3;1;б),
С(4;3;9)
жэне д(5; а; а ) векторлары дг-тщ кез келген
мәніңцв дотал бурыш жасашъш болса,
интфвальшың узындьпъш табыцыз.
Жауабы; 5.
480
а
параметр! мәнд^>інің
www.nismath.org
43. Егер |а | = 2 ,
jz>j = 3,
болса, а жане Ь арасылдаім
бұрыш 60°, b және с £ц>асындшы бурыш 90°, а және с арасывдағы
бурыш 120° теңболса, а - Ь - с векторының^рындығын табыңыз.
Жауабы; -у/зТ.
44.
а және Ь векғорлары өзара перпеңдикуляр, с векторы а , b
векторларымен у
екендігі
белгілі
бурышын жасайды. | а | = 3,
болса,
^ 3 a-2 ij-^ 6 + 3 cj
= ^ және
скалярлық
=^
көбейтівдші
есеігғеңіз.
Жауабы: -62.
45. Төбелері А (3;0;І), 5 ( - 1 ;4 ;і) , С(5;2;3) және D (0,-5 ;4 )
болатын ушбурышты пирамида берілген. Егер О - BCD үшбурышыньщ
медианаларының қиылысу нүісгесі болса, АО векторының узындьвғын
есептеңіз.
Жауабы:
46.
.
jaj = 2 ,
|б | = 3, Z ^ a,6^ = 120°.
a және а+Ь векторлары
арасьшдағы бұрыштың косинусын табыңыз.
>/7
Жауабы:
47.
ABCDA^ByC^Dy
-
параллелепипед!
берілген.
К,
М
нүктелері сэйкесінше A D , CCj қырларын ортасы болса, МК векторыя
A D = a , АВ = Ъ, АА^=с векторлары арқылы жіктеңһ.
Жауабы:
2
а - Ь - —с .
2
48. Үшбүрьші өзінін уі( і ; 1;2), 5 (3 ;4 ;2 ) жэне С (5;6;4)
төбелерінің координаттарымен берілген. Үшб^ыппъщ В төбесіндеп
сыртқы б^ышының шамасын табЕлдыз.
Жауабы: arccos
481
www.nismath.org
ABC үшбұрышында М және N нүктелері - сойкесінше АВ
және ВС қабырғаларының орталары болып табылады. А В (3 ;-5 ;б ),
49.
M V(-2;1;7) екендігі белгілі.
қосьшдысын табыңыз.
Жауабы: 8.
50.
р ^ х ^ ; х; 16^ жэне
ВС
векторының координатгарының
Ь;
векторлгфы, дс-тіңкез келген
мәніңде сүйір бұрыш жасайтын болса, Ь парамеірінің бүтін мэндерінің
қосындысын табыңыз.
Жауабы: -6 .
482
www.nismath.org
XI ТА ҒА У . Л О Г И К А Л Ы Қ Е С Е П Т Е Р
1. 1-ден, 12-ге дейін бутін сағаттардың сандарын ғана көрсететін
болса, бір тәуліктің ішінде сағат қанша рет соғады?
Жауабы; 156.
2. Түзуде 7 нүкте алынды. Осы нүктелер олардың үштары болып
табылатын барлығы қанша кесінділер пайда болды?
Жауабы: 21.
3. 999^ есептеқіз.
Жауабы: 998 001.
4. Дөңес он екі бұрыштың қанша диагональдары бар?
Жауабы: 54.
^
1 1 1
1-2
2-3
1
3-4
99-100
есептеңіз.
99
Жауабы. — .
^
100
и ^ -4 и ^ -1 2
(n e N )
белшегіяіц барлыіс мүмкін натурал
мәндерінің қосындысын табыңыз.
Жауабы; 105.
7. 7,352^ + 52,96 - 2,648^ есептеңіз.
Жауабы: 100.
8. Призмаңың барлыгы 60 қыры бар. Оның қанша бүйір жақгары
бар?
Жауабы: 22.
9.
1 бастап, 50 дейінгі барлық бүтін саңцардьщ көбейтіндісі қанша
нөлд^мен аяқгалады?
Жауабы: 12.
483
www.nismath.org
10. 752 санының оң жағьша қавдай цифрды тіркеп жазсаң, шыққан
сан Збнға қалдықсыз бөлінеді?
Жауабы; 4.
11. Бірнеше натзфал сандар берілген, олардьщ қосындысы 75 тең.
Егер осы саадардың эрқайсысын 2 азайтсақ, онда жаңа сандардың
қосындысы 61 тең болады. Қанша сан бфілген болатьш?
Жауабы: 7.
12. 7 нүкте берілген. Ояардың кез келген үшеуі бір тузуде
жатпайды. Осы 7 нүкге арқылы барлығы кашпа эртүрлі түзулер жүргізуге
болады?
Жауабы: 21.
13.
1-
Жауабы:
1
1-
-
100'
есептещз.
101
200
14. Ануарға торсықгағы су 20 күнге, ал оньщ ағасына 60 күнге
жетеді. Тура сол торсықгағы су ағасымен екеуіне қанаша күнге жетеді?
Жауабы; 15.
15. 8 ^ санының сощъі цифрын табвщыз.
Жауабы: 2.
16. 31323334...7980
табьщыз.
санының
цифрларының
қосывдысын
Жауабы: 480.
17.
7***® саньгаыя сощы цифрын табыцыз.
Жауабы: 1.
18. Ұзындығы 400 м болатын пойыз, 1 мин
800 м туннельді өтті. Пойыздың үзындығын табыщлз.
Жауабы: 20 м/с.
484
ішінде ұзындаіғы
www.nismath.org
19. 9 минут ішівде сағаггардың минутпіқ тілі қанша ірадусқа
бұрылады?
Жауабы: 54°.
20. п қандайоифрларыкезінде, 785ІЯ саны 9 бөлінеді?
Жауабы; 6.
21. 1 0 0 ^ -9 7 ^ + 9 б 2 -9 3 Ч 9 2 ^ -8 9 ^ + ... + 4 ^ -1 есептеңіз.
Жауабы: 7 575.
' .
22. 3, 6, 7 жэне 9 цифрларының ішінен, оларды қайталамастан,
алуан түрлі төрт таңбалы сандар кдаылған. 4-ке бүтіндей қалдықсыз
бөлінетін, олардын арасында қанша сандар бар?
Жауабы: 6.
2
23. —^
5-7
Жауабы:
2
2
2
+ -Г-Г7 + ■■•+ 1 1 - — қосындысын табыңыз.
73-75
7-9 9-11
14
75
24. Егер эр қосылғыштың екінші көбейткишн бірлікке азайтсақ,
1-4 + 2 -8 -f3-12-Ь... + 20-80 қосындысықаншағаазаяды?
Жауабы: 210.
25. 45-кё қалдықсыз бөлійетш сан шығуы үпгін, 3*470
жазбасындағы жулдызшаны қандай ішфрмен алнастыруға болады?
Жауабы: 4.
26. Квлесі сандфдші қайсшына,
бөліведі: 51; 49; 45; 23; ІЗ.
7 ^—27
Жауабы: 23.
27.
2001-2004 - 2002-2003 теептеңіз.
Жауабы: -2 .
485
саны қалдықсыз
www.nismath.org
28. Өлшeмдq)i 8 және 20 болатын тік төргбұрьшпадан квадрат
кұрау үшін, ең кем дегенде неше тік төртбурыш алу қажет?
Жауабы: 10.
29. Түс кезінде минутгық жэне сағаттық тілдер сэйкес келді.
Келесі жолы олар қашан сәйкес келеді?
Жауабы; 13 сағ 5— мин.
30. Гараждьщ штатында 54 жүргізуші бар. Егер бар 60
автокөлікгің күнделікті 25% г^іажда щюфилактикалық жөндеуден өтуге
қалатын болса, айына (30 күн) әр жүргізушіде мүмкін болатын бос
күндердің санын табьщыз.
Жауабы: 5 күн.
31. Дөңес көпбұрыштың 9р төбесі арқылы 5 диагональ өтеді.
Көпбүрыштың қабырғаларының санын табыңыз.
Жауабы; 8.
32. Пайда болған сан, 2, 3, б, 9 сандарына қалдықсыз бөлінуі
үшін, 46* үш танбалы санының жазбасындағы жүлдызшаның орнына
қандай цифрды қоюға болады?
Жауабы; 8.
33. Жанұяда төрт бала бар. Олардың үшеуі сәйкесінше ең
ісішісінеи 2, 6, 8 жасқа үлкен және әр баланын жасы жай санмвн
өрнектеледі. Үлкені қанша жаста?
А)7 В)11 С)13 D)15 Е)17
Жауабы: С.
34.
13^+11* қосындысы қандай цифрмен аяқталады?
Жауабы: 4.
35. Сандардың ішінен ең үлкенін табыңыз:
А)
1 -^
75(з+^/7)
В)
116
231
675
Жауабы: D.
486
D )i^
23
Е)
112
223
www.nismath.org
36.
Қорапта 10 қызыл, 8. көк, 8 жасыл және 4 сары қарьшдаш бар.
Олардың арасывда міндетті түрде бір түсті 4 қарындаш болуы үшін, ең
кем дегенде қораптан қанша қарындаш алу қажет?
Жауабы: 13 қарындаш.
37. Алаңца ойнаған 11 футбопшылардың орта жасы 22 жасқа тең.
Бір ойыншыны шығарып таст'ан сов, қалған ойыншылардың орта жасы
21 жас болды. Шығарылған ойьгашының жасы қаншада?
Жауабы: 32 жас.
38. Қабырғасы 3 см болатын боялған ағаш кубты, кубтык
сантиметрлерге бөлді. Олардың ішіңде, үш жағынан боялған қанша
кубиктер бар?
Жауабы: 8.
39. Егер түзудін бойына арақашықгықтары тев болатын 10 нүкте
койсаң, онда кесінділерінің ұзындығы / *те тең, ші 100 нүкте қойсав,
кесінділерінің ұзындығы к -ға тең бодса, к I -ден қаяша есе артық?
Жауабы: 11 есе.
40. Теміржоп станцвясы арқьшы үш әскери пойызы өтті. Біріншіде
462, екішвіде - 546 және үшінціісінде - 630 жаумщ*^ болды. Егер эр
вагонда жауылгерлердің саны бірдей болғандьвы және осы сан барлық
мүмкін сандардың үлкені болғаидыгы белгілі болса, әр іюішзда қанша
вагондар болған?
Жауабы: 11; 13; 15.
41. 6 car 10 мин. сиаттық жэне минутгық тілдер күрайтын,
бұрыштардың ішінен ен кішісін анықгаңыз.
Жауабы:
25л"
Іб "
487
www.nismath.org
МАЗМ¥НЫ
Алғы сөз
I тарау.
Рационал фукциялар
§1. Саңцық өрнектерді тепе-тең түрлендіру
§ 2. Рационал алгебралық өрнектерді теңбе-тең
түрлендіру
§ 3. Рационал алгебралық теңцеулерді шешу
г
§4. Алгебралық теңцеулер жүйесін шешу
§ 5. Раіщонал теңсіздіктерді шешу
§6. Модуль белгісінін астында айнымалысы бар
тевдеулерді шешу
§ 7. Модуль белгісінің астында айнымалысы бар
теңсіздіктерді шешу
.
П тарау.
Иррационал функциялар
§1. Алгебралық иррационал өриектердің тепе-тең
түрлендірулері
§2. Иррационал теңдеулерді шешу
§ 3. Иррационал теқцеулер жүйесін шешу
§ 4. Иррационал теңсіздіктерді шешу
4
4
19
32
45
59
75
82
90
90
104
113
121
130
130
140
Ш тарау. Көрсеткіштік және логарифмдік функциялар
§ 1. Көрсеткіштік тевдеулерді шешу
§ 2. Көрсеткіштік теңсіздіктерді шешу
§ 3. Логарифмдік өрнектердің тепе-тең
турлендірілуі
§ 4. Логарифмдік теңдеулерді шешу
§ 5. Лопфифмдік теңсіздіктерді шешу
§ 6. Көрсеткіштік және логарифмдік тендеулер
жүйесін шешу
193
IV тарау. Тригонометриялық фуикцнялар
§1. Тригонометриялық түрлендірулер
§ 2. Тригонометриялық теңдеулерді шепгу
§ 3. Тригонометриялык теңсіздіктерді шешу
208
208
229
241
488
151
164
178
www.nismath.org
V тарау.
Прогрессияға байланысты есептерді шығару
250
§1. Арифметикалық прогрессия
§2. Геометриялық прогрессия
250
262
VI тарау. Мәтіндік мәселе есептерді шешу
279
VII тарау. Анализ бастамалары
§ 1. Функция және оныц қасиеттері
§ 2. Функцияларды дифференциялдау
§ 3. Туындыны қолданьш. Функцияларды зерттеу
§ 4. Функцияның туындысы және жанаманың
теқдеуі
§ 5. Алзғашқы функция және оны есептеу.
Аныкгалған интегралдың қолданылуы
306
306
319
337
Vin тарау. Планиметрия
§1. Үшбң)ыштар
§2. Төртбздзыштар
§3. Шеңбер және дөңгелек
365
365
3S6
404
IX тарау. Стереометрия
§ 1. Кеңістіктегі қашықтыктар мен бурыштарды
есептеу
§ 2. Көпжақтар
§ 3. Айналу денесі
410
X тарау.
Аналнтикалық геометрняныц жәые векторлык
алгебраның элементтері
§ 1. Декартгық координаттары
§2. Жазықгықгағы және кеңістіктегі векторлар
XI тарау. Логикалық есептер
349
354
410
422
434
459
459
470
483
489
www.nismath.org
Кітаітщ)ды көтерме бағамен алу мәселелері бойьшша кепесі теяефоцдф
бойынша хабарласыңыэп^:
+ 7 (7 2 7 ) 3 75 - 5 6 - 1 2
+7 - 7 7 7 .4 9 6 - 2 5 - 1 4
+ 7 -7 0 7 -3 1 5 -5 6 -0 5
+ 7 (7 2 7 ) 2 4 8 - 24 - 23
+ 7 - 7 77 - 3 1 9 - 2 5 - 61
ИРИНА ПАВЛОВНА РУСТЮМОВА
СВЕТЛАНА ТЮЛЮГОНОВНА РУСТЮМОВА
М а т ем а т и к а д а н б ір ы ң ғай у л т т ы қ т е ст іл е у г е (Б ¥ Т )
д а й ы н д а л у ғ а ар н ал ған тр ен а ж ер
Бірінші басылым
Басуга 20.11.2013 ж. ңол ңойылды. Офсеттік басылыс.
Бас. пішші 60x84/16
_____Б. шар. бас. көлемі 25. Тарачымы 2000 дана._____
«ИП Волкова» баспаханасында басып шыгарылды
Райымбек 212/1, 319 кецсе
Тел.: 8(727)330-03-12, 8(727)330-03-13